Fonó - Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure

<!DOCTYPE html> <html class="client-nojs vector-feature-language-in-header-enabled vector-feature-language-in-main-page-header-disabled vector-feature-sticky-header-disabled vector-feature-page-tools-pinned-disabled vector-feature-toc-pinned-clientpref-1 vector-feature-main-menu-pinned-disabled vector-feature-limited-width-clientpref-1 vector-feature-limited-width-content-enabled vector-feature-custom-font-size-clientpref-1 vector-feature-appearance-pinned-clientpref-1 vector-feature-night-mode-enabled skin-theme-clientpref-day vector-toc-available" lang="ca" dir="ltr"> <head> <meta charset="UTF-8"> <title>Fonó - Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure</title> <script>(function(){var className="client-js vector-feature-language-in-header-enabled vector-feature-language-in-main-page-header-disabled vector-feature-sticky-header-disabled vector-feature-page-tools-pinned-disabled vector-feature-toc-pinned-clientpref-1 vector-feature-main-menu-pinned-disabled vector-feature-limited-width-clientpref-1 vector-feature-limited-width-content-enabled vector-feature-custom-font-size-clientpref-1 vector-feature-appearance-pinned-clientpref-1 vector-feature-night-mode-enabled skin-theme-clientpref-day vector-toc-available";var cookie=document.cookie.match(/(?:^|; )cawikimwclientpreferences=([^;]+)/);if(cookie){cookie[1].split('%2C').forEach(function(pref){className=className.replace(new RegExp('(^| )'+pref.replace(/-clientpref-\w+$|[^\w-]+/g,'')+'-clientpref-\\w+( |$)'),'$1'+pref+'$2');});}document.documentElement.className=className;}());RLCONF={"wgBreakFrames":false,"wgSeparatorTransformTable":[",\t.",".\t,"],"wgDigitTransformTable":["",""], "wgDefaultDateFormat":"dmy","wgMonthNames":["","gener","febrer","març","abril","maig","juny","juliol","agost","setembre","octubre","novembre","desembre"],"wgRequestId":"c2ed3253-0d4e-4a70-befd-1c1a49fcf43d","wgCanonicalNamespace":"","wgCanonicalSpecialPageName":false,"wgNamespaceNumber":0,"wgPageName":"Fonó","wgTitle":"Fonó","wgCurRevisionId":32878476,"wgRevisionId":32878476,"wgArticleId":41140,"wgIsArticle":true,"wgIsRedirect":false,"wgAction":"view","wgUserName":null,"wgUserGroups":["*"],"wgCategories":["Pàgines amb enllaç commonscat des de Wikidata","Control d'autoritats","Bosons","Quasipartícules"],"wgPageViewLanguage":"ca","wgPageContentLanguage":"ca","wgPageContentModel":"wikitext","wgRelevantPageName":"Fonó","wgRelevantArticleId":41140,"wgIsProbablyEditable":true,"wgRelevantPageIsProbablyEditable":true,"wgRestrictionEdit":[],"wgRestrictionMove":[],"wgNoticeProject":"wikipedia","wgCiteReferencePreviewsActive":true,"wgMediaViewerOnClick":true,"wgMediaViewerEnabledByDefault" :true,"wgPopupsFlags":0,"wgVisualEditor":{"pageLanguageCode":"ca","pageLanguageDir":"ltr","pageVariantFallbacks":"ca"},"wgMFDisplayWikibaseDescriptions":{"search":true,"watchlist":true,"tagline":true,"nearby":true},"wgWMESchemaEditAttemptStepOversample":false,"wgWMEPageLength":10000,"wgRelatedArticlesCompat":[],"wgCentralAuthMobileDomain":false,"wgEditSubmitButtonLabelPublish":true,"wgULSPosition":"interlanguage","wgULSisCompactLinksEnabled":false,"wgVector2022LanguageInHeader":true,"wgULSisLanguageSelectorEmpty":false,"wgWikibaseItemId":"Q186608","wgCheckUserClientHintsHeadersJsApi":["brands","architecture","bitness","fullVersionList","mobile","model","platform","platformVersion"],"GEHomepageSuggestedEditsEnableTopics":true,"wgGETopicsMatchModeEnabled":false,"wgGEStructuredTaskRejectionReasonTextInputEnabled":false,"wgGELevelingUpEnabledForUser":false};RLSTATE={"ext.globalCssJs.user.styles":"ready","site.styles":"ready","user.styles":"ready","ext.globalCssJs.user":"ready","user": "ready","user.options":"loading","ext.math.styles":"ready","skins.vector.search.codex.styles":"ready","skins.vector.styles":"ready","skins.vector.icons":"ready","ext.wikimediamessages.styles":"ready","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript":"ready","ext.uls.interlanguage":"ready","wikibase.client.init":"ready","wikibase.client.data-bridge.externalModifiers":"ready","ext.wikimediaBadges":"ready"};RLPAGEMODULES=["mediawiki.page.media","site","mediawiki.page.ready","mediawiki.toc","skins.vector.js","ext.centralNotice.geoIP","ext.centralNotice.startUp","ext.gadget.UkensKonkurranse","ext.gadget.refToolbar","ext.gadget.charinsert","ext.gadget.AltresViccionari","ext.gadget.purgetab","ext.gadget.DocTabs","ext.gadget.switcher","ext.urlShortener.toolbar","ext.centralauth.centralautologin","mmv.bootstrap","ext.popups","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.init","ext.visualEditor.targetLoader","ext.echo.centralauth","ext.eventLogging","ext.wikimediaEvents","ext.navigationTiming", "ext.uls.interface","ext.cx.eventlogging.campaigns","ext.cx.uls.quick.actions","wikibase.client.vector-2022","wikibase.client.data-bridge.init","ext.checkUser.clientHints","ext.growthExperiments.SuggestedEditSession","oojs-ui.styles.icons-media","oojs-ui-core.icons","wikibase.sidebar.tracking"];</script> <script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.loader.impl(function(){return["user.options@12s5i",function($,jQuery,require,module){mw.user.tokens.set({"patrolToken":"+\\","watchToken":"+\\","csrfToken":"+\\"}); }];});});</script> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=ca&modules=ext.math.styles%7Cext.uls.interlanguage%7Cext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript%7Cext.wikimediaBadges%7Cext.wikimediamessages.styles%7Cskins.vector.icons%2Cstyles%7Cskins.vector.search.codex.styles%7Cwikibase.client.data-bridge.externalModifiers%7Cwikibase.client.init&only=styles&skin=vector-2022"> <script async="" src="/w/load.php?lang=ca&modules=startup&only=scripts&raw=1&skin=vector-2022"></script> <meta name="ResourceLoaderDynamicStyles" content=""> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=ca&modules=site.styles&only=styles&skin=vector-2022"> <meta name="generator" content="MediaWiki 1.44.0-wmf.4"> <meta name="referrer" content="origin"> <meta name="referrer" content="origin-when-cross-origin"> <meta name="robots" content="max-image-preview:standard"> <meta name="format-detection" content="telephone=no"> <meta property="og:image" content="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/9b/1D_normal_modes_%28280_kB%29.gif"> <meta property="og:image:width" content="1200"> <meta property="og:image:height" content="1200"> <meta property="og:image" content="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/9b/1D_normal_modes_%28280_kB%29.gif"> <meta property="og:image:width" content="800"> <meta property="og:image:height" content="800"> <meta property="og:image:width" content="640"> <meta property="og:image:height" content="640"> <meta name="viewport" content="width=1120"> <meta property="og:title" content="Fonó - Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure"> <meta property="og:type" content="website"> <link rel="preconnect" href="//upload.wikimedia.org"> <link rel="alternate" media="only screen and (max-width: 640px)" href="//ca.m.wikipedia.org/wiki/Fon%C3%B3"> <link rel="alternate" type="application/x-wiki" title="Modifica" href="/w/index.php?title=Fon%C3%B3&action=edit"> <link rel="apple-touch-icon" href="/static/apple-touch/wikipedia.png"> <link rel="icon" href="/static/favicon/wikipedia.ico"> <link rel="search" type="application/opensearchdescription+xml" href="/w/rest.php/v1/search" title="Viquipèdia (ca)"> <link rel="EditURI" type="application/rsd+xml" href="//ca.wikipedia.org/w/api.php?action=rsd"> <link rel="canonical" href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Fon%C3%B3"> <link rel="license" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.ca"> <link rel="alternate" type="application/atom+xml" title="Canal de sindicació Atom Viquipèdia" href="/w/index.php?title=Especial:Canvis_recents&feed=atom"> <link rel="dns-prefetch" href="//meta.wikimedia.org" /> <link rel="dns-prefetch" href="//login.wikimedia.org"> </head> <body class="skin--responsive skin-vector skin-vector-search-vue mediawiki ltr sitedir-ltr mw-hide-empty-elt ns-0 ns-subject mw-editable page-Fonó rootpage-Fonó skin-vector-2022 action-view"><a class="mw-jump-link" href="#bodyContent">Vés al contingut</a> <div class="vector-header-container"> <header class="vector-header mw-header"> <div class="vector-header-start"> <nav class="vector-main-menu-landmark" aria-label="Lloc"> <div id="vector-main-menu-dropdown" class="vector-dropdown vector-main-menu-dropdown vector-button-flush-left vector-button-flush-right" > <input type="checkbox" id="vector-main-menu-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-main-menu-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Menú principal" > <label id="vector-main-menu-dropdown-label" for="vector-main-menu-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-menu mw-ui-icon-wikimedia-menu"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Menú principal</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-main-menu-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> <div id="vector-main-menu" class="vector-main-menu vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-main-menu-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="main-menu-pinned" data-pinnable-element-id="vector-main-menu" data-pinned-container-id="vector-main-menu-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-main-menu-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Menú principal</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-main-menu.pin">mou a la barra lateral</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-main-menu.unpin">amaga</button> </div> <div id="p-navigation" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-navigation" > <div class="vector-menu-heading"> Navegació </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-mainpage-description" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Portada" title="Visiteu la pàgina principal [z]" accesskey="z"><span>Portada</span></a></li><li id="n-randompage" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Especial:Article_aleatori" title="Carrega una pàgina a l’atzar [x]" accesskey="x"><span>Article a l'atzar</span></a></li><li id="n-Articles-de-qualitat" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Viquip%C3%A8dia:Articles_de_qualitat"><span>Articles de qualitat</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-Comunitat" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-Comunitat" > <div class="vector-menu-heading"> Comunitat </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-portal" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Viquip%C3%A8dia:Portal" title="Sobre el projecte, què podeu fer, on trobareu les coses"><span>Portal viquipedista</span></a></li><li id="n-Agenda-d'actes" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Viquip%C3%A8dia:Trobades"><span>Agenda d'actes</span></a></li><li id="n-recentchanges" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Especial:Canvis_recents" title="Una llista dels canvis recents al wiki [r]" accesskey="r"><span>Canvis recents</span></a></li><li id="n-La-taverna" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Viquip%C3%A8dia:La_taverna"><span>La taverna</span></a></li><li id="n-contactpage" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Viquip%C3%A8dia:Contacte"><span>Contacte</span></a></li><li id="n-Xat" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Viquip%C3%A8dia:Canals_IRC"><span>Xat</span></a></li><li id="n-help" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Viquip%C3%A8dia:Ajuda" title="El lloc per a saber més coses"><span>Ajuda</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> <a href="/wiki/Portada" class="mw-logo"> <img class="mw-logo-icon" src="/static/images/icons/wikipedia.png" alt="" aria-hidden="true" height="50" width="50"> <span class="mw-logo-container skin-invert"> <img class="mw-logo-wordmark" alt="Viquipèdia" src="/static/images/mobile/copyright/wikipedia-wordmark-ca.svg" style="width: 7.5em; height: 1.4375em;"> <img class="mw-logo-tagline" alt="l'Enciclopèdia Lliure" src="/static/images/mobile/copyright/wikipedia-tagline-ca.svg" width="120" height="14" style="width: 7.5em; height: 0.875em;"> </span> </a> </div> <div class="vector-header-end"> <div id="p-search" role="search" class="vector-search-box-vue vector-search-box-collapses vector-search-box-show-thumbnail vector-search-box-auto-expand-width vector-search-box"> <a href="/wiki/Especial:Cerca" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only search-toggle" title="Cerca a la Viquipèdia [f]" accesskey="f"><span class="vector-icon mw-ui-icon-search mw-ui-icon-wikimedia-search"></span> <span>Cerca</span> </a> <div class="vector-typeahead-search-container"> <div class="cdx-typeahead-search cdx-typeahead-search--show-thumbnail cdx-typeahead-search--auto-expand-width"> <form action="/w/index.php" id="searchform" class="cdx-search-input cdx-search-input--has-end-button"> <div id="simpleSearch" class="cdx-search-input__input-wrapper" data-search-loc="header-moved"> <div class="cdx-text-input cdx-text-input--has-start-icon"> <input class="cdx-text-input__input" type="search" name="search" placeholder="Cerca a Viquipèdia" aria-label="Cerca a Viquipèdia" autocapitalize="sentences" title="Cerca a la Viquipèdia [f]" accesskey="f" id="searchInput" > <span class="cdx-text-input__icon cdx-text-input__start-icon"></span> </div> <input type="hidden" name="title" value="Especial:Cerca"> </div> <button class="cdx-button cdx-search-input__end-button">Cerca</button> </form> </div> </div> </div> <nav class="vector-user-links vector-user-links-wide" aria-label="Eines personals"> <div class="vector-user-links-main"> <div id="p-vector-user-menu-preferences" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <div id="p-vector-user-menu-userpage" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Aparença"> <div id="vector-appearance-dropdown" class="vector-dropdown " title="Change the appearance of the page's font size, width, and color" > <input type="checkbox" id="vector-appearance-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-appearance-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Aparença" > <label id="vector-appearance-dropdown-label" for="vector-appearance-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-appearance mw-ui-icon-wikimedia-appearance"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Aparença</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-appearance-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <div id="p-vector-user-menu-notifications" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <div id="p-vector-user-menu-overflow" class="vector-menu mw-portlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-sitesupport-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="//donate.wikimedia.org/wiki/Special:FundraiserRedirector?utm_source=donate&utm_medium=sidebar&utm_campaign=C13_ca.wikipedia.org&uselang=ca" class=""><span>Donatius</span></a> </li> <li id="pt-createaccount-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="/w/index.php?title=Especial:Crea_compte&returnto=Fon%C3%B3" title="Us animem a crear un compte i iniciar una sessió, encara que no és obligatori" class=""><span>Crea un compte</span></a> </li> <li id="pt-login-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="/w/index.php?title=Especial:Registre_i_entrada&returnto=Fon%C3%B3" title="Us animem a registrar-vos, però no és obligatori [o]" accesskey="o" class=""><span>Inicia la sessió</span></a> </li> </ul> </div> </div> </div> <div id="vector-user-links-dropdown" class="vector-dropdown vector-user-menu vector-button-flush-right vector-user-menu-logged-out" title="Més opcions" > <input type="checkbox" id="vector-user-links-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-user-links-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Eines personals" > <label id="vector-user-links-dropdown-label" for="vector-user-links-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-ellipsis mw-ui-icon-wikimedia-ellipsis"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Eines personals</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-personal" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-personal user-links-collapsible-item" title="Menú d'usuari" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-sitesupport" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="//donate.wikimedia.org/wiki/Special:FundraiserRedirector?utm_source=donate&utm_medium=sidebar&utm_campaign=C13_ca.wikipedia.org&uselang=ca"><span>Donatius</span></a></li><li id="pt-createaccount" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Especial:Crea_compte&returnto=Fon%C3%B3" title="Us animem a crear un compte i iniciar una sessió, encara que no és obligatori"><span class="vector-icon mw-ui-icon-userAdd mw-ui-icon-wikimedia-userAdd"></span> <span>Crea un compte</span></a></li><li id="pt-login" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Especial:Registre_i_entrada&returnto=Fon%C3%B3" title="Us animem a registrar-vos, però no és obligatori [o]" accesskey="o"><span class="vector-icon mw-ui-icon-logIn mw-ui-icon-wikimedia-logIn"></span> <span>Inicia la sessió</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-user-menu-anon-editor" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-user-menu-anon-editor" > <div class="vector-menu-heading"> Pàgines per a editors no registrats <a href="/wiki/Ajuda:Introducci%C3%B3" aria-label="Vegeu més informació sobre l'edició"><span>més informació</span></a> </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-anoncontribs" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Especial:Contribucions_pr%C3%B2pies" title="Una llista de les modificacions fetes des d'aquesta adreça IP [y]" accesskey="y"><span>Contribucions</span></a></li><li id="pt-anontalk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Especial:Discussi%C3%B3_personal" title="Discussió sobre les edicions per aquesta adreça ip. [n]" accesskey="n"><span>Discussió per aquest IP</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </header> </div> <div class="mw-page-container"> <div class="mw-page-container-inner"> <div class="vector-sitenotice-container"> <div id="siteNotice"></div> </div> <div class="vector-column-start"> <div class="vector-main-menu-container"> <div id="mw-navigation"> <nav id="mw-panel" class="vector-main-menu-landmark" aria-label="Lloc"> <div id="vector-main-menu-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> </div> </div> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav id="mw-panel-toc" aria-label="Contingut" data-event-name="ui.sidebar-toc" class="mw-table-of-contents-container vector-toc-landmark"> <div id="vector-toc-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-toc" class="vector-toc vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-toc-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="toc-pinned" data-pinnable-element-id="vector-toc" > <h2 class="vector-pinnable-header-label">Contingut</h2> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-toc.pin">mou a la barra lateral</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-toc.unpin">amaga</button> </div> <ul class="vector-toc-contents" id="mw-panel-toc-list"> <li id="toc-mw-content-text" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a href="#" class="vector-toc-link"> <div class="vector-toc-text">Inici</div> </a> </li> <li id="toc-Modelització_dels_fonons" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Modelització_dels_fonons"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1</span> <span>Modelització dels fonons</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Modelització_dels_fonons-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Commuta la subsecció Modelització dels fonons</span> </button> <ul id="toc-Modelització_dels_fonons-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Partícules_en_una_xarxa" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Partícules_en_una_xarxa"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1.1</span> <span>Partícules en una xarxa</span> </div> </a> <ul id="toc-Partícules_en_una_xarxa-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Ones_de_la_xarxa" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Ones_de_la_xarxa"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1.2</span> <span>Ones de la xarxa</span> </div> </a> <ul id="toc-Ones_de_la_xarxa-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Fonons_en_una_dimensió" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Fonons_en_una_dimensió"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1.3</span> <span>Fonons en una dimensió</span> </div> </a> <ul id="toc-Fonons_en_una_dimensió-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Fonons_en_tres_dimensions" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Fonons_en_tres_dimensions"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1.4</span> <span>Fonons en tres dimensions</span> </div> </a> <ul id="toc-Fonons_en_tres_dimensions-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Propietats_dels_fonons" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Propietats_dels_fonons"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2</span> <span>Propietats dels fonons</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Propietats_dels_fonons-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Commuta la subsecció Propietats dels fonons</span> </button> <ul id="toc-Propietats_dels_fonons-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Relació_de_dispersió" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Relació_de_dispersió"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.1</span> <span>Relació de dispersió</span> </div> </a> <ul id="toc-Relació_de_dispersió-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Fonons_acústics_i_òptics" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Fonons_acústics_i_òptics"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.2</span> <span>Fonons acústics i òptics</span> </div> </a> <ul id="toc-Fonons_acústics_i_òptics-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Moment_del_cristall" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Moment_del_cristall"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.3</span> <span>Moment del cristall</span> </div> </a> <ul id="toc-Moment_del_cristall-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="Contingut" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Commuta la taula de continguts." > <label id="vector-page-titlebar-toc-label" for="vector-page-titlebar-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-listBullet mw-ui-icon-wikimedia-listBullet"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Commuta la taula de continguts.</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-titlebar-toc-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Fonó</span></h1> <div id="p-lang-btn" class="vector-dropdown mw-portlet mw-portlet-lang" > <input type="checkbox" id="p-lang-btn-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-lang-btn" class="vector-dropdown-checkbox mw-interlanguage-selector" aria-label="Vés a un article en una altra llengua. Disponible en 50 llengües" > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-50" aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-language-progressive mw-ui-icon-wikimedia-language-progressive"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">50 llengües</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D9%81%D9%88%D9%86%D9%88%D9%86" title="فونون - àrab" lang="ar" hreflang="ar" data-title="فونون" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="àrab" class="interlanguage-link-target"><span>العربية</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-as mw-list-item"><a href="https://as.wikipedia.org/wiki/%E0%A6%AB%27%E0%A6%A8%E0%A6%A8" title="ফ'নন - assamès" lang="as" hreflang="as" data-title="ফ'নন" data-language-autonym="অসমীয়া" data-language-local-name="assamès" class="interlanguage-link-target"><span>অসমীয়া</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be mw-list-item"><a href="https://be.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%BD%D0%BE%D0%BD" title="Фанон - belarús" lang="be" hreflang="be" data-title="Фанон" data-language-autonym="Беларуская" data-language-local-name="belarús" class="interlanguage-link-target"><span>Беларуская</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bg mw-list-item"><a href="https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%BD" title="Фонон - búlgar" lang="bg" hreflang="bg" data-title="Фонон" data-language-autonym="Български" data-language-local-name="búlgar" class="interlanguage-link-target"><span>Български</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bn mw-list-item"><a href="https://bn.wikipedia.org/wiki/%E0%A6%AB%E0%A7%8B%E0%A6%A8%E0%A6%A8" title="ফোনন - bengalí" lang="bn" hreflang="bn" data-title="ফোনন" data-language-autonym="বাংলা" data-language-local-name="bengalí" class="interlanguage-link-target"><span>বাংলা</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ckb mw-list-item"><a href="https://ckb.wikipedia.org/wiki/%D9%81%DB%86%D9%86%DB%86%D9%86" title="فۆنۆن - kurd central" lang="ckb" hreflang="ckb" data-title="فۆنۆن" data-language-autonym="کوردی" data-language-local-name="kurd central" class="interlanguage-link-target"><span>کوردی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/Fonon" title="Fonon - txec" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Fonon" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="txec" class="interlanguage-link-target"><span>Čeština</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-da mw-list-item"><a href="https://da.wikipedia.org/wiki/Fonon" title="Fonon - danès" lang="da" hreflang="da" data-title="Fonon" data-language-autonym="Dansk" data-language-local-name="danès" class="interlanguage-link-target"><span>Dansk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-de mw-list-item"><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Phonon" title="Phonon - alemany" lang="de" hreflang="de" data-title="Phonon" data-language-autonym="Deutsch" data-language-local-name="alemany" class="interlanguage-link-target"><span>Deutsch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-el mw-list-item"><a href="https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%A6%CF%89%CE%BD%CF%8C%CE%BD%CE%B9%CE%BF" title="Φωνόνιο - grec" lang="el" hreflang="el" data-title="Φωνόνιο" data-language-autonym="Ελληνικά" data-language-local-name="grec" class="interlanguage-link-target"><span>Ελληνικά</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Phonon" title="Phonon - anglès" lang="en" hreflang="en" data-title="Phonon" data-language-autonym="English" data-language-local-name="anglès" class="interlanguage-link-target"><span>English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Fon%C3%B3n" title="Fonón - espanyol" lang="es" hreflang="es" data-title="Fonón" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="espanyol" class="interlanguage-link-target"><span>Español</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-et mw-list-item"><a href="https://et.wikipedia.org/wiki/Foonon" title="Foonon - estonià" lang="et" hreflang="et" data-title="Foonon" data-language-autonym="Eesti" data-language-local-name="estonià" class="interlanguage-link-target"><span>Eesti</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%D9%81%D9%88%D9%86%D9%88%D9%86" title="فونون - persa" lang="fa" hreflang="fa" data-title="فونون" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="persa" class="interlanguage-link-target"><span>فارسی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fi mw-list-item"><a href="https://fi.wikipedia.org/wiki/Fononi" title="Fononi - finès" lang="fi" hreflang="fi" data-title="Fononi" data-language-autonym="Suomi" data-language-local-name="finès" class="interlanguage-link-target"><span>Suomi</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fr mw-list-item"><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Phonon" title="Phonon - francès" lang="fr" hreflang="fr" data-title="Phonon" data-language-autonym="Français" data-language-local-name="francès" class="interlanguage-link-target"><span>Français</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ga mw-list-item"><a href="https://ga.wikipedia.org/wiki/F%C3%B3n%C3%B3n" title="Fónón - irlandès" lang="ga" hreflang="ga" data-title="Fónón" data-language-autonym="Gaeilge" data-language-local-name="irlandès" class="interlanguage-link-target"><span>Gaeilge</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%A4%D7%95%D7%A0%D7%95%D7%9F" title="פונון - hebreu" lang="he" hreflang="he" data-title="פונון" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="hebreu" class="interlanguage-link-target"><span>עברית</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hi mw-list-item"><a href="https://hi.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%AB%E0%A5%8B%E0%A4%A8%E0%A5%89%E0%A4%A8" title="फोनॉन - hindi" lang="hi" hreflang="hi" data-title="फोनॉन" data-language-autonym="हिन्दी" data-language-local-name="hindi" class="interlanguage-link-target"><span>हिन्दी</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hr mw-list-item"><a href="https://hr.wikipedia.org/wiki/Fonon" title="Fonon - croat" lang="hr" hreflang="hr" data-title="Fonon" data-language-autonym="Hrvatski" data-language-local-name="croat" class="interlanguage-link-target"><span>Hrvatski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hu mw-list-item"><a href="https://hu.wikipedia.org/wiki/Fonon" title="Fonon - hongarès" lang="hu" hreflang="hu" data-title="Fonon" data-language-autonym="Magyar" data-language-local-name="hongarès" class="interlanguage-link-target"><span>Magyar</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hy mw-list-item"><a href="https://hy.wikipedia.org/wiki/%D5%96%D5%B8%D5%B6%D5%B8%D5%B6" title="Ֆոնոն - armeni" lang="hy" hreflang="hy" data-title="Ֆոնոն" data-language-autonym="Հայերեն" data-language-local-name="armeni" class="interlanguage-link-target"><span>Հայերեն</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-id mw-list-item"><a href="https://id.wikipedia.org/wiki/Fonon" title="Fonon - indonesi" lang="id" hreflang="id" data-title="Fonon" data-language-autonym="Bahasa Indonesia" data-language-local-name="indonesi" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Indonesia</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Fonone" title="Fonone - italià" lang="it" hreflang="it" data-title="Fonone" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="italià" class="interlanguage-link-target"><span>Italiano</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A9%E3%83%8E%E3%83%B3" title="フォノン - japonès" lang="ja" hreflang="ja" data-title="フォノン" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="japonès" class="interlanguage-link-target"><span>日本語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kk mw-list-item"><a href="https://kk.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%BD" title="Фонон - kazakh" lang="kk" hreflang="kk" data-title="Фонон" data-language-autonym="Қазақша" data-language-local-name="kazakh" class="interlanguage-link-target"><span>Қазақша</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%ED%8F%AC%EB%85%BC" title="포논 - coreà" lang="ko" hreflang="ko" data-title="포논" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="coreà" class="interlanguage-link-target"><span>한국어</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ky mw-list-item"><a href="https://ky.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%BD" title="Фонон - kirguís" lang="ky" hreflang="ky" data-title="Фонон" data-language-autonym="Кыргызча" data-language-local-name="kirguís" class="interlanguage-link-target"><span>Кыргызча</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mk mw-list-item"><a href="https://mk.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%BD" title="Фонон - macedoni" lang="mk" hreflang="mk" data-title="Фонон" data-language-autonym="Македонски" data-language-local-name="macedoni" class="interlanguage-link-target"><span>Македонски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ms mw-list-item"><a href="https://ms.wikipedia.org/wiki/Fonon" title="Fonon - malai" lang="ms" hreflang="ms" data-title="Fonon" data-language-autonym="Bahasa Melayu" data-language-local-name="malai" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Melayu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Fonon" title="Fonon - neerlandès" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Fonon" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="neerlandès" class="interlanguage-link-target"><span>Nederlands</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nn mw-list-item"><a href="https://nn.wikipedia.org/wiki/Fonon" title="Fonon - noruec nynorsk" lang="nn" hreflang="nn" data-title="Fonon" data-language-autonym="Norsk nynorsk" data-language-local-name="noruec nynorsk" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk nynorsk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-no mw-list-item"><a href="https://no.wikipedia.org/wiki/Fonon" title="Fonon - noruec bokmål" lang="nb" hreflang="nb" data-title="Fonon" data-language-autonym="Norsk bokmål" data-language-local-name="noruec bokmål" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk bokmål</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pl mw-list-item"><a href="https://pl.wikipedia.org/wiki/Fonon" title="Fonon - polonès" lang="pl" hreflang="pl" data-title="Fonon" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="polonès" class="interlanguage-link-target"><span>Polski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/F%C3%B4non" title="Fônon - portuguès" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Fônon" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="portuguès" class="interlanguage-link-target"><span>Português</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ro mw-list-item"><a href="https://ro.wikipedia.org/wiki/Fonon" title="Fonon - romanès" lang="ro" hreflang="ro" data-title="Fonon" data-language-autonym="Română" data-language-local-name="romanès" class="interlanguage-link-target"><span>Română</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%BD" title="Фонон - rus" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Фонон" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="rus" class="interlanguage-link-target"><span>Русский</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sh mw-list-item"><a href="https://sh.wikipedia.org/wiki/Fonon" title="Fonon - serbocroat" lang="sh" hreflang="sh" data-title="Fonon" data-language-autonym="Srpskohrvatski / српскохрватски" data-language-local-name="serbocroat" class="interlanguage-link-target"><span>Srpskohrvatski / српскохрватски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-simple mw-list-item"><a href="https://simple.wikipedia.org/wiki/Phonon" title="Phonon - Simple English" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Phonon" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="Simple English" class="interlanguage-link-target"><span>Simple English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sk mw-list-item"><a href="https://sk.wikipedia.org/wiki/Fon%C3%B3n" title="Fonón - eslovac" lang="sk" hreflang="sk" data-title="Fonón" data-language-autonym="Slovenčina" data-language-local-name="eslovac" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenčina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/Fonon" title="Fonon - eslovè" lang="sl" hreflang="sl" data-title="Fonon" data-language-autonym="Slovenščina" data-language-local-name="eslovè" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenščina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%BD" title="Фонон - serbi" lang="sr" hreflang="sr" data-title="Фонон" data-language-autonym="Српски / srpski" data-language-local-name="serbi" class="interlanguage-link-target"><span>Српски / srpski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sv mw-list-item"><a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/Fonon" title="Fonon - suec" lang="sv" hreflang="sv" data-title="Fonon" data-language-autonym="Svenska" data-language-local-name="suec" class="interlanguage-link-target"><span>Svenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-th mw-list-item"><a href="https://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B9%82%E0%B8%9F%E0%B8%99%E0%B8%AD%E0%B8%99" title="โฟนอน - tai" lang="th" hreflang="th" data-title="โฟนอน" data-language-autonym="ไทย" data-language-local-name="tai" class="interlanguage-link-target"><span>ไทย</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tr mw-list-item"><a href="https://tr.wikipedia.org/wiki/Fonon" title="Fonon - turc" lang="tr" hreflang="tr" data-title="Fonon" data-language-autonym="Türkçe" data-language-local-name="turc" class="interlanguage-link-target"><span>Türkçe</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uk mw-list-item"><a href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%BD" title="Фонон - ucraïnès" lang="uk" hreflang="uk" data-title="Фонон" data-language-autonym="Українська" data-language-local-name="ucraïnès" class="interlanguage-link-target"><span>Українська</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ur mw-list-item"><a href="https://ur.wikipedia.org/wiki/%D9%81%D9%88%D9%86%D9%88%D9%86" title="فونون - urdú" lang="ur" hreflang="ur" data-title="فونون" data-language-autonym="اردو" data-language-local-name="urdú" class="interlanguage-link-target"><span>اردو</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uz mw-list-item"><a href="https://uz.wikipedia.org/wiki/Fonon" title="Fonon - uzbek" lang="uz" hreflang="uz" data-title="Fonon" data-language-autonym="Oʻzbekcha / ўзбекча" data-language-local-name="uzbek" class="interlanguage-link-target"><span>Oʻzbekcha / ўзбекча</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vi mw-list-item"><a href="https://vi.wikipedia.org/wiki/Phonon" title="Phonon - vietnamita" lang="vi" hreflang="vi" data-title="Phonon" data-language-autonym="Tiếng Việt" data-language-local-name="vietnamita" class="interlanguage-link-target"><span>Tiếng Việt</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%A3%B0%E5%AD%90" title="声子 - xinès" lang="zh" hreflang="zh" data-title="声子" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="xinès" class="interlanguage-link-target"><span>中文</span></a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><span class="wb-langlinks-edit wb-langlinks-link"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q186608#sitelinks-wikipedia" title="Modifica enllaços interlingües" class="wbc-editpage">Modifica els enllaços</a></span></div> </div> </div> </div> </header> <div class="vector-page-toolbar"> <div class="vector-page-toolbar-container"> <div id="left-navigation"> <nav aria-label="Espais de noms"> <div id="p-associated-pages" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-associated-pages" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Fon%C3%B3" title="Vegeu el contingut de la pàgina [c]" accesskey="c"><span>Pàgina</span></a></li><li id="ca-talk" class="new vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Discussi%C3%B3:Fon%C3%B3&action=edit&redlink=1" rel="discussion" class="new" title="Discussió sobre el contingut d'aquesta pàgina (encara no existeix) [t]" accesskey="t"><span>Discussió</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown emptyPortlet" > <input type="checkbox" id="vector-variants-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Canvia la variant de llengua" > <label id="vector-variants-dropdown-label" for="vector-variants-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" ><span class="vector-dropdown-label-text">català</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-variants" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-variants emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> <div id="right-navigation" class="vector-collapsible"> <nav aria-label="Vistes"> <div id="p-views" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-views" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-view" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Fon%C3%B3"><span>Mostra</span></a></li><li id="ca-edit" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Fon%C3%B3&action=edit" title="Modifica el codi font d'aquesta pàgina [e]" accesskey="e"><span>Modifica</span></a></li><li id="ca-history" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Fon%C3%B3&action=history" title="Versions antigues d'aquesta pàgina [h]" accesskey="h"><span>Mostra l'historial</span></a></li> </ul> </div> </div> </nav> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Eines de la pàgina"> <div id="vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown vector-page-tools-dropdown" > <input type="checkbox" id="vector-page-tools-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Eines" > <label id="vector-page-tools-dropdown-label" for="vector-page-tools-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" ><span class="vector-dropdown-label-text">Eines</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-tools-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> <div id="vector-page-tools" class="vector-page-tools vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-page-tools-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="page-tools-pinned" data-pinnable-element-id="vector-page-tools" data-pinned-container-id="vector-page-tools-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-page-tools-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Eines</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.pin">mou a la barra lateral</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.unpin">amaga</button> </div> <div id="p-cactions" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-cactions emptyPortlet vector-has-collapsible-items" title="Més opcions" > <div class="vector-menu-heading"> Accions </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-more-view" class="selected vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/wiki/Fon%C3%B3"><span>Mostra</span></a></li><li id="ca-more-edit" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Fon%C3%B3&action=edit" title="Modifica el codi font d'aquesta pàgina [e]" accesskey="e"><span>Modifica</span></a></li><li id="ca-more-history" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Fon%C3%B3&action=history"><span>Mostra l'historial</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-tb" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-tb" > <div class="vector-menu-heading"> General </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-whatlinkshere" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Especial:Enlla%C3%A7os/Fon%C3%B3" title="Una llista de totes les pàgines wiki que enllacen amb aquesta [j]" accesskey="j"><span>Què hi enllaça</span></a></li><li id="t-recentchangeslinked" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Especial:Seguiment/Fon%C3%B3" rel="nofollow" title="Canvis recents a pàgines enllaçades des d'aquesta pàgina [k]" accesskey="k"><span>Canvis relacionats</span></a></li><li id="t-specialpages" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Especial:P%C3%A0gines_especials" title="Llista totes les pàgines especials [q]" accesskey="q"><span>Pàgines especials</span></a></li><li id="t-permalink" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Fon%C3%B3&oldid=32878476" title="Enllaç permanent a aquesta revisió de la pàgina"><span>Enllaç permanent</span></a></li><li id="t-info" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Fon%C3%B3&action=info" title="Més informació sobre aquesta pàgina"><span>Informació de la pàgina</span></a></li><li id="t-cite" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Especial:Citau&page=Fon%C3%B3&id=32878476&wpFormIdentifier=titleform" title="Informació sobre com citar aquesta pàgina"><span>Citau aquest article</span></a></li><li id="t-urlshortener" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Especial:UrlShortener&url=https%3A%2F%2Fca.wikipedia.org%2Fwiki%2FFon%25C3%25B3"><span>Obtén una URL abreujada</span></a></li><li id="t-urlshortener-qrcode" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Especial:QrCode&url=https%3A%2F%2Fca.wikipedia.org%2Fwiki%2FFon%25C3%25B3"><span>Descarrega el codi QR</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-coll-print_export" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-coll-print_export" > <div class="vector-menu-heading"> Imprimeix/exporta </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="coll-create_a_book" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Especial:Llibre&bookcmd=book_creator&referer=Fon%C3%B3"><span>Crea un llibre</span></a></li><li id="coll-download-as-rl" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Especial:DownloadAsPdf&page=Fon%C3%B3&action=show-download-screen"><span>Baixa com a PDF</span></a></li><li id="t-print" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Fon%C3%B3&printable=yes" title="Versió per a impressió d'aquesta pàgina [p]" accesskey="p"><span>Versió per a impressora</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-wikibase-otherprojects" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-wikibase-otherprojects" > <div class="vector-menu-heading"> En altres projectes </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="wb-otherproject-link wb-otherproject-commons mw-list-item"><a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Lattice_vibrations" hreflang="en"><span>Commons</span></a></li><li id="t-wikibase" class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikibase-dataitem mw-list-item"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q186608" title="Enllaç a l'element del repositori de dades connectat [g]" accesskey="g"><span>Element a Wikidata</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> </div> <div class="vector-column-end"> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Eines de la pàgina"> <div id="vector-page-tools-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Aparença"> <div id="vector-appearance-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-appearance" class="vector-appearance vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-appearance-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="appearance-pinned" data-pinnable-element-id="vector-appearance" data-pinned-container-id="vector-appearance-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-appearance-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Aparença</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.pin">mou a la barra lateral</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.unpin">amaga</button> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> <div id="bodyContent" class="vector-body" aria-labelledby="firstHeading" data-mw-ve-target-container> <div class="vector-body-before-content"> <div class="mw-indicators"> </div> <div id="siteSub" class="noprint">De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure</div> </div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"></div></div> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="ca" dir="ltr"><figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fitxer:1D_normal_modes_(280_kB).gif" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9b/1D_normal_modes_%28280_kB%29.gif/220px-1D_normal_modes_%28280_kB%29.gif" decoding="async" width="220" height="220" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/9b/1D_normal_modes_%28280_kB%29.gif 1.5x" data-file-width="275" data-file-height="275" /></a><figcaption>Modes normals de progressió de la vibració a través d'un cristall.</figcaption></figure> <p>Un <b>fonó</b> és un quàntum d'energia d'una <a href="/wiki/Ona_mec%C3%A0nica" title="Ona mecànica">ona mecànica</a> en una <a href="/wiki/Xarxa_cristal%C2%B7lina" class="mw-redirect" title="Xarxa cristal·lina">xarxa cristal·lina</a> rígida, de la mateixa manera que un <a href="/wiki/Fot%C3%B3" title="Fotó">fotó</a> ho és d'una <a href="/wiki/Ona_electromagn%C3%A8tica" title="Ona electromagnètica">ona electromagnètica</a>. En una descripció quàntica, els fonons equivalen als <a href="/wiki/Mode_normal" title="Mode normal">modes normals de vibració</a> de la mecànica clàssica. Es poden considerar partícules d'<a href="/wiki/Spin" class="mw-redirect" title="Spin">espín</a> zero. </p><p>Els fonons determinen moltes de les característiques dels sòlids, com la <a href="/wiki/Calor_espec%C3%ADfica" class="mw-redirect" title="Calor específica">calor específica</a>, la <a href="/wiki/Conductivitat_t%C3%A8rmica" title="Conductivitat tèrmica">conductivitat tèrmica</a> i la <a href="/wiki/Conductivitat_el%C3%A8ctrica" title="Conductivitat elèctrica">conductivitat elèctrica</a>. En concret, els fonons de longitud d'ona llarga determinen la propagació del so en els sòlids (d'aquí el nom de <i>fonó</i>). </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Modelització_dels_fonons"><span id="Modelitzaci.C3.B3_dels_fonons"></span>Modelització dels fonons</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Fon%C3%B3&action=edit&section=1" title="Modifica la secció: Modelització dels fonons"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Partícules_en_una_xarxa"><span id="Part.C3.ADcules_en_una_xarxa"></span>Partícules en una xarxa</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Fon%C3%B3&action=edit&section=2" title="Modifica la secció: Partícules en una xarxa"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Considerem una xarxa regular rígida (o <i>xarxa cristal·lina</i>) composta per <i>N</i> partícules (que anomenarem "àtoms", encara que en un sòlid real serien en realitat <a href="/wiki/I%C3%B3_(%C3%A0tom)" title="Ió (àtom)">ions</a>). En un sòlid típic <i>N</i> és un nombre molt gran, de l'ordre de 10<sup>23</sup> (el <a href="/wiki/Nombre_d%27Avogadro" title="Nombre d'Avogadro">nombre d'Avogadro</a>). Si la xarxa és rígida, els àtoms exerceixen forces els uns sobre els altres, per tal de mantenir cada àtom al voltant de la seva posició d'equilibri. En els sòlids reals, aquestes forces són les <a href="/wiki/For%C3%A7a_de_Van_der_Waals" class="mw-redirect" title="Força de Van der Waals">forces de Van der Waals</a>, els enllaços <a href="/wiki/Covalent" class="mw-redirect" title="Covalent">covalents</a>, etc., totes de caràcter elèctric (les forces de caràcter magnètic i gravitatori són negligibles). Les forces entre cada parell d'àtoms es poden caracteritzar mitjançant una funció d'<a href="/wiki/Energia_potencial" title="Energia potencial">energia potencial</a> <i>V</i>, que depèn de la separació entre els àtoms (com ara el <a href="/wiki/Potencial_de_Lennard-Jones" title="Potencial de Lennard-Jones">potencial de Lennard-Jones</a>). L'energia potencial de tota la xarxa és la suma de totes les energies potencials considerades dues a dues: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sum _{i\neq j}V(r_{i}-r_{j})\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>≠</mo> <mi>j</mi> </mrow> </munder> <mi>V</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{i\neq j}V(r_{i}-r_{j})\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a43e0866f3815f96cadd200744618ce478da63dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.505ex; width:14.373ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle \sum _{i\neq j}V(r_{i}-r_{j})\,}"></span></dd></dl> <p>en què <i>r</i><sub>i</sub> és la posició de l'àtom <i>i</i>-èsim i <i>V</i> és l'<a href="/wiki/Energia_potencial" title="Energia potencial">energia potencial</a> entre dos àtoms. </p><p>En el cas més general, és molt difícil resoldre aquest problema, sigui mitjançant mecànica clàssica o mecànica quàntica. Per simplificar-lo, es poden introduir dues aproximacions importants: </p> <ul><li>En primer lloc, només realitzarem el sumatori sobre àtoms veïns i, més concretament, sobre els veïns més propers. Encara que les forces elèctriques tenen abast infinit, l'aproximació és vàlida perquè els camps produïts per àtoms llunyans resulten apantallats.</li> <li>En segon lloc, tractarem els potencials com si fossin <a href="/wiki/Oscil%C2%B7lador_harm%C3%B2nic" title="Oscil·lador harmònic">oscil·ladors harmònics</a>. Aquesta aproximació és vàlida sempre que els àtoms no s'allunyin massa de les seves posicions d'equilibri.</li></ul> <p>El resultat d'aquesta aproximació es pot visualitzar com un conjunt de pilotes unides per molles, tal com es mostra a la figura inferior, que mostra una xarxa cúbica, un model vàlid per a molts tipus de sòlids cristal·lins: </p> <center> <p><span class="mw-default-size" typeof="mw:File"><a href="/wiki/Fitxer:Cubic_crystal_shape.png" class="mw-file-description" title="Xarxa cúbica"><img alt="Xarxa cúbica" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e9/Cubic_crystal_shape.png" decoding="async" width="140" height="140" class="mw-file-element" data-file-width="140" data-file-height="140" /></a></span> </p> </center> <p>Ara l'energia potencial de la xarxa es pot escriure com: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sum _{i\neq j(nn)}{1 \over 2}m\omega ^{2}(R_{i}-R_{j})^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>≠</mo> <mi>j</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mi>m</mi> <msup> <mi>ω</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{i\neq j(nn)}{1 \over 2}m\omega ^{2}(R_{i}-R_{j})^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3fe8d69231fb7a948ceea095d322b2ca80c9b95" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.505ex; width:23.643ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \sum _{i\neq j(nn)}{1 \over 2}m\omega ^{2}(R_{i}-R_{j})^{2}}"></span></dd></dl> <p>en què <i>ω</i> és la <a href="/wiki/Freq%C3%BC%C3%A8ncia_de_resson%C3%A0ncia" title="Freqüència de ressonància">freqüència de ressonància</a> dels potencials harmònics, que suposem que és igual per a tots, ja que la xarxa és regular; <i>R<sub>i</sub></i> és la posició de l'àtom <i>i</i>-èsim, mesurada respecte al seu punt d'equilibri. La suma sobre els veïns més propers s'indica amb <i>(nn)</i>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Ones_de_la_xarxa">Ones de la xarxa</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Fon%C3%B3&action=edit&section=3" title="Modifica la secció: Ones de la xarxa"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>A causa de les forces entre els àtoms, el desplaçament d'un o més àtoms respecte a la seva posició d'equilibri provoca la propagació d'una vibració o conjunt de vibracions a través de la xarxa. A la figura inferior es mostra una d'aquestes ones. L'<a href="/wiki/Amplitud" title="Amplitud">amplitud</a> de l'ona és donada pel desplaçament dels àtoms respecte a les posicions d'equilibri i s'hi indica la <a href="/wiki/Longitud_d%27ona" title="Longitud d'ona">longitud d'ona</a> <i>λ</i>. </p> <center><figure class="mw-halign-center" typeof="mw:File"><a href="/wiki/Fitxer:Lattice_wave.svg" class="mw-file-description"><img alt="Ona" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/27/Lattice_wave.svg/250px-Lattice_wave.svg.png" decoding="async" width="250" height="233" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/27/Lattice_wave.svg/375px-Lattice_wave.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/27/Lattice_wave.svg/500px-Lattice_wave.svg.png 2x" data-file-width="506" data-file-height="472" /></a><figcaption></figcaption></figure></center> <p>Cal tenir en compte que existeix una longitud d'ona mínima, establerta per la separació dels àtoms en equilibri, <i>a</i>. Com veurem més endavant, qualsevol longitud d'ona inferior a <i>a</i> es pot fer correspondre a una altra de superior a <i>a</i>. </p><p>Una vibració arbitrària de la xarxa no té una <a href="/wiki/Freq%C3%BC%C3%A8ncia" title="Freqüència">freqüència</a> i <a href="/wiki/Longitud_d%27ona" title="Longitud d'ona">longitud d'ona</a> ben definides, però els <a href="/wiki/Mode_normal" title="Mode normal">modes normals de vibració</a>, que són els components bàsics de qualsevol vibració (ja que tota vibració es pot descompondre en una "suma" de modes normals), sí que tenen freqüències i longituds d'ona ben definides. A continuació, estudiarem en detall aquests modes des d'un punt de vista quàntic. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Fonons_en_una_dimensió"><span id="Fonons_en_una_dimensi.C3.B3"></span>Fonons en una dimensió</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Fon%C3%B3&action=edit&section=4" title="Modifica la secció: Fonons en una dimensió"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Considerem una cadena quàntica unidimensional de <i>N</i> àtoms, que podem considerar el model quàntic més simple per a representar una xarxa. A partir d'aquest model, veurem com es poden definir els fonons, amb l'avantatge que el procediment es pot generalitzar amb facilitat a dues i tres dimensions. L'<a href="/wiki/Hamiltoni%C3%A0" title="Hamiltonià">hamiltonià</a> d'aquest sistema és: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {H} =\sum _{i=1}^{N}{p_{i}^{2} \over 2m}+{1 \over 2}m\omega ^{2}\sum _{\{ij\}(nn)}(x_{i}-x_{j})^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">H</mi> </mrow> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>N</mi> </mrow> </munderover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msubsup> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mrow> <mn>2</mn> <mi>m</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mi>m</mi> <msup> <mi>ω</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mi>i</mi> <mi>j</mi> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </munder> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {H} =\sum _{i=1}^{N}{p_{i}^{2} \over 2m}+{1 \over 2}m\omega ^{2}\sum _{\{ij\}(nn)}(x_{i}-x_{j})^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71cb48ab69ae4b82fc5958aceb851c5b3dbc1485" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.505ex; width:38.951ex; height:7.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {H} =\sum _{i=1}^{N}{p_{i}^{2} \over 2m}+{1 \over 2}m\omega ^{2}\sum _{\{ij\}(nn)}(x_{i}-x_{j})^{2}}"></span></dd></dl> <p>en què <i>m</i> és la massa de cada àtom i <i>x<sub>i</sub></i> i <i>p<sub>i</sub></i> són els operadors posició i moment de l'àtom <i>i</i>-èsim (vegeu l'article sobre l'<a href="/wiki/Oscil%C2%B7lador_harm%C3%B2nic_qu%C3%A0ntic" title="Oscil·lador harmònic quàntic">oscil·lador harmònic quàntic</a> per a una discussió d'aquest tipus d'hamiltonians). </p><p>Introduïm un conjunt de <i>N</i> "coordenades normals" <i>Q<sub>k</sub></i>, definides com la <a href="/wiki/Transformada_de_Fourier" title="Transformada de Fourier">transformada de Fourier</a> de les <i>x</i>, i <i>N</i> "moments conjugats" Π, definits com la transformada de Fourier de les <i>p</i>: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{matrix}x_{j}&=&{1 \over {\sqrt {N}}}\sum _{k}Q_{k}e^{ikja}\\p_{j}&=&{1 \over {\sqrt {N}}}\sum _{k}\Pi _{k}e^{-ikja}\\\end{matrix}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mo>=</mo> </mtd> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>N</mi> </msqrt> </mrow> </mfrac> </mrow> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>Q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>k</mi> <mi>j</mi> <mi>a</mi> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mo>=</mo> </mtd> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>N</mi> </msqrt> </mrow> </mfrac> </mrow> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi mathvariant="normal">Π</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mi>i</mi> <mi>k</mi> <mi>j</mi> <mi>a</mi> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{matrix}x_{j}&=&{1 \over {\sqrt {N}}}\sum _{k}Q_{k}e^{ikja}\\p_{j}&=&{1 \over {\sqrt {N}}}\sum _{k}\Pi _{k}e^{-ikja}\\\end{matrix}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d791bd89707905f1a7c10ac795f634bdebefc63a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.838ex; width:25.822ex; height:8.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{matrix}x_{j}&=&{1 \over {\sqrt {N}}}\sum _{k}Q_{k}e^{ikja}\\p_{j}&=&{1 \over {\sqrt {N}}}\sum _{k}\Pi _{k}e^{-ikja}\\\end{matrix}}}"></span></dd></dl> <p>La quantitat <i>k</i> serà el <a href="/wiki/Nombre_d%27ona" title="Nombre d'ona">nombre d'ona</a> del fonó, és a dir, 2π/<i>λ</i>. <i>k</i> només pren valors quantitzats, ja que el nombre d'àtoms és finit. La forma de la quantització depèn de les condicions de contorn; per simplicitat, imposarem condicions de contorn periòdiques, és a dir, que l'àtom (<i>N</i>+1) és equivalent al primer àtom. Físicament, això equival a unir la cadena d'àtoms pels seus extrems. El resultat d'aquesta quantització és: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k={2n\pi \over Na}\quad {\hbox{per a}}\ n=0,\pm 1,\pm 2,\ ...,\pm N}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <mi>n</mi> <mi>π</mi> </mrow> <mrow> <mi>N</mi> <mi>a</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mspace width="1em" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mtext>per a</mtext> </mstyle> </mrow> <mtext> </mtext> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mo>±</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mo>±</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mtext> </mtext> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>,</mo> <mo>±</mo> <mi>N</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k={2n\pi \over Na}\quad {\hbox{per a}}\ n=0,\pm 1,\pm 2,\ ...,\pm N}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/349f63ac42904cd672e2f1dc6d56a77ea9cb8f20" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:40.205ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle k={2n\pi \over Na}\quad {\hbox{per a}}\ n=0,\pm 1,\pm 2,\ ...,\pm N}"></span></dd></dl> <p>El límit superior de <i>n</i> prové de la longitud d'ona mínima que imposa l'espaiat de la xarxa, <i>a</i>, tal com ja s'ha comentat. </p><p>Invertint les transformades de Fourier per expressar les <i>Q</i> en funció de les <i>x</i> i les Π en funció de les <i>p</i>, i utilitzant les relacions canòniques de commutació entre <i>x</i> i <i>p</i>, es pot demostrar que: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left[Q_{k},\Pi _{k'}\right]=i\hbar \delta _{kk'}\quad ;\quad \left[Q_{k},Q_{k'}\right]=\left[\Pi _{k},\Pi _{k'}\right]=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <msub> <mi>Q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi mathvariant="normal">Π</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mi>k</mi> <mo>′</mo> </msup> </mrow> </msub> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>i</mi> <mi class="MJX-variant">ℏ</mi> <msub> <mi>δ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <msup> <mi>k</mi> <mo>′</mo> </msup> </mrow> </msub> <mspace width="1em" /> <mo>;</mo> <mspace width="1em" /> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <msub> <mi>Q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>Q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mi>k</mi> <mo>′</mo> </msup> </mrow> </msub> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <msub> <mi mathvariant="normal">Π</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi mathvariant="normal">Π</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mi>k</mi> <mo>′</mo> </msup> </mrow> </msub> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left[Q_{k},\Pi _{k'}\right]=i\hbar \delta _{kk'}\quad ;\quad \left[Q_{k},Q_{k'}\right]=\left[\Pi _{k},\Pi _{k'}\right]=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77d9bd71b07c37caf505a7c3e7694f605317c80f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:47.609ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \left[Q_{k},\Pi _{k'}\right]=i\hbar \delta _{kk'}\quad ;\quad \left[Q_{k},Q_{k'}\right]=\left[\Pi _{k},\Pi _{k'}\right]=0}"></span></dd></dl> <p>És a dir, que les coordenades normals i els seus moments conjugats obeeixen les mateixes relacions de commutació que els operadors de posició i moment. Si escrivim el hamiltonià en funció d'aquestes quantitats, </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {H} =\sum _{k}\left({\Pi _{k}\Pi _{-k} \over 2m}+{1 \over 2}m\omega _{k}^{2}Q_{k}Q_{-k}\right)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">H</mi> </mrow> <mo>=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </munder> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msub> <mi mathvariant="normal">Π</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi mathvariant="normal">Π</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>m</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mi>m</mi> <msubsup> <mi>ω</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <msub> <mi>Q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>Q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {H} =\sum _{k}\left({\Pi _{k}\Pi _{-k} \over 2m}+{1 \over 2}m\omega _{k}^{2}Q_{k}Q_{-k}\right)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4f893f08e441c3b8bfbb3f0bc3837b56f4896db" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:36.678ex; height:6.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {H} =\sum _{k}\left({\Pi _{k}\Pi _{-k} \over 2m}+{1 \over 2}m\omega _{k}^{2}Q_{k}Q_{-k}\right)}"></span></dd></dl> <p>en què </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega _{k}={\sqrt {2\omega ^{2}(1-\cos(ka))}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>ω</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>2</mn> <msup> <mi>ω</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>k</mi> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </msqrt> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega _{k}={\sqrt {2\omega ^{2}(1-\cos(ka))}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0884f02a093b8b7de97d4aa996bf04ada8c1fa2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.671ex; width:24.793ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle \omega _{k}={\sqrt {2\omega ^{2}(1-\cos(ka))}}}"></span></dd></dl> <p>Remarquem que els acoblaments entre les variables de posició han desaparegut; si les <i>Q</i> i les Π fossin <a href="/wiki/Matriu_herm%C3%ADtica" title="Matriu hermítica">hermítiques</a> (que no és el cas), el hamiltonià transformat descriuria <i>N</i> oscil·ladors harmònics no acoblats. De fet, aquest hamiltonià descriu una <a href="/wiki/Teoria_qu%C3%A0ntica_de_camps" title="Teoria quàntica de camps">teoria quàntica de camps</a> de bosons no interaccionants. </p><p>L'<a href="/w/index.php?title=Espectre_d%27un_operador&action=edit&redlink=1" class="new" title="Espectre d'un operador (encara no existeix)">espectre</a> d'aquest hamiltonià es pot obtenir fàcilment amb <a href="/wiki/Operador" class="mw-redirect" title="Operador">operadors</a> de creació i destrucció, de manera molt semblant al cas de l'<a href="/wiki/Oscil%C2%B7lador_harm%C3%B2nic_qu%C3%A0ntic" title="Oscil·lador harmònic quàntic">oscil·lador harmònic quàntic</a>. Introduïm aquests operadors definits per: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{matrix}a_{k}&=&{\sqrt {m\omega _{k} \over 2\hbar }}(Q_{k}+{i \over m\omega _{k}}\Pi _{-k})\\a_{k}^{\dagger }&=&{\sqrt {m\omega _{k} \over 2\hbar }}(Q_{-k}-{i \over m\omega _{k}}\Pi _{k})\end{matrix}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mo>=</mo> </mtd> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mfrac> <mrow> <mi>m</mi> <msub> <mi>ω</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi class="MJX-variant">ℏ</mi> </mrow> </mfrac> </msqrt> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>Q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>i</mi> <mrow> <mi>m</mi> <msub> <mi>ω</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <msub> <mi mathvariant="normal">Π</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msubsup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>†</mo> </mrow> </msubsup> </mtd> <mtd> <mo>=</mo> </mtd> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mfrac> <mrow> <mi>m</mi> <msub> <mi>ω</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi class="MJX-variant">ℏ</mi> </mrow> </mfrac> </msqrt> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>Q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>i</mi> <mrow> <mi>m</mi> <msub> <mi>ω</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <msub> <mi mathvariant="normal">Π</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{matrix}a_{k}&=&{\sqrt {m\omega _{k} \over 2\hbar }}(Q_{k}+{i \over m\omega _{k}}\Pi _{-k})\\a_{k}^{\dagger }&=&{\sqrt {m\omega _{k} \over 2\hbar }}(Q_{-k}-{i \over m\omega _{k}}\Pi _{k})\end{matrix}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ed5372edd9cfb671523fa066b6a540a74791c94" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.505ex; width:31.856ex; height:10.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{matrix}a_{k}&=&{\sqrt {m\omega _{k} \over 2\hbar }}(Q_{k}+{i \over m\omega _{k}}\Pi _{-k})\\a_{k}^{\dagger }&=&{\sqrt {m\omega _{k} \over 2\hbar }}(Q_{-k}-{i \over m\omega _{k}}\Pi _{k})\end{matrix}}}"></span></dd></dl> <p>Aquests operadors satisfan les igualtats següents: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {H} =\sum _{k}\hbar \omega _{k}\left(a_{k}^{\dagger }a_{k}+1/2\right)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">H</mi> </mrow> <mo>=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </munder> <mi class="MJX-variant">ℏ</mi> <msub> <mi>ω</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msubsup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>†</mo> </mrow> </msubsup> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>2</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {H} =\sum _{k}\hbar \omega _{k}\left(a_{k}^{\dagger }a_{k}+1/2\right)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a7bd9028dd89fe74fdcafe780887a37e04b32e7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:26.9ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {H} =\sum _{k}\hbar \omega _{k}\left(a_{k}^{\dagger }a_{k}+1/2\right)}"></span></dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [a_{k},a_{k'}^{\dagger }]=\delta _{kk'}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msubsup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mi>k</mi> <mo>′</mo> </msup> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>†</mo> </mrow> </msubsup> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>δ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <msup> <mi>k</mi> <mo>′</mo> </msup> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [a_{k},a_{k'}^{\dagger }]=\delta _{kk'}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0be971d0ada56a9633e4a4d81f2af81b2ba19ce" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:14.104ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle [a_{k},a_{k'}^{\dagger }]=\delta _{kk'}}"></span></dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [a_{k},a_{k'}]=[a_{k}^{\dagger },a_{k'}^{\dagger }]=0.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mi>k</mi> <mo>′</mo> </msup> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <msubsup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>†</mo> </mrow> </msubsup> <mo>,</mo> <msubsup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mi>k</mi> <mo>′</mo> </msup> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>†</mo> </mrow> </msubsup> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>=</mo> <mn>0.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [a_{k},a_{k'}]=[a_{k}^{\dagger },a_{k'}^{\dagger }]=0.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf394f5d69cfdd110a56f792acd03472cb034579" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:22.999ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle [a_{k},a_{k'}]=[a_{k}^{\dagger },a_{k'}^{\dagger }]=0.}"></span></dd></dl> <p>Com en el cas de l'oscil·lador harmònic, podem demostrar que <i>a</i><sub>k</sub><sup>†</sup> i <i>a</i><sub>k</sub> creen i destrueixen un <a href="/wiki/Estat_excitat" title="Estat excitat">estat excitat</a> d'energia ℏω<sub>k</sub>. Aquestes excitacions són els fonons. </p><p>A partir d'això, es poden deduir dues propietats importants dels fonons: </p> <ul><li>Els fonons són bosons, ja que es pot crear un nombre indefinit d'excitacions idèntiques aplicant una vegada i una altra l'operador de creació <i>a</i><sub>k</sub><sup>†</sup>.</li> <li>Cada fonó és un mode de vibració col·lectiu provocat pel moviment de cada un dels àtoms de la xarxa. Això és evident a partir del fet que els operadors de creació i destrucció contenen sumatoris sobre les posicions i moments de tots els àtoms.</li></ul> <p><i>A priori</i> no sembla obvi que aquestes excitacions generades pels operadors <i>a</i> siguin realment ones de desplaçament de la xarxa, però es pot donar una demostració convincent calculant la <i><a href="/wiki/Funci%C3%B3_de_correlaci%C3%B3" title="Funció de correlació">funció d'autocorrelació</a> de posició</i>. Suposem que <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |k\rangle }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>k</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |k\rangle }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/063585a1e5a9a0b0fb63d1684d071fcf70f87d75" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.763ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |k\rangle }"></span> denoti un estat amb un quàntum de mode <i>k</i> excitat, és a dir: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{matrix}|k\rangle =a_{k}^{\dagger }|0\rangle \end{matrix}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>k</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>†</mo> </mrow> </msubsup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mn>0</mn> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{matrix}|k\rangle =a_{k}^{\dagger }|0\rangle \end{matrix}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bed5cd384813a80c2ba96661160687c46a2a199c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.967ex; margin-bottom: -0.204ex; width:11.645ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{matrix}|k\rangle =a_{k}^{\dagger }|0\rangle \end{matrix}}}"></span></dd></dl> <p>Es pot demostrar que, per a dos àtoms qualssevol <i>j</i> i <i>l</i>, </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \langle k|x_{j}(t)x_{l}(0)|k\rangle ={\frac {\hbar }{Nm\omega _{k}}}\cos \left[k(j-l)a-\omega _{k}t\right]+\langle 0|x_{j}(t)x_{l}(0)|0\rangle }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mi>k</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>k</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi class="MJX-variant">ℏ</mi> <mrow> <mi>N</mi> <mi>m</mi> <msub> <mi>ω</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>j</mi> <mo>−</mo> <mi>l</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>a</mi> <mo>−</mo> <msub> <mi>ω</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mi>t</mi> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mn>0</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mn>0</mn> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle k|x_{j}(t)x_{l}(0)|k\rangle ={\frac {\hbar }{Nm\omega _{k}}}\cos \left[k(j-l)a-\omega _{k}t\right]+\langle 0|x_{j}(t)x_{l}(0)|0\rangle }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0a0e6ce5570a4bbd8b03fac9a7751e6d8cd06cf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:63.94ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle \langle k|x_{j}(t)x_{l}(0)|k\rangle ={\frac {\hbar }{Nm\omega _{k}}}\cos \left[k(j-l)a-\omega _{k}t\right]+\langle 0|x_{j}(t)x_{l}(0)|0\rangle }"></span></dd></dl> <p>que és el que esperaríem d'una ona de desplaçament de la xarxa amb freqüència <i>ω<sub>k</sub></i> i nombre d'ona <i>k</i>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Fonons_en_tres_dimensions">Fonons en tres dimensions</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Fon%C3%B3&action=edit&section=5" title="Modifica la secció: Fonons en tres dimensions"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>El procediment per a generalitzar els resultats anteriors en una xarxa tridimensional és fàcil però tediós. El resultat final és que el nombre d'ona <i>k</i> és substituït per un <a href="/w/index.php?title=Vector_d%27ones&action=edit&redlink=1" class="new" title="Vector d'ones (encara no existeix)">vector d'ones</a> tridimensional <b>k</b>. A més, ara cada <b>k</b> està associat a tres coordenades normals. El hamiltonià té la forma: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {H} =\sum _{k}\sum _{s=1}^{3}\hbar \,\omega _{k,s}\left(a_{k,s}^{\dagger }a_{k,s}+1/2\right)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">H</mi> </mrow> <mo>=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </munder> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>s</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </munderover> <mi class="MJX-variant">ℏ</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <msub> <mi>ω</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msubsup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>†</mo> </mrow> </msubsup> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>2</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {H} =\sum _{k}\sum _{s=1}^{3}\hbar \,\omega _{k,s}\left(a_{k,s}^{\dagger }a_{k,s}+1/2\right)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c97576253a97ab5a2f117d873e716bbad9c836ca" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:34.715ex; height:7.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {H} =\sum _{k}\sum _{s=1}^{3}\hbar \,\omega _{k,s}\left(a_{k,s}^{\dagger }a_{k,s}+1/2\right)}"></span></dd></dl> <p>Els nous índexs <i>s</i> = 1, 2, 3 indiquen la <a href="/wiki/Polaritzaci%C3%B3_electromagn%C3%A8tica" title="Polarització electromagnètica">polarització</a> dels fonons. En el cas unidimensional, els àtoms només es podien desplaçar al llarg de la línia, de manera que tots els fonons corresponien a <a href="/wiki/Ona" title="Ona">ones longitudinals</a>. En tres dimensions, en canvi, la vibració no queda restringida a la direcció de propagació, sinó que també es pot produir en un pla perpendicular, donant lloc a <a href="/wiki/Ona" title="Ona">ones transversals</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Propietats_dels_fonons">Propietats dels fonons</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Fon%C3%B3&action=edit&section=6" title="Modifica la secció: Propietats dels fonons"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Relació_de_dispersió"><span id="Relaci.C3.B3_de_dispersi.C3.B3"></span>Relació de dispersió</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Fon%C3%B3&action=edit&section=7" title="Modifica la secció: Relació de dispersió"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Abans hem obtingut una equació que relaciona la freqüència d'un fonó, <i>ω<sub>k</sub></i>, amb el seu nombre d'ona <i>k</i>: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega _{k}={\sqrt {2\omega ^{2}(1-\cos(ka))}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>ω</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>2</mn> <msup> <mi>ω</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>k</mi> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </msqrt> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega _{k}={\sqrt {2\omega ^{2}(1-\cos(ka))}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0884f02a093b8b7de97d4aa996bf04ada8c1fa2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.671ex; width:24.793ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle \omega _{k}={\sqrt {2\omega ^{2}(1-\cos(ka))}}}"></span></dd></dl> <p>Aquesta relació és una <a href="/wiki/Relaci%C3%B3_de_dispersi%C3%B3" title="Relació de dispersió">relació de dispersió</a>. A la gràfica següent podem observar el seu comportament: </p> <center> <span class="mw-default-size" typeof="mw:File"><a href="/wiki/Fitxer:Monoatomic_chain_phonon_dispersion.svg" class="mw-file-description" title="Relació de dispersió del fonó"><img alt="Relació de dispersió del fonó" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/66/Monoatomic_chain_phonon_dispersion.svg/600px-Monoatomic_chain_phonon_dispersion.svg.png" decoding="async" width="600" height="480" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/66/Monoatomic_chain_phonon_dispersion.svg/900px-Monoatomic_chain_phonon_dispersion.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/66/Monoatomic_chain_phonon_dispersion.svg/1200px-Monoatomic_chain_phonon_dispersion.svg.png 2x" data-file-width="600" data-file-height="480" /></a></span> </center> <p>La velocitat de propagació d'un fonó, que és, de fet, la <a href="/wiki/Velocitat_del_so" title="Velocitat del so">velocitat del so</a> a la xarxa, és donada pel pendent de la corba de dispersió, ∂<i>ω<sub>k</sub></i>/∂<i>k</i> (vegeu <a href="/wiki/Velocitat_de_grup" title="Velocitat de grup">velocitat de grup</a>). A valors baixos de <i>k</i> (longituds d'ona llargues), la relació de dispersió és gairebé lineal i la velocitat del so és aproximadament <i>ωa</i>, independent de la freqüència del fonó. Una conseqüència d'això és que paquets de fonons de longitud d'ona diferent (però llarga) es poden propagar a llargues distàncies dins la xarxa sense dispersar-se. Per això, en els sòlids el so es propaga sense una <a href="/wiki/Distorsi%C3%B3" title="Distorsió">distorsió</a> important. Per a valors grans de <i>k</i> (longituds d'ona curtes), aquest comportament ja no es produeix, a causa dels detalls microscòpics de la xarxa. </p><p>Cal recordar que la física del so en l'<a href="/wiki/Aire" title="Aire">aire</a> és diferent de la física del so en sòlids, malgrat que en ambdós casos es tracta d'ones de densitat, ja que en l'aire el so es propaga gràcies a un conjunt de <a href="/wiki/Mol%C3%A8cules" class="mw-redirect" title="Molècules">molècules</a> de moviment aleatori, en lloc d'en una xarxa cristal·lina regular. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Fonons_acústics_i_òptics"><span id="Fonons_ac.C3.BAstics_i_.C3.B2ptics"></span>Fonons acústics i òptics</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Fon%C3%B3&action=edit&section=8" title="Modifica la secció: Fonons acústics i òptics"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>En els sòlids reals, hi ha dos tipus de fonons: els "acústics" i els "òptics". Els <i>fonons acústics</i>, que són els que acabem de descriure, tenen freqüències petites a longituds d'ona llargues i corresponen a les ones sonores a la xarxa. </p><p>Els <i>fonons òptics</i>, que apareixen en cristalls que tenen més d'un àtom a la <a href="/wiki/Cel%C2%B7la_unitat" class="mw-redirect" title="Cel·la unitat">cel·la unitat</a>, sempre tenen una freqüència mínima de vibració, fins i tot quan la seva longitud d'ona és molt llarga. S'anomenen "òptics" perquè en cristalls iònics (com el <a href="/wiki/Clorur_de_sodi" title="Clorur de sodi">clorur de sodi</a>) s'exciten fàcilment amb la llum (de fet, amb la <a href="/w/index.php?title=Radiaci%C3%B3_infrarroja&action=edit&redlink=1" class="new" title="Radiació infrarroja (encara no existeix)">radiació infraroja</a>). Això és degut al fet que corresponen a un mode de vibració en què ions positius i negatius adjacents vibren l'un contra l'altre, creant un <a href="/wiki/Moment_dipolar_el%C3%A8ctric" title="Moment dipolar elèctric">moment dipolar elèctric</a> que varia en el temps. Els fonons òptics que interaccionen d'aquesta manera amb la llum s'anomenen <i>actius infrarojos</i>. Els fonons òptics <i>actius Raman</i> també poden interaccionar indirectament amb la llum, mitjançant la <a href="/wiki/Dispersi%C3%B3_Raman" title="Dispersió Raman">dispersió Raman</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Moment_del_cristall">Moment del cristall</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Fon%C3%B3&action=edit&section=9" title="Modifica la secció: Moment del cristall"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Resulta temptador tractar un fonó amb el vector d'ona <b>k</b> com si tingués <a href="/wiki/Moment" title="Moment">moment</a> ℏ<b>k</b>, anàlogament als <a href="/wiki/Fotons" class="mw-redirect" title="Fotons">fotons</a> i les <a href="/wiki/Dualitat_ona-part%C3%ADcula" title="Dualitat ona-partícula">ones de matèria</a>. Nogensmenys, això no és totalment correcte, ja que ℏ<b>k</b> no és realment un moment físic, és el que s'anomena <i>moment del cristall</i> o <i>pseudomoment</i>. Això és així perquè <b>k</b> només està determinat fins a múltiples de vectors constants, anomenats <i>vectors de la <a href="/wiki/Xarxa_rec%C3%ADproca" title="Xarxa recíproca">xarxa recíproca</a></i>. Per exemple, en el model unidimensional, les coordenades normals <i>Q</i> i Π estan definides de manera que: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Q_{k}\equiv Q_{k+K}\quad ;\quad \Pi _{k}\equiv \Pi _{k+K}\quad {\mbox{on}}\;K=2n\pi /a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>Q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>≡</mo> <msub> <mi>Q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mi>K</mi> </mrow> </msub> <mspace width="1em" /> <mo>;</mo> <mspace width="1em" /> <msub> <mi mathvariant="normal">Π</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>≡</mo> <msub> <mi mathvariant="normal">Π</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mi>K</mi> </mrow> </msub> <mspace width="1em" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mtext>on</mtext> </mstyle> </mrow> <mspace width="thickmathspace" /> <mi>K</mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mi>n</mi> <mi>π</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Q_{k}\equiv Q_{k+K}\quad ;\quad \Pi _{k}\equiv \Pi _{k+K}\quad {\mbox{on}}\;K=2n\pi /a}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c4669dc54256cc6c42bd37fd0b2278bdc2455bc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:45.741ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle Q_{k}\equiv Q_{k+K}\quad ;\quad \Pi _{k}\equiv \Pi _{k+K}\quad {\mbox{on}}\;K=2n\pi /a}"></span></dd></dl> <p>per a qualsevol enter <i>n</i>. Per tant, un fonó amb vector d'ona <i>k</i> és equivalent a una família infinita de fonons amb nombres d'ona <i>k ± 2π/a</i>, <i>k ± 4π/a</i>, etc. Físicament, els vectors de la xarxa recíproca actuen com a "pedaços" addicionals de moment que la xarxa pot "enganxar" al fonó. </p><p>Habitualment, resulta convenient considerar els vectors d'ona <b>k</b> de mòdul mínim (|<b>k</b>|) de la seva família. El conjunt de tots aquests vectors d'ona defineixen la <i>primera <a href="/wiki/Zona_de_Brillouin" title="Zona de Brillouin">zona de Brillouin</a></i>, i es poden definir còpies de la primera zona, desplaçades per un vector de la xarxa recíproca. </p> <div role="navigation" class="navbox" aria-labelledby="Model_estàndard_de_física_de_partícules" style="padding:3px"><table class="nowraplinks collapsible collapsed navbox-inner" style="border-spacing:0;background:transparent;color:inherit"><tbody><tr><th scope="col" class="navbox-title" colspan="2"><div class="plainlinks hlist navbar mini"><ul><li class="nv-view"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Plantilla:Part%C3%ADcules" title="Plantilla:Partícules"><img alt="Vegeu aquesta plantilla" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/28/Commons-emblem-notice.svg/18px-Commons-emblem-notice.svg.png" decoding="async" width="18" height="18" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/28/Commons-emblem-notice.svg/27px-Commons-emblem-notice.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/28/Commons-emblem-notice.svg/36px-Commons-emblem-notice.svg.png 2x" data-file-width="48" data-file-height="48" /></a></span></li></ul></div><div id="Model_estàndard_de_física_de_partícules" style="font-size:114%;margin:0 4em"><a href="/wiki/Model_est%C3%A0ndard_de_f%C3%ADsica_de_part%C3%ADcules" title="Model estàndard de física de partícules">Model estàndard de física de partícules</a></div></th></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/Part%C3%ADcula_elemental" title="Partícula elemental">Elementals</a></th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"></div><table class="nowraplinks navbox-subgroup" style="border-spacing:0"><tbody><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%;padding-left:0em;padding-right:0em;"><div style="padding:0em 0.75em;"><a href="/wiki/Fermi%C3%B3" title="Fermió">Fermions</a></div></th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"></div><table class="nowraplinks navbox-subgroup" style="border-spacing:0"><tbody><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%;padding-left:0em;padding-right:0em;"><div style="padding:0em 0.75em;"><a href="/wiki/Quark" title="Quark">Quarks</a></div></th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"></div><table class="nowraplinks navbox-subgroup" style="border-spacing:0"><tbody><tr><td colspan="2" class="navbox-list navbox-odd" style="width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"><a href="/wiki/Quark_amunt" class="mw-redirect" title="Quark amunt">u</a><span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/Quark_avall" class="mw-redirect" title="Quark avall">d</a><span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/Quark_encant" class="mw-redirect" title="Quark encant">c</a><span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/Quark_estrany" class="mw-redirect" title="Quark estrany">s</a><span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/Quark_cim" class="mw-redirect" title="Quark cim">t</a><span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/Quark_fons" class="mw-redirect" title="Quark fons">b</a></div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%;padding-left:0em;padding-right:0em;"><div style="padding:0em 0.75em;"><a href="/wiki/Antiquark" title="Antiquark">Antiquarks</a></div></th><td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"><a href="/wiki/Antiquark_amunt" class="mw-redirect" title="Antiquark amunt"><span style="text-decoration:overline;">u</span></a><span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/Antiquark_avall" class="mw-redirect" title="Antiquark avall"><span style="text-decoration:overline;">d</span></a><span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/Antiquark_encant" class="mw-redirect" title="Antiquark encant"><span style="text-decoration:overline;">c</span></a><span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/Antiquark_estrany" class="mw-redirect" title="Antiquark estrany"><span style="text-decoration:overline;">s</span></a><span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/Antiquark_cim" class="mw-redirect" title="Antiquark cim"><span style="text-decoration:overline;">t</span></a><span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/Antiquark_fons" class="mw-redirect" title="Antiquark fons"><span style="text-decoration:overline;">b</span></a></div></td></tr></tbody></table><div></div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%;padding-left:0em;padding-right:0em;"><div style="padding:0em 0.75em;"><a href="/wiki/Lept%C3%B3" title="Leptó">Leptons</a></div></th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"></div><table class="nowraplinks navbox-subgroup" style="border-spacing:0"><tbody><tr><td colspan="2" class="navbox-list navbox-odd" style="width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"><a href="/wiki/Electr%C3%B3" title="Electró">e<sup>-</sup></a><span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/Mu%C3%B3" title="Muó">μ<sup>-</sup></a><span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/Tau%C3%B3" class="mw-redirect" title="Tauó">τ<sup>-</sup></a><span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/Neutr%C3%AD" title="Neutrí">ν</a> <b>(</b><a href="/wiki/Neutr%C3%AD_electr%C3%B2nic" title="Neutrí electrònic">ν<sub>e</sub></a><span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/Neutr%C3%AD_mu%C3%B2nic" title="Neutrí muònic">ν<sub>μ</sub></a><span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/Neutr%C3%AD_tau%C3%B2nic" class="mw-redirect" title="Neutrí tauònic">ν<sub>τ</sub></a><b>)</b></div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%;padding-left:0em;padding-right:0em;"><div style="padding:0em 0.75em;"><a href="/wiki/Antilept%C3%B3" class="mw-redirect" title="Antileptó">Antileptons</a></div></th><td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"><a href="/wiki/Positr%C3%B3" title="Positró">e<sup>+</sup></a><span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/Antimu%C3%B3" title="Antimuó">μ<sup>+</sup></a><span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/Antitau%C3%B3" class="mw-redirect" title="Antitauó">τ<sup>+</sup></a><span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/Antineutr%C3%AD" title="Antineutrí"><span style="text-decoration:overline;">ν</span></a> <b>(</b><a href="/wiki/Antineutr%C3%AD_electr%C3%B2nic" class="mw-redirect" title="Antineutrí electrònic"><span style="text-decoration:overline;">ν</span><sub>e</sub></a><span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/Antineutr%C3%AD_mu%C3%B2nic" class="mw-redirect" title="Antineutrí muònic"><span style="text-decoration:overline;">ν</span><sub>μ</sub></a><span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/Antineutr%C3%AD_tau%C3%B2nic" class="mw-redirect" title="Antineutrí tauònic"><span style="text-decoration:overline;">ν</span><sub>τ</sub></a><b>)</b></div></td></tr></tbody></table><div></div></td></tr></tbody></table><div></div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%;padding-left:0em;padding-right:0em;"><div style="padding:0em 0.75em;"><a href="/wiki/Bos%C3%B3" title="Bosó">Bosons</a></div></th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"></div><table class="nowraplinks navbox-subgroup" style="border-spacing:0"><tbody><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%;padding-left:0em;padding-right:0em;"><div style="padding:0em 0.75em;"><a href="/wiki/Bos%C3%B3_de_gauge" title="Bosó de gauge">Gauge</a></div></th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"><a href="/wiki/Fot%C3%B3" title="Fotó">γ</a><span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/Glu%C3%B3" title="Gluó">g</a><span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/Bos%C3%B3_W" class="mw-redirect" title="Bosó W">W<sup>±</sup></a><span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/Bos%C3%B3_Z" class="mw-redirect" title="Bosó Z">Z</a><span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/Bos%C3%B3_E(38)" title="Bosó E(38)">E<sub>38</sub></a></div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%;padding-left:0em;padding-right:0em;"><div style="padding:0em 0.75em;"><a href="/wiki/Bos%C3%B3_escalar" title="Bosó escalar">Escalar</a></div></th><td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"><a href="/wiki/Bos%C3%B3_de_Higgs" title="Bosó de Higgs">H<sup>0</sup></a></div></td></tr></tbody></table><div></div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%;padding-left:0em;padding-right:0em;"><div style="padding:0em 0.75em;">Altres</div></th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"><a href="/wiki/Camp_fantasma" title="Camp fantasma">Fantasmes</a></div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%;padding-left:0em;padding-right:0em;"><div style="padding:0em 0.75em;"><a href="/wiki/Part%C3%ADcula_hipot%C3%A8tica" title="Partícula hipotètica">Hipotètiques</a></div></th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"></div><table class="nowraplinks navbox-subgroup" style="border-spacing:0"><tbody><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%;padding-left:0em;padding-right:0em;"><div style="padding:0em 0.75em;"><a href="/wiki/Supercompany" title="Supercompany">Supercompanyes</a></div></th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"></div><table class="nowraplinks navbox-subgroup" style="border-spacing:0"><tbody><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%;padding-left:0em;padding-right:0em;"><div style="padding:0em 0.75em;"><a href="/wiki/Sfermi%C3%B3" title="Sfermió">Sfermions</a></div></th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"></div><table class="nowraplinks navbox-subgroup" style="border-spacing:0"><tbody><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%;padding-left:0em;padding-right:0em;"><div style="padding:0em 0.75em;"><a href="/wiki/Squark" title="Squark">Squarks</a></div></th><td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"><small><a href="/wiki/Quark_samunt" class="mw-redirect" title="Quark samunt"><span style="font-size:120%;">u͂</span></a><span style="font-weight:bold;"> ·</span> <a href="/wiki/Quark_savall" class="mw-redirect" title="Quark savall"><span style="font-size:120%;">d͂</span></a><span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/Quark_sencant" class="mw-redirect" title="Quark sencant"><span style="font-size:120%;">c͂</span></a><span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/Quark_sestrany" class="mw-redirect" title="Quark sestrany"><span style="font-size:120%;">s͂</span></a><span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/Quark_sim" class="mw-redirect" title="Quark sim"><span style="font-size:120%;">t͂</span></a><span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/Quark_sfons" class="mw-redirect" title="Quark sfons"><span style="font-size:120%;">b͂</span></a></small></div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%;padding-left:0em;padding-right:0em;"><div style="padding:0em 0.75em;"><a href="/wiki/Slept%C3%B3" title="Sleptó">Sleptons</a></div></th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"><small><a href="/wiki/Selectr%C3%B3_(part%C3%ADcula)" class="mw-redirect" title="Selectró (partícula)"><span style="font-size:120%;">e͂</span></a><span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/Smu%C3%B3" class="mw-redirect" title="Smuó"><span style="font-size:120%;">μ͂</span></a><span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/Stau%C3%B3" class="mw-redirect" title="Stauó"><span style="font-size:120%;">τ͂</span></a><span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/Sneutr%C3%AD" class="mw-redirect" title="Sneutrí"><span style="font-size:120%;">ν͂</span></a> (<a href="/wiki/Sneutr%C3%AD_electr%C3%B2nic" class="mw-redirect" title="Sneutrí electrònic"><span style="font-size:120%;">ν͂</span><sub>e</sub></a><span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/Sneutr%C3%AD_mu%C3%B2nic" class="mw-redirect" title="Sneutrí muònic"><span style="font-size:120%;">ν͂</span><sub>μ</sub></a><span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/Sneutr%C3%AD_tau%C3%B2nic" class="mw-redirect" title="Sneutrí tauònic"><span style="font-size:120%;">ν͂</span><sub>τ</sub></a>)</small></div></td></tr></tbody></table><div></div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%;padding-left:0em;padding-right:0em;"><div style="padding:0em 0.75em;"><a href="/wiki/Gaug%C3%AD" title="Gaugí">Gaugins</a></div></th><td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"><small><a href="/wiki/Be%C3%AD" title="Beí"><span style="font-size:120%;">B͂</span></a><span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/Fot%C3%AD" title="Fotí"><span style="font-size:120%;">γ͂</span></a><span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/Glu%C3%AD" title="Gluí"><span style="font-size:120%;">g͂</span></a><span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/Gravit%C3%AD" title="Gravití"><span style="font-size:120%;">G͂</span></a><span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/We%C3%AD" title="Weí"><span style="font-size:120%;">W͂</span></a><span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/Zet%C3%AD" title="Zetí"><span style="font-size:120%;">Z͂</span></a></small></div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%;padding-left:0em;padding-right:0em;"><div style="padding:0em 0.75em;">Altres</div></th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"><a href="/wiki/Ax%C3%AD" title="Axí">Axí</a><span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/Carregu%C3%AD" title="Carreguí">Carreguí</a><span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/Higgs%C3%AD" title="Higgsí">Higgsí</a><span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/Neutral%C3%AD" title="Neutralí">Neutralí</a></div></td></tr></tbody></table><div></div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%;padding-left:0em;padding-right:0em;"><div style="padding:0em 0.75em;">Altres</div></th><td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"><a href="/wiki/Axi%C3%B3" title="Axió">A<sup>0</sup></a><span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/Dilat%C3%B3" title="Dilató">D</a><span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/Fermi%C3%B3_de_Majorana" title="Fermió de Majorana">Fermió de Majorana</a><span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/Fot%C3%B3_magn%C3%A8tic" title="Fotó magnètic">Fotó magnètic</a><span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/Gravit%C3%B3" title="Gravitó">G</a><span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/Gravifot%C3%B3" title="Gravifotó">Gravifotó</a><span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/Inflat%C3%B3" title="Inflató">Inflató</a><span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/Leptoquark" title="Leptoquark">Leptoquark</a><span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/Major%C3%B3" title="Majoró">J</a><span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/Monopol_magn%C3%A8tic" title="Monopol magnètic">m</a><span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/Neutr%C3%AD_est%C3%A8ril" title="Neutrí estèril">neutrí estèril</a><span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/Pre%C3%B3" title="Preó">Preó</a><span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/Taqui%C3%B3" title="Taquió">Taquió</a><span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/Bos%C3%B3_X" class="mw-redirect" title="Bosó X">X</a><span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/Bos%C3%B3_Y" class="mw-redirect" title="Bosó Y">Y</a><span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/Bos%C3%B3_W%27" class="mw-redirect" title="Bosó W'">W'</a><span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/Bos%C3%B3_Z%27" class="mw-redirect" title="Bosó Z'">Z'</a></div></td></tr></tbody></table><div></div></td></tr></tbody></table><div></div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/Part%C3%ADcula_composta" title="Partícula composta">Compostes</a></th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"></div><table class="nowraplinks navbox-subgroup" style="border-spacing:0"><tbody><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%;padding-left:0em;padding-right:0em;"><div style="padding:0em 0.75em;"><a href="/wiki/Hadr%C3%B3" title="Hadró">Hadrons</a></div></th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"></div><table class="nowraplinks navbox-subgroup" style="border-spacing:0"><tbody><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%;padding-left:0em;padding-right:0em;"><div style="padding:0em 0.75em;"><a href="/wiki/Bari%C3%B3" title="Barió">Barions</a></div></th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"></div><table class="nowraplinks navbox-subgroup" style="border-spacing:0"><tbody><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%;padding-left:0em;padding-right:0em;"><div style="padding:0em 0.75em;"><a href="/wiki/Nucle%C3%B3" title="Nucleó">Nucleons</a></div></th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"><a href="/wiki/Prot%C3%B3" title="Protó">p</a><span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/Neutr%C3%B3" title="Neutró">n</a><span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/Antiprot%C3%B3" title="Antiprotó"><span style="text-decoration:overline;">p</span></a><span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/Antineutr%C3%B3" title="Antineutró"><span style="text-decoration:overline;">n</span></a></div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%;padding-left:0em;padding-right:0em;"><div style="padding:0em 0.75em;"><a href="/wiki/Hiper%C3%B3" title="Hiperó">Hiperons</a></div></th><td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"><a href="/wiki/Bari%C3%B3_Delta" title="Barió Delta">Δ</a><span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/Lambda_(bari%C3%B3)" title="Lambda (barió)">Λ</a><span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/w/index.php?title=Bari%C3%B3_Sigma&action=edit&redlink=1" class="new" title="Barió Sigma (encara no existeix)">Σ</a><span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/w/index.php?title=Bari%C3%B3_Ksi&action=edit&redlink=1" class="new" title="Barió Ksi (encara no existeix)">Ξ</a><span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/w/index.php?title=Bari%C3%B3_Omega&action=edit&redlink=1" class="new" title="Barió Omega (encara no existeix)">Ω</a></div></td></tr></tbody></table><div></div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%;padding-left:0em;padding-right:0em;"><div style="padding:0em 0.75em;"><a href="/wiki/Mes%C3%B3" title="Mesó">Mesons</a></div></th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px;background:transparent;"><div style="padding:0em 0.25em"><a href="/wiki/Pi%C3%B3" title="Pió">Pió</a> (π)<span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/Mes%C3%B3_rho" title="Mesó rho">Mesó rho</a> (ρ)<span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/Mesons_eta_i_eta_prima" title="Mesons eta i eta prima">Mesons eta i eta prima</a> (η) i (η')<span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/Mes%C3%B3_fi" title="Mesó fi">Mesó fi</a> (φ)<span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/Mes%C3%B3_omega" title="Mesó omega">Mesó omega</a> (ω)<span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/Mes%C3%B3_psi%C3%B3" title="Mesó psió">Mesó psió</a> (J/ψ)<span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/Mes%C3%B3_%C3%ADpsilon" title="Mesó ípsilon">Mesó ípsilon</a> (ϒ)<span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/Mes%C3%B3_theta" title="Mesó theta">Mesó theta</a> (θ)<span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/w/index.php?title=Mes%C3%B3_K&action=edit&redlink=1" class="new" title="Mesó K (encara no existeix)">Mesó K</a> (K)<span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/Mes%C3%B3_B" title="Mesó B">Mesó B</a> (B)<span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/Mes%C3%B3_D" title="Mesó D">Mesó D</a> (D)<span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/Mes%C3%B3_T" title="Mesó T">Mesó T</a> (T)<span style="font-weight:bold;"> ·</span> <a href="/wiki/Quarkonium" title="Quarkonium">Quarkonium</a></div></td></tr></tbody></table><div></div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%;padding-left:0em;padding-right:0em;"><div style="padding:0em 0.75em;">Altres</div></th><td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"><a href="/wiki/Nucli_at%C3%B2mic" title="Nucli atòmic">Nucli atòmic</a><span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/%C3%80tom" title="Àtom">Àtom</a><span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/Diquark" title="Diquark">Diquark</a><span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/%C3%80tom_ex%C3%B2tic" title="Àtom exòtic">Àtom exòtic</a> <b>(</b> <a href="/wiki/Positroni" title="Positroni">Positroni</a><span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/Muoni" title="Muoni">Muoni</a><span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/Tautoni" title="Tautoni">Tautoni</a><span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/Oni_(part%C3%ADcula)" class="mw-redirect" title="Oni (partícula)">Oni</a> <b>)</b><span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/Super%C3%A0tom" title="Superàtom">Superàtoms</a><span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/Mol%C3%A8cula" title="Molècula">Molècula</a></div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%;padding-left:0em;padding-right:0em;"><div style="padding:0em 0.75em;"><a href="/wiki/Part%C3%ADcula_hipot%C3%A8tica" title="Partícula hipotètica">Hipotètiques</a></div></th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"></div><table class="nowraplinks navbox-subgroup" style="border-spacing:0"><tbody><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%;padding-left:0em;padding-right:0em;font-weight:normal;"><div style="padding:0em 0.75em;"><a href="/wiki/Hadr%C3%B3_ex%C3%B2tic" title="Hadró exòtic">Hadrons exòtics</a></div></th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"></div><table class="nowraplinks navbox-subgroup" style="border-spacing:0"><tbody><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%;padding-left:0em;padding-right:0em;"><div style="padding:0em 0.75em;"><a href="/wiki/Bari%C3%B3_ex%C3%B2tic" title="Barió exòtic">Barions exòtics</a></div></th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"><a href="/wiki/Dibari%C3%B3" class="mw-redirect" title="Dibarió">Dibarió</a><span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/Pentaquark" title="Pentaquark">Pentaquark</a><span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/Skyrmi%C3%B3" title="Skyrmió">Skyrmió</a></div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%;padding-left:0em;padding-right:0em;"><div style="padding:0em 0.75em;"><a href="/wiki/Mes%C3%B3_ex%C3%B2tic" title="Mesó exòtic">Mesons exòtics</a></div></th><td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"><a href="/wiki/Bola_de_gluons" title="Bola de gluons">Bola de gluons</a><span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/Tetraquark" title="Tetraquark">Tetraquark</a></div></td></tr></tbody></table><div></div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%;padding-left:0em;padding-right:0em;font-weight:normal;"><div style="padding:0em 0.75em;">Altres</div></th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px;background:transparent;"><div style="padding:0em 0.25em"><a href="/wiki/Mol%C3%A8cula_mes%C3%B2nica" title="Molècula mesònica">Molècula mesònica</a><span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/Pomer%C3%B3" title="Pomeró">Pomeró</a></div></td></tr></tbody></table><div></div></td></tr></tbody></table><div></div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/Quasipart%C3%ADcula" title="Quasipartícula">Quasipartícules</a></th><td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"><a href="/w/index.php?title=Solit%C3%B3_de_Davydov&action=edit&redlink=1" class="new" title="Solitó de Davydov (encara no existeix)">Solitó de Davydov</a><span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/Excit%C3%B3" title="Excitó">Excitó</a><span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/Hol%C3%B3" title="Holó">Holó</a><span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/Magn%C3%B3" title="Magnó">Magnó</a><span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a class="mw-selflink selflink">Fonó</a><span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/w/index.php?title=Plasmar%C3%B3&action=edit&redlink=1" class="new" title="Plasmaró (encara no existeix)">Plasmaró</a><span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/Plasm%C3%B3" title="Plasmó">Plasmó</a><span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/w/index.php?title=Polarit%C3%B3&action=edit&redlink=1" class="new" title="Polaritó (encara no existeix)">Polaritó</a><span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/Polar%C3%B3" title="Polaró">Polaró</a><span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/Rot%C3%B3" title="Rotó">Rotó</a><span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/w/index.php?title=Tri%C3%B3_(f%C3%ADsica)&action=edit&redlink=1" class="new" title="Trió (física) (encara no existeix)">Trió</a></div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">Descartades</th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px;background:transparent;"><div style="padding:0em 0.25em"><a href="/wiki/Part%C3%B3" title="Partó">Partó</a></div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">Llistes</th><td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"><a href="/wiki/Llista_de_part%C3%ADcules" title="Llista de partícules">Llista de partícules</a><span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a href="/wiki/Cronologia_de_la_f%C3%ADsica_de_part%C3%ADcules" title="Cronologia de la física de partícules">Cronologia de la física de partícules</a></div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Books" class="extiw" title="en:Wikipedia:Books">Llibres</a> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r33711417">.mw-parser-output .languageicon{font-size:0.95em;color:#555;background-color:inherit}@media screen{html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .languageicon{background-color:inherit;color:white}}@media screen and (prefers-color-scheme:dark){html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .languageicon{background-color:inherit;color:white}}</style><span class="languageicon" title="En anglès">(anglès)</span></th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"><a class="external text" href="https://en.wikipedia.org/wiki/Book:Particles_of_the_Standard_Model">Book:Particles of the Standard Model<span style="font-weight:bold;"> ·</span> </a><a class="external text" href="https://en.wikipedia.org/wiki/Book:Hadronic_Matter">Book:Hadronic Matter</a><span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a class="external text" href="https://en.wikipedia.org/wiki/Book:Leptons">Book:Leptons</a><span style="font-weight:bold;"> ·</span>  <a class="external text" href="https://en.wikipedia.org/wiki/">Book:Quarks</a></div></td></tr></tbody></table></div> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r33663753">.mw-parser-output .side-box{margin:4px 0;box-sizing:border-box;border:1px solid #aaa;font-size:88%;line-height:1.25em;background-color:#f9f9f9;display:flow-root}.mw-parser-output .side-box-abovebelow,.mw-parser-output .side-box-text{padding:0.25em 0.9em}.mw-parser-output .side-box-image{padding:2px 0 2px 0.9em;text-align:center}.mw-parser-output .side-box-imageright{padding:2px 0.9em 2px 0;text-align:center}@media(min-width:500px){.mw-parser-output .side-box-flex{display:flex;align-items:center}.mw-parser-output .side-box-text{flex:1;min-width:0}}@media(min-width:720px){.mw-parser-output .side-box{width:238px}.mw-parser-output .side-box-right{clear:right;float:right;margin-left:1em}.mw-parser-output .side-box-left{margin-right:1em}.mw-parser-output .side-box-center{clear:both;margin:auto}}</style><div class="side-box metadata side-box-right plainlinks"> <div class="side-box-flex"> <div class="side-box-image"><span typeof="mw:File"><span><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/30px-Commons-logo.svg.png" decoding="async" width="30" height="40" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/45px-Commons-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/59px-Commons-logo.svg.png 2x" data-file-width="1024" data-file-height="1376" /></span></span></div> <div class="side-box-text plainlist">A <span class="plainlinks"><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/P%C3%A0gina_principal?uselang=ca">Wikimedia Commons</a></span> hi ha contingut multimèdia relatiu a: <i><b><a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Lattice_vibrations" class="extiw" title="commons:Category:Lattice vibrations">Fonó</a></b></i></div></div> </div> <div role="navigation" class="navbox" aria-label="Navbox" style="padding:3px"><table class="nowraplinks hlist navbox-inner" style="border-spacing:0;background:transparent;color:inherit"><tbody><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/Control_d%27autoritats" title="Control d'autoritats">Registres d'autoritat</a></th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/Gemeinsame_Normdatei" title="Gemeinsame Normdatei">GND</a> <span class="uid"> (<a rel="nofollow" class="external text" href="http://d-nb.info/gnd/4129373-3">1</a>)</span></li> <li><a href="/wiki/LCCN" class="mw-redirect" title="LCCN">LCCN</a> <span class="uid"> (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://id.loc.gov/authorities/subjects/sh85101066">1</a>)</span></li> <li><a href="/wiki/National_Diet_Library" class="mw-redirect" title="National Diet Library">NDL</a> <span class="uid"> (<a rel="nofollow" class="external text" href="http://id.ndl.go.jp/auth/ndlna/00568885">1</a>)</span></li></ul> </div></td></tr></tbody></table></div>    </div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Obtingut de «<a dir="ltr" href="https://ca.wikipedia.org/w/index.php?title=Fonó&oldid=32878476">https://ca.wikipedia.org/w/index.php?title=Fonó&oldid=32878476</a>»</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/Especial:Categorias" title="Especial:Categorias">Categories</a>: <ul><li><a href="/wiki/Categoria:Bosons" title="Categoria:Bosons">Bosons</a></li><li><a href="/wiki/Categoria:Quasipart%C3%ADcules" title="Categoria:Quasipartícules">Quasipartícules</a></li></ul></div><div id="mw-hidden-catlinks" class="mw-hidden-catlinks mw-hidden-cats-hidden">Categories ocultes: <ul><li><a href="/wiki/Categoria:P%C3%A0gines_amb_enlla%C3%A7_commonscat_des_de_Wikidata" title="Categoria:Pàgines amb enllaç commonscat des de Wikidata">Pàgines amb enllaç commonscat des de Wikidata</a></li><li><a href="/wiki/Categoria:Control_d%27autoritats" title="Categoria:Control d'autoritats">Control d'autoritats</a></li></ul></div></div> </div> </main> </div> <div class="mw-footer-container"> <footer id="footer" class="mw-footer" > <ul id="footer-info"> <li id="footer-info-lastmod"> La pàgina va ser modificada per darrera vegada el 31 des 2023 a les 20:34.</li> <li id="footer-info-copyright">El text està disponible sota la <a href="/wiki/Viquip%C3%A8dia:Text_de_la_llic%C3%A8ncia_de_Creative_Commons_Reconeixement-Compartir_Igual_4.0_No_adaptada" title="Viquipèdia:Text de la llicència de Creative Commons Reconeixement-Compartir Igual 4.0 No adaptada"> Llicència de Creative Commons Reconeixement i Compartir-Igual</a>; es poden aplicar termes addicionals. Vegeu les <a class="external text" href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Terms_of_Use/ca">Condicions d'ús</a>. Wikipedia® (Viquipèdia™) és una <a href="/wiki/Marca_comercial" title="Marca comercial">marca registrada</a> de <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.wikimediafoundation.org">Wikimedia Foundation, Inc</a>.<br /></li> </ul> <ul id="footer-places"> <li id="footer-places-privacy"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Privacy_policy">Política de privadesa</a></li> <li id="footer-places-about"><a href="/wiki/Viquip%C3%A8dia:Quant_a_la_Viquip%C3%A8dia">Quant al projecte Viquipèdia</a></li> <li id="footer-places-disclaimers"><a href="/wiki/Viquip%C3%A8dia:Av%C3%ADs_d%27exempci%C3%B3_de_responsabilitat">Descàrrec de responsabilitat</a></li> <li id="footer-places-wm-codeofconduct"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Universal_Code_of_Conduct">Codi de conducta</a></li> <li id="footer-places-developers"><a href="https://developer.wikimedia.org">Desenvolupadors</a></li> <li id="footer-places-statslink"><a href="https://stats.wikimedia.org/#/ca.wikipedia.org">Estadístiques</a></li> <li id="footer-places-cookiestatement"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Cookie_statement">Declaració de cookies</a></li> <li id="footer-places-mobileview"><a href="//ca.m.wikipedia.org/w/index.php?title=Fon%C3%B3&mobileaction=toggle_view_mobile" class="noprint stopMobileRedirectToggle">Versió per a mòbils</a></li> </ul> <ul id="footer-icons" class="noprint"> <li id="footer-copyrightico"><a href="https://wikimediafoundation.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/static/images/footer/wikimedia-button.svg" width="84" height="29" alt="Wikimedia Foundation" loading="lazy"></a></li> <li id="footer-poweredbyico"><a href="https://www.mediawiki.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/w/resources/assets/poweredby_mediawiki.svg" alt="Powered by MediaWiki" width="88" height="31" loading="lazy"></a></li> </ul> </footer> </div> </div> </div> <div class="vector-settings" id="p-dock-bottom"> <ul></ul> </div><script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.config.set({"wgHostname":"mw-web.codfw.main-f69cdc8f6-vnstb","wgBackendResponseTime":161,"wgPageParseReport":{"limitreport":{"cputime":"0.233","walltime":"0.523","ppvisitednodes":{"value":6406,"limit":1000000},"postexpandincludesize":{"value":228545,"limit":2097152},"templateargumentsize":{"value":38931,"limit":2097152},"expansiondepth":{"value":22,"limit":100},"expensivefunctioncount":{"value":0,"limit":500},"unstrip-depth":{"value":0,"limit":20},"unstrip-size":{"value":2004,"limit":5000000},"entityaccesscount":{"value":1,"limit":400},"timingprofile":["154.21% 318.311 14 Plantilla:Caixa_de_navegació","102.14% 210.833 13 Plantilla:Navbox_subgroups","100.00% 206.413 1 -total"," 60.71% 125.314 1 Plantilla:Partícules"," 21.11% 43.578 1 Plantilla:Commonscat"," 18.33% 37.831 1 Plantilla:Sister"," 18.10% 37.369 1 Plantilla:Autoritat"," 17.38% 35.877 1 Plantilla:Caixa_lateral"," 4.33% 8.933 1 Plantilla:En"," 3.59% 7.406 1 Plantilla:Indicació_d'idioma"]},"scribunto":{"limitreport-timeusage":{"value":"0.058","limit":"10.000"},"limitreport-memusage":{"value":1398538,"limit":52428800}},"cachereport":{"origin":"mw-web.codfw.main-f69cdc8f6-bmh6q","timestamp":"20241124021432","ttl":2592000,"transientcontent":false}}});});</script> <script type="application/ld+json">{"@context":"https:\/\/schema.org","@type":"Article","name":"Fon\u00f3","url":"https:\/\/ca.wikipedia.org\/wiki\/Fon%C3%B3","sameAs":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q186608","mainEntity":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q186608","author":{"@type":"Organization","name":"Contributors to Wikimedia projects"},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Wikimedia Foundation, Inc.","logo":{"@type":"ImageObject","url":"https:\/\/www.wikimedia.org\/static\/images\/wmf-hor-googpub.png"}},"datePublished":"2005-08-01T13:49:31Z","dateModified":"2023-12-31T19:34:19Z","image":"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/9\/9b\/1D_normal_modes_%28280_kB%29.gif"}</script> </body> </html>

CINXE.COM

Fonó - Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure