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<!DOCTYPE html> <html lang="en"> <head> <meta content="text/html; charset=utf-8" http-equiv="content-type"/> <title>Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization</title>   <meta content="width=device-width, initial-scale=1, shrink-to-fit=no" name="viewport"/> <link href="https://cdn.jsdelivr.net/npm/bootstrap@5.3.0/dist/css/bootstrap.min.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <link href="/static/browse/0.3.4/css/ar5iv.0.7.9.min.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <link href="/static/browse/0.3.4/css/ar5iv-fonts.0.7.9.min.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <link href="/static/browse/0.3.4/css/latexml_styles.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <script src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/bootstrap@5.3.0/dist/js/bootstrap.bundle.min.js"></script> <script src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/html2canvas/1.3.3/html2canvas.min.js"></script> <script src="/static/browse/0.3.4/js/addons_new.js"></script> <script src="/static/browse/0.3.4/js/feedbackOverlay.js"></script> <meta content="Image denoising Optimal transport Convex optimization Augmented Lagrangian method" lang="en" name="keywords"/> <base href="/html/2503.14947v1/"/></head> <body> <nav class="ltx_page_navbar"> <nav class="ltx_TOC"> <ol class="ltx_toclist"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S1" title="In Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">1 </span>Introduction</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S2" title="In Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">2 </span>Related work</span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_section"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S2.SS1" title="In 2 Related work ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">2.1 </span>Optimal Transport</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S2.SS2" title="In 2 Related work ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">2.2 </span>Meyer’s <math alttext="G" class="ltx_Math" display="inline"><semantics><mi>G</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content"><ci>𝐺</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex">G</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun">italic_G</annotation></semantics></math>-TV Model for Cartoon and Texture Decomposition</span></a></li> </ol> </li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S3" title="In Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">3 </span>The Proposed Image Restoration Models</span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_section"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S3.SS1" title="In 3 The Proposed Image Restoration Models ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">3.1 </span>The proposed image denoising model</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S3.SS2" title="In 3 The Proposed Image Restoration Models ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">3.2 </span>Existence and uniqueness of minimizers</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S3.SS3" title="In 3 The Proposed Image Restoration Models ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">3.3 </span>Characterization of minimizers</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S3.SS4" title="In 3 The Proposed Image Restoration Models ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">3.4 </span>An extension of our model</span></a></li> </ol> </li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S4" title="In Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">4 </span>Numerical Algorithm</span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_section"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S4.SS1" title="In 4 Numerical Algorithm ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">4.1 </span>Discretization</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S4.SS2" title="In 4 Numerical Algorithm ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">4.2 </span>Numerical Method for problem (<span class="ltx_text ltx_ref_tag">62</span>)</span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_subsection"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsubsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S4.SS2.SSS1" title="In 4.2 Numerical Method for problem (62) ‣ 4 Numerical Algorithm ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">4.2.1 </span>Numerical Method for (<span class="ltx_text ltx_ref_tag">63</span>)</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsubsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S4.SS2.SSS2" title="In 4.2 Numerical Method for problem (62) ‣ 4 Numerical Algorithm ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">4.2.2 </span>Numerical Method for (<span class="ltx_text ltx_ref_tag">64</span>)</span></a></li> </ol> </li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S4.SS3" title="In 4 Numerical Algorithm ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">4.3 </span>Convergence of the Proposed Algorithm</span></a></li> </ol> </li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S5" title="In Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">5 </span>Numerical Experiments</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S6" title="In Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">6 </span>Conclusion</span></a></li> </ol></nav> </nav> <div class="ltx_page_main"> <div class="ltx_page_content"> <article class="ltx_document ltx_authors_1line"> <div class="ltx_para" id="p1"> <p class="ltx_p" id="p1.1">∎ </p> </div> <span class="ltx_note ltx_role_institutetext" id="id1"><sup class="ltx_note_mark">1</sup><span class="ltx_note_outer"><span class="ltx_note_content"><sup class="ltx_note_mark">1</sup><span class="ltx_note_type">institutetext: </span>Weijia Huang </span></span></span><span class="ltx_note ltx_role_institutetext" id="id2"><sup class="ltx_note_mark">2</sup><span class="ltx_note_outer"><span class="ltx_note_content"><sup class="ltx_note_mark">2</sup><span class="ltx_note_type">institutetext: </span>Department of Mathematical Sciences, Tsinghua University, Beijing 100084, China <br class="ltx_break"/><span class="ltx_note ltx_role_email" id="id2.1"><sup class="ltx_note_mark">2</sup><span class="ltx_note_outer"><span class="ltx_note_content"><sup class="ltx_note_mark">2</sup><span class="ltx_note_type">email: </span>hwj20@mails.tsinghua.edu.cn</span></span></span> </span></span></span><span class="ltx_note ltx_role_institutetext" id="id3"><sup class="ltx_note_mark">3</sup><span class="ltx_note_outer"><span class="ltx_note_content"><sup class="ltx_note_mark">3</sup><span class="ltx_note_type">institutetext: </span>Zhongyi Huang </span></span></span><span class="ltx_note ltx_role_institutetext" id="id4"><sup class="ltx_note_mark">4</sup><span class="ltx_note_outer"><span class="ltx_note_content"><sup class="ltx_note_mark">4</sup><span class="ltx_note_type">institutetext: </span>Department of Mathematical Sciences, Tsinghua University, Beijing 100084, China <br class="ltx_break"/><span class="ltx_note ltx_role_email" id="id4.1"><sup class="ltx_note_mark">4</sup><span class="ltx_note_outer"><span class="ltx_note_content"><sup class="ltx_note_mark">4</sup><span class="ltx_note_type">email: </span>zhongyih@mail.tsinghua.edu.cn</span></span></span> </span></span></span><span class="ltx_note ltx_role_institutetext" id="id5"><sup class="ltx_note_mark">5</sup><span class="ltx_note_outer"><span class="ltx_note_content"><sup class="ltx_note_mark">5</sup><span class="ltx_note_type">institutetext: </span>Wenli Yang </span></span></span><span class="ltx_note ltx_role_institutetext" id="id6"><sup class="ltx_note_mark">6</sup><span class="ltx_note_outer"><span class="ltx_note_content"><sup class="ltx_note_mark">6</sup><span class="ltx_note_type">institutetext: </span>School of Mathematics, China University of Mining and Technology, Xuzhou 221116, China <br class="ltx_break"/><span class="ltx_note ltx_role_email" id="id6.1"><sup class="ltx_note_mark">6</sup><span class="ltx_note_outer"><span class="ltx_note_content"><sup class="ltx_note_mark">6</sup><span class="ltx_note_type">email: </span>yangwl19@cumt.edu.cn</span></span></span> </span></span></span><span class="ltx_note ltx_role_institutetext" id="id7"><sup class="ltx_note_mark">7</sup><span class="ltx_note_outer"><span class="ltx_note_content"><sup class="ltx_note_mark">7</sup><span class="ltx_note_type">institutetext: </span>Wei Zhu </span></span></span><span class="ltx_note ltx_role_institutetext" id="id8"><sup class="ltx_note_mark">8</sup><span class="ltx_note_outer"><span class="ltx_note_content"><sup class="ltx_note_mark">8</sup><span class="ltx_note_type">institutetext: </span>Department of Mathematics, University of Alabama, Tuscaloosa, AL 35487, USA <br class="ltx_break"/><span class="ltx_note ltx_role_email" id="id8.1"><sup class="ltx_note_mark">8</sup><span class="ltx_note_outer"><span class="ltx_note_content"><sup class="ltx_note_mark">8</sup><span class="ltx_note_type">email: </span>wzhu7@ua.edu</span></span></span> </span></span></span> <h1 class="ltx_title ltx_title_document">Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization</h1> <div class="ltx_authors"> <span class="ltx_creator ltx_role_author"> <span class="ltx_personname">Weijia Huang </span></span> <span class="ltx_author_before"> </span><span class="ltx_creator ltx_role_author"> <span class="ltx_personname">Zhongyi Huang </span></span> <span class="ltx_author_before"> </span><span class="ltx_creator ltx_role_author"> <span class="ltx_personname">Wenli Yang </span></span> <span class="ltx_author_before"> </span><span class="ltx_creator ltx_role_author"> <span class="ltx_personname">Wei Zhu </span></span> </div> <div class="ltx_dates">(Received: date / Accepted: date)</div> <div class="ltx_abstract"> <h6 class="ltx_title ltx_title_abstract">Abstract</h6> <p class="ltx_p" id="id1.1">In this paper, we propose image restoration models using optimal transport (OT) and total variation regularization. We present theoretical results of the proposed models based on the relations between the dual Lipschitz norm from OT and the <math alttext="G" class="ltx_Math" display="inline" id="id1.1.m1.1"><semantics id="id1.1.m1.1a"><mi id="id1.1.m1.1.1" xref="id1.1.m1.1.1.cmml">G</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="id1.1.m1.1b"><ci id="id1.1.m1.1.1.cmml" xref="id1.1.m1.1.1">𝐺</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="id1.1.m1.1c">G</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="id1.1.m1.1d">italic_G</annotation></semantics></math>-norm introduced by Yves Meyer. We design a numerical method based on the Primal-Dual Hybrid Gradient (PDHG) algorithm for the Wasserstain distance and the augmented Lagrangian method (ALM) for the total variation, and the convergence analysis of the proposed numerical method is established. We also consider replacing the total variation in our model by one of its modifications developed in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib61" title="">zhu </a></cite>, with the aim of suppressing the stair-casing effect and preserving image contrasts. Numerical experiments demonstrate the features of the proposed models.</p> </div> <div class="ltx_keywords"> <h6 class="ltx_title ltx_title_keywords">Keywords: </h6>Image denoising Optimal transport Convex optimization Augmented Lagrangian method </div> <div class="ltx_classification"> <h6 class="ltx_title ltx_title_classification">MSC: </h6>65K10 68U10 90C30 </div> <section class="ltx_section" id="S1"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">1 </span>Introduction</h2> <div class="ltx_para" id="S1.p1"> <p class="ltx_p" id="S1.p1.1">The image restoration problem is a fundamental problem in signal and image processing which aims to recover a true image from an observed noisy and blurred image. Many variational models and regularizers have been developed to solve this inverse problem. Total variation (TV) is one of the most classical regularizers for image denoising proposed by Rudin, Osher, and Fetemi <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib44" title="">1992Nonlinear </a></cite>. Assume <math alttext="f" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.1.m1.1"><semantics id="S1.p1.1.m1.1a"><mi id="S1.p1.1.m1.1.1" xref="S1.p1.1.m1.1.1.cmml">f</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.1.m1.1b"><ci id="S1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.p1.1.m1.1.1">𝑓</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.1.m1.1c">f</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.1.m1.1d">italic_f</annotation></semantics></math> is a given grayscale image, the Rudin-Osher-Fatemi (ROF) model is formulated as a minimization problem:</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S1.E1"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\min_{u}\frac{\alpha}{2}\int_{\Omega}(f-u)^{2}+\int_{\Omega}|\nabla u|," class="ltx_Math" display="block" id="S1.E1.m1.1"><semantics id="S1.E1.m1.1a"><mrow id="S1.E1.m1.1.1.1" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S1.E1.m1.1.1.1.1" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><munder id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"><mi id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.3.1.2" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.3.1.2.cmml">min</mi><mi id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.3.1.3" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.3.1.3.cmml">u</mi></munder><mo id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.3a" lspace="0.167em" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">⁡</mo><mfrac id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">α</mi><mn id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mrow><mo id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" rspace="0em" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">∫</mo><mi id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" mathvariant="normal" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">Ω</mi></msub><msup id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">f</mi><mo id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">u</mi></mrow><mo id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><mo id="S1.E1.m1.1.1.1.1.3" rspace="0.055em" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.3.cmml">+</mo><mrow id="S1.E1.m1.1.1.1.1.2" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="S1.E1.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mo id="S1.E1.m1.1.1.1.1.2.2.2" rspace="0em" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∫</mo><mi id="S1.E1.m1.1.1.1.1.2.2.3" mathvariant="normal" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">Ω</mi></msub><mrow id="S1.E1.m1.1.1.1.1.2.1.1" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.2.1.2.cmml"><mo id="S1.E1.m1.1.1.1.1.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.2.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S1.E1.m1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="S1.E1.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1" rspace="0.167em" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml">∇</mo><mi id="S1.E1.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml">u</mi></mrow><mo id="S1.E1.m1.1.1.1.1.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.2.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S1.E1.m1.1.1.1.2" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.E1.m1.1b"><apply id="S1.E1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1"><plus id="S1.E1.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.3"></plus><apply id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1"><times id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.3"><apply id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.3.1">subscript</csymbol><min id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.3.1.2.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.3.1.2"></min><ci id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.3.1.3.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.3.1.3">𝑢</ci></apply><apply id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.3.2"><divide id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.3.2"></divide><ci id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝛼</ci><cn id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.3.2.3">2</cn></apply></apply><apply id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1"><apply id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><int id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2"></int><ci id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3">Ω</ci></apply><apply id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑓</ci><ci id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑢</ci></apply><cn id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S1.E1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.2"><apply id="S1.E1.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E1.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><int id="S1.E1.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.2.2.2"></int><ci id="S1.E1.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.2.2.3">Ω</ci></apply><apply id="S1.E1.m1.1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.2.1.1"><abs id="S1.E1.m1.1.1.1.1.2.1.2.1.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.2.1.1.2"></abs><apply id="S1.E1.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.2.1.1.1"><ci id="S1.E1.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1">∇</ci><ci id="S1.E1.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2">𝑢</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.E1.m1.1c">\min_{u}\frac{\alpha}{2}\int_{\Omega}(f-u)^{2}+\int_{\Omega}|\nabla u|,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.E1.m1.1d">roman_min start_POSTSUBSCRIPT italic_u end_POSTSUBSCRIPT divide start_ARG italic_α end_ARG start_ARG 2 end_ARG ∫ start_POSTSUBSCRIPT roman_Ω end_POSTSUBSCRIPT ( italic_f - italic_u ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + ∫ start_POSTSUBSCRIPT roman_Ω end_POSTSUBSCRIPT | ∇ italic_u | ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(1)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S1.p1.5">where <math alttext="\alpha>0" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.2.m1.1"><semantics id="S1.p1.2.m1.1a"><mrow id="S1.p1.2.m1.1.1" xref="S1.p1.2.m1.1.1.cmml"><mi id="S1.p1.2.m1.1.1.2" xref="S1.p1.2.m1.1.1.2.cmml">α</mi><mo id="S1.p1.2.m1.1.1.1" xref="S1.p1.2.m1.1.1.1.cmml">></mo><mn id="S1.p1.2.m1.1.1.3" xref="S1.p1.2.m1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.2.m1.1b"><apply id="S1.p1.2.m1.1.1.cmml" xref="S1.p1.2.m1.1.1"><gt id="S1.p1.2.m1.1.1.1.cmml" xref="S1.p1.2.m1.1.1.1"></gt><ci id="S1.p1.2.m1.1.1.2.cmml" xref="S1.p1.2.m1.1.1.2">𝛼</ci><cn id="S1.p1.2.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.p1.2.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.2.m1.1c">\alpha>0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.2.m1.1d">italic_α > 0</annotation></semantics></math> is a tuning parameter, and <math alttext="\int_{\Omega}|\nabla u|" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.3.m2.1"><semantics id="S1.p1.3.m2.1a"><mrow id="S1.p1.3.m2.1.1" xref="S1.p1.3.m2.1.1.cmml"><msub id="S1.p1.3.m2.1.1.2" xref="S1.p1.3.m2.1.1.2.cmml"><mo id="S1.p1.3.m2.1.1.2.2" xref="S1.p1.3.m2.1.1.2.2.cmml">∫</mo><mi id="S1.p1.3.m2.1.1.2.3" mathvariant="normal" xref="S1.p1.3.m2.1.1.2.3.cmml">Ω</mi></msub><mrow id="S1.p1.3.m2.1.1.1.1" xref="S1.p1.3.m2.1.1.1.2.cmml"><mo id="S1.p1.3.m2.1.1.1.1.2" lspace="0em" stretchy="false" xref="S1.p1.3.m2.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S1.p1.3.m2.1.1.1.1.1" xref="S1.p1.3.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S1.p1.3.m2.1.1.1.1.1.1" rspace="0.167em" xref="S1.p1.3.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">∇</mo><mi id="S1.p1.3.m2.1.1.1.1.1.2" xref="S1.p1.3.m2.1.1.1.1.1.2.cmml">u</mi></mrow><mo id="S1.p1.3.m2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.p1.3.m2.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.3.m2.1b"><apply id="S1.p1.3.m2.1.1.cmml" xref="S1.p1.3.m2.1.1"><apply id="S1.p1.3.m2.1.1.2.cmml" xref="S1.p1.3.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p1.3.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S1.p1.3.m2.1.1.2">subscript</csymbol><int id="S1.p1.3.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S1.p1.3.m2.1.1.2.2"></int><ci id="S1.p1.3.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S1.p1.3.m2.1.1.2.3">Ω</ci></apply><apply id="S1.p1.3.m2.1.1.1.2.cmml" xref="S1.p1.3.m2.1.1.1.1"><abs id="S1.p1.3.m2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S1.p1.3.m2.1.1.1.1.2"></abs><apply id="S1.p1.3.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p1.3.m2.1.1.1.1.1"><ci id="S1.p1.3.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p1.3.m2.1.1.1.1.1.1">∇</ci><ci id="S1.p1.3.m2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.p1.3.m2.1.1.1.1.1.2">𝑢</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.3.m2.1c">\int_{\Omega}|\nabla u|</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.3.m2.1d">∫ start_POSTSUBSCRIPT roman_Ω end_POSTSUBSCRIPT | ∇ italic_u |</annotation></semantics></math> is the TV regularizer. Although the ROF model can effectively remove image noise while preserving objects’ boundaries, it suffers from the staircase effect and the degradation of image contrast <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib36" title="">meyeroscillating </a></cite>. To overcome these limitations, variational models with higher-order regularizers have been proposed, including the total generalized variation <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib9" title="">Bredies2010TotalGV </a></cite>, Euler’s elastica <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib46" title="">Chan2002EULER </a>; <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib49" title="">Euler </a></cite>, the mean curvature <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib62" title="">zhu2012image </a>; <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib60" title="">2020zhuLp </a></cite>, etc. These models suppress the staircase effect, although their associated minimization problems tend to be more complex than that of the ROF model. Besides the regularization term, the fidelity term in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S1.E1" title="In 1 Introduction ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>), given by the <math alttext="L^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.4.m3.1"><semantics id="S1.p1.4.m3.1a"><msup id="S1.p1.4.m3.1.1" xref="S1.p1.4.m3.1.1.cmml"><mi id="S1.p1.4.m3.1.1.2" xref="S1.p1.4.m3.1.1.2.cmml">L</mi><mn id="S1.p1.4.m3.1.1.3" xref="S1.p1.4.m3.1.1.3.cmml">2</mn></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.4.m3.1b"><apply id="S1.p1.4.m3.1.1.cmml" xref="S1.p1.4.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p1.4.m3.1.1.1.cmml" xref="S1.p1.4.m3.1.1">superscript</csymbol><ci id="S1.p1.4.m3.1.1.2.cmml" xref="S1.p1.4.m3.1.1.2">𝐿</ci><cn id="S1.p1.4.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.p1.4.m3.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.4.m3.1c">L^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.4.m3.1d">italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>-norm of <math alttext="u-f" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.5.m4.1"><semantics id="S1.p1.5.m4.1a"><mrow id="S1.p1.5.m4.1.1" xref="S1.p1.5.m4.1.1.cmml"><mi id="S1.p1.5.m4.1.1.2" xref="S1.p1.5.m4.1.1.2.cmml">u</mi><mo id="S1.p1.5.m4.1.1.1" xref="S1.p1.5.m4.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S1.p1.5.m4.1.1.3" xref="S1.p1.5.m4.1.1.3.cmml">f</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.5.m4.1b"><apply id="S1.p1.5.m4.1.1.cmml" xref="S1.p1.5.m4.1.1"><minus id="S1.p1.5.m4.1.1.1.cmml" xref="S1.p1.5.m4.1.1.1"></minus><ci id="S1.p1.5.m4.1.1.2.cmml" xref="S1.p1.5.m4.1.1.2">𝑢</ci><ci id="S1.p1.5.m4.1.1.3.cmml" xref="S1.p1.5.m4.1.1.3">𝑓</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.5.m4.1c">u-f</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.5.m4.1d">italic_u - italic_f</annotation></semantics></math>, is well-suited for Gaussian noise denoising. However, the real-world data set is corrupted by various types of noise. Therefore, models with different data fidelity terms have also been proposed to deal with specific noise types, including Rician noise <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib57" title="">2023A </a></cite>, Poisson noise <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib54" title="">2017Augmented </a></cite>, impulsive noise <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib14" title="">2011A </a></cite>, etc.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p2"> <p class="ltx_p" id="S1.p2.1">Recently, optimal transport (OT) has been used in a variety of applications in image processing <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib30" title="">2017Optimal </a></cite>, including image retrieval <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib43" title="">2000The </a></cite>, image registration <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib23" title="">2004Optimal </a></cite>, color transfer <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib15" title="">Chizat2018Scaling </a>; <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib8" title="">2015Sliced </a></cite>, computerized tomography reconstruction <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib7" title="">2014Iterative </a>; <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib28" title="">2016Generalized </a></cite>, etc. A survey of the application of OT in imaging problems can be found in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib40" title="">2015Optimal </a></cite>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p3"> <p class="ltx_p" id="S1.p3.7">Burger, Franek and Schönlieb <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib10" title="">2012Regularized </a></cite> proposed to use the Wasserstein metric for estimating and smoothing probability densities,</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S1.E2"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\min_{u}\frac{\lambda}{2}W_{2}(u,f)^{2}+E(u)," class="ltx_Math" display="block" id="S1.E2.m1.4"><semantics id="S1.E2.m1.4a"><mrow id="S1.E2.m1.4.4.1" xref="S1.E2.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S1.E2.m1.4.4.1.1" xref="S1.E2.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S1.E2.m1.4.4.1.1.2" xref="S1.E2.m1.4.4.1.1.2.cmml"><mrow id="S1.E2.m1.4.4.1.1.2.2" xref="S1.E2.m1.4.4.1.1.2.2.cmml"><munder id="S1.E2.m1.4.4.1.1.2.2.1" xref="S1.E2.m1.4.4.1.1.2.2.1.cmml"><mi id="S1.E2.m1.4.4.1.1.2.2.1.2" xref="S1.E2.m1.4.4.1.1.2.2.1.2.cmml">min</mi><mi id="S1.E2.m1.4.4.1.1.2.2.1.3" xref="S1.E2.m1.4.4.1.1.2.2.1.3.cmml">u</mi></munder><mo id="S1.E2.m1.4.4.1.1.2.2a" lspace="0.167em" xref="S1.E2.m1.4.4.1.1.2.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S1.E2.m1.4.4.1.1.2.2.2" xref="S1.E2.m1.4.4.1.1.2.2.2.cmml"><mfrac id="S1.E2.m1.4.4.1.1.2.2.2.2" xref="S1.E2.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S1.E2.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2" xref="S1.E2.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2.cmml">λ</mi><mn id="S1.E2.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3" xref="S1.E2.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S1.E2.m1.4.4.1.1.2.2.2.1" xref="S1.E2.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S1.E2.m1.4.4.1.1.2.2.2.3" xref="S1.E2.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S1.E2.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.2" xref="S1.E2.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.2.cmml">W</mi><mn id="S1.E2.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.3" xref="S1.E2.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow></mrow><mo id="S1.E2.m1.4.4.1.1.2.1" xref="S1.E2.m1.4.4.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S1.E2.m1.4.4.1.1.2.3" xref="S1.E2.m1.4.4.1.1.2.3.cmml"><mrow id="S1.E2.m1.4.4.1.1.2.3.2.2" xref="S1.E2.m1.4.4.1.1.2.3.2.1.cmml"><mo id="S1.E2.m1.4.4.1.1.2.3.2.2.1" stretchy="false" xref="S1.E2.m1.4.4.1.1.2.3.2.1.cmml">(</mo><mi id="S1.E2.m1.1.1" xref="S1.E2.m1.1.1.cmml">u</mi><mo id="S1.E2.m1.4.4.1.1.2.3.2.2.2" xref="S1.E2.m1.4.4.1.1.2.3.2.1.cmml">,</mo><mi id="S1.E2.m1.2.2" xref="S1.E2.m1.2.2.cmml">f</mi><mo id="S1.E2.m1.4.4.1.1.2.3.2.2.3" stretchy="false" xref="S1.E2.m1.4.4.1.1.2.3.2.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S1.E2.m1.4.4.1.1.2.3.3" xref="S1.E2.m1.4.4.1.1.2.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S1.E2.m1.4.4.1.1.1" xref="S1.E2.m1.4.4.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S1.E2.m1.4.4.1.1.3" xref="S1.E2.m1.4.4.1.1.3.cmml"><mi id="S1.E2.m1.4.4.1.1.3.2" xref="S1.E2.m1.4.4.1.1.3.2.cmml">E</mi><mo id="S1.E2.m1.4.4.1.1.3.1" xref="S1.E2.m1.4.4.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.E2.m1.4.4.1.1.3.3.2" xref="S1.E2.m1.4.4.1.1.3.cmml"><mo id="S1.E2.m1.4.4.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.E2.m1.4.4.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S1.E2.m1.3.3" xref="S1.E2.m1.3.3.cmml">u</mi><mo id="S1.E2.m1.4.4.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.E2.m1.4.4.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S1.E2.m1.4.4.1.2" xref="S1.E2.m1.4.4.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.E2.m1.4b"><apply id="S1.E2.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S1.E2.m1.4.4.1"><plus id="S1.E2.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="S1.E2.m1.4.4.1.1.1"></plus><apply id="S1.E2.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="S1.E2.m1.4.4.1.1.2"><times id="S1.E2.m1.4.4.1.1.2.1.cmml" xref="S1.E2.m1.4.4.1.1.2.1"></times><apply id="S1.E2.m1.4.4.1.1.2.2.cmml" xref="S1.E2.m1.4.4.1.1.2.2"><apply id="S1.E2.m1.4.4.1.1.2.2.1.cmml" xref="S1.E2.m1.4.4.1.1.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E2.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S1.E2.m1.4.4.1.1.2.2.1">subscript</csymbol><min id="S1.E2.m1.4.4.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="S1.E2.m1.4.4.1.1.2.2.1.2"></min><ci id="S1.E2.m1.4.4.1.1.2.2.1.3.cmml" xref="S1.E2.m1.4.4.1.1.2.2.1.3">𝑢</ci></apply><apply id="S1.E2.m1.4.4.1.1.2.2.2.cmml" xref="S1.E2.m1.4.4.1.1.2.2.2"><times id="S1.E2.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S1.E2.m1.4.4.1.1.2.2.2.1"></times><apply id="S1.E2.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S1.E2.m1.4.4.1.1.2.2.2.2"><divide id="S1.E2.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S1.E2.m1.4.4.1.1.2.2.2.2"></divide><ci id="S1.E2.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S1.E2.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2">𝜆</ci><cn id="S1.E2.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S1.E2.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S1.E2.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S1.E2.m1.4.4.1.1.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E2.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S1.E2.m1.4.4.1.1.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S1.E2.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.2.cmml" xref="S1.E2.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.2">𝑊</ci><cn id="S1.E2.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S1.E2.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S1.E2.m1.4.4.1.1.2.3.cmml" xref="S1.E2.m1.4.4.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E2.m1.4.4.1.1.2.3.1.cmml" xref="S1.E2.m1.4.4.1.1.2.3">superscript</csymbol><interval closure="open" id="S1.E2.m1.4.4.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S1.E2.m1.4.4.1.1.2.3.2.2"><ci id="S1.E2.m1.1.1.cmml" xref="S1.E2.m1.1.1">𝑢</ci><ci id="S1.E2.m1.2.2.cmml" xref="S1.E2.m1.2.2">𝑓</ci></interval><cn id="S1.E2.m1.4.4.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S1.E2.m1.4.4.1.1.2.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S1.E2.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="S1.E2.m1.4.4.1.1.3"><times id="S1.E2.m1.4.4.1.1.3.1.cmml" xref="S1.E2.m1.4.4.1.1.3.1"></times><ci id="S1.E2.m1.4.4.1.1.3.2.cmml" xref="S1.E2.m1.4.4.1.1.3.2">𝐸</ci><ci id="S1.E2.m1.3.3.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3">𝑢</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.E2.m1.4c">\min_{u}\frac{\lambda}{2}W_{2}(u,f)^{2}+E(u),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.E2.m1.4d">roman_min start_POSTSUBSCRIPT italic_u end_POSTSUBSCRIPT divide start_ARG italic_λ end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_W start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_u , italic_f ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_E ( italic_u ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(2)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S1.p3.6">where <math alttext="\lambda>0" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p3.1.m1.1"><semantics id="S1.p3.1.m1.1a"><mrow id="S1.p3.1.m1.1.1" xref="S1.p3.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S1.p3.1.m1.1.1.2" xref="S1.p3.1.m1.1.1.2.cmml">λ</mi><mo id="S1.p3.1.m1.1.1.1" xref="S1.p3.1.m1.1.1.1.cmml">></mo><mn id="S1.p3.1.m1.1.1.3" xref="S1.p3.1.m1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p3.1.m1.1b"><apply id="S1.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.p3.1.m1.1.1"><gt id="S1.p3.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S1.p3.1.m1.1.1.1"></gt><ci id="S1.p3.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S1.p3.1.m1.1.1.2">𝜆</ci><cn id="S1.p3.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.p3.1.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p3.1.m1.1c">\lambda>0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p3.1.m1.1d">italic_λ > 0</annotation></semantics></math> and <math alttext="f\in\mathbb{P}(\Omega)" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p3.2.m2.1"><semantics id="S1.p3.2.m2.1a"><mrow id="S1.p3.2.m2.1.2" xref="S1.p3.2.m2.1.2.cmml"><mi id="S1.p3.2.m2.1.2.2" xref="S1.p3.2.m2.1.2.2.cmml">f</mi><mo id="S1.p3.2.m2.1.2.1" xref="S1.p3.2.m2.1.2.1.cmml">∈</mo><mrow id="S1.p3.2.m2.1.2.3" xref="S1.p3.2.m2.1.2.3.cmml"><mi id="S1.p3.2.m2.1.2.3.2" xref="S1.p3.2.m2.1.2.3.2.cmml">ℙ</mi><mo id="S1.p3.2.m2.1.2.3.1" xref="S1.p3.2.m2.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.p3.2.m2.1.2.3.3.2" xref="S1.p3.2.m2.1.2.3.cmml"><mo id="S1.p3.2.m2.1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.p3.2.m2.1.2.3.cmml">(</mo><mi id="S1.p3.2.m2.1.1" mathvariant="normal" xref="S1.p3.2.m2.1.1.cmml">Ω</mi><mo id="S1.p3.2.m2.1.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.p3.2.m2.1.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p3.2.m2.1b"><apply id="S1.p3.2.m2.1.2.cmml" xref="S1.p3.2.m2.1.2"><in id="S1.p3.2.m2.1.2.1.cmml" xref="S1.p3.2.m2.1.2.1"></in><ci id="S1.p3.2.m2.1.2.2.cmml" xref="S1.p3.2.m2.1.2.2">𝑓</ci><apply id="S1.p3.2.m2.1.2.3.cmml" xref="S1.p3.2.m2.1.2.3"><times id="S1.p3.2.m2.1.2.3.1.cmml" xref="S1.p3.2.m2.1.2.3.1"></times><ci id="S1.p3.2.m2.1.2.3.2.cmml" xref="S1.p3.2.m2.1.2.3.2">ℙ</ci><ci id="S1.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S1.p3.2.m2.1.1">Ω</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p3.2.m2.1c">f\in\mathbb{P}(\Omega)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p3.2.m2.1d">italic_f ∈ blackboard_P ( roman_Ω )</annotation></semantics></math>, the set of probability measure on <math alttext="\Omega" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p3.3.m3.1"><semantics id="S1.p3.3.m3.1a"><mi id="S1.p3.3.m3.1.1" mathvariant="normal" xref="S1.p3.3.m3.1.1.cmml">Ω</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p3.3.m3.1b"><ci id="S1.p3.3.m3.1.1.cmml" xref="S1.p3.3.m3.1.1">Ω</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p3.3.m3.1c">\Omega</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p3.3.m3.1d">roman_Ω</annotation></semantics></math> and <math alttext="u" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p3.4.m4.1"><semantics id="S1.p3.4.m4.1a"><mi id="S1.p3.4.m4.1.1" xref="S1.p3.4.m4.1.1.cmml">u</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p3.4.m4.1b"><ci id="S1.p3.4.m4.1.1.cmml" xref="S1.p3.4.m4.1.1">𝑢</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p3.4.m4.1c">u</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p3.4.m4.1d">italic_u</annotation></semantics></math> is an estimated probability density. The regularizers <math alttext="E(u)" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p3.5.m5.1"><semantics id="S1.p3.5.m5.1a"><mrow id="S1.p3.5.m5.1.2" xref="S1.p3.5.m5.1.2.cmml"><mi id="S1.p3.5.m5.1.2.2" xref="S1.p3.5.m5.1.2.2.cmml">E</mi><mo id="S1.p3.5.m5.1.2.1" xref="S1.p3.5.m5.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.p3.5.m5.1.2.3.2" xref="S1.p3.5.m5.1.2.cmml"><mo id="S1.p3.5.m5.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.p3.5.m5.1.2.cmml">(</mo><mi id="S1.p3.5.m5.1.1" xref="S1.p3.5.m5.1.1.cmml">u</mi><mo id="S1.p3.5.m5.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.p3.5.m5.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p3.5.m5.1b"><apply id="S1.p3.5.m5.1.2.cmml" xref="S1.p3.5.m5.1.2"><times id="S1.p3.5.m5.1.2.1.cmml" xref="S1.p3.5.m5.1.2.1"></times><ci id="S1.p3.5.m5.1.2.2.cmml" xref="S1.p3.5.m5.1.2.2">𝐸</ci><ci id="S1.p3.5.m5.1.1.cmml" xref="S1.p3.5.m5.1.1">𝑢</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p3.5.m5.1c">E(u)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p3.5.m5.1d">italic_E ( italic_u )</annotation></semantics></math> can be taken as total variation, and the data fidelity <math alttext="W_{2}(u,\nu)^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p3.6.m6.2"><semantics id="S1.p3.6.m6.2a"><mrow id="S1.p3.6.m6.2.3" xref="S1.p3.6.m6.2.3.cmml"><msub id="S1.p3.6.m6.2.3.2" xref="S1.p3.6.m6.2.3.2.cmml"><mi id="S1.p3.6.m6.2.3.2.2" xref="S1.p3.6.m6.2.3.2.2.cmml">W</mi><mn id="S1.p3.6.m6.2.3.2.3" xref="S1.p3.6.m6.2.3.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S1.p3.6.m6.2.3.1" xref="S1.p3.6.m6.2.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S1.p3.6.m6.2.3.3" xref="S1.p3.6.m6.2.3.3.cmml"><mrow id="S1.p3.6.m6.2.3.3.2.2" xref="S1.p3.6.m6.2.3.3.2.1.cmml"><mo id="S1.p3.6.m6.2.3.3.2.2.1" stretchy="false" xref="S1.p3.6.m6.2.3.3.2.1.cmml">(</mo><mi id="S1.p3.6.m6.1.1" xref="S1.p3.6.m6.1.1.cmml">u</mi><mo id="S1.p3.6.m6.2.3.3.2.2.2" xref="S1.p3.6.m6.2.3.3.2.1.cmml">,</mo><mi id="S1.p3.6.m6.2.2" xref="S1.p3.6.m6.2.2.cmml">ν</mi><mo id="S1.p3.6.m6.2.3.3.2.2.3" stretchy="false" xref="S1.p3.6.m6.2.3.3.2.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S1.p3.6.m6.2.3.3.3" xref="S1.p3.6.m6.2.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p3.6.m6.2b"><apply id="S1.p3.6.m6.2.3.cmml" xref="S1.p3.6.m6.2.3"><times id="S1.p3.6.m6.2.3.1.cmml" xref="S1.p3.6.m6.2.3.1"></times><apply id="S1.p3.6.m6.2.3.2.cmml" xref="S1.p3.6.m6.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p3.6.m6.2.3.2.1.cmml" xref="S1.p3.6.m6.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S1.p3.6.m6.2.3.2.2.cmml" xref="S1.p3.6.m6.2.3.2.2">𝑊</ci><cn id="S1.p3.6.m6.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S1.p3.6.m6.2.3.2.3">2</cn></apply><apply id="S1.p3.6.m6.2.3.3.cmml" xref="S1.p3.6.m6.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p3.6.m6.2.3.3.1.cmml" xref="S1.p3.6.m6.2.3.3">superscript</csymbol><interval closure="open" id="S1.p3.6.m6.2.3.3.2.1.cmml" xref="S1.p3.6.m6.2.3.3.2.2"><ci id="S1.p3.6.m6.1.1.cmml" xref="S1.p3.6.m6.1.1">𝑢</ci><ci id="S1.p3.6.m6.2.2.cmml" xref="S1.p3.6.m6.2.2">𝜈</ci></interval><cn id="S1.p3.6.m6.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S1.p3.6.m6.2.3.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p3.6.m6.2c">W_{2}(u,\nu)^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p3.6.m6.2d">italic_W start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_u , italic_ν ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is the Wasserstein-2 distance.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p4"> <p class="ltx_p" id="S1.p4.2">The Wasserstein distance is a class of metrics to measure the distance between two probability measures or distributions with equal mass. For two probability measures <math alttext="\mu,\nu" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p4.1.m1.2"><semantics id="S1.p4.1.m1.2a"><mrow id="S1.p4.1.m1.2.3.2" xref="S1.p4.1.m1.2.3.1.cmml"><mi id="S1.p4.1.m1.1.1" xref="S1.p4.1.m1.1.1.cmml">μ</mi><mo id="S1.p4.1.m1.2.3.2.1" xref="S1.p4.1.m1.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S1.p4.1.m1.2.2" xref="S1.p4.1.m1.2.2.cmml">ν</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p4.1.m1.2b"><list id="S1.p4.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S1.p4.1.m1.2.3.2"><ci id="S1.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.p4.1.m1.1.1">𝜇</ci><ci id="S1.p4.1.m1.2.2.cmml" xref="S1.p4.1.m1.2.2">𝜈</ci></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p4.1.m1.2c">\mu,\nu</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p4.1.m1.2d">italic_μ , italic_ν</annotation></semantics></math>, the classic Kantorovitch formulation of the <math alttext="L^{p}(p\geq 1)" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p4.2.m2.1"><semantics id="S1.p4.2.m2.1a"><mrow id="S1.p4.2.m2.1.1" xref="S1.p4.2.m2.1.1.cmml"><msup id="S1.p4.2.m2.1.1.3" xref="S1.p4.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S1.p4.2.m2.1.1.3.2" xref="S1.p4.2.m2.1.1.3.2.cmml">L</mi><mi id="S1.p4.2.m2.1.1.3.3" xref="S1.p4.2.m2.1.1.3.3.cmml">p</mi></msup><mo id="S1.p4.2.m2.1.1.2" xref="S1.p4.2.m2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.p4.2.m2.1.1.1.1" xref="S1.p4.2.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S1.p4.2.m2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.p4.2.m2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S1.p4.2.m2.1.1.1.1.1" xref="S1.p4.2.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.p4.2.m2.1.1.1.1.1.2" xref="S1.p4.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml">p</mi><mo id="S1.p4.2.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S1.p4.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">≥</mo><mn id="S1.p4.2.m2.1.1.1.1.1.3" xref="S1.p4.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S1.p4.2.m2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.p4.2.m2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p4.2.m2.1b"><apply id="S1.p4.2.m2.1.1.cmml" xref="S1.p4.2.m2.1.1"><times id="S1.p4.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S1.p4.2.m2.1.1.2"></times><apply id="S1.p4.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S1.p4.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p4.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S1.p4.2.m2.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S1.p4.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S1.p4.2.m2.1.1.3.2">𝐿</ci><ci id="S1.p4.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S1.p4.2.m2.1.1.3.3">𝑝</ci></apply><apply id="S1.p4.2.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p4.2.m2.1.1.1.1"><geq id="S1.p4.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p4.2.m2.1.1.1.1.1.1"></geq><ci id="S1.p4.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.p4.2.m2.1.1.1.1.1.2">𝑝</ci><cn id="S1.p4.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.p4.2.m2.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p4.2.m2.1c">L^{p}(p\geq 1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p4.2.m2.1d">italic_L start_POSTSUPERSCRIPT italic_p end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_p ≥ 1 )</annotation></semantics></math> Wasserstein distance is defined as</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S1.E3"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="W_{p}(\mu,\nu)=\left\{\inf_{\gamma\in\mathcal{U}(\mu,\nu)}\int_{\Omega\times% \Omega}|x-y|^{p}d\gamma(x,y)\right\}^{1/p}," class="ltx_Math" display="block" id="S1.E3.m1.7"><semantics id="S1.E3.m1.7a"><mrow id="S1.E3.m1.7.7.1" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.cmml"><mrow id="S1.E3.m1.7.7.1.1" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.cmml"><mrow id="S1.E3.m1.7.7.1.1.3" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.3.cmml"><msub id="S1.E3.m1.7.7.1.1.3.2" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.3.2.cmml"><mi id="S1.E3.m1.7.7.1.1.3.2.2" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.3.2.2.cmml">W</mi><mi id="S1.E3.m1.7.7.1.1.3.2.3" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.3.2.3.cmml">p</mi></msub><mo id="S1.E3.m1.7.7.1.1.3.1" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.E3.m1.7.7.1.1.3.3.2" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="S1.E3.m1.7.7.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S1.E3.m1.3.3" xref="S1.E3.m1.3.3.cmml">μ</mi><mo id="S1.E3.m1.7.7.1.1.3.3.2.2" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S1.E3.m1.4.4" xref="S1.E3.m1.4.4.cmml">ν</mi><mo id="S1.E3.m1.7.7.1.1.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S1.E3.m1.7.7.1.1.2" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.2.cmml">=</mo><msup id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.cmml"><mrow id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.2" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.2.cmml">{</mo><mrow id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml"><munder id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2" lspace="0em" movablelimits="false" rspace="0em" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">inf</mo><mrow id="S1.E3.m1.2.2.2" xref="S1.E3.m1.2.2.2.cmml"><mi id="S1.E3.m1.2.2.2.4" xref="S1.E3.m1.2.2.2.4.cmml">γ</mi><mo id="S1.E3.m1.2.2.2.3" xref="S1.E3.m1.2.2.2.3.cmml">∈</mo><mrow id="S1.E3.m1.2.2.2.5" xref="S1.E3.m1.2.2.2.5.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S1.E3.m1.2.2.2.5.2" xref="S1.E3.m1.2.2.2.5.2.cmml">𝒰</mi><mo id="S1.E3.m1.2.2.2.5.1" xref="S1.E3.m1.2.2.2.5.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.E3.m1.2.2.2.5.3.2" xref="S1.E3.m1.2.2.2.5.3.1.cmml"><mo id="S1.E3.m1.2.2.2.5.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.E3.m1.2.2.2.5.3.1.cmml">(</mo><mi id="S1.E3.m1.1.1.1.1" xref="S1.E3.m1.1.1.1.1.cmml">μ</mi><mo id="S1.E3.m1.2.2.2.5.3.2.2" xref="S1.E3.m1.2.2.2.5.3.1.cmml">,</mo><mi id="S1.E3.m1.2.2.2.2" xref="S1.E3.m1.2.2.2.2.cmml">ν</mi><mo id="S1.E3.m1.2.2.2.5.3.2.3" stretchy="false" xref="S1.E3.m1.2.2.2.5.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></munder><mrow id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.2" rspace="0em" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">∫</mo><mrow id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" mathvariant="normal" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">Ω</mi><mo id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">×</mo><mi id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" mathvariant="normal" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">Ω</mi></mrow></msub><mrow id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">y</mi></mrow><mo id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mi id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">p</mi></msup><mo id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" rspace="0em" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">γ</mi></mrow><mo id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml"><mo id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml">(</mo><mi id="S1.E3.m1.5.5" xref="S1.E3.m1.5.5.cmml">x</mi><mo id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml">,</mo><mi id="S1.E3.m1.6.6" xref="S1.E3.m1.6.6.cmml">y</mi><mo id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3" stretchy="false" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.3" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.2.cmml">}</mo></mrow><mrow id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.3" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.3.cmml"><mn id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.3.2" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.3.1" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.3.1.cmml">/</mo><mi id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.3.3" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.3.3.cmml">p</mi></mrow></msup></mrow><mo id="S1.E3.m1.7.7.1.2" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.E3.m1.7b"><apply id="S1.E3.m1.7.7.1.1.cmml" xref="S1.E3.m1.7.7.1"><eq id="S1.E3.m1.7.7.1.1.2.cmml" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.2"></eq><apply id="S1.E3.m1.7.7.1.1.3.cmml" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.3"><times id="S1.E3.m1.7.7.1.1.3.1.cmml" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.3.1"></times><apply id="S1.E3.m1.7.7.1.1.3.2.cmml" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E3.m1.7.7.1.1.3.2.1.cmml" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S1.E3.m1.7.7.1.1.3.2.2.cmml" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.3.2.2">𝑊</ci><ci id="S1.E3.m1.7.7.1.1.3.2.3.cmml" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.3.2.3">𝑝</ci></apply><interval closure="open" id="S1.E3.m1.7.7.1.1.3.3.1.cmml" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.3.3.2"><ci id="S1.E3.m1.3.3.cmml" xref="S1.E3.m1.3.3">𝜇</ci><ci id="S1.E3.m1.4.4.cmml" xref="S1.E3.m1.4.4">𝜈</ci></interval></apply><apply id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.cmml" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1">superscript</csymbol><set id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1"><apply id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1"><apply id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2">infimum</csymbol><apply id="S1.E3.m1.2.2.2.cmml" xref="S1.E3.m1.2.2.2"><in id="S1.E3.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S1.E3.m1.2.2.2.3"></in><ci id="S1.E3.m1.2.2.2.4.cmml" xref="S1.E3.m1.2.2.2.4">𝛾</ci><apply id="S1.E3.m1.2.2.2.5.cmml" xref="S1.E3.m1.2.2.2.5"><times id="S1.E3.m1.2.2.2.5.1.cmml" xref="S1.E3.m1.2.2.2.5.1"></times><ci id="S1.E3.m1.2.2.2.5.2.cmml" xref="S1.E3.m1.2.2.2.5.2">𝒰</ci><interval closure="open" id="S1.E3.m1.2.2.2.5.3.1.cmml" xref="S1.E3.m1.2.2.2.5.3.2"><ci id="S1.E3.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E3.m1.1.1.1.1">𝜇</ci><ci id="S1.E3.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S1.E3.m1.2.2.2.2">𝜈</ci></interval></apply></apply></apply><apply id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1"><apply id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><int id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.2"></int><apply id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><times id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">Ω</ci><ci id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">Ω</ci></apply></apply><apply id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><abs id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></abs><apply id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑥</ci><ci id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑦</ci></apply></apply><ci id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑝</ci></apply><apply id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1">differential-d</csymbol><ci id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝛾</ci></apply><interval closure="open" id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2"><ci id="S1.E3.m1.5.5.cmml" xref="S1.E3.m1.5.5">𝑥</ci><ci id="S1.E3.m1.6.6.cmml" xref="S1.E3.m1.6.6">𝑦</ci></interval></apply></apply></apply></set><apply id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.3.cmml" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.3"><divide id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.3.1.cmml" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.3.1"></divide><cn id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.3.2">1</cn><ci id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.3.3.cmml" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.3.3">𝑝</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.E3.m1.7c">W_{p}(\mu,\nu)=\left\{\inf_{\gamma\in\mathcal{U}(\mu,\nu)}\int_{\Omega\times% \Omega}|x-y|^{p}d\gamma(x,y)\right\}^{1/p},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.E3.m1.7d">italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT ( italic_μ , italic_ν ) = { roman_inf start_POSTSUBSCRIPT italic_γ ∈ caligraphic_U ( italic_μ , italic_ν ) end_POSTSUBSCRIPT ∫ start_POSTSUBSCRIPT roman_Ω × roman_Ω end_POSTSUBSCRIPT | italic_x - italic_y | start_POSTSUPERSCRIPT italic_p end_POSTSUPERSCRIPT italic_d italic_γ ( italic_x , italic_y ) } start_POSTSUPERSCRIPT 1 / italic_p end_POSTSUPERSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(3)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S1.p4.5">where <math alttext="|x-y|" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p4.3.m1.1"><semantics id="S1.p4.3.m1.1a"><mrow id="S1.p4.3.m1.1.1.1" xref="S1.p4.3.m1.1.1.2.cmml"><mo id="S1.p4.3.m1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.p4.3.m1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S1.p4.3.m1.1.1.1.1" xref="S1.p4.3.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.p4.3.m1.1.1.1.1.2" xref="S1.p4.3.m1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="S1.p4.3.m1.1.1.1.1.1" xref="S1.p4.3.m1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S1.p4.3.m1.1.1.1.1.3" xref="S1.p4.3.m1.1.1.1.1.3.cmml">y</mi></mrow><mo id="S1.p4.3.m1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.p4.3.m1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p4.3.m1.1b"><apply id="S1.p4.3.m1.1.1.2.cmml" xref="S1.p4.3.m1.1.1.1"><abs id="S1.p4.3.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S1.p4.3.m1.1.1.1.2"></abs><apply id="S1.p4.3.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p4.3.m1.1.1.1.1"><minus id="S1.p4.3.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p4.3.m1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S1.p4.3.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.p4.3.m1.1.1.1.1.2">𝑥</ci><ci id="S1.p4.3.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.p4.3.m1.1.1.1.1.3">𝑦</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p4.3.m1.1c">|x-y|</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p4.3.m1.1d">| italic_x - italic_y |</annotation></semantics></math> is the Euclidean distance which defines the transport cost between two points <math alttext="x,y\in\Omega" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p4.4.m2.2"><semantics id="S1.p4.4.m2.2a"><mrow id="S1.p4.4.m2.2.3" xref="S1.p4.4.m2.2.3.cmml"><mrow id="S1.p4.4.m2.2.3.2.2" xref="S1.p4.4.m2.2.3.2.1.cmml"><mi id="S1.p4.4.m2.1.1" xref="S1.p4.4.m2.1.1.cmml">x</mi><mo id="S1.p4.4.m2.2.3.2.2.1" xref="S1.p4.4.m2.2.3.2.1.cmml">,</mo><mi id="S1.p4.4.m2.2.2" xref="S1.p4.4.m2.2.2.cmml">y</mi></mrow><mo id="S1.p4.4.m2.2.3.1" xref="S1.p4.4.m2.2.3.1.cmml">∈</mo><mi id="S1.p4.4.m2.2.3.3" mathvariant="normal" xref="S1.p4.4.m2.2.3.3.cmml">Ω</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p4.4.m2.2b"><apply id="S1.p4.4.m2.2.3.cmml" xref="S1.p4.4.m2.2.3"><in id="S1.p4.4.m2.2.3.1.cmml" xref="S1.p4.4.m2.2.3.1"></in><list id="S1.p4.4.m2.2.3.2.1.cmml" xref="S1.p4.4.m2.2.3.2.2"><ci id="S1.p4.4.m2.1.1.cmml" xref="S1.p4.4.m2.1.1">𝑥</ci><ci id="S1.p4.4.m2.2.2.cmml" xref="S1.p4.4.m2.2.2">𝑦</ci></list><ci id="S1.p4.4.m2.2.3.3.cmml" xref="S1.p4.4.m2.2.3.3">Ω</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p4.4.m2.2c">x,y\in\Omega</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p4.4.m2.2d">italic_x , italic_y ∈ roman_Ω</annotation></semantics></math>, and the mass conservation laws impose that <math alttext="\gamma" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p4.5.m3.1"><semantics id="S1.p4.5.m3.1a"><mi id="S1.p4.5.m3.1.1" xref="S1.p4.5.m3.1.1.cmml">γ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p4.5.m3.1b"><ci id="S1.p4.5.m3.1.1.cmml" xref="S1.p4.5.m3.1.1">𝛾</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p4.5.m3.1c">\gamma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p4.5.m3.1d">italic_γ</annotation></semantics></math> is in the set</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S1.E4"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\mathcal{U}(\mu,\nu)=\left\{\gamma\in\mathrm{Prob}(\Omega\times\Omega):\quad% \mathrm{Proj}_{1}\gamma=\mu,\quad\mathrm{Proj}_{2}\gamma=\nu\right\}," class="ltx_math_unparsed" display="block" id="S1.E4.m1.2"><semantics id="S1.E4.m1.2a"><mrow id="S1.E4.m1.2b"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S1.E4.m1.2.3">𝒰</mi><mrow id="S1.E4.m1.2.4"><mo id="S1.E4.m1.2.4.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S1.E4.m1.1.1">μ</mi><mo id="S1.E4.m1.2.4.2">,</mo><mi id="S1.E4.m1.2.2">ν</mi><mo id="S1.E4.m1.2.4.3" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S1.E4.m1.2.5">=</mo><mrow id="S1.E4.m1.2.6"><mo id="S1.E4.m1.2.6.1">{</mo><mi id="S1.E4.m1.2.6.2">γ</mi><mo id="S1.E4.m1.2.6.3">∈</mo><mi id="S1.E4.m1.2.6.4">Prob</mi><mrow id="S1.E4.m1.2.6.5"><mo id="S1.E4.m1.2.6.5.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S1.E4.m1.2.6.5.2" mathvariant="normal">Ω</mi><mo id="S1.E4.m1.2.6.5.3" lspace="0.222em" rspace="0.222em">×</mo><mi id="S1.E4.m1.2.6.5.4" mathvariant="normal">Ω</mi><mo id="S1.E4.m1.2.6.5.5" rspace="0.278em" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S1.E4.m1.2.6.6">:</mo><mspace id="S1.E4.m1.2.6.7" width="1.278em"></mspace><msub id="S1.E4.m1.2.6.8"><mi id="S1.E4.m1.2.6.8.2">Proj</mi><mn id="S1.E4.m1.2.6.8.3">1</mn></msub><mi id="S1.E4.m1.2.6.9">γ</mi><mo id="S1.E4.m1.2.6.10">=</mo><mi id="S1.E4.m1.2.6.11">μ</mi><mo id="S1.E4.m1.2.6.12" rspace="1.167em">,</mo><msub id="S1.E4.m1.2.6.13"><mi id="S1.E4.m1.2.6.13.2">Proj</mi><mn id="S1.E4.m1.2.6.13.3">2</mn></msub><mi id="S1.E4.m1.2.6.14">γ</mi><mo id="S1.E4.m1.2.6.15">=</mo><mi id="S1.E4.m1.2.6.16">ν</mi><mo id="S1.E4.m1.2.6.17">}</mo></mrow><mo id="S1.E4.m1.2.7">,</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.E4.m1.2c">\mathcal{U}(\mu,\nu)=\left\{\gamma\in\mathrm{Prob}(\Omega\times\Omega):\quad% \mathrm{Proj}_{1}\gamma=\mu,\quad\mathrm{Proj}_{2}\gamma=\nu\right\},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.E4.m1.2d">caligraphic_U ( italic_μ , italic_ν ) = { italic_γ ∈ roman_Prob ( roman_Ω × roman_Ω ) : roman_Proj start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_γ = italic_μ , roman_Proj start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT italic_γ = italic_ν } ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(4)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S1.p4.13">where <math alttext="\mathrm{Prob}(\Omega\times\Omega)" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p4.6.m1.1"><semantics id="S1.p4.6.m1.1a"><mrow id="S1.p4.6.m1.1.1" xref="S1.p4.6.m1.1.1.cmml"><mi id="S1.p4.6.m1.1.1.3" xref="S1.p4.6.m1.1.1.3.cmml">Prob</mi><mo id="S1.p4.6.m1.1.1.2" xref="S1.p4.6.m1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.p4.6.m1.1.1.1.1" xref="S1.p4.6.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S1.p4.6.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.p4.6.m1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S1.p4.6.m1.1.1.1.1.1" xref="S1.p4.6.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.p4.6.m1.1.1.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S1.p4.6.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">Ω</mi><mo id="S1.p4.6.m1.1.1.1.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S1.p4.6.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">×</mo><mi id="S1.p4.6.m1.1.1.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S1.p4.6.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">Ω</mi></mrow><mo id="S1.p4.6.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.p4.6.m1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p4.6.m1.1b"><apply id="S1.p4.6.m1.1.1.cmml" xref="S1.p4.6.m1.1.1"><times id="S1.p4.6.m1.1.1.2.cmml" xref="S1.p4.6.m1.1.1.2"></times><ci id="S1.p4.6.m1.1.1.3.cmml" xref="S1.p4.6.m1.1.1.3">Prob</ci><apply id="S1.p4.6.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p4.6.m1.1.1.1.1"><times id="S1.p4.6.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p4.6.m1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S1.p4.6.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.p4.6.m1.1.1.1.1.1.2">Ω</ci><ci id="S1.p4.6.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.p4.6.m1.1.1.1.1.1.3">Ω</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p4.6.m1.1c">\mathrm{Prob}(\Omega\times\Omega)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p4.6.m1.1d">roman_Prob ( roman_Ω × roman_Ω )</annotation></semantics></math> denotes the joint probability distributions on the product space and <math alttext="\mathrm{Proj}_{i}\gamma,i=1,2" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p4.7.m2.3"><semantics id="S1.p4.7.m2.3a"><mrow id="S1.p4.7.m2.3.3.1" xref="S1.p4.7.m2.3.3.2.cmml"><mrow id="S1.p4.7.m2.3.3.1.1" xref="S1.p4.7.m2.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S1.p4.7.m2.3.3.1.1.1.1" xref="S1.p4.7.m2.3.3.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S1.p4.7.m2.3.3.1.1.1.1.1" xref="S1.p4.7.m2.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S1.p4.7.m2.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="S1.p4.7.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S1.p4.7.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.2" xref="S1.p4.7.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.2.cmml">Proj</mi><mi id="S1.p4.7.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.3" xref="S1.p4.7.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S1.p4.7.m2.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S1.p4.7.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.p4.7.m2.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="S1.p4.7.m2.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml">γ</mi></mrow><mo id="S1.p4.7.m2.3.3.1.1.1.1.2" xref="S1.p4.7.m2.3.3.1.1.1.2.cmml">,</mo><mi id="S1.p4.7.m2.1.1" xref="S1.p4.7.m2.1.1.cmml">i</mi></mrow><mo id="S1.p4.7.m2.3.3.1.1.2" xref="S1.p4.7.m2.3.3.1.1.2.cmml">=</mo><mn id="S1.p4.7.m2.3.3.1.1.3" xref="S1.p4.7.m2.3.3.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S1.p4.7.m2.3.3.1.2" xref="S1.p4.7.m2.3.3.2a.cmml">,</mo><mn id="S1.p4.7.m2.2.2" xref="S1.p4.7.m2.2.2.cmml">2</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p4.7.m2.3b"><apply id="S1.p4.7.m2.3.3.2.cmml" xref="S1.p4.7.m2.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p4.7.m2.3.3.2a.cmml" xref="S1.p4.7.m2.3.3.1.2">formulae-sequence</csymbol><apply id="S1.p4.7.m2.3.3.1.1.cmml" xref="S1.p4.7.m2.3.3.1.1"><eq id="S1.p4.7.m2.3.3.1.1.2.cmml" xref="S1.p4.7.m2.3.3.1.1.2"></eq><list id="S1.p4.7.m2.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S1.p4.7.m2.3.3.1.1.1.1"><apply id="S1.p4.7.m2.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p4.7.m2.3.3.1.1.1.1.1"><times id="S1.p4.7.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p4.7.m2.3.3.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S1.p4.7.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.p4.7.m2.3.3.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p4.7.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S1.p4.7.m2.3.3.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S1.p4.7.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S1.p4.7.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.2">Proj</ci><ci id="S1.p4.7.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S1.p4.7.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S1.p4.7.m2.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.p4.7.m2.3.3.1.1.1.1.1.3">𝛾</ci></apply><ci id="S1.p4.7.m2.1.1.cmml" xref="S1.p4.7.m2.1.1">𝑖</ci></list><cn id="S1.p4.7.m2.3.3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.p4.7.m2.3.3.1.1.3">1</cn></apply><cn id="S1.p4.7.m2.2.2.cmml" type="integer" xref="S1.p4.7.m2.2.2">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p4.7.m2.3c">\mathrm{Proj}_{i}\gamma,i=1,2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p4.7.m2.3d">roman_Proj start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT italic_γ , italic_i = 1 , 2</annotation></semantics></math> are the marginals of <math alttext="\gamma" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p4.8.m3.1"><semantics id="S1.p4.8.m3.1a"><mi id="S1.p4.8.m3.1.1" xref="S1.p4.8.m3.1.1.cmml">γ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p4.8.m3.1b"><ci id="S1.p4.8.m3.1.1.cmml" xref="S1.p4.8.m3.1.1">𝛾</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p4.8.m3.1c">\gamma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p4.8.m3.1d">italic_γ</annotation></semantics></math>. This metric also makes sense if <math alttext="\mu,\nu" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p4.9.m4.2"><semantics id="S1.p4.9.m4.2a"><mrow id="S1.p4.9.m4.2.3.2" xref="S1.p4.9.m4.2.3.1.cmml"><mi id="S1.p4.9.m4.1.1" xref="S1.p4.9.m4.1.1.cmml">μ</mi><mo id="S1.p4.9.m4.2.3.2.1" xref="S1.p4.9.m4.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S1.p4.9.m4.2.2" xref="S1.p4.9.m4.2.2.cmml">ν</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p4.9.m4.2b"><list id="S1.p4.9.m4.2.3.1.cmml" xref="S1.p4.9.m4.2.3.2"><ci id="S1.p4.9.m4.1.1.cmml" xref="S1.p4.9.m4.1.1">𝜇</ci><ci id="S1.p4.9.m4.2.2.cmml" xref="S1.p4.9.m4.2.2">𝜈</ci></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p4.9.m4.2c">\mu,\nu</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p4.9.m4.2d">italic_μ , italic_ν</annotation></semantics></math> are not probability measures but still non-negative and have equal mass as <math alttext="\int_{\Omega}\mu=\int_{\Omega}\nu" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p4.10.m5.1"><semantics id="S1.p4.10.m5.1a"><mrow id="S1.p4.10.m5.1.1" xref="S1.p4.10.m5.1.1.cmml"><mrow id="S1.p4.10.m5.1.1.2" xref="S1.p4.10.m5.1.1.2.cmml"><msub id="S1.p4.10.m5.1.1.2.1" xref="S1.p4.10.m5.1.1.2.1.cmml"><mo id="S1.p4.10.m5.1.1.2.1.2" xref="S1.p4.10.m5.1.1.2.1.2.cmml">∫</mo><mi id="S1.p4.10.m5.1.1.2.1.3" mathvariant="normal" xref="S1.p4.10.m5.1.1.2.1.3.cmml">Ω</mi></msub><mi id="S1.p4.10.m5.1.1.2.2" xref="S1.p4.10.m5.1.1.2.2.cmml">μ</mi></mrow><mo id="S1.p4.10.m5.1.1.1" rspace="0.111em" xref="S1.p4.10.m5.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S1.p4.10.m5.1.1.3" xref="S1.p4.10.m5.1.1.3.cmml"><msub id="S1.p4.10.m5.1.1.3.1" xref="S1.p4.10.m5.1.1.3.1.cmml"><mo id="S1.p4.10.m5.1.1.3.1.2" xref="S1.p4.10.m5.1.1.3.1.2.cmml">∫</mo><mi id="S1.p4.10.m5.1.1.3.1.3" mathvariant="normal" xref="S1.p4.10.m5.1.1.3.1.3.cmml">Ω</mi></msub><mi id="S1.p4.10.m5.1.1.3.2" xref="S1.p4.10.m5.1.1.3.2.cmml">ν</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p4.10.m5.1b"><apply id="S1.p4.10.m5.1.1.cmml" xref="S1.p4.10.m5.1.1"><eq id="S1.p4.10.m5.1.1.1.cmml" xref="S1.p4.10.m5.1.1.1"></eq><apply id="S1.p4.10.m5.1.1.2.cmml" xref="S1.p4.10.m5.1.1.2"><apply id="S1.p4.10.m5.1.1.2.1.cmml" xref="S1.p4.10.m5.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p4.10.m5.1.1.2.1.1.cmml" xref="S1.p4.10.m5.1.1.2.1">subscript</csymbol><int id="S1.p4.10.m5.1.1.2.1.2.cmml" xref="S1.p4.10.m5.1.1.2.1.2"></int><ci id="S1.p4.10.m5.1.1.2.1.3.cmml" xref="S1.p4.10.m5.1.1.2.1.3">Ω</ci></apply><ci id="S1.p4.10.m5.1.1.2.2.cmml" xref="S1.p4.10.m5.1.1.2.2">𝜇</ci></apply><apply id="S1.p4.10.m5.1.1.3.cmml" xref="S1.p4.10.m5.1.1.3"><apply id="S1.p4.10.m5.1.1.3.1.cmml" xref="S1.p4.10.m5.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p4.10.m5.1.1.3.1.1.cmml" xref="S1.p4.10.m5.1.1.3.1">subscript</csymbol><int id="S1.p4.10.m5.1.1.3.1.2.cmml" xref="S1.p4.10.m5.1.1.3.1.2"></int><ci id="S1.p4.10.m5.1.1.3.1.3.cmml" xref="S1.p4.10.m5.1.1.3.1.3">Ω</ci></apply><ci id="S1.p4.10.m5.1.1.3.2.cmml" xref="S1.p4.10.m5.1.1.3.2">𝜈</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p4.10.m5.1c">\int_{\Omega}\mu=\int_{\Omega}\nu</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p4.10.m5.1d">∫ start_POSTSUBSCRIPT roman_Ω end_POSTSUBSCRIPT italic_μ = ∫ start_POSTSUBSCRIPT roman_Ω end_POSTSUBSCRIPT italic_ν</annotation></semantics></math>. The optimal transportation problem (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S1.E3" title="In 1 Introduction ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a>) seeks a transportation plan <math alttext="\gamma" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p4.11.m6.1"><semantics id="S1.p4.11.m6.1a"><mi id="S1.p4.11.m6.1.1" xref="S1.p4.11.m6.1.1.cmml">γ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p4.11.m6.1b"><ci id="S1.p4.11.m6.1.1.cmml" xref="S1.p4.11.m6.1.1">𝛾</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p4.11.m6.1c">\gamma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p4.11.m6.1d">italic_γ</annotation></semantics></math> to transform the marginal <math alttext="\mu" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p4.12.m7.1"><semantics id="S1.p4.12.m7.1a"><mi id="S1.p4.12.m7.1.1" xref="S1.p4.12.m7.1.1.cmml">μ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p4.12.m7.1b"><ci id="S1.p4.12.m7.1.1.cmml" xref="S1.p4.12.m7.1.1">𝜇</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p4.12.m7.1c">\mu</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p4.12.m7.1d">italic_μ</annotation></semantics></math> into <math alttext="\nu" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p4.13.m8.1"><semantics id="S1.p4.13.m8.1a"><mi id="S1.p4.13.m8.1.1" xref="S1.p4.13.m8.1.1.cmml">ν</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p4.13.m8.1b"><ci id="S1.p4.13.m8.1.1.cmml" xref="S1.p4.13.m8.1.1">𝜈</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p4.13.m8.1c">\nu</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p4.13.m8.1d">italic_ν</annotation></semantics></math> with minimum cost <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib47" title="">2015Convolutional </a></cite>. The advantage of using the Wasserstein distance is the ability to obtain structural properties of a density and the employment of the Wasserstein distance as a fidelity term gives a mass conservation constraint <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib10" title="">2012Regularized </a></cite> on the solution and thus is density preserving.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p5"> <p class="ltx_p" id="S1.p5.8">In <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib32" title="">2014Imaging </a></cite>, Lellmann and Schönlieb proposed to use the Kantorovich-Rubinstein (KR) norm from optimal transport as a data fidelity in the image denoising model. The Wasserstein-1 distance has an equivalent expression:</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S1.E5"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="W_{1}(\mu,\nu)=\mathrm{sup}_{\phi}\left\{\int_{\Omega}\phi(x)d(\mu(x)-\nu(x)):% \mathrm{Lip}(\phi)\leq 1\right\}," class="ltx_Math" display="block" id="S1.E5.m1.7"><semantics id="S1.E5.m1.7a"><mrow id="S1.E5.m1.7.7.1" xref="S1.E5.m1.7.7.1.1.cmml"><mrow id="S1.E5.m1.7.7.1.1" xref="S1.E5.m1.7.7.1.1.cmml"><mrow id="S1.E5.m1.7.7.1.1.4" xref="S1.E5.m1.7.7.1.1.4.cmml"><msub id="S1.E5.m1.7.7.1.1.4.2" xref="S1.E5.m1.7.7.1.1.4.2.cmml"><mi id="S1.E5.m1.7.7.1.1.4.2.2" xref="S1.E5.m1.7.7.1.1.4.2.2.cmml">W</mi><mn id="S1.E5.m1.7.7.1.1.4.2.3" xref="S1.E5.m1.7.7.1.1.4.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S1.E5.m1.7.7.1.1.4.1" xref="S1.E5.m1.7.7.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.E5.m1.7.7.1.1.4.3.2" xref="S1.E5.m1.7.7.1.1.4.3.1.cmml"><mo id="S1.E5.m1.7.7.1.1.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.E5.m1.7.7.1.1.4.3.1.cmml">(</mo><mi id="S1.E5.m1.1.1" xref="S1.E5.m1.1.1.cmml">μ</mi><mo id="S1.E5.m1.7.7.1.1.4.3.2.2" xref="S1.E5.m1.7.7.1.1.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="S1.E5.m1.2.2" xref="S1.E5.m1.2.2.cmml">ν</mi><mo id="S1.E5.m1.7.7.1.1.4.3.2.3" stretchy="false" xref="S1.E5.m1.7.7.1.1.4.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S1.E5.m1.7.7.1.1.3" xref="S1.E5.m1.7.7.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S1.E5.m1.7.7.1.1.2" xref="S1.E5.m1.7.7.1.1.2.cmml"><msub id="S1.E5.m1.7.7.1.1.2.4" xref="S1.E5.m1.7.7.1.1.2.4.cmml"><mi id="S1.E5.m1.7.7.1.1.2.4.2" xref="S1.E5.m1.7.7.1.1.2.4.2.cmml">sup</mi><mi id="S1.E5.m1.7.7.1.1.2.4.3" xref="S1.E5.m1.7.7.1.1.2.4.3.cmml">ϕ</mi></msub><mo id="S1.E5.m1.7.7.1.1.2.3" xref="S1.E5.m1.7.7.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.E5.m1.7.7.1.1.2.2.2" xref="S1.E5.m1.7.7.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="S1.E5.m1.7.7.1.1.2.2.2.3" xref="S1.E5.m1.7.7.1.1.2.2.3.1.cmml">{</mo><mrow id="S1.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S1.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2" xref="S1.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S1.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2" lspace="0em" xref="S1.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">∫</mo><mi id="S1.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.3" mathvariant="normal" xref="S1.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">Ω</mi></msub><mrow id="S1.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S1.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">ϕ</mi><mo id="S1.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S1.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S1.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S1.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S1.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S1.E5.m1.3.3" xref="S1.E5.m1.3.3.cmml">x</mi><mo id="S1.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S1.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S1.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S1.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S1.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.5" xref="S1.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.5.cmml">d</mi><mo id="S1.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2b" xref="S1.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S1.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S1.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S1.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S1.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S1.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S1.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">μ</mi><mo id="S1.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S1.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S1.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S1.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S1.E5.m1.4.4" xref="S1.E5.m1.4.4.cmml">x</mi><mo id="S1.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S1.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S1.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S1.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S1.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S1.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">ν</mi><mo id="S1.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S1.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S1.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S1.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S1.E5.m1.5.5" xref="S1.E5.m1.5.5.cmml">x</mi><mo id="S1.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S1.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" rspace="0.278em" stretchy="false" xref="S1.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S1.E5.m1.7.7.1.1.2.2.2.4" rspace="0.278em" xref="S1.E5.m1.7.7.1.1.2.2.3.1.cmml">:</mo><mrow id="S1.E5.m1.7.7.1.1.2.2.2.2" xref="S1.E5.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S1.E5.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2" xref="S1.E5.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S1.E5.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="S1.E5.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml">Lip</mi><mo id="S1.E5.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2.1" xref="S1.E5.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.E5.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2.3.2" xref="S1.E5.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><mo id="S1.E5.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.E5.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S1.E5.m1.6.6" xref="S1.E5.m1.6.6.cmml">ϕ</mi><mo id="S1.E5.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.E5.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S1.E5.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.1" xref="S1.E5.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.1.cmml">≤</mo><mn id="S1.E5.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.3" xref="S1.E5.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S1.E5.m1.7.7.1.1.2.2.2.5" xref="S1.E5.m1.7.7.1.1.2.2.3.1.cmml">}</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S1.E5.m1.7.7.1.2" xref="S1.E5.m1.7.7.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.E5.m1.7b"><apply id="S1.E5.m1.7.7.1.1.cmml" xref="S1.E5.m1.7.7.1"><eq id="S1.E5.m1.7.7.1.1.3.cmml" xref="S1.E5.m1.7.7.1.1.3"></eq><apply id="S1.E5.m1.7.7.1.1.4.cmml" xref="S1.E5.m1.7.7.1.1.4"><times id="S1.E5.m1.7.7.1.1.4.1.cmml" xref="S1.E5.m1.7.7.1.1.4.1"></times><apply id="S1.E5.m1.7.7.1.1.4.2.cmml" xref="S1.E5.m1.7.7.1.1.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E5.m1.7.7.1.1.4.2.1.cmml" xref="S1.E5.m1.7.7.1.1.4.2">subscript</csymbol><ci id="S1.E5.m1.7.7.1.1.4.2.2.cmml" xref="S1.E5.m1.7.7.1.1.4.2.2">𝑊</ci><cn id="S1.E5.m1.7.7.1.1.4.2.3.cmml" type="integer" xref="S1.E5.m1.7.7.1.1.4.2.3">1</cn></apply><interval closure="open" id="S1.E5.m1.7.7.1.1.4.3.1.cmml" xref="S1.E5.m1.7.7.1.1.4.3.2"><ci id="S1.E5.m1.1.1.cmml" xref="S1.E5.m1.1.1">𝜇</ci><ci id="S1.E5.m1.2.2.cmml" xref="S1.E5.m1.2.2">𝜈</ci></interval></apply><apply id="S1.E5.m1.7.7.1.1.2.cmml" xref="S1.E5.m1.7.7.1.1.2"><times id="S1.E5.m1.7.7.1.1.2.3.cmml" xref="S1.E5.m1.7.7.1.1.2.3"></times><apply id="S1.E5.m1.7.7.1.1.2.4.cmml" xref="S1.E5.m1.7.7.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E5.m1.7.7.1.1.2.4.1.cmml" xref="S1.E5.m1.7.7.1.1.2.4">subscript</csymbol><ci id="S1.E5.m1.7.7.1.1.2.4.2.cmml" xref="S1.E5.m1.7.7.1.1.2.4.2">sup</ci><ci id="S1.E5.m1.7.7.1.1.2.4.3.cmml" xref="S1.E5.m1.7.7.1.1.2.4.3">italic-ϕ</ci></apply><apply id="S1.E5.m1.7.7.1.1.2.2.3.cmml" xref="S1.E5.m1.7.7.1.1.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S1.E5.m1.7.7.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S1.E5.m1.7.7.1.1.2.2.2.3">conditional-set</csymbol><apply id="S1.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1"><apply id="S1.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S1.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><int id="S1.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S1.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2"></int><ci id="S1.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S1.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.3">Ω</ci></apply><apply id="S1.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S1.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S1.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3">italic-ϕ</ci><ci id="S1.E5.m1.3.3.cmml" xref="S1.E5.m1.3.3">𝑥</ci><ci id="S1.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S1.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.5">𝑑</ci><apply id="S1.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S1.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S1.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S1.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S1.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="S1.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S1.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝜇</ci><ci id="S1.E5.m1.4.4.cmml" xref="S1.E5.m1.4.4">𝑥</ci></apply><apply id="S1.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S1.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S1.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S1.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S1.E5.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝜈</ci><ci id="S1.E5.m1.5.5.cmml" xref="S1.E5.m1.5.5">𝑥</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S1.E5.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S1.E5.m1.7.7.1.1.2.2.2.2"><leq id="S1.E5.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S1.E5.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.1"></leq><apply id="S1.E5.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S1.E5.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2"><times id="S1.E5.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S1.E5.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2.1"></times><ci id="S1.E5.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S1.E5.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2.2">Lip</ci><ci id="S1.E5.m1.6.6.cmml" xref="S1.E5.m1.6.6">italic-ϕ</ci></apply><cn id="S1.E5.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S1.E5.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.3">1</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.E5.m1.7c">W_{1}(\mu,\nu)=\mathrm{sup}_{\phi}\left\{\int_{\Omega}\phi(x)d(\mu(x)-\nu(x)):% \mathrm{Lip}(\phi)\leq 1\right\},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.E5.m1.7d">italic_W start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_μ , italic_ν ) = roman_sup start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT { ∫ start_POSTSUBSCRIPT roman_Ω end_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ ( italic_x ) italic_d ( italic_μ ( italic_x ) - italic_ν ( italic_x ) ) : roman_Lip ( italic_ϕ ) ≤ 1 } ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(5)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S1.p5.1">which only depends on the difference <math alttext="\mu-\nu" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p5.1.m1.1"><semantics id="S1.p5.1.m1.1a"><mrow id="S1.p5.1.m1.1.1" xref="S1.p5.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S1.p5.1.m1.1.1.2" xref="S1.p5.1.m1.1.1.2.cmml">μ</mi><mo id="S1.p5.1.m1.1.1.1" xref="S1.p5.1.m1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S1.p5.1.m1.1.1.3" xref="S1.p5.1.m1.1.1.3.cmml">ν</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p5.1.m1.1b"><apply id="S1.p5.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.p5.1.m1.1.1"><minus id="S1.p5.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S1.p5.1.m1.1.1.1"></minus><ci id="S1.p5.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S1.p5.1.m1.1.1.2">𝜇</ci><ci id="S1.p5.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S1.p5.1.m1.1.1.3">𝜈</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p5.1.m1.1c">\mu-\nu</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p5.1.m1.1d">italic_μ - italic_ν</annotation></semantics></math>. This metric defines the dual Lipschitz norm</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S1.E6"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\|\mu\|_{\mathrm{Lip}^{*}}=\sup_{\phi}\left\{\int_{\Omega}\phi d\mu:\mathrm{% Lip}(\phi)\leq 1\right\}." class="ltx_Math" display="block" id="S1.E6.m1.3"><semantics id="S1.E6.m1.3a"><mrow id="S1.E6.m1.3.3.1" xref="S1.E6.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S1.E6.m1.3.3.1.1" xref="S1.E6.m1.3.3.1.1.cmml"><msub id="S1.E6.m1.3.3.1.1.4" xref="S1.E6.m1.3.3.1.1.4.cmml"><mrow id="S1.E6.m1.3.3.1.1.4.2.2" xref="S1.E6.m1.3.3.1.1.4.2.1.cmml"><mo id="S1.E6.m1.3.3.1.1.4.2.2.1" stretchy="false" xref="S1.E6.m1.3.3.1.1.4.2.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S1.E6.m1.1.1" xref="S1.E6.m1.1.1.cmml">μ</mi><mo id="S1.E6.m1.3.3.1.1.4.2.2.2" stretchy="false" xref="S1.E6.m1.3.3.1.1.4.2.1.1.cmml">‖</mo></mrow><msup id="S1.E6.m1.3.3.1.1.4.3" xref="S1.E6.m1.3.3.1.1.4.3.cmml"><mi id="S1.E6.m1.3.3.1.1.4.3.2" xref="S1.E6.m1.3.3.1.1.4.3.2.cmml">Lip</mi><mo id="S1.E6.m1.3.3.1.1.4.3.3" xref="S1.E6.m1.3.3.1.1.4.3.3.cmml">∗</mo></msup></msub><mo id="S1.E6.m1.3.3.1.1.3" rspace="0.1389em" xref="S1.E6.m1.3.3.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S1.E6.m1.3.3.1.1.2" xref="S1.E6.m1.3.3.1.1.2.cmml"><munder id="S1.E6.m1.3.3.1.1.2.3" xref="S1.E6.m1.3.3.1.1.2.3.cmml"><mo id="S1.E6.m1.3.3.1.1.2.3.2" lspace="0.1389em" movablelimits="false" rspace="0em" xref="S1.E6.m1.3.3.1.1.2.3.2.cmml">sup</mo><mi id="S1.E6.m1.3.3.1.1.2.3.3" xref="S1.E6.m1.3.3.1.1.2.3.3.cmml">ϕ</mi></munder><mrow id="S1.E6.m1.3.3.1.1.2.2.2" xref="S1.E6.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="S1.E6.m1.3.3.1.1.2.2.2.3" xref="S1.E6.m1.3.3.1.1.2.2.3.1.cmml">{</mo><mrow id="S1.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S1.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S1.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S1.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">∫</mo><mi id="S1.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S1.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">Ω</mi></msub><mrow id="S1.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S1.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S1.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S1.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S1.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.1" lspace="0em" xref="S1.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S1.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="S1.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.1" rspace="0em" xref="S1.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S1.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S1.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">μ</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S1.E6.m1.3.3.1.1.2.2.2.4" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S1.E6.m1.3.3.1.1.2.2.3.1.cmml">:</mo><mrow id="S1.E6.m1.3.3.1.1.2.2.2.2" xref="S1.E6.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S1.E6.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2" xref="S1.E6.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S1.E6.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="S1.E6.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml">Lip</mi><mo id="S1.E6.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.1" xref="S1.E6.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.E6.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.3.2" xref="S1.E6.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><mo id="S1.E6.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.E6.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S1.E6.m1.2.2" xref="S1.E6.m1.2.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S1.E6.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.E6.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S1.E6.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1" xref="S1.E6.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.cmml">≤</mo><mn id="S1.E6.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3" xref="S1.E6.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S1.E6.m1.3.3.1.1.2.2.2.5" xref="S1.E6.m1.3.3.1.1.2.2.3.1.cmml">}</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S1.E6.m1.3.3.1.2" lspace="0em" xref="S1.E6.m1.3.3.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.E6.m1.3b"><apply id="S1.E6.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S1.E6.m1.3.3.1"><eq id="S1.E6.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S1.E6.m1.3.3.1.1.3"></eq><apply id="S1.E6.m1.3.3.1.1.4.cmml" xref="S1.E6.m1.3.3.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E6.m1.3.3.1.1.4.1.cmml" xref="S1.E6.m1.3.3.1.1.4">subscript</csymbol><apply id="S1.E6.m1.3.3.1.1.4.2.1.cmml" xref="S1.E6.m1.3.3.1.1.4.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S1.E6.m1.3.3.1.1.4.2.1.1.cmml" xref="S1.E6.m1.3.3.1.1.4.2.2.1">norm</csymbol><ci id="S1.E6.m1.1.1.cmml" xref="S1.E6.m1.1.1">𝜇</ci></apply><apply id="S1.E6.m1.3.3.1.1.4.3.cmml" xref="S1.E6.m1.3.3.1.1.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E6.m1.3.3.1.1.4.3.1.cmml" xref="S1.E6.m1.3.3.1.1.4.3">superscript</csymbol><ci id="S1.E6.m1.3.3.1.1.4.3.2.cmml" xref="S1.E6.m1.3.3.1.1.4.3.2">Lip</ci><times id="S1.E6.m1.3.3.1.1.4.3.3.cmml" xref="S1.E6.m1.3.3.1.1.4.3.3"></times></apply></apply><apply id="S1.E6.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S1.E6.m1.3.3.1.1.2"><apply id="S1.E6.m1.3.3.1.1.2.3.cmml" xref="S1.E6.m1.3.3.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E6.m1.3.3.1.1.2.3.1.cmml" xref="S1.E6.m1.3.3.1.1.2.3">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S1.E6.m1.3.3.1.1.2.3.2.cmml" xref="S1.E6.m1.3.3.1.1.2.3.2">supremum</csymbol><ci id="S1.E6.m1.3.3.1.1.2.3.3.cmml" xref="S1.E6.m1.3.3.1.1.2.3.3">italic-ϕ</ci></apply><apply id="S1.E6.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml" xref="S1.E6.m1.3.3.1.1.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S1.E6.m1.3.3.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S1.E6.m1.3.3.1.1.2.2.2.3">conditional-set</csymbol><apply id="S1.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1"><apply id="S1.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><int id="S1.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2"></int><ci id="S1.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3">Ω</ci></apply><apply id="S1.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S1.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S1.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="S1.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S1.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2">italic-ϕ</ci><apply id="S1.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S1.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="latexml" id="S1.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S1.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.1">differential-d</csymbol><ci id="S1.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S1.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝜇</ci></apply></apply></apply><apply id="S1.E6.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S1.E6.m1.3.3.1.1.2.2.2.2"><leq id="S1.E6.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S1.E6.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1"></leq><apply id="S1.E6.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S1.E6.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2"><times id="S1.E6.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S1.E6.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.1"></times><ci id="S1.E6.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S1.E6.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2">Lip</ci><ci id="S1.E6.m1.2.2.cmml" xref="S1.E6.m1.2.2">italic-ϕ</ci></apply><cn id="S1.E6.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S1.E6.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3">1</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.E6.m1.3c">\|\mu\|_{\mathrm{Lip}^{*}}=\sup_{\phi}\left\{\int_{\Omega}\phi d\mu:\mathrm{% Lip}(\phi)\leq 1\right\}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.E6.m1.3d">∥ italic_μ ∥ start_POSTSUBSCRIPT roman_Lip start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT = roman_sup start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT { ∫ start_POSTSUBSCRIPT roman_Ω end_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ italic_d italic_μ : roman_Lip ( italic_ϕ ) ≤ 1 } .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(6)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S1.p5.2">The Lipschitz constant of a function <math alttext="\phi" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p5.2.m1.1"><semantics id="S1.p5.2.m1.1a"><mi id="S1.p5.2.m1.1.1" xref="S1.p5.2.m1.1.1.cmml">ϕ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p5.2.m1.1b"><ci id="S1.p5.2.m1.1.1.cmml" xref="S1.p5.2.m1.1.1">italic-ϕ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p5.2.m1.1c">\phi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p5.2.m1.1d">italic_ϕ</annotation></semantics></math> is denoted as</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S1.E7"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\mathrm{Lip}(\phi)=\sup\left\{\frac{|\phi(x)-\phi(y)|}{|x-y|}:(x,y)\in\Omega% \times\Omega,x\neq y\right\}." class="ltx_Math" display="block" id="S1.E7.m1.8"><semantics id="S1.E7.m1.8a"><mrow id="S1.E7.m1.8.8.1" xref="S1.E7.m1.8.8.1.1.cmml"><mrow id="S1.E7.m1.8.8.1.1" xref="S1.E7.m1.8.8.1.1.cmml"><mrow id="S1.E7.m1.8.8.1.1.3" xref="S1.E7.m1.8.8.1.1.3.cmml"><mi id="S1.E7.m1.8.8.1.1.3.2" xref="S1.E7.m1.8.8.1.1.3.2.cmml">Lip</mi><mo id="S1.E7.m1.8.8.1.1.3.1" xref="S1.E7.m1.8.8.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.E7.m1.8.8.1.1.3.3.2" xref="S1.E7.m1.8.8.1.1.3.cmml"><mo id="S1.E7.m1.8.8.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.E7.m1.8.8.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S1.E7.m1.5.5" xref="S1.E7.m1.5.5.cmml">ϕ</mi><mo id="S1.E7.m1.8.8.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.E7.m1.8.8.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S1.E7.m1.8.8.1.1.2" rspace="0.1389em" xref="S1.E7.m1.8.8.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S1.E7.m1.8.8.1.1.1" xref="S1.E7.m1.8.8.1.1.1.cmml"><mo id="S1.E7.m1.8.8.1.1.1.2" lspace="0.1389em" movablelimits="false" rspace="0em" xref="S1.E7.m1.8.8.1.1.1.2.cmml">sup</mo><mrow id="S1.E7.m1.8.8.1.1.1.1.1" xref="S1.E7.m1.8.8.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S1.E7.m1.8.8.1.1.1.1.1.2" xref="S1.E7.m1.8.8.1.1.1.1.2.1.cmml">{</mo><mfrac id="S1.E7.m1.4.4" xref="S1.E7.m1.4.4.cmml"><mrow id="S1.E7.m1.3.3.3.3" xref="S1.E7.m1.3.3.3.4.cmml"><mo id="S1.E7.m1.3.3.3.3.2" stretchy="false" xref="S1.E7.m1.3.3.3.4.1.cmml">|</mo><mrow id="S1.E7.m1.3.3.3.3.1" xref="S1.E7.m1.3.3.3.3.1.cmml"><mrow id="S1.E7.m1.3.3.3.3.1.2" xref="S1.E7.m1.3.3.3.3.1.2.cmml"><mi id="S1.E7.m1.3.3.3.3.1.2.2" xref="S1.E7.m1.3.3.3.3.1.2.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S1.E7.m1.3.3.3.3.1.2.1" xref="S1.E7.m1.3.3.3.3.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.E7.m1.3.3.3.3.1.2.3.2" xref="S1.E7.m1.3.3.3.3.1.2.cmml"><mo id="S1.E7.m1.3.3.3.3.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.E7.m1.3.3.3.3.1.2.cmml">(</mo><mi id="S1.E7.m1.1.1.1.1" xref="S1.E7.m1.1.1.1.1.cmml">x</mi><mo id="S1.E7.m1.3.3.3.3.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.E7.m1.3.3.3.3.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S1.E7.m1.3.3.3.3.1.1" xref="S1.E7.m1.3.3.3.3.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S1.E7.m1.3.3.3.3.1.3" xref="S1.E7.m1.3.3.3.3.1.3.cmml"><mi id="S1.E7.m1.3.3.3.3.1.3.2" xref="S1.E7.m1.3.3.3.3.1.3.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S1.E7.m1.3.3.3.3.1.3.1" xref="S1.E7.m1.3.3.3.3.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.E7.m1.3.3.3.3.1.3.3.2" xref="S1.E7.m1.3.3.3.3.1.3.cmml"><mo id="S1.E7.m1.3.3.3.3.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.E7.m1.3.3.3.3.1.3.cmml">(</mo><mi id="S1.E7.m1.2.2.2.2" xref="S1.E7.m1.2.2.2.2.cmml">y</mi><mo id="S1.E7.m1.3.3.3.3.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.E7.m1.3.3.3.3.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S1.E7.m1.3.3.3.3.3" stretchy="false" xref="S1.E7.m1.3.3.3.4.1.cmml">|</mo></mrow><mrow id="S1.E7.m1.4.4.4.1" xref="S1.E7.m1.4.4.4.2.cmml"><mo id="S1.E7.m1.4.4.4.1.2" stretchy="false" xref="S1.E7.m1.4.4.4.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S1.E7.m1.4.4.4.1.1" xref="S1.E7.m1.4.4.4.1.1.cmml"><mi id="S1.E7.m1.4.4.4.1.1.2" xref="S1.E7.m1.4.4.4.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="S1.E7.m1.4.4.4.1.1.1" xref="S1.E7.m1.4.4.4.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S1.E7.m1.4.4.4.1.1.3" xref="S1.E7.m1.4.4.4.1.1.3.cmml">y</mi></mrow><mo id="S1.E7.m1.4.4.4.1.3" stretchy="false" xref="S1.E7.m1.4.4.4.2.1.cmml">|</mo></mrow></mfrac><mo id="S1.E7.m1.8.8.1.1.1.1.1.3" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S1.E7.m1.8.8.1.1.1.1.2.1.cmml">:</mo><mrow id="S1.E7.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2" xref="S1.E7.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S1.E7.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E7.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S1.E7.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S1.E7.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml"><mo id="S1.E7.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1" stretchy="false" xref="S1.E7.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">(</mo><mi id="S1.E7.m1.6.6" xref="S1.E7.m1.6.6.cmml">x</mi><mo id="S1.E7.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S1.E7.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">,</mo><mi id="S1.E7.m1.7.7" xref="S1.E7.m1.7.7.cmml">y</mi><mo id="S1.E7.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" stretchy="false" xref="S1.E7.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S1.E7.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E7.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">∈</mo><mrow id="S1.E7.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S1.E7.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S1.E7.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S1.E7.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">Ω</mi><mo id="S1.E7.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S1.E7.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">×</mo><mi id="S1.E7.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" mathvariant="normal" xref="S1.E7.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">Ω</mi></mrow></mrow><mo id="S1.E7.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S1.E7.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S1.E7.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S1.E7.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S1.E7.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S1.E7.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">x</mi><mo id="S1.E7.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S1.E7.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">≠</mo><mi id="S1.E7.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S1.E7.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">y</mi></mrow></mrow><mo id="S1.E7.m1.8.8.1.1.1.1.1.4" xref="S1.E7.m1.8.8.1.1.1.1.2.1.cmml">}</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S1.E7.m1.8.8.1.2" lspace="0em" xref="S1.E7.m1.8.8.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.E7.m1.8b"><apply id="S1.E7.m1.8.8.1.1.cmml" xref="S1.E7.m1.8.8.1"><eq id="S1.E7.m1.8.8.1.1.2.cmml" xref="S1.E7.m1.8.8.1.1.2"></eq><apply id="S1.E7.m1.8.8.1.1.3.cmml" xref="S1.E7.m1.8.8.1.1.3"><times id="S1.E7.m1.8.8.1.1.3.1.cmml" xref="S1.E7.m1.8.8.1.1.3.1"></times><ci id="S1.E7.m1.8.8.1.1.3.2.cmml" xref="S1.E7.m1.8.8.1.1.3.2">Lip</ci><ci id="S1.E7.m1.5.5.cmml" xref="S1.E7.m1.5.5">italic-ϕ</ci></apply><apply id="S1.E7.m1.8.8.1.1.1.cmml" xref="S1.E7.m1.8.8.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S1.E7.m1.8.8.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E7.m1.8.8.1.1.1.2">supremum</csymbol><apply id="S1.E7.m1.8.8.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E7.m1.8.8.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S1.E7.m1.8.8.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S1.E7.m1.8.8.1.1.1.1.1.2">conditional-set</csymbol><apply id="S1.E7.m1.4.4.cmml" xref="S1.E7.m1.4.4"><divide id="S1.E7.m1.4.4.5.cmml" xref="S1.E7.m1.4.4"></divide><apply id="S1.E7.m1.3.3.3.4.cmml" xref="S1.E7.m1.3.3.3.3"><abs id="S1.E7.m1.3.3.3.4.1.cmml" xref="S1.E7.m1.3.3.3.3.2"></abs><apply id="S1.E7.m1.3.3.3.3.1.cmml" xref="S1.E7.m1.3.3.3.3.1"><minus id="S1.E7.m1.3.3.3.3.1.1.cmml" xref="S1.E7.m1.3.3.3.3.1.1"></minus><apply id="S1.E7.m1.3.3.3.3.1.2.cmml" xref="S1.E7.m1.3.3.3.3.1.2"><times id="S1.E7.m1.3.3.3.3.1.2.1.cmml" xref="S1.E7.m1.3.3.3.3.1.2.1"></times><ci id="S1.E7.m1.3.3.3.3.1.2.2.cmml" xref="S1.E7.m1.3.3.3.3.1.2.2">italic-ϕ</ci><ci id="S1.E7.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E7.m1.1.1.1.1">𝑥</ci></apply><apply id="S1.E7.m1.3.3.3.3.1.3.cmml" xref="S1.E7.m1.3.3.3.3.1.3"><times id="S1.E7.m1.3.3.3.3.1.3.1.cmml" xref="S1.E7.m1.3.3.3.3.1.3.1"></times><ci id="S1.E7.m1.3.3.3.3.1.3.2.cmml" xref="S1.E7.m1.3.3.3.3.1.3.2">italic-ϕ</ci><ci id="S1.E7.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S1.E7.m1.2.2.2.2">𝑦</ci></apply></apply></apply><apply id="S1.E7.m1.4.4.4.2.cmml" xref="S1.E7.m1.4.4.4.1"><abs id="S1.E7.m1.4.4.4.2.1.cmml" xref="S1.E7.m1.4.4.4.1.2"></abs><apply id="S1.E7.m1.4.4.4.1.1.cmml" xref="S1.E7.m1.4.4.4.1.1"><minus id="S1.E7.m1.4.4.4.1.1.1.cmml" xref="S1.E7.m1.4.4.4.1.1.1"></minus><ci id="S1.E7.m1.4.4.4.1.1.2.cmml" xref="S1.E7.m1.4.4.4.1.1.2">𝑥</ci><ci id="S1.E7.m1.4.4.4.1.1.3.cmml" xref="S1.E7.m1.4.4.4.1.1.3">𝑦</ci></apply></apply></apply><apply id="S1.E7.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.E7.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E7.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S1.E7.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S1.E7.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E7.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1"><in id="S1.E7.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E7.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></in><interval closure="open" id="S1.E7.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S1.E7.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><ci id="S1.E7.m1.6.6.cmml" xref="S1.E7.m1.6.6">𝑥</ci><ci id="S1.E7.m1.7.7.cmml" xref="S1.E7.m1.7.7">𝑦</ci></interval><apply id="S1.E7.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.E7.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S1.E7.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S1.E7.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S1.E7.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S1.E7.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">Ω</ci><ci id="S1.E7.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S1.E7.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">Ω</ci></apply></apply><apply id="S1.E7.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S1.E7.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2"><neq id="S1.E7.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S1.E7.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.1"></neq><ci id="S1.E7.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S1.E7.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑥</ci><ci id="S1.E7.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S1.E7.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.3">𝑦</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.E7.m1.8c">\mathrm{Lip}(\phi)=\sup\left\{\frac{|\phi(x)-\phi(y)|}{|x-y|}:(x,y)\in\Omega% \times\Omega,x\neq y\right\}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.E7.m1.8d">roman_Lip ( italic_ϕ ) = roman_sup { divide start_ARG | italic_ϕ ( italic_x ) - italic_ϕ ( italic_y ) | end_ARG start_ARG | italic_x - italic_y | end_ARG : ( italic_x , italic_y ) ∈ roman_Ω × roman_Ω , italic_x ≠ italic_y } .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(7)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S1.p5.5">This norm (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S1.E6" title="In 1 Introduction ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">6</span></a>) is only defined for <math alttext="\mu" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p5.3.m1.1"><semantics id="S1.p5.3.m1.1a"><mi id="S1.p5.3.m1.1.1" xref="S1.p5.3.m1.1.1.cmml">μ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p5.3.m1.1b"><ci id="S1.p5.3.m1.1.1.cmml" xref="S1.p5.3.m1.1.1">𝜇</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p5.3.m1.1c">\mu</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p5.3.m1.1d">italic_μ</annotation></semantics></math> such that <math alttext="\int_{\Omega}d\mu=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p5.4.m2.1"><semantics id="S1.p5.4.m2.1a"><mrow id="S1.p5.4.m2.1.1" xref="S1.p5.4.m2.1.1.cmml"><mrow id="S1.p5.4.m2.1.1.2" xref="S1.p5.4.m2.1.1.2.cmml"><msub id="S1.p5.4.m2.1.1.2.1" xref="S1.p5.4.m2.1.1.2.1.cmml"><mo id="S1.p5.4.m2.1.1.2.1.2" xref="S1.p5.4.m2.1.1.2.1.2.cmml">∫</mo><mi id="S1.p5.4.m2.1.1.2.1.3" mathvariant="normal" xref="S1.p5.4.m2.1.1.2.1.3.cmml">Ω</mi></msub><mrow id="S1.p5.4.m2.1.1.2.2" xref="S1.p5.4.m2.1.1.2.2.cmml"><mo id="S1.p5.4.m2.1.1.2.2.1" lspace="0.167em" rspace="0em" xref="S1.p5.4.m2.1.1.2.2.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S1.p5.4.m2.1.1.2.2.2" xref="S1.p5.4.m2.1.1.2.2.2.cmml">μ</mi></mrow></mrow><mo id="S1.p5.4.m2.1.1.1" xref="S1.p5.4.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S1.p5.4.m2.1.1.3" xref="S1.p5.4.m2.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p5.4.m2.1b"><apply id="S1.p5.4.m2.1.1.cmml" xref="S1.p5.4.m2.1.1"><eq id="S1.p5.4.m2.1.1.1.cmml" xref="S1.p5.4.m2.1.1.1"></eq><apply id="S1.p5.4.m2.1.1.2.cmml" xref="S1.p5.4.m2.1.1.2"><apply id="S1.p5.4.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S1.p5.4.m2.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p5.4.m2.1.1.2.1.1.cmml" xref="S1.p5.4.m2.1.1.2.1">subscript</csymbol><int id="S1.p5.4.m2.1.1.2.1.2.cmml" xref="S1.p5.4.m2.1.1.2.1.2"></int><ci id="S1.p5.4.m2.1.1.2.1.3.cmml" xref="S1.p5.4.m2.1.1.2.1.3">Ω</ci></apply><apply id="S1.p5.4.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S1.p5.4.m2.1.1.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S1.p5.4.m2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S1.p5.4.m2.1.1.2.2.1">differential-d</csymbol><ci id="S1.p5.4.m2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S1.p5.4.m2.1.1.2.2.2">𝜇</ci></apply></apply><cn id="S1.p5.4.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.p5.4.m2.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p5.4.m2.1c">\int_{\Omega}d\mu=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p5.4.m2.1d">∫ start_POSTSUBSCRIPT roman_Ω end_POSTSUBSCRIPT italic_d italic_μ = 0</annotation></semantics></math>, otherwise the supremum of (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S1.E6" title="In 1 Introduction ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">6</span></a>) is unbounded. This can be fixed by adding a bound on the value of function <math alttext="\phi" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p5.5.m3.1"><semantics id="S1.p5.5.m3.1a"><mi id="S1.p5.5.m3.1.1" xref="S1.p5.5.m3.1.1.cmml">ϕ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p5.5.m3.1b"><ci id="S1.p5.5.m3.1.1.cmml" xref="S1.p5.5.m3.1.1">italic-ϕ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p5.5.m3.1c">\phi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p5.5.m3.1d">italic_ϕ</annotation></semantics></math>, which leads to the KR norm:</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S1.E8"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\|\mu\|_{KR,\lambda}=\mathrm{sup}\left\{\int_{\Omega}\phi d\mu:|\phi|\leq% \lambda_{1},\mathrm{Lip}(\phi)\leq\lambda_{2}\right\}," class="ltx_Math" display="block" id="S1.E8.m1.6"><semantics id="S1.E8.m1.6a"><mrow id="S1.E8.m1.6.6.1" xref="S1.E8.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="S1.E8.m1.6.6.1.1" xref="S1.E8.m1.6.6.1.1.cmml"><msub id="S1.E8.m1.6.6.1.1.4" xref="S1.E8.m1.6.6.1.1.4.cmml"><mrow id="S1.E8.m1.6.6.1.1.4.2.2" xref="S1.E8.m1.6.6.1.1.4.2.1.cmml"><mo id="S1.E8.m1.6.6.1.1.4.2.2.1" stretchy="false" xref="S1.E8.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S1.E8.m1.3.3" xref="S1.E8.m1.3.3.cmml">μ</mi><mo id="S1.E8.m1.6.6.1.1.4.2.2.2" stretchy="false" xref="S1.E8.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.cmml">‖</mo></mrow><mrow id="S1.E8.m1.2.2.2.2" xref="S1.E8.m1.2.2.2.3.cmml"><mrow id="S1.E8.m1.2.2.2.2.1" xref="S1.E8.m1.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="S1.E8.m1.2.2.2.2.1.2" xref="S1.E8.m1.2.2.2.2.1.2.cmml">K</mi><mo id="S1.E8.m1.2.2.2.2.1.1" xref="S1.E8.m1.2.2.2.2.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.E8.m1.2.2.2.2.1.3" xref="S1.E8.m1.2.2.2.2.1.3.cmml">R</mi></mrow><mo id="S1.E8.m1.2.2.2.2.2" xref="S1.E8.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S1.E8.m1.1.1.1.1" xref="S1.E8.m1.1.1.1.1.cmml">λ</mi></mrow></msub><mo id="S1.E8.m1.6.6.1.1.3" xref="S1.E8.m1.6.6.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S1.E8.m1.6.6.1.1.2" xref="S1.E8.m1.6.6.1.1.2.cmml"><mi id="S1.E8.m1.6.6.1.1.2.4" xref="S1.E8.m1.6.6.1.1.2.4.cmml">sup</mi><mo id="S1.E8.m1.6.6.1.1.2.3" xref="S1.E8.m1.6.6.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.E8.m1.6.6.1.1.2.2.2" xref="S1.E8.m1.6.6.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="S1.E8.m1.6.6.1.1.2.2.2.3" xref="S1.E8.m1.6.6.1.1.2.2.3.1.cmml">{</mo><mrow id="S1.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S1.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S1.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S1.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">∫</mo><mi id="S1.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S1.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">Ω</mi></msub><mrow id="S1.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2" xref="S1.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S1.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S1.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S1.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.1" lspace="0em" xref="S1.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S1.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="S1.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.1" rspace="0em" xref="S1.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S1.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S1.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">μ</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S1.E8.m1.6.6.1.1.2.2.2.4" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S1.E8.m1.6.6.1.1.2.2.3.1.cmml">:</mo><mrow id="S1.E8.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2" xref="S1.E8.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.3.cmml"><mrow id="S1.E8.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.1" xref="S1.E8.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S1.E8.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.1.2.2" xref="S1.E8.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.1.2.1.cmml"><mo id="S1.E8.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.1.2.2.1" stretchy="false" xref="S1.E8.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.cmml">|</mo><mi id="S1.E8.m1.4.4" xref="S1.E8.m1.4.4.cmml">ϕ</mi><mo id="S1.E8.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.1.2.2.2" stretchy="false" xref="S1.E8.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S1.E8.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.1.1" xref="S1.E8.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.1.1.cmml">≤</mo><msub id="S1.E8.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.1.3" xref="S1.E8.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S1.E8.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2" xref="S1.E8.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml">λ</mi><mn id="S1.E8.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.1.3.3" xref="S1.E8.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow><mo id="S1.E8.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.3" xref="S1.E8.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S1.E8.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="S1.E8.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S1.E8.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.2.2" xref="S1.E8.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S1.E8.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="S1.E8.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml">Lip</mi><mo id="S1.E8.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.2.2.1" xref="S1.E8.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.E8.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3.2" xref="S1.E8.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mo id="S1.E8.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.E8.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S1.E8.m1.5.5" xref="S1.E8.m1.5.5.cmml">ϕ</mi><mo id="S1.E8.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.E8.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S1.E8.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.2.1" xref="S1.E8.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.2.1.cmml">≤</mo><msub id="S1.E8.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.2.3" xref="S1.E8.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S1.E8.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.2.3.2" xref="S1.E8.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml">λ</mi><mn id="S1.E8.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.2.3.3" xref="S1.E8.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow></mrow><mo id="S1.E8.m1.6.6.1.1.2.2.2.5" xref="S1.E8.m1.6.6.1.1.2.2.3.1.cmml">}</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S1.E8.m1.6.6.1.2" xref="S1.E8.m1.6.6.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.E8.m1.6b"><apply id="S1.E8.m1.6.6.1.1.cmml" xref="S1.E8.m1.6.6.1"><eq id="S1.E8.m1.6.6.1.1.3.cmml" xref="S1.E8.m1.6.6.1.1.3"></eq><apply id="S1.E8.m1.6.6.1.1.4.cmml" xref="S1.E8.m1.6.6.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E8.m1.6.6.1.1.4.1.cmml" xref="S1.E8.m1.6.6.1.1.4">subscript</csymbol><apply id="S1.E8.m1.6.6.1.1.4.2.1.cmml" xref="S1.E8.m1.6.6.1.1.4.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S1.E8.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.cmml" xref="S1.E8.m1.6.6.1.1.4.2.2.1">norm</csymbol><ci id="S1.E8.m1.3.3.cmml" xref="S1.E8.m1.3.3">𝜇</ci></apply><list id="S1.E8.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S1.E8.m1.2.2.2.2"><apply id="S1.E8.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S1.E8.m1.2.2.2.2.1"><times id="S1.E8.m1.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S1.E8.m1.2.2.2.2.1.1"></times><ci id="S1.E8.m1.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S1.E8.m1.2.2.2.2.1.2">𝐾</ci><ci id="S1.E8.m1.2.2.2.2.1.3.cmml" xref="S1.E8.m1.2.2.2.2.1.3">𝑅</ci></apply><ci id="S1.E8.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E8.m1.1.1.1.1">𝜆</ci></list></apply><apply id="S1.E8.m1.6.6.1.1.2.cmml" xref="S1.E8.m1.6.6.1.1.2"><times id="S1.E8.m1.6.6.1.1.2.3.cmml" xref="S1.E8.m1.6.6.1.1.2.3"></times><ci id="S1.E8.m1.6.6.1.1.2.4.cmml" xref="S1.E8.m1.6.6.1.1.2.4">sup</ci><apply id="S1.E8.m1.6.6.1.1.2.2.3.cmml" xref="S1.E8.m1.6.6.1.1.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S1.E8.m1.6.6.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S1.E8.m1.6.6.1.1.2.2.2.3">conditional-set</csymbol><apply id="S1.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.1"><apply id="S1.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><int id="S1.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2"></int><ci id="S1.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3">Ω</ci></apply><apply id="S1.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S1.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S1.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="S1.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S1.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2">italic-ϕ</ci><apply id="S1.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S1.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="latexml" id="S1.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S1.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.1">differential-d</csymbol><ci id="S1.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S1.E8.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝜇</ci></apply></apply></apply><apply id="S1.E8.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S1.E8.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E8.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.3a.cmml" xref="S1.E8.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S1.E8.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S1.E8.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.1"><leq id="S1.E8.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S1.E8.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.1.1"></leq><apply id="S1.E8.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S1.E8.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.1.2.2"><abs id="S1.E8.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.1.2.1.1.cmml" xref="S1.E8.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.1.2.2.1"></abs><ci id="S1.E8.m1.4.4.cmml" xref="S1.E8.m1.4.4">italic-ϕ</ci></apply><apply id="S1.E8.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S1.E8.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E8.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S1.E8.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S1.E8.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S1.E8.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2">𝜆</ci><cn id="S1.E8.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S1.E8.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.1.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S1.E8.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S1.E8.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.2"><leq id="S1.E8.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S1.E8.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.2.1"></leq><apply id="S1.E8.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S1.E8.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.2.2"><times id="S1.E8.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S1.E8.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.2.2.1"></times><ci id="S1.E8.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S1.E8.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2">Lip</ci><ci id="S1.E8.m1.5.5.cmml" xref="S1.E8.m1.5.5">italic-ϕ</ci></apply><apply id="S1.E8.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S1.E8.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E8.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S1.E8.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S1.E8.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S1.E8.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.2.3.2">𝜆</ci><cn id="S1.E8.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S1.E8.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.2.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.E8.m1.6c">\|\mu\|_{KR,\lambda}=\mathrm{sup}\left\{\int_{\Omega}\phi d\mu:|\phi|\leq% \lambda_{1},\mathrm{Lip}(\phi)\leq\lambda_{2}\right\},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.E8.m1.6d">∥ italic_μ ∥ start_POSTSUBSCRIPT italic_K italic_R , italic_λ end_POSTSUBSCRIPT = roman_sup { ∫ start_POSTSUBSCRIPT roman_Ω end_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ italic_d italic_μ : | italic_ϕ | ≤ italic_λ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , roman_Lip ( italic_ϕ ) ≤ italic_λ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT } ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(8)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S1.p5.6">for given <math alttext="\lambda=(\lambda_{1},\lambda_{2})\succ 0" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p5.6.m1.2"><semantics id="S1.p5.6.m1.2a"><mrow id="S1.p5.6.m1.2.2" xref="S1.p5.6.m1.2.2.cmml"><mi id="S1.p5.6.m1.2.2.4" xref="S1.p5.6.m1.2.2.4.cmml">λ</mi><mo id="S1.p5.6.m1.2.2.5" xref="S1.p5.6.m1.2.2.5.cmml">=</mo><mrow id="S1.p5.6.m1.2.2.2.2" xref="S1.p5.6.m1.2.2.2.3.cmml"><mo id="S1.p5.6.m1.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S1.p5.6.m1.2.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="S1.p5.6.m1.1.1.1.1.1" xref="S1.p5.6.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.p5.6.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S1.p5.6.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">λ</mi><mn id="S1.p5.6.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S1.p5.6.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S1.p5.6.m1.2.2.2.2.4" xref="S1.p5.6.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S1.p5.6.m1.2.2.2.2.2" xref="S1.p5.6.m1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S1.p5.6.m1.2.2.2.2.2.2" xref="S1.p5.6.m1.2.2.2.2.2.2.cmml">λ</mi><mn id="S1.p5.6.m1.2.2.2.2.2.3" xref="S1.p5.6.m1.2.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S1.p5.6.m1.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S1.p5.6.m1.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="S1.p5.6.m1.2.2.6" xref="S1.p5.6.m1.2.2.6.cmml">≻</mo><mn id="S1.p5.6.m1.2.2.7" xref="S1.p5.6.m1.2.2.7.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p5.6.m1.2b"><apply id="S1.p5.6.m1.2.2.cmml" xref="S1.p5.6.m1.2.2"><and id="S1.p5.6.m1.2.2a.cmml" xref="S1.p5.6.m1.2.2"></and><apply id="S1.p5.6.m1.2.2b.cmml" xref="S1.p5.6.m1.2.2"><eq id="S1.p5.6.m1.2.2.5.cmml" xref="S1.p5.6.m1.2.2.5"></eq><ci id="S1.p5.6.m1.2.2.4.cmml" xref="S1.p5.6.m1.2.2.4">𝜆</ci><interval closure="open" id="S1.p5.6.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S1.p5.6.m1.2.2.2.2"><apply id="S1.p5.6.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p5.6.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p5.6.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p5.6.m1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S1.p5.6.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.p5.6.m1.1.1.1.1.1.2">𝜆</ci><cn id="S1.p5.6.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.p5.6.m1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S1.p5.6.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S1.p5.6.m1.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p5.6.m1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S1.p5.6.m1.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S1.p5.6.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S1.p5.6.m1.2.2.2.2.2.2">𝜆</ci><cn id="S1.p5.6.m1.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S1.p5.6.m1.2.2.2.2.2.3">2</cn></apply></interval></apply><apply id="S1.p5.6.m1.2.2c.cmml" xref="S1.p5.6.m1.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S1.p5.6.m1.2.2.6.cmml" xref="S1.p5.6.m1.2.2.6">succeeds</csymbol><share href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S1.p5.6.m1.2.2.2.cmml" id="S1.p5.6.m1.2.2d.cmml" xref="S1.p5.6.m1.2.2"></share><cn id="S1.p5.6.m1.2.2.7.cmml" type="integer" xref="S1.p5.6.m1.2.2.7">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p5.6.m1.2c">\lambda=(\lambda_{1},\lambda_{2})\succ 0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p5.6.m1.2d">italic_λ = ( italic_λ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_λ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) ≻ 0</annotation></semantics></math>. The Kantorovich-Rubinstein-TV denoising, or KR-TV denoising for short, is defined as the minimization problem:</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S1.E9"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\min_{u}\{\mathrm{TV}(u)+\|u-f\|_{KR,\lambda}\}," class="ltx_Math" display="block" id="S1.E9.m1.4"><semantics id="S1.E9.m1.4a"><mrow id="S1.E9.m1.4.4.1"><mrow id="S1.E9.m1.4.4.1.1.2" xref="S1.E9.m1.4.4.1.1.3.cmml"><munder id="S1.E9.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S1.E9.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.E9.m1.4.4.1.1.1.1.2" xref="S1.E9.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml">min</mi><mi id="S1.E9.m1.4.4.1.1.1.1.3" xref="S1.E9.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml">u</mi></munder><mo id="S1.E9.m1.4.4.1.1.2a" xref="S1.E9.m1.4.4.1.1.3.cmml">⁡</mo><mrow id="S1.E9.m1.4.4.1.1.2.2" xref="S1.E9.m1.4.4.1.1.3.cmml"><mo id="S1.E9.m1.4.4.1.1.2.2.2" stretchy="false" xref="S1.E9.m1.4.4.1.1.3.cmml">{</mo><mrow id="S1.E9.m1.4.4.1.1.2.2.1" xref="S1.E9.m1.4.4.1.1.2.2.1.cmml"><mrow id="S1.E9.m1.4.4.1.1.2.2.1.3" xref="S1.E9.m1.4.4.1.1.2.2.1.3.cmml"><mi id="S1.E9.m1.4.4.1.1.2.2.1.3.2" xref="S1.E9.m1.4.4.1.1.2.2.1.3.2.cmml">TV</mi><mo id="S1.E9.m1.4.4.1.1.2.2.1.3.1" xref="S1.E9.m1.4.4.1.1.2.2.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.E9.m1.4.4.1.1.2.2.1.3.3.2" xref="S1.E9.m1.4.4.1.1.2.2.1.3.cmml"><mo id="S1.E9.m1.4.4.1.1.2.2.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.E9.m1.4.4.1.1.2.2.1.3.cmml">(</mo><mi id="S1.E9.m1.3.3" xref="S1.E9.m1.3.3.cmml">u</mi><mo id="S1.E9.m1.4.4.1.1.2.2.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.E9.m1.4.4.1.1.2.2.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S1.E9.m1.4.4.1.1.2.2.1.2" xref="S1.E9.m1.4.4.1.1.2.2.1.2.cmml">+</mo><msub id="S1.E9.m1.4.4.1.1.2.2.1.1" xref="S1.E9.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S1.E9.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1" xref="S1.E9.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="S1.E9.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.E9.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S1.E9.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S1.E9.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.E9.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S1.E9.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">u</mi><mo id="S1.E9.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E9.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S1.E9.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S1.E9.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">f</mi></mrow><mo id="S1.E9.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.E9.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mrow id="S1.E9.m1.2.2.2.2" xref="S1.E9.m1.2.2.2.3.cmml"><mrow id="S1.E9.m1.2.2.2.2.1" xref="S1.E9.m1.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="S1.E9.m1.2.2.2.2.1.2" xref="S1.E9.m1.2.2.2.2.1.2.cmml">K</mi><mo id="S1.E9.m1.2.2.2.2.1.1" xref="S1.E9.m1.2.2.2.2.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.E9.m1.2.2.2.2.1.3" xref="S1.E9.m1.2.2.2.2.1.3.cmml">R</mi></mrow><mo id="S1.E9.m1.2.2.2.2.2" xref="S1.E9.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S1.E9.m1.1.1.1.1" xref="S1.E9.m1.1.1.1.1.cmml">λ</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S1.E9.m1.4.4.1.1.2.2.3" stretchy="false" xref="S1.E9.m1.4.4.1.1.3.cmml">}</mo></mrow></mrow><mo id="S1.E9.m1.4.4.1.2">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.E9.m1.4b"><apply id="S1.E9.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="S1.E9.m1.4.4.1.1.2"><apply id="S1.E9.m1.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E9.m1.4.4.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E9.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E9.m1.4.4.1.1.1.1">subscript</csymbol><min id="S1.E9.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E9.m1.4.4.1.1.1.1.2"></min><ci id="S1.E9.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.E9.m1.4.4.1.1.1.1.3">𝑢</ci></apply><apply id="S1.E9.m1.4.4.1.1.2.2.1.cmml" xref="S1.E9.m1.4.4.1.1.2.2.1"><plus id="S1.E9.m1.4.4.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="S1.E9.m1.4.4.1.1.2.2.1.2"></plus><apply id="S1.E9.m1.4.4.1.1.2.2.1.3.cmml" xref="S1.E9.m1.4.4.1.1.2.2.1.3"><times id="S1.E9.m1.4.4.1.1.2.2.1.3.1.cmml" xref="S1.E9.m1.4.4.1.1.2.2.1.3.1"></times><ci id="S1.E9.m1.4.4.1.1.2.2.1.3.2.cmml" xref="S1.E9.m1.4.4.1.1.2.2.1.3.2">TV</ci><ci id="S1.E9.m1.3.3.cmml" xref="S1.E9.m1.3.3">𝑢</ci></apply><apply id="S1.E9.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S1.E9.m1.4.4.1.1.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E9.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S1.E9.m1.4.4.1.1.2.2.1.1">subscript</csymbol><apply id="S1.E9.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E9.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S1.E9.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S1.E9.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S1.E9.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E9.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.1"><minus id="S1.E9.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E9.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S1.E9.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E9.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2">𝑢</ci><ci id="S1.E9.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.E9.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3">𝑓</ci></apply></apply><list id="S1.E9.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S1.E9.m1.2.2.2.2"><apply id="S1.E9.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S1.E9.m1.2.2.2.2.1"><times id="S1.E9.m1.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S1.E9.m1.2.2.2.2.1.1"></times><ci id="S1.E9.m1.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S1.E9.m1.2.2.2.2.1.2">𝐾</ci><ci id="S1.E9.m1.2.2.2.2.1.3.cmml" xref="S1.E9.m1.2.2.2.2.1.3">𝑅</ci></apply><ci id="S1.E9.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E9.m1.1.1.1.1">𝜆</ci></list></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.E9.m1.4c">\min_{u}\{\mathrm{TV}(u)+\|u-f\|_{KR,\lambda}\},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.E9.m1.4d">roman_min start_POSTSUBSCRIPT italic_u end_POSTSUBSCRIPT { roman_TV ( italic_u ) + ∥ italic_u - italic_f ∥ start_POSTSUBSCRIPT italic_K italic_R , italic_λ end_POSTSUBSCRIPT } ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(9)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S1.p5.7">where <math alttext="\mathrm{TV}(u)=\int_{\Omega}|\nabla u|" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p5.7.m1.2"><semantics id="S1.p5.7.m1.2a"><mrow id="S1.p5.7.m1.2.2" xref="S1.p5.7.m1.2.2.cmml"><mrow id="S1.p5.7.m1.2.2.3" xref="S1.p5.7.m1.2.2.3.cmml"><mi id="S1.p5.7.m1.2.2.3.2" xref="S1.p5.7.m1.2.2.3.2.cmml">TV</mi><mo id="S1.p5.7.m1.2.2.3.1" xref="S1.p5.7.m1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.p5.7.m1.2.2.3.3.2" xref="S1.p5.7.m1.2.2.3.cmml"><mo id="S1.p5.7.m1.2.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.p5.7.m1.2.2.3.cmml">(</mo><mi id="S1.p5.7.m1.1.1" xref="S1.p5.7.m1.1.1.cmml">u</mi><mo id="S1.p5.7.m1.2.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.p5.7.m1.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S1.p5.7.m1.2.2.2" rspace="0.111em" xref="S1.p5.7.m1.2.2.2.cmml">=</mo><mrow id="S1.p5.7.m1.2.2.1" xref="S1.p5.7.m1.2.2.1.cmml"><msub id="S1.p5.7.m1.2.2.1.2" xref="S1.p5.7.m1.2.2.1.2.cmml"><mo id="S1.p5.7.m1.2.2.1.2.2" rspace="0em" xref="S1.p5.7.m1.2.2.1.2.2.cmml">∫</mo><mi id="S1.p5.7.m1.2.2.1.2.3" mathvariant="normal" xref="S1.p5.7.m1.2.2.1.2.3.cmml">Ω</mi></msub><mrow id="S1.p5.7.m1.2.2.1.1.1" xref="S1.p5.7.m1.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S1.p5.7.m1.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.p5.7.m1.2.2.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S1.p5.7.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S1.p5.7.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S1.p5.7.m1.2.2.1.1.1.1.1" rspace="0.167em" xref="S1.p5.7.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">∇</mo><mi id="S1.p5.7.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S1.p5.7.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">u</mi></mrow><mo id="S1.p5.7.m1.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.p5.7.m1.2.2.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p5.7.m1.2b"><apply id="S1.p5.7.m1.2.2.cmml" xref="S1.p5.7.m1.2.2"><eq id="S1.p5.7.m1.2.2.2.cmml" xref="S1.p5.7.m1.2.2.2"></eq><apply id="S1.p5.7.m1.2.2.3.cmml" xref="S1.p5.7.m1.2.2.3"><times id="S1.p5.7.m1.2.2.3.1.cmml" xref="S1.p5.7.m1.2.2.3.1"></times><ci id="S1.p5.7.m1.2.2.3.2.cmml" xref="S1.p5.7.m1.2.2.3.2">TV</ci><ci id="S1.p5.7.m1.1.1.cmml" xref="S1.p5.7.m1.1.1">𝑢</ci></apply><apply id="S1.p5.7.m1.2.2.1.cmml" xref="S1.p5.7.m1.2.2.1"><apply id="S1.p5.7.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S1.p5.7.m1.2.2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p5.7.m1.2.2.1.2.1.cmml" xref="S1.p5.7.m1.2.2.1.2">subscript</csymbol><int id="S1.p5.7.m1.2.2.1.2.2.cmml" xref="S1.p5.7.m1.2.2.1.2.2"></int><ci id="S1.p5.7.m1.2.2.1.2.3.cmml" xref="S1.p5.7.m1.2.2.1.2.3">Ω</ci></apply><apply id="S1.p5.7.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S1.p5.7.m1.2.2.1.1.1"><abs id="S1.p5.7.m1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S1.p5.7.m1.2.2.1.1.1.2"></abs><apply id="S1.p5.7.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p5.7.m1.2.2.1.1.1.1"><ci id="S1.p5.7.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p5.7.m1.2.2.1.1.1.1.1">∇</ci><ci id="S1.p5.7.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.p5.7.m1.2.2.1.1.1.1.2">𝑢</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p5.7.m1.2c">\mathrm{TV}(u)=\int_{\Omega}|\nabla u|</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p5.7.m1.2d">roman_TV ( italic_u ) = ∫ start_POSTSUBSCRIPT roman_Ω end_POSTSUBSCRIPT | ∇ italic_u |</annotation></semantics></math>. In <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib32" title="">2014Imaging </a></cite>, it also presented the dual formulation of (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S1.E8" title="In 1 Introduction ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">8</span></a>):</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S1.E10"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\|\mu\|_{KR,\lambda}=\inf_{m}\lambda_{1}\|\mu-\mathrm{div}(m)\|_{L_{1}}+% \lambda_{2}\||m|\|_{L_{1}}." class="ltx_Math" display="block" id="S1.E10.m1.6"><semantics id="S1.E10.m1.6a"><mrow id="S1.E10.m1.6.6.1" xref="S1.E10.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="S1.E10.m1.6.6.1.1" xref="S1.E10.m1.6.6.1.1.cmml"><msub id="S1.E10.m1.6.6.1.1.4" xref="S1.E10.m1.6.6.1.1.4.cmml"><mrow id="S1.E10.m1.6.6.1.1.4.2.2" xref="S1.E10.m1.6.6.1.1.4.2.1.cmml"><mo id="S1.E10.m1.6.6.1.1.4.2.2.1" stretchy="false" xref="S1.E10.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S1.E10.m1.3.3" xref="S1.E10.m1.3.3.cmml">μ</mi><mo id="S1.E10.m1.6.6.1.1.4.2.2.2" stretchy="false" xref="S1.E10.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.cmml">‖</mo></mrow><mrow id="S1.E10.m1.2.2.2.2" xref="S1.E10.m1.2.2.2.3.cmml"><mrow id="S1.E10.m1.2.2.2.2.1" xref="S1.E10.m1.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="S1.E10.m1.2.2.2.2.1.2" xref="S1.E10.m1.2.2.2.2.1.2.cmml">K</mi><mo id="S1.E10.m1.2.2.2.2.1.1" xref="S1.E10.m1.2.2.2.2.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.E10.m1.2.2.2.2.1.3" xref="S1.E10.m1.2.2.2.2.1.3.cmml">R</mi></mrow><mo id="S1.E10.m1.2.2.2.2.2" xref="S1.E10.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S1.E10.m1.1.1.1.1" xref="S1.E10.m1.1.1.1.1.cmml">λ</mi></mrow></msub><mo id="S1.E10.m1.6.6.1.1.3" rspace="0.1389em" xref="S1.E10.m1.6.6.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S1.E10.m1.6.6.1.1.2" xref="S1.E10.m1.6.6.1.1.2.cmml"><mrow id="S1.E10.m1.6.6.1.1.1.1" xref="S1.E10.m1.6.6.1.1.1.1.cmml"><munder id="S1.E10.m1.6.6.1.1.1.1.2" xref="S1.E10.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S1.E10.m1.6.6.1.1.1.1.2.2" lspace="0.1389em" movablelimits="false" rspace="0.167em" xref="S1.E10.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.cmml">inf</mo><mi id="S1.E10.m1.6.6.1.1.1.1.2.3" xref="S1.E10.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.cmml">m</mi></munder><mrow id="S1.E10.m1.6.6.1.1.1.1.1" xref="S1.E10.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S1.E10.m1.6.6.1.1.1.1.1.3" xref="S1.E10.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S1.E10.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.2" xref="S1.E10.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.2.cmml">λ</mi><mn id="S1.E10.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.3" xref="S1.E10.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S1.E10.m1.6.6.1.1.1.1.1.2" xref="S1.E10.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S1.E10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S1.E10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S1.E10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.E10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S1.E10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.E10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S1.E10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">μ</mi><mo id="S1.E10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S1.E10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S1.E10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S1.E10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S1.E10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">div</mi><mo id="S1.E10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S1.E10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.E10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S1.E10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S1.E10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.E10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S1.E10.m1.4.4" xref="S1.E10.m1.4.4.cmml">m</mi><mo id="S1.E10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.E10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S1.E10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.E10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><msub id="S1.E10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3" xref="S1.E10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S1.E10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S1.E10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">L</mi><mn id="S1.E10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S1.E10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub></msub></mrow></mrow><mo id="S1.E10.m1.6.6.1.1.2.3" xref="S1.E10.m1.6.6.1.1.2.3.cmml">+</mo><mrow id="S1.E10.m1.6.6.1.1.2.2" xref="S1.E10.m1.6.6.1.1.2.2.cmml"><msub id="S1.E10.m1.6.6.1.1.2.2.3" xref="S1.E10.m1.6.6.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S1.E10.m1.6.6.1.1.2.2.3.2" xref="S1.E10.m1.6.6.1.1.2.2.3.2.cmml">λ</mi><mn id="S1.E10.m1.6.6.1.1.2.2.3.3" xref="S1.E10.m1.6.6.1.1.2.2.3.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S1.E10.m1.6.6.1.1.2.2.2" xref="S1.E10.m1.6.6.1.1.2.2.2.cmml">⁢</mo><msub id="S1.E10.m1.6.6.1.1.2.2.1" xref="S1.E10.m1.6.6.1.1.2.2.1.cmml"><mrow id="S1.E10.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1" xref="S1.E10.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S1.E10.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.E10.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S1.E10.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S1.E10.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S1.E10.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.1" stretchy="false" xref="S1.E10.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">|</mo><mi id="S1.E10.m1.5.5" xref="S1.E10.m1.5.5.cmml">m</mi><mo id="S1.E10.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2" stretchy="false" xref="S1.E10.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S1.E10.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.E10.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><msub id="S1.E10.m1.6.6.1.1.2.2.1.3" xref="S1.E10.m1.6.6.1.1.2.2.1.3.cmml"><mi id="S1.E10.m1.6.6.1.1.2.2.1.3.2" xref="S1.E10.m1.6.6.1.1.2.2.1.3.2.cmml">L</mi><mn id="S1.E10.m1.6.6.1.1.2.2.1.3.3" xref="S1.E10.m1.6.6.1.1.2.2.1.3.3.cmml">1</mn></msub></msub></mrow></mrow></mrow><mo id="S1.E10.m1.6.6.1.2" lspace="0em" xref="S1.E10.m1.6.6.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.E10.m1.6b"><apply id="S1.E10.m1.6.6.1.1.cmml" xref="S1.E10.m1.6.6.1"><eq id="S1.E10.m1.6.6.1.1.3.cmml" xref="S1.E10.m1.6.6.1.1.3"></eq><apply id="S1.E10.m1.6.6.1.1.4.cmml" xref="S1.E10.m1.6.6.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E10.m1.6.6.1.1.4.1.cmml" xref="S1.E10.m1.6.6.1.1.4">subscript</csymbol><apply id="S1.E10.m1.6.6.1.1.4.2.1.cmml" xref="S1.E10.m1.6.6.1.1.4.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S1.E10.m1.6.6.1.1.4.2.1.1.cmml" xref="S1.E10.m1.6.6.1.1.4.2.2.1">norm</csymbol><ci id="S1.E10.m1.3.3.cmml" xref="S1.E10.m1.3.3">𝜇</ci></apply><list id="S1.E10.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S1.E10.m1.2.2.2.2"><apply id="S1.E10.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S1.E10.m1.2.2.2.2.1"><times id="S1.E10.m1.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S1.E10.m1.2.2.2.2.1.1"></times><ci id="S1.E10.m1.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S1.E10.m1.2.2.2.2.1.2">𝐾</ci><ci id="S1.E10.m1.2.2.2.2.1.3.cmml" xref="S1.E10.m1.2.2.2.2.1.3">𝑅</ci></apply><ci id="S1.E10.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E10.m1.1.1.1.1">𝜆</ci></list></apply><apply id="S1.E10.m1.6.6.1.1.2.cmml" xref="S1.E10.m1.6.6.1.1.2"><plus id="S1.E10.m1.6.6.1.1.2.3.cmml" xref="S1.E10.m1.6.6.1.1.2.3"></plus><apply id="S1.E10.m1.6.6.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E10.m1.6.6.1.1.1.1"><apply id="S1.E10.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E10.m1.6.6.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E10.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S1.E10.m1.6.6.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S1.E10.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S1.E10.m1.6.6.1.1.1.1.2.2">infimum</csymbol><ci id="S1.E10.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S1.E10.m1.6.6.1.1.1.1.2.3">𝑚</ci></apply><apply id="S1.E10.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E10.m1.6.6.1.1.1.1.1"><times id="S1.E10.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E10.m1.6.6.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S1.E10.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.E10.m1.6.6.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E10.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S1.E10.m1.6.6.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S1.E10.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S1.E10.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.2">𝜆</ci><cn id="S1.E10.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S1.E10.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply><apply id="S1.E10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S1.E10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S1.E10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S1.E10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S1.E10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S1.E10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S1.E10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝜇</ci><apply id="S1.E10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.E10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S1.E10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S1.E10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S1.E10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S1.E10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">div</ci><ci id="S1.E10.m1.4.4.cmml" xref="S1.E10.m1.4.4">𝑚</ci></apply></apply></apply><apply id="S1.E10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.E10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S1.E10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S1.E10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S1.E10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2">𝐿</ci><cn id="S1.E10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S1.E10.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S1.E10.m1.6.6.1.1.2.2.cmml" xref="S1.E10.m1.6.6.1.1.2.2"><times id="S1.E10.m1.6.6.1.1.2.2.2.cmml" xref="S1.E10.m1.6.6.1.1.2.2.2"></times><apply id="S1.E10.m1.6.6.1.1.2.2.3.cmml" xref="S1.E10.m1.6.6.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E10.m1.6.6.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S1.E10.m1.6.6.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S1.E10.m1.6.6.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S1.E10.m1.6.6.1.1.2.2.3.2">𝜆</ci><cn id="S1.E10.m1.6.6.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S1.E10.m1.6.6.1.1.2.2.3.3">2</cn></apply><apply id="S1.E10.m1.6.6.1.1.2.2.1.cmml" xref="S1.E10.m1.6.6.1.1.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E10.m1.6.6.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="S1.E10.m1.6.6.1.1.2.2.1">subscript</csymbol><apply id="S1.E10.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S1.E10.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S1.E10.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S1.E10.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S1.E10.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E10.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2"><abs id="S1.E10.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E10.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.1.2.1"></abs><ci id="S1.E10.m1.5.5.cmml" xref="S1.E10.m1.5.5">𝑚</ci></apply></apply><apply id="S1.E10.m1.6.6.1.1.2.2.1.3.cmml" xref="S1.E10.m1.6.6.1.1.2.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E10.m1.6.6.1.1.2.2.1.3.1.cmml" xref="S1.E10.m1.6.6.1.1.2.2.1.3">subscript</csymbol><ci id="S1.E10.m1.6.6.1.1.2.2.1.3.2.cmml" xref="S1.E10.m1.6.6.1.1.2.2.1.3.2">𝐿</ci><cn id="S1.E10.m1.6.6.1.1.2.2.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S1.E10.m1.6.6.1.1.2.2.1.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.E10.m1.6c">\|\mu\|_{KR,\lambda}=\inf_{m}\lambda_{1}\|\mu-\mathrm{div}(m)\|_{L_{1}}+% \lambda_{2}\||m|\|_{L_{1}}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.E10.m1.6d">∥ italic_μ ∥ start_POSTSUBSCRIPT italic_K italic_R , italic_λ end_POSTSUBSCRIPT = roman_inf start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT italic_λ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ∥ italic_μ - roman_div ( italic_m ) ∥ start_POSTSUBSCRIPT italic_L start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT + italic_λ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ∥ | italic_m | ∥ start_POSTSUBSCRIPT italic_L start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(10)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p6"> <p class="ltx_p" id="S1.p6.1">The model (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S1.E9" title="In 1 Introduction ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">9</span></a>) performs well when decomposing an image into a cartoon and oscillatory component, which is due to the fact that the norm (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S1.E10" title="In 1 Introduction ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">10</span></a>) has connections with the <math alttext="G" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p6.1.m1.1"><semantics id="S1.p6.1.m1.1a"><mi id="S1.p6.1.m1.1.1" xref="S1.p6.1.m1.1.1.cmml">G</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p6.1.m1.1b"><ci id="S1.p6.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.p6.1.m1.1.1">𝐺</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p6.1.m1.1c">G</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p6.1.m1.1d">italic_G</annotation></semantics></math>-norm, introduced by Yves Meyer <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib36" title="">meyeroscillating </a></cite> for capturing oscillating patterns, defined as</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S1.E11"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\|v\|_{G}=\inf\{\||m|\|_{L^{\infty}}\ :v=\mathrm{div}(m),\quad m\in L^{\infty}% (\Omega)\}," class="ltx_math_unparsed" display="block" id="S1.E11.m1.2"><semantics id="S1.E11.m1.2a"><mrow id="S1.E11.m1.2b"><mo id="S1.E11.m1.2.3" rspace="0.167em">∥</mo><mi id="S1.E11.m1.1.1">v</mi><msub id="S1.E11.m1.2.4"><mo id="S1.E11.m1.2.4.2" lspace="0em" rspace="0.0835em">∥</mo><mi id="S1.E11.m1.2.4.3">G</mi></msub><mo id="S1.E11.m1.2.5" lspace="0.0835em" rspace="0.1389em">=</mo><mo id="S1.E11.m1.2.6" lspace="0.1389em" movablelimits="false" rspace="0em">inf</mo><mrow id="S1.E11.m1.2.7"><mo id="S1.E11.m1.2.7.1" stretchy="false">{</mo><mo id="S1.E11.m1.2.7.2" lspace="0em" rspace="0.167em">∥</mo><mo fence="false" id="S1.E11.m1.2.7.3" rspace="0.167em" stretchy="false">|</mo><mi id="S1.E11.m1.2.2">m</mi><mo fence="false" id="S1.E11.m1.2.7.4" stretchy="false">|</mo><msub id="S1.E11.m1.2.7.5"><mo id="S1.E11.m1.2.7.5.2" lspace="0.167em" rspace="0.167em">∥</mo><msup id="S1.E11.m1.2.7.5.3"><mi id="S1.E11.m1.2.7.5.3.2">L</mi><mi id="S1.E11.m1.2.7.5.3.3" mathvariant="normal">∞</mi></msup></msub><mo id="S1.E11.m1.2.7.6" rspace="0.278em">:</mo><mi id="S1.E11.m1.2.7.7">v</mi><mo id="S1.E11.m1.2.7.8">=</mo><mi id="S1.E11.m1.2.7.9">div</mi><mrow id="S1.E11.m1.2.7.10"><mo id="S1.E11.m1.2.7.10.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S1.E11.m1.2.7.10.2">m</mi><mo id="S1.E11.m1.2.7.10.3" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S1.E11.m1.2.7.11" rspace="1.167em">,</mo><mi id="S1.E11.m1.2.7.12">m</mi><mo id="S1.E11.m1.2.7.13">∈</mo><msup id="S1.E11.m1.2.7.14"><mi id="S1.E11.m1.2.7.14.2">L</mi><mi id="S1.E11.m1.2.7.14.3" mathvariant="normal">∞</mi></msup><mrow id="S1.E11.m1.2.7.15"><mo id="S1.E11.m1.2.7.15.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S1.E11.m1.2.7.15.2" mathvariant="normal">Ω</mi><mo id="S1.E11.m1.2.7.15.3" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S1.E11.m1.2.7.16" stretchy="false">}</mo></mrow><mo id="S1.E11.m1.2.8">,</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.E11.m1.2c">\|v\|_{G}=\inf\{\||m|\|_{L^{\infty}}\ :v=\mathrm{div}(m),\quad m\in L^{\infty}% (\Omega)\},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.E11.m1.2d">∥ italic_v ∥ start_POSTSUBSCRIPT italic_G end_POSTSUBSCRIPT = roman_inf { ∥ | italic_m | ∥ start_POSTSUBSCRIPT italic_L start_POSTSUPERSCRIPT ∞ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT : italic_v = roman_div ( italic_m ) , italic_m ∈ italic_L start_POSTSUPERSCRIPT ∞ end_POSTSUPERSCRIPT ( roman_Ω ) } ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(11)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S1.p6.2">where <math alttext="|m|=\sqrt{m_{1}^{2}+m_{2}^{2}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p6.2.m1.1"><semantics id="S1.p6.2.m1.1a"><mrow id="S1.p6.2.m1.1.2" xref="S1.p6.2.m1.1.2.cmml"><mrow id="S1.p6.2.m1.1.2.2.2" xref="S1.p6.2.m1.1.2.2.1.cmml"><mo id="S1.p6.2.m1.1.2.2.2.1" stretchy="false" xref="S1.p6.2.m1.1.2.2.1.1.cmml">|</mo><mi id="S1.p6.2.m1.1.1" xref="S1.p6.2.m1.1.1.cmml">m</mi><mo id="S1.p6.2.m1.1.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S1.p6.2.m1.1.2.2.1.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S1.p6.2.m1.1.2.1" xref="S1.p6.2.m1.1.2.1.cmml">=</mo><msqrt id="S1.p6.2.m1.1.2.3" xref="S1.p6.2.m1.1.2.3.cmml"><mrow id="S1.p6.2.m1.1.2.3.2" xref="S1.p6.2.m1.1.2.3.2.cmml"><msubsup id="S1.p6.2.m1.1.2.3.2.2" xref="S1.p6.2.m1.1.2.3.2.2.cmml"><mi id="S1.p6.2.m1.1.2.3.2.2.2.2" xref="S1.p6.2.m1.1.2.3.2.2.2.2.cmml">m</mi><mn id="S1.p6.2.m1.1.2.3.2.2.2.3" xref="S1.p6.2.m1.1.2.3.2.2.2.3.cmml">1</mn><mn id="S1.p6.2.m1.1.2.3.2.2.3" xref="S1.p6.2.m1.1.2.3.2.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S1.p6.2.m1.1.2.3.2.1" xref="S1.p6.2.m1.1.2.3.2.1.cmml">+</mo><msubsup id="S1.p6.2.m1.1.2.3.2.3" xref="S1.p6.2.m1.1.2.3.2.3.cmml"><mi id="S1.p6.2.m1.1.2.3.2.3.2.2" xref="S1.p6.2.m1.1.2.3.2.3.2.2.cmml">m</mi><mn id="S1.p6.2.m1.1.2.3.2.3.2.3" xref="S1.p6.2.m1.1.2.3.2.3.2.3.cmml">2</mn><mn id="S1.p6.2.m1.1.2.3.2.3.3" xref="S1.p6.2.m1.1.2.3.2.3.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow></msqrt></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p6.2.m1.1b"><apply id="S1.p6.2.m1.1.2.cmml" xref="S1.p6.2.m1.1.2"><eq id="S1.p6.2.m1.1.2.1.cmml" xref="S1.p6.2.m1.1.2.1"></eq><apply id="S1.p6.2.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S1.p6.2.m1.1.2.2.2"><abs id="S1.p6.2.m1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S1.p6.2.m1.1.2.2.2.1"></abs><ci id="S1.p6.2.m1.1.1.cmml" xref="S1.p6.2.m1.1.1">𝑚</ci></apply><apply id="S1.p6.2.m1.1.2.3.cmml" xref="S1.p6.2.m1.1.2.3"><root id="S1.p6.2.m1.1.2.3a.cmml" xref="S1.p6.2.m1.1.2.3"></root><apply id="S1.p6.2.m1.1.2.3.2.cmml" xref="S1.p6.2.m1.1.2.3.2"><plus id="S1.p6.2.m1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S1.p6.2.m1.1.2.3.2.1"></plus><apply id="S1.p6.2.m1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S1.p6.2.m1.1.2.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p6.2.m1.1.2.3.2.2.1.cmml" xref="S1.p6.2.m1.1.2.3.2.2">superscript</csymbol><apply id="S1.p6.2.m1.1.2.3.2.2.2.cmml" xref="S1.p6.2.m1.1.2.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p6.2.m1.1.2.3.2.2.2.1.cmml" xref="S1.p6.2.m1.1.2.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S1.p6.2.m1.1.2.3.2.2.2.2.cmml" xref="S1.p6.2.m1.1.2.3.2.2.2.2">𝑚</ci><cn id="S1.p6.2.m1.1.2.3.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S1.p6.2.m1.1.2.3.2.2.2.3">1</cn></apply><cn id="S1.p6.2.m1.1.2.3.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S1.p6.2.m1.1.2.3.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S1.p6.2.m1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S1.p6.2.m1.1.2.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p6.2.m1.1.2.3.2.3.1.cmml" xref="S1.p6.2.m1.1.2.3.2.3">superscript</csymbol><apply id="S1.p6.2.m1.1.2.3.2.3.2.cmml" xref="S1.p6.2.m1.1.2.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p6.2.m1.1.2.3.2.3.2.1.cmml" xref="S1.p6.2.m1.1.2.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S1.p6.2.m1.1.2.3.2.3.2.2.cmml" xref="S1.p6.2.m1.1.2.3.2.3.2.2">𝑚</ci><cn id="S1.p6.2.m1.1.2.3.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S1.p6.2.m1.1.2.3.2.3.2.3">2</cn></apply><cn id="S1.p6.2.m1.1.2.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S1.p6.2.m1.1.2.3.2.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p6.2.m1.1c">|m|=\sqrt{m_{1}^{2}+m_{2}^{2}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p6.2.m1.1d">| italic_m | = square-root start_ARG italic_m start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_m start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math>. Meyer proposed the following image decomposition model <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib36" title="">meyeroscillating </a></cite></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S1.E12"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\inf_{(u,v)\in BV\times G}\left\{\int_{\Omega}|\nabla u|+\lambda\|v\|_{G}:% \quad f=u+v\right\}," class="ltx_math_unparsed" display="block" id="S1.E12.m1.4"><semantics id="S1.E12.m1.4a"><mrow id="S1.E12.m1.4b"><munder id="S1.E12.m1.4.5"><mo id="S1.E12.m1.4.5.2" movablelimits="false">inf</mo><mrow id="S1.E12.m1.2.2.2"><mrow id="S1.E12.m1.2.2.2.4.2"><mo id="S1.E12.m1.2.2.2.4.2.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S1.E12.m1.1.1.1.1">u</mi><mo id="S1.E12.m1.2.2.2.4.2.2">,</mo><mi id="S1.E12.m1.2.2.2.2">v</mi><mo id="S1.E12.m1.2.2.2.4.2.3" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S1.E12.m1.2.2.2.3">∈</mo><mrow id="S1.E12.m1.2.2.2.5"><mrow id="S1.E12.m1.2.2.2.5.2"><mi id="S1.E12.m1.2.2.2.5.2.2">B</mi><mo id="S1.E12.m1.2.2.2.5.2.1">⁢</mo><mi id="S1.E12.m1.2.2.2.5.2.3">V</mi></mrow><mo id="S1.E12.m1.2.2.2.5.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em">×</mo><mi id="S1.E12.m1.2.2.2.5.3">G</mi></mrow></mrow></munder><mrow id="S1.E12.m1.4.6"><mo id="S1.E12.m1.4.6.1" lspace="0em">{</mo><msub id="S1.E12.m1.4.6.2"><mo id="S1.E12.m1.4.6.2.2" lspace="0em" rspace="0em">∫</mo><mi id="S1.E12.m1.4.6.2.3" mathvariant="normal">Ω</mi></msub><mo fence="false" id="S1.E12.m1.4.6.3" rspace="0.167em" stretchy="false">|</mo><mo id="S1.E12.m1.4.6.4" rspace="0.167em">∇</mo><mi id="S1.E12.m1.4.6.5">u</mi><mo fence="false" id="S1.E12.m1.4.6.6" stretchy="false">|</mo><mo id="S1.E12.m1.4.6.7" lspace="0em">+</mo><mi id="S1.E12.m1.4.6.8">λ</mi><mo id="S1.E12.m1.4.6.9" lspace="0em" rspace="0.167em">∥</mo><mi id="S1.E12.m1.4.4">v</mi><msub id="S1.E12.m1.4.6.10"><mo id="S1.E12.m1.4.6.10.2" lspace="0em" rspace="0.167em">∥</mo><mi id="S1.E12.m1.3.3.1">G</mi></msub><mo id="S1.E12.m1.4.6.11">:</mo><mspace id="S1.E12.m1.4.6.12" width="1.278em"></mspace><mi id="S1.E12.m1.4.6.13">f</mi><mo id="S1.E12.m1.4.6.14">=</mo><mi id="S1.E12.m1.4.6.15">u</mi><mo id="S1.E12.m1.4.6.16">+</mo><mi id="S1.E12.m1.4.6.17">v</mi><mo id="S1.E12.m1.4.6.18">}</mo></mrow><mo id="S1.E12.m1.4.7">,</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.E12.m1.4c">\inf_{(u,v)\in BV\times G}\left\{\int_{\Omega}|\nabla u|+\lambda\|v\|_{G}:% \quad f=u+v\right\},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.E12.m1.4d">roman_inf start_POSTSUBSCRIPT ( italic_u , italic_v ) ∈ italic_B italic_V × italic_G end_POSTSUBSCRIPT { ∫ start_POSTSUBSCRIPT roman_Ω end_POSTSUBSCRIPT | ∇ italic_u | + italic_λ ∥ italic_v ∥ start_POSTSUBSCRIPT italic_G end_POSTSUBSCRIPT : italic_f = italic_u + italic_v } ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(12)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S1.p6.4">where the component <math alttext="u" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p6.3.m1.1"><semantics id="S1.p6.3.m1.1a"><mi id="S1.p6.3.m1.1.1" xref="S1.p6.3.m1.1.1.cmml">u</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p6.3.m1.1b"><ci id="S1.p6.3.m1.1.1.cmml" xref="S1.p6.3.m1.1.1">𝑢</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p6.3.m1.1c">u</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p6.3.m1.1d">italic_u</annotation></semantics></math> represents cartoon, and the component <math alttext="v" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p6.4.m2.1"><semantics id="S1.p6.4.m2.1a"><mi id="S1.p6.4.m2.1.1" xref="S1.p6.4.m2.1.1.cmml">v</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p6.4.m2.1b"><ci id="S1.p6.4.m2.1.1.cmml" xref="S1.p6.4.m2.1.1">𝑣</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p6.4.m2.1c">v</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p6.4.m2.1d">italic_v</annotation></semantics></math> depicts texture or noise.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p7"> <p class="ltx_p" id="S1.p7.2">In this paper, we propose a new image restoration model that makes use of optimal transport and total variation. The proposed model combines the total variation with the dual Lipschitz norm defined by the Wasserstein-1 distance, which has connections with the <math alttext="G" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p7.1.m1.1"><semantics id="S1.p7.1.m1.1a"><mi id="S1.p7.1.m1.1.1" xref="S1.p7.1.m1.1.1.cmml">G</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p7.1.m1.1b"><ci id="S1.p7.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.p7.1.m1.1.1">𝐺</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p7.1.m1.1c">G</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p7.1.m1.1d">italic_G</annotation></semantics></math>-norm for capturing oscillating patterns in cartoon and texture image decomposition. In our model, as in ROF, the total variation is used to capture objects of large scales, while the Wasserstein-1 distance, as a fidelity term, helps to keep some fine details like textures as the <math alttext="G" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p7.2.m2.1"><semantics id="S1.p7.2.m2.1a"><mi id="S1.p7.2.m2.1.1" xref="S1.p7.2.m2.1.1.cmml">G</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p7.2.m2.1b"><ci id="S1.p7.2.m2.1.1.cmml" xref="S1.p7.2.m2.1.1">𝐺</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p7.2.m2.1c">G</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p7.2.m2.1d">italic_G</annotation></semantics></math>-norm. In this work, we offer the analytical study of the proposed model based on the link between our model and the functional proposed by Vese and Osher in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib51" title="">vese2003modeling </a></cite> to approximate Meyer’s model (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S1.E12" title="In 1 Introduction ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">12</span></a>), as generalizations of the results in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib36" title="">meyeroscillating </a>; <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib39" title="">osher2003image </a>; <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib31" title="">2005ImageBMO </a></cite>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p8"> <p class="ltx_p" id="S1.p8.1">To minimize the proposed functional, we design a numerical algorithm based on algorithms for the Wasserstein-1 distance and the ROF model. In fact, many efficient TV minimization algorithms have been proposed including the augmented Lagrangian method (ALM) <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib54" title="">2017Augmented </a></cite>, the primal-dual algorithm of Chambolle and Pock <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib14" title="">2011A </a></cite>, the fast shrinkage thresholding algorithm (FISTA) <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib5" title="">2009A </a></cite>, Chambolle’s projection algorithm <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib13" title="">2004cha </a></cite>, etc. The special type of Wasserstein-1 distance can be computed based on the Primal-Dual Hybrid Gradient (PDHG) algorithm in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib33" title="">2016A </a>; <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib35" title="">2021MULTILEVEL </a>; <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib45" title="">2017Vector </a></cite>. Inspired by a numerical approach for the G-TV model <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib2" title="">2005Image </a></cite>, we solve the proposed model by minimizing a convex functional alternately in each variable and establish the convergence analysis of the proposed algorithm.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p9"> <p class="ltx_p" id="S1.p9.1">Moreover, in this paper, we extend our model by employing a variant of total variation developed in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib61" title="">zhu </a></cite>, aiming to suppress the staircasing effect and preserve image contrasts.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p10"> <p class="ltx_p" id="S1.p10.1">The contribution of this work is summarized as follows:</p> <ol class="ltx_enumerate" id="S1.I1"> <li class="ltx_item" id="S1.I1.i1" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">1.</span> <div class="ltx_para" id="S1.I1.i1.p1"> <p class="ltx_p" id="S1.I1.i1.p1.1">We propose image restoration models that make use of optimal transport and total variation regularization, and provide the analytical study of the proposed models based on the relation between the dual Lipschitz norm and the <math alttext="G" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.I1.i1.p1.1.m1.1"><semantics id="S1.I1.i1.p1.1.m1.1a"><mi id="S1.I1.i1.p1.1.m1.1.1" xref="S1.I1.i1.p1.1.m1.1.1.cmml">G</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.I1.i1.p1.1.m1.1b"><ci id="S1.I1.i1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.I1.i1.p1.1.m1.1.1">𝐺</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.I1.i1.p1.1.m1.1c">G</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.I1.i1.p1.1.m1.1d">italic_G</annotation></semantics></math>-norm proposed by Yves Meyer <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib36" title="">meyeroscillating </a></cite>.</p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S1.I1.i2" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">2.</span> <div class="ltx_para" id="S1.I1.i2.p1"> <p class="ltx_p" id="S1.I1.i2.p1.1">We construct numerical methods to solve the proposed models, and establish the convergence analysis of the proposed algorithm.</p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S1.I1.i3" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">3.</span> <div class="ltx_para" id="S1.I1.i3.p1"> <p class="ltx_p" id="S1.I1.i3.p1.1">We present experimental results to demonstrate the features of the proposed models, and apply a modification of total variation <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib61" title="">zhu </a></cite> as regularization in order to promote image contrasts and suppress staircasing effect for image denoising.</p> </div> </li> </ol> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p11"> <p class="ltx_p" id="S1.p11.1">The rest of this paper is organized as follows. In Sect. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S2" title="2 Related work ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>, we review the theory of optimal transport and Meyer’s <math alttext="G" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p11.1.m1.1"><semantics id="S1.p11.1.m1.1a"><mi id="S1.p11.1.m1.1.1" xref="S1.p11.1.m1.1.1.cmml">G</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p11.1.m1.1b"><ci id="S1.p11.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.p11.1.m1.1.1">𝐺</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p11.1.m1.1c">G</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p11.1.m1.1d">italic_G</annotation></semantics></math>-TV model. In Sect. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S3" title="3 The Proposed Image Restoration Models ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a>, we present our image restoration models and then discuss the theoretical results of the proposed models. In Sect. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S4" title="4 Numerical Algorithm ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4</span></a>, we develop a numerical procedure for the proposed models and present the convergence analysis of the proposed algorithms. Numerical results are presented in Sect. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S5" title="5 Numerical Experiments ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">5</span></a> by applying the proposed models for real images. Finally, we draw some conclusions in Sect. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S6" title="6 Conclusion ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">6</span></a>.</p> </div> </section> <section class="ltx_section" id="S2"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">2 </span>Related work</h2> <section class="ltx_subsection" id="S2.SS1"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">2.1 </span>Optimal Transport</h3> <div class="ltx_para" id="S2.SS1.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p1.1">The computation of the Kantorovitch problem (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S1.E3" title="In 1 Introduction ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a>) involves the solution of a linear program (LP) whose cost is prohibitive whenever the distribution’s dimension <math alttext="n" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.1.m1.1"><semantics id="S2.SS1.p1.1.m1.1a"><mi id="S2.SS1.p1.1.m1.1.1" xref="S2.SS1.p1.1.m1.1.1.cmml">n</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.1.m1.1b"><ci id="S2.SS1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.1.m1.1.1">𝑛</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.1.m1.1c">n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.1.m1.1d">italic_n</annotation></semantics></math> becomes large <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib16" title="">cuturi2013sinkhorn </a></cite>. A variety of algorithms have been proposed <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib41" title="">Peyr2019Computational </a></cite>. In <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib16" title="">cuturi2013sinkhorn </a></cite>, Cuturi proposed to approximate the optimal transport problems by adding an entropic regularization term and the resulting problem can be computed through Sinkhorn fixed-point algorithm, which is generalized to unbalanced optimal transport <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib15" title="">Chizat2018Scaling </a></cite>. An inexact proximal point method for OT problem (IPOT) was developed in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib55" title="">pmlr-v115-xie20b </a></cite> which converges to the exact Wasserstein distance. The model (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S1.E2" title="In 1 Introduction ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>) is a variational problem that involves the Wasserstein distances and TV regularization, which can be solved by a computational framework proposed by Cuturi and Peyer in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib17" title="">2015A </a></cite>. Xie et al. introduced the random block coordinate descent (RBCD) methods <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib56" title="">xie2024randomized </a></cite> to directly solve this large-scale LP problem.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS1.p2"> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p2.1">Benamou and Brenier proposed a dynamical formulation <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib6" title="">2000A </a></cite> for the Monge-Kantorovitch problem <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib42" title="">rachev2006mass </a></cite> within a fluid mechanics framework:</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E13"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\begin{split}&W_{p}(\mu,\nu)^{p}=\mathrm{inf}_{\rho,v\in C^{0}}\int_{\Omega}% \int_{0}^{1}\rho(t,x)|v(t,x)|^{p}dtdx,\\ &s.t.\quad C^{0}=\left\{(\rho,v):\partial_{t}\rho+\mathrm{div}_{x}(\rho v)=0,% \quad\rho(0,\cdot)=\mu,\quad\rho(1,\cdot)=\nu\right\}.\end{split}" class="ltx_math_unparsed" display="block" id="S2.E13.m1.83"><semantics id="S2.E13.m1.83a"><mtable columnspacing="0pt" displaystyle="true" id="S2.E13.m1.83.83.1" rowspacing="0pt"><mtr id="S2.E13.m1.83.83.1a"><mtd id="S2.E13.m1.83.83.1b"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S2.E13.m1.83.83.1c"><mrow id="S2.E13.m1.83.83.1.83.37.37.37"><mrow id="S2.E13.m1.83.83.1.83.37.37.37.1"><mrow id="S2.E13.m1.83.83.1.83.37.37.37.1.2"><msub id="S2.E13.m1.83.83.1.83.37.37.37.1.2.2"><mi id="S2.E13.m1.1.1.1.1.1.1">W</mi><mi id="S2.E13.m1.2.2.2.2.2.2.1">p</mi></msub><mo id="S2.E13.m1.83.83.1.83.37.37.37.1.2.1">⁢</mo><msup id="S2.E13.m1.83.83.1.83.37.37.37.1.2.3"><mrow id="S2.E13.m1.83.83.1.83.37.37.37.1.2.3.2"><mo id="S2.E13.m1.3.3.3.3.3.3" stretchy="false">(</mo><mi id="S2.E13.m1.4.4.4.4.4.4">μ</mi><mo id="S2.E13.m1.5.5.5.5.5.5">,</mo><mi id="S2.E13.m1.6.6.6.6.6.6">ν</mi><mo id="S2.E13.m1.7.7.7.7.7.7" stretchy="false">)</mo></mrow><mi id="S2.E13.m1.8.8.8.8.8.8.1">p</mi></msup></mrow><mo id="S2.E13.m1.9.9.9.9.9.9">=</mo><mrow id="S2.E13.m1.83.83.1.83.37.37.37.1.1"><msub id="S2.E13.m1.83.83.1.83.37.37.37.1.1.3"><mi id="S2.E13.m1.10.10.10.10.10.10">inf</mi><mrow id="S2.E13.m1.11.11.11.11.11.11.1"><mrow id="S2.E13.m1.11.11.11.11.11.11.1.4.2"><mi id="S2.E13.m1.11.11.11.11.11.11.1.1">ρ</mi><mo id="S2.E13.m1.11.11.11.11.11.11.1.4.2.1">,</mo><mi id="S2.E13.m1.11.11.11.11.11.11.1.2">v</mi></mrow><mo id="S2.E13.m1.11.11.11.11.11.11.1.3">∈</mo><msup id="S2.E13.m1.11.11.11.11.11.11.1.5"><mi id="S2.E13.m1.11.11.11.11.11.11.1.5.2">C</mi><mn id="S2.E13.m1.11.11.11.11.11.11.1.5.3">0</mn></msup></mrow></msub><mo id="S2.E13.m1.83.83.1.83.37.37.37.1.1.2">⁢</mo><mrow id="S2.E13.m1.83.83.1.83.37.37.37.1.1.1"><msub id="S2.E13.m1.83.83.1.83.37.37.37.1.1.1.2"><mo id="S2.E13.m1.12.12.12.12.12.12" rspace="0em">∫</mo><mi id="S2.E13.m1.13.13.13.13.13.13.1" mathvariant="normal">Ω</mi></msub><mrow id="S2.E13.m1.83.83.1.83.37.37.37.1.1.1.1"><msubsup id="S2.E13.m1.83.83.1.83.37.37.37.1.1.1.1.2"><mo id="S2.E13.m1.14.14.14.14.14.14">∫</mo><mn id="S2.E13.m1.15.15.15.15.15.15.1">0</mn><mn id="S2.E13.m1.16.16.16.16.16.16.1">1</mn></msubsup><mrow id="S2.E13.m1.83.83.1.83.37.37.37.1.1.1.1.1"><mi id="S2.E13.m1.17.17.17.17.17.17">ρ</mi><mo id="S2.E13.m1.83.83.1.83.37.37.37.1.1.1.1.1.2">⁢</mo><mrow id="S2.E13.m1.83.83.1.83.37.37.37.1.1.1.1.1.3"><mo id="S2.E13.m1.18.18.18.18.18.18" stretchy="false">(</mo><mi id="S2.E13.m1.19.19.19.19.19.19">t</mi><mo id="S2.E13.m1.20.20.20.20.20.20">,</mo><mi id="S2.E13.m1.21.21.21.21.21.21">x</mi><mo id="S2.E13.m1.22.22.22.22.22.22" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S2.E13.m1.83.83.1.83.37.37.37.1.1.1.1.1.2a">⁢</mo><msup id="S2.E13.m1.83.83.1.83.37.37.37.1.1.1.1.1.1"><mrow id="S2.E13.m1.83.83.1.83.37.37.37.1.1.1.1.1.1.1.1"><mo id="S2.E13.m1.23.23.23.23.23.23" stretchy="false">|</mo><mrow id="S2.E13.m1.83.83.1.83.37.37.37.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><mi id="S2.E13.m1.24.24.24.24.24.24">v</mi><mo id="S2.E13.m1.83.83.1.83.37.37.37.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">⁢</mo><mrow id="S2.E13.m1.83.83.1.83.37.37.37.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><mo id="S2.E13.m1.25.25.25.25.25.25" stretchy="false">(</mo><mi id="S2.E13.m1.26.26.26.26.26.26">t</mi><mo id="S2.E13.m1.27.27.27.27.27.27">,</mo><mi id="S2.E13.m1.28.28.28.28.28.28">x</mi><mo id="S2.E13.m1.29.29.29.29.29.29" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E13.m1.30.30.30.30.30.30" stretchy="false">|</mo></mrow><mi id="S2.E13.m1.31.31.31.31.31.31.1">p</mi></msup><mo id="S2.E13.m1.83.83.1.83.37.37.37.1.1.1.1.1.2b" lspace="0em">⁢</mo><mrow id="S2.E13.m1.83.83.1.83.37.37.37.1.1.1.1.1.4"><mo id="S2.E13.m1.32.32.32.32.32.32" rspace="0em">𝑑</mo><mi id="S2.E13.m1.33.33.33.33.33.33">t</mi></mrow><mo id="S2.E13.m1.83.83.1.83.37.37.37.1.1.1.1.1.2c" lspace="0em">⁢</mo><mrow id="S2.E13.m1.83.83.1.83.37.37.37.1.1.1.1.1.5"><mo id="S2.E13.m1.34.34.34.34.34.34" rspace="0em">𝑑</mo><mi id="S2.E13.m1.35.35.35.35.35.35">x</mi></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E13.m1.36.36.36.36.36.36">,</mo></mrow></mtd></mtr><mtr id="S2.E13.m1.83.83.1d"><mtd id="S2.E13.m1.83.83.1e"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S2.E13.m1.83.83.1f"><mrow id="S2.E13.m1.82.82.82.46.46"><mi id="S2.E13.m1.37.37.37.1.1.1">s</mi><mo id="S2.E13.m1.38.38.38.2.2.2" lspace="0em" rspace="0.167em">.</mo><mi id="S2.E13.m1.39.39.39.3.3.3">t</mi><mo id="S2.E13.m1.40.40.40.4.4.4" lspace="0em">.</mo><mspace id="S2.E13.m1.82.82.82.46.46.47" width="1.167em"></mspace><msup id="S2.E13.m1.82.82.82.46.46.48"><mi id="S2.E13.m1.41.41.41.5.5.5">C</mi><mn id="S2.E13.m1.42.42.42.6.6.6.1">0</mn></msup><mo id="S2.E13.m1.43.43.43.7.7.7">=</mo><mrow id="S2.E13.m1.82.82.82.46.46.49"><mo id="S2.E13.m1.44.44.44.8.8.8">{</mo><mrow id="S2.E13.m1.82.82.82.46.46.49.1"><mo id="S2.E13.m1.45.45.45.9.9.9" stretchy="false">(</mo><mi id="S2.E13.m1.46.46.46.10.10.10">ρ</mi><mo id="S2.E13.m1.47.47.47.11.11.11">,</mo><mi id="S2.E13.m1.48.48.48.12.12.12">v</mi><mo id="S2.E13.m1.49.49.49.13.13.13" rspace="0.278em" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S2.E13.m1.50.50.50.14.14.14">:</mo><msub id="S2.E13.m1.82.82.82.46.46.49.2"><mo id="S2.E13.m1.51.51.51.15.15.15" lspace="0.111em" rspace="0em">∂</mo><mi id="S2.E13.m1.52.52.52.16.16.16.1">t</mi></msub><mi id="S2.E13.m1.53.53.53.17.17.17">ρ</mi><mo id="S2.E13.m1.54.54.54.18.18.18">+</mo><msub id="S2.E13.m1.82.82.82.46.46.49.3"><mi id="S2.E13.m1.55.55.55.19.19.19">div</mi><mi id="S2.E13.m1.56.56.56.20.20.20.1">x</mi></msub><mrow id="S2.E13.m1.82.82.82.46.46.49.4"><mo id="S2.E13.m1.57.57.57.21.21.21" stretchy="false">(</mo><mi id="S2.E13.m1.58.58.58.22.22.22">ρ</mi><mi id="S2.E13.m1.59.59.59.23.23.23">v</mi><mo id="S2.E13.m1.60.60.60.24.24.24" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S2.E13.m1.61.61.61.25.25.25">=</mo><mn id="S2.E13.m1.62.62.62.26.26.26">0</mn><mo id="S2.E13.m1.63.63.63.27.27.27" rspace="1.167em">,</mo><mi id="S2.E13.m1.64.64.64.28.28.28">ρ</mi><mrow id="S2.E13.m1.82.82.82.46.46.49.5"><mo id="S2.E13.m1.65.65.65.29.29.29" stretchy="false">(</mo><mn id="S2.E13.m1.66.66.66.30.30.30">0</mn><mo id="S2.E13.m1.67.67.67.31.31.31" rspace="0em">,</mo><mo id="S2.E13.m1.68.68.68.32.32.32" lspace="0em" rspace="0em">⋅</mo><mo id="S2.E13.m1.69.69.69.33.33.33" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S2.E13.m1.70.70.70.34.34.34">=</mo><mi id="S2.E13.m1.71.71.71.35.35.35">μ</mi><mo id="S2.E13.m1.72.72.72.36.36.36" rspace="1.167em">,</mo><mi id="S2.E13.m1.73.73.73.37.37.37">ρ</mi><mrow id="S2.E13.m1.82.82.82.46.46.49.6"><mo id="S2.E13.m1.74.74.74.38.38.38" stretchy="false">(</mo><mn id="S2.E13.m1.75.75.75.39.39.39">1</mn><mo id="S2.E13.m1.76.76.76.40.40.40" rspace="0em">,</mo><mo id="S2.E13.m1.77.77.77.41.41.41" lspace="0em" rspace="0em">⋅</mo><mo id="S2.E13.m1.78.78.78.42.42.42" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S2.E13.m1.79.79.79.43.43.43">=</mo><mi id="S2.E13.m1.80.80.80.44.44.44">ν</mi><mo id="S2.E13.m1.81.81.81.45.45.45">}</mo></mrow><mo id="S2.E13.m1.82.82.82.46.46.46" lspace="0em">.</mo></mrow></mtd></mtr></mtable><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E13.m1.83b">\begin{split}&W_{p}(\mu,\nu)^{p}=\mathrm{inf}_{\rho,v\in C^{0}}\int_{\Omega}% \int_{0}^{1}\rho(t,x)|v(t,x)|^{p}dtdx,\\ &s.t.\quad C^{0}=\left\{(\rho,v):\partial_{t}\rho+\mathrm{div}_{x}(\rho v)=0,% \quad\rho(0,\cdot)=\mu,\quad\rho(1,\cdot)=\nu\right\}.\end{split}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E13.m1.83c">start_ROW start_CELL end_CELL start_CELL italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT ( italic_μ , italic_ν ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_p end_POSTSUPERSCRIPT = roman_inf start_POSTSUBSCRIPT italic_ρ , italic_v ∈ italic_C start_POSTSUPERSCRIPT 0 end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ∫ start_POSTSUBSCRIPT roman_Ω end_POSTSUBSCRIPT ∫ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_ρ ( italic_t , italic_x ) | italic_v ( italic_t , italic_x ) | start_POSTSUPERSCRIPT italic_p end_POSTSUPERSCRIPT italic_d italic_t italic_d italic_x , end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL end_CELL start_CELL italic_s . italic_t . italic_C start_POSTSUPERSCRIPT 0 end_POSTSUPERSCRIPT = { ( italic_ρ , italic_v ) : ∂ start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT italic_ρ + roman_div start_POSTSUBSCRIPT italic_x end_POSTSUBSCRIPT ( italic_ρ italic_v ) = 0 , italic_ρ ( 0 , ⋅ ) = italic_μ , italic_ρ ( 1 , ⋅ ) = italic_ν } . end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(13)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p2.2">Recently, Gangbo et al. <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib19" title="">2019Unnormalized </a></cite> proposed an extension for this fluid mechanics approach, enabling optimal transport of unnormalized and unequal masses. Gau et al. <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib20" title="">Gao_2023 </a></cite> proposed a variational model based on dynamic optimal transport for computerized tomography reconstruction.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS1.p3"> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p3.2">The Kantorovich dual problem of (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S1.E3" title="In 1 Introduction ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a>) is</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E14"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="W_{p}(\mu,\nu)=\left(\sup_{\phi,\psi}\left\{\int_{\Omega}\phi d\mu+\int_{% \Omega}\psi d\nu:\phi(x)+\psi(y)\leq|x-y|^{p},\quad\forall x,y\in\Omega\right% \}\right)^{1/p}." class="ltx_Math" display="block" id="S2.E14.m1.7"><semantics id="S2.E14.m1.7a"><mrow id="S2.E14.m1.7.7.1" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.cmml"><mrow id="S2.E14.m1.7.7.1.1" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.cmml"><mrow id="S2.E14.m1.7.7.1.1.3" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.3.cmml"><msub id="S2.E14.m1.7.7.1.1.3.2" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.E14.m1.7.7.1.1.3.2.2" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.3.2.2.cmml">W</mi><mi id="S2.E14.m1.7.7.1.1.3.2.3" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.3.2.3.cmml">p</mi></msub><mo id="S2.E14.m1.7.7.1.1.3.1" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E14.m1.7.7.1.1.3.3.2" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="S2.E14.m1.7.7.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S2.E14.m1.3.3" xref="S2.E14.m1.3.3.cmml">μ</mi><mo id="S2.E14.m1.7.7.1.1.3.3.2.2" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.E14.m1.4.4" xref="S2.E14.m1.4.4.cmml">ν</mi><mo id="S2.E14.m1.7.7.1.1.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E14.m1.7.7.1.1.2" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.2.cmml">=</mo><msup id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml"><munder id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.2" lspace="0em" movablelimits="false" rspace="0em" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">sup</mo><mrow id="S2.E14.m1.2.2.2.4" xref="S2.E14.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.E14.m1.1.1.1.1" xref="S2.E14.m1.1.1.1.1.cmml">ϕ</mi><mo id="S2.E14.m1.2.2.2.4.1" xref="S2.E14.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.E14.m1.2.2.2.2" xref="S2.E14.m1.2.2.2.2.cmml">ψ</mi></mrow></munder><mrow id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">{</mo><mrow id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml"><mo id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.2" lspace="0em" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.cmml">∫</mo><mi id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.3" mathvariant="normal" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.cmml">Ω</mi></msub><mrow id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1" lspace="0em" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1" rspace="0em" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">μ</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" rspace="0.055em" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.cmml">∫</mo><mi id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.3" mathvariant="normal" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.3.cmml">Ω</mi></msub><mrow id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">ψ</mi><mo id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" lspace="0em" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mo id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1" rspace="0em" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">ν</mi></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.4" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">:</mo><mrow id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml"><mrow id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.4" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.4.cmml"><mrow id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.4.2" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.4.2.cmml"><mi id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.4.2.2" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.4.2.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.4.2.1" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.4.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.4.2.3.2" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.4.2.cmml"><mo id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.4.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.4.2.cmml">(</mo><mi id="S2.E14.m1.5.5" xref="S2.E14.m1.5.5.cmml">x</mi><mo id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.4.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.4.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.4.1" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.4.1.cmml">+</mo><mrow id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.4.3" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.4.3.cmml"><mi id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.4.3.2" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.4.3.2.cmml">ψ</mi><mo id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.4.3.1" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.4.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.4.3.3.2" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.4.3.cmml"><mo id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.4.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.4.3.cmml">(</mo><mi id="S2.E14.m1.6.6" xref="S2.E14.m1.6.6.cmml">y</mi><mo id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.4.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.4.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.cmml">≤</mo><mrow id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.2" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.3.cmml"><msup id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1" 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id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.2.3" rspace="1.167em" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.cmml"><mo id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.1" rspace="0.167em" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.1.cmml">∀</mo><mi id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.2" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.2.cmml">x</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml">y</mi><mo id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml">∈</mo><mi id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3" mathvariant="normal" 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id="S2.E14.m1.7.7.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E14.m1.7.7.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E14.m1.7.7.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.3.2.2">𝑊</ci><ci id="S2.E14.m1.7.7.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.3.2.3">𝑝</ci></apply><interval closure="open" id="S2.E14.m1.7.7.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.3.3.2"><ci id="S2.E14.m1.3.3.cmml" xref="S2.E14.m1.3.3">𝜇</ci><ci id="S2.E14.m1.4.4.cmml" xref="S2.E14.m1.4.4">𝜈</ci></interval></apply><apply id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.cmml" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1"><apply id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.2">supremum</csymbol><list id="S2.E14.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E14.m1.2.2.2.4"><ci id="S2.E14.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E14.m1.1.1.1.1">italic-ϕ</ci><ci id="S2.E14.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E14.m1.2.2.2.2">𝜓</ci></list></apply><apply id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.3">conditional-set</csymbol><apply id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><apply id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1">subscript</csymbol><int id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.2"></int><ci id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.cmml" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.3">Ω</ci></apply><apply id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><times id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1"></times><ci id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">italic-ϕ</ci><apply id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="latexml" id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1">differential-d</csymbol><ci id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝜇</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><apply id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1">subscript</csymbol><int id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.cmml" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2"></int><ci id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.3.cmml" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.3">Ω</ci></apply><apply id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><times id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1"></times><ci id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝜓</ci><apply id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="latexml" id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1">differential-d</csymbol><ci id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2">𝜈</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3a.cmml" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.cmml" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1"><leq id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3"></leq><apply id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.4.cmml" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.4"><plus id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.4.1.cmml" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.4.1"></plus><apply id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.4.2.cmml" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.4.2"><times id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.4.2.1.cmml" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.4.2.1"></times><ci id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.4.2.2.cmml" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.4.2.2">italic-ϕ</ci><ci id="S2.E14.m1.5.5.cmml" xref="S2.E14.m1.5.5">𝑥</ci></apply><apply id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.4.3.cmml" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.4.3"><times id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.4.3.1.cmml" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.4.3.1"></times><ci id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.4.3.2.cmml" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.4.3.2">𝜓</ci><ci id="S2.E14.m1.6.6.cmml" xref="S2.E14.m1.6.6">𝑦</ci></apply></apply><list id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.2"><apply id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1"><abs id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2"></abs><apply id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑥</ci><ci id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑦</ci></apply></apply><ci id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.3">𝑝</ci></apply><apply id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.1">for-all</csymbol><ci id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.2">𝑥</ci></apply></list></apply><apply id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2"><in id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1"></in><ci id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2">𝑦</ci><ci id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3">Ω</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.3"><divide id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.3.1"></divide><cn id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.3.2">1</cn><ci id="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E14.m1.7.7.1.1.1.3.3">𝑝</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E14.m1.7c">W_{p}(\mu,\nu)=\left(\sup_{\phi,\psi}\left\{\int_{\Omega}\phi d\mu+\int_{% \Omega}\psi d\nu:\phi(x)+\psi(y)\leq|x-y|^{p},\quad\forall x,y\in\Omega\right% \}\right)^{1/p}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E14.m1.7d">italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT ( italic_μ , italic_ν ) = ( roman_sup start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ , italic_ψ end_POSTSUBSCRIPT { ∫ start_POSTSUBSCRIPT roman_Ω end_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ italic_d italic_μ + ∫ start_POSTSUBSCRIPT roman_Ω end_POSTSUBSCRIPT italic_ψ italic_d italic_ν : italic_ϕ ( italic_x ) + italic_ψ ( italic_y ) ≤ | italic_x - italic_y | start_POSTSUPERSCRIPT italic_p end_POSTSUPERSCRIPT , ∀ italic_x , italic_y ∈ roman_Ω } ) start_POSTSUPERSCRIPT 1 / italic_p end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(14)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p3.1">The cost is <math alttext="c(x,y)=|x-y|^{p}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p3.1.m1.3"><semantics id="S2.SS1.p3.1.m1.3a"><mrow id="S2.SS1.p3.1.m1.3.3" xref="S2.SS1.p3.1.m1.3.3.cmml"><mrow id="S2.SS1.p3.1.m1.3.3.3" xref="S2.SS1.p3.1.m1.3.3.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p3.1.m1.3.3.3.2" xref="S2.SS1.p3.1.m1.3.3.3.2.cmml">c</mi><mo id="S2.SS1.p3.1.m1.3.3.3.1" xref="S2.SS1.p3.1.m1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS1.p3.1.m1.3.3.3.3.2" xref="S2.SS1.p3.1.m1.3.3.3.3.1.cmml"><mo id="S2.SS1.p3.1.m1.3.3.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p3.1.m1.3.3.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S2.SS1.p3.1.m1.1.1" xref="S2.SS1.p3.1.m1.1.1.cmml">x</mi><mo id="S2.SS1.p3.1.m1.3.3.3.3.2.2" xref="S2.SS1.p3.1.m1.3.3.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.SS1.p3.1.m1.2.2" xref="S2.SS1.p3.1.m1.2.2.cmml">y</mi><mo id="S2.SS1.p3.1.m1.3.3.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.SS1.p3.1.m1.3.3.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.SS1.p3.1.m1.3.3.2" xref="S2.SS1.p3.1.m1.3.3.2.cmml">=</mo><msup id="S2.SS1.p3.1.m1.3.3.1" xref="S2.SS1.p3.1.m1.3.3.1.cmml"><mrow id="S2.SS1.p3.1.m1.3.3.1.1.1" xref="S2.SS1.p3.1.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mo id="S2.SS1.p3.1.m1.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p3.1.m1.3.3.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S2.SS1.p3.1.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p3.1.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p3.1.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S2.SS1.p3.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="S2.SS1.p3.1.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p3.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S2.SS1.p3.1.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="S2.SS1.p3.1.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml">y</mi></mrow><mo id="S2.SS1.p3.1.m1.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS1.p3.1.m1.3.3.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mi id="S2.SS1.p3.1.m1.3.3.1.3" xref="S2.SS1.p3.1.m1.3.3.1.3.cmml">p</mi></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p3.1.m1.3b"><apply id="S2.SS1.p3.1.m1.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p3.1.m1.3.3"><eq id="S2.SS1.p3.1.m1.3.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.1.m1.3.3.2"></eq><apply id="S2.SS1.p3.1.m1.3.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p3.1.m1.3.3.3"><times id="S2.SS1.p3.1.m1.3.3.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.1.m1.3.3.3.1"></times><ci id="S2.SS1.p3.1.m1.3.3.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.1.m1.3.3.3.2">𝑐</ci><interval closure="open" id="S2.SS1.p3.1.m1.3.3.3.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.1.m1.3.3.3.3.2"><ci id="S2.SS1.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.1.m1.1.1">𝑥</ci><ci id="S2.SS1.p3.1.m1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.1.m1.2.2">𝑦</ci></interval></apply><apply id="S2.SS1.p3.1.m1.3.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.1.m1.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p3.1.m1.3.3.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.1.m1.3.3.1">superscript</csymbol><apply id="S2.SS1.p3.1.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.1.m1.3.3.1.1.1"><abs id="S2.SS1.p3.1.m1.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.1.m1.3.3.1.1.1.2"></abs><apply id="S2.SS1.p3.1.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.1.m1.3.3.1.1.1.1"><minus id="S2.SS1.p3.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.1.m1.3.3.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S2.SS1.p3.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.1.m1.3.3.1.1.1.1.2">𝑥</ci><ci id="S2.SS1.p3.1.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p3.1.m1.3.3.1.1.1.1.3">𝑦</ci></apply></apply><ci id="S2.SS1.p3.1.m1.3.3.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p3.1.m1.3.3.1.3">𝑝</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p3.1.m1.3c">c(x,y)=|x-y|^{p}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p3.1.m1.3d">italic_c ( italic_x , italic_y ) = | italic_x - italic_y | start_POSTSUPERSCRIPT italic_p end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> and the c-transform <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib41" title="">Peyr2019Computational </a></cite> is defined as:</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E15"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\phi^{c}(y)=\inf_{x\in\Omega}c(x,y)-\phi(x),\forall y\in\Omega,\quad\psi^{c}(x% )=\inf_{y\in\Omega}c(x,y)-\psi(y),\forall x\in\Omega." class="ltx_Math" display="block" id="S2.E15.m1.9"><semantics id="S2.E15.m1.9a"><mrow id="S2.E15.m1.9.9.1"><mrow id="S2.E15.m1.9.9.1.1.2" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.2" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.2.cmml"><msup id="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.2.2" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.2" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.2.cmml">ϕ</mi><mi id="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.3" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.3.cmml">c</mi></msup><mo id="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.2.1" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.2.3.2" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.E15.m1.1.1" xref="S2.E15.m1.1.1.cmml">y</mi><mo id="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.1" rspace="0.1389em" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.3" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.cmml"><munder id="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.1" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.1.cmml"><mo id="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.1.2" lspace="0.1389em" movablelimits="false" rspace="0.167em" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.1.2.cmml">inf</mo><mrow id="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.1.3" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.1.3.cmml"><mi id="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.1.3.2" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.1.3.2.cmml">x</mi><mo id="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.1.3.1" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.1.3.1.cmml">∈</mo><mi id="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.1.3.3" mathvariant="normal" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.1.3.3.cmml">Ω</mi></mrow></munder><mrow id="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">c</mi><mo id="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.2.3.2" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml"><mo id="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S2.E15.m1.2.2" xref="S2.E15.m1.2.2.cmml">x</mi><mo id="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.2.3.2.2" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.E15.m1.3.3" xref="S2.E15.m1.3.3.cmml">y</mi><mo id="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.3.1" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mrow id="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.3.3" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.3.3.2" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.3.3.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.3.3.1" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.3.3.cmml"><mo id="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.3.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.3.3.cmml">(</mo><mi id="S2.E15.m1.4.4" xref="S2.E15.m1.4.4.cmml">x</mi><mo id="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.3.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.3.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.3" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.3.cmml"><mrow id="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.1.1" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.1" rspace="0.167em" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.1.cmml">∀</mo><mi id="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.2" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.2.cmml">y</mi></mrow><mo id="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.cmml">∈</mo><mi id="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.cmml">Ω</mi></mrow><mo id="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.3" rspace="1.167em" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.3.cmml"><mrow id="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2.cmml"><msup id="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2.2" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2.2.2" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.cmml">ψ</mi><mi id="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2.2.3" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2.2.3.cmml">c</mi></msup><mo id="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2.1" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2.3.2" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.E15.m1.5.5" xref="S2.E15.m1.5.5.cmml">x</mi><mo id="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1" rspace="0.1389em" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml"><munder id="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.1" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.1.cmml"><mo id="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.1.2" lspace="0.1389em" movablelimits="false" rspace="0.167em" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.1.2.cmml">inf</mo><mrow id="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.1.3" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.1.3.cmml"><mi id="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.1.3.2" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.1.3.2.cmml">y</mi><mo id="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.1.3.1" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.1.3.1.cmml">∈</mo><mi id="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.1.3.3" mathvariant="normal" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.1.3.3.cmml">Ω</mi></mrow></munder><mrow id="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.2" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.2.2" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.2.2.cmml">c</mi><mo id="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.2.1" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.2.3.2" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.2.3.1.cmml"><mo id="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S2.E15.m1.6.6" xref="S2.E15.m1.6.6.cmml">x</mi><mo id="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.2.3.2.2" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.E15.m1.7.7" xref="S2.E15.m1.7.7.cmml">y</mi><mo id="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.1" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml">−</mo><mrow id="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.3" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.3.2" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.3.2.cmml">ψ</mi><mo id="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.3.1" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.3.3.2" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml"><mo id="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml">(</mo><mi id="S2.E15.m1.8.8" xref="S2.E15.m1.8.8.cmml">y</mi><mo id="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.3" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mo id="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.1" rspace="0.167em" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml">∀</mo><mi id="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml">x</mi></mrow><mo id="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1.cmml">∈</mo><mi id="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.3" mathvariant="normal" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.3.cmml">Ω</mi></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E15.m1.9.9.1.2" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E15.m1.9b"><apply id="S2.E15.m1.9.9.1.1.3.cmml" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E15.m1.9.9.1.1.3a.cmml" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1"><eq id="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.2"><times id="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.2">italic-ϕ</ci><ci id="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.3">𝑐</ci></apply><ci id="S2.E15.m1.1.1.cmml" xref="S2.E15.m1.1.1">𝑦</ci></apply><apply id="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.3"><minus id="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.3.1"></minus><apply id="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.3.2"><apply id="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.1.1.cmml" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.1">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.1.2.cmml" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.1.2">infimum</csymbol><apply id="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.1.3.cmml" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.1.3"><in id="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.1.3.1.cmml" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.1.3.1"></in><ci id="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.1.3.2.cmml" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.1.3.2">𝑥</ci><ci id="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.1.3.3.cmml" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.1.3.3">Ω</ci></apply></apply><apply id="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.2"><times id="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.2.1"></times><ci id="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.2.2">𝑐</ci><interval closure="open" id="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.3.2.2.3.2"><ci id="S2.E15.m1.2.2.cmml" xref="S2.E15.m1.2.2">𝑥</ci><ci id="S2.E15.m1.3.3.cmml" xref="S2.E15.m1.3.3">𝑦</ci></interval></apply></apply><apply id="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.3.3"><times id="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.1.1.3.3.2">italic-ϕ</ci><ci id="S2.E15.m1.4.4.cmml" xref="S2.E15.m1.4.4">𝑥</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.3a.cmml" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.1.1"><in id="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.1"></in><apply id="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.1">for-all</csymbol><ci id="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.2.2">𝑦</ci></apply><ci id="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.1.1.3">Ω</ci></apply><apply id="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.3a.cmml" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1"><eq id="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1"></eq><apply id="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2"><times id="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2.1"></times><apply id="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2.2.2">𝜓</ci><ci id="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.2.2.3">𝑐</ci></apply><ci id="S2.E15.m1.5.5.cmml" xref="S2.E15.m1.5.5">𝑥</ci></apply><apply id="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3"><minus id="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.1"></minus><apply id="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2"><apply id="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.1.1.cmml" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.1">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.1.2.cmml" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.1.2">infimum</csymbol><apply id="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.1.3.cmml" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.1.3"><in id="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.1.3.1.cmml" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.1.3.1"></in><ci id="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.1.3.2.cmml" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.1.3.2">𝑦</ci><ci id="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.1.3.3.cmml" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.1.3.3">Ω</ci></apply></apply><apply id="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.2"><times id="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.2.1"></times><ci id="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.2.2">𝑐</ci><interval closure="open" id="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.2.3.2"><ci id="S2.E15.m1.6.6.cmml" xref="S2.E15.m1.6.6">𝑥</ci><ci id="S2.E15.m1.7.7.cmml" xref="S2.E15.m1.7.7">𝑦</ci></interval></apply></apply><apply id="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.3"><times id="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.3.1"></times><ci id="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.3.3.2">𝜓</ci><ci id="S2.E15.m1.8.8.cmml" xref="S2.E15.m1.8.8">𝑦</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2"><in id="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.1"></in><apply id="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.1">for-all</csymbol><ci id="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2">𝑥</ci></apply><ci id="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E15.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2.2.3">Ω</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E15.m1.9c">\phi^{c}(y)=\inf_{x\in\Omega}c(x,y)-\phi(x),\forall y\in\Omega,\quad\psi^{c}(x% )=\inf_{y\in\Omega}c(x,y)-\psi(y),\forall x\in\Omega.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E15.m1.9d">italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT italic_c end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_y ) = roman_inf start_POSTSUBSCRIPT italic_x ∈ roman_Ω end_POSTSUBSCRIPT italic_c ( italic_x , italic_y ) - italic_ϕ ( italic_x ) , ∀ italic_y ∈ roman_Ω , italic_ψ start_POSTSUPERSCRIPT italic_c end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_x ) = roman_inf start_POSTSUBSCRIPT italic_y ∈ roman_Ω end_POSTSUBSCRIPT italic_c ( italic_x , italic_y ) - italic_ψ ( italic_y ) , ∀ italic_x ∈ roman_Ω .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(15)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p3.3">Using (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S2.E15" title="In 2.1 Optimal Transport ‣ 2 Related work ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">15</span></a>), (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S2.E14" title="In 2.1 Optimal Transport ‣ 2 Related work ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">14</span></a>) can be reformulated as a convex program over a single potential,</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_eqnarray ltx_eqn_table" id="Sx1.EGx1"> <tbody id="S2.E16"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle W_{p}(\mu,\nu)^{p}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E16.m1.2"><semantics id="S2.E16.m1.2a"><mrow id="S2.E16.m1.2.3" xref="S2.E16.m1.2.3.cmml"><msub id="S2.E16.m1.2.3.2" xref="S2.E16.m1.2.3.2.cmml"><mi id="S2.E16.m1.2.3.2.2" xref="S2.E16.m1.2.3.2.2.cmml">W</mi><mi id="S2.E16.m1.2.3.2.3" xref="S2.E16.m1.2.3.2.3.cmml">p</mi></msub><mo id="S2.E16.m1.2.3.1" xref="S2.E16.m1.2.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S2.E16.m1.2.3.3" xref="S2.E16.m1.2.3.3.cmml"><mrow id="S2.E16.m1.2.3.3.2.2" xref="S2.E16.m1.2.3.3.2.1.cmml"><mo id="S2.E16.m1.2.3.3.2.2.1" stretchy="false" xref="S2.E16.m1.2.3.3.2.1.cmml">(</mo><mi id="S2.E16.m1.1.1" xref="S2.E16.m1.1.1.cmml">μ</mi><mo id="S2.E16.m1.2.3.3.2.2.2" xref="S2.E16.m1.2.3.3.2.1.cmml">,</mo><mi id="S2.E16.m1.2.2" xref="S2.E16.m1.2.2.cmml">ν</mi><mo id="S2.E16.m1.2.3.3.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.E16.m1.2.3.3.2.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S2.E16.m1.2.3.3.3" xref="S2.E16.m1.2.3.3.3.cmml">p</mi></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E16.m1.2b"><apply id="S2.E16.m1.2.3.cmml" xref="S2.E16.m1.2.3"><times id="S2.E16.m1.2.3.1.cmml" xref="S2.E16.m1.2.3.1"></times><apply id="S2.E16.m1.2.3.2.cmml" xref="S2.E16.m1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E16.m1.2.3.2.1.cmml" xref="S2.E16.m1.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E16.m1.2.3.2.2.cmml" xref="S2.E16.m1.2.3.2.2">𝑊</ci><ci id="S2.E16.m1.2.3.2.3.cmml" xref="S2.E16.m1.2.3.2.3">𝑝</ci></apply><apply id="S2.E16.m1.2.3.3.cmml" xref="S2.E16.m1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E16.m1.2.3.3.1.cmml" xref="S2.E16.m1.2.3.3">superscript</csymbol><interval closure="open" id="S2.E16.m1.2.3.3.2.1.cmml" xref="S2.E16.m1.2.3.3.2.2"><ci id="S2.E16.m1.1.1.cmml" xref="S2.E16.m1.1.1">𝜇</ci><ci id="S2.E16.m1.2.2.cmml" xref="S2.E16.m1.2.2">𝜈</ci></interval><ci id="S2.E16.m1.2.3.3.3.cmml" xref="S2.E16.m1.2.3.3.3">𝑝</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E16.m1.2c">\displaystyle W_{p}(\mu,\nu)^{p}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E16.m1.2d">italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT ( italic_μ , italic_ν ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_p end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\sup_{\psi}\int_{\Omega}\psi^{c}(x)d\mu(x)+\int_{\Omega}\psi(y)d% \nu(y)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E16.m2.4"><semantics id="S2.E16.m2.4a"><mrow id="S2.E16.m2.4.5" xref="S2.E16.m2.4.5.cmml"><mi id="S2.E16.m2.4.5.2" 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class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(16)</span></td> </tr></tbody> <tbody id="S2.E17"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\sup_{\phi}\int_{\Omega}\phi(x)d\mu(x)+\int_{\Omega}\phi^{c}(y)d% \nu(y)." class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E17.m1.5"><semantics id="S2.E17.m1.5a"><mrow id="S2.E17.m1.5.5.1" xref="S2.E17.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S2.E17.m1.5.5.1.1" xref="S2.E17.m1.5.5.1.1.cmml"><mi id="S2.E17.m1.5.5.1.1.2" xref="S2.E17.m1.5.5.1.1.2.cmml"></mi><mo id="S2.E17.m1.5.5.1.1.1" rspace="0.1389em" xref="S2.E17.m1.5.5.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.E17.m1.5.5.1.1.3" xref="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.2" xref="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.2.cmml"><munder id="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.2.1" xref="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.2.1.cmml"><mo id="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.2.1.2" lspace="0.1389em" movablelimits="false" rspace="0.167em" xref="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.2.1.2.cmml">sup</mo><mi id="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.2.1.3" xref="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.2.1.3.cmml">ϕ</mi></munder><mrow id="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.2.2" xref="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.2.2.1" xref="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.cmml"><msub id="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.2.2.1a" xref="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.cmml"><mo id="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2" xref="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.cmml">∫</mo><mi id="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.3" mathvariant="normal" xref="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.3.cmml">Ω</mi></msub></mstyle><mrow id="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.2.2.2" xref="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.cmml"><mi id="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2" xref="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.1" xref="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.3.2" xref="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.cmml"><mo id="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S2.E17.m1.1.1" xref="S2.E17.m1.1.1.cmml">x</mi><mo id="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.1a" lspace="0em" xref="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.4" xref="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.4.cmml"><mo id="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.4.1" rspace="0em" xref="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.4.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.4.2" xref="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.4.2.cmml">μ</mi></mrow><mo id="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.1b" xref="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.5.2" xref="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.cmml"><mo id="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.5.2.1" stretchy="false" xref="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S2.E17.m1.2.2" xref="S2.E17.m1.2.2.cmml">x</mi><mo id="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.5.2.2" stretchy="false" xref="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.1" xref="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.3" xref="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.3.1" xref="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.3.1.cmml"><msub id="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.3.1a" xref="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.3.1.2" xref="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.3.1.2.cmml">∫</mo><mi id="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.3.1.3" mathvariant="normal" xref="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.3.1.3.cmml">Ω</mi></msub></mstyle><mrow id="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.3.2" xref="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.3.2.cmml"><msup id="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.3.2.2" xref="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.3.2.2.cmml"><mi id="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.3.2.2.2" xref="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.3.2.2.2.cmml">ϕ</mi><mi id="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.3.2.2.3" xref="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.3.2.2.3.cmml">c</mi></msup><mo id="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.3.2.1" xref="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.3.2.3.2" xref="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.3.2.cmml"><mo id="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.3.2.cmml">(</mo><mi id="S2.E17.m1.3.3" xref="S2.E17.m1.3.3.cmml">y</mi><mo id="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.3.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.3.2.1a" lspace="0em" xref="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.3.2.4" xref="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.3.2.4.cmml"><mo id="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.3.2.4.1" rspace="0em" xref="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.3.2.4.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.3.2.4.2" xref="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.3.2.4.2.cmml">ν</mi></mrow><mo id="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.3.2.1b" xref="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.3.2.5.2" xref="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.3.2.cmml"><mo id="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.3.2.5.2.1" stretchy="false" xref="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.3.2.cmml">(</mo><mi id="S2.E17.m1.4.4" xref="S2.E17.m1.4.4.cmml">y</mi><mo id="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.3.2.5.2.2" stretchy="false" xref="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E17.m1.5.5.1.2" lspace="0em" xref="S2.E17.m1.5.5.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E17.m1.5b"><apply id="S2.E17.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S2.E17.m1.5.5.1"><eq id="S2.E17.m1.5.5.1.1.1.cmml" xref="S2.E17.m1.5.5.1.1.1"></eq><csymbol cd="latexml" id="S2.E17.m1.5.5.1.1.2.cmml" xref="S2.E17.m1.5.5.1.1.2">absent</csymbol><apply id="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.cmml" xref="S2.E17.m1.5.5.1.1.3"><plus id="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.1"></plus><apply id="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.2"><apply id="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.2.1.1.cmml" xref="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.2.1">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.2.1.2.cmml" xref="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.2.1.2">supremum</csymbol><ci id="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.2.1.3.cmml" xref="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.2.1.3">italic-ϕ</ci></apply><apply id="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.2.2"><apply id="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.1.cmml" xref="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.2.2.1">subscript</csymbol><int id="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2.cmml" xref="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.2"></int><ci id="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.3.cmml" xref="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.3">Ω</ci></apply><apply id="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.2.2.2"><times id="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.1"></times><ci id="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.2">italic-ϕ</ci><ci id="S2.E17.m1.1.1.cmml" xref="S2.E17.m1.1.1">𝑥</ci><apply id="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.4.cmml" xref="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.4"><csymbol cd="latexml" id="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.4.1.cmml" xref="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.4.1">differential-d</csymbol><ci id="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.4.2.cmml" xref="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.4.2">𝜇</ci></apply><ci id="S2.E17.m1.2.2.cmml" xref="S2.E17.m1.2.2">𝑥</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.3"><apply id="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.3.1.1.cmml" xref="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.3.1">subscript</csymbol><int id="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.3.1.2.cmml" xref="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.3.1.2"></int><ci id="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.3.1.3.cmml" xref="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.3.1.3">Ω</ci></apply><apply id="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.3.2"><times id="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.3.2.1"></times><apply id="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.3.2.2.1.cmml" xref="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.3.2.2">superscript</csymbol><ci id="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.3.2.2.2">italic-ϕ</ci><ci id="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.3.2.2.3.cmml" xref="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.3.2.2.3">𝑐</ci></apply><ci id="S2.E17.m1.3.3.cmml" xref="S2.E17.m1.3.3">𝑦</ci><apply id="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.3.2.4.cmml" xref="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.3.2.4"><csymbol cd="latexml" id="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.3.2.4.1.cmml" xref="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.3.2.4.1">differential-d</csymbol><ci id="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.3.2.4.2.cmml" xref="S2.E17.m1.5.5.1.1.3.3.2.4.2">𝜈</ci></apply><ci id="S2.E17.m1.4.4.cmml" xref="S2.E17.m1.4.4">𝑦</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E17.m1.5c">\displaystyle=\sup_{\phi}\int_{\Omega}\phi(x)d\mu(x)+\int_{\Omega}\phi^{c}(y)d% \nu(y).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E17.m1.5d">= roman_sup start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT ∫ start_POSTSUBSCRIPT roman_Ω end_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ ( italic_x ) italic_d italic_μ ( italic_x ) + ∫ start_POSTSUBSCRIPT roman_Ω end_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT italic_c end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_y ) italic_d italic_ν ( italic_y ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(17)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS1.p4"> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p4.6">Starting from the formulation (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S2.E16" title="In 2.1 Optimal Transport ‣ 2 Related work ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">16</span></a>), one can replace the couple <math alttext="(\psi^{c},\psi)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p4.1.m1.2"><semantics id="S2.SS1.p4.1.m1.2a"><mrow id="S2.SS1.p4.1.m1.2.2.1" xref="S2.SS1.p4.1.m1.2.2.2.cmml"><mo id="S2.SS1.p4.1.m1.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p4.1.m1.2.2.2.cmml">(</mo><msup id="S2.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1" xref="S2.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1.2" xref="S2.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1.2.cmml">ψ</mi><mi id="S2.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1.3" xref="S2.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1.3.cmml">c</mi></msup><mo id="S2.SS1.p4.1.m1.2.2.1.3" xref="S2.SS1.p4.1.m1.2.2.2.cmml">,</mo><mi id="S2.SS1.p4.1.m1.1.1" xref="S2.SS1.p4.1.m1.1.1.cmml">ψ</mi><mo id="S2.SS1.p4.1.m1.2.2.1.4" stretchy="false" xref="S2.SS1.p4.1.m1.2.2.2.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p4.1.m1.2b"><interval closure="open" id="S2.SS1.p4.1.m1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.1.m1.2.2.1"><apply id="S2.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1.2">𝜓</ci><ci id="S2.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.1.m1.2.2.1.1.3">𝑐</ci></apply><ci id="S2.SS1.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.1.m1.1.1">𝜓</ci></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p4.1.m1.2c">(\psi^{c},\psi)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p4.1.m1.2d">( italic_ψ start_POSTSUPERSCRIPT italic_c end_POSTSUPERSCRIPT , italic_ψ )</annotation></semantics></math> by <math alttext="(\psi^{c},(\psi^{c})^{c})" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p4.2.m2.2"><semantics id="S2.SS1.p4.2.m2.2a"><mrow id="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.2" xref="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.3.cmml"><mo id="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.3.cmml">(</mo><msup id="S2.SS1.p4.2.m2.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p4.2.m2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p4.2.m2.1.1.1.1.2" xref="S2.SS1.p4.2.m2.1.1.1.1.2.cmml">ψ</mi><mi id="S2.SS1.p4.2.m2.1.1.1.1.3" xref="S2.SS1.p4.2.m2.1.1.1.1.3.cmml">c</mi></msup><mo id="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.2.4" xref="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.3.cmml">,</mo><msup id="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.2.2" xref="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.2.2.1.1" xref="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.2.2.1.1.1" xref="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml">ψ</mi><mi id="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml">c</mi></msup><mo id="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.2.2.3" xref="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.2.2.3.cmml">c</mi></msup><mo id="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p4.2.m2.2b"><interval closure="open" id="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.2"><apply id="S2.SS1.p4.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.2.m2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p4.2.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.2.m2.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p4.2.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.2.m2.1.1.1.1.2">𝜓</ci><ci id="S2.SS1.p4.2.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.2.m2.1.1.1.1.3">𝑐</ci></apply><apply id="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.2.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.2">𝜓</ci><ci id="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.3">𝑐</ci></apply><ci id="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.2.m2.2.2.2.2.3">𝑐</ci></apply></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p4.2.m2.2c">(\psi^{c},(\psi^{c})^{c})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p4.2.m2.2d">( italic_ψ start_POSTSUPERSCRIPT italic_c end_POSTSUPERSCRIPT , ( italic_ψ start_POSTSUPERSCRIPT italic_c end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_c end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math>. According to Proposition 6.1 in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib41" title="">Peyr2019Computational </a></cite>, the pair <math alttext="(\psi^{c},(\psi^{c})^{c})" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p4.3.m3.2"><semantics id="S2.SS1.p4.3.m3.2a"><mrow id="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.2" xref="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.3.cmml"><mo id="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.3.cmml">(</mo><msup id="S2.SS1.p4.3.m3.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p4.3.m3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p4.3.m3.1.1.1.1.2" xref="S2.SS1.p4.3.m3.1.1.1.1.2.cmml">ψ</mi><mi id="S2.SS1.p4.3.m3.1.1.1.1.3" xref="S2.SS1.p4.3.m3.1.1.1.1.3.cmml">c</mi></msup><mo id="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.2.4" xref="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.3.cmml">,</mo><msup id="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.2.2" xref="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.2.2.1.1" xref="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.2.2.1.1.1" xref="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml">ψ</mi><mi id="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml">c</mi></msup><mo id="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.2.2.3" xref="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.2.2.3.cmml">c</mi></msup><mo id="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p4.3.m3.2b"><interval closure="open" id="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.2"><apply id="S2.SS1.p4.3.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.3.m3.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p4.3.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.3.m3.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p4.3.m3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.3.m3.1.1.1.1.2">𝜓</ci><ci id="S2.SS1.p4.3.m3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.3.m3.1.1.1.1.3">𝑐</ci></apply><apply id="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.2.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.2.2.1.1.1.2">𝜓</ci><ci id="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.2.2.1.1.1.3">𝑐</ci></apply><ci id="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p4.3.m3.2.2.2.2.3">𝑐</ci></apply></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p4.3.m3.2c">(\psi^{c},(\psi^{c})^{c})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p4.3.m3.2d">( italic_ψ start_POSTSUPERSCRIPT italic_c end_POSTSUPERSCRIPT , ( italic_ψ start_POSTSUPERSCRIPT italic_c end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_c end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> is equivalent to any pair <math alttext="(\phi,-\phi)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p4.4.m4.2"><semantics id="S2.SS1.p4.4.m4.2a"><mrow id="S2.SS1.p4.4.m4.2.2.1" xref="S2.SS1.p4.4.m4.2.2.2.cmml"><mo id="S2.SS1.p4.4.m4.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p4.4.m4.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S2.SS1.p4.4.m4.1.1" xref="S2.SS1.p4.4.m4.1.1.cmml">ϕ</mi><mo id="S2.SS1.p4.4.m4.2.2.1.3" xref="S2.SS1.p4.4.m4.2.2.2.cmml">,</mo><mrow id="S2.SS1.p4.4.m4.2.2.1.1" xref="S2.SS1.p4.4.m4.2.2.1.1.cmml"><mo id="S2.SS1.p4.4.m4.2.2.1.1a" xref="S2.SS1.p4.4.m4.2.2.1.1.cmml">−</mo><mi id="S2.SS1.p4.4.m4.2.2.1.1.2" xref="S2.SS1.p4.4.m4.2.2.1.1.2.cmml">ϕ</mi></mrow><mo id="S2.SS1.p4.4.m4.2.2.1.4" stretchy="false" xref="S2.SS1.p4.4.m4.2.2.2.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p4.4.m4.2b"><interval closure="open" id="S2.SS1.p4.4.m4.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.4.m4.2.2.1"><ci id="S2.SS1.p4.4.m4.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.4.m4.1.1">italic-ϕ</ci><apply id="S2.SS1.p4.4.m4.2.2.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.4.m4.2.2.1.1"><minus id="S2.SS1.p4.4.m4.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.4.m4.2.2.1.1"></minus><ci id="S2.SS1.p4.4.m4.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.4.m4.2.2.1.1.2">italic-ϕ</ci></apply></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p4.4.m4.2c">(\phi,-\phi)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p4.4.m4.2d">( italic_ϕ , - italic_ϕ )</annotation></semantics></math> such that <math alttext="\mathrm{Lip}(\phi)\leq 1" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p4.5.m5.1"><semantics id="S2.SS1.p4.5.m5.1a"><mrow id="S2.SS1.p4.5.m5.1.2" xref="S2.SS1.p4.5.m5.1.2.cmml"><mrow id="S2.SS1.p4.5.m5.1.2.2" xref="S2.SS1.p4.5.m5.1.2.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p4.5.m5.1.2.2.2" xref="S2.SS1.p4.5.m5.1.2.2.2.cmml">Lip</mi><mo id="S2.SS1.p4.5.m5.1.2.2.1" xref="S2.SS1.p4.5.m5.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS1.p4.5.m5.1.2.2.3.2" xref="S2.SS1.p4.5.m5.1.2.2.cmml"><mo id="S2.SS1.p4.5.m5.1.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p4.5.m5.1.2.2.cmml">(</mo><mi id="S2.SS1.p4.5.m5.1.1" xref="S2.SS1.p4.5.m5.1.1.cmml">ϕ</mi><mo id="S2.SS1.p4.5.m5.1.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p4.5.m5.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.SS1.p4.5.m5.1.2.1" xref="S2.SS1.p4.5.m5.1.2.1.cmml">≤</mo><mn id="S2.SS1.p4.5.m5.1.2.3" xref="S2.SS1.p4.5.m5.1.2.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p4.5.m5.1b"><apply id="S2.SS1.p4.5.m5.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.5.m5.1.2"><leq id="S2.SS1.p4.5.m5.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.5.m5.1.2.1"></leq><apply id="S2.SS1.p4.5.m5.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.5.m5.1.2.2"><times id="S2.SS1.p4.5.m5.1.2.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.5.m5.1.2.2.1"></times><ci id="S2.SS1.p4.5.m5.1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.5.m5.1.2.2.2">Lip</ci><ci id="S2.SS1.p4.5.m5.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.5.m5.1.1">italic-ϕ</ci></apply><cn id="S2.SS1.p4.5.m5.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p4.5.m5.1.2.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p4.5.m5.1c">\mathrm{Lip}(\phi)\leq 1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p4.5.m5.1d">roman_Lip ( italic_ϕ ) ≤ 1</annotation></semantics></math>, which leads to the expression for the <math alttext="W_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p4.6.m6.1"><semantics id="S2.SS1.p4.6.m6.1a"><msub id="S2.SS1.p4.6.m6.1.1" xref="S2.SS1.p4.6.m6.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p4.6.m6.1.1.2" xref="S2.SS1.p4.6.m6.1.1.2.cmml">W</mi><mn id="S2.SS1.p4.6.m6.1.1.3" xref="S2.SS1.p4.6.m6.1.1.3.cmml">1</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p4.6.m6.1b"><apply id="S2.SS1.p4.6.m6.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.6.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p4.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.6.m6.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p4.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p4.6.m6.1.1.2">𝑊</ci><cn id="S2.SS1.p4.6.m6.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p4.6.m6.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p4.6.m6.1c">W_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p4.6.m6.1d">italic_W start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> distance (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S1.E5" title="In 1 Introduction ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">5</span></a>).</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS1.p5"> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p5.1">The global Lipschitz constraint in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S1.E5" title="In 1 Introduction ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">5</span></a>) can also be made as a uniform bound on the gradient of <math alttext="\phi" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p5.1.m1.1"><semantics id="S2.SS1.p5.1.m1.1a"><mi id="S2.SS1.p5.1.m1.1.1" xref="S2.SS1.p5.1.m1.1.1.cmml">ϕ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p5.1.m1.1b"><ci id="S2.SS1.p5.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p5.1.m1.1.1">italic-ϕ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p5.1.m1.1c">\phi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p5.1.m1.1d">italic_ϕ</annotation></semantics></math>,</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E18"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="W_{1}(\mu,\nu)=\sup_{\phi}\left\{\int_{x\in\Omega}\phi(x)d(\mu(x)-\nu(x)):\||% \nabla\phi|\|_{\infty}\leq 1\right\}," class="ltx_Math" display="block" id="S2.E18.m1.6"><semantics id="S2.E18.m1.6a"><mrow id="S2.E18.m1.6.6.1" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="S2.E18.m1.6.6.1.1" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="S2.E18.m1.6.6.1.1.4" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.4.cmml"><msub id="S2.E18.m1.6.6.1.1.4.2" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.4.2.cmml"><mi id="S2.E18.m1.6.6.1.1.4.2.2" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.4.2.2.cmml">W</mi><mn id="S2.E18.m1.6.6.1.1.4.2.3" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.4.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S2.E18.m1.6.6.1.1.4.1" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E18.m1.6.6.1.1.4.3.2" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.4.3.1.cmml"><mo id="S2.E18.m1.6.6.1.1.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.4.3.1.cmml">(</mo><mi id="S2.E18.m1.1.1" xref="S2.E18.m1.1.1.cmml">μ</mi><mo id="S2.E18.m1.6.6.1.1.4.3.2.2" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.E18.m1.2.2" xref="S2.E18.m1.2.2.cmml">ν</mi><mo id="S2.E18.m1.6.6.1.1.4.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.4.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E18.m1.6.6.1.1.3" rspace="0.1389em" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S2.E18.m1.6.6.1.1.2" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.2.cmml"><munder id="S2.E18.m1.6.6.1.1.2.3" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.2.3.cmml"><mo id="S2.E18.m1.6.6.1.1.2.3.2" lspace="0.1389em" movablelimits="false" rspace="0em" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.2.3.2.cmml">sup</mo><mi id="S2.E18.m1.6.6.1.1.2.3.3" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.2.3.3.cmml">ϕ</mi></munder><mrow id="S2.E18.m1.6.6.1.1.2.2.2" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="S2.E18.m1.6.6.1.1.2.2.2.3" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.2.2.3.1.cmml">{</mo><mrow id="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2" lspace="0em" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">∫</mo><mrow id="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">x</mi><mo id="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">∈</mo><mi id="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.3" mathvariant="normal" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">Ω</mi></mrow></msub><mrow id="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">ϕ</mi><mo id="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S2.E18.m1.3.3" xref="S2.E18.m1.3.3.cmml">x</mi><mo id="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.5" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.5.cmml">d</mi><mo id="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2b" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">μ</mi><mo id="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.E18.m1.4.4" xref="S2.E18.m1.4.4.cmml">x</mi><mo id="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">ν</mi><mo id="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S2.E18.m1.5.5" xref="S2.E18.m1.5.5.cmml">x</mi><mo id="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" rspace="0.278em" stretchy="false" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E18.m1.6.6.1.1.2.2.2.4" rspace="0.278em" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.2.2.3.1.cmml">:</mo><mrow id="S2.E18.m1.6.6.1.1.2.2.2.2" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.cmml"><msub id="S2.E18.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.cmml"><mrow id="S2.E18.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.1.1" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E18.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S2.E18.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E18.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S2.E18.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E18.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1" rspace="0.167em" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">∇</mo><mi id="S2.E18.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ϕ</mi></mrow><mo id="S2.E18.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S2.E18.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mi id="S2.E18.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.3" mathvariant="normal" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.3.cmml">∞</mi></msub><mo id="S2.E18.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.cmml">≤</mo><mn id="S2.E18.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.3" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S2.E18.m1.6.6.1.1.2.2.2.5" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.2.2.3.1.cmml">}</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E18.m1.6.6.1.2" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E18.m1.6b"><apply id="S2.E18.m1.6.6.1.1.cmml" xref="S2.E18.m1.6.6.1"><eq id="S2.E18.m1.6.6.1.1.3.cmml" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.3"></eq><apply id="S2.E18.m1.6.6.1.1.4.cmml" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.4"><times id="S2.E18.m1.6.6.1.1.4.1.cmml" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.4.1"></times><apply id="S2.E18.m1.6.6.1.1.4.2.cmml" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E18.m1.6.6.1.1.4.2.1.cmml" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.4.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E18.m1.6.6.1.1.4.2.2.cmml" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.4.2.2">𝑊</ci><cn id="S2.E18.m1.6.6.1.1.4.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.4.2.3">1</cn></apply><interval closure="open" id="S2.E18.m1.6.6.1.1.4.3.1.cmml" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.4.3.2"><ci id="S2.E18.m1.1.1.cmml" xref="S2.E18.m1.1.1">𝜇</ci><ci id="S2.E18.m1.2.2.cmml" xref="S2.E18.m1.2.2">𝜈</ci></interval></apply><apply id="S2.E18.m1.6.6.1.1.2.cmml" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.2"><apply id="S2.E18.m1.6.6.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E18.m1.6.6.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.2.3">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S2.E18.m1.6.6.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.2.3.2">supremum</csymbol><ci id="S2.E18.m1.6.6.1.1.2.3.3.cmml" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.2.3.3">italic-ϕ</ci></apply><apply id="S2.E18.m1.6.6.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.E18.m1.6.6.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.2.2.2.3">conditional-set</csymbol><apply id="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1"><apply id="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><int id="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2"></int><apply id="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3"><in id="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.1"></in><ci id="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑥</ci><ci id="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.3">Ω</ci></apply></apply><apply id="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3">italic-ϕ</ci><ci id="S2.E18.m1.3.3.cmml" xref="S2.E18.m1.3.3">𝑥</ci><ci id="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.5">𝑑</ci><apply id="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝜇</ci><ci id="S2.E18.m1.4.4.cmml" xref="S2.E18.m1.4.4">𝑥</ci></apply><apply id="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝜈</ci><ci id="S2.E18.m1.5.5.cmml" xref="S2.E18.m1.5.5">𝑥</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.E18.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.2.2.2.2"><leq id="S2.E18.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2"></leq><apply id="S2.E18.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E18.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1">subscript</csymbol><apply id="S2.E18.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.E18.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S2.E18.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1"><abs id="S2.E18.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2"></abs><apply id="S2.E18.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1"><ci id="S2.E18.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1">∇</ci><ci id="S2.E18.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2">italic-ϕ</ci></apply></apply></apply><infinity id="S2.E18.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.3.cmml" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.3"></infinity></apply><cn id="S2.E18.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.E18.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.3">1</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E18.m1.6c">W_{1}(\mu,\nu)=\sup_{\phi}\left\{\int_{x\in\Omega}\phi(x)d(\mu(x)-\nu(x)):\||% \nabla\phi|\|_{\infty}\leq 1\right\},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E18.m1.6d">italic_W start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_μ , italic_ν ) = roman_sup start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT { ∫ start_POSTSUBSCRIPT italic_x ∈ roman_Ω end_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ ( italic_x ) italic_d ( italic_μ ( italic_x ) - italic_ν ( italic_x ) ) : ∥ | ∇ italic_ϕ | ∥ start_POSTSUBSCRIPT ∞ end_POSTSUBSCRIPT ≤ 1 } ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(18)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p5.4">where the constraint <math alttext="\||\nabla\phi|\|_{\infty}\leq 1" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p5.2.m1.1"><semantics id="S2.SS1.p5.2.m1.1a"><mrow id="S2.SS1.p5.2.m1.1.1" xref="S2.SS1.p5.2.m1.1.1.cmml"><msub id="S2.SS1.p5.2.m1.1.1.1" xref="S2.SS1.p5.2.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.SS1.p5.2.m1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p5.2.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.SS1.p5.2.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p5.2.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S2.SS1.p5.2.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p5.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.SS1.p5.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p5.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S2.SS1.p5.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p5.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS1.p5.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" rspace="0.167em" xref="S2.SS1.p5.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">∇</mo><mi id="S2.SS1.p5.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS1.p5.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ϕ</mi></mrow><mo id="S2.SS1.p5.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS1.p5.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S2.SS1.p5.2.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS1.p5.2.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mi id="S2.SS1.p5.2.m1.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S2.SS1.p5.2.m1.1.1.1.3.cmml">∞</mi></msub><mo id="S2.SS1.p5.2.m1.1.1.2" xref="S2.SS1.p5.2.m1.1.1.2.cmml">≤</mo><mn id="S2.SS1.p5.2.m1.1.1.3" xref="S2.SS1.p5.2.m1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p5.2.m1.1b"><apply id="S2.SS1.p5.2.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p5.2.m1.1.1"><leq id="S2.SS1.p5.2.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p5.2.m1.1.1.2"></leq><apply id="S2.SS1.p5.2.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p5.2.m1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p5.2.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p5.2.m1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S2.SS1.p5.2.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p5.2.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS1.p5.2.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p5.2.m1.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S2.SS1.p5.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p5.2.m1.1.1.1.1.1.1.1"><abs id="S2.SS1.p5.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p5.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.2"></abs><apply id="S2.SS1.p5.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p5.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><ci id="S2.SS1.p5.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p5.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">∇</ci><ci id="S2.SS1.p5.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p5.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">italic-ϕ</ci></apply></apply></apply><infinity id="S2.SS1.p5.2.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p5.2.m1.1.1.1.3"></infinity></apply><cn id="S2.SS1.p5.2.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p5.2.m1.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p5.2.m1.1c">\||\nabla\phi|\|_{\infty}\leq 1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p5.2.m1.1d">∥ | ∇ italic_ϕ | ∥ start_POSTSUBSCRIPT ∞ end_POSTSUBSCRIPT ≤ 1</annotation></semantics></math> means that <math alttext="|\nabla\phi(x)|\leq 1" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p5.3.m2.2"><semantics id="S2.SS1.p5.3.m2.2a"><mrow id="S2.SS1.p5.3.m2.2.2" xref="S2.SS1.p5.3.m2.2.2.cmml"><mrow id="S2.SS1.p5.3.m2.2.2.1.1" xref="S2.SS1.p5.3.m2.2.2.1.2.cmml"><mo id="S2.SS1.p5.3.m2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p5.3.m2.2.2.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S2.SS1.p5.3.m2.2.2.1.1.1" xref="S2.SS1.p5.3.m2.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.SS1.p5.3.m2.2.2.1.1.1.2" xref="S2.SS1.p5.3.m2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.SS1.p5.3.m2.2.2.1.1.1.2.1" rspace="0.167em" xref="S2.SS1.p5.3.m2.2.2.1.1.1.2.1.cmml">∇</mo><mi id="S2.SS1.p5.3.m2.2.2.1.1.1.2.2" xref="S2.SS1.p5.3.m2.2.2.1.1.1.2.2.cmml">ϕ</mi></mrow><mo id="S2.SS1.p5.3.m2.2.2.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p5.3.m2.2.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS1.p5.3.m2.2.2.1.1.1.3.2" xref="S2.SS1.p5.3.m2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS1.p5.3.m2.2.2.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p5.3.m2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S2.SS1.p5.3.m2.1.1" xref="S2.SS1.p5.3.m2.1.1.cmml">x</mi><mo id="S2.SS1.p5.3.m2.2.2.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p5.3.m2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.SS1.p5.3.m2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS1.p5.3.m2.2.2.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S2.SS1.p5.3.m2.2.2.2" xref="S2.SS1.p5.3.m2.2.2.2.cmml">≤</mo><mn id="S2.SS1.p5.3.m2.2.2.3" xref="S2.SS1.p5.3.m2.2.2.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p5.3.m2.2b"><apply id="S2.SS1.p5.3.m2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p5.3.m2.2.2"><leq id="S2.SS1.p5.3.m2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p5.3.m2.2.2.2"></leq><apply id="S2.SS1.p5.3.m2.2.2.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p5.3.m2.2.2.1.1"><abs id="S2.SS1.p5.3.m2.2.2.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p5.3.m2.2.2.1.1.2"></abs><apply id="S2.SS1.p5.3.m2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p5.3.m2.2.2.1.1.1"><times id="S2.SS1.p5.3.m2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p5.3.m2.2.2.1.1.1.1"></times><apply id="S2.SS1.p5.3.m2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p5.3.m2.2.2.1.1.1.2"><ci id="S2.SS1.p5.3.m2.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p5.3.m2.2.2.1.1.1.2.1">∇</ci><ci id="S2.SS1.p5.3.m2.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p5.3.m2.2.2.1.1.1.2.2">italic-ϕ</ci></apply><ci id="S2.SS1.p5.3.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p5.3.m2.1.1">𝑥</ci></apply></apply><cn id="S2.SS1.p5.3.m2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p5.3.m2.2.2.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p5.3.m2.2c">|\nabla\phi(x)|\leq 1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p5.3.m2.2d">| ∇ italic_ϕ ( italic_x ) | ≤ 1</annotation></semantics></math> for any <math alttext="x" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p5.4.m3.1"><semantics id="S2.SS1.p5.4.m3.1a"><mi id="S2.SS1.p5.4.m3.1.1" xref="S2.SS1.p5.4.m3.1.1.cmml">x</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p5.4.m3.1b"><ci id="S2.SS1.p5.4.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p5.4.m3.1.1">𝑥</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p5.4.m3.1c">x</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p5.4.m3.1d">italic_x</annotation></semantics></math>. The dual problem of (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S2.E18" title="In 2.1 Optimal Transport ‣ 2 Related work ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">18</span></a>) is the following minimization problem,</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E19"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="W_{1}(\mu,\nu)=\inf_{m}\left\{\||m|\|_{L^{1}}:\mathrm{div}(m)=\mu-\nu\right\}." class="ltx_math_unparsed" display="block" id="S2.E19.m1.3"><semantics id="S2.E19.m1.3a"><mrow id="S2.E19.m1.3b"><msub id="S2.E19.m1.3.4"><mi id="S2.E19.m1.3.4.2">W</mi><mn id="S2.E19.m1.3.4.3">1</mn></msub><mrow id="S2.E19.m1.3.5"><mo id="S2.E19.m1.3.5.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S2.E19.m1.1.1">μ</mi><mo id="S2.E19.m1.3.5.2">,</mo><mi id="S2.E19.m1.2.2">ν</mi><mo id="S2.E19.m1.3.5.3" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S2.E19.m1.3.6" rspace="0.1389em">=</mo><munder id="S2.E19.m1.3.7"><mo id="S2.E19.m1.3.7.2" lspace="0.1389em" movablelimits="false" rspace="0em">inf</mo><mi id="S2.E19.m1.3.7.3">m</mi></munder><mrow id="S2.E19.m1.3.8"><mo id="S2.E19.m1.3.8.1">{</mo><mo id="S2.E19.m1.3.8.2" lspace="0em" rspace="0.167em">∥</mo><mo fence="false" id="S2.E19.m1.3.8.3" rspace="0.167em" stretchy="false">|</mo><mi id="S2.E19.m1.3.3">m</mi><mo fence="false" id="S2.E19.m1.3.8.4" stretchy="false">|</mo><msub id="S2.E19.m1.3.8.5"><mo id="S2.E19.m1.3.8.5.2" lspace="0.167em" rspace="0.167em">∥</mo><msup id="S2.E19.m1.3.8.5.3"><mi id="S2.E19.m1.3.8.5.3.2">L</mi><mn id="S2.E19.m1.3.8.5.3.3">1</mn></msup></msub><mo id="S2.E19.m1.3.8.6" rspace="0.278em">:</mo><mi id="S2.E19.m1.3.8.7">div</mi><mrow id="S2.E19.m1.3.8.8"><mo id="S2.E19.m1.3.8.8.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S2.E19.m1.3.8.8.2">m</mi><mo id="S2.E19.m1.3.8.8.3" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S2.E19.m1.3.8.9">=</mo><mi id="S2.E19.m1.3.8.10">μ</mi><mo id="S2.E19.m1.3.8.11">−</mo><mi id="S2.E19.m1.3.8.12">ν</mi><mo id="S2.E19.m1.3.8.13">}</mo></mrow><mo id="S2.E19.m1.3.9" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E19.m1.3c">W_{1}(\mu,\nu)=\inf_{m}\left\{\||m|\|_{L^{1}}:\mathrm{div}(m)=\mu-\nu\right\}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E19.m1.3d">italic_W start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_μ , italic_ν ) = roman_inf start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT { ∥ | italic_m | ∥ start_POSTSUBSCRIPT italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT : roman_div ( italic_m ) = italic_μ - italic_ν } .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(19)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS1.p6"> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p6.1">Recently, the Wasserstein-1 distance (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S1.E5" title="In 1 Introduction ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">5</span></a>) has been utilized as a loss function within the framework of generative adversarial networks (WGANs) <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib1" title="">2017Wasserstein </a></cite>. A number of numerical methods have been proposed for this special class of OT. In <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib33" title="">2016A </a></cite>, Li et al. pointed out that (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S2.E19" title="In 2.1 Optimal Transport ‣ 2 Related work ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">19</span></a>) is very similar to some problems which have been solved in the fields of compressed sensing and image processing. So they proposed that problems (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S2.E18" title="In 2.1 Optimal Transport ‣ 2 Related work ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">18</span></a>) and (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S2.E19" title="In 2.1 Optimal Transport ‣ 2 Related work ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">19</span></a>) can be jointly solved by their Lagrangians, which can be discretized and solved by using a first-order primal-dual algorithm <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib14" title="">2011A </a></cite> with very simple updates at each iteration. Later on, the paper <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib26" title="">2018Solving </a></cite> introduced the proximal PD method method to calculate the Wasserstein-1 distance and proved that the number of iterations in this method is independent of the grid size. Subsequently, the paper <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib35" title="">2021MULTILEVEL </a></cite> applied the cascadic multilevel method to speed up the aforementioned algorithms, which is especially effective for large-scale problems. Moreover, a numerical method based on the proximal point algorithm was proposed <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib37" title="">L2017Measuring </a></cite> to compute the KR norm that is used to measure the misfit between seismograms in full waveform inversion.</p> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="S2.SS2"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">2.2 </span>Meyer’s <math alttext="G" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.1.m1.1"><semantics id="S2.SS2.1.m1.1b"><mi id="S2.SS2.1.m1.1.1" xref="S2.SS2.1.m1.1.1.cmml">G</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.1.m1.1c"><ci id="S2.SS2.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.1.m1.1.1">𝐺</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.1.m1.1d">G</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.1.m1.1e">italic_G</annotation></semantics></math>-TV Model for Cartoon and Texture Decomposition</h3> <div class="ltx_para" id="S2.SS2.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.p1.2">In Meyer’s model (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S1.E12" title="In 1 Introduction ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">12</span></a>), the <math alttext="G" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p1.1.m1.1"><semantics id="S2.SS2.p1.1.m1.1a"><mi id="S2.SS2.p1.1.m1.1.1" xref="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.cmml">G</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p1.1.m1.1b"><ci id="S2.SS2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.1.m1.1.1">𝐺</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p1.1.m1.1c">G</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p1.1.m1.1d">italic_G</annotation></semantics></math> space is suggested for the oscillatory component <math alttext="v=\mathrm{div}(m)\in G" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p1.2.m2.1"><semantics id="S2.SS2.p1.2.m2.1a"><mrow id="S2.SS2.p1.2.m2.1.2" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.cmml"><mi id="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.2" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.2.cmml">v</mi><mo id="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.3" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.3.cmml">=</mo><mrow id="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.4" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.4.cmml"><mi id="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.4.2" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.4.2.cmml">div</mi><mo id="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.4.1" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.4.3.2" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.4.cmml"><mo id="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.4.cmml">(</mo><mi id="S2.SS2.p1.2.m2.1.1" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.1.cmml">m</mi><mo id="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.5" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.5.cmml">∈</mo><mi id="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.6" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.6.cmml">G</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p1.2.m2.1b"><apply id="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.2"><and id="S2.SS2.p1.2.m2.1.2a.cmml" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.2"></and><apply id="S2.SS2.p1.2.m2.1.2b.cmml" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.2"><eq id="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.3"></eq><ci id="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.2">𝑣</ci><apply id="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.4.cmml" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.4"><times id="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.4.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.4.1"></times><ci id="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.4.2.cmml" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.4.2">div</ci><ci id="S2.SS2.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.1">𝑚</ci></apply></apply><apply id="S2.SS2.p1.2.m2.1.2c.cmml" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.2"><in id="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.5.cmml" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.5"></in><share href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S2.SS2.p1.2.m2.1.2.4.cmml" id="S2.SS2.p1.2.m2.1.2d.cmml" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.2"></share><ci id="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.6.cmml" xref="S2.SS2.p1.2.m2.1.2.6">𝐺</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p1.2.m2.1c">v=\mathrm{div}(m)\in G</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p1.2.m2.1d">italic_v = roman_div ( italic_m ) ∈ italic_G</annotation></semantics></math>, which denotes the Banach space,</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E20"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="G=\{f:\ f=\mathrm{div}(m),\quad\exists m\in L^{\infty}(\Omega)\}." class="ltx_Math" display="block" id="S2.E20.m1.4"><semantics id="S2.E20.m1.4a"><mrow id="S2.E20.m1.4.4.1" xref="S2.E20.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S2.E20.m1.4.4.1.1" xref="S2.E20.m1.4.4.1.1.cmml"><mi id="S2.E20.m1.4.4.1.1.3" xref="S2.E20.m1.4.4.1.1.3.cmml">G</mi><mo id="S2.E20.m1.4.4.1.1.2" xref="S2.E20.m1.4.4.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S2.E20.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S2.E20.m1.4.4.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E20.m1.4.4.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E20.m1.4.4.1.1.1.2.1.cmml">{</mo><mi id="S2.E20.m1.3.3" xref="S2.E20.m1.3.3.cmml">f</mi><mo id="S2.E20.m1.4.4.1.1.1.1.3" lspace="0.278em" rspace="0.778em" xref="S2.E20.m1.4.4.1.1.1.2.1.cmml">:</mo><mrow id="S2.E20.m1.4.4.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E20.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.E20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">f</mi><mo id="S2.E20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.E20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.E20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">div</mi><mo id="S2.E20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S2.E20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S2.E20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S2.E20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S2.E20.m1.1.1" xref="S2.E20.m1.1.1.cmml">m</mi><mo id="S2.E20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.E20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E20.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3" rspace="1.167em" xref="S2.E20.m1.4.4.1.1.1.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S2.E20.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.E20.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S2.E20.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S2.E20.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mo id="S2.E20.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.1" rspace="0.167em" xref="S2.E20.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml">∃</mo><mi id="S2.E20.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S2.E20.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">m</mi></mrow><mo id="S2.E20.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S2.E20.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">∈</mo><mrow id="S2.E20.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S2.E20.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><msup id="S2.E20.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S2.E20.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml"><mi id="S2.E20.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3.2.2" xref="S2.E20.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.cmml">L</mi><mi id="S2.E20.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3.2.3" mathvariant="normal" xref="S2.E20.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.cmml">∞</mi></msup><mo id="S2.E20.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S2.E20.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E20.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3.3.2" xref="S2.E20.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="S2.E20.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E20.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">(</mo><mi id="S2.E20.m1.2.2" mathvariant="normal" xref="S2.E20.m1.2.2.cmml">Ω</mi><mo id="S2.E20.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.E20.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E20.m1.4.4.1.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S2.E20.m1.4.4.1.1.1.2.1.cmml">}</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E20.m1.4.4.1.2" lspace="0em" xref="S2.E20.m1.4.4.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E20.m1.4b"><apply id="S2.E20.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S2.E20.m1.4.4.1"><eq id="S2.E20.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="S2.E20.m1.4.4.1.1.2"></eq><ci id="S2.E20.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="S2.E20.m1.4.4.1.1.3">𝐺</ci><apply id="S2.E20.m1.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E20.m1.4.4.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.E20.m1.4.4.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E20.m1.4.4.1.1.1.1.2">conditional-set</csymbol><ci id="S2.E20.m1.3.3.cmml" xref="S2.E20.m1.3.3">𝑓</ci><apply id="S2.E20.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E20.m1.4.4.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E20.m1.4.4.1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S2.E20.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S2.E20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1"><eq id="S2.E20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1"></eq><ci id="S2.E20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑓</ci><apply id="S2.E20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S2.E20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S2.E20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2">div</ci><ci id="S2.E20.m1.1.1.cmml" xref="S2.E20.m1.1.1">𝑚</ci></apply></apply><apply id="S2.E20.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E20.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2"><in id="S2.E20.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.E20.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.1"></in><apply id="S2.E20.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.E20.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2"><exists id="S2.E20.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E20.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.1"></exists><ci id="S2.E20.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E20.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.2">𝑚</ci></apply><apply id="S2.E20.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.E20.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3"><times id="S2.E20.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S2.E20.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3.1"></times><apply id="S2.E20.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S2.E20.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E20.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3.2.1.cmml" xref="S2.E20.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S2.E20.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.cmml" xref="S2.E20.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3.2.2">𝐿</ci><infinity id="S2.E20.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3.2.3.cmml" xref="S2.E20.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3.2.3"></infinity></apply><ci id="S2.E20.m1.2.2.cmml" xref="S2.E20.m1.2.2">Ω</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E20.m1.4c">G=\{f:\ f=\mathrm{div}(m),\quad\exists m\in L^{\infty}(\Omega)\}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E20.m1.4d">italic_G = { italic_f : italic_f = roman_div ( italic_m ) , ∃ italic_m ∈ italic_L start_POSTSUPERSCRIPT ∞ end_POSTSUPERSCRIPT ( roman_Ω ) } .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(20)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS2.p2"> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.p2.3">Motivated by the following approximation to the <math alttext="L^{\infty}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p2.1.m1.1"><semantics id="S2.SS2.p2.1.m1.1a"><msup id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.2" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.2.cmml">L</mi><mi id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.3.cmml">∞</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p2.1.m1.1b"><apply id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.2">𝐿</ci><infinity id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.3"></infinity></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p2.1.m1.1c">L^{\infty}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p2.1.m1.1d">italic_L start_POSTSUPERSCRIPT ∞ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> norm of <math alttext="|m|=\sqrt{m_{1}^{2}+m_{2}^{2}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p2.2.m2.1"><semantics id="S2.SS2.p2.2.m2.1a"><mrow id="S2.SS2.p2.2.m2.1.2" xref="S2.SS2.p2.2.m2.1.2.cmml"><mrow id="S2.SS2.p2.2.m2.1.2.2.2" xref="S2.SS2.p2.2.m2.1.2.2.1.cmml"><mo id="S2.SS2.p2.2.m2.1.2.2.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS2.p2.2.m2.1.2.2.1.1.cmml">|</mo><mi id="S2.SS2.p2.2.m2.1.1" xref="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.cmml">m</mi><mo id="S2.SS2.p2.2.m2.1.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.p2.2.m2.1.2.2.1.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S2.SS2.p2.2.m2.1.2.1" xref="S2.SS2.p2.2.m2.1.2.1.cmml">=</mo><msqrt id="S2.SS2.p2.2.m2.1.2.3" xref="S2.SS2.p2.2.m2.1.2.3.cmml"><mrow id="S2.SS2.p2.2.m2.1.2.3.2" xref="S2.SS2.p2.2.m2.1.2.3.2.cmml"><msubsup id="S2.SS2.p2.2.m2.1.2.3.2.2" xref="S2.SS2.p2.2.m2.1.2.3.2.2.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.2.m2.1.2.3.2.2.2.2" xref="S2.SS2.p2.2.m2.1.2.3.2.2.2.2.cmml">m</mi><mn id="S2.SS2.p2.2.m2.1.2.3.2.2.2.3" xref="S2.SS2.p2.2.m2.1.2.3.2.2.2.3.cmml">1</mn><mn id="S2.SS2.p2.2.m2.1.2.3.2.2.3" xref="S2.SS2.p2.2.m2.1.2.3.2.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S2.SS2.p2.2.m2.1.2.3.2.1" xref="S2.SS2.p2.2.m2.1.2.3.2.1.cmml">+</mo><msubsup id="S2.SS2.p2.2.m2.1.2.3.2.3" xref="S2.SS2.p2.2.m2.1.2.3.2.3.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.2.m2.1.2.3.2.3.2.2" xref="S2.SS2.p2.2.m2.1.2.3.2.3.2.2.cmml">m</mi><mn id="S2.SS2.p2.2.m2.1.2.3.2.3.2.3" xref="S2.SS2.p2.2.m2.1.2.3.2.3.2.3.cmml">2</mn><mn id="S2.SS2.p2.2.m2.1.2.3.2.3.3" xref="S2.SS2.p2.2.m2.1.2.3.2.3.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow></msqrt></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p2.2.m2.1b"><apply id="S2.SS2.p2.2.m2.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.1.2"><eq id="S2.SS2.p2.2.m2.1.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.1.2.1"></eq><apply id="S2.SS2.p2.2.m2.1.2.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.1.2.2.2"><abs id="S2.SS2.p2.2.m2.1.2.2.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.1.2.2.2.1"></abs><ci id="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.1.1">𝑚</ci></apply><apply id="S2.SS2.p2.2.m2.1.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.1.2.3"><root id="S2.SS2.p2.2.m2.1.2.3a.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.1.2.3"></root><apply id="S2.SS2.p2.2.m2.1.2.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.1.2.3.2"><plus id="S2.SS2.p2.2.m2.1.2.3.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.1.2.3.2.1"></plus><apply id="S2.SS2.p2.2.m2.1.2.3.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.1.2.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p2.2.m2.1.2.3.2.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.1.2.3.2.2">superscript</csymbol><apply id="S2.SS2.p2.2.m2.1.2.3.2.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.1.2.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p2.2.m2.1.2.3.2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.1.2.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p2.2.m2.1.2.3.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.1.2.3.2.2.2.2">𝑚</ci><cn id="S2.SS2.p2.2.m2.1.2.3.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p2.2.m2.1.2.3.2.2.2.3">1</cn></apply><cn id="S2.SS2.p2.2.m2.1.2.3.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p2.2.m2.1.2.3.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S2.SS2.p2.2.m2.1.2.3.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.1.2.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p2.2.m2.1.2.3.2.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.1.2.3.2.3">superscript</csymbol><apply id="S2.SS2.p2.2.m2.1.2.3.2.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.1.2.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p2.2.m2.1.2.3.2.3.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.1.2.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p2.2.m2.1.2.3.2.3.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.1.2.3.2.3.2.2">𝑚</ci><cn id="S2.SS2.p2.2.m2.1.2.3.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p2.2.m2.1.2.3.2.3.2.3">2</cn></apply><cn id="S2.SS2.p2.2.m2.1.2.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p2.2.m2.1.2.3.2.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p2.2.m2.1c">|m|=\sqrt{m_{1}^{2}+m_{2}^{2}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p2.2.m2.1d">| italic_m | = square-root start_ARG italic_m start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_m start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math>, for <math alttext="m_{1},m_{2}\in L^{\infty}(\Omega)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p2.3.m3.3"><semantics id="S2.SS2.p2.3.m3.3a"><mrow id="S2.SS2.p2.3.m3.3.3" xref="S2.SS2.p2.3.m3.3.3.cmml"><mrow id="S2.SS2.p2.3.m3.3.3.2.2" xref="S2.SS2.p2.3.m3.3.3.2.3.cmml"><msub id="S2.SS2.p2.3.m3.2.2.1.1.1" xref="S2.SS2.p2.3.m3.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.3.m3.2.2.1.1.1.2" xref="S2.SS2.p2.3.m3.2.2.1.1.1.2.cmml">m</mi><mn id="S2.SS2.p2.3.m3.2.2.1.1.1.3" xref="S2.SS2.p2.3.m3.2.2.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S2.SS2.p2.3.m3.3.3.2.2.3" xref="S2.SS2.p2.3.m3.3.3.2.3.cmml">,</mo><msub id="S2.SS2.p2.3.m3.3.3.2.2.2" xref="S2.SS2.p2.3.m3.3.3.2.2.2.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.3.m3.3.3.2.2.2.2" xref="S2.SS2.p2.3.m3.3.3.2.2.2.2.cmml">m</mi><mn id="S2.SS2.p2.3.m3.3.3.2.2.2.3" xref="S2.SS2.p2.3.m3.3.3.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="S2.SS2.p2.3.m3.3.3.3" xref="S2.SS2.p2.3.m3.3.3.3.cmml">∈</mo><mrow id="S2.SS2.p2.3.m3.3.3.4" xref="S2.SS2.p2.3.m3.3.3.4.cmml"><msup id="S2.SS2.p2.3.m3.3.3.4.2" xref="S2.SS2.p2.3.m3.3.3.4.2.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.3.m3.3.3.4.2.2" xref="S2.SS2.p2.3.m3.3.3.4.2.2.cmml">L</mi><mi id="S2.SS2.p2.3.m3.3.3.4.2.3" mathvariant="normal" xref="S2.SS2.p2.3.m3.3.3.4.2.3.cmml">∞</mi></msup><mo id="S2.SS2.p2.3.m3.3.3.4.1" xref="S2.SS2.p2.3.m3.3.3.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS2.p2.3.m3.3.3.4.3.2" xref="S2.SS2.p2.3.m3.3.3.4.cmml"><mo id="S2.SS2.p2.3.m3.3.3.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS2.p2.3.m3.3.3.4.cmml">(</mo><mi id="S2.SS2.p2.3.m3.1.1" mathvariant="normal" xref="S2.SS2.p2.3.m3.1.1.cmml">Ω</mi><mo id="S2.SS2.p2.3.m3.3.3.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.p2.3.m3.3.3.4.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p2.3.m3.3b"><apply id="S2.SS2.p2.3.m3.3.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.3.m3.3.3"><in id="S2.SS2.p2.3.m3.3.3.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.3.m3.3.3.3"></in><list id="S2.SS2.p2.3.m3.3.3.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.3.m3.3.3.2.2"><apply id="S2.SS2.p2.3.m3.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.3.m3.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p2.3.m3.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.3.m3.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p2.3.m3.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.3.m3.2.2.1.1.1.2">𝑚</ci><cn id="S2.SS2.p2.3.m3.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p2.3.m3.2.2.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S2.SS2.p2.3.m3.3.3.2.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.3.m3.3.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p2.3.m3.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.3.m3.3.3.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p2.3.m3.3.3.2.2.2.2.cmml" 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start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ∈ italic_L start_POSTSUPERSCRIPT ∞ end_POSTSUPERSCRIPT ( roman_Ω )</annotation></semantics></math>:</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E21"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\|\sqrt{m_{1}^{2}+m_{2}^{2}}\|_{L^{\infty}}=\lim\limits_{p\to\infty}\|\sqrt{m_% {1}^{2}+m_{2}^{2}}\|_{L^{p}}." class="ltx_Math" display="block" id="S2.E21.m1.3"><semantics id="S2.E21.m1.3a"><mrow id="S2.E21.m1.3.3.1" xref="S2.E21.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S2.E21.m1.3.3.1.1" xref="S2.E21.m1.3.3.1.1.cmml"><msub id="S2.E21.m1.3.3.1.1.2" xref="S2.E21.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mrow id="S2.E21.m1.3.3.1.1.2.2.2" xref="S2.E21.m1.3.3.1.1.2.2.1.cmml"><mo id="S2.E21.m1.3.3.1.1.2.2.2.1" stretchy="false" xref="S2.E21.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.cmml">‖</mo><msqrt id="S2.E21.m1.1.1" xref="S2.E21.m1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E21.m1.1.1.2" 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id="S2.E21.m1.3.3.1.1.3.1.3.1.cmml" xref="S2.E21.m1.3.3.1.1.3.1.3.1">→</ci><ci id="S2.E21.m1.3.3.1.1.3.1.3.2.cmml" xref="S2.E21.m1.3.3.1.1.3.1.3.2">𝑝</ci><infinity id="S2.E21.m1.3.3.1.1.3.1.3.3.cmml" xref="S2.E21.m1.3.3.1.1.3.1.3.3"></infinity></apply></apply><apply id="S2.E21.m1.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E21.m1.3.3.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E21.m1.3.3.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E21.m1.3.3.1.1.3.2">subscript</csymbol><apply id="S2.E21.m1.3.3.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S2.E21.m1.3.3.1.1.3.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.E21.m1.3.3.1.1.3.2.2.1.1.cmml" xref="S2.E21.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.1">norm</csymbol><apply id="S2.E21.m1.2.2.cmml" xref="S2.E21.m1.2.2"><root id="S2.E21.m1.2.2a.cmml" xref="S2.E21.m1.2.2"></root><apply id="S2.E21.m1.2.2.2.cmml" xref="S2.E21.m1.2.2.2"><plus id="S2.E21.m1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E21.m1.2.2.2.1"></plus><apply id="S2.E21.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E21.m1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E21.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E21.m1.2.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S2.E21.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E21.m1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E21.m1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E21.m1.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E21.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E21.m1.2.2.2.2.2.2">𝑚</ci><cn id="S2.E21.m1.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.E21.m1.2.2.2.2.2.3">1</cn></apply><cn id="S2.E21.m1.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.E21.m1.2.2.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S2.E21.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E21.m1.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E21.m1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S2.E21.m1.2.2.2.3">superscript</csymbol><apply id="S2.E21.m1.2.2.2.3.2.cmml" xref="S2.E21.m1.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E21.m1.2.2.2.3.2.1.cmml" xref="S2.E21.m1.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E21.m1.2.2.2.3.2.2.cmml" xref="S2.E21.m1.2.2.2.3.2.2">𝑚</ci><cn id="S2.E21.m1.2.2.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.E21.m1.2.2.2.3.2.3">2</cn></apply><cn id="S2.E21.m1.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E21.m1.2.2.2.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.E21.m1.3.3.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.E21.m1.3.3.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E21.m1.3.3.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S2.E21.m1.3.3.1.1.3.2.3">superscript</csymbol><ci id="S2.E21.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S2.E21.m1.3.3.1.1.3.2.3.2">𝐿</ci><ci id="S2.E21.m1.3.3.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S2.E21.m1.3.3.1.1.3.2.3.3">𝑝</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E21.m1.3c">\|\sqrt{m_{1}^{2}+m_{2}^{2}}\|_{L^{\infty}}=\lim\limits_{p\to\infty}\|\sqrt{m_% {1}^{2}+m_{2}^{2}}\|_{L^{p}}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E21.m1.3d">∥ square-root start_ARG italic_m start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_m start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ∥ start_POSTSUBSCRIPT italic_L start_POSTSUPERSCRIPT ∞ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT = roman_lim start_POSTSUBSCRIPT italic_p → ∞ end_POSTSUBSCRIPT ∥ square-root start_ARG italic_m start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_m start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ∥ start_POSTSUBSCRIPT italic_L start_POSTSUPERSCRIPT italic_p end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(21)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.p2.9">Vese and Osher <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib51" title="">vese2003modeling </a></cite> firstly proposed the following minimization problem to overcome the difficulty of computing (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S1.E12" title="In 1 Introduction ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">12</span></a>):</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E22"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\inf_{(u,m)}\int_{\Omega}|\nabla u|+\frac{\alpha}{2}\int_{\Omega}|f-u-\mathrm{% div}(m)|^{2}+\lambda[\int_{\Omega}(\sqrt{m_{1}^{2}+m_{2}^{2}})^{p}]^{\frac{1}{% p}}," class="ltx_Math" display="block" id="S2.E22.m1.5"><semantics id="S2.E22.m1.5a"><mrow id="S2.E22.m1.5.5.1" xref="S2.E22.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S2.E22.m1.5.5.1.1" xref="S2.E22.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S2.E22.m1.5.5.1.1.1" xref="S2.E22.m1.5.5.1.1.1.cmml"><munder id="S2.E22.m1.5.5.1.1.1.2" xref="S2.E22.m1.5.5.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E22.m1.5.5.1.1.1.2.2" movablelimits="false" xref="S2.E22.m1.5.5.1.1.1.2.2.cmml">inf</mo><mrow id="S2.E22.m1.2.2.2.4" xref="S2.E22.m1.2.2.2.3.cmml"><mo id="S2.E22.m1.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="S2.E22.m1.2.2.2.3.cmml">(</mo><mi id="S2.E22.m1.1.1.1.1" xref="S2.E22.m1.1.1.1.1.cmml">u</mi><mo id="S2.E22.m1.2.2.2.4.2" xref="S2.E22.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.E22.m1.2.2.2.2" xref="S2.E22.m1.2.2.2.2.cmml">m</mi><mo id="S2.E22.m1.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="S2.E22.m1.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></munder><mrow id="S2.E22.m1.5.5.1.1.1.1" xref="S2.E22.m1.5.5.1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.E22.m1.5.5.1.1.1.1.2" xref="S2.E22.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E22.m1.5.5.1.1.1.1.2.2" lspace="0.167em" rspace="0em" xref="S2.E22.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.cmml">∫</mo><mi id="S2.E22.m1.5.5.1.1.1.1.2.3" mathvariant="normal" xref="S2.E22.m1.5.5.1.1.1.1.2.3.cmml">Ω</mi></msub><mrow id="S2.E22.m1.5.5.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E22.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E22.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" 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xref="S2.E22.m1.5.5.1.1.2.1.2.cmml"><mo id="S2.E22.m1.5.5.1.1.2.1.2.2" rspace="0em" xref="S2.E22.m1.5.5.1.1.2.1.2.2.cmml">∫</mo><mi id="S2.E22.m1.5.5.1.1.2.1.2.3" mathvariant="normal" xref="S2.E22.m1.5.5.1.1.2.1.2.3.cmml">Ω</mi></msub><msup id="S2.E22.m1.5.5.1.1.2.1.1" xref="S2.E22.m1.5.5.1.1.2.1.1.cmml"><mrow id="S2.E22.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1" xref="S2.E22.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E22.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E22.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S2.E22.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="S2.E22.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E22.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E22.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.2.cmml">f</mi><mo id="S2.E22.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E22.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S2.E22.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E22.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.3.cmml">u</mi><mo id="S2.E22.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1a" xref="S2.E22.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S2.E22.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.4" xref="S2.E22.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S2.E22.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.4.2" xref="S2.E22.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.4.2.cmml">div</mi><mo id="S2.E22.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.4.1" xref="S2.E22.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E22.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.4.3.2" xref="S2.E22.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.4.cmml"><mo id="S2.E22.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E22.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.4.cmml">(</mo><mi id="S2.E22.m1.3.3" xref="S2.E22.m1.3.3.cmml">m</mi><mo id="S2.E22.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.E22.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.4.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E22.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E22.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mn id="S2.E22.m1.5.5.1.1.2.1.1.3" xref="S2.E22.m1.5.5.1.1.2.1.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><mo id="S2.E22.m1.5.5.1.1.4a" xref="S2.E22.m1.5.5.1.1.4.cmml">+</mo><mrow id="S2.E22.m1.5.5.1.1.3" xref="S2.E22.m1.5.5.1.1.3.cmml"><mi id="S2.E22.m1.5.5.1.1.3.3" xref="S2.E22.m1.5.5.1.1.3.3.cmml">λ</mi><mo id="S2.E22.m1.5.5.1.1.3.2" xref="S2.E22.m1.5.5.1.1.3.2.cmml">⁢</mo><msup id="S2.E22.m1.5.5.1.1.3.1" xref="S2.E22.m1.5.5.1.1.3.1.cmml"><mrow id="S2.E22.m1.5.5.1.1.3.1.1.1" xref="S2.E22.m1.5.5.1.1.3.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E22.m1.5.5.1.1.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E22.m1.5.5.1.1.3.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S2.E22.m1.5.5.1.1.3.1.1.1.1" xref="S2.E22.m1.5.5.1.1.3.1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.E22.m1.5.5.1.1.3.1.1.1.1.1" xref="S2.E22.m1.5.5.1.1.3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E22.m1.5.5.1.1.3.1.1.1.1.1.2" lspace="0em" rspace="0em" xref="S2.E22.m1.5.5.1.1.3.1.1.1.1.1.2.cmml">∫</mo><mi id="S2.E22.m1.5.5.1.1.3.1.1.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S2.E22.m1.5.5.1.1.3.1.1.1.1.1.3.cmml">Ω</mi></msub><msup id="S2.E22.m1.5.5.1.1.3.1.1.1.1.2" xref="S2.E22.m1.5.5.1.1.3.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S2.E22.m1.5.5.1.1.3.1.1.1.1.2.2.2" xref="S2.E22.m1.4.4.cmml"><mo id="S2.E22.m1.5.5.1.1.3.1.1.1.1.2.2.2.1" stretchy="false" xref="S2.E22.m1.4.4.cmml">(</mo><msqrt id="S2.E22.m1.4.4" xref="S2.E22.m1.4.4.cmml"><mrow id="S2.E22.m1.4.4.2" xref="S2.E22.m1.4.4.2.cmml"><msubsup id="S2.E22.m1.4.4.2.2" xref="S2.E22.m1.4.4.2.2.cmml"><mi id="S2.E22.m1.4.4.2.2.2.2" xref="S2.E22.m1.4.4.2.2.2.2.cmml">m</mi><mn id="S2.E22.m1.4.4.2.2.2.3" xref="S2.E22.m1.4.4.2.2.2.3.cmml">1</mn><mn id="S2.E22.m1.4.4.2.2.3" xref="S2.E22.m1.4.4.2.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S2.E22.m1.4.4.2.1" xref="S2.E22.m1.4.4.2.1.cmml">+</mo><msubsup id="S2.E22.m1.4.4.2.3" xref="S2.E22.m1.4.4.2.3.cmml"><mi id="S2.E22.m1.4.4.2.3.2.2" xref="S2.E22.m1.4.4.2.3.2.2.cmml">m</mi><mn id="S2.E22.m1.4.4.2.3.2.3" xref="S2.E22.m1.4.4.2.3.2.3.cmml">2</mn><mn id="S2.E22.m1.4.4.2.3.3" xref="S2.E22.m1.4.4.2.3.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow></msqrt><mo id="S2.E22.m1.5.5.1.1.3.1.1.1.1.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S2.E22.m1.4.4.cmml">)</mo></mrow><mi id="S2.E22.m1.5.5.1.1.3.1.1.1.1.2.3" xref="S2.E22.m1.5.5.1.1.3.1.1.1.1.2.3.cmml">p</mi></msup></mrow><mo id="S2.E22.m1.5.5.1.1.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E22.m1.5.5.1.1.3.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><mfrac id="S2.E22.m1.5.5.1.1.3.1.3" xref="S2.E22.m1.5.5.1.1.3.1.3.cmml"><mn id="S2.E22.m1.5.5.1.1.3.1.3.2" xref="S2.E22.m1.5.5.1.1.3.1.3.2.cmml">1</mn><mi id="S2.E22.m1.5.5.1.1.3.1.3.3" xref="S2.E22.m1.5.5.1.1.3.1.3.3.cmml">p</mi></mfrac></msup></mrow></mrow><mo id="S2.E22.m1.5.5.1.2" xref="S2.E22.m1.5.5.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E22.m1.5b"><apply id="S2.E22.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S2.E22.m1.5.5.1"><plus id="S2.E22.m1.5.5.1.1.4.cmml" xref="S2.E22.m1.5.5.1.1.4"></plus><apply id="S2.E22.m1.5.5.1.1.1.cmml" xref="S2.E22.m1.5.5.1.1.1"><apply id="S2.E22.m1.5.5.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E22.m1.5.5.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E22.m1.5.5.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E22.m1.5.5.1.1.1.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S2.E22.m1.5.5.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E22.m1.5.5.1.1.1.2.2">infimum</csymbol><interval closure="open" 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italic_u - roman_div ( italic_m ) | start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_λ [ ∫ start_POSTSUBSCRIPT roman_Ω end_POSTSUBSCRIPT ( square-root start_ARG italic_m start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_m start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_p end_POSTSUPERSCRIPT ] start_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_p end_ARG end_POSTSUPERSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(22)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.p2.8">where <math alttext="\alpha,\lambda>0" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p2.4.m1.2"><semantics id="S2.SS2.p2.4.m1.2a"><mrow id="S2.SS2.p2.4.m1.2.3" xref="S2.SS2.p2.4.m1.2.3.cmml"><mrow id="S2.SS2.p2.4.m1.2.3.2.2" xref="S2.SS2.p2.4.m1.2.3.2.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.4.m1.1.1" xref="S2.SS2.p2.4.m1.1.1.cmml">α</mi><mo id="S2.SS2.p2.4.m1.2.3.2.2.1" xref="S2.SS2.p2.4.m1.2.3.2.1.cmml">,</mo><mi id="S2.SS2.p2.4.m1.2.2" xref="S2.SS2.p2.4.m1.2.2.cmml">λ</mi></mrow><mo id="S2.SS2.p2.4.m1.2.3.1" xref="S2.SS2.p2.4.m1.2.3.1.cmml">></mo><mn id="S2.SS2.p2.4.m1.2.3.3" xref="S2.SS2.p2.4.m1.2.3.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p2.4.m1.2b"><apply id="S2.SS2.p2.4.m1.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.4.m1.2.3"><gt id="S2.SS2.p2.4.m1.2.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.4.m1.2.3.1"></gt><list id="S2.SS2.p2.4.m1.2.3.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.4.m1.2.3.2.2"><ci id="S2.SS2.p2.4.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.4.m1.1.1">𝛼</ci><ci id="S2.SS2.p2.4.m1.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.4.m1.2.2">𝜆</ci></list><cn id="S2.SS2.p2.4.m1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p2.4.m1.2.3.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p2.4.m1.2c">\alpha,\lambda>0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p2.4.m1.2d">italic_α , italic_λ > 0</annotation></semantics></math> are tuning parameters, and the second term ensures that <math alttext="f\approx u+\mathrm{div}(m)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p2.5.m2.1"><semantics id="S2.SS2.p2.5.m2.1a"><mrow id="S2.SS2.p2.5.m2.1.2" xref="S2.SS2.p2.5.m2.1.2.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.5.m2.1.2.2" xref="S2.SS2.p2.5.m2.1.2.2.cmml">f</mi><mo id="S2.SS2.p2.5.m2.1.2.1" xref="S2.SS2.p2.5.m2.1.2.1.cmml">≈</mo><mrow id="S2.SS2.p2.5.m2.1.2.3" xref="S2.SS2.p2.5.m2.1.2.3.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.5.m2.1.2.3.2" xref="S2.SS2.p2.5.m2.1.2.3.2.cmml">u</mi><mo id="S2.SS2.p2.5.m2.1.2.3.1" xref="S2.SS2.p2.5.m2.1.2.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S2.SS2.p2.5.m2.1.2.3.3" xref="S2.SS2.p2.5.m2.1.2.3.3.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.5.m2.1.2.3.3.2" xref="S2.SS2.p2.5.m2.1.2.3.3.2.cmml">div</mi><mo id="S2.SS2.p2.5.m2.1.2.3.3.1" xref="S2.SS2.p2.5.m2.1.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS2.p2.5.m2.1.2.3.3.3.2" xref="S2.SS2.p2.5.m2.1.2.3.3.cmml"><mo id="S2.SS2.p2.5.m2.1.2.3.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS2.p2.5.m2.1.2.3.3.cmml">(</mo><mi id="S2.SS2.p2.5.m2.1.1" xref="S2.SS2.p2.5.m2.1.1.cmml">m</mi><mo id="S2.SS2.p2.5.m2.1.2.3.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.p2.5.m2.1.2.3.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p2.5.m2.1b"><apply id="S2.SS2.p2.5.m2.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.5.m2.1.2"><approx id="S2.SS2.p2.5.m2.1.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.5.m2.1.2.1"></approx><ci id="S2.SS2.p2.5.m2.1.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.5.m2.1.2.2">𝑓</ci><apply id="S2.SS2.p2.5.m2.1.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.5.m2.1.2.3"><plus id="S2.SS2.p2.5.m2.1.2.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.5.m2.1.2.3.1"></plus><ci id="S2.SS2.p2.5.m2.1.2.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.5.m2.1.2.3.2">𝑢</ci><apply id="S2.SS2.p2.5.m2.1.2.3.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.5.m2.1.2.3.3"><times id="S2.SS2.p2.5.m2.1.2.3.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.5.m2.1.2.3.3.1"></times><ci id="S2.SS2.p2.5.m2.1.2.3.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.5.m2.1.2.3.3.2">div</ci><ci id="S2.SS2.p2.5.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.5.m2.1.1">𝑚</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p2.5.m2.1c">f\approx u+\mathrm{div}(m)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p2.5.m2.1d">italic_f ≈ italic_u + roman_div ( italic_m )</annotation></semantics></math>. If the parameter <math alttext="\alpha\to\infty" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p2.6.m3.1"><semantics id="S2.SS2.p2.6.m3.1a"><mrow id="S2.SS2.p2.6.m3.1.1" xref="S2.SS2.p2.6.m3.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.6.m3.1.1.2" xref="S2.SS2.p2.6.m3.1.1.2.cmml">α</mi><mo id="S2.SS2.p2.6.m3.1.1.1" stretchy="false" xref="S2.SS2.p2.6.m3.1.1.1.cmml">→</mo><mi id="S2.SS2.p2.6.m3.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S2.SS2.p2.6.m3.1.1.3.cmml">∞</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p2.6.m3.1b"><apply id="S2.SS2.p2.6.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.6.m3.1.1"><ci id="S2.SS2.p2.6.m3.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.6.m3.1.1.1">→</ci><ci id="S2.SS2.p2.6.m3.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.6.m3.1.1.2">𝛼</ci><infinity id="S2.SS2.p2.6.m3.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.6.m3.1.1.3"></infinity></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p2.6.m3.1c">\alpha\to\infty</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p2.6.m3.1d">italic_α → ∞</annotation></semantics></math>, and <math alttext="p\to\infty" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p2.7.m4.1"><semantics id="S2.SS2.p2.7.m4.1a"><mrow id="S2.SS2.p2.7.m4.1.1" xref="S2.SS2.p2.7.m4.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.7.m4.1.1.2" xref="S2.SS2.p2.7.m4.1.1.2.cmml">p</mi><mo id="S2.SS2.p2.7.m4.1.1.1" stretchy="false" xref="S2.SS2.p2.7.m4.1.1.1.cmml">→</mo><mi id="S2.SS2.p2.7.m4.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S2.SS2.p2.7.m4.1.1.3.cmml">∞</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p2.7.m4.1b"><apply id="S2.SS2.p2.7.m4.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.7.m4.1.1"><ci id="S2.SS2.p2.7.m4.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.7.m4.1.1.1">→</ci><ci id="S2.SS2.p2.7.m4.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.7.m4.1.1.2">𝑝</ci><infinity id="S2.SS2.p2.7.m4.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.7.m4.1.1.3"></infinity></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p2.7.m4.1c">p\to\infty</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p2.7.m4.1d">italic_p → ∞</annotation></semantics></math>, this model is formally an approximation of the Meyer’s G-TV model (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S1.E12" title="In 1 Introduction ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">12</span></a>). In numerical experiment, the authors <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib51" title="">vese2003modeling </a></cite> considered the case <math alttext="p=1" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p2.8.m5.1"><semantics id="S2.SS2.p2.8.m5.1a"><mrow id="S2.SS2.p2.8.m5.1.1" xref="S2.SS2.p2.8.m5.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.8.m5.1.1.2" xref="S2.SS2.p2.8.m5.1.1.2.cmml">p</mi><mo id="S2.SS2.p2.8.m5.1.1.1" xref="S2.SS2.p2.8.m5.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S2.SS2.p2.8.m5.1.1.3" xref="S2.SS2.p2.8.m5.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p2.8.m5.1b"><apply id="S2.SS2.p2.8.m5.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.8.m5.1.1"><eq id="S2.SS2.p2.8.m5.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.8.m5.1.1.1"></eq><ci id="S2.SS2.p2.8.m5.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.8.m5.1.1.2">𝑝</ci><cn id="S2.SS2.p2.8.m5.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p2.8.m5.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p2.8.m5.1c">p=1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p2.8.m5.1d">italic_p = 1</annotation></semantics></math> and minimized (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S2.E22" title="In 2.2 Meyer’s 𝐺-TV Model for Cartoon and Texture Decomposition ‣ 2 Related work ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">22</span></a>) using the associated Euler-Lagrange equation and gradient descent.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS2.p3"> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.p3.1">The <math alttext="G" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p3.1.m1.1"><semantics id="S2.SS2.p3.1.m1.1a"><mi id="S2.SS2.p3.1.m1.1.1" xref="S2.SS2.p3.1.m1.1.1.cmml">G</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p3.1.m1.1b"><ci id="S2.SS2.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.1.m1.1.1">𝐺</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p3.1.m1.1c">G</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p3.1.m1.1d">italic_G</annotation></semantics></math> norm is replaced by the negative Sobolev norm in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S2.E22" title="In 2.2 Meyer’s 𝐺-TV Model for Cartoon and Texture Decomposition ‣ 2 Related work ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">22</span></a>) which seems to be useful to model oscillating patterns <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib3" title="">aujol2005dual </a></cite>. The semi-norm in Sobolev space is</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E23"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\|u\|_{1,p}=\||\nabla u|\|_{L^{p}}=(\int_{\Omega}|\nabla u|^{p})^{1/p},\quad% \forall p\geq 1." class="ltx_Math" display="block" id="S2.E23.m1.4"><semantics id="S2.E23.m1.4a"><mrow id="S2.E23.m1.4.4.1"><mrow id="S2.E23.m1.4.4.1.1.2" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.4" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.4.cmml"><mrow id="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.2" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.1.cmml"><mo id="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.2.1" stretchy="false" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S2.E23.m1.3.3" xref="S2.E23.m1.3.3.cmml">u</mi><mo id="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.2.2" stretchy="false" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.1.1.cmml">‖</mo></mrow><mrow id="S2.E23.m1.2.2.2.4" xref="S2.E23.m1.2.2.2.3.cmml"><mn id="S2.E23.m1.1.1.1.1" xref="S2.E23.m1.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S2.E23.m1.2.2.2.4.1" xref="S2.E23.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.E23.m1.2.2.2.2" xref="S2.E23.m1.2.2.2.2.cmml">p</mi></mrow></msub><mo id="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.5" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.5.cmml">=</mo><msub id="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" rspace="0.167em" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">∇</mo><mi id="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">u</mi></mrow><mo id="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><msup id="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.cmml">L</mi><mi id="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.3.cmml">p</mi></msup></msub><mo id="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.6" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.6.cmml">=</mo><msup id="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.2" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><msub id="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.2" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2" lspace="0em" rspace="0em" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.cmml">∫</mo><mi id="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3" mathvariant="normal" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.cmml">Ω</mi></msub><msup id="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.1" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1" rspace="0.167em" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">∇</mo><mi id="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">u</mi></mrow><mo id="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mi id="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml">p</mi></msup></mrow><mo id="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.2.3" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.cmml"><mn id="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.2" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.2.cmml">1</mn><mo id="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.1" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.1.cmml">/</mo><mi id="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.3" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.3.cmml">p</mi></mrow></msup></mrow><mo id="S2.E23.m1.4.4.1.1.2.3" rspace="1.167em" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S2.E23.m1.4.4.1.1.2.2" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S2.E23.m1.4.4.1.1.2.2.2" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.2.2.2.cmml"><mo id="S2.E23.m1.4.4.1.1.2.2.2.1" rspace="0.167em" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.cmml">∀</mo><mi id="S2.E23.m1.4.4.1.1.2.2.2.2" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.cmml">p</mi></mrow><mo id="S2.E23.m1.4.4.1.1.2.2.1" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.2.2.1.cmml">≥</mo><mn id="S2.E23.m1.4.4.1.1.2.2.3" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.2.2.3.cmml">1</mn></mrow></mrow><mo id="S2.E23.m1.4.4.1.2" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E23.m1.4b"><apply id="S2.E23.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E23.m1.4.4.1.1.3a.cmml" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1"><and id="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1a.cmml" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1"></and><apply id="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1b.cmml" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1"><eq id="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.5.cmml" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.5"></eq><apply id="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.4.cmml" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><apply id="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.1.1.cmml" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.2.1">norm</csymbol><ci id="S2.E23.m1.3.3.cmml" xref="S2.E23.m1.3.3">𝑢</ci></apply><list id="S2.E23.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E23.m1.2.2.2.4"><cn id="S2.E23.m1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.E23.m1.1.1.1.1">1</cn><ci id="S2.E23.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E23.m1.2.2.2.2">𝑝</ci></list></apply><apply id="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" 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href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml" id="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1d.cmml" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1"></share><apply id="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1"><apply id="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.2">subscript</csymbol><int id="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2"></int><ci id="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3">Ω</ci></apply><apply id="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1"><abs id="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2"></abs><apply id="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1"><ci id="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1">∇</ci><ci id="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑢</ci></apply></apply><ci id="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3">𝑝</ci></apply></apply><apply id="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.2.3"><divide id="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.1"></divide><cn id="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.E23.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.2">1</cn><ci 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start_POSTSUPERSCRIPT italic_p end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT = ( ∫ start_POSTSUBSCRIPT roman_Ω end_POSTSUBSCRIPT | ∇ italic_u | start_POSTSUPERSCRIPT italic_p end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT 1 / italic_p end_POSTSUPERSCRIPT , ∀ italic_p ≥ 1 .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(23)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.p3.2">The negative Sobolev norm with <math alttext="1/p+1/q=1" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p3.2.m1.1"><semantics id="S2.SS2.p3.2.m1.1a"><mrow id="S2.SS2.p3.2.m1.1.1" xref="S2.SS2.p3.2.m1.1.1.cmml"><mrow id="S2.SS2.p3.2.m1.1.1.2" xref="S2.SS2.p3.2.m1.1.1.2.cmml"><mrow id="S2.SS2.p3.2.m1.1.1.2.2" xref="S2.SS2.p3.2.m1.1.1.2.2.cmml"><mn id="S2.SS2.p3.2.m1.1.1.2.2.2" xref="S2.SS2.p3.2.m1.1.1.2.2.2.cmml">1</mn><mo id="S2.SS2.p3.2.m1.1.1.2.2.1" xref="S2.SS2.p3.2.m1.1.1.2.2.1.cmml">/</mo><mi id="S2.SS2.p3.2.m1.1.1.2.2.3" xref="S2.SS2.p3.2.m1.1.1.2.2.3.cmml">p</mi></mrow><mo id="S2.SS2.p3.2.m1.1.1.2.1" xref="S2.SS2.p3.2.m1.1.1.2.1.cmml">+</mo><mrow id="S2.SS2.p3.2.m1.1.1.2.3" xref="S2.SS2.p3.2.m1.1.1.2.3.cmml"><mn id="S2.SS2.p3.2.m1.1.1.2.3.2" xref="S2.SS2.p3.2.m1.1.1.2.3.2.cmml">1</mn><mo id="S2.SS2.p3.2.m1.1.1.2.3.1" xref="S2.SS2.p3.2.m1.1.1.2.3.1.cmml">/</mo><mi id="S2.SS2.p3.2.m1.1.1.2.3.3" xref="S2.SS2.p3.2.m1.1.1.2.3.3.cmml">q</mi></mrow></mrow><mo id="S2.SS2.p3.2.m1.1.1.1" xref="S2.SS2.p3.2.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S2.SS2.p3.2.m1.1.1.3" xref="S2.SS2.p3.2.m1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p3.2.m1.1b"><apply id="S2.SS2.p3.2.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.2.m1.1.1"><eq id="S2.SS2.p3.2.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.2.m1.1.1.1"></eq><apply id="S2.SS2.p3.2.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p3.2.m1.1.1.2"><plus id="S2.SS2.p3.2.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.2.m1.1.1.2.1"></plus><apply id="S2.SS2.p3.2.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p3.2.m1.1.1.2.2"><divide id="S2.SS2.p3.2.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.2.m1.1.1.2.2.1"></divide><cn id="S2.SS2.p3.2.m1.1.1.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p3.2.m1.1.1.2.2.2">1</cn><ci id="S2.SS2.p3.2.m1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p3.2.m1.1.1.2.2.3">𝑝</ci></apply><apply id="S2.SS2.p3.2.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p3.2.m1.1.1.2.3"><divide id="S2.SS2.p3.2.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.2.m1.1.1.2.3.1"></divide><cn id="S2.SS2.p3.2.m1.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p3.2.m1.1.1.2.3.2">1</cn><ci id="S2.SS2.p3.2.m1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S2.SS2.p3.2.m1.1.1.2.3.3">𝑞</ci></apply></apply><cn id="S2.SS2.p3.2.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p3.2.m1.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p3.2.m1.1c">1/p+1/q=1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p3.2.m1.1d">1 / italic_p + 1 / italic_q = 1</annotation></semantics></math> is</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E24"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\begin{split}\|v\|_{-1,p}&=\sup_{\|u\|_{1,q}=1}(v,u)=\sup_{\||\nabla u|\|_{L^{% q}}=1}(v,u)\\ &=\inf\left\{\||m|\|_{L^{p}}:v=\mathrm{div}(m),m\in L^{p}(\Omega)\ \right\}.% \end{split}" class="ltx_math_unparsed" display="block" id="S2.E24.m1.46"><semantics id="S2.E24.m1.46a"><mtable columnspacing="0pt" displaystyle="true" id="S2.E24.m1.46.46" rowspacing="0pt"><mtr id="S2.E24.m1.46.46a"><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="S2.E24.m1.46.46b"><msub id="S2.E24.m1.4.4.4.4.4"><mrow id="S2.E24.m1.4.4.4.4.4.6"><mo id="S2.E24.m1.1.1.1.1.1.1" stretchy="false">‖</mo><mi id="S2.E24.m1.2.2.2.2.2.2">v</mi><mo id="S2.E24.m1.3.3.3.3.3.3" stretchy="false">‖</mo></mrow><mrow id="S2.E24.m1.4.4.4.4.4.4.1.2"><mrow id="S2.E24.m1.4.4.4.4.4.4.1.2.1"><mo id="S2.E24.m1.4.4.4.4.4.4.1.2.1a">−</mo><mn id="S2.E24.m1.4.4.4.4.4.4.1.2.1.2">1</mn></mrow><mo id="S2.E24.m1.4.4.4.4.4.4.1.2.2">,</mo><mi id="S2.E24.m1.4.4.4.4.4.4.1.1">p</mi></mrow></msub></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S2.E24.m1.46.46c"><mrow id="S2.E24.m1.20.20.20.20.16"><mi id="S2.E24.m1.20.20.20.20.16.18"></mi><mo id="S2.E24.m1.5.5.5.5.1.1" rspace="0.1389em">=</mo><mrow id="S2.E24.m1.20.20.20.20.16.19"><munder id="S2.E24.m1.20.20.20.20.16.19.1"><mo id="S2.E24.m1.6.6.6.6.2.2" lspace="0.1389em" movablelimits="false" rspace="0em">sup</mo><mrow id="S2.E24.m1.7.7.7.7.3.3.1"><msub id="S2.E24.m1.7.7.7.7.3.3.1.5"><mrow id="S2.E24.m1.7.7.7.7.3.3.1.5.2.2"><mo id="S2.E24.m1.7.7.7.7.3.3.1.5.2.2.1" stretchy="false">‖</mo><mi id="S2.E24.m1.7.7.7.7.3.3.1.3">u</mi><mo id="S2.E24.m1.7.7.7.7.3.3.1.5.2.2.2" stretchy="false">‖</mo></mrow><mrow id="S2.E24.m1.7.7.7.7.3.3.1.2.2.4"><mn id="S2.E24.m1.7.7.7.7.3.3.1.1.1.1">1</mn><mo id="S2.E24.m1.7.7.7.7.3.3.1.2.2.4.1">,</mo><mi id="S2.E24.m1.7.7.7.7.3.3.1.2.2.2">q</mi></mrow></msub><mo id="S2.E24.m1.7.7.7.7.3.3.1.4">=</mo><mn id="S2.E24.m1.7.7.7.7.3.3.1.6">1</mn></mrow></munder><mrow id="S2.E24.m1.20.20.20.20.16.19.2"><mo id="S2.E24.m1.8.8.8.8.4.4" stretchy="false">(</mo><mi id="S2.E24.m1.9.9.9.9.5.5">v</mi><mo id="S2.E24.m1.10.10.10.10.6.6">,</mo><mi id="S2.E24.m1.11.11.11.11.7.7">u</mi><mo id="S2.E24.m1.12.12.12.12.8.8" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E24.m1.13.13.13.13.9.9" rspace="0.1389em">=</mo><mrow id="S2.E24.m1.20.20.20.20.16.20"><munder id="S2.E24.m1.20.20.20.20.16.20.1"><mo id="S2.E24.m1.14.14.14.14.10.10" lspace="0.1389em" movablelimits="false" rspace="0em">sup</mo><mrow id="S2.E24.m1.15.15.15.15.11.11.1"><msub id="S2.E24.m1.15.15.15.15.11.11.1.1"><mrow id="S2.E24.m1.15.15.15.15.11.11.1.1.1.1"><mo id="S2.E24.m1.15.15.15.15.11.11.1.1.1.1.2" stretchy="false">‖</mo><mrow id="S2.E24.m1.15.15.15.15.11.11.1.1.1.1.1.1"><mo id="S2.E24.m1.15.15.15.15.11.11.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false">|</mo><mrow id="S2.E24.m1.15.15.15.15.11.11.1.1.1.1.1.1.1"><mo id="S2.E24.m1.15.15.15.15.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1" rspace="0.167em">∇</mo><mi id="S2.E24.m1.15.15.15.15.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2">u</mi></mrow><mo id="S2.E24.m1.15.15.15.15.11.11.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false">|</mo></mrow><mo id="S2.E24.m1.15.15.15.15.11.11.1.1.1.1.3" stretchy="false">‖</mo></mrow><msup id="S2.E24.m1.15.15.15.15.11.11.1.1.3"><mi id="S2.E24.m1.15.15.15.15.11.11.1.1.3.2">L</mi><mi id="S2.E24.m1.15.15.15.15.11.11.1.1.3.3">q</mi></msup></msub><mo id="S2.E24.m1.15.15.15.15.11.11.1.2">=</mo><mn id="S2.E24.m1.15.15.15.15.11.11.1.3">1</mn></mrow></munder><mrow id="S2.E24.m1.20.20.20.20.16.20.2"><mo id="S2.E24.m1.16.16.16.16.12.12" stretchy="false">(</mo><mi id="S2.E24.m1.17.17.17.17.13.13">v</mi><mo id="S2.E24.m1.18.18.18.18.14.14">,</mo><mi id="S2.E24.m1.19.19.19.19.15.15">u</mi><mo id="S2.E24.m1.20.20.20.20.16.16" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="S2.E24.m1.46.46d"><mtd id="S2.E24.m1.46.46e"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S2.E24.m1.46.46f"><mrow id="S2.E24.m1.46.46.46.26.26"><mo id="S2.E24.m1.21.21.21.1.1.1" rspace="0.1389em">=</mo><mo id="S2.E24.m1.22.22.22.2.2.2" lspace="0.1389em" movablelimits="false" rspace="0em">inf</mo><mrow id="S2.E24.m1.46.46.46.26.26.27"><mo id="S2.E24.m1.23.23.23.3.3.3">{</mo><mo id="S2.E24.m1.24.24.24.4.4.4" lspace="0em" rspace="0.167em">∥</mo><mo fence="false" id="S2.E24.m1.25.25.25.5.5.5" rspace="0.167em" stretchy="false">|</mo><mi id="S2.E24.m1.26.26.26.6.6.6">m</mi><mo fence="false" id="S2.E24.m1.27.27.27.7.7.7" stretchy="false">|</mo><msub id="S2.E24.m1.46.46.46.26.26.27.1"><mo id="S2.E24.m1.28.28.28.8.8.8" lspace="0.167em" rspace="0.167em">∥</mo><msup id="S2.E24.m1.29.29.29.9.9.9.1"><mi id="S2.E24.m1.29.29.29.9.9.9.1.2">L</mi><mi id="S2.E24.m1.29.29.29.9.9.9.1.3">p</mi></msup></msub><mo id="S2.E24.m1.30.30.30.10.10.10" rspace="0.278em">:</mo><mi id="S2.E24.m1.31.31.31.11.11.11">v</mi><mo id="S2.E24.m1.32.32.32.12.12.12">=</mo><mi id="S2.E24.m1.33.33.33.13.13.13">div</mi><mrow id="S2.E24.m1.46.46.46.26.26.27.2"><mo id="S2.E24.m1.34.34.34.14.14.14" stretchy="false">(</mo><mi id="S2.E24.m1.35.35.35.15.15.15">m</mi><mo id="S2.E24.m1.36.36.36.16.16.16" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S2.E24.m1.37.37.37.17.17.17">,</mo><mi id="S2.E24.m1.38.38.38.18.18.18">m</mi><mo id="S2.E24.m1.39.39.39.19.19.19">∈</mo><msup id="S2.E24.m1.46.46.46.26.26.27.3"><mi id="S2.E24.m1.40.40.40.20.20.20">L</mi><mi id="S2.E24.m1.41.41.41.21.21.21.1">p</mi></msup><mrow id="S2.E24.m1.46.46.46.26.26.27.4"><mo id="S2.E24.m1.42.42.42.22.22.22" stretchy="false">(</mo><mi id="S2.E24.m1.43.43.43.23.23.23" mathvariant="normal">Ω</mi><mo id="S2.E24.m1.44.44.44.24.24.24" rspace="0.500em" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S2.E24.m1.45.45.45.25.25.25">}</mo></mrow><mo id="S2.E24.m1.46.46.46.26.26.26" lspace="0em">.</mo></mrow></mtd></mtr></mtable><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E24.m1.46b">\begin{split}\|v\|_{-1,p}&=\sup_{\|u\|_{1,q}=1}(v,u)=\sup_{\||\nabla u|\|_{L^{% q}}=1}(v,u)\\ &=\inf\left\{\||m|\|_{L^{p}}:v=\mathrm{div}(m),m\in L^{p}(\Omega)\ \right\}.% \end{split}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E24.m1.46c">start_ROW start_CELL ∥ italic_v ∥ start_POSTSUBSCRIPT - 1 , italic_p end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL = roman_sup start_POSTSUBSCRIPT ∥ italic_u ∥ start_POSTSUBSCRIPT 1 , italic_q end_POSTSUBSCRIPT = 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_v , italic_u ) = roman_sup start_POSTSUBSCRIPT ∥ | ∇ italic_u | ∥ start_POSTSUBSCRIPT italic_L start_POSTSUPERSCRIPT italic_q end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT = 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_v , italic_u ) end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL end_CELL start_CELL = roman_inf { ∥ | italic_m | ∥ start_POSTSUBSCRIPT italic_L start_POSTSUPERSCRIPT italic_p end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT : italic_v = roman_div ( italic_m ) , italic_m ∈ italic_L start_POSTSUPERSCRIPT italic_p end_POSTSUPERSCRIPT ( roman_Ω ) } . end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(24)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.p3.5">The TV norm is just the semi-norm <math alttext="\|u\|_{1,1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p3.3.m1.3"><semantics id="S2.SS2.p3.3.m1.3a"><msub id="S2.SS2.p3.3.m1.3.4" xref="S2.SS2.p3.3.m1.3.4.cmml"><mrow id="S2.SS2.p3.3.m1.3.4.2.2" xref="S2.SS2.p3.3.m1.3.4.2.1.cmml"><mo id="S2.SS2.p3.3.m1.3.4.2.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS2.p3.3.m1.3.4.2.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S2.SS2.p3.3.m1.3.3" xref="S2.SS2.p3.3.m1.3.3.cmml">u</mi><mo id="S2.SS2.p3.3.m1.3.4.2.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.p3.3.m1.3.4.2.1.1.cmml">‖</mo></mrow><mrow id="S2.SS2.p3.3.m1.2.2.2.4" xref="S2.SS2.p3.3.m1.2.2.2.3.cmml"><mn id="S2.SS2.p3.3.m1.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p3.3.m1.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S2.SS2.p3.3.m1.2.2.2.4.1" xref="S2.SS2.p3.3.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="S2.SS2.p3.3.m1.2.2.2.2" xref="S2.SS2.p3.3.m1.2.2.2.2.cmml">1</mn></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p3.3.m1.3b"><apply id="S2.SS2.p3.3.m1.3.4.cmml" xref="S2.SS2.p3.3.m1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p3.3.m1.3.4.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.3.m1.3.4">subscript</csymbol><apply id="S2.SS2.p3.3.m1.3.4.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.3.m1.3.4.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS2.p3.3.m1.3.4.2.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.3.m1.3.4.2.2.1">norm</csymbol><ci id="S2.SS2.p3.3.m1.3.3.cmml" xref="S2.SS2.p3.3.m1.3.3">𝑢</ci></apply><list id="S2.SS2.p3.3.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p3.3.m1.2.2.2.4"><cn id="S2.SS2.p3.3.m1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p3.3.m1.1.1.1.1">1</cn><cn id="S2.SS2.p3.3.m1.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p3.3.m1.2.2.2.2">1</cn></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p3.3.m1.3c">\|u\|_{1,1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p3.3.m1.3d">∥ italic_u ∥ start_POSTSUBSCRIPT 1 , 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, and the <math alttext="G" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p3.4.m2.1"><semantics id="S2.SS2.p3.4.m2.1a"><mi id="S2.SS2.p3.4.m2.1.1" xref="S2.SS2.p3.4.m2.1.1.cmml">G</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p3.4.m2.1b"><ci id="S2.SS2.p3.4.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.4.m2.1.1">𝐺</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p3.4.m2.1c">G</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p3.4.m2.1d">italic_G</annotation></semantics></math> norm can be written as <math alttext="\|v\|_{G}=\|v\|_{-1,\infty}=\sup_{\||\nabla u|\|_{L^{1}}=1}(v,u)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p3.5.m3.7"><semantics id="S2.SS2.p3.5.m3.7a"><mrow id="S2.SS2.p3.5.m3.7.8" xref="S2.SS2.p3.5.m3.7.8.cmml"><msub id="S2.SS2.p3.5.m3.7.8.2" xref="S2.SS2.p3.5.m3.7.8.2.cmml"><mrow id="S2.SS2.p3.5.m3.7.8.2.2.2" xref="S2.SS2.p3.5.m3.7.8.2.2.1.cmml"><mo id="S2.SS2.p3.5.m3.7.8.2.2.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS2.p3.5.m3.7.8.2.2.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S2.SS2.p3.5.m3.4.4" xref="S2.SS2.p3.5.m3.4.4.cmml">v</mi><mo id="S2.SS2.p3.5.m3.7.8.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.p3.5.m3.7.8.2.2.1.1.cmml">‖</mo></mrow><mi id="S2.SS2.p3.5.m3.7.8.2.3" xref="S2.SS2.p3.5.m3.7.8.2.3.cmml">G</mi></msub><mo id="S2.SS2.p3.5.m3.7.8.3" xref="S2.SS2.p3.5.m3.7.8.3.cmml">=</mo><msub id="S2.SS2.p3.5.m3.7.8.4" xref="S2.SS2.p3.5.m3.7.8.4.cmml"><mrow id="S2.SS2.p3.5.m3.7.8.4.2.2" xref="S2.SS2.p3.5.m3.7.8.4.2.1.cmml"><mo id="S2.SS2.p3.5.m3.7.8.4.2.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS2.p3.5.m3.7.8.4.2.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S2.SS2.p3.5.m3.5.5" xref="S2.SS2.p3.5.m3.5.5.cmml">v</mi><mo id="S2.SS2.p3.5.m3.7.8.4.2.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.p3.5.m3.7.8.4.2.1.1.cmml">‖</mo></mrow><mrow id="S2.SS2.p3.5.m3.2.2.2.2" xref="S2.SS2.p3.5.m3.2.2.2.3.cmml"><mrow id="S2.SS2.p3.5.m3.2.2.2.2.1" xref="S2.SS2.p3.5.m3.2.2.2.2.1.cmml"><mo id="S2.SS2.p3.5.m3.2.2.2.2.1a" xref="S2.SS2.p3.5.m3.2.2.2.2.1.cmml">−</mo><mn id="S2.SS2.p3.5.m3.2.2.2.2.1.2" xref="S2.SS2.p3.5.m3.2.2.2.2.1.2.cmml">1</mn></mrow><mo id="S2.SS2.p3.5.m3.2.2.2.2.2" xref="S2.SS2.p3.5.m3.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.SS2.p3.5.m3.1.1.1.1" mathvariant="normal" xref="S2.SS2.p3.5.m3.1.1.1.1.cmml">∞</mi></mrow></msub><mo id="S2.SS2.p3.5.m3.7.8.5" rspace="0.1389em" xref="S2.SS2.p3.5.m3.7.8.5.cmml">=</mo><mrow id="S2.SS2.p3.5.m3.7.8.6" xref="S2.SS2.p3.5.m3.7.8.6.cmml"><msub id="S2.SS2.p3.5.m3.7.8.6.1" xref="S2.SS2.p3.5.m3.7.8.6.1.cmml"><mo id="S2.SS2.p3.5.m3.7.8.6.1.2" lspace="0.1389em" rspace="0em" xref="S2.SS2.p3.5.m3.7.8.6.1.2.cmml">sup</mo><mrow id="S2.SS2.p3.5.m3.3.3.1" xref="S2.SS2.p3.5.m3.3.3.1.cmml"><msub id="S2.SS2.p3.5.m3.3.3.1.1" xref="S2.SS2.p3.5.m3.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S2.SS2.p3.5.m3.3.3.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p3.5.m3.3.3.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.SS2.p3.5.m3.3.3.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.p3.5.m3.3.3.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S2.SS2.p3.5.m3.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p3.5.m3.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.SS2.p3.5.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.p3.5.m3.3.3.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S2.SS2.p3.5.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p3.5.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS2.p3.5.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1" rspace="0.167em" xref="S2.SS2.p3.5.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">∇</mo><mi id="S2.SS2.p3.5.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS2.p3.5.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">u</mi></mrow><mo id="S2.SS2.p3.5.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS2.p3.5.m3.3.3.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S2.SS2.p3.5.m3.3.3.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS2.p3.5.m3.3.3.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><msup id="S2.SS2.p3.5.m3.3.3.1.1.3" xref="S2.SS2.p3.5.m3.3.3.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS2.p3.5.m3.3.3.1.1.3.2" xref="S2.SS2.p3.5.m3.3.3.1.1.3.2.cmml">L</mi><mn id="S2.SS2.p3.5.m3.3.3.1.1.3.3" xref="S2.SS2.p3.5.m3.3.3.1.1.3.3.cmml">1</mn></msup></msub><mo id="S2.SS2.p3.5.m3.3.3.1.2" xref="S2.SS2.p3.5.m3.3.3.1.2.cmml">=</mo><mn id="S2.SS2.p3.5.m3.3.3.1.3" xref="S2.SS2.p3.5.m3.3.3.1.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mrow id="S2.SS2.p3.5.m3.7.8.6.2.2" xref="S2.SS2.p3.5.m3.7.8.6.2.1.cmml"><mo id="S2.SS2.p3.5.m3.7.8.6.2.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS2.p3.5.m3.7.8.6.2.1.cmml">(</mo><mi id="S2.SS2.p3.5.m3.6.6" xref="S2.SS2.p3.5.m3.6.6.cmml">v</mi><mo id="S2.SS2.p3.5.m3.7.8.6.2.2.2" xref="S2.SS2.p3.5.m3.7.8.6.2.1.cmml">,</mo><mi id="S2.SS2.p3.5.m3.7.7" xref="S2.SS2.p3.5.m3.7.7.cmml">u</mi><mo id="S2.SS2.p3.5.m3.7.8.6.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.SS2.p3.5.m3.7.8.6.2.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p3.5.m3.7b"><apply id="S2.SS2.p3.5.m3.7.8.cmml" xref="S2.SS2.p3.5.m3.7.8"><and id="S2.SS2.p3.5.m3.7.8a.cmml" xref="S2.SS2.p3.5.m3.7.8"></and><apply id="S2.SS2.p3.5.m3.7.8b.cmml" xref="S2.SS2.p3.5.m3.7.8"><eq id="S2.SS2.p3.5.m3.7.8.3.cmml" xref="S2.SS2.p3.5.m3.7.8.3"></eq><apply id="S2.SS2.p3.5.m3.7.8.2.cmml" xref="S2.SS2.p3.5.m3.7.8.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p3.5.m3.7.8.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.5.m3.7.8.2">subscript</csymbol><apply id="S2.SS2.p3.5.m3.7.8.2.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.5.m3.7.8.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS2.p3.5.m3.7.8.2.2.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.5.m3.7.8.2.2.2.1">norm</csymbol><ci id="S2.SS2.p3.5.m3.4.4.cmml" xref="S2.SS2.p3.5.m3.4.4">𝑣</ci></apply><ci id="S2.SS2.p3.5.m3.7.8.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p3.5.m3.7.8.2.3">𝐺</ci></apply><apply id="S2.SS2.p3.5.m3.7.8.4.cmml" xref="S2.SS2.p3.5.m3.7.8.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p3.5.m3.7.8.4.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.5.m3.7.8.4">subscript</csymbol><apply id="S2.SS2.p3.5.m3.7.8.4.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.5.m3.7.8.4.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS2.p3.5.m3.7.8.4.2.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.5.m3.7.8.4.2.2.1">norm</csymbol><ci id="S2.SS2.p3.5.m3.5.5.cmml" xref="S2.SS2.p3.5.m3.5.5">𝑣</ci></apply><list id="S2.SS2.p3.5.m3.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p3.5.m3.2.2.2.2"><apply id="S2.SS2.p3.5.m3.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.5.m3.2.2.2.2.1"><minus id="S2.SS2.p3.5.m3.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.5.m3.2.2.2.2.1"></minus><cn id="S2.SS2.p3.5.m3.2.2.2.2.1.2.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p3.5.m3.2.2.2.2.1.2">1</cn></apply><infinity id="S2.SS2.p3.5.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.5.m3.1.1.1.1"></infinity></list></apply></apply><apply id="S2.SS2.p3.5.m3.7.8c.cmml" xref="S2.SS2.p3.5.m3.7.8"><eq id="S2.SS2.p3.5.m3.7.8.5.cmml" xref="S2.SS2.p3.5.m3.7.8.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S2.SS2.p3.5.m3.7.8.4.cmml" id="S2.SS2.p3.5.m3.7.8d.cmml" xref="S2.SS2.p3.5.m3.7.8"></share><apply id="S2.SS2.p3.5.m3.7.8.6.cmml" xref="S2.SS2.p3.5.m3.7.8.6"><apply id="S2.SS2.p3.5.m3.7.8.6.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.5.m3.7.8.6.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p3.5.m3.7.8.6.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.5.m3.7.8.6.1">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S2.SS2.p3.5.m3.7.8.6.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p3.5.m3.7.8.6.1.2">supremum</csymbol><apply id="S2.SS2.p3.5.m3.3.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.5.m3.3.3.1"><eq id="S2.SS2.p3.5.m3.3.3.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p3.5.m3.3.3.1.2"></eq><apply id="S2.SS2.p3.5.m3.3.3.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.5.m3.3.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p3.5.m3.3.3.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p3.5.m3.3.3.1.1">subscript</csymbol><apply id="S2.SS2.p3.5.m3.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p3.5.m3.3.3.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS2.p3.5.m3.3.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.5.m3.3.3.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S2.SS2.p3.5.m3.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p3.5.m3.3.3.1.1.1.1.1.1"><abs id="S2.SS2.p3.5.m3.3.3.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.5.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.2"></abs><apply id="S2.SS2.p3.5.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.5.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1"><ci id="S2.SS2.p3.5.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.5.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1">∇</ci><ci id="S2.SS2.p3.5.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p3.5.m3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑢</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.SS2.p3.5.m3.3.3.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p3.5.m3.3.3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p3.5.m3.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.5.m3.3.3.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p3.5.m3.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p3.5.m3.3.3.1.1.3.2">𝐿</ci><cn id="S2.SS2.p3.5.m3.3.3.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p3.5.m3.3.3.1.1.3.3">1</cn></apply></apply><cn id="S2.SS2.p3.5.m3.3.3.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p3.5.m3.3.3.1.3">1</cn></apply></apply><interval closure="open" id="S2.SS2.p3.5.m3.7.8.6.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p3.5.m3.7.8.6.2.2"><ci id="S2.SS2.p3.5.m3.6.6.cmml" xref="S2.SS2.p3.5.m3.6.6">𝑣</ci><ci id="S2.SS2.p3.5.m3.7.7.cmml" xref="S2.SS2.p3.5.m3.7.7">𝑢</ci></interval></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p3.5.m3.7c">\|v\|_{G}=\|v\|_{-1,\infty}=\sup_{\||\nabla u|\|_{L^{1}}=1}(v,u)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p3.5.m3.7d">∥ italic_v ∥ start_POSTSUBSCRIPT italic_G end_POSTSUBSCRIPT = ∥ italic_v ∥ start_POSTSUBSCRIPT - 1 , ∞ end_POSTSUBSCRIPT = roman_sup start_POSTSUBSCRIPT ∥ | ∇ italic_u | ∥ start_POSTSUBSCRIPT italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT = 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_v , italic_u )</annotation></semantics></math>. As a matter of fact, the Wasserstein-1 distance (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S2.E18" title="In 2.1 Optimal Transport ‣ 2 Related work ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">18</span></a>) is a special case of the negative Sobolev norm (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S2.E24" title="In 2.2 Meyer’s 𝐺-TV Model for Cartoon and Texture Decomposition ‣ 2 Related work ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">24</span></a>) <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib41" title="">Peyr2019Computational </a></cite>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS2.p4"> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.p4.10">In <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib39" title="">osher2003image </a></cite>, Osher, Sole, and Vese considered <math alttext="p=2" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p4.1.m1.1"><semantics id="S2.SS2.p4.1.m1.1a"><mrow id="S2.SS2.p4.1.m1.1.1" xref="S2.SS2.p4.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p4.1.m1.1.1.2" xref="S2.SS2.p4.1.m1.1.1.2.cmml">p</mi><mo id="S2.SS2.p4.1.m1.1.1.1" xref="S2.SS2.p4.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S2.SS2.p4.1.m1.1.1.3" xref="S2.SS2.p4.1.m1.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p4.1.m1.1b"><apply id="S2.SS2.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p4.1.m1.1.1"><eq id="S2.SS2.p4.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p4.1.m1.1.1.1"></eq><ci id="S2.SS2.p4.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p4.1.m1.1.1.2">𝑝</ci><cn id="S2.SS2.p4.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p4.1.m1.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p4.1.m1.1c">p=2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p4.1.m1.1d">italic_p = 2</annotation></semantics></math>, with <math alttext="v=\mathrm{div}(m)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p4.2.m2.1"><semantics id="S2.SS2.p4.2.m2.1a"><mrow id="S2.SS2.p4.2.m2.1.2" xref="S2.SS2.p4.2.m2.1.2.cmml"><mi id="S2.SS2.p4.2.m2.1.2.2" xref="S2.SS2.p4.2.m2.1.2.2.cmml">v</mi><mo id="S2.SS2.p4.2.m2.1.2.1" xref="S2.SS2.p4.2.m2.1.2.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.SS2.p4.2.m2.1.2.3" xref="S2.SS2.p4.2.m2.1.2.3.cmml"><mi id="S2.SS2.p4.2.m2.1.2.3.2" xref="S2.SS2.p4.2.m2.1.2.3.2.cmml">div</mi><mo id="S2.SS2.p4.2.m2.1.2.3.1" xref="S2.SS2.p4.2.m2.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS2.p4.2.m2.1.2.3.3.2" xref="S2.SS2.p4.2.m2.1.2.3.cmml"><mo id="S2.SS2.p4.2.m2.1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS2.p4.2.m2.1.2.3.cmml">(</mo><mi id="S2.SS2.p4.2.m2.1.1" xref="S2.SS2.p4.2.m2.1.1.cmml">m</mi><mo id="S2.SS2.p4.2.m2.1.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.p4.2.m2.1.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p4.2.m2.1b"><apply id="S2.SS2.p4.2.m2.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p4.2.m2.1.2"><eq id="S2.SS2.p4.2.m2.1.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p4.2.m2.1.2.1"></eq><ci id="S2.SS2.p4.2.m2.1.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p4.2.m2.1.2.2">𝑣</ci><apply id="S2.SS2.p4.2.m2.1.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p4.2.m2.1.2.3"><times id="S2.SS2.p4.2.m2.1.2.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p4.2.m2.1.2.3.1"></times><ci id="S2.SS2.p4.2.m2.1.2.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p4.2.m2.1.2.3.2">div</ci><ci id="S2.SS2.p4.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p4.2.m2.1.1">𝑚</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p4.2.m2.1c">v=\mathrm{div}(m)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p4.2.m2.1d">italic_v = roman_div ( italic_m )</annotation></semantics></math> and <math alttext="m\in L^{2}(\Omega)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p4.3.m3.1"><semantics id="S2.SS2.p4.3.m3.1a"><mrow id="S2.SS2.p4.3.m3.1.2" xref="S2.SS2.p4.3.m3.1.2.cmml"><mi id="S2.SS2.p4.3.m3.1.2.2" xref="S2.SS2.p4.3.m3.1.2.2.cmml">m</mi><mo id="S2.SS2.p4.3.m3.1.2.1" xref="S2.SS2.p4.3.m3.1.2.1.cmml">∈</mo><mrow id="S2.SS2.p4.3.m3.1.2.3" xref="S2.SS2.p4.3.m3.1.2.3.cmml"><msup id="S2.SS2.p4.3.m3.1.2.3.2" xref="S2.SS2.p4.3.m3.1.2.3.2.cmml"><mi id="S2.SS2.p4.3.m3.1.2.3.2.2" xref="S2.SS2.p4.3.m3.1.2.3.2.2.cmml">L</mi><mn id="S2.SS2.p4.3.m3.1.2.3.2.3" xref="S2.SS2.p4.3.m3.1.2.3.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S2.SS2.p4.3.m3.1.2.3.1" xref="S2.SS2.p4.3.m3.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS2.p4.3.m3.1.2.3.3.2" xref="S2.SS2.p4.3.m3.1.2.3.cmml"><mo id="S2.SS2.p4.3.m3.1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS2.p4.3.m3.1.2.3.cmml">(</mo><mi id="S2.SS2.p4.3.m3.1.1" mathvariant="normal" xref="S2.SS2.p4.3.m3.1.1.cmml">Ω</mi><mo id="S2.SS2.p4.3.m3.1.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.p4.3.m3.1.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p4.3.m3.1b"><apply id="S2.SS2.p4.3.m3.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p4.3.m3.1.2"><in id="S2.SS2.p4.3.m3.1.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p4.3.m3.1.2.1"></in><ci id="S2.SS2.p4.3.m3.1.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p4.3.m3.1.2.2">𝑚</ci><apply id="S2.SS2.p4.3.m3.1.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p4.3.m3.1.2.3"><times id="S2.SS2.p4.3.m3.1.2.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p4.3.m3.1.2.3.1"></times><apply id="S2.SS2.p4.3.m3.1.2.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p4.3.m3.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p4.3.m3.1.2.3.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p4.3.m3.1.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p4.3.m3.1.2.3.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p4.3.m3.1.2.3.2.2">𝐿</ci><cn id="S2.SS2.p4.3.m3.1.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p4.3.m3.1.2.3.2.3">2</cn></apply><ci id="S2.SS2.p4.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p4.3.m3.1.1">Ω</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p4.3.m3.1c">m\in L^{2}(\Omega)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p4.3.m3.1d">italic_m ∈ italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( roman_Ω )</annotation></semantics></math> in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S2.E22" title="In 2.2 Meyer’s 𝐺-TV Model for Cartoon and Texture Decomposition ‣ 2 Related work ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">22</span></a>). Then the norm <math alttext="\|v\|_{-1,2}=\sqrt{\int_{\Omega}(m_{1}^{2}+m_{2}^{2})dx}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p4.4.m4.4"><semantics id="S2.SS2.p4.4.m4.4a"><mrow id="S2.SS2.p4.4.m4.4.5" xref="S2.SS2.p4.4.m4.4.5.cmml"><msub id="S2.SS2.p4.4.m4.4.5.2" xref="S2.SS2.p4.4.m4.4.5.2.cmml"><mrow id="S2.SS2.p4.4.m4.4.5.2.2.2" xref="S2.SS2.p4.4.m4.4.5.2.2.1.cmml"><mo id="S2.SS2.p4.4.m4.4.5.2.2.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS2.p4.4.m4.4.5.2.2.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S2.SS2.p4.4.m4.4.4" xref="S2.SS2.p4.4.m4.4.4.cmml">v</mi><mo id="S2.SS2.p4.4.m4.4.5.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.p4.4.m4.4.5.2.2.1.1.cmml">‖</mo></mrow><mrow id="S2.SS2.p4.4.m4.2.2.2.2" xref="S2.SS2.p4.4.m4.2.2.2.3.cmml"><mrow id="S2.SS2.p4.4.m4.2.2.2.2.1" xref="S2.SS2.p4.4.m4.2.2.2.2.1.cmml"><mo id="S2.SS2.p4.4.m4.2.2.2.2.1a" xref="S2.SS2.p4.4.m4.2.2.2.2.1.cmml">−</mo><mn id="S2.SS2.p4.4.m4.2.2.2.2.1.2" xref="S2.SS2.p4.4.m4.2.2.2.2.1.2.cmml">1</mn></mrow><mo id="S2.SS2.p4.4.m4.2.2.2.2.2" xref="S2.SS2.p4.4.m4.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="S2.SS2.p4.4.m4.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p4.4.m4.1.1.1.1.cmml">2</mn></mrow></msub><mo id="S2.SS2.p4.4.m4.4.5.1" xref="S2.SS2.p4.4.m4.4.5.1.cmml">=</mo><msqrt id="S2.SS2.p4.4.m4.3.3" xref="S2.SS2.p4.4.m4.3.3.cmml"><mrow id="S2.SS2.p4.4.m4.3.3.1" xref="S2.SS2.p4.4.m4.3.3.1.cmml"><msub id="S2.SS2.p4.4.m4.3.3.1.2" xref="S2.SS2.p4.4.m4.3.3.1.2.cmml"><mo id="S2.SS2.p4.4.m4.3.3.1.2.2" xref="S2.SS2.p4.4.m4.3.3.1.2.2.cmml">∫</mo><mi id="S2.SS2.p4.4.m4.3.3.1.2.3" mathvariant="normal" xref="S2.SS2.p4.4.m4.3.3.1.2.3.cmml">Ω</mi></msub><mrow id="S2.SS2.p4.4.m4.3.3.1.1" xref="S2.SS2.p4.4.m4.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S2.SS2.p4.4.m4.3.3.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p4.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS2.p4.4.m4.3.3.1.1.1.1.2" lspace="0em" stretchy="false" xref="S2.SS2.p4.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.SS2.p4.4.m4.3.3.1.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p4.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S2.SS2.p4.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS2.p4.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS2.p4.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S2.SS2.p4.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">m</mi><mn id="S2.SS2.p4.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S2.SS2.p4.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">1</mn><mn id="S2.SS2.p4.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.SS2.p4.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S2.SS2.p4.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p4.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msubsup id="S2.SS2.p4.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS2.p4.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS2.p4.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.SS2.p4.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">m</mi><mn id="S2.SS2.p4.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S2.SS2.p4.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn><mn id="S2.SS2.p4.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.SS2.p4.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow><mo id="S2.SS2.p4.4.m4.3.3.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS2.p4.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.SS2.p4.4.m4.3.3.1.1.2" lspace="0em" xref="S2.SS2.p4.4.m4.3.3.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS2.p4.4.m4.3.3.1.1.3" xref="S2.SS2.p4.4.m4.3.3.1.1.3.cmml"><mo id="S2.SS2.p4.4.m4.3.3.1.1.3.1" rspace="0em" xref="S2.SS2.p4.4.m4.3.3.1.1.3.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S2.SS2.p4.4.m4.3.3.1.1.3.2" xref="S2.SS2.p4.4.m4.3.3.1.1.3.2.cmml">x</mi></mrow></mrow></mrow></msqrt></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p4.4.m4.4b"><apply id="S2.SS2.p4.4.m4.4.5.cmml" xref="S2.SS2.p4.4.m4.4.5"><eq id="S2.SS2.p4.4.m4.4.5.1.cmml" xref="S2.SS2.p4.4.m4.4.5.1"></eq><apply id="S2.SS2.p4.4.m4.4.5.2.cmml" xref="S2.SS2.p4.4.m4.4.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p4.4.m4.4.5.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p4.4.m4.4.5.2">subscript</csymbol><apply id="S2.SS2.p4.4.m4.4.5.2.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p4.4.m4.4.5.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS2.p4.4.m4.4.5.2.2.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p4.4.m4.4.5.2.2.2.1">norm</csymbol><ci id="S2.SS2.p4.4.m4.4.4.cmml" xref="S2.SS2.p4.4.m4.4.4">𝑣</ci></apply><list id="S2.SS2.p4.4.m4.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p4.4.m4.2.2.2.2"><apply id="S2.SS2.p4.4.m4.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p4.4.m4.2.2.2.2.1"><minus id="S2.SS2.p4.4.m4.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p4.4.m4.2.2.2.2.1"></minus><cn id="S2.SS2.p4.4.m4.2.2.2.2.1.2.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p4.4.m4.2.2.2.2.1.2">1</cn></apply><cn id="S2.SS2.p4.4.m4.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p4.4.m4.1.1.1.1">2</cn></list></apply><apply id="S2.SS2.p4.4.m4.3.3.cmml" xref="S2.SS2.p4.4.m4.3.3"><root id="S2.SS2.p4.4.m4.3.3a.cmml" xref="S2.SS2.p4.4.m4.3.3"></root><apply id="S2.SS2.p4.4.m4.3.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p4.4.m4.3.3.1"><apply id="S2.SS2.p4.4.m4.3.3.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p4.4.m4.3.3.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p4.4.m4.3.3.1.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p4.4.m4.3.3.1.2">subscript</csymbol><int id="S2.SS2.p4.4.m4.3.3.1.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p4.4.m4.3.3.1.2.2"></int><ci id="S2.SS2.p4.4.m4.3.3.1.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p4.4.m4.3.3.1.2.3">Ω</ci></apply><apply id="S2.SS2.p4.4.m4.3.3.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p4.4.m4.3.3.1.1"><times id="S2.SS2.p4.4.m4.3.3.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p4.4.m4.3.3.1.1.2"></times><apply id="S2.SS2.p4.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p4.4.m4.3.3.1.1.1.1"><plus id="S2.SS2.p4.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p4.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S2.SS2.p4.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p4.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p4.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p4.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S2.SS2.p4.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p4.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p4.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p4.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p4.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p4.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑚</ci><cn id="S2.SS2.p4.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p4.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3">1</cn></apply><cn id="S2.SS2.p4.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p4.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="S2.SS2.p4.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p4.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p4.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p4.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S2.SS2.p4.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p4.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p4.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p4.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p4.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p4.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑚</ci><cn id="S2.SS2.p4.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p4.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.3.2.3">2</cn></apply><cn id="S2.SS2.p4.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p4.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S2.SS2.p4.4.m4.3.3.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p4.4.m4.3.3.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS2.p4.4.m4.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p4.4.m4.3.3.1.1.3.1">differential-d</csymbol><ci id="S2.SS2.p4.4.m4.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p4.4.m4.3.3.1.1.3.2">𝑥</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p4.4.m4.4c">\|v\|_{-1,2}=\sqrt{\int_{\Omega}(m_{1}^{2}+m_{2}^{2})dx}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p4.4.m4.4d">∥ italic_v ∥ start_POSTSUBSCRIPT - 1 , 2 end_POSTSUBSCRIPT = square-root start_ARG ∫ start_POSTSUBSCRIPT roman_Ω end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_m start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) italic_d italic_x end_ARG</annotation></semantics></math> is exactly the seminorm of <math alttext="H^{-1}(\Omega)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p4.5.m5.1"><semantics id="S2.SS2.p4.5.m5.1a"><mrow id="S2.SS2.p4.5.m5.1.2" xref="S2.SS2.p4.5.m5.1.2.cmml"><msup id="S2.SS2.p4.5.m5.1.2.2" xref="S2.SS2.p4.5.m5.1.2.2.cmml"><mi id="S2.SS2.p4.5.m5.1.2.2.2" xref="S2.SS2.p4.5.m5.1.2.2.2.cmml">H</mi><mrow id="S2.SS2.p4.5.m5.1.2.2.3" xref="S2.SS2.p4.5.m5.1.2.2.3.cmml"><mo id="S2.SS2.p4.5.m5.1.2.2.3a" xref="S2.SS2.p4.5.m5.1.2.2.3.cmml">−</mo><mn id="S2.SS2.p4.5.m5.1.2.2.3.2" xref="S2.SS2.p4.5.m5.1.2.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S2.SS2.p4.5.m5.1.2.1" xref="S2.SS2.p4.5.m5.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS2.p4.5.m5.1.2.3.2" xref="S2.SS2.p4.5.m5.1.2.cmml"><mo id="S2.SS2.p4.5.m5.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS2.p4.5.m5.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.SS2.p4.5.m5.1.1" mathvariant="normal" xref="S2.SS2.p4.5.m5.1.1.cmml">Ω</mi><mo id="S2.SS2.p4.5.m5.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.p4.5.m5.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p4.5.m5.1b"><apply id="S2.SS2.p4.5.m5.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p4.5.m5.1.2"><times id="S2.SS2.p4.5.m5.1.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p4.5.m5.1.2.1"></times><apply id="S2.SS2.p4.5.m5.1.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p4.5.m5.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p4.5.m5.1.2.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p4.5.m5.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p4.5.m5.1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p4.5.m5.1.2.2.2">𝐻</ci><apply id="S2.SS2.p4.5.m5.1.2.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p4.5.m5.1.2.2.3"><minus id="S2.SS2.p4.5.m5.1.2.2.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p4.5.m5.1.2.2.3"></minus><cn id="S2.SS2.p4.5.m5.1.2.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p4.5.m5.1.2.2.3.2">1</cn></apply></apply><ci id="S2.SS2.p4.5.m5.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p4.5.m5.1.1">Ω</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p4.5.m5.1c">H^{-1}(\Omega)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p4.5.m5.1d">italic_H start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ( roman_Ω )</annotation></semantics></math>, the dual of the space <math alttext="H^{1}(\Omega)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p4.6.m6.1"><semantics id="S2.SS2.p4.6.m6.1a"><mrow id="S2.SS2.p4.6.m6.1.2" xref="S2.SS2.p4.6.m6.1.2.cmml"><msup id="S2.SS2.p4.6.m6.1.2.2" xref="S2.SS2.p4.6.m6.1.2.2.cmml"><mi id="S2.SS2.p4.6.m6.1.2.2.2" xref="S2.SS2.p4.6.m6.1.2.2.2.cmml">H</mi><mn id="S2.SS2.p4.6.m6.1.2.2.3" xref="S2.SS2.p4.6.m6.1.2.2.3.cmml">1</mn></msup><mo id="S2.SS2.p4.6.m6.1.2.1" xref="S2.SS2.p4.6.m6.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS2.p4.6.m6.1.2.3.2" xref="S2.SS2.p4.6.m6.1.2.cmml"><mo id="S2.SS2.p4.6.m6.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS2.p4.6.m6.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.SS2.p4.6.m6.1.1" mathvariant="normal" xref="S2.SS2.p4.6.m6.1.1.cmml">Ω</mi><mo id="S2.SS2.p4.6.m6.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.p4.6.m6.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p4.6.m6.1b"><apply id="S2.SS2.p4.6.m6.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p4.6.m6.1.2"><times id="S2.SS2.p4.6.m6.1.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p4.6.m6.1.2.1"></times><apply id="S2.SS2.p4.6.m6.1.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p4.6.m6.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p4.6.m6.1.2.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p4.6.m6.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p4.6.m6.1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p4.6.m6.1.2.2.2">𝐻</ci><cn id="S2.SS2.p4.6.m6.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p4.6.m6.1.2.2.3">1</cn></apply><ci id="S2.SS2.p4.6.m6.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p4.6.m6.1.1">Ω</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p4.6.m6.1c">H^{1}(\Omega)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p4.6.m6.1d">italic_H start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT ( roman_Ω )</annotation></semantics></math> endowed with <math alttext="\|g\|_{H^{1}(\Omega)}=\int_{\Omega}|\nabla g|^{2}dx" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p4.7.m7.3"><semantics id="S2.SS2.p4.7.m7.3a"><mrow id="S2.SS2.p4.7.m7.3.3" xref="S2.SS2.p4.7.m7.3.3.cmml"><msub id="S2.SS2.p4.7.m7.3.3.3" xref="S2.SS2.p4.7.m7.3.3.3.cmml"><mrow id="S2.SS2.p4.7.m7.3.3.3.2.2" xref="S2.SS2.p4.7.m7.3.3.3.2.1.cmml"><mo id="S2.SS2.p4.7.m7.3.3.3.2.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS2.p4.7.m7.3.3.3.2.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S2.SS2.p4.7.m7.2.2" xref="S2.SS2.p4.7.m7.2.2.cmml">g</mi><mo id="S2.SS2.p4.7.m7.3.3.3.2.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.p4.7.m7.3.3.3.2.1.1.cmml">‖</mo></mrow><mrow id="S2.SS2.p4.7.m7.1.1.1" xref="S2.SS2.p4.7.m7.1.1.1.cmml"><msup id="S2.SS2.p4.7.m7.1.1.1.3" xref="S2.SS2.p4.7.m7.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS2.p4.7.m7.1.1.1.3.2" xref="S2.SS2.p4.7.m7.1.1.1.3.2.cmml">H</mi><mn id="S2.SS2.p4.7.m7.1.1.1.3.3" xref="S2.SS2.p4.7.m7.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></msup><mo id="S2.SS2.p4.7.m7.1.1.1.2" xref="S2.SS2.p4.7.m7.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS2.p4.7.m7.1.1.1.4.2" xref="S2.SS2.p4.7.m7.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS2.p4.7.m7.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS2.p4.7.m7.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S2.SS2.p4.7.m7.1.1.1.1" mathvariant="normal" xref="S2.SS2.p4.7.m7.1.1.1.1.cmml">Ω</mi><mo id="S2.SS2.p4.7.m7.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.p4.7.m7.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msub><mo id="S2.SS2.p4.7.m7.3.3.2" rspace="0.111em" xref="S2.SS2.p4.7.m7.3.3.2.cmml">=</mo><mrow id="S2.SS2.p4.7.m7.3.3.1" xref="S2.SS2.p4.7.m7.3.3.1.cmml"><msub id="S2.SS2.p4.7.m7.3.3.1.2" xref="S2.SS2.p4.7.m7.3.3.1.2.cmml"><mo id="S2.SS2.p4.7.m7.3.3.1.2.2" rspace="0em" xref="S2.SS2.p4.7.m7.3.3.1.2.2.cmml">∫</mo><mi id="S2.SS2.p4.7.m7.3.3.1.2.3" mathvariant="normal" xref="S2.SS2.p4.7.m7.3.3.1.2.3.cmml">Ω</mi></msub><mrow id="S2.SS2.p4.7.m7.3.3.1.1" xref="S2.SS2.p4.7.m7.3.3.1.1.cmml"><msup id="S2.SS2.p4.7.m7.3.3.1.1.1" xref="S2.SS2.p4.7.m7.3.3.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.SS2.p4.7.m7.3.3.1.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p4.7.m7.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.SS2.p4.7.m7.3.3.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.p4.7.m7.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S2.SS2.p4.7.m7.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p4.7.m7.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS2.p4.7.m7.3.3.1.1.1.1.1.1.1" rspace="0.167em" xref="S2.SS2.p4.7.m7.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">∇</mo><mi id="S2.SS2.p4.7.m7.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS2.p4.7.m7.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">g</mi></mrow><mo id="S2.SS2.p4.7.m7.3.3.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS2.p4.7.m7.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mn id="S2.SS2.p4.7.m7.3.3.1.1.1.3" xref="S2.SS2.p4.7.m7.3.3.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S2.SS2.p4.7.m7.3.3.1.1.2" lspace="0em" xref="S2.SS2.p4.7.m7.3.3.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS2.p4.7.m7.3.3.1.1.3" xref="S2.SS2.p4.7.m7.3.3.1.1.3.cmml"><mo id="S2.SS2.p4.7.m7.3.3.1.1.3.1" rspace="0em" xref="S2.SS2.p4.7.m7.3.3.1.1.3.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S2.SS2.p4.7.m7.3.3.1.1.3.2" xref="S2.SS2.p4.7.m7.3.3.1.1.3.2.cmml">x</mi></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p4.7.m7.3b"><apply id="S2.SS2.p4.7.m7.3.3.cmml" xref="S2.SS2.p4.7.m7.3.3"><eq id="S2.SS2.p4.7.m7.3.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p4.7.m7.3.3.2"></eq><apply id="S2.SS2.p4.7.m7.3.3.3.cmml" xref="S2.SS2.p4.7.m7.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p4.7.m7.3.3.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p4.7.m7.3.3.3">subscript</csymbol><apply id="S2.SS2.p4.7.m7.3.3.3.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p4.7.m7.3.3.3.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS2.p4.7.m7.3.3.3.2.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p4.7.m7.3.3.3.2.2.1">norm</csymbol><ci id="S2.SS2.p4.7.m7.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p4.7.m7.2.2">𝑔</ci></apply><apply id="S2.SS2.p4.7.m7.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p4.7.m7.1.1.1"><times id="S2.SS2.p4.7.m7.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p4.7.m7.1.1.1.2"></times><apply id="S2.SS2.p4.7.m7.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p4.7.m7.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p4.7.m7.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p4.7.m7.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p4.7.m7.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p4.7.m7.1.1.1.3.2">𝐻</ci><cn id="S2.SS2.p4.7.m7.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p4.7.m7.1.1.1.3.3">1</cn></apply><ci id="S2.SS2.p4.7.m7.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p4.7.m7.1.1.1.1">Ω</ci></apply></apply><apply id="S2.SS2.p4.7.m7.3.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p4.7.m7.3.3.1"><apply id="S2.SS2.p4.7.m7.3.3.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p4.7.m7.3.3.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p4.7.m7.3.3.1.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p4.7.m7.3.3.1.2">subscript</csymbol><int id="S2.SS2.p4.7.m7.3.3.1.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p4.7.m7.3.3.1.2.2"></int><ci id="S2.SS2.p4.7.m7.3.3.1.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p4.7.m7.3.3.1.2.3">Ω</ci></apply><apply id="S2.SS2.p4.7.m7.3.3.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p4.7.m7.3.3.1.1"><times id="S2.SS2.p4.7.m7.3.3.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p4.7.m7.3.3.1.1.2"></times><apply id="S2.SS2.p4.7.m7.3.3.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p4.7.m7.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p4.7.m7.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p4.7.m7.3.3.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S2.SS2.p4.7.m7.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p4.7.m7.3.3.1.1.1.1.1"><abs id="S2.SS2.p4.7.m7.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p4.7.m7.3.3.1.1.1.1.1.2"></abs><apply id="S2.SS2.p4.7.m7.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p4.7.m7.3.3.1.1.1.1.1.1"><ci 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start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_d italic_x</annotation></semantics></math>. Let <math alttext="m=(m_{1},m_{2})=\nabla g" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p4.8.m8.2"><semantics id="S2.SS2.p4.8.m8.2a"><mrow id="S2.SS2.p4.8.m8.2.2" xref="S2.SS2.p4.8.m8.2.2.cmml"><mi id="S2.SS2.p4.8.m8.2.2.4" xref="S2.SS2.p4.8.m8.2.2.4.cmml">m</mi><mo id="S2.SS2.p4.8.m8.2.2.5" xref="S2.SS2.p4.8.m8.2.2.5.cmml">=</mo><mrow id="S2.SS2.p4.8.m8.2.2.2.2" xref="S2.SS2.p4.8.m8.2.2.2.3.cmml"><mo id="S2.SS2.p4.8.m8.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.SS2.p4.8.m8.2.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="S2.SS2.p4.8.m8.1.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p4.8.m8.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p4.8.m8.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS2.p4.8.m8.1.1.1.1.1.2.cmml">m</mi><mn id="S2.SS2.p4.8.m8.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS2.p4.8.m8.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S2.SS2.p4.8.m8.2.2.2.2.4" xref="S2.SS2.p4.8.m8.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S2.SS2.p4.8.m8.2.2.2.2.2" xref="S2.SS2.p4.8.m8.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.SS2.p4.8.m8.2.2.2.2.2.2" xref="S2.SS2.p4.8.m8.2.2.2.2.2.2.cmml">m</mi><mn id="S2.SS2.p4.8.m8.2.2.2.2.2.3" xref="S2.SS2.p4.8.m8.2.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S2.SS2.p4.8.m8.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S2.SS2.p4.8.m8.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.SS2.p4.8.m8.2.2.6" xref="S2.SS2.p4.8.m8.2.2.6.cmml">=</mo><mrow id="S2.SS2.p4.8.m8.2.2.7" xref="S2.SS2.p4.8.m8.2.2.7.cmml"><mo id="S2.SS2.p4.8.m8.2.2.7.1" rspace="0.167em" xref="S2.SS2.p4.8.m8.2.2.7.1.cmml">∇</mo><mi id="S2.SS2.p4.8.m8.2.2.7.2" xref="S2.SS2.p4.8.m8.2.2.7.2.cmml">g</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p4.8.m8.2b"><apply id="S2.SS2.p4.8.m8.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p4.8.m8.2.2"><and id="S2.SS2.p4.8.m8.2.2a.cmml" xref="S2.SS2.p4.8.m8.2.2"></and><apply id="S2.SS2.p4.8.m8.2.2b.cmml" xref="S2.SS2.p4.8.m8.2.2"><eq id="S2.SS2.p4.8.m8.2.2.5.cmml" xref="S2.SS2.p4.8.m8.2.2.5"></eq><ci id="S2.SS2.p4.8.m8.2.2.4.cmml" xref="S2.SS2.p4.8.m8.2.2.4">𝑚</ci><interval closure="open" id="S2.SS2.p4.8.m8.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p4.8.m8.2.2.2.2"><apply id="S2.SS2.p4.8.m8.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p4.8.m8.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p4.8.m8.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p4.8.m8.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p4.8.m8.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p4.8.m8.1.1.1.1.1.2">𝑚</ci><cn id="S2.SS2.p4.8.m8.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p4.8.m8.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S2.SS2.p4.8.m8.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p4.8.m8.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p4.8.m8.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p4.8.m8.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p4.8.m8.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p4.8.m8.2.2.2.2.2.2">𝑚</ci><cn id="S2.SS2.p4.8.m8.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p4.8.m8.2.2.2.2.2.3">2</cn></apply></interval></apply><apply id="S2.SS2.p4.8.m8.2.2c.cmml" xref="S2.SS2.p4.8.m8.2.2"><eq id="S2.SS2.p4.8.m8.2.2.6.cmml" xref="S2.SS2.p4.8.m8.2.2.6"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S2.SS2.p4.8.m8.2.2.2.cmml" id="S2.SS2.p4.8.m8.2.2d.cmml" xref="S2.SS2.p4.8.m8.2.2"></share><apply id="S2.SS2.p4.8.m8.2.2.7.cmml" xref="S2.SS2.p4.8.m8.2.2.7"><ci id="S2.SS2.p4.8.m8.2.2.7.1.cmml" xref="S2.SS2.p4.8.m8.2.2.7.1">∇</ci><ci id="S2.SS2.p4.8.m8.2.2.7.2.cmml" xref="S2.SS2.p4.8.m8.2.2.7.2">𝑔</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p4.8.m8.2c">m=(m_{1},m_{2})=\nabla g</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p4.8.m8.2d">italic_m = ( italic_m start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_m start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) = ∇ italic_g</annotation></semantics></math>, then <math alttext="f-u=\mathrm{div}(m)=\mathrm{div}(\nabla g)=\Delta g" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p4.9.m9.2"><semantics id="S2.SS2.p4.9.m9.2a"><mrow id="S2.SS2.p4.9.m9.2.2" xref="S2.SS2.p4.9.m9.2.2.cmml"><mrow id="S2.SS2.p4.9.m9.2.2.3" xref="S2.SS2.p4.9.m9.2.2.3.cmml"><mi id="S2.SS2.p4.9.m9.2.2.3.2" xref="S2.SS2.p4.9.m9.2.2.3.2.cmml">f</mi><mo id="S2.SS2.p4.9.m9.2.2.3.1" xref="S2.SS2.p4.9.m9.2.2.3.1.cmml">−</mo><mi id="S2.SS2.p4.9.m9.2.2.3.3" xref="S2.SS2.p4.9.m9.2.2.3.3.cmml">u</mi></mrow><mo id="S2.SS2.p4.9.m9.2.2.4" xref="S2.SS2.p4.9.m9.2.2.4.cmml">=</mo><mrow id="S2.SS2.p4.9.m9.2.2.5" xref="S2.SS2.p4.9.m9.2.2.5.cmml"><mi id="S2.SS2.p4.9.m9.2.2.5.2" xref="S2.SS2.p4.9.m9.2.2.5.2.cmml">div</mi><mo id="S2.SS2.p4.9.m9.2.2.5.1" xref="S2.SS2.p4.9.m9.2.2.5.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS2.p4.9.m9.2.2.5.3.2" xref="S2.SS2.p4.9.m9.2.2.5.cmml"><mo id="S2.SS2.p4.9.m9.2.2.5.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS2.p4.9.m9.2.2.5.cmml">(</mo><mi id="S2.SS2.p4.9.m9.1.1" xref="S2.SS2.p4.9.m9.1.1.cmml">m</mi><mo id="S2.SS2.p4.9.m9.2.2.5.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.p4.9.m9.2.2.5.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.SS2.p4.9.m9.2.2.6" xref="S2.SS2.p4.9.m9.2.2.6.cmml">=</mo><mrow id="S2.SS2.p4.9.m9.2.2.1" xref="S2.SS2.p4.9.m9.2.2.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p4.9.m9.2.2.1.3" xref="S2.SS2.p4.9.m9.2.2.1.3.cmml">div</mi><mo id="S2.SS2.p4.9.m9.2.2.1.2" xref="S2.SS2.p4.9.m9.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS2.p4.9.m9.2.2.1.1.1" xref="S2.SS2.p4.9.m9.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS2.p4.9.m9.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.p4.9.m9.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.SS2.p4.9.m9.2.2.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p4.9.m9.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS2.p4.9.m9.2.2.1.1.1.1.1" rspace="0.167em" xref="S2.SS2.p4.9.m9.2.2.1.1.1.1.1.cmml">∇</mo><mi id="S2.SS2.p4.9.m9.2.2.1.1.1.1.2" xref="S2.SS2.p4.9.m9.2.2.1.1.1.1.2.cmml">g</mi></mrow><mo id="S2.SS2.p4.9.m9.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS2.p4.9.m9.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.SS2.p4.9.m9.2.2.7" xref="S2.SS2.p4.9.m9.2.2.7.cmml">=</mo><mrow id="S2.SS2.p4.9.m9.2.2.8" xref="S2.SS2.p4.9.m9.2.2.8.cmml"><mi id="S2.SS2.p4.9.m9.2.2.8.2" mathvariant="normal" xref="S2.SS2.p4.9.m9.2.2.8.2.cmml">Δ</mi><mo id="S2.SS2.p4.9.m9.2.2.8.1" xref="S2.SS2.p4.9.m9.2.2.8.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS2.p4.9.m9.2.2.8.3" xref="S2.SS2.p4.9.m9.2.2.8.3.cmml">g</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p4.9.m9.2b"><apply id="S2.SS2.p4.9.m9.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p4.9.m9.2.2"><and id="S2.SS2.p4.9.m9.2.2a.cmml" xref="S2.SS2.p4.9.m9.2.2"></and><apply id="S2.SS2.p4.9.m9.2.2b.cmml" xref="S2.SS2.p4.9.m9.2.2"><eq id="S2.SS2.p4.9.m9.2.2.4.cmml" xref="S2.SS2.p4.9.m9.2.2.4"></eq><apply id="S2.SS2.p4.9.m9.2.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p4.9.m9.2.2.3"><minus id="S2.SS2.p4.9.m9.2.2.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p4.9.m9.2.2.3.1"></minus><ci id="S2.SS2.p4.9.m9.2.2.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p4.9.m9.2.2.3.2">𝑓</ci><ci id="S2.SS2.p4.9.m9.2.2.3.3.cmml" xref="S2.SS2.p4.9.m9.2.2.3.3">𝑢</ci></apply><apply id="S2.SS2.p4.9.m9.2.2.5.cmml" xref="S2.SS2.p4.9.m9.2.2.5"><times id="S2.SS2.p4.9.m9.2.2.5.1.cmml" xref="S2.SS2.p4.9.m9.2.2.5.1"></times><ci id="S2.SS2.p4.9.m9.2.2.5.2.cmml" xref="S2.SS2.p4.9.m9.2.2.5.2">div</ci><ci id="S2.SS2.p4.9.m9.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p4.9.m9.1.1">𝑚</ci></apply></apply><apply id="S2.SS2.p4.9.m9.2.2c.cmml" xref="S2.SS2.p4.9.m9.2.2"><eq id="S2.SS2.p4.9.m9.2.2.6.cmml" xref="S2.SS2.p4.9.m9.2.2.6"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S2.SS2.p4.9.m9.2.2.5.cmml" id="S2.SS2.p4.9.m9.2.2d.cmml" xref="S2.SS2.p4.9.m9.2.2"></share><apply id="S2.SS2.p4.9.m9.2.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p4.9.m9.2.2.1"><times id="S2.SS2.p4.9.m9.2.2.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p4.9.m9.2.2.1.2"></times><ci id="S2.SS2.p4.9.m9.2.2.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p4.9.m9.2.2.1.3">div</ci><apply id="S2.SS2.p4.9.m9.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p4.9.m9.2.2.1.1.1"><ci id="S2.SS2.p4.9.m9.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p4.9.m9.2.2.1.1.1.1.1">∇</ci><ci id="S2.SS2.p4.9.m9.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p4.9.m9.2.2.1.1.1.1.2">𝑔</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.SS2.p4.9.m9.2.2e.cmml" xref="S2.SS2.p4.9.m9.2.2"><eq id="S2.SS2.p4.9.m9.2.2.7.cmml" xref="S2.SS2.p4.9.m9.2.2.7"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S2.SS2.p4.9.m9.2.2.1.cmml" id="S2.SS2.p4.9.m9.2.2f.cmml" xref="S2.SS2.p4.9.m9.2.2"></share><apply id="S2.SS2.p4.9.m9.2.2.8.cmml" xref="S2.SS2.p4.9.m9.2.2.8"><times id="S2.SS2.p4.9.m9.2.2.8.1.cmml" xref="S2.SS2.p4.9.m9.2.2.8.1"></times><ci id="S2.SS2.p4.9.m9.2.2.8.2.cmml" xref="S2.SS2.p4.9.m9.2.2.8.2">Δ</ci><ci id="S2.SS2.p4.9.m9.2.2.8.3.cmml" xref="S2.SS2.p4.9.m9.2.2.8.3">𝑔</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p4.9.m9.2c">f-u=\mathrm{div}(m)=\mathrm{div}(\nabla g)=\Delta g</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p4.9.m9.2d">italic_f - italic_u = roman_div ( italic_m ) = roman_div ( ∇ italic_g ) = roman_Δ italic_g</annotation></semantics></math>, i.e., <math alttext="g=\Delta^{-1}(f-u)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p4.10.m10.1"><semantics id="S2.SS2.p4.10.m10.1a"><mrow id="S2.SS2.p4.10.m10.1.1" xref="S2.SS2.p4.10.m10.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p4.10.m10.1.1.3" xref="S2.SS2.p4.10.m10.1.1.3.cmml">g</mi><mo id="S2.SS2.p4.10.m10.1.1.2" xref="S2.SS2.p4.10.m10.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S2.SS2.p4.10.m10.1.1.1" xref="S2.SS2.p4.10.m10.1.1.1.cmml"><msup id="S2.SS2.p4.10.m10.1.1.1.3" xref="S2.SS2.p4.10.m10.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS2.p4.10.m10.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S2.SS2.p4.10.m10.1.1.1.3.2.cmml">Δ</mi><mrow id="S2.SS2.p4.10.m10.1.1.1.3.3" xref="S2.SS2.p4.10.m10.1.1.1.3.3.cmml"><mo id="S2.SS2.p4.10.m10.1.1.1.3.3a" xref="S2.SS2.p4.10.m10.1.1.1.3.3.cmml">−</mo><mn id="S2.SS2.p4.10.m10.1.1.1.3.3.2" xref="S2.SS2.p4.10.m10.1.1.1.3.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S2.SS2.p4.10.m10.1.1.1.2" xref="S2.SS2.p4.10.m10.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS2.p4.10.m10.1.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p4.10.m10.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS2.p4.10.m10.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.p4.10.m10.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.SS2.p4.10.m10.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p4.10.m10.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p4.10.m10.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS2.p4.10.m10.1.1.1.1.1.1.2.cmml">f</mi><mo id="S2.SS2.p4.10.m10.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p4.10.m10.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S2.SS2.p4.10.m10.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS2.p4.10.m10.1.1.1.1.1.1.3.cmml">u</mi></mrow><mo id="S2.SS2.p4.10.m10.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS2.p4.10.m10.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p4.10.m10.1b"><apply id="S2.SS2.p4.10.m10.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p4.10.m10.1.1"><eq id="S2.SS2.p4.10.m10.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p4.10.m10.1.1.2"></eq><ci id="S2.SS2.p4.10.m10.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p4.10.m10.1.1.3">𝑔</ci><apply id="S2.SS2.p4.10.m10.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p4.10.m10.1.1.1"><times id="S2.SS2.p4.10.m10.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p4.10.m10.1.1.1.2"></times><apply id="S2.SS2.p4.10.m10.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p4.10.m10.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p4.10.m10.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p4.10.m10.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p4.10.m10.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p4.10.m10.1.1.1.3.2">Δ</ci><apply id="S2.SS2.p4.10.m10.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS2.p4.10.m10.1.1.1.3.3"><minus id="S2.SS2.p4.10.m10.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p4.10.m10.1.1.1.3.3"></minus><cn id="S2.SS2.p4.10.m10.1.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p4.10.m10.1.1.1.3.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="S2.SS2.p4.10.m10.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p4.10.m10.1.1.1.1.1"><minus id="S2.SS2.p4.10.m10.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p4.10.m10.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S2.SS2.p4.10.m10.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p4.10.m10.1.1.1.1.1.1.2">𝑓</ci><ci id="S2.SS2.p4.10.m10.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p4.10.m10.1.1.1.1.1.1.3">𝑢</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p4.10.m10.1c">g=\Delta^{-1}(f-u)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p4.10.m10.1d">italic_g = roman_Δ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_f - italic_u )</annotation></semantics></math>. A convex minimization problem was proposed to approximate (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S1.E12" title="In 1 Introduction ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">12</span></a>):</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E25"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\inf_{u}\left\{\int_{\Omega}|\nabla u|+\lambda\int_{\Omega}|\nabla(\Delta^{-1}% )(f-u)|^{2}dx\right\}," class="ltx_Math" display="block" id="S2.E25.m1.2"><semantics id="S2.E25.m1.2a"><mrow id="S2.E25.m1.2.2.1" xref="S2.E25.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S2.E25.m1.2.2.1.1" xref="S2.E25.m1.2.2.1.1.cmml"><munder id="S2.E25.m1.2.2.1.1.2" xref="S2.E25.m1.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E25.m1.2.2.1.1.2.2" movablelimits="false" xref="S2.E25.m1.2.2.1.1.2.2.cmml">inf</mo><mi id="S2.E25.m1.2.2.1.1.2.3" xref="S2.E25.m1.2.2.1.1.2.3.cmml">u</mi></munder><mrow id="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">{</mo><mrow id="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2" lspace="0em" rspace="0em" xref="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">∫</mo><mi id="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3" mathvariant="normal" xref="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">Ω</mi></msub><mrow id="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" rspace="0.167em" xref="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">∇</mo><mi id="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">u</mi></mrow><mo id="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">+</mo><mrow id="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml">λ</mi><mo id="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1" xref="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml"><msub id="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.2" xref="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.2.cmml"><mo id="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.2.2" rspace="0em" xref="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.2.2.cmml">∫</mo><mi id="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.2.3" mathvariant="normal" xref="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.2.3.cmml">Ω</mi></msub><mrow id="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><msup id="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E25.m1.1.1" xref="S2.E25.m1.1.1.cmml">∇</mo><mrow id="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><msup id="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">Δ</mi><mrow id="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3a" xref="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">⁡</mo><mrow id="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2" stretchy="false" xref="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mrow id="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml"><mi id="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.1.2" xref="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.1.2.cmml">f</mi><mo id="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1" xref="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml">−</mo><mi id="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.1.3" xref="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.1.3.cmml">u</mi></mrow><mo id="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mn id="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3" xref="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.2" lspace="0em" xref="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml"><mo id="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.3.1" rspace="0em" xref="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.3.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2" xref="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.cmml">x</mi></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">}</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E25.m1.2.2.1.2" xref="S2.E25.m1.2.2.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E25.m1.2b"><apply id="S2.E25.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S2.E25.m1.2.2.1"><apply id="S2.E25.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.E25.m1.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E25.m1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E25.m1.2.2.1.1.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S2.E25.m1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E25.m1.2.2.1.1.2.2">infimum</csymbol><ci id="S2.E25.m1.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E25.m1.2.2.1.1.2.3">𝑢</ci></apply><set id="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1"><apply id="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1"><plus id="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.3"></plus><apply id="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.1"><apply id="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><int id="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2"></int><ci id="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3">Ω</ci></apply><apply id="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1"><abs id="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></abs><apply 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xref="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1"></minus><ci id="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.1.2">𝑓</ci><ci id="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.1.3.cmml" xref="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.2.1.3">𝑢</ci></apply></apply></apply><cn id="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3">2</cn></apply><apply id="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml" xref="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.3.1">differential-d</csymbol><ci id="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E25.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2">𝑥</ci></apply></apply></apply></apply></apply></set></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E25.m1.2c">\inf_{u}\left\{\int_{\Omega}|\nabla u|+\lambda\int_{\Omega}|\nabla(\Delta^{-1}% )(f-u)|^{2}dx\right\},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E25.m1.2d">roman_inf start_POSTSUBSCRIPT italic_u end_POSTSUBSCRIPT { ∫ start_POSTSUBSCRIPT roman_Ω end_POSTSUBSCRIPT | ∇ italic_u | + italic_λ ∫ start_POSTSUBSCRIPT roman_Ω end_POSTSUBSCRIPT | ∇ ( roman_Δ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ) ( italic_f - italic_u ) | start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_d italic_x } ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(25)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.p4.13">where <math alttext="\|\cdot\|_{H^{-1}(\Omega)}=\int_{\Omega}|\nabla(\Delta^{-1})(\cdot)|^{2}dx" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S2.SS2.p4.11.m1.1"><semantics id="S2.SS2.p4.11.m1.1a"><mrow id="S2.SS2.p4.11.m1.1b"><mo id="S2.SS2.p4.11.m1.1.2" rspace="0em">∥</mo><mo id="S2.SS2.p4.11.m1.1.3" lspace="0em" rspace="0em">⋅</mo><msub id="S2.SS2.p4.11.m1.1.4"><mo id="S2.SS2.p4.11.m1.1.4.2" lspace="0em" rspace="0.0835em">∥</mo><mrow id="S2.SS2.p4.11.m1.1.1.1"><msup id="S2.SS2.p4.11.m1.1.1.1.3"><mi id="S2.SS2.p4.11.m1.1.1.1.3.2">H</mi><mrow id="S2.SS2.p4.11.m1.1.1.1.3.3"><mo id="S2.SS2.p4.11.m1.1.1.1.3.3a">−</mo><mn id="S2.SS2.p4.11.m1.1.1.1.3.3.2">1</mn></mrow></msup><mo id="S2.SS2.p4.11.m1.1.1.1.2">⁢</mo><mrow id="S2.SS2.p4.11.m1.1.1.1.4.2"><mo id="S2.SS2.p4.11.m1.1.1.1.4.2.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S2.SS2.p4.11.m1.1.1.1.1" mathvariant="normal">Ω</mi><mo id="S2.SS2.p4.11.m1.1.1.1.4.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></msub><mo id="S2.SS2.p4.11.m1.1.5" lspace="0.0835em" rspace="0.111em">=</mo><msub id="S2.SS2.p4.11.m1.1.6"><mo id="S2.SS2.p4.11.m1.1.6.2" rspace="0em">∫</mo><mi id="S2.SS2.p4.11.m1.1.6.3" mathvariant="normal">Ω</mi></msub><mo fence="false" id="S2.SS2.p4.11.m1.1.7" rspace="0.167em" stretchy="false">|</mo><mo id="S2.SS2.p4.11.m1.1.8">∇</mo><mrow id="S2.SS2.p4.11.m1.1.9"><mo id="S2.SS2.p4.11.m1.1.9.1" stretchy="false">(</mo><msup id="S2.SS2.p4.11.m1.1.9.2"><mi id="S2.SS2.p4.11.m1.1.9.2.2" mathvariant="normal">Δ</mi><mrow id="S2.SS2.p4.11.m1.1.9.2.3"><mo id="S2.SS2.p4.11.m1.1.9.2.3a">−</mo><mn id="S2.SS2.p4.11.m1.1.9.2.3.2">1</mn></mrow></msup><mo id="S2.SS2.p4.11.m1.1.9.3" stretchy="false">)</mo></mrow><mrow id="S2.SS2.p4.11.m1.1.10"><mo id="S2.SS2.p4.11.m1.1.10.1" stretchy="false">(</mo><mo id="S2.SS2.p4.11.m1.1.10.2" lspace="0em" rspace="0em">⋅</mo><mo id="S2.SS2.p4.11.m1.1.10.3" stretchy="false">)</mo></mrow><msup id="S2.SS2.p4.11.m1.1.11"><mo fence="false" id="S2.SS2.p4.11.m1.1.11.2" rspace="0.167em" stretchy="false">|</mo><mn id="S2.SS2.p4.11.m1.1.11.3">2</mn></msup><mi id="S2.SS2.p4.11.m1.1.12">d</mi><mi id="S2.SS2.p4.11.m1.1.13">x</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p4.11.m1.1c">\|\cdot\|_{H^{-1}(\Omega)}=\int_{\Omega}|\nabla(\Delta^{-1})(\cdot)|^{2}dx</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p4.11.m1.1d">∥ ⋅ ∥ start_POSTSUBSCRIPT italic_H start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ( roman_Ω ) end_POSTSUBSCRIPT = ∫ start_POSTSUBSCRIPT roman_Ω end_POSTSUBSCRIPT | ∇ ( roman_Δ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ) ( ⋅ ) | start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_d italic_x</annotation></semantics></math> is the norm in <math alttext="H^{-1}(\Omega)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p4.12.m2.1"><semantics id="S2.SS2.p4.12.m2.1a"><mrow id="S2.SS2.p4.12.m2.1.2" xref="S2.SS2.p4.12.m2.1.2.cmml"><msup id="S2.SS2.p4.12.m2.1.2.2" xref="S2.SS2.p4.12.m2.1.2.2.cmml"><mi id="S2.SS2.p4.12.m2.1.2.2.2" xref="S2.SS2.p4.12.m2.1.2.2.2.cmml">H</mi><mrow id="S2.SS2.p4.12.m2.1.2.2.3" xref="S2.SS2.p4.12.m2.1.2.2.3.cmml"><mo id="S2.SS2.p4.12.m2.1.2.2.3a" xref="S2.SS2.p4.12.m2.1.2.2.3.cmml">−</mo><mn id="S2.SS2.p4.12.m2.1.2.2.3.2" xref="S2.SS2.p4.12.m2.1.2.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S2.SS2.p4.12.m2.1.2.1" xref="S2.SS2.p4.12.m2.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS2.p4.12.m2.1.2.3.2" xref="S2.SS2.p4.12.m2.1.2.cmml"><mo id="S2.SS2.p4.12.m2.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS2.p4.12.m2.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.SS2.p4.12.m2.1.1" mathvariant="normal" xref="S2.SS2.p4.12.m2.1.1.cmml">Ω</mi><mo id="S2.SS2.p4.12.m2.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.p4.12.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p4.12.m2.1b"><apply id="S2.SS2.p4.12.m2.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p4.12.m2.1.2"><times id="S2.SS2.p4.12.m2.1.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p4.12.m2.1.2.1"></times><apply id="S2.SS2.p4.12.m2.1.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p4.12.m2.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p4.12.m2.1.2.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p4.12.m2.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p4.12.m2.1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p4.12.m2.1.2.2.2">𝐻</ci><apply id="S2.SS2.p4.12.m2.1.2.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p4.12.m2.1.2.2.3"><minus id="S2.SS2.p4.12.m2.1.2.2.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p4.12.m2.1.2.2.3"></minus><cn id="S2.SS2.p4.12.m2.1.2.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p4.12.m2.1.2.2.3.2">1</cn></apply></apply><ci id="S2.SS2.p4.12.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p4.12.m2.1.1">Ω</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p4.12.m2.1c">H^{-1}(\Omega)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p4.12.m2.1d">italic_H start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ( roman_Ω )</annotation></semantics></math>, which was generalized to the negative Hilbert-Sobolev space <math alttext="H^{-s}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p4.13.m3.1"><semantics id="S2.SS2.p4.13.m3.1a"><msup id="S2.SS2.p4.13.m3.1.1" xref="S2.SS2.p4.13.m3.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p4.13.m3.1.1.2" xref="S2.SS2.p4.13.m3.1.1.2.cmml">H</mi><mrow id="S2.SS2.p4.13.m3.1.1.3" xref="S2.SS2.p4.13.m3.1.1.3.cmml"><mo id="S2.SS2.p4.13.m3.1.1.3a" xref="S2.SS2.p4.13.m3.1.1.3.cmml">−</mo><mi id="S2.SS2.p4.13.m3.1.1.3.2" xref="S2.SS2.p4.13.m3.1.1.3.2.cmml">s</mi></mrow></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p4.13.m3.1b"><apply id="S2.SS2.p4.13.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p4.13.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p4.13.m3.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p4.13.m3.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p4.13.m3.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p4.13.m3.1.1.2">𝐻</ci><apply id="S2.SS2.p4.13.m3.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p4.13.m3.1.1.3"><minus id="S2.SS2.p4.13.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p4.13.m3.1.1.3"></minus><ci id="S2.SS2.p4.13.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p4.13.m3.1.1.3.2">𝑠</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p4.13.m3.1c">H^{-s}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p4.13.m3.1d">italic_H start_POSTSUPERSCRIPT - italic_s end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> by Lieu and Vese in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib34" title="">lieu2008image </a></cite>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS2.p5"> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.p5.8">A numerical approach for the Osher and Vese’s functional (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S2.E22" title="In 2.2 Meyer’s 𝐺-TV Model for Cartoon and Texture Decomposition ‣ 2 Related work ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">22</span></a>) was proposed in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib2" title="">2005Image </a>; <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib4" title="">2006Structure </a></cite> by solving the following problem</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E26"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\inf_{(u,v)}J(u)+\frac{\alpha}{2}\|f-u-v\|_{L^{2}}^{2}+\mathbf{I}_{G_{\mu}}(v)," class="ltx_Math" display="block" id="S2.E26.m1.5"><semantics id="S2.E26.m1.5a"><mrow id="S2.E26.m1.5.5.1" xref="S2.E26.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S2.E26.m1.5.5.1.1" xref="S2.E26.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S2.E26.m1.5.5.1.1.3" xref="S2.E26.m1.5.5.1.1.3.cmml"><munder id="S2.E26.m1.5.5.1.1.3.1" xref="S2.E26.m1.5.5.1.1.3.1.cmml"><mo id="S2.E26.m1.5.5.1.1.3.1.2" movablelimits="false" xref="S2.E26.m1.5.5.1.1.3.1.2.cmml">inf</mo><mrow id="S2.E26.m1.2.2.2.4" xref="S2.E26.m1.2.2.2.3.cmml"><mo id="S2.E26.m1.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="S2.E26.m1.2.2.2.3.cmml">(</mo><mi id="S2.E26.m1.1.1.1.1" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.cmml">u</mi><mo id="S2.E26.m1.2.2.2.4.2" xref="S2.E26.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.E26.m1.2.2.2.2" xref="S2.E26.m1.2.2.2.2.cmml">v</mi><mo id="S2.E26.m1.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="S2.E26.m1.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></munder><mrow id="S2.E26.m1.5.5.1.1.3.2" xref="S2.E26.m1.5.5.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.E26.m1.5.5.1.1.3.2.2" xref="S2.E26.m1.5.5.1.1.3.2.2.cmml">J</mi><mo id="S2.E26.m1.5.5.1.1.3.2.1" xref="S2.E26.m1.5.5.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E26.m1.5.5.1.1.3.2.3.2" xref="S2.E26.m1.5.5.1.1.3.2.cmml"><mo id="S2.E26.m1.5.5.1.1.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E26.m1.5.5.1.1.3.2.cmml">(</mo><mi id="S2.E26.m1.3.3" xref="S2.E26.m1.3.3.cmml">u</mi><mo id="S2.E26.m1.5.5.1.1.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.E26.m1.5.5.1.1.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E26.m1.5.5.1.1.2" xref="S2.E26.m1.5.5.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S2.E26.m1.5.5.1.1.1" xref="S2.E26.m1.5.5.1.1.1.cmml"><mfrac id="S2.E26.m1.5.5.1.1.1.3" xref="S2.E26.m1.5.5.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.E26.m1.5.5.1.1.1.3.2" xref="S2.E26.m1.5.5.1.1.1.3.2.cmml">α</mi><mn id="S2.E26.m1.5.5.1.1.1.3.3" xref="S2.E26.m1.5.5.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S2.E26.m1.5.5.1.1.1.2" xref="S2.E26.m1.5.5.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="S2.E26.m1.5.5.1.1.1.1" xref="S2.E26.m1.5.5.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E26.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E26.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E26.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E26.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S2.E26.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E26.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E26.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E26.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">f</mi><mo id="S2.E26.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E26.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S2.E26.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E26.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">u</mi><mo id="S2.E26.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S2.E26.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S2.E26.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S2.E26.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">v</mi></mrow><mo id="S2.E26.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E26.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><msup id="S2.E26.m1.5.5.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E26.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.E26.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E26.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.2.cmml">L</mi><mn id="S2.E26.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.E26.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup><mn id="S2.E26.m1.5.5.1.1.1.1.3" xref="S2.E26.m1.5.5.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow><mo id="S2.E26.m1.5.5.1.1.2a" xref="S2.E26.m1.5.5.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S2.E26.m1.5.5.1.1.4" xref="S2.E26.m1.5.5.1.1.4.cmml"><msub id="S2.E26.m1.5.5.1.1.4.2" xref="S2.E26.m1.5.5.1.1.4.2.cmml"><mi id="S2.E26.m1.5.5.1.1.4.2.2" xref="S2.E26.m1.5.5.1.1.4.2.2.cmml">𝐈</mi><msub id="S2.E26.m1.5.5.1.1.4.2.3" xref="S2.E26.m1.5.5.1.1.4.2.3.cmml"><mi id="S2.E26.m1.5.5.1.1.4.2.3.2" xref="S2.E26.m1.5.5.1.1.4.2.3.2.cmml">G</mi><mi id="S2.E26.m1.5.5.1.1.4.2.3.3" xref="S2.E26.m1.5.5.1.1.4.2.3.3.cmml">μ</mi></msub></msub><mo id="S2.E26.m1.5.5.1.1.4.1" xref="S2.E26.m1.5.5.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E26.m1.5.5.1.1.4.3.2" xref="S2.E26.m1.5.5.1.1.4.cmml"><mo id="S2.E26.m1.5.5.1.1.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E26.m1.5.5.1.1.4.cmml">(</mo><mi id="S2.E26.m1.4.4" xref="S2.E26.m1.4.4.cmml">v</mi><mo id="S2.E26.m1.5.5.1.1.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.E26.m1.5.5.1.1.4.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E26.m1.5.5.1.2" xref="S2.E26.m1.5.5.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E26.m1.5b"><apply id="S2.E26.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S2.E26.m1.5.5.1"><plus id="S2.E26.m1.5.5.1.1.2.cmml" xref="S2.E26.m1.5.5.1.1.2"></plus><apply id="S2.E26.m1.5.5.1.1.3.cmml" xref="S2.E26.m1.5.5.1.1.3"><apply id="S2.E26.m1.5.5.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E26.m1.5.5.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E26.m1.5.5.1.1.3.1.1.cmml" xref="S2.E26.m1.5.5.1.1.3.1">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S2.E26.m1.5.5.1.1.3.1.2.cmml" xref="S2.E26.m1.5.5.1.1.3.1.2">infimum</csymbol><interval closure="open" id="S2.E26.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E26.m1.2.2.2.4"><ci id="S2.E26.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1">𝑢</ci><ci id="S2.E26.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E26.m1.2.2.2.2">𝑣</ci></interval></apply><apply id="S2.E26.m1.5.5.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E26.m1.5.5.1.1.3.2"><times id="S2.E26.m1.5.5.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E26.m1.5.5.1.1.3.2.1"></times><ci id="S2.E26.m1.5.5.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.E26.m1.5.5.1.1.3.2.2">𝐽</ci><ci id="S2.E26.m1.3.3.cmml" xref="S2.E26.m1.3.3">𝑢</ci></apply></apply><apply id="S2.E26.m1.5.5.1.1.1.cmml" xref="S2.E26.m1.5.5.1.1.1"><times id="S2.E26.m1.5.5.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E26.m1.5.5.1.1.1.2"></times><apply id="S2.E26.m1.5.5.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E26.m1.5.5.1.1.1.3"><divide id="S2.E26.m1.5.5.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E26.m1.5.5.1.1.1.3"></divide><ci id="S2.E26.m1.5.5.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E26.m1.5.5.1.1.1.3.2">𝛼</ci><cn id="S2.E26.m1.5.5.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E26.m1.5.5.1.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S2.E26.m1.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E26.m1.5.5.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E26.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E26.m1.5.5.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S2.E26.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E26.m1.5.5.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E26.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E26.m1.5.5.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S2.E26.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E26.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.E26.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E26.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S2.E26.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E26.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S2.E26.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E26.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S2.E26.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E26.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑓</ci><ci id="S2.E26.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E26.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑢</ci><ci id="S2.E26.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S2.E26.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.4">𝑣</ci></apply></apply><apply id="S2.E26.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E26.m1.5.5.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E26.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E26.m1.5.5.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.E26.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E26.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.2">𝐿</ci><cn id="S2.E26.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E26.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply><cn id="S2.E26.m1.5.5.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.E26.m1.5.5.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply><apply id="S2.E26.m1.5.5.1.1.4.cmml" xref="S2.E26.m1.5.5.1.1.4"><times id="S2.E26.m1.5.5.1.1.4.1.cmml" xref="S2.E26.m1.5.5.1.1.4.1"></times><apply id="S2.E26.m1.5.5.1.1.4.2.cmml" xref="S2.E26.m1.5.5.1.1.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E26.m1.5.5.1.1.4.2.1.cmml" xref="S2.E26.m1.5.5.1.1.4.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E26.m1.5.5.1.1.4.2.2.cmml" xref="S2.E26.m1.5.5.1.1.4.2.2">𝐈</ci><apply id="S2.E26.m1.5.5.1.1.4.2.3.cmml" xref="S2.E26.m1.5.5.1.1.4.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E26.m1.5.5.1.1.4.2.3.1.cmml" xref="S2.E26.m1.5.5.1.1.4.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E26.m1.5.5.1.1.4.2.3.2.cmml" xref="S2.E26.m1.5.5.1.1.4.2.3.2">𝐺</ci><ci id="S2.E26.m1.5.5.1.1.4.2.3.3.cmml" xref="S2.E26.m1.5.5.1.1.4.2.3.3">𝜇</ci></apply></apply><ci id="S2.E26.m1.4.4.cmml" xref="S2.E26.m1.4.4">𝑣</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E26.m1.5c">\inf_{(u,v)}J(u)+\frac{\alpha}{2}\|f-u-v\|_{L^{2}}^{2}+\mathbf{I}_{G_{\mu}}(v),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E26.m1.5d">roman_inf start_POSTSUBSCRIPT ( italic_u , italic_v ) end_POSTSUBSCRIPT italic_J ( italic_u ) + divide start_ARG italic_α end_ARG start_ARG 2 end_ARG ∥ italic_f - italic_u - italic_v ∥ start_POSTSUBSCRIPT italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + bold_I start_POSTSUBSCRIPT italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_μ end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( italic_v ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(26)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.p5.7">where <math alttext="J(u)=\mathrm{TV}(u)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p5.1.m1.2"><semantics id="S2.SS2.p5.1.m1.2a"><mrow id="S2.SS2.p5.1.m1.2.3" xref="S2.SS2.p5.1.m1.2.3.cmml"><mrow id="S2.SS2.p5.1.m1.2.3.2" xref="S2.SS2.p5.1.m1.2.3.2.cmml"><mi id="S2.SS2.p5.1.m1.2.3.2.2" xref="S2.SS2.p5.1.m1.2.3.2.2.cmml">J</mi><mo id="S2.SS2.p5.1.m1.2.3.2.1" xref="S2.SS2.p5.1.m1.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS2.p5.1.m1.2.3.2.3.2" xref="S2.SS2.p5.1.m1.2.3.2.cmml"><mo id="S2.SS2.p5.1.m1.2.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS2.p5.1.m1.2.3.2.cmml">(</mo><mi id="S2.SS2.p5.1.m1.1.1" xref="S2.SS2.p5.1.m1.1.1.cmml">u</mi><mo id="S2.SS2.p5.1.m1.2.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.p5.1.m1.2.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.SS2.p5.1.m1.2.3.1" xref="S2.SS2.p5.1.m1.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.SS2.p5.1.m1.2.3.3" xref="S2.SS2.p5.1.m1.2.3.3.cmml"><mi id="S2.SS2.p5.1.m1.2.3.3.2" xref="S2.SS2.p5.1.m1.2.3.3.2.cmml">TV</mi><mo id="S2.SS2.p5.1.m1.2.3.3.1" xref="S2.SS2.p5.1.m1.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS2.p5.1.m1.2.3.3.3.2" xref="S2.SS2.p5.1.m1.2.3.3.cmml"><mo id="S2.SS2.p5.1.m1.2.3.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS2.p5.1.m1.2.3.3.cmml">(</mo><mi id="S2.SS2.p5.1.m1.2.2" xref="S2.SS2.p5.1.m1.2.2.cmml">u</mi><mo id="S2.SS2.p5.1.m1.2.3.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.p5.1.m1.2.3.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p5.1.m1.2b"><apply id="S2.SS2.p5.1.m1.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p5.1.m1.2.3"><eq id="S2.SS2.p5.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p5.1.m1.2.3.1"></eq><apply id="S2.SS2.p5.1.m1.2.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p5.1.m1.2.3.2"><times id="S2.SS2.p5.1.m1.2.3.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p5.1.m1.2.3.2.1"></times><ci id="S2.SS2.p5.1.m1.2.3.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p5.1.m1.2.3.2.2">𝐽</ci><ci id="S2.SS2.p5.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p5.1.m1.1.1">𝑢</ci></apply><apply id="S2.SS2.p5.1.m1.2.3.3.cmml" xref="S2.SS2.p5.1.m1.2.3.3"><times id="S2.SS2.p5.1.m1.2.3.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p5.1.m1.2.3.3.1"></times><ci id="S2.SS2.p5.1.m1.2.3.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p5.1.m1.2.3.3.2">TV</ci><ci id="S2.SS2.p5.1.m1.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p5.1.m1.2.2">𝑢</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p5.1.m1.2c">J(u)=\mathrm{TV}(u)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p5.1.m1.2d">italic_J ( italic_u ) = roman_TV ( italic_u )</annotation></semantics></math>, and <math alttext="\mathbf{I}_{G_{\mu}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p5.2.m2.1"><semantics id="S2.SS2.p5.2.m2.1a"><msub id="S2.SS2.p5.2.m2.1.1" xref="S2.SS2.p5.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p5.2.m2.1.1.2" xref="S2.SS2.p5.2.m2.1.1.2.cmml">𝐈</mi><msub id="S2.SS2.p5.2.m2.1.1.3" xref="S2.SS2.p5.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS2.p5.2.m2.1.1.3.2" xref="S2.SS2.p5.2.m2.1.1.3.2.cmml">G</mi><mi id="S2.SS2.p5.2.m2.1.1.3.3" xref="S2.SS2.p5.2.m2.1.1.3.3.cmml">μ</mi></msub></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p5.2.m2.1b"><apply id="S2.SS2.p5.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p5.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p5.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p5.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p5.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p5.2.m2.1.1.2">𝐈</ci><apply id="S2.SS2.p5.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p5.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p5.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p5.2.m2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p5.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p5.2.m2.1.1.3.2">𝐺</ci><ci id="S2.SS2.p5.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS2.p5.2.m2.1.1.3.3">𝜇</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p5.2.m2.1c">\mathbf{I}_{G_{\mu}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p5.2.m2.1d">bold_I start_POSTSUBSCRIPT italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_μ end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is the indicator function of the closed convex set <math alttext="G_{\mu}=\{v\in G:\|v\|_{G}\leq\mu\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p5.3.m3.3"><semantics id="S2.SS2.p5.3.m3.3a"><mrow id="S2.SS2.p5.3.m3.3.3" xref="S2.SS2.p5.3.m3.3.3.cmml"><msub id="S2.SS2.p5.3.m3.3.3.4" xref="S2.SS2.p5.3.m3.3.3.4.cmml"><mi id="S2.SS2.p5.3.m3.3.3.4.2" xref="S2.SS2.p5.3.m3.3.3.4.2.cmml">G</mi><mi id="S2.SS2.p5.3.m3.3.3.4.3" xref="S2.SS2.p5.3.m3.3.3.4.3.cmml">μ</mi></msub><mo id="S2.SS2.p5.3.m3.3.3.3" xref="S2.SS2.p5.3.m3.3.3.3.cmml">=</mo><mrow id="S2.SS2.p5.3.m3.3.3.2.2" xref="S2.SS2.p5.3.m3.3.3.2.3.cmml"><mo id="S2.SS2.p5.3.m3.3.3.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.SS2.p5.3.m3.3.3.2.3.1.cmml">{</mo><mrow id="S2.SS2.p5.3.m3.2.2.1.1.1" xref="S2.SS2.p5.3.m3.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p5.3.m3.2.2.1.1.1.2" xref="S2.SS2.p5.3.m3.2.2.1.1.1.2.cmml">v</mi><mo id="S2.SS2.p5.3.m3.2.2.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p5.3.m3.2.2.1.1.1.1.cmml">∈</mo><mi id="S2.SS2.p5.3.m3.2.2.1.1.1.3" xref="S2.SS2.p5.3.m3.2.2.1.1.1.3.cmml">G</mi></mrow><mo id="S2.SS2.p5.3.m3.3.3.2.2.4" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S2.SS2.p5.3.m3.3.3.2.3.1.cmml">:</mo><mrow id="S2.SS2.p5.3.m3.3.3.2.2.2" xref="S2.SS2.p5.3.m3.3.3.2.2.2.cmml"><msub id="S2.SS2.p5.3.m3.3.3.2.2.2.2" xref="S2.SS2.p5.3.m3.3.3.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S2.SS2.p5.3.m3.3.3.2.2.2.2.2.2" xref="S2.SS2.p5.3.m3.3.3.2.2.2.2.2.1.cmml"><mo id="S2.SS2.p5.3.m3.3.3.2.2.2.2.2.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS2.p5.3.m3.3.3.2.2.2.2.2.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S2.SS2.p5.3.m3.1.1" xref="S2.SS2.p5.3.m3.1.1.cmml">v</mi><mo id="S2.SS2.p5.3.m3.3.3.2.2.2.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.p5.3.m3.3.3.2.2.2.2.2.1.1.cmml">‖</mo></mrow><mi id="S2.SS2.p5.3.m3.3.3.2.2.2.2.3" xref="S2.SS2.p5.3.m3.3.3.2.2.2.2.3.cmml">G</mi></msub><mo id="S2.SS2.p5.3.m3.3.3.2.2.2.1" xref="S2.SS2.p5.3.m3.3.3.2.2.2.1.cmml">≤</mo><mi id="S2.SS2.p5.3.m3.3.3.2.2.2.3" xref="S2.SS2.p5.3.m3.3.3.2.2.2.3.cmml">μ</mi></mrow><mo id="S2.SS2.p5.3.m3.3.3.2.2.5" stretchy="false" xref="S2.SS2.p5.3.m3.3.3.2.3.1.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p5.3.m3.3b"><apply id="S2.SS2.p5.3.m3.3.3.cmml" xref="S2.SS2.p5.3.m3.3.3"><eq id="S2.SS2.p5.3.m3.3.3.3.cmml" xref="S2.SS2.p5.3.m3.3.3.3"></eq><apply id="S2.SS2.p5.3.m3.3.3.4.cmml" xref="S2.SS2.p5.3.m3.3.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p5.3.m3.3.3.4.1.cmml" xref="S2.SS2.p5.3.m3.3.3.4">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p5.3.m3.3.3.4.2.cmml" xref="S2.SS2.p5.3.m3.3.3.4.2">𝐺</ci><ci id="S2.SS2.p5.3.m3.3.3.4.3.cmml" xref="S2.SS2.p5.3.m3.3.3.4.3">𝜇</ci></apply><apply id="S2.SS2.p5.3.m3.3.3.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p5.3.m3.3.3.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS2.p5.3.m3.3.3.2.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p5.3.m3.3.3.2.2.3">conditional-set</csymbol><apply id="S2.SS2.p5.3.m3.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p5.3.m3.2.2.1.1.1"><in id="S2.SS2.p5.3.m3.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p5.3.m3.2.2.1.1.1.1"></in><ci id="S2.SS2.p5.3.m3.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p5.3.m3.2.2.1.1.1.2">𝑣</ci><ci id="S2.SS2.p5.3.m3.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p5.3.m3.2.2.1.1.1.3">𝐺</ci></apply><apply id="S2.SS2.p5.3.m3.3.3.2.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p5.3.m3.3.3.2.2.2"><leq id="S2.SS2.p5.3.m3.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p5.3.m3.3.3.2.2.2.1"></leq><apply id="S2.SS2.p5.3.m3.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p5.3.m3.3.3.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p5.3.m3.3.3.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p5.3.m3.3.3.2.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S2.SS2.p5.3.m3.3.3.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p5.3.m3.3.3.2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS2.p5.3.m3.3.3.2.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p5.3.m3.3.3.2.2.2.2.2.2.1">norm</csymbol><ci id="S2.SS2.p5.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p5.3.m3.1.1">𝑣</ci></apply><ci id="S2.SS2.p5.3.m3.3.3.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p5.3.m3.3.3.2.2.2.2.3">𝐺</ci></apply><ci id="S2.SS2.p5.3.m3.3.3.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p5.3.m3.3.3.2.2.2.3">𝜇</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p5.3.m3.3c">G_{\mu}=\{v\in G:\|v\|_{G}\leq\mu\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p5.3.m3.3d">italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_μ end_POSTSUBSCRIPT = { italic_v ∈ italic_G : ∥ italic_v ∥ start_POSTSUBSCRIPT italic_G end_POSTSUBSCRIPT ≤ italic_μ }</annotation></semantics></math>. The parameter <math alttext="\mu" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p5.4.m4.1"><semantics id="S2.SS2.p5.4.m4.1a"><mi id="S2.SS2.p5.4.m4.1.1" xref="S2.SS2.p5.4.m4.1.1.cmml">μ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p5.4.m4.1b"><ci id="S2.SS2.p5.4.m4.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p5.4.m4.1.1">𝜇</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p5.4.m4.1c">\mu</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p5.4.m4.1d">italic_μ</annotation></semantics></math> plays the same role as <math alttext="\lambda" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p5.5.m5.1"><semantics id="S2.SS2.p5.5.m5.1a"><mi id="S2.SS2.p5.5.m5.1.1" xref="S2.SS2.p5.5.m5.1.1.cmml">λ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p5.5.m5.1b"><ci id="S2.SS2.p5.5.m5.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p5.5.m5.1.1">𝜆</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p5.5.m5.1c">\lambda</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p5.5.m5.1d">italic_λ</annotation></semantics></math> in problem (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S2.E22" title="In 2.2 Meyer’s 𝐺-TV Model for Cartoon and Texture Decomposition ‣ 2 Related work ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">22</span></a>). The convex functional (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S2.E26" title="In 2.2 Meyer’s 𝐺-TV Model for Cartoon and Texture Decomposition ‣ 2 Related work ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">26</span></a>) is minimized alternately in the two variables <math alttext="u" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p5.6.m6.1"><semantics id="S2.SS2.p5.6.m6.1a"><mi id="S2.SS2.p5.6.m6.1.1" xref="S2.SS2.p5.6.m6.1.1.cmml">u</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p5.6.m6.1b"><ci id="S2.SS2.p5.6.m6.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p5.6.m6.1.1">𝑢</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p5.6.m6.1c">u</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p5.6.m6.1d">italic_u</annotation></semantics></math> and <math alttext="v" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p5.7.m7.1"><semantics id="S2.SS2.p5.7.m7.1a"><mi id="S2.SS2.p5.7.m7.1.1" xref="S2.SS2.p5.7.m7.1.1.cmml">v</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p5.7.m7.1b"><ci id="S2.SS2.p5.7.m7.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p5.7.m7.1.1">𝑣</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p5.7.m7.1c">v</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p5.7.m7.1d">italic_v</annotation></semantics></math>. Each minimization can be solved by Chambolle’s projection method <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib13" title="">2004cha </a></cite>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS2.p6"> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.p6.1">Other related models for simultaneous image restoration and image decomposition into cartoon and texture have been proposed in the literature.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS2.p7"> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.p7.5">In <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib3" title="">aujol2005dual </a></cite>, Aujol and Chambolle compared the properties of norms that are dual to negative Sobolev (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S2.E24" title="In 2.2 Meyer’s 𝐺-TV Model for Cartoon and Texture Decomposition ‣ 2 Related work ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">24</span></a>) and Besov norms in the space <math alttext="E=\dot{B}^{\infty}_{-1,\infty}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p7.1.m1.2"><semantics id="S2.SS2.p7.1.m1.2a"><mrow id="S2.SS2.p7.1.m1.2.3" xref="S2.SS2.p7.1.m1.2.3.cmml"><mi id="S2.SS2.p7.1.m1.2.3.2" xref="S2.SS2.p7.1.m1.2.3.2.cmml">E</mi><mo id="S2.SS2.p7.1.m1.2.3.1" xref="S2.SS2.p7.1.m1.2.3.1.cmml">=</mo><msubsup id="S2.SS2.p7.1.m1.2.3.3" xref="S2.SS2.p7.1.m1.2.3.3.cmml"><mover accent="true" id="S2.SS2.p7.1.m1.2.3.3.2.2" xref="S2.SS2.p7.1.m1.2.3.3.2.2.cmml"><mi id="S2.SS2.p7.1.m1.2.3.3.2.2.2" xref="S2.SS2.p7.1.m1.2.3.3.2.2.2.cmml">B</mi><mo id="S2.SS2.p7.1.m1.2.3.3.2.2.1" xref="S2.SS2.p7.1.m1.2.3.3.2.2.1.cmml">˙</mo></mover><mrow id="S2.SS2.p7.1.m1.2.2.2.2" xref="S2.SS2.p7.1.m1.2.2.2.3.cmml"><mrow id="S2.SS2.p7.1.m1.2.2.2.2.1" xref="S2.SS2.p7.1.m1.2.2.2.2.1.cmml"><mo id="S2.SS2.p7.1.m1.2.2.2.2.1a" xref="S2.SS2.p7.1.m1.2.2.2.2.1.cmml">−</mo><mn id="S2.SS2.p7.1.m1.2.2.2.2.1.2" xref="S2.SS2.p7.1.m1.2.2.2.2.1.2.cmml">1</mn></mrow><mo id="S2.SS2.p7.1.m1.2.2.2.2.2" xref="S2.SS2.p7.1.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.SS2.p7.1.m1.1.1.1.1" mathvariant="normal" xref="S2.SS2.p7.1.m1.1.1.1.1.cmml">∞</mi></mrow><mi id="S2.SS2.p7.1.m1.2.3.3.2.3" mathvariant="normal" xref="S2.SS2.p7.1.m1.2.3.3.2.3.cmml">∞</mi></msubsup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p7.1.m1.2b"><apply id="S2.SS2.p7.1.m1.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p7.1.m1.2.3"><eq id="S2.SS2.p7.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p7.1.m1.2.3.1"></eq><ci id="S2.SS2.p7.1.m1.2.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p7.1.m1.2.3.2">𝐸</ci><apply id="S2.SS2.p7.1.m1.2.3.3.cmml" xref="S2.SS2.p7.1.m1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p7.1.m1.2.3.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p7.1.m1.2.3.3">subscript</csymbol><apply id="S2.SS2.p7.1.m1.2.3.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p7.1.m1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p7.1.m1.2.3.3.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p7.1.m1.2.3.3">superscript</csymbol><apply id="S2.SS2.p7.1.m1.2.3.3.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p7.1.m1.2.3.3.2.2"><ci id="S2.SS2.p7.1.m1.2.3.3.2.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p7.1.m1.2.3.3.2.2.1">˙</ci><ci id="S2.SS2.p7.1.m1.2.3.3.2.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p7.1.m1.2.3.3.2.2.2">𝐵</ci></apply><infinity id="S2.SS2.p7.1.m1.2.3.3.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p7.1.m1.2.3.3.2.3"></infinity></apply><list id="S2.SS2.p7.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p7.1.m1.2.2.2.2"><apply id="S2.SS2.p7.1.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p7.1.m1.2.2.2.2.1"><minus id="S2.SS2.p7.1.m1.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p7.1.m1.2.2.2.2.1"></minus><cn id="S2.SS2.p7.1.m1.2.2.2.2.1.2.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p7.1.m1.2.2.2.2.1.2">1</cn></apply><infinity id="S2.SS2.p7.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p7.1.m1.1.1.1.1"></infinity></list></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p7.1.m1.2c">E=\dot{B}^{\infty}_{-1,\infty}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p7.1.m1.2d">italic_E = over˙ start_ARG italic_B end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ∞ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT - 1 , ∞ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, for modeling texture and noise. They proposed a model to decompose an image <math alttext="f=u+v+w" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p7.2.m2.1"><semantics id="S2.SS2.p7.2.m2.1a"><mrow id="S2.SS2.p7.2.m2.1.1" xref="S2.SS2.p7.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p7.2.m2.1.1.2" xref="S2.SS2.p7.2.m2.1.1.2.cmml">f</mi><mo id="S2.SS2.p7.2.m2.1.1.1" xref="S2.SS2.p7.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.SS2.p7.2.m2.1.1.3" xref="S2.SS2.p7.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS2.p7.2.m2.1.1.3.2" xref="S2.SS2.p7.2.m2.1.1.3.2.cmml">u</mi><mo id="S2.SS2.p7.2.m2.1.1.3.1" xref="S2.SS2.p7.2.m2.1.1.3.1.cmml">+</mo><mi id="S2.SS2.p7.2.m2.1.1.3.3" xref="S2.SS2.p7.2.m2.1.1.3.3.cmml">v</mi><mo id="S2.SS2.p7.2.m2.1.1.3.1a" xref="S2.SS2.p7.2.m2.1.1.3.1.cmml">+</mo><mi id="S2.SS2.p7.2.m2.1.1.3.4" xref="S2.SS2.p7.2.m2.1.1.3.4.cmml">w</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p7.2.m2.1b"><apply id="S2.SS2.p7.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p7.2.m2.1.1"><eq id="S2.SS2.p7.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p7.2.m2.1.1.1"></eq><ci id="S2.SS2.p7.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p7.2.m2.1.1.2">𝑓</ci><apply id="S2.SS2.p7.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p7.2.m2.1.1.3"><plus id="S2.SS2.p7.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p7.2.m2.1.1.3.1"></plus><ci id="S2.SS2.p7.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p7.2.m2.1.1.3.2">𝑢</ci><ci id="S2.SS2.p7.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS2.p7.2.m2.1.1.3.3">𝑣</ci><ci id="S2.SS2.p7.2.m2.1.1.3.4.cmml" xref="S2.SS2.p7.2.m2.1.1.3.4">𝑤</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p7.2.m2.1c">f=u+v+w</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p7.2.m2.1d">italic_f = italic_u + italic_v + italic_w</annotation></semantics></math> into <math alttext="u\in BV" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p7.3.m3.1"><semantics id="S2.SS2.p7.3.m3.1a"><mrow id="S2.SS2.p7.3.m3.1.1" xref="S2.SS2.p7.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p7.3.m3.1.1.2" xref="S2.SS2.p7.3.m3.1.1.2.cmml">u</mi><mo id="S2.SS2.p7.3.m3.1.1.1" xref="S2.SS2.p7.3.m3.1.1.1.cmml">∈</mo><mrow id="S2.SS2.p7.3.m3.1.1.3" xref="S2.SS2.p7.3.m3.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS2.p7.3.m3.1.1.3.2" xref="S2.SS2.p7.3.m3.1.1.3.2.cmml">B</mi><mo id="S2.SS2.p7.3.m3.1.1.3.1" xref="S2.SS2.p7.3.m3.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS2.p7.3.m3.1.1.3.3" xref="S2.SS2.p7.3.m3.1.1.3.3.cmml">V</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p7.3.m3.1b"><apply id="S2.SS2.p7.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p7.3.m3.1.1"><in id="S2.SS2.p7.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p7.3.m3.1.1.1"></in><ci id="S2.SS2.p7.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p7.3.m3.1.1.2">𝑢</ci><apply id="S2.SS2.p7.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p7.3.m3.1.1.3"><times id="S2.SS2.p7.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p7.3.m3.1.1.3.1"></times><ci id="S2.SS2.p7.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p7.3.m3.1.1.3.2">𝐵</ci><ci id="S2.SS2.p7.3.m3.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS2.p7.3.m3.1.1.3.3">𝑉</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p7.3.m3.1c">u\in BV</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p7.3.m3.1d">italic_u ∈ italic_B italic_V</annotation></semantics></math> the cartoon component, <math alttext="v\in G" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p7.4.m4.1"><semantics id="S2.SS2.p7.4.m4.1a"><mrow id="S2.SS2.p7.4.m4.1.1" xref="S2.SS2.p7.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p7.4.m4.1.1.2" xref="S2.SS2.p7.4.m4.1.1.2.cmml">v</mi><mo id="S2.SS2.p7.4.m4.1.1.1" xref="S2.SS2.p7.4.m4.1.1.1.cmml">∈</mo><mi id="S2.SS2.p7.4.m4.1.1.3" xref="S2.SS2.p7.4.m4.1.1.3.cmml">G</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p7.4.m4.1b"><apply id="S2.SS2.p7.4.m4.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p7.4.m4.1.1"><in id="S2.SS2.p7.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p7.4.m4.1.1.1"></in><ci id="S2.SS2.p7.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p7.4.m4.1.1.2">𝑣</ci><ci id="S2.SS2.p7.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p7.4.m4.1.1.3">𝐺</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p7.4.m4.1c">v\in G</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p7.4.m4.1d">italic_v ∈ italic_G</annotation></semantics></math> the texture component, and <math alttext="w\in E" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p7.5.m5.1"><semantics id="S2.SS2.p7.5.m5.1a"><mrow id="S2.SS2.p7.5.m5.1.1" xref="S2.SS2.p7.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p7.5.m5.1.1.2" xref="S2.SS2.p7.5.m5.1.1.2.cmml">w</mi><mo id="S2.SS2.p7.5.m5.1.1.1" xref="S2.SS2.p7.5.m5.1.1.1.cmml">∈</mo><mi id="S2.SS2.p7.5.m5.1.1.3" xref="S2.SS2.p7.5.m5.1.1.3.cmml">E</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p7.5.m5.1b"><apply id="S2.SS2.p7.5.m5.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p7.5.m5.1.1"><in id="S2.SS2.p7.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p7.5.m5.1.1.1"></in><ci id="S2.SS2.p7.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p7.5.m5.1.1.2">𝑤</ci><ci id="S2.SS2.p7.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p7.5.m5.1.1.3">𝐸</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p7.5.m5.1c">w\in E</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p7.5.m5.1d">italic_w ∈ italic_E</annotation></semantics></math> the noise component.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS2.p8"> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.p8.1">In <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib48" title="">2003StaImage </a></cite>, Starck, Elad and Donoho proposed a decomposition model using wavelets dictionaries. Image restoration models using wavelet frames to sparsely represent the cartoon part and the texture part separately have been studied in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib12" title="">cai2010 </a>; <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib18" title="">2012Wavelet </a>; <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib11" title="">cai2012image </a></cite>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS2.p9"> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.p9.5">Generalizing the idea of Meyer <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib36" title="">meyeroscillating </a></cite>, where <math alttext="v\in F=\mathrm{div}(BMO)=\dot{BMO}^{-1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p9.1.m1.1"><semantics id="S2.SS2.p9.1.m1.1a"><mrow id="S2.SS2.p9.1.m1.1.1" xref="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.3" xref="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.3.cmml">v</mi><mo id="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.4" xref="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.4.cmml">∈</mo><mi id="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.5" xref="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.5.cmml">F</mi><mo id="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.6" xref="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.6.cmml">=</mo><mrow id="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.1" xref="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.1.3" xref="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.1.3.cmml">div</mi><mo id="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.1.2" xref="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">B</mi><mo id="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">M</mi><mo id="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">O</mi></mrow><mo id="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.7" xref="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.7.cmml">=</mo><msup id="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.8" xref="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.8.cmml"><mover accent="true" id="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.8.2" xref="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.8.2.cmml"><mrow id="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.8.2.2" xref="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.8.2.2.cmml"><mi id="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.8.2.2.2" xref="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.8.2.2.2.cmml">B</mi><mo id="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.8.2.2.1" xref="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.8.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.8.2.2.3" xref="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.8.2.2.3.cmml">M</mi><mo id="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.8.2.2.1a" xref="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.8.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.8.2.2.4" xref="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.8.2.2.4.cmml">O</mi></mrow><mo id="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.8.2.1" xref="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.8.2.1.cmml">˙</mo></mover><mrow id="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.8.3" xref="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.8.3.cmml"><mo id="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.8.3a" xref="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.8.3.cmml">−</mo><mn id="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.8.3.2" xref="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.8.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p9.1.m1.1b"><apply id="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p9.1.m1.1.1"><and id="S2.SS2.p9.1.m1.1.1a.cmml" xref="S2.SS2.p9.1.m1.1.1"></and><apply id="S2.SS2.p9.1.m1.1.1b.cmml" xref="S2.SS2.p9.1.m1.1.1"><in id="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.4.cmml" xref="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.4"></in><ci id="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.3">𝑣</ci><ci id="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.5.cmml" xref="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.5">𝐹</ci></apply><apply id="S2.SS2.p9.1.m1.1.1c.cmml" xref="S2.SS2.p9.1.m1.1.1"><eq id="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.6.cmml" xref="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.6"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S2.SS2.p9.1.m1.1.1.5.cmml" id="S2.SS2.p9.1.m1.1.1d.cmml" xref="S2.SS2.p9.1.m1.1.1"></share><apply id="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.1"><times id="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.1.2"></times><ci id="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.1.3">div</ci><apply id="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.1.1.1"><times id="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.1.1.1.1.2">𝐵</ci><ci id="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.1.1.1.1.3">𝑀</ci><ci id="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.1.1.1.1.4">𝑂</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.SS2.p9.1.m1.1.1e.cmml" xref="S2.SS2.p9.1.m1.1.1"><eq id="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.7.cmml" xref="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.7"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S2.SS2.p9.1.m1.1.1.1.cmml" id="S2.SS2.p9.1.m1.1.1f.cmml" xref="S2.SS2.p9.1.m1.1.1"></share><apply id="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.8.cmml" xref="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.8"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.8.1.cmml" xref="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.8">superscript</csymbol><apply id="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.8.2.cmml" xref="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.8.2"><ci id="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.8.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.8.2.1">˙</ci><apply id="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.8.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.8.2.2"><times id="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.8.2.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.8.2.2.1"></times><ci id="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.8.2.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.8.2.2.2">𝐵</ci><ci id="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.8.2.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.8.2.2.3">𝑀</ci><ci id="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.8.2.2.4.cmml" xref="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.8.2.2.4">𝑂</ci></apply></apply><apply id="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.8.3.cmml" xref="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.8.3"><minus id="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.8.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.8.3"></minus><cn id="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.8.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p9.1.m1.1.1.8.3.2">1</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p9.1.m1.1c">v\in F=\mathrm{div}(BMO)=\dot{BMO}^{-1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p9.1.m1.1d">italic_v ∈ italic_F = roman_div ( italic_B italic_M italic_O ) = over˙ start_ARG italic_B italic_M italic_O end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, Garnett et al. <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib21" title="">garnett2011modeling </a></cite> proposed to model the texture component <math alttext="v" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p9.2.m2.1"><semantics id="S2.SS2.p9.2.m2.1a"><mi id="S2.SS2.p9.2.m2.1.1" xref="S2.SS2.p9.2.m2.1.1.cmml">v</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p9.2.m2.1b"><ci id="S2.SS2.p9.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p9.2.m2.1.1">𝑣</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p9.2.m2.1c">v</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p9.2.m2.1d">italic_v</annotation></semantics></math> by the action of the Riesz potentials on <math alttext="v" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p9.3.m3.1"><semantics id="S2.SS2.p9.3.m3.1a"><mi id="S2.SS2.p9.3.m3.1.1" xref="S2.SS2.p9.3.m3.1.1.cmml">v</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p9.3.m3.1b"><ci id="S2.SS2.p9.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p9.3.m3.1.1">𝑣</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p9.3.m3.1c">v</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p9.3.m3.1d">italic_v</annotation></semantics></math> that belongs to <math alttext="BMO" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p9.4.m4.1"><semantics id="S2.SS2.p9.4.m4.1a"><mrow id="S2.SS2.p9.4.m4.1.1" xref="S2.SS2.p9.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p9.4.m4.1.1.2" xref="S2.SS2.p9.4.m4.1.1.2.cmml">B</mi><mo id="S2.SS2.p9.4.m4.1.1.1" xref="S2.SS2.p9.4.m4.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS2.p9.4.m4.1.1.3" xref="S2.SS2.p9.4.m4.1.1.3.cmml">M</mi><mo id="S2.SS2.p9.4.m4.1.1.1a" xref="S2.SS2.p9.4.m4.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS2.p9.4.m4.1.1.4" xref="S2.SS2.p9.4.m4.1.1.4.cmml">O</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p9.4.m4.1b"><apply id="S2.SS2.p9.4.m4.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p9.4.m4.1.1"><times id="S2.SS2.p9.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p9.4.m4.1.1.1"></times><ci id="S2.SS2.p9.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p9.4.m4.1.1.2">𝐵</ci><ci id="S2.SS2.p9.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p9.4.m4.1.1.3">𝑀</ci><ci id="S2.SS2.p9.4.m4.1.1.4.cmml" xref="S2.SS2.p9.4.m4.1.1.4">𝑂</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p9.4.m4.1c">BMO</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p9.4.m4.1d">italic_B italic_M italic_O</annotation></semantics></math> or <math alttext="L^{p},1\leq p\leq\infty" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p9.5.m5.2"><semantics id="S2.SS2.p9.5.m5.2a"><mrow id="S2.SS2.p9.5.m5.2.2" xref="S2.SS2.p9.5.m5.2.2.cmml"><mrow id="S2.SS2.p9.5.m5.2.2.1.1" xref="S2.SS2.p9.5.m5.2.2.1.2.cmml"><msup id="S2.SS2.p9.5.m5.2.2.1.1.1" xref="S2.SS2.p9.5.m5.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p9.5.m5.2.2.1.1.1.2" xref="S2.SS2.p9.5.m5.2.2.1.1.1.2.cmml">L</mi><mi id="S2.SS2.p9.5.m5.2.2.1.1.1.3" xref="S2.SS2.p9.5.m5.2.2.1.1.1.3.cmml">p</mi></msup><mo id="S2.SS2.p9.5.m5.2.2.1.1.2" xref="S2.SS2.p9.5.m5.2.2.1.2.cmml">,</mo><mn id="S2.SS2.p9.5.m5.1.1" xref="S2.SS2.p9.5.m5.1.1.cmml">1</mn></mrow><mo id="S2.SS2.p9.5.m5.2.2.3" xref="S2.SS2.p9.5.m5.2.2.3.cmml">≤</mo><mi id="S2.SS2.p9.5.m5.2.2.4" xref="S2.SS2.p9.5.m5.2.2.4.cmml">p</mi><mo id="S2.SS2.p9.5.m5.2.2.5" xref="S2.SS2.p9.5.m5.2.2.5.cmml">≤</mo><mi id="S2.SS2.p9.5.m5.2.2.6" mathvariant="normal" xref="S2.SS2.p9.5.m5.2.2.6.cmml">∞</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p9.5.m5.2b"><apply id="S2.SS2.p9.5.m5.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p9.5.m5.2.2"><and id="S2.SS2.p9.5.m5.2.2a.cmml" xref="S2.SS2.p9.5.m5.2.2"></and><apply id="S2.SS2.p9.5.m5.2.2b.cmml" xref="S2.SS2.p9.5.m5.2.2"><leq id="S2.SS2.p9.5.m5.2.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p9.5.m5.2.2.3"></leq><list id="S2.SS2.p9.5.m5.2.2.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p9.5.m5.2.2.1.1"><apply id="S2.SS2.p9.5.m5.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p9.5.m5.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p9.5.m5.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p9.5.m5.2.2.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p9.5.m5.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p9.5.m5.2.2.1.1.1.2">𝐿</ci><ci id="S2.SS2.p9.5.m5.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p9.5.m5.2.2.1.1.1.3">𝑝</ci></apply><cn id="S2.SS2.p9.5.m5.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p9.5.m5.1.1">1</cn></list><ci id="S2.SS2.p9.5.m5.2.2.4.cmml" xref="S2.SS2.p9.5.m5.2.2.4">𝑝</ci></apply><apply id="S2.SS2.p9.5.m5.2.2c.cmml" xref="S2.SS2.p9.5.m5.2.2"><leq id="S2.SS2.p9.5.m5.2.2.5.cmml" xref="S2.SS2.p9.5.m5.2.2.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S2.SS2.p9.5.m5.2.2.4.cmml" id="S2.SS2.p9.5.m5.2.2d.cmml" xref="S2.SS2.p9.5.m5.2.2"></share><infinity id="S2.SS2.p9.5.m5.2.2.6.cmml" xref="S2.SS2.p9.5.m5.2.2.6"></infinity></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p9.5.m5.2c">L^{p},1\leq p\leq\infty</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p9.5.m5.2d">italic_L start_POSTSUPERSCRIPT italic_p end_POSTSUPERSCRIPT , 1 ≤ italic_p ≤ ∞</annotation></semantics></math>, which was extended to an image deblurring model by Kim and Vese <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib29" title="">kim2009image </a></cite>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS2.p10"> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.p10.4">In <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib38" title="">6459598 </a></cite>, Michael K. Ng et al. firstly proposed an image decomposition model which can simultaneously restore blurred images with missing pixels:</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E27"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\inf_{u\in\mathbb{R}^{n},g\in\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{n}}\||\nabla u|\|% +\frac{\alpha}{2}\int_{\Omega}|f-K(u+\mathrm{div}(m))|^{2}dx+\lambda\||m|\|_{L% ^{p}}," class="ltx_Math" display="block" id="S2.E27.m1.5"><semantics id="S2.E27.m1.5a"><mrow id="S2.E27.m1.5.5.1" xref="S2.E27.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S2.E27.m1.5.5.1.1" xref="S2.E27.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S2.E27.m1.5.5.1.1.1" xref="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.cmml"><munder id="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.2" xref="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.2.2" movablelimits="false" xref="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.2.2.cmml">inf</mo><mrow id="S2.E27.m1.2.2.2.2" xref="S2.E27.m1.2.2.2.3.cmml"><mrow id="S2.E27.m1.1.1.1.1.1" xref="S2.E27.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E27.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E27.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">u</mi><mo id="S2.E27.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E27.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">∈</mo><msup id="S2.E27.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E27.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.E27.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E27.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">ℝ</mi><mi id="S2.E27.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.E27.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">n</mi></msup></mrow><mo id="S2.E27.m1.2.2.2.2.3" xref="S2.E27.m1.2.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S2.E27.m1.2.2.2.2.2" xref="S2.E27.m1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.E27.m1.2.2.2.2.2.2" xref="S2.E27.m1.2.2.2.2.2.2.cmml">g</mi><mo id="S2.E27.m1.2.2.2.2.2.1" xref="S2.E27.m1.2.2.2.2.2.1.cmml">∈</mo><mrow id="S2.E27.m1.2.2.2.2.2.3" xref="S2.E27.m1.2.2.2.2.2.3.cmml"><msup id="S2.E27.m1.2.2.2.2.2.3.2" xref="S2.E27.m1.2.2.2.2.2.3.2.cmml"><mi id="S2.E27.m1.2.2.2.2.2.3.2.2" xref="S2.E27.m1.2.2.2.2.2.3.2.2.cmml">ℝ</mi><mi id="S2.E27.m1.2.2.2.2.2.3.2.3" xref="S2.E27.m1.2.2.2.2.2.3.2.3.cmml">n</mi></msup><mo id="S2.E27.m1.2.2.2.2.2.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S2.E27.m1.2.2.2.2.2.3.1.cmml">×</mo><msup id="S2.E27.m1.2.2.2.2.2.3.3" xref="S2.E27.m1.2.2.2.2.2.3.3.cmml"><mi id="S2.E27.m1.2.2.2.2.2.3.3.2" xref="S2.E27.m1.2.2.2.2.2.3.3.2.cmml">ℝ</mi><mi id="S2.E27.m1.2.2.2.2.2.3.3.3" xref="S2.E27.m1.2.2.2.2.2.3.3.3.cmml">n</mi></msup></mrow></mrow></mrow></munder><mrow id="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1" xref="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.cmml"><msup id="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1" xref="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2" lspace="0em" stretchy="false" xref="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" rspace="0.167em" xref="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">∇</mo><mi id="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">u</mi></mrow><mo id="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mo id="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1" xref="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml"><mo id="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1a" xref="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2" xref="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.cmml"><mfrac id="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2" xref="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2" xref="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.cmml">α</mi><mn id="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3" xref="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.1" xref="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3" xref="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.cmml"><mo id="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.2" rspace="0em" xref="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.2.cmml">∫</mo><mi id="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.3" mathvariant="normal" xref="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.3.cmml">Ω</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3a" xref="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4" xref="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml">f</mi></mrow><mo id="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">−</mo><mrow id="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">K</mi><mo id="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1" xref="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1" xref="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2" xref="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.cmml">u</mi><mo id="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1" xref="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3" xref="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2" xref="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.cmml">div</mi><mo id="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.1" xref="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.3.2" xref="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.cmml"><mo id="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S2.E27.m1.3.3" xref="S2.E27.m1.3.3.cmml">m</mi><mo id="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mn id="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.2" xref="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.3" xref="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.3.cmml">d</mi><mo id="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.2a" xref="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.4" xref="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.4.cmml">x</mi></mrow></mrow><mo id="S2.E27.m1.5.5.1.1.3" xref="S2.E27.m1.5.5.1.1.3.cmml">+</mo><mrow id="S2.E27.m1.5.5.1.1.2" xref="S2.E27.m1.5.5.1.1.2.cmml"><mi id="S2.E27.m1.5.5.1.1.2.3" xref="S2.E27.m1.5.5.1.1.2.3.cmml">λ</mi><mo id="S2.E27.m1.5.5.1.1.2.2" xref="S2.E27.m1.5.5.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><msub id="S2.E27.m1.5.5.1.1.2.1" xref="S2.E27.m1.5.5.1.1.2.1.cmml"><mrow id="S2.E27.m1.5.5.1.1.2.1.1.1" xref="S2.E27.m1.5.5.1.1.2.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E27.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E27.m1.5.5.1.1.2.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S2.E27.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.2" xref="S2.E27.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E27.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.2.1" stretchy="false" xref="S2.E27.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml">|</mo><mi id="S2.E27.m1.4.4" xref="S2.E27.m1.4.4.cmml">m</mi><mo id="S2.E27.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.2.2" stretchy="false" xref="S2.E27.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S2.E27.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E27.m1.5.5.1.1.2.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><msup id="S2.E27.m1.5.5.1.1.2.1.3" xref="S2.E27.m1.5.5.1.1.2.1.3.cmml"><mi id="S2.E27.m1.5.5.1.1.2.1.3.2" xref="S2.E27.m1.5.5.1.1.2.1.3.2.cmml">L</mi><mi id="S2.E27.m1.5.5.1.1.2.1.3.3" xref="S2.E27.m1.5.5.1.1.2.1.3.3.cmml">p</mi></msup></msub></mrow></mrow><mo id="S2.E27.m1.5.5.1.2" xref="S2.E27.m1.5.5.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E27.m1.5b"><apply id="S2.E27.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S2.E27.m1.5.5.1"><plus id="S2.E27.m1.5.5.1.1.3.cmml" xref="S2.E27.m1.5.5.1.1.3"></plus><apply id="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.cmml" xref="S2.E27.m1.5.5.1.1.1"><apply id="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.2.2">infimum</csymbol><apply id="S2.E27.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E27.m1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E27.m1.2.2.2.3a.cmml" xref="S2.E27.m1.2.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S2.E27.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.1.1.1"><in id="S2.E27.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" 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id="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2">𝛼</ci><cn id="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3">subscript</csymbol><int id="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.2"></int><ci id="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.3.cmml" xref="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.3">Ω</ci></apply></apply></apply></apply><ci id="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4">𝑓</ci></apply><apply id="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"></times><ci id="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝐾</ci><apply id="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml" xref="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1"><plus id="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1"></plus><ci id="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2">𝑢</ci><apply id="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3"><times id="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.1"></times><ci id="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2">div</ci><ci id="S2.E27.m1.3.3.cmml" xref="S2.E27.m1.3.3">𝑚</ci></apply></apply></apply></apply></apply><cn id="S2.E27.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" 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xref="S2.E27.m1.4.4">𝑚</ci></apply></apply><apply id="S2.E27.m1.5.5.1.1.2.1.3.cmml" xref="S2.E27.m1.5.5.1.1.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E27.m1.5.5.1.1.2.1.3.1.cmml" xref="S2.E27.m1.5.5.1.1.2.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.E27.m1.5.5.1.1.2.1.3.2.cmml" xref="S2.E27.m1.5.5.1.1.2.1.3.2">𝐿</ci><ci id="S2.E27.m1.5.5.1.1.2.1.3.3.cmml" xref="S2.E27.m1.5.5.1.1.2.1.3.3">𝑝</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E27.m1.5c">\inf_{u\in\mathbb{R}^{n},g\in\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{n}}\||\nabla u|\|% +\frac{\alpha}{2}\int_{\Omega}|f-K(u+\mathrm{div}(m))|^{2}dx+\lambda\||m|\|_{L% ^{p}},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E27.m1.5d">roman_inf start_POSTSUBSCRIPT italic_u ∈ blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT , italic_g ∈ blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT × blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ∥ | ∇ italic_u | ∥ + divide start_ARG italic_α end_ARG start_ARG 2 end_ARG ∫ start_POSTSUBSCRIPT roman_Ω end_POSTSUBSCRIPT | italic_f - italic_K ( italic_u + roman_div ( italic_m ) ) | start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_d italic_x + italic_λ ∥ | italic_m | ∥ start_POSTSUBSCRIPT italic_L start_POSTSUPERSCRIPT italic_p end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(27)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.p10.3">where <math alttext="p=1,2" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p10.1.m1.2"><semantics id="S2.SS2.p10.1.m1.2a"><mrow id="S2.SS2.p10.1.m1.2.3" xref="S2.SS2.p10.1.m1.2.3.cmml"><mi id="S2.SS2.p10.1.m1.2.3.2" xref="S2.SS2.p10.1.m1.2.3.2.cmml">p</mi><mo id="S2.SS2.p10.1.m1.2.3.1" xref="S2.SS2.p10.1.m1.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.SS2.p10.1.m1.2.3.3.2" xref="S2.SS2.p10.1.m1.2.3.3.1.cmml"><mn id="S2.SS2.p10.1.m1.1.1" xref="S2.SS2.p10.1.m1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S2.SS2.p10.1.m1.2.3.3.2.1" xref="S2.SS2.p10.1.m1.2.3.3.1.cmml">,</mo><mn id="S2.SS2.p10.1.m1.2.2" xref="S2.SS2.p10.1.m1.2.2.cmml">2</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p10.1.m1.2b"><apply id="S2.SS2.p10.1.m1.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p10.1.m1.2.3"><eq id="S2.SS2.p10.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p10.1.m1.2.3.1"></eq><ci id="S2.SS2.p10.1.m1.2.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p10.1.m1.2.3.2">𝑝</ci><list id="S2.SS2.p10.1.m1.2.3.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p10.1.m1.2.3.3.2"><cn id="S2.SS2.p10.1.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p10.1.m1.1.1">1</cn><cn id="S2.SS2.p10.1.m1.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p10.1.m1.2.2">2</cn></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p10.1.m1.2c">p=1,2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p10.1.m1.2d">italic_p = 1 , 2</annotation></semantics></math> and <math alttext="\infty" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p10.2.m2.1"><semantics id="S2.SS2.p10.2.m2.1a"><mi id="S2.SS2.p10.2.m2.1.1" mathvariant="normal" xref="S2.SS2.p10.2.m2.1.1.cmml">∞</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p10.2.m2.1b"><infinity id="S2.SS2.p10.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p10.2.m2.1.1"></infinity></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p10.2.m2.1c">\infty</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p10.2.m2.1d">∞</annotation></semantics></math>, and different choices of <math alttext="K" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p10.3.m3.1"><semantics id="S2.SS2.p10.3.m3.1a"><mi id="S2.SS2.p10.3.m3.1.1" xref="S2.SS2.p10.3.m3.1.1.cmml">K</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p10.3.m3.1b"><ci id="S2.SS2.p10.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p10.3.m3.1.1">𝐾</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p10.3.m3.1c">K</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p10.3.m3.1d">italic_K</annotation></semantics></math> correspond to the observed images with different corruptions. For solving (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S2.E27" title="In 2.2 Meyer’s 𝐺-TV Model for Cartoon and Texture Decomposition ‣ 2 Related work ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">27</span></a>), the alternating direction method of multipliers (ADMM) with a Gaussian back substitution procedure proposed in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib24" title="">2012He </a></cite> was recommended. In <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib27" title="">doi:10.1137/140967416 </a></cite>, a color image decomposition model based on (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S2.E27" title="In 2.2 Meyer’s 𝐺-TV Model for Cartoon and Texture Decomposition ‣ 2 Related work ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">27</span></a>) with higher-order regularizers was proposed.</p> </div> </section> </section> <section class="ltx_section" id="S3"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">3 </span>The Proposed Image Restoration Models</h2> <section class="ltx_subsection" id="S3.SS1"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">3.1 </span>The proposed image denoising model</h3> <div class="ltx_para" id="S3.SS1.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.p1.5">We propose a denoising model with the dual Lipschitz norm from optimal transport and the total variation:</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E28"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\inf_{(u,v)\in BV\times H}\int_{\Omega}|\nabla u|+\frac{\alpha}{2}\int_{\Omega% }|f-u-v|^{2}dx+\lambda\|v\|_{\mathrm{Lip}^{*}}," class="ltx_Math" display="block" id="S3.E28.m1.4"><semantics id="S3.E28.m1.4a"><mrow id="S3.E28.m1.4.4.1" xref="S3.E28.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S3.E28.m1.4.4.1.1" xref="S3.E28.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S3.E28.m1.4.4.1.1.1" xref="S3.E28.m1.4.4.1.1.1.cmml"><munder id="S3.E28.m1.4.4.1.1.1.2" xref="S3.E28.m1.4.4.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E28.m1.4.4.1.1.1.2.2" movablelimits="false" xref="S3.E28.m1.4.4.1.1.1.2.2.cmml">inf</mo><mrow id="S3.E28.m1.2.2.2" xref="S3.E28.m1.2.2.2.cmml"><mrow id="S3.E28.m1.2.2.2.4.2" xref="S3.E28.m1.2.2.2.4.1.cmml"><mo id="S3.E28.m1.2.2.2.4.2.1" stretchy="false" xref="S3.E28.m1.2.2.2.4.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E28.m1.1.1.1.1" xref="S3.E28.m1.1.1.1.1.cmml">u</mi><mo id="S3.E28.m1.2.2.2.4.2.2" xref="S3.E28.m1.2.2.2.4.1.cmml">,</mo><mi id="S3.E28.m1.2.2.2.2" xref="S3.E28.m1.2.2.2.2.cmml">v</mi><mo id="S3.E28.m1.2.2.2.4.2.3" stretchy="false" xref="S3.E28.m1.2.2.2.4.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E28.m1.2.2.2.3" xref="S3.E28.m1.2.2.2.3.cmml">∈</mo><mrow id="S3.E28.m1.2.2.2.5" xref="S3.E28.m1.2.2.2.5.cmml"><mrow id="S3.E28.m1.2.2.2.5.2" xref="S3.E28.m1.2.2.2.5.2.cmml"><mi id="S3.E28.m1.2.2.2.5.2.2" xref="S3.E28.m1.2.2.2.5.2.2.cmml">B</mi><mo id="S3.E28.m1.2.2.2.5.2.1" xref="S3.E28.m1.2.2.2.5.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E28.m1.2.2.2.5.2.3" xref="S3.E28.m1.2.2.2.5.2.3.cmml">V</mi></mrow><mo id="S3.E28.m1.2.2.2.5.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S3.E28.m1.2.2.2.5.1.cmml">×</mo><mi id="S3.E28.m1.2.2.2.5.3" xref="S3.E28.m1.2.2.2.5.3.cmml">H</mi></mrow></mrow></munder><mrow id="S3.E28.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S3.E28.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E28.m1.4.4.1.1.1.1.2" xref="S3.E28.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E28.m1.4.4.1.1.1.1.2.2" lspace="0.167em" rspace="0em" xref="S3.E28.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.cmml">∫</mo><mi id="S3.E28.m1.4.4.1.1.1.1.2.3" mathvariant="normal" xref="S3.E28.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.cmml">Ω</mi></msub><mrow id="S3.E28.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E28.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E28.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E28.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S3.E28.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E28.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E28.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1" rspace="0.167em" xref="S3.E28.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">∇</mo><mi id="S3.E28.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E28.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">u</mi></mrow><mo id="S3.E28.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E28.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E28.m1.4.4.1.1.3" xref="S3.E28.m1.4.4.1.1.3.cmml">+</mo><mrow id="S3.E28.m1.4.4.1.1.2" xref="S3.E28.m1.4.4.1.1.2.cmml"><mfrac id="S3.E28.m1.4.4.1.1.2.3" xref="S3.E28.m1.4.4.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.E28.m1.4.4.1.1.2.3.2" xref="S3.E28.m1.4.4.1.1.2.3.2.cmml">α</mi><mn id="S3.E28.m1.4.4.1.1.2.3.3" xref="S3.E28.m1.4.4.1.1.2.3.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S3.E28.m1.4.4.1.1.2.2" xref="S3.E28.m1.4.4.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E28.m1.4.4.1.1.2.1" xref="S3.E28.m1.4.4.1.1.2.1.cmml"><msub id="S3.E28.m1.4.4.1.1.2.1.2" xref="S3.E28.m1.4.4.1.1.2.1.2.cmml"><mo id="S3.E28.m1.4.4.1.1.2.1.2.2" rspace="0em" xref="S3.E28.m1.4.4.1.1.2.1.2.2.cmml">∫</mo><mi id="S3.E28.m1.4.4.1.1.2.1.2.3" mathvariant="normal" xref="S3.E28.m1.4.4.1.1.2.1.2.3.cmml">Ω</mi></msub><mrow id="S3.E28.m1.4.4.1.1.2.1.1" xref="S3.E28.m1.4.4.1.1.2.1.1.cmml"><msup id="S3.E28.m1.4.4.1.1.2.1.1.1" xref="S3.E28.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E28.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="S3.E28.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E28.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E28.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S3.E28.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E28.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E28.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E28.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">f</mi><mo id="S3.E28.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E28.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S3.E28.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E28.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">u</mi><mo id="S3.E28.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S3.E28.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S3.E28.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.4" xref="S3.E28.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.4.cmml">v</mi></mrow><mo id="S3.E28.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E28.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mn id="S3.E28.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3" xref="S3.E28.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.E28.m1.4.4.1.1.2.1.1.2" lspace="0em" xref="S3.E28.m1.4.4.1.1.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E28.m1.4.4.1.1.2.1.1.3" xref="S3.E28.m1.4.4.1.1.2.1.1.3.cmml"><mo id="S3.E28.m1.4.4.1.1.2.1.1.3.1" rspace="0em" xref="S3.E28.m1.4.4.1.1.2.1.1.3.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S3.E28.m1.4.4.1.1.2.1.1.3.2" xref="S3.E28.m1.4.4.1.1.2.1.1.3.2.cmml">x</mi></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E28.m1.4.4.1.1.3a" xref="S3.E28.m1.4.4.1.1.3.cmml">+</mo><mrow id="S3.E28.m1.4.4.1.1.4" xref="S3.E28.m1.4.4.1.1.4.cmml"><mi id="S3.E28.m1.4.4.1.1.4.2" xref="S3.E28.m1.4.4.1.1.4.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.E28.m1.4.4.1.1.4.1" xref="S3.E28.m1.4.4.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E28.m1.4.4.1.1.4.3" xref="S3.E28.m1.4.4.1.1.4.3.cmml"><mrow id="S3.E28.m1.4.4.1.1.4.3.2.2" xref="S3.E28.m1.4.4.1.1.4.3.2.1.cmml"><mo id="S3.E28.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.1" stretchy="false" xref="S3.E28.m1.4.4.1.1.4.3.2.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S3.E28.m1.3.3" xref="S3.E28.m1.3.3.cmml">v</mi><mo id="S3.E28.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.2" stretchy="false" xref="S3.E28.m1.4.4.1.1.4.3.2.1.1.cmml">‖</mo></mrow><msup id="S3.E28.m1.4.4.1.1.4.3.3" xref="S3.E28.m1.4.4.1.1.4.3.3.cmml"><mi id="S3.E28.m1.4.4.1.1.4.3.3.2" xref="S3.E28.m1.4.4.1.1.4.3.3.2.cmml">Lip</mi><mo id="S3.E28.m1.4.4.1.1.4.3.3.3" xref="S3.E28.m1.4.4.1.1.4.3.3.3.cmml">∗</mo></msup></msub></mrow></mrow><mo id="S3.E28.m1.4.4.1.2" xref="S3.E28.m1.4.4.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E28.m1.4b"><apply id="S3.E28.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S3.E28.m1.4.4.1"><plus id="S3.E28.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="S3.E28.m1.4.4.1.1.3"></plus><apply id="S3.E28.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="S3.E28.m1.4.4.1.1.1"><apply id="S3.E28.m1.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E28.m1.4.4.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E28.m1.4.4.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E28.m1.4.4.1.1.1.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S3.E28.m1.4.4.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E28.m1.4.4.1.1.1.2.2">infimum</csymbol><apply id="S3.E28.m1.2.2.2.cmml" xref="S3.E28.m1.2.2.2"><in id="S3.E28.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E28.m1.2.2.2.3"></in><interval closure="open" id="S3.E28.m1.2.2.2.4.1.cmml" xref="S3.E28.m1.2.2.2.4.2"><ci id="S3.E28.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E28.m1.1.1.1.1">𝑢</ci><ci id="S3.E28.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E28.m1.2.2.2.2">𝑣</ci></interval><apply id="S3.E28.m1.2.2.2.5.cmml" xref="S3.E28.m1.2.2.2.5"><times id="S3.E28.m1.2.2.2.5.1.cmml" xref="S3.E28.m1.2.2.2.5.1"></times><apply id="S3.E28.m1.2.2.2.5.2.cmml" xref="S3.E28.m1.2.2.2.5.2"><times id="S3.E28.m1.2.2.2.5.2.1.cmml" xref="S3.E28.m1.2.2.2.5.2.1"></times><ci id="S3.E28.m1.2.2.2.5.2.2.cmml" xref="S3.E28.m1.2.2.2.5.2.2">𝐵</ci><ci id="S3.E28.m1.2.2.2.5.2.3.cmml" xref="S3.E28.m1.2.2.2.5.2.3">𝑉</ci></apply><ci id="S3.E28.m1.2.2.2.5.3.cmml" xref="S3.E28.m1.2.2.2.5.3">𝐻</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.E28.m1.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E28.m1.4.4.1.1.1.1"><apply id="S3.E28.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E28.m1.4.4.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E28.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E28.m1.4.4.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><int id="S3.E28.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E28.m1.4.4.1.1.1.1.2.2"></int><ci id="S3.E28.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E28.m1.4.4.1.1.1.1.2.3">Ω</ci></apply><apply id="S3.E28.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E28.m1.4.4.1.1.1.1.1.1"><abs id="S3.E28.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E28.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2"></abs><apply id="S3.E28.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E28.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1"><ci id="S3.E28.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E28.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1">∇</ci><ci id="S3.E28.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E28.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑢</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E28.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="S3.E28.m1.4.4.1.1.2"><times id="S3.E28.m1.4.4.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E28.m1.4.4.1.1.2.2"></times><apply id="S3.E28.m1.4.4.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E28.m1.4.4.1.1.2.3"><divide id="S3.E28.m1.4.4.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.E28.m1.4.4.1.1.2.3"></divide><ci id="S3.E28.m1.4.4.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.E28.m1.4.4.1.1.2.3.2">𝛼</ci><cn id="S3.E28.m1.4.4.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E28.m1.4.4.1.1.2.3.3">2</cn></apply><apply id="S3.E28.m1.4.4.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E28.m1.4.4.1.1.2.1"><apply id="S3.E28.m1.4.4.1.1.2.1.2.cmml" xref="S3.E28.m1.4.4.1.1.2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E28.m1.4.4.1.1.2.1.2.1.cmml" xref="S3.E28.m1.4.4.1.1.2.1.2">subscript</csymbol><int id="S3.E28.m1.4.4.1.1.2.1.2.2.cmml" xref="S3.E28.m1.4.4.1.1.2.1.2.2"></int><ci id="S3.E28.m1.4.4.1.1.2.1.2.3.cmml" xref="S3.E28.m1.4.4.1.1.2.1.2.3">Ω</ci></apply><apply id="S3.E28.m1.4.4.1.1.2.1.1.cmml" xref="S3.E28.m1.4.4.1.1.2.1.1"><times id="S3.E28.m1.4.4.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S3.E28.m1.4.4.1.1.2.1.1.2"></times><apply id="S3.E28.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S3.E28.m1.4.4.1.1.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E28.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E28.m1.4.4.1.1.2.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.E28.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E28.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1"><abs id="S3.E28.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E28.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.2"></abs><apply id="S3.E28.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E28.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1"><minus id="S3.E28.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E28.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S3.E28.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E28.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2">𝑓</ci><ci id="S3.E28.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E28.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3">𝑢</ci><ci id="S3.E28.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.E28.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.4">𝑣</ci></apply></apply><cn id="S3.E28.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E28.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3">2</cn></apply><apply id="S3.E28.m1.4.4.1.1.2.1.1.3.cmml" xref="S3.E28.m1.4.4.1.1.2.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S3.E28.m1.4.4.1.1.2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E28.m1.4.4.1.1.2.1.1.3.1">differential-d</csymbol><ci id="S3.E28.m1.4.4.1.1.2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E28.m1.4.4.1.1.2.1.1.3.2">𝑥</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E28.m1.4.4.1.1.4.cmml" xref="S3.E28.m1.4.4.1.1.4"><times id="S3.E28.m1.4.4.1.1.4.1.cmml" xref="S3.E28.m1.4.4.1.1.4.1"></times><ci id="S3.E28.m1.4.4.1.1.4.2.cmml" xref="S3.E28.m1.4.4.1.1.4.2">𝜆</ci><apply id="S3.E28.m1.4.4.1.1.4.3.cmml" xref="S3.E28.m1.4.4.1.1.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E28.m1.4.4.1.1.4.3.1.cmml" xref="S3.E28.m1.4.4.1.1.4.3">subscript</csymbol><apply id="S3.E28.m1.4.4.1.1.4.3.2.1.cmml" xref="S3.E28.m1.4.4.1.1.4.3.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.E28.m1.4.4.1.1.4.3.2.1.1.cmml" xref="S3.E28.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.1">norm</csymbol><ci id="S3.E28.m1.3.3.cmml" xref="S3.E28.m1.3.3">𝑣</ci></apply><apply id="S3.E28.m1.4.4.1.1.4.3.3.cmml" xref="S3.E28.m1.4.4.1.1.4.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E28.m1.4.4.1.1.4.3.3.1.cmml" xref="S3.E28.m1.4.4.1.1.4.3.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E28.m1.4.4.1.1.4.3.3.2.cmml" xref="S3.E28.m1.4.4.1.1.4.3.3.2">Lip</ci><times id="S3.E28.m1.4.4.1.1.4.3.3.3.cmml" xref="S3.E28.m1.4.4.1.1.4.3.3.3"></times></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E28.m1.4c">\inf_{(u,v)\in BV\times H}\int_{\Omega}|\nabla u|+\frac{\alpha}{2}\int_{\Omega% }|f-u-v|^{2}dx+\lambda\|v\|_{\mathrm{Lip}^{*}},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E28.m1.4d">roman_inf start_POSTSUBSCRIPT ( italic_u , italic_v ) ∈ italic_B italic_V × italic_H end_POSTSUBSCRIPT ∫ start_POSTSUBSCRIPT roman_Ω end_POSTSUBSCRIPT | ∇ italic_u | + divide start_ARG italic_α end_ARG start_ARG 2 end_ARG ∫ start_POSTSUBSCRIPT roman_Ω end_POSTSUBSCRIPT | italic_f - italic_u - italic_v | start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_d italic_x + italic_λ ∥ italic_v ∥ start_POSTSUBSCRIPT roman_Lip start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(28)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.p1.4">where <math alttext="f:\Omega\to\mathbb{R}\in L^{2}(\mathbb{R}^{2})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.SS1.p1.1.m1.1a"><mrow id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.3.cmml">f</mi><mo id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.2" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.2.cmml">:</mo><mrow id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.1" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.1.3.cmml">Ω</mi><mo id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.1.4.cmml">→</mo><mi id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.1.5" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.1.5.cmml">ℝ</mi><mo id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.1.6" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.1.6.cmml">∈</mo><mrow id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">L</mi><mn id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mn id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.1.m1.1b"><apply id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1"><ci id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.2">:</ci><ci id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.3">𝑓</ci><apply id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.1"><and id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.1a.cmml" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.1"></and><apply id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.1b.cmml" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.1"><ci id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.1.4">→</ci><ci id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.1.3">Ω</ci><ci id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.1.5.cmml" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.1.5">ℝ</ci></apply><apply id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.1c.cmml" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.1"><in id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.1.6.cmml" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.1.6"></in><share href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S3.SS1.p1.1.m1.1.1.1.5.cmml" id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.1d.cmml" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.1"></share><apply id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1"><times id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1.3.2">𝐿</ci><cn id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">ℝ</ci><cn id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.1.m1.1c">f:\Omega\to\mathbb{R}\in L^{2}(\mathbb{R}^{2})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.1.m1.1d">italic_f : roman_Ω → blackboard_R ∈ italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> is an observed noisy image and <math alttext="\alpha,\lambda>0" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.2.m2.2"><semantics id="S3.SS1.p1.2.m2.2a"><mrow id="S3.SS1.p1.2.m2.2.3" xref="S3.SS1.p1.2.m2.2.3.cmml"><mrow id="S3.SS1.p1.2.m2.2.3.2.2" xref="S3.SS1.p1.2.m2.2.3.2.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.2.m2.1.1" xref="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.cmml">α</mi><mo id="S3.SS1.p1.2.m2.2.3.2.2.1" xref="S3.SS1.p1.2.m2.2.3.2.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS1.p1.2.m2.2.2" xref="S3.SS1.p1.2.m2.2.2.cmml">λ</mi></mrow><mo id="S3.SS1.p1.2.m2.2.3.1" xref="S3.SS1.p1.2.m2.2.3.1.cmml">></mo><mn id="S3.SS1.p1.2.m2.2.3.3" xref="S3.SS1.p1.2.m2.2.3.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.2.m2.2b"><apply id="S3.SS1.p1.2.m2.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.2.m2.2.3"><gt id="S3.SS1.p1.2.m2.2.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.2.m2.2.3.1"></gt><list id="S3.SS1.p1.2.m2.2.3.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.2.m2.2.3.2.2"><ci id="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.2.m2.1.1">𝛼</ci><ci id="S3.SS1.p1.2.m2.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.2.m2.2.2">𝜆</ci></list><cn id="S3.SS1.p1.2.m2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.p1.2.m2.2.3.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.2.m2.2c">\alpha,\lambda>0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.2.m2.2d">italic_α , italic_λ > 0</annotation></semantics></math> are tuning parameters. <math alttext="v" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.3.m3.1"><semantics id="S3.SS1.p1.3.m3.1a"><mi id="S3.SS1.p1.3.m3.1.1" xref="S3.SS1.p1.3.m3.1.1.cmml">v</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.3.m3.1b"><ci id="S3.SS1.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.3.m3.1.1">𝑣</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.3.m3.1c">v</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.3.m3.1d">italic_v</annotation></semantics></math> is defined on the space <math alttext="H=\{v:v\in L^{1}(\Omega),\int_{\Omega}v(x)dx=0\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.4.m4.4"><semantics id="S3.SS1.p1.4.m4.4a"><mrow id="S3.SS1.p1.4.m4.4.4" xref="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.3" xref="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.3.cmml">H</mi><mo id="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.2" xref="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1" xref="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.2.cmml"><mo id="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.2.1.cmml">{</mo><mi id="S3.SS1.p1.4.m4.3.3" xref="S3.SS1.p1.4.m4.3.3.cmml">v</mi><mo id="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.3" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.2.1.cmml">:</mo><mrow id="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.2" xref="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml">v</mi><mo id="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">∈</mo><mrow id="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml"><msup id="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">L</mi><mn id="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">1</mn></msup><mo id="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S3.SS1.p1.4.m4.1.1" mathvariant="normal" xref="S3.SS1.p1.4.m4.1.1.cmml">Ω</mi><mo id="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.2.3" rspace="0em" xref="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.2.2" xref="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.2.2.2" xref="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.2.2.2.cmml"><msub id="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.2.2.2.1" xref="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.2.2.2.1.cmml"><mo id="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.2.2.2.1.2" xref="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.2.2.2.1.2.cmml">∫</mo><mi id="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.2.2.2.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.2.2.2.1.3.cmml">Ω</mi></msub><mrow id="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.2.2.2.2" xref="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">v</mi><mo id="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.2.2.2.2.1" xref="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.2.2.2.2.3.2" xref="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mo id="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.2.2.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.2.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S3.SS1.p1.4.m4.2.2" xref="S3.SS1.p1.4.m4.2.2.cmml">x</mi><mo id="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.2.2.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.2.2.2.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.2.2.2.2.1a" lspace="0em" xref="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.2.2.2.2.4" xref="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.2.2.2.2.4.cmml"><mo id="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.2.2.2.2.4.1" rspace="0em" xref="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.2.2.2.2.4.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.2.2.2.2.4.2" xref="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.2.2.2.2.4.2.cmml">x</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.2.2.1" xref="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.2.2.1.cmml">=</mo><mn id="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.2.2.3" xref="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.2.2.3.cmml">0</mn></mrow></mrow><mo id="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.2.1.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.4.m4.4b"><apply id="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.cmml" xref="S3.SS1.p1.4.m4.4.4"><eq id="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.2"></eq><ci id="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.3">𝐻</ci><apply id="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.2">conditional-set</csymbol><ci id="S3.SS1.p1.4.m4.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.4.m4.3.3">𝑣</ci><apply id="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.3a.cmml" xref="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.1.1"><in id="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.1"></in><ci id="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.2">𝑣</ci><apply id="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.3"><times id="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.3.2.2">𝐿</ci><cn id="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.3.2.3">1</cn></apply><ci id="S3.SS1.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.4.m4.1.1">Ω</ci></apply></apply><apply id="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.2.2"><eq id="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.2.2.1"></eq><apply id="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.2.2.2"><apply id="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.2.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.2.2.2.1">subscript</csymbol><int id="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.2.2.2.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.2.2.2.1.2"></int><ci id="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.2.2.2.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.2.2.2.1.3">Ω</ci></apply><apply id="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.2.2.2.2"><times id="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.2.2.2.2.1"></times><ci id="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.2.2.2.2.2">𝑣</ci><ci id="S3.SS1.p1.4.m4.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.4.m4.2.2">𝑥</ci><apply id="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.2.2.2.2.4.cmml" xref="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.2.2.2.2.4"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.2.2.2.2.4.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.2.2.2.2.4.1">differential-d</csymbol><ci id="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.2.2.2.2.4.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.2.2.2.2.4.2">𝑥</ci></apply></apply></apply><cn id="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.2.2.3">0</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.4.m4.4c">H=\{v:v\in L^{1}(\Omega),\int_{\Omega}v(x)dx=0\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.4.m4.4d">italic_H = { italic_v : italic_v ∈ italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT ( roman_Ω ) , ∫ start_POSTSUBSCRIPT roman_Ω end_POSTSUBSCRIPT italic_v ( italic_x ) italic_d italic_x = 0 }</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS1.p2"> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.p2.2">The third term is the dual Lipschitz norm of <math alttext="v=\mathrm{div}(m)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p2.1.m1.1"><semantics id="S3.SS1.p2.1.m1.1a"><mrow id="S3.SS1.p2.1.m1.1.2" xref="S3.SS1.p2.1.m1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.1.m1.1.2.2" xref="S3.SS1.p2.1.m1.1.2.2.cmml">v</mi><mo id="S3.SS1.p2.1.m1.1.2.1" xref="S3.SS1.p2.1.m1.1.2.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS1.p2.1.m1.1.2.3" xref="S3.SS1.p2.1.m1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.1.m1.1.2.3.2" xref="S3.SS1.p2.1.m1.1.2.3.2.cmml">div</mi><mo id="S3.SS1.p2.1.m1.1.2.3.1" xref="S3.SS1.p2.1.m1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS1.p2.1.m1.1.2.3.3.2" xref="S3.SS1.p2.1.m1.1.2.3.cmml"><mo id="S3.SS1.p2.1.m1.1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS1.p2.1.m1.1.2.3.cmml">(</mo><mi id="S3.SS1.p2.1.m1.1.1" xref="S3.SS1.p2.1.m1.1.1.cmml">m</mi><mo id="S3.SS1.p2.1.m1.1.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.p2.1.m1.1.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p2.1.m1.1b"><apply id="S3.SS1.p2.1.m1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.1.m1.1.2"><eq id="S3.SS1.p2.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.1.m1.1.2.1"></eq><ci id="S3.SS1.p2.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.1.m1.1.2.2">𝑣</ci><apply id="S3.SS1.p2.1.m1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.1.m1.1.2.3"><times id="S3.SS1.p2.1.m1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.1.m1.1.2.3.1"></times><ci id="S3.SS1.p2.1.m1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.1.m1.1.2.3.2">div</ci><ci id="S3.SS1.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.1.m1.1.1">𝑚</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p2.1.m1.1c">v=\mathrm{div}(m)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p2.1.m1.1d">italic_v = roman_div ( italic_m )</annotation></semantics></math>, which has an equivalent formulation considering the dual problem (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S2.E19" title="In 2.1 Optimal Transport ‣ 2 Related work ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">19</span></a>) of the <math alttext="W_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p2.2.m2.1"><semantics id="S3.SS1.p2.2.m2.1a"><msub id="S3.SS1.p2.2.m2.1.1" xref="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.2" xref="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.2.cmml">W</mi><mn id="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.3" xref="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.3.cmml">1</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p2.2.m2.1b"><apply id="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.2">𝑊</ci><cn id="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p2.2.m2.1c">W_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p2.2.m2.1d">italic_W start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> distance (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S2.E18" title="In 2.1 Optimal Transport ‣ 2 Related work ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">18</span></a>),</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E29"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\|v\|_{\mathrm{Lip}^{*}}=\inf_{m}\left\{\||m|\|_{L^{1}}:\mathrm{div}(m)=v% \right\}," class="ltx_math_unparsed" display="block" id="S3.E29.m1.2"><semantics id="S3.E29.m1.2a"><mrow id="S3.E29.m1.2b"><mo id="S3.E29.m1.2.3" rspace="0.167em">∥</mo><mi id="S3.E29.m1.1.1">v</mi><msub id="S3.E29.m1.2.4"><mo id="S3.E29.m1.2.4.2" lspace="0em" rspace="0.0835em">∥</mo><msup id="S3.E29.m1.2.4.3"><mi id="S3.E29.m1.2.4.3.2">Lip</mi><mo id="S3.E29.m1.2.4.3.3">∗</mo></msup></msub><mo id="S3.E29.m1.2.5" lspace="0.0835em" rspace="0.1389em">=</mo><munder id="S3.E29.m1.2.6"><mo id="S3.E29.m1.2.6.2" lspace="0.1389em" movablelimits="false" rspace="0em">inf</mo><mi id="S3.E29.m1.2.6.3">m</mi></munder><mrow id="S3.E29.m1.2.7"><mo id="S3.E29.m1.2.7.1">{</mo><mo id="S3.E29.m1.2.7.2" lspace="0em" rspace="0.167em">∥</mo><mo fence="false" id="S3.E29.m1.2.7.3" rspace="0.167em" stretchy="false">|</mo><mi id="S3.E29.m1.2.2">m</mi><mo fence="false" id="S3.E29.m1.2.7.4" stretchy="false">|</mo><msub id="S3.E29.m1.2.7.5"><mo id="S3.E29.m1.2.7.5.2" lspace="0.167em" rspace="0.167em">∥</mo><msup id="S3.E29.m1.2.7.5.3"><mi id="S3.E29.m1.2.7.5.3.2">L</mi><mn id="S3.E29.m1.2.7.5.3.3">1</mn></msup></msub><mo id="S3.E29.m1.2.7.6" rspace="0.278em">:</mo><mi id="S3.E29.m1.2.7.7">div</mi><mrow id="S3.E29.m1.2.7.8"><mo id="S3.E29.m1.2.7.8.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S3.E29.m1.2.7.8.2">m</mi><mo id="S3.E29.m1.2.7.8.3" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S3.E29.m1.2.7.9">=</mo><mi id="S3.E29.m1.2.7.10">v</mi><mo id="S3.E29.m1.2.7.11">}</mo></mrow><mo id="S3.E29.m1.2.8">,</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E29.m1.2c">\|v\|_{\mathrm{Lip}^{*}}=\inf_{m}\left\{\||m|\|_{L^{1}}:\mathrm{div}(m)=v% \right\},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E29.m1.2d">∥ italic_v ∥ start_POSTSUBSCRIPT roman_Lip start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT = roman_inf start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT { ∥ | italic_m | ∥ start_POSTSUBSCRIPT italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT : roman_div ( italic_m ) = italic_v } ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(29)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.p2.4">which is only defined for <math alttext="v\in H" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p2.3.m1.1"><semantics id="S3.SS1.p2.3.m1.1a"><mrow id="S3.SS1.p2.3.m1.1.1" xref="S3.SS1.p2.3.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.3.m1.1.1.2" xref="S3.SS1.p2.3.m1.1.1.2.cmml">v</mi><mo id="S3.SS1.p2.3.m1.1.1.1" xref="S3.SS1.p2.3.m1.1.1.1.cmml">∈</mo><mi id="S3.SS1.p2.3.m1.1.1.3" xref="S3.SS1.p2.3.m1.1.1.3.cmml">H</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p2.3.m1.1b"><apply id="S3.SS1.p2.3.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.3.m1.1.1"><in id="S3.SS1.p2.3.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.3.m1.1.1.1"></in><ci id="S3.SS1.p2.3.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.3.m1.1.1.2">𝑣</ci><ci id="S3.SS1.p2.3.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.3.m1.1.1.3">𝐻</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p2.3.m1.1c">v\in H</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p2.3.m1.1d">italic_v ∈ italic_H</annotation></semantics></math> from the conservation of the mass constraint <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib41" title="">Peyr2019Computational </a></cite>, and is closely related to the <math alttext="G" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p2.4.m2.1"><semantics id="S3.SS1.p2.4.m2.1a"><mi id="S3.SS1.p2.4.m2.1.1" xref="S3.SS1.p2.4.m2.1.1.cmml">G</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p2.4.m2.1b"><ci id="S3.SS1.p2.4.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.4.m2.1.1">𝐺</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p2.4.m2.1c">G</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p2.4.m2.1d">italic_G</annotation></semantics></math>-norm (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S1.E11" title="In 1 Introduction ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">11</span></a>).</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS1.p3"> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.p3.10">In this decomposition, <math alttext="f" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p3.1.m1.1"><semantics id="S3.SS1.p3.1.m1.1a"><mi id="S3.SS1.p3.1.m1.1.1" xref="S3.SS1.p3.1.m1.1.1.cmml">f</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p3.1.m1.1b"><ci id="S3.SS1.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.1.m1.1.1">𝑓</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p3.1.m1.1c">f</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p3.1.m1.1d">italic_f</annotation></semantics></math> is decomposed into <math alttext="u+v+w" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p3.2.m2.1"><semantics id="S3.SS1.p3.2.m2.1a"><mrow id="S3.SS1.p3.2.m2.1.1" xref="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.2" xref="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.2.cmml">u</mi><mo id="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.1" xref="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.1.cmml">+</mo><mi id="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.3" xref="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.3.cmml">v</mi><mo id="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.1a" xref="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.1.cmml">+</mo><mi id="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.4" xref="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.4.cmml">w</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p3.2.m2.1b"><apply id="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.2.m2.1.1"><plus id="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.1"></plus><ci id="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.2">𝑢</ci><ci id="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.3">𝑣</ci><ci id="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.4.cmml" xref="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.4">𝑤</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p3.2.m2.1c">u+v+w</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p3.2.m2.1d">italic_u + italic_v + italic_w</annotation></semantics></math>, with a piecewise smooth component <math alttext="u\in BV" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p3.3.m3.1"><semantics id="S3.SS1.p3.3.m3.1a"><mrow id="S3.SS1.p3.3.m3.1.1" xref="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.2" xref="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.2.cmml">u</mi><mo id="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.1" xref="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.1.cmml">∈</mo><mrow id="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.3" xref="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.3.2" xref="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.3.2.cmml">B</mi><mo id="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.3.1" xref="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.3.3" xref="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.3.3.cmml">V</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p3.3.m3.1b"><apply id="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.3.m3.1.1"><in id="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.1"></in><ci id="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.2">𝑢</ci><apply id="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.3"><times id="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.3.1"></times><ci id="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.3.2">𝐵</ci><ci id="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.3.3">𝑉</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p3.3.m3.1c">u\in BV</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p3.3.m3.1d">italic_u ∈ italic_B italic_V</annotation></semantics></math>, component <math alttext="v" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p3.4.m4.1"><semantics id="S3.SS1.p3.4.m4.1a"><mi id="S3.SS1.p3.4.m4.1.1" xref="S3.SS1.p3.4.m4.1.1.cmml">v</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p3.4.m4.1b"><ci id="S3.SS1.p3.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.4.m4.1.1">𝑣</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p3.4.m4.1c">v</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p3.4.m4.1d">italic_v</annotation></semantics></math> to model texture or noise, and a small residual <math alttext="w" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p3.5.m5.1"><semantics id="S3.SS1.p3.5.m5.1a"><mi id="S3.SS1.p3.5.m5.1.1" xref="S3.SS1.p3.5.m5.1.1.cmml">w</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p3.5.m5.1b"><ci id="S3.SS1.p3.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.5.m5.1.1">𝑤</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p3.5.m5.1c">w</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p3.5.m5.1d">italic_w</annotation></semantics></math>. The parameter <math alttext="\alpha" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p3.6.m6.1"><semantics id="S3.SS1.p3.6.m6.1a"><mi id="S3.SS1.p3.6.m6.1.1" xref="S3.SS1.p3.6.m6.1.1.cmml">α</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p3.6.m6.1b"><ci id="S3.SS1.p3.6.m6.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.6.m6.1.1">𝛼</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p3.6.m6.1c">\alpha</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p3.6.m6.1d">italic_α</annotation></semantics></math> controls the <math alttext="L^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p3.7.m7.1"><semantics id="S3.SS1.p3.7.m7.1a"><msup id="S3.SS1.p3.7.m7.1.1" xref="S3.SS1.p3.7.m7.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p3.7.m7.1.1.2" xref="S3.SS1.p3.7.m7.1.1.2.cmml">L</mi><mn id="S3.SS1.p3.7.m7.1.1.3" xref="S3.SS1.p3.7.m7.1.1.3.cmml">2</mn></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p3.7.m7.1b"><apply id="S3.SS1.p3.7.m7.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.7.m7.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p3.7.m7.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.7.m7.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p3.7.m7.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p3.7.m7.1.1.2">𝐿</ci><cn id="S3.SS1.p3.7.m7.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.p3.7.m7.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p3.7.m7.1c">L^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p3.7.m7.1d">italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> norm of the residual <math alttext="w=f-u-v" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p3.8.m8.1"><semantics id="S3.SS1.p3.8.m8.1a"><mrow id="S3.SS1.p3.8.m8.1.1" xref="S3.SS1.p3.8.m8.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p3.8.m8.1.1.2" xref="S3.SS1.p3.8.m8.1.1.2.cmml">w</mi><mo id="S3.SS1.p3.8.m8.1.1.1" xref="S3.SS1.p3.8.m8.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS1.p3.8.m8.1.1.3" xref="S3.SS1.p3.8.m8.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p3.8.m8.1.1.3.2" xref="S3.SS1.p3.8.m8.1.1.3.2.cmml">f</mi><mo id="S3.SS1.p3.8.m8.1.1.3.1" xref="S3.SS1.p3.8.m8.1.1.3.1.cmml">−</mo><mi id="S3.SS1.p3.8.m8.1.1.3.3" xref="S3.SS1.p3.8.m8.1.1.3.3.cmml">u</mi><mo id="S3.SS1.p3.8.m8.1.1.3.1a" xref="S3.SS1.p3.8.m8.1.1.3.1.cmml">−</mo><mi id="S3.SS1.p3.8.m8.1.1.3.4" xref="S3.SS1.p3.8.m8.1.1.3.4.cmml">v</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p3.8.m8.1b"><apply id="S3.SS1.p3.8.m8.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.8.m8.1.1"><eq id="S3.SS1.p3.8.m8.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.8.m8.1.1.1"></eq><ci id="S3.SS1.p3.8.m8.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p3.8.m8.1.1.2">𝑤</ci><apply id="S3.SS1.p3.8.m8.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p3.8.m8.1.1.3"><minus id="S3.SS1.p3.8.m8.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.8.m8.1.1.3.1"></minus><ci id="S3.SS1.p3.8.m8.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p3.8.m8.1.1.3.2">𝑓</ci><ci id="S3.SS1.p3.8.m8.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p3.8.m8.1.1.3.3">𝑢</ci><ci id="S3.SS1.p3.8.m8.1.1.3.4.cmml" xref="S3.SS1.p3.8.m8.1.1.3.4">𝑣</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p3.8.m8.1c">w=f-u-v</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p3.8.m8.1d">italic_w = italic_f - italic_u - italic_v</annotation></semantics></math> and ensures that <math alttext="f-u\approx v" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p3.9.m9.1"><semantics id="S3.SS1.p3.9.m9.1a"><mrow id="S3.SS1.p3.9.m9.1.1" xref="S3.SS1.p3.9.m9.1.1.cmml"><mrow id="S3.SS1.p3.9.m9.1.1.2" xref="S3.SS1.p3.9.m9.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS1.p3.9.m9.1.1.2.2" xref="S3.SS1.p3.9.m9.1.1.2.2.cmml">f</mi><mo id="S3.SS1.p3.9.m9.1.1.2.1" xref="S3.SS1.p3.9.m9.1.1.2.1.cmml">−</mo><mi id="S3.SS1.p3.9.m9.1.1.2.3" xref="S3.SS1.p3.9.m9.1.1.2.3.cmml">u</mi></mrow><mo id="S3.SS1.p3.9.m9.1.1.1" xref="S3.SS1.p3.9.m9.1.1.1.cmml">≈</mo><mi id="S3.SS1.p3.9.m9.1.1.3" xref="S3.SS1.p3.9.m9.1.1.3.cmml">v</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p3.9.m9.1b"><apply id="S3.SS1.p3.9.m9.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.9.m9.1.1"><approx id="S3.SS1.p3.9.m9.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.9.m9.1.1.1"></approx><apply id="S3.SS1.p3.9.m9.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p3.9.m9.1.1.2"><minus id="S3.SS1.p3.9.m9.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.9.m9.1.1.2.1"></minus><ci id="S3.SS1.p3.9.m9.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p3.9.m9.1.1.2.2">𝑓</ci><ci id="S3.SS1.p3.9.m9.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p3.9.m9.1.1.2.3">𝑢</ci></apply><ci id="S3.SS1.p3.9.m9.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p3.9.m9.1.1.3">𝑣</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p3.9.m9.1c">f-u\approx v</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p3.9.m9.1d">italic_f - italic_u ≈ italic_v</annotation></semantics></math> as <math alttext="\alpha\to\infty" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p3.10.m10.1"><semantics id="S3.SS1.p3.10.m10.1a"><mrow id="S3.SS1.p3.10.m10.1.1" xref="S3.SS1.p3.10.m10.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p3.10.m10.1.1.2" xref="S3.SS1.p3.10.m10.1.1.2.cmml">α</mi><mo id="S3.SS1.p3.10.m10.1.1.1" stretchy="false" xref="S3.SS1.p3.10.m10.1.1.1.cmml">→</mo><mi id="S3.SS1.p3.10.m10.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.SS1.p3.10.m10.1.1.3.cmml">∞</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p3.10.m10.1b"><apply id="S3.SS1.p3.10.m10.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.10.m10.1.1"><ci id="S3.SS1.p3.10.m10.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.10.m10.1.1.1">→</ci><ci id="S3.SS1.p3.10.m10.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p3.10.m10.1.1.2">𝛼</ci><infinity id="S3.SS1.p3.10.m10.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p3.10.m10.1.1.3"></infinity></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p3.10.m10.1c">\alpha\to\infty</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p3.10.m10.1d">italic_α → ∞</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS1.p4"> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.p4.2">In the KR-TV model (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S1.E9" title="In 1 Introduction ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">9</span></a>), the KR norm has a dual formulation (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S1.E10" title="In 1 Introduction ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">10</span></a>), and <math alttext="\lambda_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p4.1.m1.1"><semantics id="S3.SS1.p4.1.m1.1a"><msub id="S3.SS1.p4.1.m1.1.1" xref="S3.SS1.p4.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p4.1.m1.1.1.2" xref="S3.SS1.p4.1.m1.1.1.2.cmml">λ</mi><mn id="S3.SS1.p4.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS1.p4.1.m1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p4.1.m1.1b"><apply id="S3.SS1.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p4.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p4.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p4.1.m1.1.1.2">𝜆</ci><cn id="S3.SS1.p4.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.p4.1.m1.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p4.1.m1.1c">\lambda_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p4.1.m1.1d">italic_λ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is so large that <math alttext="f-u\approx\mathrm{div}(m)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p4.2.m2.1"><semantics id="S3.SS1.p4.2.m2.1a"><mrow id="S3.SS1.p4.2.m2.1.2" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.2.cmml"><mrow id="S3.SS1.p4.2.m2.1.2.2" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.2.2.cmml"><mi id="S3.SS1.p4.2.m2.1.2.2.2" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.2.2.2.cmml">f</mi><mo id="S3.SS1.p4.2.m2.1.2.2.1" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.2.2.1.cmml">−</mo><mi id="S3.SS1.p4.2.m2.1.2.2.3" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.2.2.3.cmml">u</mi></mrow><mo id="S3.SS1.p4.2.m2.1.2.1" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.2.1.cmml">≈</mo><mrow id="S3.SS1.p4.2.m2.1.2.3" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.2.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p4.2.m2.1.2.3.2" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.2.3.2.cmml">div</mi><mo id="S3.SS1.p4.2.m2.1.2.3.1" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS1.p4.2.m2.1.2.3.3.2" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.2.3.cmml"><mo id="S3.SS1.p4.2.m2.1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.2.3.cmml">(</mo><mi id="S3.SS1.p4.2.m2.1.1" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.cmml">m</mi><mo id="S3.SS1.p4.2.m2.1.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p4.2.m2.1b"><apply id="S3.SS1.p4.2.m2.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.2"><approx id="S3.SS1.p4.2.m2.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.2.1"></approx><apply id="S3.SS1.p4.2.m2.1.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.2.2"><minus id="S3.SS1.p4.2.m2.1.2.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.2.2.1"></minus><ci id="S3.SS1.p4.2.m2.1.2.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.2.2.2">𝑓</ci><ci id="S3.SS1.p4.2.m2.1.2.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.2.2.3">𝑢</ci></apply><apply id="S3.SS1.p4.2.m2.1.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.2.3"><times id="S3.SS1.p4.2.m2.1.2.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.2.3.1"></times><ci id="S3.SS1.p4.2.m2.1.2.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.2.3.2">div</ci><ci id="S3.SS1.p4.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.2.m2.1.1">𝑚</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p4.2.m2.1c">f-u\approx\mathrm{div}(m)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p4.2.m2.1d">italic_f - italic_u ≈ roman_div ( italic_m )</annotation></semantics></math> in the experiment <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib32" title="">2014Imaging </a></cite>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS1.p5"> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.p5.6">In our model (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S3.E28" title="In 3.1 The proposed image denoising model ‣ 3 The Proposed Image Restoration Models ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">28</span></a>), we use the dual Lipschitz norm (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S3.E29" title="In 3.1 The proposed image denoising model ‣ 3 The Proposed Image Restoration Models ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">29</span></a>) of <math alttext="v=\mathrm{div}(m)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p5.1.m1.1"><semantics id="S3.SS1.p5.1.m1.1a"><mrow id="S3.SS1.p5.1.m1.1.2" xref="S3.SS1.p5.1.m1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS1.p5.1.m1.1.2.2" xref="S3.SS1.p5.1.m1.1.2.2.cmml">v</mi><mo id="S3.SS1.p5.1.m1.1.2.1" xref="S3.SS1.p5.1.m1.1.2.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS1.p5.1.m1.1.2.3" xref="S3.SS1.p5.1.m1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p5.1.m1.1.2.3.2" xref="S3.SS1.p5.1.m1.1.2.3.2.cmml">div</mi><mo id="S3.SS1.p5.1.m1.1.2.3.1" xref="S3.SS1.p5.1.m1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS1.p5.1.m1.1.2.3.3.2" xref="S3.SS1.p5.1.m1.1.2.3.cmml"><mo id="S3.SS1.p5.1.m1.1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS1.p5.1.m1.1.2.3.cmml">(</mo><mi id="S3.SS1.p5.1.m1.1.1" xref="S3.SS1.p5.1.m1.1.1.cmml">m</mi><mo id="S3.SS1.p5.1.m1.1.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.p5.1.m1.1.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p5.1.m1.1b"><apply id="S3.SS1.p5.1.m1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p5.1.m1.1.2"><eq id="S3.SS1.p5.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p5.1.m1.1.2.1"></eq><ci id="S3.SS1.p5.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p5.1.m1.1.2.2">𝑣</ci><apply id="S3.SS1.p5.1.m1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p5.1.m1.1.2.3"><times id="S3.SS1.p5.1.m1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p5.1.m1.1.2.3.1"></times><ci id="S3.SS1.p5.1.m1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p5.1.m1.1.2.3.2">div</ci><ci id="S3.SS1.p5.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p5.1.m1.1.1">𝑚</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p5.1.m1.1c">v=\mathrm{div}(m)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p5.1.m1.1d">italic_v = roman_div ( italic_m )</annotation></semantics></math> where the objective <math alttext="|m|" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p5.2.m2.1"><semantics id="S3.SS1.p5.2.m2.1a"><mrow id="S3.SS1.p5.2.m2.1.2.2" xref="S3.SS1.p5.2.m2.1.2.1.cmml"><mo id="S3.SS1.p5.2.m2.1.2.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS1.p5.2.m2.1.2.1.1.cmml">|</mo><mi id="S3.SS1.p5.2.m2.1.1" xref="S3.SS1.p5.2.m2.1.1.cmml">m</mi><mo id="S3.SS1.p5.2.m2.1.2.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.p5.2.m2.1.2.1.1.cmml">|</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p5.2.m2.1b"><apply id="S3.SS1.p5.2.m2.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p5.2.m2.1.2.2"><abs id="S3.SS1.p5.2.m2.1.2.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p5.2.m2.1.2.2.1"></abs><ci id="S3.SS1.p5.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p5.2.m2.1.1">𝑚</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p5.2.m2.1c">|m|</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p5.2.m2.1d">| italic_m |</annotation></semantics></math> is penalized in the <math alttext="L^{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p5.3.m3.1"><semantics id="S3.SS1.p5.3.m3.1a"><msup id="S3.SS1.p5.3.m3.1.1" xref="S3.SS1.p5.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p5.3.m3.1.1.2" xref="S3.SS1.p5.3.m3.1.1.2.cmml">L</mi><mn id="S3.SS1.p5.3.m3.1.1.3" xref="S3.SS1.p5.3.m3.1.1.3.cmml">1</mn></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p5.3.m3.1b"><apply id="S3.SS1.p5.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p5.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p5.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p5.3.m3.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p5.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p5.3.m3.1.1.2">𝐿</ci><cn id="S3.SS1.p5.3.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.p5.3.m3.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p5.3.m3.1c">L^{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p5.3.m3.1d">italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> norm, while Osher and Vese used the negative Sobolev norms where <math alttext="|m|" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p5.4.m4.1"><semantics id="S3.SS1.p5.4.m4.1a"><mrow id="S3.SS1.p5.4.m4.1.2.2" xref="S3.SS1.p5.4.m4.1.2.1.cmml"><mo id="S3.SS1.p5.4.m4.1.2.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS1.p5.4.m4.1.2.1.1.cmml">|</mo><mi id="S3.SS1.p5.4.m4.1.1" xref="S3.SS1.p5.4.m4.1.1.cmml">m</mi><mo id="S3.SS1.p5.4.m4.1.2.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.p5.4.m4.1.2.1.1.cmml">|</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p5.4.m4.1b"><apply id="S3.SS1.p5.4.m4.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p5.4.m4.1.2.2"><abs id="S3.SS1.p5.4.m4.1.2.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p5.4.m4.1.2.2.1"></abs><ci id="S3.SS1.p5.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p5.4.m4.1.1">𝑚</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p5.4.m4.1c">|m|</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p5.4.m4.1d">| italic_m |</annotation></semantics></math> is penalized in the <math alttext="L^{p}(p\to\infty)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p5.5.m5.1"><semantics id="S3.SS1.p5.5.m5.1a"><mrow id="S3.SS1.p5.5.m5.1.1" xref="S3.SS1.p5.5.m5.1.1.cmml"><msup id="S3.SS1.p5.5.m5.1.1.3" xref="S3.SS1.p5.5.m5.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p5.5.m5.1.1.3.2" xref="S3.SS1.p5.5.m5.1.1.3.2.cmml">L</mi><mi id="S3.SS1.p5.5.m5.1.1.3.3" xref="S3.SS1.p5.5.m5.1.1.3.3.cmml">p</mi></msup><mo id="S3.SS1.p5.5.m5.1.1.2" xref="S3.SS1.p5.5.m5.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS1.p5.5.m5.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p5.5.m5.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS1.p5.5.m5.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.p5.5.m5.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.SS1.p5.5.m5.1.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p5.5.m5.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p5.5.m5.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS1.p5.5.m5.1.1.1.1.1.2.cmml">p</mi><mo id="S3.SS1.p5.5.m5.1.1.1.1.1.1" stretchy="false" xref="S3.SS1.p5.5.m5.1.1.1.1.1.1.cmml">→</mo><mi id="S3.SS1.p5.5.m5.1.1.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.SS1.p5.5.m5.1.1.1.1.1.3.cmml">∞</mi></mrow><mo id="S3.SS1.p5.5.m5.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS1.p5.5.m5.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p5.5.m5.1b"><apply id="S3.SS1.p5.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p5.5.m5.1.1"><times id="S3.SS1.p5.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p5.5.m5.1.1.2"></times><apply id="S3.SS1.p5.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p5.5.m5.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p5.5.m5.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p5.5.m5.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p5.5.m5.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p5.5.m5.1.1.3.2">𝐿</ci><ci id="S3.SS1.p5.5.m5.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p5.5.m5.1.1.3.3">𝑝</ci></apply><apply id="S3.SS1.p5.5.m5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p5.5.m5.1.1.1.1"><ci id="S3.SS1.p5.5.m5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p5.5.m5.1.1.1.1.1.1">→</ci><ci id="S3.SS1.p5.5.m5.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p5.5.m5.1.1.1.1.1.2">𝑝</ci><infinity id="S3.SS1.p5.5.m5.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p5.5.m5.1.1.1.1.1.3"></infinity></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p5.5.m5.1c">L^{p}(p\to\infty)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p5.5.m5.1d">italic_L start_POSTSUPERSCRIPT italic_p end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_p → ∞ )</annotation></semantics></math> norm in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S2.E22" title="In 2.2 Meyer’s 𝐺-TV Model for Cartoon and Texture Decomposition ‣ 2 Related work ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">22</span></a>) to approximate <math alttext="G" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p5.6.m6.1"><semantics id="S3.SS1.p5.6.m6.1a"><mi id="S3.SS1.p5.6.m6.1.1" xref="S3.SS1.p5.6.m6.1.1.cmml">G</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p5.6.m6.1b"><ci id="S3.SS1.p5.6.m6.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p5.6.m6.1.1">𝐺</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p5.6.m6.1c">G</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p5.6.m6.1d">italic_G</annotation></semantics></math>-norm (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S1.E11" title="In 1 Introduction ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">11</span></a>).</p> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="S3.SS2"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">3.2 </span>Existence and uniqueness of minimizers</h3> <div class="ltx_para" id="S3.SS2.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p1.1">The existence and uniqueness of minimizers of the exact decomposition (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S1.E2" title="In 1 Introduction ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>) using the Wasserstein metric was analyzed in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib10" title="">2012Regularized </a></cite>, and properties of minimizers of the KR-TV denoising model (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S1.E9" title="In 1 Introduction ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">9</span></a>) was derived in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib32" title="">2014Imaging </a></cite>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS2.p2"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p2.1">Our model is closely related to the functional (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S2.E22" title="In 2.2 Meyer’s 𝐺-TV Model for Cartoon and Texture Decomposition ‣ 2 Related work ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">22</span></a>) to approximate Meyer’s model. Theoretical results for the existence and uniqueness of models related to Meyer’s model have been investigated in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib2" title="">2005Image </a>; <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib31" title="">2005ImageBMO </a>; <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib39" title="">osher2003image </a>; <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib21" title="">garnett2011modeling </a>; <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib22" title="">2007GarImage </a></cite>. In what follows, we show the existence and uniqueness of minimizers for the proposed model (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S3.E28" title="In 3.1 The proposed image denoising model ‣ 3 The Proposed Image Restoration Models ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">28</span></a>) as a generalization of the results in these works. For this, let’s first quote a lemma from <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib39" title="">osher2003image </a></cite>.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lemma" id="Thmlemma1"> <h6 class="ltx_title ltx_font_bold ltx_title_theorem"><span class="ltx_tag ltx_tag_theorem">Lemma 1</span></h6> <div class="ltx_para" id="Thmlemma1.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmlemma1.p1.3"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmlemma1.p1.3.3">Let <math alttext="V_{0}=\{g\in H^{1}(\Omega):\int_{\Omega}g(x)dx=0\}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.4"><semantics id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.4a"><mrow id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.4.4" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.4.4.cmml"><msub id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.4.4.4" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.4.4.4.cmml"><mi id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.4.4.4.2" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.4.4.4.2.cmml">V</mi><mn id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.4.4.4.3" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.4.4.4.3.cmml">0</mn></msub><mo id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.4.4.3" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.4.4.3.cmml">=</mo><mrow id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.4.4.2.2" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.4.4.2.3.cmml"><mo id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.4.4.2.2.3" stretchy="false" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.4.4.2.3.1.cmml">{</mo><mrow id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.2" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">g</mi><mo id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.1" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">∈</mo><mrow id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.3" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.3.cmml"><msup id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.3.2" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.3.2.2" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.3.2.2.cmml">H</mi><mn id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.3.2.3" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.3.2.3.cmml">1</mn></msup><mo id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.3.1" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.3.3.2" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.3.cmml"><mo id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.1.1" mathvariant="normal" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.1.1.cmml">Ω</mi><mo id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.3.3.2.2" rspace="0.278em" stretchy="false" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.4.4.2.2.4" rspace="0.111em" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.4.4.2.3.1.cmml">:</mo><mrow id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.4.4.2.2.2" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.4.4.2.2.2.cmml"><mrow id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.4.4.2.2.2.2" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.4.4.2.2.2.2.cmml"><msub id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.4.4.2.2.2.2.1" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.4.4.2.2.2.2.1.cmml"><mo id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.4.4.2.2.2.2.1.2" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.4.4.2.2.2.2.1.2.cmml">∫</mo><mi id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.4.4.2.2.2.2.1.3" mathvariant="normal" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.4.4.2.2.2.2.1.3.cmml">Ω</mi></msub><mrow id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.4.4.2.2.2.2.2" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.2" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.2.cmml">g</mi><mo id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.1" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.3.2" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.cmml"><mo id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.cmml">x</mi><mo id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.1a" lspace="0em" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.4" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.4.cmml"><mo id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.4.1" rspace="0em" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.4.1.cmml">𝑑</mo><mi id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.4.2" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.4.2.cmml">x</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.4.4.2.2.2.1" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.4.4.2.2.2.1.cmml">=</mo><mn id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.4.4.2.2.2.3" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.4.4.2.2.2.3.cmml">0</mn></mrow><mo id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.4.4.2.2.5" stretchy="false" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.4.4.2.3.1.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.4b"><apply id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.4.4.cmml" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.4.4"><eq id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.4.4.3.cmml" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.4.4.3"></eq><apply id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.4.4.4.cmml" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.4.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.4.4.4.1.cmml" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.4.4.4">subscript</csymbol><ci id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.4.4.4.2.cmml" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.4.4.4.2">𝑉</ci><cn id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.4.4.4.3.cmml" type="integer" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.4.4.4.3">0</cn></apply><apply id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.4.4.2.3.cmml" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.4.4.2.2"><csymbol cd="latexml" id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.4.4.2.3.1.cmml" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.4.4.2.2.3">conditional-set</csymbol><apply id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1"><in id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.1"></in><ci id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.2">𝑔</ci><apply id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.3"><times id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.3.1"></times><apply id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.3.2.2">𝐻</ci><cn id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.3.2.3">1</cn></apply><ci id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.1.1">Ω</ci></apply></apply><apply id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.4.4.2.2.2.cmml" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.4.4.2.2.2"><eq id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.4.4.2.2.2.1.cmml" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.4.4.2.2.2.1"></eq><apply id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.4.4.2.2.2.2.cmml" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.4.4.2.2.2.2"><apply id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.4.4.2.2.2.2.1.cmml" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.4.4.2.2.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.4.4.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.4.4.2.2.2.2.1">subscript</csymbol><int id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.4.4.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.4.4.2.2.2.2.1.2"></int><ci id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.4.4.2.2.2.2.1.3.cmml" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.4.4.2.2.2.2.1.3">Ω</ci></apply><apply id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.cmml" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.4.4.2.2.2.2.2"><times id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.1"></times><ci id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.2">𝑔</ci><ci id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.cmml" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2">𝑥</ci><apply id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.4.cmml" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.4"><csymbol cd="latexml" id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.4.1.cmml" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.4.1">differential-d</csymbol><ci id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.4.2.cmml" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.4.2">𝑥</ci></apply></apply></apply><cn id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.4.4.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="Thmlemma1.p1.1.1.m1.4.4.2.2.2.3">0</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.4c">V_{0}=\{g\in H^{1}(\Omega):\int_{\Omega}g(x)dx=0\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma1.p1.1.1.m1.4d">italic_V start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT = { italic_g ∈ italic_H start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT ( roman_Ω ) : ∫ start_POSTSUBSCRIPT roman_Ω end_POSTSUBSCRIPT italic_g ( italic_x ) italic_d italic_x = 0 }</annotation></semantics></math>. If <math alttext="v\in L^{2}(\Omega)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma1.p1.2.2.m2.1"><semantics id="Thmlemma1.p1.2.2.m2.1a"><mrow id="Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.2" xref="Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.2.cmml"><mi id="Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.2.2" xref="Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.2.2.cmml">v</mi><mo id="Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.2.1" xref="Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.2.1.cmml">∈</mo><mrow id="Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.2.3" xref="Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.2.3.cmml"><msup id="Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.2.3.2" xref="Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.2.3.2.cmml"><mi id="Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.2.3.2.2" xref="Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.2.3.2.2.cmml">L</mi><mn id="Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.2.3.2.3" xref="Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.2.3.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.2.3.1" xref="Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.2.3.3.2" xref="Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.2.3.cmml"><mo id="Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.2.3.cmml">(</mo><mi id="Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.1" mathvariant="normal" xref="Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.1.cmml">Ω</mi><mo id="Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma1.p1.2.2.m2.1b"><apply id="Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.2.cmml" xref="Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.2"><in id="Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.2.1.cmml" xref="Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.2.1"></in><ci id="Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.2.2.cmml" xref="Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.2.2">𝑣</ci><apply id="Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.2.3.cmml" xref="Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.2.3"><times id="Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.2.3.1.cmml" xref="Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.2.3.1"></times><apply id="Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.2.3.2.cmml" xref="Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.2.3.2.1.cmml" xref="Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.2.3.2.2.cmml" xref="Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.2.3.2.2">𝐿</ci><cn id="Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.2.3.2.3">2</cn></apply><ci id="Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.1">Ω</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma1.p1.2.2.m2.1c">v\in L^{2}(\Omega)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma1.p1.2.2.m2.1d">italic_v ∈ italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( roman_Ω )</annotation></semantics></math>, with <math alttext="\int_{\Omega}v(x)dx=0" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1"><semantics id="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1a"><mrow id="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.2" xref="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.2.cmml"><mrow id="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.2.2" xref="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.2.2.cmml"><msub id="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.2.2.1" xref="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.2.2.1.cmml"><mo id="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.2.2.1.2" xref="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.2.2.1.2.cmml">∫</mo><mi id="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.2.2.1.3" mathvariant="normal" xref="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.2.2.1.3.cmml">Ω</mi></msub><mrow id="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.2.2.2" xref="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.2.2.2.cmml"><mi id="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.2.2.2.2" xref="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.2.2.2.2.cmml">v</mi><mo id="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.2.2.2.1" xref="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.2.2.2.3.2" xref="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.2.2.2.cmml"><mo id="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.2.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1" xref="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1.cmml">x</mi><mo id="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.2.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.2.2.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.2.2.2.1a" lspace="0em" xref="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.2.2.2.4" xref="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.2.2.2.4.cmml"><mo id="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.2.2.2.4.1" rspace="0em" xref="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.2.2.2.4.1.cmml">𝑑</mo><mi id="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.2.2.2.4.2" xref="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.2.2.2.4.2.cmml">x</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.2.1" xref="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.2.1.cmml">=</mo><mn id="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.2.3" xref="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.2.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1b"><apply id="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.2.cmml" xref="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.2"><eq id="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.2.1.cmml" xref="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.2.1"></eq><apply id="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.2.2.cmml" xref="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.2.2"><apply id="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.2.2.1.cmml" xref="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.2.2.1.1.cmml" xref="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.2.2.1">subscript</csymbol><int id="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.2.2.1.2.cmml" xref="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.2.2.1.2"></int><ci id="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.2.2.1.3.cmml" xref="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.2.2.1.3">Ω</ci></apply><apply id="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.2.2.2.cmml" xref="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.2.2.2"><times id="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.2.2.2.1.cmml" xref="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.2.2.2.1"></times><ci id="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.2.2.2.2.cmml" xref="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.2.2.2.2">𝑣</ci><ci id="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1">𝑥</ci><apply id="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.2.2.2.4.cmml" xref="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.2.2.2.4"><csymbol cd="latexml" id="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.2.2.2.4.1.cmml" xref="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.2.2.2.4.1">differential-d</csymbol><ci id="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.2.2.2.4.2.cmml" xref="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.2.2.2.4.2">𝑥</ci></apply></apply></apply><cn id="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.2.3.cmml" type="integer" xref="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.2.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1c">\int_{\Omega}v(x)dx=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma1.p1.3.3.m3.1d">∫ start_POSTSUBSCRIPT roman_Ω end_POSTSUBSCRIPT italic_v ( italic_x ) italic_d italic_x = 0</annotation></semantics></math>, then the problem</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E30"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="-\Delta g=v,\quad\frac{\partial g}{\partial n}|_{\Omega}=0," class="ltx_Math" display="block" id="S3.E30.m1.3"><semantics id="S3.E30.m1.3a"><mrow id="S3.E30.m1.3.3.1"><mrow id="S3.E30.m1.3.3.1.1.2" xref="S3.E30.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.E30.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S3.E30.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E30.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S3.E30.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E30.m1.3.3.1.1.1.1.2a" xref="S3.E30.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="S3.E30.m1.3.3.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E30.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.E30.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.E30.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2.cmml">Δ</mi><mo id="S3.E30.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1" xref="S3.E30.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E30.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.E30.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3.cmml">g</mi></mrow></mrow><mo id="S3.E30.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S3.E30.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mi id="S3.E30.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="S3.E30.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml">v</mi></mrow><mo id="S3.E30.m1.3.3.1.1.2.3" rspace="1.167em" xref="S3.E30.m1.3.3.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.E30.m1.3.3.1.1.2.2" xref="S3.E30.m1.3.3.1.1.2.2.cmml"><msub id="S3.E30.m1.3.3.1.1.2.2.2.2" xref="S3.E30.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.cmml"><mrow id="S3.E30.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2" xref="S3.E30.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.cmml"><mfrac id="S3.E30.m1.1.1" xref="S3.E30.m1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E30.m1.1.1.2" xref="S3.E30.m1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E30.m1.1.1.2.1" rspace="0em" xref="S3.E30.m1.1.1.2.1.cmml">∂</mo><mi id="S3.E30.m1.1.1.2.2" xref="S3.E30.m1.1.1.2.2.cmml">g</mi></mrow><mrow id="S3.E30.m1.1.1.3" xref="S3.E30.m1.1.1.3.cmml"><mo id="S3.E30.m1.1.1.3.1" rspace="0em" xref="S3.E30.m1.1.1.3.1.cmml">∂</mo><mi id="S3.E30.m1.1.1.3.2" xref="S3.E30.m1.1.1.3.2.cmml">n</mi></mrow></mfrac><mo id="S3.E30.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.1" stretchy="false" xref="S3.E30.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.cmml">|</mo></mrow><mi id="S3.E30.m1.2.2.1" mathvariant="normal" xref="S3.E30.m1.2.2.1.cmml">Ω</mi></msub><mo id="S3.E30.m1.3.3.1.1.2.2.1" xref="S3.E30.m1.3.3.1.1.2.2.1.cmml">=</mo><mn id="S3.E30.m1.3.3.1.1.2.2.3" xref="S3.E30.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml">0</mn></mrow></mrow><mo id="S3.E30.m1.3.3.1.2">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E30.m1.3b"><apply id="S3.E30.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S3.E30.m1.3.3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E30.m1.3.3.1.1.3a.cmml" xref="S3.E30.m1.3.3.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.E30.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E30.m1.3.3.1.1.1.1"><eq id="S3.E30.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E30.m1.3.3.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S3.E30.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E30.m1.3.3.1.1.1.1.2"><minus id="S3.E30.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E30.m1.3.3.1.1.1.1.2"></minus><apply id="S3.E30.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E30.m1.3.3.1.1.1.1.2.2"><times id="S3.E30.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E30.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1"></times><ci id="S3.E30.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E30.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2">Δ</ci><ci id="S3.E30.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.E30.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3">𝑔</ci></apply></apply><ci id="S3.E30.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E30.m1.3.3.1.1.1.1.3">𝑣</ci></apply><apply id="S3.E30.m1.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E30.m1.3.3.1.1.2.2"><eq id="S3.E30.m1.3.3.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E30.m1.3.3.1.1.2.2.1"></eq><apply id="S3.E30.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E30.m1.3.3.1.1.2.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.E30.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.E30.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.1">evaluated-at</csymbol><apply id="S3.E30.m1.1.1.cmml" xref="S3.E30.m1.1.1"><divide id="S3.E30.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.E30.m1.1.1"></divide><apply id="S3.E30.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.E30.m1.1.1.2"><partialdiff id="S3.E30.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E30.m1.1.1.2.1"></partialdiff><ci id="S3.E30.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E30.m1.1.1.2.2">𝑔</ci></apply><apply id="S3.E30.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.E30.m1.1.1.3"><partialdiff id="S3.E30.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E30.m1.1.1.3.1"></partialdiff><ci id="S3.E30.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E30.m1.1.1.3.2">𝑛</ci></apply></apply><ci id="S3.E30.m1.2.2.1.cmml" xref="S3.E30.m1.2.2.1">Ω</ci></apply><cn id="S3.E30.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E30.m1.3.3.1.1.2.2.3">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E30.m1.3c">-\Delta g=v,\quad\frac{\partial g}{\partial n}|_{\Omega}=0,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E30.m1.3d">- roman_Δ italic_g = italic_v , divide start_ARG ∂ italic_g end_ARG start_ARG ∂ italic_n end_ARG | start_POSTSUBSCRIPT roman_Ω end_POSTSUBSCRIPT = 0 ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(30)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Thmlemma1.p1.5"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmlemma1.p1.5.2">admits a unique solution <math alttext="g" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma1.p1.4.1.m1.1"><semantics id="Thmlemma1.p1.4.1.m1.1a"><mi id="Thmlemma1.p1.4.1.m1.1.1" xref="Thmlemma1.p1.4.1.m1.1.1.cmml">g</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma1.p1.4.1.m1.1b"><ci id="Thmlemma1.p1.4.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmlemma1.p1.4.1.m1.1.1">𝑔</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma1.p1.4.1.m1.1c">g</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma1.p1.4.1.m1.1d">italic_g</annotation></semantics></math> in <math alttext="V_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma1.p1.5.2.m2.1"><semantics id="Thmlemma1.p1.5.2.m2.1a"><msub id="Thmlemma1.p1.5.2.m2.1.1" xref="Thmlemma1.p1.5.2.m2.1.1.cmml"><mi id="Thmlemma1.p1.5.2.m2.1.1.2" xref="Thmlemma1.p1.5.2.m2.1.1.2.cmml">V</mi><mn id="Thmlemma1.p1.5.2.m2.1.1.3" xref="Thmlemma1.p1.5.2.m2.1.1.3.cmml">0</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma1.p1.5.2.m2.1b"><apply id="Thmlemma1.p1.5.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmlemma1.p1.5.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma1.p1.5.2.m2.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma1.p1.5.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmlemma1.p1.5.2.m2.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma1.p1.5.2.m2.1.1.2">𝑉</ci><cn id="Thmlemma1.p1.5.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Thmlemma1.p1.5.2.m2.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma1.p1.5.2.m2.1c">V_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma1.p1.5.2.m2.1d">italic_V start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS2.p3"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p3.2">We then prove the following theorem. Let <math alttext="|u|_{BV(\Omega)}=\int_{\Omega}|\nabla u|" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p3.1.m1.3"><semantics id="S3.SS2.p3.1.m1.3a"><mrow id="S3.SS2.p3.1.m1.3.3" xref="S3.SS2.p3.1.m1.3.3.cmml"><msub id="S3.SS2.p3.1.m1.3.3.3" xref="S3.SS2.p3.1.m1.3.3.3.cmml"><mrow id="S3.SS2.p3.1.m1.3.3.3.2.2" xref="S3.SS2.p3.1.m1.3.3.3.2.1.cmml"><mo id="S3.SS2.p3.1.m1.3.3.3.2.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.p3.1.m1.3.3.3.2.1.1.cmml">|</mo><mi id="S3.SS2.p3.1.m1.2.2" xref="S3.SS2.p3.1.m1.2.2.cmml">u</mi><mo id="S3.SS2.p3.1.m1.3.3.3.2.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p3.1.m1.3.3.3.2.1.1.cmml">|</mo></mrow><mrow id="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.1" xref="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.1.3.cmml">B</mi><mo id="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.1.2" xref="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.1.4" xref="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.1.4.cmml">V</mi><mo id="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.1.2a" xref="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.1.5.2" xref="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.1.5.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.1.1" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.1.1.cmml">Ω</mi><mo id="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.1.5.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msub><mo id="S3.SS2.p3.1.m1.3.3.2" rspace="0.111em" xref="S3.SS2.p3.1.m1.3.3.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS2.p3.1.m1.3.3.1" xref="S3.SS2.p3.1.m1.3.3.1.cmml"><msub id="S3.SS2.p3.1.m1.3.3.1.2" xref="S3.SS2.p3.1.m1.3.3.1.2.cmml"><mo id="S3.SS2.p3.1.m1.3.3.1.2.2" rspace="0em" xref="S3.SS2.p3.1.m1.3.3.1.2.2.cmml">∫</mo><mi id="S3.SS2.p3.1.m1.3.3.1.2.3" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.p3.1.m1.3.3.1.2.3.cmml">Ω</mi></msub><mrow id="S3.SS2.p3.1.m1.3.3.1.1.1" xref="S3.SS2.p3.1.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mo id="S3.SS2.p3.1.m1.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p3.1.m1.3.3.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S3.SS2.p3.1.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p3.1.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS2.p3.1.m1.3.3.1.1.1.1.1" rspace="0.167em" xref="S3.SS2.p3.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">∇</mo><mi id="S3.SS2.p3.1.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S3.SS2.p3.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">u</mi></mrow><mo id="S3.SS2.p3.1.m1.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS2.p3.1.m1.3.3.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p3.1.m1.3b"><apply id="S3.SS2.p3.1.m1.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p3.1.m1.3.3"><eq id="S3.SS2.p3.1.m1.3.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p3.1.m1.3.3.2"></eq><apply id="S3.SS2.p3.1.m1.3.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p3.1.m1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p3.1.m1.3.3.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.1.m1.3.3.3">subscript</csymbol><apply id="S3.SS2.p3.1.m1.3.3.3.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.1.m1.3.3.3.2.2"><abs id="S3.SS2.p3.1.m1.3.3.3.2.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.1.m1.3.3.3.2.2.1"></abs><ci id="S3.SS2.p3.1.m1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p3.1.m1.2.2">𝑢</ci></apply><apply id="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.1"><times id="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.1.2"></times><ci id="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.1.3">𝐵</ci><ci id="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.1.4">𝑉</ci><ci id="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.1.1">Ω</ci></apply></apply><apply id="S3.SS2.p3.1.m1.3.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.1.m1.3.3.1"><apply id="S3.SS2.p3.1.m1.3.3.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p3.1.m1.3.3.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p3.1.m1.3.3.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.1.m1.3.3.1.2">subscript</csymbol><int id="S3.SS2.p3.1.m1.3.3.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p3.1.m1.3.3.1.2.2"></int><ci id="S3.SS2.p3.1.m1.3.3.1.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p3.1.m1.3.3.1.2.3">Ω</ci></apply><apply id="S3.SS2.p3.1.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p3.1.m1.3.3.1.1.1"><abs id="S3.SS2.p3.1.m1.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.1.m1.3.3.1.1.1.2"></abs><apply id="S3.SS2.p3.1.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.1.m1.3.3.1.1.1.1"><ci 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id="S3.SS2.p3.2.m2.3.3.1.3.2.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p3.2.m2.3.3.1.3.2.1.1.cmml">‖</mo></mrow><msup id="S3.SS2.p3.2.m2.3.3.1.3.3" xref="S3.SS2.p3.2.m2.3.3.1.3.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p3.2.m2.3.3.1.3.3.2" xref="S3.SS2.p3.2.m2.3.3.1.3.3.2.cmml">L</mi><mn id="S3.SS2.p3.2.m2.3.3.1.3.3.3" xref="S3.SS2.p3.2.m2.3.3.1.3.3.3.cmml">1</mn></msup></msub><mo id="S3.SS2.p3.2.m2.3.3.1.2" rspace="0.055em" xref="S3.SS2.p3.2.m2.3.3.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S3.SS2.p3.2.m2.3.3.1.1" xref="S3.SS2.p3.2.m2.3.3.1.1.cmml"><msub id="S3.SS2.p3.2.m2.3.3.1.1.2" xref="S3.SS2.p3.2.m2.3.3.1.1.2.cmml"><mo id="S3.SS2.p3.2.m2.3.3.1.1.2.2" rspace="0em" xref="S3.SS2.p3.2.m2.3.3.1.1.2.2.cmml">∫</mo><mi id="S3.SS2.p3.2.m2.3.3.1.1.2.3" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.p3.2.m2.3.3.1.1.2.3.cmml">Ω</mi></msub><mrow id="S3.SS2.p3.2.m2.3.3.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p3.2.m2.3.3.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.SS2.p3.2.m2.3.3.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p3.2.m2.3.3.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S3.SS2.p3.2.m2.3.3.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p3.2.m2.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS2.p3.2.m2.3.3.1.1.1.1.1.1" rspace="0.167em" xref="S3.SS2.p3.2.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">∇</mo><mi id="S3.SS2.p3.2.m2.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS2.p3.2.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml">u</mi></mrow><mo id="S3.SS2.p3.2.m2.3.3.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS2.p3.2.m2.3.3.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p3.2.m2.3b"><apply id="S3.SS2.p3.2.m2.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p3.2.m2.3.3"><eq id="S3.SS2.p3.2.m2.3.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p3.2.m2.3.3.2"></eq><apply id="S3.SS2.p3.2.m2.3.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p3.2.m2.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p3.2.m2.3.3.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.2.m2.3.3.3">subscript</csymbol><apply id="S3.SS2.p3.2.m2.3.3.3.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.2.m2.3.3.3.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS2.p3.2.m2.3.3.3.2.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.2.m2.3.3.3.2.2.1">norm</csymbol><ci id="S3.SS2.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.2.m2.1.1">𝑢</ci></apply><apply id="S3.SS2.p3.2.m2.3.3.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p3.2.m2.3.3.3.3"><times id="S3.SS2.p3.2.m2.3.3.3.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.2.m2.3.3.3.3.1"></times><ci id="S3.SS2.p3.2.m2.3.3.3.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p3.2.m2.3.3.3.3.2">𝐵</ci><ci id="S3.SS2.p3.2.m2.3.3.3.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p3.2.m2.3.3.3.3.3">𝑉</ci></apply></apply><apply id="S3.SS2.p3.2.m2.3.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.2.m2.3.3.1"><plus id="S3.SS2.p3.2.m2.3.3.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p3.2.m2.3.3.1.2"></plus><apply id="S3.SS2.p3.2.m2.3.3.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p3.2.m2.3.3.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p3.2.m2.3.3.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.2.m2.3.3.1.3">subscript</csymbol><apply id="S3.SS2.p3.2.m2.3.3.1.3.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.2.m2.3.3.1.3.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS2.p3.2.m2.3.3.1.3.2.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.2.m2.3.3.1.3.2.2.1">norm</csymbol><ci id="S3.SS2.p3.2.m2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p3.2.m2.2.2">𝑢</ci></apply><apply id="S3.SS2.p3.2.m2.3.3.1.3.3.cmml" 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xref="S3.SS2.p3.2.m2.3.3.1.1.1.1.1"><ci id="S3.SS2.p3.2.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.2.m2.3.3.1.1.1.1.1.1">∇</ci><ci id="S3.SS2.p3.2.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p3.2.m2.3.3.1.1.1.1.1.2">𝑢</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p3.2.m2.3c">\|u\|_{BV}=\|u\|_{L^{1}}+\int_{\Omega}|\nabla u|</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p3.2.m2.3d">∥ italic_u ∥ start_POSTSUBSCRIPT italic_B italic_V end_POSTSUBSCRIPT = ∥ italic_u ∥ start_POSTSUBSCRIPT italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT + ∫ start_POSTSUBSCRIPT roman_Ω end_POSTSUBSCRIPT | ∇ italic_u |</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_theorem" id="S3.Thmtheorem1"> <h6 class="ltx_title ltx_font_bold ltx_title_theorem"><span class="ltx_tag ltx_tag_theorem">Theorem 3.1</span></h6> <div class="ltx_para" id="S3.Thmtheorem1.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.Thmtheorem1.p1.4"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.Thmtheorem1.p1.4.4">Let <math alttext="f\in L^{2}(\Omega)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1"><semantics id="S3.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1a"><mrow id="S3.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.2" xref="S3.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.2.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.2.2" xref="S3.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.2.2.cmml">f</mi><mo id="S3.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.2.1" xref="S3.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.2.1.cmml">∈</mo><mrow id="S3.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.2.3" xref="S3.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.2.3.cmml"><msup id="S3.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.2.3.2" xref="S3.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.2.3.2.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.2.3.2.2" xref="S3.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.2.3.2.2.cmml">L</mi><mn id="S3.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.2.3.2.3" xref="S3.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.2.3.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.2.3.1" xref="S3.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.2.3.3.2" xref="S3.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.2.3.cmml"><mo id="S3.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.2.3.cmml">(</mo><mi id="S3.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1" mathvariant="normal" xref="S3.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.cmml">Ω</mi><mo id="S3.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1b"><apply id="S3.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.2"><in id="S3.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.2.1"></in><ci id="S3.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.2.2">𝑓</ci><apply id="S3.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.2.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.2.3"><times id="S3.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.2.3.1"></times><apply id="S3.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.2.3.2.2">𝐿</ci><cn id="S3.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.2.3.2.3">2</cn></apply><ci id="S3.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1.1">Ω</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1c">f\in L^{2}(\Omega)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmtheorem1.p1.1.1.m1.1d">italic_f ∈ italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( roman_Ω )</annotation></semantics></math>, then there exists <math alttext="(u,v)\in(BV,H)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4"><semantics id="S3.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4a"><mrow id="S3.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4" xref="S3.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.cmml"><mrow id="S3.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.3.2" xref="S3.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.3.1.cmml"><mo id="S3.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1" xref="S3.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.cmml">u</mi><mo id="S3.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.3.2.2" xref="S3.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.2.2" xref="S3.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.2.2.cmml">v</mi><mo id="S3.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.3.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.2" xref="S3.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.2.cmml">∈</mo><mrow id="S3.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.1.1" xref="S3.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.1.2.cmml"><mo id="S3.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S3.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1" xref="S3.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1.2" xref="S3.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1.2.cmml">B</mi><mo id="S3.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1.1" xref="S3.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1.3" xref="S3.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1.3.cmml">V</mi></mrow><mo id="S3.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.1.1.3" xref="S3.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.1.2.cmml">,</mo><mi id="S3.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.3.3" xref="S3.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.3.3.cmml">H</mi><mo id="S3.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4b"><apply id="S3.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4"><in id="S3.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.2"></in><interval closure="open" id="S3.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.3.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.3.2"><ci id="S3.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.1.1">𝑢</ci><ci id="S3.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.2.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.2.2">𝑣</ci></interval><interval closure="open" id="S3.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.1.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.1.1"><apply id="S3.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1"><times id="S3.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1.1"></times><ci id="S3.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1.2">𝐵</ci><ci id="S3.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1.3">𝑉</ci></apply><ci id="S3.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.3.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.3.3">𝐻</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4c">(u,v)\in(BV,H)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmtheorem1.p1.2.2.m2.4d">( italic_u , italic_v ) ∈ ( italic_B italic_V , italic_H )</annotation></semantics></math> where <math alttext="H=\{v:v\in L^{1}(\Omega),\int_{\Omega}v(x)dx=0\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4"><semantics id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4a"><mrow id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4" xref="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.3" xref="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.3.cmml">H</mi><mo id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2" xref="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1" xref="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.2.cmml"><mo id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.2.1.cmml">{</mo><mi id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.3.3" xref="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.3.3.cmml">v</mi><mo id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.3" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.2.1.cmml">:</mo><mrow id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.2" xref="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.1" xref="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml">v</mi><mo id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">∈</mo><mrow id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml"><msup id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">L</mi><mn id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">1</mn></msup><mo id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1.1" mathvariant="normal" xref="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1.1.cmml">Ω</mi><mo id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.2.3" rspace="0em" xref="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.2.2" xref="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.2.2.2" xref="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.2.2.2.cmml"><msub id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.2.2.2.1" xref="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.2.2.2.1.cmml"><mo id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.2.2.2.1.2" xref="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.2.2.2.1.2.cmml">∫</mo><mi id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.2.2.2.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.2.2.2.1.3.cmml">Ω</mi></msub><mrow id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.2.2.2.2" xref="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">v</mi><mo id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.2.2.2.2.1" xref="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.2.2.2.2.3.2" xref="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mo id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.2.2.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.2.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2" xref="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2.cmml">x</mi><mo id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.2.2.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.2.2.2.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.2.2.2.2.1a" lspace="0em" xref="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.2.2.2.2.4" xref="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.2.2.2.2.4.cmml"><mo id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.2.2.2.2.4.1" rspace="0em" xref="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.2.2.2.2.4.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.2.2.2.2.4.2" xref="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.2.2.2.2.4.2.cmml">x</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.2.2.1" xref="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.2.2.1.cmml">=</mo><mn id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.2.2.3" xref="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.2.2.3.cmml">0</mn></mrow></mrow><mo id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.2.1.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4b"><apply id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4"><eq id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.2"></eq><ci id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.3">𝐻</ci><apply id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.2.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.2">conditional-set</csymbol><ci id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.3.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.3.3">𝑣</ci><apply id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.3a.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.1"><in id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1"></in><ci id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.2">𝑣</ci><apply id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.3"><times id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.3.2.2">𝐿</ci><cn id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.3.2.3">1</cn></apply><ci id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.1.1">Ω</ci></apply></apply><apply id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.2.2"><eq id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.2.2.1"></eq><apply id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.2.2.2"><apply id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.2.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.2.2.2.1">subscript</csymbol><int id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.2.2.2.1.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.2.2.2.1.2"></int><ci id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.2.2.2.1.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.2.2.2.1.3">Ω</ci></apply><apply id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.2.2.2.2"><times id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.2.2.2.2.1"></times><ci id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.2.2.2.2.2">𝑣</ci><ci id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.2.2">𝑥</ci><apply id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.2.2.2.2.4.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.2.2.2.2.4"><csymbol cd="latexml" id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.2.2.2.2.4.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.2.2.2.2.4.1">differential-d</csymbol><ci id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.2.2.2.2.4.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.2.2.2.2.4.2">𝑥</ci></apply></apply></apply><cn id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.2.2.3">0</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4c">H=\{v:v\in L^{1}(\Omega),\int_{\Omega}v(x)dx=0\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmtheorem1.p1.3.3.m3.4d">italic_H = { italic_v : italic_v ∈ italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT ( roman_Ω ) , ∫ start_POSTSUBSCRIPT roman_Ω end_POSTSUBSCRIPT italic_v ( italic_x ) italic_d italic_x = 0 }</annotation></semantics></math>, such that <math alttext="(u,v)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2"><semantics id="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2a"><mrow id="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.3.2" xref="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.3.1.cmml"><mo id="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1" xref="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.cmml">u</mi><mo id="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.3.2.2" xref="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.2" xref="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.2.cmml">v</mi><mo id="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.3.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2b"><interval closure="open" id="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.3.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.3.2"><ci id="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.1.1">𝑢</ci><ci id="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2.2">𝑣</ci></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2c">(u,v)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmtheorem1.p1.4.4.m4.2d">( italic_u , italic_v )</annotation></semantics></math> is a minimizer of the energy</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E31"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\inf_{(u,v)}\left\{F(u,v)=\int_{\Omega}|\nabla u|+\frac{\alpha}{2}\int_{\Omega% }|f-u-v|^{2}+\lambda\|v\|_{\mathrm{Lip}^{*}}\mathbf{I}_{v\in H},\int_{\Omega}f% =\int_{\Omega}u\right\}." class="ltx_Math" display="block" id="S3.E31.m1.6"><semantics id="S3.E31.m1.6a"><mrow id="S3.E31.m1.6.6.1" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="S3.E31.m1.6.6.1.1" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.cmml"><munder id="S3.E31.m1.6.6.1.1.2" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E31.m1.6.6.1.1.2.2" movablelimits="false" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.2.2.cmml">inf</mo><mrow id="S3.E31.m1.2.2.2.4" xref="S3.E31.m1.2.2.2.3.cmml"><mo id="S3.E31.m1.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="S3.E31.m1.2.2.2.3.cmml">(</mo><mi id="S3.E31.m1.1.1.1.1" xref="S3.E31.m1.1.1.1.1.cmml">u</mi><mo id="S3.E31.m1.2.2.2.4.2" xref="S3.E31.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.E31.m1.2.2.2.2" xref="S3.E31.m1.2.2.2.2.cmml">v</mi><mo id="S3.E31.m1.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="S3.E31.m1.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></munder><mrow id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.2.cmml">{</mo><mrow id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">F</mi><mo id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.4.1" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml"><mo id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E31.m1.3.3" xref="S3.E31.m1.3.3.cmml">u</mi><mo id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.2" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.E31.m1.4.4" xref="S3.E31.m1.4.4.cmml">v</mi><mo id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3" rspace="0.111em" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" rspace="0em" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">∫</mo><mi id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" mathvariant="normal" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">Ω</mi></msub><mrow id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" rspace="0.167em" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">∇</mo><mi id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">u</mi></mrow><mo id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">+</mo><mrow id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mfrac id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">α</mi><mn id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml"><msub id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.2" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.2.cmml"><mo id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.2.2" rspace="0em" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.2.2.cmml">∫</mo><mi id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.2.3" mathvariant="normal" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.2.3.cmml">Ω</mi></msub><msup id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">f</mi><mo id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">u</mi><mo id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1a" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.4" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.4.cmml">v</mi></mrow><mo id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mn id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><mo id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3a" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">+</mo><mrow id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.4" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml"><mi id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.4.1" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.4.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.cmml"><mrow id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.2.2" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.2.1.cmml"><mo id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.2.2.1" stretchy="false" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.2.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S3.E31.m1.5.5" xref="S3.E31.m1.5.5.cmml">v</mi><mo id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.2.2.2" stretchy="false" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.2.1.1.cmml">‖</mo></mrow><msup id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.3" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.3.cmml"><mi id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.3.2" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.3.2.cmml">Lip</mi><mo id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.3.3" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.3.3.cmml">∗</mo></msup></msub><mo id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.4.1a" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.4.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.4.4" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.4.4.cmml"><mi id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.4.4.2" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.4.4.2.cmml">𝐈</mi><mrow id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.4.4.3" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.4.4.3.cmml"><mi id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.4.4.3.2" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.4.4.3.2.cmml">v</mi><mo id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.4.4.3.1" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.4.4.3.1.cmml">∈</mo><mi id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.4.4.3.3" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.4.4.3.3.cmml">H</mi></mrow></msub></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.3" rspace="0em" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><msub id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.2.1" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml"><mo id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.2.1.2" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.2.1.2.cmml">∫</mo><mi id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.2.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.2.1.3.cmml">Ω</mi></msub><mi id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">f</mi></mrow><mo id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.1" rspace="0.111em" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><msub id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml"><mo id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.3.1.2" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.3.1.2.cmml">∫</mo><mi id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.3.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.3.1.3.cmml">Ω</mi></msub><mi id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">u</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.3" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.2.cmml">}</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E31.m1.6.6.1.2" lspace="0em" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E31.m1.6b"><apply id="S3.E31.m1.6.6.1.1.cmml" xref="S3.E31.m1.6.6.1"><apply id="S3.E31.m1.6.6.1.1.2.cmml" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E31.m1.6.6.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S3.E31.m1.6.6.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.2.2">infimum</csymbol><interval closure="open" id="S3.E31.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E31.m1.2.2.2.4"><ci id="S3.E31.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E31.m1.1.1.1.1">𝑢</ci><ci 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xref="S3.E31.m1.4.4">𝑣</ci></interval></apply><apply id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2"><plus id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.3"></plus><apply id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><apply id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><int id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"></int><ci id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">Ω</ci></apply><apply id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><abs id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></abs><apply id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><ci id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">∇</ci><ci id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑢</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><times id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2"></times><apply id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><divide id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3"></divide><ci id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝛼</ci><cn id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3">2</cn></apply><apply id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1"><apply id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.2.1.cmml" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.2">subscript</csymbol><int id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.2.2.cmml" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.2.2"></int><ci id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.2.3.cmml" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.2.3">Ω</ci></apply><apply id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1"><abs id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2"></abs><apply id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1"><minus id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2">𝑓</ci><ci id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3">𝑢</ci><ci id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.4">𝑣</ci></apply></apply><cn id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.4"><times id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.4.1.cmml" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.4.1"></times><ci id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.cmml" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2">𝜆</ci><apply id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.cmml" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.1.cmml" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3">subscript</csymbol><apply id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.2.1.cmml" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.2.1.1.cmml" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.2.2.1">norm</csymbol><ci id="S3.E31.m1.5.5.cmml" xref="S3.E31.m1.5.5">𝑣</ci></apply><apply id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.3.cmml" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.3.1.cmml" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.3.2.cmml" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.3.2">Lip</ci><times id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.3.3.cmml" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.3.3"></times></apply></apply><apply id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.4.4.cmml" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.4.4.1.cmml" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.4.4">subscript</csymbol><ci id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.4.4.2.cmml" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.4.4.2">𝐈</ci><apply id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.4.4.3.cmml" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.4.4.3"><in id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.4.4.3.1.cmml" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.4.4.3.1"></in><ci id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.4.4.3.2.cmml" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.4.4.3.2">𝑣</ci><ci id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.4.4.3.3.cmml" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.4.4.3.3">𝐻</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2"><eq id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.1"></eq><apply id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.2"><apply id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.2.1">subscript</csymbol><int id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.2.1.2.cmml" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.2.1.2"></int><ci id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.2.1.3.cmml" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.2.1.3">Ω</ci></apply><ci id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.2.2">𝑓</ci></apply><apply id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.3"><apply id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.3.1.1.cmml" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.3.1">subscript</csymbol><int id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.3.1.2.cmml" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.3.1.2"></int><ci id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.3.1.3.cmml" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.3.1.3">Ω</ci></apply><ci id="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.E31.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑢</ci></apply></apply></apply></set></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E31.m1.6c">\inf_{(u,v)}\left\{F(u,v)=\int_{\Omega}|\nabla u|+\frac{\alpha}{2}\int_{\Omega% }|f-u-v|^{2}+\lambda\|v\|_{\mathrm{Lip}^{*}}\mathbf{I}_{v\in H},\int_{\Omega}f% =\int_{\Omega}u\right\}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E31.m1.6d">roman_inf start_POSTSUBSCRIPT ( italic_u , italic_v ) end_POSTSUBSCRIPT { italic_F ( italic_u , italic_v ) = ∫ start_POSTSUBSCRIPT roman_Ω end_POSTSUBSCRIPT | ∇ italic_u | + divide start_ARG italic_α end_ARG start_ARG 2 end_ARG ∫ start_POSTSUBSCRIPT roman_Ω end_POSTSUBSCRIPT | italic_f - italic_u - italic_v | start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_λ ∥ italic_v ∥ start_POSTSUBSCRIPT roman_Lip start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT bold_I start_POSTSUBSCRIPT italic_v ∈ italic_H end_POSTSUBSCRIPT , ∫ start_POSTSUBSCRIPT roman_Ω end_POSTSUBSCRIPT italic_f = ∫ start_POSTSUBSCRIPT roman_Ω end_POSTSUBSCRIPT italic_u } .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(31)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.Thmtheorem1.p1.5"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.Thmtheorem1.p1.5.1">If, in addition, <math alttext="\int_{\Omega}f\neq 0" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmtheorem1.p1.5.1.m1.1"><semantics id="S3.Thmtheorem1.p1.5.1.m1.1a"><mrow id="S3.Thmtheorem1.p1.5.1.m1.1.1" xref="S3.Thmtheorem1.p1.5.1.m1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Thmtheorem1.p1.5.1.m1.1.1.2" xref="S3.Thmtheorem1.p1.5.1.m1.1.1.2.cmml"><msub id="S3.Thmtheorem1.p1.5.1.m1.1.1.2.1" xref="S3.Thmtheorem1.p1.5.1.m1.1.1.2.1.cmml"><mo id="S3.Thmtheorem1.p1.5.1.m1.1.1.2.1.2" xref="S3.Thmtheorem1.p1.5.1.m1.1.1.2.1.2.cmml">∫</mo><mi id="S3.Thmtheorem1.p1.5.1.m1.1.1.2.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.Thmtheorem1.p1.5.1.m1.1.1.2.1.3.cmml">Ω</mi></msub><mi id="S3.Thmtheorem1.p1.5.1.m1.1.1.2.2" xref="S3.Thmtheorem1.p1.5.1.m1.1.1.2.2.cmml">f</mi></mrow><mo id="S3.Thmtheorem1.p1.5.1.m1.1.1.1" xref="S3.Thmtheorem1.p1.5.1.m1.1.1.1.cmml">≠</mo><mn id="S3.Thmtheorem1.p1.5.1.m1.1.1.3" xref="S3.Thmtheorem1.p1.5.1.m1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmtheorem1.p1.5.1.m1.1b"><apply id="S3.Thmtheorem1.p1.5.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.5.1.m1.1.1"><neq id="S3.Thmtheorem1.p1.5.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.5.1.m1.1.1.1"></neq><apply id="S3.Thmtheorem1.p1.5.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.5.1.m1.1.1.2"><apply id="S3.Thmtheorem1.p1.5.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.5.1.m1.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmtheorem1.p1.5.1.m1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.5.1.m1.1.1.2.1">subscript</csymbol><int id="S3.Thmtheorem1.p1.5.1.m1.1.1.2.1.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.5.1.m1.1.1.2.1.2"></int><ci id="S3.Thmtheorem1.p1.5.1.m1.1.1.2.1.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.5.1.m1.1.1.2.1.3">Ω</ci></apply><ci id="S3.Thmtheorem1.p1.5.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem1.p1.5.1.m1.1.1.2.2">𝑓</ci></apply><cn id="S3.Thmtheorem1.p1.5.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Thmtheorem1.p1.5.1.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmtheorem1.p1.5.1.m1.1c">\int_{\Omega}f\neq 0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmtheorem1.p1.5.1.m1.1d">∫ start_POSTSUBSCRIPT roman_Ω end_POSTSUBSCRIPT italic_f ≠ 0</annotation></semantics></math>, then the minimizer is unique.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_proof" id="Thmproofx1"> <h6 class="ltx_title ltx_font_italic ltx_title_theorem"><span class="ltx_tag ltx_tag_theorem">Proof</span></h6> <div class="ltx_para" id="Thmproofx1.p1"> <ul class="ltx_itemize" id="S3.I1"> <li class="ltx_item" id="S3.I1.i1" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">•</span> <div class="ltx_para" id="S3.I1.i1.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.I1.i1.p1.16">Existence. Assume <math alttext="\Omega=[0,1]^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.i1.p1.1.m1.2"><semantics id="S3.I1.i1.p1.1.m1.2a"><mrow id="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.3" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.3.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.3.2.cmml">Ω</mi><mo id="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.3.1" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.3.1.cmml">=</mo><msup id="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.3.3" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.3.3.cmml"><mrow id="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.3.3.2.2" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.3.3.2.1.cmml"><mo id="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.3.3.2.2.1" stretchy="false" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.3.3.2.1.cmml">[</mo><mn id="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.cmml">0</mn><mo id="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.3.3.2.2.2" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.3.3.2.1.cmml">,</mo><mn id="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.2" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.2.cmml">1</mn><mo id="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.3.3.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.3.3.2.1.cmml">]</mo></mrow><mn id="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.3.3.3" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I1.i1.p1.1.m1.2b"><apply id="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.3"><eq id="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.3.1"></eq><ci id="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.3.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.3.2">Ω</ci><apply id="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.3.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.3.3.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.3.3">superscript</csymbol><interval closure="closed" id="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.3.3.2.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.3.3.2.2"><cn id="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1">0</cn><cn id="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.2">1</cn></interval><cn id="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.2.3.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I1.i1.p1.1.m1.2c">\Omega=[0,1]^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I1.i1.p1.1.m1.2d">roman_Ω = [ 0 , 1 ] start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. Let <math alttext="(u_{k},v_{k})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.i1.p1.2.m2.2"><semantics id="S3.I1.i1.p1.2.m2.2a"><mrow id="S3.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2" xref="S3.I1.i1.p1.2.m2.2.2.3.cmml"><mo id="S3.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.I1.i1.p1.2.m2.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="S3.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.1" xref="S3.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.2" xref="S3.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.2.cmml">u</mi><mi id="S3.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.3" xref="S3.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2.4" xref="S3.I1.i1.p1.2.m2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2.2" xref="S3.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2.2.2" xref="S3.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2.2.2.cmml">v</mi><mi id="S3.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2.2.3" xref="S3.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.I1.i1.p1.2.m2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I1.i1.p1.2.m2.2b"><interval closure="open" id="S3.I1.i1.p1.2.m2.2.2.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2"><apply id="S3.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.2">𝑢</ci><ci id="S3.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply><apply id="S3.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2.2.2">𝑣</ci><ci id="S3.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2.2.3">𝑘</ci></apply></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I1.i1.p1.2.m2.2c">(u_{k},v_{k})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I1.i1.p1.2.m2.2d">( italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT , italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> be a minimizing sequence of (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S3.E31" title="In Theorem 3.1 ‣ 3.2 Existence and uniqueness of minimizers ‣ 3 The Proposed Image Restoration Models ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">31</span></a>). For each <math alttext="u_{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.i1.p1.3.m3.1"><semantics id="S3.I1.i1.p1.3.m3.1a"><msub id="S3.I1.i1.p1.3.m3.1.1" xref="S3.I1.i1.p1.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p1.3.m3.1.1.2" xref="S3.I1.i1.p1.3.m3.1.1.2.cmml">u</mi><mi id="S3.I1.i1.p1.3.m3.1.1.3" xref="S3.I1.i1.p1.3.m3.1.1.3.cmml">k</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I1.i1.p1.3.m3.1b"><apply id="S3.I1.i1.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.i1.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.3.m3.1.1.2">𝑢</ci><ci id="S3.I1.i1.p1.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.3.m3.1.1.3">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I1.i1.p1.3.m3.1c">u_{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I1.i1.p1.3.m3.1d">italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, <math alttext="u_{k}+c_{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.i1.p1.4.m4.1"><semantics id="S3.I1.i1.p1.4.m4.1a"><mrow id="S3.I1.i1.p1.4.m4.1.1" xref="S3.I1.i1.p1.4.m4.1.1.cmml"><msub id="S3.I1.i1.p1.4.m4.1.1.2" xref="S3.I1.i1.p1.4.m4.1.1.2.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p1.4.m4.1.1.2.2" xref="S3.I1.i1.p1.4.m4.1.1.2.2.cmml">u</mi><mi id="S3.I1.i1.p1.4.m4.1.1.2.3" xref="S3.I1.i1.p1.4.m4.1.1.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.I1.i1.p1.4.m4.1.1.1" xref="S3.I1.i1.p1.4.m4.1.1.1.cmml">+</mo><msub id="S3.I1.i1.p1.4.m4.1.1.3" xref="S3.I1.i1.p1.4.m4.1.1.3.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p1.4.m4.1.1.3.2" xref="S3.I1.i1.p1.4.m4.1.1.3.2.cmml">c</mi><mi id="S3.I1.i1.p1.4.m4.1.1.3.3" xref="S3.I1.i1.p1.4.m4.1.1.3.3.cmml">k</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I1.i1.p1.4.m4.1b"><apply id="S3.I1.i1.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.4.m4.1.1"><plus id="S3.I1.i1.p1.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.4.m4.1.1.1"></plus><apply id="S3.I1.i1.p1.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.4.m4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p1.4.m4.1.1.2.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.4.m4.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.i1.p1.4.m4.1.1.2.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.4.m4.1.1.2.2">𝑢</ci><ci id="S3.I1.i1.p1.4.m4.1.1.2.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.4.m4.1.1.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S3.I1.i1.p1.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.4.m4.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p1.4.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.4.m4.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.i1.p1.4.m4.1.1.3.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.4.m4.1.1.3.2">𝑐</ci><ci id="S3.I1.i1.p1.4.m4.1.1.3.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.4.m4.1.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I1.i1.p1.4.m4.1c">u_{k}+c_{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I1.i1.p1.4.m4.1d">italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT + italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is another minimizing sequence such that <math alttext="c_{k}=\mathrm{arg}\min_{c}\int_{\Omega}|f-(u_{k}+c)-v_{k}|^{2}dx" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.i1.p1.5.m5.1"><semantics id="S3.I1.i1.p1.5.m5.1a"><mrow id="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1" xref="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.cmml"><msub id="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.3" xref="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.3.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.3.2" xref="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.3.2.cmml">c</mi><mi id="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.3.3" xref="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.3.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.2" xref="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1" xref="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.3" xref="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.3.cmml">arg</mi><mo id="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.2" lspace="0.167em" xref="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.4" xref="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.4.2" xref="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.4.2.cmml">min</mi><mi id="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.4.3" xref="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.4.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.2a" xref="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1" xref="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.2" xref="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.2.2" rspace="0em" xref="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.2.2.cmml">∫</mo><mi id="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.2.3" mathvariant="normal" xref="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.2.3.cmml">Ω</mi></msub><mrow id="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1" xref="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1" xref="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">f</mi><mo id="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">u</mi><mi id="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mi id="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">c</mi></mrow><mo id="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">−</mo><msub id="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">v</mi><mi id="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">k</mi></msub></mrow><mo id="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mn id="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.3" xref="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.3.1" rspace="0em" xref="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.3.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.3.2.cmml">x</mi></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I1.i1.p1.5.m5.1b"><apply id="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1"><eq id="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.2"></eq><apply id="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.3.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.3.2">𝑐</ci><ci id="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.3.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.3.3">𝑘</ci></apply><apply id="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1"><times id="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.2"></times><ci id="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.3">arg</ci><apply id="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.4.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.4">subscript</csymbol><min id="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.4.2"></min><ci id="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.4.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.4.3">𝑐</ci></apply><apply id="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1"><apply id="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><int id="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.2.2"></int><ci id="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.2.3">Ω</ci></apply><apply id="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1"><times id="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1"><abs id="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></abs><apply id="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></minus><ci id="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑓</ci><apply id="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑢</ci><ci id="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑘</ci></apply><ci id="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑐</ci></apply><apply id="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2">𝑣</ci><ci id="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3">𝑘</ci></apply></apply></apply><cn id="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply><apply id="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.3.1">differential-d</csymbol><ci id="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.1.1.3.2">𝑥</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I1.i1.p1.5.m5.1c">c_{k}=\mathrm{arg}\min_{c}\int_{\Omega}|f-(u_{k}+c)-v_{k}|^{2}dx</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I1.i1.p1.5.m5.1d">italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT = roman_arg roman_min start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ∫ start_POSTSUBSCRIPT roman_Ω end_POSTSUBSCRIPT | italic_f - ( italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT + italic_c ) - italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT | start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_d italic_x</annotation></semantics></math>. The unique minimizer of this quadratic function in <math alttext="c_{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.i1.p1.6.m6.1"><semantics id="S3.I1.i1.p1.6.m6.1a"><msub id="S3.I1.i1.p1.6.m6.1.1" xref="S3.I1.i1.p1.6.m6.1.1.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p1.6.m6.1.1.2" xref="S3.I1.i1.p1.6.m6.1.1.2.cmml">c</mi><mi id="S3.I1.i1.p1.6.m6.1.1.3" xref="S3.I1.i1.p1.6.m6.1.1.3.cmml">k</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I1.i1.p1.6.m6.1b"><apply id="S3.I1.i1.p1.6.m6.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.6.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p1.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.6.m6.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.i1.p1.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.6.m6.1.1.2">𝑐</ci><ci id="S3.I1.i1.p1.6.m6.1.1.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.6.m6.1.1.3">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I1.i1.p1.6.m6.1c">c_{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I1.i1.p1.6.m6.1d">italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is <math alttext="c_{k}=\int_{\Omega}(f-u_{k}-v_{k})dx" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.i1.p1.7.m7.1"><semantics id="S3.I1.i1.p1.7.m7.1a"><mrow id="S3.I1.i1.p1.7.m7.1.1" xref="S3.I1.i1.p1.7.m7.1.1.cmml"><msub id="S3.I1.i1.p1.7.m7.1.1.3" xref="S3.I1.i1.p1.7.m7.1.1.3.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p1.7.m7.1.1.3.2" xref="S3.I1.i1.p1.7.m7.1.1.3.2.cmml">c</mi><mi id="S3.I1.i1.p1.7.m7.1.1.3.3" xref="S3.I1.i1.p1.7.m7.1.1.3.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.I1.i1.p1.7.m7.1.1.2" rspace="0.111em" xref="S3.I1.i1.p1.7.m7.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.I1.i1.p1.7.m7.1.1.1" xref="S3.I1.i1.p1.7.m7.1.1.1.cmml"><msub id="S3.I1.i1.p1.7.m7.1.1.1.2" xref="S3.I1.i1.p1.7.m7.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.I1.i1.p1.7.m7.1.1.1.2.2" rspace="0em" xref="S3.I1.i1.p1.7.m7.1.1.1.2.2.cmml">∫</mo><mi id="S3.I1.i1.p1.7.m7.1.1.1.2.3" mathvariant="normal" xref="S3.I1.i1.p1.7.m7.1.1.1.2.3.cmml">Ω</mi></msub><mrow id="S3.I1.i1.p1.7.m7.1.1.1.1" xref="S3.I1.i1.p1.7.m7.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.I1.i1.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1" xref="S3.I1.i1.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.I1.i1.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.I1.i1.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.I1.i1.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.I1.i1.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.I1.i1.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">f</mi><mo id="S3.I1.i1.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.I1.i1.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S3.I1.i1.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.I1.i1.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.I1.i1.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">u</mi><mi id="S3.I1.i1.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.I1.i1.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.I1.i1.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S3.I1.i1.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S3.I1.i1.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S3.I1.i1.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S3.I1.i1.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">v</mi><mi id="S3.I1.i1.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S3.I1.i1.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">k</mi></msub></mrow><mo id="S3.I1.i1.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.I1.i1.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.I1.i1.p1.7.m7.1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S3.I1.i1.p1.7.m7.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I1.i1.p1.7.m7.1.1.1.1.3" xref="S3.I1.i1.p1.7.m7.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S3.I1.i1.p1.7.m7.1.1.1.1.3.1" rspace="0em" xref="S3.I1.i1.p1.7.m7.1.1.1.1.3.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S3.I1.i1.p1.7.m7.1.1.1.1.3.2" xref="S3.I1.i1.p1.7.m7.1.1.1.1.3.2.cmml">x</mi></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I1.i1.p1.7.m7.1b"><apply id="S3.I1.i1.p1.7.m7.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.7.m7.1.1"><eq id="S3.I1.i1.p1.7.m7.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.7.m7.1.1.2"></eq><apply id="S3.I1.i1.p1.7.m7.1.1.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.7.m7.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p1.7.m7.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.7.m7.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.i1.p1.7.m7.1.1.3.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.7.m7.1.1.3.2">𝑐</ci><ci id="S3.I1.i1.p1.7.m7.1.1.3.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.7.m7.1.1.3.3">𝑘</ci></apply><apply id="S3.I1.i1.p1.7.m7.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.7.m7.1.1.1"><apply id="S3.I1.i1.p1.7.m7.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.7.m7.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p1.7.m7.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.7.m7.1.1.1.2">subscript</csymbol><int id="S3.I1.i1.p1.7.m7.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.7.m7.1.1.1.2.2"></int><ci id="S3.I1.i1.p1.7.m7.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.7.m7.1.1.1.2.3">Ω</ci></apply><apply id="S3.I1.i1.p1.7.m7.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.7.m7.1.1.1.1"><times id="S3.I1.i1.p1.7.m7.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.7.m7.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.I1.i1.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1"><minus id="S3.I1.i1.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S3.I1.i1.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑓</ci><apply id="S3.I1.i1.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.i1.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑢</ci><ci id="S3.I1.i1.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply><apply id="S3.I1.i1.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.i1.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.4.2">𝑣</ci><ci id="S3.I1.i1.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.4.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S3.I1.i1.p1.7.m7.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.7.m7.1.1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S3.I1.i1.p1.7.m7.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.7.m7.1.1.1.1.3.1">differential-d</csymbol><ci id="S3.I1.i1.p1.7.m7.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.7.m7.1.1.1.1.3.2">𝑥</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I1.i1.p1.7.m7.1c">c_{k}=\int_{\Omega}(f-u_{k}-v_{k})dx</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I1.i1.p1.7.m7.1d">italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT = ∫ start_POSTSUBSCRIPT roman_Ω end_POSTSUBSCRIPT ( italic_f - italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT - italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ) italic_d italic_x</annotation></semantics></math>. Thus, the minimizing sequence <math alttext="u_{k}+c_{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.i1.p1.8.m8.1"><semantics id="S3.I1.i1.p1.8.m8.1a"><mrow id="S3.I1.i1.p1.8.m8.1.1" xref="S3.I1.i1.p1.8.m8.1.1.cmml"><msub id="S3.I1.i1.p1.8.m8.1.1.2" xref="S3.I1.i1.p1.8.m8.1.1.2.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p1.8.m8.1.1.2.2" xref="S3.I1.i1.p1.8.m8.1.1.2.2.cmml">u</mi><mi id="S3.I1.i1.p1.8.m8.1.1.2.3" xref="S3.I1.i1.p1.8.m8.1.1.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.I1.i1.p1.8.m8.1.1.1" xref="S3.I1.i1.p1.8.m8.1.1.1.cmml">+</mo><msub id="S3.I1.i1.p1.8.m8.1.1.3" xref="S3.I1.i1.p1.8.m8.1.1.3.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p1.8.m8.1.1.3.2" xref="S3.I1.i1.p1.8.m8.1.1.3.2.cmml">c</mi><mi id="S3.I1.i1.p1.8.m8.1.1.3.3" xref="S3.I1.i1.p1.8.m8.1.1.3.3.cmml">k</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I1.i1.p1.8.m8.1b"><apply id="S3.I1.i1.p1.8.m8.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.8.m8.1.1"><plus id="S3.I1.i1.p1.8.m8.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.8.m8.1.1.1"></plus><apply id="S3.I1.i1.p1.8.m8.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.8.m8.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p1.8.m8.1.1.2.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.8.m8.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.i1.p1.8.m8.1.1.2.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.8.m8.1.1.2.2">𝑢</ci><ci id="S3.I1.i1.p1.8.m8.1.1.2.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.8.m8.1.1.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S3.I1.i1.p1.8.m8.1.1.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.8.m8.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p1.8.m8.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.8.m8.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.i1.p1.8.m8.1.1.3.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.8.m8.1.1.3.2">𝑐</ci><ci id="S3.I1.i1.p1.8.m8.1.1.3.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.8.m8.1.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I1.i1.p1.8.m8.1c">u_{k}+c_{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I1.i1.p1.8.m8.1d">italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT + italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> such that <math alttext="c_{k}-\int_{\Omega}(f-u_{k}-v_{k})dx=\int_{\Omega}(f-(u_{k}+c_{k})-v_{k})dx=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.i1.p1.9.m9.2"><semantics id="S3.I1.i1.p1.9.m9.2a"><mrow id="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.cmml"><mrow id="S3.I1.i1.p1.9.m9.1.1.1" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.1.1.1.cmml"><msub id="S3.I1.i1.p1.9.m9.1.1.1.3" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p1.9.m9.1.1.1.3.2" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.1.1.1.3.2.cmml">c</mi><mi id="S3.I1.i1.p1.9.m9.1.1.1.3.3" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.1.1.1.3.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.I1.i1.p1.9.m9.1.1.1.2" rspace="0.055em" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="S3.I1.i1.p1.9.m9.1.1.1.1" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.I1.i1.p1.9.m9.1.1.1.1.2" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.I1.i1.p1.9.m9.1.1.1.1.2.2" rspace="0em" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.1.1.1.1.2.2.cmml">∫</mo><mi id="S3.I1.i1.p1.9.m9.1.1.1.1.2.3" mathvariant="normal" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.1.1.1.1.2.3.cmml">Ω</mi></msub><mrow id="S3.I1.i1.p1.9.m9.1.1.1.1.1" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.I1.i1.p1.9.m9.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.I1.i1.p1.9.m9.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.I1.i1.p1.9.m9.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p1.9.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">f</mi><mo id="S3.I1.i1.p1.9.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S3.I1.i1.p1.9.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p1.9.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">u</mi><mi id="S3.I1.i1.p1.9.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.I1.i1.p1.9.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S3.I1.i1.p1.9.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p1.9.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">v</mi><mi id="S3.I1.i1.p1.9.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">k</mi></msub></mrow><mo id="S3.I1.i1.p1.9.m9.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.I1.i1.p1.9.m9.1.1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I1.i1.p1.9.m9.1.1.1.1.1.3" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S3.I1.i1.p1.9.m9.1.1.1.1.1.3.1" rspace="0em" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.1.1.1.1.1.3.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S3.I1.i1.p1.9.m9.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.1.1.1.1.1.3.2.cmml">x</mi></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.4" rspace="0.111em" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.4.cmml">=</mo><mrow id="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.cmml"><msub id="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.2" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.2.cmml"><mo id="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.2.2" rspace="0em" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.2.2.cmml">∫</mo><mi id="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.2.3" mathvariant="normal" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.2.3.cmml">Ω</mi></msub><mrow id="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.1" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.1.cmml"><mrow id="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.1.1.1" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.1.1.1.1" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.1.1.1.1.3" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml">f</mi><mo id="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.1.1.1.1.2" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">u</mi><mi id="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msub id="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">c</mi><mi id="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">k</mi></msub></mrow><mo id="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.1.1.1.1.2a" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml">−</mo><msub id="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.1.1.1.1.4" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.1.1.1.1.4.2" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.1.1.1.1.4.2.cmml">v</mi><mi id="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.1.1.1.1.4.3" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.1.1.1.1.4.3.cmml">k</mi></msub></mrow><mo id="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.1.2" lspace="0em" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.1.3" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.1.3.cmml"><mo id="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.1.3.1" rspace="0em" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.1.3.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.1.3.2" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.1.3.2.cmml">x</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.5" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.5.cmml">=</mo><mn id="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.6" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.6.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I1.i1.p1.9.m9.2b"><apply id="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2"><and id="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2a.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2"></and><apply id="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2b.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2"><eq id="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.4.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.4"></eq><apply id="S3.I1.i1.p1.9.m9.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.1.1.1"><minus id="S3.I1.i1.p1.9.m9.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.1.1.1.2"></minus><apply id="S3.I1.i1.p1.9.m9.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p1.9.m9.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.i1.p1.9.m9.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.1.1.1.3.2">𝑐</ci><ci id="S3.I1.i1.p1.9.m9.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply><apply id="S3.I1.i1.p1.9.m9.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.1.1.1.1"><apply id="S3.I1.i1.p1.9.m9.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p1.9.m9.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><int id="S3.I1.i1.p1.9.m9.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.1.1.1.1.2.2"></int><ci id="S3.I1.i1.p1.9.m9.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.1.1.1.1.2.3">Ω</ci></apply><apply id="S3.I1.i1.p1.9.m9.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.1.1.1.1.1"><times id="S3.I1.i1.p1.9.m9.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.I1.i1.p1.9.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S3.I1.i1.p1.9.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S3.I1.i1.p1.9.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑓</ci><apply id="S3.I1.i1.p1.9.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p1.9.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.i1.p1.9.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑢</ci><ci id="S3.I1.i1.p1.9.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply><apply id="S3.I1.i1.p1.9.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p1.9.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.i1.p1.9.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2">𝑣</ci><ci id="S3.I1.i1.p1.9.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S3.I1.i1.p1.9.m9.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S3.I1.i1.p1.9.m9.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.1.1.1.1.1.3.1">differential-d</csymbol><ci id="S3.I1.i1.p1.9.m9.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.1.1.1.1.1.3.2">𝑥</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2"><apply id="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.2">subscript</csymbol><int id="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.2.2"></int><ci id="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.2.3">Ω</ci></apply><apply id="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.1"><times id="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.1.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.1.2"></times><apply id="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.1.1.1"><minus id="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.1.1.1.1.2"></minus><ci id="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.1.1.1.1.3">𝑓</ci><apply id="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.1.1.1.1.1.1"><plus id="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑢</ci><ci id="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑐</ci><ci id="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.1.1.1.1.4.2">𝑣</ci><ci id="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.1.1.1.1.4.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.1.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.1.3.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.1.3.1">differential-d</csymbol><ci id="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.1.3.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.1.3.2">𝑥</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2c.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2"><eq id="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.5.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.2.cmml" id="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2d.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2"></share><cn id="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.6.cmml" type="integer" xref="S3.I1.i1.p1.9.m9.2.2.6">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I1.i1.p1.9.m9.2c">c_{k}-\int_{\Omega}(f-u_{k}-v_{k})dx=\int_{\Omega}(f-(u_{k}+c_{k})-v_{k})dx=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I1.i1.p1.9.m9.2d">italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT - ∫ start_POSTSUBSCRIPT roman_Ω end_POSTSUBSCRIPT ( italic_f - italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT - italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ) italic_d italic_x = ∫ start_POSTSUBSCRIPT roman_Ω end_POSTSUBSCRIPT ( italic_f - ( italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT + italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ) - italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ) italic_d italic_x = 0</annotation></semantics></math>. Therefore, we can assume the minimizing sequence <math alttext="(u_{k},v_{k})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.i1.p1.10.m10.2"><semantics id="S3.I1.i1.p1.10.m10.2a"><mrow id="S3.I1.i1.p1.10.m10.2.2.2" xref="S3.I1.i1.p1.10.m10.2.2.3.cmml"><mo id="S3.I1.i1.p1.10.m10.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.I1.i1.p1.10.m10.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="S3.I1.i1.p1.10.m10.1.1.1.1" xref="S3.I1.i1.p1.10.m10.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p1.10.m10.1.1.1.1.2" xref="S3.I1.i1.p1.10.m10.1.1.1.1.2.cmml">u</mi><mi id="S3.I1.i1.p1.10.m10.1.1.1.1.3" xref="S3.I1.i1.p1.10.m10.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.I1.i1.p1.10.m10.2.2.2.4" xref="S3.I1.i1.p1.10.m10.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.I1.i1.p1.10.m10.2.2.2.2" xref="S3.I1.i1.p1.10.m10.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p1.10.m10.2.2.2.2.2" xref="S3.I1.i1.p1.10.m10.2.2.2.2.2.cmml">v</mi><mi id="S3.I1.i1.p1.10.m10.2.2.2.2.3" xref="S3.I1.i1.p1.10.m10.2.2.2.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.I1.i1.p1.10.m10.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.I1.i1.p1.10.m10.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I1.i1.p1.10.m10.2b"><interval closure="open" id="S3.I1.i1.p1.10.m10.2.2.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.10.m10.2.2.2"><apply id="S3.I1.i1.p1.10.m10.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.10.m10.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p1.10.m10.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.10.m10.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.i1.p1.10.m10.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.10.m10.1.1.1.1.2">𝑢</ci><ci id="S3.I1.i1.p1.10.m10.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.10.m10.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply><apply id="S3.I1.i1.p1.10.m10.2.2.2.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.10.m10.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p1.10.m10.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.10.m10.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.i1.p1.10.m10.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.10.m10.2.2.2.2.2">𝑣</ci><ci id="S3.I1.i1.p1.10.m10.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.10.m10.2.2.2.2.3">𝑘</ci></apply></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I1.i1.p1.10.m10.2c">(u_{k},v_{k})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I1.i1.p1.10.m10.2d">( italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT , italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> satisfies <math alttext="\int_{\Omega}(f-u_{k}-v_{k})dx=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.i1.p1.11.m11.1"><semantics id="S3.I1.i1.p1.11.m11.1a"><mrow id="S3.I1.i1.p1.11.m11.1.1" xref="S3.I1.i1.p1.11.m11.1.1.cmml"><mrow id="S3.I1.i1.p1.11.m11.1.1.1" xref="S3.I1.i1.p1.11.m11.1.1.1.cmml"><msub id="S3.I1.i1.p1.11.m11.1.1.1.2" xref="S3.I1.i1.p1.11.m11.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.I1.i1.p1.11.m11.1.1.1.2.2" xref="S3.I1.i1.p1.11.m11.1.1.1.2.2.cmml">∫</mo><mi id="S3.I1.i1.p1.11.m11.1.1.1.2.3" mathvariant="normal" xref="S3.I1.i1.p1.11.m11.1.1.1.2.3.cmml">Ω</mi></msub><mrow id="S3.I1.i1.p1.11.m11.1.1.1.1" xref="S3.I1.i1.p1.11.m11.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.I1.i1.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1" xref="S3.I1.i1.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.I1.i1.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.2" lspace="0em" stretchy="false" xref="S3.I1.i1.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.I1.i1.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.I1.i1.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.I1.i1.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">f</mi><mo id="S3.I1.i1.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.I1.i1.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S3.I1.i1.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.I1.i1.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.I1.i1.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">u</mi><mi id="S3.I1.i1.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.I1.i1.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.I1.i1.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S3.I1.i1.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S3.I1.i1.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S3.I1.i1.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S3.I1.i1.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">v</mi><mi id="S3.I1.i1.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S3.I1.i1.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">k</mi></msub></mrow><mo id="S3.I1.i1.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.I1.i1.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.I1.i1.p1.11.m11.1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S3.I1.i1.p1.11.m11.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I1.i1.p1.11.m11.1.1.1.1.3" xref="S3.I1.i1.p1.11.m11.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S3.I1.i1.p1.11.m11.1.1.1.1.3.1" rspace="0em" xref="S3.I1.i1.p1.11.m11.1.1.1.1.3.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S3.I1.i1.p1.11.m11.1.1.1.1.3.2" xref="S3.I1.i1.p1.11.m11.1.1.1.1.3.2.cmml">x</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.I1.i1.p1.11.m11.1.1.2" xref="S3.I1.i1.p1.11.m11.1.1.2.cmml">=</mo><mn id="S3.I1.i1.p1.11.m11.1.1.3" xref="S3.I1.i1.p1.11.m11.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I1.i1.p1.11.m11.1b"><apply id="S3.I1.i1.p1.11.m11.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.11.m11.1.1"><eq id="S3.I1.i1.p1.11.m11.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.11.m11.1.1.2"></eq><apply id="S3.I1.i1.p1.11.m11.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.11.m11.1.1.1"><apply id="S3.I1.i1.p1.11.m11.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.11.m11.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p1.11.m11.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.11.m11.1.1.1.2">subscript</csymbol><int id="S3.I1.i1.p1.11.m11.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.11.m11.1.1.1.2.2"></int><ci id="S3.I1.i1.p1.11.m11.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.11.m11.1.1.1.2.3">Ω</ci></apply><apply id="S3.I1.i1.p1.11.m11.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.11.m11.1.1.1.1"><times id="S3.I1.i1.p1.11.m11.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.11.m11.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.I1.i1.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1"><minus id="S3.I1.i1.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S3.I1.i1.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑓</ci><apply id="S3.I1.i1.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.i1.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑢</ci><ci id="S3.I1.i1.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply><apply id="S3.I1.i1.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.i1.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.1.4.2">𝑣</ci><ci id="S3.I1.i1.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.11.m11.1.1.1.1.1.1.1.4.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S3.I1.i1.p1.11.m11.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.11.m11.1.1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S3.I1.i1.p1.11.m11.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.11.m11.1.1.1.1.3.1">differential-d</csymbol><ci id="S3.I1.i1.p1.11.m11.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.11.m11.1.1.1.1.3.2">𝑥</ci></apply></apply></apply><cn id="S3.I1.i1.p1.11.m11.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.I1.i1.p1.11.m11.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I1.i1.p1.11.m11.1c">\int_{\Omega}(f-u_{k}-v_{k})dx=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I1.i1.p1.11.m11.1d">∫ start_POSTSUBSCRIPT roman_Ω end_POSTSUBSCRIPT ( italic_f - italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT - italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ) italic_d italic_x = 0</annotation></semantics></math>. We know that, for <math alttext="v_{k}=\mathrm{div}(m_{k})\in H" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.i1.p1.12.m12.1"><semantics id="S3.I1.i1.p1.12.m12.1a"><mrow id="S3.I1.i1.p1.12.m12.1.1" xref="S3.I1.i1.p1.12.m12.1.1.cmml"><msub id="S3.I1.i1.p1.12.m12.1.1.3" xref="S3.I1.i1.p1.12.m12.1.1.3.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p1.12.m12.1.1.3.2" xref="S3.I1.i1.p1.12.m12.1.1.3.2.cmml">v</mi><mi id="S3.I1.i1.p1.12.m12.1.1.3.3" xref="S3.I1.i1.p1.12.m12.1.1.3.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.I1.i1.p1.12.m12.1.1.4" xref="S3.I1.i1.p1.12.m12.1.1.4.cmml">=</mo><mrow id="S3.I1.i1.p1.12.m12.1.1.1" xref="S3.I1.i1.p1.12.m12.1.1.1.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p1.12.m12.1.1.1.3" xref="S3.I1.i1.p1.12.m12.1.1.1.3.cmml">div</mi><mo id="S3.I1.i1.p1.12.m12.1.1.1.2" xref="S3.I1.i1.p1.12.m12.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I1.i1.p1.12.m12.1.1.1.1.1" xref="S3.I1.i1.p1.12.m12.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.I1.i1.p1.12.m12.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.I1.i1.p1.12.m12.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.I1.i1.p1.12.m12.1.1.1.1.1.1" xref="S3.I1.i1.p1.12.m12.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p1.12.m12.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.I1.i1.p1.12.m12.1.1.1.1.1.1.2.cmml">m</mi><mi id="S3.I1.i1.p1.12.m12.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.I1.i1.p1.12.m12.1.1.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.I1.i1.p1.12.m12.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.I1.i1.p1.12.m12.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.I1.i1.p1.12.m12.1.1.5" xref="S3.I1.i1.p1.12.m12.1.1.5.cmml">∈</mo><mi id="S3.I1.i1.p1.12.m12.1.1.6" xref="S3.I1.i1.p1.12.m12.1.1.6.cmml">H</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I1.i1.p1.12.m12.1b"><apply id="S3.I1.i1.p1.12.m12.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.12.m12.1.1"><and id="S3.I1.i1.p1.12.m12.1.1a.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.12.m12.1.1"></and><apply id="S3.I1.i1.p1.12.m12.1.1b.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.12.m12.1.1"><eq id="S3.I1.i1.p1.12.m12.1.1.4.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.12.m12.1.1.4"></eq><apply id="S3.I1.i1.p1.12.m12.1.1.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.12.m12.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p1.12.m12.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.12.m12.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.i1.p1.12.m12.1.1.3.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.12.m12.1.1.3.2">𝑣</ci><ci id="S3.I1.i1.p1.12.m12.1.1.3.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.12.m12.1.1.3.3">𝑘</ci></apply><apply id="S3.I1.i1.p1.12.m12.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.12.m12.1.1.1"><times id="S3.I1.i1.p1.12.m12.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.12.m12.1.1.1.2"></times><ci id="S3.I1.i1.p1.12.m12.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.12.m12.1.1.1.3">div</ci><apply id="S3.I1.i1.p1.12.m12.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.12.m12.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p1.12.m12.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.12.m12.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.i1.p1.12.m12.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.12.m12.1.1.1.1.1.1.2">𝑚</ci><ci id="S3.I1.i1.p1.12.m12.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.12.m12.1.1.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.I1.i1.p1.12.m12.1.1c.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.12.m12.1.1"><in id="S3.I1.i1.p1.12.m12.1.1.5.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.12.m12.1.1.5"></in><share href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S3.I1.i1.p1.12.m12.1.1.1.cmml" id="S3.I1.i1.p1.12.m12.1.1d.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.12.m12.1.1"></share><ci id="S3.I1.i1.p1.12.m12.1.1.6.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.12.m12.1.1.6">𝐻</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I1.i1.p1.12.m12.1c">v_{k}=\mathrm{div}(m_{k})\in H</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I1.i1.p1.12.m12.1d">italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT = roman_div ( italic_m start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ) ∈ italic_H</annotation></semantics></math>, we have <math alttext="\int_{\Omega}v_{k}(x)dx=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.i1.p1.13.m13.1"><semantics id="S3.I1.i1.p1.13.m13.1a"><mrow id="S3.I1.i1.p1.13.m13.1.2" xref="S3.I1.i1.p1.13.m13.1.2.cmml"><mrow id="S3.I1.i1.p1.13.m13.1.2.2" xref="S3.I1.i1.p1.13.m13.1.2.2.cmml"><msub id="S3.I1.i1.p1.13.m13.1.2.2.1" xref="S3.I1.i1.p1.13.m13.1.2.2.1.cmml"><mo id="S3.I1.i1.p1.13.m13.1.2.2.1.2" xref="S3.I1.i1.p1.13.m13.1.2.2.1.2.cmml">∫</mo><mi id="S3.I1.i1.p1.13.m13.1.2.2.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.I1.i1.p1.13.m13.1.2.2.1.3.cmml">Ω</mi></msub><mrow id="S3.I1.i1.p1.13.m13.1.2.2.2" xref="S3.I1.i1.p1.13.m13.1.2.2.2.cmml"><msub id="S3.I1.i1.p1.13.m13.1.2.2.2.2" xref="S3.I1.i1.p1.13.m13.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p1.13.m13.1.2.2.2.2.2" xref="S3.I1.i1.p1.13.m13.1.2.2.2.2.2.cmml">v</mi><mi id="S3.I1.i1.p1.13.m13.1.2.2.2.2.3" xref="S3.I1.i1.p1.13.m13.1.2.2.2.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.I1.i1.p1.13.m13.1.2.2.2.1" xref="S3.I1.i1.p1.13.m13.1.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I1.i1.p1.13.m13.1.2.2.2.3.2" xref="S3.I1.i1.p1.13.m13.1.2.2.2.cmml"><mo id="S3.I1.i1.p1.13.m13.1.2.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.I1.i1.p1.13.m13.1.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S3.I1.i1.p1.13.m13.1.1" xref="S3.I1.i1.p1.13.m13.1.1.cmml">x</mi><mo id="S3.I1.i1.p1.13.m13.1.2.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.I1.i1.p1.13.m13.1.2.2.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.I1.i1.p1.13.m13.1.2.2.2.1a" lspace="0em" xref="S3.I1.i1.p1.13.m13.1.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I1.i1.p1.13.m13.1.2.2.2.4" xref="S3.I1.i1.p1.13.m13.1.2.2.2.4.cmml"><mo id="S3.I1.i1.p1.13.m13.1.2.2.2.4.1" rspace="0em" xref="S3.I1.i1.p1.13.m13.1.2.2.2.4.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S3.I1.i1.p1.13.m13.1.2.2.2.4.2" xref="S3.I1.i1.p1.13.m13.1.2.2.2.4.2.cmml">x</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.I1.i1.p1.13.m13.1.2.1" xref="S3.I1.i1.p1.13.m13.1.2.1.cmml">=</mo><mn id="S3.I1.i1.p1.13.m13.1.2.3" xref="S3.I1.i1.p1.13.m13.1.2.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I1.i1.p1.13.m13.1b"><apply id="S3.I1.i1.p1.13.m13.1.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.13.m13.1.2"><eq id="S3.I1.i1.p1.13.m13.1.2.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.13.m13.1.2.1"></eq><apply id="S3.I1.i1.p1.13.m13.1.2.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.13.m13.1.2.2"><apply id="S3.I1.i1.p1.13.m13.1.2.2.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.13.m13.1.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p1.13.m13.1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.13.m13.1.2.2.1">subscript</csymbol><int id="S3.I1.i1.p1.13.m13.1.2.2.1.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.13.m13.1.2.2.1.2"></int><ci id="S3.I1.i1.p1.13.m13.1.2.2.1.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.13.m13.1.2.2.1.3">Ω</ci></apply><apply id="S3.I1.i1.p1.13.m13.1.2.2.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.13.m13.1.2.2.2"><times id="S3.I1.i1.p1.13.m13.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.13.m13.1.2.2.2.1"></times><apply id="S3.I1.i1.p1.13.m13.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.13.m13.1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p1.13.m13.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.13.m13.1.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.i1.p1.13.m13.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.13.m13.1.2.2.2.2.2">𝑣</ci><ci id="S3.I1.i1.p1.13.m13.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.13.m13.1.2.2.2.2.3">𝑘</ci></apply><ci id="S3.I1.i1.p1.13.m13.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.13.m13.1.1">𝑥</ci><apply id="S3.I1.i1.p1.13.m13.1.2.2.2.4.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.13.m13.1.2.2.2.4"><csymbol cd="latexml" id="S3.I1.i1.p1.13.m13.1.2.2.2.4.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.13.m13.1.2.2.2.4.1">differential-d</csymbol><ci id="S3.I1.i1.p1.13.m13.1.2.2.2.4.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.13.m13.1.2.2.2.4.2">𝑥</ci></apply></apply></apply><cn id="S3.I1.i1.p1.13.m13.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.I1.i1.p1.13.m13.1.2.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I1.i1.p1.13.m13.1c">\int_{\Omega}v_{k}(x)dx=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I1.i1.p1.13.m13.1d">∫ start_POSTSUBSCRIPT roman_Ω end_POSTSUBSCRIPT italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x ) italic_d italic_x = 0</annotation></semantics></math>. Therefore, we deduce <math alttext="\int_{\Omega}fdx=\int_{\Omega}u_{k}dx" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.i1.p1.14.m14.1"><semantics id="S3.I1.i1.p1.14.m14.1a"><mrow id="S3.I1.i1.p1.14.m14.1.1" xref="S3.I1.i1.p1.14.m14.1.1.cmml"><mrow id="S3.I1.i1.p1.14.m14.1.1.2" xref="S3.I1.i1.p1.14.m14.1.1.2.cmml"><msub id="S3.I1.i1.p1.14.m14.1.1.2.1" xref="S3.I1.i1.p1.14.m14.1.1.2.1.cmml"><mo id="S3.I1.i1.p1.14.m14.1.1.2.1.2" xref="S3.I1.i1.p1.14.m14.1.1.2.1.2.cmml">∫</mo><mi id="S3.I1.i1.p1.14.m14.1.1.2.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.I1.i1.p1.14.m14.1.1.2.1.3.cmml">Ω</mi></msub><mrow id="S3.I1.i1.p1.14.m14.1.1.2.2" xref="S3.I1.i1.p1.14.m14.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p1.14.m14.1.1.2.2.2" xref="S3.I1.i1.p1.14.m14.1.1.2.2.2.cmml">f</mi><mo id="S3.I1.i1.p1.14.m14.1.1.2.2.1" lspace="0em" xref="S3.I1.i1.p1.14.m14.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I1.i1.p1.14.m14.1.1.2.2.3" xref="S3.I1.i1.p1.14.m14.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="S3.I1.i1.p1.14.m14.1.1.2.2.3.1" rspace="0em" xref="S3.I1.i1.p1.14.m14.1.1.2.2.3.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S3.I1.i1.p1.14.m14.1.1.2.2.3.2" xref="S3.I1.i1.p1.14.m14.1.1.2.2.3.2.cmml">x</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.I1.i1.p1.14.m14.1.1.1" rspace="0.111em" xref="S3.I1.i1.p1.14.m14.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.I1.i1.p1.14.m14.1.1.3" xref="S3.I1.i1.p1.14.m14.1.1.3.cmml"><msub id="S3.I1.i1.p1.14.m14.1.1.3.1" xref="S3.I1.i1.p1.14.m14.1.1.3.1.cmml"><mo id="S3.I1.i1.p1.14.m14.1.1.3.1.2" xref="S3.I1.i1.p1.14.m14.1.1.3.1.2.cmml">∫</mo><mi id="S3.I1.i1.p1.14.m14.1.1.3.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.I1.i1.p1.14.m14.1.1.3.1.3.cmml">Ω</mi></msub><mrow id="S3.I1.i1.p1.14.m14.1.1.3.2" xref="S3.I1.i1.p1.14.m14.1.1.3.2.cmml"><msub id="S3.I1.i1.p1.14.m14.1.1.3.2.2" xref="S3.I1.i1.p1.14.m14.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p1.14.m14.1.1.3.2.2.2" xref="S3.I1.i1.p1.14.m14.1.1.3.2.2.2.cmml">u</mi><mi id="S3.I1.i1.p1.14.m14.1.1.3.2.2.3" xref="S3.I1.i1.p1.14.m14.1.1.3.2.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.I1.i1.p1.14.m14.1.1.3.2.1" lspace="0em" xref="S3.I1.i1.p1.14.m14.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I1.i1.p1.14.m14.1.1.3.2.3" xref="S3.I1.i1.p1.14.m14.1.1.3.2.3.cmml"><mo id="S3.I1.i1.p1.14.m14.1.1.3.2.3.1" rspace="0em" xref="S3.I1.i1.p1.14.m14.1.1.3.2.3.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S3.I1.i1.p1.14.m14.1.1.3.2.3.2" xref="S3.I1.i1.p1.14.m14.1.1.3.2.3.2.cmml">x</mi></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I1.i1.p1.14.m14.1b"><apply id="S3.I1.i1.p1.14.m14.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.14.m14.1.1"><eq id="S3.I1.i1.p1.14.m14.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.14.m14.1.1.1"></eq><apply id="S3.I1.i1.p1.14.m14.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.14.m14.1.1.2"><apply id="S3.I1.i1.p1.14.m14.1.1.2.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.14.m14.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p1.14.m14.1.1.2.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.14.m14.1.1.2.1">subscript</csymbol><int id="S3.I1.i1.p1.14.m14.1.1.2.1.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.14.m14.1.1.2.1.2"></int><ci id="S3.I1.i1.p1.14.m14.1.1.2.1.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.14.m14.1.1.2.1.3">Ω</ci></apply><apply id="S3.I1.i1.p1.14.m14.1.1.2.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.14.m14.1.1.2.2"><times id="S3.I1.i1.p1.14.m14.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.14.m14.1.1.2.2.1"></times><ci id="S3.I1.i1.p1.14.m14.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.14.m14.1.1.2.2.2">𝑓</ci><apply id="S3.I1.i1.p1.14.m14.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.14.m14.1.1.2.2.3"><csymbol cd="latexml" id="S3.I1.i1.p1.14.m14.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.14.m14.1.1.2.2.3.1">differential-d</csymbol><ci id="S3.I1.i1.p1.14.m14.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.14.m14.1.1.2.2.3.2">𝑥</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.I1.i1.p1.14.m14.1.1.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.14.m14.1.1.3"><apply id="S3.I1.i1.p1.14.m14.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.14.m14.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p1.14.m14.1.1.3.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.14.m14.1.1.3.1">subscript</csymbol><int id="S3.I1.i1.p1.14.m14.1.1.3.1.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.14.m14.1.1.3.1.2"></int><ci id="S3.I1.i1.p1.14.m14.1.1.3.1.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.14.m14.1.1.3.1.3">Ω</ci></apply><apply id="S3.I1.i1.p1.14.m14.1.1.3.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.14.m14.1.1.3.2"><times id="S3.I1.i1.p1.14.m14.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.14.m14.1.1.3.2.1"></times><apply id="S3.I1.i1.p1.14.m14.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.14.m14.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p1.14.m14.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.14.m14.1.1.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.i1.p1.14.m14.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.14.m14.1.1.3.2.2.2">𝑢</ci><ci id="S3.I1.i1.p1.14.m14.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.14.m14.1.1.3.2.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S3.I1.i1.p1.14.m14.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.14.m14.1.1.3.2.3"><csymbol cd="latexml" id="S3.I1.i1.p1.14.m14.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.14.m14.1.1.3.2.3.1">differential-d</csymbol><ci id="S3.I1.i1.p1.14.m14.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.14.m14.1.1.3.2.3.2">𝑥</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I1.i1.p1.14.m14.1c">\int_{\Omega}fdx=\int_{\Omega}u_{k}dx</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I1.i1.p1.14.m14.1d">∫ start_POSTSUBSCRIPT roman_Ω end_POSTSUBSCRIPT italic_f italic_d italic_x = ∫ start_POSTSUBSCRIPT roman_Ω end_POSTSUBSCRIPT italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT italic_d italic_x</annotation></semantics></math>. There is <math alttext="0<C<\infty" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.i1.p1.15.m15.1"><semantics id="S3.I1.i1.p1.15.m15.1a"><mrow id="S3.I1.i1.p1.15.m15.1.1" xref="S3.I1.i1.p1.15.m15.1.1.cmml"><mn id="S3.I1.i1.p1.15.m15.1.1.2" xref="S3.I1.i1.p1.15.m15.1.1.2.cmml">0</mn><mo id="S3.I1.i1.p1.15.m15.1.1.3" xref="S3.I1.i1.p1.15.m15.1.1.3.cmml"><</mo><mi id="S3.I1.i1.p1.15.m15.1.1.4" xref="S3.I1.i1.p1.15.m15.1.1.4.cmml">C</mi><mo id="S3.I1.i1.p1.15.m15.1.1.5" xref="S3.I1.i1.p1.15.m15.1.1.5.cmml"><</mo><mi id="S3.I1.i1.p1.15.m15.1.1.6" mathvariant="normal" xref="S3.I1.i1.p1.15.m15.1.1.6.cmml">∞</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I1.i1.p1.15.m15.1b"><apply id="S3.I1.i1.p1.15.m15.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.15.m15.1.1"><and id="S3.I1.i1.p1.15.m15.1.1a.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.15.m15.1.1"></and><apply id="S3.I1.i1.p1.15.m15.1.1b.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.15.m15.1.1"><lt id="S3.I1.i1.p1.15.m15.1.1.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.15.m15.1.1.3"></lt><cn id="S3.I1.i1.p1.15.m15.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S3.I1.i1.p1.15.m15.1.1.2">0</cn><ci id="S3.I1.i1.p1.15.m15.1.1.4.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.15.m15.1.1.4">𝐶</ci></apply><apply id="S3.I1.i1.p1.15.m15.1.1c.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.15.m15.1.1"><lt id="S3.I1.i1.p1.15.m15.1.1.5.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.15.m15.1.1.5"></lt><share href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S3.I1.i1.p1.15.m15.1.1.4.cmml" id="S3.I1.i1.p1.15.m15.1.1d.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.15.m15.1.1"></share><infinity id="S3.I1.i1.p1.15.m15.1.1.6.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.15.m15.1.1.6"></infinity></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I1.i1.p1.15.m15.1c">0<C<\infty</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I1.i1.p1.15.m15.1d">0 < italic_C < ∞</annotation></semantics></math> such that the following uniform bounds hold, for all <math alttext="k" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.i1.p1.16.m16.1"><semantics id="S3.I1.i1.p1.16.m16.1a"><mi id="S3.I1.i1.p1.16.m16.1.1" xref="S3.I1.i1.p1.16.m16.1.1.cmml">k</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I1.i1.p1.16.m16.1b"><ci id="S3.I1.i1.p1.16.m16.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.16.m16.1.1">𝑘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I1.i1.p1.16.m16.1c">k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I1.i1.p1.16.m16.1d">italic_k</annotation></semantics></math>,</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_eqnarray ltx_eqn_table" id="Sx1.EGx2"> <tbody id="S3.E32"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\int_{\Omega}|\nabla u|\leq C," class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E32.m1.1"><semantics id="S3.E32.m1.1a"><mrow id="S3.E32.m1.1.1.1" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E32.m1.1.1.1.1" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E32.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.2a" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">∫</mo><mi id="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.2.3" mathvariant="normal" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">Ω</mi></msub></mstyle><mrow id="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" rspace="0.167em" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">∇</mo><mi id="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">u</mi></mrow><mo id="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E32.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.2.cmml">≤</mo><mi id="S3.E32.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.cmml">C</mi></mrow><mo id="S3.E32.m1.1.1.1.2" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E32.m1.1b"><apply id="S3.E32.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E32.m1.1.1.1"><leq id="S3.E32.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.2"></leq><apply id="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.1"><apply id="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><int id="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.2.2"></int><ci id="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.2.3">Ω</ci></apply><apply id="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.1.1"><abs id="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.1.1.2"></abs><apply id="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><ci id="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">∇</ci><ci id="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑢</ci></apply></apply></apply><ci id="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.3">𝐶</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E32.m1.1c">\displaystyle\int_{\Omega}|\nabla u|\leq C,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E32.m1.1d">∫ start_POSTSUBSCRIPT roman_Ω end_POSTSUBSCRIPT | ∇ italic_u | ≤ italic_C ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(32)</span></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.E33"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\frac{\alpha}{2}\int_{\Omega}|f-u_{k}-v_{k}|^{2}\leq C," class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E33.m1.1"><semantics id="S3.E33.m1.1a"><mrow id="S3.E33.m1.1.1.1" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E33.m1.1.1.1.1" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E33.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.3a" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">α</mi><mn id="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">∫</mo><mi id="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" mathvariant="normal" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">Ω</mi></msub></mstyle><msup id="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">f</mi><mo id="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">u</mi><mi id="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">v</mi><mi id="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">k</mi></msub></mrow><mo id="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mn id="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><mo id="S3.E33.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.2.cmml">≤</mo><mi id="S3.E33.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.3.cmml">C</mi></mrow><mo id="S3.E33.m1.1.1.1.2" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E33.m1.1b"><apply id="S3.E33.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E33.m1.1.1.1"><leq id="S3.E33.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.2"></leq><apply id="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.1"><times id="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.3"><divide id="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.3"></divide><ci id="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.3.2">𝛼</ci><cn id="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1"><apply id="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><int id="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.2.2"></int><ci id="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.2.3">Ω</ci></apply><apply id="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><abs id="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></abs><apply id="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑓</ci><apply id="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑢</ci><ci id="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply><apply id="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2">𝑣</ci><ci id="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3">𝑘</ci></apply></apply></apply><cn id="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply><ci id="S3.E33.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.3">𝐶</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E33.m1.1c">\displaystyle\frac{\alpha}{2}\int_{\Omega}|f-u_{k}-v_{k}|^{2}\leq C,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E33.m1.1d">divide start_ARG italic_α end_ARG start_ARG 2 end_ARG ∫ start_POSTSUBSCRIPT roman_Ω end_POSTSUBSCRIPT | italic_f - italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT - italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT | start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ≤ italic_C ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(33)</span></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.E34"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\|v\|_{\mathrm{Lip}^{*}}\mathbf{I}_{v\in H}\leq C." class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E34.m1.2"><semantics id="S3.E34.m1.2a"><mrow id="S3.E34.m1.2.2.1" xref="S3.E34.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S3.E34.m1.2.2.1.1" xref="S3.E34.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S3.E34.m1.2.2.1.1.2" xref="S3.E34.m1.2.2.1.1.2.cmml"><msub id="S3.E34.m1.2.2.1.1.2.2" xref="S3.E34.m1.2.2.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S3.E34.m1.2.2.1.1.2.2.2.2" xref="S3.E34.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.cmml"><mo id="S3.E34.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.1" stretchy="false" xref="S3.E34.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S3.E34.m1.1.1" xref="S3.E34.m1.1.1.cmml">v</mi><mo id="S3.E34.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S3.E34.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.cmml">‖</mo></mrow><msup id="S3.E34.m1.2.2.1.1.2.2.3" xref="S3.E34.m1.2.2.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E34.m1.2.2.1.1.2.2.3.2" xref="S3.E34.m1.2.2.1.1.2.2.3.2.cmml">Lip</mi><mo id="S3.E34.m1.2.2.1.1.2.2.3.3" xref="S3.E34.m1.2.2.1.1.2.2.3.3.cmml">∗</mo></msup></msub><mo id="S3.E34.m1.2.2.1.1.2.1" xref="S3.E34.m1.2.2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E34.m1.2.2.1.1.2.3" xref="S3.E34.m1.2.2.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.E34.m1.2.2.1.1.2.3.2" xref="S3.E34.m1.2.2.1.1.2.3.2.cmml">𝐈</mi><mrow id="S3.E34.m1.2.2.1.1.2.3.3" xref="S3.E34.m1.2.2.1.1.2.3.3.cmml"><mi id="S3.E34.m1.2.2.1.1.2.3.3.2" xref="S3.E34.m1.2.2.1.1.2.3.3.2.cmml">v</mi><mo id="S3.E34.m1.2.2.1.1.2.3.3.1" xref="S3.E34.m1.2.2.1.1.2.3.3.1.cmml">∈</mo><mi id="S3.E34.m1.2.2.1.1.2.3.3.3" xref="S3.E34.m1.2.2.1.1.2.3.3.3.cmml">H</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S3.E34.m1.2.2.1.1.1" xref="S3.E34.m1.2.2.1.1.1.cmml">≤</mo><mi id="S3.E34.m1.2.2.1.1.3" xref="S3.E34.m1.2.2.1.1.3.cmml">C</mi></mrow><mo id="S3.E34.m1.2.2.1.2" lspace="0em" xref="S3.E34.m1.2.2.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E34.m1.2b"><apply id="S3.E34.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.E34.m1.2.2.1"><leq id="S3.E34.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.E34.m1.2.2.1.1.1"></leq><apply id="S3.E34.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.E34.m1.2.2.1.1.2"><times id="S3.E34.m1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E34.m1.2.2.1.1.2.1"></times><apply id="S3.E34.m1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E34.m1.2.2.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E34.m1.2.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E34.m1.2.2.1.1.2.2">subscript</csymbol><apply id="S3.E34.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E34.m1.2.2.1.1.2.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.E34.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.E34.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.1">norm</csymbol><ci id="S3.E34.m1.1.1.cmml" xref="S3.E34.m1.1.1">𝑣</ci></apply><apply id="S3.E34.m1.2.2.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.E34.m1.2.2.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E34.m1.2.2.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.E34.m1.2.2.1.1.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E34.m1.2.2.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.E34.m1.2.2.1.1.2.2.3.2">Lip</ci><times id="S3.E34.m1.2.2.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S3.E34.m1.2.2.1.1.2.2.3.3"></times></apply></apply><apply id="S3.E34.m1.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E34.m1.2.2.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E34.m1.2.2.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.E34.m1.2.2.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E34.m1.2.2.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.E34.m1.2.2.1.1.2.3.2">𝐈</ci><apply id="S3.E34.m1.2.2.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.E34.m1.2.2.1.1.2.3.3"><in id="S3.E34.m1.2.2.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S3.E34.m1.2.2.1.1.2.3.3.1"></in><ci id="S3.E34.m1.2.2.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="S3.E34.m1.2.2.1.1.2.3.3.2">𝑣</ci><ci id="S3.E34.m1.2.2.1.1.2.3.3.3.cmml" xref="S3.E34.m1.2.2.1.1.2.3.3.3">𝐻</ci></apply></apply></apply><ci id="S3.E34.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.E34.m1.2.2.1.1.3">𝐶</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E34.m1.2c">\displaystyle\|v\|_{\mathrm{Lip}^{*}}\mathbf{I}_{v\in H}\leq C.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E34.m1.2d">∥ italic_v ∥ start_POSTSUBSCRIPT roman_Lip start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT bold_I start_POSTSUBSCRIPT italic_v ∈ italic_H end_POSTSUBSCRIPT ≤ italic_C .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(34)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.I1.i1.p1.25">By the Poincaré inequality,</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E35"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\|u_{k}-\frac{1}{|\Omega|}\int_{\Omega}u_{k}\|_{L^{2}}\leq C\int_{\Omega}|% \nabla u|," class="ltx_Math" display="block" id="S3.E35.m1.2"><semantics id="S3.E35.m1.2a"><mrow id="S3.E35.m1.2.2.1" xref="S3.E35.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S3.E35.m1.2.2.1.1" xref="S3.E35.m1.2.2.1.1.cmml"><msub id="S3.E35.m1.2.2.1.1.1" xref="S3.E35.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E35.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.E35.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E35.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E35.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S3.E35.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E35.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E35.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E35.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E35.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E35.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">u</mi><mi id="S3.E35.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E35.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.E35.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E35.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.E35.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E35.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S3.E35.m1.1.1" xref="S3.E35.m1.1.1.cmml"><mn id="S3.E35.m1.1.1.3" xref="S3.E35.m1.1.1.3.cmml">1</mn><mrow id="S3.E35.m1.1.1.1.3" xref="S3.E35.m1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E35.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.E35.m1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mi id="S3.E35.m1.1.1.1.1" mathvariant="normal" xref="S3.E35.m1.1.1.1.1.cmml">Ω</mi><mo id="S3.E35.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.E35.m1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mfrac><mo id="S3.E35.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.E35.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E35.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E35.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><msub id="S3.E35.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S3.E35.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml"><mo id="S3.E35.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.1.2" xref="S3.E35.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.1.2.cmml">∫</mo><mi id="S3.E35.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.E35.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.1.3.cmml">Ω</mi></msub><msub id="S3.E35.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.E35.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S3.E35.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S3.E35.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">u</mi><mi id="S3.E35.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S3.E35.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">k</mi></msub></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E35.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E35.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><msup id="S3.E35.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S3.E35.m1.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E35.m1.2.2.1.1.1.3.2" xref="S3.E35.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml">L</mi><mn id="S3.E35.m1.2.2.1.1.1.3.3" xref="S3.E35.m1.2.2.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup></msub><mo id="S3.E35.m1.2.2.1.1.3" xref="S3.E35.m1.2.2.1.1.3.cmml">≤</mo><mrow id="S3.E35.m1.2.2.1.1.2" xref="S3.E35.m1.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E35.m1.2.2.1.1.2.3" xref="S3.E35.m1.2.2.1.1.2.3.cmml">C</mi><mo id="S3.E35.m1.2.2.1.1.2.2" xref="S3.E35.m1.2.2.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E35.m1.2.2.1.1.2.1" xref="S3.E35.m1.2.2.1.1.2.1.cmml"><msub id="S3.E35.m1.2.2.1.1.2.1.2" xref="S3.E35.m1.2.2.1.1.2.1.2.cmml"><mo id="S3.E35.m1.2.2.1.1.2.1.2.2" rspace="0em" xref="S3.E35.m1.2.2.1.1.2.1.2.2.cmml">∫</mo><mi id="S3.E35.m1.2.2.1.1.2.1.2.3" mathvariant="normal" xref="S3.E35.m1.2.2.1.1.2.1.2.3.cmml">Ω</mi></msub><mrow id="S3.E35.m1.2.2.1.1.2.1.1.1" xref="S3.E35.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E35.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E35.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S3.E35.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1" xref="S3.E35.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E35.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1" rspace="0.167em" xref="S3.E35.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">∇</mo><mi id="S3.E35.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2" xref="S3.E35.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml">u</mi></mrow><mo id="S3.E35.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E35.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E35.m1.2.2.1.2" xref="S3.E35.m1.2.2.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E35.m1.2b"><apply id="S3.E35.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.E35.m1.2.2.1"><leq id="S3.E35.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.E35.m1.2.2.1.1.3"></leq><apply id="S3.E35.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.E35.m1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E35.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E35.m1.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.E35.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E35.m1.2.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.E35.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E35.m1.2.2.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S3.E35.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E35.m1.2.2.1.1.1.1.1.1"><minus id="S3.E35.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E35.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S3.E35.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E35.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E35.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E35.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E35.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E35.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑢</ci><ci id="S3.E35.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E35.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S3.E35.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E35.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S3.E35.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E35.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S3.E35.m1.1.1.cmml" xref="S3.E35.m1.1.1"><divide id="S3.E35.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.E35.m1.1.1"></divide><cn id="S3.E35.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E35.m1.1.1.3">1</cn><apply id="S3.E35.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E35.m1.1.1.1.3"><abs id="S3.E35.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E35.m1.1.1.1.3.1"></abs><ci id="S3.E35.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E35.m1.1.1.1.1">Ω</ci></apply></apply><apply id="S3.E35.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E35.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2"><apply id="S3.E35.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E35.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E35.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.cmml" xref="S3.E35.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.1">subscript</csymbol><int id="S3.E35.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.1.2.cmml" xref="S3.E35.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.1.2"></int><ci id="S3.E35.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.1.3.cmml" xref="S3.E35.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.1.3">Ω</ci></apply><apply id="S3.E35.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E35.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E35.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S3.E35.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E35.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S3.E35.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2">𝑢</ci><ci id="S3.E35.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S3.E35.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E35.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E35.m1.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E35.m1.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E35.m1.2.2.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E35.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E35.m1.2.2.1.1.1.3.2">𝐿</ci><cn id="S3.E35.m1.2.2.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E35.m1.2.2.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S3.E35.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.E35.m1.2.2.1.1.2"><times id="S3.E35.m1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E35.m1.2.2.1.1.2.2"></times><ci id="S3.E35.m1.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E35.m1.2.2.1.1.2.3">𝐶</ci><apply id="S3.E35.m1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E35.m1.2.2.1.1.2.1"><apply id="S3.E35.m1.2.2.1.1.2.1.2.cmml" xref="S3.E35.m1.2.2.1.1.2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E35.m1.2.2.1.1.2.1.2.1.cmml" xref="S3.E35.m1.2.2.1.1.2.1.2">subscript</csymbol><int id="S3.E35.m1.2.2.1.1.2.1.2.2.cmml" xref="S3.E35.m1.2.2.1.1.2.1.2.2"></int><ci id="S3.E35.m1.2.2.1.1.2.1.2.3.cmml" xref="S3.E35.m1.2.2.1.1.2.1.2.3">Ω</ci></apply><apply id="S3.E35.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S3.E35.m1.2.2.1.1.2.1.1.1"><abs id="S3.E35.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E35.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.2"></abs><apply id="S3.E35.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E35.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1"><ci id="S3.E35.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E35.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1">∇</ci><ci id="S3.E35.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E35.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2">𝑢</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E35.m1.2c">\|u_{k}-\frac{1}{|\Omega|}\int_{\Omega}u_{k}\|_{L^{2}}\leq C\int_{\Omega}|% \nabla u|,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E35.m1.2d">∥ italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG | roman_Ω | end_ARG ∫ start_POSTSUBSCRIPT roman_Ω end_POSTSUBSCRIPT italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUBSCRIPT italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ≤ italic_C ∫ start_POSTSUBSCRIPT roman_Ω end_POSTSUBSCRIPT | ∇ italic_u | ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(35)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.I1.i1.p1.20">where <math alttext="\frac{1}{|\Omega|}\int_{\Omega}u_{k}=\frac{1}{|\Omega|}\int_{\Omega}f" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.i1.p1.17.m1.2"><semantics id="S3.I1.i1.p1.17.m1.2a"><mrow id="S3.I1.i1.p1.17.m1.2.3" xref="S3.I1.i1.p1.17.m1.2.3.cmml"><mrow id="S3.I1.i1.p1.17.m1.2.3.2" xref="S3.I1.i1.p1.17.m1.2.3.2.cmml"><mfrac id="S3.I1.i1.p1.17.m1.1.1" xref="S3.I1.i1.p1.17.m1.1.1.cmml"><mn id="S3.I1.i1.p1.17.m1.1.1.3" xref="S3.I1.i1.p1.17.m1.1.1.3.cmml">1</mn><mrow id="S3.I1.i1.p1.17.m1.1.1.1.3" xref="S3.I1.i1.p1.17.m1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.I1.i1.p1.17.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.I1.i1.p1.17.m1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mi id="S3.I1.i1.p1.17.m1.1.1.1.1" mathvariant="normal" xref="S3.I1.i1.p1.17.m1.1.1.1.1.cmml">Ω</mi><mo id="S3.I1.i1.p1.17.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.I1.i1.p1.17.m1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mfrac><mo id="S3.I1.i1.p1.17.m1.2.3.2.1" xref="S3.I1.i1.p1.17.m1.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I1.i1.p1.17.m1.2.3.2.2" xref="S3.I1.i1.p1.17.m1.2.3.2.2.cmml"><msub id="S3.I1.i1.p1.17.m1.2.3.2.2.1" xref="S3.I1.i1.p1.17.m1.2.3.2.2.1.cmml"><mo id="S3.I1.i1.p1.17.m1.2.3.2.2.1.2" xref="S3.I1.i1.p1.17.m1.2.3.2.2.1.2.cmml">∫</mo><mi id="S3.I1.i1.p1.17.m1.2.3.2.2.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.I1.i1.p1.17.m1.2.3.2.2.1.3.cmml">Ω</mi></msub><msub id="S3.I1.i1.p1.17.m1.2.3.2.2.2" xref="S3.I1.i1.p1.17.m1.2.3.2.2.2.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p1.17.m1.2.3.2.2.2.2" xref="S3.I1.i1.p1.17.m1.2.3.2.2.2.2.cmml">u</mi><mi id="S3.I1.i1.p1.17.m1.2.3.2.2.2.3" xref="S3.I1.i1.p1.17.m1.2.3.2.2.2.3.cmml">k</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S3.I1.i1.p1.17.m1.2.3.1" xref="S3.I1.i1.p1.17.m1.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.I1.i1.p1.17.m1.2.3.3" xref="S3.I1.i1.p1.17.m1.2.3.3.cmml"><mfrac id="S3.I1.i1.p1.17.m1.2.2" xref="S3.I1.i1.p1.17.m1.2.2.cmml"><mn id="S3.I1.i1.p1.17.m1.2.2.3" xref="S3.I1.i1.p1.17.m1.2.2.3.cmml">1</mn><mrow id="S3.I1.i1.p1.17.m1.2.2.1.3" xref="S3.I1.i1.p1.17.m1.2.2.1.2.cmml"><mo id="S3.I1.i1.p1.17.m1.2.2.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.I1.i1.p1.17.m1.2.2.1.2.1.cmml">|</mo><mi id="S3.I1.i1.p1.17.m1.2.2.1.1" mathvariant="normal" xref="S3.I1.i1.p1.17.m1.2.2.1.1.cmml">Ω</mi><mo id="S3.I1.i1.p1.17.m1.2.2.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.I1.i1.p1.17.m1.2.2.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mfrac><mo id="S3.I1.i1.p1.17.m1.2.3.3.1" xref="S3.I1.i1.p1.17.m1.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I1.i1.p1.17.m1.2.3.3.2" xref="S3.I1.i1.p1.17.m1.2.3.3.2.cmml"><msub id="S3.I1.i1.p1.17.m1.2.3.3.2.1" xref="S3.I1.i1.p1.17.m1.2.3.3.2.1.cmml"><mo id="S3.I1.i1.p1.17.m1.2.3.3.2.1.2" xref="S3.I1.i1.p1.17.m1.2.3.3.2.1.2.cmml">∫</mo><mi id="S3.I1.i1.p1.17.m1.2.3.3.2.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.I1.i1.p1.17.m1.2.3.3.2.1.3.cmml">Ω</mi></msub><mi id="S3.I1.i1.p1.17.m1.2.3.3.2.2" xref="S3.I1.i1.p1.17.m1.2.3.3.2.2.cmml">f</mi></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I1.i1.p1.17.m1.2b"><apply id="S3.I1.i1.p1.17.m1.2.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.17.m1.2.3"><eq id="S3.I1.i1.p1.17.m1.2.3.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.17.m1.2.3.1"></eq><apply id="S3.I1.i1.p1.17.m1.2.3.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.17.m1.2.3.2"><times id="S3.I1.i1.p1.17.m1.2.3.2.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.17.m1.2.3.2.1"></times><apply id="S3.I1.i1.p1.17.m1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.17.m1.1.1"><divide id="S3.I1.i1.p1.17.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.17.m1.1.1"></divide><cn id="S3.I1.i1.p1.17.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.I1.i1.p1.17.m1.1.1.3">1</cn><apply id="S3.I1.i1.p1.17.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.17.m1.1.1.1.3"><abs id="S3.I1.i1.p1.17.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.17.m1.1.1.1.3.1"></abs><ci id="S3.I1.i1.p1.17.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.17.m1.1.1.1.1">Ω</ci></apply></apply><apply id="S3.I1.i1.p1.17.m1.2.3.2.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.17.m1.2.3.2.2"><apply id="S3.I1.i1.p1.17.m1.2.3.2.2.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.17.m1.2.3.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p1.17.m1.2.3.2.2.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.17.m1.2.3.2.2.1">subscript</csymbol><int id="S3.I1.i1.p1.17.m1.2.3.2.2.1.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.17.m1.2.3.2.2.1.2"></int><ci id="S3.I1.i1.p1.17.m1.2.3.2.2.1.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.17.m1.2.3.2.2.1.3">Ω</ci></apply><apply id="S3.I1.i1.p1.17.m1.2.3.2.2.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.17.m1.2.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p1.17.m1.2.3.2.2.2.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.17.m1.2.3.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.i1.p1.17.m1.2.3.2.2.2.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.17.m1.2.3.2.2.2.2">𝑢</ci><ci id="S3.I1.i1.p1.17.m1.2.3.2.2.2.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.17.m1.2.3.2.2.2.3">𝑘</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.I1.i1.p1.17.m1.2.3.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.17.m1.2.3.3"><times id="S3.I1.i1.p1.17.m1.2.3.3.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.17.m1.2.3.3.1"></times><apply id="S3.I1.i1.p1.17.m1.2.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.17.m1.2.2"><divide id="S3.I1.i1.p1.17.m1.2.2.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.17.m1.2.2"></divide><cn id="S3.I1.i1.p1.17.m1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.I1.i1.p1.17.m1.2.2.3">1</cn><apply id="S3.I1.i1.p1.17.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.17.m1.2.2.1.3"><abs id="S3.I1.i1.p1.17.m1.2.2.1.2.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.17.m1.2.2.1.3.1"></abs><ci id="S3.I1.i1.p1.17.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.17.m1.2.2.1.1">Ω</ci></apply></apply><apply id="S3.I1.i1.p1.17.m1.2.3.3.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.17.m1.2.3.3.2"><apply id="S3.I1.i1.p1.17.m1.2.3.3.2.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.17.m1.2.3.3.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p1.17.m1.2.3.3.2.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.17.m1.2.3.3.2.1">subscript</csymbol><int id="S3.I1.i1.p1.17.m1.2.3.3.2.1.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.17.m1.2.3.3.2.1.2"></int><ci id="S3.I1.i1.p1.17.m1.2.3.3.2.1.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.17.m1.2.3.3.2.1.3">Ω</ci></apply><ci id="S3.I1.i1.p1.17.m1.2.3.3.2.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.17.m1.2.3.3.2.2">𝑓</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I1.i1.p1.17.m1.2c">\frac{1}{|\Omega|}\int_{\Omega}u_{k}=\frac{1}{|\Omega|}\int_{\Omega}f</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I1.i1.p1.17.m1.2d">divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG | roman_Ω | end_ARG ∫ start_POSTSUBSCRIPT roman_Ω end_POSTSUBSCRIPT italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG | roman_Ω | end_ARG ∫ start_POSTSUBSCRIPT roman_Ω end_POSTSUBSCRIPT italic_f</annotation></semantics></math>, therefore we have <math alttext="u_{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.i1.p1.18.m2.1"><semantics id="S3.I1.i1.p1.18.m2.1a"><msub id="S3.I1.i1.p1.18.m2.1.1" xref="S3.I1.i1.p1.18.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p1.18.m2.1.1.2" xref="S3.I1.i1.p1.18.m2.1.1.2.cmml">u</mi><mi id="S3.I1.i1.p1.18.m2.1.1.3" xref="S3.I1.i1.p1.18.m2.1.1.3.cmml">k</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I1.i1.p1.18.m2.1b"><apply id="S3.I1.i1.p1.18.m2.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.18.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p1.18.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.18.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.i1.p1.18.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.18.m2.1.1.2">𝑢</ci><ci id="S3.I1.i1.p1.18.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.18.m2.1.1.3">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I1.i1.p1.18.m2.1c">u_{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I1.i1.p1.18.m2.1d">italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is uniformly bounded in <math alttext="L^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.i1.p1.19.m3.1"><semantics id="S3.I1.i1.p1.19.m3.1a"><msup id="S3.I1.i1.p1.19.m3.1.1" xref="S3.I1.i1.p1.19.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p1.19.m3.1.1.2" xref="S3.I1.i1.p1.19.m3.1.1.2.cmml">L</mi><mn id="S3.I1.i1.p1.19.m3.1.1.3" xref="S3.I1.i1.p1.19.m3.1.1.3.cmml">2</mn></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I1.i1.p1.19.m3.1b"><apply id="S3.I1.i1.p1.19.m3.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.19.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p1.19.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.19.m3.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.I1.i1.p1.19.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.19.m3.1.1.2">𝐿</ci><cn id="S3.I1.i1.p1.19.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.I1.i1.p1.19.m3.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I1.i1.p1.19.m3.1c">L^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I1.i1.p1.19.m3.1d">italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, and <math alttext="\|u_{k}\|_{L^{1}}\leq C^{\prime}\|u_{k}\|_{L^{2}}\leq C,\quad\forall k" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.i1.p1.20.m4.2"><semantics id="S3.I1.i1.p1.20.m4.2a"><mrow id="S3.I1.i1.p1.20.m4.2.2.2" xref="S3.I1.i1.p1.20.m4.2.2.3.cmml"><mrow id="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1" xref="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.1" xref="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><msub id="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">u</mi><mi id="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><msup id="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.1.3" xref="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.1.3.2.cmml">L</mi><mn id="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></msup></msub><mo id="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.4" xref="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.4.cmml">≤</mo><mrow id="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.2" xref="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.2.cmml"><msup id="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.2.3" xref="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.2.3.2.cmml">C</mi><mo id="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.2.3.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.2.2" xref="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><msub id="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.2.1" xref="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.2.1.cmml"><mrow id="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml"><mo id="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.2.1.1.2.1.cmml">‖</mo><msub id="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.2.1.1.1.1" xref="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2" xref="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml">u</mi><mi id="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3" xref="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.2.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><msup id="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.2.1.3" xref="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.2.1.3.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.2.1.3.2" xref="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.2.1.3.2.cmml">L</mi><mn id="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.2.1.3.3" xref="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.2.1.3.3.cmml">2</mn></msup></msub></mrow><mo id="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.5" xref="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.5.cmml">≤</mo><mi id="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.6" xref="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.6.cmml">C</mi></mrow><mo id="S3.I1.i1.p1.20.m4.2.2.2.3" rspace="1.167em" xref="S3.I1.i1.p1.20.m4.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.I1.i1.p1.20.m4.2.2.2.2" xref="S3.I1.i1.p1.20.m4.2.2.2.2.cmml"><mo id="S3.I1.i1.p1.20.m4.2.2.2.2.1" rspace="0.167em" xref="S3.I1.i1.p1.20.m4.2.2.2.2.1.cmml">∀</mo><mi id="S3.I1.i1.p1.20.m4.2.2.2.2.2" xref="S3.I1.i1.p1.20.m4.2.2.2.2.2.cmml">k</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I1.i1.p1.20.m4.2b"><apply id="S3.I1.i1.p1.20.m4.2.2.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.20.m4.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p1.20.m4.2.2.3a.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.20.m4.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1"><and id="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1a.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1"></and><apply id="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1b.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1"><leq id="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.4"></leq><apply id="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑢</ci><ci id="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.1.3.2">𝐿</ci><cn id="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.2"><times id="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.2.2"></times><apply id="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.2.3.2">𝐶</ci><ci id="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.2.3.3">′</ci></apply><apply id="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.2.1">subscript</csymbol><apply id="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.2.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.2.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2">𝑢</ci><ci id="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.2.1.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.2.1.3.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.2.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.2.1.3.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.2.1.3.2">𝐿</ci><cn id="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.2.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.2.1.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1c.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1"><leq id="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.5.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.2.cmml" id="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1d.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1"></share><ci id="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.6.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.20.m4.1.1.1.1.6">𝐶</ci></apply></apply><apply id="S3.I1.i1.p1.20.m4.2.2.2.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.20.m4.2.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.I1.i1.p1.20.m4.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.20.m4.2.2.2.2.1">for-all</csymbol><ci id="S3.I1.i1.p1.20.m4.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.20.m4.2.2.2.2.2">𝑘</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I1.i1.p1.20.m4.2c">\|u_{k}\|_{L^{1}}\leq C^{\prime}\|u_{k}\|_{L^{2}}\leq C,\quad\forall k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I1.i1.p1.20.m4.2d">∥ italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUBSCRIPT italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ≤ italic_C start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ∥ italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUBSCRIPT italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ≤ italic_C , ∀ italic_k</annotation></semantics></math>. This implies that</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E36"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\|u_{k}\|_{BV}=\|u_{k}\|_{L^{1}}+\int_{\Omega}|\nabla u_{k}|\leq C,\quad% \forall k," class="ltx_Math" display="block" id="S3.E36.m1.1"><semantics id="S3.E36.m1.1a"><mrow id="S3.E36.m1.1.1.1"><mrow id="S3.E36.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><msub id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">u</mi><mi id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mrow id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">B</mi><mo id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">V</mi></mrow></msub><mo id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.5" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.5.cmml">=</mo><mrow id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml"><mrow id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.1.cmml">‖</mo><msub id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml">u</mi><mi id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><msup id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.cmml"><mi id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.2" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.2.cmml">L</mi><mn id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.3" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.3.cmml">1</mn></msup></msub><mo id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" rspace="0.055em" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">+</mo><mrow id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><msub id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mo id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" rspace="0em" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">∫</mo><mi id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3" mathvariant="normal" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">Ω</mi></msub><mrow id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.2.cmml"><mo id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1" rspace="0.167em" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.cmml">∇</mo><msub id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.2" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.2.2" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.2.2.cmml">u</mi><mi id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.2.3" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.2.3.cmml">k</mi></msub></mrow><mo id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.6" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.6.cmml">≤</mo><mi id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.7" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.7.cmml">C</mi></mrow><mo id="S3.E36.m1.1.1.1.1.2.3" rspace="1.167em" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.E36.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mo id="S3.E36.m1.1.1.1.1.2.2.1" rspace="0.167em" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">∀</mo><mi id="S3.E36.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">k</mi></mrow></mrow><mo id="S3.E36.m1.1.1.1.2">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E36.m1.1b"><apply id="S3.E36.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E36.m1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1"><and id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1a.cmml" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1"></and><apply id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1b.cmml" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1"><eq id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.5"></eq><apply id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑢</ci><ci id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝐵</ci><ci id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑉</ci></apply></apply><apply id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.3"><plus id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.3.3"></plus><apply id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.2.1">subscript</csymbol><apply id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2">𝑢</ci><ci id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.cmml" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.1.cmml" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.2.cmml" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.2">𝐿</ci><cn id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.3.2"><apply id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">subscript</csymbol><int id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2"></int><ci id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3">Ω</ci></apply><apply id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.2.cmml" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1"><abs id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.2.1.cmml" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.2"></abs><apply id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.cmml" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1"><ci id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1">∇</ci><apply id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.2.2">𝑢</ci><ci id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.2.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1c.cmml" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1"><leq id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.6.cmml" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.6"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1d.cmml" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1"></share><ci id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.7.cmml" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.7">𝐶</ci></apply></apply><apply id="S3.E36.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.E36.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.2.2.1">for-all</csymbol><ci id="S3.E36.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.2.2.2">𝑘</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E36.m1.1c">\|u_{k}\|_{BV}=\|u_{k}\|_{L^{1}}+\int_{\Omega}|\nabla u_{k}|\leq C,\quad% \forall k,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E36.m1.1d">∥ italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUBSCRIPT italic_B italic_V end_POSTSUBSCRIPT = ∥ italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUBSCRIPT italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT + ∫ start_POSTSUBSCRIPT roman_Ω end_POSTSUBSCRIPT | ∇ italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT | ≤ italic_C , ∀ italic_k ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(36)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.I1.i1.p1.24">which means that there exists a function <math alttext="u\in BV(\Omega)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.i1.p1.21.m1.1"><semantics id="S3.I1.i1.p1.21.m1.1a"><mrow id="S3.I1.i1.p1.21.m1.1.2" xref="S3.I1.i1.p1.21.m1.1.2.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p1.21.m1.1.2.2" xref="S3.I1.i1.p1.21.m1.1.2.2.cmml">u</mi><mo id="S3.I1.i1.p1.21.m1.1.2.1" xref="S3.I1.i1.p1.21.m1.1.2.1.cmml">∈</mo><mrow id="S3.I1.i1.p1.21.m1.1.2.3" xref="S3.I1.i1.p1.21.m1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p1.21.m1.1.2.3.2" xref="S3.I1.i1.p1.21.m1.1.2.3.2.cmml">B</mi><mo id="S3.I1.i1.p1.21.m1.1.2.3.1" xref="S3.I1.i1.p1.21.m1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.I1.i1.p1.21.m1.1.2.3.3" xref="S3.I1.i1.p1.21.m1.1.2.3.3.cmml">V</mi><mo id="S3.I1.i1.p1.21.m1.1.2.3.1a" xref="S3.I1.i1.p1.21.m1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I1.i1.p1.21.m1.1.2.3.4.2" xref="S3.I1.i1.p1.21.m1.1.2.3.cmml"><mo id="S3.I1.i1.p1.21.m1.1.2.3.4.2.1" stretchy="false" xref="S3.I1.i1.p1.21.m1.1.2.3.cmml">(</mo><mi id="S3.I1.i1.p1.21.m1.1.1" mathvariant="normal" xref="S3.I1.i1.p1.21.m1.1.1.cmml">Ω</mi><mo id="S3.I1.i1.p1.21.m1.1.2.3.4.2.2" stretchy="false" xref="S3.I1.i1.p1.21.m1.1.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I1.i1.p1.21.m1.1b"><apply id="S3.I1.i1.p1.21.m1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.21.m1.1.2"><in id="S3.I1.i1.p1.21.m1.1.2.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.21.m1.1.2.1"></in><ci id="S3.I1.i1.p1.21.m1.1.2.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.21.m1.1.2.2">𝑢</ci><apply id="S3.I1.i1.p1.21.m1.1.2.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.21.m1.1.2.3"><times id="S3.I1.i1.p1.21.m1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.21.m1.1.2.3.1"></times><ci id="S3.I1.i1.p1.21.m1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.21.m1.1.2.3.2">𝐵</ci><ci id="S3.I1.i1.p1.21.m1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.21.m1.1.2.3.3">𝑉</ci><ci id="S3.I1.i1.p1.21.m1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.21.m1.1.1">Ω</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I1.i1.p1.21.m1.1c">u\in BV(\Omega)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I1.i1.p1.21.m1.1d">italic_u ∈ italic_B italic_V ( roman_Ω )</annotation></semantics></math> such that there exists a subsequence, denoted <math alttext="u_{n_{k}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.i1.p1.22.m2.1"><semantics id="S3.I1.i1.p1.22.m2.1a"><msub id="S3.I1.i1.p1.22.m2.1.1" xref="S3.I1.i1.p1.22.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p1.22.m2.1.1.2" xref="S3.I1.i1.p1.22.m2.1.1.2.cmml">u</mi><msub id="S3.I1.i1.p1.22.m2.1.1.3" xref="S3.I1.i1.p1.22.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p1.22.m2.1.1.3.2" xref="S3.I1.i1.p1.22.m2.1.1.3.2.cmml">n</mi><mi id="S3.I1.i1.p1.22.m2.1.1.3.3" xref="S3.I1.i1.p1.22.m2.1.1.3.3.cmml">k</mi></msub></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I1.i1.p1.22.m2.1b"><apply id="S3.I1.i1.p1.22.m2.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.22.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p1.22.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.22.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.i1.p1.22.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.22.m2.1.1.2">𝑢</ci><apply id="S3.I1.i1.p1.22.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.22.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p1.22.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.22.m2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.i1.p1.22.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.22.m2.1.1.3.2">𝑛</ci><ci id="S3.I1.i1.p1.22.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.22.m2.1.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I1.i1.p1.22.m2.1c">u_{n_{k}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I1.i1.p1.22.m2.1d">italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_n start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, converges to <math alttext="u" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.i1.p1.23.m3.1"><semantics id="S3.I1.i1.p1.23.m3.1a"><mi id="S3.I1.i1.p1.23.m3.1.1" xref="S3.I1.i1.p1.23.m3.1.1.cmml">u</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I1.i1.p1.23.m3.1b"><ci id="S3.I1.i1.p1.23.m3.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.23.m3.1.1">𝑢</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I1.i1.p1.23.m3.1c">u</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I1.i1.p1.23.m3.1d">italic_u</annotation></semantics></math> strongly in <math alttext="L^{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.i1.p1.24.m4.1"><semantics id="S3.I1.i1.p1.24.m4.1a"><msup id="S3.I1.i1.p1.24.m4.1.1" xref="S3.I1.i1.p1.24.m4.1.1.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p1.24.m4.1.1.2" xref="S3.I1.i1.p1.24.m4.1.1.2.cmml">L</mi><mn id="S3.I1.i1.p1.24.m4.1.1.3" xref="S3.I1.i1.p1.24.m4.1.1.3.cmml">1</mn></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I1.i1.p1.24.m4.1b"><apply id="S3.I1.i1.p1.24.m4.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.24.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p1.24.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.24.m4.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.I1.i1.p1.24.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.24.m4.1.1.2">𝐿</ci><cn id="S3.I1.i1.p1.24.m4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.I1.i1.p1.24.m4.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I1.i1.p1.24.m4.1c">L^{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I1.i1.p1.24.m4.1d">italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, and we have</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E37"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\int_{\Omega}|\nabla u|\leq\liminf_{k\to\infty}\int_{\Omega}|\nabla u_{k}|." class="ltx_Math" display="block" id="S3.E37.m1.1"><semantics id="S3.E37.m1.1a"><mrow id="S3.E37.m1.1.1.1" xref="S3.E37.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E37.m1.1.1.1.1" xref="S3.E37.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E37.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.E37.m1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E37.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E37.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E37.m1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E37.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">∫</mo><mi id="S3.E37.m1.1.1.1.1.1.2.3" mathvariant="normal" xref="S3.E37.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">Ω</mi></msub><mrow id="S3.E37.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E37.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E37.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" lspace="0em" stretchy="false" xref="S3.E37.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S3.E37.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E37.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E37.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" rspace="0.167em" xref="S3.E37.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">∇</mo><mi id="S3.E37.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E37.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">u</mi></mrow><mo id="S3.E37.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E37.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E37.m1.1.1.1.1.3" rspace="0.1389em" xref="S3.E37.m1.1.1.1.1.3.cmml">≤</mo><mrow id="S3.E37.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.E37.m1.1.1.1.1.2.cmml"><munder id="S3.E37.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E37.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mo id="S3.E37.m1.1.1.1.1.2.2.2" lspace="0.1389em" movablelimits="false" rspace="0em" xref="S3.E37.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">lim inf</mo><mrow id="S3.E37.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.E37.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E37.m1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S3.E37.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S3.E37.m1.1.1.1.1.2.2.3.1" stretchy="false" xref="S3.E37.m1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">→</mo><mi id="S3.E37.m1.1.1.1.1.2.2.3.3" mathvariant="normal" xref="S3.E37.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">∞</mi></mrow></munder><mrow id="S3.E37.m1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.E37.m1.1.1.1.1.2.1.cmml"><msub id="S3.E37.m1.1.1.1.1.2.1.2" xref="S3.E37.m1.1.1.1.1.2.1.2.cmml"><mo id="S3.E37.m1.1.1.1.1.2.1.2.2" rspace="0em" xref="S3.E37.m1.1.1.1.1.2.1.2.2.cmml">∫</mo><mi id="S3.E37.m1.1.1.1.1.2.1.2.3" mathvariant="normal" xref="S3.E37.m1.1.1.1.1.2.1.2.3.cmml">Ω</mi></msub><mrow id="S3.E37.m1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="S3.E37.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E37.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E37.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S3.E37.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1" xref="S3.E37.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E37.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1" rspace="0.167em" xref="S3.E37.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">∇</mo><msub id="S3.E37.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2" xref="S3.E37.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E37.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E37.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.2.cmml">u</mi><mi id="S3.E37.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E37.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.3.cmml">k</mi></msub></mrow><mo id="S3.E37.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E37.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E37.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S3.E37.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E37.m1.1b"><apply id="S3.E37.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E37.m1.1.1.1"><leq id="S3.E37.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E37.m1.1.1.1.1.3"></leq><apply id="S3.E37.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E37.m1.1.1.1.1.1"><apply id="S3.E37.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E37.m1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E37.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E37.m1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><int id="S3.E37.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E37.m1.1.1.1.1.1.2.2"></int><ci id="S3.E37.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E37.m1.1.1.1.1.1.2.3">Ω</ci></apply><apply id="S3.E37.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E37.m1.1.1.1.1.1.1.1"><abs id="S3.E37.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E37.m1.1.1.1.1.1.1.1.2"></abs><apply id="S3.E37.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E37.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><ci id="S3.E37.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E37.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">∇</ci><ci id="S3.E37.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E37.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑢</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.E37.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E37.m1.1.1.1.1.2"><apply id="S3.E37.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E37.m1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E37.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E37.m1.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S3.E37.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E37.m1.1.1.1.1.2.2.2">limit-infimum</csymbol><apply id="S3.E37.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.E37.m1.1.1.1.1.2.2.3"><ci id="S3.E37.m1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.E37.m1.1.1.1.1.2.2.3.1">→</ci><ci id="S3.E37.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.E37.m1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑘</ci><infinity id="S3.E37.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S3.E37.m1.1.1.1.1.2.2.3.3"></infinity></apply></apply><apply id="S3.E37.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E37.m1.1.1.1.1.2.1"><apply id="S3.E37.m1.1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="S3.E37.m1.1.1.1.1.2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E37.m1.1.1.1.1.2.1.2.1.cmml" xref="S3.E37.m1.1.1.1.1.2.1.2">subscript</csymbol><int id="S3.E37.m1.1.1.1.1.2.1.2.2.cmml" xref="S3.E37.m1.1.1.1.1.2.1.2.2"></int><ci id="S3.E37.m1.1.1.1.1.2.1.2.3.cmml" xref="S3.E37.m1.1.1.1.1.2.1.2.3">Ω</ci></apply><apply id="S3.E37.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S3.E37.m1.1.1.1.1.2.1.1.1"><abs id="S3.E37.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E37.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2"></abs><apply id="S3.E37.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E37.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1"><ci id="S3.E37.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E37.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1">∇</ci><apply id="S3.E37.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E37.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E37.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E37.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E37.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E37.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.2">𝑢</ci><ci id="S3.E37.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E37.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E37.m1.1c">\int_{\Omega}|\nabla u|\leq\liminf_{k\to\infty}\int_{\Omega}|\nabla u_{k}|.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E37.m1.1d">∫ start_POSTSUBSCRIPT roman_Ω end_POSTSUBSCRIPT | ∇ italic_u | ≤ lim inf start_POSTSUBSCRIPT italic_k → ∞ end_POSTSUBSCRIPT ∫ start_POSTSUBSCRIPT roman_Ω end_POSTSUBSCRIPT | ∇ italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT | .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(37)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S3.I1.i1.p2"> <p class="ltx_p" id="S3.I1.i1.p2.6">The condition (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S3.E33" title="In 1st item ‣ Proof ‣ 3.2 Existence and uniqueness of minimizers ‣ 3 The Proposed Image Restoration Models ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">33</span></a>) and the fact that <math alttext="f-u_{k}\in L^{2}(\Omega)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.i1.p2.1.m1.1"><semantics id="S3.I1.i1.p2.1.m1.1a"><mrow id="S3.I1.i1.p2.1.m1.1.2" xref="S3.I1.i1.p2.1.m1.1.2.cmml"><mrow id="S3.I1.i1.p2.1.m1.1.2.2" xref="S3.I1.i1.p2.1.m1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p2.1.m1.1.2.2.2" xref="S3.I1.i1.p2.1.m1.1.2.2.2.cmml">f</mi><mo id="S3.I1.i1.p2.1.m1.1.2.2.1" xref="S3.I1.i1.p2.1.m1.1.2.2.1.cmml">−</mo><msub id="S3.I1.i1.p2.1.m1.1.2.2.3" xref="S3.I1.i1.p2.1.m1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p2.1.m1.1.2.2.3.2" xref="S3.I1.i1.p2.1.m1.1.2.2.3.2.cmml">u</mi><mi id="S3.I1.i1.p2.1.m1.1.2.2.3.3" xref="S3.I1.i1.p2.1.m1.1.2.2.3.3.cmml">k</mi></msub></mrow><mo id="S3.I1.i1.p2.1.m1.1.2.1" xref="S3.I1.i1.p2.1.m1.1.2.1.cmml">∈</mo><mrow id="S3.I1.i1.p2.1.m1.1.2.3" xref="S3.I1.i1.p2.1.m1.1.2.3.cmml"><msup id="S3.I1.i1.p2.1.m1.1.2.3.2" xref="S3.I1.i1.p2.1.m1.1.2.3.2.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p2.1.m1.1.2.3.2.2" xref="S3.I1.i1.p2.1.m1.1.2.3.2.2.cmml">L</mi><mn id="S3.I1.i1.p2.1.m1.1.2.3.2.3" xref="S3.I1.i1.p2.1.m1.1.2.3.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.I1.i1.p2.1.m1.1.2.3.1" xref="S3.I1.i1.p2.1.m1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I1.i1.p2.1.m1.1.2.3.3.2" xref="S3.I1.i1.p2.1.m1.1.2.3.cmml"><mo id="S3.I1.i1.p2.1.m1.1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.I1.i1.p2.1.m1.1.2.3.cmml">(</mo><mi id="S3.I1.i1.p2.1.m1.1.1" mathvariant="normal" xref="S3.I1.i1.p2.1.m1.1.1.cmml">Ω</mi><mo id="S3.I1.i1.p2.1.m1.1.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.I1.i1.p2.1.m1.1.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I1.i1.p2.1.m1.1b"><apply id="S3.I1.i1.p2.1.m1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p2.1.m1.1.2"><in id="S3.I1.i1.p2.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p2.1.m1.1.2.1"></in><apply id="S3.I1.i1.p2.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p2.1.m1.1.2.2"><minus id="S3.I1.i1.p2.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p2.1.m1.1.2.2.1"></minus><ci id="S3.I1.i1.p2.1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p2.1.m1.1.2.2.2">𝑓</ci><apply id="S3.I1.i1.p2.1.m1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p2.1.m1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p2.1.m1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p2.1.m1.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.i1.p2.1.m1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p2.1.m1.1.2.2.3.2">𝑢</ci><ci id="S3.I1.i1.p2.1.m1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p2.1.m1.1.2.2.3.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S3.I1.i1.p2.1.m1.1.2.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p2.1.m1.1.2.3"><times id="S3.I1.i1.p2.1.m1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p2.1.m1.1.2.3.1"></times><apply id="S3.I1.i1.p2.1.m1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p2.1.m1.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p2.1.m1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p2.1.m1.1.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.I1.i1.p2.1.m1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p2.1.m1.1.2.3.2.2">𝐿</ci><cn id="S3.I1.i1.p2.1.m1.1.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.I1.i1.p2.1.m1.1.2.3.2.3">2</cn></apply><ci id="S3.I1.i1.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p2.1.m1.1.1">Ω</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I1.i1.p2.1.m1.1c">f-u_{k}\in L^{2}(\Omega)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I1.i1.p2.1.m1.1d">italic_f - italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ∈ italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( roman_Ω )</annotation></semantics></math> is uniformly bounded, imply that <math alttext="v_{k}\in L^{2}(\Omega)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.i1.p2.2.m2.1"><semantics id="S3.I1.i1.p2.2.m2.1a"><mrow id="S3.I1.i1.p2.2.m2.1.2" xref="S3.I1.i1.p2.2.m2.1.2.cmml"><msub id="S3.I1.i1.p2.2.m2.1.2.2" xref="S3.I1.i1.p2.2.m2.1.2.2.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p2.2.m2.1.2.2.2" xref="S3.I1.i1.p2.2.m2.1.2.2.2.cmml">v</mi><mi id="S3.I1.i1.p2.2.m2.1.2.2.3" xref="S3.I1.i1.p2.2.m2.1.2.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.I1.i1.p2.2.m2.1.2.1" xref="S3.I1.i1.p2.2.m2.1.2.1.cmml">∈</mo><mrow id="S3.I1.i1.p2.2.m2.1.2.3" xref="S3.I1.i1.p2.2.m2.1.2.3.cmml"><msup id="S3.I1.i1.p2.2.m2.1.2.3.2" xref="S3.I1.i1.p2.2.m2.1.2.3.2.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p2.2.m2.1.2.3.2.2" xref="S3.I1.i1.p2.2.m2.1.2.3.2.2.cmml">L</mi><mn id="S3.I1.i1.p2.2.m2.1.2.3.2.3" xref="S3.I1.i1.p2.2.m2.1.2.3.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.I1.i1.p2.2.m2.1.2.3.1" xref="S3.I1.i1.p2.2.m2.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I1.i1.p2.2.m2.1.2.3.3.2" xref="S3.I1.i1.p2.2.m2.1.2.3.cmml"><mo id="S3.I1.i1.p2.2.m2.1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.I1.i1.p2.2.m2.1.2.3.cmml">(</mo><mi id="S3.I1.i1.p2.2.m2.1.1" mathvariant="normal" xref="S3.I1.i1.p2.2.m2.1.1.cmml">Ω</mi><mo id="S3.I1.i1.p2.2.m2.1.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.I1.i1.p2.2.m2.1.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I1.i1.p2.2.m2.1b"><apply id="S3.I1.i1.p2.2.m2.1.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p2.2.m2.1.2"><in id="S3.I1.i1.p2.2.m2.1.2.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p2.2.m2.1.2.1"></in><apply id="S3.I1.i1.p2.2.m2.1.2.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p2.2.m2.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p2.2.m2.1.2.2.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p2.2.m2.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.i1.p2.2.m2.1.2.2.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p2.2.m2.1.2.2.2">𝑣</ci><ci id="S3.I1.i1.p2.2.m2.1.2.2.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p2.2.m2.1.2.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S3.I1.i1.p2.2.m2.1.2.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p2.2.m2.1.2.3"><times id="S3.I1.i1.p2.2.m2.1.2.3.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p2.2.m2.1.2.3.1"></times><apply id="S3.I1.i1.p2.2.m2.1.2.3.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p2.2.m2.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p2.2.m2.1.2.3.2.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p2.2.m2.1.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.I1.i1.p2.2.m2.1.2.3.2.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p2.2.m2.1.2.3.2.2">𝐿</ci><cn id="S3.I1.i1.p2.2.m2.1.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.I1.i1.p2.2.m2.1.2.3.2.3">2</cn></apply><ci id="S3.I1.i1.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p2.2.m2.1.1">Ω</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I1.i1.p2.2.m2.1c">v_{k}\in L^{2}(\Omega)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I1.i1.p2.2.m2.1d">italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ∈ italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( roman_Ω )</annotation></semantics></math>, with <math alttext="\int_{\Omega}v(x)dx=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.i1.p2.3.m3.1"><semantics id="S3.I1.i1.p2.3.m3.1a"><mrow id="S3.I1.i1.p2.3.m3.1.2" xref="S3.I1.i1.p2.3.m3.1.2.cmml"><mrow id="S3.I1.i1.p2.3.m3.1.2.2" xref="S3.I1.i1.p2.3.m3.1.2.2.cmml"><msub id="S3.I1.i1.p2.3.m3.1.2.2.1" xref="S3.I1.i1.p2.3.m3.1.2.2.1.cmml"><mo id="S3.I1.i1.p2.3.m3.1.2.2.1.2" xref="S3.I1.i1.p2.3.m3.1.2.2.1.2.cmml">∫</mo><mi id="S3.I1.i1.p2.3.m3.1.2.2.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.I1.i1.p2.3.m3.1.2.2.1.3.cmml">Ω</mi></msub><mrow id="S3.I1.i1.p2.3.m3.1.2.2.2" xref="S3.I1.i1.p2.3.m3.1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p2.3.m3.1.2.2.2.2" xref="S3.I1.i1.p2.3.m3.1.2.2.2.2.cmml">v</mi><mo id="S3.I1.i1.p2.3.m3.1.2.2.2.1" xref="S3.I1.i1.p2.3.m3.1.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I1.i1.p2.3.m3.1.2.2.2.3.2" xref="S3.I1.i1.p2.3.m3.1.2.2.2.cmml"><mo id="S3.I1.i1.p2.3.m3.1.2.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.I1.i1.p2.3.m3.1.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S3.I1.i1.p2.3.m3.1.1" xref="S3.I1.i1.p2.3.m3.1.1.cmml">x</mi><mo id="S3.I1.i1.p2.3.m3.1.2.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.I1.i1.p2.3.m3.1.2.2.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.I1.i1.p2.3.m3.1.2.2.2.1a" lspace="0em" xref="S3.I1.i1.p2.3.m3.1.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I1.i1.p2.3.m3.1.2.2.2.4" xref="S3.I1.i1.p2.3.m3.1.2.2.2.4.cmml"><mo id="S3.I1.i1.p2.3.m3.1.2.2.2.4.1" rspace="0em" xref="S3.I1.i1.p2.3.m3.1.2.2.2.4.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S3.I1.i1.p2.3.m3.1.2.2.2.4.2" xref="S3.I1.i1.p2.3.m3.1.2.2.2.4.2.cmml">x</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.I1.i1.p2.3.m3.1.2.1" xref="S3.I1.i1.p2.3.m3.1.2.1.cmml">=</mo><mn id="S3.I1.i1.p2.3.m3.1.2.3" xref="S3.I1.i1.p2.3.m3.1.2.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I1.i1.p2.3.m3.1b"><apply id="S3.I1.i1.p2.3.m3.1.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p2.3.m3.1.2"><eq id="S3.I1.i1.p2.3.m3.1.2.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p2.3.m3.1.2.1"></eq><apply id="S3.I1.i1.p2.3.m3.1.2.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p2.3.m3.1.2.2"><apply id="S3.I1.i1.p2.3.m3.1.2.2.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p2.3.m3.1.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p2.3.m3.1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p2.3.m3.1.2.2.1">subscript</csymbol><int id="S3.I1.i1.p2.3.m3.1.2.2.1.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p2.3.m3.1.2.2.1.2"></int><ci id="S3.I1.i1.p2.3.m3.1.2.2.1.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p2.3.m3.1.2.2.1.3">Ω</ci></apply><apply id="S3.I1.i1.p2.3.m3.1.2.2.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p2.3.m3.1.2.2.2"><times id="S3.I1.i1.p2.3.m3.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p2.3.m3.1.2.2.2.1"></times><ci id="S3.I1.i1.p2.3.m3.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p2.3.m3.1.2.2.2.2">𝑣</ci><ci id="S3.I1.i1.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p2.3.m3.1.1">𝑥</ci><apply id="S3.I1.i1.p2.3.m3.1.2.2.2.4.cmml" xref="S3.I1.i1.p2.3.m3.1.2.2.2.4"><csymbol cd="latexml" id="S3.I1.i1.p2.3.m3.1.2.2.2.4.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p2.3.m3.1.2.2.2.4.1">differential-d</csymbol><ci id="S3.I1.i1.p2.3.m3.1.2.2.2.4.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p2.3.m3.1.2.2.2.4.2">𝑥</ci></apply></apply></apply><cn id="S3.I1.i1.p2.3.m3.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.I1.i1.p2.3.m3.1.2.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I1.i1.p2.3.m3.1c">\int_{\Omega}v(x)dx=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I1.i1.p2.3.m3.1d">∫ start_POSTSUBSCRIPT roman_Ω end_POSTSUBSCRIPT italic_v ( italic_x ) italic_d italic_x = 0</annotation></semantics></math>. From Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#Thmlemma1" title="Lemma 1 ‣ 3.2 Existence and uniqueness of minimizers ‣ 3 The Proposed Image Restoration Models ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>, we can associate a unique <math alttext="g_{k}\in H^{1}(\Omega)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.i1.p2.4.m4.1"><semantics id="S3.I1.i1.p2.4.m4.1a"><mrow id="S3.I1.i1.p2.4.m4.1.2" xref="S3.I1.i1.p2.4.m4.1.2.cmml"><msub id="S3.I1.i1.p2.4.m4.1.2.2" xref="S3.I1.i1.p2.4.m4.1.2.2.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p2.4.m4.1.2.2.2" xref="S3.I1.i1.p2.4.m4.1.2.2.2.cmml">g</mi><mi id="S3.I1.i1.p2.4.m4.1.2.2.3" xref="S3.I1.i1.p2.4.m4.1.2.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.I1.i1.p2.4.m4.1.2.1" xref="S3.I1.i1.p2.4.m4.1.2.1.cmml">∈</mo><mrow id="S3.I1.i1.p2.4.m4.1.2.3" xref="S3.I1.i1.p2.4.m4.1.2.3.cmml"><msup id="S3.I1.i1.p2.4.m4.1.2.3.2" xref="S3.I1.i1.p2.4.m4.1.2.3.2.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p2.4.m4.1.2.3.2.2" xref="S3.I1.i1.p2.4.m4.1.2.3.2.2.cmml">H</mi><mn id="S3.I1.i1.p2.4.m4.1.2.3.2.3" xref="S3.I1.i1.p2.4.m4.1.2.3.2.3.cmml">1</mn></msup><mo id="S3.I1.i1.p2.4.m4.1.2.3.1" xref="S3.I1.i1.p2.4.m4.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I1.i1.p2.4.m4.1.2.3.3.2" xref="S3.I1.i1.p2.4.m4.1.2.3.cmml"><mo id="S3.I1.i1.p2.4.m4.1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.I1.i1.p2.4.m4.1.2.3.cmml">(</mo><mi id="S3.I1.i1.p2.4.m4.1.1" mathvariant="normal" xref="S3.I1.i1.p2.4.m4.1.1.cmml">Ω</mi><mo id="S3.I1.i1.p2.4.m4.1.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.I1.i1.p2.4.m4.1.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I1.i1.p2.4.m4.1b"><apply id="S3.I1.i1.p2.4.m4.1.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p2.4.m4.1.2"><in id="S3.I1.i1.p2.4.m4.1.2.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p2.4.m4.1.2.1"></in><apply id="S3.I1.i1.p2.4.m4.1.2.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p2.4.m4.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p2.4.m4.1.2.2.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p2.4.m4.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.i1.p2.4.m4.1.2.2.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p2.4.m4.1.2.2.2">𝑔</ci><ci id="S3.I1.i1.p2.4.m4.1.2.2.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p2.4.m4.1.2.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S3.I1.i1.p2.4.m4.1.2.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p2.4.m4.1.2.3"><times id="S3.I1.i1.p2.4.m4.1.2.3.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p2.4.m4.1.2.3.1"></times><apply id="S3.I1.i1.p2.4.m4.1.2.3.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p2.4.m4.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p2.4.m4.1.2.3.2.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p2.4.m4.1.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.I1.i1.p2.4.m4.1.2.3.2.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p2.4.m4.1.2.3.2.2">𝐻</ci><cn id="S3.I1.i1.p2.4.m4.1.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.I1.i1.p2.4.m4.1.2.3.2.3">1</cn></apply><ci id="S3.I1.i1.p2.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p2.4.m4.1.1">Ω</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I1.i1.p2.4.m4.1c">g_{k}\in H^{1}(\Omega)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I1.i1.p2.4.m4.1d">italic_g start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ∈ italic_H start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT ( roman_Ω )</annotation></semantics></math> such that <math alttext="v_{k}=-\Delta g_{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.i1.p2.5.m5.1"><semantics id="S3.I1.i1.p2.5.m5.1a"><mrow id="S3.I1.i1.p2.5.m5.1.1" xref="S3.I1.i1.p2.5.m5.1.1.cmml"><msub id="S3.I1.i1.p2.5.m5.1.1.2" xref="S3.I1.i1.p2.5.m5.1.1.2.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p2.5.m5.1.1.2.2" xref="S3.I1.i1.p2.5.m5.1.1.2.2.cmml">v</mi><mi id="S3.I1.i1.p2.5.m5.1.1.2.3" xref="S3.I1.i1.p2.5.m5.1.1.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.I1.i1.p2.5.m5.1.1.1" xref="S3.I1.i1.p2.5.m5.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.I1.i1.p2.5.m5.1.1.3" xref="S3.I1.i1.p2.5.m5.1.1.3.cmml"><mo id="S3.I1.i1.p2.5.m5.1.1.3a" xref="S3.I1.i1.p2.5.m5.1.1.3.cmml">−</mo><mrow id="S3.I1.i1.p2.5.m5.1.1.3.2" xref="S3.I1.i1.p2.5.m5.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p2.5.m5.1.1.3.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.I1.i1.p2.5.m5.1.1.3.2.2.cmml">Δ</mi><mo id="S3.I1.i1.p2.5.m5.1.1.3.2.1" xref="S3.I1.i1.p2.5.m5.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.I1.i1.p2.5.m5.1.1.3.2.3" xref="S3.I1.i1.p2.5.m5.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p2.5.m5.1.1.3.2.3.2" xref="S3.I1.i1.p2.5.m5.1.1.3.2.3.2.cmml">g</mi><mi id="S3.I1.i1.p2.5.m5.1.1.3.2.3.3" xref="S3.I1.i1.p2.5.m5.1.1.3.2.3.3.cmml">k</mi></msub></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I1.i1.p2.5.m5.1b"><apply id="S3.I1.i1.p2.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p2.5.m5.1.1"><eq id="S3.I1.i1.p2.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p2.5.m5.1.1.1"></eq><apply id="S3.I1.i1.p2.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p2.5.m5.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p2.5.m5.1.1.2.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p2.5.m5.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.i1.p2.5.m5.1.1.2.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p2.5.m5.1.1.2.2">𝑣</ci><ci id="S3.I1.i1.p2.5.m5.1.1.2.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p2.5.m5.1.1.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S3.I1.i1.p2.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p2.5.m5.1.1.3"><minus id="S3.I1.i1.p2.5.m5.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p2.5.m5.1.1.3"></minus><apply id="S3.I1.i1.p2.5.m5.1.1.3.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p2.5.m5.1.1.3.2"><times id="S3.I1.i1.p2.5.m5.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p2.5.m5.1.1.3.2.1"></times><ci id="S3.I1.i1.p2.5.m5.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p2.5.m5.1.1.3.2.2">Δ</ci><apply id="S3.I1.i1.p2.5.m5.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p2.5.m5.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p2.5.m5.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p2.5.m5.1.1.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.i1.p2.5.m5.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p2.5.m5.1.1.3.2.3.2">𝑔</ci><ci id="S3.I1.i1.p2.5.m5.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p2.5.m5.1.1.3.2.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I1.i1.p2.5.m5.1c">v_{k}=-\Delta g_{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I1.i1.p2.5.m5.1d">italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT = - roman_Δ italic_g start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and also <math alttext="\int_{\Omega}g_{k}dx=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.i1.p2.6.m6.1"><semantics id="S3.I1.i1.p2.6.m6.1a"><mrow id="S3.I1.i1.p2.6.m6.1.1" xref="S3.I1.i1.p2.6.m6.1.1.cmml"><mrow id="S3.I1.i1.p2.6.m6.1.1.2" xref="S3.I1.i1.p2.6.m6.1.1.2.cmml"><msub id="S3.I1.i1.p2.6.m6.1.1.2.1" xref="S3.I1.i1.p2.6.m6.1.1.2.1.cmml"><mo id="S3.I1.i1.p2.6.m6.1.1.2.1.2" xref="S3.I1.i1.p2.6.m6.1.1.2.1.2.cmml">∫</mo><mi id="S3.I1.i1.p2.6.m6.1.1.2.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.I1.i1.p2.6.m6.1.1.2.1.3.cmml">Ω</mi></msub><mrow id="S3.I1.i1.p2.6.m6.1.1.2.2" xref="S3.I1.i1.p2.6.m6.1.1.2.2.cmml"><msub id="S3.I1.i1.p2.6.m6.1.1.2.2.2" xref="S3.I1.i1.p2.6.m6.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p2.6.m6.1.1.2.2.2.2" xref="S3.I1.i1.p2.6.m6.1.1.2.2.2.2.cmml">g</mi><mi id="S3.I1.i1.p2.6.m6.1.1.2.2.2.3" xref="S3.I1.i1.p2.6.m6.1.1.2.2.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.I1.i1.p2.6.m6.1.1.2.2.1" lspace="0em" xref="S3.I1.i1.p2.6.m6.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I1.i1.p2.6.m6.1.1.2.2.3" xref="S3.I1.i1.p2.6.m6.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="S3.I1.i1.p2.6.m6.1.1.2.2.3.1" rspace="0em" xref="S3.I1.i1.p2.6.m6.1.1.2.2.3.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S3.I1.i1.p2.6.m6.1.1.2.2.3.2" xref="S3.I1.i1.p2.6.m6.1.1.2.2.3.2.cmml">x</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.I1.i1.p2.6.m6.1.1.1" xref="S3.I1.i1.p2.6.m6.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S3.I1.i1.p2.6.m6.1.1.3" xref="S3.I1.i1.p2.6.m6.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I1.i1.p2.6.m6.1b"><apply id="S3.I1.i1.p2.6.m6.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p2.6.m6.1.1"><eq id="S3.I1.i1.p2.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p2.6.m6.1.1.1"></eq><apply id="S3.I1.i1.p2.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p2.6.m6.1.1.2"><apply id="S3.I1.i1.p2.6.m6.1.1.2.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p2.6.m6.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p2.6.m6.1.1.2.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p2.6.m6.1.1.2.1">subscript</csymbol><int id="S3.I1.i1.p2.6.m6.1.1.2.1.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p2.6.m6.1.1.2.1.2"></int><ci id="S3.I1.i1.p2.6.m6.1.1.2.1.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p2.6.m6.1.1.2.1.3">Ω</ci></apply><apply id="S3.I1.i1.p2.6.m6.1.1.2.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p2.6.m6.1.1.2.2"><times id="S3.I1.i1.p2.6.m6.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p2.6.m6.1.1.2.2.1"></times><apply id="S3.I1.i1.p2.6.m6.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p2.6.m6.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p2.6.m6.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p2.6.m6.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.i1.p2.6.m6.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p2.6.m6.1.1.2.2.2.2">𝑔</ci><ci id="S3.I1.i1.p2.6.m6.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p2.6.m6.1.1.2.2.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S3.I1.i1.p2.6.m6.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p2.6.m6.1.1.2.2.3"><csymbol cd="latexml" id="S3.I1.i1.p2.6.m6.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p2.6.m6.1.1.2.2.3.1">differential-d</csymbol><ci id="S3.I1.i1.p2.6.m6.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p2.6.m6.1.1.2.2.3.2">𝑥</ci></apply></apply></apply><cn id="S3.I1.i1.p2.6.m6.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.I1.i1.p2.6.m6.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I1.i1.p2.6.m6.1c">\int_{\Omega}g_{k}dx=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I1.i1.p2.6.m6.1d">∫ start_POSTSUBSCRIPT roman_Ω end_POSTSUBSCRIPT italic_g start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT italic_d italic_x = 0</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.I1.i1.p3"> <p class="ltx_p" id="S3.I1.i1.p3.1">The condition (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S3.E34" title="In 1st item ‣ Proof ‣ 3.2 Existence and uniqueness of minimizers ‣ 3 The Proposed Image Restoration Models ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">34</span></a>) implies that <math alttext="\|v_{k}\|_{\mathrm{Lip}^{*}}=\||\nabla g_{k}|\|_{L^{1}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.i1.p3.1.m1.2"><semantics id="S3.I1.i1.p3.1.m1.2a"><mrow id="S3.I1.i1.p3.1.m1.2.2" xref="S3.I1.i1.p3.1.m1.2.2.cmml"><msub id="S3.I1.i1.p3.1.m1.1.1.1" xref="S3.I1.i1.p3.1.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.I1.i1.p3.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.I1.i1.p3.1.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.I1.i1.p3.1.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.I1.i1.p3.1.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><msub id="S3.I1.i1.p3.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.I1.i1.p3.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p3.1.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.I1.i1.p3.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">v</mi><mi id="S3.I1.i1.p3.1.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.I1.i1.p3.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.I1.i1.p3.1.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.I1.i1.p3.1.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><msup id="S3.I1.i1.p3.1.m1.1.1.1.3" xref="S3.I1.i1.p3.1.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p3.1.m1.1.1.1.3.2" xref="S3.I1.i1.p3.1.m1.1.1.1.3.2.cmml">Lip</mi><mo id="S3.I1.i1.p3.1.m1.1.1.1.3.3" xref="S3.I1.i1.p3.1.m1.1.1.1.3.3.cmml">∗</mo></msup></msub><mo id="S3.I1.i1.p3.1.m1.2.2.3" xref="S3.I1.i1.p3.1.m1.2.2.3.cmml">=</mo><msub id="S3.I1.i1.p3.1.m1.2.2.2" xref="S3.I1.i1.p3.1.m1.2.2.2.cmml"><mrow id="S3.I1.i1.p3.1.m1.2.2.2.1.1" xref="S3.I1.i1.p3.1.m1.2.2.2.1.2.cmml"><mo id="S3.I1.i1.p3.1.m1.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.I1.i1.p3.1.m1.2.2.2.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S3.I1.i1.p3.1.m1.2.2.2.1.1.1.1" xref="S3.I1.i1.p3.1.m1.2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.I1.i1.p3.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.I1.i1.p3.1.m1.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S3.I1.i1.p3.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.I1.i1.p3.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.I1.i1.p3.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1" rspace="0.167em" xref="S3.I1.i1.p3.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">∇</mo><msub id="S3.I1.i1.p3.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.I1.i1.p3.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p3.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.I1.i1.p3.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml">g</mi><mi id="S3.I1.i1.p3.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.I1.i1.p3.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml">k</mi></msub></mrow><mo id="S3.I1.i1.p3.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.I1.i1.p3.1.m1.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S3.I1.i1.p3.1.m1.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.I1.i1.p3.1.m1.2.2.2.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><msup id="S3.I1.i1.p3.1.m1.2.2.2.3" xref="S3.I1.i1.p3.1.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p3.1.m1.2.2.2.3.2" xref="S3.I1.i1.p3.1.m1.2.2.2.3.2.cmml">L</mi><mn id="S3.I1.i1.p3.1.m1.2.2.2.3.3" xref="S3.I1.i1.p3.1.m1.2.2.2.3.3.cmml">1</mn></msup></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I1.i1.p3.1.m1.2b"><apply id="S3.I1.i1.p3.1.m1.2.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.1.m1.2.2"><eq id="S3.I1.i1.p3.1.m1.2.2.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.1.m1.2.2.3"></eq><apply id="S3.I1.i1.p3.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.1.m1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p3.1.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.1.m1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.I1.i1.p3.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.1.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.I1.i1.p3.1.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.1.m1.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S3.I1.i1.p3.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.1.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.1.m1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.i1.p3.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.1.m1.1.1.1.1.1.1.2">𝑣</ci><ci id="S3.I1.i1.p3.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.1.m1.1.1.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S3.I1.i1.p3.1.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.1.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p3.1.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.1.m1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.I1.i1.p3.1.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.1.m1.1.1.1.3.2">Lip</ci><times id="S3.I1.i1.p3.1.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.1.m1.1.1.1.3.3"></times></apply></apply><apply id="S3.I1.i1.p3.1.m1.2.2.2.cmml" 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By the Poincaré inequality,</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E38"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\|g_{k}-\frac{1}{|\Omega|}\int_{\Omega}g_{k}\|_{L^{2}}=\|g_{k}\|_{L^{2}}\leq C% \int_{\Omega}|\nabla g_{k}|,\quad\forall k," class="ltx_Math" display="block" id="S3.E38.m1.2"><semantics id="S3.E38.m1.2a"><mrow id="S3.E38.m1.2.2.1"><mrow id="S3.E38.m1.2.2.1.1.2" xref="S3.E38.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.E38.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S3.E38.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E38.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.E38.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E38.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E38.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E38.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E38.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S3.E38.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E38.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub 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href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S3.E38.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" id="S3.E38.m1.2.2.1.1.1.1d.cmml" xref="S3.E38.m1.2.2.1.1.1.1"></share><apply id="S3.E38.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E38.m1.2.2.1.1.1.1.3"><times id="S3.E38.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E38.m1.2.2.1.1.1.1.3.2"></times><ci id="S3.E38.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E38.m1.2.2.1.1.1.1.3.3">𝐶</ci><apply id="S3.E38.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E38.m1.2.2.1.1.1.1.3.1"><apply id="S3.E38.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.2.cmml" xref="S3.E38.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E38.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.2.1.cmml" xref="S3.E38.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.2">subscript</csymbol><int id="S3.E38.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.2.2.cmml" xref="S3.E38.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.2.2"></int><ci id="S3.E38.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.2.3.cmml" xref="S3.E38.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.2.3">Ω</ci></apply><apply id="S3.E38.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.2.cmml" xref="S3.E38.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.1"><abs id="S3.E38.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.1.2.1.cmml" 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encoding="application/x-tex" id="S3.E38.m1.2c">\|g_{k}-\frac{1}{|\Omega|}\int_{\Omega}g_{k}\|_{L^{2}}=\|g_{k}\|_{L^{2}}\leq C% \int_{\Omega}|\nabla g_{k}|,\quad\forall k,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E38.m1.2d">∥ italic_g start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG | roman_Ω | end_ARG ∫ start_POSTSUBSCRIPT roman_Ω end_POSTSUBSCRIPT italic_g start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUBSCRIPT italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT = ∥ italic_g start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUBSCRIPT italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ≤ italic_C ∫ start_POSTSUBSCRIPT roman_Ω end_POSTSUBSCRIPT | ∇ italic_g start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT | , ∀ italic_k ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(38)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.I1.i1.p3.2">we have <math alttext="\|g_{k}\|_{L^{1}}\leq C^{\prime}\|g_{k}\|_{L^{2}}\leq C,\quad\forall k" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.i1.p3.2.m1.2"><semantics id="S3.I1.i1.p3.2.m1.2a"><mrow id="S3.I1.i1.p3.2.m1.2.2.2" xref="S3.I1.i1.p3.2.m1.2.2.3.cmml"><mrow id="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1" xref="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><msub id="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">g</mi><mi id="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><msup id="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">L</mi><mn id="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></msup></msub><mo id="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.4" xref="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.4.cmml">≤</mo><mrow id="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.2.cmml"><msup id="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">C</mi><mo id="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><msub id="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.2.1.cmml"><mrow id="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml"><mo id="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.1.cmml">‖</mo><msub id="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1" xref="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2" xref="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml">g</mi><mi id="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3" xref="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><msup id="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.2.1.3" xref="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.2.1.3.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.2.1.3.2" xref="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.2.1.3.2.cmml">L</mi><mn id="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.2.1.3.3" xref="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.2.1.3.3.cmml">2</mn></msup></msub></mrow><mo id="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.5" xref="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.5.cmml">≤</mo><mi id="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.6" xref="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.6.cmml">C</mi></mrow><mo id="S3.I1.i1.p3.2.m1.2.2.2.3" rspace="1.167em" xref="S3.I1.i1.p3.2.m1.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.I1.i1.p3.2.m1.2.2.2.2" xref="S3.I1.i1.p3.2.m1.2.2.2.2.cmml"><mo id="S3.I1.i1.p3.2.m1.2.2.2.2.1" rspace="0.167em" xref="S3.I1.i1.p3.2.m1.2.2.2.2.1.cmml">∀</mo><mi id="S3.I1.i1.p3.2.m1.2.2.2.2.2" xref="S3.I1.i1.p3.2.m1.2.2.2.2.2.cmml">k</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I1.i1.p3.2.m1.2b"><apply id="S3.I1.i1.p3.2.m1.2.2.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.2.m1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p3.2.m1.2.2.3a.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.2.m1.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1"><and id="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1a.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1"></and><apply id="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1b.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1"><leq id="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.4"></leq><apply id="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑔</ci><ci id="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.1.3.2">𝐿</ci><cn id="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.2"><times id="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.2.2"></times><apply id="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.2.3.2">𝐶</ci><ci id="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.2.3.3">′</ci></apply><apply id="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.2.1">subscript</csymbol><apply id="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.2.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2">𝑔</ci><ci id="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.2.1.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.2.1.3.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.2.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.2.1.3.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.2.1.3.2">𝐿</ci><cn id="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.2.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.2.1.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1c.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1"><leq id="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.2.cmml" id="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1d.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1"></share><ci id="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.6.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.2.m1.1.1.1.1.6">𝐶</ci></apply></apply><apply id="S3.I1.i1.p3.2.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.2.m1.2.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.I1.i1.p3.2.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.2.m1.2.2.2.2.1">for-all</csymbol><ci id="S3.I1.i1.p3.2.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.2.m1.2.2.2.2.2">𝑘</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I1.i1.p3.2.m1.2c">\|g_{k}\|_{L^{1}}\leq C^{\prime}\|g_{k}\|_{L^{2}}\leq C,\quad\forall k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I1.i1.p3.2.m1.2d">∥ italic_g start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUBSCRIPT italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ≤ italic_C start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ∥ italic_g start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUBSCRIPT italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ≤ italic_C , ∀ italic_k</annotation></semantics></math> similarly and</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E39"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\|g_{k}\|_{BV}=\|g_{k}\|_{L^{1}}+\int_{\Omega}|\nabla g_{k}|\leq C,\quad% \forall k," class="ltx_Math" display="block" id="S3.E39.m1.1"><semantics id="S3.E39.m1.1a"><mrow id="S3.E39.m1.1.1.1"><mrow id="S3.E39.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><msub id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">g</mi><mi id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mrow id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">B</mi><mo id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">V</mi></mrow></msub><mo id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.5" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.5.cmml">=</mo><mrow id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml"><mrow id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.1.cmml">‖</mo><msub id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml">g</mi><mi id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><msup id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.cmml"><mi id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.2" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.2.cmml">L</mi><mn id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.3" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.3.cmml">1</mn></msup></msub><mo id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" rspace="0.055em" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">+</mo><mrow id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><msub id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mo id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" rspace="0em" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">∫</mo><mi id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3" mathvariant="normal" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">Ω</mi></msub><mrow id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.2.cmml"><mo id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1" rspace="0.167em" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.cmml">∇</mo><msub id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.2" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.2.2" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.2.2.cmml">g</mi><mi id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.2.3" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.2.3.cmml">k</mi></msub></mrow><mo id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.6" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.6.cmml">≤</mo><mi id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.7" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.7.cmml">C</mi></mrow><mo id="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.3" rspace="1.167em" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mo id="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.2.1" rspace="0.167em" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">∀</mo><mi id="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">k</mi></mrow></mrow><mo id="S3.E39.m1.1.1.1.2">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E39.m1.1b"><apply id="S3.E39.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E39.m1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1"><and id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1a.cmml" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1"></and><apply id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1b.cmml" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1"><eq id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.5"></eq><apply id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑔</ci><ci id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝐵</ci><ci id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑉</ci></apply></apply><apply id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.3"><plus id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.3.3"></plus><apply id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.2.1">subscript</csymbol><apply id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2">𝑔</ci><ci id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.cmml" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.1.cmml" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.2.cmml" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.2">𝐿</ci><cn id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.3.2"><apply id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">subscript</csymbol><int id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2"></int><ci id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3">Ω</ci></apply><apply id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.2.cmml" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1"><abs id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.2.1.cmml" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.2"></abs><apply id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.cmml" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1"><ci id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1">∇</ci><apply id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.2.2">𝑔</ci><ci id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.2.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1c.cmml" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1"><leq id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.6.cmml" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.6"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1d.cmml" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1"></share><ci id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.7.cmml" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.7">𝐶</ci></apply></apply><apply id="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.2.1">for-all</csymbol><ci id="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.2.2">𝑘</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E39.m1.1c">\|g_{k}\|_{BV}=\|g_{k}\|_{L^{1}}+\int_{\Omega}|\nabla g_{k}|\leq C,\quad% \forall k,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E39.m1.1d">∥ italic_g start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUBSCRIPT italic_B italic_V end_POSTSUBSCRIPT = ∥ italic_g start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUBSCRIPT italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT + ∫ start_POSTSUBSCRIPT roman_Ω end_POSTSUBSCRIPT | ∇ italic_g start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT | ≤ italic_C , ∀ italic_k ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(39)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.I1.i1.p3.6">which means that there exists <math alttext="g\in BV(\Omega)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.i1.p3.3.m1.1"><semantics id="S3.I1.i1.p3.3.m1.1a"><mrow id="S3.I1.i1.p3.3.m1.1.2" xref="S3.I1.i1.p3.3.m1.1.2.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p3.3.m1.1.2.2" xref="S3.I1.i1.p3.3.m1.1.2.2.cmml">g</mi><mo id="S3.I1.i1.p3.3.m1.1.2.1" xref="S3.I1.i1.p3.3.m1.1.2.1.cmml">∈</mo><mrow id="S3.I1.i1.p3.3.m1.1.2.3" xref="S3.I1.i1.p3.3.m1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p3.3.m1.1.2.3.2" xref="S3.I1.i1.p3.3.m1.1.2.3.2.cmml">B</mi><mo id="S3.I1.i1.p3.3.m1.1.2.3.1" xref="S3.I1.i1.p3.3.m1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.I1.i1.p3.3.m1.1.2.3.3" xref="S3.I1.i1.p3.3.m1.1.2.3.3.cmml">V</mi><mo id="S3.I1.i1.p3.3.m1.1.2.3.1a" xref="S3.I1.i1.p3.3.m1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I1.i1.p3.3.m1.1.2.3.4.2" xref="S3.I1.i1.p3.3.m1.1.2.3.cmml"><mo id="S3.I1.i1.p3.3.m1.1.2.3.4.2.1" stretchy="false" xref="S3.I1.i1.p3.3.m1.1.2.3.cmml">(</mo><mi id="S3.I1.i1.p3.3.m1.1.1" mathvariant="normal" xref="S3.I1.i1.p3.3.m1.1.1.cmml">Ω</mi><mo id="S3.I1.i1.p3.3.m1.1.2.3.4.2.2" stretchy="false" xref="S3.I1.i1.p3.3.m1.1.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I1.i1.p3.3.m1.1b"><apply id="S3.I1.i1.p3.3.m1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.3.m1.1.2"><in id="S3.I1.i1.p3.3.m1.1.2.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.3.m1.1.2.1"></in><ci id="S3.I1.i1.p3.3.m1.1.2.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.3.m1.1.2.2">𝑔</ci><apply id="S3.I1.i1.p3.3.m1.1.2.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.3.m1.1.2.3"><times id="S3.I1.i1.p3.3.m1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.3.m1.1.2.3.1"></times><ci id="S3.I1.i1.p3.3.m1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.3.m1.1.2.3.2">𝐵</ci><ci id="S3.I1.i1.p3.3.m1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.3.m1.1.2.3.3">𝑉</ci><ci id="S3.I1.i1.p3.3.m1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.3.m1.1.1">Ω</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I1.i1.p3.3.m1.1c">g\in BV(\Omega)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I1.i1.p3.3.m1.1d">italic_g ∈ italic_B italic_V ( roman_Ω )</annotation></semantics></math> such that, there exists a subsequence, denoted <math alttext="g_{n_{k}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.i1.p3.4.m2.1"><semantics id="S3.I1.i1.p3.4.m2.1a"><msub id="S3.I1.i1.p3.4.m2.1.1" xref="S3.I1.i1.p3.4.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p3.4.m2.1.1.2" xref="S3.I1.i1.p3.4.m2.1.1.2.cmml">g</mi><msub id="S3.I1.i1.p3.4.m2.1.1.3" xref="S3.I1.i1.p3.4.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p3.4.m2.1.1.3.2" xref="S3.I1.i1.p3.4.m2.1.1.3.2.cmml">n</mi><mi id="S3.I1.i1.p3.4.m2.1.1.3.3" xref="S3.I1.i1.p3.4.m2.1.1.3.3.cmml">k</mi></msub></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I1.i1.p3.4.m2.1b"><apply id="S3.I1.i1.p3.4.m2.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.4.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p3.4.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.4.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.i1.p3.4.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.4.m2.1.1.2">𝑔</ci><apply id="S3.I1.i1.p3.4.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.4.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p3.4.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.4.m2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.i1.p3.4.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.4.m2.1.1.3.2">𝑛</ci><ci id="S3.I1.i1.p3.4.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.4.m2.1.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I1.i1.p3.4.m2.1c">g_{n_{k}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I1.i1.p3.4.m2.1d">italic_g start_POSTSUBSCRIPT italic_n start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, converges to <math alttext="g" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.i1.p3.5.m3.1"><semantics id="S3.I1.i1.p3.5.m3.1a"><mi id="S3.I1.i1.p3.5.m3.1.1" xref="S3.I1.i1.p3.5.m3.1.1.cmml">g</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I1.i1.p3.5.m3.1b"><ci id="S3.I1.i1.p3.5.m3.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.5.m3.1.1">𝑔</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I1.i1.p3.5.m3.1c">g</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I1.i1.p3.5.m3.1d">italic_g</annotation></semantics></math> strongly in <math alttext="L^{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.i1.p3.6.m4.1"><semantics id="S3.I1.i1.p3.6.m4.1a"><msup id="S3.I1.i1.p3.6.m4.1.1" xref="S3.I1.i1.p3.6.m4.1.1.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p3.6.m4.1.1.2" xref="S3.I1.i1.p3.6.m4.1.1.2.cmml">L</mi><mn id="S3.I1.i1.p3.6.m4.1.1.3" xref="S3.I1.i1.p3.6.m4.1.1.3.cmml">1</mn></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I1.i1.p3.6.m4.1b"><apply id="S3.I1.i1.p3.6.m4.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.6.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p3.6.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.6.m4.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.I1.i1.p3.6.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.6.m4.1.1.2">𝐿</ci><cn id="S3.I1.i1.p3.6.m4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.I1.i1.p3.6.m4.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I1.i1.p3.6.m4.1c">L^{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I1.i1.p3.6.m4.1d">italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, and</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E40"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\int_{\Omega}|\nabla g|\leq\liminf_{k\to\infty}\int_{\Omega}|\nabla g_{k}|." class="ltx_Math" display="block" id="S3.E40.m1.1"><semantics id="S3.E40.m1.1a"><mrow id="S3.E40.m1.1.1.1" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E40.m1.1.1.1.1" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">∫</mo><mi id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.2.3" mathvariant="normal" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">Ω</mi></msub><mrow id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" lspace="0em" stretchy="false" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" rspace="0.167em" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">∇</mo><mi id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">g</mi></mrow><mo id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E40.m1.1.1.1.1.3" rspace="0.1389em" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.3.cmml">≤</mo><mrow id="S3.E40.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.2.cmml"><munder id="S3.E40.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mo id="S3.E40.m1.1.1.1.1.2.2.2" lspace="0.1389em" movablelimits="false" rspace="0em" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">lim inf</mo><mrow id="S3.E40.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E40.m1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S3.E40.m1.1.1.1.1.2.2.3.1" stretchy="false" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">→</mo><mi id="S3.E40.m1.1.1.1.1.2.2.3.3" mathvariant="normal" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">∞</mi></mrow></munder><mrow id="S3.E40.m1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.2.1.cmml"><msub id="S3.E40.m1.1.1.1.1.2.1.2" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.2.1.2.cmml"><mo id="S3.E40.m1.1.1.1.1.2.1.2.2" rspace="0em" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.2.1.2.2.cmml">∫</mo><mi id="S3.E40.m1.1.1.1.1.2.1.2.3" mathvariant="normal" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.2.1.2.3.cmml">Ω</mi></msub><mrow id="S3.E40.m1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E40.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S3.E40.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E40.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1" rspace="0.167em" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">∇</mo><msub id="S3.E40.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E40.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.2.cmml">g</mi><mi id="S3.E40.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.3.cmml">k</mi></msub></mrow><mo id="S3.E40.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E40.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E40.m1.1b"><apply id="S3.E40.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E40.m1.1.1.1"><leq id="S3.E40.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.3"></leq><apply id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1"><apply id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><int id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.2.2"></int><ci id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.2.3">Ω</ci></apply><apply id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1"><abs id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.2"></abs><apply id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><ci id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">∇</ci><ci id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑔</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.E40.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.2"><apply id="S3.E40.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E40.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S3.E40.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.2.2.2">limit-infimum</csymbol><apply id="S3.E40.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.2.2.3"><ci id="S3.E40.m1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.2.2.3.1">→</ci><ci id="S3.E40.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑘</ci><infinity id="S3.E40.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.2.2.3.3"></infinity></apply></apply><apply id="S3.E40.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.2.1"><apply id="S3.E40.m1.1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E40.m1.1.1.1.1.2.1.2.1.cmml" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.2.1.2">subscript</csymbol><int id="S3.E40.m1.1.1.1.1.2.1.2.2.cmml" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.2.1.2.2"></int><ci id="S3.E40.m1.1.1.1.1.2.1.2.3.cmml" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.2.1.2.3">Ω</ci></apply><apply id="S3.E40.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.2.1.1.1"><abs id="S3.E40.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2"></abs><apply id="S3.E40.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1"><ci id="S3.E40.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1">∇</ci><apply id="S3.E40.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E40.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E40.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.2">𝑔</ci><ci id="S3.E40.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E40.m1.1c">\int_{\Omega}|\nabla g|\leq\liminf_{k\to\infty}\int_{\Omega}|\nabla g_{k}|.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E40.m1.1d">∫ start_POSTSUBSCRIPT roman_Ω end_POSTSUBSCRIPT | ∇ italic_g | ≤ lim inf start_POSTSUBSCRIPT italic_k → ∞ end_POSTSUBSCRIPT ∫ start_POSTSUBSCRIPT roman_Ω end_POSTSUBSCRIPT | ∇ italic_g start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT | .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(40)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.I1.i1.p3.9">We also have <math alttext="v=-\Delta g" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.i1.p3.7.m1.1"><semantics id="S3.I1.i1.p3.7.m1.1a"><mrow id="S3.I1.i1.p3.7.m1.1.1" xref="S3.I1.i1.p3.7.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p3.7.m1.1.1.2" xref="S3.I1.i1.p3.7.m1.1.1.2.cmml">v</mi><mo id="S3.I1.i1.p3.7.m1.1.1.1" xref="S3.I1.i1.p3.7.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.I1.i1.p3.7.m1.1.1.3" xref="S3.I1.i1.p3.7.m1.1.1.3.cmml"><mo id="S3.I1.i1.p3.7.m1.1.1.3a" xref="S3.I1.i1.p3.7.m1.1.1.3.cmml">−</mo><mrow id="S3.I1.i1.p3.7.m1.1.1.3.2" xref="S3.I1.i1.p3.7.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p3.7.m1.1.1.3.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.I1.i1.p3.7.m1.1.1.3.2.2.cmml">Δ</mi><mo id="S3.I1.i1.p3.7.m1.1.1.3.2.1" xref="S3.I1.i1.p3.7.m1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.I1.i1.p3.7.m1.1.1.3.2.3" xref="S3.I1.i1.p3.7.m1.1.1.3.2.3.cmml">g</mi></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I1.i1.p3.7.m1.1b"><apply id="S3.I1.i1.p3.7.m1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.7.m1.1.1"><eq id="S3.I1.i1.p3.7.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.7.m1.1.1.1"></eq><ci id="S3.I1.i1.p3.7.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.7.m1.1.1.2">𝑣</ci><apply id="S3.I1.i1.p3.7.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.7.m1.1.1.3"><minus id="S3.I1.i1.p3.7.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.7.m1.1.1.3"></minus><apply id="S3.I1.i1.p3.7.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.7.m1.1.1.3.2"><times id="S3.I1.i1.p3.7.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.7.m1.1.1.3.2.1"></times><ci id="S3.I1.i1.p3.7.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.7.m1.1.1.3.2.2">Δ</ci><ci id="S3.I1.i1.p3.7.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.7.m1.1.1.3.2.3">𝑔</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I1.i1.p3.7.m1.1c">v=-\Delta g</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I1.i1.p3.7.m1.1d">italic_v = - roman_Δ italic_g</annotation></semantics></math> and <math alttext="\|v\|_{\mathrm{Lip}^{*}}=\||\nabla g|\|_{L^{1}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.i1.p3.8.m2.2"><semantics id="S3.I1.i1.p3.8.m2.2a"><mrow id="S3.I1.i1.p3.8.m2.2.2" xref="S3.I1.i1.p3.8.m2.2.2.cmml"><msub id="S3.I1.i1.p3.8.m2.2.2.3" xref="S3.I1.i1.p3.8.m2.2.2.3.cmml"><mrow id="S3.I1.i1.p3.8.m2.2.2.3.2.2" xref="S3.I1.i1.p3.8.m2.2.2.3.2.1.cmml"><mo id="S3.I1.i1.p3.8.m2.2.2.3.2.2.1" stretchy="false" xref="S3.I1.i1.p3.8.m2.2.2.3.2.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S3.I1.i1.p3.8.m2.1.1" xref="S3.I1.i1.p3.8.m2.1.1.cmml">v</mi><mo id="S3.I1.i1.p3.8.m2.2.2.3.2.2.2" stretchy="false" xref="S3.I1.i1.p3.8.m2.2.2.3.2.1.1.cmml">‖</mo></mrow><msup id="S3.I1.i1.p3.8.m2.2.2.3.3" xref="S3.I1.i1.p3.8.m2.2.2.3.3.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p3.8.m2.2.2.3.3.2" xref="S3.I1.i1.p3.8.m2.2.2.3.3.2.cmml">Lip</mi><mo id="S3.I1.i1.p3.8.m2.2.2.3.3.3" xref="S3.I1.i1.p3.8.m2.2.2.3.3.3.cmml">∗</mo></msup></msub><mo id="S3.I1.i1.p3.8.m2.2.2.2" xref="S3.I1.i1.p3.8.m2.2.2.2.cmml">=</mo><msub id="S3.I1.i1.p3.8.m2.2.2.1" xref="S3.I1.i1.p3.8.m2.2.2.1.cmml"><mrow id="S3.I1.i1.p3.8.m2.2.2.1.1.1" xref="S3.I1.i1.p3.8.m2.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S3.I1.i1.p3.8.m2.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.I1.i1.p3.8.m2.2.2.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S3.I1.i1.p3.8.m2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.I1.i1.p3.8.m2.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.I1.i1.p3.8.m2.2.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.I1.i1.p3.8.m2.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S3.I1.i1.p3.8.m2.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.I1.i1.p3.8.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.I1.i1.p3.8.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1" rspace="0.167em" xref="S3.I1.i1.p3.8.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">∇</mo><mi id="S3.I1.i1.p3.8.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.I1.i1.p3.8.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">g</mi></mrow><mo id="S3.I1.i1.p3.8.m2.2.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.I1.i1.p3.8.m2.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S3.I1.i1.p3.8.m2.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.I1.i1.p3.8.m2.2.2.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><msup id="S3.I1.i1.p3.8.m2.2.2.1.3" xref="S3.I1.i1.p3.8.m2.2.2.1.3.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p3.8.m2.2.2.1.3.2" xref="S3.I1.i1.p3.8.m2.2.2.1.3.2.cmml">L</mi><mn id="S3.I1.i1.p3.8.m2.2.2.1.3.3" xref="S3.I1.i1.p3.8.m2.2.2.1.3.3.cmml">1</mn></msup></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I1.i1.p3.8.m2.2b"><apply id="S3.I1.i1.p3.8.m2.2.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.8.m2.2.2"><eq id="S3.I1.i1.p3.8.m2.2.2.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.8.m2.2.2.2"></eq><apply id="S3.I1.i1.p3.8.m2.2.2.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.8.m2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p3.8.m2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.8.m2.2.2.3">subscript</csymbol><apply id="S3.I1.i1.p3.8.m2.2.2.3.2.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.8.m2.2.2.3.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.I1.i1.p3.8.m2.2.2.3.2.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.8.m2.2.2.3.2.2.1">norm</csymbol><ci id="S3.I1.i1.p3.8.m2.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.8.m2.1.1">𝑣</ci></apply><apply id="S3.I1.i1.p3.8.m2.2.2.3.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.8.m2.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p3.8.m2.2.2.3.3.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.8.m2.2.2.3.3">superscript</csymbol><ci id="S3.I1.i1.p3.8.m2.2.2.3.3.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.8.m2.2.2.3.3.2">Lip</ci><times id="S3.I1.i1.p3.8.m2.2.2.3.3.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.8.m2.2.2.3.3.3"></times></apply></apply><apply id="S3.I1.i1.p3.8.m2.2.2.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.8.m2.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p3.8.m2.2.2.1.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.8.m2.2.2.1">subscript</csymbol><apply id="S3.I1.i1.p3.8.m2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.8.m2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.I1.i1.p3.8.m2.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.8.m2.2.2.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S3.I1.i1.p3.8.m2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.8.m2.2.2.1.1.1.1.1"><abs id="S3.I1.i1.p3.8.m2.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.8.m2.2.2.1.1.1.1.1.2"></abs><apply id="S3.I1.i1.p3.8.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.8.m2.2.2.1.1.1.1.1.1"><ci id="S3.I1.i1.p3.8.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.8.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1">∇</ci><ci id="S3.I1.i1.p3.8.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.8.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2">𝑔</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.I1.i1.p3.8.m2.2.2.1.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.8.m2.2.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p3.8.m2.2.2.1.3.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.8.m2.2.2.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.I1.i1.p3.8.m2.2.2.1.3.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.8.m2.2.2.1.3.2">𝐿</ci><cn id="S3.I1.i1.p3.8.m2.2.2.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.I1.i1.p3.8.m2.2.2.1.3.3">1</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I1.i1.p3.8.m2.2c">\|v\|_{\mathrm{Lip}^{*}}=\||\nabla g|\|_{L^{1}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I1.i1.p3.8.m2.2d">∥ italic_v ∥ start_POSTSUBSCRIPT roman_Lip start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT = ∥ | ∇ italic_g | ∥ start_POSTSUBSCRIPT italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, therefore, we obtain that <math alttext="\|v\|_{\mathrm{Lip}^{*}}\leq\liminf_{k\to\infty}\|v_{k}\|_{\mathrm{Lip}^{*}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.i1.p3.9.m3.2"><semantics id="S3.I1.i1.p3.9.m3.2a"><mrow id="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2" xref="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2.cmml"><msub id="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2.3" xref="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2.3.cmml"><mrow id="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2.3.2.2" xref="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2.3.2.1.cmml"><mo id="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2.3.2.2.1" stretchy="false" xref="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2.3.2.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S3.I1.i1.p3.9.m3.1.1" xref="S3.I1.i1.p3.9.m3.1.1.cmml">v</mi><mo id="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2.3.2.2.2" stretchy="false" xref="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2.3.2.1.1.cmml">‖</mo></mrow><msup id="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2.3.3" xref="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2.3.3.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2.3.3.2" xref="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2.3.3.2.cmml">Lip</mi><mo id="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2.3.3.3" xref="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2.3.3.3.cmml">∗</mo></msup></msub><mo id="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2.2" rspace="0.1389em" xref="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2.2.cmml">≤</mo><mrow id="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2.1" xref="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2.1.cmml"><msub id="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2.1.2" xref="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2.1.2.cmml"><mo id="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2.1.2.2" lspace="0.1389em" rspace="0em" xref="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2.1.2.2.cmml">lim inf</mo><mrow id="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2.1.2.3" xref="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2.1.2.3.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2.1.2.3.2" xref="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2.1.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2.1.2.3.1" stretchy="false" xref="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2.1.2.3.1.cmml">→</mo><mi id="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2.1.2.3.3" mathvariant="normal" xref="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2.1.2.3.3.cmml">∞</mi></mrow></msub><msub id="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2.1.1" xref="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2.1.1.1.1" xref="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><msub id="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">v</mi><mi id="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><msup id="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2.1.1.3" xref="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2.1.1.3.2" xref="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2.1.1.3.2.cmml">Lip</mi><mo id="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2.1.1.3.3" xref="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2.1.1.3.3.cmml">∗</mo></msup></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I1.i1.p3.9.m3.2b"><apply id="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2"><leq id="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2.2"></leq><apply id="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2.3.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2.3">subscript</csymbol><apply id="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2.3.2.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2.3.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2.3.2.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2.3.2.2.1">norm</csymbol><ci id="S3.I1.i1.p3.9.m3.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.9.m3.1.1">𝑣</ci></apply><apply id="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2.3.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2.3.3.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2.3.3">superscript</csymbol><ci id="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2.3.3.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2.3.3.2">Lip</ci><times id="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2.3.3.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2.3.3.3"></times></apply></apply><apply id="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2.1"><apply id="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2.1.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2.1.2.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2.1.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2.1.2.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2.1.2.2">limit-infimum</csymbol><apply id="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2.1.2.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2.1.2.3"><ci id="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2.1.2.3.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2.1.2.3.1">→</ci><ci id="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2.1.2.3.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2.1.2.3.2">𝑘</ci><infinity id="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2.1.2.3.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2.1.2.3.3"></infinity></apply></apply><apply id="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2.1.1.1.1.1.2">𝑣</ci><ci id="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2.1.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2.1.1.3.2">Lip</ci><times id="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p3.9.m3.2.2.1.1.3.3"></times></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I1.i1.p3.9.m3.2c">\|v\|_{\mathrm{Lip}^{*}}\leq\liminf_{k\to\infty}\|v_{k}\|_{\mathrm{Lip}^{*}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I1.i1.p3.9.m3.2d">∥ italic_v ∥ start_POSTSUBSCRIPT roman_Lip start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ≤ lim inf start_POSTSUBSCRIPT italic_k → ∞ end_POSTSUBSCRIPT ∥ italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUBSCRIPT roman_Lip start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.I1.i1.p4"> <p class="ltx_p" id="S3.I1.i1.p4.1">Similarly, we have <math alttext="\int_{\Omega}|f-u-v|^{2}\leq\liminf_{k\to\infty}\int_{\Omega}|f-u_{k}-v_{k}|^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.i1.p4.1.m1.2"><semantics id="S3.I1.i1.p4.1.m1.2a"><mrow id="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2" xref="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.cmml"><mrow id="S3.I1.i1.p4.1.m1.1.1.1" xref="S3.I1.i1.p4.1.m1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.I1.i1.p4.1.m1.1.1.1.2" xref="S3.I1.i1.p4.1.m1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.I1.i1.p4.1.m1.1.1.1.2.2" xref="S3.I1.i1.p4.1.m1.1.1.1.2.2.cmml">∫</mo><mi id="S3.I1.i1.p4.1.m1.1.1.1.2.3" mathvariant="normal" xref="S3.I1.i1.p4.1.m1.1.1.1.2.3.cmml">Ω</mi></msub><msup id="S3.I1.i1.p4.1.m1.1.1.1.1" xref="S3.I1.i1.p4.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.I1.i1.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.I1.i1.p4.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.I1.i1.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.2" lspace="0em" stretchy="false" xref="S3.I1.i1.p4.1.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S3.I1.i1.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.I1.i1.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.I1.i1.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">f</mi><mo id="S3.I1.i1.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.I1.i1.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S3.I1.i1.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.I1.i1.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">u</mi><mo id="S3.I1.i1.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S3.I1.i1.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S3.I1.i1.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S3.I1.i1.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">v</mi></mrow><mo id="S3.I1.i1.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.I1.i1.p4.1.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mn id="S3.I1.i1.p4.1.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.I1.i1.p4.1.m1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.3" rspace="0.1389em" xref="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.3.cmml">≤</mo><mrow id="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.2" xref="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.2.cmml"><msub id="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.2.2" xref="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.2.2.cmml"><mo id="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.2.2.2" lspace="0.1389em" rspace="0em" xref="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.2.2.2.cmml">lim inf</mo><mrow id="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.2.2.3" xref="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.2.2.3.2" xref="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.2.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.2.2.3.1" stretchy="false" xref="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.2.2.3.1.cmml">→</mo><mi id="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.2.2.3.3" mathvariant="normal" xref="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.2.2.3.3.cmml">∞</mi></mrow></msub><mrow id="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.2.1" xref="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.2.1.cmml"><msub id="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.2.1.2" xref="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.2.1.2.cmml"><mo id="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.2.1.2.2" rspace="0em" xref="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.2.1.2.2.cmml">∫</mo><mi id="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.2.1.2.3" mathvariant="normal" xref="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.2.1.2.3.cmml">Ω</mi></msub><msup id="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.2.1.1" xref="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.2.1.1.1.1" xref="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">f</mi><mo id="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml">u</mi><mi id="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1a" xref="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.4" xref="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.4.2" xref="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.4.2.cmml">v</mi><mi id="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.4.3" xref="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.4.3.cmml">k</mi></msub></mrow><mo id="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mn id="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.2.1.1.3" xref="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.2.1.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I1.i1.p4.1.m1.2b"><apply id="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2"><leq id="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.3"></leq><apply id="S3.I1.i1.p4.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p4.1.m1.1.1.1"><apply id="S3.I1.i1.p4.1.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p4.1.m1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p4.1.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p4.1.m1.1.1.1.2">subscript</csymbol><int id="S3.I1.i1.p4.1.m1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p4.1.m1.1.1.1.2.2"></int><ci id="S3.I1.i1.p4.1.m1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p4.1.m1.1.1.1.2.3">Ω</ci></apply><apply id="S3.I1.i1.p4.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p4.1.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p4.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p4.1.m1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.I1.i1.p4.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1"><abs id="S3.I1.i1.p4.1.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.2"></abs><apply id="S3.I1.i1.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S3.I1.i1.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S3.I1.i1.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑓</ci><ci id="S3.I1.i1.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑢</ci><ci id="S3.I1.i1.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.I1.i1.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.4">𝑣</ci></apply></apply><cn id="S3.I1.i1.p4.1.m1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.I1.i1.p4.1.m1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply><apply id="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.2"><apply id="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.2.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.2.2.2">limit-infimum</csymbol><apply id="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.2.2.3"><ci id="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.2.2.3.1">→</ci><ci id="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.2.2.3.2">𝑘</ci><infinity id="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.2.2.3.3"></infinity></apply></apply><apply id="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.2.1"><apply id="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.2.1.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.2.1.2.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.2.1.2">subscript</csymbol><int id="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.2.1.2.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.2.1.2.2"></int><ci id="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.2.1.2.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.2.1.2.3">Ω</ci></apply><apply id="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.2.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.2.1.1.1.1"><abs id="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.2"></abs><apply id="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1"><minus id="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.2">𝑓</ci><apply id="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.2">𝑢</ci><ci id="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply><apply id="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.4.2">𝑣</ci><ci id="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.4.3">𝑘</ci></apply></apply></apply><cn id="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.I1.i1.p4.1.m1.2.2.2.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I1.i1.p4.1.m1.2c">\int_{\Omega}|f-u-v|^{2}\leq\liminf_{k\to\infty}\int_{\Omega}|f-u_{k}-v_{k}|^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I1.i1.p4.1.m1.2d">∫ start_POSTSUBSCRIPT roman_Ω end_POSTSUBSCRIPT | italic_f - italic_u - italic_v | start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ≤ lim inf start_POSTSUBSCRIPT italic_k → ∞ end_POSTSUBSCRIPT ∫ start_POSTSUBSCRIPT roman_Ω end_POSTSUBSCRIPT | italic_f - italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT - italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT | start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.I1.i1.p5"> <p class="ltx_p" id="S3.I1.i1.p5.3">Finally, we deduce that <math alttext="F(u,v)\leq\liminf_{k\to\infty}F(u_{k},v_{k})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.i1.p5.1.m1.4"><semantics id="S3.I1.i1.p5.1.m1.4a"><mrow id="S3.I1.i1.p5.1.m1.4.4" xref="S3.I1.i1.p5.1.m1.4.4.cmml"><mrow id="S3.I1.i1.p5.1.m1.4.4.4" xref="S3.I1.i1.p5.1.m1.4.4.4.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p5.1.m1.4.4.4.2" xref="S3.I1.i1.p5.1.m1.4.4.4.2.cmml">F</mi><mo id="S3.I1.i1.p5.1.m1.4.4.4.1" xref="S3.I1.i1.p5.1.m1.4.4.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I1.i1.p5.1.m1.4.4.4.3.2" xref="S3.I1.i1.p5.1.m1.4.4.4.3.1.cmml"><mo id="S3.I1.i1.p5.1.m1.4.4.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.I1.i1.p5.1.m1.4.4.4.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.I1.i1.p5.1.m1.1.1" xref="S3.I1.i1.p5.1.m1.1.1.cmml">u</mi><mo id="S3.I1.i1.p5.1.m1.4.4.4.3.2.2" xref="S3.I1.i1.p5.1.m1.4.4.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.I1.i1.p5.1.m1.2.2" xref="S3.I1.i1.p5.1.m1.2.2.cmml">v</mi><mo id="S3.I1.i1.p5.1.m1.4.4.4.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.I1.i1.p5.1.m1.4.4.4.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.I1.i1.p5.1.m1.4.4.3" rspace="0.1389em" xref="S3.I1.i1.p5.1.m1.4.4.3.cmml">≤</mo><mrow id="S3.I1.i1.p5.1.m1.4.4.2" xref="S3.I1.i1.p5.1.m1.4.4.2.cmml"><msub id="S3.I1.i1.p5.1.m1.4.4.2.3" xref="S3.I1.i1.p5.1.m1.4.4.2.3.cmml"><mo id="S3.I1.i1.p5.1.m1.4.4.2.3.2" lspace="0.1389em" rspace="0.167em" xref="S3.I1.i1.p5.1.m1.4.4.2.3.2.cmml">lim inf</mo><mrow id="S3.I1.i1.p5.1.m1.4.4.2.3.3" xref="S3.I1.i1.p5.1.m1.4.4.2.3.3.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p5.1.m1.4.4.2.3.3.2" xref="S3.I1.i1.p5.1.m1.4.4.2.3.3.2.cmml">k</mi><mo id="S3.I1.i1.p5.1.m1.4.4.2.3.3.1" stretchy="false" xref="S3.I1.i1.p5.1.m1.4.4.2.3.3.1.cmml">→</mo><mi id="S3.I1.i1.p5.1.m1.4.4.2.3.3.3" mathvariant="normal" xref="S3.I1.i1.p5.1.m1.4.4.2.3.3.3.cmml">∞</mi></mrow></msub><mrow id="S3.I1.i1.p5.1.m1.4.4.2.2" xref="S3.I1.i1.p5.1.m1.4.4.2.2.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p5.1.m1.4.4.2.2.4" xref="S3.I1.i1.p5.1.m1.4.4.2.2.4.cmml">F</mi><mo id="S3.I1.i1.p5.1.m1.4.4.2.2.3" xref="S3.I1.i1.p5.1.m1.4.4.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I1.i1.p5.1.m1.4.4.2.2.2.2" xref="S3.I1.i1.p5.1.m1.4.4.2.2.2.3.cmml"><mo id="S3.I1.i1.p5.1.m1.4.4.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.I1.i1.p5.1.m1.4.4.2.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="S3.I1.i1.p5.1.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S3.I1.i1.p5.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p5.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="S3.I1.i1.p5.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml">u</mi><mi id="S3.I1.i1.p5.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="S3.I1.i1.p5.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.I1.i1.p5.1.m1.4.4.2.2.2.2.4" xref="S3.I1.i1.p5.1.m1.4.4.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.I1.i1.p5.1.m1.4.4.2.2.2.2.2" xref="S3.I1.i1.p5.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p5.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.2" xref="S3.I1.i1.p5.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.2.cmml">v</mi><mi id="S3.I1.i1.p5.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.3" xref="S3.I1.i1.p5.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.I1.i1.p5.1.m1.4.4.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.I1.i1.p5.1.m1.4.4.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I1.i1.p5.1.m1.4b"><apply id="S3.I1.i1.p5.1.m1.4.4.cmml" xref="S3.I1.i1.p5.1.m1.4.4"><leq id="S3.I1.i1.p5.1.m1.4.4.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p5.1.m1.4.4.3"></leq><apply id="S3.I1.i1.p5.1.m1.4.4.4.cmml" xref="S3.I1.i1.p5.1.m1.4.4.4"><times id="S3.I1.i1.p5.1.m1.4.4.4.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p5.1.m1.4.4.4.1"></times><ci id="S3.I1.i1.p5.1.m1.4.4.4.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p5.1.m1.4.4.4.2">𝐹</ci><interval closure="open" id="S3.I1.i1.p5.1.m1.4.4.4.3.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p5.1.m1.4.4.4.3.2"><ci id="S3.I1.i1.p5.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p5.1.m1.1.1">𝑢</ci><ci id="S3.I1.i1.p5.1.m1.2.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p5.1.m1.2.2">𝑣</ci></interval></apply><apply id="S3.I1.i1.p5.1.m1.4.4.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p5.1.m1.4.4.2"><apply id="S3.I1.i1.p5.1.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p5.1.m1.4.4.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p5.1.m1.4.4.2.3.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p5.1.m1.4.4.2.3">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S3.I1.i1.p5.1.m1.4.4.2.3.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p5.1.m1.4.4.2.3.2">limit-infimum</csymbol><apply id="S3.I1.i1.p5.1.m1.4.4.2.3.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p5.1.m1.4.4.2.3.3"><ci id="S3.I1.i1.p5.1.m1.4.4.2.3.3.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p5.1.m1.4.4.2.3.3.1">→</ci><ci id="S3.I1.i1.p5.1.m1.4.4.2.3.3.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p5.1.m1.4.4.2.3.3.2">𝑘</ci><infinity id="S3.I1.i1.p5.1.m1.4.4.2.3.3.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p5.1.m1.4.4.2.3.3.3"></infinity></apply></apply><apply id="S3.I1.i1.p5.1.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p5.1.m1.4.4.2.2"><times id="S3.I1.i1.p5.1.m1.4.4.2.2.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p5.1.m1.4.4.2.2.3"></times><ci id="S3.I1.i1.p5.1.m1.4.4.2.2.4.cmml" xref="S3.I1.i1.p5.1.m1.4.4.2.2.4">𝐹</ci><interval closure="open" id="S3.I1.i1.p5.1.m1.4.4.2.2.2.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p5.1.m1.4.4.2.2.2.2"><apply id="S3.I1.i1.p5.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p5.1.m1.3.3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p5.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p5.1.m1.3.3.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.i1.p5.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p5.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.2">𝑢</ci><ci id="S3.I1.i1.p5.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p5.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply><apply id="S3.I1.i1.p5.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p5.1.m1.4.4.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p5.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p5.1.m1.4.4.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.i1.p5.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p5.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.2">𝑣</ci><ci id="S3.I1.i1.p5.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p5.1.m1.4.4.2.2.2.2.2.3">𝑘</ci></apply></interval></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I1.i1.p5.1.m1.4c">F(u,v)\leq\liminf_{k\to\infty}F(u_{k},v_{k})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I1.i1.p5.1.m1.4d">italic_F ( italic_u , italic_v ) ≤ lim inf start_POSTSUBSCRIPT italic_k → ∞ end_POSTSUBSCRIPT italic_F ( italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT , italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> and therefore <math alttext="(u,v)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.i1.p5.2.m2.2"><semantics id="S3.I1.i1.p5.2.m2.2a"><mrow id="S3.I1.i1.p5.2.m2.2.3.2" xref="S3.I1.i1.p5.2.m2.2.3.1.cmml"><mo id="S3.I1.i1.p5.2.m2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.I1.i1.p5.2.m2.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.I1.i1.p5.2.m2.1.1" xref="S3.I1.i1.p5.2.m2.1.1.cmml">u</mi><mo id="S3.I1.i1.p5.2.m2.2.3.2.2" xref="S3.I1.i1.p5.2.m2.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.I1.i1.p5.2.m2.2.2" xref="S3.I1.i1.p5.2.m2.2.2.cmml">v</mi><mo id="S3.I1.i1.p5.2.m2.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.I1.i1.p5.2.m2.2.3.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I1.i1.p5.2.m2.2b"><interval closure="open" id="S3.I1.i1.p5.2.m2.2.3.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p5.2.m2.2.3.2"><ci id="S3.I1.i1.p5.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p5.2.m2.1.1">𝑢</ci><ci id="S3.I1.i1.p5.2.m2.2.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p5.2.m2.2.2">𝑣</ci></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I1.i1.p5.2.m2.2c">(u,v)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I1.i1.p5.2.m2.2d">( italic_u , italic_v )</annotation></semantics></math> minimizes <math alttext="F" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.i1.p5.3.m3.1"><semantics id="S3.I1.i1.p5.3.m3.1a"><mi id="S3.I1.i1.p5.3.m3.1.1" xref="S3.I1.i1.p5.3.m3.1.1.cmml">F</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I1.i1.p5.3.m3.1b"><ci id="S3.I1.i1.p5.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p5.3.m3.1.1">𝐹</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I1.i1.p5.3.m3.1c">F</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I1.i1.p5.3.m3.1d">italic_F</annotation></semantics></math>.</p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S3.I1.i2" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">•</span> <div class="ltx_para" id="S3.I1.i2.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.I1.i2.p1.4">Uniqueness. If <math alttext="(u,v)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.i2.p1.1.m1.2"><semantics id="S3.I1.i2.p1.1.m1.2a"><mrow id="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.3.2" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.3.1.cmml"><mo id="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.I1.i2.p1.1.m1.1.1" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.1.1.cmml">u</mi><mo id="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.3.2.2" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.cmml">v</mi><mo id="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.3.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I1.i2.p1.1.m1.2b"><interval closure="open" id="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.3.2"><ci id="S3.I1.i2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.1.1">𝑢</ci><ci id="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.2.2">𝑣</ci></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I1.i2.p1.1.m1.2c">(u,v)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I1.i2.p1.1.m1.2d">( italic_u , italic_v )</annotation></semantics></math> are minimizers of (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S3.E31" title="In Theorem 3.1 ‣ 3.2 Existence and uniqueness of minimizers ‣ 3 The Proposed Image Restoration Models ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">31</span></a>), we can show that <math alttext="\int_{\Omega}fdx=\int_{\Omega}udx" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.i2.p1.2.m2.1"><semantics id="S3.I1.i2.p1.2.m2.1a"><mrow id="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.cmml"><mrow id="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2.cmml"><msub id="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2.1" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2.1.cmml"><mo id="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2.1.2" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2.1.2.cmml">∫</mo><mi id="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2.1.3.cmml">Ω</mi></msub><mrow id="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2.2" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2.2.2" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2.2.2.cmml">f</mi><mo id="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2.2.1" lspace="0em" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2.2.3" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2.2.3.1" rspace="0em" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2.2.3.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2.2.3.2" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2.2.3.2.cmml">x</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1" rspace="0.111em" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.cmml"><msub id="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.1" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.1.cmml"><mo id="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.1.2" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.1.2.cmml">∫</mo><mi id="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.1.3.cmml">Ω</mi></msub><mrow id="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.2" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.2.2" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.2.2.cmml">u</mi><mo id="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.2.1" lspace="0em" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.2.3" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.2.3.cmml"><mo id="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.2.3.1" rspace="0em" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.2.3.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.2.3.2" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.2.3.2.cmml">x</mi></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I1.i2.p1.2.m2.1b"><apply id="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1"><eq id="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1"></eq><apply id="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2"><apply id="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2.1.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2.1">subscript</csymbol><int id="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2.1.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2.1.2"></int><ci id="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2.1.3.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2.1.3">Ω</ci></apply><apply id="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2.2"><times id="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2.2.1"></times><ci id="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2.2.2">𝑓</ci><apply id="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2.2.3"><csymbol cd="latexml" id="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2.2.3.1">differential-d</csymbol><ci id="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2.2.3.2">𝑥</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3"><apply id="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.1.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.1">subscript</csymbol><int id="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.1.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.1.2"></int><ci id="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.1.3.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.1.3">Ω</ci></apply><apply id="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.2"><times id="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.2.1"></times><ci id="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.2.2">𝑢</ci><apply id="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.2.3"><csymbol cd="latexml" id="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.2.3.1">differential-d</csymbol><ci id="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.2.3.2">𝑥</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I1.i2.p1.2.m2.1c">\int_{\Omega}fdx=\int_{\Omega}udx</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I1.i2.p1.2.m2.1d">∫ start_POSTSUBSCRIPT roman_Ω end_POSTSUBSCRIPT italic_f italic_d italic_x = ∫ start_POSTSUBSCRIPT roman_Ω end_POSTSUBSCRIPT italic_u italic_d italic_x</annotation></semantics></math> as in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib22" title="">2007GarImage </a></cite>. Since <math alttext="\int_{\Omega}|\nabla u|=\int_{\Omega}|\nabla(u+c)|" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.i2.p1.3.m3.3"><semantics id="S3.I1.i2.p1.3.m3.3a"><mrow id="S3.I1.i2.p1.3.m3.3.3" xref="S3.I1.i2.p1.3.m3.3.3.cmml"><mrow id="S3.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1" xref="S3.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1.cmml"><msub id="S3.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1.2" xref="S3.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1.2.cmml"><mo id="S3.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1.2.2" xref="S3.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1.2.2.cmml">∫</mo><mi id="S3.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1.2.3" mathvariant="normal" xref="S3.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1.2.3.cmml">Ω</mi></msub><mrow id="S3.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1.1.1" xref="S3.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S3.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1.1.1.2" lspace="0em" stretchy="false" xref="S3.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S3.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1" xref="S3.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1.1" rspace="0.167em" xref="S3.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.cmml">∇</mo><mi id="S3.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1.2" xref="S3.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1.2.cmml">u</mi></mrow><mo id="S3.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow><mo id="S3.I1.i2.p1.3.m3.3.3.3" rspace="0.111em" xref="S3.I1.i2.p1.3.m3.3.3.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.I1.i2.p1.3.m3.3.3.2" xref="S3.I1.i2.p1.3.m3.3.3.2.cmml"><msub id="S3.I1.i2.p1.3.m3.3.3.2.2" xref="S3.I1.i2.p1.3.m3.3.3.2.2.cmml"><mo id="S3.I1.i2.p1.3.m3.3.3.2.2.2" rspace="0em" xref="S3.I1.i2.p1.3.m3.3.3.2.2.2.cmml">∫</mo><mi id="S3.I1.i2.p1.3.m3.3.3.2.2.3" mathvariant="normal" xref="S3.I1.i2.p1.3.m3.3.3.2.2.3.cmml">Ω</mi></msub><mrow id="S3.I1.i2.p1.3.m3.3.3.2.1.1" xref="S3.I1.i2.p1.3.m3.3.3.2.1.2.cmml"><mo id="S3.I1.i2.p1.3.m3.3.3.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.I1.i2.p1.3.m3.3.3.2.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S3.I1.i2.p1.3.m3.3.3.2.1.1.1.1" xref="S3.I1.i2.p1.3.m3.3.3.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.I1.i2.p1.3.m3.1.1" xref="S3.I1.i2.p1.3.m3.1.1.cmml">∇</mo><mrow id="S3.I1.i2.p1.3.m3.3.3.2.1.1.1.1.1" xref="S3.I1.i2.p1.3.m3.3.3.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.I1.i2.p1.3.m3.3.3.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.I1.i2.p1.3.m3.3.3.2.1.1.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S3.I1.i2.p1.3.m3.3.3.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.I1.i2.p1.3.m3.3.3.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.I1.i2.p1.3.m3.3.3.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.I1.i2.p1.3.m3.3.3.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">u</mi><mo id="S3.I1.i2.p1.3.m3.3.3.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.I1.i2.p1.3.m3.3.3.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mi id="S3.I1.i2.p1.3.m3.3.3.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.I1.i2.p1.3.m3.3.3.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">c</mi></mrow><mo id="S3.I1.i2.p1.3.m3.3.3.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.I1.i2.p1.3.m3.3.3.2.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.I1.i2.p1.3.m3.3.3.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.I1.i2.p1.3.m3.3.3.2.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I1.i2.p1.3.m3.3b"><apply id="S3.I1.i2.p1.3.m3.3.3.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.3.m3.3.3"><eq id="S3.I1.i2.p1.3.m3.3.3.3.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.3.m3.3.3.3"></eq><apply id="S3.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1"><apply id="S3.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1.2.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1.2">subscript</csymbol><int id="S3.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1.2.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1.2.2"></int><ci id="S3.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1.2.3.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1.2.3">Ω</ci></apply><apply id="S3.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1.1.1"><abs id="S3.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1.1.1.2"></abs><apply id="S3.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1"><ci id="S3.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1.1">∇</ci><ci id="S3.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.3.m3.2.2.1.1.1.1.2">𝑢</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.I1.i2.p1.3.m3.3.3.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.3.m3.3.3.2"><apply id="S3.I1.i2.p1.3.m3.3.3.2.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.3.m3.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i2.p1.3.m3.3.3.2.2.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.3.m3.3.3.2.2">subscript</csymbol><int id="S3.I1.i2.p1.3.m3.3.3.2.2.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.3.m3.3.3.2.2.2"></int><ci id="S3.I1.i2.p1.3.m3.3.3.2.2.3.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.3.m3.3.3.2.2.3">Ω</ci></apply><apply id="S3.I1.i2.p1.3.m3.3.3.2.1.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.3.m3.3.3.2.1.1"><abs id="S3.I1.i2.p1.3.m3.3.3.2.1.2.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.3.m3.3.3.2.1.1.2"></abs><apply id="S3.I1.i2.p1.3.m3.3.3.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.3.m3.3.3.2.1.1.1.1"><ci id="S3.I1.i2.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.3.m3.1.1">∇</ci><apply id="S3.I1.i2.p1.3.m3.3.3.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.3.m3.3.3.2.1.1.1.1.1.1"><plus id="S3.I1.i2.p1.3.m3.3.3.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.3.m3.3.3.2.1.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S3.I1.i2.p1.3.m3.3.3.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.3.m3.3.3.2.1.1.1.1.1.1.2">𝑢</ci><ci id="S3.I1.i2.p1.3.m3.3.3.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.3.m3.3.3.2.1.1.1.1.1.1.3">𝑐</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I1.i2.p1.3.m3.3c">\int_{\Omega}|\nabla u|=\int_{\Omega}|\nabla(u+c)|</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I1.i2.p1.3.m3.3d">∫ start_POSTSUBSCRIPT roman_Ω end_POSTSUBSCRIPT | ∇ italic_u | = ∫ start_POSTSUBSCRIPT roman_Ω end_POSTSUBSCRIPT | ∇ ( italic_u + italic_c ) |</annotation></semantics></math> for every constant <math alttext="c" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.i2.p1.4.m4.1"><semantics id="S3.I1.i2.p1.4.m4.1a"><mi id="S3.I1.i2.p1.4.m4.1.1" xref="S3.I1.i2.p1.4.m4.1.1.cmml">c</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I1.i2.p1.4.m4.1b"><ci id="S3.I1.i2.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.4.m4.1.1">𝑐</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I1.i2.p1.4.m4.1c">c</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I1.i2.p1.4.m4.1d">italic_c</annotation></semantics></math>, we also have</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E41"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\min_{c\in\mathbb{R}}\int_{\Omega}|f-(u+c)-v|^{2}dx=\int_{\Omega}|f-u-v|^{2}dx." class="ltx_Math" display="block" id="S3.E41.m1.1"><semantics id="S3.E41.m1.1a"><mrow id="S3.E41.m1.1.1.1" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E41.m1.1.1.1.1" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E41.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.1.cmml"><munder id="S3.E41.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E41.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">min</mi><mrow id="S3.E41.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.E41.m1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">c</mi><mo id="S3.E41.m1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">∈</mo><mi id="S3.E41.m1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">ℝ</mi></mrow></munder><mo id="S3.E41.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E41.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E41.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E41.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" rspace="0em" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">∫</mo><mi id="S3.E41.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" mathvariant="normal" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">Ω</mi></msub><mrow id="S3.E41.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S3.E41.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E41.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E41.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S3.E41.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E41.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">f</mi><mo id="S3.E41.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="S3.E41.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E41.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E41.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E41.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">u</mi><mo id="S3.E41.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mi id="S3.E41.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">c</mi></mrow><mo id="S3.E41.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" 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xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S3.E41.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.4" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.4.cmml">v</mi></mrow><mo id="S3.E41.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mn id="S3.E41.m1.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.E41.m1.1.1.1.1.2.1.2" lspace="0em" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E41.m1.1.1.1.1.2.1.3" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.2.1.3.cmml"><mo id="S3.E41.m1.1.1.1.1.2.1.3.1" rspace="0em" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.2.1.3.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S3.E41.m1.1.1.1.1.2.1.3.2" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.2.1.3.2.cmml">x</mi></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E41.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E41.m1.1b"><apply id="S3.E41.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E41.m1.1.1.1"><eq id="S3.E41.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.3"></eq><apply 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xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.1.1.2.2"></int><ci id="S3.E41.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.1.1.2.3">Ω</ci></apply><apply id="S3.E41.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.E41.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.E41.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E41.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.E41.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><abs id="S3.E41.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></abs><apply id="S3.E41.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S3.E41.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></minus><ci id="S3.E41.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑓</ci><apply id="S3.E41.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S3.E41.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S3.E41.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑢</ci><ci id="S3.E41.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑐</ci></apply><ci id="S3.E41.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4">𝑣</ci></apply></apply><cn id="S3.E41.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply><apply id="S3.E41.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S3.E41.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1">differential-d</csymbol><ci id="S3.E41.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑥</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E41.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.2"><apply id="S3.E41.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E41.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><int id="S3.E41.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.2.2.2"></int><ci id="S3.E41.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.2.2.3">Ω</ci></apply><apply id="S3.E41.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.2.1"><times id="S3.E41.m1.1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.2.1.2"></times><apply id="S3.E41.m1.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E41.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.2.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.E41.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1"><abs id="S3.E41.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2"></abs><apply id="S3.E41.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1"><minus id="S3.E41.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S3.E41.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2">𝑓</ci><ci id="S3.E41.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3">𝑢</ci><ci id="S3.E41.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.4">𝑣</ci></apply></apply><cn id="S3.E41.m1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.2.1.1.3">2</cn></apply><apply id="S3.E41.m1.1.1.1.1.2.1.3.cmml" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.2.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S3.E41.m1.1.1.1.1.2.1.3.1.cmml" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.2.1.3.1">differential-d</csymbol><ci id="S3.E41.m1.1.1.1.1.2.1.3.2.cmml" xref="S3.E41.m1.1.1.1.1.2.1.3.2">𝑥</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E41.m1.1c">\min_{c\in\mathbb{R}}\int_{\Omega}|f-(u+c)-v|^{2}dx=\int_{\Omega}|f-u-v|^{2}dx.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E41.m1.1d">roman_min start_POSTSUBSCRIPT italic_c ∈ blackboard_R end_POSTSUBSCRIPT ∫ start_POSTSUBSCRIPT roman_Ω end_POSTSUBSCRIPT | italic_f - ( italic_u + italic_c ) - italic_v | start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_d italic_x = ∫ start_POSTSUBSCRIPT roman_Ω end_POSTSUBSCRIPT | italic_f - italic_u - italic_v | start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_d italic_x .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(41)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.I1.i2.p1.10">But <math alttext="c=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.i2.p1.5.m1.1"><semantics id="S3.I1.i2.p1.5.m1.1a"><mrow id="S3.I1.i2.p1.5.m1.1.1" xref="S3.I1.i2.p1.5.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.I1.i2.p1.5.m1.1.1.2" xref="S3.I1.i2.p1.5.m1.1.1.2.cmml">c</mi><mo id="S3.I1.i2.p1.5.m1.1.1.1" xref="S3.I1.i2.p1.5.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S3.I1.i2.p1.5.m1.1.1.3" xref="S3.I1.i2.p1.5.m1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I1.i2.p1.5.m1.1b"><apply id="S3.I1.i2.p1.5.m1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.5.m1.1.1"><eq id="S3.I1.i2.p1.5.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.5.m1.1.1.1"></eq><ci id="S3.I1.i2.p1.5.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.5.m1.1.1.2">𝑐</ci><cn id="S3.I1.i2.p1.5.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.I1.i2.p1.5.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I1.i2.p1.5.m1.1c">c=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I1.i2.p1.5.m1.1d">italic_c = 0</annotation></semantics></math> is the unique minimizer of this quadratic function, and in addition <math alttext="c=\int_{\Omega}(f-u-v)dx" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.i2.p1.6.m2.1"><semantics id="S3.I1.i2.p1.6.m2.1a"><mrow id="S3.I1.i2.p1.6.m2.1.1" xref="S3.I1.i2.p1.6.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.I1.i2.p1.6.m2.1.1.3" xref="S3.I1.i2.p1.6.m2.1.1.3.cmml">c</mi><mo id="S3.I1.i2.p1.6.m2.1.1.2" rspace="0.111em" xref="S3.I1.i2.p1.6.m2.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.I1.i2.p1.6.m2.1.1.1" xref="S3.I1.i2.p1.6.m2.1.1.1.cmml"><msub id="S3.I1.i2.p1.6.m2.1.1.1.2" xref="S3.I1.i2.p1.6.m2.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.I1.i2.p1.6.m2.1.1.1.2.2" rspace="0em" xref="S3.I1.i2.p1.6.m2.1.1.1.2.2.cmml">∫</mo><mi id="S3.I1.i2.p1.6.m2.1.1.1.2.3" mathvariant="normal" xref="S3.I1.i2.p1.6.m2.1.1.1.2.3.cmml">Ω</mi></msub><mrow id="S3.I1.i2.p1.6.m2.1.1.1.1" xref="S3.I1.i2.p1.6.m2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.I1.i2.p1.6.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.I1.i2.p1.6.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.I1.i2.p1.6.m2.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.I1.i2.p1.6.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.I1.i2.p1.6.m2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.I1.i2.p1.6.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.I1.i2.p1.6.m2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.I1.i2.p1.6.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">f</mi><mo id="S3.I1.i2.p1.6.m2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.I1.i2.p1.6.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S3.I1.i2.p1.6.m2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.I1.i2.p1.6.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">u</mi><mo id="S3.I1.i2.p1.6.m2.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S3.I1.i2.p1.6.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S3.I1.i2.p1.6.m2.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S3.I1.i2.p1.6.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">v</mi></mrow><mo id="S3.I1.i2.p1.6.m2.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.I1.i2.p1.6.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.I1.i2.p1.6.m2.1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S3.I1.i2.p1.6.m2.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I1.i2.p1.6.m2.1.1.1.1.3" xref="S3.I1.i2.p1.6.m2.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S3.I1.i2.p1.6.m2.1.1.1.1.3.1" rspace="0em" xref="S3.I1.i2.p1.6.m2.1.1.1.1.3.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S3.I1.i2.p1.6.m2.1.1.1.1.3.2" xref="S3.I1.i2.p1.6.m2.1.1.1.1.3.2.cmml">x</mi></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I1.i2.p1.6.m2.1b"><apply id="S3.I1.i2.p1.6.m2.1.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.6.m2.1.1"><eq id="S3.I1.i2.p1.6.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.6.m2.1.1.2"></eq><ci id="S3.I1.i2.p1.6.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.6.m2.1.1.3">𝑐</ci><apply id="S3.I1.i2.p1.6.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.6.m2.1.1.1"><apply id="S3.I1.i2.p1.6.m2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.6.m2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i2.p1.6.m2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.6.m2.1.1.1.2">subscript</csymbol><int id="S3.I1.i2.p1.6.m2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.6.m2.1.1.1.2.2"></int><ci id="S3.I1.i2.p1.6.m2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.6.m2.1.1.1.2.3">Ω</ci></apply><apply id="S3.I1.i2.p1.6.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.6.m2.1.1.1.1"><times id="S3.I1.i2.p1.6.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.6.m2.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.I1.i2.p1.6.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.6.m2.1.1.1.1.1.1"><minus id="S3.I1.i2.p1.6.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.6.m2.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S3.I1.i2.p1.6.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.6.m2.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑓</ci><ci id="S3.I1.i2.p1.6.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.6.m2.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑢</ci><ci id="S3.I1.i2.p1.6.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.6.m2.1.1.1.1.1.1.1.4">𝑣</ci></apply><apply id="S3.I1.i2.p1.6.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.6.m2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S3.I1.i2.p1.6.m2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.6.m2.1.1.1.1.3.1">differential-d</csymbol><ci id="S3.I1.i2.p1.6.m2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.6.m2.1.1.1.1.3.2">𝑥</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I1.i2.p1.6.m2.1c">c=\int_{\Omega}(f-u-v)dx</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I1.i2.p1.6.m2.1d">italic_c = ∫ start_POSTSUBSCRIPT roman_Ω end_POSTSUBSCRIPT ( italic_f - italic_u - italic_v ) italic_d italic_x</annotation></semantics></math>. Thus, we have <math alttext="\int_{\Omega}(f-u-v)dx=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.i2.p1.7.m3.1"><semantics id="S3.I1.i2.p1.7.m3.1a"><mrow id="S3.I1.i2.p1.7.m3.1.1" xref="S3.I1.i2.p1.7.m3.1.1.cmml"><mrow id="S3.I1.i2.p1.7.m3.1.1.1" xref="S3.I1.i2.p1.7.m3.1.1.1.cmml"><msub id="S3.I1.i2.p1.7.m3.1.1.1.2" xref="S3.I1.i2.p1.7.m3.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.I1.i2.p1.7.m3.1.1.1.2.2" xref="S3.I1.i2.p1.7.m3.1.1.1.2.2.cmml">∫</mo><mi id="S3.I1.i2.p1.7.m3.1.1.1.2.3" mathvariant="normal" xref="S3.I1.i2.p1.7.m3.1.1.1.2.3.cmml">Ω</mi></msub><mrow id="S3.I1.i2.p1.7.m3.1.1.1.1" xref="S3.I1.i2.p1.7.m3.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.I1.i2.p1.7.m3.1.1.1.1.1.1" xref="S3.I1.i2.p1.7.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.I1.i2.p1.7.m3.1.1.1.1.1.1.2" lspace="0em" stretchy="false" xref="S3.I1.i2.p1.7.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.I1.i2.p1.7.m3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.I1.i2.p1.7.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.I1.i2.p1.7.m3.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.I1.i2.p1.7.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">f</mi><mo id="S3.I1.i2.p1.7.m3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.I1.i2.p1.7.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S3.I1.i2.p1.7.m3.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.I1.i2.p1.7.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">u</mi><mo id="S3.I1.i2.p1.7.m3.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S3.I1.i2.p1.7.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S3.I1.i2.p1.7.m3.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S3.I1.i2.p1.7.m3.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">v</mi></mrow><mo id="S3.I1.i2.p1.7.m3.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.I1.i2.p1.7.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.I1.i2.p1.7.m3.1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S3.I1.i2.p1.7.m3.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I1.i2.p1.7.m3.1.1.1.1.3" xref="S3.I1.i2.p1.7.m3.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S3.I1.i2.p1.7.m3.1.1.1.1.3.1" rspace="0em" xref="S3.I1.i2.p1.7.m3.1.1.1.1.3.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S3.I1.i2.p1.7.m3.1.1.1.1.3.2" xref="S3.I1.i2.p1.7.m3.1.1.1.1.3.2.cmml">x</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.I1.i2.p1.7.m3.1.1.2" xref="S3.I1.i2.p1.7.m3.1.1.2.cmml">=</mo><mn id="S3.I1.i2.p1.7.m3.1.1.3" xref="S3.I1.i2.p1.7.m3.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I1.i2.p1.7.m3.1b"><apply id="S3.I1.i2.p1.7.m3.1.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.7.m3.1.1"><eq id="S3.I1.i2.p1.7.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.7.m3.1.1.2"></eq><apply id="S3.I1.i2.p1.7.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.7.m3.1.1.1"><apply id="S3.I1.i2.p1.7.m3.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.7.m3.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i2.p1.7.m3.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.7.m3.1.1.1.2">subscript</csymbol><int id="S3.I1.i2.p1.7.m3.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.7.m3.1.1.1.2.2"></int><ci id="S3.I1.i2.p1.7.m3.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.7.m3.1.1.1.2.3">Ω</ci></apply><apply id="S3.I1.i2.p1.7.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.7.m3.1.1.1.1"><times id="S3.I1.i2.p1.7.m3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.7.m3.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.I1.i2.p1.7.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.7.m3.1.1.1.1.1.1"><minus id="S3.I1.i2.p1.7.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.7.m3.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S3.I1.i2.p1.7.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.7.m3.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑓</ci><ci id="S3.I1.i2.p1.7.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.7.m3.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑢</ci><ci id="S3.I1.i2.p1.7.m3.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.7.m3.1.1.1.1.1.1.1.4">𝑣</ci></apply><apply id="S3.I1.i2.p1.7.m3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.7.m3.1.1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S3.I1.i2.p1.7.m3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.7.m3.1.1.1.1.3.1">differential-d</csymbol><ci id="S3.I1.i2.p1.7.m3.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.7.m3.1.1.1.1.3.2">𝑥</ci></apply></apply></apply><cn id="S3.I1.i2.p1.7.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.I1.i2.p1.7.m3.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I1.i2.p1.7.m3.1c">\int_{\Omega}(f-u-v)dx=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I1.i2.p1.7.m3.1d">∫ start_POSTSUBSCRIPT roman_Ω end_POSTSUBSCRIPT ( italic_f - italic_u - italic_v ) italic_d italic_x = 0</annotation></semantics></math>. Therefore <math alttext="\int_{\Omega}fdx=\int_{\Omega}udx" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.i2.p1.8.m4.1"><semantics id="S3.I1.i2.p1.8.m4.1a"><mrow id="S3.I1.i2.p1.8.m4.1.1" xref="S3.I1.i2.p1.8.m4.1.1.cmml"><mrow id="S3.I1.i2.p1.8.m4.1.1.2" xref="S3.I1.i2.p1.8.m4.1.1.2.cmml"><msub id="S3.I1.i2.p1.8.m4.1.1.2.1" xref="S3.I1.i2.p1.8.m4.1.1.2.1.cmml"><mo id="S3.I1.i2.p1.8.m4.1.1.2.1.2" xref="S3.I1.i2.p1.8.m4.1.1.2.1.2.cmml">∫</mo><mi id="S3.I1.i2.p1.8.m4.1.1.2.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.I1.i2.p1.8.m4.1.1.2.1.3.cmml">Ω</mi></msub><mrow id="S3.I1.i2.p1.8.m4.1.1.2.2" xref="S3.I1.i2.p1.8.m4.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.I1.i2.p1.8.m4.1.1.2.2.2" xref="S3.I1.i2.p1.8.m4.1.1.2.2.2.cmml">f</mi><mo id="S3.I1.i2.p1.8.m4.1.1.2.2.1" lspace="0em" xref="S3.I1.i2.p1.8.m4.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I1.i2.p1.8.m4.1.1.2.2.3" xref="S3.I1.i2.p1.8.m4.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="S3.I1.i2.p1.8.m4.1.1.2.2.3.1" rspace="0em" xref="S3.I1.i2.p1.8.m4.1.1.2.2.3.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S3.I1.i2.p1.8.m4.1.1.2.2.3.2" xref="S3.I1.i2.p1.8.m4.1.1.2.2.3.2.cmml">x</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.I1.i2.p1.8.m4.1.1.1" rspace="0.111em" xref="S3.I1.i2.p1.8.m4.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.I1.i2.p1.8.m4.1.1.3" xref="S3.I1.i2.p1.8.m4.1.1.3.cmml"><msub id="S3.I1.i2.p1.8.m4.1.1.3.1" xref="S3.I1.i2.p1.8.m4.1.1.3.1.cmml"><mo id="S3.I1.i2.p1.8.m4.1.1.3.1.2" xref="S3.I1.i2.p1.8.m4.1.1.3.1.2.cmml">∫</mo><mi id="S3.I1.i2.p1.8.m4.1.1.3.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.I1.i2.p1.8.m4.1.1.3.1.3.cmml">Ω</mi></msub><mrow id="S3.I1.i2.p1.8.m4.1.1.3.2" xref="S3.I1.i2.p1.8.m4.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.I1.i2.p1.8.m4.1.1.3.2.2" xref="S3.I1.i2.p1.8.m4.1.1.3.2.2.cmml">u</mi><mo id="S3.I1.i2.p1.8.m4.1.1.3.2.1" lspace="0em" xref="S3.I1.i2.p1.8.m4.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I1.i2.p1.8.m4.1.1.3.2.3" xref="S3.I1.i2.p1.8.m4.1.1.3.2.3.cmml"><mo id="S3.I1.i2.p1.8.m4.1.1.3.2.3.1" rspace="0em" xref="S3.I1.i2.p1.8.m4.1.1.3.2.3.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S3.I1.i2.p1.8.m4.1.1.3.2.3.2" xref="S3.I1.i2.p1.8.m4.1.1.3.2.3.2.cmml">x</mi></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I1.i2.p1.8.m4.1b"><apply id="S3.I1.i2.p1.8.m4.1.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.8.m4.1.1"><eq id="S3.I1.i2.p1.8.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.8.m4.1.1.1"></eq><apply id="S3.I1.i2.p1.8.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.8.m4.1.1.2"><apply id="S3.I1.i2.p1.8.m4.1.1.2.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.8.m4.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i2.p1.8.m4.1.1.2.1.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.8.m4.1.1.2.1">subscript</csymbol><int id="S3.I1.i2.p1.8.m4.1.1.2.1.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.8.m4.1.1.2.1.2"></int><ci id="S3.I1.i2.p1.8.m4.1.1.2.1.3.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.8.m4.1.1.2.1.3">Ω</ci></apply><apply id="S3.I1.i2.p1.8.m4.1.1.2.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.8.m4.1.1.2.2"><times id="S3.I1.i2.p1.8.m4.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.8.m4.1.1.2.2.1"></times><ci id="S3.I1.i2.p1.8.m4.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.8.m4.1.1.2.2.2">𝑓</ci><apply id="S3.I1.i2.p1.8.m4.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.8.m4.1.1.2.2.3"><csymbol cd="latexml" id="S3.I1.i2.p1.8.m4.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.8.m4.1.1.2.2.3.1">differential-d</csymbol><ci id="S3.I1.i2.p1.8.m4.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.8.m4.1.1.2.2.3.2">𝑥</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.I1.i2.p1.8.m4.1.1.3.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.8.m4.1.1.3"><apply id="S3.I1.i2.p1.8.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.8.m4.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i2.p1.8.m4.1.1.3.1.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.8.m4.1.1.3.1">subscript</csymbol><int id="S3.I1.i2.p1.8.m4.1.1.3.1.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.8.m4.1.1.3.1.2"></int><ci id="S3.I1.i2.p1.8.m4.1.1.3.1.3.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.8.m4.1.1.3.1.3">Ω</ci></apply><apply id="S3.I1.i2.p1.8.m4.1.1.3.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.8.m4.1.1.3.2"><times id="S3.I1.i2.p1.8.m4.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.8.m4.1.1.3.2.1"></times><ci id="S3.I1.i2.p1.8.m4.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.8.m4.1.1.3.2.2">𝑢</ci><apply id="S3.I1.i2.p1.8.m4.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.8.m4.1.1.3.2.3"><csymbol cd="latexml" id="S3.I1.i2.p1.8.m4.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.8.m4.1.1.3.2.3.1">differential-d</csymbol><ci id="S3.I1.i2.p1.8.m4.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.8.m4.1.1.3.2.3.2">𝑥</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I1.i2.p1.8.m4.1c">\int_{\Omega}fdx=\int_{\Omega}udx</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I1.i2.p1.8.m4.1d">∫ start_POSTSUBSCRIPT roman_Ω end_POSTSUBSCRIPT italic_f italic_d italic_x = ∫ start_POSTSUBSCRIPT roman_Ω end_POSTSUBSCRIPT italic_u italic_d italic_x</annotation></semantics></math>, since <math alttext="\int_{\Omega}v(x)dx=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.i2.p1.9.m5.1"><semantics id="S3.I1.i2.p1.9.m5.1a"><mrow id="S3.I1.i2.p1.9.m5.1.2" xref="S3.I1.i2.p1.9.m5.1.2.cmml"><mrow id="S3.I1.i2.p1.9.m5.1.2.2" xref="S3.I1.i2.p1.9.m5.1.2.2.cmml"><msub id="S3.I1.i2.p1.9.m5.1.2.2.1" xref="S3.I1.i2.p1.9.m5.1.2.2.1.cmml"><mo id="S3.I1.i2.p1.9.m5.1.2.2.1.2" xref="S3.I1.i2.p1.9.m5.1.2.2.1.2.cmml">∫</mo><mi id="S3.I1.i2.p1.9.m5.1.2.2.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.I1.i2.p1.9.m5.1.2.2.1.3.cmml">Ω</mi></msub><mrow id="S3.I1.i2.p1.9.m5.1.2.2.2" xref="S3.I1.i2.p1.9.m5.1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.I1.i2.p1.9.m5.1.2.2.2.2" xref="S3.I1.i2.p1.9.m5.1.2.2.2.2.cmml">v</mi><mo id="S3.I1.i2.p1.9.m5.1.2.2.2.1" xref="S3.I1.i2.p1.9.m5.1.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I1.i2.p1.9.m5.1.2.2.2.3.2" xref="S3.I1.i2.p1.9.m5.1.2.2.2.cmml"><mo id="S3.I1.i2.p1.9.m5.1.2.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.I1.i2.p1.9.m5.1.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S3.I1.i2.p1.9.m5.1.1" xref="S3.I1.i2.p1.9.m5.1.1.cmml">x</mi><mo id="S3.I1.i2.p1.9.m5.1.2.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.I1.i2.p1.9.m5.1.2.2.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.I1.i2.p1.9.m5.1.2.2.2.1a" lspace="0em" xref="S3.I1.i2.p1.9.m5.1.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I1.i2.p1.9.m5.1.2.2.2.4" xref="S3.I1.i2.p1.9.m5.1.2.2.2.4.cmml"><mo id="S3.I1.i2.p1.9.m5.1.2.2.2.4.1" rspace="0em" xref="S3.I1.i2.p1.9.m5.1.2.2.2.4.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S3.I1.i2.p1.9.m5.1.2.2.2.4.2" xref="S3.I1.i2.p1.9.m5.1.2.2.2.4.2.cmml">x</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.I1.i2.p1.9.m5.1.2.1" xref="S3.I1.i2.p1.9.m5.1.2.1.cmml">=</mo><mn id="S3.I1.i2.p1.9.m5.1.2.3" xref="S3.I1.i2.p1.9.m5.1.2.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I1.i2.p1.9.m5.1b"><apply id="S3.I1.i2.p1.9.m5.1.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.9.m5.1.2"><eq id="S3.I1.i2.p1.9.m5.1.2.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.9.m5.1.2.1"></eq><apply id="S3.I1.i2.p1.9.m5.1.2.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.9.m5.1.2.2"><apply id="S3.I1.i2.p1.9.m5.1.2.2.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.9.m5.1.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i2.p1.9.m5.1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.9.m5.1.2.2.1">subscript</csymbol><int id="S3.I1.i2.p1.9.m5.1.2.2.1.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.9.m5.1.2.2.1.2"></int><ci id="S3.I1.i2.p1.9.m5.1.2.2.1.3.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.9.m5.1.2.2.1.3">Ω</ci></apply><apply id="S3.I1.i2.p1.9.m5.1.2.2.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.9.m5.1.2.2.2"><times id="S3.I1.i2.p1.9.m5.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.9.m5.1.2.2.2.1"></times><ci id="S3.I1.i2.p1.9.m5.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.9.m5.1.2.2.2.2">𝑣</ci><ci id="S3.I1.i2.p1.9.m5.1.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.9.m5.1.1">𝑥</ci><apply id="S3.I1.i2.p1.9.m5.1.2.2.2.4.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.9.m5.1.2.2.2.4"><csymbol cd="latexml" id="S3.I1.i2.p1.9.m5.1.2.2.2.4.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.9.m5.1.2.2.2.4.1">differential-d</csymbol><ci id="S3.I1.i2.p1.9.m5.1.2.2.2.4.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.9.m5.1.2.2.2.4.2">𝑥</ci></apply></apply></apply><cn id="S3.I1.i2.p1.9.m5.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.I1.i2.p1.9.m5.1.2.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I1.i2.p1.9.m5.1c">\int_{\Omega}v(x)dx=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I1.i2.p1.9.m5.1d">∫ start_POSTSUBSCRIPT roman_Ω end_POSTSUBSCRIPT italic_v ( italic_x ) italic_d italic_x = 0</annotation></semantics></math> using <math alttext="v\in H" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.i2.p1.10.m6.1"><semantics id="S3.I1.i2.p1.10.m6.1a"><mrow id="S3.I1.i2.p1.10.m6.1.1" xref="S3.I1.i2.p1.10.m6.1.1.cmml"><mi id="S3.I1.i2.p1.10.m6.1.1.2" xref="S3.I1.i2.p1.10.m6.1.1.2.cmml">v</mi><mo id="S3.I1.i2.p1.10.m6.1.1.1" xref="S3.I1.i2.p1.10.m6.1.1.1.cmml">∈</mo><mi id="S3.I1.i2.p1.10.m6.1.1.3" xref="S3.I1.i2.p1.10.m6.1.1.3.cmml">H</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I1.i2.p1.10.m6.1b"><apply id="S3.I1.i2.p1.10.m6.1.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.10.m6.1.1"><in id="S3.I1.i2.p1.10.m6.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.10.m6.1.1.1"></in><ci id="S3.I1.i2.p1.10.m6.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.10.m6.1.1.2">𝑣</ci><ci id="S3.I1.i2.p1.10.m6.1.1.3.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.10.m6.1.1.3">𝐻</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I1.i2.p1.10.m6.1c">v\in H</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I1.i2.p1.10.m6.1d">italic_v ∈ italic_H</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.I1.i2.p2"> <p class="ltx_p" id="S3.I1.i2.p2.10">As in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib2" title="">2005Image </a>; <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib31" title="">2005ImageBMO </a></cite>, the functional <math alttext="F(u,v)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.i2.p2.1.m1.2"><semantics id="S3.I1.i2.p2.1.m1.2a"><mrow id="S3.I1.i2.p2.1.m1.2.3" xref="S3.I1.i2.p2.1.m1.2.3.cmml"><mi id="S3.I1.i2.p2.1.m1.2.3.2" xref="S3.I1.i2.p2.1.m1.2.3.2.cmml">F</mi><mo id="S3.I1.i2.p2.1.m1.2.3.1" xref="S3.I1.i2.p2.1.m1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I1.i2.p2.1.m1.2.3.3.2" xref="S3.I1.i2.p2.1.m1.2.3.3.1.cmml"><mo id="S3.I1.i2.p2.1.m1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.I1.i2.p2.1.m1.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.I1.i2.p2.1.m1.1.1" xref="S3.I1.i2.p2.1.m1.1.1.cmml">u</mi><mo id="S3.I1.i2.p2.1.m1.2.3.3.2.2" xref="S3.I1.i2.p2.1.m1.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.I1.i2.p2.1.m1.2.2" xref="S3.I1.i2.p2.1.m1.2.2.cmml">v</mi><mo id="S3.I1.i2.p2.1.m1.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.I1.i2.p2.1.m1.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I1.i2.p2.1.m1.2b"><apply id="S3.I1.i2.p2.1.m1.2.3.cmml" xref="S3.I1.i2.p2.1.m1.2.3"><times id="S3.I1.i2.p2.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p2.1.m1.2.3.1"></times><ci id="S3.I1.i2.p2.1.m1.2.3.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p2.1.m1.2.3.2">𝐹</ci><interval closure="open" id="S3.I1.i2.p2.1.m1.2.3.3.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p2.1.m1.2.3.3.2"><ci id="S3.I1.i2.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p2.1.m1.1.1">𝑢</ci><ci id="S3.I1.i2.p2.1.m1.2.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p2.1.m1.2.2">𝑣</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I1.i2.p2.1.m1.2c">F(u,v)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I1.i2.p2.1.m1.2d">italic_F ( italic_u , italic_v )</annotation></semantics></math> in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S3.E31" title="In Theorem 3.1 ‣ 3.2 Existence and uniqueness of minimizers ‣ 3 The Proposed Image Restoration Models ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">31</span></a>) is a sum of two convex functions, and of a strictly convex function except in the direction <math alttext="(u,-u)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.i2.p2.2.m2.2"><semantics id="S3.I1.i2.p2.2.m2.2a"><mrow id="S3.I1.i2.p2.2.m2.2.2.1" xref="S3.I1.i2.p2.2.m2.2.2.2.cmml"><mo id="S3.I1.i2.p2.2.m2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S3.I1.i2.p2.2.m2.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S3.I1.i2.p2.2.m2.1.1" xref="S3.I1.i2.p2.2.m2.1.1.cmml">u</mi><mo id="S3.I1.i2.p2.2.m2.2.2.1.3" xref="S3.I1.i2.p2.2.m2.2.2.2.cmml">,</mo><mrow id="S3.I1.i2.p2.2.m2.2.2.1.1" xref="S3.I1.i2.p2.2.m2.2.2.1.1.cmml"><mo id="S3.I1.i2.p2.2.m2.2.2.1.1a" xref="S3.I1.i2.p2.2.m2.2.2.1.1.cmml">−</mo><mi id="S3.I1.i2.p2.2.m2.2.2.1.1.2" xref="S3.I1.i2.p2.2.m2.2.2.1.1.2.cmml">u</mi></mrow><mo id="S3.I1.i2.p2.2.m2.2.2.1.4" stretchy="false" xref="S3.I1.i2.p2.2.m2.2.2.2.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I1.i2.p2.2.m2.2b"><interval closure="open" id="S3.I1.i2.p2.2.m2.2.2.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p2.2.m2.2.2.1"><ci id="S3.I1.i2.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p2.2.m2.1.1">𝑢</ci><apply id="S3.I1.i2.p2.2.m2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p2.2.m2.2.2.1.1"><minus id="S3.I1.i2.p2.2.m2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p2.2.m2.2.2.1.1"></minus><ci id="S3.I1.i2.p2.2.m2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p2.2.m2.2.2.1.1.2">𝑢</ci></apply></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I1.i2.p2.2.m2.2c">(u,-u)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I1.i2.p2.2.m2.2d">( italic_u , - italic_u )</annotation></semantics></math>. Therefore, it suffices to check that if <math alttext="(\hat{u},\hat{v})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.i2.p2.3.m3.2"><semantics id="S3.I1.i2.p2.3.m3.2a"><mrow id="S3.I1.i2.p2.3.m3.2.3.2" xref="S3.I1.i2.p2.3.m3.2.3.1.cmml"><mo id="S3.I1.i2.p2.3.m3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.I1.i2.p2.3.m3.2.3.1.cmml">(</mo><mover accent="true" id="S3.I1.i2.p2.3.m3.1.1" xref="S3.I1.i2.p2.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.I1.i2.p2.3.m3.1.1.2" xref="S3.I1.i2.p2.3.m3.1.1.2.cmml">u</mi><mo id="S3.I1.i2.p2.3.m3.1.1.1" xref="S3.I1.i2.p2.3.m3.1.1.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S3.I1.i2.p2.3.m3.2.3.2.2" xref="S3.I1.i2.p2.3.m3.2.3.1.cmml">,</mo><mover accent="true" id="S3.I1.i2.p2.3.m3.2.2" xref="S3.I1.i2.p2.3.m3.2.2.cmml"><mi id="S3.I1.i2.p2.3.m3.2.2.2" xref="S3.I1.i2.p2.3.m3.2.2.2.cmml">v</mi><mo id="S3.I1.i2.p2.3.m3.2.2.1" xref="S3.I1.i2.p2.3.m3.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S3.I1.i2.p2.3.m3.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.I1.i2.p2.3.m3.2.3.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I1.i2.p2.3.m3.2b"><interval closure="open" id="S3.I1.i2.p2.3.m3.2.3.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p2.3.m3.2.3.2"><apply id="S3.I1.i2.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p2.3.m3.1.1"><ci id="S3.I1.i2.p2.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p2.3.m3.1.1.1">^</ci><ci id="S3.I1.i2.p2.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p2.3.m3.1.1.2">𝑢</ci></apply><apply id="S3.I1.i2.p2.3.m3.2.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p2.3.m3.2.2"><ci id="S3.I1.i2.p2.3.m3.2.2.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p2.3.m3.2.2.1">^</ci><ci id="S3.I1.i2.p2.3.m3.2.2.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p2.3.m3.2.2.2">𝑣</ci></apply></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I1.i2.p2.3.m3.2c">(\hat{u},\hat{v})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I1.i2.p2.3.m3.2d">( over^ start_ARG italic_u end_ARG , over^ start_ARG italic_v end_ARG )</annotation></semantics></math> is a minimizer, then <math alttext="(\hat{u}+t\hat{u},\hat{v}-t\hat{u})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.i2.p2.4.m4.2"><semantics id="S3.I1.i2.p2.4.m4.2a"><mrow id="S3.I1.i2.p2.4.m4.2.2.2" xref="S3.I1.i2.p2.4.m4.2.2.3.cmml"><mo id="S3.I1.i2.p2.4.m4.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.I1.i2.p2.4.m4.2.2.3.cmml">(</mo><mrow id="S3.I1.i2.p2.4.m4.1.1.1.1" xref="S3.I1.i2.p2.4.m4.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.I1.i2.p2.4.m4.1.1.1.1.2" xref="S3.I1.i2.p2.4.m4.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.I1.i2.p2.4.m4.1.1.1.1.2.2" xref="S3.I1.i2.p2.4.m4.1.1.1.1.2.2.cmml">u</mi><mo id="S3.I1.i2.p2.4.m4.1.1.1.1.2.1" xref="S3.I1.i2.p2.4.m4.1.1.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S3.I1.i2.p2.4.m4.1.1.1.1.1" xref="S3.I1.i2.p2.4.m4.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.I1.i2.p2.4.m4.1.1.1.1.3" xref="S3.I1.i2.p2.4.m4.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.I1.i2.p2.4.m4.1.1.1.1.3.2" xref="S3.I1.i2.p2.4.m4.1.1.1.1.3.2.cmml">t</mi><mo id="S3.I1.i2.p2.4.m4.1.1.1.1.3.1" xref="S3.I1.i2.p2.4.m4.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S3.I1.i2.p2.4.m4.1.1.1.1.3.3" xref="S3.I1.i2.p2.4.m4.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi 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xref="S3.I1.i2.p2.4.m4.2.2.2.2.3.1"></times><ci id="S3.I1.i2.p2.4.m4.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p2.4.m4.2.2.2.2.3.2">𝑡</ci><apply id="S3.I1.i2.p2.4.m4.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S3.I1.i2.p2.4.m4.2.2.2.2.3.3"><ci id="S3.I1.i2.p2.4.m4.2.2.2.2.3.3.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p2.4.m4.2.2.2.2.3.3.1">^</ci><ci id="S3.I1.i2.p2.4.m4.2.2.2.2.3.3.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p2.4.m4.2.2.2.2.3.3.2">𝑢</ci></apply></apply></apply></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I1.i2.p2.4.m4.2c">(\hat{u}+t\hat{u},\hat{v}-t\hat{u})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I1.i2.p2.4.m4.2d">( over^ start_ARG italic_u end_ARG + italic_t over^ start_ARG italic_u end_ARG , over^ start_ARG italic_v end_ARG - italic_t over^ start_ARG italic_u end_ARG )</annotation></semantics></math> is not a minimizer for <math alttext="t\neq 0" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.i2.p2.5.m5.1"><semantics id="S3.I1.i2.p2.5.m5.1a"><mrow id="S3.I1.i2.p2.5.m5.1.1" xref="S3.I1.i2.p2.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S3.I1.i2.p2.5.m5.1.1.2" xref="S3.I1.i2.p2.5.m5.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S3.I1.i2.p2.5.m5.1.1.1" xref="S3.I1.i2.p2.5.m5.1.1.1.cmml">≠</mo><mn id="S3.I1.i2.p2.5.m5.1.1.3" xref="S3.I1.i2.p2.5.m5.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I1.i2.p2.5.m5.1b"><apply id="S3.I1.i2.p2.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p2.5.m5.1.1"><neq id="S3.I1.i2.p2.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p2.5.m5.1.1.1"></neq><ci id="S3.I1.i2.p2.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p2.5.m5.1.1.2">𝑡</ci><cn id="S3.I1.i2.p2.5.m5.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.I1.i2.p2.5.m5.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I1.i2.p2.5.m5.1c">t\neq 0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I1.i2.p2.5.m5.1d">italic_t ≠ 0</annotation></semantics></math>. Since <math alttext="(\hat{u},\hat{v})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.i2.p2.6.m6.2"><semantics id="S3.I1.i2.p2.6.m6.2a"><mrow id="S3.I1.i2.p2.6.m6.2.3.2" xref="S3.I1.i2.p2.6.m6.2.3.1.cmml"><mo id="S3.I1.i2.p2.6.m6.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.I1.i2.p2.6.m6.2.3.1.cmml">(</mo><mover accent="true" id="S3.I1.i2.p2.6.m6.1.1" xref="S3.I1.i2.p2.6.m6.1.1.cmml"><mi id="S3.I1.i2.p2.6.m6.1.1.2" xref="S3.I1.i2.p2.6.m6.1.1.2.cmml">u</mi><mo id="S3.I1.i2.p2.6.m6.1.1.1" xref="S3.I1.i2.p2.6.m6.1.1.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S3.I1.i2.p2.6.m6.2.3.2.2" xref="S3.I1.i2.p2.6.m6.2.3.1.cmml">,</mo><mover accent="true" id="S3.I1.i2.p2.6.m6.2.2" xref="S3.I1.i2.p2.6.m6.2.2.cmml"><mi id="S3.I1.i2.p2.6.m6.2.2.2" xref="S3.I1.i2.p2.6.m6.2.2.2.cmml">v</mi><mo id="S3.I1.i2.p2.6.m6.2.2.1" xref="S3.I1.i2.p2.6.m6.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S3.I1.i2.p2.6.m6.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.I1.i2.p2.6.m6.2.3.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I1.i2.p2.6.m6.2b"><interval closure="open" id="S3.I1.i2.p2.6.m6.2.3.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p2.6.m6.2.3.2"><apply id="S3.I1.i2.p2.6.m6.1.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p2.6.m6.1.1"><ci id="S3.I1.i2.p2.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p2.6.m6.1.1.1">^</ci><ci id="S3.I1.i2.p2.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p2.6.m6.1.1.2">𝑢</ci></apply><apply id="S3.I1.i2.p2.6.m6.2.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p2.6.m6.2.2"><ci id="S3.I1.i2.p2.6.m6.2.2.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p2.6.m6.2.2.1">^</ci><ci id="S3.I1.i2.p2.6.m6.2.2.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p2.6.m6.2.2.2">𝑣</ci></apply></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I1.i2.p2.6.m6.2c">(\hat{u},\hat{v})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I1.i2.p2.6.m6.2d">( over^ start_ARG italic_u end_ARG , over^ start_ARG italic_v end_ARG )</annotation></semantics></math> is a minimizer, then <math alttext="\int_{\Omega}\hat{u}=\int_{\Omega}f" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.i2.p2.7.m7.1"><semantics id="S3.I1.i2.p2.7.m7.1a"><mrow id="S3.I1.i2.p2.7.m7.1.1" xref="S3.I1.i2.p2.7.m7.1.1.cmml"><mrow id="S3.I1.i2.p2.7.m7.1.1.2" xref="S3.I1.i2.p2.7.m7.1.1.2.cmml"><msub id="S3.I1.i2.p2.7.m7.1.1.2.1" xref="S3.I1.i2.p2.7.m7.1.1.2.1.cmml"><mo id="S3.I1.i2.p2.7.m7.1.1.2.1.2" xref="S3.I1.i2.p2.7.m7.1.1.2.1.2.cmml">∫</mo><mi id="S3.I1.i2.p2.7.m7.1.1.2.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.I1.i2.p2.7.m7.1.1.2.1.3.cmml">Ω</mi></msub><mover accent="true" id="S3.I1.i2.p2.7.m7.1.1.2.2" xref="S3.I1.i2.p2.7.m7.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.I1.i2.p2.7.m7.1.1.2.2.2" xref="S3.I1.i2.p2.7.m7.1.1.2.2.2.cmml">u</mi><mo id="S3.I1.i2.p2.7.m7.1.1.2.2.1" xref="S3.I1.i2.p2.7.m7.1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover></mrow><mo id="S3.I1.i2.p2.7.m7.1.1.1" rspace="0.111em" xref="S3.I1.i2.p2.7.m7.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.I1.i2.p2.7.m7.1.1.3" xref="S3.I1.i2.p2.7.m7.1.1.3.cmml"><msub id="S3.I1.i2.p2.7.m7.1.1.3.1" xref="S3.I1.i2.p2.7.m7.1.1.3.1.cmml"><mo id="S3.I1.i2.p2.7.m7.1.1.3.1.2" xref="S3.I1.i2.p2.7.m7.1.1.3.1.2.cmml">∫</mo><mi id="S3.I1.i2.p2.7.m7.1.1.3.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.I1.i2.p2.7.m7.1.1.3.1.3.cmml">Ω</mi></msub><mi id="S3.I1.i2.p2.7.m7.1.1.3.2" xref="S3.I1.i2.p2.7.m7.1.1.3.2.cmml">f</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I1.i2.p2.7.m7.1b"><apply id="S3.I1.i2.p2.7.m7.1.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p2.7.m7.1.1"><eq id="S3.I1.i2.p2.7.m7.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p2.7.m7.1.1.1"></eq><apply id="S3.I1.i2.p2.7.m7.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p2.7.m7.1.1.2"><apply id="S3.I1.i2.p2.7.m7.1.1.2.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p2.7.m7.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i2.p2.7.m7.1.1.2.1.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p2.7.m7.1.1.2.1">subscript</csymbol><int id="S3.I1.i2.p2.7.m7.1.1.2.1.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p2.7.m7.1.1.2.1.2"></int><ci id="S3.I1.i2.p2.7.m7.1.1.2.1.3.cmml" xref="S3.I1.i2.p2.7.m7.1.1.2.1.3">Ω</ci></apply><apply id="S3.I1.i2.p2.7.m7.1.1.2.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p2.7.m7.1.1.2.2"><ci id="S3.I1.i2.p2.7.m7.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p2.7.m7.1.1.2.2.1">^</ci><ci id="S3.I1.i2.p2.7.m7.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p2.7.m7.1.1.2.2.2">𝑢</ci></apply></apply><apply id="S3.I1.i2.p2.7.m7.1.1.3.cmml" xref="S3.I1.i2.p2.7.m7.1.1.3"><apply id="S3.I1.i2.p2.7.m7.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p2.7.m7.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i2.p2.7.m7.1.1.3.1.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p2.7.m7.1.1.3.1">subscript</csymbol><int id="S3.I1.i2.p2.7.m7.1.1.3.1.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p2.7.m7.1.1.3.1.2"></int><ci id="S3.I1.i2.p2.7.m7.1.1.3.1.3.cmml" xref="S3.I1.i2.p2.7.m7.1.1.3.1.3">Ω</ci></apply><ci id="S3.I1.i2.p2.7.m7.1.1.3.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p2.7.m7.1.1.3.2">𝑓</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I1.i2.p2.7.m7.1c">\int_{\Omega}\hat{u}=\int_{\Omega}f</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I1.i2.p2.7.m7.1d">∫ start_POSTSUBSCRIPT roman_Ω end_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG italic_u end_ARG = ∫ start_POSTSUBSCRIPT roman_Ω end_POSTSUBSCRIPT italic_f</annotation></semantics></math>. Therefore, if <math alttext="(\hat{u}+t\hat{u},\hat{v}-t\hat{u})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.i2.p2.8.m8.2"><semantics id="S3.I1.i2.p2.8.m8.2a"><mrow id="S3.I1.i2.p2.8.m8.2.2.2" xref="S3.I1.i2.p2.8.m8.2.2.3.cmml"><mo id="S3.I1.i2.p2.8.m8.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.I1.i2.p2.8.m8.2.2.3.cmml">(</mo><mrow id="S3.I1.i2.p2.8.m8.1.1.1.1" xref="S3.I1.i2.p2.8.m8.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.I1.i2.p2.8.m8.1.1.1.1.2" xref="S3.I1.i2.p2.8.m8.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.I1.i2.p2.8.m8.1.1.1.1.2.2" xref="S3.I1.i2.p2.8.m8.1.1.1.1.2.2.cmml">u</mi><mo id="S3.I1.i2.p2.8.m8.1.1.1.1.2.1" xref="S3.I1.i2.p2.8.m8.1.1.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S3.I1.i2.p2.8.m8.1.1.1.1.1" xref="S3.I1.i2.p2.8.m8.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.I1.i2.p2.8.m8.1.1.1.1.3" xref="S3.I1.i2.p2.8.m8.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.I1.i2.p2.8.m8.1.1.1.1.3.2" xref="S3.I1.i2.p2.8.m8.1.1.1.1.3.2.cmml">t</mi><mo id="S3.I1.i2.p2.8.m8.1.1.1.1.3.1" xref="S3.I1.i2.p2.8.m8.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S3.I1.i2.p2.8.m8.1.1.1.1.3.3" xref="S3.I1.i2.p2.8.m8.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.I1.i2.p2.8.m8.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.I1.i2.p2.8.m8.1.1.1.1.3.3.2.cmml">u</mi><mo id="S3.I1.i2.p2.8.m8.1.1.1.1.3.3.1" xref="S3.I1.i2.p2.8.m8.1.1.1.1.3.3.1.cmml">^</mo></mover></mrow></mrow><mo id="S3.I1.i2.p2.8.m8.2.2.2.4" xref="S3.I1.i2.p2.8.m8.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S3.I1.i2.p2.8.m8.2.2.2.2" xref="S3.I1.i2.p2.8.m8.2.2.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.I1.i2.p2.8.m8.2.2.2.2.2" xref="S3.I1.i2.p2.8.m8.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.I1.i2.p2.8.m8.2.2.2.2.2.2" xref="S3.I1.i2.p2.8.m8.2.2.2.2.2.2.cmml">v</mi><mo id="S3.I1.i2.p2.8.m8.2.2.2.2.2.1" xref="S3.I1.i2.p2.8.m8.2.2.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S3.I1.i2.p2.8.m8.2.2.2.2.1" xref="S3.I1.i2.p2.8.m8.2.2.2.2.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.I1.i2.p2.8.m8.2.2.2.2.3" xref="S3.I1.i2.p2.8.m8.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.I1.i2.p2.8.m8.2.2.2.2.3.2" xref="S3.I1.i2.p2.8.m8.2.2.2.2.3.2.cmml">t</mi><mo id="S3.I1.i2.p2.8.m8.2.2.2.2.3.1" xref="S3.I1.i2.p2.8.m8.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S3.I1.i2.p2.8.m8.2.2.2.2.3.3" xref="S3.I1.i2.p2.8.m8.2.2.2.2.3.3.cmml"><mi id="S3.I1.i2.p2.8.m8.2.2.2.2.3.3.2" xref="S3.I1.i2.p2.8.m8.2.2.2.2.3.3.2.cmml">u</mi><mo id="S3.I1.i2.p2.8.m8.2.2.2.2.3.3.1" xref="S3.I1.i2.p2.8.m8.2.2.2.2.3.3.1.cmml">^</mo></mover></mrow></mrow><mo id="S3.I1.i2.p2.8.m8.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.I1.i2.p2.8.m8.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I1.i2.p2.8.m8.2b"><interval closure="open" id="S3.I1.i2.p2.8.m8.2.2.3.cmml" xref="S3.I1.i2.p2.8.m8.2.2.2"><apply id="S3.I1.i2.p2.8.m8.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p2.8.m8.1.1.1.1"><plus id="S3.I1.i2.p2.8.m8.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p2.8.m8.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S3.I1.i2.p2.8.m8.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p2.8.m8.1.1.1.1.2"><ci id="S3.I1.i2.p2.8.m8.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p2.8.m8.1.1.1.1.2.1">^</ci><ci id="S3.I1.i2.p2.8.m8.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p2.8.m8.1.1.1.1.2.2">𝑢</ci></apply><apply id="S3.I1.i2.p2.8.m8.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I1.i2.p2.8.m8.1.1.1.1.3"><times id="S3.I1.i2.p2.8.m8.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p2.8.m8.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.I1.i2.p2.8.m8.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p2.8.m8.1.1.1.1.3.2">𝑡</ci><apply id="S3.I1.i2.p2.8.m8.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.I1.i2.p2.8.m8.1.1.1.1.3.3"><ci id="S3.I1.i2.p2.8.m8.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p2.8.m8.1.1.1.1.3.3.1">^</ci><ci id="S3.I1.i2.p2.8.m8.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p2.8.m8.1.1.1.1.3.3.2">𝑢</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.I1.i2.p2.8.m8.2.2.2.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p2.8.m8.2.2.2.2"><minus id="S3.I1.i2.p2.8.m8.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p2.8.m8.2.2.2.2.1"></minus><apply id="S3.I1.i2.p2.8.m8.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p2.8.m8.2.2.2.2.2"><ci id="S3.I1.i2.p2.8.m8.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p2.8.m8.2.2.2.2.2.1">^</ci><ci id="S3.I1.i2.p2.8.m8.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p2.8.m8.2.2.2.2.2.2">𝑣</ci></apply><apply id="S3.I1.i2.p2.8.m8.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.I1.i2.p2.8.m8.2.2.2.2.3"><times id="S3.I1.i2.p2.8.m8.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p2.8.m8.2.2.2.2.3.1"></times><ci id="S3.I1.i2.p2.8.m8.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p2.8.m8.2.2.2.2.3.2">𝑡</ci><apply id="S3.I1.i2.p2.8.m8.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S3.I1.i2.p2.8.m8.2.2.2.2.3.3"><ci id="S3.I1.i2.p2.8.m8.2.2.2.2.3.3.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p2.8.m8.2.2.2.2.3.3.1">^</ci><ci id="S3.I1.i2.p2.8.m8.2.2.2.2.3.3.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p2.8.m8.2.2.2.2.3.3.2">𝑢</ci></apply></apply></apply></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I1.i2.p2.8.m8.2c">(\hat{u}+t\hat{u},\hat{v}-t\hat{u})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I1.i2.p2.8.m8.2d">( over^ start_ARG italic_u end_ARG + italic_t over^ start_ARG italic_u end_ARG , over^ start_ARG italic_v end_ARG - italic_t over^ start_ARG italic_u end_ARG )</annotation></semantics></math> is a minimizer too, then <math alttext="\int_{\Omega}(1+t)\hat{u}=\int_{\Omega}f" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.i2.p2.9.m9.1"><semantics id="S3.I1.i2.p2.9.m9.1a"><mrow id="S3.I1.i2.p2.9.m9.1.1" xref="S3.I1.i2.p2.9.m9.1.1.cmml"><mrow id="S3.I1.i2.p2.9.m9.1.1.1" xref="S3.I1.i2.p2.9.m9.1.1.1.cmml"><msub id="S3.I1.i2.p2.9.m9.1.1.1.2" xref="S3.I1.i2.p2.9.m9.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.I1.i2.p2.9.m9.1.1.1.2.2" xref="S3.I1.i2.p2.9.m9.1.1.1.2.2.cmml">∫</mo><mi id="S3.I1.i2.p2.9.m9.1.1.1.2.3" mathvariant="normal" xref="S3.I1.i2.p2.9.m9.1.1.1.2.3.cmml">Ω</mi></msub><mrow id="S3.I1.i2.p2.9.m9.1.1.1.1" xref="S3.I1.i2.p2.9.m9.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.I1.i2.p2.9.m9.1.1.1.1.1.1" xref="S3.I1.i2.p2.9.m9.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.I1.i2.p2.9.m9.1.1.1.1.1.1.2" lspace="0em" stretchy="false" xref="S3.I1.i2.p2.9.m9.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.I1.i2.p2.9.m9.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.I1.i2.p2.9.m9.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S3.I1.i2.p2.9.m9.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.I1.i2.p2.9.m9.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S3.I1.i2.p2.9.m9.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.I1.i2.p2.9.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mi id="S3.I1.i2.p2.9.m9.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.I1.i2.p2.9.m9.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">t</mi></mrow><mo id="S3.I1.i2.p2.9.m9.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.I1.i2.p2.9.m9.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.I1.i2.p2.9.m9.1.1.1.1.2" xref="S3.I1.i2.p2.9.m9.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S3.I1.i2.p2.9.m9.1.1.1.1.3" xref="S3.I1.i2.p2.9.m9.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.I1.i2.p2.9.m9.1.1.1.1.3.2" xref="S3.I1.i2.p2.9.m9.1.1.1.1.3.2.cmml">u</mi><mo id="S3.I1.i2.p2.9.m9.1.1.1.1.3.1" xref="S3.I1.i2.p2.9.m9.1.1.1.1.3.1.cmml">^</mo></mover></mrow></mrow><mo id="S3.I1.i2.p2.9.m9.1.1.2" rspace="0.111em" xref="S3.I1.i2.p2.9.m9.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.I1.i2.p2.9.m9.1.1.3" xref="S3.I1.i2.p2.9.m9.1.1.3.cmml"><msub id="S3.I1.i2.p2.9.m9.1.1.3.1" xref="S3.I1.i2.p2.9.m9.1.1.3.1.cmml"><mo id="S3.I1.i2.p2.9.m9.1.1.3.1.2" xref="S3.I1.i2.p2.9.m9.1.1.3.1.2.cmml">∫</mo><mi id="S3.I1.i2.p2.9.m9.1.1.3.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.I1.i2.p2.9.m9.1.1.3.1.3.cmml">Ω</mi></msub><mi id="S3.I1.i2.p2.9.m9.1.1.3.2" xref="S3.I1.i2.p2.9.m9.1.1.3.2.cmml">f</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I1.i2.p2.9.m9.1b"><apply id="S3.I1.i2.p2.9.m9.1.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p2.9.m9.1.1"><eq id="S3.I1.i2.p2.9.m9.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p2.9.m9.1.1.2"></eq><apply id="S3.I1.i2.p2.9.m9.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p2.9.m9.1.1.1"><apply id="S3.I1.i2.p2.9.m9.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p2.9.m9.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i2.p2.9.m9.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p2.9.m9.1.1.1.2">subscript</csymbol><int id="S3.I1.i2.p2.9.m9.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p2.9.m9.1.1.1.2.2"></int><ci id="S3.I1.i2.p2.9.m9.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.I1.i2.p2.9.m9.1.1.1.2.3">Ω</ci></apply><apply id="S3.I1.i2.p2.9.m9.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p2.9.m9.1.1.1.1"><times id="S3.I1.i2.p2.9.m9.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p2.9.m9.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.I1.i2.p2.9.m9.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p2.9.m9.1.1.1.1.1.1"><plus id="S3.I1.i2.p2.9.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p2.9.m9.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><cn id="S3.I1.i2.p2.9.m9.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S3.I1.i2.p2.9.m9.1.1.1.1.1.1.1.2">1</cn><ci id="S3.I1.i2.p2.9.m9.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I1.i2.p2.9.m9.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑡</ci></apply><apply id="S3.I1.i2.p2.9.m9.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I1.i2.p2.9.m9.1.1.1.1.3"><ci id="S3.I1.i2.p2.9.m9.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p2.9.m9.1.1.1.1.3.1">^</ci><ci id="S3.I1.i2.p2.9.m9.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p2.9.m9.1.1.1.1.3.2">𝑢</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.I1.i2.p2.9.m9.1.1.3.cmml" xref="S3.I1.i2.p2.9.m9.1.1.3"><apply id="S3.I1.i2.p2.9.m9.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p2.9.m9.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i2.p2.9.m9.1.1.3.1.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p2.9.m9.1.1.3.1">subscript</csymbol><int id="S3.I1.i2.p2.9.m9.1.1.3.1.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p2.9.m9.1.1.3.1.2"></int><ci id="S3.I1.i2.p2.9.m9.1.1.3.1.3.cmml" xref="S3.I1.i2.p2.9.m9.1.1.3.1.3">Ω</ci></apply><ci id="S3.I1.i2.p2.9.m9.1.1.3.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p2.9.m9.1.1.3.2">𝑓</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I1.i2.p2.9.m9.1c">\int_{\Omega}(1+t)\hat{u}=\int_{\Omega}f</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I1.i2.p2.9.m9.1d">∫ start_POSTSUBSCRIPT roman_Ω end_POSTSUBSCRIPT ( 1 + italic_t ) over^ start_ARG italic_u end_ARG = ∫ start_POSTSUBSCRIPT roman_Ω end_POSTSUBSCRIPT italic_f</annotation></semantics></math>, which implies <math alttext="t=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.i2.p2.10.m10.1"><semantics id="S3.I1.i2.p2.10.m10.1a"><mrow id="S3.I1.i2.p2.10.m10.1.1" xref="S3.I1.i2.p2.10.m10.1.1.cmml"><mi id="S3.I1.i2.p2.10.m10.1.1.2" xref="S3.I1.i2.p2.10.m10.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S3.I1.i2.p2.10.m10.1.1.1" xref="S3.I1.i2.p2.10.m10.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S3.I1.i2.p2.10.m10.1.1.3" xref="S3.I1.i2.p2.10.m10.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I1.i2.p2.10.m10.1b"><apply id="S3.I1.i2.p2.10.m10.1.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p2.10.m10.1.1"><eq id="S3.I1.i2.p2.10.m10.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p2.10.m10.1.1.1"></eq><ci id="S3.I1.i2.p2.10.m10.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p2.10.m10.1.1.2">𝑡</ci><cn id="S3.I1.i2.p2.10.m10.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.I1.i2.p2.10.m10.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I1.i2.p2.10.m10.1c">t=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I1.i2.p2.10.m10.1d">italic_t = 0</annotation></semantics></math>. Finally, we conclude the uniqueness.</p> </div> </li> </ul> <p class="ltx_p" id="Thmproofx1.p1.1"><math alttext="\hfill\square" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmproofx1.p1.1.m1.1"><semantics id="Thmproofx1.p1.1.m1.1a"><mi id="Thmproofx1.p1.1.m1.1.1" mathvariant="normal" xref="Thmproofx1.p1.1.m1.1.1.cmml">□</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmproofx1.p1.1.m1.1b"><ci id="Thmproofx1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmproofx1.p1.1.m1.1.1">□</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmproofx1.p1.1.m1.1c">\hfill\square</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmproofx1.p1.1.m1.1d">□</annotation></semantics></math></p> </div> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="S3.SS3"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">3.3 </span>Characterization of minimizers</h3> <div class="ltx_para" id="S3.SS3.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.SS3.p1.4">The effect of the ROF minimization was analyzed in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib36" title="">meyeroscillating </a></cite>, which showed that the ROF model cannot split an image <math alttext="f" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.SS3.p1.1.m1.1a"><mi id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.cmml">f</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p1.1.m1.1b"><ci id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1">𝑓</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p1.1.m1.1c">f</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p1.1.m1.1d">italic_f</annotation></semantics></math> into a sum <math alttext="u+v" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p1.2.m2.1"><semantics id="S3.SS3.p1.2.m2.1a"><mrow id="S3.SS3.p1.2.m2.1.1" xref="S3.SS3.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.p1.2.m2.1.1.2" xref="S3.SS3.p1.2.m2.1.1.2.cmml">u</mi><mo id="S3.SS3.p1.2.m2.1.1.1" xref="S3.SS3.p1.2.m2.1.1.1.cmml">+</mo><mi id="S3.SS3.p1.2.m2.1.1.3" xref="S3.SS3.p1.2.m2.1.1.3.cmml">v</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p1.2.m2.1b"><apply id="S3.SS3.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.2.m2.1.1"><plus id="S3.SS3.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.2.m2.1.1.1"></plus><ci id="S3.SS3.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p1.2.m2.1.1.2">𝑢</ci><ci id="S3.SS3.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.p1.2.m2.1.1.3">𝑣</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p1.2.m2.1c">u+v</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p1.2.m2.1d">italic_u + italic_v</annotation></semantics></math> where <math alttext="u" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p1.3.m3.1"><semantics id="S3.SS3.p1.3.m3.1a"><mi id="S3.SS3.p1.3.m3.1.1" xref="S3.SS3.p1.3.m3.1.1.cmml">u</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p1.3.m3.1b"><ci id="S3.SS3.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.3.m3.1.1">𝑢</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p1.3.m3.1c">u</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p1.3.m3.1d">italic_u</annotation></semantics></math> would model the object and <math alttext="v" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p1.4.m4.1"><semantics id="S3.SS3.p1.4.m4.1a"><mi id="S3.SS3.p1.4.m4.1.1" xref="S3.SS3.p1.4.m4.1.1.cmml">v</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p1.4.m4.1b"><ci id="S3.SS3.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.4.m4.1.1">𝑣</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p1.4.m4.1c">v</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p1.4.m4.1d">italic_v</annotation></semantics></math> would be the texture or noise components.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS3.p2"> <p class="ltx_p" id="S3.SS3.p2.5">Let <math alttext="D" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p2.1.m1.1"><semantics id="S3.SS3.p2.1.m1.1a"><mi id="S3.SS3.p2.1.m1.1.1" xref="S3.SS3.p2.1.m1.1.1.cmml">D</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p2.1.m1.1b"><ci id="S3.SS3.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.1.m1.1.1">𝐷</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p2.1.m1.1c">D</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p2.1.m1.1d">italic_D</annotation></semantics></math> be a disc centered at 0 with radius <math alttext="R" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p2.2.m2.1"><semantics id="S3.SS3.p2.2.m2.1a"><mi id="S3.SS3.p2.2.m2.1.1" xref="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.cmml">R</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p2.2.m2.1b"><ci id="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.2.m2.1.1">𝑅</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p2.2.m2.1c">R</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p2.2.m2.1d">italic_R</annotation></semantics></math>, Meyer showed that by applying the ROF model (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S1.E1" title="In 1 Introduction ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>) to <math alttext="f=a\mathbf{I}_{D}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p2.3.m3.1"><semantics id="S3.SS3.p2.3.m3.1a"><mrow id="S3.SS3.p2.3.m3.1.1" xref="S3.SS3.p2.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.p2.3.m3.1.1.2" xref="S3.SS3.p2.3.m3.1.1.2.cmml">f</mi><mo id="S3.SS3.p2.3.m3.1.1.1" xref="S3.SS3.p2.3.m3.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS3.p2.3.m3.1.1.3" xref="S3.SS3.p2.3.m3.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS3.p2.3.m3.1.1.3.2" xref="S3.SS3.p2.3.m3.1.1.3.2.cmml">a</mi><mo id="S3.SS3.p2.3.m3.1.1.3.1" xref="S3.SS3.p2.3.m3.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.SS3.p2.3.m3.1.1.3.3" xref="S3.SS3.p2.3.m3.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.SS3.p2.3.m3.1.1.3.3.2" xref="S3.SS3.p2.3.m3.1.1.3.3.2.cmml">𝐈</mi><mi id="S3.SS3.p2.3.m3.1.1.3.3.3" xref="S3.SS3.p2.3.m3.1.1.3.3.3.cmml">D</mi></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p2.3.m3.1b"><apply id="S3.SS3.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.3.m3.1.1"><eq id="S3.SS3.p2.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.3.m3.1.1.1"></eq><ci id="S3.SS3.p2.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p2.3.m3.1.1.2">𝑓</ci><apply id="S3.SS3.p2.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.p2.3.m3.1.1.3"><times id="S3.SS3.p2.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.3.m3.1.1.3.1"></times><ci id="S3.SS3.p2.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS3.p2.3.m3.1.1.3.2">𝑎</ci><apply id="S3.SS3.p2.3.m3.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS3.p2.3.m3.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p2.3.m3.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.3.m3.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p2.3.m3.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.SS3.p2.3.m3.1.1.3.3.2">𝐈</ci><ci id="S3.SS3.p2.3.m3.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.SS3.p2.3.m3.1.1.3.3.3">𝐷</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p2.3.m3.1c">f=a\mathbf{I}_{D}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p2.3.m3.1d">italic_f = italic_a bold_I start_POSTSUBSCRIPT italic_D end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> where <math alttext="a>0" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p2.4.m4.1"><semantics id="S3.SS3.p2.4.m4.1a"><mrow id="S3.SS3.p2.4.m4.1.1" xref="S3.SS3.p2.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.p2.4.m4.1.1.2" xref="S3.SS3.p2.4.m4.1.1.2.cmml">a</mi><mo id="S3.SS3.p2.4.m4.1.1.1" xref="S3.SS3.p2.4.m4.1.1.1.cmml">></mo><mn id="S3.SS3.p2.4.m4.1.1.3" xref="S3.SS3.p2.4.m4.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p2.4.m4.1b"><apply id="S3.SS3.p2.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.4.m4.1.1"><gt id="S3.SS3.p2.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.4.m4.1.1.1"></gt><ci id="S3.SS3.p2.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p2.4.m4.1.1.2">𝑎</ci><cn id="S3.SS3.p2.4.m4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.p2.4.m4.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p2.4.m4.1c">a>0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p2.4.m4.1d">italic_a > 0</annotation></semantics></math> is a constant and assume <math alttext="\alpha R\geq 1/a" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p2.5.m5.1"><semantics id="S3.SS3.p2.5.m5.1a"><mrow id="S3.SS3.p2.5.m5.1.1" xref="S3.SS3.p2.5.m5.1.1.cmml"><mrow id="S3.SS3.p2.5.m5.1.1.2" xref="S3.SS3.p2.5.m5.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS3.p2.5.m5.1.1.2.2" xref="S3.SS3.p2.5.m5.1.1.2.2.cmml">α</mi><mo id="S3.SS3.p2.5.m5.1.1.2.1" xref="S3.SS3.p2.5.m5.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS3.p2.5.m5.1.1.2.3" xref="S3.SS3.p2.5.m5.1.1.2.3.cmml">R</mi></mrow><mo id="S3.SS3.p2.5.m5.1.1.1" xref="S3.SS3.p2.5.m5.1.1.1.cmml">≥</mo><mrow id="S3.SS3.p2.5.m5.1.1.3" xref="S3.SS3.p2.5.m5.1.1.3.cmml"><mn id="S3.SS3.p2.5.m5.1.1.3.2" xref="S3.SS3.p2.5.m5.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S3.SS3.p2.5.m5.1.1.3.1" xref="S3.SS3.p2.5.m5.1.1.3.1.cmml">/</mo><mi id="S3.SS3.p2.5.m5.1.1.3.3" xref="S3.SS3.p2.5.m5.1.1.3.3.cmml">a</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p2.5.m5.1b"><apply id="S3.SS3.p2.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.5.m5.1.1"><geq id="S3.SS3.p2.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.5.m5.1.1.1"></geq><apply id="S3.SS3.p2.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p2.5.m5.1.1.2"><times id="S3.SS3.p2.5.m5.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.5.m5.1.1.2.1"></times><ci id="S3.SS3.p2.5.m5.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p2.5.m5.1.1.2.2">𝛼</ci><ci id="S3.SS3.p2.5.m5.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS3.p2.5.m5.1.1.2.3">𝑅</ci></apply><apply id="S3.SS3.p2.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.p2.5.m5.1.1.3"><divide id="S3.SS3.p2.5.m5.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.5.m5.1.1.3.1"></divide><cn id="S3.SS3.p2.5.m5.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.p2.5.m5.1.1.3.2">1</cn><ci id="S3.SS3.p2.5.m5.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS3.p2.5.m5.1.1.3.3">𝑎</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p2.5.m5.1c">\alpha R\geq 1/a</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p2.5.m5.1d">italic_α italic_R ≥ 1 / italic_a</annotation></semantics></math>, the decomposition is given by</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E42"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="f=u+v,\quad u=(a-(\alpha R)^{-1})\mathbf{I}_{D},\quad v=(\alpha R)^{-1}\mathbf% {I}_{D}." class="ltx_Math" display="block" id="S3.E42.m1.1"><semantics id="S3.E42.m1.1a"><mrow id="S3.E42.m1.1.1.1"><mrow id="S3.E42.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.E42.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E42.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">f</mi><mo id="S3.E42.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.E42.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E42.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">u</mi><mo id="S3.E42.m1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mi id="S3.E42.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">v</mi></mrow></mrow><mo id="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.3" rspace="1.167em" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mrow id="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.1.1" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml"><mi id="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.cmml">u</mi><mo id="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">a</mi><mo id="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">−</mo><msup id="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">α</mi><mo id="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">R</mi></mrow><mo id="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3a" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup></mrow><mo id="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.cmml">𝐈</mi><mi id="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.3" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.3.cmml">D</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.2.3" rspace="1.167em" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">v</mi><mo id="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml"><msup id="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">α</mi><mo id="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">R</mi></mrow><mo id="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3.cmml"><mo id="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3a" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3.cmml">−</mo><mn id="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.2" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.3" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.3.cmml"><mi id="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.3.2" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.3.2.cmml">𝐈</mi><mi id="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.3.3" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.3.3.cmml">D</mi></msub></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E42.m1.1.1.1.2" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E42.m1.1b"><apply id="S3.E42.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E42.m1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.E42.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.1.1"><eq id="S3.E42.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.1.1.1"></eq><ci id="S3.E42.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.1.1.2">𝑓</ci><apply id="S3.E42.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.1.1.3"><plus id="S3.E42.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.1.1.3.1"></plus><ci id="S3.E42.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑢</ci><ci id="S3.E42.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑣</ci></apply></apply><apply id="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.3a.cmml" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.1.1"><eq id="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2"></eq><ci id="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3">𝑢</ci><apply id="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1"><times id="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2"></times><apply id="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1"><minus id="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2"></minus><ci id="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3">𝑎</ci><apply id="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝛼</ci><ci id="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑅</ci></apply><apply id="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3"><minus id="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3"></minus><cn id="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2">𝐈</ci><ci id="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.3">𝐷</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.2.2"><eq id="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2"></eq><ci id="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3">𝑣</ci><apply id="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1"><times id="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.2"></times><apply id="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1"><times id="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2">𝛼</ci><ci id="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3">𝑅</ci></apply><apply id="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3"><minus id="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3"></minus><cn id="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.3.cmml" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.3.1.cmml" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.3.2.cmml" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.3.2">𝐈</ci><ci id="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.3.3.cmml" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.3.3">𝐷</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E42.m1.1c">f=u+v,\quad u=(a-(\alpha R)^{-1})\mathbf{I}_{D},\quad v=(\alpha R)^{-1}\mathbf% {I}_{D}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E42.m1.1d">italic_f = italic_u + italic_v , italic_u = ( italic_a - ( italic_α italic_R ) start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ) bold_I start_POSTSUBSCRIPT italic_D end_POSTSUBSCRIPT , italic_v = ( italic_α italic_R ) start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT bold_I start_POSTSUBSCRIPT italic_D end_POSTSUBSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(42)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS3.p2.11">Notice that <math alttext="v" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p2.6.m1.1"><semantics id="S3.SS3.p2.6.m1.1a"><mi id="S3.SS3.p2.6.m1.1.1" xref="S3.SS3.p2.6.m1.1.1.cmml">v</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p2.6.m1.1b"><ci id="S3.SS3.p2.6.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.6.m1.1.1">𝑣</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p2.6.m1.1c">v</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p2.6.m1.1d">italic_v</annotation></semantics></math> is independent of <math alttext="a" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p2.7.m2.1"><semantics id="S3.SS3.p2.7.m2.1a"><mi id="S3.SS3.p2.7.m2.1.1" xref="S3.SS3.p2.7.m2.1.1.cmml">a</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p2.7.m2.1b"><ci id="S3.SS3.p2.7.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.7.m2.1.1">𝑎</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p2.7.m2.1c">a</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p2.7.m2.1d">italic_a</annotation></semantics></math> and is not the texture and noise component. <math alttext="u" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p2.8.m3.1"><semantics id="S3.SS3.p2.8.m3.1a"><mi id="S3.SS3.p2.8.m3.1.1" xref="S3.SS3.p2.8.m3.1.1.cmml">u</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p2.8.m3.1b"><ci id="S3.SS3.p2.8.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.8.m3.1.1">𝑢</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p2.8.m3.1c">u</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p2.8.m3.1d">italic_u</annotation></semantics></math> cannot be <math alttext="f" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p2.9.m4.1"><semantics id="S3.SS3.p2.9.m4.1a"><mi id="S3.SS3.p2.9.m4.1.1" xref="S3.SS3.p2.9.m4.1.1.cmml">f</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p2.9.m4.1b"><ci id="S3.SS3.p2.9.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.9.m4.1.1">𝑓</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p2.9.m4.1c">f</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p2.9.m4.1d">italic_f</annotation></semantics></math> for any finite <math alttext="\alpha" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p2.10.m5.1"><semantics id="S3.SS3.p2.10.m5.1a"><mi id="S3.SS3.p2.10.m5.1.1" xref="S3.SS3.p2.10.m5.1.1.cmml">α</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p2.10.m5.1b"><ci id="S3.SS3.p2.10.m5.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.10.m5.1.1">𝛼</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p2.10.m5.1c">\alpha</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p2.10.m5.1d">italic_α</annotation></semantics></math>. For proving <math alttext="\|\mathbf{I}_{D}\|_{G}=R/2" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p2.11.m6.1"><semantics id="S3.SS3.p2.11.m6.1a"><mrow id="S3.SS3.p2.11.m6.1.1" xref="S3.SS3.p2.11.m6.1.1.cmml"><msub id="S3.SS3.p2.11.m6.1.1.1" xref="S3.SS3.p2.11.m6.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.SS3.p2.11.m6.1.1.1.1.1" xref="S3.SS3.p2.11.m6.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.SS3.p2.11.m6.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS3.p2.11.m6.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><msub id="S3.SS3.p2.11.m6.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS3.p2.11.m6.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.p2.11.m6.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS3.p2.11.m6.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝐈</mi><mi id="S3.SS3.p2.11.m6.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS3.p2.11.m6.1.1.1.1.1.1.3.cmml">D</mi></msub><mo id="S3.SS3.p2.11.m6.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS3.p2.11.m6.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mi id="S3.SS3.p2.11.m6.1.1.1.3" xref="S3.SS3.p2.11.m6.1.1.1.3.cmml">G</mi></msub><mo id="S3.SS3.p2.11.m6.1.1.2" xref="S3.SS3.p2.11.m6.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS3.p2.11.m6.1.1.3" xref="S3.SS3.p2.11.m6.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS3.p2.11.m6.1.1.3.2" xref="S3.SS3.p2.11.m6.1.1.3.2.cmml">R</mi><mo id="S3.SS3.p2.11.m6.1.1.3.1" xref="S3.SS3.p2.11.m6.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S3.SS3.p2.11.m6.1.1.3.3" xref="S3.SS3.p2.11.m6.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p2.11.m6.1b"><apply id="S3.SS3.p2.11.m6.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.11.m6.1.1"><eq id="S3.SS3.p2.11.m6.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p2.11.m6.1.1.2"></eq><apply id="S3.SS3.p2.11.m6.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.11.m6.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p2.11.m6.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p2.11.m6.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.SS3.p2.11.m6.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p2.11.m6.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS3.p2.11.m6.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.11.m6.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S3.SS3.p2.11.m6.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.11.m6.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p2.11.m6.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.11.m6.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p2.11.m6.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p2.11.m6.1.1.1.1.1.1.2">𝐈</ci><ci id="S3.SS3.p2.11.m6.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.p2.11.m6.1.1.1.1.1.1.3">𝐷</ci></apply></apply><ci id="S3.SS3.p2.11.m6.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.p2.11.m6.1.1.1.3">𝐺</ci></apply><apply id="S3.SS3.p2.11.m6.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.p2.11.m6.1.1.3"><divide id="S3.SS3.p2.11.m6.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.11.m6.1.1.3.1"></divide><ci id="S3.SS3.p2.11.m6.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS3.p2.11.m6.1.1.3.2">𝑅</ci><cn id="S3.SS3.p2.11.m6.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.p2.11.m6.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p2.11.m6.1c">\|\mathbf{I}_{D}\|_{G}=R/2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p2.11.m6.1d">∥ bold_I start_POSTSUBSCRIPT italic_D end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUBSCRIPT italic_G end_POSTSUBSCRIPT = italic_R / 2</annotation></semantics></math>, it suffices to use the following lemma from <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib36" title="">meyeroscillating </a></cite>.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lemma" id="Thmlemma2"> <h6 class="ltx_title ltx_font_bold ltx_title_theorem"><span class="ltx_tag ltx_tag_theorem">Lemma 2</span></h6> <div class="ltx_para" id="Thmlemma2.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmlemma2.p1.4"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmlemma2.p1.4.4">Let <math alttext="f,u,v\in L^{2}(\mathbb{R}^{2})" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma2.p1.1.1.m1.4"><semantics id="Thmlemma2.p1.1.1.m1.4a"><mrow id="Thmlemma2.p1.1.1.m1.4.4" xref="Thmlemma2.p1.1.1.m1.4.4.cmml"><mrow id="Thmlemma2.p1.1.1.m1.4.4.3.2" xref="Thmlemma2.p1.1.1.m1.4.4.3.1.cmml"><mi id="Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.cmml">f</mi><mo id="Thmlemma2.p1.1.1.m1.4.4.3.2.1" xref="Thmlemma2.p1.1.1.m1.4.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="Thmlemma2.p1.1.1.m1.2.2" xref="Thmlemma2.p1.1.1.m1.2.2.cmml">u</mi><mo id="Thmlemma2.p1.1.1.m1.4.4.3.2.2" xref="Thmlemma2.p1.1.1.m1.4.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="Thmlemma2.p1.1.1.m1.3.3" xref="Thmlemma2.p1.1.1.m1.3.3.cmml">v</mi></mrow><mo id="Thmlemma2.p1.1.1.m1.4.4.2" xref="Thmlemma2.p1.1.1.m1.4.4.2.cmml">∈</mo><mrow id="Thmlemma2.p1.1.1.m1.4.4.1" xref="Thmlemma2.p1.1.1.m1.4.4.1.cmml"><msup id="Thmlemma2.p1.1.1.m1.4.4.1.3" xref="Thmlemma2.p1.1.1.m1.4.4.1.3.cmml"><mi id="Thmlemma2.p1.1.1.m1.4.4.1.3.2" xref="Thmlemma2.p1.1.1.m1.4.4.1.3.2.cmml">L</mi><mn id="Thmlemma2.p1.1.1.m1.4.4.1.3.3" xref="Thmlemma2.p1.1.1.m1.4.4.1.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="Thmlemma2.p1.1.1.m1.4.4.1.2" xref="Thmlemma2.p1.1.1.m1.4.4.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmlemma2.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1" xref="Thmlemma2.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mo id="Thmlemma2.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmlemma2.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="Thmlemma2.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1.1" xref="Thmlemma2.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mi id="Thmlemma2.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.2" xref="Thmlemma2.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mn id="Thmlemma2.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.3" xref="Thmlemma2.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="Thmlemma2.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Thmlemma2.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma2.p1.1.1.m1.4b"><apply id="Thmlemma2.p1.1.1.m1.4.4.cmml" xref="Thmlemma2.p1.1.1.m1.4.4"><in id="Thmlemma2.p1.1.1.m1.4.4.2.cmml" xref="Thmlemma2.p1.1.1.m1.4.4.2"></in><list id="Thmlemma2.p1.1.1.m1.4.4.3.1.cmml" xref="Thmlemma2.p1.1.1.m1.4.4.3.2"><ci id="Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1">𝑓</ci><ci id="Thmlemma2.p1.1.1.m1.2.2.cmml" xref="Thmlemma2.p1.1.1.m1.2.2">𝑢</ci><ci id="Thmlemma2.p1.1.1.m1.3.3.cmml" xref="Thmlemma2.p1.1.1.m1.3.3">𝑣</ci></list><apply id="Thmlemma2.p1.1.1.m1.4.4.1.cmml" xref="Thmlemma2.p1.1.1.m1.4.4.1"><times id="Thmlemma2.p1.1.1.m1.4.4.1.2.cmml" xref="Thmlemma2.p1.1.1.m1.4.4.1.2"></times><apply id="Thmlemma2.p1.1.1.m1.4.4.1.3.cmml" xref="Thmlemma2.p1.1.1.m1.4.4.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma2.p1.1.1.m1.4.4.1.3.1.cmml" xref="Thmlemma2.p1.1.1.m1.4.4.1.3">superscript</csymbol><ci id="Thmlemma2.p1.1.1.m1.4.4.1.3.2.cmml" xref="Thmlemma2.p1.1.1.m1.4.4.1.3.2">𝐿</ci><cn id="Thmlemma2.p1.1.1.m1.4.4.1.3.3.cmml" type="integer" xref="Thmlemma2.p1.1.1.m1.4.4.1.3.3">2</cn></apply><apply id="Thmlemma2.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma2.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma2.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma2.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="Thmlemma2.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma2.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.2">ℝ</ci><cn id="Thmlemma2.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Thmlemma2.p1.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma2.p1.1.1.m1.4c">f,u,v\in L^{2}(\mathbb{R}^{2})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma2.p1.1.1.m1.4d">italic_f , italic_u , italic_v ∈ italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math>, then for the norm <math alttext="\|\cdot\|_{G}" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="Thmlemma2.p1.2.2.m2.1"><semantics id="Thmlemma2.p1.2.2.m2.1a"><mrow id="Thmlemma2.p1.2.2.m2.1b"><mo id="Thmlemma2.p1.2.2.m2.1.1" rspace="0em">∥</mo><mo id="Thmlemma2.p1.2.2.m2.1.2" lspace="0em" rspace="0em">⋅</mo><msub id="Thmlemma2.p1.2.2.m2.1.3"><mo id="Thmlemma2.p1.2.2.m2.1.3.2" lspace="0em">∥</mo><mi id="Thmlemma2.p1.2.2.m2.1.3.3">G</mi></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma2.p1.2.2.m2.1c">\|\cdot\|_{G}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma2.p1.2.2.m2.1d">∥ ⋅ ∥ start_POSTSUBSCRIPT italic_G end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S1.E11" title="In 1 Introduction ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">11</span></a>), if <math alttext="\|f\|_{G}>\frac{1}{\alpha}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma2.p1.3.3.m3.1"><semantics id="Thmlemma2.p1.3.3.m3.1a"><mrow id="Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.2" xref="Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.2.cmml"><msub id="Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.2.2" xref="Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.2.2.cmml"><mrow id="Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.2.2.2.2" xref="Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.2.2.2.1.cmml"><mo id="Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.2.2.2.2.1" stretchy="false" xref="Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.2.2.2.1.1.cmml">‖</mo><mi id="Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.1" xref="Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.1.cmml">f</mi><mo id="Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.2.2.2.2.2" stretchy="false" xref="Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.2.2.2.1.1.cmml">‖</mo></mrow><mi id="Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.2.2.3" xref="Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.2.2.3.cmml">G</mi></msub><mo id="Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.2.1" xref="Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.2.1.cmml">></mo><mfrac id="Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.2.3" xref="Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.2.3.cmml"><mn id="Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.2.3.2" xref="Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.2.3.2.cmml">1</mn><mi id="Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.2.3.3" xref="Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.2.3.3.cmml">α</mi></mfrac></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma2.p1.3.3.m3.1b"><apply id="Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.2.cmml" xref="Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.2"><gt id="Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.2.1.cmml" xref="Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.2.1"></gt><apply id="Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.2.2.cmml" xref="Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.2.2.1.cmml" xref="Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.2.2">subscript</csymbol><apply id="Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.2.2.2.1.cmml" xref="Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.2.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.2.2.2.1.1.cmml" xref="Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.2.2.2.2.1">norm</csymbol><ci id="Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.1">𝑓</ci></apply><ci id="Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.2.2.3.cmml" xref="Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.2.2.3">𝐺</ci></apply><apply id="Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.2.3.cmml" xref="Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.2.3"><divide id="Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.2.3.1.cmml" xref="Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.2.3"></divide><cn id="Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.2.3.2">1</cn><ci id="Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.2.3.3.cmml" xref="Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.2.3.3">𝛼</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma2.p1.3.3.m3.1c">\|f\|_{G}>\frac{1}{\alpha}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma2.p1.3.3.m3.1d">∥ italic_f ∥ start_POSTSUBSCRIPT italic_G end_POSTSUBSCRIPT > divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_α end_ARG</annotation></semantics></math>, the decomposition <math alttext="f=u+v" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmlemma2.p1.4.4.m4.1"><semantics id="Thmlemma2.p1.4.4.m4.1a"><mrow id="Thmlemma2.p1.4.4.m4.1.1" xref="Thmlemma2.p1.4.4.m4.1.1.cmml"><mi id="Thmlemma2.p1.4.4.m4.1.1.2" xref="Thmlemma2.p1.4.4.m4.1.1.2.cmml">f</mi><mo id="Thmlemma2.p1.4.4.m4.1.1.1" xref="Thmlemma2.p1.4.4.m4.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="Thmlemma2.p1.4.4.m4.1.1.3" xref="Thmlemma2.p1.4.4.m4.1.1.3.cmml"><mi id="Thmlemma2.p1.4.4.m4.1.1.3.2" xref="Thmlemma2.p1.4.4.m4.1.1.3.2.cmml">u</mi><mo id="Thmlemma2.p1.4.4.m4.1.1.3.1" xref="Thmlemma2.p1.4.4.m4.1.1.3.1.cmml">+</mo><mi id="Thmlemma2.p1.4.4.m4.1.1.3.3" xref="Thmlemma2.p1.4.4.m4.1.1.3.3.cmml">v</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmlemma2.p1.4.4.m4.1b"><apply id="Thmlemma2.p1.4.4.m4.1.1.cmml" xref="Thmlemma2.p1.4.4.m4.1.1"><eq id="Thmlemma2.p1.4.4.m4.1.1.1.cmml" xref="Thmlemma2.p1.4.4.m4.1.1.1"></eq><ci id="Thmlemma2.p1.4.4.m4.1.1.2.cmml" xref="Thmlemma2.p1.4.4.m4.1.1.2">𝑓</ci><apply id="Thmlemma2.p1.4.4.m4.1.1.3.cmml" xref="Thmlemma2.p1.4.4.m4.1.1.3"><plus id="Thmlemma2.p1.4.4.m4.1.1.3.1.cmml" xref="Thmlemma2.p1.4.4.m4.1.1.3.1"></plus><ci id="Thmlemma2.p1.4.4.m4.1.1.3.2.cmml" xref="Thmlemma2.p1.4.4.m4.1.1.3.2">𝑢</ci><ci id="Thmlemma2.p1.4.4.m4.1.1.3.3.cmml" xref="Thmlemma2.p1.4.4.m4.1.1.3.3">𝑣</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmlemma2.p1.4.4.m4.1c">f=u+v</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmlemma2.p1.4.4.m4.1d">italic_f = italic_u + italic_v</annotation></semantics></math> by using the ROF model (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S1.E1" title="In 1 Introduction ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>) is characterized by the following two conditions</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E43"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\|v\|_{G}=\frac{1}{\alpha},\quad\int u(x)v(x)dx=\frac{1}{\alpha}|u|_{BV}." class="ltx_Math" display="block" id="S3.E43.m1.5"><semantics id="S3.E43.m1.5a"><mrow id="S3.E43.m1.5.5.1"><mrow id="S3.E43.m1.5.5.1.1.2" xref="S3.E43.m1.5.5.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.E43.m1.5.5.1.1.1.1" xref="S3.E43.m1.5.5.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E43.m1.5.5.1.1.1.1.2" xref="S3.E43.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S3.E43.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.E43.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.cmml"><mo id="S3.E43.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.1" stretchy="false" xref="S3.E43.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S3.E43.m1.1.1" xref="S3.E43.m1.1.1.cmml">v</mi><mo id="S3.E43.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S3.E43.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml">‖</mo></mrow><mi id="S3.E43.m1.5.5.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E43.m1.5.5.1.1.1.1.2.3.cmml">G</mi></msub><mo id="S3.E43.m1.5.5.1.1.1.1.1" xref="S3.E43.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mfrac id="S3.E43.m1.5.5.1.1.1.1.3" xref="S3.E43.m1.5.5.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S3.E43.m1.5.5.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E43.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mi id="S3.E43.m1.5.5.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E43.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.cmml">α</mi></mfrac></mrow><mo id="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.3" rspace="1.000em" xref="S3.E43.m1.5.5.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2" xref="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.2" xref="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.2.cmml"><mo id="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.2.1" xref="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.2.1.cmml">∫</mo><mrow id="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.2.2" xref="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2" xref="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.cmml">u</mi><mo id="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1" xref="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.2" xref="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.cmml"><mo id="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S3.E43.m1.2.2" xref="S3.E43.m1.2.2.cmml">x</mi><mo id="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1a" xref="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.4" xref="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.4.cmml">v</mi><mo id="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1b" xref="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.5.2" xref="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.cmml"><mo id="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.5.2.1" stretchy="false" xref="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S3.E43.m1.3.3" xref="S3.E43.m1.3.3.cmml">x</mi><mo id="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.5.2.2" stretchy="false" xref="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1c" lspace="0em" xref="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.6" xref="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.6.cmml"><mo id="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.6.1" rspace="0em" xref="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.6.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.6.2" xref="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.6.2.cmml">x</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.1" xref="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.3" xref="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.3.cmml"><mfrac id="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.3.2" xref="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.3.2.cmml"><mn id="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.3.2.2" xref="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.3.2.2.cmml">1</mn><mi id="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.3.2.3" xref="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.3.2.3.cmml">α</mi></mfrac><mo id="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.3.1" xref="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.3.3" xref="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.3.3.cmml"><mrow id="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.3.3.2.2" xref="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.3.3.2.1.cmml"><mo id="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.3.3.2.2.1" stretchy="false" xref="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.3.3.2.1.1.cmml">|</mo><mi id="S3.E43.m1.4.4" xref="S3.E43.m1.4.4.cmml">u</mi><mo id="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.3.3.2.2.2" stretchy="false" xref="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.3.3.2.1.1.cmml">|</mo></mrow><mrow id="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.3.3.3" xref="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.3.3.3.cmml"><mi id="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.3.3.3.2" xref="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.3.3.3.2.cmml">B</mi><mo id="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.3.3.3.1" xref="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.3.3.3.3" xref="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.3.3.3.3.cmml">V</mi></mrow></msub></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E43.m1.5.5.1.2" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E43.m1.5b"><apply id="S3.E43.m1.5.5.1.1.3.cmml" xref="S3.E43.m1.5.5.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E43.m1.5.5.1.1.3a.cmml" xref="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.E43.m1.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E43.m1.5.5.1.1.1.1"><eq id="S3.E43.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E43.m1.5.5.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S3.E43.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E43.m1.5.5.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E43.m1.5.5.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E43.m1.5.5.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S3.E43.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E43.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.E43.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.E43.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.1">norm</csymbol><ci id="S3.E43.m1.1.1.cmml" xref="S3.E43.m1.1.1">𝑣</ci></apply><ci id="S3.E43.m1.5.5.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E43.m1.5.5.1.1.1.1.2.3">𝐺</ci></apply><apply id="S3.E43.m1.5.5.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E43.m1.5.5.1.1.1.1.3"><divide id="S3.E43.m1.5.5.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E43.m1.5.5.1.1.1.1.3"></divide><cn id="S3.E43.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.E43.m1.5.5.1.1.1.1.3.2">1</cn><ci id="S3.E43.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E43.m1.5.5.1.1.1.1.3.3">𝛼</ci></apply></apply><apply id="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2"><eq id="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.1"></eq><apply id="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.2"><int id="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.2.1"></int><apply id="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.2.2"><times id="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1"></times><ci id="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2">𝑢</ci><ci id="S3.E43.m1.2.2.cmml" xref="S3.E43.m1.2.2">𝑥</ci><ci id="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.4.cmml" xref="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.4">𝑣</ci><ci id="S3.E43.m1.3.3.cmml" xref="S3.E43.m1.3.3">𝑥</ci><apply id="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.6.cmml" xref="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.6"><csymbol cd="latexml" id="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.6.1.cmml" xref="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.6.1">differential-d</csymbol><ci id="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.6.2.cmml" xref="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.6.2">𝑥</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.3"><times id="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.3.1"></times><apply id="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.3.2"><divide id="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.3.2.1.cmml" xref="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.3.2"></divide><cn id="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.3.2.2">1</cn><ci id="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.3.2.3.cmml" xref="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.3.2.3">𝛼</ci></apply><apply id="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.3.3.1.cmml" xref="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.3.3">subscript</csymbol><apply id="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.3.3.2.1.cmml" xref="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.3.3.2.2"><abs id="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.3.3.2.1.1.cmml" xref="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.3.3.2.2.1"></abs><ci id="S3.E43.m1.4.4.cmml" xref="S3.E43.m1.4.4">𝑢</ci></apply><apply id="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.3.3.3.cmml" xref="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.3.3.3"><times id="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.3.3.3.1.cmml" xref="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.3.3.3.1"></times><ci id="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.3.3.3.2.cmml" xref="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.3.3.3.2">𝐵</ci><ci id="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.3.3.3.3.cmml" xref="S3.E43.m1.5.5.1.1.2.2.3.3.3.3">𝑉</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E43.m1.5c">\|v\|_{G}=\frac{1}{\alpha},\quad\int u(x)v(x)dx=\frac{1}{\alpha}|u|_{BV}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E43.m1.5d">∥ italic_v ∥ start_POSTSUBSCRIPT italic_G end_POSTSUBSCRIPT = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_α end_ARG , ∫ italic_u ( italic_x ) italic_v ( italic_x ) italic_d italic_x = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_α end_ARG | italic_u | start_POSTSUBSCRIPT italic_B italic_V end_POSTSUBSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(43)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS3.p3"> <p class="ltx_p" id="S3.SS3.p3.1">We show some properties of the minimizers of model (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S3.E28" title="In 3.1 The proposed image denoising model ‣ 3 The Proposed Image Restoration Models ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">28</span></a>) as a generalization of Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#Thmlemma2" title="Lemma 2 ‣ 3.3 Characterization of minimizers ‣ 3 The Proposed Image Restoration Models ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>. Theoretical results including the characterization of minimizers of models related to Meyer’s model were presented in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib36" title="">meyeroscillating </a>; <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib39" title="">osher2003image </a>; <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib31" title="">2005ImageBMO </a>; <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib22" title="">2007GarImage </a>; <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib21" title="">garnett2011modeling </a></cite>.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_theorem" id="S3.Thmtheorem2"> <h6 class="ltx_title ltx_font_bold ltx_title_theorem"><span class="ltx_tag ltx_tag_theorem">Theorem 3.2</span></h6> <div class="ltx_para" id="S3.Thmtheorem2.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.Thmtheorem2.p1.2"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.Thmtheorem2.p1.2.2">Given a function <math alttext="w\in L^{2}(\Omega)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1"><semantics id="S3.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1a"><mrow id="S3.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.2" xref="S3.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.2.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.2.2" xref="S3.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.2.2.cmml">w</mi><mo id="S3.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.2.1" xref="S3.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.2.1.cmml">∈</mo><mrow id="S3.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.2.3" xref="S3.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.2.3.cmml"><msup id="S3.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.2.3.2" xref="S3.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.2.3.2.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.2.3.2.2" xref="S3.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.2.3.2.2.cmml">L</mi><mn id="S3.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.2.3.2.3" xref="S3.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.2.3.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.2.3.1" xref="S3.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.2.3.3.2" xref="S3.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.2.3.cmml"><mo id="S3.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.2.3.cmml">(</mo><mi id="S3.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1" mathvariant="normal" xref="S3.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.cmml">Ω</mi><mo id="S3.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1b"><apply id="S3.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.2"><in id="S3.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.2.1"></in><ci id="S3.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.2.2">𝑤</ci><apply id="S3.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.2.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.2.3"><times id="S3.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.2.3.1"></times><apply id="S3.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.2.3.2.2">𝐿</ci><cn id="S3.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.2.3.2.3">2</cn></apply><ci id="S3.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1">Ω</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1c">w\in L^{2}(\Omega)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1d">italic_w ∈ italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( roman_Ω )</annotation></semantics></math> and <math alttext="\lambda>0" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1"><semantics id="S3.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1a"><mrow id="S3.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1" xref="S3.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.2" xref="S3.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.1" xref="S3.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml">></mo><mn id="S3.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.3" xref="S3.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1b"><apply id="S3.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1"><gt id="S3.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.1"></gt><ci id="S3.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.2">𝜆</ci><cn id="S3.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1c">\lambda>0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1d">italic_λ > 0</annotation></semantics></math>, define</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E44"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\|w\|_{*,\lambda}=\sup_{g\in BV,h\in H}\frac{\langle w,g+h\rangle}{|g|_{BV}+% \lambda\|h\|_{\mathrm{Lip}^{*}}},\quad|g|_{BV}+\lambda\|h\|_{\mathrm{Lip}^{*}}% \neq 0," class="ltx_Math" display="block" id="S3.E44.m1.12"><semantics id="S3.E44.m1.12a"><mrow id="S3.E44.m1.12.12.1"><mrow id="S3.E44.m1.12.12.1.1.2" xref="S3.E44.m1.12.12.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.E44.m1.12.12.1.1.1.1" xref="S3.E44.m1.12.12.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E44.m1.12.12.1.1.1.1.2" xref="S3.E44.m1.12.12.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S3.E44.m1.12.12.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.E44.m1.12.12.1.1.1.1.2.2.1.cmml"><mo id="S3.E44.m1.12.12.1.1.1.1.2.2.2.1" stretchy="false" xref="S3.E44.m1.12.12.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S3.E44.m1.9.9" xref="S3.E44.m1.9.9.cmml">w</mi><mo id="S3.E44.m1.12.12.1.1.1.1.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S3.E44.m1.12.12.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml">‖</mo></mrow><mrow id="S3.E44.m1.2.2.2.4" xref="S3.E44.m1.2.2.2.3.cmml"><mo id="S3.E44.m1.1.1.1.1" rspace="0em" xref="S3.E44.m1.1.1.1.1.cmml">∗</mo><mo id="S3.E44.m1.2.2.2.4.1" xref="S3.E44.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.E44.m1.2.2.2.2" xref="S3.E44.m1.2.2.2.2.cmml">λ</mi></mrow></msub><mo id="S3.E44.m1.12.12.1.1.1.1.1" rspace="0.1389em" xref="S3.E44.m1.12.12.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.E44.m1.12.12.1.1.1.1.3" xref="S3.E44.m1.12.12.1.1.1.1.3.cmml"><munder id="S3.E44.m1.12.12.1.1.1.1.3.1" xref="S3.E44.m1.12.12.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S3.E44.m1.12.12.1.1.1.1.3.1.2" lspace="0.1389em" movablelimits="false" rspace="0.167em" xref="S3.E44.m1.12.12.1.1.1.1.3.1.2.cmml">sup</mo><mrow id="S3.E44.m1.4.4.2.2" xref="S3.E44.m1.4.4.2.3.cmml"><mrow id="S3.E44.m1.3.3.1.1.1" xref="S3.E44.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E44.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S3.E44.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">g</mi><mo id="S3.E44.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S3.E44.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">∈</mo><mrow id="S3.E44.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S3.E44.m1.3.3.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E44.m1.3.3.1.1.1.3.2" xref="S3.E44.m1.3.3.1.1.1.3.2.cmml">B</mi><mo id="S3.E44.m1.3.3.1.1.1.3.1" xref="S3.E44.m1.3.3.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E44.m1.3.3.1.1.1.3.3" xref="S3.E44.m1.3.3.1.1.1.3.3.cmml">V</mi></mrow></mrow><mo id="S3.E44.m1.4.4.2.2.3" xref="S3.E44.m1.4.4.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.E44.m1.4.4.2.2.2" xref="S3.E44.m1.4.4.2.2.2.cmml"><mi id="S3.E44.m1.4.4.2.2.2.2" xref="S3.E44.m1.4.4.2.2.2.2.cmml">h</mi><mo id="S3.E44.m1.4.4.2.2.2.1" xref="S3.E44.m1.4.4.2.2.2.1.cmml">∈</mo><mi id="S3.E44.m1.4.4.2.2.2.3" xref="S3.E44.m1.4.4.2.2.2.3.cmml">H</mi></mrow></mrow></munder><mfrac id="S3.E44.m1.8.8" xref="S3.E44.m1.8.8.cmml"><mrow id="S3.E44.m1.6.6.2.2" xref="S3.E44.m1.6.6.2.3.cmml"><mo id="S3.E44.m1.6.6.2.2.2" stretchy="false" xref="S3.E44.m1.6.6.2.3.cmml">⟨</mo><mi id="S3.E44.m1.5.5.1.1" xref="S3.E44.m1.5.5.1.1.cmml">w</mi><mo id="S3.E44.m1.6.6.2.2.3" xref="S3.E44.m1.6.6.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S3.E44.m1.6.6.2.2.1" xref="S3.E44.m1.6.6.2.2.1.cmml"><mi id="S3.E44.m1.6.6.2.2.1.2" xref="S3.E44.m1.6.6.2.2.1.2.cmml">g</mi><mo id="S3.E44.m1.6.6.2.2.1.1" xref="S3.E44.m1.6.6.2.2.1.1.cmml">+</mo><mi id="S3.E44.m1.6.6.2.2.1.3" xref="S3.E44.m1.6.6.2.2.1.3.cmml">h</mi></mrow><mo id="S3.E44.m1.6.6.2.2.4" stretchy="false" xref="S3.E44.m1.6.6.2.3.cmml">⟩</mo></mrow><mrow id="S3.E44.m1.8.8.4" xref="S3.E44.m1.8.8.4.cmml"><msub id="S3.E44.m1.8.8.4.4" xref="S3.E44.m1.8.8.4.4.cmml"><mrow id="S3.E44.m1.8.8.4.4.2.2" xref="S3.E44.m1.8.8.4.4.2.1.cmml"><mo id="S3.E44.m1.8.8.4.4.2.2.1" stretchy="false" xref="S3.E44.m1.8.8.4.4.2.1.1.cmml">|</mo><mi id="S3.E44.m1.7.7.3.1" xref="S3.E44.m1.7.7.3.1.cmml">g</mi><mo id="S3.E44.m1.8.8.4.4.2.2.2" stretchy="false" xref="S3.E44.m1.8.8.4.4.2.1.1.cmml">|</mo></mrow><mrow id="S3.E44.m1.8.8.4.4.3" xref="S3.E44.m1.8.8.4.4.3.cmml"><mi id="S3.E44.m1.8.8.4.4.3.2" xref="S3.E44.m1.8.8.4.4.3.2.cmml">B</mi><mo id="S3.E44.m1.8.8.4.4.3.1" xref="S3.E44.m1.8.8.4.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E44.m1.8.8.4.4.3.3" xref="S3.E44.m1.8.8.4.4.3.3.cmml">V</mi></mrow></msub><mo id="S3.E44.m1.8.8.4.3" xref="S3.E44.m1.8.8.4.3.cmml">+</mo><mrow id="S3.E44.m1.8.8.4.5" xref="S3.E44.m1.8.8.4.5.cmml"><mi id="S3.E44.m1.8.8.4.5.2" xref="S3.E44.m1.8.8.4.5.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.E44.m1.8.8.4.5.1" xref="S3.E44.m1.8.8.4.5.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E44.m1.8.8.4.5.3" xref="S3.E44.m1.8.8.4.5.3.cmml"><mrow id="S3.E44.m1.8.8.4.5.3.2.2" xref="S3.E44.m1.8.8.4.5.3.2.1.cmml"><mo id="S3.E44.m1.8.8.4.5.3.2.2.1" stretchy="false" xref="S3.E44.m1.8.8.4.5.3.2.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S3.E44.m1.8.8.4.2" xref="S3.E44.m1.8.8.4.2.cmml">h</mi><mo id="S3.E44.m1.8.8.4.5.3.2.2.2" stretchy="false" xref="S3.E44.m1.8.8.4.5.3.2.1.1.cmml">‖</mo></mrow><msup id="S3.E44.m1.8.8.4.5.3.3" xref="S3.E44.m1.8.8.4.5.3.3.cmml"><mi id="S3.E44.m1.8.8.4.5.3.3.2" xref="S3.E44.m1.8.8.4.5.3.3.2.cmml">Lip</mi><mo id="S3.E44.m1.8.8.4.5.3.3.3" xref="S3.E44.m1.8.8.4.5.3.3.3.cmml">∗</mo></msup></msub></mrow></mrow></mfrac></mrow></mrow><mo id="S3.E44.m1.12.12.1.1.2.3" rspace="1.167em" xref="S3.E44.m1.12.12.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.E44.m1.12.12.1.1.2.2" xref="S3.E44.m1.12.12.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S3.E44.m1.12.12.1.1.2.2.2" xref="S3.E44.m1.12.12.1.1.2.2.2.cmml"><msub id="S3.E44.m1.12.12.1.1.2.2.2.2" xref="S3.E44.m1.12.12.1.1.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S3.E44.m1.12.12.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="S3.E44.m1.12.12.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml"><mo id="S3.E44.m1.12.12.1.1.2.2.2.2.2.2.1" stretchy="false" xref="S3.E44.m1.12.12.1.1.2.2.2.2.2.1.1.cmml">|</mo><mi id="S3.E44.m1.10.10" xref="S3.E44.m1.10.10.cmml">g</mi><mo id="S3.E44.m1.12.12.1.1.2.2.2.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S3.E44.m1.12.12.1.1.2.2.2.2.2.1.1.cmml">|</mo></mrow><mrow id="S3.E44.m1.12.12.1.1.2.2.2.2.3" xref="S3.E44.m1.12.12.1.1.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E44.m1.12.12.1.1.2.2.2.2.3.2" xref="S3.E44.m1.12.12.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml">B</mi><mo id="S3.E44.m1.12.12.1.1.2.2.2.2.3.1" xref="S3.E44.m1.12.12.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E44.m1.12.12.1.1.2.2.2.2.3.3" xref="S3.E44.m1.12.12.1.1.2.2.2.2.3.3.cmml">V</mi></mrow></msub><mo id="S3.E44.m1.12.12.1.1.2.2.2.1" xref="S3.E44.m1.12.12.1.1.2.2.2.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.E44.m1.12.12.1.1.2.2.2.3" xref="S3.E44.m1.12.12.1.1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E44.m1.12.12.1.1.2.2.2.3.2" xref="S3.E44.m1.12.12.1.1.2.2.2.3.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.E44.m1.12.12.1.1.2.2.2.3.1" xref="S3.E44.m1.12.12.1.1.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E44.m1.12.12.1.1.2.2.2.3.3" xref="S3.E44.m1.12.12.1.1.2.2.2.3.3.cmml"><mrow id="S3.E44.m1.12.12.1.1.2.2.2.3.3.2.2" xref="S3.E44.m1.12.12.1.1.2.2.2.3.3.2.1.cmml"><mo id="S3.E44.m1.12.12.1.1.2.2.2.3.3.2.2.1" stretchy="false" xref="S3.E44.m1.12.12.1.1.2.2.2.3.3.2.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S3.E44.m1.11.11" xref="S3.E44.m1.11.11.cmml">h</mi><mo id="S3.E44.m1.12.12.1.1.2.2.2.3.3.2.2.2" stretchy="false" 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xref="S3.E44.m1.8.8.4.2">ℎ</ci></apply><apply id="S3.E44.m1.8.8.4.5.3.3.cmml" xref="S3.E44.m1.8.8.4.5.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E44.m1.8.8.4.5.3.3.1.cmml" xref="S3.E44.m1.8.8.4.5.3.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E44.m1.8.8.4.5.3.3.2.cmml" xref="S3.E44.m1.8.8.4.5.3.3.2">Lip</ci><times id="S3.E44.m1.8.8.4.5.3.3.3.cmml" xref="S3.E44.m1.8.8.4.5.3.3.3"></times></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E44.m1.12.12.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E44.m1.12.12.1.1.2.2"><neq id="S3.E44.m1.12.12.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E44.m1.12.12.1.1.2.2.1"></neq><apply id="S3.E44.m1.12.12.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E44.m1.12.12.1.1.2.2.2"><plus id="S3.E44.m1.12.12.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E44.m1.12.12.1.1.2.2.2.1"></plus><apply id="S3.E44.m1.12.12.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E44.m1.12.12.1.1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E44.m1.12.12.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E44.m1.12.12.1.1.2.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S3.E44.m1.12.12.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E44.m1.12.12.1.1.2.2.2.2.2.2"><abs id="S3.E44.m1.12.12.1.1.2.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.E44.m1.12.12.1.1.2.2.2.2.2.2.1"></abs><ci id="S3.E44.m1.10.10.cmml" xref="S3.E44.m1.10.10">𝑔</ci></apply><apply id="S3.E44.m1.12.12.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E44.m1.12.12.1.1.2.2.2.2.3"><times id="S3.E44.m1.12.12.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.E44.m1.12.12.1.1.2.2.2.2.3.1"></times><ci id="S3.E44.m1.12.12.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.E44.m1.12.12.1.1.2.2.2.2.3.2">𝐵</ci><ci id="S3.E44.m1.12.12.1.1.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S3.E44.m1.12.12.1.1.2.2.2.2.3.3">𝑉</ci></apply></apply><apply id="S3.E44.m1.12.12.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E44.m1.12.12.1.1.2.2.2.3"><times id="S3.E44.m1.12.12.1.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.E44.m1.12.12.1.1.2.2.2.3.1"></times><ci id="S3.E44.m1.12.12.1.1.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.E44.m1.12.12.1.1.2.2.2.3.2">𝜆</ci><apply id="S3.E44.m1.12.12.1.1.2.2.2.3.3.cmml" xref="S3.E44.m1.12.12.1.1.2.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E44.m1.12.12.1.1.2.2.2.3.3.1.cmml" xref="S3.E44.m1.12.12.1.1.2.2.2.3.3">subscript</csymbol><apply id="S3.E44.m1.12.12.1.1.2.2.2.3.3.2.1.cmml" xref="S3.E44.m1.12.12.1.1.2.2.2.3.3.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.E44.m1.12.12.1.1.2.2.2.3.3.2.1.1.cmml" xref="S3.E44.m1.12.12.1.1.2.2.2.3.3.2.2.1">norm</csymbol><ci id="S3.E44.m1.11.11.cmml" xref="S3.E44.m1.11.11">ℎ</ci></apply><apply id="S3.E44.m1.12.12.1.1.2.2.2.3.3.3.cmml" xref="S3.E44.m1.12.12.1.1.2.2.2.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E44.m1.12.12.1.1.2.2.2.3.3.3.1.cmml" xref="S3.E44.m1.12.12.1.1.2.2.2.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E44.m1.12.12.1.1.2.2.2.3.3.3.2.cmml" xref="S3.E44.m1.12.12.1.1.2.2.2.3.3.3.2">Lip</ci><times id="S3.E44.m1.12.12.1.1.2.2.2.3.3.3.3.cmml" xref="S3.E44.m1.12.12.1.1.2.2.2.3.3.3.3"></times></apply></apply></apply></apply><cn id="S3.E44.m1.12.12.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E44.m1.12.12.1.1.2.2.3">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E44.m1.12c">\|w\|_{*,\lambda}=\sup_{g\in BV,h\in H}\frac{\langle w,g+h\rangle}{|g|_{BV}+% \lambda\|h\|_{\mathrm{Lip}^{*}}},\quad|g|_{BV}+\lambda\|h\|_{\mathrm{Lip}^{*}}% \neq 0,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E44.m1.12d">∥ italic_w ∥ start_POSTSUBSCRIPT ∗ , italic_λ end_POSTSUBSCRIPT = roman_sup start_POSTSUBSCRIPT italic_g ∈ italic_B italic_V , italic_h ∈ italic_H end_POSTSUBSCRIPT divide start_ARG ⟨ italic_w , italic_g + italic_h ⟩ end_ARG start_ARG | italic_g | start_POSTSUBSCRIPT italic_B italic_V end_POSTSUBSCRIPT + italic_λ ∥ italic_h ∥ start_POSTSUBSCRIPT roman_Lip start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT end_ARG , | italic_g | start_POSTSUBSCRIPT italic_B italic_V end_POSTSUBSCRIPT + italic_λ ∥ italic_h ∥ start_POSTSUBSCRIPT roman_Lip start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ≠ 0 ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(44)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.Thmtheorem2.p1.7"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.Thmtheorem2.p1.7.5">where <math alttext="\langle\cdot,\cdot\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmtheorem2.p1.3.1.m1.2"><semantics id="S3.Thmtheorem2.p1.3.1.m1.2a"><mrow id="S3.Thmtheorem2.p1.3.1.m1.2.3.2" xref="S3.Thmtheorem2.p1.3.1.m1.2.3.1.cmml"><mo id="S3.Thmtheorem2.p1.3.1.m1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Thmtheorem2.p1.3.1.m1.2.3.1.cmml">⟨</mo><mo id="S3.Thmtheorem2.p1.3.1.m1.1.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.Thmtheorem2.p1.3.1.m1.1.1.cmml">⋅</mo><mo id="S3.Thmtheorem2.p1.3.1.m1.2.3.2.2" rspace="0em" xref="S3.Thmtheorem2.p1.3.1.m1.2.3.1.cmml">,</mo><mo id="S3.Thmtheorem2.p1.3.1.m1.2.2" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.Thmtheorem2.p1.3.1.m1.2.2.cmml">⋅</mo><mo id="S3.Thmtheorem2.p1.3.1.m1.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.Thmtheorem2.p1.3.1.m1.2.3.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmtheorem2.p1.3.1.m1.2b"><list id="S3.Thmtheorem2.p1.3.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.3.1.m1.2.3.2"><ci id="S3.Thmtheorem2.p1.3.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.3.1.m1.1.1">⋅</ci><ci id="S3.Thmtheorem2.p1.3.1.m1.2.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.3.1.m1.2.2">⋅</ci></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmtheorem2.p1.3.1.m1.2c">\langle\cdot,\cdot\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmtheorem2.p1.3.1.m1.2d">⟨ ⋅ , ⋅ ⟩</annotation></semantics></math> is the <math alttext="L^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmtheorem2.p1.4.2.m2.1"><semantics id="S3.Thmtheorem2.p1.4.2.m2.1a"><msup id="S3.Thmtheorem2.p1.4.2.m2.1.1" xref="S3.Thmtheorem2.p1.4.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem2.p1.4.2.m2.1.1.2" xref="S3.Thmtheorem2.p1.4.2.m2.1.1.2.cmml">L</mi><mn id="S3.Thmtheorem2.p1.4.2.m2.1.1.3" xref="S3.Thmtheorem2.p1.4.2.m2.1.1.3.cmml">2</mn></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmtheorem2.p1.4.2.m2.1b"><apply id="S3.Thmtheorem2.p1.4.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.4.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmtheorem2.p1.4.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.4.2.m2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.Thmtheorem2.p1.4.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.4.2.m2.1.1.2">𝐿</ci><cn id="S3.Thmtheorem2.p1.4.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Thmtheorem2.p1.4.2.m2.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmtheorem2.p1.4.2.m2.1c">L^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmtheorem2.p1.4.2.m2.1d">italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> inner product. Let <math alttext="(u,v)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmtheorem2.p1.5.3.m3.2"><semantics id="S3.Thmtheorem2.p1.5.3.m3.2a"><mrow id="S3.Thmtheorem2.p1.5.3.m3.2.3.2" xref="S3.Thmtheorem2.p1.5.3.m3.2.3.1.cmml"><mo id="S3.Thmtheorem2.p1.5.3.m3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Thmtheorem2.p1.5.3.m3.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.Thmtheorem2.p1.5.3.m3.1.1" xref="S3.Thmtheorem2.p1.5.3.m3.1.1.cmml">u</mi><mo id="S3.Thmtheorem2.p1.5.3.m3.2.3.2.2" xref="S3.Thmtheorem2.p1.5.3.m3.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.Thmtheorem2.p1.5.3.m3.2.2" xref="S3.Thmtheorem2.p1.5.3.m3.2.2.cmml">v</mi><mo id="S3.Thmtheorem2.p1.5.3.m3.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.Thmtheorem2.p1.5.3.m3.2.3.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmtheorem2.p1.5.3.m3.2b"><interval closure="open" id="S3.Thmtheorem2.p1.5.3.m3.2.3.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.5.3.m3.2.3.2"><ci id="S3.Thmtheorem2.p1.5.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.5.3.m3.1.1">𝑢</ci><ci id="S3.Thmtheorem2.p1.5.3.m3.2.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.5.3.m3.2.2">𝑣</ci></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmtheorem2.p1.5.3.m3.2c">(u,v)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmtheorem2.p1.5.3.m3.2d">( italic_u , italic_v )</annotation></semantics></math> be an optimal decomposition of <math alttext="f\in L^{2}(\Omega)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmtheorem2.p1.6.4.m4.1"><semantics id="S3.Thmtheorem2.p1.6.4.m4.1a"><mrow id="S3.Thmtheorem2.p1.6.4.m4.1.2" xref="S3.Thmtheorem2.p1.6.4.m4.1.2.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem2.p1.6.4.m4.1.2.2" xref="S3.Thmtheorem2.p1.6.4.m4.1.2.2.cmml">f</mi><mo id="S3.Thmtheorem2.p1.6.4.m4.1.2.1" xref="S3.Thmtheorem2.p1.6.4.m4.1.2.1.cmml">∈</mo><mrow id="S3.Thmtheorem2.p1.6.4.m4.1.2.3" xref="S3.Thmtheorem2.p1.6.4.m4.1.2.3.cmml"><msup id="S3.Thmtheorem2.p1.6.4.m4.1.2.3.2" xref="S3.Thmtheorem2.p1.6.4.m4.1.2.3.2.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem2.p1.6.4.m4.1.2.3.2.2" xref="S3.Thmtheorem2.p1.6.4.m4.1.2.3.2.2.cmml">L</mi><mn id="S3.Thmtheorem2.p1.6.4.m4.1.2.3.2.3" xref="S3.Thmtheorem2.p1.6.4.m4.1.2.3.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.Thmtheorem2.p1.6.4.m4.1.2.3.1" xref="S3.Thmtheorem2.p1.6.4.m4.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Thmtheorem2.p1.6.4.m4.1.2.3.3.2" xref="S3.Thmtheorem2.p1.6.4.m4.1.2.3.cmml"><mo id="S3.Thmtheorem2.p1.6.4.m4.1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Thmtheorem2.p1.6.4.m4.1.2.3.cmml">(</mo><mi id="S3.Thmtheorem2.p1.6.4.m4.1.1" mathvariant="normal" xref="S3.Thmtheorem2.p1.6.4.m4.1.1.cmml">Ω</mi><mo id="S3.Thmtheorem2.p1.6.4.m4.1.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.Thmtheorem2.p1.6.4.m4.1.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmtheorem2.p1.6.4.m4.1b"><apply id="S3.Thmtheorem2.p1.6.4.m4.1.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.6.4.m4.1.2"><in id="S3.Thmtheorem2.p1.6.4.m4.1.2.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.6.4.m4.1.2.1"></in><ci id="S3.Thmtheorem2.p1.6.4.m4.1.2.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.6.4.m4.1.2.2">𝑓</ci><apply id="S3.Thmtheorem2.p1.6.4.m4.1.2.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.6.4.m4.1.2.3"><times id="S3.Thmtheorem2.p1.6.4.m4.1.2.3.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.6.4.m4.1.2.3.1"></times><apply id="S3.Thmtheorem2.p1.6.4.m4.1.2.3.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.6.4.m4.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmtheorem2.p1.6.4.m4.1.2.3.2.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.6.4.m4.1.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.Thmtheorem2.p1.6.4.m4.1.2.3.2.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.6.4.m4.1.2.3.2.2">𝐿</ci><cn id="S3.Thmtheorem2.p1.6.4.m4.1.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.Thmtheorem2.p1.6.4.m4.1.2.3.2.3">2</cn></apply><ci id="S3.Thmtheorem2.p1.6.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.6.4.m4.1.1">Ω</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmtheorem2.p1.6.4.m4.1c">f\in L^{2}(\Omega)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmtheorem2.p1.6.4.m4.1d">italic_f ∈ italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( roman_Ω )</annotation></semantics></math> via (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S3.E31" title="In Theorem 3.1 ‣ 3.2 Existence and uniqueness of minimizers ‣ 3 The Proposed Image Restoration Models ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">31</span></a>), and denote <math alttext="w=f-u-v" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmtheorem2.p1.7.5.m5.1"><semantics id="S3.Thmtheorem2.p1.7.5.m5.1a"><mrow id="S3.Thmtheorem2.p1.7.5.m5.1.1" xref="S3.Thmtheorem2.p1.7.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem2.p1.7.5.m5.1.1.2" xref="S3.Thmtheorem2.p1.7.5.m5.1.1.2.cmml">w</mi><mo id="S3.Thmtheorem2.p1.7.5.m5.1.1.1" xref="S3.Thmtheorem2.p1.7.5.m5.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.Thmtheorem2.p1.7.5.m5.1.1.3" xref="S3.Thmtheorem2.p1.7.5.m5.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Thmtheorem2.p1.7.5.m5.1.1.3.2" xref="S3.Thmtheorem2.p1.7.5.m5.1.1.3.2.cmml">f</mi><mo id="S3.Thmtheorem2.p1.7.5.m5.1.1.3.1" xref="S3.Thmtheorem2.p1.7.5.m5.1.1.3.1.cmml">−</mo><mi id="S3.Thmtheorem2.p1.7.5.m5.1.1.3.3" xref="S3.Thmtheorem2.p1.7.5.m5.1.1.3.3.cmml">u</mi><mo id="S3.Thmtheorem2.p1.7.5.m5.1.1.3.1a" xref="S3.Thmtheorem2.p1.7.5.m5.1.1.3.1.cmml">−</mo><mi id="S3.Thmtheorem2.p1.7.5.m5.1.1.3.4" xref="S3.Thmtheorem2.p1.7.5.m5.1.1.3.4.cmml">v</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmtheorem2.p1.7.5.m5.1b"><apply id="S3.Thmtheorem2.p1.7.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.7.5.m5.1.1"><eq id="S3.Thmtheorem2.p1.7.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.7.5.m5.1.1.1"></eq><ci id="S3.Thmtheorem2.p1.7.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.7.5.m5.1.1.2">𝑤</ci><apply id="S3.Thmtheorem2.p1.7.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.7.5.m5.1.1.3"><minus id="S3.Thmtheorem2.p1.7.5.m5.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.7.5.m5.1.1.3.1"></minus><ci id="S3.Thmtheorem2.p1.7.5.m5.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.7.5.m5.1.1.3.2">𝑓</ci><ci id="S3.Thmtheorem2.p1.7.5.m5.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.7.5.m5.1.1.3.3">𝑢</ci><ci id="S3.Thmtheorem2.p1.7.5.m5.1.1.3.4.cmml" xref="S3.Thmtheorem2.p1.7.5.m5.1.1.3.4">𝑣</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmtheorem2.p1.7.5.m5.1c">w=f-u-v</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmtheorem2.p1.7.5.m5.1d">italic_w = italic_f - italic_u - italic_v</annotation></semantics></math>. Then we have the following:</span></p> <ol class="ltx_enumerate" id="S3.I2"> <li class="ltx_item" id="S3.I2.i1" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">1.</span> <div class="ltx_para" id="S3.I2.i1.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.I2.i1.p1.2"><math alttext="\|f\|_{*,\lambda}\leq\frac{1}{\alpha}\Longleftrightarrow u=0,v=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I2.i1.p1.1.m1.5"><semantics id="S3.I2.i1.p1.1.m1.5a"><mrow id="S3.I2.i1.p1.1.m1.5.5" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.5.5.cmml"><mrow id="S3.I2.i1.p1.1.m1.5.5.4" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.5.5.4.cmml"><msub id="S3.I2.i1.p1.1.m1.5.5.4.2" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.5.5.4.2.cmml"><mrow id="S3.I2.i1.p1.1.m1.5.5.4.2.2.2" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.5.5.4.2.2.1.cmml"><mo id="S3.I2.i1.p1.1.m1.5.5.4.2.2.2.1" stretchy="false" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.5.5.4.2.2.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S3.I2.i1.p1.1.m1.3.3" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.3.3.cmml">f</mi><mo id="S3.I2.i1.p1.1.m1.5.5.4.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.5.5.4.2.2.1.1.cmml">‖</mo></mrow><mrow id="S3.I2.i1.p1.1.m1.2.2.2.4" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml"><mo id="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.1.1.1" rspace="0em" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml">∗</mo><mo id="S3.I2.i1.p1.1.m1.2.2.2.4.1" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.I2.i1.p1.1.m1.2.2.2.2" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml">λ</mi></mrow></msub><mo id="S3.I2.i1.p1.1.m1.5.5.4.1" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.5.5.4.1.cmml">≤</mo><mfrac id="S3.I2.i1.p1.1.m1.5.5.4.3" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.5.5.4.3.cmml"><mn id="S3.I2.i1.p1.1.m1.5.5.4.3.2" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.5.5.4.3.2.cmml">1</mn><mi id="S3.I2.i1.p1.1.m1.5.5.4.3.3" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.5.5.4.3.3.cmml">α</mi></mfrac></mrow><mo id="S3.I2.i1.p1.1.m1.5.5.3" stretchy="false" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.5.5.3.cmml">⟺</mo><mrow id="S3.I2.i1.p1.1.m1.5.5.2.2" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.5.5.2.3.cmml"><mrow id="S3.I2.i1.p1.1.m1.4.4.1.1.1" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.4.4.1.1.1.cmml"><mi id="S3.I2.i1.p1.1.m1.4.4.1.1.1.2" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.4.4.1.1.1.2.cmml">u</mi><mo id="S3.I2.i1.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S3.I2.i1.p1.1.m1.4.4.1.1.1.3" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.4.4.1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><mo id="S3.I2.i1.p1.1.m1.5.5.2.2.3" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.5.5.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.I2.i1.p1.1.m1.5.5.2.2.2" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.5.5.2.2.2.cmml"><mi id="S3.I2.i1.p1.1.m1.5.5.2.2.2.2" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.5.5.2.2.2.2.cmml">v</mi><mo id="S3.I2.i1.p1.1.m1.5.5.2.2.2.1" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.5.5.2.2.2.1.cmml">=</mo><mn id="S3.I2.i1.p1.1.m1.5.5.2.2.2.3" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.5.5.2.2.2.3.cmml">0</mn></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I2.i1.p1.1.m1.5b"><apply id="S3.I2.i1.p1.1.m1.5.5.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.5.5"><ci id="S3.I2.i1.p1.1.m1.5.5.3.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.5.5.3">⟺</ci><apply id="S3.I2.i1.p1.1.m1.5.5.4.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.5.5.4"><leq id="S3.I2.i1.p1.1.m1.5.5.4.1.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.5.5.4.1"></leq><apply id="S3.I2.i1.p1.1.m1.5.5.4.2.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.5.5.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I2.i1.p1.1.m1.5.5.4.2.1.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.5.5.4.2">subscript</csymbol><apply id="S3.I2.i1.p1.1.m1.5.5.4.2.2.1.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.5.5.4.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.I2.i1.p1.1.m1.5.5.4.2.2.1.1.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.5.5.4.2.2.2.1">norm</csymbol><ci id="S3.I2.i1.p1.1.m1.3.3.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.3.3">𝑓</ci></apply><list id="S3.I2.i1.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.2.2.2.4"><times id="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.1.1.1.1"></times><ci id="S3.I2.i1.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.2.2.2.2">𝜆</ci></list></apply><apply id="S3.I2.i1.p1.1.m1.5.5.4.3.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.5.5.4.3"><divide id="S3.I2.i1.p1.1.m1.5.5.4.3.1.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.5.5.4.3"></divide><cn id="S3.I2.i1.p1.1.m1.5.5.4.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.5.5.4.3.2">1</cn><ci id="S3.I2.i1.p1.1.m1.5.5.4.3.3.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.5.5.4.3.3">𝛼</ci></apply></apply><apply id="S3.I2.i1.p1.1.m1.5.5.2.3.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.5.5.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I2.i1.p1.1.m1.5.5.2.3a.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.5.5.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.I2.i1.p1.1.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.4.4.1.1.1"><eq id="S3.I2.i1.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1"></eq><ci id="S3.I2.i1.p1.1.m1.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.4.4.1.1.1.2">𝑢</ci><cn id="S3.I2.i1.p1.1.m1.4.4.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.4.4.1.1.1.3">0</cn></apply><apply id="S3.I2.i1.p1.1.m1.5.5.2.2.2.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.5.5.2.2.2"><eq id="S3.I2.i1.p1.1.m1.5.5.2.2.2.1.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.5.5.2.2.2.1"></eq><ci id="S3.I2.i1.p1.1.m1.5.5.2.2.2.2.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.5.5.2.2.2.2">𝑣</ci><cn id="S3.I2.i1.p1.1.m1.5.5.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.I2.i1.p1.1.m1.5.5.2.2.2.3">0</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I2.i1.p1.1.m1.5c">\|f\|_{*,\lambda}\leq\frac{1}{\alpha}\Longleftrightarrow u=0,v=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I2.i1.p1.1.m1.5d">∥ italic_f ∥ start_POSTSUBSCRIPT ∗ , italic_λ end_POSTSUBSCRIPT ≤ divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_α end_ARG ⟺ italic_u = 0 , italic_v = 0</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I2.i1.p1.2.1"> and </span><math alttext="w=f" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I2.i1.p1.2.m2.1"><semantics id="S3.I2.i1.p1.2.m2.1a"><mrow id="S3.I2.i1.p1.2.m2.1.1" xref="S3.I2.i1.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.I2.i1.p1.2.m2.1.1.2" xref="S3.I2.i1.p1.2.m2.1.1.2.cmml">w</mi><mo id="S3.I2.i1.p1.2.m2.1.1.1" xref="S3.I2.i1.p1.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mi id="S3.I2.i1.p1.2.m2.1.1.3" xref="S3.I2.i1.p1.2.m2.1.1.3.cmml">f</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I2.i1.p1.2.m2.1b"><apply id="S3.I2.i1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.2.m2.1.1"><eq id="S3.I2.i1.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.2.m2.1.1.1"></eq><ci id="S3.I2.i1.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.2.m2.1.1.2">𝑤</ci><ci id="S3.I2.i1.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.I2.i1.p1.2.m2.1.1.3">𝑓</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I2.i1.p1.2.m2.1c">w=f</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I2.i1.p1.2.m2.1d">italic_w = italic_f</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I2.i1.p1.2.2">.</span></p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S3.I2.i2" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">2.</span> <div class="ltx_para" id="S3.I2.i2.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.I2.i2.p1.2"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I2.i2.p1.2.1">Assume </span><math alttext="\|f\|_{*,\lambda}>\frac{1}{\alpha}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I2.i2.p1.1.m1.3"><semantics id="S3.I2.i2.p1.1.m1.3a"><mrow id="S3.I2.i2.p1.1.m1.3.4" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.3.4.cmml"><msub id="S3.I2.i2.p1.1.m1.3.4.2" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.3.4.2.cmml"><mrow id="S3.I2.i2.p1.1.m1.3.4.2.2.2" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.3.4.2.2.1.cmml"><mo id="S3.I2.i2.p1.1.m1.3.4.2.2.2.1" stretchy="false" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.3.4.2.2.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S3.I2.i2.p1.1.m1.3.3" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.3.3.cmml">f</mi><mo id="S3.I2.i2.p1.1.m1.3.4.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.3.4.2.2.1.1.cmml">‖</mo></mrow><mrow id="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.4" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml"><mo id="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.1" rspace="0em" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml">∗</mo><mo id="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.4.1" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.2" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml">λ</mi></mrow></msub><mo id="S3.I2.i2.p1.1.m1.3.4.1" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.3.4.1.cmml">></mo><mfrac id="S3.I2.i2.p1.1.m1.3.4.3" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.3.4.3.cmml"><mn id="S3.I2.i2.p1.1.m1.3.4.3.2" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.3.4.3.2.cmml">1</mn><mi id="S3.I2.i2.p1.1.m1.3.4.3.3" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.3.4.3.3.cmml">α</mi></mfrac></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I2.i2.p1.1.m1.3b"><apply id="S3.I2.i2.p1.1.m1.3.4.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.3.4"><gt id="S3.I2.i2.p1.1.m1.3.4.1.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.3.4.1"></gt><apply id="S3.I2.i2.p1.1.m1.3.4.2.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.3.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I2.i2.p1.1.m1.3.4.2.1.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.3.4.2">subscript</csymbol><apply id="S3.I2.i2.p1.1.m1.3.4.2.2.1.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.3.4.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.I2.i2.p1.1.m1.3.4.2.2.1.1.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.3.4.2.2.2.1">norm</csymbol><ci id="S3.I2.i2.p1.1.m1.3.3.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.3.3">𝑓</ci></apply><list id="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.4"><times id="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.1.1.1.1"></times><ci id="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.2.2.2.2">𝜆</ci></list></apply><apply id="S3.I2.i2.p1.1.m1.3.4.3.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.3.4.3"><divide id="S3.I2.i2.p1.1.m1.3.4.3.1.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.3.4.3"></divide><cn id="S3.I2.i2.p1.1.m1.3.4.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.3.4.3.2">1</cn><ci id="S3.I2.i2.p1.1.m1.3.4.3.3.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.1.m1.3.4.3.3">𝛼</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I2.i2.p1.1.m1.3c">\|f\|_{*,\lambda}>\frac{1}{\alpha}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I2.i2.p1.1.m1.3d">∥ italic_f ∥ start_POSTSUBSCRIPT ∗ , italic_λ end_POSTSUBSCRIPT > divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_α end_ARG</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I2.i2.p1.2.2">, then </span><math alttext="(u,v)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I2.i2.p1.2.m2.2"><semantics id="S3.I2.i2.p1.2.m2.2a"><mrow id="S3.I2.i2.p1.2.m2.2.3.2" xref="S3.I2.i2.p1.2.m2.2.3.1.cmml"><mo id="S3.I2.i2.p1.2.m2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.I2.i2.p1.2.m2.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.I2.i2.p1.2.m2.1.1" xref="S3.I2.i2.p1.2.m2.1.1.cmml">u</mi><mo id="S3.I2.i2.p1.2.m2.2.3.2.2" xref="S3.I2.i2.p1.2.m2.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.I2.i2.p1.2.m2.2.2" xref="S3.I2.i2.p1.2.m2.2.2.cmml">v</mi><mo id="S3.I2.i2.p1.2.m2.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.I2.i2.p1.2.m2.2.3.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I2.i2.p1.2.m2.2b"><interval closure="open" id="S3.I2.i2.p1.2.m2.2.3.1.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.2.m2.2.3.2"><ci id="S3.I2.i2.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.2.m2.1.1">𝑢</ci><ci id="S3.I2.i2.p1.2.m2.2.2.cmml" xref="S3.I2.i2.p1.2.m2.2.2">𝑣</ci></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I2.i2.p1.2.m2.2c">(u,v)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I2.i2.p1.2.m2.2d">( italic_u , italic_v )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I2.i2.p1.2.3"> is characterized by the two conditions</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E45"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\|w\|_{*,\lambda}=\frac{1}{\alpha},\quad\langle w,u+v\rangle=\frac{1}{\alpha}(% |u|_{BV}+\lambda\|v\|_{\mathrm{Lip}^{*}})." class="ltx_Math" display="block" id="S3.E45.m1.7"><semantics id="S3.E45.m1.7a"><mrow id="S3.E45.m1.7.7.1"><mrow id="S3.E45.m1.7.7.1.1.2" xref="S3.E45.m1.7.7.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.E45.m1.7.7.1.1.1.1" xref="S3.E45.m1.7.7.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E45.m1.7.7.1.1.1.1.2" xref="S3.E45.m1.7.7.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S3.E45.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.E45.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.1.cmml"><mo id="S3.E45.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2.1" stretchy="false" xref="S3.E45.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S3.E45.m1.3.3" xref="S3.E45.m1.3.3.cmml">w</mi><mo id="S3.E45.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S3.E45.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml">‖</mo></mrow><mrow id="S3.E45.m1.2.2.2.4" xref="S3.E45.m1.2.2.2.3.cmml"><mo id="S3.E45.m1.1.1.1.1" rspace="0em" xref="S3.E45.m1.1.1.1.1.cmml">∗</mo><mo id="S3.E45.m1.2.2.2.4.1" xref="S3.E45.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.E45.m1.2.2.2.2" xref="S3.E45.m1.2.2.2.2.cmml">λ</mi></mrow></msub><mo id="S3.E45.m1.7.7.1.1.1.1.1" xref="S3.E45.m1.7.7.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mfrac id="S3.E45.m1.7.7.1.1.1.1.3" xref="S3.E45.m1.7.7.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S3.E45.m1.7.7.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E45.m1.7.7.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mi id="S3.E45.m1.7.7.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E45.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.cmml">α</mi></mfrac></mrow><mo id="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.3" rspace="1.167em" xref="S3.E45.m1.7.7.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2" xref="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.1.1" xref="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.1.2.cmml"><mo id="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.1.2.cmml">⟨</mo><mi id="S3.E45.m1.4.4" xref="S3.E45.m1.4.4.cmml">w</mi><mo id="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.3" xref="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.1.2.cmml">,</mo><mrow id="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1" xref="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.2" xref="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml">u</mi><mo id="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1" xref="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml">+</mo><mi id="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.3" xref="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml">v</mi></mrow><mo id="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.1.2.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.3" xref="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.2" xref="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.2.cmml"><mfrac id="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.2.3" xref="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.2.3.cmml"><mn id="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.2.3.2" xref="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.2.3.2.cmml">1</mn><mi id="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.2.3.3" xref="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.2.3.3.cmml">α</mi></mfrac><mo id="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.2.2" xref="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1" xref="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.1" xref="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.1.2" xref="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2.2" xref="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2.1.cmml"><mo id="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2.2.1" stretchy="false" xref="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2.1.1.cmml">|</mo><mi id="S3.E45.m1.5.5" xref="S3.E45.m1.5.5.cmml">u</mi><mo id="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2.1.1.cmml">|</mo></mrow><mrow id="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3" xref="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3.2" xref="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3.2.cmml">B</mi><mo id="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3.1" xref="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3.3" xref="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3.3.cmml">V</mi></mrow></msub><mo id="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.1.1" xref="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.1.3" xref="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.1.3.2" xref="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.1.3.1" xref="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3" xref="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml"><mrow id="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.2.2" xref="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.2.1.cmml"><mo id="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.2.2.1" stretchy="false" xref="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.2.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S3.E45.m1.6.6" xref="S3.E45.m1.6.6.cmml">v</mi><mo id="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.2.2.2" stretchy="false" xref="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.2.1.1.cmml">‖</mo></mrow><msup id="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.3" xref="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.3.2" xref="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.3.2.cmml">Lip</mi><mo id="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.3.3" xref="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.3.3.cmml">∗</mo></msup></msub></mrow></mrow><mo id="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E45.m1.7.7.1.2" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E45.m1.7b"><apply id="S3.E45.m1.7.7.1.1.3.cmml" xref="S3.E45.m1.7.7.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E45.m1.7.7.1.1.3a.cmml" xref="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.E45.m1.7.7.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E45.m1.7.7.1.1.1.1"><eq id="S3.E45.m1.7.7.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E45.m1.7.7.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S3.E45.m1.7.7.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E45.m1.7.7.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E45.m1.7.7.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E45.m1.7.7.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S3.E45.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E45.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.E45.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.E45.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2.1">norm</csymbol><ci id="S3.E45.m1.3.3.cmml" xref="S3.E45.m1.3.3">𝑤</ci></apply><list id="S3.E45.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E45.m1.2.2.2.4"><times id="S3.E45.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E45.m1.1.1.1.1"></times><ci id="S3.E45.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E45.m1.2.2.2.2">𝜆</ci></list></apply><apply id="S3.E45.m1.7.7.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E45.m1.7.7.1.1.1.1.3"><divide id="S3.E45.m1.7.7.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E45.m1.7.7.1.1.1.1.3"></divide><cn id="S3.E45.m1.7.7.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.E45.m1.7.7.1.1.1.1.3.2">1</cn><ci id="S3.E45.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E45.m1.7.7.1.1.1.1.3.3">𝛼</ci></apply></apply><apply id="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2"><eq id="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.3"></eq><list id="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.1.1"><ci id="S3.E45.m1.4.4.cmml" xref="S3.E45.m1.4.4">𝑤</ci><apply id="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1"><plus id="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1"></plus><ci id="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.2">𝑢</ci><ci id="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.3">𝑣</ci></apply></list><apply id="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.2"><times id="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.2.2"></times><apply id="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.2.3"><divide id="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.2.3"></divide><cn id="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.2.3.2">1</cn><ci id="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.2.3.3.cmml" xref="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.2.3.3">𝛼</ci></apply><apply id="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1"><plus id="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.1.1"></plus><apply id="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2.2"><abs id="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.1.2.2.2.1"></abs><ci id="S3.E45.m1.5.5.cmml" xref="S3.E45.m1.5.5">𝑢</ci></apply><apply id="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3"><times id="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3.2">𝐵</ci><ci id="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.1.2.3.3">𝑉</ci></apply></apply><apply id="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.1.3"><times id="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.1.3.2">𝜆</ci><apply id="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><apply id="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.2.1.1.cmml" xref="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.2.2.1">norm</csymbol><ci id="S3.E45.m1.6.6.cmml" xref="S3.E45.m1.6.6">𝑣</ci></apply><apply id="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.3.2">Lip</ci><times id="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S3.E45.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.1.3.3.3.3"></times></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E45.m1.7c">\|w\|_{*,\lambda}=\frac{1}{\alpha},\quad\langle w,u+v\rangle=\frac{1}{\alpha}(% |u|_{BV}+\lambda\|v\|_{\mathrm{Lip}^{*}}).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E45.m1.7d">∥ italic_w ∥ start_POSTSUBSCRIPT ∗ , italic_λ end_POSTSUBSCRIPT = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_α end_ARG , ⟨ italic_w , italic_u + italic_v ⟩ = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_α end_ARG ( | italic_u | start_POSTSUBSCRIPT italic_B italic_V end_POSTSUBSCRIPT + italic_λ ∥ italic_v ∥ start_POSTSUBSCRIPT roman_Lip start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(45)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> </li> </ol> </div> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_proof" id="Thmproofx2"> <h6 class="ltx_title ltx_font_italic ltx_title_theorem"><span class="ltx_tag ltx_tag_theorem">Proof</span></h6> <div class="ltx_para" id="Thmproofx2.p1"> <ol class="ltx_enumerate" id="S3.I3"> <li class="ltx_item" id="S3.I3.i1" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">1.</span> <div class="ltx_para" id="S3.I3.i1.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.I3.i1.p1.3"><math alttext="(u,v)=(0,0)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I3.i1.p1.1.m1.4"><semantics id="S3.I3.i1.p1.1.m1.4a"><mrow id="S3.I3.i1.p1.1.m1.4.5" xref="S3.I3.i1.p1.1.m1.4.5.cmml"><mrow id="S3.I3.i1.p1.1.m1.4.5.2.2" xref="S3.I3.i1.p1.1.m1.4.5.2.1.cmml"><mo id="S3.I3.i1.p1.1.m1.4.5.2.2.1" stretchy="false" xref="S3.I3.i1.p1.1.m1.4.5.2.1.cmml">(</mo><mi id="S3.I3.i1.p1.1.m1.1.1" xref="S3.I3.i1.p1.1.m1.1.1.cmml">u</mi><mo id="S3.I3.i1.p1.1.m1.4.5.2.2.2" xref="S3.I3.i1.p1.1.m1.4.5.2.1.cmml">,</mo><mi id="S3.I3.i1.p1.1.m1.2.2" xref="S3.I3.i1.p1.1.m1.2.2.cmml">v</mi><mo id="S3.I3.i1.p1.1.m1.4.5.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.I3.i1.p1.1.m1.4.5.2.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.I3.i1.p1.1.m1.4.5.1" xref="S3.I3.i1.p1.1.m1.4.5.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.I3.i1.p1.1.m1.4.5.3.2" xref="S3.I3.i1.p1.1.m1.4.5.3.1.cmml"><mo id="S3.I3.i1.p1.1.m1.4.5.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.I3.i1.p1.1.m1.4.5.3.1.cmml">(</mo><mn id="S3.I3.i1.p1.1.m1.3.3" xref="S3.I3.i1.p1.1.m1.3.3.cmml">0</mn><mo id="S3.I3.i1.p1.1.m1.4.5.3.2.2" xref="S3.I3.i1.p1.1.m1.4.5.3.1.cmml">,</mo><mn id="S3.I3.i1.p1.1.m1.4.4" xref="S3.I3.i1.p1.1.m1.4.4.cmml">0</mn><mo id="S3.I3.i1.p1.1.m1.4.5.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.I3.i1.p1.1.m1.4.5.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I3.i1.p1.1.m1.4b"><apply id="S3.I3.i1.p1.1.m1.4.5.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.1.m1.4.5"><eq id="S3.I3.i1.p1.1.m1.4.5.1.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.1.m1.4.5.1"></eq><interval closure="open" id="S3.I3.i1.p1.1.m1.4.5.2.1.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.1.m1.4.5.2.2"><ci id="S3.I3.i1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.1.m1.1.1">𝑢</ci><ci id="S3.I3.i1.p1.1.m1.2.2.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.1.m1.2.2">𝑣</ci></interval><interval closure="open" id="S3.I3.i1.p1.1.m1.4.5.3.1.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.1.m1.4.5.3.2"><cn id="S3.I3.i1.p1.1.m1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.I3.i1.p1.1.m1.3.3">0</cn><cn id="S3.I3.i1.p1.1.m1.4.4.cmml" type="integer" xref="S3.I3.i1.p1.1.m1.4.4">0</cn></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I3.i1.p1.1.m1.4c">(u,v)=(0,0)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I3.i1.p1.1.m1.4d">( italic_u , italic_v ) = ( 0 , 0 )</annotation></semantics></math> is a minimizer of the functional (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S3.E31" title="In Theorem 3.1 ‣ 3.2 Existence and uniqueness of minimizers ‣ 3 The Proposed Image Restoration Models ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">31</span></a>) if and only if for any <math alttext="g\in BV,h\in H" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I3.i1.p1.2.m2.2"><semantics id="S3.I3.i1.p1.2.m2.2a"><mrow id="S3.I3.i1.p1.2.m2.2.2.2" xref="S3.I3.i1.p1.2.m2.2.2.3.cmml"><mrow id="S3.I3.i1.p1.2.m2.1.1.1.1" xref="S3.I3.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.I3.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.2" xref="S3.I3.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.2.cmml">g</mi><mo id="S3.I3.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.1" xref="S3.I3.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.cmml">∈</mo><mrow id="S3.I3.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.3" xref="S3.I3.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.I3.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.3.2" xref="S3.I3.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.3.2.cmml">B</mi><mo id="S3.I3.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.3.1" xref="S3.I3.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.I3.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.3.3" xref="S3.I3.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.3.3.cmml">V</mi></mrow></mrow><mo id="S3.I3.i1.p1.2.m2.2.2.2.3" xref="S3.I3.i1.p1.2.m2.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.I3.i1.p1.2.m2.2.2.2.2" xref="S3.I3.i1.p1.2.m2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.I3.i1.p1.2.m2.2.2.2.2.2" xref="S3.I3.i1.p1.2.m2.2.2.2.2.2.cmml">h</mi><mo id="S3.I3.i1.p1.2.m2.2.2.2.2.1" xref="S3.I3.i1.p1.2.m2.2.2.2.2.1.cmml">∈</mo><mi id="S3.I3.i1.p1.2.m2.2.2.2.2.3" xref="S3.I3.i1.p1.2.m2.2.2.2.2.3.cmml">H</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I3.i1.p1.2.m2.2b"><apply id="S3.I3.i1.p1.2.m2.2.2.3.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.2.m2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I3.i1.p1.2.m2.2.2.3a.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.2.m2.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.I3.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.2.m2.1.1.1.1"><in id="S3.I3.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.1"></in><ci id="S3.I3.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.2">𝑔</ci><apply id="S3.I3.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.3"><times id="S3.I3.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.I3.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.3.2">𝐵</ci><ci id="S3.I3.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.3.3">𝑉</ci></apply></apply><apply id="S3.I3.i1.p1.2.m2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.2.m2.2.2.2.2"><in id="S3.I3.i1.p1.2.m2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.2.m2.2.2.2.2.1"></in><ci id="S3.I3.i1.p1.2.m2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.2.m2.2.2.2.2.2">ℎ</ci><ci id="S3.I3.i1.p1.2.m2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.2.m2.2.2.2.2.3">𝐻</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I3.i1.p1.2.m2.2c">g\in BV,h\in H</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I3.i1.p1.2.m2.2d">italic_g ∈ italic_B italic_V , italic_h ∈ italic_H</annotation></semantics></math> and <math alttext="\epsilon\in\mathbb{R}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I3.i1.p1.3.m3.1"><semantics id="S3.I3.i1.p1.3.m3.1a"><mrow id="S3.I3.i1.p1.3.m3.1.1" xref="S3.I3.i1.p1.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.I3.i1.p1.3.m3.1.1.2" xref="S3.I3.i1.p1.3.m3.1.1.2.cmml">ϵ</mi><mo id="S3.I3.i1.p1.3.m3.1.1.1" xref="S3.I3.i1.p1.3.m3.1.1.1.cmml">∈</mo><mi id="S3.I3.i1.p1.3.m3.1.1.3" xref="S3.I3.i1.p1.3.m3.1.1.3.cmml">ℝ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I3.i1.p1.3.m3.1b"><apply id="S3.I3.i1.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.3.m3.1.1"><in id="S3.I3.i1.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.3.m3.1.1.1"></in><ci id="S3.I3.i1.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.3.m3.1.1.2">italic-ϵ</ci><ci id="S3.I3.i1.p1.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.3.m3.1.1.3">ℝ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I3.i1.p1.3.m3.1c">\epsilon\in\mathbb{R}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I3.i1.p1.3.m3.1d">italic_ϵ ∈ blackboard_R</annotation></semantics></math>,</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E46"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="|\epsilon g|_{BV(\Omega)}+\frac{\alpha}{2}\int_{\Omega}|f-\epsilon(g+h)|^{2}+% \lambda\|\epsilon h\|_{\mathrm{Lip}^{*}}\geq\frac{\alpha}{2}\int_{\Omega}|f|^{% 2}." class="ltx_Math" display="block" id="S3.E46.m1.3"><semantics id="S3.E46.m1.3a"><mrow id="S3.E46.m1.3.3.1" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S3.E46.m1.3.3.1.1" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S3.E46.m1.3.3.1.1.3" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.3.cmml"><msub id="S3.E46.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E46.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E46.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S3.E46.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E46.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ϵ</mi><mo id="S3.E46.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E46.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">g</mi></mrow><mo id="S3.E46.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mrow id="S3.E46.m1.1.1.1" xref="S3.E46.m1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E46.m1.1.1.1.3" xref="S3.E46.m1.1.1.1.3.cmml">B</mi><mo id="S3.E46.m1.1.1.1.2" xref="S3.E46.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E46.m1.1.1.1.4" xref="S3.E46.m1.1.1.1.4.cmml">V</mi><mo id="S3.E46.m1.1.1.1.2a" xref="S3.E46.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E46.m1.1.1.1.5.2" xref="S3.E46.m1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E46.m1.1.1.1.5.2.1" stretchy="false" xref="S3.E46.m1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E46.m1.1.1.1.1" mathvariant="normal" xref="S3.E46.m1.1.1.1.1.cmml">Ω</mi><mo id="S3.E46.m1.1.1.1.5.2.2" stretchy="false" xref="S3.E46.m1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msub><mo id="S3.E46.m1.3.3.1.1.3.4" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.3.4.cmml">+</mo><mrow id="S3.E46.m1.3.3.1.1.2.2" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.2.2.cmml"><mfrac id="S3.E46.m1.3.3.1.1.2.2.3" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E46.m1.3.3.1.1.2.2.3.2" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.2.2.3.2.cmml">α</mi><mn id="S3.E46.m1.3.3.1.1.2.2.3.3" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.2.2.3.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S3.E46.m1.3.3.1.1.2.2.2" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E46.m1.3.3.1.1.2.2.1" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.2.2.1.cmml"><msub id="S3.E46.m1.3.3.1.1.2.2.1.2" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.2.2.1.2.cmml"><mo id="S3.E46.m1.3.3.1.1.2.2.1.2.2" rspace="0em" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.2.2.1.2.2.cmml">∫</mo><mi id="S3.E46.m1.3.3.1.1.2.2.1.2.3" mathvariant="normal" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.2.2.1.2.3.cmml">Ω</mi></msub><msup id="S3.E46.m1.3.3.1.1.2.2.1.1" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S3.E46.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E46.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S3.E46.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E46.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">f</mi><mo id="S3.E46.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="S3.E46.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E46.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">ϵ</mi><mo id="S3.E46.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E46.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E46.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E46.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E46.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">g</mi><mo id="S3.E46.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mi id="S3.E46.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">h</mi></mrow><mo id="S3.E46.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E46.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mn id="S3.E46.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.3" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><mo id="S3.E46.m1.3.3.1.1.3.4a" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.3.4.cmml">+</mo><mrow id="S3.E46.m1.3.3.1.1.3.3" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.E46.m1.3.3.1.1.3.3.3" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.3.3.3.cmml">λ</mi><mo id="S3.E46.m1.3.3.1.1.3.3.2" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.3.3.2.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E46.m1.3.3.1.1.3.3.1" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.3.3.1.cmml"><mrow id="S3.E46.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E46.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S3.E46.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.1" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E46.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">ϵ</mi><mo id="S3.E46.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E46.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.1.3" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.1.3.cmml">h</mi></mrow><mo id="S3.E46.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><msup id="S3.E46.m1.3.3.1.1.3.3.1.3" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.3.3.1.3.cmml"><mi id="S3.E46.m1.3.3.1.1.3.3.1.3.2" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.3.3.1.3.2.cmml">Lip</mi><mo id="S3.E46.m1.3.3.1.1.3.3.1.3.3" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.3.3.1.3.3.cmml">∗</mo></msup></msub></mrow></mrow><mo id="S3.E46.m1.3.3.1.1.4" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.4.cmml">≥</mo><mrow id="S3.E46.m1.3.3.1.1.5" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.5.cmml"><mfrac id="S3.E46.m1.3.3.1.1.5.2" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.5.2.cmml"><mi id="S3.E46.m1.3.3.1.1.5.2.2" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.5.2.2.cmml">α</mi><mn id="S3.E46.m1.3.3.1.1.5.2.3" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.5.2.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S3.E46.m1.3.3.1.1.5.1" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.5.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E46.m1.3.3.1.1.5.3" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.5.3.cmml"><msub id="S3.E46.m1.3.3.1.1.5.3.1" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.5.3.1.cmml"><mo id="S3.E46.m1.3.3.1.1.5.3.1.2" rspace="0em" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.5.3.1.2.cmml">∫</mo><mi id="S3.E46.m1.3.3.1.1.5.3.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.5.3.1.3.cmml">Ω</mi></msub><msup id="S3.E46.m1.3.3.1.1.5.3.2" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.5.3.2.cmml"><mrow id="S3.E46.m1.3.3.1.1.5.3.2.2.2" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.5.3.2.2.1.cmml"><mo id="S3.E46.m1.3.3.1.1.5.3.2.2.2.1" stretchy="false" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.5.3.2.2.1.1.cmml">|</mo><mi id="S3.E46.m1.2.2" xref="S3.E46.m1.2.2.cmml">f</mi><mo id="S3.E46.m1.3.3.1.1.5.3.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.5.3.2.2.1.1.cmml">|</mo></mrow><mn id="S3.E46.m1.3.3.1.1.5.3.2.3" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.5.3.2.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E46.m1.3.3.1.2" lspace="0em" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E46.m1.3b"><apply id="S3.E46.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S3.E46.m1.3.3.1"><geq id="S3.E46.m1.3.3.1.1.4.cmml" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.4"></geq><apply id="S3.E46.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.3"><plus id="S3.E46.m1.3.3.1.1.3.4.cmml" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.3.4"></plus><apply id="S3.E46.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E46.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.E46.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.1.1.1.1"><abs id="S3.E46.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2"></abs><apply id="S3.E46.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.E46.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S3.E46.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2">italic-ϵ</ci><ci id="S3.E46.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑔</ci></apply></apply><apply id="S3.E46.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.E46.m1.1.1.1"><times id="S3.E46.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E46.m1.1.1.1.2"></times><ci id="S3.E46.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E46.m1.1.1.1.3">𝐵</ci><ci id="S3.E46.m1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.E46.m1.1.1.1.4">𝑉</ci><ci id="S3.E46.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E46.m1.1.1.1.1">Ω</ci></apply></apply><apply id="S3.E46.m1.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.2.2"><times id="S3.E46.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.2.2.2"></times><apply id="S3.E46.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.2.2.3"><divide id="S3.E46.m1.3.3.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.2.2.3"></divide><ci id="S3.E46.m1.3.3.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.2.2.3.2">𝛼</ci><cn id="S3.E46.m1.3.3.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.2.2.3.3">2</cn></apply><apply id="S3.E46.m1.3.3.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.2.2.1"><apply id="S3.E46.m1.3.3.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.2.2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E46.m1.3.3.1.1.2.2.1.2.1.cmml" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.2.2.1.2">subscript</csymbol><int id="S3.E46.m1.3.3.1.1.2.2.1.2.2.cmml" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.2.2.1.2.2"></int><ci id="S3.E46.m1.3.3.1.1.2.2.1.2.3.cmml" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.2.2.1.2.3">Ω</ci></apply><apply id="S3.E46.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E46.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.2.2.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.E46.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1"><abs id="S3.E46.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.2"></abs><apply id="S3.E46.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.1"><minus id="S3.E46.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2"></minus><ci id="S3.E46.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3">𝑓</ci><apply id="S3.E46.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.E46.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S3.E46.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3">italic-ϵ</ci><apply id="S3.E46.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S3.E46.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S3.E46.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑔</ci><ci id="S3.E46.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">ℎ</ci></apply></apply></apply></apply><cn id="S3.E46.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S3.E46.m1.3.3.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.3.3"><times id="S3.E46.m1.3.3.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.3.3.2"></times><ci id="S3.E46.m1.3.3.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.3.3.3">𝜆</ci><apply id="S3.E46.m1.3.3.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E46.m1.3.3.1.1.3.3.1.2.cmml" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.3.3.1">subscript</csymbol><apply id="S3.E46.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.E46.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S3.E46.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.1"><times id="S3.E46.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.1.1"></times><ci id="S3.E46.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.1.2">italic-ϵ</ci><ci id="S3.E46.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.3.3.1.1.1.1.3">ℎ</ci></apply></apply><apply id="S3.E46.m1.3.3.1.1.3.3.1.3.cmml" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.3.3.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E46.m1.3.3.1.1.3.3.1.3.1.cmml" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.3.3.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E46.m1.3.3.1.1.3.3.1.3.2.cmml" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.3.3.1.3.2">Lip</ci><times id="S3.E46.m1.3.3.1.1.3.3.1.3.3.cmml" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.3.3.1.3.3"></times></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E46.m1.3.3.1.1.5.cmml" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.5"><times id="S3.E46.m1.3.3.1.1.5.1.cmml" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.5.1"></times><apply id="S3.E46.m1.3.3.1.1.5.2.cmml" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.5.2"><divide id="S3.E46.m1.3.3.1.1.5.2.1.cmml" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.5.2"></divide><ci id="S3.E46.m1.3.3.1.1.5.2.2.cmml" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.5.2.2">𝛼</ci><cn id="S3.E46.m1.3.3.1.1.5.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.5.2.3">2</cn></apply><apply id="S3.E46.m1.3.3.1.1.5.3.cmml" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.5.3"><apply id="S3.E46.m1.3.3.1.1.5.3.1.cmml" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.5.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E46.m1.3.3.1.1.5.3.1.1.cmml" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.5.3.1">subscript</csymbol><int id="S3.E46.m1.3.3.1.1.5.3.1.2.cmml" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.5.3.1.2"></int><ci id="S3.E46.m1.3.3.1.1.5.3.1.3.cmml" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.5.3.1.3">Ω</ci></apply><apply id="S3.E46.m1.3.3.1.1.5.3.2.cmml" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.5.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E46.m1.3.3.1.1.5.3.2.1.cmml" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.5.3.2">superscript</csymbol><apply id="S3.E46.m1.3.3.1.1.5.3.2.2.1.cmml" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.5.3.2.2.2"><abs id="S3.E46.m1.3.3.1.1.5.3.2.2.1.1.cmml" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.5.3.2.2.2.1"></abs><ci id="S3.E46.m1.2.2.cmml" xref="S3.E46.m1.2.2">𝑓</ci></apply><cn id="S3.E46.m1.3.3.1.1.5.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E46.m1.3.3.1.1.5.3.2.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E46.m1.3c">|\epsilon g|_{BV(\Omega)}+\frac{\alpha}{2}\int_{\Omega}|f-\epsilon(g+h)|^{2}+% \lambda\|\epsilon h\|_{\mathrm{Lip}^{*}}\geq\frac{\alpha}{2}\int_{\Omega}|f|^{% 2}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E46.m1.3d">| italic_ϵ italic_g | start_POSTSUBSCRIPT italic_B italic_V ( roman_Ω ) end_POSTSUBSCRIPT + divide start_ARG italic_α end_ARG start_ARG 2 end_ARG ∫ start_POSTSUBSCRIPT roman_Ω end_POSTSUBSCRIPT | italic_f - italic_ϵ ( italic_g + italic_h ) | start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_λ ∥ italic_ϵ italic_h ∥ start_POSTSUBSCRIPT roman_Lip start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ≥ divide start_ARG italic_α end_ARG start_ARG 2 end_ARG ∫ start_POSTSUBSCRIPT roman_Ω end_POSTSUBSCRIPT | italic_f | start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(46)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.I3.i1.p1.6">By taking <math alttext="\epsilon\to 0" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I3.i1.p1.4.m1.1"><semantics id="S3.I3.i1.p1.4.m1.1a"><mrow id="S3.I3.i1.p1.4.m1.1.1" xref="S3.I3.i1.p1.4.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.I3.i1.p1.4.m1.1.1.2" xref="S3.I3.i1.p1.4.m1.1.1.2.cmml">ϵ</mi><mo id="S3.I3.i1.p1.4.m1.1.1.1" stretchy="false" xref="S3.I3.i1.p1.4.m1.1.1.1.cmml">→</mo><mn id="S3.I3.i1.p1.4.m1.1.1.3" xref="S3.I3.i1.p1.4.m1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I3.i1.p1.4.m1.1b"><apply id="S3.I3.i1.p1.4.m1.1.1.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.4.m1.1.1"><ci id="S3.I3.i1.p1.4.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.4.m1.1.1.1">→</ci><ci id="S3.I3.i1.p1.4.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.4.m1.1.1.2">italic-ϵ</ci><cn id="S3.I3.i1.p1.4.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.I3.i1.p1.4.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I3.i1.p1.4.m1.1c">\epsilon\to 0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I3.i1.p1.4.m1.1d">italic_ϵ → 0</annotation></semantics></math>, the above equation holds if and only if <math alttext="\langle f,g+h\rangle\leq\frac{1}{\alpha}(|g|_{BV(\Omega)}+\lambda\|h\|_{% \mathrm{Lip}^{*}})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I3.i1.p1.5.m2.6"><semantics id="S3.I3.i1.p1.5.m2.6a"><mrow id="S3.I3.i1.p1.5.m2.6.6" xref="S3.I3.i1.p1.5.m2.6.6.cmml"><mrow id="S3.I3.i1.p1.5.m2.5.5.1.1" xref="S3.I3.i1.p1.5.m2.5.5.1.2.cmml"><mo id="S3.I3.i1.p1.5.m2.5.5.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.I3.i1.p1.5.m2.5.5.1.2.cmml">⟨</mo><mi id="S3.I3.i1.p1.5.m2.2.2" xref="S3.I3.i1.p1.5.m2.2.2.cmml">f</mi><mo id="S3.I3.i1.p1.5.m2.5.5.1.1.3" xref="S3.I3.i1.p1.5.m2.5.5.1.2.cmml">,</mo><mrow id="S3.I3.i1.p1.5.m2.5.5.1.1.1" xref="S3.I3.i1.p1.5.m2.5.5.1.1.1.cmml"><mi id="S3.I3.i1.p1.5.m2.5.5.1.1.1.2" xref="S3.I3.i1.p1.5.m2.5.5.1.1.1.2.cmml">g</mi><mo id="S3.I3.i1.p1.5.m2.5.5.1.1.1.1" xref="S3.I3.i1.p1.5.m2.5.5.1.1.1.1.cmml">+</mo><mi id="S3.I3.i1.p1.5.m2.5.5.1.1.1.3" xref="S3.I3.i1.p1.5.m2.5.5.1.1.1.3.cmml">h</mi></mrow><mo id="S3.I3.i1.p1.5.m2.5.5.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.I3.i1.p1.5.m2.5.5.1.2.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S3.I3.i1.p1.5.m2.6.6.3" xref="S3.I3.i1.p1.5.m2.6.6.3.cmml">≤</mo><mrow id="S3.I3.i1.p1.5.m2.6.6.2" xref="S3.I3.i1.p1.5.m2.6.6.2.cmml"><mfrac id="S3.I3.i1.p1.5.m2.6.6.2.3" xref="S3.I3.i1.p1.5.m2.6.6.2.3.cmml"><mn id="S3.I3.i1.p1.5.m2.6.6.2.3.2" xref="S3.I3.i1.p1.5.m2.6.6.2.3.2.cmml">1</mn><mi id="S3.I3.i1.p1.5.m2.6.6.2.3.3" xref="S3.I3.i1.p1.5.m2.6.6.2.3.3.cmml">α</mi></mfrac><mo id="S3.I3.i1.p1.5.m2.6.6.2.2" xref="S3.I3.i1.p1.5.m2.6.6.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I3.i1.p1.5.m2.6.6.2.1.1" xref="S3.I3.i1.p1.5.m2.6.6.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.I3.i1.p1.5.m2.6.6.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.I3.i1.p1.5.m2.6.6.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.I3.i1.p1.5.m2.6.6.2.1.1.1" xref="S3.I3.i1.p1.5.m2.6.6.2.1.1.1.cmml"><msub id="S3.I3.i1.p1.5.m2.6.6.2.1.1.1.2" xref="S3.I3.i1.p1.5.m2.6.6.2.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S3.I3.i1.p1.5.m2.6.6.2.1.1.1.2.2.2" xref="S3.I3.i1.p1.5.m2.6.6.2.1.1.1.2.2.1.cmml"><mo id="S3.I3.i1.p1.5.m2.6.6.2.1.1.1.2.2.2.1" stretchy="false" xref="S3.I3.i1.p1.5.m2.6.6.2.1.1.1.2.2.1.1.cmml">|</mo><mi id="S3.I3.i1.p1.5.m2.3.3" xref="S3.I3.i1.p1.5.m2.3.3.cmml">g</mi><mo id="S3.I3.i1.p1.5.m2.6.6.2.1.1.1.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S3.I3.i1.p1.5.m2.6.6.2.1.1.1.2.2.1.1.cmml">|</mo></mrow><mrow id="S3.I3.i1.p1.5.m2.1.1.1" xref="S3.I3.i1.p1.5.m2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.I3.i1.p1.5.m2.1.1.1.3" xref="S3.I3.i1.p1.5.m2.1.1.1.3.cmml">B</mi><mo id="S3.I3.i1.p1.5.m2.1.1.1.2" xref="S3.I3.i1.p1.5.m2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.I3.i1.p1.5.m2.1.1.1.4" xref="S3.I3.i1.p1.5.m2.1.1.1.4.cmml">V</mi><mo id="S3.I3.i1.p1.5.m2.1.1.1.2a" xref="S3.I3.i1.p1.5.m2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I3.i1.p1.5.m2.1.1.1.5.2" xref="S3.I3.i1.p1.5.m2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.I3.i1.p1.5.m2.1.1.1.5.2.1" stretchy="false" xref="S3.I3.i1.p1.5.m2.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.I3.i1.p1.5.m2.1.1.1.1" mathvariant="normal" xref="S3.I3.i1.p1.5.m2.1.1.1.1.cmml">Ω</mi><mo id="S3.I3.i1.p1.5.m2.1.1.1.5.2.2" stretchy="false" xref="S3.I3.i1.p1.5.m2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msub><mo id="S3.I3.i1.p1.5.m2.6.6.2.1.1.1.1" xref="S3.I3.i1.p1.5.m2.6.6.2.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.I3.i1.p1.5.m2.6.6.2.1.1.1.3" xref="S3.I3.i1.p1.5.m2.6.6.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.I3.i1.p1.5.m2.6.6.2.1.1.1.3.2" xref="S3.I3.i1.p1.5.m2.6.6.2.1.1.1.3.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.I3.i1.p1.5.m2.6.6.2.1.1.1.3.1" xref="S3.I3.i1.p1.5.m2.6.6.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.I3.i1.p1.5.m2.6.6.2.1.1.1.3.3" xref="S3.I3.i1.p1.5.m2.6.6.2.1.1.1.3.3.cmml"><mrow id="S3.I3.i1.p1.5.m2.6.6.2.1.1.1.3.3.2.2" xref="S3.I3.i1.p1.5.m2.6.6.2.1.1.1.3.3.2.1.cmml"><mo id="S3.I3.i1.p1.5.m2.6.6.2.1.1.1.3.3.2.2.1" stretchy="false" xref="S3.I3.i1.p1.5.m2.6.6.2.1.1.1.3.3.2.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S3.I3.i1.p1.5.m2.4.4" xref="S3.I3.i1.p1.5.m2.4.4.cmml">h</mi><mo id="S3.I3.i1.p1.5.m2.6.6.2.1.1.1.3.3.2.2.2" stretchy="false" xref="S3.I3.i1.p1.5.m2.6.6.2.1.1.1.3.3.2.1.1.cmml">‖</mo></mrow><msup id="S3.I3.i1.p1.5.m2.6.6.2.1.1.1.3.3.3" xref="S3.I3.i1.p1.5.m2.6.6.2.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S3.I3.i1.p1.5.m2.6.6.2.1.1.1.3.3.3.2" xref="S3.I3.i1.p1.5.m2.6.6.2.1.1.1.3.3.3.2.cmml">Lip</mi><mo id="S3.I3.i1.p1.5.m2.6.6.2.1.1.1.3.3.3.3" xref="S3.I3.i1.p1.5.m2.6.6.2.1.1.1.3.3.3.3.cmml">∗</mo></msup></msub></mrow></mrow><mo id="S3.I3.i1.p1.5.m2.6.6.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.I3.i1.p1.5.m2.6.6.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I3.i1.p1.5.m2.6b"><apply id="S3.I3.i1.p1.5.m2.6.6.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.5.m2.6.6"><leq id="S3.I3.i1.p1.5.m2.6.6.3.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.5.m2.6.6.3"></leq><list id="S3.I3.i1.p1.5.m2.5.5.1.2.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.5.m2.5.5.1.1"><ci id="S3.I3.i1.p1.5.m2.2.2.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.5.m2.2.2">𝑓</ci><apply id="S3.I3.i1.p1.5.m2.5.5.1.1.1.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.5.m2.5.5.1.1.1"><plus id="S3.I3.i1.p1.5.m2.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.5.m2.5.5.1.1.1.1"></plus><ci id="S3.I3.i1.p1.5.m2.5.5.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.5.m2.5.5.1.1.1.2">𝑔</ci><ci id="S3.I3.i1.p1.5.m2.5.5.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.5.m2.5.5.1.1.1.3">ℎ</ci></apply></list><apply id="S3.I3.i1.p1.5.m2.6.6.2.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.5.m2.6.6.2"><times id="S3.I3.i1.p1.5.m2.6.6.2.2.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.5.m2.6.6.2.2"></times><apply id="S3.I3.i1.p1.5.m2.6.6.2.3.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.5.m2.6.6.2.3"><divide id="S3.I3.i1.p1.5.m2.6.6.2.3.1.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.5.m2.6.6.2.3"></divide><cn id="S3.I3.i1.p1.5.m2.6.6.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.I3.i1.p1.5.m2.6.6.2.3.2">1</cn><ci id="S3.I3.i1.p1.5.m2.6.6.2.3.3.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.5.m2.6.6.2.3.3">𝛼</ci></apply><apply id="S3.I3.i1.p1.5.m2.6.6.2.1.1.1.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.5.m2.6.6.2.1.1"><plus id="S3.I3.i1.p1.5.m2.6.6.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.5.m2.6.6.2.1.1.1.1"></plus><apply id="S3.I3.i1.p1.5.m2.6.6.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.5.m2.6.6.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I3.i1.p1.5.m2.6.6.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.5.m2.6.6.2.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S3.I3.i1.p1.5.m2.6.6.2.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.5.m2.6.6.2.1.1.1.2.2.2"><abs id="S3.I3.i1.p1.5.m2.6.6.2.1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.5.m2.6.6.2.1.1.1.2.2.2.1"></abs><ci id="S3.I3.i1.p1.5.m2.3.3.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.5.m2.3.3">𝑔</ci></apply><apply id="S3.I3.i1.p1.5.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.5.m2.1.1.1"><times id="S3.I3.i1.p1.5.m2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.5.m2.1.1.1.2"></times><ci id="S3.I3.i1.p1.5.m2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.5.m2.1.1.1.3">𝐵</ci><ci id="S3.I3.i1.p1.5.m2.1.1.1.4.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.5.m2.1.1.1.4">𝑉</ci><ci id="S3.I3.i1.p1.5.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.5.m2.1.1.1.1">Ω</ci></apply></apply><apply id="S3.I3.i1.p1.5.m2.6.6.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.5.m2.6.6.2.1.1.1.3"><times id="S3.I3.i1.p1.5.m2.6.6.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.5.m2.6.6.2.1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.I3.i1.p1.5.m2.6.6.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.5.m2.6.6.2.1.1.1.3.2">𝜆</ci><apply id="S3.I3.i1.p1.5.m2.6.6.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.5.m2.6.6.2.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I3.i1.p1.5.m2.6.6.2.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.5.m2.6.6.2.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><apply id="S3.I3.i1.p1.5.m2.6.6.2.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.5.m2.6.6.2.1.1.1.3.3.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.I3.i1.p1.5.m2.6.6.2.1.1.1.3.3.2.1.1.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.5.m2.6.6.2.1.1.1.3.3.2.2.1">norm</csymbol><ci id="S3.I3.i1.p1.5.m2.4.4.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.5.m2.4.4">ℎ</ci></apply><apply id="S3.I3.i1.p1.5.m2.6.6.2.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.5.m2.6.6.2.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I3.i1.p1.5.m2.6.6.2.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.5.m2.6.6.2.1.1.1.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="S3.I3.i1.p1.5.m2.6.6.2.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.5.m2.6.6.2.1.1.1.3.3.3.2">Lip</ci><times id="S3.I3.i1.p1.5.m2.6.6.2.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.5.m2.6.6.2.1.1.1.3.3.3.3"></times></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I3.i1.p1.5.m2.6c">\langle f,g+h\rangle\leq\frac{1}{\alpha}(|g|_{BV(\Omega)}+\lambda\|h\|_{% \mathrm{Lip}^{*}})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I3.i1.p1.5.m2.6d">⟨ italic_f , italic_g + italic_h ⟩ ≤ divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_α end_ARG ( | italic_g | start_POSTSUBSCRIPT italic_B italic_V ( roman_Ω ) end_POSTSUBSCRIPT + italic_λ ∥ italic_h ∥ start_POSTSUBSCRIPT roman_Lip start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math>. By the definition of (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S3.E44" title="In Theorem 3.2 ‣ 3.3 Characterization of minimizers ‣ 3 The Proposed Image Restoration Models ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">44</span></a>), we have <math alttext="\|f\|_{*,\lambda}\leq\frac{1}{\alpha}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I3.i1.p1.6.m3.3"><semantics id="S3.I3.i1.p1.6.m3.3a"><mrow id="S3.I3.i1.p1.6.m3.3.4" xref="S3.I3.i1.p1.6.m3.3.4.cmml"><msub id="S3.I3.i1.p1.6.m3.3.4.2" xref="S3.I3.i1.p1.6.m3.3.4.2.cmml"><mrow id="S3.I3.i1.p1.6.m3.3.4.2.2.2" xref="S3.I3.i1.p1.6.m3.3.4.2.2.1.cmml"><mo id="S3.I3.i1.p1.6.m3.3.4.2.2.2.1" stretchy="false" xref="S3.I3.i1.p1.6.m3.3.4.2.2.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S3.I3.i1.p1.6.m3.3.3" xref="S3.I3.i1.p1.6.m3.3.3.cmml">f</mi><mo id="S3.I3.i1.p1.6.m3.3.4.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S3.I3.i1.p1.6.m3.3.4.2.2.1.1.cmml">‖</mo></mrow><mrow id="S3.I3.i1.p1.6.m3.2.2.2.4" xref="S3.I3.i1.p1.6.m3.2.2.2.3.cmml"><mo id="S3.I3.i1.p1.6.m3.1.1.1.1" rspace="0em" xref="S3.I3.i1.p1.6.m3.1.1.1.1.cmml">∗</mo><mo id="S3.I3.i1.p1.6.m3.2.2.2.4.1" xref="S3.I3.i1.p1.6.m3.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.I3.i1.p1.6.m3.2.2.2.2" xref="S3.I3.i1.p1.6.m3.2.2.2.2.cmml">λ</mi></mrow></msub><mo id="S3.I3.i1.p1.6.m3.3.4.1" xref="S3.I3.i1.p1.6.m3.3.4.1.cmml">≤</mo><mfrac id="S3.I3.i1.p1.6.m3.3.4.3" xref="S3.I3.i1.p1.6.m3.3.4.3.cmml"><mn id="S3.I3.i1.p1.6.m3.3.4.3.2" xref="S3.I3.i1.p1.6.m3.3.4.3.2.cmml">1</mn><mi id="S3.I3.i1.p1.6.m3.3.4.3.3" xref="S3.I3.i1.p1.6.m3.3.4.3.3.cmml">α</mi></mfrac></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I3.i1.p1.6.m3.3b"><apply id="S3.I3.i1.p1.6.m3.3.4.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.6.m3.3.4"><leq id="S3.I3.i1.p1.6.m3.3.4.1.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.6.m3.3.4.1"></leq><apply id="S3.I3.i1.p1.6.m3.3.4.2.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.6.m3.3.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I3.i1.p1.6.m3.3.4.2.1.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.6.m3.3.4.2">subscript</csymbol><apply id="S3.I3.i1.p1.6.m3.3.4.2.2.1.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.6.m3.3.4.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.I3.i1.p1.6.m3.3.4.2.2.1.1.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.6.m3.3.4.2.2.2.1">norm</csymbol><ci id="S3.I3.i1.p1.6.m3.3.3.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.6.m3.3.3">𝑓</ci></apply><list id="S3.I3.i1.p1.6.m3.2.2.2.3.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.6.m3.2.2.2.4"><times id="S3.I3.i1.p1.6.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.6.m3.1.1.1.1"></times><ci id="S3.I3.i1.p1.6.m3.2.2.2.2.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.6.m3.2.2.2.2">𝜆</ci></list></apply><apply id="S3.I3.i1.p1.6.m3.3.4.3.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.6.m3.3.4.3"><divide id="S3.I3.i1.p1.6.m3.3.4.3.1.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.6.m3.3.4.3"></divide><cn id="S3.I3.i1.p1.6.m3.3.4.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.I3.i1.p1.6.m3.3.4.3.2">1</cn><ci id="S3.I3.i1.p1.6.m3.3.4.3.3.cmml" xref="S3.I3.i1.p1.6.m3.3.4.3.3">𝛼</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I3.i1.p1.6.m3.3c">\|f\|_{*,\lambda}\leq\frac{1}{\alpha}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I3.i1.p1.6.m3.3d">∥ italic_f ∥ start_POSTSUBSCRIPT ∗ , italic_λ end_POSTSUBSCRIPT ≤ divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_α end_ARG</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.I3.i1.p2"> <p class="ltx_p" id="S3.I3.i1.p2.1">For the converse implication, assume for any <math alttext="g\in BV,h\in H" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I3.i1.p2.1.m1.2"><semantics id="S3.I3.i1.p2.1.m1.2a"><mrow id="S3.I3.i1.p2.1.m1.2.2.2" xref="S3.I3.i1.p2.1.m1.2.2.3.cmml"><mrow id="S3.I3.i1.p2.1.m1.1.1.1.1" xref="S3.I3.i1.p2.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.I3.i1.p2.1.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.I3.i1.p2.1.m1.1.1.1.1.2.cmml">g</mi><mo id="S3.I3.i1.p2.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.I3.i1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">∈</mo><mrow id="S3.I3.i1.p2.1.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.I3.i1.p2.1.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.I3.i1.p2.1.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.I3.i1.p2.1.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">B</mi><mo id="S3.I3.i1.p2.1.m1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.I3.i1.p2.1.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.I3.i1.p2.1.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.I3.i1.p2.1.m1.1.1.1.1.3.3.cmml">V</mi></mrow></mrow><mo id="S3.I3.i1.p2.1.m1.2.2.2.3" xref="S3.I3.i1.p2.1.m1.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.I3.i1.p2.1.m1.2.2.2.2" xref="S3.I3.i1.p2.1.m1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.I3.i1.p2.1.m1.2.2.2.2.2" xref="S3.I3.i1.p2.1.m1.2.2.2.2.2.cmml">h</mi><mo id="S3.I3.i1.p2.1.m1.2.2.2.2.1" xref="S3.I3.i1.p2.1.m1.2.2.2.2.1.cmml">∈</mo><mi id="S3.I3.i1.p2.1.m1.2.2.2.2.3" xref="S3.I3.i1.p2.1.m1.2.2.2.2.3.cmml">H</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I3.i1.p2.1.m1.2b"><apply id="S3.I3.i1.p2.1.m1.2.2.3.cmml" xref="S3.I3.i1.p2.1.m1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I3.i1.p2.1.m1.2.2.3a.cmml" xref="S3.I3.i1.p2.1.m1.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.I3.i1.p2.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I3.i1.p2.1.m1.1.1.1.1"><in id="S3.I3.i1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I3.i1.p2.1.m1.1.1.1.1.1"></in><ci id="S3.I3.i1.p2.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I3.i1.p2.1.m1.1.1.1.1.2">𝑔</ci><apply id="S3.I3.i1.p2.1.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I3.i1.p2.1.m1.1.1.1.1.3"><times id="S3.I3.i1.p2.1.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I3.i1.p2.1.m1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.I3.i1.p2.1.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.I3.i1.p2.1.m1.1.1.1.1.3.2">𝐵</ci><ci id="S3.I3.i1.p2.1.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.I3.i1.p2.1.m1.1.1.1.1.3.3">𝑉</ci></apply></apply><apply id="S3.I3.i1.p2.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.I3.i1.p2.1.m1.2.2.2.2"><in id="S3.I3.i1.p2.1.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.I3.i1.p2.1.m1.2.2.2.2.1"></in><ci id="S3.I3.i1.p2.1.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.I3.i1.p2.1.m1.2.2.2.2.2">ℎ</ci><ci id="S3.I3.i1.p2.1.m1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.I3.i1.p2.1.m1.2.2.2.2.3">𝐻</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I3.i1.p2.1.m1.2c">g\in BV,h\in H</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I3.i1.p2.1.m1.2d">italic_g ∈ italic_B italic_V , italic_h ∈ italic_H</annotation></semantics></math>,</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E47"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\langle f,g+h\rangle\leq(|g|_{BV}+\lambda\|h\|_{\mathrm{Lip}^{*}})\|f\|_{*,% \lambda}\leq\frac{1}{\alpha}(|g|_{BV}+\lambda\|h\|_{\mathrm{Lip}^{*}})." class="ltx_Math" display="block" id="S3.E47.m1.9"><semantics id="S3.E47.m1.9a"><mrow id="S3.E47.m1.9.9.1" xref="S3.E47.m1.9.9.1.1.cmml"><mrow id="S3.E47.m1.9.9.1.1" xref="S3.E47.m1.9.9.1.1.cmml"><mrow id="S3.E47.m1.9.9.1.1.1.1" xref="S3.E47.m1.9.9.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E47.m1.9.9.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E47.m1.9.9.1.1.1.2.cmml">⟨</mo><mi id="S3.E47.m1.3.3" xref="S3.E47.m1.3.3.cmml">f</mi><mo id="S3.E47.m1.9.9.1.1.1.1.3" xref="S3.E47.m1.9.9.1.1.1.2.cmml">,</mo><mrow id="S3.E47.m1.9.9.1.1.1.1.1" xref="S3.E47.m1.9.9.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E47.m1.9.9.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E47.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.cmml">g</mi><mo id="S3.E47.m1.9.9.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E47.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mi id="S3.E47.m1.9.9.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E47.m1.9.9.1.1.1.1.1.3.cmml">h</mi></mrow><mo id="S3.E47.m1.9.9.1.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.E47.m1.9.9.1.1.1.2.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S3.E47.m1.9.9.1.1.5" xref="S3.E47.m1.9.9.1.1.5.cmml">≤</mo><mrow id="S3.E47.m1.9.9.1.1.2" xref="S3.E47.m1.9.9.1.1.2.cmml"><mrow id="S3.E47.m1.9.9.1.1.2.1.1" xref="S3.E47.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E47.m1.9.9.1.1.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E47.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E47.m1.9.9.1.1.2.1.1.1" xref="S3.E47.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E47.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.2" xref="S3.E47.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S3.E47.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.2.2.2" xref="S3.E47.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.2.2.1.cmml"><mo id="S3.E47.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.2.2.2.1" stretchy="false" xref="S3.E47.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.2.2.1.1.cmml">|</mo><mi id="S3.E47.m1.4.4" xref="S3.E47.m1.4.4.cmml">g</mi><mo id="S3.E47.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S3.E47.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.2.2.1.1.cmml">|</mo></mrow><mrow id="S3.E47.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.2.3" xref="S3.E47.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.E47.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.2.3.2" xref="S3.E47.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.2.3.2.cmml">B</mi><mo id="S3.E47.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.2.3.1" xref="S3.E47.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E47.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.2.3.3" xref="S3.E47.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.2.3.3.cmml">V</mi></mrow></msub><mo id="S3.E47.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1" xref="S3.E47.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.E47.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.3" xref="S3.E47.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E47.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.3.2" xref="S3.E47.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.E47.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.3.1" xref="S3.E47.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E47.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.3.3" xref="S3.E47.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.3.3.cmml"><mrow id="S3.E47.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.3.3.2.2" xref="S3.E47.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.3.3.2.1.cmml"><mo id="S3.E47.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.3.3.2.2.1" stretchy="false" xref="S3.E47.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.3.3.2.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S3.E47.m1.5.5" xref="S3.E47.m1.5.5.cmml">h</mi><mo id="S3.E47.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.3.3.2.2.2" stretchy="false" xref="S3.E47.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.3.3.2.1.1.cmml">‖</mo></mrow><msup id="S3.E47.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.3.3.3" xref="S3.E47.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S3.E47.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.3.3.3.2" xref="S3.E47.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.3.3.3.2.cmml">Lip</mi><mo id="S3.E47.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.3.3.3.3" xref="S3.E47.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.3.3.3.3.cmml">∗</mo></msup></msub></mrow></mrow><mo id="S3.E47.m1.9.9.1.1.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E47.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E47.m1.9.9.1.1.2.2" xref="S3.E47.m1.9.9.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E47.m1.9.9.1.1.2.3" xref="S3.E47.m1.9.9.1.1.2.3.cmml"><mrow id="S3.E47.m1.9.9.1.1.2.3.2.2" xref="S3.E47.m1.9.9.1.1.2.3.2.1.cmml"><mo id="S3.E47.m1.9.9.1.1.2.3.2.2.1" stretchy="false" xref="S3.E47.m1.9.9.1.1.2.3.2.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S3.E47.m1.6.6" xref="S3.E47.m1.6.6.cmml">f</mi><mo id="S3.E47.m1.9.9.1.1.2.3.2.2.2" stretchy="false" xref="S3.E47.m1.9.9.1.1.2.3.2.1.1.cmml">‖</mo></mrow><mrow id="S3.E47.m1.2.2.2.4" xref="S3.E47.m1.2.2.2.3.cmml"><mo id="S3.E47.m1.1.1.1.1" rspace="0em" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.cmml">∗</mo><mo id="S3.E47.m1.2.2.2.4.1" xref="S3.E47.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.E47.m1.2.2.2.2" xref="S3.E47.m1.2.2.2.2.cmml">λ</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S3.E47.m1.9.9.1.1.6" xref="S3.E47.m1.9.9.1.1.6.cmml">≤</mo><mrow id="S3.E47.m1.9.9.1.1.3" xref="S3.E47.m1.9.9.1.1.3.cmml"><mfrac id="S3.E47.m1.9.9.1.1.3.3" xref="S3.E47.m1.9.9.1.1.3.3.cmml"><mn id="S3.E47.m1.9.9.1.1.3.3.2" xref="S3.E47.m1.9.9.1.1.3.3.2.cmml">1</mn><mi id="S3.E47.m1.9.9.1.1.3.3.3" xref="S3.E47.m1.9.9.1.1.3.3.3.cmml">α</mi></mfrac><mo id="S3.E47.m1.9.9.1.1.3.2" xref="S3.E47.m1.9.9.1.1.3.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E47.m1.9.9.1.1.3.1.1" xref="S3.E47.m1.9.9.1.1.3.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E47.m1.9.9.1.1.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E47.m1.9.9.1.1.3.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E47.m1.9.9.1.1.3.1.1.1" xref="S3.E47.m1.9.9.1.1.3.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E47.m1.9.9.1.1.3.1.1.1.2" xref="S3.E47.m1.9.9.1.1.3.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S3.E47.m1.9.9.1.1.3.1.1.1.2.2.2" xref="S3.E47.m1.9.9.1.1.3.1.1.1.2.2.1.cmml"><mo id="S3.E47.m1.9.9.1.1.3.1.1.1.2.2.2.1" stretchy="false" xref="S3.E47.m1.9.9.1.1.3.1.1.1.2.2.1.1.cmml">|</mo><mi id="S3.E47.m1.7.7" xref="S3.E47.m1.7.7.cmml">g</mi><mo id="S3.E47.m1.9.9.1.1.3.1.1.1.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S3.E47.m1.9.9.1.1.3.1.1.1.2.2.1.1.cmml">|</mo></mrow><mrow id="S3.E47.m1.9.9.1.1.3.1.1.1.2.3" xref="S3.E47.m1.9.9.1.1.3.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.E47.m1.9.9.1.1.3.1.1.1.2.3.2" xref="S3.E47.m1.9.9.1.1.3.1.1.1.2.3.2.cmml">B</mi><mo id="S3.E47.m1.9.9.1.1.3.1.1.1.2.3.1" xref="S3.E47.m1.9.9.1.1.3.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E47.m1.9.9.1.1.3.1.1.1.2.3.3" xref="S3.E47.m1.9.9.1.1.3.1.1.1.2.3.3.cmml">V</mi></mrow></msub><mo id="S3.E47.m1.9.9.1.1.3.1.1.1.1" xref="S3.E47.m1.9.9.1.1.3.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.E47.m1.9.9.1.1.3.1.1.1.3" xref="S3.E47.m1.9.9.1.1.3.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E47.m1.9.9.1.1.3.1.1.1.3.2" xref="S3.E47.m1.9.9.1.1.3.1.1.1.3.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.E47.m1.9.9.1.1.3.1.1.1.3.1" xref="S3.E47.m1.9.9.1.1.3.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E47.m1.9.9.1.1.3.1.1.1.3.3" xref="S3.E47.m1.9.9.1.1.3.1.1.1.3.3.cmml"><mrow id="S3.E47.m1.9.9.1.1.3.1.1.1.3.3.2.2" xref="S3.E47.m1.9.9.1.1.3.1.1.1.3.3.2.1.cmml"><mo id="S3.E47.m1.9.9.1.1.3.1.1.1.3.3.2.2.1" stretchy="false" xref="S3.E47.m1.9.9.1.1.3.1.1.1.3.3.2.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S3.E47.m1.8.8" xref="S3.E47.m1.8.8.cmml">h</mi><mo id="S3.E47.m1.9.9.1.1.3.1.1.1.3.3.2.2.2" stretchy="false" xref="S3.E47.m1.9.9.1.1.3.1.1.1.3.3.2.1.1.cmml">‖</mo></mrow><msup id="S3.E47.m1.9.9.1.1.3.1.1.1.3.3.3" xref="S3.E47.m1.9.9.1.1.3.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S3.E47.m1.9.9.1.1.3.1.1.1.3.3.3.2" xref="S3.E47.m1.9.9.1.1.3.1.1.1.3.3.3.2.cmml">Lip</mi><mo id="S3.E47.m1.9.9.1.1.3.1.1.1.3.3.3.3" xref="S3.E47.m1.9.9.1.1.3.1.1.1.3.3.3.3.cmml">∗</mo></msup></msub></mrow></mrow><mo id="S3.E47.m1.9.9.1.1.3.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E47.m1.9.9.1.1.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E47.m1.9.9.1.2" lspace="0em" xref="S3.E47.m1.9.9.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E47.m1.9b"><apply id="S3.E47.m1.9.9.1.1.cmml" xref="S3.E47.m1.9.9.1"><and id="S3.E47.m1.9.9.1.1a.cmml" xref="S3.E47.m1.9.9.1"></and><apply id="S3.E47.m1.9.9.1.1b.cmml" xref="S3.E47.m1.9.9.1"><leq id="S3.E47.m1.9.9.1.1.5.cmml" xref="S3.E47.m1.9.9.1.1.5"></leq><list id="S3.E47.m1.9.9.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E47.m1.9.9.1.1.1.1"><ci id="S3.E47.m1.3.3.cmml" xref="S3.E47.m1.3.3">𝑓</ci><apply id="S3.E47.m1.9.9.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E47.m1.9.9.1.1.1.1.1"><plus id="S3.E47.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E47.m1.9.9.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S3.E47.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E47.m1.9.9.1.1.1.1.1.2">𝑔</ci><ci id="S3.E47.m1.9.9.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E47.m1.9.9.1.1.1.1.1.3">ℎ</ci></apply></list><apply id="S3.E47.m1.9.9.1.1.2.cmml" xref="S3.E47.m1.9.9.1.1.2"><times id="S3.E47.m1.9.9.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E47.m1.9.9.1.1.2.2"></times><apply id="S3.E47.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S3.E47.m1.9.9.1.1.2.1.1"><plus id="S3.E47.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E47.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1"></plus><apply id="S3.E47.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E47.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E47.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E47.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S3.E47.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E47.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.2.2.2"><abs id="S3.E47.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.E47.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.2.2.2.1"></abs><ci id="S3.E47.m1.4.4.cmml" 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id="S3.E47.m1.9.9.1.1.3.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E47.m1.9.9.1.1.3.1.1.1.3"><times id="S3.E47.m1.9.9.1.1.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E47.m1.9.9.1.1.3.1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.E47.m1.9.9.1.1.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E47.m1.9.9.1.1.3.1.1.1.3.2">𝜆</ci><apply id="S3.E47.m1.9.9.1.1.3.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E47.m1.9.9.1.1.3.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E47.m1.9.9.1.1.3.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E47.m1.9.9.1.1.3.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><apply id="S3.E47.m1.9.9.1.1.3.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S3.E47.m1.9.9.1.1.3.1.1.1.3.3.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.E47.m1.9.9.1.1.3.1.1.1.3.3.2.1.1.cmml" xref="S3.E47.m1.9.9.1.1.3.1.1.1.3.3.2.2.1">norm</csymbol><ci id="S3.E47.m1.8.8.cmml" xref="S3.E47.m1.8.8">ℎ</ci></apply><apply id="S3.E47.m1.9.9.1.1.3.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.E47.m1.9.9.1.1.3.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E47.m1.9.9.1.1.3.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S3.E47.m1.9.9.1.1.3.1.1.1.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E47.m1.9.9.1.1.3.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S3.E47.m1.9.9.1.1.3.1.1.1.3.3.3.2">Lip</ci><times id="S3.E47.m1.9.9.1.1.3.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S3.E47.m1.9.9.1.1.3.1.1.1.3.3.3.3"></times></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E47.m1.9c">\langle f,g+h\rangle\leq(|g|_{BV}+\lambda\|h\|_{\mathrm{Lip}^{*}})\|f\|_{*,% \lambda}\leq\frac{1}{\alpha}(|g|_{BV}+\lambda\|h\|_{\mathrm{Lip}^{*}}).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E47.m1.9d">⟨ italic_f , italic_g + italic_h ⟩ ≤ ( | italic_g | start_POSTSUBSCRIPT italic_B italic_V end_POSTSUBSCRIPT + italic_λ ∥ italic_h ∥ start_POSTSUBSCRIPT roman_Lip start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ) ∥ italic_f ∥ start_POSTSUBSCRIPT ∗ , italic_λ end_POSTSUBSCRIPT ≤ divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_α end_ARG ( | italic_g | start_POSTSUBSCRIPT italic_B italic_V end_POSTSUBSCRIPT + italic_λ ∥ italic_h ∥ start_POSTSUBSCRIPT roman_Lip start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(47)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.I3.i1.p2.4">We have</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E48"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\begin{split}&|g|_{BV(\Omega)}+\frac{\alpha}{2}\int_{\Omega}|f-(g+h)|^{2}+% \lambda\|h\|_{\mathrm{Lip}^{*}}=\|g\|_{BV(\Omega)}+\frac{\alpha}{2}(\int_{% \Omega}|f|^{2}+\int_{\Omega}|g+h|^{2}-2\langle f,g+h\rangle)+\lambda\|h\|_{% \mathrm{Lip}^{*}}\\ &\geq|g|_{BV(\Omega)}+\frac{\alpha}{2}(\int_{\Omega}|f|^{2}+\int_{\Omega}|g+h|% ^{2})+\lambda\|h\|_{\mathrm{Lip}^{*}}-(|g|_{BV}+\lambda\|h\|_{\mathrm{Lip}^{*}% })\geq\frac{\alpha}{2}\int_{\Omega}|f|^{2}.\end{split}" class="ltx_Math" display="block" id="S3.E48.m1.119"><semantics id="S3.E48.m1.119a"><mtable columnspacing="0pt" displaystyle="true" id="S3.E48.m1.119.119.4" rowspacing="0pt"><mtr id="S3.E48.m1.119.119.4a"><mtd id="S3.E48.m1.119.119.4b" xref="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.cmml"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S3.E48.m1.119.119.4c"><mrow id="S3.E48.m1.118.118.3.117.65.65"><mrow id="S3.E48.m1.117.117.2.116.64.64.64"><msub id="S3.E48.m1.117.117.2.116.64.64.64.2"><mrow id="S3.E48.m1.117.117.2.116.64.64.64.2.2"><mo id="S3.E48.m1.1.1.1.1.1.1" stretchy="false" xref="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.cmml">|</mo><mi id="S3.E48.m1.2.2.2.2.2.2" xref="S3.E48.m1.2.2.2.2.2.2.cmml">g</mi><mo id="S3.E48.m1.3.3.3.3.3.3" stretchy="false" xref="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.cmml">|</mo></mrow><mrow id="S3.E48.m1.4.4.4.4.4.4.1" xref="S3.E48.m1.4.4.4.4.4.4.1.cmml"><mi id="S3.E48.m1.4.4.4.4.4.4.1.3" xref="S3.E48.m1.4.4.4.4.4.4.1.3.cmml">B</mi><mo id="S3.E48.m1.4.4.4.4.4.4.1.2" xref="S3.E48.m1.4.4.4.4.4.4.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E48.m1.4.4.4.4.4.4.1.4" xref="S3.E48.m1.4.4.4.4.4.4.1.4.cmml">V</mi><mo id="S3.E48.m1.4.4.4.4.4.4.1.2a" xref="S3.E48.m1.4.4.4.4.4.4.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E48.m1.4.4.4.4.4.4.1.5.2" xref="S3.E48.m1.4.4.4.4.4.4.1.cmml"><mo id="S3.E48.m1.4.4.4.4.4.4.1.5.2.1" stretchy="false" xref="S3.E48.m1.4.4.4.4.4.4.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E48.m1.4.4.4.4.4.4.1.1" mathvariant="normal" xref="S3.E48.m1.4.4.4.4.4.4.1.1.cmml">Ω</mi><mo id="S3.E48.m1.4.4.4.4.4.4.1.5.2.2" stretchy="false" xref="S3.E48.m1.4.4.4.4.4.4.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msub><mo id="S3.E48.m1.5.5.5.5.5.5" xref="S3.E48.m1.5.5.5.5.5.5.cmml">+</mo><mrow id="S3.E48.m1.117.117.2.116.64.64.64.1"><mfrac id="S3.E48.m1.6.6.6.6.6.6" xref="S3.E48.m1.6.6.6.6.6.6.cmml"><mi id="S3.E48.m1.6.6.6.6.6.6.2" xref="S3.E48.m1.6.6.6.6.6.6.2.cmml">α</mi><mn id="S3.E48.m1.6.6.6.6.6.6.3" xref="S3.E48.m1.6.6.6.6.6.6.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S3.E48.m1.117.117.2.116.64.64.64.1.2" xref="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E48.m1.117.117.2.116.64.64.64.1.1"><msub id="S3.E48.m1.117.117.2.116.64.64.64.1.1.2"><mo id="S3.E48.m1.7.7.7.7.7.7" rspace="0em" xref="S3.E48.m1.7.7.7.7.7.7.cmml">∫</mo><mi id="S3.E48.m1.8.8.8.8.8.8.1" mathvariant="normal" xref="S3.E48.m1.8.8.8.8.8.8.1.cmml">Ω</mi></msub><msup id="S3.E48.m1.117.117.2.116.64.64.64.1.1.1"><mrow id="S3.E48.m1.117.117.2.116.64.64.64.1.1.1.1.1"><mo id="S3.E48.m1.9.9.9.9.9.9" stretchy="false" xref="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.cmml">|</mo><mrow id="S3.E48.m1.117.117.2.116.64.64.64.1.1.1.1.1.1"><mi id="S3.E48.m1.10.10.10.10.10.10" xref="S3.E48.m1.10.10.10.10.10.10.cmml">f</mi><mo id="S3.E48.m1.11.11.11.11.11.11" xref="S3.E48.m1.11.11.11.11.11.11.cmml">−</mo><mrow id="S3.E48.m1.117.117.2.116.64.64.64.1.1.1.1.1.1.1.1"><mo id="S3.E48.m1.12.12.12.12.12.12" stretchy="false" xref="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E48.m1.117.117.2.116.64.64.64.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><mi id="S3.E48.m1.13.13.13.13.13.13" xref="S3.E48.m1.13.13.13.13.13.13.cmml">g</mi><mo id="S3.E48.m1.14.14.14.14.14.14" xref="S3.E48.m1.14.14.14.14.14.14.cmml">+</mo><mi id="S3.E48.m1.15.15.15.15.15.15" xref="S3.E48.m1.15.15.15.15.15.15.cmml">h</mi></mrow><mo id="S3.E48.m1.16.16.16.16.16.16" stretchy="false" xref="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E48.m1.17.17.17.17.17.17" stretchy="false" xref="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.cmml">|</mo></mrow><mn id="S3.E48.m1.18.18.18.18.18.18.1" xref="S3.E48.m1.18.18.18.18.18.18.1.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><mo id="S3.E48.m1.5.5.5.5.5.5a" xref="S3.E48.m1.5.5.5.5.5.5.cmml">+</mo><mrow id="S3.E48.m1.117.117.2.116.64.64.64.3"><mi id="S3.E48.m1.20.20.20.20.20.20" xref="S3.E48.m1.20.20.20.20.20.20.cmml">λ</mi><mo id="S3.E48.m1.117.117.2.116.64.64.64.3.1" xref="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E48.m1.117.117.2.116.64.64.64.3.2"><mrow id="S3.E48.m1.117.117.2.116.64.64.64.3.2.2"><mo id="S3.E48.m1.21.21.21.21.21.21" stretchy="false" xref="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S3.E48.m1.22.22.22.22.22.22" xref="S3.E48.m1.22.22.22.22.22.22.cmml">h</mi><mo id="S3.E48.m1.23.23.23.23.23.23" stretchy="false" xref="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.cmml">‖</mo></mrow><msup id="S3.E48.m1.24.24.24.24.24.24.1" xref="S3.E48.m1.24.24.24.24.24.24.1.cmml"><mi id="S3.E48.m1.24.24.24.24.24.24.1.2" xref="S3.E48.m1.24.24.24.24.24.24.1.2.cmml">Lip</mi><mo id="S3.E48.m1.24.24.24.24.24.24.1.3" xref="S3.E48.m1.24.24.24.24.24.24.1.3.cmml">∗</mo></msup></msub></mrow></mrow><mo id="S3.E48.m1.25.25.25.25.25.25" xref="S3.E48.m1.25.25.25.25.25.25.cmml">=</mo><mrow id="S3.E48.m1.118.118.3.117.65.65.65"><msub id="S3.E48.m1.118.118.3.117.65.65.65.2"><mrow id="S3.E48.m1.118.118.3.117.65.65.65.2.2"><mo id="S3.E48.m1.26.26.26.26.26.26" stretchy="false" xref="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S3.E48.m1.27.27.27.27.27.27" xref="S3.E48.m1.27.27.27.27.27.27.cmml">g</mi><mo id="S3.E48.m1.28.28.28.28.28.28" stretchy="false" xref="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.cmml">‖</mo></mrow><mrow id="S3.E48.m1.29.29.29.29.29.29.1" xref="S3.E48.m1.29.29.29.29.29.29.1.cmml"><mi id="S3.E48.m1.29.29.29.29.29.29.1.3" xref="S3.E48.m1.29.29.29.29.29.29.1.3.cmml">B</mi><mo id="S3.E48.m1.29.29.29.29.29.29.1.2" xref="S3.E48.m1.29.29.29.29.29.29.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E48.m1.29.29.29.29.29.29.1.4" xref="S3.E48.m1.29.29.29.29.29.29.1.4.cmml">V</mi><mo id="S3.E48.m1.29.29.29.29.29.29.1.2a" xref="S3.E48.m1.29.29.29.29.29.29.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E48.m1.29.29.29.29.29.29.1.5.2" xref="S3.E48.m1.29.29.29.29.29.29.1.cmml"><mo id="S3.E48.m1.29.29.29.29.29.29.1.5.2.1" stretchy="false" xref="S3.E48.m1.29.29.29.29.29.29.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E48.m1.29.29.29.29.29.29.1.1" mathvariant="normal" xref="S3.E48.m1.29.29.29.29.29.29.1.1.cmml">Ω</mi><mo id="S3.E48.m1.29.29.29.29.29.29.1.5.2.2" stretchy="false" xref="S3.E48.m1.29.29.29.29.29.29.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msub><mo id="S3.E48.m1.30.30.30.30.30.30" xref="S3.E48.m1.30.30.30.30.30.30.cmml">+</mo><mrow id="S3.E48.m1.118.118.3.117.65.65.65.1"><mfrac id="S3.E48.m1.31.31.31.31.31.31" xref="S3.E48.m1.31.31.31.31.31.31.cmml"><mi id="S3.E48.m1.31.31.31.31.31.31.2" xref="S3.E48.m1.31.31.31.31.31.31.2.cmml">α</mi><mn id="S3.E48.m1.31.31.31.31.31.31.3" xref="S3.E48.m1.31.31.31.31.31.31.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S3.E48.m1.118.118.3.117.65.65.65.1.2" xref="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E48.m1.118.118.3.117.65.65.65.1.1.1"><mo id="S3.E48.m1.32.32.32.32.32.32" stretchy="false" xref="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E48.m1.118.118.3.117.65.65.65.1.1.1.1"><mrow id="S3.E48.m1.118.118.3.117.65.65.65.1.1.1.1.1"><mrow id="S3.E48.m1.118.118.3.117.65.65.65.1.1.1.1.1.2"><msub id="S3.E48.m1.118.118.3.117.65.65.65.1.1.1.1.1.2.1"><mo id="S3.E48.m1.33.33.33.33.33.33" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.E48.m1.33.33.33.33.33.33.cmml">∫</mo><mi id="S3.E48.m1.34.34.34.34.34.34.1" mathvariant="normal" xref="S3.E48.m1.34.34.34.34.34.34.1.cmml">Ω</mi></msub><msup id="S3.E48.m1.118.118.3.117.65.65.65.1.1.1.1.1.2.2"><mrow id="S3.E48.m1.118.118.3.117.65.65.65.1.1.1.1.1.2.2.2"><mo id="S3.E48.m1.35.35.35.35.35.35" stretchy="false" xref="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.cmml">|</mo><mi id="S3.E48.m1.36.36.36.36.36.36" xref="S3.E48.m1.36.36.36.36.36.36.cmml">f</mi><mo id="S3.E48.m1.37.37.37.37.37.37" stretchy="false" xref="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.cmml">|</mo></mrow><mn id="S3.E48.m1.38.38.38.38.38.38.1" xref="S3.E48.m1.38.38.38.38.38.38.1.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S3.E48.m1.39.39.39.39.39.39" rspace="0.055em" xref="S3.E48.m1.39.39.39.39.39.39.cmml">+</mo><mrow id="S3.E48.m1.118.118.3.117.65.65.65.1.1.1.1.1.1"><msub id="S3.E48.m1.118.118.3.117.65.65.65.1.1.1.1.1.1.2"><mo id="S3.E48.m1.40.40.40.40.40.40" rspace="0em" xref="S3.E48.m1.40.40.40.40.40.40.cmml">∫</mo><mi id="S3.E48.m1.41.41.41.41.41.41.1" mathvariant="normal" xref="S3.E48.m1.41.41.41.41.41.41.1.cmml">Ω</mi></msub><msup id="S3.E48.m1.118.118.3.117.65.65.65.1.1.1.1.1.1.1"><mrow id="S3.E48.m1.118.118.3.117.65.65.65.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><mo id="S3.E48.m1.42.42.42.42.42.42" stretchy="false" xref="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.cmml">|</mo><mrow id="S3.E48.m1.118.118.3.117.65.65.65.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><mi id="S3.E48.m1.43.43.43.43.43.43" xref="S3.E48.m1.43.43.43.43.43.43.cmml">g</mi><mo id="S3.E48.m1.44.44.44.44.44.44" xref="S3.E48.m1.44.44.44.44.44.44.cmml">+</mo><mi id="S3.E48.m1.45.45.45.45.45.45" xref="S3.E48.m1.45.45.45.45.45.45.cmml">h</mi></mrow><mo id="S3.E48.m1.46.46.46.46.46.46" stretchy="false" xref="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.cmml">|</mo></mrow><mn id="S3.E48.m1.47.47.47.47.47.47.1" xref="S3.E48.m1.47.47.47.47.47.47.1.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><mo id="S3.E48.m1.48.48.48.48.48.48" xref="S3.E48.m1.48.48.48.48.48.48.cmml">−</mo><mrow id="S3.E48.m1.118.118.3.117.65.65.65.1.1.1.1.2"><mn id="S3.E48.m1.49.49.49.49.49.49" xref="S3.E48.m1.49.49.49.49.49.49.cmml">2</mn><mo id="S3.E48.m1.118.118.3.117.65.65.65.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E48.m1.118.118.3.117.65.65.65.1.1.1.1.2.1.1"><mo id="S3.E48.m1.50.50.50.50.50.50" stretchy="false" xref="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.cmml">⟨</mo><mi id="S3.E48.m1.51.51.51.51.51.51" xref="S3.E48.m1.51.51.51.51.51.51.cmml">f</mi><mo id="S3.E48.m1.52.52.52.52.52.52" xref="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.cmml">,</mo><mrow id="S3.E48.m1.118.118.3.117.65.65.65.1.1.1.1.2.1.1.1"><mi id="S3.E48.m1.53.53.53.53.53.53" xref="S3.E48.m1.53.53.53.53.53.53.cmml">g</mi><mo id="S3.E48.m1.54.54.54.54.54.54" xref="S3.E48.m1.54.54.54.54.54.54.cmml">+</mo><mi id="S3.E48.m1.55.55.55.55.55.55" xref="S3.E48.m1.55.55.55.55.55.55.cmml">h</mi></mrow><mo id="S3.E48.m1.56.56.56.56.56.56" stretchy="false" xref="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E48.m1.57.57.57.57.57.57" stretchy="false" xref="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E48.m1.30.30.30.30.30.30a" xref="S3.E48.m1.30.30.30.30.30.30.cmml">+</mo><mrow id="S3.E48.m1.118.118.3.117.65.65.65.3"><mi id="S3.E48.m1.59.59.59.59.59.59" xref="S3.E48.m1.59.59.59.59.59.59.cmml">λ</mi><mo id="S3.E48.m1.118.118.3.117.65.65.65.3.1" xref="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E48.m1.118.118.3.117.65.65.65.3.2"><mrow id="S3.E48.m1.118.118.3.117.65.65.65.3.2.2"><mo id="S3.E48.m1.60.60.60.60.60.60" stretchy="false" xref="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S3.E48.m1.61.61.61.61.61.61" xref="S3.E48.m1.61.61.61.61.61.61.cmml">h</mi><mo id="S3.E48.m1.62.62.62.62.62.62" stretchy="false" xref="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.cmml">‖</mo></mrow><msup id="S3.E48.m1.63.63.63.63.63.63.1" xref="S3.E48.m1.63.63.63.63.63.63.1.cmml"><mi id="S3.E48.m1.63.63.63.63.63.63.1.2" xref="S3.E48.m1.63.63.63.63.63.63.1.2.cmml">Lip</mi><mo id="S3.E48.m1.63.63.63.63.63.63.1.3" xref="S3.E48.m1.63.63.63.63.63.63.1.3.cmml">∗</mo></msup></msub></mrow></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="S3.E48.m1.119.119.4d"><mtd id="S3.E48.m1.119.119.4e" xref="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.cmml"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S3.E48.m1.119.119.4f"><mrow id="S3.E48.m1.119.119.4.118.53.53.53"><mrow id="S3.E48.m1.119.119.4.118.53.53.53.1"><mi id="S3.E48.m1.119.119.4.118.53.53.53.1.4" xref="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.cmml"></mi><mo id="S3.E48.m1.64.64.64.1.1.1" xref="S3.E48.m1.64.64.64.1.1.1.cmml">≥</mo><mrow id="S3.E48.m1.119.119.4.118.53.53.53.1.2"><mrow id="S3.E48.m1.119.119.4.118.53.53.53.1.1.1"><msub id="S3.E48.m1.119.119.4.118.53.53.53.1.1.1.2"><mrow id="S3.E48.m1.119.119.4.118.53.53.53.1.1.1.2.2"><mo id="S3.E48.m1.65.65.65.2.2.2" stretchy="false" xref="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.cmml">|</mo><mi id="S3.E48.m1.66.66.66.3.3.3" xref="S3.E48.m1.66.66.66.3.3.3.cmml">g</mi><mo id="S3.E48.m1.67.67.67.4.4.4" stretchy="false" xref="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.cmml">|</mo></mrow><mrow id="S3.E48.m1.68.68.68.5.5.5.1" xref="S3.E48.m1.68.68.68.5.5.5.1.cmml"><mi id="S3.E48.m1.68.68.68.5.5.5.1.3" xref="S3.E48.m1.68.68.68.5.5.5.1.3.cmml">B</mi><mo id="S3.E48.m1.68.68.68.5.5.5.1.2" xref="S3.E48.m1.68.68.68.5.5.5.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E48.m1.68.68.68.5.5.5.1.4" xref="S3.E48.m1.68.68.68.5.5.5.1.4.cmml">V</mi><mo id="S3.E48.m1.68.68.68.5.5.5.1.2a" xref="S3.E48.m1.68.68.68.5.5.5.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E48.m1.68.68.68.5.5.5.1.5.2" xref="S3.E48.m1.68.68.68.5.5.5.1.cmml"><mo id="S3.E48.m1.68.68.68.5.5.5.1.5.2.1" stretchy="false" xref="S3.E48.m1.68.68.68.5.5.5.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E48.m1.68.68.68.5.5.5.1.1" mathvariant="normal" xref="S3.E48.m1.68.68.68.5.5.5.1.1.cmml">Ω</mi><mo id="S3.E48.m1.68.68.68.5.5.5.1.5.2.2" stretchy="false" xref="S3.E48.m1.68.68.68.5.5.5.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msub><mo id="S3.E48.m1.69.69.69.6.6.6" xref="S3.E48.m1.69.69.69.6.6.6.cmml">+</mo><mrow id="S3.E48.m1.119.119.4.118.53.53.53.1.1.1.1"><mfrac id="S3.E48.m1.70.70.70.7.7.7" xref="S3.E48.m1.70.70.70.7.7.7.cmml"><mi id="S3.E48.m1.70.70.70.7.7.7.2" xref="S3.E48.m1.70.70.70.7.7.7.2.cmml">α</mi><mn id="S3.E48.m1.70.70.70.7.7.7.3" xref="S3.E48.m1.70.70.70.7.7.7.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S3.E48.m1.119.119.4.118.53.53.53.1.1.1.1.2" xref="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E48.m1.119.119.4.118.53.53.53.1.1.1.1.1.1"><mo id="S3.E48.m1.71.71.71.8.8.8" stretchy="false" xref="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E48.m1.119.119.4.118.53.53.53.1.1.1.1.1.1.1"><mrow id="S3.E48.m1.119.119.4.118.53.53.53.1.1.1.1.1.1.1.2"><msub id="S3.E48.m1.119.119.4.118.53.53.53.1.1.1.1.1.1.1.2.1"><mo id="S3.E48.m1.72.72.72.9.9.9" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.E48.m1.72.72.72.9.9.9.cmml">∫</mo><mi id="S3.E48.m1.73.73.73.10.10.10.1" mathvariant="normal" xref="S3.E48.m1.73.73.73.10.10.10.1.cmml">Ω</mi></msub><msup id="S3.E48.m1.119.119.4.118.53.53.53.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><mrow id="S3.E48.m1.119.119.4.118.53.53.53.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2"><mo id="S3.E48.m1.74.74.74.11.11.11" stretchy="false" xref="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.cmml">|</mo><mi id="S3.E48.m1.75.75.75.12.12.12" xref="S3.E48.m1.75.75.75.12.12.12.cmml">f</mi><mo id="S3.E48.m1.76.76.76.13.13.13" stretchy="false" xref="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.cmml">|</mo></mrow><mn id="S3.E48.m1.77.77.77.14.14.14.1" xref="S3.E48.m1.77.77.77.14.14.14.1.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S3.E48.m1.78.78.78.15.15.15" rspace="0.055em" xref="S3.E48.m1.78.78.78.15.15.15.cmml">+</mo><mrow id="S3.E48.m1.119.119.4.118.53.53.53.1.1.1.1.1.1.1.1"><msub id="S3.E48.m1.119.119.4.118.53.53.53.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><mo id="S3.E48.m1.79.79.79.16.16.16" rspace="0em" xref="S3.E48.m1.79.79.79.16.16.16.cmml">∫</mo><mi id="S3.E48.m1.80.80.80.17.17.17.1" mathvariant="normal" xref="S3.E48.m1.80.80.80.17.17.17.1.cmml">Ω</mi></msub><msup id="S3.E48.m1.119.119.4.118.53.53.53.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><mrow id="S3.E48.m1.119.119.4.118.53.53.53.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><mo id="S3.E48.m1.81.81.81.18.18.18" stretchy="false" xref="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.cmml">|</mo><mrow id="S3.E48.m1.119.119.4.118.53.53.53.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><mi id="S3.E48.m1.82.82.82.19.19.19" xref="S3.E48.m1.82.82.82.19.19.19.cmml">g</mi><mo id="S3.E48.m1.83.83.83.20.20.20" xref="S3.E48.m1.83.83.83.20.20.20.cmml">+</mo><mi id="S3.E48.m1.84.84.84.21.21.21" xref="S3.E48.m1.84.84.84.21.21.21.cmml">h</mi></mrow><mo id="S3.E48.m1.85.85.85.22.22.22" stretchy="false" xref="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.cmml">|</mo></mrow><mn id="S3.E48.m1.86.86.86.23.23.23.1" xref="S3.E48.m1.86.86.86.23.23.23.1.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><mo id="S3.E48.m1.87.87.87.24.24.24" stretchy="false" xref="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E48.m1.69.69.69.6.6.6a" xref="S3.E48.m1.69.69.69.6.6.6.cmml">+</mo><mrow id="S3.E48.m1.119.119.4.118.53.53.53.1.1.1.3"><mi id="S3.E48.m1.89.89.89.26.26.26" xref="S3.E48.m1.89.89.89.26.26.26.cmml">λ</mi><mo id="S3.E48.m1.119.119.4.118.53.53.53.1.1.1.3.1" xref="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E48.m1.119.119.4.118.53.53.53.1.1.1.3.2"><mrow id="S3.E48.m1.119.119.4.118.53.53.53.1.1.1.3.2.2"><mo id="S3.E48.m1.90.90.90.27.27.27" stretchy="false" xref="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S3.E48.m1.91.91.91.28.28.28" xref="S3.E48.m1.91.91.91.28.28.28.cmml">h</mi><mo id="S3.E48.m1.92.92.92.29.29.29" stretchy="false" xref="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.cmml">‖</mo></mrow><msup id="S3.E48.m1.93.93.93.30.30.30.1" xref="S3.E48.m1.93.93.93.30.30.30.1.cmml"><mi id="S3.E48.m1.93.93.93.30.30.30.1.2" xref="S3.E48.m1.93.93.93.30.30.30.1.2.cmml">Lip</mi><mo id="S3.E48.m1.93.93.93.30.30.30.1.3" xref="S3.E48.m1.93.93.93.30.30.30.1.3.cmml">∗</mo></msup></msub></mrow></mrow><mo id="S3.E48.m1.94.94.94.31.31.31" xref="S3.E48.m1.94.94.94.31.31.31.cmml">−</mo><mrow id="S3.E48.m1.119.119.4.118.53.53.53.1.2.2.1"><mo id="S3.E48.m1.95.95.95.32.32.32" stretchy="false" xref="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E48.m1.119.119.4.118.53.53.53.1.2.2.1.1"><msub id="S3.E48.m1.119.119.4.118.53.53.53.1.2.2.1.1.1"><mrow id="S3.E48.m1.119.119.4.118.53.53.53.1.2.2.1.1.1.2"><mo id="S3.E48.m1.96.96.96.33.33.33" stretchy="false" xref="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.cmml">|</mo><mi id="S3.E48.m1.97.97.97.34.34.34" xref="S3.E48.m1.97.97.97.34.34.34.cmml">g</mi><mo id="S3.E48.m1.98.98.98.35.35.35" stretchy="false" xref="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.cmml">|</mo></mrow><mrow id="S3.E48.m1.99.99.99.36.36.36.1" xref="S3.E48.m1.99.99.99.36.36.36.1.cmml"><mi id="S3.E48.m1.99.99.99.36.36.36.1.2" xref="S3.E48.m1.99.99.99.36.36.36.1.2.cmml">B</mi><mo id="S3.E48.m1.99.99.99.36.36.36.1.1" xref="S3.E48.m1.99.99.99.36.36.36.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E48.m1.99.99.99.36.36.36.1.3" xref="S3.E48.m1.99.99.99.36.36.36.1.3.cmml">V</mi></mrow></msub><mo id="S3.E48.m1.100.100.100.37.37.37" xref="S3.E48.m1.100.100.100.37.37.37.cmml">+</mo><mrow id="S3.E48.m1.119.119.4.118.53.53.53.1.2.2.1.1.2"><mi id="S3.E48.m1.101.101.101.38.38.38" xref="S3.E48.m1.101.101.101.38.38.38.cmml">λ</mi><mo id="S3.E48.m1.119.119.4.118.53.53.53.1.2.2.1.1.2.1" xref="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E48.m1.119.119.4.118.53.53.53.1.2.2.1.1.2.2"><mrow id="S3.E48.m1.119.119.4.118.53.53.53.1.2.2.1.1.2.2.2"><mo id="S3.E48.m1.102.102.102.39.39.39" stretchy="false" xref="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S3.E48.m1.103.103.103.40.40.40" xref="S3.E48.m1.103.103.103.40.40.40.cmml">h</mi><mo id="S3.E48.m1.104.104.104.41.41.41" stretchy="false" xref="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.cmml">‖</mo></mrow><msup id="S3.E48.m1.105.105.105.42.42.42.1" xref="S3.E48.m1.105.105.105.42.42.42.1.cmml"><mi id="S3.E48.m1.105.105.105.42.42.42.1.2" xref="S3.E48.m1.105.105.105.42.42.42.1.2.cmml">Lip</mi><mo id="S3.E48.m1.105.105.105.42.42.42.1.3" xref="S3.E48.m1.105.105.105.42.42.42.1.3.cmml">∗</mo></msup></msub></mrow></mrow><mo id="S3.E48.m1.106.106.106.43.43.43" stretchy="false" xref="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E48.m1.107.107.107.44.44.44" xref="S3.E48.m1.107.107.107.44.44.44.cmml">≥</mo><mrow id="S3.E48.m1.119.119.4.118.53.53.53.1.5"><mfrac id="S3.E48.m1.108.108.108.45.45.45" xref="S3.E48.m1.108.108.108.45.45.45.cmml"><mi id="S3.E48.m1.108.108.108.45.45.45.2" xref="S3.E48.m1.108.108.108.45.45.45.2.cmml">α</mi><mn id="S3.E48.m1.108.108.108.45.45.45.3" xref="S3.E48.m1.108.108.108.45.45.45.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S3.E48.m1.119.119.4.118.53.53.53.1.5.1" xref="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E48.m1.119.119.4.118.53.53.53.1.5.2"><msub id="S3.E48.m1.119.119.4.118.53.53.53.1.5.2.1"><mo id="S3.E48.m1.109.109.109.46.46.46" rspace="0em" xref="S3.E48.m1.109.109.109.46.46.46.cmml">∫</mo><mi id="S3.E48.m1.110.110.110.47.47.47.1" mathvariant="normal" xref="S3.E48.m1.110.110.110.47.47.47.1.cmml">Ω</mi></msub><msup id="S3.E48.m1.119.119.4.118.53.53.53.1.5.2.2"><mrow id="S3.E48.m1.119.119.4.118.53.53.53.1.5.2.2.2"><mo id="S3.E48.m1.111.111.111.48.48.48" stretchy="false" xref="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.cmml">|</mo><mi id="S3.E48.m1.112.112.112.49.49.49" xref="S3.E48.m1.112.112.112.49.49.49.cmml">f</mi><mo id="S3.E48.m1.113.113.113.50.50.50" stretchy="false" xref="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.cmml">|</mo></mrow><mn id="S3.E48.m1.114.114.114.51.51.51.1" xref="S3.E48.m1.114.114.114.51.51.51.1.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E48.m1.115.115.115.52.52.52" lspace="0em" xref="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.cmml">.</mo></mrow></mtd></mtr></mtable><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E48.m1.119b"><apply id="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.cmml" xref="S3.E48.m1.119.119.4b"><and id="S3.E48.m1.116.116.1.1.1a.cmml" xref="S3.E48.m1.119.119.4b"></and><apply id="S3.E48.m1.116.116.1.1.1b.cmml" xref="S3.E48.m1.119.119.4b"><eq id="S3.E48.m1.25.25.25.25.25.25.cmml" xref="S3.E48.m1.25.25.25.25.25.25"></eq><apply id="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.1.cmml" 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id="S3.E48.m1.51.51.51.51.51.51.cmml" xref="S3.E48.m1.51.51.51.51.51.51">𝑓</ci><apply id="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.2.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S3.E48.m1.119.119.4b"><plus id="S3.E48.m1.54.54.54.54.54.54.cmml" xref="S3.E48.m1.54.54.54.54.54.54"></plus><ci id="S3.E48.m1.53.53.53.53.53.53.cmml" xref="S3.E48.m1.53.53.53.53.53.53">𝑔</ci><ci id="S3.E48.m1.55.55.55.55.55.55.cmml" xref="S3.E48.m1.55.55.55.55.55.55">ℎ</ci></apply></list></apply></apply></apply><apply id="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.2.4.cmml" xref="S3.E48.m1.119.119.4b"><times id="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.2.4.1.cmml" xref="S3.E48.m1.119.119.4b"></times><ci id="S3.E48.m1.59.59.59.59.59.59.cmml" xref="S3.E48.m1.59.59.59.59.59.59">𝜆</ci><apply id="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.2.4.3.cmml" xref="S3.E48.m1.119.119.4b"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.2.4.3.1.cmml" xref="S3.E48.m1.119.119.4b">subscript</csymbol><apply id="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.2.4.3.2.cmml" xref="S3.E48.m1.119.119.4b"><csymbol cd="latexml" id="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.2.4.3.2.1.cmml" xref="S3.E48.m1.119.119.4b">delimited-∥∥</csymbol><ci id="S3.E48.m1.61.61.61.61.61.61.cmml" xref="S3.E48.m1.61.61.61.61.61.61">ℎ</ci></apply><apply id="S3.E48.m1.63.63.63.63.63.63.1.cmml" xref="S3.E48.m1.63.63.63.63.63.63.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E48.m1.63.63.63.63.63.63.1.1.cmml" xref="S3.E48.m1.63.63.63.63.63.63.1">superscript</csymbol><ci id="S3.E48.m1.63.63.63.63.63.63.1.2.cmml" xref="S3.E48.m1.63.63.63.63.63.63.1.2">Lip</ci><times id="S3.E48.m1.63.63.63.63.63.63.1.3.cmml" xref="S3.E48.m1.63.63.63.63.63.63.1.3"></times></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E48.m1.116.116.1.1.1c.cmml" xref="S3.E48.m1.119.119.4b"><geq id="S3.E48.m1.64.64.64.1.1.1.cmml" xref="S3.E48.m1.64.64.64.1.1.1"></geq><share href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S3.E48.m1.116.116.1.1.1.2.cmml" id="S3.E48.m1.116.116.1.1.1d.cmml" xref="S3.E48.m1.119.119.4b"></share><apply id="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.4.cmml" xref="S3.E48.m1.119.119.4b"><minus id="S3.E48.m1.94.94.94.31.31.31.cmml" xref="S3.E48.m1.94.94.94.31.31.31"></minus><apply id="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E48.m1.119.119.4b"><plus id="S3.E48.m1.69.69.69.6.6.6.cmml" xref="S3.E48.m1.69.69.69.6.6.6"></plus><apply id="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.3.1.3.cmml" xref="S3.E48.m1.119.119.4b"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.3.1.3.1.cmml" xref="S3.E48.m1.119.119.4b">subscript</csymbol><apply id="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.3.1.3.2.cmml" xref="S3.E48.m1.119.119.4b"><abs id="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.3.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E48.m1.119.119.4b"></abs><ci id="S3.E48.m1.66.66.66.3.3.3.cmml" xref="S3.E48.m1.66.66.66.3.3.3">𝑔</ci></apply><apply id="S3.E48.m1.68.68.68.5.5.5.1.cmml" xref="S3.E48.m1.68.68.68.5.5.5.1"><times id="S3.E48.m1.68.68.68.5.5.5.1.2.cmml" xref="S3.E48.m1.68.68.68.5.5.5.1.2"></times><ci id="S3.E48.m1.68.68.68.5.5.5.1.3.cmml" xref="S3.E48.m1.68.68.68.5.5.5.1.3">𝐵</ci><ci id="S3.E48.m1.68.68.68.5.5.5.1.4.cmml" xref="S3.E48.m1.68.68.68.5.5.5.1.4">𝑉</ci><ci id="S3.E48.m1.68.68.68.5.5.5.1.1.cmml" xref="S3.E48.m1.68.68.68.5.5.5.1.1">Ω</ci></apply></apply><apply id="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S3.E48.m1.119.119.4b"><times id="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.3.1.1.2.cmml" xref="S3.E48.m1.119.119.4b"></times><apply id="S3.E48.m1.70.70.70.7.7.7.cmml" xref="S3.E48.m1.70.70.70.7.7.7"><divide id="S3.E48.m1.70.70.70.7.7.7.1.cmml" xref="S3.E48.m1.70.70.70.7.7.7"></divide><ci id="S3.E48.m1.70.70.70.7.7.7.2.cmml" xref="S3.E48.m1.70.70.70.7.7.7.2">𝛼</ci><cn id="S3.E48.m1.70.70.70.7.7.7.3.cmml" type="integer" xref="S3.E48.m1.70.70.70.7.7.7.3">2</cn></apply><apply id="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E48.m1.119.119.4b"><plus id="S3.E48.m1.78.78.78.15.15.15.cmml" xref="S3.E48.m1.78.78.78.15.15.15"></plus><apply id="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E48.m1.119.119.4b"><apply id="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.3.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E48.m1.119.119.4b"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.3.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S3.E48.m1.119.119.4b">subscript</csymbol><int id="S3.E48.m1.72.72.72.9.9.9.cmml" xref="S3.E48.m1.72.72.72.9.9.9"></int><ci id="S3.E48.m1.73.73.73.10.10.10.1.cmml" xref="S3.E48.m1.73.73.73.10.10.10.1">Ω</ci></apply><apply id="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.3.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E48.m1.119.119.4b"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.3.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E48.m1.119.119.4b">superscript</csymbol><apply id="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.3.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E48.m1.119.119.4b"><abs id="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.3.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S3.E48.m1.119.119.4b"></abs><ci id="S3.E48.m1.75.75.75.12.12.12.cmml" xref="S3.E48.m1.75.75.75.12.12.12">𝑓</ci></apply><cn id="S3.E48.m1.77.77.77.14.14.14.1.cmml" type="integer" xref="S3.E48.m1.77.77.77.14.14.14.1">2</cn></apply></apply><apply id="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E48.m1.119.119.4b"><apply id="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E48.m1.119.119.4b"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E48.m1.119.119.4b">subscript</csymbol><int id="S3.E48.m1.79.79.79.16.16.16.cmml" xref="S3.E48.m1.79.79.79.16.16.16"></int><ci id="S3.E48.m1.80.80.80.17.17.17.1.cmml" xref="S3.E48.m1.80.80.80.17.17.17.1">Ω</ci></apply><apply id="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E48.m1.119.119.4b"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E48.m1.119.119.4b">superscript</csymbol><apply id="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E48.m1.119.119.4b"><abs id="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E48.m1.119.119.4b"></abs><apply id="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E48.m1.119.119.4b"><plus id="S3.E48.m1.83.83.83.20.20.20.cmml" xref="S3.E48.m1.83.83.83.20.20.20"></plus><ci id="S3.E48.m1.82.82.82.19.19.19.cmml" xref="S3.E48.m1.82.82.82.19.19.19">𝑔</ci><ci id="S3.E48.m1.84.84.84.21.21.21.cmml" xref="S3.E48.m1.84.84.84.21.21.21">ℎ</ci></apply></apply><cn id="S3.E48.m1.86.86.86.23.23.23.1.cmml" type="integer" xref="S3.E48.m1.86.86.86.23.23.23.1">2</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.3.1.4.cmml" xref="S3.E48.m1.119.119.4b"><times id="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.3.1.4.1.cmml" xref="S3.E48.m1.119.119.4b"></times><ci id="S3.E48.m1.89.89.89.26.26.26.cmml" xref="S3.E48.m1.89.89.89.26.26.26">𝜆</ci><apply id="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.3.1.4.3.cmml" xref="S3.E48.m1.119.119.4b"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.3.1.4.3.1.cmml" xref="S3.E48.m1.119.119.4b">subscript</csymbol><apply id="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.3.1.4.3.2.cmml" xref="S3.E48.m1.119.119.4b"><csymbol cd="latexml" id="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.3.1.4.3.2.1.cmml" xref="S3.E48.m1.119.119.4b">delimited-∥∥</csymbol><ci id="S3.E48.m1.91.91.91.28.28.28.cmml" xref="S3.E48.m1.91.91.91.28.28.28">ℎ</ci></apply><apply id="S3.E48.m1.93.93.93.30.30.30.1.cmml" xref="S3.E48.m1.93.93.93.30.30.30.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E48.m1.93.93.93.30.30.30.1.1.cmml" xref="S3.E48.m1.93.93.93.30.30.30.1">superscript</csymbol><ci id="S3.E48.m1.93.93.93.30.30.30.1.2.cmml" xref="S3.E48.m1.93.93.93.30.30.30.1.2">Lip</ci><times id="S3.E48.m1.93.93.93.30.30.30.1.3.cmml" xref="S3.E48.m1.93.93.93.30.30.30.1.3"></times></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.4.2.1.1.cmml" xref="S3.E48.m1.119.119.4b"><plus id="S3.E48.m1.100.100.100.37.37.37.cmml" xref="S3.E48.m1.100.100.100.37.37.37"></plus><apply id="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.4.2.1.1.2.cmml" xref="S3.E48.m1.119.119.4b"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.4.2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E48.m1.119.119.4b">subscript</csymbol><apply id="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.4.2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E48.m1.119.119.4b"><abs id="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.4.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E48.m1.119.119.4b"></abs><ci id="S3.E48.m1.97.97.97.34.34.34.cmml" xref="S3.E48.m1.97.97.97.34.34.34">𝑔</ci></apply><apply id="S3.E48.m1.99.99.99.36.36.36.1.cmml" xref="S3.E48.m1.99.99.99.36.36.36.1"><times id="S3.E48.m1.99.99.99.36.36.36.1.1.cmml" xref="S3.E48.m1.99.99.99.36.36.36.1.1"></times><ci id="S3.E48.m1.99.99.99.36.36.36.1.2.cmml" xref="S3.E48.m1.99.99.99.36.36.36.1.2">𝐵</ci><ci id="S3.E48.m1.99.99.99.36.36.36.1.3.cmml" xref="S3.E48.m1.99.99.99.36.36.36.1.3">𝑉</ci></apply></apply><apply id="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.4.2.1.1.3.cmml" xref="S3.E48.m1.119.119.4b"><times id="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.4.2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E48.m1.119.119.4b"></times><ci id="S3.E48.m1.101.101.101.38.38.38.cmml" xref="S3.E48.m1.101.101.101.38.38.38">𝜆</ci><apply id="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.4.2.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E48.m1.119.119.4b"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.4.2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E48.m1.119.119.4b">subscript</csymbol><apply id="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.4.2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.E48.m1.119.119.4b"><csymbol cd="latexml" id="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.4.2.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S3.E48.m1.119.119.4b">delimited-∥∥</csymbol><ci id="S3.E48.m1.103.103.103.40.40.40.cmml" xref="S3.E48.m1.103.103.103.40.40.40">ℎ</ci></apply><apply id="S3.E48.m1.105.105.105.42.42.42.1.cmml" xref="S3.E48.m1.105.105.105.42.42.42.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E48.m1.105.105.105.42.42.42.1.1.cmml" xref="S3.E48.m1.105.105.105.42.42.42.1">superscript</csymbol><ci id="S3.E48.m1.105.105.105.42.42.42.1.2.cmml" xref="S3.E48.m1.105.105.105.42.42.42.1.2">Lip</ci><times id="S3.E48.m1.105.105.105.42.42.42.1.3.cmml" xref="S3.E48.m1.105.105.105.42.42.42.1.3"></times></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E48.m1.116.116.1.1.1e.cmml" xref="S3.E48.m1.119.119.4b"><geq id="S3.E48.m1.107.107.107.44.44.44.cmml" xref="S3.E48.m1.107.107.107.44.44.44"></geq><share href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S3.E48.m1.116.116.1.1.1.4.cmml" id="S3.E48.m1.116.116.1.1.1f.cmml" xref="S3.E48.m1.119.119.4b"></share><apply id="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.9.cmml" xref="S3.E48.m1.119.119.4b"><times id="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.9.1.cmml" xref="S3.E48.m1.119.119.4b"></times><apply id="S3.E48.m1.108.108.108.45.45.45.cmml" xref="S3.E48.m1.108.108.108.45.45.45"><divide id="S3.E48.m1.108.108.108.45.45.45.1.cmml" xref="S3.E48.m1.108.108.108.45.45.45"></divide><ci id="S3.E48.m1.108.108.108.45.45.45.2.cmml" xref="S3.E48.m1.108.108.108.45.45.45.2">𝛼</ci><cn id="S3.E48.m1.108.108.108.45.45.45.3.cmml" type="integer" xref="S3.E48.m1.108.108.108.45.45.45.3">2</cn></apply><apply id="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.9.3.cmml" xref="S3.E48.m1.119.119.4b"><apply id="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.9.3.1.cmml" xref="S3.E48.m1.119.119.4b"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.9.3.1.1.cmml" xref="S3.E48.m1.119.119.4b">subscript</csymbol><int id="S3.E48.m1.109.109.109.46.46.46.cmml" xref="S3.E48.m1.109.109.109.46.46.46"></int><ci id="S3.E48.m1.110.110.110.47.47.47.1.cmml" xref="S3.E48.m1.110.110.110.47.47.47.1">Ω</ci></apply><apply id="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.9.3.2.cmml" xref="S3.E48.m1.119.119.4b"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.9.3.2.1.cmml" xref="S3.E48.m1.119.119.4b">superscript</csymbol><apply id="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.9.3.2.2.cmml" xref="S3.E48.m1.119.119.4b"><abs id="S3.E48.m1.116.116.1.1.1.9.3.2.2.1.cmml" xref="S3.E48.m1.119.119.4b"></abs><ci id="S3.E48.m1.112.112.112.49.49.49.cmml" xref="S3.E48.m1.112.112.112.49.49.49">𝑓</ci></apply><cn id="S3.E48.m1.114.114.114.51.51.51.1.cmml" type="integer" xref="S3.E48.m1.114.114.114.51.51.51.1">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E48.m1.119c">\begin{split}&|g|_{BV(\Omega)}+\frac{\alpha}{2}\int_{\Omega}|f-(g+h)|^{2}+% \lambda\|h\|_{\mathrm{Lip}^{*}}=\|g\|_{BV(\Omega)}+\frac{\alpha}{2}(\int_{% \Omega}|f|^{2}+\int_{\Omega}|g+h|^{2}-2\langle f,g+h\rangle)+\lambda\|h\|_{% \mathrm{Lip}^{*}}\\ &\geq|g|_{BV(\Omega)}+\frac{\alpha}{2}(\int_{\Omega}|f|^{2}+\int_{\Omega}|g+h|% ^{2})+\lambda\|h\|_{\mathrm{Lip}^{*}}-(|g|_{BV}+\lambda\|h\|_{\mathrm{Lip}^{*}% })\geq\frac{\alpha}{2}\int_{\Omega}|f|^{2}.\end{split}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E48.m1.119d">start_ROW start_CELL end_CELL start_CELL | italic_g | start_POSTSUBSCRIPT italic_B italic_V ( roman_Ω ) end_POSTSUBSCRIPT + divide start_ARG italic_α end_ARG start_ARG 2 end_ARG ∫ start_POSTSUBSCRIPT roman_Ω end_POSTSUBSCRIPT | italic_f - ( italic_g + italic_h ) | start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_λ ∥ italic_h ∥ start_POSTSUBSCRIPT roman_Lip start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT = ∥ italic_g ∥ start_POSTSUBSCRIPT italic_B italic_V ( roman_Ω ) end_POSTSUBSCRIPT + divide start_ARG italic_α end_ARG start_ARG 2 end_ARG ( ∫ start_POSTSUBSCRIPT roman_Ω end_POSTSUBSCRIPT | italic_f | start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + ∫ start_POSTSUBSCRIPT roman_Ω end_POSTSUBSCRIPT | italic_g + italic_h | start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT - 2 ⟨ italic_f , italic_g + italic_h ⟩ ) + italic_λ ∥ italic_h ∥ start_POSTSUBSCRIPT roman_Lip start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL end_CELL start_CELL ≥ | italic_g | start_POSTSUBSCRIPT italic_B italic_V ( roman_Ω ) end_POSTSUBSCRIPT + divide start_ARG italic_α end_ARG start_ARG 2 end_ARG ( ∫ start_POSTSUBSCRIPT roman_Ω end_POSTSUBSCRIPT | italic_f | start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + ∫ start_POSTSUBSCRIPT roman_Ω end_POSTSUBSCRIPT | italic_g + italic_h | start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) + italic_λ ∥ italic_h ∥ start_POSTSUBSCRIPT roman_Lip start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT - ( | italic_g | start_POSTSUBSCRIPT italic_B italic_V end_POSTSUBSCRIPT + italic_λ ∥ italic_h ∥ start_POSTSUBSCRIPT roman_Lip start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ) ≥ divide start_ARG italic_α end_ARG start_ARG 2 end_ARG ∫ start_POSTSUBSCRIPT roman_Ω end_POSTSUBSCRIPT | italic_f | start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT . end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(48)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.I3.i1.p2.3">Thus <math alttext="u=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I3.i1.p2.2.m1.1"><semantics id="S3.I3.i1.p2.2.m1.1a"><mrow id="S3.I3.i1.p2.2.m1.1.1" xref="S3.I3.i1.p2.2.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.I3.i1.p2.2.m1.1.1.2" xref="S3.I3.i1.p2.2.m1.1.1.2.cmml">u</mi><mo id="S3.I3.i1.p2.2.m1.1.1.1" xref="S3.I3.i1.p2.2.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S3.I3.i1.p2.2.m1.1.1.3" xref="S3.I3.i1.p2.2.m1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I3.i1.p2.2.m1.1b"><apply id="S3.I3.i1.p2.2.m1.1.1.cmml" xref="S3.I3.i1.p2.2.m1.1.1"><eq id="S3.I3.i1.p2.2.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.I3.i1.p2.2.m1.1.1.1"></eq><ci id="S3.I3.i1.p2.2.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.I3.i1.p2.2.m1.1.1.2">𝑢</ci><cn id="S3.I3.i1.p2.2.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.I3.i1.p2.2.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I3.i1.p2.2.m1.1c">u=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I3.i1.p2.2.m1.1d">italic_u = 0</annotation></semantics></math> and <math alttext="v=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I3.i1.p2.3.m2.1"><semantics id="S3.I3.i1.p2.3.m2.1a"><mrow id="S3.I3.i1.p2.3.m2.1.1" xref="S3.I3.i1.p2.3.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.I3.i1.p2.3.m2.1.1.2" xref="S3.I3.i1.p2.3.m2.1.1.2.cmml">v</mi><mo id="S3.I3.i1.p2.3.m2.1.1.1" xref="S3.I3.i1.p2.3.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S3.I3.i1.p2.3.m2.1.1.3" xref="S3.I3.i1.p2.3.m2.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I3.i1.p2.3.m2.1b"><apply id="S3.I3.i1.p2.3.m2.1.1.cmml" xref="S3.I3.i1.p2.3.m2.1.1"><eq id="S3.I3.i1.p2.3.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.I3.i1.p2.3.m2.1.1.1"></eq><ci id="S3.I3.i1.p2.3.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.I3.i1.p2.3.m2.1.1.2">𝑣</ci><cn id="S3.I3.i1.p2.3.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.I3.i1.p2.3.m2.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I3.i1.p2.3.m2.1c">v=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I3.i1.p2.3.m2.1d">italic_v = 0</annotation></semantics></math> give the optimal decomposition in this case.</p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S3.I3.i2" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">2.</span> <div class="ltx_para" id="S3.I3.i2.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.I3.i2.p1.6">Suppose <math alttext="\|f\|_{*,\lambda}>\frac{1}{2\alpha}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I3.i2.p1.1.m1.3"><semantics id="S3.I3.i2.p1.1.m1.3a"><mrow id="S3.I3.i2.p1.1.m1.3.4" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.3.4.cmml"><msub id="S3.I3.i2.p1.1.m1.3.4.2" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.3.4.2.cmml"><mrow id="S3.I3.i2.p1.1.m1.3.4.2.2.2" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.3.4.2.2.1.cmml"><mo id="S3.I3.i2.p1.1.m1.3.4.2.2.2.1" stretchy="false" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.3.4.2.2.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S3.I3.i2.p1.1.m1.3.3" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.3.3.cmml">f</mi><mo id="S3.I3.i2.p1.1.m1.3.4.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.3.4.2.2.1.1.cmml">‖</mo></mrow><mrow id="S3.I3.i2.p1.1.m1.2.2.2.4" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml"><mo id="S3.I3.i2.p1.1.m1.1.1.1.1" rspace="0em" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml">∗</mo><mo id="S3.I3.i2.p1.1.m1.2.2.2.4.1" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.I3.i2.p1.1.m1.2.2.2.2" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml">λ</mi></mrow></msub><mo id="S3.I3.i2.p1.1.m1.3.4.1" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.3.4.1.cmml">></mo><mfrac id="S3.I3.i2.p1.1.m1.3.4.3" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.3.4.3.cmml"><mn id="S3.I3.i2.p1.1.m1.3.4.3.2" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.3.4.3.2.cmml">1</mn><mrow id="S3.I3.i2.p1.1.m1.3.4.3.3" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.3.4.3.3.cmml"><mn id="S3.I3.i2.p1.1.m1.3.4.3.3.2" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.3.4.3.3.2.cmml">2</mn><mo id="S3.I3.i2.p1.1.m1.3.4.3.3.1" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.3.4.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.I3.i2.p1.1.m1.3.4.3.3.3" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.3.4.3.3.3.cmml">α</mi></mrow></mfrac></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I3.i2.p1.1.m1.3b"><apply id="S3.I3.i2.p1.1.m1.3.4.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.3.4"><gt id="S3.I3.i2.p1.1.m1.3.4.1.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.3.4.1"></gt><apply id="S3.I3.i2.p1.1.m1.3.4.2.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.3.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I3.i2.p1.1.m1.3.4.2.1.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.3.4.2">subscript</csymbol><apply id="S3.I3.i2.p1.1.m1.3.4.2.2.1.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.3.4.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.I3.i2.p1.1.m1.3.4.2.2.1.1.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.3.4.2.2.2.1">norm</csymbol><ci id="S3.I3.i2.p1.1.m1.3.3.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.3.3">𝑓</ci></apply><list id="S3.I3.i2.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.2.2.2.4"><times id="S3.I3.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.1.1.1.1"></times><ci id="S3.I3.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.2.2.2.2">𝜆</ci></list></apply><apply id="S3.I3.i2.p1.1.m1.3.4.3.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.3.4.3"><divide id="S3.I3.i2.p1.1.m1.3.4.3.1.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.3.4.3"></divide><cn id="S3.I3.i2.p1.1.m1.3.4.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.3.4.3.2">1</cn><apply id="S3.I3.i2.p1.1.m1.3.4.3.3.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.3.4.3.3"><times id="S3.I3.i2.p1.1.m1.3.4.3.3.1.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.3.4.3.3.1"></times><cn id="S3.I3.i2.p1.1.m1.3.4.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.3.4.3.3.2">2</cn><ci id="S3.I3.i2.p1.1.m1.3.4.3.3.3.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.1.m1.3.4.3.3.3">𝛼</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I3.i2.p1.1.m1.3c">\|f\|_{*,\lambda}>\frac{1}{2\alpha}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I3.i2.p1.1.m1.3d">∥ italic_f ∥ start_POSTSUBSCRIPT ∗ , italic_λ end_POSTSUBSCRIPT > divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 italic_α end_ARG</annotation></semantics></math>. If <math alttext="(u,v)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I3.i2.p1.2.m2.2"><semantics id="S3.I3.i2.p1.2.m2.2a"><mrow id="S3.I3.i2.p1.2.m2.2.3.2" xref="S3.I3.i2.p1.2.m2.2.3.1.cmml"><mo id="S3.I3.i2.p1.2.m2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.I3.i2.p1.2.m2.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.I3.i2.p1.2.m2.1.1" xref="S3.I3.i2.p1.2.m2.1.1.cmml">u</mi><mo id="S3.I3.i2.p1.2.m2.2.3.2.2" xref="S3.I3.i2.p1.2.m2.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.I3.i2.p1.2.m2.2.2" xref="S3.I3.i2.p1.2.m2.2.2.cmml">v</mi><mo id="S3.I3.i2.p1.2.m2.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.I3.i2.p1.2.m2.2.3.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I3.i2.p1.2.m2.2b"><interval closure="open" id="S3.I3.i2.p1.2.m2.2.3.1.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.2.m2.2.3.2"><ci id="S3.I3.i2.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.2.m2.1.1">𝑢</ci><ci id="S3.I3.i2.p1.2.m2.2.2.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.2.m2.2.2">𝑣</ci></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I3.i2.p1.2.m2.2c">(u,v)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I3.i2.p1.2.m2.2d">( italic_u , italic_v )</annotation></semantics></math> is a minimizer, then we have <math alttext="u\neq 0" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I3.i2.p1.3.m3.1"><semantics id="S3.I3.i2.p1.3.m3.1a"><mrow id="S3.I3.i2.p1.3.m3.1.1" xref="S3.I3.i2.p1.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.I3.i2.p1.3.m3.1.1.2" xref="S3.I3.i2.p1.3.m3.1.1.2.cmml">u</mi><mo id="S3.I3.i2.p1.3.m3.1.1.1" xref="S3.I3.i2.p1.3.m3.1.1.1.cmml">≠</mo><mn id="S3.I3.i2.p1.3.m3.1.1.3" xref="S3.I3.i2.p1.3.m3.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I3.i2.p1.3.m3.1b"><apply id="S3.I3.i2.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.3.m3.1.1"><neq id="S3.I3.i2.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.3.m3.1.1.1"></neq><ci id="S3.I3.i2.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.3.m3.1.1.2">𝑢</ci><cn id="S3.I3.i2.p1.3.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.I3.i2.p1.3.m3.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I3.i2.p1.3.m3.1c">u\neq 0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I3.i2.p1.3.m3.1d">italic_u ≠ 0</annotation></semantics></math> or <math alttext="v\neq 0" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I3.i2.p1.4.m4.1"><semantics id="S3.I3.i2.p1.4.m4.1a"><mrow id="S3.I3.i2.p1.4.m4.1.1" xref="S3.I3.i2.p1.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S3.I3.i2.p1.4.m4.1.1.2" xref="S3.I3.i2.p1.4.m4.1.1.2.cmml">v</mi><mo id="S3.I3.i2.p1.4.m4.1.1.1" xref="S3.I3.i2.p1.4.m4.1.1.1.cmml">≠</mo><mn id="S3.I3.i2.p1.4.m4.1.1.3" xref="S3.I3.i2.p1.4.m4.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I3.i2.p1.4.m4.1b"><apply id="S3.I3.i2.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.4.m4.1.1"><neq id="S3.I3.i2.p1.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.4.m4.1.1.1"></neq><ci id="S3.I3.i2.p1.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.4.m4.1.1.2">𝑣</ci><cn id="S3.I3.i2.p1.4.m4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.I3.i2.p1.4.m4.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I3.i2.p1.4.m4.1c">v\neq 0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I3.i2.p1.4.m4.1d">italic_v ≠ 0</annotation></semantics></math>. For any <math alttext="g\in BV,h\in H" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I3.i2.p1.5.m5.2"><semantics id="S3.I3.i2.p1.5.m5.2a"><mrow id="S3.I3.i2.p1.5.m5.2.2.2" xref="S3.I3.i2.p1.5.m5.2.2.3.cmml"><mrow id="S3.I3.i2.p1.5.m5.1.1.1.1" xref="S3.I3.i2.p1.5.m5.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.I3.i2.p1.5.m5.1.1.1.1.2" xref="S3.I3.i2.p1.5.m5.1.1.1.1.2.cmml">g</mi><mo id="S3.I3.i2.p1.5.m5.1.1.1.1.1" xref="S3.I3.i2.p1.5.m5.1.1.1.1.1.cmml">∈</mo><mrow id="S3.I3.i2.p1.5.m5.1.1.1.1.3" xref="S3.I3.i2.p1.5.m5.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.I3.i2.p1.5.m5.1.1.1.1.3.2" xref="S3.I3.i2.p1.5.m5.1.1.1.1.3.2.cmml">B</mi><mo id="S3.I3.i2.p1.5.m5.1.1.1.1.3.1" xref="S3.I3.i2.p1.5.m5.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.I3.i2.p1.5.m5.1.1.1.1.3.3" xref="S3.I3.i2.p1.5.m5.1.1.1.1.3.3.cmml">V</mi></mrow></mrow><mo id="S3.I3.i2.p1.5.m5.2.2.2.3" xref="S3.I3.i2.p1.5.m5.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.I3.i2.p1.5.m5.2.2.2.2" xref="S3.I3.i2.p1.5.m5.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.I3.i2.p1.5.m5.2.2.2.2.2" xref="S3.I3.i2.p1.5.m5.2.2.2.2.2.cmml">h</mi><mo id="S3.I3.i2.p1.5.m5.2.2.2.2.1" xref="S3.I3.i2.p1.5.m5.2.2.2.2.1.cmml">∈</mo><mi id="S3.I3.i2.p1.5.m5.2.2.2.2.3" xref="S3.I3.i2.p1.5.m5.2.2.2.2.3.cmml">H</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I3.i2.p1.5.m5.2b"><apply id="S3.I3.i2.p1.5.m5.2.2.3.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.5.m5.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I3.i2.p1.5.m5.2.2.3a.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.5.m5.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.I3.i2.p1.5.m5.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.5.m5.1.1.1.1"><in id="S3.I3.i2.p1.5.m5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.5.m5.1.1.1.1.1"></in><ci id="S3.I3.i2.p1.5.m5.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.5.m5.1.1.1.1.2">𝑔</ci><apply id="S3.I3.i2.p1.5.m5.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.5.m5.1.1.1.1.3"><times id="S3.I3.i2.p1.5.m5.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.5.m5.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.I3.i2.p1.5.m5.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.5.m5.1.1.1.1.3.2">𝐵</ci><ci id="S3.I3.i2.p1.5.m5.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.5.m5.1.1.1.1.3.3">𝑉</ci></apply></apply><apply id="S3.I3.i2.p1.5.m5.2.2.2.2.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.5.m5.2.2.2.2"><in id="S3.I3.i2.p1.5.m5.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.5.m5.2.2.2.2.1"></in><ci id="S3.I3.i2.p1.5.m5.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.5.m5.2.2.2.2.2">ℎ</ci><ci id="S3.I3.i2.p1.5.m5.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.5.m5.2.2.2.2.3">𝐻</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I3.i2.p1.5.m5.2c">g\in BV,h\in H</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I3.i2.p1.5.m5.2d">italic_g ∈ italic_B italic_V , italic_h ∈ italic_H</annotation></semantics></math> and <math alttext="\epsilon\in\mathbb{R}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I3.i2.p1.6.m6.1"><semantics id="S3.I3.i2.p1.6.m6.1a"><mrow id="S3.I3.i2.p1.6.m6.1.1" xref="S3.I3.i2.p1.6.m6.1.1.cmml"><mi id="S3.I3.i2.p1.6.m6.1.1.2" xref="S3.I3.i2.p1.6.m6.1.1.2.cmml">ϵ</mi><mo id="S3.I3.i2.p1.6.m6.1.1.1" xref="S3.I3.i2.p1.6.m6.1.1.1.cmml">∈</mo><mi id="S3.I3.i2.p1.6.m6.1.1.3" xref="S3.I3.i2.p1.6.m6.1.1.3.cmml">ℝ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I3.i2.p1.6.m6.1b"><apply id="S3.I3.i2.p1.6.m6.1.1.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.6.m6.1.1"><in id="S3.I3.i2.p1.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.6.m6.1.1.1"></in><ci id="S3.I3.i2.p1.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.6.m6.1.1.2">italic-ϵ</ci><ci id="S3.I3.i2.p1.6.m6.1.1.3.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.6.m6.1.1.3">ℝ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I3.i2.p1.6.m6.1c">\epsilon\in\mathbb{R}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I3.i2.p1.6.m6.1d">italic_ϵ ∈ blackboard_R</annotation></semantics></math>,</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E49"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\begin{split}&|u+\epsilon g|_{BV(\Omega)}+\frac{\alpha}{2}\int_{\Omega}|w-% \epsilon(g+h)|^{2}+\lambda\|v+\epsilon h\|_{\mathrm{Lip}^{*}}\geq|u|_{BV(% \Omega)}+\frac{\alpha}{2}\int_{\Omega}|w|^{2}+\lambda\|v\|_{\mathrm{Lip}^{*}}% \\ &\Longrightarrow|u|_{BV(\Omega)}+|\epsilon||g|_{BV(\Omega)}+\frac{\alpha}{2}% \int_{\Omega}|w-\epsilon(g+h)|^{2}+\lambda(\|v\|_{\mathrm{Lip}^{*}}+|\epsilon|% \|h\|_{\mathrm{Lip}^{*}})\geq|u|_{BV(\Omega)}+\frac{\alpha}{2}\int_{\Omega}|w|% ^{2}+\lambda\|v\|_{\mathrm{Lip}^{*}}\\ &\Longrightarrow|\epsilon||g|_{BV(\Omega)}+\frac{\alpha}{2}(\int_{\Omega}|w|^{% 2}+\epsilon^{2}\int_{\Omega}|g+h|^{2}-2\epsilon\langle w,g+h\rangle)+|\epsilon% |\lambda\|h\|_{\mathrm{Lip}^{*}}\geq\frac{\alpha}{2}\int_{\Omega}|w|^{2}.\end{split}" class="ltx_Math" display="block" id="S3.E49.m1.177"><semantics id="S3.E49.m1.177a"><mtable columnspacing="0pt" displaystyle="true" id="S3.E49.m1.177.177.7" rowspacing="0pt"><mtr id="S3.E49.m1.177.177.7a"><mtd id="S3.E49.m1.177.177.7b" xref="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.cmml"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S3.E49.m1.177.177.7c"><mrow id="S3.E49.m1.174.174.4.173.53.53"><mrow id="S3.E49.m1.174.174.4.173.53.53.53"><msub id="S3.E49.m1.172.172.2.171.51.51.51.1"><mrow id="S3.E49.m1.172.172.2.171.51.51.51.1.1.1"><mo id="S3.E49.m1.1.1.1.1.1.1" stretchy="false" xref="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.cmml">|</mo><mrow id="S3.E49.m1.172.172.2.171.51.51.51.1.1.1.1"><mi id="S3.E49.m1.2.2.2.2.2.2" xref="S3.E49.m1.2.2.2.2.2.2.cmml">u</mi><mo id="S3.E49.m1.3.3.3.3.3.3" xref="S3.E49.m1.3.3.3.3.3.3.cmml">+</mo><mrow id="S3.E49.m1.172.172.2.171.51.51.51.1.1.1.1.1"><mi id="S3.E49.m1.4.4.4.4.4.4" xref="S3.E49.m1.4.4.4.4.4.4.cmml">ϵ</mi><mo id="S3.E49.m1.172.172.2.171.51.51.51.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E49.m1.5.5.5.5.5.5" xref="S3.E49.m1.5.5.5.5.5.5.cmml">g</mi></mrow></mrow><mo id="S3.E49.m1.6.6.6.6.6.6" stretchy="false" xref="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.cmml">|</mo></mrow><mrow id="S3.E49.m1.7.7.7.7.7.7.1" xref="S3.E49.m1.7.7.7.7.7.7.1.cmml"><mi id="S3.E49.m1.7.7.7.7.7.7.1.3" xref="S3.E49.m1.7.7.7.7.7.7.1.3.cmml">B</mi><mo id="S3.E49.m1.7.7.7.7.7.7.1.2" xref="S3.E49.m1.7.7.7.7.7.7.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E49.m1.7.7.7.7.7.7.1.4" xref="S3.E49.m1.7.7.7.7.7.7.1.4.cmml">V</mi><mo id="S3.E49.m1.7.7.7.7.7.7.1.2a" xref="S3.E49.m1.7.7.7.7.7.7.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E49.m1.7.7.7.7.7.7.1.5.2" xref="S3.E49.m1.7.7.7.7.7.7.1.cmml"><mo id="S3.E49.m1.7.7.7.7.7.7.1.5.2.1" stretchy="false" xref="S3.E49.m1.7.7.7.7.7.7.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E49.m1.7.7.7.7.7.7.1.1" mathvariant="normal" xref="S3.E49.m1.7.7.7.7.7.7.1.1.cmml">Ω</mi><mo id="S3.E49.m1.7.7.7.7.7.7.1.5.2.2" stretchy="false" xref="S3.E49.m1.7.7.7.7.7.7.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msub><mo id="S3.E49.m1.8.8.8.8.8.8" xref="S3.E49.m1.8.8.8.8.8.8.cmml">+</mo><mrow id="S3.E49.m1.173.173.3.172.52.52.52.2"><mfrac id="S3.E49.m1.9.9.9.9.9.9" xref="S3.E49.m1.9.9.9.9.9.9.cmml"><mi id="S3.E49.m1.9.9.9.9.9.9.2" xref="S3.E49.m1.9.9.9.9.9.9.2.cmml">α</mi><mn id="S3.E49.m1.9.9.9.9.9.9.3" xref="S3.E49.m1.9.9.9.9.9.9.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S3.E49.m1.173.173.3.172.52.52.52.2.2" xref="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E49.m1.173.173.3.172.52.52.52.2.1"><msub id="S3.E49.m1.173.173.3.172.52.52.52.2.1.2"><mo id="S3.E49.m1.10.10.10.10.10.10" rspace="0em" xref="S3.E49.m1.10.10.10.10.10.10.cmml">∫</mo><mi id="S3.E49.m1.11.11.11.11.11.11.1" mathvariant="normal" xref="S3.E49.m1.11.11.11.11.11.11.1.cmml">Ω</mi></msub><msup id="S3.E49.m1.173.173.3.172.52.52.52.2.1.1"><mrow id="S3.E49.m1.173.173.3.172.52.52.52.2.1.1.1.1"><mo id="S3.E49.m1.12.12.12.12.12.12" stretchy="false" xref="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.cmml">|</mo><mrow id="S3.E49.m1.173.173.3.172.52.52.52.2.1.1.1.1.1"><mi id="S3.E49.m1.13.13.13.13.13.13" xref="S3.E49.m1.13.13.13.13.13.13.cmml">w</mi><mo id="S3.E49.m1.14.14.14.14.14.14" xref="S3.E49.m1.14.14.14.14.14.14.cmml">−</mo><mrow id="S3.E49.m1.173.173.3.172.52.52.52.2.1.1.1.1.1.1"><mi id="S3.E49.m1.15.15.15.15.15.15" xref="S3.E49.m1.15.15.15.15.15.15.cmml">ϵ</mi><mo id="S3.E49.m1.173.173.3.172.52.52.52.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E49.m1.173.173.3.172.52.52.52.2.1.1.1.1.1.1.1.1"><mo id="S3.E49.m1.16.16.16.16.16.16" stretchy="false" xref="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E49.m1.173.173.3.172.52.52.52.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><mi id="S3.E49.m1.17.17.17.17.17.17" xref="S3.E49.m1.17.17.17.17.17.17.cmml">g</mi><mo id="S3.E49.m1.18.18.18.18.18.18" xref="S3.E49.m1.18.18.18.18.18.18.cmml">+</mo><mi id="S3.E49.m1.19.19.19.19.19.19" xref="S3.E49.m1.19.19.19.19.19.19.cmml">h</mi></mrow><mo id="S3.E49.m1.20.20.20.20.20.20" stretchy="false" xref="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E49.m1.21.21.21.21.21.21" stretchy="false" xref="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.cmml">|</mo></mrow><mn id="S3.E49.m1.22.22.22.22.22.22.1" xref="S3.E49.m1.22.22.22.22.22.22.1.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><mo id="S3.E49.m1.8.8.8.8.8.8a" xref="S3.E49.m1.8.8.8.8.8.8.cmml">+</mo><mrow id="S3.E49.m1.174.174.4.173.53.53.53.3"><mi id="S3.E49.m1.24.24.24.24.24.24" xref="S3.E49.m1.24.24.24.24.24.24.cmml">λ</mi><mo id="S3.E49.m1.174.174.4.173.53.53.53.3.2" xref="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E49.m1.174.174.4.173.53.53.53.3.1"><mrow id="S3.E49.m1.174.174.4.173.53.53.53.3.1.1.1"><mo id="S3.E49.m1.25.25.25.25.25.25" stretchy="false" xref="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.cmml">‖</mo><mrow id="S3.E49.m1.174.174.4.173.53.53.53.3.1.1.1.1"><mi id="S3.E49.m1.26.26.26.26.26.26" xref="S3.E49.m1.26.26.26.26.26.26.cmml">v</mi><mo id="S3.E49.m1.27.27.27.27.27.27" xref="S3.E49.m1.27.27.27.27.27.27.cmml">+</mo><mrow id="S3.E49.m1.174.174.4.173.53.53.53.3.1.1.1.1.1"><mi id="S3.E49.m1.28.28.28.28.28.28" xref="S3.E49.m1.28.28.28.28.28.28.cmml">ϵ</mi><mo id="S3.E49.m1.174.174.4.173.53.53.53.3.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E49.m1.29.29.29.29.29.29" xref="S3.E49.m1.29.29.29.29.29.29.cmml">h</mi></mrow></mrow><mo id="S3.E49.m1.30.30.30.30.30.30" stretchy="false" xref="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.cmml">‖</mo></mrow><msup id="S3.E49.m1.31.31.31.31.31.31.1" xref="S3.E49.m1.31.31.31.31.31.31.1.cmml"><mi id="S3.E49.m1.31.31.31.31.31.31.1.2" xref="S3.E49.m1.31.31.31.31.31.31.1.2.cmml">Lip</mi><mo id="S3.E49.m1.31.31.31.31.31.31.1.3" xref="S3.E49.m1.31.31.31.31.31.31.1.3.cmml">∗</mo></msup></msub></mrow></mrow><mo id="S3.E49.m1.32.32.32.32.32.32" xref="S3.E49.m1.32.32.32.32.32.32.cmml">≥</mo><mrow id="S3.E49.m1.174.174.4.173.53.53.54"><msub id="S3.E49.m1.174.174.4.173.53.53.54.1"><mrow id="S3.E49.m1.174.174.4.173.53.53.54.1.2"><mo id="S3.E49.m1.33.33.33.33.33.33" stretchy="false" xref="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.cmml">|</mo><mi id="S3.E49.m1.34.34.34.34.34.34" xref="S3.E49.m1.34.34.34.34.34.34.cmml">u</mi><mo id="S3.E49.m1.35.35.35.35.35.35" stretchy="false" xref="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.cmml">|</mo></mrow><mrow id="S3.E49.m1.36.36.36.36.36.36.1" xref="S3.E49.m1.36.36.36.36.36.36.1.cmml"><mi id="S3.E49.m1.36.36.36.36.36.36.1.3" xref="S3.E49.m1.36.36.36.36.36.36.1.3.cmml">B</mi><mo id="S3.E49.m1.36.36.36.36.36.36.1.2" xref="S3.E49.m1.36.36.36.36.36.36.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E49.m1.36.36.36.36.36.36.1.4" xref="S3.E49.m1.36.36.36.36.36.36.1.4.cmml">V</mi><mo id="S3.E49.m1.36.36.36.36.36.36.1.2a" xref="S3.E49.m1.36.36.36.36.36.36.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E49.m1.36.36.36.36.36.36.1.5.2" xref="S3.E49.m1.36.36.36.36.36.36.1.cmml"><mo id="S3.E49.m1.36.36.36.36.36.36.1.5.2.1" stretchy="false" xref="S3.E49.m1.36.36.36.36.36.36.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E49.m1.36.36.36.36.36.36.1.1" mathvariant="normal" xref="S3.E49.m1.36.36.36.36.36.36.1.1.cmml">Ω</mi><mo id="S3.E49.m1.36.36.36.36.36.36.1.5.2.2" stretchy="false" xref="S3.E49.m1.36.36.36.36.36.36.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msub><mo id="S3.E49.m1.37.37.37.37.37.37" xref="S3.E49.m1.37.37.37.37.37.37.cmml">+</mo><mrow id="S3.E49.m1.174.174.4.173.53.53.54.2"><mfrac id="S3.E49.m1.38.38.38.38.38.38" xref="S3.E49.m1.38.38.38.38.38.38.cmml"><mi id="S3.E49.m1.38.38.38.38.38.38.2" xref="S3.E49.m1.38.38.38.38.38.38.2.cmml">α</mi><mn id="S3.E49.m1.38.38.38.38.38.38.3" xref="S3.E49.m1.38.38.38.38.38.38.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S3.E49.m1.174.174.4.173.53.53.54.2.1" xref="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E49.m1.174.174.4.173.53.53.54.2.2"><msub id="S3.E49.m1.174.174.4.173.53.53.54.2.2.1"><mo id="S3.E49.m1.39.39.39.39.39.39" rspace="0em" xref="S3.E49.m1.39.39.39.39.39.39.cmml">∫</mo><mi id="S3.E49.m1.40.40.40.40.40.40.1" mathvariant="normal" xref="S3.E49.m1.40.40.40.40.40.40.1.cmml">Ω</mi></msub><msup id="S3.E49.m1.174.174.4.173.53.53.54.2.2.2"><mrow id="S3.E49.m1.174.174.4.173.53.53.54.2.2.2.2"><mo id="S3.E49.m1.41.41.41.41.41.41" stretchy="false" xref="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.cmml">|</mo><mi id="S3.E49.m1.42.42.42.42.42.42" xref="S3.E49.m1.42.42.42.42.42.42.cmml">w</mi><mo id="S3.E49.m1.43.43.43.43.43.43" stretchy="false" xref="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.cmml">|</mo></mrow><mn id="S3.E49.m1.44.44.44.44.44.44.1" xref="S3.E49.m1.44.44.44.44.44.44.1.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><mo id="S3.E49.m1.37.37.37.37.37.37a" xref="S3.E49.m1.37.37.37.37.37.37.cmml">+</mo><mrow id="S3.E49.m1.174.174.4.173.53.53.54.3"><mi id="S3.E49.m1.46.46.46.46.46.46" xref="S3.E49.m1.46.46.46.46.46.46.cmml">λ</mi><mo id="S3.E49.m1.174.174.4.173.53.53.54.3.1" xref="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E49.m1.174.174.4.173.53.53.54.3.2"><mrow id="S3.E49.m1.174.174.4.173.53.53.54.3.2.2"><mo id="S3.E49.m1.47.47.47.47.47.47" stretchy="false" xref="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S3.E49.m1.48.48.48.48.48.48" xref="S3.E49.m1.48.48.48.48.48.48.cmml">v</mi><mo id="S3.E49.m1.49.49.49.49.49.49" stretchy="false" xref="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.cmml">‖</mo></mrow><msup id="S3.E49.m1.50.50.50.50.50.50.1" xref="S3.E49.m1.50.50.50.50.50.50.1.cmml"><mi id="S3.E49.m1.50.50.50.50.50.50.1.2" xref="S3.E49.m1.50.50.50.50.50.50.1.2.cmml">Lip</mi><mo id="S3.E49.m1.50.50.50.50.50.50.1.3" xref="S3.E49.m1.50.50.50.50.50.50.1.3.cmml">∗</mo></msup></msub></mrow></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="S3.E49.m1.177.177.7d"><mtd id="S3.E49.m1.177.177.7e" xref="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.cmml"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S3.E49.m1.177.177.7f"><mrow id="S3.E49.m1.176.176.6.175.65.65"><mi id="S3.E49.m1.176.176.6.175.65.65.67" xref="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.cmml"></mi><mo id="S3.E49.m1.51.51.51.1.1.1" stretchy="false" xref="S3.E49.m1.51.51.51.1.1.1.cmml">⟹</mo><mrow id="S3.E49.m1.176.176.6.175.65.65.65"><msub id="S3.E49.m1.176.176.6.175.65.65.65.3"><mrow id="S3.E49.m1.176.176.6.175.65.65.65.3.2"><mo id="S3.E49.m1.52.52.52.2.2.2" stretchy="false" xref="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.cmml">|</mo><mi id="S3.E49.m1.53.53.53.3.3.3" xref="S3.E49.m1.53.53.53.3.3.3.cmml">u</mi><mo id="S3.E49.m1.54.54.54.4.4.4" stretchy="false" xref="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.cmml">|</mo></mrow><mrow id="S3.E49.m1.55.55.55.5.5.5.1" xref="S3.E49.m1.55.55.55.5.5.5.1.cmml"><mi id="S3.E49.m1.55.55.55.5.5.5.1.3" xref="S3.E49.m1.55.55.55.5.5.5.1.3.cmml">B</mi><mo id="S3.E49.m1.55.55.55.5.5.5.1.2" xref="S3.E49.m1.55.55.55.5.5.5.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E49.m1.55.55.55.5.5.5.1.4" xref="S3.E49.m1.55.55.55.5.5.5.1.4.cmml">V</mi><mo id="S3.E49.m1.55.55.55.5.5.5.1.2a" xref="S3.E49.m1.55.55.55.5.5.5.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E49.m1.55.55.55.5.5.5.1.5.2" xref="S3.E49.m1.55.55.55.5.5.5.1.cmml"><mo id="S3.E49.m1.55.55.55.5.5.5.1.5.2.1" stretchy="false" xref="S3.E49.m1.55.55.55.5.5.5.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E49.m1.55.55.55.5.5.5.1.1" mathvariant="normal" xref="S3.E49.m1.55.55.55.5.5.5.1.1.cmml">Ω</mi><mo id="S3.E49.m1.55.55.55.5.5.5.1.5.2.2" stretchy="false" xref="S3.E49.m1.55.55.55.5.5.5.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msub><mo id="S3.E49.m1.56.56.56.6.6.6" xref="S3.E49.m1.56.56.56.6.6.6.cmml">+</mo><mrow id="S3.E49.m1.176.176.6.175.65.65.65.4"><mrow id="S3.E49.m1.176.176.6.175.65.65.65.4.2"><mo id="S3.E49.m1.57.57.57.7.7.7" stretchy="false" xref="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.cmml">|</mo><mi id="S3.E49.m1.58.58.58.8.8.8" xref="S3.E49.m1.58.58.58.8.8.8.cmml">ϵ</mi><mo id="S3.E49.m1.59.59.59.9.9.9" stretchy="false" xref="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S3.E49.m1.176.176.6.175.65.65.65.4.1" xref="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E49.m1.176.176.6.175.65.65.65.4.3"><mrow id="S3.E49.m1.176.176.6.175.65.65.65.4.3.2"><mo id="S3.E49.m1.60.60.60.10.10.10" stretchy="false" xref="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.cmml">|</mo><mi id="S3.E49.m1.61.61.61.11.11.11" xref="S3.E49.m1.61.61.61.11.11.11.cmml">g</mi><mo id="S3.E49.m1.62.62.62.12.12.12" stretchy="false" xref="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.cmml">|</mo></mrow><mrow id="S3.E49.m1.63.63.63.13.13.13.1" xref="S3.E49.m1.63.63.63.13.13.13.1.cmml"><mi id="S3.E49.m1.63.63.63.13.13.13.1.3" xref="S3.E49.m1.63.63.63.13.13.13.1.3.cmml">B</mi><mo id="S3.E49.m1.63.63.63.13.13.13.1.2" xref="S3.E49.m1.63.63.63.13.13.13.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E49.m1.63.63.63.13.13.13.1.4" xref="S3.E49.m1.63.63.63.13.13.13.1.4.cmml">V</mi><mo id="S3.E49.m1.63.63.63.13.13.13.1.2a" xref="S3.E49.m1.63.63.63.13.13.13.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E49.m1.63.63.63.13.13.13.1.5.2" xref="S3.E49.m1.63.63.63.13.13.13.1.cmml"><mo id="S3.E49.m1.63.63.63.13.13.13.1.5.2.1" stretchy="false" xref="S3.E49.m1.63.63.63.13.13.13.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E49.m1.63.63.63.13.13.13.1.1" mathvariant="normal" xref="S3.E49.m1.63.63.63.13.13.13.1.1.cmml">Ω</mi><mo id="S3.E49.m1.63.63.63.13.13.13.1.5.2.2" stretchy="false" xref="S3.E49.m1.63.63.63.13.13.13.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msub></mrow><mo id="S3.E49.m1.56.56.56.6.6.6a" xref="S3.E49.m1.56.56.56.6.6.6.cmml">+</mo><mrow id="S3.E49.m1.175.175.5.174.64.64.64.1"><mfrac id="S3.E49.m1.65.65.65.15.15.15" xref="S3.E49.m1.65.65.65.15.15.15.cmml"><mi id="S3.E49.m1.65.65.65.15.15.15.2" xref="S3.E49.m1.65.65.65.15.15.15.2.cmml">α</mi><mn id="S3.E49.m1.65.65.65.15.15.15.3" xref="S3.E49.m1.65.65.65.15.15.15.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S3.E49.m1.175.175.5.174.64.64.64.1.2" xref="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E49.m1.175.175.5.174.64.64.64.1.1"><msub id="S3.E49.m1.175.175.5.174.64.64.64.1.1.2"><mo id="S3.E49.m1.66.66.66.16.16.16" rspace="0em" xref="S3.E49.m1.66.66.66.16.16.16.cmml">∫</mo><mi id="S3.E49.m1.67.67.67.17.17.17.1" mathvariant="normal" xref="S3.E49.m1.67.67.67.17.17.17.1.cmml">Ω</mi></msub><msup id="S3.E49.m1.175.175.5.174.64.64.64.1.1.1"><mrow id="S3.E49.m1.175.175.5.174.64.64.64.1.1.1.1.1"><mo id="S3.E49.m1.68.68.68.18.18.18" stretchy="false" xref="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.cmml">|</mo><mrow id="S3.E49.m1.175.175.5.174.64.64.64.1.1.1.1.1.1"><mi id="S3.E49.m1.69.69.69.19.19.19" xref="S3.E49.m1.69.69.69.19.19.19.cmml">w</mi><mo id="S3.E49.m1.70.70.70.20.20.20" xref="S3.E49.m1.70.70.70.20.20.20.cmml">−</mo><mrow id="S3.E49.m1.175.175.5.174.64.64.64.1.1.1.1.1.1.1"><mi id="S3.E49.m1.71.71.71.21.21.21" xref="S3.E49.m1.71.71.71.21.21.21.cmml">ϵ</mi><mo id="S3.E49.m1.175.175.5.174.64.64.64.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E49.m1.175.175.5.174.64.64.64.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><mo id="S3.E49.m1.72.72.72.22.22.22" stretchy="false" xref="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E49.m1.175.175.5.174.64.64.64.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><mi id="S3.E49.m1.73.73.73.23.23.23" xref="S3.E49.m1.73.73.73.23.23.23.cmml">g</mi><mo id="S3.E49.m1.74.74.74.24.24.24" xref="S3.E49.m1.74.74.74.24.24.24.cmml">+</mo><mi id="S3.E49.m1.75.75.75.25.25.25" xref="S3.E49.m1.75.75.75.25.25.25.cmml">h</mi></mrow><mo id="S3.E49.m1.76.76.76.26.26.26" stretchy="false" xref="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E49.m1.77.77.77.27.27.27" stretchy="false" xref="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.cmml">|</mo></mrow><mn id="S3.E49.m1.78.78.78.28.28.28.1" xref="S3.E49.m1.78.78.78.28.28.28.1.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><mo id="S3.E49.m1.56.56.56.6.6.6b" xref="S3.E49.m1.56.56.56.6.6.6.cmml">+</mo><mrow id="S3.E49.m1.176.176.6.175.65.65.65.2"><mi id="S3.E49.m1.80.80.80.30.30.30" xref="S3.E49.m1.80.80.80.30.30.30.cmml">λ</mi><mo id="S3.E49.m1.176.176.6.175.65.65.65.2.2" xref="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E49.m1.176.176.6.175.65.65.65.2.1.1"><mo id="S3.E49.m1.81.81.81.31.31.31" stretchy="false" xref="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E49.m1.176.176.6.175.65.65.65.2.1.1.1"><msub id="S3.E49.m1.176.176.6.175.65.65.65.2.1.1.1.1"><mrow id="S3.E49.m1.176.176.6.175.65.65.65.2.1.1.1.1.2"><mo id="S3.E49.m1.82.82.82.32.32.32" stretchy="false" xref="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S3.E49.m1.83.83.83.33.33.33" xref="S3.E49.m1.83.83.83.33.33.33.cmml">v</mi><mo id="S3.E49.m1.84.84.84.34.34.34" stretchy="false" xref="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.cmml">‖</mo></mrow><msup id="S3.E49.m1.85.85.85.35.35.35.1" xref="S3.E49.m1.85.85.85.35.35.35.1.cmml"><mi id="S3.E49.m1.85.85.85.35.35.35.1.2" xref="S3.E49.m1.85.85.85.35.35.35.1.2.cmml">Lip</mi><mo id="S3.E49.m1.85.85.85.35.35.35.1.3" xref="S3.E49.m1.85.85.85.35.35.35.1.3.cmml">∗</mo></msup></msub><mo id="S3.E49.m1.86.86.86.36.36.36" xref="S3.E49.m1.86.86.86.36.36.36.cmml">+</mo><mrow id="S3.E49.m1.176.176.6.175.65.65.65.2.1.1.1.2"><mrow id="S3.E49.m1.176.176.6.175.65.65.65.2.1.1.1.2.2"><mo id="S3.E49.m1.87.87.87.37.37.37" stretchy="false" xref="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.cmml">|</mo><mi id="S3.E49.m1.88.88.88.38.38.38" xref="S3.E49.m1.88.88.88.38.38.38.cmml">ϵ</mi><mo id="S3.E49.m1.89.89.89.39.39.39" stretchy="false" xref="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S3.E49.m1.176.176.6.175.65.65.65.2.1.1.1.2.1" xref="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E49.m1.176.176.6.175.65.65.65.2.1.1.1.2.3"><mrow id="S3.E49.m1.176.176.6.175.65.65.65.2.1.1.1.2.3.2"><mo id="S3.E49.m1.90.90.90.40.40.40" stretchy="false" xref="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S3.E49.m1.91.91.91.41.41.41" xref="S3.E49.m1.91.91.91.41.41.41.cmml">h</mi><mo id="S3.E49.m1.92.92.92.42.42.42" stretchy="false" xref="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.cmml">‖</mo></mrow><msup id="S3.E49.m1.93.93.93.43.43.43.1" xref="S3.E49.m1.93.93.93.43.43.43.1.cmml"><mi id="S3.E49.m1.93.93.93.43.43.43.1.2" xref="S3.E49.m1.93.93.93.43.43.43.1.2.cmml">Lip</mi><mo id="S3.E49.m1.93.93.93.43.43.43.1.3" xref="S3.E49.m1.93.93.93.43.43.43.1.3.cmml">∗</mo></msup></msub></mrow></mrow><mo id="S3.E49.m1.94.94.94.44.44.44" stretchy="false" xref="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E49.m1.95.95.95.45.45.45" xref="S3.E49.m1.95.95.95.45.45.45.cmml">≥</mo><mrow id="S3.E49.m1.176.176.6.175.65.65.68"><msub id="S3.E49.m1.176.176.6.175.65.65.68.1"><mrow id="S3.E49.m1.176.176.6.175.65.65.68.1.2"><mo id="S3.E49.m1.96.96.96.46.46.46" stretchy="false" xref="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.cmml">|</mo><mi id="S3.E49.m1.97.97.97.47.47.47" xref="S3.E49.m1.97.97.97.47.47.47.cmml">u</mi><mo id="S3.E49.m1.98.98.98.48.48.48" stretchy="false" xref="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.cmml">|</mo></mrow><mrow id="S3.E49.m1.99.99.99.49.49.49.1" xref="S3.E49.m1.99.99.99.49.49.49.1.cmml"><mi id="S3.E49.m1.99.99.99.49.49.49.1.3" xref="S3.E49.m1.99.99.99.49.49.49.1.3.cmml">B</mi><mo id="S3.E49.m1.99.99.99.49.49.49.1.2" xref="S3.E49.m1.99.99.99.49.49.49.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E49.m1.99.99.99.49.49.49.1.4" xref="S3.E49.m1.99.99.99.49.49.49.1.4.cmml">V</mi><mo id="S3.E49.m1.99.99.99.49.49.49.1.2a" xref="S3.E49.m1.99.99.99.49.49.49.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E49.m1.99.99.99.49.49.49.1.5.2" xref="S3.E49.m1.99.99.99.49.49.49.1.cmml"><mo id="S3.E49.m1.99.99.99.49.49.49.1.5.2.1" stretchy="false" xref="S3.E49.m1.99.99.99.49.49.49.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E49.m1.99.99.99.49.49.49.1.1" mathvariant="normal" xref="S3.E49.m1.99.99.99.49.49.49.1.1.cmml">Ω</mi><mo id="S3.E49.m1.99.99.99.49.49.49.1.5.2.2" stretchy="false" xref="S3.E49.m1.99.99.99.49.49.49.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msub><mo id="S3.E49.m1.100.100.100.50.50.50" xref="S3.E49.m1.100.100.100.50.50.50.cmml">+</mo><mrow id="S3.E49.m1.176.176.6.175.65.65.68.2"><mfrac id="S3.E49.m1.101.101.101.51.51.51" xref="S3.E49.m1.101.101.101.51.51.51.cmml"><mi id="S3.E49.m1.101.101.101.51.51.51.2" xref="S3.E49.m1.101.101.101.51.51.51.2.cmml">α</mi><mn id="S3.E49.m1.101.101.101.51.51.51.3" xref="S3.E49.m1.101.101.101.51.51.51.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S3.E49.m1.176.176.6.175.65.65.68.2.1" xref="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E49.m1.176.176.6.175.65.65.68.2.2"><msub id="S3.E49.m1.176.176.6.175.65.65.68.2.2.1"><mo id="S3.E49.m1.102.102.102.52.52.52" rspace="0em" xref="S3.E49.m1.102.102.102.52.52.52.cmml">∫</mo><mi id="S3.E49.m1.103.103.103.53.53.53.1" mathvariant="normal" xref="S3.E49.m1.103.103.103.53.53.53.1.cmml">Ω</mi></msub><msup id="S3.E49.m1.176.176.6.175.65.65.68.2.2.2"><mrow id="S3.E49.m1.176.176.6.175.65.65.68.2.2.2.2"><mo id="S3.E49.m1.104.104.104.54.54.54" stretchy="false" xref="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.cmml">|</mo><mi id="S3.E49.m1.105.105.105.55.55.55" xref="S3.E49.m1.105.105.105.55.55.55.cmml">w</mi><mo id="S3.E49.m1.106.106.106.56.56.56" stretchy="false" xref="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.cmml">|</mo></mrow><mn id="S3.E49.m1.107.107.107.57.57.57.1" xref="S3.E49.m1.107.107.107.57.57.57.1.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><mo id="S3.E49.m1.100.100.100.50.50.50a" xref="S3.E49.m1.100.100.100.50.50.50.cmml">+</mo><mrow id="S3.E49.m1.176.176.6.175.65.65.68.3"><mi id="S3.E49.m1.109.109.109.59.59.59" xref="S3.E49.m1.109.109.109.59.59.59.cmml">λ</mi><mo id="S3.E49.m1.176.176.6.175.65.65.68.3.1" xref="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E49.m1.176.176.6.175.65.65.68.3.2"><mrow id="S3.E49.m1.176.176.6.175.65.65.68.3.2.2"><mo id="S3.E49.m1.110.110.110.60.60.60" stretchy="false" xref="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S3.E49.m1.111.111.111.61.61.61" xref="S3.E49.m1.111.111.111.61.61.61.cmml">v</mi><mo id="S3.E49.m1.112.112.112.62.62.62" stretchy="false" xref="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.cmml">‖</mo></mrow><msup id="S3.E49.m1.113.113.113.63.63.63.1" xref="S3.E49.m1.113.113.113.63.63.63.1.cmml"><mi id="S3.E49.m1.113.113.113.63.63.63.1.2" xref="S3.E49.m1.113.113.113.63.63.63.1.2.cmml">Lip</mi><mo id="S3.E49.m1.113.113.113.63.63.63.1.3" xref="S3.E49.m1.113.113.113.63.63.63.1.3.cmml">∗</mo></msup></msub></mrow></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="S3.E49.m1.177.177.7g"><mtd id="S3.E49.m1.177.177.7h" xref="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.cmml"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S3.E49.m1.177.177.7i"><mrow id="S3.E49.m1.177.177.7.176.58.58.58"><mrow id="S3.E49.m1.177.177.7.176.58.58.58.1"><mi id="S3.E49.m1.177.177.7.176.58.58.58.1.3" xref="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.cmml"></mi><mo id="S3.E49.m1.114.114.114.1.1.1" stretchy="false" xref="S3.E49.m1.114.114.114.1.1.1.cmml">⟹</mo><mrow id="S3.E49.m1.177.177.7.176.58.58.58.1.1"><mrow id="S3.E49.m1.177.177.7.176.58.58.58.1.1.2"><mrow id="S3.E49.m1.177.177.7.176.58.58.58.1.1.2.2"><mo id="S3.E49.m1.115.115.115.2.2.2" stretchy="false" xref="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.cmml">|</mo><mi id="S3.E49.m1.116.116.116.3.3.3" xref="S3.E49.m1.116.116.116.3.3.3.cmml">ϵ</mi><mo id="S3.E49.m1.117.117.117.4.4.4" stretchy="false" xref="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S3.E49.m1.177.177.7.176.58.58.58.1.1.2.1" xref="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E49.m1.177.177.7.176.58.58.58.1.1.2.3"><mrow id="S3.E49.m1.177.177.7.176.58.58.58.1.1.2.3.2"><mo id="S3.E49.m1.118.118.118.5.5.5" stretchy="false" xref="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.cmml">|</mo><mi id="S3.E49.m1.119.119.119.6.6.6" xref="S3.E49.m1.119.119.119.6.6.6.cmml">g</mi><mo id="S3.E49.m1.120.120.120.7.7.7" stretchy="false" xref="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.cmml">|</mo></mrow><mrow id="S3.E49.m1.121.121.121.8.8.8.1" xref="S3.E49.m1.121.121.121.8.8.8.1.cmml"><mi id="S3.E49.m1.121.121.121.8.8.8.1.3" xref="S3.E49.m1.121.121.121.8.8.8.1.3.cmml">B</mi><mo id="S3.E49.m1.121.121.121.8.8.8.1.2" xref="S3.E49.m1.121.121.121.8.8.8.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E49.m1.121.121.121.8.8.8.1.4" xref="S3.E49.m1.121.121.121.8.8.8.1.4.cmml">V</mi><mo id="S3.E49.m1.121.121.121.8.8.8.1.2a" xref="S3.E49.m1.121.121.121.8.8.8.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E49.m1.121.121.121.8.8.8.1.5.2" xref="S3.E49.m1.121.121.121.8.8.8.1.cmml"><mo id="S3.E49.m1.121.121.121.8.8.8.1.5.2.1" stretchy="false" xref="S3.E49.m1.121.121.121.8.8.8.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E49.m1.121.121.121.8.8.8.1.1" mathvariant="normal" xref="S3.E49.m1.121.121.121.8.8.8.1.1.cmml">Ω</mi><mo id="S3.E49.m1.121.121.121.8.8.8.1.5.2.2" stretchy="false" xref="S3.E49.m1.121.121.121.8.8.8.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msub></mrow><mo id="S3.E49.m1.122.122.122.9.9.9" xref="S3.E49.m1.122.122.122.9.9.9.cmml">+</mo><mrow id="S3.E49.m1.177.177.7.176.58.58.58.1.1.1"><mfrac id="S3.E49.m1.123.123.123.10.10.10" xref="S3.E49.m1.123.123.123.10.10.10.cmml"><mi id="S3.E49.m1.123.123.123.10.10.10.2" xref="S3.E49.m1.123.123.123.10.10.10.2.cmml">α</mi><mn id="S3.E49.m1.123.123.123.10.10.10.3" xref="S3.E49.m1.123.123.123.10.10.10.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S3.E49.m1.177.177.7.176.58.58.58.1.1.1.2" xref="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E49.m1.177.177.7.176.58.58.58.1.1.1.1.1"><mo id="S3.E49.m1.124.124.124.11.11.11" stretchy="false" xref="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E49.m1.177.177.7.176.58.58.58.1.1.1.1.1.1"><mrow id="S3.E49.m1.177.177.7.176.58.58.58.1.1.1.1.1.1.1"><mrow id="S3.E49.m1.177.177.7.176.58.58.58.1.1.1.1.1.1.1.2"><msub id="S3.E49.m1.177.177.7.176.58.58.58.1.1.1.1.1.1.1.2.1"><mo id="S3.E49.m1.125.125.125.12.12.12" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.E49.m1.125.125.125.12.12.12.cmml">∫</mo><mi id="S3.E49.m1.126.126.126.13.13.13.1" mathvariant="normal" xref="S3.E49.m1.126.126.126.13.13.13.1.cmml">Ω</mi></msub><msup id="S3.E49.m1.177.177.7.176.58.58.58.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><mrow id="S3.E49.m1.177.177.7.176.58.58.58.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2"><mo id="S3.E49.m1.127.127.127.14.14.14" stretchy="false" xref="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.cmml">|</mo><mi id="S3.E49.m1.128.128.128.15.15.15" xref="S3.E49.m1.128.128.128.15.15.15.cmml">w</mi><mo id="S3.E49.m1.129.129.129.16.16.16" stretchy="false" xref="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.cmml">|</mo></mrow><mn id="S3.E49.m1.130.130.130.17.17.17.1" xref="S3.E49.m1.130.130.130.17.17.17.1.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S3.E49.m1.131.131.131.18.18.18" xref="S3.E49.m1.131.131.131.18.18.18.cmml">+</mo><mrow id="S3.E49.m1.177.177.7.176.58.58.58.1.1.1.1.1.1.1.1"><msup id="S3.E49.m1.177.177.7.176.58.58.58.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><mi id="S3.E49.m1.132.132.132.19.19.19" xref="S3.E49.m1.132.132.132.19.19.19.cmml">ϵ</mi><mn id="S3.E49.m1.133.133.133.20.20.20.1" xref="S3.E49.m1.133.133.133.20.20.20.1.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.E49.m1.177.177.7.176.58.58.58.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E49.m1.177.177.7.176.58.58.58.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><msub id="S3.E49.m1.177.177.7.176.58.58.58.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><mo id="S3.E49.m1.134.134.134.21.21.21" rspace="0em" xref="S3.E49.m1.134.134.134.21.21.21.cmml">∫</mo><mi id="S3.E49.m1.135.135.135.22.22.22.1" mathvariant="normal" xref="S3.E49.m1.135.135.135.22.22.22.1.cmml">Ω</mi></msub><msup id="S3.E49.m1.177.177.7.176.58.58.58.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><mrow id="S3.E49.m1.177.177.7.176.58.58.58.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><mo id="S3.E49.m1.136.136.136.23.23.23" stretchy="false" xref="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.cmml">|</mo><mrow id="S3.E49.m1.177.177.7.176.58.58.58.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><mi id="S3.E49.m1.137.137.137.24.24.24" xref="S3.E49.m1.137.137.137.24.24.24.cmml">g</mi><mo id="S3.E49.m1.138.138.138.25.25.25" xref="S3.E49.m1.138.138.138.25.25.25.cmml">+</mo><mi id="S3.E49.m1.139.139.139.26.26.26" xref="S3.E49.m1.139.139.139.26.26.26.cmml">h</mi></mrow><mo id="S3.E49.m1.140.140.140.27.27.27" stretchy="false" xref="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.cmml">|</mo></mrow><mn id="S3.E49.m1.141.141.141.28.28.28.1" xref="S3.E49.m1.141.141.141.28.28.28.1.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E49.m1.142.142.142.29.29.29" xref="S3.E49.m1.142.142.142.29.29.29.cmml">−</mo><mrow id="S3.E49.m1.177.177.7.176.58.58.58.1.1.1.1.1.1.2"><mn id="S3.E49.m1.143.143.143.30.30.30" xref="S3.E49.m1.143.143.143.30.30.30.cmml">2</mn><mo id="S3.E49.m1.177.177.7.176.58.58.58.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E49.m1.144.144.144.31.31.31" xref="S3.E49.m1.144.144.144.31.31.31.cmml">ϵ</mi><mo id="S3.E49.m1.177.177.7.176.58.58.58.1.1.1.1.1.1.2.2a" xref="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E49.m1.177.177.7.176.58.58.58.1.1.1.1.1.1.2.1.1"><mo id="S3.E49.m1.145.145.145.32.32.32" stretchy="false" xref="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.cmml">⟨</mo><mi id="S3.E49.m1.146.146.146.33.33.33" xref="S3.E49.m1.146.146.146.33.33.33.cmml">w</mi><mo id="S3.E49.m1.147.147.147.34.34.34" xref="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.cmml">,</mo><mrow id="S3.E49.m1.177.177.7.176.58.58.58.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1"><mi id="S3.E49.m1.148.148.148.35.35.35" xref="S3.E49.m1.148.148.148.35.35.35.cmml">g</mi><mo id="S3.E49.m1.149.149.149.36.36.36" xref="S3.E49.m1.149.149.149.36.36.36.cmml">+</mo><mi id="S3.E49.m1.150.150.150.37.37.37" xref="S3.E49.m1.150.150.150.37.37.37.cmml">h</mi></mrow><mo id="S3.E49.m1.151.151.151.38.38.38" stretchy="false" xref="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E49.m1.152.152.152.39.39.39" stretchy="false" xref="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E49.m1.122.122.122.9.9.9a" xref="S3.E49.m1.122.122.122.9.9.9.cmml">+</mo><mrow id="S3.E49.m1.177.177.7.176.58.58.58.1.1.3"><mrow id="S3.E49.m1.177.177.7.176.58.58.58.1.1.3.2"><mo id="S3.E49.m1.154.154.154.41.41.41" stretchy="false" xref="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.cmml">|</mo><mi id="S3.E49.m1.155.155.155.42.42.42" xref="S3.E49.m1.155.155.155.42.42.42.cmml">ϵ</mi><mo id="S3.E49.m1.156.156.156.43.43.43" stretchy="false" xref="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S3.E49.m1.177.177.7.176.58.58.58.1.1.3.1" xref="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E49.m1.157.157.157.44.44.44" xref="S3.E49.m1.157.157.157.44.44.44.cmml">λ</mi><mo id="S3.E49.m1.177.177.7.176.58.58.58.1.1.3.1a" xref="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E49.m1.177.177.7.176.58.58.58.1.1.3.3"><mrow id="S3.E49.m1.177.177.7.176.58.58.58.1.1.3.3.2"><mo id="S3.E49.m1.158.158.158.45.45.45" stretchy="false" xref="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S3.E49.m1.159.159.159.46.46.46" xref="S3.E49.m1.159.159.159.46.46.46.cmml">h</mi><mo id="S3.E49.m1.160.160.160.47.47.47" stretchy="false" xref="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.cmml">‖</mo></mrow><msup id="S3.E49.m1.161.161.161.48.48.48.1" xref="S3.E49.m1.161.161.161.48.48.48.1.cmml"><mi id="S3.E49.m1.161.161.161.48.48.48.1.2" xref="S3.E49.m1.161.161.161.48.48.48.1.2.cmml">Lip</mi><mo id="S3.E49.m1.161.161.161.48.48.48.1.3" xref="S3.E49.m1.161.161.161.48.48.48.1.3.cmml">∗</mo></msup></msub></mrow></mrow><mo id="S3.E49.m1.162.162.162.49.49.49" xref="S3.E49.m1.162.162.162.49.49.49.cmml">≥</mo><mrow id="S3.E49.m1.177.177.7.176.58.58.58.1.4"><mfrac id="S3.E49.m1.163.163.163.50.50.50" xref="S3.E49.m1.163.163.163.50.50.50.cmml"><mi id="S3.E49.m1.163.163.163.50.50.50.2" xref="S3.E49.m1.163.163.163.50.50.50.2.cmml">α</mi><mn id="S3.E49.m1.163.163.163.50.50.50.3" xref="S3.E49.m1.163.163.163.50.50.50.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S3.E49.m1.177.177.7.176.58.58.58.1.4.1" xref="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E49.m1.177.177.7.176.58.58.58.1.4.2"><msub id="S3.E49.m1.177.177.7.176.58.58.58.1.4.2.1"><mo id="S3.E49.m1.164.164.164.51.51.51" rspace="0em" xref="S3.E49.m1.164.164.164.51.51.51.cmml">∫</mo><mi id="S3.E49.m1.165.165.165.52.52.52.1" mathvariant="normal" xref="S3.E49.m1.165.165.165.52.52.52.1.cmml">Ω</mi></msub><msup id="S3.E49.m1.177.177.7.176.58.58.58.1.4.2.2"><mrow id="S3.E49.m1.177.177.7.176.58.58.58.1.4.2.2.2"><mo id="S3.E49.m1.166.166.166.53.53.53" stretchy="false" xref="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.cmml">|</mo><mi id="S3.E49.m1.167.167.167.54.54.54" xref="S3.E49.m1.167.167.167.54.54.54.cmml">w</mi><mo id="S3.E49.m1.168.168.168.55.55.55" stretchy="false" xref="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.cmml">|</mo></mrow><mn id="S3.E49.m1.169.169.169.56.56.56.1" xref="S3.E49.m1.169.169.169.56.56.56.1.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E49.m1.170.170.170.57.57.57" lspace="0em" xref="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.cmml">.</mo></mrow></mtd></mtr></mtable><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E49.m1.177b"><apply id="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.cmml" xref="S3.E49.m1.177.177.7b"><and id="S3.E49.m1.171.171.1.1.1a.cmml" xref="S3.E49.m1.177.177.7b"></and><apply id="S3.E49.m1.171.171.1.1.1b.cmml" xref="S3.E49.m1.177.177.7b"><geq id="S3.E49.m1.32.32.32.32.32.32.cmml" 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id="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.5.5.2.cmml" xref="S3.E49.m1.177.177.7b"><abs id="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.5.5.2.1.cmml" xref="S3.E49.m1.177.177.7b"></abs><ci id="S3.E49.m1.58.58.58.8.8.8.cmml" xref="S3.E49.m1.58.58.58.8.8.8">italic-ϵ</ci></apply><apply id="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.5.5.3.cmml" xref="S3.E49.m1.177.177.7b"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.5.5.3.1.cmml" xref="S3.E49.m1.177.177.7b">subscript</csymbol><apply id="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.5.5.3.2.cmml" xref="S3.E49.m1.177.177.7b"><abs id="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.5.5.3.2.1.cmml" xref="S3.E49.m1.177.177.7b"></abs><ci id="S3.E49.m1.61.61.61.11.11.11.cmml" xref="S3.E49.m1.61.61.61.11.11.11">𝑔</ci></apply><apply id="S3.E49.m1.63.63.63.13.13.13.1.cmml" xref="S3.E49.m1.63.63.63.13.13.13.1"><times id="S3.E49.m1.63.63.63.13.13.13.1.2.cmml" xref="S3.E49.m1.63.63.63.13.13.13.1.2"></times><ci id="S3.E49.m1.63.63.63.13.13.13.1.3.cmml" xref="S3.E49.m1.63.63.63.13.13.13.1.3">𝐵</ci><ci id="S3.E49.m1.63.63.63.13.13.13.1.4.cmml" xref="S3.E49.m1.63.63.63.13.13.13.1.4">𝑉</ci><ci id="S3.E49.m1.63.63.63.13.13.13.1.1.cmml" xref="S3.E49.m1.63.63.63.13.13.13.1.1">Ω</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.E49.m1.177.177.7b"><times id="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.4.1.2.cmml" xref="S3.E49.m1.177.177.7b"></times><apply id="S3.E49.m1.65.65.65.15.15.15.cmml" xref="S3.E49.m1.65.65.65.15.15.15"><divide id="S3.E49.m1.65.65.65.15.15.15.1.cmml" xref="S3.E49.m1.65.65.65.15.15.15"></divide><ci id="S3.E49.m1.65.65.65.15.15.15.2.cmml" xref="S3.E49.m1.65.65.65.15.15.15.2">𝛼</ci><cn id="S3.E49.m1.65.65.65.15.15.15.3.cmml" type="integer" xref="S3.E49.m1.65.65.65.15.15.15.3">2</cn></apply><apply id="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.4.1.1.cmml" xref="S3.E49.m1.177.177.7b"><apply id="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.4.1.1.2.cmml" xref="S3.E49.m1.177.177.7b"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.4.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E49.m1.177.177.7b">subscript</csymbol><int id="S3.E49.m1.66.66.66.16.16.16.cmml" xref="S3.E49.m1.66.66.66.16.16.16"></int><ci id="S3.E49.m1.67.67.67.17.17.17.1.cmml" xref="S3.E49.m1.67.67.67.17.17.17.1">Ω</ci></apply><apply id="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.4.1.1.1.cmml" xref="S3.E49.m1.177.177.7b"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.4.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E49.m1.177.177.7b">superscript</csymbol><apply id="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E49.m1.177.177.7b"><abs id="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.4.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E49.m1.177.177.7b"></abs><apply id="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E49.m1.177.177.7b"><minus id="S3.E49.m1.70.70.70.20.20.20.cmml" xref="S3.E49.m1.70.70.70.20.20.20"></minus><ci id="S3.E49.m1.69.69.69.19.19.19.cmml" xref="S3.E49.m1.69.69.69.19.19.19">𝑤</ci><apply id="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E49.m1.177.177.7b"><times id="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E49.m1.177.177.7b"></times><ci id="S3.E49.m1.71.71.71.21.21.21.cmml" 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id="S3.E49.m1.93.93.93.43.43.43.1.1.cmml" xref="S3.E49.m1.93.93.93.43.43.43.1">superscript</csymbol><ci id="S3.E49.m1.93.93.93.43.43.43.1.2.cmml" xref="S3.E49.m1.93.93.93.43.43.43.1.2">Lip</ci><times id="S3.E49.m1.93.93.93.43.43.43.1.3.cmml" xref="S3.E49.m1.93.93.93.43.43.43.1.3"></times></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E49.m1.171.171.1.1.1e.cmml" xref="S3.E49.m1.177.177.7b"><geq id="S3.E49.m1.95.95.95.45.45.45.cmml" xref="S3.E49.m1.95.95.95.45.45.45"></geq><share href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S3.E49.m1.171.171.1.1.1.5.cmml" id="S3.E49.m1.171.171.1.1.1f.cmml" xref="S3.E49.m1.177.177.7b"></share><apply id="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.12.cmml" xref="S3.E49.m1.177.177.7b"><plus id="S3.E49.m1.100.100.100.50.50.50.cmml" xref="S3.E49.m1.100.100.100.50.50.50"></plus><apply id="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.12.2.cmml" xref="S3.E49.m1.177.177.7b"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.12.2.1.cmml" xref="S3.E49.m1.177.177.7b">subscript</csymbol><apply id="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.12.2.2.cmml" xref="S3.E49.m1.177.177.7b"><abs id="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.12.2.2.1.cmml" xref="S3.E49.m1.177.177.7b"></abs><ci id="S3.E49.m1.97.97.97.47.47.47.cmml" xref="S3.E49.m1.97.97.97.47.47.47">𝑢</ci></apply><apply id="S3.E49.m1.99.99.99.49.49.49.1.cmml" xref="S3.E49.m1.99.99.99.49.49.49.1"><times id="S3.E49.m1.99.99.99.49.49.49.1.2.cmml" xref="S3.E49.m1.99.99.99.49.49.49.1.2"></times><ci id="S3.E49.m1.99.99.99.49.49.49.1.3.cmml" xref="S3.E49.m1.99.99.99.49.49.49.1.3">𝐵</ci><ci id="S3.E49.m1.99.99.99.49.49.49.1.4.cmml" xref="S3.E49.m1.99.99.99.49.49.49.1.4">𝑉</ci><ci id="S3.E49.m1.99.99.99.49.49.49.1.1.cmml" xref="S3.E49.m1.99.99.99.49.49.49.1.1">Ω</ci></apply></apply><apply id="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.12.3.cmml" xref="S3.E49.m1.177.177.7b"><times id="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.12.3.1.cmml" xref="S3.E49.m1.177.177.7b"></times><apply id="S3.E49.m1.101.101.101.51.51.51.cmml" xref="S3.E49.m1.101.101.101.51.51.51"><divide id="S3.E49.m1.101.101.101.51.51.51.1.cmml" xref="S3.E49.m1.101.101.101.51.51.51"></divide><ci id="S3.E49.m1.101.101.101.51.51.51.2.cmml" xref="S3.E49.m1.101.101.101.51.51.51.2">𝛼</ci><cn id="S3.E49.m1.101.101.101.51.51.51.3.cmml" type="integer" xref="S3.E49.m1.101.101.101.51.51.51.3">2</cn></apply><apply id="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.12.3.3.cmml" xref="S3.E49.m1.177.177.7b"><apply id="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.12.3.3.1.cmml" xref="S3.E49.m1.177.177.7b"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.12.3.3.1.1.cmml" xref="S3.E49.m1.177.177.7b">subscript</csymbol><int id="S3.E49.m1.102.102.102.52.52.52.cmml" xref="S3.E49.m1.102.102.102.52.52.52"></int><ci id="S3.E49.m1.103.103.103.53.53.53.1.cmml" xref="S3.E49.m1.103.103.103.53.53.53.1">Ω</ci></apply><apply id="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.12.3.3.2.cmml" xref="S3.E49.m1.177.177.7b"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.12.3.3.2.1.cmml" xref="S3.E49.m1.177.177.7b">superscript</csymbol><apply id="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.12.3.3.2.2.cmml" xref="S3.E49.m1.177.177.7b"><abs id="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.12.3.3.2.2.1.cmml" xref="S3.E49.m1.177.177.7b"></abs><ci id="S3.E49.m1.105.105.105.55.55.55.cmml" xref="S3.E49.m1.105.105.105.55.55.55">𝑤</ci></apply><cn id="S3.E49.m1.107.107.107.57.57.57.1.cmml" type="integer" xref="S3.E49.m1.107.107.107.57.57.57.1">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.12.4.cmml" xref="S3.E49.m1.177.177.7b"><times id="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.12.4.1.cmml" xref="S3.E49.m1.177.177.7b"></times><ci id="S3.E49.m1.109.109.109.59.59.59.cmml" xref="S3.E49.m1.109.109.109.59.59.59">𝜆</ci><apply id="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.12.4.3.cmml" xref="S3.E49.m1.177.177.7b"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.12.4.3.1.cmml" xref="S3.E49.m1.177.177.7b">subscript</csymbol><apply id="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.12.4.3.2.cmml" xref="S3.E49.m1.177.177.7b"><csymbol cd="latexml" id="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.12.4.3.2.1.cmml" xref="S3.E49.m1.177.177.7b">delimited-∥∥</csymbol><ci id="S3.E49.m1.111.111.111.61.61.61.cmml" xref="S3.E49.m1.111.111.111.61.61.61">𝑣</ci></apply><apply id="S3.E49.m1.113.113.113.63.63.63.1.cmml" xref="S3.E49.m1.113.113.113.63.63.63.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E49.m1.113.113.113.63.63.63.1.1.cmml" xref="S3.E49.m1.113.113.113.63.63.63.1">superscript</csymbol><ci id="S3.E49.m1.113.113.113.63.63.63.1.2.cmml" xref="S3.E49.m1.113.113.113.63.63.63.1.2">Lip</ci><times id="S3.E49.m1.113.113.113.63.63.63.1.3.cmml" xref="S3.E49.m1.113.113.113.63.63.63.1.3"></times></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E49.m1.171.171.1.1.1g.cmml" xref="S3.E49.m1.177.177.7b"><ci id="S3.E49.m1.114.114.114.1.1.1.cmml" xref="S3.E49.m1.114.114.114.1.1.1">⟹</ci><share href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S3.E49.m1.171.171.1.1.1.12.cmml" id="S3.E49.m1.171.171.1.1.1h.cmml" xref="S3.E49.m1.177.177.7b"></share><apply id="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.6.cmml" xref="S3.E49.m1.177.177.7b"><plus id="S3.E49.m1.122.122.122.9.9.9.cmml" xref="S3.E49.m1.122.122.122.9.9.9"></plus><apply id="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.6.3.cmml" xref="S3.E49.m1.177.177.7b"><times id="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.6.3.1.cmml" xref="S3.E49.m1.177.177.7b"></times><apply id="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.6.3.2.cmml" xref="S3.E49.m1.177.177.7b"><abs id="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.6.3.2.1.cmml" xref="S3.E49.m1.177.177.7b"></abs><ci id="S3.E49.m1.116.116.116.3.3.3.cmml" xref="S3.E49.m1.116.116.116.3.3.3">italic-ϵ</ci></apply><apply id="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.6.3.3.cmml" xref="S3.E49.m1.177.177.7b"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.6.3.3.1.cmml" xref="S3.E49.m1.177.177.7b">subscript</csymbol><apply id="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.6.3.3.2.cmml" xref="S3.E49.m1.177.177.7b"><abs id="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.6.3.3.2.1.cmml" xref="S3.E49.m1.177.177.7b"></abs><ci id="S3.E49.m1.119.119.119.6.6.6.cmml" xref="S3.E49.m1.119.119.119.6.6.6">𝑔</ci></apply><apply id="S3.E49.m1.121.121.121.8.8.8.1.cmml" xref="S3.E49.m1.121.121.121.8.8.8.1"><times id="S3.E49.m1.121.121.121.8.8.8.1.2.cmml" xref="S3.E49.m1.121.121.121.8.8.8.1.2"></times><ci id="S3.E49.m1.121.121.121.8.8.8.1.3.cmml" xref="S3.E49.m1.121.121.121.8.8.8.1.3">𝐵</ci><ci id="S3.E49.m1.121.121.121.8.8.8.1.4.cmml" xref="S3.E49.m1.121.121.121.8.8.8.1.4">𝑉</ci><ci id="S3.E49.m1.121.121.121.8.8.8.1.1.cmml" xref="S3.E49.m1.121.121.121.8.8.8.1.1">Ω</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.6.1.cmml" xref="S3.E49.m1.177.177.7b"><times id="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.6.1.2.cmml" xref="S3.E49.m1.177.177.7b"></times><apply id="S3.E49.m1.123.123.123.10.10.10.cmml" xref="S3.E49.m1.123.123.123.10.10.10"><divide id="S3.E49.m1.123.123.123.10.10.10.1.cmml" xref="S3.E49.m1.123.123.123.10.10.10"></divide><ci id="S3.E49.m1.123.123.123.10.10.10.2.cmml" xref="S3.E49.m1.123.123.123.10.10.10.2">𝛼</ci><cn id="S3.E49.m1.123.123.123.10.10.10.3.cmml" type="integer" xref="S3.E49.m1.123.123.123.10.10.10.3">2</cn></apply><apply id="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.6.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E49.m1.177.177.7b"><minus id="S3.E49.m1.142.142.142.29.29.29.cmml" xref="S3.E49.m1.142.142.142.29.29.29"></minus><apply id="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.6.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E49.m1.177.177.7b"><plus id="S3.E49.m1.131.131.131.18.18.18.cmml" xref="S3.E49.m1.131.131.131.18.18.18"></plus><apply id="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.6.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E49.m1.177.177.7b"><apply id="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.6.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E49.m1.177.177.7b"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.6.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S3.E49.m1.177.177.7b">subscript</csymbol><int id="S3.E49.m1.125.125.125.12.12.12.cmml" xref="S3.E49.m1.125.125.125.12.12.12"></int><ci id="S3.E49.m1.126.126.126.13.13.13.1.cmml" xref="S3.E49.m1.126.126.126.13.13.13.1">Ω</ci></apply><apply id="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.6.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E49.m1.177.177.7b"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.6.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E49.m1.177.177.7b">superscript</csymbol><apply id="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.6.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E49.m1.177.177.7b"><abs id="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.6.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S3.E49.m1.177.177.7b"></abs><ci id="S3.E49.m1.128.128.128.15.15.15.cmml" xref="S3.E49.m1.128.128.128.15.15.15">𝑤</ci></apply><cn id="S3.E49.m1.130.130.130.17.17.17.1.cmml" type="integer" xref="S3.E49.m1.130.130.130.17.17.17.1">2</cn></apply></apply><apply id="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.6.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E49.m1.177.177.7b"><times id="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.6.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E49.m1.177.177.7b"></times><apply id="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.6.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E49.m1.177.177.7b"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.6.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E49.m1.177.177.7b">superscript</csymbol><ci id="S3.E49.m1.132.132.132.19.19.19.cmml" xref="S3.E49.m1.132.132.132.19.19.19">italic-ϵ</ci><cn id="S3.E49.m1.133.133.133.20.20.20.1.cmml" type="integer" xref="S3.E49.m1.133.133.133.20.20.20.1">2</cn></apply><apply id="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E49.m1.177.177.7b"><apply id="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.6.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E49.m1.177.177.7b"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.6.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E49.m1.177.177.7b">subscript</csymbol><int id="S3.E49.m1.134.134.134.21.21.21.cmml" xref="S3.E49.m1.134.134.134.21.21.21"></int><ci id="S3.E49.m1.135.135.135.22.22.22.1.cmml" xref="S3.E49.m1.135.135.135.22.22.22.1">Ω</ci></apply><apply id="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E49.m1.177.177.7b"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E49.m1.177.177.7b">superscript</csymbol><apply id="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E49.m1.177.177.7b"><abs id="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E49.m1.177.177.7b"></abs><apply id="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E49.m1.177.177.7b"><plus id="S3.E49.m1.138.138.138.25.25.25.cmml" xref="S3.E49.m1.138.138.138.25.25.25"></plus><ci id="S3.E49.m1.137.137.137.24.24.24.cmml" xref="S3.E49.m1.137.137.137.24.24.24">𝑔</ci><ci id="S3.E49.m1.139.139.139.26.26.26.cmml" xref="S3.E49.m1.139.139.139.26.26.26">ℎ</ci></apply></apply><cn id="S3.E49.m1.141.141.141.28.28.28.1.cmml" type="integer" xref="S3.E49.m1.141.141.141.28.28.28.1">2</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.6.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E49.m1.177.177.7b"><times id="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.6.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E49.m1.177.177.7b"></times><cn id="S3.E49.m1.143.143.143.30.30.30.cmml" type="integer" xref="S3.E49.m1.143.143.143.30.30.30">2</cn><ci id="S3.E49.m1.144.144.144.31.31.31.cmml" xref="S3.E49.m1.144.144.144.31.31.31">italic-ϵ</ci><list id="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.6.1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="S3.E49.m1.177.177.7b"><ci id="S3.E49.m1.146.146.146.33.33.33.cmml" xref="S3.E49.m1.146.146.146.33.33.33">𝑤</ci><apply id="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.6.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S3.E49.m1.177.177.7b"><plus id="S3.E49.m1.149.149.149.36.36.36.cmml" xref="S3.E49.m1.149.149.149.36.36.36"></plus><ci id="S3.E49.m1.148.148.148.35.35.35.cmml" xref="S3.E49.m1.148.148.148.35.35.35">𝑔</ci><ci id="S3.E49.m1.150.150.150.37.37.37.cmml" xref="S3.E49.m1.150.150.150.37.37.37">ℎ</ci></apply></list></apply></apply></apply><apply id="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.6.4.cmml" xref="S3.E49.m1.177.177.7b"><times id="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.6.4.1.cmml" xref="S3.E49.m1.177.177.7b"></times><apply id="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.6.4.2.cmml" xref="S3.E49.m1.177.177.7b"><abs id="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.6.4.2.1.cmml" xref="S3.E49.m1.177.177.7b"></abs><ci id="S3.E49.m1.155.155.155.42.42.42.cmml" xref="S3.E49.m1.155.155.155.42.42.42">italic-ϵ</ci></apply><ci id="S3.E49.m1.157.157.157.44.44.44.cmml" xref="S3.E49.m1.157.157.157.44.44.44">𝜆</ci><apply id="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.6.4.4.cmml" xref="S3.E49.m1.177.177.7b"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.6.4.4.1.cmml" xref="S3.E49.m1.177.177.7b">subscript</csymbol><apply id="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.6.4.4.2.cmml" xref="S3.E49.m1.177.177.7b"><csymbol cd="latexml" id="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.6.4.4.2.1.cmml" xref="S3.E49.m1.177.177.7b">delimited-∥∥</csymbol><ci id="S3.E49.m1.159.159.159.46.46.46.cmml" xref="S3.E49.m1.159.159.159.46.46.46">ℎ</ci></apply><apply id="S3.E49.m1.161.161.161.48.48.48.1.cmml" xref="S3.E49.m1.161.161.161.48.48.48.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E49.m1.161.161.161.48.48.48.1.1.cmml" xref="S3.E49.m1.161.161.161.48.48.48.1">superscript</csymbol><ci id="S3.E49.m1.161.161.161.48.48.48.1.2.cmml" xref="S3.E49.m1.161.161.161.48.48.48.1.2">Lip</ci><times id="S3.E49.m1.161.161.161.48.48.48.1.3.cmml" xref="S3.E49.m1.161.161.161.48.48.48.1.3"></times></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E49.m1.171.171.1.1.1i.cmml" xref="S3.E49.m1.177.177.7b"><geq id="S3.E49.m1.162.162.162.49.49.49.cmml" xref="S3.E49.m1.162.162.162.49.49.49"></geq><share href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S3.E49.m1.171.171.1.1.1.6.cmml" id="S3.E49.m1.171.171.1.1.1j.cmml" xref="S3.E49.m1.177.177.7b"></share><apply id="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.15.cmml" xref="S3.E49.m1.177.177.7b"><times id="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.15.1.cmml" xref="S3.E49.m1.177.177.7b"></times><apply id="S3.E49.m1.163.163.163.50.50.50.cmml" xref="S3.E49.m1.163.163.163.50.50.50"><divide id="S3.E49.m1.163.163.163.50.50.50.1.cmml" xref="S3.E49.m1.163.163.163.50.50.50"></divide><ci id="S3.E49.m1.163.163.163.50.50.50.2.cmml" xref="S3.E49.m1.163.163.163.50.50.50.2">𝛼</ci><cn id="S3.E49.m1.163.163.163.50.50.50.3.cmml" type="integer" xref="S3.E49.m1.163.163.163.50.50.50.3">2</cn></apply><apply id="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.15.3.cmml" xref="S3.E49.m1.177.177.7b"><apply id="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.15.3.1.cmml" xref="S3.E49.m1.177.177.7b"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.15.3.1.1.cmml" xref="S3.E49.m1.177.177.7b">subscript</csymbol><int id="S3.E49.m1.164.164.164.51.51.51.cmml" xref="S3.E49.m1.164.164.164.51.51.51"></int><ci id="S3.E49.m1.165.165.165.52.52.52.1.cmml" xref="S3.E49.m1.165.165.165.52.52.52.1">Ω</ci></apply><apply id="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.15.3.2.cmml" xref="S3.E49.m1.177.177.7b"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.15.3.2.1.cmml" xref="S3.E49.m1.177.177.7b">superscript</csymbol><apply id="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.15.3.2.2.cmml" xref="S3.E49.m1.177.177.7b"><abs id="S3.E49.m1.171.171.1.1.1.15.3.2.2.1.cmml" xref="S3.E49.m1.177.177.7b"></abs><ci id="S3.E49.m1.167.167.167.54.54.54.cmml" xref="S3.E49.m1.167.167.167.54.54.54">𝑤</ci></apply><cn id="S3.E49.m1.169.169.169.56.56.56.1.cmml" type="integer" xref="S3.E49.m1.169.169.169.56.56.56.1">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E49.m1.177c">\begin{split}&|u+\epsilon g|_{BV(\Omega)}+\frac{\alpha}{2}\int_{\Omega}|w-% \epsilon(g+h)|^{2}+\lambda\|v+\epsilon h\|_{\mathrm{Lip}^{*}}\geq|u|_{BV(% \Omega)}+\frac{\alpha}{2}\int_{\Omega}|w|^{2}+\lambda\|v\|_{\mathrm{Lip}^{*}}% \\ &\Longrightarrow|u|_{BV(\Omega)}+|\epsilon||g|_{BV(\Omega)}+\frac{\alpha}{2}% \int_{\Omega}|w-\epsilon(g+h)|^{2}+\lambda(\|v\|_{\mathrm{Lip}^{*}}+|\epsilon|% \|h\|_{\mathrm{Lip}^{*}})\geq|u|_{BV(\Omega)}+\frac{\alpha}{2}\int_{\Omega}|w|% ^{2}+\lambda\|v\|_{\mathrm{Lip}^{*}}\\ &\Longrightarrow|\epsilon||g|_{BV(\Omega)}+\frac{\alpha}{2}(\int_{\Omega}|w|^{% 2}+\epsilon^{2}\int_{\Omega}|g+h|^{2}-2\epsilon\langle w,g+h\rangle)+|\epsilon% |\lambda\|h\|_{\mathrm{Lip}^{*}}\geq\frac{\alpha}{2}\int_{\Omega}|w|^{2}.\end{split}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E49.m1.177d">start_ROW start_CELL end_CELL start_CELL | italic_u + italic_ϵ italic_g | start_POSTSUBSCRIPT italic_B italic_V ( roman_Ω ) end_POSTSUBSCRIPT + divide start_ARG italic_α end_ARG start_ARG 2 end_ARG ∫ start_POSTSUBSCRIPT roman_Ω end_POSTSUBSCRIPT | italic_w - italic_ϵ ( italic_g + italic_h ) | start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_λ ∥ italic_v + italic_ϵ italic_h ∥ start_POSTSUBSCRIPT roman_Lip start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ≥ | italic_u | start_POSTSUBSCRIPT italic_B italic_V ( roman_Ω ) end_POSTSUBSCRIPT + divide start_ARG italic_α end_ARG start_ARG 2 end_ARG ∫ start_POSTSUBSCRIPT roman_Ω end_POSTSUBSCRIPT | italic_w | start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_λ ∥ italic_v ∥ start_POSTSUBSCRIPT roman_Lip start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL end_CELL start_CELL ⟹ | italic_u | start_POSTSUBSCRIPT italic_B italic_V ( roman_Ω ) end_POSTSUBSCRIPT + | italic_ϵ | | italic_g | start_POSTSUBSCRIPT italic_B italic_V ( roman_Ω ) end_POSTSUBSCRIPT + divide start_ARG italic_α end_ARG start_ARG 2 end_ARG ∫ start_POSTSUBSCRIPT roman_Ω end_POSTSUBSCRIPT | italic_w - italic_ϵ ( italic_g + italic_h ) | start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_λ ( ∥ italic_v ∥ start_POSTSUBSCRIPT roman_Lip start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT + | italic_ϵ | ∥ italic_h ∥ start_POSTSUBSCRIPT roman_Lip start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ) ≥ | italic_u | start_POSTSUBSCRIPT italic_B italic_V ( roman_Ω ) end_POSTSUBSCRIPT + divide start_ARG italic_α end_ARG start_ARG 2 end_ARG ∫ start_POSTSUBSCRIPT roman_Ω end_POSTSUBSCRIPT | italic_w | start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_λ ∥ italic_v ∥ start_POSTSUBSCRIPT roman_Lip start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL end_CELL start_CELL ⟹ | italic_ϵ | | italic_g | start_POSTSUBSCRIPT italic_B italic_V ( roman_Ω ) end_POSTSUBSCRIPT + divide start_ARG italic_α end_ARG start_ARG 2 end_ARG ( ∫ start_POSTSUBSCRIPT roman_Ω end_POSTSUBSCRIPT | italic_w | start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_ϵ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ∫ start_POSTSUBSCRIPT roman_Ω end_POSTSUBSCRIPT | italic_g + italic_h | start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT - 2 italic_ϵ ⟨ italic_w , italic_g + italic_h ⟩ ) + | italic_ϵ | italic_λ ∥ italic_h ∥ start_POSTSUBSCRIPT roman_Lip start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ≥ divide start_ARG italic_α end_ARG start_ARG 2 end_ARG ∫ start_POSTSUBSCRIPT roman_Ω end_POSTSUBSCRIPT | italic_w | start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT . end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(49)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.I3.i2.p1.7">Dividing both side of the last equation by <math alttext="\epsilon>0" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I3.i2.p1.7.m1.1"><semantics id="S3.I3.i2.p1.7.m1.1a"><mrow id="S3.I3.i2.p1.7.m1.1.1" xref="S3.I3.i2.p1.7.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.I3.i2.p1.7.m1.1.1.2" xref="S3.I3.i2.p1.7.m1.1.1.2.cmml">ϵ</mi><mo id="S3.I3.i2.p1.7.m1.1.1.1" xref="S3.I3.i2.p1.7.m1.1.1.1.cmml">></mo><mn id="S3.I3.i2.p1.7.m1.1.1.3" xref="S3.I3.i2.p1.7.m1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I3.i2.p1.7.m1.1b"><apply id="S3.I3.i2.p1.7.m1.1.1.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.7.m1.1.1"><gt id="S3.I3.i2.p1.7.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.7.m1.1.1.1"></gt><ci id="S3.I3.i2.p1.7.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.7.m1.1.1.2">italic-ϵ</ci><cn id="S3.I3.i2.p1.7.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.I3.i2.p1.7.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I3.i2.p1.7.m1.1c">\epsilon>0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I3.i2.p1.7.m1.1d">italic_ϵ > 0</annotation></semantics></math>, we obtain</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E50"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\alpha\langle w,g+h\rangle\leq|g|_{BV(\Omega)}+\lambda\|h\|_{\mathrm{Lip}^{*}}% +\frac{\alpha\epsilon}{2}\int_{\Omega}|g+h|^{2}." class="ltx_Math" display="block" id="S3.E50.m1.5"><semantics id="S3.E50.m1.5a"><mrow id="S3.E50.m1.5.5.1" xref="S3.E50.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S3.E50.m1.5.5.1.1" xref="S3.E50.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S3.E50.m1.5.5.1.1.1" xref="S3.E50.m1.5.5.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E50.m1.5.5.1.1.1.3" xref="S3.E50.m1.5.5.1.1.1.3.cmml">α</mi><mo id="S3.E50.m1.5.5.1.1.1.2" xref="S3.E50.m1.5.5.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E50.m1.5.5.1.1.1.1.1" xref="S3.E50.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E50.m1.5.5.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E50.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml">⟨</mo><mi id="S3.E50.m1.2.2" xref="S3.E50.m1.2.2.cmml">w</mi><mo id="S3.E50.m1.5.5.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E50.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml">,</mo><mrow id="S3.E50.m1.5.5.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E50.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E50.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E50.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml">g</mi><mo id="S3.E50.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E50.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mi id="S3.E50.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E50.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml">h</mi></mrow><mo id="S3.E50.m1.5.5.1.1.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.E50.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E50.m1.5.5.1.1.3" xref="S3.E50.m1.5.5.1.1.3.cmml">≤</mo><mrow id="S3.E50.m1.5.5.1.1.2" xref="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.cmml"><msub id="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.3" xref="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.3.cmml"><mrow id="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.3.2.2" xref="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.3.2.1.cmml"><mo id="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.3.2.2.1" stretchy="false" xref="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.3.2.1.1.cmml">|</mo><mi id="S3.E50.m1.3.3" xref="S3.E50.m1.3.3.cmml">g</mi><mo id="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.3.2.2.2" stretchy="false" xref="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.3.2.1.1.cmml">|</mo></mrow><mrow id="S3.E50.m1.1.1.1" xref="S3.E50.m1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E50.m1.1.1.1.3" xref="S3.E50.m1.1.1.1.3.cmml">B</mi><mo id="S3.E50.m1.1.1.1.2" xref="S3.E50.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E50.m1.1.1.1.4" xref="S3.E50.m1.1.1.1.4.cmml">V</mi><mo id="S3.E50.m1.1.1.1.2a" xref="S3.E50.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E50.m1.1.1.1.5.2" xref="S3.E50.m1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E50.m1.1.1.1.5.2.1" stretchy="false" xref="S3.E50.m1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E50.m1.1.1.1.1" mathvariant="normal" xref="S3.E50.m1.1.1.1.1.cmml">Ω</mi><mo id="S3.E50.m1.1.1.1.5.2.2" stretchy="false" xref="S3.E50.m1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msub><mo id="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.2" xref="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.2.cmml">+</mo><mrow id="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.4" xref="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.4.cmml"><mi id="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.4.2" xref="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.4.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.4.1" xref="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.4.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.4.3" xref="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.4.3.cmml"><mrow id="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.4.3.2.2" xref="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.4.3.2.1.cmml"><mo id="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.4.3.2.2.1" stretchy="false" xref="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.4.3.2.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S3.E50.m1.4.4" xref="S3.E50.m1.4.4.cmml">h</mi><mo id="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.4.3.2.2.2" stretchy="false" xref="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.4.3.2.1.1.cmml">‖</mo></mrow><msup id="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.4.3.3" xref="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.4.3.3.cmml"><mi id="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.4.3.3.2" xref="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.4.3.3.2.cmml">Lip</mi><mo id="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.4.3.3.3" xref="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.4.3.3.3.cmml">∗</mo></msup></msub></mrow><mo id="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.2a" xref="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.2.cmml">+</mo><mrow id="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.1" xref="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.1.cmml"><mfrac id="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.1.3" xref="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.1.3.cmml"><mrow id="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.1.3.2" xref="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.1.3.2.cmml"><mi id="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.1.3.2.2" xref="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.1.3.2.2.cmml">α</mi><mo id="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.1.3.2.1" xref="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.1.3.2.3" xref="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.1.3.2.3.cmml">ϵ</mi></mrow><mn id="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.1.3.3" xref="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.1.2" xref="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.1.1" xref="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.1.1.cmml"><msub id="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.1.1.2" xref="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.1.1.2.2" rspace="0em" xref="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.1.1.2.2.cmml">∫</mo><mi id="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.1.1.2.3" mathvariant="normal" xref="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.1.1.2.3.cmml">Ω</mi></msub><msup id="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.1.1.1" xref="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">g</mi><mo id="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mi id="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">h</mi></mrow><mo id="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mn id="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.3" xref="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E50.m1.5.5.1.2" lspace="0em" xref="S3.E50.m1.5.5.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E50.m1.5b"><apply id="S3.E50.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S3.E50.m1.5.5.1"><leq id="S3.E50.m1.5.5.1.1.3.cmml" xref="S3.E50.m1.5.5.1.1.3"></leq><apply id="S3.E50.m1.5.5.1.1.1.cmml" xref="S3.E50.m1.5.5.1.1.1"><times id="S3.E50.m1.5.5.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E50.m1.5.5.1.1.1.2"></times><ci id="S3.E50.m1.5.5.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E50.m1.5.5.1.1.1.3">𝛼</ci><list id="S3.E50.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E50.m1.5.5.1.1.1.1.1"><ci id="S3.E50.m1.2.2.cmml" xref="S3.E50.m1.2.2">𝑤</ci><apply id="S3.E50.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E50.m1.5.5.1.1.1.1.1.1"><plus id="S3.E50.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E50.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S3.E50.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E50.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2">𝑔</ci><ci id="S3.E50.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E50.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3">ℎ</ci></apply></list></apply><apply id="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.cmml" xref="S3.E50.m1.5.5.1.1.2"><plus id="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.2"></plus><apply id="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.3">subscript</csymbol><apply id="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.3.2.2"><abs id="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.3.2.1.1.cmml" xref="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.3.2.2.1"></abs><ci id="S3.E50.m1.3.3.cmml" xref="S3.E50.m1.3.3">𝑔</ci></apply><apply id="S3.E50.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.E50.m1.1.1.1"><times id="S3.E50.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E50.m1.1.1.1.2"></times><ci id="S3.E50.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E50.m1.1.1.1.3">𝐵</ci><ci id="S3.E50.m1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.E50.m1.1.1.1.4">𝑉</ci><ci id="S3.E50.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E50.m1.1.1.1.1">Ω</ci></apply></apply><apply id="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.4.cmml" xref="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.4"><times id="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.4.1.cmml" xref="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.4.1"></times><ci id="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.4.2.cmml" xref="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.4.2">𝜆</ci><apply id="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.4.3.cmml" xref="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.4.3.1.cmml" xref="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.4.3">subscript</csymbol><apply id="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.4.3.2.1.cmml" xref="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.4.3.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.4.3.2.1.1.cmml" xref="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.4.3.2.2.1">norm</csymbol><ci id="S3.E50.m1.4.4.cmml" xref="S3.E50.m1.4.4">ℎ</ci></apply><apply id="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.4.3.3.cmml" xref="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.4.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.4.3.3.1.cmml" xref="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.4.3.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.4.3.3.2.cmml" xref="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.4.3.3.2">Lip</ci><times id="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.4.3.3.3.cmml" xref="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.4.3.3.3"></times></apply></apply></apply><apply id="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.1"><times id="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.1.2.cmml" xref="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.1.2"></times><apply id="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.1.3.cmml" xref="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.1.3"><divide id="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.1.3.1.cmml" xref="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.1.3"></divide><apply id="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.1.3.2.cmml" xref="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.1.3.2"><times id="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.1.3.2.1"></times><ci id="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.1.3.2.2">𝛼</ci><ci id="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.1.3.2.3.cmml" xref="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.1.3.2.3">italic-ϵ</ci></apply><cn id="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.1.1.cmml" xref="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.1.1"><apply id="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.1.1.2">subscript</csymbol><int id="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.1.1.2.2"></int><ci id="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.1.1.2.3">Ω</ci></apply><apply id="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1"><abs id="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.2"></abs><apply id="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1"><plus id="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2">𝑔</ci><ci id="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3">ℎ</ci></apply></apply><cn id="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E50.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E50.m1.5c">\alpha\langle w,g+h\rangle\leq|g|_{BV(\Omega)}+\lambda\|h\|_{\mathrm{Lip}^{*}}% +\frac{\alpha\epsilon}{2}\int_{\Omega}|g+h|^{2}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E50.m1.5d">italic_α ⟨ italic_w , italic_g + italic_h ⟩ ≤ | italic_g | start_POSTSUBSCRIPT italic_B italic_V ( roman_Ω ) end_POSTSUBSCRIPT + italic_λ ∥ italic_h ∥ start_POSTSUBSCRIPT roman_Lip start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT + divide start_ARG italic_α italic_ϵ end_ARG start_ARG 2 end_ARG ∫ start_POSTSUBSCRIPT roman_Ω end_POSTSUBSCRIPT | italic_g + italic_h | start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(50)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.I3.i2.p1.8">Taking <math alttext="\epsilon\to 0" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I3.i2.p1.8.m1.1"><semantics id="S3.I3.i2.p1.8.m1.1a"><mrow id="S3.I3.i2.p1.8.m1.1.1" xref="S3.I3.i2.p1.8.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.I3.i2.p1.8.m1.1.1.2" xref="S3.I3.i2.p1.8.m1.1.1.2.cmml">ϵ</mi><mo id="S3.I3.i2.p1.8.m1.1.1.1" stretchy="false" xref="S3.I3.i2.p1.8.m1.1.1.1.cmml">→</mo><mn id="S3.I3.i2.p1.8.m1.1.1.3" xref="S3.I3.i2.p1.8.m1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I3.i2.p1.8.m1.1b"><apply id="S3.I3.i2.p1.8.m1.1.1.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.8.m1.1.1"><ci id="S3.I3.i2.p1.8.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.8.m1.1.1.1">→</ci><ci id="S3.I3.i2.p1.8.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.I3.i2.p1.8.m1.1.1.2">italic-ϵ</ci><cn id="S3.I3.i2.p1.8.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.I3.i2.p1.8.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I3.i2.p1.8.m1.1c">\epsilon\to 0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I3.i2.p1.8.m1.1d">italic_ϵ → 0</annotation></semantics></math>, we obtain</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E51"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\|w\|_{*,\lambda}\leq\frac{1}{\alpha}." class="ltx_Math" display="block" id="S3.E51.m1.4"><semantics id="S3.E51.m1.4a"><mrow id="S3.E51.m1.4.4.1" xref="S3.E51.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S3.E51.m1.4.4.1.1" xref="S3.E51.m1.4.4.1.1.cmml"><msub id="S3.E51.m1.4.4.1.1.2" xref="S3.E51.m1.4.4.1.1.2.cmml"><mrow id="S3.E51.m1.4.4.1.1.2.2.2" xref="S3.E51.m1.4.4.1.1.2.2.1.cmml"><mo id="S3.E51.m1.4.4.1.1.2.2.2.1" stretchy="false" xref="S3.E51.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S3.E51.m1.3.3" xref="S3.E51.m1.3.3.cmml">w</mi><mo id="S3.E51.m1.4.4.1.1.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S3.E51.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.cmml">‖</mo></mrow><mrow id="S3.E51.m1.2.2.2.4" xref="S3.E51.m1.2.2.2.3.cmml"><mo id="S3.E51.m1.1.1.1.1" rspace="0em" xref="S3.E51.m1.1.1.1.1.cmml">∗</mo><mo id="S3.E51.m1.2.2.2.4.1" xref="S3.E51.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.E51.m1.2.2.2.2" xref="S3.E51.m1.2.2.2.2.cmml">λ</mi></mrow></msub><mo id="S3.E51.m1.4.4.1.1.1" xref="S3.E51.m1.4.4.1.1.1.cmml">≤</mo><mfrac id="S3.E51.m1.4.4.1.1.3" xref="S3.E51.m1.4.4.1.1.3.cmml"><mn id="S3.E51.m1.4.4.1.1.3.2" xref="S3.E51.m1.4.4.1.1.3.2.cmml">1</mn><mi id="S3.E51.m1.4.4.1.1.3.3" xref="S3.E51.m1.4.4.1.1.3.3.cmml">α</mi></mfrac></mrow><mo id="S3.E51.m1.4.4.1.2" lspace="0em" xref="S3.E51.m1.4.4.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E51.m1.4b"><apply id="S3.E51.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S3.E51.m1.4.4.1"><leq id="S3.E51.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="S3.E51.m1.4.4.1.1.1"></leq><apply id="S3.E51.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="S3.E51.m1.4.4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E51.m1.4.4.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E51.m1.4.4.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S3.E51.m1.4.4.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E51.m1.4.4.1.1.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.E51.m1.4.4.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.E51.m1.4.4.1.1.2.2.2.1">norm</csymbol><ci id="S3.E51.m1.3.3.cmml" xref="S3.E51.m1.3.3">𝑤</ci></apply><list id="S3.E51.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E51.m1.2.2.2.4"><times id="S3.E51.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E51.m1.1.1.1.1"></times><ci id="S3.E51.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E51.m1.2.2.2.2">𝜆</ci></list></apply><apply id="S3.E51.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="S3.E51.m1.4.4.1.1.3"><divide id="S3.E51.m1.4.4.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E51.m1.4.4.1.1.3"></divide><cn id="S3.E51.m1.4.4.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.E51.m1.4.4.1.1.3.2">1</cn><ci id="S3.E51.m1.4.4.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E51.m1.4.4.1.1.3.3">𝛼</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E51.m1.4c">\|w\|_{*,\lambda}\leq\frac{1}{\alpha}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E51.m1.4d">∥ italic_w ∥ start_POSTSUBSCRIPT ∗ , italic_λ end_POSTSUBSCRIPT ≤ divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_α end_ARG .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(51)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S3.I3.i2.p2"> <p class="ltx_p" id="S3.I3.i2.p2.2">If we take <math alttext="(g,h)=(u,v)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I3.i2.p2.1.m1.4"><semantics id="S3.I3.i2.p2.1.m1.4a"><mrow id="S3.I3.i2.p2.1.m1.4.5" xref="S3.I3.i2.p2.1.m1.4.5.cmml"><mrow id="S3.I3.i2.p2.1.m1.4.5.2.2" xref="S3.I3.i2.p2.1.m1.4.5.2.1.cmml"><mo id="S3.I3.i2.p2.1.m1.4.5.2.2.1" stretchy="false" xref="S3.I3.i2.p2.1.m1.4.5.2.1.cmml">(</mo><mi id="S3.I3.i2.p2.1.m1.1.1" xref="S3.I3.i2.p2.1.m1.1.1.cmml">g</mi><mo id="S3.I3.i2.p2.1.m1.4.5.2.2.2" xref="S3.I3.i2.p2.1.m1.4.5.2.1.cmml">,</mo><mi id="S3.I3.i2.p2.1.m1.2.2" xref="S3.I3.i2.p2.1.m1.2.2.cmml">h</mi><mo id="S3.I3.i2.p2.1.m1.4.5.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.I3.i2.p2.1.m1.4.5.2.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.I3.i2.p2.1.m1.4.5.1" xref="S3.I3.i2.p2.1.m1.4.5.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.I3.i2.p2.1.m1.4.5.3.2" xref="S3.I3.i2.p2.1.m1.4.5.3.1.cmml"><mo id="S3.I3.i2.p2.1.m1.4.5.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.I3.i2.p2.1.m1.4.5.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.I3.i2.p2.1.m1.3.3" xref="S3.I3.i2.p2.1.m1.3.3.cmml">u</mi><mo id="S3.I3.i2.p2.1.m1.4.5.3.2.2" xref="S3.I3.i2.p2.1.m1.4.5.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.I3.i2.p2.1.m1.4.4" xref="S3.I3.i2.p2.1.m1.4.4.cmml">v</mi><mo id="S3.I3.i2.p2.1.m1.4.5.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.I3.i2.p2.1.m1.4.5.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I3.i2.p2.1.m1.4b"><apply id="S3.I3.i2.p2.1.m1.4.5.cmml" xref="S3.I3.i2.p2.1.m1.4.5"><eq id="S3.I3.i2.p2.1.m1.4.5.1.cmml" xref="S3.I3.i2.p2.1.m1.4.5.1"></eq><interval closure="open" id="S3.I3.i2.p2.1.m1.4.5.2.1.cmml" xref="S3.I3.i2.p2.1.m1.4.5.2.2"><ci id="S3.I3.i2.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.I3.i2.p2.1.m1.1.1">𝑔</ci><ci id="S3.I3.i2.p2.1.m1.2.2.cmml" xref="S3.I3.i2.p2.1.m1.2.2">ℎ</ci></interval><interval closure="open" id="S3.I3.i2.p2.1.m1.4.5.3.1.cmml" xref="S3.I3.i2.p2.1.m1.4.5.3.2"><ci id="S3.I3.i2.p2.1.m1.3.3.cmml" xref="S3.I3.i2.p2.1.m1.3.3">𝑢</ci><ci id="S3.I3.i2.p2.1.m1.4.4.cmml" xref="S3.I3.i2.p2.1.m1.4.4">𝑣</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I3.i2.p2.1.m1.4c">(g,h)=(u,v)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I3.i2.p2.1.m1.4d">( italic_g , italic_h ) = ( italic_u , italic_v )</annotation></semantics></math> in the first equation in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S3.E49" title="In item 2 ‣ Proof ‣ 3.3 Characterization of minimizers ‣ 3 The Proposed Image Restoration Models ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">49</span></a>), and take <math alttext="-1<\epsilon<1" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I3.i2.p2.2.m2.1"><semantics id="S3.I3.i2.p2.2.m2.1a"><mrow id="S3.I3.i2.p2.2.m2.1.1" xref="S3.I3.i2.p2.2.m2.1.1.cmml"><mrow id="S3.I3.i2.p2.2.m2.1.1.2" xref="S3.I3.i2.p2.2.m2.1.1.2.cmml"><mo id="S3.I3.i2.p2.2.m2.1.1.2a" xref="S3.I3.i2.p2.2.m2.1.1.2.cmml">−</mo><mn id="S3.I3.i2.p2.2.m2.1.1.2.2" xref="S3.I3.i2.p2.2.m2.1.1.2.2.cmml">1</mn></mrow><mo id="S3.I3.i2.p2.2.m2.1.1.3" xref="S3.I3.i2.p2.2.m2.1.1.3.cmml"><</mo><mi id="S3.I3.i2.p2.2.m2.1.1.4" xref="S3.I3.i2.p2.2.m2.1.1.4.cmml">ϵ</mi><mo id="S3.I3.i2.p2.2.m2.1.1.5" xref="S3.I3.i2.p2.2.m2.1.1.5.cmml"><</mo><mn id="S3.I3.i2.p2.2.m2.1.1.6" xref="S3.I3.i2.p2.2.m2.1.1.6.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I3.i2.p2.2.m2.1b"><apply id="S3.I3.i2.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.I3.i2.p2.2.m2.1.1"><and id="S3.I3.i2.p2.2.m2.1.1a.cmml" xref="S3.I3.i2.p2.2.m2.1.1"></and><apply id="S3.I3.i2.p2.2.m2.1.1b.cmml" xref="S3.I3.i2.p2.2.m2.1.1"><lt id="S3.I3.i2.p2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.I3.i2.p2.2.m2.1.1.3"></lt><apply id="S3.I3.i2.p2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.I3.i2.p2.2.m2.1.1.2"><minus id="S3.I3.i2.p2.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.I3.i2.p2.2.m2.1.1.2"></minus><cn id="S3.I3.i2.p2.2.m2.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.I3.i2.p2.2.m2.1.1.2.2">1</cn></apply><ci id="S3.I3.i2.p2.2.m2.1.1.4.cmml" xref="S3.I3.i2.p2.2.m2.1.1.4">italic-ϵ</ci></apply><apply id="S3.I3.i2.p2.2.m2.1.1c.cmml" xref="S3.I3.i2.p2.2.m2.1.1"><lt id="S3.I3.i2.p2.2.m2.1.1.5.cmml" xref="S3.I3.i2.p2.2.m2.1.1.5"></lt><share href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S3.I3.i2.p2.2.m2.1.1.4.cmml" id="S3.I3.i2.p2.2.m2.1.1d.cmml" xref="S3.I3.i2.p2.2.m2.1.1"></share><cn id="S3.I3.i2.p2.2.m2.1.1.6.cmml" type="integer" xref="S3.I3.i2.p2.2.m2.1.1.6">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I3.i2.p2.2.m2.1c">-1<\epsilon<1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I3.i2.p2.2.m2.1d">- 1 < italic_ϵ < 1</annotation></semantics></math>, then (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S3.E49" title="In item 2 ‣ Proof ‣ 3.3 Characterization of minimizers ‣ 3 The Proposed Image Restoration Models ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">49</span></a>) implies</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E52"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\begin{split}&(1+\epsilon)(|u|_{BV(\Omega)}+\lambda\|v\|_{\mathrm{Lip}^{*}})+% \frac{\alpha}{2}\int_{\Omega}|w-\epsilon(u+v)|^{2}\geq|u|_{BV(\Omega)}+\frac{% \alpha}{2}\int_{\Omega}|w|^{2}+\lambda\|v\|_{\mathrm{Lip}^{*}}\\ &\Longrightarrow\epsilon\alpha\langle w,u+v\rangle\leq\epsilon(|u|_{BV(\Omega)% }+\lambda\|v\|_{\mathrm{Lip}^{*}})+\frac{\epsilon^{2}\alpha}{2}\int_{\Omega}|u% +v|^{2}.\end{split}" class="ltx_Math" display="block" id="S3.E52.m1.91"><semantics id="S3.E52.m1.91a"><mtable columnspacing="0pt" displaystyle="true" id="S3.E52.m1.91.91.5" rowspacing="0pt"><mtr id="S3.E52.m1.91.91.5a"><mtd id="S3.E52.m1.91.91.5b" xref="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.cmml"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S3.E52.m1.91.91.5c"><mrow id="S3.E52.m1.90.90.4.89.54.54"><mrow id="S3.E52.m1.90.90.4.89.54.54.54"><mrow id="S3.E52.m1.89.89.3.88.53.53.53.2"><mrow id="S3.E52.m1.88.88.2.87.52.52.52.1.1.1"><mo id="S3.E52.m1.1.1.1.1.1.1" stretchy="false" xref="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E52.m1.88.88.2.87.52.52.52.1.1.1.1"><mn id="S3.E52.m1.2.2.2.2.2.2" xref="S3.E52.m1.2.2.2.2.2.2.cmml">1</mn><mo id="S3.E52.m1.3.3.3.3.3.3" xref="S3.E52.m1.3.3.3.3.3.3.cmml">+</mo><mi id="S3.E52.m1.4.4.4.4.4.4" xref="S3.E52.m1.4.4.4.4.4.4.cmml">ϵ</mi></mrow><mo id="S3.E52.m1.5.5.5.5.5.5" stretchy="false" xref="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E52.m1.89.89.3.88.53.53.53.2.3" xref="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E52.m1.89.89.3.88.53.53.53.2.2.1"><mo id="S3.E52.m1.6.6.6.6.6.6" stretchy="false" xref="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E52.m1.89.89.3.88.53.53.53.2.2.1.1"><msub id="S3.E52.m1.89.89.3.88.53.53.53.2.2.1.1.1"><mrow id="S3.E52.m1.89.89.3.88.53.53.53.2.2.1.1.1.2"><mo id="S3.E52.m1.7.7.7.7.7.7" stretchy="false" xref="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.cmml">|</mo><mi id="S3.E52.m1.8.8.8.8.8.8" xref="S3.E52.m1.8.8.8.8.8.8.cmml">u</mi><mo id="S3.E52.m1.9.9.9.9.9.9" stretchy="false" xref="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.cmml">|</mo></mrow><mrow id="S3.E52.m1.10.10.10.10.10.10.1" xref="S3.E52.m1.10.10.10.10.10.10.1.cmml"><mi id="S3.E52.m1.10.10.10.10.10.10.1.3" xref="S3.E52.m1.10.10.10.10.10.10.1.3.cmml">B</mi><mo id="S3.E52.m1.10.10.10.10.10.10.1.2" xref="S3.E52.m1.10.10.10.10.10.10.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E52.m1.10.10.10.10.10.10.1.4" xref="S3.E52.m1.10.10.10.10.10.10.1.4.cmml">V</mi><mo id="S3.E52.m1.10.10.10.10.10.10.1.2a" xref="S3.E52.m1.10.10.10.10.10.10.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E52.m1.10.10.10.10.10.10.1.5.2" xref="S3.E52.m1.10.10.10.10.10.10.1.cmml"><mo id="S3.E52.m1.10.10.10.10.10.10.1.5.2.1" stretchy="false" xref="S3.E52.m1.10.10.10.10.10.10.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E52.m1.10.10.10.10.10.10.1.1" mathvariant="normal" xref="S3.E52.m1.10.10.10.10.10.10.1.1.cmml">Ω</mi><mo id="S3.E52.m1.10.10.10.10.10.10.1.5.2.2" stretchy="false" xref="S3.E52.m1.10.10.10.10.10.10.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msub><mo id="S3.E52.m1.11.11.11.11.11.11" xref="S3.E52.m1.11.11.11.11.11.11.cmml">+</mo><mrow id="S3.E52.m1.89.89.3.88.53.53.53.2.2.1.1.2"><mi id="S3.E52.m1.12.12.12.12.12.12" xref="S3.E52.m1.12.12.12.12.12.12.cmml">λ</mi><mo id="S3.E52.m1.89.89.3.88.53.53.53.2.2.1.1.2.1" xref="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E52.m1.89.89.3.88.53.53.53.2.2.1.1.2.2"><mrow id="S3.E52.m1.89.89.3.88.53.53.53.2.2.1.1.2.2.2"><mo id="S3.E52.m1.13.13.13.13.13.13" stretchy="false" xref="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S3.E52.m1.14.14.14.14.14.14" xref="S3.E52.m1.14.14.14.14.14.14.cmml">v</mi><mo id="S3.E52.m1.15.15.15.15.15.15" stretchy="false" xref="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.cmml">‖</mo></mrow><msup id="S3.E52.m1.16.16.16.16.16.16.1" xref="S3.E52.m1.16.16.16.16.16.16.1.cmml"><mi id="S3.E52.m1.16.16.16.16.16.16.1.2" xref="S3.E52.m1.16.16.16.16.16.16.1.2.cmml">Lip</mi><mo id="S3.E52.m1.16.16.16.16.16.16.1.3" xref="S3.E52.m1.16.16.16.16.16.16.1.3.cmml">∗</mo></msup></msub></mrow></mrow><mo id="S3.E52.m1.17.17.17.17.17.17" stretchy="false" xref="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E52.m1.18.18.18.18.18.18" xref="S3.E52.m1.18.18.18.18.18.18.cmml">+</mo><mrow id="S3.E52.m1.90.90.4.89.54.54.54.3"><mfrac id="S3.E52.m1.19.19.19.19.19.19" xref="S3.E52.m1.19.19.19.19.19.19.cmml"><mi id="S3.E52.m1.19.19.19.19.19.19.2" xref="S3.E52.m1.19.19.19.19.19.19.2.cmml">α</mi><mn id="S3.E52.m1.19.19.19.19.19.19.3" xref="S3.E52.m1.19.19.19.19.19.19.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S3.E52.m1.90.90.4.89.54.54.54.3.2" xref="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E52.m1.90.90.4.89.54.54.54.3.1"><msub id="S3.E52.m1.90.90.4.89.54.54.54.3.1.2"><mo id="S3.E52.m1.20.20.20.20.20.20" rspace="0em" xref="S3.E52.m1.20.20.20.20.20.20.cmml">∫</mo><mi id="S3.E52.m1.21.21.21.21.21.21.1" mathvariant="normal" xref="S3.E52.m1.21.21.21.21.21.21.1.cmml">Ω</mi></msub><msup id="S3.E52.m1.90.90.4.89.54.54.54.3.1.1"><mrow id="S3.E52.m1.90.90.4.89.54.54.54.3.1.1.1.1"><mo id="S3.E52.m1.22.22.22.22.22.22" stretchy="false" xref="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.cmml">|</mo><mrow id="S3.E52.m1.90.90.4.89.54.54.54.3.1.1.1.1.1"><mi id="S3.E52.m1.23.23.23.23.23.23" xref="S3.E52.m1.23.23.23.23.23.23.cmml">w</mi><mo id="S3.E52.m1.24.24.24.24.24.24" xref="S3.E52.m1.24.24.24.24.24.24.cmml">−</mo><mrow id="S3.E52.m1.90.90.4.89.54.54.54.3.1.1.1.1.1.1"><mi id="S3.E52.m1.25.25.25.25.25.25" xref="S3.E52.m1.25.25.25.25.25.25.cmml">ϵ</mi><mo id="S3.E52.m1.90.90.4.89.54.54.54.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E52.m1.90.90.4.89.54.54.54.3.1.1.1.1.1.1.1.1"><mo id="S3.E52.m1.26.26.26.26.26.26" stretchy="false" xref="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E52.m1.90.90.4.89.54.54.54.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><mi id="S3.E52.m1.27.27.27.27.27.27" xref="S3.E52.m1.27.27.27.27.27.27.cmml">u</mi><mo id="S3.E52.m1.28.28.28.28.28.28" xref="S3.E52.m1.28.28.28.28.28.28.cmml">+</mo><mi id="S3.E52.m1.29.29.29.29.29.29" xref="S3.E52.m1.29.29.29.29.29.29.cmml">v</mi></mrow><mo id="S3.E52.m1.30.30.30.30.30.30" stretchy="false" xref="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E52.m1.31.31.31.31.31.31" stretchy="false" xref="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.cmml">|</mo></mrow><mn id="S3.E52.m1.32.32.32.32.32.32.1" xref="S3.E52.m1.32.32.32.32.32.32.1.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E52.m1.33.33.33.33.33.33" xref="S3.E52.m1.33.33.33.33.33.33.cmml">≥</mo><mrow id="S3.E52.m1.90.90.4.89.54.54.55"><msub id="S3.E52.m1.90.90.4.89.54.54.55.1"><mrow id="S3.E52.m1.90.90.4.89.54.54.55.1.2"><mo id="S3.E52.m1.34.34.34.34.34.34" stretchy="false" xref="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.cmml">|</mo><mi id="S3.E52.m1.35.35.35.35.35.35" xref="S3.E52.m1.35.35.35.35.35.35.cmml">u</mi><mo id="S3.E52.m1.36.36.36.36.36.36" stretchy="false" xref="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.cmml">|</mo></mrow><mrow id="S3.E52.m1.37.37.37.37.37.37.1" xref="S3.E52.m1.37.37.37.37.37.37.1.cmml"><mi id="S3.E52.m1.37.37.37.37.37.37.1.3" xref="S3.E52.m1.37.37.37.37.37.37.1.3.cmml">B</mi><mo id="S3.E52.m1.37.37.37.37.37.37.1.2" xref="S3.E52.m1.37.37.37.37.37.37.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E52.m1.37.37.37.37.37.37.1.4" xref="S3.E52.m1.37.37.37.37.37.37.1.4.cmml">V</mi><mo id="S3.E52.m1.37.37.37.37.37.37.1.2a" xref="S3.E52.m1.37.37.37.37.37.37.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E52.m1.37.37.37.37.37.37.1.5.2" xref="S3.E52.m1.37.37.37.37.37.37.1.cmml"><mo id="S3.E52.m1.37.37.37.37.37.37.1.5.2.1" stretchy="false" xref="S3.E52.m1.37.37.37.37.37.37.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E52.m1.37.37.37.37.37.37.1.1" mathvariant="normal" xref="S3.E52.m1.37.37.37.37.37.37.1.1.cmml">Ω</mi><mo id="S3.E52.m1.37.37.37.37.37.37.1.5.2.2" stretchy="false" xref="S3.E52.m1.37.37.37.37.37.37.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msub><mo id="S3.E52.m1.38.38.38.38.38.38" xref="S3.E52.m1.38.38.38.38.38.38.cmml">+</mo><mrow id="S3.E52.m1.90.90.4.89.54.54.55.2"><mfrac id="S3.E52.m1.39.39.39.39.39.39" xref="S3.E52.m1.39.39.39.39.39.39.cmml"><mi id="S3.E52.m1.39.39.39.39.39.39.2" xref="S3.E52.m1.39.39.39.39.39.39.2.cmml">α</mi><mn id="S3.E52.m1.39.39.39.39.39.39.3" xref="S3.E52.m1.39.39.39.39.39.39.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S3.E52.m1.90.90.4.89.54.54.55.2.1" xref="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E52.m1.90.90.4.89.54.54.55.2.2"><msub id="S3.E52.m1.90.90.4.89.54.54.55.2.2.1"><mo id="S3.E52.m1.40.40.40.40.40.40" rspace="0em" xref="S3.E52.m1.40.40.40.40.40.40.cmml">∫</mo><mi id="S3.E52.m1.41.41.41.41.41.41.1" mathvariant="normal" xref="S3.E52.m1.41.41.41.41.41.41.1.cmml">Ω</mi></msub><msup id="S3.E52.m1.90.90.4.89.54.54.55.2.2.2"><mrow id="S3.E52.m1.90.90.4.89.54.54.55.2.2.2.2"><mo id="S3.E52.m1.42.42.42.42.42.42" stretchy="false" xref="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.cmml">|</mo><mi id="S3.E52.m1.43.43.43.43.43.43" xref="S3.E52.m1.43.43.43.43.43.43.cmml">w</mi><mo id="S3.E52.m1.44.44.44.44.44.44" stretchy="false" xref="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.cmml">|</mo></mrow><mn id="S3.E52.m1.45.45.45.45.45.45.1" xref="S3.E52.m1.45.45.45.45.45.45.1.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><mo id="S3.E52.m1.38.38.38.38.38.38a" xref="S3.E52.m1.38.38.38.38.38.38.cmml">+</mo><mrow id="S3.E52.m1.90.90.4.89.54.54.55.3"><mi id="S3.E52.m1.47.47.47.47.47.47" xref="S3.E52.m1.47.47.47.47.47.47.cmml">λ</mi><mo id="S3.E52.m1.90.90.4.89.54.54.55.3.1" xref="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E52.m1.90.90.4.89.54.54.55.3.2"><mrow id="S3.E52.m1.90.90.4.89.54.54.55.3.2.2"><mo id="S3.E52.m1.48.48.48.48.48.48" stretchy="false" xref="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S3.E52.m1.49.49.49.49.49.49" xref="S3.E52.m1.49.49.49.49.49.49.cmml">v</mi><mo id="S3.E52.m1.50.50.50.50.50.50" stretchy="false" xref="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.cmml">‖</mo></mrow><msup id="S3.E52.m1.51.51.51.51.51.51.1" xref="S3.E52.m1.51.51.51.51.51.51.1.cmml"><mi id="S3.E52.m1.51.51.51.51.51.51.1.2" xref="S3.E52.m1.51.51.51.51.51.51.1.2.cmml">Lip</mi><mo id="S3.E52.m1.51.51.51.51.51.51.1.3" xref="S3.E52.m1.51.51.51.51.51.51.1.3.cmml">∗</mo></msup></msub></mrow></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="S3.E52.m1.91.91.5d"><mtd id="S3.E52.m1.91.91.5e" xref="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.cmml"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S3.E52.m1.91.91.5f"><mrow id="S3.E52.m1.91.91.5.90.36.36.36"><mrow id="S3.E52.m1.91.91.5.90.36.36.36.1"><mi id="S3.E52.m1.91.91.5.90.36.36.36.1.5" xref="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.cmml"></mi><mo id="S3.E52.m1.52.52.52.1.1.1" stretchy="false" xref="S3.E52.m1.52.52.52.1.1.1.cmml">⟹</mo><mrow id="S3.E52.m1.91.91.5.90.36.36.36.1.1"><mi id="S3.E52.m1.53.53.53.2.2.2" xref="S3.E52.m1.53.53.53.2.2.2.cmml">ϵ</mi><mo id="S3.E52.m1.91.91.5.90.36.36.36.1.1.2" xref="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E52.m1.54.54.54.3.3.3" xref="S3.E52.m1.54.54.54.3.3.3.cmml">α</mi><mo id="S3.E52.m1.91.91.5.90.36.36.36.1.1.2a" xref="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E52.m1.91.91.5.90.36.36.36.1.1.1.1"><mo id="S3.E52.m1.55.55.55.4.4.4" stretchy="false" xref="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.cmml">⟨</mo><mi id="S3.E52.m1.56.56.56.5.5.5" xref="S3.E52.m1.56.56.56.5.5.5.cmml">w</mi><mo id="S3.E52.m1.57.57.57.6.6.6" xref="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.cmml">,</mo><mrow id="S3.E52.m1.91.91.5.90.36.36.36.1.1.1.1.1"><mi id="S3.E52.m1.58.58.58.7.7.7" xref="S3.E52.m1.58.58.58.7.7.7.cmml">u</mi><mo id="S3.E52.m1.59.59.59.8.8.8" xref="S3.E52.m1.59.59.59.8.8.8.cmml">+</mo><mi id="S3.E52.m1.60.60.60.9.9.9" xref="S3.E52.m1.60.60.60.9.9.9.cmml">v</mi></mrow><mo id="S3.E52.m1.61.61.61.10.10.10" stretchy="false" xref="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E52.m1.62.62.62.11.11.11" xref="S3.E52.m1.62.62.62.11.11.11.cmml">≤</mo><mrow id="S3.E52.m1.91.91.5.90.36.36.36.1.3"><mrow id="S3.E52.m1.91.91.5.90.36.36.36.1.2.1"><mi id="S3.E52.m1.63.63.63.12.12.12" xref="S3.E52.m1.63.63.63.12.12.12.cmml">ϵ</mi><mo id="S3.E52.m1.91.91.5.90.36.36.36.1.2.1.2" xref="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E52.m1.91.91.5.90.36.36.36.1.2.1.1.1"><mo id="S3.E52.m1.64.64.64.13.13.13" stretchy="false" xref="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E52.m1.91.91.5.90.36.36.36.1.2.1.1.1.1"><msub id="S3.E52.m1.91.91.5.90.36.36.36.1.2.1.1.1.1.1"><mrow id="S3.E52.m1.91.91.5.90.36.36.36.1.2.1.1.1.1.1.2"><mo id="S3.E52.m1.65.65.65.14.14.14" stretchy="false" xref="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.cmml">|</mo><mi id="S3.E52.m1.66.66.66.15.15.15" xref="S3.E52.m1.66.66.66.15.15.15.cmml">u</mi><mo id="S3.E52.m1.67.67.67.16.16.16" stretchy="false" xref="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.cmml">|</mo></mrow><mrow id="S3.E52.m1.68.68.68.17.17.17.1" xref="S3.E52.m1.68.68.68.17.17.17.1.cmml"><mi id="S3.E52.m1.68.68.68.17.17.17.1.3" xref="S3.E52.m1.68.68.68.17.17.17.1.3.cmml">B</mi><mo id="S3.E52.m1.68.68.68.17.17.17.1.2" xref="S3.E52.m1.68.68.68.17.17.17.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E52.m1.68.68.68.17.17.17.1.4" xref="S3.E52.m1.68.68.68.17.17.17.1.4.cmml">V</mi><mo id="S3.E52.m1.68.68.68.17.17.17.1.2a" xref="S3.E52.m1.68.68.68.17.17.17.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E52.m1.68.68.68.17.17.17.1.5.2" xref="S3.E52.m1.68.68.68.17.17.17.1.cmml"><mo id="S3.E52.m1.68.68.68.17.17.17.1.5.2.1" stretchy="false" xref="S3.E52.m1.68.68.68.17.17.17.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E52.m1.68.68.68.17.17.17.1.1" mathvariant="normal" xref="S3.E52.m1.68.68.68.17.17.17.1.1.cmml">Ω</mi><mo id="S3.E52.m1.68.68.68.17.17.17.1.5.2.2" stretchy="false" xref="S3.E52.m1.68.68.68.17.17.17.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msub><mo id="S3.E52.m1.69.69.69.18.18.18" xref="S3.E52.m1.69.69.69.18.18.18.cmml">+</mo><mrow id="S3.E52.m1.91.91.5.90.36.36.36.1.2.1.1.1.1.2"><mi id="S3.E52.m1.70.70.70.19.19.19" xref="S3.E52.m1.70.70.70.19.19.19.cmml">λ</mi><mo id="S3.E52.m1.91.91.5.90.36.36.36.1.2.1.1.1.1.2.1" xref="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E52.m1.91.91.5.90.36.36.36.1.2.1.1.1.1.2.2"><mrow id="S3.E52.m1.91.91.5.90.36.36.36.1.2.1.1.1.1.2.2.2"><mo id="S3.E52.m1.71.71.71.20.20.20" stretchy="false" xref="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S3.E52.m1.72.72.72.21.21.21" xref="S3.E52.m1.72.72.72.21.21.21.cmml">v</mi><mo id="S3.E52.m1.73.73.73.22.22.22" stretchy="false" xref="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.cmml">‖</mo></mrow><msup id="S3.E52.m1.74.74.74.23.23.23.1" xref="S3.E52.m1.74.74.74.23.23.23.1.cmml"><mi id="S3.E52.m1.74.74.74.23.23.23.1.2" xref="S3.E52.m1.74.74.74.23.23.23.1.2.cmml">Lip</mi><mo id="S3.E52.m1.74.74.74.23.23.23.1.3" xref="S3.E52.m1.74.74.74.23.23.23.1.3.cmml">∗</mo></msup></msub></mrow></mrow><mo id="S3.E52.m1.75.75.75.24.24.24" stretchy="false" xref="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E52.m1.76.76.76.25.25.25" xref="S3.E52.m1.76.76.76.25.25.25.cmml">+</mo><mrow id="S3.E52.m1.91.91.5.90.36.36.36.1.3.2"><mfrac id="S3.E52.m1.77.77.77.26.26.26" xref="S3.E52.m1.77.77.77.26.26.26.cmml"><mrow id="S3.E52.m1.77.77.77.26.26.26.2" xref="S3.E52.m1.77.77.77.26.26.26.2.cmml"><msup id="S3.E52.m1.77.77.77.26.26.26.2.2" xref="S3.E52.m1.77.77.77.26.26.26.2.2.cmml"><mi id="S3.E52.m1.77.77.77.26.26.26.2.2.2" xref="S3.E52.m1.77.77.77.26.26.26.2.2.2.cmml">ϵ</mi><mn id="S3.E52.m1.77.77.77.26.26.26.2.2.3" xref="S3.E52.m1.77.77.77.26.26.26.2.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.E52.m1.77.77.77.26.26.26.2.1" xref="S3.E52.m1.77.77.77.26.26.26.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E52.m1.77.77.77.26.26.26.2.3" xref="S3.E52.m1.77.77.77.26.26.26.2.3.cmml">α</mi></mrow><mn id="S3.E52.m1.77.77.77.26.26.26.3" xref="S3.E52.m1.77.77.77.26.26.26.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S3.E52.m1.91.91.5.90.36.36.36.1.3.2.2" xref="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E52.m1.91.91.5.90.36.36.36.1.3.2.1"><msub id="S3.E52.m1.91.91.5.90.36.36.36.1.3.2.1.2"><mo id="S3.E52.m1.78.78.78.27.27.27" rspace="0em" xref="S3.E52.m1.78.78.78.27.27.27.cmml">∫</mo><mi id="S3.E52.m1.79.79.79.28.28.28.1" mathvariant="normal" xref="S3.E52.m1.79.79.79.28.28.28.1.cmml">Ω</mi></msub><msup id="S3.E52.m1.91.91.5.90.36.36.36.1.3.2.1.1"><mrow id="S3.E52.m1.91.91.5.90.36.36.36.1.3.2.1.1.1.1"><mo id="S3.E52.m1.80.80.80.29.29.29" stretchy="false" xref="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.cmml">|</mo><mrow id="S3.E52.m1.91.91.5.90.36.36.36.1.3.2.1.1.1.1.1"><mi id="S3.E52.m1.81.81.81.30.30.30" xref="S3.E52.m1.81.81.81.30.30.30.cmml">u</mi><mo id="S3.E52.m1.82.82.82.31.31.31" xref="S3.E52.m1.82.82.82.31.31.31.cmml">+</mo><mi id="S3.E52.m1.83.83.83.32.32.32" xref="S3.E52.m1.83.83.83.32.32.32.cmml">v</mi></mrow><mo id="S3.E52.m1.84.84.84.33.33.33" stretchy="false" xref="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.cmml">|</mo></mrow><mn id="S3.E52.m1.85.85.85.34.34.34.1" xref="S3.E52.m1.85.85.85.34.34.34.1.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E52.m1.86.86.86.35.35.35" lspace="0em" xref="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.cmml">.</mo></mrow></mtd></mtr></mtable><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E52.m1.91b"><apply id="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.cmml" xref="S3.E52.m1.91.91.5b"><and id="S3.E52.m1.87.87.1.1.1a.cmml" xref="S3.E52.m1.91.91.5b"></and><apply id="S3.E52.m1.87.87.1.1.1b.cmml" xref="S3.E52.m1.91.91.5b"><geq id="S3.E52.m1.33.33.33.33.33.33.cmml" xref="S3.E52.m1.33.33.33.33.33.33"></geq><apply id="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E52.m1.91.91.5b"><plus id="S3.E52.m1.18.18.18.18.18.18.cmml" xref="S3.E52.m1.18.18.18.18.18.18"></plus><apply id="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E52.m1.91.91.5b"><times id="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.E52.m1.91.91.5b"></times><apply id="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E52.m1.91.91.5b"><plus id="S3.E52.m1.3.3.3.3.3.3.cmml" xref="S3.E52.m1.3.3.3.3.3.3"></plus><cn id="S3.E52.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.E52.m1.2.2.2.2.2.2">1</cn><ci id="S3.E52.m1.4.4.4.4.4.4.cmml" xref="S3.E52.m1.4.4.4.4.4.4">italic-ϵ</ci></apply><apply id="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.E52.m1.91.91.5b"><plus id="S3.E52.m1.11.11.11.11.11.11.cmml" xref="S3.E52.m1.11.11.11.11.11.11"></plus><apply id="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.E52.m1.91.91.5b"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.2.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E52.m1.91.91.5b">subscript</csymbol><apply id="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.2.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E52.m1.91.91.5b"><abs id="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.2.2.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E52.m1.91.91.5b"></abs><ci id="S3.E52.m1.8.8.8.8.8.8.cmml" xref="S3.E52.m1.8.8.8.8.8.8">𝑢</ci></apply><apply id="S3.E52.m1.10.10.10.10.10.10.1.cmml" xref="S3.E52.m1.10.10.10.10.10.10.1"><times id="S3.E52.m1.10.10.10.10.10.10.1.2.cmml" xref="S3.E52.m1.10.10.10.10.10.10.1.2"></times><ci id="S3.E52.m1.10.10.10.10.10.10.1.3.cmml" xref="S3.E52.m1.10.10.10.10.10.10.1.3">𝐵</ci><ci id="S3.E52.m1.10.10.10.10.10.10.1.4.cmml" xref="S3.E52.m1.10.10.10.10.10.10.1.4">𝑉</ci><ci id="S3.E52.m1.10.10.10.10.10.10.1.1.cmml" xref="S3.E52.m1.10.10.10.10.10.10.1.1">Ω</ci></apply></apply><apply id="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.E52.m1.91.91.5b"><times id="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E52.m1.91.91.5b"></times><ci id="S3.E52.m1.12.12.12.12.12.12.cmml" xref="S3.E52.m1.12.12.12.12.12.12">𝜆</ci><apply id="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.2.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E52.m1.91.91.5b"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.2.2.2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E52.m1.91.91.5b">subscript</csymbol><apply id="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.2.2.2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.E52.m1.91.91.5b"><csymbol cd="latexml" id="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.2.2.2.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S3.E52.m1.91.91.5b">delimited-∥∥</csymbol><ci id="S3.E52.m1.14.14.14.14.14.14.cmml" xref="S3.E52.m1.14.14.14.14.14.14">𝑣</ci></apply><apply id="S3.E52.m1.16.16.16.16.16.16.1.cmml" xref="S3.E52.m1.16.16.16.16.16.16.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E52.m1.16.16.16.16.16.16.1.1.cmml" xref="S3.E52.m1.16.16.16.16.16.16.1">superscript</csymbol><ci id="S3.E52.m1.16.16.16.16.16.16.1.2.cmml" xref="S3.E52.m1.16.16.16.16.16.16.1.2">Lip</ci><times id="S3.E52.m1.16.16.16.16.16.16.1.3.cmml" xref="S3.E52.m1.16.16.16.16.16.16.1.3"></times></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E52.m1.91.91.5b"><times id="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.E52.m1.91.91.5b"></times><apply id="S3.E52.m1.19.19.19.19.19.19.cmml" xref="S3.E52.m1.19.19.19.19.19.19"><divide id="S3.E52.m1.19.19.19.19.19.19.1.cmml" xref="S3.E52.m1.19.19.19.19.19.19"></divide><ci id="S3.E52.m1.19.19.19.19.19.19.2.cmml" xref="S3.E52.m1.19.19.19.19.19.19.2">𝛼</ci><cn id="S3.E52.m1.19.19.19.19.19.19.3.cmml" type="integer" xref="S3.E52.m1.19.19.19.19.19.19.3">2</cn></apply><apply id="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E52.m1.91.91.5b"><apply id="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.3.3.1.2.cmml" xref="S3.E52.m1.91.91.5b"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.3.3.1.2.1.cmml" xref="S3.E52.m1.91.91.5b">subscript</csymbol><int id="S3.E52.m1.20.20.20.20.20.20.cmml" xref="S3.E52.m1.20.20.20.20.20.20"></int><ci id="S3.E52.m1.21.21.21.21.21.21.1.cmml" xref="S3.E52.m1.21.21.21.21.21.21.1">Ω</ci></apply><apply id="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.3.3.1.1.cmml" xref="S3.E52.m1.91.91.5b"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S3.E52.m1.91.91.5b">superscript</csymbol><apply id="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E52.m1.91.91.5b"><abs id="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.3.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E52.m1.91.91.5b"></abs><apply id="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E52.m1.91.91.5b"><minus id="S3.E52.m1.24.24.24.24.24.24.cmml" xref="S3.E52.m1.24.24.24.24.24.24"></minus><ci id="S3.E52.m1.23.23.23.23.23.23.cmml" xref="S3.E52.m1.23.23.23.23.23.23">𝑤</ci><apply id="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E52.m1.91.91.5b"><times id="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E52.m1.91.91.5b"></times><ci id="S3.E52.m1.25.25.25.25.25.25.cmml" xref="S3.E52.m1.25.25.25.25.25.25">italic-ϵ</ci><apply id="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E52.m1.91.91.5b"><plus id="S3.E52.m1.28.28.28.28.28.28.cmml" xref="S3.E52.m1.28.28.28.28.28.28"></plus><ci id="S3.E52.m1.27.27.27.27.27.27.cmml" xref="S3.E52.m1.27.27.27.27.27.27">𝑢</ci><ci id="S3.E52.m1.29.29.29.29.29.29.cmml" xref="S3.E52.m1.29.29.29.29.29.29">𝑣</ci></apply></apply></apply></apply><cn id="S3.E52.m1.32.32.32.32.32.32.1.cmml" type="integer" xref="S3.E52.m1.32.32.32.32.32.32.1">2</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.9.cmml" xref="S3.E52.m1.91.91.5b"><plus id="S3.E52.m1.38.38.38.38.38.38.cmml" xref="S3.E52.m1.38.38.38.38.38.38"></plus><apply id="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.9.2.cmml" xref="S3.E52.m1.91.91.5b"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.9.2.1.cmml" xref="S3.E52.m1.91.91.5b">subscript</csymbol><apply id="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.9.2.2.cmml" xref="S3.E52.m1.91.91.5b"><abs id="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.9.2.2.1.cmml" xref="S3.E52.m1.91.91.5b"></abs><ci id="S3.E52.m1.35.35.35.35.35.35.cmml" xref="S3.E52.m1.35.35.35.35.35.35">𝑢</ci></apply><apply id="S3.E52.m1.37.37.37.37.37.37.1.cmml" xref="S3.E52.m1.37.37.37.37.37.37.1"><times id="S3.E52.m1.37.37.37.37.37.37.1.2.cmml" xref="S3.E52.m1.37.37.37.37.37.37.1.2"></times><ci id="S3.E52.m1.37.37.37.37.37.37.1.3.cmml" xref="S3.E52.m1.37.37.37.37.37.37.1.3">𝐵</ci><ci id="S3.E52.m1.37.37.37.37.37.37.1.4.cmml" xref="S3.E52.m1.37.37.37.37.37.37.1.4">𝑉</ci><ci id="S3.E52.m1.37.37.37.37.37.37.1.1.cmml" xref="S3.E52.m1.37.37.37.37.37.37.1.1">Ω</ci></apply></apply><apply id="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.9.3.cmml" xref="S3.E52.m1.91.91.5b"><times id="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.9.3.1.cmml" xref="S3.E52.m1.91.91.5b"></times><apply id="S3.E52.m1.39.39.39.39.39.39.cmml" xref="S3.E52.m1.39.39.39.39.39.39"><divide id="S3.E52.m1.39.39.39.39.39.39.1.cmml" xref="S3.E52.m1.39.39.39.39.39.39"></divide><ci id="S3.E52.m1.39.39.39.39.39.39.2.cmml" xref="S3.E52.m1.39.39.39.39.39.39.2">𝛼</ci><cn id="S3.E52.m1.39.39.39.39.39.39.3.cmml" type="integer" xref="S3.E52.m1.39.39.39.39.39.39.3">2</cn></apply><apply id="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.9.3.3.cmml" xref="S3.E52.m1.91.91.5b"><apply id="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.9.3.3.1.cmml" xref="S3.E52.m1.91.91.5b"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.9.3.3.1.1.cmml" xref="S3.E52.m1.91.91.5b">subscript</csymbol><int id="S3.E52.m1.40.40.40.40.40.40.cmml" xref="S3.E52.m1.40.40.40.40.40.40"></int><ci id="S3.E52.m1.41.41.41.41.41.41.1.cmml" xref="S3.E52.m1.41.41.41.41.41.41.1">Ω</ci></apply><apply id="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.9.3.3.2.cmml" xref="S3.E52.m1.91.91.5b"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.9.3.3.2.1.cmml" xref="S3.E52.m1.91.91.5b">superscript</csymbol><apply id="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.9.3.3.2.2.cmml" xref="S3.E52.m1.91.91.5b"><abs id="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.9.3.3.2.2.1.cmml" xref="S3.E52.m1.91.91.5b"></abs><ci id="S3.E52.m1.43.43.43.43.43.43.cmml" xref="S3.E52.m1.43.43.43.43.43.43">𝑤</ci></apply><cn id="S3.E52.m1.45.45.45.45.45.45.1.cmml" type="integer" xref="S3.E52.m1.45.45.45.45.45.45.1">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.9.4.cmml" xref="S3.E52.m1.91.91.5b"><times id="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.9.4.1.cmml" xref="S3.E52.m1.91.91.5b"></times><ci id="S3.E52.m1.47.47.47.47.47.47.cmml" xref="S3.E52.m1.47.47.47.47.47.47">𝜆</ci><apply id="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.9.4.3.cmml" xref="S3.E52.m1.91.91.5b"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.9.4.3.1.cmml" xref="S3.E52.m1.91.91.5b">subscript</csymbol><apply id="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.9.4.3.2.cmml" xref="S3.E52.m1.91.91.5b"><csymbol cd="latexml" id="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.9.4.3.2.1.cmml" xref="S3.E52.m1.91.91.5b">delimited-∥∥</csymbol><ci id="S3.E52.m1.49.49.49.49.49.49.cmml" xref="S3.E52.m1.49.49.49.49.49.49">𝑣</ci></apply><apply id="S3.E52.m1.51.51.51.51.51.51.1.cmml" xref="S3.E52.m1.51.51.51.51.51.51.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E52.m1.51.51.51.51.51.51.1.1.cmml" xref="S3.E52.m1.51.51.51.51.51.51.1">superscript</csymbol><ci id="S3.E52.m1.51.51.51.51.51.51.1.2.cmml" xref="S3.E52.m1.51.51.51.51.51.51.1.2">Lip</ci><times id="S3.E52.m1.51.51.51.51.51.51.1.3.cmml" xref="S3.E52.m1.51.51.51.51.51.51.1.3"></times></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E52.m1.87.87.1.1.1c.cmml" xref="S3.E52.m1.91.91.5b"><ci id="S3.E52.m1.52.52.52.1.1.1.cmml" xref="S3.E52.m1.52.52.52.1.1.1">⟹</ci><share href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S3.E52.m1.87.87.1.1.1.9.cmml" id="S3.E52.m1.87.87.1.1.1d.cmml" xref="S3.E52.m1.91.91.5b"></share><apply id="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.4.cmml" xref="S3.E52.m1.91.91.5b"><times id="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.E52.m1.91.91.5b"></times><ci id="S3.E52.m1.53.53.53.2.2.2.cmml" xref="S3.E52.m1.53.53.53.2.2.2">italic-ϵ</ci><ci id="S3.E52.m1.54.54.54.3.3.3.cmml" xref="S3.E52.m1.54.54.54.3.3.3">𝛼</ci><list id="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.4.1.2.cmml" xref="S3.E52.m1.91.91.5b"><ci id="S3.E52.m1.56.56.56.5.5.5.cmml" xref="S3.E52.m1.56.56.56.5.5.5">𝑤</ci><apply id="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.4.1.1.1.cmml" xref="S3.E52.m1.91.91.5b"><plus id="S3.E52.m1.59.59.59.8.8.8.cmml" xref="S3.E52.m1.59.59.59.8.8.8"></plus><ci id="S3.E52.m1.58.58.58.7.7.7.cmml" xref="S3.E52.m1.58.58.58.7.7.7">𝑢</ci><ci id="S3.E52.m1.60.60.60.9.9.9.cmml" xref="S3.E52.m1.60.60.60.9.9.9">𝑣</ci></apply></list></apply></apply><apply id="S3.E52.m1.87.87.1.1.1e.cmml" xref="S3.E52.m1.91.91.5b"><leq id="S3.E52.m1.62.62.62.11.11.11.cmml" xref="S3.E52.m1.62.62.62.11.11.11"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S3.E52.m1.87.87.1.1.1.4.cmml" id="S3.E52.m1.87.87.1.1.1f.cmml" xref="S3.E52.m1.91.91.5b"></share><apply id="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.6.cmml" xref="S3.E52.m1.91.91.5b"><plus id="S3.E52.m1.76.76.76.25.25.25.cmml" xref="S3.E52.m1.76.76.76.25.25.25"></plus><apply id="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.5.1.cmml" xref="S3.E52.m1.91.91.5b"><times id="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.5.1.2.cmml" xref="S3.E52.m1.91.91.5b"></times><ci id="S3.E52.m1.63.63.63.12.12.12.cmml" xref="S3.E52.m1.63.63.63.12.12.12">italic-ϵ</ci><apply id="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.5.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E52.m1.91.91.5b"><plus id="S3.E52.m1.69.69.69.18.18.18.cmml" xref="S3.E52.m1.69.69.69.18.18.18"></plus><apply id="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.5.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E52.m1.91.91.5b"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.5.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E52.m1.91.91.5b">subscript</csymbol><apply id="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.5.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E52.m1.91.91.5b"><abs id="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.5.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E52.m1.91.91.5b"></abs><ci id="S3.E52.m1.66.66.66.15.15.15.cmml" xref="S3.E52.m1.66.66.66.15.15.15">𝑢</ci></apply><apply id="S3.E52.m1.68.68.68.17.17.17.1.cmml" xref="S3.E52.m1.68.68.68.17.17.17.1"><times id="S3.E52.m1.68.68.68.17.17.17.1.2.cmml" xref="S3.E52.m1.68.68.68.17.17.17.1.2"></times><ci id="S3.E52.m1.68.68.68.17.17.17.1.3.cmml" xref="S3.E52.m1.68.68.68.17.17.17.1.3">𝐵</ci><ci id="S3.E52.m1.68.68.68.17.17.17.1.4.cmml" xref="S3.E52.m1.68.68.68.17.17.17.1.4">𝑉</ci><ci id="S3.E52.m1.68.68.68.17.17.17.1.1.cmml" xref="S3.E52.m1.68.68.68.17.17.17.1.1">Ω</ci></apply></apply><apply id="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.5.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E52.m1.91.91.5b"><times id="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.5.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E52.m1.91.91.5b"></times><ci id="S3.E52.m1.70.70.70.19.19.19.cmml" xref="S3.E52.m1.70.70.70.19.19.19">𝜆</ci><apply id="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.5.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E52.m1.91.91.5b"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.5.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E52.m1.91.91.5b">subscript</csymbol><apply id="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.5.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.E52.m1.91.91.5b"><csymbol cd="latexml" id="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.5.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S3.E52.m1.91.91.5b">delimited-∥∥</csymbol><ci id="S3.E52.m1.72.72.72.21.21.21.cmml" xref="S3.E52.m1.72.72.72.21.21.21">𝑣</ci></apply><apply id="S3.E52.m1.74.74.74.23.23.23.1.cmml" xref="S3.E52.m1.74.74.74.23.23.23.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E52.m1.74.74.74.23.23.23.1.1.cmml" xref="S3.E52.m1.74.74.74.23.23.23.1">superscript</csymbol><ci id="S3.E52.m1.74.74.74.23.23.23.1.2.cmml" xref="S3.E52.m1.74.74.74.23.23.23.1.2">Lip</ci><times id="S3.E52.m1.74.74.74.23.23.23.1.3.cmml" xref="S3.E52.m1.74.74.74.23.23.23.1.3"></times></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.6.2.cmml" xref="S3.E52.m1.91.91.5b"><times id="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.6.2.2.cmml" xref="S3.E52.m1.91.91.5b"></times><apply id="S3.E52.m1.77.77.77.26.26.26.cmml" xref="S3.E52.m1.77.77.77.26.26.26"><divide id="S3.E52.m1.77.77.77.26.26.26.1.cmml" xref="S3.E52.m1.77.77.77.26.26.26"></divide><apply id="S3.E52.m1.77.77.77.26.26.26.2.cmml" xref="S3.E52.m1.77.77.77.26.26.26.2"><times id="S3.E52.m1.77.77.77.26.26.26.2.1.cmml" xref="S3.E52.m1.77.77.77.26.26.26.2.1"></times><apply id="S3.E52.m1.77.77.77.26.26.26.2.2.cmml" xref="S3.E52.m1.77.77.77.26.26.26.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E52.m1.77.77.77.26.26.26.2.2.1.cmml" xref="S3.E52.m1.77.77.77.26.26.26.2.2">superscript</csymbol><ci id="S3.E52.m1.77.77.77.26.26.26.2.2.2.cmml" xref="S3.E52.m1.77.77.77.26.26.26.2.2.2">italic-ϵ</ci><cn id="S3.E52.m1.77.77.77.26.26.26.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E52.m1.77.77.77.26.26.26.2.2.3">2</cn></apply><ci id="S3.E52.m1.77.77.77.26.26.26.2.3.cmml" xref="S3.E52.m1.77.77.77.26.26.26.2.3">𝛼</ci></apply><cn id="S3.E52.m1.77.77.77.26.26.26.3.cmml" type="integer" xref="S3.E52.m1.77.77.77.26.26.26.3">2</cn></apply><apply id="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.6.2.1.cmml" xref="S3.E52.m1.91.91.5b"><apply id="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.6.2.1.2.cmml" xref="S3.E52.m1.91.91.5b"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.6.2.1.2.1.cmml" xref="S3.E52.m1.91.91.5b">subscript</csymbol><int id="S3.E52.m1.78.78.78.27.27.27.cmml" xref="S3.E52.m1.78.78.78.27.27.27"></int><ci id="S3.E52.m1.79.79.79.28.28.28.1.cmml" xref="S3.E52.m1.79.79.79.28.28.28.1">Ω</ci></apply><apply id="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.6.2.1.1.cmml" xref="S3.E52.m1.91.91.5b"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.6.2.1.1.2.cmml" xref="S3.E52.m1.91.91.5b">superscript</csymbol><apply id="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.6.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E52.m1.91.91.5b"><abs id="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.6.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E52.m1.91.91.5b"></abs><apply id="S3.E52.m1.87.87.1.1.1.6.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E52.m1.91.91.5b"><plus id="S3.E52.m1.82.82.82.31.31.31.cmml" xref="S3.E52.m1.82.82.82.31.31.31"></plus><ci id="S3.E52.m1.81.81.81.30.30.30.cmml" xref="S3.E52.m1.81.81.81.30.30.30">𝑢</ci><ci id="S3.E52.m1.83.83.83.32.32.32.cmml" xref="S3.E52.m1.83.83.83.32.32.32">𝑣</ci></apply></apply><cn id="S3.E52.m1.85.85.85.34.34.34.1.cmml" type="integer" xref="S3.E52.m1.85.85.85.34.34.34.1">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E52.m1.91c">\begin{split}&(1+\epsilon)(|u|_{BV(\Omega)}+\lambda\|v\|_{\mathrm{Lip}^{*}})+% \frac{\alpha}{2}\int_{\Omega}|w-\epsilon(u+v)|^{2}\geq|u|_{BV(\Omega)}+\frac{% \alpha}{2}\int_{\Omega}|w|^{2}+\lambda\|v\|_{\mathrm{Lip}^{*}}\\ &\Longrightarrow\epsilon\alpha\langle w,u+v\rangle\leq\epsilon(|u|_{BV(\Omega)% }+\lambda\|v\|_{\mathrm{Lip}^{*}})+\frac{\epsilon^{2}\alpha}{2}\int_{\Omega}|u% +v|^{2}.\end{split}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E52.m1.91d">start_ROW start_CELL end_CELL start_CELL ( 1 + italic_ϵ ) ( | italic_u | start_POSTSUBSCRIPT italic_B italic_V ( roman_Ω ) end_POSTSUBSCRIPT + italic_λ ∥ italic_v ∥ start_POSTSUBSCRIPT roman_Lip start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ) + divide start_ARG italic_α end_ARG start_ARG 2 end_ARG ∫ start_POSTSUBSCRIPT roman_Ω end_POSTSUBSCRIPT | italic_w - italic_ϵ ( italic_u + italic_v ) | start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ≥ | italic_u | start_POSTSUBSCRIPT italic_B italic_V ( roman_Ω ) end_POSTSUBSCRIPT + divide start_ARG italic_α end_ARG start_ARG 2 end_ARG ∫ start_POSTSUBSCRIPT roman_Ω end_POSTSUBSCRIPT | italic_w | start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_λ ∥ italic_v ∥ start_POSTSUBSCRIPT roman_Lip start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL end_CELL start_CELL ⟹ italic_ϵ italic_α ⟨ italic_w , italic_u + italic_v ⟩ ≤ italic_ϵ ( | italic_u | start_POSTSUBSCRIPT italic_B italic_V ( roman_Ω ) end_POSTSUBSCRIPT + italic_λ ∥ italic_v ∥ start_POSTSUBSCRIPT roman_Lip start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ) + divide start_ARG italic_ϵ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_α end_ARG start_ARG 2 end_ARG ∫ start_POSTSUBSCRIPT roman_Ω end_POSTSUBSCRIPT | italic_u + italic_v | start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT . end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(52)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.I3.i2.p2.4">If <math alttext="\epsilon<0" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I3.i2.p2.3.m1.1"><semantics id="S3.I3.i2.p2.3.m1.1a"><mrow id="S3.I3.i2.p2.3.m1.1.1" xref="S3.I3.i2.p2.3.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.I3.i2.p2.3.m1.1.1.2" xref="S3.I3.i2.p2.3.m1.1.1.2.cmml">ϵ</mi><mo id="S3.I3.i2.p2.3.m1.1.1.1" xref="S3.I3.i2.p2.3.m1.1.1.1.cmml"><</mo><mn id="S3.I3.i2.p2.3.m1.1.1.3" xref="S3.I3.i2.p2.3.m1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I3.i2.p2.3.m1.1b"><apply id="S3.I3.i2.p2.3.m1.1.1.cmml" xref="S3.I3.i2.p2.3.m1.1.1"><lt id="S3.I3.i2.p2.3.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.I3.i2.p2.3.m1.1.1.1"></lt><ci id="S3.I3.i2.p2.3.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.I3.i2.p2.3.m1.1.1.2">italic-ϵ</ci><cn id="S3.I3.i2.p2.3.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.I3.i2.p2.3.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I3.i2.p2.3.m1.1c">\epsilon<0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I3.i2.p2.3.m1.1d">italic_ϵ < 0</annotation></semantics></math> and letting <math alttext="\epsilon\to 0" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I3.i2.p2.4.m2.1"><semantics id="S3.I3.i2.p2.4.m2.1a"><mrow id="S3.I3.i2.p2.4.m2.1.1" xref="S3.I3.i2.p2.4.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.I3.i2.p2.4.m2.1.1.2" xref="S3.I3.i2.p2.4.m2.1.1.2.cmml">ϵ</mi><mo id="S3.I3.i2.p2.4.m2.1.1.1" stretchy="false" xref="S3.I3.i2.p2.4.m2.1.1.1.cmml">→</mo><mn id="S3.I3.i2.p2.4.m2.1.1.3" xref="S3.I3.i2.p2.4.m2.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I3.i2.p2.4.m2.1b"><apply id="S3.I3.i2.p2.4.m2.1.1.cmml" xref="S3.I3.i2.p2.4.m2.1.1"><ci id="S3.I3.i2.p2.4.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.I3.i2.p2.4.m2.1.1.1">→</ci><ci id="S3.I3.i2.p2.4.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.I3.i2.p2.4.m2.1.1.2">italic-ϵ</ci><cn id="S3.I3.i2.p2.4.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.I3.i2.p2.4.m2.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I3.i2.p2.4.m2.1c">\epsilon\to 0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I3.i2.p2.4.m2.1d">italic_ϵ → 0</annotation></semantics></math>, we obtain</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E53"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\alpha\langle w,u+v\rangle\geq(|u|_{BV(\Omega)}+\lambda\|v\|_{\mathrm{Lip}^{*}% })." class="ltx_Math" display="block" id="S3.E53.m1.5"><semantics id="S3.E53.m1.5a"><mrow id="S3.E53.m1.5.5.1" xref="S3.E53.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S3.E53.m1.5.5.1.1" xref="S3.E53.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S3.E53.m1.5.5.1.1.1" xref="S3.E53.m1.5.5.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E53.m1.5.5.1.1.1.3" xref="S3.E53.m1.5.5.1.1.1.3.cmml">α</mi><mo id="S3.E53.m1.5.5.1.1.1.2" xref="S3.E53.m1.5.5.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E53.m1.5.5.1.1.1.1.1" xref="S3.E53.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E53.m1.5.5.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E53.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml">⟨</mo><mi id="S3.E53.m1.2.2" xref="S3.E53.m1.2.2.cmml">w</mi><mo id="S3.E53.m1.5.5.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E53.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml">,</mo><mrow id="S3.E53.m1.5.5.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E53.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E53.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E53.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml">u</mi><mo id="S3.E53.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E53.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mi id="S3.E53.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E53.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml">v</mi></mrow><mo id="S3.E53.m1.5.5.1.1.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.E53.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E53.m1.5.5.1.1.3" xref="S3.E53.m1.5.5.1.1.3.cmml">≥</mo><mrow id="S3.E53.m1.5.5.1.1.2.1" xref="S3.E53.m1.5.5.1.1.2.1.1.cmml"><mo id="S3.E53.m1.5.5.1.1.2.1.2" stretchy="false" xref="S3.E53.m1.5.5.1.1.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E53.m1.5.5.1.1.2.1.1" xref="S3.E53.m1.5.5.1.1.2.1.1.cmml"><msub id="S3.E53.m1.5.5.1.1.2.1.1.2" xref="S3.E53.m1.5.5.1.1.2.1.1.2.cmml"><mrow id="S3.E53.m1.5.5.1.1.2.1.1.2.2.2" xref="S3.E53.m1.5.5.1.1.2.1.1.2.2.1.cmml"><mo id="S3.E53.m1.5.5.1.1.2.1.1.2.2.2.1" stretchy="false" xref="S3.E53.m1.5.5.1.1.2.1.1.2.2.1.1.cmml">|</mo><mi id="S3.E53.m1.3.3" xref="S3.E53.m1.3.3.cmml">u</mi><mo id="S3.E53.m1.5.5.1.1.2.1.1.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S3.E53.m1.5.5.1.1.2.1.1.2.2.1.1.cmml">|</mo></mrow><mrow id="S3.E53.m1.1.1.1" xref="S3.E53.m1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E53.m1.1.1.1.3" xref="S3.E53.m1.1.1.1.3.cmml">B</mi><mo id="S3.E53.m1.1.1.1.2" xref="S3.E53.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E53.m1.1.1.1.4" xref="S3.E53.m1.1.1.1.4.cmml">V</mi><mo id="S3.E53.m1.1.1.1.2a" xref="S3.E53.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E53.m1.1.1.1.5.2" xref="S3.E53.m1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E53.m1.1.1.1.5.2.1" stretchy="false" xref="S3.E53.m1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E53.m1.1.1.1.1" mathvariant="normal" xref="S3.E53.m1.1.1.1.1.cmml">Ω</mi><mo id="S3.E53.m1.1.1.1.5.2.2" stretchy="false" xref="S3.E53.m1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msub><mo id="S3.E53.m1.5.5.1.1.2.1.1.1" xref="S3.E53.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.E53.m1.5.5.1.1.2.1.1.3" xref="S3.E53.m1.5.5.1.1.2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E53.m1.5.5.1.1.2.1.1.3.2" xref="S3.E53.m1.5.5.1.1.2.1.1.3.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.E53.m1.5.5.1.1.2.1.1.3.1" xref="S3.E53.m1.5.5.1.1.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E53.m1.5.5.1.1.2.1.1.3.3" xref="S3.E53.m1.5.5.1.1.2.1.1.3.3.cmml"><mrow id="S3.E53.m1.5.5.1.1.2.1.1.3.3.2.2" xref="S3.E53.m1.5.5.1.1.2.1.1.3.3.2.1.cmml"><mo id="S3.E53.m1.5.5.1.1.2.1.1.3.3.2.2.1" stretchy="false" xref="S3.E53.m1.5.5.1.1.2.1.1.3.3.2.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S3.E53.m1.4.4" xref="S3.E53.m1.4.4.cmml">v</mi><mo id="S3.E53.m1.5.5.1.1.2.1.1.3.3.2.2.2" stretchy="false" xref="S3.E53.m1.5.5.1.1.2.1.1.3.3.2.1.1.cmml">‖</mo></mrow><msup id="S3.E53.m1.5.5.1.1.2.1.1.3.3.3" xref="S3.E53.m1.5.5.1.1.2.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S3.E53.m1.5.5.1.1.2.1.1.3.3.3.2" xref="S3.E53.m1.5.5.1.1.2.1.1.3.3.3.2.cmml">Lip</mi><mo id="S3.E53.m1.5.5.1.1.2.1.1.3.3.3.3" xref="S3.E53.m1.5.5.1.1.2.1.1.3.3.3.3.cmml">∗</mo></msup></msub></mrow></mrow><mo id="S3.E53.m1.5.5.1.1.2.1.3" stretchy="false" xref="S3.E53.m1.5.5.1.1.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E53.m1.5.5.1.2" lspace="0em" xref="S3.E53.m1.5.5.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E53.m1.5b"><apply id="S3.E53.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S3.E53.m1.5.5.1"><geq id="S3.E53.m1.5.5.1.1.3.cmml" xref="S3.E53.m1.5.5.1.1.3"></geq><apply id="S3.E53.m1.5.5.1.1.1.cmml" xref="S3.E53.m1.5.5.1.1.1"><times id="S3.E53.m1.5.5.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E53.m1.5.5.1.1.1.2"></times><ci id="S3.E53.m1.5.5.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E53.m1.5.5.1.1.1.3">𝛼</ci><list id="S3.E53.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E53.m1.5.5.1.1.1.1.1"><ci id="S3.E53.m1.2.2.cmml" xref="S3.E53.m1.2.2">𝑤</ci><apply id="S3.E53.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E53.m1.5.5.1.1.1.1.1.1"><plus id="S3.E53.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E53.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S3.E53.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E53.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2">𝑢</ci><ci id="S3.E53.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E53.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3">𝑣</ci></apply></list></apply><apply id="S3.E53.m1.5.5.1.1.2.1.1.cmml" xref="S3.E53.m1.5.5.1.1.2.1"><plus id="S3.E53.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S3.E53.m1.5.5.1.1.2.1.1.1"></plus><apply id="S3.E53.m1.5.5.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S3.E53.m1.5.5.1.1.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E53.m1.5.5.1.1.2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E53.m1.5.5.1.1.2.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S3.E53.m1.5.5.1.1.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E53.m1.5.5.1.1.2.1.1.2.2.2"><abs id="S3.E53.m1.5.5.1.1.2.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.E53.m1.5.5.1.1.2.1.1.2.2.2.1"></abs><ci id="S3.E53.m1.3.3.cmml" xref="S3.E53.m1.3.3">𝑢</ci></apply><apply id="S3.E53.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.E53.m1.1.1.1"><times id="S3.E53.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E53.m1.1.1.1.2"></times><ci id="S3.E53.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E53.m1.1.1.1.3">𝐵</ci><ci id="S3.E53.m1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.E53.m1.1.1.1.4">𝑉</ci><ci id="S3.E53.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E53.m1.1.1.1.1">Ω</ci></apply></apply><apply id="S3.E53.m1.5.5.1.1.2.1.1.3.cmml" xref="S3.E53.m1.5.5.1.1.2.1.1.3"><times id="S3.E53.m1.5.5.1.1.2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E53.m1.5.5.1.1.2.1.1.3.1"></times><ci id="S3.E53.m1.5.5.1.1.2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E53.m1.5.5.1.1.2.1.1.3.2">𝜆</ci><apply id="S3.E53.m1.5.5.1.1.2.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E53.m1.5.5.1.1.2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E53.m1.5.5.1.1.2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E53.m1.5.5.1.1.2.1.1.3.3">subscript</csymbol><apply id="S3.E53.m1.5.5.1.1.2.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S3.E53.m1.5.5.1.1.2.1.1.3.3.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.E53.m1.5.5.1.1.2.1.1.3.3.2.1.1.cmml" xref="S3.E53.m1.5.5.1.1.2.1.1.3.3.2.2.1">norm</csymbol><ci id="S3.E53.m1.4.4.cmml" xref="S3.E53.m1.4.4">𝑣</ci></apply><apply id="S3.E53.m1.5.5.1.1.2.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.E53.m1.5.5.1.1.2.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E53.m1.5.5.1.1.2.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S3.E53.m1.5.5.1.1.2.1.1.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E53.m1.5.5.1.1.2.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S3.E53.m1.5.5.1.1.2.1.1.3.3.3.2">Lip</ci><times id="S3.E53.m1.5.5.1.1.2.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S3.E53.m1.5.5.1.1.2.1.1.3.3.3.3"></times></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E53.m1.5c">\alpha\langle w,u+v\rangle\geq(|u|_{BV(\Omega)}+\lambda\|v\|_{\mathrm{Lip}^{*}% }).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E53.m1.5d">italic_α ⟨ italic_w , italic_u + italic_v ⟩ ≥ ( | italic_u | start_POSTSUBSCRIPT italic_B italic_V ( roman_Ω ) end_POSTSUBSCRIPT + italic_λ ∥ italic_v ∥ start_POSTSUBSCRIPT roman_Lip start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(53)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.I3.i2.p2.5">Combining (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S3.E53" title="In item 2 ‣ Proof ‣ 3.3 Characterization of minimizers ‣ 3 The Proposed Image Restoration Models ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">53</span></a>) and (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S3.E51" title="In item 2 ‣ Proof ‣ 3.3 Characterization of minimizers ‣ 3 The Proposed Image Restoration Models ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">51</span></a>), we obtain the desired results,</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E54"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\|w\|_{*,\lambda}=\frac{1}{\alpha},\quad\alpha\langle w,u+v\rangle=(|u|_{BV(% \Omega)}+\lambda\|v\|_{\mathrm{Lip}^{*}})." class="ltx_Math" display="block" id="S3.E54.m1.8"><semantics id="S3.E54.m1.8a"><mrow id="S3.E54.m1.8.8.1"><mrow id="S3.E54.m1.8.8.1.1.2" xref="S3.E54.m1.8.8.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.E54.m1.8.8.1.1.1.1" xref="S3.E54.m1.8.8.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E54.m1.8.8.1.1.1.1.2" xref="S3.E54.m1.8.8.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S3.E54.m1.8.8.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.E54.m1.8.8.1.1.1.1.2.2.1.cmml"><mo id="S3.E54.m1.8.8.1.1.1.1.2.2.2.1" stretchy="false" xref="S3.E54.m1.8.8.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S3.E54.m1.4.4" xref="S3.E54.m1.4.4.cmml">w</mi><mo id="S3.E54.m1.8.8.1.1.1.1.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S3.E54.m1.8.8.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml">‖</mo></mrow><mrow id="S3.E54.m1.2.2.2.4" xref="S3.E54.m1.2.2.2.3.cmml"><mo id="S3.E54.m1.1.1.1.1" rspace="0em" xref="S3.E54.m1.1.1.1.1.cmml">∗</mo><mo id="S3.E54.m1.2.2.2.4.1" xref="S3.E54.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.E54.m1.2.2.2.2" xref="S3.E54.m1.2.2.2.2.cmml">λ</mi></mrow></msub><mo id="S3.E54.m1.8.8.1.1.1.1.1" xref="S3.E54.m1.8.8.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mfrac id="S3.E54.m1.8.8.1.1.1.1.3" xref="S3.E54.m1.8.8.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S3.E54.m1.8.8.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E54.m1.8.8.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mi id="S3.E54.m1.8.8.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E54.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.cmml">α</mi></mfrac></mrow><mo id="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.3" rspace="1.167em" xref="S3.E54.m1.8.8.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2" xref="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.1" xref="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.1.cmml"><mi id="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.1.3" xref="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.1.3.cmml">α</mi><mo id="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.1.2" xref="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1" xref="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.2.cmml">⟨</mo><mi id="S3.E54.m1.5.5" xref="S3.E54.m1.5.5.cmml">w</mi><mo id="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.3" xref="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.2.cmml">,</mo><mrow id="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1" xref="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">u</mi><mo id="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mi id="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">v</mi></mrow><mo id="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.2.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.3" xref="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.2.1" xref="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1" xref="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.cmml"><msub id="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.2" xref="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.2.cmml"><mrow id="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2" xref="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.2.2.1.cmml"><mo id="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.1" stretchy="false" xref="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.2.2.1.1.cmml">|</mo><mi id="S3.E54.m1.6.6" xref="S3.E54.m1.6.6.cmml">u</mi><mo id="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.2.2.1.1.cmml">|</mo></mrow><mrow id="S3.E54.m1.3.3.1" xref="S3.E54.m1.3.3.1.cmml"><mi id="S3.E54.m1.3.3.1.3" xref="S3.E54.m1.3.3.1.3.cmml">B</mi><mo id="S3.E54.m1.3.3.1.2" xref="S3.E54.m1.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E54.m1.3.3.1.4" xref="S3.E54.m1.3.3.1.4.cmml">V</mi><mo id="S3.E54.m1.3.3.1.2a" xref="S3.E54.m1.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E54.m1.3.3.1.5.2" xref="S3.E54.m1.3.3.1.cmml"><mo id="S3.E54.m1.3.3.1.5.2.1" stretchy="false" xref="S3.E54.m1.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E54.m1.3.3.1.1" mathvariant="normal" xref="S3.E54.m1.3.3.1.1.cmml">Ω</mi><mo id="S3.E54.m1.3.3.1.5.2.2" stretchy="false" xref="S3.E54.m1.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msub><mo id="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.1" xref="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.3" xref="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.3.2" xref="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.3.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.3.1" xref="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.3.3" xref="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.3.3.cmml"><mrow id="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.3.3.2.2" xref="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.3.3.2.1.cmml"><mo id="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.3.3.2.2.1" stretchy="false" xref="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.3.3.2.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S3.E54.m1.7.7" xref="S3.E54.m1.7.7.cmml">v</mi><mo id="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.3.3.2.2.2" stretchy="false" xref="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.3.3.2.1.1.cmml">‖</mo></mrow><msup id="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.3.3.3" xref="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.3.3.3.2" xref="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.3.3.3.2.cmml">Lip</mi><mo id="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.3.3.3.3" xref="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.3.3.3.3.cmml">∗</mo></msup></msub></mrow></mrow><mo id="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E54.m1.8.8.1.2" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E54.m1.8b"><apply id="S3.E54.m1.8.8.1.1.3.cmml" xref="S3.E54.m1.8.8.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E54.m1.8.8.1.1.3a.cmml" xref="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.E54.m1.8.8.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E54.m1.8.8.1.1.1.1"><eq id="S3.E54.m1.8.8.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E54.m1.8.8.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S3.E54.m1.8.8.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E54.m1.8.8.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E54.m1.8.8.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E54.m1.8.8.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S3.E54.m1.8.8.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E54.m1.8.8.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.E54.m1.8.8.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.E54.m1.8.8.1.1.1.1.2.2.2.1">norm</csymbol><ci id="S3.E54.m1.4.4.cmml" xref="S3.E54.m1.4.4">𝑤</ci></apply><list id="S3.E54.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E54.m1.2.2.2.4"><times id="S3.E54.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E54.m1.1.1.1.1"></times><ci id="S3.E54.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E54.m1.2.2.2.2">𝜆</ci></list></apply><apply id="S3.E54.m1.8.8.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E54.m1.8.8.1.1.1.1.3"><divide id="S3.E54.m1.8.8.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E54.m1.8.8.1.1.1.1.3"></divide><cn id="S3.E54.m1.8.8.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.E54.m1.8.8.1.1.1.1.3.2">1</cn><ci id="S3.E54.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E54.m1.8.8.1.1.1.1.3.3">𝛼</ci></apply></apply><apply id="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2"><eq id="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.3"></eq><apply id="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.1"><times id="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.1.2"></times><ci id="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.1.3.cmml" xref="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.1.3">𝛼</ci><list id="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1"><ci id="S3.E54.m1.5.5.cmml" xref="S3.E54.m1.5.5">𝑤</ci><apply id="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1"><plus id="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.2">𝑢</ci><ci id="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.3">𝑣</ci></apply></list></apply><apply id="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.2.1"><plus id="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.1"></plus><apply id="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2"><abs id="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.1"></abs><ci id="S3.E54.m1.6.6.cmml" xref="S3.E54.m1.6.6">𝑢</ci></apply><apply id="S3.E54.m1.3.3.1.cmml" xref="S3.E54.m1.3.3.1"><times id="S3.E54.m1.3.3.1.2.cmml" xref="S3.E54.m1.3.3.1.2"></times><ci id="S3.E54.m1.3.3.1.3.cmml" xref="S3.E54.m1.3.3.1.3">𝐵</ci><ci id="S3.E54.m1.3.3.1.4.cmml" xref="S3.E54.m1.3.3.1.4">𝑉</ci><ci id="S3.E54.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S3.E54.m1.3.3.1.1">Ω</ci></apply></apply><apply id="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.3"><times id="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.3.1"></times><ci id="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.3.2">𝜆</ci><apply id="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.3.3">subscript</csymbol><apply id="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.3.3.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.3.3.2.1.1.cmml" xref="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.3.3.2.2.1">norm</csymbol><ci id="S3.E54.m1.7.7.cmml" xref="S3.E54.m1.7.7">𝑣</ci></apply><apply id="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.3.3.3.2">Lip</ci><times id="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S3.E54.m1.8.8.1.1.2.2.2.1.1.3.3.3.3"></times></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E54.m1.8c">\|w\|_{*,\lambda}=\frac{1}{\alpha},\quad\alpha\langle w,u+v\rangle=(|u|_{BV(% \Omega)}+\lambda\|v\|_{\mathrm{Lip}^{*}}).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E54.m1.8d">∥ italic_w ∥ start_POSTSUBSCRIPT ∗ , italic_λ end_POSTSUBSCRIPT = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_α end_ARG , italic_α ⟨ italic_w , italic_u + italic_v ⟩ = ( | italic_u | start_POSTSUBSCRIPT italic_B italic_V ( roman_Ω ) end_POSTSUBSCRIPT + italic_λ ∥ italic_v ∥ start_POSTSUBSCRIPT roman_Lip start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(54)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S3.I3.i2.p3"> <p class="ltx_p" id="S3.I3.i2.p3.3">Conversely, if (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S3.E54" title="In item 2 ‣ Proof ‣ 3.3 Characterization of minimizers ‣ 3 The Proposed Image Restoration Models ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">54</span></a>) holds for some <math alttext="(u,v,w)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I3.i2.p3.1.m1.3"><semantics id="S3.I3.i2.p3.1.m1.3a"><mrow id="S3.I3.i2.p3.1.m1.3.4.2" xref="S3.I3.i2.p3.1.m1.3.4.1.cmml"><mo id="S3.I3.i2.p3.1.m1.3.4.2.1" stretchy="false" xref="S3.I3.i2.p3.1.m1.3.4.1.cmml">(</mo><mi id="S3.I3.i2.p3.1.m1.1.1" xref="S3.I3.i2.p3.1.m1.1.1.cmml">u</mi><mo id="S3.I3.i2.p3.1.m1.3.4.2.2" xref="S3.I3.i2.p3.1.m1.3.4.1.cmml">,</mo><mi id="S3.I3.i2.p3.1.m1.2.2" xref="S3.I3.i2.p3.1.m1.2.2.cmml">v</mi><mo id="S3.I3.i2.p3.1.m1.3.4.2.3" xref="S3.I3.i2.p3.1.m1.3.4.1.cmml">,</mo><mi id="S3.I3.i2.p3.1.m1.3.3" xref="S3.I3.i2.p3.1.m1.3.3.cmml">w</mi><mo id="S3.I3.i2.p3.1.m1.3.4.2.4" stretchy="false" xref="S3.I3.i2.p3.1.m1.3.4.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I3.i2.p3.1.m1.3b"><vector id="S3.I3.i2.p3.1.m1.3.4.1.cmml" xref="S3.I3.i2.p3.1.m1.3.4.2"><ci id="S3.I3.i2.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.I3.i2.p3.1.m1.1.1">𝑢</ci><ci id="S3.I3.i2.p3.1.m1.2.2.cmml" xref="S3.I3.i2.p3.1.m1.2.2">𝑣</ci><ci id="S3.I3.i2.p3.1.m1.3.3.cmml" xref="S3.I3.i2.p3.1.m1.3.3">𝑤</ci></vector></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I3.i2.p3.1.m1.3c">(u,v,w)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I3.i2.p3.1.m1.3d">( italic_u , italic_v , italic_w )</annotation></semantics></math>, then for any <math alttext="g\in BV,h\in H" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I3.i2.p3.2.m2.2"><semantics id="S3.I3.i2.p3.2.m2.2a"><mrow id="S3.I3.i2.p3.2.m2.2.2.2" xref="S3.I3.i2.p3.2.m2.2.2.3.cmml"><mrow id="S3.I3.i2.p3.2.m2.1.1.1.1" xref="S3.I3.i2.p3.2.m2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.I3.i2.p3.2.m2.1.1.1.1.2" xref="S3.I3.i2.p3.2.m2.1.1.1.1.2.cmml">g</mi><mo id="S3.I3.i2.p3.2.m2.1.1.1.1.1" xref="S3.I3.i2.p3.2.m2.1.1.1.1.1.cmml">∈</mo><mrow id="S3.I3.i2.p3.2.m2.1.1.1.1.3" xref="S3.I3.i2.p3.2.m2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.I3.i2.p3.2.m2.1.1.1.1.3.2" xref="S3.I3.i2.p3.2.m2.1.1.1.1.3.2.cmml">B</mi><mo id="S3.I3.i2.p3.2.m2.1.1.1.1.3.1" xref="S3.I3.i2.p3.2.m2.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.I3.i2.p3.2.m2.1.1.1.1.3.3" xref="S3.I3.i2.p3.2.m2.1.1.1.1.3.3.cmml">V</mi></mrow></mrow><mo id="S3.I3.i2.p3.2.m2.2.2.2.3" xref="S3.I3.i2.p3.2.m2.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.I3.i2.p3.2.m2.2.2.2.2" xref="S3.I3.i2.p3.2.m2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.I3.i2.p3.2.m2.2.2.2.2.2" xref="S3.I3.i2.p3.2.m2.2.2.2.2.2.cmml">h</mi><mo id="S3.I3.i2.p3.2.m2.2.2.2.2.1" xref="S3.I3.i2.p3.2.m2.2.2.2.2.1.cmml">∈</mo><mi id="S3.I3.i2.p3.2.m2.2.2.2.2.3" xref="S3.I3.i2.p3.2.m2.2.2.2.2.3.cmml">H</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I3.i2.p3.2.m2.2b"><apply id="S3.I3.i2.p3.2.m2.2.2.3.cmml" xref="S3.I3.i2.p3.2.m2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I3.i2.p3.2.m2.2.2.3a.cmml" xref="S3.I3.i2.p3.2.m2.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.I3.i2.p3.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I3.i2.p3.2.m2.1.1.1.1"><in id="S3.I3.i2.p3.2.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I3.i2.p3.2.m2.1.1.1.1.1"></in><ci id="S3.I3.i2.p3.2.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I3.i2.p3.2.m2.1.1.1.1.2">𝑔</ci><apply id="S3.I3.i2.p3.2.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I3.i2.p3.2.m2.1.1.1.1.3"><times id="S3.I3.i2.p3.2.m2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I3.i2.p3.2.m2.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.I3.i2.p3.2.m2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.I3.i2.p3.2.m2.1.1.1.1.3.2">𝐵</ci><ci id="S3.I3.i2.p3.2.m2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.I3.i2.p3.2.m2.1.1.1.1.3.3">𝑉</ci></apply></apply><apply id="S3.I3.i2.p3.2.m2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.I3.i2.p3.2.m2.2.2.2.2"><in id="S3.I3.i2.p3.2.m2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.I3.i2.p3.2.m2.2.2.2.2.1"></in><ci id="S3.I3.i2.p3.2.m2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.I3.i2.p3.2.m2.2.2.2.2.2">ℎ</ci><ci id="S3.I3.i2.p3.2.m2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.I3.i2.p3.2.m2.2.2.2.2.3">𝐻</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I3.i2.p3.2.m2.2c">g\in BV,h\in H</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I3.i2.p3.2.m2.2d">italic_g ∈ italic_B italic_V , italic_h ∈ italic_H</annotation></semantics></math> and <math alttext="\epsilon\in\mathbb{R}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I3.i2.p3.3.m3.1"><semantics id="S3.I3.i2.p3.3.m3.1a"><mrow id="S3.I3.i2.p3.3.m3.1.1" xref="S3.I3.i2.p3.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.I3.i2.p3.3.m3.1.1.2" xref="S3.I3.i2.p3.3.m3.1.1.2.cmml">ϵ</mi><mo id="S3.I3.i2.p3.3.m3.1.1.1" xref="S3.I3.i2.p3.3.m3.1.1.1.cmml">∈</mo><mi id="S3.I3.i2.p3.3.m3.1.1.3" xref="S3.I3.i2.p3.3.m3.1.1.3.cmml">ℝ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I3.i2.p3.3.m3.1b"><apply id="S3.I3.i2.p3.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.I3.i2.p3.3.m3.1.1"><in id="S3.I3.i2.p3.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.I3.i2.p3.3.m3.1.1.1"></in><ci id="S3.I3.i2.p3.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.I3.i2.p3.3.m3.1.1.2">italic-ϵ</ci><ci id="S3.I3.i2.p3.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.I3.i2.p3.3.m3.1.1.3">ℝ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I3.i2.p3.3.m3.1c">\epsilon\in\mathbb{R}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I3.i2.p3.3.m3.1d">italic_ϵ ∈ blackboard_R</annotation></semantics></math>, we have</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E55"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\begin{split}&|u+\epsilon g|_{BV(\Omega)}+\lambda\|v+\epsilon h\|_{\mathrm{Lip% }^{*}}+\frac{\alpha}{2}\int_{\Omega}|w-\epsilon(g+h)|^{2}\\ &\geq\alpha\langle w,u+\epsilon g+v+\epsilon h\rangle+\frac{\alpha}{2}(\int_{% \Omega}|w|^{2}+\epsilon^{2}\int_{\Omega}|g+h|^{2}-2\epsilon\langle w,g+h% \rangle)\\ &=\frac{\alpha}{2}\langle w,u+v\rangle+\frac{\alpha}{2}\int_{\Omega}|w|^{2}=|u% |_{BV(\Omega)}+\lambda\|v\|_{\mathrm{Lip}^{*}}+\frac{\alpha}{2}\int_{\Omega}|w% |^{2}.\end{split}" class="ltx_Math" display="block" id="S3.E55.m1.121"><semantics id="S3.E55.m1.121a"><mtable columnspacing="0pt" displaystyle="true" id="S3.E55.m1.121.121.7" rowspacing="0pt"><mtr id="S3.E55.m1.121.121.7a"><mtd id="S3.E55.m1.121.121.7b" xref="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.cmml"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S3.E55.m1.121.121.7c"><mrow id="S3.E55.m1.118.118.4.117.34.34"><msub id="S3.E55.m1.116.116.2.115.32.32.32"><mrow id="S3.E55.m1.116.116.2.115.32.32.32.1.1"><mo id="S3.E55.m1.1.1.1.1.1.1" stretchy="false" xref="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.cmml">|</mo><mrow id="S3.E55.m1.116.116.2.115.32.32.32.1.1.1"><mi id="S3.E55.m1.2.2.2.2.2.2" xref="S3.E55.m1.2.2.2.2.2.2.cmml">u</mi><mo id="S3.E55.m1.3.3.3.3.3.3" xref="S3.E55.m1.3.3.3.3.3.3.cmml">+</mo><mrow id="S3.E55.m1.116.116.2.115.32.32.32.1.1.1.1"><mi id="S3.E55.m1.4.4.4.4.4.4" xref="S3.E55.m1.4.4.4.4.4.4.cmml">ϵ</mi><mo id="S3.E55.m1.116.116.2.115.32.32.32.1.1.1.1.1" xref="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E55.m1.5.5.5.5.5.5" xref="S3.E55.m1.5.5.5.5.5.5.cmml">g</mi></mrow></mrow><mo id="S3.E55.m1.6.6.6.6.6.6" stretchy="false" xref="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.cmml">|</mo></mrow><mrow id="S3.E55.m1.7.7.7.7.7.7.1" xref="S3.E55.m1.7.7.7.7.7.7.1.cmml"><mi id="S3.E55.m1.7.7.7.7.7.7.1.3" xref="S3.E55.m1.7.7.7.7.7.7.1.3.cmml">B</mi><mo id="S3.E55.m1.7.7.7.7.7.7.1.2" xref="S3.E55.m1.7.7.7.7.7.7.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E55.m1.7.7.7.7.7.7.1.4" xref="S3.E55.m1.7.7.7.7.7.7.1.4.cmml">V</mi><mo id="S3.E55.m1.7.7.7.7.7.7.1.2a" xref="S3.E55.m1.7.7.7.7.7.7.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E55.m1.7.7.7.7.7.7.1.5.2" xref="S3.E55.m1.7.7.7.7.7.7.1.cmml"><mo id="S3.E55.m1.7.7.7.7.7.7.1.5.2.1" stretchy="false" xref="S3.E55.m1.7.7.7.7.7.7.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E55.m1.7.7.7.7.7.7.1.1" mathvariant="normal" xref="S3.E55.m1.7.7.7.7.7.7.1.1.cmml">Ω</mi><mo id="S3.E55.m1.7.7.7.7.7.7.1.5.2.2" stretchy="false" xref="S3.E55.m1.7.7.7.7.7.7.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msub><mo id="S3.E55.m1.8.8.8.8.8.8" xref="S3.E55.m1.8.8.8.8.8.8.cmml">+</mo><mrow id="S3.E55.m1.117.117.3.116.33.33.33"><mi id="S3.E55.m1.9.9.9.9.9.9" xref="S3.E55.m1.9.9.9.9.9.9.cmml">λ</mi><mo id="S3.E55.m1.117.117.3.116.33.33.33.2" xref="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E55.m1.117.117.3.116.33.33.33.1"><mrow id="S3.E55.m1.117.117.3.116.33.33.33.1.1.1"><mo id="S3.E55.m1.10.10.10.10.10.10" stretchy="false" xref="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.cmml">‖</mo><mrow id="S3.E55.m1.117.117.3.116.33.33.33.1.1.1.1"><mi id="S3.E55.m1.11.11.11.11.11.11" xref="S3.E55.m1.11.11.11.11.11.11.cmml">v</mi><mo id="S3.E55.m1.12.12.12.12.12.12" xref="S3.E55.m1.12.12.12.12.12.12.cmml">+</mo><mrow id="S3.E55.m1.117.117.3.116.33.33.33.1.1.1.1.1"><mi id="S3.E55.m1.13.13.13.13.13.13" xref="S3.E55.m1.13.13.13.13.13.13.cmml">ϵ</mi><mo id="S3.E55.m1.117.117.3.116.33.33.33.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E55.m1.14.14.14.14.14.14" xref="S3.E55.m1.14.14.14.14.14.14.cmml">h</mi></mrow></mrow><mo id="S3.E55.m1.15.15.15.15.15.15" stretchy="false" xref="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.cmml">‖</mo></mrow><msup id="S3.E55.m1.16.16.16.16.16.16.1" xref="S3.E55.m1.16.16.16.16.16.16.1.cmml"><mi id="S3.E55.m1.16.16.16.16.16.16.1.2" xref="S3.E55.m1.16.16.16.16.16.16.1.2.cmml">Lip</mi><mo id="S3.E55.m1.16.16.16.16.16.16.1.3" xref="S3.E55.m1.16.16.16.16.16.16.1.3.cmml">∗</mo></msup></msub></mrow><mo id="S3.E55.m1.8.8.8.8.8.8a" xref="S3.E55.m1.8.8.8.8.8.8.cmml">+</mo><mrow id="S3.E55.m1.118.118.4.117.34.34.34"><mfrac id="S3.E55.m1.18.18.18.18.18.18" xref="S3.E55.m1.18.18.18.18.18.18.cmml"><mi id="S3.E55.m1.18.18.18.18.18.18.2" xref="S3.E55.m1.18.18.18.18.18.18.2.cmml">α</mi><mn id="S3.E55.m1.18.18.18.18.18.18.3" xref="S3.E55.m1.18.18.18.18.18.18.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S3.E55.m1.118.118.4.117.34.34.34.2" xref="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E55.m1.118.118.4.117.34.34.34.1"><msub id="S3.E55.m1.118.118.4.117.34.34.34.1.2"><mo id="S3.E55.m1.19.19.19.19.19.19" rspace="0em" xref="S3.E55.m1.19.19.19.19.19.19.cmml">∫</mo><mi id="S3.E55.m1.20.20.20.20.20.20.1" mathvariant="normal" xref="S3.E55.m1.20.20.20.20.20.20.1.cmml">Ω</mi></msub><msup id="S3.E55.m1.118.118.4.117.34.34.34.1.1"><mrow id="S3.E55.m1.118.118.4.117.34.34.34.1.1.1.1"><mo id="S3.E55.m1.21.21.21.21.21.21" stretchy="false" xref="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.cmml">|</mo><mrow id="S3.E55.m1.118.118.4.117.34.34.34.1.1.1.1.1"><mi id="S3.E55.m1.22.22.22.22.22.22" xref="S3.E55.m1.22.22.22.22.22.22.cmml">w</mi><mo id="S3.E55.m1.23.23.23.23.23.23" xref="S3.E55.m1.23.23.23.23.23.23.cmml">−</mo><mrow id="S3.E55.m1.118.118.4.117.34.34.34.1.1.1.1.1.1"><mi id="S3.E55.m1.24.24.24.24.24.24" xref="S3.E55.m1.24.24.24.24.24.24.cmml">ϵ</mi><mo id="S3.E55.m1.118.118.4.117.34.34.34.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E55.m1.118.118.4.117.34.34.34.1.1.1.1.1.1.1.1"><mo id="S3.E55.m1.25.25.25.25.25.25" stretchy="false" xref="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E55.m1.118.118.4.117.34.34.34.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><mi id="S3.E55.m1.26.26.26.26.26.26" xref="S3.E55.m1.26.26.26.26.26.26.cmml">g</mi><mo id="S3.E55.m1.27.27.27.27.27.27" xref="S3.E55.m1.27.27.27.27.27.27.cmml">+</mo><mi id="S3.E55.m1.28.28.28.28.28.28" xref="S3.E55.m1.28.28.28.28.28.28.cmml">h</mi></mrow><mo id="S3.E55.m1.29.29.29.29.29.29" stretchy="false" xref="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E55.m1.30.30.30.30.30.30" stretchy="false" xref="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.cmml">|</mo></mrow><mn id="S3.E55.m1.31.31.31.31.31.31.1" xref="S3.E55.m1.31.31.31.31.31.31.1.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="S3.E55.m1.121.121.7d"><mtd id="S3.E55.m1.121.121.7e" xref="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.cmml"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S3.E55.m1.121.121.7f"><mrow id="S3.E55.m1.120.120.6.119.48.48"><mi id="S3.E55.m1.120.120.6.119.48.48.49" xref="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.cmml"></mi><mo id="S3.E55.m1.32.32.32.1.1.1" xref="S3.E55.m1.32.32.32.1.1.1.cmml">≥</mo><mrow id="S3.E55.m1.120.120.6.119.48.48.48"><mrow id="S3.E55.m1.119.119.5.118.47.47.47.1"><mi id="S3.E55.m1.33.33.33.2.2.2" xref="S3.E55.m1.33.33.33.2.2.2.cmml">α</mi><mo id="S3.E55.m1.119.119.5.118.47.47.47.1.2" xref="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E55.m1.119.119.5.118.47.47.47.1.1.1"><mo id="S3.E55.m1.34.34.34.3.3.3" stretchy="false" xref="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.cmml">⟨</mo><mi id="S3.E55.m1.35.35.35.4.4.4" xref="S3.E55.m1.35.35.35.4.4.4.cmml">w</mi><mo id="S3.E55.m1.36.36.36.5.5.5" xref="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.cmml">,</mo><mrow id="S3.E55.m1.119.119.5.118.47.47.47.1.1.1.1"><mi id="S3.E55.m1.37.37.37.6.6.6" xref="S3.E55.m1.37.37.37.6.6.6.cmml">u</mi><mo id="S3.E55.m1.38.38.38.7.7.7" xref="S3.E55.m1.38.38.38.7.7.7.cmml">+</mo><mrow id="S3.E55.m1.119.119.5.118.47.47.47.1.1.1.1.1"><mi id="S3.E55.m1.39.39.39.8.8.8" xref="S3.E55.m1.39.39.39.8.8.8.cmml">ϵ</mi><mo id="S3.E55.m1.119.119.5.118.47.47.47.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E55.m1.40.40.40.9.9.9" xref="S3.E55.m1.40.40.40.9.9.9.cmml">g</mi></mrow><mo id="S3.E55.m1.38.38.38.7.7.7a" xref="S3.E55.m1.38.38.38.7.7.7.cmml">+</mo><mi id="S3.E55.m1.42.42.42.11.11.11" xref="S3.E55.m1.42.42.42.11.11.11.cmml">v</mi><mo id="S3.E55.m1.38.38.38.7.7.7b" xref="S3.E55.m1.38.38.38.7.7.7.cmml">+</mo><mrow id="S3.E55.m1.119.119.5.118.47.47.47.1.1.1.1.2"><mi id="S3.E55.m1.44.44.44.13.13.13" xref="S3.E55.m1.44.44.44.13.13.13.cmml">ϵ</mi><mo id="S3.E55.m1.119.119.5.118.47.47.47.1.1.1.1.2.1" xref="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E55.m1.45.45.45.14.14.14" xref="S3.E55.m1.45.45.45.14.14.14.cmml">h</mi></mrow></mrow><mo id="S3.E55.m1.46.46.46.15.15.15" stretchy="false" xref="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E55.m1.47.47.47.16.16.16" xref="S3.E55.m1.47.47.47.16.16.16.cmml">+</mo><mrow id="S3.E55.m1.120.120.6.119.48.48.48.2"><mfrac id="S3.E55.m1.48.48.48.17.17.17" xref="S3.E55.m1.48.48.48.17.17.17.cmml"><mi id="S3.E55.m1.48.48.48.17.17.17.2" xref="S3.E55.m1.48.48.48.17.17.17.2.cmml">α</mi><mn id="S3.E55.m1.48.48.48.17.17.17.3" xref="S3.E55.m1.48.48.48.17.17.17.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S3.E55.m1.120.120.6.119.48.48.48.2.2" xref="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E55.m1.120.120.6.119.48.48.48.2.1.1"><mo id="S3.E55.m1.49.49.49.18.18.18" stretchy="false" xref="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E55.m1.120.120.6.119.48.48.48.2.1.1.1"><mrow id="S3.E55.m1.120.120.6.119.48.48.48.2.1.1.1.1"><mrow id="S3.E55.m1.120.120.6.119.48.48.48.2.1.1.1.1.2"><msub id="S3.E55.m1.120.120.6.119.48.48.48.2.1.1.1.1.2.1"><mo id="S3.E55.m1.50.50.50.19.19.19" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.E55.m1.50.50.50.19.19.19.cmml">∫</mo><mi id="S3.E55.m1.51.51.51.20.20.20.1" mathvariant="normal" xref="S3.E55.m1.51.51.51.20.20.20.1.cmml">Ω</mi></msub><msup id="S3.E55.m1.120.120.6.119.48.48.48.2.1.1.1.1.2.2"><mrow id="S3.E55.m1.120.120.6.119.48.48.48.2.1.1.1.1.2.2.2"><mo id="S3.E55.m1.52.52.52.21.21.21" stretchy="false" xref="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.cmml">|</mo><mi id="S3.E55.m1.53.53.53.22.22.22" xref="S3.E55.m1.53.53.53.22.22.22.cmml">w</mi><mo id="S3.E55.m1.54.54.54.23.23.23" stretchy="false" xref="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.cmml">|</mo></mrow><mn id="S3.E55.m1.55.55.55.24.24.24.1" xref="S3.E55.m1.55.55.55.24.24.24.1.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S3.E55.m1.56.56.56.25.25.25" xref="S3.E55.m1.56.56.56.25.25.25.cmml">+</mo><mrow id="S3.E55.m1.120.120.6.119.48.48.48.2.1.1.1.1.1"><msup id="S3.E55.m1.120.120.6.119.48.48.48.2.1.1.1.1.1.3"><mi id="S3.E55.m1.57.57.57.26.26.26" xref="S3.E55.m1.57.57.57.26.26.26.cmml">ϵ</mi><mn id="S3.E55.m1.58.58.58.27.27.27.1" xref="S3.E55.m1.58.58.58.27.27.27.1.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.E55.m1.120.120.6.119.48.48.48.2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E55.m1.120.120.6.119.48.48.48.2.1.1.1.1.1.1"><msub id="S3.E55.m1.120.120.6.119.48.48.48.2.1.1.1.1.1.1.2"><mo id="S3.E55.m1.59.59.59.28.28.28" rspace="0em" xref="S3.E55.m1.59.59.59.28.28.28.cmml">∫</mo><mi id="S3.E55.m1.60.60.60.29.29.29.1" mathvariant="normal" xref="S3.E55.m1.60.60.60.29.29.29.1.cmml">Ω</mi></msub><msup id="S3.E55.m1.120.120.6.119.48.48.48.2.1.1.1.1.1.1.1"><mrow id="S3.E55.m1.120.120.6.119.48.48.48.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><mo id="S3.E55.m1.61.61.61.30.30.30" stretchy="false" xref="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.cmml">|</mo><mrow id="S3.E55.m1.120.120.6.119.48.48.48.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><mi id="S3.E55.m1.62.62.62.31.31.31" xref="S3.E55.m1.62.62.62.31.31.31.cmml">g</mi><mo id="S3.E55.m1.63.63.63.32.32.32" xref="S3.E55.m1.63.63.63.32.32.32.cmml">+</mo><mi id="S3.E55.m1.64.64.64.33.33.33" xref="S3.E55.m1.64.64.64.33.33.33.cmml">h</mi></mrow><mo id="S3.E55.m1.65.65.65.34.34.34" stretchy="false" xref="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.cmml">|</mo></mrow><mn id="S3.E55.m1.66.66.66.35.35.35.1" xref="S3.E55.m1.66.66.66.35.35.35.1.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E55.m1.67.67.67.36.36.36" xref="S3.E55.m1.67.67.67.36.36.36.cmml">−</mo><mrow id="S3.E55.m1.120.120.6.119.48.48.48.2.1.1.1.2"><mn id="S3.E55.m1.68.68.68.37.37.37" xref="S3.E55.m1.68.68.68.37.37.37.cmml">2</mn><mo id="S3.E55.m1.120.120.6.119.48.48.48.2.1.1.1.2.2" xref="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E55.m1.69.69.69.38.38.38" xref="S3.E55.m1.69.69.69.38.38.38.cmml">ϵ</mi><mo id="S3.E55.m1.120.120.6.119.48.48.48.2.1.1.1.2.2a" xref="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E55.m1.120.120.6.119.48.48.48.2.1.1.1.2.1.1"><mo id="S3.E55.m1.70.70.70.39.39.39" stretchy="false" xref="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.cmml">⟨</mo><mi id="S3.E55.m1.71.71.71.40.40.40" xref="S3.E55.m1.71.71.71.40.40.40.cmml">w</mi><mo id="S3.E55.m1.72.72.72.41.41.41" xref="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.cmml">,</mo><mrow id="S3.E55.m1.120.120.6.119.48.48.48.2.1.1.1.2.1.1.1"><mi id="S3.E55.m1.73.73.73.42.42.42" xref="S3.E55.m1.73.73.73.42.42.42.cmml">g</mi><mo id="S3.E55.m1.74.74.74.43.43.43" xref="S3.E55.m1.74.74.74.43.43.43.cmml">+</mo><mi id="S3.E55.m1.75.75.75.44.44.44" xref="S3.E55.m1.75.75.75.44.44.44.cmml">h</mi></mrow><mo id="S3.E55.m1.76.76.76.45.45.45" stretchy="false" xref="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E55.m1.77.77.77.46.46.46" stretchy="false" xref="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="S3.E55.m1.121.121.7g"><mtd id="S3.E55.m1.121.121.7h" xref="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.cmml"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S3.E55.m1.121.121.7i"><mrow id="S3.E55.m1.121.121.7.120.38.38.38"><mrow id="S3.E55.m1.121.121.7.120.38.38.38.1"><mi id="S3.E55.m1.121.121.7.120.38.38.38.1.3" xref="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.cmml"></mi><mo id="S3.E55.m1.78.78.78.1.1.1" xref="S3.E55.m1.78.78.78.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.E55.m1.121.121.7.120.38.38.38.1.1"><mrow id="S3.E55.m1.121.121.7.120.38.38.38.1.1.1"><mfrac id="S3.E55.m1.79.79.79.2.2.2" xref="S3.E55.m1.79.79.79.2.2.2.cmml"><mi id="S3.E55.m1.79.79.79.2.2.2.2" xref="S3.E55.m1.79.79.79.2.2.2.2.cmml">α</mi><mn id="S3.E55.m1.79.79.79.2.2.2.3" xref="S3.E55.m1.79.79.79.2.2.2.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S3.E55.m1.121.121.7.120.38.38.38.1.1.1.2" xref="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E55.m1.121.121.7.120.38.38.38.1.1.1.1.1"><mo id="S3.E55.m1.80.80.80.3.3.3" stretchy="false" xref="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.cmml">⟨</mo><mi id="S3.E55.m1.81.81.81.4.4.4" xref="S3.E55.m1.81.81.81.4.4.4.cmml">w</mi><mo id="S3.E55.m1.82.82.82.5.5.5" xref="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.cmml">,</mo><mrow id="S3.E55.m1.121.121.7.120.38.38.38.1.1.1.1.1.1"><mi id="S3.E55.m1.83.83.83.6.6.6" xref="S3.E55.m1.83.83.83.6.6.6.cmml">u</mi><mo id="S3.E55.m1.84.84.84.7.7.7" xref="S3.E55.m1.84.84.84.7.7.7.cmml">+</mo><mi id="S3.E55.m1.85.85.85.8.8.8" xref="S3.E55.m1.85.85.85.8.8.8.cmml">v</mi></mrow><mo id="S3.E55.m1.86.86.86.9.9.9" stretchy="false" xref="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E55.m1.87.87.87.10.10.10" xref="S3.E55.m1.87.87.87.10.10.10.cmml">+</mo><mrow id="S3.E55.m1.121.121.7.120.38.38.38.1.1.2"><mfrac id="S3.E55.m1.88.88.88.11.11.11" xref="S3.E55.m1.88.88.88.11.11.11.cmml"><mi id="S3.E55.m1.88.88.88.11.11.11.2" xref="S3.E55.m1.88.88.88.11.11.11.2.cmml">α</mi><mn id="S3.E55.m1.88.88.88.11.11.11.3" xref="S3.E55.m1.88.88.88.11.11.11.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S3.E55.m1.121.121.7.120.38.38.38.1.1.2.1" xref="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E55.m1.121.121.7.120.38.38.38.1.1.2.2"><msub id="S3.E55.m1.121.121.7.120.38.38.38.1.1.2.2.1"><mo id="S3.E55.m1.89.89.89.12.12.12" rspace="0em" xref="S3.E55.m1.89.89.89.12.12.12.cmml">∫</mo><mi id="S3.E55.m1.90.90.90.13.13.13.1" mathvariant="normal" xref="S3.E55.m1.90.90.90.13.13.13.1.cmml">Ω</mi></msub><msup id="S3.E55.m1.121.121.7.120.38.38.38.1.1.2.2.2"><mrow id="S3.E55.m1.121.121.7.120.38.38.38.1.1.2.2.2.2"><mo id="S3.E55.m1.91.91.91.14.14.14" stretchy="false" xref="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.cmml">|</mo><mi id="S3.E55.m1.92.92.92.15.15.15" xref="S3.E55.m1.92.92.92.15.15.15.cmml">w</mi><mo id="S3.E55.m1.93.93.93.16.16.16" stretchy="false" xref="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.cmml">|</mo></mrow><mn id="S3.E55.m1.94.94.94.17.17.17.1" xref="S3.E55.m1.94.94.94.17.17.17.1.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E55.m1.95.95.95.18.18.18" xref="S3.E55.m1.95.95.95.18.18.18.cmml">=</mo><mrow id="S3.E55.m1.121.121.7.120.38.38.38.1.4"><msub id="S3.E55.m1.121.121.7.120.38.38.38.1.4.1"><mrow id="S3.E55.m1.121.121.7.120.38.38.38.1.4.1.2"><mo id="S3.E55.m1.96.96.96.19.19.19" stretchy="false" xref="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.cmml">|</mo><mi id="S3.E55.m1.97.97.97.20.20.20" xref="S3.E55.m1.97.97.97.20.20.20.cmml">u</mi><mo id="S3.E55.m1.98.98.98.21.21.21" stretchy="false" xref="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.cmml">|</mo></mrow><mrow id="S3.E55.m1.99.99.99.22.22.22.1" xref="S3.E55.m1.99.99.99.22.22.22.1.cmml"><mi id="S3.E55.m1.99.99.99.22.22.22.1.3" xref="S3.E55.m1.99.99.99.22.22.22.1.3.cmml">B</mi><mo id="S3.E55.m1.99.99.99.22.22.22.1.2" xref="S3.E55.m1.99.99.99.22.22.22.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E55.m1.99.99.99.22.22.22.1.4" xref="S3.E55.m1.99.99.99.22.22.22.1.4.cmml">V</mi><mo id="S3.E55.m1.99.99.99.22.22.22.1.2a" xref="S3.E55.m1.99.99.99.22.22.22.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E55.m1.99.99.99.22.22.22.1.5.2" xref="S3.E55.m1.99.99.99.22.22.22.1.cmml"><mo id="S3.E55.m1.99.99.99.22.22.22.1.5.2.1" stretchy="false" xref="S3.E55.m1.99.99.99.22.22.22.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E55.m1.99.99.99.22.22.22.1.1" mathvariant="normal" xref="S3.E55.m1.99.99.99.22.22.22.1.1.cmml">Ω</mi><mo id="S3.E55.m1.99.99.99.22.22.22.1.5.2.2" stretchy="false" xref="S3.E55.m1.99.99.99.22.22.22.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msub><mo id="S3.E55.m1.100.100.100.23.23.23" xref="S3.E55.m1.100.100.100.23.23.23.cmml">+</mo><mrow id="S3.E55.m1.121.121.7.120.38.38.38.1.4.2"><mi id="S3.E55.m1.101.101.101.24.24.24" xref="S3.E55.m1.101.101.101.24.24.24.cmml">λ</mi><mo id="S3.E55.m1.121.121.7.120.38.38.38.1.4.2.1" xref="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E55.m1.121.121.7.120.38.38.38.1.4.2.2"><mrow id="S3.E55.m1.121.121.7.120.38.38.38.1.4.2.2.2"><mo id="S3.E55.m1.102.102.102.25.25.25" stretchy="false" xref="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S3.E55.m1.103.103.103.26.26.26" xref="S3.E55.m1.103.103.103.26.26.26.cmml">v</mi><mo id="S3.E55.m1.104.104.104.27.27.27" stretchy="false" xref="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.cmml">‖</mo></mrow><msup id="S3.E55.m1.105.105.105.28.28.28.1" xref="S3.E55.m1.105.105.105.28.28.28.1.cmml"><mi id="S3.E55.m1.105.105.105.28.28.28.1.2" xref="S3.E55.m1.105.105.105.28.28.28.1.2.cmml">Lip</mi><mo id="S3.E55.m1.105.105.105.28.28.28.1.3" xref="S3.E55.m1.105.105.105.28.28.28.1.3.cmml">∗</mo></msup></msub></mrow><mo id="S3.E55.m1.100.100.100.23.23.23a" xref="S3.E55.m1.100.100.100.23.23.23.cmml">+</mo><mrow id="S3.E55.m1.121.121.7.120.38.38.38.1.4.3"><mfrac id="S3.E55.m1.107.107.107.30.30.30" xref="S3.E55.m1.107.107.107.30.30.30.cmml"><mi id="S3.E55.m1.107.107.107.30.30.30.2" xref="S3.E55.m1.107.107.107.30.30.30.2.cmml">α</mi><mn id="S3.E55.m1.107.107.107.30.30.30.3" xref="S3.E55.m1.107.107.107.30.30.30.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S3.E55.m1.121.121.7.120.38.38.38.1.4.3.1" xref="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E55.m1.121.121.7.120.38.38.38.1.4.3.2"><msub id="S3.E55.m1.121.121.7.120.38.38.38.1.4.3.2.1"><mo id="S3.E55.m1.108.108.108.31.31.31" rspace="0em" xref="S3.E55.m1.108.108.108.31.31.31.cmml">∫</mo><mi id="S3.E55.m1.109.109.109.32.32.32.1" mathvariant="normal" xref="S3.E55.m1.109.109.109.32.32.32.1.cmml">Ω</mi></msub><msup id="S3.E55.m1.121.121.7.120.38.38.38.1.4.3.2.2"><mrow id="S3.E55.m1.121.121.7.120.38.38.38.1.4.3.2.2.2"><mo id="S3.E55.m1.110.110.110.33.33.33" stretchy="false" xref="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.cmml">|</mo><mi id="S3.E55.m1.111.111.111.34.34.34" xref="S3.E55.m1.111.111.111.34.34.34.cmml">w</mi><mo id="S3.E55.m1.112.112.112.35.35.35" stretchy="false" xref="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.cmml">|</mo></mrow><mn id="S3.E55.m1.113.113.113.36.36.36.1" xref="S3.E55.m1.113.113.113.36.36.36.1.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E55.m1.114.114.114.37.37.37" lspace="0em" xref="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.cmml">.</mo></mrow></mtd></mtr></mtable><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E55.m1.121b"><apply id="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.cmml" xref="S3.E55.m1.121.121.7b"><and id="S3.E55.m1.115.115.1.1.1a.cmml" xref="S3.E55.m1.121.121.7b"></and><apply id="S3.E55.m1.115.115.1.1.1b.cmml" xref="S3.E55.m1.121.121.7b"><geq id="S3.E55.m1.32.32.32.1.1.1.cmml" xref="S3.E55.m1.32.32.32.1.1.1"></geq><apply id="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E55.m1.121.121.7b"><plus id="S3.E55.m1.8.8.8.8.8.8.cmml" xref="S3.E55.m1.8.8.8.8.8.8"></plus><apply id="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E55.m1.121.121.7b"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E55.m1.121.121.7b">subscript</csymbol><apply id="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E55.m1.121.121.7b"><abs id="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E55.m1.121.121.7b"></abs><apply id="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E55.m1.121.121.7b"><plus id="S3.E55.m1.3.3.3.3.3.3.cmml" xref="S3.E55.m1.3.3.3.3.3.3"></plus><ci id="S3.E55.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E55.m1.2.2.2.2.2.2">𝑢</ci><apply id="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E55.m1.121.121.7b"><times id="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E55.m1.121.121.7b"></times><ci id="S3.E55.m1.4.4.4.4.4.4.cmml" xref="S3.E55.m1.4.4.4.4.4.4">italic-ϵ</ci><ci id="S3.E55.m1.5.5.5.5.5.5.cmml" xref="S3.E55.m1.5.5.5.5.5.5">𝑔</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.E55.m1.7.7.7.7.7.7.1.cmml" xref="S3.E55.m1.7.7.7.7.7.7.1"><times id="S3.E55.m1.7.7.7.7.7.7.1.2.cmml" xref="S3.E55.m1.7.7.7.7.7.7.1.2"></times><ci id="S3.E55.m1.7.7.7.7.7.7.1.3.cmml" xref="S3.E55.m1.7.7.7.7.7.7.1.3">𝐵</ci><ci id="S3.E55.m1.7.7.7.7.7.7.1.4.cmml" xref="S3.E55.m1.7.7.7.7.7.7.1.4">𝑉</ci><ci id="S3.E55.m1.7.7.7.7.7.7.1.1.cmml" xref="S3.E55.m1.7.7.7.7.7.7.1.1">Ω</ci></apply></apply><apply id="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E55.m1.121.121.7b"><times id="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E55.m1.121.121.7b"></times><ci id="S3.E55.m1.9.9.9.9.9.9.cmml" xref="S3.E55.m1.9.9.9.9.9.9">𝜆</ci><apply id="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E55.m1.121.121.7b"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="S3.E55.m1.121.121.7b">subscript</csymbol><apply id="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.E55.m1.121.121.7b"><csymbol cd="latexml" id="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E55.m1.121.121.7b">delimited-∥∥</csymbol><apply id="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E55.m1.121.121.7b"><plus id="S3.E55.m1.12.12.12.12.12.12.cmml" xref="S3.E55.m1.12.12.12.12.12.12"></plus><ci id="S3.E55.m1.11.11.11.11.11.11.cmml" xref="S3.E55.m1.11.11.11.11.11.11">𝑣</ci><apply id="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E55.m1.121.121.7b"><times id="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E55.m1.121.121.7b"></times><ci id="S3.E55.m1.13.13.13.13.13.13.cmml" xref="S3.E55.m1.13.13.13.13.13.13">italic-ϵ</ci><ci id="S3.E55.m1.14.14.14.14.14.14.cmml" xref="S3.E55.m1.14.14.14.14.14.14">ℎ</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.E55.m1.16.16.16.16.16.16.1.cmml" xref="S3.E55.m1.16.16.16.16.16.16.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E55.m1.16.16.16.16.16.16.1.1.cmml" xref="S3.E55.m1.16.16.16.16.16.16.1">superscript</csymbol><ci id="S3.E55.m1.16.16.16.16.16.16.1.2.cmml" xref="S3.E55.m1.16.16.16.16.16.16.1.2">Lip</ci><times id="S3.E55.m1.16.16.16.16.16.16.1.3.cmml" xref="S3.E55.m1.16.16.16.16.16.16.1.3"></times></apply></apply></apply><apply id="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E55.m1.121.121.7b"><times id="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.E55.m1.121.121.7b"></times><apply id="S3.E55.m1.18.18.18.18.18.18.cmml" xref="S3.E55.m1.18.18.18.18.18.18"><divide id="S3.E55.m1.18.18.18.18.18.18.1.cmml" xref="S3.E55.m1.18.18.18.18.18.18"></divide><ci id="S3.E55.m1.18.18.18.18.18.18.2.cmml" xref="S3.E55.m1.18.18.18.18.18.18.2">𝛼</ci><cn id="S3.E55.m1.18.18.18.18.18.18.3.cmml" type="integer" xref="S3.E55.m1.18.18.18.18.18.18.3">2</cn></apply><apply id="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E55.m1.121.121.7b"><apply id="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.3.3.1.2.cmml" xref="S3.E55.m1.121.121.7b"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.3.3.1.2.1.cmml" xref="S3.E55.m1.121.121.7b">subscript</csymbol><int id="S3.E55.m1.19.19.19.19.19.19.cmml" xref="S3.E55.m1.19.19.19.19.19.19"></int><ci id="S3.E55.m1.20.20.20.20.20.20.1.cmml" xref="S3.E55.m1.20.20.20.20.20.20.1">Ω</ci></apply><apply id="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.3.3.1.1.cmml" xref="S3.E55.m1.121.121.7b"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S3.E55.m1.121.121.7b">superscript</csymbol><apply id="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E55.m1.121.121.7b"><abs id="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.3.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E55.m1.121.121.7b"></abs><apply id="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E55.m1.121.121.7b"><minus id="S3.E55.m1.23.23.23.23.23.23.cmml" xref="S3.E55.m1.23.23.23.23.23.23"></minus><ci id="S3.E55.m1.22.22.22.22.22.22.cmml" xref="S3.E55.m1.22.22.22.22.22.22">𝑤</ci><apply id="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E55.m1.121.121.7b"><times id="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E55.m1.121.121.7b"></times><ci id="S3.E55.m1.24.24.24.24.24.24.cmml" xref="S3.E55.m1.24.24.24.24.24.24">italic-ϵ</ci><apply id="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E55.m1.121.121.7b"><plus id="S3.E55.m1.27.27.27.27.27.27.cmml" xref="S3.E55.m1.27.27.27.27.27.27"></plus><ci id="S3.E55.m1.26.26.26.26.26.26.cmml" xref="S3.E55.m1.26.26.26.26.26.26">𝑔</ci><ci id="S3.E55.m1.28.28.28.28.28.28.cmml" xref="S3.E55.m1.28.28.28.28.28.28">ℎ</ci></apply></apply></apply></apply><cn id="S3.E55.m1.31.31.31.31.31.31.1.cmml" type="integer" xref="S3.E55.m1.31.31.31.31.31.31.1">2</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.5.cmml" xref="S3.E55.m1.121.121.7b"><plus id="S3.E55.m1.47.47.47.16.16.16.cmml" xref="S3.E55.m1.47.47.47.16.16.16"></plus><apply id="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.E55.m1.121.121.7b"><times id="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.4.1.2.cmml" xref="S3.E55.m1.121.121.7b"></times><ci id="S3.E55.m1.33.33.33.2.2.2.cmml" xref="S3.E55.m1.33.33.33.2.2.2">𝛼</ci><list id="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.4.1.1.2.cmml" xref="S3.E55.m1.121.121.7b"><ci id="S3.E55.m1.35.35.35.4.4.4.cmml" xref="S3.E55.m1.35.35.35.4.4.4">𝑤</ci><apply id="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.4.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E55.m1.121.121.7b"><plus id="S3.E55.m1.38.38.38.7.7.7.cmml" xref="S3.E55.m1.38.38.38.7.7.7"></plus><ci id="S3.E55.m1.37.37.37.6.6.6.cmml" xref="S3.E55.m1.37.37.37.6.6.6">𝑢</ci><apply id="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.4.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E55.m1.121.121.7b"><times id="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.4.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E55.m1.121.121.7b"></times><ci id="S3.E55.m1.39.39.39.8.8.8.cmml" xref="S3.E55.m1.39.39.39.8.8.8">italic-ϵ</ci><ci id="S3.E55.m1.40.40.40.9.9.9.cmml" xref="S3.E55.m1.40.40.40.9.9.9">𝑔</ci></apply><ci id="S3.E55.m1.42.42.42.11.11.11.cmml" xref="S3.E55.m1.42.42.42.11.11.11">𝑣</ci><apply id="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.4.1.1.1.1.5.cmml" xref="S3.E55.m1.121.121.7b"><times id="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.4.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="S3.E55.m1.121.121.7b"></times><ci id="S3.E55.m1.44.44.44.13.13.13.cmml" xref="S3.E55.m1.44.44.44.13.13.13">italic-ϵ</ci><ci id="S3.E55.m1.45.45.45.14.14.14.cmml" xref="S3.E55.m1.45.45.45.14.14.14">ℎ</ci></apply></apply></list></apply><apply id="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.5.2.cmml" xref="S3.E55.m1.121.121.7b"><times id="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.5.2.2.cmml" xref="S3.E55.m1.121.121.7b"></times><apply id="S3.E55.m1.48.48.48.17.17.17.cmml" xref="S3.E55.m1.48.48.48.17.17.17"><divide id="S3.E55.m1.48.48.48.17.17.17.1.cmml" xref="S3.E55.m1.48.48.48.17.17.17"></divide><ci id="S3.E55.m1.48.48.48.17.17.17.2.cmml" xref="S3.E55.m1.48.48.48.17.17.17.2">𝛼</ci><cn id="S3.E55.m1.48.48.48.17.17.17.3.cmml" type="integer" xref="S3.E55.m1.48.48.48.17.17.17.3">2</cn></apply><apply id="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.5.2.1.1.1.cmml" xref="S3.E55.m1.121.121.7b"><minus id="S3.E55.m1.67.67.67.36.36.36.cmml" xref="S3.E55.m1.67.67.67.36.36.36"></minus><apply id="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.5.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E55.m1.121.121.7b"><plus id="S3.E55.m1.56.56.56.25.25.25.cmml" xref="S3.E55.m1.56.56.56.25.25.25"></plus><apply id="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.5.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E55.m1.121.121.7b"><apply id="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.5.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E55.m1.121.121.7b"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.5.2.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S3.E55.m1.121.121.7b">subscript</csymbol><int id="S3.E55.m1.50.50.50.19.19.19.cmml" xref="S3.E55.m1.50.50.50.19.19.19"></int><ci id="S3.E55.m1.51.51.51.20.20.20.1.cmml" xref="S3.E55.m1.51.51.51.20.20.20.1">Ω</ci></apply><apply id="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.5.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E55.m1.121.121.7b"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.5.2.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E55.m1.121.121.7b">superscript</csymbol><apply id="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.5.2.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E55.m1.121.121.7b"><abs id="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.5.2.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S3.E55.m1.121.121.7b"></abs><ci id="S3.E55.m1.53.53.53.22.22.22.cmml" xref="S3.E55.m1.53.53.53.22.22.22">𝑤</ci></apply><cn id="S3.E55.m1.55.55.55.24.24.24.1.cmml" type="integer" xref="S3.E55.m1.55.55.55.24.24.24.1">2</cn></apply></apply><apply id="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.5.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E55.m1.121.121.7b"><times id="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.5.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E55.m1.121.121.7b"></times><apply id="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.5.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E55.m1.121.121.7b"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.5.2.1.1.1.1.1.3.1.cmml" 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id="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.5.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E55.m1.121.121.7b"><abs id="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.5.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E55.m1.121.121.7b"></abs><apply id="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.5.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E55.m1.121.121.7b"><plus id="S3.E55.m1.63.63.63.32.32.32.cmml" xref="S3.E55.m1.63.63.63.32.32.32"></plus><ci id="S3.E55.m1.62.62.62.31.31.31.cmml" xref="S3.E55.m1.62.62.62.31.31.31">𝑔</ci><ci id="S3.E55.m1.64.64.64.33.33.33.cmml" xref="S3.E55.m1.64.64.64.33.33.33">ℎ</ci></apply></apply><cn id="S3.E55.m1.66.66.66.35.35.35.1.cmml" type="integer" xref="S3.E55.m1.66.66.66.35.35.35.1">2</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.5.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E55.m1.121.121.7b"><times id="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.5.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E55.m1.121.121.7b"></times><cn id="S3.E55.m1.68.68.68.37.37.37.cmml" type="integer" xref="S3.E55.m1.68.68.68.37.37.37">2</cn><ci id="S3.E55.m1.69.69.69.38.38.38.cmml" xref="S3.E55.m1.69.69.69.38.38.38">italic-ϵ</ci><list id="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.5.2.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="S3.E55.m1.121.121.7b"><ci id="S3.E55.m1.71.71.71.40.40.40.cmml" xref="S3.E55.m1.71.71.71.40.40.40">𝑤</ci><apply id="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.5.2.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S3.E55.m1.121.121.7b"><plus id="S3.E55.m1.74.74.74.43.43.43.cmml" xref="S3.E55.m1.74.74.74.43.43.43"></plus><ci id="S3.E55.m1.73.73.73.42.42.42.cmml" xref="S3.E55.m1.73.73.73.42.42.42">𝑔</ci><ci id="S3.E55.m1.75.75.75.44.44.44.cmml" xref="S3.E55.m1.75.75.75.44.44.44">ℎ</ci></apply></list></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E55.m1.115.115.1.1.1c.cmml" xref="S3.E55.m1.121.121.7b"><eq id="S3.E55.m1.78.78.78.1.1.1.cmml" xref="S3.E55.m1.78.78.78.1.1.1"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S3.E55.m1.115.115.1.1.1.5.cmml" id="S3.E55.m1.115.115.1.1.1d.cmml" xref="S3.E55.m1.121.121.7b"></share><apply id="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.6.cmml" xref="S3.E55.m1.121.121.7b"><plus 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id="S3.E55.m1.90.90.90.13.13.13.1.cmml" xref="S3.E55.m1.90.90.90.13.13.13.1">Ω</ci></apply><apply id="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.6.3.3.2.cmml" xref="S3.E55.m1.121.121.7b"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.6.3.3.2.1.cmml" xref="S3.E55.m1.121.121.7b">superscript</csymbol><apply id="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.6.3.3.2.2.cmml" xref="S3.E55.m1.121.121.7b"><abs id="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.6.3.3.2.2.1.cmml" xref="S3.E55.m1.121.121.7b"></abs><ci id="S3.E55.m1.92.92.92.15.15.15.cmml" xref="S3.E55.m1.92.92.92.15.15.15">𝑤</ci></apply><cn id="S3.E55.m1.94.94.94.17.17.17.1.cmml" type="integer" xref="S3.E55.m1.94.94.94.17.17.17.1">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E55.m1.115.115.1.1.1e.cmml" xref="S3.E55.m1.121.121.7b"><eq id="S3.E55.m1.95.95.95.18.18.18.cmml" xref="S3.E55.m1.95.95.95.18.18.18"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S3.E55.m1.115.115.1.1.1.6.cmml" id="S3.E55.m1.115.115.1.1.1f.cmml" xref="S3.E55.m1.121.121.7b"></share><apply 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cd="ambiguous" id="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.11.4.3.1.1.cmml" xref="S3.E55.m1.121.121.7b">subscript</csymbol><int id="S3.E55.m1.108.108.108.31.31.31.cmml" xref="S3.E55.m1.108.108.108.31.31.31"></int><ci id="S3.E55.m1.109.109.109.32.32.32.1.cmml" xref="S3.E55.m1.109.109.109.32.32.32.1">Ω</ci></apply><apply id="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.11.4.3.2.cmml" xref="S3.E55.m1.121.121.7b"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.11.4.3.2.1.cmml" xref="S3.E55.m1.121.121.7b">superscript</csymbol><apply id="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.11.4.3.2.2.cmml" xref="S3.E55.m1.121.121.7b"><abs id="S3.E55.m1.115.115.1.1.1.11.4.3.2.2.1.cmml" xref="S3.E55.m1.121.121.7b"></abs><ci id="S3.E55.m1.111.111.111.34.34.34.cmml" xref="S3.E55.m1.111.111.111.34.34.34">𝑤</ci></apply><cn id="S3.E55.m1.113.113.113.36.36.36.1.cmml" type="integer" xref="S3.E55.m1.113.113.113.36.36.36.1">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E55.m1.121c">\begin{split}&|u+\epsilon g|_{BV(\Omega)}+\lambda\|v+\epsilon h\|_{\mathrm{Lip% }^{*}}+\frac{\alpha}{2}\int_{\Omega}|w-\epsilon(g+h)|^{2}\\ &\geq\alpha\langle w,u+\epsilon g+v+\epsilon h\rangle+\frac{\alpha}{2}(\int_{% \Omega}|w|^{2}+\epsilon^{2}\int_{\Omega}|g+h|^{2}-2\epsilon\langle w,g+h% \rangle)\\ &=\frac{\alpha}{2}\langle w,u+v\rangle+\frac{\alpha}{2}\int_{\Omega}|w|^{2}=|u% |_{BV(\Omega)}+\lambda\|v\|_{\mathrm{Lip}^{*}}+\frac{\alpha}{2}\int_{\Omega}|w% |^{2}.\end{split}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E55.m1.121d">start_ROW start_CELL end_CELL start_CELL | italic_u + italic_ϵ italic_g | start_POSTSUBSCRIPT italic_B italic_V ( roman_Ω ) end_POSTSUBSCRIPT + italic_λ ∥ italic_v + italic_ϵ italic_h ∥ start_POSTSUBSCRIPT roman_Lip start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT + divide start_ARG italic_α end_ARG start_ARG 2 end_ARG ∫ start_POSTSUBSCRIPT roman_Ω end_POSTSUBSCRIPT | italic_w - italic_ϵ ( italic_g + italic_h ) | start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL end_CELL start_CELL ≥ italic_α ⟨ italic_w , italic_u + italic_ϵ italic_g + italic_v + italic_ϵ italic_h ⟩ + divide start_ARG italic_α end_ARG start_ARG 2 end_ARG ( ∫ start_POSTSUBSCRIPT roman_Ω end_POSTSUBSCRIPT | italic_w | start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_ϵ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ∫ start_POSTSUBSCRIPT roman_Ω end_POSTSUBSCRIPT | italic_g + italic_h | start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT - 2 italic_ϵ ⟨ italic_w , italic_g + italic_h ⟩ ) end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL end_CELL start_CELL = divide start_ARG italic_α end_ARG start_ARG 2 end_ARG ⟨ italic_w , italic_u + italic_v ⟩ + divide start_ARG italic_α end_ARG start_ARG 2 end_ARG ∫ start_POSTSUBSCRIPT roman_Ω end_POSTSUBSCRIPT | italic_w | start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT = | italic_u | start_POSTSUBSCRIPT italic_B italic_V ( roman_Ω ) end_POSTSUBSCRIPT + italic_λ ∥ italic_v ∥ start_POSTSUBSCRIPT roman_Lip start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT + divide start_ARG italic_α end_ARG start_ARG 2 end_ARG ∫ start_POSTSUBSCRIPT roman_Ω end_POSTSUBSCRIPT | italic_w | start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT . end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(55)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.I3.i2.p3.4">Therefore, <math alttext="(u,v)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I3.i2.p3.4.m1.2"><semantics id="S3.I3.i2.p3.4.m1.2a"><mrow id="S3.I3.i2.p3.4.m1.2.3.2" xref="S3.I3.i2.p3.4.m1.2.3.1.cmml"><mo id="S3.I3.i2.p3.4.m1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.I3.i2.p3.4.m1.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.I3.i2.p3.4.m1.1.1" xref="S3.I3.i2.p3.4.m1.1.1.cmml">u</mi><mo id="S3.I3.i2.p3.4.m1.2.3.2.2" xref="S3.I3.i2.p3.4.m1.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.I3.i2.p3.4.m1.2.2" xref="S3.I3.i2.p3.4.m1.2.2.cmml">v</mi><mo id="S3.I3.i2.p3.4.m1.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.I3.i2.p3.4.m1.2.3.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I3.i2.p3.4.m1.2b"><interval closure="open" id="S3.I3.i2.p3.4.m1.2.3.1.cmml" xref="S3.I3.i2.p3.4.m1.2.3.2"><ci id="S3.I3.i2.p3.4.m1.1.1.cmml" xref="S3.I3.i2.p3.4.m1.1.1">𝑢</ci><ci id="S3.I3.i2.p3.4.m1.2.2.cmml" xref="S3.I3.i2.p3.4.m1.2.2">𝑣</ci></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I3.i2.p3.4.m1.2c">(u,v)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I3.i2.p3.4.m1.2d">( italic_u , italic_v )</annotation></semantics></math> is an optimal decomposition of (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S3.E31" title="In Theorem 3.1 ‣ 3.2 Existence and uniqueness of minimizers ‣ 3 The Proposed Image Restoration Models ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">31</span></a>).</p> </div> </li> </ol> <p class="ltx_p" id="Thmproofx2.p1.1"><math alttext="\hfill\square" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmproofx2.p1.1.m1.1"><semantics id="Thmproofx2.p1.1.m1.1a"><mi id="Thmproofx2.p1.1.m1.1.1" mathvariant="normal" xref="Thmproofx2.p1.1.m1.1.1.cmml">□</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmproofx2.p1.1.m1.1b"><ci id="Thmproofx2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmproofx2.p1.1.m1.1.1">□</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmproofx2.p1.1.m1.1c">\hfill\square</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmproofx2.p1.1.m1.1d">□</annotation></semantics></math></p> </div> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="S3.SS4"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">3.4 </span>An extension of our model</h3> <div class="ltx_para" id="S3.SS4.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.SS4.p1.10">In order to suppress the staircasing effect and preserve the image contrast, we propose to apply a variant of total variation proposed in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib61" title="">zhu </a></cite> as regularization in our model (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S3.E28" title="In 3.1 The proposed image denoising model ‣ 3 The Proposed Image Restoration Models ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">28</span></a>),</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E56"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\inf_{(u,v)\in BV\times H}\int_{\Omega}R(\nabla u)+\frac{\alpha}{2}\int_{% \Omega}|f-K*u-v|^{2}dx+\lambda\|v\|_{\mathrm{Lip}^{*}}," class="ltx_Math" display="block" id="S3.E56.m1.4"><semantics id="S3.E56.m1.4a"><mrow id="S3.E56.m1.4.4.1" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S3.E56.m1.4.4.1.1" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S3.E56.m1.4.4.1.1.1" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.1.cmml"><munder id="S3.E56.m1.4.4.1.1.1.2" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E56.m1.4.4.1.1.1.2.2" movablelimits="false" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.1.2.2.cmml">inf</mo><mrow id="S3.E56.m1.2.2.2" xref="S3.E56.m1.2.2.2.cmml"><mrow id="S3.E56.m1.2.2.2.4.2" xref="S3.E56.m1.2.2.2.4.1.cmml"><mo id="S3.E56.m1.2.2.2.4.2.1" stretchy="false" xref="S3.E56.m1.2.2.2.4.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E56.m1.1.1.1.1" xref="S3.E56.m1.1.1.1.1.cmml">u</mi><mo id="S3.E56.m1.2.2.2.4.2.2" xref="S3.E56.m1.2.2.2.4.1.cmml">,</mo><mi id="S3.E56.m1.2.2.2.2" xref="S3.E56.m1.2.2.2.2.cmml">v</mi><mo id="S3.E56.m1.2.2.2.4.2.3" stretchy="false" xref="S3.E56.m1.2.2.2.4.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E56.m1.2.2.2.3" xref="S3.E56.m1.2.2.2.3.cmml">∈</mo><mrow id="S3.E56.m1.2.2.2.5" xref="S3.E56.m1.2.2.2.5.cmml"><mrow id="S3.E56.m1.2.2.2.5.2" xref="S3.E56.m1.2.2.2.5.2.cmml"><mi id="S3.E56.m1.2.2.2.5.2.2" xref="S3.E56.m1.2.2.2.5.2.2.cmml">B</mi><mo id="S3.E56.m1.2.2.2.5.2.1" xref="S3.E56.m1.2.2.2.5.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E56.m1.2.2.2.5.2.3" xref="S3.E56.m1.2.2.2.5.2.3.cmml">V</mi></mrow><mo id="S3.E56.m1.2.2.2.5.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S3.E56.m1.2.2.2.5.1.cmml">×</mo><mi id="S3.E56.m1.2.2.2.5.3" xref="S3.E56.m1.2.2.2.5.3.cmml">H</mi></mrow></mrow></munder><mrow id="S3.E56.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E56.m1.4.4.1.1.1.1.2" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E56.m1.4.4.1.1.1.1.2.2" lspace="0.167em" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.cmml">∫</mo><mi id="S3.E56.m1.4.4.1.1.1.1.2.3" mathvariant="normal" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.cmml">Ω</mi></msub><mrow id="S3.E56.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E56.m1.4.4.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml">R</mi><mo id="S3.E56.m1.4.4.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E56.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E56.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E56.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E56.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1" rspace="0.167em" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">∇</mo><mi id="S3.E56.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">u</mi></mrow><mo id="S3.E56.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E56.m1.4.4.1.1.3" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.3.cmml">+</mo><mrow id="S3.E56.m1.4.4.1.1.2" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.cmml"><mfrac id="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.3" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.3.2" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.3.2.cmml">α</mi><mn id="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.3.3" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.3.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.2" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.1" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.1.cmml"><msub id="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.1.2" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.1.2.cmml"><mo id="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.1.2.2" rspace="0em" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.1.2.2.cmml">∫</mo><mi id="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.1.2.3" mathvariant="normal" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.1.2.3.cmml">Ω</mi></msub><mrow id="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.1.1" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.1.1.cmml"><msup id="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.1.1.1" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">f</mi><mo id="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">K</mi><mo id="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">∗</mo><mi id="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">u</mi></mrow><mo id="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.4" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.4.cmml">v</mi></mrow><mo id="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mn id="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.1.1.2" lspace="0em" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.1.1.3" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.1.1.3.cmml"><mo id="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.1.1.3.1" rspace="0em" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.1.1.3.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.1.1.3.2" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.1.1.3.2.cmml">x</mi></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E56.m1.4.4.1.1.3a" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.3.cmml">+</mo><mrow id="S3.E56.m1.4.4.1.1.4" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.4.cmml"><mi id="S3.E56.m1.4.4.1.1.4.2" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.4.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.E56.m1.4.4.1.1.4.1" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E56.m1.4.4.1.1.4.3" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.4.3.cmml"><mrow id="S3.E56.m1.4.4.1.1.4.3.2.2" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.4.3.2.1.cmml"><mo id="S3.E56.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.1" stretchy="false" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.4.3.2.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S3.E56.m1.3.3" xref="S3.E56.m1.3.3.cmml">v</mi><mo id="S3.E56.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.2" stretchy="false" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.4.3.2.1.1.cmml">‖</mo></mrow><msup id="S3.E56.m1.4.4.1.1.4.3.3" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.4.3.3.cmml"><mi id="S3.E56.m1.4.4.1.1.4.3.3.2" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.4.3.3.2.cmml">Lip</mi><mo id="S3.E56.m1.4.4.1.1.4.3.3.3" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.4.3.3.3.cmml">∗</mo></msup></msub></mrow></mrow><mo id="S3.E56.m1.4.4.1.2" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E56.m1.4b"><apply id="S3.E56.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S3.E56.m1.4.4.1"><plus id="S3.E56.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.3"></plus><apply id="S3.E56.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.1"><apply id="S3.E56.m1.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E56.m1.4.4.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.1.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S3.E56.m1.4.4.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.1.2.2">infimum</csymbol><apply id="S3.E56.m1.2.2.2.cmml" xref="S3.E56.m1.2.2.2"><in id="S3.E56.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E56.m1.2.2.2.3"></in><interval closure="open" id="S3.E56.m1.2.2.2.4.1.cmml" xref="S3.E56.m1.2.2.2.4.2"><ci id="S3.E56.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E56.m1.1.1.1.1">𝑢</ci><ci id="S3.E56.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E56.m1.2.2.2.2">𝑣</ci></interval><apply id="S3.E56.m1.2.2.2.5.cmml" xref="S3.E56.m1.2.2.2.5"><times id="S3.E56.m1.2.2.2.5.1.cmml" xref="S3.E56.m1.2.2.2.5.1"></times><apply id="S3.E56.m1.2.2.2.5.2.cmml" xref="S3.E56.m1.2.2.2.5.2"><times id="S3.E56.m1.2.2.2.5.2.1.cmml" xref="S3.E56.m1.2.2.2.5.2.1"></times><ci id="S3.E56.m1.2.2.2.5.2.2.cmml" xref="S3.E56.m1.2.2.2.5.2.2">𝐵</ci><ci id="S3.E56.m1.2.2.2.5.2.3.cmml" xref="S3.E56.m1.2.2.2.5.2.3">𝑉</ci></apply><ci id="S3.E56.m1.2.2.2.5.3.cmml" xref="S3.E56.m1.2.2.2.5.3">𝐻</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.E56.m1.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.1.1"><apply id="S3.E56.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E56.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><int id="S3.E56.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.1.1.2.2"></int><ci id="S3.E56.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.1.1.2.3">Ω</ci></apply><apply id="S3.E56.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.1.1.1"><times id="S3.E56.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S3.E56.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.1.1.1.3">𝑅</ci><apply id="S3.E56.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1"><ci id="S3.E56.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1">∇</ci><ci id="S3.E56.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑢</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.2"><times id="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.2"></times><apply id="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.3"><divide id="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.3"></divide><ci id="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.3.2">𝛼</ci><cn id="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.3.3">2</cn></apply><apply id="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.1"><apply id="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.1.2.cmml" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.1.2.1.cmml" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.1.2">subscript</csymbol><int id="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.1.2.2.cmml" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.1.2.2"></int><ci id="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.1.2.3.cmml" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.1.2.3">Ω</ci></apply><apply id="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.1.1.cmml" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.1.1"><times id="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.1.1.2"></times><apply id="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1"><abs id="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.2"></abs><apply id="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1"><minus id="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2">𝑓</ci><apply id="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.2">𝐾</ci><ci id="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑢</ci></apply><ci id="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.4">𝑣</ci></apply></apply><cn id="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3">2</cn></apply><apply id="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.1.1.3.cmml" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.1.1.3.1">differential-d</csymbol><ci id="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.2.1.1.3.2">𝑥</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E56.m1.4.4.1.1.4.cmml" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.4"><times id="S3.E56.m1.4.4.1.1.4.1.cmml" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.4.1"></times><ci id="S3.E56.m1.4.4.1.1.4.2.cmml" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.4.2">𝜆</ci><apply id="S3.E56.m1.4.4.1.1.4.3.cmml" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E56.m1.4.4.1.1.4.3.1.cmml" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.4.3">subscript</csymbol><apply id="S3.E56.m1.4.4.1.1.4.3.2.1.cmml" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.4.3.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.E56.m1.4.4.1.1.4.3.2.1.1.cmml" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.4.3.2.2.1">norm</csymbol><ci id="S3.E56.m1.3.3.cmml" xref="S3.E56.m1.3.3">𝑣</ci></apply><apply id="S3.E56.m1.4.4.1.1.4.3.3.cmml" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.4.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E56.m1.4.4.1.1.4.3.3.1.cmml" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.4.3.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E56.m1.4.4.1.1.4.3.3.2.cmml" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.4.3.3.2">Lip</ci><times id="S3.E56.m1.4.4.1.1.4.3.3.3.cmml" xref="S3.E56.m1.4.4.1.1.4.3.3.3"></times></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E56.m1.4c">\inf_{(u,v)\in BV\times H}\int_{\Omega}R(\nabla u)+\frac{\alpha}{2}\int_{% \Omega}|f-K*u-v|^{2}dx+\lambda\|v\|_{\mathrm{Lip}^{*}},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E56.m1.4d">roman_inf start_POSTSUBSCRIPT ( italic_u , italic_v ) ∈ italic_B italic_V × italic_H end_POSTSUBSCRIPT ∫ start_POSTSUBSCRIPT roman_Ω end_POSTSUBSCRIPT italic_R ( ∇ italic_u ) + divide start_ARG italic_α end_ARG start_ARG 2 end_ARG ∫ start_POSTSUBSCRIPT roman_Ω end_POSTSUBSCRIPT | italic_f - italic_K ∗ italic_u - italic_v | start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_d italic_x + italic_λ ∥ italic_v ∥ start_POSTSUBSCRIPT roman_Lip start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(56)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS4.p1.7">where <math alttext="K" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.SS4.p1.1.m1.1a"><mi id="S3.SS4.p1.1.m1.1.1" xref="S3.SS4.p1.1.m1.1.1.cmml">K</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p1.1.m1.1b"><ci id="S3.SS4.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.1.m1.1.1">𝐾</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p1.1.m1.1c">K</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p1.1.m1.1d">italic_K</annotation></semantics></math> is a convolution operator and <math alttext="K*u" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p1.2.m2.1"><semantics id="S3.SS4.p1.2.m2.1a"><mrow id="S3.SS4.p1.2.m2.1.1" xref="S3.SS4.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS4.p1.2.m2.1.1.2" xref="S3.SS4.p1.2.m2.1.1.2.cmml">K</mi><mo id="S3.SS4.p1.2.m2.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S3.SS4.p1.2.m2.1.1.1.cmml">∗</mo><mi id="S3.SS4.p1.2.m2.1.1.3" xref="S3.SS4.p1.2.m2.1.1.3.cmml">u</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p1.2.m2.1b"><apply id="S3.SS4.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.2.m2.1.1"><times id="S3.SS4.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.2.m2.1.1.1"></times><ci id="S3.SS4.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p1.2.m2.1.1.2">𝐾</ci><ci id="S3.SS4.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS4.p1.2.m2.1.1.3">𝑢</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p1.2.m2.1c">K*u</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p1.2.m2.1d">italic_K ∗ italic_u</annotation></semantics></math> means the convolution of <math alttext="K" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p1.3.m3.1"><semantics id="S3.SS4.p1.3.m3.1a"><mi id="S3.SS4.p1.3.m3.1.1" xref="S3.SS4.p1.3.m3.1.1.cmml">K</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p1.3.m3.1b"><ci id="S3.SS4.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.3.m3.1.1">𝐾</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p1.3.m3.1c">K</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p1.3.m3.1d">italic_K</annotation></semantics></math> and <math alttext="u" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p1.4.m4.1"><semantics id="S3.SS4.p1.4.m4.1a"><mi id="S3.SS4.p1.4.m4.1.1" xref="S3.SS4.p1.4.m4.1.1.cmml">u</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p1.4.m4.1b"><ci id="S3.SS4.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.4.m4.1.1">𝑢</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p1.4.m4.1c">u</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p1.4.m4.1d">italic_u</annotation></semantics></math>. In the purely denoising model, <math alttext="K=I" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p1.5.m5.1"><semantics id="S3.SS4.p1.5.m5.1a"><mrow id="S3.SS4.p1.5.m5.1.1" xref="S3.SS4.p1.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S3.SS4.p1.5.m5.1.1.2" xref="S3.SS4.p1.5.m5.1.1.2.cmml">K</mi><mo id="S3.SS4.p1.5.m5.1.1.1" xref="S3.SS4.p1.5.m5.1.1.1.cmml">=</mo><mi id="S3.SS4.p1.5.m5.1.1.3" xref="S3.SS4.p1.5.m5.1.1.3.cmml">I</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p1.5.m5.1b"><apply id="S3.SS4.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.5.m5.1.1"><eq id="S3.SS4.p1.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.5.m5.1.1.1"></eq><ci id="S3.SS4.p1.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p1.5.m5.1.1.2">𝐾</ci><ci id="S3.SS4.p1.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S3.SS4.p1.5.m5.1.1.3">𝐼</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p1.5.m5.1c">K=I</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p1.5.m5.1d">italic_K = italic_I</annotation></semantics></math> where <math alttext="I" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p1.6.m6.1"><semantics id="S3.SS4.p1.6.m6.1a"><mi id="S3.SS4.p1.6.m6.1.1" xref="S3.SS4.p1.6.m6.1.1.cmml">I</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p1.6.m6.1b"><ci id="S3.SS4.p1.6.m6.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.6.m6.1.1">𝐼</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p1.6.m6.1c">I</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p1.6.m6.1d">italic_I</annotation></semantics></math> is an identity matrix. The potential function <math alttext="R(\cdot)=\phi_{a}(\cdot)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p1.7.m7.2"><semantics id="S3.SS4.p1.7.m7.2a"><mrow id="S3.SS4.p1.7.m7.2.3" xref="S3.SS4.p1.7.m7.2.3.cmml"><mrow id="S3.SS4.p1.7.m7.2.3.2" xref="S3.SS4.p1.7.m7.2.3.2.cmml"><mi id="S3.SS4.p1.7.m7.2.3.2.2" xref="S3.SS4.p1.7.m7.2.3.2.2.cmml">R</mi><mo id="S3.SS4.p1.7.m7.2.3.2.1" xref="S3.SS4.p1.7.m7.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS4.p1.7.m7.2.3.2.3.2" xref="S3.SS4.p1.7.m7.2.3.2.cmml"><mo id="S3.SS4.p1.7.m7.2.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS4.p1.7.m7.2.3.2.cmml">(</mo><mo id="S3.SS4.p1.7.m7.1.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.SS4.p1.7.m7.1.1.cmml">⋅</mo><mo id="S3.SS4.p1.7.m7.2.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS4.p1.7.m7.2.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.SS4.p1.7.m7.2.3.1" xref="S3.SS4.p1.7.m7.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS4.p1.7.m7.2.3.3" xref="S3.SS4.p1.7.m7.2.3.3.cmml"><msub id="S3.SS4.p1.7.m7.2.3.3.2" xref="S3.SS4.p1.7.m7.2.3.3.2.cmml"><mi id="S3.SS4.p1.7.m7.2.3.3.2.2" xref="S3.SS4.p1.7.m7.2.3.3.2.2.cmml">ϕ</mi><mi id="S3.SS4.p1.7.m7.2.3.3.2.3" xref="S3.SS4.p1.7.m7.2.3.3.2.3.cmml">a</mi></msub><mo id="S3.SS4.p1.7.m7.2.3.3.1" xref="S3.SS4.p1.7.m7.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS4.p1.7.m7.2.3.3.3.2" xref="S3.SS4.p1.7.m7.2.3.3.cmml"><mo id="S3.SS4.p1.7.m7.2.3.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS4.p1.7.m7.2.3.3.cmml">(</mo><mo id="S3.SS4.p1.7.m7.2.2" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.SS4.p1.7.m7.2.2.cmml">⋅</mo><mo id="S3.SS4.p1.7.m7.2.3.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS4.p1.7.m7.2.3.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p1.7.m7.2b"><apply id="S3.SS4.p1.7.m7.2.3.cmml" xref="S3.SS4.p1.7.m7.2.3"><eq id="S3.SS4.p1.7.m7.2.3.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.7.m7.2.3.1"></eq><apply id="S3.SS4.p1.7.m7.2.3.2.cmml" xref="S3.SS4.p1.7.m7.2.3.2"><times id="S3.SS4.p1.7.m7.2.3.2.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.7.m7.2.3.2.1"></times><ci id="S3.SS4.p1.7.m7.2.3.2.2.cmml" xref="S3.SS4.p1.7.m7.2.3.2.2">𝑅</ci><ci id="S3.SS4.p1.7.m7.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.7.m7.1.1">⋅</ci></apply><apply id="S3.SS4.p1.7.m7.2.3.3.cmml" xref="S3.SS4.p1.7.m7.2.3.3"><times id="S3.SS4.p1.7.m7.2.3.3.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.7.m7.2.3.3.1"></times><apply id="S3.SS4.p1.7.m7.2.3.3.2.cmml" xref="S3.SS4.p1.7.m7.2.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p1.7.m7.2.3.3.2.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.7.m7.2.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS4.p1.7.m7.2.3.3.2.2.cmml" xref="S3.SS4.p1.7.m7.2.3.3.2.2">italic-ϕ</ci><ci id="S3.SS4.p1.7.m7.2.3.3.2.3.cmml" xref="S3.SS4.p1.7.m7.2.3.3.2.3">𝑎</ci></apply><ci id="S3.SS4.p1.7.m7.2.2.cmml" xref="S3.SS4.p1.7.m7.2.2">⋅</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p1.7.m7.2c">R(\cdot)=\phi_{a}(\cdot)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p1.7.m7.2d">italic_R ( ⋅ ) = italic_ϕ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( ⋅ )</annotation></semantics></math> reads</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E57"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\begin{split}\phi_{a}(x)=\left\{\begin{array}[]{lr}\frac{1}{2a}x^{2},&|x|\leq a% ,\\ a\ln|x|+\frac{a}{2}-a\ln a,&|x|>a.\end{array}\right.\end{split}" class="ltx_Math" display="block" id="S3.E57.m1.8"><semantics id="S3.E57.m1.8a"><mtable displaystyle="true" id="S3.E57.m1.8.8" xref="S3.E57.m1.8.9.1.cmml"><mtr id="S3.E57.m1.8.8a" xref="S3.E57.m1.8.9.1.cmml"><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="S3.E57.m1.8.8b" xref="S3.E57.m1.8.9.1.cmml"><mrow id="S3.E57.m1.8.8.8.8.8" xref="S3.E57.m1.8.9.1.cmml"><mrow id="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.9" xref="S3.E57.m1.8.9.1.cmml"><msub id="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.9.2" xref="S3.E57.m1.8.9.1.cmml"><mi id="S3.E57.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E57.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">ϕ</mi><mi id="S3.E57.m1.2.2.2.2.2.2.1" xref="S3.E57.m1.2.2.2.2.2.2.1.cmml">a</mi></msub><mo id="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.9.1" xref="S3.E57.m1.8.9.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.9.3" xref="S3.E57.m1.8.9.1.cmml"><mo id="S3.E57.m1.3.3.3.3.3.3" stretchy="false" xref="S3.E57.m1.8.9.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E57.m1.4.4.4.4.4.4" xref="S3.E57.m1.4.4.4.4.4.4.cmml">x</mi><mo id="S3.E57.m1.5.5.5.5.5.5" stretchy="false" xref="S3.E57.m1.8.9.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E57.m1.6.6.6.6.6.6" xref="S3.E57.m1.6.6.6.6.6.6.cmml">=</mo><mrow id="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.10" xref="S3.E57.m1.8.9.1.cmml"><mo id="S3.E57.m1.7.7.7.7.7.7" xref="S3.E57.m1.8.9.1.cmml">{</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8" rowspacing="0pt" xref="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.cmml"><mtr id="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8a" xref="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.cmml"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8b" xref="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.cmml"><mrow id="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.1.1.1.1" xref="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1" xref="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="false" id="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.2.cmml"><mfrac id="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.2a" xref="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.2.2.cmml">1</mn><mrow id="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mn id="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">2</mn><mo id="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">a</mi></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.3.2.cmml">x</mi><mn id="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.1.1.1.1.2" xref="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow></mtd><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8c" xref="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.cmml"><mrow id="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.3.3.2.2" xref="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.3.3.2.2.1.cmml"><mrow id="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.3.3.2.2.1" xref="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.3.3.2.2.1.cmml"><mrow id="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.3.3.2.2.1.2.2" xref="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.3.3.2.2.1.2.1.cmml"><mo id="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.3.3.2.2.1.2.2.1" stretchy="false" xref="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.3.3.2.2.1.2.1.1.cmml">|</mo><mi id="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.2.2.1.1" xref="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.2.2.1.1.cmml">x</mi><mo id="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.3.3.2.2.1.2.2.2" stretchy="false" xref="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.3.3.2.2.1.2.1.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.3.3.2.2.1.1" xref="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.3.3.2.2.1.1.cmml">≤</mo><mi id="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.3.3.2.2.1.3" xref="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.3.3.2.2.1.3.cmml">a</mi></mrow><mo id="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.3.3.2.2.2" xref="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.3.3.2.2.1.cmml">,</mo></mrow></mtd></mtr><mtr id="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8d" xref="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.cmml"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8e" xref="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.cmml"><mrow id="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.5.2.2.2" xref="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.5.2.2.2.1.cmml"><mrow id="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.5.2.2.2.1" xref="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.5.2.2.2.1.cmml"><mrow id="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.5.2.2.2.1.2" xref="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.5.2.2.2.1.2.cmml"><mrow id="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.5.2.2.2.1.2.2" xref="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.5.2.2.2.1.2.2.cmml"><mi id="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.5.2.2.2.1.2.2.2" xref="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.5.2.2.2.1.2.2.2.cmml">a</mi><mo id="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.5.2.2.2.1.2.2.1" lspace="0.167em" xref="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.5.2.2.2.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.5.2.2.2.1.2.2.3" xref="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.5.2.2.2.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.5.2.2.2.1.2.2.3.1" xref="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.5.2.2.2.1.2.2.3.1.cmml">ln</mi><mo id="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.5.2.2.2.1.2.2.3a" xref="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.5.2.2.2.1.2.2.3.cmml">⁡</mo><mrow id="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.5.2.2.2.1.2.2.3.2.2" xref="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.5.2.2.2.1.2.2.3.2.1.cmml"><mo id="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.5.2.2.2.1.2.2.3.2.2.1" stretchy="false" xref="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.5.2.2.2.1.2.2.3.2.1.1.cmml">|</mo><mi id="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.4.1.1.1" xref="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.4.1.1.1.cmml">x</mi><mo id="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.5.2.2.2.1.2.2.3.2.2.2" stretchy="false" xref="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.5.2.2.2.1.2.2.3.2.1.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.5.2.2.2.1.2.1" xref="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.5.2.2.2.1.2.1.cmml">+</mo><mstyle displaystyle="false" id="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.5.2.2.2.1.2.3" xref="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.5.2.2.2.1.2.3.cmml"><mfrac id="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.5.2.2.2.1.2.3a" xref="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.5.2.2.2.1.2.3.cmml"><mi id="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.5.2.2.2.1.2.3.2" xref="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.5.2.2.2.1.2.3.2.cmml">a</mi><mn id="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.5.2.2.2.1.2.3.3" xref="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.5.2.2.2.1.2.3.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle></mrow><mo id="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.5.2.2.2.1.1" xref="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.5.2.2.2.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.5.2.2.2.1.3" xref="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.5.2.2.2.1.3.cmml"><mi id="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.5.2.2.2.1.3.2" xref="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.5.2.2.2.1.3.2.cmml">a</mi><mo id="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.5.2.2.2.1.3.1" lspace="0.167em" 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xref="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.5.2.2.2.1.3.3"><ln id="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.5.2.2.2.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.5.2.2.2.1.3.3.1"></ln><ci id="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.5.2.2.2.1.3.3.2.cmml" xref="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.5.2.2.2.1.3.3.2">𝑎</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.7.4.2.2.1.cmml" xref="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.7.4.2.2"><gt id="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.7.4.2.2.1.1.cmml" xref="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.7.4.2.2.1.1"></gt><apply id="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.7.4.2.2.1.2.1.cmml" xref="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.7.4.2.2.1.2.2"><abs id="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.7.4.2.2.1.2.1.1.cmml" xref="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.7.4.2.2.1.2.2.1"></abs><ci id="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.6.3.1.1.cmml" xref="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.6.3.1.1">𝑥</ci></apply><ci id="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.7.4.2.2.1.3.cmml" xref="S3.E57.m1.8.8.8.8.8.8.7.4.2.2.1.3">𝑎</ci></apply></matrixrow></matrix></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E57.m1.8c">\begin{split}\phi_{a}(x)=\left\{\begin{array}[]{lr}\frac{1}{2a}x^{2},&|x|\leq a% ,\\ a\ln|x|+\frac{a}{2}-a\ln a,&|x|>a.\end{array}\right.\end{split}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E57.m1.8d">start_ROW start_CELL italic_ϕ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x ) = { start_ARRAY start_ROW start_CELL divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 italic_a end_ARG italic_x start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT , end_CELL start_CELL | italic_x | ≤ italic_a , end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_a roman_ln | italic_x | + divide start_ARG italic_a end_ARG start_ARG 2 end_ARG - italic_a roman_ln italic_a , end_CELL start_CELL | italic_x | > italic_a . end_CELL end_ROW end_ARRAY end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(57)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS4.p1.9">In fact, when <math alttext="R(x)=|x|=\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p1.8.m1.2"><semantics id="S3.SS4.p1.8.m1.2a"><mrow id="S3.SS4.p1.8.m1.2.3" xref="S3.SS4.p1.8.m1.2.3.cmml"><mrow id="S3.SS4.p1.8.m1.2.3.2" xref="S3.SS4.p1.8.m1.2.3.2.cmml"><mi id="S3.SS4.p1.8.m1.2.3.2.2" xref="S3.SS4.p1.8.m1.2.3.2.2.cmml">R</mi><mo id="S3.SS4.p1.8.m1.2.3.2.1" xref="S3.SS4.p1.8.m1.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS4.p1.8.m1.2.3.2.3.2" xref="S3.SS4.p1.8.m1.2.3.2.cmml"><mo id="S3.SS4.p1.8.m1.2.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS4.p1.8.m1.2.3.2.cmml">(</mo><mi id="S3.SS4.p1.8.m1.1.1" xref="S3.SS4.p1.8.m1.1.1.cmml">x</mi><mo id="S3.SS4.p1.8.m1.2.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS4.p1.8.m1.2.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.SS4.p1.8.m1.2.3.3" xref="S3.SS4.p1.8.m1.2.3.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS4.p1.8.m1.2.3.4.2" xref="S3.SS4.p1.8.m1.2.3.4.1.cmml"><mo id="S3.SS4.p1.8.m1.2.3.4.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS4.p1.8.m1.2.3.4.1.1.cmml">|</mo><mi id="S3.SS4.p1.8.m1.2.2" xref="S3.SS4.p1.8.m1.2.2.cmml">x</mi><mo id="S3.SS4.p1.8.m1.2.3.4.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS4.p1.8.m1.2.3.4.1.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S3.SS4.p1.8.m1.2.3.5" xref="S3.SS4.p1.8.m1.2.3.5.cmml">=</mo><msqrt id="S3.SS4.p1.8.m1.2.3.6" xref="S3.SS4.p1.8.m1.2.3.6.cmml"><mrow id="S3.SS4.p1.8.m1.2.3.6.2" xref="S3.SS4.p1.8.m1.2.3.6.2.cmml"><msubsup id="S3.SS4.p1.8.m1.2.3.6.2.2" xref="S3.SS4.p1.8.m1.2.3.6.2.2.cmml"><mi id="S3.SS4.p1.8.m1.2.3.6.2.2.2.2" xref="S3.SS4.p1.8.m1.2.3.6.2.2.2.2.cmml">x</mi><mn id="S3.SS4.p1.8.m1.2.3.6.2.2.2.3" xref="S3.SS4.p1.8.m1.2.3.6.2.2.2.3.cmml">1</mn><mn id="S3.SS4.p1.8.m1.2.3.6.2.2.3" xref="S3.SS4.p1.8.m1.2.3.6.2.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S3.SS4.p1.8.m1.2.3.6.2.1" xref="S3.SS4.p1.8.m1.2.3.6.2.1.cmml">+</mo><msubsup id="S3.SS4.p1.8.m1.2.3.6.2.3" xref="S3.SS4.p1.8.m1.2.3.6.2.3.cmml"><mi id="S3.SS4.p1.8.m1.2.3.6.2.3.2.2" xref="S3.SS4.p1.8.m1.2.3.6.2.3.2.2.cmml">x</mi><mn id="S3.SS4.p1.8.m1.2.3.6.2.3.2.3" xref="S3.SS4.p1.8.m1.2.3.6.2.3.2.3.cmml">2</mn><mn id="S3.SS4.p1.8.m1.2.3.6.2.3.3" xref="S3.SS4.p1.8.m1.2.3.6.2.3.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow></msqrt></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p1.8.m1.2b"><apply id="S3.SS4.p1.8.m1.2.3.cmml" xref="S3.SS4.p1.8.m1.2.3"><and id="S3.SS4.p1.8.m1.2.3a.cmml" xref="S3.SS4.p1.8.m1.2.3"></and><apply id="S3.SS4.p1.8.m1.2.3b.cmml" xref="S3.SS4.p1.8.m1.2.3"><eq id="S3.SS4.p1.8.m1.2.3.3.cmml" xref="S3.SS4.p1.8.m1.2.3.3"></eq><apply id="S3.SS4.p1.8.m1.2.3.2.cmml" xref="S3.SS4.p1.8.m1.2.3.2"><times id="S3.SS4.p1.8.m1.2.3.2.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.8.m1.2.3.2.1"></times><ci id="S3.SS4.p1.8.m1.2.3.2.2.cmml" xref="S3.SS4.p1.8.m1.2.3.2.2">𝑅</ci><ci id="S3.SS4.p1.8.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.8.m1.1.1">𝑥</ci></apply><apply id="S3.SS4.p1.8.m1.2.3.4.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.8.m1.2.3.4.2"><abs id="S3.SS4.p1.8.m1.2.3.4.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.8.m1.2.3.4.2.1"></abs><ci id="S3.SS4.p1.8.m1.2.2.cmml" xref="S3.SS4.p1.8.m1.2.2">𝑥</ci></apply></apply><apply id="S3.SS4.p1.8.m1.2.3c.cmml" xref="S3.SS4.p1.8.m1.2.3"><eq id="S3.SS4.p1.8.m1.2.3.5.cmml" xref="S3.SS4.p1.8.m1.2.3.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S3.SS4.p1.8.m1.2.3.4.cmml" id="S3.SS4.p1.8.m1.2.3d.cmml" xref="S3.SS4.p1.8.m1.2.3"></share><apply id="S3.SS4.p1.8.m1.2.3.6.cmml" xref="S3.SS4.p1.8.m1.2.3.6"><root id="S3.SS4.p1.8.m1.2.3.6a.cmml" xref="S3.SS4.p1.8.m1.2.3.6"></root><apply id="S3.SS4.p1.8.m1.2.3.6.2.cmml" xref="S3.SS4.p1.8.m1.2.3.6.2"><plus id="S3.SS4.p1.8.m1.2.3.6.2.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.8.m1.2.3.6.2.1"></plus><apply id="S3.SS4.p1.8.m1.2.3.6.2.2.cmml" xref="S3.SS4.p1.8.m1.2.3.6.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p1.8.m1.2.3.6.2.2.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.8.m1.2.3.6.2.2">superscript</csymbol><apply id="S3.SS4.p1.8.m1.2.3.6.2.2.2.cmml" xref="S3.SS4.p1.8.m1.2.3.6.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p1.8.m1.2.3.6.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.8.m1.2.3.6.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS4.p1.8.m1.2.3.6.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS4.p1.8.m1.2.3.6.2.2.2.2">𝑥</ci><cn id="S3.SS4.p1.8.m1.2.3.6.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS4.p1.8.m1.2.3.6.2.2.2.3">1</cn></apply><cn id="S3.SS4.p1.8.m1.2.3.6.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS4.p1.8.m1.2.3.6.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S3.SS4.p1.8.m1.2.3.6.2.3.cmml" xref="S3.SS4.p1.8.m1.2.3.6.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p1.8.m1.2.3.6.2.3.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.8.m1.2.3.6.2.3">superscript</csymbol><apply id="S3.SS4.p1.8.m1.2.3.6.2.3.2.cmml" xref="S3.SS4.p1.8.m1.2.3.6.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p1.8.m1.2.3.6.2.3.2.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.8.m1.2.3.6.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS4.p1.8.m1.2.3.6.2.3.2.2.cmml" xref="S3.SS4.p1.8.m1.2.3.6.2.3.2.2">𝑥</ci><cn id="S3.SS4.p1.8.m1.2.3.6.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS4.p1.8.m1.2.3.6.2.3.2.3">2</cn></apply><cn id="S3.SS4.p1.8.m1.2.3.6.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS4.p1.8.m1.2.3.6.2.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p1.8.m1.2c">R(x)=|x|=\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p1.8.m1.2d">italic_R ( italic_x ) = | italic_x | = square-root start_ARG italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math>, we obtain the total variation <math alttext="R(\nabla u)=|u|_{BV(\Omega)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS4.p1.9.m2.3"><semantics id="S3.SS4.p1.9.m2.3a"><mrow id="S3.SS4.p1.9.m2.3.3" xref="S3.SS4.p1.9.m2.3.3.cmml"><mrow id="S3.SS4.p1.9.m2.3.3.1" xref="S3.SS4.p1.9.m2.3.3.1.cmml"><mi id="S3.SS4.p1.9.m2.3.3.1.3" xref="S3.SS4.p1.9.m2.3.3.1.3.cmml">R</mi><mo id="S3.SS4.p1.9.m2.3.3.1.2" xref="S3.SS4.p1.9.m2.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS4.p1.9.m2.3.3.1.1.1" xref="S3.SS4.p1.9.m2.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS4.p1.9.m2.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS4.p1.9.m2.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.SS4.p1.9.m2.3.3.1.1.1.1" xref="S3.SS4.p1.9.m2.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS4.p1.9.m2.3.3.1.1.1.1.1" rspace="0.167em" xref="S3.SS4.p1.9.m2.3.3.1.1.1.1.1.cmml">∇</mo><mi id="S3.SS4.p1.9.m2.3.3.1.1.1.1.2" xref="S3.SS4.p1.9.m2.3.3.1.1.1.1.2.cmml">u</mi></mrow><mo id="S3.SS4.p1.9.m2.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS4.p1.9.m2.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.SS4.p1.9.m2.3.3.2" xref="S3.SS4.p1.9.m2.3.3.2.cmml">=</mo><msub id="S3.SS4.p1.9.m2.3.3.3" xref="S3.SS4.p1.9.m2.3.3.3.cmml"><mrow id="S3.SS4.p1.9.m2.3.3.3.2.2" xref="S3.SS4.p1.9.m2.3.3.3.2.1.cmml"><mo id="S3.SS4.p1.9.m2.3.3.3.2.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS4.p1.9.m2.3.3.3.2.1.1.cmml">|</mo><mi id="S3.SS4.p1.9.m2.2.2" xref="S3.SS4.p1.9.m2.2.2.cmml">u</mi><mo id="S3.SS4.p1.9.m2.3.3.3.2.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS4.p1.9.m2.3.3.3.2.1.1.cmml">|</mo></mrow><mrow id="S3.SS4.p1.9.m2.1.1.1" xref="S3.SS4.p1.9.m2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS4.p1.9.m2.1.1.1.3" xref="S3.SS4.p1.9.m2.1.1.1.3.cmml">B</mi><mo id="S3.SS4.p1.9.m2.1.1.1.2" xref="S3.SS4.p1.9.m2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS4.p1.9.m2.1.1.1.4" xref="S3.SS4.p1.9.m2.1.1.1.4.cmml">V</mi><mo id="S3.SS4.p1.9.m2.1.1.1.2a" xref="S3.SS4.p1.9.m2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS4.p1.9.m2.1.1.1.5.2" xref="S3.SS4.p1.9.m2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS4.p1.9.m2.1.1.1.5.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS4.p1.9.m2.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.SS4.p1.9.m2.1.1.1.1" mathvariant="normal" xref="S3.SS4.p1.9.m2.1.1.1.1.cmml">Ω</mi><mo id="S3.SS4.p1.9.m2.1.1.1.5.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS4.p1.9.m2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS4.p1.9.m2.3b"><apply id="S3.SS4.p1.9.m2.3.3.cmml" xref="S3.SS4.p1.9.m2.3.3"><eq id="S3.SS4.p1.9.m2.3.3.2.cmml" xref="S3.SS4.p1.9.m2.3.3.2"></eq><apply id="S3.SS4.p1.9.m2.3.3.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.9.m2.3.3.1"><times id="S3.SS4.p1.9.m2.3.3.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p1.9.m2.3.3.1.2"></times><ci id="S3.SS4.p1.9.m2.3.3.1.3.cmml" xref="S3.SS4.p1.9.m2.3.3.1.3">𝑅</ci><apply id="S3.SS4.p1.9.m2.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.9.m2.3.3.1.1.1"><ci id="S3.SS4.p1.9.m2.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.9.m2.3.3.1.1.1.1.1">∇</ci><ci id="S3.SS4.p1.9.m2.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p1.9.m2.3.3.1.1.1.1.2">𝑢</ci></apply></apply><apply id="S3.SS4.p1.9.m2.3.3.3.cmml" xref="S3.SS4.p1.9.m2.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS4.p1.9.m2.3.3.3.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.9.m2.3.3.3">subscript</csymbol><apply id="S3.SS4.p1.9.m2.3.3.3.2.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.9.m2.3.3.3.2.2"><abs id="S3.SS4.p1.9.m2.3.3.3.2.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.9.m2.3.3.3.2.2.1"></abs><ci id="S3.SS4.p1.9.m2.2.2.cmml" xref="S3.SS4.p1.9.m2.2.2">𝑢</ci></apply><apply id="S3.SS4.p1.9.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.9.m2.1.1.1"><times id="S3.SS4.p1.9.m2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS4.p1.9.m2.1.1.1.2"></times><ci id="S3.SS4.p1.9.m2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS4.p1.9.m2.1.1.1.3">𝐵</ci><ci id="S3.SS4.p1.9.m2.1.1.1.4.cmml" xref="S3.SS4.p1.9.m2.1.1.1.4">𝑉</ci><ci id="S3.SS4.p1.9.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS4.p1.9.m2.1.1.1.1">Ω</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS4.p1.9.m2.3c">R(\nabla u)=|u|_{BV(\Omega)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS4.p1.9.m2.3d">italic_R ( ∇ italic_u ) = | italic_u | start_POSTSUBSCRIPT italic_B italic_V ( roman_Ω ) end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, and different potential functions have been proposed in the literature <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib59" title="">2018On </a>; <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib50" title="">2001A </a></cite>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS4.p2"> <p class="ltx_p" id="S3.SS4.p2.1">The first two terms in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S3.E56" title="In 3.4 An extension of our model ‣ 3 The Proposed Image Restoration Models ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">56</span></a>) are the same as the original image restoration model proposed in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib61" title="">zhu </a></cite>, which reads</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E58"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\inf_{u\in BV}\int_{\Omega}\phi_{a}(\nabla u)+\frac{\alpha}{2}\int_{\Omega}|f-% K*u|^{2}dx." class="ltx_Math" display="block" id="S3.E58.m1.1"><semantics id="S3.E58.m1.1a"><mrow id="S3.E58.m1.1.1.1" xref="S3.E58.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E58.m1.1.1.1.1" xref="S3.E58.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E58.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.E58.m1.1.1.1.1.1.cmml"><munder id="S3.E58.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E58.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E58.m1.1.1.1.1.1.2.2" movablelimits="false" xref="S3.E58.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">inf</mo><mrow id="S3.E58.m1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E58.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.E58.m1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.E58.m1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">u</mi><mo id="S3.E58.m1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S3.E58.m1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">∈</mo><mrow id="S3.E58.m1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.E58.m1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml"><mi id="S3.E58.m1.1.1.1.1.1.2.3.3.2" xref="S3.E58.m1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml">B</mi><mo id="S3.E58.m1.1.1.1.1.1.2.3.3.1" xref="S3.E58.m1.1.1.1.1.1.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E58.m1.1.1.1.1.1.2.3.3.3" xref="S3.E58.m1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml">V</mi></mrow></mrow></munder><mrow id="S3.E58.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E58.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E58.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E58.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E58.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" lspace="0.167em" xref="S3.E58.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">∫</mo><mi id="S3.E58.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" mathvariant="normal" xref="S3.E58.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">Ω</mi></msub><mrow id="S3.E58.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E58.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E58.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E58.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E58.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E58.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">ϕ</mi><mi id="S3.E58.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E58.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">a</mi></msub><mo id="S3.E58.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E58.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" rspace="0.167em" xref="S3.E58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">∇</mo><mi id="S3.E58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">u</mi></mrow><mo id="S3.E58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E58.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.E58.m1.1.1.1.1.3.cmml">+</mo><mrow id="S3.E58.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.E58.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mfrac id="S3.E58.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E58.m1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.E58.m1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.E58.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">α</mi><mn id="S3.E58.m1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.E58.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S3.E58.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E58.m1.1.1.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E58.m1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.E58.m1.1.1.1.1.2.1.cmml"><msub id="S3.E58.m1.1.1.1.1.2.1.2" xref="S3.E58.m1.1.1.1.1.2.1.2.cmml"><mo id="S3.E58.m1.1.1.1.1.2.1.2.2" rspace="0em" xref="S3.E58.m1.1.1.1.1.2.1.2.2.cmml">∫</mo><mi id="S3.E58.m1.1.1.1.1.2.1.2.3" mathvariant="normal" xref="S3.E58.m1.1.1.1.1.2.1.2.3.cmml">Ω</mi></msub><mrow id="S3.E58.m1.1.1.1.1.2.1.1" xref="S3.E58.m1.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><msup id="S3.E58.m1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="S3.E58.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E58.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="S3.E58.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E58.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E58.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S3.E58.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E58.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E58.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E58.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">f</mi><mo id="S3.E58.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E58.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.E58.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E58.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E58.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E58.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">K</mi><mo id="S3.E58.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S3.E58.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">∗</mo><mi id="S3.E58.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E58.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">u</mi></mrow></mrow><mo id="S3.E58.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E58.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mn id="S3.E58.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3" xref="S3.E58.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.E58.m1.1.1.1.1.2.1.1.2" lspace="0em" xref="S3.E58.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E58.m1.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="S3.E58.m1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml"><mo id="S3.E58.m1.1.1.1.1.2.1.1.3.1" rspace="0em" xref="S3.E58.m1.1.1.1.1.2.1.1.3.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S3.E58.m1.1.1.1.1.2.1.1.3.2" xref="S3.E58.m1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.cmml">x</mi></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E58.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S3.E58.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E58.m1.1b"><apply id="S3.E58.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E58.m1.1.1.1"><plus id="S3.E58.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E58.m1.1.1.1.1.3"></plus><apply id="S3.E58.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E58.m1.1.1.1.1.1"><apply id="S3.E58.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E58.m1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E58.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E58.m1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S3.E58.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E58.m1.1.1.1.1.1.2.2">infimum</csymbol><apply id="S3.E58.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E58.m1.1.1.1.1.1.2.3"><in id="S3.E58.m1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.E58.m1.1.1.1.1.1.2.3.1"></in><ci id="S3.E58.m1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.E58.m1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑢</ci><apply id="S3.E58.m1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.E58.m1.1.1.1.1.1.2.3.3"><times id="S3.E58.m1.1.1.1.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S3.E58.m1.1.1.1.1.1.2.3.3.1"></times><ci id="S3.E58.m1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="S3.E58.m1.1.1.1.1.1.2.3.3.2">𝐵</ci><ci id="S3.E58.m1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml" xref="S3.E58.m1.1.1.1.1.1.2.3.3.3">𝑉</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.E58.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E58.m1.1.1.1.1.1.1"><apply id="S3.E58.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E58.m1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E58.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E58.m1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><int id="S3.E58.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E58.m1.1.1.1.1.1.1.2.2"></int><ci id="S3.E58.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E58.m1.1.1.1.1.1.1.2.3">Ω</ci></apply><apply id="S3.E58.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E58.m1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.E58.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E58.m1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.E58.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E58.m1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E58.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E58.m1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E58.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E58.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">italic-ϕ</ci><ci id="S3.E58.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E58.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑎</ci></apply><apply id="S3.E58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><ci id="S3.E58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">∇</ci><ci id="S3.E58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E58.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑢</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E58.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E58.m1.1.1.1.1.2"><times id="S3.E58.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E58.m1.1.1.1.1.2.2"></times><apply id="S3.E58.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E58.m1.1.1.1.1.2.3"><divide id="S3.E58.m1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.E58.m1.1.1.1.1.2.3"></divide><ci id="S3.E58.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.E58.m1.1.1.1.1.2.3.2">𝛼</ci><cn id="S3.E58.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E58.m1.1.1.1.1.2.3.3">2</cn></apply><apply id="S3.E58.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E58.m1.1.1.1.1.2.1"><apply id="S3.E58.m1.1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="S3.E58.m1.1.1.1.1.2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E58.m1.1.1.1.1.2.1.2.1.cmml" xref="S3.E58.m1.1.1.1.1.2.1.2">subscript</csymbol><int id="S3.E58.m1.1.1.1.1.2.1.2.2.cmml" xref="S3.E58.m1.1.1.1.1.2.1.2.2"></int><ci id="S3.E58.m1.1.1.1.1.2.1.2.3.cmml" xref="S3.E58.m1.1.1.1.1.2.1.2.3">Ω</ci></apply><apply id="S3.E58.m1.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S3.E58.m1.1.1.1.1.2.1.1"><times id="S3.E58.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S3.E58.m1.1.1.1.1.2.1.1.2"></times><apply id="S3.E58.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S3.E58.m1.1.1.1.1.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E58.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E58.m1.1.1.1.1.2.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.E58.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E58.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1"><abs id="S3.E58.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E58.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2"></abs><apply id="S3.E58.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E58.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1"><minus id="S3.E58.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E58.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S3.E58.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E58.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2">𝑓</ci><apply id="S3.E58.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E58.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S3.E58.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E58.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.E58.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E58.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.2">𝐾</ci><ci id="S3.E58.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E58.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑢</ci></apply></apply></apply><cn id="S3.E58.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E58.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3">2</cn></apply><apply id="S3.E58.m1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml" xref="S3.E58.m1.1.1.1.1.2.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S3.E58.m1.1.1.1.1.2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E58.m1.1.1.1.1.2.1.1.3.1">differential-d</csymbol><ci id="S3.E58.m1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E58.m1.1.1.1.1.2.1.1.3.2">𝑥</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E58.m1.1c">\inf_{u\in BV}\int_{\Omega}\phi_{a}(\nabla u)+\frac{\alpha}{2}\int_{\Omega}|f-% K*u|^{2}dx.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E58.m1.1d">roman_inf start_POSTSUBSCRIPT italic_u ∈ italic_B italic_V end_POSTSUBSCRIPT ∫ start_POSTSUBSCRIPT roman_Ω end_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( ∇ italic_u ) + divide start_ARG italic_α end_ARG start_ARG 2 end_ARG ∫ start_POSTSUBSCRIPT roman_Ω end_POSTSUBSCRIPT | italic_f - italic_K ∗ italic_u | start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_d italic_x .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(58)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> </section> </section> <section class="ltx_section" id="S4"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">4 </span>Numerical Algorithm</h2> <section class="ltx_subsection" id="S4.SS1"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">4.1 </span>Discretization</h3> <div class="ltx_para" id="S4.SS1.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p1.14">Suppose <math alttext="\Omega=[0,L]^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p1.1.m1.2"><semantics id="S4.SS1.p1.1.m1.2a"><mrow id="S4.SS1.p1.1.m1.2.3" xref="S4.SS1.p1.1.m1.2.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.1.m1.2.3.2" mathvariant="normal" xref="S4.SS1.p1.1.m1.2.3.2.cmml">Ω</mi><mo id="S4.SS1.p1.1.m1.2.3.1" xref="S4.SS1.p1.1.m1.2.3.1.cmml">=</mo><msup id="S4.SS1.p1.1.m1.2.3.3" xref="S4.SS1.p1.1.m1.2.3.3.cmml"><mrow id="S4.SS1.p1.1.m1.2.3.3.2.2" xref="S4.SS1.p1.1.m1.2.3.3.2.1.cmml"><mo id="S4.SS1.p1.1.m1.2.3.3.2.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p1.1.m1.2.3.3.2.1.cmml">[</mo><mn id="S4.SS1.p1.1.m1.1.1" xref="S4.SS1.p1.1.m1.1.1.cmml">0</mn><mo id="S4.SS1.p1.1.m1.2.3.3.2.2.2" xref="S4.SS1.p1.1.m1.2.3.3.2.1.cmml">,</mo><mi id="S4.SS1.p1.1.m1.2.2" xref="S4.SS1.p1.1.m1.2.2.cmml">L</mi><mo id="S4.SS1.p1.1.m1.2.3.3.2.2.3" stretchy="false" xref="S4.SS1.p1.1.m1.2.3.3.2.1.cmml">]</mo></mrow><mn id="S4.SS1.p1.1.m1.2.3.3.3" xref="S4.SS1.p1.1.m1.2.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p1.1.m1.2b"><apply id="S4.SS1.p1.1.m1.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.1.m1.2.3"><eq id="S4.SS1.p1.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.1.m1.2.3.1"></eq><ci id="S4.SS1.p1.1.m1.2.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.1.m1.2.3.2">Ω</ci><apply id="S4.SS1.p1.1.m1.2.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.1.m1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p1.1.m1.2.3.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.1.m1.2.3.3">superscript</csymbol><interval closure="closed" id="S4.SS1.p1.1.m1.2.3.3.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.1.m1.2.3.3.2.2"><cn id="S4.SS1.p1.1.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p1.1.m1.1.1">0</cn><ci id="S4.SS1.p1.1.m1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.1.m1.2.2">𝐿</ci></interval><cn id="S4.SS1.p1.1.m1.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p1.1.m1.2.3.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p1.1.m1.2c">\Omega=[0,L]^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p1.1.m1.2d">roman_Ω = [ 0 , italic_L ] start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, where <math alttext="L" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p1.2.m2.1"><semantics id="S4.SS1.p1.2.m2.1a"><mi id="S4.SS1.p1.2.m2.1.1" xref="S4.SS1.p1.2.m2.1.1.cmml">L</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p1.2.m2.1b"><ci id="S4.SS1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.2.m2.1.1">𝐿</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p1.2.m2.1c">L</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p1.2.m2.1d">italic_L</annotation></semantics></math> is the length of the interval. Let <math alttext="h" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p1.3.m3.1"><semantics id="S4.SS1.p1.3.m3.1a"><mi id="S4.SS1.p1.3.m3.1.1" xref="S4.SS1.p1.3.m3.1.1.cmml">h</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p1.3.m3.1b"><ci id="S4.SS1.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.3.m3.1.1">ℎ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p1.3.m3.1c">h</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p1.3.m3.1d">italic_h</annotation></semantics></math> be the mesh size, <math alttext="\Omega^{h}=\{(ih,jh):1\leq i\leq N,\quad 1\leq j\leq N\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p1.4.m4.2"><semantics id="S4.SS1.p1.4.m4.2a"><mrow id="S4.SS1.p1.4.m4.2.2" xref="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.cmml"><msup id="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.4" xref="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.4.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.4.2" mathvariant="normal" xref="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.4.2.cmml">Ω</mi><mi id="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.4.3" xref="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.4.3.cmml">h</mi></msup><mo id="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.3" xref="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2" xref="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.2.3.cmml"><mo id="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.2.3.1.cmml">{</mo><mrow id="S4.SS1.p1.4.m4.1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS1.p1.4.m4.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S4.SS1.p1.4.m4.1.1.1.1.1.2.3" stretchy="false" xref="S4.SS1.p1.4.m4.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mrow id="S4.SS1.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS1.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="S4.SS1.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS1.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS1.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">h</mi></mrow><mo id="S4.SS1.p1.4.m4.1.1.1.1.1.2.4" xref="S4.SS1.p1.4.m4.1.1.1.1.1.3.cmml">,</mo><mrow id="S4.SS1.p1.4.m4.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.SS1.p1.4.m4.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.4.m4.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.SS1.p1.4.m4.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">j</mi><mo id="S4.SS1.p1.4.m4.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S4.SS1.p1.4.m4.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS1.p1.4.m4.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.SS1.p1.4.m4.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">h</mi></mrow><mo id="S4.SS1.p1.4.m4.1.1.1.1.1.2.5" rspace="0.278em" stretchy="false" xref="S4.SS1.p1.4.m4.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.4" rspace="0.278em" xref="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.2.3.1.cmml">:</mo><mrow id="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.2" xref="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.3.cmml"><mrow id="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.1.1" xref="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.1.1.cmml"><mn id="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.1.1.2" xref="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.1.1.3" xref="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.1.1.3.cmml">≤</mo><mi id="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.1.1.4" xref="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.1.1.4.cmml">i</mi><mo id="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.1.1.5" xref="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.1.1.5.cmml">≤</mo><mi id="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.1.1.6" xref="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.1.1.6.cmml">N</mi></mrow><mo id="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.2.3" rspace="1.167em" xref="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.2.2" xref="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mn id="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml">1</mn><mo id="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.2.2.3" xref="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">≤</mo><mi id="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.2.2.4" xref="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.2.2.4.cmml">j</mi><mo id="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.2.2.5" xref="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.2.2.5.cmml">≤</mo><mi id="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.2.2.6" xref="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.2.2.6.cmml">N</mi></mrow></mrow><mo id="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.2.3.1.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p1.4.m4.2b"><apply id="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.4.m4.2.2"><eq id="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.3"></eq><apply id="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.4.cmml" xref="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.4.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.4">superscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.4.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.4.2">Ω</ci><ci id="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.4.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.4.3">ℎ</ci></apply><apply id="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.3">conditional-set</csymbol><interval closure="open" id="S4.SS1.p1.4.m4.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.4.m4.1.1.1.1.1.2"><apply id="S4.SS1.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S4.SS1.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S4.SS1.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑖</ci><ci id="S4.SS1.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.3">ℎ</ci></apply><apply id="S4.SS1.p1.4.m4.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.4.m4.1.1.1.1.1.2.2"><times id="S4.SS1.p1.4.m4.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.4.m4.1.1.1.1.1.2.2.1"></times><ci id="S4.SS1.p1.4.m4.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.4.m4.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑗</ci><ci id="S4.SS1.p1.4.m4.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.4.m4.1.1.1.1.1.2.2.3">ℎ</ci></apply></interval><apply id="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.3a.cmml" xref="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.1.1"><and id="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.1.1a.cmml" xref="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.1.1"></and><apply id="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.1.1b.cmml" xref="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.1.1"><leq id="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.1.1.3"></leq><cn id="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.1.1.2">1</cn><ci id="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.1.1.4.cmml" xref="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.1.1.4">𝑖</ci></apply><apply id="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.1.1c.cmml" xref="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.1.1"><leq id="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.1.1.5.cmml" xref="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.1.1.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S4.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.1.1.4.cmml" id="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.1.1d.cmml" xref="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.1.1"></share><ci id="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.1.1.6.cmml" xref="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.1.1.6">𝑁</ci></apply></apply><apply id="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.2.2"><and id="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.2.2a.cmml" xref="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.2.2"></and><apply id="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.2.2b.cmml" xref="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.2.2"><leq id="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.2.2.3"></leq><cn id="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.2.2.2">1</cn><ci id="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.2.2.4.cmml" xref="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.2.2.4">𝑗</ci></apply><apply id="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.2.2c.cmml" xref="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.2.2"><leq id="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.2.2.5.cmml" xref="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.2.2.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S4.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.2.2.4.cmml" id="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.2.2d.cmml" xref="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.2.2"></share><ci id="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.2.2.6.cmml" xref="S4.SS1.p1.4.m4.2.2.2.2.2.2.2.6">𝑁</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p1.4.m4.2c">\Omega^{h}=\{(ih,jh):1\leq i\leq N,\quad 1\leq j\leq N\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p1.4.m4.2d">roman_Ω start_POSTSUPERSCRIPT italic_h end_POSTSUPERSCRIPT = { ( italic_i italic_h , italic_j italic_h ) : 1 ≤ italic_i ≤ italic_N , 1 ≤ italic_j ≤ italic_N }</annotation></semantics></math> is the discretized image domain. In <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib35" title="">2021MULTILEVEL </a></cite>, <math alttext="\Omega=[0,1]^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p1.5.m5.2"><semantics id="S4.SS1.p1.5.m5.2a"><mrow id="S4.SS1.p1.5.m5.2.3" xref="S4.SS1.p1.5.m5.2.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.5.m5.2.3.2" mathvariant="normal" xref="S4.SS1.p1.5.m5.2.3.2.cmml">Ω</mi><mo id="S4.SS1.p1.5.m5.2.3.1" xref="S4.SS1.p1.5.m5.2.3.1.cmml">=</mo><msup id="S4.SS1.p1.5.m5.2.3.3" xref="S4.SS1.p1.5.m5.2.3.3.cmml"><mrow id="S4.SS1.p1.5.m5.2.3.3.2.2" xref="S4.SS1.p1.5.m5.2.3.3.2.1.cmml"><mo id="S4.SS1.p1.5.m5.2.3.3.2.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p1.5.m5.2.3.3.2.1.cmml">[</mo><mn id="S4.SS1.p1.5.m5.1.1" xref="S4.SS1.p1.5.m5.1.1.cmml">0</mn><mo id="S4.SS1.p1.5.m5.2.3.3.2.2.2" xref="S4.SS1.p1.5.m5.2.3.3.2.1.cmml">,</mo><mn id="S4.SS1.p1.5.m5.2.2" xref="S4.SS1.p1.5.m5.2.2.cmml">1</mn><mo id="S4.SS1.p1.5.m5.2.3.3.2.2.3" stretchy="false" xref="S4.SS1.p1.5.m5.2.3.3.2.1.cmml">]</mo></mrow><mn id="S4.SS1.p1.5.m5.2.3.3.3" xref="S4.SS1.p1.5.m5.2.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p1.5.m5.2b"><apply id="S4.SS1.p1.5.m5.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.5.m5.2.3"><eq id="S4.SS1.p1.5.m5.2.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.5.m5.2.3.1"></eq><ci id="S4.SS1.p1.5.m5.2.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.5.m5.2.3.2">Ω</ci><apply id="S4.SS1.p1.5.m5.2.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.5.m5.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p1.5.m5.2.3.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.5.m5.2.3.3">superscript</csymbol><interval closure="closed" id="S4.SS1.p1.5.m5.2.3.3.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.5.m5.2.3.3.2.2"><cn id="S4.SS1.p1.5.m5.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p1.5.m5.1.1">0</cn><cn id="S4.SS1.p1.5.m5.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p1.5.m5.2.2">1</cn></interval><cn id="S4.SS1.p1.5.m5.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p1.5.m5.2.3.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p1.5.m5.2c">\Omega=[0,1]^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p1.5.m5.2d">roman_Ω = [ 0 , 1 ] start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> for the calculation of the Wasserstein-1 distance. The distributions <math alttext="u,f" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p1.6.m6.2"><semantics id="S4.SS1.p1.6.m6.2a"><mrow id="S4.SS1.p1.6.m6.2.3.2" xref="S4.SS1.p1.6.m6.2.3.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.6.m6.1.1" xref="S4.SS1.p1.6.m6.1.1.cmml">u</mi><mo id="S4.SS1.p1.6.m6.2.3.2.1" xref="S4.SS1.p1.6.m6.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.SS1.p1.6.m6.2.2" xref="S4.SS1.p1.6.m6.2.2.cmml">f</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p1.6.m6.2b"><list id="S4.SS1.p1.6.m6.2.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.6.m6.2.3.2"><ci id="S4.SS1.p1.6.m6.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.6.m6.1.1">𝑢</ci><ci id="S4.SS1.p1.6.m6.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.6.m6.2.2">𝑓</ci></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p1.6.m6.2c">u,f</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p1.6.m6.2d">italic_u , italic_f</annotation></semantics></math> and <math alttext="v" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p1.7.m7.1"><semantics id="S4.SS1.p1.7.m7.1a"><mi id="S4.SS1.p1.7.m7.1.1" xref="S4.SS1.p1.7.m7.1.1.cmml">v</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p1.7.m7.1b"><ci id="S4.SS1.p1.7.m7.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.7.m7.1.1">𝑣</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p1.7.m7.1c">v</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p1.7.m7.1d">italic_v</annotation></semantics></math> are discretized as <math alttext="N\times N" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p1.8.m8.1"><semantics id="S4.SS1.p1.8.m8.1a"><mrow id="S4.SS1.p1.8.m8.1.1" xref="S4.SS1.p1.8.m8.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.8.m8.1.1.2" xref="S4.SS1.p1.8.m8.1.1.2.cmml">N</mi><mo id="S4.SS1.p1.8.m8.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.SS1.p1.8.m8.1.1.1.cmml">×</mo><mi id="S4.SS1.p1.8.m8.1.1.3" xref="S4.SS1.p1.8.m8.1.1.3.cmml">N</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p1.8.m8.1b"><apply id="S4.SS1.p1.8.m8.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.8.m8.1.1"><times id="S4.SS1.p1.8.m8.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.8.m8.1.1.1"></times><ci id="S4.SS1.p1.8.m8.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.8.m8.1.1.2">𝑁</ci><ci id="S4.SS1.p1.8.m8.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.8.m8.1.1.3">𝑁</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p1.8.m8.1c">N\times N</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p1.8.m8.1d">italic_N × italic_N</annotation></semantics></math> tensors, the discrete flux <math alttext="m=(m_{1},m_{2})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p1.9.m9.2"><semantics id="S4.SS1.p1.9.m9.2a"><mrow id="S4.SS1.p1.9.m9.2.2" xref="S4.SS1.p1.9.m9.2.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.9.m9.2.2.4" xref="S4.SS1.p1.9.m9.2.2.4.cmml">m</mi><mo id="S4.SS1.p1.9.m9.2.2.3" xref="S4.SS1.p1.9.m9.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="S4.SS1.p1.9.m9.2.2.2.2" xref="S4.SS1.p1.9.m9.2.2.2.3.cmml"><mo id="S4.SS1.p1.9.m9.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S4.SS1.p1.9.m9.2.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="S4.SS1.p1.9.m9.1.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p1.9.m9.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.9.m9.1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS1.p1.9.m9.1.1.1.1.1.2.cmml">m</mi><mn id="S4.SS1.p1.9.m9.1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS1.p1.9.m9.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.SS1.p1.9.m9.2.2.2.2.4" xref="S4.SS1.p1.9.m9.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S4.SS1.p1.9.m9.2.2.2.2.2" xref="S4.SS1.p1.9.m9.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.9.m9.2.2.2.2.2.2" xref="S4.SS1.p1.9.m9.2.2.2.2.2.2.cmml">m</mi><mn id="S4.SS1.p1.9.m9.2.2.2.2.2.3" xref="S4.SS1.p1.9.m9.2.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S4.SS1.p1.9.m9.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S4.SS1.p1.9.m9.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p1.9.m9.2b"><apply id="S4.SS1.p1.9.m9.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.9.m9.2.2"><eq id="S4.SS1.p1.9.m9.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.9.m9.2.2.3"></eq><ci id="S4.SS1.p1.9.m9.2.2.4.cmml" xref="S4.SS1.p1.9.m9.2.2.4">𝑚</ci><interval closure="open" id="S4.SS1.p1.9.m9.2.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.9.m9.2.2.2.2"><apply id="S4.SS1.p1.9.m9.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.9.m9.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p1.9.m9.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.9.m9.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p1.9.m9.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.9.m9.1.1.1.1.1.2">𝑚</ci><cn id="S4.SS1.p1.9.m9.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p1.9.m9.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S4.SS1.p1.9.m9.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.9.m9.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p1.9.m9.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.9.m9.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p1.9.m9.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.9.m9.2.2.2.2.2.2">𝑚</ci><cn id="S4.SS1.p1.9.m9.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p1.9.m9.2.2.2.2.2.3">2</cn></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p1.9.m9.2c">m=(m_{1},m_{2})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p1.9.m9.2d">italic_m = ( italic_m start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_m start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> where <math alttext="m_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p1.10.m10.1"><semantics id="S4.SS1.p1.10.m10.1a"><msub id="S4.SS1.p1.10.m10.1.1" xref="S4.SS1.p1.10.m10.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.10.m10.1.1.2" xref="S4.SS1.p1.10.m10.1.1.2.cmml">m</mi><mn id="S4.SS1.p1.10.m10.1.1.3" xref="S4.SS1.p1.10.m10.1.1.3.cmml">1</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p1.10.m10.1b"><apply id="S4.SS1.p1.10.m10.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.10.m10.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p1.10.m10.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.10.m10.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p1.10.m10.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.10.m10.1.1.2">𝑚</ci><cn id="S4.SS1.p1.10.m10.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p1.10.m10.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p1.10.m10.1c">m_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p1.10.m10.1d">italic_m start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="m_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p1.11.m11.1"><semantics id="S4.SS1.p1.11.m11.1a"><msub id="S4.SS1.p1.11.m11.1.1" xref="S4.SS1.p1.11.m11.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.11.m11.1.1.2" xref="S4.SS1.p1.11.m11.1.1.2.cmml">m</mi><mn id="S4.SS1.p1.11.m11.1.1.3" xref="S4.SS1.p1.11.m11.1.1.3.cmml">2</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p1.11.m11.1b"><apply id="S4.SS1.p1.11.m11.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.11.m11.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p1.11.m11.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.11.m11.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p1.11.m11.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.11.m11.1.1.2">𝑚</ci><cn id="S4.SS1.p1.11.m11.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p1.11.m11.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p1.11.m11.1c">m_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p1.11.m11.1d">italic_m start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> are <math alttext="N\times N" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p1.12.m12.1"><semantics id="S4.SS1.p1.12.m12.1a"><mrow id="S4.SS1.p1.12.m12.1.1" xref="S4.SS1.p1.12.m12.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.12.m12.1.1.2" xref="S4.SS1.p1.12.m12.1.1.2.cmml">N</mi><mo id="S4.SS1.p1.12.m12.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.SS1.p1.12.m12.1.1.1.cmml">×</mo><mi id="S4.SS1.p1.12.m12.1.1.3" xref="S4.SS1.p1.12.m12.1.1.3.cmml">N</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p1.12.m12.1b"><apply id="S4.SS1.p1.12.m12.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.12.m12.1.1"><times id="S4.SS1.p1.12.m12.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.12.m12.1.1.1"></times><ci id="S4.SS1.p1.12.m12.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.12.m12.1.1.2">𝑁</ci><ci id="S4.SS1.p1.12.m12.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.12.m12.1.1.3">𝑁</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p1.12.m12.1c">N\times N</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p1.12.m12.1d">italic_N × italic_N</annotation></semantics></math> tensors, which represents a map <math alttext="u=\{u(x)\}_{x\in\Omega^{h}},f=\{f(x)\}_{x\in\Omega^{h}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p1.13.m13.4"><semantics id="S4.SS1.p1.13.m13.4a"><mrow id="S4.SS1.p1.13.m13.4.4.2" xref="S4.SS1.p1.13.m13.4.4.3.cmml"><mrow id="S4.SS1.p1.13.m13.3.3.1.1" xref="S4.SS1.p1.13.m13.3.3.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.13.m13.3.3.1.1.3" xref="S4.SS1.p1.13.m13.3.3.1.1.3.cmml">u</mi><mo id="S4.SS1.p1.13.m13.3.3.1.1.2" xref="S4.SS1.p1.13.m13.3.3.1.1.2.cmml">=</mo><msub id="S4.SS1.p1.13.m13.3.3.1.1.1" xref="S4.SS1.p1.13.m13.3.3.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.SS1.p1.13.m13.3.3.1.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p1.13.m13.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p1.13.m13.3.3.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p1.13.m13.3.3.1.1.1.1.2.cmml">{</mo><mrow id="S4.SS1.p1.13.m13.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p1.13.m13.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.13.m13.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS1.p1.13.m13.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">u</mi><mo id="S4.SS1.p1.13.m13.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p1.13.m13.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS1.p1.13.m13.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.SS1.p1.13.m13.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.SS1.p1.13.m13.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p1.13.m13.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p1.13.m13.1.1" xref="S4.SS1.p1.13.m13.1.1.cmml">x</mi><mo id="S4.SS1.p1.13.m13.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p1.13.m13.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.SS1.p1.13.m13.3.3.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS1.p1.13.m13.3.3.1.1.1.1.2.cmml">}</mo></mrow><mrow id="S4.SS1.p1.13.m13.3.3.1.1.1.3" xref="S4.SS1.p1.13.m13.3.3.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.13.m13.3.3.1.1.1.3.2" xref="S4.SS1.p1.13.m13.3.3.1.1.1.3.2.cmml">x</mi><mo id="S4.SS1.p1.13.m13.3.3.1.1.1.3.1" xref="S4.SS1.p1.13.m13.3.3.1.1.1.3.1.cmml">∈</mo><msup id="S4.SS1.p1.13.m13.3.3.1.1.1.3.3" xref="S4.SS1.p1.13.m13.3.3.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.13.m13.3.3.1.1.1.3.3.2" mathvariant="normal" xref="S4.SS1.p1.13.m13.3.3.1.1.1.3.3.2.cmml">Ω</mi><mi id="S4.SS1.p1.13.m13.3.3.1.1.1.3.3.3" xref="S4.SS1.p1.13.m13.3.3.1.1.1.3.3.3.cmml">h</mi></msup></mrow></msub></mrow><mo id="S4.SS1.p1.13.m13.4.4.2.3" xref="S4.SS1.p1.13.m13.4.4.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.SS1.p1.13.m13.4.4.2.2" xref="S4.SS1.p1.13.m13.4.4.2.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.13.m13.4.4.2.2.3" xref="S4.SS1.p1.13.m13.4.4.2.2.3.cmml">f</mi><mo id="S4.SS1.p1.13.m13.4.4.2.2.2" xref="S4.SS1.p1.13.m13.4.4.2.2.2.cmml">=</mo><msub id="S4.SS1.p1.13.m13.4.4.2.2.1" xref="S4.SS1.p1.13.m13.4.4.2.2.1.cmml"><mrow id="S4.SS1.p1.13.m13.4.4.2.2.1.1.1" xref="S4.SS1.p1.13.m13.4.4.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p1.13.m13.4.4.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p1.13.m13.4.4.2.2.1.1.2.cmml">{</mo><mrow id="S4.SS1.p1.13.m13.4.4.2.2.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p1.13.m13.4.4.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.13.m13.4.4.2.2.1.1.1.1.2" xref="S4.SS1.p1.13.m13.4.4.2.2.1.1.1.1.2.cmml">f</mi><mo id="S4.SS1.p1.13.m13.4.4.2.2.1.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p1.13.m13.4.4.2.2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS1.p1.13.m13.4.4.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="S4.SS1.p1.13.m13.4.4.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.SS1.p1.13.m13.4.4.2.2.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p1.13.m13.4.4.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p1.13.m13.2.2" xref="S4.SS1.p1.13.m13.2.2.cmml">x</mi><mo id="S4.SS1.p1.13.m13.4.4.2.2.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p1.13.m13.4.4.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.SS1.p1.13.m13.4.4.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS1.p1.13.m13.4.4.2.2.1.1.2.cmml">}</mo></mrow><mrow id="S4.SS1.p1.13.m13.4.4.2.2.1.3" xref="S4.SS1.p1.13.m13.4.4.2.2.1.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.13.m13.4.4.2.2.1.3.2" xref="S4.SS1.p1.13.m13.4.4.2.2.1.3.2.cmml">x</mi><mo id="S4.SS1.p1.13.m13.4.4.2.2.1.3.1" xref="S4.SS1.p1.13.m13.4.4.2.2.1.3.1.cmml">∈</mo><msup id="S4.SS1.p1.13.m13.4.4.2.2.1.3.3" xref="S4.SS1.p1.13.m13.4.4.2.2.1.3.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.13.m13.4.4.2.2.1.3.3.2" mathvariant="normal" xref="S4.SS1.p1.13.m13.4.4.2.2.1.3.3.2.cmml">Ω</mi><mi id="S4.SS1.p1.13.m13.4.4.2.2.1.3.3.3" xref="S4.SS1.p1.13.m13.4.4.2.2.1.3.3.3.cmml">h</mi></msup></mrow></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p1.13.m13.4b"><apply id="S4.SS1.p1.13.m13.4.4.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.13.m13.4.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p1.13.m13.4.4.3a.cmml" xref="S4.SS1.p1.13.m13.4.4.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.SS1.p1.13.m13.3.3.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.13.m13.3.3.1.1"><eq id="S4.SS1.p1.13.m13.3.3.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.13.m13.3.3.1.1.2"></eq><ci id="S4.SS1.p1.13.m13.3.3.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.13.m13.3.3.1.1.3">𝑢</ci><apply id="S4.SS1.p1.13.m13.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.13.m13.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p1.13.m13.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.13.m13.3.3.1.1.1">subscript</csymbol><set id="S4.SS1.p1.13.m13.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.13.m13.3.3.1.1.1.1.1"><apply id="S4.SS1.p1.13.m13.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.13.m13.3.3.1.1.1.1.1.1"><times id="S4.SS1.p1.13.m13.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.13.m13.3.3.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S4.SS1.p1.13.m13.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.13.m13.3.3.1.1.1.1.1.1.2">𝑢</ci><ci id="S4.SS1.p1.13.m13.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.13.m13.1.1">𝑥</ci></apply></set><apply id="S4.SS1.p1.13.m13.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.13.m13.3.3.1.1.1.3"><in id="S4.SS1.p1.13.m13.3.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.13.m13.3.3.1.1.1.3.1"></in><ci id="S4.SS1.p1.13.m13.3.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.13.m13.3.3.1.1.1.3.2">𝑥</ci><apply id="S4.SS1.p1.13.m13.3.3.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.13.m13.3.3.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p1.13.m13.3.3.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.13.m13.3.3.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p1.13.m13.3.3.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.13.m13.3.3.1.1.1.3.3.2">Ω</ci><ci id="S4.SS1.p1.13.m13.3.3.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.13.m13.3.3.1.1.1.3.3.3">ℎ</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.SS1.p1.13.m13.4.4.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.13.m13.4.4.2.2"><eq id="S4.SS1.p1.13.m13.4.4.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.13.m13.4.4.2.2.2"></eq><ci id="S4.SS1.p1.13.m13.4.4.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.13.m13.4.4.2.2.3">𝑓</ci><apply id="S4.SS1.p1.13.m13.4.4.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.13.m13.4.4.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p1.13.m13.4.4.2.2.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.13.m13.4.4.2.2.1">subscript</csymbol><set id="S4.SS1.p1.13.m13.4.4.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.13.m13.4.4.2.2.1.1.1"><apply id="S4.SS1.p1.13.m13.4.4.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.13.m13.4.4.2.2.1.1.1.1"><times id="S4.SS1.p1.13.m13.4.4.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.13.m13.4.4.2.2.1.1.1.1.1"></times><ci id="S4.SS1.p1.13.m13.4.4.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.13.m13.4.4.2.2.1.1.1.1.2">𝑓</ci><ci id="S4.SS1.p1.13.m13.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.13.m13.2.2">𝑥</ci></apply></set><apply id="S4.SS1.p1.13.m13.4.4.2.2.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.13.m13.4.4.2.2.1.3"><in id="S4.SS1.p1.13.m13.4.4.2.2.1.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.13.m13.4.4.2.2.1.3.1"></in><ci id="S4.SS1.p1.13.m13.4.4.2.2.1.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.13.m13.4.4.2.2.1.3.2">𝑥</ci><apply id="S4.SS1.p1.13.m13.4.4.2.2.1.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.13.m13.4.4.2.2.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p1.13.m13.4.4.2.2.1.3.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.13.m13.4.4.2.2.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p1.13.m13.4.4.2.2.1.3.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.13.m13.4.4.2.2.1.3.3.2">Ω</ci><ci id="S4.SS1.p1.13.m13.4.4.2.2.1.3.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.13.m13.4.4.2.2.1.3.3.3">ℎ</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p1.13.m13.4c">u=\{u(x)\}_{x\in\Omega^{h}},f=\{f(x)\}_{x\in\Omega^{h}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p1.13.m13.4d">italic_u = { italic_u ( italic_x ) } start_POSTSUBSCRIPT italic_x ∈ roman_Ω start_POSTSUPERSCRIPT italic_h end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT , italic_f = { italic_f ( italic_x ) } start_POSTSUBSCRIPT italic_x ∈ roman_Ω start_POSTSUPERSCRIPT italic_h end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, and <math alttext="m=\{m(x)\}_{x\in\Omega^{h}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p1.14.m14.2"><semantics id="S4.SS1.p1.14.m14.2a"><mrow id="S4.SS1.p1.14.m14.2.2" xref="S4.SS1.p1.14.m14.2.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.14.m14.2.2.3" xref="S4.SS1.p1.14.m14.2.2.3.cmml">m</mi><mo id="S4.SS1.p1.14.m14.2.2.2" xref="S4.SS1.p1.14.m14.2.2.2.cmml">=</mo><msub id="S4.SS1.p1.14.m14.2.2.1" xref="S4.SS1.p1.14.m14.2.2.1.cmml"><mrow id="S4.SS1.p1.14.m14.2.2.1.1.1" xref="S4.SS1.p1.14.m14.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p1.14.m14.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p1.14.m14.2.2.1.1.2.cmml">{</mo><mrow id="S4.SS1.p1.14.m14.2.2.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p1.14.m14.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.14.m14.2.2.1.1.1.1.2" xref="S4.SS1.p1.14.m14.2.2.1.1.1.1.2.cmml">m</mi><mo id="S4.SS1.p1.14.m14.2.2.1.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p1.14.m14.2.2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS1.p1.14.m14.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="S4.SS1.p1.14.m14.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.SS1.p1.14.m14.2.2.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p1.14.m14.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p1.14.m14.1.1" xref="S4.SS1.p1.14.m14.1.1.cmml">x</mi><mo id="S4.SS1.p1.14.m14.2.2.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p1.14.m14.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.SS1.p1.14.m14.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS1.p1.14.m14.2.2.1.1.2.cmml">}</mo></mrow><mrow id="S4.SS1.p1.14.m14.2.2.1.3" xref="S4.SS1.p1.14.m14.2.2.1.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.14.m14.2.2.1.3.2" xref="S4.SS1.p1.14.m14.2.2.1.3.2.cmml">x</mi><mo id="S4.SS1.p1.14.m14.2.2.1.3.1" xref="S4.SS1.p1.14.m14.2.2.1.3.1.cmml">∈</mo><msup id="S4.SS1.p1.14.m14.2.2.1.3.3" xref="S4.SS1.p1.14.m14.2.2.1.3.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p1.14.m14.2.2.1.3.3.2" mathvariant="normal" xref="S4.SS1.p1.14.m14.2.2.1.3.3.2.cmml">Ω</mi><mi id="S4.SS1.p1.14.m14.2.2.1.3.3.3" xref="S4.SS1.p1.14.m14.2.2.1.3.3.3.cmml">h</mi></msup></mrow></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p1.14.m14.2b"><apply id="S4.SS1.p1.14.m14.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.14.m14.2.2"><eq id="S4.SS1.p1.14.m14.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.14.m14.2.2.2"></eq><ci id="S4.SS1.p1.14.m14.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.14.m14.2.2.3">𝑚</ci><apply id="S4.SS1.p1.14.m14.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.14.m14.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p1.14.m14.2.2.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.14.m14.2.2.1">subscript</csymbol><set id="S4.SS1.p1.14.m14.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.14.m14.2.2.1.1.1"><apply id="S4.SS1.p1.14.m14.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.14.m14.2.2.1.1.1.1"><times id="S4.SS1.p1.14.m14.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.14.m14.2.2.1.1.1.1.1"></times><ci id="S4.SS1.p1.14.m14.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.14.m14.2.2.1.1.1.1.2">𝑚</ci><ci id="S4.SS1.p1.14.m14.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.14.m14.1.1">𝑥</ci></apply></set><apply id="S4.SS1.p1.14.m14.2.2.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.14.m14.2.2.1.3"><in id="S4.SS1.p1.14.m14.2.2.1.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.14.m14.2.2.1.3.1"></in><ci id="S4.SS1.p1.14.m14.2.2.1.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.14.m14.2.2.1.3.2">𝑥</ci><apply id="S4.SS1.p1.14.m14.2.2.1.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.14.m14.2.2.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p1.14.m14.2.2.1.3.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p1.14.m14.2.2.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p1.14.m14.2.2.1.3.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p1.14.m14.2.2.1.3.3.2">Ω</ci><ci id="S4.SS1.p1.14.m14.2.2.1.3.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p1.14.m14.2.2.1.3.3.3">ℎ</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p1.14.m14.2c">m=\{m(x)\}_{x\in\Omega^{h}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p1.14.m14.2d">italic_m = { italic_m ( italic_x ) } start_POSTSUBSCRIPT italic_x ∈ roman_Ω start_POSTSUPERSCRIPT italic_h end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. For simplicity, we use the same symbol for the continuous variables and their discretizations.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS1.p2"> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p2.2">Define some norms</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_table" id="S4.E59"> <tbody> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S4.E59X"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\|m\|_{2}^{2}=\sum_{i,j}|m_{(i,j)}|^{2},\quad\|\phi\|^{2}=\sum_{i% ,j}\phi_{(i,j)}^{2},\quad\|m\|_{1,2}=\sum_{i,j}|m_{(i,j)}|," class="ltx_Math" display="inline" id="S4.E59X.2.1.1.m1.18"><semantics id="S4.E59X.2.1.1.m1.18a"><mrow id="S4.E59X.2.1.1.m1.18.18.1"><mrow id="S4.E59X.2.1.1.m1.18.18.1.1.2" xref="S4.E59X.2.1.1.m1.18.18.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.E59X.2.1.1.m1.18.18.1.1.1.1" xref="S4.E59X.2.1.1.m1.18.18.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.E59X.2.1.1.m1.18.18.1.1.1.1.3" xref="S4.E59X.2.1.1.m1.18.18.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.E59X.2.1.1.m1.18.18.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S4.E59X.2.1.1.m1.18.18.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml"><mo id="S4.E59X.2.1.1.m1.18.18.1.1.1.1.3.2.2.2.1" stretchy="false" xref="S4.E59X.2.1.1.m1.18.18.1.1.1.1.3.2.2.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S4.E59X.2.1.1.m1.15.15" xref="S4.E59X.2.1.1.m1.15.15.cmml">m</mi><mo id="S4.E59X.2.1.1.m1.18.18.1.1.1.1.3.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S4.E59X.2.1.1.m1.18.18.1.1.1.1.3.2.2.1.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="S4.E59X.2.1.1.m1.18.18.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.E59X.2.1.1.m1.18.18.1.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn><mn id="S4.E59X.2.1.1.m1.18.18.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E59X.2.1.1.m1.18.18.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S4.E59X.2.1.1.m1.18.18.1.1.1.1.2" xref="S4.E59X.2.1.1.m1.18.18.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.E59X.2.1.1.m1.18.18.1.1.1.1.1" xref="S4.E59X.2.1.1.m1.18.18.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.E59X.2.1.1.m1.18.18.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E59X.2.1.1.m1.18.18.1.1.1.1.1.2.cmml"><munder id="S4.E59X.2.1.1.m1.18.18.1.1.1.1.1.2a" xref="S4.E59X.2.1.1.m1.18.18.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E59X.2.1.1.m1.18.18.1.1.1.1.1.2.2" movablelimits="false" xref="S4.E59X.2.1.1.m1.18.18.1.1.1.1.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S4.E59X.2.1.1.m1.2.2.2.4" xref="S4.E59X.2.1.1.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.E59X.2.1.1.m1.1.1.1.1" xref="S4.E59X.2.1.1.m1.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S4.E59X.2.1.1.m1.2.2.2.4.1" xref="S4.E59X.2.1.1.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.E59X.2.1.1.m1.2.2.2.2" xref="S4.E59X.2.1.1.m1.2.2.2.2.cmml">j</mi></mrow></munder></mstyle><msup id="S4.E59X.2.1.1.m1.18.18.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E59X.2.1.1.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E59X.2.1.1.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E59X.2.1.1.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E59X.2.1.1.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E59X.2.1.1.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S4.E59X.2.1.1.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E59X.2.1.1.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E59X.2.1.1.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E59X.2.1.1.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">m</mi><mrow id="S4.E59X.2.1.1.m1.4.4.2.4" xref="S4.E59X.2.1.1.m1.4.4.2.3.cmml"><mo id="S4.E59X.2.1.1.m1.4.4.2.4.1" stretchy="false" xref="S4.E59X.2.1.1.m1.4.4.2.3.cmml">(</mo><mi id="S4.E59X.2.1.1.m1.3.3.1.1" xref="S4.E59X.2.1.1.m1.3.3.1.1.cmml">i</mi><mo id="S4.E59X.2.1.1.m1.4.4.2.4.2" xref="S4.E59X.2.1.1.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.E59X.2.1.1.m1.4.4.2.2" xref="S4.E59X.2.1.1.m1.4.4.2.2.cmml">j</mi><mo id="S4.E59X.2.1.1.m1.4.4.2.4.3" stretchy="false" xref="S4.E59X.2.1.1.m1.4.4.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub><mo id="S4.E59X.2.1.1.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E59X.2.1.1.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mn id="S4.E59X.2.1.1.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E59X.2.1.1.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><mo id="S4.E59X.2.1.1.m1.18.18.1.1.2.3" rspace="1.167em" xref="S4.E59X.2.1.1.m1.18.18.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.E59X.2.1.1.m1.18.18.1.1.2.2.2" xref="S4.E59X.2.1.1.m1.18.18.1.1.2.2.3.cmml"><mrow id="S4.E59X.2.1.1.m1.18.18.1.1.2.2.1.1" xref="S4.E59X.2.1.1.m1.18.18.1.1.2.2.1.1.cmml"><msup id="S4.E59X.2.1.1.m1.18.18.1.1.2.2.1.1.2" xref="S4.E59X.2.1.1.m1.18.18.1.1.2.2.1.1.2.cmml"><mrow id="S4.E59X.2.1.1.m1.18.18.1.1.2.2.1.1.2.2.2" xref="S4.E59X.2.1.1.m1.18.18.1.1.2.2.1.1.2.2.1.cmml"><mo id="S4.E59X.2.1.1.m1.18.18.1.1.2.2.1.1.2.2.2.1" stretchy="false" xref="S4.E59X.2.1.1.m1.18.18.1.1.2.2.1.1.2.2.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S4.E59X.2.1.1.m1.16.16" xref="S4.E59X.2.1.1.m1.16.16.cmml">ϕ</mi><mo id="S4.E59X.2.1.1.m1.18.18.1.1.2.2.1.1.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S4.E59X.2.1.1.m1.18.18.1.1.2.2.1.1.2.2.1.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="S4.E59X.2.1.1.m1.18.18.1.1.2.2.1.1.2.3" xref="S4.E59X.2.1.1.m1.18.18.1.1.2.2.1.1.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S4.E59X.2.1.1.m1.18.18.1.1.2.2.1.1.1" xref="S4.E59X.2.1.1.m1.18.18.1.1.2.2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.E59X.2.1.1.m1.18.18.1.1.2.2.1.1.3" xref="S4.E59X.2.1.1.m1.18.18.1.1.2.2.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.E59X.2.1.1.m1.18.18.1.1.2.2.1.1.3.1" xref="S4.E59X.2.1.1.m1.18.18.1.1.2.2.1.1.3.1.cmml"><munder id="S4.E59X.2.1.1.m1.18.18.1.1.2.2.1.1.3.1a" xref="S4.E59X.2.1.1.m1.18.18.1.1.2.2.1.1.3.1.cmml"><mo id="S4.E59X.2.1.1.m1.18.18.1.1.2.2.1.1.3.1.2" movablelimits="false" xref="S4.E59X.2.1.1.m1.18.18.1.1.2.2.1.1.3.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="S4.E59X.2.1.1.m1.6.6.2.4" xref="S4.E59X.2.1.1.m1.6.6.2.3.cmml"><mi id="S4.E59X.2.1.1.m1.5.5.1.1" xref="S4.E59X.2.1.1.m1.5.5.1.1.cmml">i</mi><mo id="S4.E59X.2.1.1.m1.6.6.2.4.1" xref="S4.E59X.2.1.1.m1.6.6.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.E59X.2.1.1.m1.6.6.2.2" xref="S4.E59X.2.1.1.m1.6.6.2.2.cmml">j</mi></mrow></munder></mstyle><msubsup id="S4.E59X.2.1.1.m1.18.18.1.1.2.2.1.1.3.2" xref="S4.E59X.2.1.1.m1.18.18.1.1.2.2.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.E59X.2.1.1.m1.18.18.1.1.2.2.1.1.3.2.2.2" xref="S4.E59X.2.1.1.m1.18.18.1.1.2.2.1.1.3.2.2.2.cmml">ϕ</mi><mrow id="S4.E59X.2.1.1.m1.8.8.2.4" xref="S4.E59X.2.1.1.m1.8.8.2.3.cmml"><mo id="S4.E59X.2.1.1.m1.8.8.2.4.1" stretchy="false" xref="S4.E59X.2.1.1.m1.8.8.2.3.cmml">(</mo><mi id="S4.E59X.2.1.1.m1.7.7.1.1" xref="S4.E59X.2.1.1.m1.7.7.1.1.cmml">i</mi><mo id="S4.E59X.2.1.1.m1.8.8.2.4.2" xref="S4.E59X.2.1.1.m1.8.8.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.E59X.2.1.1.m1.8.8.2.2" xref="S4.E59X.2.1.1.m1.8.8.2.2.cmml">j</mi><mo id="S4.E59X.2.1.1.m1.8.8.2.4.3" stretchy="false" xref="S4.E59X.2.1.1.m1.8.8.2.3.cmml">)</mo></mrow><mn id="S4.E59X.2.1.1.m1.18.18.1.1.2.2.1.1.3.2.3" xref="S4.E59X.2.1.1.m1.18.18.1.1.2.2.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow></mrow><mo id="S4.E59X.2.1.1.m1.18.18.1.1.2.2.2.3" rspace="1.167em" xref="S4.E59X.2.1.1.m1.18.18.1.1.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.E59X.2.1.1.m1.18.18.1.1.2.2.2.2" xref="S4.E59X.2.1.1.m1.18.18.1.1.2.2.2.2.cmml"><msub id="S4.E59X.2.1.1.m1.18.18.1.1.2.2.2.2.3" xref="S4.E59X.2.1.1.m1.18.18.1.1.2.2.2.2.3.cmml"><mrow id="S4.E59X.2.1.1.m1.18.18.1.1.2.2.2.2.3.2.2" xref="S4.E59X.2.1.1.m1.18.18.1.1.2.2.2.2.3.2.1.cmml"><mo id="S4.E59X.2.1.1.m1.18.18.1.1.2.2.2.2.3.2.2.1" stretchy="false" xref="S4.E59X.2.1.1.m1.18.18.1.1.2.2.2.2.3.2.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S4.E59X.2.1.1.m1.17.17" xref="S4.E59X.2.1.1.m1.17.17.cmml">m</mi><mo id="S4.E59X.2.1.1.m1.18.18.1.1.2.2.2.2.3.2.2.2" stretchy="false" xref="S4.E59X.2.1.1.m1.18.18.1.1.2.2.2.2.3.2.1.1.cmml">‖</mo></mrow><mrow id="S4.E59X.2.1.1.m1.10.10.2.4" xref="S4.E59X.2.1.1.m1.10.10.2.3.cmml"><mn id="S4.E59X.2.1.1.m1.9.9.1.1" xref="S4.E59X.2.1.1.m1.9.9.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.E59X.2.1.1.m1.10.10.2.4.1" xref="S4.E59X.2.1.1.m1.10.10.2.3.cmml">,</mo><mn id="S4.E59X.2.1.1.m1.10.10.2.2" xref="S4.E59X.2.1.1.m1.10.10.2.2.cmml">2</mn></mrow></msub><mo id="S4.E59X.2.1.1.m1.18.18.1.1.2.2.2.2.2" xref="S4.E59X.2.1.1.m1.18.18.1.1.2.2.2.2.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.E59X.2.1.1.m1.18.18.1.1.2.2.2.2.1" xref="S4.E59X.2.1.1.m1.18.18.1.1.2.2.2.2.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.E59X.2.1.1.m1.18.18.1.1.2.2.2.2.1.2" xref="S4.E59X.2.1.1.m1.18.18.1.1.2.2.2.2.1.2.cmml"><munder id="S4.E59X.2.1.1.m1.18.18.1.1.2.2.2.2.1.2a" xref="S4.E59X.2.1.1.m1.18.18.1.1.2.2.2.2.1.2.cmml"><mo id="S4.E59X.2.1.1.m1.18.18.1.1.2.2.2.2.1.2.2" movablelimits="false" xref="S4.E59X.2.1.1.m1.18.18.1.1.2.2.2.2.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S4.E59X.2.1.1.m1.12.12.2.4" xref="S4.E59X.2.1.1.m1.12.12.2.3.cmml"><mi id="S4.E59X.2.1.1.m1.11.11.1.1" xref="S4.E59X.2.1.1.m1.11.11.1.1.cmml">i</mi><mo id="S4.E59X.2.1.1.m1.12.12.2.4.1" xref="S4.E59X.2.1.1.m1.12.12.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.E59X.2.1.1.m1.12.12.2.2" xref="S4.E59X.2.1.1.m1.12.12.2.2.cmml">j</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="S4.E59X.2.1.1.m1.18.18.1.1.2.2.2.2.1.1.1" xref="S4.E59X.2.1.1.m1.18.18.1.1.2.2.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E59X.2.1.1.m1.18.18.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E59X.2.1.1.m1.18.18.1.1.2.2.2.2.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S4.E59X.2.1.1.m1.18.18.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1" xref="S4.E59X.2.1.1.m1.18.18.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E59X.2.1.1.m1.18.18.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.2" 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id="S4.E59X.2.1.1.m1.18.18.1.1.2.2.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E59X.2.1.1.m1.18.18.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2"></abs><apply id="S4.E59X.2.1.1.m1.18.18.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E59X.2.1.1.m1.18.18.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E59X.2.1.1.m1.18.18.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E59X.2.1.1.m1.18.18.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.E59X.2.1.1.m1.18.18.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E59X.2.1.1.m1.18.18.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.2">𝑚</ci><interval closure="open" id="S4.E59X.2.1.1.m1.14.14.2.3.cmml" xref="S4.E59X.2.1.1.m1.14.14.2.4"><ci id="S4.E59X.2.1.1.m1.13.13.1.1.cmml" xref="S4.E59X.2.1.1.m1.13.13.1.1">𝑖</ci><ci id="S4.E59X.2.1.1.m1.14.14.2.2.cmml" xref="S4.E59X.2.1.1.m1.14.14.2.2">𝑗</ci></interval></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E59X.2.1.1.m1.18c">\displaystyle\|m\|_{2}^{2}=\sum_{i,j}|m_{(i,j)}|^{2},\quad\|\phi\|^{2}=\sum_{i% ,j}\phi_{(i,j)}^{2},\quad\|m\|_{1,2}=\sum_{i,j}|m_{(i,j)}|,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E59X.2.1.1.m1.18d">∥ italic_m ∥ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_j end_POSTSUBSCRIPT | italic_m start_POSTSUBSCRIPT ( italic_i , italic_j ) end_POSTSUBSCRIPT | start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT , ∥ italic_ϕ ∥ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ start_POSTSUBSCRIPT ( italic_i , italic_j ) end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT , ∥ italic_m ∥ start_POSTSUBSCRIPT 1 , 2 end_POSTSUBSCRIPT = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_j end_POSTSUBSCRIPT | italic_m start_POSTSUBSCRIPT ( italic_i , italic_j ) end_POSTSUBSCRIPT | ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equationgroup ltx_align_right">(59)</span></td> </tr> </tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p2.1">where <math alttext="|\cdot|" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S4.SS1.p2.1.m1.1"><semantics id="S4.SS1.p2.1.m1.1a"><mrow id="S4.SS1.p2.1.m1.1b"><mo fence="false" id="S4.SS1.p2.1.m1.1.1" stretchy="false">|</mo><mo id="S4.SS1.p2.1.m1.1.2" lspace="0em" rspace="0em">⋅</mo><mo fence="false" id="S4.SS1.p2.1.m1.1.3" stretchy="false">|</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p2.1.m1.1c">|\cdot|</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p2.1.m1.1d">| ⋅ |</annotation></semantics></math> is the standard Euclidean norm.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS1.p3"> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p3.1">Define inner products</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E60"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\langle\phi,\phi^{\prime}\rangle=\sum_{i,j}\phi_{(i,j)}\phi_{(i,j)}^{\prime},% \quad\langle m,n\rangle=\langle m_{1},n_{1}\rangle+\langle m_{2},n_{2}\rangle." class="ltx_Math" display="block" id="S4.E60.m1.10"><semantics id="S4.E60.m1.10a"><mrow id="S4.E60.m1.10.10.1"><mrow id="S4.E60.m1.10.10.1.1.2" xref="S4.E60.m1.10.10.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.E60.m1.10.10.1.1.1.1" xref="S4.E60.m1.10.10.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E60.m1.10.10.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E60.m1.10.10.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E60.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E60.m1.10.10.1.1.1.1.1.2.cmml">⟨</mo><mi id="S4.E60.m1.7.7" xref="S4.E60.m1.7.7.cmml">ϕ</mi><mo id="S4.E60.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E60.m1.10.10.1.1.1.1.1.2.cmml">,</mo><msup id="S4.E60.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E60.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E60.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E60.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S4.E60.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E60.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S4.E60.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.E60.m1.10.10.1.1.1.1.1.2.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S4.E60.m1.10.10.1.1.1.1.2" rspace="0.111em" xref="S4.E60.m1.10.10.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.E60.m1.10.10.1.1.1.1.3" xref="S4.E60.m1.10.10.1.1.1.1.3.cmml"><munder id="S4.E60.m1.10.10.1.1.1.1.3.1" xref="S4.E60.m1.10.10.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S4.E60.m1.10.10.1.1.1.1.3.1.2" movablelimits="false" xref="S4.E60.m1.10.10.1.1.1.1.3.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="S4.E60.m1.2.2.2.4" xref="S4.E60.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.E60.m1.1.1.1.1" xref="S4.E60.m1.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S4.E60.m1.2.2.2.4.1" xref="S4.E60.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.E60.m1.2.2.2.2" xref="S4.E60.m1.2.2.2.2.cmml">j</mi></mrow></munder><mrow id="S4.E60.m1.10.10.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E60.m1.10.10.1.1.1.1.3.2.cmml"><msub id="S4.E60.m1.10.10.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.E60.m1.10.10.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S4.E60.m1.10.10.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S4.E60.m1.10.10.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">ϕ</mi><mrow id="S4.E60.m1.4.4.2.4" xref="S4.E60.m1.4.4.2.3.cmml"><mo id="S4.E60.m1.4.4.2.4.1" stretchy="false" xref="S4.E60.m1.4.4.2.3.cmml">(</mo><mi id="S4.E60.m1.3.3.1.1" xref="S4.E60.m1.3.3.1.1.cmml">i</mi><mo id="S4.E60.m1.4.4.2.4.2" xref="S4.E60.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.E60.m1.4.4.2.2" xref="S4.E60.m1.4.4.2.2.cmml">j</mi><mo id="S4.E60.m1.4.4.2.4.3" stretchy="false" xref="S4.E60.m1.4.4.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub><mo id="S4.E60.m1.10.10.1.1.1.1.3.2.1" xref="S4.E60.m1.10.10.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.E60.m1.10.10.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.E60.m1.10.10.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.E60.m1.10.10.1.1.1.1.3.2.3.2.2" xref="S4.E60.m1.10.10.1.1.1.1.3.2.3.2.2.cmml">ϕ</mi><mrow id="S4.E60.m1.6.6.2.4" xref="S4.E60.m1.6.6.2.3.cmml"><mo id="S4.E60.m1.6.6.2.4.1" stretchy="false" xref="S4.E60.m1.6.6.2.3.cmml">(</mo><mi id="S4.E60.m1.5.5.1.1" xref="S4.E60.m1.5.5.1.1.cmml">i</mi><mo id="S4.E60.m1.6.6.2.4.2" xref="S4.E60.m1.6.6.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.E60.m1.6.6.2.2" xref="S4.E60.m1.6.6.2.2.cmml">j</mi><mo id="S4.E60.m1.6.6.2.4.3" stretchy="false" xref="S4.E60.m1.6.6.2.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.E60.m1.10.10.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S4.E60.m1.10.10.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">′</mo></msubsup></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E60.m1.10.10.1.1.2.3" rspace="1.167em" xref="S4.E60.m1.10.10.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.E60.m1.10.10.1.1.2.2" xref="S4.E60.m1.10.10.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S4.E60.m1.10.10.1.1.2.2.6.2" xref="S4.E60.m1.10.10.1.1.2.2.6.1.cmml"><mo id="S4.E60.m1.10.10.1.1.2.2.6.2.1" stretchy="false" xref="S4.E60.m1.10.10.1.1.2.2.6.1.cmml">⟨</mo><mi id="S4.E60.m1.8.8" xref="S4.E60.m1.8.8.cmml">m</mi><mo id="S4.E60.m1.10.10.1.1.2.2.6.2.2" xref="S4.E60.m1.10.10.1.1.2.2.6.1.cmml">,</mo><mi id="S4.E60.m1.9.9" xref="S4.E60.m1.9.9.cmml">n</mi><mo id="S4.E60.m1.10.10.1.1.2.2.6.2.3" stretchy="false" xref="S4.E60.m1.10.10.1.1.2.2.6.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S4.E60.m1.10.10.1.1.2.2.5" xref="S4.E60.m1.10.10.1.1.2.2.5.cmml">=</mo><mrow id="S4.E60.m1.10.10.1.1.2.2.4" xref="S4.E60.m1.10.10.1.1.2.2.4.cmml"><mrow id="S4.E60.m1.10.10.1.1.2.2.2.2.2" xref="S4.E60.m1.10.10.1.1.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S4.E60.m1.10.10.1.1.2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S4.E60.m1.10.10.1.1.2.2.2.2.3.cmml">⟨</mo><msub id="S4.E60.m1.10.10.1.1.2.2.1.1.1.1" xref="S4.E60.m1.10.10.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E60.m1.10.10.1.1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S4.E60.m1.10.10.1.1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">m</mi><mn id="S4.E60.m1.10.10.1.1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S4.E60.m1.10.10.1.1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.E60.m1.10.10.1.1.2.2.2.2.2.4" xref="S4.E60.m1.10.10.1.1.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S4.E60.m1.10.10.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="S4.E60.m1.10.10.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.E60.m1.10.10.1.1.2.2.2.2.2.2.2" xref="S4.E60.m1.10.10.1.1.2.2.2.2.2.2.2.cmml">n</mi><mn id="S4.E60.m1.10.10.1.1.2.2.2.2.2.2.3" xref="S4.E60.m1.10.10.1.1.2.2.2.2.2.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.E60.m1.10.10.1.1.2.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S4.E60.m1.10.10.1.1.2.2.2.2.3.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S4.E60.m1.10.10.1.1.2.2.4.5" xref="S4.E60.m1.10.10.1.1.2.2.4.5.cmml">+</mo><mrow id="S4.E60.m1.10.10.1.1.2.2.4.4.2" xref="S4.E60.m1.10.10.1.1.2.2.4.4.3.cmml"><mo id="S4.E60.m1.10.10.1.1.2.2.4.4.2.3" stretchy="false" xref="S4.E60.m1.10.10.1.1.2.2.4.4.3.cmml">⟨</mo><msub id="S4.E60.m1.10.10.1.1.2.2.3.3.1.1" xref="S4.E60.m1.10.10.1.1.2.2.3.3.1.1.cmml"><mi id="S4.E60.m1.10.10.1.1.2.2.3.3.1.1.2" xref="S4.E60.m1.10.10.1.1.2.2.3.3.1.1.2.cmml">m</mi><mn id="S4.E60.m1.10.10.1.1.2.2.3.3.1.1.3" xref="S4.E60.m1.10.10.1.1.2.2.3.3.1.1.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S4.E60.m1.10.10.1.1.2.2.4.4.2.4" xref="S4.E60.m1.10.10.1.1.2.2.4.4.3.cmml">,</mo><msub id="S4.E60.m1.10.10.1.1.2.2.4.4.2.2" xref="S4.E60.m1.10.10.1.1.2.2.4.4.2.2.cmml"><mi id="S4.E60.m1.10.10.1.1.2.2.4.4.2.2.2" xref="S4.E60.m1.10.10.1.1.2.2.4.4.2.2.2.cmml">n</mi><mn id="S4.E60.m1.10.10.1.1.2.2.4.4.2.2.3" xref="S4.E60.m1.10.10.1.1.2.2.4.4.2.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S4.E60.m1.10.10.1.1.2.2.4.4.2.5" stretchy="false" xref="S4.E60.m1.10.10.1.1.2.2.4.4.3.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E60.m1.10.10.1.2" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E60.m1.10b"><apply id="S4.E60.m1.10.10.1.1.3.cmml" xref="S4.E60.m1.10.10.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E60.m1.10.10.1.1.3a.cmml" xref="S4.E60.m1.10.10.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.E60.m1.10.10.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E60.m1.10.10.1.1.1.1"><eq id="S4.E60.m1.10.10.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E60.m1.10.10.1.1.1.1.2"></eq><list id="S4.E60.m1.10.10.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E60.m1.10.10.1.1.1.1.1.1"><ci id="S4.E60.m1.7.7.cmml" xref="S4.E60.m1.7.7">italic-ϕ</ci><apply id="S4.E60.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E60.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E60.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E60.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.E60.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E60.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2">italic-ϕ</ci><ci id="S4.E60.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E60.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.3">′</ci></apply></list><apply id="S4.E60.m1.10.10.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E60.m1.10.10.1.1.1.1.3"><apply id="S4.E60.m1.10.10.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E60.m1.10.10.1.1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E60.m1.10.10.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S4.E60.m1.10.10.1.1.1.1.3.1">subscript</csymbol><sum id="S4.E60.m1.10.10.1.1.1.1.3.1.2.cmml" xref="S4.E60.m1.10.10.1.1.1.1.3.1.2"></sum><list id="S4.E60.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E60.m1.2.2.2.4"><ci id="S4.E60.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E60.m1.1.1.1.1">𝑖</ci><ci id="S4.E60.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E60.m1.2.2.2.2">𝑗</ci></list></apply><apply id="S4.E60.m1.10.10.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E60.m1.10.10.1.1.1.1.3.2"><times id="S4.E60.m1.10.10.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E60.m1.10.10.1.1.1.1.3.2.1"></times><apply id="S4.E60.m1.10.10.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E60.m1.10.10.1.1.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E60.m1.10.10.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S4.E60.m1.10.10.1.1.1.1.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E60.m1.10.10.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S4.E60.m1.10.10.1.1.1.1.3.2.2.2">italic-ϕ</ci><interval closure="open" id="S4.E60.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S4.E60.m1.4.4.2.4"><ci id="S4.E60.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S4.E60.m1.3.3.1.1">𝑖</ci><ci id="S4.E60.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S4.E60.m1.4.4.2.2">𝑗</ci></interval></apply><apply id="S4.E60.m1.10.10.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.E60.m1.10.10.1.1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E60.m1.10.10.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.E60.m1.10.10.1.1.1.1.3.2.3">superscript</csymbol><apply id="S4.E60.m1.10.10.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.E60.m1.10.10.1.1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E60.m1.10.10.1.1.1.1.3.2.3.2.1.cmml" xref="S4.E60.m1.10.10.1.1.1.1.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E60.m1.10.10.1.1.1.1.3.2.3.2.2.cmml" xref="S4.E60.m1.10.10.1.1.1.1.3.2.3.2.2">italic-ϕ</ci><interval closure="open" id="S4.E60.m1.6.6.2.3.cmml" xref="S4.E60.m1.6.6.2.4"><ci id="S4.E60.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S4.E60.m1.5.5.1.1">𝑖</ci><ci id="S4.E60.m1.6.6.2.2.cmml" xref="S4.E60.m1.6.6.2.2">𝑗</ci></interval></apply><ci id="S4.E60.m1.10.10.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S4.E60.m1.10.10.1.1.1.1.3.2.3.3">′</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.E60.m1.10.10.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E60.m1.10.10.1.1.2.2"><eq id="S4.E60.m1.10.10.1.1.2.2.5.cmml" xref="S4.E60.m1.10.10.1.1.2.2.5"></eq><list id="S4.E60.m1.10.10.1.1.2.2.6.1.cmml" xref="S4.E60.m1.10.10.1.1.2.2.6.2"><ci id="S4.E60.m1.8.8.cmml" xref="S4.E60.m1.8.8">𝑚</ci><ci id="S4.E60.m1.9.9.cmml" xref="S4.E60.m1.9.9">𝑛</ci></list><apply id="S4.E60.m1.10.10.1.1.2.2.4.cmml" xref="S4.E60.m1.10.10.1.1.2.2.4"><plus id="S4.E60.m1.10.10.1.1.2.2.4.5.cmml" xref="S4.E60.m1.10.10.1.1.2.2.4.5"></plus><list id="S4.E60.m1.10.10.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E60.m1.10.10.1.1.2.2.2.2.2"><apply id="S4.E60.m1.10.10.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E60.m1.10.10.1.1.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E60.m1.10.10.1.1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E60.m1.10.10.1.1.2.2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.E60.m1.10.10.1.1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E60.m1.10.10.1.1.2.2.1.1.1.1.2">𝑚</ci><cn id="S4.E60.m1.10.10.1.1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E60.m1.10.10.1.1.2.2.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S4.E60.m1.10.10.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E60.m1.10.10.1.1.2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E60.m1.10.10.1.1.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E60.m1.10.10.1.1.2.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E60.m1.10.10.1.1.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E60.m1.10.10.1.1.2.2.2.2.2.2.2">𝑛</ci><cn id="S4.E60.m1.10.10.1.1.2.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.E60.m1.10.10.1.1.2.2.2.2.2.2.3">1</cn></apply></list><list id="S4.E60.m1.10.10.1.1.2.2.4.4.3.cmml" xref="S4.E60.m1.10.10.1.1.2.2.4.4.2"><apply id="S4.E60.m1.10.10.1.1.2.2.3.3.1.1.cmml" xref="S4.E60.m1.10.10.1.1.2.2.3.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E60.m1.10.10.1.1.2.2.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.E60.m1.10.10.1.1.2.2.3.3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.E60.m1.10.10.1.1.2.2.3.3.1.1.2.cmml" xref="S4.E60.m1.10.10.1.1.2.2.3.3.1.1.2">𝑚</ci><cn id="S4.E60.m1.10.10.1.1.2.2.3.3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E60.m1.10.10.1.1.2.2.3.3.1.1.3">2</cn></apply><apply id="S4.E60.m1.10.10.1.1.2.2.4.4.2.2.cmml" xref="S4.E60.m1.10.10.1.1.2.2.4.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E60.m1.10.10.1.1.2.2.4.4.2.2.1.cmml" xref="S4.E60.m1.10.10.1.1.2.2.4.4.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E60.m1.10.10.1.1.2.2.4.4.2.2.2.cmml" xref="S4.E60.m1.10.10.1.1.2.2.4.4.2.2.2">𝑛</ci><cn id="S4.E60.m1.10.10.1.1.2.2.4.4.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.E60.m1.10.10.1.1.2.2.4.4.2.2.3">2</cn></apply></list></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E60.m1.10c">\langle\phi,\phi^{\prime}\rangle=\sum_{i,j}\phi_{(i,j)}\phi_{(i,j)}^{\prime},% \quad\langle m,n\rangle=\langle m_{1},n_{1}\rangle+\langle m_{2},n_{2}\rangle.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E60.m1.10d">⟨ italic_ϕ , italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ⟩ = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ start_POSTSUBSCRIPT ( italic_i , italic_j ) end_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ start_POSTSUBSCRIPT ( italic_i , italic_j ) end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , ⟨ italic_m , italic_n ⟩ = ⟨ italic_m start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_n start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ⟩ + ⟨ italic_m start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT , italic_n start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ⟩ .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(60)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS1.p4"> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p4.1">Define the discrete divergence operator <math alttext="\mathrm{div}(m)=\partial_{x}^{-}m_{1}+\partial_{y}^{-}m_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p4.1.m1.1"><semantics id="S4.SS1.p4.1.m1.1a"><mrow id="S4.SS1.p4.1.m1.1.2" xref="S4.SS1.p4.1.m1.1.2.cmml"><mrow id="S4.SS1.p4.1.m1.1.2.2" xref="S4.SS1.p4.1.m1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p4.1.m1.1.2.2.2" xref="S4.SS1.p4.1.m1.1.2.2.2.cmml">div</mi><mo id="S4.SS1.p4.1.m1.1.2.2.1" xref="S4.SS1.p4.1.m1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS1.p4.1.m1.1.2.2.3.2" xref="S4.SS1.p4.1.m1.1.2.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p4.1.m1.1.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p4.1.m1.1.2.2.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p4.1.m1.1.1" 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id="S4.SS1.p4.1.m1.1.2.3.1" xref="S4.SS1.p4.1.m1.1.2.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S4.SS1.p4.1.m1.1.2.3.3" xref="S4.SS1.p4.1.m1.1.2.3.3.cmml"><msubsup id="S4.SS1.p4.1.m1.1.2.3.3.1" xref="S4.SS1.p4.1.m1.1.2.3.3.1.cmml"><mo id="S4.SS1.p4.1.m1.1.2.3.3.1.2.2" lspace="0em" rspace="0em" xref="S4.SS1.p4.1.m1.1.2.3.3.1.2.2.cmml">∂</mo><mi id="S4.SS1.p4.1.m1.1.2.3.3.1.2.3" xref="S4.SS1.p4.1.m1.1.2.3.3.1.2.3.cmml">y</mi><mo id="S4.SS1.p4.1.m1.1.2.3.3.1.3" xref="S4.SS1.p4.1.m1.1.2.3.3.1.3.cmml">−</mo></msubsup><msub id="S4.SS1.p4.1.m1.1.2.3.3.2" xref="S4.SS1.p4.1.m1.1.2.3.3.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p4.1.m1.1.2.3.3.2.2" xref="S4.SS1.p4.1.m1.1.2.3.3.2.2.cmml">m</mi><mn id="S4.SS1.p4.1.m1.1.2.3.3.2.3" xref="S4.SS1.p4.1.m1.1.2.3.3.2.3.cmml">2</mn></msub></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p4.1.m1.1b"><apply id="S4.SS1.p4.1.m1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.1.m1.1.2"><eq id="S4.SS1.p4.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.1.m1.1.2.1"></eq><apply id="S4.SS1.p4.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.1.m1.1.2.2"><times id="S4.SS1.p4.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.1.m1.1.2.2.1"></times><ci id="S4.SS1.p4.1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.1.m1.1.2.2.2">div</ci><ci id="S4.SS1.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.1.m1.1.1">𝑚</ci></apply><apply id="S4.SS1.p4.1.m1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p4.1.m1.1.2.3"><plus id="S4.SS1.p4.1.m1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.1.m1.1.2.3.1"></plus><apply id="S4.SS1.p4.1.m1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.1.m1.1.2.3.2"><apply id="S4.SS1.p4.1.m1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.1.m1.1.2.3.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p4.1.m1.1.2.3.2.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.1.m1.1.2.3.2.1">superscript</csymbol><apply id="S4.SS1.p4.1.m1.1.2.3.2.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.1.m1.1.2.3.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p4.1.m1.1.2.3.2.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.1.m1.1.2.3.2.1">subscript</csymbol><partialdiff id="S4.SS1.p4.1.m1.1.2.3.2.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.1.m1.1.2.3.2.1.2.2"></partialdiff><ci id="S4.SS1.p4.1.m1.1.2.3.2.1.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p4.1.m1.1.2.3.2.1.2.3">𝑥</ci></apply><minus id="S4.SS1.p4.1.m1.1.2.3.2.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p4.1.m1.1.2.3.2.1.3"></minus></apply><apply id="S4.SS1.p4.1.m1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.1.m1.1.2.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p4.1.m1.1.2.3.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.1.m1.1.2.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p4.1.m1.1.2.3.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.1.m1.1.2.3.2.2.2">𝑚</ci><cn id="S4.SS1.p4.1.m1.1.2.3.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p4.1.m1.1.2.3.2.2.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.SS1.p4.1.m1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p4.1.m1.1.2.3.3"><apply id="S4.SS1.p4.1.m1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.1.m1.1.2.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p4.1.m1.1.2.3.3.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.1.m1.1.2.3.3.1">superscript</csymbol><apply id="S4.SS1.p4.1.m1.1.2.3.3.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.1.m1.1.2.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p4.1.m1.1.2.3.3.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.1.m1.1.2.3.3.1">subscript</csymbol><partialdiff id="S4.SS1.p4.1.m1.1.2.3.3.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.1.m1.1.2.3.3.1.2.2"></partialdiff><ci id="S4.SS1.p4.1.m1.1.2.3.3.1.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p4.1.m1.1.2.3.3.1.2.3">𝑦</ci></apply><minus id="S4.SS1.p4.1.m1.1.2.3.3.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p4.1.m1.1.2.3.3.1.3"></minus></apply><apply id="S4.SS1.p4.1.m1.1.2.3.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.1.m1.1.2.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p4.1.m1.1.2.3.3.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.1.m1.1.2.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p4.1.m1.1.2.3.3.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.1.m1.1.2.3.3.2.2">𝑚</ci><cn id="S4.SS1.p4.1.m1.1.2.3.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p4.1.m1.1.2.3.3.2.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p4.1.m1.1c">\mathrm{div}(m)=\partial_{x}^{-}m_{1}+\partial_{y}^{-}m_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p4.1.m1.1d">roman_div ( italic_m ) = ∂ start_POSTSUBSCRIPT italic_x end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT italic_m start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT + ∂ start_POSTSUBSCRIPT italic_y end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT italic_m start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> with homogeneous Dirichlet boundary conditions as</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="Sx1.EGx3"> <tbody id="S4.E61"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\begin{aligned} \partial_{x}^{-}m_{1}=\left\{\begin{array}[]{lr}% \frac{-m_{1(N-1,j)}}{h},&i=N,\\[2.84526pt] \frac{m_{1(i,j)}-m_{1(i-1,j)}}{h},&1<i<N,\\[2.84526pt] \frac{m_{1(1,j)}}{h},&i=1.\\ \end{array}\right.\end{aligned}\quad\begin{aligned} \partial_{y}^{-}m_{2}=% \left\{\begin{array}[]{lr}\frac{-m_{2(i,N-1)}}{h},&j=N,\\[2.84526pt] \frac{m_{2(i,j)}-m_{2(i,j-1)}}{h},&1<j<N,\\[2.84526pt] \frac{m_{2(i,1)}}{h},&j=1.\\ \end{array}\right.\end{aligned}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.E61.m1.22"><semantics id="S4.E61.m1.22a"><mrow id="S4.E61.m1.22.23.2" xref="S4.E61.m1.22.23.1.cmml"><mtable id="S4.E61.m1.11.11" xref="S4.E61.m1.11.11.cmml"><mtr id="S4.E61.m1.11.11a" xref="S4.E61.m1.11.11.cmml"><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="S4.E61.m1.11.11b" xref="S4.E61.m1.11.11.cmml"><mrow id="S4.E61.m1.11.11.11.11.11" xref="S4.E61.m1.11.11.11.11.11.cmml"><mrow id="S4.E61.m1.11.11.11.11.11.13" xref="S4.E61.m1.11.11.11.11.11.13.cmml"><msubsup id="S4.E61.m1.11.11.11.11.11.13.1" xref="S4.E61.m1.11.11.11.11.11.13.1.cmml"><mo id="S4.E61.m1.11.11.11.11.11.13.1.2.2" xref="S4.E61.m1.11.11.11.11.11.13.1.2.2.cmml">∂</mo><mi id="S4.E61.m1.11.11.11.11.11.13.1.2.3" xref="S4.E61.m1.11.11.11.11.11.13.1.2.3.cmml">x</mi><mo id="S4.E61.m1.11.11.11.11.11.13.1.3" xref="S4.E61.m1.11.11.11.11.11.13.1.3.cmml">−</mo></msubsup><msub id="S4.E61.m1.11.11.11.11.11.13.2" xref="S4.E61.m1.11.11.11.11.11.13.2.cmml"><mi id="S4.E61.m1.11.11.11.11.11.13.2.2" xref="S4.E61.m1.11.11.11.11.11.13.2.2.cmml">m</mi><mn id="S4.E61.m1.11.11.11.11.11.13.2.3" xref="S4.E61.m1.11.11.11.11.11.13.2.3.cmml">1</mn></msub></mrow><mo id="S4.E61.m1.11.11.11.11.11.12" xref="S4.E61.m1.11.11.11.11.11.12.cmml">=</mo><mrow id="S4.E61.m1.11.11.11.11.11.14.2" xref="S4.E61.m1.11.11.11.11.11.14.1.cmml"><mo id="S4.E61.m1.11.11.11.11.11.14.2.1" xref="S4.E61.m1.11.11.11.11.11.14.1.1.cmml">{</mo><mtable columnspacing="5pt" id="S4.E61.m1.11.11.11.11.11.11" rowspacing="0pt" xref="S4.E61.m1.11.11.11.11.11.11.cmml"><mtr id="S4.E61.m1.11.11.11.11.11.11a" xref="S4.E61.m1.11.11.11.11.11.11.cmml"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S4.E61.m1.11.11.11.11.11.11b" xref="S4.E61.m1.11.11.11.11.11.11.cmml"><mrow id="S4.E61.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.4" xref="S4.E61.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mfrac id="S4.E61.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="S4.E61.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S4.E61.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="S4.E61.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mo id="S4.E61.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2a" xref="S4.E61.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml">−</mo><msub id="S4.E61.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.4" xref="S4.E61.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.4.cmml"><mi id="S4.E61.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.4.2" xref="S4.E61.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.4.2.cmml">m</mi><mrow id="S4.E61.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="S4.E61.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mn id="S4.E61.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.4" xref="S4.E61.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.4.cmml">1</mn><mo id="S4.E61.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3" xref="S4.E61.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E61.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1" xref="S4.E61.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mo id="S4.E61.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S4.E61.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml">(</mo><mrow id="S4.E61.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1" xref="S4.E61.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S4.E61.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.2" xref="S4.E61.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.2.cmml">N</mi><mo id="S4.E61.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1" xref="S4.E61.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S4.E61.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.3" xref="S4.E61.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S4.E61.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.3" xref="S4.E61.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml">,</mo><mi id="S4.E61.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E61.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">j</mi><mo id="S4.E61.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.4" stretchy="false" xref="S4.E61.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></msub></mrow><mi id="S4.E61.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.4" xref="S4.E61.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.4.cmml">h</mi></mfrac><mo id="S4.E61.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.4.1" xref="S4.E61.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml">,</mo></mrow></mtd><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="S4.E61.m1.11.11.11.11.11.11c" xref="S4.E61.m1.11.11.11.11.11.11.cmml"><mrow id="S4.E61.m1.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1" xref="S4.E61.m1.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E61.m1.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1" xref="S4.E61.m1.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E61.m1.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.2" xref="S4.E61.m1.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="S4.E61.m1.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1" xref="S4.E61.m1.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.cmml">=</mo><mi id="S4.E61.m1.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.3" xref="S4.E61.m1.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.3.cmml">N</mi></mrow><mo id="S4.E61.m1.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.2" xref="S4.E61.m1.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.cmml">,</mo></mrow></mtd></mtr><mtr id="S4.E61.m1.11.11.11.11.11.11d" xref="S4.E61.m1.11.11.11.11.11.11.cmml"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S4.E61.m1.11.11.11.11.11.11e" xref="S4.E61.m1.11.11.11.11.11.11.cmml"><mrow id="S4.E61.m1.7.7.7.7.7.7.7.4.4.6" xref="S4.E61.m1.7.7.7.7.7.7.7.4.4.4.cmml"><mfrac id="S4.E61.m1.7.7.7.7.7.7.7.4.4.4" xref="S4.E61.m1.7.7.7.7.7.7.7.4.4.4.cmml"><mrow id="S4.E61.m1.7.7.7.7.7.7.7.4.4.4.4" xref="S4.E61.m1.7.7.7.7.7.7.7.4.4.4.4.cmml"><msub id="S4.E61.m1.7.7.7.7.7.7.7.4.4.4.4.6" xref="S4.E61.m1.7.7.7.7.7.7.7.4.4.4.4.6.cmml"><mi id="S4.E61.m1.7.7.7.7.7.7.7.4.4.4.4.6.2" xref="S4.E61.m1.7.7.7.7.7.7.7.4.4.4.4.6.2.cmml">m</mi><mrow id="S4.E61.m1.5.5.5.5.5.5.5.2.2.2.2.2.2" xref="S4.E61.m1.5.5.5.5.5.5.5.2.2.2.2.2.2.cmml"><mn id="S4.E61.m1.5.5.5.5.5.5.5.2.2.2.2.2.2.4" xref="S4.E61.m1.5.5.5.5.5.5.5.2.2.2.2.2.2.4.cmml">1</mn><mo id="S4.E61.m1.5.5.5.5.5.5.5.2.2.2.2.2.2.3" xref="S4.E61.m1.5.5.5.5.5.5.5.2.2.2.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E61.m1.5.5.5.5.5.5.5.2.2.2.2.2.2.5.2" xref="S4.E61.m1.5.5.5.5.5.5.5.2.2.2.2.2.2.5.1.cmml"><mo id="S4.E61.m1.5.5.5.5.5.5.5.2.2.2.2.2.2.5.2.1" stretchy="false" xref="S4.E61.m1.5.5.5.5.5.5.5.2.2.2.2.2.2.5.1.cmml">(</mo><mi id="S4.E61.m1.4.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E61.m1.4.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S4.E61.m1.5.5.5.5.5.5.5.2.2.2.2.2.2.5.2.2" xref="S4.E61.m1.5.5.5.5.5.5.5.2.2.2.2.2.2.5.1.cmml">,</mo><mi id="S4.E61.m1.5.5.5.5.5.5.5.2.2.2.2.2.2.2" xref="S4.E61.m1.5.5.5.5.5.5.5.2.2.2.2.2.2.2.cmml">j</mi><mo id="S4.E61.m1.5.5.5.5.5.5.5.2.2.2.2.2.2.5.2.3" stretchy="false" xref="S4.E61.m1.5.5.5.5.5.5.5.2.2.2.2.2.2.5.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msub><mo id="S4.E61.m1.7.7.7.7.7.7.7.4.4.4.4.5" xref="S4.E61.m1.7.7.7.7.7.7.7.4.4.4.4.5.cmml">−</mo><msub id="S4.E61.m1.7.7.7.7.7.7.7.4.4.4.4.7" xref="S4.E61.m1.7.7.7.7.7.7.7.4.4.4.4.7.cmml"><mi id="S4.E61.m1.7.7.7.7.7.7.7.4.4.4.4.7.2" xref="S4.E61.m1.7.7.7.7.7.7.7.4.4.4.4.7.2.cmml">m</mi><mrow id="S4.E61.m1.7.7.7.7.7.7.7.4.4.4.4.4.2" xref="S4.E61.m1.7.7.7.7.7.7.7.4.4.4.4.4.2.cmml"><mn id="S4.E61.m1.7.7.7.7.7.7.7.4.4.4.4.4.2.4" xref="S4.E61.m1.7.7.7.7.7.7.7.4.4.4.4.4.2.4.cmml">1</mn><mo id="S4.E61.m1.7.7.7.7.7.7.7.4.4.4.4.4.2.3" xref="S4.E61.m1.7.7.7.7.7.7.7.4.4.4.4.4.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E61.m1.7.7.7.7.7.7.7.4.4.4.4.4.2.2.1" xref="S4.E61.m1.7.7.7.7.7.7.7.4.4.4.4.4.2.2.2.cmml"><mo id="S4.E61.m1.7.7.7.7.7.7.7.4.4.4.4.4.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S4.E61.m1.7.7.7.7.7.7.7.4.4.4.4.4.2.2.2.cmml">(</mo><mrow id="S4.E61.m1.7.7.7.7.7.7.7.4.4.4.4.4.2.2.1.1" xref="S4.E61.m1.7.7.7.7.7.7.7.4.4.4.4.4.2.2.1.1.cmml"><mi id="S4.E61.m1.7.7.7.7.7.7.7.4.4.4.4.4.2.2.1.1.2" xref="S4.E61.m1.7.7.7.7.7.7.7.4.4.4.4.4.2.2.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="S4.E61.m1.7.7.7.7.7.7.7.4.4.4.4.4.2.2.1.1.1" xref="S4.E61.m1.7.7.7.7.7.7.7.4.4.4.4.4.2.2.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S4.E61.m1.7.7.7.7.7.7.7.4.4.4.4.4.2.2.1.1.3" xref="S4.E61.m1.7.7.7.7.7.7.7.4.4.4.4.4.2.2.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S4.E61.m1.7.7.7.7.7.7.7.4.4.4.4.4.2.2.1.3" xref="S4.E61.m1.7.7.7.7.7.7.7.4.4.4.4.4.2.2.2.cmml">,</mo><mi id="S4.E61.m1.6.6.6.6.6.6.6.3.3.3.3.3.1.1" xref="S4.E61.m1.6.6.6.6.6.6.6.3.3.3.3.3.1.1.cmml">j</mi><mo id="S4.E61.m1.7.7.7.7.7.7.7.4.4.4.4.4.2.2.1.4" stretchy="false" xref="S4.E61.m1.7.7.7.7.7.7.7.4.4.4.4.4.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></msub></mrow><mi id="S4.E61.m1.7.7.7.7.7.7.7.4.4.4.6" xref="S4.E61.m1.7.7.7.7.7.7.7.4.4.4.6.cmml">h</mi></mfrac><mo id="S4.E61.m1.7.7.7.7.7.7.7.4.4.6.1" xref="S4.E61.m1.7.7.7.7.7.7.7.4.4.4.cmml">,</mo></mrow></mtd><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="S4.E61.m1.11.11.11.11.11.11f" xref="S4.E61.m1.11.11.11.11.11.11.cmml"><mrow id="S4.E61.m1.8.8.8.8.8.8.8.5.1.1" xref="S4.E61.m1.8.8.8.8.8.8.8.5.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E61.m1.8.8.8.8.8.8.8.5.1.1.1" xref="S4.E61.m1.8.8.8.8.8.8.8.5.1.1.1.cmml"><mn id="S4.E61.m1.8.8.8.8.8.8.8.5.1.1.1.2" xref="S4.E61.m1.8.8.8.8.8.8.8.5.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S4.E61.m1.8.8.8.8.8.8.8.5.1.1.1.3" xref="S4.E61.m1.8.8.8.8.8.8.8.5.1.1.1.3.cmml"><</mo><mi id="S4.E61.m1.8.8.8.8.8.8.8.5.1.1.1.4" xref="S4.E61.m1.8.8.8.8.8.8.8.5.1.1.1.4.cmml">i</mi><mo id="S4.E61.m1.8.8.8.8.8.8.8.5.1.1.1.5" xref="S4.E61.m1.8.8.8.8.8.8.8.5.1.1.1.5.cmml"><</mo><mi id="S4.E61.m1.8.8.8.8.8.8.8.5.1.1.1.6" xref="S4.E61.m1.8.8.8.8.8.8.8.5.1.1.1.6.cmml">N</mi></mrow><mo id="S4.E61.m1.8.8.8.8.8.8.8.5.1.1.2" xref="S4.E61.m1.8.8.8.8.8.8.8.5.1.1.1.cmml">,</mo></mrow></mtd></mtr><mtr id="S4.E61.m1.11.11.11.11.11.11g" xref="S4.E61.m1.11.11.11.11.11.11.cmml"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S4.E61.m1.11.11.11.11.11.11h" xref="S4.E61.m1.11.11.11.11.11.11.cmml"><mrow id="S4.E61.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.4" xref="S4.E61.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.cmml"><mfrac id="S4.E61.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2" xref="S4.E61.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.cmml"><msub id="S4.E61.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.2" xref="S4.E61.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.E61.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.2.4" xref="S4.E61.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.2.4.cmml">m</mi><mrow id="S4.E61.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.2.2.2" xref="S4.E61.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.2.2.2.cmml"><mn id="S4.E61.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.2.2.2.4" xref="S4.E61.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.2.2.2.4.cmml">1</mn><mo id="S4.E61.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.2.2.2.3" xref="S4.E61.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E61.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.2.2.2.5.2" xref="S4.E61.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.2.2.2.5.1.cmml"><mo id="S4.E61.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.2.2.2.5.2.1" stretchy="false" xref="S4.E61.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.2.2.2.5.1.cmml">(</mo><mn id="S4.E61.m1.9.9.9.9.9.9.9.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E61.m1.9.9.9.9.9.9.9.1.1.1.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.E61.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.2.2.2.5.2.2" xref="S4.E61.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.2.2.2.5.1.cmml">,</mo><mi id="S4.E61.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.2.2.2.2" xref="S4.E61.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.2.2.2.2.cmml">j</mi><mo id="S4.E61.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.2.2.2.5.2.3" stretchy="false" xref="S4.E61.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.2.2.2.5.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msub><mi id="S4.E61.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.4" xref="S4.E61.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.4.cmml">h</mi></mfrac><mo id="S4.E61.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.4.1" xref="S4.E61.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.cmml">,</mo></mrow></mtd><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="S4.E61.m1.11.11.11.11.11.11i" xref="S4.E61.m1.11.11.11.11.11.11.cmml"><mrow id="S4.E61.m1.11.11.11.11.11.11.11.3.1.1" xref="S4.E61.m1.11.11.11.11.11.11.11.3.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E61.m1.11.11.11.11.11.11.11.3.1.1.1" xref="S4.E61.m1.11.11.11.11.11.11.11.3.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E61.m1.11.11.11.11.11.11.11.3.1.1.1.2" xref="S4.E61.m1.11.11.11.11.11.11.11.3.1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="S4.E61.m1.11.11.11.11.11.11.11.3.1.1.1.1" xref="S4.E61.m1.11.11.11.11.11.11.11.3.1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.E61.m1.11.11.11.11.11.11.11.3.1.1.1.3" xref="S4.E61.m1.11.11.11.11.11.11.11.3.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S4.E61.m1.11.11.11.11.11.11.11.3.1.1.2" lspace="0em" xref="S4.E61.m1.11.11.11.11.11.11.11.3.1.1.1.cmml">.</mo></mrow></mtd></mtr></mtable><mi id="S4.E61.m1.11.11.11.11.11.14.2.2" xref="S4.E61.m1.11.11.11.11.11.14.1.1.cmml"></mi></mrow></mrow></mtd></mtr></mtable><mspace id="S4.E61.m1.22.23.2.1" width="1em" xref="S4.E61.m1.22.23.1.cmml"></mspace><mtable id="S4.E61.m1.22.22" xref="S4.E61.m1.22.22.cmml"><mtr id="S4.E61.m1.22.22a" xref="S4.E61.m1.22.22.cmml"><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="S4.E61.m1.22.22b" xref="S4.E61.m1.22.22.cmml"><mrow id="S4.E61.m1.22.22.11.11.11" xref="S4.E61.m1.22.22.11.11.11.cmml"><mrow id="S4.E61.m1.22.22.11.11.11.13" xref="S4.E61.m1.22.22.11.11.11.13.cmml"><msubsup id="S4.E61.m1.22.22.11.11.11.13.1" xref="S4.E61.m1.22.22.11.11.11.13.1.cmml"><mo id="S4.E61.m1.22.22.11.11.11.13.1.2.2" xref="S4.E61.m1.22.22.11.11.11.13.1.2.2.cmml">∂</mo><mi id="S4.E61.m1.22.22.11.11.11.13.1.2.3" xref="S4.E61.m1.22.22.11.11.11.13.1.2.3.cmml">y</mi><mo id="S4.E61.m1.22.22.11.11.11.13.1.3" xref="S4.E61.m1.22.22.11.11.11.13.1.3.cmml">−</mo></msubsup><msub id="S4.E61.m1.22.22.11.11.11.13.2" xref="S4.E61.m1.22.22.11.11.11.13.2.cmml"><mi id="S4.E61.m1.22.22.11.11.11.13.2.2" xref="S4.E61.m1.22.22.11.11.11.13.2.2.cmml">m</mi><mn id="S4.E61.m1.22.22.11.11.11.13.2.3" xref="S4.E61.m1.22.22.11.11.11.13.2.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="S4.E61.m1.22.22.11.11.11.12" xref="S4.E61.m1.22.22.11.11.11.12.cmml">=</mo><mrow id="S4.E61.m1.22.22.11.11.11.14.2" xref="S4.E61.m1.22.22.11.11.11.14.1.cmml"><mo id="S4.E61.m1.22.22.11.11.11.14.2.1" xref="S4.E61.m1.22.22.11.11.11.14.1.1.cmml">{</mo><mtable columnspacing="5pt" id="S4.E61.m1.22.22.11.11.11.11" rowspacing="0pt" xref="S4.E61.m1.22.22.11.11.11.11.cmml"><mtr id="S4.E61.m1.22.22.11.11.11.11a" xref="S4.E61.m1.22.22.11.11.11.11.cmml"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S4.E61.m1.22.22.11.11.11.11b" xref="S4.E61.m1.22.22.11.11.11.11.cmml"><mrow id="S4.E61.m1.13.13.2.2.2.2.2.2.2.4" xref="S4.E61.m1.13.13.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mfrac id="S4.E61.m1.13.13.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="S4.E61.m1.13.13.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S4.E61.m1.13.13.2.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="S4.E61.m1.13.13.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mo id="S4.E61.m1.13.13.2.2.2.2.2.2.2.2.2a" xref="S4.E61.m1.13.13.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml">−</mo><msub id="S4.E61.m1.13.13.2.2.2.2.2.2.2.2.2.4" xref="S4.E61.m1.13.13.2.2.2.2.2.2.2.2.2.4.cmml"><mi id="S4.E61.m1.13.13.2.2.2.2.2.2.2.2.2.4.2" xref="S4.E61.m1.13.13.2.2.2.2.2.2.2.2.2.4.2.cmml">m</mi><mrow id="S4.E61.m1.13.13.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="S4.E61.m1.13.13.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mn id="S4.E61.m1.13.13.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.4" xref="S4.E61.m1.13.13.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.4.cmml">2</mn><mo id="S4.E61.m1.13.13.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3" xref="S4.E61.m1.13.13.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E61.m1.13.13.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1" xref="S4.E61.m1.13.13.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mo id="S4.E61.m1.13.13.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S4.E61.m1.13.13.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S4.E61.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E61.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S4.E61.m1.13.13.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.3" xref="S4.E61.m1.13.13.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml">,</mo><mrow id="S4.E61.m1.13.13.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1" xref="S4.E61.m1.13.13.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S4.E61.m1.13.13.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.2" xref="S4.E61.m1.13.13.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.2.cmml">N</mi><mo id="S4.E61.m1.13.13.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1" xref="S4.E61.m1.13.13.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S4.E61.m1.13.13.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.3" xref="S4.E61.m1.13.13.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S4.E61.m1.13.13.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.4" stretchy="false" xref="S4.E61.m1.13.13.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></msub></mrow><mi id="S4.E61.m1.13.13.2.2.2.2.2.2.2.2.4" xref="S4.E61.m1.13.13.2.2.2.2.2.2.2.2.4.cmml">h</mi></mfrac><mo id="S4.E61.m1.13.13.2.2.2.2.2.2.2.4.1" xref="S4.E61.m1.13.13.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml">,</mo></mrow></mtd><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="S4.E61.m1.22.22.11.11.11.11c" xref="S4.E61.m1.22.22.11.11.11.11.cmml"><mrow id="S4.E61.m1.14.14.3.3.3.3.3.3.1.1" xref="S4.E61.m1.14.14.3.3.3.3.3.3.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E61.m1.14.14.3.3.3.3.3.3.1.1.1" xref="S4.E61.m1.14.14.3.3.3.3.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E61.m1.14.14.3.3.3.3.3.3.1.1.1.2" xref="S4.E61.m1.14.14.3.3.3.3.3.3.1.1.1.2.cmml">j</mi><mo id="S4.E61.m1.14.14.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1" xref="S4.E61.m1.14.14.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.cmml">=</mo><mi id="S4.E61.m1.14.14.3.3.3.3.3.3.1.1.1.3" xref="S4.E61.m1.14.14.3.3.3.3.3.3.1.1.1.3.cmml">N</mi></mrow><mo id="S4.E61.m1.14.14.3.3.3.3.3.3.1.1.2" xref="S4.E61.m1.14.14.3.3.3.3.3.3.1.1.1.cmml">,</mo></mrow></mtd></mtr><mtr id="S4.E61.m1.22.22.11.11.11.11d" xref="S4.E61.m1.22.22.11.11.11.11.cmml"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S4.E61.m1.22.22.11.11.11.11e" xref="S4.E61.m1.22.22.11.11.11.11.cmml"><mrow id="S4.E61.m1.18.18.7.7.7.7.7.4.4.6" xref="S4.E61.m1.18.18.7.7.7.7.7.4.4.4.cmml"><mfrac id="S4.E61.m1.18.18.7.7.7.7.7.4.4.4" xref="S4.E61.m1.18.18.7.7.7.7.7.4.4.4.cmml"><mrow id="S4.E61.m1.18.18.7.7.7.7.7.4.4.4.4" xref="S4.E61.m1.18.18.7.7.7.7.7.4.4.4.4.cmml"><msub id="S4.E61.m1.18.18.7.7.7.7.7.4.4.4.4.6" xref="S4.E61.m1.18.18.7.7.7.7.7.4.4.4.4.6.cmml"><mi id="S4.E61.m1.18.18.7.7.7.7.7.4.4.4.4.6.2" xref="S4.E61.m1.18.18.7.7.7.7.7.4.4.4.4.6.2.cmml">m</mi><mrow id="S4.E61.m1.16.16.5.5.5.5.5.2.2.2.2.2.2" xref="S4.E61.m1.16.16.5.5.5.5.5.2.2.2.2.2.2.cmml"><mn id="S4.E61.m1.16.16.5.5.5.5.5.2.2.2.2.2.2.4" xref="S4.E61.m1.16.16.5.5.5.5.5.2.2.2.2.2.2.4.cmml">2</mn><mo id="S4.E61.m1.16.16.5.5.5.5.5.2.2.2.2.2.2.3" xref="S4.E61.m1.16.16.5.5.5.5.5.2.2.2.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E61.m1.16.16.5.5.5.5.5.2.2.2.2.2.2.5.2" xref="S4.E61.m1.16.16.5.5.5.5.5.2.2.2.2.2.2.5.1.cmml"><mo id="S4.E61.m1.16.16.5.5.5.5.5.2.2.2.2.2.2.5.2.1" stretchy="false" xref="S4.E61.m1.16.16.5.5.5.5.5.2.2.2.2.2.2.5.1.cmml">(</mo><mi id="S4.E61.m1.15.15.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E61.m1.15.15.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S4.E61.m1.16.16.5.5.5.5.5.2.2.2.2.2.2.5.2.2" xref="S4.E61.m1.16.16.5.5.5.5.5.2.2.2.2.2.2.5.1.cmml">,</mo><mi id="S4.E61.m1.16.16.5.5.5.5.5.2.2.2.2.2.2.2" xref="S4.E61.m1.16.16.5.5.5.5.5.2.2.2.2.2.2.2.cmml">j</mi><mo id="S4.E61.m1.16.16.5.5.5.5.5.2.2.2.2.2.2.5.2.3" stretchy="false" xref="S4.E61.m1.16.16.5.5.5.5.5.2.2.2.2.2.2.5.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msub><mo id="S4.E61.m1.18.18.7.7.7.7.7.4.4.4.4.5" xref="S4.E61.m1.18.18.7.7.7.7.7.4.4.4.4.5.cmml">−</mo><msub id="S4.E61.m1.18.18.7.7.7.7.7.4.4.4.4.7" xref="S4.E61.m1.18.18.7.7.7.7.7.4.4.4.4.7.cmml"><mi id="S4.E61.m1.18.18.7.7.7.7.7.4.4.4.4.7.2" xref="S4.E61.m1.18.18.7.7.7.7.7.4.4.4.4.7.2.cmml">m</mi><mrow id="S4.E61.m1.18.18.7.7.7.7.7.4.4.4.4.4.2" xref="S4.E61.m1.18.18.7.7.7.7.7.4.4.4.4.4.2.cmml"><mn id="S4.E61.m1.18.18.7.7.7.7.7.4.4.4.4.4.2.4" xref="S4.E61.m1.18.18.7.7.7.7.7.4.4.4.4.4.2.4.cmml">2</mn><mo id="S4.E61.m1.18.18.7.7.7.7.7.4.4.4.4.4.2.3" xref="S4.E61.m1.18.18.7.7.7.7.7.4.4.4.4.4.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E61.m1.18.18.7.7.7.7.7.4.4.4.4.4.2.2.1" xref="S4.E61.m1.18.18.7.7.7.7.7.4.4.4.4.4.2.2.2.cmml"><mo id="S4.E61.m1.18.18.7.7.7.7.7.4.4.4.4.4.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S4.E61.m1.18.18.7.7.7.7.7.4.4.4.4.4.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S4.E61.m1.17.17.6.6.6.6.6.3.3.3.3.3.1.1" xref="S4.E61.m1.17.17.6.6.6.6.6.3.3.3.3.3.1.1.cmml">i</mi><mo id="S4.E61.m1.18.18.7.7.7.7.7.4.4.4.4.4.2.2.1.3" xref="S4.E61.m1.18.18.7.7.7.7.7.4.4.4.4.4.2.2.2.cmml">,</mo><mrow id="S4.E61.m1.18.18.7.7.7.7.7.4.4.4.4.4.2.2.1.1" xref="S4.E61.m1.18.18.7.7.7.7.7.4.4.4.4.4.2.2.1.1.cmml"><mi id="S4.E61.m1.18.18.7.7.7.7.7.4.4.4.4.4.2.2.1.1.2" xref="S4.E61.m1.18.18.7.7.7.7.7.4.4.4.4.4.2.2.1.1.2.cmml">j</mi><mo id="S4.E61.m1.18.18.7.7.7.7.7.4.4.4.4.4.2.2.1.1.1" xref="S4.E61.m1.18.18.7.7.7.7.7.4.4.4.4.4.2.2.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S4.E61.m1.18.18.7.7.7.7.7.4.4.4.4.4.2.2.1.1.3" xref="S4.E61.m1.18.18.7.7.7.7.7.4.4.4.4.4.2.2.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S4.E61.m1.18.18.7.7.7.7.7.4.4.4.4.4.2.2.1.4" stretchy="false" xref="S4.E61.m1.18.18.7.7.7.7.7.4.4.4.4.4.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></msub></mrow><mi id="S4.E61.m1.18.18.7.7.7.7.7.4.4.4.6" xref="S4.E61.m1.18.18.7.7.7.7.7.4.4.4.6.cmml">h</mi></mfrac><mo id="S4.E61.m1.18.18.7.7.7.7.7.4.4.6.1" xref="S4.E61.m1.18.18.7.7.7.7.7.4.4.4.cmml">,</mo></mrow></mtd><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="S4.E61.m1.22.22.11.11.11.11f" xref="S4.E61.m1.22.22.11.11.11.11.cmml"><mrow id="S4.E61.m1.19.19.8.8.8.8.8.5.1.1" xref="S4.E61.m1.19.19.8.8.8.8.8.5.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E61.m1.19.19.8.8.8.8.8.5.1.1.1" xref="S4.E61.m1.19.19.8.8.8.8.8.5.1.1.1.cmml"><mn id="S4.E61.m1.19.19.8.8.8.8.8.5.1.1.1.2" xref="S4.E61.m1.19.19.8.8.8.8.8.5.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S4.E61.m1.19.19.8.8.8.8.8.5.1.1.1.3" xref="S4.E61.m1.19.19.8.8.8.8.8.5.1.1.1.3.cmml"><</mo><mi id="S4.E61.m1.19.19.8.8.8.8.8.5.1.1.1.4" xref="S4.E61.m1.19.19.8.8.8.8.8.5.1.1.1.4.cmml">j</mi><mo id="S4.E61.m1.19.19.8.8.8.8.8.5.1.1.1.5" xref="S4.E61.m1.19.19.8.8.8.8.8.5.1.1.1.5.cmml"><</mo><mi id="S4.E61.m1.19.19.8.8.8.8.8.5.1.1.1.6" xref="S4.E61.m1.19.19.8.8.8.8.8.5.1.1.1.6.cmml">N</mi></mrow><mo id="S4.E61.m1.19.19.8.8.8.8.8.5.1.1.2" xref="S4.E61.m1.19.19.8.8.8.8.8.5.1.1.1.cmml">,</mo></mrow></mtd></mtr><mtr id="S4.E61.m1.22.22.11.11.11.11g" xref="S4.E61.m1.22.22.11.11.11.11.cmml"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S4.E61.m1.22.22.11.11.11.11h" xref="S4.E61.m1.22.22.11.11.11.11.cmml"><mrow id="S4.E61.m1.21.21.10.10.10.10.10.2.2.4" xref="S4.E61.m1.21.21.10.10.10.10.10.2.2.2.cmml"><mfrac id="S4.E61.m1.21.21.10.10.10.10.10.2.2.2" xref="S4.E61.m1.21.21.10.10.10.10.10.2.2.2.cmml"><msub id="S4.E61.m1.21.21.10.10.10.10.10.2.2.2.2" xref="S4.E61.m1.21.21.10.10.10.10.10.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.E61.m1.21.21.10.10.10.10.10.2.2.2.2.4" xref="S4.E61.m1.21.21.10.10.10.10.10.2.2.2.2.4.cmml">m</mi><mrow id="S4.E61.m1.21.21.10.10.10.10.10.2.2.2.2.2.2" xref="S4.E61.m1.21.21.10.10.10.10.10.2.2.2.2.2.2.cmml"><mn id="S4.E61.m1.21.21.10.10.10.10.10.2.2.2.2.2.2.4" xref="S4.E61.m1.21.21.10.10.10.10.10.2.2.2.2.2.2.4.cmml">2</mn><mo id="S4.E61.m1.21.21.10.10.10.10.10.2.2.2.2.2.2.3" xref="S4.E61.m1.21.21.10.10.10.10.10.2.2.2.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E61.m1.21.21.10.10.10.10.10.2.2.2.2.2.2.5.2" xref="S4.E61.m1.21.21.10.10.10.10.10.2.2.2.2.2.2.5.1.cmml"><mo id="S4.E61.m1.21.21.10.10.10.10.10.2.2.2.2.2.2.5.2.1" stretchy="false" xref="S4.E61.m1.21.21.10.10.10.10.10.2.2.2.2.2.2.5.1.cmml">(</mo><mi id="S4.E61.m1.20.20.9.9.9.9.9.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E61.m1.20.20.9.9.9.9.9.1.1.1.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S4.E61.m1.21.21.10.10.10.10.10.2.2.2.2.2.2.5.2.2" xref="S4.E61.m1.21.21.10.10.10.10.10.2.2.2.2.2.2.5.1.cmml">,</mo><mn id="S4.E61.m1.21.21.10.10.10.10.10.2.2.2.2.2.2.2" xref="S4.E61.m1.21.21.10.10.10.10.10.2.2.2.2.2.2.2.cmml">1</mn><mo id="S4.E61.m1.21.21.10.10.10.10.10.2.2.2.2.2.2.5.2.3" stretchy="false" xref="S4.E61.m1.21.21.10.10.10.10.10.2.2.2.2.2.2.5.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msub><mi id="S4.E61.m1.21.21.10.10.10.10.10.2.2.2.4" xref="S4.E61.m1.21.21.10.10.10.10.10.2.2.2.4.cmml">h</mi></mfrac><mo id="S4.E61.m1.21.21.10.10.10.10.10.2.2.4.1" xref="S4.E61.m1.21.21.10.10.10.10.10.2.2.2.cmml">,</mo></mrow></mtd><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="S4.E61.m1.22.22.11.11.11.11i" xref="S4.E61.m1.22.22.11.11.11.11.cmml"><mrow id="S4.E61.m1.22.22.11.11.11.11.11.3.1.1" xref="S4.E61.m1.22.22.11.11.11.11.11.3.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E61.m1.22.22.11.11.11.11.11.3.1.1.1" xref="S4.E61.m1.22.22.11.11.11.11.11.3.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E61.m1.22.22.11.11.11.11.11.3.1.1.1.2" xref="S4.E61.m1.22.22.11.11.11.11.11.3.1.1.1.2.cmml">j</mi><mo id="S4.E61.m1.22.22.11.11.11.11.11.3.1.1.1.1" xref="S4.E61.m1.22.22.11.11.11.11.11.3.1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.E61.m1.22.22.11.11.11.11.11.3.1.1.1.3" xref="S4.E61.m1.22.22.11.11.11.11.11.3.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S4.E61.m1.22.22.11.11.11.11.11.3.1.1.2" lspace="0em" xref="S4.E61.m1.22.22.11.11.11.11.11.3.1.1.1.cmml">.</mo></mrow></mtd></mtr></mtable><mi id="S4.E61.m1.22.22.11.11.11.14.2.2" xref="S4.E61.m1.22.22.11.11.11.14.1.1.cmml"></mi></mrow></mrow></mtd></mtr></mtable></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E61.m1.22b"><list id="S4.E61.m1.22.23.1.cmml" xref="S4.E61.m1.22.23.2"><matrix id="S4.E61.m1.11.11.cmml" xref="S4.E61.m1.11.11"><matrixrow id="S4.E61.m1.11.11a.cmml" xref="S4.E61.m1.11.11"><apply id="S4.E61.m1.11.11.11.11.11.cmml" xref="S4.E61.m1.11.11.11.11.11"><eq id="S4.E61.m1.11.11.11.11.11.12.cmml" xref="S4.E61.m1.11.11.11.11.11.12"></eq><apply id="S4.E61.m1.11.11.11.11.11.13.cmml" xref="S4.E61.m1.11.11.11.11.11.13"><apply id="S4.E61.m1.11.11.11.11.11.13.1.cmml" xref="S4.E61.m1.11.11.11.11.11.13.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E61.m1.11.11.11.11.11.13.1.1.cmml" xref="S4.E61.m1.11.11.11.11.11.13.1">superscript</csymbol><apply id="S4.E61.m1.11.11.11.11.11.13.1.2.cmml" xref="S4.E61.m1.11.11.11.11.11.13.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E61.m1.11.11.11.11.11.13.1.2.1.cmml" xref="S4.E61.m1.11.11.11.11.11.13.1">subscript</csymbol><partialdiff id="S4.E61.m1.11.11.11.11.11.13.1.2.2.cmml" xref="S4.E61.m1.11.11.11.11.11.13.1.2.2"></partialdiff><ci id="S4.E61.m1.11.11.11.11.11.13.1.2.3.cmml" xref="S4.E61.m1.11.11.11.11.11.13.1.2.3">𝑥</ci></apply><minus id="S4.E61.m1.11.11.11.11.11.13.1.3.cmml" xref="S4.E61.m1.11.11.11.11.11.13.1.3"></minus></apply><apply id="S4.E61.m1.11.11.11.11.11.13.2.cmml" xref="S4.E61.m1.11.11.11.11.11.13.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E61.m1.11.11.11.11.11.13.2.1.cmml" xref="S4.E61.m1.11.11.11.11.11.13.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E61.m1.11.11.11.11.11.13.2.2.cmml" xref="S4.E61.m1.11.11.11.11.11.13.2.2">𝑚</ci><cn id="S4.E61.m1.11.11.11.11.11.13.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.E61.m1.11.11.11.11.11.13.2.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.E61.m1.11.11.11.11.11.14.1.cmml" xref="S4.E61.m1.11.11.11.11.11.14.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.E61.m1.11.11.11.11.11.14.1.1.cmml" xref="S4.E61.m1.11.11.11.11.11.14.2.1">cases</csymbol><matrix id="S4.E61.m1.11.11.11.11.11.11.cmml" xref="S4.E61.m1.11.11.11.11.11.11"><matrixrow id="S4.E61.m1.11.11.11.11.11.11a.cmml" xref="S4.E61.m1.11.11.11.11.11.11"><apply id="S4.E61.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E61.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.4"><divide id="S4.E61.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E61.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.4"></divide><apply id="S4.E61.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E61.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2"><minus id="S4.E61.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E61.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2"></minus><apply id="S4.E61.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.4.cmml" xref="S4.E61.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E61.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.4.1.cmml" xref="S4.E61.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S4.E61.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.4.2.cmml" xref="S4.E61.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.4.2">𝑚</ci><apply id="S4.E61.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E61.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2"><times id="S4.E61.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E61.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3"></times><cn id="S4.E61.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.4.cmml" type="integer" xref="S4.E61.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.4">1</cn><interval closure="open" id="S4.E61.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E61.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1"><apply id="S4.E61.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S4.E61.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1"><minus id="S4.E61.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.E61.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1"></minus><ci id="S4.E61.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.E61.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.2">𝑁</ci><cn id="S4.E61.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E61.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S4.E61.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E61.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">𝑗</ci></interval></apply></apply></apply><ci id="S4.E61.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.4.cmml" xref="S4.E61.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.4">ℎ</ci></apply><apply id="S4.E61.m1.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.E61.m1.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1"><eq id="S4.E61.m1.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E61.m1.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1"></eq><ci id="S4.E61.m1.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E61.m1.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.2">𝑖</ci><ci id="S4.E61.m1.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E61.m1.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.3">𝑁</ci></apply></matrixrow><matrixrow id="S4.E61.m1.11.11.11.11.11.11b.cmml" xref="S4.E61.m1.11.11.11.11.11.11"><apply id="S4.E61.m1.7.7.7.7.7.7.7.4.4.4.cmml" xref="S4.E61.m1.7.7.7.7.7.7.7.4.4.6"><divide id="S4.E61.m1.7.7.7.7.7.7.7.4.4.4.5.cmml" xref="S4.E61.m1.7.7.7.7.7.7.7.4.4.6"></divide><apply id="S4.E61.m1.7.7.7.7.7.7.7.4.4.4.4.cmml" xref="S4.E61.m1.7.7.7.7.7.7.7.4.4.4.4"><minus id="S4.E61.m1.7.7.7.7.7.7.7.4.4.4.4.5.cmml" xref="S4.E61.m1.7.7.7.7.7.7.7.4.4.4.4.5"></minus><apply id="S4.E61.m1.7.7.7.7.7.7.7.4.4.4.4.6.cmml" xref="S4.E61.m1.7.7.7.7.7.7.7.4.4.4.4.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E61.m1.7.7.7.7.7.7.7.4.4.4.4.6.1.cmml" xref="S4.E61.m1.7.7.7.7.7.7.7.4.4.4.4.6">subscript</csymbol><ci id="S4.E61.m1.7.7.7.7.7.7.7.4.4.4.4.6.2.cmml" xref="S4.E61.m1.7.7.7.7.7.7.7.4.4.4.4.6.2">𝑚</ci><apply id="S4.E61.m1.5.5.5.5.5.5.5.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E61.m1.5.5.5.5.5.5.5.2.2.2.2.2.2"><times id="S4.E61.m1.5.5.5.5.5.5.5.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E61.m1.5.5.5.5.5.5.5.2.2.2.2.2.2.3"></times><cn id="S4.E61.m1.5.5.5.5.5.5.5.2.2.2.2.2.2.4.cmml" type="integer" xref="S4.E61.m1.5.5.5.5.5.5.5.2.2.2.2.2.2.4">1</cn><interval closure="open" id="S4.E61.m1.5.5.5.5.5.5.5.2.2.2.2.2.2.5.1.cmml" xref="S4.E61.m1.5.5.5.5.5.5.5.2.2.2.2.2.2.5.2"><ci id="S4.E61.m1.4.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E61.m1.4.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1">𝑖</ci><ci id="S4.E61.m1.5.5.5.5.5.5.5.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E61.m1.5.5.5.5.5.5.5.2.2.2.2.2.2.2">𝑗</ci></interval></apply></apply><apply id="S4.E61.m1.7.7.7.7.7.7.7.4.4.4.4.7.cmml" xref="S4.E61.m1.7.7.7.7.7.7.7.4.4.4.4.7"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E61.m1.7.7.7.7.7.7.7.4.4.4.4.7.1.cmml" xref="S4.E61.m1.7.7.7.7.7.7.7.4.4.4.4.7">subscript</csymbol><ci id="S4.E61.m1.7.7.7.7.7.7.7.4.4.4.4.7.2.cmml" xref="S4.E61.m1.7.7.7.7.7.7.7.4.4.4.4.7.2">𝑚</ci><apply id="S4.E61.m1.7.7.7.7.7.7.7.4.4.4.4.4.2.cmml" xref="S4.E61.m1.7.7.7.7.7.7.7.4.4.4.4.4.2"><times id="S4.E61.m1.7.7.7.7.7.7.7.4.4.4.4.4.2.3.cmml" xref="S4.E61.m1.7.7.7.7.7.7.7.4.4.4.4.4.2.3"></times><cn id="S4.E61.m1.7.7.7.7.7.7.7.4.4.4.4.4.2.4.cmml" type="integer" xref="S4.E61.m1.7.7.7.7.7.7.7.4.4.4.4.4.2.4">1</cn><interval closure="open" id="S4.E61.m1.7.7.7.7.7.7.7.4.4.4.4.4.2.2.2.cmml" xref="S4.E61.m1.7.7.7.7.7.7.7.4.4.4.4.4.2.2.1"><apply id="S4.E61.m1.7.7.7.7.7.7.7.4.4.4.4.4.2.2.1.1.cmml" xref="S4.E61.m1.7.7.7.7.7.7.7.4.4.4.4.4.2.2.1.1"><minus id="S4.E61.m1.7.7.7.7.7.7.7.4.4.4.4.4.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.E61.m1.7.7.7.7.7.7.7.4.4.4.4.4.2.2.1.1.1"></minus><ci id="S4.E61.m1.7.7.7.7.7.7.7.4.4.4.4.4.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.E61.m1.7.7.7.7.7.7.7.4.4.4.4.4.2.2.1.1.2">𝑖</ci><cn id="S4.E61.m1.7.7.7.7.7.7.7.4.4.4.4.4.2.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E61.m1.7.7.7.7.7.7.7.4.4.4.4.4.2.2.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S4.E61.m1.6.6.6.6.6.6.6.3.3.3.3.3.1.1.cmml" xref="S4.E61.m1.6.6.6.6.6.6.6.3.3.3.3.3.1.1">𝑗</ci></interval></apply></apply></apply><ci id="S4.E61.m1.7.7.7.7.7.7.7.4.4.4.6.cmml" xref="S4.E61.m1.7.7.7.7.7.7.7.4.4.4.6">ℎ</ci></apply><apply id="S4.E61.m1.8.8.8.8.8.8.8.5.1.1.1.cmml" xref="S4.E61.m1.8.8.8.8.8.8.8.5.1.1"><and id="S4.E61.m1.8.8.8.8.8.8.8.5.1.1.1a.cmml" xref="S4.E61.m1.8.8.8.8.8.8.8.5.1.1"></and><apply id="S4.E61.m1.8.8.8.8.8.8.8.5.1.1.1b.cmml" xref="S4.E61.m1.8.8.8.8.8.8.8.5.1.1"><lt id="S4.E61.m1.8.8.8.8.8.8.8.5.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E61.m1.8.8.8.8.8.8.8.5.1.1.1.3"></lt><cn id="S4.E61.m1.8.8.8.8.8.8.8.5.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.E61.m1.8.8.8.8.8.8.8.5.1.1.1.2">1</cn><ci id="S4.E61.m1.8.8.8.8.8.8.8.5.1.1.1.4.cmml" xref="S4.E61.m1.8.8.8.8.8.8.8.5.1.1.1.4">𝑖</ci></apply><apply id="S4.E61.m1.8.8.8.8.8.8.8.5.1.1.1c.cmml" xref="S4.E61.m1.8.8.8.8.8.8.8.5.1.1"><lt id="S4.E61.m1.8.8.8.8.8.8.8.5.1.1.1.5.cmml" xref="S4.E61.m1.8.8.8.8.8.8.8.5.1.1.1.5"></lt><share href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S4.E61.m1.8.8.8.8.8.8.8.5.1.1.1.4.cmml" id="S4.E61.m1.8.8.8.8.8.8.8.5.1.1.1d.cmml" xref="S4.E61.m1.8.8.8.8.8.8.8.5.1.1"></share><ci id="S4.E61.m1.8.8.8.8.8.8.8.5.1.1.1.6.cmml" xref="S4.E61.m1.8.8.8.8.8.8.8.5.1.1.1.6">𝑁</ci></apply></apply></matrixrow><matrixrow id="S4.E61.m1.11.11.11.11.11.11c.cmml" xref="S4.E61.m1.11.11.11.11.11.11"><apply id="S4.E61.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.cmml" xref="S4.E61.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.4"><divide id="S4.E61.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E61.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.4"></divide><apply id="S4.E61.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E61.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E61.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E61.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E61.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.2.4.cmml" xref="S4.E61.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.2.4">𝑚</ci><apply id="S4.E61.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E61.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.2.2.2"><times id="S4.E61.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E61.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.2.2.2.3"></times><cn id="S4.E61.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.2.2.2.4.cmml" type="integer" xref="S4.E61.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.2.2.2.4">1</cn><interval closure="open" id="S4.E61.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.2.2.2.5.1.cmml" xref="S4.E61.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.2.2.2.5.2"><cn id="S4.E61.m1.9.9.9.9.9.9.9.1.1.1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.E61.m1.9.9.9.9.9.9.9.1.1.1.1.1.1.1">1</cn><ci id="S4.E61.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E61.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.2.2.2.2">𝑗</ci></interval></apply></apply><ci id="S4.E61.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.4.cmml" xref="S4.E61.m1.10.10.10.10.10.10.10.2.2.2.4">ℎ</ci></apply><apply id="S4.E61.m1.11.11.11.11.11.11.11.3.1.1.1.cmml" xref="S4.E61.m1.11.11.11.11.11.11.11.3.1.1"><eq id="S4.E61.m1.11.11.11.11.11.11.11.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E61.m1.11.11.11.11.11.11.11.3.1.1.1.1"></eq><ci id="S4.E61.m1.11.11.11.11.11.11.11.3.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E61.m1.11.11.11.11.11.11.11.3.1.1.1.2">𝑖</ci><cn id="S4.E61.m1.11.11.11.11.11.11.11.3.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E61.m1.11.11.11.11.11.11.11.3.1.1.1.3">1</cn></apply></matrixrow></matrix></apply></apply></matrixrow></matrix><matrix id="S4.E61.m1.22.22.cmml" xref="S4.E61.m1.22.22"><matrixrow id="S4.E61.m1.22.22a.cmml" xref="S4.E61.m1.22.22"><apply id="S4.E61.m1.22.22.11.11.11.cmml" xref="S4.E61.m1.22.22.11.11.11"><eq id="S4.E61.m1.22.22.11.11.11.12.cmml" xref="S4.E61.m1.22.22.11.11.11.12"></eq><apply id="S4.E61.m1.22.22.11.11.11.13.cmml" xref="S4.E61.m1.22.22.11.11.11.13"><apply id="S4.E61.m1.22.22.11.11.11.13.1.cmml" xref="S4.E61.m1.22.22.11.11.11.13.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E61.m1.22.22.11.11.11.13.1.1.cmml" xref="S4.E61.m1.22.22.11.11.11.13.1">superscript</csymbol><apply id="S4.E61.m1.22.22.11.11.11.13.1.2.cmml" xref="S4.E61.m1.22.22.11.11.11.13.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E61.m1.22.22.11.11.11.13.1.2.1.cmml" xref="S4.E61.m1.22.22.11.11.11.13.1">subscript</csymbol><partialdiff id="S4.E61.m1.22.22.11.11.11.13.1.2.2.cmml" xref="S4.E61.m1.22.22.11.11.11.13.1.2.2"></partialdiff><ci id="S4.E61.m1.22.22.11.11.11.13.1.2.3.cmml" xref="S4.E61.m1.22.22.11.11.11.13.1.2.3">𝑦</ci></apply><minus id="S4.E61.m1.22.22.11.11.11.13.1.3.cmml" xref="S4.E61.m1.22.22.11.11.11.13.1.3"></minus></apply><apply id="S4.E61.m1.22.22.11.11.11.13.2.cmml" xref="S4.E61.m1.22.22.11.11.11.13.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E61.m1.22.22.11.11.11.13.2.1.cmml" xref="S4.E61.m1.22.22.11.11.11.13.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E61.m1.22.22.11.11.11.13.2.2.cmml" xref="S4.E61.m1.22.22.11.11.11.13.2.2">𝑚</ci><cn id="S4.E61.m1.22.22.11.11.11.13.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.E61.m1.22.22.11.11.11.13.2.3">2</cn></apply></apply><apply id="S4.E61.m1.22.22.11.11.11.14.1.cmml" xref="S4.E61.m1.22.22.11.11.11.14.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.E61.m1.22.22.11.11.11.14.1.1.cmml" xref="S4.E61.m1.22.22.11.11.11.14.2.1">cases</csymbol><matrix id="S4.E61.m1.22.22.11.11.11.11.cmml" xref="S4.E61.m1.22.22.11.11.11.11"><matrixrow id="S4.E61.m1.22.22.11.11.11.11a.cmml" xref="S4.E61.m1.22.22.11.11.11.11"><apply id="S4.E61.m1.13.13.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E61.m1.13.13.2.2.2.2.2.2.2.4"><divide id="S4.E61.m1.13.13.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E61.m1.13.13.2.2.2.2.2.2.2.4"></divide><apply id="S4.E61.m1.13.13.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E61.m1.13.13.2.2.2.2.2.2.2.2.2"><minus id="S4.E61.m1.13.13.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E61.m1.13.13.2.2.2.2.2.2.2.2.2"></minus><apply id="S4.E61.m1.13.13.2.2.2.2.2.2.2.2.2.4.cmml" xref="S4.E61.m1.13.13.2.2.2.2.2.2.2.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E61.m1.13.13.2.2.2.2.2.2.2.2.2.4.1.cmml" xref="S4.E61.m1.13.13.2.2.2.2.2.2.2.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S4.E61.m1.13.13.2.2.2.2.2.2.2.2.2.4.2.cmml" xref="S4.E61.m1.13.13.2.2.2.2.2.2.2.2.2.4.2">𝑚</ci><apply id="S4.E61.m1.13.13.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E61.m1.13.13.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2"><times id="S4.E61.m1.13.13.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E61.m1.13.13.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3"></times><cn id="S4.E61.m1.13.13.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.4.cmml" type="integer" xref="S4.E61.m1.13.13.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.4">2</cn><interval closure="open" id="S4.E61.m1.13.13.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E61.m1.13.13.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1"><ci id="S4.E61.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E61.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">𝑖</ci><apply id="S4.E61.m1.13.13.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S4.E61.m1.13.13.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1"><minus id="S4.E61.m1.13.13.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.E61.m1.13.13.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1"></minus><ci id="S4.E61.m1.13.13.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.E61.m1.13.13.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.2">𝑁</ci><cn id="S4.E61.m1.13.13.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E61.m1.13.13.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.3">1</cn></apply></interval></apply></apply></apply><ci id="S4.E61.m1.13.13.2.2.2.2.2.2.2.2.4.cmml" xref="S4.E61.m1.13.13.2.2.2.2.2.2.2.2.4">ℎ</ci></apply><apply id="S4.E61.m1.14.14.3.3.3.3.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.E61.m1.14.14.3.3.3.3.3.3.1.1"><eq id="S4.E61.m1.14.14.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E61.m1.14.14.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1"></eq><ci id="S4.E61.m1.14.14.3.3.3.3.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E61.m1.14.14.3.3.3.3.3.3.1.1.1.2">𝑗</ci><ci id="S4.E61.m1.14.14.3.3.3.3.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E61.m1.14.14.3.3.3.3.3.3.1.1.1.3">𝑁</ci></apply></matrixrow><matrixrow id="S4.E61.m1.22.22.11.11.11.11b.cmml" xref="S4.E61.m1.22.22.11.11.11.11"><apply id="S4.E61.m1.18.18.7.7.7.7.7.4.4.4.cmml" xref="S4.E61.m1.18.18.7.7.7.7.7.4.4.6"><divide id="S4.E61.m1.18.18.7.7.7.7.7.4.4.4.5.cmml" xref="S4.E61.m1.18.18.7.7.7.7.7.4.4.6"></divide><apply id="S4.E61.m1.18.18.7.7.7.7.7.4.4.4.4.cmml" xref="S4.E61.m1.18.18.7.7.7.7.7.4.4.4.4"><minus id="S4.E61.m1.18.18.7.7.7.7.7.4.4.4.4.5.cmml" xref="S4.E61.m1.18.18.7.7.7.7.7.4.4.4.4.5"></minus><apply id="S4.E61.m1.18.18.7.7.7.7.7.4.4.4.4.6.cmml" xref="S4.E61.m1.18.18.7.7.7.7.7.4.4.4.4.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E61.m1.18.18.7.7.7.7.7.4.4.4.4.6.1.cmml" xref="S4.E61.m1.18.18.7.7.7.7.7.4.4.4.4.6">subscript</csymbol><ci id="S4.E61.m1.18.18.7.7.7.7.7.4.4.4.4.6.2.cmml" xref="S4.E61.m1.18.18.7.7.7.7.7.4.4.4.4.6.2">𝑚</ci><apply id="S4.E61.m1.16.16.5.5.5.5.5.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E61.m1.16.16.5.5.5.5.5.2.2.2.2.2.2"><times id="S4.E61.m1.16.16.5.5.5.5.5.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E61.m1.16.16.5.5.5.5.5.2.2.2.2.2.2.3"></times><cn id="S4.E61.m1.16.16.5.5.5.5.5.2.2.2.2.2.2.4.cmml" type="integer" xref="S4.E61.m1.16.16.5.5.5.5.5.2.2.2.2.2.2.4">2</cn><interval closure="open" id="S4.E61.m1.16.16.5.5.5.5.5.2.2.2.2.2.2.5.1.cmml" xref="S4.E61.m1.16.16.5.5.5.5.5.2.2.2.2.2.2.5.2"><ci id="S4.E61.m1.15.15.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E61.m1.15.15.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1">𝑖</ci><ci id="S4.E61.m1.16.16.5.5.5.5.5.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E61.m1.16.16.5.5.5.5.5.2.2.2.2.2.2.2">𝑗</ci></interval></apply></apply><apply id="S4.E61.m1.18.18.7.7.7.7.7.4.4.4.4.7.cmml" xref="S4.E61.m1.18.18.7.7.7.7.7.4.4.4.4.7"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E61.m1.18.18.7.7.7.7.7.4.4.4.4.7.1.cmml" xref="S4.E61.m1.18.18.7.7.7.7.7.4.4.4.4.7">subscript</csymbol><ci id="S4.E61.m1.18.18.7.7.7.7.7.4.4.4.4.7.2.cmml" xref="S4.E61.m1.18.18.7.7.7.7.7.4.4.4.4.7.2">𝑚</ci><apply id="S4.E61.m1.18.18.7.7.7.7.7.4.4.4.4.4.2.cmml" xref="S4.E61.m1.18.18.7.7.7.7.7.4.4.4.4.4.2"><times id="S4.E61.m1.18.18.7.7.7.7.7.4.4.4.4.4.2.3.cmml" xref="S4.E61.m1.18.18.7.7.7.7.7.4.4.4.4.4.2.3"></times><cn id="S4.E61.m1.18.18.7.7.7.7.7.4.4.4.4.4.2.4.cmml" type="integer" xref="S4.E61.m1.18.18.7.7.7.7.7.4.4.4.4.4.2.4">2</cn><interval closure="open" id="S4.E61.m1.18.18.7.7.7.7.7.4.4.4.4.4.2.2.2.cmml" xref="S4.E61.m1.18.18.7.7.7.7.7.4.4.4.4.4.2.2.1"><ci id="S4.E61.m1.17.17.6.6.6.6.6.3.3.3.3.3.1.1.cmml" xref="S4.E61.m1.17.17.6.6.6.6.6.3.3.3.3.3.1.1">𝑖</ci><apply id="S4.E61.m1.18.18.7.7.7.7.7.4.4.4.4.4.2.2.1.1.cmml" xref="S4.E61.m1.18.18.7.7.7.7.7.4.4.4.4.4.2.2.1.1"><minus id="S4.E61.m1.18.18.7.7.7.7.7.4.4.4.4.4.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.E61.m1.18.18.7.7.7.7.7.4.4.4.4.4.2.2.1.1.1"></minus><ci 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id="S4.E61.m1.19.19.8.8.8.8.8.5.1.1.1c.cmml" xref="S4.E61.m1.19.19.8.8.8.8.8.5.1.1"><lt id="S4.E61.m1.19.19.8.8.8.8.8.5.1.1.1.5.cmml" xref="S4.E61.m1.19.19.8.8.8.8.8.5.1.1.1.5"></lt><share href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S4.E61.m1.19.19.8.8.8.8.8.5.1.1.1.4.cmml" id="S4.E61.m1.19.19.8.8.8.8.8.5.1.1.1d.cmml" xref="S4.E61.m1.19.19.8.8.8.8.8.5.1.1"></share><ci id="S4.E61.m1.19.19.8.8.8.8.8.5.1.1.1.6.cmml" xref="S4.E61.m1.19.19.8.8.8.8.8.5.1.1.1.6">𝑁</ci></apply></apply></matrixrow><matrixrow id="S4.E61.m1.22.22.11.11.11.11c.cmml" xref="S4.E61.m1.22.22.11.11.11.11"><apply id="S4.E61.m1.21.21.10.10.10.10.10.2.2.2.cmml" xref="S4.E61.m1.21.21.10.10.10.10.10.2.2.4"><divide id="S4.E61.m1.21.21.10.10.10.10.10.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E61.m1.21.21.10.10.10.10.10.2.2.4"></divide><apply id="S4.E61.m1.21.21.10.10.10.10.10.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E61.m1.21.21.10.10.10.10.10.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E61.m1.21.21.10.10.10.10.10.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E61.m1.21.21.10.10.10.10.10.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E61.m1.21.21.10.10.10.10.10.2.2.2.2.4.cmml" xref="S4.E61.m1.21.21.10.10.10.10.10.2.2.2.2.4">𝑚</ci><apply id="S4.E61.m1.21.21.10.10.10.10.10.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E61.m1.21.21.10.10.10.10.10.2.2.2.2.2.2"><times id="S4.E61.m1.21.21.10.10.10.10.10.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E61.m1.21.21.10.10.10.10.10.2.2.2.2.2.2.3"></times><cn id="S4.E61.m1.21.21.10.10.10.10.10.2.2.2.2.2.2.4.cmml" type="integer" xref="S4.E61.m1.21.21.10.10.10.10.10.2.2.2.2.2.2.4">2</cn><interval closure="open" id="S4.E61.m1.21.21.10.10.10.10.10.2.2.2.2.2.2.5.1.cmml" xref="S4.E61.m1.21.21.10.10.10.10.10.2.2.2.2.2.2.5.2"><ci id="S4.E61.m1.20.20.9.9.9.9.9.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E61.m1.20.20.9.9.9.9.9.1.1.1.1.1.1.1">𝑖</ci><cn id="S4.E61.m1.21.21.10.10.10.10.10.2.2.2.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.E61.m1.21.21.10.10.10.10.10.2.2.2.2.2.2.2">1</cn></interval></apply></apply><ci id="S4.E61.m1.21.21.10.10.10.10.10.2.2.2.4.cmml" xref="S4.E61.m1.21.21.10.10.10.10.10.2.2.2.4">ℎ</ci></apply><apply id="S4.E61.m1.22.22.11.11.11.11.11.3.1.1.1.cmml" xref="S4.E61.m1.22.22.11.11.11.11.11.3.1.1"><eq id="S4.E61.m1.22.22.11.11.11.11.11.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E61.m1.22.22.11.11.11.11.11.3.1.1.1.1"></eq><ci id="S4.E61.m1.22.22.11.11.11.11.11.3.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E61.m1.22.22.11.11.11.11.11.3.1.1.1.2">𝑗</ci><cn id="S4.E61.m1.22.22.11.11.11.11.11.3.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E61.m1.22.22.11.11.11.11.11.3.1.1.1.3">1</cn></apply></matrixrow></matrix></apply></apply></matrixrow></matrix></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E61.m1.22c">\displaystyle\begin{aligned} \partial_{x}^{-}m_{1}=\left\{\begin{array}[]{lr}% \frac{-m_{1(N-1,j)}}{h},&i=N,\\[2.84526pt] \frac{m_{1(i,j)}-m_{1(i-1,j)}}{h},&1<i<N,\\[2.84526pt] \frac{m_{1(1,j)}}{h},&i=1.\\ \end{array}\right.\end{aligned}\quad\begin{aligned} \partial_{y}^{-}m_{2}=% \left\{\begin{array}[]{lr}\frac{-m_{2(i,N-1)}}{h},&j=N,\\[2.84526pt] \frac{m_{2(i,j)}-m_{2(i,j-1)}}{h},&1<j<N,\\[2.84526pt] \frac{m_{2(i,1)}}{h},&j=1.\\ \end{array}\right.\end{aligned}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E61.m1.22d">start_ROW start_CELL ∂ start_POSTSUBSCRIPT italic_x end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT italic_m start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT = { start_ARRAY start_ROW start_CELL divide start_ARG - italic_m start_POSTSUBSCRIPT 1 ( italic_N - 1 , italic_j ) end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG italic_h end_ARG , end_CELL start_CELL italic_i = italic_N , end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL divide start_ARG italic_m start_POSTSUBSCRIPT 1 ( italic_i , italic_j ) end_POSTSUBSCRIPT - italic_m start_POSTSUBSCRIPT 1 ( italic_i - 1 , italic_j ) end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG italic_h end_ARG , end_CELL start_CELL 1 < italic_i < italic_N , end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL divide start_ARG italic_m start_POSTSUBSCRIPT 1 ( 1 , italic_j ) end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG italic_h end_ARG , end_CELL start_CELL italic_i = 1 . end_CELL end_ROW end_ARRAY end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL ∂ start_POSTSUBSCRIPT italic_y end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT italic_m start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT = { start_ARRAY start_ROW start_CELL divide start_ARG - italic_m start_POSTSUBSCRIPT 2 ( italic_i , italic_N - 1 ) end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG italic_h end_ARG , end_CELL start_CELL italic_j = italic_N , end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL divide start_ARG italic_m start_POSTSUBSCRIPT 2 ( italic_i , italic_j ) end_POSTSUBSCRIPT - italic_m start_POSTSUBSCRIPT 2 ( italic_i , italic_j - 1 ) end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG italic_h end_ARG , end_CELL start_CELL 1 < italic_j < italic_N , end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL divide start_ARG italic_m start_POSTSUBSCRIPT 2 ( italic_i , 1 ) end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG italic_h end_ARG , end_CELL start_CELL italic_j = 1 . end_CELL end_ROW end_ARRAY end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(61)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p4.5">The definition of the discrete <math alttext="\mathrm{div}(m)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p4.2.m1.1"><semantics id="S4.SS1.p4.2.m1.1a"><mrow id="S4.SS1.p4.2.m1.1.2" xref="S4.SS1.p4.2.m1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p4.2.m1.1.2.2" xref="S4.SS1.p4.2.m1.1.2.2.cmml">div</mi><mo id="S4.SS1.p4.2.m1.1.2.1" xref="S4.SS1.p4.2.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS1.p4.2.m1.1.2.3.2" xref="S4.SS1.p4.2.m1.1.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p4.2.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p4.2.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p4.2.m1.1.1" xref="S4.SS1.p4.2.m1.1.1.cmml">m</mi><mo id="S4.SS1.p4.2.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p4.2.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p4.2.m1.1b"><apply id="S4.SS1.p4.2.m1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.2.m1.1.2"><times id="S4.SS1.p4.2.m1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.2.m1.1.2.1"></times><ci id="S4.SS1.p4.2.m1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.2.m1.1.2.2">div</ci><ci id="S4.SS1.p4.2.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.2.m1.1.1">𝑚</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p4.2.m1.1c">\mathrm{div}(m)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p4.2.m1.1d">roman_div ( italic_m )</annotation></semantics></math> consistent with the zero-flux boundary conditions, i.e. <math alttext="m(x)\cdot n(x)=0,\forall x\in\partial\Omega" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p4.3.m2.4"><semantics id="S4.SS1.p4.3.m2.4a"><mrow id="S4.SS1.p4.3.m2.4.4.2" xref="S4.SS1.p4.3.m2.4.4.3.cmml"><mrow id="S4.SS1.p4.3.m2.3.3.1.1" xref="S4.SS1.p4.3.m2.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S4.SS1.p4.3.m2.3.3.1.1.2" xref="S4.SS1.p4.3.m2.3.3.1.1.2.cmml"><mrow id="S4.SS1.p4.3.m2.3.3.1.1.2.2" xref="S4.SS1.p4.3.m2.3.3.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S4.SS1.p4.3.m2.3.3.1.1.2.2.2" xref="S4.SS1.p4.3.m2.3.3.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p4.3.m2.3.3.1.1.2.2.2.2" xref="S4.SS1.p4.3.m2.3.3.1.1.2.2.2.2.cmml">m</mi><mo id="S4.SS1.p4.3.m2.3.3.1.1.2.2.2.1" xref="S4.SS1.p4.3.m2.3.3.1.1.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS1.p4.3.m2.3.3.1.1.2.2.2.3.2" xref="S4.SS1.p4.3.m2.3.3.1.1.2.2.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p4.3.m2.3.3.1.1.2.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p4.3.m2.3.3.1.1.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p4.3.m2.1.1" xref="S4.SS1.p4.3.m2.1.1.cmml">x</mi><mo id="S4.SS1.p4.3.m2.3.3.1.1.2.2.2.3.2.2" rspace="0.055em" stretchy="false" xref="S4.SS1.p4.3.m2.3.3.1.1.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.SS1.p4.3.m2.3.3.1.1.2.2.1" rspace="0.222em" xref="S4.SS1.p4.3.m2.3.3.1.1.2.2.1.cmml">⋅</mo><mi id="S4.SS1.p4.3.m2.3.3.1.1.2.2.3" xref="S4.SS1.p4.3.m2.3.3.1.1.2.2.3.cmml">n</mi></mrow><mo id="S4.SS1.p4.3.m2.3.3.1.1.2.1" xref="S4.SS1.p4.3.m2.3.3.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS1.p4.3.m2.3.3.1.1.2.3.2" xref="S4.SS1.p4.3.m2.3.3.1.1.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p4.3.m2.3.3.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p4.3.m2.3.3.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p4.3.m2.2.2" xref="S4.SS1.p4.3.m2.2.2.cmml">x</mi><mo id="S4.SS1.p4.3.m2.3.3.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p4.3.m2.3.3.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.SS1.p4.3.m2.3.3.1.1.1" xref="S4.SS1.p4.3.m2.3.3.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.SS1.p4.3.m2.3.3.1.1.3" xref="S4.SS1.p4.3.m2.3.3.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><mo id="S4.SS1.p4.3.m2.4.4.2.3" xref="S4.SS1.p4.3.m2.4.4.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.SS1.p4.3.m2.4.4.2.2" xref="S4.SS1.p4.3.m2.4.4.2.2.cmml"><mrow id="S4.SS1.p4.3.m2.4.4.2.2.2" xref="S4.SS1.p4.3.m2.4.4.2.2.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p4.3.m2.4.4.2.2.2.1" rspace="0.167em" xref="S4.SS1.p4.3.m2.4.4.2.2.2.1.cmml">∀</mo><mi id="S4.SS1.p4.3.m2.4.4.2.2.2.2" xref="S4.SS1.p4.3.m2.4.4.2.2.2.2.cmml">x</mi></mrow><mo id="S4.SS1.p4.3.m2.4.4.2.2.1" rspace="0.1389em" xref="S4.SS1.p4.3.m2.4.4.2.2.1.cmml">∈</mo><mrow id="S4.SS1.p4.3.m2.4.4.2.2.3" xref="S4.SS1.p4.3.m2.4.4.2.2.3.cmml"><mo id="S4.SS1.p4.3.m2.4.4.2.2.3.1" lspace="0.1389em" rspace="0em" xref="S4.SS1.p4.3.m2.4.4.2.2.3.1.cmml">∂</mo><mi id="S4.SS1.p4.3.m2.4.4.2.2.3.2" mathvariant="normal" xref="S4.SS1.p4.3.m2.4.4.2.2.3.2.cmml">Ω</mi></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p4.3.m2.4b"><apply id="S4.SS1.p4.3.m2.4.4.3.cmml" xref="S4.SS1.p4.3.m2.4.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p4.3.m2.4.4.3a.cmml" xref="S4.SS1.p4.3.m2.4.4.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.SS1.p4.3.m2.3.3.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.3.m2.3.3.1.1"><eq id="S4.SS1.p4.3.m2.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.3.m2.3.3.1.1.1"></eq><apply id="S4.SS1.p4.3.m2.3.3.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.3.m2.3.3.1.1.2"><times id="S4.SS1.p4.3.m2.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.3.m2.3.3.1.1.2.1"></times><apply id="S4.SS1.p4.3.m2.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.3.m2.3.3.1.1.2.2"><ci id="S4.SS1.p4.3.m2.3.3.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.3.m2.3.3.1.1.2.2.1">⋅</ci><apply id="S4.SS1.p4.3.m2.3.3.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.3.m2.3.3.1.1.2.2.2"><times id="S4.SS1.p4.3.m2.3.3.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.3.m2.3.3.1.1.2.2.2.1"></times><ci id="S4.SS1.p4.3.m2.3.3.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.3.m2.3.3.1.1.2.2.2.2">𝑚</ci><ci id="S4.SS1.p4.3.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.3.m2.1.1">𝑥</ci></apply><ci id="S4.SS1.p4.3.m2.3.3.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p4.3.m2.3.3.1.1.2.2.3">𝑛</ci></apply><ci id="S4.SS1.p4.3.m2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.3.m2.2.2">𝑥</ci></apply><cn id="S4.SS1.p4.3.m2.3.3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS1.p4.3.m2.3.3.1.1.3">0</cn></apply><apply id="S4.SS1.p4.3.m2.4.4.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.3.m2.4.4.2.2"><in id="S4.SS1.p4.3.m2.4.4.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.3.m2.4.4.2.2.1"></in><apply id="S4.SS1.p4.3.m2.4.4.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.3.m2.4.4.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.SS1.p4.3.m2.4.4.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.3.m2.4.4.2.2.2.1">for-all</csymbol><ci id="S4.SS1.p4.3.m2.4.4.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.3.m2.4.4.2.2.2.2">𝑥</ci></apply><apply id="S4.SS1.p4.3.m2.4.4.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p4.3.m2.4.4.2.2.3"><partialdiff id="S4.SS1.p4.3.m2.4.4.2.2.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.3.m2.4.4.2.2.3.1"></partialdiff><ci id="S4.SS1.p4.3.m2.4.4.2.2.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.3.m2.4.4.2.2.3.2">Ω</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p4.3.m2.4c">m(x)\cdot n(x)=0,\forall x\in\partial\Omega</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p4.3.m2.4d">italic_m ( italic_x ) ⋅ italic_n ( italic_x ) = 0 , ∀ italic_x ∈ ∂ roman_Ω</annotation></semantics></math>, where <math alttext="n(x)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p4.4.m3.1"><semantics id="S4.SS1.p4.4.m3.1a"><mrow id="S4.SS1.p4.4.m3.1.2" xref="S4.SS1.p4.4.m3.1.2.cmml"><mi id="S4.SS1.p4.4.m3.1.2.2" xref="S4.SS1.p4.4.m3.1.2.2.cmml">n</mi><mo id="S4.SS1.p4.4.m3.1.2.1" xref="S4.SS1.p4.4.m3.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS1.p4.4.m3.1.2.3.2" xref="S4.SS1.p4.4.m3.1.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p4.4.m3.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p4.4.m3.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.SS1.p4.4.m3.1.1" xref="S4.SS1.p4.4.m3.1.1.cmml">x</mi><mo id="S4.SS1.p4.4.m3.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.SS1.p4.4.m3.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p4.4.m3.1b"><apply id="S4.SS1.p4.4.m3.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.4.m3.1.2"><times id="S4.SS1.p4.4.m3.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.4.m3.1.2.1"></times><ci id="S4.SS1.p4.4.m3.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p4.4.m3.1.2.2">𝑛</ci><ci id="S4.SS1.p4.4.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.4.m3.1.1">𝑥</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p4.4.m3.1c">n(x)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p4.4.m3.1d">italic_n ( italic_x )</annotation></semantics></math> denotes the normal vector at <math alttext="x" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p4.5.m4.1"><semantics id="S4.SS1.p4.5.m4.1a"><mi id="S4.SS1.p4.5.m4.1.1" xref="S4.SS1.p4.5.m4.1.1.cmml">x</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p4.5.m4.1b"><ci id="S4.SS1.p4.5.m4.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p4.5.m4.1.1">𝑥</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p4.5.m4.1c">x</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p4.5.m4.1d">italic_x</annotation></semantics></math> <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib45" title="">2017Vector </a></cite>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS1.p5"> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p5.3">As in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib53" title="">2010Augmented </a></cite>, denote <math alttext="V=\mathbb{R}^{N\times N}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p5.1.m1.1"><semantics id="S4.SS1.p5.1.m1.1a"><mrow id="S4.SS1.p5.1.m1.1.1" xref="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.2" xref="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.2.cmml">V</mi><mo id="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.1" xref="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><msup id="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.3" xref="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.3.2" xref="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.3.2.cmml">ℝ</mi><mrow id="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.3.3" xref="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.3.3.2" xref="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.3.3.2.cmml">N</mi><mo id="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.3.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.3.3.1.cmml">×</mo><mi id="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.3.3.3" xref="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.3.3.3.cmml">N</mi></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p5.1.m1.1b"><apply id="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.1.m1.1.1"><eq id="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.1"></eq><ci id="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.2">𝑉</ci><apply id="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.3.2">ℝ</ci><apply id="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.3.3"><times id="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.3.3.1"></times><ci id="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.3.3.2">𝑁</ci><ci id="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.1.m1.1.1.3.3.3">𝑁</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p5.1.m1.1c">V=\mathbb{R}^{N\times N}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p5.1.m1.1d">italic_V = blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_N × italic_N end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="Q=V\times V" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p5.2.m2.1"><semantics id="S4.SS1.p5.2.m2.1a"><mrow id="S4.SS1.p5.2.m2.1.1" xref="S4.SS1.p5.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.SS1.p5.2.m2.1.1.2" xref="S4.SS1.p5.2.m2.1.1.2.cmml">Q</mi><mo id="S4.SS1.p5.2.m2.1.1.1" xref="S4.SS1.p5.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.SS1.p5.2.m2.1.1.3" xref="S4.SS1.p5.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS1.p5.2.m2.1.1.3.2" xref="S4.SS1.p5.2.m2.1.1.3.2.cmml">V</mi><mo id="S4.SS1.p5.2.m2.1.1.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.SS1.p5.2.m2.1.1.3.1.cmml">×</mo><mi id="S4.SS1.p5.2.m2.1.1.3.3" xref="S4.SS1.p5.2.m2.1.1.3.3.cmml">V</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p5.2.m2.1b"><apply id="S4.SS1.p5.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.2.m2.1.1"><eq id="S4.SS1.p5.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.2.m2.1.1.1"></eq><ci id="S4.SS1.p5.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.2.m2.1.1.2">𝑄</ci><apply id="S4.SS1.p5.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.2.m2.1.1.3"><times id="S4.SS1.p5.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.2.m2.1.1.3.1"></times><ci id="S4.SS1.p5.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.2.m2.1.1.3.2">𝑉</ci><ci id="S4.SS1.p5.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.2.m2.1.1.3.3">𝑉</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p5.2.m2.1c">Q=V\times V</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p5.2.m2.1d">italic_Q = italic_V × italic_V</annotation></semantics></math>, then the discrete gradient operator with periodic boundary condition <math alttext="\nabla=(\partial_{x}^{+},\partial_{y}^{+}):V\to Q" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS1.p5.3.m3.2"><semantics id="S4.SS1.p5.3.m3.2a"><mrow id="S4.SS1.p5.3.m3.2.2" xref="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.cmml"><mrow id="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.2" xref="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.2.4" xref="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.2.4.cmml">∇</mo><mo id="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.2.3" xref="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.2.2.2" xref="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.2.2.3.cmml">(</mo><msubsup id="S4.SS1.p5.3.m3.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS1.p5.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.SS1.p5.3.m3.1.1.1.1.1.1.2.2" lspace="0em" rspace="0em" xref="S4.SS1.p5.3.m3.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">∂</mo><mi id="S4.SS1.p5.3.m3.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.SS1.p5.3.m3.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">x</mi><mo id="S4.SS1.p5.3.m3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS1.p5.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">+</mo></msubsup><mo id="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.2.2.2.4" xref="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><msubsup id="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.2.2.2.2" xref="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.2.2.2.2.cmml"><mo id="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.2.2.2.2.2.2" lspace="0em" rspace="0em" xref="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml">∂</mo><mi id="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.2.2.2.2.2.3" xref="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">y</mi><mo id="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.2.2.2.2.3" xref="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.2.2.2.2.3.cmml">+</mo></msubsup><mo id="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.2.2.2.5" rspace="0.278em" stretchy="false" xref="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.3" rspace="0.278em" xref="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.3.cmml">:</mo><mrow id="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.4" xref="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.4.cmml"><mi id="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.4.2" xref="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.4.2.cmml">V</mi><mo id="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.4.1" stretchy="false" xref="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.4.1.cmml">→</mo><mi id="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.4.3" xref="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.4.3.cmml">Q</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS1.p5.3.m3.2b"><apply id="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.3.m3.2.2"><ci id="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.3">:</ci><apply id="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.2"><eq id="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.2.3"></eq><ci id="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.2.4.cmml" xref="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.2.4">∇</ci><interval closure="open" id="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.2.2.2"><apply id="S4.SS1.p5.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.3.m3.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p5.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.3.m3.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.SS1.p5.3.m3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.3.m3.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p5.3.m3.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.3.m3.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><partialdiff id="S4.SS1.p5.3.m3.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.3.m3.1.1.1.1.1.1.2.2"></partialdiff><ci id="S4.SS1.p5.3.m3.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.3.m3.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑥</ci></apply><plus id="S4.SS1.p5.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.3.m3.1.1.1.1.1.1.3"></plus></apply><apply id="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.2.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><partialdiff id="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.2.2.2.2.2.2"></partialdiff><ci id="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.2.2.2.2.2.3">𝑦</ci></apply><plus id="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.2.2.2.2.3"></plus></apply></interval></apply><apply id="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.4.cmml" xref="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.4"><ci id="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.4.1.cmml" xref="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.4.1">→</ci><ci id="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.4.2.cmml" xref="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.4.2">𝑉</ci><ci id="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.4.3.cmml" xref="S4.SS1.p5.3.m3.2.2.4.3">𝑄</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS1.p5.3.m3.2c">\nabla=(\partial_{x}^{+},\partial_{y}^{+}):V\to Q</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS1.p5.3.m3.2d">∇ = ( ∂ start_POSTSUBSCRIPT italic_x end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT , ∂ start_POSTSUBSCRIPT italic_y end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT ) : italic_V → italic_Q</annotation></semantics></math> is defined as</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="Sx1.EGx4"> <tbody id="S4.Ex1"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\begin{aligned} \partial_{x}^{+}u=\left\{\begin{array}[]{lr}\frac% {u_{(i+1,j)}-u_{(i,j)}}{h},&1\leq i\leq N-1,\\ \frac{u_{(1,j)}-u_{(N,j)}}{h},&i=N.\\ \end{array}\right.\end{aligned}\quad\begin{aligned} \partial_{y}^{+}u=\left\{% \begin{array}[]{lr}\frac{u_{(i,j+1)}-u_{(i,j)}}{h},&1\leq i\leq N-1,\\ \frac{u_{(i,1)}-u_{(i,N)}}{h},&j=N.\\ \end{array}\right.\end{aligned}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex1.m1.20"><semantics id="S4.Ex1.m1.20a"><mrow id="S4.Ex1.m1.20.21.2" xref="S4.Ex1.m1.20.21.1.cmml"><mtable id="S4.Ex1.m1.10.10" xref="S4.Ex1.m1.10.10.cmml"><mtr id="S4.Ex1.m1.10.10a" xref="S4.Ex1.m1.10.10.cmml"><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="S4.Ex1.m1.10.10b" xref="S4.Ex1.m1.10.10.cmml"><mrow id="S4.Ex1.m1.10.10.10.10.10" xref="S4.Ex1.m1.10.10.10.10.10.cmml"><mrow id="S4.Ex1.m1.10.10.10.10.10.12" xref="S4.Ex1.m1.10.10.10.10.10.12.cmml"><msubsup id="S4.Ex1.m1.10.10.10.10.10.12.1" xref="S4.Ex1.m1.10.10.10.10.10.12.1.cmml"><mo id="S4.Ex1.m1.10.10.10.10.10.12.1.2.2" xref="S4.Ex1.m1.10.10.10.10.10.12.1.2.2.cmml">∂</mo><mi id="S4.Ex1.m1.10.10.10.10.10.12.1.2.3" xref="S4.Ex1.m1.10.10.10.10.10.12.1.2.3.cmml">x</mi><mo id="S4.Ex1.m1.10.10.10.10.10.12.1.3" xref="S4.Ex1.m1.10.10.10.10.10.12.1.3.cmml">+</mo></msubsup><mi id="S4.Ex1.m1.10.10.10.10.10.12.2" xref="S4.Ex1.m1.10.10.10.10.10.12.2.cmml">u</mi></mrow><mo id="S4.Ex1.m1.10.10.10.10.10.11" xref="S4.Ex1.m1.10.10.10.10.10.11.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex1.m1.10.10.10.10.10.13.2" xref="S4.Ex1.m1.10.10.10.10.10.13.1.cmml"><mo id="S4.Ex1.m1.10.10.10.10.10.13.2.1" xref="S4.Ex1.m1.10.10.10.10.10.13.1.1.cmml">{</mo><mtable columnspacing="5pt" id="S4.Ex1.m1.10.10.10.10.10.10" rowspacing="0pt" xref="S4.Ex1.m1.10.10.10.10.10.10.cmml"><mtr id="S4.Ex1.m1.10.10.10.10.10.10a" xref="S4.Ex1.m1.10.10.10.10.10.10.cmml"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S4.Ex1.m1.10.10.10.10.10.10b" xref="S4.Ex1.m1.10.10.10.10.10.10.cmml"><mrow id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.6" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.cmml"><mfrac id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.cmml"><mrow id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.cmml"><msub id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.6" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.6.cmml"><mi id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.6.2" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.6.2.cmml">u</mi><mrow id="S4.Ex1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S4.Ex1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1" xref="S4.Ex1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="S4.Ex1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.2" xref="S4.Ex1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.2.cmml">i</mi><mo id="S4.Ex1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1" xref="S4.Ex1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.cmml">+</mo><mn id="S4.Ex1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.3" xref="S4.Ex1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S4.Ex1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3" xref="S4.Ex1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">j</mi><mo id="S4.Ex1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.4" stretchy="false" xref="S4.Ex1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub><mo id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.5" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.5.cmml">−</mo><msub id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.7" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.7.cmml"><mi id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.7.2" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.7.2.cmml">u</mi><mrow id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.2.4" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.2.3.cmml"><mo id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.2.4.1" stretchy="false" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.2.3.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex1.m1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1" xref="S4.Ex1.m1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.cmml">i</mi><mo id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.2.4.2" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.2.2" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.2.2.cmml">j</mi><mo id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.2.4.3" stretchy="false" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub></mrow><mi id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.6" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.6.cmml">h</mi></mfrac><mo id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.6.1" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.cmml">,</mo></mrow></mtd><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="S4.Ex1.m1.10.10.10.10.10.10c" xref="S4.Ex1.m1.10.10.10.10.10.10.cmml"><mrow id="S4.Ex1.m1.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1" xref="S4.Ex1.m1.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex1.m1.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1" xref="S4.Ex1.m1.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.cmml"><mn id="S4.Ex1.m1.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.2" xref="S4.Ex1.m1.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S4.Ex1.m1.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.3" xref="S4.Ex1.m1.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.3.cmml">≤</mo><mi id="S4.Ex1.m1.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.4" xref="S4.Ex1.m1.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.4.cmml">i</mi><mo id="S4.Ex1.m1.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.5" xref="S4.Ex1.m1.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.5.cmml">≤</mo><mrow id="S4.Ex1.m1.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.6" xref="S4.Ex1.m1.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.6.cmml"><mi id="S4.Ex1.m1.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.6.2" xref="S4.Ex1.m1.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.6.2.cmml">N</mi><mo id="S4.Ex1.m1.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.6.1" xref="S4.Ex1.m1.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.6.1.cmml">−</mo><mn id="S4.Ex1.m1.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.6.3" xref="S4.Ex1.m1.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.6.3.cmml">1</mn></mrow></mrow><mo id="S4.Ex1.m1.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.2" xref="S4.Ex1.m1.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.cmml">,</mo></mrow></mtd></mtr><mtr id="S4.Ex1.m1.10.10.10.10.10.10d" xref="S4.Ex1.m1.10.10.10.10.10.10.cmml"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S4.Ex1.m1.10.10.10.10.10.10e" xref="S4.Ex1.m1.10.10.10.10.10.10.cmml"><mrow id="S4.Ex1.m1.9.9.9.9.9.9.9.4.4.6" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.9.9.9.9.4.4.4.cmml"><mfrac id="S4.Ex1.m1.9.9.9.9.9.9.9.4.4.4" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.9.9.9.9.4.4.4.cmml"><mrow id="S4.Ex1.m1.9.9.9.9.9.9.9.4.4.4.4" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.9.9.9.9.4.4.4.4.cmml"><msub id="S4.Ex1.m1.9.9.9.9.9.9.9.4.4.4.4.6" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.9.9.9.9.4.4.4.4.6.cmml"><mi id="S4.Ex1.m1.9.9.9.9.9.9.9.4.4.4.4.6.2" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.9.9.9.9.4.4.4.4.6.2.cmml">u</mi><mrow id="S4.Ex1.m1.7.7.7.7.7.7.7.2.2.2.2.2.2.4" xref="S4.Ex1.m1.7.7.7.7.7.7.7.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S4.Ex1.m1.7.7.7.7.7.7.7.2.2.2.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="S4.Ex1.m1.7.7.7.7.7.7.7.2.2.2.2.2.2.3.cmml">(</mo><mn id="S4.Ex1.m1.6.6.6.6.6.6.6.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex1.m1.6.6.6.6.6.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.Ex1.m1.7.7.7.7.7.7.7.2.2.2.2.2.2.4.2" xref="S4.Ex1.m1.7.7.7.7.7.7.7.2.2.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex1.m1.7.7.7.7.7.7.7.2.2.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex1.m1.7.7.7.7.7.7.7.2.2.2.2.2.2.2.cmml">j</mi><mo id="S4.Ex1.m1.7.7.7.7.7.7.7.2.2.2.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="S4.Ex1.m1.7.7.7.7.7.7.7.2.2.2.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub><mo id="S4.Ex1.m1.9.9.9.9.9.9.9.4.4.4.4.5" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.9.9.9.9.4.4.4.4.5.cmml">−</mo><msub id="S4.Ex1.m1.9.9.9.9.9.9.9.4.4.4.4.7" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.9.9.9.9.4.4.4.4.7.cmml"><mi id="S4.Ex1.m1.9.9.9.9.9.9.9.4.4.4.4.7.2" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.9.9.9.9.4.4.4.4.7.2.cmml">u</mi><mrow id="S4.Ex1.m1.9.9.9.9.9.9.9.4.4.4.4.4.2.4" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.9.9.9.9.4.4.4.4.4.2.3.cmml"><mo id="S4.Ex1.m1.9.9.9.9.9.9.9.4.4.4.4.4.2.4.1" stretchy="false" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.9.9.9.9.4.4.4.4.4.2.3.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex1.m1.8.8.8.8.8.8.8.3.3.3.3.3.1.1" xref="S4.Ex1.m1.8.8.8.8.8.8.8.3.3.3.3.3.1.1.cmml">N</mi><mo id="S4.Ex1.m1.9.9.9.9.9.9.9.4.4.4.4.4.2.4.2" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.9.9.9.9.4.4.4.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex1.m1.9.9.9.9.9.9.9.4.4.4.4.4.2.2" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.9.9.9.9.4.4.4.4.4.2.2.cmml">j</mi><mo id="S4.Ex1.m1.9.9.9.9.9.9.9.4.4.4.4.4.2.4.3" stretchy="false" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.9.9.9.9.4.4.4.4.4.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub></mrow><mi id="S4.Ex1.m1.9.9.9.9.9.9.9.4.4.4.6" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.9.9.9.9.4.4.4.6.cmml">h</mi></mfrac><mo id="S4.Ex1.m1.9.9.9.9.9.9.9.4.4.6.1" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.9.9.9.9.4.4.4.cmml">,</mo></mrow></mtd><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="S4.Ex1.m1.10.10.10.10.10.10f" xref="S4.Ex1.m1.10.10.10.10.10.10.cmml"><mrow id="S4.Ex1.m1.10.10.10.10.10.10.10.5.1.1" xref="S4.Ex1.m1.10.10.10.10.10.10.10.5.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex1.m1.10.10.10.10.10.10.10.5.1.1.1" xref="S4.Ex1.m1.10.10.10.10.10.10.10.5.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex1.m1.10.10.10.10.10.10.10.5.1.1.1.2" xref="S4.Ex1.m1.10.10.10.10.10.10.10.5.1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="S4.Ex1.m1.10.10.10.10.10.10.10.5.1.1.1.1" xref="S4.Ex1.m1.10.10.10.10.10.10.10.5.1.1.1.1.cmml">=</mo><mi id="S4.Ex1.m1.10.10.10.10.10.10.10.5.1.1.1.3" xref="S4.Ex1.m1.10.10.10.10.10.10.10.5.1.1.1.3.cmml">N</mi></mrow><mo id="S4.Ex1.m1.10.10.10.10.10.10.10.5.1.1.2" lspace="0em" xref="S4.Ex1.m1.10.10.10.10.10.10.10.5.1.1.1.cmml">.</mo></mrow></mtd></mtr></mtable><mi id="S4.Ex1.m1.10.10.10.10.10.13.2.2" xref="S4.Ex1.m1.10.10.10.10.10.13.1.1.cmml"></mi></mrow></mrow></mtd></mtr></mtable><mspace id="S4.Ex1.m1.20.21.2.1" width="1em" xref="S4.Ex1.m1.20.21.1.cmml"></mspace><mtable id="S4.Ex1.m1.20.20" xref="S4.Ex1.m1.20.20.cmml"><mtr id="S4.Ex1.m1.20.20a" xref="S4.Ex1.m1.20.20.cmml"><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="S4.Ex1.m1.20.20b" xref="S4.Ex1.m1.20.20.cmml"><mrow id="S4.Ex1.m1.20.20.10.10.10" xref="S4.Ex1.m1.20.20.10.10.10.cmml"><mrow id="S4.Ex1.m1.20.20.10.10.10.12" xref="S4.Ex1.m1.20.20.10.10.10.12.cmml"><msubsup id="S4.Ex1.m1.20.20.10.10.10.12.1" xref="S4.Ex1.m1.20.20.10.10.10.12.1.cmml"><mo id="S4.Ex1.m1.20.20.10.10.10.12.1.2.2" xref="S4.Ex1.m1.20.20.10.10.10.12.1.2.2.cmml">∂</mo><mi id="S4.Ex1.m1.20.20.10.10.10.12.1.2.3" xref="S4.Ex1.m1.20.20.10.10.10.12.1.2.3.cmml">y</mi><mo id="S4.Ex1.m1.20.20.10.10.10.12.1.3" xref="S4.Ex1.m1.20.20.10.10.10.12.1.3.cmml">+</mo></msubsup><mi id="S4.Ex1.m1.20.20.10.10.10.12.2" xref="S4.Ex1.m1.20.20.10.10.10.12.2.cmml">u</mi></mrow><mo id="S4.Ex1.m1.20.20.10.10.10.11" xref="S4.Ex1.m1.20.20.10.10.10.11.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex1.m1.20.20.10.10.10.13.2" xref="S4.Ex1.m1.20.20.10.10.10.13.1.cmml"><mo id="S4.Ex1.m1.20.20.10.10.10.13.2.1" xref="S4.Ex1.m1.20.20.10.10.10.13.1.1.cmml">{</mo><mtable columnspacing="5pt" id="S4.Ex1.m1.20.20.10.10.10.10" rowspacing="0pt" xref="S4.Ex1.m1.20.20.10.10.10.10.cmml"><mtr id="S4.Ex1.m1.20.20.10.10.10.10a" xref="S4.Ex1.m1.20.20.10.10.10.10.cmml"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S4.Ex1.m1.20.20.10.10.10.10b" xref="S4.Ex1.m1.20.20.10.10.10.10.cmml"><mrow id="S4.Ex1.m1.14.14.4.4.4.4.4.4.4.6" xref="S4.Ex1.m1.14.14.4.4.4.4.4.4.4.4.cmml"><mfrac id="S4.Ex1.m1.14.14.4.4.4.4.4.4.4.4" xref="S4.Ex1.m1.14.14.4.4.4.4.4.4.4.4.cmml"><mrow id="S4.Ex1.m1.14.14.4.4.4.4.4.4.4.4.4" xref="S4.Ex1.m1.14.14.4.4.4.4.4.4.4.4.4.cmml"><msub id="S4.Ex1.m1.14.14.4.4.4.4.4.4.4.4.4.6" xref="S4.Ex1.m1.14.14.4.4.4.4.4.4.4.4.4.6.cmml"><mi id="S4.Ex1.m1.14.14.4.4.4.4.4.4.4.4.4.6.2" xref="S4.Ex1.m1.14.14.4.4.4.4.4.4.4.4.4.6.2.cmml">u</mi><mrow id="S4.Ex1.m1.12.12.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex1.m1.12.12.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S4.Ex1.m1.12.12.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex1.m1.12.12.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex1.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex1.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S4.Ex1.m1.12.12.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3" xref="S4.Ex1.m1.12.12.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S4.Ex1.m1.12.12.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1" xref="S4.Ex1.m1.12.12.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="S4.Ex1.m1.12.12.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.2" xref="S4.Ex1.m1.12.12.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.2.cmml">j</mi><mo id="S4.Ex1.m1.12.12.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1" xref="S4.Ex1.m1.12.12.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.cmml">+</mo><mn id="S4.Ex1.m1.12.12.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.3" xref="S4.Ex1.m1.12.12.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S4.Ex1.m1.12.12.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.4" stretchy="false" xref="S4.Ex1.m1.12.12.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub><mo id="S4.Ex1.m1.14.14.4.4.4.4.4.4.4.4.4.5" xref="S4.Ex1.m1.14.14.4.4.4.4.4.4.4.4.4.5.cmml">−</mo><msub id="S4.Ex1.m1.14.14.4.4.4.4.4.4.4.4.4.7" xref="S4.Ex1.m1.14.14.4.4.4.4.4.4.4.4.4.7.cmml"><mi id="S4.Ex1.m1.14.14.4.4.4.4.4.4.4.4.4.7.2" xref="S4.Ex1.m1.14.14.4.4.4.4.4.4.4.4.4.7.2.cmml">u</mi><mrow id="S4.Ex1.m1.14.14.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.2.4" xref="S4.Ex1.m1.14.14.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.2.3.cmml"><mo id="S4.Ex1.m1.14.14.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.2.4.1" stretchy="false" xref="S4.Ex1.m1.14.14.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.2.3.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex1.m1.13.13.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1" xref="S4.Ex1.m1.13.13.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.cmml">i</mi><mo id="S4.Ex1.m1.14.14.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.2.4.2" xref="S4.Ex1.m1.14.14.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex1.m1.14.14.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.2.2" xref="S4.Ex1.m1.14.14.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.2.2.cmml">j</mi><mo id="S4.Ex1.m1.14.14.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.2.4.3" stretchy="false" xref="S4.Ex1.m1.14.14.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub></mrow><mi id="S4.Ex1.m1.14.14.4.4.4.4.4.4.4.4.6" xref="S4.Ex1.m1.14.14.4.4.4.4.4.4.4.4.6.cmml">h</mi></mfrac><mo id="S4.Ex1.m1.14.14.4.4.4.4.4.4.4.6.1" xref="S4.Ex1.m1.14.14.4.4.4.4.4.4.4.4.cmml">,</mo></mrow></mtd><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="S4.Ex1.m1.20.20.10.10.10.10c" xref="S4.Ex1.m1.20.20.10.10.10.10.cmml"><mrow id="S4.Ex1.m1.15.15.5.5.5.5.5.5.1.1" xref="S4.Ex1.m1.15.15.5.5.5.5.5.5.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex1.m1.15.15.5.5.5.5.5.5.1.1.1" xref="S4.Ex1.m1.15.15.5.5.5.5.5.5.1.1.1.cmml"><mn id="S4.Ex1.m1.15.15.5.5.5.5.5.5.1.1.1.2" xref="S4.Ex1.m1.15.15.5.5.5.5.5.5.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S4.Ex1.m1.15.15.5.5.5.5.5.5.1.1.1.3" xref="S4.Ex1.m1.15.15.5.5.5.5.5.5.1.1.1.3.cmml">≤</mo><mi id="S4.Ex1.m1.15.15.5.5.5.5.5.5.1.1.1.4" xref="S4.Ex1.m1.15.15.5.5.5.5.5.5.1.1.1.4.cmml">i</mi><mo id="S4.Ex1.m1.15.15.5.5.5.5.5.5.1.1.1.5" xref="S4.Ex1.m1.15.15.5.5.5.5.5.5.1.1.1.5.cmml">≤</mo><mrow id="S4.Ex1.m1.15.15.5.5.5.5.5.5.1.1.1.6" xref="S4.Ex1.m1.15.15.5.5.5.5.5.5.1.1.1.6.cmml"><mi id="S4.Ex1.m1.15.15.5.5.5.5.5.5.1.1.1.6.2" xref="S4.Ex1.m1.15.15.5.5.5.5.5.5.1.1.1.6.2.cmml">N</mi><mo id="S4.Ex1.m1.15.15.5.5.5.5.5.5.1.1.1.6.1" xref="S4.Ex1.m1.15.15.5.5.5.5.5.5.1.1.1.6.1.cmml">−</mo><mn id="S4.Ex1.m1.15.15.5.5.5.5.5.5.1.1.1.6.3" xref="S4.Ex1.m1.15.15.5.5.5.5.5.5.1.1.1.6.3.cmml">1</mn></mrow></mrow><mo id="S4.Ex1.m1.15.15.5.5.5.5.5.5.1.1.2" xref="S4.Ex1.m1.15.15.5.5.5.5.5.5.1.1.1.cmml">,</mo></mrow></mtd></mtr><mtr id="S4.Ex1.m1.20.20.10.10.10.10d" xref="S4.Ex1.m1.20.20.10.10.10.10.cmml"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S4.Ex1.m1.20.20.10.10.10.10e" xref="S4.Ex1.m1.20.20.10.10.10.10.cmml"><mrow id="S4.Ex1.m1.19.19.9.9.9.9.9.4.4.6" xref="S4.Ex1.m1.19.19.9.9.9.9.9.4.4.4.cmml"><mfrac id="S4.Ex1.m1.19.19.9.9.9.9.9.4.4.4" xref="S4.Ex1.m1.19.19.9.9.9.9.9.4.4.4.cmml"><mrow id="S4.Ex1.m1.19.19.9.9.9.9.9.4.4.4.4" xref="S4.Ex1.m1.19.19.9.9.9.9.9.4.4.4.4.cmml"><msub id="S4.Ex1.m1.19.19.9.9.9.9.9.4.4.4.4.6" xref="S4.Ex1.m1.19.19.9.9.9.9.9.4.4.4.4.6.cmml"><mi id="S4.Ex1.m1.19.19.9.9.9.9.9.4.4.4.4.6.2" xref="S4.Ex1.m1.19.19.9.9.9.9.9.4.4.4.4.6.2.cmml">u</mi><mrow id="S4.Ex1.m1.17.17.7.7.7.7.7.2.2.2.2.2.2.4" xref="S4.Ex1.m1.17.17.7.7.7.7.7.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S4.Ex1.m1.17.17.7.7.7.7.7.2.2.2.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="S4.Ex1.m1.17.17.7.7.7.7.7.2.2.2.2.2.2.3.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex1.m1.16.16.6.6.6.6.6.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex1.m1.16.16.6.6.6.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S4.Ex1.m1.17.17.7.7.7.7.7.2.2.2.2.2.2.4.2" xref="S4.Ex1.m1.17.17.7.7.7.7.7.2.2.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="S4.Ex1.m1.17.17.7.7.7.7.7.2.2.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex1.m1.17.17.7.7.7.7.7.2.2.2.2.2.2.2.cmml">1</mn><mo id="S4.Ex1.m1.17.17.7.7.7.7.7.2.2.2.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="S4.Ex1.m1.17.17.7.7.7.7.7.2.2.2.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub><mo id="S4.Ex1.m1.19.19.9.9.9.9.9.4.4.4.4.5" xref="S4.Ex1.m1.19.19.9.9.9.9.9.4.4.4.4.5.cmml">−</mo><msub id="S4.Ex1.m1.19.19.9.9.9.9.9.4.4.4.4.7" xref="S4.Ex1.m1.19.19.9.9.9.9.9.4.4.4.4.7.cmml"><mi id="S4.Ex1.m1.19.19.9.9.9.9.9.4.4.4.4.7.2" xref="S4.Ex1.m1.19.19.9.9.9.9.9.4.4.4.4.7.2.cmml">u</mi><mrow id="S4.Ex1.m1.19.19.9.9.9.9.9.4.4.4.4.4.2.4" xref="S4.Ex1.m1.19.19.9.9.9.9.9.4.4.4.4.4.2.3.cmml"><mo id="S4.Ex1.m1.19.19.9.9.9.9.9.4.4.4.4.4.2.4.1" stretchy="false" xref="S4.Ex1.m1.19.19.9.9.9.9.9.4.4.4.4.4.2.3.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex1.m1.18.18.8.8.8.8.8.3.3.3.3.3.1.1" xref="S4.Ex1.m1.18.18.8.8.8.8.8.3.3.3.3.3.1.1.cmml">i</mi><mo id="S4.Ex1.m1.19.19.9.9.9.9.9.4.4.4.4.4.2.4.2" xref="S4.Ex1.m1.19.19.9.9.9.9.9.4.4.4.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex1.m1.19.19.9.9.9.9.9.4.4.4.4.4.2.2" xref="S4.Ex1.m1.19.19.9.9.9.9.9.4.4.4.4.4.2.2.cmml">N</mi><mo id="S4.Ex1.m1.19.19.9.9.9.9.9.4.4.4.4.4.2.4.3" stretchy="false" xref="S4.Ex1.m1.19.19.9.9.9.9.9.4.4.4.4.4.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub></mrow><mi id="S4.Ex1.m1.19.19.9.9.9.9.9.4.4.4.6" xref="S4.Ex1.m1.19.19.9.9.9.9.9.4.4.4.6.cmml">h</mi></mfrac><mo id="S4.Ex1.m1.19.19.9.9.9.9.9.4.4.6.1" xref="S4.Ex1.m1.19.19.9.9.9.9.9.4.4.4.cmml">,</mo></mrow></mtd><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="S4.Ex1.m1.20.20.10.10.10.10f" xref="S4.Ex1.m1.20.20.10.10.10.10.cmml"><mrow id="S4.Ex1.m1.20.20.10.10.10.10.10.5.1.1" xref="S4.Ex1.m1.20.20.10.10.10.10.10.5.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex1.m1.20.20.10.10.10.10.10.5.1.1.1" xref="S4.Ex1.m1.20.20.10.10.10.10.10.5.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex1.m1.20.20.10.10.10.10.10.5.1.1.1.2" xref="S4.Ex1.m1.20.20.10.10.10.10.10.5.1.1.1.2.cmml">j</mi><mo id="S4.Ex1.m1.20.20.10.10.10.10.10.5.1.1.1.1" xref="S4.Ex1.m1.20.20.10.10.10.10.10.5.1.1.1.1.cmml">=</mo><mi id="S4.Ex1.m1.20.20.10.10.10.10.10.5.1.1.1.3" xref="S4.Ex1.m1.20.20.10.10.10.10.10.5.1.1.1.3.cmml">N</mi></mrow><mo id="S4.Ex1.m1.20.20.10.10.10.10.10.5.1.1.2" lspace="0em" xref="S4.Ex1.m1.20.20.10.10.10.10.10.5.1.1.1.cmml">.</mo></mrow></mtd></mtr></mtable><mi id="S4.Ex1.m1.20.20.10.10.10.13.2.2" xref="S4.Ex1.m1.20.20.10.10.10.13.1.1.cmml"></mi></mrow></mrow></mtd></mtr></mtable></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex1.m1.20b"><list id="S4.Ex1.m1.20.21.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.20.21.2"><matrix id="S4.Ex1.m1.10.10.cmml" xref="S4.Ex1.m1.10.10"><matrixrow id="S4.Ex1.m1.10.10a.cmml" xref="S4.Ex1.m1.10.10"><apply id="S4.Ex1.m1.10.10.10.10.10.cmml" xref="S4.Ex1.m1.10.10.10.10.10"><eq id="S4.Ex1.m1.10.10.10.10.10.11.cmml" xref="S4.Ex1.m1.10.10.10.10.10.11"></eq><apply id="S4.Ex1.m1.10.10.10.10.10.12.cmml" xref="S4.Ex1.m1.10.10.10.10.10.12"><apply id="S4.Ex1.m1.10.10.10.10.10.12.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.10.10.10.10.10.12.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex1.m1.10.10.10.10.10.12.1.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.10.10.10.10.10.12.1">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex1.m1.10.10.10.10.10.12.1.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.10.10.10.10.10.12.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex1.m1.10.10.10.10.10.12.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.10.10.10.10.10.12.1">subscript</csymbol><partialdiff id="S4.Ex1.m1.10.10.10.10.10.12.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.10.10.10.10.10.12.1.2.2"></partialdiff><ci id="S4.Ex1.m1.10.10.10.10.10.12.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex1.m1.10.10.10.10.10.12.1.2.3">𝑥</ci></apply><plus id="S4.Ex1.m1.10.10.10.10.10.12.1.3.cmml" xref="S4.Ex1.m1.10.10.10.10.10.12.1.3"></plus></apply><ci id="S4.Ex1.m1.10.10.10.10.10.12.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.10.10.10.10.10.12.2">𝑢</ci></apply><apply id="S4.Ex1.m1.10.10.10.10.10.13.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.10.10.10.10.10.13.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex1.m1.10.10.10.10.10.13.1.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.10.10.10.10.10.13.2.1">cases</csymbol><matrix id="S4.Ex1.m1.10.10.10.10.10.10.cmml" xref="S4.Ex1.m1.10.10.10.10.10.10"><matrixrow id="S4.Ex1.m1.10.10.10.10.10.10a.cmml" xref="S4.Ex1.m1.10.10.10.10.10.10"><apply id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.cmml" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.6"><divide id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.5.cmml" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.6"></divide><apply id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.cmml" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4"><minus id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.5.cmml" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.5"></minus><apply id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.6.cmml" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.6.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.6">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.6.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.6.2">𝑢</ci><interval closure="open" id="S4.Ex1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2"><apply id="S4.Ex1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1"><plus id="S4.Ex1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1"></plus><ci id="S4.Ex1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.2">𝑖</ci><cn id="S4.Ex1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.3">1</cn></apply><ci id="S4.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">𝑗</ci></interval></apply><apply id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.7.cmml" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.7"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.7.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.7">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.7.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.7.2">𝑢</ci><interval closure="open" id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.2.3.cmml" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.2.4"><ci id="S4.Ex1.m1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1">𝑖</ci><ci id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.2.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.2.2">𝑗</ci></interval></apply></apply><ci id="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.6.cmml" xref="S4.Ex1.m1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.6">ℎ</ci></apply><apply id="S4.Ex1.m1.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1"><and id="S4.Ex1.m1.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1a.cmml" xref="S4.Ex1.m1.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1"></and><apply id="S4.Ex1.m1.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1b.cmml" xref="S4.Ex1.m1.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1"><leq id="S4.Ex1.m1.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex1.m1.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.3"></leq><cn id="S4.Ex1.m1.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex1.m1.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.2">1</cn><ci id="S4.Ex1.m1.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.4.cmml" xref="S4.Ex1.m1.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.4">𝑖</ci></apply><apply id="S4.Ex1.m1.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1c.cmml" xref="S4.Ex1.m1.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1"><leq id="S4.Ex1.m1.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.5.cmml" xref="S4.Ex1.m1.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S4.Ex1.m1.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.4.cmml" id="S4.Ex1.m1.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1d.cmml" xref="S4.Ex1.m1.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1"></share><apply id="S4.Ex1.m1.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.6.cmml" xref="S4.Ex1.m1.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.6"><minus id="S4.Ex1.m1.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.6.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.6.1"></minus><ci id="S4.Ex1.m1.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.6.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.6.2">𝑁</ci><cn id="S4.Ex1.m1.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.6.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex1.m1.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.6.3">1</cn></apply></apply></apply></matrixrow><matrixrow id="S4.Ex1.m1.10.10.10.10.10.10b.cmml" xref="S4.Ex1.m1.10.10.10.10.10.10"><apply id="S4.Ex1.m1.9.9.9.9.9.9.9.4.4.4.cmml" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.9.9.9.9.4.4.6"><divide id="S4.Ex1.m1.9.9.9.9.9.9.9.4.4.4.5.cmml" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.9.9.9.9.4.4.6"></divide><apply id="S4.Ex1.m1.9.9.9.9.9.9.9.4.4.4.4.cmml" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.9.9.9.9.4.4.4.4"><minus id="S4.Ex1.m1.9.9.9.9.9.9.9.4.4.4.4.5.cmml" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.9.9.9.9.4.4.4.4.5"></minus><apply id="S4.Ex1.m1.9.9.9.9.9.9.9.4.4.4.4.6.cmml" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.9.9.9.9.4.4.4.4.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex1.m1.9.9.9.9.9.9.9.4.4.4.4.6.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.9.9.9.9.4.4.4.4.6">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex1.m1.9.9.9.9.9.9.9.4.4.4.4.6.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.9.9.9.9.4.4.4.4.6.2">𝑢</ci><interval closure="open" id="S4.Ex1.m1.7.7.7.7.7.7.7.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex1.m1.7.7.7.7.7.7.7.2.2.2.2.2.2.4"><cn id="S4.Ex1.m1.6.6.6.6.6.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.Ex1.m1.6.6.6.6.6.6.6.1.1.1.1.1.1.1">1</cn><ci id="S4.Ex1.m1.7.7.7.7.7.7.7.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.7.7.7.7.7.7.7.2.2.2.2.2.2.2">𝑗</ci></interval></apply><apply id="S4.Ex1.m1.9.9.9.9.9.9.9.4.4.4.4.7.cmml" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.9.9.9.9.4.4.4.4.7"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex1.m1.9.9.9.9.9.9.9.4.4.4.4.7.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.9.9.9.9.4.4.4.4.7">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex1.m1.9.9.9.9.9.9.9.4.4.4.4.7.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.9.9.9.9.4.4.4.4.7.2">𝑢</ci><interval closure="open" id="S4.Ex1.m1.9.9.9.9.9.9.9.4.4.4.4.4.2.3.cmml" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.9.9.9.9.4.4.4.4.4.2.4"><ci id="S4.Ex1.m1.8.8.8.8.8.8.8.3.3.3.3.3.1.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.8.8.8.8.8.8.8.3.3.3.3.3.1.1">𝑁</ci><ci id="S4.Ex1.m1.9.9.9.9.9.9.9.4.4.4.4.4.2.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.9.9.9.9.4.4.4.4.4.2.2">𝑗</ci></interval></apply></apply><ci id="S4.Ex1.m1.9.9.9.9.9.9.9.4.4.4.6.cmml" xref="S4.Ex1.m1.9.9.9.9.9.9.9.4.4.4.6">ℎ</ci></apply><apply id="S4.Ex1.m1.10.10.10.10.10.10.10.5.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.10.10.10.10.10.10.10.5.1.1"><eq id="S4.Ex1.m1.10.10.10.10.10.10.10.5.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.10.10.10.10.10.10.10.5.1.1.1.1"></eq><ci id="S4.Ex1.m1.10.10.10.10.10.10.10.5.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.10.10.10.10.10.10.10.5.1.1.1.2">𝑖</ci><ci id="S4.Ex1.m1.10.10.10.10.10.10.10.5.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex1.m1.10.10.10.10.10.10.10.5.1.1.1.3">𝑁</ci></apply></matrixrow></matrix></apply></apply></matrixrow></matrix><matrix id="S4.Ex1.m1.20.20.cmml" xref="S4.Ex1.m1.20.20"><matrixrow id="S4.Ex1.m1.20.20a.cmml" xref="S4.Ex1.m1.20.20"><apply id="S4.Ex1.m1.20.20.10.10.10.cmml" xref="S4.Ex1.m1.20.20.10.10.10"><eq id="S4.Ex1.m1.20.20.10.10.10.11.cmml" xref="S4.Ex1.m1.20.20.10.10.10.11"></eq><apply id="S4.Ex1.m1.20.20.10.10.10.12.cmml" xref="S4.Ex1.m1.20.20.10.10.10.12"><apply id="S4.Ex1.m1.20.20.10.10.10.12.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.20.20.10.10.10.12.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex1.m1.20.20.10.10.10.12.1.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.20.20.10.10.10.12.1">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex1.m1.20.20.10.10.10.12.1.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.20.20.10.10.10.12.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex1.m1.20.20.10.10.10.12.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.20.20.10.10.10.12.1">subscript</csymbol><partialdiff id="S4.Ex1.m1.20.20.10.10.10.12.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.20.20.10.10.10.12.1.2.2"></partialdiff><ci id="S4.Ex1.m1.20.20.10.10.10.12.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex1.m1.20.20.10.10.10.12.1.2.3">𝑦</ci></apply><plus id="S4.Ex1.m1.20.20.10.10.10.12.1.3.cmml" xref="S4.Ex1.m1.20.20.10.10.10.12.1.3"></plus></apply><ci id="S4.Ex1.m1.20.20.10.10.10.12.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.20.20.10.10.10.12.2">𝑢</ci></apply><apply id="S4.Ex1.m1.20.20.10.10.10.13.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.20.20.10.10.10.13.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex1.m1.20.20.10.10.10.13.1.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.20.20.10.10.10.13.2.1">cases</csymbol><matrix id="S4.Ex1.m1.20.20.10.10.10.10.cmml" xref="S4.Ex1.m1.20.20.10.10.10.10"><matrixrow id="S4.Ex1.m1.20.20.10.10.10.10a.cmml" xref="S4.Ex1.m1.20.20.10.10.10.10"><apply id="S4.Ex1.m1.14.14.4.4.4.4.4.4.4.4.cmml" xref="S4.Ex1.m1.14.14.4.4.4.4.4.4.4.6"><divide id="S4.Ex1.m1.14.14.4.4.4.4.4.4.4.4.5.cmml" xref="S4.Ex1.m1.14.14.4.4.4.4.4.4.4.6"></divide><apply id="S4.Ex1.m1.14.14.4.4.4.4.4.4.4.4.4.cmml" xref="S4.Ex1.m1.14.14.4.4.4.4.4.4.4.4.4"><minus id="S4.Ex1.m1.14.14.4.4.4.4.4.4.4.4.4.5.cmml" xref="S4.Ex1.m1.14.14.4.4.4.4.4.4.4.4.4.5"></minus><apply id="S4.Ex1.m1.14.14.4.4.4.4.4.4.4.4.4.6.cmml" xref="S4.Ex1.m1.14.14.4.4.4.4.4.4.4.4.4.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex1.m1.14.14.4.4.4.4.4.4.4.4.4.6.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.14.14.4.4.4.4.4.4.4.4.4.6">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex1.m1.14.14.4.4.4.4.4.4.4.4.4.6.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.14.14.4.4.4.4.4.4.4.4.4.6.2">𝑢</ci><interval closure="open" id="S4.Ex1.m1.12.12.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex1.m1.12.12.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2"><ci id="S4.Ex1.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">𝑖</ci><apply id="S4.Ex1.m1.12.12.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.12.12.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1"><plus id="S4.Ex1.m1.12.12.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.12.12.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1"></plus><ci id="S4.Ex1.m1.12.12.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.12.12.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.2">𝑗</ci><cn id="S4.Ex1.m1.12.12.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex1.m1.12.12.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.3">1</cn></apply></interval></apply><apply id="S4.Ex1.m1.14.14.4.4.4.4.4.4.4.4.4.7.cmml" xref="S4.Ex1.m1.14.14.4.4.4.4.4.4.4.4.4.7"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex1.m1.14.14.4.4.4.4.4.4.4.4.4.7.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.14.14.4.4.4.4.4.4.4.4.4.7">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex1.m1.14.14.4.4.4.4.4.4.4.4.4.7.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.14.14.4.4.4.4.4.4.4.4.4.7.2">𝑢</ci><interval closure="open" id="S4.Ex1.m1.14.14.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.2.3.cmml" xref="S4.Ex1.m1.14.14.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.2.4"><ci id="S4.Ex1.m1.13.13.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.13.13.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1">𝑖</ci><ci id="S4.Ex1.m1.14.14.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.2.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.14.14.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.2.2">𝑗</ci></interval></apply></apply><ci id="S4.Ex1.m1.14.14.4.4.4.4.4.4.4.4.6.cmml" xref="S4.Ex1.m1.14.14.4.4.4.4.4.4.4.4.6">ℎ</ci></apply><apply id="S4.Ex1.m1.15.15.5.5.5.5.5.5.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.15.15.5.5.5.5.5.5.1.1"><and id="S4.Ex1.m1.15.15.5.5.5.5.5.5.1.1.1a.cmml" xref="S4.Ex1.m1.15.15.5.5.5.5.5.5.1.1"></and><apply id="S4.Ex1.m1.15.15.5.5.5.5.5.5.1.1.1b.cmml" xref="S4.Ex1.m1.15.15.5.5.5.5.5.5.1.1"><leq id="S4.Ex1.m1.15.15.5.5.5.5.5.5.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex1.m1.15.15.5.5.5.5.5.5.1.1.1.3"></leq><cn id="S4.Ex1.m1.15.15.5.5.5.5.5.5.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex1.m1.15.15.5.5.5.5.5.5.1.1.1.2">1</cn><ci id="S4.Ex1.m1.15.15.5.5.5.5.5.5.1.1.1.4.cmml" xref="S4.Ex1.m1.15.15.5.5.5.5.5.5.1.1.1.4">𝑖</ci></apply><apply id="S4.Ex1.m1.15.15.5.5.5.5.5.5.1.1.1c.cmml" xref="S4.Ex1.m1.15.15.5.5.5.5.5.5.1.1"><leq id="S4.Ex1.m1.15.15.5.5.5.5.5.5.1.1.1.5.cmml" xref="S4.Ex1.m1.15.15.5.5.5.5.5.5.1.1.1.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S4.Ex1.m1.15.15.5.5.5.5.5.5.1.1.1.4.cmml" id="S4.Ex1.m1.15.15.5.5.5.5.5.5.1.1.1d.cmml" xref="S4.Ex1.m1.15.15.5.5.5.5.5.5.1.1"></share><apply id="S4.Ex1.m1.15.15.5.5.5.5.5.5.1.1.1.6.cmml" xref="S4.Ex1.m1.15.15.5.5.5.5.5.5.1.1.1.6"><minus id="S4.Ex1.m1.15.15.5.5.5.5.5.5.1.1.1.6.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.15.15.5.5.5.5.5.5.1.1.1.6.1"></minus><ci id="S4.Ex1.m1.15.15.5.5.5.5.5.5.1.1.1.6.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.15.15.5.5.5.5.5.5.1.1.1.6.2">𝑁</ci><cn id="S4.Ex1.m1.15.15.5.5.5.5.5.5.1.1.1.6.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex1.m1.15.15.5.5.5.5.5.5.1.1.1.6.3">1</cn></apply></apply></apply></matrixrow><matrixrow id="S4.Ex1.m1.20.20.10.10.10.10b.cmml" xref="S4.Ex1.m1.20.20.10.10.10.10"><apply id="S4.Ex1.m1.19.19.9.9.9.9.9.4.4.4.cmml" xref="S4.Ex1.m1.19.19.9.9.9.9.9.4.4.6"><divide id="S4.Ex1.m1.19.19.9.9.9.9.9.4.4.4.5.cmml" xref="S4.Ex1.m1.19.19.9.9.9.9.9.4.4.6"></divide><apply id="S4.Ex1.m1.19.19.9.9.9.9.9.4.4.4.4.cmml" xref="S4.Ex1.m1.19.19.9.9.9.9.9.4.4.4.4"><minus id="S4.Ex1.m1.19.19.9.9.9.9.9.4.4.4.4.5.cmml" xref="S4.Ex1.m1.19.19.9.9.9.9.9.4.4.4.4.5"></minus><apply id="S4.Ex1.m1.19.19.9.9.9.9.9.4.4.4.4.6.cmml" xref="S4.Ex1.m1.19.19.9.9.9.9.9.4.4.4.4.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex1.m1.19.19.9.9.9.9.9.4.4.4.4.6.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.19.19.9.9.9.9.9.4.4.4.4.6">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex1.m1.19.19.9.9.9.9.9.4.4.4.4.6.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.19.19.9.9.9.9.9.4.4.4.4.6.2">𝑢</ci><interval closure="open" id="S4.Ex1.m1.17.17.7.7.7.7.7.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex1.m1.17.17.7.7.7.7.7.2.2.2.2.2.2.4"><ci id="S4.Ex1.m1.16.16.6.6.6.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.16.16.6.6.6.6.6.1.1.1.1.1.1.1">𝑖</ci><cn id="S4.Ex1.m1.17.17.7.7.7.7.7.2.2.2.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex1.m1.17.17.7.7.7.7.7.2.2.2.2.2.2.2">1</cn></interval></apply><apply id="S4.Ex1.m1.19.19.9.9.9.9.9.4.4.4.4.7.cmml" xref="S4.Ex1.m1.19.19.9.9.9.9.9.4.4.4.4.7"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex1.m1.19.19.9.9.9.9.9.4.4.4.4.7.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.19.19.9.9.9.9.9.4.4.4.4.7">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex1.m1.19.19.9.9.9.9.9.4.4.4.4.7.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.19.19.9.9.9.9.9.4.4.4.4.7.2">𝑢</ci><interval closure="open" id="S4.Ex1.m1.19.19.9.9.9.9.9.4.4.4.4.4.2.3.cmml" xref="S4.Ex1.m1.19.19.9.9.9.9.9.4.4.4.4.4.2.4"><ci id="S4.Ex1.m1.18.18.8.8.8.8.8.3.3.3.3.3.1.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.18.18.8.8.8.8.8.3.3.3.3.3.1.1">𝑖</ci><ci id="S4.Ex1.m1.19.19.9.9.9.9.9.4.4.4.4.4.2.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.19.19.9.9.9.9.9.4.4.4.4.4.2.2">𝑁</ci></interval></apply></apply><ci id="S4.Ex1.m1.19.19.9.9.9.9.9.4.4.4.6.cmml" xref="S4.Ex1.m1.19.19.9.9.9.9.9.4.4.4.6">ℎ</ci></apply><apply id="S4.Ex1.m1.20.20.10.10.10.10.10.5.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.20.20.10.10.10.10.10.5.1.1"><eq id="S4.Ex1.m1.20.20.10.10.10.10.10.5.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.20.20.10.10.10.10.10.5.1.1.1.1"></eq><ci id="S4.Ex1.m1.20.20.10.10.10.10.10.5.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.20.20.10.10.10.10.10.5.1.1.1.2">𝑗</ci><ci id="S4.Ex1.m1.20.20.10.10.10.10.10.5.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex1.m1.20.20.10.10.10.10.10.5.1.1.1.3">𝑁</ci></apply></matrixrow></matrix></apply></apply></matrixrow></matrix></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex1.m1.20c">\displaystyle\begin{aligned} \partial_{x}^{+}u=\left\{\begin{array}[]{lr}\frac% {u_{(i+1,j)}-u_{(i,j)}}{h},&1\leq i\leq N-1,\\ \frac{u_{(1,j)}-u_{(N,j)}}{h},&i=N.\\ \end{array}\right.\end{aligned}\quad\begin{aligned} \partial_{y}^{+}u=\left\{% \begin{array}[]{lr}\frac{u_{(i,j+1)}-u_{(i,j)}}{h},&1\leq i\leq N-1,\\ \frac{u_{(i,1)}-u_{(i,N)}}{h},&j=N.\\ \end{array}\right.\end{aligned}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex1.m1.20d">start_ROW start_CELL ∂ start_POSTSUBSCRIPT italic_x end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT italic_u = { start_ARRAY start_ROW start_CELL divide start_ARG italic_u start_POSTSUBSCRIPT ( italic_i + 1 , italic_j ) end_POSTSUBSCRIPT - italic_u start_POSTSUBSCRIPT ( italic_i , italic_j ) end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG italic_h end_ARG , end_CELL start_CELL 1 ≤ italic_i ≤ italic_N - 1 , end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL divide start_ARG italic_u start_POSTSUBSCRIPT ( 1 , italic_j ) end_POSTSUBSCRIPT - italic_u start_POSTSUBSCRIPT ( italic_N , italic_j ) end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG italic_h end_ARG , end_CELL start_CELL italic_i = italic_N . end_CELL end_ROW end_ARRAY end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL ∂ start_POSTSUBSCRIPT italic_y end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT italic_u = { start_ARRAY start_ROW start_CELL divide start_ARG italic_u start_POSTSUBSCRIPT ( italic_i , italic_j + 1 ) end_POSTSUBSCRIPT - italic_u start_POSTSUBSCRIPT ( italic_i , italic_j ) end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG italic_h end_ARG , end_CELL start_CELL 1 ≤ italic_i ≤ italic_N - 1 , end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL divide start_ARG italic_u start_POSTSUBSCRIPT ( italic_i , 1 ) end_POSTSUBSCRIPT - italic_u start_POSTSUBSCRIPT ( italic_i , italic_N ) end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG italic_h end_ARG , end_CELL start_CELL italic_j = italic_N . end_CELL end_ROW end_ARRAY end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS1.p6"> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p6.1">The discretized minimization problem associated to (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S3.E28" title="In 3.1 The proposed image denoising model ‣ 3 The Proposed Image Restoration Models ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">28</span></a>) and (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S3.E56" title="In 3.4 An extension of our model ‣ 3 The Proposed Image Restoration Models ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">56</span></a>) is given by:</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E62"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\inf_{(u,v)\in V\times V}F_{\alpha,\lambda}(u,v)=\|R(\nabla u)\|_{1,2}+\frac{% \alpha}{2}\|f-K*u-v\|^{2}+\|v\|_{\mathrm{Lip}^{*}}." class="ltx_Math" display="block" id="S4.E62.m1.10"><semantics id="S4.E62.m1.10a"><mrow id="S4.E62.m1.10.10.1" xref="S4.E62.m1.10.10.1.1.cmml"><mrow id="S4.E62.m1.10.10.1.1" xref="S4.E62.m1.10.10.1.1.cmml"><mrow id="S4.E62.m1.10.10.1.1.4" xref="S4.E62.m1.10.10.1.1.4.cmml"><munder id="S4.E62.m1.10.10.1.1.4.1" xref="S4.E62.m1.10.10.1.1.4.1.cmml"><mo id="S4.E62.m1.10.10.1.1.4.1.2" movablelimits="false" xref="S4.E62.m1.10.10.1.1.4.1.2.cmml">inf</mo><mrow id="S4.E62.m1.2.2.2" xref="S4.E62.m1.2.2.2.cmml"><mrow id="S4.E62.m1.2.2.2.4.2" xref="S4.E62.m1.2.2.2.4.1.cmml"><mo id="S4.E62.m1.2.2.2.4.2.1" stretchy="false" xref="S4.E62.m1.2.2.2.4.1.cmml">(</mo><mi id="S4.E62.m1.1.1.1.1" xref="S4.E62.m1.1.1.1.1.cmml">u</mi><mo id="S4.E62.m1.2.2.2.4.2.2" xref="S4.E62.m1.2.2.2.4.1.cmml">,</mo><mi id="S4.E62.m1.2.2.2.2" xref="S4.E62.m1.2.2.2.2.cmml">v</mi><mo id="S4.E62.m1.2.2.2.4.2.3" stretchy="false" xref="S4.E62.m1.2.2.2.4.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.E62.m1.2.2.2.3" xref="S4.E62.m1.2.2.2.3.cmml">∈</mo><mrow id="S4.E62.m1.2.2.2.5" xref="S4.E62.m1.2.2.2.5.cmml"><mi id="S4.E62.m1.2.2.2.5.2" xref="S4.E62.m1.2.2.2.5.2.cmml">V</mi><mo id="S4.E62.m1.2.2.2.5.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.E62.m1.2.2.2.5.1.cmml">×</mo><mi id="S4.E62.m1.2.2.2.5.3" xref="S4.E62.m1.2.2.2.5.3.cmml">V</mi></mrow></mrow></munder><mrow id="S4.E62.m1.10.10.1.1.4.2" xref="S4.E62.m1.10.10.1.1.4.2.cmml"><msub id="S4.E62.m1.10.10.1.1.4.2.2" xref="S4.E62.m1.10.10.1.1.4.2.2.cmml"><mi id="S4.E62.m1.10.10.1.1.4.2.2.2" xref="S4.E62.m1.10.10.1.1.4.2.2.2.cmml">F</mi><mrow id="S4.E62.m1.4.4.2.4" xref="S4.E62.m1.4.4.2.3.cmml"><mi id="S4.E62.m1.3.3.1.1" xref="S4.E62.m1.3.3.1.1.cmml">α</mi><mo id="S4.E62.m1.4.4.2.4.1" xref="S4.E62.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.E62.m1.4.4.2.2" xref="S4.E62.m1.4.4.2.2.cmml">λ</mi></mrow></msub><mo id="S4.E62.m1.10.10.1.1.4.2.1" xref="S4.E62.m1.10.10.1.1.4.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E62.m1.10.10.1.1.4.2.3.2" xref="S4.E62.m1.10.10.1.1.4.2.3.1.cmml"><mo id="S4.E62.m1.10.10.1.1.4.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.E62.m1.10.10.1.1.4.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S4.E62.m1.7.7" xref="S4.E62.m1.7.7.cmml">u</mi><mo id="S4.E62.m1.10.10.1.1.4.2.3.2.2" xref="S4.E62.m1.10.10.1.1.4.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.E62.m1.8.8" xref="S4.E62.m1.8.8.cmml">v</mi><mo id="S4.E62.m1.10.10.1.1.4.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.E62.m1.10.10.1.1.4.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E62.m1.10.10.1.1.3" xref="S4.E62.m1.10.10.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S4.E62.m1.10.10.1.1.2" xref="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.cmml"><msub id="S4.E62.m1.10.10.1.1.1.1" xref="S4.E62.m1.10.10.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E62.m1.10.10.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E62.m1.10.10.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E62.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E62.m1.10.10.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S4.E62.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E62.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E62.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E62.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">R</mi><mo id="S4.E62.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E62.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E62.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E62.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E62.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E62.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E62.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E62.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E62.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" rspace="0.167em" xref="S4.E62.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">∇</mo><mi id="S4.E62.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E62.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">u</mi></mrow><mo id="S4.E62.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E62.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E62.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E62.m1.10.10.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mrow id="S4.E62.m1.6.6.2.4" xref="S4.E62.m1.6.6.2.3.cmml"><mn id="S4.E62.m1.5.5.1.1" xref="S4.E62.m1.5.5.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.E62.m1.6.6.2.4.1" xref="S4.E62.m1.6.6.2.3.cmml">,</mo><mn id="S4.E62.m1.6.6.2.2" xref="S4.E62.m1.6.6.2.2.cmml">2</mn></mrow></msub><mo id="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.3" xref="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.3.cmml">+</mo><mrow id="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.2" xref="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.2.cmml"><mfrac id="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.2.3" xref="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.2.3.2" xref="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.2.3.2.cmml">α</mi><mn id="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.2.3.3" xref="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.2.3.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.2.2" xref="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.2.2.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.2.1" xref="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.2.1.cmml"><mrow id="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.2.1.1.1" xref="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.2.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.2.1.1.1.1" xref="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">f</mi><mo id="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml">K</mi><mo id="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml">∗</mo><mi id="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml">u</mi></mrow><mo id="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.2.1.1.1.1.1a" xref="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.2.1.1.1.1.4" xref="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.2.1.1.1.1.4.cmml">v</mi></mrow><mo id="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.2.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.2.1.3" xref="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.2.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.3a" xref="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.3.cmml">+</mo><msub id="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.4" xref="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.4.cmml"><mrow id="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.4.2.2" xref="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.4.2.1.cmml"><mo id="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.4.2.2.1" stretchy="false" xref="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.4.2.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S4.E62.m1.9.9" xref="S4.E62.m1.9.9.cmml">v</mi><mo id="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.4.2.2.2" stretchy="false" xref="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.4.2.1.1.cmml">‖</mo></mrow><msup id="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.4.3" xref="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.4.3.cmml"><mi id="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.4.3.2" xref="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.4.3.2.cmml">Lip</mi><mo id="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.4.3.3" xref="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.4.3.3.cmml">∗</mo></msup></msub></mrow></mrow><mo id="S4.E62.m1.10.10.1.2" lspace="0em" xref="S4.E62.m1.10.10.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E62.m1.10b"><apply id="S4.E62.m1.10.10.1.1.cmml" xref="S4.E62.m1.10.10.1"><eq id="S4.E62.m1.10.10.1.1.3.cmml" xref="S4.E62.m1.10.10.1.1.3"></eq><apply id="S4.E62.m1.10.10.1.1.4.cmml" xref="S4.E62.m1.10.10.1.1.4"><apply id="S4.E62.m1.10.10.1.1.4.1.cmml" xref="S4.E62.m1.10.10.1.1.4.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E62.m1.10.10.1.1.4.1.1.cmml" xref="S4.E62.m1.10.10.1.1.4.1">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S4.E62.m1.10.10.1.1.4.1.2.cmml" xref="S4.E62.m1.10.10.1.1.4.1.2">infimum</csymbol><apply id="S4.E62.m1.2.2.2.cmml" xref="S4.E62.m1.2.2.2"><in id="S4.E62.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E62.m1.2.2.2.3"></in><interval closure="open" id="S4.E62.m1.2.2.2.4.1.cmml" xref="S4.E62.m1.2.2.2.4.2"><ci id="S4.E62.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E62.m1.1.1.1.1">𝑢</ci><ci id="S4.E62.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E62.m1.2.2.2.2">𝑣</ci></interval><apply id="S4.E62.m1.2.2.2.5.cmml" xref="S4.E62.m1.2.2.2.5"><times id="S4.E62.m1.2.2.2.5.1.cmml" xref="S4.E62.m1.2.2.2.5.1"></times><ci id="S4.E62.m1.2.2.2.5.2.cmml" xref="S4.E62.m1.2.2.2.5.2">𝑉</ci><ci id="S4.E62.m1.2.2.2.5.3.cmml" xref="S4.E62.m1.2.2.2.5.3">𝑉</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.E62.m1.10.10.1.1.4.2.cmml" xref="S4.E62.m1.10.10.1.1.4.2"><times id="S4.E62.m1.10.10.1.1.4.2.1.cmml" xref="S4.E62.m1.10.10.1.1.4.2.1"></times><apply id="S4.E62.m1.10.10.1.1.4.2.2.cmml" xref="S4.E62.m1.10.10.1.1.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E62.m1.10.10.1.1.4.2.2.1.cmml" xref="S4.E62.m1.10.10.1.1.4.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E62.m1.10.10.1.1.4.2.2.2.cmml" xref="S4.E62.m1.10.10.1.1.4.2.2.2">𝐹</ci><list id="S4.E62.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S4.E62.m1.4.4.2.4"><ci id="S4.E62.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S4.E62.m1.3.3.1.1">𝛼</ci><ci id="S4.E62.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S4.E62.m1.4.4.2.2">𝜆</ci></list></apply><interval closure="open" id="S4.E62.m1.10.10.1.1.4.2.3.1.cmml" xref="S4.E62.m1.10.10.1.1.4.2.3.2"><ci id="S4.E62.m1.7.7.cmml" xref="S4.E62.m1.7.7">𝑢</ci><ci id="S4.E62.m1.8.8.cmml" xref="S4.E62.m1.8.8">𝑣</ci></interval></apply></apply><apply id="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.cmml" xref="S4.E62.m1.10.10.1.1.2"><plus id="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.3"></plus><apply id="S4.E62.m1.10.10.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E62.m1.10.10.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E62.m1.10.10.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E62.m1.10.10.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.E62.m1.10.10.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E62.m1.10.10.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.E62.m1.10.10.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E62.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S4.E62.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E62.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S4.E62.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E62.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S4.E62.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E62.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑅</ci><apply id="S4.E62.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E62.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><ci id="S4.E62.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E62.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">∇</ci><ci id="S4.E62.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E62.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑢</ci></apply></apply></apply><list id="S4.E62.m1.6.6.2.3.cmml" xref="S4.E62.m1.6.6.2.4"><cn id="S4.E62.m1.5.5.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.E62.m1.5.5.1.1">1</cn><cn id="S4.E62.m1.6.6.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.E62.m1.6.6.2.2">2</cn></list></apply><apply id="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.2"><times id="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.2.2"></times><apply id="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.2.3"><divide id="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.2.3"></divide><ci id="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.2.3.2">𝛼</ci><cn id="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.2.3.3">2</cn></apply><apply id="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.2.1">superscript</csymbol><apply id="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.2.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.2.1.1.1.1"><minus id="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.2.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.2.1.1.1.1.2">𝑓</ci><apply id="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.2.1.1.1.1.3"><times id="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.2.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.2.1.1.1.1.3.2">𝐾</ci><ci id="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.2.1.1.1.1.3.3">𝑢</ci></apply><ci id="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.2.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.2.1.1.1.1.4">𝑣</ci></apply></apply><cn id="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.2.1.3">2</cn></apply></apply><apply id="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.4.cmml" xref="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.4.1.cmml" xref="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.4">subscript</csymbol><apply id="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.4.2.1.cmml" xref="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.4.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.4.2.1.1.cmml" xref="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.4.2.2.1">norm</csymbol><ci id="S4.E62.m1.9.9.cmml" xref="S4.E62.m1.9.9">𝑣</ci></apply><apply id="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.4.3.cmml" xref="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.4.3.1.cmml" xref="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.4.3">superscript</csymbol><ci id="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.4.3.2.cmml" xref="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.4.3.2">Lip</ci><times id="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.4.3.3.cmml" xref="S4.E62.m1.10.10.1.1.2.4.3.3"></times></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E62.m1.10c">\inf_{(u,v)\in V\times V}F_{\alpha,\lambda}(u,v)=\|R(\nabla u)\|_{1,2}+\frac{% \alpha}{2}\|f-K*u-v\|^{2}+\|v\|_{\mathrm{Lip}^{*}}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E62.m1.10d">roman_inf start_POSTSUBSCRIPT ( italic_u , italic_v ) ∈ italic_V × italic_V end_POSTSUBSCRIPT italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_α , italic_λ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_u , italic_v ) = ∥ italic_R ( ∇ italic_u ) ∥ start_POSTSUBSCRIPT 1 , 2 end_POSTSUBSCRIPT + divide start_ARG italic_α end_ARG start_ARG 2 end_ARG ∥ italic_f - italic_K ∗ italic_u - italic_v ∥ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + ∥ italic_v ∥ start_POSTSUBSCRIPT roman_Lip start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(62)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="S4.SS2"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">4.2 </span>Numerical Method for problem (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S4.E62" title="In 4.1 Discretization ‣ 4 Numerical Algorithm ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">62</span></a>)</h3> <div class="ltx_para" id="S4.SS2.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.p1.3">Motivated by the numerical method for <math alttext="G" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p1.1.m1.1"><semantics id="S4.SS2.p1.1.m1.1a"><mi id="S4.SS2.p1.1.m1.1.1" xref="S4.SS2.p1.1.m1.1.1.cmml">G</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p1.1.m1.1b"><ci id="S4.SS2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.1.m1.1.1">𝐺</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p1.1.m1.1c">G</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p1.1.m1.1d">italic_G</annotation></semantics></math>-TV model (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S2.E26" title="In 2.2 Meyer’s 𝐺-TV Model for Cartoon and Texture Decomposition ‣ 2 Related work ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">26</span></a>) in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib2" title="">2005Image </a>; <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib4" title="">2006Structure </a></cite>, we propose to minimize the proposed models alternately and repeatedly in the two variables <math alttext="u" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p1.2.m2.1"><semantics id="S4.SS2.p1.2.m2.1a"><mi id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.cmml">u</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p1.2.m2.1b"><ci id="S4.SS2.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.2.m2.1.1">𝑢</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p1.2.m2.1c">u</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p1.2.m2.1d">italic_u</annotation></semantics></math> and <math alttext="v" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p1.3.m3.1"><semantics id="S4.SS2.p1.3.m3.1a"><mi id="S4.SS2.p1.3.m3.1.1" xref="S4.SS2.p1.3.m3.1.1.cmml">v</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p1.3.m3.1b"><ci id="S4.SS2.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p1.3.m3.1.1">𝑣</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p1.3.m3.1c">v</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p1.3.m3.1d">italic_v</annotation></semantics></math>. Specifically, we consider the following two problems:</p> <ul class="ltx_itemize" id="S4.I1"> <li class="ltx_item" id="S4.I1.i1" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">•</span> <div class="ltx_para" id="S4.I1.i1.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.I1.i1.p1.2"><math alttext="u" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.I1.i1.p1.1.m1.1"><semantics id="S4.I1.i1.p1.1.m1.1a"><mi id="S4.I1.i1.p1.1.m1.1.1" xref="S4.I1.i1.p1.1.m1.1.1.cmml">u</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.I1.i1.p1.1.m1.1b"><ci id="S4.I1.i1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.I1.i1.p1.1.m1.1.1">𝑢</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.I1.i1.p1.1.m1.1c">u</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.I1.i1.p1.1.m1.1d">italic_u</annotation></semantics></math> being fixed, we search for <math alttext="v" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.I1.i1.p1.2.m2.1"><semantics id="S4.I1.i1.p1.2.m2.1a"><mi id="S4.I1.i1.p1.2.m2.1.1" xref="S4.I1.i1.p1.2.m2.1.1.cmml">v</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.I1.i1.p1.2.m2.1b"><ci id="S4.I1.i1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.I1.i1.p1.2.m2.1.1">𝑣</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.I1.i1.p1.2.m2.1c">v</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.I1.i1.p1.2.m2.1d">italic_v</annotation></semantics></math> as a solution of:</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E63"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\inf_{v}\frac{\alpha}{2}\|f-K*u-v\|^{2}+\|v\|_{\mathrm{Lip}^{*}}." class="ltx_Math" display="block" id="S4.E63.m1.2"><semantics id="S4.E63.m1.2a"><mrow id="S4.E63.m1.2.2.1" xref="S4.E63.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S4.E63.m1.2.2.1.1" xref="S4.E63.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S4.E63.m1.2.2.1.1.1" xref="S4.E63.m1.2.2.1.1.1.cmml"><munder id="S4.E63.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S4.E63.m1.2.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E63.m1.2.2.1.1.1.2.2" movablelimits="false" xref="S4.E63.m1.2.2.1.1.1.2.2.cmml">inf</mo><mi id="S4.E63.m1.2.2.1.1.1.2.3" xref="S4.E63.m1.2.2.1.1.1.2.3.cmml">v</mi></munder><mrow id="S4.E63.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S4.E63.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="S4.E63.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S4.E63.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E63.m1.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E63.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml">α</mi><mn id="S4.E63.m1.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E63.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S4.E63.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S4.E63.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E63.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S4.E63.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E63.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E63.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E63.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E63.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S4.E63.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E63.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E63.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E63.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">f</mi><mo id="S4.E63.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E63.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.E63.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E63.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E63.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E63.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">K</mi><mo id="S4.E63.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.E63.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">∗</mo><mi id="S4.E63.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E63.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">u</mi></mrow><mo id="S4.E63.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S4.E63.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S4.E63.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S4.E63.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">v</mi></mrow><mo id="S4.E63.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E63.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="S4.E63.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E63.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><mo id="S4.E63.m1.2.2.1.1.2" xref="S4.E63.m1.2.2.1.1.2.cmml">+</mo><msub id="S4.E63.m1.2.2.1.1.3" xref="S4.E63.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.E63.m1.2.2.1.1.3.2.2" xref="S4.E63.m1.2.2.1.1.3.2.1.cmml"><mo id="S4.E63.m1.2.2.1.1.3.2.2.1" stretchy="false" xref="S4.E63.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S4.E63.m1.1.1" xref="S4.E63.m1.1.1.cmml">v</mi><mo id="S4.E63.m1.2.2.1.1.3.2.2.2" stretchy="false" xref="S4.E63.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.cmml">‖</mo></mrow><msup id="S4.E63.m1.2.2.1.1.3.3" xref="S4.E63.m1.2.2.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.E63.m1.2.2.1.1.3.3.2" xref="S4.E63.m1.2.2.1.1.3.3.2.cmml">Lip</mi><mo id="S4.E63.m1.2.2.1.1.3.3.3" xref="S4.E63.m1.2.2.1.1.3.3.3.cmml">∗</mo></msup></msub></mrow><mo id="S4.E63.m1.2.2.1.2" lspace="0em" xref="S4.E63.m1.2.2.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E63.m1.2b"><apply id="S4.E63.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S4.E63.m1.2.2.1"><plus id="S4.E63.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.E63.m1.2.2.1.1.2"></plus><apply id="S4.E63.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.E63.m1.2.2.1.1.1"><apply id="S4.E63.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E63.m1.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E63.m1.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E63.m1.2.2.1.1.1.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S4.E63.m1.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E63.m1.2.2.1.1.1.2.2">infimum</csymbol><ci id="S4.E63.m1.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E63.m1.2.2.1.1.1.2.3">𝑣</ci></apply><apply id="S4.E63.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E63.m1.2.2.1.1.1.1"><times id="S4.E63.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E63.m1.2.2.1.1.1.1.2"></times><apply id="S4.E63.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E63.m1.2.2.1.1.1.1.3"><divide id="S4.E63.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E63.m1.2.2.1.1.1.1.3"></divide><ci id="S4.E63.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E63.m1.2.2.1.1.1.1.3.2">𝛼</ci><cn id="S4.E63.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E63.m1.2.2.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S4.E63.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E63.m1.2.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E63.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E63.m1.2.2.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.E63.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E63.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.E63.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E63.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S4.E63.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E63.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S4.E63.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E63.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S4.E63.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E63.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑓</ci><apply id="S4.E63.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E63.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S4.E63.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E63.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S4.E63.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E63.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝐾</ci><ci id="S4.E63.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E63.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑢</ci></apply><ci id="S4.E63.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.E63.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.4">𝑣</ci></apply></apply><cn id="S4.E63.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E63.m1.2.2.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S4.E63.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S4.E63.m1.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E63.m1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E63.m1.2.2.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S4.E63.m1.2.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E63.m1.2.2.1.1.3.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.E63.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.cmml" xref="S4.E63.m1.2.2.1.1.3.2.2.1">norm</csymbol><ci id="S4.E63.m1.1.1.cmml" xref="S4.E63.m1.1.1">𝑣</ci></apply><apply id="S4.E63.m1.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E63.m1.2.2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E63.m1.2.2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.E63.m1.2.2.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S4.E63.m1.2.2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.E63.m1.2.2.1.1.3.3.2">Lip</ci><times id="S4.E63.m1.2.2.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.E63.m1.2.2.1.1.3.3.3"></times></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E63.m1.2c">\inf_{v}\frac{\alpha}{2}\|f-K*u-v\|^{2}+\|v\|_{\mathrm{Lip}^{*}}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E63.m1.2d">roman_inf start_POSTSUBSCRIPT italic_v end_POSTSUBSCRIPT divide start_ARG italic_α end_ARG start_ARG 2 end_ARG ∥ italic_f - italic_K ∗ italic_u - italic_v ∥ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + ∥ italic_v ∥ start_POSTSUBSCRIPT roman_Lip start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(63)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S4.I1.i2" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">•</span> <div class="ltx_para" id="S4.I1.i2.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.I1.i2.p1.2"><math alttext="v" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.I1.i2.p1.1.m1.1"><semantics id="S4.I1.i2.p1.1.m1.1a"><mi id="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.1" xref="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.1.cmml">v</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.I1.i2.p1.1.m1.1b"><ci id="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.1.m1.1.1">𝑣</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.I1.i2.p1.1.m1.1c">v</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.I1.i2.p1.1.m1.1d">italic_v</annotation></semantics></math> being fixed, we search for <math alttext="u" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.I1.i2.p1.2.m2.1"><semantics id="S4.I1.i2.p1.2.m2.1a"><mi id="S4.I1.i2.p1.2.m2.1.1" xref="S4.I1.i2.p1.2.m2.1.1.cmml">u</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.I1.i2.p1.2.m2.1b"><ci id="S4.I1.i2.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.I1.i2.p1.2.m2.1.1">𝑢</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.I1.i2.p1.2.m2.1c">u</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.I1.i2.p1.2.m2.1d">italic_u</annotation></semantics></math> as a solution of:</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E64"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\inf_{u}\|R(\nabla u)\|_{1,2}+\frac{\alpha}{2}\|f-v-K*u\|^{2}." class="ltx_Math" display="block" id="S4.E64.m1.3"><semantics id="S4.E64.m1.3a"><mrow id="S4.E64.m1.3.3.1" xref="S4.E64.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S4.E64.m1.3.3.1.1" xref="S4.E64.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S4.E64.m1.3.3.1.1.1" xref="S4.E64.m1.3.3.1.1.1.cmml"><munder id="S4.E64.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S4.E64.m1.3.3.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E64.m1.3.3.1.1.1.2.2" movablelimits="false" xref="S4.E64.m1.3.3.1.1.1.2.2.cmml">inf</mo><mi id="S4.E64.m1.3.3.1.1.1.2.3" xref="S4.E64.m1.3.3.1.1.1.2.3.cmml">u</mi></munder><msub id="S4.E64.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S4.E64.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E64.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E64.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E64.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" lspace="0em" stretchy="false" xref="S4.E64.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S4.E64.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E64.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E64.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E64.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">R</mi><mo id="S4.E64.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E64.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E64.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E64.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E64.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E64.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E64.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E64.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E64.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" rspace="0.167em" xref="S4.E64.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">∇</mo><mi id="S4.E64.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E64.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">u</mi></mrow><mo id="S4.E64.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E64.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E64.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E64.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mrow id="S4.E64.m1.2.2.2.4" xref="S4.E64.m1.2.2.2.3.cmml"><mn id="S4.E64.m1.1.1.1.1" xref="S4.E64.m1.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.E64.m1.2.2.2.4.1" xref="S4.E64.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="S4.E64.m1.2.2.2.2" xref="S4.E64.m1.2.2.2.2.cmml">2</mn></mrow></msub></mrow><mo id="S4.E64.m1.3.3.1.1.3" xref="S4.E64.m1.3.3.1.1.3.cmml">+</mo><mrow id="S4.E64.m1.3.3.1.1.2" xref="S4.E64.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mfrac id="S4.E64.m1.3.3.1.1.2.3" xref="S4.E64.m1.3.3.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.E64.m1.3.3.1.1.2.3.2" xref="S4.E64.m1.3.3.1.1.2.3.2.cmml">α</mi><mn id="S4.E64.m1.3.3.1.1.2.3.3" xref="S4.E64.m1.3.3.1.1.2.3.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S4.E64.m1.3.3.1.1.2.2" xref="S4.E64.m1.3.3.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E64.m1.3.3.1.1.2.1" xref="S4.E64.m1.3.3.1.1.2.1.cmml"><mrow id="S4.E64.m1.3.3.1.1.2.1.1.1" xref="S4.E64.m1.3.3.1.1.2.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E64.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E64.m1.3.3.1.1.2.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S4.E64.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1" xref="S4.E64.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E64.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.2" xref="S4.E64.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml">f</mi><mo id="S4.E64.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="S4.E64.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S4.E64.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.3" xref="S4.E64.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml">v</mi><mo id="S4.E64.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1a" xref="S4.E64.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.E64.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.4" xref="S4.E64.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S4.E64.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.4.2" xref="S4.E64.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.4.2.cmml">K</mi><mo id="S4.E64.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.4.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.E64.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.4.1.cmml">∗</mo><mi id="S4.E64.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.4.3" xref="S4.E64.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.4.3.cmml">u</mi></mrow></mrow><mo id="S4.E64.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E64.m1.3.3.1.1.2.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="S4.E64.m1.3.3.1.1.2.1.3" xref="S4.E64.m1.3.3.1.1.2.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><mo id="S4.E64.m1.3.3.1.2" lspace="0em" xref="S4.E64.m1.3.3.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E64.m1.3b"><apply id="S4.E64.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S4.E64.m1.3.3.1"><plus id="S4.E64.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S4.E64.m1.3.3.1.1.3"></plus><apply id="S4.E64.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.E64.m1.3.3.1.1.1"><apply id="S4.E64.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E64.m1.3.3.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E64.m1.3.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E64.m1.3.3.1.1.1.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S4.E64.m1.3.3.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E64.m1.3.3.1.1.1.2.2">infimum</csymbol><ci id="S4.E64.m1.3.3.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E64.m1.3.3.1.1.1.2.3">𝑢</ci></apply><apply id="S4.E64.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E64.m1.3.3.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E64.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E64.m1.3.3.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.E64.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E64.m1.3.3.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.E64.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E64.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S4.E64.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E64.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S4.E64.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E64.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S4.E64.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E64.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑅</ci><apply id="S4.E64.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E64.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><ci id="S4.E64.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E64.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">∇</ci><ci id="S4.E64.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E64.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑢</ci></apply></apply></apply><list id="S4.E64.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E64.m1.2.2.2.4"><cn id="S4.E64.m1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.E64.m1.1.1.1.1">1</cn><cn id="S4.E64.m1.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.E64.m1.2.2.2.2">2</cn></list></apply></apply><apply id="S4.E64.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S4.E64.m1.3.3.1.1.2"><times id="S4.E64.m1.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E64.m1.3.3.1.1.2.2"></times><apply id="S4.E64.m1.3.3.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E64.m1.3.3.1.1.2.3"><divide id="S4.E64.m1.3.3.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.E64.m1.3.3.1.1.2.3"></divide><ci id="S4.E64.m1.3.3.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.E64.m1.3.3.1.1.2.3.2">𝛼</ci><cn id="S4.E64.m1.3.3.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E64.m1.3.3.1.1.2.3.3">2</cn></apply><apply id="S4.E64.m1.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E64.m1.3.3.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E64.m1.3.3.1.1.2.1.2.cmml" xref="S4.E64.m1.3.3.1.1.2.1">superscript</csymbol><apply id="S4.E64.m1.3.3.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S4.E64.m1.3.3.1.1.2.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.E64.m1.3.3.1.1.2.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E64.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S4.E64.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E64.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1"><minus id="S4.E64.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E64.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S4.E64.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E64.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.2">𝑓</ci><ci id="S4.E64.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E64.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.3">𝑣</ci><apply id="S4.E64.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.E64.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.4"><times id="S4.E64.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.E64.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.4.1"></times><ci id="S4.E64.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S4.E64.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.4.2">𝐾</ci><ci id="S4.E64.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S4.E64.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.4.3">𝑢</ci></apply></apply></apply><cn id="S4.E64.m1.3.3.1.1.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E64.m1.3.3.1.1.2.1.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E64.m1.3c">\inf_{u}\|R(\nabla u)\|_{1,2}+\frac{\alpha}{2}\|f-v-K*u\|^{2}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E64.m1.3d">roman_inf start_POSTSUBSCRIPT italic_u end_POSTSUBSCRIPT ∥ italic_R ( ∇ italic_u ) ∥ start_POSTSUBSCRIPT 1 , 2 end_POSTSUBSCRIPT + divide start_ARG italic_α end_ARG start_ARG 2 end_ARG ∥ italic_f - italic_v - italic_K ∗ italic_u ∥ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(64)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> </li> </ul> </div> <section class="ltx_subsubsection" id="S4.SS2.SSS1"> <h4 class="ltx_title ltx_title_subsubsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsubsection">4.2.1 </span>Numerical Method for (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S4.E63" title="In 1st item ‣ 4.2 Numerical Method for problem (62) ‣ 4 Numerical Algorithm ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">63</span></a>)</h4> <div class="ltx_para" id="S4.SS2.SSS1.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.SSS1.p1.1">The discretized version of Wasserstein-1 distance (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S2.E18" title="In 2.1 Optimal Transport ‣ 2 Related work ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">18</span></a>) and (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S2.E19" title="In 2.1 Optimal Transport ‣ 2 Related work ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">19</span></a>) can be jointly solved by the following Lagrangian functional <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib35" title="">2021MULTILEVEL </a></cite>,</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E65"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\inf_{m}\sup_{\phi}\left\{L(m,\phi)=\|m\|_{1,2}+\langle\phi,\mathrm{div}(m)-% \mu+\nu\rangle\right\}." class="ltx_Math" display="block" id="S4.E65.m1.8"><semantics id="S4.E65.m1.8a"><mrow id="S4.E65.m1.8.8.1" xref="S4.E65.m1.8.8.1.1.cmml"><mrow id="S4.E65.m1.8.8.1.1" xref="S4.E65.m1.8.8.1.1.cmml"><munder id="S4.E65.m1.8.8.1.1.2" xref="S4.E65.m1.8.8.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E65.m1.8.8.1.1.2.2" movablelimits="false" xref="S4.E65.m1.8.8.1.1.2.2.cmml">inf</mo><mi id="S4.E65.m1.8.8.1.1.2.3" xref="S4.E65.m1.8.8.1.1.2.3.cmml">m</mi></munder><mrow id="S4.E65.m1.8.8.1.1.1" xref="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.cmml"><munder id="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.2" xref="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.2.2" lspace="0.167em" movablelimits="false" rspace="0em" xref="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.2.2.cmml">sup</mo><mi id="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.2.3" xref="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.2.3.cmml">ϕ</mi></munder><mrow id="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.1.1" xref="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.1.2.cmml">{</mo><mrow id="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">L</mi><mo id="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S4.E65.m1.3.3" xref="S4.E65.m1.3.3.cmml">m</mi><mo id="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.E65.m1.4.4" xref="S4.E65.m1.4.4.cmml">ϕ</mi><mo id="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml"><mo id="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1" stretchy="false" xref="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S4.E65.m1.5.5" xref="S4.E65.m1.5.5.cmml">m</mi><mo id="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" stretchy="false" xref="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.1.cmml">‖</mo></mrow><mrow id="S4.E65.m1.2.2.2.4" xref="S4.E65.m1.2.2.2.3.cmml"><mn id="S4.E65.m1.1.1.1.1" xref="S4.E65.m1.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.E65.m1.2.2.2.4.1" xref="S4.E65.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="S4.E65.m1.2.2.2.2" xref="S4.E65.m1.2.2.2.2.cmml">2</mn></mrow></msub><mo id="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⟨</mo><mi id="S4.E65.m1.7.7" xref="S4.E65.m1.7.7.cmml">ϕ</mi><mo id="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">,</mo><mrow id="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">div</mi><mo id="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mo id="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">(</mo><mi id="S4.E65.m1.6.6" xref="S4.E65.m1.6.6.cmml">m</mi><mo id="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">−</mo><mi id="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">μ</mi></mrow><mo id="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mi id="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">ν</mi></mrow><mo id="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.1.2.cmml">}</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E65.m1.8.8.1.2" lspace="0em" xref="S4.E65.m1.8.8.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E65.m1.8b"><apply id="S4.E65.m1.8.8.1.1.cmml" xref="S4.E65.m1.8.8.1"><apply id="S4.E65.m1.8.8.1.1.2.cmml" xref="S4.E65.m1.8.8.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E65.m1.8.8.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E65.m1.8.8.1.1.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S4.E65.m1.8.8.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E65.m1.8.8.1.1.2.2">infimum</csymbol><ci id="S4.E65.m1.8.8.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E65.m1.8.8.1.1.2.3">𝑚</ci></apply><apply id="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.cmml" xref="S4.E65.m1.8.8.1.1.1"><apply id="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.2.2">supremum</csymbol><ci id="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.2.3">italic-ϕ</ci></apply><set id="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.1.1"><apply id="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1"><eq id="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2"></eq><apply id="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.2">𝐿</ci><interval closure="open" id="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.3.2"><ci id="S4.E65.m1.3.3.cmml" xref="S4.E65.m1.3.3">𝑚</ci><ci id="S4.E65.m1.4.4.cmml" xref="S4.E65.m1.4.4">italic-ϕ</ci></interval></apply><apply id="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2"></plus><apply id="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" 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id="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><minus id="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></minus><apply id="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><times id="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1"></times><ci id="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">div</ci><ci id="S4.E65.m1.6.6.cmml" xref="S4.E65.m1.6.6">𝑚</ci></apply><ci id="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝜇</ci></apply><ci id="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E65.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝜈</ci></apply></list></apply></apply></set></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E65.m1.8c">\inf_{m}\sup_{\phi}\left\{L(m,\phi)=\|m\|_{1,2}+\langle\phi,\mathrm{div}(m)-% \mu+\nu\rangle\right\}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E65.m1.8d">roman_inf start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT roman_sup start_POSTSUBSCRIPT italic_ϕ end_POSTSUBSCRIPT { italic_L ( italic_m , italic_ϕ ) = ∥ italic_m ∥ start_POSTSUBSCRIPT 1 , 2 end_POSTSUBSCRIPT + ⟨ italic_ϕ , roman_div ( italic_m ) - italic_μ + italic_ν ⟩ } .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(65)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.SSS1.p1.2">A primal-dual algorithm was proposed in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib33" title="">2016A </a></cite> for (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S4.E65" title="In 4.2.1 Numerical Method for (63) ‣ 4.2 Numerical Method for problem (62) ‣ 4 Numerical Algorithm ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">65</span></a>).</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS2.SSS1.p2"> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.SSS1.p2.3">The dual Lipschitz norm (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S3.E29" title="In 3.1 The proposed image denoising model ‣ 3 The Proposed Image Restoration Models ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">29</span></a>) is defined by the Wasserstein-1 distance (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S2.E19" title="In 2.1 Optimal Transport ‣ 2 Related work ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">19</span></a>) as <math alttext="\|v\|_{\mathrm{Lip}^{*}}=W_{1}(\mu,\nu)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.SSS1.p2.1.m1.3"><semantics id="S4.SS2.SSS1.p2.1.m1.3a"><mrow id="S4.SS2.SSS1.p2.1.m1.3.4" xref="S4.SS2.SSS1.p2.1.m1.3.4.cmml"><msub id="S4.SS2.SSS1.p2.1.m1.3.4.2" xref="S4.SS2.SSS1.p2.1.m1.3.4.2.cmml"><mrow id="S4.SS2.SSS1.p2.1.m1.3.4.2.2.2" xref="S4.SS2.SSS1.p2.1.m1.3.4.2.2.1.cmml"><mo id="S4.SS2.SSS1.p2.1.m1.3.4.2.2.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS2.SSS1.p2.1.m1.3.4.2.2.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S4.SS2.SSS1.p2.1.m1.1.1" xref="S4.SS2.SSS1.p2.1.m1.1.1.cmml">v</mi><mo id="S4.SS2.SSS1.p2.1.m1.3.4.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S4.SS2.SSS1.p2.1.m1.3.4.2.2.1.1.cmml">‖</mo></mrow><msup id="S4.SS2.SSS1.p2.1.m1.3.4.2.3" xref="S4.SS2.SSS1.p2.1.m1.3.4.2.3.cmml"><mi id="S4.SS2.SSS1.p2.1.m1.3.4.2.3.2" xref="S4.SS2.SSS1.p2.1.m1.3.4.2.3.2.cmml">Lip</mi><mo id="S4.SS2.SSS1.p2.1.m1.3.4.2.3.3" xref="S4.SS2.SSS1.p2.1.m1.3.4.2.3.3.cmml">∗</mo></msup></msub><mo id="S4.SS2.SSS1.p2.1.m1.3.4.1" xref="S4.SS2.SSS1.p2.1.m1.3.4.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.SS2.SSS1.p2.1.m1.3.4.3" xref="S4.SS2.SSS1.p2.1.m1.3.4.3.cmml"><msub id="S4.SS2.SSS1.p2.1.m1.3.4.3.2" xref="S4.SS2.SSS1.p2.1.m1.3.4.3.2.cmml"><mi id="S4.SS2.SSS1.p2.1.m1.3.4.3.2.2" xref="S4.SS2.SSS1.p2.1.m1.3.4.3.2.2.cmml">W</mi><mn id="S4.SS2.SSS1.p2.1.m1.3.4.3.2.3" xref="S4.SS2.SSS1.p2.1.m1.3.4.3.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.SS2.SSS1.p2.1.m1.3.4.3.1" xref="S4.SS2.SSS1.p2.1.m1.3.4.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS2.SSS1.p2.1.m1.3.4.3.3.2" xref="S4.SS2.SSS1.p2.1.m1.3.4.3.3.1.cmml"><mo id="S4.SS2.SSS1.p2.1.m1.3.4.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS2.SSS1.p2.1.m1.3.4.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S4.SS2.SSS1.p2.1.m1.2.2" xref="S4.SS2.SSS1.p2.1.m1.2.2.cmml">μ</mi><mo id="S4.SS2.SSS1.p2.1.m1.3.4.3.3.2.2" xref="S4.SS2.SSS1.p2.1.m1.3.4.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.SS2.SSS1.p2.1.m1.3.3" xref="S4.SS2.SSS1.p2.1.m1.3.3.cmml">ν</mi><mo id="S4.SS2.SSS1.p2.1.m1.3.4.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.SS2.SSS1.p2.1.m1.3.4.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.SSS1.p2.1.m1.3b"><apply id="S4.SS2.SSS1.p2.1.m1.3.4.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p2.1.m1.3.4"><eq id="S4.SS2.SSS1.p2.1.m1.3.4.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p2.1.m1.3.4.1"></eq><apply id="S4.SS2.SSS1.p2.1.m1.3.4.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p2.1.m1.3.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.SSS1.p2.1.m1.3.4.2.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p2.1.m1.3.4.2">subscript</csymbol><apply id="S4.SS2.SSS1.p2.1.m1.3.4.2.2.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p2.1.m1.3.4.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.SS2.SSS1.p2.1.m1.3.4.2.2.1.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p2.1.m1.3.4.2.2.2.1">norm</csymbol><ci id="S4.SS2.SSS1.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p2.1.m1.1.1">𝑣</ci></apply><apply id="S4.SS2.SSS1.p2.1.m1.3.4.2.3.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p2.1.m1.3.4.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.SSS1.p2.1.m1.3.4.2.3.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p2.1.m1.3.4.2.3">superscript</csymbol><ci id="S4.SS2.SSS1.p2.1.m1.3.4.2.3.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p2.1.m1.3.4.2.3.2">Lip</ci><times id="S4.SS2.SSS1.p2.1.m1.3.4.2.3.3.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p2.1.m1.3.4.2.3.3"></times></apply></apply><apply id="S4.SS2.SSS1.p2.1.m1.3.4.3.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p2.1.m1.3.4.3"><times id="S4.SS2.SSS1.p2.1.m1.3.4.3.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p2.1.m1.3.4.3.1"></times><apply id="S4.SS2.SSS1.p2.1.m1.3.4.3.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p2.1.m1.3.4.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.SSS1.p2.1.m1.3.4.3.2.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p2.1.m1.3.4.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS2.SSS1.p2.1.m1.3.4.3.2.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p2.1.m1.3.4.3.2.2">𝑊</ci><cn id="S4.SS2.SSS1.p2.1.m1.3.4.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.SSS1.p2.1.m1.3.4.3.2.3">1</cn></apply><interval closure="open" id="S4.SS2.SSS1.p2.1.m1.3.4.3.3.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p2.1.m1.3.4.3.3.2"><ci id="S4.SS2.SSS1.p2.1.m1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p2.1.m1.2.2">𝜇</ci><ci id="S4.SS2.SSS1.p2.1.m1.3.3.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p2.1.m1.3.3">𝜈</ci></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.SSS1.p2.1.m1.3c">\|v\|_{\mathrm{Lip}^{*}}=W_{1}(\mu,\nu)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.SSS1.p2.1.m1.3d">∥ italic_v ∥ start_POSTSUBSCRIPT roman_Lip start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT = italic_W start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_μ , italic_ν )</annotation></semantics></math> where <math alttext="v=\mu-\nu" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.SSS1.p2.2.m2.1"><semantics id="S4.SS2.SSS1.p2.2.m2.1a"><mrow id="S4.SS2.SSS1.p2.2.m2.1.1" xref="S4.SS2.SSS1.p2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.SSS1.p2.2.m2.1.1.2" xref="S4.SS2.SSS1.p2.2.m2.1.1.2.cmml">v</mi><mo id="S4.SS2.SSS1.p2.2.m2.1.1.1" xref="S4.SS2.SSS1.p2.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.SS2.SSS1.p2.2.m2.1.1.3" xref="S4.SS2.SSS1.p2.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS2.SSS1.p2.2.m2.1.1.3.2" xref="S4.SS2.SSS1.p2.2.m2.1.1.3.2.cmml">μ</mi><mo id="S4.SS2.SSS1.p2.2.m2.1.1.3.1" xref="S4.SS2.SSS1.p2.2.m2.1.1.3.1.cmml">−</mo><mi id="S4.SS2.SSS1.p2.2.m2.1.1.3.3" xref="S4.SS2.SSS1.p2.2.m2.1.1.3.3.cmml">ν</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.SSS1.p2.2.m2.1b"><apply id="S4.SS2.SSS1.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p2.2.m2.1.1"><eq id="S4.SS2.SSS1.p2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p2.2.m2.1.1.1"></eq><ci id="S4.SS2.SSS1.p2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p2.2.m2.1.1.2">𝑣</ci><apply id="S4.SS2.SSS1.p2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p2.2.m2.1.1.3"><minus id="S4.SS2.SSS1.p2.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p2.2.m2.1.1.3.1"></minus><ci id="S4.SS2.SSS1.p2.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p2.2.m2.1.1.3.2">𝜇</ci><ci id="S4.SS2.SSS1.p2.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p2.2.m2.1.1.3.3">𝜈</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.SSS1.p2.2.m2.1c">v=\mu-\nu</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.SSS1.p2.2.m2.1d">italic_v = italic_μ - italic_ν</annotation></semantics></math>. For fixed <math alttext="f_{1}=f-K*u" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.SSS1.p2.3.m3.1"><semantics id="S4.SS2.SSS1.p2.3.m3.1a"><mrow id="S4.SS2.SSS1.p2.3.m3.1.1" xref="S4.SS2.SSS1.p2.3.m3.1.1.cmml"><msub id="S4.SS2.SSS1.p2.3.m3.1.1.2" xref="S4.SS2.SSS1.p2.3.m3.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS2.SSS1.p2.3.m3.1.1.2.2" xref="S4.SS2.SSS1.p2.3.m3.1.1.2.2.cmml">f</mi><mn id="S4.SS2.SSS1.p2.3.m3.1.1.2.3" xref="S4.SS2.SSS1.p2.3.m3.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.SS2.SSS1.p2.3.m3.1.1.1" xref="S4.SS2.SSS1.p2.3.m3.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.SS2.SSS1.p2.3.m3.1.1.3" xref="S4.SS2.SSS1.p2.3.m3.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS2.SSS1.p2.3.m3.1.1.3.2" xref="S4.SS2.SSS1.p2.3.m3.1.1.3.2.cmml">f</mi><mo id="S4.SS2.SSS1.p2.3.m3.1.1.3.1" xref="S4.SS2.SSS1.p2.3.m3.1.1.3.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.SS2.SSS1.p2.3.m3.1.1.3.3" xref="S4.SS2.SSS1.p2.3.m3.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.SS2.SSS1.p2.3.m3.1.1.3.3.2" xref="S4.SS2.SSS1.p2.3.m3.1.1.3.3.2.cmml">K</mi><mo id="S4.SS2.SSS1.p2.3.m3.1.1.3.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.SS2.SSS1.p2.3.m3.1.1.3.3.1.cmml">∗</mo><mi id="S4.SS2.SSS1.p2.3.m3.1.1.3.3.3" xref="S4.SS2.SSS1.p2.3.m3.1.1.3.3.3.cmml">u</mi></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.SSS1.p2.3.m3.1b"><apply id="S4.SS2.SSS1.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p2.3.m3.1.1"><eq id="S4.SS2.SSS1.p2.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p2.3.m3.1.1.1"></eq><apply id="S4.SS2.SSS1.p2.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p2.3.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.SSS1.p2.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p2.3.m3.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS2.SSS1.p2.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p2.3.m3.1.1.2.2">𝑓</ci><cn id="S4.SS2.SSS1.p2.3.m3.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.SSS1.p2.3.m3.1.1.2.3">1</cn></apply><apply id="S4.SS2.SSS1.p2.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p2.3.m3.1.1.3"><minus id="S4.SS2.SSS1.p2.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p2.3.m3.1.1.3.1"></minus><ci id="S4.SS2.SSS1.p2.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p2.3.m3.1.1.3.2">𝑓</ci><apply id="S4.SS2.SSS1.p2.3.m3.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p2.3.m3.1.1.3.3"><times id="S4.SS2.SSS1.p2.3.m3.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p2.3.m3.1.1.3.3.1"></times><ci id="S4.SS2.SSS1.p2.3.m3.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p2.3.m3.1.1.3.3.2">𝐾</ci><ci id="S4.SS2.SSS1.p2.3.m3.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p2.3.m3.1.1.3.3.3">𝑢</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.SSS1.p2.3.m3.1c">f_{1}=f-K*u</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.SSS1.p2.3.m3.1d">italic_f start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT = italic_f - italic_K ∗ italic_u</annotation></semantics></math>, the subproblem (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S4.E63" title="In 1st item ‣ 4.2 Numerical Method for problem (62) ‣ 4 Numerical Algorithm ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">63</span></a>) can be written as</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E66"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\begin{split}&\min_{v,m}\,\,\frac{\alpha}{2}\|f_{1}-v\|^{2}+\lambda\|m\|_{1,2}% ,\\ &s.t.\quad\mathrm{div}(m)=v,\;\forall x\in\Omega,\end{split}" class="ltx_math_unparsed" display="block" id="S4.E66.m1.34"><semantics id="S4.E66.m1.34a"><mtable columnspacing="0pt" displaystyle="true" id="S4.E66.m1.34.34.1" rowspacing="0pt"><mtr id="S4.E66.m1.34.34.1a"><mtd id="S4.E66.m1.34.34.1b"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S4.E66.m1.34.34.1c"><mrow id="S4.E66.m1.34.34.1.34.18.18.18"><mrow id="S4.E66.m1.34.34.1.34.18.18.18.1"><mrow id="S4.E66.m1.34.34.1.34.18.18.18.1.1"><munder id="S4.E66.m1.34.34.1.34.18.18.18.1.1.2"><mi id="S4.E66.m1.1.1.1.1.1.1">min</mi><mrow id="S4.E66.m1.2.2.2.2.2.2.1.4"><mi id="S4.E66.m1.2.2.2.2.2.2.1.1">v</mi><mo id="S4.E66.m1.2.2.2.2.2.2.1.4.1">,</mo><mi id="S4.E66.m1.2.2.2.2.2.2.1.2">m</mi></mrow></munder><mo id="S4.E66.m1.34.34.1.34.18.18.18.1.1a" lspace="0.497em">⁡</mo><mrow id="S4.E66.m1.34.34.1.34.18.18.18.1.1.1"><mfrac id="S4.E66.m1.3.3.3.3.3.3"><mi id="S4.E66.m1.3.3.3.3.3.3.2">α</mi><mn id="S4.E66.m1.3.3.3.3.3.3.3">2</mn></mfrac><mo id="S4.E66.m1.34.34.1.34.18.18.18.1.1.1.2">⁢</mo><msup id="S4.E66.m1.34.34.1.34.18.18.18.1.1.1.1"><mrow id="S4.E66.m1.34.34.1.34.18.18.18.1.1.1.1.1.1"><mo id="S4.E66.m1.4.4.4.4.4.4" stretchy="false">‖</mo><mrow id="S4.E66.m1.34.34.1.34.18.18.18.1.1.1.1.1.1.1"><msub id="S4.E66.m1.34.34.1.34.18.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1"><mi id="S4.E66.m1.5.5.5.5.5.5">f</mi><mn id="S4.E66.m1.6.6.6.6.6.6.1">1</mn></msub><mo id="S4.E66.m1.7.7.7.7.7.7">−</mo><mi id="S4.E66.m1.8.8.8.8.8.8">v</mi></mrow><mo id="S4.E66.m1.9.9.9.9.9.9" stretchy="false">‖</mo></mrow><mn id="S4.E66.m1.10.10.10.10.10.10.1">2</mn></msup></mrow></mrow><mo id="S4.E66.m1.11.11.11.11.11.11">+</mo><mrow id="S4.E66.m1.34.34.1.34.18.18.18.1.2"><mi id="S4.E66.m1.12.12.12.12.12.12">λ</mi><mo id="S4.E66.m1.34.34.1.34.18.18.18.1.2.1">⁢</mo><msub id="S4.E66.m1.34.34.1.34.18.18.18.1.2.2"><mrow id="S4.E66.m1.34.34.1.34.18.18.18.1.2.2.2"><mo id="S4.E66.m1.13.13.13.13.13.13" stretchy="false">‖</mo><mi id="S4.E66.m1.14.14.14.14.14.14">m</mi><mo id="S4.E66.m1.15.15.15.15.15.15" stretchy="false">‖</mo></mrow><mrow id="S4.E66.m1.16.16.16.16.16.16.1.4"><mn id="S4.E66.m1.16.16.16.16.16.16.1.1">1</mn><mo id="S4.E66.m1.16.16.16.16.16.16.1.4.1">,</mo><mn id="S4.E66.m1.16.16.16.16.16.16.1.2">2</mn></mrow></msub></mrow></mrow><mo id="S4.E66.m1.17.17.17.17.17.17">,</mo></mrow></mtd></mtr><mtr id="S4.E66.m1.34.34.1d"><mtd id="S4.E66.m1.34.34.1e"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S4.E66.m1.34.34.1f"><mrow id="S4.E66.m1.33.33.33.16.16"><mi id="S4.E66.m1.18.18.18.1.1.1">s</mi><mo id="S4.E66.m1.19.19.19.2.2.2" lspace="0em" rspace="0.167em">.</mo><mi id="S4.E66.m1.20.20.20.3.3.3">t</mi><mo id="S4.E66.m1.21.21.21.4.4.4" lspace="0em">.</mo><mspace id="S4.E66.m1.33.33.33.16.16.17" width="1.167em"></mspace><mi id="S4.E66.m1.22.22.22.5.5.5">div</mi><mrow id="S4.E66.m1.33.33.33.16.16.18"><mo id="S4.E66.m1.23.23.23.6.6.6" stretchy="false">(</mo><mi id="S4.E66.m1.24.24.24.7.7.7">m</mi><mo id="S4.E66.m1.25.25.25.8.8.8" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S4.E66.m1.26.26.26.9.9.9">=</mo><mi id="S4.E66.m1.27.27.27.10.10.10">v</mi><mo id="S4.E66.m1.28.28.28.11.11.11" rspace="0.447em">,</mo><mo id="S4.E66.m1.29.29.29.12.12.12" rspace="0.167em">∀</mo><mi id="S4.E66.m1.30.30.30.13.13.13">x</mi><mo id="S4.E66.m1.31.31.31.14.14.14">∈</mo><mi id="S4.E66.m1.32.32.32.15.15.15" mathvariant="normal">Ω</mi><mo id="S4.E66.m1.33.33.33.16.16.16">,</mo></mrow></mtd></mtr></mtable><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E66.m1.34b">\begin{split}&\min_{v,m}\,\,\frac{\alpha}{2}\|f_{1}-v\|^{2}+\lambda\|m\|_{1,2}% ,\\ &s.t.\quad\mathrm{div}(m)=v,\;\forall x\in\Omega,\end{split}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E66.m1.34c">start_ROW start_CELL end_CELL start_CELL roman_min start_POSTSUBSCRIPT italic_v , italic_m end_POSTSUBSCRIPT divide start_ARG italic_α end_ARG start_ARG 2 end_ARG ∥ italic_f start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT - italic_v ∥ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_λ ∥ italic_m ∥ start_POSTSUBSCRIPT 1 , 2 end_POSTSUBSCRIPT , end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL end_CELL start_CELL italic_s . italic_t . roman_div ( italic_m ) = italic_v , ∀ italic_x ∈ roman_Ω , end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(66)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.SSS1.p2.5">By the definition of <math alttext="\mathrm{div}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.SSS1.p2.4.m1.1"><semantics id="S4.SS2.SSS1.p2.4.m1.1a"><mi id="S4.SS2.SSS1.p2.4.m1.1.1" xref="S4.SS2.SSS1.p2.4.m1.1.1.cmml">div</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.SSS1.p2.4.m1.1b"><ci id="S4.SS2.SSS1.p2.4.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p2.4.m1.1.1">div</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.SSS1.p2.4.m1.1c">\mathrm{div}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.SSS1.p2.4.m1.1d">roman_div</annotation></semantics></math> (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S4.E61" title="In 4.1 Discretization ‣ 4 Numerical Algorithm ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">61</span></a>), we have <math alttext="\sum_{i,j}v_{(i,j)}=\sum_{i,j}\mathrm{div}(m)_{(i,j)}=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.SSS1.p2.5.m2.9"><semantics id="S4.SS2.SSS1.p2.5.m2.9a"><mrow id="S4.SS2.SSS1.p2.5.m2.9.10" xref="S4.SS2.SSS1.p2.5.m2.9.10.cmml"><mrow id="S4.SS2.SSS1.p2.5.m2.9.10.2" xref="S4.SS2.SSS1.p2.5.m2.9.10.2.cmml"><msub id="S4.SS2.SSS1.p2.5.m2.9.10.2.1" xref="S4.SS2.SSS1.p2.5.m2.9.10.2.1.cmml"><mo id="S4.SS2.SSS1.p2.5.m2.9.10.2.1.2" xref="S4.SS2.SSS1.p2.5.m2.9.10.2.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="S4.SS2.SSS1.p2.5.m2.2.2.2.4" xref="S4.SS2.SSS1.p2.5.m2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.SS2.SSS1.p2.5.m2.1.1.1.1" xref="S4.SS2.SSS1.p2.5.m2.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S4.SS2.SSS1.p2.5.m2.2.2.2.4.1" xref="S4.SS2.SSS1.p2.5.m2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.SS2.SSS1.p2.5.m2.2.2.2.2" xref="S4.SS2.SSS1.p2.5.m2.2.2.2.2.cmml">j</mi></mrow></msub><msub id="S4.SS2.SSS1.p2.5.m2.9.10.2.2" xref="S4.SS2.SSS1.p2.5.m2.9.10.2.2.cmml"><mi id="S4.SS2.SSS1.p2.5.m2.9.10.2.2.2" xref="S4.SS2.SSS1.p2.5.m2.9.10.2.2.2.cmml">v</mi><mrow id="S4.SS2.SSS1.p2.5.m2.4.4.2.4" xref="S4.SS2.SSS1.p2.5.m2.4.4.2.3.cmml"><mo id="S4.SS2.SSS1.p2.5.m2.4.4.2.4.1" stretchy="false" 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id="S4.SS2.SSS1.p2.5.m2.4.4.2.3.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p2.5.m2.4.4.2.4"><ci id="S4.SS2.SSS1.p2.5.m2.3.3.1.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p2.5.m2.3.3.1.1">𝑖</ci><ci id="S4.SS2.SSS1.p2.5.m2.4.4.2.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p2.5.m2.4.4.2.2">𝑗</ci></interval></apply></apply><apply id="S4.SS2.SSS1.p2.5.m2.9.10.4.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p2.5.m2.9.10.4"><apply id="S4.SS2.SSS1.p2.5.m2.9.10.4.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p2.5.m2.9.10.4.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.SSS1.p2.5.m2.9.10.4.1.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p2.5.m2.9.10.4.1">subscript</csymbol><sum id="S4.SS2.SSS1.p2.5.m2.9.10.4.1.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p2.5.m2.9.10.4.1.2"></sum><list id="S4.SS2.SSS1.p2.5.m2.6.6.2.3.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p2.5.m2.6.6.2.4"><ci id="S4.SS2.SSS1.p2.5.m2.5.5.1.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p2.5.m2.5.5.1.1">𝑖</ci><ci id="S4.SS2.SSS1.p2.5.m2.6.6.2.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p2.5.m2.6.6.2.2">𝑗</ci></list></apply><apply id="S4.SS2.SSS1.p2.5.m2.9.10.4.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p2.5.m2.9.10.4.2"><times id="S4.SS2.SSS1.p2.5.m2.9.10.4.2.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p2.5.m2.9.10.4.2.1"></times><ci id="S4.SS2.SSS1.p2.5.m2.9.10.4.2.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p2.5.m2.9.10.4.2.2">div</ci><apply id="S4.SS2.SSS1.p2.5.m2.9.10.4.2.3.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p2.5.m2.9.10.4.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.SSS1.p2.5.m2.9.10.4.2.3.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p2.5.m2.9.10.4.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS2.SSS1.p2.5.m2.9.9.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p2.5.m2.9.9">𝑚</ci><interval closure="open" id="S4.SS2.SSS1.p2.5.m2.8.8.2.3.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p2.5.m2.8.8.2.4"><ci id="S4.SS2.SSS1.p2.5.m2.7.7.1.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p2.5.m2.7.7.1.1">𝑖</ci><ci id="S4.SS2.SSS1.p2.5.m2.8.8.2.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p2.5.m2.8.8.2.2">𝑗</ci></interval></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.SS2.SSS1.p2.5.m2.9.10c.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p2.5.m2.9.10"><eq id="S4.SS2.SSS1.p2.5.m2.9.10.5.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p2.5.m2.9.10.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S4.SS2.SSS1.p2.5.m2.9.10.4.cmml" id="S4.SS2.SSS1.p2.5.m2.9.10d.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p2.5.m2.9.10"></share><cn id="S4.SS2.SSS1.p2.5.m2.9.10.6.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.SSS1.p2.5.m2.9.10.6">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.SSS1.p2.5.m2.9c">\sum_{i,j}v_{(i,j)}=\sum_{i,j}\mathrm{div}(m)_{(i,j)}=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.SSS1.p2.5.m2.9d">∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_v start_POSTSUBSCRIPT ( italic_i , italic_j ) end_POSTSUBSCRIPT = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_j end_POSTSUBSCRIPT roman_div ( italic_m ) start_POSTSUBSCRIPT ( italic_i , italic_j ) end_POSTSUBSCRIPT = 0</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS2.SSS1.p3"> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.SSS1.p3.1">The solution of (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S4.E66" title="In 4.2.1 Numerical Method for (63) ‣ 4.2 Numerical Method for problem (62) ‣ 4 Numerical Algorithm ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">66</span></a>) is the saddle point of the following Lagrangian function,</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E67"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\min_{v}\min_{m}\max_{\phi}\left\{L(v,m,\phi)=\langle\mathrm{div}(m)-v,\phi% \rangle+\lambda\|m\|_{1,2}+\frac{\alpha}{2}\|f_{1}-v\|^{2}\right\}." class="ltx_Math" display="block" id="S4.E67.m1.9"><semantics id="S4.E67.m1.9a"><mrow id="S4.E67.m1.9.9.1" xref="S4.E67.m1.9.9.1.1.cmml"><mrow id="S4.E67.m1.9.9.1.1" xref="S4.E67.m1.9.9.1.1.cmml"><munder id="S4.E67.m1.9.9.1.1.3" xref="S4.E67.m1.9.9.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E67.m1.9.9.1.1.3.2" xref="S4.E67.m1.9.9.1.1.3.2.cmml">min</mi><mi id="S4.E67.m1.9.9.1.1.3.3" xref="S4.E67.m1.9.9.1.1.3.3.cmml">v</mi></munder><mo id="S4.E67.m1.9.9.1.1a" lspace="0.167em" xref="S4.E67.m1.9.9.1.1.cmml">⁡</mo><mrow id="S4.E67.m1.9.9.1.1.2" xref="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.cmml"><munder id="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.3" xref="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.3.2" xref="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.3.2.cmml">min</mi><mi id="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.3.3" xref="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.3.3.cmml">m</mi></munder><mo id="S4.E67.m1.9.9.1.1.2a" lspace="0.167em" xref="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2" xref="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.3.cmml"><munder id="S4.E67.m1.9.9.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E67.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E67.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E67.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2.cmml">max</mi><mi id="S4.E67.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E67.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.3.cmml">ϕ</mi></munder><mo id="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2a" xref="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.3.cmml">⁡</mo><mrow id="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2" xref="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.2" xref="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.3.cmml">{</mo><mrow id="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1" xref="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.cmml"><mrow id="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.4" xref="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.4.cmml"><mi id="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.4.2" xref="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.4.2.cmml">L</mi><mo id="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.4.1" xref="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.4.3.2" xref="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.4.3.1.cmml"><mo id="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.4.3.1.cmml">(</mo><mi id="S4.E67.m1.3.3" xref="S4.E67.m1.3.3.cmml">v</mi><mo id="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.4.3.2.2" xref="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.E67.m1.4.4" xref="S4.E67.m1.4.4.cmml">m</mi><mo id="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.4.3.2.3" xref="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.E67.m1.5.5" xref="S4.E67.m1.5.5.cmml">ϕ</mi><mo id="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.4.3.2.4" stretchy="false" xref="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.4.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.3" xref="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.2" xref="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.2.cmml"><mrow id="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1" xref="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml">⟨</mo><mrow id="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml">div</mi><mo id="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.E67.m1.6.6" xref="S4.E67.m1.6.6.cmml">m</mi><mo id="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">v</mi></mrow><mo id="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.3" xref="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml">,</mo><mi id="S4.E67.m1.7.7" xref="S4.E67.m1.7.7.cmml">ϕ</mi><mo id="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.2.3" xref="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.2.3.cmml">+</mo><mrow id="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.2.4" xref="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.2.4.cmml"><mi id="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.2.4.2" xref="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.2.4.2.cmml">λ</mi><mo id="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.2.4.1" xref="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.2.4.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.2.4.3" xref="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.2.4.3.cmml"><mrow id="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.2.4.3.2.2" xref="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.2.4.3.2.1.cmml"><mo id="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.2.4.3.2.2.1" stretchy="false" xref="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.2.4.3.2.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S4.E67.m1.8.8" xref="S4.E67.m1.8.8.cmml">m</mi><mo id="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.2.4.3.2.2.2" stretchy="false" xref="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.2.4.3.2.1.1.cmml">‖</mo></mrow><mrow id="S4.E67.m1.2.2.2.4" xref="S4.E67.m1.2.2.2.3.cmml"><mn id="S4.E67.m1.1.1.1.1" xref="S4.E67.m1.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.E67.m1.2.2.2.4.1" xref="S4.E67.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="S4.E67.m1.2.2.2.2" xref="S4.E67.m1.2.2.2.2.cmml">2</mn></mrow></msub></mrow><mo id="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.2.3a" xref="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.2.3.cmml">+</mo><mrow id="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.2.2" xref="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.2.2.cmml"><mfrac id="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.2.2.3" xref="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.2.2.3.2" xref="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.2.2.3.2.cmml">α</mi><mn id="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.2.2.3.3" xref="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.2.2.3.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.2.2.2" xref="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.2.2.2.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.2.2.1" xref="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.2.2.1.cmml"><mrow id="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.2.2.1.1.1" xref="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.2.2.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.2.2.1.1.1.1" xref="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.2.2.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.2.2.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml">f</mi><mn id="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.2.2.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">v</mi></mrow><mo id="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.2.2.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.2.2.1.3" xref="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.2.2.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.3" xref="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.3.cmml">}</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo 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id="S4.E67.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E67.m1.9.9.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E67.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E67.m1.9.9.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><max id="S4.E67.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E67.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2"></max><ci id="S4.E67.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E67.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.3">italic-ϕ</ci></apply><apply id="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1"><eq id="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.3.cmml" xref="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.3"></eq><apply id="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.4.cmml" xref="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.4"><times id="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.4.1.cmml" xref="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.4.1"></times><ci id="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.4.2.cmml" xref="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.4.2">𝐿</ci><vector id="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.4.3.1.cmml" xref="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.4.3.2"><ci id="S4.E67.m1.3.3.cmml" xref="S4.E67.m1.3.3">𝑣</ci><ci id="S4.E67.m1.4.4.cmml" 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id="S4.E67.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E67.m1.2.2.2.4"><cn id="S4.E67.m1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.E67.m1.1.1.1.1">1</cn><cn id="S4.E67.m1.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.E67.m1.2.2.2.2">2</cn></list></apply></apply><apply id="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.2.2.cmml" xref="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.2.2"><times id="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.2.2.2.cmml" xref="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.2.2.2"></times><apply id="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.2.2.3.cmml" xref="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.2.2.3"><divide id="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.2.2.3"></divide><ci id="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.2.2.3.2">𝛼</ci><cn id="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.2.2.3.3">2</cn></apply><apply id="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.2.2.1.cmml" xref="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E67.m1.9.9.1.1.2.2.2.2.1.2.2.1.2.cmml" 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divide start_ARG italic_α end_ARG start_ARG 2 end_ARG ∥ italic_f start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT - italic_v ∥ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT } .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(67)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS2.SSS1.p4"> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.SSS1.p4.5">To solve (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S4.E67" title="In 4.2.1 Numerical Method for (63) ‣ 4.2 Numerical Method for problem (62) ‣ 4 Numerical Algorithm ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">67</span></a>), we use the Primal-Dual Hybrid Gradient (PDHG) method proposed for the following convex-concave saddle function <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib45" title="">2017Vector </a></cite>,</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E68"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="L(x,y,z)=f(x)+g(y)+\langle Ax+By,z\rangle," class="ltx_Math" display="block" id="S4.E68.m1.7"><semantics id="S4.E68.m1.7a"><mrow id="S4.E68.m1.7.7.1" xref="S4.E68.m1.7.7.1.1.cmml"><mrow id="S4.E68.m1.7.7.1.1" xref="S4.E68.m1.7.7.1.1.cmml"><mrow id="S4.E68.m1.7.7.1.1.3" xref="S4.E68.m1.7.7.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E68.m1.7.7.1.1.3.2" xref="S4.E68.m1.7.7.1.1.3.2.cmml">L</mi><mo id="S4.E68.m1.7.7.1.1.3.1" xref="S4.E68.m1.7.7.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E68.m1.7.7.1.1.3.3.2" xref="S4.E68.m1.7.7.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="S4.E68.m1.7.7.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.E68.m1.7.7.1.1.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S4.E68.m1.1.1" xref="S4.E68.m1.1.1.cmml">x</mi><mo id="S4.E68.m1.7.7.1.1.3.3.2.2" xref="S4.E68.m1.7.7.1.1.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.E68.m1.2.2" xref="S4.E68.m1.2.2.cmml">y</mi><mo id="S4.E68.m1.7.7.1.1.3.3.2.3" xref="S4.E68.m1.7.7.1.1.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.E68.m1.3.3" xref="S4.E68.m1.3.3.cmml">z</mi><mo id="S4.E68.m1.7.7.1.1.3.3.2.4" stretchy="false" xref="S4.E68.m1.7.7.1.1.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E68.m1.7.7.1.1.2" xref="S4.E68.m1.7.7.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.E68.m1.7.7.1.1.1" xref="S4.E68.m1.7.7.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E68.m1.7.7.1.1.1.3" xref="S4.E68.m1.7.7.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E68.m1.7.7.1.1.1.3.2" xref="S4.E68.m1.7.7.1.1.1.3.2.cmml">f</mi><mo id="S4.E68.m1.7.7.1.1.1.3.1" xref="S4.E68.m1.7.7.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E68.m1.7.7.1.1.1.3.3.2" xref="S4.E68.m1.7.7.1.1.1.3.cmml"><mo id="S4.E68.m1.7.7.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.E68.m1.7.7.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S4.E68.m1.4.4" xref="S4.E68.m1.4.4.cmml">x</mi><mo id="S4.E68.m1.7.7.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.E68.m1.7.7.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E68.m1.7.7.1.1.1.2" xref="S4.E68.m1.7.7.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S4.E68.m1.7.7.1.1.1.4" xref="S4.E68.m1.7.7.1.1.1.4.cmml"><mi id="S4.E68.m1.7.7.1.1.1.4.2" xref="S4.E68.m1.7.7.1.1.1.4.2.cmml">g</mi><mo id="S4.E68.m1.7.7.1.1.1.4.1" xref="S4.E68.m1.7.7.1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E68.m1.7.7.1.1.1.4.3.2" xref="S4.E68.m1.7.7.1.1.1.4.cmml"><mo id="S4.E68.m1.7.7.1.1.1.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.E68.m1.7.7.1.1.1.4.cmml">(</mo><mi id="S4.E68.m1.5.5" xref="S4.E68.m1.5.5.cmml">y</mi><mo id="S4.E68.m1.7.7.1.1.1.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.E68.m1.7.7.1.1.1.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E68.m1.7.7.1.1.1.2a" xref="S4.E68.m1.7.7.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S4.E68.m1.7.7.1.1.1.1.1" xref="S4.E68.m1.7.7.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E68.m1.7.7.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E68.m1.7.7.1.1.1.1.2.cmml">⟨</mo><mrow id="S4.E68.m1.7.7.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E68.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E68.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E68.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E68.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E68.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">A</mi><mo id="S4.E68.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.E68.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E68.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E68.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">x</mi></mrow><mo id="S4.E68.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E68.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S4.E68.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E68.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E68.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E68.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">B</mi><mo id="S4.E68.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.E68.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E68.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E68.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">y</mi></mrow></mrow><mo id="S4.E68.m1.7.7.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E68.m1.7.7.1.1.1.1.2.cmml">,</mo><mi id="S4.E68.m1.6.6" xref="S4.E68.m1.6.6.cmml">z</mi><mo id="S4.E68.m1.7.7.1.1.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.E68.m1.7.7.1.1.1.1.2.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E68.m1.7.7.1.2" xref="S4.E68.m1.7.7.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E68.m1.7b"><apply id="S4.E68.m1.7.7.1.1.cmml" xref="S4.E68.m1.7.7.1"><eq id="S4.E68.m1.7.7.1.1.2.cmml" xref="S4.E68.m1.7.7.1.1.2"></eq><apply id="S4.E68.m1.7.7.1.1.3.cmml" xref="S4.E68.m1.7.7.1.1.3"><times id="S4.E68.m1.7.7.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E68.m1.7.7.1.1.3.1"></times><ci id="S4.E68.m1.7.7.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E68.m1.7.7.1.1.3.2">𝐿</ci><vector id="S4.E68.m1.7.7.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.E68.m1.7.7.1.1.3.3.2"><ci id="S4.E68.m1.1.1.cmml" xref="S4.E68.m1.1.1">𝑥</ci><ci id="S4.E68.m1.2.2.cmml" xref="S4.E68.m1.2.2">𝑦</ci><ci id="S4.E68.m1.3.3.cmml" xref="S4.E68.m1.3.3">𝑧</ci></vector></apply><apply id="S4.E68.m1.7.7.1.1.1.cmml" xref="S4.E68.m1.7.7.1.1.1"><plus id="S4.E68.m1.7.7.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E68.m1.7.7.1.1.1.2"></plus><apply id="S4.E68.m1.7.7.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E68.m1.7.7.1.1.1.3"><times id="S4.E68.m1.7.7.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E68.m1.7.7.1.1.1.3.1"></times><ci id="S4.E68.m1.7.7.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E68.m1.7.7.1.1.1.3.2">𝑓</ci><ci id="S4.E68.m1.4.4.cmml" xref="S4.E68.m1.4.4">𝑥</ci></apply><apply id="S4.E68.m1.7.7.1.1.1.4.cmml" xref="S4.E68.m1.7.7.1.1.1.4"><times id="S4.E68.m1.7.7.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.E68.m1.7.7.1.1.1.4.1"></times><ci id="S4.E68.m1.7.7.1.1.1.4.2.cmml" xref="S4.E68.m1.7.7.1.1.1.4.2">𝑔</ci><ci id="S4.E68.m1.5.5.cmml" xref="S4.E68.m1.5.5">𝑦</ci></apply><list id="S4.E68.m1.7.7.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E68.m1.7.7.1.1.1.1.1"><apply id="S4.E68.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E68.m1.7.7.1.1.1.1.1.1"><plus id="S4.E68.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E68.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S4.E68.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E68.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S4.E68.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E68.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="S4.E68.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E68.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2">𝐴</ci><ci id="S4.E68.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E68.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑥</ci></apply><apply id="S4.E68.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E68.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S4.E68.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E68.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S4.E68.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E68.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.2">𝐵</ci><ci id="S4.E68.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E68.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑦</ci></apply></apply><ci id="S4.E68.m1.6.6.cmml" xref="S4.E68.m1.6.6">𝑧</ci></list></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E68.m1.7c">L(x,y,z)=f(x)+g(y)+\langle Ax+By,z\rangle,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E68.m1.7d">italic_L ( italic_x , italic_y , italic_z ) = italic_f ( italic_x ) + italic_g ( italic_y ) + ⟨ italic_A italic_x + italic_B italic_y , italic_z ⟩ ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(68)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.SSS1.p4.3">where <math alttext="f,g,h" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.3"><semantics id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.3a"><mrow id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.3.4.2" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.3.4.1.cmml"><mi id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.1.1" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.1.1.cmml">f</mi><mo id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.3.4.2.1" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.3.4.1.cmml">,</mo><mi id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.2.2" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.2.2.cmml">g</mi><mo id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.3.4.2.2" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.3.4.1.cmml">,</mo><mi id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.3.3" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.3.3.cmml">h</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.3b"><list id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.3.4.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.3.4.2"><ci id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.1.1">𝑓</ci><ci id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.2.2">𝑔</ci><ci id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.3.3.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.3.3">ℎ</ci></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.3c">f,g,h</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.3d">italic_f , italic_g , italic_h</annotation></semantics></math> are (closed and proper) convex functions and <math alttext="A,B,C" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.SSS1.p4.2.m2.3"><semantics id="S4.SS2.SSS1.p4.2.m2.3a"><mrow id="S4.SS2.SSS1.p4.2.m2.3.4.2" xref="S4.SS2.SSS1.p4.2.m2.3.4.1.cmml"><mi id="S4.SS2.SSS1.p4.2.m2.1.1" xref="S4.SS2.SSS1.p4.2.m2.1.1.cmml">A</mi><mo id="S4.SS2.SSS1.p4.2.m2.3.4.2.1" xref="S4.SS2.SSS1.p4.2.m2.3.4.1.cmml">,</mo><mi id="S4.SS2.SSS1.p4.2.m2.2.2" xref="S4.SS2.SSS1.p4.2.m2.2.2.cmml">B</mi><mo id="S4.SS2.SSS1.p4.2.m2.3.4.2.2" xref="S4.SS2.SSS1.p4.2.m2.3.4.1.cmml">,</mo><mi id="S4.SS2.SSS1.p4.2.m2.3.3" xref="S4.SS2.SSS1.p4.2.m2.3.3.cmml">C</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.SSS1.p4.2.m2.3b"><list id="S4.SS2.SSS1.p4.2.m2.3.4.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p4.2.m2.3.4.2"><ci id="S4.SS2.SSS1.p4.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p4.2.m2.1.1">𝐴</ci><ci id="S4.SS2.SSS1.p4.2.m2.2.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p4.2.m2.2.2">𝐵</ci><ci id="S4.SS2.SSS1.p4.2.m2.3.3.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p4.2.m2.3.3">𝐶</ci></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.SSS1.p4.2.m2.3c">A,B,C</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.SSS1.p4.2.m2.3d">italic_A , italic_B , italic_C</annotation></semantics></math> are linear matrix. Assume <math alttext="L" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.SSS1.p4.3.m3.1"><semantics id="S4.SS2.SSS1.p4.3.m3.1a"><mi id="S4.SS2.SSS1.p4.3.m3.1.1" xref="S4.SS2.SSS1.p4.3.m3.1.1.cmml">L</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.SSS1.p4.3.m3.1b"><ci id="S4.SS2.SSS1.p4.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p4.3.m3.1.1">𝐿</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.SSS1.p4.3.m3.1c">L</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.SSS1.p4.3.m3.1d">italic_L</annotation></semantics></math> has a saddle point, then the method</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E69"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\begin{split}&x^{k+1}=\mathrm{argmin}_{x}\{L(x,y^{k},z^{k})+\frac{1}{2\mu}\|x-% x^{k}\|^{2}\},\\ &y^{k+1}=\mathrm{argmin}_{y}\{L(x^{k},y,z^{k})+\frac{1}{2\nu}\|y-y^{k}\|^{2}\}% ,\\ &z^{k+1}=\mathrm{argmax}_{w}\{L(2x^{k+1}-x^{k},2y^{k+1}-y^{k},z)-\frac{1}{2% \tau}\|z-z^{k}\|^{2}\},\end{split}" class="ltx_Math" display="block" id="S4.E69.m1.93"><semantics id="S4.E69.m1.93a"><mtable columnspacing="0pt" displaystyle="true" id="S4.E69.m1.93.93.4" rowspacing="0pt"><mtr id="S4.E69.m1.93.93.4a"><mtd id="S4.E69.m1.93.93.4b"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S4.E69.m1.93.93.4c"><mrow id="S4.E69.m1.91.91.2.90.28.28.28"><mrow id="S4.E69.m1.91.91.2.90.28.28.28.1"><msup id="S4.E69.m1.91.91.2.90.28.28.28.1.2"><mi id="S4.E69.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E69.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">x</mi><mrow id="S4.E69.m1.2.2.2.2.2.2.1" xref="S4.E69.m1.2.2.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="S4.E69.m1.2.2.2.2.2.2.1.2" xref="S4.E69.m1.2.2.2.2.2.2.1.2.cmml">k</mi><mo id="S4.E69.m1.2.2.2.2.2.2.1.1" xref="S4.E69.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.cmml">+</mo><mn id="S4.E69.m1.2.2.2.2.2.2.1.3" xref="S4.E69.m1.2.2.2.2.2.2.1.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S4.E69.m1.3.3.3.3.3.3" xref="S4.E69.m1.3.3.3.3.3.3.cmml">=</mo><mrow id="S4.E69.m1.91.91.2.90.28.28.28.1.1"><msub id="S4.E69.m1.91.91.2.90.28.28.28.1.1.3"><mi id="S4.E69.m1.4.4.4.4.4.4" xref="S4.E69.m1.4.4.4.4.4.4.cmml">argmin</mi><mi id="S4.E69.m1.5.5.5.5.5.5.1" xref="S4.E69.m1.5.5.5.5.5.5.1.cmml">x</mi></msub><mo id="S4.E69.m1.91.91.2.90.28.28.28.1.1.2">⁢</mo><mrow id="S4.E69.m1.91.91.2.90.28.28.28.1.1.1.1"><mo id="S4.E69.m1.6.6.6.6.6.6" stretchy="false">{</mo><mrow id="S4.E69.m1.91.91.2.90.28.28.28.1.1.1.1.1"><mrow id="S4.E69.m1.91.91.2.90.28.28.28.1.1.1.1.1.2"><mi id="S4.E69.m1.7.7.7.7.7.7" xref="S4.E69.m1.7.7.7.7.7.7.cmml">L</mi><mo id="S4.E69.m1.91.91.2.90.28.28.28.1.1.1.1.1.2.3">⁢</mo><mrow id="S4.E69.m1.91.91.2.90.28.28.28.1.1.1.1.1.2.2.2"><mo id="S4.E69.m1.8.8.8.8.8.8" stretchy="false">(</mo><mi id="S4.E69.m1.9.9.9.9.9.9" xref="S4.E69.m1.9.9.9.9.9.9.cmml">x</mi><mo id="S4.E69.m1.10.10.10.10.10.10">,</mo><msup id="S4.E69.m1.91.91.2.90.28.28.28.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><mi id="S4.E69.m1.11.11.11.11.11.11" xref="S4.E69.m1.11.11.11.11.11.11.cmml">y</mi><mi id="S4.E69.m1.12.12.12.12.12.12.1" xref="S4.E69.m1.12.12.12.12.12.12.1.cmml">k</mi></msup><mo id="S4.E69.m1.13.13.13.13.13.13">,</mo><msup id="S4.E69.m1.91.91.2.90.28.28.28.1.1.1.1.1.2.2.2.2"><mi id="S4.E69.m1.14.14.14.14.14.14" xref="S4.E69.m1.14.14.14.14.14.14.cmml">z</mi><mi id="S4.E69.m1.15.15.15.15.15.15.1" xref="S4.E69.m1.15.15.15.15.15.15.1.cmml">k</mi></msup><mo id="S4.E69.m1.16.16.16.16.16.16" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E69.m1.17.17.17.17.17.17" xref="S4.E69.m1.17.17.17.17.17.17.cmml">+</mo><mrow id="S4.E69.m1.91.91.2.90.28.28.28.1.1.1.1.1.3"><mfrac id="S4.E69.m1.18.18.18.18.18.18" xref="S4.E69.m1.18.18.18.18.18.18.cmml"><mn id="S4.E69.m1.18.18.18.18.18.18.2" xref="S4.E69.m1.18.18.18.18.18.18.2.cmml">1</mn><mrow id="S4.E69.m1.18.18.18.18.18.18.3" xref="S4.E69.m1.18.18.18.18.18.18.3.cmml"><mn id="S4.E69.m1.18.18.18.18.18.18.3.2" xref="S4.E69.m1.18.18.18.18.18.18.3.2.cmml">2</mn><mo id="S4.E69.m1.18.18.18.18.18.18.3.1" xref="S4.E69.m1.18.18.18.18.18.18.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E69.m1.18.18.18.18.18.18.3.3" xref="S4.E69.m1.18.18.18.18.18.18.3.3.cmml">μ</mi></mrow></mfrac><mo id="S4.E69.m1.91.91.2.90.28.28.28.1.1.1.1.1.3.2">⁢</mo><msup id="S4.E69.m1.91.91.2.90.28.28.28.1.1.1.1.1.3.1"><mrow id="S4.E69.m1.91.91.2.90.28.28.28.1.1.1.1.1.3.1.1.1"><mo id="S4.E69.m1.19.19.19.19.19.19" stretchy="false">‖</mo><mrow id="S4.E69.m1.91.91.2.90.28.28.28.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1"><mi id="S4.E69.m1.20.20.20.20.20.20" xref="S4.E69.m1.20.20.20.20.20.20.cmml">x</mi><mo id="S4.E69.m1.21.21.21.21.21.21" xref="S4.E69.m1.21.21.21.21.21.21.cmml">−</mo><msup id="S4.E69.m1.91.91.2.90.28.28.28.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1"><mi id="S4.E69.m1.22.22.22.22.22.22" xref="S4.E69.m1.22.22.22.22.22.22.cmml">x</mi><mi id="S4.E69.m1.23.23.23.23.23.23.1" xref="S4.E69.m1.23.23.23.23.23.23.1.cmml">k</mi></msup></mrow><mo id="S4.E69.m1.24.24.24.24.24.24" stretchy="false">‖</mo></mrow><mn id="S4.E69.m1.25.25.25.25.25.25.1" xref="S4.E69.m1.25.25.25.25.25.25.1.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><mo id="S4.E69.m1.26.26.26.26.26.26" stretchy="false">}</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E69.m1.27.27.27.27.27.27">,</mo></mrow></mtd></mtr><mtr id="S4.E69.m1.93.93.4d"><mtd id="S4.E69.m1.93.93.4e"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S4.E69.m1.93.93.4f"><mrow id="S4.E69.m1.92.92.3.91.28.28.28"><mrow id="S4.E69.m1.92.92.3.91.28.28.28.1"><msup id="S4.E69.m1.92.92.3.91.28.28.28.1.2"><mi id="S4.E69.m1.28.28.28.1.1.1" xref="S4.E69.m1.28.28.28.1.1.1.cmml">y</mi><mrow id="S4.E69.m1.29.29.29.2.2.2.1" xref="S4.E69.m1.29.29.29.2.2.2.1.cmml"><mi id="S4.E69.m1.29.29.29.2.2.2.1.2" xref="S4.E69.m1.29.29.29.2.2.2.1.2.cmml">k</mi><mo id="S4.E69.m1.29.29.29.2.2.2.1.1" xref="S4.E69.m1.29.29.29.2.2.2.1.1.cmml">+</mo><mn id="S4.E69.m1.29.29.29.2.2.2.1.3" xref="S4.E69.m1.29.29.29.2.2.2.1.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S4.E69.m1.30.30.30.3.3.3" xref="S4.E69.m1.30.30.30.3.3.3.cmml">=</mo><mrow id="S4.E69.m1.92.92.3.91.28.28.28.1.1"><msub id="S4.E69.m1.92.92.3.91.28.28.28.1.1.3"><mi id="S4.E69.m1.31.31.31.4.4.4" xref="S4.E69.m1.31.31.31.4.4.4.cmml">argmin</mi><mi id="S4.E69.m1.32.32.32.5.5.5.1" xref="S4.E69.m1.32.32.32.5.5.5.1.cmml">y</mi></msub><mo id="S4.E69.m1.92.92.3.91.28.28.28.1.1.2">⁢</mo><mrow id="S4.E69.m1.92.92.3.91.28.28.28.1.1.1.1"><mo id="S4.E69.m1.33.33.33.6.6.6" stretchy="false">{</mo><mrow id="S4.E69.m1.92.92.3.91.28.28.28.1.1.1.1.1"><mrow id="S4.E69.m1.92.92.3.91.28.28.28.1.1.1.1.1.2"><mi id="S4.E69.m1.34.34.34.7.7.7" xref="S4.E69.m1.34.34.34.7.7.7.cmml">L</mi><mo id="S4.E69.m1.92.92.3.91.28.28.28.1.1.1.1.1.2.3">⁢</mo><mrow id="S4.E69.m1.92.92.3.91.28.28.28.1.1.1.1.1.2.2.2"><mo id="S4.E69.m1.35.35.35.8.8.8" stretchy="false">(</mo><msup id="S4.E69.m1.92.92.3.91.28.28.28.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><mi id="S4.E69.m1.36.36.36.9.9.9" xref="S4.E69.m1.36.36.36.9.9.9.cmml">x</mi><mi id="S4.E69.m1.37.37.37.10.10.10.1" xref="S4.E69.m1.37.37.37.10.10.10.1.cmml">k</mi></msup><mo id="S4.E69.m1.38.38.38.11.11.11">,</mo><mi id="S4.E69.m1.39.39.39.12.12.12" xref="S4.E69.m1.39.39.39.12.12.12.cmml">y</mi><mo id="S4.E69.m1.40.40.40.13.13.13">,</mo><msup id="S4.E69.m1.92.92.3.91.28.28.28.1.1.1.1.1.2.2.2.2"><mi id="S4.E69.m1.41.41.41.14.14.14" xref="S4.E69.m1.41.41.41.14.14.14.cmml">z</mi><mi id="S4.E69.m1.42.42.42.15.15.15.1" xref="S4.E69.m1.42.42.42.15.15.15.1.cmml">k</mi></msup><mo id="S4.E69.m1.43.43.43.16.16.16" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E69.m1.44.44.44.17.17.17" xref="S4.E69.m1.44.44.44.17.17.17.cmml">+</mo><mrow id="S4.E69.m1.92.92.3.91.28.28.28.1.1.1.1.1.3"><mfrac id="S4.E69.m1.45.45.45.18.18.18" xref="S4.E69.m1.45.45.45.18.18.18.cmml"><mn id="S4.E69.m1.45.45.45.18.18.18.2" xref="S4.E69.m1.45.45.45.18.18.18.2.cmml">1</mn><mrow id="S4.E69.m1.45.45.45.18.18.18.3" xref="S4.E69.m1.45.45.45.18.18.18.3.cmml"><mn id="S4.E69.m1.45.45.45.18.18.18.3.2" xref="S4.E69.m1.45.45.45.18.18.18.3.2.cmml">2</mn><mo id="S4.E69.m1.45.45.45.18.18.18.3.1" xref="S4.E69.m1.45.45.45.18.18.18.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E69.m1.45.45.45.18.18.18.3.3" xref="S4.E69.m1.45.45.45.18.18.18.3.3.cmml">ν</mi></mrow></mfrac><mo id="S4.E69.m1.92.92.3.91.28.28.28.1.1.1.1.1.3.2">⁢</mo><msup id="S4.E69.m1.92.92.3.91.28.28.28.1.1.1.1.1.3.1"><mrow id="S4.E69.m1.92.92.3.91.28.28.28.1.1.1.1.1.3.1.1.1"><mo id="S4.E69.m1.46.46.46.19.19.19" stretchy="false">‖</mo><mrow id="S4.E69.m1.92.92.3.91.28.28.28.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1"><mi id="S4.E69.m1.47.47.47.20.20.20" xref="S4.E69.m1.47.47.47.20.20.20.cmml">y</mi><mo id="S4.E69.m1.48.48.48.21.21.21" xref="S4.E69.m1.48.48.48.21.21.21.cmml">−</mo><msup id="S4.E69.m1.92.92.3.91.28.28.28.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1"><mi id="S4.E69.m1.49.49.49.22.22.22" xref="S4.E69.m1.49.49.49.22.22.22.cmml">y</mi><mi id="S4.E69.m1.50.50.50.23.23.23.1" xref="S4.E69.m1.50.50.50.23.23.23.1.cmml">k</mi></msup></mrow><mo id="S4.E69.m1.51.51.51.24.24.24" stretchy="false">‖</mo></mrow><mn id="S4.E69.m1.52.52.52.25.25.25.1" xref="S4.E69.m1.52.52.52.25.25.25.1.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><mo id="S4.E69.m1.53.53.53.26.26.26" stretchy="false">}</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E69.m1.54.54.54.27.27.27">,</mo></mrow></mtd></mtr><mtr id="S4.E69.m1.93.93.4g"><mtd id="S4.E69.m1.93.93.4h"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S4.E69.m1.93.93.4i"><mrow id="S4.E69.m1.93.93.4.92.36.36.36"><mrow id="S4.E69.m1.93.93.4.92.36.36.36.1"><msup id="S4.E69.m1.93.93.4.92.36.36.36.1.2"><mi id="S4.E69.m1.55.55.55.1.1.1" xref="S4.E69.m1.55.55.55.1.1.1.cmml">z</mi><mrow id="S4.E69.m1.56.56.56.2.2.2.1" xref="S4.E69.m1.56.56.56.2.2.2.1.cmml"><mi id="S4.E69.m1.56.56.56.2.2.2.1.2" xref="S4.E69.m1.56.56.56.2.2.2.1.2.cmml">k</mi><mo id="S4.E69.m1.56.56.56.2.2.2.1.1" xref="S4.E69.m1.56.56.56.2.2.2.1.1.cmml">+</mo><mn id="S4.E69.m1.56.56.56.2.2.2.1.3" xref="S4.E69.m1.56.56.56.2.2.2.1.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S4.E69.m1.57.57.57.3.3.3" xref="S4.E69.m1.57.57.57.3.3.3.cmml">=</mo><mrow id="S4.E69.m1.93.93.4.92.36.36.36.1.1"><msub id="S4.E69.m1.93.93.4.92.36.36.36.1.1.3"><mi id="S4.E69.m1.58.58.58.4.4.4" xref="S4.E69.m1.58.58.58.4.4.4.cmml">argmax</mi><mi id="S4.E69.m1.59.59.59.5.5.5.1" xref="S4.E69.m1.59.59.59.5.5.5.1.cmml">w</mi></msub><mo id="S4.E69.m1.93.93.4.92.36.36.36.1.1.2">⁢</mo><mrow id="S4.E69.m1.93.93.4.92.36.36.36.1.1.1.1"><mo id="S4.E69.m1.60.60.60.6.6.6" stretchy="false">{</mo><mrow id="S4.E69.m1.93.93.4.92.36.36.36.1.1.1.1.1"><mrow id="S4.E69.m1.93.93.4.92.36.36.36.1.1.1.1.1.2"><mi id="S4.E69.m1.61.61.61.7.7.7" xref="S4.E69.m1.61.61.61.7.7.7.cmml">L</mi><mo id="S4.E69.m1.93.93.4.92.36.36.36.1.1.1.1.1.2.3">⁢</mo><mrow id="S4.E69.m1.93.93.4.92.36.36.36.1.1.1.1.1.2.2.2"><mo id="S4.E69.m1.62.62.62.8.8.8" stretchy="false">(</mo><mrow id="S4.E69.m1.93.93.4.92.36.36.36.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><mrow id="S4.E69.m1.93.93.4.92.36.36.36.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><mn id="S4.E69.m1.63.63.63.9.9.9" xref="S4.E69.m1.63.63.63.9.9.9.cmml">2</mn><mo id="S4.E69.m1.93.93.4.92.36.36.36.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">⁢</mo><msup id="S4.E69.m1.93.93.4.92.36.36.36.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><mi id="S4.E69.m1.64.64.64.10.10.10" xref="S4.E69.m1.64.64.64.10.10.10.cmml">x</mi><mrow id="S4.E69.m1.65.65.65.11.11.11.1" xref="S4.E69.m1.65.65.65.11.11.11.1.cmml"><mi id="S4.E69.m1.65.65.65.11.11.11.1.2" xref="S4.E69.m1.65.65.65.11.11.11.1.2.cmml">k</mi><mo id="S4.E69.m1.65.65.65.11.11.11.1.1" xref="S4.E69.m1.65.65.65.11.11.11.1.1.cmml">+</mo><mn id="S4.E69.m1.65.65.65.11.11.11.1.3" xref="S4.E69.m1.65.65.65.11.11.11.1.3.cmml">1</mn></mrow></msup></mrow><mo id="S4.E69.m1.66.66.66.12.12.12" xref="S4.E69.m1.66.66.66.12.12.12.cmml">−</mo><msup id="S4.E69.m1.93.93.4.92.36.36.36.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><mi id="S4.E69.m1.67.67.67.13.13.13" xref="S4.E69.m1.67.67.67.13.13.13.cmml">x</mi><mi id="S4.E69.m1.68.68.68.14.14.14.1" xref="S4.E69.m1.68.68.68.14.14.14.1.cmml">k</mi></msup></mrow><mo id="S4.E69.m1.69.69.69.15.15.15">,</mo><mrow id="S4.E69.m1.93.93.4.92.36.36.36.1.1.1.1.1.2.2.2.2"><mrow id="S4.E69.m1.93.93.4.92.36.36.36.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1"><mn id="S4.E69.m1.70.70.70.16.16.16" xref="S4.E69.m1.70.70.70.16.16.16.cmml">2</mn><mo id="S4.E69.m1.93.93.4.92.36.36.36.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1">⁢</mo><msup id="S4.E69.m1.93.93.4.92.36.36.36.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.2"><mi id="S4.E69.m1.71.71.71.17.17.17" xref="S4.E69.m1.71.71.71.17.17.17.cmml">y</mi><mrow id="S4.E69.m1.72.72.72.18.18.18.1" xref="S4.E69.m1.72.72.72.18.18.18.1.cmml"><mi id="S4.E69.m1.72.72.72.18.18.18.1.2" xref="S4.E69.m1.72.72.72.18.18.18.1.2.cmml">k</mi><mo id="S4.E69.m1.72.72.72.18.18.18.1.1" xref="S4.E69.m1.72.72.72.18.18.18.1.1.cmml">+</mo><mn id="S4.E69.m1.72.72.72.18.18.18.1.3" xref="S4.E69.m1.72.72.72.18.18.18.1.3.cmml">1</mn></mrow></msup></mrow><mo id="S4.E69.m1.73.73.73.19.19.19" xref="S4.E69.m1.73.73.73.19.19.19.cmml">−</mo><msup id="S4.E69.m1.93.93.4.92.36.36.36.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2"><mi id="S4.E69.m1.74.74.74.20.20.20" xref="S4.E69.m1.74.74.74.20.20.20.cmml">y</mi><mi id="S4.E69.m1.75.75.75.21.21.21.1" xref="S4.E69.m1.75.75.75.21.21.21.1.cmml">k</mi></msup></mrow><mo id="S4.E69.m1.76.76.76.22.22.22">,</mo><mi id="S4.E69.m1.77.77.77.23.23.23" xref="S4.E69.m1.77.77.77.23.23.23.cmml">z</mi><mo id="S4.E69.m1.78.78.78.24.24.24" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E69.m1.79.79.79.25.25.25" xref="S4.E69.m1.79.79.79.25.25.25.cmml">−</mo><mrow id="S4.E69.m1.93.93.4.92.36.36.36.1.1.1.1.1.3"><mfrac id="S4.E69.m1.80.80.80.26.26.26" xref="S4.E69.m1.80.80.80.26.26.26.cmml"><mn id="S4.E69.m1.80.80.80.26.26.26.2" xref="S4.E69.m1.80.80.80.26.26.26.2.cmml">1</mn><mrow id="S4.E69.m1.80.80.80.26.26.26.3" xref="S4.E69.m1.80.80.80.26.26.26.3.cmml"><mn id="S4.E69.m1.80.80.80.26.26.26.3.2" xref="S4.E69.m1.80.80.80.26.26.26.3.2.cmml">2</mn><mo id="S4.E69.m1.80.80.80.26.26.26.3.1" xref="S4.E69.m1.80.80.80.26.26.26.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E69.m1.80.80.80.26.26.26.3.3" xref="S4.E69.m1.80.80.80.26.26.26.3.3.cmml">τ</mi></mrow></mfrac><mo id="S4.E69.m1.93.93.4.92.36.36.36.1.1.1.1.1.3.2">⁢</mo><msup id="S4.E69.m1.93.93.4.92.36.36.36.1.1.1.1.1.3.1"><mrow id="S4.E69.m1.93.93.4.92.36.36.36.1.1.1.1.1.3.1.1.1"><mo id="S4.E69.m1.81.81.81.27.27.27" stretchy="false">‖</mo><mrow id="S4.E69.m1.93.93.4.92.36.36.36.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1"><mi id="S4.E69.m1.82.82.82.28.28.28" xref="S4.E69.m1.82.82.82.28.28.28.cmml">z</mi><mo id="S4.E69.m1.83.83.83.29.29.29" xref="S4.E69.m1.83.83.83.29.29.29.cmml">−</mo><msup id="S4.E69.m1.93.93.4.92.36.36.36.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1"><mi id="S4.E69.m1.84.84.84.30.30.30" xref="S4.E69.m1.84.84.84.30.30.30.cmml">z</mi><mi id="S4.E69.m1.85.85.85.31.31.31.1" xref="S4.E69.m1.85.85.85.31.31.31.1.cmml">k</mi></msup></mrow><mo id="S4.E69.m1.86.86.86.32.32.32" stretchy="false">‖</mo></mrow><mn id="S4.E69.m1.87.87.87.33.33.33.1" xref="S4.E69.m1.87.87.87.33.33.33.1.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><mo id="S4.E69.m1.88.88.88.34.34.34" stretchy="false">}</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E69.m1.89.89.89.35.35.35">,</mo></mrow></mtd></mtr></mtable><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E69.m1.93b"><apply id="S4.E69.m1.90.90.1.1.1.3.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E69.m1.90.90.1.1.1.3a.cmml">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.E69.m1.90.90.1.1.1.1.1.cmml"><eq id="S4.E69.m1.3.3.3.3.3.3.cmml" xref="S4.E69.m1.3.3.3.3.3.3"></eq><apply id="S4.E69.m1.90.90.1.1.1.1.1.3.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E69.m1.90.90.1.1.1.1.1.3.1.cmml">superscript</csymbol><ci id="S4.E69.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E69.m1.1.1.1.1.1.1">𝑥</ci><apply id="S4.E69.m1.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E69.m1.2.2.2.2.2.2.1"><plus id="S4.E69.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S4.E69.m1.2.2.2.2.2.2.1.1"></plus><ci id="S4.E69.m1.2.2.2.2.2.2.1.2.cmml" 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id="S4.E69.m1.9.9.9.9.9.9.cmml" xref="S4.E69.m1.9.9.9.9.9.9">𝑥</ci><apply id="S4.E69.m1.90.90.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E69.m1.90.90.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">superscript</csymbol><ci id="S4.E69.m1.11.11.11.11.11.11.cmml" xref="S4.E69.m1.11.11.11.11.11.11">𝑦</ci><ci id="S4.E69.m1.12.12.12.12.12.12.1.cmml" xref="S4.E69.m1.12.12.12.12.12.12.1">𝑘</ci></apply><apply id="S4.E69.m1.90.90.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E69.m1.90.90.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml">superscript</csymbol><ci id="S4.E69.m1.14.14.14.14.14.14.cmml" xref="S4.E69.m1.14.14.14.14.14.14">𝑧</ci><ci id="S4.E69.m1.15.15.15.15.15.15.1.cmml" xref="S4.E69.m1.15.15.15.15.15.15.1">𝑘</ci></apply></vector></apply><apply id="S4.E69.m1.90.90.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><times id="S4.E69.m1.90.90.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"></times><apply id="S4.E69.m1.18.18.18.18.18.18.cmml" xref="S4.E69.m1.18.18.18.18.18.18"><divide id="S4.E69.m1.18.18.18.18.18.18.1.cmml" xref="S4.E69.m1.18.18.18.18.18.18"></divide><cn id="S4.E69.m1.18.18.18.18.18.18.2.cmml" type="integer" xref="S4.E69.m1.18.18.18.18.18.18.2">1</cn><apply id="S4.E69.m1.18.18.18.18.18.18.3.cmml" xref="S4.E69.m1.18.18.18.18.18.18.3"><times id="S4.E69.m1.18.18.18.18.18.18.3.1.cmml" xref="S4.E69.m1.18.18.18.18.18.18.3.1"></times><cn id="S4.E69.m1.18.18.18.18.18.18.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.E69.m1.18.18.18.18.18.18.3.2">2</cn><ci id="S4.E69.m1.18.18.18.18.18.18.3.3.cmml" xref="S4.E69.m1.18.18.18.18.18.18.3.3">𝜇</ci></apply></apply><apply id="S4.E69.m1.90.90.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E69.m1.90.90.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.cmml">superscript</csymbol><apply id="S4.E69.m1.90.90.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.cmml"><csymbol cd="latexml" id="S4.E69.m1.90.90.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.1.cmml">delimited-∥∥</csymbol><apply id="S4.E69.m1.90.90.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.cmml"><minus id="S4.E69.m1.21.21.21.21.21.21.cmml" xref="S4.E69.m1.21.21.21.21.21.21"></minus><ci id="S4.E69.m1.20.20.20.20.20.20.cmml" xref="S4.E69.m1.20.20.20.20.20.20">𝑥</ci><apply id="S4.E69.m1.90.90.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E69.m1.90.90.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.1.cmml">superscript</csymbol><ci id="S4.E69.m1.22.22.22.22.22.22.cmml" xref="S4.E69.m1.22.22.22.22.22.22">𝑥</ci><ci id="S4.E69.m1.23.23.23.23.23.23.1.cmml" xref="S4.E69.m1.23.23.23.23.23.23.1">𝑘</ci></apply></apply></apply><cn id="S4.E69.m1.25.25.25.25.25.25.1.cmml" type="integer" xref="S4.E69.m1.25.25.25.25.25.25.1">2</cn></apply></apply></apply></set></apply></apply><apply id="S4.E69.m1.90.90.1.1.1.2.2.3.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E69.m1.90.90.1.1.1.2.2.3a.cmml">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.E69.m1.90.90.1.1.1.2.2.1.1.cmml"><eq id="S4.E69.m1.30.30.30.3.3.3.cmml" xref="S4.E69.m1.30.30.30.3.3.3"></eq><apply id="S4.E69.m1.90.90.1.1.1.2.2.1.1.3.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E69.m1.90.90.1.1.1.2.2.1.1.3.1.cmml">superscript</csymbol><ci id="S4.E69.m1.28.28.28.1.1.1.cmml" xref="S4.E69.m1.28.28.28.1.1.1">𝑦</ci><apply id="S4.E69.m1.29.29.29.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E69.m1.29.29.29.2.2.2.1"><plus id="S4.E69.m1.29.29.29.2.2.2.1.1.cmml" xref="S4.E69.m1.29.29.29.2.2.2.1.1"></plus><ci id="S4.E69.m1.29.29.29.2.2.2.1.2.cmml" xref="S4.E69.m1.29.29.29.2.2.2.1.2">𝑘</ci><cn id="S4.E69.m1.29.29.29.2.2.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E69.m1.29.29.29.2.2.2.1.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.E69.m1.90.90.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><times id="S4.E69.m1.90.90.1.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml"></times><apply id="S4.E69.m1.90.90.1.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E69.m1.90.90.1.1.1.2.2.1.1.1.3.1.cmml">subscript</csymbol><ci id="S4.E69.m1.31.31.31.4.4.4.cmml" xref="S4.E69.m1.31.31.31.4.4.4">argmin</ci><ci id="S4.E69.m1.32.32.32.5.5.5.1.cmml" xref="S4.E69.m1.32.32.32.5.5.5.1">𝑦</ci></apply><set id="S4.E69.m1.90.90.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><apply id="S4.E69.m1.90.90.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><plus id="S4.E69.m1.44.44.44.17.17.17.cmml" xref="S4.E69.m1.44.44.44.17.17.17"></plus><apply id="S4.E69.m1.90.90.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><times id="S4.E69.m1.90.90.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"></times><ci id="S4.E69.m1.34.34.34.7.7.7.cmml" xref="S4.E69.m1.34.34.34.7.7.7">𝐿</ci><vector id="S4.E69.m1.90.90.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><apply id="S4.E69.m1.90.90.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E69.m1.90.90.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">superscript</csymbol><ci id="S4.E69.m1.36.36.36.9.9.9.cmml" xref="S4.E69.m1.36.36.36.9.9.9">𝑥</ci><ci id="S4.E69.m1.37.37.37.10.10.10.1.cmml" xref="S4.E69.m1.37.37.37.10.10.10.1">𝑘</ci></apply><ci id="S4.E69.m1.39.39.39.12.12.12.cmml" xref="S4.E69.m1.39.39.39.12.12.12">𝑦</ci><apply id="S4.E69.m1.90.90.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E69.m1.90.90.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml">superscript</csymbol><ci id="S4.E69.m1.41.41.41.14.14.14.cmml" xref="S4.E69.m1.41.41.41.14.14.14">𝑧</ci><ci id="S4.E69.m1.42.42.42.15.15.15.1.cmml" xref="S4.E69.m1.42.42.42.15.15.15.1">𝑘</ci></apply></vector></apply><apply id="S4.E69.m1.90.90.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><times id="S4.E69.m1.90.90.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"></times><apply id="S4.E69.m1.45.45.45.18.18.18.cmml" xref="S4.E69.m1.45.45.45.18.18.18"><divide id="S4.E69.m1.45.45.45.18.18.18.1.cmml" xref="S4.E69.m1.45.45.45.18.18.18"></divide><cn id="S4.E69.m1.45.45.45.18.18.18.2.cmml" type="integer" xref="S4.E69.m1.45.45.45.18.18.18.2">1</cn><apply id="S4.E69.m1.45.45.45.18.18.18.3.cmml" xref="S4.E69.m1.45.45.45.18.18.18.3"><times id="S4.E69.m1.45.45.45.18.18.18.3.1.cmml" xref="S4.E69.m1.45.45.45.18.18.18.3.1"></times><cn id="S4.E69.m1.45.45.45.18.18.18.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.E69.m1.45.45.45.18.18.18.3.2">2</cn><ci id="S4.E69.m1.45.45.45.18.18.18.3.3.cmml" xref="S4.E69.m1.45.45.45.18.18.18.3.3">𝜈</ci></apply></apply><apply id="S4.E69.m1.90.90.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E69.m1.90.90.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.2.cmml">superscript</csymbol><apply id="S4.E69.m1.90.90.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.cmml"><csymbol cd="latexml" id="S4.E69.m1.90.90.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.1.cmml">delimited-∥∥</csymbol><apply id="S4.E69.m1.90.90.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.cmml"><minus id="S4.E69.m1.48.48.48.21.21.21.cmml" xref="S4.E69.m1.48.48.48.21.21.21"></minus><ci id="S4.E69.m1.47.47.47.20.20.20.cmml" xref="S4.E69.m1.47.47.47.20.20.20">𝑦</ci><apply id="S4.E69.m1.90.90.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E69.m1.90.90.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.1.cmml">superscript</csymbol><ci id="S4.E69.m1.49.49.49.22.22.22.cmml" xref="S4.E69.m1.49.49.49.22.22.22">𝑦</ci><ci id="S4.E69.m1.50.50.50.23.23.23.1.cmml" xref="S4.E69.m1.50.50.50.23.23.23.1">𝑘</ci></apply></apply></apply><cn id="S4.E69.m1.52.52.52.25.25.25.1.cmml" type="integer" xref="S4.E69.m1.52.52.52.25.25.25.1">2</cn></apply></apply></apply></set></apply></apply><apply id="S4.E69.m1.90.90.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><eq id="S4.E69.m1.57.57.57.3.3.3.cmml" xref="S4.E69.m1.57.57.57.3.3.3"></eq><apply id="S4.E69.m1.90.90.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E69.m1.90.90.1.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml">superscript</csymbol><ci id="S4.E69.m1.55.55.55.1.1.1.cmml" xref="S4.E69.m1.55.55.55.1.1.1">𝑧</ci><apply id="S4.E69.m1.56.56.56.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E69.m1.56.56.56.2.2.2.1"><plus id="S4.E69.m1.56.56.56.2.2.2.1.1.cmml" xref="S4.E69.m1.56.56.56.2.2.2.1.1"></plus><ci id="S4.E69.m1.56.56.56.2.2.2.1.2.cmml" xref="S4.E69.m1.56.56.56.2.2.2.1.2">𝑘</ci><cn id="S4.E69.m1.56.56.56.2.2.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E69.m1.56.56.56.2.2.2.1.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.E69.m1.90.90.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml"><times id="S4.E69.m1.90.90.1.1.1.2.2.2.2.1.2.cmml"></times><apply id="S4.E69.m1.90.90.1.1.1.2.2.2.2.1.3.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E69.m1.90.90.1.1.1.2.2.2.2.1.3.1.cmml">subscript</csymbol><ci id="S4.E69.m1.58.58.58.4.4.4.cmml" xref="S4.E69.m1.58.58.58.4.4.4">argmax</ci><ci id="S4.E69.m1.59.59.59.5.5.5.1.cmml" xref="S4.E69.m1.59.59.59.5.5.5.1">𝑤</ci></apply><set id="S4.E69.m1.90.90.1.1.1.2.2.2.2.1.1.2.cmml"><apply id="S4.E69.m1.90.90.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><minus id="S4.E69.m1.79.79.79.25.25.25.cmml" xref="S4.E69.m1.79.79.79.25.25.25"></minus><apply id="S4.E69.m1.90.90.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><times id="S4.E69.m1.90.90.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml"></times><ci id="S4.E69.m1.61.61.61.7.7.7.cmml" xref="S4.E69.m1.61.61.61.7.7.7">𝐿</ci><vector id="S4.E69.m1.90.90.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><apply id="S4.E69.m1.90.90.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><minus id="S4.E69.m1.66.66.66.12.12.12.cmml" xref="S4.E69.m1.66.66.66.12.12.12"></minus><apply id="S4.E69.m1.90.90.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><times id="S4.E69.m1.90.90.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml"></times><cn id="S4.E69.m1.63.63.63.9.9.9.cmml" type="integer" xref="S4.E69.m1.63.63.63.9.9.9">2</cn><apply id="S4.E69.m1.90.90.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E69.m1.90.90.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">superscript</csymbol><ci id="S4.E69.m1.64.64.64.10.10.10.cmml" xref="S4.E69.m1.64.64.64.10.10.10">𝑥</ci><apply id="S4.E69.m1.65.65.65.11.11.11.1.cmml" xref="S4.E69.m1.65.65.65.11.11.11.1"><plus id="S4.E69.m1.65.65.65.11.11.11.1.1.cmml" xref="S4.E69.m1.65.65.65.11.11.11.1.1"></plus><ci id="S4.E69.m1.65.65.65.11.11.11.1.2.cmml" xref="S4.E69.m1.65.65.65.11.11.11.1.2">𝑘</ci><cn id="S4.E69.m1.65.65.65.11.11.11.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E69.m1.65.65.65.11.11.11.1.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S4.E69.m1.90.90.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E69.m1.90.90.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">superscript</csymbol><ci id="S4.E69.m1.67.67.67.13.13.13.cmml" xref="S4.E69.m1.67.67.67.13.13.13">𝑥</ci><ci id="S4.E69.m1.68.68.68.14.14.14.1.cmml" xref="S4.E69.m1.68.68.68.14.14.14.1">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S4.E69.m1.90.90.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><minus id="S4.E69.m1.73.73.73.19.19.19.cmml" xref="S4.E69.m1.73.73.73.19.19.19"></minus><apply id="S4.E69.m1.90.90.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><times id="S4.E69.m1.90.90.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml"></times><cn id="S4.E69.m1.70.70.70.16.16.16.cmml" type="integer" xref="S4.E69.m1.70.70.70.16.16.16">2</cn><apply id="S4.E69.m1.90.90.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E69.m1.90.90.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.1.cmml">superscript</csymbol><ci id="S4.E69.m1.71.71.71.17.17.17.cmml" xref="S4.E69.m1.71.71.71.17.17.17">𝑦</ci><apply id="S4.E69.m1.72.72.72.18.18.18.1.cmml" xref="S4.E69.m1.72.72.72.18.18.18.1"><plus id="S4.E69.m1.72.72.72.18.18.18.1.1.cmml" xref="S4.E69.m1.72.72.72.18.18.18.1.1"></plus><ci id="S4.E69.m1.72.72.72.18.18.18.1.2.cmml" 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id="S4.E69.m1.93d">start_ROW start_CELL end_CELL start_CELL italic_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUPERSCRIPT = roman_argmin start_POSTSUBSCRIPT italic_x end_POSTSUBSCRIPT { italic_L ( italic_x , italic_y start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT , italic_z start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT ) + divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 italic_μ end_ARG ∥ italic_x - italic_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT ∥ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT } , end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL end_CELL start_CELL italic_y start_POSTSUPERSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUPERSCRIPT = roman_argmin start_POSTSUBSCRIPT italic_y end_POSTSUBSCRIPT { italic_L ( italic_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT , italic_y , italic_z start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT ) + divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 italic_ν end_ARG ∥ italic_y - italic_y start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT ∥ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT } , end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL end_CELL start_CELL italic_z start_POSTSUPERSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUPERSCRIPT = roman_argmax start_POSTSUBSCRIPT italic_w end_POSTSUBSCRIPT { italic_L ( 2 italic_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUPERSCRIPT - italic_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT , 2 italic_y start_POSTSUPERSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUPERSCRIPT - italic_y start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT , italic_z ) - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 italic_τ end_ARG ∥ italic_z - italic_z start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT ∥ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT } , end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(69)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.SSS1.p4.4">converges when the step sizes <math alttext="\mu,\nu,\tau>0" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.SSS1.p4.4.m1.3"><semantics id="S4.SS2.SSS1.p4.4.m1.3a"><mrow id="S4.SS2.SSS1.p4.4.m1.3.4" xref="S4.SS2.SSS1.p4.4.m1.3.4.cmml"><mrow id="S4.SS2.SSS1.p4.4.m1.3.4.2.2" xref="S4.SS2.SSS1.p4.4.m1.3.4.2.1.cmml"><mi id="S4.SS2.SSS1.p4.4.m1.1.1" xref="S4.SS2.SSS1.p4.4.m1.1.1.cmml">μ</mi><mo id="S4.SS2.SSS1.p4.4.m1.3.4.2.2.1" xref="S4.SS2.SSS1.p4.4.m1.3.4.2.1.cmml">,</mo><mi id="S4.SS2.SSS1.p4.4.m1.2.2" xref="S4.SS2.SSS1.p4.4.m1.2.2.cmml">ν</mi><mo id="S4.SS2.SSS1.p4.4.m1.3.4.2.2.2" xref="S4.SS2.SSS1.p4.4.m1.3.4.2.1.cmml">,</mo><mi id="S4.SS2.SSS1.p4.4.m1.3.3" xref="S4.SS2.SSS1.p4.4.m1.3.3.cmml">τ</mi></mrow><mo id="S4.SS2.SSS1.p4.4.m1.3.4.1" xref="S4.SS2.SSS1.p4.4.m1.3.4.1.cmml">></mo><mn id="S4.SS2.SSS1.p4.4.m1.3.4.3" xref="S4.SS2.SSS1.p4.4.m1.3.4.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.SSS1.p4.4.m1.3b"><apply id="S4.SS2.SSS1.p4.4.m1.3.4.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p4.4.m1.3.4"><gt id="S4.SS2.SSS1.p4.4.m1.3.4.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p4.4.m1.3.4.1"></gt><list id="S4.SS2.SSS1.p4.4.m1.3.4.2.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p4.4.m1.3.4.2.2"><ci id="S4.SS2.SSS1.p4.4.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p4.4.m1.1.1">𝜇</ci><ci id="S4.SS2.SSS1.p4.4.m1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p4.4.m1.2.2">𝜈</ci><ci id="S4.SS2.SSS1.p4.4.m1.3.3.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p4.4.m1.3.3">𝜏</ci></list><cn id="S4.SS2.SSS1.p4.4.m1.3.4.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.SSS1.p4.4.m1.3.4.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.SSS1.p4.4.m1.3c">\mu,\nu,\tau>0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.SSS1.p4.4.m1.3d">italic_μ , italic_ν , italic_τ > 0</annotation></semantics></math> satisfy</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E70"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="1>\tau\mu\lambda_{\max}(A^{T}A)+\tau\nu\lambda_{\max}(B^{T}B)." class="ltx_Math" display="block" id="S4.E70.m1.1"><semantics id="S4.E70.m1.1a"><mrow id="S4.E70.m1.1.1.1" xref="S4.E70.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E70.m1.1.1.1.1" xref="S4.E70.m1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S4.E70.m1.1.1.1.1.4" xref="S4.E70.m1.1.1.1.1.4.cmml">1</mn><mo id="S4.E70.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.E70.m1.1.1.1.1.3.cmml">></mo><mrow id="S4.E70.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.E70.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S4.E70.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E70.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E70.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E70.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">τ</mi><mo id="S4.E70.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E70.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E70.m1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S4.E70.m1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">μ</mi><mo id="S4.E70.m1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S4.E70.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E70.m1.1.1.1.1.1.1.5" xref="S4.E70.m1.1.1.1.1.1.1.5.cmml"><mi id="S4.E70.m1.1.1.1.1.1.1.5.2" xref="S4.E70.m1.1.1.1.1.1.1.5.2.cmml">λ</mi><mi id="S4.E70.m1.1.1.1.1.1.1.5.3" xref="S4.E70.m1.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml">max</mi></msub><mo id="S4.E70.m1.1.1.1.1.1.1.2b" xref="S4.E70.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E70.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E70.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E70.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E70.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E70.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E70.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S4.E70.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E70.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E70.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E70.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">A</mi><mi id="S4.E70.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E70.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">T</mi></msup><mo id="S4.E70.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E70.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E70.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E70.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">A</mi></mrow><mo id="S4.E70.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E70.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E70.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E70.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">+</mo><mrow id="S4.E70.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E70.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.E70.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.E70.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">τ</mi><mo id="S4.E70.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.E70.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E70.m1.1.1.1.1.2.2.4" xref="S4.E70.m1.1.1.1.1.2.2.4.cmml">ν</mi><mo id="S4.E70.m1.1.1.1.1.2.2.2a" xref="S4.E70.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E70.m1.1.1.1.1.2.2.5" xref="S4.E70.m1.1.1.1.1.2.2.5.cmml"><mi id="S4.E70.m1.1.1.1.1.2.2.5.2" xref="S4.E70.m1.1.1.1.1.2.2.5.2.cmml">λ</mi><mi id="S4.E70.m1.1.1.1.1.2.2.5.3" xref="S4.E70.m1.1.1.1.1.2.2.5.3.cmml">max</mi></msub><mo id="S4.E70.m1.1.1.1.1.2.2.2b" xref="S4.E70.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E70.m1.1.1.1.1.2.2.1.1" xref="S4.E70.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E70.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E70.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E70.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1" xref="S4.E70.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><msup id="S4.E70.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2" xref="S4.E70.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E70.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2" xref="S4.E70.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.cmml">B</mi><mi id="S4.E70.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3" xref="S4.E70.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.cmml">T</mi></msup><mo id="S4.E70.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1" xref="S4.E70.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E70.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3" xref="S4.E70.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml">B</mi></mrow><mo id="S4.E70.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E70.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E70.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S4.E70.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E70.m1.1b"><apply id="S4.E70.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E70.m1.1.1.1"><gt id="S4.E70.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E70.m1.1.1.1.1.3"></gt><cn id="S4.E70.m1.1.1.1.1.4.cmml" type="integer" 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id="S4.E70.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E70.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E70.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E70.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.E70.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E70.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝐴</ci><ci id="S4.E70.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E70.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑇</ci></apply><ci id="S4.E70.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E70.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝐴</ci></apply></apply><apply id="S4.E70.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E70.m1.1.1.1.1.2.2"><times id="S4.E70.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.E70.m1.1.1.1.1.2.2.2"></times><ci id="S4.E70.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.E70.m1.1.1.1.1.2.2.3">𝜏</ci><ci id="S4.E70.m1.1.1.1.1.2.2.4.cmml" xref="S4.E70.m1.1.1.1.1.2.2.4">𝜈</ci><apply id="S4.E70.m1.1.1.1.1.2.2.5.cmml" xref="S4.E70.m1.1.1.1.1.2.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E70.m1.1.1.1.1.2.2.5.1.cmml" xref="S4.E70.m1.1.1.1.1.2.2.5">subscript</csymbol><ci id="S4.E70.m1.1.1.1.1.2.2.5.2.cmml" xref="S4.E70.m1.1.1.1.1.2.2.5.2">𝜆</ci><max id="S4.E70.m1.1.1.1.1.2.2.5.3.cmml" xref="S4.E70.m1.1.1.1.1.2.2.5.3"></max></apply><apply id="S4.E70.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.E70.m1.1.1.1.1.2.2.1.1"><times id="S4.E70.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E70.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1"></times><apply id="S4.E70.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E70.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E70.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E70.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.E70.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E70.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2">𝐵</ci><ci id="S4.E70.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E70.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3">𝑇</ci></apply><ci id="S4.E70.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E70.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3">𝐵</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E70.m1.1c">1>\tau\mu\lambda_{\max}(A^{T}A)+\tau\nu\lambda_{\max}(B^{T}B).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E70.m1.1d">1 > italic_τ italic_μ italic_λ start_POSTSUBSCRIPT roman_max end_POSTSUBSCRIPT ( italic_A start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT italic_A ) + italic_τ italic_ν italic_λ start_POSTSUBSCRIPT roman_max end_POSTSUBSCRIPT ( italic_B start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT italic_B ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(70)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.SSS1.p4.6">PDHG method can be interpreted as a proximal point method <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib25" title="">2012Convergence </a></cite>, and the convergence analysis can be simplified.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS2.SSS1.p5"> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.SSS1.p5.1">The iterative steps of PDHG algorithm for (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S4.E67" title="In 4.2.1 Numerical Method for (63) ‣ 4.2 Numerical Method for problem (62) ‣ 4 Numerical Algorithm ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">67</span></a>) is</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E71"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\begin{split}&m^{k+1}=\mathrm{shrink}_{m}(m^{k}+\mu\nabla\phi^{k};\mu\lambda),% \\ &v^{k+1}=(v^{k}/\nu+\alpha f_{1}+\phi)/(\alpha+1/\nu),\\ &\hat{m}^{k+1}=2m^{k+1}-m^{k},\hat{v}^{k+1}=2v^{k+1}-v^{k},\\ &\phi^{k+1}=\phi^{k}+\tau(\mathrm{div}(\hat{m}^{k+1})-\hat{v}^{k+1}).\end{split}" class="ltx_Math" display="block" id="S4.E71.m1.85"><semantics id="S4.E71.m1.85a"><mtable columnspacing="0pt" displaystyle="true" id="S4.E71.m1.85.85.5" rowspacing="0pt"><mtr id="S4.E71.m1.85.85.5a"><mtd id="S4.E71.m1.85.85.5b"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S4.E71.m1.85.85.5c"><mrow id="S4.E71.m1.82.82.2.81.19.19.19"><mrow id="S4.E71.m1.82.82.2.81.19.19.19.1"><msup id="S4.E71.m1.82.82.2.81.19.19.19.1.3"><mi id="S4.E71.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E71.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">m</mi><mrow id="S4.E71.m1.2.2.2.2.2.2.1" xref="S4.E71.m1.2.2.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="S4.E71.m1.2.2.2.2.2.2.1.2" xref="S4.E71.m1.2.2.2.2.2.2.1.2.cmml">k</mi><mo id="S4.E71.m1.2.2.2.2.2.2.1.1" xref="S4.E71.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.cmml">+</mo><mn id="S4.E71.m1.2.2.2.2.2.2.1.3" xref="S4.E71.m1.2.2.2.2.2.2.1.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S4.E71.m1.3.3.3.3.3.3" xref="S4.E71.m1.3.3.3.3.3.3.cmml">=</mo><mrow id="S4.E71.m1.82.82.2.81.19.19.19.1.2"><msub id="S4.E71.m1.82.82.2.81.19.19.19.1.2.4"><mi id="S4.E71.m1.4.4.4.4.4.4" xref="S4.E71.m1.4.4.4.4.4.4.cmml">shrink</mi><mi id="S4.E71.m1.5.5.5.5.5.5.1" xref="S4.E71.m1.5.5.5.5.5.5.1.cmml">m</mi></msub><mo id="S4.E71.m1.82.82.2.81.19.19.19.1.2.3">⁢</mo><mrow id="S4.E71.m1.82.82.2.81.19.19.19.1.2.2.2"><mo id="S4.E71.m1.6.6.6.6.6.6" stretchy="false">(</mo><mrow id="S4.E71.m1.82.82.2.81.19.19.19.1.1.1.1.1"><msup id="S4.E71.m1.82.82.2.81.19.19.19.1.1.1.1.1.1"><mi id="S4.E71.m1.7.7.7.7.7.7" xref="S4.E71.m1.7.7.7.7.7.7.cmml">m</mi><mi id="S4.E71.m1.8.8.8.8.8.8.1" xref="S4.E71.m1.8.8.8.8.8.8.1.cmml">k</mi></msup><mo id="S4.E71.m1.9.9.9.9.9.9" xref="S4.E71.m1.9.9.9.9.9.9.cmml">+</mo><mrow id="S4.E71.m1.82.82.2.81.19.19.19.1.1.1.1.1.2"><mi id="S4.E71.m1.10.10.10.10.10.10" xref="S4.E71.m1.10.10.10.10.10.10.cmml">μ</mi><mo id="S4.E71.m1.82.82.2.81.19.19.19.1.1.1.1.1.2.1" lspace="0.167em">⁢</mo><mrow id="S4.E71.m1.82.82.2.81.19.19.19.1.1.1.1.1.2.2"><mo id="S4.E71.m1.11.11.11.11.11.11" rspace="0.167em" xref="S4.E71.m1.11.11.11.11.11.11.cmml">∇</mo><msup id="S4.E71.m1.82.82.2.81.19.19.19.1.1.1.1.1.2.2.1"><mi id="S4.E71.m1.12.12.12.12.12.12" xref="S4.E71.m1.12.12.12.12.12.12.cmml">ϕ</mi><mi id="S4.E71.m1.13.13.13.13.13.13.1" xref="S4.E71.m1.13.13.13.13.13.13.1.cmml">k</mi></msup></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E71.m1.14.14.14.14.14.14">;</mo><mrow id="S4.E71.m1.82.82.2.81.19.19.19.1.2.2.2.2"><mi id="S4.E71.m1.15.15.15.15.15.15" xref="S4.E71.m1.15.15.15.15.15.15.cmml">μ</mi><mo id="S4.E71.m1.82.82.2.81.19.19.19.1.2.2.2.2.1">⁢</mo><mi id="S4.E71.m1.16.16.16.16.16.16" xref="S4.E71.m1.16.16.16.16.16.16.cmml">λ</mi></mrow><mo id="S4.E71.m1.17.17.17.17.17.17" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E71.m1.18.18.18.18.18.18">,</mo></mrow></mtd></mtr><mtr id="S4.E71.m1.85.85.5d"><mtd id="S4.E71.m1.85.85.5e"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S4.E71.m1.85.85.5f"><mrow id="S4.E71.m1.83.83.3.82.25.25.25"><mrow id="S4.E71.m1.83.83.3.82.25.25.25.1"><msup id="S4.E71.m1.83.83.3.82.25.25.25.1.3"><mi id="S4.E71.m1.19.19.19.1.1.1" xref="S4.E71.m1.19.19.19.1.1.1.cmml">v</mi><mrow id="S4.E71.m1.20.20.20.2.2.2.1" xref="S4.E71.m1.20.20.20.2.2.2.1.cmml"><mi id="S4.E71.m1.20.20.20.2.2.2.1.2" xref="S4.E71.m1.20.20.20.2.2.2.1.2.cmml">k</mi><mo id="S4.E71.m1.20.20.20.2.2.2.1.1" xref="S4.E71.m1.20.20.20.2.2.2.1.1.cmml">+</mo><mn id="S4.E71.m1.20.20.20.2.2.2.1.3" xref="S4.E71.m1.20.20.20.2.2.2.1.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S4.E71.m1.21.21.21.3.3.3" xref="S4.E71.m1.21.21.21.3.3.3.cmml">=</mo><mrow id="S4.E71.m1.83.83.3.82.25.25.25.1.2"><mrow id="S4.E71.m1.83.83.3.82.25.25.25.1.1.1.1"><mo id="S4.E71.m1.22.22.22.4.4.4" stretchy="false">(</mo><mrow id="S4.E71.m1.83.83.3.82.25.25.25.1.1.1.1.1"><mrow id="S4.E71.m1.83.83.3.82.25.25.25.1.1.1.1.1.1"><msup id="S4.E71.m1.83.83.3.82.25.25.25.1.1.1.1.1.1.1"><mi id="S4.E71.m1.23.23.23.5.5.5" xref="S4.E71.m1.23.23.23.5.5.5.cmml">v</mi><mi id="S4.E71.m1.24.24.24.6.6.6.1" xref="S4.E71.m1.24.24.24.6.6.6.1.cmml">k</mi></msup><mo id="S4.E71.m1.25.25.25.7.7.7" xref="S4.E71.m1.25.25.25.7.7.7.cmml">/</mo><mi id="S4.E71.m1.26.26.26.8.8.8" xref="S4.E71.m1.26.26.26.8.8.8.cmml">ν</mi></mrow><mo id="S4.E71.m1.27.27.27.9.9.9" xref="S4.E71.m1.27.27.27.9.9.9.cmml">+</mo><mrow id="S4.E71.m1.83.83.3.82.25.25.25.1.1.1.1.1.2"><mi id="S4.E71.m1.28.28.28.10.10.10" xref="S4.E71.m1.28.28.28.10.10.10.cmml">α</mi><mo id="S4.E71.m1.83.83.3.82.25.25.25.1.1.1.1.1.2.1">⁢</mo><msub id="S4.E71.m1.83.83.3.82.25.25.25.1.1.1.1.1.2.2"><mi id="S4.E71.m1.29.29.29.11.11.11" xref="S4.E71.m1.29.29.29.11.11.11.cmml">f</mi><mn id="S4.E71.m1.30.30.30.12.12.12.1" xref="S4.E71.m1.30.30.30.12.12.12.1.cmml">1</mn></msub></mrow><mo id="S4.E71.m1.27.27.27.9.9.9a" xref="S4.E71.m1.27.27.27.9.9.9.cmml">+</mo><mi id="S4.E71.m1.32.32.32.14.14.14" xref="S4.E71.m1.32.32.32.14.14.14.cmml">ϕ</mi></mrow><mo id="S4.E71.m1.33.33.33.15.15.15" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S4.E71.m1.34.34.34.16.16.16" xref="S4.E71.m1.34.34.34.16.16.16.cmml">/</mo><mrow id="S4.E71.m1.83.83.3.82.25.25.25.1.2.2.1"><mo id="S4.E71.m1.35.35.35.17.17.17" stretchy="false">(</mo><mrow id="S4.E71.m1.83.83.3.82.25.25.25.1.2.2.1.1"><mi id="S4.E71.m1.36.36.36.18.18.18" xref="S4.E71.m1.36.36.36.18.18.18.cmml">α</mi><mo id="S4.E71.m1.37.37.37.19.19.19" xref="S4.E71.m1.37.37.37.19.19.19.cmml">+</mo><mrow id="S4.E71.m1.83.83.3.82.25.25.25.1.2.2.1.1.1"><mn id="S4.E71.m1.38.38.38.20.20.20" xref="S4.E71.m1.38.38.38.20.20.20.cmml">1</mn><mo id="S4.E71.m1.39.39.39.21.21.21" xref="S4.E71.m1.39.39.39.21.21.21.cmml">/</mo><mi id="S4.E71.m1.40.40.40.22.22.22" xref="S4.E71.m1.40.40.40.22.22.22.cmml">ν</mi></mrow></mrow><mo id="S4.E71.m1.41.41.41.23.23.23" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E71.m1.42.42.42.24.24.24">,</mo></mrow></mtd></mtr><mtr id="S4.E71.m1.85.85.5g"><mtd id="S4.E71.m1.85.85.5h"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S4.E71.m1.85.85.5i"><mrow id="S4.E71.m1.84.84.4.83.21.21.21"><mrow id="S4.E71.m1.84.84.4.83.21.21.21.1"><mrow id="S4.E71.m1.84.84.4.83.21.21.21.1.1.1"><msup id="S4.E71.m1.84.84.4.83.21.21.21.1.1.1.1"><mover accent="true" id="S4.E71.m1.43.43.43.1.1.1" xref="S4.E71.m1.43.43.43.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E71.m1.43.43.43.1.1.1.2" xref="S4.E71.m1.43.43.43.1.1.1.2.cmml">m</mi><mo id="S4.E71.m1.43.43.43.1.1.1.1" xref="S4.E71.m1.43.43.43.1.1.1.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S4.E71.m1.44.44.44.2.2.2.1" xref="S4.E71.m1.44.44.44.2.2.2.1.cmml"><mi id="S4.E71.m1.44.44.44.2.2.2.1.2" xref="S4.E71.m1.44.44.44.2.2.2.1.2.cmml">k</mi><mo id="S4.E71.m1.44.44.44.2.2.2.1.1" xref="S4.E71.m1.44.44.44.2.2.2.1.1.cmml">+</mo><mn id="S4.E71.m1.44.44.44.2.2.2.1.3" xref="S4.E71.m1.44.44.44.2.2.2.1.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S4.E71.m1.45.45.45.3.3.3" xref="S4.E71.m1.45.45.45.3.3.3.cmml">=</mo><mrow id="S4.E71.m1.84.84.4.83.21.21.21.1.1.1.2"><mrow id="S4.E71.m1.84.84.4.83.21.21.21.1.1.1.2.1"><mn id="S4.E71.m1.46.46.46.4.4.4" xref="S4.E71.m1.46.46.46.4.4.4.cmml">2</mn><mo id="S4.E71.m1.84.84.4.83.21.21.21.1.1.1.2.1.1">⁢</mo><msup id="S4.E71.m1.84.84.4.83.21.21.21.1.1.1.2.1.2"><mi id="S4.E71.m1.47.47.47.5.5.5" xref="S4.E71.m1.47.47.47.5.5.5.cmml">m</mi><mrow id="S4.E71.m1.48.48.48.6.6.6.1" xref="S4.E71.m1.48.48.48.6.6.6.1.cmml"><mi id="S4.E71.m1.48.48.48.6.6.6.1.2" xref="S4.E71.m1.48.48.48.6.6.6.1.2.cmml">k</mi><mo id="S4.E71.m1.48.48.48.6.6.6.1.1" xref="S4.E71.m1.48.48.48.6.6.6.1.1.cmml">+</mo><mn id="S4.E71.m1.48.48.48.6.6.6.1.3" xref="S4.E71.m1.48.48.48.6.6.6.1.3.cmml">1</mn></mrow></msup></mrow><mo id="S4.E71.m1.49.49.49.7.7.7" xref="S4.E71.m1.49.49.49.7.7.7.cmml">−</mo><msup id="S4.E71.m1.84.84.4.83.21.21.21.1.1.1.2.2"><mi id="S4.E71.m1.50.50.50.8.8.8" xref="S4.E71.m1.50.50.50.8.8.8.cmml">m</mi><mi id="S4.E71.m1.51.51.51.9.9.9.1" xref="S4.E71.m1.51.51.51.9.9.9.1.cmml">k</mi></msup></mrow></mrow><mo id="S4.E71.m1.52.52.52.10.10.10">,</mo><mrow id="S4.E71.m1.84.84.4.83.21.21.21.1.2.2"><msup id="S4.E71.m1.84.84.4.83.21.21.21.1.2.2.1"><mover accent="true" id="S4.E71.m1.53.53.53.11.11.11" xref="S4.E71.m1.53.53.53.11.11.11.cmml"><mi id="S4.E71.m1.53.53.53.11.11.11.2" xref="S4.E71.m1.53.53.53.11.11.11.2.cmml">v</mi><mo id="S4.E71.m1.53.53.53.11.11.11.1" xref="S4.E71.m1.53.53.53.11.11.11.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S4.E71.m1.54.54.54.12.12.12.1" xref="S4.E71.m1.54.54.54.12.12.12.1.cmml"><mi id="S4.E71.m1.54.54.54.12.12.12.1.2" xref="S4.E71.m1.54.54.54.12.12.12.1.2.cmml">k</mi><mo id="S4.E71.m1.54.54.54.12.12.12.1.1" xref="S4.E71.m1.54.54.54.12.12.12.1.1.cmml">+</mo><mn id="S4.E71.m1.54.54.54.12.12.12.1.3" xref="S4.E71.m1.54.54.54.12.12.12.1.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S4.E71.m1.55.55.55.13.13.13" xref="S4.E71.m1.55.55.55.13.13.13.cmml">=</mo><mrow id="S4.E71.m1.84.84.4.83.21.21.21.1.2.2.2"><mrow id="S4.E71.m1.84.84.4.83.21.21.21.1.2.2.2.1"><mn id="S4.E71.m1.56.56.56.14.14.14" xref="S4.E71.m1.56.56.56.14.14.14.cmml">2</mn><mo id="S4.E71.m1.84.84.4.83.21.21.21.1.2.2.2.1.1">⁢</mo><msup id="S4.E71.m1.84.84.4.83.21.21.21.1.2.2.2.1.2"><mi id="S4.E71.m1.57.57.57.15.15.15" xref="S4.E71.m1.57.57.57.15.15.15.cmml">v</mi><mrow id="S4.E71.m1.58.58.58.16.16.16.1" xref="S4.E71.m1.58.58.58.16.16.16.1.cmml"><mi id="S4.E71.m1.58.58.58.16.16.16.1.2" xref="S4.E71.m1.58.58.58.16.16.16.1.2.cmml">k</mi><mo id="S4.E71.m1.58.58.58.16.16.16.1.1" xref="S4.E71.m1.58.58.58.16.16.16.1.1.cmml">+</mo><mn id="S4.E71.m1.58.58.58.16.16.16.1.3" xref="S4.E71.m1.58.58.58.16.16.16.1.3.cmml">1</mn></mrow></msup></mrow><mo id="S4.E71.m1.59.59.59.17.17.17" xref="S4.E71.m1.59.59.59.17.17.17.cmml">−</mo><msup id="S4.E71.m1.84.84.4.83.21.21.21.1.2.2.2.2"><mi id="S4.E71.m1.60.60.60.18.18.18" xref="S4.E71.m1.60.60.60.18.18.18.cmml">v</mi><mi id="S4.E71.m1.61.61.61.19.19.19.1" xref="S4.E71.m1.61.61.61.19.19.19.1.cmml">k</mi></msup></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E71.m1.62.62.62.20.20.20">,</mo></mrow></mtd></mtr><mtr id="S4.E71.m1.85.85.5j"><mtd id="S4.E71.m1.85.85.5k"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S4.E71.m1.85.85.5l"><mrow id="S4.E71.m1.85.85.5.84.19.19.19"><mrow id="S4.E71.m1.85.85.5.84.19.19.19.1"><msup id="S4.E71.m1.85.85.5.84.19.19.19.1.2"><mi id="S4.E71.m1.63.63.63.1.1.1" xref="S4.E71.m1.63.63.63.1.1.1.cmml">ϕ</mi><mrow id="S4.E71.m1.64.64.64.2.2.2.1" xref="S4.E71.m1.64.64.64.2.2.2.1.cmml"><mi id="S4.E71.m1.64.64.64.2.2.2.1.2" xref="S4.E71.m1.64.64.64.2.2.2.1.2.cmml">k</mi><mo id="S4.E71.m1.64.64.64.2.2.2.1.1" xref="S4.E71.m1.64.64.64.2.2.2.1.1.cmml">+</mo><mn id="S4.E71.m1.64.64.64.2.2.2.1.3" xref="S4.E71.m1.64.64.64.2.2.2.1.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S4.E71.m1.65.65.65.3.3.3" xref="S4.E71.m1.65.65.65.3.3.3.cmml">=</mo><mrow id="S4.E71.m1.85.85.5.84.19.19.19.1.1"><msup id="S4.E71.m1.85.85.5.84.19.19.19.1.1.2"><mi id="S4.E71.m1.66.66.66.4.4.4" xref="S4.E71.m1.66.66.66.4.4.4.cmml">ϕ</mi><mi id="S4.E71.m1.67.67.67.5.5.5.1" xref="S4.E71.m1.67.67.67.5.5.5.1.cmml">k</mi></msup><mo id="S4.E71.m1.68.68.68.6.6.6" xref="S4.E71.m1.68.68.68.6.6.6.cmml">+</mo><mrow id="S4.E71.m1.85.85.5.84.19.19.19.1.1.1"><mi id="S4.E71.m1.69.69.69.7.7.7" xref="S4.E71.m1.69.69.69.7.7.7.cmml">τ</mi><mo id="S4.E71.m1.85.85.5.84.19.19.19.1.1.1.2">⁢</mo><mrow id="S4.E71.m1.85.85.5.84.19.19.19.1.1.1.1.1"><mo id="S4.E71.m1.70.70.70.8.8.8" stretchy="false">(</mo><mrow id="S4.E71.m1.85.85.5.84.19.19.19.1.1.1.1.1.1"><mrow id="S4.E71.m1.85.85.5.84.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1"><mi id="S4.E71.m1.71.71.71.9.9.9" xref="S4.E71.m1.71.71.71.9.9.9.cmml">div</mi><mo id="S4.E71.m1.85.85.5.84.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.2">⁢</mo><mrow id="S4.E71.m1.85.85.5.84.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><mo id="S4.E71.m1.72.72.72.10.10.10" stretchy="false">(</mo><msup id="S4.E71.m1.85.85.5.84.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><mover accent="true" id="S4.E71.m1.73.73.73.11.11.11" xref="S4.E71.m1.73.73.73.11.11.11.cmml"><mi id="S4.E71.m1.73.73.73.11.11.11.2" xref="S4.E71.m1.73.73.73.11.11.11.2.cmml">m</mi><mo id="S4.E71.m1.73.73.73.11.11.11.1" xref="S4.E71.m1.73.73.73.11.11.11.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S4.E71.m1.74.74.74.12.12.12.1" xref="S4.E71.m1.74.74.74.12.12.12.1.cmml"><mi id="S4.E71.m1.74.74.74.12.12.12.1.2" xref="S4.E71.m1.74.74.74.12.12.12.1.2.cmml">k</mi><mo id="S4.E71.m1.74.74.74.12.12.12.1.1" xref="S4.E71.m1.74.74.74.12.12.12.1.1.cmml">+</mo><mn id="S4.E71.m1.74.74.74.12.12.12.1.3" xref="S4.E71.m1.74.74.74.12.12.12.1.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S4.E71.m1.75.75.75.13.13.13" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E71.m1.76.76.76.14.14.14" xref="S4.E71.m1.76.76.76.14.14.14.cmml">−</mo><msup id="S4.E71.m1.85.85.5.84.19.19.19.1.1.1.1.1.1.2"><mover accent="true" id="S4.E71.m1.77.77.77.15.15.15" xref="S4.E71.m1.77.77.77.15.15.15.cmml"><mi id="S4.E71.m1.77.77.77.15.15.15.2" xref="S4.E71.m1.77.77.77.15.15.15.2.cmml">v</mi><mo id="S4.E71.m1.77.77.77.15.15.15.1" xref="S4.E71.m1.77.77.77.15.15.15.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S4.E71.m1.78.78.78.16.16.16.1" xref="S4.E71.m1.78.78.78.16.16.16.1.cmml"><mi id="S4.E71.m1.78.78.78.16.16.16.1.2" xref="S4.E71.m1.78.78.78.16.16.16.1.2.cmml">k</mi><mo id="S4.E71.m1.78.78.78.16.16.16.1.1" xref="S4.E71.m1.78.78.78.16.16.16.1.1.cmml">+</mo><mn id="S4.E71.m1.78.78.78.16.16.16.1.3" xref="S4.E71.m1.78.78.78.16.16.16.1.3.cmml">1</mn></mrow></msup></mrow><mo id="S4.E71.m1.79.79.79.17.17.17" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E71.m1.80.80.80.18.18.18" lspace="0em">.</mo></mrow></mtd></mtr></mtable><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E71.m1.85b"><apply id="S4.E71.m1.81.81.1.1.1.3.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E71.m1.81.81.1.1.1.3a.cmml">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.E71.m1.81.81.1.1.1.1.1.cmml"><eq id="S4.E71.m1.3.3.3.3.3.3.cmml" xref="S4.E71.m1.3.3.3.3.3.3"></eq><apply id="S4.E71.m1.81.81.1.1.1.1.1.4.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E71.m1.81.81.1.1.1.1.1.4.1.cmml">superscript</csymbol><ci id="S4.E71.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" 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id="S4.E71.m1.81.81.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><times id="S4.E71.m1.81.81.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml"></times><ci id="S4.E71.m1.15.15.15.15.15.15.cmml" xref="S4.E71.m1.15.15.15.15.15.15">𝜇</ci><ci id="S4.E71.m1.16.16.16.16.16.16.cmml" xref="S4.E71.m1.16.16.16.16.16.16">𝜆</ci></apply></list></apply></apply><apply id="S4.E71.m1.81.81.1.1.1.2.2.3.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E71.m1.81.81.1.1.1.2.2.3a.cmml">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.E71.m1.81.81.1.1.1.2.2.1.1.cmml"><eq id="S4.E71.m1.21.21.21.3.3.3.cmml" xref="S4.E71.m1.21.21.21.3.3.3"></eq><apply id="S4.E71.m1.81.81.1.1.1.2.2.1.1.4.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E71.m1.81.81.1.1.1.2.2.1.1.4.1.cmml">superscript</csymbol><ci id="S4.E71.m1.19.19.19.1.1.1.cmml" xref="S4.E71.m1.19.19.19.1.1.1">𝑣</ci><apply id="S4.E71.m1.20.20.20.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E71.m1.20.20.20.2.2.2.1"><plus id="S4.E71.m1.20.20.20.2.2.2.1.1.cmml" xref="S4.E71.m1.20.20.20.2.2.2.1.1"></plus><ci id="S4.E71.m1.20.20.20.2.2.2.1.2.cmml" xref="S4.E71.m1.20.20.20.2.2.2.1.2">𝑘</ci><cn id="S4.E71.m1.20.20.20.2.2.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E71.m1.20.20.20.2.2.2.1.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.E71.m1.81.81.1.1.1.2.2.1.1.2.cmml"><divide id="S4.E71.m1.34.34.34.16.16.16.cmml" xref="S4.E71.m1.34.34.34.16.16.16"></divide><apply id="S4.E71.m1.81.81.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><plus id="S4.E71.m1.27.27.27.9.9.9.cmml" xref="S4.E71.m1.27.27.27.9.9.9"></plus><apply id="S4.E71.m1.81.81.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><divide id="S4.E71.m1.25.25.25.7.7.7.cmml" xref="S4.E71.m1.25.25.25.7.7.7"></divide><apply id="S4.E71.m1.81.81.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E71.m1.81.81.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">superscript</csymbol><ci id="S4.E71.m1.23.23.23.5.5.5.cmml" xref="S4.E71.m1.23.23.23.5.5.5">𝑣</ci><ci id="S4.E71.m1.24.24.24.6.6.6.1.cmml" xref="S4.E71.m1.24.24.24.6.6.6.1">𝑘</ci></apply><ci id="S4.E71.m1.26.26.26.8.8.8.cmml" xref="S4.E71.m1.26.26.26.8.8.8">𝜈</ci></apply><apply id="S4.E71.m1.81.81.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><times id="S4.E71.m1.81.81.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"></times><ci id="S4.E71.m1.28.28.28.10.10.10.cmml" xref="S4.E71.m1.28.28.28.10.10.10">𝛼</ci><apply id="S4.E71.m1.81.81.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E71.m1.81.81.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">subscript</csymbol><ci id="S4.E71.m1.29.29.29.11.11.11.cmml" xref="S4.E71.m1.29.29.29.11.11.11">𝑓</ci><cn id="S4.E71.m1.30.30.30.12.12.12.1.cmml" type="integer" xref="S4.E71.m1.30.30.30.12.12.12.1">1</cn></apply></apply><ci id="S4.E71.m1.32.32.32.14.14.14.cmml" xref="S4.E71.m1.32.32.32.14.14.14">italic-ϕ</ci></apply><apply id="S4.E71.m1.81.81.1.1.1.2.2.1.1.2.2.1.1.cmml"><plus id="S4.E71.m1.37.37.37.19.19.19.cmml" xref="S4.E71.m1.37.37.37.19.19.19"></plus><ci id="S4.E71.m1.36.36.36.18.18.18.cmml" xref="S4.E71.m1.36.36.36.18.18.18">𝛼</ci><apply id="S4.E71.m1.81.81.1.1.1.2.2.1.1.2.2.1.1.3.cmml"><divide id="S4.E71.m1.39.39.39.21.21.21.cmml" xref="S4.E71.m1.39.39.39.21.21.21"></divide><cn id="S4.E71.m1.38.38.38.20.20.20.cmml" type="integer" xref="S4.E71.m1.38.38.38.20.20.20">1</cn><ci id="S4.E71.m1.40.40.40.22.22.22.cmml" xref="S4.E71.m1.40.40.40.22.22.22">𝜈</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.E71.m1.81.81.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E71.m1.81.81.1.1.1.2.2.2.2.3a.cmml">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.E71.m1.81.81.1.1.1.2.2.2.2.1.1.cmml"><eq id="S4.E71.m1.45.45.45.3.3.3.cmml" xref="S4.E71.m1.45.45.45.3.3.3"></eq><apply id="S4.E71.m1.81.81.1.1.1.2.2.2.2.1.1.2.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E71.m1.81.81.1.1.1.2.2.2.2.1.1.2.1.cmml">superscript</csymbol><apply id="S4.E71.m1.43.43.43.1.1.1.cmml" xref="S4.E71.m1.43.43.43.1.1.1"><ci id="S4.E71.m1.43.43.43.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E71.m1.43.43.43.1.1.1.1">^</ci><ci id="S4.E71.m1.43.43.43.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E71.m1.43.43.43.1.1.1.2">𝑚</ci></apply><apply id="S4.E71.m1.44.44.44.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E71.m1.44.44.44.2.2.2.1"><plus id="S4.E71.m1.44.44.44.2.2.2.1.1.cmml" xref="S4.E71.m1.44.44.44.2.2.2.1.1"></plus><ci id="S4.E71.m1.44.44.44.2.2.2.1.2.cmml" xref="S4.E71.m1.44.44.44.2.2.2.1.2">𝑘</ci><cn id="S4.E71.m1.44.44.44.2.2.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E71.m1.44.44.44.2.2.2.1.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.E71.m1.81.81.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3.cmml"><minus id="S4.E71.m1.49.49.49.7.7.7.cmml" xref="S4.E71.m1.49.49.49.7.7.7"></minus><apply id="S4.E71.m1.81.81.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml"><times id="S4.E71.m1.81.81.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.1.cmml"></times><cn id="S4.E71.m1.46.46.46.4.4.4.cmml" type="integer" xref="S4.E71.m1.46.46.46.4.4.4">2</cn><apply id="S4.E71.m1.81.81.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.3.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E71.m1.81.81.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3.2.3.1.cmml">superscript</csymbol><ci id="S4.E71.m1.47.47.47.5.5.5.cmml" xref="S4.E71.m1.47.47.47.5.5.5">𝑚</ci><apply id="S4.E71.m1.48.48.48.6.6.6.1.cmml" xref="S4.E71.m1.48.48.48.6.6.6.1"><plus id="S4.E71.m1.48.48.48.6.6.6.1.1.cmml" xref="S4.E71.m1.48.48.48.6.6.6.1.1"></plus><ci id="S4.E71.m1.48.48.48.6.6.6.1.2.cmml" xref="S4.E71.m1.48.48.48.6.6.6.1.2">𝑘</ci><cn id="S4.E71.m1.48.48.48.6.6.6.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E71.m1.48.48.48.6.6.6.1.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S4.E71.m1.81.81.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E71.m1.81.81.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3.3.1.cmml">superscript</csymbol><ci id="S4.E71.m1.50.50.50.8.8.8.cmml" xref="S4.E71.m1.50.50.50.8.8.8">𝑚</ci><ci id="S4.E71.m1.51.51.51.9.9.9.1.cmml" xref="S4.E71.m1.51.51.51.9.9.9.1">𝑘</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.E71.m1.81.81.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E71.m1.81.81.1.1.1.2.2.2.2.2.2.3a.cmml">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.E71.m1.81.81.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.cmml"><eq id="S4.E71.m1.55.55.55.13.13.13.cmml" xref="S4.E71.m1.55.55.55.13.13.13"></eq><apply id="S4.E71.m1.81.81.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.2.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E71.m1.81.81.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.2.1.cmml">superscript</csymbol><apply id="S4.E71.m1.53.53.53.11.11.11.cmml" xref="S4.E71.m1.53.53.53.11.11.11"><ci id="S4.E71.m1.53.53.53.11.11.11.1.cmml" xref="S4.E71.m1.53.53.53.11.11.11.1">^</ci><ci id="S4.E71.m1.53.53.53.11.11.11.2.cmml" xref="S4.E71.m1.53.53.53.11.11.11.2">𝑣</ci></apply><apply id="S4.E71.m1.54.54.54.12.12.12.1.cmml" xref="S4.E71.m1.54.54.54.12.12.12.1"><plus id="S4.E71.m1.54.54.54.12.12.12.1.1.cmml" xref="S4.E71.m1.54.54.54.12.12.12.1.1"></plus><ci id="S4.E71.m1.54.54.54.12.12.12.1.2.cmml" xref="S4.E71.m1.54.54.54.12.12.12.1.2">𝑘</ci><cn id="S4.E71.m1.54.54.54.12.12.12.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E71.m1.54.54.54.12.12.12.1.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.E71.m1.81.81.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.cmml"><minus id="S4.E71.m1.59.59.59.17.17.17.cmml" xref="S4.E71.m1.59.59.59.17.17.17"></minus><apply id="S4.E71.m1.81.81.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml"><times id="S4.E71.m1.81.81.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.1.cmml"></times><cn id="S4.E71.m1.56.56.56.14.14.14.cmml" type="integer" xref="S4.E71.m1.56.56.56.14.14.14">2</cn><apply id="S4.E71.m1.81.81.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E71.m1.81.81.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.3.1.cmml">superscript</csymbol><ci id="S4.E71.m1.57.57.57.15.15.15.cmml" xref="S4.E71.m1.57.57.57.15.15.15">𝑣</ci><apply id="S4.E71.m1.58.58.58.16.16.16.1.cmml" xref="S4.E71.m1.58.58.58.16.16.16.1"><plus id="S4.E71.m1.58.58.58.16.16.16.1.1.cmml" xref="S4.E71.m1.58.58.58.16.16.16.1.1"></plus><ci id="S4.E71.m1.58.58.58.16.16.16.1.2.cmml" xref="S4.E71.m1.58.58.58.16.16.16.1.2">𝑘</ci><cn id="S4.E71.m1.58.58.58.16.16.16.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E71.m1.58.58.58.16.16.16.1.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S4.E71.m1.81.81.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E71.m1.81.81.1.1.1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.3.1.cmml">superscript</csymbol><ci id="S4.E71.m1.60.60.60.18.18.18.cmml" xref="S4.E71.m1.60.60.60.18.18.18">𝑣</ci><ci id="S4.E71.m1.61.61.61.19.19.19.1.cmml" xref="S4.E71.m1.61.61.61.19.19.19.1">𝑘</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.E71.m1.81.81.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><eq id="S4.E71.m1.65.65.65.3.3.3.cmml" xref="S4.E71.m1.65.65.65.3.3.3"></eq><apply id="S4.E71.m1.81.81.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E71.m1.81.81.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml">superscript</csymbol><ci id="S4.E71.m1.63.63.63.1.1.1.cmml" xref="S4.E71.m1.63.63.63.1.1.1">italic-ϕ</ci><apply id="S4.E71.m1.64.64.64.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E71.m1.64.64.64.2.2.2.1"><plus id="S4.E71.m1.64.64.64.2.2.2.1.1.cmml" xref="S4.E71.m1.64.64.64.2.2.2.1.1"></plus><ci id="S4.E71.m1.64.64.64.2.2.2.1.2.cmml" xref="S4.E71.m1.64.64.64.2.2.2.1.2">𝑘</ci><cn id="S4.E71.m1.64.64.64.2.2.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E71.m1.64.64.64.2.2.2.1.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.E71.m1.81.81.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml"><plus id="S4.E71.m1.68.68.68.6.6.6.cmml" xref="S4.E71.m1.68.68.68.6.6.6"></plus><apply id="S4.E71.m1.81.81.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.3.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E71.m1.81.81.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.3.1.cmml">superscript</csymbol><ci id="S4.E71.m1.66.66.66.4.4.4.cmml" xref="S4.E71.m1.66.66.66.4.4.4">italic-ϕ</ci><ci id="S4.E71.m1.67.67.67.5.5.5.1.cmml" xref="S4.E71.m1.67.67.67.5.5.5.1">𝑘</ci></apply><apply id="S4.E71.m1.81.81.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.cmml"><times id="S4.E71.m1.81.81.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.2.cmml"></times><ci id="S4.E71.m1.69.69.69.7.7.7.cmml" xref="S4.E71.m1.69.69.69.7.7.7">𝜏</ci><apply id="S4.E71.m1.81.81.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><minus id="S4.E71.m1.76.76.76.14.14.14.cmml" xref="S4.E71.m1.76.76.76.14.14.14"></minus><apply id="S4.E71.m1.81.81.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><times id="S4.E71.m1.81.81.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"></times><ci id="S4.E71.m1.71.71.71.9.9.9.cmml" xref="S4.E71.m1.71.71.71.9.9.9">div</ci><apply id="S4.E71.m1.81.81.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E71.m1.81.81.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">superscript</csymbol><apply id="S4.E71.m1.73.73.73.11.11.11.cmml" xref="S4.E71.m1.73.73.73.11.11.11"><ci id="S4.E71.m1.73.73.73.11.11.11.1.cmml" xref="S4.E71.m1.73.73.73.11.11.11.1">^</ci><ci id="S4.E71.m1.73.73.73.11.11.11.2.cmml" xref="S4.E71.m1.73.73.73.11.11.11.2">𝑚</ci></apply><apply id="S4.E71.m1.74.74.74.12.12.12.1.cmml" xref="S4.E71.m1.74.74.74.12.12.12.1"><plus id="S4.E71.m1.74.74.74.12.12.12.1.1.cmml" xref="S4.E71.m1.74.74.74.12.12.12.1.1"></plus><ci id="S4.E71.m1.74.74.74.12.12.12.1.2.cmml" xref="S4.E71.m1.74.74.74.12.12.12.1.2">𝑘</ci><cn id="S4.E71.m1.74.74.74.12.12.12.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E71.m1.74.74.74.12.12.12.1.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S4.E71.m1.81.81.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E71.m1.81.81.1.1.1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.cmml">superscript</csymbol><apply id="S4.E71.m1.77.77.77.15.15.15.cmml" xref="S4.E71.m1.77.77.77.15.15.15"><ci id="S4.E71.m1.77.77.77.15.15.15.1.cmml" xref="S4.E71.m1.77.77.77.15.15.15.1">^</ci><ci id="S4.E71.m1.77.77.77.15.15.15.2.cmml" xref="S4.E71.m1.77.77.77.15.15.15.2">𝑣</ci></apply><apply id="S4.E71.m1.78.78.78.16.16.16.1.cmml" xref="S4.E71.m1.78.78.78.16.16.16.1"><plus id="S4.E71.m1.78.78.78.16.16.16.1.1.cmml" xref="S4.E71.m1.78.78.78.16.16.16.1.1"></plus><ci id="S4.E71.m1.78.78.78.16.16.16.1.2.cmml" xref="S4.E71.m1.78.78.78.16.16.16.1.2">𝑘</ci><cn id="S4.E71.m1.78.78.78.16.16.16.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E71.m1.78.78.78.16.16.16.1.3">1</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E71.m1.85c">\begin{split}&m^{k+1}=\mathrm{shrink}_{m}(m^{k}+\mu\nabla\phi^{k};\mu\lambda),% \\ &v^{k+1}=(v^{k}/\nu+\alpha f_{1}+\phi)/(\alpha+1/\nu),\\ &\hat{m}^{k+1}=2m^{k+1}-m^{k},\hat{v}^{k+1}=2v^{k+1}-v^{k},\\ &\phi^{k+1}=\phi^{k}+\tau(\mathrm{div}(\hat{m}^{k+1})-\hat{v}^{k+1}).\end{split}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E71.m1.85d">start_ROW start_CELL end_CELL start_CELL italic_m start_POSTSUPERSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUPERSCRIPT = roman_shrink start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT ( italic_m start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT + italic_μ ∇ italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT ; italic_μ italic_λ ) , end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL end_CELL start_CELL italic_v start_POSTSUPERSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUPERSCRIPT = ( italic_v start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT / italic_ν + italic_α italic_f start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT + italic_ϕ ) / ( italic_α + 1 / italic_ν ) , end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL end_CELL start_CELL over^ start_ARG italic_m end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUPERSCRIPT = 2 italic_m start_POSTSUPERSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUPERSCRIPT - italic_m start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT , over^ start_ARG italic_v end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUPERSCRIPT = 2 italic_v start_POSTSUPERSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUPERSCRIPT - italic_v start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT , end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL end_CELL start_CELL italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUPERSCRIPT = italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT + italic_τ ( roman_div ( over^ start_ARG italic_m end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUPERSCRIPT ) - over^ start_ARG italic_v end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUPERSCRIPT ) . end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(71)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS2.SSS1.p6"> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.SSS1.p6.2">The operater <math alttext="\mathrm{shrink}_{m}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.SSS1.p6.1.m1.1"><semantics id="S4.SS2.SSS1.p6.1.m1.1a"><msub id="S4.SS2.SSS1.p6.1.m1.1.1" xref="S4.SS2.SSS1.p6.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.SSS1.p6.1.m1.1.1.2" xref="S4.SS2.SSS1.p6.1.m1.1.1.2.cmml">shrink</mi><mi id="S4.SS2.SSS1.p6.1.m1.1.1.3" xref="S4.SS2.SSS1.p6.1.m1.1.1.3.cmml">m</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.SSS1.p6.1.m1.1b"><apply id="S4.SS2.SSS1.p6.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p6.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.SSS1.p6.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p6.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS2.SSS1.p6.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p6.1.m1.1.1.2">shrink</ci><ci id="S4.SS2.SSS1.p6.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p6.1.m1.1.1.3">𝑚</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.SSS1.p6.1.m1.1c">\mathrm{shrink}_{m}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.SSS1.p6.1.m1.1d">roman_shrink start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S4.E71" title="In 4.2.1 Numerical Method for (63) ‣ 4.2 Numerical Method for problem (62) ‣ 4 Numerical Algorithm ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">71</span></a>) for the norm <math alttext="\|m\|_{1,2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.SSS1.p6.2.m2.3"><semantics id="S4.SS2.SSS1.p6.2.m2.3a"><msub id="S4.SS2.SSS1.p6.2.m2.3.4" xref="S4.SS2.SSS1.p6.2.m2.3.4.cmml"><mrow id="S4.SS2.SSS1.p6.2.m2.3.4.2.2" xref="S4.SS2.SSS1.p6.2.m2.3.4.2.1.cmml"><mo id="S4.SS2.SSS1.p6.2.m2.3.4.2.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS2.SSS1.p6.2.m2.3.4.2.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S4.SS2.SSS1.p6.2.m2.3.3" xref="S4.SS2.SSS1.p6.2.m2.3.3.cmml">m</mi><mo id="S4.SS2.SSS1.p6.2.m2.3.4.2.2.2" stretchy="false" xref="S4.SS2.SSS1.p6.2.m2.3.4.2.1.1.cmml">‖</mo></mrow><mrow id="S4.SS2.SSS1.p6.2.m2.2.2.2.4" xref="S4.SS2.SSS1.p6.2.m2.2.2.2.3.cmml"><mn id="S4.SS2.SSS1.p6.2.m2.1.1.1.1" xref="S4.SS2.SSS1.p6.2.m2.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.SS2.SSS1.p6.2.m2.2.2.2.4.1" xref="S4.SS2.SSS1.p6.2.m2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="S4.SS2.SSS1.p6.2.m2.2.2.2.2" xref="S4.SS2.SSS1.p6.2.m2.2.2.2.2.cmml">2</mn></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.SSS1.p6.2.m2.3b"><apply id="S4.SS2.SSS1.p6.2.m2.3.4.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p6.2.m2.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.SSS1.p6.2.m2.3.4.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p6.2.m2.3.4">subscript</csymbol><apply id="S4.SS2.SSS1.p6.2.m2.3.4.2.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p6.2.m2.3.4.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.SS2.SSS1.p6.2.m2.3.4.2.1.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p6.2.m2.3.4.2.2.1">norm</csymbol><ci id="S4.SS2.SSS1.p6.2.m2.3.3.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p6.2.m2.3.3">𝑚</ci></apply><list id="S4.SS2.SSS1.p6.2.m2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p6.2.m2.2.2.2.4"><cn id="S4.SS2.SSS1.p6.2.m2.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.SSS1.p6.2.m2.1.1.1.1">1</cn><cn id="S4.SS2.SSS1.p6.2.m2.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.SSS1.p6.2.m2.2.2.2.2">2</cn></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.SSS1.p6.2.m2.3c">\|m\|_{1,2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.SSS1.p6.2.m2.3d">∥ italic_m ∥ start_POSTSUBSCRIPT 1 , 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> has closed form solutions</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E72"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\mathrm{shrink}_{m}(x;\mu)_{(i,j)}=\mathrm{argmin}_{z}\{\mu\|z\|+1/2\|z-x_{(i,% j)}\|^{2}\}=\max\{0,1-\frac{\mu}{\|x_{(i,j)}\|_{2}}\}x_{(i,j)},\quad\forall 1% \leq i,j\leq N." class="ltx_Math" display="block" id="S4.E72.m1.15"><semantics id="S4.E72.m1.15a"><mrow id="S4.E72.m1.15.15.1"><mrow id="S4.E72.m1.15.15.1.1.2" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.4" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.4.cmml"><msub id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.4.2" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.4.2.cmml"><mi id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.4.2.2" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.4.2.2.cmml">shrink</mi><mi id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.4.2.3" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.4.2.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.4.1" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.4.3" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.4.3.cmml"><mrow id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.4.3.2.2" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.4.3.2.1.cmml"><mo id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.4.3.2.2.1" stretchy="false" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.4.3.2.1.cmml">(</mo><mi id="S4.E72.m1.10.10" xref="S4.E72.m1.10.10.cmml">x</mi><mo id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.4.3.2.2.2" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.4.3.2.1.cmml">;</mo><mi id="S4.E72.m1.11.11" xref="S4.E72.m1.11.11.cmml">μ</mi><mo id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.4.3.2.2.3" stretchy="false" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.4.3.2.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S4.E72.m1.2.2.2.4" xref="S4.E72.m1.2.2.2.3.cmml"><mo id="S4.E72.m1.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="S4.E72.m1.2.2.2.3.cmml">(</mo><mi id="S4.E72.m1.1.1.1.1" xref="S4.E72.m1.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S4.E72.m1.2.2.2.4.2" xref="S4.E72.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.E72.m1.2.2.2.2" xref="S4.E72.m1.2.2.2.2.cmml">j</mi><mo id="S4.E72.m1.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="S4.E72.m1.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub></mrow><mo id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.5" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.5.cmml">=</mo><mrow id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.3.2.cmml">argmin</mi><mi id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.3.3.cmml">z</mi></msub><mo id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.2.cmml">{</mo><mrow id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">μ</mi><mo id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S4.E72.m1.12.12" xref="S4.E72.m1.12.12.cmml">z</mi><mo id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.cmml">‖</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow><mo id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">z</mi><mo id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">x</mi><mrow id="S4.E72.m1.4.4.2.4" xref="S4.E72.m1.4.4.2.3.cmml"><mo id="S4.E72.m1.4.4.2.4.1" stretchy="false" xref="S4.E72.m1.4.4.2.3.cmml">(</mo><mi id="S4.E72.m1.3.3.1.1" xref="S4.E72.m1.3.3.1.1.cmml">i</mi><mo id="S4.E72.m1.4.4.2.4.2" xref="S4.E72.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.E72.m1.4.4.2.2" xref="S4.E72.m1.4.4.2.2.cmml">j</mi><mo id="S4.E72.m1.4.4.2.4.3" stretchy="false" xref="S4.E72.m1.4.4.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub></mrow><mo id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><mo id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.2.cmml">}</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.6" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.6.cmml">=</mo><mrow id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.2" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.2.1.1" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.2.1.2.cmml"><mi id="S4.E72.m1.13.13" xref="S4.E72.m1.13.13.cmml">max</mi><mo id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.2.1.1a" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.2.1.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.2.1.2.cmml"><mo id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.2.1.2.cmml">{</mo><mn id="S4.E72.m1.14.14" xref="S4.E72.m1.14.14.cmml">0</mn><mo id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.2.1.1.1.3" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.2.1.2.cmml">,</mo><mrow id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.2.1.1.1.1" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mn id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mfrac id="S4.E72.m1.7.7" xref="S4.E72.m1.7.7.cmml"><mi id="S4.E72.m1.7.7.5" xref="S4.E72.m1.7.7.5.cmml">μ</mi><msub id="S4.E72.m1.7.7.3" xref="S4.E72.m1.7.7.3.cmml"><mrow id="S4.E72.m1.7.7.3.3.1" xref="S4.E72.m1.7.7.3.3.2.cmml"><mo id="S4.E72.m1.7.7.3.3.1.2" stretchy="false" xref="S4.E72.m1.7.7.3.3.2.1.cmml">‖</mo><msub id="S4.E72.m1.7.7.3.3.1.1" xref="S4.E72.m1.7.7.3.3.1.1.cmml"><mi id="S4.E72.m1.7.7.3.3.1.1.2" xref="S4.E72.m1.7.7.3.3.1.1.2.cmml">x</mi><mrow id="S4.E72.m1.6.6.2.2.2.4" xref="S4.E72.m1.6.6.2.2.2.3.cmml"><mo id="S4.E72.m1.6.6.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="S4.E72.m1.6.6.2.2.2.3.cmml">(</mo><mi id="S4.E72.m1.5.5.1.1.1.1" xref="S4.E72.m1.5.5.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S4.E72.m1.6.6.2.2.2.4.2" xref="S4.E72.m1.6.6.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.E72.m1.6.6.2.2.2.2" xref="S4.E72.m1.6.6.2.2.2.2.cmml">j</mi><mo id="S4.E72.m1.6.6.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="S4.E72.m1.6.6.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub><mo id="S4.E72.m1.7.7.3.3.1.3" stretchy="false" xref="S4.E72.m1.7.7.3.3.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="S4.E72.m1.7.7.3.5" xref="S4.E72.m1.7.7.3.5.cmml">2</mn></msub></mfrac></mrow><mo id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.2.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.2.1.2.cmml">}</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.2.3.2.cmml">x</mi><mrow id="S4.E72.m1.9.9.2.4" xref="S4.E72.m1.9.9.2.3.cmml"><mo id="S4.E72.m1.9.9.2.4.1" stretchy="false" xref="S4.E72.m1.9.9.2.3.cmml">(</mo><mi id="S4.E72.m1.8.8.1.1" xref="S4.E72.m1.8.8.1.1.cmml">i</mi><mo id="S4.E72.m1.9.9.2.4.2" xref="S4.E72.m1.9.9.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.E72.m1.9.9.2.2" xref="S4.E72.m1.9.9.2.2.cmml">j</mi><mo id="S4.E72.m1.9.9.2.4.3" stretchy="false" xref="S4.E72.m1.9.9.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub></mrow></mrow><mo id="S4.E72.m1.15.15.1.1.2.3" rspace="1.167em" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.E72.m1.15.15.1.1.2.2.2" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.2.2.3.cmml"><mrow id="S4.E72.m1.15.15.1.1.2.2.1.1" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S4.E72.m1.15.15.1.1.2.2.1.1.2" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E72.m1.15.15.1.1.2.2.1.1.2.1" rspace="0.167em" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.2.2.1.1.2.1.cmml">∀</mo><mn id="S4.E72.m1.15.15.1.1.2.2.1.1.2.2" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.2.2.1.1.2.2.cmml">1</mn></mrow><mo id="S4.E72.m1.15.15.1.1.2.2.1.1.1" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.2.2.1.1.1.cmml">≤</mo><mi id="S4.E72.m1.15.15.1.1.2.2.1.1.3" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.2.2.1.1.3.cmml">i</mi></mrow><mo id="S4.E72.m1.15.15.1.1.2.2.2.3" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.E72.m1.15.15.1.1.2.2.2.2" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.E72.m1.15.15.1.1.2.2.2.2.2" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.2.2.2.2.2.cmml">j</mi><mo id="S4.E72.m1.15.15.1.1.2.2.2.2.1" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.2.2.2.2.1.cmml">≤</mo><mi id="S4.E72.m1.15.15.1.1.2.2.2.2.3" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.2.2.2.2.3.cmml">N</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E72.m1.15.15.1.2" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E72.m1.15b"><apply id="S4.E72.m1.15.15.1.1.3.cmml" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E72.m1.15.15.1.1.3a.cmml" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1"><and id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1a.cmml" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1"></and><apply id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1b.cmml" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1"><eq id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.5.cmml" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.5"></eq><apply id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.4"><times id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.4.1"></times><apply id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.4.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.4.2.2">shrink</ci><ci id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.4.2.3.cmml" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.4.2.3">𝑚</ci></apply><apply id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.4.3">subscript</csymbol><list id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.4.3.2.1.cmml" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.4.3.2.2"><ci id="S4.E72.m1.10.10.cmml" xref="S4.E72.m1.10.10">𝑥</ci><ci id="S4.E72.m1.11.11.cmml" xref="S4.E72.m1.11.11">𝜇</ci></list><interval closure="open" id="S4.E72.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E72.m1.2.2.2.4"><ci id="S4.E72.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E72.m1.1.1.1.1">𝑖</ci><ci id="S4.E72.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E72.m1.2.2.2.2">𝑗</ci></interval></apply></apply><apply id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1"><times id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.3.2">argmin</ci><ci id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.3.3">𝑧</ci></apply><set id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1"><apply id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></plus><apply id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝜇</ci><apply id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.cmml" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1">norm</csymbol><ci id="S4.E72.m1.12.12.cmml" xref="S4.E72.m1.12.12">𝑧</ci></apply></apply><apply id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><divide id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></divide><cn id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">1</cn><cn id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑧</ci><apply id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑥</ci><interval closure="open" id="S4.E72.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S4.E72.m1.4.4.2.4"><ci id="S4.E72.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S4.E72.m1.3.3.1.1">𝑖</ci><ci id="S4.E72.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S4.E72.m1.4.4.2.2">𝑗</ci></interval></apply></apply></apply><cn id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></set></apply></apply><apply id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1c.cmml" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1"><eq id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.6.cmml" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.6"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.1.cmml" id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1d.cmml" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1"></share><apply id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.2"><times id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.2.2"></times><apply id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.2.1.1"><max id="S4.E72.m1.13.13.cmml" xref="S4.E72.m1.13.13"></max><cn id="S4.E72.m1.14.14.cmml" type="integer" xref="S4.E72.m1.14.14">0</cn><apply id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.2.1.1.1.1"><minus id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1"></minus><cn id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2">1</cn><apply id="S4.E72.m1.7.7.cmml" xref="S4.E72.m1.7.7"><divide id="S4.E72.m1.7.7.4.cmml" xref="S4.E72.m1.7.7"></divide><ci id="S4.E72.m1.7.7.5.cmml" xref="S4.E72.m1.7.7.5">𝜇</ci><apply id="S4.E72.m1.7.7.3.cmml" xref="S4.E72.m1.7.7.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E72.m1.7.7.3.4.cmml" xref="S4.E72.m1.7.7.3">subscript</csymbol><apply id="S4.E72.m1.7.7.3.3.2.cmml" xref="S4.E72.m1.7.7.3.3.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.E72.m1.7.7.3.3.2.1.cmml" xref="S4.E72.m1.7.7.3.3.1.2">norm</csymbol><apply id="S4.E72.m1.7.7.3.3.1.1.cmml" xref="S4.E72.m1.7.7.3.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E72.m1.7.7.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.E72.m1.7.7.3.3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.E72.m1.7.7.3.3.1.1.2.cmml" xref="S4.E72.m1.7.7.3.3.1.1.2">𝑥</ci><interval closure="open" id="S4.E72.m1.6.6.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E72.m1.6.6.2.2.2.4"><ci id="S4.E72.m1.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E72.m1.5.5.1.1.1.1">𝑖</ci><ci id="S4.E72.m1.6.6.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E72.m1.6.6.2.2.2.2">𝑗</ci></interval></apply></apply><cn id="S4.E72.m1.7.7.3.5.cmml" type="integer" xref="S4.E72.m1.7.7.3.5">2</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.1.1.2.3.2">𝑥</ci><interval closure="open" id="S4.E72.m1.9.9.2.3.cmml" xref="S4.E72.m1.9.9.2.4"><ci id="S4.E72.m1.8.8.1.1.cmml" xref="S4.E72.m1.8.8.1.1">𝑖</ci><ci id="S4.E72.m1.9.9.2.2.cmml" xref="S4.E72.m1.9.9.2.2">𝑗</ci></interval></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.E72.m1.15.15.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E72.m1.15.15.1.1.2.2.3a.cmml" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.E72.m1.15.15.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.2.2.1.1"><leq id="S4.E72.m1.15.15.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.2.2.1.1.1"></leq><apply id="S4.E72.m1.15.15.1.1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.2.2.1.1.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.E72.m1.15.15.1.1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.2.2.1.1.2.1">for-all</csymbol><cn id="S4.E72.m1.15.15.1.1.2.2.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.2.2.1.1.2.2">1</cn></apply><ci id="S4.E72.m1.15.15.1.1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.2.2.1.1.3">𝑖</ci></apply><apply id="S4.E72.m1.15.15.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.2.2.2.2"><leq id="S4.E72.m1.15.15.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.2.2.2.2.1"></leq><ci id="S4.E72.m1.15.15.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.2.2.2.2.2">𝑗</ci><ci id="S4.E72.m1.15.15.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E72.m1.15.15.1.1.2.2.2.2.3">𝑁</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E72.m1.15c">\mathrm{shrink}_{m}(x;\mu)_{(i,j)}=\mathrm{argmin}_{z}\{\mu\|z\|+1/2\|z-x_{(i,% j)}\|^{2}\}=\max\{0,1-\frac{\mu}{\|x_{(i,j)}\|_{2}}\}x_{(i,j)},\quad\forall 1% \leq i,j\leq N.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E72.m1.15d">roman_shrink start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x ; italic_μ ) start_POSTSUBSCRIPT ( italic_i , italic_j ) end_POSTSUBSCRIPT = roman_argmin start_POSTSUBSCRIPT italic_z end_POSTSUBSCRIPT { italic_μ ∥ italic_z ∥ + 1 / 2 ∥ italic_z - italic_x start_POSTSUBSCRIPT ( italic_i , italic_j ) end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT } = roman_max { 0 , 1 - divide start_ARG italic_μ end_ARG start_ARG ∥ italic_x start_POSTSUBSCRIPT ( italic_i , italic_j ) end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG } italic_x start_POSTSUBSCRIPT ( italic_i , italic_j ) end_POSTSUBSCRIPT , ∀ 1 ≤ italic_i , italic_j ≤ italic_N .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(72)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS2.SSS1.p7"> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.SSS1.p7.3">To satisfy the convergence condition (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S4.E70" title="In 4.2.1 Numerical Method for (63) ‣ 4.2 Numerical Method for problem (62) ‣ 4 Numerical Algorithm ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">70</span></a>) where <math alttext="A^{T}A=\Delta,\lambda_{max}(-\Delta)\leq 8/h^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.2"><semantics id="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.2a"><mrow id="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.2.2.2" xref="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.2.2.3.cmml"><mrow id="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.1.1.1.1" xref="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.1.1.1.1.2.cmml"><msup id="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">A</mi><mi id="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">T</mi></msup><mo id="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">A</mi></mrow><mo id="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mi id="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.1.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.1.1.1.1.3.cmml">Δ</mi></mrow><mo id="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.2.2.2.3" xref="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.2.2.2.2" xref="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.2.2.2.2.1" xref="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.2.2.2.2.1.cmml"><msub id="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.2.2.2.2.1.3" xref="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.2.2.2.2.1.3.cmml"><mi id="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.2.2.2.2.1.3.2" xref="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.2.2.2.2.1.3.2.cmml">λ</mi><mrow id="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.2.2.2.2.1.3.3" xref="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.2.2.2.2.1.3.3.cmml"><mi id="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.2.2.2.2.1.3.3.2" xref="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.2.2.2.2.1.3.3.2.cmml">m</mi><mo id="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.2.2.2.2.1.3.3.1" xref="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.2.2.2.2.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.2.2.2.2.1.3.3.3" xref="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.2.2.2.2.1.3.3.3.cmml">a</mi><mo id="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.2.2.2.2.1.3.3.1a" xref="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.2.2.2.2.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.2.2.2.2.1.3.3.4" xref="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.2.2.2.2.1.3.3.4.cmml">x</mi></mrow></msub><mo id="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.2.2.2.2.1.2" xref="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.2.2.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.2.2.2.2.1.1.1" xref="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1" xref="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1a" xref="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml">Δ</mi></mrow><mo id="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.2.2.2.2.2" xref="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.2.2.2.2.2.cmml">≤</mo><mrow id="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.2.2.2.2.3" xref="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.2.2.2.2.3.cmml"><mn id="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.2.2.2.2.3.2" xref="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.2.2.2.2.3.2.cmml">8</mn><mo id="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.2.2.2.2.3.1" xref="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.2.2.2.2.3.1.cmml">/</mo><msup id="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.2.2.2.2.3.3" xref="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.2.2.2.2.3.3.cmml"><mi id="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.2.2.2.2.3.3.2" xref="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.2.2.2.2.3.3.2.cmml">h</mi><mn id="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.2.2.2.2.3.3.3" xref="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.2.2.2.2.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.2b"><apply id="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.2.2.3.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.2.2.3a.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.1.1.1.1"><eq id="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.1.1.1.1.2"><times id="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.1.1.1.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.1.1.1.1.2.2.2">𝐴</ci><ci id="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.1.1.1.1.2.2.3">𝑇</ci></apply><ci id="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.1.1.1.1.2.3">𝐴</ci></apply><ci id="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.1.1.1.1.3">Δ</ci></apply><apply id="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.2.2.2.2.cmml" 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xref="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.2.2.2.2.1.3.3.3">𝑎</ci><ci id="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.2.2.2.2.1.3.3.4.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.2.2.2.2.1.3.3.4">𝑥</ci></apply></apply><apply id="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.2.2.2.2.1.1.1"><minus id="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.2.2.2.2.1.1.1"></minus><ci id="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.2">Δ</ci></apply></apply><apply id="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.2.2.2.2.3"><divide id="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.2.2.2.2.3.1"></divide><cn id="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.2.2.2.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.2.2.2.2.3.2">8</cn><apply id="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.2.2.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.2.2.2.2.3.3.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.2.2.2.2.3.3">superscript</csymbol><ci id="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.2.2.2.2.3.3.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.2.2.2.2.3.3.2">ℎ</ci><cn id="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.2.2.2.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.2.2.2.2.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.2c">A^{T}A=\Delta,\lambda_{max}(-\Delta)\leq 8/h^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.SSS1.p7.1.m1.2d">italic_A start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT italic_A = roman_Δ , italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_a italic_x end_POSTSUBSCRIPT ( - roman_Δ ) ≤ 8 / italic_h start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, we can take <math alttext="\mu=h^{2}/(32\tau),\nu=1/(4\tau)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.SSS1.p7.2.m2.2"><semantics id="S4.SS2.SSS1.p7.2.m2.2a"><mrow id="S4.SS2.SSS1.p7.2.m2.2.2.2" xref="S4.SS2.SSS1.p7.2.m2.2.2.3.cmml"><mrow id="S4.SS2.SSS1.p7.2.m2.1.1.1.1" 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id="S4.SS2.SSS1.p7.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS2.SSS1.p7.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">32</mn><mo id="S4.SS2.SSS1.p7.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS2.SSS1.p7.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS2.SSS1.p7.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS2.SSS1.p7.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">τ</mi></mrow><mo id="S4.SS2.SSS1.p7.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS2.SSS1.p7.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.SS2.SSS1.p7.2.m2.2.2.2.3" xref="S4.SS2.SSS1.p7.2.m2.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.SS2.SSS1.p7.2.m2.2.2.2.2" xref="S4.SS2.SSS1.p7.2.m2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.SS2.SSS1.p7.2.m2.2.2.2.2.3" xref="S4.SS2.SSS1.p7.2.m2.2.2.2.2.3.cmml">ν</mi><mo id="S4.SS2.SSS1.p7.2.m2.2.2.2.2.2" xref="S4.SS2.SSS1.p7.2.m2.2.2.2.2.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.SS2.SSS1.p7.2.m2.2.2.2.2.1" xref="S4.SS2.SSS1.p7.2.m2.2.2.2.2.1.cmml"><mn id="S4.SS2.SSS1.p7.2.m2.2.2.2.2.1.3" xref="S4.SS2.SSS1.p7.2.m2.2.2.2.2.1.3.cmml">1</mn><mo id="S4.SS2.SSS1.p7.2.m2.2.2.2.2.1.2" xref="S4.SS2.SSS1.p7.2.m2.2.2.2.2.1.2.cmml">/</mo><mrow id="S4.SS2.SSS1.p7.2.m2.2.2.2.2.1.1.1" xref="S4.SS2.SSS1.p7.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.SS2.SSS1.p7.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS2.SSS1.p7.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.SS2.SSS1.p7.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.1" xref="S4.SS2.SSS1.p7.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mn id="S4.SS2.SSS1.p7.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.2" xref="S4.SS2.SSS1.p7.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml">4</mn><mo id="S4.SS2.SSS1.p7.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S4.SS2.SSS1.p7.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS2.SSS1.p7.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.3" xref="S4.SS2.SSS1.p7.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml">τ</mi></mrow><mo id="S4.SS2.SSS1.p7.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS2.SSS1.p7.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.SSS1.p7.2.m2.2b"><apply id="S4.SS2.SSS1.p7.2.m2.2.2.3.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p7.2.m2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.SSS1.p7.2.m2.2.2.3a.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p7.2.m2.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.SS2.SSS1.p7.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p7.2.m2.1.1.1.1"><eq id="S4.SS2.SSS1.p7.2.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p7.2.m2.1.1.1.1.2"></eq><ci id="S4.SS2.SSS1.p7.2.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p7.2.m2.1.1.1.1.3">𝜇</ci><apply id="S4.SS2.SSS1.p7.2.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p7.2.m2.1.1.1.1.1"><divide id="S4.SS2.SSS1.p7.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p7.2.m2.1.1.1.1.1.2"></divide><apply id="S4.SS2.SSS1.p7.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p7.2.m2.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.SSS1.p7.2.m2.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p7.2.m2.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S4.SS2.SSS1.p7.2.m2.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p7.2.m2.1.1.1.1.1.3.2">ℎ</ci><cn id="S4.SS2.SSS1.p7.2.m2.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.SSS1.p7.2.m2.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S4.SS2.SSS1.p7.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p7.2.m2.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S4.SS2.SSS1.p7.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p7.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><cn id="S4.SS2.SSS1.p7.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.SSS1.p7.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2">32</cn><ci id="S4.SS2.SSS1.p7.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p7.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝜏</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.SS2.SSS1.p7.2.m2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p7.2.m2.2.2.2.2"><eq id="S4.SS2.SSS1.p7.2.m2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p7.2.m2.2.2.2.2.2"></eq><ci id="S4.SS2.SSS1.p7.2.m2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p7.2.m2.2.2.2.2.3">𝜈</ci><apply id="S4.SS2.SSS1.p7.2.m2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p7.2.m2.2.2.2.2.1"><divide id="S4.SS2.SSS1.p7.2.m2.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p7.2.m2.2.2.2.2.1.2"></divide><cn id="S4.SS2.SSS1.p7.2.m2.2.2.2.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.SSS1.p7.2.m2.2.2.2.2.1.3">1</cn><apply id="S4.SS2.SSS1.p7.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p7.2.m2.2.2.2.2.1.1.1"><times id="S4.SS2.SSS1.p7.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p7.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1"></times><cn id="S4.SS2.SSS1.p7.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.SSS1.p7.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.2">4</cn><ci id="S4.SS2.SSS1.p7.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p7.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.3">𝜏</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.SSS1.p7.2.m2.2c">\mu=h^{2}/(32\tau),\nu=1/(4\tau)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.SSS1.p7.2.m2.2d">italic_μ = italic_h start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT / ( 32 italic_τ ) , italic_ν = 1 / ( 4 italic_τ )</annotation></semantics></math>, and <math alttext="\tau" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.SSS1.p7.3.m3.1"><semantics id="S4.SS2.SSS1.p7.3.m3.1a"><mi id="S4.SS2.SSS1.p7.3.m3.1.1" xref="S4.SS2.SSS1.p7.3.m3.1.1.cmml">τ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.SSS1.p7.3.m3.1b"><ci id="S4.SS2.SSS1.p7.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p7.3.m3.1.1">𝜏</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.SSS1.p7.3.m3.1c">\tau</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.SSS1.p7.3.m3.1d">italic_τ</annotation></semantics></math> is tuned for faster convergence of the algorithm.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS2.SSS1.p8"> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.SSS1.p8.1">We use the fixed point residual <math alttext="R^{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.SSS1.p8.1.m1.1"><semantics id="S4.SS2.SSS1.p8.1.m1.1a"><msup id="S4.SS2.SSS1.p8.1.m1.1.1" xref="S4.SS2.SSS1.p8.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.SSS1.p8.1.m1.1.1.2" xref="S4.SS2.SSS1.p8.1.m1.1.1.2.cmml">R</mi><mi id="S4.SS2.SSS1.p8.1.m1.1.1.3" xref="S4.SS2.SSS1.p8.1.m1.1.1.3.cmml">k</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.SSS1.p8.1.m1.1b"><apply id="S4.SS2.SSS1.p8.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p8.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.SSS1.p8.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p8.1.m1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.SS2.SSS1.p8.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p8.1.m1.1.1.2">𝑅</ci><ci id="S4.SS2.SSS1.p8.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p8.1.m1.1.1.3">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.SSS1.p8.1.m1.1c">R^{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.SSS1.p8.1.m1.1d">italic_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> as a measure of progress and as a termination criterion,</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E73"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\begin{split}\frac{1}{h^{2}}R^{k}=\frac{1}{\mu}\|m^{k+1}-m^{k}\|^{2}+\frac{1}{% \nu}\|v^{k+1}-v^{k}\|^{2}+\frac{1}{\tau}\|\phi^{k+1}-\phi^{k}\|^{2}\\ -2\langle\phi^{k+1}-\phi^{k},\mathrm{div}(m^{k+1}-m^{k})-(v^{k+1}-v^{k})% \rangle.\end{split}" class="ltx_Math" display="block" id="S4.E73.m1.65"><semantics id="S4.E73.m1.65a"><mtable displaystyle="true" id="S4.E73.m1.65.65.5" rowspacing="0pt"><mtr id="S4.E73.m1.65.65.5a"><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="S4.E73.m1.65.65.5b"><mrow id="S4.E73.m1.64.64.4.63.36.36"><mrow id="S4.E73.m1.64.64.4.63.36.36.37"><mfrac id="S4.E73.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E73.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S4.E73.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E73.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><msup id="S4.E73.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E73.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E73.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E73.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">h</mi><mn id="S4.E73.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E73.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup></mfrac><mo id="S4.E73.m1.64.64.4.63.36.36.37.1" xref="S4.E73.m1.61.61.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E73.m1.64.64.4.63.36.36.37.2"><mi id="S4.E73.m1.2.2.2.2.2.2" xref="S4.E73.m1.2.2.2.2.2.2.cmml">R</mi><mi id="S4.E73.m1.3.3.3.3.3.3.1" xref="S4.E73.m1.3.3.3.3.3.3.1.cmml">k</mi></msup></mrow><mo id="S4.E73.m1.4.4.4.4.4.4" xref="S4.E73.m1.4.4.4.4.4.4.cmml">=</mo><mrow id="S4.E73.m1.64.64.4.63.36.36.36"><mrow id="S4.E73.m1.62.62.2.61.34.34.34.1"><mfrac id="S4.E73.m1.5.5.5.5.5.5" xref="S4.E73.m1.5.5.5.5.5.5.cmml"><mn id="S4.E73.m1.5.5.5.5.5.5.2" xref="S4.E73.m1.5.5.5.5.5.5.2.cmml">1</mn><mi id="S4.E73.m1.5.5.5.5.5.5.3" xref="S4.E73.m1.5.5.5.5.5.5.3.cmml">μ</mi></mfrac><mo id="S4.E73.m1.62.62.2.61.34.34.34.1.2" xref="S4.E73.m1.61.61.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E73.m1.62.62.2.61.34.34.34.1.1"><mrow id="S4.E73.m1.62.62.2.61.34.34.34.1.1.1.1"><mo id="S4.E73.m1.6.6.6.6.6.6" stretchy="false" xref="S4.E73.m1.61.61.1.1.1.cmml">‖</mo><mrow id="S4.E73.m1.62.62.2.61.34.34.34.1.1.1.1.1"><msup id="S4.E73.m1.62.62.2.61.34.34.34.1.1.1.1.1.1"><mi id="S4.E73.m1.7.7.7.7.7.7" xref="S4.E73.m1.7.7.7.7.7.7.cmml">m</mi><mrow id="S4.E73.m1.8.8.8.8.8.8.1" xref="S4.E73.m1.8.8.8.8.8.8.1.cmml"><mi id="S4.E73.m1.8.8.8.8.8.8.1.2" xref="S4.E73.m1.8.8.8.8.8.8.1.2.cmml">k</mi><mo id="S4.E73.m1.8.8.8.8.8.8.1.1" xref="S4.E73.m1.8.8.8.8.8.8.1.1.cmml">+</mo><mn id="S4.E73.m1.8.8.8.8.8.8.1.3" xref="S4.E73.m1.8.8.8.8.8.8.1.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S4.E73.m1.9.9.9.9.9.9" xref="S4.E73.m1.9.9.9.9.9.9.cmml">−</mo><msup id="S4.E73.m1.62.62.2.61.34.34.34.1.1.1.1.1.2"><mi id="S4.E73.m1.10.10.10.10.10.10" xref="S4.E73.m1.10.10.10.10.10.10.cmml">m</mi><mi id="S4.E73.m1.11.11.11.11.11.11.1" xref="S4.E73.m1.11.11.11.11.11.11.1.cmml">k</mi></msup></mrow><mo id="S4.E73.m1.12.12.12.12.12.12" stretchy="false" xref="S4.E73.m1.61.61.1.1.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="S4.E73.m1.13.13.13.13.13.13.1" xref="S4.E73.m1.13.13.13.13.13.13.1.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S4.E73.m1.14.14.14.14.14.14" xref="S4.E73.m1.14.14.14.14.14.14.cmml">+</mo><mrow id="S4.E73.m1.63.63.3.62.35.35.35.2"><mfrac id="S4.E73.m1.15.15.15.15.15.15" xref="S4.E73.m1.15.15.15.15.15.15.cmml"><mn id="S4.E73.m1.15.15.15.15.15.15.2" xref="S4.E73.m1.15.15.15.15.15.15.2.cmml">1</mn><mi id="S4.E73.m1.15.15.15.15.15.15.3" xref="S4.E73.m1.15.15.15.15.15.15.3.cmml">ν</mi></mfrac><mo id="S4.E73.m1.63.63.3.62.35.35.35.2.2" xref="S4.E73.m1.61.61.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E73.m1.63.63.3.62.35.35.35.2.1"><mrow id="S4.E73.m1.63.63.3.62.35.35.35.2.1.1.1"><mo id="S4.E73.m1.16.16.16.16.16.16" stretchy="false" xref="S4.E73.m1.61.61.1.1.1.cmml">‖</mo><mrow id="S4.E73.m1.63.63.3.62.35.35.35.2.1.1.1.1"><msup id="S4.E73.m1.63.63.3.62.35.35.35.2.1.1.1.1.1"><mi id="S4.E73.m1.17.17.17.17.17.17" xref="S4.E73.m1.17.17.17.17.17.17.cmml">v</mi><mrow id="S4.E73.m1.18.18.18.18.18.18.1" xref="S4.E73.m1.18.18.18.18.18.18.1.cmml"><mi id="S4.E73.m1.18.18.18.18.18.18.1.2" xref="S4.E73.m1.18.18.18.18.18.18.1.2.cmml">k</mi><mo id="S4.E73.m1.18.18.18.18.18.18.1.1" xref="S4.E73.m1.18.18.18.18.18.18.1.1.cmml">+</mo><mn id="S4.E73.m1.18.18.18.18.18.18.1.3" xref="S4.E73.m1.18.18.18.18.18.18.1.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S4.E73.m1.19.19.19.19.19.19" xref="S4.E73.m1.19.19.19.19.19.19.cmml">−</mo><msup id="S4.E73.m1.63.63.3.62.35.35.35.2.1.1.1.1.2"><mi id="S4.E73.m1.20.20.20.20.20.20" xref="S4.E73.m1.20.20.20.20.20.20.cmml">v</mi><mi id="S4.E73.m1.21.21.21.21.21.21.1" xref="S4.E73.m1.21.21.21.21.21.21.1.cmml">k</mi></msup></mrow><mo id="S4.E73.m1.22.22.22.22.22.22" stretchy="false" xref="S4.E73.m1.61.61.1.1.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="S4.E73.m1.23.23.23.23.23.23.1" xref="S4.E73.m1.23.23.23.23.23.23.1.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S4.E73.m1.14.14.14.14.14.14a" xref="S4.E73.m1.14.14.14.14.14.14.cmml">+</mo><mrow id="S4.E73.m1.64.64.4.63.36.36.36.3"><mfrac id="S4.E73.m1.25.25.25.25.25.25" xref="S4.E73.m1.25.25.25.25.25.25.cmml"><mn id="S4.E73.m1.25.25.25.25.25.25.2" xref="S4.E73.m1.25.25.25.25.25.25.2.cmml">1</mn><mi id="S4.E73.m1.25.25.25.25.25.25.3" xref="S4.E73.m1.25.25.25.25.25.25.3.cmml">τ</mi></mfrac><mo id="S4.E73.m1.64.64.4.63.36.36.36.3.2" xref="S4.E73.m1.61.61.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E73.m1.64.64.4.63.36.36.36.3.1"><mrow id="S4.E73.m1.64.64.4.63.36.36.36.3.1.1.1"><mo id="S4.E73.m1.26.26.26.26.26.26" stretchy="false" xref="S4.E73.m1.61.61.1.1.1.cmml">‖</mo><mrow id="S4.E73.m1.64.64.4.63.36.36.36.3.1.1.1.1"><msup id="S4.E73.m1.64.64.4.63.36.36.36.3.1.1.1.1.1"><mi id="S4.E73.m1.27.27.27.27.27.27" xref="S4.E73.m1.27.27.27.27.27.27.cmml">ϕ</mi><mrow id="S4.E73.m1.28.28.28.28.28.28.1" xref="S4.E73.m1.28.28.28.28.28.28.1.cmml"><mi id="S4.E73.m1.28.28.28.28.28.28.1.2" xref="S4.E73.m1.28.28.28.28.28.28.1.2.cmml">k</mi><mo id="S4.E73.m1.28.28.28.28.28.28.1.1" xref="S4.E73.m1.28.28.28.28.28.28.1.1.cmml">+</mo><mn id="S4.E73.m1.28.28.28.28.28.28.1.3" xref="S4.E73.m1.28.28.28.28.28.28.1.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S4.E73.m1.29.29.29.29.29.29" xref="S4.E73.m1.29.29.29.29.29.29.cmml">−</mo><msup id="S4.E73.m1.64.64.4.63.36.36.36.3.1.1.1.1.2"><mi id="S4.E73.m1.30.30.30.30.30.30" xref="S4.E73.m1.30.30.30.30.30.30.cmml">ϕ</mi><mi id="S4.E73.m1.31.31.31.31.31.31.1" xref="S4.E73.m1.31.31.31.31.31.31.1.cmml">k</mi></msup></mrow><mo id="S4.E73.m1.32.32.32.32.32.32" stretchy="false" xref="S4.E73.m1.61.61.1.1.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="S4.E73.m1.33.33.33.33.33.33.1" xref="S4.E73.m1.33.33.33.33.33.33.1.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="S4.E73.m1.65.65.5c"><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="S4.E73.m1.65.65.5d"><mrow id="S4.E73.m1.65.65.5.64.28.28.28"><mrow id="S4.E73.m1.65.65.5.64.28.28.28.1"><mo id="S4.E73.m1.65.65.5.64.28.28.28.1a" xref="S4.E73.m1.61.61.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.E73.m1.65.65.5.64.28.28.28.1.2"><mn id="S4.E73.m1.35.35.35.2.2.2" xref="S4.E73.m1.35.35.35.2.2.2.cmml">2</mn><mo id="S4.E73.m1.65.65.5.64.28.28.28.1.2.3" xref="S4.E73.m1.61.61.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E73.m1.65.65.5.64.28.28.28.1.2.2.2"><mo id="S4.E73.m1.36.36.36.3.3.3" stretchy="false" xref="S4.E73.m1.61.61.1.1.1.cmml">⟨</mo><mrow id="S4.E73.m1.65.65.5.64.28.28.28.1.1.1.1.1"><msup id="S4.E73.m1.65.65.5.64.28.28.28.1.1.1.1.1.1"><mi id="S4.E73.m1.37.37.37.4.4.4" xref="S4.E73.m1.37.37.37.4.4.4.cmml">ϕ</mi><mrow id="S4.E73.m1.38.38.38.5.5.5.1" xref="S4.E73.m1.38.38.38.5.5.5.1.cmml"><mi id="S4.E73.m1.38.38.38.5.5.5.1.2" xref="S4.E73.m1.38.38.38.5.5.5.1.2.cmml">k</mi><mo id="S4.E73.m1.38.38.38.5.5.5.1.1" xref="S4.E73.m1.38.38.38.5.5.5.1.1.cmml">+</mo><mn id="S4.E73.m1.38.38.38.5.5.5.1.3" xref="S4.E73.m1.38.38.38.5.5.5.1.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S4.E73.m1.39.39.39.6.6.6" xref="S4.E73.m1.39.39.39.6.6.6.cmml">−</mo><msup id="S4.E73.m1.65.65.5.64.28.28.28.1.1.1.1.1.2"><mi id="S4.E73.m1.40.40.40.7.7.7" xref="S4.E73.m1.40.40.40.7.7.7.cmml">ϕ</mi><mi id="S4.E73.m1.41.41.41.8.8.8.1" xref="S4.E73.m1.41.41.41.8.8.8.1.cmml">k</mi></msup></mrow><mo id="S4.E73.m1.42.42.42.9.9.9" xref="S4.E73.m1.61.61.1.1.1.cmml">,</mo><mrow id="S4.E73.m1.65.65.5.64.28.28.28.1.2.2.2.2"><mrow id="S4.E73.m1.65.65.5.64.28.28.28.1.2.2.2.2.1"><mi id="S4.E73.m1.43.43.43.10.10.10" xref="S4.E73.m1.43.43.43.10.10.10.cmml">div</mi><mo id="S4.E73.m1.65.65.5.64.28.28.28.1.2.2.2.2.1.2" xref="S4.E73.m1.61.61.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E73.m1.65.65.5.64.28.28.28.1.2.2.2.2.1.1.1"><mo id="S4.E73.m1.44.44.44.11.11.11" stretchy="false" xref="S4.E73.m1.61.61.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E73.m1.65.65.5.64.28.28.28.1.2.2.2.2.1.1.1.1"><msup id="S4.E73.m1.65.65.5.64.28.28.28.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1"><mi id="S4.E73.m1.45.45.45.12.12.12" xref="S4.E73.m1.45.45.45.12.12.12.cmml">m</mi><mrow id="S4.E73.m1.46.46.46.13.13.13.1" xref="S4.E73.m1.46.46.46.13.13.13.1.cmml"><mi id="S4.E73.m1.46.46.46.13.13.13.1.2" xref="S4.E73.m1.46.46.46.13.13.13.1.2.cmml">k</mi><mo id="S4.E73.m1.46.46.46.13.13.13.1.1" xref="S4.E73.m1.46.46.46.13.13.13.1.1.cmml">+</mo><mn id="S4.E73.m1.46.46.46.13.13.13.1.3" xref="S4.E73.m1.46.46.46.13.13.13.1.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S4.E73.m1.47.47.47.14.14.14" xref="S4.E73.m1.47.47.47.14.14.14.cmml">−</mo><msup id="S4.E73.m1.65.65.5.64.28.28.28.1.2.2.2.2.1.1.1.1.2"><mi id="S4.E73.m1.48.48.48.15.15.15" xref="S4.E73.m1.48.48.48.15.15.15.cmml">m</mi><mi id="S4.E73.m1.49.49.49.16.16.16.1" xref="S4.E73.m1.49.49.49.16.16.16.1.cmml">k</mi></msup></mrow><mo id="S4.E73.m1.50.50.50.17.17.17" stretchy="false" xref="S4.E73.m1.61.61.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E73.m1.51.51.51.18.18.18" xref="S4.E73.m1.51.51.51.18.18.18.cmml">−</mo><mrow id="S4.E73.m1.65.65.5.64.28.28.28.1.2.2.2.2.2.1"><mo id="S4.E73.m1.52.52.52.19.19.19" stretchy="false" xref="S4.E73.m1.61.61.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E73.m1.65.65.5.64.28.28.28.1.2.2.2.2.2.1.1"><msup id="S4.E73.m1.65.65.5.64.28.28.28.1.2.2.2.2.2.1.1.1"><mi id="S4.E73.m1.53.53.53.20.20.20" xref="S4.E73.m1.53.53.53.20.20.20.cmml">v</mi><mrow id="S4.E73.m1.54.54.54.21.21.21.1" xref="S4.E73.m1.54.54.54.21.21.21.1.cmml"><mi id="S4.E73.m1.54.54.54.21.21.21.1.2" xref="S4.E73.m1.54.54.54.21.21.21.1.2.cmml">k</mi><mo id="S4.E73.m1.54.54.54.21.21.21.1.1" xref="S4.E73.m1.54.54.54.21.21.21.1.1.cmml">+</mo><mn id="S4.E73.m1.54.54.54.21.21.21.1.3" xref="S4.E73.m1.54.54.54.21.21.21.1.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S4.E73.m1.55.55.55.22.22.22" xref="S4.E73.m1.55.55.55.22.22.22.cmml">−</mo><msup id="S4.E73.m1.65.65.5.64.28.28.28.1.2.2.2.2.2.1.1.2"><mi id="S4.E73.m1.56.56.56.23.23.23" xref="S4.E73.m1.56.56.56.23.23.23.cmml">v</mi><mi id="S4.E73.m1.57.57.57.24.24.24.1" xref="S4.E73.m1.57.57.57.24.24.24.1.cmml">k</mi></msup></mrow><mo id="S4.E73.m1.58.58.58.25.25.25" stretchy="false" xref="S4.E73.m1.61.61.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E73.m1.59.59.59.26.26.26" stretchy="false" xref="S4.E73.m1.61.61.1.1.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></mrow><mo 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id="S4.E73.m1.27.27.27.27.27.27.cmml" xref="S4.E73.m1.27.27.27.27.27.27">italic-ϕ</ci><apply id="S4.E73.m1.28.28.28.28.28.28.1.cmml" xref="S4.E73.m1.28.28.28.28.28.28.1"><plus id="S4.E73.m1.28.28.28.28.28.28.1.1.cmml" xref="S4.E73.m1.28.28.28.28.28.28.1.1"></plus><ci id="S4.E73.m1.28.28.28.28.28.28.1.2.cmml" xref="S4.E73.m1.28.28.28.28.28.28.1.2">𝑘</ci><cn id="S4.E73.m1.28.28.28.28.28.28.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E73.m1.28.28.28.28.28.28.1.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.E73.m1.61.61.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E73.m1.64.64.4.63.36.36.37.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E73.m1.61.61.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E73.m1.64.64.4.63.36.36.37.1">superscript</csymbol><ci id="S4.E73.m1.30.30.30.30.30.30.cmml" xref="S4.E73.m1.30.30.30.30.30.30">italic-ϕ</ci><ci id="S4.E73.m1.31.31.31.31.31.31.1.cmml" xref="S4.E73.m1.31.31.31.31.31.31.1">𝑘</ci></apply></apply></apply><cn id="S4.E73.m1.33.33.33.33.33.33.1.cmml" type="integer" xref="S4.E73.m1.33.33.33.33.33.33.1">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S4.E73.m1.61.61.1.1.1.5.5.cmml" xref="S4.E73.m1.64.64.4.63.36.36.37.1"><times id="S4.E73.m1.61.61.1.1.1.5.5.3.cmml" xref="S4.E73.m1.64.64.4.63.36.36.37.1"></times><cn id="S4.E73.m1.35.35.35.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.E73.m1.35.35.35.2.2.2">2</cn><list id="S4.E73.m1.61.61.1.1.1.5.5.2.3.cmml" xref="S4.E73.m1.64.64.4.63.36.36.37.1"><apply id="S4.E73.m1.61.61.1.1.1.4.4.1.1.1.cmml" xref="S4.E73.m1.64.64.4.63.36.36.37.1"><minus id="S4.E73.m1.39.39.39.6.6.6.cmml" xref="S4.E73.m1.39.39.39.6.6.6"></minus><apply id="S4.E73.m1.61.61.1.1.1.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E73.m1.64.64.4.63.36.36.37.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E73.m1.61.61.1.1.1.4.4.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E73.m1.64.64.4.63.36.36.37.1">superscript</csymbol><ci id="S4.E73.m1.37.37.37.4.4.4.cmml" xref="S4.E73.m1.37.37.37.4.4.4">italic-ϕ</ci><apply id="S4.E73.m1.38.38.38.5.5.5.1.cmml" xref="S4.E73.m1.38.38.38.5.5.5.1"><plus id="S4.E73.m1.38.38.38.5.5.5.1.1.cmml" xref="S4.E73.m1.38.38.38.5.5.5.1.1"></plus><ci id="S4.E73.m1.38.38.38.5.5.5.1.2.cmml" xref="S4.E73.m1.38.38.38.5.5.5.1.2">𝑘</ci><cn id="S4.E73.m1.38.38.38.5.5.5.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E73.m1.38.38.38.5.5.5.1.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.E73.m1.61.61.1.1.1.4.4.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E73.m1.64.64.4.63.36.36.37.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E73.m1.61.61.1.1.1.4.4.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E73.m1.64.64.4.63.36.36.37.1">superscript</csymbol><ci id="S4.E73.m1.40.40.40.7.7.7.cmml" xref="S4.E73.m1.40.40.40.7.7.7">italic-ϕ</ci><ci id="S4.E73.m1.41.41.41.8.8.8.1.cmml" xref="S4.E73.m1.41.41.41.8.8.8.1">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S4.E73.m1.61.61.1.1.1.5.5.2.2.2.cmml" xref="S4.E73.m1.64.64.4.63.36.36.37.1"><minus id="S4.E73.m1.51.51.51.18.18.18.cmml" xref="S4.E73.m1.51.51.51.18.18.18"></minus><apply id="S4.E73.m1.61.61.1.1.1.5.5.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E73.m1.64.64.4.63.36.36.37.1"><times id="S4.E73.m1.61.61.1.1.1.5.5.2.2.2.1.2.cmml" xref="S4.E73.m1.64.64.4.63.36.36.37.1"></times><ci id="S4.E73.m1.43.43.43.10.10.10.cmml" xref="S4.E73.m1.43.43.43.10.10.10">div</ci><apply id="S4.E73.m1.61.61.1.1.1.5.5.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E73.m1.64.64.4.63.36.36.37.1"><minus id="S4.E73.m1.47.47.47.14.14.14.cmml" xref="S4.E73.m1.47.47.47.14.14.14"></minus><apply id="S4.E73.m1.61.61.1.1.1.5.5.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E73.m1.64.64.4.63.36.36.37.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E73.m1.61.61.1.1.1.5.5.2.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E73.m1.64.64.4.63.36.36.37.1">superscript</csymbol><ci id="S4.E73.m1.45.45.45.12.12.12.cmml" xref="S4.E73.m1.45.45.45.12.12.12">𝑚</ci><apply id="S4.E73.m1.46.46.46.13.13.13.1.cmml" xref="S4.E73.m1.46.46.46.13.13.13.1"><plus id="S4.E73.m1.46.46.46.13.13.13.1.1.cmml" xref="S4.E73.m1.46.46.46.13.13.13.1.1"></plus><ci id="S4.E73.m1.46.46.46.13.13.13.1.2.cmml" xref="S4.E73.m1.46.46.46.13.13.13.1.2">𝑘</ci><cn id="S4.E73.m1.46.46.46.13.13.13.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E73.m1.46.46.46.13.13.13.1.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.E73.m1.61.61.1.1.1.5.5.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E73.m1.64.64.4.63.36.36.37.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E73.m1.61.61.1.1.1.5.5.2.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E73.m1.64.64.4.63.36.36.37.1">superscript</csymbol><ci id="S4.E73.m1.48.48.48.15.15.15.cmml" xref="S4.E73.m1.48.48.48.15.15.15">𝑚</ci><ci id="S4.E73.m1.49.49.49.16.16.16.1.cmml" xref="S4.E73.m1.49.49.49.16.16.16.1">𝑘</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.E73.m1.61.61.1.1.1.5.5.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S4.E73.m1.64.64.4.63.36.36.37.1"><minus id="S4.E73.m1.55.55.55.22.22.22.cmml" xref="S4.E73.m1.55.55.55.22.22.22"></minus><apply id="S4.E73.m1.61.61.1.1.1.5.5.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.E73.m1.64.64.4.63.36.36.37.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E73.m1.61.61.1.1.1.5.5.2.2.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E73.m1.64.64.4.63.36.36.37.1">superscript</csymbol><ci id="S4.E73.m1.53.53.53.20.20.20.cmml" xref="S4.E73.m1.53.53.53.20.20.20">𝑣</ci><apply id="S4.E73.m1.54.54.54.21.21.21.1.cmml" xref="S4.E73.m1.54.54.54.21.21.21.1"><plus id="S4.E73.m1.54.54.54.21.21.21.1.1.cmml" xref="S4.E73.m1.54.54.54.21.21.21.1.1"></plus><ci id="S4.E73.m1.54.54.54.21.21.21.1.2.cmml" xref="S4.E73.m1.54.54.54.21.21.21.1.2">𝑘</ci><cn id="S4.E73.m1.54.54.54.21.21.21.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E73.m1.54.54.54.21.21.21.1.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.E73.m1.61.61.1.1.1.5.5.2.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S4.E73.m1.64.64.4.63.36.36.37.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E73.m1.61.61.1.1.1.5.5.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E73.m1.64.64.4.63.36.36.37.1">superscript</csymbol><ci id="S4.E73.m1.56.56.56.23.23.23.cmml" xref="S4.E73.m1.56.56.56.23.23.23">𝑣</ci><ci id="S4.E73.m1.57.57.57.24.24.24.1.cmml" xref="S4.E73.m1.57.57.57.24.24.24.1">𝑘</ci></apply></apply></apply></list></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E73.m1.65c">\begin{split}\frac{1}{h^{2}}R^{k}=\frac{1}{\mu}\|m^{k+1}-m^{k}\|^{2}+\frac{1}{% \nu}\|v^{k+1}-v^{k}\|^{2}+\frac{1}{\tau}\|\phi^{k+1}-\phi^{k}\|^{2}\\ -2\langle\phi^{k+1}-\phi^{k},\mathrm{div}(m^{k+1}-m^{k})-(v^{k+1}-v^{k})% \rangle.\end{split}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E73.m1.65d">start_ROW start_CELL divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_h start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG italic_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_μ end_ARG ∥ italic_m start_POSTSUPERSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUPERSCRIPT - italic_m start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT ∥ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_ν end_ARG ∥ italic_v start_POSTSUPERSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUPERSCRIPT - italic_v start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT ∥ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_τ end_ARG ∥ italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUPERSCRIPT - italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT ∥ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL - 2 ⟨ italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUPERSCRIPT - italic_ϕ start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT , roman_div ( italic_m start_POSTSUPERSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUPERSCRIPT - italic_m start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT ) - ( italic_v start_POSTSUPERSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUPERSCRIPT - italic_v start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT ) ⟩ . end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(73)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.SSS1.p8.3">Iteration (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S4.E69" title="In 4.2.1 Numerical Method for (63) ‣ 4.2 Numerical Method for problem (62) ‣ 4 Numerical Algorithm ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">69</span></a>) stops until <math alttext="R^{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.SSS1.p8.2.m1.1"><semantics id="S4.SS2.SSS1.p8.2.m1.1a"><msup id="S4.SS2.SSS1.p8.2.m1.1.1" xref="S4.SS2.SSS1.p8.2.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.SSS1.p8.2.m1.1.1.2" xref="S4.SS2.SSS1.p8.2.m1.1.1.2.cmml">R</mi><mi id="S4.SS2.SSS1.p8.2.m1.1.1.3" xref="S4.SS2.SSS1.p8.2.m1.1.1.3.cmml">k</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.SSS1.p8.2.m1.1b"><apply id="S4.SS2.SSS1.p8.2.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p8.2.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.SSS1.p8.2.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p8.2.m1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.SS2.SSS1.p8.2.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p8.2.m1.1.1.2">𝑅</ci><ci id="S4.SS2.SSS1.p8.2.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p8.2.m1.1.1.3">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.SSS1.p8.2.m1.1c">R^{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.SSS1.p8.2.m1.1d">italic_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is below <math alttext="\epsilon" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.SSS1.p8.3.m2.1"><semantics id="S4.SS2.SSS1.p8.3.m2.1a"><mi id="S4.SS2.SSS1.p8.3.m2.1.1" xref="S4.SS2.SSS1.p8.3.m2.1.1.cmml">ϵ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.SSS1.p8.3.m2.1b"><ci id="S4.SS2.SSS1.p8.3.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p8.3.m2.1.1">italic-ϵ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.SSS1.p8.3.m2.1c">\epsilon</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.SSS1.p8.3.m2.1d">italic_ϵ</annotation></semantics></math>.</p> </div> </section> <section class="ltx_subsubsection" id="S4.SS2.SSS2"> <h4 class="ltx_title ltx_title_subsubsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsubsection">4.2.2 </span>Numerical Method for (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S4.E64" title="In 2nd item ‣ 4.2 Numerical Method for problem (62) ‣ 4 Numerical Algorithm ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">64</span></a>)</h4> <div class="ltx_para" id="S4.SS2.SSS2.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.SSS2.p1.1">We propose using the augmented Lagrangian method (ALM) in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib53" title="">2010Augmented </a>; <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib54" title="">2017Augmented </a>; <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib61" title="">zhu </a>; <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib57" title="">2023A </a></cite> to solve subproblem (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S4.E64" title="In 2nd item ‣ 4.2 Numerical Method for problem (62) ‣ 4 Numerical Algorithm ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">64</span></a>). Aujol et al. <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib2" title="">2005Image </a></cite> used a projection algorithm to minimize the total variation proposed by Chambolle <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib13" title="">2004cha </a></cite>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS2.SSS2.p2"> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.SSS2.p2.1">An equivalent constraint problem of (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S4.E64" title="In 2nd item ‣ 4.2 Numerical Method for problem (62) ‣ 4 Numerical Algorithm ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">64</span></a>) for fixed <math alttext="f_{2}=f-v" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.SSS2.p2.1.m1.1"><semantics id="S4.SS2.SSS2.p2.1.m1.1a"><mrow id="S4.SS2.SSS2.p2.1.m1.1.1" xref="S4.SS2.SSS2.p2.1.m1.1.1.cmml"><msub id="S4.SS2.SSS2.p2.1.m1.1.1.2" xref="S4.SS2.SSS2.p2.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS2.SSS2.p2.1.m1.1.1.2.2" xref="S4.SS2.SSS2.p2.1.m1.1.1.2.2.cmml">f</mi><mn id="S4.SS2.SSS2.p2.1.m1.1.1.2.3" xref="S4.SS2.SSS2.p2.1.m1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S4.SS2.SSS2.p2.1.m1.1.1.1" xref="S4.SS2.SSS2.p2.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.SS2.SSS2.p2.1.m1.1.1.3" xref="S4.SS2.SSS2.p2.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS2.SSS2.p2.1.m1.1.1.3.2" xref="S4.SS2.SSS2.p2.1.m1.1.1.3.2.cmml">f</mi><mo id="S4.SS2.SSS2.p2.1.m1.1.1.3.1" xref="S4.SS2.SSS2.p2.1.m1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mi id="S4.SS2.SSS2.p2.1.m1.1.1.3.3" xref="S4.SS2.SSS2.p2.1.m1.1.1.3.3.cmml">v</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.SSS2.p2.1.m1.1b"><apply id="S4.SS2.SSS2.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS2.p2.1.m1.1.1"><eq id="S4.SS2.SSS2.p2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS2.p2.1.m1.1.1.1"></eq><apply id="S4.SS2.SSS2.p2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS2.p2.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.SSS2.p2.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS2.p2.1.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS2.SSS2.p2.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS2.p2.1.m1.1.1.2.2">𝑓</ci><cn id="S4.SS2.SSS2.p2.1.m1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.SSS2.p2.1.m1.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="S4.SS2.SSS2.p2.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.SSS2.p2.1.m1.1.1.3"><minus id="S4.SS2.SSS2.p2.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS2.p2.1.m1.1.1.3.1"></minus><ci id="S4.SS2.SSS2.p2.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS2.p2.1.m1.1.1.3.2">𝑓</ci><ci id="S4.SS2.SSS2.p2.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS2.SSS2.p2.1.m1.1.1.3.3">𝑣</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.SSS2.p2.1.m1.1c">f_{2}=f-v</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.SSS2.p2.1.m1.1d">italic_f start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT = italic_f - italic_v</annotation></semantics></math> is as follows:</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="Sx1.EGx5"> <tbody id="S4.Ex2"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\|R(p)\|_{1,2}+\frac{\alpha}{2}\|K*u-f_{2}\|^{2}," class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex2.m1.4"><semantics id="S4.Ex2.m1.4a"><mrow id="S4.Ex2.m1.4.4.1" xref="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex2.m1.4.4.1.1" xref="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.cmml"><msub id="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.1" xref="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">R</mi><mo id="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex2.m1.3.3" xref="S4.Ex2.m1.3.3.cmml">p</mi><mo id="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mrow id="S4.Ex2.m1.2.2.2.4" xref="S4.Ex2.m1.2.2.2.3.cmml"><mn id="S4.Ex2.m1.1.1.1.1" xref="S4.Ex2.m1.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.Ex2.m1.2.2.2.4.1" xref="S4.Ex2.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="S4.Ex2.m1.2.2.2.2" xref="S4.Ex2.m1.2.2.2.2.cmml">2</mn></mrow></msub><mo id="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.3" xref="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.3.cmml">+</mo><mrow id="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.2" xref="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.2.3" xref="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.2.3.cmml"><mfrac id="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.2.3a" xref="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.2.3.2" xref="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.2.3.2.cmml">α</mi><mn id="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.2.3.3" xref="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.2.3.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2" xref="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1" xref="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.cmml"><mrow id="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1" xref="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1" xref="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.cmml">K</mi><mo id="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.1.cmml">∗</mo><mi id="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.3.cmml">u</mi></mrow><mo id="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.2.cmml">f</mi><mn id="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.3" xref="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><mo id="S4.Ex2.m1.4.4.1.2" xref="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex2.m1.4b"><apply id="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S4.Ex2.m1.4.4.1"><plus id="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.3"></plus><apply id="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1"><times id="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2">𝑅</ci><ci id="S4.Ex2.m1.3.3.cmml" xref="S4.Ex2.m1.3.3">𝑝</ci></apply></apply><list id="S4.Ex2.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex2.m1.2.2.2.4"><cn id="S4.Ex2.m1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.Ex2.m1.1.1.1.1">1</cn><cn id="S4.Ex2.m1.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex2.m1.2.2.2.2">2</cn></list></apply><apply id="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.2"><times id="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.2.2"></times><apply id="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.2.3"><divide id="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.2.3"></divide><ci id="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.2.3.2">𝛼</ci><cn id="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.2.3.3">2</cn></apply><apply id="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.2.cmml" xref="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1"><minus id="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2"><times id="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2">𝐾</ci><ci id="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.3">𝑢</ci></apply><apply id="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.2">𝑓</ci><cn id="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></apply><cn id="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex2.m1.4.4.1.1.2.1.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex2.m1.4c">\displaystyle\|R(p)\|_{1,2}+\frac{\alpha}{2}\|K*u-f_{2}\|^{2},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex2.m1.4d">∥ italic_R ( italic_p ) ∥ start_POSTSUBSCRIPT 1 , 2 end_POSTSUBSCRIPT + divide start_ARG italic_α end_ARG start_ARG 2 end_ARG ∥ italic_K ∗ italic_u - italic_f start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S4.Ex3"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle s.t.\quad p=\nabla u." class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S4.Ex3.m1.2"><semantics id="S4.Ex3.m1.2a"><mrow id="S4.Ex3.m1.2b"><mi id="S4.Ex3.m1.1.1">s</mi><mo id="S4.Ex3.m1.2.3" lspace="0em" rspace="0.167em">.</mo><mi id="S4.Ex3.m1.2.2">t</mi><mo id="S4.Ex3.m1.2.4" lspace="0em">.</mo><mspace id="S4.Ex3.m1.2.5" width="1.167em"></mspace><mi id="S4.Ex3.m1.2.6">p</mi><mo id="S4.Ex3.m1.2.7">=</mo><mo id="S4.Ex3.m1.2.8" rspace="0.167em">∇</mo><mi id="S4.Ex3.m1.2.9">u</mi><mo id="S4.Ex3.m1.2.10" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex3.m1.2c">\displaystyle s.t.\quad p=\nabla u.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex3.m1.2d">italic_s . italic_t . italic_p = ∇ italic_u .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.SSS2.p2.4">The augmented Lagrangian functional is</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E74"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\begin{split}\mathcal{L}(u,p,\lambda_{1})=\|R(p)\|_{1,2}+\frac{\alpha}{2}\|K*u% -f_{2}\|^{2}+\langle p-\nabla u,\eta\rangle+\frac{r}{2}\|p-\nabla u\|^{2},\end% {split}" class="ltx_Math" display="block" id="S4.E74.m1.49"><semantics id="S4.E74.m1.49a"><mtable displaystyle="true" id="S4.E74.m1.49.49.2"><mtr id="S4.E74.m1.49.49.2a"><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="S4.E74.m1.49.49.2b"><mrow id="S4.E74.m1.49.49.2.48.48.48.48"><mrow id="S4.E74.m1.49.49.2.48.48.48.48.1"><mrow id="S4.E74.m1.49.49.2.48.48.48.48.1.1"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.E74.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E74.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">ℒ</mi><mo id="S4.E74.m1.49.49.2.48.48.48.48.1.1.2" xref="S4.E74.m1.48.48.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E74.m1.49.49.2.48.48.48.48.1.1.1.1"><mo id="S4.E74.m1.2.2.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S4.E74.m1.48.48.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.E74.m1.3.3.3.3.3.3" xref="S4.E74.m1.3.3.3.3.3.3.cmml">u</mi><mo id="S4.E74.m1.4.4.4.4.4.4" xref="S4.E74.m1.48.48.1.1.1.cmml">,</mo><mi id="S4.E74.m1.5.5.5.5.5.5" xref="S4.E74.m1.5.5.5.5.5.5.cmml">p</mi><mo id="S4.E74.m1.6.6.6.6.6.6" xref="S4.E74.m1.48.48.1.1.1.cmml">,</mo><msub id="S4.E74.m1.49.49.2.48.48.48.48.1.1.1.1.1"><mi id="S4.E74.m1.7.7.7.7.7.7" xref="S4.E74.m1.7.7.7.7.7.7.cmml">λ</mi><mn id="S4.E74.m1.8.8.8.8.8.8.1" xref="S4.E74.m1.8.8.8.8.8.8.1.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.E74.m1.9.9.9.9.9.9" stretchy="false" xref="S4.E74.m1.48.48.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E74.m1.10.10.10.10.10.10" xref="S4.E74.m1.10.10.10.10.10.10.cmml">=</mo><mrow id="S4.E74.m1.49.49.2.48.48.48.48.1.5"><msub id="S4.E74.m1.49.49.2.48.48.48.48.1.2.1"><mrow id="S4.E74.m1.49.49.2.48.48.48.48.1.2.1.1.1"><mo id="S4.E74.m1.11.11.11.11.11.11" stretchy="false" xref="S4.E74.m1.48.48.1.1.1.cmml">‖</mo><mrow id="S4.E74.m1.49.49.2.48.48.48.48.1.2.1.1.1.1"><mi id="S4.E74.m1.12.12.12.12.12.12" xref="S4.E74.m1.12.12.12.12.12.12.cmml">R</mi><mo id="S4.E74.m1.49.49.2.48.48.48.48.1.2.1.1.1.1.1" xref="S4.E74.m1.48.48.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E74.m1.49.49.2.48.48.48.48.1.2.1.1.1.1.2"><mo id="S4.E74.m1.13.13.13.13.13.13" stretchy="false" xref="S4.E74.m1.48.48.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.E74.m1.14.14.14.14.14.14" xref="S4.E74.m1.14.14.14.14.14.14.cmml">p</mi><mo id="S4.E74.m1.15.15.15.15.15.15" stretchy="false" xref="S4.E74.m1.48.48.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E74.m1.16.16.16.16.16.16" stretchy="false" xref="S4.E74.m1.48.48.1.1.1.cmml">‖</mo></mrow><mrow id="S4.E74.m1.17.17.17.17.17.17.1.4" xref="S4.E74.m1.17.17.17.17.17.17.1.3.cmml"><mn id="S4.E74.m1.17.17.17.17.17.17.1.1" xref="S4.E74.m1.17.17.17.17.17.17.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.E74.m1.17.17.17.17.17.17.1.4.1" xref="S4.E74.m1.17.17.17.17.17.17.1.3.cmml">,</mo><mn id="S4.E74.m1.17.17.17.17.17.17.1.2" xref="S4.E74.m1.17.17.17.17.17.17.1.2.cmml">2</mn></mrow></msub><mo id="S4.E74.m1.18.18.18.18.18.18" xref="S4.E74.m1.18.18.18.18.18.18.cmml">+</mo><mrow id="S4.E74.m1.49.49.2.48.48.48.48.1.3.2"><mfrac id="S4.E74.m1.19.19.19.19.19.19" xref="S4.E74.m1.19.19.19.19.19.19.cmml"><mi id="S4.E74.m1.19.19.19.19.19.19.2" xref="S4.E74.m1.19.19.19.19.19.19.2.cmml">α</mi><mn id="S4.E74.m1.19.19.19.19.19.19.3" xref="S4.E74.m1.19.19.19.19.19.19.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S4.E74.m1.49.49.2.48.48.48.48.1.3.2.2" xref="S4.E74.m1.48.48.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E74.m1.49.49.2.48.48.48.48.1.3.2.1"><mrow id="S4.E74.m1.49.49.2.48.48.48.48.1.3.2.1.1.1"><mo id="S4.E74.m1.20.20.20.20.20.20" stretchy="false" xref="S4.E74.m1.48.48.1.1.1.cmml">‖</mo><mrow id="S4.E74.m1.49.49.2.48.48.48.48.1.3.2.1.1.1.1"><mrow id="S4.E74.m1.49.49.2.48.48.48.48.1.3.2.1.1.1.1.1"><mi id="S4.E74.m1.21.21.21.21.21.21" xref="S4.E74.m1.21.21.21.21.21.21.cmml">K</mi><mo id="S4.E74.m1.22.22.22.22.22.22" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.E74.m1.22.22.22.22.22.22.cmml">∗</mo><mi id="S4.E74.m1.23.23.23.23.23.23" xref="S4.E74.m1.23.23.23.23.23.23.cmml">u</mi></mrow><mo id="S4.E74.m1.24.24.24.24.24.24" xref="S4.E74.m1.24.24.24.24.24.24.cmml">−</mo><msub id="S4.E74.m1.49.49.2.48.48.48.48.1.3.2.1.1.1.1.2"><mi id="S4.E74.m1.25.25.25.25.25.25" xref="S4.E74.m1.25.25.25.25.25.25.cmml">f</mi><mn id="S4.E74.m1.26.26.26.26.26.26.1" xref="S4.E74.m1.26.26.26.26.26.26.1.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="S4.E74.m1.27.27.27.27.27.27" stretchy="false" xref="S4.E74.m1.48.48.1.1.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="S4.E74.m1.28.28.28.28.28.28.1" xref="S4.E74.m1.28.28.28.28.28.28.1.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S4.E74.m1.18.18.18.18.18.18a" xref="S4.E74.m1.18.18.18.18.18.18.cmml">+</mo><mrow id="S4.E74.m1.49.49.2.48.48.48.48.1.4.3.1"><mo id="S4.E74.m1.30.30.30.30.30.30" stretchy="false" xref="S4.E74.m1.48.48.1.1.1.cmml">⟨</mo><mrow id="S4.E74.m1.49.49.2.48.48.48.48.1.4.3.1.1"><mi id="S4.E74.m1.31.31.31.31.31.31" xref="S4.E74.m1.31.31.31.31.31.31.cmml">p</mi><mo id="S4.E74.m1.32.32.32.32.32.32" xref="S4.E74.m1.32.32.32.32.32.32.cmml">−</mo><mrow id="S4.E74.m1.49.49.2.48.48.48.48.1.4.3.1.1.1"><mo id="S4.E74.m1.33.33.33.33.33.33" rspace="0.167em" xref="S4.E74.m1.33.33.33.33.33.33.cmml">∇</mo><mi id="S4.E74.m1.34.34.34.34.34.34" xref="S4.E74.m1.34.34.34.34.34.34.cmml">u</mi></mrow></mrow><mo id="S4.E74.m1.35.35.35.35.35.35" xref="S4.E74.m1.48.48.1.1.1.cmml">,</mo><mi id="S4.E74.m1.36.36.36.36.36.36" xref="S4.E74.m1.36.36.36.36.36.36.cmml">η</mi><mo id="S4.E74.m1.37.37.37.37.37.37" stretchy="false" xref="S4.E74.m1.48.48.1.1.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S4.E74.m1.18.18.18.18.18.18b" xref="S4.E74.m1.18.18.18.18.18.18.cmml">+</mo><mrow id="S4.E74.m1.49.49.2.48.48.48.48.1.5.4"><mfrac id="S4.E74.m1.39.39.39.39.39.39" xref="S4.E74.m1.39.39.39.39.39.39.cmml"><mi id="S4.E74.m1.39.39.39.39.39.39.2" xref="S4.E74.m1.39.39.39.39.39.39.2.cmml">r</mi><mn id="S4.E74.m1.39.39.39.39.39.39.3" xref="S4.E74.m1.39.39.39.39.39.39.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S4.E74.m1.49.49.2.48.48.48.48.1.5.4.2" xref="S4.E74.m1.48.48.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E74.m1.49.49.2.48.48.48.48.1.5.4.1"><mrow id="S4.E74.m1.49.49.2.48.48.48.48.1.5.4.1.1.1"><mo id="S4.E74.m1.40.40.40.40.40.40" stretchy="false" xref="S4.E74.m1.48.48.1.1.1.cmml">‖</mo><mrow id="S4.E74.m1.49.49.2.48.48.48.48.1.5.4.1.1.1.1"><mi id="S4.E74.m1.41.41.41.41.41.41" xref="S4.E74.m1.41.41.41.41.41.41.cmml">p</mi><mo id="S4.E74.m1.42.42.42.42.42.42" xref="S4.E74.m1.42.42.42.42.42.42.cmml">−</mo><mrow id="S4.E74.m1.49.49.2.48.48.48.48.1.5.4.1.1.1.1.1"><mo id="S4.E74.m1.43.43.43.43.43.43" rspace="0.167em" xref="S4.E74.m1.43.43.43.43.43.43.cmml">∇</mo><mi id="S4.E74.m1.44.44.44.44.44.44" xref="S4.E74.m1.44.44.44.44.44.44.cmml">u</mi></mrow></mrow><mo id="S4.E74.m1.45.45.45.45.45.45" stretchy="false" xref="S4.E74.m1.48.48.1.1.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="S4.E74.m1.46.46.46.46.46.46.1" xref="S4.E74.m1.46.46.46.46.46.46.1.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E74.m1.47.47.47.47.47.47" xref="S4.E74.m1.48.48.1.1.1.cmml">,</mo></mrow></mtd></mtr></mtable><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E74.m1.49b"><apply id="S4.E74.m1.48.48.1.1.1.cmml" xref="S4.E74.m1.49.49.2.48.48.48.48.1.1.2"><eq id="S4.E74.m1.10.10.10.10.10.10.cmml" xref="S4.E74.m1.10.10.10.10.10.10"></eq><apply id="S4.E74.m1.48.48.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E74.m1.49.49.2.48.48.48.48.1.1.2"><times id="S4.E74.m1.48.48.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E74.m1.49.49.2.48.48.48.48.1.1.2"></times><ci id="S4.E74.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E74.m1.1.1.1.1.1.1">ℒ</ci><vector id="S4.E74.m1.48.48.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E74.m1.49.49.2.48.48.48.48.1.1.2"><ci id="S4.E74.m1.3.3.3.3.3.3.cmml" xref="S4.E74.m1.3.3.3.3.3.3">𝑢</ci><ci id="S4.E74.m1.5.5.5.5.5.5.cmml" xref="S4.E74.m1.5.5.5.5.5.5">𝑝</ci><apply id="S4.E74.m1.48.48.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E74.m1.49.49.2.48.48.48.48.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E74.m1.48.48.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E74.m1.49.49.2.48.48.48.48.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E74.m1.7.7.7.7.7.7.cmml" xref="S4.E74.m1.7.7.7.7.7.7">𝜆</ci><cn id="S4.E74.m1.8.8.8.8.8.8.1.cmml" type="integer" xref="S4.E74.m1.8.8.8.8.8.8.1">1</cn></apply></vector></apply><apply id="S4.E74.m1.48.48.1.1.1.5.cmml" xref="S4.E74.m1.49.49.2.48.48.48.48.1.1.2"><plus id="S4.E74.m1.18.18.18.18.18.18.cmml" xref="S4.E74.m1.18.18.18.18.18.18"></plus><apply id="S4.E74.m1.48.48.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E74.m1.49.49.2.48.48.48.48.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E74.m1.48.48.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="S4.E74.m1.49.49.2.48.48.48.48.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S4.E74.m1.48.48.1.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S4.E74.m1.49.49.2.48.48.48.48.1.1.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.E74.m1.48.48.1.1.1.2.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E74.m1.49.49.2.48.48.48.48.1.1.2">delimited-∥∥</csymbol><apply id="S4.E74.m1.48.48.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E74.m1.49.49.2.48.48.48.48.1.1.2"><times id="S4.E74.m1.48.48.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E74.m1.49.49.2.48.48.48.48.1.1.2"></times><ci id="S4.E74.m1.12.12.12.12.12.12.cmml" xref="S4.E74.m1.12.12.12.12.12.12">𝑅</ci><ci id="S4.E74.m1.14.14.14.14.14.14.cmml" xref="S4.E74.m1.14.14.14.14.14.14">𝑝</ci></apply></apply><list id="S4.E74.m1.17.17.17.17.17.17.1.3.cmml" xref="S4.E74.m1.17.17.17.17.17.17.1.4"><cn id="S4.E74.m1.17.17.17.17.17.17.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.E74.m1.17.17.17.17.17.17.1.1">1</cn><cn id="S4.E74.m1.17.17.17.17.17.17.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.E74.m1.17.17.17.17.17.17.1.2">2</cn></list></apply><apply id="S4.E74.m1.48.48.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E74.m1.49.49.2.48.48.48.48.1.1.2"><times id="S4.E74.m1.48.48.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E74.m1.49.49.2.48.48.48.48.1.1.2"></times><apply id="S4.E74.m1.19.19.19.19.19.19.cmml" xref="S4.E74.m1.19.19.19.19.19.19"><divide id="S4.E74.m1.19.19.19.19.19.19.1.cmml" xref="S4.E74.m1.19.19.19.19.19.19"></divide><ci id="S4.E74.m1.19.19.19.19.19.19.2.cmml" xref="S4.E74.m1.19.19.19.19.19.19.2">𝛼</ci><cn id="S4.E74.m1.19.19.19.19.19.19.3.cmml" type="integer" xref="S4.E74.m1.19.19.19.19.19.19.3">2</cn></apply><apply id="S4.E74.m1.48.48.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E74.m1.49.49.2.48.48.48.48.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E74.m1.48.48.1.1.1.3.2.1.2.cmml" xref="S4.E74.m1.49.49.2.48.48.48.48.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.E74.m1.48.48.1.1.1.3.2.1.1.2.cmml" xref="S4.E74.m1.49.49.2.48.48.48.48.1.1.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.E74.m1.48.48.1.1.1.3.2.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E74.m1.49.49.2.48.48.48.48.1.1.2">delimited-∥∥</csymbol><apply id="S4.E74.m1.48.48.1.1.1.3.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E74.m1.49.49.2.48.48.48.48.1.1.2"><minus id="S4.E74.m1.24.24.24.24.24.24.cmml" xref="S4.E74.m1.24.24.24.24.24.24"></minus><apply id="S4.E74.m1.48.48.1.1.1.3.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E74.m1.49.49.2.48.48.48.48.1.1.2"><times id="S4.E74.m1.22.22.22.22.22.22.cmml" xref="S4.E74.m1.22.22.22.22.22.22"></times><ci id="S4.E74.m1.21.21.21.21.21.21.cmml" xref="S4.E74.m1.21.21.21.21.21.21">𝐾</ci><ci id="S4.E74.m1.23.23.23.23.23.23.cmml" xref="S4.E74.m1.23.23.23.23.23.23">𝑢</ci></apply><apply id="S4.E74.m1.48.48.1.1.1.3.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E74.m1.49.49.2.48.48.48.48.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E74.m1.48.48.1.1.1.3.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E74.m1.49.49.2.48.48.48.48.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E74.m1.25.25.25.25.25.25.cmml" xref="S4.E74.m1.25.25.25.25.25.25">𝑓</ci><cn id="S4.E74.m1.26.26.26.26.26.26.1.cmml" type="integer" xref="S4.E74.m1.26.26.26.26.26.26.1">2</cn></apply></apply></apply><cn id="S4.E74.m1.28.28.28.28.28.28.1.cmml" type="integer" xref="S4.E74.m1.28.28.28.28.28.28.1">2</cn></apply></apply><list id="S4.E74.m1.48.48.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="S4.E74.m1.49.49.2.48.48.48.48.1.1.2"><apply id="S4.E74.m1.48.48.1.1.1.4.3.1.1.cmml" xref="S4.E74.m1.49.49.2.48.48.48.48.1.1.2"><minus id="S4.E74.m1.32.32.32.32.32.32.cmml" xref="S4.E74.m1.32.32.32.32.32.32"></minus><ci id="S4.E74.m1.31.31.31.31.31.31.cmml" xref="S4.E74.m1.31.31.31.31.31.31">𝑝</ci><apply id="S4.E74.m1.48.48.1.1.1.4.3.1.1.3.cmml" xref="S4.E74.m1.49.49.2.48.48.48.48.1.1.2"><ci id="S4.E74.m1.33.33.33.33.33.33.cmml" xref="S4.E74.m1.33.33.33.33.33.33">∇</ci><ci id="S4.E74.m1.34.34.34.34.34.34.cmml" xref="S4.E74.m1.34.34.34.34.34.34">𝑢</ci></apply></apply><ci id="S4.E74.m1.36.36.36.36.36.36.cmml" xref="S4.E74.m1.36.36.36.36.36.36">𝜂</ci></list><apply id="S4.E74.m1.48.48.1.1.1.5.4.cmml" xref="S4.E74.m1.49.49.2.48.48.48.48.1.1.2"><times id="S4.E74.m1.48.48.1.1.1.5.4.2.cmml" xref="S4.E74.m1.49.49.2.48.48.48.48.1.1.2"></times><apply id="S4.E74.m1.39.39.39.39.39.39.cmml" xref="S4.E74.m1.39.39.39.39.39.39"><divide id="S4.E74.m1.39.39.39.39.39.39.1.cmml" xref="S4.E74.m1.39.39.39.39.39.39"></divide><ci id="S4.E74.m1.39.39.39.39.39.39.2.cmml" xref="S4.E74.m1.39.39.39.39.39.39.2">𝑟</ci><cn id="S4.E74.m1.39.39.39.39.39.39.3.cmml" type="integer" xref="S4.E74.m1.39.39.39.39.39.39.3">2</cn></apply><apply id="S4.E74.m1.48.48.1.1.1.5.4.1.cmml" xref="S4.E74.m1.49.49.2.48.48.48.48.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E74.m1.48.48.1.1.1.5.4.1.2.cmml" xref="S4.E74.m1.49.49.2.48.48.48.48.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.E74.m1.48.48.1.1.1.5.4.1.1.2.cmml" xref="S4.E74.m1.49.49.2.48.48.48.48.1.1.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.E74.m1.48.48.1.1.1.5.4.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E74.m1.49.49.2.48.48.48.48.1.1.2">delimited-∥∥</csymbol><apply id="S4.E74.m1.48.48.1.1.1.5.4.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E74.m1.49.49.2.48.48.48.48.1.1.2"><minus id="S4.E74.m1.42.42.42.42.42.42.cmml" xref="S4.E74.m1.42.42.42.42.42.42"></minus><ci id="S4.E74.m1.41.41.41.41.41.41.cmml" xref="S4.E74.m1.41.41.41.41.41.41">𝑝</ci><apply id="S4.E74.m1.48.48.1.1.1.5.4.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E74.m1.49.49.2.48.48.48.48.1.1.2"><ci id="S4.E74.m1.43.43.43.43.43.43.cmml" xref="S4.E74.m1.43.43.43.43.43.43">∇</ci><ci id="S4.E74.m1.44.44.44.44.44.44.cmml" xref="S4.E74.m1.44.44.44.44.44.44">𝑢</ci></apply></apply></apply><cn id="S4.E74.m1.46.46.46.46.46.46.1.cmml" type="integer" xref="S4.E74.m1.46.46.46.46.46.46.1">2</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E74.m1.49c">\begin{split}\mathcal{L}(u,p,\lambda_{1})=\|R(p)\|_{1,2}+\frac{\alpha}{2}\|K*u% -f_{2}\|^{2}+\langle p-\nabla u,\eta\rangle+\frac{r}{2}\|p-\nabla u\|^{2},\end% {split}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E74.m1.49d">start_ROW start_CELL caligraphic_L ( italic_u , italic_p , italic_λ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ) = ∥ italic_R ( italic_p ) ∥ start_POSTSUBSCRIPT 1 , 2 end_POSTSUBSCRIPT + divide start_ARG italic_α end_ARG start_ARG 2 end_ARG ∥ italic_K ∗ italic_u - italic_f start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + ⟨ italic_p - ∇ italic_u , italic_η ⟩ + divide start_ARG italic_r end_ARG start_ARG 2 end_ARG ∥ italic_p - ∇ italic_u ∥ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT , end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(74)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.SSS2.p2.3">with the Lagrange multipliers <math alttext="\eta=(\eta_{1},\eta_{2})\in Q" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.SSS2.p2.2.m1.2"><semantics id="S4.SS2.SSS2.p2.2.m1.2a"><mrow id="S4.SS2.SSS2.p2.2.m1.2.2" xref="S4.SS2.SSS2.p2.2.m1.2.2.cmml"><mi id="S4.SS2.SSS2.p2.2.m1.2.2.4" xref="S4.SS2.SSS2.p2.2.m1.2.2.4.cmml">η</mi><mo id="S4.SS2.SSS2.p2.2.m1.2.2.5" xref="S4.SS2.SSS2.p2.2.m1.2.2.5.cmml">=</mo><mrow id="S4.SS2.SSS2.p2.2.m1.2.2.2.2" xref="S4.SS2.SSS2.p2.2.m1.2.2.2.3.cmml"><mo id="S4.SS2.SSS2.p2.2.m1.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S4.SS2.SSS2.p2.2.m1.2.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="S4.SS2.SSS2.p2.2.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS2.SSS2.p2.2.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.SSS2.p2.2.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS2.SSS2.p2.2.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">η</mi><mn id="S4.SS2.SSS2.p2.2.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS2.SSS2.p2.2.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.SS2.SSS2.p2.2.m1.2.2.2.2.4" xref="S4.SS2.SSS2.p2.2.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S4.SS2.SSS2.p2.2.m1.2.2.2.2.2" xref="S4.SS2.SSS2.p2.2.m1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.SS2.SSS2.p2.2.m1.2.2.2.2.2.2" xref="S4.SS2.SSS2.p2.2.m1.2.2.2.2.2.2.cmml">η</mi><mn id="S4.SS2.SSS2.p2.2.m1.2.2.2.2.2.3" xref="S4.SS2.SSS2.p2.2.m1.2.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S4.SS2.SSS2.p2.2.m1.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S4.SS2.SSS2.p2.2.m1.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.SS2.SSS2.p2.2.m1.2.2.6" xref="S4.SS2.SSS2.p2.2.m1.2.2.6.cmml">∈</mo><mi id="S4.SS2.SSS2.p2.2.m1.2.2.7" xref="S4.SS2.SSS2.p2.2.m1.2.2.7.cmml">Q</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.SSS2.p2.2.m1.2b"><apply id="S4.SS2.SSS2.p2.2.m1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS2.p2.2.m1.2.2"><and id="S4.SS2.SSS2.p2.2.m1.2.2a.cmml" xref="S4.SS2.SSS2.p2.2.m1.2.2"></and><apply id="S4.SS2.SSS2.p2.2.m1.2.2b.cmml" xref="S4.SS2.SSS2.p2.2.m1.2.2"><eq id="S4.SS2.SSS2.p2.2.m1.2.2.5.cmml" xref="S4.SS2.SSS2.p2.2.m1.2.2.5"></eq><ci id="S4.SS2.SSS2.p2.2.m1.2.2.4.cmml" xref="S4.SS2.SSS2.p2.2.m1.2.2.4">𝜂</ci><interval closure="open" id="S4.SS2.SSS2.p2.2.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.SS2.SSS2.p2.2.m1.2.2.2.2"><apply id="S4.SS2.SSS2.p2.2.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS2.p2.2.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.SSS2.p2.2.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS2.p2.2.m1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS2.SSS2.p2.2.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS2.p2.2.m1.1.1.1.1.1.2">𝜂</ci><cn id="S4.SS2.SSS2.p2.2.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.SSS2.p2.2.m1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S4.SS2.SSS2.p2.2.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS2.p2.2.m1.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.SSS2.p2.2.m1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS2.p2.2.m1.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.SS2.SSS2.p2.2.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS2.p2.2.m1.2.2.2.2.2.2">𝜂</ci><cn id="S4.SS2.SSS2.p2.2.m1.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.SSS2.p2.2.m1.2.2.2.2.2.3">2</cn></apply></interval></apply><apply id="S4.SS2.SSS2.p2.2.m1.2.2c.cmml" xref="S4.SS2.SSS2.p2.2.m1.2.2"><in id="S4.SS2.SSS2.p2.2.m1.2.2.6.cmml" xref="S4.SS2.SSS2.p2.2.m1.2.2.6"></in><share href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S4.SS2.SSS2.p2.2.m1.2.2.2.cmml" id="S4.SS2.SSS2.p2.2.m1.2.2d.cmml" xref="S4.SS2.SSS2.p2.2.m1.2.2"></share><ci id="S4.SS2.SSS2.p2.2.m1.2.2.7.cmml" xref="S4.SS2.SSS2.p2.2.m1.2.2.7">𝑄</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.SSS2.p2.2.m1.2c">\eta=(\eta_{1},\eta_{2})\in Q</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.SSS2.p2.2.m1.2d">italic_η = ( italic_η start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_η start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) ∈ italic_Q</annotation></semantics></math> and <math alttext="r>0" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.SSS2.p2.3.m2.1"><semantics id="S4.SS2.SSS2.p2.3.m2.1a"><mrow id="S4.SS2.SSS2.p2.3.m2.1.1" xref="S4.SS2.SSS2.p2.3.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.SSS2.p2.3.m2.1.1.2" xref="S4.SS2.SSS2.p2.3.m2.1.1.2.cmml">r</mi><mo id="S4.SS2.SSS2.p2.3.m2.1.1.1" xref="S4.SS2.SSS2.p2.3.m2.1.1.1.cmml">></mo><mn id="S4.SS2.SSS2.p2.3.m2.1.1.3" xref="S4.SS2.SSS2.p2.3.m2.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.SSS2.p2.3.m2.1b"><apply id="S4.SS2.SSS2.p2.3.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS2.p2.3.m2.1.1"><gt id="S4.SS2.SSS2.p2.3.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS2.p2.3.m2.1.1.1"></gt><ci id="S4.SS2.SSS2.p2.3.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS2.p2.3.m2.1.1.2">𝑟</ci><cn id="S4.SS2.SSS2.p2.3.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.SSS2.p2.3.m2.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.SSS2.p2.3.m2.1c">r>0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.SSS2.p2.3.m2.1d">italic_r > 0</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS2.SSS2.p3"> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.SSS2.p3.2">To find the saddle point of the augmented Lagrangian, an alternative minimization is adopted: for each <math alttext="u,p" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.SSS2.p3.1.m1.2"><semantics id="S4.SS2.SSS2.p3.1.m1.2a"><mrow id="S4.SS2.SSS2.p3.1.m1.2.3.2" xref="S4.SS2.SSS2.p3.1.m1.2.3.1.cmml"><mi id="S4.SS2.SSS2.p3.1.m1.1.1" xref="S4.SS2.SSS2.p3.1.m1.1.1.cmml">u</mi><mo id="S4.SS2.SSS2.p3.1.m1.2.3.2.1" xref="S4.SS2.SSS2.p3.1.m1.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.SS2.SSS2.p3.1.m1.2.2" xref="S4.SS2.SSS2.p3.1.m1.2.2.cmml">p</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.SSS2.p3.1.m1.2b"><list id="S4.SS2.SSS2.p3.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS2.p3.1.m1.2.3.2"><ci id="S4.SS2.SSS2.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS2.p3.1.m1.1.1">𝑢</ci><ci id="S4.SS2.SSS2.p3.1.m1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS2.p3.1.m1.2.2">𝑝</ci></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.SSS2.p3.1.m1.2c">u,p</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.SSS2.p3.1.m1.2d">italic_u , italic_p</annotation></semantics></math>, we fix the other variables and find the minimizer of the related subproblems. The subproblems in the <math alttext="\ell" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.SSS2.p3.2.m2.1"><semantics id="S4.SS2.SSS2.p3.2.m2.1a"><mi id="S4.SS2.SSS2.p3.2.m2.1.1" mathvariant="normal" xref="S4.SS2.SSS2.p3.2.m2.1.1.cmml">ℓ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.SSS2.p3.2.m2.1b"><ci id="S4.SS2.SSS2.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS2.p3.2.m2.1.1">ℓ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.SSS2.p3.2.m2.1c">\ell</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.SSS2.p3.2.m2.1d">roman_ℓ</annotation></semantics></math>-th iteration are as follows:</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_table" id="S4.E75"> <tbody> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S4.E75X"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle u^{\ell+1}=\mathrm{arg}\min_{u\in V}\mathcal{G}(u)=\frac{\alpha}% {2}\|K*u-f_{2}\|^{2}-\langle\nabla u,\eta^{\ell}\rangle+\frac{r}{2}\|p^{\ell}-% \nabla u\|^{2}," class="ltx_Math" display="inline" id="S4.E75X.2.1.1.m1.2"><semantics id="S4.E75X.2.1.1.m1.2a"><mrow id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.cmml"><msup id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.6" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.6.cmml"><mi id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.6.2" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.6.2.cmml">u</mi><mrow id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.6.3" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.6.3.cmml"><mi id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.6.3.2" mathvariant="normal" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.6.3.2.cmml">ℓ</mi><mo id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.6.3.1" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.6.3.1.cmml">+</mo><mn id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.6.3.3" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.6.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.7" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.7.cmml">=</mo><mrow id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.8" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.8.cmml"><mi id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.8.2" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.8.2.cmml">arg</mi><mo id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.8.1" lspace="0.167em" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.8.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.8.3" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.8.3.cmml"><munder id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.8.3.1" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.8.3.1.cmml"><mi id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.8.3.1.2" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.8.3.1.2.cmml">min</mi><mrow id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.8.3.1.3" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.8.3.1.3.cmml"><mi id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.8.3.1.3.2" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.8.3.1.3.2.cmml">u</mi><mo id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.8.3.1.3.1" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.8.3.1.3.1.cmml">∈</mo><mi id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.8.3.1.3.3" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.8.3.1.3.3.cmml">V</mi></mrow></munder><mo id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.8.3a" lspace="0.167em" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.8.3.cmml">⁡</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.8.3.2" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.8.3.2.cmml">𝒢</mi></mrow><mo id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.8.1a" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.8.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.8.4.2" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.8.cmml"><mo id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.8.4.2.1" stretchy="false" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.8.cmml">(</mo><mi id="S4.E75X.2.1.1.m1.1.1" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.1.1.cmml">u</mi><mo id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.8.4.2.2" stretchy="false" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.8.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.9" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.9.cmml">=</mo><mrow id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.4" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.4.cmml"><mrow id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.3.3" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.3.3.cmml"><mrow id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3a" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml">α</mi><mn id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">K</mi><mo id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">∗</mo><mi id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">u</mi></mrow><mo id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">f</mi><mn id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.3.3.4" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.3.3.4.cmml">−</mo><mrow id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.3.3.3.2" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.3.3.3.3.cmml"><mo id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.3.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.3.3.3.3.cmml">⟨</mo><mrow id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1" rspace="0.167em" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml">∇</mo><mi id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.cmml">u</mi></mrow><mo id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.3.3.3.2.4" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.3.3.3.3.cmml">,</mo><msup id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.3.3.3.2.2" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.3.3.3.2.2.cmml"><mi id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.3.3.3.2.2.2" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.3.3.3.2.2.2.cmml">η</mi><mi id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.3.3.3.2.2.3" mathvariant="normal" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.3.3.3.2.2.3.cmml">ℓ</mi></msup><mo id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.3.3.3.2.5" stretchy="false" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.3.3.3.3.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.4.5" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.4.5.cmml">+</mo><mrow id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.4.4" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.4.4.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.4.4.3" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.4.4.3.cmml"><mfrac id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.4.4.3a" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.4.4.3.cmml"><mi id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.4.4.3.2" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.4.4.3.2.cmml">r</mi><mn id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.4.4.3.3" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.4.4.3.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.4.4.2" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.4.4.2.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.4.4.1" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.4.4.1.cmml"><mrow id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.4.4.1.1.1" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.4.4.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.4.4.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.4.4.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.4.4.1.1.1.1" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.4.4.1.1.1.1.cmml"><msup id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.4.4.1.1.1.1.2" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.4.4.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.4.4.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.4.4.1.1.1.1.2.2.cmml">p</mi><mi id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.4.4.1.1.1.1.2.3" mathvariant="normal" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.4.4.1.1.1.1.2.3.cmml">ℓ</mi></msup><mo id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.4.4.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.4.4.1.1.1.1.3" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.4.4.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.4.4.1.1.1.1.3.1" rspace="0.167em" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.4.4.1.1.1.1.3.1.cmml">∇</mo><mi id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.4.4.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.4.4.1.1.1.1.3.2.cmml">u</mi></mrow></mrow><mo id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.4.4.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.4.4.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.4.4.1.3" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.4.4.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.2" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E75X.2.1.1.m1.2b"><apply id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1"><and id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1a.cmml" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1"></and><apply id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1b.cmml" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1"><eq id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.7.cmml" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.7"></eq><apply id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.6.cmml" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.6.1.cmml" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.6">superscript</csymbol><ci id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.6.2.cmml" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.6.2">𝑢</ci><apply id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.6.3.cmml" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.6.3"><plus id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.6.3.1.cmml" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.6.3.1"></plus><ci id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.6.3.2.cmml" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.6.3.2">ℓ</ci><cn id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.6.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.6.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.8.cmml" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.8"><times id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.8.1.cmml" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.8.1"></times><ci id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.8.2.cmml" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.8.2">arg</ci><apply id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.8.3.cmml" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.8.3"><apply id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.8.3.1.cmml" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.8.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.8.3.1.1.cmml" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.8.3.1">subscript</csymbol><min id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.8.3.1.2.cmml" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.8.3.1.2"></min><apply id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.8.3.1.3.cmml" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.8.3.1.3"><in id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.8.3.1.3.1.cmml" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.8.3.1.3.1"></in><ci id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.8.3.1.3.2.cmml" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.8.3.1.3.2">𝑢</ci><ci id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.8.3.1.3.3.cmml" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.8.3.1.3.3">𝑉</ci></apply></apply><ci id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.8.3.2.cmml" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.8.3.2">𝒢</ci></apply><ci id="S4.E75X.2.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.1.1">𝑢</ci></apply></apply><apply id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1c.cmml" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1"><eq id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.9.cmml" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.9"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.8.cmml" id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1d.cmml" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1"></share><apply id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.4.cmml" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.4"><plus id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.4.5.cmml" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.4.5"></plus><apply id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.3.3"><minus id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.3.3.4.cmml" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.3.3.4"></minus><apply id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1"><times id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3"><divide id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3"></divide><ci id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2">𝛼</ci><cn id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝐾</ci><ci id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑢</ci></apply><apply id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑓</ci><cn id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></apply><cn id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply><list id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.3.3.3.2"><apply id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.cmml" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1"><ci id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1">∇</ci><ci id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2">𝑢</ci></apply><apply id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.3.3.3.2.2.cmml" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.3.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.3.3.3.2.2.1.cmml" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.3.3.3.2.2">superscript</csymbol><ci id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.3.3.3.2.2.2.cmml" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.3.3.3.2.2.2">𝜂</ci><ci id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.3.3.3.2.2.3.cmml" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.3.3.3.2.2.3">ℓ</ci></apply></list></apply><apply id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.4.4.cmml" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.4.4"><times id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.4.4.2.cmml" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.4.4.2"></times><apply id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.4.4.3.cmml" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.4.4.3"><divide id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.4.4.3.1.cmml" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.4.4.3"></divide><ci id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.4.4.3.2.cmml" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.4.4.3.2">𝑟</ci><cn id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.4.4.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.4.4.3.3">2</cn></apply><apply id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.4.4.1.cmml" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.4.4.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.4.4.1.2.cmml" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.4.4.1">superscript</csymbol><apply id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.4.4.1.1.2.cmml" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.4.4.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.4.4.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.4.4.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.4.4.1.1.1.1"><minus id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.4.4.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.4.4.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.4.4.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.4.4.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.4.4.1.1.1.1.2.2">𝑝</ci><ci id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.4.4.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.4.4.1.1.1.1.2.3">ℓ</ci></apply><apply id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.4.4.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.4.4.1.1.1.1.3"><ci id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.4.4.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.4.4.1.1.1.1.3.1">∇</ci><ci id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.4.4.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.4.4.1.1.1.1.3.2">𝑢</ci></apply></apply></apply><cn id="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.4.4.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E75X.2.1.1.m1.2.2.1.1.4.4.1.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E75X.2.1.1.m1.2c">\displaystyle u^{\ell+1}=\mathrm{arg}\min_{u\in V}\mathcal{G}(u)=\frac{\alpha}% {2}\|K*u-f_{2}\|^{2}-\langle\nabla u,\eta^{\ell}\rangle+\frac{r}{2}\|p^{\ell}-% \nabla u\|^{2},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E75X.2.1.1.m1.2d">italic_u start_POSTSUPERSCRIPT roman_ℓ + 1 end_POSTSUPERSCRIPT = roman_arg roman_min start_POSTSUBSCRIPT italic_u ∈ italic_V end_POSTSUBSCRIPT caligraphic_G ( italic_u ) = divide start_ARG italic_α end_ARG start_ARG 2 end_ARG ∥ italic_K ∗ italic_u - italic_f start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT - ⟨ ∇ italic_u , italic_η start_POSTSUPERSCRIPT roman_ℓ end_POSTSUPERSCRIPT ⟩ + divide start_ARG italic_r end_ARG start_ARG 2 end_ARG ∥ italic_p start_POSTSUPERSCRIPT roman_ℓ end_POSTSUPERSCRIPT - ∇ italic_u ∥ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="2"><span class="ltx_tag ltx_tag_equationgroup ltx_align_right">(75)</span></td> </tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S4.E75Xa"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle p^{\ell+1}=\mathrm{arg}\min_{p\in Q}\mathcal{G}(p)=\|R(p)\|_{1,2% }+\langle p,\eta^{\ell}\rangle+\frac{r}{2}\|p-\nabla u^{\ell+1}\|^{2}." class="ltx_Math" display="inline" id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6"><semantics id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6a"><mrow id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.cmml"><msup id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.5" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.5.cmml"><mi id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.5.2" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.5.2.cmml">p</mi><mrow id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.5.3" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.5.3.cmml"><mi id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.5.3.2" mathvariant="normal" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.5.3.2.cmml">ℓ</mi><mo id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.5.3.1" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.5.3.1.cmml">+</mo><mn id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.5.3.3" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.5.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.6" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.6.cmml">=</mo><mrow id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.7" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.7.cmml"><mi id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.7.2" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.7.2.cmml">arg</mi><mo id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.7.1" lspace="0.167em" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.7.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.7.3" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.7.3.cmml"><munder id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.7.3.1" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.7.3.1.cmml"><mi id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.7.3.1.2" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.7.3.1.2.cmml">min</mi><mrow id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.7.3.1.3" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.7.3.1.3.cmml"><mi id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.7.3.1.3.2" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.7.3.1.3.2.cmml">p</mi><mo id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.7.3.1.3.1" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.7.3.1.3.1.cmml">∈</mo><mi id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.7.3.1.3.3" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.7.3.1.3.3.cmml">Q</mi></mrow></munder><mo id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.7.3a" lspace="0.167em" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.7.3.cmml">⁡</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.7.3.2" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.7.3.2.cmml">𝒢</mi></mrow><mo id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.7.1a" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.7.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.7.4.2" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.7.cmml"><mo id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.7.4.2.1" stretchy="false" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.7.cmml">(</mo><mi id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.3.3" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.3.3.cmml">p</mi><mo id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.7.4.2.2" stretchy="false" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.7.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.8" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.8.cmml">=</mo><mrow id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.3" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.cmml"><msub id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">R</mi><mo id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.4.4" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.4.4.cmml">p</mi><mo id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mrow id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.2.2.2.4" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.2.2.2.3.cmml"><mn id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.2.2.2.4.1" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.2.2.2.2" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.2.2.2.2.cmml">2</mn></mrow></msub><mo id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.4" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.4.cmml">+</mo><mrow id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.2.2.1" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.2.2.2.cmml"><mo id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.2.2.2.cmml">⟨</mo><mi id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.5.5" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.5.5.cmml">p</mi><mo id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.2.2.1.3" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.2.2.2.cmml">,</mo><msup id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.2.2.1.1" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.cmml"><mi id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.2" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.2.cmml">η</mi><mi id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.3.cmml">ℓ</mi></msup><mo id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.2.2.1.4" stretchy="false" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.2.2.2.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.4a" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.4.cmml">+</mo><mrow id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.3" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.3.3" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.3.3.cmml"><mfrac id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.3.3a" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.3.3.2" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.3.3.2.cmml">r</mi><mn id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.3.3.3" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.3.3.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.3.2" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.3.2.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.3.1" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.3.1.cmml"><mrow id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.3.1.1.1" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.3.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.3.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.3.1.1.1.1" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">p</mi><mo id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.3.1.1.1.1.3" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.3.1.1.1.1.3.1" rspace="0.167em" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml">∇</mo><msup id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.3.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.cmml">u</mi><mrow id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.3.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.3.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.3.1.1.1.1.3.2.3.2" mathvariant="normal" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.3.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">ℓ</mi><mo id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.3.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.3.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.3.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.3.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup></mrow></mrow><mo id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.3.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.3.1.3" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.3.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.2" lspace="0em" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6b"><apply id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.cmml" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1"><and id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1a.cmml" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1"></and><apply id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1b.cmml" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1"><eq id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.6.cmml" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.6"></eq><apply id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.5.cmml" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.5.1.cmml" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.5">superscript</csymbol><ci id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.5.2.cmml" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.5.2">𝑝</ci><apply id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.5.3.cmml" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.5.3"><plus id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.5.3.1.cmml" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.5.3.1"></plus><ci id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.5.3.2.cmml" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.5.3.2">ℓ</ci><cn id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.5.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.5.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.7.cmml" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.7"><times id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.7.1.cmml" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.7.1"></times><ci id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.7.2.cmml" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.7.2">arg</ci><apply id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.7.3.cmml" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.7.3"><apply id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.7.3.1.cmml" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.7.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.7.3.1.1.cmml" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.7.3.1">subscript</csymbol><min id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.7.3.1.2.cmml" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.7.3.1.2"></min><apply id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.7.3.1.3.cmml" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.7.3.1.3"><in id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.7.3.1.3.1.cmml" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.7.3.1.3.1"></in><ci id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.7.3.1.3.2.cmml" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.7.3.1.3.2">𝑝</ci><ci id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.7.3.1.3.3.cmml" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.7.3.1.3.3">𝑄</ci></apply></apply><ci id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.7.3.2.cmml" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.7.3.2">𝒢</ci></apply><ci id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.3.3.cmml" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.3.3">𝑝</ci></apply></apply><apply id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1c.cmml" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1"><eq id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.8.cmml" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.8"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.7.cmml" id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1d.cmml" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1"></share><apply id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.cmml" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.3"><plus id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.4.cmml" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.4"></plus><apply id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑅</ci><ci id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.4.4.cmml" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.4.4">𝑝</ci></apply></apply><list id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.2.2.2.4"><cn id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1">1</cn><cn id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.2.2.2.2">2</cn></list></apply><list id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.2.2.1"><ci id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.5.5.cmml" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.5.5">𝑝</ci><apply id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.2.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.2">𝜂</ci><ci id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.3">ℓ</ci></apply></list><apply id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.3"><times id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.3.2"></times><apply id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.3.3"><divide id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.3.3"></divide><ci id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.3.3.2">𝑟</ci><cn id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.3.3.3">2</cn></apply><apply id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.3.1.2.cmml" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.3.1">superscript</csymbol><apply id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.3.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.3.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.3.1.1.1.1"><minus id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.3.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.3.1.1.1.1.2">𝑝</ci><apply id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.3.1.1.1.1.3"><ci id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.3.1.1.1.1.3.1">∇</ci><apply id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.3.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.3.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.3.1.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.3.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.3.1.1.1.1.3.2.2">𝑢</ci><apply id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.3.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.3.1.1.1.1.3.2.3"><plus id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.3.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.3.1.1.1.1.3.2.3.1"></plus><ci id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.3.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.3.1.1.1.1.3.2.3.2">ℓ</ci><cn id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.3.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.3.1.1.1.1.3.2.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply></apply><cn id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.3.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.3.1.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6c">\displaystyle p^{\ell+1}=\mathrm{arg}\min_{p\in Q}\mathcal{G}(p)=\|R(p)\|_{1,2% }+\langle p,\eta^{\ell}\rangle+\frac{r}{2}\|p-\nabla u^{\ell+1}\|^{2}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E75Xa.2.1.1.m1.6d">italic_p start_POSTSUPERSCRIPT roman_ℓ + 1 end_POSTSUPERSCRIPT = roman_arg roman_min start_POSTSUBSCRIPT italic_p ∈ italic_Q end_POSTSUBSCRIPT caligraphic_G ( italic_p ) = ∥ italic_R ( italic_p ) ∥ start_POSTSUBSCRIPT 1 , 2 end_POSTSUBSCRIPT + ⟨ italic_p , italic_η start_POSTSUPERSCRIPT roman_ℓ end_POSTSUPERSCRIPT ⟩ + divide start_ARG italic_r end_ARG start_ARG 2 end_ARG ∥ italic_p - ∇ italic_u start_POSTSUPERSCRIPT roman_ℓ + 1 end_POSTSUPERSCRIPT ∥ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr> </tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS2.SSS2.p4"> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.SSS2.p4.1">As discussed in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib52" title="">2007A </a>; <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib53" title="">2010Augmented </a>; <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib54" title="">2017Augmented </a>; <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib61" title="">zhu </a></cite>, the solutions of <math alttext="\min_{u\in V}\mathcal{G}(u)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.SSS2.p4.1.m1.1"><semantics id="S4.SS2.SSS2.p4.1.m1.1a"><mrow id="S4.SS2.SSS2.p4.1.m1.1.2" xref="S4.SS2.SSS2.p4.1.m1.1.2.cmml"><mrow id="S4.SS2.SSS2.p4.1.m1.1.2.2" xref="S4.SS2.SSS2.p4.1.m1.1.2.2.cmml"><msub id="S4.SS2.SSS2.p4.1.m1.1.2.2.1" xref="S4.SS2.SSS2.p4.1.m1.1.2.2.1.cmml"><mi id="S4.SS2.SSS2.p4.1.m1.1.2.2.1.2" xref="S4.SS2.SSS2.p4.1.m1.1.2.2.1.2.cmml">min</mi><mrow id="S4.SS2.SSS2.p4.1.m1.1.2.2.1.3" xref="S4.SS2.SSS2.p4.1.m1.1.2.2.1.3.cmml"><mi id="S4.SS2.SSS2.p4.1.m1.1.2.2.1.3.2" xref="S4.SS2.SSS2.p4.1.m1.1.2.2.1.3.2.cmml">u</mi><mo id="S4.SS2.SSS2.p4.1.m1.1.2.2.1.3.1" xref="S4.SS2.SSS2.p4.1.m1.1.2.2.1.3.1.cmml">∈</mo><mi id="S4.SS2.SSS2.p4.1.m1.1.2.2.1.3.3" xref="S4.SS2.SSS2.p4.1.m1.1.2.2.1.3.3.cmml">V</mi></mrow></msub><mo id="S4.SS2.SSS2.p4.1.m1.1.2.2a" lspace="0.167em" xref="S4.SS2.SSS2.p4.1.m1.1.2.2.cmml">⁡</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.SS2.SSS2.p4.1.m1.1.2.2.2" xref="S4.SS2.SSS2.p4.1.m1.1.2.2.2.cmml">𝒢</mi></mrow><mo id="S4.SS2.SSS2.p4.1.m1.1.2.1" xref="S4.SS2.SSS2.p4.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS2.SSS2.p4.1.m1.1.2.3.2" xref="S4.SS2.SSS2.p4.1.m1.1.2.cmml"><mo id="S4.SS2.SSS2.p4.1.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS2.SSS2.p4.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.SS2.SSS2.p4.1.m1.1.1" xref="S4.SS2.SSS2.p4.1.m1.1.1.cmml">u</mi><mo id="S4.SS2.SSS2.p4.1.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.SS2.SSS2.p4.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.SSS2.p4.1.m1.1b"><apply id="S4.SS2.SSS2.p4.1.m1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS2.p4.1.m1.1.2"><times id="S4.SS2.SSS2.p4.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS2.p4.1.m1.1.2.1"></times><apply id="S4.SS2.SSS2.p4.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS2.p4.1.m1.1.2.2"><apply id="S4.SS2.SSS2.p4.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS2.p4.1.m1.1.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.SSS2.p4.1.m1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS2.p4.1.m1.1.2.2.1">subscript</csymbol><min id="S4.SS2.SSS2.p4.1.m1.1.2.2.1.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS2.p4.1.m1.1.2.2.1.2"></min><apply id="S4.SS2.SSS2.p4.1.m1.1.2.2.1.3.cmml" xref="S4.SS2.SSS2.p4.1.m1.1.2.2.1.3"><in id="S4.SS2.SSS2.p4.1.m1.1.2.2.1.3.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS2.p4.1.m1.1.2.2.1.3.1"></in><ci id="S4.SS2.SSS2.p4.1.m1.1.2.2.1.3.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS2.p4.1.m1.1.2.2.1.3.2">𝑢</ci><ci id="S4.SS2.SSS2.p4.1.m1.1.2.2.1.3.3.cmml" xref="S4.SS2.SSS2.p4.1.m1.1.2.2.1.3.3">𝑉</ci></apply></apply><ci id="S4.SS2.SSS2.p4.1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS2.p4.1.m1.1.2.2.2">𝒢</ci></apply><ci id="S4.SS2.SSS2.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS2.p4.1.m1.1.1">𝑢</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.SSS2.p4.1.m1.1c">\min_{u\in V}\mathcal{G}(u)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.SSS2.p4.1.m1.1d">roman_min start_POSTSUBSCRIPT italic_u ∈ italic_V end_POSTSUBSCRIPT caligraphic_G ( italic_u )</annotation></semantics></math> is determined by the optimality condition</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_eqnarray ltx_eqn_table" id="Sx1.EGx6"> <tbody id="S4.E76"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\mathrm{div}\eta^{\ell}+r\mathrm{div}(p^{\ell}-\nabla u)+\alpha K% ^{*}(K*u-f_{2})=0," class="ltx_Math" display="inline" id="S4.E76.m1.1"><semantics id="S4.E76.m1.1a"><mrow id="S4.E76.m1.1.1.1" xref="S4.E76.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E76.m1.1.1.1.1" xref="S4.E76.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E76.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.E76.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S4.E76.m1.1.1.1.1.2.4" xref="S4.E76.m1.1.1.1.1.2.4.cmml"><mi id="S4.E76.m1.1.1.1.1.2.4.2" xref="S4.E76.m1.1.1.1.1.2.4.2.cmml">div</mi><mo id="S4.E76.m1.1.1.1.1.2.4.1" xref="S4.E76.m1.1.1.1.1.2.4.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E76.m1.1.1.1.1.2.4.3" xref="S4.E76.m1.1.1.1.1.2.4.3.cmml"><mi id="S4.E76.m1.1.1.1.1.2.4.3.2" xref="S4.E76.m1.1.1.1.1.2.4.3.2.cmml">η</mi><mi id="S4.E76.m1.1.1.1.1.2.4.3.3" mathvariant="normal" xref="S4.E76.m1.1.1.1.1.2.4.3.3.cmml">ℓ</mi></msup></mrow><mo id="S4.E76.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E76.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">+</mo><mrow id="S4.E76.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E76.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E76.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E76.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">r</mi><mo id="S4.E76.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E76.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E76.m1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S4.E76.m1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">div</mi><mo id="S4.E76.m1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S4.E76.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E76.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E76.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E76.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E76.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E76.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E76.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S4.E76.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E76.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E76.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E76.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">p</mi><mi id="S4.E76.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" mathvariant="normal" xref="S4.E76.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">ℓ</mi></msup><mo id="S4.E76.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E76.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.E76.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E76.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S4.E76.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" rspace="0.167em" xref="S4.E76.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">∇</mo><mi id="S4.E76.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E76.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">u</mi></mrow></mrow><mo id="S4.E76.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E76.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E76.m1.1.1.1.1.2.3a" xref="S4.E76.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">+</mo><mrow id="S4.E76.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E76.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.E76.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.E76.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">α</mi><mo id="S4.E76.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.E76.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E76.m1.1.1.1.1.2.2.4" xref="S4.E76.m1.1.1.1.1.2.2.4.cmml"><mi id="S4.E76.m1.1.1.1.1.2.2.4.2" xref="S4.E76.m1.1.1.1.1.2.2.4.2.cmml">K</mi><mo id="S4.E76.m1.1.1.1.1.2.2.4.3" xref="S4.E76.m1.1.1.1.1.2.2.4.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S4.E76.m1.1.1.1.1.2.2.2a" xref="S4.E76.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1" xref="S4.E76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1" xref="S4.E76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2" xref="S4.E76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2" xref="S4.E76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.cmml">K</mi><mo id="S4.E76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.E76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.1.cmml">∗</mo><mi id="S4.E76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3" xref="S4.E76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.cmml">u</mi></mrow><mo id="S4.E76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1" xref="S4.E76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S4.E76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3" xref="S4.E76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2" xref="S4.E76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.cmml">f</mi><mn id="S4.E76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.3" xref="S4.E76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="S4.E76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E76.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.E76.m1.1.1.1.1.3.cmml">=</mo><mn id="S4.E76.m1.1.1.1.1.4" xref="S4.E76.m1.1.1.1.1.4.cmml">0</mn></mrow><mo id="S4.E76.m1.1.1.1.2" xref="S4.E76.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E76.m1.1b"><apply id="S4.E76.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E76.m1.1.1.1"><eq id="S4.E76.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E76.m1.1.1.1.1.3"></eq><apply id="S4.E76.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E76.m1.1.1.1.1.2"><plus id="S4.E76.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E76.m1.1.1.1.1.2.3"></plus><apply id="S4.E76.m1.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="S4.E76.m1.1.1.1.1.2.4"><times id="S4.E76.m1.1.1.1.1.2.4.1.cmml" xref="S4.E76.m1.1.1.1.1.2.4.1"></times><ci id="S4.E76.m1.1.1.1.1.2.4.2.cmml" xref="S4.E76.m1.1.1.1.1.2.4.2">div</ci><apply id="S4.E76.m1.1.1.1.1.2.4.3.cmml" xref="S4.E76.m1.1.1.1.1.2.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E76.m1.1.1.1.1.2.4.3.1.cmml" xref="S4.E76.m1.1.1.1.1.2.4.3">superscript</csymbol><ci id="S4.E76.m1.1.1.1.1.2.4.3.2.cmml" xref="S4.E76.m1.1.1.1.1.2.4.3.2">𝜂</ci><ci id="S4.E76.m1.1.1.1.1.2.4.3.3.cmml" xref="S4.E76.m1.1.1.1.1.2.4.3.3">ℓ</ci></apply></apply><apply id="S4.E76.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E76.m1.1.1.1.1.1.1"><times id="S4.E76.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E76.m1.1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S4.E76.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E76.m1.1.1.1.1.1.1.3">𝑟</ci><ci id="S4.E76.m1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.E76.m1.1.1.1.1.1.1.4">div</ci><apply id="S4.E76.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E76.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S4.E76.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E76.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S4.E76.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E76.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E76.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E76.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.E76.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E76.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑝</ci><ci id="S4.E76.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E76.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">ℓ</ci></apply><apply id="S4.E76.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E76.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><ci id="S4.E76.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E76.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1">∇</ci><ci id="S4.E76.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E76.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑢</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.E76.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E76.m1.1.1.1.1.2.2"><times id="S4.E76.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.E76.m1.1.1.1.1.2.2.2"></times><ci id="S4.E76.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.E76.m1.1.1.1.1.2.2.3">𝛼</ci><apply id="S4.E76.m1.1.1.1.1.2.2.4.cmml" xref="S4.E76.m1.1.1.1.1.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E76.m1.1.1.1.1.2.2.4.1.cmml" xref="S4.E76.m1.1.1.1.1.2.2.4">superscript</csymbol><ci id="S4.E76.m1.1.1.1.1.2.2.4.2.cmml" xref="S4.E76.m1.1.1.1.1.2.2.4.2">𝐾</ci><times id="S4.E76.m1.1.1.1.1.2.2.4.3.cmml" xref="S4.E76.m1.1.1.1.1.2.2.4.3"></times></apply><apply id="S4.E76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.E76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1"><minus id="S4.E76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1"></minus><apply id="S4.E76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2"><times id="S4.E76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.1"></times><ci id="S4.E76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2">𝐾</ci><ci id="S4.E76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3">𝑢</ci></apply><apply id="S4.E76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.2">𝑓</ci><cn id="S4.E76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E76.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply><cn id="S4.E76.m1.1.1.1.1.4.cmml" type="integer" xref="S4.E76.m1.1.1.1.1.4">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E76.m1.1c">\displaystyle\mathrm{div}\eta^{\ell}+r\mathrm{div}(p^{\ell}-\nabla u)+\alpha K% ^{*}(K*u-f_{2})=0,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E76.m1.1d">roman_div italic_η start_POSTSUPERSCRIPT roman_ℓ end_POSTSUPERSCRIPT + italic_r roman_div ( italic_p start_POSTSUPERSCRIPT roman_ℓ end_POSTSUPERSCRIPT - ∇ italic_u ) + italic_α italic_K start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_K ∗ italic_u - italic_f start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) = 0 ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(76)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.SSS2.p4.4">which can be efficiently solved via Fast Fourier Transform (FFT) implementation as follows,</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E77"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\begin{split}&\mathcal{F}(\partial_{1}^{-})(\mathcal{F}((\eta_{1})^{\ell})+r% \mathcal{F}((p^{1})^{\ell}))+\mathcal{F}(\partial_{2}^{-})(\mathcal{F}-((\eta_% {2})^{\ell})+r\mathcal{F}((p^{2})^{\ell}))-\alpha\mathcal{F}(K^{*})\mathcal{F}% (f_{2})\\ &=(r\mathcal{F}(\Delta)-\alpha\mathcal{F}(K^{*})\mathcal{F}(K))\mathcal{F}(u),% \end{split}" class="ltx_Math" display="block" id="S4.E77.m1.98"><semantics id="S4.E77.m1.98a"><mtable columnspacing="0pt" displaystyle="true" id="S4.E77.m1.98.98.8" rowspacing="0pt"><mtr id="S4.E77.m1.98.98.8a"><mtd id="S4.E77.m1.98.98.8b" xref="S4.E77.m1.91.91.1.1.1.cmml"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S4.E77.m1.98.98.8c"><mrow id="S4.E77.m1.97.97.7.96.72.72"><mrow id="S4.E77.m1.95.95.5.94.70.70.70"><mrow id="S4.E77.m1.93.93.3.92.68.68.68.2"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.E77.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E77.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">ℱ</mi><mo id="S4.E77.m1.93.93.3.92.68.68.68.2.3" xref="S4.E77.m1.91.91.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E77.m1.93.93.3.92.68.68.68.2.2"><mrow id="S4.E77.m1.92.92.2.91.67.67.67.1.1.1.1"><mo id="S4.E77.m1.2.2.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S4.E77.m1.91.91.1.1.1.cmml">(</mo><msubsup id="S4.E77.m1.92.92.2.91.67.67.67.1.1.1.1.1"><mo id="S4.E77.m1.3.3.3.3.3.3" lspace="0em" rspace="0em" xref="S4.E77.m1.3.3.3.3.3.3.cmml">∂</mo><mn id="S4.E77.m1.4.4.4.4.4.4.1" xref="S4.E77.m1.4.4.4.4.4.4.1.cmml">1</mn><mo id="S4.E77.m1.5.5.5.5.5.5.1" xref="S4.E77.m1.5.5.5.5.5.5.1.cmml">−</mo></msubsup><mo id="S4.E77.m1.6.6.6.6.6.6" stretchy="false" xref="S4.E77.m1.91.91.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.E77.m1.93.93.3.92.68.68.68.2.2a" xref="S4.E77.m1.91.91.1.1.1.cmml">⁡</mo><mrow id="S4.E77.m1.93.93.3.92.68.68.68.2.2.2.1"><mo id="S4.E77.m1.7.7.7.7.7.7" stretchy="false" xref="S4.E77.m1.91.91.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E77.m1.93.93.3.92.68.68.68.2.2.2.1.1"><mrow id="S4.E77.m1.93.93.3.92.68.68.68.2.2.2.1.1.1"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.E77.m1.8.8.8.8.8.8" xref="S4.E77.m1.8.8.8.8.8.8.cmml">ℱ</mi><mo id="S4.E77.m1.93.93.3.92.68.68.68.2.2.2.1.1.1.2" xref="S4.E77.m1.91.91.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E77.m1.93.93.3.92.68.68.68.2.2.2.1.1.1.1.1"><mo id="S4.E77.m1.9.9.9.9.9.9" stretchy="false" xref="S4.E77.m1.91.91.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S4.E77.m1.93.93.3.92.68.68.68.2.2.2.1.1.1.1.1.1"><mrow id="S4.E77.m1.93.93.3.92.68.68.68.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1"><mo id="S4.E77.m1.10.10.10.10.10.10" stretchy="false" xref="S4.E77.m1.91.91.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.E77.m1.93.93.3.92.68.68.68.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><mi id="S4.E77.m1.11.11.11.11.11.11" xref="S4.E77.m1.11.11.11.11.11.11.cmml">η</mi><mn id="S4.E77.m1.12.12.12.12.12.12.1" xref="S4.E77.m1.12.12.12.12.12.12.1.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.E77.m1.13.13.13.13.13.13" stretchy="false" xref="S4.E77.m1.91.91.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S4.E77.m1.14.14.14.14.14.14.1" mathvariant="normal" xref="S4.E77.m1.14.14.14.14.14.14.1.cmml">ℓ</mi></msup><mo id="S4.E77.m1.15.15.15.15.15.15" stretchy="false" xref="S4.E77.m1.91.91.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E77.m1.16.16.16.16.16.16" xref="S4.E77.m1.16.16.16.16.16.16.cmml">+</mo><mrow id="S4.E77.m1.93.93.3.92.68.68.68.2.2.2.1.1.2"><mi id="S4.E77.m1.17.17.17.17.17.17" xref="S4.E77.m1.17.17.17.17.17.17.cmml">r</mi><mo id="S4.E77.m1.93.93.3.92.68.68.68.2.2.2.1.1.2.2" xref="S4.E77.m1.91.91.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.E77.m1.18.18.18.18.18.18" xref="S4.E77.m1.18.18.18.18.18.18.cmml">ℱ</mi><mo id="S4.E77.m1.93.93.3.92.68.68.68.2.2.2.1.1.2.2a" xref="S4.E77.m1.91.91.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E77.m1.93.93.3.92.68.68.68.2.2.2.1.1.2.1.1"><mo id="S4.E77.m1.19.19.19.19.19.19" stretchy="false" xref="S4.E77.m1.91.91.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S4.E77.m1.93.93.3.92.68.68.68.2.2.2.1.1.2.1.1.1"><mrow id="S4.E77.m1.93.93.3.92.68.68.68.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1"><mo id="S4.E77.m1.20.20.20.20.20.20" stretchy="false" xref="S4.E77.m1.91.91.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S4.E77.m1.93.93.3.92.68.68.68.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.1"><mi id="S4.E77.m1.21.21.21.21.21.21" xref="S4.E77.m1.21.21.21.21.21.21.cmml">p</mi><mn id="S4.E77.m1.22.22.22.22.22.22.1" xref="S4.E77.m1.22.22.22.22.22.22.1.cmml">1</mn></msup><mo id="S4.E77.m1.23.23.23.23.23.23" stretchy="false" xref="S4.E77.m1.91.91.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S4.E77.m1.24.24.24.24.24.24.1" mathvariant="normal" xref="S4.E77.m1.24.24.24.24.24.24.1.cmml">ℓ</mi></msup><mo id="S4.E77.m1.25.25.25.25.25.25" stretchy="false" xref="S4.E77.m1.91.91.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E77.m1.26.26.26.26.26.26" stretchy="false" xref="S4.E77.m1.91.91.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E77.m1.27.27.27.27.27.27" xref="S4.E77.m1.27.27.27.27.27.27.cmml">+</mo><mrow id="S4.E77.m1.95.95.5.94.70.70.70.4"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.E77.m1.28.28.28.28.28.28" xref="S4.E77.m1.28.28.28.28.28.28.cmml">ℱ</mi><mo id="S4.E77.m1.95.95.5.94.70.70.70.4.3" xref="S4.E77.m1.91.91.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E77.m1.95.95.5.94.70.70.70.4.2"><mrow id="S4.E77.m1.94.94.4.93.69.69.69.3.1.1.1"><mo id="S4.E77.m1.29.29.29.29.29.29" stretchy="false" xref="S4.E77.m1.91.91.1.1.1.cmml">(</mo><msubsup id="S4.E77.m1.94.94.4.93.69.69.69.3.1.1.1.1"><mo id="S4.E77.m1.30.30.30.30.30.30" lspace="0em" rspace="0em" xref="S4.E77.m1.30.30.30.30.30.30.cmml">∂</mo><mn id="S4.E77.m1.31.31.31.31.31.31.1" xref="S4.E77.m1.31.31.31.31.31.31.1.cmml">2</mn><mo id="S4.E77.m1.32.32.32.32.32.32.1" xref="S4.E77.m1.32.32.32.32.32.32.1.cmml">−</mo></msubsup><mo id="S4.E77.m1.33.33.33.33.33.33" stretchy="false" xref="S4.E77.m1.91.91.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.E77.m1.95.95.5.94.70.70.70.4.2a" xref="S4.E77.m1.91.91.1.1.1.cmml">⁡</mo><mrow id="S4.E77.m1.95.95.5.94.70.70.70.4.2.2.1"><mo id="S4.E77.m1.34.34.34.34.34.34" stretchy="false" xref="S4.E77.m1.91.91.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E77.m1.95.95.5.94.70.70.70.4.2.2.1.1"><mrow id="S4.E77.m1.95.95.5.94.70.70.70.4.2.2.1.1.1"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.E77.m1.35.35.35.35.35.35" xref="S4.E77.m1.35.35.35.35.35.35.cmml">ℱ</mi><mo id="S4.E77.m1.36.36.36.36.36.36" xref="S4.E77.m1.36.36.36.36.36.36.cmml">−</mo><mrow id="S4.E77.m1.95.95.5.94.70.70.70.4.2.2.1.1.1.1.1"><mo id="S4.E77.m1.37.37.37.37.37.37" stretchy="false" xref="S4.E77.m1.91.91.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S4.E77.m1.95.95.5.94.70.70.70.4.2.2.1.1.1.1.1.1"><mrow id="S4.E77.m1.95.95.5.94.70.70.70.4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1"><mo id="S4.E77.m1.38.38.38.38.38.38" stretchy="false" xref="S4.E77.m1.91.91.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.E77.m1.95.95.5.94.70.70.70.4.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><mi id="S4.E77.m1.39.39.39.39.39.39" xref="S4.E77.m1.39.39.39.39.39.39.cmml">η</mi><mn id="S4.E77.m1.40.40.40.40.40.40.1" xref="S4.E77.m1.40.40.40.40.40.40.1.cmml">2</mn></msub><mo id="S4.E77.m1.41.41.41.41.41.41" stretchy="false" xref="S4.E77.m1.91.91.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S4.E77.m1.42.42.42.42.42.42.1" mathvariant="normal" xref="S4.E77.m1.42.42.42.42.42.42.1.cmml">ℓ</mi></msup><mo id="S4.E77.m1.43.43.43.43.43.43" stretchy="false" xref="S4.E77.m1.91.91.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E77.m1.44.44.44.44.44.44" xref="S4.E77.m1.44.44.44.44.44.44.cmml">+</mo><mrow id="S4.E77.m1.95.95.5.94.70.70.70.4.2.2.1.1.2"><mi id="S4.E77.m1.45.45.45.45.45.45" xref="S4.E77.m1.45.45.45.45.45.45.cmml">r</mi><mo id="S4.E77.m1.95.95.5.94.70.70.70.4.2.2.1.1.2.2" xref="S4.E77.m1.91.91.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.E77.m1.46.46.46.46.46.46" xref="S4.E77.m1.46.46.46.46.46.46.cmml">ℱ</mi><mo id="S4.E77.m1.95.95.5.94.70.70.70.4.2.2.1.1.2.2a" xref="S4.E77.m1.91.91.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E77.m1.95.95.5.94.70.70.70.4.2.2.1.1.2.1.1"><mo id="S4.E77.m1.47.47.47.47.47.47" stretchy="false" xref="S4.E77.m1.91.91.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S4.E77.m1.95.95.5.94.70.70.70.4.2.2.1.1.2.1.1.1"><mrow id="S4.E77.m1.95.95.5.94.70.70.70.4.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1"><mo id="S4.E77.m1.48.48.48.48.48.48" stretchy="false" xref="S4.E77.m1.91.91.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S4.E77.m1.95.95.5.94.70.70.70.4.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.1"><mi id="S4.E77.m1.49.49.49.49.49.49" xref="S4.E77.m1.49.49.49.49.49.49.cmml">p</mi><mn id="S4.E77.m1.50.50.50.50.50.50.1" xref="S4.E77.m1.50.50.50.50.50.50.1.cmml">2</mn></msup><mo id="S4.E77.m1.51.51.51.51.51.51" stretchy="false" xref="S4.E77.m1.91.91.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S4.E77.m1.52.52.52.52.52.52.1" mathvariant="normal" xref="S4.E77.m1.52.52.52.52.52.52.1.cmml">ℓ</mi></msup><mo id="S4.E77.m1.53.53.53.53.53.53" stretchy="false" xref="S4.E77.m1.91.91.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E77.m1.54.54.54.54.54.54" stretchy="false" xref="S4.E77.m1.91.91.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E77.m1.55.55.55.55.55.55" xref="S4.E77.m1.55.55.55.55.55.55.cmml">−</mo><mrow id="S4.E77.m1.97.97.7.96.72.72.72"><mi id="S4.E77.m1.56.56.56.56.56.56" xref="S4.E77.m1.56.56.56.56.56.56.cmml">α</mi><mo id="S4.E77.m1.97.97.7.96.72.72.72.3" xref="S4.E77.m1.91.91.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.E77.m1.57.57.57.57.57.57" xref="S4.E77.m1.57.57.57.57.57.57.cmml">ℱ</mi><mo id="S4.E77.m1.97.97.7.96.72.72.72.3a" xref="S4.E77.m1.91.91.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E77.m1.96.96.6.95.71.71.71.1.1"><mo id="S4.E77.m1.58.58.58.58.58.58" stretchy="false" xref="S4.E77.m1.91.91.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S4.E77.m1.96.96.6.95.71.71.71.1.1.1"><mi id="S4.E77.m1.59.59.59.59.59.59" xref="S4.E77.m1.59.59.59.59.59.59.cmml">K</mi><mo id="S4.E77.m1.60.60.60.60.60.60.1" xref="S4.E77.m1.60.60.60.60.60.60.1.cmml">∗</mo></msup><mo id="S4.E77.m1.61.61.61.61.61.61" stretchy="false" xref="S4.E77.m1.91.91.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.E77.m1.97.97.7.96.72.72.72.3b" xref="S4.E77.m1.91.91.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.E77.m1.62.62.62.62.62.62" xref="S4.E77.m1.62.62.62.62.62.62.cmml">ℱ</mi><mo id="S4.E77.m1.97.97.7.96.72.72.72.3c" xref="S4.E77.m1.91.91.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E77.m1.97.97.7.96.72.72.72.2.1"><mo id="S4.E77.m1.63.63.63.63.63.63" stretchy="false" xref="S4.E77.m1.91.91.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.E77.m1.97.97.7.96.72.72.72.2.1.1"><mi id="S4.E77.m1.64.64.64.64.64.64" xref="S4.E77.m1.64.64.64.64.64.64.cmml">f</mi><mn id="S4.E77.m1.65.65.65.65.65.65.1" xref="S4.E77.m1.65.65.65.65.65.65.1.cmml">2</mn></msub><mo id="S4.E77.m1.66.66.66.66.66.66" stretchy="false" xref="S4.E77.m1.91.91.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="S4.E77.m1.98.98.8d"><mtd id="S4.E77.m1.98.98.8e" xref="S4.E77.m1.91.91.1.1.1.cmml"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S4.E77.m1.98.98.8f"><mrow id="S4.E77.m1.98.98.8.97.25.25.25"><mrow id="S4.E77.m1.98.98.8.97.25.25.25.1"><mi id="S4.E77.m1.98.98.8.97.25.25.25.1.2" xref="S4.E77.m1.91.91.1.1.1.cmml"></mi><mo id="S4.E77.m1.67.67.67.1.1.1" xref="S4.E77.m1.67.67.67.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.E77.m1.98.98.8.97.25.25.25.1.1"><mrow id="S4.E77.m1.98.98.8.97.25.25.25.1.1.1.1"><mo id="S4.E77.m1.68.68.68.2.2.2" stretchy="false" xref="S4.E77.m1.91.91.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E77.m1.98.98.8.97.25.25.25.1.1.1.1.1"><mrow id="S4.E77.m1.98.98.8.97.25.25.25.1.1.1.1.1.2"><mi id="S4.E77.m1.69.69.69.3.3.3" xref="S4.E77.m1.69.69.69.3.3.3.cmml">r</mi><mo id="S4.E77.m1.98.98.8.97.25.25.25.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.E77.m1.91.91.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.E77.m1.70.70.70.4.4.4" xref="S4.E77.m1.70.70.70.4.4.4.cmml">ℱ</mi><mo id="S4.E77.m1.98.98.8.97.25.25.25.1.1.1.1.1.2.1a" xref="S4.E77.m1.91.91.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E77.m1.98.98.8.97.25.25.25.1.1.1.1.1.2.2"><mo id="S4.E77.m1.71.71.71.5.5.5" stretchy="false" xref="S4.E77.m1.91.91.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.E77.m1.72.72.72.6.6.6" mathvariant="normal" xref="S4.E77.m1.72.72.72.6.6.6.cmml">Δ</mi><mo id="S4.E77.m1.73.73.73.7.7.7" stretchy="false" xref="S4.E77.m1.91.91.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E77.m1.74.74.74.8.8.8" xref="S4.E77.m1.74.74.74.8.8.8.cmml">−</mo><mrow id="S4.E77.m1.98.98.8.97.25.25.25.1.1.1.1.1.1"><mi id="S4.E77.m1.75.75.75.9.9.9" xref="S4.E77.m1.75.75.75.9.9.9.cmml">α</mi><mo id="S4.E77.m1.98.98.8.97.25.25.25.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E77.m1.91.91.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.E77.m1.76.76.76.10.10.10" xref="S4.E77.m1.76.76.76.10.10.10.cmml">ℱ</mi><mo id="S4.E77.m1.98.98.8.97.25.25.25.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S4.E77.m1.91.91.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E77.m1.98.98.8.97.25.25.25.1.1.1.1.1.1.1.1"><mo id="S4.E77.m1.77.77.77.11.11.11" stretchy="false" xref="S4.E77.m1.91.91.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S4.E77.m1.98.98.8.97.25.25.25.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><mi id="S4.E77.m1.78.78.78.12.12.12" xref="S4.E77.m1.78.78.78.12.12.12.cmml">K</mi><mo id="S4.E77.m1.79.79.79.13.13.13.1" xref="S4.E77.m1.79.79.79.13.13.13.1.cmml">∗</mo></msup><mo id="S4.E77.m1.80.80.80.14.14.14" stretchy="false" xref="S4.E77.m1.91.91.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.E77.m1.98.98.8.97.25.25.25.1.1.1.1.1.1.2b" xref="S4.E77.m1.91.91.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.E77.m1.81.81.81.15.15.15" xref="S4.E77.m1.81.81.81.15.15.15.cmml">ℱ</mi><mo id="S4.E77.m1.98.98.8.97.25.25.25.1.1.1.1.1.1.2c" xref="S4.E77.m1.91.91.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E77.m1.98.98.8.97.25.25.25.1.1.1.1.1.1.3"><mo id="S4.E77.m1.82.82.82.16.16.16" stretchy="false" xref="S4.E77.m1.91.91.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.E77.m1.83.83.83.17.17.17" xref="S4.E77.m1.83.83.83.17.17.17.cmml">K</mi><mo id="S4.E77.m1.84.84.84.18.18.18" stretchy="false" xref="S4.E77.m1.91.91.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E77.m1.85.85.85.19.19.19" stretchy="false" xref="S4.E77.m1.91.91.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.E77.m1.98.98.8.97.25.25.25.1.1.2" xref="S4.E77.m1.91.91.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.E77.m1.86.86.86.20.20.20" xref="S4.E77.m1.86.86.86.20.20.20.cmml">ℱ</mi><mo id="S4.E77.m1.98.98.8.97.25.25.25.1.1.2a" xref="S4.E77.m1.91.91.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E77.m1.98.98.8.97.25.25.25.1.1.3"><mo id="S4.E77.m1.87.87.87.21.21.21" stretchy="false" xref="S4.E77.m1.91.91.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.E77.m1.88.88.88.22.22.22" xref="S4.E77.m1.88.88.88.22.22.22.cmml">u</mi><mo id="S4.E77.m1.89.89.89.23.23.23" stretchy="false" xref="S4.E77.m1.91.91.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E77.m1.90.90.90.24.24.24" xref="S4.E77.m1.91.91.1.1.1.cmml">,</mo></mrow></mtd></mtr></mtable><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E77.m1.98b"><apply id="S4.E77.m1.91.91.1.1.1.cmml" xref="S4.E77.m1.98.98.8b"><eq id="S4.E77.m1.67.67.67.1.1.1.cmml" xref="S4.E77.m1.67.67.67.1.1.1"></eq><apply id="S4.E77.m1.91.91.1.1.1.6.cmml" xref="S4.E77.m1.98.98.8b"><minus id="S4.E77.m1.55.55.55.55.55.55.cmml" xref="S4.E77.m1.55.55.55.55.55.55"></minus><apply id="S4.E77.m1.91.91.1.1.1.4.4.cmml" xref="S4.E77.m1.98.98.8b"><plus id="S4.E77.m1.27.27.27.27.27.27.cmml" 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id="S4.E77.m1.91.91.1.1.1.4.4.4.2.2.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E77.m1.98.98.8b">superscript</csymbol><apply id="S4.E77.m1.91.91.1.1.1.4.4.4.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E77.m1.98.98.8b"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E77.m1.91.91.1.1.1.4.4.4.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E77.m1.98.98.8b">superscript</csymbol><ci id="S4.E77.m1.49.49.49.49.49.49.cmml" xref="S4.E77.m1.49.49.49.49.49.49">𝑝</ci><cn id="S4.E77.m1.50.50.50.50.50.50.1.cmml" type="integer" xref="S4.E77.m1.50.50.50.50.50.50.1">2</cn></apply><ci id="S4.E77.m1.52.52.52.52.52.52.1.cmml" xref="S4.E77.m1.52.52.52.52.52.52.1">ℓ</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.E77.m1.91.91.1.1.1.6.6.cmml" xref="S4.E77.m1.98.98.8b"><times id="S4.E77.m1.91.91.1.1.1.6.6.3.cmml" xref="S4.E77.m1.98.98.8b"></times><ci id="S4.E77.m1.56.56.56.56.56.56.cmml" xref="S4.E77.m1.56.56.56.56.56.56">𝛼</ci><ci id="S4.E77.m1.57.57.57.57.57.57.cmml" xref="S4.E77.m1.57.57.57.57.57.57">ℱ</ci><apply 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&=(r\mathcal{F}(\Delta)-\alpha\mathcal{F}(K^{*})\mathcal{F}(K))\mathcal{F}(u),% \end{split}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E77.m1.98d">start_ROW start_CELL end_CELL start_CELL caligraphic_F ( ∂ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT ) ( caligraphic_F ( ( italic_η start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT roman_ℓ end_POSTSUPERSCRIPT ) + italic_r caligraphic_F ( ( italic_p start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT roman_ℓ end_POSTSUPERSCRIPT ) ) + caligraphic_F ( ∂ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT ) ( caligraphic_F - ( ( italic_η start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT roman_ℓ end_POSTSUPERSCRIPT ) + italic_r caligraphic_F ( ( italic_p start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT roman_ℓ end_POSTSUPERSCRIPT ) ) - italic_α caligraphic_F ( italic_K start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ) caligraphic_F ( italic_f start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL end_CELL start_CELL = ( italic_r caligraphic_F ( roman_Δ ) - italic_α caligraphic_F ( italic_K start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ) caligraphic_F ( italic_K ) ) caligraphic_F ( italic_u ) , end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(77)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.SSS2.p4.3">where <math alttext="\partial_{1}^{-},\partial_{2}^{-},\Delta,K" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.SSS2.p4.2.m1.4"><semantics id="S4.SS2.SSS2.p4.2.m1.4a"><mrow id="S4.SS2.SSS2.p4.2.m1.4.4.2" xref="S4.SS2.SSS2.p4.2.m1.4.4.3.cmml"><msubsup id="S4.SS2.SSS2.p4.2.m1.3.3.1.1" 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id="S4.SS2.SSS2.p4.2.m1.4.4.2.5" xref="S4.SS2.SSS2.p4.2.m1.4.4.3.cmml">,</mo><mi id="S4.SS2.SSS2.p4.2.m1.2.2" xref="S4.SS2.SSS2.p4.2.m1.2.2.cmml">K</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.SSS2.p4.2.m1.4b"><list id="S4.SS2.SSS2.p4.2.m1.4.4.3.cmml" xref="S4.SS2.SSS2.p4.2.m1.4.4.2"><apply id="S4.SS2.SSS2.p4.2.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS2.p4.2.m1.3.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.SSS2.p4.2.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS2.p4.2.m1.3.3.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.SS2.SSS2.p4.2.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS2.p4.2.m1.3.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.SSS2.p4.2.m1.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS2.p4.2.m1.3.3.1.1">subscript</csymbol><partialdiff id="S4.SS2.SSS2.p4.2.m1.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS2.p4.2.m1.3.3.1.1.2.2"></partialdiff><cn id="S4.SS2.SSS2.p4.2.m1.3.3.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.SSS2.p4.2.m1.3.3.1.1.2.3">1</cn></apply><minus id="S4.SS2.SSS2.p4.2.m1.3.3.1.1.3.cmml" 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id="S4.SS2.SSS2.p4.2.m1.4c">\partial_{1}^{-},\partial_{2}^{-},\Delta,K</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.SSS2.p4.2.m1.4d">∂ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT , ∂ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT , roman_Δ , italic_K</annotation></semantics></math> can be viewed as convolution operators by considering the periodic boundary conditions, and <math alttext="\mathcal{F}(\cdot)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.SSS2.p4.3.m2.1"><semantics id="S4.SS2.SSS2.p4.3.m2.1a"><mrow id="S4.SS2.SSS2.p4.3.m2.1.2" xref="S4.SS2.SSS2.p4.3.m2.1.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.SS2.SSS2.p4.3.m2.1.2.2" xref="S4.SS2.SSS2.p4.3.m2.1.2.2.cmml">ℱ</mi><mo id="S4.SS2.SSS2.p4.3.m2.1.2.1" xref="S4.SS2.SSS2.p4.3.m2.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS2.SSS2.p4.3.m2.1.2.3.2" xref="S4.SS2.SSS2.p4.3.m2.1.2.cmml"><mo id="S4.SS2.SSS2.p4.3.m2.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS2.SSS2.p4.3.m2.1.2.cmml">(</mo><mo id="S4.SS2.SSS2.p4.3.m2.1.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S4.SS2.SSS2.p4.3.m2.1.1.cmml">⋅</mo><mo id="S4.SS2.SSS2.p4.3.m2.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.SS2.SSS2.p4.3.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.SSS2.p4.3.m2.1b"><apply id="S4.SS2.SSS2.p4.3.m2.1.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS2.p4.3.m2.1.2"><times id="S4.SS2.SSS2.p4.3.m2.1.2.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS2.p4.3.m2.1.2.1"></times><ci id="S4.SS2.SSS2.p4.3.m2.1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS2.p4.3.m2.1.2.2">ℱ</ci><ci id="S4.SS2.SSS2.p4.3.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS2.p4.3.m2.1.1">⋅</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.SSS2.p4.3.m2.1c">\mathcal{F}(\cdot)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.SSS2.p4.3.m2.1d">caligraphic_F ( ⋅ )</annotation></semantics></math> is the two-dimensional Fourier transform function.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS2.SSS2.p5"> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.SSS2.p5.3">The subproblem <math alttext="\min_{p\in Q}\mathcal{G}(p)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.SSS2.p5.1.m1.1"><semantics id="S4.SS2.SSS2.p5.1.m1.1a"><mrow id="S4.SS2.SSS2.p5.1.m1.1.2" xref="S4.SS2.SSS2.p5.1.m1.1.2.cmml"><mrow id="S4.SS2.SSS2.p5.1.m1.1.2.2" xref="S4.SS2.SSS2.p5.1.m1.1.2.2.cmml"><msub id="S4.SS2.SSS2.p5.1.m1.1.2.2.1" xref="S4.SS2.SSS2.p5.1.m1.1.2.2.1.cmml"><mi id="S4.SS2.SSS2.p5.1.m1.1.2.2.1.2" xref="S4.SS2.SSS2.p5.1.m1.1.2.2.1.2.cmml">min</mi><mrow id="S4.SS2.SSS2.p5.1.m1.1.2.2.1.3" xref="S4.SS2.SSS2.p5.1.m1.1.2.2.1.3.cmml"><mi id="S4.SS2.SSS2.p5.1.m1.1.2.2.1.3.2" xref="S4.SS2.SSS2.p5.1.m1.1.2.2.1.3.2.cmml">p</mi><mo id="S4.SS2.SSS2.p5.1.m1.1.2.2.1.3.1" xref="S4.SS2.SSS2.p5.1.m1.1.2.2.1.3.1.cmml">∈</mo><mi id="S4.SS2.SSS2.p5.1.m1.1.2.2.1.3.3" xref="S4.SS2.SSS2.p5.1.m1.1.2.2.1.3.3.cmml">Q</mi></mrow></msub><mo id="S4.SS2.SSS2.p5.1.m1.1.2.2a" lspace="0.167em" xref="S4.SS2.SSS2.p5.1.m1.1.2.2.cmml">⁡</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.SS2.SSS2.p5.1.m1.1.2.2.2" xref="S4.SS2.SSS2.p5.1.m1.1.2.2.2.cmml">𝒢</mi></mrow><mo id="S4.SS2.SSS2.p5.1.m1.1.2.1" xref="S4.SS2.SSS2.p5.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS2.SSS2.p5.1.m1.1.2.3.2" xref="S4.SS2.SSS2.p5.1.m1.1.2.cmml"><mo id="S4.SS2.SSS2.p5.1.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS2.SSS2.p5.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.SS2.SSS2.p5.1.m1.1.1" xref="S4.SS2.SSS2.p5.1.m1.1.1.cmml">p</mi><mo id="S4.SS2.SSS2.p5.1.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.SS2.SSS2.p5.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.SSS2.p5.1.m1.1b"><apply id="S4.SS2.SSS2.p5.1.m1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS2.p5.1.m1.1.2"><times id="S4.SS2.SSS2.p5.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS2.p5.1.m1.1.2.1"></times><apply id="S4.SS2.SSS2.p5.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS2.p5.1.m1.1.2.2"><apply id="S4.SS2.SSS2.p5.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS2.p5.1.m1.1.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.SSS2.p5.1.m1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS2.p5.1.m1.1.2.2.1">subscript</csymbol><min id="S4.SS2.SSS2.p5.1.m1.1.2.2.1.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS2.p5.1.m1.1.2.2.1.2"></min><apply id="S4.SS2.SSS2.p5.1.m1.1.2.2.1.3.cmml" xref="S4.SS2.SSS2.p5.1.m1.1.2.2.1.3"><in id="S4.SS2.SSS2.p5.1.m1.1.2.2.1.3.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS2.p5.1.m1.1.2.2.1.3.1"></in><ci id="S4.SS2.SSS2.p5.1.m1.1.2.2.1.3.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS2.p5.1.m1.1.2.2.1.3.2">𝑝</ci><ci id="S4.SS2.SSS2.p5.1.m1.1.2.2.1.3.3.cmml" xref="S4.SS2.SSS2.p5.1.m1.1.2.2.1.3.3">𝑄</ci></apply></apply><ci id="S4.SS2.SSS2.p5.1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS2.p5.1.m1.1.2.2.2">𝒢</ci></apply><ci id="S4.SS2.SSS2.p5.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS2.p5.1.m1.1.1">𝑝</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.SSS2.p5.1.m1.1c">\min_{p\in Q}\mathcal{G}(p)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.SSS2.p5.1.m1.1d">roman_min start_POSTSUBSCRIPT italic_p ∈ italic_Q end_POSTSUBSCRIPT caligraphic_G ( italic_p )</annotation></semantics></math> has closed form solution for <math alttext="R(\cdot)=|\cdot|" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S4.SS2.SSS2.p5.2.m2.1"><semantics id="S4.SS2.SSS2.p5.2.m2.1a"><mrow id="S4.SS2.SSS2.p5.2.m2.1b"><mi id="S4.SS2.SSS2.p5.2.m2.1.2">R</mi><mrow id="S4.SS2.SSS2.p5.2.m2.1.3"><mo id="S4.SS2.SSS2.p5.2.m2.1.3.1" stretchy="false">(</mo><mo id="S4.SS2.SSS2.p5.2.m2.1.1" lspace="0em" rspace="0em">⋅</mo><mo id="S4.SS2.SSS2.p5.2.m2.1.3.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S4.SS2.SSS2.p5.2.m2.1.4" rspace="0em">=</mo><mo fence="false" id="S4.SS2.SSS2.p5.2.m2.1.5" stretchy="false">|</mo><mo id="S4.SS2.SSS2.p5.2.m2.1.6" lspace="0em" rspace="0em">⋅</mo><mo fence="false" id="S4.SS2.SSS2.p5.2.m2.1.7" stretchy="false">|</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.SSS2.p5.2.m2.1c">R(\cdot)=|\cdot|</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.SSS2.p5.2.m2.1d">italic_R ( ⋅ ) = | ⋅ |</annotation></semantics></math>, let <math alttext="w^{\ell+1}=\nabla u^{\ell+1}-\eta^{\ell}/r" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.SSS2.p5.3.m3.1"><semantics id="S4.SS2.SSS2.p5.3.m3.1a"><mrow id="S4.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1" xref="S4.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.cmml"><msup id="S4.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.2" xref="S4.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.2.2" xref="S4.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.2.2.cmml">w</mi><mrow id="S4.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.2.3" xref="S4.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.2.3.2" mathvariant="normal" xref="S4.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.2.3.2.cmml">ℓ</mi><mo id="S4.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.2.3.1" xref="S4.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="S4.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.2.3.3" xref="S4.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S4.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.1" xref="S4.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.3" xref="S4.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.3.2" xref="S4.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.3.2.cmml"><mo id="S4.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.3.2.1" rspace="0.167em" xref="S4.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.3.2.1.cmml">∇</mo><msup id="S4.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.3.2.2" xref="S4.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S4.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.3.2.2.2" xref="S4.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.3.2.2.2.cmml">u</mi><mrow id="S4.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.3.2.2.3" xref="S4.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.3.2.2.3.cmml"><mi id="S4.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.3.2.2.3.2" mathvariant="normal" xref="S4.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.3.2.2.3.2.cmml">ℓ</mi><mo id="S4.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.3.2.2.3.1" xref="S4.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.3.2.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="S4.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.3.2.2.3.3" xref="S4.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.3.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup></mrow><mo id="S4.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.3.1" xref="S4.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.3.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.3.3" xref="S4.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.3.3.cmml"><msup id="S4.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.3.3.2" xref="S4.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S4.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.3.3.2.2" xref="S4.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.3.3.2.2.cmml">η</mi><mi id="S4.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.3.3.2.3" mathvariant="normal" xref="S4.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.3.3.2.3.cmml">ℓ</mi></msup><mo id="S4.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.3.3.1" xref="S4.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.3.3.1.cmml">/</mo><mi id="S4.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.3.3.3" xref="S4.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.3.3.3.cmml">r</mi></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.SSS2.p5.3.m3.1b"><apply id="S4.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1"><eq id="S4.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.1"></eq><apply id="S4.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.2.2">𝑤</ci><apply id="S4.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.2.3"><plus id="S4.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.2.3.1"></plus><ci id="S4.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.2.3.2">ℓ</ci><cn id="S4.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.3"><minus id="S4.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.3.1"></minus><apply id="S4.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.3.2"><ci id="S4.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.3.2.1">∇</ci><apply id="S4.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.3.2.2">superscript</csymbol><ci id="S4.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.3.2.2.2">𝑢</ci><apply id="S4.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S4.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.3.2.2.3"><plus id="S4.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.3.2.2.3.1"></plus><ci id="S4.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.3.2.2.3.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.3.2.2.3.2">ℓ</ci><cn id="S4.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.3.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.3.2.2.3.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S4.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.3.3"><divide id="S4.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.3.3.1"></divide><apply id="S4.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.3.3.2">superscript</csymbol><ci id="S4.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.3.3.2.2">𝜂</ci><ci id="S4.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S4.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.3.3.2.3">ℓ</ci></apply><ci id="S4.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.SS2.SSS2.p5.3.m3.1.1.3.3.3">𝑟</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.SSS2.p5.3.m3.1c">w^{\ell+1}=\nabla u^{\ell+1}-\eta^{\ell}/r</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.SSS2.p5.3.m3.1d">italic_w start_POSTSUPERSCRIPT roman_ℓ + 1 end_POSTSUPERSCRIPT = ∇ italic_u start_POSTSUPERSCRIPT roman_ℓ + 1 end_POSTSUPERSCRIPT - italic_η start_POSTSUPERSCRIPT roman_ℓ end_POSTSUPERSCRIPT / italic_r</annotation></semantics></math>,</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E78"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="p_{(i,j)}^{\ell+1}=w_{(i,j)}^{\ell+1}\max\left\{0,1-\frac{1}{r|w_{(i,j)}^{\ell% +1}|}\right\}." class="ltx_Math" display="block" id="S4.E78.m1.10"><semantics id="S4.E78.m1.10a"><mrow id="S4.E78.m1.10.10.1" xref="S4.E78.m1.10.10.1.1.cmml"><mrow id="S4.E78.m1.10.10.1.1" xref="S4.E78.m1.10.10.1.1.cmml"><msubsup id="S4.E78.m1.10.10.1.1.3" xref="S4.E78.m1.10.10.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E78.m1.10.10.1.1.3.2.2" xref="S4.E78.m1.10.10.1.1.3.2.2.cmml">p</mi><mrow id="S4.E78.m1.2.2.2.4" xref="S4.E78.m1.2.2.2.3.cmml"><mo id="S4.E78.m1.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="S4.E78.m1.2.2.2.3.cmml">(</mo><mi id="S4.E78.m1.1.1.1.1" xref="S4.E78.m1.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S4.E78.m1.2.2.2.4.2" xref="S4.E78.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.E78.m1.2.2.2.2" xref="S4.E78.m1.2.2.2.2.cmml">j</mi><mo id="S4.E78.m1.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="S4.E78.m1.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S4.E78.m1.10.10.1.1.3.3" xref="S4.E78.m1.10.10.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.E78.m1.10.10.1.1.3.3.2" mathvariant="normal" xref="S4.E78.m1.10.10.1.1.3.3.2.cmml">ℓ</mi><mo id="S4.E78.m1.10.10.1.1.3.3.1" xref="S4.E78.m1.10.10.1.1.3.3.1.cmml">+</mo><mn id="S4.E78.m1.10.10.1.1.3.3.3" xref="S4.E78.m1.10.10.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msubsup><mo id="S4.E78.m1.10.10.1.1.2" xref="S4.E78.m1.10.10.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.E78.m1.10.10.1.1.1" xref="S4.E78.m1.10.10.1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.E78.m1.10.10.1.1.1.3" xref="S4.E78.m1.10.10.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E78.m1.10.10.1.1.1.3.2.2" xref="S4.E78.m1.10.10.1.1.1.3.2.2.cmml">w</mi><mrow id="S4.E78.m1.4.4.2.4" xref="S4.E78.m1.4.4.2.3.cmml"><mo id="S4.E78.m1.4.4.2.4.1" stretchy="false" xref="S4.E78.m1.4.4.2.3.cmml">(</mo><mi id="S4.E78.m1.3.3.1.1" xref="S4.E78.m1.3.3.1.1.cmml">i</mi><mo id="S4.E78.m1.4.4.2.4.2" xref="S4.E78.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.E78.m1.4.4.2.2" xref="S4.E78.m1.4.4.2.2.cmml">j</mi><mo id="S4.E78.m1.4.4.2.4.3" stretchy="false" xref="S4.E78.m1.4.4.2.3.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S4.E78.m1.10.10.1.1.1.3.3" xref="S4.E78.m1.10.10.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.E78.m1.10.10.1.1.1.3.3.2" mathvariant="normal" xref="S4.E78.m1.10.10.1.1.1.3.3.2.cmml">ℓ</mi><mo id="S4.E78.m1.10.10.1.1.1.3.3.1" xref="S4.E78.m1.10.10.1.1.1.3.3.1.cmml">+</mo><mn id="S4.E78.m1.10.10.1.1.1.3.3.3" xref="S4.E78.m1.10.10.1.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msubsup><mo id="S4.E78.m1.10.10.1.1.1.2" lspace="0.167em" xref="S4.E78.m1.10.10.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E78.m1.10.10.1.1.1.1.1" xref="S4.E78.m1.10.10.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E78.m1.8.8" xref="S4.E78.m1.8.8.cmml">max</mi><mo id="S4.E78.m1.10.10.1.1.1.1.1a" xref="S4.E78.m1.10.10.1.1.1.1.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S4.E78.m1.10.10.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E78.m1.10.10.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E78.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E78.m1.10.10.1.1.1.1.2.cmml">{</mo><mn id="S4.E78.m1.9.9" xref="S4.E78.m1.9.9.cmml">0</mn><mo id="S4.E78.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E78.m1.10.10.1.1.1.1.2.cmml">,</mo><mrow id="S4.E78.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E78.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S4.E78.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E78.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S4.E78.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E78.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mfrac id="S4.E78.m1.7.7" xref="S4.E78.m1.7.7.cmml"><mn id="S4.E78.m1.7.7.5" xref="S4.E78.m1.7.7.5.cmml">1</mn><mrow id="S4.E78.m1.7.7.3" xref="S4.E78.m1.7.7.3.cmml"><mi id="S4.E78.m1.7.7.3.5" xref="S4.E78.m1.7.7.3.5.cmml">r</mi><mo id="S4.E78.m1.7.7.3.4" xref="S4.E78.m1.7.7.3.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E78.m1.7.7.3.3.1" xref="S4.E78.m1.7.7.3.3.2.cmml"><mo id="S4.E78.m1.7.7.3.3.1.2" stretchy="false" xref="S4.E78.m1.7.7.3.3.2.1.cmml">|</mo><msubsup id="S4.E78.m1.7.7.3.3.1.1" xref="S4.E78.m1.7.7.3.3.1.1.cmml"><mi id="S4.E78.m1.7.7.3.3.1.1.2.2" xref="S4.E78.m1.7.7.3.3.1.1.2.2.cmml">w</mi><mrow id="S4.E78.m1.6.6.2.2.2.4" xref="S4.E78.m1.6.6.2.2.2.3.cmml"><mo id="S4.E78.m1.6.6.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="S4.E78.m1.6.6.2.2.2.3.cmml">(</mo><mi id="S4.E78.m1.5.5.1.1.1.1" xref="S4.E78.m1.5.5.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S4.E78.m1.6.6.2.2.2.4.2" xref="S4.E78.m1.6.6.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.E78.m1.6.6.2.2.2.2" xref="S4.E78.m1.6.6.2.2.2.2.cmml">j</mi><mo id="S4.E78.m1.6.6.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="S4.E78.m1.6.6.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S4.E78.m1.7.7.3.3.1.1.3" xref="S4.E78.m1.7.7.3.3.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E78.m1.7.7.3.3.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S4.E78.m1.7.7.3.3.1.1.3.2.cmml">ℓ</mi><mo id="S4.E78.m1.7.7.3.3.1.1.3.1" xref="S4.E78.m1.7.7.3.3.1.1.3.1.cmml">+</mo><mn id="S4.E78.m1.7.7.3.3.1.1.3.3" xref="S4.E78.m1.7.7.3.3.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msubsup><mo id="S4.E78.m1.7.7.3.3.1.3" stretchy="false" xref="S4.E78.m1.7.7.3.3.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></mfrac></mrow><mo id="S4.E78.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.4" xref="S4.E78.m1.10.10.1.1.1.1.2.cmml">}</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E78.m1.10.10.1.2" lspace="0em" xref="S4.E78.m1.10.10.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E78.m1.10b"><apply id="S4.E78.m1.10.10.1.1.cmml" xref="S4.E78.m1.10.10.1"><eq id="S4.E78.m1.10.10.1.1.2.cmml" xref="S4.E78.m1.10.10.1.1.2"></eq><apply id="S4.E78.m1.10.10.1.1.3.cmml" xref="S4.E78.m1.10.10.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E78.m1.10.10.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E78.m1.10.10.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.E78.m1.10.10.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E78.m1.10.10.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E78.m1.10.10.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E78.m1.10.10.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E78.m1.10.10.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E78.m1.10.10.1.1.3.2.2">𝑝</ci><interval closure="open" id="S4.E78.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E78.m1.2.2.2.4"><ci id="S4.E78.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E78.m1.1.1.1.1">𝑖</ci><ci id="S4.E78.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E78.m1.2.2.2.2">𝑗</ci></interval></apply><apply id="S4.E78.m1.10.10.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E78.m1.10.10.1.1.3.3"><plus id="S4.E78.m1.10.10.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.E78.m1.10.10.1.1.3.3.1"></plus><ci id="S4.E78.m1.10.10.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.E78.m1.10.10.1.1.3.3.2">ℓ</ci><cn id="S4.E78.m1.10.10.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E78.m1.10.10.1.1.3.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.E78.m1.10.10.1.1.1.cmml" xref="S4.E78.m1.10.10.1.1.1"><times id="S4.E78.m1.10.10.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E78.m1.10.10.1.1.1.2"></times><apply id="S4.E78.m1.10.10.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E78.m1.10.10.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E78.m1.10.10.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E78.m1.10.10.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.E78.m1.10.10.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E78.m1.10.10.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E78.m1.10.10.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E78.m1.10.10.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E78.m1.10.10.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E78.m1.10.10.1.1.1.3.2.2">𝑤</ci><interval closure="open" id="S4.E78.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S4.E78.m1.4.4.2.4"><ci id="S4.E78.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S4.E78.m1.3.3.1.1">𝑖</ci><ci id="S4.E78.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S4.E78.m1.4.4.2.2">𝑗</ci></interval></apply><apply id="S4.E78.m1.10.10.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E78.m1.10.10.1.1.1.3.3"><plus id="S4.E78.m1.10.10.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.E78.m1.10.10.1.1.1.3.3.1"></plus><ci id="S4.E78.m1.10.10.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.E78.m1.10.10.1.1.1.3.3.2">ℓ</ci><cn id="S4.E78.m1.10.10.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E78.m1.10.10.1.1.1.3.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.E78.m1.10.10.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E78.m1.10.10.1.1.1.1.1"><max id="S4.E78.m1.8.8.cmml" xref="S4.E78.m1.8.8"></max><cn id="S4.E78.m1.9.9.cmml" type="integer" xref="S4.E78.m1.9.9">0</cn><apply id="S4.E78.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E78.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S4.E78.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E78.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><cn id="S4.E78.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.E78.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.1.2">1</cn><apply id="S4.E78.m1.7.7.cmml" xref="S4.E78.m1.7.7"><divide id="S4.E78.m1.7.7.4.cmml" xref="S4.E78.m1.7.7"></divide><cn id="S4.E78.m1.7.7.5.cmml" type="integer" xref="S4.E78.m1.7.7.5">1</cn><apply id="S4.E78.m1.7.7.3.cmml" xref="S4.E78.m1.7.7.3"><times id="S4.E78.m1.7.7.3.4.cmml" xref="S4.E78.m1.7.7.3.4"></times><ci id="S4.E78.m1.7.7.3.5.cmml" xref="S4.E78.m1.7.7.3.5">𝑟</ci><apply id="S4.E78.m1.7.7.3.3.2.cmml" xref="S4.E78.m1.7.7.3.3.1"><abs id="S4.E78.m1.7.7.3.3.2.1.cmml" xref="S4.E78.m1.7.7.3.3.1.2"></abs><apply id="S4.E78.m1.7.7.3.3.1.1.cmml" xref="S4.E78.m1.7.7.3.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E78.m1.7.7.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.E78.m1.7.7.3.3.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.E78.m1.7.7.3.3.1.1.2.cmml" xref="S4.E78.m1.7.7.3.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E78.m1.7.7.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E78.m1.7.7.3.3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.E78.m1.7.7.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E78.m1.7.7.3.3.1.1.2.2">𝑤</ci><interval closure="open" id="S4.E78.m1.6.6.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E78.m1.6.6.2.2.2.4"><ci id="S4.E78.m1.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E78.m1.5.5.1.1.1.1">𝑖</ci><ci id="S4.E78.m1.6.6.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E78.m1.6.6.2.2.2.2">𝑗</ci></interval></apply><apply id="S4.E78.m1.7.7.3.3.1.1.3.cmml" xref="S4.E78.m1.7.7.3.3.1.1.3"><plus id="S4.E78.m1.7.7.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E78.m1.7.7.3.3.1.1.3.1"></plus><ci id="S4.E78.m1.7.7.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E78.m1.7.7.3.3.1.1.3.2">ℓ</ci><cn id="S4.E78.m1.7.7.3.3.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E78.m1.7.7.3.3.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E78.m1.10c">p_{(i,j)}^{\ell+1}=w_{(i,j)}^{\ell+1}\max\left\{0,1-\frac{1}{r|w_{(i,j)}^{\ell% +1}|}\right\}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E78.m1.10d">italic_p start_POSTSUBSCRIPT ( italic_i , italic_j ) end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT roman_ℓ + 1 end_POSTSUPERSCRIPT = italic_w start_POSTSUBSCRIPT ( italic_i , italic_j ) end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT roman_ℓ + 1 end_POSTSUPERSCRIPT roman_max { 0 , 1 - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_r | italic_w start_POSTSUBSCRIPT ( italic_i , italic_j ) end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT roman_ℓ + 1 end_POSTSUPERSCRIPT | end_ARG } .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(78)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS2.SSS2.p6"> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.SSS2.p6.1">The algorithm for the subproblem (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S4.E64" title="In 2nd item ‣ 4.2 Numerical Method for problem (62) ‣ 4 Numerical Algorithm ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">64</span></a>) is summarized in Algorithm <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#alg1" title="Algorithm 1 ‣ 4.2.2 Numerical Method for (64) ‣ 4.2 Numerical Method for problem (62) ‣ 4 Numerical Algorithm ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>, and the convergence results are given in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib53" title="">2010Augmented </a>; <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib54" title="">2017Augmented </a>; <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib61" title="">zhu </a>; <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib24" title="">2012He </a></cite>.</p> </div> <figure class="ltx_float ltx_float_algorithm ltx_framed ltx_framed_top" id="alg1"> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_float"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="alg1.2.1.1">Algorithm 1</span> </span> Augmented Lagrangian method (ALM) for the subproblem (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S4.E64" title="In 2nd item ‣ 4.2 Numerical Method for problem (62) ‣ 4 Numerical Algorithm ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">64</span></a>).</figcaption> <div class="ltx_listing ltx_listing" id="alg1.3"> <div class="ltx_listingline" id="alg1.l0"> <span class="ltx_tag ltx_tag_listingline"><span class="ltx_text" id="alg1.l0.1.1.1" style="font-size:80%;">0:</span></span> initialize: <math alttext="u^{0},p^{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="alg1.l0.m1.2"><semantics id="alg1.l0.m1.2a"><mrow id="alg1.l0.m1.2.2.2" xref="alg1.l0.m1.2.2.3.cmml"><msup id="alg1.l0.m1.1.1.1.1" xref="alg1.l0.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="alg1.l0.m1.1.1.1.1.2" xref="alg1.l0.m1.1.1.1.1.2.cmml">u</mi><mn id="alg1.l0.m1.1.1.1.1.3" xref="alg1.l0.m1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></msup><mo id="alg1.l0.m1.2.2.2.3" xref="alg1.l0.m1.2.2.3.cmml">,</mo><msup id="alg1.l0.m1.2.2.2.2" xref="alg1.l0.m1.2.2.2.2.cmml"><mi id="alg1.l0.m1.2.2.2.2.2" xref="alg1.l0.m1.2.2.2.2.2.cmml">p</mi><mn id="alg1.l0.m1.2.2.2.2.3" xref="alg1.l0.m1.2.2.2.2.3.cmml">0</mn></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="alg1.l0.m1.2b"><list id="alg1.l0.m1.2.2.3.cmml" xref="alg1.l0.m1.2.2.2"><apply id="alg1.l0.m1.1.1.1.1.cmml" xref="alg1.l0.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l0.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="alg1.l0.m1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="alg1.l0.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="alg1.l0.m1.1.1.1.1.2">𝑢</ci><cn id="alg1.l0.m1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="alg1.l0.m1.1.1.1.1.3">0</cn></apply><apply id="alg1.l0.m1.2.2.2.2.cmml" xref="alg1.l0.m1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l0.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="alg1.l0.m1.2.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="alg1.l0.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="alg1.l0.m1.2.2.2.2.2">𝑝</ci><cn id="alg1.l0.m1.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="alg1.l0.m1.2.2.2.2.3">0</cn></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="alg1.l0.m1.2c">u^{0},p^{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="alg1.l0.m1.2d">italic_u start_POSTSUPERSCRIPT 0 end_POSTSUPERSCRIPT , italic_p start_POSTSUPERSCRIPT 0 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="\eta^{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="alg1.l0.m2.1"><semantics id="alg1.l0.m2.1a"><msup id="alg1.l0.m2.1.1" xref="alg1.l0.m2.1.1.cmml"><mi id="alg1.l0.m2.1.1.2" xref="alg1.l0.m2.1.1.2.cmml">η</mi><mn id="alg1.l0.m2.1.1.3" xref="alg1.l0.m2.1.1.3.cmml">0</mn></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="alg1.l0.m2.1b"><apply id="alg1.l0.m2.1.1.cmml" xref="alg1.l0.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l0.m2.1.1.1.cmml" xref="alg1.l0.m2.1.1">superscript</csymbol><ci id="alg1.l0.m2.1.1.2.cmml" xref="alg1.l0.m2.1.1.2">𝜂</ci><cn id="alg1.l0.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="alg1.l0.m2.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="alg1.l0.m2.1c">\eta^{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="alg1.l0.m2.1d">italic_η start_POSTSUPERSCRIPT 0 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. </div> <div class="ltx_listingline" id="alg1.l1"> <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="alg1.l1.1">for</span> <math alttext="\ell=0" class="ltx_Math" display="inline" id="alg1.l1.m1.1"><semantics id="alg1.l1.m1.1a"><mrow id="alg1.l1.m1.1.1" xref="alg1.l1.m1.1.1.cmml"><mi id="alg1.l1.m1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="alg1.l1.m1.1.1.2.cmml">ℓ</mi><mo id="alg1.l1.m1.1.1.1" xref="alg1.l1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="alg1.l1.m1.1.1.3" xref="alg1.l1.m1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="alg1.l1.m1.1b"><apply id="alg1.l1.m1.1.1.cmml" xref="alg1.l1.m1.1.1"><eq id="alg1.l1.m1.1.1.1.cmml" xref="alg1.l1.m1.1.1.1"></eq><ci id="alg1.l1.m1.1.1.2.cmml" xref="alg1.l1.m1.1.1.2">ℓ</ci><cn id="alg1.l1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="alg1.l1.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="alg1.l1.m1.1c">\ell=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="alg1.l1.m1.1d">roman_ℓ = 0</annotation></semantics></math> to L <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="alg1.l1.2">do</span> </div> <div class="ltx_listingline" id="alg1.l2"> Compute the minimizer <math alttext="u^{\ell+1}" class="ltx_Math" display="inline" id="alg1.l2.m1.1"><semantics id="alg1.l2.m1.1a"><msup id="alg1.l2.m1.1.1" xref="alg1.l2.m1.1.1.cmml"><mi id="alg1.l2.m1.1.1.2" xref="alg1.l2.m1.1.1.2.cmml">u</mi><mrow id="alg1.l2.m1.1.1.3" xref="alg1.l2.m1.1.1.3.cmml"><mi id="alg1.l2.m1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="alg1.l2.m1.1.1.3.2.cmml">ℓ</mi><mo id="alg1.l2.m1.1.1.3.1" xref="alg1.l2.m1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mn id="alg1.l2.m1.1.1.3.3" xref="alg1.l2.m1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="alg1.l2.m1.1b"><apply id="alg1.l2.m1.1.1.cmml" xref="alg1.l2.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l2.m1.1.1.1.cmml" xref="alg1.l2.m1.1.1">superscript</csymbol><ci id="alg1.l2.m1.1.1.2.cmml" xref="alg1.l2.m1.1.1.2">𝑢</ci><apply id="alg1.l2.m1.1.1.3.cmml" xref="alg1.l2.m1.1.1.3"><plus id="alg1.l2.m1.1.1.3.1.cmml" xref="alg1.l2.m1.1.1.3.1"></plus><ci id="alg1.l2.m1.1.1.3.2.cmml" xref="alg1.l2.m1.1.1.3.2">ℓ</ci><cn id="alg1.l2.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="alg1.l2.m1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="alg1.l2.m1.1c">u^{\ell+1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="alg1.l2.m1.1d">italic_u start_POSTSUPERSCRIPT roman_ℓ + 1 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> by (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S4.E77" title="In 4.2.2 Numerical Method for (64) ‣ 4.2 Numerical Method for problem (62) ‣ 4 Numerical Algorithm ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">77</span></a>) for the associated subproblems with the fixed <math alttext="\eta^{\ell},p^{\ell}" class="ltx_Math" display="inline" id="alg1.l2.m2.2"><semantics id="alg1.l2.m2.2a"><mrow id="alg1.l2.m2.2.2.2" xref="alg1.l2.m2.2.2.3.cmml"><msup id="alg1.l2.m2.1.1.1.1" xref="alg1.l2.m2.1.1.1.1.cmml"><mi id="alg1.l2.m2.1.1.1.1.2" xref="alg1.l2.m2.1.1.1.1.2.cmml">η</mi><mi id="alg1.l2.m2.1.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="alg1.l2.m2.1.1.1.1.3.cmml">ℓ</mi></msup><mo id="alg1.l2.m2.2.2.2.3" xref="alg1.l2.m2.2.2.3.cmml">,</mo><msup id="alg1.l2.m2.2.2.2.2" xref="alg1.l2.m2.2.2.2.2.cmml"><mi id="alg1.l2.m2.2.2.2.2.2" xref="alg1.l2.m2.2.2.2.2.2.cmml">p</mi><mi id="alg1.l2.m2.2.2.2.2.3" mathvariant="normal" xref="alg1.l2.m2.2.2.2.2.3.cmml">ℓ</mi></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="alg1.l2.m2.2b"><list id="alg1.l2.m2.2.2.3.cmml" xref="alg1.l2.m2.2.2.2"><apply id="alg1.l2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="alg1.l2.m2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l2.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="alg1.l2.m2.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="alg1.l2.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="alg1.l2.m2.1.1.1.1.2">𝜂</ci><ci id="alg1.l2.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="alg1.l2.m2.1.1.1.1.3">ℓ</ci></apply><apply id="alg1.l2.m2.2.2.2.2.cmml" xref="alg1.l2.m2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l2.m2.2.2.2.2.1.cmml" xref="alg1.l2.m2.2.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="alg1.l2.m2.2.2.2.2.2.cmml" xref="alg1.l2.m2.2.2.2.2.2">𝑝</ci><ci id="alg1.l2.m2.2.2.2.2.3.cmml" xref="alg1.l2.m2.2.2.2.2.3">ℓ</ci></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="alg1.l2.m2.2c">\eta^{\ell},p^{\ell}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="alg1.l2.m2.2d">italic_η start_POSTSUPERSCRIPT roman_ℓ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_p start_POSTSUPERSCRIPT roman_ℓ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. </div> <div class="ltx_listingline" id="alg1.l3"> Compute the minimizer <math alttext="p^{\ell+1}" class="ltx_Math" display="inline" id="alg1.l3.m1.1"><semantics id="alg1.l3.m1.1a"><msup id="alg1.l3.m1.1.1" xref="alg1.l3.m1.1.1.cmml"><mi id="alg1.l3.m1.1.1.2" xref="alg1.l3.m1.1.1.2.cmml">p</mi><mrow id="alg1.l3.m1.1.1.3" xref="alg1.l3.m1.1.1.3.cmml"><mi id="alg1.l3.m1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="alg1.l3.m1.1.1.3.2.cmml">ℓ</mi><mo id="alg1.l3.m1.1.1.3.1" xref="alg1.l3.m1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mn id="alg1.l3.m1.1.1.3.3" xref="alg1.l3.m1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="alg1.l3.m1.1b"><apply id="alg1.l3.m1.1.1.cmml" xref="alg1.l3.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l3.m1.1.1.1.cmml" xref="alg1.l3.m1.1.1">superscript</csymbol><ci id="alg1.l3.m1.1.1.2.cmml" xref="alg1.l3.m1.1.1.2">𝑝</ci><apply id="alg1.l3.m1.1.1.3.cmml" xref="alg1.l3.m1.1.1.3"><plus id="alg1.l3.m1.1.1.3.1.cmml" xref="alg1.l3.m1.1.1.3.1"></plus><ci id="alg1.l3.m1.1.1.3.2.cmml" xref="alg1.l3.m1.1.1.3.2">ℓ</ci><cn id="alg1.l3.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="alg1.l3.m1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="alg1.l3.m1.1c">p^{\ell+1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="alg1.l3.m1.1d">italic_p start_POSTSUPERSCRIPT roman_ℓ + 1 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> by (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S4.E78" title="In 4.2.2 Numerical Method for (64) ‣ 4.2 Numerical Method for problem (62) ‣ 4 Numerical Algorithm ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">78</span></a>) for the associated subproblems with the fixed <math alttext="\eta^{\ell},u^{\ell+1}" class="ltx_Math" display="inline" id="alg1.l3.m2.2"><semantics id="alg1.l3.m2.2a"><mrow id="alg1.l3.m2.2.2.2" xref="alg1.l3.m2.2.2.3.cmml"><msup id="alg1.l3.m2.1.1.1.1" xref="alg1.l3.m2.1.1.1.1.cmml"><mi id="alg1.l3.m2.1.1.1.1.2" xref="alg1.l3.m2.1.1.1.1.2.cmml">η</mi><mi id="alg1.l3.m2.1.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="alg1.l3.m2.1.1.1.1.3.cmml">ℓ</mi></msup><mo id="alg1.l3.m2.2.2.2.3" xref="alg1.l3.m2.2.2.3.cmml">,</mo><msup id="alg1.l3.m2.2.2.2.2" xref="alg1.l3.m2.2.2.2.2.cmml"><mi id="alg1.l3.m2.2.2.2.2.2" xref="alg1.l3.m2.2.2.2.2.2.cmml">u</mi><mrow id="alg1.l3.m2.2.2.2.2.3" xref="alg1.l3.m2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="alg1.l3.m2.2.2.2.2.3.2" mathvariant="normal" xref="alg1.l3.m2.2.2.2.2.3.2.cmml">ℓ</mi><mo id="alg1.l3.m2.2.2.2.2.3.1" xref="alg1.l3.m2.2.2.2.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="alg1.l3.m2.2.2.2.2.3.3" xref="alg1.l3.m2.2.2.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="alg1.l3.m2.2b"><list id="alg1.l3.m2.2.2.3.cmml" xref="alg1.l3.m2.2.2.2"><apply id="alg1.l3.m2.1.1.1.1.cmml" xref="alg1.l3.m2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l3.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="alg1.l3.m2.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="alg1.l3.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="alg1.l3.m2.1.1.1.1.2">𝜂</ci><ci id="alg1.l3.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="alg1.l3.m2.1.1.1.1.3">ℓ</ci></apply><apply id="alg1.l3.m2.2.2.2.2.cmml" xref="alg1.l3.m2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="alg1.l3.m2.2.2.2.2.1.cmml" xref="alg1.l3.m2.2.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="alg1.l3.m2.2.2.2.2.2.cmml" xref="alg1.l3.m2.2.2.2.2.2">𝑢</ci><apply id="alg1.l3.m2.2.2.2.2.3.cmml" xref="alg1.l3.m2.2.2.2.2.3"><plus id="alg1.l3.m2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="alg1.l3.m2.2.2.2.2.3.1"></plus><ci id="alg1.l3.m2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="alg1.l3.m2.2.2.2.2.3.2">ℓ</ci><cn id="alg1.l3.m2.2.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="alg1.l3.m2.2.2.2.2.3.3">1</cn></apply></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="alg1.l3.m2.2c">\eta^{\ell},u^{\ell+1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="alg1.l3.m2.2d">italic_η start_POSTSUPERSCRIPT roman_ℓ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_u start_POSTSUPERSCRIPT roman_ℓ + 1 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. </div> <div class="ltx_listingline" id="alg1.l4"> Update the Lagrangian multiplier <math alttext="\eta" class="ltx_Math" display="inline" id="alg1.l4.m1.1"><semantics id="alg1.l4.m1.1a"><mi id="alg1.l4.m1.1.1" xref="alg1.l4.m1.1.1.cmml">η</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="alg1.l4.m1.1b"><ci id="alg1.l4.m1.1.1.cmml" xref="alg1.l4.m1.1.1">𝜂</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="alg1.l4.m1.1c">\eta</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="alg1.l4.m1.1d">italic_η</annotation></semantics></math> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E79"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\eta^{\ell+1}=\eta^{\ell}+r(p^{\ell+1}-\nabla u^{\ell+1})." class="ltx_Math" display="block" id="S4.E79.m1.1"><semantics id="S4.E79.m1.1a"><mrow id="S4.E79.m1.1.1.1" xref="S4.E79.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E79.m1.1.1.1.1" xref="S4.E79.m1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S4.E79.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.E79.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E79.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E79.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">η</mi><mrow id="S4.E79.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E79.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.E79.m1.1.1.1.1.3.3.2" mathvariant="normal" xref="S4.E79.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">ℓ</mi><mo id="S4.E79.m1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S4.E79.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">+</mo><mn id="S4.E79.m1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.E79.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S4.E79.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.E79.m1.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.E79.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.E79.m1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S4.E79.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E79.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E79.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E79.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">η</mi><mi id="S4.E79.m1.1.1.1.1.1.3.3" mathvariant="normal" xref="S4.E79.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">ℓ</mi></msup><mo id="S4.E79.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E79.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S4.E79.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">r</mi><mo id="S4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">p</mi><mrow id="S4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" mathvariant="normal" xref="S4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">ℓ</mi><mo id="S4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="S4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" rspace="0.167em" xref="S4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">∇</mo><msup id="S4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">u</mi><mrow id="S4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2" mathvariant="normal" xref="S4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">ℓ</mi><mo id="S4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="S4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup></mrow></mrow><mo id="S4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E79.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S4.E79.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E79.m1.1b"><apply id="S4.E79.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E79.m1.1.1.1"><eq id="S4.E79.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E79.m1.1.1.1.1.2"></eq><apply id="S4.E79.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E79.m1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E79.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E79.m1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S4.E79.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E79.m1.1.1.1.1.3.2">𝜂</ci><apply id="S4.E79.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E79.m1.1.1.1.1.3.3"><plus id="S4.E79.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.E79.m1.1.1.1.1.3.3.1"></plus><ci id="S4.E79.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.E79.m1.1.1.1.1.3.3.2">ℓ</ci><cn id="S4.E79.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E79.m1.1.1.1.1.3.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.E79.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E79.m1.1.1.1.1.1"><plus id="S4.E79.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E79.m1.1.1.1.1.1.2"></plus><apply id="S4.E79.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E79.m1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E79.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E79.m1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S4.E79.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E79.m1.1.1.1.1.1.3.2">𝜂</ci><ci id="S4.E79.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E79.m1.1.1.1.1.1.3.3">ℓ</ci></apply><apply id="S4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E79.m1.1.1.1.1.1.1"><times id="S4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.3">𝑟</ci><apply id="S4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑝</ci><apply id="S4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><plus id="S4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1"></plus><ci id="S4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">ℓ</ci><cn id="S4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><ci id="S4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1">∇</ci><apply id="S4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑢</ci><apply id="S4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3"><plus id="S4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1"></plus><ci id="S4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2">ℓ</ci><cn id="S4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E79.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E79.m1.1c">\eta^{\ell+1}=\eta^{\ell}+r(p^{\ell+1}-\nabla u^{\ell+1}).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E79.m1.1d">italic_η start_POSTSUPERSCRIPT roman_ℓ + 1 end_POSTSUPERSCRIPT = italic_η start_POSTSUPERSCRIPT roman_ℓ end_POSTSUPERSCRIPT + italic_r ( italic_p start_POSTSUPERSCRIPT roman_ℓ + 1 end_POSTSUPERSCRIPT - ∇ italic_u start_POSTSUPERSCRIPT roman_ℓ + 1 end_POSTSUPERSCRIPT ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(79)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_listingline" id="alg1.l5"> Measure the relative residuals and relative errors and stop the iteration if they are smaller than a given threshold. </div> <div class="ltx_listingline" id="alg1.l6"> <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="alg1.l6.1">end</span> <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="alg1.l6.2">for</span> </div> </div> <br class="ltx_break ltx_break"/> </figure> </section> </section> <section class="ltx_subsection" id="S4.SS3"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">4.3 </span>Convergence of the Proposed Algorithm</h3> <div class="ltx_para" id="S4.SS3.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.p1.1">The algorithm to solve the proposed models is summarized in Algorithm <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#alg2" title="Algorithm 2 ‣ 4.3 Convergence of the Proposed Algorithm ‣ 4 Numerical Algorithm ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>, and the convergence of Algorithm <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#alg2" title="Algorithm 2 ‣ 4.3 Convergence of the Proposed Algorithm ‣ 4 Numerical Algorithm ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a> can be proved by a straightforward generalization of the results in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib2" title="">2005Image </a>; <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib4" title="">2006Structure </a></cite>.</p> </div> <figure class="ltx_float ltx_float_algorithm ltx_framed ltx_framed_top" id="alg2"> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_float"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="alg2.2.1.1">Algorithm 2</span> </span> Numerical Method for Problem (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S4.E62" title="In 4.1 Discretization ‣ 4 Numerical Algorithm ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">62</span></a>).</figcaption> <div class="ltx_listing ltx_listing" id="alg2.3"> <div class="ltx_listingline" id="alg2.l0"> <span class="ltx_tag ltx_tag_listingline"><span class="ltx_text" id="alg2.l0.1.1.1" style="font-size:80%;">0:</span></span> Initialize: <math alttext="u^{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="alg2.l0.m1.1"><semantics id="alg2.l0.m1.1a"><msup id="alg2.l0.m1.1.1" xref="alg2.l0.m1.1.1.cmml"><mi id="alg2.l0.m1.1.1.2" xref="alg2.l0.m1.1.1.2.cmml">u</mi><mn id="alg2.l0.m1.1.1.3" xref="alg2.l0.m1.1.1.3.cmml">0</mn></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="alg2.l0.m1.1b"><apply id="alg2.l0.m1.1.1.cmml" xref="alg2.l0.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="alg2.l0.m1.1.1.1.cmml" xref="alg2.l0.m1.1.1">superscript</csymbol><ci id="alg2.l0.m1.1.1.2.cmml" xref="alg2.l0.m1.1.1.2">𝑢</ci><cn id="alg2.l0.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="alg2.l0.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="alg2.l0.m1.1c">u^{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="alg2.l0.m1.1d">italic_u start_POSTSUPERSCRIPT 0 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="p^{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="alg2.l0.m2.1"><semantics id="alg2.l0.m2.1a"><msup id="alg2.l0.m2.1.1" xref="alg2.l0.m2.1.1.cmml"><mi id="alg2.l0.m2.1.1.2" xref="alg2.l0.m2.1.1.2.cmml">p</mi><mn id="alg2.l0.m2.1.1.3" xref="alg2.l0.m2.1.1.3.cmml">0</mn></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="alg2.l0.m2.1b"><apply id="alg2.l0.m2.1.1.cmml" xref="alg2.l0.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="alg2.l0.m2.1.1.1.cmml" xref="alg2.l0.m2.1.1">superscript</csymbol><ci id="alg2.l0.m2.1.1.2.cmml" xref="alg2.l0.m2.1.1.2">𝑝</ci><cn id="alg2.l0.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="alg2.l0.m2.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="alg2.l0.m2.1c">p^{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="alg2.l0.m2.1d">italic_p start_POSTSUPERSCRIPT 0 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. </div> <div class="ltx_listingline" id="alg2.l1"> <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="alg2.l1.1">for</span> <math alttext="n=0" class="ltx_Math" display="inline" id="alg2.l1.m1.1"><semantics id="alg2.l1.m1.1a"><mrow id="alg2.l1.m1.1.1" xref="alg2.l1.m1.1.1.cmml"><mi id="alg2.l1.m1.1.1.2" xref="alg2.l1.m1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="alg2.l1.m1.1.1.1" xref="alg2.l1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="alg2.l1.m1.1.1.3" xref="alg2.l1.m1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="alg2.l1.m1.1b"><apply id="alg2.l1.m1.1.1.cmml" xref="alg2.l1.m1.1.1"><eq id="alg2.l1.m1.1.1.1.cmml" xref="alg2.l1.m1.1.1.1"></eq><ci id="alg2.l1.m1.1.1.2.cmml" xref="alg2.l1.m1.1.1.2">𝑛</ci><cn id="alg2.l1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="alg2.l1.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="alg2.l1.m1.1c">n=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="alg2.l1.m1.1d">italic_n = 0</annotation></semantics></math> to N <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="alg2.l1.2">do</span> </div> <div class="ltx_listingline" id="alg2.l2"> Compute the minimizer of the subproblem <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E80"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="v_{n+1}=\operatorname*{argmin}_{v}\frac{\alpha}{2}\|f-K*u_{n}-v\|^{2}+\lambda% \|v\|_{\mathrm{Lip}^{*}}," class="ltx_Math" display="block" id="S4.E80.m1.2"><semantics id="S4.E80.m1.2a"><mrow id="S4.E80.m1.2.2.1" xref="S4.E80.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S4.E80.m1.2.2.1.1" xref="S4.E80.m1.2.2.1.1.cmml"><msub id="S4.E80.m1.2.2.1.1.3" xref="S4.E80.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E80.m1.2.2.1.1.3.2" xref="S4.E80.m1.2.2.1.1.3.2.cmml">v</mi><mrow id="S4.E80.m1.2.2.1.1.3.3" xref="S4.E80.m1.2.2.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.E80.m1.2.2.1.1.3.3.2" xref="S4.E80.m1.2.2.1.1.3.3.2.cmml">n</mi><mo id="S4.E80.m1.2.2.1.1.3.3.1" xref="S4.E80.m1.2.2.1.1.3.3.1.cmml">+</mo><mn id="S4.E80.m1.2.2.1.1.3.3.3" xref="S4.E80.m1.2.2.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S4.E80.m1.2.2.1.1.2" rspace="0.1389em" xref="S4.E80.m1.2.2.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.E80.m1.2.2.1.1.1" xref="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><munder id="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.1.2.2" lspace="0.1389em" rspace="0.167em" xref="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml">argmin</mo><mi id="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml">v</mi></munder><mrow id="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml">α</mi><mn id="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">f</mi><mo id="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">K</mi><mo id="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">∗</mo><msub id="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">u</mi><mi id="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">n</mi></msub></mrow><mo id="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">v</mi></mrow><mo id="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><mo id="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.3.2" xref="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml">λ</mi><mo id="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.3.1" xref="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.3.3" xref="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.3.3.cmml"><mrow id="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.3.3.2.2" xref="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.3.3.2.1.cmml"><mo id="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.3.3.2.2.1" stretchy="false" xref="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.3.3.2.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S4.E80.m1.1.1" xref="S4.E80.m1.1.1.cmml">v</mi><mo id="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.3.3.2.2.2" stretchy="false" xref="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.3.3.2.1.1.cmml">‖</mo></mrow><msup id="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.3.3.3" xref="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.3.3.3.2" xref="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.3.3.3.2.cmml">Lip</mi><mo id="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.3.3.3.3" xref="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.3.3.3.3.cmml">∗</mo></msup></msub></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E80.m1.2.2.1.2" xref="S4.E80.m1.2.2.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E80.m1.2b"><apply id="S4.E80.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S4.E80.m1.2.2.1"><eq id="S4.E80.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.E80.m1.2.2.1.1.2"></eq><apply id="S4.E80.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S4.E80.m1.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E80.m1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E80.m1.2.2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E80.m1.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E80.m1.2.2.1.1.3.2">𝑣</ci><apply id="S4.E80.m1.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E80.m1.2.2.1.1.3.3"><plus id="S4.E80.m1.2.2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.E80.m1.2.2.1.1.3.3.1"></plus><ci id="S4.E80.m1.2.2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.E80.m1.2.2.1.1.3.3.2">𝑛</ci><cn id="S4.E80.m1.2.2.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E80.m1.2.2.1.1.3.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.E80.m1.2.2.1.1.1"><plus id="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.2"></plus><apply id="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.1"><apply id="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.1.2.2">argmin</ci><ci id="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.1.2.3">𝑣</ci></apply><apply id="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.1.1"><times id="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.1.1.3"><divide id="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.1.1.3"></divide><ci id="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2">𝛼</ci><cn id="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑓</ci><apply id="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝐾</ci><apply id="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑢</ci><ci id="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑛</ci></apply></apply><ci id="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4">𝑣</ci></apply></apply><cn id="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.3"><times id="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.3.1"></times><ci id="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.3.2">𝜆</ci><apply id="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><apply id="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.3.3.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.3.3.2.1.1.cmml" xref="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.3.3.2.2.1">norm</csymbol><ci id="S4.E80.m1.1.1.cmml" xref="S4.E80.m1.1.1">𝑣</ci></apply><apply id="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.3.3.3.2">Lip</ci><times id="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S4.E80.m1.2.2.1.1.1.3.3.3.3"></times></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E80.m1.2c">v_{n+1}=\operatorname*{argmin}_{v}\frac{\alpha}{2}\|f-K*u_{n}-v\|^{2}+\lambda% \|v\|_{\mathrm{Lip}^{*}},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E80.m1.2d">italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_n + 1 end_POSTSUBSCRIPT = roman_argmin start_POSTSUBSCRIPT italic_v end_POSTSUBSCRIPT divide start_ARG italic_α end_ARG start_ARG 2 end_ARG ∥ italic_f - italic_K ∗ italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT - italic_v ∥ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_λ ∥ italic_v ∥ start_POSTSUBSCRIPT roman_Lip start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(80)</span></td> </tr></tbody> </table> by PDHG method (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S4.E71" title="In 4.2.1 Numerical Method for (63) ‣ 4.2 Numerical Method for problem (62) ‣ 4 Numerical Algorithm ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">71</span></a>) for its Lagrangian functional (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S4.E67" title="In 4.2.1 Numerical Method for (63) ‣ 4.2 Numerical Method for problem (62) ‣ 4 Numerical Algorithm ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">67</span></a>). </div> <div class="ltx_listingline" id="alg2.l3"> Compute the minimizer of the subproblem <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E81"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="u_{n+1}=\operatorname*{argmin}_{u}\|R(\nabla u)\|_{1,2}+\frac{\alpha}{2}\|f-v_% {n+1}-K*u\|^{2}" class="ltx_Math" display="block" id="S4.E81.m1.4"><semantics id="S4.E81.m1.4a"><mrow id="S4.E81.m1.4.4" xref="S4.E81.m1.4.4.cmml"><msub id="S4.E81.m1.4.4.4" xref="S4.E81.m1.4.4.4.cmml"><mi id="S4.E81.m1.4.4.4.2" xref="S4.E81.m1.4.4.4.2.cmml">u</mi><mrow id="S4.E81.m1.4.4.4.3" xref="S4.E81.m1.4.4.4.3.cmml"><mi id="S4.E81.m1.4.4.4.3.2" xref="S4.E81.m1.4.4.4.3.2.cmml">n</mi><mo id="S4.E81.m1.4.4.4.3.1" xref="S4.E81.m1.4.4.4.3.1.cmml">+</mo><mn id="S4.E81.m1.4.4.4.3.3" xref="S4.E81.m1.4.4.4.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S4.E81.m1.4.4.3" rspace="0.1389em" xref="S4.E81.m1.4.4.3.cmml">=</mo><mrow id="S4.E81.m1.4.4.2" xref="S4.E81.m1.4.4.2.cmml"><mrow id="S4.E81.m1.3.3.1.1" xref="S4.E81.m1.3.3.1.1.cmml"><munder id="S4.E81.m1.3.3.1.1.2" xref="S4.E81.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E81.m1.3.3.1.1.2.2" lspace="0.1389em" rspace="0em" xref="S4.E81.m1.3.3.1.1.2.2.cmml">argmin</mo><mi id="S4.E81.m1.3.3.1.1.2.3" xref="S4.E81.m1.3.3.1.1.2.3.cmml">u</mi></munder><msub id="S4.E81.m1.3.3.1.1.1" xref="S4.E81.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E81.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S4.E81.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E81.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E81.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S4.E81.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E81.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E81.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E81.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">R</mi><mo id="S4.E81.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E81.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E81.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E81.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E81.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E81.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E81.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E81.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E81.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" rspace="0.167em" xref="S4.E81.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">∇</mo><mi id="S4.E81.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E81.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">u</mi></mrow><mo id="S4.E81.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E81.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E81.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E81.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mrow id="S4.E81.m1.2.2.2.4" xref="S4.E81.m1.2.2.2.3.cmml"><mn id="S4.E81.m1.1.1.1.1" xref="S4.E81.m1.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.E81.m1.2.2.2.4.1" xref="S4.E81.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mn id="S4.E81.m1.2.2.2.2" xref="S4.E81.m1.2.2.2.2.cmml">2</mn></mrow></msub></mrow><mo id="S4.E81.m1.4.4.2.3" xref="S4.E81.m1.4.4.2.3.cmml">+</mo><mrow id="S4.E81.m1.4.4.2.2" xref="S4.E81.m1.4.4.2.2.cmml"><mfrac id="S4.E81.m1.4.4.2.2.3" xref="S4.E81.m1.4.4.2.2.3.cmml"><mi id="S4.E81.m1.4.4.2.2.3.2" xref="S4.E81.m1.4.4.2.2.3.2.cmml">α</mi><mn id="S4.E81.m1.4.4.2.2.3.3" xref="S4.E81.m1.4.4.2.2.3.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S4.E81.m1.4.4.2.2.2" xref="S4.E81.m1.4.4.2.2.2.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E81.m1.4.4.2.2.1" xref="S4.E81.m1.4.4.2.2.1.cmml"><mrow id="S4.E81.m1.4.4.2.2.1.1.1" xref="S4.E81.m1.4.4.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E81.m1.4.4.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E81.m1.4.4.2.2.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S4.E81.m1.4.4.2.2.1.1.1.1" xref="S4.E81.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E81.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.2" xref="S4.E81.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.2.cmml">f</mi><mo id="S4.E81.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1" xref="S4.E81.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S4.E81.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.3" xref="S4.E81.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E81.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E81.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml">v</mi><mrow id="S4.E81.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E81.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.E81.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.E81.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.3.3.2.cmml">n</mi><mo id="S4.E81.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.3.3.1" xref="S4.E81.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.3.3.1.cmml">+</mo><mn id="S4.E81.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.E81.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S4.E81.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1a" xref="S4.E81.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.E81.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.4" xref="S4.E81.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S4.E81.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.4.2" xref="S4.E81.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.4.2.cmml">K</mi><mo id="S4.E81.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.4.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.E81.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.4.1.cmml">∗</mo><mi id="S4.E81.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.4.3" xref="S4.E81.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.4.3.cmml">u</mi></mrow></mrow><mo id="S4.E81.m1.4.4.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E81.m1.4.4.2.2.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="S4.E81.m1.4.4.2.2.1.3" xref="S4.E81.m1.4.4.2.2.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E81.m1.4b"><apply id="S4.E81.m1.4.4.cmml" xref="S4.E81.m1.4.4"><eq id="S4.E81.m1.4.4.3.cmml" xref="S4.E81.m1.4.4.3"></eq><apply id="S4.E81.m1.4.4.4.cmml" xref="S4.E81.m1.4.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E81.m1.4.4.4.1.cmml" xref="S4.E81.m1.4.4.4">subscript</csymbol><ci id="S4.E81.m1.4.4.4.2.cmml" xref="S4.E81.m1.4.4.4.2">𝑢</ci><apply id="S4.E81.m1.4.4.4.3.cmml" xref="S4.E81.m1.4.4.4.3"><plus id="S4.E81.m1.4.4.4.3.1.cmml" xref="S4.E81.m1.4.4.4.3.1"></plus><ci id="S4.E81.m1.4.4.4.3.2.cmml" xref="S4.E81.m1.4.4.4.3.2">𝑛</ci><cn id="S4.E81.m1.4.4.4.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E81.m1.4.4.4.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.E81.m1.4.4.2.cmml" xref="S4.E81.m1.4.4.2"><plus id="S4.E81.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S4.E81.m1.4.4.2.3"></plus><apply id="S4.E81.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S4.E81.m1.3.3.1.1"><apply id="S4.E81.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S4.E81.m1.3.3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E81.m1.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E81.m1.3.3.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E81.m1.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E81.m1.3.3.1.1.2.2">argmin</ci><ci id="S4.E81.m1.3.3.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E81.m1.3.3.1.1.2.3">𝑢</ci></apply><apply id="S4.E81.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.E81.m1.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E81.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E81.m1.3.3.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.E81.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E81.m1.3.3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.E81.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E81.m1.3.3.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S4.E81.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E81.m1.3.3.1.1.1.1.1.1"><times id="S4.E81.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E81.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S4.E81.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E81.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3">𝑅</ci><apply id="S4.E81.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E81.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1"><ci id="S4.E81.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E81.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">∇</ci><ci id="S4.E81.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E81.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑢</ci></apply></apply></apply><list id="S4.E81.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E81.m1.2.2.2.4"><cn id="S4.E81.m1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.E81.m1.1.1.1.1">1</cn><cn id="S4.E81.m1.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.E81.m1.2.2.2.2">2</cn></list></apply></apply><apply id="S4.E81.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S4.E81.m1.4.4.2.2"><times id="S4.E81.m1.4.4.2.2.2.cmml" xref="S4.E81.m1.4.4.2.2.2"></times><apply id="S4.E81.m1.4.4.2.2.3.cmml" xref="S4.E81.m1.4.4.2.2.3"><divide id="S4.E81.m1.4.4.2.2.3.1.cmml" xref="S4.E81.m1.4.4.2.2.3"></divide><ci id="S4.E81.m1.4.4.2.2.3.2.cmml" xref="S4.E81.m1.4.4.2.2.3.2">𝛼</ci><cn id="S4.E81.m1.4.4.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E81.m1.4.4.2.2.3.3">2</cn></apply><apply id="S4.E81.m1.4.4.2.2.1.cmml" xref="S4.E81.m1.4.4.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E81.m1.4.4.2.2.1.2.cmml" xref="S4.E81.m1.4.4.2.2.1">superscript</csymbol><apply id="S4.E81.m1.4.4.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.E81.m1.4.4.2.2.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.E81.m1.4.4.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E81.m1.4.4.2.2.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S4.E81.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E81.m1.4.4.2.2.1.1.1.1"><minus id="S4.E81.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E81.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S4.E81.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E81.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.2">𝑓</ci><apply id="S4.E81.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E81.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E81.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E81.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E81.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E81.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.3.2">𝑣</ci><apply id="S4.E81.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E81.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.3.3"><plus id="S4.E81.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.E81.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.3.3.1"></plus><ci id="S4.E81.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.E81.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.3.3.2">𝑛</ci><cn id="S4.E81.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E81.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.3.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.E81.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.E81.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.4"><times id="S4.E81.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.E81.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.4.1"></times><ci id="S4.E81.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S4.E81.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.4.2">𝐾</ci><ci id="S4.E81.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S4.E81.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.4.3">𝑢</ci></apply></apply></apply><cn id="S4.E81.m1.4.4.2.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E81.m1.4.4.2.2.1.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E81.m1.4c">u_{n+1}=\operatorname*{argmin}_{u}\|R(\nabla u)\|_{1,2}+\frac{\alpha}{2}\|f-v_% {n+1}-K*u\|^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E81.m1.4d">italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_n + 1 end_POSTSUBSCRIPT = roman_argmin start_POSTSUBSCRIPT italic_u end_POSTSUBSCRIPT ∥ italic_R ( ∇ italic_u ) ∥ start_POSTSUBSCRIPT 1 , 2 end_POSTSUBSCRIPT + divide start_ARG italic_α end_ARG start_ARG 2 end_ARG ∥ italic_f - italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_n + 1 end_POSTSUBSCRIPT - italic_K ∗ italic_u ∥ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(81)</span></td> </tr></tbody> </table> by Algorithm <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#alg1" title="Algorithm 1 ‣ 4.2.2 Numerical Method for (64) ‣ 4.2 Numerical Method for problem (62) ‣ 4 Numerical Algorithm ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a> for its Lagrangian functional (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S4.E74" title="In 4.2.2 Numerical Method for (64) ‣ 4.2 Numerical Method for problem (62) ‣ 4 Numerical Algorithm ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">74</span></a>). </div> <div class="ltx_listingline" id="alg2.l4"> <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="alg2.l4.1">end</span> <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="alg2.l4.2">for</span> </div> </div> <br class="ltx_break ltx_break"/> </figure> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_proposition" id="Thmproposition1"> <h6 class="ltx_title ltx_font_bold ltx_title_theorem"><span class="ltx_tag ltx_tag_theorem">Proposition 1</span></h6> <div class="ltx_para" id="Thmproposition1.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmproposition1.p1.6"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmproposition1.p1.6.6">Suppose <math alttext="(u_{n},v_{n})" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmproposition1.p1.1.1.m1.2"><semantics id="Thmproposition1.p1.1.1.m1.2a"><mrow id="Thmproposition1.p1.1.1.m1.2.2.2" xref="Thmproposition1.p1.1.1.m1.2.2.3.cmml"><mo id="Thmproposition1.p1.1.1.m1.2.2.2.3" stretchy="false" xref="Thmproposition1.p1.1.1.m1.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="Thmproposition1.p1.1.1.m1.1.1.1.1" xref="Thmproposition1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Thmproposition1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2" xref="Thmproposition1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml">u</mi><mi id="Thmproposition1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.3" xref="Thmproposition1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.3.cmml">n</mi></msub><mo id="Thmproposition1.p1.1.1.m1.2.2.2.4" xref="Thmproposition1.p1.1.1.m1.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="Thmproposition1.p1.1.1.m1.2.2.2.2" xref="Thmproposition1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.cmml"><mi id="Thmproposition1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2" xref="Thmproposition1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.cmml">v</mi><mi id="Thmproposition1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.3" xref="Thmproposition1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.3.cmml">n</mi></msub><mo id="Thmproposition1.p1.1.1.m1.2.2.2.5" stretchy="false" xref="Thmproposition1.p1.1.1.m1.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmproposition1.p1.1.1.m1.2b"><interval closure="open" id="Thmproposition1.p1.1.1.m1.2.2.3.cmml" xref="Thmproposition1.p1.1.1.m1.2.2.2"><apply id="Thmproposition1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmproposition1.p1.1.1.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmproposition1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmproposition1.p1.1.1.m1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmproposition1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmproposition1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2">𝑢</ci><ci id="Thmproposition1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmproposition1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.3">𝑛</ci></apply><apply id="Thmproposition1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="Thmproposition1.p1.1.1.m1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmproposition1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="Thmproposition1.p1.1.1.m1.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="Thmproposition1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="Thmproposition1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2">𝑣</ci><ci id="Thmproposition1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.3.cmml" xref="Thmproposition1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.3">𝑛</ci></apply></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmproposition1.p1.1.1.m1.2c">(u_{n},v_{n})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmproposition1.p1.1.1.m1.2d">( italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT , italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> is the iteration sequence generated by Algorithm <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#alg2" title="Algorithm 2 ‣ 4.3 Convergence of the Proposed Algorithm ‣ 4 Numerical Algorithm ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a> to solve (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S4.E62" title="In 4.1 Discretization ‣ 4 Numerical Algorithm ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">62</span></a>) with <math alttext="K=I" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmproposition1.p1.2.2.m2.1"><semantics id="Thmproposition1.p1.2.2.m2.1a"><mrow id="Thmproposition1.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmproposition1.p1.2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="Thmproposition1.p1.2.2.m2.1.1.2" xref="Thmproposition1.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml">K</mi><mo id="Thmproposition1.p1.2.2.m2.1.1.1" xref="Thmproposition1.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mi id="Thmproposition1.p1.2.2.m2.1.1.3" xref="Thmproposition1.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml">I</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmproposition1.p1.2.2.m2.1b"><apply id="Thmproposition1.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmproposition1.p1.2.2.m2.1.1"><eq id="Thmproposition1.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="Thmproposition1.p1.2.2.m2.1.1.1"></eq><ci id="Thmproposition1.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="Thmproposition1.p1.2.2.m2.1.1.2">𝐾</ci><ci id="Thmproposition1.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="Thmproposition1.p1.2.2.m2.1.1.3">𝐼</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmproposition1.p1.2.2.m2.1c">K=I</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmproposition1.p1.2.2.m2.1d">italic_K = italic_I</annotation></semantics></math> and <math alttext="R(\cdot)=|\cdot|" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="Thmproposition1.p1.3.3.m3.1"><semantics id="Thmproposition1.p1.3.3.m3.1a"><mrow id="Thmproposition1.p1.3.3.m3.1b"><mi id="Thmproposition1.p1.3.3.m3.1.2">R</mi><mrow id="Thmproposition1.p1.3.3.m3.1.3"><mo id="Thmproposition1.p1.3.3.m3.1.3.1" stretchy="false">(</mo><mo id="Thmproposition1.p1.3.3.m3.1.1" lspace="0em" rspace="0em">⋅</mo><mo id="Thmproposition1.p1.3.3.m3.1.3.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="Thmproposition1.p1.3.3.m3.1.4" rspace="0em">=</mo><mo fence="false" id="Thmproposition1.p1.3.3.m3.1.5" stretchy="false">|</mo><mo id="Thmproposition1.p1.3.3.m3.1.6" lspace="0em" rspace="0em">⋅</mo><mo fence="false" id="Thmproposition1.p1.3.3.m3.1.7" stretchy="false">|</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmproposition1.p1.3.3.m3.1c">R(\cdot)=|\cdot|</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmproposition1.p1.3.3.m3.1d">italic_R ( ⋅ ) = | ⋅ |</annotation></semantics></math> which is the discretized functional associated to (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S3.E28" title="In 3.1 The proposed image denoising model ‣ 3 The Proposed Image Restoration Models ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">28</span></a>), then <math alttext="F_{\alpha,\lambda}(u_{n},v_{n})" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmproposition1.p1.4.4.m4.4"><semantics id="Thmproposition1.p1.4.4.m4.4a"><mrow id="Thmproposition1.p1.4.4.m4.4.4" xref="Thmproposition1.p1.4.4.m4.4.4.cmml"><msub id="Thmproposition1.p1.4.4.m4.4.4.4" xref="Thmproposition1.p1.4.4.m4.4.4.4.cmml"><mi id="Thmproposition1.p1.4.4.m4.4.4.4.2" xref="Thmproposition1.p1.4.4.m4.4.4.4.2.cmml">F</mi><mrow id="Thmproposition1.p1.4.4.m4.2.2.2.4" xref="Thmproposition1.p1.4.4.m4.2.2.2.3.cmml"><mi id="Thmproposition1.p1.4.4.m4.1.1.1.1" xref="Thmproposition1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.cmml">α</mi><mo id="Thmproposition1.p1.4.4.m4.2.2.2.4.1" xref="Thmproposition1.p1.4.4.m4.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="Thmproposition1.p1.4.4.m4.2.2.2.2" xref="Thmproposition1.p1.4.4.m4.2.2.2.2.cmml">λ</mi></mrow></msub><mo id="Thmproposition1.p1.4.4.m4.4.4.3" xref="Thmproposition1.p1.4.4.m4.4.4.3.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmproposition1.p1.4.4.m4.4.4.2.2" xref="Thmproposition1.p1.4.4.m4.4.4.2.3.cmml"><mo id="Thmproposition1.p1.4.4.m4.4.4.2.2.3" stretchy="false" xref="Thmproposition1.p1.4.4.m4.4.4.2.3.cmml">(</mo><msub id="Thmproposition1.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1" xref="Thmproposition1.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="Thmproposition1.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.2" xref="Thmproposition1.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.2.cmml">u</mi><mi id="Thmproposition1.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.3" xref="Thmproposition1.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.3.cmml">n</mi></msub><mo id="Thmproposition1.p1.4.4.m4.4.4.2.2.4" xref="Thmproposition1.p1.4.4.m4.4.4.2.3.cmml">,</mo><msub id="Thmproposition1.p1.4.4.m4.4.4.2.2.2" xref="Thmproposition1.p1.4.4.m4.4.4.2.2.2.cmml"><mi id="Thmproposition1.p1.4.4.m4.4.4.2.2.2.2" xref="Thmproposition1.p1.4.4.m4.4.4.2.2.2.2.cmml">v</mi><mi id="Thmproposition1.p1.4.4.m4.4.4.2.2.2.3" xref="Thmproposition1.p1.4.4.m4.4.4.2.2.2.3.cmml">n</mi></msub><mo id="Thmproposition1.p1.4.4.m4.4.4.2.2.5" stretchy="false" xref="Thmproposition1.p1.4.4.m4.4.4.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmproposition1.p1.4.4.m4.4b"><apply id="Thmproposition1.p1.4.4.m4.4.4.cmml" xref="Thmproposition1.p1.4.4.m4.4.4"><times id="Thmproposition1.p1.4.4.m4.4.4.3.cmml" xref="Thmproposition1.p1.4.4.m4.4.4.3"></times><apply id="Thmproposition1.p1.4.4.m4.4.4.4.cmml" xref="Thmproposition1.p1.4.4.m4.4.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmproposition1.p1.4.4.m4.4.4.4.1.cmml" xref="Thmproposition1.p1.4.4.m4.4.4.4">subscript</csymbol><ci id="Thmproposition1.p1.4.4.m4.4.4.4.2.cmml" xref="Thmproposition1.p1.4.4.m4.4.4.4.2">𝐹</ci><list id="Thmproposition1.p1.4.4.m4.2.2.2.3.cmml" xref="Thmproposition1.p1.4.4.m4.2.2.2.4"><ci id="Thmproposition1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.cmml" xref="Thmproposition1.p1.4.4.m4.1.1.1.1">𝛼</ci><ci id="Thmproposition1.p1.4.4.m4.2.2.2.2.cmml" xref="Thmproposition1.p1.4.4.m4.2.2.2.2">𝜆</ci></list></apply><interval closure="open" id="Thmproposition1.p1.4.4.m4.4.4.2.3.cmml" xref="Thmproposition1.p1.4.4.m4.4.4.2.2"><apply id="Thmproposition1.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.cmml" xref="Thmproposition1.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmproposition1.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="Thmproposition1.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmproposition1.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="Thmproposition1.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.2">𝑢</ci><ci id="Thmproposition1.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="Thmproposition1.p1.4.4.m4.3.3.1.1.1.3">𝑛</ci></apply><apply id="Thmproposition1.p1.4.4.m4.4.4.2.2.2.cmml" xref="Thmproposition1.p1.4.4.m4.4.4.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmproposition1.p1.4.4.m4.4.4.2.2.2.1.cmml" xref="Thmproposition1.p1.4.4.m4.4.4.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="Thmproposition1.p1.4.4.m4.4.4.2.2.2.2.cmml" xref="Thmproposition1.p1.4.4.m4.4.4.2.2.2.2">𝑣</ci><ci id="Thmproposition1.p1.4.4.m4.4.4.2.2.2.3.cmml" xref="Thmproposition1.p1.4.4.m4.4.4.2.2.2.3">𝑛</ci></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmproposition1.p1.4.4.m4.4c">F_{\alpha,\lambda}(u_{n},v_{n})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmproposition1.p1.4.4.m4.4d">italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_α , italic_λ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT , italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> converges to the unique minimum of <math alttext="F_{\alpha,\lambda}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmproposition1.p1.5.5.m5.2"><semantics id="Thmproposition1.p1.5.5.m5.2a"><msub id="Thmproposition1.p1.5.5.m5.2.3" xref="Thmproposition1.p1.5.5.m5.2.3.cmml"><mi id="Thmproposition1.p1.5.5.m5.2.3.2" xref="Thmproposition1.p1.5.5.m5.2.3.2.cmml">F</mi><mrow id="Thmproposition1.p1.5.5.m5.2.2.2.4" xref="Thmproposition1.p1.5.5.m5.2.2.2.3.cmml"><mi id="Thmproposition1.p1.5.5.m5.1.1.1.1" xref="Thmproposition1.p1.5.5.m5.1.1.1.1.cmml">α</mi><mo id="Thmproposition1.p1.5.5.m5.2.2.2.4.1" xref="Thmproposition1.p1.5.5.m5.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="Thmproposition1.p1.5.5.m5.2.2.2.2" xref="Thmproposition1.p1.5.5.m5.2.2.2.2.cmml">λ</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmproposition1.p1.5.5.m5.2b"><apply id="Thmproposition1.p1.5.5.m5.2.3.cmml" xref="Thmproposition1.p1.5.5.m5.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmproposition1.p1.5.5.m5.2.3.1.cmml" xref="Thmproposition1.p1.5.5.m5.2.3">subscript</csymbol><ci id="Thmproposition1.p1.5.5.m5.2.3.2.cmml" xref="Thmproposition1.p1.5.5.m5.2.3.2">𝐹</ci><list id="Thmproposition1.p1.5.5.m5.2.2.2.3.cmml" xref="Thmproposition1.p1.5.5.m5.2.2.2.4"><ci id="Thmproposition1.p1.5.5.m5.1.1.1.1.cmml" xref="Thmproposition1.p1.5.5.m5.1.1.1.1">𝛼</ci><ci id="Thmproposition1.p1.5.5.m5.2.2.2.2.cmml" xref="Thmproposition1.p1.5.5.m5.2.2.2.2">𝜆</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmproposition1.p1.5.5.m5.2c">F_{\alpha,\lambda}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmproposition1.p1.5.5.m5.2d">italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_α , italic_λ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> on <math alttext="V\times V" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmproposition1.p1.6.6.m6.1"><semantics id="Thmproposition1.p1.6.6.m6.1a"><mrow id="Thmproposition1.p1.6.6.m6.1.1" xref="Thmproposition1.p1.6.6.m6.1.1.cmml"><mi id="Thmproposition1.p1.6.6.m6.1.1.2" xref="Thmproposition1.p1.6.6.m6.1.1.2.cmml">V</mi><mo id="Thmproposition1.p1.6.6.m6.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="Thmproposition1.p1.6.6.m6.1.1.1.cmml">×</mo><mi id="Thmproposition1.p1.6.6.m6.1.1.3" xref="Thmproposition1.p1.6.6.m6.1.1.3.cmml">V</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmproposition1.p1.6.6.m6.1b"><apply id="Thmproposition1.p1.6.6.m6.1.1.cmml" xref="Thmproposition1.p1.6.6.m6.1.1"><times id="Thmproposition1.p1.6.6.m6.1.1.1.cmml" xref="Thmproposition1.p1.6.6.m6.1.1.1"></times><ci id="Thmproposition1.p1.6.6.m6.1.1.2.cmml" xref="Thmproposition1.p1.6.6.m6.1.1.2">𝑉</ci><ci id="Thmproposition1.p1.6.6.m6.1.1.3.cmml" xref="Thmproposition1.p1.6.6.m6.1.1.3">𝑉</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmproposition1.p1.6.6.m6.1c">V\times V</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmproposition1.p1.6.6.m6.1d">italic_V × italic_V</annotation></semantics></math>.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_proof" id="Thmproofx3"> <h6 class="ltx_title ltx_font_italic ltx_title_theorem"><span class="ltx_tag ltx_tag_theorem">Proof</span></h6> <div class="ltx_para" id="Thmproofx3.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmproofx3.p1.25">As we solve problems (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S4.E63" title="In 1st item ‣ 4.2 Numerical Method for problem (62) ‣ 4 Numerical Algorithm ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">63</span></a>) and (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S4.E64" title="In 2nd item ‣ 4.2 Numerical Method for problem (62) ‣ 4 Numerical Algorithm ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">64</span></a>) alternatively, we have</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E82"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="F_{\alpha,\lambda}(u_{n},v_{n})\geq F_{\alpha,\lambda}(u_{n},v_{n+1})\geq F_{% \alpha,\lambda}(u_{n+1},v_{n+1})." class="ltx_Math" display="block" id="S4.E82.m1.7"><semantics id="S4.E82.m1.7a"><mrow id="S4.E82.m1.7.7.1" xref="S4.E82.m1.7.7.1.1.cmml"><mrow id="S4.E82.m1.7.7.1.1" xref="S4.E82.m1.7.7.1.1.cmml"><mrow id="S4.E82.m1.7.7.1.1.2" xref="S4.E82.m1.7.7.1.1.2.cmml"><msub id="S4.E82.m1.7.7.1.1.2.4" xref="S4.E82.m1.7.7.1.1.2.4.cmml"><mi id="S4.E82.m1.7.7.1.1.2.4.2" xref="S4.E82.m1.7.7.1.1.2.4.2.cmml">F</mi><mrow id="S4.E82.m1.2.2.2.4" xref="S4.E82.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.E82.m1.1.1.1.1" xref="S4.E82.m1.1.1.1.1.cmml">α</mi><mo id="S4.E82.m1.2.2.2.4.1" xref="S4.E82.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.E82.m1.2.2.2.2" xref="S4.E82.m1.2.2.2.2.cmml">λ</mi></mrow></msub><mo id="S4.E82.m1.7.7.1.1.2.3" xref="S4.E82.m1.7.7.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E82.m1.7.7.1.1.2.2.2" xref="S4.E82.m1.7.7.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="S4.E82.m1.7.7.1.1.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S4.E82.m1.7.7.1.1.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="S4.E82.m1.7.7.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E82.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E82.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E82.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.cmml">u</mi><mi id="S4.E82.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E82.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.cmml">n</mi></msub><mo id="S4.E82.m1.7.7.1.1.2.2.2.4" xref="S4.E82.m1.7.7.1.1.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S4.E82.m1.7.7.1.1.2.2.2.2" xref="S4.E82.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.E82.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2" xref="S4.E82.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2.cmml">v</mi><mi id="S4.E82.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.3" xref="S4.E82.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.3.cmml">n</mi></msub><mo id="S4.E82.m1.7.7.1.1.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S4.E82.m1.7.7.1.1.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E82.m1.7.7.1.1.8" xref="S4.E82.m1.7.7.1.1.8.cmml">≥</mo><mrow id="S4.E82.m1.7.7.1.1.4" xref="S4.E82.m1.7.7.1.1.4.cmml"><msub id="S4.E82.m1.7.7.1.1.4.4" xref="S4.E82.m1.7.7.1.1.4.4.cmml"><mi id="S4.E82.m1.7.7.1.1.4.4.2" xref="S4.E82.m1.7.7.1.1.4.4.2.cmml">F</mi><mrow id="S4.E82.m1.4.4.2.4" xref="S4.E82.m1.4.4.2.3.cmml"><mi id="S4.E82.m1.3.3.1.1" xref="S4.E82.m1.3.3.1.1.cmml">α</mi><mo id="S4.E82.m1.4.4.2.4.1" xref="S4.E82.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.E82.m1.4.4.2.2" xref="S4.E82.m1.4.4.2.2.cmml">λ</mi></mrow></msub><mo id="S4.E82.m1.7.7.1.1.4.3" xref="S4.E82.m1.7.7.1.1.4.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E82.m1.7.7.1.1.4.2.2" xref="S4.E82.m1.7.7.1.1.4.2.3.cmml"><mo id="S4.E82.m1.7.7.1.1.4.2.2.3" stretchy="false" xref="S4.E82.m1.7.7.1.1.4.2.3.cmml">(</mo><msub id="S4.E82.m1.7.7.1.1.3.1.1.1" xref="S4.E82.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E82.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.2" xref="S4.E82.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.2.cmml">u</mi><mi id="S4.E82.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.3" xref="S4.E82.m1.7.7.1.1.3.1.1.1.3.cmml">n</mi></msub><mo id="S4.E82.m1.7.7.1.1.4.2.2.4" xref="S4.E82.m1.7.7.1.1.4.2.3.cmml">,</mo><msub id="S4.E82.m1.7.7.1.1.4.2.2.2" xref="S4.E82.m1.7.7.1.1.4.2.2.2.cmml"><mi id="S4.E82.m1.7.7.1.1.4.2.2.2.2" xref="S4.E82.m1.7.7.1.1.4.2.2.2.2.cmml">v</mi><mrow id="S4.E82.m1.7.7.1.1.4.2.2.2.3" xref="S4.E82.m1.7.7.1.1.4.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.E82.m1.7.7.1.1.4.2.2.2.3.2" xref="S4.E82.m1.7.7.1.1.4.2.2.2.3.2.cmml">n</mi><mo id="S4.E82.m1.7.7.1.1.4.2.2.2.3.1" xref="S4.E82.m1.7.7.1.1.4.2.2.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="S4.E82.m1.7.7.1.1.4.2.2.2.3.3" xref="S4.E82.m1.7.7.1.1.4.2.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S4.E82.m1.7.7.1.1.4.2.2.5" stretchy="false" xref="S4.E82.m1.7.7.1.1.4.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E82.m1.7.7.1.1.9" xref="S4.E82.m1.7.7.1.1.9.cmml">≥</mo><mrow id="S4.E82.m1.7.7.1.1.6" xref="S4.E82.m1.7.7.1.1.6.cmml"><msub id="S4.E82.m1.7.7.1.1.6.4" xref="S4.E82.m1.7.7.1.1.6.4.cmml"><mi id="S4.E82.m1.7.7.1.1.6.4.2" xref="S4.E82.m1.7.7.1.1.6.4.2.cmml">F</mi><mrow id="S4.E82.m1.6.6.2.4" xref="S4.E82.m1.6.6.2.3.cmml"><mi id="S4.E82.m1.5.5.1.1" xref="S4.E82.m1.5.5.1.1.cmml">α</mi><mo id="S4.E82.m1.6.6.2.4.1" xref="S4.E82.m1.6.6.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.E82.m1.6.6.2.2" xref="S4.E82.m1.6.6.2.2.cmml">λ</mi></mrow></msub><mo id="S4.E82.m1.7.7.1.1.6.3" xref="S4.E82.m1.7.7.1.1.6.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E82.m1.7.7.1.1.6.2.2" xref="S4.E82.m1.7.7.1.1.6.2.3.cmml"><mo id="S4.E82.m1.7.7.1.1.6.2.2.3" stretchy="false" xref="S4.E82.m1.7.7.1.1.6.2.3.cmml">(</mo><msub id="S4.E82.m1.7.7.1.1.5.1.1.1" xref="S4.E82.m1.7.7.1.1.5.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E82.m1.7.7.1.1.5.1.1.1.2" xref="S4.E82.m1.7.7.1.1.5.1.1.1.2.cmml">u</mi><mrow id="S4.E82.m1.7.7.1.1.5.1.1.1.3" xref="S4.E82.m1.7.7.1.1.5.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E82.m1.7.7.1.1.5.1.1.1.3.2" xref="S4.E82.m1.7.7.1.1.5.1.1.1.3.2.cmml">n</mi><mo id="S4.E82.m1.7.7.1.1.5.1.1.1.3.1" xref="S4.E82.m1.7.7.1.1.5.1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mn id="S4.E82.m1.7.7.1.1.5.1.1.1.3.3" xref="S4.E82.m1.7.7.1.1.5.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S4.E82.m1.7.7.1.1.6.2.2.4" xref="S4.E82.m1.7.7.1.1.6.2.3.cmml">,</mo><msub id="S4.E82.m1.7.7.1.1.6.2.2.2" xref="S4.E82.m1.7.7.1.1.6.2.2.2.cmml"><mi id="S4.E82.m1.7.7.1.1.6.2.2.2.2" xref="S4.E82.m1.7.7.1.1.6.2.2.2.2.cmml">v</mi><mrow id="S4.E82.m1.7.7.1.1.6.2.2.2.3" xref="S4.E82.m1.7.7.1.1.6.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.E82.m1.7.7.1.1.6.2.2.2.3.2" xref="S4.E82.m1.7.7.1.1.6.2.2.2.3.2.cmml">n</mi><mo id="S4.E82.m1.7.7.1.1.6.2.2.2.3.1" xref="S4.E82.m1.7.7.1.1.6.2.2.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="S4.E82.m1.7.7.1.1.6.2.2.2.3.3" xref="S4.E82.m1.7.7.1.1.6.2.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S4.E82.m1.7.7.1.1.6.2.2.5" stretchy="false" xref="S4.E82.m1.7.7.1.1.6.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E82.m1.7.7.1.2" lspace="0em" xref="S4.E82.m1.7.7.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E82.m1.7b"><apply id="S4.E82.m1.7.7.1.1.cmml" xref="S4.E82.m1.7.7.1"><and id="S4.E82.m1.7.7.1.1a.cmml" xref="S4.E82.m1.7.7.1"></and><apply id="S4.E82.m1.7.7.1.1b.cmml" xref="S4.E82.m1.7.7.1"><geq id="S4.E82.m1.7.7.1.1.8.cmml" xref="S4.E82.m1.7.7.1.1.8"></geq><apply id="S4.E82.m1.7.7.1.1.2.cmml" xref="S4.E82.m1.7.7.1.1.2"><times id="S4.E82.m1.7.7.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E82.m1.7.7.1.1.2.3"></times><apply id="S4.E82.m1.7.7.1.1.2.4.cmml" xref="S4.E82.m1.7.7.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E82.m1.7.7.1.1.2.4.1.cmml" xref="S4.E82.m1.7.7.1.1.2.4">subscript</csymbol><ci id="S4.E82.m1.7.7.1.1.2.4.2.cmml" xref="S4.E82.m1.7.7.1.1.2.4.2">𝐹</ci><list id="S4.E82.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E82.m1.2.2.2.4"><ci id="S4.E82.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E82.m1.1.1.1.1">𝛼</ci><ci id="S4.E82.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E82.m1.2.2.2.2">𝜆</ci></list></apply><interval closure="open" id="S4.E82.m1.7.7.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.E82.m1.7.7.1.1.2.2.2"><apply id="S4.E82.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E82.m1.7.7.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E82.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E82.m1.7.7.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.E82.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E82.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2">𝑢</ci><ci id="S4.E82.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E82.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3">𝑛</ci></apply><apply id="S4.E82.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E82.m1.7.7.1.1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E82.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E82.m1.7.7.1.1.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E82.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E82.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2">𝑣</ci><ci id="S4.E82.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E82.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.3">𝑛</ci></apply></interval></apply><apply id="S4.E82.m1.7.7.1.1.4.cmml" xref="S4.E82.m1.7.7.1.1.4"><times id="S4.E82.m1.7.7.1.1.4.3.cmml" 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xref="S4.E82.m1.7.7.1.1.4.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E82.m1.7.7.1.1.4.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E82.m1.7.7.1.1.4.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E82.m1.7.7.1.1.4.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E82.m1.7.7.1.1.4.2.2.2.2">𝑣</ci><apply id="S4.E82.m1.7.7.1.1.4.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E82.m1.7.7.1.1.4.2.2.2.3"><plus id="S4.E82.m1.7.7.1.1.4.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.E82.m1.7.7.1.1.4.2.2.2.3.1"></plus><ci id="S4.E82.m1.7.7.1.1.4.2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.E82.m1.7.7.1.1.4.2.2.2.3.2">𝑛</ci><cn id="S4.E82.m1.7.7.1.1.4.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E82.m1.7.7.1.1.4.2.2.2.3.3">1</cn></apply></apply></interval></apply></apply><apply id="S4.E82.m1.7.7.1.1c.cmml" xref="S4.E82.m1.7.7.1"><geq id="S4.E82.m1.7.7.1.1.9.cmml" xref="S4.E82.m1.7.7.1.1.9"></geq><share href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S4.E82.m1.7.7.1.1.4.cmml" id="S4.E82.m1.7.7.1.1d.cmml" xref="S4.E82.m1.7.7.1"></share><apply id="S4.E82.m1.7.7.1.1.6.cmml" xref="S4.E82.m1.7.7.1.1.6"><times id="S4.E82.m1.7.7.1.1.6.3.cmml" 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id="S4.E82.m1.7c">F_{\alpha,\lambda}(u_{n},v_{n})\geq F_{\alpha,\lambda}(u_{n},v_{n+1})\geq F_{% \alpha,\lambda}(u_{n+1},v_{n+1}).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E82.m1.7d">italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_α , italic_λ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT , italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT ) ≥ italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_α , italic_λ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT , italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_n + 1 end_POSTSUBSCRIPT ) ≥ italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_α , italic_λ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_n + 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_n + 1 end_POSTSUBSCRIPT ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(82)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Thmproofx3.p1.8">The sequence <math alttext="F_{\alpha,\lambda}(u_{n},v_{n})" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmproofx3.p1.1.m1.4"><semantics id="Thmproofx3.p1.1.m1.4a"><mrow id="Thmproofx3.p1.1.m1.4.4" xref="Thmproofx3.p1.1.m1.4.4.cmml"><msub id="Thmproofx3.p1.1.m1.4.4.4" xref="Thmproofx3.p1.1.m1.4.4.4.cmml"><mi id="Thmproofx3.p1.1.m1.4.4.4.2" xref="Thmproofx3.p1.1.m1.4.4.4.2.cmml">F</mi><mrow id="Thmproofx3.p1.1.m1.2.2.2.4" xref="Thmproofx3.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="Thmproofx3.p1.1.m1.1.1.1.1" xref="Thmproofx3.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml">α</mi><mo id="Thmproofx3.p1.1.m1.2.2.2.4.1" xref="Thmproofx3.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="Thmproofx3.p1.1.m1.2.2.2.2" xref="Thmproofx3.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml">λ</mi></mrow></msub><mo id="Thmproofx3.p1.1.m1.4.4.3" xref="Thmproofx3.p1.1.m1.4.4.3.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmproofx3.p1.1.m1.4.4.2.2" xref="Thmproofx3.p1.1.m1.4.4.2.3.cmml"><mo 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id="Thmproofx3.p1.1.m1.4.4.3.cmml" xref="Thmproofx3.p1.1.m1.4.4.3"></times><apply id="Thmproofx3.p1.1.m1.4.4.4.cmml" xref="Thmproofx3.p1.1.m1.4.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmproofx3.p1.1.m1.4.4.4.1.cmml" xref="Thmproofx3.p1.1.m1.4.4.4">subscript</csymbol><ci id="Thmproofx3.p1.1.m1.4.4.4.2.cmml" xref="Thmproofx3.p1.1.m1.4.4.4.2">𝐹</ci><list id="Thmproofx3.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="Thmproofx3.p1.1.m1.2.2.2.4"><ci id="Thmproofx3.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmproofx3.p1.1.m1.1.1.1.1">𝛼</ci><ci id="Thmproofx3.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="Thmproofx3.p1.1.m1.2.2.2.2">𝜆</ci></list></apply><interval closure="open" id="Thmproofx3.p1.1.m1.4.4.2.3.cmml" xref="Thmproofx3.p1.1.m1.4.4.2.2"><apply id="Thmproofx3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="Thmproofx3.p1.1.m1.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmproofx3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="Thmproofx3.p1.1.m1.3.3.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmproofx3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="Thmproofx3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2">𝑢</ci><ci id="Thmproofx3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="Thmproofx3.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3">𝑛</ci></apply><apply id="Thmproofx3.p1.1.m1.4.4.2.2.2.cmml" xref="Thmproofx3.p1.1.m1.4.4.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmproofx3.p1.1.m1.4.4.2.2.2.1.cmml" xref="Thmproofx3.p1.1.m1.4.4.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="Thmproofx3.p1.1.m1.4.4.2.2.2.2.cmml" xref="Thmproofx3.p1.1.m1.4.4.2.2.2.2">𝑣</ci><ci id="Thmproofx3.p1.1.m1.4.4.2.2.2.3.cmml" xref="Thmproofx3.p1.1.m1.4.4.2.2.2.3">𝑛</ci></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmproofx3.p1.1.m1.4c">F_{\alpha,\lambda}(u_{n},v_{n})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmproofx3.p1.1.m1.4d">italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_α , italic_λ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT , italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> is non-increasing and bounded from below by 0, it thus converges to a constant <math alttext="m" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmproofx3.p1.2.m2.1"><semantics id="Thmproofx3.p1.2.m2.1a"><mi id="Thmproofx3.p1.2.m2.1.1" xref="Thmproofx3.p1.2.m2.1.1.cmml">m</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmproofx3.p1.2.m2.1b"><ci id="Thmproofx3.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmproofx3.p1.2.m2.1.1">𝑚</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmproofx3.p1.2.m2.1c">m</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmproofx3.p1.2.m2.1d">italic_m</annotation></semantics></math> in <math alttext="\mathbb{R}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmproofx3.p1.3.m3.1"><semantics id="Thmproofx3.p1.3.m3.1a"><mi id="Thmproofx3.p1.3.m3.1.1" xref="Thmproofx3.p1.3.m3.1.1.cmml">ℝ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmproofx3.p1.3.m3.1b"><ci id="Thmproofx3.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmproofx3.p1.3.m3.1.1">ℝ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmproofx3.p1.3.m3.1c">\mathbb{R}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmproofx3.p1.3.m3.1d">blackboard_R</annotation></semantics></math>. As <math alttext="F_{\alpha,\lambda}(u,v)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmproofx3.p1.4.m4.4"><semantics id="Thmproofx3.p1.4.m4.4a"><mrow id="Thmproofx3.p1.4.m4.4.5" xref="Thmproofx3.p1.4.m4.4.5.cmml"><msub id="Thmproofx3.p1.4.m4.4.5.2" xref="Thmproofx3.p1.4.m4.4.5.2.cmml"><mi id="Thmproofx3.p1.4.m4.4.5.2.2" xref="Thmproofx3.p1.4.m4.4.5.2.2.cmml">F</mi><mrow id="Thmproofx3.p1.4.m4.2.2.2.4" xref="Thmproofx3.p1.4.m4.2.2.2.3.cmml"><mi id="Thmproofx3.p1.4.m4.1.1.1.1" xref="Thmproofx3.p1.4.m4.1.1.1.1.cmml">α</mi><mo id="Thmproofx3.p1.4.m4.2.2.2.4.1" xref="Thmproofx3.p1.4.m4.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="Thmproofx3.p1.4.m4.2.2.2.2" xref="Thmproofx3.p1.4.m4.2.2.2.2.cmml">λ</mi></mrow></msub><mo id="Thmproofx3.p1.4.m4.4.5.1" xref="Thmproofx3.p1.4.m4.4.5.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmproofx3.p1.4.m4.4.5.3.2" xref="Thmproofx3.p1.4.m4.4.5.3.1.cmml"><mo id="Thmproofx3.p1.4.m4.4.5.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmproofx3.p1.4.m4.4.5.3.1.cmml">(</mo><mi id="Thmproofx3.p1.4.m4.3.3" xref="Thmproofx3.p1.4.m4.3.3.cmml">u</mi><mo id="Thmproofx3.p1.4.m4.4.5.3.2.2" xref="Thmproofx3.p1.4.m4.4.5.3.1.cmml">,</mo><mi id="Thmproofx3.p1.4.m4.4.4" xref="Thmproofx3.p1.4.m4.4.4.cmml">v</mi><mo id="Thmproofx3.p1.4.m4.4.5.3.2.3" stretchy="false" xref="Thmproofx3.p1.4.m4.4.5.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmproofx3.p1.4.m4.4b"><apply id="Thmproofx3.p1.4.m4.4.5.cmml" xref="Thmproofx3.p1.4.m4.4.5"><times id="Thmproofx3.p1.4.m4.4.5.1.cmml" xref="Thmproofx3.p1.4.m4.4.5.1"></times><apply id="Thmproofx3.p1.4.m4.4.5.2.cmml" xref="Thmproofx3.p1.4.m4.4.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmproofx3.p1.4.m4.4.5.2.1.cmml" xref="Thmproofx3.p1.4.m4.4.5.2">subscript</csymbol><ci id="Thmproofx3.p1.4.m4.4.5.2.2.cmml" xref="Thmproofx3.p1.4.m4.4.5.2.2">𝐹</ci><list id="Thmproofx3.p1.4.m4.2.2.2.3.cmml" xref="Thmproofx3.p1.4.m4.2.2.2.4"><ci id="Thmproofx3.p1.4.m4.1.1.1.1.cmml" xref="Thmproofx3.p1.4.m4.1.1.1.1">𝛼</ci><ci id="Thmproofx3.p1.4.m4.2.2.2.2.cmml" xref="Thmproofx3.p1.4.m4.2.2.2.2">𝜆</ci></list></apply><interval closure="open" id="Thmproofx3.p1.4.m4.4.5.3.1.cmml" xref="Thmproofx3.p1.4.m4.4.5.3.2"><ci id="Thmproofx3.p1.4.m4.3.3.cmml" xref="Thmproofx3.p1.4.m4.3.3">𝑢</ci><ci id="Thmproofx3.p1.4.m4.4.4.cmml" xref="Thmproofx3.p1.4.m4.4.4">𝑣</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmproofx3.p1.4.m4.4c">F_{\alpha,\lambda}(u,v)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmproofx3.p1.4.m4.4d">italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_α , italic_λ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_u , italic_v )</annotation></semantics></math> is coercive, we can extract a subsequence <math alttext="(u_{n_{k}},v_{n_{k}})" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmproofx3.p1.5.m5.2"><semantics id="Thmproofx3.p1.5.m5.2a"><mrow id="Thmproofx3.p1.5.m5.2.2.2" xref="Thmproofx3.p1.5.m5.2.2.3.cmml"><mo id="Thmproofx3.p1.5.m5.2.2.2.3" stretchy="false" xref="Thmproofx3.p1.5.m5.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="Thmproofx3.p1.5.m5.1.1.1.1" xref="Thmproofx3.p1.5.m5.1.1.1.1.cmml"><mi id="Thmproofx3.p1.5.m5.1.1.1.1.2" xref="Thmproofx3.p1.5.m5.1.1.1.1.2.cmml">u</mi><msub id="Thmproofx3.p1.5.m5.1.1.1.1.3" xref="Thmproofx3.p1.5.m5.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="Thmproofx3.p1.5.m5.1.1.1.1.3.2" xref="Thmproofx3.p1.5.m5.1.1.1.1.3.2.cmml">n</mi><mi id="Thmproofx3.p1.5.m5.1.1.1.1.3.3" xref="Thmproofx3.p1.5.m5.1.1.1.1.3.3.cmml">k</mi></msub></msub><mo id="Thmproofx3.p1.5.m5.2.2.2.4" xref="Thmproofx3.p1.5.m5.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="Thmproofx3.p1.5.m5.2.2.2.2" xref="Thmproofx3.p1.5.m5.2.2.2.2.cmml"><mi id="Thmproofx3.p1.5.m5.2.2.2.2.2" xref="Thmproofx3.p1.5.m5.2.2.2.2.2.cmml">v</mi><msub id="Thmproofx3.p1.5.m5.2.2.2.2.3" xref="Thmproofx3.p1.5.m5.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="Thmproofx3.p1.5.m5.2.2.2.2.3.2" xref="Thmproofx3.p1.5.m5.2.2.2.2.3.2.cmml">n</mi><mi id="Thmproofx3.p1.5.m5.2.2.2.2.3.3" xref="Thmproofx3.p1.5.m5.2.2.2.2.3.3.cmml">k</mi></msub></msub><mo id="Thmproofx3.p1.5.m5.2.2.2.5" stretchy="false" xref="Thmproofx3.p1.5.m5.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmproofx3.p1.5.m5.2b"><interval closure="open" id="Thmproofx3.p1.5.m5.2.2.3.cmml" xref="Thmproofx3.p1.5.m5.2.2.2"><apply id="Thmproofx3.p1.5.m5.1.1.1.1.cmml" xref="Thmproofx3.p1.5.m5.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmproofx3.p1.5.m5.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmproofx3.p1.5.m5.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmproofx3.p1.5.m5.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmproofx3.p1.5.m5.1.1.1.1.2">𝑢</ci><apply id="Thmproofx3.p1.5.m5.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmproofx3.p1.5.m5.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmproofx3.p1.5.m5.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmproofx3.p1.5.m5.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="Thmproofx3.p1.5.m5.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmproofx3.p1.5.m5.1.1.1.1.3.2">𝑛</ci><ci id="Thmproofx3.p1.5.m5.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="Thmproofx3.p1.5.m5.1.1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="Thmproofx3.p1.5.m5.2.2.2.2.cmml" xref="Thmproofx3.p1.5.m5.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmproofx3.p1.5.m5.2.2.2.2.1.cmml" xref="Thmproofx3.p1.5.m5.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="Thmproofx3.p1.5.m5.2.2.2.2.2.cmml" xref="Thmproofx3.p1.5.m5.2.2.2.2.2">𝑣</ci><apply id="Thmproofx3.p1.5.m5.2.2.2.2.3.cmml" xref="Thmproofx3.p1.5.m5.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmproofx3.p1.5.m5.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="Thmproofx3.p1.5.m5.2.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="Thmproofx3.p1.5.m5.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="Thmproofx3.p1.5.m5.2.2.2.2.3.2">𝑛</ci><ci id="Thmproofx3.p1.5.m5.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="Thmproofx3.p1.5.m5.2.2.2.2.3.3">𝑘</ci></apply></apply></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmproofx3.p1.5.m5.2c">(u_{n_{k}},v_{n_{k}})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmproofx3.p1.5.m5.2d">( italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_n start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT , italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_n start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> which converges to <math alttext="(\hat{u},\hat{v})" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmproofx3.p1.6.m6.2"><semantics id="Thmproofx3.p1.6.m6.2a"><mrow id="Thmproofx3.p1.6.m6.2.3.2" xref="Thmproofx3.p1.6.m6.2.3.1.cmml"><mo id="Thmproofx3.p1.6.m6.2.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmproofx3.p1.6.m6.2.3.1.cmml">(</mo><mover accent="true" id="Thmproofx3.p1.6.m6.1.1" xref="Thmproofx3.p1.6.m6.1.1.cmml"><mi id="Thmproofx3.p1.6.m6.1.1.2" xref="Thmproofx3.p1.6.m6.1.1.2.cmml">u</mi><mo id="Thmproofx3.p1.6.m6.1.1.1" xref="Thmproofx3.p1.6.m6.1.1.1.cmml">^</mo></mover><mo id="Thmproofx3.p1.6.m6.2.3.2.2" xref="Thmproofx3.p1.6.m6.2.3.1.cmml">,</mo><mover accent="true" id="Thmproofx3.p1.6.m6.2.2" xref="Thmproofx3.p1.6.m6.2.2.cmml"><mi id="Thmproofx3.p1.6.m6.2.2.2" xref="Thmproofx3.p1.6.m6.2.2.2.cmml">v</mi><mo id="Thmproofx3.p1.6.m6.2.2.1" xref="Thmproofx3.p1.6.m6.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="Thmproofx3.p1.6.m6.2.3.2.3" stretchy="false" xref="Thmproofx3.p1.6.m6.2.3.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmproofx3.p1.6.m6.2b"><interval closure="open" id="Thmproofx3.p1.6.m6.2.3.1.cmml" xref="Thmproofx3.p1.6.m6.2.3.2"><apply id="Thmproofx3.p1.6.m6.1.1.cmml" xref="Thmproofx3.p1.6.m6.1.1"><ci id="Thmproofx3.p1.6.m6.1.1.1.cmml" xref="Thmproofx3.p1.6.m6.1.1.1">^</ci><ci id="Thmproofx3.p1.6.m6.1.1.2.cmml" xref="Thmproofx3.p1.6.m6.1.1.2">𝑢</ci></apply><apply id="Thmproofx3.p1.6.m6.2.2.cmml" xref="Thmproofx3.p1.6.m6.2.2"><ci id="Thmproofx3.p1.6.m6.2.2.1.cmml" xref="Thmproofx3.p1.6.m6.2.2.1">^</ci><ci id="Thmproofx3.p1.6.m6.2.2.2.cmml" xref="Thmproofx3.p1.6.m6.2.2.2">𝑣</ci></apply></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmproofx3.p1.6.m6.2c">(\hat{u},\hat{v})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmproofx3.p1.6.m6.2d">( over^ start_ARG italic_u end_ARG , over^ start_ARG italic_v end_ARG )</annotation></semantics></math> as <math alttext="n_{k}\longrightarrow\infty" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmproofx3.p1.7.m7.1"><semantics id="Thmproofx3.p1.7.m7.1a"><mrow id="Thmproofx3.p1.7.m7.1.1" xref="Thmproofx3.p1.7.m7.1.1.cmml"><msub id="Thmproofx3.p1.7.m7.1.1.2" xref="Thmproofx3.p1.7.m7.1.1.2.cmml"><mi id="Thmproofx3.p1.7.m7.1.1.2.2" xref="Thmproofx3.p1.7.m7.1.1.2.2.cmml">n</mi><mi id="Thmproofx3.p1.7.m7.1.1.2.3" xref="Thmproofx3.p1.7.m7.1.1.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="Thmproofx3.p1.7.m7.1.1.1" stretchy="false" xref="Thmproofx3.p1.7.m7.1.1.1.cmml">⟶</mo><mi id="Thmproofx3.p1.7.m7.1.1.3" mathvariant="normal" xref="Thmproofx3.p1.7.m7.1.1.3.cmml">∞</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmproofx3.p1.7.m7.1b"><apply id="Thmproofx3.p1.7.m7.1.1.cmml" xref="Thmproofx3.p1.7.m7.1.1"><ci id="Thmproofx3.p1.7.m7.1.1.1.cmml" xref="Thmproofx3.p1.7.m7.1.1.1">⟶</ci><apply id="Thmproofx3.p1.7.m7.1.1.2.cmml" xref="Thmproofx3.p1.7.m7.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmproofx3.p1.7.m7.1.1.2.1.cmml" xref="Thmproofx3.p1.7.m7.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="Thmproofx3.p1.7.m7.1.1.2.2.cmml" xref="Thmproofx3.p1.7.m7.1.1.2.2">𝑛</ci><ci id="Thmproofx3.p1.7.m7.1.1.2.3.cmml" xref="Thmproofx3.p1.7.m7.1.1.2.3">𝑘</ci></apply><infinity id="Thmproofx3.p1.7.m7.1.1.3.cmml" xref="Thmproofx3.p1.7.m7.1.1.3"></infinity></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmproofx3.p1.7.m7.1c">n_{k}\longrightarrow\infty</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmproofx3.p1.7.m7.1d">italic_n start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ⟶ ∞</annotation></semantics></math>. Moreover, we have for all <math alttext="n_{k}\in\mathbb{N}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmproofx3.p1.8.m8.1"><semantics id="Thmproofx3.p1.8.m8.1a"><mrow id="Thmproofx3.p1.8.m8.1.1" xref="Thmproofx3.p1.8.m8.1.1.cmml"><msub id="Thmproofx3.p1.8.m8.1.1.2" xref="Thmproofx3.p1.8.m8.1.1.2.cmml"><mi id="Thmproofx3.p1.8.m8.1.1.2.2" xref="Thmproofx3.p1.8.m8.1.1.2.2.cmml">n</mi><mi id="Thmproofx3.p1.8.m8.1.1.2.3" xref="Thmproofx3.p1.8.m8.1.1.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="Thmproofx3.p1.8.m8.1.1.1" xref="Thmproofx3.p1.8.m8.1.1.1.cmml">∈</mo><mi id="Thmproofx3.p1.8.m8.1.1.3" xref="Thmproofx3.p1.8.m8.1.1.3.cmml">ℕ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmproofx3.p1.8.m8.1b"><apply id="Thmproofx3.p1.8.m8.1.1.cmml" xref="Thmproofx3.p1.8.m8.1.1"><in id="Thmproofx3.p1.8.m8.1.1.1.cmml" xref="Thmproofx3.p1.8.m8.1.1.1"></in><apply id="Thmproofx3.p1.8.m8.1.1.2.cmml" xref="Thmproofx3.p1.8.m8.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmproofx3.p1.8.m8.1.1.2.1.cmml" xref="Thmproofx3.p1.8.m8.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="Thmproofx3.p1.8.m8.1.1.2.2.cmml" xref="Thmproofx3.p1.8.m8.1.1.2.2">𝑛</ci><ci id="Thmproofx3.p1.8.m8.1.1.2.3.cmml" xref="Thmproofx3.p1.8.m8.1.1.2.3">𝑘</ci></apply><ci id="Thmproofx3.p1.8.m8.1.1.3.cmml" xref="Thmproofx3.p1.8.m8.1.1.3">ℕ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmproofx3.p1.8.m8.1c">n_{k}\in\mathbb{N}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmproofx3.p1.8.m8.1d">italic_n start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ∈ blackboard_N</annotation></semantics></math>,</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_eqnarray ltx_eqn_table" id="Sx1.EGx7"> <tbody id="S4.E83"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle F_{\alpha,\lambda}(u_{n_{k}},v_{n_{k}+1})\leq F_{\alpha,\lambda}% (u_{n_{k}},v)\quad\forall v\in V," class="ltx_Math" display="inline" id="S4.E83.m1.6"><semantics id="S4.E83.m1.6a"><mrow id="S4.E83.m1.6.6.1"><mrow id="S4.E83.m1.6.6.1.1.2" xref="S4.E83.m1.6.6.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1" xref="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.2" xref="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.2.4" xref="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.2.4.cmml"><mi id="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.2.4.2" xref="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.2.4.2.cmml">F</mi><mrow id="S4.E83.m1.2.2.2.4" xref="S4.E83.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.E83.m1.1.1.1.1" xref="S4.E83.m1.1.1.1.1.cmml">α</mi><mo id="S4.E83.m1.2.2.2.4.1" xref="S4.E83.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.E83.m1.2.2.2.2" xref="S4.E83.m1.2.2.2.2.cmml">λ</mi></mrow></msub><mo id="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">u</mi><msub id="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">n</mi><mi id="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">k</mi></msub></msub><mo id="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.4" xref="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">v</mi><mrow id="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml"><msub id="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2" xref="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml"><mi id="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.2" xref="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.2.cmml">n</mi><mi id="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.3" xref="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.2.3.1" xref="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.2.3.3" xref="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.4" xref="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.4.cmml">≤</mo><mrow id="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.3" xref="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.2.cmml">F</mi><mrow id="S4.E83.m1.4.4.2.4" xref="S4.E83.m1.4.4.2.3.cmml"><mi id="S4.E83.m1.3.3.1.1" xref="S4.E83.m1.3.3.1.1.cmml">α</mi><mo id="S4.E83.m1.4.4.2.4.1" xref="S4.E83.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.E83.m1.4.4.2.2" xref="S4.E83.m1.4.4.2.2.cmml">λ</mi></mrow></msub><mo id="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.1" xref="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.2.cmml"><mo id="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.2.cmml">(</mo><msub id="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.1.1" xref="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.1.1.2" xref="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.1.1.2.cmml">u</mi><msub id="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.1.1.3" xref="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2" xref="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.cmml">n</mi><mi id="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.1.1.3.3" xref="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.1.1.3.3.cmml">k</mi></msub></msub><mo id="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.1.3" xref="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.2.cmml">,</mo><mi id="S4.E83.m1.5.5" xref="S4.E83.m1.5.5.cmml">v</mi><mo id="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mspace id="S4.E83.m1.6.6.1.1.2.3" width="1.167em" xref="S4.E83.m1.6.6.1.1.3a.cmml"></mspace><mrow id="S4.E83.m1.6.6.1.1.2.2" xref="S4.E83.m1.6.6.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S4.E83.m1.6.6.1.1.2.2.2" xref="S4.E83.m1.6.6.1.1.2.2.2.cmml"><mo id="S4.E83.m1.6.6.1.1.2.2.2.1" rspace="0.167em" xref="S4.E83.m1.6.6.1.1.2.2.2.1.cmml">∀</mo><mi id="S4.E83.m1.6.6.1.1.2.2.2.2" xref="S4.E83.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.cmml">v</mi></mrow><mo id="S4.E83.m1.6.6.1.1.2.2.1" xref="S4.E83.m1.6.6.1.1.2.2.1.cmml">∈</mo><mi id="S4.E83.m1.6.6.1.1.2.2.3" xref="S4.E83.m1.6.6.1.1.2.2.3.cmml">V</mi></mrow></mrow><mo id="S4.E83.m1.6.6.1.2">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E83.m1.6b"><apply id="S4.E83.m1.6.6.1.1.3.cmml" xref="S4.E83.m1.6.6.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E83.m1.6.6.1.1.3a.cmml" xref="S4.E83.m1.6.6.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1"><leq id="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.4"></leq><apply id="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.2"><times id="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.2.3"></times><apply id="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.2.4.1.cmml" xref="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.2.4">subscript</csymbol><ci id="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.2.4.2.cmml" xref="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.2.4.2">𝐹</ci><list id="S4.E83.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E83.m1.2.2.2.4"><ci id="S4.E83.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E83.m1.1.1.1.1">𝛼</ci><ci id="S4.E83.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E83.m1.2.2.2.2">𝜆</ci></list></apply><interval closure="open" id="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2"><apply id="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑢</ci><apply id="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑛</ci><ci id="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.2.2">𝑣</ci><apply id="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.2.3"><plus id="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.2.3.1"></plus><apply id="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.1.cmml" xref="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.2.cmml" xref="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.2">𝑛</ci><ci id="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.3.cmml" xref="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.3">𝑘</ci></apply><cn id="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.2.3.3">1</cn></apply></apply></interval></apply><apply id="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.3"><times id="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.3.2"></times><apply id="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.2">𝐹</ci><list id="S4.E83.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S4.E83.m1.4.4.2.4"><ci id="S4.E83.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S4.E83.m1.3.3.1.1">𝛼</ci><ci id="S4.E83.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S4.E83.m1.4.4.2.2">𝜆</ci></list></apply><interval closure="open" id="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.2.cmml" xref="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.1"><apply id="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml" xref="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.1.1.2">𝑢</ci><apply id="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2">𝑛</ci><ci id="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E83.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply><ci id="S4.E83.m1.5.5.cmml" xref="S4.E83.m1.5.5">𝑣</ci></interval></apply></apply><apply id="S4.E83.m1.6.6.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E83.m1.6.6.1.1.2.2"><in id="S4.E83.m1.6.6.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.E83.m1.6.6.1.1.2.2.1"></in><apply id="S4.E83.m1.6.6.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.E83.m1.6.6.1.1.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.E83.m1.6.6.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E83.m1.6.6.1.1.2.2.2.1">for-all</csymbol><ci id="S4.E83.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E83.m1.6.6.1.1.2.2.2.2">𝑣</ci></apply><ci id="S4.E83.m1.6.6.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.E83.m1.6.6.1.1.2.2.3">𝑉</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E83.m1.6c">\displaystyle F_{\alpha,\lambda}(u_{n_{k}},v_{n_{k}+1})\leq F_{\alpha,\lambda}% (u_{n_{k}},v)\quad\forall v\in V,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E83.m1.6d">italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_α , italic_λ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_n start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT , italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_n start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT + 1 end_POSTSUBSCRIPT ) ≤ italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_α , italic_λ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_n start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT , italic_v ) ∀ italic_v ∈ italic_V ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(83)</span></td> </tr></tbody> <tbody id="S4.E84"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle F_{\alpha,\lambda}(u_{n_{k}},v_{n_{k}})\leq F_{\alpha,\lambda}(u% ,v_{n_{k}})\quad\forall u\in V." class="ltx_Math" display="inline" id="S4.E84.m1.6"><semantics id="S4.E84.m1.6a"><mrow id="S4.E84.m1.6.6.1"><mrow id="S4.E84.m1.6.6.1.1.2" xref="S4.E84.m1.6.6.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1" xref="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.2" xref="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.2.4" xref="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.2.4.cmml"><mi id="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.2.4.2" xref="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.2.4.2.cmml">F</mi><mrow id="S4.E84.m1.2.2.2.4" xref="S4.E84.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.E84.m1.1.1.1.1" xref="S4.E84.m1.1.1.1.1.cmml">α</mi><mo id="S4.E84.m1.2.2.2.4.1" xref="S4.E84.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.E84.m1.2.2.2.2" xref="S4.E84.m1.2.2.2.2.cmml">λ</mi></mrow></msub><mo id="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">u</mi><msub id="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">n</mi><mi id="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">k</mi></msub></msub><mo id="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.4" xref="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">v</mi><msub id="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2" xref="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml">n</mi><mi id="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.2.3.3" xref="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.2.3.3.cmml">k</mi></msub></msub><mo id="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.4" xref="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.4.cmml">≤</mo><mrow id="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.3" xref="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.2.cmml">F</mi><mrow id="S4.E84.m1.4.4.2.4" xref="S4.E84.m1.4.4.2.3.cmml"><mi id="S4.E84.m1.3.3.1.1" xref="S4.E84.m1.3.3.1.1.cmml">α</mi><mo id="S4.E84.m1.4.4.2.4.1" xref="S4.E84.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.E84.m1.4.4.2.2" xref="S4.E84.m1.4.4.2.2.cmml">λ</mi></mrow></msub><mo id="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.1" xref="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.2.cmml"><mo id="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.E84.m1.5.5" xref="S4.E84.m1.5.5.cmml">u</mi><mo id="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.1.3" xref="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.2.cmml">,</mo><msub id="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.1.1" xref="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.1.1.2" xref="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.1.1.2.cmml">v</mi><msub id="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.1.1.3" xref="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2" xref="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.cmml">n</mi><mi id="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.1.1.3.3" xref="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.1.1.3.3.cmml">k</mi></msub></msub><mo id="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mspace id="S4.E84.m1.6.6.1.1.2.3" width="1.167em" xref="S4.E84.m1.6.6.1.1.3a.cmml"></mspace><mrow id="S4.E84.m1.6.6.1.1.2.2" xref="S4.E84.m1.6.6.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S4.E84.m1.6.6.1.1.2.2.2" xref="S4.E84.m1.6.6.1.1.2.2.2.cmml"><mo id="S4.E84.m1.6.6.1.1.2.2.2.1" rspace="0.167em" xref="S4.E84.m1.6.6.1.1.2.2.2.1.cmml">∀</mo><mi id="S4.E84.m1.6.6.1.1.2.2.2.2" xref="S4.E84.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.cmml">u</mi></mrow><mo id="S4.E84.m1.6.6.1.1.2.2.1" xref="S4.E84.m1.6.6.1.1.2.2.1.cmml">∈</mo><mi id="S4.E84.m1.6.6.1.1.2.2.3" xref="S4.E84.m1.6.6.1.1.2.2.3.cmml">V</mi></mrow></mrow><mo id="S4.E84.m1.6.6.1.2" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E84.m1.6b"><apply id="S4.E84.m1.6.6.1.1.3.cmml" xref="S4.E84.m1.6.6.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E84.m1.6.6.1.1.3a.cmml" xref="S4.E84.m1.6.6.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1"><leq id="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.4"></leq><apply id="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.2"><times id="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.2.3"></times><apply id="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.2.4.1.cmml" xref="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.2.4">subscript</csymbol><ci id="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.2.4.2.cmml" xref="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.2.4.2">𝐹</ci><list id="S4.E84.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E84.m1.2.2.2.4"><ci id="S4.E84.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E84.m1.1.1.1.1">𝛼</ci><ci id="S4.E84.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E84.m1.2.2.2.2">𝜆</ci></list></apply><interval closure="open" id="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2"><apply id="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑢</ci><apply id="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑛</ci><ci id="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.2.2">𝑣</ci><apply id="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2">𝑛</ci><ci id="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.2.2.3.3">𝑘</ci></apply></apply></interval></apply><apply id="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.3"><times id="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.3.2"></times><apply id="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.2">𝐹</ci><list id="S4.E84.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S4.E84.m1.4.4.2.4"><ci id="S4.E84.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S4.E84.m1.3.3.1.1">𝛼</ci><ci id="S4.E84.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S4.E84.m1.4.4.2.2">𝜆</ci></list></apply><interval closure="open" id="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.2.cmml" xref="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.1"><ci id="S4.E84.m1.5.5.cmml" xref="S4.E84.m1.5.5">𝑢</ci><apply id="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml" xref="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.1.1.2">𝑣</ci><apply id="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2">𝑛</ci><ci id="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E84.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply></interval></apply></apply><apply id="S4.E84.m1.6.6.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E84.m1.6.6.1.1.2.2"><in id="S4.E84.m1.6.6.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.E84.m1.6.6.1.1.2.2.1"></in><apply id="S4.E84.m1.6.6.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.E84.m1.6.6.1.1.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.E84.m1.6.6.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E84.m1.6.6.1.1.2.2.2.1">for-all</csymbol><ci id="S4.E84.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E84.m1.6.6.1.1.2.2.2.2">𝑢</ci></apply><ci id="S4.E84.m1.6.6.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.E84.m1.6.6.1.1.2.2.3">𝑉</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E84.m1.6c">\displaystyle F_{\alpha,\lambda}(u_{n_{k}},v_{n_{k}})\leq F_{\alpha,\lambda}(u% ,v_{n_{k}})\quad\forall u\in V.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E84.m1.6d">italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_α , italic_λ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_n start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT , italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_n start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ) ≤ italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_α , italic_λ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_u , italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_n start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ) ∀ italic_u ∈ italic_V .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(84)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Thmproofx3.p1.10">Denote <math alttext="\tilde{v}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmproofx3.p1.9.m1.1"><semantics id="Thmproofx3.p1.9.m1.1a"><mover accent="true" id="Thmproofx3.p1.9.m1.1.1" xref="Thmproofx3.p1.9.m1.1.1.cmml"><mi id="Thmproofx3.p1.9.m1.1.1.2" xref="Thmproofx3.p1.9.m1.1.1.2.cmml">v</mi><mo id="Thmproofx3.p1.9.m1.1.1.1" xref="Thmproofx3.p1.9.m1.1.1.1.cmml">~</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmproofx3.p1.9.m1.1b"><apply id="Thmproofx3.p1.9.m1.1.1.cmml" xref="Thmproofx3.p1.9.m1.1.1"><ci id="Thmproofx3.p1.9.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmproofx3.p1.9.m1.1.1.1">~</ci><ci id="Thmproofx3.p1.9.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmproofx3.p1.9.m1.1.1.2">𝑣</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmproofx3.p1.9.m1.1c">\tilde{v}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmproofx3.p1.9.m1.1d">over~ start_ARG italic_v end_ARG</annotation></semantics></math> as a cluster point of <math alttext="v_{n_{k}+1}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmproofx3.p1.10.m2.1"><semantics id="Thmproofx3.p1.10.m2.1a"><msub id="Thmproofx3.p1.10.m2.1.1" xref="Thmproofx3.p1.10.m2.1.1.cmml"><mi id="Thmproofx3.p1.10.m2.1.1.2" xref="Thmproofx3.p1.10.m2.1.1.2.cmml">v</mi><mrow id="Thmproofx3.p1.10.m2.1.1.3" xref="Thmproofx3.p1.10.m2.1.1.3.cmml"><msub id="Thmproofx3.p1.10.m2.1.1.3.2" xref="Thmproofx3.p1.10.m2.1.1.3.2.cmml"><mi id="Thmproofx3.p1.10.m2.1.1.3.2.2" xref="Thmproofx3.p1.10.m2.1.1.3.2.2.cmml">n</mi><mi id="Thmproofx3.p1.10.m2.1.1.3.2.3" xref="Thmproofx3.p1.10.m2.1.1.3.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="Thmproofx3.p1.10.m2.1.1.3.1" xref="Thmproofx3.p1.10.m2.1.1.3.1.cmml">+</mo><mn id="Thmproofx3.p1.10.m2.1.1.3.3" xref="Thmproofx3.p1.10.m2.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmproofx3.p1.10.m2.1b"><apply id="Thmproofx3.p1.10.m2.1.1.cmml" xref="Thmproofx3.p1.10.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmproofx3.p1.10.m2.1.1.1.cmml" xref="Thmproofx3.p1.10.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmproofx3.p1.10.m2.1.1.2.cmml" xref="Thmproofx3.p1.10.m2.1.1.2">𝑣</ci><apply id="Thmproofx3.p1.10.m2.1.1.3.cmml" xref="Thmproofx3.p1.10.m2.1.1.3"><plus id="Thmproofx3.p1.10.m2.1.1.3.1.cmml" xref="Thmproofx3.p1.10.m2.1.1.3.1"></plus><apply id="Thmproofx3.p1.10.m2.1.1.3.2.cmml" xref="Thmproofx3.p1.10.m2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmproofx3.p1.10.m2.1.1.3.2.1.cmml" xref="Thmproofx3.p1.10.m2.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="Thmproofx3.p1.10.m2.1.1.3.2.2.cmml" xref="Thmproofx3.p1.10.m2.1.1.3.2.2">𝑛</ci><ci id="Thmproofx3.p1.10.m2.1.1.3.2.3.cmml" xref="Thmproofx3.p1.10.m2.1.1.3.2.3">𝑘</ci></apply><cn id="Thmproofx3.p1.10.m2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="Thmproofx3.p1.10.m2.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmproofx3.p1.10.m2.1c">v_{n_{k}+1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmproofx3.p1.10.m2.1d">italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_n start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT + 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, we have</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E85"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="m=F_{\alpha,\lambda}(\hat{u},\hat{v})=F_{\alpha,\lambda}(\hat{u},\tilde{v})." class="ltx_Math" display="block" id="S4.E85.m1.9"><semantics id="S4.E85.m1.9a"><mrow id="S4.E85.m1.9.9.1" xref="S4.E85.m1.9.9.1.1.cmml"><mrow id="S4.E85.m1.9.9.1.1" xref="S4.E85.m1.9.9.1.1.cmml"><mi id="S4.E85.m1.9.9.1.1.2" xref="S4.E85.m1.9.9.1.1.2.cmml">m</mi><mo id="S4.E85.m1.9.9.1.1.3" xref="S4.E85.m1.9.9.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S4.E85.m1.9.9.1.1.4" xref="S4.E85.m1.9.9.1.1.4.cmml"><msub id="S4.E85.m1.9.9.1.1.4.2" xref="S4.E85.m1.9.9.1.1.4.2.cmml"><mi id="S4.E85.m1.9.9.1.1.4.2.2" xref="S4.E85.m1.9.9.1.1.4.2.2.cmml">F</mi><mrow id="S4.E85.m1.2.2.2.4" xref="S4.E85.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.E85.m1.1.1.1.1" xref="S4.E85.m1.1.1.1.1.cmml">α</mi><mo id="S4.E85.m1.2.2.2.4.1" xref="S4.E85.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.E85.m1.2.2.2.2" xref="S4.E85.m1.2.2.2.2.cmml">λ</mi></mrow></msub><mo id="S4.E85.m1.9.9.1.1.4.1" xref="S4.E85.m1.9.9.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E85.m1.9.9.1.1.4.3.2" xref="S4.E85.m1.9.9.1.1.4.3.1.cmml"><mo id="S4.E85.m1.9.9.1.1.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.E85.m1.9.9.1.1.4.3.1.cmml">(</mo><mover accent="true" id="S4.E85.m1.5.5" xref="S4.E85.m1.5.5.cmml"><mi id="S4.E85.m1.5.5.2" xref="S4.E85.m1.5.5.2.cmml">u</mi><mo id="S4.E85.m1.5.5.1" xref="S4.E85.m1.5.5.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S4.E85.m1.9.9.1.1.4.3.2.2" xref="S4.E85.m1.9.9.1.1.4.3.1.cmml">,</mo><mover accent="true" id="S4.E85.m1.6.6" xref="S4.E85.m1.6.6.cmml"><mi id="S4.E85.m1.6.6.2" xref="S4.E85.m1.6.6.2.cmml">v</mi><mo id="S4.E85.m1.6.6.1" xref="S4.E85.m1.6.6.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S4.E85.m1.9.9.1.1.4.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.E85.m1.9.9.1.1.4.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E85.m1.9.9.1.1.5" xref="S4.E85.m1.9.9.1.1.5.cmml">=</mo><mrow id="S4.E85.m1.9.9.1.1.6" xref="S4.E85.m1.9.9.1.1.6.cmml"><msub id="S4.E85.m1.9.9.1.1.6.2" xref="S4.E85.m1.9.9.1.1.6.2.cmml"><mi id="S4.E85.m1.9.9.1.1.6.2.2" xref="S4.E85.m1.9.9.1.1.6.2.2.cmml">F</mi><mrow id="S4.E85.m1.4.4.2.4" xref="S4.E85.m1.4.4.2.3.cmml"><mi id="S4.E85.m1.3.3.1.1" xref="S4.E85.m1.3.3.1.1.cmml">α</mi><mo id="S4.E85.m1.4.4.2.4.1" xref="S4.E85.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.E85.m1.4.4.2.2" xref="S4.E85.m1.4.4.2.2.cmml">λ</mi></mrow></msub><mo id="S4.E85.m1.9.9.1.1.6.1" xref="S4.E85.m1.9.9.1.1.6.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E85.m1.9.9.1.1.6.3.2" xref="S4.E85.m1.9.9.1.1.6.3.1.cmml"><mo id="S4.E85.m1.9.9.1.1.6.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.E85.m1.9.9.1.1.6.3.1.cmml">(</mo><mover accent="true" id="S4.E85.m1.7.7" xref="S4.E85.m1.7.7.cmml"><mi id="S4.E85.m1.7.7.2" xref="S4.E85.m1.7.7.2.cmml">u</mi><mo id="S4.E85.m1.7.7.1" xref="S4.E85.m1.7.7.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S4.E85.m1.9.9.1.1.6.3.2.2" xref="S4.E85.m1.9.9.1.1.6.3.1.cmml">,</mo><mover accent="true" id="S4.E85.m1.8.8" xref="S4.E85.m1.8.8.cmml"><mi id="S4.E85.m1.8.8.2" xref="S4.E85.m1.8.8.2.cmml">v</mi><mo id="S4.E85.m1.8.8.1" xref="S4.E85.m1.8.8.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S4.E85.m1.9.9.1.1.6.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.E85.m1.9.9.1.1.6.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E85.m1.9.9.1.2" lspace="0em" xref="S4.E85.m1.9.9.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E85.m1.9b"><apply id="S4.E85.m1.9.9.1.1.cmml" xref="S4.E85.m1.9.9.1"><and id="S4.E85.m1.9.9.1.1a.cmml" xref="S4.E85.m1.9.9.1"></and><apply id="S4.E85.m1.9.9.1.1b.cmml" xref="S4.E85.m1.9.9.1"><eq id="S4.E85.m1.9.9.1.1.3.cmml" xref="S4.E85.m1.9.9.1.1.3"></eq><ci id="S4.E85.m1.9.9.1.1.2.cmml" xref="S4.E85.m1.9.9.1.1.2">𝑚</ci><apply id="S4.E85.m1.9.9.1.1.4.cmml" xref="S4.E85.m1.9.9.1.1.4"><times id="S4.E85.m1.9.9.1.1.4.1.cmml" xref="S4.E85.m1.9.9.1.1.4.1"></times><apply id="S4.E85.m1.9.9.1.1.4.2.cmml" xref="S4.E85.m1.9.9.1.1.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E85.m1.9.9.1.1.4.2.1.cmml" xref="S4.E85.m1.9.9.1.1.4.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E85.m1.9.9.1.1.4.2.2.cmml" xref="S4.E85.m1.9.9.1.1.4.2.2">𝐹</ci><list id="S4.E85.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E85.m1.2.2.2.4"><ci id="S4.E85.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E85.m1.1.1.1.1">𝛼</ci><ci id="S4.E85.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E85.m1.2.2.2.2">𝜆</ci></list></apply><interval closure="open" id="S4.E85.m1.9.9.1.1.4.3.1.cmml" xref="S4.E85.m1.9.9.1.1.4.3.2"><apply id="S4.E85.m1.5.5.cmml" xref="S4.E85.m1.5.5"><ci id="S4.E85.m1.5.5.1.cmml" xref="S4.E85.m1.5.5.1">^</ci><ci id="S4.E85.m1.5.5.2.cmml" xref="S4.E85.m1.5.5.2">𝑢</ci></apply><apply id="S4.E85.m1.6.6.cmml" xref="S4.E85.m1.6.6"><ci id="S4.E85.m1.6.6.1.cmml" xref="S4.E85.m1.6.6.1">^</ci><ci id="S4.E85.m1.6.6.2.cmml" xref="S4.E85.m1.6.6.2">𝑣</ci></apply></interval></apply></apply><apply id="S4.E85.m1.9.9.1.1c.cmml" xref="S4.E85.m1.9.9.1"><eq id="S4.E85.m1.9.9.1.1.5.cmml" xref="S4.E85.m1.9.9.1.1.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S4.E85.m1.9.9.1.1.4.cmml" id="S4.E85.m1.9.9.1.1d.cmml" xref="S4.E85.m1.9.9.1"></share><apply id="S4.E85.m1.9.9.1.1.6.cmml" xref="S4.E85.m1.9.9.1.1.6"><times id="S4.E85.m1.9.9.1.1.6.1.cmml" xref="S4.E85.m1.9.9.1.1.6.1"></times><apply id="S4.E85.m1.9.9.1.1.6.2.cmml" xref="S4.E85.m1.9.9.1.1.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E85.m1.9.9.1.1.6.2.1.cmml" xref="S4.E85.m1.9.9.1.1.6.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E85.m1.9.9.1.1.6.2.2.cmml" xref="S4.E85.m1.9.9.1.1.6.2.2">𝐹</ci><list id="S4.E85.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S4.E85.m1.4.4.2.4"><ci id="S4.E85.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S4.E85.m1.3.3.1.1">𝛼</ci><ci id="S4.E85.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S4.E85.m1.4.4.2.2">𝜆</ci></list></apply><interval closure="open" id="S4.E85.m1.9.9.1.1.6.3.1.cmml" xref="S4.E85.m1.9.9.1.1.6.3.2"><apply id="S4.E85.m1.7.7.cmml" xref="S4.E85.m1.7.7"><ci id="S4.E85.m1.7.7.1.cmml" xref="S4.E85.m1.7.7.1">^</ci><ci id="S4.E85.m1.7.7.2.cmml" xref="S4.E85.m1.7.7.2">𝑢</ci></apply><apply id="S4.E85.m1.8.8.cmml" xref="S4.E85.m1.8.8"><ci id="S4.E85.m1.8.8.1.cmml" xref="S4.E85.m1.8.8.1">~</ci><ci id="S4.E85.m1.8.8.2.cmml" xref="S4.E85.m1.8.8.2">𝑣</ci></apply></interval></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E85.m1.9c">m=F_{\alpha,\lambda}(\hat{u},\hat{v})=F_{\alpha,\lambda}(\hat{u},\tilde{v}).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E85.m1.9d">italic_m = italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_α , italic_λ end_POSTSUBSCRIPT ( over^ start_ARG italic_u end_ARG , over^ start_ARG italic_v end_ARG ) = italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_α , italic_λ end_POSTSUBSCRIPT ( over^ start_ARG italic_u end_ARG , over~ start_ARG italic_v end_ARG ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(85)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="Thmproofx3.p1.24">Since (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S4.E63" title="In 1st item ‣ 4.2 Numerical Method for problem (62) ‣ 4 Numerical Algorithm ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">63</span></a>) is strictly convex with respect to <math alttext="v" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmproofx3.p1.11.m1.1"><semantics id="Thmproofx3.p1.11.m1.1a"><mi id="Thmproofx3.p1.11.m1.1.1" xref="Thmproofx3.p1.11.m1.1.1.cmml">v</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmproofx3.p1.11.m1.1b"><ci id="Thmproofx3.p1.11.m1.1.1.cmml" xref="Thmproofx3.p1.11.m1.1.1">𝑣</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmproofx3.p1.11.m1.1c">v</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmproofx3.p1.11.m1.1d">italic_v</annotation></semantics></math>, it has a unique minimizer for given <math alttext="\hat{u}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmproofx3.p1.12.m2.1"><semantics id="Thmproofx3.p1.12.m2.1a"><mover accent="true" id="Thmproofx3.p1.12.m2.1.1" xref="Thmproofx3.p1.12.m2.1.1.cmml"><mi id="Thmproofx3.p1.12.m2.1.1.2" xref="Thmproofx3.p1.12.m2.1.1.2.cmml">u</mi><mo id="Thmproofx3.p1.12.m2.1.1.1" xref="Thmproofx3.p1.12.m2.1.1.1.cmml">^</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmproofx3.p1.12.m2.1b"><apply id="Thmproofx3.p1.12.m2.1.1.cmml" xref="Thmproofx3.p1.12.m2.1.1"><ci id="Thmproofx3.p1.12.m2.1.1.1.cmml" xref="Thmproofx3.p1.12.m2.1.1.1">^</ci><ci id="Thmproofx3.p1.12.m2.1.1.2.cmml" xref="Thmproofx3.p1.12.m2.1.1.2">𝑢</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmproofx3.p1.12.m2.1c">\hat{u}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmproofx3.p1.12.m2.1d">over^ start_ARG italic_u end_ARG</annotation></semantics></math>. Hence <math alttext="\tilde{v}=\hat{v}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmproofx3.p1.13.m3.1"><semantics id="Thmproofx3.p1.13.m3.1a"><mrow id="Thmproofx3.p1.13.m3.1.1" xref="Thmproofx3.p1.13.m3.1.1.cmml"><mover accent="true" id="Thmproofx3.p1.13.m3.1.1.2" xref="Thmproofx3.p1.13.m3.1.1.2.cmml"><mi id="Thmproofx3.p1.13.m3.1.1.2.2" xref="Thmproofx3.p1.13.m3.1.1.2.2.cmml">v</mi><mo id="Thmproofx3.p1.13.m3.1.1.2.1" xref="Thmproofx3.p1.13.m3.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="Thmproofx3.p1.13.m3.1.1.1" xref="Thmproofx3.p1.13.m3.1.1.1.cmml">=</mo><mover accent="true" id="Thmproofx3.p1.13.m3.1.1.3" xref="Thmproofx3.p1.13.m3.1.1.3.cmml"><mi id="Thmproofx3.p1.13.m3.1.1.3.2" xref="Thmproofx3.p1.13.m3.1.1.3.2.cmml">v</mi><mo id="Thmproofx3.p1.13.m3.1.1.3.1" xref="Thmproofx3.p1.13.m3.1.1.3.1.cmml">^</mo></mover></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmproofx3.p1.13.m3.1b"><apply id="Thmproofx3.p1.13.m3.1.1.cmml" xref="Thmproofx3.p1.13.m3.1.1"><eq id="Thmproofx3.p1.13.m3.1.1.1.cmml" xref="Thmproofx3.p1.13.m3.1.1.1"></eq><apply id="Thmproofx3.p1.13.m3.1.1.2.cmml" xref="Thmproofx3.p1.13.m3.1.1.2"><ci id="Thmproofx3.p1.13.m3.1.1.2.1.cmml" xref="Thmproofx3.p1.13.m3.1.1.2.1">~</ci><ci id="Thmproofx3.p1.13.m3.1.1.2.2.cmml" xref="Thmproofx3.p1.13.m3.1.1.2.2">𝑣</ci></apply><apply id="Thmproofx3.p1.13.m3.1.1.3.cmml" xref="Thmproofx3.p1.13.m3.1.1.3"><ci id="Thmproofx3.p1.13.m3.1.1.3.1.cmml" xref="Thmproofx3.p1.13.m3.1.1.3.1">^</ci><ci id="Thmproofx3.p1.13.m3.1.1.3.2.cmml" xref="Thmproofx3.p1.13.m3.1.1.3.2">𝑣</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmproofx3.p1.13.m3.1c">\tilde{v}=\hat{v}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmproofx3.p1.13.m3.1d">over~ start_ARG italic_v end_ARG = over^ start_ARG italic_v end_ARG</annotation></semantics></math>, i.e. <math alttext="\hat{v}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmproofx3.p1.14.m4.1"><semantics id="Thmproofx3.p1.14.m4.1a"><mover accent="true" id="Thmproofx3.p1.14.m4.1.1" xref="Thmproofx3.p1.14.m4.1.1.cmml"><mi id="Thmproofx3.p1.14.m4.1.1.2" xref="Thmproofx3.p1.14.m4.1.1.2.cmml">v</mi><mo id="Thmproofx3.p1.14.m4.1.1.1" xref="Thmproofx3.p1.14.m4.1.1.1.cmml">^</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmproofx3.p1.14.m4.1b"><apply id="Thmproofx3.p1.14.m4.1.1.cmml" xref="Thmproofx3.p1.14.m4.1.1"><ci id="Thmproofx3.p1.14.m4.1.1.1.cmml" xref="Thmproofx3.p1.14.m4.1.1.1">^</ci><ci id="Thmproofx3.p1.14.m4.1.1.2.cmml" xref="Thmproofx3.p1.14.m4.1.1.2">𝑣</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmproofx3.p1.14.m4.1c">\hat{v}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmproofx3.p1.14.m4.1d">over^ start_ARG italic_v end_ARG</annotation></semantics></math> is a cluster point of <math alttext="v_{n_{k}+1}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmproofx3.p1.15.m5.1"><semantics id="Thmproofx3.p1.15.m5.1a"><msub id="Thmproofx3.p1.15.m5.1.1" xref="Thmproofx3.p1.15.m5.1.1.cmml"><mi id="Thmproofx3.p1.15.m5.1.1.2" xref="Thmproofx3.p1.15.m5.1.1.2.cmml">v</mi><mrow id="Thmproofx3.p1.15.m5.1.1.3" xref="Thmproofx3.p1.15.m5.1.1.3.cmml"><msub id="Thmproofx3.p1.15.m5.1.1.3.2" xref="Thmproofx3.p1.15.m5.1.1.3.2.cmml"><mi id="Thmproofx3.p1.15.m5.1.1.3.2.2" xref="Thmproofx3.p1.15.m5.1.1.3.2.2.cmml">n</mi><mi id="Thmproofx3.p1.15.m5.1.1.3.2.3" xref="Thmproofx3.p1.15.m5.1.1.3.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="Thmproofx3.p1.15.m5.1.1.3.1" xref="Thmproofx3.p1.15.m5.1.1.3.1.cmml">+</mo><mn id="Thmproofx3.p1.15.m5.1.1.3.3" xref="Thmproofx3.p1.15.m5.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmproofx3.p1.15.m5.1b"><apply id="Thmproofx3.p1.15.m5.1.1.cmml" xref="Thmproofx3.p1.15.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmproofx3.p1.15.m5.1.1.1.cmml" xref="Thmproofx3.p1.15.m5.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmproofx3.p1.15.m5.1.1.2.cmml" xref="Thmproofx3.p1.15.m5.1.1.2">𝑣</ci><apply id="Thmproofx3.p1.15.m5.1.1.3.cmml" xref="Thmproofx3.p1.15.m5.1.1.3"><plus id="Thmproofx3.p1.15.m5.1.1.3.1.cmml" xref="Thmproofx3.p1.15.m5.1.1.3.1"></plus><apply id="Thmproofx3.p1.15.m5.1.1.3.2.cmml" xref="Thmproofx3.p1.15.m5.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmproofx3.p1.15.m5.1.1.3.2.1.cmml" xref="Thmproofx3.p1.15.m5.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="Thmproofx3.p1.15.m5.1.1.3.2.2.cmml" xref="Thmproofx3.p1.15.m5.1.1.3.2.2">𝑛</ci><ci id="Thmproofx3.p1.15.m5.1.1.3.2.3.cmml" xref="Thmproofx3.p1.15.m5.1.1.3.2.3">𝑘</ci></apply><cn id="Thmproofx3.p1.15.m5.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="Thmproofx3.p1.15.m5.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmproofx3.p1.15.m5.1c">v_{n_{k}+1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmproofx3.p1.15.m5.1d">italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_n start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT + 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. By passing to the limit in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S4.E83" title="In Proof ‣ 4.3 Convergence of the Proposed Algorithm ‣ 4 Numerical Algorithm ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">83</span></a>), we have <math alttext="F_{\alpha,\lambda}(\hat{u},\hat{v})=\inf_{v}F_{\alpha,\lambda}(\hat{u},v)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmproofx3.p1.16.m6.8"><semantics id="Thmproofx3.p1.16.m6.8a"><mrow id="Thmproofx3.p1.16.m6.8.9" xref="Thmproofx3.p1.16.m6.8.9.cmml"><mrow id="Thmproofx3.p1.16.m6.8.9.2" xref="Thmproofx3.p1.16.m6.8.9.2.cmml"><msub id="Thmproofx3.p1.16.m6.8.9.2.2" xref="Thmproofx3.p1.16.m6.8.9.2.2.cmml"><mi id="Thmproofx3.p1.16.m6.8.9.2.2.2" xref="Thmproofx3.p1.16.m6.8.9.2.2.2.cmml">F</mi><mrow id="Thmproofx3.p1.16.m6.2.2.2.4" xref="Thmproofx3.p1.16.m6.2.2.2.3.cmml"><mi id="Thmproofx3.p1.16.m6.1.1.1.1" xref="Thmproofx3.p1.16.m6.1.1.1.1.cmml">α</mi><mo id="Thmproofx3.p1.16.m6.2.2.2.4.1" xref="Thmproofx3.p1.16.m6.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="Thmproofx3.p1.16.m6.2.2.2.2" xref="Thmproofx3.p1.16.m6.2.2.2.2.cmml">λ</mi></mrow></msub><mo id="Thmproofx3.p1.16.m6.8.9.2.1" xref="Thmproofx3.p1.16.m6.8.9.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmproofx3.p1.16.m6.8.9.2.3.2" xref="Thmproofx3.p1.16.m6.8.9.2.3.1.cmml"><mo id="Thmproofx3.p1.16.m6.8.9.2.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmproofx3.p1.16.m6.8.9.2.3.1.cmml">(</mo><mover accent="true" id="Thmproofx3.p1.16.m6.5.5" xref="Thmproofx3.p1.16.m6.5.5.cmml"><mi id="Thmproofx3.p1.16.m6.5.5.2" xref="Thmproofx3.p1.16.m6.5.5.2.cmml">u</mi><mo id="Thmproofx3.p1.16.m6.5.5.1" xref="Thmproofx3.p1.16.m6.5.5.1.cmml">^</mo></mover><mo id="Thmproofx3.p1.16.m6.8.9.2.3.2.2" xref="Thmproofx3.p1.16.m6.8.9.2.3.1.cmml">,</mo><mover accent="true" id="Thmproofx3.p1.16.m6.6.6" xref="Thmproofx3.p1.16.m6.6.6.cmml"><mi id="Thmproofx3.p1.16.m6.6.6.2" xref="Thmproofx3.p1.16.m6.6.6.2.cmml">v</mi><mo id="Thmproofx3.p1.16.m6.6.6.1" xref="Thmproofx3.p1.16.m6.6.6.1.cmml">^</mo></mover><mo id="Thmproofx3.p1.16.m6.8.9.2.3.2.3" stretchy="false" xref="Thmproofx3.p1.16.m6.8.9.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="Thmproofx3.p1.16.m6.8.9.1" rspace="0.1389em" xref="Thmproofx3.p1.16.m6.8.9.1.cmml">=</mo><mrow id="Thmproofx3.p1.16.m6.8.9.3" xref="Thmproofx3.p1.16.m6.8.9.3.cmml"><msub id="Thmproofx3.p1.16.m6.8.9.3.1" xref="Thmproofx3.p1.16.m6.8.9.3.1.cmml"><mo id="Thmproofx3.p1.16.m6.8.9.3.1.2" lspace="0.1389em" rspace="0.167em" xref="Thmproofx3.p1.16.m6.8.9.3.1.2.cmml">inf</mo><mi id="Thmproofx3.p1.16.m6.8.9.3.1.3" xref="Thmproofx3.p1.16.m6.8.9.3.1.3.cmml">v</mi></msub><mrow id="Thmproofx3.p1.16.m6.8.9.3.2" xref="Thmproofx3.p1.16.m6.8.9.3.2.cmml"><msub id="Thmproofx3.p1.16.m6.8.9.3.2.2" xref="Thmproofx3.p1.16.m6.8.9.3.2.2.cmml"><mi id="Thmproofx3.p1.16.m6.8.9.3.2.2.2" xref="Thmproofx3.p1.16.m6.8.9.3.2.2.2.cmml">F</mi><mrow id="Thmproofx3.p1.16.m6.4.4.2.4" xref="Thmproofx3.p1.16.m6.4.4.2.3.cmml"><mi id="Thmproofx3.p1.16.m6.3.3.1.1" xref="Thmproofx3.p1.16.m6.3.3.1.1.cmml">α</mi><mo id="Thmproofx3.p1.16.m6.4.4.2.4.1" xref="Thmproofx3.p1.16.m6.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="Thmproofx3.p1.16.m6.4.4.2.2" xref="Thmproofx3.p1.16.m6.4.4.2.2.cmml">λ</mi></mrow></msub><mo id="Thmproofx3.p1.16.m6.8.9.3.2.1" xref="Thmproofx3.p1.16.m6.8.9.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmproofx3.p1.16.m6.8.9.3.2.3.2" xref="Thmproofx3.p1.16.m6.8.9.3.2.3.1.cmml"><mo id="Thmproofx3.p1.16.m6.8.9.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmproofx3.p1.16.m6.8.9.3.2.3.1.cmml">(</mo><mover accent="true" id="Thmproofx3.p1.16.m6.7.7" xref="Thmproofx3.p1.16.m6.7.7.cmml"><mi id="Thmproofx3.p1.16.m6.7.7.2" xref="Thmproofx3.p1.16.m6.7.7.2.cmml">u</mi><mo id="Thmproofx3.p1.16.m6.7.7.1" xref="Thmproofx3.p1.16.m6.7.7.1.cmml">^</mo></mover><mo id="Thmproofx3.p1.16.m6.8.9.3.2.3.2.2" xref="Thmproofx3.p1.16.m6.8.9.3.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="Thmproofx3.p1.16.m6.8.8" xref="Thmproofx3.p1.16.m6.8.8.cmml">v</mi><mo id="Thmproofx3.p1.16.m6.8.9.3.2.3.2.3" stretchy="false" xref="Thmproofx3.p1.16.m6.8.9.3.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmproofx3.p1.16.m6.8b"><apply id="Thmproofx3.p1.16.m6.8.9.cmml" xref="Thmproofx3.p1.16.m6.8.9"><eq id="Thmproofx3.p1.16.m6.8.9.1.cmml" xref="Thmproofx3.p1.16.m6.8.9.1"></eq><apply id="Thmproofx3.p1.16.m6.8.9.2.cmml" xref="Thmproofx3.p1.16.m6.8.9.2"><times id="Thmproofx3.p1.16.m6.8.9.2.1.cmml" xref="Thmproofx3.p1.16.m6.8.9.2.1"></times><apply id="Thmproofx3.p1.16.m6.8.9.2.2.cmml" xref="Thmproofx3.p1.16.m6.8.9.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmproofx3.p1.16.m6.8.9.2.2.1.cmml" xref="Thmproofx3.p1.16.m6.8.9.2.2">subscript</csymbol><ci id="Thmproofx3.p1.16.m6.8.9.2.2.2.cmml" xref="Thmproofx3.p1.16.m6.8.9.2.2.2">𝐹</ci><list id="Thmproofx3.p1.16.m6.2.2.2.3.cmml" xref="Thmproofx3.p1.16.m6.2.2.2.4"><ci id="Thmproofx3.p1.16.m6.1.1.1.1.cmml" xref="Thmproofx3.p1.16.m6.1.1.1.1">𝛼</ci><ci id="Thmproofx3.p1.16.m6.2.2.2.2.cmml" xref="Thmproofx3.p1.16.m6.2.2.2.2">𝜆</ci></list></apply><interval closure="open" id="Thmproofx3.p1.16.m6.8.9.2.3.1.cmml" xref="Thmproofx3.p1.16.m6.8.9.2.3.2"><apply id="Thmproofx3.p1.16.m6.5.5.cmml" xref="Thmproofx3.p1.16.m6.5.5"><ci id="Thmproofx3.p1.16.m6.5.5.1.cmml" xref="Thmproofx3.p1.16.m6.5.5.1">^</ci><ci id="Thmproofx3.p1.16.m6.5.5.2.cmml" xref="Thmproofx3.p1.16.m6.5.5.2">𝑢</ci></apply><apply id="Thmproofx3.p1.16.m6.6.6.cmml" xref="Thmproofx3.p1.16.m6.6.6"><ci id="Thmproofx3.p1.16.m6.6.6.1.cmml" xref="Thmproofx3.p1.16.m6.6.6.1">^</ci><ci id="Thmproofx3.p1.16.m6.6.6.2.cmml" xref="Thmproofx3.p1.16.m6.6.6.2">𝑣</ci></apply></interval></apply><apply id="Thmproofx3.p1.16.m6.8.9.3.cmml" xref="Thmproofx3.p1.16.m6.8.9.3"><apply id="Thmproofx3.p1.16.m6.8.9.3.1.cmml" xref="Thmproofx3.p1.16.m6.8.9.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmproofx3.p1.16.m6.8.9.3.1.1.cmml" xref="Thmproofx3.p1.16.m6.8.9.3.1">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="Thmproofx3.p1.16.m6.8.9.3.1.2.cmml" xref="Thmproofx3.p1.16.m6.8.9.3.1.2">infimum</csymbol><ci id="Thmproofx3.p1.16.m6.8.9.3.1.3.cmml" xref="Thmproofx3.p1.16.m6.8.9.3.1.3">𝑣</ci></apply><apply id="Thmproofx3.p1.16.m6.8.9.3.2.cmml" xref="Thmproofx3.p1.16.m6.8.9.3.2"><times id="Thmproofx3.p1.16.m6.8.9.3.2.1.cmml" xref="Thmproofx3.p1.16.m6.8.9.3.2.1"></times><apply id="Thmproofx3.p1.16.m6.8.9.3.2.2.cmml" xref="Thmproofx3.p1.16.m6.8.9.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmproofx3.p1.16.m6.8.9.3.2.2.1.cmml" xref="Thmproofx3.p1.16.m6.8.9.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="Thmproofx3.p1.16.m6.8.9.3.2.2.2.cmml" xref="Thmproofx3.p1.16.m6.8.9.3.2.2.2">𝐹</ci><list id="Thmproofx3.p1.16.m6.4.4.2.3.cmml" xref="Thmproofx3.p1.16.m6.4.4.2.4"><ci id="Thmproofx3.p1.16.m6.3.3.1.1.cmml" xref="Thmproofx3.p1.16.m6.3.3.1.1">𝛼</ci><ci id="Thmproofx3.p1.16.m6.4.4.2.2.cmml" xref="Thmproofx3.p1.16.m6.4.4.2.2">𝜆</ci></list></apply><interval closure="open" id="Thmproofx3.p1.16.m6.8.9.3.2.3.1.cmml" xref="Thmproofx3.p1.16.m6.8.9.3.2.3.2"><apply id="Thmproofx3.p1.16.m6.7.7.cmml" xref="Thmproofx3.p1.16.m6.7.7"><ci id="Thmproofx3.p1.16.m6.7.7.1.cmml" xref="Thmproofx3.p1.16.m6.7.7.1">^</ci><ci id="Thmproofx3.p1.16.m6.7.7.2.cmml" xref="Thmproofx3.p1.16.m6.7.7.2">𝑢</ci></apply><ci id="Thmproofx3.p1.16.m6.8.8.cmml" xref="Thmproofx3.p1.16.m6.8.8">𝑣</ci></interval></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmproofx3.p1.16.m6.8c">F_{\alpha,\lambda}(\hat{u},\hat{v})=\inf_{v}F_{\alpha,\lambda}(\hat{u},v)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmproofx3.p1.16.m6.8d">italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_α , italic_λ end_POSTSUBSCRIPT ( over^ start_ARG italic_u end_ARG , over^ start_ARG italic_v end_ARG ) = roman_inf start_POSTSUBSCRIPT italic_v end_POSTSUBSCRIPT italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_α , italic_λ end_POSTSUBSCRIPT ( over^ start_ARG italic_u end_ARG , italic_v )</annotation></semantics></math>. And by passing to the limit in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S4.E84" title="In Proof ‣ 4.3 Convergence of the Proposed Algorithm ‣ 4 Numerical Algorithm ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">84</span></a>), we have <math alttext="F_{\alpha,\lambda}(\hat{u},\hat{v})=\inf_{u}F_{\alpha,\lambda}(u,\hat{v})" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmproofx3.p1.17.m7.8"><semantics id="Thmproofx3.p1.17.m7.8a"><mrow id="Thmproofx3.p1.17.m7.8.9" xref="Thmproofx3.p1.17.m7.8.9.cmml"><mrow id="Thmproofx3.p1.17.m7.8.9.2" xref="Thmproofx3.p1.17.m7.8.9.2.cmml"><msub id="Thmproofx3.p1.17.m7.8.9.2.2" xref="Thmproofx3.p1.17.m7.8.9.2.2.cmml"><mi id="Thmproofx3.p1.17.m7.8.9.2.2.2" xref="Thmproofx3.p1.17.m7.8.9.2.2.2.cmml">F</mi><mrow id="Thmproofx3.p1.17.m7.2.2.2.4" xref="Thmproofx3.p1.17.m7.2.2.2.3.cmml"><mi id="Thmproofx3.p1.17.m7.1.1.1.1" xref="Thmproofx3.p1.17.m7.1.1.1.1.cmml">α</mi><mo id="Thmproofx3.p1.17.m7.2.2.2.4.1" xref="Thmproofx3.p1.17.m7.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="Thmproofx3.p1.17.m7.2.2.2.2" xref="Thmproofx3.p1.17.m7.2.2.2.2.cmml">λ</mi></mrow></msub><mo id="Thmproofx3.p1.17.m7.8.9.2.1" xref="Thmproofx3.p1.17.m7.8.9.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmproofx3.p1.17.m7.8.9.2.3.2" xref="Thmproofx3.p1.17.m7.8.9.2.3.1.cmml"><mo id="Thmproofx3.p1.17.m7.8.9.2.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmproofx3.p1.17.m7.8.9.2.3.1.cmml">(</mo><mover accent="true" id="Thmproofx3.p1.17.m7.5.5" xref="Thmproofx3.p1.17.m7.5.5.cmml"><mi id="Thmproofx3.p1.17.m7.5.5.2" xref="Thmproofx3.p1.17.m7.5.5.2.cmml">u</mi><mo id="Thmproofx3.p1.17.m7.5.5.1" xref="Thmproofx3.p1.17.m7.5.5.1.cmml">^</mo></mover><mo id="Thmproofx3.p1.17.m7.8.9.2.3.2.2" xref="Thmproofx3.p1.17.m7.8.9.2.3.1.cmml">,</mo><mover accent="true" id="Thmproofx3.p1.17.m7.6.6" xref="Thmproofx3.p1.17.m7.6.6.cmml"><mi id="Thmproofx3.p1.17.m7.6.6.2" xref="Thmproofx3.p1.17.m7.6.6.2.cmml">v</mi><mo id="Thmproofx3.p1.17.m7.6.6.1" xref="Thmproofx3.p1.17.m7.6.6.1.cmml">^</mo></mover><mo id="Thmproofx3.p1.17.m7.8.9.2.3.2.3" stretchy="false" xref="Thmproofx3.p1.17.m7.8.9.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="Thmproofx3.p1.17.m7.8.9.1" rspace="0.1389em" xref="Thmproofx3.p1.17.m7.8.9.1.cmml">=</mo><mrow id="Thmproofx3.p1.17.m7.8.9.3" xref="Thmproofx3.p1.17.m7.8.9.3.cmml"><msub id="Thmproofx3.p1.17.m7.8.9.3.1" xref="Thmproofx3.p1.17.m7.8.9.3.1.cmml"><mo id="Thmproofx3.p1.17.m7.8.9.3.1.2" lspace="0.1389em" rspace="0.167em" xref="Thmproofx3.p1.17.m7.8.9.3.1.2.cmml">inf</mo><mi id="Thmproofx3.p1.17.m7.8.9.3.1.3" xref="Thmproofx3.p1.17.m7.8.9.3.1.3.cmml">u</mi></msub><mrow id="Thmproofx3.p1.17.m7.8.9.3.2" xref="Thmproofx3.p1.17.m7.8.9.3.2.cmml"><msub id="Thmproofx3.p1.17.m7.8.9.3.2.2" xref="Thmproofx3.p1.17.m7.8.9.3.2.2.cmml"><mi id="Thmproofx3.p1.17.m7.8.9.3.2.2.2" xref="Thmproofx3.p1.17.m7.8.9.3.2.2.2.cmml">F</mi><mrow id="Thmproofx3.p1.17.m7.4.4.2.4" xref="Thmproofx3.p1.17.m7.4.4.2.3.cmml"><mi id="Thmproofx3.p1.17.m7.3.3.1.1" xref="Thmproofx3.p1.17.m7.3.3.1.1.cmml">α</mi><mo id="Thmproofx3.p1.17.m7.4.4.2.4.1" xref="Thmproofx3.p1.17.m7.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="Thmproofx3.p1.17.m7.4.4.2.2" xref="Thmproofx3.p1.17.m7.4.4.2.2.cmml">λ</mi></mrow></msub><mo id="Thmproofx3.p1.17.m7.8.9.3.2.1" xref="Thmproofx3.p1.17.m7.8.9.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmproofx3.p1.17.m7.8.9.3.2.3.2" xref="Thmproofx3.p1.17.m7.8.9.3.2.3.1.cmml"><mo id="Thmproofx3.p1.17.m7.8.9.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmproofx3.p1.17.m7.8.9.3.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="Thmproofx3.p1.17.m7.7.7" xref="Thmproofx3.p1.17.m7.7.7.cmml">u</mi><mo id="Thmproofx3.p1.17.m7.8.9.3.2.3.2.2" xref="Thmproofx3.p1.17.m7.8.9.3.2.3.1.cmml">,</mo><mover accent="true" id="Thmproofx3.p1.17.m7.8.8" xref="Thmproofx3.p1.17.m7.8.8.cmml"><mi id="Thmproofx3.p1.17.m7.8.8.2" xref="Thmproofx3.p1.17.m7.8.8.2.cmml">v</mi><mo id="Thmproofx3.p1.17.m7.8.8.1" xref="Thmproofx3.p1.17.m7.8.8.1.cmml">^</mo></mover><mo id="Thmproofx3.p1.17.m7.8.9.3.2.3.2.3" stretchy="false" xref="Thmproofx3.p1.17.m7.8.9.3.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmproofx3.p1.17.m7.8b"><apply id="Thmproofx3.p1.17.m7.8.9.cmml" xref="Thmproofx3.p1.17.m7.8.9"><eq id="Thmproofx3.p1.17.m7.8.9.1.cmml" xref="Thmproofx3.p1.17.m7.8.9.1"></eq><apply id="Thmproofx3.p1.17.m7.8.9.2.cmml" xref="Thmproofx3.p1.17.m7.8.9.2"><times id="Thmproofx3.p1.17.m7.8.9.2.1.cmml" xref="Thmproofx3.p1.17.m7.8.9.2.1"></times><apply id="Thmproofx3.p1.17.m7.8.9.2.2.cmml" xref="Thmproofx3.p1.17.m7.8.9.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmproofx3.p1.17.m7.8.9.2.2.1.cmml" xref="Thmproofx3.p1.17.m7.8.9.2.2">subscript</csymbol><ci id="Thmproofx3.p1.17.m7.8.9.2.2.2.cmml" xref="Thmproofx3.p1.17.m7.8.9.2.2.2">𝐹</ci><list id="Thmproofx3.p1.17.m7.2.2.2.3.cmml" xref="Thmproofx3.p1.17.m7.2.2.2.4"><ci id="Thmproofx3.p1.17.m7.1.1.1.1.cmml" xref="Thmproofx3.p1.17.m7.1.1.1.1">𝛼</ci><ci id="Thmproofx3.p1.17.m7.2.2.2.2.cmml" xref="Thmproofx3.p1.17.m7.2.2.2.2">𝜆</ci></list></apply><interval closure="open" id="Thmproofx3.p1.17.m7.8.9.2.3.1.cmml" xref="Thmproofx3.p1.17.m7.8.9.2.3.2"><apply id="Thmproofx3.p1.17.m7.5.5.cmml" xref="Thmproofx3.p1.17.m7.5.5"><ci id="Thmproofx3.p1.17.m7.5.5.1.cmml" xref="Thmproofx3.p1.17.m7.5.5.1">^</ci><ci id="Thmproofx3.p1.17.m7.5.5.2.cmml" xref="Thmproofx3.p1.17.m7.5.5.2">𝑢</ci></apply><apply id="Thmproofx3.p1.17.m7.6.6.cmml" xref="Thmproofx3.p1.17.m7.6.6"><ci id="Thmproofx3.p1.17.m7.6.6.1.cmml" xref="Thmproofx3.p1.17.m7.6.6.1">^</ci><ci id="Thmproofx3.p1.17.m7.6.6.2.cmml" xref="Thmproofx3.p1.17.m7.6.6.2">𝑣</ci></apply></interval></apply><apply id="Thmproofx3.p1.17.m7.8.9.3.cmml" xref="Thmproofx3.p1.17.m7.8.9.3"><apply id="Thmproofx3.p1.17.m7.8.9.3.1.cmml" xref="Thmproofx3.p1.17.m7.8.9.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmproofx3.p1.17.m7.8.9.3.1.1.cmml" xref="Thmproofx3.p1.17.m7.8.9.3.1">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="Thmproofx3.p1.17.m7.8.9.3.1.2.cmml" xref="Thmproofx3.p1.17.m7.8.9.3.1.2">infimum</csymbol><ci id="Thmproofx3.p1.17.m7.8.9.3.1.3.cmml" xref="Thmproofx3.p1.17.m7.8.9.3.1.3">𝑢</ci></apply><apply id="Thmproofx3.p1.17.m7.8.9.3.2.cmml" xref="Thmproofx3.p1.17.m7.8.9.3.2"><times id="Thmproofx3.p1.17.m7.8.9.3.2.1.cmml" xref="Thmproofx3.p1.17.m7.8.9.3.2.1"></times><apply id="Thmproofx3.p1.17.m7.8.9.3.2.2.cmml" xref="Thmproofx3.p1.17.m7.8.9.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmproofx3.p1.17.m7.8.9.3.2.2.1.cmml" xref="Thmproofx3.p1.17.m7.8.9.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="Thmproofx3.p1.17.m7.8.9.3.2.2.2.cmml" xref="Thmproofx3.p1.17.m7.8.9.3.2.2.2">𝐹</ci><list id="Thmproofx3.p1.17.m7.4.4.2.3.cmml" xref="Thmproofx3.p1.17.m7.4.4.2.4"><ci id="Thmproofx3.p1.17.m7.3.3.1.1.cmml" xref="Thmproofx3.p1.17.m7.3.3.1.1">𝛼</ci><ci id="Thmproofx3.p1.17.m7.4.4.2.2.cmml" xref="Thmproofx3.p1.17.m7.4.4.2.2">𝜆</ci></list></apply><interval closure="open" id="Thmproofx3.p1.17.m7.8.9.3.2.3.1.cmml" xref="Thmproofx3.p1.17.m7.8.9.3.2.3.2"><ci id="Thmproofx3.p1.17.m7.7.7.cmml" xref="Thmproofx3.p1.17.m7.7.7">𝑢</ci><apply id="Thmproofx3.p1.17.m7.8.8.cmml" xref="Thmproofx3.p1.17.m7.8.8"><ci id="Thmproofx3.p1.17.m7.8.8.1.cmml" xref="Thmproofx3.p1.17.m7.8.8.1">^</ci><ci id="Thmproofx3.p1.17.m7.8.8.2.cmml" xref="Thmproofx3.p1.17.m7.8.8.2">𝑣</ci></apply></interval></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmproofx3.p1.17.m7.8c">F_{\alpha,\lambda}(\hat{u},\hat{v})=\inf_{u}F_{\alpha,\lambda}(u,\hat{v})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmproofx3.p1.17.m7.8d">italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_α , italic_λ end_POSTSUBSCRIPT ( over^ start_ARG italic_u end_ARG , over^ start_ARG italic_v end_ARG ) = roman_inf start_POSTSUBSCRIPT italic_u end_POSTSUBSCRIPT italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_α , italic_λ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_u , over^ start_ARG italic_v end_ARG )</annotation></semantics></math>. Thus we have <math alttext="(\hat{u},\hat{v})" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmproofx3.p1.18.m8.2"><semantics id="Thmproofx3.p1.18.m8.2a"><mrow id="Thmproofx3.p1.18.m8.2.3.2" xref="Thmproofx3.p1.18.m8.2.3.1.cmml"><mo id="Thmproofx3.p1.18.m8.2.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmproofx3.p1.18.m8.2.3.1.cmml">(</mo><mover accent="true" id="Thmproofx3.p1.18.m8.1.1" xref="Thmproofx3.p1.18.m8.1.1.cmml"><mi id="Thmproofx3.p1.18.m8.1.1.2" xref="Thmproofx3.p1.18.m8.1.1.2.cmml">u</mi><mo id="Thmproofx3.p1.18.m8.1.1.1" xref="Thmproofx3.p1.18.m8.1.1.1.cmml">^</mo></mover><mo id="Thmproofx3.p1.18.m8.2.3.2.2" xref="Thmproofx3.p1.18.m8.2.3.1.cmml">,</mo><mover accent="true" id="Thmproofx3.p1.18.m8.2.2" xref="Thmproofx3.p1.18.m8.2.2.cmml"><mi id="Thmproofx3.p1.18.m8.2.2.2" xref="Thmproofx3.p1.18.m8.2.2.2.cmml">v</mi><mo id="Thmproofx3.p1.18.m8.2.2.1" xref="Thmproofx3.p1.18.m8.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="Thmproofx3.p1.18.m8.2.3.2.3" stretchy="false" xref="Thmproofx3.p1.18.m8.2.3.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmproofx3.p1.18.m8.2b"><interval closure="open" id="Thmproofx3.p1.18.m8.2.3.1.cmml" xref="Thmproofx3.p1.18.m8.2.3.2"><apply id="Thmproofx3.p1.18.m8.1.1.cmml" xref="Thmproofx3.p1.18.m8.1.1"><ci id="Thmproofx3.p1.18.m8.1.1.1.cmml" xref="Thmproofx3.p1.18.m8.1.1.1">^</ci><ci id="Thmproofx3.p1.18.m8.1.1.2.cmml" xref="Thmproofx3.p1.18.m8.1.1.2">𝑢</ci></apply><apply id="Thmproofx3.p1.18.m8.2.2.cmml" xref="Thmproofx3.p1.18.m8.2.2"><ci id="Thmproofx3.p1.18.m8.2.2.1.cmml" xref="Thmproofx3.p1.18.m8.2.2.1">^</ci><ci id="Thmproofx3.p1.18.m8.2.2.2.cmml" xref="Thmproofx3.p1.18.m8.2.2.2">𝑣</ci></apply></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmproofx3.p1.18.m8.2c">(\hat{u},\hat{v})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmproofx3.p1.18.m8.2d">( over^ start_ARG italic_u end_ARG , over^ start_ARG italic_v end_ARG )</annotation></semantics></math> is a critical point of <math alttext="F_{\alpha,\lambda}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmproofx3.p1.19.m9.2"><semantics id="Thmproofx3.p1.19.m9.2a"><msub id="Thmproofx3.p1.19.m9.2.3" xref="Thmproofx3.p1.19.m9.2.3.cmml"><mi id="Thmproofx3.p1.19.m9.2.3.2" xref="Thmproofx3.p1.19.m9.2.3.2.cmml">F</mi><mrow id="Thmproofx3.p1.19.m9.2.2.2.4" xref="Thmproofx3.p1.19.m9.2.2.2.3.cmml"><mi id="Thmproofx3.p1.19.m9.1.1.1.1" xref="Thmproofx3.p1.19.m9.1.1.1.1.cmml">α</mi><mo id="Thmproofx3.p1.19.m9.2.2.2.4.1" xref="Thmproofx3.p1.19.m9.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="Thmproofx3.p1.19.m9.2.2.2.2" xref="Thmproofx3.p1.19.m9.2.2.2.2.cmml">λ</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmproofx3.p1.19.m9.2b"><apply id="Thmproofx3.p1.19.m9.2.3.cmml" xref="Thmproofx3.p1.19.m9.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmproofx3.p1.19.m9.2.3.1.cmml" xref="Thmproofx3.p1.19.m9.2.3">subscript</csymbol><ci id="Thmproofx3.p1.19.m9.2.3.2.cmml" xref="Thmproofx3.p1.19.m9.2.3.2">𝐹</ci><list id="Thmproofx3.p1.19.m9.2.2.2.3.cmml" xref="Thmproofx3.p1.19.m9.2.2.2.4"><ci id="Thmproofx3.p1.19.m9.1.1.1.1.cmml" xref="Thmproofx3.p1.19.m9.1.1.1.1">𝛼</ci><ci id="Thmproofx3.p1.19.m9.2.2.2.2.cmml" xref="Thmproofx3.p1.19.m9.2.2.2.2">𝜆</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmproofx3.p1.19.m9.2c">F_{\alpha,\lambda}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmproofx3.p1.19.m9.2d">italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_α , italic_λ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. This is equivalent to <math alttext="m=F_{\alpha,\lambda}(\hat{u},\hat{v})=\inf_{(u,v)}F_{\alpha,\lambda}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmproofx3.p1.20.m10.8"><semantics id="Thmproofx3.p1.20.m10.8a"><mrow id="Thmproofx3.p1.20.m10.8.9" xref="Thmproofx3.p1.20.m10.8.9.cmml"><mi id="Thmproofx3.p1.20.m10.8.9.2" xref="Thmproofx3.p1.20.m10.8.9.2.cmml">m</mi><mo id="Thmproofx3.p1.20.m10.8.9.3" xref="Thmproofx3.p1.20.m10.8.9.3.cmml">=</mo><mrow id="Thmproofx3.p1.20.m10.8.9.4" xref="Thmproofx3.p1.20.m10.8.9.4.cmml"><msub id="Thmproofx3.p1.20.m10.8.9.4.2" xref="Thmproofx3.p1.20.m10.8.9.4.2.cmml"><mi id="Thmproofx3.p1.20.m10.8.9.4.2.2" xref="Thmproofx3.p1.20.m10.8.9.4.2.2.cmml">F</mi><mrow id="Thmproofx3.p1.20.m10.2.2.2.4" xref="Thmproofx3.p1.20.m10.2.2.2.3.cmml"><mi id="Thmproofx3.p1.20.m10.1.1.1.1" xref="Thmproofx3.p1.20.m10.1.1.1.1.cmml">α</mi><mo id="Thmproofx3.p1.20.m10.2.2.2.4.1" xref="Thmproofx3.p1.20.m10.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="Thmproofx3.p1.20.m10.2.2.2.2" xref="Thmproofx3.p1.20.m10.2.2.2.2.cmml">λ</mi></mrow></msub><mo id="Thmproofx3.p1.20.m10.8.9.4.1" xref="Thmproofx3.p1.20.m10.8.9.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmproofx3.p1.20.m10.8.9.4.3.2" xref="Thmproofx3.p1.20.m10.8.9.4.3.1.cmml"><mo id="Thmproofx3.p1.20.m10.8.9.4.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmproofx3.p1.20.m10.8.9.4.3.1.cmml">(</mo><mover accent="true" id="Thmproofx3.p1.20.m10.7.7" xref="Thmproofx3.p1.20.m10.7.7.cmml"><mi id="Thmproofx3.p1.20.m10.7.7.2" xref="Thmproofx3.p1.20.m10.7.7.2.cmml">u</mi><mo id="Thmproofx3.p1.20.m10.7.7.1" xref="Thmproofx3.p1.20.m10.7.7.1.cmml">^</mo></mover><mo id="Thmproofx3.p1.20.m10.8.9.4.3.2.2" xref="Thmproofx3.p1.20.m10.8.9.4.3.1.cmml">,</mo><mover accent="true" id="Thmproofx3.p1.20.m10.8.8" xref="Thmproofx3.p1.20.m10.8.8.cmml"><mi id="Thmproofx3.p1.20.m10.8.8.2" xref="Thmproofx3.p1.20.m10.8.8.2.cmml">v</mi><mo id="Thmproofx3.p1.20.m10.8.8.1" xref="Thmproofx3.p1.20.m10.8.8.1.cmml">^</mo></mover><mo id="Thmproofx3.p1.20.m10.8.9.4.3.2.3" stretchy="false" xref="Thmproofx3.p1.20.m10.8.9.4.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="Thmproofx3.p1.20.m10.8.9.5" rspace="0.1389em" xref="Thmproofx3.p1.20.m10.8.9.5.cmml">=</mo><mrow id="Thmproofx3.p1.20.m10.8.9.6" xref="Thmproofx3.p1.20.m10.8.9.6.cmml"><msub id="Thmproofx3.p1.20.m10.8.9.6.1" xref="Thmproofx3.p1.20.m10.8.9.6.1.cmml"><mo id="Thmproofx3.p1.20.m10.8.9.6.1.2" lspace="0.1389em" rspace="0.167em" xref="Thmproofx3.p1.20.m10.8.9.6.1.2.cmml">inf</mo><mrow id="Thmproofx3.p1.20.m10.4.4.2.4" xref="Thmproofx3.p1.20.m10.4.4.2.3.cmml"><mo id="Thmproofx3.p1.20.m10.4.4.2.4.1" stretchy="false" xref="Thmproofx3.p1.20.m10.4.4.2.3.cmml">(</mo><mi id="Thmproofx3.p1.20.m10.3.3.1.1" xref="Thmproofx3.p1.20.m10.3.3.1.1.cmml">u</mi><mo id="Thmproofx3.p1.20.m10.4.4.2.4.2" xref="Thmproofx3.p1.20.m10.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="Thmproofx3.p1.20.m10.4.4.2.2" xref="Thmproofx3.p1.20.m10.4.4.2.2.cmml">v</mi><mo id="Thmproofx3.p1.20.m10.4.4.2.4.3" stretchy="false" xref="Thmproofx3.p1.20.m10.4.4.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub><msub id="Thmproofx3.p1.20.m10.8.9.6.2" xref="Thmproofx3.p1.20.m10.8.9.6.2.cmml"><mi id="Thmproofx3.p1.20.m10.8.9.6.2.2" xref="Thmproofx3.p1.20.m10.8.9.6.2.2.cmml">F</mi><mrow id="Thmproofx3.p1.20.m10.6.6.2.4" xref="Thmproofx3.p1.20.m10.6.6.2.3.cmml"><mi id="Thmproofx3.p1.20.m10.5.5.1.1" xref="Thmproofx3.p1.20.m10.5.5.1.1.cmml">α</mi><mo id="Thmproofx3.p1.20.m10.6.6.2.4.1" xref="Thmproofx3.p1.20.m10.6.6.2.3.cmml">,</mo><mi id="Thmproofx3.p1.20.m10.6.6.2.2" xref="Thmproofx3.p1.20.m10.6.6.2.2.cmml">λ</mi></mrow></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmproofx3.p1.20.m10.8b"><apply id="Thmproofx3.p1.20.m10.8.9.cmml" xref="Thmproofx3.p1.20.m10.8.9"><and id="Thmproofx3.p1.20.m10.8.9a.cmml" xref="Thmproofx3.p1.20.m10.8.9"></and><apply id="Thmproofx3.p1.20.m10.8.9b.cmml" xref="Thmproofx3.p1.20.m10.8.9"><eq id="Thmproofx3.p1.20.m10.8.9.3.cmml" xref="Thmproofx3.p1.20.m10.8.9.3"></eq><ci id="Thmproofx3.p1.20.m10.8.9.2.cmml" xref="Thmproofx3.p1.20.m10.8.9.2">𝑚</ci><apply id="Thmproofx3.p1.20.m10.8.9.4.cmml" xref="Thmproofx3.p1.20.m10.8.9.4"><times id="Thmproofx3.p1.20.m10.8.9.4.1.cmml" xref="Thmproofx3.p1.20.m10.8.9.4.1"></times><apply id="Thmproofx3.p1.20.m10.8.9.4.2.cmml" xref="Thmproofx3.p1.20.m10.8.9.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmproofx3.p1.20.m10.8.9.4.2.1.cmml" xref="Thmproofx3.p1.20.m10.8.9.4.2">subscript</csymbol><ci id="Thmproofx3.p1.20.m10.8.9.4.2.2.cmml" xref="Thmproofx3.p1.20.m10.8.9.4.2.2">𝐹</ci><list id="Thmproofx3.p1.20.m10.2.2.2.3.cmml" xref="Thmproofx3.p1.20.m10.2.2.2.4"><ci id="Thmproofx3.p1.20.m10.1.1.1.1.cmml" xref="Thmproofx3.p1.20.m10.1.1.1.1">𝛼</ci><ci id="Thmproofx3.p1.20.m10.2.2.2.2.cmml" xref="Thmproofx3.p1.20.m10.2.2.2.2">𝜆</ci></list></apply><interval closure="open" id="Thmproofx3.p1.20.m10.8.9.4.3.1.cmml" xref="Thmproofx3.p1.20.m10.8.9.4.3.2"><apply id="Thmproofx3.p1.20.m10.7.7.cmml" xref="Thmproofx3.p1.20.m10.7.7"><ci id="Thmproofx3.p1.20.m10.7.7.1.cmml" xref="Thmproofx3.p1.20.m10.7.7.1">^</ci><ci id="Thmproofx3.p1.20.m10.7.7.2.cmml" xref="Thmproofx3.p1.20.m10.7.7.2">𝑢</ci></apply><apply id="Thmproofx3.p1.20.m10.8.8.cmml" xref="Thmproofx3.p1.20.m10.8.8"><ci id="Thmproofx3.p1.20.m10.8.8.1.cmml" xref="Thmproofx3.p1.20.m10.8.8.1">^</ci><ci id="Thmproofx3.p1.20.m10.8.8.2.cmml" xref="Thmproofx3.p1.20.m10.8.8.2">𝑣</ci></apply></interval></apply></apply><apply id="Thmproofx3.p1.20.m10.8.9c.cmml" xref="Thmproofx3.p1.20.m10.8.9"><eq id="Thmproofx3.p1.20.m10.8.9.5.cmml" xref="Thmproofx3.p1.20.m10.8.9.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#Thmproofx3.p1.20.m10.8.9.4.cmml" id="Thmproofx3.p1.20.m10.8.9d.cmml" xref="Thmproofx3.p1.20.m10.8.9"></share><apply id="Thmproofx3.p1.20.m10.8.9.6.cmml" xref="Thmproofx3.p1.20.m10.8.9.6"><apply id="Thmproofx3.p1.20.m10.8.9.6.1.cmml" xref="Thmproofx3.p1.20.m10.8.9.6.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmproofx3.p1.20.m10.8.9.6.1.1.cmml" xref="Thmproofx3.p1.20.m10.8.9.6.1">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="Thmproofx3.p1.20.m10.8.9.6.1.2.cmml" xref="Thmproofx3.p1.20.m10.8.9.6.1.2">infimum</csymbol><interval closure="open" id="Thmproofx3.p1.20.m10.4.4.2.3.cmml" xref="Thmproofx3.p1.20.m10.4.4.2.4"><ci id="Thmproofx3.p1.20.m10.3.3.1.1.cmml" xref="Thmproofx3.p1.20.m10.3.3.1.1">𝑢</ci><ci id="Thmproofx3.p1.20.m10.4.4.2.2.cmml" xref="Thmproofx3.p1.20.m10.4.4.2.2">𝑣</ci></interval></apply><apply id="Thmproofx3.p1.20.m10.8.9.6.2.cmml" xref="Thmproofx3.p1.20.m10.8.9.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmproofx3.p1.20.m10.8.9.6.2.1.cmml" xref="Thmproofx3.p1.20.m10.8.9.6.2">subscript</csymbol><ci id="Thmproofx3.p1.20.m10.8.9.6.2.2.cmml" xref="Thmproofx3.p1.20.m10.8.9.6.2.2">𝐹</ci><list id="Thmproofx3.p1.20.m10.6.6.2.3.cmml" xref="Thmproofx3.p1.20.m10.6.6.2.4"><ci id="Thmproofx3.p1.20.m10.5.5.1.1.cmml" xref="Thmproofx3.p1.20.m10.5.5.1.1">𝛼</ci><ci id="Thmproofx3.p1.20.m10.6.6.2.2.cmml" xref="Thmproofx3.p1.20.m10.6.6.2.2">𝜆</ci></list></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmproofx3.p1.20.m10.8c">m=F_{\alpha,\lambda}(\hat{u},\hat{v})=\inf_{(u,v)}F_{\alpha,\lambda}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmproofx3.p1.20.m10.8d">italic_m = italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_α , italic_λ end_POSTSUBSCRIPT ( over^ start_ARG italic_u end_ARG , over^ start_ARG italic_v end_ARG ) = roman_inf start_POSTSUBSCRIPT ( italic_u , italic_v ) end_POSTSUBSCRIPT italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_α , italic_λ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. Hence the sequence <math alttext="F_{\alpha,\lambda}(u_{n},v_{n})" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmproofx3.p1.21.m11.4"><semantics id="Thmproofx3.p1.21.m11.4a"><mrow id="Thmproofx3.p1.21.m11.4.4" xref="Thmproofx3.p1.21.m11.4.4.cmml"><msub id="Thmproofx3.p1.21.m11.4.4.4" xref="Thmproofx3.p1.21.m11.4.4.4.cmml"><mi id="Thmproofx3.p1.21.m11.4.4.4.2" xref="Thmproofx3.p1.21.m11.4.4.4.2.cmml">F</mi><mrow id="Thmproofx3.p1.21.m11.2.2.2.4" xref="Thmproofx3.p1.21.m11.2.2.2.3.cmml"><mi id="Thmproofx3.p1.21.m11.1.1.1.1" xref="Thmproofx3.p1.21.m11.1.1.1.1.cmml">α</mi><mo id="Thmproofx3.p1.21.m11.2.2.2.4.1" xref="Thmproofx3.p1.21.m11.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="Thmproofx3.p1.21.m11.2.2.2.2" xref="Thmproofx3.p1.21.m11.2.2.2.2.cmml">λ</mi></mrow></msub><mo id="Thmproofx3.p1.21.m11.4.4.3" xref="Thmproofx3.p1.21.m11.4.4.3.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmproofx3.p1.21.m11.4.4.2.2" xref="Thmproofx3.p1.21.m11.4.4.2.3.cmml"><mo id="Thmproofx3.p1.21.m11.4.4.2.2.3" stretchy="false" xref="Thmproofx3.p1.21.m11.4.4.2.3.cmml">(</mo><msub id="Thmproofx3.p1.21.m11.3.3.1.1.1" xref="Thmproofx3.p1.21.m11.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="Thmproofx3.p1.21.m11.3.3.1.1.1.2" xref="Thmproofx3.p1.21.m11.3.3.1.1.1.2.cmml">u</mi><mi id="Thmproofx3.p1.21.m11.3.3.1.1.1.3" xref="Thmproofx3.p1.21.m11.3.3.1.1.1.3.cmml">n</mi></msub><mo id="Thmproofx3.p1.21.m11.4.4.2.2.4" xref="Thmproofx3.p1.21.m11.4.4.2.3.cmml">,</mo><msub id="Thmproofx3.p1.21.m11.4.4.2.2.2" xref="Thmproofx3.p1.21.m11.4.4.2.2.2.cmml"><mi id="Thmproofx3.p1.21.m11.4.4.2.2.2.2" xref="Thmproofx3.p1.21.m11.4.4.2.2.2.2.cmml">v</mi><mi id="Thmproofx3.p1.21.m11.4.4.2.2.2.3" xref="Thmproofx3.p1.21.m11.4.4.2.2.2.3.cmml">n</mi></msub><mo id="Thmproofx3.p1.21.m11.4.4.2.2.5" stretchy="false" xref="Thmproofx3.p1.21.m11.4.4.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmproofx3.p1.21.m11.4b"><apply id="Thmproofx3.p1.21.m11.4.4.cmml" xref="Thmproofx3.p1.21.m11.4.4"><times id="Thmproofx3.p1.21.m11.4.4.3.cmml" xref="Thmproofx3.p1.21.m11.4.4.3"></times><apply id="Thmproofx3.p1.21.m11.4.4.4.cmml" xref="Thmproofx3.p1.21.m11.4.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmproofx3.p1.21.m11.4.4.4.1.cmml" xref="Thmproofx3.p1.21.m11.4.4.4">subscript</csymbol><ci id="Thmproofx3.p1.21.m11.4.4.4.2.cmml" xref="Thmproofx3.p1.21.m11.4.4.4.2">𝐹</ci><list id="Thmproofx3.p1.21.m11.2.2.2.3.cmml" xref="Thmproofx3.p1.21.m11.2.2.2.4"><ci id="Thmproofx3.p1.21.m11.1.1.1.1.cmml" xref="Thmproofx3.p1.21.m11.1.1.1.1">𝛼</ci><ci id="Thmproofx3.p1.21.m11.2.2.2.2.cmml" xref="Thmproofx3.p1.21.m11.2.2.2.2">𝜆</ci></list></apply><interval closure="open" id="Thmproofx3.p1.21.m11.4.4.2.3.cmml" xref="Thmproofx3.p1.21.m11.4.4.2.2"><apply id="Thmproofx3.p1.21.m11.3.3.1.1.1.cmml" xref="Thmproofx3.p1.21.m11.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmproofx3.p1.21.m11.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="Thmproofx3.p1.21.m11.3.3.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmproofx3.p1.21.m11.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="Thmproofx3.p1.21.m11.3.3.1.1.1.2">𝑢</ci><ci id="Thmproofx3.p1.21.m11.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="Thmproofx3.p1.21.m11.3.3.1.1.1.3">𝑛</ci></apply><apply id="Thmproofx3.p1.21.m11.4.4.2.2.2.cmml" xref="Thmproofx3.p1.21.m11.4.4.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmproofx3.p1.21.m11.4.4.2.2.2.1.cmml" xref="Thmproofx3.p1.21.m11.4.4.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="Thmproofx3.p1.21.m11.4.4.2.2.2.2.cmml" xref="Thmproofx3.p1.21.m11.4.4.2.2.2.2">𝑣</ci><ci id="Thmproofx3.p1.21.m11.4.4.2.2.2.3.cmml" xref="Thmproofx3.p1.21.m11.4.4.2.2.2.3">𝑛</ci></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmproofx3.p1.21.m11.4c">F_{\alpha,\lambda}(u_{n},v_{n})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmproofx3.p1.21.m11.4d">italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_α , italic_λ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT , italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> converges to the unique minimum of <math alttext="F_{\alpha,\lambda}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmproofx3.p1.22.m12.2"><semantics id="Thmproofx3.p1.22.m12.2a"><msub id="Thmproofx3.p1.22.m12.2.3" xref="Thmproofx3.p1.22.m12.2.3.cmml"><mi id="Thmproofx3.p1.22.m12.2.3.2" xref="Thmproofx3.p1.22.m12.2.3.2.cmml">F</mi><mrow id="Thmproofx3.p1.22.m12.2.2.2.4" xref="Thmproofx3.p1.22.m12.2.2.2.3.cmml"><mi id="Thmproofx3.p1.22.m12.1.1.1.1" xref="Thmproofx3.p1.22.m12.1.1.1.1.cmml">α</mi><mo id="Thmproofx3.p1.22.m12.2.2.2.4.1" xref="Thmproofx3.p1.22.m12.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="Thmproofx3.p1.22.m12.2.2.2.2" xref="Thmproofx3.p1.22.m12.2.2.2.2.cmml">λ</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmproofx3.p1.22.m12.2b"><apply id="Thmproofx3.p1.22.m12.2.3.cmml" xref="Thmproofx3.p1.22.m12.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmproofx3.p1.22.m12.2.3.1.cmml" xref="Thmproofx3.p1.22.m12.2.3">subscript</csymbol><ci id="Thmproofx3.p1.22.m12.2.3.2.cmml" xref="Thmproofx3.p1.22.m12.2.3.2">𝐹</ci><list id="Thmproofx3.p1.22.m12.2.2.2.3.cmml" xref="Thmproofx3.p1.22.m12.2.2.2.4"><ci id="Thmproofx3.p1.22.m12.1.1.1.1.cmml" xref="Thmproofx3.p1.22.m12.1.1.1.1">𝛼</ci><ci id="Thmproofx3.p1.22.m12.2.2.2.2.cmml" xref="Thmproofx3.p1.22.m12.2.2.2.2">𝜆</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmproofx3.p1.22.m12.2c">F_{\alpha,\lambda}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmproofx3.p1.22.m12.2d">italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_α , italic_λ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. We deduce that the sequence <math alttext="(u_{n},v_{n})" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmproofx3.p1.23.m13.2"><semantics id="Thmproofx3.p1.23.m13.2a"><mrow id="Thmproofx3.p1.23.m13.2.2.2" xref="Thmproofx3.p1.23.m13.2.2.3.cmml"><mo id="Thmproofx3.p1.23.m13.2.2.2.3" stretchy="false" xref="Thmproofx3.p1.23.m13.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="Thmproofx3.p1.23.m13.1.1.1.1" xref="Thmproofx3.p1.23.m13.1.1.1.1.cmml"><mi id="Thmproofx3.p1.23.m13.1.1.1.1.2" xref="Thmproofx3.p1.23.m13.1.1.1.1.2.cmml">u</mi><mi id="Thmproofx3.p1.23.m13.1.1.1.1.3" xref="Thmproofx3.p1.23.m13.1.1.1.1.3.cmml">n</mi></msub><mo id="Thmproofx3.p1.23.m13.2.2.2.4" xref="Thmproofx3.p1.23.m13.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="Thmproofx3.p1.23.m13.2.2.2.2" xref="Thmproofx3.p1.23.m13.2.2.2.2.cmml"><mi id="Thmproofx3.p1.23.m13.2.2.2.2.2" xref="Thmproofx3.p1.23.m13.2.2.2.2.2.cmml">v</mi><mi id="Thmproofx3.p1.23.m13.2.2.2.2.3" xref="Thmproofx3.p1.23.m13.2.2.2.2.3.cmml">n</mi></msub><mo id="Thmproofx3.p1.23.m13.2.2.2.5" stretchy="false" xref="Thmproofx3.p1.23.m13.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmproofx3.p1.23.m13.2b"><interval closure="open" id="Thmproofx3.p1.23.m13.2.2.3.cmml" xref="Thmproofx3.p1.23.m13.2.2.2"><apply id="Thmproofx3.p1.23.m13.1.1.1.1.cmml" xref="Thmproofx3.p1.23.m13.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmproofx3.p1.23.m13.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmproofx3.p1.23.m13.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmproofx3.p1.23.m13.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmproofx3.p1.23.m13.1.1.1.1.2">𝑢</ci><ci id="Thmproofx3.p1.23.m13.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmproofx3.p1.23.m13.1.1.1.1.3">𝑛</ci></apply><apply id="Thmproofx3.p1.23.m13.2.2.2.2.cmml" xref="Thmproofx3.p1.23.m13.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmproofx3.p1.23.m13.2.2.2.2.1.cmml" xref="Thmproofx3.p1.23.m13.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="Thmproofx3.p1.23.m13.2.2.2.2.2.cmml" xref="Thmproofx3.p1.23.m13.2.2.2.2.2">𝑣</ci><ci id="Thmproofx3.p1.23.m13.2.2.2.2.3.cmml" xref="Thmproofx3.p1.23.m13.2.2.2.2.3">𝑛</ci></apply></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmproofx3.p1.23.m13.2c">(u_{n},v_{n})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmproofx3.p1.23.m13.2d">( italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT , italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> converges to the unique minimizer. <math alttext="\hfill\square" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmproofx3.p1.24.m14.1"><semantics id="Thmproofx3.p1.24.m14.1a"><mi id="Thmproofx3.p1.24.m14.1.1" mathvariant="normal" xref="Thmproofx3.p1.24.m14.1.1.cmml">□</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmproofx3.p1.24.m14.1b"><ci id="Thmproofx3.p1.24.m14.1.1.cmml" xref="Thmproofx3.p1.24.m14.1.1">□</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmproofx3.p1.24.m14.1c">\hfill\square</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmproofx3.p1.24.m14.1d">□</annotation></semantics></math></p> </div> </div> </section> </section> <section class="ltx_section" id="S5"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">5 </span>Numerical Experiments</h2> <div class="ltx_para" id="S5.p1"> <p class="ltx_p" id="S5.p1.1">In this section, we present numerical results by applying the proposed models for real images. We also compare them with other models, including the ROF model and <math alttext="G" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p1.1.m1.1"><semantics id="S5.p1.1.m1.1a"><mi id="S5.p1.1.m1.1.1" xref="S5.p1.1.m1.1.1.cmml">G</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p1.1.m1.1b"><ci id="S5.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.p1.1.m1.1.1">𝐺</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p1.1.m1.1c">G</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p1.1.m1.1d">italic_G</annotation></semantics></math>-TV model.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S5.p2"> <p class="ltx_p" id="S5.p2.2">We set the mesh sizes <math alttext="h=1" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p2.1.m1.1"><semantics id="S5.p2.1.m1.1a"><mrow id="S5.p2.1.m1.1.1" xref="S5.p2.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.p2.1.m1.1.1.2" xref="S5.p2.1.m1.1.1.2.cmml">h</mi><mo id="S5.p2.1.m1.1.1.1" xref="S5.p2.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S5.p2.1.m1.1.1.3" xref="S5.p2.1.m1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p2.1.m1.1b"><apply id="S5.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.p2.1.m1.1.1"><eq id="S5.p2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.p2.1.m1.1.1.1"></eq><ci id="S5.p2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.p2.1.m1.1.1.2">ℎ</ci><cn id="S5.p2.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.p2.1.m1.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p2.1.m1.1c">h=1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p2.1.m1.1d">italic_h = 1</annotation></semantics></math> in discretization in Sect. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S4.SS1" title="4.1 Discretization ‣ 4 Numerical Algorithm ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4.1</span></a>. The images should be rescaled in <math alttext="[0,1]" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p2.2.m2.2"><semantics id="S5.p2.2.m2.2a"><mrow id="S5.p2.2.m2.2.3.2" xref="S5.p2.2.m2.2.3.1.cmml"><mo id="S5.p2.2.m2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.p2.2.m2.2.3.1.cmml">[</mo><mn id="S5.p2.2.m2.1.1" xref="S5.p2.2.m2.1.1.cmml">0</mn><mo id="S5.p2.2.m2.2.3.2.2" xref="S5.p2.2.m2.2.3.1.cmml">,</mo><mn id="S5.p2.2.m2.2.2" xref="S5.p2.2.m2.2.2.cmml">1</mn><mo id="S5.p2.2.m2.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S5.p2.2.m2.2.3.1.cmml">]</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p2.2.m2.2b"><interval closure="closed" id="S5.p2.2.m2.2.3.1.cmml" xref="S5.p2.2.m2.2.3.2"><cn id="S5.p2.2.m2.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.p2.2.m2.1.1">0</cn><cn id="S5.p2.2.m2.2.2.cmml" type="integer" xref="S5.p2.2.m2.2.2">1</cn></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p2.2.m2.2c">[0,1]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p2.2.m2.2d">[ 0 , 1 ]</annotation></semantics></math> for its intensity.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S5.p3"> <p class="ltx_p" id="S5.p3.5">In Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S5.F1" title="Figure 1 ‣ 5 Numerical Experiments ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>, we show the decomposition of a given image into cartoon and texture components using the ROF model, <math alttext="G" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p3.1.m1.1"><semantics id="S5.p3.1.m1.1a"><mi id="S5.p3.1.m1.1.1" xref="S5.p3.1.m1.1.1.cmml">G</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p3.1.m1.1b"><ci id="S5.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.p3.1.m1.1.1">𝐺</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p3.1.m1.1c">G</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p3.1.m1.1d">italic_G</annotation></semantics></math>-TV model and the proposed model. For the <math alttext="G" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p3.2.m2.1"><semantics id="S5.p3.2.m2.1a"><mi id="S5.p3.2.m2.1.1" xref="S5.p3.2.m2.1.1.cmml">G</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p3.2.m2.1b"><ci id="S5.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S5.p3.2.m2.1.1">𝐺</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p3.2.m2.1c">G</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p3.2.m2.1d">italic_G</annotation></semantics></math>-TV model (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S2.E26" title="In 2.2 Meyer’s 𝐺-TV Model for Cartoon and Texture Decomposition ‣ 2 Related work ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">26</span></a>) and our model (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S3.E28" title="In 3.1 The proposed image denoising model ‣ 3 The Proposed Image Restoration Models ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">28</span></a>), we set <math alttext="\alpha=200" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p3.3.m3.1"><semantics id="S5.p3.3.m3.1a"><mrow id="S5.p3.3.m3.1.1" xref="S5.p3.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S5.p3.3.m3.1.1.2" xref="S5.p3.3.m3.1.1.2.cmml">α</mi><mo id="S5.p3.3.m3.1.1.1" xref="S5.p3.3.m3.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S5.p3.3.m3.1.1.3" xref="S5.p3.3.m3.1.1.3.cmml">200</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p3.3.m3.1b"><apply id="S5.p3.3.m3.1.1.cmml" xref="S5.p3.3.m3.1.1"><eq id="S5.p3.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S5.p3.3.m3.1.1.1"></eq><ci id="S5.p3.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S5.p3.3.m3.1.1.2">𝛼</ci><cn id="S5.p3.3.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.p3.3.m3.1.1.3">200</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p3.3.m3.1c">\alpha=200</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p3.3.m3.1d">italic_α = 200</annotation></semantics></math> and the other parameters are adjusted such that the cartoon parts have the same total variations as the ROF model (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S1.E1" title="In 1 Introduction ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>). Note the loss of intensity on the face area for the ROF model. The <math alttext="G" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p3.4.m4.1"><semantics id="S5.p3.4.m4.1a"><mi id="S5.p3.4.m4.1.1" xref="S5.p3.4.m4.1.1.cmml">G</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p3.4.m4.1b"><ci id="S5.p3.4.m4.1.1.cmml" xref="S5.p3.4.m4.1.1">𝐺</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p3.4.m4.1c">G</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p3.4.m4.1d">italic_G</annotation></semantics></math>-TV model is an improvement of the ROF model to decompose an image <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib4" title="">2006Structure </a></cite>. The texture parts in the scarf are better captured in the oscillatory component <math alttext="v" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p3.5.m5.1"><semantics id="S5.p3.5.m5.1a"><mi id="S5.p3.5.m5.1.1" xref="S5.p3.5.m5.1.1.cmml">v</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p3.5.m5.1b"><ci id="S5.p3.5.m5.1.1.cmml" xref="S5.p3.5.m5.1.1">𝑣</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p3.5.m5.1c">v</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p3.5.m5.1d">italic_v</annotation></semantics></math> and the structure of the face is kept in the cartoon part by using our model.</p> </div> <figure class="ltx_figure" id="S5.F1"> <div class="ltx_flex_figure"> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_3"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S5.F1.sf1"> <div class="ltx_block ltx_minipage ltx_align_middle" id="S5.F1.sf1.1" style="width:130.1pt;"> <img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_square" height="598" id="S5.F1.sf1.1.g1" src="extracted/6292504/KR_denoising/figure/new_model/bar_15/bar.jpg" width="598"/> </div> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S5.F1.sf1.5.1.1" style="font-size:80%;">(a)</span> </span><math alttext="f" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F1.sf1.3.m1.1"><semantics id="S5.F1.sf1.3.m1.1b"><mi id="S5.F1.sf1.3.m1.1.1" mathsize="80%" xref="S5.F1.sf1.3.m1.1.1.cmml">f</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F1.sf1.3.m1.1c"><ci id="S5.F1.sf1.3.m1.1.1.cmml" xref="S5.F1.sf1.3.m1.1.1">𝑓</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F1.sf1.3.m1.1d">f</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F1.sf1.3.m1.1e">italic_f</annotation></semantics></math></figcaption> </figure> </div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_3"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S5.F1.sf2"> <div class="ltx_block ltx_minipage ltx_align_middle" id="S5.F1.sf2.1" style="width:130.1pt;"> <img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_square" height="598" id="S5.F1.sf2.1.g1" src="extracted/6292504/KR_denoising/figure/new_model/bar_15/barbara_2/rof_alp13_1.56e3_u.jpg" width="598"/> </div> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S5.F1.sf2.5.1.1" style="font-size:80%;">(b)</span> </span><math alttext="u" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F1.sf2.3.m1.1"><semantics id="S5.F1.sf2.3.m1.1b"><mi id="S5.F1.sf2.3.m1.1.1" mathsize="80%" xref="S5.F1.sf2.3.m1.1.1.cmml">u</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F1.sf2.3.m1.1c"><ci id="S5.F1.sf2.3.m1.1.1.cmml" xref="S5.F1.sf2.3.m1.1.1">𝑢</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F1.sf2.3.m1.1d">u</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F1.sf2.3.m1.1e">italic_u</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S5.F1.sf2.6.2" style="font-size:80%;"> by ROF</span></figcaption> </figure> </div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_3"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S5.F1.sf3"> <div class="ltx_block ltx_minipage ltx_align_middle" id="S5.F1.sf3.1" style="width:130.1pt;"> <img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_square" height="598" id="S5.F1.sf3.1.g1" src="extracted/6292504/KR_denoising/figure/new_model/bar_15/barbara_2/g_tv_alp200_mu0.06_1.55e3_u.jpg" width="598"/> </div> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S5.F1.sf3.7.2.1" style="font-size:80%;">(c)</span> </span><math alttext="u" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F1.sf3.4.m1.1"><semantics id="S5.F1.sf3.4.m1.1b"><mi id="S5.F1.sf3.4.m1.1.1" mathsize="80%" xref="S5.F1.sf3.4.m1.1.1.cmml">u</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F1.sf3.4.m1.1c"><ci id="S5.F1.sf3.4.m1.1.1.cmml" xref="S5.F1.sf3.4.m1.1.1">𝑢</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F1.sf3.4.m1.1d">u</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F1.sf3.4.m1.1e">italic_u</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S5.F1.sf3.5.1" style="font-size:80%;"> by <math alttext="G" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F1.sf3.5.1.m1.1"><semantics id="S5.F1.sf3.5.1.m1.1b"><mi id="S5.F1.sf3.5.1.m1.1.1" xref="S5.F1.sf3.5.1.m1.1.1.cmml">G</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F1.sf3.5.1.m1.1c"><ci id="S5.F1.sf3.5.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.F1.sf3.5.1.m1.1.1">𝐺</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F1.sf3.5.1.m1.1d">G</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F1.sf3.5.1.m1.1e">italic_G</annotation></semantics></math>-TV</span></figcaption> </figure> </div> <div class="ltx_flex_break"></div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_3"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S5.F1.sf4"> <div class="ltx_block ltx_minipage ltx_align_middle" id="S5.F1.sf4.1" style="width:130.1pt;"> <img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_square" height="598" id="S5.F1.sf4.1.g1" src="extracted/6292504/KR_denoising/figure/new_model/bar_15/barbara_2/kr_lam1_alp2e2_u_1.52e3.jpg" width="598"/> </div> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S5.F1.sf4.5.1.1" style="font-size:80%;">(d)</span> </span><math alttext="u" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F1.sf4.3.m1.1"><semantics id="S5.F1.sf4.3.m1.1b"><mi id="S5.F1.sf4.3.m1.1.1" mathsize="80%" xref="S5.F1.sf4.3.m1.1.1.cmml">u</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F1.sf4.3.m1.1c"><ci id="S5.F1.sf4.3.m1.1.1.cmml" xref="S5.F1.sf4.3.m1.1.1">𝑢</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F1.sf4.3.m1.1d">u</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F1.sf4.3.m1.1e">italic_u</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S5.F1.sf4.6.2" style="font-size:80%;"> by our model</span></figcaption> </figure> </div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_3"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S5.F1.sf5"> <div class="ltx_block ltx_minipage ltx_align_middle" id="S5.F1.sf5.1" style="width:130.1pt;"> <img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_square" height="598" id="S5.F1.sf5.1.g1" src="extracted/6292504/KR_denoising/figure/new_model/bar_15/barbara_2/rof_alp13_1.56e3_f-u.jpg" width="598"/> </div> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S5.F1.sf5.5.1.1" style="font-size:80%;">(e)</span> </span><math alttext="f-u+100/255" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F1.sf5.3.m1.1"><semantics id="S5.F1.sf5.3.m1.1b"><mrow id="S5.F1.sf5.3.m1.1.1" xref="S5.F1.sf5.3.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.F1.sf5.3.m1.1.1.2" xref="S5.F1.sf5.3.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.F1.sf5.3.m1.1.1.2.2" mathsize="80%" xref="S5.F1.sf5.3.m1.1.1.2.2.cmml">f</mi><mo id="S5.F1.sf5.3.m1.1.1.2.1" mathsize="80%" xref="S5.F1.sf5.3.m1.1.1.2.1.cmml">−</mo><mi id="S5.F1.sf5.3.m1.1.1.2.3" mathsize="80%" xref="S5.F1.sf5.3.m1.1.1.2.3.cmml">u</mi></mrow><mo id="S5.F1.sf5.3.m1.1.1.1" mathsize="80%" xref="S5.F1.sf5.3.m1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.F1.sf5.3.m1.1.1.3" xref="S5.F1.sf5.3.m1.1.1.3.cmml"><mn id="S5.F1.sf5.3.m1.1.1.3.2" mathsize="80%" xref="S5.F1.sf5.3.m1.1.1.3.2.cmml">100</mn><mo id="S5.F1.sf5.3.m1.1.1.3.1" maxsize="80%" minsize="80%" stretchy="true" symmetric="true" xref="S5.F1.sf5.3.m1.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S5.F1.sf5.3.m1.1.1.3.3" mathsize="80%" xref="S5.F1.sf5.3.m1.1.1.3.3.cmml">255</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F1.sf5.3.m1.1c"><apply id="S5.F1.sf5.3.m1.1.1.cmml" xref="S5.F1.sf5.3.m1.1.1"><plus id="S5.F1.sf5.3.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.F1.sf5.3.m1.1.1.1"></plus><apply id="S5.F1.sf5.3.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.F1.sf5.3.m1.1.1.2"><minus id="S5.F1.sf5.3.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.F1.sf5.3.m1.1.1.2.1"></minus><ci id="S5.F1.sf5.3.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.F1.sf5.3.m1.1.1.2.2">𝑓</ci><ci id="S5.F1.sf5.3.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.F1.sf5.3.m1.1.1.2.3">𝑢</ci></apply><apply id="S5.F1.sf5.3.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.F1.sf5.3.m1.1.1.3"><divide id="S5.F1.sf5.3.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.F1.sf5.3.m1.1.1.3.1"></divide><cn id="S5.F1.sf5.3.m1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.F1.sf5.3.m1.1.1.3.2">100</cn><cn id="S5.F1.sf5.3.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.F1.sf5.3.m1.1.1.3.3">255</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F1.sf5.3.m1.1d">f-u+100/255</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F1.sf5.3.m1.1e">italic_f - italic_u + 100 / 255</annotation></semantics></math></figcaption> </figure> </div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_3"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S5.F1.sf6"> <div class="ltx_block ltx_minipage ltx_align_middle" id="S5.F1.sf6.1" style="width:130.1pt;"> <img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_square" height="598" id="S5.F1.sf6.1.g1" src="extracted/6292504/KR_denoising/figure/new_model/bar_15/barbara_2/g_tv_alp200_mu0.06_f-u.jpg" width="598"/> </div> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S5.F1.sf6.5.1.1" style="font-size:80%;">(f)</span> </span><math alttext="f-u+100/255" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F1.sf6.3.m1.1"><semantics id="S5.F1.sf6.3.m1.1b"><mrow id="S5.F1.sf6.3.m1.1.1" xref="S5.F1.sf6.3.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.F1.sf6.3.m1.1.1.2" xref="S5.F1.sf6.3.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.F1.sf6.3.m1.1.1.2.2" mathsize="80%" xref="S5.F1.sf6.3.m1.1.1.2.2.cmml">f</mi><mo id="S5.F1.sf6.3.m1.1.1.2.1" mathsize="80%" xref="S5.F1.sf6.3.m1.1.1.2.1.cmml">−</mo><mi id="S5.F1.sf6.3.m1.1.1.2.3" mathsize="80%" xref="S5.F1.sf6.3.m1.1.1.2.3.cmml">u</mi></mrow><mo id="S5.F1.sf6.3.m1.1.1.1" mathsize="80%" xref="S5.F1.sf6.3.m1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.F1.sf6.3.m1.1.1.3" xref="S5.F1.sf6.3.m1.1.1.3.cmml"><mn id="S5.F1.sf6.3.m1.1.1.3.2" mathsize="80%" xref="S5.F1.sf6.3.m1.1.1.3.2.cmml">100</mn><mo id="S5.F1.sf6.3.m1.1.1.3.1" maxsize="80%" minsize="80%" stretchy="true" symmetric="true" xref="S5.F1.sf6.3.m1.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S5.F1.sf6.3.m1.1.1.3.3" mathsize="80%" xref="S5.F1.sf6.3.m1.1.1.3.3.cmml">255</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F1.sf6.3.m1.1c"><apply id="S5.F1.sf6.3.m1.1.1.cmml" xref="S5.F1.sf6.3.m1.1.1"><plus id="S5.F1.sf6.3.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.F1.sf6.3.m1.1.1.1"></plus><apply id="S5.F1.sf6.3.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.F1.sf6.3.m1.1.1.2"><minus id="S5.F1.sf6.3.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.F1.sf6.3.m1.1.1.2.1"></minus><ci id="S5.F1.sf6.3.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.F1.sf6.3.m1.1.1.2.2">𝑓</ci><ci id="S5.F1.sf6.3.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.F1.sf6.3.m1.1.1.2.3">𝑢</ci></apply><apply id="S5.F1.sf6.3.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.F1.sf6.3.m1.1.1.3"><divide id="S5.F1.sf6.3.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.F1.sf6.3.m1.1.1.3.1"></divide><cn id="S5.F1.sf6.3.m1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.F1.sf6.3.m1.1.1.3.2">100</cn><cn id="S5.F1.sf6.3.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.F1.sf6.3.m1.1.1.3.3">255</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F1.sf6.3.m1.1d">f-u+100/255</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F1.sf6.3.m1.1e">italic_f - italic_u + 100 / 255</annotation></semantics></math></figcaption> </figure> </div> <div class="ltx_flex_break"></div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_1"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S5.F1.sf7"> <div class="ltx_block ltx_minipage ltx_align_middle" id="S5.F1.sf7.1" style="width:130.1pt;"> <img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_square" height="598" id="S5.F1.sf7.1.g1" src="extracted/6292504/KR_denoising/figure/new_model/bar_15/barbara_2/kr_lam1_alp2e2_f-u.jpg" width="598"/> </div> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S5.F1.sf7.5.1.1" style="font-size:80%;">(g)</span> </span><math alttext="f-u+100/255" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F1.sf7.3.m1.1"><semantics id="S5.F1.sf7.3.m1.1b"><mrow id="S5.F1.sf7.3.m1.1.1" xref="S5.F1.sf7.3.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.F1.sf7.3.m1.1.1.2" xref="S5.F1.sf7.3.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.F1.sf7.3.m1.1.1.2.2" mathsize="80%" xref="S5.F1.sf7.3.m1.1.1.2.2.cmml">f</mi><mo id="S5.F1.sf7.3.m1.1.1.2.1" mathsize="80%" xref="S5.F1.sf7.3.m1.1.1.2.1.cmml">−</mo><mi id="S5.F1.sf7.3.m1.1.1.2.3" mathsize="80%" xref="S5.F1.sf7.3.m1.1.1.2.3.cmml">u</mi></mrow><mo id="S5.F1.sf7.3.m1.1.1.1" mathsize="80%" xref="S5.F1.sf7.3.m1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.F1.sf7.3.m1.1.1.3" xref="S5.F1.sf7.3.m1.1.1.3.cmml"><mn id="S5.F1.sf7.3.m1.1.1.3.2" mathsize="80%" xref="S5.F1.sf7.3.m1.1.1.3.2.cmml">100</mn><mo id="S5.F1.sf7.3.m1.1.1.3.1" maxsize="80%" minsize="80%" stretchy="true" symmetric="true" xref="S5.F1.sf7.3.m1.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S5.F1.sf7.3.m1.1.1.3.3" mathsize="80%" xref="S5.F1.sf7.3.m1.1.1.3.3.cmml">255</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F1.sf7.3.m1.1c"><apply id="S5.F1.sf7.3.m1.1.1.cmml" xref="S5.F1.sf7.3.m1.1.1"><plus id="S5.F1.sf7.3.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.F1.sf7.3.m1.1.1.1"></plus><apply id="S5.F1.sf7.3.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.F1.sf7.3.m1.1.1.2"><minus id="S5.F1.sf7.3.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.F1.sf7.3.m1.1.1.2.1"></minus><ci id="S5.F1.sf7.3.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.F1.sf7.3.m1.1.1.2.2">𝑓</ci><ci id="S5.F1.sf7.3.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.F1.sf7.3.m1.1.1.2.3">𝑢</ci></apply><apply id="S5.F1.sf7.3.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.F1.sf7.3.m1.1.1.3"><divide id="S5.F1.sf7.3.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.F1.sf7.3.m1.1.1.3.1"></divide><cn id="S5.F1.sf7.3.m1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.F1.sf7.3.m1.1.1.3.2">100</cn><cn id="S5.F1.sf7.3.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.F1.sf7.3.m1.1.1.3.3">255</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F1.sf7.3.m1.1d">f-u+100/255</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F1.sf7.3.m1.1e">italic_f - italic_u + 100 / 255</annotation></semantics></math></figcaption> </figure> </div> </div> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure">Figure 1: </span>The cartoon and texture decomposition <math alttext="f=u+v" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F1.3.m1.1"><semantics id="S5.F1.3.m1.1b"><mrow id="S5.F1.3.m1.1.1" xref="S5.F1.3.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.F1.3.m1.1.1.2" xref="S5.F1.3.m1.1.1.2.cmml">f</mi><mo id="S5.F1.3.m1.1.1.1" xref="S5.F1.3.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.F1.3.m1.1.1.3" xref="S5.F1.3.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.F1.3.m1.1.1.3.2" xref="S5.F1.3.m1.1.1.3.2.cmml">u</mi><mo id="S5.F1.3.m1.1.1.3.1" xref="S5.F1.3.m1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mi id="S5.F1.3.m1.1.1.3.3" xref="S5.F1.3.m1.1.1.3.3.cmml">v</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F1.3.m1.1c"><apply id="S5.F1.3.m1.1.1.cmml" xref="S5.F1.3.m1.1.1"><eq id="S5.F1.3.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.F1.3.m1.1.1.1"></eq><ci id="S5.F1.3.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.F1.3.m1.1.1.2">𝑓</ci><apply id="S5.F1.3.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.F1.3.m1.1.1.3"><plus id="S5.F1.3.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.F1.3.m1.1.1.3.1"></plus><ci id="S5.F1.3.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.F1.3.m1.1.1.3.2">𝑢</ci><ci id="S5.F1.3.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.F1.3.m1.1.1.3.3">𝑣</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F1.3.m1.1d">f=u+v</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F1.3.m1.1e">italic_f = italic_u + italic_v</annotation></semantics></math> obtained from the ROF, <math alttext="G" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F1.4.m2.1"><semantics id="S5.F1.4.m2.1b"><mi id="S5.F1.4.m2.1.1" xref="S5.F1.4.m2.1.1.cmml">G</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F1.4.m2.1c"><ci id="S5.F1.4.m2.1.1.cmml" xref="S5.F1.4.m2.1.1">𝐺</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F1.4.m2.1d">G</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F1.4.m2.1e">italic_G</annotation></semantics></math>-TV (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S2.E26" title="In 2.2 Meyer’s 𝐺-TV Model for Cartoon and Texture Decomposition ‣ 2 Related work ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">26</span></a>), and our model (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S3.E28" title="In 3.1 The proposed image denoising model ‣ 3 The Proposed Image Restoration Models ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">28</span></a>). </figcaption> </figure> <div class="ltx_para" id="S5.p4"> <p class="ltx_p" id="S5.p4.1">In the following, we apply (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S3.E28" title="In 3.1 The proposed image denoising model ‣ 3 The Proposed Image Restoration Models ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">28</span></a>) to denoising real images. Moreover, we extend our model by employing a variant of total variation developed in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib61" title="">zhu </a></cite> in order to preserve image contrast and suppress the staircase phenomenon.We compare our model with the modified TV (MTV) (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S3.E56" title="In 3.4 An extension of our model ‣ 3 The Proposed Image Restoration Models ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">56</span></a>) with the original MTV model (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S3.E58" title="In 3.4 An extension of our model ‣ 3 The Proposed Image Restoration Models ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">58</span></a>) in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib61" title="">zhu </a></cite>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S5.p5"> <p class="ltx_p" id="S5.p5.5">The noisy image is corrupted by Gaussian noise with standard deviation <math alttext="\sigma" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p5.1.m1.1"><semantics id="S5.p5.1.m1.1a"><mi id="S5.p5.1.m1.1.1" xref="S5.p5.1.m1.1.1.cmml">σ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p5.1.m1.1b"><ci id="S5.p5.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.p5.1.m1.1.1">𝜎</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p5.1.m1.1c">\sigma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p5.1.m1.1d">italic_σ</annotation></semantics></math>, i.e. the noise <math alttext="n\sim\mathcal{N}(0,\sigma^{2})" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p5.2.m2.2"><semantics id="S5.p5.2.m2.2a"><mrow id="S5.p5.2.m2.2.2" xref="S5.p5.2.m2.2.2.cmml"><mi id="S5.p5.2.m2.2.2.3" xref="S5.p5.2.m2.2.2.3.cmml">n</mi><mo id="S5.p5.2.m2.2.2.2" xref="S5.p5.2.m2.2.2.2.cmml">∼</mo><mrow id="S5.p5.2.m2.2.2.1" xref="S5.p5.2.m2.2.2.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S5.p5.2.m2.2.2.1.3" xref="S5.p5.2.m2.2.2.1.3.cmml">𝒩</mi><mo id="S5.p5.2.m2.2.2.1.2" xref="S5.p5.2.m2.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.p5.2.m2.2.2.1.1.1" xref="S5.p5.2.m2.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S5.p5.2.m2.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.p5.2.m2.2.2.1.1.2.cmml">(</mo><mn id="S5.p5.2.m2.1.1" xref="S5.p5.2.m2.1.1.cmml">0</mn><mo id="S5.p5.2.m2.2.2.1.1.1.3" xref="S5.p5.2.m2.2.2.1.1.2.cmml">,</mo><msup id="S5.p5.2.m2.2.2.1.1.1.1" xref="S5.p5.2.m2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.p5.2.m2.2.2.1.1.1.1.2" xref="S5.p5.2.m2.2.2.1.1.1.1.2.cmml">σ</mi><mn id="S5.p5.2.m2.2.2.1.1.1.1.3" xref="S5.p5.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.p5.2.m2.2.2.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S5.p5.2.m2.2.2.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p5.2.m2.2b"><apply id="S5.p5.2.m2.2.2.cmml" xref="S5.p5.2.m2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S5.p5.2.m2.2.2.2.cmml" xref="S5.p5.2.m2.2.2.2">similar-to</csymbol><ci id="S5.p5.2.m2.2.2.3.cmml" xref="S5.p5.2.m2.2.2.3">𝑛</ci><apply id="S5.p5.2.m2.2.2.1.cmml" xref="S5.p5.2.m2.2.2.1"><times id="S5.p5.2.m2.2.2.1.2.cmml" xref="S5.p5.2.m2.2.2.1.2"></times><ci id="S5.p5.2.m2.2.2.1.3.cmml" xref="S5.p5.2.m2.2.2.1.3">𝒩</ci><interval closure="open" id="S5.p5.2.m2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S5.p5.2.m2.2.2.1.1.1"><cn id="S5.p5.2.m2.1.1.cmml" type="integer" xref="S5.p5.2.m2.1.1">0</cn><apply id="S5.p5.2.m2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p5.2.m2.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p5.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p5.2.m2.2.2.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S5.p5.2.m2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.p5.2.m2.2.2.1.1.1.1.2">𝜎</ci><cn id="S5.p5.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.p5.2.m2.2.2.1.1.1.1.3">2</cn></apply></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p5.2.m2.2c">n\sim\mathcal{N}(0,\sigma^{2})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p5.2.m2.2d">italic_n ∼ caligraphic_N ( 0 , italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math>. To be fair for the performance comparison among these proposed models, we choose the regularization parameters such that the norm of the removed noise <math alttext="\|f-u\|" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p5.3.m3.1"><semantics id="S5.p5.3.m3.1a"><mrow id="S5.p5.3.m3.1.1.1" xref="S5.p5.3.m3.1.1.2.cmml"><mo id="S5.p5.3.m3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.p5.3.m3.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S5.p5.3.m3.1.1.1.1" xref="S5.p5.3.m3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.p5.3.m3.1.1.1.1.2" xref="S5.p5.3.m3.1.1.1.1.2.cmml">f</mi><mo id="S5.p5.3.m3.1.1.1.1.1" xref="S5.p5.3.m3.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S5.p5.3.m3.1.1.1.1.3" xref="S5.p5.3.m3.1.1.1.1.3.cmml">u</mi></mrow><mo id="S5.p5.3.m3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.p5.3.m3.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p5.3.m3.1b"><apply id="S5.p5.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S5.p5.3.m3.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.p5.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p5.3.m3.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S5.p5.3.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p5.3.m3.1.1.1.1"><minus id="S5.p5.3.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p5.3.m3.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S5.p5.3.m3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.p5.3.m3.1.1.1.1.2">𝑓</ci><ci id="S5.p5.3.m3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.p5.3.m3.1.1.1.1.3">𝑢</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p5.3.m3.1c">\|f-u\|</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p5.3.m3.1d">∥ italic_f - italic_u ∥</annotation></semantics></math>, is almost the same for each model. Specifically, the averaged Frobenius norm <math alttext="\|f-u\|_{F}=\sqrt{\|f-u\|/|\Omega|}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p5.4.m4.3"><semantics id="S5.p5.4.m4.3a"><mrow id="S5.p5.4.m4.3.3" xref="S5.p5.4.m4.3.3.cmml"><msub id="S5.p5.4.m4.3.3.1" xref="S5.p5.4.m4.3.3.1.cmml"><mrow id="S5.p5.4.m4.3.3.1.1.1" xref="S5.p5.4.m4.3.3.1.1.2.cmml"><mo id="S5.p5.4.m4.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.p5.4.m4.3.3.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S5.p5.4.m4.3.3.1.1.1.1" xref="S5.p5.4.m4.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.p5.4.m4.3.3.1.1.1.1.2" xref="S5.p5.4.m4.3.3.1.1.1.1.2.cmml">f</mi><mo id="S5.p5.4.m4.3.3.1.1.1.1.1" xref="S5.p5.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S5.p5.4.m4.3.3.1.1.1.1.3" xref="S5.p5.4.m4.3.3.1.1.1.1.3.cmml">u</mi></mrow><mo id="S5.p5.4.m4.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.p5.4.m4.3.3.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mi id="S5.p5.4.m4.3.3.1.3" xref="S5.p5.4.m4.3.3.1.3.cmml">F</mi></msub><mo id="S5.p5.4.m4.3.3.2" xref="S5.p5.4.m4.3.3.2.cmml">=</mo><msqrt id="S5.p5.4.m4.2.2" xref="S5.p5.4.m4.2.2.cmml"><mrow id="S5.p5.4.m4.2.2.2" xref="S5.p5.4.m4.2.2.2.cmml"><mrow id="S5.p5.4.m4.2.2.2.2.1" xref="S5.p5.4.m4.2.2.2.2.2.cmml"><mo id="S5.p5.4.m4.2.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S5.p5.4.m4.2.2.2.2.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S5.p5.4.m4.2.2.2.2.1.1" xref="S5.p5.4.m4.2.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S5.p5.4.m4.2.2.2.2.1.1.2" xref="S5.p5.4.m4.2.2.2.2.1.1.2.cmml">f</mi><mo id="S5.p5.4.m4.2.2.2.2.1.1.1" xref="S5.p5.4.m4.2.2.2.2.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S5.p5.4.m4.2.2.2.2.1.1.3" xref="S5.p5.4.m4.2.2.2.2.1.1.3.cmml">u</mi></mrow><mo id="S5.p5.4.m4.2.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S5.p5.4.m4.2.2.2.2.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mo id="S5.p5.4.m4.2.2.2.3" xref="S5.p5.4.m4.2.2.2.3.cmml">/</mo><mrow id="S5.p5.4.m4.2.2.2.4.2" xref="S5.p5.4.m4.2.2.2.4.1.cmml"><mo id="S5.p5.4.m4.2.2.2.4.2.1" stretchy="false" xref="S5.p5.4.m4.2.2.2.4.1.1.cmml">|</mo><mi id="S5.p5.4.m4.1.1.1.1" mathvariant="normal" xref="S5.p5.4.m4.1.1.1.1.cmml">Ω</mi><mo id="S5.p5.4.m4.2.2.2.4.2.2" stretchy="false" xref="S5.p5.4.m4.2.2.2.4.1.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></msqrt></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p5.4.m4.3b"><apply id="S5.p5.4.m4.3.3.cmml" xref="S5.p5.4.m4.3.3"><eq id="S5.p5.4.m4.3.3.2.cmml" xref="S5.p5.4.m4.3.3.2"></eq><apply id="S5.p5.4.m4.3.3.1.cmml" xref="S5.p5.4.m4.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p5.4.m4.3.3.1.2.cmml" xref="S5.p5.4.m4.3.3.1">subscript</csymbol><apply id="S5.p5.4.m4.3.3.1.1.2.cmml" xref="S5.p5.4.m4.3.3.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.p5.4.m4.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p5.4.m4.3.3.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S5.p5.4.m4.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p5.4.m4.3.3.1.1.1.1"><minus id="S5.p5.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p5.4.m4.3.3.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S5.p5.4.m4.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.p5.4.m4.3.3.1.1.1.1.2">𝑓</ci><ci id="S5.p5.4.m4.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.p5.4.m4.3.3.1.1.1.1.3">𝑢</ci></apply></apply><ci id="S5.p5.4.m4.3.3.1.3.cmml" xref="S5.p5.4.m4.3.3.1.3">𝐹</ci></apply><apply id="S5.p5.4.m4.2.2.cmml" xref="S5.p5.4.m4.2.2"><root id="S5.p5.4.m4.2.2a.cmml" xref="S5.p5.4.m4.2.2"></root><apply id="S5.p5.4.m4.2.2.2.cmml" xref="S5.p5.4.m4.2.2.2"><divide id="S5.p5.4.m4.2.2.2.3.cmml" xref="S5.p5.4.m4.2.2.2.3"></divide><apply id="S5.p5.4.m4.2.2.2.2.2.cmml" xref="S5.p5.4.m4.2.2.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.p5.4.m4.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.p5.4.m4.2.2.2.2.1.2">norm</csymbol><apply id="S5.p5.4.m4.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S5.p5.4.m4.2.2.2.2.1.1"><minus id="S5.p5.4.m4.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.p5.4.m4.2.2.2.2.1.1.1"></minus><ci id="S5.p5.4.m4.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S5.p5.4.m4.2.2.2.2.1.1.2">𝑓</ci><ci id="S5.p5.4.m4.2.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S5.p5.4.m4.2.2.2.2.1.1.3">𝑢</ci></apply></apply><apply id="S5.p5.4.m4.2.2.2.4.1.cmml" xref="S5.p5.4.m4.2.2.2.4.2"><abs id="S5.p5.4.m4.2.2.2.4.1.1.cmml" xref="S5.p5.4.m4.2.2.2.4.2.1"></abs><ci id="S5.p5.4.m4.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p5.4.m4.1.1.1.1">Ω</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p5.4.m4.3c">\|f-u\|_{F}=\sqrt{\|f-u\|/|\Omega|}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p5.4.m4.3d">∥ italic_f - italic_u ∥ start_POSTSUBSCRIPT italic_F end_POSTSUBSCRIPT = square-root start_ARG ∥ italic_f - italic_u ∥ / | roman_Ω | end_ARG</annotation></semantics></math> is of the same size as the noise level <math alttext="\sigma" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p5.5.m5.1"><semantics id="S5.p5.5.m5.1a"><mi id="S5.p5.5.m5.1.1" xref="S5.p5.5.m5.1.1.cmml">σ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p5.5.m5.1b"><ci id="S5.p5.5.m5.1.1.cmml" xref="S5.p5.5.m5.1.1">𝜎</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p5.5.m5.1c">\sigma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p5.5.m5.1d">italic_σ</annotation></semantics></math> for each model, as in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib44" title="">1992Nonlinear </a>; <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib61" title="">zhu </a>; <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib58" title="">bregman </a>; <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib39" title="">osher2003image </a>; <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib60" title="">2020zhuLp </a></cite>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S5.p6"> <p class="ltx_p" id="S5.p6.1">To compare the quality of the results obtained by these models, we list in Table <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S5.T1" title="Table 1 ‣ 5 Numerical Experiments ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a> the peak signal-to-noise ratios (PSNRs) for the image denoising experiments in this paper. In this test, for the fair comparison, we set up the regularization parameter for each model such that the quantity <math alttext="\|f-u\|\approx N\sigma" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p6.1.m1.1"><semantics id="S5.p6.1.m1.1a"><mrow id="S5.p6.1.m1.1.1" xref="S5.p6.1.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.p6.1.m1.1.1.1.1" xref="S5.p6.1.m1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S5.p6.1.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.p6.1.m1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S5.p6.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.p6.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.p6.1.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.p6.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">f</mi><mo id="S5.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S5.p6.1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.p6.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">u</mi></mrow><mo id="S5.p6.1.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.p6.1.m1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mo id="S5.p6.1.m1.1.1.2" xref="S5.p6.1.m1.1.1.2.cmml">≈</mo><mrow id="S5.p6.1.m1.1.1.3" xref="S5.p6.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.p6.1.m1.1.1.3.2" xref="S5.p6.1.m1.1.1.3.2.cmml">N</mi><mo id="S5.p6.1.m1.1.1.3.1" xref="S5.p6.1.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S5.p6.1.m1.1.1.3.3" xref="S5.p6.1.m1.1.1.3.3.cmml">σ</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p6.1.m1.1b"><apply id="S5.p6.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.p6.1.m1.1.1"><approx id="S5.p6.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.p6.1.m1.1.1.2"></approx><apply id="S5.p6.1.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.p6.1.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.p6.1.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p6.1.m1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S5.p6.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p6.1.m1.1.1.1.1.1"><minus id="S5.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p6.1.m1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S5.p6.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.p6.1.m1.1.1.1.1.1.2">𝑓</ci><ci id="S5.p6.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.p6.1.m1.1.1.1.1.1.3">𝑢</ci></apply></apply><apply id="S5.p6.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.p6.1.m1.1.1.3"><times id="S5.p6.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.p6.1.m1.1.1.3.1"></times><ci id="S5.p6.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.p6.1.m1.1.1.3.2">𝑁</ci><ci id="S5.p6.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.p6.1.m1.1.1.3.3">𝜎</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p6.1.m1.1c">\|f-u\|\approx N\sigma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p6.1.m1.1d">∥ italic_f - italic_u ∥ ≈ italic_N italic_σ</annotation></semantics></math>.</p> </div> <figure class="ltx_table" id="S5.T1"> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_table">Table 1: </span>The values of PSNR for the restored images.</figcaption> <table class="ltx_tabular ltx_guessed_headers ltx_align_middle" id="S5.T1.1"> <thead class="ltx_thead"> <tr class="ltx_tr" id="S5.T1.1.1.1"> <th class="ltx_td ltx_align_left ltx_th ltx_th_column ltx_border_t" id="S5.T1.1.1.1.1"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S5.T1.1.1.1.1.1">Algorithm</span></th> <th class="ltx_td ltx_align_left ltx_th ltx_th_column ltx_border_t" id="S5.T1.1.1.1.2"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S5.T1.1.1.1.2.1">ROF</span></th> <th class="ltx_td ltx_align_left ltx_th ltx_th_column ltx_border_t" id="S5.T1.1.1.1.3"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S5.T1.1.1.1.3.1">MTV</span></th> <th class="ltx_td ltx_align_left ltx_th ltx_th_column ltx_border_t" id="S5.T1.1.1.1.4"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S5.T1.1.1.1.4.1">Our model</span></th> <th class="ltx_td ltx_align_left ltx_th ltx_th_column ltx_border_t" id="S5.T1.1.1.1.5"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S5.T1.1.1.1.5.1">Our model with MTV</span></th> </tr> </thead> <tbody class="ltx_tbody"> <tr class="ltx_tr" id="S5.T1.1.2.1"> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_border_t" id="S5.T1.1.2.1.1">Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S5.F2" title="Figure 2 ‣ 5 Numerical Experiments ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a> </td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_border_t" id="S5.T1.1.2.1.2">30.04</td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_border_t" id="S5.T1.1.2.1.3">29.46</td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_border_t" id="S5.T1.1.2.1.4">30.46</td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_border_t" id="S5.T1.1.2.1.5">30.18</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S5.T1.1.3.2"> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_border_t" id="S5.T1.1.3.2.1">Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S5.F3" title="Figure 3 ‣ 5 Numerical Experiments ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a> </td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_border_t" id="S5.T1.1.3.2.2">26.95</td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_border_t" id="S5.T1.1.3.2.3">27.18</td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_border_t" id="S5.T1.1.3.2.4">27.49</td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_border_t" id="S5.T1.1.3.2.5">27.31</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S5.T1.1.4.3"> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_border_t" id="S5.T1.1.4.3.1">Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S5.F4" title="Figure 4 ‣ 5 Numerical Experiments ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4</span></a> </td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_border_t" id="S5.T1.1.4.3.2">28.24</td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_border_t" id="S5.T1.1.4.3.3">28.13</td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_border_t" id="S5.T1.1.4.3.4">28.13</td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_border_t" id="S5.T1.1.4.3.5">28.41</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="S5.T1.1.5.4"> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_border_b ltx_border_t" id="S5.T1.1.5.4.1">Figure <span class="ltx_ref ltx_missing_label ltx_ref_self">LABEL:Fig:man_log</span> </td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_border_b ltx_border_t" id="S5.T1.1.5.4.2">30.12</td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_border_b ltx_border_t" id="S5.T1.1.5.4.3">30.09</td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_border_b ltx_border_t" id="S5.T1.1.5.4.4">30.23</td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_border_b ltx_border_t" id="S5.T1.1.5.4.5">30.26</td> </tr> </tbody> </table> </figure> <div class="ltx_para" id="S5.p7"> <p class="ltx_p" id="S5.p7.4">In Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S5.F2" title="Figure 2 ‣ 5 Numerical Experiments ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>, we consider a non-texture image, "House", corrupted by a Gaussian noise with zero mean and standard deviation or level <math alttext="\sigma=25/255" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p7.1.m1.1"><semantics id="S5.p7.1.m1.1a"><mrow id="S5.p7.1.m1.1.1" xref="S5.p7.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.p7.1.m1.1.1.2" xref="S5.p7.1.m1.1.1.2.cmml">σ</mi><mo id="S5.p7.1.m1.1.1.1" xref="S5.p7.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.p7.1.m1.1.1.3" xref="S5.p7.1.m1.1.1.3.cmml"><mn id="S5.p7.1.m1.1.1.3.2" xref="S5.p7.1.m1.1.1.3.2.cmml">25</mn><mo id="S5.p7.1.m1.1.1.3.1" xref="S5.p7.1.m1.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S5.p7.1.m1.1.1.3.3" xref="S5.p7.1.m1.1.1.3.3.cmml">255</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p7.1.m1.1b"><apply id="S5.p7.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.p7.1.m1.1.1"><eq id="S5.p7.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.p7.1.m1.1.1.1"></eq><ci id="S5.p7.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.p7.1.m1.1.1.2">𝜎</ci><apply id="S5.p7.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.p7.1.m1.1.1.3"><divide id="S5.p7.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.p7.1.m1.1.1.3.1"></divide><cn id="S5.p7.1.m1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.p7.1.m1.1.1.3.2">25</cn><cn id="S5.p7.1.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.p7.1.m1.1.1.3.3">255</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p7.1.m1.1c">\sigma=25/255</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p7.1.m1.1d">italic_σ = 25 / 255</annotation></semantics></math>. Though the ROF model can efficiently eliminate the noise, it suffers from the loss of image contrast. As shown in the residual images <math alttext="f-u+100/255" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p7.2.m2.1"><semantics id="S5.p7.2.m2.1a"><mrow id="S5.p7.2.m2.1.1" xref="S5.p7.2.m2.1.1.cmml"><mrow id="S5.p7.2.m2.1.1.2" xref="S5.p7.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S5.p7.2.m2.1.1.2.2" xref="S5.p7.2.m2.1.1.2.2.cmml">f</mi><mo id="S5.p7.2.m2.1.1.2.1" xref="S5.p7.2.m2.1.1.2.1.cmml">−</mo><mi id="S5.p7.2.m2.1.1.2.3" xref="S5.p7.2.m2.1.1.2.3.cmml">u</mi></mrow><mo id="S5.p7.2.m2.1.1.1" xref="S5.p7.2.m2.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.p7.2.m2.1.1.3" xref="S5.p7.2.m2.1.1.3.cmml"><mn id="S5.p7.2.m2.1.1.3.2" xref="S5.p7.2.m2.1.1.3.2.cmml">100</mn><mo id="S5.p7.2.m2.1.1.3.1" xref="S5.p7.2.m2.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S5.p7.2.m2.1.1.3.3" xref="S5.p7.2.m2.1.1.3.3.cmml">255</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p7.2.m2.1b"><apply id="S5.p7.2.m2.1.1.cmml" xref="S5.p7.2.m2.1.1"><plus id="S5.p7.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S5.p7.2.m2.1.1.1"></plus><apply id="S5.p7.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.p7.2.m2.1.1.2"><minus id="S5.p7.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p7.2.m2.1.1.2.1"></minus><ci id="S5.p7.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S5.p7.2.m2.1.1.2.2">𝑓</ci><ci id="S5.p7.2.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S5.p7.2.m2.1.1.2.3">𝑢</ci></apply><apply id="S5.p7.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S5.p7.2.m2.1.1.3"><divide id="S5.p7.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S5.p7.2.m2.1.1.3.1"></divide><cn id="S5.p7.2.m2.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.p7.2.m2.1.1.3.2">100</cn><cn id="S5.p7.2.m2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.p7.2.m2.1.1.3.3">255</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p7.2.m2.1c">f-u+100/255</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p7.2.m2.1d">italic_f - italic_u + 100 / 255</annotation></semantics></math>, many meaningful signals are removed as noise by the ROF model, while much fewer signals are swept as noise by our model (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S3.E28" title="In 3.1 The proposed image denoising model ‣ 3 The Proposed Image Restoration Models ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">28</span></a>). This example demonstrates that our model is capable of preserving image contrast. Similar to the <math alttext="G" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p7.3.m3.1"><semantics id="S5.p7.3.m3.1a"><mi id="S5.p7.3.m3.1.1" xref="S5.p7.3.m3.1.1.cmml">G</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p7.3.m3.1b"><ci id="S5.p7.3.m3.1.1.cmml" xref="S5.p7.3.m3.1.1">𝐺</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p7.3.m3.1c">G</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p7.3.m3.1d">italic_G</annotation></semantics></math>-TV model <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib2" title="">2005Image </a></cite>, the component <math alttext="v=\mathrm{div}(m)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p7.4.m4.1"><semantics id="S5.p7.4.m4.1a"><mrow id="S5.p7.4.m4.1.2" xref="S5.p7.4.m4.1.2.cmml"><mi id="S5.p7.4.m4.1.2.2" xref="S5.p7.4.m4.1.2.2.cmml">v</mi><mo id="S5.p7.4.m4.1.2.1" xref="S5.p7.4.m4.1.2.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.p7.4.m4.1.2.3" xref="S5.p7.4.m4.1.2.3.cmml"><mi id="S5.p7.4.m4.1.2.3.2" xref="S5.p7.4.m4.1.2.3.2.cmml">div</mi><mo id="S5.p7.4.m4.1.2.3.1" xref="S5.p7.4.m4.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.p7.4.m4.1.2.3.3.2" xref="S5.p7.4.m4.1.2.3.cmml"><mo id="S5.p7.4.m4.1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S5.p7.4.m4.1.2.3.cmml">(</mo><mi id="S5.p7.4.m4.1.1" xref="S5.p7.4.m4.1.1.cmml">m</mi><mo id="S5.p7.4.m4.1.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S5.p7.4.m4.1.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p7.4.m4.1b"><apply id="S5.p7.4.m4.1.2.cmml" xref="S5.p7.4.m4.1.2"><eq id="S5.p7.4.m4.1.2.1.cmml" xref="S5.p7.4.m4.1.2.1"></eq><ci id="S5.p7.4.m4.1.2.2.cmml" xref="S5.p7.4.m4.1.2.2">𝑣</ci><apply id="S5.p7.4.m4.1.2.3.cmml" xref="S5.p7.4.m4.1.2.3"><times id="S5.p7.4.m4.1.2.3.1.cmml" xref="S5.p7.4.m4.1.2.3.1"></times><ci id="S5.p7.4.m4.1.2.3.2.cmml" xref="S5.p7.4.m4.1.2.3.2">div</ci><ci id="S5.p7.4.m4.1.1.cmml" xref="S5.p7.4.m4.1.1">𝑚</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p7.4.m4.1c">v=\mathrm{div}(m)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p7.4.m4.1d">italic_v = roman_div ( italic_m )</annotation></semantics></math> of the proposed models have a zero mean which is the mean of the added white Gaussian noise. The loss of intensity property is always present for the ROF model. The white regions depicted in images restored by the proposed models are brighter and the dark regions are darker than those of the ROF model.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S5.p8"> <p class="ltx_p" id="S5.p8.1">Moreover, the proposed model with MTV (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S3.E56" title="In 3.4 An extension of our model ‣ 3 The Proposed Image Restoration Models ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">56</span></a>) preserves image contrasts better than the MTV model (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S3.E58" title="In 3.4 An extension of our model ‣ 3 The Proposed Image Restoration Models ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">58</span></a>), and suppresses the staircase effect compared with our model with TV. The data in Table <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S5.T1" title="Table 1 ‣ 5 Numerical Experiments ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a> show that our model produces a higher PSNR than the ROF model.</p> </div> <figure class="ltx_figure" id="S5.F2"> <div class="ltx_flex_figure"> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_4"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S5.F2.sf1"> <div class="ltx_block ltx_minipage ltx_align_middle" id="S5.F2.sf1.1" style="width:99.7pt;"> <img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_square" height="598" id="S5.F2.sf1.1.g1" src="extracted/6292504/KR_denoising/figure/jpg/Set12/02.png" width="598"/> </div> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S5.F2.sf1.3.1.1" style="font-size:80%;">(a)</span> </span><span class="ltx_text" id="S5.F2.sf1.4.2" style="font-size:80%;">Original Image</span></figcaption> </figure> </div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_4"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S5.F2.sf2"> <div class="ltx_block ltx_minipage ltx_align_middle" id="S5.F2.sf2.1" style="width:99.7pt;"> <img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_square" height="598" id="S5.F2.sf2.1.g1" src="extracted/6292504/KR_denoising/figure/new_model/house_35/house_25/house_25.jpg" width="598"/> </div> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S5.F2.sf2.3.1.1" style="font-size:80%;">(b)</span> </span><span class="ltx_text" id="S5.F2.sf2.4.2" style="font-size:80%;">Noisy Image</span></figcaption> </figure> </div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_4"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S5.F2.sf3"> <div class="ltx_block ltx_minipage ltx_align_middle" id="S5.F2.sf3.1" style="width:99.7pt;"> <img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_square" height="598" id="S5.F2.sf3.1.g1" src="extracted/6292504/KR_denoising/figure/new_model/house_35/house_25/rof_alp9_u_30.04.jpg" width="598"/> </div> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S5.F2.sf3.5.1.1" style="font-size:80%;">(c)</span> </span><math alttext="u" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F2.sf3.3.m1.1"><semantics id="S5.F2.sf3.3.m1.1b"><mi id="S5.F2.sf3.3.m1.1.1" mathsize="80%" xref="S5.F2.sf3.3.m1.1.1.cmml">u</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F2.sf3.3.m1.1c"><ci id="S5.F2.sf3.3.m1.1.1.cmml" xref="S5.F2.sf3.3.m1.1.1">𝑢</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F2.sf3.3.m1.1d">u</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F2.sf3.3.m1.1e">italic_u</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S5.F2.sf3.6.2" style="font-size:80%;"> by ROF</span></figcaption> </figure> </div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_4"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S5.F2.sf4"> <div class="ltx_block ltx_minipage ltx_align_middle" id="S5.F2.sf4.1" style="width:99.7pt;"> <img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_square" height="598" id="S5.F2.sf4.1.g1" src="extracted/6292504/KR_denoising/figure/new_model/house_35/house_25/rof_alp9_f-u_24.8.jpg" width="598"/> </div> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S5.F2.sf4.5.1.1" style="font-size:80%;">(d)</span> </span><math alttext="f-u+100/255" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F2.sf4.3.m1.1"><semantics id="S5.F2.sf4.3.m1.1b"><mrow id="S5.F2.sf4.3.m1.1.1" xref="S5.F2.sf4.3.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.F2.sf4.3.m1.1.1.2" xref="S5.F2.sf4.3.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.F2.sf4.3.m1.1.1.2.2" mathsize="80%" xref="S5.F2.sf4.3.m1.1.1.2.2.cmml">f</mi><mo id="S5.F2.sf4.3.m1.1.1.2.1" mathsize="80%" xref="S5.F2.sf4.3.m1.1.1.2.1.cmml">−</mo><mi id="S5.F2.sf4.3.m1.1.1.2.3" mathsize="80%" xref="S5.F2.sf4.3.m1.1.1.2.3.cmml">u</mi></mrow><mo id="S5.F2.sf4.3.m1.1.1.1" mathsize="80%" xref="S5.F2.sf4.3.m1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.F2.sf4.3.m1.1.1.3" xref="S5.F2.sf4.3.m1.1.1.3.cmml"><mn id="S5.F2.sf4.3.m1.1.1.3.2" mathsize="80%" xref="S5.F2.sf4.3.m1.1.1.3.2.cmml">100</mn><mo id="S5.F2.sf4.3.m1.1.1.3.1" maxsize="80%" minsize="80%" stretchy="true" symmetric="true" xref="S5.F2.sf4.3.m1.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S5.F2.sf4.3.m1.1.1.3.3" mathsize="80%" xref="S5.F2.sf4.3.m1.1.1.3.3.cmml">255</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F2.sf4.3.m1.1c"><apply id="S5.F2.sf4.3.m1.1.1.cmml" xref="S5.F2.sf4.3.m1.1.1"><plus id="S5.F2.sf4.3.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.F2.sf4.3.m1.1.1.1"></plus><apply id="S5.F2.sf4.3.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.F2.sf4.3.m1.1.1.2"><minus id="S5.F2.sf4.3.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.F2.sf4.3.m1.1.1.2.1"></minus><ci id="S5.F2.sf4.3.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.F2.sf4.3.m1.1.1.2.2">𝑓</ci><ci id="S5.F2.sf4.3.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.F2.sf4.3.m1.1.1.2.3">𝑢</ci></apply><apply id="S5.F2.sf4.3.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.F2.sf4.3.m1.1.1.3"><divide id="S5.F2.sf4.3.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.F2.sf4.3.m1.1.1.3.1"></divide><cn id="S5.F2.sf4.3.m1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.F2.sf4.3.m1.1.1.3.2">100</cn><cn id="S5.F2.sf4.3.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.F2.sf4.3.m1.1.1.3.3">255</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F2.sf4.3.m1.1d">f-u+100/255</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F2.sf4.3.m1.1e">italic_f - italic_u + 100 / 255</annotation></semantics></math></figcaption> </figure> </div> <div class="ltx_flex_break"></div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_4"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S5.F2.sf5"> <div class="ltx_block ltx_minipage ltx_align_middle" id="S5.F2.sf5.1" style="width:99.7pt;"> <img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_square" height="598" id="S5.F2.sf5.1.g1" src="extracted/6292504/KR_denoising/figure/new_model/house_35/house_25/kr_alp50_lam0.9_u_30.45.jpg" width="598"/> </div> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S5.F2.sf5.5.1.1" style="font-size:80%;">(e)</span> </span><math alttext="u" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F2.sf5.3.m1.1"><semantics id="S5.F2.sf5.3.m1.1b"><mi id="S5.F2.sf5.3.m1.1.1" mathsize="80%" xref="S5.F2.sf5.3.m1.1.1.cmml">u</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F2.sf5.3.m1.1c"><ci id="S5.F2.sf5.3.m1.1.1.cmml" xref="S5.F2.sf5.3.m1.1.1">𝑢</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F2.sf5.3.m1.1d">u</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F2.sf5.3.m1.1e">italic_u</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S5.F2.sf5.6.2" style="font-size:80%;"> by our model</span></figcaption> </figure> </div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_4"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S5.F2.sf6"> <div class="ltx_block ltx_minipage ltx_align_middle" id="S5.F2.sf6.1" style="width:99.7pt;"> <img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_square" height="598" id="S5.F2.sf6.1.g1" src="extracted/6292504/KR_denoising/figure/new_model/house_35/house_25/kr_alp50_lam0.9_f-u_24.7.jpg" width="598"/> </div> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S5.F2.sf6.5.1.1" style="font-size:80%;">(f)</span> </span><math alttext="f-u+100/255" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F2.sf6.3.m1.1"><semantics id="S5.F2.sf6.3.m1.1b"><mrow id="S5.F2.sf6.3.m1.1.1" xref="S5.F2.sf6.3.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.F2.sf6.3.m1.1.1.2" xref="S5.F2.sf6.3.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.F2.sf6.3.m1.1.1.2.2" mathsize="80%" xref="S5.F2.sf6.3.m1.1.1.2.2.cmml">f</mi><mo id="S5.F2.sf6.3.m1.1.1.2.1" mathsize="80%" xref="S5.F2.sf6.3.m1.1.1.2.1.cmml">−</mo><mi id="S5.F2.sf6.3.m1.1.1.2.3" mathsize="80%" xref="S5.F2.sf6.3.m1.1.1.2.3.cmml">u</mi></mrow><mo id="S5.F2.sf6.3.m1.1.1.1" mathsize="80%" xref="S5.F2.sf6.3.m1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.F2.sf6.3.m1.1.1.3" xref="S5.F2.sf6.3.m1.1.1.3.cmml"><mn id="S5.F2.sf6.3.m1.1.1.3.2" mathsize="80%" xref="S5.F2.sf6.3.m1.1.1.3.2.cmml">100</mn><mo id="S5.F2.sf6.3.m1.1.1.3.1" maxsize="80%" minsize="80%" stretchy="true" symmetric="true" xref="S5.F2.sf6.3.m1.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S5.F2.sf6.3.m1.1.1.3.3" mathsize="80%" xref="S5.F2.sf6.3.m1.1.1.3.3.cmml">255</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F2.sf6.3.m1.1c"><apply id="S5.F2.sf6.3.m1.1.1.cmml" xref="S5.F2.sf6.3.m1.1.1"><plus id="S5.F2.sf6.3.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.F2.sf6.3.m1.1.1.1"></plus><apply id="S5.F2.sf6.3.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.F2.sf6.3.m1.1.1.2"><minus id="S5.F2.sf6.3.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.F2.sf6.3.m1.1.1.2.1"></minus><ci id="S5.F2.sf6.3.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.F2.sf6.3.m1.1.1.2.2">𝑓</ci><ci id="S5.F2.sf6.3.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.F2.sf6.3.m1.1.1.2.3">𝑢</ci></apply><apply id="S5.F2.sf6.3.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.F2.sf6.3.m1.1.1.3"><divide id="S5.F2.sf6.3.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.F2.sf6.3.m1.1.1.3.1"></divide><cn id="S5.F2.sf6.3.m1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.F2.sf6.3.m1.1.1.3.2">100</cn><cn id="S5.F2.sf6.3.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.F2.sf6.3.m1.1.1.3.3">255</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F2.sf6.3.m1.1d">f-u+100/255</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F2.sf6.3.m1.1e">italic_f - italic_u + 100 / 255</annotation></semantics></math></figcaption> </figure> </div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_4"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S5.F2.sf7"> <div class="ltx_block ltx_minipage ltx_align_middle" id="S5.F2.sf7.1" style="width:99.7pt;"> <img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_square" height="598" id="S5.F2.sf7.1.g1" src="extracted/6292504/KR_denoising/figure/new_model/house_35/house_25/zhu_alp3_u_29.84.jpg" width="598"/> </div> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S5.F2.sf7.5.1.1" style="font-size:80%;">(g)</span> </span><math alttext="u" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F2.sf7.3.m1.1"><semantics id="S5.F2.sf7.3.m1.1b"><mi id="S5.F2.sf7.3.m1.1.1" mathsize="80%" xref="S5.F2.sf7.3.m1.1.1.cmml">u</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F2.sf7.3.m1.1c"><ci id="S5.F2.sf7.3.m1.1.1.cmml" xref="S5.F2.sf7.3.m1.1.1">𝑢</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F2.sf7.3.m1.1d">u</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F2.sf7.3.m1.1e">italic_u</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S5.F2.sf7.6.2" style="font-size:80%;"> by MTV</span></figcaption> </figure> </div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_4"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S5.F2.sf8"> <div class="ltx_block ltx_minipage ltx_align_middle" id="S5.F2.sf8.1" style="width:99.7pt;"> <img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_square" height="598" id="S5.F2.sf8.1.g1" src="extracted/6292504/KR_denoising/figure/new_model/house_35/house_25/zhu_alp3_f-u_24.4.jpg" width="598"/> </div> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S5.F2.sf8.5.1.1" style="font-size:80%;">(h)</span> </span><math alttext="f-u+100/255" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F2.sf8.3.m1.1"><semantics id="S5.F2.sf8.3.m1.1b"><mrow id="S5.F2.sf8.3.m1.1.1" xref="S5.F2.sf8.3.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.F2.sf8.3.m1.1.1.2" xref="S5.F2.sf8.3.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.F2.sf8.3.m1.1.1.2.2" mathsize="80%" xref="S5.F2.sf8.3.m1.1.1.2.2.cmml">f</mi><mo id="S5.F2.sf8.3.m1.1.1.2.1" mathsize="80%" xref="S5.F2.sf8.3.m1.1.1.2.1.cmml">−</mo><mi id="S5.F2.sf8.3.m1.1.1.2.3" mathsize="80%" xref="S5.F2.sf8.3.m1.1.1.2.3.cmml">u</mi></mrow><mo id="S5.F2.sf8.3.m1.1.1.1" mathsize="80%" xref="S5.F2.sf8.3.m1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.F2.sf8.3.m1.1.1.3" xref="S5.F2.sf8.3.m1.1.1.3.cmml"><mn id="S5.F2.sf8.3.m1.1.1.3.2" mathsize="80%" xref="S5.F2.sf8.3.m1.1.1.3.2.cmml">100</mn><mo id="S5.F2.sf8.3.m1.1.1.3.1" maxsize="80%" minsize="80%" stretchy="true" symmetric="true" xref="S5.F2.sf8.3.m1.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S5.F2.sf8.3.m1.1.1.3.3" mathsize="80%" xref="S5.F2.sf8.3.m1.1.1.3.3.cmml">255</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F2.sf8.3.m1.1c"><apply id="S5.F2.sf8.3.m1.1.1.cmml" xref="S5.F2.sf8.3.m1.1.1"><plus id="S5.F2.sf8.3.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.F2.sf8.3.m1.1.1.1"></plus><apply id="S5.F2.sf8.3.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.F2.sf8.3.m1.1.1.2"><minus id="S5.F2.sf8.3.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.F2.sf8.3.m1.1.1.2.1"></minus><ci id="S5.F2.sf8.3.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.F2.sf8.3.m1.1.1.2.2">𝑓</ci><ci id="S5.F2.sf8.3.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.F2.sf8.3.m1.1.1.2.3">𝑢</ci></apply><apply id="S5.F2.sf8.3.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.F2.sf8.3.m1.1.1.3"><divide id="S5.F2.sf8.3.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.F2.sf8.3.m1.1.1.3.1"></divide><cn id="S5.F2.sf8.3.m1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.F2.sf8.3.m1.1.1.3.2">100</cn><cn id="S5.F2.sf8.3.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.F2.sf8.3.m1.1.1.3.3">255</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F2.sf8.3.m1.1d">f-u+100/255</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F2.sf8.3.m1.1e">italic_f - italic_u + 100 / 255</annotation></semantics></math></figcaption> </figure> </div> <div class="ltx_flex_break"></div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_2"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S5.F2.sf9"> <div class="ltx_block ltx_minipage ltx_align_middle" id="S5.F2.sf9.1" style="width:99.7pt;"> <img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_square" height="598" id="S5.F2.sf9.1.g1" src="extracted/6292504/KR_denoising/figure/new_model/house_35/house_25/kr_zhu_alp50_lam0.2_ep10_u_29.90.jpg" width="598"/> </div> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S5.F2.sf9.5.1.1" style="font-size:80%;">(i)</span> </span><math alttext="u" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F2.sf9.3.m1.1"><semantics id="S5.F2.sf9.3.m1.1b"><mi id="S5.F2.sf9.3.m1.1.1" mathsize="80%" xref="S5.F2.sf9.3.m1.1.1.cmml">u</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F2.sf9.3.m1.1c"><ci id="S5.F2.sf9.3.m1.1.1.cmml" xref="S5.F2.sf9.3.m1.1.1">𝑢</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F2.sf9.3.m1.1d">u</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F2.sf9.3.m1.1e">italic_u</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S5.F2.sf9.6.2" style="font-size:80%;"> by our model with MTV</span></figcaption> </figure> </div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_2"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S5.F2.sf10"> <div class="ltx_block ltx_minipage ltx_align_middle" id="S5.F2.sf10.1" style="width:99.7pt;"> <img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_square" height="598" id="S5.F2.sf10.1.g1" src="extracted/6292504/KR_denoising/figure/new_model/house_35/house_25/kr_zhu_alp50_lam0.2_ep10_f-u_24.7.jpg" width="598"/> </div> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S5.F2.sf10.5.1.1" style="font-size:80%;">(j)</span> </span><math alttext="f-u+100/255" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F2.sf10.3.m1.1"><semantics id="S5.F2.sf10.3.m1.1b"><mrow id="S5.F2.sf10.3.m1.1.1" xref="S5.F2.sf10.3.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.F2.sf10.3.m1.1.1.2" xref="S5.F2.sf10.3.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.F2.sf10.3.m1.1.1.2.2" mathsize="80%" xref="S5.F2.sf10.3.m1.1.1.2.2.cmml">f</mi><mo id="S5.F2.sf10.3.m1.1.1.2.1" mathsize="80%" xref="S5.F2.sf10.3.m1.1.1.2.1.cmml">−</mo><mi id="S5.F2.sf10.3.m1.1.1.2.3" mathsize="80%" xref="S5.F2.sf10.3.m1.1.1.2.3.cmml">u</mi></mrow><mo id="S5.F2.sf10.3.m1.1.1.1" mathsize="80%" xref="S5.F2.sf10.3.m1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.F2.sf10.3.m1.1.1.3" xref="S5.F2.sf10.3.m1.1.1.3.cmml"><mn id="S5.F2.sf10.3.m1.1.1.3.2" mathsize="80%" xref="S5.F2.sf10.3.m1.1.1.3.2.cmml">100</mn><mo id="S5.F2.sf10.3.m1.1.1.3.1" maxsize="80%" minsize="80%" stretchy="true" symmetric="true" xref="S5.F2.sf10.3.m1.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S5.F2.sf10.3.m1.1.1.3.3" mathsize="80%" xref="S5.F2.sf10.3.m1.1.1.3.3.cmml">255</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F2.sf10.3.m1.1c"><apply id="S5.F2.sf10.3.m1.1.1.cmml" xref="S5.F2.sf10.3.m1.1.1"><plus id="S5.F2.sf10.3.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.F2.sf10.3.m1.1.1.1"></plus><apply id="S5.F2.sf10.3.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.F2.sf10.3.m1.1.1.2"><minus id="S5.F2.sf10.3.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.F2.sf10.3.m1.1.1.2.1"></minus><ci id="S5.F2.sf10.3.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.F2.sf10.3.m1.1.1.2.2">𝑓</ci><ci id="S5.F2.sf10.3.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.F2.sf10.3.m1.1.1.2.3">𝑢</ci></apply><apply id="S5.F2.sf10.3.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.F2.sf10.3.m1.1.1.3"><divide id="S5.F2.sf10.3.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.F2.sf10.3.m1.1.1.3.1"></divide><cn id="S5.F2.sf10.3.m1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.F2.sf10.3.m1.1.1.3.2">100</cn><cn id="S5.F2.sf10.3.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.F2.sf10.3.m1.1.1.3.3">255</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F2.sf10.3.m1.1d">f-u+100/255</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F2.sf10.3.m1.1e">italic_f - italic_u + 100 / 255</annotation></semantics></math></figcaption> </figure> </div> </div> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure">Figure 2: </span>Results using the ROF model, our model (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S3.E28" title="In 3.1 The proposed image denoising model ‣ 3 The Proposed Image Restoration Models ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">28</span></a>), MTV (<math alttext="a=5/255" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F2.6.m1.1"><semantics id="S5.F2.6.m1.1b"><mrow id="S5.F2.6.m1.1.1" xref="S5.F2.6.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.F2.6.m1.1.1.2" xref="S5.F2.6.m1.1.1.2.cmml">a</mi><mo id="S5.F2.6.m1.1.1.1" xref="S5.F2.6.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.F2.6.m1.1.1.3" xref="S5.F2.6.m1.1.1.3.cmml"><mn id="S5.F2.6.m1.1.1.3.2" xref="S5.F2.6.m1.1.1.3.2.cmml">5</mn><mo id="S5.F2.6.m1.1.1.3.1" xref="S5.F2.6.m1.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S5.F2.6.m1.1.1.3.3" xref="S5.F2.6.m1.1.1.3.3.cmml">255</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F2.6.m1.1c"><apply id="S5.F2.6.m1.1.1.cmml" xref="S5.F2.6.m1.1.1"><eq id="S5.F2.6.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.F2.6.m1.1.1.1"></eq><ci id="S5.F2.6.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.F2.6.m1.1.1.2">𝑎</ci><apply id="S5.F2.6.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.F2.6.m1.1.1.3"><divide id="S5.F2.6.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.F2.6.m1.1.1.3.1"></divide><cn id="S5.F2.6.m1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.F2.6.m1.1.1.3.2">5</cn><cn id="S5.F2.6.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.F2.6.m1.1.1.3.3">255</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F2.6.m1.1d">a=5/255</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F2.6.m1.1e">italic_a = 5 / 255</annotation></semantics></math>) (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S3.E58" title="In 3.4 An extension of our model ‣ 3 The Proposed Image Restoration Models ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">58</span></a>), and the proposed model with MTV (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S3.E56" title="In 3.4 An extension of our model ‣ 3 The Proposed Image Restoration Models ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">56</span></a>). The additive noise <math alttext="n" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F2.7.m2.1"><semantics id="S5.F2.7.m2.1b"><mi id="S5.F2.7.m2.1.1" xref="S5.F2.7.m2.1.1.cmml">n</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F2.7.m2.1c"><ci id="S5.F2.7.m2.1.1.cmml" xref="S5.F2.7.m2.1.1">𝑛</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F2.7.m2.1d">n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F2.7.m2.1e">italic_n</annotation></semantics></math> has the norm <math alttext="\|n\|=25" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F2.8.m3.1"><semantics id="S5.F2.8.m3.1b"><mrow id="S5.F2.8.m3.1.2" xref="S5.F2.8.m3.1.2.cmml"><mrow id="S5.F2.8.m3.1.2.2.2" xref="S5.F2.8.m3.1.2.2.1.cmml"><mo id="S5.F2.8.m3.1.2.2.2.1" stretchy="false" xref="S5.F2.8.m3.1.2.2.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S5.F2.8.m3.1.1" xref="S5.F2.8.m3.1.1.cmml">n</mi><mo id="S5.F2.8.m3.1.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S5.F2.8.m3.1.2.2.1.1.cmml">‖</mo></mrow><mo id="S5.F2.8.m3.1.2.1" xref="S5.F2.8.m3.1.2.1.cmml">=</mo><mn id="S5.F2.8.m3.1.2.3" xref="S5.F2.8.m3.1.2.3.cmml">25</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F2.8.m3.1c"><apply id="S5.F2.8.m3.1.2.cmml" xref="S5.F2.8.m3.1.2"><eq id="S5.F2.8.m3.1.2.1.cmml" xref="S5.F2.8.m3.1.2.1"></eq><apply id="S5.F2.8.m3.1.2.2.1.cmml" xref="S5.F2.8.m3.1.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S5.F2.8.m3.1.2.2.1.1.cmml" xref="S5.F2.8.m3.1.2.2.2.1">norm</csymbol><ci id="S5.F2.8.m3.1.1.cmml" xref="S5.F2.8.m3.1.1">𝑛</ci></apply><cn id="S5.F2.8.m3.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.F2.8.m3.1.2.3">25</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F2.8.m3.1d">\|n\|=25</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F2.8.m3.1e">∥ italic_n ∥ = 25</annotation></semantics></math>. For the proposed models (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S3.E28" title="In 3.1 The proposed image denoising model ‣ 3 The Proposed Image Restoration Models ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">28</span></a>) and (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S3.E56" title="In 3.4 An extension of our model ‣ 3 The Proposed Image Restoration Models ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">56</span></a>), we choose parameter <math alttext="\alpha=100" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F2.9.m4.1"><semantics id="S5.F2.9.m4.1b"><mrow id="S5.F2.9.m4.1.1" xref="S5.F2.9.m4.1.1.cmml"><mi id="S5.F2.9.m4.1.1.2" xref="S5.F2.9.m4.1.1.2.cmml">α</mi><mo id="S5.F2.9.m4.1.1.1" xref="S5.F2.9.m4.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S5.F2.9.m4.1.1.3" xref="S5.F2.9.m4.1.1.3.cmml">100</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F2.9.m4.1c"><apply id="S5.F2.9.m4.1.1.cmml" xref="S5.F2.9.m4.1.1"><eq id="S5.F2.9.m4.1.1.1.cmml" xref="S5.F2.9.m4.1.1.1"></eq><ci id="S5.F2.9.m4.1.1.2.cmml" xref="S5.F2.9.m4.1.1.2">𝛼</ci><cn id="S5.F2.9.m4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.F2.9.m4.1.1.3">100</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F2.9.m4.1d">\alpha=100</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F2.9.m4.1e">italic_α = 100</annotation></semantics></math>, and the other parameters are tuned so that the removed noise parts have the same norm <math alttext="\|f-u\|\approx 25" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F2.10.m5.1"><semantics id="S5.F2.10.m5.1b"><mrow id="S5.F2.10.m5.1.1" xref="S5.F2.10.m5.1.1.cmml"><mrow id="S5.F2.10.m5.1.1.1.1" xref="S5.F2.10.m5.1.1.1.2.cmml"><mo id="S5.F2.10.m5.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.F2.10.m5.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S5.F2.10.m5.1.1.1.1.1" xref="S5.F2.10.m5.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.F2.10.m5.1.1.1.1.1.2" xref="S5.F2.10.m5.1.1.1.1.1.2.cmml">f</mi><mo id="S5.F2.10.m5.1.1.1.1.1.1" xref="S5.F2.10.m5.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S5.F2.10.m5.1.1.1.1.1.3" xref="S5.F2.10.m5.1.1.1.1.1.3.cmml">u</mi></mrow><mo id="S5.F2.10.m5.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.F2.10.m5.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mo id="S5.F2.10.m5.1.1.2" xref="S5.F2.10.m5.1.1.2.cmml">≈</mo><mn id="S5.F2.10.m5.1.1.3" xref="S5.F2.10.m5.1.1.3.cmml">25</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F2.10.m5.1c"><apply id="S5.F2.10.m5.1.1.cmml" xref="S5.F2.10.m5.1.1"><approx id="S5.F2.10.m5.1.1.2.cmml" xref="S5.F2.10.m5.1.1.2"></approx><apply id="S5.F2.10.m5.1.1.1.2.cmml" xref="S5.F2.10.m5.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.F2.10.m5.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.F2.10.m5.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S5.F2.10.m5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.F2.10.m5.1.1.1.1.1"><minus id="S5.F2.10.m5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.F2.10.m5.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S5.F2.10.m5.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.F2.10.m5.1.1.1.1.1.2">𝑓</ci><ci id="S5.F2.10.m5.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.F2.10.m5.1.1.1.1.1.3">𝑢</ci></apply></apply><cn id="S5.F2.10.m5.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.F2.10.m5.1.1.3">25</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F2.10.m5.1d">\|f-u\|\approx 25</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F2.10.m5.1e">∥ italic_f - italic_u ∥ ≈ 25</annotation></semantics></math> as the ROF model. </figcaption> </figure> <div class="ltx_para" id="S5.p9"> <p class="ltx_p" id="S5.p9.1">In Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S5.F3" title="Figure 3 ‣ 5 Numerical Experiments ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a>, we consider an image "Butterfly", corrupted by Gaussian noise with level <math alttext="\sigma=25/255" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p9.1.m1.1"><semantics id="S5.p9.1.m1.1a"><mrow id="S5.p9.1.m1.1.1" xref="S5.p9.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.p9.1.m1.1.1.2" xref="S5.p9.1.m1.1.1.2.cmml">σ</mi><mo id="S5.p9.1.m1.1.1.1" xref="S5.p9.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.p9.1.m1.1.1.3" xref="S5.p9.1.m1.1.1.3.cmml"><mn id="S5.p9.1.m1.1.1.3.2" xref="S5.p9.1.m1.1.1.3.2.cmml">25</mn><mo id="S5.p9.1.m1.1.1.3.1" xref="S5.p9.1.m1.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S5.p9.1.m1.1.1.3.3" xref="S5.p9.1.m1.1.1.3.3.cmml">255</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p9.1.m1.1b"><apply id="S5.p9.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.p9.1.m1.1.1"><eq id="S5.p9.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.p9.1.m1.1.1.1"></eq><ci id="S5.p9.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.p9.1.m1.1.1.2">𝜎</ci><apply id="S5.p9.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.p9.1.m1.1.1.3"><divide id="S5.p9.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.p9.1.m1.1.1.3.1"></divide><cn id="S5.p9.1.m1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.p9.1.m1.1.1.3.2">25</cn><cn id="S5.p9.1.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.p9.1.m1.1.1.3.3">255</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p9.1.m1.1c">\sigma=25/255</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p9.1.m1.1d">italic_σ = 25 / 255</annotation></semantics></math>. The residual images show that our model sweeps fewer meaningful signals as noise than the ROF model, especially for the large scale part, which suggests that our model is able to preserve image contrast. The proposed model with MTV (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S3.E56" title="In 3.4 An extension of our model ‣ 3 The Proposed Image Restoration Models ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">56</span></a>) keeps some fine details in the restored images. Table <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S5.T1" title="Table 1 ‣ 5 Numerical Experiments ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a> shows that the PSNR for our model is higher than that of the ROF model.</p> </div> <figure class="ltx_figure" id="S5.F3"> <div class="ltx_flex_figure"> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_4"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S5.F3.sf1"> <div class="ltx_block ltx_minipage ltx_align_middle" id="S5.F3.sf1.1" style="width:99.7pt;"> <img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_square" height="598" id="S5.F3.sf1.1.g1" src="extracted/6292504/KR_denoising/figure/eps/but_25/05.png" width="598"/> </div> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S5.F3.sf1.3.1.1" style="font-size:80%;">(a)</span> </span><span class="ltx_text" id="S5.F3.sf1.4.2" style="font-size:80%;">Original Image</span></figcaption> </figure> </div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_4"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S5.F3.sf2"> <div class="ltx_block ltx_minipage ltx_align_middle" id="S5.F3.sf2.1" style="width:99.7pt;"> <img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_square" height="598" id="S5.F3.sf2.1.g1" src="extracted/6292504/KR_denoising/figure/jpg/but_25/but_25.jpg" width="598"/> </div> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S5.F3.sf2.3.1.1" style="font-size:80%;">(b)</span> </span><span class="ltx_text" id="S5.F3.sf2.4.2" style="font-size:80%;">Noisy Image</span></figcaption> </figure> </div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_4"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S5.F3.sf3"> <div class="ltx_block ltx_minipage ltx_align_middle" id="S5.F3.sf3.1" style="width:99.7pt;"> <img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_square" height="598" id="S5.F3.sf3.1.g1" src="extracted/6292504/KR_denoising/figure/jpg/but_25/rof_26.95.jpg" width="598"/> </div> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S5.F3.sf3.5.1.1" style="font-size:80%;">(c)</span> </span><math alttext="u" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F3.sf3.3.m1.1"><semantics id="S5.F3.sf3.3.m1.1b"><mi id="S5.F3.sf3.3.m1.1.1" mathsize="80%" xref="S5.F3.sf3.3.m1.1.1.cmml">u</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F3.sf3.3.m1.1c"><ci id="S5.F3.sf3.3.m1.1.1.cmml" xref="S5.F3.sf3.3.m1.1.1">𝑢</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F3.sf3.3.m1.1d">u</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F3.sf3.3.m1.1e">italic_u</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S5.F3.sf3.6.2" style="font-size:80%;"> by ROF</span></figcaption> </figure> </div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_4"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S5.F3.sf4"> <div class="ltx_block ltx_minipage ltx_align_middle" id="S5.F3.sf4.1" style="width:99.7pt;"> <img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_square" height="598" id="S5.F3.sf4.1.g1" src="extracted/6292504/KR_denoising/figure/jpg/but_25/rof_f-u_24.5.jpg" width="598"/> </div> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S5.F3.sf4.5.1.1" style="font-size:80%;">(d)</span> </span><math alttext="f-u+100/255" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F3.sf4.3.m1.1"><semantics id="S5.F3.sf4.3.m1.1b"><mrow id="S5.F3.sf4.3.m1.1.1" xref="S5.F3.sf4.3.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.F3.sf4.3.m1.1.1.2" xref="S5.F3.sf4.3.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.F3.sf4.3.m1.1.1.2.2" mathsize="80%" xref="S5.F3.sf4.3.m1.1.1.2.2.cmml">f</mi><mo id="S5.F3.sf4.3.m1.1.1.2.1" mathsize="80%" xref="S5.F3.sf4.3.m1.1.1.2.1.cmml">−</mo><mi id="S5.F3.sf4.3.m1.1.1.2.3" mathsize="80%" xref="S5.F3.sf4.3.m1.1.1.2.3.cmml">u</mi></mrow><mo id="S5.F3.sf4.3.m1.1.1.1" mathsize="80%" xref="S5.F3.sf4.3.m1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.F3.sf4.3.m1.1.1.3" xref="S5.F3.sf4.3.m1.1.1.3.cmml"><mn id="S5.F3.sf4.3.m1.1.1.3.2" mathsize="80%" xref="S5.F3.sf4.3.m1.1.1.3.2.cmml">100</mn><mo id="S5.F3.sf4.3.m1.1.1.3.1" maxsize="80%" minsize="80%" stretchy="true" symmetric="true" xref="S5.F3.sf4.3.m1.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S5.F3.sf4.3.m1.1.1.3.3" mathsize="80%" xref="S5.F3.sf4.3.m1.1.1.3.3.cmml">255</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F3.sf4.3.m1.1c"><apply id="S5.F3.sf4.3.m1.1.1.cmml" xref="S5.F3.sf4.3.m1.1.1"><plus id="S5.F3.sf4.3.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.F3.sf4.3.m1.1.1.1"></plus><apply id="S5.F3.sf4.3.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.F3.sf4.3.m1.1.1.2"><minus id="S5.F3.sf4.3.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.F3.sf4.3.m1.1.1.2.1"></minus><ci id="S5.F3.sf4.3.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.F3.sf4.3.m1.1.1.2.2">𝑓</ci><ci id="S5.F3.sf4.3.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.F3.sf4.3.m1.1.1.2.3">𝑢</ci></apply><apply id="S5.F3.sf4.3.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.F3.sf4.3.m1.1.1.3"><divide id="S5.F3.sf4.3.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.F3.sf4.3.m1.1.1.3.1"></divide><cn id="S5.F3.sf4.3.m1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.F3.sf4.3.m1.1.1.3.2">100</cn><cn id="S5.F3.sf4.3.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.F3.sf4.3.m1.1.1.3.3">255</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F3.sf4.3.m1.1d">f-u+100/255</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F3.sf4.3.m1.1e">italic_f - italic_u + 100 / 255</annotation></semantics></math></figcaption> </figure> </div> <div class="ltx_flex_break"></div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_4"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S5.F3.sf5"> <div class="ltx_block ltx_minipage ltx_align_middle" id="S5.F3.sf5.1" style="width:99.7pt;"> <img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_square" height="598" id="S5.F3.sf5.1.g1" src="extracted/6292504/KR_denoising/figure/jpg/but_25/kr_l2_tv_lam2_1_lam0.3_27.3_0.850.jpg" width="598"/> </div> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S5.F3.sf5.5.1.1" style="font-size:80%;">(e)</span> </span><math alttext="u" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F3.sf5.3.m1.1"><semantics id="S5.F3.sf5.3.m1.1b"><mi id="S5.F3.sf5.3.m1.1.1" mathsize="80%" xref="S5.F3.sf5.3.m1.1.1.cmml">u</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F3.sf5.3.m1.1c"><ci id="S5.F3.sf5.3.m1.1.1.cmml" xref="S5.F3.sf5.3.m1.1.1">𝑢</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F3.sf5.3.m1.1d">u</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F3.sf5.3.m1.1e">italic_u</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S5.F3.sf5.6.2" style="font-size:80%;"> by our model</span></figcaption> </figure> </div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_4"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S5.F3.sf6"> <div class="ltx_block ltx_minipage ltx_align_middle" id="S5.F3.sf6.1" style="width:99.7pt;"> <img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_square" height="598" id="S5.F3.sf6.1.g1" src="extracted/6292504/KR_denoising/figure/jpg/but_25/kr_l2_tv_lam2_1_lam0.3_27.3_0.850_res.jpg" width="598"/> </div> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S5.F3.sf6.5.1.1" style="font-size:80%;">(f)</span> </span><math alttext="f-u+100/255" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F3.sf6.3.m1.1"><semantics id="S5.F3.sf6.3.m1.1b"><mrow id="S5.F3.sf6.3.m1.1.1" xref="S5.F3.sf6.3.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.F3.sf6.3.m1.1.1.2" xref="S5.F3.sf6.3.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.F3.sf6.3.m1.1.1.2.2" mathsize="80%" xref="S5.F3.sf6.3.m1.1.1.2.2.cmml">f</mi><mo id="S5.F3.sf6.3.m1.1.1.2.1" mathsize="80%" xref="S5.F3.sf6.3.m1.1.1.2.1.cmml">−</mo><mi id="S5.F3.sf6.3.m1.1.1.2.3" mathsize="80%" xref="S5.F3.sf6.3.m1.1.1.2.3.cmml">u</mi></mrow><mo id="S5.F3.sf6.3.m1.1.1.1" mathsize="80%" xref="S5.F3.sf6.3.m1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.F3.sf6.3.m1.1.1.3" xref="S5.F3.sf6.3.m1.1.1.3.cmml"><mn id="S5.F3.sf6.3.m1.1.1.3.2" mathsize="80%" xref="S5.F3.sf6.3.m1.1.1.3.2.cmml">100</mn><mo id="S5.F3.sf6.3.m1.1.1.3.1" maxsize="80%" minsize="80%" stretchy="true" symmetric="true" xref="S5.F3.sf6.3.m1.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S5.F3.sf6.3.m1.1.1.3.3" mathsize="80%" xref="S5.F3.sf6.3.m1.1.1.3.3.cmml">255</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F3.sf6.3.m1.1c"><apply id="S5.F3.sf6.3.m1.1.1.cmml" xref="S5.F3.sf6.3.m1.1.1"><plus id="S5.F3.sf6.3.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.F3.sf6.3.m1.1.1.1"></plus><apply id="S5.F3.sf6.3.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.F3.sf6.3.m1.1.1.2"><minus id="S5.F3.sf6.3.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.F3.sf6.3.m1.1.1.2.1"></minus><ci id="S5.F3.sf6.3.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.F3.sf6.3.m1.1.1.2.2">𝑓</ci><ci id="S5.F3.sf6.3.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.F3.sf6.3.m1.1.1.2.3">𝑢</ci></apply><apply id="S5.F3.sf6.3.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.F3.sf6.3.m1.1.1.3"><divide id="S5.F3.sf6.3.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.F3.sf6.3.m1.1.1.3.1"></divide><cn id="S5.F3.sf6.3.m1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.F3.sf6.3.m1.1.1.3.2">100</cn><cn id="S5.F3.sf6.3.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.F3.sf6.3.m1.1.1.3.3">255</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F3.sf6.3.m1.1d">f-u+100/255</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F3.sf6.3.m1.1e">italic_f - italic_u + 100 / 255</annotation></semantics></math></figcaption> </figure> </div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_4"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S5.F3.sf7"> <div class="ltx_block ltx_minipage ltx_align_middle" id="S5.F3.sf7.1" style="width:99.7pt;"> <img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_square" height="598" id="S5.F3.sf7.1.g1" src="extracted/6292504/KR_denoising/figure/jpg/but_25/zhu_a8_26.57.jpg" width="598"/> </div> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S5.F3.sf7.5.1.1" style="font-size:80%;">(g)</span> </span><math alttext="u" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F3.sf7.3.m1.1"><semantics id="S5.F3.sf7.3.m1.1b"><mi id="S5.F3.sf7.3.m1.1.1" mathsize="80%" xref="S5.F3.sf7.3.m1.1.1.cmml">u</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F3.sf7.3.m1.1c"><ci id="S5.F3.sf7.3.m1.1.1.cmml" xref="S5.F3.sf7.3.m1.1.1">𝑢</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F3.sf7.3.m1.1d">u</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F3.sf7.3.m1.1e">italic_u</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S5.F3.sf7.6.2" style="font-size:80%;"> by MTV</span></figcaption> </figure> </div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_4"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S5.F3.sf8"> <div class="ltx_block ltx_minipage ltx_align_middle" id="S5.F3.sf8.1" style="width:99.7pt;"> <img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_square" height="598" id="S5.F3.sf8.1.g1" src="extracted/6292504/KR_denoising/figure/jpg/but_25/zhu_a8_f-u_24.9.jpg" width="598"/> </div> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S5.F3.sf8.5.1.1" style="font-size:80%;">(h)</span> </span><math alttext="f-u+100/255" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F3.sf8.3.m1.1"><semantics id="S5.F3.sf8.3.m1.1b"><mrow id="S5.F3.sf8.3.m1.1.1" xref="S5.F3.sf8.3.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.F3.sf8.3.m1.1.1.2" xref="S5.F3.sf8.3.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.F3.sf8.3.m1.1.1.2.2" mathsize="80%" xref="S5.F3.sf8.3.m1.1.1.2.2.cmml">f</mi><mo id="S5.F3.sf8.3.m1.1.1.2.1" mathsize="80%" xref="S5.F3.sf8.3.m1.1.1.2.1.cmml">−</mo><mi id="S5.F3.sf8.3.m1.1.1.2.3" mathsize="80%" xref="S5.F3.sf8.3.m1.1.1.2.3.cmml">u</mi></mrow><mo id="S5.F3.sf8.3.m1.1.1.1" mathsize="80%" xref="S5.F3.sf8.3.m1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.F3.sf8.3.m1.1.1.3" xref="S5.F3.sf8.3.m1.1.1.3.cmml"><mn id="S5.F3.sf8.3.m1.1.1.3.2" mathsize="80%" xref="S5.F3.sf8.3.m1.1.1.3.2.cmml">100</mn><mo id="S5.F3.sf8.3.m1.1.1.3.1" maxsize="80%" minsize="80%" stretchy="true" symmetric="true" xref="S5.F3.sf8.3.m1.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S5.F3.sf8.3.m1.1.1.3.3" mathsize="80%" xref="S5.F3.sf8.3.m1.1.1.3.3.cmml">255</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F3.sf8.3.m1.1c"><apply id="S5.F3.sf8.3.m1.1.1.cmml" xref="S5.F3.sf8.3.m1.1.1"><plus id="S5.F3.sf8.3.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.F3.sf8.3.m1.1.1.1"></plus><apply id="S5.F3.sf8.3.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.F3.sf8.3.m1.1.1.2"><minus id="S5.F3.sf8.3.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.F3.sf8.3.m1.1.1.2.1"></minus><ci id="S5.F3.sf8.3.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.F3.sf8.3.m1.1.1.2.2">𝑓</ci><ci id="S5.F3.sf8.3.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.F3.sf8.3.m1.1.1.2.3">𝑢</ci></apply><apply id="S5.F3.sf8.3.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.F3.sf8.3.m1.1.1.3"><divide id="S5.F3.sf8.3.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.F3.sf8.3.m1.1.1.3.1"></divide><cn id="S5.F3.sf8.3.m1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.F3.sf8.3.m1.1.1.3.2">100</cn><cn id="S5.F3.sf8.3.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.F3.sf8.3.m1.1.1.3.3">255</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F3.sf8.3.m1.1d">f-u+100/255</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F3.sf8.3.m1.1e">italic_f - italic_u + 100 / 255</annotation></semantics></math></figcaption> </figure> </div> <div class="ltx_flex_break"></div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_2"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S5.F3.sf9"> <div class="ltx_block ltx_minipage ltx_align_middle" id="S5.F3.sf9.1" style="width:99.7pt;"> <img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_square" height="598" id="S5.F3.sf9.1.g1" src="extracted/6292504/KR_denoising/figure/jpg/but_25/kr_lam0.25_zhu_a8_u_27.33.jpg" width="598"/> </div> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S5.F3.sf9.5.1.1" style="font-size:80%;">(i)</span> </span><math alttext="u" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F3.sf9.3.m1.1"><semantics id="S5.F3.sf9.3.m1.1b"><mi id="S5.F3.sf9.3.m1.1.1" mathsize="80%" xref="S5.F3.sf9.3.m1.1.1.cmml">u</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F3.sf9.3.m1.1c"><ci id="S5.F3.sf9.3.m1.1.1.cmml" xref="S5.F3.sf9.3.m1.1.1">𝑢</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F3.sf9.3.m1.1d">u</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F3.sf9.3.m1.1e">italic_u</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S5.F3.sf9.6.2" style="font-size:80%;"> by our model with MTV</span></figcaption> </figure> </div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_2"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S5.F3.sf10"> <div class="ltx_block ltx_minipage ltx_align_middle" id="S5.F3.sf10.1" style="width:99.7pt;"> <img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_square" height="598" id="S5.F3.sf10.1.g1" src="extracted/6292504/KR_denoising/figure/jpg/but_25/kr_lam0.25_zhu_a8_f-u_24.6.jpg" width="598"/> </div> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S5.F3.sf10.5.1.1" style="font-size:80%;">(j)</span> </span><math alttext="f-u+100/255" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F3.sf10.3.m1.1"><semantics id="S5.F3.sf10.3.m1.1b"><mrow id="S5.F3.sf10.3.m1.1.1" xref="S5.F3.sf10.3.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.F3.sf10.3.m1.1.1.2" xref="S5.F3.sf10.3.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.F3.sf10.3.m1.1.1.2.2" mathsize="80%" xref="S5.F3.sf10.3.m1.1.1.2.2.cmml">f</mi><mo id="S5.F3.sf10.3.m1.1.1.2.1" mathsize="80%" xref="S5.F3.sf10.3.m1.1.1.2.1.cmml">−</mo><mi id="S5.F3.sf10.3.m1.1.1.2.3" mathsize="80%" xref="S5.F3.sf10.3.m1.1.1.2.3.cmml">u</mi></mrow><mo id="S5.F3.sf10.3.m1.1.1.1" mathsize="80%" xref="S5.F3.sf10.3.m1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.F3.sf10.3.m1.1.1.3" xref="S5.F3.sf10.3.m1.1.1.3.cmml"><mn id="S5.F3.sf10.3.m1.1.1.3.2" mathsize="80%" xref="S5.F3.sf10.3.m1.1.1.3.2.cmml">100</mn><mo id="S5.F3.sf10.3.m1.1.1.3.1" maxsize="80%" minsize="80%" stretchy="true" symmetric="true" xref="S5.F3.sf10.3.m1.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S5.F3.sf10.3.m1.1.1.3.3" mathsize="80%" xref="S5.F3.sf10.3.m1.1.1.3.3.cmml">255</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F3.sf10.3.m1.1c"><apply id="S5.F3.sf10.3.m1.1.1.cmml" xref="S5.F3.sf10.3.m1.1.1"><plus id="S5.F3.sf10.3.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.F3.sf10.3.m1.1.1.1"></plus><apply id="S5.F3.sf10.3.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.F3.sf10.3.m1.1.1.2"><minus id="S5.F3.sf10.3.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.F3.sf10.3.m1.1.1.2.1"></minus><ci id="S5.F3.sf10.3.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.F3.sf10.3.m1.1.1.2.2">𝑓</ci><ci id="S5.F3.sf10.3.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.F3.sf10.3.m1.1.1.2.3">𝑢</ci></apply><apply id="S5.F3.sf10.3.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.F3.sf10.3.m1.1.1.3"><divide id="S5.F3.sf10.3.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.F3.sf10.3.m1.1.1.3.1"></divide><cn id="S5.F3.sf10.3.m1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.F3.sf10.3.m1.1.1.3.2">100</cn><cn id="S5.F3.sf10.3.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.F3.sf10.3.m1.1.1.3.3">255</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F3.sf10.3.m1.1d">f-u+100/255</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F3.sf10.3.m1.1e">italic_f - italic_u + 100 / 255</annotation></semantics></math></figcaption> </figure> </div> </div> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure">Figure 3: </span>Results using the ROF model, our model (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S3.E28" title="In 3.1 The proposed image denoising model ‣ 3 The Proposed Image Restoration Models ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">28</span></a>), MTV model (<math alttext="a=8/255" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F3.6.m1.1"><semantics id="S5.F3.6.m1.1b"><mrow id="S5.F3.6.m1.1.1" xref="S5.F3.6.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.F3.6.m1.1.1.2" xref="S5.F3.6.m1.1.1.2.cmml">a</mi><mo id="S5.F3.6.m1.1.1.1" xref="S5.F3.6.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.F3.6.m1.1.1.3" xref="S5.F3.6.m1.1.1.3.cmml"><mn id="S5.F3.6.m1.1.1.3.2" xref="S5.F3.6.m1.1.1.3.2.cmml">8</mn><mo id="S5.F3.6.m1.1.1.3.1" xref="S5.F3.6.m1.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S5.F3.6.m1.1.1.3.3" xref="S5.F3.6.m1.1.1.3.3.cmml">255</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F3.6.m1.1c"><apply id="S5.F3.6.m1.1.1.cmml" xref="S5.F3.6.m1.1.1"><eq id="S5.F3.6.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.F3.6.m1.1.1.1"></eq><ci id="S5.F3.6.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.F3.6.m1.1.1.2">𝑎</ci><apply id="S5.F3.6.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.F3.6.m1.1.1.3"><divide id="S5.F3.6.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.F3.6.m1.1.1.3.1"></divide><cn id="S5.F3.6.m1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.F3.6.m1.1.1.3.2">8</cn><cn id="S5.F3.6.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.F3.6.m1.1.1.3.3">255</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F3.6.m1.1d">a=8/255</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F3.6.m1.1e">italic_a = 8 / 255</annotation></semantics></math>)(<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S3.E58" title="In 3.4 An extension of our model ‣ 3 The Proposed Image Restoration Models ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">58</span></a>) and the proposed model with MTV (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S3.E56" title="In 3.4 An extension of our model ‣ 3 The Proposed Image Restoration Models ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">56</span></a>). The additive noise <math alttext="n" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F3.7.m2.1"><semantics id="S5.F3.7.m2.1b"><mi id="S5.F3.7.m2.1.1" xref="S5.F3.7.m2.1.1.cmml">n</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F3.7.m2.1c"><ci id="S5.F3.7.m2.1.1.cmml" xref="S5.F3.7.m2.1.1">𝑛</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F3.7.m2.1d">n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F3.7.m2.1e">italic_n</annotation></semantics></math> has norm <math alttext="\|n\|=25" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F3.8.m3.1"><semantics id="S5.F3.8.m3.1b"><mrow id="S5.F3.8.m3.1.2" xref="S5.F3.8.m3.1.2.cmml"><mrow id="S5.F3.8.m3.1.2.2.2" xref="S5.F3.8.m3.1.2.2.1.cmml"><mo id="S5.F3.8.m3.1.2.2.2.1" stretchy="false" xref="S5.F3.8.m3.1.2.2.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S5.F3.8.m3.1.1" xref="S5.F3.8.m3.1.1.cmml">n</mi><mo id="S5.F3.8.m3.1.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S5.F3.8.m3.1.2.2.1.1.cmml">‖</mo></mrow><mo id="S5.F3.8.m3.1.2.1" xref="S5.F3.8.m3.1.2.1.cmml">=</mo><mn id="S5.F3.8.m3.1.2.3" xref="S5.F3.8.m3.1.2.3.cmml">25</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F3.8.m3.1c"><apply id="S5.F3.8.m3.1.2.cmml" xref="S5.F3.8.m3.1.2"><eq id="S5.F3.8.m3.1.2.1.cmml" xref="S5.F3.8.m3.1.2.1"></eq><apply id="S5.F3.8.m3.1.2.2.1.cmml" xref="S5.F3.8.m3.1.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S5.F3.8.m3.1.2.2.1.1.cmml" xref="S5.F3.8.m3.1.2.2.2.1">norm</csymbol><ci id="S5.F3.8.m3.1.1.cmml" xref="S5.F3.8.m3.1.1">𝑛</ci></apply><cn id="S5.F3.8.m3.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.F3.8.m3.1.2.3">25</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F3.8.m3.1d">\|n\|=25</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F3.8.m3.1e">∥ italic_n ∥ = 25</annotation></semantics></math>. For the proposed models, we choose the same parameter <math alttext="\alpha=80" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F3.9.m4.1"><semantics id="S5.F3.9.m4.1b"><mrow id="S5.F3.9.m4.1.1" xref="S5.F3.9.m4.1.1.cmml"><mi id="S5.F3.9.m4.1.1.2" xref="S5.F3.9.m4.1.1.2.cmml">α</mi><mo id="S5.F3.9.m4.1.1.1" xref="S5.F3.9.m4.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S5.F3.9.m4.1.1.3" xref="S5.F3.9.m4.1.1.3.cmml">80</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F3.9.m4.1c"><apply id="S5.F3.9.m4.1.1.cmml" xref="S5.F3.9.m4.1.1"><eq id="S5.F3.9.m4.1.1.1.cmml" xref="S5.F3.9.m4.1.1.1"></eq><ci id="S5.F3.9.m4.1.1.2.cmml" xref="S5.F3.9.m4.1.1.2">𝛼</ci><cn id="S5.F3.9.m4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.F3.9.m4.1.1.3">80</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F3.9.m4.1d">\alpha=80</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F3.9.m4.1e">italic_α = 80</annotation></semantics></math> and the other parameters are tuned such that the removed noise part has the norm <math alttext="\|f-u\|\approx 25" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F3.10.m5.1"><semantics id="S5.F3.10.m5.1b"><mrow id="S5.F3.10.m5.1.1" xref="S5.F3.10.m5.1.1.cmml"><mrow id="S5.F3.10.m5.1.1.1.1" xref="S5.F3.10.m5.1.1.1.2.cmml"><mo id="S5.F3.10.m5.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.F3.10.m5.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S5.F3.10.m5.1.1.1.1.1" xref="S5.F3.10.m5.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.F3.10.m5.1.1.1.1.1.2" xref="S5.F3.10.m5.1.1.1.1.1.2.cmml">f</mi><mo id="S5.F3.10.m5.1.1.1.1.1.1" xref="S5.F3.10.m5.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S5.F3.10.m5.1.1.1.1.1.3" xref="S5.F3.10.m5.1.1.1.1.1.3.cmml">u</mi></mrow><mo id="S5.F3.10.m5.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.F3.10.m5.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mo id="S5.F3.10.m5.1.1.2" xref="S5.F3.10.m5.1.1.2.cmml">≈</mo><mn id="S5.F3.10.m5.1.1.3" xref="S5.F3.10.m5.1.1.3.cmml">25</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F3.10.m5.1c"><apply id="S5.F3.10.m5.1.1.cmml" xref="S5.F3.10.m5.1.1"><approx id="S5.F3.10.m5.1.1.2.cmml" xref="S5.F3.10.m5.1.1.2"></approx><apply id="S5.F3.10.m5.1.1.1.2.cmml" xref="S5.F3.10.m5.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.F3.10.m5.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.F3.10.m5.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S5.F3.10.m5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.F3.10.m5.1.1.1.1.1"><minus id="S5.F3.10.m5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.F3.10.m5.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S5.F3.10.m5.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.F3.10.m5.1.1.1.1.1.2">𝑓</ci><ci id="S5.F3.10.m5.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.F3.10.m5.1.1.1.1.1.3">𝑢</ci></apply></apply><cn id="S5.F3.10.m5.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.F3.10.m5.1.1.3">25</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F3.10.m5.1d">\|f-u\|\approx 25</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F3.10.m5.1e">∥ italic_f - italic_u ∥ ≈ 25</annotation></semantics></math> as the ROF model and MTV model.</figcaption> </figure> <div class="ltx_para" id="S5.p10"> <p class="ltx_p" id="S5.p10.1">In Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S5.F4" title="Figure 4 ‣ 5 Numerical Experiments ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4</span></a>, we consider an image "Parrot". The ROF model suffers from the loss of image contrasts and the staircase effect. As shown in residual images <math alttext="f-u+100/255" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p10.1.m1.1"><semantics id="S5.p10.1.m1.1a"><mrow id="S5.p10.1.m1.1.1" xref="S5.p10.1.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.p10.1.m1.1.1.2" xref="S5.p10.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.p10.1.m1.1.1.2.2" xref="S5.p10.1.m1.1.1.2.2.cmml">f</mi><mo id="S5.p10.1.m1.1.1.2.1" xref="S5.p10.1.m1.1.1.2.1.cmml">−</mo><mi id="S5.p10.1.m1.1.1.2.3" xref="S5.p10.1.m1.1.1.2.3.cmml">u</mi></mrow><mo id="S5.p10.1.m1.1.1.1" xref="S5.p10.1.m1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.p10.1.m1.1.1.3" xref="S5.p10.1.m1.1.1.3.cmml"><mn id="S5.p10.1.m1.1.1.3.2" xref="S5.p10.1.m1.1.1.3.2.cmml">100</mn><mo id="S5.p10.1.m1.1.1.3.1" xref="S5.p10.1.m1.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S5.p10.1.m1.1.1.3.3" xref="S5.p10.1.m1.1.1.3.3.cmml">255</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p10.1.m1.1b"><apply id="S5.p10.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.p10.1.m1.1.1"><plus id="S5.p10.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.p10.1.m1.1.1.1"></plus><apply id="S5.p10.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.p10.1.m1.1.1.2"><minus id="S5.p10.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.p10.1.m1.1.1.2.1"></minus><ci id="S5.p10.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.p10.1.m1.1.1.2.2">𝑓</ci><ci id="S5.p10.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.p10.1.m1.1.1.2.3">𝑢</ci></apply><apply id="S5.p10.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.p10.1.m1.1.1.3"><divide id="S5.p10.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.p10.1.m1.1.1.3.1"></divide><cn id="S5.p10.1.m1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.p10.1.m1.1.1.3.2">100</cn><cn id="S5.p10.1.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.p10.1.m1.1.1.3.3">255</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p10.1.m1.1c">f-u+100/255</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p10.1.m1.1d">italic_f - italic_u + 100 / 255</annotation></semantics></math>, our model sweeps less meaningful signals as noise than the ROF model in the large scale part. Our model with MTV keeps some fine textures in the restored images in region with rich textures, and also suppresses staircasing effect. Table <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S5.T1" title="Table 1 ‣ 5 Numerical Experiments ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a> shows that the PSNR for our model is not optimal, but our model with MTV produces a higher PSNR than the ROF model.</p> </div> <figure class="ltx_figure" id="S5.F4"> <div class="ltx_flex_figure"> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_4"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S5.F4.sf1"> <div class="ltx_block ltx_minipage ltx_align_middle" id="S5.F4.sf1.1" style="width:99.7pt;"> <img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_square" height="598" id="S5.F4.sf1.1.g1" src="extracted/6292504/KR_denoising/figure/eps/par_20/07.png" width="598"/> </div> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S5.F4.sf1.3.1.1" style="font-size:80%;">(a)</span> </span><span class="ltx_text" id="S5.F4.sf1.4.2" style="font-size:80%;">Original Image</span></figcaption> </figure> </div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_4"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S5.F4.sf2"> <div class="ltx_block ltx_minipage ltx_align_middle" id="S5.F4.sf2.1" style="width:99.7pt;"> <img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_square" height="598" id="S5.F4.sf2.1.g1" src="extracted/6292504/KR_denoising/figure/jpg/par_20/par_20.jpg" width="598"/> </div> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S5.F4.sf2.3.1.1" style="font-size:80%;">(b)</span> </span><span class="ltx_text" id="S5.F4.sf2.4.2" style="font-size:80%;">Noisy Image</span></figcaption> </figure> </div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_4"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S5.F4.sf3"> <div class="ltx_block ltx_minipage ltx_align_middle" id="S5.F4.sf3.1" style="width:99.7pt;"> <img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_square" height="598" id="S5.F4.sf3.1.g1" src="extracted/6292504/KR_denoising/figure/jpg/par_20/rof_u.jpg" width="598"/> </div> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S5.F4.sf3.5.1.1" style="font-size:80%;">(c)</span> </span><math alttext="u" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F4.sf3.3.m1.1"><semantics id="S5.F4.sf3.3.m1.1b"><mi id="S5.F4.sf3.3.m1.1.1" mathsize="80%" xref="S5.F4.sf3.3.m1.1.1.cmml">u</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F4.sf3.3.m1.1c"><ci id="S5.F4.sf3.3.m1.1.1.cmml" xref="S5.F4.sf3.3.m1.1.1">𝑢</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F4.sf3.3.m1.1d">u</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F4.sf3.3.m1.1e">italic_u</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S5.F4.sf3.6.2" style="font-size:80%;"> by ROF</span></figcaption> </figure> </div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_4"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S5.F4.sf4"> <div class="ltx_block ltx_minipage ltx_align_middle" id="S5.F4.sf4.1" style="width:99.7pt;"> <img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_square" height="598" id="S5.F4.sf4.1.g1" src="extracted/6292504/KR_denoising/figure/jpg/par_20/rof_f-u.jpg" width="598"/> </div> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S5.F4.sf4.5.1.1" style="font-size:80%;">(d)</span> </span><math alttext="f-u+100/255" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F4.sf4.3.m1.1"><semantics id="S5.F4.sf4.3.m1.1b"><mrow id="S5.F4.sf4.3.m1.1.1" xref="S5.F4.sf4.3.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.F4.sf4.3.m1.1.1.2" xref="S5.F4.sf4.3.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.F4.sf4.3.m1.1.1.2.2" mathsize="80%" xref="S5.F4.sf4.3.m1.1.1.2.2.cmml">f</mi><mo id="S5.F4.sf4.3.m1.1.1.2.1" mathsize="80%" xref="S5.F4.sf4.3.m1.1.1.2.1.cmml">−</mo><mi id="S5.F4.sf4.3.m1.1.1.2.3" mathsize="80%" xref="S5.F4.sf4.3.m1.1.1.2.3.cmml">u</mi></mrow><mo id="S5.F4.sf4.3.m1.1.1.1" mathsize="80%" xref="S5.F4.sf4.3.m1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.F4.sf4.3.m1.1.1.3" xref="S5.F4.sf4.3.m1.1.1.3.cmml"><mn id="S5.F4.sf4.3.m1.1.1.3.2" mathsize="80%" xref="S5.F4.sf4.3.m1.1.1.3.2.cmml">100</mn><mo id="S5.F4.sf4.3.m1.1.1.3.1" maxsize="80%" minsize="80%" stretchy="true" symmetric="true" xref="S5.F4.sf4.3.m1.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S5.F4.sf4.3.m1.1.1.3.3" mathsize="80%" xref="S5.F4.sf4.3.m1.1.1.3.3.cmml">255</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F4.sf4.3.m1.1c"><apply id="S5.F4.sf4.3.m1.1.1.cmml" xref="S5.F4.sf4.3.m1.1.1"><plus id="S5.F4.sf4.3.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.F4.sf4.3.m1.1.1.1"></plus><apply id="S5.F4.sf4.3.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.F4.sf4.3.m1.1.1.2"><minus id="S5.F4.sf4.3.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.F4.sf4.3.m1.1.1.2.1"></minus><ci id="S5.F4.sf4.3.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.F4.sf4.3.m1.1.1.2.2">𝑓</ci><ci id="S5.F4.sf4.3.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.F4.sf4.3.m1.1.1.2.3">𝑢</ci></apply><apply id="S5.F4.sf4.3.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.F4.sf4.3.m1.1.1.3"><divide id="S5.F4.sf4.3.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.F4.sf4.3.m1.1.1.3.1"></divide><cn id="S5.F4.sf4.3.m1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.F4.sf4.3.m1.1.1.3.2">100</cn><cn id="S5.F4.sf4.3.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.F4.sf4.3.m1.1.1.3.3">255</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F4.sf4.3.m1.1d">f-u+100/255</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F4.sf4.3.m1.1e">italic_f - italic_u + 100 / 255</annotation></semantics></math></figcaption> </figure> </div> <div class="ltx_flex_break"></div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_4"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S5.F4.sf5"> <div class="ltx_block ltx_minipage ltx_align_middle" id="S5.F4.sf5.1" style="width:99.7pt;"> <img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_square" height="598" id="S5.F4.sf5.1.g1" src="extracted/6292504/KR_denoising/figure/jpg/par_20/kr_u_27.9.jpg" width="598"/> </div> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S5.F4.sf5.5.1.1" style="font-size:80%;">(e)</span> </span><math alttext="u" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F4.sf5.3.m1.1"><semantics id="S5.F4.sf5.3.m1.1b"><mi id="S5.F4.sf5.3.m1.1.1" mathsize="80%" xref="S5.F4.sf5.3.m1.1.1.cmml">u</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F4.sf5.3.m1.1c"><ci id="S5.F4.sf5.3.m1.1.1.cmml" xref="S5.F4.sf5.3.m1.1.1">𝑢</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F4.sf5.3.m1.1d">u</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F4.sf5.3.m1.1e">italic_u</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S5.F4.sf5.6.2" style="font-size:80%;"> by our model</span></figcaption> </figure> </div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_4"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S5.F4.sf6"> <div class="ltx_block ltx_minipage ltx_align_middle" id="S5.F4.sf6.1" style="width:99.7pt;"> <img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_square" height="598" id="S5.F4.sf6.1.g1" src="extracted/6292504/KR_denoising/figure/jpg/par_20/kr_f-u.jpg" width="598"/> </div> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S5.F4.sf6.5.1.1" style="font-size:80%;">(f)</span> </span><math alttext="f-u+100/255" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F4.sf6.3.m1.1"><semantics id="S5.F4.sf6.3.m1.1b"><mrow id="S5.F4.sf6.3.m1.1.1" xref="S5.F4.sf6.3.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.F4.sf6.3.m1.1.1.2" xref="S5.F4.sf6.3.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.F4.sf6.3.m1.1.1.2.2" mathsize="80%" xref="S5.F4.sf6.3.m1.1.1.2.2.cmml">f</mi><mo id="S5.F4.sf6.3.m1.1.1.2.1" mathsize="80%" xref="S5.F4.sf6.3.m1.1.1.2.1.cmml">−</mo><mi id="S5.F4.sf6.3.m1.1.1.2.3" mathsize="80%" xref="S5.F4.sf6.3.m1.1.1.2.3.cmml">u</mi></mrow><mo id="S5.F4.sf6.3.m1.1.1.1" mathsize="80%" xref="S5.F4.sf6.3.m1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.F4.sf6.3.m1.1.1.3" xref="S5.F4.sf6.3.m1.1.1.3.cmml"><mn id="S5.F4.sf6.3.m1.1.1.3.2" mathsize="80%" xref="S5.F4.sf6.3.m1.1.1.3.2.cmml">100</mn><mo id="S5.F4.sf6.3.m1.1.1.3.1" maxsize="80%" minsize="80%" stretchy="true" symmetric="true" xref="S5.F4.sf6.3.m1.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S5.F4.sf6.3.m1.1.1.3.3" mathsize="80%" xref="S5.F4.sf6.3.m1.1.1.3.3.cmml">255</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F4.sf6.3.m1.1c"><apply id="S5.F4.sf6.3.m1.1.1.cmml" xref="S5.F4.sf6.3.m1.1.1"><plus id="S5.F4.sf6.3.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.F4.sf6.3.m1.1.1.1"></plus><apply id="S5.F4.sf6.3.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.F4.sf6.3.m1.1.1.2"><minus id="S5.F4.sf6.3.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.F4.sf6.3.m1.1.1.2.1"></minus><ci id="S5.F4.sf6.3.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.F4.sf6.3.m1.1.1.2.2">𝑓</ci><ci id="S5.F4.sf6.3.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.F4.sf6.3.m1.1.1.2.3">𝑢</ci></apply><apply id="S5.F4.sf6.3.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.F4.sf6.3.m1.1.1.3"><divide id="S5.F4.sf6.3.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.F4.sf6.3.m1.1.1.3.1"></divide><cn id="S5.F4.sf6.3.m1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.F4.sf6.3.m1.1.1.3.2">100</cn><cn id="S5.F4.sf6.3.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.F4.sf6.3.m1.1.1.3.3">255</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F4.sf6.3.m1.1d">f-u+100/255</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F4.sf6.3.m1.1e">italic_f - italic_u + 100 / 255</annotation></semantics></math></figcaption> </figure> </div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_4"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S5.F4.sf7"> <div class="ltx_block ltx_minipage ltx_align_middle" id="S5.F4.sf7.1" style="width:99.7pt;"> <img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_square" height="598" id="S5.F4.sf7.1.g1" src="extracted/6292504/KR_denoising/figure/jpg/par_20/zhu_u.jpg" width="598"/> </div> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S5.F4.sf7.5.1.1" style="font-size:80%;">(g)</span> </span><math alttext="u" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F4.sf7.3.m1.1"><semantics id="S5.F4.sf7.3.m1.1b"><mi id="S5.F4.sf7.3.m1.1.1" mathsize="80%" xref="S5.F4.sf7.3.m1.1.1.cmml">u</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F4.sf7.3.m1.1c"><ci id="S5.F4.sf7.3.m1.1.1.cmml" xref="S5.F4.sf7.3.m1.1.1">𝑢</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F4.sf7.3.m1.1d">u</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F4.sf7.3.m1.1e">italic_u</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S5.F4.sf7.6.2" style="font-size:80%;"> by MTV</span></figcaption> </figure> </div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_4"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S5.F4.sf8"> <div class="ltx_block ltx_minipage ltx_align_middle" id="S5.F4.sf8.1" style="width:99.7pt;"> <img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_square" height="598" id="S5.F4.sf8.1.g1" src="extracted/6292504/KR_denoising/figure/jpg/par_20/zhu_f-u.jpg" width="598"/> </div> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S5.F4.sf8.5.1.1" style="font-size:80%;">(h)</span> </span><math alttext="f-u+100/255" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F4.sf8.3.m1.1"><semantics id="S5.F4.sf8.3.m1.1b"><mrow id="S5.F4.sf8.3.m1.1.1" xref="S5.F4.sf8.3.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.F4.sf8.3.m1.1.1.2" xref="S5.F4.sf8.3.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.F4.sf8.3.m1.1.1.2.2" mathsize="80%" xref="S5.F4.sf8.3.m1.1.1.2.2.cmml">f</mi><mo id="S5.F4.sf8.3.m1.1.1.2.1" mathsize="80%" xref="S5.F4.sf8.3.m1.1.1.2.1.cmml">−</mo><mi id="S5.F4.sf8.3.m1.1.1.2.3" mathsize="80%" xref="S5.F4.sf8.3.m1.1.1.2.3.cmml">u</mi></mrow><mo id="S5.F4.sf8.3.m1.1.1.1" mathsize="80%" xref="S5.F4.sf8.3.m1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.F4.sf8.3.m1.1.1.3" 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xref="S5.F4.sf8.3.m1.1.1.3.1"></divide><cn id="S5.F4.sf8.3.m1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.F4.sf8.3.m1.1.1.3.2">100</cn><cn id="S5.F4.sf8.3.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.F4.sf8.3.m1.1.1.3.3">255</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F4.sf8.3.m1.1d">f-u+100/255</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F4.sf8.3.m1.1e">italic_f - italic_u + 100 / 255</annotation></semantics></math></figcaption> </figure> </div> <div class="ltx_flex_break"></div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_2"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S5.F4.sf9"> <div class="ltx_block ltx_minipage ltx_align_middle" id="S5.F4.sf9.1" style="width:99.7pt;"> <img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_square" height="598" id="S5.F4.sf9.1.g1" src="extracted/6292504/KR_denoising/figure/jpg/par_20/kr_zhu_u.jpg" width="598"/> </div> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S5.F4.sf9.5.1.1" style="font-size:80%;">(i)</span> </span><math alttext="u" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F4.sf9.3.m1.1"><semantics id="S5.F4.sf9.3.m1.1b"><mi id="S5.F4.sf9.3.m1.1.1" mathsize="80%" xref="S5.F4.sf9.3.m1.1.1.cmml">u</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F4.sf9.3.m1.1c"><ci id="S5.F4.sf9.3.m1.1.1.cmml" xref="S5.F4.sf9.3.m1.1.1">𝑢</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F4.sf9.3.m1.1d">u</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F4.sf9.3.m1.1e">italic_u</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S5.F4.sf9.6.2" style="font-size:80%;"> by our model with MTV</span></figcaption> </figure> </div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_2"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S5.F4.sf10"> <div class="ltx_block ltx_minipage ltx_align_middle" id="S5.F4.sf10.1" style="width:99.7pt;"> <img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_square" height="598" id="S5.F4.sf10.1.g1" src="extracted/6292504/KR_denoising/figure/jpg/par_20/kr_zhu_f-u.jpg" width="598"/> </div> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S5.F4.sf10.5.1.1" style="font-size:80%;">(j)</span> </span><math alttext="f-u+100/255" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F4.sf10.3.m1.1"><semantics id="S5.F4.sf10.3.m1.1b"><mrow id="S5.F4.sf10.3.m1.1.1" xref="S5.F4.sf10.3.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.F4.sf10.3.m1.1.1.2" xref="S5.F4.sf10.3.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.F4.sf10.3.m1.1.1.2.2" mathsize="80%" xref="S5.F4.sf10.3.m1.1.1.2.2.cmml">f</mi><mo id="S5.F4.sf10.3.m1.1.1.2.1" mathsize="80%" xref="S5.F4.sf10.3.m1.1.1.2.1.cmml">−</mo><mi id="S5.F4.sf10.3.m1.1.1.2.3" mathsize="80%" xref="S5.F4.sf10.3.m1.1.1.2.3.cmml">u</mi></mrow><mo id="S5.F4.sf10.3.m1.1.1.1" mathsize="80%" xref="S5.F4.sf10.3.m1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.F4.sf10.3.m1.1.1.3" xref="S5.F4.sf10.3.m1.1.1.3.cmml"><mn id="S5.F4.sf10.3.m1.1.1.3.2" mathsize="80%" xref="S5.F4.sf10.3.m1.1.1.3.2.cmml">100</mn><mo id="S5.F4.sf10.3.m1.1.1.3.1" maxsize="80%" minsize="80%" stretchy="true" symmetric="true" xref="S5.F4.sf10.3.m1.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S5.F4.sf10.3.m1.1.1.3.3" mathsize="80%" xref="S5.F4.sf10.3.m1.1.1.3.3.cmml">255</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F4.sf10.3.m1.1c"><apply id="S5.F4.sf10.3.m1.1.1.cmml" xref="S5.F4.sf10.3.m1.1.1"><plus id="S5.F4.sf10.3.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.F4.sf10.3.m1.1.1.1"></plus><apply id="S5.F4.sf10.3.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.F4.sf10.3.m1.1.1.2"><minus id="S5.F4.sf10.3.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.F4.sf10.3.m1.1.1.2.1"></minus><ci id="S5.F4.sf10.3.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.F4.sf10.3.m1.1.1.2.2">𝑓</ci><ci id="S5.F4.sf10.3.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.F4.sf10.3.m1.1.1.2.3">𝑢</ci></apply><apply id="S5.F4.sf10.3.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.F4.sf10.3.m1.1.1.3"><divide id="S5.F4.sf10.3.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.F4.sf10.3.m1.1.1.3.1"></divide><cn id="S5.F4.sf10.3.m1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.F4.sf10.3.m1.1.1.3.2">100</cn><cn id="S5.F4.sf10.3.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.F4.sf10.3.m1.1.1.3.3">255</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F4.sf10.3.m1.1d">f-u+100/255</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F4.sf10.3.m1.1e">italic_f - italic_u + 100 / 255</annotation></semantics></math></figcaption> </figure> </div> </div> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure">Figure 4: </span>Results using the ROF model, our model (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S3.E28" title="In 3.1 The proposed image denoising model ‣ 3 The Proposed Image Restoration Models ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">28</span></a>), MTV (<math alttext="a=8/255" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F4.5.m1.1"><semantics id="S5.F4.5.m1.1b"><mrow id="S5.F4.5.m1.1.1" xref="S5.F4.5.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.F4.5.m1.1.1.2" xref="S5.F4.5.m1.1.1.2.cmml">a</mi><mo id="S5.F4.5.m1.1.1.1" xref="S5.F4.5.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S5.F4.5.m1.1.1.3" xref="S5.F4.5.m1.1.1.3.cmml"><mn id="S5.F4.5.m1.1.1.3.2" xref="S5.F4.5.m1.1.1.3.2.cmml">8</mn><mo id="S5.F4.5.m1.1.1.3.1" xref="S5.F4.5.m1.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S5.F4.5.m1.1.1.3.3" xref="S5.F4.5.m1.1.1.3.3.cmml">255</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F4.5.m1.1c"><apply id="S5.F4.5.m1.1.1.cmml" xref="S5.F4.5.m1.1.1"><eq id="S5.F4.5.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.F4.5.m1.1.1.1"></eq><ci id="S5.F4.5.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.F4.5.m1.1.1.2">𝑎</ci><apply id="S5.F4.5.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.F4.5.m1.1.1.3"><divide id="S5.F4.5.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.F4.5.m1.1.1.3.1"></divide><cn id="S5.F4.5.m1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.F4.5.m1.1.1.3.2">8</cn><cn id="S5.F4.5.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.F4.5.m1.1.1.3.3">255</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F4.5.m1.1d">a=8/255</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F4.5.m1.1e">italic_a = 8 / 255</annotation></semantics></math>) (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S3.E58" title="In 3.4 An extension of our model ‣ 3 The Proposed Image Restoration Models ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">58</span></a>) and the proposed model with MTV (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S3.E56" title="In 3.4 An extension of our model ‣ 3 The Proposed Image Restoration Models ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">56</span></a>). The additive noise <math alttext="n" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F4.6.m2.1"><semantics id="S5.F4.6.m2.1b"><mi id="S5.F4.6.m2.1.1" xref="S5.F4.6.m2.1.1.cmml">n</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F4.6.m2.1c"><ci id="S5.F4.6.m2.1.1.cmml" xref="S5.F4.6.m2.1.1">𝑛</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F4.6.m2.1d">n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F4.6.m2.1e">italic_n</annotation></semantics></math> has the norm <math alttext="\|n\|=20" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F4.7.m3.1"><semantics id="S5.F4.7.m3.1b"><mrow id="S5.F4.7.m3.1.2" xref="S5.F4.7.m3.1.2.cmml"><mrow id="S5.F4.7.m3.1.2.2.2" xref="S5.F4.7.m3.1.2.2.1.cmml"><mo id="S5.F4.7.m3.1.2.2.2.1" stretchy="false" xref="S5.F4.7.m3.1.2.2.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S5.F4.7.m3.1.1" xref="S5.F4.7.m3.1.1.cmml">n</mi><mo id="S5.F4.7.m3.1.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S5.F4.7.m3.1.2.2.1.1.cmml">‖</mo></mrow><mo id="S5.F4.7.m3.1.2.1" xref="S5.F4.7.m3.1.2.1.cmml">=</mo><mn id="S5.F4.7.m3.1.2.3" xref="S5.F4.7.m3.1.2.3.cmml">20</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F4.7.m3.1c"><apply id="S5.F4.7.m3.1.2.cmml" xref="S5.F4.7.m3.1.2"><eq id="S5.F4.7.m3.1.2.1.cmml" xref="S5.F4.7.m3.1.2.1"></eq><apply id="S5.F4.7.m3.1.2.2.1.cmml" xref="S5.F4.7.m3.1.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S5.F4.7.m3.1.2.2.1.1.cmml" xref="S5.F4.7.m3.1.2.2.2.1">norm</csymbol><ci id="S5.F4.7.m3.1.1.cmml" xref="S5.F4.7.m3.1.1">𝑛</ci></apply><cn id="S5.F4.7.m3.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.F4.7.m3.1.2.3">20</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F4.7.m3.1d">\|n\|=20</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F4.7.m3.1e">∥ italic_n ∥ = 20</annotation></semantics></math> and the parameters are tuned such that the removed noise part has the norm <math alttext="\|f-u\|\approx 20" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F4.8.m4.1"><semantics id="S5.F4.8.m4.1b"><mrow id="S5.F4.8.m4.1.1" xref="S5.F4.8.m4.1.1.cmml"><mrow id="S5.F4.8.m4.1.1.1.1" xref="S5.F4.8.m4.1.1.1.2.cmml"><mo id="S5.F4.8.m4.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.F4.8.m4.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S5.F4.8.m4.1.1.1.1.1" xref="S5.F4.8.m4.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.F4.8.m4.1.1.1.1.1.2" xref="S5.F4.8.m4.1.1.1.1.1.2.cmml">f</mi><mo id="S5.F4.8.m4.1.1.1.1.1.1" xref="S5.F4.8.m4.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S5.F4.8.m4.1.1.1.1.1.3" xref="S5.F4.8.m4.1.1.1.1.1.3.cmml">u</mi></mrow><mo id="S5.F4.8.m4.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.F4.8.m4.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mo id="S5.F4.8.m4.1.1.2" xref="S5.F4.8.m4.1.1.2.cmml">≈</mo><mn id="S5.F4.8.m4.1.1.3" xref="S5.F4.8.m4.1.1.3.cmml">20</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F4.8.m4.1c"><apply id="S5.F4.8.m4.1.1.cmml" xref="S5.F4.8.m4.1.1"><approx id="S5.F4.8.m4.1.1.2.cmml" xref="S5.F4.8.m4.1.1.2"></approx><apply id="S5.F4.8.m4.1.1.1.2.cmml" xref="S5.F4.8.m4.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.F4.8.m4.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.F4.8.m4.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S5.F4.8.m4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.F4.8.m4.1.1.1.1.1"><minus id="S5.F4.8.m4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.F4.8.m4.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S5.F4.8.m4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.F4.8.m4.1.1.1.1.1.2">𝑓</ci><ci id="S5.F4.8.m4.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.F4.8.m4.1.1.1.1.1.3">𝑢</ci></apply></apply><cn id="S5.F4.8.m4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.F4.8.m4.1.1.3">20</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F4.8.m4.1d">\|f-u\|\approx 20</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F4.8.m4.1e">∥ italic_f - italic_u ∥ ≈ 20</annotation></semantics></math> for all the models. </figcaption> </figure> <div class="ltx_para" id="S5.p11"> <p class="ltx_p" id="S5.p11.1">In Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S5.F5" title="Figure 5 ‣ 5 Numerical Experiments ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">5</span></a>, we apply the proposed models to restore noisy and blurry images. The proposed model leaves less information in the residual image than the ROF model, and the restored image <math alttext="u" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p11.1.m1.1"><semantics id="S5.p11.1.m1.1a"><mi id="S5.p11.1.m1.1.1" xref="S5.p11.1.m1.1.1.cmml">u</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p11.1.m1.1b"><ci id="S5.p11.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.p11.1.m1.1.1">𝑢</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p11.1.m1.1c">u</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p11.1.m1.1d">italic_u</annotation></semantics></math> by using the proposed model appears to be sharper.</p> </div> <figure class="ltx_figure" id="S5.F5"> <div class="ltx_flex_figure"> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_3"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S5.F5.sf1"> <div class="ltx_block ltx_minipage ltx_align_middle" id="S5.F5.sf1.1" style="width:130.1pt;"> <img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_square" height="598" id="S5.F5.sf1.1.g1" src="extracted/6292504/KR_denoising/figure/new_model/star_1.6_15/04.png" width="598"/> </div> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S5.F5.sf1.3.1.1" style="font-size:80%;">(a)</span> </span><span class="ltx_text" id="S5.F5.sf1.4.2" style="font-size:80%;">Original image</span></figcaption> </figure> </div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_3"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S5.F5.sf2"> <div class="ltx_block ltx_minipage ltx_align_middle" id="S5.F5.sf2.1" style="width:130.1pt;"> <img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_square" height="598" id="S5.F5.sf2.1.g1" src="extracted/6292504/KR_denoising/figure/jpg/star_blur/rof_u_24.29.jpg" width="598"/> </div> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S5.F5.sf2.5.1.1" style="font-size:80%;">(b)</span> </span><math alttext="u" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F5.sf2.3.m1.1"><semantics id="S5.F5.sf2.3.m1.1b"><mi id="S5.F5.sf2.3.m1.1.1" mathsize="80%" xref="S5.F5.sf2.3.m1.1.1.cmml">u</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F5.sf2.3.m1.1c"><ci id="S5.F5.sf2.3.m1.1.1.cmml" xref="S5.F5.sf2.3.m1.1.1">𝑢</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F5.sf2.3.m1.1d">u</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F5.sf2.3.m1.1e">italic_u</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S5.F5.sf2.6.2" style="font-size:80%;"> by ROF</span></figcaption> </figure> </div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_3"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S5.F5.sf3"> <div class="ltx_block ltx_minipage ltx_align_middle" id="S5.F5.sf3.1" style="width:130.1pt;"> <img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_square" height="598" id="S5.F5.sf3.1.g1" src="extracted/6292504/KR_denoising/figure/jpg/star_blur/kr_u_24.47.jpg" width="598"/> </div> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S5.F5.sf3.5.1.1" style="font-size:80%;">(c)</span> </span><math alttext="u" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F5.sf3.3.m1.1"><semantics id="S5.F5.sf3.3.m1.1b"><mi id="S5.F5.sf3.3.m1.1.1" mathsize="80%" xref="S5.F5.sf3.3.m1.1.1.cmml">u</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F5.sf3.3.m1.1c"><ci id="S5.F5.sf3.3.m1.1.1.cmml" xref="S5.F5.sf3.3.m1.1.1">𝑢</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F5.sf3.3.m1.1d">u</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F5.sf3.3.m1.1e">italic_u</annotation></semantics></math><span class="ltx_text" id="S5.F5.sf3.6.2" style="font-size:80%;"> by our model</span></figcaption> </figure> </div> <div class="ltx_flex_break"></div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_3"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S5.F5.sf4"> <div class="ltx_block ltx_minipage ltx_align_middle" id="S5.F5.sf4.1" style="width:130.1pt;"> <img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_square" height="598" id="S5.F5.sf4.1.g1" src="extracted/6292504/KR_denoising/figure/new_model/star_1.6_15/star_1.6_25_15.jpg" width="598"/> </div> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S5.F5.sf4.3.1.1" style="font-size:80%;">(d)</span> </span><span class="ltx_text" id="S5.F5.sf4.4.2" style="font-size:80%;">Noisy and blurred image</span></figcaption> </figure> </div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_3"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S5.F5.sf5"> <div class="ltx_block ltx_minipage ltx_align_middle" id="S5.F5.sf5.1" style="width:130.1pt;"> <img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_square" height="598" id="S5.F5.sf5.1.g1" src="extracted/6292504/KR_denoising/figure/jpg/star_blur/rof_f-Ku.jpg" width="598"/> </div> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S5.F5.sf5.5.1.1" style="font-size:80%;">(e)</span> </span><math alttext="f-K*u+100/255" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F5.sf5.3.m1.1"><semantics id="S5.F5.sf5.3.m1.1b"><mrow id="S5.F5.sf5.3.m1.1.1" xref="S5.F5.sf5.3.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.F5.sf5.3.m1.1.1.2" xref="S5.F5.sf5.3.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.F5.sf5.3.m1.1.1.2.2" mathsize="80%" xref="S5.F5.sf5.3.m1.1.1.2.2.cmml">f</mi><mo id="S5.F5.sf5.3.m1.1.1.2.1" mathsize="80%" xref="S5.F5.sf5.3.m1.1.1.2.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.F5.sf5.3.m1.1.1.2.3" xref="S5.F5.sf5.3.m1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S5.F5.sf5.3.m1.1.1.2.3.2" mathsize="80%" xref="S5.F5.sf5.3.m1.1.1.2.3.2.cmml">K</mi><mo id="S5.F5.sf5.3.m1.1.1.2.3.1" lspace="0.222em" mathsize="80%" rspace="0.222em" xref="S5.F5.sf5.3.m1.1.1.2.3.1.cmml">∗</mo><mi id="S5.F5.sf5.3.m1.1.1.2.3.3" mathsize="80%" xref="S5.F5.sf5.3.m1.1.1.2.3.3.cmml">u</mi></mrow></mrow><mo id="S5.F5.sf5.3.m1.1.1.1" mathsize="80%" xref="S5.F5.sf5.3.m1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.F5.sf5.3.m1.1.1.3" xref="S5.F5.sf5.3.m1.1.1.3.cmml"><mn id="S5.F5.sf5.3.m1.1.1.3.2" mathsize="80%" xref="S5.F5.sf5.3.m1.1.1.3.2.cmml">100</mn><mo id="S5.F5.sf5.3.m1.1.1.3.1" maxsize="80%" minsize="80%" stretchy="true" symmetric="true" xref="S5.F5.sf5.3.m1.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S5.F5.sf5.3.m1.1.1.3.3" mathsize="80%" xref="S5.F5.sf5.3.m1.1.1.3.3.cmml">255</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F5.sf5.3.m1.1c"><apply id="S5.F5.sf5.3.m1.1.1.cmml" xref="S5.F5.sf5.3.m1.1.1"><plus id="S5.F5.sf5.3.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.F5.sf5.3.m1.1.1.1"></plus><apply id="S5.F5.sf5.3.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.F5.sf5.3.m1.1.1.2"><minus id="S5.F5.sf5.3.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.F5.sf5.3.m1.1.1.2.1"></minus><ci id="S5.F5.sf5.3.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.F5.sf5.3.m1.1.1.2.2">𝑓</ci><apply id="S5.F5.sf5.3.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.F5.sf5.3.m1.1.1.2.3"><times id="S5.F5.sf5.3.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.F5.sf5.3.m1.1.1.2.3.1"></times><ci id="S5.F5.sf5.3.m1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S5.F5.sf5.3.m1.1.1.2.3.2">𝐾</ci><ci id="S5.F5.sf5.3.m1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S5.F5.sf5.3.m1.1.1.2.3.3">𝑢</ci></apply></apply><apply id="S5.F5.sf5.3.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.F5.sf5.3.m1.1.1.3"><divide id="S5.F5.sf5.3.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.F5.sf5.3.m1.1.1.3.1"></divide><cn id="S5.F5.sf5.3.m1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.F5.sf5.3.m1.1.1.3.2">100</cn><cn id="S5.F5.sf5.3.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.F5.sf5.3.m1.1.1.3.3">255</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F5.sf5.3.m1.1d">f-K*u+100/255</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F5.sf5.3.m1.1e">italic_f - italic_K ∗ italic_u + 100 / 255</annotation></semantics></math></figcaption> </figure> </div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_3"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S5.F5.sf6"> <div class="ltx_block ltx_minipage ltx_align_middle" id="S5.F5.sf6.1" style="width:130.1pt;"> <img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_square" height="598" id="S5.F5.sf6.1.g1" src="extracted/6292504/KR_denoising/figure/jpg/star_blur/kr_f-Ku.jpg" width="598"/> </div> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S5.F5.sf6.5.1.1" style="font-size:80%;">(f)</span> </span><math alttext="f-K*u+100/255" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F5.sf6.3.m1.1"><semantics id="S5.F5.sf6.3.m1.1b"><mrow id="S5.F5.sf6.3.m1.1.1" xref="S5.F5.sf6.3.m1.1.1.cmml"><mrow id="S5.F5.sf6.3.m1.1.1.2" xref="S5.F5.sf6.3.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S5.F5.sf6.3.m1.1.1.2.2" mathsize="80%" xref="S5.F5.sf6.3.m1.1.1.2.2.cmml">f</mi><mo id="S5.F5.sf6.3.m1.1.1.2.1" mathsize="80%" xref="S5.F5.sf6.3.m1.1.1.2.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.F5.sf6.3.m1.1.1.2.3" xref="S5.F5.sf6.3.m1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S5.F5.sf6.3.m1.1.1.2.3.2" mathsize="80%" xref="S5.F5.sf6.3.m1.1.1.2.3.2.cmml">K</mi><mo id="S5.F5.sf6.3.m1.1.1.2.3.1" lspace="0.222em" mathsize="80%" rspace="0.222em" xref="S5.F5.sf6.3.m1.1.1.2.3.1.cmml">∗</mo><mi id="S5.F5.sf6.3.m1.1.1.2.3.3" mathsize="80%" xref="S5.F5.sf6.3.m1.1.1.2.3.3.cmml">u</mi></mrow></mrow><mo id="S5.F5.sf6.3.m1.1.1.1" mathsize="80%" xref="S5.F5.sf6.3.m1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S5.F5.sf6.3.m1.1.1.3" xref="S5.F5.sf6.3.m1.1.1.3.cmml"><mn id="S5.F5.sf6.3.m1.1.1.3.2" mathsize="80%" xref="S5.F5.sf6.3.m1.1.1.3.2.cmml">100</mn><mo id="S5.F5.sf6.3.m1.1.1.3.1" maxsize="80%" minsize="80%" stretchy="true" symmetric="true" xref="S5.F5.sf6.3.m1.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S5.F5.sf6.3.m1.1.1.3.3" mathsize="80%" xref="S5.F5.sf6.3.m1.1.1.3.3.cmml">255</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F5.sf6.3.m1.1c"><apply id="S5.F5.sf6.3.m1.1.1.cmml" xref="S5.F5.sf6.3.m1.1.1"><plus id="S5.F5.sf6.3.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.F5.sf6.3.m1.1.1.1"></plus><apply id="S5.F5.sf6.3.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.F5.sf6.3.m1.1.1.2"><minus id="S5.F5.sf6.3.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.F5.sf6.3.m1.1.1.2.1"></minus><ci id="S5.F5.sf6.3.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S5.F5.sf6.3.m1.1.1.2.2">𝑓</ci><apply id="S5.F5.sf6.3.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S5.F5.sf6.3.m1.1.1.2.3"><times id="S5.F5.sf6.3.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S5.F5.sf6.3.m1.1.1.2.3.1"></times><ci id="S5.F5.sf6.3.m1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S5.F5.sf6.3.m1.1.1.2.3.2">𝐾</ci><ci id="S5.F5.sf6.3.m1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S5.F5.sf6.3.m1.1.1.2.3.3">𝑢</ci></apply></apply><apply id="S5.F5.sf6.3.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.F5.sf6.3.m1.1.1.3"><divide id="S5.F5.sf6.3.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.F5.sf6.3.m1.1.1.3.1"></divide><cn id="S5.F5.sf6.3.m1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S5.F5.sf6.3.m1.1.1.3.2">100</cn><cn id="S5.F5.sf6.3.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.F5.sf6.3.m1.1.1.3.3">255</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F5.sf6.3.m1.1d">f-K*u+100/255</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F5.sf6.3.m1.1e">italic_f - italic_K ∗ italic_u + 100 / 255</annotation></semantics></math></figcaption> </figure> </div> </div> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure">Figure 5: </span>Results using the ROF model, and our model (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S3.E28" title="In 3.1 The proposed image denoising model ‣ 3 The Proposed Image Restoration Models ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">28</span></a>). The noisy and blurred image is obtained by applying a Gaussian blur <math alttext="(G,1.6,25)" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F5.6.m1.3"><semantics id="S5.F5.6.m1.3b"><mrow id="S5.F5.6.m1.3.4.2" xref="S5.F5.6.m1.3.4.1.cmml"><mo id="S5.F5.6.m1.3.4.2.1" stretchy="false" xref="S5.F5.6.m1.3.4.1.cmml">(</mo><mi id="S5.F5.6.m1.1.1" xref="S5.F5.6.m1.1.1.cmml">G</mi><mo id="S5.F5.6.m1.3.4.2.2" xref="S5.F5.6.m1.3.4.1.cmml">,</mo><mn id="S5.F5.6.m1.2.2" xref="S5.F5.6.m1.2.2.cmml">1.6</mn><mo id="S5.F5.6.m1.3.4.2.3" xref="S5.F5.6.m1.3.4.1.cmml">,</mo><mn id="S5.F5.6.m1.3.3" xref="S5.F5.6.m1.3.3.cmml">25</mn><mo id="S5.F5.6.m1.3.4.2.4" stretchy="false" xref="S5.F5.6.m1.3.4.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F5.6.m1.3c"><vector id="S5.F5.6.m1.3.4.1.cmml" xref="S5.F5.6.m1.3.4.2"><ci id="S5.F5.6.m1.1.1.cmml" xref="S5.F5.6.m1.1.1">𝐺</ci><cn id="S5.F5.6.m1.2.2.cmml" type="float" xref="S5.F5.6.m1.2.2">1.6</cn><cn id="S5.F5.6.m1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.F5.6.m1.3.3">25</cn></vector></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F5.6.m1.3d">(G,1.6,25)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F5.6.m1.3e">( italic_G , 1.6 , 25 )</annotation></semantics></math> and adding a Gaussian noise with <math alttext="\sigma=15" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F5.7.m2.1"><semantics id="S5.F5.7.m2.1b"><mrow id="S5.F5.7.m2.1.1" xref="S5.F5.7.m2.1.1.cmml"><mi id="S5.F5.7.m2.1.1.2" xref="S5.F5.7.m2.1.1.2.cmml">σ</mi><mo id="S5.F5.7.m2.1.1.1" xref="S5.F5.7.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S5.F5.7.m2.1.1.3" xref="S5.F5.7.m2.1.1.3.cmml">15</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F5.7.m2.1c"><apply id="S5.F5.7.m2.1.1.cmml" xref="S5.F5.7.m2.1.1"><eq id="S5.F5.7.m2.1.1.1.cmml" xref="S5.F5.7.m2.1.1.1"></eq><ci id="S5.F5.7.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.F5.7.m2.1.1.2">𝜎</ci><cn id="S5.F5.7.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.F5.7.m2.1.1.3">15</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F5.7.m2.1d">\sigma=15</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F5.7.m2.1e">italic_σ = 15</annotation></semantics></math>. The additive noise <math alttext="n" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F5.8.m3.1"><semantics id="S5.F5.8.m3.1b"><mi id="S5.F5.8.m3.1.1" xref="S5.F5.8.m3.1.1.cmml">n</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F5.8.m3.1c"><ci id="S5.F5.8.m3.1.1.cmml" xref="S5.F5.8.m3.1.1">𝑛</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F5.8.m3.1d">n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F5.8.m3.1e">italic_n</annotation></semantics></math> has the norm <math alttext="\|n\|_{L^{2}}\approx 15" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F5.9.m4.1"><semantics id="S5.F5.9.m4.1b"><mrow id="S5.F5.9.m4.1.2" xref="S5.F5.9.m4.1.2.cmml"><msub id="S5.F5.9.m4.1.2.2" xref="S5.F5.9.m4.1.2.2.cmml"><mrow id="S5.F5.9.m4.1.2.2.2.2" xref="S5.F5.9.m4.1.2.2.2.1.cmml"><mo id="S5.F5.9.m4.1.2.2.2.2.1" stretchy="false" xref="S5.F5.9.m4.1.2.2.2.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S5.F5.9.m4.1.1" xref="S5.F5.9.m4.1.1.cmml">n</mi><mo id="S5.F5.9.m4.1.2.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S5.F5.9.m4.1.2.2.2.1.1.cmml">‖</mo></mrow><msup id="S5.F5.9.m4.1.2.2.3" xref="S5.F5.9.m4.1.2.2.3.cmml"><mi id="S5.F5.9.m4.1.2.2.3.2" xref="S5.F5.9.m4.1.2.2.3.2.cmml">L</mi><mn id="S5.F5.9.m4.1.2.2.3.3" xref="S5.F5.9.m4.1.2.2.3.3.cmml">2</mn></msup></msub><mo id="S5.F5.9.m4.1.2.1" xref="S5.F5.9.m4.1.2.1.cmml">≈</mo><mn id="S5.F5.9.m4.1.2.3" xref="S5.F5.9.m4.1.2.3.cmml">15</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F5.9.m4.1c"><apply id="S5.F5.9.m4.1.2.cmml" xref="S5.F5.9.m4.1.2"><approx id="S5.F5.9.m4.1.2.1.cmml" xref="S5.F5.9.m4.1.2.1"></approx><apply id="S5.F5.9.m4.1.2.2.cmml" xref="S5.F5.9.m4.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.F5.9.m4.1.2.2.1.cmml" xref="S5.F5.9.m4.1.2.2">subscript</csymbol><apply id="S5.F5.9.m4.1.2.2.2.1.cmml" xref="S5.F5.9.m4.1.2.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S5.F5.9.m4.1.2.2.2.1.1.cmml" xref="S5.F5.9.m4.1.2.2.2.2.1">norm</csymbol><ci id="S5.F5.9.m4.1.1.cmml" xref="S5.F5.9.m4.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="S5.F5.9.m4.1.2.2.3.cmml" xref="S5.F5.9.m4.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.F5.9.m4.1.2.2.3.1.cmml" xref="S5.F5.9.m4.1.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S5.F5.9.m4.1.2.2.3.2.cmml" xref="S5.F5.9.m4.1.2.2.3.2">𝐿</ci><cn id="S5.F5.9.m4.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.F5.9.m4.1.2.2.3.3">2</cn></apply></apply><cn id="S5.F5.9.m4.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S5.F5.9.m4.1.2.3">15</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F5.9.m4.1d">\|n\|_{L^{2}}\approx 15</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F5.9.m4.1e">∥ italic_n ∥ start_POSTSUBSCRIPT italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ≈ 15</annotation></semantics></math>. The parameters are adjusted such that the removed noise parts of all the models have the norm <math alttext="\|f-K*u\|_{L^{2}}\approx 15" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F5.10.m5.1"><semantics id="S5.F5.10.m5.1b"><mrow id="S5.F5.10.m5.1.1" xref="S5.F5.10.m5.1.1.cmml"><msub id="S5.F5.10.m5.1.1.1" xref="S5.F5.10.m5.1.1.1.cmml"><mrow id="S5.F5.10.m5.1.1.1.1.1" xref="S5.F5.10.m5.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S5.F5.10.m5.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.F5.10.m5.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S5.F5.10.m5.1.1.1.1.1.1" xref="S5.F5.10.m5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.F5.10.m5.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.F5.10.m5.1.1.1.1.1.1.2.cmml">f</mi><mo id="S5.F5.10.m5.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.F5.10.m5.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S5.F5.10.m5.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.F5.10.m5.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.F5.10.m5.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.F5.10.m5.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">K</mi><mo id="S5.F5.10.m5.1.1.1.1.1.1.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S5.F5.10.m5.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">∗</mo><mi id="S5.F5.10.m5.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.F5.10.m5.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">u</mi></mrow></mrow><mo id="S5.F5.10.m5.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.F5.10.m5.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><msup id="S5.F5.10.m5.1.1.1.3" xref="S5.F5.10.m5.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.F5.10.m5.1.1.1.3.2" xref="S5.F5.10.m5.1.1.1.3.2.cmml">L</mi><mn id="S5.F5.10.m5.1.1.1.3.3" xref="S5.F5.10.m5.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup></msub><mo id="S5.F5.10.m5.1.1.2" xref="S5.F5.10.m5.1.1.2.cmml">≈</mo><mn id="S5.F5.10.m5.1.1.3" xref="S5.F5.10.m5.1.1.3.cmml">15</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F5.10.m5.1c"><apply id="S5.F5.10.m5.1.1.cmml" xref="S5.F5.10.m5.1.1"><approx id="S5.F5.10.m5.1.1.2.cmml" xref="S5.F5.10.m5.1.1.2"></approx><apply id="S5.F5.10.m5.1.1.1.cmml" xref="S5.F5.10.m5.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.F5.10.m5.1.1.1.2.cmml" xref="S5.F5.10.m5.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S5.F5.10.m5.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.F5.10.m5.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.F5.10.m5.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.F5.10.m5.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S5.F5.10.m5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.F5.10.m5.1.1.1.1.1.1"><minus id="S5.F5.10.m5.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.F5.10.m5.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S5.F5.10.m5.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.F5.10.m5.1.1.1.1.1.1.2">𝑓</ci><apply id="S5.F5.10.m5.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.F5.10.m5.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S5.F5.10.m5.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.F5.10.m5.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S5.F5.10.m5.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.F5.10.m5.1.1.1.1.1.1.3.2">𝐾</ci><ci id="S5.F5.10.m5.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.F5.10.m5.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑢</ci></apply></apply></apply><apply id="S5.F5.10.m5.1.1.1.3.cmml" xref="S5.F5.10.m5.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.F5.10.m5.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.F5.10.m5.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S5.F5.10.m5.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.F5.10.m5.1.1.1.3.2">𝐿</ci><cn id="S5.F5.10.m5.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.F5.10.m5.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply><cn id="S5.F5.10.m5.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.F5.10.m5.1.1.3">15</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F5.10.m5.1d">\|f-K*u\|_{L^{2}}\approx 15</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F5.10.m5.1e">∥ italic_f - italic_K ∗ italic_u ∥ start_POSTSUBSCRIPT italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ≈ 15</annotation></semantics></math>.</figcaption> </figure> <div class="ltx_para" id="S5.p12"> <p class="ltx_p" id="S5.p12.1">To monitor the convergence of the numerical method in Sect <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S4.SS2.SSS1" title="4.2.1 Numerical Method for (63) ‣ 4.2 Numerical Method for problem (62) ‣ 4 Numerical Algorithm ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4.2.1</span></a> for the subproblem (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S4.E63" title="In 1st item ‣ 4.2 Numerical Method for problem (62) ‣ 4 Numerical Algorithm ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">63</span></a>), we check the fixed point residual <math alttext="R^{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p12.1.m1.1"><semantics id="S5.p12.1.m1.1a"><msup id="S5.p12.1.m1.1.1" xref="S5.p12.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.p12.1.m1.1.1.2" xref="S5.p12.1.m1.1.1.2.cmml">R</mi><mi id="S5.p12.1.m1.1.1.3" xref="S5.p12.1.m1.1.1.3.cmml">k</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p12.1.m1.1b"><apply id="S5.p12.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.p12.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p12.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.p12.1.m1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S5.p12.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.p12.1.m1.1.1.2">𝑅</ci><ci id="S5.p12.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.p12.1.m1.1.1.3">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p12.1.m1.1c">R^{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p12.1.m1.1d">italic_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S4.E73" title="In 4.2.1 Numerical Method for (63) ‣ 4.2 Numerical Method for problem (62) ‣ 4 Numerical Algorithm ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">73</span></a>) and the constraint in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S4.E67" title="In 4.2.1 Numerical Method for (63) ‣ 4.2 Numerical Method for problem (62) ‣ 4 Numerical Algorithm ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">67</span></a>):</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.E86"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\frac{\|v^{k}-\mathrm{div}(m^{k})\|}{\|v^{k}-f\|}." class="ltx_Math" display="block" id="S5.E86.m1.2"><semantics id="S5.E86.m1.2a"><mrow id="S5.E86.m1.2.3.2" xref="S5.E86.m1.2.2.cmml"><mfrac id="S5.E86.m1.2.2" xref="S5.E86.m1.2.2.cmml"><mrow id="S5.E86.m1.1.1.1.1" xref="S5.E86.m1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S5.E86.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.E86.m1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S5.E86.m1.1.1.1.1.1" xref="S5.E86.m1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S5.E86.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.E86.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S5.E86.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S5.E86.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">v</mi><mi id="S5.E86.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S5.E86.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">k</mi></msup><mo id="S5.E86.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.E86.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="S5.E86.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E86.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.E86.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.E86.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">div</mi><mo id="S5.E86.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.E86.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.E86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.E86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.E86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S5.E86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S5.E86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.E86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.E86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">m</mi><mi id="S5.E86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.E86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msup><mo id="S5.E86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.E86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S5.E86.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.E86.m1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mrow id="S5.E86.m1.2.2.2.1" xref="S5.E86.m1.2.2.2.2.cmml"><mo id="S5.E86.m1.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S5.E86.m1.2.2.2.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S5.E86.m1.2.2.2.1.1" xref="S5.E86.m1.2.2.2.1.1.cmml"><msup id="S5.E86.m1.2.2.2.1.1.2" xref="S5.E86.m1.2.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="S5.E86.m1.2.2.2.1.1.2.2" xref="S5.E86.m1.2.2.2.1.1.2.2.cmml">v</mi><mi id="S5.E86.m1.2.2.2.1.1.2.3" xref="S5.E86.m1.2.2.2.1.1.2.3.cmml">k</mi></msup><mo id="S5.E86.m1.2.2.2.1.1.1" xref="S5.E86.m1.2.2.2.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S5.E86.m1.2.2.2.1.1.3" xref="S5.E86.m1.2.2.2.1.1.3.cmml">f</mi></mrow><mo id="S5.E86.m1.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S5.E86.m1.2.2.2.2.1.cmml">‖</mo></mrow></mfrac><mo id="S5.E86.m1.2.3.2.1" lspace="0em" xref="S5.E86.m1.2.2.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.E86.m1.2b"><apply id="S5.E86.m1.2.2.cmml" xref="S5.E86.m1.2.3.2"><divide id="S5.E86.m1.2.2.3.cmml" xref="S5.E86.m1.2.3.2"></divide><apply id="S5.E86.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E86.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.E86.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S5.E86.m1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S5.E86.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E86.m1.1.1.1.1.1"><minus id="S5.E86.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E86.m1.1.1.1.1.1.2"></minus><apply id="S5.E86.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.E86.m1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E86.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S5.E86.m1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S5.E86.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S5.E86.m1.1.1.1.1.1.3.2">𝑣</ci><ci id="S5.E86.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.E86.m1.1.1.1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply><apply id="S5.E86.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E86.m1.1.1.1.1.1.1"><times id="S5.E86.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E86.m1.1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S5.E86.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.E86.m1.1.1.1.1.1.1.3">div</ci><apply id="S5.E86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.E86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S5.E86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.E86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑚</ci><ci id="S5.E86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S5.E86.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S5.E86.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S5.E86.m1.2.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.E86.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S5.E86.m1.2.2.2.1.2">norm</csymbol><apply id="S5.E86.m1.2.2.2.1.1.cmml" xref="S5.E86.m1.2.2.2.1.1"><minus id="S5.E86.m1.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S5.E86.m1.2.2.2.1.1.1"></minus><apply id="S5.E86.m1.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S5.E86.m1.2.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E86.m1.2.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S5.E86.m1.2.2.2.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S5.E86.m1.2.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S5.E86.m1.2.2.2.1.1.2.2">𝑣</ci><ci id="S5.E86.m1.2.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S5.E86.m1.2.2.2.1.1.2.3">𝑘</ci></apply><ci id="S5.E86.m1.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S5.E86.m1.2.2.2.1.1.3">𝑓</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.E86.m1.2c">\frac{\|v^{k}-\mathrm{div}(m^{k})\|}{\|v^{k}-f\|}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.E86.m1.2d">divide start_ARG ∥ italic_v start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT - roman_div ( italic_m start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT ) ∥ end_ARG start_ARG ∥ italic_v start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT - italic_f ∥ end_ARG .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(86)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.p12.4">The value of <math alttext="R^{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p12.2.m1.1"><semantics id="S5.p12.2.m1.1a"><msup id="S5.p12.2.m1.1.1" xref="S5.p12.2.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.p12.2.m1.1.1.2" xref="S5.p12.2.m1.1.1.2.cmml">R</mi><mi id="S5.p12.2.m1.1.1.3" xref="S5.p12.2.m1.1.1.3.cmml">k</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p12.2.m1.1b"><apply id="S5.p12.2.m1.1.1.cmml" xref="S5.p12.2.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p12.2.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.p12.2.m1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S5.p12.2.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.p12.2.m1.1.1.2">𝑅</ci><ci id="S5.p12.2.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.p12.2.m1.1.1.3">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p12.2.m1.1c">R^{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p12.2.m1.1d">italic_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S4.E73" title="In 4.2.1 Numerical Method for (63) ‣ 4.2 Numerical Method for problem (62) ‣ 4 Numerical Algorithm ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">73</span></a>) can be used as a stop criterion to terminate the iterative steps (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S4.E71" title="In 4.2.1 Numerical Method for (63) ‣ 4.2 Numerical Method for problem (62) ‣ 4 Numerical Algorithm ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">71</span></a>) and we usually set <math alttext="\epsilon=O(h^{2})" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p12.3.m2.1"><semantics id="S5.p12.3.m2.1a"><mrow id="S5.p12.3.m2.1.1" xref="S5.p12.3.m2.1.1.cmml"><mi id="S5.p12.3.m2.1.1.3" xref="S5.p12.3.m2.1.1.3.cmml">ϵ</mi><mo id="S5.p12.3.m2.1.1.2" xref="S5.p12.3.m2.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S5.p12.3.m2.1.1.1" xref="S5.p12.3.m2.1.1.1.cmml"><mi id="S5.p12.3.m2.1.1.1.3" xref="S5.p12.3.m2.1.1.1.3.cmml">O</mi><mo id="S5.p12.3.m2.1.1.1.2" xref="S5.p12.3.m2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S5.p12.3.m2.1.1.1.1.1" xref="S5.p12.3.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S5.p12.3.m2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S5.p12.3.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S5.p12.3.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S5.p12.3.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S5.p12.3.m2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S5.p12.3.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">h</mi><mn id="S5.p12.3.m2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S5.p12.3.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S5.p12.3.m2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S5.p12.3.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p12.3.m2.1b"><apply id="S5.p12.3.m2.1.1.cmml" xref="S5.p12.3.m2.1.1"><eq id="S5.p12.3.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.p12.3.m2.1.1.2"></eq><ci id="S5.p12.3.m2.1.1.3.cmml" xref="S5.p12.3.m2.1.1.3">italic-ϵ</ci><apply id="S5.p12.3.m2.1.1.1.cmml" xref="S5.p12.3.m2.1.1.1"><times id="S5.p12.3.m2.1.1.1.2.cmml" xref="S5.p12.3.m2.1.1.1.2"></times><ci id="S5.p12.3.m2.1.1.1.3.cmml" xref="S5.p12.3.m2.1.1.1.3">𝑂</ci><apply id="S5.p12.3.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p12.3.m2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p12.3.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S5.p12.3.m2.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S5.p12.3.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S5.p12.3.m2.1.1.1.1.1.1.2">ℎ</ci><cn id="S5.p12.3.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S5.p12.3.m2.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p12.3.m2.1c">\epsilon=O(h^{2})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p12.3.m2.1d">italic_ϵ = italic_O ( italic_h start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math>. In Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S5.F6" title="Figure 6 ‣ 5 Numerical Experiments ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">6</span></a>, we present the plots of <math alttext="R^{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p12.4.m3.1"><semantics id="S5.p12.4.m3.1a"><msup id="S5.p12.4.m3.1.1" xref="S5.p12.4.m3.1.1.cmml"><mi id="S5.p12.4.m3.1.1.2" xref="S5.p12.4.m3.1.1.2.cmml">R</mi><mi id="S5.p12.4.m3.1.1.3" xref="S5.p12.4.m3.1.1.3.cmml">k</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p12.4.m3.1b"><apply id="S5.p12.4.m3.1.1.cmml" xref="S5.p12.4.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p12.4.m3.1.1.1.cmml" xref="S5.p12.4.m3.1.1">superscript</csymbol><ci id="S5.p12.4.m3.1.1.2.cmml" xref="S5.p12.4.m3.1.1.2">𝑅</ci><ci id="S5.p12.4.m3.1.1.3.cmml" xref="S5.p12.4.m3.1.1.3">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p12.4.m3.1c">R^{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p12.4.m3.1d">italic_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> and the constraint versus iteration for the subproblem (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S4.E63" title="In 1st item ‣ 4.2 Numerical Method for problem (62) ‣ 4 Numerical Algorithm ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">63</span></a>) in Algorithm <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#alg2" title="Algorithm 2 ‣ 4.3 Convergence of the Proposed Algorithm ‣ 4 Numerical Algorithm ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a> for the example in Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S5.F2" title="Figure 2 ‣ 5 Numerical Experiments ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>.</p> </div> <figure class="ltx_figure" id="S5.F6"> <div class="ltx_flex_figure"> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_2"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S5.F6.1"> <div class="ltx_block ltx_minipage ltx_align_middle" id="S5.F6.1.1" style="width:173.4pt;"> <img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_landscape" height="449" id="S5.F6.1.1.g1" src="extracted/6292504/KR_denoising/figure/jpg/convergence/residual.jpg" width="598"/> </div> </figure> </div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_2"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S5.F6.2"> <div class="ltx_block ltx_minipage ltx_align_middle" id="S5.F6.2.1" style="width:173.4pt;"> <img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_landscape" height="449" id="S5.F6.2.1.g1" src="extracted/6292504/KR_denoising/figure/jpg/convergence/cons.jpg" width="598"/> </div> </figure> </div> </div> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure">Figure 6: </span>The plots of fixed point residual <math alttext="R^{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F6.4.m1.1"><semantics id="S5.F6.4.m1.1b"><msup id="S5.F6.4.m1.1.1" xref="S5.F6.4.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.F6.4.m1.1.1.2" xref="S5.F6.4.m1.1.1.2.cmml">R</mi><mi id="S5.F6.4.m1.1.1.3" xref="S5.F6.4.m1.1.1.3.cmml">k</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F6.4.m1.1c"><apply id="S5.F6.4.m1.1.1.cmml" xref="S5.F6.4.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.F6.4.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.F6.4.m1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S5.F6.4.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.F6.4.m1.1.1.2">𝑅</ci><ci id="S5.F6.4.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.F6.4.m1.1.1.3">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F6.4.m1.1d">R^{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F6.4.m1.1e">italic_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S4.E73" title="In 4.2.1 Numerical Method for (63) ‣ 4.2 Numerical Method for problem (62) ‣ 4 Numerical Algorithm ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">73</span></a>) and the constraint (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S5.E86" title="In 5 Numerical Experiments ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">86</span></a>) versus iteration. All the above quantities are shown in <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S5.F6.6.1">log-scale</span>.</figcaption> </figure> <div class="ltx_para" id="S5.p13"> <p class="ltx_p" id="S5.p13.2">To monitor the convergence of Algorithm <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#alg2" title="Algorithm 2 ‣ 4.3 Convergence of the Proposed Algorithm ‣ 4 Numerical Algorithm ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>, we check the relative error of the solution <math alttext="u^{n}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p13.1.m1.1"><semantics id="S5.p13.1.m1.1a"><msup id="S5.p13.1.m1.1.1" xref="S5.p13.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.p13.1.m1.1.1.2" xref="S5.p13.1.m1.1.1.2.cmml">u</mi><mi id="S5.p13.1.m1.1.1.3" xref="S5.p13.1.m1.1.1.3.cmml">n</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p13.1.m1.1b"><apply id="S5.p13.1.m1.1.1.cmml" xref="S5.p13.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p13.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.p13.1.m1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S5.p13.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.p13.1.m1.1.1.2">𝑢</ci><ci id="S5.p13.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.p13.1.m1.1.1.3">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p13.1.m1.1c">u^{n}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p13.1.m1.1d">italic_u start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="v^{n}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.p13.2.m2.1"><semantics id="S5.p13.2.m2.1a"><msup id="S5.p13.2.m2.1.1" xref="S5.p13.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S5.p13.2.m2.1.1.2" xref="S5.p13.2.m2.1.1.2.cmml">v</mi><mi id="S5.p13.2.m2.1.1.3" xref="S5.p13.2.m2.1.1.3.cmml">n</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.p13.2.m2.1b"><apply id="S5.p13.2.m2.1.1.cmml" xref="S5.p13.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.p13.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S5.p13.2.m2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S5.p13.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.p13.2.m2.1.1.2">𝑣</ci><ci id="S5.p13.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S5.p13.2.m2.1.1.3">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.p13.2.m2.1c">v^{n}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.p13.2.m2.1d">italic_v start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>,</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S5.E87"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\frac{\|u^{n}-u^{n-1}\|}{\|u^{n-1}\|},\quad\frac{\|v^{n}-v^{n-1}\|}{\|v^{n-1}% \|}." class="ltx_Math" display="block" id="S5.E87.m1.5"><semantics id="S5.E87.m1.5a"><mrow id="S5.E87.m1.5.5.1"><mrow id="S5.E87.m1.5.5.1.1.2" xref="S5.E87.m1.5.5.1.1.1.cmml"><mfrac id="S5.E87.m1.2.2" xref="S5.E87.m1.2.2.cmml"><mrow id="S5.E87.m1.1.1.1.1" xref="S5.E87.m1.1.1.1.2.cmml"><mo 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id="S5.E87.m1.3.3.1.1.1.3.3.cmml" xref="S5.E87.m1.3.3.1.1.1.3.3"><minus id="S5.E87.m1.3.3.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S5.E87.m1.3.3.1.1.1.3.3.1"></minus><ci id="S5.E87.m1.3.3.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S5.E87.m1.3.3.1.1.1.3.3.2">𝑛</ci><cn id="S5.E87.m1.3.3.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S5.E87.m1.3.3.1.1.1.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S5.E87.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S5.E87.m1.4.4.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S5.E87.m1.4.4.2.2.1.cmml" xref="S5.E87.m1.4.4.2.1.2">norm</csymbol><apply id="S5.E87.m1.4.4.2.1.1.cmml" xref="S5.E87.m1.4.4.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.E87.m1.4.4.2.1.1.1.cmml" xref="S5.E87.m1.4.4.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S5.E87.m1.4.4.2.1.1.2.cmml" xref="S5.E87.m1.4.4.2.1.1.2">𝑣</ci><apply id="S5.E87.m1.4.4.2.1.1.3.cmml" xref="S5.E87.m1.4.4.2.1.1.3"><minus id="S5.E87.m1.4.4.2.1.1.3.1.cmml" xref="S5.E87.m1.4.4.2.1.1.3.1"></minus><ci id="S5.E87.m1.4.4.2.1.1.3.2.cmml" xref="S5.E87.m1.4.4.2.1.1.3.2">𝑛</ci><cn 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ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(87)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S5.p13.3">In Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S5.F7" title="Figure 7 ‣ 5 Numerical Experiments ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">7</span></a>, we list the plots of them versus iteration by applying Algorithm <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#alg2" title="Algorithm 2 ‣ 4.3 Convergence of the Proposed Algorithm ‣ 4 Numerical Algorithm ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a> for the experiment in Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S5.F2" title="Figure 2 ‣ 5 Numerical Experiments ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>.</p> </div> <figure class="ltx_figure" id="S5.F7"> <div class="ltx_flex_figure"> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_2"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S5.F7.1"> <div class="ltx_block ltx_minipage ltx_align_middle" id="S5.F7.1.1" style="width:173.4pt;"> <img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_landscape" height="449" id="S5.F7.1.1.g1" src="extracted/6292504/KR_denoising/figure/jpg/convergence/rel_u.jpg" width="598"/> </div> </figure> </div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_2"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S5.F7.2"> <div class="ltx_block ltx_minipage ltx_align_middle" id="S5.F7.2.1" style="width:173.4pt;"> <img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_landscape" height="449" id="S5.F7.2.1.g1" src="extracted/6292504/KR_denoising/figure/jpg/convergence/rel_v.jpg" width="598"/> </div> </figure> </div> </div> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure">Figure 7: </span> The plots of the relative error of <math alttext="u^{n}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F7.5.m1.1"><semantics id="S5.F7.5.m1.1b"><msup id="S5.F7.5.m1.1.1" xref="S5.F7.5.m1.1.1.cmml"><mi id="S5.F7.5.m1.1.1.2" xref="S5.F7.5.m1.1.1.2.cmml">u</mi><mi id="S5.F7.5.m1.1.1.3" xref="S5.F7.5.m1.1.1.3.cmml">n</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F7.5.m1.1c"><apply id="S5.F7.5.m1.1.1.cmml" xref="S5.F7.5.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.F7.5.m1.1.1.1.cmml" xref="S5.F7.5.m1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S5.F7.5.m1.1.1.2.cmml" xref="S5.F7.5.m1.1.1.2">𝑢</ci><ci id="S5.F7.5.m1.1.1.3.cmml" xref="S5.F7.5.m1.1.1.3">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F7.5.m1.1d">u^{n}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F7.5.m1.1e">italic_u start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="v^{n}" class="ltx_Math" display="inline" id="S5.F7.6.m2.1"><semantics id="S5.F7.6.m2.1b"><msup id="S5.F7.6.m2.1.1" xref="S5.F7.6.m2.1.1.cmml"><mi id="S5.F7.6.m2.1.1.2" xref="S5.F7.6.m2.1.1.2.cmml">v</mi><mi id="S5.F7.6.m2.1.1.3" xref="S5.F7.6.m2.1.1.3.cmml">n</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S5.F7.6.m2.1c"><apply id="S5.F7.6.m2.1.1.cmml" xref="S5.F7.6.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S5.F7.6.m2.1.1.1.cmml" xref="S5.F7.6.m2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S5.F7.6.m2.1.1.2.cmml" xref="S5.F7.6.m2.1.1.2">𝑣</ci><ci id="S5.F7.6.m2.1.1.3.cmml" xref="S5.F7.6.m2.1.1.3">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S5.F7.6.m2.1d">v^{n}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S5.F7.6.m2.1e">italic_v start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#S5.E87" title="In 5 Numerical Experiments ‣ Image Restoration Models with Optimal Transport and Total Variation Regularization"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">87</span></a>) versus iteration. All the above quantities are shown in <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S5.F7.8.1">log-scale</span>.</figcaption> </figure> </section> <section class="ltx_section" id="S6"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">6 </span>Conclusion</h2> <div class="ltx_para" id="S6.p1"> <p class="ltx_p" id="S6.p1.1">In this paper, we propose image restoration models which combines the total variation regularization with the dual Lipschitz norm from optimal transport. To solve of the proposed models, we construct numerical method based on the Primal-Dual Hybrid Gradient algorithms for the calculation of the Wasserstain-1 distance and the augmented Lagrangian method for the total variation. The convergence analysis of the numerical method is presented. We prove the existence and uniquess of the minimizer of the associated functional and some additional theoretical results based on the relation between the dual Lipschitz norm and the <math alttext="G" class="ltx_Math" display="inline" id="S6.p1.1.m1.1"><semantics id="S6.p1.1.m1.1a"><mi id="S6.p1.1.m1.1.1" xref="S6.p1.1.m1.1.1.cmml">G</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S6.p1.1.m1.1b"><ci id="S6.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S6.p1.1.m1.1.1">𝐺</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S6.p1.1.m1.1c">G</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S6.p1.1.m1.1d">italic_G</annotation></semantics></math>-norm. Numerical results are presented to illustrate the features of the proposed models for image restoration and cartoon-texture decomposition, and also the efficacy of the designed numerical methods. Moreover, to preserve image contrast and suppress the staircase phenomenon better, we also consider replacing the total variation in our model by one of its modifications as in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14947v1#bib.bib61" title="">zhu </a></cite>.</p> </div> <div class="ltx_acknowledgements"> <h6 class="ltx_title ltx_title_acknowledgements">Acknowledgements.</h6> This work was partially supported by the NSFC Projects No. 12025104, 12001529. </div> </section> <section class="ltx_section" id="Sx1"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section">Conflict of interest</h2> <div class="ltx_para" id="Sx1.p1"> <p class="ltx_p" id="Sx1.p1.1">The authors declare that they have no conflict of interest.</p> </div> </section> <section class="ltx_bibliography" id="bib"> <h2 class="ltx_title ltx_title_bibliography">References</h2> <ul class="ltx_biblist"> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib1"> <span class="ltx_tag ltx_role_refnum ltx_tag_bibitem">(1)</span> <span class="ltx_bibblock"> Arjovsky, M., Chintala, S., Bottou, L.: Wasserstein generative adversarial networks. </span> <span class="ltx_bibblock">In: Proc. 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Simul. <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib39.2.1">1</span>(3), 349–370 (2003) </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib40"> <span class="ltx_tag ltx_role_refnum ltx_tag_bibitem">(40)</span> <span class="ltx_bibblock"> Papadakis, N.: Optimal transport for image processing. </span> <span class="ltx_bibblock">Ph.D. thesis, Université de Bordeaux; Habilitation thesis (2015) </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib41"> <span class="ltx_tag ltx_role_refnum ltx_tag_bibitem">(41)</span> <span class="ltx_bibblock"> Peyré, G., Cuturi, M., et al.: Computational optimal transport: With applications to data science. </span> <span class="ltx_bibblock">Found. Trends Mach. 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