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class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a href="#" class="vector-toc-link"> <div class="vector-toc-text">ページ先頭</div> </a> </li> <li id="toc-定義" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#定義"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1</span> <span>定義</span> </div> </a> <ul id="toc-定義-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-一般化された結合法則" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#一般化された結合法則"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2</span> <span>一般化された結合法則</span> </div> </a> <ul id="toc-一般化された結合法則-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-例" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#例"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3</span> <span>例</span> </div> </a> <ul id="toc-例-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-命題論理" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#命題論理"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4</span> <span>命題論理</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-命題論理-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>命題論理サブセクションを切り替えます</span> </button> <ul id="toc-命題論理-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-結合規則" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#結合規則"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.1</span> <span>結合規則</span> </div> </a> <ul id="toc-結合規則-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-論理演算の結合性" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#論理演算の結合性"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.2</span> <span>論理演算の結合性</span> </div> </a> <ul id="toc-論理演算の結合性-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-非結合的演算" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#非結合的演算"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5</span> <span>非結合的演算</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-非結合的演算-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>非結合的演算サブセクションを切り替えます</span> </button> <ul id="toc-非結合的演算-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-非結合的演算の記法" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#非結合的演算の記法"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5.1</span> <span>非結合的演算の記法</span> </div> </a> <ul id="toc-非結合的演算の記法-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-プログラミング言語" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#プログラミング言語"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6</span> <span>プログラミング言語</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-プログラミング言語-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>プログラミング言語サブセクションを切り替えます</span> </button> <ul id="toc-プログラミング言語-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-優先順位" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#優先順位"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6.1</span> <span>優先順位</span> </div> </a> <ul id="toc-優先順位-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-結合性" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#結合性"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6.2</span> <span>結合性</span> </div> </a> <ul id="toc-結合性-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-脚注" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#脚注"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7</span> <span>脚注</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-脚注-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>脚注サブセクションを切り替えます</span> </button> <ul id="toc-脚注-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-注釈" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#注釈"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7.1</span> <span>注釈</span> </div> </a> <ul id="toc-注釈-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-出典" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#出典"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7.2</span> <span>出典</span> </div> </a> <ul id="toc-出典-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-関連項目" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#関連項目"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">8</span> <span>関連項目</span> </div> </a> <ul id="toc-関連項目-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-外部リンク" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#外部リンク"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">9</span> <span>外部リンク</span> </div> </a> <ul id="toc-外部リンク-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="目次" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" title="目次" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="目次の表示・非表示を切り替え" > <label id="vector-page-titlebar-toc-label" for="vector-page-titlebar-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-listBullet mw-ui-icon-wikimedia-listBullet"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">目次の表示・非表示を切り替え</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-titlebar-toc-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">結合法則</span></h1> <div id="p-lang-btn" class="vector-dropdown mw-portlet mw-portlet-lang" > <input type="checkbox" id="p-lang-btn-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-lang-btn" class="vector-dropdown-checkbox mw-interlanguage-selector" aria-label="特定の記事の別の言語版に移動します。利用可能な言語67件" > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-67" aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-language-progressive mw-ui-icon-wikimedia-language-progressive"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">67の言語版</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D8%B9%D9%85%D9%84%D9%8A%D8%A9_%D8%AA%D8%AC%D9%85%D9%8A%D8%B9%D9%8A%D8%A9" title="アラビア語: عملية تجميعية" lang="ar" hreflang="ar" data-title="عملية تجميعية" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="アラビア語" class="interlanguage-link-target"><span>العربية</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ast mw-list-item"><a href="https://ast.wikipedia.org/wiki/Asociativid%C3%A1" title="アストゥリアス語: Asociatividá" lang="ast" hreflang="ast" data-title="Asociatividá" data-language-autonym="Asturianu" data-language-local-name="アストゥリアス語" class="interlanguage-link-target"><span>Asturianu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ba mw-list-item"><a href="https://ba.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D1%81%D1%81%D0%BE%D1%86%D0%B8%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BB%D1%8B%D2%A1_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="バシキール語: Ассоциативлыҡ (математика)" lang="ba" hreflang="ba" data-title="Ассоциативлыҡ (математика)" data-language-autonym="Башҡортса" data-language-local-name="バシキール語" class="interlanguage-link-target"><span>Башҡортса</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be mw-list-item"><a href="https://be.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D1%81%D0%B0%D1%86%D1%8B%D1%8F%D1%82%D1%8B%D1%9E%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%B0%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%86%D1%8B%D1%8F" title="ベラルーシ語: Асацыятыўная аперацыя" lang="be" hreflang="be" data-title="Асацыятыўная аперацыя" data-language-autonym="Беларуская" data-language-local-name="ベラルーシ語" class="interlanguage-link-target"><span>Беларуская</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bg mw-list-item"><a href="https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D1%81%D0%BE%D1%86%D0%B8%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82" title="ブルガリア語: Асоциативност" lang="bg" hreflang="bg" data-title="Асоциативност" data-language-autonym="Български" data-language-local-name="ブルガリア語" class="interlanguage-link-target"><span>Български</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bs mw-list-item"><a href="https://bs.wikipedia.org/wiki/Asocijativnost" title="ボスニア語: Asocijativnost" lang="bs" hreflang="bs" data-title="Asocijativnost" data-language-autonym="Bosanski" data-language-local-name="ボスニア語" class="interlanguage-link-target"><span>Bosanski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ca mw-list-item"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Propietat_associativa" title="カタロニア語: Propietat associativa" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Propietat associativa" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="カタロニア語" class="interlanguage-link-target"><span>Català</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ckb mw-list-item"><a href="https://ckb.wikipedia.org/wiki/%DB%8C%DB%95%DA%A9%D8%AA%D8%B1%D8%A8%DB%95%D8%B3%D8%AA%D9%86" title="中央クルド語: یەکتربەستن" lang="ckb" hreflang="ckb" data-title="یەکتربەستن" data-language-autonym="کوردی" data-language-local-name="中央クルド語" 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lang="da" hreflang="da" data-title="Associativitet" data-language-autonym="Dansk" data-language-local-name="デンマーク語" class="interlanguage-link-target"><span>Dansk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-de mw-list-item"><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Assoziativgesetz" title="ドイツ語: Assoziativgesetz" lang="de" hreflang="de" data-title="Assoziativgesetz" data-language-autonym="Deutsch" data-language-local-name="ドイツ語" class="interlanguage-link-target"><span>Deutsch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-el mw-list-item"><a href="https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%A0%CF%81%CE%BF%CF%83%CE%B5%CF%84%CE%B1%CE%B9%CF%81%CE%B9%CF%83%CF%84%CE%B9%CE%BA%CE%AE_%CE%B9%CE%B4%CE%B9%CF%8C%CF%84%CE%B7%CF%84%CE%B1" title="ギリシャ語: Προσεταιριστική ιδιότητα" lang="el" hreflang="el" data-title="Προσεταιριστική ιδιότητα" data-language-autonym="Ελληνικά" data-language-local-name="ギリシャ語" class="interlanguage-link-target"><span>Ελληνικά</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Associative_property" title="英語: Associative property" lang="en" hreflang="en" data-title="Associative property" data-language-autonym="English" data-language-local-name="英語" class="interlanguage-link-target"><span>English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eo mw-list-item"><a href="https://eo.wikipedia.org/wiki/Asocieco" title="エスペラント語: Asocieco" lang="eo" hreflang="eo" data-title="Asocieco" data-language-autonym="Esperanto" data-language-local-name="エスペラント語" class="interlanguage-link-target"><span>Esperanto</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Asociatividad_(%C3%A1lgebra)" title="スペイン語: Asociatividad (álgebra)" lang="es" hreflang="es" data-title="Asociatividad (álgebra)" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="スペイン語" class="interlanguage-link-target"><span>Español</span></a></li><li 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title="ヘブライ語: פעולה אסוציאטיבית" lang="he" hreflang="he" data-title="פעולה אסוציאטיבית" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="ヘブライ語" class="interlanguage-link-target"><span>עברית</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hr mw-list-item"><a href="https://hr.wikipedia.org/wiki/Asocijativnost" title="クロアチア語: Asocijativnost" lang="hr" hreflang="hr" data-title="Asocijativnost" data-language-autonym="Hrvatski" data-language-local-name="クロアチア語" class="interlanguage-link-target"><span>Hrvatski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hu mw-list-item"><a href="https://hu.wikipedia.org/wiki/Asszociativit%C3%A1s" title="ハンガリー語: Asszociativitás" lang="hu" hreflang="hu" data-title="Asszociativitás" data-language-autonym="Magyar" data-language-local-name="ハンガリー語" class="interlanguage-link-target"><span>Magyar</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hy mw-list-item"><a href="https://hy.wikipedia.org/wiki/%D4%B6%D5%B8%D6%82%D5%A3%D5%B8%D6%80%D5%A4%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%B6%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6" title="アルメニア語: Զուգորդականություն" lang="hy" hreflang="hy" data-title="Զուգորդականություն" data-language-autonym="Հայերեն" data-language-local-name="アルメニア語" class="interlanguage-link-target"><span>Հայերեն</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ia mw-list-item"><a href="https://ia.wikipedia.org/wiki/Associativitate" title="インターリングア: Associativitate" lang="ia" hreflang="ia" data-title="Associativitate" data-language-autonym="Interlingua" data-language-local-name="インターリングア" class="interlanguage-link-target"><span>Interlingua</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-id mw-list-item"><a href="https://id.wikipedia.org/wiki/Sifat_asosiatif" title="インドネシア語: Sifat asosiatif" lang="id" hreflang="id" data-title="Sifat asosiatif" data-language-autonym="Bahasa Indonesia" data-language-local-name="インドネシア語" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Indonesia</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-is mw-list-item"><a href="https://is.wikipedia.org/wiki/Tengiregla" title="アイスランド語: Tengiregla" lang="is" hreflang="is" data-title="Tengiregla" data-language-autonym="Íslenska" data-language-local-name="アイスランド語" class="interlanguage-link-target"><span>Íslenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Associativit%C3%A0" title="イタリア語: Associatività" lang="it" hreflang="it" data-title="Associatività" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="イタリア語" class="interlanguage-link-target"><span>Italiano</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kk mw-list-item"><a href="https://kk.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D1%81%D1%81%D0%BE%D1%86%D0%B8%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%B2%D1%82%D1%96%D0%BA_%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F" title="カザフ語: Ассоциативтік операция" lang="kk" hreflang="kk" data-title="Ассоциативтік операция" data-language-autonym="Қазақша" data-language-local-name="カザフ語" class="interlanguage-link-target"><span>Қазақша</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EA%B2%B0%ED%95%A9%EB%B2%95%EC%B9%99" title="韓国語: 결합법칙" lang="ko" hreflang="ko" data-title="결합법칙" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="韓国語" class="interlanguage-link-target"><span>한국어</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-la mw-list-item"><a href="https://la.wikipedia.org/wiki/Associativitas_(mathematica)" title="ラテン語: Associativitas (mathematica)" lang="la" hreflang="la" data-title="Associativitas (mathematica)" data-language-autonym="Latina" data-language-local-name="ラテン語" class="interlanguage-link-target"><span>Latina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lt mw-list-item"><a href="https://lt.wikipedia.org/wiki/Asociatyvumas" title="リトアニア語: Asociatyvumas" lang="lt" hreflang="lt" data-title="Asociatyvumas" data-language-autonym="Lietuvių" data-language-local-name="リトアニア語" class="interlanguage-link-target"><span>Lietuvių</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lv mw-list-item"><a href="https://lv.wikipedia.org/wiki/Asociativit%C4%81te" title="ラトビア語: Asociativitāte" lang="lv" hreflang="lv" data-title="Asociativitāte" data-language-autonym="Latviešu" data-language-local-name="ラトビア語" class="interlanguage-link-target"><span>Latviešu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mk mw-list-item"><a href="https://mk.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D1%81%D0%BE%D1%86%D0%B8%D1%98%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82" title="マケドニア語: Асоцијативност" lang="mk" hreflang="mk" data-title="Асоцијативност" data-language-autonym="Македонски" data-language-local-name="マケドニア語" class="interlanguage-link-target"><span>Македонски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ml mw-list-item"><a href="https://ml.wikipedia.org/wiki/%E0%B4%B8%E0%B4%BE%E0%B4%B9%E0%B4%9A%E0%B4%B0%E0%B5%8D%E0%B4%AF%E0%B4%A8%E0%B4%BF%E0%B4%AF%E0%B4%AE%E0%B4%82" title="マラヤーラム語: സാഹചര്യനിയമം" lang="ml" hreflang="ml" data-title="സാഹചര്യനിയമം" data-language-autonym="മലയാളം" data-language-local-name="マラヤーラム語" class="interlanguage-link-target"><span>മലയാളം</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ms mw-list-item"><a href="https://ms.wikipedia.org/wiki/Kalis_sekutuan" title="マレー語: Kalis sekutuan" lang="ms" hreflang="ms" data-title="Kalis sekutuan" data-language-autonym="Bahasa Melayu" data-language-local-name="マレー語" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Melayu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Associativiteit_(wiskunde)" title="オランダ語: Associativiteit (wiskunde)" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Associativiteit (wiskunde)" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="オランダ語" class="interlanguage-link-target"><span>Nederlands</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nn mw-list-item"><a href="https://nn.wikipedia.org/wiki/Assosiativitet" title="ノルウェー語(ニーノシュク): Assosiativitet" lang="nn" hreflang="nn" data-title="Assosiativitet" data-language-autonym="Norsk nynorsk" data-language-local-name="ノルウェー語(ニーノシュク)" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk nynorsk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-no mw-list-item"><a href="https://no.wikipedia.org/wiki/Assosiativ_lov" title="ノルウェー語(ブークモール): Assosiativ lov" lang="nb" hreflang="nb" data-title="Assosiativ lov" data-language-autonym="Norsk bokmål" data-language-local-name="ノルウェー語(ブークモール)" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk bokmål</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-oc mw-list-item"><a href="https://oc.wikipedia.org/wiki/Associativitat" title="オック語: Associativitat" lang="oc" hreflang="oc" data-title="Associativitat" data-language-autonym="Occitan" data-language-local-name="オック語" class="interlanguage-link-target"><span>Occitan</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pl mw-list-item"><a href="https://pl.wikipedia.org/wiki/%C5%81%C4%85czno%C5%9B%C4%87_(matematyka)" title="ポーランド語: Łączność (matematyka)" lang="pl" hreflang="pl" data-title="Łączność (matematyka)" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="ポーランド語" class="interlanguage-link-target"><span>Polski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Associatividade" title="ポルトガル語: Associatividade" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Associatividade" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="ポルトガル語" class="interlanguage-link-target"><span>Português</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ro mw-list-item"><a href="https://ro.wikipedia.org/wiki/Asociativitate" title="ルーマニア語: Asociativitate" lang="ro" hreflang="ro" data-title="Asociativitate" data-language-autonym="Română" data-language-local-name="ルーマニア語" class="interlanguage-link-target"><span>Română</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D1%81%D1%81%D0%BE%D1%86%D0%B8%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="ロシア語: Ассоциативность (математика)" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Ассоциативность (математика)" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="ロシア語" class="interlanguage-link-target"><span>Русский</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sh mw-list-item"><a href="https://sh.wikipedia.org/wiki/Asocijativnost" title="セルボ・クロアチア語: Asocijativnost" lang="sh" hreflang="sh" data-title="Asocijativnost" data-language-autonym="Srpskohrvatski / српскохрватски" data-language-local-name="セルボ・クロアチア語" class="interlanguage-link-target"><span>Srpskohrvatski / српскохрватски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-simple mw-list-item"><a href="https://simple.wikipedia.org/wiki/Associativity" title="シンプル英語: Associativity" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Associativity" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="シンプル英語" class="interlanguage-link-target"><span>Simple English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sk mw-list-item"><a href="https://sk.wikipedia.org/wiki/Asociat%C3%ADvnos%C5%A5" title="スロバキア語: Asociatívnosť" lang="sk" hreflang="sk" data-title="Asociatívnosť" data-language-autonym="Slovenčina" data-language-local-name="スロバキア語" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenčina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/Asociativnost" title="スロベニア語: Asociativnost" lang="sl" hreflang="sl" data-title="Asociativnost" data-language-autonym="Slovenščina" data-language-local-name="スロベニア語" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenščina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sq mw-list-item"><a href="https://sq.wikipedia.org/wiki/Vetia_e_shoq%C3%ABrimit" title="アルバニア語: Vetia e shoqërimit" lang="sq" hreflang="sq" data-title="Vetia e shoqërimit" data-language-autonym="Shqip" data-language-local-name="アルバニア語" class="interlanguage-link-target"><span>Shqip</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D1%81%D0%BE%D1%86%D0%B8%D1%98%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82" title="セルビア語: Асоцијативност" lang="sr" hreflang="sr" data-title="Асоцијативност" data-language-autonym="Српски / srpski" data-language-local-name="セルビア語" class="interlanguage-link-target"><span>Српски / srpski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sv mw-list-item"><a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/Associativitet" title="スウェーデン語: Associativitet" lang="sv" hreflang="sv" data-title="Associativitet" data-language-autonym="Svenska" data-language-local-name="スウェーデン語" class="interlanguage-link-target"><span>Svenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ta mw-list-item"><a href="https://ta.wikipedia.org/wiki/%E0%AE%9A%E0%AF%87%E0%AE%B0%E0%AF%8D%E0%AE%AA%E0%AF%8D%E0%AE%AA%E0%AF%81%E0%AE%AA%E0%AF%8D_%E0%AE%AA%E0%AE%A3%E0%AF%8D%E0%AE%AA%E0%AF%81" title="タミル語: சேர்ப்புப் பண்பு" lang="ta" hreflang="ta" data-title="சேர்ப்புப் பண்பு" data-language-autonym="தமிழ்" data-language-local-name="タミル語" class="interlanguage-link-target"><span>தமிழ்</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-th mw-list-item"><a href="https://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%AA%E0%B8%A1%E0%B8%9A%E0%B8%B1%E0%B8%95%E0%B8%B4%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%80%E0%B8%9B%E0%B8%A5%E0%B8%B5%E0%B9%88%E0%B8%A2%E0%B8%99%E0%B8%AB%E0%B8%A1%E0%B8%B9%E0%B9%88" title="タイ語: สมบัติการเปลี่ยนหมู่" lang="th" hreflang="th" data-title="สมบัติการเปลี่ยนหมู่" data-language-autonym="ไทย" data-language-local-name="タイ語" class="interlanguage-link-target"><span>ไทย</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tr mw-list-item"><a href="https://tr.wikipedia.org/wiki/Birle%C5%9Fme_%C3%B6zelli%C4%9Fi_(ikili_i%C5%9Flemler)" title="トルコ語: Birleşme özelliği (ikili işlemler)" lang="tr" hreflang="tr" data-title="Birleşme özelliği (ikili işlemler)" data-language-autonym="Türkçe" data-language-local-name="トルコ語" class="interlanguage-link-target"><span>Türkçe</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tt mw-list-item"><a href="https://tt.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D1%81%D1%81%D0%BE%D1%86%D0%B8%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BB%D1%8B%D0%BA" title="タタール語: Ассоциативлык" lang="tt" hreflang="tt" data-title="Ассоциативлык" data-language-autonym="Татарча / tatarça" data-language-local-name="タタール語" class="interlanguage-link-target"><span>Татарча / tatarça</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uk mw-list-item"><a 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id="t-whatlinkshere" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E3%83%AA%E3%83%B3%E3%82%AF%E5%85%83/%E7%B5%90%E5%90%88%E6%B3%95%E5%89%87" title="ここにリンクしている全ウィキページの一覧 [j]" accesskey="j"><span>リンク元</span></a></li><li id="t-recentchangeslinked" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E9%96%A2%E9%80%A3%E3%83%9A%E3%83%BC%E3%82%B8%E3%81%AE%E6%9B%B4%E6%96%B0%E7%8A%B6%E6%B3%81/%E7%B5%90%E5%90%88%E6%B3%95%E5%89%87" rel="nofollow" title="このページからリンクしているページの最近の更新 [k]" accesskey="k"><span>関連ページの更新状況</span></a></li><li id="t-upload" class="mw-list-item"><a href="//ja.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:ファイルのアップロード" title="ファイルをアップロードする [u]" accesskey="u"><span>ファイルをアップロード</span></a></li><li id="t-permalink" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%E7%B5%90%E5%90%88%E6%B3%95%E5%89%87&oldid=102507431" title="このページのこの版への固定リンク"><span>この版への固定リンク</span></a></li><li id="t-info" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%E7%B5%90%E5%90%88%E6%B3%95%E5%89%87&action=info" 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.hatnote{margin:0.5em 0;padding:3px 2em;background-color:transparent;border-bottom:1px solid #a2a9b1;font-size:90%}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .hatnote>table{color:inherit}@media screen and (prefers-color-scheme:dark){html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .hatnote>table{color:inherit}}</style><div class="hatnote dablink noprint"><table style="width:100%; background:transparent;"> <tbody><tr><td style="width:25px;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Disambig_gray.svg" class="mw-file-description" title="曖昧さ回避"><img alt="曖昧さ回避" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5f/Disambig_gray.svg/25px-Disambig_gray.svg.png" decoding="async" width="25" height="19" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5f/Disambig_gray.svg/38px-Disambig_gray.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5f/Disambig_gray.svg/50px-Disambig_gray.svg.png 2x" data-file-width="220" data-file-height="168" /></a></span></td> <td>この項目では、数学について説明しています。プログラミング言語については「<span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E6%BC%94%E7%AE%97%E5%AD%90%E3%81%AE%E7%B5%90%E5%90%88%E6%80%A7&action=edit&redlink=1" class="new" title="演算子の結合性 (存在しないページ)">演算子の結合性</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/operator_associativity" class="extiw" title="en:operator associativity">英語版</a>）</span></span>」をご覧ください。</td> </tr></tbody></table></div> <p><a href="/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6" title="数学">数学</a>における<b>結合性</b>（けつごうせい、<a href="/wiki/%E8%8B%B1%E8%AA%9E" title="英語">英</a>: <span lang="en"><i>associative property</i><sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>,<i>associativity</i></span>）は、一部の<a href="/wiki/%E4%BA%8C%E9%A0%85%E6%BC%94%E7%AE%97" title="二項演算">二項演算</a>がもつ性質である。演算が結合的であるための必要十分条件を<b>結合法則</b>（けつごうほうそく、<a href="/wiki/%E8%8B%B1%E8%AA%9E" title="英語">英</a>: <span lang="en">associative law</span>; <b>結合律</b>、<b>結合則</b>）という。<a href="/wiki/%E5%91%BD%E9%A1%8C%E8%AB%96%E7%90%86" title="命題論理">命題論理</a>において、<b>結合則</b>（結合規則）は<a href="/wiki/%E5%BD%A2%E5%BC%8F%E7%9A%84%E8%A8%BC%E6%98%8E" class="mw-redirect" title="形式的証明">形式的証明</a>における<a href="/wiki/Well-formed_formula" class="mw-redirect" title="Well-formed formula">式</a>に対する<span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E8%AB%96%E7%90%86%E7%9A%84%E5%A6%A5%E5%BD%93%E6%80%A7&action=edit&redlink=1" class="new" title="論理的妥当性 (存在しないページ)">妥当</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Validity_(logic)" class="extiw" title="en:Validity (logic)">英語版</a>）</span></span>な<span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E7%BD%AE%E6%8F%9B%E8%A6%8F%E5%89%87&action=edit&redlink=1" class="new" title="置換規則 (存在しないページ)">置換規則</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/rule_of_replacement" class="extiw" title="en:rule of replacement">英語版</a>）</span></span>のひとつに挙げられる。 </p><p>同一式にて同じ結合的演算が複数回現れる場合、それらの演算を施す順番は、<a href="/wiki/%E8%A2%AB%E6%BC%94%E7%AE%97%E5%AD%90" title="被演算子">被演算子</a>の順序を変えない限り、結果に影響しない。つまり、（必要ならば<a href="/wiki/%E4%B8%AD%E7%BD%AE%E8%A8%98%E6%B3%95" title="中置記法">中置記法</a>と<a href="/wiki/%E3%83%91%E3%83%BC%E3%83%AC%E3%83%B3" class="mw-redirect" title="パーレン">括弧</a>を使った式に書き換えて）括弧の位置を入れ替えても、式の値は変わらない。例えば、 </p> <ul><li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (2+3)+4=2+(3+4)=9}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mo>+</mo> <mn>3</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mn>4</mn> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>3</mn> <mo>+</mo> <mn>4</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>9</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (2+3)+4=2+(3+4)=9}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a750ffe8622dc543546027ca784ea661ba64138b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:29.314ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (2+3)+4=2+(3+4)=9}" /></span></li> <li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2\times (3\times 4)=(2\times 3)\times 4=24}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>2</mn> <mo>×</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>3</mn> <mo>×</mo> <mn>4</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mo>×</mo> <mn>3</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>×</mo> <mn>4</mn> <mo>=</mo> <mn>24</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2\times (3\times 4)=(2\times 3)\times 4=24}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8283c5dc813d96817d07315f2ea72d55db8e7a03" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:30.477ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 2\times (3\times 4)=(2\times 3)\times 4=24}" /></span></li></ul> <p>を例にとると、各行とも左辺と中辺で括弧の位置が変わっている（そして被演算子の現れる位置は変わっていない）けれども、その値である右辺は変わりないことを述べている。このような関係式は、被演算子を任意の<a href="/wiki/%E5%AE%9F%E6%95%B0" title="実数">実数</a>とする<a href="/wiki/%E5%8A%A0%E6%B3%95" title="加法">加法</a>や<a href="/wiki/%E4%B9%97%E6%B3%95" title="乗法">乗法</a>を計算する限りにおいて満足されるから、それを「実数の加法および乗法は結合的（演算）である」とか、「実数の加法および乗法は（実数全体の成す集合上で）結合法則を満足する」などと言い表す。 </p><p>結合性は、「二つの<a href="/wiki/%E8%A2%AB%E6%BC%94%E7%AE%97%E5%AD%90" title="被演算子">被演算子</a>の現れる位置を入れ替えても結果が変わらない」ことを意味する<a href="/wiki/%E4%BA%A4%E6%8F%9B%E6%B3%95%E5%89%87" title="交換法則">可換則</a>とは異なる。例えば、実数の乗法が可換演算であるのは、実数の乗法において被演算子の順番を変えてもよいこと—つまり <span lang="en" class="texhtml"><i>a</i> × <i>b</i> = <i>b</i> × <i>a</i></span>—が満足されることによる。 </p><p>結合的演算は数学において遍く存在する。事実として、多くの<a href="/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E7%9A%84%E6%A7%8B%E9%80%A0" title="代数的構造">代数的構造</a>（例えば<a href="/wiki/%E5%8D%8A%E7%BE%A4" title="半群">半群</a>や<a href="/wiki/%E5%9C%8F_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="圏 (数学)">圏</a>）では、それらの持つ二項演算が結合的であることを明示的に要請される。 </p><p>とはいえ、重要で意義のある非結合的演算もたくさん存在する。例えば<a href="/wiki/%E6%B8%9B%E6%B3%95" title="減法">減法</a>、<a href="/wiki/%E5%86%AA" class="mw-redirect" title="冪">冪演算</a>、ベクトルの<a href="/wiki/%E4%BA%A4%E5%8F%89%E7%A9%8D" class="mw-redirect" title="交叉積">交叉積</a>などはそうである。 </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="定義"><span id=".E5.AE.9A.E7.BE.A9"></span>定義</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E7%B5%90%E5%90%88%E6%B3%95%E5%89%87&action=edit&section=1" title="節を編集: 定義"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Semigroup_associative.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/80/Semigroup_associative.svg/220px-Semigroup_associative.svg.png" decoding="async" width="220" height="110" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/80/Semigroup_associative.svg/330px-Semigroup_associative.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/80/Semigroup_associative.svg/440px-Semigroup_associative.svg.png 2x" data-file-width="250" data-file-height="125" /></a><figcaption>集合 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">S</span> 上の二項演算 <span lang="en" class="texhtml">∗</span> が結合的となるのは、<a href="/wiki/%E5%8F%AF%E6%8F%9B%E5%9B%B3%E5%BC%8F" title="可換図式">この図式が可換</a>のとき。つまり、左上の <span lang="en" class="texhtml"><i>S</i> × <i>S</i> × <i>S</i></span> から右下の <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">S</span> までいくのに考え得る二種類の経路に沿って得られる<a href="/wiki/%E5%86%99%E5%83%8F%E3%81%AE%E5%90%88%E6%88%90" title="写像の合成">写像の合成</a>が、<span lang="en" class="texhtml"><i>S</i> × <i>S</i> × <i>S</i></span> から <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">S</span> への同じ写像を定める。</figcaption></figure> <p>厳密に、<a href="/wiki/%E9%9B%86%E5%90%88" title="集合">集合</a> <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">S</span> 上で定義された<a href="/wiki/%E4%BA%8C%E9%A0%85%E6%BC%94%E7%AE%97" title="二項演算">二項演算</a> <span lang="en" class="texhtml">∗</span> が<b>結合的</b>であるとは、<b><span id="結合法則"></span>結合法則</b> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-display mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x*y)*z=x*(y*z)\qquad (\forall x,y,z\in S)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>∗</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∗</mo> <mi>z</mi> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mo>∗</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>y</mi> <mo>∗</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="2em"></mspace> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo>∈</mo> <mi>S</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x*y)*z=x*(y*z)\qquad (\forall x,y,z\in S)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4aa7c03670ff804ccaae513556945bc8e3cefef3" class="mwe-math-fallback-image-display mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:40.371ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x*y)*z=x*(y*z)\qquad (\forall x,y,z\in S)}" /></span> を満足するときに言う。ここで、<span lang="en" class="texhtml">∗</span> は考えたい演算（それを一般に「乗法」や「積」と呼んだりする<sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>注釈 1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>）を表す記号（<a href="/wiki/%E6%BC%94%E7%AE%97_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="演算 (数学)">演算子</a>）であって、これは別にどのような記号が用いられてもよいし、あまつさえ「乗法」を表す記号のない併置 (<a href="https://ja.wiktionary.org/wiki/juxtaposition" class="extiw" title="wikt:juxtaposition">juxtaposition</a>) 記法で <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-display mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (xy)z=x(yz)=xyz\qquad (\forall x,y,z\in S)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>z</mi> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>y</mi> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mi>y</mi> <mi>z</mi> <mspace width="2em"></mspace> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo>∈</mo> <mi>S</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (xy)z=x(yz)=xyz\qquad (\forall x,y,z\in S)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/333f5fd8d6ea1382728161b11d806db1764ccb80" class="mwe-math-fallback-image-display mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:38.263ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (xy)z=x(yz)=xyz\qquad (\forall x,y,z\in S)}" /></span> と書くこともある。 </p><p>結合法則を函数記法で表すこともでき、その場合は <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-display mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(f(x,y),z)=f(x,f(y,z))}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(f(x,y),z)=f(x,f(y,z))}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b42ae7d31aa2b0eaeb54a409811229114b4e70a" class="mwe-math-fallback-image-display mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:26.732ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(f(x,y),z)=f(x,f(y,z))}" /></span> のようになる。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="一般化された結合法則"><span id=".E4.B8.80.E8.88.AC.E5.8C.96.E3.81.95.E3.82.8C.E3.81.9F.E7.B5.90.E5.90.88.E6.B3.95.E5.89.87"></span>一般化された結合法則</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E7%B5%90%E5%90%88%E6%B3%95%E5%89%87&action=edit&section=2" title="節を編集: 一般化された結合法則"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Tamari_lattice.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/46/Tamari_lattice.svg/250px-Tamari_lattice.svg.png" decoding="async" width="250" height="348" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/46/Tamari_lattice.svg/375px-Tamari_lattice.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/46/Tamari_lattice.svg/500px-Tamari_lattice.svg.png 2x" data-file-width="504" data-file-height="702" /></a><figcaption>結合性がない場合には、五つの因子 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">a, b, c, d, e</span> のこの順での積は、四次の<span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%82%BF%E3%83%9E%E3%83%AA%E6%9D%9F&action=edit&redlink=1" class="new" title="タマリ束 (存在しないページ)">タマリ束</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Tamari_lattice" class="extiw" title="en:Tamari lattice">英語版</a>）</span></span>を成し、それぞれが異なる値を持ち得る。</figcaption></figure> <p>二項演算が結合的ならば、その演算が反復して適用されるとき、その式においてきちんと（開きと閉じが）対になる括弧がどのように挿入されるかを気にすることなく、その演算結果が同じであることがわかる<sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。そのことを<b>一般化された結合法則</b> (<i>generalized associative law</i>) と言う。実例として、四つの元の積を、それらの因子の順番を変えることなく書き下せば、五種類の異なる計算順序が考えられる: </p> <ul><li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ((ab)c)d,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>d</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ((ab)c)d,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3c807693ad08c2f2cf1c0fd5c27b0213c9d6f6b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.716ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle ((ab)c)d,}" /></span></li> <li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (ab)(cd),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>c</mi> <mi>d</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (ab)(cd),}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa6aee70aef5cd7b4eafbee988ff02934d04dfe5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.716ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (ab)(cd),}" /></span></li> <li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a(bc))d,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>b</mi> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>d</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a(bc))d,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74054f06f55afdb2b0cccbddaa10d81d933123d3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.716ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (a(bc))d,}" /></span></li> <li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a((bc)d),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>b</mi> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>d</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a((bc)d),}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f33fbe1196f9d08e37ec1958dcc40c4b083cbeb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.716ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle a((bc)d),}" /></span></li> <li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a(b(cd)).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>c</mi> <mi>d</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a(b(cd)).}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f34e095344f24372204664ebc5a7c68bb75279c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.716ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle a(b(cd)).}" /></span></li></ul> <p>が、これらの積を得る演算が結合的ならば、一般化された結合法則の述べるに従い、これらすべてが同じ値の積であることが結論される。となれば（これらの式から括弧をすべて取り払った式に既に別の意味が施されているのでない限り）この積において括弧は「不要」のものと考えることができて、この積を紛れの虞なく <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-display mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle abcd}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mi>b</mi> <mi>c</mi> <mi>d</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle abcd}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51b4d1adf9d72170e223b3e92b904eeebe836f84" class="mwe-math-fallback-image-display mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.45ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle abcd}" /></span> と書くことができる。 </p><p>このような繰り返しの積において、因子となる元の数が増えるにしたがって、<a href="/wiki/%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%83%E3%82%AF%E8%A8%80%E8%AA%9E" title="ディック言語">釣り合いのとれた括弧の挿入の仕方</a>の<a href="/wiki/%E3%82%AB%E3%82%BF%E3%83%A9%E3%83%B3%E6%95%B0" title="カタラン数">総数</a>は急速に増加するけれども、演算が結合的ならばそれらの区別もやはり必要がなくなる。 </p><p>結合的だからといって単純に括弧を取り去ってはいけない例として、<span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E5%8F%8C%E6%9D%A1%E4%BB%B6%E8%AB%96%E7%90%86%E7%B5%90%E5%90%88%E5%AD%90&action=edit&redlink=1" class="new" title="双条件論理結合子 (存在しないページ)">双条件</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/logical_biconditional" class="extiw" title="en:logical biconditional">英語版</a>）</span></span> <span lang="en" class="texhtml">↔</span> を挙げよう。<span lang="en" class="texhtml">↔</span> は結合的であって <span lang="en" class="texhtml"><i>A</i> ↔ (B ↔ C)</span> は <span lang="en" class="texhtml">(A ↔ B) ↔ C</span> に同値であるが、<span lang="en" class="texhtml">A ↔ B ↔ C</span> はふつうは <span class="nowrap"><span lang="en" class="texhtml">A ↔ B</span> かつ <span lang="en" class="texhtml">B ↔ C</span></span> の意味であって先のふたつとは同値でない。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="例"><span id=".E4.BE.8B"></span>例</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E7%B5%90%E5%90%88%E6%B3%95%E5%89%87&action=edit&section=3" title="節を編集: 例"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Associativity_of_binary_operations_(without_question_marks).svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2e/Associativity_of_binary_operations_%28without_question_marks%29.svg/220px-Associativity_of_binary_operations_%28without_question_marks%29.svg.png" decoding="async" width="220" height="160" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2e/Associativity_of_binary_operations_%28without_question_marks%29.svg/330px-Associativity_of_binary_operations_%28without_question_marks%29.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2e/Associativity_of_binary_operations_%28without_question_marks%29.svg/440px-Associativity_of_binary_operations_%28without_question_marks%29.svg.png 2x" data-file-width="390" data-file-height="283" /></a><figcaption>結合的演算において <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>∘</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∘</mo> <mi>z</mi> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mo>∘</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>y</mi> <mo>∘</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd29fd7cf89daf385c7625a32d21027ad068d0b2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:22.643ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z)}" /></span> である。</figcaption></figure> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Associativity_of_real_number_addition.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f6/Associativity_of_real_number_addition.svg/220px-Associativity_of_real_number_addition.svg.png" decoding="async" width="220" height="67" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f6/Associativity_of_real_number_addition.svg/330px-Associativity_of_real_number_addition.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f6/Associativity_of_real_number_addition.svg/440px-Associativity_of_real_number_addition.svg.png 2x" data-file-width="316" data-file-height="96" /></a><figcaption>実数の加法は結合的である。</figcaption></figure> <p>結合的演算の例をいくつか挙げる: </p> <ul><li><a href="/wiki/%E6%96%87%E5%AD%97%E5%88%97%E7%B5%90%E5%90%88" title="文字列結合">文字列結合</a>。3つの<a href="/wiki/%E6%96%87%E5%AD%97%E5%88%97" title="文字列">文字列</a> "a"、"b"、"c" を繋げる際、先の2つを繋いで "ab" を得てから、その末尾に3つめの "c" を繋ぐと、"abc" となる。一方で、後の2つを繋いで "bc" を得てから、その先頭に1つめの "a" を繋いでも、同じく "abc" となる。そのため、文字列結合は結合的である。なお、<a href="/wiki/%E4%BA%A4%E6%8F%9B%E6%B3%95%E5%89%87" title="交換法則">可換</a>ではない。</li></ul> <ul><li><a href="/wiki/%E8%A4%87%E7%B4%A0%E6%95%B0" title="複素数">複素数</a>同士の<a href="/wiki/%E5%8A%A0%E6%B3%95" title="加法">加法</a>。（複素数とは、<a href="/wiki/%E5%AE%9F%E6%95%B0" title="実数">実数</a>と<a href="/wiki/%E8%99%9A%E6%95%B0" title="虚数">虚数</a>の総称であり、いわゆる数。）グループ化を表す括弧は、曖昧さを生まずに除去できる。</li></ul> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x+y)+z=x+(y+z)=x+y+z}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>z</mi> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>y</mi> <mo>+</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>y</mi> <mo>+</mo> <mi>z</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x+y)+z=x+(y+z)=x+y+z}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e5e7a32289312613d3b20d4e3c0ed6118539120" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:37.578ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x+y)+z=x+(y+z)=x+y+z}" /></span></dd></dl> <ul><li>複素数同士の<a href="/wiki/%E4%B9%97%E6%B3%95" title="乗法">乗法</a>。グループ化を表す括弧は、曖昧さを生まずに除去できる。</li></ul> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (xy)z=x(yz)=xyz}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>z</mi> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>y</mi> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mi>y</mi> <mi>z</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (xy)z=x(yz)=xyz}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73ffabcc29c9c198634297c4f9b58f21d124cb53" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.535ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (xy)z=x(yz)=xyz}" /></span></dd></dl> <ul><li>右自明演算 <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x*y=x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>∗</mo> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x*y=x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db8978d34a1a4cf3ec3733e5163144d2b4bb3e2a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.108ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x*y=x}" /></span>（必ず <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" /></span> の値を返す）、および左自明演算 <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" /></span> ∘ <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y=y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y=y}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edd690bc69f2bef3828dbeaf5064fd411989b88e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.409ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y=y}" /></span>（必ず <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}" /></span> の値を返す）。どちらも可換ではない。</li></ul> <ul><li><a href="/wiki/%E8%A4%87%E7%B4%A0%E6%95%B0" title="複素数">複素数</a>および<a href="/wiki/%E5%9B%9B%E5%85%83%E6%95%B0" title="四元数">四元数</a>の加法および乗法。</li></ul> <ul><li><a href="/wiki/%E5%85%AB%E5%85%83%E6%95%B0" title="八元数">八元数</a>の加法。なお、乗法は結合的でない。</li></ul> <ul><li><a href="/wiki/%E6%9C%80%E5%A4%A7%E5%85%AC%E7%B4%84%E6%95%B0" title="最大公約数">最大公約数</a>をとる演算。</li></ul> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {gcd} (\operatorname {gcd} (x,y),z)=\operatorname {gcd} (x,\operatorname {gcd} (y,z))=\operatorname {gcd} (x,y,z)\qquad (\forall x,y,z\in \mathbb {Z} )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>gcd</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>gcd</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>gcd</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>gcd</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>gcd</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="2em"></mspace> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {gcd} (\operatorname {gcd} (x,y),z)=\operatorname {gcd} (x,\operatorname {gcd} (y,z))=\operatorname {gcd} (x,y,z)\qquad (\forall x,y,z\in \mathbb {Z} )}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c129550fdda53f4c8118f81366f2385abf28f151" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:67.383ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {gcd} (\operatorname {gcd} (x,y),z)=\operatorname {gcd} (x,\operatorname {gcd} (y,z))=\operatorname {gcd} (x,y,z)\qquad (\forall x,y,z\in \mathbb {Z} )}" /></span></dd></dl> <ul><li><a href="/wiki/%E6%9C%80%E5%B0%8F%E5%85%AC%E5%80%8D%E6%95%B0" title="最小公倍数">最小公倍数</a>をとる演算。</li></ul> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {lcm} (\operatorname {lcm} (x,y),z)=\operatorname {lcm} (x,\operatorname {lcm} (y,z))=\operatorname {lcm} (x,y,z)\qquad (\forall x,y,z\in \mathbb {Z} )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>lcm</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>lcm</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>lcm</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>lcm</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>lcm</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="2em"></mspace> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {lcm} (\operatorname {lcm} (x,y),z)=\operatorname {lcm} (x,\operatorname {lcm} (y,z))=\operatorname {lcm} (x,y,z)\qquad (\forall x,y,z\in \mathbb {Z} )}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64990346e24aa08b59deb44ed6b95c29bb6b07bd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:68.022ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {lcm} (\operatorname {lcm} (x,y),z)=\operatorname {lcm} (x,\operatorname {lcm} (y,z))=\operatorname {lcm} (x,y,z)\qquad (\forall x,y,z\in \mathbb {Z} )}" /></span></dd></dl> <ul><li><a href="/wiki/%E9%9B%86%E5%90%88" title="集合">集合</a>の<a href="/wiki/%E4%BA%A4%E5%8F%89_(%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96)" class="mw-redirect" title="交叉 (集合論)">交叉</a>および<a href="/wiki/%E5%90%88%E4%BD%B5_(%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96)" class="mw-redirect" title="合併 (集合論)">合併</a>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-display mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{array}{l}(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)=A\cap B\cap C\\(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)=A\cup B\cup C\end{array}}\qquad (\forall A,B,C).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="left" rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>A</mi> <mo>∩</mo> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∩</mo> <mi>C</mi> <mo>=</mo> <mi>A</mi> <mo>∩</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>B</mi> <mo>∩</mo> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>A</mi> <mo>∩</mo> <mi>B</mi> <mo>∩</mo> <mi>C</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>A</mi> <mo>∪</mo> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∪</mo> <mi>C</mi> <mo>=</mo> <mi>A</mi> <mo>∪</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>B</mi> <mo>∪</mo> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>A</mi> <mo>∪</mo> <mi>B</mi> <mo>∪</mo> <mi>C</mi> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mspace width="2em"></mspace> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>A</mi> <mo>,</mo> <mi>B</mi> <mo>,</mo> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{array}{l}(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)=A\cap B\cap C\\(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)=A\cup B\cup C\end{array}}\qquad (\forall A,B,C).}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4606c63577c38a2a6602261d6071b759458d1349" class="mwe-math-fallback-image-display mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:57.618ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{array}{l}(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)=A\cap B\cap C\\(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)=A\cup B\cup C\end{array}}\qquad (\forall A,B,C).}" /></span></li></ul> <ul><li>適当な集合 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">M</span> に対する <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">M</span> 上の自己写像（<a href="/wiki/%E5%86%99%E5%83%8F" title="写像">写像</a> <span lang="en" class="texhtml"><i>M</i> → <i>M</i></span>）全体の成す集合 <span lang="en" class="texhtml"><i>S</i> ≔ <a href="/wiki/%E9%85%8D%E7%BD%AE%E9%9B%86%E5%90%88" title="配置集合"><i>M<sup>M</sup></i></a></span>について、<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">S</span> 上で定義された<a href="/wiki/%E5%86%99%E5%83%8F%E3%81%AE%E5%90%88%E6%88%90" title="写像の合成">合成演算</a> <span lang="en" class="texhtml">∘</span> は結合的である: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-display mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h)=f\circ g\circ h\qquad (\forall f,g,h\in S).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>f</mi> <mo>∘</mo> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∘</mo> <mi>h</mi> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mo>∘</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>g</mi> <mo>∘</mo> <mi>h</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mo>∘</mo> <mi>g</mi> <mo>∘</mo> <mi>h</mi> <mspace width="2em"></mspace> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>g</mi> <mo>,</mo> <mi>h</mi> <mo>∈</mo> <mi>S</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h)=f\circ g\circ h\qquad (\forall f,g,h\in S).}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f0d55ac58f8d7cb65649e8eb53d1c7f47b51c6c" class="mwe-math-fallback-image-display mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:52.72ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h)=f\circ g\circ h\qquad (\forall f,g,h\in S).}" /></span></li></ul> <ul><li>少し一般に、四つの集合 <span lang="en" class="texhtml"><span style="white-space:normal"><i>M, N, P, Q</i></span></span> とそれらの間の写像 <span lang="en" class="texhtml"><i>h</i>: <i>M</i> → <i>N</i></span>, <span lang="en" class="texhtml"><i>g</i>: <i>N</i> → <i>P</i></span>, <span lang="en" class="texhtml"><i>f</i>: <i>P</i> → <i>Q</i></span> についてやはり <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-display mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h)=f\circ g\circ h}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>f</mi> <mo>∘</mo> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∘</mo> <mi>h</mi> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mo>∘</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>g</mi> <mo>∘</mo> <mi>h</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mo>∘</mo> <mi>g</mi> <mo>∘</mo> <mi>h</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h)=f\circ g\circ h}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ac9ff2f14721c0ad9348126aad6a77a0a014b8d" class="mwe-math-fallback-image-display mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:34.185ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h)=f\circ g\circ h}" /></span> が成り立つ。要するに写像の合成は常に結合的である。</li></ul> <ul><li>三元集合 <span lang="en" class="texhtml">{A, B, C}</span> に演算を以下の乗積表に従って定めたものは結合的である（かつ可換でない）:</li></ul> <table class="wikitable" style="text-align:center; margin: 1ex auto;"> <tbody><tr> <th>×</th> <th>A</th> <th>B</th> <th>C </th></tr> <tr> <th>A </th> <td>A</td> <td>A</td> <td>A </td></tr> <tr> <th>B </th> <td>A</td> <td>B</td> <td>C </td></tr> <tr> <th>C </th> <td>A</td> <td>A</td> <td>A </td></tr></tbody></table> <ul><li>通常の<a href="/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%81%AE%E7%A9%8D" class="mw-redirect" title="行列の積">行列の積</a>は結合的である。<a href="/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" class="mw-redirect" title="行列 (数学)">行列</a>は<a href="/wiki/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E5%86%99%E5%83%8F" title="線型写像">線型写像</a>を<a href="/w/index.php?title=%E8%A1%8C%E5%88%97%E8%A1%A8%E7%8F%BE&action=edit&redlink=1" class="new" title="行列表現 (存在しないページ)">表現</a>し、行列の積は線型写像の<a href="/wiki/%E5%86%99%E5%83%8F%E3%81%AE%E5%90%88%E6%88%90" title="写像の合成">合成</a>に対応するから、合成について既に見たことから行列の積の結合性は直ちに得られる<sup id="cite_ref-4" class="reference"><a href="#cite_note-4"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="命題論理"><span id=".E5.91.BD.E9.A1.8C.E8.AB.96.E7.90.86"></span>命題論理</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E7%B5%90%E5%90%88%E6%B3%95%E5%89%87&action=edit&section=4" title="節を編集: 命題論理"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r103029389">.mw-parser-output .sidebar{width:auto;max-width:22em;float:right;clear:right;margin:0.5em 0 1em 1em;background:var(--background-color-neutral-subtle,#f8f9fa);border:1px solid var(--border-color-base,#a2a9b1);padding:0.2em;text-align:center;line-height:1.4em;font-size:88%;border-collapse:collapse;display:table}body.skin-minerva .mw-parser-output .sidebar{display:table!important;float:right!important;margin:0.5em 0 1em 1em!important}.mw-parser-output .sidebar-subgroup{width:100%;margin:0;border-spacing:0}.mw-parser-output .sidebar-left{float:left;clear:left;margin:0.5em 1em 1em 0}.mw-parser-output .sidebar-none{float:none;clear:both;margin:0.5em 1em 1em 0}.mw-parser-output .sidebar-outer-title{padding:0 0.4em 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href="/wiki/%E3%83%A2%E3%83%BC%E3%83%80%E3%82%B9%E3%83%9D%E3%83%8D%E3%83%B3%E3%82%B9" title="モーダスポネンス"><span title="A→B, A ⊢ B">モーダスポネンス</span></a><br /> <a href="/wiki/%E3%83%A2%E3%83%BC%E3%83%80%E3%82%B9%E3%83%88%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%82%B9" title="モーダストレンス"><span title="A→B, ¬B ⊢ ¬A">モーダストレンス</span></a><br /> <span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%83%A2%E3%83%BC%E3%83%80%E3%82%B9%E3%83%9D%E3%83%8D%E3%83%B3%E3%82%B9%E3%83%88%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%82%B9&action=edit&redlink=1" class="new" title="モーダスポネンストレンス (存在しないページ)"><span title="¬(A∧B), A ⊢ ¬B">モーダスポネンストレンス</span></a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Modus_ponendo_tollens" class="extiw" title="en:Modus ponendo tollens">英語版</a>）</span></span><br /> <a href="/wiki/%E8%AB%96%E7%90%86%E7%A9%8D%E3%81%AE%E5%B0%8E%E5%85%A5" title="論理積の導入"><span title="A, B ⊢ A∧B">連言導入</span></a><br /> <a href="/wiki/%E8%AB%96%E7%90%86%E7%A9%8D%E3%81%AE%E6%B6%88%E5%8E%BB" title="論理積の消去"><span title="A∧B ⊢ A">簡単化</span></a><br /> <a href="/wiki/%E8%AB%96%E7%90%86%E5%92%8C%E3%81%AE%E5%B0%8E%E5%85%A5" title="論理和の導入"><span title="A ⊢ A∨B">選言導入</span></a><br /> <a href="/wiki/%E8%AB%96%E7%90%86%E5%92%8C%E3%81%AE%E6%B6%88%E5%8E%BB" title="論理和の消去"><span title="A∨B, A→C, B→C ⊢ C">選言除去</span></a><br /> <a href="/wiki/%E9%81%B8%E8%A8%80%E4%B8%89%E6%AE%B5%E8%AB%96%E6%B3%95" title="選言三段論法"><span title="A∨B, ¬A ⊢ B">選言三段論法</span></a><br /> <a href="/wiki/%E4%BB%AE%E8%A8%80%E4%B8%89%E6%AE%B5%E8%AB%96%E6%B3%95" title="仮言三段論法"><span title="A→B, B→C ⊢ A→C">仮言三段論法</span></a><br /> <span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E6%A7%8B%E6%88%90%E7%9A%84%E3%82%B8%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%83%9E&action=edit&redlink=1" class="new" title="構成的ジレンマ (存在しないページ)"><span title="A→P, B→Q, A∨B ⊢ P∨Q">構成的ジレンマ</span></a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Constructive_dilemma" class="extiw" title="en:Constructive dilemma">英語版</a>）</span></span><br /> <span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E7%A0%B4%E5%A3%8A%E7%9A%84%E3%82%B8%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%83%9E&action=edit&redlink=1" class="new" title="破壊的ジレンマ (存在しないページ)"><span title="A→P, B→Q, ¬P∨¬Q ⊢ ¬A∨¬B">破壊的ジレンマ</span></a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Destructive_dilemma" class="extiw" title="en:Destructive dilemma">英語版</a>）</span></span><br /> <span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E4%BA%8C%E6%9D%A1%E4%BB%B6%E5%B0%8E%E5%85%A5&action=edit&redlink=1" class="new" title="二条件導入 (存在しないページ)"><span title="A→B, B→A ⊢ A↔B">二条件導入</span></a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Biconditional_introduction" class="extiw" title="en:Biconditional introduction">英語版</a>）</span></span><br /> </p> <span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E4%BA%8C%E6%9D%A1%E4%BB%B6%E9%99%A4%E5%8E%BB&action=edit&redlink=1" class="new" title="二条件除去 (存在しないページ)"><span title="A↔B ⊢ A→B">二条件除去</span></a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Biconditional_elimination" class="extiw" title="en:Biconditional elimination">英語版</a>）</span></span></td> </tr><tr><th class="sidebar-heading" style="border-top:#aaa 1px solid;font-size:120%;padding-bottom:0.25em;"> 述語計算</th></tr><tr><td class="sidebar-content"> <p><a href="/wiki/%E6%99%AE%E9%81%8D%E6%B1%8E%E5%8C%96" title="普遍汎化">普遍汎化</a><br /> <a href="/wiki/%E6%99%AE%E9%81%8D%E4%BE%8B%E5%8C%96" title="普遍例化">普遍例化</a><br /> <a href="/wiki/%E5%AD%98%E5%9C%A8%E6%B1%8E%E5%8C%96" title="存在汎化">存在汎化</a><br /> </p> <a href="/wiki/%E5%AD%98%E5%9C%A8%E4%BE%8B%E5%8C%96" title="存在例化">存在例化</a></td> </tr><tr><td class="sidebar-below" style="border-top:#aaa 1px solid;"> <span typeof="mw:File"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Folder_Hexagonal_Icon.svg" class="mw-file-description" title="カテゴリ"><img alt="カテゴリ" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/48/Folder_Hexagonal_Icon.svg/16px-Folder_Hexagonal_Icon.svg.png" decoding="async" width="16" height="14" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/48/Folder_Hexagonal_Icon.svg/24px-Folder_Hexagonal_Icon.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/48/Folder_Hexagonal_Icon.svg/32px-Folder_Hexagonal_Icon.svg.png 2x" data-file-width="36" data-file-height="31" /></a></span> <a href="/wiki/Category:%E6%8E%A8%E8%AB%96%E8%A6%8F%E5%89%87" title="Category:推論規則">カテゴリ:推論規則</a></td></tr><tr><td class="sidebar-navbar"><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r103358373">.mw-parser-output .hlist dl,.mw-parser-output .hlist ol,.mw-parser-output .hlist ul{margin:0;padding:0}.mw-parser-output .hlist dd,.mw-parser-output .hlist dt,.mw-parser-output .hlist li{margin:0;display:inline-block;word-break:keep-all}.mw-parser-output .hlist.inline,.mw-parser-output .hlist.inline dl,.mw-parser-output .hlist.inline ol,.mw-parser-output .hlist.inline ul,.mw-parser-output .hlist dl dl,.mw-parser-output .hlist dl ol,.mw-parser-output .hlist dl ul,.mw-parser-output .hlist ol dl,.mw-parser-output .hlist ol ol,.mw-parser-output .hlist ol ul,.mw-parser-output .hlist ul dl,.mw-parser-output .hlist ul ol,.mw-parser-output .hlist ul ul{display:inline}.mw-parser-output .hlist .mw-empty-li{display:none}.mw-parser-output .hlist dt::after{content:": "}.mw-parser-output .hlist dd:after,.mw-parser-output .hlist li:after{content:" ·\a0 ";font-weight:bold}.mw-parser-output .hlist-pipe dd:after,.mw-parser-output .hlist-pipe li:after{content:" |\a0 ";font-weight:normal}.mw-parser-output .hlist-hyphen dd:after,.mw-parser-output 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href="/w/index.php?title=Template%E2%80%90%E3%83%8E%E3%83%BC%E3%83%88:%E6%8E%A8%E8%AB%96%E8%A6%8F%E5%89%87&action=edit&redlink=1" class="new" title="Template‐ノート:推論規則 (存在しないページ)"><abbr title="参照先のノートを表示します。">話</abbr></a></li><li class="nv-edit"><a class="external text" href="https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=Template:%E6%8E%A8%E8%AB%96%E8%A6%8F%E5%89%87&action=edit"><abbr title="参照先のページを編集します。">編</abbr></a></li><li class="nv-hist"><a class="external text" href="https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=Template:%E6%8E%A8%E8%AB%96%E8%A6%8F%E5%89%87&action=history"><abbr title="参照先のページの履歴を表示します。">歴</abbr></a></li></ul></div></td></tr></tbody></table> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="結合規則"><span id=".E7.B5.90.E5.90.88.E8.A6.8F.E5.89.87"></span>結合規則</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E7%B5%90%E5%90%88%E6%B3%95%E5%89%87&action=edit&section=5" title="節を編集: 結合規則"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>標準的な真理函数的<a href="/wiki/%E5%91%BD%E9%A1%8C%E8%AB%96%E7%90%86" title="命題論理">命題論理</a>において、<b>結合則</b> (<i>association</i><sup id="cite_ref-5" class="reference"><a href="#cite_note-5"><span class="cite-bracket">[</span>4<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-6" class="reference"><a href="#cite_note-6"><span class="cite-bracket">[</span>5<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>, <i>associativity</i><sup id="cite_ref-7" class="reference"><a href="#cite_note-7"><span class="cite-bracket">[</span>6<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>) は二つの<span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E8%AB%96%E7%90%86%E7%9A%84%E5%A6%A5%E5%BD%93%E6%80%A7&action=edit&redlink=1" class="new" title="論理的妥当性 (存在しないページ)">妥当</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Validity_(logic)" class="extiw" title="en:Validity (logic)">英語版</a>）</span></span>な<span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E7%BD%AE%E6%8F%9B%E8%A6%8F%E5%89%87&action=edit&redlink=1" class="new" title="置換規則 (存在しないページ)">置換規則</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/rule_of_replacement" class="extiw" title="en:rule of replacement">英語版</a>）</span></span>を言う。それは、<a href="/wiki/%E5%BD%A2%E5%BC%8F%E7%9A%84%E8%A8%BC%E6%98%8E" class="mw-redirect" title="形式的証明">論理学的証明</a>における論理式に現れる括弧の位置を動かしてもよい規則を述べるもので、<a href="/wiki/%E8%AB%96%E7%90%86%E6%BC%94%E7%AE%97" title="論理演算">論理結合子</a>を用いて書けば </p> <ul><li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (P\lor (Q\lor R))\iff ((P\lor Q)\lor R)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>P</mi> <mo>∨</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>Q</mi> <mo>∨</mo> <mi>R</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thickmathspace"></mspace> <mo stretchy="false">⟺</mo> <mspace width="thickmathspace"></mspace> <mo stretchy="false">(</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>P</mi> <mo>∨</mo> <mi>Q</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∨</mo> <mi>R</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (P\lor (Q\lor R))\iff ((P\lor Q)\lor R)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/513de600ac9e8570a6044a3183d385f9db3c5150" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:35.16ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (P\lor (Q\lor R))\iff ((P\lor Q)\lor R)}" /></span></li> <li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (P\land (Q\land R))\iff ((P\land Q)\land R),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>P</mi> <mo>∧</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>Q</mi> <mo>∧</mo> <mi>R</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thickmathspace"></mspace> <mo stretchy="false">⟺</mo> <mspace width="thickmathspace"></mspace> <mo stretchy="false">(</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>P</mi> <mo>∧</mo> <mi>Q</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∧</mo> <mi>R</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (P\land (Q\land R))\iff ((P\land Q)\land R),}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfa686a94da20a12988bbd00e557d45e97e71295" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:35.807ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (P\land (Q\land R))\iff ((P\land Q)\land R),}" /></span></li></ul> <p>のふたつである。ただし、"<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \iff }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mspace width="thickmathspace"></mspace> <mo stretchy="false">⟺</mo> <mspace width="thickmathspace"></mspace> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \iff }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff942842a50b24e7585cc42c5b50c34650e3aa99" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.607ex; height:1.843ex;" alt="{\displaystyle \iff }" /></span>" は<span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%83%A1%E3%82%BF%E8%AB%96%E7%90%86&action=edit&redlink=1" class="new" title="メタ論理 (存在しないページ)">メタ論理</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/metalogic" class="extiw" title="en:metalogic">英語版</a>）</span></span>の<span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E5%BD%A2%E5%BC%8F%E7%9A%84%E8%A8%98%E5%8F%B7&action=edit&redlink=1" class="new" title="形式的記号 (存在しないページ)">記号</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Symbol_(formal)" class="extiw" title="en:Symbol (formal)">英語版</a>）</span></span>で、「形式的証明において置換してよい」ことを表す。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="論理演算の結合性"><span id=".E8.AB.96.E7.90.86.E6.BC.94.E7.AE.97.E3.81.AE.E7.B5.90.E5.90.88.E6.80.A7"></span>論理演算の結合性</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E7%B5%90%E5%90%88%E6%B3%95%E5%89%87&action=edit&section=6" title="節を編集: 論理演算の結合性"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>真理函数的命題論理における真理函数の<a href="/wiki/%E8%AB%96%E7%90%86%E7%B5%90%E5%90%88%E5%AD%90" class="mw-redirect" title="論理結合子">結合子</a>のいくつかは結合性 (<i>associativity</i>) を持つ。以下の<span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E8%AB%96%E7%90%86%E5%90%8C%E5%80%A4&action=edit&redlink=1" class="new" title="論理同値 (存在しないページ)">論理同値</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/logical_equivalence" class="extiw" title="en:logical equivalence">英語版</a>）</span></span>（これらは真理函数的<a href="/wiki/%E6%81%92%E7%9C%9F%E5%BC%8F" title="恒真式">恒真式</a>である）は結合性が特定の結合子の持つ性質であることを示している <sup id="cite_ref-8" class="reference"><a href="#cite_note-8"><span class="cite-bracket">[</span>7<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>: </p> <dl><dt>選言の結合性</dt> <dd></dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ((P\lor Q)\lor R)\leftrightarrow (P\lor (Q\lor R))}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>P</mi> <mo>∨</mo> <mi>Q</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∨</mo> <mi>R</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">↔</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>P</mi> <mo>∨</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>Q</mi> <mo>∨</mo> <mi>R</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ((P\lor Q)\lor R)\leftrightarrow (P\lor (Q\lor R))}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83022ecdfaf711fdaf67c742e94d33fdabad38bc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:31.877ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle ((P\lor Q)\lor R)\leftrightarrow (P\lor (Q\lor R))}" /></span></dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (P\lor (Q\lor R))\leftrightarrow ((P\lor Q)\lor R)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>P</mi> <mo>∨</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>Q</mi> <mo>∨</mo> <mi>R</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">↔</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>P</mi> <mo>∨</mo> <mi>Q</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∨</mo> <mi>R</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (P\lor (Q\lor R))\leftrightarrow ((P\lor Q)\lor R)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbe6682d32332d4ff07effc195b334e497b308f3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:31.877ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (P\lor (Q\lor R))\leftrightarrow ((P\lor Q)\lor R)}" /></span></dd> <dt>連言の結合性</dt> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ((P\land Q)\land R)\leftrightarrow (P\land (Q\land R))}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>P</mi> <mo>∧</mo> <mi>Q</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∧</mo> <mi>R</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">↔</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>P</mi> <mo>∧</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>Q</mi> <mo>∧</mo> <mi>R</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ((P\land Q)\land R)\leftrightarrow (P\land (Q\land R))}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/599ddb9e2cfe377e714700cc2045f57f0d546d05" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:31.877ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle ((P\land Q)\land R)\leftrightarrow (P\land (Q\land R))}" /></span></dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (P\land (Q\land R))\leftrightarrow ((P\land Q)\land R)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>P</mi> <mo>∧</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>Q</mi> <mo>∧</mo> <mi>R</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">↔</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>P</mi> <mo>∧</mo> <mi>Q</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∧</mo> <mi>R</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (P\land (Q\land R))\leftrightarrow ((P\land Q)\land R)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7042ca691d07414dd554984602225f064b1f66ef" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:31.877ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (P\land (Q\land R))\leftrightarrow ((P\land Q)\land R)}" /></span></dd> <dt>論理同値の結合性</dt> <dd></dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ((P\leftrightarrow Q)\leftrightarrow R)\leftrightarrow (P\leftrightarrow (Q\leftrightarrow R))}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">↔</mo> <mi>Q</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">↔</mo> <mi>R</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">↔</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">↔</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>Q</mi> <mo stretchy="false">↔</mo> <mi>R</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ((P\leftrightarrow Q)\leftrightarrow R)\leftrightarrow (P\leftrightarrow (Q\leftrightarrow R))}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1488e55751da92bcd3467470cfc8e8a7ce5819d2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:36.003ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle ((P\leftrightarrow Q)\leftrightarrow R)\leftrightarrow (P\leftrightarrow (Q\leftrightarrow R))}" /></span></dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (P\leftrightarrow (Q\leftrightarrow R))\leftrightarrow ((P\leftrightarrow Q)\leftrightarrow R)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">↔</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>Q</mi> <mo stretchy="false">↔</mo> <mi>R</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">↔</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">↔</mo> <mi>Q</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">↔</mo> <mi>R</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (P\leftrightarrow (Q\leftrightarrow R))\leftrightarrow ((P\leftrightarrow Q)\leftrightarrow R)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6a49f0d06f9b7d211d1fd49c9d31b1a842cf696" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:36.003ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (P\leftrightarrow (Q\leftrightarrow R))\leftrightarrow ((P\leftrightarrow Q)\leftrightarrow R)}" /></span></dd></dl> <p>接合否定 (joint denial) は結合的で<b>ない</b>真理函数結合子の例である。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="非結合的演算"><span id=".E9.9D.9E.E7.B5.90.E5.90.88.E7.9A.84.E6.BC.94.E7.AE.97"></span>非結合的演算</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E7%B5%90%E5%90%88%E6%B3%95%E5%89%87&action=edit&section=7" title="節を編集: 非結合的演算"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>集合 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">S</span> 上の二項演算 <span lang="en" class="texhtml">∗</span> が結合法則を満足しない—記号で書けば <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-display mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x*y)*z\neq x*(y*z)\qquad (\exists x,y,z\in S)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>∗</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∗</mo> <mi>z</mi> <mo>≠</mo> <mi>x</mi> <mo>∗</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>y</mi> <mo>∗</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="2em"></mspace> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">∃</mi> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo>∈</mo> <mi>S</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x*y)*z\neq x*(y*z)\qquad (\exists x,y,z\in S)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa3c041a6693652f9321069a12212633a49c36f1" class="mwe-math-fallback-image-display mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:40.371ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x*y)*z\neq x*(y*z)\qquad (\exists x,y,z\in S)}" /></span> —となるとき、<b>非結合的</b> (<i>non-associative</i>) である、<b>必ずしも結合的でない</b>などという。 </p><p>そのような演算では、計算順序は結果に影響<b>する</b>。非結合演算の例として </p> <ul><li><a href="/wiki/%E6%B8%9B%E6%B3%95" title="減法">減法</a>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\textstyle (5-3)-2\neq 5-(3-2)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>5</mn> <mo>−</mo> <mn>3</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mo>≠</mo> <mn>5</mn> <mo>−</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>3</mn> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\textstyle (5-3)-2\neq 5-(3-2)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71b73a3f41dadb56a1a1dd7abe01f6b356f867d7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:25.053ex; height:2.843ex;" alt="{\textstyle (5-3)-2\neq 5-(3-2)}" /></span></li> <li><a href="/wiki/%E9%99%A4%E6%B3%95" title="除法">除法</a>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\textstyle (4/2)/2\neq 4/(2/2)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>4</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>2</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>2</mn> <mo>≠</mo> <mn>4</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>2</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\textstyle (4/2)/2\neq 4/(2/2)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01ec64e59400c9662fe79729c26934cad49f843e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.342ex; height:2.843ex;" alt="{\textstyle (4/2)/2\neq 4/(2/2)}" /></span></li> <li><a href="/wiki/%E5%86%AA" class="mw-redirect" title="冪">冪演算</a>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\textstyle 2^{(1^{2})}\neq (2^{1})^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mn>1</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> <mo>≠</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\textstyle 2^{(1^{2})}\neq (2^{1})^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/295091a95bf355eb6289d8d2981d0177be048e75" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.506ex; height:3.509ex;" alt="{\textstyle 2^{(1^{2})}\neq (2^{1})^{2}}" /></span></li></ul> <p>などがある。あるいは<a href="/wiki/%E7%84%A1%E9%99%90%E7%B4%9A%E6%95%B0" class="mw-redirect" title="無限級数">無限和</a>もまた一般には非結合的である。例えば: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-display mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}(1+-1)+(1+-1)+(1+-1)+(1+-1)+(1+-1)+(1+-1)+\dotsb =0\\\neq 1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+\dotsb =1.\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mo>⋯</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>≠</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mo>⋯</mo> <mo>=</mo> <mn>1.</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}(1+-1)+(1+-1)+(1+-1)+(1+-1)+(1+-1)+(1+-1)+\dotsb =0\\\neq 1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+\dotsb =1.\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d752b375852f0d8797fbcf0dc85da4c3c5d6009e" class="mwe-math-fallback-image-display mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:84.577ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}(1+-1)+(1+-1)+(1+-1)+(1+-1)+(1+-1)+(1+-1)+\dotsb =0\\\neq 1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+\dotsb =1.\end{aligned}}}" /></span> </p><p>非結合的構造の研究は、古典代数学の主流からはいくらか異なった理由から生じてくるものである。<a href="/wiki/%E9%9D%9E%E7%B5%90%E5%90%88%E5%A4%9A%E5%85%83%E7%92%B0" class="mw-redirect" title="非結合多元環">非結合多元環</a>の領域にあってすでに一大分野へと発展した<a href="/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E4%BB%A3%E6%95%B0" title="リー代数">リー代数</a>の理論では、結合法則の代わりに<a href="/wiki/%E3%83%A4%E3%82%B3%E3%83%93%E6%81%92%E7%AD%89%E5%BC%8F" title="ヤコビ恒等式">ヤコビ恒等式</a>が採用される。リー代数は<span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E7%84%A1%E9%99%90%E5%B0%8F%E5%A4%89%E6%8F%9B&action=edit&redlink=1" class="new" title="無限小変換 (存在しないページ)">無限小変換</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/infinitesimal_transformation" class="extiw" title="en:infinitesimal transformation">英語版</a>）</span></span>の本質的な特質を抽象化するものであり、数学に遍在するものとなった。 </p><p>既に深く調べられているほかの特定種類の非結合的構造もあり、それらは何らかの特定の応用から、あるいは<a href="/wiki/%E7%B5%84%E5%90%88%E3%81%9B%E8%AB%96" class="mw-redirect" title="組合せ論">組合せ論</a>のような分野から生じたものである。その他の例は、<span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=Quasigroup&action=edit&redlink=1" class="new" title="Quasigroup (存在しないページ)">Quasigroup</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Quasigroup" class="extiw" title="en:Quasigroup">英語版</a>）</span></span>、<span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E6%BA%96%E4%BD%93&action=edit&redlink=1" class="new" title="準体 (存在しないページ)">準体</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Quasifield" class="extiw" title="en:Quasifield">英語版</a>）</span></span>、<a href="/w/index.php?title=%E9%9D%9E%E7%B5%90%E5%90%88%E7%9A%84%E7%92%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="非結合的環 (存在しないページ)">非結合的環</a>、<a href="/wiki/%E9%9D%9E%E7%B5%90%E5%90%88%E7%9A%84%E5%A4%9A%E5%85%83%E7%92%B0" class="mw-redirect" title="非結合的多元環">非結合的多元環</a>、<span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E5%8F%AF%E6%8F%9B%E3%83%9E%E3%82%B0%E3%83%9E&action=edit&redlink=1" class="new" title="可換マグマ (存在しないページ)">可換（非結合的）マグマ</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Commutative_magmas" class="extiw" title="en:Commutative magmas">英語版</a>）</span></span>など。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="非結合的演算の記法"><span id=".E9.9D.9E.E7.B5.90.E5.90.88.E7.9A.84.E6.BC.94.E7.AE.97.E3.81.AE.E8.A8.98.E6.B3.95"></span>非結合的演算の記法</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E7%B5%90%E5%90%88%E6%B3%95%E5%89%87&action=edit&section=8" title="節を編集: 非結合的演算の記法"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="rellink" style="margin-bottom: 0.5em; padding-left: 2em; font-size: 90%;" role="note">→詳細は「<a href="/w/index.php?title=Operator_associativity&action=edit&redlink=1" class="new" title="Operator associativity (存在しないページ)">Operator associativity</a>」を参照</div> <p>非結合的演算が一つの式の中で複数回現れるときには、<a href="/wiki/%E6%BC%94%E7%AE%97%E3%81%AE%E5%84%AA%E5%85%88%E9%A0%86%E4%BD%8D" class="mw-redirect" title="演算の優先順位">評価の順</a>を指し示すために（例えば <span lang="en" class="texhtml"><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r89142261">.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}</style><span role="math" class="sfrac tion"><span class="num">2</span><span class="sr-only">/</span><span class="den">3/4</span></span></span> のように、ほかの方法で順番を指定する記法を用いているのでない限り）一般には括弧を挿入する必要がある。とはいえ、いくつかのよく用いられる非結合的演算については、特定の順番に評価することにして括弧の使用を回避する簡便記法が、受け入れられている。 </p><p><b>左結合</b> (<i>left-associative</i>) 演算とは、規約として左から右に評価する—式で書けば <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-display mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{array}{l}x*y*z:=(x*y)*z\\w*x*y*z:=((w*x)*y)*z\\{\text{etc.}}\end{array}}\qquad (\forall w,x,y,z,\dotsc \in S)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="left" rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mi>x</mi> <mo>∗</mo> <mi>y</mi> <mo>∗</mo> <mi>z</mi> <mo>:=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>∗</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∗</mo> <mi>z</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>w</mi> <mo>∗</mo> <mi>x</mi> <mo>∗</mo> <mi>y</mi> <mo>∗</mo> <mi>z</mi> <mo>:=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>w</mi> <mo>∗</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∗</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∗</mo> <mi>z</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>etc.</mtext> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mspace width="2em"></mspace> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>w</mi> <mo>,</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>∈</mo> <mi>S</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{array}{l}x*y*z:=(x*y)*z\\w*x*y*z:=((w*x)*y)*z\\{\text{etc.}}\end{array}}\qquad (\forall w,x,y,z,\dotsc \in S)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28b5575643cae2c254824c088fd843c40c125fe8" class="mwe-math-fallback-image-display mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.171ex; width:55.942ex; height:9.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{array}{l}x*y*z:=(x*y)*z\\w*x*y*z:=((w*x)*y)*z\\{\text{etc.}}\end{array}}\qquad (\forall w,x,y,z,\dotsc \in S)}" /></span> を意味する—演算を言う。同様に<b>右結合</b> (<i>right-associative</i>) 演算は、右から左に評価するものと約束する: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-display mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{array}{l}x*y*z:=x*(y*z)\\w*x*y*z:=w*(x*(y*z))\\{\text{etc.}}\end{array}}\qquad (\forall w,x,y,z,\dotsc \in S).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="left" rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mi>x</mi> <mo>∗</mo> <mi>y</mi> <mo>∗</mo> <mi>z</mi> <mo>:=</mo> <mi>x</mi> <mo>∗</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>y</mi> <mo>∗</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>w</mi> <mo>∗</mo> <mi>x</mi> <mo>∗</mo> <mi>y</mi> <mo>∗</mo> <mi>z</mi> <mo>:=</mo> <mi>w</mi> <mo>∗</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>∗</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>y</mi> <mo>∗</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>etc.</mtext> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mspace width="2em"></mspace> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>w</mi> <mo>,</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>∈</mo> <mi>S</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{array}{l}x*y*z:=x*(y*z)\\w*x*y*z:=w*(x*(y*z))\\{\text{etc.}}\end{array}}\qquad (\forall w,x,y,z,\dotsc \in S).}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7970f449634f7209990c0b6214d74637eb28d5f6" class="mwe-math-fallback-image-display mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.171ex; width:56.589ex; height:9.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{array}{l}x*y*z:=x*(y*z)\\w*x*y*z:=w*(x*(y*z))\\{\text{etc.}}\end{array}}\qquad (\forall w,x,y,z,\dotsc \in S).}" /></span> 左結合演算も右結合演算もどちらも生じ得る。左結合演算の例: </p> <ul><li>実数の<a href="/wiki/%E6%B8%9B%E6%B3%95" title="減法">減法</a>および<a href="/wiki/%E9%99%A4%E6%B3%95" title="除法">除法</a><sup id="cite_ref-9" class="reference"><a href="#cite_note-9"><span class="cite-bracket">[</span>8<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-10" class="reference"><a href="#cite_note-10"><span class="cite-bracket">[</span>9<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-11" class="reference"><a href="#cite_note-11"><span class="cite-bracket">[</span>10<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-12" class="reference"><a href="#cite_note-12"><span class="cite-bracket">[</span>11<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-Bronstein_1987_13-0" class="reference"><a href="#cite_note-Bronstein_1987-13"><span class="cite-bracket">[</span>12<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-display mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x-y-z:=(x-y)-z}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <mi>y</mi> <mo>−</mo> <mi>z</mi> <mo>:=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mi>z</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x-y-z:=(x-y)-z}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c83efc86582556a797ad1acfe5366a5a19874c5a" class="mwe-math-fallback-image-display mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.063ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x-y-z:=(x-y)-z}" /></span><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-display mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x/y/z:=(x/y)/z.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi>z</mi> <mo>:=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi>z</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x/y/z:=(x/y)/z.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed6e732a8754aff767f3edf2e0dea3d54aab98c7" class="mwe-math-fallback-image-display mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.998ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x/y/z:=(x/y)/z.}" /></span></li> <li>函数の適用: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-display mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (f\,x\,y)=((f\,x)\,y).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>f</mi> <mspace width="thinmathspace"></mspace> <mi>x</mi> <mspace width="thinmathspace"></mspace> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>f</mi> <mspace width="thinmathspace"></mspace> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace"></mspace> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (f\,x\,y)=((f\,x)\,y).}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1133b18514a973ec4b09dcc34f92eef9eb90645" class="mwe-math-fallback-image-display mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.249ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (f\,x\,y)=((f\,x)\,y).}" /></span> この記法は<a href="/wiki/%E3%82%AB%E3%83%AA%E3%83%BC%E5%8C%96" title="カリー化">カリー化</a>の同型によって動機づけられる。</li></ul> <p>右結合演算の例: </p> <ul><li>実数の<a href="/wiki/%E5%86%AA" class="mw-redirect" title="冪">冪</a>（上付き添字記法の場合）: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-display mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{y^{z}}=x^{(y^{z})}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>z</mi> </mrow> </msup> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>z</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{y^{z}}=x^{(y^{z})}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bfb19d2e37612d1f6a44f86f48debc557532119" class="mwe-math-fallback-image-display mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:11.368ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x^{y^{z}}=x^{(y^{z})}.}" /></span> 冪演算は、反復的な左結合冪演算にあまり需要がない（左からの繰り返しの冪は、冪指数の乗法を使って <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-display mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x^{y})^{z}=x^{(yz)}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> </msup> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>z</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>y</mi> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x^{y})^{z}=x^{(yz)}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f029ff59aa603e3f8b660abd3a1b6af99a3be8e0" class="mwe-math-fallback-image-display mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.716ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle (x^{y})^{z}=x^{(yz)}}" /></span> と書き直せる）ため、括弧が付かない場合にはふつう右結合的とする。 <ul><li>正しく組まれている限り、上付き添字それ自体に括弧で括るのと本質的に同じ効果が期待できる。例えば <span lang="en" class="texhtml">2<sup><i>x</i>+3</sup></span> という式では右肩の和の計算が冪をとるよりも先に行われ、それは括弧で括って <span lang="en" class="texhtml">2<sup>(<i>x</i>+3)</sup></span> と明示的に書いたときに期待される計算順序になっている。それゆえ、<span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">x<sup>y<sup>z</sup></sup></span> のような式が与えられたときは、底 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">x</span> に対する全体の冪指数 <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">y<sup>z</sup></span> がまず計算されるのは必定である。とはいえ、手書きする場合などは特にそうだが、文脈によっては <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-display mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {x^{y}}^{z},\quad x^{yz},\quad x^{y^{z}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> </msup> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>z</mi> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mspace width="1em"></mspace> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> <mi>z</mi> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mspace width="1em"></mspace> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>z</mi> </mrow> </msup> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {x^{y}}^{z},\quad x^{yz},\quad x^{y^{z}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f79dd623651c7abe7e89925a6f8ef0d8e1e9ec7c" class="mwe-math-fallback-image-display mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:16.414ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {x^{y}}^{z},\quad x^{yz},\quad x^{y^{z}}}" /></span>（これらを、陽に括弧を付けて書けば、順に <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\textstyle (x^{y})^{z},\,x^{(yz)},\,x^{(y^{z})}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> </msup> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>z</mi> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mspace width="thinmathspace"></mspace> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>y</mi> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mspace width="thinmathspace"></mspace> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>z</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\textstyle (x^{y})^{z},\,x^{(yz)},\,x^{(y^{z})}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f231a3a14b2b87d51f91980f877a5d7f3170ea0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.911ex; height:3.176ex;" alt="{\textstyle (x^{y})^{z},\,x^{(yz)},\,x^{(y^{z})}}" /></span>）の判別が難しいこともある。そういった場合には、ふつう右結合性が暗黙に用いられている。</li></ul></li> <li><a href="/wiki/%E5%86%99%E5%83%8F%E3%81%AE%E5%90%88%E6%88%90" title="写像の合成">写像の合成</a>（図式順）: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-display mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} =\mathbb {Z} \rightarrow (\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mo stretchy="false">→</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mo stretchy="false">→</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mo stretchy="false">→</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mo stretchy="false">→</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} =\mathbb {Z} \rightarrow (\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} )}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/328525848cc4d210ba95a8927ebe7dd9c3f1ad66" class="mwe-math-fallback-image-display mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:28.666ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} =\mathbb {Z} \rightarrow (\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} )}" /></span><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-display mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\mapsto y\mapsto x-y=x\mapsto (y\mapsto x-y).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">↦</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">↦</mo> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">↦</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">↦</mo> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\mapsto y\mapsto x-y=x\mapsto (y\mapsto x-y).}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8d22d21cb37232019340af926ec7994239b2170" class="mwe-math-fallback-image-display mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:35.632ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x\mapsto y\mapsto x-y=x\mapsto (y\mapsto x-y).}" /></span> これらの演算の右結合記法は、<a href="/wiki/%E3%82%AB%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%BB%E3%83%8F%E3%83%AF%E3%83%BC%E3%83%89%E5%90%8C%E5%9E%8B%E5%AF%BE%E5%BF%9C" class="mw-redirect" title="カリー・ハワード同型対応">カリー–ハワード対応</a>および<a href="/wiki/%E3%82%AB%E3%83%AA%E3%83%BC%E5%8C%96" title="カリー化">カリー化</a>同型に動機づけられる。</li></ul> <p>評価順について特定の規約がない演算の例: </p> <ul><li>実数の冪演算（中置記法の場合）:<sup id="cite_ref-Codeplea_2016_14-0" class="reference"><a href="#cite_note-Codeplea_2016-14"><span class="cite-bracket">[</span>13<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-display mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x^{\wedge }y)^{\wedge }z\neq x^{\wedge }(y^{\wedge }z).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>∧</mo> </mrow> </msup> <mi>y</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>∧</mo> </mrow> </msup> <mi>z</mi> <mo>≠</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>∧</mo> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>∧</mo> </mrow> </msup> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x^{\wedge }y)^{\wedge }z\neq x^{\wedge }(y^{\wedge }z).}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8371040ca10dd0e8c1b09ad7f5902953bad88178" class="mwe-math-fallback-image-display mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.83ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle (x^{\wedge }y)^{\wedge }z\neq x^{\wedge }(y^{\wedge }z).}" /></span></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%AF%E3%83%8C%E3%83%BC%E3%82%B9%E3%81%AE%E7%9F%A2%E5%8D%B0%E8%A8%98%E6%B3%95" class="mw-redirect" title="クヌースの矢印記法">クヌースの矢印記法</a>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-display mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{array}{l}a\uparrow \uparrow (b\uparrow \uparrow c)\neq (a\uparrow \uparrow b)\uparrow \uparrow c\\a\uparrow \uparrow \uparrow (b\uparrow \uparrow \uparrow c)\neq (a\uparrow \uparrow \uparrow b)\uparrow \uparrow \uparrow c\\{\text{etc.}}\end{array}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="left" rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">↑↑</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">↑↑</mo> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>≠</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">↑↑</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">↑↑</mo> <mi>c</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">↑↑↑</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">↑↑↑</mo> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>≠</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">↑↑↑</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">↑↑↑</mo> <mi>c</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>etc.</mtext> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{array}{l}a\uparrow \uparrow (b\uparrow \uparrow c)\neq (a\uparrow \uparrow b)\uparrow \uparrow c\\a\uparrow \uparrow \uparrow (b\uparrow \uparrow \uparrow c)\neq (a\uparrow \uparrow \uparrow b)\uparrow \uparrow \uparrow c\\{\text{etc.}}\end{array}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/387c6f170202cf000f64dded2ae1cb71bc65e1c9" class="mwe-math-fallback-image-display mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.171ex; width:33.048ex; height:9.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{array}{l}a\uparrow \uparrow (b\uparrow \uparrow c)\neq (a\uparrow \uparrow b)\uparrow \uparrow c\\a\uparrow \uparrow \uparrow (b\uparrow \uparrow \uparrow c)\neq (a\uparrow \uparrow \uparrow b)\uparrow \uparrow \uparrow c\\{\text{etc.}}\end{array}}}" /></span></li> <li>ベクトルの<a href="/wiki/%E4%BA%A4%E5%8F%89%E7%A9%8D" class="mw-redirect" title="交叉積">交叉積</a>（<a href="/wiki/%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E4%B8%89%E9%87%8D%E7%A9%8D" class="mw-redirect" title="ベクトル三重積">ベクトル三重積</a>）: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-display mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {a}}\times ({\vec {b}}\times {\vec {c}})\neq ({\vec {a}}\times {\vec {b}})\times {\vec {c}}\qquad (\exists {\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}\in \mathbb {R} ^{3}).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>×</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>≠</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mspace width="2em"></mspace> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">∃</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>∈</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {a}}\times ({\vec {b}}\times {\vec {c}})\neq ({\vec {a}}\times {\vec {b}})\times {\vec {c}}\qquad (\exists {\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}\in \mathbb {R} ^{3}).}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b418030799a7efc95982a1c6744b6d179d065e3" class="mwe-math-fallback-image-display mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:44.754ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {a}}\times ({\vec {b}}\times {\vec {c}})\neq ({\vec {a}}\times {\vec {b}})\times {\vec {c}}\qquad (\exists {\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}\in \mathbb {R} ^{3}).}" /></span></li> <li>実数の対ごとの<a href="/wiki/%E7%AE%97%E8%A1%93%E5%B9%B3%E5%9D%87" title="算術平均">算術平均</a>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-display mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {(x+y)/2+z \over 2}\neq {x+(y+z)/2 \over 2}\qquad (\forall x,y,z\in \mathbb {R} ,x\neq z).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>2</mn> <mo>+</mo> <mi>z</mi> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>≠</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>y</mi> <mo>+</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>2</mn> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mspace width="2em"></mspace> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mi>x</mi> <mo>≠</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {(x+y)/2+z \over 2}\neq {x+(y+z)/2 \over 2}\qquad (\forall x,y,z\in \mathbb {R} ,x\neq z).}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6d92f08b7e64195c7043bcbecd8c504b641b60c" class="mwe-math-fallback-image-display mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:56.651ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle {(x+y)/2+z \over 2}\neq {x+(y+z)/2 \over 2}\qquad (\forall x,y,z\in \mathbb {R} ,x\neq z).}" /></span></li> <li><a href="/wiki/%E5%B7%AE%E9%9B%86%E5%90%88" title="差集合">集合の差</a>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (A\setminus B)\setminus C}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>A</mi> <mo class="MJX-variant">∖</mo> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo class="MJX-variant">∖</mo> <mi>C</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (A\setminus B)\setminus C}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/503dba1a75ad066d8c3a186be77835b12bfa6efd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.472ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (A\setminus B)\setminus C}" /></span> は <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\setminus (B\setminus C)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mo class="MJX-variant">∖</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>B</mi> <mo class="MJX-variant">∖</mo> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\setminus (B\setminus C)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ded1e543624948b225313a5efa1e78ae6a98a569" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.472ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle A\setminus (B\setminus C)}" /></span> と一致しない（論理学における<span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E5%90%A6%E5%AE%9A%E8%AB%96%E7%90%86%E5%8C%85%E5%90%AB&action=edit&redlink=1" class="new" title="否定論理包含 (存在しないページ)">否定論理包含</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/material_nonimplication" class="extiw" title="en:material nonimplication">英語版</a>）</span></span>の場合と比較せよ）。</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="プログラミング言語"><span id=".E3.83.97.E3.83.AD.E3.82.B0.E3.83.A9.E3.83.9F.E3.83.B3.E3.82.B0.E8.A8.80.E8.AA.9E"></span>プログラミング言語</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E7%B5%90%E5%90%88%E6%B3%95%E5%89%87&action=edit&section=9" title="節を編集: プログラミング言語"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="rellink" style="margin-bottom: 0.5em; padding-left: 2em; font-size: 90%;" role="note">→詳細は「<span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E6%BC%94%E7%AE%97%E5%AD%90%E3%81%AE%E7%B5%90%E5%90%88%E6%80%A7&action=edit&redlink=1" class="new" title="演算子の結合性 (存在しないページ)">演算子の結合性</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Operator_associativity" class="extiw" title="en:Operator associativity">英語版</a>）</span></span>」を参照</div> <p><a href="/wiki/%E4%B8%AD%E7%BD%AE%E8%A8%98%E6%B3%95" title="中置記法">中置記法</a>を採用している<a href="/wiki/%E3%83%97%E3%83%AD%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%9F%E3%83%B3%E3%82%B0%E8%A8%80%E8%AA%9E" title="プログラミング言語">プログラミング言語</a>においては、任意の演算子について数学で言うところの結合法則が成り立たないことを仮定して、その<a href="/wiki/%E5%BC%8F_(%E3%83%97%E3%83%AD%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%9F%E3%83%B3%E3%82%B0)" title="式 (プログラミング)">式</a>の<a href="/wiki/%E3%83%97%E3%83%AD%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%A0%E6%84%8F%E5%91%B3%E8%AB%96" title="プログラム意味論">意味</a>をどういった順序で、値を演算子により結合させたものとするかについて、それぞれの言語にそれぞれ法則がある。「<a href="/wiki/%E6%BC%94%E7%AE%97%E5%AD%90%E3%81%AE%E5%84%AA%E5%85%88%E9%A0%86%E4%BD%8D" title="演算子の優先順位">演算子の優先順位</a>」(<a href="/wiki/%E8%8B%B1%E8%AA%9E" title="英語">英</a>: <span lang="en"><i>Operator precedence</i></span>) と「<span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E6%BC%94%E7%AE%97%E5%AD%90%E3%81%AE%E7%B5%90%E5%90%88%E6%80%A7&action=edit&redlink=1" class="new" title="演算子の結合性 (存在しないページ)">演算子の結合性</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Operator_associativity" class="extiw" title="en:Operator associativity">英語版</a>）</span></span>」（<a href="/wiki/%E8%8B%B1%E8%AA%9E" title="英語">英</a>: <span lang="en"><i>Operator associativity</i></span>) と言う。 </p><p>なお、優先順位と結合性は値の扱いに関する規則であって、<b>式の評価の順序に関する規則ではない</b>ことに注意が必要である。評価順は優先順位と結合性に直感的に従っていることもあれば、従っていないこともある。言語仕様としては決められていないこともある（評価順と関連するものとして、<a href="/wiki/%E7%9F%AD%E7%B5%A1%E8%A9%95%E4%BE%A1" title="短絡評価">短絡評価</a>がある。短絡評価のためには評価順が決まっている必要があるため、一般に演算子の左辺と右辺の評価順を決めていないC言語だが、短絡評価される演算子については決まっている。<a href="/wiki/Java" title="Java">Java</a>は仕様で全て決めている。<a href="/wiki/Ada" title="Ada">Ada</a>では両辺を評価する演算子と短絡評価の演算子とが用意されている。）。 </p><p>優先順位と結合性は、仕様上の表現としては構文規則の一部として決まっているものが多い（たいていは便利さのために別表にまとめられている。<a href="/wiki/Yacc" title="Yacc">yacc</a>のように通常の規則とは別建てで定義できるものもある）。ここでは例として、四則演算を主に挙げるが、他の演算子についても規則は同様にある。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="優先順位"><span id=".E5.84.AA.E5.85.88.E9.A0.86.E4.BD.8D"></span>優先順位</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E7%B5%90%E5%90%88%E6%B3%95%E5%89%87&action=edit&section=10" title="節を編集: 優先順位"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="rellink" style="margin-bottom: 0.5em; padding-left: 2em; font-size: 90%;" role="note">→詳細は「<a href="/wiki/%E6%BC%94%E7%AE%97%E5%AD%90%E3%81%AE%E5%84%AA%E5%85%88%E9%A0%86%E4%BD%8D#プログラミング言語" title="演算子の優先順位">演算子の優先順位 § プログラミング言語</a>」を参照</div> <p>（ここでの前提である、中置記法を採用している）たいていのプログラミング言語の四則演算の演算子において、加減算より乗除算のほうが優先順位が高い、としているものが多い。 </p><p>すなわち a * b + c は (a * b) + c という意味であり、a - b / c は a - (b / c) という意味である。 </p><p>多くの演算子を持ち、その数に応じて多くの優先順位を定めているC言語のような言語もあれば、ほとんど優先順位が無く、次節で説明する結合性のみで、どんな演算も左から右、あるいは右から左（たとえば<a href="/wiki/APL" title="APL">APL</a>）といったように決めている言語もある。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="結合性"><span id=".E7.B5.90.E5.90.88.E6.80.A7"></span>結合性</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E7%B5%90%E5%90%88%E6%B3%95%E5%89%87&action=edit&section=11" title="節を編集: 結合性"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>（前節と同様、中置記法を採用している）たいていのプログラミング言語の四則演算の演算子において、加算と減算、乗算と除算のそれぞれの間には優先順位に差が無い。加減算の連続、たとえば a + b - c + d - e というような式は、左から順に (((a + b) - c) + d) - e という意味となる。このような結合を"<b>左結合</b>" (<a href="/wiki/%E8%8B%B1%E8%AA%9E" title="英語">英</a>: <span lang="en"><i>left-associative</i></span>)、あるいは"左から右" (<a href="/wiki/%E8%8B%B1%E8%AA%9E" title="英語">英</a>: <span lang="en"><i>left to right</i></span>) と言う。逆が"<b>右結合</b>"（<a href="/wiki/%E8%8B%B1%E8%AA%9E" title="英語">英</a>: <span lang="en"><i>right-associative</i></span>)、あるいは"右から左" (<a href="/wiki/%E8%8B%B1%E8%AA%9E" title="英語">英</a>: <span lang="en"><i>right to left</i></span>) である。 </p><p>右結合の例としては、C系の言語に特徴的な代入演算子 = は右結合である。a = b = 1; という式文における式は a = (b = 1) という意味であり b = 1 という代入演算子による式の値は 1 なので、それが a に(も)代入され、結果として a と b に 1 が代入される。 </p><p><a href="/wiki/%E5%86%AA%E4%B9%97" title="冪乗">冪乗</a>の演算子として ** や ^ がある言語があるが、数学の記法では <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a^{b^{c}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>c</mi> </mrow> </msup> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{b^{c}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b63ecd1db856b54d932ae930ad0293c880ad1d5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.91ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle a^{b^{c}}}" /></span> と <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a^{b})^{c}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> </mrow> </msup> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>c</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a^{b})^{c}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf0fb906864df0e861321f6e32d28c354bf57a89" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.921ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle (a^{b})^{c}}" /></span> のように、左を先にしたい場合に括弧が要るので、右結合すなわち a**b**c は a**(b**c) という意味であるとしたほうが数学の記法とは一致するが（たとえば<a href="/wiki/Ruby_(%E4%BB%A3%E8%A1%A8%E7%9A%84%E3%81%AA%E3%83%88%E3%83%94%E3%83%83%E3%82%AF)" class="mw-redirect" title="Ruby (代表的なトピック)">Ruby</a>では ** は右結合である（オブジェクトの種類等によるものではなく、構文上の規則である））、<a href="/wiki/Microsoft_Visual_Basic" class="mw-redirect" title="Microsoft Visual Basic">VB</a>のように算術演算は全て左結合としているため冪乗の ^ も左結合<sup id="cite_ref-15" class="reference"><a href="#cite_note-15"><span class="cite-bracket">[</span>14<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>、という言語もある。 </p><p><b>非結合</b>（non-associative）は、右結合でも左結合でもない、たとえば比較演算子 < のように、a < b < c の意味が (a < b) < c でも a < (b < c) でもない、というような演算子の結合性である（C言語では左結合として解釈し、比較結果の真理値を整数0か1として、次の比較を行うという通常は意図しない意味を持ってしまう。<a href="/wiki/Python" title="Python">Python</a>のように a < b < c と書いて、意図した通りの意味になる言語もある）。加算や乗算のみの演算のような順序によらない演算には順序を定めない、という言語も考えられるが、あまり見られない（算術と違いコンピュータ上の計算ではオーバーフロー等のために、真に順序によらない計算は実はあまりない、という事情もある）。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="脚注"><span id=".E8.84.9A.E6.B3.A8"></span>脚注</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E7%B5%90%E5%90%88%E6%B3%95%E5%89%87&action=edit&section=12" title="節を編集: 脚注"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="noprint" style="float:right; font-size:90%;">[<a href="/wiki/Help:%E8%84%9A%E6%B3%A8/%E8%AA%AD%E8%80%85%E5%90%91%E3%81%91" title="Help:脚注/読者向け"><span title="この欄の操作法">脚注の使い方</span></a>]</div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="注釈"><span id=".E6.B3.A8.E9.87.88"></span>注釈</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E7%B5%90%E5%90%88%E6%B3%95%E5%89%87&action=edit&section=13" title="節を編集: 注釈"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="reflist" style="list-style-type: decimal;"> <ol class="references"> <li id="cite_note-2"><b><a href="#cite_ref-2">^</a></b> <span class="reference-text">とはいえ、数の<a href="/wiki/%E4%B9%97%E6%B3%95" title="乗法">乗法</a>や積とは直接的に関係のない、任意の抽象的演算についていう</span> </li> </ol></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="出典"><span id=".E5.87.BA.E5.85.B8"></span>出典</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E7%B5%90%E5%90%88%E6%B3%95%E5%89%87&action=edit&section=14" title="節を編集: 出典"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="reflist" style="-moz-column-count:auto; -webkit-column-count:auto; column-count:auto; -moz-column-width: 30em; -webkit-column-width: 30em; column-width: 30em; list-style-type: decimal;"> <ol class="references"> <li id="cite_note-1"><b><a href="#cite_ref-1">^</a></b> <span class="reference-text"><cite style="font-style:normal" class="citation book">Hungerford, Thomas W. (1974). <i>Algebra</i> (1st ed.). <a href="/wiki/Springer_Science%2BBusiness_Media" class="mw-redirect" title="Springer Science+Business Media">Springer</a>. p. 24. <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r101121245">.mw-parser-output cite.citation{font-style:inherit;word-wrap:break-word}.mw-parser-output .citation q{quotes:"\"""\"""'""'"}.mw-parser-output .citation.cs-ja1 q,.mw-parser-output .citation.cs-ja2 q{quotes:"「""」""『""』"}.mw-parser-output .citation:target{background-color:rgba(0,127,255,0.133)}.mw-parser-output .id-lock-free a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-free a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/65/Lock-green.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-limited a,.mw-parser-output .id-lock-registration a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-limited a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-registration a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d6/Lock-gray-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-subscription a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-subscription a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/aa/Lock-red-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-ws-icon a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4c/Wikisource-logo.svg")right 0.1em center/12px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-code{color:inherit;background:inherit;border:none;padding:inherit}.mw-parser-output .cs1-hidden-error{display:none;color:var(--color-error,#d33)}.mw-parser-output .cs1-visible-error{color:var(--color-error,#d33)}.mw-parser-output .cs1-maint{display:none;color:var(--color-success,#3a3);margin-left:0.3em}.mw-parser-output .cs1-format{font-size:95%}.mw-parser-output .cs1-kern-left{padding-left:0.2em}.mw-parser-output .cs1-kern-right{padding-right:0.2em}.mw-parser-output .citation .mw-selflink{font-weight:inherit}</style><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/978-0387905181" title="特別:文献資料/978-0387905181">978-0387905181</a>. "Definition 1.1 (i) a(bc) = (ab)c for all a, b, c in G."</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Algebra&rft.aulast=Hungerford&rft.aufirst=Thomas+W.&rft.au=Hungerford%2C%26%2332%3BThomas+W.&rft.date=1974&rft.pages=p.%26nbsp%3B24&rft.edition=1st&rft.pub=%5B%5BSpringer+Science%2BBusiness+Media%7CSpringer%5D%5D&rft.isbn=978-0387905181&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E7%B5%90%E5%90%88%E6%B3%95%E5%89%87"><span style="display: none;"> </span></span></span> </li> <li id="cite_note-3"><b><a href="#cite_ref-3">^</a></b> <span class="reference-text"><cite style="font-style:normal" class="citation book">Durbin, John R. (1992). <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-EHEP000258.html"><i>Modern Algebra: an Introduction</i></a> (3rd ed.). New York: Wiley. p. 78. <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245" /><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/978-0-471-51001-7" title="特別:文献資料/978-0-471-51001-7">978-0-471-51001-7</a><span style="display:none;">. <a rel="nofollow" class="external free" href="http://www.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-EHEP000258.html">http://www.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-EHEP000258.html</a></span>. "If <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}\,\,(n\geq 2)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mspace width="thinmathspace"></mspace> <mspace width="thinmathspace"></mspace> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>≥</mo> <mn>2</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}\,\,(n\geq 2)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afcd535b3f34f8f8b227f20cebc10244cc8850f9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.468ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}\,\,(n\geq 2)}" /></span> are elements of a set with an associative operation, then the product <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{1}a_{2}\dots a_{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>…</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{1}a_{2}\dots a_{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/261c24ca10b9e43dc5fcf686e138636e8a3749b1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.514ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle a_{1}a_{2}\dots a_{n}}" /></span> is unambiguous; this is, the same element will be obtained regardless of how parentheses are inserted in the product"</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Modern+Algebra%3A+an+Introduction&rft.aulast=Durbin&rft.aufirst=John+R.&rft.au=Durbin%2C%26%2332%3BJohn+R.&rft.date=1992&rft.pages=p.%26nbsp%3B78&rft.edition=3rd&rft.place=New+York&rft.pub=Wiley&rft.isbn=978-0-471-51001-7&rft_id=http%3A%2F%2Fwww.wiley.com%2FWileyCDA%2FWileyTitle%2FproductCd-EHEP000258.html&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E7%B5%90%E5%90%88%E6%B3%95%E5%89%87"><span style="display: none;"> </span></span></span> </li> <li id="cite_note-4"><b><a href="#cite_ref-4">^</a></b> <span class="reference-text"><cite class="citation web" style="font-style:normal">“<a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.khanacademy.org/math/linear-algebra/matrix-transformations/composition-of-transformations/v/matrix-product-associativity">Matrix product associativity</a>”.  Khan Academy. <span title="">5 June 2016</span>閲覧。</cite></span> </li> <li id="cite_note-5"><b><a href="#cite_ref-5">^</a></b> <span class="reference-text">Moore and Parker<sup class="noprint Inline-Template nowrap">[<i><a href="/wiki/Wikipedia:CITEHOW" class="mw-redirect" title="Wikipedia:CITEHOW"><span title="文献を特定する詳細な情報が求められています。（October 2016）">要文献特定詳細情報</span></a></i>]</sup></span> </li> <li id="cite_note-6"><b><a href="#cite_ref-6">^</a></b> <span class="reference-text">Copi and Cohen<sup class="noprint Inline-Template nowrap">[<i><a href="/wiki/Wikipedia:CITEHOW" class="mw-redirect" title="Wikipedia:CITEHOW"><span title="文献を特定する詳細な情報が求められています。（October 2016）">要文献特定詳細情報</span></a></i>]</sup></span> </li> <li id="cite_note-7"><b><a href="#cite_ref-7">^</a></b> <span class="reference-text">Hurley<sup class="noprint Inline-Template nowrap">[<i><a href="/wiki/Wikipedia:CITEHOW" class="mw-redirect" title="Wikipedia:CITEHOW"><span title="文献を特定する詳細な情報が求められています。（October 2016）">要文献特定詳細情報</span></a></i>]</sup></span> </li> <li id="cite_note-8"><b><a href="#cite_ref-8">^</a></b> <span class="reference-text"><a rel="nofollow" class="external autonumber" href="https://math.stackexchange.com/questions/2197480/symbolic-logic-proof-of-associativity">[1]</a></span> </li> <li id="cite_note-9"><b><a href="#cite_ref-9">^</a></b> <span class="reference-text">George Mark Bergman: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://math.berkeley.edu/~gbergman/misc/numbers/ord_ops.html">Order of arithmetic operations</a></span> </li> <li id="cite_note-10"><b><a href="#cite_ref-10">^</a></b> <span class="reference-text">Education Place: <a rel="nofollow" class="external text" href="http://eduplace.com/math/mathsteps/4/a/index.html">The Order of Operations</a></span> </li> <li id="cite_note-11"><b><a href="#cite_ref-11">^</a></b> <span class="reference-text"><a href="/wiki/Khan_Academy" class="mw-redirect" title="Khan Academy">Khan Academy</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-arith-prop/pre-algebra-order-of-operations/v/introduction-to-order-of-operations">The Order of Operations</a>, timestamp <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.youtube.com/watch?v=ClYdw4d4OmA&t=5m40s">5m40s</a></span> </li> <li id="cite_note-12"><b><a href="#cite_ref-12">^</a></b> <span class="reference-text">Virginia Department of Education: <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.doe.virginia.gov/instruction/mathematics/middle/algebra_readiness/curriculum_companion/order-operations.pdf#page=3">Using Order of Operations and Exploring Properties</a>, section 9</span> </li> <li id="cite_note-Bronstein_1987-13"><b><a href="#cite_ref-Bronstein_1987_13-0">^</a></b> <span class="reference-text">Bronstein: <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Taschenbuch_der_Mathematik" class="extiw" title="de:Taschenbuch der Mathematik">de:Taschenbuch der Mathematik</a>, pages 115-120, chapter: 2.4.1.1, <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245" /><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/978-3-8085-5673-3" title="特別:文献資料/978-3-8085-5673-3">978-3-8085-5673-3</a></span> </li> <li id="cite_note-Codeplea_2016-14"><b><a href="#cite_ref-Codeplea_2016_14-0">^</a></b> <span class="reference-text"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://codeplea.com/exponentiation-associativity-options">Exponentiation Associativity and Standard Math Notation</a> Codeplea. 23 Aug 2016. Retrieved 20 Sep 2016.</span> </li> <li id="cite_note-15"><b><a href="#cite_ref-15">^</a></b> <span class="reference-text"><a rel="nofollow" class="external free" href="http://msdn.microsoft.com/en-us/library/vstudio/zh100ckf.aspx">http://msdn.microsoft.com/en-us/library/vstudio/zh100ckf.aspx</a></span> </li> </ol></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="関連項目"><span id=".E9.96.A2.E9.80.A3.E9.A0.85.E7.9B.AE"></span>関連項目</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E7%B5%90%E5%90%88%E6%B3%95%E5%89%87&action=edit&section=15" title="節を編集: 関連項目"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%83%A9%E3%82%A4%E3%83%88%E3%81%AE%E7%B5%90%E5%90%88%E6%80%A7%E5%88%A4%E5%AE%9A%E6%B3%95&action=edit&redlink=1" class="new" title="ライトの結合性判定法 (存在しないページ)">ライトの結合性判定法</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Light%27s_associativity_test" class="extiw" title="en:Light's associativity test">英語版</a>）</span></span></li> <li><a href="/wiki/%E7%95%B3%E3%81%BF%E8%BE%BC%E3%81%BF%E7%B4%9A%E6%95%B0" title="畳み込み級数">畳み込み級数</a> - 級数の中間項が打ち消しあうには加法の結合性が必要</li> <li><a href="/wiki/%E5%8D%8A%E7%BE%A4" title="半群">半群</a> - 結合的二項演算を持つ集合</li> <li><a href="/wiki/%E4%BA%A4%E6%8F%9B%E6%B3%95%E5%89%87" title="交換法則">可換性</a>・<a href="/wiki/%E5%88%86%E9%85%8D%E6%B3%95%E5%89%87" title="分配法則">分配性</a> - 結合性と同様に、二項演算にしばしば期待されるよい性質</li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E5%86%AA%E7%B5%90%E5%90%88%E6%80%A7&action=edit&redlink=1" class="new" title="冪結合性 (存在しないページ)">冪結合性</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Power_associativity" class="extiw" title="en:Power associativity">英語版</a>）</span></span>・<span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E4%BA%A4%E4%BB%A3%E6%80%A7&action=edit&redlink=1" class="new" title="交代性 (存在しないページ)">交代性</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Alternativity" class="extiw" title="en:Alternativity">英語版</a>）</span></span>・<span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E6%9F%94%E8%BB%9F%E4%BB%A3%E6%95%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="柔軟代数 (存在しないページ)">柔軟性</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/flexible_algebra" class="extiw" title="en:flexible algebra">英語版</a>）</span></span>・<span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E5%A4%9A%E9%A0%85%E7%B5%90%E5%90%88%E6%80%A7&action=edit&redlink=1" class="new" title="多項結合性 (存在しないページ)">多項結合性</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/N-ary_associativity" class="extiw" title="en:N-ary associativity">英語版</a>）</span></span> - 弱い形の結合性</li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%83%A2%E3%83%BC%E3%83%95%E3%82%A1%E3%83%B3%E3%82%AF%E3%83%BB%E3%83%AB%E3%83%BC%E3%83%97&action=edit&redlink=1" class="new" title="モーファンク・ループ (存在しないページ)">モーファンク恒等式</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Moufang_loop" class="extiw" title="en:Moufang loop">英語版</a>）</span></span>からも弱い形の結合性が出る</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="外部リンク"><span id=".E5.A4.96.E9.83.A8.E3.83.AA.E3.83.B3.E3.82.AF"></span>外部リンク</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E7%B5%90%E5%90%88%E6%B3%95%E5%89%87&action=edit&section=16" title="節を編集: 外部リンク"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><span class="citation mathworld" id="Reference-Mathworld-Associative"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245" /><cite id="CITEREFWeisstein" class="citation web cs1 cs1-prop-foreign-lang-source">Weisstein, Eric W. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://mathworld.wolfram.com/Associative.html">"Associative"</a>. <i>mathworld.wolfram.com</i> (英語).</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=unknown&rft.jtitle=mathworld.wolfram.com&rft.atitle=Associative&rft.aulast=Weisstein&rft.aufirst=Eric+W.&rft_id=https%3A%2F%2Fmathworld.wolfram.com%2FAssociative.html&rfr_id=info%3Asid%2Fja.wikipedia.org%3A%E7%B5%90%E5%90%88%E6%B3%95%E5%89%87" class="Z3988"></span></span></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://ncatlab.org/nlab/show/associativity">associativity</a> in <i><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/nLab" class="extiw" title="en:nLab">nLab</a></i></li> <li><i><a rel="nofollow" class="external text" href="https://planetmath.org/associative">associative</a></i> - <a href="/wiki/PlanetMath" title="PlanetMath">PlanetMath</a>.<span class="tmpl-language-icon" style="font-size:0.95em; font-weight:bold; color:#555">（英語）</span></li> <li><a href="https://proofwiki.org/wiki/Definition:Associative_Operation" class="extiw" title="proofwiki:Definition:Associative Operation">Definition:Associative Operation</a> at <a rel="nofollow" class="external text" href="https://proofwiki.org/">ProofWiki</a></li> <li><a href="https://proofwiki.org/wiki/Category:Definitions/Associativity" class="extiw" title="proofwiki:Category:Definitions/Associativity">Category:Definitions/Associativity</a> at <a rel="nofollow" class="external text" href="https://proofwiki.org/">ProofWiki</a></li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation" id="CITEREFIvanovaSmirnov2001">Ivanova, O.A.; Smirnov, D.M. 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title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=bookitem&rft.btitle=Associativity&rft.atitle=%5B%5B%3Aen%3AEncyclopedia+of+Mathematics%7CEncyclopedia+of+Mathematics%5D%5D&rft.aulast=Ivanova&rft.aufirst=O.A.&rft.au=Ivanova%2C%26%2332%3BO.A.&rft.au=Smirnov%2C%26%2332%3BD.M.&rft.date=2001&rft.pub=Springer&rft.isbn=978-1-55608-010-4&rft_id=&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E7%B5%90%E5%90%88%E6%B3%95%E5%89%87"><span style="display: none;"> </span></span></li></ul>    </div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?useformat=desktop&type=1x1&usesul3=0" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">「<a dir="ltr" href="https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=結合法則&oldid=102507431">https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=結合法則&oldid=102507431</a>」から取得</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div 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