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class="vector-toc-contents" id="mw-panel-toc-list"> <li id="toc-mw-content-text" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a href="#" class="vector-toc-link"> <div class="vector-toc-text">ページ先頭</div> </a> </li> <li id="toc-解析的定義" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#解析的定義"> <div class="vector-toc-text"> 1 解析的定義 </div> </a> <button aria-controls="toc-解析的定義-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> 解析的定義サブセクションを切り替えます </button> <ul id="toc-解析的定義-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-コンパクト化されたモジュラー曲線" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#コンパクト化されたモジュラー曲線"> <div class="vector-toc-text"> 1.1 コンパクト化されたモジュラー曲線 </div> </a> <ul id="toc-コンパクト化されたモジュラー曲線-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-例" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#例"> <div class="vector-toc-text"> 2 例 </div> </a> <ul id="toc-例-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-種数" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#種数"> <div class="vector-toc-text"> 3 種数 </div> </a> <button aria-controls="toc-種数-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> 種数サブセクションを切り替えます </button> <ul id="toc-種数-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-種数_0" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#種数_0"> <div class="vector-toc-text"> 3.1 種数 0 </div> </a> <ul id="toc-種数_0-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-体上のモデル" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#体上のモデル"> <div class="vector-toc-text"> 4 体上のモデル </div> </a> <button aria-controls="toc-体上のモデル-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> 体上のモデルサブセクションを切り替えます </button> <ul id="toc-体上のモデル-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-X0(N)" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#X0(N)"> <div class="vector-toc-text"> 4.1 X0(N) </div> </a> <ul id="toc-X0(N)-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-X0(N)_とモジュラー方程式" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#X0(N)_とモジュラー方程式"> <div class="vector-toc-text"> 4.2 X0(N) とモジュラー方程式 </div> </a> <ul id="toc-X0(N)_とモジュラー方程式-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-X1(N)" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#X1(N)"> <div class="vector-toc-text"> 4.3 X1(N) </div> </a> <ul id="toc-X1(N)-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-整モデル" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#整モデル"> <div class="vector-toc-text"> 5 整モデル </div> </a> <ul id="toc-整モデル-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-モンスター群との関係" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#モンスター群との関係"> <div class="vector-toc-text"> 6 モンスター群との関係 </div> </a> <ul id="toc-モンスター群との関係-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-脚注" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#脚注"> <div class="vector-toc-text"> 7 脚注 </div> </a> <button aria-controls="toc-脚注-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> 脚注サブセクションを切り替えます </button> <ul id="toc-脚注-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-注釈" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#注釈"> <div class="vector-toc-text"> 7.1 注釈 </div> </a> <ul id="toc-注釈-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-出典" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#出典"> <div class="vector-toc-text"> 7.2 出典 </div> </a> <ul id="toc-出典-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-関連項目" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#関連項目"> <div class="vector-toc-text"> 8 関連項目 </div> </a> <ul id="toc-関連項目-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-参考文献" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#参考文献"> <div class="vector-toc-text"> 9 参考文献 </div> </a> <ul id="toc-参考文献-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="目次" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="目次の表示・非表示を切り替え" > <label id="vector-page-titlebar-toc-label" for="vector-page-titlebar-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" > 目次の表示・非表示を切り替え </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-titlebar-toc-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">モジュラー曲線</h1> <div id="p-lang-btn" class="vector-dropdown mw-portlet mw-portlet-lang" > <input type="checkbox" id="p-lang-btn-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-lang-btn" class="vector-dropdown-checkbox mw-interlanguage-selector" aria-label="特定の記事の別の言語版に移動します。利用可能な言語8件" > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-8" aria-hidden="true" > 8の言語版 </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Modular_curve" title="英語: Modular curve" lang="en" hreflang="en" data-title="Modular curve" data-language-autonym="English" data-language-local-name="英語" class="interlanguage-link-target">English</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Curva_modular" title="スペイン語: Curva modular" lang="es" hreflang="es" data-title="Curva modular" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="スペイン語" class="interlanguage-link-target">Español</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fr mw-list-item"><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Courbe_modulaire" title="フランス語: Courbe modulaire" lang="fr" hreflang="fr" data-title="Courbe modulaire" data-language-autonym="Français" data-language-local-name="フランス語" class="interlanguage-link-target">Français</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%AA%A8%EB%93%88%EB%9F%AC_%EA%B3%A1%EC%84%A0" title="韓国語: 모듈러 곡선" lang="ko" hreflang="ko" data-title="모듈러 곡선" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="韓国語" class="interlanguage-link-target">한국어</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Modulaire_curve" title="オランダ語: Modulaire curve" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Modulaire curve" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="オランダ語" class="interlanguage-link-target">Nederlands</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%BE%D0%B4%D1%83%D0%BB%D1%8F%D1%80%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BA%D1%80%D0%B8%D0%B2%D0%B0%D1%8F" title="ロシア語: Модулярная кривая" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Модулярная кривая" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="ロシア語" class="interlanguage-link-target">Русский</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/Modularna_krivulja" title="スロベニア語: Modularna krivulja" lang="sl" hreflang="sl" data-title="Modularna krivulja" data-language-autonym="Slovenščina" data-language-local-name="スロベニア語" class="interlanguage-link-target">Slovenščina</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%A8%A1%E6%9B%B2%E7%B7%9A" title="中国語: 模曲線" lang="zh" hreflang="zh" data-title="模曲線" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="中国語" class="interlanguage-link-target">中文</a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q3001220#sitelinks-wikipedia" title="言語間リンクを編集" class="wbc-editpage">リンクを編集</a></div> </div> </div> </div> </header> <div class="vector-page-toolbar"> <div class="vector-page-toolbar-container"> <div id="left-navigation"> <nav aria-label="名前空間"> <div id="p-associated-pages" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-associated-pages" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/%E3%83%A2%E3%82%B8%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E6%9B%B2%E7%B7%9A" title="本文を閲覧 [c]" accesskey="c">ページ</a></li><li id="ca-talk" class="new vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%E3%83%8E%E3%83%BC%E3%83%88:%E3%83%A2%E3%82%B8%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E6%9B%B2%E7%B7%9A&action=edit&redlink=1" rel="discussion" class="new" title="「本文ページについての議論」 (存在しないページ) [t]" accesskey="t">ノート</a></li> </ul> </div> </div> <div id="vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown emptyPortlet" > <input type="checkbox" id="vector-variants-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="別の言語に切り替える" > <label id="vector-variants-dropdown-label" for="vector-variants-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" >日本語 </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-variants" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-variants emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> <div id="right-navigation" class="vector-collapsible"> <nav aria-label="表示"> <div id="p-views" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-views" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-view" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/%E3%83%A2%E3%82%B8%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E6%9B%B2%E7%B7%9A">閲覧</a></li><li id="ca-edit" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%E3%83%A2%E3%82%B8%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E6%9B%B2%E7%B7%9A&action=edit" title="このページのソースコードを編集する [e]" accesskey="e">編集</a></li><li id="ca-history" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%E3%83%A2%E3%82%B8%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E6%9B%B2%E7%B7%9A&action=history" title="このページの過去の版 [h]" accesskey="h">履歴表示</a></li> </ul> </div> </div> </nav> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="ページツール"> <div id="vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown vector-page-tools-dropdown" > <input type="checkbox" id="vector-page-tools-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="ツール" > <label id="vector-page-tools-dropdown-label" for="vector-page-tools-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" >ツール </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-tools-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> <div id="vector-page-tools" class="vector-page-tools vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-page-tools-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="page-tools-pinned" data-pinnable-element-id="vector-page-tools" data-pinned-container-id="vector-page-tools-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-page-tools-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">ツール</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.pin">サイドバーに移動</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.unpin">非表示</button> </div> <div id="p-cactions" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-cactions emptyPortlet vector-has-collapsible-items" title="その他の操作" > <div class="vector-menu-heading"> 操作 </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-more-view" class="selected vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/wiki/%E3%83%A2%E3%82%B8%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E6%9B%B2%E7%B7%9A">閲覧</a></li><li id="ca-more-edit" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%E3%83%A2%E3%82%B8%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E6%9B%B2%E7%B7%9A&action=edit" title="このページのソースコードを編集する [e]" accesskey="e">編集</a></li><li id="ca-more-history" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%E3%83%A2%E3%82%B8%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E6%9B%B2%E7%B7%9A&action=history">履歴表示</a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-tb" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-tb" > <div class="vector-menu-heading"> 全般 </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-whatlinkshere" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E3%83%AA%E3%83%B3%E3%82%AF%E5%85%83/%E3%83%A2%E3%82%B8%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E6%9B%B2%E7%B7%9A" title="ここにリンクしている全ウィキページの一覧 [j]" accesskey="j">リンク元</a></li><li id="t-recentchangeslinked" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E9%96%A2%E9%80%A3%E3%83%9A%E3%83%BC%E3%82%B8%E3%81%AE%E6%9B%B4%E6%96%B0%E7%8A%B6%E6%B3%81/%E3%83%A2%E3%82%B8%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E6%9B%B2%E7%B7%9A" rel="nofollow" title="このページからリンクしているページの最近の更新 [k]" accesskey="k">関連ページの更新状況</a></li><li 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class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="coll-create_a_book" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%E7%89%B9%E5%88%A5:%E3%83%96%E3%83%83%E3%82%AF&bookcmd=book_creator&referer=%E3%83%A2%E3%82%B8%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E6%9B%B2%E7%B7%9A">ブックの新規作成</a></li><li id="coll-download-as-rl" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%E7%89%B9%E5%88%A5:DownloadAsPdf&page=%E3%83%A2%E3%82%B8%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E6%9B%B2%E7%B7%9A&action=show-download-screen">PDF 形式でダウンロード</a></li><li id="t-print" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%E3%83%A2%E3%82%B8%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E6%9B%B2%E7%B7%9A&printable=yes" title="このページの印刷用ページ [p]" accesskey="p">印刷用バージョン</a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-wikibase-otherprojects" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-wikibase-otherprojects" > <div class="vector-menu-heading"> 他のプロジェクト </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-wikibase" class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikibase-dataitem mw-list-item"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q3001220" title="関連付けられたデータリポジトリ項目へのリンク [g]" accesskey="g">ウィキデータ項目</a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> </div> <div class="vector-column-end"> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="ページツール"> <div id="vector-page-tools-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="表示"> <div id="vector-appearance-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-appearance" class="vector-appearance vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-appearance-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="appearance-pinned" data-pinnable-element-id="vector-appearance" data-pinned-container-id="vector-appearance-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-appearance-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">表示</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.pin">サイドバーに移動</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.unpin">非表示</button> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> <div id="bodyContent" class="vector-body" aria-labelledby="firstHeading" data-mw-ve-target-container> <div class="vector-body-before-content"> <div class="mw-indicators"> </div> <div id="siteSub" class="noprint">出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』</div> </div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"></div></div> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="ja" dir="ltr">モジュラー曲線（モジュラーきょくせん）とは複素<a href="/wiki/%E4%B8%8A%E5%8D%8A%E5%B9%B3%E9%9D%A2" title="上半平面">上半平面</a> H の合同部分群 Γ の<a href="/wiki/%E7%BE%A4%E4%BD%9C%E7%94%A8" title="群作用">作用</a>による商として定義される<a href="/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%83%B3%E9%9D%A2" title="リーマン面">リーマン面</a>のことである。合同部分群 Γ とは、整数の 2 × 2 の行列 SL(2, Z) のある部分群のことである。モジュラー曲線はコンパクトとは限らないが、有限個の Γ のカスプと呼ばれる点を加えることでコンパクト化されたモジュラー曲線 X(Γ) を定めることができる。モジュラー曲線の点は、<a href="/wiki/%E6%A5%95%E5%86%86%E6%9B%B2%E7%B7%9A" title="楕円曲線">楕円曲線</a>とそれに付随する群 Γ に関係するある構造をもったものの同型類の集合とみなすことができ、モジュラー曲線を代数幾何的に、また<a href="/wiki/%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0" title="有理数">有理数体</a> Q や<a href="/wiki/%E5%86%86%E5%88%86%E4%BD%93" title="円分体">円分体</a>の上でモジュラー曲線を定義することもできる。このことからモジュラー曲線は整数論で重要な対象である。 <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="解析的定義">解析的定義</h2>[<a href="/w/index.php?title=%E3%83%A2%E3%82%B8%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E6%9B%B2%E7%B7%9A&action=edit&section=1" title="節を編集: 解析的定義">編集</a>]</div> モジュラー群 SL(2, Z) は上半平面上に<a href="/wiki/%E4%B8%80%E6%AC%A1%E5%88%86%E6%95%B0%E5%A4%89%E6%8F%9B" title="一次分数変換">一次分数変換</a>として作用する。SL(2, Z) の合同部分群 Γ をとは、ある正の整数 N に対し、<a href="/w/index.php?title=%E4%B8%BB%E5%90%88%E5%90%8C%E9%83%A8%E5%88%86%E7%BE%A4&action=edit&redlink=1" class="new" title="「主合同部分群」 (存在しないページ)">レベル N の主合同部分群</a>（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/principal_congruence_subgroup" class="extiw" title="en:principal congruence subgroup">英語版</a>）(principal congruence subgroup of level N)を含むような部分群のことである。ここで主合同部分群 Γ(N) とは <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Gamma (N)=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}:\ a,d\equiv \pm 1\mod N{\text{ and }}b,c\equiv 0\mod N\right\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow> <mo>{</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>(</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mi>a</mi> </mtd> <mtd> <mi>b</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>c</mi> </mtd> <mtd> <mi>d</mi> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>:</mo> <mtext> </mtext> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>d</mi> <mo>≡</mo> <mo>±</mo> <mn>1</mn> <mspace width="1em" /> <mi>mod</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>N</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext> and </mtext> </mrow> <mi>b</mi> <mo>,</mo> <mi>c</mi> <mo>≡</mo> <mn>0</mn> <mspace width="1em" /> <mi>mod</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>N</mi> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Gamma (N)=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}:\ a,d\equiv \pm 1\mod N{\text{ and }}b,c\equiv 0\mod N\right\}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a367517ace8772040c77ecf16537568bbf52a225" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:65.777ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \Gamma (N)=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}:\ a,d\equiv \pm 1\mod N{\text{ and }}b,c\equiv 0\mod N\right\}}"></dd></dl> なる群をあらわす。 そのような N の最小の値をΓ のレベルという。この群による商 Γ\H に<a href="/wiki/%E8%A4%87%E7%B4%A0%E5%A4%9A%E6%A7%98%E4%BD%93" title="複素多様体">複素構造</a>を定めたものを<a href="/wiki/%E3%82%B3%E3%83%B3%E3%83%91%E3%82%AF%E3%83%88%E7%A9%BA%E9%96%93" title="コンパクト空間">非コンパクト</a>なモジュラー曲線<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y\left(\Gamma \right):=\Gamma \backslash {\mathcal {H}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Y</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>:=</mo> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mi class="MJX-variant" mathvariant="normal">∖</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">H</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y\left(\Gamma \right):=\Gamma \backslash {\mathcal {H}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51a1db4c0d6be581368f3ff005c11e3e6c1f8510" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.747ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle Y\left(\Gamma \right):=\Gamma \backslash {\mathcal {H}}}">という。これは<a href="/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%83%B3%E9%9D%A2" title="リーマン面">リーマン面</a> である。 <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="コンパクト化されたモジュラー曲線">コンパクト化されたモジュラー曲線</h3>[<a href="/w/index.php?title=%E3%83%A2%E3%82%B8%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E6%9B%B2%E7%B7%9A&action=edit&section=2" title="節を編集: コンパクト化されたモジュラー曲線">編集</a>]</div> Y(Γ) のコンパクト化は、Γ のカスプと呼ばれる有限個の点を加えることにより得られる。特に、このコンパクト化は、拡張された複素上半平面 H* = H ∪ Q ∪ {∞} 上の Γ の作用を考えることにより得られる。H* に次を開基とする位相を定める。 <ul><li>H の上のすべての開集合</li> <li>すべての r > 0 に対し、集合 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{\infty \}\cup \{\tau \in \mathbf {H} \mid {\text{Im}}(\tau )>r\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mi mathvariant="normal">∞</mi> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> <mo>∪</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mi>τ</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">H</mi> </mrow> <mo>∣</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>Im</mtext> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>τ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>></mo> <mi>r</mi> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{\infty \}\cup \{\tau \in \mathbf {H} \mid {\text{Im}}(\tau )>r\}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a049c4e4a4ca5706f546ef19e845bcace03e5ab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:27.561ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \{\infty \}\cup \{\tau \in \mathbf {H} \mid {\text{Im}}(\tau )>r\}}"></li> <li>すべての<a href="/wiki/%E4%BA%92%E3%81%84%E3%81%AB%E7%B4%A0_(%E6%95%B4%E6%95%B0%E8%AB%96)" title="互いに素 (整数論)">互いに素</a>な整数 a, c と m, n は an + cm = 1 となる整数 m, n と、すべての r > 0 に対し、作用</li></ul> <dl><dd><dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{pmatrix}a&-m\\c&n\end{pmatrix}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>(</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mi>a</mi> </mtd> <mtd> <mo>−</mo> <mi>m</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>c</mi> </mtd> <mtd> <mi>n</mi> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{pmatrix}a&-m\\c&n\end{pmatrix}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f7a8d7f31c5d79c770a10939265ee77c1e1675c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:11.574ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{pmatrix}a&-m\\c&n\end{pmatrix}}}"></dd></dl></dd> <dd>の下で、<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{\infty \}\cup \{\tau \in \mathbf {H} \mid {\text{Im}}(\tau )>r\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mi mathvariant="normal">∞</mi> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> <mo>∪</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mi>τ</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">H</mi> </mrow> <mo>∣</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>Im</mtext> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>τ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>></mo> <mi>r</mi> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{\infty \}\cup \{\tau \in \mathbf {H} \mid {\text{Im}}(\tau )>r\}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a049c4e4a4ca5706f546ef19e845bcace03e5ab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:27.561ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \{\infty \}\cup \{\tau \in \mathbf {H} \mid {\text{Im}}(\tau )>r\}}"> の像</dd></dl> これは、 H* を<a href="/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%83%B3%E7%90%83%E9%9D%A2" title="リーマン球面">リーマン球面</a> P1(C) の部分集合へ変える。群 Γ は部分集合 Q ∪ {∞} 上へ作用し、Γ のカスプと呼ばれる有限個の<a href="/wiki/%E7%BE%A4%E4%BD%9C%E7%94%A8#軌道と等方部分群" title="群作用">軌道</a>へ分解する。特に Γ が Q ∪ {∞} 上に推移的に作用すると、空間 Γ\H* は Γ\H の一点コンパクト化となる。この <a href="/w/index.php?title=%E3%82%AB%E3%82%B9%E3%83%97&action=edit&redlink=1" class="new" title="「カスプ」 (存在しないページ)">カスプ</a>(cusp、尖点)を加えてコンパクト化したリーマン面<a href="#cite_note-FOOTNOTEDiamondSchurman200558-1">[1]</a>を<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X\left(\Gamma \right):=\Gamma \backslash {\mathcal {H}}^{*}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>X</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>:=</mo> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mi class="MJX-variant" mathvariant="normal">∖</mi> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">H</mi> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X\left(\Gamma \right):=\Gamma \backslash {\mathcal {H}}^{*}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/911456e0a7f5095fc2264154b058a171e087cdd8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.008ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle X\left(\Gamma \right):=\Gamma \backslash {\mathcal {H}}^{*}}">と書く。X(Γ) は Y(Γ) の空間のコンパクト化である<a href="#cite_note-2">[2]</a>。 <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="例">例</h2>[<a href="/w/index.php?title=%E3%83%A2%E3%82%B8%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E6%9B%B2%E7%B7%9A&action=edit&section=3" title="節を編集: 例">編集</a>]</div> 最も知られている例は、曲線 X(N), X0(N) と X1(N) であり、それぞれ合同部分群 Γ(N), Γ0(N) と Γ1(N) から定まるものである。 モジュラー曲線 X(5) は種数 0 を持ち、<a href="/wiki/%E6%AD%A3%E4%BA%8C%E5%8D%81%E9%9D%A2%E4%BD%93" title="正二十面体">正二十面体</a>の頂点に 12個のカスプを持つリーマン球面である。被覆 X(5) → X(1) はリーマン球面上の<a href="/w/index.php?title=20%E9%9D%A2%E4%BD%93%E5%AF%BE%E7%A7%B0%E6%80%A7&action=edit&redlink=1" class="new" title="「20面体対称性」 (存在しないページ)">20面体群</a>（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/icosahedral_symmetry" class="extiw" title="en:icosahedral symmetry">英語版</a>）(icosahedral group)の作用による商である。この群は位数 60 の単純群で、対称群 A5 および PSL(2, 5) とに同型である。 モジュラー曲線 X(7) は、カスプを 24個持つ種数 3 の<a href="/w/index.php?title=%E3%82%AF%E3%83%A9%E3%82%A4%E3%83%B3%E5%9B%9B%E6%AC%A1%E6%9B%B2%E7%B7%9A&action=edit&redlink=1" class="new" title="「クライン四次曲線」 (存在しないページ)">クライン四次曲線</a>（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Klein_quartic" class="extiw" title="en:Klein quartic">英語版</a>）(Klein quartic)である。これは3つのハンドルつきの曲面を 24 個の七角形でタイリングし、各々の面の中心にカスプを持っていると解釈することができる。これらのタイリングは、<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/dessins_d%27enfants" class="extiw" title="en:dessins d'enfants">dessins d'enfants</a><a href="#cite_note-3">[3]</a> や<a href="/w/index.php?title=%E3%83%99%E3%83%AB%E3%82%A4%E5%87%BD%E6%95%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="「ベルイ函数」 (存在しないページ)">ベルイ函数</a>（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Belyi_function" class="extiw" title="en:Belyi function">英語版</a>）(Belyi function)を通して理解することができる。カスプは、無限遠点 ∞ 上にある（赤い点）、一方、頂点と辺の中心にある（黒と白の点）カスプは、0 と 1 にある。被覆 X(7) → X(1) のガロア群は、<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/PSL(2,7)" class="extiw" title="en:PSL(2,7)">PSL(2, 7)</a> に同型な位数 168 の単純群である。 X0(N) には、明確な古典モデルである<a href="/wiki/%E5%8F%A4%E5%85%B8%E7%9A%84%E3%83%A2%E3%82%B8%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E6%9B%B2%E7%B7%9A" title="古典的モジュラー曲線">古典的モジュラー曲線</a>が存在し、これを「モジュラー曲線」という場合もある。Γ(N) の定義は次のように言い直すこともできる。Γ(N) は、法 N 還元 SL2(Z) → SL2(Z/NZ) の核である。Γ0(N) は法 N 還元して上三角行列になるもの全体のなす部分群 <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Gamma _{0}(N)=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}:\ c\equiv 0\mod N\right\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow> <mo>{</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>(</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mi>a</mi> </mtd> <mtd> <mi>b</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>c</mi> </mtd> <mtd> <mi>d</mi> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>:</mo> <mtext> </mtext> <mi>c</mi> <mo>≡</mo> <mn>0</mn> <mspace width="1em" /> <mi>mod</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>N</mi> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Gamma _{0}(N)=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}:\ c\equiv 0\mod N\right\}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bec6f8d65a25503dac367d72703378f32b4bb8e0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:40.017ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \Gamma _{0}(N)=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}:\ c\equiv 0\mod N\right\}}"></dd></dl> であり、Γ1(N) はこのふたつの中間にある群であり、 <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Gamma _{1}(N)=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}:\ a\equiv 1\mod N,c\equiv 0\mod N\right\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow> <mo>{</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>(</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mi>a</mi> </mtd> <mtd> <mi>b</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>c</mi> </mtd> <mtd> <mi>d</mi> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>:</mo> <mtext> </mtext> <mi>a</mi> <mo>≡</mo> <mn>1</mn> <mspace width="1em" /> <mi>mod</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>N</mi> <mo>,</mo> <mi>c</mi> <mo>≡</mo> <mn>0</mn> <mspace width="1em" /> <mi>mod</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>N</mi> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Gamma _{1}(N)=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}:\ a\equiv 1\mod N,c\equiv 0\mod N\right\}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c5b09f07eef172ac50335ef93d37668627d169c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:56.867ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \Gamma _{1}(N)=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}:\ a\equiv 1\mod N,c\equiv 0\mod N\right\}}"></dd></dl> で定義される。 これらの曲線は、レベル構造つき<a href="/wiki/%E6%A5%95%E5%86%86%E6%9B%B2%E7%B7%9A" title="楕円曲線">楕円曲線</a>の<a href="/wiki/%E3%83%A2%E3%82%B8%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%82%A4%E7%A9%BA%E9%96%93" title="モジュライ空間">モジュライ空間</a>として解釈される。このため、モジュラー曲線は<a href="/wiki/%E6%95%B0%E8%AB%96%E5%B9%BE%E4%BD%95" class="mw-redirect" title="数論幾何">数論幾何</a>(arithmetic geometry)で重要な役割を果たす。レベル N のモジュラー曲線 X(N) は、楕円曲線とそのN-等分点の基底の組のモジュライ空間である。X0(N) と X1(N) の付加構造は、それぞれ、位数 N の巡回部分群、位数 N の点である。これらの曲線は、非常に詳しく研究されており、特に、X0(N) は有理数体上で定義することができる。 モジュラ曲線を定義する方程式は、<a href="/w/index.php?title=%E3%83%A2%E3%82%B8%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F&action=edit&redlink=1" class="new" title="「モジュラー方程式」 (存在しないページ)">モジュラー方程式</a>（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/modular_equation" class="extiw" title="en:modular equation">英語版</a>）(modular equation)の最も良く知られた例である。この「最良のモデル」は<a href="/wiki/%E6%A5%95%E5%86%86%E5%87%BD%E6%95%B0" title="楕円函数">楕円函数</a>論から直接得られる理論とは非常に異なっている。<a href="/wiki/%E3%83%98%E3%83%83%E3%82%B1%E4%BD%9C%E7%94%A8%E7%B4%A0" title="ヘッケ作用素">ヘッケ作用素</a>は、二つのモジュラー曲線の間の<a href="/wiki/%E5%AF%BE%E5%BF%9C_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="対応 (数学)">対応</a>として幾何学的に研究される。 注意: コンパクトな H の商は、モジュラ群の部分群以外に、<a href="/w/index.php?title=%E3%83%95%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9%E7%BE%A4&action=edit&redlink=1" class="new" title="「フックス群」 (存在しないページ)">フックス群</a>（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Fuchsian_group" class="extiw" title="en:Fuchsian group">英語版</a>）(Fuchsian group) Γ に対し発生する。これは、<a href="/wiki/%E5%9B%9B%E5%85%83%E6%95%B0" title="四元数">四元数</a>からくる構成されるこれらのクラスは、数論でも興味がもたれている。 <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="種数">種数</h2>[<a href="/w/index.php?title=%E3%83%A2%E3%82%B8%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E6%9B%B2%E7%B7%9A&action=edit&section=4" title="節を編集: 種数">編集</a>]</div> 被覆 X(N) → X(1) はガロア群 SL(2, N)/{1, −1} を持つガロア被覆であり、N が素数であればこのガロア群は PSL(2, N) と同じになる。<a href="/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%95%E3%83%AB%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%83%83%E3%83%84%E3%81%AE%E5%85%AC%E5%BC%8F" title="リーマン・フルヴィッツの公式">リーマン・フルヴィッツの公式</a>と<a href="/wiki/%E3%82%AC%E3%82%A6%E3%82%B9%E3%83%BB%E3%83%9C%E3%83%8D%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86" class="mw-redirect" title="ガウス・ボネの定理">ガウス・ボネの定理</a>を適用すると、X(N) の種数を計算することができる。レベルが素数 p ≥ 5 であれば、 <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -\pi \chi (X(p))=|G|\cdot D}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>−</mo> <mi>π</mi> <mi>χ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>p</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>G</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>⋅</mo> <mi>D</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -\pi \chi (X(p))=|G|\cdot D}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34f9ba3b8890f2fe4fa2609bf876e7a35889e346" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.185ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle -\pi \chi (X(p))=|G|\cdot D}"></dd></dl> である。ここに χ = 2 − 2g は<a href="/wiki/%E3%82%AA%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E6%A8%99%E6%95%B0" title="オイラー標数">オイラー標数</a>、|G| = (p + 1)p(p − 1)/2 は群 PSL(2, p) の位数、D = π − π/2 − π/3 − π/p は球状の (2,3,p) の三角形の<a href="/w/index.php?title=%E6%AC%A0%E9%99%A5_(%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6)&action=edit&redlink=1" class="new" title="「欠陥 (幾何学)」 (存在しないページ)">角度欠陥</a>（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/defect_(geometry)" class="extiw" title="en:defect (geometry)">英語版</a>）(angular defect)である。このことから、公式 <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g={\tfrac {1}{24}}(p+2)(p-3)(p-5)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>g</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>24</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>p</mi> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>p</mi> <mo>−</mo> <mn>3</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>p</mi> <mo>−</mo> <mn>5</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g={\tfrac {1}{24}}(p+2)(p-3)(p-5)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/574ebf50aca3e3446e2ff92382f1cd0dbc00ccba" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:27.639ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle g={\tfrac {1}{24}}(p+2)(p-3)(p-5)}"></dd></dl> が導かれる。 このようにして、X(5) は種数 0 であり、X(7) は種数 3 であり、X(11) は種数26 であることがわかる。p = 2 あるいは 3 に対しは分岐を考えに入れる、つまり、PSL(2, Z) には位数 p の元が存在し、PSL(2, 2) は位数 3 というよりも位数 6 であることを考慮する必要がある。N を因子として含むレベル N のモジュラー曲線の種数についてのより複雑な公式がある。 <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="種数_0">種数 0</h3>[<a href="/w/index.php?title=%E3%83%A2%E3%82%B8%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E6%9B%B2%E7%B7%9A&action=edit&section=5" title="節を編集: 種数 0">編集</a>]</div> 一般に、モジュラー函数体とは、モジュラー曲線（あるいは既約であるような他のモジュライ空間）の<a href="/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%A4%9A%E6%A7%98%E4%BD%93%E3%81%AE%E5%87%BD%E6%95%B0%E4%BD%93" title="代数多様体の函数体">函数体</a>である。<a href="/wiki/%E7%A8%AE%E6%95%B0" title="種数">種数</a>が 0 であることは、そのような函数体が唯一の<a href="/wiki/%E8%B6%85%E8%B6%8A%E5%87%BD%E6%95%B0" class="mw-redirect" title="超越函数">超越函数</a>を生成元として持っていることを意味し、たとえば、<a href="/wiki/J-%E4%B8%8D%E5%A4%89%E9%87%8F" title="J-不変量">j-函数</a>は <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X(1)=PSL(2,\mathbb {Z} )\backslash \mathbb {H} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>P</mi> <mi>S</mi> <mi>L</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mi class="MJX-variant" mathvariant="normal">∖</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">H</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X(1)=PSL(2,\mathbb {Z} )\backslash \mathbb {H} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69e1f2eb4db3927bfdc5ced3b7db805157c34ef2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.404ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle X(1)=PSL(2,\mathbb {Z} )\backslash \mathbb {H} }"> の函数体を生成する。この生成元は<a href="/wiki/%E3%83%A1%E3%83%93%E3%82%A6%E3%82%B9%E5%A4%89%E6%8F%9B" title="メビウス変換">メビウス変換</a>で移りあう函数を同一視すると一意となり、適切に正規化することができ、そのような函数を Hauptmodul (あるいは主モジュラー函数(principal modular function)と呼ぶ。 空間 X1(n) は n = 1, ..., 10 と n = 12 に対して、種数 0 である。これらの曲線は、Q 上で定義されているので、そのような曲線上には無限に多くの有理点が存在し、よって、これらの n の値に対し n-捩れを持つ有理数体上定義された楕円曲線が無限に存在する。n がこれらの値のときのみ、逆のステートメントが成り立ち、これが<a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%83%AB%E3%83%86%E3%82%A3%E3%83%B3%E3%82%B0%E3%82%B9%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86#メイザーの捩れ定理" title="ファルティングスの定理">メイザーの捩れ定理</a>である。 <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="体上のモデル">体上のモデル</h2>[<a href="/w/index.php?title=%E3%83%A2%E3%82%B8%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E6%9B%B2%E7%B7%9A&action=edit&section=6" title="節を編集: 体上のモデル">編集</a>]</div> Γ を合同部分群とする。複素数体 C の部分環 R に対して、R 上の<a href="/wiki/%E6%A6%82%E5%9E%8B" class="mw-redirect" title="概型">スキーム</a> V と複素解析的同型 φ: Γ ⧵H → V(C) の組 (V, φ) であって、V が R 上1次元ファイバーを持つものをモジュラー曲線 Γ ⧵H の R 上のモデルという<a href="#cite_note-FOOTNOTEDiamondIm199568-4">[4]</a>。この定義において Γ ⧵H を Γ ⧵H* に置き換えたものもモデルという<a href="#cite_note-FOOTNOTEShimura1971152-5">[5]</a><a href="#cite_note-6">[注釈 1]</a>。例えば整数環 Z 上のアフィン直線 Spec(Z[j]) と <a href="/wiki/J-%E4%B8%8D%E5%A4%89%E9%87%8F" title="J-不変量">j 関数</a>の組は SL2(Z)⧵H の整数環 Z 上のモデルである<a href="#cite_note-FOOTNOTEDiamondIm199568-4">[4]</a>。 以下、N は正整数とする。 <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="X0(N)">X0(N)</h3>[<a href="/w/index.php?title=%E3%83%A2%E3%82%B8%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E6%9B%B2%E7%B7%9A&action=edit&section=7" title="節を編集: X0(N)">編集</a>]</div> jN を jN(τ) = j(Nτ) で定義される上半平面上の関数とする<a href="#cite_note-FOOTNOTEDiamondSchurman2005279-7">[6]</a>。Q(j, jN) は有理数体 Q 上の超越次元が1の体で、この体に含まれる Q 上代数的な元は Q の元のみである<a href="#cite_note-FOOTNOTEDiamondSchurman2005290-8">[7]</a>。よって関数体と非特異射影代数曲線の対応により Q 上のある非特異射影代数曲線 X0(N) であってその関数体がこれになるものが存在する<a href="#cite_note-FOOTNOTEDiamondSchurman2005264-9">[8]</a>。これは Γ0(N) ⧵H* の Q 上のモデルになっている<a href="#cite_note-FOOTNOTEDiamondSchurman2005291-10">[9]</a>。 <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="X0(N)_とモジュラー方程式">X0(N) とモジュラー方程式</h3>[<a href="/w/index.php?title=%E3%83%A2%E3%82%B8%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E6%9B%B2%E7%B7%9A&action=edit&section=8" title="節を編集: X0(N) とモジュラー方程式">編集</a>]</div> モジュラー方程式と呼ばれる、次の性質を持つ整数係数2変数多項式 ΦN(X, Y) が存在する<a href="#cite_note-FOOTNOTEMilne201788-11">[10]</a><a href="#cite_note-FOOTNOTEEdixhoven199714-12">[11]</a>。 <ul><li>ΦN(j, Y) を C(j)[Y] の元と見たとき、これは jN の最小多項式である。</li> <li>ΦN(X, Y) は既約多項式である。</li></ul> 例えば N = 2 に対しては　 <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Phi _{2}(X,Y)=X^{3}+Y^{3}-X^{2}Y^{2}+1488XY(X+Y)-162000(X^{2}+Y^{2})+40773375XY+8748000000(X+Y)-157464000000000}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi mathvariant="normal">Φ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>X</mi> <mo>,</mo> <mi>Y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msup> <mi>X</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>Y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <msup> <mi>X</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>Y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>1488</mn> <mi>X</mi> <mi>Y</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>X</mi> <mo>+</mo> <mi>Y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mn>162000</mn> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>X</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>Y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mn>40773375</mn> <mi>X</mi> <mi>Y</mi> <mo>+</mo> <mn>8748000000</mn> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>X</mi> <mo>+</mo> <mi>Y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mn>157464000000000</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Phi _{2}(X,Y)=X^{3}+Y^{3}-X^{2}Y^{2}+1488XY(X+Y)-162000(X^{2}+Y^{2})+40773375XY+8748000000(X+Y)-157464000000000}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a09532237ad239163c6bfbc957565cd02338651" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:129.275ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \Phi _{2}(X,Y)=X^{3}+Y^{3}-X^{2}Y^{2}+1488XY(X+Y)-162000(X^{2}+Y^{2})+40773375XY+8748000000(X+Y)-157464000000000}"></dd></dl> である<a href="#cite_note-FOOTNOTEMilne201790-13">[12]</a>。この例からもわかるように ΦN(X, Y) は対称多項式である。この方程式で定義される有理数体上の代数曲線の<a href="/wiki/%E7%89%B9%E7%95%B0%E7%82%B9%E8%A7%A3%E6%B6%88" title="特異点解消">特異点を解消</a>し完備化したものが X0(N) と同型である<a href="#cite_note-FOOTNOTEMilne201795-14">[13]</a><a href="#cite_note-FOOTNOTEEdixhoven199714-12">[11]</a>。 <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="X1(N)">X1(N)</h3>[<a href="/w/index.php?title=%E3%83%A2%E3%82%B8%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E6%9B%B2%E7%B7%9A&action=edit&section=9" title="節を編集: X1(N)">編集</a>]</div> 上半平面 H 上の関数 f1 を次で定義する<a href="#cite_note-FOOTNOTEDiamondSchurman2005279-7">[6]</a>。 <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f_{1}(\tau )={\frac {g_{2}(\tau )}{g_{3}(\tau )}}\wp _{\tau }\left({\frac {1}{N}}\right)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>τ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>τ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <msub> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>τ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <msub> <mi mathvariant="normal">℘</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>τ</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>N</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f_{1}(\tau )={\frac {g_{2}(\tau )}{g_{3}(\tau )}}\wp _{\tau }\left({\frac {1}{N}}\right)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83c90004c6dfa2109818e0d5d601e3836b8d866e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:23.582ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle f_{1}(\tau )={\frac {g_{2}(\tau )}{g_{3}(\tau )}}\wp _{\tau }\left({\frac {1}{N}}\right)}"></dd></dl> ここで ℘τ(z) = ℘(z; τ, 1) は<a href="/wiki/%E3%83%B4%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%82%A8%E3%83%AB%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%88%E3%83%A9%E3%82%B9%E3%81%AE%E6%A5%95%E5%86%86%E5%87%BD%E6%95%B0" title="ヴァイエルシュトラスの楕円函数">ヴァイエルシュトラスの楕円函数</a>、g2(τ) と g3(τ) は (℘τ′(z))2 = 4℘τ(z)3 − g2(τ)℘τ(z) − g3(τ) が成り立つ関数である<a href="#cite_note-FOOTNOTEDiamondSchurman200531f-15">[14]</a><a href="#cite_note-FOOTNOTEDiamondSchurman200526-16">[15]</a>。f 1 は Γ1(N) についてのモジュラー関数である<a href="#cite_note-FOOTNOTEDiamondSchurman200542-17">[16]</a><a href="#cite_note-FOOTNOTEDiamondSchurman2005279-7">[6]</a>。体 Q( j, f1) を関数体に持つ Q 上の非特異射影代数曲線を X1(N) とすると、これが Γ1(N) ⧵H* のモデルになる<a href="#cite_note-FOOTNOTEDiamondSchurman2005290f-18">[17]</a>。 <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="整モデル">整モデル</h2>[<a href="/w/index.php?title=%E3%83%A2%E3%82%B8%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E6%9B%B2%E7%B7%9A&action=edit&section=10" title="節を編集: 整モデル">編集</a>]</div> N を正整数、i を0もしくは1とする。Γi(N)⧵H には Yi(N)Z と書かれる Z 上のモデルが存在し次の性質を持っている<a href="#cite_note-19">[注釈 2]</a>。 <ul><li>Yi(N)Z は<a href="/wiki/%E3%82%A2%E3%83%95%E3%82%A3%E3%83%B3%E3%82%B9%E3%82%AD%E3%83%BC%E3%83%A0" class="mw-redirect" title="アフィンスキーム">アフィン・スキーム</a>である<a href="#cite_note-FOOTNOTE津嶋200387-20">[18]</a>。</li> <li>Yi(N)Z は<a href="/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6%E7%94%A8%E8%AA%9E%E4%B8%80%E8%A6%A7#連結" title="代数幾何学用語一覧">連結</a>である<a href="#cite_note-FOOTNOTE津嶋200387-20">[18]</a>。</li> <li>Yi(N)Z は<a href="/w/index.php?title=%E6%AD%A3%E8%A6%8F%E3%82%B9%E3%82%AD%E3%83%BC%E3%83%A0&action=edit&redlink=1" class="new" title="「正規スキーム」 (存在しないページ)">正規スキーム</a>（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Normal_scheme" class="extiw" title="en:Normal scheme">英語版</a>） である<a href="#cite_note-FOOTNOTE津嶋200388-21">[19]</a>。</li> <li>Y0(N)Z は、N を一回だけ割る素数 p において<a href="/wiki/%E5%AE%89%E5%AE%9A%E6%9B%B2%E7%B7%9A" title="安定曲線">準安定</a>である<a href="#cite_note-FOOTNOTE津嶋200388-21">[19]</a>。</li> <li>Yi(N)Z[N−1] は Z[N−1] 上<a href="/wiki/%E6%BB%91%E3%82%89%E3%81%8B%E3%81%AA%E5%B0%84" title="滑らかな射">滑らか</a>である<a href="#cite_note-FOOTNOTE津嶋200395–96-22">[20]</a>。</li> <li>Z 上の<a href="/wiki/%E6%A6%82%E5%9E%8B" class="mw-redirect" title="概型">スキーム</a>の<a href="/wiki/%E5%9C%8F_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="圏 (数学)">圏</a>から<a href="/wiki/%E9%9B%86%E5%90%88" title="集合">集合</a>の圏への<a href="/wiki/%E9%96%A2%E6%89%8B" title="関手">関手</a> ℳ0(N)Z を、スキーム T に対して ℳ0(N)Z(T) を T 上の楕円曲線 E とその位数 N の巡回部分群スキーム C の組 (E, C) の同型類の集合とすることにより定義する<a href="#cite_note-FOOTNOTE津嶋200391-23">[21]</a>。Y0(N)Z はこの関手の粗<a href="/wiki/%E3%83%A2%E3%82%B8%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%82%A4%E7%A9%BA%E9%96%93" title="モジュライ空間">モジュライ</a>である<a href="#cite_note-FOOTNOTE津嶋200395-24">[22]</a>。特に、任意の<a href="/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E9%96%89%E4%BD%93" class="mw-redirect" title="代数閉体">代数閉体</a> k に対して Y0(N)Z(k) は k 上の楕円曲線 E とその位数 N の巡回部分群スキーム C の組 (E, C) の同型類と自然に一対一対応する<a href="#cite_note-FOOTNOTE津嶋200379-25">[23]</a>。</li> <li>Z 上のスキームの圏から集合の圏への関手 ℳ1(N)Z を、スキーム T に対して ℳ1(N)Z(T) を T 上の楕円曲線 E とその位数がちょうど N の切断 P:T → E の組 (E, P) の同型類の集合とすることにより定義する<a href="#cite_note-FOOTNOTE津嶋200391-23">[21]</a>。Y1(N)Z はこの関手の粗<a href="/wiki/%E3%83%A2%E3%82%B8%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%82%A4%E7%A9%BA%E9%96%93" title="モジュライ空間">モジュライ</a>である<a href="#cite_note-FOOTNOTE津嶋200396-26">[24]</a>。特に、任意の代数閉体 k に対して Y1(N)Z(k) は k 上の楕円曲線 E とその位数がちょうど N の切断 P:Spec(k) → E の組 (E, P) の同型類の集合と自然に一対一対応する<a href="#cite_note-FOOTNOTE津嶋200379-25">[23]</a>。</li></ul> Xi(N)Z を自然な射 j: Yi(N)Z → Y(1)Z≃A1 Z に関する P1 Z の<a href="/wiki/%E6%95%B4%E9%96%89%E5%8C%85" class="mw-redirect" title="整閉包">整閉包</a>とする<a href="#cite_note-FOOTNOTE津嶋200398-27">[25]</a>。Xi(N)Z は次の性質を持っている。 <ul><li>Xi(N)Z は Z 上の<a href="/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6%E7%94%A8%E8%AA%9E%E4%B8%80%E8%A6%A7#射影的" title="代数幾何学用語一覧">射影的</a>かつ<a href="/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6%E7%94%A8%E8%AA%9E%E4%B8%80%E8%A6%A7#正規" title="代数幾何学用語一覧">正規</a>な<a href="/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E6%9B%B2%E7%B7%9A" title="代数曲線">代数曲線</a>である<a href="#cite_note-FOOTNOTE津嶋200398–99-28">[26]</a>。</li> <li>Xi(N)Z の各幾何的ファイバーは連結である。</li> <li>N を割らない素数 p に対して Xi(N)Fp は滑らかである。Xi(N)Fp は Yi(N)Fp のスムーズコンパクト化である。</li> <li>Z 上のスキームの圏から集合の圏への関手 ℳ0(N)Z を、スキーム T に対して ℳ0(N)Z(T) を T 上の広義楕円曲線 E とその豊富な位数 N の巡回部分群スキーム C の組 (E, C) の同型類の集合とすることにより定義する<a href="#cite_note-FOOTNOTE津嶋2003100-29">[27]</a>。X0(N)Z はこの関手の粗<a href="/wiki/%E3%83%A2%E3%82%B8%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%82%A4%E7%A9%BA%E9%96%93" title="モジュライ空間">モジュライ</a>である<a href="#cite_note-FOOTNOTE津嶋2003100-29">[27]</a>。特に、任意の代数閉体 k に対して X0(N)Z(k) は k 上の広義楕円曲線 E とその豊富な位数 N の巡回部分群スキーム C の組 (E, P) の同型類の集合と自然に一対一対応する<a href="#cite_note-FOOTNOTE津嶋200379-25">[23]</a>。</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="モンスター群との関係">モンスター群との関係</h2>[<a href="/w/index.php?title=%E3%83%A2%E3%82%B8%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E6%9B%B2%E7%B7%9A&action=edit&section=11" title="節を編集: モンスター群との関係">編集</a>]</div> <div class="rellink" style="margin-bottom: 0.5em; padding-left: 2em; font-size: 90%;" role="note">→詳細は「<a href="/wiki/%E3%83%A2%E3%83%B3%E3%82%B9%E3%83%88%E3%83%A9%E3%82%B9%E3%83%BB%E3%83%A0%E3%83%BC%E3%83%B3%E3%82%B7%E3%83%A3%E3%82%A4%E3%83%B3" title="モンストラス・ムーンシャイン">モンストラス・ムーンシャイン</a>」を参照</div> 種数 0 のモジュラー曲線は<a href="/wiki/%E3%83%A2%E3%83%B3%E3%82%B9%E3%83%88%E3%83%A9%E3%82%B9%E3%83%BB%E3%83%A0%E3%83%BC%E3%83%B3%E3%82%B7%E3%83%A3%E3%82%A4%E3%83%B3" title="モンストラス・ムーンシャイン">モンストラス・ムーンシャイン</a>予想との関係で非常に重要であることが判明した。モジュラー曲線の Hauptmoduln を q-展開した係数の最初のいくつかが、19世紀に既に計算されていたが、最も大きな単純散在モンスター群の表現空間の次元と同じになっていることが、非常に衝撃的である。 もうひとつの関係は、SL(2, R) の <a href="/w/index.php?title=Modular_group_Gamma0&action=edit&redlink=1" class="new" title="「Modular group Gamma0」 (存在しないページ)">Γ0</a>(p) の正規化群 Γ0(p)+ から定まるモジュラー曲線が種数 0 であることと、p が 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 47, 59 あるいは、71 であることと同値である。さらにこれらの素数は<a href="/wiki/%E3%83%A2%E3%83%B3%E3%82%B9%E3%82%BF%E3%83%BC%E7%BE%A4" title="モンスター群">モンスター群</a>の位数の素因子と一致する。この Γ0(p)+ についての結果は、<a href="/wiki/%E3%82%B8%E3%83%A3%E3%83%B3%EF%BC%9D%E3%83%94%E3%82%A8%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%83%BB%E3%82%BB%E3%83%BC%E3%83%AB" title="ジャン＝ピエール・セール">ジャン＝ピエール・セール</a>(Jean-Pierre Serre), <a href="/w/index.php?title=%E3%82%A2%E3%83%B3%E3%83%89%E3%83%AC%E3%83%BB%E3%82%AA%E3%83%83%E3%82%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="「アンドレ・オッグ」 (存在しないページ)">アンドレ・オッグ</a>（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Andrew_Ogg" class="extiw" title="en:Andrew Ogg">英語版</a>）(Andrew Ogg)と<a href="/wiki/%E3%82%B8%E3%83%A7%E3%83%B3%E3%83%BBG%E3%83%BB%E3%83%88%E3%83%B3%E3%83%97%E3%82%BD%E3%83%B3" title="ジョン・G・トンプソン">ジョン・トンプソン</a>(John G. Thompson)が1970年代に発見し、モジュラー群とモンスター群の関係を発見したオッグは、この事実を説明したものには、<a href="/wiki/%E3%82%B8%E3%83%A3%E3%83%83%E3%82%AF%E3%83%80%E3%83%8B%E3%82%A8%E3%83%AB" title="ジャックダニエル">ジャックダニエル</a>（<a href="/wiki/%E3%83%86%E3%83%8D%E3%82%B7%E3%83%BC%E3%83%BB%E3%82%A6%E3%82%A4%E3%82%B9%E3%82%AD%E3%83%BC" title="テネシー・ウイスキー">テネシー・ウイスキー</a>）のボトルを進呈すると論文に記載した。 この関係は非常に深く、<a href="/wiki/%E3%83%AA%E3%83%81%E3%83%A3%E3%83%BC%E3%83%89%E3%83%BB%E3%83%9C%E3%83%BC%E3%83%81%E3%83%A3%E3%83%BC%E3%82%BA" title="リチャード・ボーチャーズ">リチャード・ボーチャーズ</a>(Richard Borcherds)により示されたように、<a href="/wiki/%E4%B8%80%E8%88%AC%E3%82%AB%E3%83%83%E3%83%84%E3%83%BB%E3%83%A0%E3%83%BC%E3%83%87%E3%82%A3%E4%BB%A3%E6%95%B0" title="一般カッツ・ムーディ代数">一般カッツ・ムーディリー代数</a>とも深く関係する。この分野の仕事は、至るところで正則でカスプを持つ<a href="/wiki/%E3%83%A2%E3%82%B8%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E5%BD%A2%E5%BC%8F" title="モジュラー形式">モジュラー形式</a>に対し、有理型でありカスプで極を持つことのできる<a href="/wiki/%E3%83%A2%E3%82%B8%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E5%87%BD%E6%95%B0" class="mw-redirect" title="モジュラー函数">モジュラー函数</a>の重要性を示している。これらの仕事は、20世紀の重要な研究の対象となった。 <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="脚注">脚注</h2>[<a href="/w/index.php?title=%E3%83%A2%E3%82%B8%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E6%9B%B2%E7%B7%9A&action=edit&section=12" title="節を編集: 脚注">編集</a>]</div> <div class="noprint" style="float:right; font-size:90%;">[<a href="/wiki/Help:%E8%84%9A%E6%B3%A8/%E8%AA%AD%E8%80%85%E5%90%91%E3%81%91" title="Help:脚注/読者向け">脚注の使い方</a>]</div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="注釈">注釈</h3>[<a href="/w/index.php?title=%E3%83%A2%E3%82%B8%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E6%9B%B2%E7%B7%9A&action=edit&section=13" title="節を編集: 注釈">編集</a>]</div> <div class="reflist" style="list-style-type: decimal;"> <ol class="references"> <li id="cite_note-6"><a href="#cite_ref-6">^</a> モデルという言葉の定義は著者によって揺れがある。 </li> <li id="cite_note-19"><a href="#cite_ref-19">^</a> 以下で引用している文献 <a href="#CITEREF津嶋2003">津嶋 (2003)</a> には Yi(N)Z が Γi(N)⧵H のモデルとは書かれていないが、そのことは Yi(N)Z に ⊗Spec(Z)Spec(Z[1/N]) したものが <a href="#CITEREFDiamondIm1995">Diamond & Im (1995</a>, §8) における 𝒴i(N) と粗モジュライの一意性より一致することから分かる。 </li> </ol></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="出典">出典</h3>[<a href="/w/index.php?title=%E3%83%A2%E3%82%B8%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E6%9B%B2%E7%B7%9A&action=edit&section=14" title="節を編集: 出典">編集</a>]</div> <div class="reflist" style="-moz-column-count:2; -webkit-column-count:2; column-count:2; -moz-column-width: 20em; -webkit-column-width: 20em; column-width: 20em; list-style-type: decimal;"> <ol class="references"> <li id="cite_note-FOOTNOTEDiamondSchurman200558-1"><a href="#cite_ref-FOOTNOTEDiamondSchurman200558_1-0">^</a> <a href="#CITEREFDiamondSchurman2005">Diamond & Schurman 2005</a>, p. 58. </li> <li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">^</a> <cite style="font-style:normal" class="citation" id="CITEREFSerre1977">Serre, Jean-Pierre (1977), Cours d'arithmétique, Le Mathématicien, 2 (2nd ed.), Presses Universitaires de France</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Cours+d%27arithm%C3%A9tique&rft.aulast=Serre&rft.aufirst=Jean-Pierre&rft.au=Serre%2C%26%2332%3BJean-Pierre&rft.date=1977&rft.series=Le+Math%C3%A9maticien&rft.volume=2&rft.edition=2nd&rft.pub=Presses+Universitaires+de+France&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E3%83%A2%E3%82%B8%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E6%9B%B2%E7%B7%9A">  </li> <li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">^</a> <a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/dessins_d%27enfants" class="extiw" title="fr:dessins d'enfants">dessins d'enfants</a>はフランス語で「子供のお絵かき」というような意味であろうが、現在は数学に固有な万国共通の単語といってもよいかも知れない。グラフの描き方のトポロジカルなパターンを意味し、リーマン面の研究や、絶対ガロア群の作用の組み合わせ的研究に使われる。 </li> <li id="cite_note-FOOTNOTEDiamondIm199568-4">^ <a href="#cite_ref-FOOTNOTEDiamondIm199568_4-0">a</a> <a href="#cite_ref-FOOTNOTEDiamondIm199568_4-1">b</a> <a href="#CITEREFDiamondIm1995">Diamond & Im 1995</a>, p. 68. </li> <li id="cite_note-FOOTNOTEShimura1971152-5"><a href="#cite_ref-FOOTNOTEShimura1971152_5-0">^</a> <a href="#CITEREFShimura1971">Shimura 1971</a>, p. 152. </li> <li id="cite_note-FOOTNOTEDiamondSchurman2005279-7">^ <a href="#cite_ref-FOOTNOTEDiamondSchurman2005279_7-0">a</a> <a href="#cite_ref-FOOTNOTEDiamondSchurman2005279_7-1">b</a> <a href="#cite_ref-FOOTNOTEDiamondSchurman2005279_7-2">c</a> <a href="#CITEREFDiamondSchurman2005">Diamond & Schurman 2005</a>, p. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.co.jp/books?id=d8JS2Ui8iT8C&pg=PA279">279</a>. </li> <li id="cite_note-FOOTNOTEDiamondSchurman2005290-8"><a href="#cite_ref-FOOTNOTEDiamondSchurman2005290_8-0">^</a> <a href="#CITEREFDiamondSchurman2005">Diamond & Schurman 2005</a>, p. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.co.jp/books?id=d8JS2Ui8iT8C&pg=PA290">290</a>. </li> <li id="cite_note-FOOTNOTEDiamondSchurman2005264-9"><a href="#cite_ref-FOOTNOTEDiamondSchurman2005264_9-0">^</a> <a href="#CITEREFDiamondSchurman2005">Diamond & Schurman 2005</a>, p. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.co.jp/books?id=d8JS2Ui8iT8C&pg=PA264">264</a>. </li> <li id="cite_note-FOOTNOTEDiamondSchurman2005291-10"><a href="#cite_ref-FOOTNOTEDiamondSchurman2005291_10-0">^</a> <a href="#CITEREFDiamondSchurman2005">Diamond & Schurman 2005</a>, p. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.co.jp/books?id=d8JS2Ui8iT8C&pg=PA291">291</a>. </li> <li id="cite_note-FOOTNOTEMilne201788-11"><a href="#cite_ref-FOOTNOTEMilne201788_11-0">^</a> <a href="#CITEREFMilne2017">Milne 2017</a>, p. 88. </li> <li id="cite_note-FOOTNOTEEdixhoven199714-12">^ <a href="#cite_ref-FOOTNOTEEdixhoven199714_12-0">a</a> <a href="#cite_ref-FOOTNOTEEdixhoven199714_12-1">b</a> <a href="#CITEREFEdixhoven1997">Edixhoven 1997</a>, p. 14. </li> <li id="cite_note-FOOTNOTEMilne201790-13"><a href="#cite_ref-FOOTNOTEMilne201790_13-0">^</a> <a href="#CITEREFMilne2017">Milne 2017</a>, p. 90. </li> <li id="cite_note-FOOTNOTEMilne201795-14"><a href="#cite_ref-FOOTNOTEMilne201795_14-0">^</a> <a href="#CITEREFMilne2017">Milne 2017</a>, p. 95. </li> <li id="cite_note-FOOTNOTEDiamondSchurman200531f-15"><a href="#cite_ref-FOOTNOTEDiamondSchurman200531f_15-0">^</a> <a href="#CITEREFDiamondSchurman2005">Diamond & Schurman 2005</a>, p. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.co.jp/books?id=d8JS2Ui8iT8C&pg=PA31">31f</a>. </li> <li id="cite_note-FOOTNOTEDiamondSchurman200526-16"><a href="#cite_ref-FOOTNOTEDiamondSchurman200526_16-0">^</a> <a href="#CITEREFDiamondSchurman2005">Diamond & Schurman 2005</a>, p. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.co.jp/books?id=d8JS2Ui8iT8C&pg=PA26">26</a>. </li> <li id="cite_note-FOOTNOTEDiamondSchurman200542-17"><a href="#cite_ref-FOOTNOTEDiamondSchurman200542_17-0">^</a> <a href="#CITEREFDiamondSchurman2005">Diamond & Schurman 2005</a>, p. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.co.jp/books?id=d8JS2Ui8iT8C&pg=PA42">42</a>. </li> <li id="cite_note-FOOTNOTEDiamondSchurman2005290f-18"><a href="#cite_ref-FOOTNOTEDiamondSchurman2005290f_18-0">^</a> <a href="#CITEREFDiamondSchurman2005">Diamond & Schurman 2005</a>, p. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.co.jp/books?id=d8JS2Ui8iT8C&pg=PA290">290f</a>. </li> <li id="cite_note-FOOTNOTE津嶋200387-20">^ <a href="#cite_ref-FOOTNOTE津嶋200387_20-0">a</a> <a href="#cite_ref-FOOTNOTE津嶋200387_20-1">b</a> <a href="#CITEREF津嶋2003">津嶋 2003</a>, p. 87. </li> <li id="cite_note-FOOTNOTE津嶋200388-21">^ <a href="#cite_ref-FOOTNOTE津嶋200388_21-0">a</a> <a href="#cite_ref-FOOTNOTE津嶋200388_21-1">b</a> <a href="#CITEREF津嶋2003">津嶋 2003</a>, p. 88. </li> <li id="cite_note-FOOTNOTE津嶋200395–96-22"><a href="#cite_ref-FOOTNOTE津嶋200395–96_22-0">^</a> <a href="#CITEREF津嶋2003">津嶋 2003</a>, pp. 95–96. </li> <li id="cite_note-FOOTNOTE津嶋200391-23">^ <a href="#cite_ref-FOOTNOTE津嶋200391_23-0">a</a> <a href="#cite_ref-FOOTNOTE津嶋200391_23-1">b</a> <a href="#CITEREF津嶋2003">津嶋 2003</a>, p. 91. </li> <li id="cite_note-FOOTNOTE津嶋200395-24"><a href="#cite_ref-FOOTNOTE津嶋200395_24-0">^</a> <a href="#CITEREF津嶋2003">津嶋 2003</a>, p. 95. </li> <li id="cite_note-FOOTNOTE津嶋200379-25">^ <a href="#cite_ref-FOOTNOTE津嶋200379_25-0">a</a> <a href="#cite_ref-FOOTNOTE津嶋200379_25-1">b</a> <a href="#cite_ref-FOOTNOTE津嶋200379_25-2">c</a> <a href="#CITEREF津嶋2003">津嶋 2003</a>, p. 79. </li> <li id="cite_note-FOOTNOTE津嶋200396-26"><a href="#cite_ref-FOOTNOTE津嶋200396_26-0">^</a> <a href="#CITEREF津嶋2003">津嶋 2003</a>, p. 96. </li> <li id="cite_note-FOOTNOTE津嶋200398-27"><a href="#cite_ref-FOOTNOTE津嶋200398_27-0">^</a> <a href="#CITEREF津嶋2003">津嶋 2003</a>, p. 98. </li> <li id="cite_note-FOOTNOTE津嶋200398–99-28"><a href="#cite_ref-FOOTNOTE津嶋200398–99_28-0">^</a> <a href="#CITEREF津嶋2003">津嶋 2003</a>, pp. 98–99. </li> <li id="cite_note-FOOTNOTE津嶋2003100-29">^ <a href="#cite_ref-FOOTNOTE津嶋2003100_29-0">a</a> <a href="#cite_ref-FOOTNOTE津嶋2003100_29-1">b</a> <a href="#CITEREF津嶋2003">津嶋 2003</a>, p. 100. </li> </ol></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="関連項目">関連項目</h2>[<a href="/w/index.php?title=%E3%83%A2%E3%82%B8%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E6%9B%B2%E7%B7%9A&action=edit&section=15" title="節を編集: 関連項目">編集</a>]</div> <ul><li><a href="/w/index.php?title=%E3%83%9E%E3%83%BC%E3%83%8B%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%89%E3%83%AA%E3%83%B3%E3%83%95%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%88%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86&action=edit&redlink=1" class="new" title="「マーニン・ドリンフェルトの定理」 (存在しないページ)">マーニン・ドリンフェルトの定理</a>（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Manin%E2%80%93Drinfeld_theorem" class="extiw" title="en:Manin–Drinfeld theorem">英語版</a>）(Manin–Drinfeld theorem)</li> <li><a href="/wiki/%E3%83%A2%E3%82%B8%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E6%80%A7%E5%AE%9A%E7%90%86" class="mw-redirect" title="モジュラー性定理">モジュラー性定理</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%BF%97%E6%9D%91%E5%A4%9A%E6%A7%98%E4%BD%93" title="志村多様体">志村多様体</a>、高次元へのモジュラー曲線の一般化</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="参考文献">参考文献</h2>[<a href="/w/index.php?title=%E3%83%A2%E3%82%B8%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E6%9B%B2%E7%B7%9A&action=edit&section=16" title="節を編集: 参考文献">編集</a>]</div> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r89142249">.mw-parser-output .refbegin{margin-bottom:0.5em}.mw-parser-output .refbegin-hanging-indents>ul{margin-left:0}.mw-parser-output .refbegin-hanging-indents>ul>li{margin-left:0;padding-left:3.2em;text-indent:-3.2em}.mw-parser-output .refbegin-hanging-indents ul,.mw-parser-output .refbegin-hanging-indents ul li{list-style:none}@media(max-width:720px){.mw-parser-output .refbegin-hanging-indents>ul>li{padding-left:1.6em;text-indent:-1.6em}}.mw-parser-output .refbegin-100{font-size:100%}.mw-parser-output .refbegin-columns{margin-top:0.3em}.mw-parser-output .refbegin-columns ul{margin-top:0}.mw-parser-output .refbegin-columns li{page-break-inside:avoid;break-inside:avoid-column}</style><div class="refbegin" style=""> <ul><li><cite style="font-style:normal" class="citation" id="CITEREFShimura1971"><a href="/wiki/Goro_Shimura" class="mw-redirect" title="Goro Shimura">Shimura, Goro</a> (1994) [1971], Introduction to the arithmetic theory of automorphic functions, Publications of the Mathematical Society of Japan, 11, <a href="/wiki/Princeton_University_Press" class="mw-redirect" title="Princeton University Press">Princeton University Press</a>, <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r101121245">.mw-parser-output cite.citation{font-style:inherit;word-wrap:break-word}.mw-parser-output .citation q{quotes:"\"""\"""'""'"}.mw-parser-output .citation.cs-ja1 q,.mw-parser-output .citation.cs-ja2 q{quotes:"「""」""『""』"}.mw-parser-output .citation:target{background-color:rgba(0,127,255,0.133)}.mw-parser-output .id-lock-free a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-free 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title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Introduction+to+the+arithmetic+theory+of+automorphic+functions&rft.aulast=Shimura&rft.aufirst=Goro&rft.au=Shimura%2C%26%2332%3BGoro&rft.date=1994&rft.series=Publications+of+the+Mathematical+Society+of+Japan&rft.volume=11&rft.pub=%5B%5BPrinceton+University+Press%5D%5D&rft.isbn=978-0-691-08092-5&rft.mr=1291394&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E3%83%A2%E3%82%B8%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E6%9B%B2%E7%B7%9A"> </li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation" id="CITEREFPanchishkinParshin">Panchishkin, A.A.; <a href="/w/index.php?title=A.N._Parshin&action=edit&redlink=1" class="new" title="「A.N. Parshin」 (存在しないページ)">Parshin, A.N.</a>, <a rel="nofollow" class="external text" href="http://eom.springer.de/M/m064410.htm">“Modular curve”</a>, Encyclopaedia of Mathematics, <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/1-4020-0609-8" title="特別:文献資料/1-4020-0609-8">1-4020-0609-8</a>, <a rel="nofollow" class="external free" href="http://eom.springer.de/M/m064410.htm">http://eom.springer.de/M/m064410.htm</a></cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=bookitem&rft.btitle=Modular+curve&rft.atitle=Encyclopaedia+of+Mathematics&rft.aulast=Panchishkin&rft.aufirst=A.A.&rft.au=Panchishkin%2C%26%2332%3BA.A.&rft.au=Parshin%2C%26%2332%3BA.N.&rft.isbn=1-4020-0609-8&rft_id=http%3A%2F%2Feom.springer.de%2FM%2Fm064410.htm&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E3%83%A2%E3%82%B8%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E6%9B%B2%E7%B7%9A"> </li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation book" id="CITEREFDiamondSchurman2005"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%83%AC%E3%83%83%E3%83%89%E3%83%BB%E3%83%80%E3%82%A4%E3%82%A2%E3%83%A2%E3%83%B3%E3%83%89" title="フレッド・ダイアモンド">Diamond, F.</a>; Schurman, J. 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title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=bookitem&rft.btitle=%E3%83%A2%E3%82%B8%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E6%9B%B2%E7%B7%9A%E3%81%AE%E6%A7%98%E3%80%85%E3%81%AA%E6%95%B4%E3%83%A2%E3%83%87%E3%83%AB%E3%81%AB%E3%81%A4%E3%81%84%E3%81%A6&rft.atitle=%5Bhttps%3A%2F%2Fsites.google.com%2Fview%2Fntss2021%2F+%E3%83%A2%E3%82%B8%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E6%9B%B2%E7%B7%9A%E3%81%A8%E6%95%B0%E8%AB%96%5D&rft.aulast=%E6%B4%A5%E5%B6%8B%E8%B2%B4%E5%BC%98&rft.au=%E6%B4%A5%E5%B6%8B%E8%B2%B4%E5%BC%98&rft.date=2023&rft.series=%E6%95%B4%E6%95%B0%E8%AB%96%E3%82%B5%E3%83%9E%E3%83%BC%E3%82%B9%E3%82%AF%E3%83%BC%E3%83%AB%E5%A0%B1%E5%91%8A%E9%9B%86&rft_id=info:ncid/BD01010934&rft_id=https%3A%2F%2Fdrive.google.com%2Ffile%2Fd%2F1O7EReDFdI7xbUsWV41Z6c5Cx2M36VT-I%2Fview&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E3%83%A2%E3%82%B8%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E6%9B%B2%E7%B7%9A"> </li></ul> </div> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r96783592">.mw-parser-output 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