CINXE.COM

<!DOCTYPE html> <html class="client-nojs vector-feature-language-in-header-enabled vector-feature-language-in-main-page-header-disabled vector-feature-sticky-header-disabled vector-feature-page-tools-pinned-disabled vector-feature-toc-pinned-clientpref-1 vector-feature-main-menu-pinned-disabled vector-feature-limited-width-clientpref-1 vector-feature-limited-width-content-disabled vector-feature-custom-font-size-clientpref-1 vector-feature-appearance-pinned-clientpref-1 vector-feature-night-mode-enabled skin-theme-clientpref-day vector-toc-not-available" lang="nl" dir="ltr"> <head> <meta charset="UTF-8"> <title>Brontekst bekijken van Verzameling (wiskunde) - Wikipedia</title> <script>(function(){var className="client-js vector-feature-language-in-header-enabled vector-feature-language-in-main-page-header-disabled vector-feature-sticky-header-disabled vector-feature-page-tools-pinned-disabled vector-feature-toc-pinned-clientpref-1 vector-feature-main-menu-pinned-disabled vector-feature-limited-width-clientpref-1 vector-feature-limited-width-content-disabled vector-feature-custom-font-size-clientpref-1 vector-feature-appearance-pinned-clientpref-1 vector-feature-night-mode-enabled skin-theme-clientpref-day vector-toc-not-available";var cookie=document.cookie.match(/(?:^|; )nlwikimwclientpreferences=([^;]+)/);if(cookie){cookie[1].split('%2C').forEach(function(pref){className=className.replace(new RegExp('(^| )'+pref.replace(/-clientpref-\w+$|[^\w-]+/g,'')+'-clientpref-\\w+( |$)'),'$1'+pref+'$2');});}document.documentElement.className=className;}());RLCONF={"wgBreakFrames":true,"wgSeparatorTransformTable":[",\t.",".\t,"],"wgDigitTransformTable":["",""], "wgDefaultDateFormat":"dmy","wgMonthNames":["","januari","februari","maart","april","mei","juni","juli","augustus","september","oktober","november","december"],"wgRequestId":"f7e4bf13-ec08-4924-8a24-a58d2d08fc07","wgCanonicalNamespace":"","wgCanonicalSpecialPageName":false,"wgNamespaceNumber":0,"wgPageName":"Verzameling_(wiskunde)","wgTitle":"Verzameling (wiskunde)","wgCurRevisionId":68493545,"wgRevisionId":0,"wgArticleId":4977,"wgIsArticle":false,"wgIsRedirect":false,"wgAction":"edit","wgUserName":null,"wgUserGroups":["*"],"wgCategories":[],"wgPageViewLanguage":"nl","wgPageContentLanguage":"nl","wgPageContentModel":"wikitext","wgRelevantPageName":"Verzameling_(wiskunde)","wgRelevantArticleId":4977,"wgIsProbablyEditable":true,"wgRelevantPageIsProbablyEditable":true,"wgRestrictionEdit":[],"wgRestrictionMove":[],"wgNoticeProject":"wikipedia","wgCiteReferencePreviewsActive":true,"wgMediaViewerOnClick":true,"wgMediaViewerEnabledByDefault":true,"wgPopupsFlags":0,"wgVisualEditor":{ "pageLanguageCode":"nl","pageLanguageDir":"ltr","pageVariantFallbacks":"nl"},"wgMFDisplayWikibaseDescriptions":{"search":true,"watchlist":true,"tagline":true,"nearby":true},"wgWMESchemaEditAttemptStepOversample":false,"wgWMEPageLength":20000,"wgRelatedArticlesCompat":[],"wgEditSubmitButtonLabelPublish":true,"wgULSPosition":"interlanguage","wgULSisCompactLinksEnabled":false,"wgVector2022LanguageInHeader":true,"wgULSisLanguageSelectorEmpty":false,"wgCheckUserClientHintsHeadersJsApi":["brands","architecture","bitness","fullVersionList","mobile","model","platform","platformVersion"],"GEHomepageSuggestedEditsEnableTopics":true,"wgGETopicsMatchModeEnabled":false,"wgGEStructuredTaskRejectionReasonTextInputEnabled":false,"wgGELevelingUpEnabledForUser":false};RLSTATE={"ext.globalCssJs.user.styles":"ready","site.styles":"ready","user.styles":"ready","ext.globalCssJs.user":"ready","user":"ready","user.options":"loading","skins.vector.search.codex.styles":"ready","skins.vector.styles":"ready", "skins.vector.icons":"ready","ext.charinsert.styles":"ready","ext.wikimediamessages.styles":"ready","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript":"ready","ext.uls.interlanguage":"ready","ext.wikimediaBadges":"ready"};RLPAGEMODULES=["mediawiki.action.edit.collapsibleFooter","site","mediawiki.page.ready","skins.vector.js","ext.centralNotice.geoIP","ext.charinsert","ext.gadget.Direct-link-to-Commons","ext.gadget.ProtectionTemplates","ext.gadget.InterProjectLinks","ext.gadget.hoofdbetekenis-titelwijziging","ext.gadget.switcher","ext.gadget.OpenStreetMapFrame","ext.gadget.subpages","ext.urlShortener.toolbar","ext.centralauth.centralautologin","mmv.bootstrap","ext.popups","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.init","ext.visualEditor.targetLoader","ext.echo.centralauth","ext.eventLogging","ext.wikimediaEvents","ext.navigationTiming","ext.uls.interface","ext.cx.eventlogging.campaigns","ext.checkUser.clientHints","ext.growthExperiments.SuggestedEditSession"];</script> <script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.loader.impl(function(){return["user.options@12s5i",function($,jQuery,require,module){mw.user.tokens.set({"patrolToken":"+\\","watchToken":"+\\","csrfToken":"+\\"}); }];});});</script> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=nl&modules=ext.charinsert.styles%7Cext.uls.interlanguage%7Cext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript%7Cext.wikimediaBadges%7Cext.wikimediamessages.styles%7Cskins.vector.icons%2Cstyles%7Cskins.vector.search.codex.styles&only=styles&skin=vector-2022"> <script async="" src="/w/load.php?lang=nl&modules=startup&only=scripts&raw=1&skin=vector-2022"></script> <meta name="ResourceLoaderDynamicStyles" content=""> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=nl&modules=site.styles&only=styles&skin=vector-2022"> <meta name="generator" content="MediaWiki 1.44.0-wmf.6"> <meta name="referrer" content="origin"> <meta name="referrer" content="origin-when-cross-origin"> <meta name="robots" content="noindex,nofollow,max-image-preview:standard"> <meta name="format-detection" content="telephone=no"> <meta property="og:image" content="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6d/Venn_A_intersect_B.svg/1200px-Venn_A_intersect_B.svg.png"> <meta property="og:image:width" content="1200"> <meta property="og:image:height" content="857"> <meta property="og:image" content="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6d/Venn_A_intersect_B.svg/800px-Venn_A_intersect_B.svg.png"> <meta property="og:image:width" content="800"> <meta property="og:image:height" content="571"> <meta property="og:image" content="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6d/Venn_A_intersect_B.svg/640px-Venn_A_intersect_B.svg.png"> <meta property="og:image:width" content="640"> <meta property="og:image:height" content="457"> <meta name="viewport" content="width=1120"> <meta property="og:title" content="Brontekst bekijken van Verzameling (wiskunde) - Wikipedia"> <meta property="og:type" content="website"> <link rel="preconnect" href="//upload.wikimedia.org"> <link rel="alternate" media="only screen and (max-width: 640px)" href="//nl.m.wikipedia.org/wiki/Verzameling_(wiskunde)"> <link rel="alternate" type="application/x-wiki" title="Bewerken" href="/w/index.php?title=Verzameling_(wiskunde)&action=edit"> <link rel="apple-touch-icon" href="/static/apple-touch/wikipedia.png"> <link rel="icon" href="/static/favicon/wikipedia.ico"> <link rel="search" type="application/opensearchdescription+xml" href="/w/rest.php/v1/search" title="Wikipedia (nl)"> <link rel="EditURI" type="application/rsd+xml" href="//nl.wikipedia.org/w/api.php?action=rsd"> <link rel="canonical" href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Verzameling_(wiskunde)"> <link rel="license" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.nl"> <link rel="alternate" type="application/atom+xml" title="Wikipedia Atom-feed" href="/w/index.php?title=Speciaal:RecenteWijzigingen&feed=atom"> <link rel="dns-prefetch" href="login.wikimedia.org"> </head> <body class="skin--responsive skin-vector skin-vector-search-vue mediawiki ltr sitedir-ltr mw-hide-empty-elt ns-0 ns-subject mw-editable page-Verzameling_wiskunde rootpage-Verzameling_wiskunde skin-vector-2022 action-edit"><a class="mw-jump-link" href="#bodyContent">Naar inhoud springen</a> <div class="vector-header-container"> <header class="vector-header mw-header"> <div class="vector-header-start"> <nav class="vector-main-menu-landmark" aria-label="Site"> <div id="vector-main-menu-dropdown" class="vector-dropdown vector-main-menu-dropdown vector-button-flush-left vector-button-flush-right" > <input type="checkbox" id="vector-main-menu-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-main-menu-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Hoofdmenu" > <label id="vector-main-menu-dropdown-label" for="vector-main-menu-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-menu mw-ui-icon-wikimedia-menu"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Hoofdmenu</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-main-menu-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> <div id="vector-main-menu" class="vector-main-menu vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-main-menu-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="main-menu-pinned" data-pinnable-element-id="vector-main-menu" data-pinned-container-id="vector-main-menu-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-main-menu-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Hoofdmenu</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-main-menu.pin">naar zijbalk verplaatsen</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-main-menu.unpin">verbergen</button> </div> <div id="p-navigation" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-navigation" > <div class="vector-menu-heading"> Navigatie </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-mainpage" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Hoofdpagina" title="Naar de hoofdpagina gaan [z]" accesskey="z"><span>Hoofdpagina</span></a></li><li id="n-zoekartikel" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Portaal:Navigatie"><span>Vind een artikel</span></a></li><li id="n-today" class="mw-list-item"><a href="/wiki/11_december"><span>Vandaag</span></a></li><li id="n-Etalage" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Etalage"><span>Etalage</span></a></li><li id="n-categories" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Categorie:Alles"><span>Categorieën</span></a></li><li id="n-recentchanges" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Speciaal:RecenteWijzigingen" title="Een lijst met recente wijzigingen in deze wiki. [r]" accesskey="r"><span>Recente wijzigingen</span></a></li><li id="n-newpages" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Speciaal:NieuwePaginas"><span>Nieuwe artikelen</span></a></li><li id="n-randompage" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Speciaal:Willekeurig" title="Een willekeurige pagina bekijken [x]" accesskey="x"><span>Willekeurige pagina</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-navigation2" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-navigation2" > <div class="vector-menu-heading"> Informatie </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-portal" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Portaal:Gebruikersportaal" title="Informatie over het project: wat u kunt doen, waar u dingen kunt vinden"><span>Gebruikersportaal</span></a></li><li id="n-Snelcursus" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Snelcursus"><span>Snelcursus</span></a></li><li id="n-help" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Portaal:Hulp_en_beheer" title="Hulpinformatie over deze wiki"><span>Hulp en contact</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> <a href="/wiki/Hoofdpagina" class="mw-logo"> <img class="mw-logo-icon" src="/static/images/icons/wikipedia.png" alt="" aria-hidden="true" height="50" width="50"> <span class="mw-logo-container skin-invert"> <img class="mw-logo-wordmark" alt="Wikipedia" src="/static/images/mobile/copyright/wikipedia-wordmark-en.svg" style="width: 7.5em; height: 1.125em;"> <img class="mw-logo-tagline" alt="de vrije encyclopedie" src="/static/images/mobile/copyright/wikipedia-tagline-nl.svg" width="120" height="13" style="width: 7.5em; height: 0.8125em;"> </span> </a> </div> <div class="vector-header-end"> <div id="p-search" role="search" class="vector-search-box-vue vector-search-box-collapses vector-search-box-show-thumbnail vector-search-box-auto-expand-width vector-search-box"> <a href="/wiki/Speciaal:Zoeken" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only search-toggle" title="Doorzoek Wikipedia [f]" accesskey="f"><span class="vector-icon mw-ui-icon-search mw-ui-icon-wikimedia-search"></span> <span>Zoeken</span> </a> <div class="vector-typeahead-search-container"> <div class="cdx-typeahead-search cdx-typeahead-search--show-thumbnail cdx-typeahead-search--auto-expand-width"> <form action="/w/index.php" id="searchform" class="cdx-search-input cdx-search-input--has-end-button"> <div id="simpleSearch" class="cdx-search-input__input-wrapper" data-search-loc="header-moved"> <div class="cdx-text-input cdx-text-input--has-start-icon"> <input class="cdx-text-input__input" type="search" name="search" placeholder="Doorzoek Wikipedia" aria-label="Doorzoek Wikipedia" autocapitalize="sentences" title="Doorzoek Wikipedia [f]" accesskey="f" id="searchInput" > <span class="cdx-text-input__icon cdx-text-input__start-icon"></span> </div> <input type="hidden" name="title" value="Speciaal:Zoeken"> </div> <button class="cdx-button cdx-search-input__end-button">Zoeken</button> </form> </div> </div> </div> <nav class="vector-user-links vector-user-links-wide" aria-label="Persoonlijke hulpmiddelen"> <div class="vector-user-links-main"> <div id="p-vector-user-menu-preferences" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <div id="p-vector-user-menu-userpage" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Uiterlijk"> <div id="vector-appearance-dropdown" class="vector-dropdown " title="De lettergrootte, breedte en kleur van de pagina wijzigen" > <input type="checkbox" id="vector-appearance-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-appearance-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Uiterlijk" > <label id="vector-appearance-dropdown-label" for="vector-appearance-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-appearance mw-ui-icon-wikimedia-appearance"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Uiterlijk</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-appearance-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <div id="p-vector-user-menu-notifications" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <div id="p-vector-user-menu-overflow" class="vector-menu mw-portlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-sitesupport-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="https://donate.wikimedia.org/?wmf_source=donate&wmf_medium=sidebar&wmf_campaign=nl.wikipedia.org&uselang=nl" class=""><span>Doneren</span></a> </li> <li id="pt-createaccount-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="/w/index.php?title=Speciaal:GebruikerAanmaken&returnto=Verzameling+%28wiskunde%29&returntoquery=action%3Dedit%26undo%3D60151682%26undoafter%3D59979610" title="Registreer u vooral en meld u aan. Dit is echter niet verplicht." class=""><span>Account aanmaken</span></a> </li> <li id="pt-login-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="/w/index.php?title=Speciaal:Aanmelden&returnto=Verzameling+%28wiskunde%29&returntoquery=action%3Dedit%26undo%3D60151682%26undoafter%3D59979610" title="U wordt van harte uitgenodigd om aan te melden, maar dit is niet verplicht [o]" accesskey="o" class=""><span>Aanmelden</span></a> </li> </ul> </div> </div> </div> <div id="vector-user-links-dropdown" class="vector-dropdown vector-user-menu vector-button-flush-right vector-user-menu-logged-out" title="Meer opties" > <input type="checkbox" id="vector-user-links-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-user-links-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Persoonlijke hulpmiddelen" > <label id="vector-user-links-dropdown-label" for="vector-user-links-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-ellipsis mw-ui-icon-wikimedia-ellipsis"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Persoonlijke hulpmiddelen</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-personal" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-personal user-links-collapsible-item" title="Gebruikersmenu" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-sitesupport" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="https://donate.wikimedia.org/?wmf_source=donate&wmf_medium=sidebar&wmf_campaign=nl.wikipedia.org&uselang=nl"><span>Doneren</span></a></li><li id="pt-createaccount" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Speciaal:GebruikerAanmaken&returnto=Verzameling+%28wiskunde%29&returntoquery=action%3Dedit%26undo%3D60151682%26undoafter%3D59979610" title="Registreer u vooral en meld u aan. Dit is echter niet verplicht."><span class="vector-icon mw-ui-icon-userAdd mw-ui-icon-wikimedia-userAdd"></span> <span>Account aanmaken</span></a></li><li id="pt-login" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Speciaal:Aanmelden&returnto=Verzameling+%28wiskunde%29&returntoquery=action%3Dedit%26undo%3D60151682%26undoafter%3D59979610" title="U wordt van harte uitgenodigd om aan te melden, maar dit is niet verplicht [o]" accesskey="o"><span class="vector-icon mw-ui-icon-logIn mw-ui-icon-wikimedia-logIn"></span> <span>Aanmelden</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-user-menu-anon-editor" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-user-menu-anon-editor" > <div class="vector-menu-heading"> Pagina's voor uitgelogde redacteuren <a href="/wiki/Help:Inleiding" aria-label="Meer leren over bewerken"><span>meer lezen</span></a> </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-anoncontribs" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Speciaal:MijnBijdragen" title="Bijdragen IP-adres [y]" accesskey="y"><span>Bijdragen</span></a></li><li id="pt-anontalk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Speciaal:MijnOverleg" title="Overlegpagina van de anonieme gebruiker van dit IP-adres [n]" accesskey="n"><span>Overleg</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </header> </div> <div class="mw-page-container"> <div class="mw-page-container-inner"> <div class="vector-sitenotice-container"> <div id="siteNotice"></div> </div> <div class="vector-column-start"> <div class="vector-main-menu-container"> <div id="mw-navigation"> <nav id="mw-panel" class="vector-main-menu-landmark" aria-label="Site"> <div id="vector-main-menu-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> </div> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Brontekst bekijken van Verzameling (wiskunde)</h1> <div id="p-lang-btn" class="vector-dropdown mw-portlet mw-portlet-lang" > <input type="checkbox" id="p-lang-btn-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-lang-btn" class="vector-dropdown-checkbox mw-interlanguage-selector" aria-label="Dit artikel bestaat alleen in deze taal. Het artikel in andere talen toevoegen." > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-0" aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-language-progressive mw-ui-icon-wikimedia-language-progressive"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Talen toevoegen</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><span class="uls-after-portlet-link"></span></div> </div> </div> </div> </header> <div class="vector-page-toolbar"> <div class="vector-page-toolbar-container"> <div id="left-navigation"> <nav aria-label="Naamruimten"> <div id="p-associated-pages" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-associated-pages" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Verzameling_(wiskunde)" title="Inhoudspagina bekijken [c]" accesskey="c"><span>Artikel</span></a></li><li id="ca-talk" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Overleg:Verzameling_(wiskunde)" rel="discussion" title="Overleg over deze pagina [t]" accesskey="t"><span>Overleg</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown emptyPortlet" > <input type="checkbox" id="vector-variants-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Taalvariant wijzigen" > <label id="vector-variants-dropdown-label" for="vector-variants-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" ><span class="vector-dropdown-label-text">Nederlands</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-variants" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-variants emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> <div id="right-navigation" class="vector-collapsible"> <nav aria-label="Weergaven"> <div id="p-views" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-views" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-view" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Verzameling_(wiskunde)"><span>Lezen</span></a></li><li id="ca-ve-edit" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Verzameling_(wiskunde)&veaction=edit" title="Deze pagina bewerken [v]" accesskey="v"><span>Bewerken</span></a></li><li id="ca-edit" class="selected collapsible vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Verzameling_(wiskunde)&action=edit" title="Broncode van deze pagina bewerken"><span>Brontekst bewerken</span></a></li><li id="ca-history" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Verzameling_(wiskunde)&action=history" title="Eerdere versies van deze pagina [h]" accesskey="h"><span>Geschiedenis weergeven</span></a></li> </ul> </div> </div> </nav> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Paginahulpmiddelen"> <div id="vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown vector-page-tools-dropdown" > <input type="checkbox" id="vector-page-tools-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Hulpmiddelen" > <label id="vector-page-tools-dropdown-label" for="vector-page-tools-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" ><span class="vector-dropdown-label-text">Hulpmiddelen</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-tools-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> <div id="vector-page-tools" class="vector-page-tools vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-page-tools-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="page-tools-pinned" data-pinnable-element-id="vector-page-tools" data-pinned-container-id="vector-page-tools-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-page-tools-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Hulpmiddelen</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.pin">naar zijbalk verplaatsen</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.unpin">verbergen</button> </div> <div id="p-cactions" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-cactions emptyPortlet vector-has-collapsible-items" title="Meer opties" > <div class="vector-menu-heading"> Handelingen </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-more-view" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/wiki/Verzameling_(wiskunde)"><span>Lezen</span></a></li><li id="ca-more-ve-edit" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Verzameling_(wiskunde)&veaction=edit" title="Deze pagina bewerken [v]" accesskey="v"><span>Bewerken</span></a></li><li id="ca-more-edit" class="selected collapsible vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Verzameling_(wiskunde)&action=edit" title="Broncode van deze pagina bewerken [e]" accesskey="e"><span>Brontekst bewerken</span></a></li><li id="ca-more-history" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Verzameling_(wiskunde)&action=history"><span>Geschiedenis weergeven</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-tb" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-tb" > <div class="vector-menu-heading"> Algemeen </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-whatlinkshere" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Speciaal:VerwijzingenNaarHier/Verzameling_(wiskunde)" title="Lijst met alle pagina's die naar deze pagina verwijzen [j]" accesskey="j"><span>Links naar deze pagina</span></a></li><li id="t-recentchangeslinked" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Speciaal:RecenteWijzigingenGelinkt/Verzameling_(wiskunde)" rel="nofollow" title="Recente wijzigingen in pagina's waar deze pagina naar verwijst [k]" accesskey="k"><span>Gerelateerde wijzigingen</span></a></li><li id="t-upload" class="mw-list-item"><a href="//commons.wikimedia.org/wiki/Special:UploadWizard?uselang=nl" title="Bestanden uploaden [u]" accesskey="u"><span>Bestand uploaden</span></a></li><li id="t-specialpages" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Speciaal:SpecialePaginas" title="Lijst met alle speciale pagina's [q]" accesskey="q"><span>Speciale pagina's</span></a></li><li id="t-info" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Verzameling_(wiskunde)&action=info" title="Meer informatie over deze pagina"><span>Paginagegevens</span></a></li><li id="t-urlshortener" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Speciaal:UrlQ%C4%B1sald%C4%B1c%C4%B1s%C4%B1&url=https%3A%2F%2Fnl.wikipedia.org%2Fw%2Findex.php%3Ftitle%3DVerzameling_%28wiskunde%29%26action%3Dedit%26undo%3D60151682%26undoafter%3D59979610"><span>Verkorte URL verkrijgen</span></a></li><li id="t-urlshortener-qrcode" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Speciaal:QrKodu&url=https%3A%2F%2Fnl.wikipedia.org%2Fw%2Findex.php%3Ftitle%3DVerzameling_%28wiskunde%29%26action%3Dedit%26undo%3D60151682%26undoafter%3D59979610"><span>QR-code downloaden</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-wikibase-otherprojects" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-wikibase-otherprojects" > <div class="vector-menu-heading"> In andere projecten </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-wikibase" class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikibase-dataitem mw-list-item"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q36161" title="Koppeling naar item in verbonden gegevensrepository [g]" accesskey="g"><span>Wikidata-item</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> </div> <div class="vector-column-end"> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Paginahulpmiddelen"> <div id="vector-page-tools-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Uiterlijk"> <div id="vector-appearance-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-appearance" class="vector-appearance vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-appearance-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="appearance-pinned" data-pinnable-element-id="vector-appearance" data-pinned-container-id="vector-appearance-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-appearance-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Uiterlijk</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.pin">naar zijbalk verplaatsen</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.unpin">verbergen</button> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> <div id="bodyContent" class="vector-body" aria-labelledby="firstHeading" data-mw-ve-target-container> <div class="vector-body-before-content"> <div class="mw-indicators"> </div> </div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle">← <a href="/wiki/Verzameling_(wiskunde)" title="Verzameling (wiskunde)">Verzameling (wiskunde)</a></div></div> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-undo-success"><p>Deze bewerking kan ongedaan gemaakt worden. Hieronder staat de tekst waarin de wijziging ongedaan is gemaakt. Controleer voor het opslaan of het resultaat gewenst is. </p> <hr /></div><p>U hebt geen toestemming om deze pagina te bewerken, want: </p> <ul class="permissions-errors"><li class="mw-permissionerror-blockedtext"><div style="border-top:3.5px solid #c71e1e; line-height: 1.4; text-align: left; font-size: 1.1em;"> <div style="height:.5em"></div>  <figure class="mw-halign-left" typeof="mw:File/Frameless"><a href="/wiki/Bestand:Cross_red_circle.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/cc/Cross_red_circle.svg/46px-Cross_red_circle.svg.png" decoding="async" width="46" height="46" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/cc/Cross_red_circle.svg/69px-Cross_red_circle.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/cc/Cross_red_circle.svg/92px-Cross_red_circle.svg.png 2x" data-file-width="512" data-file-height="512" /></a><figcaption></figcaption></figure> <big><b>U heeft geen bewerkingsrechten</b></big><br />De opgegeven reden van uw blokkering luidt: <b>Open proxy - <a href="/wiki/Wikipedia:Blockreason9" title="Wikipedia:Blockreason9">Nadere informatie</a>.</b> <div style="height:.5em"></div> <p><i>Indien u enkel Wikipedia wenst te lezen is dit van geen enkel belang. U heeft toegang tot alle aanwezige informatie.</i> </p><p>U klikte op een link om een pagina op Wikipedia te bewerken, hetzij om de tekst daarvan aan te passen, hetzij om een nieuw artikel aan te maken. U kunt dit (op dit moment) niet doen omdat u geblokkeerd bent. Als u Wikipedia enkel wenst te lezen mist u niets. </p> <ul><li><b>Niet aangemelde gebruiker:</b> indien u geen gebruik maakt van een <a href="/wiki/Help:Aanmelden" class="mw-redirect" title="Help:Aanmelden">gebruikersaccount</a> en u krijgt deze melding, dan is uw externe <a href="/wiki/IP-adres" title="IP-adres">IP-adres</a> geblokkeerd. Een IP-adres is een nummer waarmee uw computer op het internet kan worden geïdentificeerd. Dat van u is <b>8.222.208.146</b>. Als er problemen zijn met anonieme gebruikers, zoals in het geval van vandalisme, wordt daarvan soms het IP-adres geblokkeerd. <b>Dit is niet noodzakelijkerwijs persoonlijk bedoeld.</b> Veel mensen delen hun IP-adres met andere gebruikers. Dit is bijna zeker het geval indien u via een school of bedrijf met het internet bent verbonden. Ongewenste bewerkingen van iemand anders kunnen helaas de reden zijn dat u nu geen bewerkingsrechten heeft. Ook kan het zijn dat uw IP-adres is geblokkeerd omdat u via een mobiele internetverbinding bewerkingen in Wikipedia wilt uitvoeren. Mobiele netwerken wijzen dynamische IP-adressen toe die om beveiligingsredenen standaard zijn geblokkeerd voor anonieme bewerkingen. <ul><li>Oplossing: sommige blokkeringen worden opgelegd voor een korte periode. Kijk in <span class="plainlinks"><a class="external text" href="https://nl.wikipedia.org/w/index.php?title=Speciaal:Ipblocklist&ip=8.222.208.146">het logboek</a></span> tot wanneer de blokkering loopt. U kunt daar ook zien welk type blokkering is opgelegd. Ziet u de vermelding <i>alleen anoniemen</i> staan, dan zult u wel bewerkingsrechten hebben indien u <a href="/wiki/Speciaal:Aanmelden" title="Speciaal:Aanmelden">inlogt</a> als een geregistreerde gebruiker. Ziet u ook de vermelding <i>aanmaken account geblokkeerd</i>, dan kunt u via uw huidige internetverbinding geen account aanmaken. Is deze laatste vermelding er echter niet, dan kunt u gewoon een <span class="plainlinks"><a class="external text" href="https://nl.wikipedia.org/w/index.php?title=Speciaal:Userlogin&type=signup">gebruikersaccount aanmaken</a></span>. Informatie over andere oplossingen vindt u op de pagina <span class="plainlinks"><a class="external text" href="https://nl.wikimedia.org/wiki/Help:Oplossingen_voor_geblokkeerde_gebruikers">Oplossingen voor geblokkeerde gebruikers</a></span>.</li></ul></li></ul> <ul><li><b>Geregistreerde gebruiker:</b> uw gebruikersaccount kan geblokkeerd zijn. Als u niet weet waarom u geblokkeerd bent, kijk dan op uw overlegpagina. Mogelijk vindt u daar een toelichting. Ook kunt u tijdens een blokkade uw overlegpagina blijven bewerken en kunt u daar vragen stellen over de reden van de blokkade; tenzij u deze mogelijkheid expliciet is ontnomen.</li></ul> <p><i>Voor verdere vragen kunt u <a href="/wiki/Speciaal:Contactpagina" title="Speciaal:Contactpagina">contact opnemen</a> met het e-mailteam van de Nederlandstalige Wikipedia. Als u een geregistreerde gebruiker bent, vermeld dan ook een link naar uw gebruikerspagina.</i> </p> </div></li><li class="mw-permissionerror-globalblocking-blockedtext-range"><b>Uw IP-adres bevindt zich in een bereik dat <a href="https://meta.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Global_blocks" class="extiw" title="m:Special:MyLanguage/Global blocks">op alle wiki’s van de Wikimedia Foundation geblokkeerd is</a>.</b> <p>Deze blokkade is ingesteld door <a href="/wiki/Gebruiker:Jon_Kolbert" title="Gebruiker:Jon Kolbert">‪Jon Kolbert‬</a>. De opgegeven reden is <i><a href="https://meta.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/NOP" class="extiw" title="m:Special:MyLanguage/NOP">Open proxy/Webhost</a>: See the <a href="https://meta.wikimedia.org/wiki/WM:OP/H" class="extiw" title="m:WM:OP/H">help page</a> if you are affected </i>. </p> <ul><li>Aanvang blokkade: 27 aug 2023 16:12</li> <li>Einde blokkade: 27 aug 2028 16:12</li></ul> <p>Uw huidige IP-adres is 8.222.208.146. Het geblokkeerde bereik is 8.222.128.0/17. </p><p>Vermeld alle bovenstaande gegevens als u ergens op deze blokkade reageert. Als u denkt dat u per abuis bent geblokkeerd, kunt u aanvullende informatie en instructies vinden in het algemene beleid <a href="https://meta.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/No_open_proxies" class="extiw" title="m:Special:MyLanguage/No open proxies">Geen open proxy’s</a>. </p> Anders kunt u om de blokkering bespreken <a href="https://meta.wikimedia.org/wiki/Steward_requests/Global" class="extiw" title="m:Steward requests/Global">een verzoek om beoordeling op Meta-Wiki plaatsen</a>. U kunt ook een e-mail sturen naar de <a href="https://meta.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/VRT" class="extiw" title="m:Special:MyLanguage/VRT">VRT</a>-wachtrij van de <a href="https://meta.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Stewards" class="extiw" title="m:Special:MyLanguage/Stewards">stewards</a> op <kbd>stewards@wikimedia.org</kbd> met daarin alle bovenstaande gegevens.</li></ul><hr /> <p>U kunt de brontekst van deze pagina bekijken en kopiëren. </p><textarea readonly="" accesskey="," id="wpTextbox1" cols="80" rows="25" style="" class="mw-editfont-monospace" lang="nl" dir="ltr" name="wpTextbox1">[[Afbeelding:Venn A intersect B.svg|thumb|Venndiagram van de doorsnede <math>A\cap B</math> van twee verzamelingen <math>A</math> en <math>B</math>]] In de [[wiskunde]] is een '''verzameling''' een abstract [[Wiskundig object|object]] dat het totaal voorstelt van verschillende objecten, die de [[Element (wiskunde)|elementen]] van de verzameling worden genoemd. Het begrip verzameling is een wiskundig basisbegrip. Dat wil zeggen dat het niet verder gereduceerd (herleid) kan worden tot andere, nog fundamentelere theoretische wiskundige begrippen, maar dat het zelf [[axioma]]tisch gedefinieerd moet worden. Verzamelingen vormen het onderwerp van de [[verzamelingenleer]]. De grondslag voor de definitie van een verzameling werd aan het einde van de negentiende eeuw gelegd door de Duitse wiskundige [[Georg Cantor]]. Hij noemde een verzameling informeel: "een veelheid aan elementen, die volgens een bepaalde definitie bij elkaar horen, en daardoor een geheel vormen". De verzamelingenleer is inmiddels alomtegenwoordig in de wiskunde en vormt een basis van waaruit bijna de hele wiskunde kan worden afgeleid. In het wiskundeonderwijs aan de middelbare scholen worden elementaire onderwerpen als [[venndiagram]]men onderwezen, als aanschouwelijke voorstellingen van verzamelingen. Twee verzamelingen zijn volgens het [[gelijkheidsaxioma]] identiek als ze dezelfde elementen bevatten. Een verzameling zonder element noemt men een [[lege verzameling]]. Bij de beschrijving van een verzameling gaat het uitsluitend om de vraag welke elementen in de verzameling zijn opgenomen, niet om de vraag hoe vaak en in welke volgorde ze erin voorkomen. De [[mandelbrotverzameling]] is een bekend voorbeeld van een wiskundige verzameling, en bestaat uit die [[Complex getal|complexe getallen]] die, nadat er herhaald dezelfde [[Operatie (wiskunde)|bewerking]] op is uitgevoerd, naar een eindige waarde [[Iteratie|itereren]]. == Definitie == Hier wordt alleen een globaal overzicht gegeven van het concept verzameling. Dit overzicht is erop gericht om met verzamelingen te kunnen werken en belangrijke begrippen als [[Afbeelding (wiskunde)|afbeeldingen]], [[Functie (wiskunde)|functies]], [[Getal (wiskunde)|getallen]] en [[Relatie (wiskunde)|relaties]] te kunnen definiëren. [[Georg Cantor]] gaf aan het begin van zijn ''Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre'':<ref>Geciteerd in Dauben, pag. 170</ref> de volgende definitie van een verzameling: {{Cquote|Met een verzameling bedoelen we elke collectie <math>M</math> uit een geheel van concrete, afzonderlijke objecten <math>m</math>, die de elementen van <math>M</math> worden genoemd, van onze [[Waarneming (perceptie)|perceptie]] [Anschauung] of van ons denken.}} De elementen of leden van een verzameling kunnen bijvoorbeeld zijn: getallen, letters van het alfabet, andere verzamelingen en zo verder. Een verzameling wordt gewoonlijk aangeduid door een [[Kapitaal (typografie)|hoofdletter]]. De verzamelingen <math>A</math> en <math>B</math> zijn aan elkaar [[Gelijkheid (verzamelingenleer)|gelijk]] als zij dezelfde elementen hebben. Zoals hieronder wordt besproken, bleek de hierboven gegeven definitie ontoereikend voor de [[Formalisme (wiskunde)|formele wiskunde]]. In plaats daarvan wordt het begrip 'verzameling' in de [[axiomatische verzamelingenleer]] als een ongedefinieerde primitieve<ref>[[Engels]]: primitive notion</ref> genomen, en worden haar eigenschappen gedefinieerd door de [[Zermelo-Fraenkel-verzamelingenleer|axioma's van Zermelo-Fraenkel]]. De twee meest fundamentele eigenschappen zijn dat een verzameling door de elementen er in is gedefinieerd en dat twee verzamelingen [[Dan en slechts dan als|dan en slechts dan]] aan elkaar gelijk zijn, als deze dezelfde elementen hebben. Men dient voorzichtig te zijn met verbale beschrijvingen van verzamelingen, omdat deze gemakkelijk tot [[Paradox (logica)#Wiskundige paradoxen|paradoxen]] kunnen leiden. De [[axiomatische verzamelingenleer]] is geconstrueerd om deze paradoxen te vermijden. == Beschrijving == In het dagelijkse spraakgebruik komt het begrip 'verzameling' ook voor: met "bestek" wordt in een huishouden de verzameling lepels, vorken en messen bedoeld, het "servies" van oma is een verzameling borden, schalen .... Een "pak" speelkaarten is een verzameling speelkaarten. Er zijn twee manieren om de [[Element (wiskunde)|elementen]] van een verzameling vast te leggen. Eén manier is door een beschrijving, waarbij gebruik wordt gemaakt van een regel of een [[Semantiek|semantische]] beschrijving van de elementen: : <math>A</math> is de verzameling waarvan de elementen de eerste vier positieve [[Getal (wiskunde)|getallen]] zijn. : <math>B</math> is de verzameling van alle kleuren van de [[Vlag van Nederland|Nederlandse vlag]]: <math>B=\{x\mid x \text{ is een kleur van de Nederlandse vlag}\}</math>. In plaats van de verticale streep schrijft men ook wel een dubbelepunt: <math>B=\{x: x \text{ is een kleur van de Nederlandse vlag}\}</math>. De tweede manier is door opsomming, dat is wanneer elk element van de verzameling expliciet wordt genoemd. De elementen van de verzameling worden hierbij tussen [[Accolade (leesteken)|accolades]] geplaatst: : <math>A = \{4, 2, 1, 3\}</math> : <math>B = \{\text{rood, wit, blauw}\}</math> Als <math>x</math> een element is van de verzameling <math>A</math>, wordt dit genoteerd als <math>x\in A</math>. Is <math>x</math> géén element van <math>A</math>, dan wordt dit wel aangeduid door <math>x\notin A</math>. Met betrekking tot de verzamelingen <math>A = \{4, 2, 1, 3\}</math> en <math>B = \{\text{rood,wit,blauw}\}</math> bijvoorbeeld, zoals hierboven gedefinieerd, geldt : <math>4\in A</math> en : <math>\text{groen} \notin B</math> Twee verzamelingen zijn aan elkaar gelijk, als ze dezelfde elementen bevatten. Bijvoorbeeld <math>\{4, 2, 1, 3\} = \{1, 2, 3, 4\}</math>. Dat twee verzamelingen <math>A</math> en <math>B</math> aan elkaar gelijk zijn, noteert men als <math>A=B</math>. : <math>A = B\ \Longleftrightarrow\ \forall x\ \left( x \in A \Longleftrightarrow x \in B \right)</math> Anders dan bij een [[multiset]] komt elk element van een verzameling maar één keer voor als element van de verzameling, ook al wordt een element meer keren genoemd. Zo is de verzameling letters <math>\{a,b,a,c,a\}</math> dezelfde als de verzameling <math>\{a,b,c\}</math> en de verzameling <math>\{b,a,c,c\}</math>. Ieder element van een verzameling <math>A</math> blijft onder alle [[Algebra van verzamelingen|bewerkingen]] op <math>A</math> uniek. De volgorde waarin de elementen van een verzameling worden opgesomd, telt niet, dit in tegenstelling tot bij een [[Rij (wiskunde)|rij]] of een [[tupel]]. Elementen staan in een rij opeenvolgend opgesomd en mogen in tegenstelling tot in een verzameling wel meer dan één keer in een rij voorkomen. Een verzameling objecten in het dagelijks leven, bijvoorbeeld een platenverzameling, of de spullen in een tas, kan identieke objecten bevatten, waarbij de multipliciteit vaak relevant is, en moet dan als een multiset worden beschreven, niet als verzameling. De lege verzameling, die geen elementen heeft, wordt met het symbool ∅ genoteerd. Minder gebruikelijk is de notaie {}. Het aantal elementen in een verzameling noemt men de [[#Kardinaliteit|kardinaliteit]] van de verzameling. == Deelverzamelingen == <div style="float:right;margin:1em;">[[Afbeelding:Venn A subset B.svg|150px|center]]<div class="center"><small> <math>A</math> is een deelverzameling van <math>B</math></small></div></div> Als elk element van de verzameling <math>A</math> ook element is van de verzameling <math>B</math>, zegt men dat <math>A</math> een [[deelverzameling]] is van <math>B</math>. Dit wordt genoteerd als <math>A\subseteq B</math> of als <math>A\subset B</math>, en uitgesproken als <math>A</math> is een deel(verzameling) van <math>B</math>, of als <math>A</math> wordt door <math>B</math> omvat. In plaats daarvan kan ook worden geschreven: <math>B \supseteq A</math>, of <math>B \supset A</math> zeg: <math>B</math> omvat <math>A</math>, <math>B</math> sluit <math>A</math> in, of <math>B</math> is een [[superset]] van <math>A</math>. De [[Relatie (wiskunde)|relatie]] tussen verzamelingen die wordt vastgelegd door ⊆ wordt inclusie of omvatting genoemd. Als <math>A</math> een deelverzameling is van <math>B</math>, maar niet daaraan gelijk is, wordt <math>A</math> een echte of strikte deelverzameling van <math>B</math> genoemd. Dit wordt wel genoteerd als <math>A \subsetneq B</math>, of <math>B \supsetneq A</math>: <math>B</math> is een strikte superset van <math>A</math>. Voorbeeld: * De verzameling van alle mannen is een strikte deelverzameling van de verzameling van alle mensen. * <math>\{1,3\} \subseteq \{1,2,3,4\}</math>, maar ook <math>\{1,3\} \subset \{1,2,3,4\}</math> * <math>\{1,2,3,4\} \subseteq \{1,2,3,4\}</math> De [[Uitdrukking (wiskunde)|uitdrukkingen]] <math>A\subset B</math> en <math>B\supset A</math> worden door verschillende auteurs verschillend gebruikt: sommigen gebruiken deze relatie in de betekenis van <math>A\subseteq B</math> en <math>B\supseteq A</math>, terwijl anderen er <math>A \subsetneq B</math> en <math>B \supsetneq A</math> mee bedoelen. De lege verzameling is een deelverzameling van elke verzameling en elke verzameling is een deelverzameling van zichzelf: * <math>\varnothing \subseteq A</math> * <math>A \subseteq A</math> Een vanzelfsprekende identiteit, die vaak kan worden gebruikt om aan te tonen dat twee ogenschijnlijk verschillende verzamelingen toch aan elkaar gelijk zijn: * <math>A=B</math> dan en slechts dan als <math>A\subseteq B</math> en <math>B\subseteq A</math> == Bewerkingen == * De [[Vereniging (verzamelingenleer)|vereniging]] van twee verzamelingen <math>A</math> en <math>B</math> wordt gevormd door de elementen die in <math>A</math> of in <math>B</math> (of in beide) zitten. Notatie: <math>A\cup B</math>. * De [[Doorsnede (verzamelingenleer)|doorsnede]] van twee verzamelingen <math>A</math> en <math>B</math> wordt gevormd door de verzameling van gemeenschappelijke elementen, dus alle elementen die zowel in <math>A</math> als in <math>B</math> zitten. Notatie: <math>A\cap B</math>. * Het [[Verschil (verzamelingenleer)|verschil]] van twee verzamelingen <math>A</math> en <math>B</math>, ook wel het relatieve complement van <math>B</math> ten opzichte van <math>A</math> genoemd, is de verzameling van de elementen van <math>A</math> die niet tot <math>B</math> behoren. Het wordt genoteerd als: :: <math>A \setminus B = \{x \in A \mid x \notin B\}</math> : Lees: <math>A</math> met daaruit weggelaten <math>B</math>. Het relatieve complement wordt ook wel genoteerd als: <math>A-B</math>. * In sommige toepassingen zijn alle verzamelingen waarmee wordt gewerkt deelverzamelingen van een grote verzameling <math>U</math>, die dan de [[universele verzameling]] of het universum genoemd wordt. In zulke gevallen is de [[Complement (verzamelingenleer)|complementaire verzameling]] van een verzameling <math>A</math> de verzameling van alle elementen in <math>U</math> die niet in <math>A</math> zitten, notatie: <math>A^c=\{x\in U\mid x\notin A\}</math>. <math>A^c</math> wordt in het algemeen als het complement van <math>A</math> aangeduid. Andere notaties voor het complement zijn <math>\bar{A}</math> en <math>A'</math>. Er gelden de volgende eigenschappen: : {| class="wikitable" ! Eigenschap || Doorsnede || Vereniging |- | [[Commutativiteit|commutatief]] | A ∩ B = B ∩ A | A ∪ B = B ∪ A |- | [[Associativiteit (wiskunde)|associatief]] | A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C | A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C |- | [[Distributiviteit|distributief]] | A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) | A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) |- | [[neutraal element]] | A ∩ ''U'' = A voor alle A | A ∪ ∅ = A voor alle A |- | 'kleinste' en 'grootste'<br> verzameling | A ∩ ∅ = ∅ voor alle A | A ∪ ''U'' = ''U'' voor alle A |} Een [[Partitie (verzamelingenleer)|partitie]] is een opdeling van een verzameling in niet-lege, onderling disjuncte, deelverzamelingen, die wel blokken worden genoemd. Bijvoorbeeld: als <math>A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}</math>, dan vormen de deelverzamelingen {1,3}, {2,4,5,7} en {6,8} een partitie van <math>A</math> met drie blokken. De deelverzamelingen van een gegeven verzameling vormen een [[booleaanse algebra]] onder doorsnede en vereniging. == Wetten van De Morgan == De [[wetten van De Morgan]] luiden: * <math>(A \cup B)^c = A^c \cap B^c</math> * <math>(A \cap B)^c = A^c \cup B^c</math> * <math>A \setminus(B\cup C) = (A \setminus B)\cap (A\setminus C)</math> * <math>A \setminus(B\cap C) = (A \setminus B)\cup (A\setminus C)</math> == Kardinaliteit == De [[kardinaliteit]] <math>|A|</math> van een verzameling <math>A</math> is "het aantal elementen van <math>A</math>". Aangezien bijvoorbeeld de Nederlandse vlag drie kleuren kent, is de kardinaliteit van de verzameling <math>B=\{\text{kleuren van de Nederlandse vlag}\}</math> gelijk aan <math>|B|=3</math>. De [[lege verzameling]] <math>\varnothing</math> heeft kardinaliteit 0. Hoewel het misschien triviaal lijkt, is de lege verzameling, net zoals het getal [[0 (getal)|nul]], belangrijk in de wiskunde. Het bestaan van de lege verzameling is zelfs een van de fundamentele concepten uit de [[axiomatische verzamelingenleer]]. Een [[Singleton (wiskunde)|singleton]] of eenpuntsverzameling is een verzameling met precies één element. Sommige verzamelingen hebben een [[Oneindige verzameling|oneindige]] kardinaliteit. De verzameling <math>\N</math> van de [[Natuurlijk getal|natuurlijke getallen]] is bijvoorbeeld oneindig. Men kan echter aantonen dat sommige oneindige kardinaliteiten groter zijn dan andere. De verzameling van de [[Reëel getal|reële getallen]] bijvoorbeeld heeft een grotere kardinaliteit dan de verzameling van de natuurlijke getallen. Het kan worden aangetoond dat de kardinaliteit van, dat wil zeggen: het aantal punten op, een [[Lijn (meetkunde)|lijn]] dezelfde is als de kardinaliteit van enig [[lijnstuk]] van die lijn, dezelfde als die van het gehele [[Vlak (meetkunde)|vlak]] en ook dezelfde als die van enige eindig-dimensionale [[euclidische ruimte]]. === Machtsverzamelingen === De [[machtsverzameling]] van een verzameling <math>A</math> is de verzameling van alle deelverzamelingen van <math>A</math>. Daartoe behoort de verzameling <math>A</math> zelf en de lege verzameling. Als een [[eindige verzameling]] <math>A</math> een [[kardinaliteit]] <math>n</math> heeft, is de kardinaliteit van de machtsverzameling van <math>A</math> gelijk aan <math>2^n</math>. De machtsverzameling wordt genoteerd als <math>\mathcal{P}(A)</math> of als <math>2^A</math>. Als <math>A</math> een oneindige verzameling is, een [[Aftelbare verzameling|aftelbare]] dan wel [[overaftelbare verzameling]], is de machtsverzameling van <math>A</math> altijd overaftelbaar. In het algemeen geldt dat er geen [[bijectie]] bestaat van een verzameling <math>A</math> op diens machtsverzameling <math>\mathcal{P}(A)</math>. Met andere woorden: de machtsverzameling van <math>A</math> is altijd strikt groter dan <math>A</math> zelf. De machtsverzameling van de verzameling {1, 2, 3} is bijvoorbeeld { {1, 2, 3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1}, {2}, {3}, ∅ }. De kardinaliteit van de oorspronkelijke verzameling is 3 en de kardinaliteit van de machtsverzameling is 2<sup>3</sup> = 8. Deze relatie is een van de redenen voor de naam machtsverzameling. == Getallen == Voorbeelden van getallenverzamelingen zijn: # [[Natuurlijk getal|Natuurlijke getallen]] # [[Geheel getal|Gehele getallen]] # De [[Rationaal getal|rationale getallen]], die bestaan uit de gehele getallen en de [[Breuk (wiskunde)|breuken]]. # De [[Reëel getal|reële getallen]], waaronder ook de [[Transcendent getal|transcendente getallen]] vallen. # De [[Complex getal|complexe getallen]] verschijnen als oplossing van vergelijkingen als <math>x^2+1=0</math>. == Toepassingen == Vrijwel alle andere takken van de wiskunde worden gebaseerd op de [[verzamelingenleer]]. Zo is bijvoorbeeld in de [[kansrekening]] de uitkomstenruimte de [[universele verzameling]] van alle mogelijkheden en zijn de gebeurtenissen de (deel)verzamelingen. Andere elementaire begrippen in de wiskunde, zoals [[Functie (wiskunde)|functies]] en [[Rij (wiskunde)|rijen]], worden ook in termen van verzamelingen gedefinieerd. De [[ordetheorie]] houdt zich bezig met de verschillende manieren om de elementen van een verzameling te ordenen. Een [[Tweeplaatsige relatie|relatie]] legt daartoe de volgorde tussen de elementen van de verzameling in een [[Rij (wiskunde)|rij]] vast en geeft zo aan welke van de elementen opvolger is van het andere. Dat begint met het bepalen van een [[bovengrens en ondergrens]] van de verzameling. * Er wordt in de [[topologie]] verschil tussen [[Open verzameling|open]] en [[gesloten verzameling]]en gemaakt. * Verzamelingen zijn in de [[informatica]] geïmplementeerd en heten daar ook weer [[Verzameling (informatica)|verzamelingen]]. {{Appendix|| ; voetnoten {{References}} ; literatuur * {{en}} {{aut|JW Dauben}}. Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite, 1979. {{ISBN|978-0-691-02447-9}}. ; websites * [[MathWorld]]. [https://mathworld.wolfram.com/Set.html Set]. }} {{Commonscat}} [[Categorie:Verzamelingenleer]] </textarea><div class="templatesUsed"><div class="mw-templatesUsedExplanation"><p>Op deze pagina gebruikte sjablonen: </p></div><ul> <li><a href="/wiki/Sjabloon:Appendix" title="Sjabloon:Appendix">Sjabloon:Appendix</a> (<a href="/w/index.php?title=Sjabloon:Appendix&action=edit" title="Sjabloon:Appendix">bekijk bron</a>) (uitgebreid beveiligd)</li><li><a href="/wiki/Sjabloon:Aut" title="Sjabloon:Aut">Sjabloon:Aut</a> (<a href="/w/index.php?title=Sjabloon:Aut&action=edit" title="Sjabloon:Aut">bekijk bron</a>) (semi-beveiligd)</li><li><a href="/wiki/Sjabloon:Bevat" title="Sjabloon:Bevat">Sjabloon:Bevat</a> (<a href="/w/index.php?title=Sjabloon:Bevat&action=edit" title="Sjabloon:Bevat">bekijk bron</a>) (uitgebreid beveiligd)</li><li><a href="/wiki/Sjabloon:Commonscat" title="Sjabloon:Commonscat">Sjabloon:Commonscat</a> (<a href="/w/index.php?title=Sjabloon:Commonscat&action=edit" title="Sjabloon:Commonscat">bekijk bron</a>) (semi-beveiligd)</li><li><a href="/wiki/Sjabloon:Cquote" title="Sjabloon:Cquote">Sjabloon:Cquote</a> (<a href="/w/index.php?title=Sjabloon:Cquote&action=edit" title="Sjabloon:Cquote">bewerken</a>) </li><li><a href="/wiki/Sjabloon:Cquote/styles.css" title="Sjabloon:Cquote/styles.css">Sjabloon:Cquote/styles.css</a> (<a href="/w/index.php?title=Sjabloon:Cquote/styles.css&action=edit" title="Sjabloon:Cquote/styles.css">bewerken</a>) </li><li><a href="/wiki/Sjabloon:En" class="mw-redirect" title="Sjabloon:En">Sjabloon:En</a> (<a href="/w/index.php?title=Sjabloon:En&action=edit" class="mw-redirect" title="Sjabloon:En">bekijk bron</a>) (semi-beveiligd)</li><li><a href="/wiki/Sjabloon:First_non_empty" title="Sjabloon:First non empty">Sjabloon:First non empty</a> (<a href="/w/index.php?title=Sjabloon:First_non_empty&action=edit" title="Sjabloon:First non empty">bekijk bron</a>) (uitgebreid beveiligd)</li><li><a href="/wiki/Sjabloon:ISBN" title="Sjabloon:ISBN">Sjabloon:ISBN</a> (<a href="/w/index.php?title=Sjabloon:ISBN&action=edit" title="Sjabloon:ISBN">bekijk bron</a>) (semi-beveiligd)</li><li><a href="/wiki/Sjabloon:InterProject" title="Sjabloon:InterProject">Sjabloon:InterProject</a> (<a href="/w/index.php?title=Sjabloon:InterProject&action=edit" title="Sjabloon:InterProject">bekijk bron</a>) (semi-beveiligd)</li><li><a href="/wiki/Sjabloon:References" title="Sjabloon:References">Sjabloon:References</a> (<a href="/w/index.php?title=Sjabloon:References&action=edit" title="Sjabloon:References">bekijk bron</a>) (uitgebreid beveiligd)</li><li><a href="/wiki/Sjabloon:Taal-en" title="Sjabloon:Taal-en">Sjabloon:Taal-en</a> (<a href="/w/index.php?title=Sjabloon:Taal-en&action=edit" title="Sjabloon:Taal-en">bekijk bron</a>) (semi-beveiligd)</li><li><a href="/wiki/Sjabloon:Taalaanduiding" title="Sjabloon:Taalaanduiding">Sjabloon:Taalaanduiding</a> (<a href="/w/index.php?title=Sjabloon:Taalaanduiding&action=edit" title="Sjabloon:Taalaanduiding">bekijk bron</a>) (semi-beveiligd)</li><li><a href="/wiki/Sjabloon:Taalaanduiding/styles.css" title="Sjabloon:Taalaanduiding/styles.css">Sjabloon:Taalaanduiding/styles.css</a> (<a href="/w/index.php?title=Sjabloon:Taalaanduiding/styles.css&action=edit" title="Sjabloon:Taalaanduiding/styles.css">bewerken</a>) </li><li><a href="/wiki/Sjabloon:Zusterproject_box" title="Sjabloon:Zusterproject box">Sjabloon:Zusterproject box</a> (<a href="/w/index.php?title=Sjabloon:Zusterproject_box&action=edit" title="Sjabloon:Zusterproject box">bekijk bron</a>) (semi-beveiligd)</li><li><a href="/wiki/Module:Arguments" title="Module:Arguments">Module:Arguments</a> (<a href="/w/index.php?title=Module:Arguments&action=edit" title="Module:Arguments">bewerken</a>) </li><li><a href="/wiki/Module:Commons_sitelink" title="Module:Commons sitelink">Module:Commons sitelink</a> (<a href="/w/index.php?title=Module:Commons_sitelink&action=edit" title="Module:Commons sitelink">bewerken</a>) </li><li><a href="/wiki/Module:If_empty" title="Module:If empty">Module:If empty</a> (<a href="/w/index.php?title=Module:If_empty&action=edit" title="Module:If empty">bewerken</a>) </li><li><a href="/wiki/Module:String" title="Module:String">Module:String</a> (<a href="/w/index.php?title=Module:String&action=edit" title="Module:String">bekijk bron</a>) (uitgebreid beveiligd)</li></ul></div><p id="mw-returnto">Terug naar <a href="/wiki/Verzameling_(wiskunde)" title="Verzameling (wiskunde)">Verzameling (wiskunde)</a>.</p> <noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?useformat=desktop&type=1x1&usesul3=0" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Overgenomen van "<a dir="ltr" href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Verzameling_(wiskunde)">https://nl.wikipedia.org/wiki/Verzameling_(wiskunde)</a>"</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks catlinks-allhidden" data-mw="interface"></div> </div> </main> </div> <div class="mw-footer-container"> <footer id="footer" class="mw-footer" > <ul id="footer-info"> </ul> <ul id="footer-places"> <li id="footer-places-privacy"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Privacy_policy">Privacybeleid</a></li> <li id="footer-places-about"><a href="/wiki/Wikipedia">Over Wikipedia</a></li> <li id="footer-places-disclaimers"><a href="/wiki/Wikipedia:Algemeen_voorbehoud">Disclaimers</a></li> <li id="footer-places-wm-codeofconduct"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Universal_Code_of_Conduct">Gedragscode</a></li> <li id="footer-places-developers"><a href="https://developer.wikimedia.org">Ontwikkelaars</a></li> <li id="footer-places-statslink"><a href="https://stats.wikimedia.org/#/nl.wikipedia.org">Statistieken</a></li> <li id="footer-places-cookiestatement"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Cookie_statement">Cookieverklaring</a></li> <li id="footer-places-mobileview"><a href="//nl.m.wikipedia.org/w/index.php?title=Verzameling_(wiskunde)&action=edit&undo=60151682&undoafter=59979610&mobileaction=toggle_view_mobile" class="noprint stopMobileRedirectToggle">Mobiele weergave</a></li> </ul> <ul id="footer-icons" class="noprint"> <li id="footer-copyrightico"><a href="https://wikimediafoundation.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/static/images/footer/wikimedia-button.svg" width="84" height="29" alt="Wikimedia Foundation" loading="lazy"></a></li> <li id="footer-poweredbyico"><a href="https://www.mediawiki.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/w/resources/assets/poweredby_mediawiki.svg" alt="Powered by MediaWiki" width="88" height="31" loading="lazy"></a></li> </ul> </footer> </div> </div> </div> <div class="vector-settings" id="p-dock-bottom"> <ul></ul> </div><script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.config.set({"wgHostname":"mw-web.codfw.main-5ccf8d5c58-j27dt","wgBackendResponseTime":254,"wgPageParseReport":{"limitreport":{"cputime":"0.014","walltime":"0.019","ppvisitednodes":{"value":27,"limit":1000000},"postexpandincludesize":{"value":831,"limit":2097152},"templateargumentsize":{"value":0,"limit":2097152},"expansiondepth":{"value":2,"limit":100},"expensivefunctioncount":{"value":0,"limit":500},"unstrip-depth":{"value":0,"limit":20},"unstrip-size":{"value":0,"limit":5000000},"entityaccesscount":{"value":0,"limit":400},"timingprofile":["100.00% 2.020 1 -total"," 95.49% 1.929 2 Sjabloon:Halfbr"]},"cachereport":{"origin":"mw-web.codfw.main-5ccf8d5c58-j27dt","timestamp":"20241211095331","ttl":2592000,"transientcontent":false}}});});</script> </body> </html>