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Vectoriales</span> </div> </a> <ul id="toc-Extensión_a_Funciones_Vectoriales-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Significado_y_aplicaciones" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Significado_y_aplicaciones"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.2</span> <span>Significado y aplicaciones</span> </div> </a> <ul id="toc-Significado_y_aplicaciones-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Fundamentos" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Fundamentos"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.3</span> <span>Fundamentos</span> </div> </a> <ul id="toc-Fundamentos-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Principios" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Principios"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3</span> <span>Principios</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Principios-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Alternar subsección Principios</span> </button> <ul id="toc-Principios-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Límites_e_infinitesimales" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Límites_e_infinitesimales"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.1</span> <span>Límites e infinitesimales</span> </div> </a> <ul id="toc-Límites_e_infinitesimales-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Cálculo_diferencial" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Cálculo_diferencial"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.2</span> <span>Cálculo diferencial</span> </div> </a> <ul id="toc-Cálculo_diferencial-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Cálculo_integral" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Cálculo_integral"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.3</span> <span>Cálculo integral</span> </div> </a> <ul id="toc-Cálculo_integral-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Teorema_fundamental" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Teorema_fundamental"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.4</span> <span>Teorema fundamental</span> </div> </a> <ul id="toc-Teorema_fundamental-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Aplicaciones" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Aplicaciones"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4</span> <span>Aplicaciones</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Aplicaciones-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Alternar subsección Aplicaciones</span> </button> <ul id="toc-Aplicaciones-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Física" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Física"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.1</span> <span>Física</span> </div> </a> <ul id="toc-Física-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Química_e_ingeniería" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Química_e_ingeniería"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.2</span> <span>Química e ingeniería</span> </div> </a> <ul id="toc-Química_e_ingeniería-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Ciencias_biológicas" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Ciencias_biológicas"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.3</span> <span>Ciencias biológicas</span> </div> </a> <ul id="toc-Ciencias_biológicas-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Ciencias_sociales" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Ciencias_sociales"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.4</span> <span>Ciencias sociales</span> </div> </a> <ul id="toc-Ciencias_sociales-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Matemáticas" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Matemáticas"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.5</span> <span>Matemáticas</span> </div> </a> <ul id="toc-Matemáticas-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Véase_también" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 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class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="Contenidos" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Cambiar a la tabla de contenidos" > <label id="vector-page-titlebar-toc-label" for="vector-page-titlebar-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-listBullet mw-ui-icon-wikimedia-listBullet"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Cambiar a la tabla de contenidos</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div 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Disponible en 97 idiomas" > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-97" aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-language-progressive mw-ui-icon-wikimedia-language-progressive"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">97 idiomas</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-am mw-list-item"><a href="https://am.wikipedia.org/wiki/%E1%8A%AB%E1%88%8D%E1%8A%A9%E1%88%88%E1%88%B5" title="ካልኩለስ (amárico)" lang="am" hreflang="am" data-title="ካልኩለስ" data-language-autonym="አማርኛ" data-language-local-name="amárico" class="interlanguage-link-target"><span>አማርኛ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-an mw-list-item"><a href="https://an.wikipedia.org/wiki/Calculo" title="Calculo (aragonés)" lang="an" hreflang="an" data-title="Calculo" data-language-autonym="Aragonés" data-language-local-name="aragonés" class="interlanguage-link-target"><span>Aragonés</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D8%AA%D9%81%D8%A7%D8%B6%D9%84_%D9%88%D8%AA%D9%83%D8%A7%D9%85%D9%84" title="تفاضل وتكامل (árabe)" lang="ar" hreflang="ar" data-title="تفاضل وتكامل" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="árabe" class="interlanguage-link-target"><span>العربية</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-arz mw-list-item"><a href="https://arz.wikipedia.org/wiki/%D8%AA%D9%81%D8%A7%D8%B6%D9%84_%D9%88%D8%AA%D9%83%D8%A7%D9%85%D9%84" title="تفاضل وتكامل (Egyptian Arabic)" lang="arz" hreflang="arz" data-title="تفاضل وتكامل" data-language-autonym="مصرى" data-language-local-name="Egyptian Arabic" class="interlanguage-link-target"><span>مصرى</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ast mw-list-item"><a href="https://ast.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculu" title="Cálculu (asturiano)" lang="ast" hreflang="ast" data-title="Cálculu" data-language-autonym="Asturianu" data-language-local-name="asturiano" class="interlanguage-link-target"><span>Asturianu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bcl mw-list-item"><a href="https://bcl.wikipedia.org/wiki/Kalkulus" title="Kalkulus (Central Bikol)" lang="bcl" hreflang="bcl" data-title="Kalkulus" data-language-autonym="Bikol Central" data-language-local-name="Central Bikol" class="interlanguage-link-target"><span>Bikol Central</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bg badge-Q70894304 mw-list-item" title=""><a href="https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D0%BD%D0%BE_%D0%B8_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%BD%D0%BE_%D1%81%D0%BC%D1%8F%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%B5" title="Диференциално и интегрално смятане (búlgaro)" lang="bg" hreflang="bg" data-title="Диференциално и интегрално смятане" data-language-autonym="Български" data-language-local-name="búlgaro" class="interlanguage-link-target"><span>Български</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-blk mw-list-item"><a href="https://blk.wikipedia.org/wiki/%E1%80%80%E1%80%B2%E1%80%B8%E1%80%80%E1%80%AF%E1%80%9C%E1%80%90%E1%80%BA%E1%80%9E%E1%80%BA" title="ကဲးကုလတ်သ် (Pa'O)" lang="blk" hreflang="blk" data-title="ကဲးကုလတ်သ်" data-language-autonym="ပအိုဝ်ႏဘာႏသာႏ" data-language-local-name="Pa'O" class="interlanguage-link-target"><span>ပအိုဝ်ႏဘာႏသာႏ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bn mw-list-item"><a href="https://bn.wikipedia.org/wiki/%E0%A6%95%E0%A7%8D%E0%A6%AF%E0%A6%BE%E0%A6%B2%E0%A6%95%E0%A7%81%E0%A6%B2%E0%A6%BE%E0%A6%B8" title="ক্যালকুলাস (bengalí)" lang="bn" hreflang="bn" data-title="ক্যালকুলাস" data-language-autonym="বাংলা" data-language-local-name="bengalí" class="interlanguage-link-target"><span>বাংলা</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bs mw-list-item"><a href="https://bs.wikipedia.org/wiki/Infinitezimalni_ra%C4%8Dun" title="Infinitezimalni račun (bosnio)" lang="bs" hreflang="bs" data-title="Infinitezimalni račun" data-language-autonym="Bosanski" data-language-local-name="bosnio" class="interlanguage-link-target"><span>Bosanski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ca mw-list-item"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/C%C3%A0lcul_infinitesimal" title="Càlcul infinitesimal (catalán)" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Càlcul infinitesimal" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="catalán" class="interlanguage-link-target"><span>Català</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ckb mw-list-item"><a href="https://ckb.wikipedia.org/wiki/%D8%AC%DB%8C%D8%A7%DA%A9%D8%A7%D8%B1%DB%8C_%D9%88_%D8%AA%DB%95%D9%88%D8%A7%D9%88%DA%A9%D8%A7%D8%B1%DB%8C" title="جیاکاری و تەواوکاری (kurdo sorani)" lang="ckb" hreflang="ckb" data-title="جیاکاری و تەواوکاری" data-language-autonym="کوردی" data-language-local-name="kurdo sorani" class="interlanguage-link-target"><span>کوردی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/Infinitezim%C3%A1ln%C3%AD_po%C4%8Det" title="Infinitezimální počet (checo)" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Infinitezimální počet" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="checo" class="interlanguage-link-target"><span>Čeština</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cv mw-list-item"><a href="https://cv.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%C4%83%D0%BB%D0%BB%D0%B0_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7" title="Математикăлла анализ (chuvasio)" lang="cv" hreflang="cv" data-title="Математикăлла анализ" data-language-autonym="Чӑвашла" data-language-local-name="chuvasio" class="interlanguage-link-target"><span>Чӑвашла</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cy mw-list-item"><a href="https://cy.wikipedia.org/wiki/Calcwlws" title="Calcwlws (galés)" lang="cy" hreflang="cy" data-title="Calcwlws" data-language-autonym="Cymraeg" data-language-local-name="galés" class="interlanguage-link-target"><span>Cymraeg</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-da mw-list-item"><a href="https://da.wikipedia.org/wiki/Infinitesimalregning" title="Infinitesimalregning (danés)" lang="da" hreflang="da" data-title="Infinitesimalregning" data-language-autonym="Dansk" data-language-local-name="danés" 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href="https://ha.wikipedia.org/wiki/Calculus" title="Calculus (hausa)" lang="ha" hreflang="ha" data-title="Calculus" data-language-autonym="Hausa" data-language-local-name="hausa" class="interlanguage-link-target"><span>Hausa</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hak mw-list-item"><a href="https://hak.wikipedia.org/wiki/M%C3%AC-chit-f%C3%BBn-ho%CC%8Dk" title="Mì-chit-fûn-ho̍k (chino hakka)" lang="hak" hreflang="hak" data-title="Mì-chit-fûn-ho̍k" data-language-autonym="客家語 / Hak-kâ-ngî" data-language-local-name="chino hakka" class="interlanguage-link-target"><span>客家語 / Hak-kâ-ngî</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%97%D7%A9%D7%91%D7%95%D7%9F_%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%A4%D7%99%D7%A0%D7%99%D7%98%D7%A1%D7%99%D7%9E%D7%9C%D7%99" title="חשבון אינפיניטסימלי (hebreo)" lang="he" hreflang="he" data-title="חשבון אינפיניטסימלי" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="hebreo" class="interlanguage-link-target"><span>עברית</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hi mw-list-item"><a href="https://hi.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%95%E0%A4%B2%E0%A4%A8" title="कलन (hindi)" lang="hi" hreflang="hi" data-title="कलन" data-language-autonym="हिन्दी" data-language-local-name="hindi" class="interlanguage-link-target"><span>हिन्दी</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hif mw-list-item"><a href="https://hif.wikipedia.org/wiki/Calculus" title="Calculus (Fiji Hindi)" lang="hif" hreflang="hif" data-title="Calculus" data-language-autonym="Fiji Hindi" data-language-local-name="Fiji Hindi" class="interlanguage-link-target"><span>Fiji Hindi</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hr mw-list-item"><a href="https://hr.wikipedia.org/wiki/Infinitezimalni_ra%C4%8Dun" title="Infinitezimalni račun (croata)" lang="hr" hreflang="hr" data-title="Infinitezimalni račun" data-language-autonym="Hrvatski" data-language-local-name="croata" class="interlanguage-link-target"><span>Hrvatski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ia mw-list-item"><a href="https://ia.wikipedia.org/wiki/Calculo_infinitesimal" title="Calculo infinitesimal (interlingua)" lang="ia" hreflang="ia" data-title="Calculo infinitesimal" data-language-autonym="Interlingua" data-language-local-name="interlingua" class="interlanguage-link-target"><span>Interlingua</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-iba mw-list-item"><a href="https://iba.wikipedia.org/wiki/Kalkulus" title="Kalkulus (iban)" lang="iba" hreflang="iba" data-title="Kalkulus" data-language-autonym="Jaku Iban" data-language-local-name="iban" class="interlanguage-link-target"><span>Jaku Iban</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-id badge-Q17437796 badge-featuredarticle mw-list-item" title="artículo destacado"><a href="https://id.wikipedia.org/wiki/Kalkulus" title="Kalkulus (indonesio)" lang="id" hreflang="id" data-title="Kalkulus" data-language-autonym="Bahasa Indonesia" data-language-local-name="indonesio" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Indonesia</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-io mw-list-item"><a href="https://io.wikipedia.org/wiki/Kalkulo" title="Kalkulo (ido)" lang="io" hreflang="io" data-title="Kalkulo" data-language-autonym="Ido" data-language-local-name="ido" class="interlanguage-link-target"><span>Ido</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-is mw-list-item"><a href="https://is.wikipedia.org/wiki/%C3%96rsm%C3%A6%C3%B0areikningur" title="Örsmæðareikningur (islandés)" lang="is" hreflang="is" data-title="Örsmæðareikningur" data-language-autonym="Íslenska" data-language-local-name="islandés" class="interlanguage-link-target"><span>Íslenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Calcolo_infinitesimale" title="Calcolo infinitesimale (italiano)" lang="it" hreflang="it" data-title="Calcolo infinitesimale" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="italiano" class="interlanguage-link-target"><span>Italiano</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86%E7%A9%8D%E5%88%86%E5%AD%A6" title="微分積分学 (japonés)" lang="ja" hreflang="ja" data-title="微分積分学" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="japonés" class="interlanguage-link-target"><span>日本語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-jam mw-list-item"><a href="https://jam.wikipedia.org/wiki/Kialkiulos" title="Kialkiulos (Jamaican Creole English)" lang="jam" hreflang="jam" data-title="Kialkiulos" data-language-autonym="Patois" data-language-local-name="Jamaican Creole English" class="interlanguage-link-target"><span>Patois</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-jv badge-Q17437796 badge-featuredarticle mw-list-item" title="artículo destacado"><a href="https://jv.wikipedia.org/wiki/Kalkulus" title="Kalkulus (javanés)" lang="jv" hreflang="jv" data-title="Kalkulus" data-language-autonym="Jawa" data-language-local-name="javanés" class="interlanguage-link-target"><span>Jawa</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ka mw-list-item"><a href="https://ka.wikipedia.org/wiki/%E1%83%99%E1%83%90%E1%83%9A%E1%83%99%E1%83%A3%E1%83%9A%E1%83%A3%E1%83%A1%E1%83%98" title="კალკულუსი (georgiano)" lang="ka" hreflang="ka" data-title="კალკულუსი" data-language-autonym="ქართული" data-language-local-name="georgiano" class="interlanguage-link-target"><span>ქართული</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%AF%B8%EC%A0%81%EB%B6%84%ED%95%99" title="미적분학 (coreano)" lang="ko" hreflang="ko" data-title="미적분학" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="coreano" class="interlanguage-link-target"><span>한국어</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-la mw-list-item"><a href="https://la.wikipedia.org/wiki/Calculus_infinitesimalis" title="Calculus infinitesimalis (latín)" lang="la" hreflang="la" data-title="Calculus infinitesimalis" data-language-autonym="Latina" data-language-local-name="latín" class="interlanguage-link-target"><span>Latina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lfn mw-list-item"><a href="https://lfn.wikipedia.org/wiki/Calculo" title="Calculo (Lingua Franca Nova)" lang="lfn" hreflang="lfn" data-title="Calculo" data-language-autonym="Lingua Franca Nova" data-language-local-name="Lingua Franca Nova" class="interlanguage-link-target"><span>Lingua Franca Nova</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-li mw-list-item"><a href="https://li.wikipedia.org/wiki/Infinitesimaalraekening" title="Infinitesimaalraekening (limburgués)" lang="li" hreflang="li" data-title="Infinitesimaalraekening" data-language-autonym="Limburgs" data-language-local-name="limburgués" class="interlanguage-link-target"><span>Limburgs</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lt mw-list-item"><a href="https://lt.wikipedia.org/wiki/Integralinis_ir_diferencialinis_skai%C4%8Diavimas" title="Integralinis ir diferencialinis skaičiavimas (lituano)" lang="lt" hreflang="lt" data-title="Integralinis ir diferencialinis skaičiavimas" data-language-autonym="Lietuvių" data-language-local-name="lituano" class="interlanguage-link-target"><span>Lietuvių</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lv mw-list-item"><a href="https://lv.wikipedia.org/wiki/R%C4%93%C4%B7ini" title="Rēķini (letón)" lang="lv" hreflang="lv" data-title="Rēķini" data-language-autonym="Latviešu" data-language-local-name="letón" class="interlanguage-link-target"><span>Latviešu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mad mw-list-item"><a href="https://mad.wikipedia.org/wiki/Kalkulus" title="Kalkulus (madurés)" lang="mad" hreflang="mad" data-title="Kalkulus" data-language-autonym="Madhurâ" data-language-local-name="madurés" class="interlanguage-link-target"><span>Madhurâ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-min mw-list-item"><a href="https://min.wikipedia.org/wiki/Kalkulus" title="Kalkulus (minangkabau)" lang="min" hreflang="min" data-title="Kalkulus" data-language-autonym="Minangkabau" data-language-local-name="minangkabau" class="interlanguage-link-target"><span>Minangkabau</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mk mw-list-item"><a href="https://mk.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D0%BD%D1%84%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%B7%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D0%BD%D0%BE_%D1%81%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%B0%D1%9A%D0%B5" title="Инфинитезимално сметање (macedonio)" lang="mk" hreflang="mk" data-title="Инфинитезимално сметање" data-language-autonym="Македонски" data-language-local-name="macedonio" class="interlanguage-link-target"><span>Македонски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ml mw-list-item"><a href="https://ml.wikipedia.org/wiki/%E0%B4%95%E0%B4%B2%E0%B4%A8%E0%B4%82" title="കലനം (malayálam)" lang="ml" hreflang="ml" data-title="കലനം" data-language-autonym="മലയാളം" data-language-local-name="malayálam" class="interlanguage-link-target"><span>മലയാളം</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mn mw-list-item"><a href="https://mn.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB_%D0%B1%D0%B0_%D0%B4%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB_%D1%82%D0%BE%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%BB" title="Интеграл ба дифференциал тоолол (mongol)" lang="mn" hreflang="mn" data-title="Интеграл ба дифференциал тоолол" data-language-autonym="Монгол" data-language-local-name="mongol" class="interlanguage-link-target"><span>Монгол</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mr mw-list-item"><a href="https://mr.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%95%E0%A4%B2%E0%A4%A8" title="कलन (maratí)" lang="mr" hreflang="mr" data-title="कलन" data-language-autonym="मराठी" data-language-local-name="maratí" class="interlanguage-link-target"><span>मराठी</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ms mw-list-item"><a href="https://ms.wikipedia.org/wiki/Kalkulus" title="Kalkulus (malayo)" lang="ms" hreflang="ms" data-title="Kalkulus" data-language-autonym="Bahasa Melayu" data-language-local-name="malayo" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Melayu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-my mw-list-item"><a href="https://my.wikipedia.org/wiki/%E1%80%80%E1%80%B2%E1%80%80%E1%80%AF%E1%80%9C%E1%80%95%E1%80%BA" title="ကဲကုလပ် (birmano)" lang="my" hreflang="my" data-title="ကဲကုလပ်" data-language-autonym="မြန်မာဘာသာ" data-language-local-name="birmano" class="interlanguage-link-target"><span>မြန်မာဘာသာ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-new mw-list-item"><a href="https://new.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%95%E0%A5%8D%E0%A4%AF%E0%A4%BE%E0%A4%B2%E0%A5%8D%E0%A4%95%E0%A5%81%E0%A4%B2%E0%A4%B8" title="क्याल्कुलस (nevarí)" lang="new" hreflang="new" data-title="क्याल्कुलस" data-language-autonym="नेपाल भाषा" data-language-local-name="nevarí" class="interlanguage-link-target"><span>नेपाल भाषा</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nn mw-list-item"><a href="https://nn.wikipedia.org/wiki/Kalkulus" title="Kalkulus (noruego nynorsk)" lang="nn" hreflang="nn" data-title="Kalkulus" data-language-autonym="Norsk nynorsk" data-language-local-name="noruego nynorsk" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk nynorsk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-oc mw-list-item"><a href="https://oc.wikipedia.org/wiki/Calcul_infinitesimal" title="Calcul infinitesimal (occitano)" lang="oc" hreflang="oc" data-title="Calcul infinitesimal" data-language-autonym="Occitan" data-language-local-name="occitano" class="interlanguage-link-target"><span>Occitan</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-om mw-list-item"><a href="https://om.wikipedia.org/wiki/Kaalkulasii" title="Kaalkulasii (oromo)" lang="om" hreflang="om" data-title="Kaalkulasii" data-language-autonym="Oromoo" data-language-local-name="oromo" class="interlanguage-link-target"><span>Oromoo</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pa mw-list-item"><a href="https://pa.wikipedia.org/wiki/%E0%A8%95%E0%A9%88%E0%A8%B2%E0%A8%95%E0%A9%82%E0%A8%B2%E0%A8%B8" title="ਕੈਲਕੂਲਸ (punyabí)" lang="pa" hreflang="pa" data-title="ਕੈਲਕੂਲਸ" data-language-autonym="ਪੰਜਾਬੀ" data-language-local-name="punyabí" class="interlanguage-link-target"><span>ਪੰਜਾਬੀ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pnb mw-list-item"><a href="https://pnb.wikipedia.org/wiki/%DA%A9%DB%8C%D9%84%DA%A9%D9%88%D9%84%D8%B3" title="کیلکولس (Western Punjabi)" lang="pnb" hreflang="pnb" data-title="کیلکولس" data-language-autonym="پنجابی" data-language-local-name="Western Punjabi" class="interlanguage-link-target"><span>پنجابی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_infinitesimal" title="Cálculo infinitesimal (portugués)" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Cálculo infinitesimal" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="portugués" class="interlanguage-link-target"><span>Português</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-qu mw-list-item"><a href="https://qu.wikipedia.org/wiki/Yupaylliy" title="Yupaylliy (quechua)" lang="qu" hreflang="qu" data-title="Yupaylliy" data-language-autonym="Runa Simi" data-language-local-name="quechua" class="interlanguage-link-target"><span>Runa Simi</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ro mw-list-item"><a href="https://ro.wikipedia.org/wiki/Calcul_infinitezimal" title="Calcul infinitezimal (rumano)" lang="ro" hreflang="ro" data-title="Calcul infinitezimal" data-language-autonym="Română" data-language-local-name="rumano" class="interlanguage-link-target"><span>Română</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7" title="Математический анализ (ruso)" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Математический анализ" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="ruso" class="interlanguage-link-target"><span>Русский</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sah mw-list-item"><a href="https://sah.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D0%B9_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7" title="Математическай анализ (sakha)" lang="sah" hreflang="sah" data-title="Математическай анализ" data-language-autonym="Саха тыла" data-language-local-name="sakha" class="interlanguage-link-target"><span>Саха тыла</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sco mw-list-item"><a href="https://sco.wikipedia.org/wiki/Calculus" title="Calculus (escocés)" lang="sco" hreflang="sco" data-title="Calculus" data-language-autonym="Scots" data-language-local-name="escocés" class="interlanguage-link-target"><span>Scots</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sh mw-list-item"><a href="https://sh.wikipedia.org/wiki/Infinitezimalni_ra%C4%8Dun" title="Infinitezimalni račun (serbocroata)" lang="sh" hreflang="sh" data-title="Infinitezimalni račun" data-language-autonym="Srpskohrvatski / српскохрватски" data-language-local-name="serbocroata" class="interlanguage-link-target"><span>Srpskohrvatski / српскохрватски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-si mw-list-item"><a href="https://si.wikipedia.org/wiki/%E0%B6%9A%E0%B6%BD%E0%B6%B1%E0%B6%BA" title="කලනය (cingalés)" lang="si" hreflang="si" data-title="කලනය" data-language-autonym="සිංහල" data-language-local-name="cingalés" class="interlanguage-link-target"><span>සිංහල</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-simple mw-list-item"><a href="https://simple.wikipedia.org/wiki/Calculus" title="Calculus (Simple English)" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Calculus" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="Simple English" class="interlanguage-link-target"><span>Simple English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sk mw-list-item"><a href="https://sk.wikipedia.org/wiki/Diferenci%C3%A1lny_a_integr%C3%A1lny_po%C4%8Det" title="Diferenciálny a integrálny počet (eslovaco)" lang="sk" hreflang="sk" data-title="Diferenciálny a integrálny počet" data-language-autonym="Slovenčina" data-language-local-name="eslovaco" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenčina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/Infinitezimalni_ra%C4%8Dun" title="Infinitezimalni račun (esloveno)" lang="sl" hreflang="sl" data-title="Infinitezimalni račun" data-language-autonym="Slovenščina" data-language-local-name="esloveno" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenščina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/Infinitezimalni_ra%C4%8Dun" title="Infinitezimalni račun (serbio)" lang="sr" hreflang="sr" data-title="Infinitezimalni račun" data-language-autonym="Српски / srpski" data-language-local-name="serbio" class="interlanguage-link-target"><span>Српски / srpski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ss mw-list-item"><a href="https://ss.wikipedia.org/wiki/Calculus" title="Calculus (suazi)" lang="ss" hreflang="ss" data-title="Calculus" data-language-autonym="SiSwati" data-language-local-name="suazi" class="interlanguage-link-target"><span>SiSwati</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sv mw-list-item"><a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/Infinitesimalkalkyl" title="Infinitesimalkalkyl (sueco)" lang="sv" hreflang="sv" data-title="Infinitesimalkalkyl" data-language-autonym="Svenska" data-language-local-name="sueco" class="interlanguage-link-target"><span>Svenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ta mw-list-item"><a href="https://ta.wikipedia.org/wiki/%E0%AE%A8%E0%AF%81%E0%AE%A3%E0%AF%8D%E0%AE%95%E0%AE%A3%E0%AE%BF%E0%AE%A4%E0%AE%AE%E0%AF%8D" title="நுண்கணிதம் (tamil)" lang="ta" hreflang="ta" data-title="நுண்கணிதம்" data-language-autonym="தமிழ்" data-language-local-name="tamil" class="interlanguage-link-target"><span>தமிழ்</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-te mw-list-item"><a href="https://te.wikipedia.org/wiki/%E0%B0%95%E0%B0%B2%E0%B0%A8_%E0%B0%97%E0%B0%A3%E0%B0%BF%E0%B0%A4%E0%B0%AE%E0%B1%81" title="కలన గణితము (telugu)" lang="te" hreflang="te" data-title="కలన గణితము" data-language-autonym="తెలుగు" data-language-local-name="telugu" class="interlanguage-link-target"><span>తెలుగు</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-th mw-list-item"><a href="https://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B9%81%E0%B8%84%E0%B8%A5%E0%B8%84%E0%B8%B9%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%AA" title="แคลคูลัส (tailandés)" lang="th" hreflang="th" data-title="แคลคูลัส" data-language-autonym="ไทย" data-language-local-name="tailandés" class="interlanguage-link-target"><span>ไทย</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tl mw-list-item"><a href="https://tl.wikipedia.org/wiki/Calculus" title="Calculus (tagalo)" lang="tl" hreflang="tl" data-title="Calculus" data-language-autonym="Tagalog" data-language-local-name="tagalo" class="interlanguage-link-target"><span>Tagalog</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tr mw-list-item"><a href="https://tr.wikipedia.org/wiki/Kalk%C3%BCl%C3%BCs" title="Kalkülüs (turco)" lang="tr" hreflang="tr" data-title="Kalkülüs" data-language-autonym="Türkçe" data-language-local-name="turco" class="interlanguage-link-target"><span>Türkçe</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tum mw-list-item"><a href="https://tum.wikipedia.org/wiki/Kakyula" title="Kakyula (tumbuka)" lang="tum" hreflang="tum" data-title="Kakyula" data-language-autonym="ChiTumbuka" data-language-local-name="tumbuka" class="interlanguage-link-target"><span>ChiTumbuka</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uk mw-list-item"><a href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B5_%D1%82%D0%B0_%D1%96%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Диференціальне та інтегральне числення (ucraniano)" lang="uk" hreflang="uk" data-title="Диференціальне та інтегральне числення" data-language-autonym="Українська" data-language-local-name="ucraniano" class="interlanguage-link-target"><span>Українська</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ur mw-list-item"><a href="https://ur.wikipedia.org/wiki/%D8%A7%D8%AD%D8%B5%D8%A7" title="احصا (urdu)" lang="ur" hreflang="ur" data-title="احصا" data-language-autonym="اردو" data-language-local-name="urdu" class="interlanguage-link-target"><span>اردو</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vec mw-list-item"><a href="https://vec.wikipedia.org/wiki/C%C3%B3nto_infinitezima%C5%82e" title="Cónto infinitezimałe (Venetian)" lang="vec" hreflang="vec" data-title="Cónto infinitezimałe" data-language-autonym="Vèneto" data-language-local-name="Venetian" class="interlanguage-link-target"><span>Vèneto</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vi mw-list-item"><a href="https://vi.wikipedia.org/wiki/Vi_t%C3%ADch_ph%C3%A2n" title="Vi tích phân (vietnamita)" lang="vi" hreflang="vi" data-title="Vi tích phân" data-language-autonym="Tiếng Việt" data-language-local-name="vietnamita" class="interlanguage-link-target"><span>Tiếng Việt</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-war mw-list-item"><a href="https://war.wikipedia.org/wiki/Kalkulo" title="Kalkulo (waray)" lang="war" hreflang="war" data-title="Kalkulo" data-language-autonym="Winaray" data-language-local-name="waray" class="interlanguage-link-target"><span>Winaray</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-wuu mw-list-item"><a href="https://wuu.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%AE%E7%A7%AF%E5%88%86%E5%AD%A6" title="微积分学 (chino wu)" lang="wuu" hreflang="wuu" data-title="微积分学" data-language-autonym="吴语" data-language-local-name="chino wu" class="interlanguage-link-target"><span>吴语</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-yi mw-list-item"><a href="https://yi.wikipedia.org/wiki/%D7%A7%D7%90%D7%9C%D7%A7%D7%95%D7%9C%D7%95%D7%A1" title="קאלקולוס (yidis)" lang="yi" hreflang="yi" data-title="קאלקולוס" data-language-autonym="ייִדיש" data-language-local-name="yidis" class="interlanguage-link-target"><span>ייִדיש</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%AE%E7%A7%AF%E5%88%86%E5%AD%A6" title="微积分学 (chino)" lang="zh" hreflang="zh" data-title="微积分学" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="chino" class="interlanguage-link-target"><span>中文</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-classical mw-list-item"><a href="https://zh-classical.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%AE%E7%A9%8D%E5%88%86" title="微積分 (Literary Chinese)" lang="lzh" hreflang="lzh" data-title="微積分" data-language-autonym="文言" data-language-local-name="Literary Chinese" class="interlanguage-link-target"><span>文言</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-min-nan mw-list-item"><a href="https://zh-min-nan.wikipedia.org/wiki/B%C3%AE-chek-hun" title="Bî-chek-hun (chino min nan)" lang="nan" hreflang="nan" data-title="Bî-chek-hun" data-language-autonym="閩南語 / Bân-lâm-gú" data-language-local-name="chino min nan" class="interlanguage-link-target"><span>閩南語 / Bân-lâm-gú</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-yue mw-list-item"><a href="https://zh-yue.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%AE%E7%A9%8D%E5%88%86" title="微積分 (cantonés)" lang="yue" hreflang="yue" data-title="微積分" data-language-autonym="粵語" data-language-local-name="cantonés" class="interlanguage-link-target"><span>粵語</span></a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><span class="wb-langlinks-edit wb-langlinks-link"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q149972#sitelinks-wikipedia" title="Editar enlaces interlingüísticos" class="wbc-editpage">Editar enlaces</a></span></div> </div> </div> </div> </header> <div class="vector-page-toolbar"> <div class="vector-page-toolbar-container"> <div id="left-navigation"> <nav aria-label="Espacios de nombres"> <div id="p-associated-pages" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-associated-pages" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/C%C3%A1lculo_infinitesimal" title="Ver la página de contenido [c]" accesskey="c"><span>Artículo</span></a></li><li id="ca-talk" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Discusi%C3%B3n:C%C3%A1lculo_infinitesimal" rel="discussion" title="Discusión acerca de la página [t]" accesskey="t"><span>Discusión</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown emptyPortlet" > <input type="checkbox" id="vector-variants-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Cambiar variante de idioma" > <label id="vector-variants-dropdown-label" for="vector-variants-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" ><span 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<div id="vector-page-tools" class="vector-page-tools vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-page-tools-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="page-tools-pinned" data-pinnable-element-id="vector-page-tools" data-pinned-container-id="vector-page-tools-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-page-tools-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Herramientas</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.pin">mover a la barra lateral</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.unpin">ocultar</button> </div> <div id="p-cactions" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-cactions emptyPortlet vector-has-collapsible-items" title="Más opciones" > <div class="vector-menu-heading"> Acciones </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-more-view" class="selected vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/wiki/C%C3%A1lculo_infinitesimal"><span>Leer</span></a></li><li id="ca-more-edit" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=C%C3%A1lculo_infinitesimal&action=edit" title="Editar esta página [e]" accesskey="e"><span>Editar</span></a></li><li id="ca-more-history" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=C%C3%A1lculo_infinitesimal&action=history"><span>Ver historial</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-tb" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-tb" > <div class="vector-menu-heading"> General </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-whatlinkshere" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Especial:LoQueEnlazaAqu%C3%AD/C%C3%A1lculo_infinitesimal" title="Lista de todas las páginas de la wiki que enlazan aquí [j]" 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class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="coll-create_a_book" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Especial:Libro&bookcmd=book_creator&referer=C%C3%A1lculo+infinitesimal"><span>Crear un libro</span></a></li><li id="coll-download-as-rl" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Especial:DownloadAsPdf&page=C%C3%A1lculo_infinitesimal&action=show-download-screen"><span>Descargar como PDF</span></a></li><li id="t-print" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=C%C3%A1lculo_infinitesimal&printable=yes" title="Versión imprimible de esta página [p]" accesskey="p"><span>Versión para imprimir</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-wikibase-otherprojects" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-wikibase-otherprojects" > <div class="vector-menu-heading"> En otros proyectos </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="wb-otherproject-link wb-otherproject-commons mw-list-item"><a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Calculus" hreflang="en"><span>Wikimedia Commons</span></a></li><li class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikibooks mw-list-item"><a href="https://es.wikibooks.org/wiki/Matem%C3%A1ticas/C%C3%A1lculo_en_una_variable" hreflang="es"><span>Wikilibros</span></a></li><li id="t-wikibase" class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikibase-dataitem mw-list-item"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q149972" title="Enlace al elemento conectado del repositorio de datos [g]" accesskey="g"><span>Elemento de Wikidata</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> </div> <div class="vector-column-end"> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Página de herramientas"> <div id="vector-page-tools-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Apariencia"> <div id="vector-appearance-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-appearance" class="vector-appearance vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-appearance-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="appearance-pinned" data-pinnable-element-id="vector-appearance" data-pinned-container-id="vector-appearance-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-appearance-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Apariencia</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.pin">mover a la barra lateral</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.unpin">ocultar</button> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> <div id="bodyContent" class="vector-body" aria-labelledby="firstHeading" data-mw-ve-target-container> <div class="vector-body-before-content"> <div class="mw-indicators"> </div> <div id="siteSub" class="noprint">De Wikipedia, la enciclopedia libre</div> </div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"></div></div> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="es" dir="ltr"><div class="rellink noprint hatnote"> Para otros usos de la palabra «cálculo» en matemáticas y lógica, véase <a href="/wiki/C%C3%A1lculo_(desambiguaci%C3%B3n)" class="mw-disambig" title="Cálculo (desambiguación)">Cálculo (desambiguación)</a>.</div><figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Archivo:NautilusCutawayLogarithmicSpiral.jpg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/08/NautilusCutawayLogarithmicSpiral.jpg/220px-NautilusCutawayLogarithmicSpiral.jpg" decoding="async" width="220" height="166" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/08/NautilusCutawayLogarithmicSpiral.jpg/330px-NautilusCutawayLogarithmicSpiral.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/08/NautilusCutawayLogarithmicSpiral.jpg/440px-NautilusCutawayLogarithmicSpiral.jpg 2x" data-file-width="2240" data-file-height="1693" /></a><figcaption>La <a href="/wiki/Espiral_logar%C3%ADtmica" title="Espiral logarítmica">espiral logarítmica</a> de la <a href="/wiki/Nautilus" title="Nautilus">concha del Nautilus</a> es una clásica imagen usada para representar el (de)crecimiento continuo, concepto clave del cálculo.</figcaption></figure> <p>El <b>cálculo infinitesimal</b> o simplemente <b>cálculo</b> constituye una rama muy importante de las <a href="/wiki/Matem%C3%A1ticas" title="Matemáticas">matemáticas</a>. En la misma manera que la <a href="/wiki/Geometr%C3%ADa" title="Geometría">geometría</a> estudia el espacio y el <a href="/wiki/%C3%81lgebra" title="Álgebra">álgebra</a> estudia las estructuras abstractas, el cálculo es el estudio del <i>cambio</i> y la <a href="/wiki/Continuidad_(matematica)" class="mw-redirect" title="Continuidad (matematica)"><i>continuidad</i></a> (más concretamente, de los cambios continuos, en oposición a los <a href="/wiki/Matem%C3%A1ticas_discretas" class="mw-redirect" title="Matemáticas discretas">discretos</a>). </p><p>El cálculo infinitesimal se divide en dos áreas: <a href="/wiki/C%C3%A1lculo_diferencial" title="Cálculo diferencial">cálculo diferencial</a> y <a href="/wiki/Integraci%C3%B3n" title="Integración">cálculo integral</a>. El cálculo diferencial estudia cómo computar la función que describe el cambio de otra función de variables continuas (<a href="/wiki/Funci%C3%B3n_de_orden_superior" title="Función de orden superior">operación de orden superior</a> llamada «<a href="/wiki/Derivada" title="Derivada">derivada</a>»), mientras que el cálculo integral estudia la operación inversa (<a href="/wiki/Integraci%C3%B3n_indefinida" title="Integración indefinida">antiderivadas</a> e <a href="/wiki/Integraci%C3%B3n" title="Integración">integrales</a>) y las <a href="/wiki/Serie_matem%C3%A1tica" class="mw-redirect" title="Serie matemática">series infinitas</a>. En su formulación contemporánea, ambos campos se fundamentan en el concepto de <a href="/wiki/L%C3%ADmite_matem%C3%A1tico" class="mw-redirect" title="Límite matemático">límite</a> para poder calcular cambios infinitesimalmente pequeños; y se relacionan por medio del <a href="/wiki/Teorema_fundamental_del_c%C3%A1lculo" title="Teorema fundamental del cálculo">teorema fundamental del cálculo</a>. </p><p>Desde su aparición en el siglo <span style="font-variant:small-caps;text-transform:lowercase">XVII</span>, el cálculo infinitesimal se ha vuelto imprescindible para la <a href="/wiki/Ciencia" title="Ciencia">ciencia</a> y la <a href="/wiki/Ingenier%C3%ADa" title="Ingeniería">ingeniería</a> (ver sección de <i><a class="mw-selflink-fragment" href="#Aplicaciones">Aplicaciones</a></i>) y constituye gran parte de la educación universitaria moderna. Marcó un hito en la <a href="/wiki/Revoluci%C3%B3n_cient%C3%ADfica" title="Revolución científica">Revolución científica</a>; al grado de que algunos historiadores fechan el inicio de la <a href="/wiki/Ilustraci%C3%B3n" title="Ilustración">Ilustración</a> con la publicación de las obras de Newton.<sup id="cite_ref-1" class="reference separada"><a href="#cite_note-1"><span class="corchete-llamada">[</span>1<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> </p><p>Se usa para resolver muchos problemas para los cuales las matemáticas de la antigüedad fueron insuficientes; si bien parte de conocimientos clásicos en <a href="/wiki/%C3%81lgebra" title="Álgebra">álgebra</a>, <a href="/wiki/Trigonometr%C3%ADa" title="Trigonometría">trigonometría</a> y <a href="/wiki/Geometr%C3%ADa_anal%C3%ADtica" title="Geometría analítica">geometría analítica</a>. Encontrar la <a href="/wiki/Tangente_(geometr%C3%ADa)" title="Tangente (geometría)">tangente</a> en un punto a una curva, hacer mediciones exactas de longitudes, áreas y volúmenes curvos; determinar si una suma de infinitos sumandos <a href="/wiki/Convergencia_(matematicas)" class="mw-redirect" title="Convergencia (matematicas)">converge</a> o diverge, y encontrar situaciones de equilibrio y <a href="/wiki/Optimizaci%C3%B3n_(matem%C3%A1tica)" title="Optimización (matemática)">optimización</a> en funciones de <a href="/wiki/N%C3%BAmero_real" title="Número real">números reales</a> son ejemplos de las puertas que el cálculo vino a abrir para las matemáticas. A su vez, el cálculo tiene generalizaciones y aplicaciones en otras áreas de la matemática; como <a href="/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial" title="Ecuación diferencial">ecuaciones diferenciales</a> y <a href="/wiki/Sistema_din%C3%A1mico" title="Sistema dinámico">sistemas dinámicos</a>, <a href="/wiki/Teor%C3%ADa_del_caos" title="Teoría del caos">teoría del caos</a>, <a href="/wiki/C%C3%A1lculo_vectorial" title="Cálculo vectorial">cálculo vectorial</a>, <a href="/wiki/Geometr%C3%ADa_diferencial" title="Geometría diferencial">geometría diferencial</a>, <a href="/wiki/Topolog%C3%ADa" title="Topología">topología</a>, <a href="/wiki/An%C3%A1lisis_matem%C3%A1tico" title="Análisis matemático">análisis matemático</a>, <a href="/wiki/Teor%C3%ADa_de_la_probabilidad" title="Teoría de la probabilidad">probabilidad</a>, <a href="/wiki/Estad%C3%ADstica" title="Estadística">estadística</a>, etc. </p><p>En la matemática contemporánea y en los programas de estudio para matemáticos, el cálculo es usualmente abordado como una introducción a la disciplina conocida como <a href="/wiki/An%C3%A1lisis_matem%C3%A1tico" title="Análisis matemático">análisis matemático</a>, que generaliza y formaliza el estudio de <a href="/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1tica" class="mw-redirect" title="Función matemática">funciones</a> y <a href="/wiki/L%C3%ADmite_de_una_funci%C3%B3n" title="Límite de una función">límites</a>. </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Historia">Historia</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=C%C3%A1lculo_infinitesimal&action=edit&section=1" title="Editar sección: Historia"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Archivo:GodfreyKneller-IsaacNewton-1689.jpg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/39/GodfreyKneller-IsaacNewton-1689.jpg/220px-GodfreyKneller-IsaacNewton-1689.jpg" decoding="async" width="220" height="309" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/39/GodfreyKneller-IsaacNewton-1689.jpg/330px-GodfreyKneller-IsaacNewton-1689.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/39/GodfreyKneller-IsaacNewton-1689.jpg/440px-GodfreyKneller-IsaacNewton-1689.jpg 2x" data-file-width="1364" data-file-height="1916" /></a><figcaption><a href="/wiki/Isaac_Newton" title="Isaac Newton">Isaac Newton</a> es uno de los más famosos contribuyentes del desarrollo del cálculo, el cual utilizó en sus leyes de movimiento y gravitación.</figcaption></figure> <figure class="mw-default-size mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Archivo:Gottfried_Wilhelm_Leibniz,_Bernhard_Christoph_Francke.jpg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/ce/Gottfried_Wilhelm_Leibniz%2C_Bernhard_Christoph_Francke.jpg/220px-Gottfried_Wilhelm_Leibniz%2C_Bernhard_Christoph_Francke.jpg" decoding="async" width="220" height="272" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/ce/Gottfried_Wilhelm_Leibniz%2C_Bernhard_Christoph_Francke.jpg/330px-Gottfried_Wilhelm_Leibniz%2C_Bernhard_Christoph_Francke.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/ce/Gottfried_Wilhelm_Leibniz%2C_Bernhard_Christoph_Francke.jpg/440px-Gottfried_Wilhelm_Leibniz%2C_Bernhard_Christoph_Francke.jpg 2x" data-file-width="4486" data-file-height="5538" /></a><figcaption><a href="/wiki/Gottfried_Wilhelm_Leibniz" class="mw-redirect" title="Gottfried Wilhelm Leibniz">Gottfried Wilhelm Leibniz</a> fue originalmente acusado de <a href="/wiki/Plagio" title="Plagio">plagiar</a> el trabajo inédito de Isaac Newton, pero es ahora considerado como un inventor independiente y gran desarrollador del cálculo.</figcaption></figure> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Edad_Antigua">Edad Antigua</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=C%C3%A1lculo_infinitesimal&action=edit&section=2" title="Editar sección: Edad Antigua"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>El período antiguo introdujo algunas de las ideas del cálculo integral, pero no parece haber desarrollado estas ideas en una manera rigurosa o sistemática. En el cálculo de áreas y volúmenes, la función básica del cálculo integral puede ser rastreada en el tiempo hasta los <a href="/wiki/Papiros_de_Mosc%C3%BA" class="mw-redirect" title="Papiros de Moscú">papiros matemáticos de Moscú</a> que datan del año 1890 a. C, en los que un egipcio calculó satisfactoriamente el volumen del <a href="/wiki/Tronco_(geometr%C3%ADa)" title="Tronco (geometría)">tronco</a> de una <a href="/wiki/Pir%C3%A1mide_(geometr%C3%ADa)" title="Pirámide (geometría)">pirámide</a>.<sup id="cite_ref-2" class="reference separada"><a href="#cite_note-2"><span class="corchete-llamada">[</span>2<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-Aslaksen_3-0" class="reference separada"><a href="#cite_note-Aslaksen-3"><span class="corchete-llamada">[</span>3<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> Los babilonios pueden haber descubierto la <a href="/wiki/Regla_trapezoidal_(ecuaciones_diferenciales)" title="Regla trapezoidal (ecuaciones diferenciales)">regla trapezoidal</a> mientras hacían observaciones astronómicas de Júpiter.<sup id="cite_ref-4" class="reference separada"><a href="#cite_note-4"><span class="corchete-llamada">[</span>4<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> </p><p>De la escuela de los <a href="/wiki/Matem%C3%A1tica_hel%C3%A9nica" class="mw-redirect" title="Matemática helénica">matemáticos griegos</a>, <a href="/wiki/Eudoxo_de_Cnido" title="Eudoxo de Cnido">Eudoxo</a> (408−<span style="white-space:nowrap">355 a. C.</span>) usó el <a href="/wiki/M%C3%A9todo_exhaustivo" class="mw-redirect" title="Método exhaustivo">método exhaustivo</a>, el cual prefiguraba el concepto de límite, para calcular áreas y volúmenes, mientras que <a href="/wiki/Arqu%C3%ADmedes" title="Arquímedes">Arquímedes</a> (287−<span style="white-space:nowrap">212 a. C.</span>) desarrolló más allá su idea inventando un método <a href="/wiki/Heur%C3%ADstica" title="Heurística">heurístico</a>, denominado exhaustación, que se asemeja al cálculo infinitesimal.<sup id="cite_ref-5" class="reference separada"><a href="#cite_note-5"><span class="corchete-llamada">[</span>5<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> </p><p>El <a href="/wiki/M%C3%A9todo_por_agotamiento" title="Método por agotamiento">método exhaustivo</a> fue más tarde usado en <a href="/wiki/Matem%C3%A1tica_china" title="Matemática china">China</a> por <a href="/wiki/Liu_Hui" title="Liu Hui">Liu Hui</a> en el siglo <span style="font-variant:small-caps;text-transform:lowercase">III</span> a. C. para encontrar el área de un círculo. En el siglo <span style="font-variant:small-caps;text-transform:lowercase">V</span> d. C., <a href="/wiki/Zu_Chongzhi" title="Zu Chongzhi">Zu Chongzhi</a> usó lo que más tarde sería llamado la <i>teoría de los indivisibles</i> por el matemático italiano <a href="/wiki/Bonaventura_Cavalieri" title="Bonaventura Cavalieri">Bonaventura Cavalieri</a> para encontrar el volumen de una esfera.<sup id="cite_ref-Aslaksen_3-1" class="reference separada"><a href="#cite_note-Aslaksen-3"><span class="corchete-llamada">[</span>3<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Edad_Media">Edad Media</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=C%C3%A1lculo_infinitesimal&action=edit&section=3" title="Editar sección: Edad Media"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="noprint AP rellink"><span style="font-size:88%">Artículos principales:</span> <i><a href="/wiki/Matem%C3%A1tica_en_el_islam_medieval" class="mw-redirect" title="Matemática en el islam medieval"> Matemática en el islam medieval</a></i><span style="font-size:88%">, </span><i><a href="/wiki/Matem%C3%A1tica_en_la_India" class="mw-redirect" title="Matemática en la India"> Matemática en la India</a></i><span style="font-size:88%"> y </span><i><a href="/wiki/Fibonacci" class="mw-redirect" title="Fibonacci"> Fibonacci</a></i>.</div> <p>Cerca del año <span style="white-space:nowrap">1000 d. C.</span>, el <a href="/wiki/Matem%C3%A1tica_en_el_Islam_medieval" class="mw-redirect" title="Matemática en el Islam medieval">matemático islámico</a> <a href="/wiki/Alhac%C3%A9n" title="Alhacén">Alhacén</a> fue el primero en derivar la fórmula para la suma de la cuarta <a href="/wiki/Potenciaci%C3%B3n" title="Potenciación">potencia</a> de una <a href="/wiki/Progresi%C3%B3n_aritm%C3%A9tica" title="Progresión aritmética">progresión aritmética</a>, usando un método a partir del cual es fácil encontrar la fórmula para la suma de cualquier potencia integral de mayor orden.<sup id="cite_ref-6" class="reference separada"><a href="#cite_note-6"><span class="corchete-llamada">[</span>6<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> </p><p>En el siglo <span style="font-variant:small-caps;text-transform:lowercase">XI</span>, el <a href="/wiki/Pol%C3%ADmata" class="mw-redirect" title="Polímata">polímata</a> chino <a href="/wiki/Shen_Kuo" title="Shen Kuo">Shen Kuo</a> desarrolló ecuaciones que se encargaban de integrar. En el siglo <span style="font-variant:small-caps;text-transform:lowercase">XII</span>, el <a href="/wiki/Matem%C3%A1tica_en_la_India" class="mw-redirect" title="Matemática en la India">matemático indio</a>, <a href="/wiki/Bhaskara_II" title="Bhaskara II">Bhaskara II</a>, desarrolló una derivada temprana representando el cambio infinitesimal, y describió una forma temprana del «<a href="/wiki/Teorema_de_Rolle" title="Teorema de Rolle">teorema de Rolle</a>».<sup id="cite_ref-7" class="reference separada"><a href="#cite_note-7"><span class="corchete-llamada">[</span>7<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> </p><p>También en el siglo <span style="font-variant:small-caps;text-transform:lowercase">XII</span>, el matemático <a href="/wiki/Pueblo_persa" title="Pueblo persa">persa</a> <a href="/wiki/Sharaf_al-Din_al-Tusi" title="Sharaf al-Din al-Tusi">Sharaf al-Din al-Tusi</a> descubrió la <a href="/wiki/Derivada" title="Derivada">derivada</a> de la <a href="/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_tercer_grado" title="Ecuación de tercer grado">función cúbica</a>, un importante acontecimiento en el cálculo diferencial.<sup id="cite_ref-8" class="reference separada"><a href="#cite_note-8"><span class="corchete-llamada">[</span>8<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> </p><p>En el siglo <span style="font-variant:small-caps;text-transform:lowercase">XIV</span>, <a href="/wiki/Madhava_de_Sangamagrama" title="Madhava de Sangamagrama">Madhava de Sangamagrama</a>, en conjunto con otros matemáticos y astrónomos de la <a href="/wiki/Escuela_de_Kerala" title="Escuela de Kerala">Escuela de Kerala</a>, describieron casos especiales de las <a href="/wiki/Series_de_Taylor" class="mw-redirect" title="Series de Taylor">series de Taylor</a>,<sup id="cite_ref-madhava_9-0" class="reference separada"><a href="#cite_note-madhava-9"><span class="corchete-llamada">[</span>9<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> los cuales están referidos en el texto <i><a href="/wiki/Yuktibhasa" class="mw-redirect" title="Yuktibhasa">Yuktibhasa</a></i>.<sup id="cite_ref-scotlnd_10-0" class="reference separada"><a href="#cite_note-scotlnd-10"><span class="corchete-llamada">[</span>10<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-charles_11-0" class="reference separada"><a href="#cite_note-charles-11"><span class="corchete-llamada">[</span>11<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Modernidad">Modernidad</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=C%C3%A1lculo_infinitesimal&action=edit&section=4" title="Editar sección: Modernidad"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>En la época moderna, descubrimientos independientes relacionados con el cálculo se estaban llevando a cabo por la <a href="/wiki/Wasan" title="Wasan">matemática japonesa del siglo <span style="font-variant:small-caps;text-transform:lowercase">XVII</span></a>, gracias al aporte de matemáticos como <a href="/wiki/Seki_K%C5%8Dwa" title="Seki Kōwa">Seki Kōwa</a>, quien expandió el <a href="/wiki/M%C3%A9todo_de_agotamiento" class="mw-redirect" title="Método de agotamiento">método exhaustivo</a>. </p><p>En Europa, el trabajo fundacional fue un tratado del clérigo y matemático italiano <a href="/wiki/Bonaventura_Cavalieri" title="Bonaventura Cavalieri">Bonaventura Cavalieri</a>, quien argumentó que los volúmenes y áreas deberían ser calculados como las sumas de los volúmenes y áreas de delgadas secciones infinitesimales. Estas ideas eran similares a las expuestas en el trabajo <i><a href="/wiki/El_m%C3%A9todo_de_los_teoremas_mec%C3%A1nicos" title="El método de los teoremas mecánicos">El método de los teoremas mecánicos</a></i> de <a href="/wiki/Arqu%C3%ADmedes" title="Arquímedes">Arquímedes</a>, el cual estuvo perdido hasta principios del siglo <span style="font-variant:small-caps;text-transform:lowercase">XX</span>. El trabajo de Cavalieri no fue bien respetado ya que sus métodos pueden llevar a resultados erróneos, y porque las cantidades infinitesimales que introdujo eran desacreditadas al principio. </p><p>El estudio formal del cálculo combinó los infinitesimales de Cavalieri con el <a href="/wiki/Diferencia_finita" title="Diferencia finita">cálculo de diferencias finitas</a> desarrollado en <a href="/wiki/Europa" title="Europa">Europa</a> más o menos al mismo tiempo. La combinación fue lograda por <a href="/wiki/John_Wallis" title="John Wallis">John Wallis</a>, <a href="/wiki/Isaac_Barrow" title="Isaac Barrow">Isaac Barrow</a> y <a href="/wiki/James_Gregory" title="James Gregory">James Gregory</a>, probando estos últimos el <a href="/wiki/Teorema_fundamental_del_c%C3%A1lculo" title="Teorema fundamental del cálculo">teorema fundamental del cálculo integral</a> cerca del año 1675. </p><p>La <a href="/wiki/Regla_del_producto_(c%C3%A1lculo)" title="Regla del producto (cálculo)">regla del producto</a> y la <a href="/wiki/Regla_de_la_cadena" title="Regla de la cadena">regla de la cadena</a>, la noción de <a href="/wiki/Derivada" title="Derivada">derivada</a> de mayor orden, las <a href="/wiki/Serie_de_Taylor" title="Serie de Taylor">series de Taylor</a>, y las <a href="/wiki/Funci%C3%B3n_anal%C3%ADtica" title="Función analítica">funciones analíticas</a> fueron introducidas por <a href="/wiki/Isaac_Newton" title="Isaac Newton">Isaac Newton</a> en una notación idiosincrásica que usó para resolver problemas de <a href="/wiki/F%C3%ADsica_matem%C3%A1tica" title="Física matemática">física matemática</a>. En sus publicaciones, Newton formuló sus ideas para acomodar el idioma matemático de la época, utilizando argumentos informales como el de las <a href="/wiki/M%C3%A9todo_de_las_fluxiones" title="Método de las fluxiones">fluxiones</a>, que generaron gran escozor y escepticismo en otros filósofos de la época; notablemente <a href="/wiki/George_Berkeley" title="George Berkeley">Berkeley</a>. Usó los métodos del cálculo para resolver el problema del movimiento planetario, la forma de la superficie de un fluido rotante, y se refirió a lo achatada que es la <a href="/wiki/Planeta_Tierra" class="mw-redirect" title="Planeta Tierra">tierra</a> por los polos, así como a muchos otros problemas, los cuales discutió en <i><a href="/wiki/Philosophi%C3%A6_naturalis_principia_mathematica" title="Philosophiæ naturalis principia mathematica">Principia mathematica</a></i>. En otro trabajo, desarrolló una serie de expansiones para las funciones, incluyendo las potencias fraccionarias e irracionales. Fue claro que Newton entendía los principios de las <a href="/wiki/Serie_de_Taylor" title="Serie de Taylor">series de Taylor</a>. No publicó todos estos descubrimientos. En su tiempo los sistemas infinitesimales eran considerados como reprochables. </p><p>Estas ideas fueron sistematizadas en un verdadero cálculo de infinitesimales por <a href="/wiki/Gottfried_Wilhelm_Leibniz" class="mw-redirect" title="Gottfried Wilhelm Leibniz">Gottfried Wilhelm Leibniz</a>, quien fue originalmente acusado de <a href="/wiki/Plagio" title="Plagio">plagio</a> por Newton. Es ahora reconocido como inventor independiente del cálculo y un gran contribuyente a este. Su principal contribución fue el proveer un conjunto de reglas claras para la manipulación de cantidades infinitesimales, permitiendo el cómputo de derivadas de segundo orden y de orden superior, y estableciendo la <a href="/wiki/Regla_del_producto_(c%C3%A1lculo)" title="Regla del producto (cálculo)">regla del producto</a> y <a href="/wiki/Regla_de_la_cadena" title="Regla de la cadena">regla de la cadena</a> en su forma diferencial e integral. A diferencia de Newton, Leibniz le puso mucha atención al formalismo y a menudo le dedicaba varios días a determinar los símbolos apropiados para los conceptos. </p><p>Usualmente se le acredita a ambos <a href="/wiki/Leibniz" class="mw-redirect" title="Leibniz">Leibniz</a> y <a href="/wiki/Isaac_Newton" title="Isaac Newton">Newton</a> la invención del cálculo. Newton fue el primero en aplicar el cálculo a la <a href="/wiki/F%C3%ADsica" title="Física">física</a> general y Leibniz desarrolló mucho de la notación usada en cálculo hasta al menos principio del siglo <span style="font-variant:small-caps;text-transform:lowercase">XIX</span>. Las ideas principales que ambos Newton y Leibniz estipularon fueron las leyes de diferenciación e integración, las segundas derivadas, las derivadas de orden superior, y la noción de una aproximación de series de polinomios. Ya por la época de Newton, el teorema fundamental de cálculo era conocido. </p><p>Cuando Newton y Leibniz primero publicaron sus resultados, hubo gran controversia sobre qué matemático (y por ende qué país) merecía el crédito por la invención de esta disciplina. Newton llegó primero a sus resultados, pero Leibniz publicó primero. Newton acusó a Leibniz de robar sus ideas de sus notas inéditas, las cuales Newton había compartido con unos cuantos miembros de la <a href="/wiki/Royal_Society" title="Royal Society">Royal Society</a>. Esta controversia dividió a los matemáticos de habla inglesa de los matemáticos continentales por varios años, causando un retraso de las matemáticas inglesas. Un cuidadoso examen de los papeles de ambos matemáticos demuestra que ellos llegaron a sus resultados independientemente, con Leibniz empezando primero con la integración y Newton con la diferenciación. Hoy, se les da crédito a ambos matemáticos por desarrollar el cálculo independientemente. Fue Leibniz, sin embargo, quien le dio el nuevo nombre a su disciplina. Newton llamó su cálculo el «<a href="/wiki/M%C3%A9todo_de_las_fluxiones" title="Método de las fluxiones">método de las fluxiones</a>». La simbología usada por Newton, tal como <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\dot {x}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {x}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a82c85f33714da82ab42d6b69eae07ab7e5e234b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\dot {x}}}"></span> (derivada primera), <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\ddot {x}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo>¨</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\ddot {x}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06e0e705ddda28c6cd06cdc6e18be9abf88bb395" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\ddot {x}}}"></span> (derivada segunda) a veces aparece en física y situaciones que no requieren de formalismo matemático; mientras que la <a href="/wiki/Notaci%C3%B3n_de_Leibniz" title="Notación de Leibniz">notación de Leibniz</a> es preferida por los libros de texto sobre cálculo. </p><p>Desde los tiempos de Leibniz y Newton, muchos matemáticos han contribuido al desarrollo continuo del cálculo. En el siglo <span style="font-variant:small-caps;text-transform:lowercase">XIX</span>, el cálculo comenzó a ser planteado más rigurosamente por matemáticos como <a href="/wiki/Cauchy" class="mw-redirect" title="Cauchy">Cauchy</a>, <a href="/wiki/Riemann" class="mw-redirect" title="Riemann">Riemann</a> y <a href="/wiki/Weierstrass" class="mw-redirect" title="Weierstrass">Weierstrass</a>. También fue en este período que las ideas del cálculo fueron generalizadas al <a href="/wiki/Espacio_eucl%C3%ADdeo" title="Espacio euclídeo">espacio euclidiano</a> y al <a href="/wiki/Plano_complejo" title="Plano complejo">plano complejo</a>. <a href="/wiki/Lebesgue" class="mw-redirect" title="Lebesgue">Lebesgue</a> generalizó la noción de la integral de tal manera que virtualmente cualquier función tenga una integral, mientras que <a href="/wiki/Laurent_Schwartz" title="Laurent Schwartz">Laurent Schwartz</a> extendió la diferenciación casi de la misma manera. </p><p>El cálculo es un tema omnipresente en la mayoría de los programas de educación superior y en las universidades. Los matemáticos alrededor del mundo continúan contribuyendo al desarrollo de esta disciplina, la cual ha sido considerada como uno de los logros más grandes del intelecto humano.<sup id="cite_ref-12" class="reference separada"><a href="#cite_note-12"><span class="corchete-llamada">[</span>12<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> El desarrollo de las ecuaciones diferenciales ha jugado un gran papel de cambio cualitativo en la ciencia y la tecnología, comparable con el control del fuego en la época primitiva, las ecuaciones diferenciales son un salto enorme para la ciencia. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Conjunto_'"`UNIQ--postMath-00000003-QINU`"'_de_Operadores_Fraccionales"><span id="Conjunto_.7F.27.22.60UNIQ--postMath-00000003-QINU.60.22.27.7F_de_Operadores_Fraccionales"></span>Conjunto <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle O_{x,\alpha }^{n}(h)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mi>O</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>α</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msubsup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>h</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle O_{x,\alpha }^{n}(h)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f885705305777585fe97f83ca587f49813f43476" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:7.603ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle O_{x,\alpha }^{n}(h)}"></span> de Operadores Fraccionales</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=C%C3%A1lculo_infinitesimal&action=edit&section=5" title="Editar sección: Conjunto '"`UNIQ--postMath-00000003-QINU`"' de Operadores Fraccionales"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>El <b>cálculo fraccional de conjuntos</b> (<b>Fractional Calculus of Sets (FCS)</b>), mencionado por primera vez en el artículo titulado "Sets of Fractional Operators and Numerical Estimation of the Order of Convergence of a Family of Fractional Fixed-Point Methods",<sup id="cite_ref-13" class="reference separada"><a href="#cite_note-13"><span class="corchete-llamada">[</span>13<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> es una metodología derivada del <b><a href="/wiki/C%C3%A1lculo_fraccional" title="Cálculo fraccional">cálculo fraccional</a></b>.<sup id="cite_ref-14" class="reference separada"><a href="#cite_note-14"><span class="corchete-llamada">[</span>14<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> El concepto principal detrás del FCS es la caracterización de los elementos del cálculo fraccional utilizando <a href="/wiki/Conjunto" title="Conjunto">conjuntos</a> debido a la gran cantidad de operadores fraccionales disponibles.<sup id="cite_ref-15" class="reference separada"><a href="#cite_note-15"><span class="corchete-llamada">[</span>15<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-16" class="reference separada"><a href="#cite_note-16"><span class="corchete-llamada">[</span>16<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-17" class="reference separada"><a href="#cite_note-17"><span class="corchete-llamada">[</span>17<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> Esta metodología se originó a partir del desarrollo del <b>método de Newton-Raphson fraccional</b> <sup id="cite_ref-18" class="reference separada"><a href="#cite_note-18"><span class="corchete-llamada">[</span>18<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> y trabajos relacionados posteriores.<sup id="cite_ref-19" class="reference separada"><a href="#cite_note-19"><span class="corchete-llamada">[</span>19<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-20" class="reference separada"><a href="#cite_note-20"><span class="corchete-llamada">[</span>20<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-21" class="reference separada"><a href="#cite_note-21"><span class="corchete-llamada">[</span>21<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> </p> <figure class="mw-halign-center" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Archivo:Applied_mathematics_and_computation-fig.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8f/Applied_mathematics_and_computation-fig.png/500px-Applied_mathematics_and_computation-fig.png" decoding="async" width="500" height="371" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8f/Applied_mathematics_and_computation-fig.png/750px-Applied_mathematics_and_computation-fig.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/8f/Applied_mathematics_and_computation-fig.png 2x" data-file-width="948" data-file-height="704" /></a><figcaption>Ilustración de algunas líneas generadas por el método de Newton–Raphson fraccional para la misma condición inicial <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86f21d0e31751534cd6584264ecf864a6aa792cf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.384ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{0}}"></span> pero con diferentes órdenes <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>α</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.488ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \alpha }"></span> del operador fraccional implementado. Fuente: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/S0096300322003058?via%3Dihub">Applied Mathematics and Computation</a></figcaption></figure> <p>El cálculo fraccional, una rama de las matemáticas que trata con derivadas de orden no entero, surgió casi simultáneamente con el cálculo tradicional. Esta emergencia fue en parte debido a la notación de Leibniz para derivadas de orden entero: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mrow> <mi>d</mi> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6cb69ddb56d12ed8bb008a8d6c5a26c8cc6bccf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:4.6ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}}"></span>. Gracias a esta notación, L’Hopital pudo preguntar en una carta a Leibniz sobre la interpretación de tomar <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n={\frac {1}{2}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n={\frac {1}{2}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30a2a9611deb7d634c6d06f4c40b2c412b442d6c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:6.492ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle n={\frac {1}{2}}}"></span> en una derivada. En ese momento, Leibniz no pudo proporcionar una interpretación física o geométrica para esta pregunta, por lo que simplemente respondió a L’Hopital en una carta que "... es una aparente paradoja de la cual, algún día, se derivarán consecuencias útiles". </p><p>El nombre "cálculo fraccional" se origina a partir de una pregunta histórica, ya que esta rama del análisis matemático estudia derivadas e integrales de un cierto orden <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>α</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7988141e89a37e7f4deb883dbd74d9bbd6d11317" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.006ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }"></span>. Actualmente, el cálculo fraccional carece de una definición unificada de lo que constituye una derivada fraccional. En consecuencia, cuando no es necesario especificar explícitamente la forma de una derivada fraccional, típicamente se denota de la siguiente manera: </p> <center><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {d^{\alpha }}{dx^{\alpha }}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>α</mi> </mrow> </msup> <mrow> <mi>d</mi> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>α</mi> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {d^{\alpha }}{dx^{\alpha }}}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/832b3cbc24f8c001258ac74ba628b471c44c4249" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:5.313ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {d^{\alpha }}{dx^{\alpha }}}.}"></span></center> <p>Los operadores fraccionales tienen varias representaciones, pero una de sus propiedades fundamentales es que recuperan los resultados del cálculo tradicional a medida que <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha \to n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>α</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha \to n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbcf2630f1288ca3aae1051566522cdbe72bbb25" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.496ex; height:1.843ex;" alt="{\displaystyle \alpha \to n}"></span>. Considerando una función escalar <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>h</mi> <mo>:</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">→</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfd7598c3534001e32048fe58af9ea0705dd735c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:11.921ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle h:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} }"></span> y la base canónica de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a87a024931038d1858dc22e8a194e5978c3412e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.353ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}"></span> denotada por <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{{\hat {e}}_{k}\}_{k\geq 1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>e</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <msub> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mo>≥</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{{\hat {e}}_{k}\}_{k\geq 1}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f76c1569567614376c3e99dde8aa2688ac1cf6ea" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.894ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \{{\hat {e}}_{k}\}_{k\geq 1}}"></span>, el siguiente operador fraccional de orden <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>α</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.488ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \alpha }"></span> se define utilizando <a href="/wiki/Notaci%C3%B3n_de_Einstein" class="mw-redirect" title="Notación de Einstein">notación de Einstein</a>:<sup id="cite_ref-22" class="reference separada"><a href="#cite_note-22"><span class="corchete-llamada">[</span>22<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> </p> <center><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle o_{x}^{\alpha }h(x):={\hat {e}}_{k}o_{k}^{\alpha }h(x).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mi>o</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>α</mi> </mrow> </msubsup> <mi>h</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>:=</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>e</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>o</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>α</mi> </mrow> </msubsup> <mi>h</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle o_{x}^{\alpha }h(x):={\hat {e}}_{k}o_{k}^{\alpha }h(x).}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c91f073ff1377804e598fde7d86cdde06babec8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:20.552ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle o_{x}^{\alpha }h(x):={\hat {e}}_{k}o_{k}^{\alpha }h(x).}"></span></center> <p>Denotando <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \partial _{k}^{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msubsup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \partial _{k}^{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/462e21a8961b1d3cc868bf005a73683816c30d45" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.562ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \partial _{k}^{n}}"></span> como la derivada parcial de orden <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"></span> con respecto al componente <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>k</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}"></span>-ésimo del vector <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"></span>, se define el siguiente conjunto de operadores fraccionales <sup id="cite_ref-23" class="reference separada"><a href="#cite_note-23"><span class="corchete-llamada">[</span>23<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> <sup id="cite_ref-24" class="reference separada"><a href="#cite_note-24"><span class="corchete-llamada">[</span>24<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup>: </p> <div style="text-align: center;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle O_{x,\alpha }^{n}(h):=\left\{o_{x}^{\alpha }:\exists o_{k}^{\alpha }h(x){\text{ y }}\lim _{\alpha \to n}o_{k}^{\alpha }h(x)=\partial _{k}^{n}h(x)\ \forall k\geq 1\right\},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mi>O</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>α</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msubsup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>h</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>:=</mo> <mrow> <mo>{</mo> <mrow> <msubsup> <mi>o</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>α</mi> </mrow> </msubsup> <mo>:</mo> <mi mathvariant="normal">∃</mi> <msubsup> <mi>o</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>α</mi> </mrow> </msubsup> <mi>h</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext> y </mtext> </mrow> <munder> <mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>α</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>n</mi> </mrow> </munder> <msubsup> <mi>o</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>α</mi> </mrow> </msubsup> <mi>h</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msubsup> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msubsup> <mi>h</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mtext> </mtext> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>k</mi> <mo>≥</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle O_{x,\alpha }^{n}(h):=\left\{o_{x}^{\alpha }:\exists o_{k}^{\alpha }h(x){\text{ y }}\lim _{\alpha \to n}o_{k}^{\alpha }h(x)=\partial _{k}^{n}h(x)\ \forall k\geq 1\right\},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b04299727b69905c43a22749819954d394d59fe" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:59.232ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle O_{x,\alpha }^{n}(h):=\left\{o_{x}^{\alpha }:\exists o_{k}^{\alpha }h(x){\text{ y }}\lim _{\alpha \to n}o_{k}^{\alpha }h(x)=\partial _{k}^{n}h(x)\ \forall k\geq 1\right\},}"></span> </p> </div> <p>cuyo complemento es: </p> <div style="text-align: center;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle O_{x,\alpha }^{n,c}(h):=\left\{o_{x}^{\alpha }:\exists o_{k}^{\alpha }h(x)\ \forall k\geq 1{\text{ y }}\lim _{\alpha \to n}o_{k}^{\alpha }h(x)\neq \partial _{k}^{n}h(x){\text{ para al menos un }}k\geq 1\right\}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mi>O</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>α</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mi>c</mi> </mrow> </msubsup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>h</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>:=</mo> <mrow> <mo>{</mo> <mrow> <msubsup> <mi>o</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>α</mi> </mrow> </msubsup> <mo>:</mo> <mi mathvariant="normal">∃</mi> <msubsup> <mi>o</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>α</mi> </mrow> </msubsup> <mi>h</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mtext> </mtext> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>k</mi> <mo>≥</mo> <mn>1</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext> y </mtext> </mrow> <munder> <mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>α</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>n</mi> </mrow> </munder> <msubsup> <mi>o</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>α</mi> </mrow> </msubsup> <mi>h</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>≠</mo> <msubsup> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msubsup> <mi>h</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext> para al menos un </mtext> </mrow> <mi>k</mi> <mo>≥</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle O_{x,\alpha }^{n,c}(h):=\left\{o_{x}^{\alpha }:\exists o_{k}^{\alpha }h(x)\ \forall k\geq 1{\text{ y }}\lim _{\alpha \to n}o_{k}^{\alpha }h(x)\neq \partial _{k}^{n}h(x){\text{ para al menos un }}k\geq 1\right\}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/326957663e0a90b4a7ddd967f63b84bb54280a79" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:82.87ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle O_{x,\alpha }^{n,c}(h):=\left\{o_{x}^{\alpha }:\exists o_{k}^{\alpha }h(x)\ \forall k\geq 1{\text{ y }}\lim _{\alpha \to n}o_{k}^{\alpha }h(x)\neq \partial _{k}^{n}h(x){\text{ para al menos un }}k\geq 1\right\}.}"></span> </p> </div> <p>Como consecuencia, se define el siguiente conjunto: </p> <center><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle O_{x,\alpha }^{n,u}(h):=O_{x,\alpha }^{n}(h)\cup O_{x,\alpha }^{n,c}(h).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mi>O</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>α</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mi>u</mi> </mrow> </msubsup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>h</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>:=</mo> <msubsup> <mi>O</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>α</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msubsup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>h</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∪</mo> <msubsup> <mi>O</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>α</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mi>c</mi> </mrow> </msubsup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>h</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle O_{x,\alpha }^{n,u}(h):=O_{x,\alpha }^{n}(h)\cup O_{x,\alpha }^{n,c}(h).}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1374122aa69549fd61017c9d67471844fe0c1044" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:29.785ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle O_{x,\alpha }^{n,u}(h):=O_{x,\alpha }^{n}(h)\cup O_{x,\alpha }^{n,c}(h).}"></span></center> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Extensión_a_Funciones_Vectoriales"><span id="Extensi.C3.B3n_a_Funciones_Vectoriales"></span>Extensión a Funciones Vectoriales</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=C%C3%A1lculo_infinitesimal&action=edit&section=6" title="Editar sección: Extensión a Funciones Vectoriales"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Para una función <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h:\Omega \subset \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{m}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>h</mi> <mo>:</mo> <mi mathvariant="normal">Ω</mi> <mo>⊂</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">→</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h:\Omega \subset \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{m}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0eeae027e548760670c4f2ab735d75b6b2ccbd4f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:18.373ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle h:\Omega \subset \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{m}}"></span>, el conjunto se define como: </p> <center><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {}_{m}O_{x,\alpha }^{n,u}(h):=\left\{o_{x}^{\alpha }:o_{x}^{\alpha }\in O_{x,\alpha }^{n,u}([h]_{k})\ \forall k\leq m\right\},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>O</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>α</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mi>u</mi> </mrow> </msubsup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>h</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>:=</mo> <mrow> <mo>{</mo> <mrow> <msubsup> <mi>o</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>α</mi> </mrow> </msubsup> <mo>:</mo> <msubsup> <mi>o</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>α</mi> </mrow> </msubsup> <mo>∈</mo> <msubsup> <mi>O</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>α</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mi>u</mi> </mrow> </msubsup> <mo stretchy="false">(</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>h</mi> <msub> <mo stretchy="false">]</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mtext> </mtext> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>k</mi> <mo>≤</mo> <mi>m</mi> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {}_{m}O_{x,\alpha }^{n,u}(h):=\left\{o_{x}^{\alpha }:o_{x}^{\alpha }\in O_{x,\alpha }^{n,u}([h]_{k})\ \forall k\leq m\right\},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/561447b93ec74bfb991befdb5c3f8d3992d16eef" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:44.193ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {}_{m}O_{x,\alpha }^{n,u}(h):=\left\{o_{x}^{\alpha }:o_{x}^{\alpha }\in O_{x,\alpha }^{n,u}([h]_{k})\ \forall k\leq m\right\},}"></span></center> <p>donde <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [h]_{k}:\Omega \subset \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>h</mi> <msub> <mo stretchy="false">]</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>:</mo> <mi mathvariant="normal">Ω</mi> <mo>⊂</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">→</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [h]_{k}:\Omega \subset \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee783a914e481d39869a85042185b842d6cab1c7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.08ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [h]_{k}:\Omega \subset \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} }"></span> denota el <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>k</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}"></span>-ésimo componente de la función <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>h</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b26be3e694314bc90c3215047e4a2010c6ee184a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.339ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle h}"></span>. </p> <div class="VT rellink"><span style="font-size:88%">Véase también:</span> <i><a href="/wiki/Controversia_del_c%C3%A1lculo" title="Controversia del cálculo">Controversia del cálculo</a></i></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Significado_y_aplicaciones">Significado y aplicaciones</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=C%C3%A1lculo_infinitesimal&action=edit&section=7" title="Editar sección: Significado y aplicaciones"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Mientras que algunas ideas del cálculo fueron desarrolladas tempranamente en las matemáticas <a href="/wiki/Matem%C3%A1tica_hel%C3%A9nica" class="mw-redirect" title="Matemática helénica">griegas</a>, <a href="/wiki/Matem%C3%A1tica_china" title="Matemática china">chinas</a>, <a href="/wiki/Matem%C3%A1tica_india" title="Matemática india">indias</a> e <a href="/wiki/Matem%C3%A1tica_en_el_Islam_medieval" class="mw-redirect" title="Matemática en el Islam medieval">islámicas</a>, el uso moderno del cálculo comenzó en <a href="/wiki/Europa" title="Europa">Europa</a>, durante el siglo <span style="font-variant:small-caps;text-transform:lowercase">XVII</span>, cuando <a href="/wiki/Isaac_Newton" title="Isaac Newton">Isaac Newton</a> y <a href="/wiki/Gottfried_Leibniz" title="Gottfried Leibniz">Gottfried Leibniz</a> construyeron con base al trabajo de antiguos matemáticos los principios básicos de esta disciplina. El desarrollo del cálculo fue constituido con base en los conceptos de movimiento instantáneo y el área bajo las curvas. </p><p>Las aplicaciones del cálculo diferencial incluyen cómputos que involucran <a href="/wiki/Velocidad" title="Velocidad">velocidad</a>, <a href="/wiki/Aceleraci%C3%B3n" title="Aceleración">aceleración</a>, la <a href="/wiki/Pendiente_(matem%C3%A1ticas)" class="mw-redirect" title="Pendiente (matemáticas)">pendiente</a> de una <a href="/wiki/Recta_tangente" class="mw-redirect" title="Recta tangente">recta tangente</a> a una <a href="/wiki/Curva" title="Curva">curva</a> y <a href="/wiki/Optimizaci%C3%B3n_(matem%C3%A1tica)" title="Optimización (matemática)">optimización</a>. Las aplicaciones del cálculo integral están en cómputos que incluyen elementos de <a href="/wiki/%C3%81rea" title="Área">área</a>, <a href="/wiki/Volumen" title="Volumen">volumen</a>, <a href="/wiki/Centro_de_masa" class="mw-redirect" title="Centro de masa">centro de masa</a>, <a href="/wiki/Longitud_de_arco" title="Longitud de arco">longitud de arco</a>, <a href="/wiki/Trabajo_(f%C3%ADsica)" title="Trabajo (física)">trabajo</a> y <a href="/wiki/Presi%C3%B3n" title="Presión">presión</a>. Aplicaciones más avanzadas incluyen <a href="/wiki/Serie_de_potencias" title="Serie de potencias">series de potencias</a> y <a href="/wiki/Serie_de_Fourier" title="Serie de Fourier">series de Fourier</a>. El cálculo puede ser usado para computar la trayectoria de una nave acoplándose a una estación espacial o la cantidad de nieve en una calzada para coches. </p><p>El cálculo es también usado para obtener un entendimiento más preciso de la naturaleza del espacio, el tiempo y del movimiento. Por siglos, matemáticos y filósofos lucharon con paradojas que involucraban la <a href="/wiki/Divisi%C3%B3n_por_cero" title="División por cero">división por cero</a> o sumas de series infinitas de números. Estas preguntas surgen en el estudio del <a href="/wiki/Movimiento_(f%C3%ADsica)" title="Movimiento (física)">movimiento</a> y <a href="/wiki/%C3%81rea" title="Área">área</a>. El antiguo <a href="/wiki/Filosof%C3%ADa_griega" title="Filosofía griega">filósofo griego</a> <a href="/wiki/Zen%C3%B3n_de_Elea" title="Zenón de Elea">Zenón</a> dio varios ejemplos famosos de tales <a href="/wiki/Paradojas_de_Zen%C3%B3n" title="Paradojas de Zenón">paradojas</a>. El cálculo provee herramientas que pueden resolver tales paradojas, especialmente los <a href="/wiki/L%C3%ADmite_(matem%C3%A1ticas)" class="mw-redirect" title="Límite (matemáticas)">límites</a> y las <a href="/wiki/Serie_infinita" class="mw-redirect" title="Serie infinita">series infinitas</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Fundamentos">Fundamentos</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=C%C3%A1lculo_infinitesimal&action=edit&section=8" title="Editar sección: Fundamentos"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>En matemáticas, los fundamentos se refiere al desarrollo riguroso de un tema desde <a href="/wiki/Axioma" title="Axioma">axiomas</a> y definiciones precisas. El obtener un fundamento riguroso para el cálculo ocupó a los matemáticos por la mayor parte del siglo que siguió a Leibniz y Newton y todavía es un área activa en la actualidad. Los fundamentos del cálculo fueron objeto de diversas especulaciones filosóficas e interpretaciones informales, la falta de rigor y laxitud con que fueron afrontados ciertos problemas de fundamentación contribuyeron a la <a href="/wiki/Fundamentos_de_la_matem%C3%A1tica#Crisis_de_los_fundamentos" class="mw-redirect" title="Fundamentos de la matemática">crisis de los fundamentos de las matemáticas</a>. </p><p>Sin embargo, ya durante el siglo <span style="font-variant:small-caps;text-transform:lowercase">XIX</span> se empezó a trabajar en una aproximación rigurosa para los fundamentos del cálculo. El más usual hoy en día es el concepto de <a href="/wiki/L%C3%ADmite_(matem%C3%A1ticas)" class="mw-redirect" title="Límite (matemáticas)">límite</a> definido en la continuidad de los números reales (el concepto de límite es esencialmente un <a href="/wiki/Topolog%C3%ADa" title="Topología">concepto topológico</a>). Una alternativa es el <a href="/wiki/An%C3%A1lisis_no_est%C3%A1ndar" title="Análisis no estándar">análisis no estándar</a>, en el cual el sistema de <a href="/wiki/N%C3%BAmero_real" title="Número real">números reales</a> es aumentado con <a href="/wiki/Infinitesimal" title="Infinitesimal">infinitesimales</a> y números <a href="/wiki/Infinito" title="Infinito">infinitos</a>, como en la concepción original de Newton y Leibniz. Los fundamentos del cálculo son incluidos en el campo del <a href="/wiki/An%C3%A1lisis_real" title="Análisis real">análisis real</a>, el cual contiene las definiciones completas y pruebas matemáticas de los teoremas del cálculo, así como también generalizaciones tales como la <a href="/wiki/Teor%C3%ADa_de_la_medida" title="Teoría de la medida">teoría de la medida</a> y la <a href="/wiki/Teor%C3%ADa_de_distribuciones" title="Teoría de distribuciones">teoría de distribuciones</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Principios">Principios</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=C%C3%A1lculo_infinitesimal&action=edit&section=9" title="Editar sección: Principios"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Límites_e_infinitesimales"><span id="L.C3.ADmites_e_infinitesimales"></span>Límites e infinitesimales</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=C%C3%A1lculo_infinitesimal&action=edit&section=10" title="Editar sección: Límites e infinitesimales"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="noprint AP rellink"><span style="font-size:88%">Artículos principales:</span> <i><a href="/wiki/L%C3%ADmite_matem%C3%A1tico" class="mw-redirect" title="Límite matemático"> Límite matemático</a></i><span style="font-size:88%"> e </span><i><a href="/wiki/Infinitesimal" title="Infinitesimal"> Infinitesimal</a></i>.</div> <p>El cálculo es usualmente desarrollado mediante la manipulación de cantidades muy pequeñas. Históricamente, el primer método para lograr eso se basaba en <a href="/wiki/Infinitesimal" title="Infinitesimal">infinitesimales</a>. Estos son objetos que pueden ser tratados como números reales pero que son, en algún sentido, «infinitamente pequeños». Por ejemplo, un número infinitesimal podría ser mayor que 0, pero menor que cualquer número en la secuencia 1, 1/2, 1/3, ... y por lo tanto menor que cualquier <a href="/wiki/N%C3%BAmero_real" title="Número real">número real</a> positivo. Desde este punto de vista, el cálculo es una colección de técnicas para manipular infinitesimales. Se asumía que los símbolos <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle dx}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>d</mi> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle dx}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/845c817e348381a13f3fad5184169ce0e021c685" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.546ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle dx}"></span> y <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle dy}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>d</mi> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle dy}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c5eda9ec854eb0076d43c147eb8956637a1003f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.371ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle dy}"></span> eran infinitesimales, y que la derivada <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle dy/dx}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>d</mi> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi>d</mi> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle dy/dx}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/add69069028cada9be6b945dd4b9895e3ff2fd23" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.079ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle dy/dx}"></span> era su razón o proporción.<sup id="cite_ref-Bell-SEP_25-0" class="reference separada"><a href="#cite_note-Bell-SEP-25"><span class="corchete-llamada">[</span>25<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> </p><p>La perspectiva infinitesimal perdió popularidad en el siglo <span style="font-variant:small-caps;text-transform:lowercase">XIX</span> porque era difícil lograr una noción precisa del infinitesimal. A finales del siglo <span style="font-variant:small-caps;text-transform:lowercase">XIX</span>, los infinitesimales fueron reemplazados dentro de la academia por la perspectiva «epsilon, delta» de los <a href="/wiki/L%C3%ADmite_de_una_funci%C3%B3n" title="Límite de una función">límites</a>. Los límites describen el comportamiento de una <a href="/wiki/Funci%C3%B3n_(matem%C3%A1tica)" title="Función (matemática)">función</a> en una cierta entrada en términos de los valores de entradas cercanas. Capturan el comportamiento a pequeña escala utilizando la estructura intrínseca del <a href="/wiki/N%C3%BAmero_real" title="Número real">sistema de números reales</a> (como un <a href="/wiki/Espacio_m%C3%A9trico" title="Espacio métrico">espacio métrico</a> con la <a href="/wiki/Propiedad_del_l%C3%ADmite_superior_m%C3%ADnimo" title="Propiedad del límite superior mínimo">propiedad del límite superior mínimo</a>). En este contexto, el cálculo es una colección de técnicas para la manipulación de ciertos límites. Los infinitesimales se reemplazan por secuencias de números cada vez más pequeños, y el comportamiento infinitamente pequeño de una función se encuentra tomando el comportamiento límite para estas secuencias. Se creía que los límites ofrecían una base más rigurosa para el cálculo y, por este motivo, se convirtieron en el enfoque estándar durante el siglo <span style="font-variant:small-caps;text-transform:lowercase">XX</span>. Sin embargo, el concepto de infinitesimal cobró fuerza nuevamente en el siglo <span style="font-variant:small-caps;text-transform:lowercase">XX</span> con la introducción del <a href="/wiki/An%C3%A1lisis_no_est%C3%A1ndar" title="Análisis no estándar">análisis no estándar</a> y del «análisis infinitesimal suave» (del inglés <i>smooth infinitesimal analysis</i>) , los que proporcionaron fundamentos sólidos para la manipulación de infinitesimales.<sup id="cite_ref-Bell-SEP_25-1" class="reference separada"><a href="#cite_note-Bell-SEP-25"><span class="corchete-llamada">[</span>25<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Cálculo_diferencial"><span id="C.C3.A1lculo_diferencial"></span>Cálculo diferencial</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=C%C3%A1lculo_infinitesimal&action=edit&section=11" title="Editar sección: Cálculo diferencial"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="noprint AP rellink"><span style="font-size:88%">Artículos principales:</span> <i><a href="/wiki/C%C3%A1lculo_diferencial" title="Cálculo diferencial"> Cálculo diferencial</a></i><span style="font-size:88%"> y </span><i><a href="/wiki/Derivada" title="Derivada"> Derivada</a></i>.</div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Archivo:Derivada_y_recta_tangente.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/af/Derivada_y_recta_tangente.svg/220px-Derivada_y_recta_tangente.svg.png" decoding="async" width="220" height="152" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/af/Derivada_y_recta_tangente.svg/330px-Derivada_y_recta_tangente.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/af/Derivada_y_recta_tangente.svg/440px-Derivada_y_recta_tangente.svg.png 2x" data-file-width="322" data-file-height="222" /></a><figcaption>Recta tangente a la curva <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y=f(x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y=f(x)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2311a6a75c54b0ea085a381ba472c31d59321514" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.672ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle y=f(x)}"></span> en el punto <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\big (}x_{0},f(x_{0}){\big )}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">(</mo> </mrow> </mrow> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">)</mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\big (}x_{0},f(x_{0}){\big )}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/007ff1ec2d1392c4c52b6ac75063128e53dde1d0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:11.019ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\big (}x_{0},f(x_{0}){\big )}}"></span>. La derivada <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f'(x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>f</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f'(x)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0cd7d7c75340e779d82658e19d1720ce84ab127" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.144ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f'(x)}"></span> de una curva en un punto es la pendiente de la recta tangente a esa curva en ese punto.</figcaption></figure> <p>El cálculo diferencial es el estudio de la definición, propiedades, y aplicaciones de la <a href="/wiki/Derivada" title="Derivada">derivada</a> de una función, o lo que es lo mismo, la <a href="/wiki/Pendiente_de_una_recta" class="mw-redirect" title="Pendiente de una recta">pendiente</a> de la <a href="/wiki/Recta_tangente" class="mw-redirect" title="Recta tangente">tangente</a> a lo largo de su gráfica. El proceso de encontrar la derivada se llama <i>derivación</i> o <i>diferenciación</i>. Dada una función y un punto en su dominio, la derivada en ese punto es una forma de codificar el comportamiento a pequeña-escala de la función cerca del punto. Encontrando la derivada de una función para cada punto en su dominio, es posible producir una nueva función, llamada la «función derivada» o simplemente la «derivada» de la función original. En lenguaje técnico, la derivada es un <a href="/wiki/Operador_lineal" class="mw-redirect" title="Operador lineal">operador lineal</a>, el cual toma una función y devuelve una segunda función, de manera que para cada punto de la primera función, la segunda obtiene la pendiente a la tangente en ese punto. </p><p>El concepto de derivada es fundamentalmente más avanzado que los conceptos encontrados en el álgebra. </p><p>Para entender la derivada, los estudiantes deben aprender la <a href="/wiki/Notaci%C3%B3n_matem%C3%A1tica" title="Notación matemática">notación matemática</a>. En notación matemática, un símbolo común para la derivada de una función es una marca parecida a un acento o apóstrofo llamada símbolo primo. Así la derivada de <i>f</i> es <i>f′</i> (pronunciado «efe prima»). En lo siguiente la segunda función es la derivada de la primera: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=x^{2}\\f'(x)&=2x.\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msup> <mi>f</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mi>x</mi> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=x^{2}\\f'(x)&=2x.\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a13d7c69b2d73f182a4420da4a42d1605d8af08" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.318ex; margin-bottom: -0.187ex; width:12.133ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=x^{2}\\f'(x)&=2x.\end{aligned}}}"></span></dd></dl> <p>Si la entrada de la función representa el tiempo, entonces la derivada representa el cambio con respecto del tiempo. Por ejemplo, si <i>f</i> es una función que toma el tiempo como entrada y da la posición de la pelota en ese momento como salida, entonces la derivada de <i>f</i> es cuánto la posición está cambiando en el tiempo, esto es, es la <a href="/wiki/Velocidad" title="Velocidad">velocidad</a> de la pelota. </p><p>Si la función es lineal (esto es, la gráfica de la función es una línea recta), entonces la función puede ser escrita de la forma <i>y</i> = <i>mx</i> + <i>b</i>, donde: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m={\frac {\mbox{cambio en y}}{\mbox{cambio en x}}}={\Delta y \over {\Delta x}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>m</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mtext>cambio en y</mtext> </mstyle> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mtext>cambio en x</mtext> </mstyle> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>y</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m={\frac {\mbox{cambio en y}}{\mbox{cambio en x}}}={\Delta y \over {\Delta x}}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7bc2e057737ab9255dd3837b7c41d7b0959b740" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:25.768ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle m={\frac {\mbox{cambio en y}}{\mbox{cambio en x}}}={\Delta y \over {\Delta x}}.}"></span></dd></dl> <p><br /> </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Cálculo_integral"><span id="C.C3.A1lculo_integral"></span>Cálculo integral</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=C%C3%A1lculo_infinitesimal&action=edit&section=12" title="Editar sección: Cálculo integral"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="noprint AP rellink"><span style="font-size:88%">Artículo principal:</span> <i><a href="/wiki/C%C3%A1lculo_integral" class="mw-redirect" title="Cálculo integral"> Cálculo integral</a></i></div> <p>El <b>cálculo integral</b> es el estudio de las definiciones, propiedades, y aplicaciones de dos conceptos relacionados, la <i><a href="/wiki/Integral_indefinida" class="mw-redirect" title="Integral indefinida">integral indefinida</a></i> y la <i><a href="/wiki/Integral_definida" class="mw-redirect" title="Integral definida">integral definida</a></i>. El proceso de encontrar el valor de una integral es llamado <i>integración</i>. En lenguaje técnico, el cálculo integral estudia dos operadores lineales relacionados. </p><p>La <b>integral indefinida</b> es la <i><a href="/wiki/Antiderivada" class="mw-redirect" title="Antiderivada">antiderivada</a></i>, es decir, la operación inversa de la derivada. La función <i>F</i> es una integral indefinida de la función <i>f</i> cuando <i>f</i> es una derivada de <i>F</i>. (El uso de mayúsculas y minúsculas para distinguir entre la función y su integral indefinida es común en el cálculo). </p><p>La <b>integral definida</b> es un algoritmo que transforma funciones en números, los cuales dan el área entre una curva de un gráfico y el <a href="/wiki/Coordenadas_cartesianas" title="Coordenadas cartesianas">eje-x</a>. La definición técnica de la integral definida es el <a href="/wiki/L%C3%ADmite_(matem%C3%A1ticas)" class="mw-redirect" title="Límite (matemáticas)">límite</a> de una suma de áreas de rectángulos, llamada <a href="/wiki/Suma_de_Riemann" title="Suma de Riemann">suma de Riemann</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Teorema_fundamental">Teorema fundamental</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=C%C3%A1lculo_infinitesimal&action=edit&section=13" title="Editar sección: Teorema fundamental"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="noprint AP rellink"><span style="font-size:88%">Artículo principal:</span> <i><a href="/wiki/Teorema_fundamental_del_c%C3%A1lculo" title="Teorema fundamental del cálculo"> Teorema fundamental del cálculo</a></i></div> <p>El <b>teorema fundamental del cálculo</b> establece que la diferenciación y la integración son operaciones inversas. Más precisamente, relaciona los valores de las antiderivadas para definir las integrales. Ya que es normalmente más fácil computar una antiderivada que aplicar la definición de una integral definida, el teorema fundamental del cálculo provee una forma práctica de computar integrales definidas. También puede ser interpretado como una declaración precisa del hecho de que la diferenciación es la inversa de la integración. </p><p>Si una función <i>f</i> es <a href="/wiki/Funci%C3%B3n_continua" title="Función continua">continua</a> en el intervalo [<i>a</i>, <i>b</i>] y si <i>F</i> es una función cuya derivada es <i>f</i> en el intervalo (<i>a</i>, <i>b</i>), entonces </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> </mrow> </msubsup> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f470e7743fda04c3d353a4dee2f441ae454f528" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:27.052ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).}"></span></dd></dl> <p>Así entonces, para cada <i>x</i> en el intervalo (<i>a</i>, <i>b</i>), es cierto que: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\int _{a}^{x}f(t)\,dt=f(x).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>d</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msubsup> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>t</mi> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\int _{a}^{x}f(t)\,dt=f(x).}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf4f64cc882e88a4d7b634c37b7c1684630c3687" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:22.325ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\int _{a}^{x}f(t)\,dt=f(x).}"></span></dd></dl> <p>Este hecho, descubierto tanto por <a href="/wiki/Isaac_Newton" title="Isaac Newton">Newton</a> como <a href="/wiki/Gottfried_Leibniz" title="Gottfried Leibniz">Leibniz</a>, quienes basaron sus resultados en el trabajo previo de <a href="/wiki/Isaac_Barrow" title="Isaac Barrow">Isaac Barrow</a>, fue clave para la masiva proliferación de resultados analíticos luego que su trabajo fuese conocido. El teorema fundamental provee un método algebraico para calcular muchas integrales definidas – sin realizar el proceso de cálculo de límites – mediante el encuentro de fórmulas apropiadas para las <a href="/wiki/Antiderivada" class="mw-redirect" title="Antiderivada">antiderivadas</a>. Las <a href="/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial" title="Ecuación diferencial">ecuaciones diferenciales</a> relacionan a una función a sus derivadas, y son omnipresentes en las ciencias. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Aplicaciones">Aplicaciones</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=C%C3%A1lculo_infinitesimal&action=edit&section=14" title="Editar sección: Aplicaciones"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Archivo:An_artists_concept_of_the_NATO_Defense_Satellite_Communications_System_II_satellite_in_orbit.jpg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1c/An_artists_concept_of_the_NATO_Defense_Satellite_Communications_System_II_satellite_in_orbit.jpg/220px-An_artists_concept_of_the_NATO_Defense_Satellite_Communications_System_II_satellite_in_orbit.jpg" decoding="async" width="220" height="141" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1c/An_artists_concept_of_the_NATO_Defense_Satellite_Communications_System_II_satellite_in_orbit.jpg/330px-An_artists_concept_of_the_NATO_Defense_Satellite_Communications_System_II_satellite_in_orbit.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1c/An_artists_concept_of_the_NATO_Defense_Satellite_Communications_System_II_satellite_in_orbit.jpg/440px-An_artists_concept_of_the_NATO_Defense_Satellite_Communications_System_II_satellite_in_orbit.jpg 2x" data-file-width="2800" data-file-height="1800" /></a><figcaption>Tanto la <a href="/wiki/Mec%C3%A1nica_cl%C3%A1sica" title="Mecánica clásica">mecánica clásica</a> como la <a href="/wiki/Teor%C3%ADa_de_la_relatividad" title="Teoría de la relatividad">mecánica relativista</a> utilizan el lenguaje del cálculo. Esto a su vez permite entender el movimiento de cuerpos celestes y hacer viajes espaciales o satélites artificiales.</figcaption></figure> <p>El cálculo es usado en cada rama de las <a href="/wiki/Ciencias_naturales" title="Ciencias naturales">ciencias naturales</a>, <a href="/wiki/Estad%C3%ADstica" title="Estadística">estadística</a>, <a href="/wiki/Ingenier%C3%ADa" title="Ingeniería">ingeniería</a>, <a href="/wiki/Econom%C3%ADa" title="Economía">economía</a>; incluso en <a href="/wiki/Negocio" title="Negocio">negocios</a>, <a href="/wiki/Medicina" title="Medicina">medicina</a>, <a href="/wiki/Demograf%C3%ADa" title="Demografía">demografía</a>, y más generalmente en cualquier área donde un problema pueda ser <a href="/wiki/Modelo_matem%C3%A1tico" title="Modelo matemático">modelado matemáticamente</a> mediante variables continuas de números reales o complejos, y donde una solución <a href="/wiki/Optimizaci%C3%B3n_(matem%C3%A1tica)" title="Optimización (matemática)">óptima</a> sea deseada; o donde se deseen entender los ciclos e interacciones entre las variables. En palabras de <a href="/wiki/Steven_Strogatz" title="Steven Strogatz">Steven Strogatz</a>, «<i>El interior de un átomo, las cambiantes poblaciones de la vida salvaje, el clima… todo eso puede explicarse mediante el lenguaje del cálculo. De alguna manera este lenguaje… es simplemente la mejor herramienta que jamás hayamos inventado</i>».<sup id="cite_ref-26" class="reference separada"><a href="#cite_note-26"><span class="corchete-llamada">[</span>26<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Física"><span id="F.C3.ADsica"></span>Física</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=C%C3%A1lculo_infinitesimal&action=edit&section=15" title="Editar sección: Física"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Archivo:Arduino_ftdi_chip-1.jpg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d9/Arduino_ftdi_chip-1.jpg/220px-Arduino_ftdi_chip-1.jpg" decoding="async" width="220" height="165" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d9/Arduino_ftdi_chip-1.jpg/330px-Arduino_ftdi_chip-1.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d9/Arduino_ftdi_chip-1.jpg/440px-Arduino_ftdi_chip-1.jpg 2x" data-file-width="2560" data-file-height="1920" /></a><figcaption>La tecnología <a href="/wiki/Electr%C3%B3nica" title="Electrónica">electrónica</a> no existiría de no ser por el cálculo, ya que ésta ha progresado conforme a los avances en <a href="/wiki/Electromagnetismo" title="Electromagnetismo">electromagnetismo</a> y <a href="/wiki/Mec%C3%A1nica_cu%C3%A1ntica" title="Mecánica cuántica">mecánica cuántica</a>.</figcaption></figure> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Archivo:Triple_expansion_engine_animation.gif" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/Triple_expansion_engine_animation.gif/220px-Triple_expansion_engine_animation.gif" decoding="async" width="220" height="161" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/8a/Triple_expansion_engine_animation.gif 1.5x" data-file-width="320" data-file-height="234" /></a><figcaption>Muchos aspectos del estudio de la <a href="/wiki/Termodin%C3%A1mica" title="Termodinámica">termodinámica</a> y la <a href="/wiki/F%C3%ADsica_estad%C3%ADstica" title="Física estadística">mecánica estadística</a> se valen de matemáticas con cálculo infinitesimal. Por ejemplo, determinar la <a href="/wiki/Ecuaci%C3%B3n_del_calor" title="Ecuación del calor">difusión del calor</a> a través de un material, o una sustancia a través de un fluido.</figcaption></figure> <p>La <a href="/wiki/F%C3%ADsica" title="Física">física</a> desde Newton ha hecho un particular uso extenso del cálculo. </p> <ul><li>Todos los conceptos en la <a href="/wiki/Mec%C3%A1nica_cl%C3%A1sica" title="Mecánica clásica">mecánica clásica</a> están interrelacionados a través del cálculo. Por ejemplo, la <a href="/wiki/Masa" title="Masa">masa</a> de un objeto de conocida <a href="/wiki/Densidad" title="Densidad">densidad</a>, el <a href="/wiki/Momento_de_inercia" title="Momento de inercia">momento de inercia</a> de los objetos, la relación entre <a href="/wiki/Posici%C3%B3n" title="Posición">posición</a>, <a href="/wiki/Velocidad" title="Velocidad">velocidad</a> y <a href="/wiki/Aceleraci%C3%B3n" title="Aceleración">aceleración</a>; así como la <a href="/wiki/Energ%C3%ADa" title="Energía">energía</a> total de un objeto dentro de un campo conservativo pueden ser encontrados por el uso del cálculo. El ejemplo clásico del uso del cálculo en la física son las leyes del movimiento de Newton, donde se usa expresamente el término «tasa de cambio» el cual hace referencia a la derivada: «La tasa de cambio de momentum de un cuerpo es igual a la fuerza resultante actuando en el cuerpo y está también en la misma dirección». Incluso la expresión común de la <a href="/wiki/Leyes_de_Newton" title="Leyes de Newton">segunda ley de Newton</a> como <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\textstyle Fuerza=masa\times aceleraci{\acute {o}}n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mi>F</mi> <mi>u</mi> <mi>e</mi> <mi>r</mi> <mi>z</mi> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <mi>m</mi> <mi>a</mi> <mi>s</mi> <mi>a</mi> <mo>×</mo> <mi>a</mi> <mi>c</mi> <mi>e</mi> <mi>l</mi> <mi>e</mi> <mi>r</mi> <mi>a</mi> <mi>c</mi> <mi>i</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>o</mi> <mo>´</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\textstyle Fuerza=masa\times aceleraci{\acute {o}}n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94c5ca761a0c53a6666cfe8bc64a6749efa8d8b7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:30.921ex; height:2.343ex;" alt="{\textstyle Fuerza=masa\times aceleraci{\acute {o}}n}"></span> involucra el cálculo diferencial, porque la <a href="/wiki/Aceleraci%C3%B3n" title="Aceleración">aceleración</a> puede ser expresada como la <a href="/wiki/Derivada" title="Derivada">derivada</a> de la <a href="/wiki/Velocidad" title="Velocidad">velocidad</a> (<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\textstyle Fuerza=masa\times {\frac {d^{2}(posici{\acute {o}}n)}{dt^{2}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mi>F</mi> <mi>u</mi> <mi>e</mi> <mi>r</mi> <mi>z</mi> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <mi>m</mi> <mi>a</mi> <mi>s</mi> <mi>a</mi> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>p</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>c</mi> <mi>i</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>o</mi> <mo>´</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <msup> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\textstyle Fuerza=masa\times {\frac {d^{2}(posici{\acute {o}}n)}{dt^{2}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e38573e4103fd229901d59369a43784df56b184e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.505ex; width:29.038ex; height:4.843ex;" alt="{\textstyle Fuerza=masa\times {\frac {d^{2}(posici{\acute {o}}n)}{dt^{2}}}}"></span>).</li> <li>El <a href="/wiki/Electromagnetismo" title="Electromagnetismo">electromagnetismo</a> ha usado ampliamente notación del cálculo desde que aparecieron las <a href="/wiki/Ecuaciones_de_Maxwell" title="Ecuaciones de Maxwell">ecuaciones de Maxwell</a>, y lo mismo es cierto para versiones más modernas que combinan esto con mecánica cuántica o relatividad, como la <a href="/wiki/Electrodin%C3%A1mica_cu%C3%A1ntica" title="Electrodinámica cuántica">electrodinámica cuántica</a>.</li> <li>La <a href="/wiki/Relatividad_general" title="Relatividad general">teoría de la relatividad general</a> de <a href="/wiki/Albert_Einstein" title="Albert Einstein">Einstein</a>.</li> <li>Una de las leyes más fundamentales de la <a href="/wiki/Mec%C3%A1nica_cu%C3%A1ntica" title="Mecánica cuántica">mecánica cuántica</a>, la <a href="/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_Schr%C3%B6dinger" title="Ecuación de Schrödinger">ecuación de Schrödinger</a>, también está expresada en el lenguaje del cálculo. Específicamente se trata de una ecuación diferencial parcial que describe la evolución de la distribución de una onda-partícula o sistema de partículas.</li> <li>El calor y la difusión son estudiados como <a href="/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parciales" title="Ecuación en derivadas parciales">ecuaciones diferenciales parciales</a>. Ver <a href="/wiki/Ecuaci%C3%B3n_del_calor" title="Ecuación del calor">ecuación del calor</a>, y <a href="/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_difusi%C3%B3n" title="Ecuación de difusión">ecuación de difusión</a>.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Química_e_ingeniería"><span id="Qu.C3.ADmica_e_ingenier.C3.ADa"></span>Química e ingeniería</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=C%C3%A1lculo_infinitesimal&action=edit&section=16" title="Editar sección: Química e ingeniería"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li>En <a href="/wiki/Ingenier%C3%ADa_el%C3%A9ctrica" title="Ingeniería eléctrica">ingeniería eléctrica</a> y <a href="/wiki/Ingenier%C3%ADa_electr%C3%B3nica" title="Ingeniería electrónica">electrónica</a>, el cálculo es indispensable para entender las propiedades de cualquier <a href="/wiki/Circuitos_el%C3%A9ctricos" class="mw-redirect" title="Circuitos eléctricos">circuito eléctrico</a> que involucre <a href="/wiki/Condensador_el%C3%A9ctrico" title="Condensador eléctrico">capacitores</a> o <a href="/wiki/Inductor" title="Inductor">inductores</a>.</li> <li>La <a href="/wiki/Qu%C3%ADmica" title="Química">química</a> también usa el cálculo para determinar los ritmos de las reacciones y el decaimiento radioactivo.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Ciencias_biológicas"><span id="Ciencias_biol.C3.B3gicas"></span>Ciencias biológicas</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=C%C3%A1lculo_infinitesimal&action=edit&section=17" title="Editar sección: Ciencias biológicas"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Archivo:Giant_Puffer_fish_skin_pattern.JPG" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e3/Giant_Puffer_fish_skin_pattern.JPG/220px-Giant_Puffer_fish_skin_pattern.JPG" decoding="async" width="220" height="98" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e3/Giant_Puffer_fish_skin_pattern.JPG/330px-Giant_Puffer_fish_skin_pattern.JPG 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e3/Giant_Puffer_fish_skin_pattern.JPG/440px-Giant_Puffer_fish_skin_pattern.JPG 2x" data-file-width="1530" data-file-height="681" /></a><figcaption>Conocimientos de cálculo y de <a href="/wiki/Biolog%C3%ADa_celular" title="Biología celular">biología celular</a> y <a href="/wiki/Biolog%C3%ADa_molecular" title="Biología molecular">molecular</a> permiten explicar características de los seres vivos, como el <a href="/wiki/Patrones_de_Turing" class="mw-redirect" title="Patrones de Turing">patrón de Turing</a> en la piel de este pez globo.</figcaption></figure> En <a href="/wiki/Biolog%C3%ADa" title="Biología">biología</a>, <a href="/wiki/Alan_Turing" title="Alan Turing">Alan Turing</a> mostró que muchos aspectos del <a href="/wiki/Ontogenia" title="Ontogenia">desarrollo</a> morfológico de los organismos pueden predecirse a partir de modelar señales genético-químicas como ecuaciones diferenciales de <a href="/wiki/Sistemas_de_reacci%C3%B3n-difusi%C3%B3n" title="Sistemas de reacción-difusión">reacción-difusión</a>.</li> <li>En <a href="/wiki/Evoluci%C3%B3n_biol%C3%B3gica" title="Evolución biológica">evolución</a> y <a href="/wiki/Gen%C3%A9tica_de_poblaciones" title="Genética de poblaciones">genética de poblaciones</a>, la <a href="/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_Price" title="Ecuación de Price">ecuación de Price</a> se usa para estudiar los cambios de las características heredables en función de su ventaja selectiva.</li> <li>En <a href="/wiki/Neurociencia" title="Neurociencia">neurociencia</a>, las <a href="/wiki/Modelo_de_Hodgkin_y_Huxley" title="Modelo de Hodgkin y Huxley">ecuaciones de Hodgkin y Huxley</a> que explican cómo una <a href="/wiki/Neurona" title="Neurona">neurona</a> emite <a href="/wiki/Potencial_de_acci%C3%B3n" title="Potencial de acción">potenciales de acción</a>, también están expresadas en el lenguaje del cálculo.</li> <li>En la <a href="/wiki/Medicina" title="Medicina">medicina</a>, el cálculo puede ser usado para encontrar el ángulo de ramificación óptimo de vaso sanguíneo para maximizar el flujo.</li> <li>También en medicina, se pueden usar leyes de decaimiento para calcular <a href="/wiki/Dosis" title="Dosis">dosis farmacológicas</a> o para planificar <a href="/wiki/Radioterapia" title="Radioterapia">radioterapias.</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Ciencias_sociales">Ciencias sociales</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=C%C3%A1lculo_infinitesimal&action=edit&section=18" title="Editar sección: Ciencias sociales"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li>En <a href="/wiki/Demograf%C3%ADa" title="Demografía">demografía</a> y <a href="/wiki/Ecosistema" title="Ecosistema">ecosistemas</a>, modelos de crecimiento poblacional como el de <a href="/wiki/Malthusianismo" title="Malthusianismo">Malthus</a>, el de <a href="/wiki/Funci%C3%B3n_log%C3%ADstica#La_ecuación_Verhulst" title="Función logística">Verhulst</a> o el de <a href="/wiki/Ecuaciones_de_Lotka-Volterra" title="Ecuaciones de Lotka-Volterra">Lotka-Volterra</a> están descritos en términos de cálculo.</li> <li>En <a href="/wiki/Epidemiolog%C3%ADa" title="Epidemiología">epidemiología</a> existen muchos modelos de <a href="/wiki/Sistema_din%C3%A1mico" title="Sistema dinámico">sistemas dinámicos</a> para predecir la propagación de enfermedades infecciosas. Estos reciben el nombre de "<a href="/w/index.php?title=Modelos_compartamentales&action=edit&redlink=1" class="new" title="Modelos compartamentales (aún no redactado)">modelos compartamentales</a>", como es el modelo SEIR (poblaciones Susceptible, Expuesta, Infectada y Recuperada).</li> <li>En <a href="/wiki/Econom%C3%ADa_(ciencia_econ%C3%B3mica)" class="mw-redirect" title="Economía (ciencia económica)">economía</a>, el cálculo permite por ejemplo, determinar la utilidad máxima mediante el cálculo de <a href="/wiki/Coste_marginal" title="Coste marginal">costos marginales</a> e <a href="/wiki/Ingreso_marginal" title="Ingreso marginal">ingresos marginales</a>.</li> <li>En <a href="/wiki/Geograf%C3%ADa" title="Geografía">geografía</a>, de la <a href="/wiki/Geomorfolog%C3%ADa" title="Geomorfología">geomorfología</a> surge el concepto de 'geomorfometría', que se apoya en las derivadas de primer orden (f'x) y segundo orden (f"x) para modelar superficies elevadas.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Matemáticas"><span id="Matem.C3.A1ticas"></span>Matemáticas</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=C%C3%A1lculo_infinitesimal&action=edit&section=19" title="Editar sección: Matemáticas"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>El cálculo también puede ser usado en conjunto con otras disciplinas matemáticas. Por ejemplo, puede ser usado con el <a href="/wiki/%C3%81lgebra_lineal" title="Álgebra lineal">álgebra lineal</a> para encontrar la mejor aproximación lineal para un conjunto de puntos en un dominio. También puede ser usado en la <a href="/wiki/Teor%C3%ADa_de_la_probabilidad" title="Teoría de la probabilidad">teoría de la probabilidad</a> para determinar la probabilidad de una <a href="/wiki/Variable_aleatoria" title="Variable aleatoria">variable aleatoria</a> continua a partir de su <a href="/wiki/Funci%C3%B3n_de_densidad_de_probabilidad" title="Función de densidad de probabilidad">función de densidad de probabilidad</a>. </p><p>El <a href="/wiki/Teorema_de_Green" title="Teorema de Green">teorema de Green</a>, el cual establece la relación entre una integral lineal alrededor una simple curva cerrada C y una doble integral sobre el plano de región D delimitada por C, es aplicado en un instrumento conocido como <a href="/wiki/Plan%C3%ADmetro" title="Planímetro">planímetro</a>, el cual es usado para calcular el área de una superficie plana en un dibujo. Por ejemplo, puede ser usado para calcular la cantidad de área que toma una piscina cuando se bosqueja el diseño de un pedazo de propiedad. </p><p>En <a href="/wiki/Geometr%C3%ADa_anal%C3%ADtica" title="Geometría analítica">geometría analítica</a>, el estudio de los gráficos de funciones, el cálculo es usado para encontrar puntos máximos y mínimos, la tangente, así también como para determinar la <a href="/wiki/Concavidad" title="Concavidad">concavidad</a> y los <a href="/wiki/Punto_de_inflexi%C3%B3n" title="Punto de inflexión">puntos de inflexión</a>. </p><p>El cálculo también puede ser usado para encontrar soluciones aproximadas para ecuaciones, usando métodos como por ejemplo el <a href="/wiki/M%C3%A9todo_de_Newton" title="Método de Newton">método de Newton</a>, la <a href="/w/index.php?title=Iteraci%C3%B3n_de_punto_fijo&action=edit&redlink=1" class="new" title="Iteración de punto fijo (aún no redactado)">iteración de punto fijo</a> y la <a href="/wiki/Aproximaci%C3%B3n_lineal" title="Aproximación lineal">aproximación lineal</a>. Por ejemplo, las naves espaciales usan una variación del <a href="/wiki/M%C3%A9todo_de_Euler" title="Método de Euler">método de Euler</a> para aproximar trayectorias curvas dentro de entornos de gravedad cero. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Véase_también"><span id="V.C3.A9ase_tambi.C3.A9n"></span>Véase también</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=C%C3%A1lculo_infinitesimal&action=edit&section=20" title="Editar sección: Véase también"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/Derivada" title="Derivada">Derivada</a></li> <li><a href="/wiki/Diferencial_(c%C3%A1lculo)" title="Diferencial (cálculo)">Diferencial</a></li> <li><a href="/wiki/Integral" class="mw-redirect" title="Integral">Integral</a></li> <li><a href="/wiki/Gottfried_Leibniz" title="Gottfried Leibniz">Gottfried Leibniz</a></li> <li><a href="/wiki/Isaac_Newton" title="Isaac Newton">Isaac Newton</a></li> <li><a href="/wiki/Seki_K%C5%8Dwa" title="Seki Kōwa">Seki Kōwa</a></li> <li><a href="/wiki/M%C3%A1quina_diferencial" title="Máquina diferencial">Máquina diferencial</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Referencias">Referencias</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=C%C3%A1lculo_infinitesimal&action=edit&section=21" title="Editar sección: Referencias"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="listaref" style="list-style-type: decimal;"><ol class="references"> <li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a></span> <span class="reference-text">J.B. Shank, <i>The Newton Wars and the Beginning of the French Enlightenment</i> (2008), "Introduction"</span> </li> <li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-2">↑</a></span> <span class="reference-text">No existe evidencia exacta de como se hizo esto; el ya desaparecido profesor de matemáticas estadounidense <a href="/wiki/Morris_Kline" title="Morris Kline">Morris Kline</a> en su texto <i>Mathematical thought from ancient to mod</i>d<i>ern times</i> Volume I, sugiere que pudo ser por ensayo y error.</span> </li> <li id="cite_note-Aslaksen-3"><span class="mw-cite-backlink">↑ <a href="#cite_ref-Aslaksen_3-0"><sup><i><b>a</b></i></sup></a> <a href="#cite_ref-Aslaksen_3-1"><sup><i><b>b</b></i></sup></a></span> <span class="reference-text"><span id="CITAREFAslaksen27_de_junio_de_2012" class="citation web">Aslaksen, Helmer (27 de junio de 2012). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20101014164501/http://www.math.nus.edu.sg/aslaksen/teaching/calculus.html">«Why Calculus?»</a> <span style="color:var(--color-subtle, #555 );">(en inglés)</span>. Department of Mathematics, <a href="/wiki/National_University_of_Singapore" class="mw-redirect" title="National University of Singapore">National University of Singapore</a>. Archivado desde <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.math.nus.edu.sg/aslaksen/teaching/calculus.html">el original</a> el 14 de octubre de 2010<span class="reference-accessdate">. Consultado el 27 de mayo de 2018</span>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3AC%C3%A1lculo+infinitesimal&rft.au=Aslaksen%2C+Helmer&rft.aufirst=Helmer&rft.aulast=Aslaksen&rft.btitle=Why+Calculus%3F&rft.date=27+de+junio+de+2012&rft.genre=book&rft.pub=Department+of+Mathematics%2C+National+University+of+Singapore&rft_id=http%3A%2F%2Fwww.math.nus.edu.sg%2Faslaksen%2Fteaching%2Fcalculus.html&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></span> </li> <li id="cite_note-4"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-4">↑</a></span> <span class="reference-text"><span id="CITAREFGannon,LiveScience" class="citation web">Gannon,LiveScience, Megan. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.scientificamerican.com/article/babylonians-tracked-jupiter-with-fancy-math-tablet-reveals/">«Babylonians Tracked Jupiter with Fancy Math, Tablet Reveals»</a>. <i>Scientific American</i> <span style="color:var(--color-subtle, #555 );">(en inglés)</span><span class="reference-accessdate">. Consultado el 22 de septiembre de 2023</span>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3AC%C3%A1lculo+infinitesimal&rft.atitle=Babylonians+Tracked+Jupiter+with+Fancy+Math%2C+Tablet+Reveals&rft.au=Gannon%2CLiveScience%2C+Megan&rft.aufirst=Megan&rft.aulast=Gannon%2CLiveScience&rft.genre=article&rft.jtitle=Scientific+American&rft_id=https%3A%2F%2Fwww.scientificamerican.com%2Farticle%2Fbabylonians-tracked-jupiter-with-fancy-math-tablet-reveals%2F&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></span> </li> <li id="cite_note-5"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-5">↑</a></span> <span class="reference-text"><span id="CITAREFNetz2004" class="citation libro">Netz, Reviel (2004). <i>The works of Archimedes, Volume I</i> (1 edición). Cambridge: Cambridge University Press. <small><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/Especial:FuentesDeLibros/978-0-521-66160-7" title="Especial:FuentesDeLibros/978-0-521-66160-7">978-0-521-66160-7</a></small>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3AC%C3%A1lculo+infinitesimal&rft.au=Netz%2C+Reviel&rft.aufirst=Reviel&rft.aulast=Netz&rft.btitle=The+works+of+Archimedes%2C+Volume+I&rft.date=2004&rft.edition=1&rft.genre=book&rft.isbn=978-0-521-66160-7&rft.place=Cambridge&rft.pub=Cambridge+University+Press&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span> <span style="display:none;font-size:100%" class="error citation-comment"><code>|fechaacceso=</code> requiere <code>|url=</code> (<a href="/wiki/Ayuda:Errores_en_las_referencias#accessdate_missing_url" title="Ayuda:Errores en las referencias">ayuda</a>)</span></span> </li> <li id="cite_note-6"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-6">↑</a></span> <span class="reference-text">Victor J. Katz (1995). "Ideas of Calculus in Islam and India", <i>Mathematics Magazine</i> <b>68</b> (3), pp. 163-174.</span> </li> <li id="cite_note-7"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-7">↑</a></span> <span class="reference-text">Ian G. Pearce. <a rel="nofollow" class="external text" href="http://turnbull.mcs.st-and.ac.uk/~history/Projects/Pearce/Chapters/Ch8_5.html">Bhaskaracharya II.</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20160901092504/http://turnbull.mcs.st-and.ac.uk/~history/Projects/Pearce/Chapters/Ch8_5.html">Archivado</a> el 1 de septiembre de 2016 en <a href="/wiki/Wayback_Machine" title="Wayback Machine">Wayback Machine</a>.</span> </li> <li id="cite_note-8"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-8">↑</a></span> <span class="reference-text">J. L. Berggren (1990). 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Consultado el 13 de septiembre de 2006</span>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3AC%C3%A1lculo+infinitesimal&rft.atitle=Madhava&rft.genre=article&rft.jtitle=Biography+of+Madhava&rft.pub=School+of+Mathematics+and+Statistics+University+of+St+Andrews%2C+Scotland&rft_id=http%3A%2F%2Fwww-gap.dcs.st-and.ac.uk%2F~history%2FBiographies%2FMadhava.html&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></span> </li> <li id="cite_note-scotlnd-10"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-scotlnd_10-0">↑</a></span> <span class="reference-text"><span class="citation web"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Indian_mathematics.html">«An overview of Indian mathematics»</a>. <i>Indian Maths</i>. School of Mathematics and Statistics University of St Andrews, Scotland<span class="reference-accessdate">. Consultado el 7 de julio de 2006</span>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3AC%C3%A1lculo+infinitesimal&rft.atitle=An+overview+of+Indian+mathematics&rft.genre=article&rft.jtitle=Indian+Maths&rft.pub=School+of+Mathematics+and+Statistics+University+of+St+Andrews%2C+Scotland&rft_id=http%3A%2F%2Fwww-history.mcs.st-andrews.ac.uk%2FHistTopics%2FIndian_mathematics.html&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></span> </li> <li id="cite_note-charles-11"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-charles_11-0">↑</a></span> <span class="reference-text"><span id="CITAREFCharles_Whish1835" class="citation libro">Charles Whish (1835). <i>Transactions of the Royal Asiatic Society of Great Britain and Ireland</i>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3AC%C3%A1lculo+infinitesimal&rft.au=Charles+Whish&rft.aulast=Charles+Whish&rft.btitle=Transactions+of+the+Royal+Asiatic+Society+of+Great+Britain+and+Ireland&rft.date=1835&rft.genre=book&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></span> </li> <li id="cite_note-12"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-12">↑</a></span> <span class="reference-text"><a href="/wiki/UNESCO" class="mw-redirect" title="UNESCO">UNESCO</a> – <a rel="nofollow" class="external text" href="http://nt5.scbbs.com/cgi-bin/om_isapi.dll?clientID=137079235&infobase=iwde.nfo&softpage=PL_frame">World Data on Education</a></span> </li> <li id="cite_note-13"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-13">↑</a></span> <span class="reference-text"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.3390/fractalfract5040240">Sets of Fractional Operators and Numerical Estimation of the Order of Convergence of a Family of Fractional Fixed-Point Methods</a></span> </li> <li id="cite_note-14"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-14">↑</a></span> <span class="reference-text"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.es/books?hl=es&lr=&id=MIXVCgAAQBAJ&oi=fnd&pg=PR5&dq=fractional+calculus&ots=fXgsNiwkju&sig=VDrrW4ZEvZpsu3ytMS-frNqc964">Applications of fractional calculus in physics</a></span> </li> <li id="cite_note-15"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-15">↑</a></span> <span class="reference-text"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1155/2014/238459">A review of definitions for fractional derivatives and integral</a></span> </li> <li id="cite_note-16"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-16">↑</a></span> <span class="reference-text"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1016/j.jcp.2019.03.008">A review of definitions of fractional derivatives and other operators</a></span> </li> <li id="cite_note-17"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-17">↑</a></span> <span class="reference-text"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.3390/math10050737">How many fractional derivatives are there?</a></span> </li> <li id="cite_note-18"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-18">↑</a></span> <span class="reference-text"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://dx.doi.org/10.5121/mathsj.2021.8101">Fractional Newton-Raphson Method</a></span> </li> <li id="cite_note-19"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-19">↑</a></span> <span class="reference-text"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1016/j.amc.2022.127231">Acceleration of the order of convergence of a family of fractional fixed-point methods and its implementation in the solution of a nonlinear algebraic system related to hybrid solar receivers</a></span> </li> <li id="cite_note-20"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-20">↑</a></span> <span class="reference-text"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://dx.doi.org/10.5121/mathsj.2022.9103">Code of a multidimensional fractional quasi-Newton method with an order of convergence at least quadratic using recursive programming</a></span> </li> <li id="cite_note-21"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-21">↑</a></span> <span class="reference-text"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.5772/intechopen.107263">Sets of Fractional Operators and Some of Their Applications</a></span> </li> <li id="cite_note-22"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-22">↑</a></span> <span class="reference-text"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0898122102002109">Einstein summation for multidimensional arrays</a></span> </li> <li id="cite_note-23"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-23">↑</a></span> <span class="reference-text"><span id="CITAREFTorres-HernandezBrambila-Paz2021-12-29" class="citation publicación">Torres-Hernandez, A.; 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(Steven Henry),</a> (2019). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.worldcat.org/oclc/1045469644"><i>Infinite powers : how calculus reveals the secrets of the universe</i> [<i>Poderes infinitos: cómo el cálculo revela los secretos del universo</i>]</a> <span style="color:var(--color-subtle, #555 );">(en inglés)</span>. <small><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/Especial:FuentesDeLibros/9781328879981" title="Especial:FuentesDeLibros/9781328879981">9781328879981</a></small>. <small><a href="/wiki/OCLC" title="OCLC">OCLC</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="//www.worldcat.org/oclc/1045469644">1045469644</a></small><span class="reference-accessdate">. Consultado el 20 de julio de 2019</span>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3AC%C3%A1lculo+infinitesimal&rft.au=Strogatz%2C+Steven+H.+%28Steven+Henry%29%2C&rft.aulast=Strogatz%2C+Steven+H.+%28Steven+Henry%29%2C&rft.btitle=Infinite+powers+%3A+how+calculus+reveals+the+secrets+of+the+universe&rft.date=2019&rft.genre=book&rft.isbn=9781328879981&rft_id=https%3A%2F%2Fwww.worldcat.org%2Foclc%2F1045469644&rft_id=info%3Aoclcnum%2F1045469644&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></span> </li> </ol></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Enlaces_externos">Enlaces externos</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=C%C3%A1lculo_infinitesimal&action=edit&section=22" title="Editar sección: Enlaces externos"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?module=tool/analysis/function.es">Cálculo de funciones</a></li></ul> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r161257576">.mw-parser-output .mw-authority-control{margin-top:1.5em}.mw-parser-output .mw-authority-control .navbox table{margin:0}.mw-parser-output .mw-authority-control .navbox hr:last-child{display:none}.mw-parser-output .mw-authority-control .navbox+.mw-mf-linked-projects{display:none}.mw-parser-output .mw-authority-control .mw-mf-linked-projects{display:flex;padding:0.5em;border:1px solid var(--border-color-base,#a2a9b1);background-color:var(--background-color-neutral,#eaecf0);color:var(--color-base,#202122)}.mw-parser-output .mw-authority-control .mw-mf-linked-projects ul li{margin-bottom:0}.mw-parser-output .mw-authority-control .navbox{border:1px solid var(--border-color-base,#a2a9b1);background-color:var(--background-color-neutral-subtle,#f8f9fa)}.mw-parser-output .mw-authority-control .navbox-list{border-color:#f8f9fa}.mw-parser-output .mw-authority-control .navbox th{background-color:#eeeeff}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .mw-authority-control .mw-mf-linked-projects{border:1px solid var(--border-color-base,#72777d);background-color:var(--background-color-neutral,#27292d);color:var(--color-base,#eaecf0)}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .mw-authority-control .navbox{border:1px solid var(--border-color-base,#72777d)!important;background-color:var(--background-color-neutral-subtle,#202122)!important}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .mw-authority-control .navbox-list{border-color:#202122!important}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .mw-authority-control .navbox th{background-color:#27292d!important}@media(prefers-color-scheme:dark){html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .mw-authority-control .mw-mf-linked-projects{border:1px solid 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autoridades</a></th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><b>Proyectos Wikimedia</b></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Wikidata" title="Wikidata"><img alt="Wd" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/20px-Wikidata-logo.svg.png" decoding="async" width="20" height="11" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/30px-Wikidata-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/40px-Wikidata-logo.svg.png 2x" data-file-width="1050" data-file-height="590" /></a></span> Datos:</span> <span class="uid"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Q149972" class="extiw" title="wikidata:Q149972">Q149972</a></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Wikimedia_Commons" title="Commonscat"><img alt="Commonscat" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/15px-Commons-logo.svg.png" decoding="async" width="15" height="20" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/23px-Commons-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/30px-Commons-logo.svg.png 2x" data-file-width="1024" data-file-height="1376" /></a></span> Multimedia:</span> <span class="uid"><span class="plainlinks"><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Calculus">Calculus</a></span> / <span class="plainlinks"><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Special:MediaSearch?type=image&search=%22Q149972%22">Q149972</a></span></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Wikilibros" title="Wikibooks"><img alt="Wikibooks" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/Wikibooks-logo.svg/15px-Wikibooks-logo.svg.png" decoding="async" width="15" height="15" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/Wikibooks-logo.svg/23px-Wikibooks-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/Wikibooks-logo.svg/30px-Wikibooks-logo.svg.png 2x" data-file-width="300" data-file-height="300" /></a></span> Libros y manuales:</span> <span class="uid"><a href="https://es.wikibooks.org/wiki/Matem%C3%A1ticas/C%C3%A1lculo_en_una_variable" class="extiw" title="b:Matemáticas/Cálculo en una variable">Matemáticas/Cálculo en una variable</a></span></li></ul> <hr /> <ul><li><b>Identificadores</b></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><a href="/wiki/Biblioteca_Nacional_de_Francia" title="Biblioteca Nacional de Francia">BNF</a>:</span> <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb119891944">119891944</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="http://data.bnf.fr/ark:/12148/cb119891944">(data)</a></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><a href="/wiki/Library_of_Congress_Control_Number" title="Library of Congress Control Number">LCCN</a>:</span> <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://id.loc.gov/authorities/sh85018802">sh85018802</a></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><a href="/wiki/Biblioteca_Nacional_de_la_Rep%C3%BAblica_Checa" title="Biblioteca Nacional de la República Checa">NKC</a>:</span> <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://aleph.nkp.cz/F/?func=find-c&local_base=aut&ccl_term=ica=ph1034721">ph1034721</a></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><a href="/wiki/Biblioteca_Nacional_de_Israel" title="Biblioteca Nacional de Israel">NLI</a>:</span> <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.nli.org.il/en/authorities/987007293765505171">987007293765505171</a></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><a href="/wiki/Art_%26_Architecture_Thesaurus" title="Art & Architecture Thesaurus">AAT</a>:</span> <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://vocab.getty.edu/page/aat/300054528">300054528</a></span></li> <li><b>Diccionarios y enciclopedias</b></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><a href="/wiki/Enciclopedia_Brit%C3%A1nica" title="Enciclopedia Británica">Britannica</a>:</span> <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.britannica.com/topic/calculus-mathematics">url</a></span></li></ul> </div></td></tr></tbody></table></div><div class="mw-mf-linked-projects hlist"> <ul><li><span style="white-space:nowrap;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Wikidata" title="Wikidata"><img alt="Wd" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/20px-Wikidata-logo.svg.png" decoding="async" width="20" height="11" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/30px-Wikidata-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/40px-Wikidata-logo.svg.png 2x" data-file-width="1050" data-file-height="590" /></a></span> Datos:</span> <span class="uid"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Q149972" class="extiw" title="wikidata:Q149972">Q149972</a></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Wikimedia_Commons" title="Commonscat"><img alt="Commonscat" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/15px-Commons-logo.svg.png" decoding="async" width="15" height="20" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/23px-Commons-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/30px-Commons-logo.svg.png 2x" data-file-width="1024" data-file-height="1376" /></a></span> Multimedia:</span> <span class="uid"><span class="plainlinks"><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Calculus">Calculus</a></span> / <span class="plainlinks"><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Special:MediaSearch?type=image&search=%22Q149972%22">Q149972</a></span></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Wikilibros" title="Wikibooks"><img alt="Wikibooks" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/Wikibooks-logo.svg/15px-Wikibooks-logo.svg.png" decoding="async" width="15" height="15" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/Wikibooks-logo.svg/23px-Wikibooks-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/Wikibooks-logo.svg/30px-Wikibooks-logo.svg.png 2x" data-file-width="300" data-file-height="300" /></a></span> Libros y manuales:</span> <span class="uid"><a href="https://es.wikibooks.org/wiki/Matem%C3%A1ticas/C%C3%A1lculo_en_una_variable" class="extiw" title="b:Matemáticas/Cálculo en una variable">Matemáticas/Cálculo en una variable</a></span></li></ul> </div></div>    </div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?useformat=desktop&type=1x1&usesul3=0" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Obtenido de «<a dir="ltr" href="https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Cálculo_infinitesimal&oldid=163481058">https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Cálculo_infinitesimal&oldid=163481058</a>»</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/Especial:Categor%C3%ADas" title="Especial:Categorías">Categorías</a>: <ul><li><a href="/wiki/Categor%C3%ADa:C%C3%A1lculo" title="Categoría:Cálculo">Cálculo</a></li><li><a href="/wiki/Categor%C3%ADa:Ciencia_y_tecnolog%C3%ADa_de_Alemania_del_siglo_XVII" title="Categoría:Ciencia y tecnología de Alemania del siglo XVII">Ciencia y tecnología de Alemania del siglo XVII</a></li><li><a href="/wiki/Categor%C3%ADa:Ciencia_y_tecnolog%C3%ADa_de_Reino_Unido_del_siglo_XVII" title="Categoría:Ciencia y tecnología de Reino Unido del siglo XVII">Ciencia y tecnología de Reino Unido del siglo XVII</a></li><li><a href="/wiki/Categor%C3%ADa:Ciencia_de_1671" title="Categoría:Ciencia de 1671">Ciencia de 1671</a></li><li><a href="/wiki/Categor%C3%ADa:Ciencia_de_1684" title="Categoría:Ciencia de 1684">Ciencia de 1684</a></li><li><a href="/wiki/Categor%C3%ADa:Ciencia_de_1675" title="Categoría:Ciencia de 1675">Ciencia de 1675</a></li></ul></div><div id="mw-hidden-catlinks" class="mw-hidden-catlinks mw-hidden-cats-hidden">Categorías ocultas: <ul><li><a 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id="footer-info-lastmod"> Esta página se editó por última vez el 9 nov 2024 a las 09:02.</li> <li id="footer-info-copyright">El texto está disponible bajo la <a href="/wiki/Wikipedia:Texto_de_la_Licencia_Creative_Commons_Atribuci%C3%B3n-CompartirIgual_4.0_Internacional" title="Wikipedia:Texto de la Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 4.0 Internacional">Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 4.0</a>; pueden aplicarse cláusulas adicionales. 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