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vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#模型"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7</span> <span>模型</span> </div> </a> <ul id="toc-模型-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-基本多角形" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#基本多角形"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">8</span> <span>基本多角形</span> </div> </a> <ul id="toc-基本多角形-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-曲面の連結和" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#曲面の連結和"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">9</span> <span>曲面の連結和</span> </div> </a> <ul id="toc-曲面の連結和-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-代数曲面" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#代数曲面"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">10</span> <span>代数曲面</span> </div> </a> <ul id="toc-代数曲面-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-参考文献" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#参考文献"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">11</span> <span>参考文献</span> </div> </a> <ul id="toc-参考文献-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-外部リンク" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#外部リンク"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">12</span> <span>外部リンク</span> </div> </a> <ul id="toc-外部リンク-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="目次" class="vector-toc-landmark"> <div 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data-title="Oppervlak" data-language-autonym="Afrikaans" data-language-local-name="アフリカーンス語" class="interlanguage-link-target"><span>Afrikaans</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-als mw-list-item"><a href="https://als.wikipedia.org/wiki/Fl%C3%A4che_(Topologie)" title="スイスドイツ語: Fläche (Topologie)" lang="gsw" hreflang="gsw" data-title="Fläche (Topologie)" data-language-autonym="Alemannisch" data-language-local-name="スイスドイツ語" class="interlanguage-link-target"><span>Alemannisch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-an mw-list-item"><a href="https://an.wikipedia.org/wiki/Superficie" title="アラゴン語: Superficie" lang="an" hreflang="an" data-title="Superficie" data-language-autonym="Aragonés" data-language-local-name="アラゴン語" class="interlanguage-link-target"><span>Aragonés</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D8%B3%D8%B7%D8%AD" title="アラビア語: سطح" lang="ar" hreflang="ar" data-title="سطح" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="アラビア語" class="interlanguage-link-target"><span>العربية</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ast mw-list-item"><a href="https://ast.wikipedia.org/wiki/Superficie" title="アストゥリアス語: Superficie" lang="ast" hreflang="ast" data-title="Superficie" data-language-autonym="Asturianu" data-language-local-name="アストゥリアス語" class="interlanguage-link-target"><span>Asturianu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-az mw-list-item"><a href="https://az.wikipedia.org/wiki/S%C9%99th" title="アゼルバイジャン語: Səth" lang="az" hreflang="az" data-title="Səth" data-language-autonym="Azərbaycanca" data-language-local-name="アゼルバイジャン語" class="interlanguage-link-target"><span>Azərbaycanca</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be mw-list-item"><a href="https://be.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B0%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%85%D0%BD%D1%8F" title="ベラルーシ語: Паверхня" lang="be" hreflang="be" data-title="Паверхня" data-language-autonym="Беларуская" data-language-local-name="ベラルーシ語" class="interlanguage-link-target"><span>Беларуская</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bg mw-list-item"><a href="https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BE%D0%B2%D1%8A%D1%80%D1%85%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82" title="ブルガリア語: Повърхност" lang="bg" hreflang="bg" data-title="Повърхност" data-language-autonym="Български" data-language-local-name="ブルガリア語" class="interlanguage-link-target"><span>Български</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bn mw-list-item"><a href="https://bn.wikipedia.org/wiki/%E0%A6%A4%E0%A6%B2_(%E0%A6%9F%E0%A6%AA%E0%A7%8B%E0%A6%B2%E0%A6%9C%E0%A6%BF)" title="ベンガル語: তল (টপোলজি)" lang="bn" hreflang="bn" data-title="তল (টপোলজি)" data-language-autonym="বাংলা" data-language-local-name="ベンガル語" class="interlanguage-link-target"><span>বাংলা</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bs mw-list-item"><a href="https://bs.wikipedia.org/wiki/Povr%C5%A1" title="ボスニア語: Površ" lang="bs" hreflang="bs" data-title="Površ" data-language-autonym="Bosanski" data-language-local-name="ボスニア語" class="interlanguage-link-target"><span>Bosanski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ca mw-list-item"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Superf%C3%ADcie_(matem%C3%A0tiques)" title="カタロニア語: Superfície (matemàtiques)" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Superfície (matemàtiques)" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="カタロニア語" class="interlanguage-link-target"><span>Català</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ckb mw-list-item"><a href="https://ckb.wikipedia.org/wiki/%DA%95%D9%88%D9%88" title="中央クルド語: ڕوو" lang="ckb" hreflang="ckb" data-title="ڕوو" data-language-autonym="کوردی" data-language-local-name="中央クルド語" class="interlanguage-link-target"><span>کوردی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/Plocha" title="チェコ語: Plocha" lang="cs" hreflang="cs" 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data-language-local-name="エスペラント語" class="interlanguage-link-target"><span>Esperanto</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Superficie_(topolog%C3%ADa)" title="スペイン語: Superficie (topología)" lang="es" hreflang="es" data-title="Superficie (topología)" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="スペイン語" class="interlanguage-link-target"><span>Español</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-et mw-list-item"><a href="https://et.wikipedia.org/wiki/Pind" title="エストニア語: Pind" lang="et" hreflang="et" data-title="Pind" data-language-autonym="Eesti" data-language-local-name="エストニア語" class="interlanguage-link-target"><span>Eesti</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eu mw-list-item"><a href="https://eu.wikipedia.org/wiki/Gainazal" title="バスク語: Gainazal" lang="eu" hreflang="eu" data-title="Gainazal" data-language-autonym="Euskara" data-language-local-name="バスク語" class="interlanguage-link-target"><span>Euskara</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%B1%D9%88%DB%8C%D9%87_(%D8%AA%D9%88%D9%BE%D9%88%D9%84%D9%88%DA%98%DB%8C)" title="ペルシア語: رویه (توپولوژی)" lang="fa" hreflang="fa" data-title="رویه (توپولوژی)" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="ペルシア語" class="interlanguage-link-target"><span>فارسی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fi mw-list-item"><a href="https://fi.wikipedia.org/wiki/Pinta_(geometria)" title="フィンランド語: Pinta (geometria)" lang="fi" hreflang="fi" data-title="Pinta (geometria)" data-language-autonym="Suomi" data-language-local-name="フィンランド語" class="interlanguage-link-target"><span>Suomi</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fr badge-Q70893996 mw-list-item" title=""><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Surface_(g%C3%A9om%C3%A9trie)" title="フランス語: Surface (géométrie)" lang="fr" hreflang="fr" data-title="Surface (géométrie)" data-language-autonym="Français" data-language-local-name="フランス語" class="interlanguage-link-target"><span>Français</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fur mw-list-item"><a href="https://fur.wikipedia.org/wiki/Superficie" title="フリウリ語: Superficie" lang="fur" hreflang="fur" data-title="Superficie" data-language-autonym="Furlan" data-language-local-name="フリウリ語" class="interlanguage-link-target"><span>Furlan</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ga mw-list-item"><a href="https://ga.wikipedia.org/wiki/Dromchla_(toipeola%C3%ADocht)" title="アイルランド語: Dromchla (toipeolaíocht)" lang="ga" hreflang="ga" data-title="Dromchla (toipeolaíocht)" data-language-autonym="Gaeilge" data-language-local-name="アイルランド語" class="interlanguage-link-target"><span>Gaeilge</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gl mw-list-item"><a href="https://gl.wikipedia.org/wiki/Superficie" title="ガリシア語: Superficie" lang="gl" hreflang="gl" data-title="Superficie" data-language-autonym="Galego" data-language-local-name="ガリシア語" class="interlanguage-link-target"><span>Galego</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%9E%D7%A9%D7%98%D7%97_(%D7%98%D7%95%D7%A4%D7%95%D7%9C%D7%95%D7%92%D7%99%D7%94)" title="ヘブライ語: משטח (טופולוגיה)" lang="he" hreflang="he" data-title="משטח (טופולוגיה)" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="ヘブライ語" class="interlanguage-link-target"><span>עברית</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hi mw-list-item"><a href="https://hi.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%AA%E0%A5%83%E0%A4%B7%E0%A5%8D%E0%A4%9F" title="ヒンディー語: पृष्ट" lang="hi" hreflang="hi" data-title="पृष्ट" data-language-autonym="हिन्दी" data-language-local-name="ヒンディー語" class="interlanguage-link-target"><span>हिन्दी</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hr mw-list-item"><a href="https://hr.wikipedia.org/wiki/Ploha_(geometrija)" title="クロアチア語: Ploha (geometrija)" lang="hr" hreflang="hr" data-title="Ploha (geometrija)" data-language-autonym="Hrvatski" data-language-local-name="クロアチア語" class="interlanguage-link-target"><span>Hrvatski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hu mw-list-item"><a href="https://hu.wikipedia.org/wiki/Felsz%C3%ADn" title="ハンガリー語: Felszín" lang="hu" hreflang="hu" data-title="Felszín" data-language-autonym="Magyar" data-language-local-name="ハンガリー語" class="interlanguage-link-target"><span>Magyar</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hy mw-list-item"><a href="https://hy.wikipedia.org/wiki/%D5%84%D5%A1%D5%AF%D5%A5%D6%80%D6%87%D5%B8%D6%82%D5%B5%D5%A9" title="アルメニア語: Մակերևույթ" lang="hy" hreflang="hy" data-title="Մակերևույթ" data-language-autonym="Հայերեն" data-language-local-name="アルメニア語" class="interlanguage-link-target"><span>Հայերեն</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ia mw-list-item"><a href="https://ia.wikipedia.org/wiki/Superficie" title="インターリングア: Superficie" lang="ia" hreflang="ia" data-title="Superficie" data-language-autonym="Interlingua" data-language-local-name="インターリングア" class="interlanguage-link-target"><span>Interlingua</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-id mw-list-item"><a href="https://id.wikipedia.org/wiki/Permukaan_(topologi)" title="インドネシア語: Permukaan (topologi)" lang="id" hreflang="id" data-title="Permukaan (topologi)" data-language-autonym="Bahasa Indonesia" data-language-local-name="インドネシア語" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Indonesia</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-inh mw-list-item"><a href="https://inh.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D3%80%D0%B5%D1%85%D0%B5" title="イングーシ語: ТӀехе" lang="inh" hreflang="inh" data-title="ТӀехе" data-language-autonym="ГӀалгӀай" data-language-local-name="イングーシ語" class="interlanguage-link-target"><span>ГӀалгӀай</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-io mw-list-item"><a href="https://io.wikipedia.org/wiki/Surfaco" title="イド語: Surfaco" lang="io" hreflang="io" data-title="Surfaco" data-language-autonym="Ido" data-language-local-name="イド語" class="interlanguage-link-target"><span>Ido</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-is mw-list-item"><a href="https://is.wikipedia.org/wiki/Yfirbor%C3%B0" title="アイスランド語: Yfirborð" lang="is" hreflang="is" data-title="Yfirborð" data-language-autonym="Íslenska" data-language-local-name="アイスランド語" class="interlanguage-link-target"><span>Íslenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Superficie" title="イタリア語: Superficie" lang="it" hreflang="it" data-title="Superficie" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="イタリア語" class="interlanguage-link-target"><span>Italiano</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kk mw-list-item"><a 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class="interlanguage-link-target"><span>Latviešu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mr mw-list-item"><a href="https://mr.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%86%E0%A4%A1" title="マラーティー語: आड" lang="mr" hreflang="mr" data-title="आड" data-language-autonym="मराठी" data-language-local-name="マラーティー語" class="interlanguage-link-target"><span>मराठी</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Oppervlak_(topologie)" title="オランダ語: Oppervlak (topologie)" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Oppervlak (topologie)" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="オランダ語" class="interlanguage-link-target"><span>Nederlands</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nn mw-list-item"><a href="https://nn.wikipedia.org/wiki/Flate" title="ノルウェー語(ニーノシュク): Flate" lang="nn" hreflang="nn" data-title="Flate" data-language-autonym="Norsk nynorsk" data-language-local-name="ノルウェー語(ニーノシュク)" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk nynorsk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-no mw-list-item"><a href="https://no.wikipedia.org/wiki/Flate" title="ノルウェー語(ブークモール): Flate" lang="nb" hreflang="nb" data-title="Flate" data-language-autonym="Norsk bokmål" data-language-local-name="ノルウェー語(ブークモール)" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk bokmål</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-oc mw-list-item"><a href="https://oc.wikipedia.org/wiki/Superf%C3%ADcia_(matematicas)" title="オック語: Superfícia (matematicas)" lang="oc" hreflang="oc" data-title="Superfícia (matematicas)" data-language-autonym="Occitan" data-language-local-name="オック語" class="interlanguage-link-target"><span>Occitan</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pl mw-list-item"><a href="https://pl.wikipedia.org/wiki/Powierzchnia" title="ポーランド語: Powierzchnia" lang="pl" hreflang="pl" data-title="Powierzchnia" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="ポーランド語" class="interlanguage-link-target"><span>Polski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pms mw-list-item"><a href="https://pms.wikipedia.org/wiki/Surfassa" title="ピエモンテ語: Surfassa" lang="pms" hreflang="pms" data-title="Surfassa" data-language-autonym="Piemontèis" data-language-local-name="ピエモンテ語" class="interlanguage-link-target"><span>Piemontèis</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Superf%C3%ADcie" title="ポルトガル語: Superfície" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Superfície" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="ポルトガル語" class="interlanguage-link-target"><span>Português</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ro mw-list-item"><a href="https://ro.wikipedia.org/wiki/Suprafa%C8%9B%C4%83" title="ルーマニア語: Suprafață" lang="ro" hreflang="ro" data-title="Suprafață" data-language-autonym="Română" data-language-local-name="ルーマニア語" class="interlanguage-link-target"><span>Română</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-rsk mw-list-item"><a href="https://rsk.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BE%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%85%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%86" title="Pannonian Rusyn: Поверхносц" lang="rsk" hreflang="rsk" data-title="Поверхносц" data-language-autonym="Руски" data-language-local-name="Pannonian Rusyn" class="interlanguage-link-target"><span>Руски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BE%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%85%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C" title="ロシア語: Поверхность" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Поверхность" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="ロシア語" class="interlanguage-link-target"><span>Русский</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sh mw-list-item"><a href="https://sh.wikipedia.org/wiki/Povr%C5%A1" title="セルボ・クロアチア語: Površ" lang="sh" hreflang="sh" data-title="Površ" data-language-autonym="Srpskohrvatski / српскохрватски" data-language-local-name="セルボ・クロアチア語" class="interlanguage-link-target"><span>Srpskohrvatski / српскохрватски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-simple mw-list-item"><a href="https://simple.wikipedia.org/wiki/Surface" title="シンプル英語: Surface" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Surface" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="シンプル英語" class="interlanguage-link-target"><span>Simple English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sk mw-list-item"><a href="https://sk.wikipedia.org/wiki/Povrch" title="スロバキア語: Povrch" lang="sk" hreflang="sk" data-title="Povrch" data-language-autonym="Slovenčina" data-language-local-name="スロバキア語" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenčina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/Ploskev" title="スロベニア語: Ploskev" lang="sl" hreflang="sl" data-title="Ploskev" data-language-autonym="Slovenščina" data-language-local-name="スロベニア語" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenščina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sn mw-list-item"><a href="https://sn.wikipedia.org/wiki/Chiso_(Chiumbwa)" title="ショナ語: Chiso (Chiumbwa)" lang="sn" hreflang="sn" data-title="Chiso (Chiumbwa)" data-language-autonym="ChiShona" data-language-local-name="ショナ語" class="interlanguage-link-target"><span>ChiShona</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-so mw-list-item"><a href="https://so.wikipedia.org/wiki/Oogo_(dhul)" title="ソマリ語: Oogo (dhul)" lang="so" hreflang="so" data-title="Oogo (dhul)" data-language-autonym="Soomaaliga" data-language-local-name="ソマリ語" class="interlanguage-link-target"><span>Soomaaliga</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BE%D0%B2%D1%80%D1%88" title="セルビア語: Површ" lang="sr" hreflang="sr" data-title="Површ" data-language-autonym="Српски / srpski" data-language-local-name="セルビア語" class="interlanguage-link-target"><span>Српски / srpski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sv mw-list-item"><a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/Yta" title="スウェーデン語: Yta" lang="sv" hreflang="sv" data-title="Yta" data-language-autonym="Svenska" data-language-local-name="スウェーデン語" class="interlanguage-link-target"><span>Svenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-te mw-list-item"><a href="https://te.wikipedia.org/wiki/%E0%B0%89%E0%B0%AA%E0%B0%B0%E0%B0%BF%E0%B0%A4%E0%B0%B2%E0%B0%82" title="テルグ語: ఉపరితలం" lang="te" hreflang="te" data-title="ఉపరితలం" data-language-autonym="తెలుగు" data-language-local-name="テルグ語" class="interlanguage-link-target"><span>తెలుగు</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tr mw-list-item"><a href="https://tr.wikipedia.org/wiki/Y%C3%BCzey" title="トルコ語: Yüzey" lang="tr" hreflang="tr" data-title="Yüzey" data-language-autonym="Türkçe" 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class="interlanguage-link-target"><span>Oʻzbekcha / ўзбекча</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vec mw-list-item"><a href="https://vec.wikipedia.org/wiki/Superficie" title="ヴェネト語: Superficie" lang="vec" hreflang="vec" data-title="Superficie" data-language-autonym="Vèneto" data-language-local-name="ヴェネト語" class="interlanguage-link-target"><span>Vèneto</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vi mw-list-item"><a href="https://vi.wikipedia.org/wiki/M%E1%BA%B7t_(t%C3%B4_p%C3%B4)" title="ベトナム語: Mặt (tô pô)" lang="vi" hreflang="vi" data-title="Mặt (tô pô)" data-language-autonym="Tiếng Việt" data-language-local-name="ベトナム語" class="interlanguage-link-target"><span>Tiếng Việt</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-wuu mw-list-item"><a href="https://wuu.wikipedia.org/wiki/%E6%9B%B2%E9%9D%A2" title="呉語: 曲面" lang="wuu" hreflang="wuu" data-title="曲面" data-language-autonym="吴语" data-language-local-name="呉語" class="interlanguage-link-target"><span>吴语</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%9B%B2%E9%9D%A2" title="中国語: 曲面" lang="zh" hreflang="zh" data-title="曲面" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="中国語" class="interlanguage-link-target"><span>中文</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-yue mw-list-item"><a href="https://zh-yue.wikipedia.org/wiki/%E6%9B%B2%E9%9D%A2" title="広東語: 曲面" lang="yue" hreflang="yue" data-title="曲面" data-language-autonym="粵語" data-language-local-name="広東語" class="interlanguage-link-target"><span>粵語</span></a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><span class="wb-langlinks-edit wb-langlinks-link"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q484298#sitelinks-wikipedia" title="言語間リンクを編集" class="wbc-editpage">リンクを編集</a></span></div> </div> </div> </div> </header> <div class="vector-page-toolbar"> <div 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id="t-wikibase" class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikibase-dataitem mw-list-item"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q484298" title="関連付けられたデータリポジトリ項目へのリンク [g]" accesskey="g"><span>ウィキデータ項目</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> </div> <div class="vector-column-end"> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="ページツール"> <div id="vector-page-tools-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="表示"> <div id="vector-appearance-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-appearance" class="vector-appearance vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-appearance-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="appearance-pinned" data-pinnable-element-id="vector-appearance" data-pinned-container-id="vector-appearance-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-appearance-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">表示</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.pin">サイドバーに移動</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.unpin">非表示</button> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> <div id="bodyContent" class="vector-body" aria-labelledby="firstHeading" data-mw-ve-target-container> <div class="vector-body-before-content"> <div class="mw-indicators"> </div> <div id="siteSub" class="noprint">出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』</div> </div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"></div></div> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="ja" dir="ltr"><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r101346560">.mw-parser-output .hatnote{margin:0.5em 0;padding:3px 2em;background-color:transparent;border-bottom:1px solid #a2a9b1;font-size:90%}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .hatnote>table{color:inherit}@media screen and (prefers-color-scheme:dark){html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .hatnote>table{color:inherit}}</style><div class="hatnote dablink noprint"><table style="width:100%; background:transparent;"> <tbody><tr><td style="width:25px;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Disambig_gray.svg" class="mw-file-description" title="曖昧さ回避"><img alt="曖昧さ回避" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5f/Disambig_gray.svg/25px-Disambig_gray.svg.png" decoding="async" width="25" height="19" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5f/Disambig_gray.svg/38px-Disambig_gray.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5f/Disambig_gray.svg/50px-Disambig_gray.svg.png 2x" data-file-width="220" data-file-height="168" /></a></span></td> <td>この項目では、位相幾何学について説明しています。初等幾何学については「<a href="/wiki/%E6%9B%B2%E9%9D%A2_(%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6)" class="mw-redirect" title="曲面 (解析幾何学)">曲面 (解析幾何学)</a>」を、微分幾何学については「<span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E6%9B%B2%E9%9D%A2%E3%81%AE%E5%BE%AE%E5%88%86%E5%B9%BE%E4%BD%95&action=edit&redlink=1" class="new" title="「曲面の微分幾何」 (存在しないページ)">曲面の微分幾何</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Differential_geometry_of_surfaces" class="extiw" title="en:Differential geometry of surfaces">英語版</a>）</span></span>」を、代数幾何については「<a href="/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E6%9B%B2%E9%9D%A2" title="代数曲面">代数曲面</a>」を、その他の用法については「<a href="/wiki/%E8%A1%A8%E9%9D%A2" title="表面">表面</a>」をご覧ください。</td> </tr></tbody></table></div> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r101304250">.mw-parser-output .ambox{border:1px solid #a2a9b1;border-left:10px solid #36c;background-color:#fbfbfb;box-sizing:border-box}.mw-parser-output .ambox+link+.ambox,.mw-parser-output .ambox+link+style+.ambox,.mw-parser-output .ambox+link+link+.ambox,.mw-parser-output .ambox+.mw-empty-elt+link+.ambox,.mw-parser-output .ambox+.mw-empty-elt+link+style+.ambox,.mw-parser-output .ambox+.mw-empty-elt+link+link+.ambox{margin-top:-1px}html body.mediawiki .mw-parser-output .ambox.mbox-small-left{margin:4px 1em 4px 0;overflow:hidden;width:238px;border-collapse:collapse;font-size:88%;line-height:1.25em}.mw-parser-output .ambox-speedy{border-left:10px solid #b32424;background-color:#fee7e6}.mw-parser-output .ambox-delete{border-left:10px solid #b32424}.mw-parser-output .ambox-content{border-left:10px solid #f28500}.mw-parser-output .ambox-style{border-left:10px solid #fc3}.mw-parser-output .ambox-move{border-left:10px solid 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src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/64/Question_book-4.svg/50px-Question_book-4.svg.png" decoding="async" width="50" height="39" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/64/Question_book-4.svg/75px-Question_book-4.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/64/Question_book-4.svg/100px-Question_book-4.svg.png 2x" data-file-width="262" data-file-height="204" /></span></span></div></td><td class="mbox-text"><div class="mbox-text-span"><b><a href="/wiki/Wikipedia:%E3%82%B9%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%AB%E3%83%9E%E3%83%8B%E3%83%A5%E3%82%A2%E3%83%AB_(%E3%83%AC%E3%82%A4%E3%82%A2%E3%82%A6%E3%83%88)#参考文献" class="mw-redirect" title="Wikipedia:スタイルマニュアル (レイアウト)">出典</a>は列挙するだけでなく、<a href="/wiki/Help:%E8%84%9A%E6%B3%A8" title="Help:脚注">脚注</a>などを用いて<a href="/wiki/Wikipedia:%E5%87%BA%E5%85%B8%E3%82%92%E6%98%8E%E8%A8%98%E3%81%99%E3%82%8B#出典の示し方" title="Wikipedia:出典を明記する">どの記述の情報源であるかを明記</a>してください。</b><span class="hide-when-compact"> 記事の<a href="/wiki/Wikipedia:%E6%A4%9C%E8%A8%BC%E5%8F%AF%E8%83%BD%E6%80%A7" title="Wikipedia:検証可能性">信頼性向上</a>にご協力をお願いいたします。<small>（<span title="2013年6月">2013年6月</span>）</small></span></div></td></tr></tbody></table> <figure class="mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Saddle_pt.jpg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/21/Saddle_pt.jpg/300px-Saddle_pt.jpg" decoding="async" width="300" height="300" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/21/Saddle_pt.jpg/450px-Saddle_pt.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/21/Saddle_pt.jpg/600px-Saddle_pt.jpg 2x" data-file-width="1000" data-file-height="1000" /></a><figcaption><i>X</i>-、<i>Y</i>-、<i>Z</i>-<a href="/w/index.php?title=%E7%AD%89%E4%BD%8D%E7%B7%9A&action=edit&redlink=1" class="new" title="「等位線」 (存在しないページ)">等位線</a>の入った開曲面</figcaption></figure> <p><a href="/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6" title="数学">数学</a>、特に<a href="/wiki/%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6" title="位相幾何学">位相幾何学</a>における<b>曲面</b>（きょくめん、<a href="/wiki/%E8%8B%B1%E8%AA%9E" title="英語">英</a>: <span lang="en"><i>surface</i></span>）は、<a href="/wiki/%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E5%85%83" class="mw-redirect" title="二次元">二次元</a><a href="/wiki/%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E5%A4%9A%E6%A7%98%E4%BD%93" title="位相多様体">位相多様体</a>である。最もよく知られた曲面の例は、古典的な三次元<a href="/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%AF%E3%83%AA%E3%83%83%E3%83%89%E7%A9%BA%E9%96%93" title="ユークリッド空間">ユークリッド空間</a> <b>R</b><sup>3</sup> 内の<a href="/wiki/%E7%AB%8B%E4%BD%93" title="立体">立体</a>の<a href="/wiki/%E5%A2%83%E7%95%8C_(%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E7%A9%BA%E9%96%93%E8%AB%96)" title="境界 (位相空間論)">境界</a>として得られる曲面である。例えば、<a href="/wiki/%E7%90%83%E4%BD%93" title="球体">球体</a>の境界としての<a href="/wiki/%E7%90%83%E9%9D%A2" title="球面">球面</a>はそのようなものの例になっている。他方で<a href="/wiki/%E3%82%AF%E3%83%A9%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%81%AE%E5%A3%B7" class="mw-redirect" title="クラインの壷">クラインの壷</a>などの、<a href="/wiki/%E7%89%B9%E7%95%B0%E7%82%B9_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="特異点 (数学)">特異点</a>や自己交叉を持つことなしに三次元ユークリッド空間に<a href="/wiki/%E5%9F%8B%E3%82%81%E8%BE%BC%E3%81%BF_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="埋め込み (数学)">埋め込み</a>不可能な曲面というものも存在する。 </p><p>曲面が「二次元」であるというのは、それが二次元の<a href="/wiki/%E5%BA%A7%E6%A8%99%E7%B3%BB" class="mw-redirect" title="座標系">座標系</a>を入れた「<a href="/wiki/%E5%BA%A7%E6%A8%99%E3%83%81%E3%83%A3%E3%83%BC%E3%83%88" class="mw-redirect" title="座標チャート">座標付きのきれはし</a>」の貼り合せになっているということを指し示している。例えば、「地球の表面」は（理想的には）二次元<a href="/wiki/%E7%90%83%E9%9D%A2" title="球面">球面</a>であり、<a href="/wiki/%E7%B5%8C%E7%B7%9A" class="mw-redirect" title="経線">経線</a>と<a href="/wiki/%E7%B7%AF%E7%B7%9A" title="緯線">緯線</a>はその球面上の二次元座標系を与えている（ただし、両極を180度子午線で結んだ部分を除く）。 </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="例"><span id=".E4.BE.8B"></span>例</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E6%9B%B2%E9%9D%A2&action=edit&section=1" title="節を編集: 例"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>様々な例をみてみることで、一般的な曲面の概念と、曲面概念がいかに多様で豊富であるかがわかる。どんな形式的定義によってもこの多様さを包摂することはできないだろう。 </p> <ul><li><a href="/wiki/%E5%8F%AF%E5%B1%95%E9%9D%A2" title="可展面">可展面</a> <span lang="en">(developable surface)</span> は内在的には「曲がっていない」曲面、つまり平面から伸縮することなく得られる曲面である。例として<a href="/w/index.php?title=%E6%9F%B1%E9%9D%A2&action=edit&redlink=1" class="new" title="「柱面」 (存在しないページ)">柱面</a>・<a href="/w/index.php?title=%E9%8C%90%E9%9D%A2&action=edit&redlink=1" class="new" title="「錐面」 (存在しないページ)">錐面</a>、4次元空間における<a href="/wiki/%E3%83%88%E3%83%BC%E3%83%A9%E3%82%B9" title="トーラス">トーラス</a>があげられる。<a href="/wiki/%E3%83%9A%E3%83%BC%E3%83%91%E3%83%BC%E3%82%AF%E3%83%A9%E3%83%95%E3%83%88" title="ペーパークラフト">ペーパークラフト</a>は可展面により構成される。</li> <li><a href="/w/index.php?title=%E7%B7%9A%E7%B9%94%E9%9D%A2&action=edit&redlink=1" class="new" title="「線織面」 (存在しないページ)">線織面</a> <span lang="en">(ruled surface)</span> 各点についてそこを通る内在的に「まっすぐな」線が存在するような曲面。柱面や一葉<a href="/wiki/%E5%8F%8C%E6%9B%B2%E9%9D%A2" title="双曲面">双曲面</a>がその例になっている。</li> <li><a href="/wiki/%E5%9B%9E%E8%BB%A2%E9%9D%A2" title="回転面">回転面</a> <span lang="en">(surface of revolution)</span> は円柱対称性をもった曲面である。</li> <li><a href="/wiki/%E6%A5%B5%E5%B0%8F%E6%9B%B2%E9%9D%A2" title="極小曲面">極小曲面</a> <span lang="en">(minimal surface)</span> とは与えられた<a href="/wiki/%E5%A2%83%E7%95%8C%E6%9D%A1%E4%BB%B6" title="境界条件">境界条件</a>に対し面積を極小・最小にするような曲面である。カテノイド（懸垂面）やヘリコイド（常螺旋面）が例として挙げられる。針金の枠に張ったシャボン膜は表面張力がはたらくことにより極小曲面をなす。</li> <li><a href="/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E6%9B%B2%E9%9D%A2" title="代数曲面">代数曲面</a>は<a href="/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F" title="代数方程式">代数方程式</a>系の<a href="/wiki/%E9%9B%B6%E7%82%B9" title="零点">零点</a><a href="/wiki/%E9%9B%86%E5%90%88" title="集合">集合</a>として定義される。例として<a href="/wiki/%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%9B%B2%E9%9D%A2" title="二次曲面">二次曲面</a>・<a href="/w/index.php?title=%E4%B8%89%E6%AC%A1%E6%9B%B2%E9%9D%A2&action=edit&redlink=1" class="new" title="「三次曲面」 (存在しないページ)">三次曲面</a>・<a href="/w/index.php?title=%E3%83%B4%E3%82%A7%E3%83%AD%E3%83%8D%E3%83%BC%E3%82%BC%E6%9B%B2%E9%9D%A2&action=edit&redlink=1" class="new" title="「ヴェロネーゼ曲面」 (存在しないページ)">ヴェロネーゼ曲面</a>が挙げられる。</li> <li><a href="/w/index.php?title=%E9%99%B0%E4%BC%8F%E6%9B%B2%E9%9D%A2&action=edit&redlink=1" class="new" title="「陰伏曲面」 (存在しないページ)">陰伏曲面</a> <span lang="en">(implicit surface)</span> は一般的な<a href="/wiki/%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F" title="方程式">方程式</a>系の零点集合として定義される。</li> <li><a href="/wiki/%E3%82%AF%E3%83%A9%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%81%AE%E5%A3%BA" title="クラインの壺">クラインの壺</a>や<a href="/wiki/%E3%83%A1%E3%83%93%E3%82%A6%E3%82%B9%E3%81%AE%E5%B8%AF" title="メビウスの帯">メビウスの帯</a>は向きのつかない多様体の例である。</li> <li><a href="/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%83%B3%E9%9D%A2" title="リーマン面">リーマン面</a>とは<a href="/wiki/%E8%A4%87%E7%B4%A0%E8%A7%A3%E6%9E%90" title="複素解析">複素解析</a>的な構造を持つ曲面のことであり、特に、それらの間の<a href="/wiki/%E6%AD%A3%E5%89%87%E5%86%99%E5%83%8F" class="mw-redirect" title="正則写像">正則写像</a>の概念が定義できる。例えば球面やトーラスが挙げられる。</li> <li><a href="/wiki/%E5%B0%84%E5%BD%B1%E6%9B%B2%E9%9D%A2" class="mw-redirect" title="射影曲面">射影曲面</a>は<a href="/wiki/%E5%B0%84%E5%BD%B1%E7%A9%BA%E9%96%93" title="射影空間">射影空間</a>の中で定義される。</li> <li><a href="/wiki/%E3%82%A2%E3%83%AC%E3%82%AF%E3%82%B5%E3%83%B3%E3%83%80%E3%83%BC%E3%81%AE%E8%A7%92%E4%BB%98%E3%81%8D%E7%90%83%E9%9D%A2" title="アレクサンダーの角付き球面">アレクサンダーの角付き球面</a>は、普通のなめらかな曲面と<a href="/wiki/%E3%82%AB%E3%83%B3%E3%83%88%E3%83%BC%E3%83%AB%E9%9B%86%E5%90%88" title="カントール集合">カントール集合</a>になっている<a href="/wiki/%E7%89%B9%E7%95%B0%E7%82%B9" class="mw-disambig" title="特異点">特異点</a>集合をあわせた<a href="/wiki/%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E6%A7%8B%E9%80%A0" class="mw-redirect" title="位相構造">位相構造</a>を持つ曲面の例になっている。</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="定義"><span id=".E5.AE.9A.E7.BE.A9"></span>定義</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E6%9B%B2%E9%9D%A2&action=edit&section=2" title="節を編集: 定義"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>以下では、曲面とは<a href="/wiki/%E7%AC%AC%E4%BA%8C%E5%8F%AF%E7%AE%97%E5%85%AC%E7%90%86" class="mw-redirect" title="第二可算公理">第二可算公理</a>を満たす二次元の多様体とする。 </p><p>より正確には、（境界付きの）位相的曲面とは<a href="/wiki/%E3%83%8F%E3%82%A6%E3%82%B9%E3%83%89%E3%83%AB%E3%83%95%E7%A9%BA%E9%96%93" title="ハウスドルフ空間">ハウスドルフ空間</a>であってその任意の点が、二次元<a href="/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%AF%E3%83%AA%E3%83%83%E3%83%89%E7%A9%BA%E9%96%93" title="ユークリッド空間">ユークリッド空間</a> <i>E</i><sup>2</sup> の<a href="/wiki/%E9%96%8B%E9%9B%86%E5%90%88" title="開集合">開集合</a>、あるいは <i>E</i><sup>2</sup> の<a href="/w/index.php?title=%E5%8D%8A%E9%96%89%E7%A9%BA%E9%96%93&action=edit&redlink=1" class="new" title="「半閉空間」 (存在しないページ)">半閉空間</a>の開集合に<a href="/wiki/%E5%90%8C%E7%9B%B8" class="mw-redirect" title="同相">同相</a>な開<a href="/wiki/%E8%BF%91%E5%82%8D" class="mw-redirect" title="近傍">近傍</a>を持つもののこととする。<i>E</i><sup>2</sup> の開集合に同相な開近傍を持つ点全体の集合はその曲面の<a href="/wiki/%E5%86%85%E7%82%B9" class="mw-redirect" title="内点">内点</a>集合とよばれ、これは必ず<a href="/wiki/%E7%A9%BA%E9%9B%86%E5%90%88" title="空集合">空</a>でない。内点集合の補集合は境界とよばれる。こちらは一次元の多様体、つまり<a href="/wiki/%E9%96%89%E6%9B%B2%E7%B7%9A" class="mw-redirect" title="閉曲線">閉曲線</a>の<a href="/wiki/%E5%90%88%E4%BD%B5_(%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96)" class="mw-redirect" title="合併 (集合論)">合併</a>になる。 </p><p>境界が空集合になっている曲面は<a href="/wiki/%E3%82%B3%E3%83%B3%E3%83%91%E3%82%AF%E3%83%88%E7%A9%BA%E9%96%93" title="コンパクト空間">コンパクト</a>なら閉曲面、コンパクトでないなら開曲面とよばれる。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="閉曲面の分類"><span id=".E9.96.89.E6.9B.B2.E9.9D.A2.E3.81.AE.E5.88.86.E9.A1.9E"></span>閉曲面の分類</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E6%9B%B2%E9%9D%A2&action=edit&section=3" title="節を編集: 閉曲面の分類"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>閉じた（つまりコンパクトで境界のない）<a href="/wiki/%E9%80%A3%E7%B5%90%E7%A9%BA%E9%96%93" title="連結空間">連結</a>な曲面の<a href="/wiki/%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E5%90%8C%E5%9E%8B" title="位相同型">位相同型</a>類については完全な分類がある。そのような曲面は次の二つの無限系列のどれかに当てはまる： </p> <ul><li>球面に <i>g</i> 個の<a href="/wiki/%E3%83%8F%E3%83%B3%E3%83%89%E3%83%AB%E4%BD%93" title="ハンドル体">ハンドル</a>をつけたもの（<i>g</i>-重トーラスとよばれる）。これは<a href="/wiki/%E3%82%AA%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E6%A8%99%E6%95%B0" title="オイラー標数">オイラー標数</a>が 2 − 2<i>g</i> の向きがついた曲面であり、<a href="/wiki/%E7%A8%AE%E6%95%B0" title="種数">種数</a> <i>g</i> の曲面ともよばれる。</li> <li>球面に <i>k</i> 個の実射影平面をつけたもの。これはオイラー標数が 2 − <i>k</i> の向きがつかない曲面である。</li></ul> <p>したがってオイラー標数と<a href="/wiki/%E5%90%91%E3%81%8D%E4%BB%98%E3%81%91%E5%8F%AF%E8%83%BD%E6%80%A7" title="向き付け可能性">向き付け可能性</a>がコンパクトな曲面を位相同型の限りで（さらには、考えている曲面が<a href="/wiki/%E3%81%AA%E3%82%81%E3%82%89%E3%81%8B" class="mw-redirect mw-disambig" title="なめらか">なめらか</a>なら<a href="/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86%E5%90%8C%E7%9B%B8" class="mw-redirect" title="微分同相">微分同相</a>の限りで）特徴付けていることになる。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="コンパクトな曲面"><span id=".E3.82.B3.E3.83.B3.E3.83.91.E3.82.AF.E3.83.88.E3.81.AA.E6.9B.B2.E9.9D.A2"></span>コンパクトな曲面</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E6%9B%B2%E9%9D%A2&action=edit&section=4" title="節を編集: コンパクトな曲面"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>境界の付いたコンパクトな曲面は、境界のないものからいくつかの交わらない閉円板の内部をのぞいたものになっている。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="R3_への埋め込み"><span id="R3_.E3.81.B8.E3.81.AE.E5.9F.8B.E3.82.81.E8.BE.BC.E3.81.BF"></span>R<sup>3</sup> への埋め込み</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E6%9B%B2%E9%9D%A2&action=edit&section=5" title="節を編集: R3 への埋め込み"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>コンパクトな曲面は向き付けできるか空でない境界を持っていれば <b>R</b><sup>3</sup> に埋め込むことができる。<a href="/w/index.php?title=%E3%83%9B%E3%82%A4%E3%83%83%E3%83%88%E3%83%8B%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%9F%8B%E3%82%81%E8%BE%BC%E3%81%BF%E5%AE%9A%E7%90%86&action=edit&redlink=1" class="new" title="「ホイットニーの埋め込み定理」 (存在しないページ)">ホイットニーの埋め込み定理</a>によってどんな曲面でも <b>R</b><sup>4</sup> になら埋め込める。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="微分幾何学的な概念"><span id=".E5.BE.AE.E5.88.86.E5.B9.BE.E4.BD.95.E5.AD.A6.E7.9A.84.E3.81.AA.E6.A6.82.E5.BF.B5"></span>微分幾何学的な概念</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E6%9B%B2%E9%9D%A2&action=edit&section=6" title="節を編集: 微分幾何学的な概念"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><i>n</i>-次元ユークリッド空間の中の、あるいは一般に<a href="/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%83%B3%E8%A8%88%E9%87%8F" class="mw-redirect" title="リーマン計量">リーマン計量</a>をもった曲面の面積については<a href="/wiki/%E4%BD%93%E7%A9%8D%E8%A6%81%E7%B4%A0" title="体積要素">体積要素</a>で説明される。リーマン面上の計量については<a href="/wiki/%E3%83%9D%E3%82%A2%E3%83%B3%E3%82%AB%E3%83%AC%E8%A8%88%E9%87%8F" class="mw-redirect" title="ポアンカレ計量">ポアンカレ計量</a>を参照のこと。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="模型"><span id=".E6.A8.A1.E5.9E.8B"></span>模型</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E6%9B%B2%E9%9D%A2&action=edit&section=7" title="節を編集: 模型"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>以下のように矩形の辺を（AはAと、BはBと）矢印の向きがあうように張り合わせることでいろいろな曲面のモデルができる： </p> <ul class="gallery mw-gallery-traditional"> <li class="gallerybox" style="width: 155px"> <div class="thumb" style="width: 150px; height: 150px;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:SphereAsSquare.svg" class="mw-file-description" title="球面"><img alt="球面" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c1/SphereAsSquare.svg/120px-SphereAsSquare.svg.png" decoding="async" width="120" height="120" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c1/SphereAsSquare.svg/180px-SphereAsSquare.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c1/SphereAsSquare.svg/240px-SphereAsSquare.svg.png 2x" data-file-width="300" data-file-height="300" /></a></span></div> <div class="gallerytext"><a href="/wiki/%E7%90%83%E9%9D%A2" title="球面">球面</a></div> </li> <li class="gallerybox" style="width: 155px"> <div class="thumb" style="width: 150px; height: 150px;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:ProjectivePlaneAsSquare.svg" class="mw-file-description" title="実射影平面（w:Real projective plane）"><img alt="実射影平面（w:Real projective plane）" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9b/ProjectivePlaneAsSquare.svg/120px-ProjectivePlaneAsSquare.svg.png" decoding="async" width="120" height="120" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9b/ProjectivePlaneAsSquare.svg/180px-ProjectivePlaneAsSquare.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9b/ProjectivePlaneAsSquare.svg/240px-ProjectivePlaneAsSquare.svg.png 2x" data-file-width="300" data-file-height="300" /></a></span></div> <div class="gallerytext"><b>実<a href="/wiki/%E5%B0%84%E5%BD%B1%E5%B9%B3%E9%9D%A2" title="射影平面">射影平面</a></b>（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Real_projective_plane" class="extiw" title="w:Real projective plane">w:Real projective plane</a>）</div> </li> <li class="gallerybox" style="width: 155px"> <div class="thumb" style="width: 150px; height: 150px;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:KleinBottleAsSquare.svg" class="mw-file-description" title="クラインの壺"><img alt="クラインの壺" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e6/KleinBottleAsSquare.svg/120px-KleinBottleAsSquare.svg.png" decoding="async" width="120" height="120" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e6/KleinBottleAsSquare.svg/180px-KleinBottleAsSquare.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e6/KleinBottleAsSquare.svg/240px-KleinBottleAsSquare.svg.png 2x" data-file-width="313" data-file-height="313" /></a></span></div> <div class="gallerytext"><a href="/wiki/%E3%82%AF%E3%83%A9%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%81%AE%E5%A3%BA" title="クラインの壺">クラインの壺</a></div> </li> <li class="gallerybox" style="width: 155px"> <div class="thumb" style="width: 150px; height: 150px;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:TorusAsSquare.svg" class="mw-file-description" title="トーラス"><img alt="トーラス" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f2/TorusAsSquare.svg/120px-TorusAsSquare.svg.png" decoding="async" width="120" height="120" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f2/TorusAsSquare.svg/180px-TorusAsSquare.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f2/TorusAsSquare.svg/240px-TorusAsSquare.svg.png 2x" data-file-width="313" data-file-height="313" /></a></span></div> <div class="gallerytext"><a href="/wiki/%E3%83%88%E3%83%BC%E3%83%A9%E3%82%B9" title="トーラス">トーラス</a></div> </li> </ul> <p>実際に布などを切って張り合わせて作ろうとすると、球面は普通に作れる。トーラスは、どちらかの張り合わせが先で、もう一方が後になって<a href="/wiki/%E3%83%89%E3%83%BC%E3%83%8A%E3%83%84" title="ドーナツ">ドーナツ</a>形になる。<a href="/wiki/%E3%82%B3%E3%83%B3%E3%83%94%E3%83%A5%E3%83%BC%E3%82%BFRPG" title="コンピュータRPG">コンピュータRPG</a>で、地面がこのようにトーラスになっているものがある、ということが時折話題になる。実射影平面とクラインの壷は、面の表と裏を区別できない。クラインの壷は、三次元では自己交叉なしに作ることができない。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="基本多角形"><span id=".E5.9F.BA.E6.9C.AC.E5.A4.9A.E8.A7.92.E5.BD.A2"></span>基本多角形</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E6%9B%B2%E9%9D%A2&action=edit&section=8" title="節を編集: 基本多角形"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><a href="/wiki/%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6" title="位相幾何学">位相幾何学</a>的な意味において、<style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r86009555">@media screen{.mw-parser-output .fix-domain{border-bottom:dashed 1px}}</style><span class="fix-domain" title="この記述には信頼できる情報源の提示が求められています。（2013年6月）">閉曲面は<a href="/w/index.php?title=%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E5%A4%9A%E8%A7%92%E5%BD%A2&action=edit&redlink=1" class="new" title="「基本多角形」 (存在しないページ)">基本多角形</a> <span lang="en">(fundamental polygon)</span> とよばれる偶数個の辺を持った<a href="/wiki/%E5%A4%9A%E8%A7%92%E5%BD%A2" title="多角形">多角形</a>の向かいあう辺どうしを同一視することで構成できる。</span><sup class="noprint Template-Fact">[<i><a href="/wiki/Wikipedia:%E3%80%8C%E8%A6%81%E5%87%BA%E5%85%B8%E3%80%8D%E3%82%92%E3%82%AF%E3%83%AA%E3%83%83%E3%82%AF%E3%81%95%E3%82%8C%E3%81%9F%E6%96%B9%E3%81%B8" title="Wikipedia:「要出典」をクリックされた方へ"><span title="この記述には信頼できる情報源の提示が求められています。（2013年6月）">要出典</span></a></i>]</sup> この構成は <i>n</i> 個の異なった記号が二回ずつ、"+1" か "−1" の指数付きで現れるような長さ 2 <i>n</i> の文字列で表すことができる。指数 "−1" は対応する辺に基本多角形全体の向きとは反対の向きを振ることを示している。 </p><p>上の模型は次のようにかける： </p> <ul><li>球面: ABB<sup>−1</sup>A<sup>−1</sup></li> <li>実射影平面: ABAB</li> <li>クラインの壷: ABAB<sup>−1</sup></li> <li>トーラス: ABA<sup>−1</sup>B<sup>−1</sup></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="曲面の連結和"><span id=".E6.9B.B2.E9.9D.A2.E3.81.AE.E9.80.A3.E7.B5.90.E5.92.8C"></span>曲面の連結和</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E6%9B%B2%E9%9D%A2&action=edit&section=9" title="節を編集: 曲面の連結和"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101346560"><div class="hatnote dablink noprint"><table style="width:100%; background:transparent;"> <tbody><tr><td style="width:25px;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Disambig_gray.svg" class="mw-file-description" title="曖昧さ回避"><img alt="曖昧さ回避" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5f/Disambig_gray.svg/25px-Disambig_gray.svg.png" decoding="async" width="25" height="19" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5f/Disambig_gray.svg/38px-Disambig_gray.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5f/Disambig_gray.svg/50px-Disambig_gray.svg.png 2x" data-file-width="220" data-file-height="168" /></a></span></td> <td>一般の連結和については「<a href="/wiki/%E9%80%A3%E7%B5%90%E5%92%8C" title="連結和">連結和</a>」をご覧ください。</td> </tr></tbody></table></div> <p>二つの曲面 M, M′ が与えられたとき、それぞれから円盤を切り抜いてできた縁を張り合わせることで、二つの曲面の連結和 M # M′ が得られる。 </p><p>以下の記号を使うことにする： </p> <ul><li>球面: S</li> <li>実射影平面: P</li> <li>クラインの壷: K</li> <li>トーラス: T</li></ul> <p>ことのとき次が成り立つ： </p> <ul><li>S # S = S</li> <li>S # M = M （Mは任意の曲面）</li> <li>P # P = K</li> <li>P # K = P # T</li></ul> <p>略記法 <i>n</i>M = M # M # ... # M（<i>n</i>回）、0M = Sも用いられる。 </p><p>閉曲面の系列は次のようにかける： </p> <ul><li><i>g</i>T（<i>g</i>-重トーラス）: 種数 <i>g</i> の向き付き曲面 (<i>g</i> ≥ 0)</li> <li><i>g</i>P（<i>g</i>-重射影平面）: 種数 <i>g</i> の向きなし曲面 (<i>g</i> ≥ 1)</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="代数曲面"><span id=".E4.BB.A3.E6.95.B0.E6.9B.B2.E9.9D.A2"></span>代数曲面</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E6%9B%B2%E9%9D%A2&action=edit&section=10" title="節を編集: 代数曲面"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>これまでの曲面と<a href="/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E6%9B%B2%E9%9D%A2" title="代数曲面">代数曲面</a>とは区別する必要がある。<a href="/wiki/%E9%9D%9E%E7%89%B9%E7%95%B0" class="mw-redirect" title="非特異">非特異</a>な複素<a href="/wiki/%E5%B0%84%E5%BD%B1" class="mw-disambig" title="射影">射影</a><a href="/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E6%9B%B2%E7%B7%9A" title="代数曲線">代数曲線</a>は実数体上なめらかな曲面になっている。<a href="/wiki/%E8%A4%87%E7%B4%A0%E6%95%B0" title="複素数">複素数体</a>上の<a href="/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E6%9B%B2%E9%9D%A2" title="代数曲面">代数曲面</a>の実多様体としての次元は4になる。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="参考文献"><span id=".E5.8F.82.E8.80.83.E6.96.87.E7.8C.AE"></span>参考文献</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E6%9B%B2%E9%9D%A2&action=edit&section=11" title="節を編集: 参考文献"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="reflist" style="list-style-type: decimal;"> </div> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r89142249">.mw-parser-output .refbegin{margin-bottom:0.5em}.mw-parser-output .refbegin-hanging-indents>ul{margin-left:0}.mw-parser-output .refbegin-hanging-indents>ul>li{margin-left:0;padding-left:3.2em;text-indent:-3.2em}.mw-parser-output .refbegin-hanging-indents ul,.mw-parser-output .refbegin-hanging-indents ul li{list-style:none}@media(max-width:720px){.mw-parser-output .refbegin-hanging-indents>ul>li{padding-left:1.6em;text-indent:-1.6em}}.mw-parser-output .refbegin-100{font-size:100%}.mw-parser-output .refbegin-columns{margin-top:0.3em}.mw-parser-output .refbegin-columns ul{margin-top:0}.mw-parser-output .refbegin-columns li{page-break-inside:avoid;break-inside:avoid-column}</style><div class="refbegin" style=""> <ul><li><cite style="font-style:normal" class="citation" id="CITEREFDyck1888"><a href="/w/index.php?title=Walther_von_Dyck&action=edit&redlink=1" class="new" title="「Walther von Dyck」 (存在しないページ)">Dyck, Walther</a> (1888), “Beiträge zur Analysis situs I”, <i>Math. Ann.</i> <b>32</b>: 459–512, <a href="/wiki/Doi_(%E8%AD%98%E5%88%A5%E5%AD%90)" class="mw-redirect" title="Doi (識別子)">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007%2FBF01443580">10.1007/BF01443580</a></cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=Beitr%C3%A4ge+zur+Analysis+situs+I&rft.jtitle=Math.+Ann.&rft.aulast=Dyck&rft.aufirst=Walther&rft.au=Dyck%2C%26%2332%3BWalther&rft.date=1888&rft.volume=32&rft.pages=459%E2%80%93512&rft_id=info:doi/10.1007%2FBF01443580&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E6%9B%B2%E9%9D%A2"><span style="display: none;"> </span></span></li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation book">Gramain, André (1984). <i>Topology of Surfaces</i>. BCS Associates. <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/091435101X" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 0-914351-01-X</a></cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Topology+of+Surfaces&rft.aulast=Gramain%2C+Andr%C3%A9&rft.au=Gramain%2C+Andr%C3%A9&rft.date=1984&rft.pub=BCS+Associates&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E6%9B%B2%E9%9D%A2"><span style="display: none;"> </span></span> <span class="PDFlink"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.math.u-psud.fr/~biblio/numerisation/docs/G_GRAMAIN-55/pdf/G_GRAMAIN-55.pdf">(Original 1969-70 Orsay course notes in French for "Topologie des Surfaces")</a></span> <span style="font-size:smaller">(<a href="/wiki/Portable_Document_Format" title="Portable Document Format">PDF</a>)</span></li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation book">Bredon, Glen E. (1993). <i>Topology and Geometry</i>. Springer-Verlag. <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r101121245">.mw-parser-output cite.citation{font-style:inherit;word-wrap:break-word}.mw-parser-output .citation q{quotes:"\"""\"""'""'"}.mw-parser-output .citation.cs-ja1 q,.mw-parser-output .citation.cs-ja2 q{quotes:"「""」""『""』"}.mw-parser-output .citation:target{background-color:rgba(0,127,255,0.133)}.mw-parser-output .id-lock-free a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-free a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/65/Lock-green.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-limited a,.mw-parser-output .id-lock-registration a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-limited a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-registration a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d6/Lock-gray-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-subscription a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-subscription a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/aa/Lock-red-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-ws-icon a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4c/Wikisource-logo.svg")right 0.1em center/12px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-code{color:inherit;background:inherit;border:none;padding:inherit}.mw-parser-output .cs1-hidden-error{display:none;color:var(--color-error,#d33)}.mw-parser-output .cs1-visible-error{color:var(--color-error,#d33)}.mw-parser-output .cs1-maint{display:none;color:var(--color-success,#3a3);margin-left:0.3em}.mw-parser-output .cs1-format{font-size:95%}.mw-parser-output .cs1-kern-left{padding-left:0.2em}.mw-parser-output .cs1-kern-right{padding-right:0.2em}.mw-parser-output .citation .mw-selflink{font-weight:inherit}</style><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/0-387-97926-3" title="特別:文献資料/0-387-97926-3">0-387-97926-3</a></cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Topology+and+Geometry&rft.aulast=Bredon%2C+Glen+E.&rft.au=Bredon%2C+Glen+E.&rft.date=1993&rft.pub=Springer-Verlag&rft.isbn=0-387-97926-3&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E6%9B%B2%E9%9D%A2"><span style="display: none;"> </span></span></li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation book">Massey, William S. (1991). <i>A Basic Course in Algebraic Topology</i>. Springer-Verlag. <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/0-387-97430-X" title="特別:文献資料/0-387-97430-X">0-387-97430-X</a></cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=A+Basic+Course+in+Algebraic+Topology&rft.aulast=Massey%2C+William+S.&rft.au=Massey%2C+William+S.&rft.date=1991&rft.pub=Springer-Verlag&rft.isbn=0-387-97430-X&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E6%9B%B2%E9%9D%A2"><span style="display: none;"> </span></span></li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation" id="CITEREFFrancisWeeks1999">Francis, George K.; Weeks, Jeffrey R. (May 1999), <a rel="nofollow" class="external text" href="http://new.math.uiuc.edu/zipproof/zipproof.pdf">“Conway's ZIP Proof”</a> (PDF), <i><a href="/w/index.php?title=American_Mathematical_Monthly&action=edit&redlink=1" class="new" title="「American Mathematical Monthly」 (存在しないページ)">American Mathematical Monthly</a></i> <b>106</b> (5)<span style="display:none;">, <a rel="nofollow" class="external free" href="http://new.math.uiuc.edu/zipproof/zipproof.pdf">http://new.math.uiuc.edu/zipproof/zipproof.pdf</a></span>, page discussing the paper: <a rel="nofollow" class="external text" href="http://new.math.uiuc.edu/zipproof/">On Conway's ZIP Proof</a></cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=Conway%27s+ZIP+Proof&rft.jtitle=%5B%5BAmerican+Mathematical+Monthly%5D%5D&rft.aulast=Francis&rft.aufirst=George+K.&rft.au=Francis%2C%26%2332%3BGeorge+K.&rft.au=Weeks%2C%26%2332%3BJeffrey+R.&rft.date=May+1999&rft.volume=106&rft.issue=5&rft_id=http%3A%2F%2Fnew.math.uiuc.edu%2Fzipproof%2Fzipproof.pdf&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E6%9B%B2%E9%9D%A2"><span style="display: none;"> </span></span></li></ul> </div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="外部リンク"><span id=".E5.A4.96.E9.83.A8.E3.83.AA.E3.83.B3.E3.82.AF"></span>外部リンク</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E6%9B%B2%E9%9D%A2&action=edit&section=12" title="節を編集: 外部リンク"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><span class="citation mathworld" id="Reference-Mathworld-Surface"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><cite id="CITEREFWeisstein" class="citation web cs1 cs1-prop-foreign-lang-source">Weisstein, Eric W. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://mathworld.wolfram.com/Surface.html">"Surface"</a>. <i>mathworld.wolfram.com</i> (英語).</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=unknown&rft.jtitle=mathworld.wolfram.com&rft.atitle=Surface&rft.aulast=Weisstein&rft.aufirst=Eric+W.&rft_id=https%3A%2F%2Fmathworld.wolfram.com%2FSurface.html&rfr_id=info%3Asid%2Fja.wikipedia.org%3A%E6%9B%B2%E9%9D%A2" class="Z3988"></span></span></li> <li><i><a rel="nofollow" class="external text" href="https://planetmath.org/Surface">surface</a></i> - <a href="/wiki/PlanetMath" title="PlanetMath">PlanetMath</a>.<span class="tmpl-language-icon" style="font-size:0.95em; font-weight:bold; color:#555">（英語）</span></li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation" id="CITEREFChernavskii2001">Chernavskii, A.V. (2001), <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Two-dimensional_manifold">“Two-dimensional manifold”</a>, in Hazewinkel, Michiel, <i><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Encyclopedia_of_Mathematics" class="extiw" title="en:Encyclopedia of Mathematics">Encyclopedia of Mathematics</a></i>, Springer, <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/978-1-55608-010-4" title="特別:文献資料/978-1-55608-010-4">978-1-55608-010-4</a><span style="display:none;">, <a rel="nofollow" class="external free" href="https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Two-dimensional_manifold">https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Two-dimensional_manifold</a></span></cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=bookitem&rft.btitle=Two-dimensional+manifold&rft.atitle=%5B%5B%3Aen%3AEncyclopedia+of+Mathematics%7CEncyclopedia+of+Mathematics%5D%5D&rft.aulast=Chernavskii&rft.aufirst=A.V.&rft.au=Chernavskii%2C%26%2332%3BA.V.&rft.date=2001&rft.pub=Springer&rft.isbn=978-1-55608-010-4&rft_id=&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E6%9B%B2%E9%9D%A2"><span style="display: none;"> </span></span></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://xahlee.org/surface/gallery.html">Gallery of Famous Surfaces</a>: 視点回転のJavaアップレットがついた70個+の曲面</li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.bridge1.com/isosurface.html">Isosurface</a>: 陰関数曲面のポリゴナイザーを実施する Mac OS X 用アプリケーション＆スクリーンセーバーのセット</li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://wokos.nethium.pl/surfaces_en.net">Math Surfaces Animation, with JavaScript (Canvas HTML) for tens surfaces rotation viewing</a></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.math.ohio-state.edu/~fiedorow/math655/classification.html">The Classification of Surfaces</a></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://maxwelldemon.com/2009/03/21/surfaces-1-the-ooze-of-the-past/">History and Art of Surfaces and their Mathematical Models</a></li></ul> <div role="navigation" class="navbox authority-control" aria-label="Navbox" style="padding:3px"><table class="nowraplinks hlist navbox-inner" style="border-spacing:0;background:transparent;color:inherit"><tbody><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/Help:%E5%85%B8%E6%8B%A0%E7%AE%A1%E7%90%86" title="Help:典拠管理">典拠管理データベース</a>: 国立図書館 <span class="mw-valign-text-top noprint" typeof="mw:File/Frameless"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Q484298#identifiers" title="ウィキデータを編集"><img alt="ウィキデータを編集" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg/10px-OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg.png" decoding="async" width="10" height="10" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg/15px-OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg/20px-OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg.png 2x" data-file-width="20" data-file-height="20" /></a></span></th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://olduli.nli.org.il/F/?func=find-b&local_base=NLX10&find_code=UID&request=987007292879305171">イスラエル</a></span></li> <li><span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://id.loc.gov/authorities/sh00005762">アメリカ</a></span></li> <li><span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://id.ndl.go.jp/auth/ndlna/00567234">日本</a></span></li> <li><span class="uid"><abbr title="plochy (geometrie)"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://aleph.nkp.cz/F/?func=find-c&local_base=aut&ccl_term=ica=ph124120&CON_LNG=ENG">チェコ</a></abbr></span></li></ul> </div></td></tr></tbody></table></div>    </div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">「<a dir="ltr" href="https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=曲面&oldid=99158317">https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=曲面&oldid=99158317</a>」から取得</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a 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