CINXE.COM

<!DOCTYPE html> <html lang="en"> <head> <meta content="text/html; charset=utf-8" http-equiv="content-type"/> <title>Triplets of Mutually Unbiased Bases</title>   <meta content="width=device-width, initial-scale=1, shrink-to-fit=no" name="viewport"/> <link href="https://cdn.jsdelivr.net/npm/bootstrap@5.3.0/dist/css/bootstrap.min.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <link href="/static/browse/0.3.4/css/ar5iv.0.7.9.min.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <link href="/static/browse/0.3.4/css/ar5iv-fonts.0.7.9.min.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <link href="/static/browse/0.3.4/css/latexml_styles.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <script src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/bootstrap@5.3.0/dist/js/bootstrap.bundle.min.js"></script> <script src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/html2canvas/1.3.3/html2canvas.min.js"></script> <script src="/static/browse/0.3.4/js/addons_new.js"></script> <script src="/static/browse/0.3.4/js/feedbackOverlay.js"></script> <base href="/html/2503.14752v1/"/></head> <body> <nav class="ltx_page_navbar"> <nav class="ltx_TOC"> <ol class="ltx_toclist"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#S1" title="In Triplets of Mutually Unbiased Bases"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">1 </span>Introduction</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#S2" title="In Triplets of Mutually Unbiased Bases"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">2 </span>Pairs of MUBs</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#S3" title="In Triplets of Mutually Unbiased Bases"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">3 </span>MUB-triplets and Hadamard cubes</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#S4" title="In Triplets of Mutually Unbiased Bases"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">4 </span>Hadamard cubes in dimension 6</span></a></li> </ol></nav> </nav> <div class="ltx_page_main"> <div class="ltx_page_content"> <article class="ltx_document ltx_authors_1line ltx_leqno"> <h1 class="ltx_title ltx_title_document">Triplets of Mutually Unbiased Bases</h1> <div class="ltx_authors"> <span class="ltx_creator ltx_role_author"> <span class="ltx_personname">Máte Matolcsi, Ákos K. Matszangosz, Dániel Varga, Mihály Weiner </span></span> </div> <div class="ltx_dates">(Date: June 2023, MSC2020 05B20, 81P15)</div> <div class="ltx_abstract"> <h6 class="ltx_title ltx_title_abstract">Abstract.</h6> <p class="ltx_p" id="id2.2">We initiate a systematic study of triplets of mutually unbiased bases (MUBs). We show that in <math alttext="\mathbb{C}^{d}" class="ltx_Math" display="inline" id="id1.1.m1.1"><semantics id="id1.1.m1.1a"><msup id="id1.1.m1.1.1" xref="id1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="id1.1.m1.1.1.2" xref="id1.1.m1.1.1.2.cmml">ℂ</mi><mi id="id1.1.m1.1.1.3" xref="id1.1.m1.1.1.3.cmml">d</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="id1.1.m1.1b"><apply id="id1.1.m1.1.1.cmml" xref="id1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="id1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="id1.1.m1.1.1">superscript</csymbol><ci id="id1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="id1.1.m1.1.1.2">ℂ</ci><ci id="id1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="id1.1.m1.1.1.3">𝑑</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="id1.1.m1.1c">\mathbb{C}^{d}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="id1.1.m1.1d">blackboard_C start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> each MUB-triplet is characterized by a <math alttext="d\times d\times d" class="ltx_Math" display="inline" id="id2.2.m2.1"><semantics id="id2.2.m2.1a"><mrow id="id2.2.m2.1.1" xref="id2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="id2.2.m2.1.1.2" xref="id2.2.m2.1.1.2.cmml">d</mi><mo id="id2.2.m2.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="id2.2.m2.1.1.1.cmml">×</mo><mi id="id2.2.m2.1.1.3" xref="id2.2.m2.1.1.3.cmml">d</mi><mo id="id2.2.m2.1.1.1a" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="id2.2.m2.1.1.1.cmml">×</mo><mi id="id2.2.m2.1.1.4" xref="id2.2.m2.1.1.4.cmml">d</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="id2.2.m2.1b"><apply id="id2.2.m2.1.1.cmml" xref="id2.2.m2.1.1"><times id="id2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="id2.2.m2.1.1.1"></times><ci id="id2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="id2.2.m2.1.1.2">𝑑</ci><ci id="id2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="id2.2.m2.1.1.3">𝑑</ci><ci id="id2.2.m2.1.1.4.cmml" xref="id2.2.m2.1.1.4">𝑑</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="id2.2.m2.1c">d\times d\times d</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="id2.2.m2.1d">italic_d × italic_d × italic_d</annotation></semantics></math> object that we call a Hadamard cube. We describe the basic properties of Hadamard cubes, and show how an MUB-triplet can be reconstructed from such a cube, up to unitary equivalence.</p> <p class="ltx_p" id="id3.id1">We also present an algebraic identity which is conjectured to hold for all MUB-triplets in dimension 6. If true, it would imply the long-standing conjecture of Zauner that the maximum number of MUBs in dimension 6 is three.</p> </div> <section class="ltx_section" id="S1"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">1. </span>Introduction</h2> <div class="ltx_para" id="S1.p1"> <p class="ltx_p" id="S1.p1.1">The study of mutually unbiased bases (MUBs) was originally motivated in quantum information theory by the physical property that if a system is prepared in an eigenstate of one of the bases, then a measurement conducted in any of the other bases yields all possible outcomes with equal probability. Due to this property, MUBs find several applications in quantum algorithms such as dense coding, teleportation, entanglement swapping, covariant cloning, and quantum state tomography (see <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#bib.bib13" title="">13</a>]</cite> for a recent comprehensive survey on MUBs and their applications).</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p2"> <p class="ltx_p" id="S1.p2.12">Recall that two orthonormal bases, <math alttext="X=(\mathbf{e}_{1},\ldots,\mathbf{e}_{d})" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p2.1.m1.3"><semantics id="S1.p2.1.m1.3a"><mrow id="S1.p2.1.m1.3.3" xref="S1.p2.1.m1.3.3.cmml"><mi id="S1.p2.1.m1.3.3.4" xref="S1.p2.1.m1.3.3.4.cmml">X</mi><mo id="S1.p2.1.m1.3.3.3" xref="S1.p2.1.m1.3.3.3.cmml">=</mo><mrow id="S1.p2.1.m1.3.3.2.2" xref="S1.p2.1.m1.3.3.2.3.cmml"><mo id="S1.p2.1.m1.3.3.2.2.3" stretchy="false" xref="S1.p2.1.m1.3.3.2.3.cmml">(</mo><msub id="S1.p2.1.m1.2.2.1.1.1" xref="S1.p2.1.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S1.p2.1.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S1.p2.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">𝐞</mi><mn id="S1.p2.1.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S1.p2.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S1.p2.1.m1.3.3.2.2.4" xref="S1.p2.1.m1.3.3.2.3.cmml">,</mo><mi id="S1.p2.1.m1.1.1" mathvariant="normal" xref="S1.p2.1.m1.1.1.cmml">…</mi><mo id="S1.p2.1.m1.3.3.2.2.5" xref="S1.p2.1.m1.3.3.2.3.cmml">,</mo><msub id="S1.p2.1.m1.3.3.2.2.2" xref="S1.p2.1.m1.3.3.2.2.2.cmml"><mi id="S1.p2.1.m1.3.3.2.2.2.2" xref="S1.p2.1.m1.3.3.2.2.2.2.cmml">𝐞</mi><mi id="S1.p2.1.m1.3.3.2.2.2.3" xref="S1.p2.1.m1.3.3.2.2.2.3.cmml">d</mi></msub><mo id="S1.p2.1.m1.3.3.2.2.6" stretchy="false" xref="S1.p2.1.m1.3.3.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p2.1.m1.3b"><apply id="S1.p2.1.m1.3.3.cmml" xref="S1.p2.1.m1.3.3"><eq id="S1.p2.1.m1.3.3.3.cmml" xref="S1.p2.1.m1.3.3.3"></eq><ci id="S1.p2.1.m1.3.3.4.cmml" xref="S1.p2.1.m1.3.3.4">𝑋</ci><vector id="S1.p2.1.m1.3.3.2.3.cmml" xref="S1.p2.1.m1.3.3.2.2"><apply id="S1.p2.1.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S1.p2.1.m1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p2.1.m1.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S1.p2.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S1.p2.1.m1.2.2.1.1.1.2">𝐞</ci><cn id="S1.p2.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.p2.1.m1.2.2.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S1.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.p2.1.m1.1.1">…</ci><apply id="S1.p2.1.m1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S1.p2.1.m1.3.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p2.1.m1.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="S1.p2.1.m1.3.3.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S1.p2.1.m1.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S1.p2.1.m1.3.3.2.2.2.2">𝐞</ci><ci id="S1.p2.1.m1.3.3.2.2.2.3.cmml" xref="S1.p2.1.m1.3.3.2.2.2.3">𝑑</ci></apply></vector></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p2.1.m1.3c">X=(\mathbf{e}_{1},\ldots,\mathbf{e}_{d})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p2.1.m1.3d">italic_X = ( bold_e start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , bold_e start_POSTSUBSCRIPT italic_d end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> and <math alttext="Y=(\mathbf{f}_{1},\ldots,\mathbf{f}_{d})" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p2.2.m2.3"><semantics id="S1.p2.2.m2.3a"><mrow id="S1.p2.2.m2.3.3" xref="S1.p2.2.m2.3.3.cmml"><mi id="S1.p2.2.m2.3.3.4" xref="S1.p2.2.m2.3.3.4.cmml">Y</mi><mo id="S1.p2.2.m2.3.3.3" xref="S1.p2.2.m2.3.3.3.cmml">=</mo><mrow id="S1.p2.2.m2.3.3.2.2" xref="S1.p2.2.m2.3.3.2.3.cmml"><mo id="S1.p2.2.m2.3.3.2.2.3" stretchy="false" xref="S1.p2.2.m2.3.3.2.3.cmml">(</mo><msub id="S1.p2.2.m2.2.2.1.1.1" xref="S1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.2" xref="S1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.2.cmml">𝐟</mi><mn id="S1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.3" xref="S1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S1.p2.2.m2.3.3.2.2.4" xref="S1.p2.2.m2.3.3.2.3.cmml">,</mo><mi id="S1.p2.2.m2.1.1" mathvariant="normal" xref="S1.p2.2.m2.1.1.cmml">…</mi><mo id="S1.p2.2.m2.3.3.2.2.5" xref="S1.p2.2.m2.3.3.2.3.cmml">,</mo><msub id="S1.p2.2.m2.3.3.2.2.2" xref="S1.p2.2.m2.3.3.2.2.2.cmml"><mi id="S1.p2.2.m2.3.3.2.2.2.2" xref="S1.p2.2.m2.3.3.2.2.2.2.cmml">𝐟</mi><mi id="S1.p2.2.m2.3.3.2.2.2.3" xref="S1.p2.2.m2.3.3.2.2.2.3.cmml">d</mi></msub><mo id="S1.p2.2.m2.3.3.2.2.6" stretchy="false" xref="S1.p2.2.m2.3.3.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p2.2.m2.3b"><apply id="S1.p2.2.m2.3.3.cmml" xref="S1.p2.2.m2.3.3"><eq id="S1.p2.2.m2.3.3.3.cmml" xref="S1.p2.2.m2.3.3.3"></eq><ci id="S1.p2.2.m2.3.3.4.cmml" xref="S1.p2.2.m2.3.3.4">𝑌</ci><vector id="S1.p2.2.m2.3.3.2.3.cmml" xref="S1.p2.2.m2.3.3.2.2"><apply id="S1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S1.p2.2.m2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p2.2.m2.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.2">𝐟</ci><cn id="S1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.p2.2.m2.2.2.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S1.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S1.p2.2.m2.1.1">…</ci><apply id="S1.p2.2.m2.3.3.2.2.2.cmml" xref="S1.p2.2.m2.3.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p2.2.m2.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="S1.p2.2.m2.3.3.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S1.p2.2.m2.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S1.p2.2.m2.3.3.2.2.2.2">𝐟</ci><ci id="S1.p2.2.m2.3.3.2.2.2.3.cmml" xref="S1.p2.2.m2.3.3.2.2.2.3">𝑑</ci></apply></vector></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p2.2.m2.3c">Y=(\mathbf{f}_{1},\ldots,\mathbf{f}_{d})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p2.2.m2.3d">italic_Y = ( bold_f start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , bold_f start_POSTSUBSCRIPT italic_d end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> in <math alttext="\mathbb{C}^{d}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p2.3.m3.1"><semantics id="S1.p2.3.m3.1a"><msup id="S1.p2.3.m3.1.1" xref="S1.p2.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S1.p2.3.m3.1.1.2" xref="S1.p2.3.m3.1.1.2.cmml">ℂ</mi><mi id="S1.p2.3.m3.1.1.3" xref="S1.p2.3.m3.1.1.3.cmml">d</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p2.3.m3.1b"><apply id="S1.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S1.p2.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p2.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S1.p2.3.m3.1.1">superscript</csymbol><ci id="S1.p2.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S1.p2.3.m3.1.1.2">ℂ</ci><ci id="S1.p2.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S1.p2.3.m3.1.1.3">𝑑</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p2.3.m3.1c">\mathbb{C}^{d}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p2.3.m3.1d">blackboard_C start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, are called <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="S1.p2.12.1">unbiased</em> if for every <math alttext="j,k\in[d]\equiv\{1,\ldots d\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p2.4.m4.5"><semantics id="S1.p2.4.m4.5a"><mrow id="S1.p2.4.m4.5.5" xref="S1.p2.4.m4.5.5.cmml"><mrow id="S1.p2.4.m4.5.5.3.2" xref="S1.p2.4.m4.5.5.3.1.cmml"><mi id="S1.p2.4.m4.3.3" xref="S1.p2.4.m4.3.3.cmml">j</mi><mo id="S1.p2.4.m4.5.5.3.2.1" xref="S1.p2.4.m4.5.5.3.1.cmml">,</mo><mi id="S1.p2.4.m4.4.4" xref="S1.p2.4.m4.4.4.cmml">k</mi></mrow><mo id="S1.p2.4.m4.5.5.4" xref="S1.p2.4.m4.5.5.4.cmml">∈</mo><mrow id="S1.p2.4.m4.5.5.5.2" xref="S1.p2.4.m4.5.5.5.1.cmml"><mo id="S1.p2.4.m4.5.5.5.2.1" stretchy="false" xref="S1.p2.4.m4.5.5.5.1.1.cmml">[</mo><mi id="S1.p2.4.m4.1.1" xref="S1.p2.4.m4.1.1.cmml">d</mi><mo id="S1.p2.4.m4.5.5.5.2.2" stretchy="false" xref="S1.p2.4.m4.5.5.5.1.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S1.p2.4.m4.5.5.6" xref="S1.p2.4.m4.5.5.6.cmml">≡</mo><mrow id="S1.p2.4.m4.5.5.1.1" xref="S1.p2.4.m4.5.5.1.2.cmml"><mo id="S1.p2.4.m4.5.5.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.p2.4.m4.5.5.1.2.cmml">{</mo><mn id="S1.p2.4.m4.2.2" xref="S1.p2.4.m4.2.2.cmml">1</mn><mo id="S1.p2.4.m4.5.5.1.1.3" xref="S1.p2.4.m4.5.5.1.2.cmml">,</mo><mrow id="S1.p2.4.m4.5.5.1.1.1" xref="S1.p2.4.m4.5.5.1.1.1.cmml"><mi id="S1.p2.4.m4.5.5.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S1.p2.4.m4.5.5.1.1.1.2.cmml">…</mi><mo id="S1.p2.4.m4.5.5.1.1.1.1" xref="S1.p2.4.m4.5.5.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.p2.4.m4.5.5.1.1.1.3" xref="S1.p2.4.m4.5.5.1.1.1.3.cmml">d</mi></mrow><mo id="S1.p2.4.m4.5.5.1.1.4" stretchy="false" xref="S1.p2.4.m4.5.5.1.2.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p2.4.m4.5b"><apply id="S1.p2.4.m4.5.5.cmml" xref="S1.p2.4.m4.5.5"><and id="S1.p2.4.m4.5.5a.cmml" xref="S1.p2.4.m4.5.5"></and><apply id="S1.p2.4.m4.5.5b.cmml" xref="S1.p2.4.m4.5.5"><in id="S1.p2.4.m4.5.5.4.cmml" xref="S1.p2.4.m4.5.5.4"></in><list id="S1.p2.4.m4.5.5.3.1.cmml" xref="S1.p2.4.m4.5.5.3.2"><ci id="S1.p2.4.m4.3.3.cmml" xref="S1.p2.4.m4.3.3">𝑗</ci><ci id="S1.p2.4.m4.4.4.cmml" xref="S1.p2.4.m4.4.4">𝑘</ci></list><apply id="S1.p2.4.m4.5.5.5.1.cmml" xref="S1.p2.4.m4.5.5.5.2"><csymbol cd="latexml" id="S1.p2.4.m4.5.5.5.1.1.cmml" xref="S1.p2.4.m4.5.5.5.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S1.p2.4.m4.1.1.cmml" xref="S1.p2.4.m4.1.1">𝑑</ci></apply></apply><apply id="S1.p2.4.m4.5.5c.cmml" xref="S1.p2.4.m4.5.5"><equivalent id="S1.p2.4.m4.5.5.6.cmml" xref="S1.p2.4.m4.5.5.6"></equivalent><share href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#S1.p2.4.m4.5.5.5.cmml" id="S1.p2.4.m4.5.5d.cmml" xref="S1.p2.4.m4.5.5"></share><set id="S1.p2.4.m4.5.5.1.2.cmml" xref="S1.p2.4.m4.5.5.1.1"><cn id="S1.p2.4.m4.2.2.cmml" type="integer" xref="S1.p2.4.m4.2.2">1</cn><apply id="S1.p2.4.m4.5.5.1.1.1.cmml" xref="S1.p2.4.m4.5.5.1.1.1"><times id="S1.p2.4.m4.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p2.4.m4.5.5.1.1.1.1"></times><ci id="S1.p2.4.m4.5.5.1.1.1.2.cmml" xref="S1.p2.4.m4.5.5.1.1.1.2">…</ci><ci id="S1.p2.4.m4.5.5.1.1.1.3.cmml" xref="S1.p2.4.m4.5.5.1.1.1.3">𝑑</ci></apply></set></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p2.4.m4.5c">j,k\in[d]\equiv\{1,\ldots d\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p2.4.m4.5d">italic_j , italic_k ∈ [ italic_d ] ≡ { 1 , … italic_d }</annotation></semantics></math>, <math alttext="|\langle\mathbf{e}_{j},\mathbf{f}_{k}\rangle|=\frac{1}{\sqrt{d}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p2.5.m5.1"><semantics id="S1.p2.5.m5.1a"><mrow id="S1.p2.5.m5.1.1" xref="S1.p2.5.m5.1.1.cmml"><mrow id="S1.p2.5.m5.1.1.1.1" xref="S1.p2.5.m5.1.1.1.2.cmml"><mo id="S1.p2.5.m5.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.p2.5.m5.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.2" xref="S1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.2.3" stretchy="false" xref="S1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.3.cmml">⟨</mo><msub id="S1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝐞</mi><mi id="S1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.2.4" xref="S1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.3.cmml">,</mo><msub id="S1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.2.2" xref="S1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">𝐟</mi><mi id="S1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.2.5" stretchy="false" xref="S1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.3.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S1.p2.5.m5.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.p2.5.m5.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S1.p2.5.m5.1.1.2" xref="S1.p2.5.m5.1.1.2.cmml">=</mo><mfrac id="S1.p2.5.m5.1.1.3" xref="S1.p2.5.m5.1.1.3.cmml"><mn id="S1.p2.5.m5.1.1.3.2" xref="S1.p2.5.m5.1.1.3.2.cmml">1</mn><msqrt id="S1.p2.5.m5.1.1.3.3" xref="S1.p2.5.m5.1.1.3.3.cmml"><mi id="S1.p2.5.m5.1.1.3.3.2" xref="S1.p2.5.m5.1.1.3.3.2.cmml">d</mi></msqrt></mfrac></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p2.5.m5.1b"><apply id="S1.p2.5.m5.1.1.cmml" xref="S1.p2.5.m5.1.1"><eq id="S1.p2.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S1.p2.5.m5.1.1.2"></eq><apply id="S1.p2.5.m5.1.1.1.2.cmml" xref="S1.p2.5.m5.1.1.1.1"><abs id="S1.p2.5.m5.1.1.1.2.1.cmml" xref="S1.p2.5.m5.1.1.1.1.2"></abs><list id="S1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.2"><apply id="S1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.2">𝐞</ci><ci id="S1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑗</ci></apply><apply id="S1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.2.2.2">𝐟</ci><ci id="S1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.2.2.3">𝑘</ci></apply></list></apply><apply id="S1.p2.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S1.p2.5.m5.1.1.3"><divide id="S1.p2.5.m5.1.1.3.1.cmml" xref="S1.p2.5.m5.1.1.3"></divide><cn id="S1.p2.5.m5.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S1.p2.5.m5.1.1.3.2">1</cn><apply id="S1.p2.5.m5.1.1.3.3.cmml" xref="S1.p2.5.m5.1.1.3.3"><root id="S1.p2.5.m5.1.1.3.3a.cmml" xref="S1.p2.5.m5.1.1.3.3"></root><ci id="S1.p2.5.m5.1.1.3.3.2.cmml" xref="S1.p2.5.m5.1.1.3.3.2">𝑑</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p2.5.m5.1c">|\langle\mathbf{e}_{j},\mathbf{f}_{k}\rangle|=\frac{1}{\sqrt{d}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p2.5.m5.1d">| ⟨ bold_e start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT , bold_f start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ⟩ | = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG square-root start_ARG italic_d end_ARG end_ARG</annotation></semantics></math>. In general, we will say that two unit vectors <math alttext="\mathbf{u}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p2.6.m6.1"><semantics id="S1.p2.6.m6.1a"><mi id="S1.p2.6.m6.1.1" xref="S1.p2.6.m6.1.1.cmml">𝐮</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p2.6.m6.1b"><ci id="S1.p2.6.m6.1.1.cmml" xref="S1.p2.6.m6.1.1">𝐮</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p2.6.m6.1c">\mathbf{u}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p2.6.m6.1d">bold_u</annotation></semantics></math> and <math alttext="\mathbf{v}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p2.7.m7.1"><semantics id="S1.p2.7.m7.1a"><mi id="S1.p2.7.m7.1.1" xref="S1.p2.7.m7.1.1.cmml">𝐯</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p2.7.m7.1b"><ci id="S1.p2.7.m7.1.1.cmml" xref="S1.p2.7.m7.1.1">𝐯</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p2.7.m7.1c">\mathbf{v}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p2.7.m7.1d">bold_v</annotation></semantics></math> in <math alttext="\mathbb{C}^{d}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p2.8.m8.1"><semantics id="S1.p2.8.m8.1a"><msup id="S1.p2.8.m8.1.1" xref="S1.p2.8.m8.1.1.cmml"><mi id="S1.p2.8.m8.1.1.2" xref="S1.p2.8.m8.1.1.2.cmml">ℂ</mi><mi id="S1.p2.8.m8.1.1.3" xref="S1.p2.8.m8.1.1.3.cmml">d</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p2.8.m8.1b"><apply id="S1.p2.8.m8.1.1.cmml" xref="S1.p2.8.m8.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p2.8.m8.1.1.1.cmml" xref="S1.p2.8.m8.1.1">superscript</csymbol><ci id="S1.p2.8.m8.1.1.2.cmml" xref="S1.p2.8.m8.1.1.2">ℂ</ci><ci id="S1.p2.8.m8.1.1.3.cmml" xref="S1.p2.8.m8.1.1.3">𝑑</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p2.8.m8.1c">\mathbb{C}^{d}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p2.8.m8.1d">blackboard_C start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> are <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="S1.p2.12.2">unbiased</em> if <math alttext="|\langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle|=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{d}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p2.9.m9.3"><semantics id="S1.p2.9.m9.3a"><mrow id="S1.p2.9.m9.3.3" xref="S1.p2.9.m9.3.3.cmml"><mrow id="S1.p2.9.m9.3.3.1.1" xref="S1.p2.9.m9.3.3.1.2.cmml"><mo id="S1.p2.9.m9.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.p2.9.m9.3.3.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S1.p2.9.m9.3.3.1.1.1.2" xref="S1.p2.9.m9.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S1.p2.9.m9.3.3.1.1.1.2.1" stretchy="false" xref="S1.p2.9.m9.3.3.1.1.1.1.cmml">⟨</mo><mi id="S1.p2.9.m9.1.1" xref="S1.p2.9.m9.1.1.cmml">𝐮</mi><mo id="S1.p2.9.m9.3.3.1.1.1.2.2" xref="S1.p2.9.m9.3.3.1.1.1.1.cmml">,</mo><mi id="S1.p2.9.m9.2.2" xref="S1.p2.9.m9.2.2.cmml">𝐯</mi><mo id="S1.p2.9.m9.3.3.1.1.1.2.3" stretchy="false" xref="S1.p2.9.m9.3.3.1.1.1.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S1.p2.9.m9.3.3.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.p2.9.m9.3.3.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S1.p2.9.m9.3.3.2" xref="S1.p2.9.m9.3.3.2.cmml">=</mo><mstyle displaystyle="true" id="S1.p2.9.m9.3.3.3" xref="S1.p2.9.m9.3.3.3.cmml"><mfrac id="S1.p2.9.m9.3.3.3a" xref="S1.p2.9.m9.3.3.3.cmml"><mn id="S1.p2.9.m9.3.3.3.2" xref="S1.p2.9.m9.3.3.3.2.cmml">1</mn><msqrt id="S1.p2.9.m9.3.3.3.3" xref="S1.p2.9.m9.3.3.3.3.cmml"><mi id="S1.p2.9.m9.3.3.3.3.2" xref="S1.p2.9.m9.3.3.3.3.2.cmml">d</mi></msqrt></mfrac></mstyle></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p2.9.m9.3b"><apply id="S1.p2.9.m9.3.3.cmml" xref="S1.p2.9.m9.3.3"><eq id="S1.p2.9.m9.3.3.2.cmml" xref="S1.p2.9.m9.3.3.2"></eq><apply id="S1.p2.9.m9.3.3.1.2.cmml" xref="S1.p2.9.m9.3.3.1.1"><abs id="S1.p2.9.m9.3.3.1.2.1.cmml" xref="S1.p2.9.m9.3.3.1.1.2"></abs><list id="S1.p2.9.m9.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p2.9.m9.3.3.1.1.1.2"><ci id="S1.p2.9.m9.1.1.cmml" xref="S1.p2.9.m9.1.1">𝐮</ci><ci id="S1.p2.9.m9.2.2.cmml" xref="S1.p2.9.m9.2.2">𝐯</ci></list></apply><apply id="S1.p2.9.m9.3.3.3.cmml" xref="S1.p2.9.m9.3.3.3"><divide id="S1.p2.9.m9.3.3.3.1.cmml" xref="S1.p2.9.m9.3.3.3"></divide><cn id="S1.p2.9.m9.3.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S1.p2.9.m9.3.3.3.2">1</cn><apply id="S1.p2.9.m9.3.3.3.3.cmml" xref="S1.p2.9.m9.3.3.3.3"><root id="S1.p2.9.m9.3.3.3.3a.cmml" xref="S1.p2.9.m9.3.3.3.3"></root><ci id="S1.p2.9.m9.3.3.3.3.2.cmml" xref="S1.p2.9.m9.3.3.3.3.2">𝑑</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p2.9.m9.3c">|\langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle|=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{d}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p2.9.m9.3d">| ⟨ bold_u , bold_v ⟩ | = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG square-root start_ARG italic_d end_ARG end_ARG</annotation></semantics></math>. A collection <math alttext="X_{1},\ldots X_{m}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p2.10.m10.2"><semantics id="S1.p2.10.m10.2a"><mrow id="S1.p2.10.m10.2.2.2" xref="S1.p2.10.m10.2.2.3.cmml"><msub id="S1.p2.10.m10.1.1.1.1" xref="S1.p2.10.m10.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.p2.10.m10.1.1.1.1.2" xref="S1.p2.10.m10.1.1.1.1.2.cmml">X</mi><mn id="S1.p2.10.m10.1.1.1.1.3" xref="S1.p2.10.m10.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S1.p2.10.m10.2.2.2.3" xref="S1.p2.10.m10.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S1.p2.10.m10.2.2.2.2" xref="S1.p2.10.m10.2.2.2.2.cmml"><mi id="S1.p2.10.m10.2.2.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S1.p2.10.m10.2.2.2.2.2.cmml">…</mi><mo id="S1.p2.10.m10.2.2.2.2.1" xref="S1.p2.10.m10.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S1.p2.10.m10.2.2.2.2.3" xref="S1.p2.10.m10.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S1.p2.10.m10.2.2.2.2.3.2" xref="S1.p2.10.m10.2.2.2.2.3.2.cmml">X</mi><mi id="S1.p2.10.m10.2.2.2.2.3.3" xref="S1.p2.10.m10.2.2.2.2.3.3.cmml">m</mi></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p2.10.m10.2b"><list id="S1.p2.10.m10.2.2.3.cmml" xref="S1.p2.10.m10.2.2.2"><apply id="S1.p2.10.m10.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p2.10.m10.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p2.10.m10.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p2.10.m10.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S1.p2.10.m10.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.p2.10.m10.1.1.1.1.2">𝑋</ci><cn id="S1.p2.10.m10.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.p2.10.m10.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S1.p2.10.m10.2.2.2.2.cmml" xref="S1.p2.10.m10.2.2.2.2"><times id="S1.p2.10.m10.2.2.2.2.1.cmml" xref="S1.p2.10.m10.2.2.2.2.1"></times><ci id="S1.p2.10.m10.2.2.2.2.2.cmml" xref="S1.p2.10.m10.2.2.2.2.2">…</ci><apply id="S1.p2.10.m10.2.2.2.2.3.cmml" xref="S1.p2.10.m10.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p2.10.m10.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S1.p2.10.m10.2.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S1.p2.10.m10.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S1.p2.10.m10.2.2.2.2.3.2">𝑋</ci><ci id="S1.p2.10.m10.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S1.p2.10.m10.2.2.2.2.3.3">𝑚</ci></apply></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p2.10.m10.2c">X_{1},\ldots X_{m}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p2.10.m10.2d">italic_X start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> of orthonormal bases is said to be <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="S1.p2.12.3">(pairwise) mutually unbiased</em> if every two of them are unbiased. In this note we will be interested in the case <math alttext="m=2" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p2.11.m11.1"><semantics id="S1.p2.11.m11.1a"><mrow id="S1.p2.11.m11.1.1" xref="S1.p2.11.m11.1.1.cmml"><mi id="S1.p2.11.m11.1.1.2" xref="S1.p2.11.m11.1.1.2.cmml">m</mi><mo id="S1.p2.11.m11.1.1.1" xref="S1.p2.11.m11.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S1.p2.11.m11.1.1.3" xref="S1.p2.11.m11.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p2.11.m11.1b"><apply id="S1.p2.11.m11.1.1.cmml" xref="S1.p2.11.m11.1.1"><eq id="S1.p2.11.m11.1.1.1.cmml" xref="S1.p2.11.m11.1.1.1"></eq><ci id="S1.p2.11.m11.1.1.2.cmml" xref="S1.p2.11.m11.1.1.2">𝑚</ci><cn id="S1.p2.11.m11.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.p2.11.m11.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p2.11.m11.1c">m=2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p2.11.m11.1d">italic_m = 2</annotation></semantics></math> or <math alttext="3" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p2.12.m12.1"><semantics id="S1.p2.12.m12.1a"><mn id="S1.p2.12.m12.1.1" xref="S1.p2.12.m12.1.1.cmml">3</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p2.12.m12.1b"><cn id="S1.p2.12.m12.1.1.cmml" type="integer" xref="S1.p2.12.m12.1.1">3</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p2.12.m12.1c">3</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p2.12.m12.1d">3</annotation></semantics></math>, i.e. pairs and triplets of MUBs.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p3"> <p class="ltx_p" id="S1.p3.7">The maximal number of MUBs in <math alttext="\mathbb{C}^{d}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p3.1.m1.1"><semantics id="S1.p3.1.m1.1a"><msup id="S1.p3.1.m1.1.1" xref="S1.p3.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S1.p3.1.m1.1.1.2" xref="S1.p3.1.m1.1.1.2.cmml">ℂ</mi><mi id="S1.p3.1.m1.1.1.3" xref="S1.p3.1.m1.1.1.3.cmml">d</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p3.1.m1.1b"><apply id="S1.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.p3.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p3.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S1.p3.1.m1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S1.p3.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S1.p3.1.m1.1.1.2">ℂ</ci><ci id="S1.p3.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S1.p3.1.m1.1.1.3">𝑑</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p3.1.m1.1c">\mathbb{C}^{d}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p3.1.m1.1d">blackboard_C start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is known to be <math alttext="\leq d+1" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p3.2.m2.1"><semantics id="S1.p3.2.m2.1a"><mrow id="S1.p3.2.m2.1.1" xref="S1.p3.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S1.p3.2.m2.1.1.2" xref="S1.p3.2.m2.1.1.2.cmml"></mi><mo id="S1.p3.2.m2.1.1.1" xref="S1.p3.2.m2.1.1.1.cmml">≤</mo><mrow id="S1.p3.2.m2.1.1.3" xref="S1.p3.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S1.p3.2.m2.1.1.3.2" xref="S1.p3.2.m2.1.1.3.2.cmml">d</mi><mo id="S1.p3.2.m2.1.1.3.1" xref="S1.p3.2.m2.1.1.3.1.cmml">+</mo><mn id="S1.p3.2.m2.1.1.3.3" xref="S1.p3.2.m2.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p3.2.m2.1b"><apply id="S1.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S1.p3.2.m2.1.1"><leq id="S1.p3.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S1.p3.2.m2.1.1.1"></leq><csymbol cd="latexml" id="S1.p3.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S1.p3.2.m2.1.1.2">absent</csymbol><apply id="S1.p3.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S1.p3.2.m2.1.1.3"><plus id="S1.p3.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S1.p3.2.m2.1.1.3.1"></plus><ci id="S1.p3.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S1.p3.2.m2.1.1.3.2">𝑑</ci><cn id="S1.p3.2.m2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S1.p3.2.m2.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p3.2.m2.1c">\leq d+1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p3.2.m2.1d">≤ italic_d + 1</annotation></semantics></math> for every <math alttext="d" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p3.3.m3.1"><semantics id="S1.p3.3.m3.1a"><mi id="S1.p3.3.m3.1.1" xref="S1.p3.3.m3.1.1.cmml">d</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p3.3.m3.1b"><ci id="S1.p3.3.m3.1.1.cmml" xref="S1.p3.3.m3.1.1">𝑑</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p3.3.m3.1c">d</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p3.3.m3.1d">italic_d</annotation></semantics></math> (see e.g. <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#bib.bib2" title="">2</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#bib.bib5" title="">5</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#bib.bib31" title="">31</a>]</cite>), and to be exactly <math alttext="d+1" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p3.4.m4.1"><semantics id="S1.p3.4.m4.1a"><mrow id="S1.p3.4.m4.1.1" xref="S1.p3.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S1.p3.4.m4.1.1.2" xref="S1.p3.4.m4.1.1.2.cmml">d</mi><mo id="S1.p3.4.m4.1.1.1" xref="S1.p3.4.m4.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="S1.p3.4.m4.1.1.3" xref="S1.p3.4.m4.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p3.4.m4.1b"><apply id="S1.p3.4.m4.1.1.cmml" xref="S1.p3.4.m4.1.1"><plus id="S1.p3.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S1.p3.4.m4.1.1.1"></plus><ci id="S1.p3.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S1.p3.4.m4.1.1.2">𝑑</ci><cn id="S1.p3.4.m4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.p3.4.m4.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p3.4.m4.1c">d+1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p3.4.m4.1d">italic_d + 1</annotation></semantics></math> if <math alttext="d" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p3.5.m5.1"><semantics id="S1.p3.5.m5.1a"><mi id="S1.p3.5.m5.1.1" xref="S1.p3.5.m5.1.1.cmml">d</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p3.5.m5.1b"><ci id="S1.p3.5.m5.1.1.cmml" xref="S1.p3.5.m5.1.1">𝑑</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p3.5.m5.1c">d</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p3.5.m5.1d">italic_d</annotation></semantics></math> is a prime-power (see e.g. <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#bib.bib2" title="">2</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#bib.bib16" title="">16</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#bib.bib20" title="">20</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#bib.bib31" title="">31</a>]</cite>). The lowest dimension where the existence of a complete system of <math alttext="d+1" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p3.6.m6.1"><semantics id="S1.p3.6.m6.1a"><mrow id="S1.p3.6.m6.1.1" xref="S1.p3.6.m6.1.1.cmml"><mi id="S1.p3.6.m6.1.1.2" xref="S1.p3.6.m6.1.1.2.cmml">d</mi><mo id="S1.p3.6.m6.1.1.1" xref="S1.p3.6.m6.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="S1.p3.6.m6.1.1.3" xref="S1.p3.6.m6.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p3.6.m6.1b"><apply id="S1.p3.6.m6.1.1.cmml" xref="S1.p3.6.m6.1.1"><plus id="S1.p3.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S1.p3.6.m6.1.1.1"></plus><ci id="S1.p3.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S1.p3.6.m6.1.1.2">𝑑</ci><cn id="S1.p3.6.m6.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.p3.6.m6.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p3.6.m6.1c">d+1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p3.6.m6.1d">italic_d + 1</annotation></semantics></math> MUBs is not known is <math alttext="d=6" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p3.7.m7.1"><semantics id="S1.p3.7.m7.1a"><mrow id="S1.p3.7.m7.1.1" xref="S1.p3.7.m7.1.1.cmml"><mi id="S1.p3.7.m7.1.1.2" xref="S1.p3.7.m7.1.1.2.cmml">d</mi><mo id="S1.p3.7.m7.1.1.1" xref="S1.p3.7.m7.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S1.p3.7.m7.1.1.3" xref="S1.p3.7.m7.1.1.3.cmml">6</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p3.7.m7.1b"><apply id="S1.p3.7.m7.1.1.cmml" xref="S1.p3.7.m7.1.1"><eq id="S1.p3.7.m7.1.1.1.cmml" xref="S1.p3.7.m7.1.1.1"></eq><ci id="S1.p3.7.m7.1.1.2.cmml" xref="S1.p3.7.m7.1.1.2">𝑑</ci><cn id="S1.p3.7.m7.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.p3.7.m7.1.1.3">6</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p3.7.m7.1c">d=6</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p3.7.m7.1d">italic_d = 6</annotation></semantics></math>, where the maximal number of MUBs is conjectured to be 3 by Zauner <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#bib.bib32" title="">32</a>]</cite>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p4"> <p class="ltx_p" id="S1.p4.1">In this note we initiate a systematic study of triplets of MUBs. To this end, let us first introduce the natural notion of unitary equivalence between systems of MUBs. In notation, throughout the text we use <math alttext="[n]=\{1,2,\dots,n\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p4.1.m1.5"><semantics id="S1.p4.1.m1.5a"><mrow id="S1.p4.1.m1.5.6" xref="S1.p4.1.m1.5.6.cmml"><mrow id="S1.p4.1.m1.5.6.2.2" xref="S1.p4.1.m1.5.6.2.1.cmml"><mo id="S1.p4.1.m1.5.6.2.2.1" stretchy="false" xref="S1.p4.1.m1.5.6.2.1.1.cmml">[</mo><mi id="S1.p4.1.m1.1.1" xref="S1.p4.1.m1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S1.p4.1.m1.5.6.2.2.2" stretchy="false" xref="S1.p4.1.m1.5.6.2.1.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S1.p4.1.m1.5.6.1" xref="S1.p4.1.m1.5.6.1.cmml">=</mo><mrow id="S1.p4.1.m1.5.6.3.2" xref="S1.p4.1.m1.5.6.3.1.cmml"><mo id="S1.p4.1.m1.5.6.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.p4.1.m1.5.6.3.1.cmml">{</mo><mn id="S1.p4.1.m1.2.2" xref="S1.p4.1.m1.2.2.cmml">1</mn><mo id="S1.p4.1.m1.5.6.3.2.2" xref="S1.p4.1.m1.5.6.3.1.cmml">,</mo><mn id="S1.p4.1.m1.3.3" xref="S1.p4.1.m1.3.3.cmml">2</mn><mo id="S1.p4.1.m1.5.6.3.2.3" xref="S1.p4.1.m1.5.6.3.1.cmml">,</mo><mi id="S1.p4.1.m1.4.4" mathvariant="normal" xref="S1.p4.1.m1.4.4.cmml">…</mi><mo id="S1.p4.1.m1.5.6.3.2.4" xref="S1.p4.1.m1.5.6.3.1.cmml">,</mo><mi id="S1.p4.1.m1.5.5" xref="S1.p4.1.m1.5.5.cmml">n</mi><mo id="S1.p4.1.m1.5.6.3.2.5" stretchy="false" xref="S1.p4.1.m1.5.6.3.1.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p4.1.m1.5b"><apply id="S1.p4.1.m1.5.6.cmml" xref="S1.p4.1.m1.5.6"><eq id="S1.p4.1.m1.5.6.1.cmml" xref="S1.p4.1.m1.5.6.1"></eq><apply id="S1.p4.1.m1.5.6.2.1.cmml" xref="S1.p4.1.m1.5.6.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S1.p4.1.m1.5.6.2.1.1.cmml" xref="S1.p4.1.m1.5.6.2.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S1.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.p4.1.m1.1.1">𝑛</ci></apply><set id="S1.p4.1.m1.5.6.3.1.cmml" xref="S1.p4.1.m1.5.6.3.2"><cn id="S1.p4.1.m1.2.2.cmml" type="integer" xref="S1.p4.1.m1.2.2">1</cn><cn id="S1.p4.1.m1.3.3.cmml" type="integer" xref="S1.p4.1.m1.3.3">2</cn><ci id="S1.p4.1.m1.4.4.cmml" xref="S1.p4.1.m1.4.4">…</ci><ci id="S1.p4.1.m1.5.5.cmml" xref="S1.p4.1.m1.5.5">𝑛</ci></set></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p4.1.m1.5c">[n]=\{1,2,\dots,n\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p4.1.m1.5d">[ italic_n ] = { 1 , 2 , … , italic_n }</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_defi" id="S1.Thmfact1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S1.Thmfact1.1.1.1">Definition 1.1</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S1.Thmfact1.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="S1.Thmfact1.p1"> <p class="ltx_p" id="S1.Thmfact1.p1.14">Suppose <math alttext="X_{1}=(\mathbf{e}^{(1)}_{1},\ldots,\mathbf{e}^{(1)}_{d}),\dots,X_{m}=(\mathbf{% e}^{(m)}_{1},\ldots,\mathbf{e}^{(m)}_{d})" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.Thmfact1.p1.1.m1.9"><semantics id="S1.Thmfact1.p1.1.m1.9a"><mrow id="S1.Thmfact1.p1.1.m1.9.9.2" xref="S1.Thmfact1.p1.1.m1.9.9.3.cmml"><mrow id="S1.Thmfact1.p1.1.m1.8.8.1.1" xref="S1.Thmfact1.p1.1.m1.8.8.1.1.cmml"><msub id="S1.Thmfact1.p1.1.m1.8.8.1.1.3" xref="S1.Thmfact1.p1.1.m1.8.8.1.1.3.cmml"><mi id="S1.Thmfact1.p1.1.m1.8.8.1.1.3.2" xref="S1.Thmfact1.p1.1.m1.8.8.1.1.3.2.cmml">X</mi><mn id="S1.Thmfact1.p1.1.m1.8.8.1.1.3.3" xref="S1.Thmfact1.p1.1.m1.8.8.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S1.Thmfact1.p1.1.m1.8.8.1.1.2" xref="S1.Thmfact1.p1.1.m1.8.8.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S1.Thmfact1.p1.1.m1.8.8.1.1.1.1" xref="S1.Thmfact1.p1.1.m1.8.8.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S1.Thmfact1.p1.1.m1.8.8.1.1.1.1.1.2" xref="S1.Thmfact1.p1.1.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S1.Thmfact1.p1.1.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.3" stretchy="false" xref="S1.Thmfact1.p1.1.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><msubsup id="S1.Thmfact1.p1.1.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.Thmfact1.p1.1.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.Thmfact1.p1.1.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S1.Thmfact1.p1.1.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝐞</mi><mn id="S1.Thmfact1.p1.1.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S1.Thmfact1.p1.1.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn><mrow id="S1.Thmfact1.p1.1.m1.1.1.1.3" xref="S1.Thmfact1.p1.1.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S1.Thmfact1.p1.1.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S1.Thmfact1.p1.1.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mn id="S1.Thmfact1.p1.1.m1.1.1.1.1" xref="S1.Thmfact1.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S1.Thmfact1.p1.1.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S1.Thmfact1.p1.1.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S1.Thmfact1.p1.1.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.4" xref="S1.Thmfact1.p1.1.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.cmml">,</mo><mi id="S1.Thmfact1.p1.1.m1.5.5" mathvariant="normal" xref="S1.Thmfact1.p1.1.m1.5.5.cmml">…</mi><mo id="S1.Thmfact1.p1.1.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.5" xref="S1.Thmfact1.p1.1.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.cmml">,</mo><msubsup id="S1.Thmfact1.p1.1.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.2" xref="S1.Thmfact1.p1.1.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S1.Thmfact1.p1.1.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S1.Thmfact1.p1.1.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">𝐞</mi><mi id="S1.Thmfact1.p1.1.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S1.Thmfact1.p1.1.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">d</mi><mrow id="S1.Thmfact1.p1.1.m1.2.2.1.3" xref="S1.Thmfact1.p1.1.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mo id="S1.Thmfact1.p1.1.m1.2.2.1.3.1" stretchy="false" xref="S1.Thmfact1.p1.1.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.2.cmml">(</mo><mn id="S1.Thmfact1.p1.1.m1.2.2.1.1" xref="S1.Thmfact1.p1.1.m1.2.2.1.1.cmml">1</mn><mo id="S1.Thmfact1.p1.1.m1.2.2.1.3.2" stretchy="false" xref="S1.Thmfact1.p1.1.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S1.Thmfact1.p1.1.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.6" stretchy="false" xref="S1.Thmfact1.p1.1.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="S1.Thmfact1.p1.1.m1.8.8.1.1.1.1.2" xref="S1.Thmfact1.p1.1.m1.8.8.1.1.1.2.cmml">,</mo><mi id="S1.Thmfact1.p1.1.m1.7.7" mathvariant="normal" xref="S1.Thmfact1.p1.1.m1.7.7.cmml">…</mi></mrow></mrow><mo id="S1.Thmfact1.p1.1.m1.9.9.2.3" xref="S1.Thmfact1.p1.1.m1.9.9.3a.cmml">,</mo><mrow id="S1.Thmfact1.p1.1.m1.9.9.2.2" xref="S1.Thmfact1.p1.1.m1.9.9.2.2.cmml"><msub id="S1.Thmfact1.p1.1.m1.9.9.2.2.4" xref="S1.Thmfact1.p1.1.m1.9.9.2.2.4.cmml"><mi id="S1.Thmfact1.p1.1.m1.9.9.2.2.4.2" xref="S1.Thmfact1.p1.1.m1.9.9.2.2.4.2.cmml">X</mi><mi id="S1.Thmfact1.p1.1.m1.9.9.2.2.4.3" xref="S1.Thmfact1.p1.1.m1.9.9.2.2.4.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S1.Thmfact1.p1.1.m1.9.9.2.2.3" xref="S1.Thmfact1.p1.1.m1.9.9.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="S1.Thmfact1.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2" xref="S1.Thmfact1.p1.1.m1.9.9.2.2.2.3.cmml"><mo id="S1.Thmfact1.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S1.Thmfact1.p1.1.m1.9.9.2.2.2.3.cmml">(</mo><msubsup id="S1.Thmfact1.p1.1.m1.9.9.2.2.1.1.1" xref="S1.Thmfact1.p1.1.m1.9.9.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S1.Thmfact1.p1.1.m1.9.9.2.2.1.1.1.2.2" xref="S1.Thmfact1.p1.1.m1.9.9.2.2.1.1.1.2.2.cmml">𝐞</mi><mn id="S1.Thmfact1.p1.1.m1.9.9.2.2.1.1.1.3" xref="S1.Thmfact1.p1.1.m1.9.9.2.2.1.1.1.3.cmml">1</mn><mrow id="S1.Thmfact1.p1.1.m1.3.3.1.3" xref="S1.Thmfact1.p1.1.m1.9.9.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S1.Thmfact1.p1.1.m1.3.3.1.3.1" stretchy="false" xref="S1.Thmfact1.p1.1.m1.9.9.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S1.Thmfact1.p1.1.m1.3.3.1.1" xref="S1.Thmfact1.p1.1.m1.3.3.1.1.cmml">m</mi><mo id="S1.Thmfact1.p1.1.m1.3.3.1.3.2" stretchy="false" xref="S1.Thmfact1.p1.1.m1.9.9.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S1.Thmfact1.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.4" xref="S1.Thmfact1.p1.1.m1.9.9.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S1.Thmfact1.p1.1.m1.6.6" mathvariant="normal" xref="S1.Thmfact1.p1.1.m1.6.6.cmml">…</mi><mo id="S1.Thmfact1.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.5" xref="S1.Thmfact1.p1.1.m1.9.9.2.2.2.3.cmml">,</mo><msubsup id="S1.Thmfact1.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.2" xref="S1.Thmfact1.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S1.Thmfact1.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.2.2.2" xref="S1.Thmfact1.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.2.2.2.cmml">𝐞</mi><mi id="S1.Thmfact1.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.2.3" xref="S1.Thmfact1.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.2.3.cmml">d</mi><mrow id="S1.Thmfact1.p1.1.m1.4.4.1.3" xref="S1.Thmfact1.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.2.cmml"><mo id="S1.Thmfact1.p1.1.m1.4.4.1.3.1" stretchy="false" xref="S1.Thmfact1.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S1.Thmfact1.p1.1.m1.4.4.1.1" xref="S1.Thmfact1.p1.1.m1.4.4.1.1.cmml">m</mi><mo id="S1.Thmfact1.p1.1.m1.4.4.1.3.2" stretchy="false" xref="S1.Thmfact1.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S1.Thmfact1.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.6" stretchy="false" xref="S1.Thmfact1.p1.1.m1.9.9.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.Thmfact1.p1.1.m1.9b"><apply id="S1.Thmfact1.p1.1.m1.9.9.3.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.1.m1.9.9.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Thmfact1.p1.1.m1.9.9.3a.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.1.m1.9.9.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S1.Thmfact1.p1.1.m1.8.8.1.1.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.1.m1.8.8.1.1"><eq id="S1.Thmfact1.p1.1.m1.8.8.1.1.2.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.1.m1.8.8.1.1.2"></eq><apply id="S1.Thmfact1.p1.1.m1.8.8.1.1.3.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.1.m1.8.8.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Thmfact1.p1.1.m1.8.8.1.1.3.1.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.1.m1.8.8.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S1.Thmfact1.p1.1.m1.8.8.1.1.3.2.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.1.m1.8.8.1.1.3.2">𝑋</ci><cn id="S1.Thmfact1.p1.1.m1.8.8.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S1.Thmfact1.p1.1.m1.8.8.1.1.3.3">1</cn></apply><list id="S1.Thmfact1.p1.1.m1.8.8.1.1.1.2.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.1.m1.8.8.1.1.1.1"><vector id="S1.Thmfact1.p1.1.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.1.m1.8.8.1.1.1.1.1.2"><apply id="S1.Thmfact1.p1.1.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.1.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Thmfact1.p1.1.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.1.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S1.Thmfact1.p1.1.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.1.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Thmfact1.p1.1.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.1.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S1.Thmfact1.p1.1.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.1.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝐞</ci><cn id="S1.Thmfact1.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S1.Thmfact1.p1.1.m1.1.1.1.1">1</cn></apply><cn id="S1.Thmfact1.p1.1.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.Thmfact1.p1.1.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S1.Thmfact1.p1.1.m1.5.5.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.1.m1.5.5">…</ci><apply id="S1.Thmfact1.p1.1.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.1.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Thmfact1.p1.1.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.1.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><apply id="S1.Thmfact1.p1.1.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.1.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Thmfact1.p1.1.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.1.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S1.Thmfact1.p1.1.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.1.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.2.2.2">𝐞</ci><cn id="S1.Thmfact1.p1.1.m1.2.2.1.1.cmml" type="integer" xref="S1.Thmfact1.p1.1.m1.2.2.1.1">1</cn></apply><ci id="S1.Thmfact1.p1.1.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.1.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.2.3">𝑑</ci></apply></vector><ci id="S1.Thmfact1.p1.1.m1.7.7.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.1.m1.7.7">…</ci></list></apply><apply id="S1.Thmfact1.p1.1.m1.9.9.2.2.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.1.m1.9.9.2.2"><eq id="S1.Thmfact1.p1.1.m1.9.9.2.2.3.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.1.m1.9.9.2.2.3"></eq><apply id="S1.Thmfact1.p1.1.m1.9.9.2.2.4.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.1.m1.9.9.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Thmfact1.p1.1.m1.9.9.2.2.4.1.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.1.m1.9.9.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S1.Thmfact1.p1.1.m1.9.9.2.2.4.2.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.1.m1.9.9.2.2.4.2">𝑋</ci><ci id="S1.Thmfact1.p1.1.m1.9.9.2.2.4.3.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.1.m1.9.9.2.2.4.3">𝑚</ci></apply><vector id="S1.Thmfact1.p1.1.m1.9.9.2.2.2.3.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2"><apply id="S1.Thmfact1.p1.1.m1.9.9.2.2.1.1.1.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.1.m1.9.9.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Thmfact1.p1.1.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.1.m1.9.9.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S1.Thmfact1.p1.1.m1.9.9.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.1.m1.9.9.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Thmfact1.p1.1.m1.9.9.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.1.m1.9.9.2.2.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S1.Thmfact1.p1.1.m1.9.9.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.1.m1.9.9.2.2.1.1.1.2.2">𝐞</ci><ci id="S1.Thmfact1.p1.1.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.1.m1.3.3.1.1">𝑚</ci></apply><cn id="S1.Thmfact1.p1.1.m1.9.9.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.Thmfact1.p1.1.m1.9.9.2.2.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S1.Thmfact1.p1.1.m1.6.6.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.1.m1.6.6">…</ci><apply id="S1.Thmfact1.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.2.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Thmfact1.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S1.Thmfact1.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Thmfact1.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S1.Thmfact1.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.2.2.2">𝐞</ci><ci id="S1.Thmfact1.p1.1.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.1.m1.4.4.1.1">𝑚</ci></apply><ci id="S1.Thmfact1.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.1.m1.9.9.2.2.2.2.2.3">𝑑</ci></apply></vector></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.Thmfact1.p1.1.m1.9c">X_{1}=(\mathbf{e}^{(1)}_{1},\ldots,\mathbf{e}^{(1)}_{d}),\dots,X_{m}=(\mathbf{% e}^{(m)}_{1},\ldots,\mathbf{e}^{(m)}_{d})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.Thmfact1.p1.1.m1.9d">italic_X start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT = ( bold_e start_POSTSUPERSCRIPT ( 1 ) end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , bold_e start_POSTSUPERSCRIPT ( 1 ) end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_d end_POSTSUBSCRIPT ) , … , italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT = ( bold_e start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_m ) end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , bold_e start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_m ) end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_d end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> and <math alttext="Y_{1}=(\mathbf{f}^{(1)}_{1},\ldots,\mathbf{f}^{(1)}_{d})" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.Thmfact1.p1.2.m2.5"><semantics id="S1.Thmfact1.p1.2.m2.5a"><mrow id="S1.Thmfact1.p1.2.m2.5.5" xref="S1.Thmfact1.p1.2.m2.5.5.cmml"><msub id="S1.Thmfact1.p1.2.m2.5.5.4" xref="S1.Thmfact1.p1.2.m2.5.5.4.cmml"><mi id="S1.Thmfact1.p1.2.m2.5.5.4.2" xref="S1.Thmfact1.p1.2.m2.5.5.4.2.cmml">Y</mi><mn id="S1.Thmfact1.p1.2.m2.5.5.4.3" xref="S1.Thmfact1.p1.2.m2.5.5.4.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S1.Thmfact1.p1.2.m2.5.5.3" xref="S1.Thmfact1.p1.2.m2.5.5.3.cmml">=</mo><mrow id="S1.Thmfact1.p1.2.m2.5.5.2.2" xref="S1.Thmfact1.p1.2.m2.5.5.2.3.cmml"><mo id="S1.Thmfact1.p1.2.m2.5.5.2.2.3" stretchy="false" xref="S1.Thmfact1.p1.2.m2.5.5.2.3.cmml">(</mo><msubsup id="S1.Thmfact1.p1.2.m2.4.4.1.1.1" xref="S1.Thmfact1.p1.2.m2.4.4.1.1.1.cmml"><mi id="S1.Thmfact1.p1.2.m2.4.4.1.1.1.2.2" xref="S1.Thmfact1.p1.2.m2.4.4.1.1.1.2.2.cmml">𝐟</mi><mn id="S1.Thmfact1.p1.2.m2.4.4.1.1.1.3" xref="S1.Thmfact1.p1.2.m2.4.4.1.1.1.3.cmml">1</mn><mrow id="S1.Thmfact1.p1.2.m2.1.1.1.3" xref="S1.Thmfact1.p1.2.m2.4.4.1.1.1.cmml"><mo id="S1.Thmfact1.p1.2.m2.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S1.Thmfact1.p1.2.m2.4.4.1.1.1.cmml">(</mo><mn id="S1.Thmfact1.p1.2.m2.1.1.1.1" xref="S1.Thmfact1.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S1.Thmfact1.p1.2.m2.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S1.Thmfact1.p1.2.m2.4.4.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S1.Thmfact1.p1.2.m2.5.5.2.2.4" xref="S1.Thmfact1.p1.2.m2.5.5.2.3.cmml">,</mo><mi id="S1.Thmfact1.p1.2.m2.3.3" mathvariant="normal" xref="S1.Thmfact1.p1.2.m2.3.3.cmml">…</mi><mo id="S1.Thmfact1.p1.2.m2.5.5.2.2.5" xref="S1.Thmfact1.p1.2.m2.5.5.2.3.cmml">,</mo><msubsup id="S1.Thmfact1.p1.2.m2.5.5.2.2.2" xref="S1.Thmfact1.p1.2.m2.5.5.2.2.2.cmml"><mi id="S1.Thmfact1.p1.2.m2.5.5.2.2.2.2.2" xref="S1.Thmfact1.p1.2.m2.5.5.2.2.2.2.2.cmml">𝐟</mi><mi id="S1.Thmfact1.p1.2.m2.5.5.2.2.2.3" xref="S1.Thmfact1.p1.2.m2.5.5.2.2.2.3.cmml">d</mi><mrow id="S1.Thmfact1.p1.2.m2.2.2.1.3" xref="S1.Thmfact1.p1.2.m2.5.5.2.2.2.cmml"><mo id="S1.Thmfact1.p1.2.m2.2.2.1.3.1" stretchy="false" xref="S1.Thmfact1.p1.2.m2.5.5.2.2.2.cmml">(</mo><mn id="S1.Thmfact1.p1.2.m2.2.2.1.1" xref="S1.Thmfact1.p1.2.m2.2.2.1.1.cmml">1</mn><mo id="S1.Thmfact1.p1.2.m2.2.2.1.3.2" stretchy="false" xref="S1.Thmfact1.p1.2.m2.5.5.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S1.Thmfact1.p1.2.m2.5.5.2.2.6" stretchy="false" xref="S1.Thmfact1.p1.2.m2.5.5.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.Thmfact1.p1.2.m2.5b"><apply id="S1.Thmfact1.p1.2.m2.5.5.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.2.m2.5.5"><eq id="S1.Thmfact1.p1.2.m2.5.5.3.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.2.m2.5.5.3"></eq><apply id="S1.Thmfact1.p1.2.m2.5.5.4.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.2.m2.5.5.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Thmfact1.p1.2.m2.5.5.4.1.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.2.m2.5.5.4">subscript</csymbol><ci id="S1.Thmfact1.p1.2.m2.5.5.4.2.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.2.m2.5.5.4.2">𝑌</ci><cn id="S1.Thmfact1.p1.2.m2.5.5.4.3.cmml" type="integer" xref="S1.Thmfact1.p1.2.m2.5.5.4.3">1</cn></apply><vector id="S1.Thmfact1.p1.2.m2.5.5.2.3.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.2.m2.5.5.2.2"><apply id="S1.Thmfact1.p1.2.m2.4.4.1.1.1.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.2.m2.4.4.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Thmfact1.p1.2.m2.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.2.m2.4.4.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S1.Thmfact1.p1.2.m2.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.2.m2.4.4.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Thmfact1.p1.2.m2.4.4.1.1.1.2.1.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.2.m2.4.4.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S1.Thmfact1.p1.2.m2.4.4.1.1.1.2.2.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.2.m2.4.4.1.1.1.2.2">𝐟</ci><cn id="S1.Thmfact1.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S1.Thmfact1.p1.2.m2.1.1.1.1">1</cn></apply><cn id="S1.Thmfact1.p1.2.m2.4.4.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.Thmfact1.p1.2.m2.4.4.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S1.Thmfact1.p1.2.m2.3.3.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.2.m2.3.3">…</ci><apply id="S1.Thmfact1.p1.2.m2.5.5.2.2.2.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.2.m2.5.5.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Thmfact1.p1.2.m2.5.5.2.2.2.1.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.2.m2.5.5.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S1.Thmfact1.p1.2.m2.5.5.2.2.2.2.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.2.m2.5.5.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Thmfact1.p1.2.m2.5.5.2.2.2.2.1.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.2.m2.5.5.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S1.Thmfact1.p1.2.m2.5.5.2.2.2.2.2.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.2.m2.5.5.2.2.2.2.2">𝐟</ci><cn id="S1.Thmfact1.p1.2.m2.2.2.1.1.cmml" type="integer" xref="S1.Thmfact1.p1.2.m2.2.2.1.1">1</cn></apply><ci id="S1.Thmfact1.p1.2.m2.5.5.2.2.2.3.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.2.m2.5.5.2.2.2.3">𝑑</ci></apply></vector></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.Thmfact1.p1.2.m2.5c">Y_{1}=(\mathbf{f}^{(1)}_{1},\ldots,\mathbf{f}^{(1)}_{d})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.Thmfact1.p1.2.m2.5d">italic_Y start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT = ( bold_f start_POSTSUPERSCRIPT ( 1 ) end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , bold_f start_POSTSUPERSCRIPT ( 1 ) end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_d end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math>, <math alttext="\dots" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.Thmfact1.p1.3.m3.1"><semantics id="S1.Thmfact1.p1.3.m3.1a"><mi id="S1.Thmfact1.p1.3.m3.1.1" mathvariant="normal" xref="S1.Thmfact1.p1.3.m3.1.1.cmml">…</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.Thmfact1.p1.3.m3.1b"><ci id="S1.Thmfact1.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.3.m3.1.1">…</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.Thmfact1.p1.3.m3.1c">\dots</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.Thmfact1.p1.3.m3.1d">…</annotation></semantics></math>, <math alttext="Y_{m}=(\mathbf{f}^{(m)}_{1},\ldots,\mathbf{f}^{(m)}_{d})" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.Thmfact1.p1.4.m4.5"><semantics id="S1.Thmfact1.p1.4.m4.5a"><mrow id="S1.Thmfact1.p1.4.m4.5.5" xref="S1.Thmfact1.p1.4.m4.5.5.cmml"><msub id="S1.Thmfact1.p1.4.m4.5.5.4" xref="S1.Thmfact1.p1.4.m4.5.5.4.cmml"><mi id="S1.Thmfact1.p1.4.m4.5.5.4.2" xref="S1.Thmfact1.p1.4.m4.5.5.4.2.cmml">Y</mi><mi id="S1.Thmfact1.p1.4.m4.5.5.4.3" xref="S1.Thmfact1.p1.4.m4.5.5.4.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S1.Thmfact1.p1.4.m4.5.5.3" xref="S1.Thmfact1.p1.4.m4.5.5.3.cmml">=</mo><mrow id="S1.Thmfact1.p1.4.m4.5.5.2.2" xref="S1.Thmfact1.p1.4.m4.5.5.2.3.cmml"><mo id="S1.Thmfact1.p1.4.m4.5.5.2.2.3" stretchy="false" xref="S1.Thmfact1.p1.4.m4.5.5.2.3.cmml">(</mo><msubsup id="S1.Thmfact1.p1.4.m4.4.4.1.1.1" xref="S1.Thmfact1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.cmml"><mi id="S1.Thmfact1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.2.2" xref="S1.Thmfact1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.2.2.cmml">𝐟</mi><mn id="S1.Thmfact1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.3" xref="S1.Thmfact1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.3.cmml">1</mn><mrow id="S1.Thmfact1.p1.4.m4.1.1.1.3" xref="S1.Thmfact1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.cmml"><mo id="S1.Thmfact1.p1.4.m4.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S1.Thmfact1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S1.Thmfact1.p1.4.m4.1.1.1.1" xref="S1.Thmfact1.p1.4.m4.1.1.1.1.cmml">m</mi><mo id="S1.Thmfact1.p1.4.m4.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S1.Thmfact1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S1.Thmfact1.p1.4.m4.5.5.2.2.4" xref="S1.Thmfact1.p1.4.m4.5.5.2.3.cmml">,</mo><mi id="S1.Thmfact1.p1.4.m4.3.3" mathvariant="normal" xref="S1.Thmfact1.p1.4.m4.3.3.cmml">…</mi><mo id="S1.Thmfact1.p1.4.m4.5.5.2.2.5" xref="S1.Thmfact1.p1.4.m4.5.5.2.3.cmml">,</mo><msubsup id="S1.Thmfact1.p1.4.m4.5.5.2.2.2" xref="S1.Thmfact1.p1.4.m4.5.5.2.2.2.cmml"><mi id="S1.Thmfact1.p1.4.m4.5.5.2.2.2.2.2" xref="S1.Thmfact1.p1.4.m4.5.5.2.2.2.2.2.cmml">𝐟</mi><mi id="S1.Thmfact1.p1.4.m4.5.5.2.2.2.3" xref="S1.Thmfact1.p1.4.m4.5.5.2.2.2.3.cmml">d</mi><mrow id="S1.Thmfact1.p1.4.m4.2.2.1.3" xref="S1.Thmfact1.p1.4.m4.5.5.2.2.2.cmml"><mo id="S1.Thmfact1.p1.4.m4.2.2.1.3.1" stretchy="false" xref="S1.Thmfact1.p1.4.m4.5.5.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S1.Thmfact1.p1.4.m4.2.2.1.1" xref="S1.Thmfact1.p1.4.m4.2.2.1.1.cmml">m</mi><mo id="S1.Thmfact1.p1.4.m4.2.2.1.3.2" stretchy="false" xref="S1.Thmfact1.p1.4.m4.5.5.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S1.Thmfact1.p1.4.m4.5.5.2.2.6" stretchy="false" xref="S1.Thmfact1.p1.4.m4.5.5.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.Thmfact1.p1.4.m4.5b"><apply id="S1.Thmfact1.p1.4.m4.5.5.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.4.m4.5.5"><eq id="S1.Thmfact1.p1.4.m4.5.5.3.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.4.m4.5.5.3"></eq><apply id="S1.Thmfact1.p1.4.m4.5.5.4.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.4.m4.5.5.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Thmfact1.p1.4.m4.5.5.4.1.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.4.m4.5.5.4">subscript</csymbol><ci id="S1.Thmfact1.p1.4.m4.5.5.4.2.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.4.m4.5.5.4.2">𝑌</ci><ci id="S1.Thmfact1.p1.4.m4.5.5.4.3.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.4.m4.5.5.4.3">𝑚</ci></apply><vector id="S1.Thmfact1.p1.4.m4.5.5.2.3.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.4.m4.5.5.2.2"><apply id="S1.Thmfact1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.4.m4.4.4.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Thmfact1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.4.m4.4.4.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S1.Thmfact1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.4.m4.4.4.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Thmfact1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.2.1.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.4.m4.4.4.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S1.Thmfact1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.2.2.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.2.2">𝐟</ci><ci id="S1.Thmfact1.p1.4.m4.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.4.m4.1.1.1.1">𝑚</ci></apply><cn id="S1.Thmfact1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.Thmfact1.p1.4.m4.4.4.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S1.Thmfact1.p1.4.m4.3.3.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.4.m4.3.3">…</ci><apply id="S1.Thmfact1.p1.4.m4.5.5.2.2.2.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.4.m4.5.5.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Thmfact1.p1.4.m4.5.5.2.2.2.1.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.4.m4.5.5.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S1.Thmfact1.p1.4.m4.5.5.2.2.2.2.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.4.m4.5.5.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Thmfact1.p1.4.m4.5.5.2.2.2.2.1.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.4.m4.5.5.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S1.Thmfact1.p1.4.m4.5.5.2.2.2.2.2.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.4.m4.5.5.2.2.2.2.2">𝐟</ci><ci id="S1.Thmfact1.p1.4.m4.2.2.1.1.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.4.m4.2.2.1.1">𝑚</ci></apply><ci id="S1.Thmfact1.p1.4.m4.5.5.2.2.2.3.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.4.m4.5.5.2.2.2.3">𝑑</ci></apply></vector></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.Thmfact1.p1.4.m4.5c">Y_{m}=(\mathbf{f}^{(m)}_{1},\ldots,\mathbf{f}^{(m)}_{d})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.Thmfact1.p1.4.m4.5d">italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT = ( bold_f start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_m ) end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , bold_f start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_m ) end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_d end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> are two system of mutually unbiased bases. Let <math alttext="P^{(k)}_{j}=|\mathbf{e}^{(k)}_{j}\rangle\langle\mathbf{e}^{(k)}_{j}|" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.Thmfact1.p1.5.m5.5"><semantics id="S1.Thmfact1.p1.5.m5.5a"><mrow id="S1.Thmfact1.p1.5.m5.5.5" xref="S1.Thmfact1.p1.5.m5.5.5.cmml"><msubsup id="S1.Thmfact1.p1.5.m5.5.5.4" xref="S1.Thmfact1.p1.5.m5.5.5.4.cmml"><mi id="S1.Thmfact1.p1.5.m5.5.5.4.2.2" xref="S1.Thmfact1.p1.5.m5.5.5.4.2.2.cmml">P</mi><mi id="S1.Thmfact1.p1.5.m5.5.5.4.3" xref="S1.Thmfact1.p1.5.m5.5.5.4.3.cmml">j</mi><mrow id="S1.Thmfact1.p1.5.m5.1.1.1.3" xref="S1.Thmfact1.p1.5.m5.5.5.4.cmml"><mo id="S1.Thmfact1.p1.5.m5.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S1.Thmfact1.p1.5.m5.5.5.4.cmml">(</mo><mi id="S1.Thmfact1.p1.5.m5.1.1.1.1" xref="S1.Thmfact1.p1.5.m5.1.1.1.1.cmml">k</mi><mo id="S1.Thmfact1.p1.5.m5.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S1.Thmfact1.p1.5.m5.5.5.4.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S1.Thmfact1.p1.5.m5.5.5.3" xref="S1.Thmfact1.p1.5.m5.5.5.3.cmml">=</mo><mrow id="S1.Thmfact1.p1.5.m5.5.5.2" xref="S1.Thmfact1.p1.5.m5.5.5.2.cmml"><mrow id="S1.Thmfact1.p1.5.m5.4.4.1.1.1" xref="S1.Thmfact1.p1.5.m5.4.4.1.1.2.cmml"><mo id="S1.Thmfact1.p1.5.m5.4.4.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.Thmfact1.p1.5.m5.4.4.1.1.2.1.cmml">|</mo><msubsup id="S1.Thmfact1.p1.5.m5.4.4.1.1.1.1" xref="S1.Thmfact1.p1.5.m5.4.4.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.Thmfact1.p1.5.m5.4.4.1.1.1.1.2.2" xref="S1.Thmfact1.p1.5.m5.4.4.1.1.1.1.2.2.cmml">𝐞</mi><mi id="S1.Thmfact1.p1.5.m5.4.4.1.1.1.1.3" xref="S1.Thmfact1.p1.5.m5.4.4.1.1.1.1.3.cmml">j</mi><mrow id="S1.Thmfact1.p1.5.m5.2.2.1.3" xref="S1.Thmfact1.p1.5.m5.4.4.1.1.1.1.cmml"><mo id="S1.Thmfact1.p1.5.m5.2.2.1.3.1" stretchy="false" xref="S1.Thmfact1.p1.5.m5.4.4.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S1.Thmfact1.p1.5.m5.2.2.1.1" xref="S1.Thmfact1.p1.5.m5.2.2.1.1.cmml">k</mi><mo id="S1.Thmfact1.p1.5.m5.2.2.1.3.2" stretchy="false" xref="S1.Thmfact1.p1.5.m5.4.4.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S1.Thmfact1.p1.5.m5.4.4.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.Thmfact1.p1.5.m5.4.4.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S1.Thmfact1.p1.5.m5.5.5.2.3" xref="S1.Thmfact1.p1.5.m5.5.5.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.Thmfact1.p1.5.m5.5.5.2.2.1" xref="S1.Thmfact1.p1.5.m5.5.5.2.2.2.cmml"><mo id="S1.Thmfact1.p1.5.m5.5.5.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S1.Thmfact1.p1.5.m5.5.5.2.2.2.1.cmml">⟨</mo><msubsup id="S1.Thmfact1.p1.5.m5.5.5.2.2.1.1" xref="S1.Thmfact1.p1.5.m5.5.5.2.2.1.1.cmml"><mi id="S1.Thmfact1.p1.5.m5.5.5.2.2.1.1.2.2" xref="S1.Thmfact1.p1.5.m5.5.5.2.2.1.1.2.2.cmml">𝐞</mi><mi id="S1.Thmfact1.p1.5.m5.5.5.2.2.1.1.3" xref="S1.Thmfact1.p1.5.m5.5.5.2.2.1.1.3.cmml">j</mi><mrow id="S1.Thmfact1.p1.5.m5.3.3.1.3" xref="S1.Thmfact1.p1.5.m5.5.5.2.2.1.1.cmml"><mo id="S1.Thmfact1.p1.5.m5.3.3.1.3.1" stretchy="false" xref="S1.Thmfact1.p1.5.m5.5.5.2.2.1.1.cmml">(</mo><mi id="S1.Thmfact1.p1.5.m5.3.3.1.1" xref="S1.Thmfact1.p1.5.m5.3.3.1.1.cmml">k</mi><mo id="S1.Thmfact1.p1.5.m5.3.3.1.3.2" stretchy="false" xref="S1.Thmfact1.p1.5.m5.5.5.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S1.Thmfact1.p1.5.m5.5.5.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S1.Thmfact1.p1.5.m5.5.5.2.2.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.Thmfact1.p1.5.m5.5b"><apply id="S1.Thmfact1.p1.5.m5.5.5.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.5.m5.5.5"><eq id="S1.Thmfact1.p1.5.m5.5.5.3.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.5.m5.5.5.3"></eq><apply id="S1.Thmfact1.p1.5.m5.5.5.4.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.5.m5.5.5.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Thmfact1.p1.5.m5.5.5.4.1.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.5.m5.5.5.4">subscript</csymbol><apply id="S1.Thmfact1.p1.5.m5.5.5.4.2.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.5.m5.5.5.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Thmfact1.p1.5.m5.5.5.4.2.1.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.5.m5.5.5.4">superscript</csymbol><ci id="S1.Thmfact1.p1.5.m5.5.5.4.2.2.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.5.m5.5.5.4.2.2">𝑃</ci><ci id="S1.Thmfact1.p1.5.m5.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.5.m5.1.1.1.1">𝑘</ci></apply><ci id="S1.Thmfact1.p1.5.m5.5.5.4.3.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.5.m5.5.5.4.3">𝑗</ci></apply><apply id="S1.Thmfact1.p1.5.m5.5.5.2.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.5.m5.5.5.2"><times id="S1.Thmfact1.p1.5.m5.5.5.2.3.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.5.m5.5.5.2.3"></times><apply id="S1.Thmfact1.p1.5.m5.4.4.1.1.2.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.5.m5.4.4.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S1.Thmfact1.p1.5.m5.4.4.1.1.2.1.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.5.m5.4.4.1.1.1.2">ket</csymbol><apply id="S1.Thmfact1.p1.5.m5.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.5.m5.4.4.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Thmfact1.p1.5.m5.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.5.m5.4.4.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S1.Thmfact1.p1.5.m5.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.5.m5.4.4.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Thmfact1.p1.5.m5.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.5.m5.4.4.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S1.Thmfact1.p1.5.m5.4.4.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.5.m5.4.4.1.1.1.1.2.2">𝐞</ci><ci id="S1.Thmfact1.p1.5.m5.2.2.1.1.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.5.m5.2.2.1.1">𝑘</ci></apply><ci id="S1.Thmfact1.p1.5.m5.4.4.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.5.m5.4.4.1.1.1.1.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S1.Thmfact1.p1.5.m5.5.5.2.2.2.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.5.m5.5.5.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S1.Thmfact1.p1.5.m5.5.5.2.2.2.1.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.5.m5.5.5.2.2.1.2">bra</csymbol><apply id="S1.Thmfact1.p1.5.m5.5.5.2.2.1.1.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.5.m5.5.5.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Thmfact1.p1.5.m5.5.5.2.2.1.1.1.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.5.m5.5.5.2.2.1.1">subscript</csymbol><apply id="S1.Thmfact1.p1.5.m5.5.5.2.2.1.1.2.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.5.m5.5.5.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Thmfact1.p1.5.m5.5.5.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.5.m5.5.5.2.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S1.Thmfact1.p1.5.m5.5.5.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.5.m5.5.5.2.2.1.1.2.2">𝐞</ci><ci id="S1.Thmfact1.p1.5.m5.3.3.1.1.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.5.m5.3.3.1.1">𝑘</ci></apply><ci id="S1.Thmfact1.p1.5.m5.5.5.2.2.1.1.3.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.5.m5.5.5.2.2.1.1.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.Thmfact1.p1.5.m5.5c">P^{(k)}_{j}=|\mathbf{e}^{(k)}_{j}\rangle\langle\mathbf{e}^{(k)}_{j}|</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.Thmfact1.p1.5.m5.5d">italic_P start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_k ) end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT = | bold_e start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_k ) end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ⟩ ⟨ bold_e start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_k ) end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT |</annotation></semantics></math> be the orthogonal projection onto the 1-dimensional subspace spanned by <math alttext="\mathbf{e}^{(k)}_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.Thmfact1.p1.6.m6.1"><semantics id="S1.Thmfact1.p1.6.m6.1a"><msubsup id="S1.Thmfact1.p1.6.m6.1.2" xref="S1.Thmfact1.p1.6.m6.1.2.cmml"><mi id="S1.Thmfact1.p1.6.m6.1.2.2.2" xref="S1.Thmfact1.p1.6.m6.1.2.2.2.cmml">𝐞</mi><mi id="S1.Thmfact1.p1.6.m6.1.2.3" xref="S1.Thmfact1.p1.6.m6.1.2.3.cmml">j</mi><mrow id="S1.Thmfact1.p1.6.m6.1.1.1.3" xref="S1.Thmfact1.p1.6.m6.1.2.cmml"><mo id="S1.Thmfact1.p1.6.m6.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S1.Thmfact1.p1.6.m6.1.2.cmml">(</mo><mi id="S1.Thmfact1.p1.6.m6.1.1.1.1" xref="S1.Thmfact1.p1.6.m6.1.1.1.1.cmml">k</mi><mo id="S1.Thmfact1.p1.6.m6.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S1.Thmfact1.p1.6.m6.1.2.cmml">)</mo></mrow></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.Thmfact1.p1.6.m6.1b"><apply id="S1.Thmfact1.p1.6.m6.1.2.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.6.m6.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Thmfact1.p1.6.m6.1.2.1.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.6.m6.1.2">subscript</csymbol><apply id="S1.Thmfact1.p1.6.m6.1.2.2.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.6.m6.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Thmfact1.p1.6.m6.1.2.2.1.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.6.m6.1.2">superscript</csymbol><ci id="S1.Thmfact1.p1.6.m6.1.2.2.2.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.6.m6.1.2.2.2">𝐞</ci><ci id="S1.Thmfact1.p1.6.m6.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.6.m6.1.1.1.1">𝑘</ci></apply><ci id="S1.Thmfact1.p1.6.m6.1.2.3.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.6.m6.1.2.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.Thmfact1.p1.6.m6.1c">\mathbf{e}^{(k)}_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.Thmfact1.p1.6.m6.1d">bold_e start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_k ) end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and, similarly, <math alttext="\tilde{P}^{(k)}_{j}=|\mathbf{f}^{(k)}_{j}\rangle\langle\mathbf{f}^{(k)}_{j}|" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.Thmfact1.p1.7.m7.5"><semantics id="S1.Thmfact1.p1.7.m7.5a"><mrow id="S1.Thmfact1.p1.7.m7.5.5" xref="S1.Thmfact1.p1.7.m7.5.5.cmml"><msubsup id="S1.Thmfact1.p1.7.m7.5.5.4" xref="S1.Thmfact1.p1.7.m7.5.5.4.cmml"><mover accent="true" id="S1.Thmfact1.p1.7.m7.5.5.4.2.2" xref="S1.Thmfact1.p1.7.m7.5.5.4.2.2.cmml"><mi id="S1.Thmfact1.p1.7.m7.5.5.4.2.2.2" xref="S1.Thmfact1.p1.7.m7.5.5.4.2.2.2.cmml">P</mi><mo id="S1.Thmfact1.p1.7.m7.5.5.4.2.2.1" xref="S1.Thmfact1.p1.7.m7.5.5.4.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S1.Thmfact1.p1.7.m7.5.5.4.3" xref="S1.Thmfact1.p1.7.m7.5.5.4.3.cmml">j</mi><mrow id="S1.Thmfact1.p1.7.m7.1.1.1.3" xref="S1.Thmfact1.p1.7.m7.5.5.4.cmml"><mo id="S1.Thmfact1.p1.7.m7.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S1.Thmfact1.p1.7.m7.5.5.4.cmml">(</mo><mi id="S1.Thmfact1.p1.7.m7.1.1.1.1" xref="S1.Thmfact1.p1.7.m7.1.1.1.1.cmml">k</mi><mo id="S1.Thmfact1.p1.7.m7.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S1.Thmfact1.p1.7.m7.5.5.4.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S1.Thmfact1.p1.7.m7.5.5.3" xref="S1.Thmfact1.p1.7.m7.5.5.3.cmml">=</mo><mrow id="S1.Thmfact1.p1.7.m7.5.5.2" xref="S1.Thmfact1.p1.7.m7.5.5.2.cmml"><mrow id="S1.Thmfact1.p1.7.m7.4.4.1.1.1" xref="S1.Thmfact1.p1.7.m7.4.4.1.1.2.cmml"><mo id="S1.Thmfact1.p1.7.m7.4.4.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.Thmfact1.p1.7.m7.4.4.1.1.2.1.cmml">|</mo><msubsup id="S1.Thmfact1.p1.7.m7.4.4.1.1.1.1" xref="S1.Thmfact1.p1.7.m7.4.4.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.Thmfact1.p1.7.m7.4.4.1.1.1.1.2.2" xref="S1.Thmfact1.p1.7.m7.4.4.1.1.1.1.2.2.cmml">𝐟</mi><mi id="S1.Thmfact1.p1.7.m7.4.4.1.1.1.1.3" xref="S1.Thmfact1.p1.7.m7.4.4.1.1.1.1.3.cmml">j</mi><mrow id="S1.Thmfact1.p1.7.m7.2.2.1.3" xref="S1.Thmfact1.p1.7.m7.4.4.1.1.1.1.cmml"><mo id="S1.Thmfact1.p1.7.m7.2.2.1.3.1" stretchy="false" xref="S1.Thmfact1.p1.7.m7.4.4.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S1.Thmfact1.p1.7.m7.2.2.1.1" xref="S1.Thmfact1.p1.7.m7.2.2.1.1.cmml">k</mi><mo id="S1.Thmfact1.p1.7.m7.2.2.1.3.2" stretchy="false" xref="S1.Thmfact1.p1.7.m7.4.4.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S1.Thmfact1.p1.7.m7.4.4.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.Thmfact1.p1.7.m7.4.4.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S1.Thmfact1.p1.7.m7.5.5.2.3" xref="S1.Thmfact1.p1.7.m7.5.5.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.Thmfact1.p1.7.m7.5.5.2.2.1" xref="S1.Thmfact1.p1.7.m7.5.5.2.2.2.cmml"><mo id="S1.Thmfact1.p1.7.m7.5.5.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S1.Thmfact1.p1.7.m7.5.5.2.2.2.1.cmml">⟨</mo><msubsup id="S1.Thmfact1.p1.7.m7.5.5.2.2.1.1" xref="S1.Thmfact1.p1.7.m7.5.5.2.2.1.1.cmml"><mi id="S1.Thmfact1.p1.7.m7.5.5.2.2.1.1.2.2" xref="S1.Thmfact1.p1.7.m7.5.5.2.2.1.1.2.2.cmml">𝐟</mi><mi id="S1.Thmfact1.p1.7.m7.5.5.2.2.1.1.3" xref="S1.Thmfact1.p1.7.m7.5.5.2.2.1.1.3.cmml">j</mi><mrow id="S1.Thmfact1.p1.7.m7.3.3.1.3" xref="S1.Thmfact1.p1.7.m7.5.5.2.2.1.1.cmml"><mo id="S1.Thmfact1.p1.7.m7.3.3.1.3.1" stretchy="false" xref="S1.Thmfact1.p1.7.m7.5.5.2.2.1.1.cmml">(</mo><mi id="S1.Thmfact1.p1.7.m7.3.3.1.1" xref="S1.Thmfact1.p1.7.m7.3.3.1.1.cmml">k</mi><mo id="S1.Thmfact1.p1.7.m7.3.3.1.3.2" stretchy="false" xref="S1.Thmfact1.p1.7.m7.5.5.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S1.Thmfact1.p1.7.m7.5.5.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S1.Thmfact1.p1.7.m7.5.5.2.2.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.Thmfact1.p1.7.m7.5b"><apply id="S1.Thmfact1.p1.7.m7.5.5.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.7.m7.5.5"><eq id="S1.Thmfact1.p1.7.m7.5.5.3.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.7.m7.5.5.3"></eq><apply id="S1.Thmfact1.p1.7.m7.5.5.4.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.7.m7.5.5.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Thmfact1.p1.7.m7.5.5.4.1.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.7.m7.5.5.4">subscript</csymbol><apply id="S1.Thmfact1.p1.7.m7.5.5.4.2.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.7.m7.5.5.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Thmfact1.p1.7.m7.5.5.4.2.1.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.7.m7.5.5.4">superscript</csymbol><apply id="S1.Thmfact1.p1.7.m7.5.5.4.2.2.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.7.m7.5.5.4.2.2"><ci id="S1.Thmfact1.p1.7.m7.5.5.4.2.2.1.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.7.m7.5.5.4.2.2.1">~</ci><ci id="S1.Thmfact1.p1.7.m7.5.5.4.2.2.2.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.7.m7.5.5.4.2.2.2">𝑃</ci></apply><ci id="S1.Thmfact1.p1.7.m7.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.7.m7.1.1.1.1">𝑘</ci></apply><ci id="S1.Thmfact1.p1.7.m7.5.5.4.3.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.7.m7.5.5.4.3">𝑗</ci></apply><apply id="S1.Thmfact1.p1.7.m7.5.5.2.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.7.m7.5.5.2"><times id="S1.Thmfact1.p1.7.m7.5.5.2.3.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.7.m7.5.5.2.3"></times><apply id="S1.Thmfact1.p1.7.m7.4.4.1.1.2.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.7.m7.4.4.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S1.Thmfact1.p1.7.m7.4.4.1.1.2.1.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.7.m7.4.4.1.1.1.2">ket</csymbol><apply id="S1.Thmfact1.p1.7.m7.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.7.m7.4.4.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Thmfact1.p1.7.m7.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.7.m7.4.4.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S1.Thmfact1.p1.7.m7.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.7.m7.4.4.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Thmfact1.p1.7.m7.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.7.m7.4.4.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S1.Thmfact1.p1.7.m7.4.4.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.7.m7.4.4.1.1.1.1.2.2">𝐟</ci><ci id="S1.Thmfact1.p1.7.m7.2.2.1.1.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.7.m7.2.2.1.1">𝑘</ci></apply><ci id="S1.Thmfact1.p1.7.m7.4.4.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.7.m7.4.4.1.1.1.1.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S1.Thmfact1.p1.7.m7.5.5.2.2.2.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.7.m7.5.5.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S1.Thmfact1.p1.7.m7.5.5.2.2.2.1.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.7.m7.5.5.2.2.1.2">bra</csymbol><apply id="S1.Thmfact1.p1.7.m7.5.5.2.2.1.1.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.7.m7.5.5.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Thmfact1.p1.7.m7.5.5.2.2.1.1.1.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.7.m7.5.5.2.2.1.1">subscript</csymbol><apply id="S1.Thmfact1.p1.7.m7.5.5.2.2.1.1.2.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.7.m7.5.5.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Thmfact1.p1.7.m7.5.5.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.7.m7.5.5.2.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S1.Thmfact1.p1.7.m7.5.5.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.7.m7.5.5.2.2.1.1.2.2">𝐟</ci><ci id="S1.Thmfact1.p1.7.m7.3.3.1.1.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.7.m7.3.3.1.1">𝑘</ci></apply><ci id="S1.Thmfact1.p1.7.m7.5.5.2.2.1.1.3.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.7.m7.5.5.2.2.1.1.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.Thmfact1.p1.7.m7.5c">\tilde{P}^{(k)}_{j}=|\mathbf{f}^{(k)}_{j}\rangle\langle\mathbf{f}^{(k)}_{j}|</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.Thmfact1.p1.7.m7.5d">over~ start_ARG italic_P end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_k ) end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT = | bold_f start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_k ) end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ⟩ ⟨ bold_f start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_k ) end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT |</annotation></semantics></math>. We say that the two system of MUBs <math alttext="(X_{1},\dots,X_{m})" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.Thmfact1.p1.8.m8.3"><semantics id="S1.Thmfact1.p1.8.m8.3a"><mrow id="S1.Thmfact1.p1.8.m8.3.3.2" xref="S1.Thmfact1.p1.8.m8.3.3.3.cmml"><mo id="S1.Thmfact1.p1.8.m8.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S1.Thmfact1.p1.8.m8.3.3.3.cmml">(</mo><msub id="S1.Thmfact1.p1.8.m8.2.2.1.1" xref="S1.Thmfact1.p1.8.m8.2.2.1.1.cmml"><mi id="S1.Thmfact1.p1.8.m8.2.2.1.1.2" xref="S1.Thmfact1.p1.8.m8.2.2.1.1.2.cmml">X</mi><mn id="S1.Thmfact1.p1.8.m8.2.2.1.1.3" xref="S1.Thmfact1.p1.8.m8.2.2.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S1.Thmfact1.p1.8.m8.3.3.2.4" xref="S1.Thmfact1.p1.8.m8.3.3.3.cmml">,</mo><mi id="S1.Thmfact1.p1.8.m8.1.1" mathvariant="normal" xref="S1.Thmfact1.p1.8.m8.1.1.cmml">…</mi><mo id="S1.Thmfact1.p1.8.m8.3.3.2.5" xref="S1.Thmfact1.p1.8.m8.3.3.3.cmml">,</mo><msub id="S1.Thmfact1.p1.8.m8.3.3.2.2" xref="S1.Thmfact1.p1.8.m8.3.3.2.2.cmml"><mi id="S1.Thmfact1.p1.8.m8.3.3.2.2.2" xref="S1.Thmfact1.p1.8.m8.3.3.2.2.2.cmml">X</mi><mi id="S1.Thmfact1.p1.8.m8.3.3.2.2.3" xref="S1.Thmfact1.p1.8.m8.3.3.2.2.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S1.Thmfact1.p1.8.m8.3.3.2.6" stretchy="false" xref="S1.Thmfact1.p1.8.m8.3.3.3.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.Thmfact1.p1.8.m8.3b"><vector id="S1.Thmfact1.p1.8.m8.3.3.3.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.8.m8.3.3.2"><apply id="S1.Thmfact1.p1.8.m8.2.2.1.1.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.8.m8.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Thmfact1.p1.8.m8.2.2.1.1.1.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.8.m8.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S1.Thmfact1.p1.8.m8.2.2.1.1.2.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.8.m8.2.2.1.1.2">𝑋</ci><cn id="S1.Thmfact1.p1.8.m8.2.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.Thmfact1.p1.8.m8.2.2.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S1.Thmfact1.p1.8.m8.1.1.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.8.m8.1.1">…</ci><apply id="S1.Thmfact1.p1.8.m8.3.3.2.2.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.8.m8.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Thmfact1.p1.8.m8.3.3.2.2.1.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.8.m8.3.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S1.Thmfact1.p1.8.m8.3.3.2.2.2.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.8.m8.3.3.2.2.2">𝑋</ci><ci id="S1.Thmfact1.p1.8.m8.3.3.2.2.3.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.8.m8.3.3.2.2.3">𝑚</ci></apply></vector></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.Thmfact1.p1.8.m8.3c">(X_{1},\dots,X_{m})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.Thmfact1.p1.8.m8.3d">( italic_X start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> and <math alttext="(Y_{1},\dots,Y_{m})" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.Thmfact1.p1.9.m9.3"><semantics id="S1.Thmfact1.p1.9.m9.3a"><mrow id="S1.Thmfact1.p1.9.m9.3.3.2" xref="S1.Thmfact1.p1.9.m9.3.3.3.cmml"><mo id="S1.Thmfact1.p1.9.m9.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S1.Thmfact1.p1.9.m9.3.3.3.cmml">(</mo><msub id="S1.Thmfact1.p1.9.m9.2.2.1.1" xref="S1.Thmfact1.p1.9.m9.2.2.1.1.cmml"><mi id="S1.Thmfact1.p1.9.m9.2.2.1.1.2" xref="S1.Thmfact1.p1.9.m9.2.2.1.1.2.cmml">Y</mi><mn id="S1.Thmfact1.p1.9.m9.2.2.1.1.3" xref="S1.Thmfact1.p1.9.m9.2.2.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S1.Thmfact1.p1.9.m9.3.3.2.4" xref="S1.Thmfact1.p1.9.m9.3.3.3.cmml">,</mo><mi id="S1.Thmfact1.p1.9.m9.1.1" mathvariant="normal" xref="S1.Thmfact1.p1.9.m9.1.1.cmml">…</mi><mo id="S1.Thmfact1.p1.9.m9.3.3.2.5" xref="S1.Thmfact1.p1.9.m9.3.3.3.cmml">,</mo><msub id="S1.Thmfact1.p1.9.m9.3.3.2.2" xref="S1.Thmfact1.p1.9.m9.3.3.2.2.cmml"><mi id="S1.Thmfact1.p1.9.m9.3.3.2.2.2" xref="S1.Thmfact1.p1.9.m9.3.3.2.2.2.cmml">Y</mi><mi id="S1.Thmfact1.p1.9.m9.3.3.2.2.3" xref="S1.Thmfact1.p1.9.m9.3.3.2.2.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S1.Thmfact1.p1.9.m9.3.3.2.6" stretchy="false" xref="S1.Thmfact1.p1.9.m9.3.3.3.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.Thmfact1.p1.9.m9.3b"><vector id="S1.Thmfact1.p1.9.m9.3.3.3.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.9.m9.3.3.2"><apply id="S1.Thmfact1.p1.9.m9.2.2.1.1.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.9.m9.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Thmfact1.p1.9.m9.2.2.1.1.1.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.9.m9.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S1.Thmfact1.p1.9.m9.2.2.1.1.2.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.9.m9.2.2.1.1.2">𝑌</ci><cn id="S1.Thmfact1.p1.9.m9.2.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.Thmfact1.p1.9.m9.2.2.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S1.Thmfact1.p1.9.m9.1.1.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.9.m9.1.1">…</ci><apply id="S1.Thmfact1.p1.9.m9.3.3.2.2.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.9.m9.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Thmfact1.p1.9.m9.3.3.2.2.1.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.9.m9.3.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S1.Thmfact1.p1.9.m9.3.3.2.2.2.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.9.m9.3.3.2.2.2">𝑌</ci><ci id="S1.Thmfact1.p1.9.m9.3.3.2.2.3.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.9.m9.3.3.2.2.3">𝑚</ci></apply></vector></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.Thmfact1.p1.9.m9.3c">(Y_{1},\dots,Y_{m})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.Thmfact1.p1.9.m9.3d">( italic_Y start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> are <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S1.Thmfact1.p1.14.1">directly unitary equivalent</span> if there exists a unitary operator <math alttext="U" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.Thmfact1.p1.10.m10.1"><semantics id="S1.Thmfact1.p1.10.m10.1a"><mi id="S1.Thmfact1.p1.10.m10.1.1" xref="S1.Thmfact1.p1.10.m10.1.1.cmml">U</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.Thmfact1.p1.10.m10.1b"><ci id="S1.Thmfact1.p1.10.m10.1.1.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.10.m10.1.1">𝑈</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.Thmfact1.p1.10.m10.1c">U</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.Thmfact1.p1.10.m10.1d">italic_U</annotation></semantics></math> on <math alttext="\mathbb{C}^{d}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.Thmfact1.p1.11.m11.1"><semantics id="S1.Thmfact1.p1.11.m11.1a"><msup id="S1.Thmfact1.p1.11.m11.1.1" xref="S1.Thmfact1.p1.11.m11.1.1.cmml"><mi id="S1.Thmfact1.p1.11.m11.1.1.2" xref="S1.Thmfact1.p1.11.m11.1.1.2.cmml">ℂ</mi><mi id="S1.Thmfact1.p1.11.m11.1.1.3" xref="S1.Thmfact1.p1.11.m11.1.1.3.cmml">d</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.Thmfact1.p1.11.m11.1b"><apply id="S1.Thmfact1.p1.11.m11.1.1.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.11.m11.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Thmfact1.p1.11.m11.1.1.1.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.11.m11.1.1">superscript</csymbol><ci id="S1.Thmfact1.p1.11.m11.1.1.2.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.11.m11.1.1.2">ℂ</ci><ci id="S1.Thmfact1.p1.11.m11.1.1.3.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.11.m11.1.1.3">𝑑</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.Thmfact1.p1.11.m11.1c">\mathbb{C}^{d}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.Thmfact1.p1.11.m11.1d">blackboard_C start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> such that <math alttext="UP^{(k)}_{j}U^{\ast}=\tilde{P}^{(k)}_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.Thmfact1.p1.12.m12.2"><semantics id="S1.Thmfact1.p1.12.m12.2a"><mrow id="S1.Thmfact1.p1.12.m12.2.3" xref="S1.Thmfact1.p1.12.m12.2.3.cmml"><mrow id="S1.Thmfact1.p1.12.m12.2.3.2" xref="S1.Thmfact1.p1.12.m12.2.3.2.cmml"><mi id="S1.Thmfact1.p1.12.m12.2.3.2.2" xref="S1.Thmfact1.p1.12.m12.2.3.2.2.cmml">U</mi><mo id="S1.Thmfact1.p1.12.m12.2.3.2.1" xref="S1.Thmfact1.p1.12.m12.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S1.Thmfact1.p1.12.m12.2.3.2.3" xref="S1.Thmfact1.p1.12.m12.2.3.2.3.cmml"><mi id="S1.Thmfact1.p1.12.m12.2.3.2.3.2.2" xref="S1.Thmfact1.p1.12.m12.2.3.2.3.2.2.cmml">P</mi><mi id="S1.Thmfact1.p1.12.m12.2.3.2.3.3" xref="S1.Thmfact1.p1.12.m12.2.3.2.3.3.cmml">j</mi><mrow id="S1.Thmfact1.p1.12.m12.1.1.1.3" xref="S1.Thmfact1.p1.12.m12.2.3.2.3.cmml"><mo id="S1.Thmfact1.p1.12.m12.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S1.Thmfact1.p1.12.m12.2.3.2.3.cmml">(</mo><mi id="S1.Thmfact1.p1.12.m12.1.1.1.1" xref="S1.Thmfact1.p1.12.m12.1.1.1.1.cmml">k</mi><mo id="S1.Thmfact1.p1.12.m12.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S1.Thmfact1.p1.12.m12.2.3.2.3.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S1.Thmfact1.p1.12.m12.2.3.2.1a" xref="S1.Thmfact1.p1.12.m12.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S1.Thmfact1.p1.12.m12.2.3.2.4" xref="S1.Thmfact1.p1.12.m12.2.3.2.4.cmml"><mi id="S1.Thmfact1.p1.12.m12.2.3.2.4.2" xref="S1.Thmfact1.p1.12.m12.2.3.2.4.2.cmml">U</mi><mo id="S1.Thmfact1.p1.12.m12.2.3.2.4.3" xref="S1.Thmfact1.p1.12.m12.2.3.2.4.3.cmml">∗</mo></msup></mrow><mo id="S1.Thmfact1.p1.12.m12.2.3.1" xref="S1.Thmfact1.p1.12.m12.2.3.1.cmml">=</mo><msubsup id="S1.Thmfact1.p1.12.m12.2.3.3" xref="S1.Thmfact1.p1.12.m12.2.3.3.cmml"><mover accent="true" id="S1.Thmfact1.p1.12.m12.2.3.3.2.2" xref="S1.Thmfact1.p1.12.m12.2.3.3.2.2.cmml"><mi id="S1.Thmfact1.p1.12.m12.2.3.3.2.2.2" xref="S1.Thmfact1.p1.12.m12.2.3.3.2.2.2.cmml">P</mi><mo id="S1.Thmfact1.p1.12.m12.2.3.3.2.2.1" xref="S1.Thmfact1.p1.12.m12.2.3.3.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S1.Thmfact1.p1.12.m12.2.3.3.3" xref="S1.Thmfact1.p1.12.m12.2.3.3.3.cmml">j</mi><mrow id="S1.Thmfact1.p1.12.m12.2.2.1.3" xref="S1.Thmfact1.p1.12.m12.2.3.3.cmml"><mo id="S1.Thmfact1.p1.12.m12.2.2.1.3.1" stretchy="false" xref="S1.Thmfact1.p1.12.m12.2.3.3.cmml">(</mo><mi id="S1.Thmfact1.p1.12.m12.2.2.1.1" xref="S1.Thmfact1.p1.12.m12.2.2.1.1.cmml">k</mi><mo id="S1.Thmfact1.p1.12.m12.2.2.1.3.2" stretchy="false" xref="S1.Thmfact1.p1.12.m12.2.3.3.cmml">)</mo></mrow></msubsup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.Thmfact1.p1.12.m12.2b"><apply id="S1.Thmfact1.p1.12.m12.2.3.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.12.m12.2.3"><eq id="S1.Thmfact1.p1.12.m12.2.3.1.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.12.m12.2.3.1"></eq><apply id="S1.Thmfact1.p1.12.m12.2.3.2.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.12.m12.2.3.2"><times id="S1.Thmfact1.p1.12.m12.2.3.2.1.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.12.m12.2.3.2.1"></times><ci id="S1.Thmfact1.p1.12.m12.2.3.2.2.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.12.m12.2.3.2.2">𝑈</ci><apply id="S1.Thmfact1.p1.12.m12.2.3.2.3.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.12.m12.2.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Thmfact1.p1.12.m12.2.3.2.3.1.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.12.m12.2.3.2.3">subscript</csymbol><apply id="S1.Thmfact1.p1.12.m12.2.3.2.3.2.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.12.m12.2.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Thmfact1.p1.12.m12.2.3.2.3.2.1.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.12.m12.2.3.2.3">superscript</csymbol><ci id="S1.Thmfact1.p1.12.m12.2.3.2.3.2.2.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.12.m12.2.3.2.3.2.2">𝑃</ci><ci id="S1.Thmfact1.p1.12.m12.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.12.m12.1.1.1.1">𝑘</ci></apply><ci id="S1.Thmfact1.p1.12.m12.2.3.2.3.3.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.12.m12.2.3.2.3.3">𝑗</ci></apply><apply id="S1.Thmfact1.p1.12.m12.2.3.2.4.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.12.m12.2.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Thmfact1.p1.12.m12.2.3.2.4.1.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.12.m12.2.3.2.4">superscript</csymbol><ci id="S1.Thmfact1.p1.12.m12.2.3.2.4.2.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.12.m12.2.3.2.4.2">𝑈</ci><ci id="S1.Thmfact1.p1.12.m12.2.3.2.4.3.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.12.m12.2.3.2.4.3">∗</ci></apply></apply><apply id="S1.Thmfact1.p1.12.m12.2.3.3.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.12.m12.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Thmfact1.p1.12.m12.2.3.3.1.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.12.m12.2.3.3">subscript</csymbol><apply id="S1.Thmfact1.p1.12.m12.2.3.3.2.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.12.m12.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Thmfact1.p1.12.m12.2.3.3.2.1.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.12.m12.2.3.3">superscript</csymbol><apply id="S1.Thmfact1.p1.12.m12.2.3.3.2.2.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.12.m12.2.3.3.2.2"><ci id="S1.Thmfact1.p1.12.m12.2.3.3.2.2.1.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.12.m12.2.3.3.2.2.1">~</ci><ci id="S1.Thmfact1.p1.12.m12.2.3.3.2.2.2.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.12.m12.2.3.3.2.2.2">𝑃</ci></apply><ci id="S1.Thmfact1.p1.12.m12.2.2.1.1.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.12.m12.2.2.1.1">𝑘</ci></apply><ci id="S1.Thmfact1.p1.12.m12.2.3.3.3.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.12.m12.2.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.Thmfact1.p1.12.m12.2c">UP^{(k)}_{j}U^{\ast}=\tilde{P}^{(k)}_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.Thmfact1.p1.12.m12.2d">italic_U italic_P start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_k ) end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_U start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT = over~ start_ARG italic_P end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_k ) end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> for all <math alttext="k\in[m]" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.Thmfact1.p1.13.m13.1"><semantics id="S1.Thmfact1.p1.13.m13.1a"><mrow id="S1.Thmfact1.p1.13.m13.1.2" xref="S1.Thmfact1.p1.13.m13.1.2.cmml"><mi id="S1.Thmfact1.p1.13.m13.1.2.2" xref="S1.Thmfact1.p1.13.m13.1.2.2.cmml">k</mi><mo id="S1.Thmfact1.p1.13.m13.1.2.1" xref="S1.Thmfact1.p1.13.m13.1.2.1.cmml">∈</mo><mrow id="S1.Thmfact1.p1.13.m13.1.2.3.2" xref="S1.Thmfact1.p1.13.m13.1.2.3.1.cmml"><mo id="S1.Thmfact1.p1.13.m13.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.Thmfact1.p1.13.m13.1.2.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S1.Thmfact1.p1.13.m13.1.1" xref="S1.Thmfact1.p1.13.m13.1.1.cmml">m</mi><mo id="S1.Thmfact1.p1.13.m13.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.Thmfact1.p1.13.m13.1.2.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.Thmfact1.p1.13.m13.1b"><apply id="S1.Thmfact1.p1.13.m13.1.2.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.13.m13.1.2"><in id="S1.Thmfact1.p1.13.m13.1.2.1.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.13.m13.1.2.1"></in><ci id="S1.Thmfact1.p1.13.m13.1.2.2.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.13.m13.1.2.2">𝑘</ci><apply id="S1.Thmfact1.p1.13.m13.1.2.3.1.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.13.m13.1.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S1.Thmfact1.p1.13.m13.1.2.3.1.1.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.13.m13.1.2.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S1.Thmfact1.p1.13.m13.1.1.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.13.m13.1.1">𝑚</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.Thmfact1.p1.13.m13.1c">k\in[m]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.Thmfact1.p1.13.m13.1d">italic_k ∈ [ italic_m ]</annotation></semantics></math> and <math alttext="j\in[d]" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.Thmfact1.p1.14.m14.1"><semantics id="S1.Thmfact1.p1.14.m14.1a"><mrow id="S1.Thmfact1.p1.14.m14.1.2" xref="S1.Thmfact1.p1.14.m14.1.2.cmml"><mi id="S1.Thmfact1.p1.14.m14.1.2.2" xref="S1.Thmfact1.p1.14.m14.1.2.2.cmml">j</mi><mo id="S1.Thmfact1.p1.14.m14.1.2.1" xref="S1.Thmfact1.p1.14.m14.1.2.1.cmml">∈</mo><mrow id="S1.Thmfact1.p1.14.m14.1.2.3.2" xref="S1.Thmfact1.p1.14.m14.1.2.3.1.cmml"><mo id="S1.Thmfact1.p1.14.m14.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.Thmfact1.p1.14.m14.1.2.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S1.Thmfact1.p1.14.m14.1.1" xref="S1.Thmfact1.p1.14.m14.1.1.cmml">d</mi><mo id="S1.Thmfact1.p1.14.m14.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.Thmfact1.p1.14.m14.1.2.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.Thmfact1.p1.14.m14.1b"><apply id="S1.Thmfact1.p1.14.m14.1.2.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.14.m14.1.2"><in id="S1.Thmfact1.p1.14.m14.1.2.1.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.14.m14.1.2.1"></in><ci id="S1.Thmfact1.p1.14.m14.1.2.2.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.14.m14.1.2.2">𝑗</ci><apply id="S1.Thmfact1.p1.14.m14.1.2.3.1.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.14.m14.1.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S1.Thmfact1.p1.14.m14.1.2.3.1.1.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.14.m14.1.2.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S1.Thmfact1.p1.14.m14.1.1.cmml" xref="S1.Thmfact1.p1.14.m14.1.1">𝑑</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.Thmfact1.p1.14.m14.1c">j\in[d]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.Thmfact1.p1.14.m14.1d">italic_j ∈ [ italic_d ]</annotation></semantics></math>.</p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p5"> <p class="ltx_p" id="S1.p5.6">Note that the condition <math alttext="UP^{(k)}_{j}U^{\ast}=\tilde{P}^{(k)}_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p5.1.m1.2"><semantics id="S1.p5.1.m1.2a"><mrow id="S1.p5.1.m1.2.3" xref="S1.p5.1.m1.2.3.cmml"><mrow id="S1.p5.1.m1.2.3.2" xref="S1.p5.1.m1.2.3.2.cmml"><mi id="S1.p5.1.m1.2.3.2.2" xref="S1.p5.1.m1.2.3.2.2.cmml">U</mi><mo id="S1.p5.1.m1.2.3.2.1" xref="S1.p5.1.m1.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S1.p5.1.m1.2.3.2.3" xref="S1.p5.1.m1.2.3.2.3.cmml"><mi id="S1.p5.1.m1.2.3.2.3.2.2" xref="S1.p5.1.m1.2.3.2.3.2.2.cmml">P</mi><mi id="S1.p5.1.m1.2.3.2.3.3" xref="S1.p5.1.m1.2.3.2.3.3.cmml">j</mi><mrow id="S1.p5.1.m1.1.1.1.3" xref="S1.p5.1.m1.2.3.2.3.cmml"><mo id="S1.p5.1.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S1.p5.1.m1.2.3.2.3.cmml">(</mo><mi id="S1.p5.1.m1.1.1.1.1" xref="S1.p5.1.m1.1.1.1.1.cmml">k</mi><mo id="S1.p5.1.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S1.p5.1.m1.2.3.2.3.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S1.p5.1.m1.2.3.2.1a" xref="S1.p5.1.m1.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S1.p5.1.m1.2.3.2.4" xref="S1.p5.1.m1.2.3.2.4.cmml"><mi id="S1.p5.1.m1.2.3.2.4.2" xref="S1.p5.1.m1.2.3.2.4.2.cmml">U</mi><mo id="S1.p5.1.m1.2.3.2.4.3" xref="S1.p5.1.m1.2.3.2.4.3.cmml">∗</mo></msup></mrow><mo id="S1.p5.1.m1.2.3.1" xref="S1.p5.1.m1.2.3.1.cmml">=</mo><msubsup id="S1.p5.1.m1.2.3.3" xref="S1.p5.1.m1.2.3.3.cmml"><mover accent="true" id="S1.p5.1.m1.2.3.3.2.2" xref="S1.p5.1.m1.2.3.3.2.2.cmml"><mi id="S1.p5.1.m1.2.3.3.2.2.2" xref="S1.p5.1.m1.2.3.3.2.2.2.cmml">P</mi><mo id="S1.p5.1.m1.2.3.3.2.2.1" xref="S1.p5.1.m1.2.3.3.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S1.p5.1.m1.2.3.3.3" xref="S1.p5.1.m1.2.3.3.3.cmml">j</mi><mrow id="S1.p5.1.m1.2.2.1.3" xref="S1.p5.1.m1.2.3.3.cmml"><mo id="S1.p5.1.m1.2.2.1.3.1" stretchy="false" xref="S1.p5.1.m1.2.3.3.cmml">(</mo><mi id="S1.p5.1.m1.2.2.1.1" xref="S1.p5.1.m1.2.2.1.1.cmml">k</mi><mo id="S1.p5.1.m1.2.2.1.3.2" stretchy="false" xref="S1.p5.1.m1.2.3.3.cmml">)</mo></mrow></msubsup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p5.1.m1.2b"><apply id="S1.p5.1.m1.2.3.cmml" xref="S1.p5.1.m1.2.3"><eq id="S1.p5.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S1.p5.1.m1.2.3.1"></eq><apply id="S1.p5.1.m1.2.3.2.cmml" xref="S1.p5.1.m1.2.3.2"><times id="S1.p5.1.m1.2.3.2.1.cmml" xref="S1.p5.1.m1.2.3.2.1"></times><ci id="S1.p5.1.m1.2.3.2.2.cmml" xref="S1.p5.1.m1.2.3.2.2">𝑈</ci><apply id="S1.p5.1.m1.2.3.2.3.cmml" xref="S1.p5.1.m1.2.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p5.1.m1.2.3.2.3.1.cmml" xref="S1.p5.1.m1.2.3.2.3">subscript</csymbol><apply id="S1.p5.1.m1.2.3.2.3.2.cmml" xref="S1.p5.1.m1.2.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p5.1.m1.2.3.2.3.2.1.cmml" xref="S1.p5.1.m1.2.3.2.3">superscript</csymbol><ci id="S1.p5.1.m1.2.3.2.3.2.2.cmml" xref="S1.p5.1.m1.2.3.2.3.2.2">𝑃</ci><ci id="S1.p5.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p5.1.m1.1.1.1.1">𝑘</ci></apply><ci id="S1.p5.1.m1.2.3.2.3.3.cmml" xref="S1.p5.1.m1.2.3.2.3.3">𝑗</ci></apply><apply id="S1.p5.1.m1.2.3.2.4.cmml" xref="S1.p5.1.m1.2.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p5.1.m1.2.3.2.4.1.cmml" xref="S1.p5.1.m1.2.3.2.4">superscript</csymbol><ci id="S1.p5.1.m1.2.3.2.4.2.cmml" xref="S1.p5.1.m1.2.3.2.4.2">𝑈</ci><ci id="S1.p5.1.m1.2.3.2.4.3.cmml" xref="S1.p5.1.m1.2.3.2.4.3">∗</ci></apply></apply><apply id="S1.p5.1.m1.2.3.3.cmml" xref="S1.p5.1.m1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p5.1.m1.2.3.3.1.cmml" xref="S1.p5.1.m1.2.3.3">subscript</csymbol><apply id="S1.p5.1.m1.2.3.3.2.cmml" xref="S1.p5.1.m1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p5.1.m1.2.3.3.2.1.cmml" xref="S1.p5.1.m1.2.3.3">superscript</csymbol><apply id="S1.p5.1.m1.2.3.3.2.2.cmml" xref="S1.p5.1.m1.2.3.3.2.2"><ci id="S1.p5.1.m1.2.3.3.2.2.1.cmml" xref="S1.p5.1.m1.2.3.3.2.2.1">~</ci><ci id="S1.p5.1.m1.2.3.3.2.2.2.cmml" xref="S1.p5.1.m1.2.3.3.2.2.2">𝑃</ci></apply><ci id="S1.p5.1.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S1.p5.1.m1.2.2.1.1">𝑘</ci></apply><ci id="S1.p5.1.m1.2.3.3.3.cmml" xref="S1.p5.1.m1.2.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p5.1.m1.2c">UP^{(k)}_{j}U^{\ast}=\tilde{P}^{(k)}_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p5.1.m1.2d">italic_U italic_P start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_k ) end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_U start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT = over~ start_ARG italic_P end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_k ) end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is equivalent to saying that <math alttext="U\mathbf{e}_{j}^{(k)}=\lambda_{j,k}\mathbf{f}_{j}^{(k)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p5.2.m2.4"><semantics id="S1.p5.2.m2.4a"><mrow id="S1.p5.2.m2.4.5" xref="S1.p5.2.m2.4.5.cmml"><mrow id="S1.p5.2.m2.4.5.2" xref="S1.p5.2.m2.4.5.2.cmml"><mi id="S1.p5.2.m2.4.5.2.2" xref="S1.p5.2.m2.4.5.2.2.cmml">U</mi><mo id="S1.p5.2.m2.4.5.2.1" xref="S1.p5.2.m2.4.5.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S1.p5.2.m2.4.5.2.3" xref="S1.p5.2.m2.4.5.2.3.cmml"><mi id="S1.p5.2.m2.4.5.2.3.2.2" xref="S1.p5.2.m2.4.5.2.3.2.2.cmml">𝐞</mi><mi id="S1.p5.2.m2.4.5.2.3.2.3" xref="S1.p5.2.m2.4.5.2.3.2.3.cmml">j</mi><mrow id="S1.p5.2.m2.1.1.1.3" xref="S1.p5.2.m2.4.5.2.3.cmml"><mo id="S1.p5.2.m2.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S1.p5.2.m2.4.5.2.3.cmml">(</mo><mi id="S1.p5.2.m2.1.1.1.1" xref="S1.p5.2.m2.1.1.1.1.cmml">k</mi><mo id="S1.p5.2.m2.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S1.p5.2.m2.4.5.2.3.cmml">)</mo></mrow></msubsup></mrow><mo id="S1.p5.2.m2.4.5.1" xref="S1.p5.2.m2.4.5.1.cmml">=</mo><mrow id="S1.p5.2.m2.4.5.3" xref="S1.p5.2.m2.4.5.3.cmml"><msub id="S1.p5.2.m2.4.5.3.2" xref="S1.p5.2.m2.4.5.3.2.cmml"><mi id="S1.p5.2.m2.4.5.3.2.2" xref="S1.p5.2.m2.4.5.3.2.2.cmml">λ</mi><mrow id="S1.p5.2.m2.3.3.2.4" xref="S1.p5.2.m2.3.3.2.3.cmml"><mi id="S1.p5.2.m2.2.2.1.1" xref="S1.p5.2.m2.2.2.1.1.cmml">j</mi><mo id="S1.p5.2.m2.3.3.2.4.1" xref="S1.p5.2.m2.3.3.2.3.cmml">,</mo><mi id="S1.p5.2.m2.3.3.2.2" xref="S1.p5.2.m2.3.3.2.2.cmml">k</mi></mrow></msub><mo id="S1.p5.2.m2.4.5.3.1" xref="S1.p5.2.m2.4.5.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S1.p5.2.m2.4.5.3.3" xref="S1.p5.2.m2.4.5.3.3.cmml"><mi id="S1.p5.2.m2.4.5.3.3.2.2" xref="S1.p5.2.m2.4.5.3.3.2.2.cmml">𝐟</mi><mi id="S1.p5.2.m2.4.5.3.3.2.3" xref="S1.p5.2.m2.4.5.3.3.2.3.cmml">j</mi><mrow id="S1.p5.2.m2.4.4.1.3" xref="S1.p5.2.m2.4.5.3.3.cmml"><mo id="S1.p5.2.m2.4.4.1.3.1" stretchy="false" xref="S1.p5.2.m2.4.5.3.3.cmml">(</mo><mi id="S1.p5.2.m2.4.4.1.1" xref="S1.p5.2.m2.4.4.1.1.cmml">k</mi><mo id="S1.p5.2.m2.4.4.1.3.2" stretchy="false" xref="S1.p5.2.m2.4.5.3.3.cmml">)</mo></mrow></msubsup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p5.2.m2.4b"><apply id="S1.p5.2.m2.4.5.cmml" xref="S1.p5.2.m2.4.5"><eq id="S1.p5.2.m2.4.5.1.cmml" xref="S1.p5.2.m2.4.5.1"></eq><apply id="S1.p5.2.m2.4.5.2.cmml" xref="S1.p5.2.m2.4.5.2"><times id="S1.p5.2.m2.4.5.2.1.cmml" xref="S1.p5.2.m2.4.5.2.1"></times><ci id="S1.p5.2.m2.4.5.2.2.cmml" xref="S1.p5.2.m2.4.5.2.2">𝑈</ci><apply id="S1.p5.2.m2.4.5.2.3.cmml" xref="S1.p5.2.m2.4.5.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p5.2.m2.4.5.2.3.1.cmml" xref="S1.p5.2.m2.4.5.2.3">superscript</csymbol><apply id="S1.p5.2.m2.4.5.2.3.2.cmml" xref="S1.p5.2.m2.4.5.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p5.2.m2.4.5.2.3.2.1.cmml" xref="S1.p5.2.m2.4.5.2.3">subscript</csymbol><ci id="S1.p5.2.m2.4.5.2.3.2.2.cmml" xref="S1.p5.2.m2.4.5.2.3.2.2">𝐞</ci><ci id="S1.p5.2.m2.4.5.2.3.2.3.cmml" xref="S1.p5.2.m2.4.5.2.3.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S1.p5.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p5.2.m2.1.1.1.1">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S1.p5.2.m2.4.5.3.cmml" xref="S1.p5.2.m2.4.5.3"><times id="S1.p5.2.m2.4.5.3.1.cmml" xref="S1.p5.2.m2.4.5.3.1"></times><apply id="S1.p5.2.m2.4.5.3.2.cmml" xref="S1.p5.2.m2.4.5.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p5.2.m2.4.5.3.2.1.cmml" xref="S1.p5.2.m2.4.5.3.2">subscript</csymbol><ci id="S1.p5.2.m2.4.5.3.2.2.cmml" xref="S1.p5.2.m2.4.5.3.2.2">𝜆</ci><list id="S1.p5.2.m2.3.3.2.3.cmml" xref="S1.p5.2.m2.3.3.2.4"><ci id="S1.p5.2.m2.2.2.1.1.cmml" xref="S1.p5.2.m2.2.2.1.1">𝑗</ci><ci id="S1.p5.2.m2.3.3.2.2.cmml" xref="S1.p5.2.m2.3.3.2.2">𝑘</ci></list></apply><apply id="S1.p5.2.m2.4.5.3.3.cmml" xref="S1.p5.2.m2.4.5.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p5.2.m2.4.5.3.3.1.cmml" xref="S1.p5.2.m2.4.5.3.3">superscript</csymbol><apply id="S1.p5.2.m2.4.5.3.3.2.cmml" xref="S1.p5.2.m2.4.5.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p5.2.m2.4.5.3.3.2.1.cmml" xref="S1.p5.2.m2.4.5.3.3">subscript</csymbol><ci id="S1.p5.2.m2.4.5.3.3.2.2.cmml" xref="S1.p5.2.m2.4.5.3.3.2.2">𝐟</ci><ci id="S1.p5.2.m2.4.5.3.3.2.3.cmml" xref="S1.p5.2.m2.4.5.3.3.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S1.p5.2.m2.4.4.1.1.cmml" xref="S1.p5.2.m2.4.4.1.1">𝑘</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p5.2.m2.4c">U\mathbf{e}_{j}^{(k)}=\lambda_{j,k}\mathbf{f}_{j}^{(k)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p5.2.m2.4d">italic_U bold_e start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_k ) end_POSTSUPERSCRIPT = italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k end_POSTSUBSCRIPT bold_f start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_k ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> for some complex number <math alttext="\lambda_{j,k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p5.3.m3.2"><semantics id="S1.p5.3.m3.2a"><msub id="S1.p5.3.m3.2.3" xref="S1.p5.3.m3.2.3.cmml"><mi id="S1.p5.3.m3.2.3.2" xref="S1.p5.3.m3.2.3.2.cmml">λ</mi><mrow id="S1.p5.3.m3.2.2.2.4" xref="S1.p5.3.m3.2.2.2.3.cmml"><mi id="S1.p5.3.m3.1.1.1.1" xref="S1.p5.3.m3.1.1.1.1.cmml">j</mi><mo id="S1.p5.3.m3.2.2.2.4.1" xref="S1.p5.3.m3.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S1.p5.3.m3.2.2.2.2" xref="S1.p5.3.m3.2.2.2.2.cmml">k</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p5.3.m3.2b"><apply id="S1.p5.3.m3.2.3.cmml" xref="S1.p5.3.m3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p5.3.m3.2.3.1.cmml" xref="S1.p5.3.m3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S1.p5.3.m3.2.3.2.cmml" xref="S1.p5.3.m3.2.3.2">𝜆</ci><list id="S1.p5.3.m3.2.2.2.3.cmml" xref="S1.p5.3.m3.2.2.2.4"><ci id="S1.p5.3.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p5.3.m3.1.1.1.1">𝑗</ci><ci id="S1.p5.3.m3.2.2.2.2.cmml" xref="S1.p5.3.m3.2.2.2.2">𝑘</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p5.3.m3.2c">\lambda_{j,k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p5.3.m3.2d">italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> of absolute value <math alttext="1" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p5.4.m4.1"><semantics id="S1.p5.4.m4.1a"><mn id="S1.p5.4.m4.1.1" xref="S1.p5.4.m4.1.1.cmml">1</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p5.4.m4.1b"><cn id="S1.p5.4.m4.1.1.cmml" type="integer" xref="S1.p5.4.m4.1.1">1</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p5.4.m4.1c">1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p5.4.m4.1d">1</annotation></semantics></math>, i.e. the unitary operator <math alttext="U" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p5.5.m5.1"><semantics id="S1.p5.5.m5.1a"><mi id="S1.p5.5.m5.1.1" xref="S1.p5.5.m5.1.1.cmml">U</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p5.5.m5.1b"><ci id="S1.p5.5.m5.1.1.cmml" xref="S1.p5.5.m5.1.1">𝑈</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p5.5.m5.1c">U</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p5.5.m5.1d">italic_U</annotation></semantics></math> takes the bases vectors of the first system into the bases vectors of the second ”up to some phase factors”. The phrase ”directly” refers to the fact that <math alttext="U" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p5.6.m6.1"><semantics id="S1.p5.6.m6.1a"><mi id="S1.p5.6.m6.1.1" xref="S1.p5.6.m6.1.1.cmml">U</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p5.6.m6.1b"><ci id="S1.p5.6.m6.1.1.cmml" xref="S1.p5.6.m6.1.1">𝑈</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p5.6.m6.1c">U</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p5.6.m6.1d">italic_U</annotation></semantics></math> respects the order of the bases, and the order of the vectors. This simplifies the notation in several proofs. However, it is more natural to introduce a notion of unitary equivalence where permutation of indices are allowed.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_defi" id="S1.Thmfact2"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S1.Thmfact2.1.1.1">Definition 1.2</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S1.Thmfact2.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="S1.Thmfact2.p1"> <p class="ltx_p" id="S1.Thmfact2.p1.8">We say that the two system of MUBs <math alttext="(X_{1},\dots,X_{m})" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.Thmfact2.p1.1.m1.3"><semantics id="S1.Thmfact2.p1.1.m1.3a"><mrow id="S1.Thmfact2.p1.1.m1.3.3.2" xref="S1.Thmfact2.p1.1.m1.3.3.3.cmml"><mo id="S1.Thmfact2.p1.1.m1.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S1.Thmfact2.p1.1.m1.3.3.3.cmml">(</mo><msub id="S1.Thmfact2.p1.1.m1.2.2.1.1" xref="S1.Thmfact2.p1.1.m1.2.2.1.1.cmml"><mi id="S1.Thmfact2.p1.1.m1.2.2.1.1.2" xref="S1.Thmfact2.p1.1.m1.2.2.1.1.2.cmml">X</mi><mn id="S1.Thmfact2.p1.1.m1.2.2.1.1.3" xref="S1.Thmfact2.p1.1.m1.2.2.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S1.Thmfact2.p1.1.m1.3.3.2.4" xref="S1.Thmfact2.p1.1.m1.3.3.3.cmml">,</mo><mi id="S1.Thmfact2.p1.1.m1.1.1" mathvariant="normal" xref="S1.Thmfact2.p1.1.m1.1.1.cmml">…</mi><mo id="S1.Thmfact2.p1.1.m1.3.3.2.5" xref="S1.Thmfact2.p1.1.m1.3.3.3.cmml">,</mo><msub id="S1.Thmfact2.p1.1.m1.3.3.2.2" xref="S1.Thmfact2.p1.1.m1.3.3.2.2.cmml"><mi id="S1.Thmfact2.p1.1.m1.3.3.2.2.2" xref="S1.Thmfact2.p1.1.m1.3.3.2.2.2.cmml">X</mi><mi id="S1.Thmfact2.p1.1.m1.3.3.2.2.3" xref="S1.Thmfact2.p1.1.m1.3.3.2.2.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S1.Thmfact2.p1.1.m1.3.3.2.6" stretchy="false" xref="S1.Thmfact2.p1.1.m1.3.3.3.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.Thmfact2.p1.1.m1.3b"><vector id="S1.Thmfact2.p1.1.m1.3.3.3.cmml" xref="S1.Thmfact2.p1.1.m1.3.3.2"><apply id="S1.Thmfact2.p1.1.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S1.Thmfact2.p1.1.m1.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Thmfact2.p1.1.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S1.Thmfact2.p1.1.m1.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S1.Thmfact2.p1.1.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S1.Thmfact2.p1.1.m1.2.2.1.1.2">𝑋</ci><cn id="S1.Thmfact2.p1.1.m1.2.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.Thmfact2.p1.1.m1.2.2.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S1.Thmfact2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.Thmfact2.p1.1.m1.1.1">…</ci><apply id="S1.Thmfact2.p1.1.m1.3.3.2.2.cmml" xref="S1.Thmfact2.p1.1.m1.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Thmfact2.p1.1.m1.3.3.2.2.1.cmml" xref="S1.Thmfact2.p1.1.m1.3.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S1.Thmfact2.p1.1.m1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S1.Thmfact2.p1.1.m1.3.3.2.2.2">𝑋</ci><ci id="S1.Thmfact2.p1.1.m1.3.3.2.2.3.cmml" xref="S1.Thmfact2.p1.1.m1.3.3.2.2.3">𝑚</ci></apply></vector></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.Thmfact2.p1.1.m1.3c">(X_{1},\dots,X_{m})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.Thmfact2.p1.1.m1.3d">( italic_X start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math>, <math alttext="(Y_{1},\dots,Y_{m})" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.Thmfact2.p1.2.m2.3"><semantics id="S1.Thmfact2.p1.2.m2.3a"><mrow id="S1.Thmfact2.p1.2.m2.3.3.2" xref="S1.Thmfact2.p1.2.m2.3.3.3.cmml"><mo id="S1.Thmfact2.p1.2.m2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S1.Thmfact2.p1.2.m2.3.3.3.cmml">(</mo><msub id="S1.Thmfact2.p1.2.m2.2.2.1.1" xref="S1.Thmfact2.p1.2.m2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S1.Thmfact2.p1.2.m2.2.2.1.1.2" xref="S1.Thmfact2.p1.2.m2.2.2.1.1.2.cmml">Y</mi><mn id="S1.Thmfact2.p1.2.m2.2.2.1.1.3" xref="S1.Thmfact2.p1.2.m2.2.2.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S1.Thmfact2.p1.2.m2.3.3.2.4" xref="S1.Thmfact2.p1.2.m2.3.3.3.cmml">,</mo><mi id="S1.Thmfact2.p1.2.m2.1.1" mathvariant="normal" xref="S1.Thmfact2.p1.2.m2.1.1.cmml">…</mi><mo id="S1.Thmfact2.p1.2.m2.3.3.2.5" xref="S1.Thmfact2.p1.2.m2.3.3.3.cmml">,</mo><msub id="S1.Thmfact2.p1.2.m2.3.3.2.2" xref="S1.Thmfact2.p1.2.m2.3.3.2.2.cmml"><mi id="S1.Thmfact2.p1.2.m2.3.3.2.2.2" xref="S1.Thmfact2.p1.2.m2.3.3.2.2.2.cmml">Y</mi><mi id="S1.Thmfact2.p1.2.m2.3.3.2.2.3" xref="S1.Thmfact2.p1.2.m2.3.3.2.2.3.cmml">m</mi></msub><mo id="S1.Thmfact2.p1.2.m2.3.3.2.6" stretchy="false" xref="S1.Thmfact2.p1.2.m2.3.3.3.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.Thmfact2.p1.2.m2.3b"><vector id="S1.Thmfact2.p1.2.m2.3.3.3.cmml" xref="S1.Thmfact2.p1.2.m2.3.3.2"><apply id="S1.Thmfact2.p1.2.m2.2.2.1.1.cmml" xref="S1.Thmfact2.p1.2.m2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Thmfact2.p1.2.m2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S1.Thmfact2.p1.2.m2.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S1.Thmfact2.p1.2.m2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S1.Thmfact2.p1.2.m2.2.2.1.1.2">𝑌</ci><cn id="S1.Thmfact2.p1.2.m2.2.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.Thmfact2.p1.2.m2.2.2.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S1.Thmfact2.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S1.Thmfact2.p1.2.m2.1.1">…</ci><apply id="S1.Thmfact2.p1.2.m2.3.3.2.2.cmml" xref="S1.Thmfact2.p1.2.m2.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Thmfact2.p1.2.m2.3.3.2.2.1.cmml" xref="S1.Thmfact2.p1.2.m2.3.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S1.Thmfact2.p1.2.m2.3.3.2.2.2.cmml" xref="S1.Thmfact2.p1.2.m2.3.3.2.2.2">𝑌</ci><ci id="S1.Thmfact2.p1.2.m2.3.3.2.2.3.cmml" xref="S1.Thmfact2.p1.2.m2.3.3.2.2.3">𝑚</ci></apply></vector></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.Thmfact2.p1.2.m2.3c">(Y_{1},\dots,Y_{m})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.Thmfact2.p1.2.m2.3d">( italic_Y start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> are <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S1.Thmfact2.p1.8.1">permutationally unitary equivalent</span> if there exists a unitary operator <math alttext="U" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.Thmfact2.p1.3.m3.1"><semantics id="S1.Thmfact2.p1.3.m3.1a"><mi id="S1.Thmfact2.p1.3.m3.1.1" xref="S1.Thmfact2.p1.3.m3.1.1.cmml">U</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.Thmfact2.p1.3.m3.1b"><ci id="S1.Thmfact2.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S1.Thmfact2.p1.3.m3.1.1">𝑈</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.Thmfact2.p1.3.m3.1c">U</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.Thmfact2.p1.3.m3.1d">italic_U</annotation></semantics></math> on <math alttext="\mathbb{C}^{d}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.Thmfact2.p1.4.m4.1"><semantics id="S1.Thmfact2.p1.4.m4.1a"><msup id="S1.Thmfact2.p1.4.m4.1.1" xref="S1.Thmfact2.p1.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S1.Thmfact2.p1.4.m4.1.1.2" xref="S1.Thmfact2.p1.4.m4.1.1.2.cmml">ℂ</mi><mi id="S1.Thmfact2.p1.4.m4.1.1.3" xref="S1.Thmfact2.p1.4.m4.1.1.3.cmml">d</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.Thmfact2.p1.4.m4.1b"><apply id="S1.Thmfact2.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S1.Thmfact2.p1.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Thmfact2.p1.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S1.Thmfact2.p1.4.m4.1.1">superscript</csymbol><ci id="S1.Thmfact2.p1.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S1.Thmfact2.p1.4.m4.1.1.2">ℂ</ci><ci id="S1.Thmfact2.p1.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S1.Thmfact2.p1.4.m4.1.1.3">𝑑</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.Thmfact2.p1.4.m4.1c">\mathbb{C}^{d}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.Thmfact2.p1.4.m4.1d">blackboard_C start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, and permutations <math alttext="\pi\in S_{m}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.Thmfact2.p1.5.m5.1"><semantics id="S1.Thmfact2.p1.5.m5.1a"><mrow id="S1.Thmfact2.p1.5.m5.1.1" xref="S1.Thmfact2.p1.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S1.Thmfact2.p1.5.m5.1.1.2" xref="S1.Thmfact2.p1.5.m5.1.1.2.cmml">π</mi><mo id="S1.Thmfact2.p1.5.m5.1.1.1" xref="S1.Thmfact2.p1.5.m5.1.1.1.cmml">∈</mo><msub id="S1.Thmfact2.p1.5.m5.1.1.3" xref="S1.Thmfact2.p1.5.m5.1.1.3.cmml"><mi id="S1.Thmfact2.p1.5.m5.1.1.3.2" xref="S1.Thmfact2.p1.5.m5.1.1.3.2.cmml">S</mi><mi id="S1.Thmfact2.p1.5.m5.1.1.3.3" xref="S1.Thmfact2.p1.5.m5.1.1.3.3.cmml">m</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.Thmfact2.p1.5.m5.1b"><apply id="S1.Thmfact2.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="S1.Thmfact2.p1.5.m5.1.1"><in id="S1.Thmfact2.p1.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S1.Thmfact2.p1.5.m5.1.1.1"></in><ci id="S1.Thmfact2.p1.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S1.Thmfact2.p1.5.m5.1.1.2">𝜋</ci><apply id="S1.Thmfact2.p1.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S1.Thmfact2.p1.5.m5.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Thmfact2.p1.5.m5.1.1.3.1.cmml" xref="S1.Thmfact2.p1.5.m5.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S1.Thmfact2.p1.5.m5.1.1.3.2.cmml" xref="S1.Thmfact2.p1.5.m5.1.1.3.2">𝑆</ci><ci id="S1.Thmfact2.p1.5.m5.1.1.3.3.cmml" xref="S1.Thmfact2.p1.5.m5.1.1.3.3">𝑚</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.Thmfact2.p1.5.m5.1c">\pi\in S_{m}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.Thmfact2.p1.5.m5.1d">italic_π ∈ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, <math alttext="\sigma_{1},\dots,\sigma_{m}\in S_{d}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.Thmfact2.p1.6.m6.3"><semantics id="S1.Thmfact2.p1.6.m6.3a"><mrow id="S1.Thmfact2.p1.6.m6.3.3" xref="S1.Thmfact2.p1.6.m6.3.3.cmml"><mrow id="S1.Thmfact2.p1.6.m6.3.3.2.2" xref="S1.Thmfact2.p1.6.m6.3.3.2.3.cmml"><msub id="S1.Thmfact2.p1.6.m6.2.2.1.1.1" xref="S1.Thmfact2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S1.Thmfact2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.2" xref="S1.Thmfact2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.2.cmml">σ</mi><mn id="S1.Thmfact2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.3" xref="S1.Thmfact2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S1.Thmfact2.p1.6.m6.3.3.2.2.3" xref="S1.Thmfact2.p1.6.m6.3.3.2.3.cmml">,</mo><mi id="S1.Thmfact2.p1.6.m6.1.1" mathvariant="normal" xref="S1.Thmfact2.p1.6.m6.1.1.cmml">…</mi><mo id="S1.Thmfact2.p1.6.m6.3.3.2.2.4" xref="S1.Thmfact2.p1.6.m6.3.3.2.3.cmml">,</mo><msub id="S1.Thmfact2.p1.6.m6.3.3.2.2.2" xref="S1.Thmfact2.p1.6.m6.3.3.2.2.2.cmml"><mi id="S1.Thmfact2.p1.6.m6.3.3.2.2.2.2" xref="S1.Thmfact2.p1.6.m6.3.3.2.2.2.2.cmml">σ</mi><mi id="S1.Thmfact2.p1.6.m6.3.3.2.2.2.3" xref="S1.Thmfact2.p1.6.m6.3.3.2.2.2.3.cmml">m</mi></msub></mrow><mo id="S1.Thmfact2.p1.6.m6.3.3.3" xref="S1.Thmfact2.p1.6.m6.3.3.3.cmml">∈</mo><msub id="S1.Thmfact2.p1.6.m6.3.3.4" xref="S1.Thmfact2.p1.6.m6.3.3.4.cmml"><mi id="S1.Thmfact2.p1.6.m6.3.3.4.2" xref="S1.Thmfact2.p1.6.m6.3.3.4.2.cmml">S</mi><mi id="S1.Thmfact2.p1.6.m6.3.3.4.3" xref="S1.Thmfact2.p1.6.m6.3.3.4.3.cmml">d</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.Thmfact2.p1.6.m6.3b"><apply id="S1.Thmfact2.p1.6.m6.3.3.cmml" xref="S1.Thmfact2.p1.6.m6.3.3"><in id="S1.Thmfact2.p1.6.m6.3.3.3.cmml" xref="S1.Thmfact2.p1.6.m6.3.3.3"></in><list id="S1.Thmfact2.p1.6.m6.3.3.2.3.cmml" xref="S1.Thmfact2.p1.6.m6.3.3.2.2"><apply id="S1.Thmfact2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.cmml" xref="S1.Thmfact2.p1.6.m6.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Thmfact2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Thmfact2.p1.6.m6.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S1.Thmfact2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S1.Thmfact2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.2">𝜎</ci><cn id="S1.Thmfact2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.Thmfact2.p1.6.m6.2.2.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S1.Thmfact2.p1.6.m6.1.1.cmml" xref="S1.Thmfact2.p1.6.m6.1.1">…</ci><apply id="S1.Thmfact2.p1.6.m6.3.3.2.2.2.cmml" xref="S1.Thmfact2.p1.6.m6.3.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Thmfact2.p1.6.m6.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="S1.Thmfact2.p1.6.m6.3.3.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S1.Thmfact2.p1.6.m6.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S1.Thmfact2.p1.6.m6.3.3.2.2.2.2">𝜎</ci><ci id="S1.Thmfact2.p1.6.m6.3.3.2.2.2.3.cmml" xref="S1.Thmfact2.p1.6.m6.3.3.2.2.2.3">𝑚</ci></apply></list><apply id="S1.Thmfact2.p1.6.m6.3.3.4.cmml" xref="S1.Thmfact2.p1.6.m6.3.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Thmfact2.p1.6.m6.3.3.4.1.cmml" xref="S1.Thmfact2.p1.6.m6.3.3.4">subscript</csymbol><ci id="S1.Thmfact2.p1.6.m6.3.3.4.2.cmml" xref="S1.Thmfact2.p1.6.m6.3.3.4.2">𝑆</ci><ci id="S1.Thmfact2.p1.6.m6.3.3.4.3.cmml" xref="S1.Thmfact2.p1.6.m6.3.3.4.3">𝑑</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.Thmfact2.p1.6.m6.3c">\sigma_{1},\dots,\sigma_{m}\in S_{d}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.Thmfact2.p1.6.m6.3d">italic_σ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT ∈ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_d end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> such that <math alttext="UP^{(k)}_{j}U^{\ast}=\tilde{P}^{(\pi(k))}_{\sigma_{k}(j)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4"><semantics id="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4a"><mrow id="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.5" xref="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.5.cmml"><mrow id="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.5.2" xref="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.5.2.cmml"><mi id="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.5.2.2" xref="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.5.2.2.cmml">U</mi><mo id="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.5.2.1" xref="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.5.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.5.2.3" xref="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.5.2.3.cmml"><mi id="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.5.2.3.2.2" xref="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.5.2.3.2.2.cmml">P</mi><mi id="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.5.2.3.3" xref="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.5.2.3.3.cmml">j</mi><mrow id="S1.Thmfact2.p1.7.m7.1.1.1.3" xref="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.5.2.3.cmml"><mo id="S1.Thmfact2.p1.7.m7.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.5.2.3.cmml">(</mo><mi id="S1.Thmfact2.p1.7.m7.1.1.1.1" xref="S1.Thmfact2.p1.7.m7.1.1.1.1.cmml">k</mi><mo id="S1.Thmfact2.p1.7.m7.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.5.2.3.cmml">)</mo></mrow></msubsup><mo id="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.5.2.1a" xref="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.5.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.5.2.4" xref="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.5.2.4.cmml"><mi id="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.5.2.4.2" xref="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.5.2.4.2.cmml">U</mi><mo id="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.5.2.4.3" xref="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.5.2.4.3.cmml">∗</mo></msup></mrow><mo id="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.5.1" xref="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.5.1.cmml">=</mo><msubsup id="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.5.3" xref="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.5.3.cmml"><mover accent="true" id="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.5.3.2.2" xref="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.5.3.2.2.cmml"><mi id="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.5.3.2.2.2" xref="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.5.3.2.2.2.cmml">P</mi><mo id="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.5.3.2.2.1" xref="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.5.3.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.4.1" xref="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.4.1.cmml"><msub id="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.4.1.3" xref="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.4.1.3.cmml"><mi id="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.4.1.3.2" xref="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.4.1.3.2.cmml">σ</mi><mi id="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.4.1.3.3" xref="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.4.1.3.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.4.1.2" xref="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.4.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.4.1.4.2" xref="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.4.1.cmml"><mo id="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.4.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.4.1.cmml">(</mo><mi id="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.4.1.1" xref="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.4.1.1.cmml">j</mi><mo id="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.4.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.4.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mrow id="S1.Thmfact2.p1.7.m7.3.3.2.2" xref="S1.Thmfact2.p1.7.m7.3.3.2.2.1.cmml"><mo id="S1.Thmfact2.p1.7.m7.3.3.2.2.2" stretchy="false" xref="S1.Thmfact2.p1.7.m7.3.3.2.2.1.cmml">(</mo><mrow id="S1.Thmfact2.p1.7.m7.3.3.2.2.1" xref="S1.Thmfact2.p1.7.m7.3.3.2.2.1.cmml"><mi id="S1.Thmfact2.p1.7.m7.3.3.2.2.1.2" xref="S1.Thmfact2.p1.7.m7.3.3.2.2.1.2.cmml">π</mi><mo id="S1.Thmfact2.p1.7.m7.3.3.2.2.1.1" xref="S1.Thmfact2.p1.7.m7.3.3.2.2.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.Thmfact2.p1.7.m7.3.3.2.2.1.3.2" xref="S1.Thmfact2.p1.7.m7.3.3.2.2.1.cmml"><mo id="S1.Thmfact2.p1.7.m7.3.3.2.2.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.Thmfact2.p1.7.m7.3.3.2.2.1.cmml">(</mo><mi id="S1.Thmfact2.p1.7.m7.2.2.1.1" xref="S1.Thmfact2.p1.7.m7.2.2.1.1.cmml">k</mi><mo id="S1.Thmfact2.p1.7.m7.3.3.2.2.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.Thmfact2.p1.7.m7.3.3.2.2.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S1.Thmfact2.p1.7.m7.3.3.2.2.3" stretchy="false" xref="S1.Thmfact2.p1.7.m7.3.3.2.2.1.cmml">)</mo></mrow></msubsup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4b"><apply id="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.5.cmml" xref="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.5"><eq id="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.5.1.cmml" xref="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.5.1"></eq><apply id="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.5.2.cmml" xref="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.5.2"><times id="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.5.2.1.cmml" xref="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.5.2.1"></times><ci id="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.5.2.2.cmml" xref="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.5.2.2">𝑈</ci><apply id="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.5.2.3.cmml" xref="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.5.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.5.2.3.1.cmml" xref="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.5.2.3">subscript</csymbol><apply id="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.5.2.3.2.cmml" xref="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.5.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.5.2.3.2.1.cmml" xref="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.5.2.3">superscript</csymbol><ci id="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.5.2.3.2.2.cmml" xref="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.5.2.3.2.2">𝑃</ci><ci id="S1.Thmfact2.p1.7.m7.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Thmfact2.p1.7.m7.1.1.1.1">𝑘</ci></apply><ci id="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.5.2.3.3.cmml" xref="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.5.2.3.3">𝑗</ci></apply><apply id="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.5.2.4.cmml" xref="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.5.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.5.2.4.1.cmml" xref="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.5.2.4">superscript</csymbol><ci id="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.5.2.4.2.cmml" xref="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.5.2.4.2">𝑈</ci><ci id="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.5.2.4.3.cmml" xref="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.5.2.4.3">∗</ci></apply></apply><apply id="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.5.3.cmml" xref="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.5.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.5.3.1.cmml" xref="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.5.3">subscript</csymbol><apply id="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.5.3.2.cmml" xref="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.5.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.5.3.2.1.cmml" xref="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.5.3">superscript</csymbol><apply id="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.5.3.2.2.cmml" xref="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.5.3.2.2"><ci id="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.5.3.2.2.1.cmml" xref="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.5.3.2.2.1">~</ci><ci id="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.5.3.2.2.2.cmml" xref="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.5.3.2.2.2">𝑃</ci></apply><apply id="S1.Thmfact2.p1.7.m7.3.3.2.2.1.cmml" xref="S1.Thmfact2.p1.7.m7.3.3.2.2"><times id="S1.Thmfact2.p1.7.m7.3.3.2.2.1.1.cmml" xref="S1.Thmfact2.p1.7.m7.3.3.2.2.1.1"></times><ci id="S1.Thmfact2.p1.7.m7.3.3.2.2.1.2.cmml" xref="S1.Thmfact2.p1.7.m7.3.3.2.2.1.2">𝜋</ci><ci id="S1.Thmfact2.p1.7.m7.2.2.1.1.cmml" xref="S1.Thmfact2.p1.7.m7.2.2.1.1">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.4.1.cmml" xref="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.4.1"><times id="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.4.1.2.cmml" xref="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.4.1.2"></times><apply id="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.4.1.3.cmml" xref="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.4.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.4.1.3.1.cmml" xref="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.4.1.3">subscript</csymbol><ci id="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.4.1.3.2.cmml" xref="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.4.1.3.2">𝜎</ci><ci id="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.4.1.3.3.cmml" xref="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.4.1.3.3">𝑘</ci></apply><ci id="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.4.1.1.cmml" xref="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4.4.1.1">𝑗</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4c">UP^{(k)}_{j}U^{\ast}=\tilde{P}^{(\pi(k))}_{\sigma_{k}(j)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.Thmfact2.p1.7.m7.4d">italic_U italic_P start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_k ) end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_U start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT = over~ start_ARG italic_P end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_π ( italic_k ) ) end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_σ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_j ) end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> for all <math alttext="k\in[m],j\in[d]" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.Thmfact2.p1.8.m8.4"><semantics id="S1.Thmfact2.p1.8.m8.4a"><mrow id="S1.Thmfact2.p1.8.m8.4.4.2" xref="S1.Thmfact2.p1.8.m8.4.4.3.cmml"><mrow id="S1.Thmfact2.p1.8.m8.3.3.1.1" xref="S1.Thmfact2.p1.8.m8.3.3.1.1.cmml"><mi id="S1.Thmfact2.p1.8.m8.3.3.1.1.2" xref="S1.Thmfact2.p1.8.m8.3.3.1.1.2.cmml">k</mi><mo id="S1.Thmfact2.p1.8.m8.3.3.1.1.1" xref="S1.Thmfact2.p1.8.m8.3.3.1.1.1.cmml">∈</mo><mrow id="S1.Thmfact2.p1.8.m8.3.3.1.1.3.2" xref="S1.Thmfact2.p1.8.m8.3.3.1.1.3.1.cmml"><mo id="S1.Thmfact2.p1.8.m8.3.3.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.Thmfact2.p1.8.m8.3.3.1.1.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S1.Thmfact2.p1.8.m8.1.1" xref="S1.Thmfact2.p1.8.m8.1.1.cmml">m</mi><mo id="S1.Thmfact2.p1.8.m8.3.3.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.Thmfact2.p1.8.m8.3.3.1.1.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S1.Thmfact2.p1.8.m8.4.4.2.3" xref="S1.Thmfact2.p1.8.m8.4.4.3a.cmml">,</mo><mrow id="S1.Thmfact2.p1.8.m8.4.4.2.2" xref="S1.Thmfact2.p1.8.m8.4.4.2.2.cmml"><mi id="S1.Thmfact2.p1.8.m8.4.4.2.2.2" xref="S1.Thmfact2.p1.8.m8.4.4.2.2.2.cmml">j</mi><mo id="S1.Thmfact2.p1.8.m8.4.4.2.2.1" xref="S1.Thmfact2.p1.8.m8.4.4.2.2.1.cmml">∈</mo><mrow id="S1.Thmfact2.p1.8.m8.4.4.2.2.3.2" xref="S1.Thmfact2.p1.8.m8.4.4.2.2.3.1.cmml"><mo id="S1.Thmfact2.p1.8.m8.4.4.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.Thmfact2.p1.8.m8.4.4.2.2.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S1.Thmfact2.p1.8.m8.2.2" xref="S1.Thmfact2.p1.8.m8.2.2.cmml">d</mi><mo id="S1.Thmfact2.p1.8.m8.4.4.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.Thmfact2.p1.8.m8.4.4.2.2.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.Thmfact2.p1.8.m8.4b"><apply id="S1.Thmfact2.p1.8.m8.4.4.3.cmml" xref="S1.Thmfact2.p1.8.m8.4.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Thmfact2.p1.8.m8.4.4.3a.cmml" xref="S1.Thmfact2.p1.8.m8.4.4.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S1.Thmfact2.p1.8.m8.3.3.1.1.cmml" xref="S1.Thmfact2.p1.8.m8.3.3.1.1"><in id="S1.Thmfact2.p1.8.m8.3.3.1.1.1.cmml" xref="S1.Thmfact2.p1.8.m8.3.3.1.1.1"></in><ci id="S1.Thmfact2.p1.8.m8.3.3.1.1.2.cmml" xref="S1.Thmfact2.p1.8.m8.3.3.1.1.2">𝑘</ci><apply id="S1.Thmfact2.p1.8.m8.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S1.Thmfact2.p1.8.m8.3.3.1.1.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S1.Thmfact2.p1.8.m8.3.3.1.1.3.1.1.cmml" xref="S1.Thmfact2.p1.8.m8.3.3.1.1.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S1.Thmfact2.p1.8.m8.1.1.cmml" xref="S1.Thmfact2.p1.8.m8.1.1">𝑚</ci></apply></apply><apply id="S1.Thmfact2.p1.8.m8.4.4.2.2.cmml" xref="S1.Thmfact2.p1.8.m8.4.4.2.2"><in id="S1.Thmfact2.p1.8.m8.4.4.2.2.1.cmml" xref="S1.Thmfact2.p1.8.m8.4.4.2.2.1"></in><ci id="S1.Thmfact2.p1.8.m8.4.4.2.2.2.cmml" xref="S1.Thmfact2.p1.8.m8.4.4.2.2.2">𝑗</ci><apply id="S1.Thmfact2.p1.8.m8.4.4.2.2.3.1.cmml" xref="S1.Thmfact2.p1.8.m8.4.4.2.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S1.Thmfact2.p1.8.m8.4.4.2.2.3.1.1.cmml" xref="S1.Thmfact2.p1.8.m8.4.4.2.2.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S1.Thmfact2.p1.8.m8.2.2.cmml" xref="S1.Thmfact2.p1.8.m8.2.2">𝑑</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.Thmfact2.p1.8.m8.4c">k\in[m],j\in[d]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.Thmfact2.p1.8.m8.4d">italic_k ∈ [ italic_m ] , italic_j ∈ [ italic_d ]</annotation></semantics></math>.</p> </div> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_nremark" id="S1.Thmfact3"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S1.Thmfact3.1.1.1">Remark 1.3</span></span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S1.Thmfact3.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="S1.Thmfact3.p1"> <p class="ltx_p" id="S1.Thmfact3.p1.11"><span class="ltx_text" id="S1.Thmfact3.p1.11.11" style="font-size:90%;">For any orthonormal basis <math alttext="X" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.Thmfact3.p1.1.1.m1.1"><semantics id="S1.Thmfact3.p1.1.1.m1.1a"><mi id="S1.Thmfact3.p1.1.1.m1.1.1" xref="S1.Thmfact3.p1.1.1.m1.1.1.cmml">X</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.Thmfact3.p1.1.1.m1.1b"><ci id="S1.Thmfact3.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.Thmfact3.p1.1.1.m1.1.1">𝑋</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.Thmfact3.p1.1.1.m1.1c">X</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.Thmfact3.p1.1.1.m1.1d">italic_X</annotation></semantics></math> in <math alttext="\mathbb{C}^{d}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.Thmfact3.p1.2.2.m2.1"><semantics id="S1.Thmfact3.p1.2.2.m2.1a"><msup id="S1.Thmfact3.p1.2.2.m2.1.1" xref="S1.Thmfact3.p1.2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S1.Thmfact3.p1.2.2.m2.1.1.2" xref="S1.Thmfact3.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml">ℂ</mi><mi id="S1.Thmfact3.p1.2.2.m2.1.1.3" xref="S1.Thmfact3.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml">d</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.Thmfact3.p1.2.2.m2.1b"><apply id="S1.Thmfact3.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="S1.Thmfact3.p1.2.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Thmfact3.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S1.Thmfact3.p1.2.2.m2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S1.Thmfact3.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S1.Thmfact3.p1.2.2.m2.1.1.2">ℂ</ci><ci id="S1.Thmfact3.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S1.Thmfact3.p1.2.2.m2.1.1.3">𝑑</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.Thmfact3.p1.2.2.m2.1c">\mathbb{C}^{d}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.Thmfact3.p1.2.2.m2.1d">blackboard_C start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, let <math alttext="\mathcal{A}_{X}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.Thmfact3.p1.3.3.m3.1"><semantics id="S1.Thmfact3.p1.3.3.m3.1a"><msub id="S1.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1" xref="S1.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S1.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.2" xref="S1.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml">𝒜</mi><mi id="S1.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.3" xref="S1.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.3.cmml">X</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.Thmfact3.p1.3.3.m3.1b"><apply id="S1.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="S1.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S1.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S1.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S1.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.2">𝒜</ci><ci id="S1.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S1.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.3">𝑋</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.Thmfact3.p1.3.3.m3.1c">\mathcal{A}_{X}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.Thmfact3.p1.3.3.m3.1d">caligraphic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_X end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> denote the subalgebra of operators on <math alttext="\mathbb{C}^{d}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.Thmfact3.p1.4.4.m4.1"><semantics id="S1.Thmfact3.p1.4.4.m4.1a"><msup id="S1.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1" xref="S1.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S1.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.2" xref="S1.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.2.cmml">ℂ</mi><mi id="S1.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.3" xref="S1.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.3.cmml">d</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.Thmfact3.p1.4.4.m4.1b"><apply id="S1.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.cmml" xref="S1.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S1.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1">superscript</csymbol><ci id="S1.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S1.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.2">ℂ</ci><ci id="S1.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S1.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.3">𝑑</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.Thmfact3.p1.4.4.m4.1c">\mathbb{C}^{d}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.Thmfact3.p1.4.4.m4.1d">blackboard_C start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> which are diagonal in the basis <math alttext="X" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.Thmfact3.p1.5.5.m5.1"><semantics id="S1.Thmfact3.p1.5.5.m5.1a"><mi id="S1.Thmfact3.p1.5.5.m5.1.1" xref="S1.Thmfact3.p1.5.5.m5.1.1.cmml">X</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.Thmfact3.p1.5.5.m5.1b"><ci id="S1.Thmfact3.p1.5.5.m5.1.1.cmml" xref="S1.Thmfact3.p1.5.5.m5.1.1">𝑋</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.Thmfact3.p1.5.5.m5.1c">X</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.Thmfact3.p1.5.5.m5.1d">italic_X</annotation></semantics></math>. It is easy to see that two systems of MUBs, <math alttext="X_{1},\dots,X_{m}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.Thmfact3.p1.6.6.m6.3"><semantics id="S1.Thmfact3.p1.6.6.m6.3a"><mrow id="S1.Thmfact3.p1.6.6.m6.3.3.2" xref="S1.Thmfact3.p1.6.6.m6.3.3.3.cmml"><msub id="S1.Thmfact3.p1.6.6.m6.2.2.1.1" xref="S1.Thmfact3.p1.6.6.m6.2.2.1.1.cmml"><mi id="S1.Thmfact3.p1.6.6.m6.2.2.1.1.2" xref="S1.Thmfact3.p1.6.6.m6.2.2.1.1.2.cmml">X</mi><mn id="S1.Thmfact3.p1.6.6.m6.2.2.1.1.3" xref="S1.Thmfact3.p1.6.6.m6.2.2.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S1.Thmfact3.p1.6.6.m6.3.3.2.3" xref="S1.Thmfact3.p1.6.6.m6.3.3.3.cmml">,</mo><mi id="S1.Thmfact3.p1.6.6.m6.1.1" mathvariant="normal" xref="S1.Thmfact3.p1.6.6.m6.1.1.cmml">…</mi><mo id="S1.Thmfact3.p1.6.6.m6.3.3.2.4" xref="S1.Thmfact3.p1.6.6.m6.3.3.3.cmml">,</mo><msub id="S1.Thmfact3.p1.6.6.m6.3.3.2.2" xref="S1.Thmfact3.p1.6.6.m6.3.3.2.2.cmml"><mi id="S1.Thmfact3.p1.6.6.m6.3.3.2.2.2" xref="S1.Thmfact3.p1.6.6.m6.3.3.2.2.2.cmml">X</mi><mi id="S1.Thmfact3.p1.6.6.m6.3.3.2.2.3" xref="S1.Thmfact3.p1.6.6.m6.3.3.2.2.3.cmml">m</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.Thmfact3.p1.6.6.m6.3b"><list id="S1.Thmfact3.p1.6.6.m6.3.3.3.cmml" xref="S1.Thmfact3.p1.6.6.m6.3.3.2"><apply id="S1.Thmfact3.p1.6.6.m6.2.2.1.1.cmml" xref="S1.Thmfact3.p1.6.6.m6.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Thmfact3.p1.6.6.m6.2.2.1.1.1.cmml" xref="S1.Thmfact3.p1.6.6.m6.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S1.Thmfact3.p1.6.6.m6.2.2.1.1.2.cmml" xref="S1.Thmfact3.p1.6.6.m6.2.2.1.1.2">𝑋</ci><cn id="S1.Thmfact3.p1.6.6.m6.2.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.Thmfact3.p1.6.6.m6.2.2.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S1.Thmfact3.p1.6.6.m6.1.1.cmml" xref="S1.Thmfact3.p1.6.6.m6.1.1">…</ci><apply id="S1.Thmfact3.p1.6.6.m6.3.3.2.2.cmml" xref="S1.Thmfact3.p1.6.6.m6.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Thmfact3.p1.6.6.m6.3.3.2.2.1.cmml" xref="S1.Thmfact3.p1.6.6.m6.3.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S1.Thmfact3.p1.6.6.m6.3.3.2.2.2.cmml" xref="S1.Thmfact3.p1.6.6.m6.3.3.2.2.2">𝑋</ci><ci id="S1.Thmfact3.p1.6.6.m6.3.3.2.2.3.cmml" xref="S1.Thmfact3.p1.6.6.m6.3.3.2.2.3">𝑚</ci></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.Thmfact3.p1.6.6.m6.3c">X_{1},\dots,X_{m}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.Thmfact3.p1.6.6.m6.3d">italic_X start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="Y_{1},\dots Y_{m}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.Thmfact3.p1.7.7.m7.2"><semantics id="S1.Thmfact3.p1.7.7.m7.2a"><mrow id="S1.Thmfact3.p1.7.7.m7.2.2.2" xref="S1.Thmfact3.p1.7.7.m7.2.2.3.cmml"><msub id="S1.Thmfact3.p1.7.7.m7.1.1.1.1" xref="S1.Thmfact3.p1.7.7.m7.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.Thmfact3.p1.7.7.m7.1.1.1.1.2" xref="S1.Thmfact3.p1.7.7.m7.1.1.1.1.2.cmml">Y</mi><mn id="S1.Thmfact3.p1.7.7.m7.1.1.1.1.3" xref="S1.Thmfact3.p1.7.7.m7.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S1.Thmfact3.p1.7.7.m7.2.2.2.3" xref="S1.Thmfact3.p1.7.7.m7.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S1.Thmfact3.p1.7.7.m7.2.2.2.2" xref="S1.Thmfact3.p1.7.7.m7.2.2.2.2.cmml"><mi id="S1.Thmfact3.p1.7.7.m7.2.2.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S1.Thmfact3.p1.7.7.m7.2.2.2.2.2.cmml">…</mi><mo id="S1.Thmfact3.p1.7.7.m7.2.2.2.2.1" xref="S1.Thmfact3.p1.7.7.m7.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S1.Thmfact3.p1.7.7.m7.2.2.2.2.3" xref="S1.Thmfact3.p1.7.7.m7.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S1.Thmfact3.p1.7.7.m7.2.2.2.2.3.2" xref="S1.Thmfact3.p1.7.7.m7.2.2.2.2.3.2.cmml">Y</mi><mi id="S1.Thmfact3.p1.7.7.m7.2.2.2.2.3.3" xref="S1.Thmfact3.p1.7.7.m7.2.2.2.2.3.3.cmml">m</mi></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.Thmfact3.p1.7.7.m7.2b"><list id="S1.Thmfact3.p1.7.7.m7.2.2.3.cmml" xref="S1.Thmfact3.p1.7.7.m7.2.2.2"><apply id="S1.Thmfact3.p1.7.7.m7.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Thmfact3.p1.7.7.m7.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Thmfact3.p1.7.7.m7.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Thmfact3.p1.7.7.m7.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S1.Thmfact3.p1.7.7.m7.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.Thmfact3.p1.7.7.m7.1.1.1.1.2">𝑌</ci><cn id="S1.Thmfact3.p1.7.7.m7.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.Thmfact3.p1.7.7.m7.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S1.Thmfact3.p1.7.7.m7.2.2.2.2.cmml" xref="S1.Thmfact3.p1.7.7.m7.2.2.2.2"><times id="S1.Thmfact3.p1.7.7.m7.2.2.2.2.1.cmml" xref="S1.Thmfact3.p1.7.7.m7.2.2.2.2.1"></times><ci id="S1.Thmfact3.p1.7.7.m7.2.2.2.2.2.cmml" xref="S1.Thmfact3.p1.7.7.m7.2.2.2.2.2">…</ci><apply id="S1.Thmfact3.p1.7.7.m7.2.2.2.2.3.cmml" xref="S1.Thmfact3.p1.7.7.m7.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Thmfact3.p1.7.7.m7.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S1.Thmfact3.p1.7.7.m7.2.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S1.Thmfact3.p1.7.7.m7.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S1.Thmfact3.p1.7.7.m7.2.2.2.2.3.2">𝑌</ci><ci id="S1.Thmfact3.p1.7.7.m7.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S1.Thmfact3.p1.7.7.m7.2.2.2.2.3.3">𝑚</ci></apply></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.Thmfact3.p1.7.7.m7.2c">Y_{1},\dots Y_{m}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.Thmfact3.p1.7.7.m7.2d">italic_Y start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> are permutationally unitary equivalent if and only if there exists a permutation <math alttext="\pi\in S_{m}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.Thmfact3.p1.8.8.m8.1"><semantics id="S1.Thmfact3.p1.8.8.m8.1a"><mrow id="S1.Thmfact3.p1.8.8.m8.1.1" xref="S1.Thmfact3.p1.8.8.m8.1.1.cmml"><mi id="S1.Thmfact3.p1.8.8.m8.1.1.2" xref="S1.Thmfact3.p1.8.8.m8.1.1.2.cmml">π</mi><mo id="S1.Thmfact3.p1.8.8.m8.1.1.1" xref="S1.Thmfact3.p1.8.8.m8.1.1.1.cmml">∈</mo><msub id="S1.Thmfact3.p1.8.8.m8.1.1.3" xref="S1.Thmfact3.p1.8.8.m8.1.1.3.cmml"><mi id="S1.Thmfact3.p1.8.8.m8.1.1.3.2" xref="S1.Thmfact3.p1.8.8.m8.1.1.3.2.cmml">S</mi><mi id="S1.Thmfact3.p1.8.8.m8.1.1.3.3" xref="S1.Thmfact3.p1.8.8.m8.1.1.3.3.cmml">m</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.Thmfact3.p1.8.8.m8.1b"><apply id="S1.Thmfact3.p1.8.8.m8.1.1.cmml" xref="S1.Thmfact3.p1.8.8.m8.1.1"><in id="S1.Thmfact3.p1.8.8.m8.1.1.1.cmml" xref="S1.Thmfact3.p1.8.8.m8.1.1.1"></in><ci id="S1.Thmfact3.p1.8.8.m8.1.1.2.cmml" xref="S1.Thmfact3.p1.8.8.m8.1.1.2">𝜋</ci><apply id="S1.Thmfact3.p1.8.8.m8.1.1.3.cmml" xref="S1.Thmfact3.p1.8.8.m8.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Thmfact3.p1.8.8.m8.1.1.3.1.cmml" xref="S1.Thmfact3.p1.8.8.m8.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S1.Thmfact3.p1.8.8.m8.1.1.3.2.cmml" xref="S1.Thmfact3.p1.8.8.m8.1.1.3.2">𝑆</ci><ci id="S1.Thmfact3.p1.8.8.m8.1.1.3.3.cmml" xref="S1.Thmfact3.p1.8.8.m8.1.1.3.3">𝑚</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.Thmfact3.p1.8.8.m8.1c">\pi\in S_{m}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.Thmfact3.p1.8.8.m8.1d">italic_π ∈ italic_S start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and a unitary operator <math alttext="U" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.Thmfact3.p1.9.9.m9.1"><semantics id="S1.Thmfact3.p1.9.9.m9.1a"><mi id="S1.Thmfact3.p1.9.9.m9.1.1" xref="S1.Thmfact3.p1.9.9.m9.1.1.cmml">U</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.Thmfact3.p1.9.9.m9.1b"><ci id="S1.Thmfact3.p1.9.9.m9.1.1.cmml" xref="S1.Thmfact3.p1.9.9.m9.1.1">𝑈</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.Thmfact3.p1.9.9.m9.1c">U</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.Thmfact3.p1.9.9.m9.1d">italic_U</annotation></semantics></math> on <math alttext="\mathbb{C}^{d}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.Thmfact3.p1.10.10.m10.1"><semantics id="S1.Thmfact3.p1.10.10.m10.1a"><msup id="S1.Thmfact3.p1.10.10.m10.1.1" xref="S1.Thmfact3.p1.10.10.m10.1.1.cmml"><mi id="S1.Thmfact3.p1.10.10.m10.1.1.2" xref="S1.Thmfact3.p1.10.10.m10.1.1.2.cmml">ℂ</mi><mi id="S1.Thmfact3.p1.10.10.m10.1.1.3" xref="S1.Thmfact3.p1.10.10.m10.1.1.3.cmml">d</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.Thmfact3.p1.10.10.m10.1b"><apply id="S1.Thmfact3.p1.10.10.m10.1.1.cmml" xref="S1.Thmfact3.p1.10.10.m10.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Thmfact3.p1.10.10.m10.1.1.1.cmml" xref="S1.Thmfact3.p1.10.10.m10.1.1">superscript</csymbol><ci id="S1.Thmfact3.p1.10.10.m10.1.1.2.cmml" xref="S1.Thmfact3.p1.10.10.m10.1.1.2">ℂ</ci><ci id="S1.Thmfact3.p1.10.10.m10.1.1.3.cmml" xref="S1.Thmfact3.p1.10.10.m10.1.1.3">𝑑</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.Thmfact3.p1.10.10.m10.1c">\mathbb{C}^{d}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.Thmfact3.p1.10.10.m10.1d">blackboard_C start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> such that <math alttext="U\mathcal{A}_{X_{i}}U^{\ast}=\mathcal{A}_{Y_{\pi(i)}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.Thmfact3.p1.11.11.m11.1"><semantics id="S1.Thmfact3.p1.11.11.m11.1a"><mrow id="S1.Thmfact3.p1.11.11.m11.1.2" xref="S1.Thmfact3.p1.11.11.m11.1.2.cmml"><mrow id="S1.Thmfact3.p1.11.11.m11.1.2.2" xref="S1.Thmfact3.p1.11.11.m11.1.2.2.cmml"><mi id="S1.Thmfact3.p1.11.11.m11.1.2.2.2" xref="S1.Thmfact3.p1.11.11.m11.1.2.2.2.cmml">U</mi><mo id="S1.Thmfact3.p1.11.11.m11.1.2.2.1" xref="S1.Thmfact3.p1.11.11.m11.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S1.Thmfact3.p1.11.11.m11.1.2.2.3" xref="S1.Thmfact3.p1.11.11.m11.1.2.2.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S1.Thmfact3.p1.11.11.m11.1.2.2.3.2" xref="S1.Thmfact3.p1.11.11.m11.1.2.2.3.2.cmml">𝒜</mi><msub id="S1.Thmfact3.p1.11.11.m11.1.2.2.3.3" xref="S1.Thmfact3.p1.11.11.m11.1.2.2.3.3.cmml"><mi id="S1.Thmfact3.p1.11.11.m11.1.2.2.3.3.2" xref="S1.Thmfact3.p1.11.11.m11.1.2.2.3.3.2.cmml">X</mi><mi id="S1.Thmfact3.p1.11.11.m11.1.2.2.3.3.3" xref="S1.Thmfact3.p1.11.11.m11.1.2.2.3.3.3.cmml">i</mi></msub></msub><mo id="S1.Thmfact3.p1.11.11.m11.1.2.2.1a" xref="S1.Thmfact3.p1.11.11.m11.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S1.Thmfact3.p1.11.11.m11.1.2.2.4" xref="S1.Thmfact3.p1.11.11.m11.1.2.2.4.cmml"><mi id="S1.Thmfact3.p1.11.11.m11.1.2.2.4.2" xref="S1.Thmfact3.p1.11.11.m11.1.2.2.4.2.cmml">U</mi><mo id="S1.Thmfact3.p1.11.11.m11.1.2.2.4.3" xref="S1.Thmfact3.p1.11.11.m11.1.2.2.4.3.cmml">∗</mo></msup></mrow><mo id="S1.Thmfact3.p1.11.11.m11.1.2.1" xref="S1.Thmfact3.p1.11.11.m11.1.2.1.cmml">=</mo><msub id="S1.Thmfact3.p1.11.11.m11.1.2.3" xref="S1.Thmfact3.p1.11.11.m11.1.2.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S1.Thmfact3.p1.11.11.m11.1.2.3.2" xref="S1.Thmfact3.p1.11.11.m11.1.2.3.2.cmml">𝒜</mi><msub id="S1.Thmfact3.p1.11.11.m11.1.1.1" xref="S1.Thmfact3.p1.11.11.m11.1.1.1.cmml"><mi id="S1.Thmfact3.p1.11.11.m11.1.1.1.3" xref="S1.Thmfact3.p1.11.11.m11.1.1.1.3.cmml">Y</mi><mrow id="S1.Thmfact3.p1.11.11.m11.1.1.1.1.1" xref="S1.Thmfact3.p1.11.11.m11.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.Thmfact3.p1.11.11.m11.1.1.1.1.1.3" xref="S1.Thmfact3.p1.11.11.m11.1.1.1.1.1.3.cmml">π</mi><mo id="S1.Thmfact3.p1.11.11.m11.1.1.1.1.1.2" xref="S1.Thmfact3.p1.11.11.m11.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.Thmfact3.p1.11.11.m11.1.1.1.1.1.4.2" xref="S1.Thmfact3.p1.11.11.m11.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S1.Thmfact3.p1.11.11.m11.1.1.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S1.Thmfact3.p1.11.11.m11.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S1.Thmfact3.p1.11.11.m11.1.1.1.1.1.1" xref="S1.Thmfact3.p1.11.11.m11.1.1.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S1.Thmfact3.p1.11.11.m11.1.1.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S1.Thmfact3.p1.11.11.m11.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msub></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.Thmfact3.p1.11.11.m11.1b"><apply id="S1.Thmfact3.p1.11.11.m11.1.2.cmml" xref="S1.Thmfact3.p1.11.11.m11.1.2"><eq id="S1.Thmfact3.p1.11.11.m11.1.2.1.cmml" xref="S1.Thmfact3.p1.11.11.m11.1.2.1"></eq><apply id="S1.Thmfact3.p1.11.11.m11.1.2.2.cmml" xref="S1.Thmfact3.p1.11.11.m11.1.2.2"><times id="S1.Thmfact3.p1.11.11.m11.1.2.2.1.cmml" xref="S1.Thmfact3.p1.11.11.m11.1.2.2.1"></times><ci id="S1.Thmfact3.p1.11.11.m11.1.2.2.2.cmml" xref="S1.Thmfact3.p1.11.11.m11.1.2.2.2">𝑈</ci><apply id="S1.Thmfact3.p1.11.11.m11.1.2.2.3.cmml" xref="S1.Thmfact3.p1.11.11.m11.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Thmfact3.p1.11.11.m11.1.2.2.3.1.cmml" xref="S1.Thmfact3.p1.11.11.m11.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S1.Thmfact3.p1.11.11.m11.1.2.2.3.2.cmml" xref="S1.Thmfact3.p1.11.11.m11.1.2.2.3.2">𝒜</ci><apply id="S1.Thmfact3.p1.11.11.m11.1.2.2.3.3.cmml" xref="S1.Thmfact3.p1.11.11.m11.1.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Thmfact3.p1.11.11.m11.1.2.2.3.3.1.cmml" xref="S1.Thmfact3.p1.11.11.m11.1.2.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S1.Thmfact3.p1.11.11.m11.1.2.2.3.3.2.cmml" xref="S1.Thmfact3.p1.11.11.m11.1.2.2.3.3.2">𝑋</ci><ci id="S1.Thmfact3.p1.11.11.m11.1.2.2.3.3.3.cmml" xref="S1.Thmfact3.p1.11.11.m11.1.2.2.3.3.3">𝑖</ci></apply></apply><apply id="S1.Thmfact3.p1.11.11.m11.1.2.2.4.cmml" xref="S1.Thmfact3.p1.11.11.m11.1.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Thmfact3.p1.11.11.m11.1.2.2.4.1.cmml" xref="S1.Thmfact3.p1.11.11.m11.1.2.2.4">superscript</csymbol><ci id="S1.Thmfact3.p1.11.11.m11.1.2.2.4.2.cmml" xref="S1.Thmfact3.p1.11.11.m11.1.2.2.4.2">𝑈</ci><ci id="S1.Thmfact3.p1.11.11.m11.1.2.2.4.3.cmml" xref="S1.Thmfact3.p1.11.11.m11.1.2.2.4.3">∗</ci></apply></apply><apply id="S1.Thmfact3.p1.11.11.m11.1.2.3.cmml" xref="S1.Thmfact3.p1.11.11.m11.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Thmfact3.p1.11.11.m11.1.2.3.1.cmml" xref="S1.Thmfact3.p1.11.11.m11.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S1.Thmfact3.p1.11.11.m11.1.2.3.2.cmml" xref="S1.Thmfact3.p1.11.11.m11.1.2.3.2">𝒜</ci><apply id="S1.Thmfact3.p1.11.11.m11.1.1.1.cmml" xref="S1.Thmfact3.p1.11.11.m11.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Thmfact3.p1.11.11.m11.1.1.1.2.cmml" xref="S1.Thmfact3.p1.11.11.m11.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S1.Thmfact3.p1.11.11.m11.1.1.1.3.cmml" xref="S1.Thmfact3.p1.11.11.m11.1.1.1.3">𝑌</ci><apply id="S1.Thmfact3.p1.11.11.m11.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Thmfact3.p1.11.11.m11.1.1.1.1.1"><times id="S1.Thmfact3.p1.11.11.m11.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.Thmfact3.p1.11.11.m11.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S1.Thmfact3.p1.11.11.m11.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.Thmfact3.p1.11.11.m11.1.1.1.1.1.3">𝜋</ci><ci id="S1.Thmfact3.p1.11.11.m11.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Thmfact3.p1.11.11.m11.1.1.1.1.1.1">𝑖</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.Thmfact3.p1.11.11.m11.1c">U\mathcal{A}_{X_{i}}U^{\ast}=\mathcal{A}_{Y_{\pi(i)}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.Thmfact3.p1.11.11.m11.1d">italic_U caligraphic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT italic_U start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT = caligraphic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_π ( italic_i ) end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. ∎</span></p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p6"> <p class="ltx_p" id="S1.p6.1">The rest of the paper is devoted to studying pairs and triplets of MUBs up to unitary equivalence. In Section <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#S2" title="2. Pairs of MUBs ‣ Triplets of Mutually Unbiased Bases"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a> we revisit the characterization of unitary equivalence of pairs of MUBs in terms of complex Hadamard matrices and Haagerup invariants. In Section <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#S3" title="3. MUB-triplets and Hadamard cubes ‣ Triplets of Mutually Unbiased Bases"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a> we introduce the main new concept of the paper, the notion of a <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S1.p6.1.1">Hadamard cube</span>, and show how such a cube determines a MUB-triplet up to unitary equivalence. In Section <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#S4" title="4. Hadamard cubes in dimension 6 ‣ Triplets of Mutually Unbiased Bases"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4</span></a> we present some numerical evidence about Hadamard cubes in dimension 6, and formulate a conjectured algebraic identity that can lead to the proof of Zauner’s conjecture on the maximal number of MUBs being three in this case. It is worth noting the philosophy behind this approach. Thus far, all attempts in the literature have failed to prove the non-existence of a quadruple of MUBs in dimension 6. The main new idea here is to carry out such a proof in two steps. First, provide a complete characterization of triplets of MUBs (which are known to exist; hence for this part – unlike when one tries to <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S1.p6.1.2">disprove</span> the existence of something – numerical searches can help by giving insight). Then, as a second step, prove that these (explicitly given) MUB-triplets cannot be extended with a fourth basis.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p7"> <p class="ltx_p" id="S1.p7.1">In its spirit, this is similar to the approach where the first step is the complete characterization of complex Hadamard matrices (i.e. MUB pairs, instead of triplets). However, already in dimension <math alttext="6" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p7.1.m1.1"><semantics id="S1.p7.1.m1.1a"><mn id="S1.p7.1.m1.1.1" xref="S1.p7.1.m1.1.1.cmml">6</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p7.1.m1.1b"><cn id="S1.p7.1.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S1.p7.1.m1.1.1">6</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p7.1.m1.1c">6</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p7.1.m1.1d">6</annotation></semantics></math>, there are just “too many” nonequivalent pairs to explicitly describe, while, as we shall explain, numerical evidence suggests that all triplets have a certain, easily understandable structure.</p> </div> </section> <section class="ltx_section" id="S2"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">2. </span>Pairs of MUBs</h2> <div class="ltx_para" id="S2.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.p1.1">In this section we consider pairs of mutually unbiased bases. The results below are basically reformulations of well-known facts from the literature, and our purpose in stating them explicitly is to motivate the discussion for MUB-triplets in later sections.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.p2"> <p class="ltx_p" id="S2.p2.7">Let <math alttext="X=\{\mathbf{e}_{1},\ldots,\mathbf{e}_{d}\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p2.1.m1.3"><semantics id="S2.p2.1.m1.3a"><mrow id="S2.p2.1.m1.3.3" xref="S2.p2.1.m1.3.3.cmml"><mi id="S2.p2.1.m1.3.3.4" xref="S2.p2.1.m1.3.3.4.cmml">X</mi><mo id="S2.p2.1.m1.3.3.3" xref="S2.p2.1.m1.3.3.3.cmml">=</mo><mrow id="S2.p2.1.m1.3.3.2.2" xref="S2.p2.1.m1.3.3.2.3.cmml"><mo id="S2.p2.1.m1.3.3.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.p2.1.m1.3.3.2.3.cmml">{</mo><msub id="S2.p2.1.m1.2.2.1.1.1" xref="S2.p2.1.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S2.p2.1.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S2.p2.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">𝐞</mi><mn id="S2.p2.1.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S2.p2.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S2.p2.1.m1.3.3.2.2.4" xref="S2.p2.1.m1.3.3.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.p2.1.m1.1.1" mathvariant="normal" xref="S2.p2.1.m1.1.1.cmml">…</mi><mo id="S2.p2.1.m1.3.3.2.2.5" xref="S2.p2.1.m1.3.3.2.3.cmml">,</mo><msub id="S2.p2.1.m1.3.3.2.2.2" xref="S2.p2.1.m1.3.3.2.2.2.cmml"><mi id="S2.p2.1.m1.3.3.2.2.2.2" xref="S2.p2.1.m1.3.3.2.2.2.2.cmml">𝐞</mi><mi id="S2.p2.1.m1.3.3.2.2.2.3" xref="S2.p2.1.m1.3.3.2.2.2.3.cmml">d</mi></msub><mo id="S2.p2.1.m1.3.3.2.2.6" stretchy="false" xref="S2.p2.1.m1.3.3.2.3.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p2.1.m1.3b"><apply id="S2.p2.1.m1.3.3.cmml" xref="S2.p2.1.m1.3.3"><eq id="S2.p2.1.m1.3.3.3.cmml" xref="S2.p2.1.m1.3.3.3"></eq><ci id="S2.p2.1.m1.3.3.4.cmml" xref="S2.p2.1.m1.3.3.4">𝑋</ci><set id="S2.p2.1.m1.3.3.2.3.cmml" xref="S2.p2.1.m1.3.3.2.2"><apply id="S2.p2.1.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.p2.1.m1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p2.1.m1.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.p2.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.p2.1.m1.2.2.1.1.1.2">𝐞</ci><cn id="S2.p2.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.p2.1.m1.2.2.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S2.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.p2.1.m1.1.1">…</ci><apply id="S2.p2.1.m1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S2.p2.1.m1.3.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p2.1.m1.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="S2.p2.1.m1.3.3.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.p2.1.m1.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S2.p2.1.m1.3.3.2.2.2.2">𝐞</ci><ci id="S2.p2.1.m1.3.3.2.2.2.3.cmml" xref="S2.p2.1.m1.3.3.2.2.2.3">𝑑</ci></apply></set></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p2.1.m1.3c">X=\{\mathbf{e}_{1},\ldots,\mathbf{e}_{d}\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p2.1.m1.3d">italic_X = { bold_e start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , bold_e start_POSTSUBSCRIPT italic_d end_POSTSUBSCRIPT }</annotation></semantics></math> and <math alttext="Y=\{\mathbf{f}_{1},\ldots,\mathbf{f}_{d}\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p2.2.m2.3"><semantics id="S2.p2.2.m2.3a"><mrow id="S2.p2.2.m2.3.3" xref="S2.p2.2.m2.3.3.cmml"><mi id="S2.p2.2.m2.3.3.4" xref="S2.p2.2.m2.3.3.4.cmml">Y</mi><mo id="S2.p2.2.m2.3.3.3" xref="S2.p2.2.m2.3.3.3.cmml">=</mo><mrow id="S2.p2.2.m2.3.3.2.2" xref="S2.p2.2.m2.3.3.2.3.cmml"><mo id="S2.p2.2.m2.3.3.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.p2.2.m2.3.3.2.3.cmml">{</mo><msub id="S2.p2.2.m2.2.2.1.1.1" xref="S2.p2.2.m2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S2.p2.2.m2.2.2.1.1.1.2" xref="S2.p2.2.m2.2.2.1.1.1.2.cmml">𝐟</mi><mn id="S2.p2.2.m2.2.2.1.1.1.3" xref="S2.p2.2.m2.2.2.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S2.p2.2.m2.3.3.2.2.4" xref="S2.p2.2.m2.3.3.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.p2.2.m2.1.1" mathvariant="normal" xref="S2.p2.2.m2.1.1.cmml">…</mi><mo id="S2.p2.2.m2.3.3.2.2.5" xref="S2.p2.2.m2.3.3.2.3.cmml">,</mo><msub id="S2.p2.2.m2.3.3.2.2.2" xref="S2.p2.2.m2.3.3.2.2.2.cmml"><mi id="S2.p2.2.m2.3.3.2.2.2.2" xref="S2.p2.2.m2.3.3.2.2.2.2.cmml">𝐟</mi><mi id="S2.p2.2.m2.3.3.2.2.2.3" xref="S2.p2.2.m2.3.3.2.2.2.3.cmml">d</mi></msub><mo id="S2.p2.2.m2.3.3.2.2.6" stretchy="false" xref="S2.p2.2.m2.3.3.2.3.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p2.2.m2.3b"><apply id="S2.p2.2.m2.3.3.cmml" xref="S2.p2.2.m2.3.3"><eq id="S2.p2.2.m2.3.3.3.cmml" xref="S2.p2.2.m2.3.3.3"></eq><ci id="S2.p2.2.m2.3.3.4.cmml" xref="S2.p2.2.m2.3.3.4">𝑌</ci><set id="S2.p2.2.m2.3.3.2.3.cmml" xref="S2.p2.2.m2.3.3.2.2"><apply id="S2.p2.2.m2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.p2.2.m2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p2.2.m2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p2.2.m2.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.p2.2.m2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.p2.2.m2.2.2.1.1.1.2">𝐟</ci><cn id="S2.p2.2.m2.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.p2.2.m2.2.2.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S2.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.p2.2.m2.1.1">…</ci><apply id="S2.p2.2.m2.3.3.2.2.2.cmml" xref="S2.p2.2.m2.3.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p2.2.m2.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="S2.p2.2.m2.3.3.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.p2.2.m2.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S2.p2.2.m2.3.3.2.2.2.2">𝐟</ci><ci id="S2.p2.2.m2.3.3.2.2.2.3.cmml" xref="S2.p2.2.m2.3.3.2.2.2.3">𝑑</ci></apply></set></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p2.2.m2.3c">Y=\{\mathbf{f}_{1},\ldots,\mathbf{f}_{d}\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p2.2.m2.3d">italic_Y = { bold_f start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , bold_f start_POSTSUBSCRIPT italic_d end_POSTSUBSCRIPT }</annotation></semantics></math> be a pair of mutually unbiased bases in <math alttext="\mathbb{C}^{d}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p2.3.m3.1"><semantics id="S2.p2.3.m3.1a"><msup id="S2.p2.3.m3.1.1" xref="S2.p2.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S2.p2.3.m3.1.1.2" xref="S2.p2.3.m3.1.1.2.cmml">ℂ</mi><mi id="S2.p2.3.m3.1.1.3" xref="S2.p2.3.m3.1.1.3.cmml">d</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p2.3.m3.1b"><apply id="S2.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.p2.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p2.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S2.p2.3.m3.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.p2.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S2.p2.3.m3.1.1.2">ℂ</ci><ci id="S2.p2.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S2.p2.3.m3.1.1.3">𝑑</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p2.3.m3.1c">\mathbb{C}^{d}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p2.3.m3.1d">blackboard_C start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. Let <math alttext="P_{j}=|\mathbf{e}_{j}\rangle\langle\mathbf{e}_{j}|" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p2.4.m4.2"><semantics id="S2.p2.4.m4.2a"><mrow id="S2.p2.4.m4.2.2" xref="S2.p2.4.m4.2.2.cmml"><msub id="S2.p2.4.m4.2.2.4" xref="S2.p2.4.m4.2.2.4.cmml"><mi id="S2.p2.4.m4.2.2.4.2" xref="S2.p2.4.m4.2.2.4.2.cmml">P</mi><mi id="S2.p2.4.m4.2.2.4.3" xref="S2.p2.4.m4.2.2.4.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S2.p2.4.m4.2.2.3" xref="S2.p2.4.m4.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="S2.p2.4.m4.2.2.2" xref="S2.p2.4.m4.2.2.2.cmml"><mrow id="S2.p2.4.m4.1.1.1.1.1" xref="S2.p2.4.m4.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.p2.4.m4.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.p2.4.m4.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S2.p2.4.m4.1.1.1.1.1.1" xref="S2.p2.4.m4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.p2.4.m4.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.p2.4.m4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝐞</mi><mi id="S2.p2.4.m4.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.p2.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S2.p2.4.m4.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.p2.4.m4.1.1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S2.p2.4.m4.2.2.2.3" xref="S2.p2.4.m4.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p2.4.m4.2.2.2.2.1" xref="S2.p2.4.m4.2.2.2.2.2.cmml"><mo id="S2.p2.4.m4.2.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S2.p2.4.m4.2.2.2.2.2.1.cmml">⟨</mo><msub id="S2.p2.4.m4.2.2.2.2.1.1" xref="S2.p2.4.m4.2.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S2.p2.4.m4.2.2.2.2.1.1.2" xref="S2.p2.4.m4.2.2.2.2.1.1.2.cmml">𝐞</mi><mi id="S2.p2.4.m4.2.2.2.2.1.1.3" xref="S2.p2.4.m4.2.2.2.2.1.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S2.p2.4.m4.2.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S2.p2.4.m4.2.2.2.2.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p2.4.m4.2b"><apply id="S2.p2.4.m4.2.2.cmml" xref="S2.p2.4.m4.2.2"><eq id="S2.p2.4.m4.2.2.3.cmml" xref="S2.p2.4.m4.2.2.3"></eq><apply id="S2.p2.4.m4.2.2.4.cmml" xref="S2.p2.4.m4.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p2.4.m4.2.2.4.1.cmml" xref="S2.p2.4.m4.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S2.p2.4.m4.2.2.4.2.cmml" xref="S2.p2.4.m4.2.2.4.2">𝑃</ci><ci id="S2.p2.4.m4.2.2.4.3.cmml" xref="S2.p2.4.m4.2.2.4.3">𝑗</ci></apply><apply id="S2.p2.4.m4.2.2.2.cmml" xref="S2.p2.4.m4.2.2.2"><times id="S2.p2.4.m4.2.2.2.3.cmml" xref="S2.p2.4.m4.2.2.2.3"></times><apply id="S2.p2.4.m4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.p2.4.m4.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.p2.4.m4.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.p2.4.m4.1.1.1.1.1.2">ket</csymbol><apply id="S2.p2.4.m4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p2.4.m4.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p2.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p2.4.m4.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.p2.4.m4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.p2.4.m4.1.1.1.1.1.1.2">𝐞</ci><ci id="S2.p2.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.p2.4.m4.1.1.1.1.1.1.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S2.p2.4.m4.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.p2.4.m4.2.2.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.p2.4.m4.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.p2.4.m4.2.2.2.2.1.2">bra</csymbol><apply id="S2.p2.4.m4.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S2.p2.4.m4.2.2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p2.4.m4.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.p2.4.m4.2.2.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.p2.4.m4.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.p2.4.m4.2.2.2.2.1.1.2">𝐞</ci><ci id="S2.p2.4.m4.2.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S2.p2.4.m4.2.2.2.2.1.1.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p2.4.m4.2c">P_{j}=|\mathbf{e}_{j}\rangle\langle\mathbf{e}_{j}|</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p2.4.m4.2d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT = | bold_e start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ⟩ ⟨ bold_e start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT |</annotation></semantics></math> and <math alttext="Q_{k}=|\mathbf{f}_{k}\rangle\langle\mathbf{f}_{k}|" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p2.5.m5.2"><semantics id="S2.p2.5.m5.2a"><mrow id="S2.p2.5.m5.2.2" xref="S2.p2.5.m5.2.2.cmml"><msub id="S2.p2.5.m5.2.2.4" xref="S2.p2.5.m5.2.2.4.cmml"><mi id="S2.p2.5.m5.2.2.4.2" xref="S2.p2.5.m5.2.2.4.2.cmml">Q</mi><mi id="S2.p2.5.m5.2.2.4.3" xref="S2.p2.5.m5.2.2.4.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S2.p2.5.m5.2.2.3" xref="S2.p2.5.m5.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="S2.p2.5.m5.2.2.2" xref="S2.p2.5.m5.2.2.2.cmml"><mrow id="S2.p2.5.m5.1.1.1.1.1" xref="S2.p2.5.m5.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.p2.5.m5.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.p2.5.m5.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S2.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1" xref="S2.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝐟</mi><mi id="S2.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S2.p2.5.m5.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.p2.5.m5.1.1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S2.p2.5.m5.2.2.2.3" xref="S2.p2.5.m5.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p2.5.m5.2.2.2.2.1" xref="S2.p2.5.m5.2.2.2.2.2.cmml"><mo id="S2.p2.5.m5.2.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S2.p2.5.m5.2.2.2.2.2.1.cmml">⟨</mo><msub id="S2.p2.5.m5.2.2.2.2.1.1" xref="S2.p2.5.m5.2.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S2.p2.5.m5.2.2.2.2.1.1.2" xref="S2.p2.5.m5.2.2.2.2.1.1.2.cmml">𝐟</mi><mi id="S2.p2.5.m5.2.2.2.2.1.1.3" xref="S2.p2.5.m5.2.2.2.2.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S2.p2.5.m5.2.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S2.p2.5.m5.2.2.2.2.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p2.5.m5.2b"><apply id="S2.p2.5.m5.2.2.cmml" xref="S2.p2.5.m5.2.2"><eq id="S2.p2.5.m5.2.2.3.cmml" xref="S2.p2.5.m5.2.2.3"></eq><apply id="S2.p2.5.m5.2.2.4.cmml" xref="S2.p2.5.m5.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p2.5.m5.2.2.4.1.cmml" xref="S2.p2.5.m5.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S2.p2.5.m5.2.2.4.2.cmml" xref="S2.p2.5.m5.2.2.4.2">𝑄</ci><ci id="S2.p2.5.m5.2.2.4.3.cmml" xref="S2.p2.5.m5.2.2.4.3">𝑘</ci></apply><apply id="S2.p2.5.m5.2.2.2.cmml" xref="S2.p2.5.m5.2.2.2"><times id="S2.p2.5.m5.2.2.2.3.cmml" xref="S2.p2.5.m5.2.2.2.3"></times><apply id="S2.p2.5.m5.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.p2.5.m5.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.p2.5.m5.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.p2.5.m5.1.1.1.1.1.2">ket</csymbol><apply id="S2.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1.2">𝐟</ci><ci id="S2.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S2.p2.5.m5.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.p2.5.m5.2.2.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.p2.5.m5.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.p2.5.m5.2.2.2.2.1.2">bra</csymbol><apply id="S2.p2.5.m5.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S2.p2.5.m5.2.2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p2.5.m5.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.p2.5.m5.2.2.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.p2.5.m5.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.p2.5.m5.2.2.2.2.1.1.2">𝐟</ci><ci id="S2.p2.5.m5.2.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S2.p2.5.m5.2.2.2.2.1.1.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p2.5.m5.2c">Q_{k}=|\mathbf{f}_{k}\rangle\langle\mathbf{f}_{k}|</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p2.5.m5.2d">italic_Q start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT = | bold_f start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ⟩ ⟨ bold_f start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT |</annotation></semantics></math> denote the orthogonal projections onto the subspaces spanned by <math alttext="\mathbf{e}_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p2.6.m6.1"><semantics id="S2.p2.6.m6.1a"><msub id="S2.p2.6.m6.1.1" xref="S2.p2.6.m6.1.1.cmml"><mi id="S2.p2.6.m6.1.1.2" xref="S2.p2.6.m6.1.1.2.cmml">𝐞</mi><mi id="S2.p2.6.m6.1.1.3" xref="S2.p2.6.m6.1.1.3.cmml">j</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p2.6.m6.1b"><apply id="S2.p2.6.m6.1.1.cmml" xref="S2.p2.6.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p2.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S2.p2.6.m6.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.p2.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S2.p2.6.m6.1.1.2">𝐞</ci><ci id="S2.p2.6.m6.1.1.3.cmml" xref="S2.p2.6.m6.1.1.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p2.6.m6.1c">\mathbf{e}_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p2.6.m6.1d">bold_e start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="\mathbf{f}_{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p2.7.m7.1"><semantics id="S2.p2.7.m7.1a"><msub id="S2.p2.7.m7.1.1" xref="S2.p2.7.m7.1.1.cmml"><mi id="S2.p2.7.m7.1.1.2" xref="S2.p2.7.m7.1.1.2.cmml">𝐟</mi><mi id="S2.p2.7.m7.1.1.3" xref="S2.p2.7.m7.1.1.3.cmml">k</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p2.7.m7.1b"><apply id="S2.p2.7.m7.1.1.cmml" xref="S2.p2.7.m7.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p2.7.m7.1.1.1.cmml" xref="S2.p2.7.m7.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.p2.7.m7.1.1.2.cmml" xref="S2.p2.7.m7.1.1.2">𝐟</ci><ci id="S2.p2.7.m7.1.1.3.cmml" xref="S2.p2.7.m7.1.1.3">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p2.7.m7.1c">\mathbf{f}_{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p2.7.m7.1d">bold_f start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.p3"> <p class="ltx_p" id="S2.p3.2">It is well-known that the pair <math alttext="X,Y" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p3.1.m1.2"><semantics id="S2.p3.1.m1.2a"><mrow id="S2.p3.1.m1.2.3.2" xref="S2.p3.1.m1.2.3.1.cmml"><mi id="S2.p3.1.m1.1.1" xref="S2.p3.1.m1.1.1.cmml">X</mi><mo id="S2.p3.1.m1.2.3.2.1" xref="S2.p3.1.m1.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.p3.1.m1.2.2" xref="S2.p3.1.m1.2.2.cmml">Y</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p3.1.m1.2b"><list id="S2.p3.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S2.p3.1.m1.2.3.2"><ci id="S2.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.p3.1.m1.1.1">𝑋</ci><ci id="S2.p3.1.m1.2.2.cmml" xref="S2.p3.1.m1.2.2">𝑌</ci></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p3.1.m1.2c">X,Y</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p3.1.m1.2d">italic_X , italic_Y</annotation></semantics></math> gives rise to a <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.p3.2.1">complex Hadamard matrix</span> <math alttext="H_{X,Y}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p3.2.m2.2"><semantics id="S2.p3.2.m2.2a"><msub id="S2.p3.2.m2.2.3" xref="S2.p3.2.m2.2.3.cmml"><mi id="S2.p3.2.m2.2.3.2" xref="S2.p3.2.m2.2.3.2.cmml">H</mi><mrow id="S2.p3.2.m2.2.2.2.4" xref="S2.p3.2.m2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.p3.2.m2.1.1.1.1" xref="S2.p3.2.m2.1.1.1.1.cmml">X</mi><mo id="S2.p3.2.m2.2.2.2.4.1" xref="S2.p3.2.m2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.p3.2.m2.2.2.2.2" xref="S2.p3.2.m2.2.2.2.2.cmml">Y</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p3.2.m2.2b"><apply id="S2.p3.2.m2.2.3.cmml" xref="S2.p3.2.m2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p3.2.m2.2.3.1.cmml" xref="S2.p3.2.m2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.p3.2.m2.2.3.2.cmml" xref="S2.p3.2.m2.2.3.2">𝐻</ci><list id="S2.p3.2.m2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.p3.2.m2.2.2.2.4"><ci id="S2.p3.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p3.2.m2.1.1.1.1">𝑋</ci><ci id="S2.p3.2.m2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.p3.2.m2.2.2.2.2">𝑌</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p3.2.m2.2c">H_{X,Y}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p3.2.m2.2d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT italic_X , italic_Y end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> with matrix elements given by the formula</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E1"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(2.1)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="h_{j,k}=\sqrt{d}\langle\mathbf{e}_{j},\mathbf{f}_{k}\rangle\;\;\;(j,k\in[d])." class="ltx_Math" display="block" id="S2.E1.m1.6"><semantics id="S2.E1.m1.6a"><mrow id="S2.E1.m1.6.6.1" xref="S2.E1.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="S2.E1.m1.6.6.1.1" xref="S2.E1.m1.6.6.1.1.cmml"><msub id="S2.E1.m1.6.6.1.1.5" xref="S2.E1.m1.6.6.1.1.5.cmml"><mi id="S2.E1.m1.6.6.1.1.5.2" xref="S2.E1.m1.6.6.1.1.5.2.cmml">h</mi><mrow id="S2.E1.m1.2.2.2.4" xref="S2.E1.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.E1.m1.1.1.1.1" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.cmml">j</mi><mo id="S2.E1.m1.2.2.2.4.1" xref="S2.E1.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.E1.m1.2.2.2.2" xref="S2.E1.m1.2.2.2.2.cmml">k</mi></mrow></msub><mo id="S2.E1.m1.6.6.1.1.4" xref="S2.E1.m1.6.6.1.1.4.cmml">=</mo><mrow id="S2.E1.m1.6.6.1.1.3" xref="S2.E1.m1.6.6.1.1.3.cmml"><msqrt id="S2.E1.m1.6.6.1.1.3.5" xref="S2.E1.m1.6.6.1.1.3.5.cmml"><mi id="S2.E1.m1.6.6.1.1.3.5.2" xref="S2.E1.m1.6.6.1.1.3.5.2.cmml">d</mi></msqrt><mo id="S2.E1.m1.6.6.1.1.3.4" xref="S2.E1.m1.6.6.1.1.3.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E1.m1.6.6.1.1.2.2.2" xref="S2.E1.m1.6.6.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="S2.E1.m1.6.6.1.1.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.E1.m1.6.6.1.1.2.2.3.cmml">⟨</mo><msub id="S2.E1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝐞</mi><mi id="S2.E1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S2.E1.m1.6.6.1.1.2.2.2.4" xref="S2.E1.m1.6.6.1.1.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S2.E1.m1.6.6.1.1.2.2.2.2" xref="S2.E1.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.E1.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2" xref="S2.E1.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.cmml">𝐟</mi><mi id="S2.E1.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.3" xref="S2.E1.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S2.E1.m1.6.6.1.1.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S2.E1.m1.6.6.1.1.2.2.3.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S2.E1.m1.6.6.1.1.3.4a" lspace="0.830em" xref="S2.E1.m1.6.6.1.1.3.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E1.m1.6.6.1.1.3.3.1" xref="S2.E1.m1.6.6.1.1.3.3.1.1.cmml"><mo id="S2.E1.m1.6.6.1.1.3.3.1.2" stretchy="false" xref="S2.E1.m1.6.6.1.1.3.3.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E1.m1.6.6.1.1.3.3.1.1" xref="S2.E1.m1.6.6.1.1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S2.E1.m1.6.6.1.1.3.3.1.1.2.2" xref="S2.E1.m1.6.6.1.1.3.3.1.1.2.1.cmml"><mi id="S2.E1.m1.4.4" xref="S2.E1.m1.4.4.cmml">j</mi><mo id="S2.E1.m1.6.6.1.1.3.3.1.1.2.2.1" xref="S2.E1.m1.6.6.1.1.3.3.1.1.2.1.cmml">,</mo><mi id="S2.E1.m1.5.5" xref="S2.E1.m1.5.5.cmml">k</mi></mrow><mo id="S2.E1.m1.6.6.1.1.3.3.1.1.1" xref="S2.E1.m1.6.6.1.1.3.3.1.1.1.cmml">∈</mo><mrow id="S2.E1.m1.6.6.1.1.3.3.1.1.3.2" xref="S2.E1.m1.6.6.1.1.3.3.1.1.3.1.cmml"><mo id="S2.E1.m1.6.6.1.1.3.3.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E1.m1.6.6.1.1.3.3.1.1.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S2.E1.m1.3.3" xref="S2.E1.m1.3.3.cmml">d</mi><mo id="S2.E1.m1.6.6.1.1.3.3.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.E1.m1.6.6.1.1.3.3.1.1.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E1.m1.6.6.1.1.3.3.1.3" stretchy="false" xref="S2.E1.m1.6.6.1.1.3.3.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E1.m1.6.6.1.2" lspace="0em" xref="S2.E1.m1.6.6.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E1.m1.6b"><apply id="S2.E1.m1.6.6.1.1.cmml" xref="S2.E1.m1.6.6.1"><eq id="S2.E1.m1.6.6.1.1.4.cmml" xref="S2.E1.m1.6.6.1.1.4"></eq><apply id="S2.E1.m1.6.6.1.1.5.cmml" xref="S2.E1.m1.6.6.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E1.m1.6.6.1.1.5.1.cmml" xref="S2.E1.m1.6.6.1.1.5">subscript</csymbol><ci id="S2.E1.m1.6.6.1.1.5.2.cmml" xref="S2.E1.m1.6.6.1.1.5.2">ℎ</ci><list id="S2.E1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E1.m1.2.2.2.4"><ci id="S2.E1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1">𝑗</ci><ci id="S2.E1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E1.m1.2.2.2.2">𝑘</ci></list></apply><apply id="S2.E1.m1.6.6.1.1.3.cmml" xref="S2.E1.m1.6.6.1.1.3"><times id="S2.E1.m1.6.6.1.1.3.4.cmml" xref="S2.E1.m1.6.6.1.1.3.4"></times><apply id="S2.E1.m1.6.6.1.1.3.5.cmml" xref="S2.E1.m1.6.6.1.1.3.5"><root id="S2.E1.m1.6.6.1.1.3.5a.cmml" xref="S2.E1.m1.6.6.1.1.3.5"></root><ci id="S2.E1.m1.6.6.1.1.3.5.2.cmml" xref="S2.E1.m1.6.6.1.1.3.5.2">𝑑</ci></apply><list id="S2.E1.m1.6.6.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.E1.m1.6.6.1.1.2.2.2"><apply id="S2.E1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.E1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2">𝐞</ci><ci id="S2.E1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3">𝑗</ci></apply><apply id="S2.E1.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E1.m1.6.6.1.1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E1.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E1.m1.6.6.1.1.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E1.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E1.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2">𝐟</ci><ci id="S2.E1.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E1.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.3">𝑘</ci></apply></list><apply id="S2.E1.m1.6.6.1.1.3.3.1.1.cmml" xref="S2.E1.m1.6.6.1.1.3.3.1"><in id="S2.E1.m1.6.6.1.1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S2.E1.m1.6.6.1.1.3.3.1.1.1"></in><list id="S2.E1.m1.6.6.1.1.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E1.m1.6.6.1.1.3.3.1.1.2.2"><ci id="S2.E1.m1.4.4.cmml" xref="S2.E1.m1.4.4">𝑗</ci><ci id="S2.E1.m1.5.5.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5">𝑘</ci></list><apply id="S2.E1.m1.6.6.1.1.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E1.m1.6.6.1.1.3.3.1.1.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.E1.m1.6.6.1.1.3.3.1.1.3.1.1.cmml" xref="S2.E1.m1.6.6.1.1.3.3.1.1.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S2.E1.m1.3.3.cmml" xref="S2.E1.m1.3.3">𝑑</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E1.m1.6c">h_{j,k}=\sqrt{d}\langle\mathbf{e}_{j},\mathbf{f}_{k}\rangle\;\;\;(j,k\in[d]).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E1.m1.6d">italic_h start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k end_POSTSUBSCRIPT = square-root start_ARG italic_d end_ARG ⟨ bold_e start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT , bold_f start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ⟩ ( italic_j , italic_k ∈ [ italic_d ] ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.p3.4">That is, the columns (and hence also the rows) of the matrix <math alttext="H_{X,Y}\in M_{d}(\mathbb{C})\equiv\mathbb{C}^{d\times d}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p3.3.m1.3"><semantics id="S2.p3.3.m1.3a"><mrow id="S2.p3.3.m1.3.4" xref="S2.p3.3.m1.3.4.cmml"><msub id="S2.p3.3.m1.3.4.2" xref="S2.p3.3.m1.3.4.2.cmml"><mi id="S2.p3.3.m1.3.4.2.2" xref="S2.p3.3.m1.3.4.2.2.cmml">H</mi><mrow id="S2.p3.3.m1.2.2.2.4" xref="S2.p3.3.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.p3.3.m1.1.1.1.1" xref="S2.p3.3.m1.1.1.1.1.cmml">X</mi><mo id="S2.p3.3.m1.2.2.2.4.1" xref="S2.p3.3.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.p3.3.m1.2.2.2.2" xref="S2.p3.3.m1.2.2.2.2.cmml">Y</mi></mrow></msub><mo id="S2.p3.3.m1.3.4.3" xref="S2.p3.3.m1.3.4.3.cmml">∈</mo><mrow id="S2.p3.3.m1.3.4.4" xref="S2.p3.3.m1.3.4.4.cmml"><msub id="S2.p3.3.m1.3.4.4.2" xref="S2.p3.3.m1.3.4.4.2.cmml"><mi id="S2.p3.3.m1.3.4.4.2.2" xref="S2.p3.3.m1.3.4.4.2.2.cmml">M</mi><mi id="S2.p3.3.m1.3.4.4.2.3" xref="S2.p3.3.m1.3.4.4.2.3.cmml">d</mi></msub><mo id="S2.p3.3.m1.3.4.4.1" xref="S2.p3.3.m1.3.4.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p3.3.m1.3.4.4.3.2" xref="S2.p3.3.m1.3.4.4.cmml"><mo id="S2.p3.3.m1.3.4.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.p3.3.m1.3.4.4.cmml">(</mo><mi id="S2.p3.3.m1.3.3" xref="S2.p3.3.m1.3.3.cmml">ℂ</mi><mo id="S2.p3.3.m1.3.4.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.p3.3.m1.3.4.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.p3.3.m1.3.4.5" xref="S2.p3.3.m1.3.4.5.cmml">≡</mo><msup id="S2.p3.3.m1.3.4.6" xref="S2.p3.3.m1.3.4.6.cmml"><mi id="S2.p3.3.m1.3.4.6.2" xref="S2.p3.3.m1.3.4.6.2.cmml">ℂ</mi><mrow id="S2.p3.3.m1.3.4.6.3" xref="S2.p3.3.m1.3.4.6.3.cmml"><mi id="S2.p3.3.m1.3.4.6.3.2" xref="S2.p3.3.m1.3.4.6.3.2.cmml">d</mi><mo id="S2.p3.3.m1.3.4.6.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S2.p3.3.m1.3.4.6.3.1.cmml">×</mo><mi id="S2.p3.3.m1.3.4.6.3.3" xref="S2.p3.3.m1.3.4.6.3.3.cmml">d</mi></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p3.3.m1.3b"><apply id="S2.p3.3.m1.3.4.cmml" xref="S2.p3.3.m1.3.4"><and id="S2.p3.3.m1.3.4a.cmml" xref="S2.p3.3.m1.3.4"></and><apply id="S2.p3.3.m1.3.4b.cmml" xref="S2.p3.3.m1.3.4"><in id="S2.p3.3.m1.3.4.3.cmml" xref="S2.p3.3.m1.3.4.3"></in><apply id="S2.p3.3.m1.3.4.2.cmml" xref="S2.p3.3.m1.3.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p3.3.m1.3.4.2.1.cmml" xref="S2.p3.3.m1.3.4.2">subscript</csymbol><ci id="S2.p3.3.m1.3.4.2.2.cmml" xref="S2.p3.3.m1.3.4.2.2">𝐻</ci><list id="S2.p3.3.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.p3.3.m1.2.2.2.4"><ci id="S2.p3.3.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p3.3.m1.1.1.1.1">𝑋</ci><ci id="S2.p3.3.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.p3.3.m1.2.2.2.2">𝑌</ci></list></apply><apply id="S2.p3.3.m1.3.4.4.cmml" xref="S2.p3.3.m1.3.4.4"><times id="S2.p3.3.m1.3.4.4.1.cmml" xref="S2.p3.3.m1.3.4.4.1"></times><apply id="S2.p3.3.m1.3.4.4.2.cmml" xref="S2.p3.3.m1.3.4.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p3.3.m1.3.4.4.2.1.cmml" xref="S2.p3.3.m1.3.4.4.2">subscript</csymbol><ci id="S2.p3.3.m1.3.4.4.2.2.cmml" xref="S2.p3.3.m1.3.4.4.2.2">𝑀</ci><ci id="S2.p3.3.m1.3.4.4.2.3.cmml" xref="S2.p3.3.m1.3.4.4.2.3">𝑑</ci></apply><ci id="S2.p3.3.m1.3.3.cmml" xref="S2.p3.3.m1.3.3">ℂ</ci></apply></apply><apply id="S2.p3.3.m1.3.4c.cmml" xref="S2.p3.3.m1.3.4"><equivalent id="S2.p3.3.m1.3.4.5.cmml" xref="S2.p3.3.m1.3.4.5"></equivalent><share href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#S2.p3.3.m1.3.4.4.cmml" id="S2.p3.3.m1.3.4d.cmml" xref="S2.p3.3.m1.3.4"></share><apply id="S2.p3.3.m1.3.4.6.cmml" xref="S2.p3.3.m1.3.4.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p3.3.m1.3.4.6.1.cmml" xref="S2.p3.3.m1.3.4.6">superscript</csymbol><ci id="S2.p3.3.m1.3.4.6.2.cmml" xref="S2.p3.3.m1.3.4.6.2">ℂ</ci><apply id="S2.p3.3.m1.3.4.6.3.cmml" xref="S2.p3.3.m1.3.4.6.3"><times id="S2.p3.3.m1.3.4.6.3.1.cmml" xref="S2.p3.3.m1.3.4.6.3.1"></times><ci id="S2.p3.3.m1.3.4.6.3.2.cmml" xref="S2.p3.3.m1.3.4.6.3.2">𝑑</ci><ci id="S2.p3.3.m1.3.4.6.3.3.cmml" xref="S2.p3.3.m1.3.4.6.3.3">𝑑</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p3.3.m1.3c">H_{X,Y}\in M_{d}(\mathbb{C})\equiv\mathbb{C}^{d\times d}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p3.3.m1.3d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT italic_X , italic_Y end_POSTSUBSCRIPT ∈ italic_M start_POSTSUBSCRIPT italic_d end_POSTSUBSCRIPT ( blackboard_C ) ≡ blackboard_C start_POSTSUPERSCRIPT italic_d × italic_d end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> are pairwise orthogonal and all entries of <math alttext="H_{X,Y}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p3.4.m2.2"><semantics id="S2.p3.4.m2.2a"><msub id="S2.p3.4.m2.2.3" xref="S2.p3.4.m2.2.3.cmml"><mi id="S2.p3.4.m2.2.3.2" xref="S2.p3.4.m2.2.3.2.cmml">H</mi><mrow id="S2.p3.4.m2.2.2.2.4" xref="S2.p3.4.m2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.p3.4.m2.1.1.1.1" xref="S2.p3.4.m2.1.1.1.1.cmml">X</mi><mo id="S2.p3.4.m2.2.2.2.4.1" xref="S2.p3.4.m2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.p3.4.m2.2.2.2.2" xref="S2.p3.4.m2.2.2.2.2.cmml">Y</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p3.4.m2.2b"><apply id="S2.p3.4.m2.2.3.cmml" xref="S2.p3.4.m2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p3.4.m2.2.3.1.cmml" xref="S2.p3.4.m2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.p3.4.m2.2.3.2.cmml" xref="S2.p3.4.m2.2.3.2">𝐻</ci><list id="S2.p3.4.m2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.p3.4.m2.2.2.2.4"><ci id="S2.p3.4.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p3.4.m2.1.1.1.1">𝑋</ci><ci id="S2.p3.4.m2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.p3.4.m2.2.2.2.2">𝑌</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p3.4.m2.2c">H_{X,Y}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p3.4.m2.2d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT italic_X , italic_Y end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> have modulus 1.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.p4"> <p class="ltx_p" id="S2.p4.3">Two complex Hadamard matrices <math alttext="H_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p4.1.m1.1"><semantics id="S2.p4.1.m1.1a"><msub id="S2.p4.1.m1.1.1" xref="S2.p4.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.p4.1.m1.1.1.2" xref="S2.p4.1.m1.1.1.2.cmml">H</mi><mn id="S2.p4.1.m1.1.1.3" xref="S2.p4.1.m1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p4.1.m1.1b"><apply id="S2.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.p4.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p4.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.p4.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.p4.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.p4.1.m1.1.1.2">𝐻</ci><cn id="S2.p4.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.p4.1.m1.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p4.1.m1.1c">H_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p4.1.m1.1d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="H_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p4.2.m2.1"><semantics id="S2.p4.2.m2.1a"><msub id="S2.p4.2.m2.1.1" xref="S2.p4.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S2.p4.2.m2.1.1.2" xref="S2.p4.2.m2.1.1.2.cmml">H</mi><mn id="S2.p4.2.m2.1.1.3" xref="S2.p4.2.m2.1.1.3.cmml">2</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p4.2.m2.1b"><apply id="S2.p4.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.p4.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p4.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.p4.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.p4.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.p4.2.m2.1.1.2">𝐻</ci><cn id="S2.p4.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.p4.2.m2.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p4.2.m2.1c">H_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p4.2.m2.1d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> are called <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.p4.3.1">equivalent</span>, in notation <math alttext="H_{1}\cong H_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p4.3.m3.1"><semantics id="S2.p4.3.m3.1a"><mrow id="S2.p4.3.m3.1.1" xref="S2.p4.3.m3.1.1.cmml"><msub id="S2.p4.3.m3.1.1.2" xref="S2.p4.3.m3.1.1.2.cmml"><mi id="S2.p4.3.m3.1.1.2.2" xref="S2.p4.3.m3.1.1.2.2.cmml">H</mi><mn id="S2.p4.3.m3.1.1.2.3" xref="S2.p4.3.m3.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S2.p4.3.m3.1.1.1" xref="S2.p4.3.m3.1.1.1.cmml">≅</mo><msub id="S2.p4.3.m3.1.1.3" xref="S2.p4.3.m3.1.1.3.cmml"><mi id="S2.p4.3.m3.1.1.3.2" xref="S2.p4.3.m3.1.1.3.2.cmml">H</mi><mn id="S2.p4.3.m3.1.1.3.3" xref="S2.p4.3.m3.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p4.3.m3.1b"><apply id="S2.p4.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.p4.3.m3.1.1"><approx id="S2.p4.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S2.p4.3.m3.1.1.1"></approx><apply id="S2.p4.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S2.p4.3.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p4.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S2.p4.3.m3.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.p4.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S2.p4.3.m3.1.1.2.2">𝐻</ci><cn id="S2.p4.3.m3.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.p4.3.m3.1.1.2.3">1</cn></apply><apply id="S2.p4.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S2.p4.3.m3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p4.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S2.p4.3.m3.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.p4.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S2.p4.3.m3.1.1.3.2">𝐻</ci><cn id="S2.p4.3.m3.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.p4.3.m3.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p4.3.m3.1c">H_{1}\cong H_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p4.3.m3.1d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ≅ italic_H start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, if</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.p5"> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E2"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(2.2)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="H_{1}=P_{1}D_{1}H_{2}D_{2}P_{2}" class="ltx_Math" display="block" id="S2.E2.m1.1"><semantics id="S2.E2.m1.1a"><mrow id="S2.E2.m1.1.1" xref="S2.E2.m1.1.1.cmml"><msub id="S2.E2.m1.1.1.2" xref="S2.E2.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.E2.m1.1.1.2.2" xref="S2.E2.m1.1.1.2.2.cmml">H</mi><mn id="S2.E2.m1.1.1.2.3" xref="S2.E2.m1.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S2.E2.m1.1.1.1" xref="S2.E2.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.E2.m1.1.1.3" xref="S2.E2.m1.1.1.3.cmml"><msub id="S2.E2.m1.1.1.3.2" xref="S2.E2.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.E2.m1.1.1.3.2.2" xref="S2.E2.m1.1.1.3.2.2.cmml">P</mi><mn id="S2.E2.m1.1.1.3.2.3" xref="S2.E2.m1.1.1.3.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S2.E2.m1.1.1.3.1" xref="S2.E2.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.E2.m1.1.1.3.3" xref="S2.E2.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.E2.m1.1.1.3.3.2" xref="S2.E2.m1.1.1.3.3.2.cmml">D</mi><mn id="S2.E2.m1.1.1.3.3.3" xref="S2.E2.m1.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S2.E2.m1.1.1.3.1a" xref="S2.E2.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.E2.m1.1.1.3.4" xref="S2.E2.m1.1.1.3.4.cmml"><mi id="S2.E2.m1.1.1.3.4.2" xref="S2.E2.m1.1.1.3.4.2.cmml">H</mi><mn id="S2.E2.m1.1.1.3.4.3" xref="S2.E2.m1.1.1.3.4.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S2.E2.m1.1.1.3.1b" xref="S2.E2.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.E2.m1.1.1.3.5" xref="S2.E2.m1.1.1.3.5.cmml"><mi id="S2.E2.m1.1.1.3.5.2" xref="S2.E2.m1.1.1.3.5.2.cmml">D</mi><mn id="S2.E2.m1.1.1.3.5.3" xref="S2.E2.m1.1.1.3.5.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S2.E2.m1.1.1.3.1c" xref="S2.E2.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.E2.m1.1.1.3.6" xref="S2.E2.m1.1.1.3.6.cmml"><mi id="S2.E2.m1.1.1.3.6.2" xref="S2.E2.m1.1.1.3.6.2.cmml">P</mi><mn id="S2.E2.m1.1.1.3.6.3" xref="S2.E2.m1.1.1.3.6.3.cmml">2</mn></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E2.m1.1b"><apply id="S2.E2.m1.1.1.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1"><eq id="S2.E2.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1"></eq><apply id="S2.E2.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E2.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E2.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.2.2">𝐻</ci><cn id="S2.E2.m1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.E2.m1.1.1.2.3">1</cn></apply><apply id="S2.E2.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.3"><times id="S2.E2.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.3.1"></times><apply id="S2.E2.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E2.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E2.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.3.2.2">𝑃</ci><cn id="S2.E2.m1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.E2.m1.1.1.3.2.3">1</cn></apply><apply id="S2.E2.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E2.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E2.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.3.3.2">𝐷</ci><cn id="S2.E2.m1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E2.m1.1.1.3.3.3">1</cn></apply><apply id="S2.E2.m1.1.1.3.4.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E2.m1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.3.4">subscript</csymbol><ci id="S2.E2.m1.1.1.3.4.2.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.3.4.2">𝐻</ci><cn id="S2.E2.m1.1.1.3.4.3.cmml" type="integer" xref="S2.E2.m1.1.1.3.4.3">2</cn></apply><apply id="S2.E2.m1.1.1.3.5.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E2.m1.1.1.3.5.1.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.3.5">subscript</csymbol><ci id="S2.E2.m1.1.1.3.5.2.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.3.5.2">𝐷</ci><cn id="S2.E2.m1.1.1.3.5.3.cmml" type="integer" xref="S2.E2.m1.1.1.3.5.3">2</cn></apply><apply id="S2.E2.m1.1.1.3.6.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.3.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E2.m1.1.1.3.6.1.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.3.6">subscript</csymbol><ci id="S2.E2.m1.1.1.3.6.2.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.3.6.2">𝑃</ci><cn id="S2.E2.m1.1.1.3.6.3.cmml" type="integer" xref="S2.E2.m1.1.1.3.6.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E2.m1.1c">H_{1}=P_{1}D_{1}H_{2}D_{2}P_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E2.m1.1d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT = italic_P start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_D start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_H start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT italic_D start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT italic_P start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S2.p6"> <p class="ltx_p" id="S2.p6.6">with some unitary diagonal matrices <math alttext="D_{1},D_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p6.1.m1.2"><semantics id="S2.p6.1.m1.2a"><mrow id="S2.p6.1.m1.2.2.2" xref="S2.p6.1.m1.2.2.3.cmml"><msub id="S2.p6.1.m1.1.1.1.1" xref="S2.p6.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.p6.1.m1.1.1.1.1.2" xref="S2.p6.1.m1.1.1.1.1.2.cmml">D</mi><mn id="S2.p6.1.m1.1.1.1.1.3" xref="S2.p6.1.m1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S2.p6.1.m1.2.2.2.3" xref="S2.p6.1.m1.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S2.p6.1.m1.2.2.2.2" xref="S2.p6.1.m1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.p6.1.m1.2.2.2.2.2" xref="S2.p6.1.m1.2.2.2.2.2.cmml">D</mi><mn id="S2.p6.1.m1.2.2.2.2.3" xref="S2.p6.1.m1.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p6.1.m1.2b"><list id="S2.p6.1.m1.2.2.3.cmml" xref="S2.p6.1.m1.2.2.2"><apply id="S2.p6.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p6.1.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p6.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p6.1.m1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.p6.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.p6.1.m1.1.1.1.1.2">𝐷</ci><cn id="S2.p6.1.m1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.p6.1.m1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S2.p6.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.p6.1.m1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p6.1.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.p6.1.m1.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.p6.1.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.p6.1.m1.2.2.2.2.2">𝐷</ci><cn id="S2.p6.1.m1.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.p6.1.m1.2.2.2.2.3">2</cn></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p6.1.m1.2c">D_{1},D_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p6.1.m1.2d">italic_D start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_D start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and permutation matrices <math alttext="P_{1},P_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p6.2.m2.2"><semantics id="S2.p6.2.m2.2a"><mrow id="S2.p6.2.m2.2.2.2" xref="S2.p6.2.m2.2.2.3.cmml"><msub id="S2.p6.2.m2.1.1.1.1" xref="S2.p6.2.m2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.p6.2.m2.1.1.1.1.2" xref="S2.p6.2.m2.1.1.1.1.2.cmml">P</mi><mn id="S2.p6.2.m2.1.1.1.1.3" xref="S2.p6.2.m2.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S2.p6.2.m2.2.2.2.3" xref="S2.p6.2.m2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S2.p6.2.m2.2.2.2.2" xref="S2.p6.2.m2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.p6.2.m2.2.2.2.2.2" xref="S2.p6.2.m2.2.2.2.2.2.cmml">P</mi><mn id="S2.p6.2.m2.2.2.2.2.3" xref="S2.p6.2.m2.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p6.2.m2.2b"><list id="S2.p6.2.m2.2.2.3.cmml" xref="S2.p6.2.m2.2.2.2"><apply id="S2.p6.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p6.2.m2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p6.2.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p6.2.m2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.p6.2.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.p6.2.m2.1.1.1.1.2">𝑃</ci><cn id="S2.p6.2.m2.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.p6.2.m2.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S2.p6.2.m2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.p6.2.m2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p6.2.m2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.p6.2.m2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.p6.2.m2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.p6.2.m2.2.2.2.2.2">𝑃</ci><cn id="S2.p6.2.m2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.p6.2.m2.2.2.2.2.3">2</cn></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p6.2.m2.2c">P_{1},P_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p6.2.m2.2d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_P start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. Although not explicitly stated in the literature, this notion of equivalence corresponds to the notion of permutational unitary equivalence of pairs of MUBs, as we shall see below. Before, however, let us recall the Haagerup invariants <math alttext="g^{H}_{j,k,l,r}=h_{j,k}\overline{h_{k,l}}h_{l,r}\overline{h_{r,j}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p6.3.m3.12"><semantics id="S2.p6.3.m3.12a"><mrow id="S2.p6.3.m3.12.13" xref="S2.p6.3.m3.12.13.cmml"><msubsup id="S2.p6.3.m3.12.13.2" xref="S2.p6.3.m3.12.13.2.cmml"><mi id="S2.p6.3.m3.12.13.2.2.2" xref="S2.p6.3.m3.12.13.2.2.2.cmml">g</mi><mrow id="S2.p6.3.m3.4.4.4.6" xref="S2.p6.3.m3.4.4.4.5.cmml"><mi id="S2.p6.3.m3.1.1.1.1" xref="S2.p6.3.m3.1.1.1.1.cmml">j</mi><mo id="S2.p6.3.m3.4.4.4.6.1" xref="S2.p6.3.m3.4.4.4.5.cmml">,</mo><mi id="S2.p6.3.m3.2.2.2.2" xref="S2.p6.3.m3.2.2.2.2.cmml">k</mi><mo id="S2.p6.3.m3.4.4.4.6.2" xref="S2.p6.3.m3.4.4.4.5.cmml">,</mo><mi id="S2.p6.3.m3.3.3.3.3" xref="S2.p6.3.m3.3.3.3.3.cmml">l</mi><mo id="S2.p6.3.m3.4.4.4.6.3" xref="S2.p6.3.m3.4.4.4.5.cmml">,</mo><mi id="S2.p6.3.m3.4.4.4.4" xref="S2.p6.3.m3.4.4.4.4.cmml">r</mi></mrow><mi id="S2.p6.3.m3.12.13.2.2.3" xref="S2.p6.3.m3.12.13.2.2.3.cmml">H</mi></msubsup><mo id="S2.p6.3.m3.12.13.1" xref="S2.p6.3.m3.12.13.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.p6.3.m3.12.13.3" xref="S2.p6.3.m3.12.13.3.cmml"><msub id="S2.p6.3.m3.12.13.3.2" xref="S2.p6.3.m3.12.13.3.2.cmml"><mi id="S2.p6.3.m3.12.13.3.2.2" xref="S2.p6.3.m3.12.13.3.2.2.cmml">h</mi><mrow id="S2.p6.3.m3.6.6.2.4" xref="S2.p6.3.m3.6.6.2.3.cmml"><mi id="S2.p6.3.m3.5.5.1.1" xref="S2.p6.3.m3.5.5.1.1.cmml">j</mi><mo id="S2.p6.3.m3.6.6.2.4.1" xref="S2.p6.3.m3.6.6.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.p6.3.m3.6.6.2.2" xref="S2.p6.3.m3.6.6.2.2.cmml">k</mi></mrow></msub><mo id="S2.p6.3.m3.12.13.3.1" xref="S2.p6.3.m3.12.13.3.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S2.p6.3.m3.8.8" xref="S2.p6.3.m3.8.8.cmml"><msub id="S2.p6.3.m3.8.8.2" xref="S2.p6.3.m3.8.8.2.cmml"><mi id="S2.p6.3.m3.8.8.2.4" xref="S2.p6.3.m3.8.8.2.4.cmml">h</mi><mrow id="S2.p6.3.m3.8.8.2.2.2.4" xref="S2.p6.3.m3.8.8.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.p6.3.m3.7.7.1.1.1.1" xref="S2.p6.3.m3.7.7.1.1.1.1.cmml">k</mi><mo id="S2.p6.3.m3.8.8.2.2.2.4.1" xref="S2.p6.3.m3.8.8.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.p6.3.m3.8.8.2.2.2.2" xref="S2.p6.3.m3.8.8.2.2.2.2.cmml">l</mi></mrow></msub><mo id="S2.p6.3.m3.8.8.3" xref="S2.p6.3.m3.8.8.3.cmml">¯</mo></mover><mo id="S2.p6.3.m3.12.13.3.1a" xref="S2.p6.3.m3.12.13.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.p6.3.m3.12.13.3.3" xref="S2.p6.3.m3.12.13.3.3.cmml"><mi id="S2.p6.3.m3.12.13.3.3.2" xref="S2.p6.3.m3.12.13.3.3.2.cmml">h</mi><mrow id="S2.p6.3.m3.10.10.2.4" xref="S2.p6.3.m3.10.10.2.3.cmml"><mi id="S2.p6.3.m3.9.9.1.1" xref="S2.p6.3.m3.9.9.1.1.cmml">l</mi><mo id="S2.p6.3.m3.10.10.2.4.1" xref="S2.p6.3.m3.10.10.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.p6.3.m3.10.10.2.2" xref="S2.p6.3.m3.10.10.2.2.cmml">r</mi></mrow></msub><mo id="S2.p6.3.m3.12.13.3.1b" xref="S2.p6.3.m3.12.13.3.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S2.p6.3.m3.12.12" xref="S2.p6.3.m3.12.12.cmml"><msub id="S2.p6.3.m3.12.12.2" xref="S2.p6.3.m3.12.12.2.cmml"><mi id="S2.p6.3.m3.12.12.2.4" xref="S2.p6.3.m3.12.12.2.4.cmml">h</mi><mrow id="S2.p6.3.m3.12.12.2.2.2.4" xref="S2.p6.3.m3.12.12.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.p6.3.m3.11.11.1.1.1.1" xref="S2.p6.3.m3.11.11.1.1.1.1.cmml">r</mi><mo id="S2.p6.3.m3.12.12.2.2.2.4.1" xref="S2.p6.3.m3.12.12.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.p6.3.m3.12.12.2.2.2.2" xref="S2.p6.3.m3.12.12.2.2.2.2.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S2.p6.3.m3.12.12.3" xref="S2.p6.3.m3.12.12.3.cmml">¯</mo></mover></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p6.3.m3.12b"><apply id="S2.p6.3.m3.12.13.cmml" xref="S2.p6.3.m3.12.13"><eq id="S2.p6.3.m3.12.13.1.cmml" xref="S2.p6.3.m3.12.13.1"></eq><apply id="S2.p6.3.m3.12.13.2.cmml" xref="S2.p6.3.m3.12.13.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p6.3.m3.12.13.2.1.cmml" xref="S2.p6.3.m3.12.13.2">subscript</csymbol><apply id="S2.p6.3.m3.12.13.2.2.cmml" xref="S2.p6.3.m3.12.13.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p6.3.m3.12.13.2.2.1.cmml" xref="S2.p6.3.m3.12.13.2">superscript</csymbol><ci id="S2.p6.3.m3.12.13.2.2.2.cmml" xref="S2.p6.3.m3.12.13.2.2.2">𝑔</ci><ci id="S2.p6.3.m3.12.13.2.2.3.cmml" xref="S2.p6.3.m3.12.13.2.2.3">𝐻</ci></apply><list id="S2.p6.3.m3.4.4.4.5.cmml" xref="S2.p6.3.m3.4.4.4.6"><ci id="S2.p6.3.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p6.3.m3.1.1.1.1">𝑗</ci><ci id="S2.p6.3.m3.2.2.2.2.cmml" xref="S2.p6.3.m3.2.2.2.2">𝑘</ci><ci id="S2.p6.3.m3.3.3.3.3.cmml" xref="S2.p6.3.m3.3.3.3.3">𝑙</ci><ci id="S2.p6.3.m3.4.4.4.4.cmml" xref="S2.p6.3.m3.4.4.4.4">𝑟</ci></list></apply><apply id="S2.p6.3.m3.12.13.3.cmml" xref="S2.p6.3.m3.12.13.3"><times id="S2.p6.3.m3.12.13.3.1.cmml" xref="S2.p6.3.m3.12.13.3.1"></times><apply id="S2.p6.3.m3.12.13.3.2.cmml" xref="S2.p6.3.m3.12.13.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p6.3.m3.12.13.3.2.1.cmml" xref="S2.p6.3.m3.12.13.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.p6.3.m3.12.13.3.2.2.cmml" xref="S2.p6.3.m3.12.13.3.2.2">ℎ</ci><list id="S2.p6.3.m3.6.6.2.3.cmml" xref="S2.p6.3.m3.6.6.2.4"><ci id="S2.p6.3.m3.5.5.1.1.cmml" xref="S2.p6.3.m3.5.5.1.1">𝑗</ci><ci id="S2.p6.3.m3.6.6.2.2.cmml" xref="S2.p6.3.m3.6.6.2.2">𝑘</ci></list></apply><apply id="S2.p6.3.m3.8.8.cmml" xref="S2.p6.3.m3.8.8"><ci id="S2.p6.3.m3.8.8.3.cmml" xref="S2.p6.3.m3.8.8.3">¯</ci><apply id="S2.p6.3.m3.8.8.2.cmml" xref="S2.p6.3.m3.8.8.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p6.3.m3.8.8.2.3.cmml" xref="S2.p6.3.m3.8.8.2">subscript</csymbol><ci id="S2.p6.3.m3.8.8.2.4.cmml" xref="S2.p6.3.m3.8.8.2.4">ℎ</ci><list id="S2.p6.3.m3.8.8.2.2.2.3.cmml" xref="S2.p6.3.m3.8.8.2.2.2.4"><ci id="S2.p6.3.m3.7.7.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p6.3.m3.7.7.1.1.1.1">𝑘</ci><ci id="S2.p6.3.m3.8.8.2.2.2.2.cmml" xref="S2.p6.3.m3.8.8.2.2.2.2">𝑙</ci></list></apply></apply><apply id="S2.p6.3.m3.12.13.3.3.cmml" xref="S2.p6.3.m3.12.13.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p6.3.m3.12.13.3.3.1.cmml" xref="S2.p6.3.m3.12.13.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.p6.3.m3.12.13.3.3.2.cmml" xref="S2.p6.3.m3.12.13.3.3.2">ℎ</ci><list id="S2.p6.3.m3.10.10.2.3.cmml" xref="S2.p6.3.m3.10.10.2.4"><ci id="S2.p6.3.m3.9.9.1.1.cmml" xref="S2.p6.3.m3.9.9.1.1">𝑙</ci><ci id="S2.p6.3.m3.10.10.2.2.cmml" xref="S2.p6.3.m3.10.10.2.2">𝑟</ci></list></apply><apply id="S2.p6.3.m3.12.12.cmml" xref="S2.p6.3.m3.12.12"><ci id="S2.p6.3.m3.12.12.3.cmml" xref="S2.p6.3.m3.12.12.3">¯</ci><apply id="S2.p6.3.m3.12.12.2.cmml" xref="S2.p6.3.m3.12.12.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p6.3.m3.12.12.2.3.cmml" xref="S2.p6.3.m3.12.12.2">subscript</csymbol><ci id="S2.p6.3.m3.12.12.2.4.cmml" xref="S2.p6.3.m3.12.12.2.4">ℎ</ci><list id="S2.p6.3.m3.12.12.2.2.2.3.cmml" xref="S2.p6.3.m3.12.12.2.2.2.4"><ci id="S2.p6.3.m3.11.11.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p6.3.m3.11.11.1.1.1.1">𝑟</ci><ci id="S2.p6.3.m3.12.12.2.2.2.2.cmml" xref="S2.p6.3.m3.12.12.2.2.2.2">𝑗</ci></list></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p6.3.m3.12c">g^{H}_{j,k,l,r}=h_{j,k}\overline{h_{k,l}}h_{l,r}\overline{h_{r,j}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p6.3.m3.12d">italic_g start_POSTSUPERSCRIPT italic_H end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k , italic_l , italic_r end_POSTSUBSCRIPT = italic_h start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k end_POSTSUBSCRIPT over¯ start_ARG italic_h start_POSTSUBSCRIPT italic_k , italic_l end_POSTSUBSCRIPT end_ARG italic_h start_POSTSUBSCRIPT italic_l , italic_r end_POSTSUBSCRIPT over¯ start_ARG italic_h start_POSTSUBSCRIPT italic_r , italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math> corresponding to a complex Hadamard matrix <math alttext="H" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p6.4.m4.1"><semantics id="S2.p6.4.m4.1a"><mi id="S2.p6.4.m4.1.1" xref="S2.p6.4.m4.1.1.cmml">H</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p6.4.m4.1b"><ci id="S2.p6.4.m4.1.1.cmml" xref="S2.p6.4.m4.1.1">𝐻</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p6.4.m4.1c">H</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p6.4.m4.1d">italic_H</annotation></semantics></math>. These invariants are often used in the study of complex Hadamard matrices. Notice that for us, with <math alttext="H" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p6.5.m5.1"><semantics id="S2.p6.5.m5.1a"><mi id="S2.p6.5.m5.1.1" xref="S2.p6.5.m5.1.1.cmml">H</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p6.5.m5.1b"><ci id="S2.p6.5.m5.1.1.cmml" xref="S2.p6.5.m5.1.1">𝐻</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p6.5.m5.1c">H</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p6.5.m5.1d">italic_H</annotation></semantics></math> being the Hadamard matrix associated to the MUB-pair <math alttext="X,Y" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p6.6.m6.2"><semantics id="S2.p6.6.m6.2a"><mrow id="S2.p6.6.m6.2.3.2" xref="S2.p6.6.m6.2.3.1.cmml"><mi id="S2.p6.6.m6.1.1" xref="S2.p6.6.m6.1.1.cmml">X</mi><mo id="S2.p6.6.m6.2.3.2.1" xref="S2.p6.6.m6.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.p6.6.m6.2.2" xref="S2.p6.6.m6.2.2.cmml">Y</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p6.6.m6.2b"><list id="S2.p6.6.m6.2.3.1.cmml" xref="S2.p6.6.m6.2.3.2"><ci id="S2.p6.6.m6.1.1.cmml" xref="S2.p6.6.m6.1.1">𝑋</ci><ci id="S2.p6.6.m6.2.2.cmml" xref="S2.p6.6.m6.2.2">𝑌</ci></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p6.6.m6.2c">X,Y</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p6.6.m6.2d">italic_X , italic_Y</annotation></semantics></math>, we have</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E3"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(2.3)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="g^{H}_{j,k,l,r}=\langle\mathbf{e}_{j},\mathbf{f}_{k}\rangle\langle\mathbf{f}_{% k},\mathbf{e}_{l}\rangle\langle\mathbf{e}_{l},\mathbf{f}_{r}\rangle\langle% \mathbf{f}_{r},\mathbf{e}_{j}\rangle={\rm Tr}(P_{j}Q_{k}P_{l}Q_{r})" class="ltx_Math" display="block" id="S2.E3.m1.13"><semantics id="S2.E3.m1.13a"><mrow id="S2.E3.m1.13.13" xref="S2.E3.m1.13.13.cmml"><msubsup id="S2.E3.m1.13.13.11" xref="S2.E3.m1.13.13.11.cmml"><mi id="S2.E3.m1.13.13.11.2.2" xref="S2.E3.m1.13.13.11.2.2.cmml">g</mi><mrow id="S2.E3.m1.4.4.4.6" xref="S2.E3.m1.4.4.4.5.cmml"><mi id="S2.E3.m1.1.1.1.1" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1.cmml">j</mi><mo id="S2.E3.m1.4.4.4.6.1" xref="S2.E3.m1.4.4.4.5.cmml">,</mo><mi id="S2.E3.m1.2.2.2.2" xref="S2.E3.m1.2.2.2.2.cmml">k</mi><mo id="S2.E3.m1.4.4.4.6.2" xref="S2.E3.m1.4.4.4.5.cmml">,</mo><mi id="S2.E3.m1.3.3.3.3" xref="S2.E3.m1.3.3.3.3.cmml">l</mi><mo id="S2.E3.m1.4.4.4.6.3" xref="S2.E3.m1.4.4.4.5.cmml">,</mo><mi id="S2.E3.m1.4.4.4.4" xref="S2.E3.m1.4.4.4.4.cmml">r</mi></mrow><mi id="S2.E3.m1.13.13.11.2.3" xref="S2.E3.m1.13.13.11.2.3.cmml">H</mi></msubsup><mo id="S2.E3.m1.13.13.12" xref="S2.E3.m1.13.13.12.cmml">=</mo><mrow id="S2.E3.m1.12.12.8" xref="S2.E3.m1.12.12.8.cmml"><mrow id="S2.E3.m1.6.6.2.2.2" xref="S2.E3.m1.6.6.2.2.3.cmml"><mo id="S2.E3.m1.6.6.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.E3.m1.6.6.2.2.3.cmml">⟨</mo><msub id="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.2" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml">𝐞</mi><mi id="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.3" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S2.E3.m1.6.6.2.2.2.4" xref="S2.E3.m1.6.6.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S2.E3.m1.6.6.2.2.2.2" xref="S2.E3.m1.6.6.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.E3.m1.6.6.2.2.2.2.2" xref="S2.E3.m1.6.6.2.2.2.2.2.cmml">𝐟</mi><mi id="S2.E3.m1.6.6.2.2.2.2.3" xref="S2.E3.m1.6.6.2.2.2.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S2.E3.m1.6.6.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S2.E3.m1.6.6.2.2.3.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S2.E3.m1.12.12.8.9" xref="S2.E3.m1.12.12.8.9.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E3.m1.8.8.4.4.2" xref="S2.E3.m1.8.8.4.4.3.cmml"><mo id="S2.E3.m1.8.8.4.4.2.3" stretchy="false" xref="S2.E3.m1.8.8.4.4.3.cmml">⟨</mo><msub id="S2.E3.m1.7.7.3.3.1.1" xref="S2.E3.m1.7.7.3.3.1.1.cmml"><mi id="S2.E3.m1.7.7.3.3.1.1.2" xref="S2.E3.m1.7.7.3.3.1.1.2.cmml">𝐟</mi><mi id="S2.E3.m1.7.7.3.3.1.1.3" xref="S2.E3.m1.7.7.3.3.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S2.E3.m1.8.8.4.4.2.4" xref="S2.E3.m1.8.8.4.4.3.cmml">,</mo><msub id="S2.E3.m1.8.8.4.4.2.2" xref="S2.E3.m1.8.8.4.4.2.2.cmml"><mi id="S2.E3.m1.8.8.4.4.2.2.2" xref="S2.E3.m1.8.8.4.4.2.2.2.cmml">𝐞</mi><mi id="S2.E3.m1.8.8.4.4.2.2.3" xref="S2.E3.m1.8.8.4.4.2.2.3.cmml">l</mi></msub><mo id="S2.E3.m1.8.8.4.4.2.5" stretchy="false" xref="S2.E3.m1.8.8.4.4.3.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S2.E3.m1.12.12.8.9a" xref="S2.E3.m1.12.12.8.9.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E3.m1.10.10.6.6.2" xref="S2.E3.m1.10.10.6.6.3.cmml"><mo id="S2.E3.m1.10.10.6.6.2.3" stretchy="false" xref="S2.E3.m1.10.10.6.6.3.cmml">⟨</mo><msub id="S2.E3.m1.9.9.5.5.1.1" xref="S2.E3.m1.9.9.5.5.1.1.cmml"><mi id="S2.E3.m1.9.9.5.5.1.1.2" xref="S2.E3.m1.9.9.5.5.1.1.2.cmml">𝐞</mi><mi id="S2.E3.m1.9.9.5.5.1.1.3" xref="S2.E3.m1.9.9.5.5.1.1.3.cmml">l</mi></msub><mo id="S2.E3.m1.10.10.6.6.2.4" xref="S2.E3.m1.10.10.6.6.3.cmml">,</mo><msub id="S2.E3.m1.10.10.6.6.2.2" xref="S2.E3.m1.10.10.6.6.2.2.cmml"><mi id="S2.E3.m1.10.10.6.6.2.2.2" xref="S2.E3.m1.10.10.6.6.2.2.2.cmml">𝐟</mi><mi id="S2.E3.m1.10.10.6.6.2.2.3" xref="S2.E3.m1.10.10.6.6.2.2.3.cmml">r</mi></msub><mo id="S2.E3.m1.10.10.6.6.2.5" stretchy="false" xref="S2.E3.m1.10.10.6.6.3.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S2.E3.m1.12.12.8.9b" xref="S2.E3.m1.12.12.8.9.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E3.m1.12.12.8.8.2" xref="S2.E3.m1.12.12.8.8.3.cmml"><mo id="S2.E3.m1.12.12.8.8.2.3" stretchy="false" xref="S2.E3.m1.12.12.8.8.3.cmml">⟨</mo><msub id="S2.E3.m1.11.11.7.7.1.1" xref="S2.E3.m1.11.11.7.7.1.1.cmml"><mi id="S2.E3.m1.11.11.7.7.1.1.2" xref="S2.E3.m1.11.11.7.7.1.1.2.cmml">𝐟</mi><mi id="S2.E3.m1.11.11.7.7.1.1.3" xref="S2.E3.m1.11.11.7.7.1.1.3.cmml">r</mi></msub><mo id="S2.E3.m1.12.12.8.8.2.4" xref="S2.E3.m1.12.12.8.8.3.cmml">,</mo><msub id="S2.E3.m1.12.12.8.8.2.2" xref="S2.E3.m1.12.12.8.8.2.2.cmml"><mi id="S2.E3.m1.12.12.8.8.2.2.2" xref="S2.E3.m1.12.12.8.8.2.2.2.cmml">𝐞</mi><mi id="S2.E3.m1.12.12.8.8.2.2.3" xref="S2.E3.m1.12.12.8.8.2.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S2.E3.m1.12.12.8.8.2.5" stretchy="false" xref="S2.E3.m1.12.12.8.8.3.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E3.m1.13.13.13" xref="S2.E3.m1.13.13.13.cmml">=</mo><mrow id="S2.E3.m1.13.13.9" xref="S2.E3.m1.13.13.9.cmml"><mi id="S2.E3.m1.13.13.9.3" xref="S2.E3.m1.13.13.9.3.cmml">Tr</mi><mo id="S2.E3.m1.13.13.9.2" xref="S2.E3.m1.13.13.9.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E3.m1.13.13.9.1.1" xref="S2.E3.m1.13.13.9.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E3.m1.13.13.9.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E3.m1.13.13.9.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E3.m1.13.13.9.1.1.1" xref="S2.E3.m1.13.13.9.1.1.1.cmml"><msub id="S2.E3.m1.13.13.9.1.1.1.2" xref="S2.E3.m1.13.13.9.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.E3.m1.13.13.9.1.1.1.2.2" xref="S2.E3.m1.13.13.9.1.1.1.2.2.cmml">P</mi><mi id="S2.E3.m1.13.13.9.1.1.1.2.3" xref="S2.E3.m1.13.13.9.1.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S2.E3.m1.13.13.9.1.1.1.1" xref="S2.E3.m1.13.13.9.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.E3.m1.13.13.9.1.1.1.3" xref="S2.E3.m1.13.13.9.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.E3.m1.13.13.9.1.1.1.3.2" xref="S2.E3.m1.13.13.9.1.1.1.3.2.cmml">Q</mi><mi id="S2.E3.m1.13.13.9.1.1.1.3.3" xref="S2.E3.m1.13.13.9.1.1.1.3.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S2.E3.m1.13.13.9.1.1.1.1a" xref="S2.E3.m1.13.13.9.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.E3.m1.13.13.9.1.1.1.4" xref="S2.E3.m1.13.13.9.1.1.1.4.cmml"><mi id="S2.E3.m1.13.13.9.1.1.1.4.2" xref="S2.E3.m1.13.13.9.1.1.1.4.2.cmml">P</mi><mi id="S2.E3.m1.13.13.9.1.1.1.4.3" xref="S2.E3.m1.13.13.9.1.1.1.4.3.cmml">l</mi></msub><mo id="S2.E3.m1.13.13.9.1.1.1.1b" xref="S2.E3.m1.13.13.9.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.E3.m1.13.13.9.1.1.1.5" xref="S2.E3.m1.13.13.9.1.1.1.5.cmml"><mi id="S2.E3.m1.13.13.9.1.1.1.5.2" xref="S2.E3.m1.13.13.9.1.1.1.5.2.cmml">Q</mi><mi id="S2.E3.m1.13.13.9.1.1.1.5.3" xref="S2.E3.m1.13.13.9.1.1.1.5.3.cmml">r</mi></msub></mrow><mo id="S2.E3.m1.13.13.9.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E3.m1.13.13.9.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E3.m1.13b"><apply id="S2.E3.m1.13.13.cmml" xref="S2.E3.m1.13.13"><and id="S2.E3.m1.13.13a.cmml" xref="S2.E3.m1.13.13"></and><apply id="S2.E3.m1.13.13b.cmml" xref="S2.E3.m1.13.13"><eq id="S2.E3.m1.13.13.12.cmml" xref="S2.E3.m1.13.13.12"></eq><apply id="S2.E3.m1.13.13.11.cmml" xref="S2.E3.m1.13.13.11"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E3.m1.13.13.11.1.cmml" xref="S2.E3.m1.13.13.11">subscript</csymbol><apply id="S2.E3.m1.13.13.11.2.cmml" xref="S2.E3.m1.13.13.11"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E3.m1.13.13.11.2.1.cmml" xref="S2.E3.m1.13.13.11">superscript</csymbol><ci id="S2.E3.m1.13.13.11.2.2.cmml" xref="S2.E3.m1.13.13.11.2.2">𝑔</ci><ci id="S2.E3.m1.13.13.11.2.3.cmml" xref="S2.E3.m1.13.13.11.2.3">𝐻</ci></apply><list id="S2.E3.m1.4.4.4.5.cmml" xref="S2.E3.m1.4.4.4.6"><ci id="S2.E3.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1.1.1">𝑗</ci><ci id="S2.E3.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E3.m1.2.2.2.2">𝑘</ci><ci id="S2.E3.m1.3.3.3.3.cmml" xref="S2.E3.m1.3.3.3.3">𝑙</ci><ci id="S2.E3.m1.4.4.4.4.cmml" xref="S2.E3.m1.4.4.4.4">𝑟</ci></list></apply><apply id="S2.E3.m1.12.12.8.cmml" xref="S2.E3.m1.12.12.8"><times id="S2.E3.m1.12.12.8.9.cmml" xref="S2.E3.m1.12.12.8.9"></times><list id="S2.E3.m1.6.6.2.2.3.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.2.2.2"><apply id="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.2">𝐞</ci><ci id="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E3.m1.5.5.1.1.1.1.3">𝑗</ci></apply><apply id="S2.E3.m1.6.6.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E3.m1.6.6.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E3.m1.6.6.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.2.2.2.2.2">𝐟</ci><ci id="S2.E3.m1.6.6.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E3.m1.6.6.2.2.2.2.3">𝑘</ci></apply></list><list id="S2.E3.m1.8.8.4.4.3.cmml" xref="S2.E3.m1.8.8.4.4.2"><apply id="S2.E3.m1.7.7.3.3.1.1.cmml" xref="S2.E3.m1.7.7.3.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E3.m1.7.7.3.3.1.1.1.cmml" xref="S2.E3.m1.7.7.3.3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.E3.m1.7.7.3.3.1.1.2.cmml" xref="S2.E3.m1.7.7.3.3.1.1.2">𝐟</ci><ci id="S2.E3.m1.7.7.3.3.1.1.3.cmml" xref="S2.E3.m1.7.7.3.3.1.1.3">𝑘</ci></apply><apply id="S2.E3.m1.8.8.4.4.2.2.cmml" xref="S2.E3.m1.8.8.4.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E3.m1.8.8.4.4.2.2.1.cmml" xref="S2.E3.m1.8.8.4.4.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E3.m1.8.8.4.4.2.2.2.cmml" xref="S2.E3.m1.8.8.4.4.2.2.2">𝐞</ci><ci id="S2.E3.m1.8.8.4.4.2.2.3.cmml" xref="S2.E3.m1.8.8.4.4.2.2.3">𝑙</ci></apply></list><list id="S2.E3.m1.10.10.6.6.3.cmml" xref="S2.E3.m1.10.10.6.6.2"><apply id="S2.E3.m1.9.9.5.5.1.1.cmml" xref="S2.E3.m1.9.9.5.5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E3.m1.9.9.5.5.1.1.1.cmml" xref="S2.E3.m1.9.9.5.5.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.E3.m1.9.9.5.5.1.1.2.cmml" xref="S2.E3.m1.9.9.5.5.1.1.2">𝐞</ci><ci id="S2.E3.m1.9.9.5.5.1.1.3.cmml" xref="S2.E3.m1.9.9.5.5.1.1.3">𝑙</ci></apply><apply id="S2.E3.m1.10.10.6.6.2.2.cmml" xref="S2.E3.m1.10.10.6.6.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E3.m1.10.10.6.6.2.2.1.cmml" xref="S2.E3.m1.10.10.6.6.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E3.m1.10.10.6.6.2.2.2.cmml" xref="S2.E3.m1.10.10.6.6.2.2.2">𝐟</ci><ci id="S2.E3.m1.10.10.6.6.2.2.3.cmml" xref="S2.E3.m1.10.10.6.6.2.2.3">𝑟</ci></apply></list><list id="S2.E3.m1.12.12.8.8.3.cmml" xref="S2.E3.m1.12.12.8.8.2"><apply id="S2.E3.m1.11.11.7.7.1.1.cmml" xref="S2.E3.m1.11.11.7.7.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E3.m1.11.11.7.7.1.1.1.cmml" xref="S2.E3.m1.11.11.7.7.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.E3.m1.11.11.7.7.1.1.2.cmml" xref="S2.E3.m1.11.11.7.7.1.1.2">𝐟</ci><ci id="S2.E3.m1.11.11.7.7.1.1.3.cmml" xref="S2.E3.m1.11.11.7.7.1.1.3">𝑟</ci></apply><apply id="S2.E3.m1.12.12.8.8.2.2.cmml" xref="S2.E3.m1.12.12.8.8.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E3.m1.12.12.8.8.2.2.1.cmml" xref="S2.E3.m1.12.12.8.8.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E3.m1.12.12.8.8.2.2.2.cmml" xref="S2.E3.m1.12.12.8.8.2.2.2">𝐞</ci><ci id="S2.E3.m1.12.12.8.8.2.2.3.cmml" xref="S2.E3.m1.12.12.8.8.2.2.3">𝑗</ci></apply></list></apply></apply><apply id="S2.E3.m1.13.13c.cmml" xref="S2.E3.m1.13.13"><eq id="S2.E3.m1.13.13.13.cmml" xref="S2.E3.m1.13.13.13"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#S2.E3.m1.12.12.8.cmml" id="S2.E3.m1.13.13d.cmml" xref="S2.E3.m1.13.13"></share><apply id="S2.E3.m1.13.13.9.cmml" xref="S2.E3.m1.13.13.9"><times id="S2.E3.m1.13.13.9.2.cmml" xref="S2.E3.m1.13.13.9.2"></times><ci id="S2.E3.m1.13.13.9.3.cmml" xref="S2.E3.m1.13.13.9.3">Tr</ci><apply id="S2.E3.m1.13.13.9.1.1.1.cmml" xref="S2.E3.m1.13.13.9.1.1"><times id="S2.E3.m1.13.13.9.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E3.m1.13.13.9.1.1.1.1"></times><apply id="S2.E3.m1.13.13.9.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E3.m1.13.13.9.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E3.m1.13.13.9.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E3.m1.13.13.9.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E3.m1.13.13.9.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E3.m1.13.13.9.1.1.1.2.2">𝑃</ci><ci id="S2.E3.m1.13.13.9.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E3.m1.13.13.9.1.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="S2.E3.m1.13.13.9.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E3.m1.13.13.9.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E3.m1.13.13.9.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E3.m1.13.13.9.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E3.m1.13.13.9.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E3.m1.13.13.9.1.1.1.3.2">𝑄</ci><ci id="S2.E3.m1.13.13.9.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E3.m1.13.13.9.1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply><apply id="S2.E3.m1.13.13.9.1.1.1.4.cmml" xref="S2.E3.m1.13.13.9.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E3.m1.13.13.9.1.1.1.4.1.cmml" xref="S2.E3.m1.13.13.9.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S2.E3.m1.13.13.9.1.1.1.4.2.cmml" xref="S2.E3.m1.13.13.9.1.1.1.4.2">𝑃</ci><ci id="S2.E3.m1.13.13.9.1.1.1.4.3.cmml" xref="S2.E3.m1.13.13.9.1.1.1.4.3">𝑙</ci></apply><apply id="S2.E3.m1.13.13.9.1.1.1.5.cmml" xref="S2.E3.m1.13.13.9.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E3.m1.13.13.9.1.1.1.5.1.cmml" xref="S2.E3.m1.13.13.9.1.1.1.5">subscript</csymbol><ci id="S2.E3.m1.13.13.9.1.1.1.5.2.cmml" xref="S2.E3.m1.13.13.9.1.1.1.5.2">𝑄</ci><ci id="S2.E3.m1.13.13.9.1.1.1.5.3.cmml" xref="S2.E3.m1.13.13.9.1.1.1.5.3">𝑟</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E3.m1.13c">g^{H}_{j,k,l,r}=\langle\mathbf{e}_{j},\mathbf{f}_{k}\rangle\langle\mathbf{f}_{% k},\mathbf{e}_{l}\rangle\langle\mathbf{e}_{l},\mathbf{f}_{r}\rangle\langle% \mathbf{f}_{r},\mathbf{e}_{j}\rangle={\rm Tr}(P_{j}Q_{k}P_{l}Q_{r})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E3.m1.13d">italic_g start_POSTSUPERSCRIPT italic_H end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k , italic_l , italic_r end_POSTSUBSCRIPT = ⟨ bold_e start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT , bold_f start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ⟩ ⟨ bold_f start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT , bold_e start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT ⟩ ⟨ bold_e start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT , bold_f start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT ⟩ ⟨ bold_f start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT , bold_e start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ⟩ = roman_Tr ( italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_Q start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT italic_Q start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.p6.11">and hence <math alttext="g^{H}_{j,k,l,r}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p6.7.m1.4"><semantics id="S2.p6.7.m1.4a"><msubsup id="S2.p6.7.m1.4.5" xref="S2.p6.7.m1.4.5.cmml"><mi id="S2.p6.7.m1.4.5.2.2" xref="S2.p6.7.m1.4.5.2.2.cmml">g</mi><mrow id="S2.p6.7.m1.4.4.4.6" xref="S2.p6.7.m1.4.4.4.5.cmml"><mi id="S2.p6.7.m1.1.1.1.1" xref="S2.p6.7.m1.1.1.1.1.cmml">j</mi><mo id="S2.p6.7.m1.4.4.4.6.1" xref="S2.p6.7.m1.4.4.4.5.cmml">,</mo><mi id="S2.p6.7.m1.2.2.2.2" xref="S2.p6.7.m1.2.2.2.2.cmml">k</mi><mo id="S2.p6.7.m1.4.4.4.6.2" xref="S2.p6.7.m1.4.4.4.5.cmml">,</mo><mi id="S2.p6.7.m1.3.3.3.3" xref="S2.p6.7.m1.3.3.3.3.cmml">l</mi><mo id="S2.p6.7.m1.4.4.4.6.3" xref="S2.p6.7.m1.4.4.4.5.cmml">,</mo><mi id="S2.p6.7.m1.4.4.4.4" xref="S2.p6.7.m1.4.4.4.4.cmml">r</mi></mrow><mi id="S2.p6.7.m1.4.5.2.3" xref="S2.p6.7.m1.4.5.2.3.cmml">H</mi></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p6.7.m1.4b"><apply id="S2.p6.7.m1.4.5.cmml" xref="S2.p6.7.m1.4.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p6.7.m1.4.5.1.cmml" xref="S2.p6.7.m1.4.5">subscript</csymbol><apply id="S2.p6.7.m1.4.5.2.cmml" xref="S2.p6.7.m1.4.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p6.7.m1.4.5.2.1.cmml" xref="S2.p6.7.m1.4.5">superscript</csymbol><ci id="S2.p6.7.m1.4.5.2.2.cmml" xref="S2.p6.7.m1.4.5.2.2">𝑔</ci><ci id="S2.p6.7.m1.4.5.2.3.cmml" xref="S2.p6.7.m1.4.5.2.3">𝐻</ci></apply><list id="S2.p6.7.m1.4.4.4.5.cmml" xref="S2.p6.7.m1.4.4.4.6"><ci id="S2.p6.7.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p6.7.m1.1.1.1.1">𝑗</ci><ci id="S2.p6.7.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.p6.7.m1.2.2.2.2">𝑘</ci><ci id="S2.p6.7.m1.3.3.3.3.cmml" xref="S2.p6.7.m1.3.3.3.3">𝑙</ci><ci id="S2.p6.7.m1.4.4.4.4.cmml" xref="S2.p6.7.m1.4.4.4.4">𝑟</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p6.7.m1.4c">g^{H}_{j,k,l,r}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p6.7.m1.4d">italic_g start_POSTSUPERSCRIPT italic_H end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k , italic_l , italic_r end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> remains unchanged if each of the bases vectors is multiplied by some (not necessarily the same) complex number of unit absolute magnitude – that is why we say that these values are ”invariants”. In other words, if <math alttext="H,\tilde{H}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p6.8.m2.2"><semantics id="S2.p6.8.m2.2a"><mrow id="S2.p6.8.m2.2.3.2" xref="S2.p6.8.m2.2.3.1.cmml"><mi id="S2.p6.8.m2.1.1" xref="S2.p6.8.m2.1.1.cmml">H</mi><mo id="S2.p6.8.m2.2.3.2.1" xref="S2.p6.8.m2.2.3.1.cmml">,</mo><mover accent="true" id="S2.p6.8.m2.2.2" xref="S2.p6.8.m2.2.2.cmml"><mi id="S2.p6.8.m2.2.2.2" xref="S2.p6.8.m2.2.2.2.cmml">H</mi><mo id="S2.p6.8.m2.2.2.1" xref="S2.p6.8.m2.2.2.1.cmml">~</mo></mover></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p6.8.m2.2b"><list id="S2.p6.8.m2.2.3.1.cmml" xref="S2.p6.8.m2.2.3.2"><ci id="S2.p6.8.m2.1.1.cmml" xref="S2.p6.8.m2.1.1">𝐻</ci><apply id="S2.p6.8.m2.2.2.cmml" xref="S2.p6.8.m2.2.2"><ci id="S2.p6.8.m2.2.2.1.cmml" xref="S2.p6.8.m2.2.2.1">~</ci><ci id="S2.p6.8.m2.2.2.2.cmml" xref="S2.p6.8.m2.2.2.2">𝐻</ci></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p6.8.m2.2c">H,\tilde{H}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p6.8.m2.2d">italic_H , over~ start_ARG italic_H end_ARG</annotation></semantics></math> are Hadamard matrices and there exist two diagonal matrices <math alttext="D_{1},D_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p6.9.m3.2"><semantics id="S2.p6.9.m3.2a"><mrow id="S2.p6.9.m3.2.2.2" xref="S2.p6.9.m3.2.2.3.cmml"><msub id="S2.p6.9.m3.1.1.1.1" xref="S2.p6.9.m3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.p6.9.m3.1.1.1.1.2" xref="S2.p6.9.m3.1.1.1.1.2.cmml">D</mi><mn id="S2.p6.9.m3.1.1.1.1.3" xref="S2.p6.9.m3.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S2.p6.9.m3.2.2.2.3" xref="S2.p6.9.m3.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S2.p6.9.m3.2.2.2.2" xref="S2.p6.9.m3.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.p6.9.m3.2.2.2.2.2" xref="S2.p6.9.m3.2.2.2.2.2.cmml">D</mi><mn id="S2.p6.9.m3.2.2.2.2.3" xref="S2.p6.9.m3.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p6.9.m3.2b"><list id="S2.p6.9.m3.2.2.3.cmml" xref="S2.p6.9.m3.2.2.2"><apply id="S2.p6.9.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p6.9.m3.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p6.9.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p6.9.m3.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.p6.9.m3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.p6.9.m3.1.1.1.1.2">𝐷</ci><cn id="S2.p6.9.m3.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.p6.9.m3.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S2.p6.9.m3.2.2.2.2.cmml" xref="S2.p6.9.m3.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p6.9.m3.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.p6.9.m3.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.p6.9.m3.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.p6.9.m3.2.2.2.2.2">𝐷</ci><cn id="S2.p6.9.m3.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.p6.9.m3.2.2.2.2.3">2</cn></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p6.9.m3.2c">D_{1},D_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p6.9.m3.2d">italic_D start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_D start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> such that <math alttext="\tilde{H}=D_{1}HD_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p6.10.m4.1"><semantics id="S2.p6.10.m4.1a"><mrow id="S2.p6.10.m4.1.1" xref="S2.p6.10.m4.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S2.p6.10.m4.1.1.2" xref="S2.p6.10.m4.1.1.2.cmml"><mi id="S2.p6.10.m4.1.1.2.2" xref="S2.p6.10.m4.1.1.2.2.cmml">H</mi><mo id="S2.p6.10.m4.1.1.2.1" xref="S2.p6.10.m4.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S2.p6.10.m4.1.1.1" xref="S2.p6.10.m4.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.p6.10.m4.1.1.3" xref="S2.p6.10.m4.1.1.3.cmml"><msub id="S2.p6.10.m4.1.1.3.2" xref="S2.p6.10.m4.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.p6.10.m4.1.1.3.2.2" xref="S2.p6.10.m4.1.1.3.2.2.cmml">D</mi><mn id="S2.p6.10.m4.1.1.3.2.3" xref="S2.p6.10.m4.1.1.3.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S2.p6.10.m4.1.1.3.1" xref="S2.p6.10.m4.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.p6.10.m4.1.1.3.3" xref="S2.p6.10.m4.1.1.3.3.cmml">H</mi><mo id="S2.p6.10.m4.1.1.3.1a" xref="S2.p6.10.m4.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.p6.10.m4.1.1.3.4" xref="S2.p6.10.m4.1.1.3.4.cmml"><mi id="S2.p6.10.m4.1.1.3.4.2" xref="S2.p6.10.m4.1.1.3.4.2.cmml">D</mi><mn id="S2.p6.10.m4.1.1.3.4.3" xref="S2.p6.10.m4.1.1.3.4.3.cmml">2</mn></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p6.10.m4.1b"><apply id="S2.p6.10.m4.1.1.cmml" xref="S2.p6.10.m4.1.1"><eq id="S2.p6.10.m4.1.1.1.cmml" xref="S2.p6.10.m4.1.1.1"></eq><apply id="S2.p6.10.m4.1.1.2.cmml" xref="S2.p6.10.m4.1.1.2"><ci id="S2.p6.10.m4.1.1.2.1.cmml" xref="S2.p6.10.m4.1.1.2.1">~</ci><ci id="S2.p6.10.m4.1.1.2.2.cmml" xref="S2.p6.10.m4.1.1.2.2">𝐻</ci></apply><apply id="S2.p6.10.m4.1.1.3.cmml" xref="S2.p6.10.m4.1.1.3"><times id="S2.p6.10.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S2.p6.10.m4.1.1.3.1"></times><apply id="S2.p6.10.m4.1.1.3.2.cmml" xref="S2.p6.10.m4.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p6.10.m4.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.p6.10.m4.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.p6.10.m4.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.p6.10.m4.1.1.3.2.2">𝐷</ci><cn id="S2.p6.10.m4.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.p6.10.m4.1.1.3.2.3">1</cn></apply><ci id="S2.p6.10.m4.1.1.3.3.cmml" xref="S2.p6.10.m4.1.1.3.3">𝐻</ci><apply id="S2.p6.10.m4.1.1.3.4.cmml" xref="S2.p6.10.m4.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p6.10.m4.1.1.3.4.1.cmml" xref="S2.p6.10.m4.1.1.3.4">subscript</csymbol><ci id="S2.p6.10.m4.1.1.3.4.2.cmml" xref="S2.p6.10.m4.1.1.3.4.2">𝐷</ci><cn id="S2.p6.10.m4.1.1.3.4.3.cmml" type="integer" xref="S2.p6.10.m4.1.1.3.4.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p6.10.m4.1c">\tilde{H}=D_{1}HD_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p6.10.m4.1d">over~ start_ARG italic_H end_ARG = italic_D start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_H italic_D start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, then <math alttext="g^{H}=g^{\tilde{H}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p6.11.m5.1"><semantics id="S2.p6.11.m5.1a"><mrow id="S2.p6.11.m5.1.1" xref="S2.p6.11.m5.1.1.cmml"><msup id="S2.p6.11.m5.1.1.2" xref="S2.p6.11.m5.1.1.2.cmml"><mi id="S2.p6.11.m5.1.1.2.2" xref="S2.p6.11.m5.1.1.2.2.cmml">g</mi><mi id="S2.p6.11.m5.1.1.2.3" xref="S2.p6.11.m5.1.1.2.3.cmml">H</mi></msup><mo id="S2.p6.11.m5.1.1.1" xref="S2.p6.11.m5.1.1.1.cmml">=</mo><msup id="S2.p6.11.m5.1.1.3" xref="S2.p6.11.m5.1.1.3.cmml"><mi id="S2.p6.11.m5.1.1.3.2" xref="S2.p6.11.m5.1.1.3.2.cmml">g</mi><mover accent="true" id="S2.p6.11.m5.1.1.3.3" xref="S2.p6.11.m5.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.p6.11.m5.1.1.3.3.2" xref="S2.p6.11.m5.1.1.3.3.2.cmml">H</mi><mo id="S2.p6.11.m5.1.1.3.3.1" xref="S2.p6.11.m5.1.1.3.3.1.cmml">~</mo></mover></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p6.11.m5.1b"><apply id="S2.p6.11.m5.1.1.cmml" xref="S2.p6.11.m5.1.1"><eq id="S2.p6.11.m5.1.1.1.cmml" xref="S2.p6.11.m5.1.1.1"></eq><apply id="S2.p6.11.m5.1.1.2.cmml" xref="S2.p6.11.m5.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p6.11.m5.1.1.2.1.cmml" xref="S2.p6.11.m5.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S2.p6.11.m5.1.1.2.2.cmml" xref="S2.p6.11.m5.1.1.2.2">𝑔</ci><ci id="S2.p6.11.m5.1.1.2.3.cmml" xref="S2.p6.11.m5.1.1.2.3">𝐻</ci></apply><apply id="S2.p6.11.m5.1.1.3.cmml" xref="S2.p6.11.m5.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p6.11.m5.1.1.3.1.cmml" xref="S2.p6.11.m5.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.p6.11.m5.1.1.3.2.cmml" xref="S2.p6.11.m5.1.1.3.2">𝑔</ci><apply id="S2.p6.11.m5.1.1.3.3.cmml" xref="S2.p6.11.m5.1.1.3.3"><ci id="S2.p6.11.m5.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.p6.11.m5.1.1.3.3.1">~</ci><ci id="S2.p6.11.m5.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.p6.11.m5.1.1.3.3.2">𝐻</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p6.11.m5.1c">g^{H}=g^{\tilde{H}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p6.11.m5.1d">italic_g start_POSTSUPERSCRIPT italic_H end_POSTSUPERSCRIPT = italic_g start_POSTSUPERSCRIPT over~ start_ARG italic_H end_ARG end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.p7"> <p class="ltx_p" id="S2.p7.1">With these notions at hand we can now formulate rigorous conditions for the unitary equivalence of pairs of MUBs.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_proposition" id="S2.Thmfact1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.Thmfact1.1.1.1">Proposition 2.1</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.Thmfact1.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="S2.Thmfact1.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.Thmfact1.p1.7"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.Thmfact1.p1.7.7">Suppose <math alttext="X=(\mathbf{e}_{1},\ldots,\mathbf{e}_{d})" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmfact1.p1.1.1.m1.3"><semantics id="S2.Thmfact1.p1.1.1.m1.3a"><mrow id="S2.Thmfact1.p1.1.1.m1.3.3" xref="S2.Thmfact1.p1.1.1.m1.3.3.cmml"><mi id="S2.Thmfact1.p1.1.1.m1.3.3.4" xref="S2.Thmfact1.p1.1.1.m1.3.3.4.cmml">X</mi><mo id="S2.Thmfact1.p1.1.1.m1.3.3.3" xref="S2.Thmfact1.p1.1.1.m1.3.3.3.cmml">=</mo><mrow id="S2.Thmfact1.p1.1.1.m1.3.3.2.2" xref="S2.Thmfact1.p1.1.1.m1.3.3.2.3.cmml"><mo id="S2.Thmfact1.p1.1.1.m1.3.3.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.Thmfact1.p1.1.1.m1.3.3.2.3.cmml">(</mo><msub id="S2.Thmfact1.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1" xref="S2.Thmfact1.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Thmfact1.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S2.Thmfact1.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">𝐞</mi><mn id="S2.Thmfact1.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S2.Thmfact1.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S2.Thmfact1.p1.1.1.m1.3.3.2.2.4" xref="S2.Thmfact1.p1.1.1.m1.3.3.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.Thmfact1.p1.1.1.m1.1.1" mathvariant="normal" xref="S2.Thmfact1.p1.1.1.m1.1.1.cmml">…</mi><mo id="S2.Thmfact1.p1.1.1.m1.3.3.2.2.5" xref="S2.Thmfact1.p1.1.1.m1.3.3.2.3.cmml">,</mo><msub id="S2.Thmfact1.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2" xref="S2.Thmfact1.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2.cmml"><mi id="S2.Thmfact1.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2.2" xref="S2.Thmfact1.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2.2.cmml">𝐞</mi><mi id="S2.Thmfact1.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2.3" xref="S2.Thmfact1.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2.3.cmml">d</mi></msub><mo id="S2.Thmfact1.p1.1.1.m1.3.3.2.2.6" stretchy="false" xref="S2.Thmfact1.p1.1.1.m1.3.3.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmfact1.p1.1.1.m1.3b"><apply id="S2.Thmfact1.p1.1.1.m1.3.3.cmml" xref="S2.Thmfact1.p1.1.1.m1.3.3"><eq id="S2.Thmfact1.p1.1.1.m1.3.3.3.cmml" xref="S2.Thmfact1.p1.1.1.m1.3.3.3"></eq><ci id="S2.Thmfact1.p1.1.1.m1.3.3.4.cmml" xref="S2.Thmfact1.p1.1.1.m1.3.3.4">𝑋</ci><vector id="S2.Thmfact1.p1.1.1.m1.3.3.2.3.cmml" xref="S2.Thmfact1.p1.1.1.m1.3.3.2.2"><apply id="S2.Thmfact1.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmfact1.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmfact1.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmfact1.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmfact1.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmfact1.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.2">𝐞</ci><cn id="S2.Thmfact1.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.Thmfact1.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S2.Thmfact1.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.Thmfact1.p1.1.1.m1.1.1">…</ci><apply id="S2.Thmfact1.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S2.Thmfact1.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmfact1.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Thmfact1.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmfact1.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Thmfact1.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2.2">𝐞</ci><ci id="S2.Thmfact1.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Thmfact1.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2.3">𝑑</ci></apply></vector></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmfact1.p1.1.1.m1.3c">X=(\mathbf{e}_{1},\ldots,\mathbf{e}_{d})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmfact1.p1.1.1.m1.3d">italic_X = ( bold_e start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , bold_e start_POSTSUBSCRIPT italic_d end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math>, <math alttext="Y=(\mathbf{f}_{1},\ldots,\mathbf{f}_{d})" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmfact1.p1.2.2.m2.3"><semantics id="S2.Thmfact1.p1.2.2.m2.3a"><mrow id="S2.Thmfact1.p1.2.2.m2.3.3" xref="S2.Thmfact1.p1.2.2.m2.3.3.cmml"><mi id="S2.Thmfact1.p1.2.2.m2.3.3.4" xref="S2.Thmfact1.p1.2.2.m2.3.3.4.cmml">Y</mi><mo id="S2.Thmfact1.p1.2.2.m2.3.3.3" xref="S2.Thmfact1.p1.2.2.m2.3.3.3.cmml">=</mo><mrow id="S2.Thmfact1.p1.2.2.m2.3.3.2.2" xref="S2.Thmfact1.p1.2.2.m2.3.3.2.3.cmml"><mo id="S2.Thmfact1.p1.2.2.m2.3.3.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.Thmfact1.p1.2.2.m2.3.3.2.3.cmml">(</mo><msub id="S2.Thmfact1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1" xref="S2.Thmfact1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Thmfact1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.2" xref="S2.Thmfact1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.2.cmml">𝐟</mi><mn id="S2.Thmfact1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3" xref="S2.Thmfact1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S2.Thmfact1.p1.2.2.m2.3.3.2.2.4" xref="S2.Thmfact1.p1.2.2.m2.3.3.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.Thmfact1.p1.2.2.m2.1.1" mathvariant="normal" xref="S2.Thmfact1.p1.2.2.m2.1.1.cmml">…</mi><mo id="S2.Thmfact1.p1.2.2.m2.3.3.2.2.5" xref="S2.Thmfact1.p1.2.2.m2.3.3.2.3.cmml">,</mo><msub id="S2.Thmfact1.p1.2.2.m2.3.3.2.2.2" xref="S2.Thmfact1.p1.2.2.m2.3.3.2.2.2.cmml"><mi id="S2.Thmfact1.p1.2.2.m2.3.3.2.2.2.2" xref="S2.Thmfact1.p1.2.2.m2.3.3.2.2.2.2.cmml">𝐟</mi><mi id="S2.Thmfact1.p1.2.2.m2.3.3.2.2.2.3" xref="S2.Thmfact1.p1.2.2.m2.3.3.2.2.2.3.cmml">d</mi></msub><mo id="S2.Thmfact1.p1.2.2.m2.3.3.2.2.6" stretchy="false" xref="S2.Thmfact1.p1.2.2.m2.3.3.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmfact1.p1.2.2.m2.3b"><apply id="S2.Thmfact1.p1.2.2.m2.3.3.cmml" xref="S2.Thmfact1.p1.2.2.m2.3.3"><eq id="S2.Thmfact1.p1.2.2.m2.3.3.3.cmml" xref="S2.Thmfact1.p1.2.2.m2.3.3.3"></eq><ci id="S2.Thmfact1.p1.2.2.m2.3.3.4.cmml" xref="S2.Thmfact1.p1.2.2.m2.3.3.4">𝑌</ci><vector id="S2.Thmfact1.p1.2.2.m2.3.3.2.3.cmml" xref="S2.Thmfact1.p1.2.2.m2.3.3.2.2"><apply id="S2.Thmfact1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmfact1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmfact1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmfact1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmfact1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmfact1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.2">𝐟</ci><cn id="S2.Thmfact1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.Thmfact1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S2.Thmfact1.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.Thmfact1.p1.2.2.m2.1.1">…</ci><apply id="S2.Thmfact1.p1.2.2.m2.3.3.2.2.2.cmml" xref="S2.Thmfact1.p1.2.2.m2.3.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmfact1.p1.2.2.m2.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Thmfact1.p1.2.2.m2.3.3.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmfact1.p1.2.2.m2.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Thmfact1.p1.2.2.m2.3.3.2.2.2.2">𝐟</ci><ci id="S2.Thmfact1.p1.2.2.m2.3.3.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Thmfact1.p1.2.2.m2.3.3.2.2.2.3">𝑑</ci></apply></vector></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmfact1.p1.2.2.m2.3c">Y=(\mathbf{f}_{1},\ldots,\mathbf{f}_{d})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmfact1.p1.2.2.m2.3d">italic_Y = ( bold_f start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , bold_f start_POSTSUBSCRIPT italic_d end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> and <math alttext="V=(\mathbf{v}_{1},\ldots,\mathbf{v}_{d})" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmfact1.p1.3.3.m3.3"><semantics id="S2.Thmfact1.p1.3.3.m3.3a"><mrow id="S2.Thmfact1.p1.3.3.m3.3.3" xref="S2.Thmfact1.p1.3.3.m3.3.3.cmml"><mi id="S2.Thmfact1.p1.3.3.m3.3.3.4" xref="S2.Thmfact1.p1.3.3.m3.3.3.4.cmml">V</mi><mo id="S2.Thmfact1.p1.3.3.m3.3.3.3" xref="S2.Thmfact1.p1.3.3.m3.3.3.3.cmml">=</mo><mrow id="S2.Thmfact1.p1.3.3.m3.3.3.2.2" xref="S2.Thmfact1.p1.3.3.m3.3.3.2.3.cmml"><mo id="S2.Thmfact1.p1.3.3.m3.3.3.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.Thmfact1.p1.3.3.m3.3.3.2.3.cmml">(</mo><msub id="S2.Thmfact1.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1" xref="S2.Thmfact1.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Thmfact1.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.2" xref="S2.Thmfact1.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.2.cmml">𝐯</mi><mn id="S2.Thmfact1.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3" xref="S2.Thmfact1.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S2.Thmfact1.p1.3.3.m3.3.3.2.2.4" xref="S2.Thmfact1.p1.3.3.m3.3.3.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.Thmfact1.p1.3.3.m3.1.1" mathvariant="normal" xref="S2.Thmfact1.p1.3.3.m3.1.1.cmml">…</mi><mo id="S2.Thmfact1.p1.3.3.m3.3.3.2.2.5" xref="S2.Thmfact1.p1.3.3.m3.3.3.2.3.cmml">,</mo><msub id="S2.Thmfact1.p1.3.3.m3.3.3.2.2.2" xref="S2.Thmfact1.p1.3.3.m3.3.3.2.2.2.cmml"><mi id="S2.Thmfact1.p1.3.3.m3.3.3.2.2.2.2" xref="S2.Thmfact1.p1.3.3.m3.3.3.2.2.2.2.cmml">𝐯</mi><mi id="S2.Thmfact1.p1.3.3.m3.3.3.2.2.2.3" xref="S2.Thmfact1.p1.3.3.m3.3.3.2.2.2.3.cmml">d</mi></msub><mo id="S2.Thmfact1.p1.3.3.m3.3.3.2.2.6" stretchy="false" xref="S2.Thmfact1.p1.3.3.m3.3.3.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmfact1.p1.3.3.m3.3b"><apply id="S2.Thmfact1.p1.3.3.m3.3.3.cmml" xref="S2.Thmfact1.p1.3.3.m3.3.3"><eq id="S2.Thmfact1.p1.3.3.m3.3.3.3.cmml" xref="S2.Thmfact1.p1.3.3.m3.3.3.3"></eq><ci id="S2.Thmfact1.p1.3.3.m3.3.3.4.cmml" xref="S2.Thmfact1.p1.3.3.m3.3.3.4">𝑉</ci><vector id="S2.Thmfact1.p1.3.3.m3.3.3.2.3.cmml" xref="S2.Thmfact1.p1.3.3.m3.3.3.2.2"><apply id="S2.Thmfact1.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmfact1.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmfact1.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmfact1.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmfact1.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmfact1.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.2">𝐯</ci><cn id="S2.Thmfact1.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.Thmfact1.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S2.Thmfact1.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.Thmfact1.p1.3.3.m3.1.1">…</ci><apply id="S2.Thmfact1.p1.3.3.m3.3.3.2.2.2.cmml" xref="S2.Thmfact1.p1.3.3.m3.3.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmfact1.p1.3.3.m3.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Thmfact1.p1.3.3.m3.3.3.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmfact1.p1.3.3.m3.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Thmfact1.p1.3.3.m3.3.3.2.2.2.2">𝐯</ci><ci id="S2.Thmfact1.p1.3.3.m3.3.3.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Thmfact1.p1.3.3.m3.3.3.2.2.2.3">𝑑</ci></apply></vector></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmfact1.p1.3.3.m3.3c">V=(\mathbf{v}_{1},\ldots,\mathbf{v}_{d})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmfact1.p1.3.3.m3.3d">italic_V = ( bold_v start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , bold_v start_POSTSUBSCRIPT italic_d end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math>, <math alttext="W=(\mathbf{w}_{1},\ldots,\mathbf{w}_{d})" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmfact1.p1.4.4.m4.3"><semantics id="S2.Thmfact1.p1.4.4.m4.3a"><mrow id="S2.Thmfact1.p1.4.4.m4.3.3" xref="S2.Thmfact1.p1.4.4.m4.3.3.cmml"><mi id="S2.Thmfact1.p1.4.4.m4.3.3.4" xref="S2.Thmfact1.p1.4.4.m4.3.3.4.cmml">W</mi><mo id="S2.Thmfact1.p1.4.4.m4.3.3.3" xref="S2.Thmfact1.p1.4.4.m4.3.3.3.cmml">=</mo><mrow id="S2.Thmfact1.p1.4.4.m4.3.3.2.2" xref="S2.Thmfact1.p1.4.4.m4.3.3.2.3.cmml"><mo id="S2.Thmfact1.p1.4.4.m4.3.3.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.Thmfact1.p1.4.4.m4.3.3.2.3.cmml">(</mo><msub id="S2.Thmfact1.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1" xref="S2.Thmfact1.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Thmfact1.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.2" xref="S2.Thmfact1.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.2.cmml">𝐰</mi><mn id="S2.Thmfact1.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.3" xref="S2.Thmfact1.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S2.Thmfact1.p1.4.4.m4.3.3.2.2.4" xref="S2.Thmfact1.p1.4.4.m4.3.3.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.Thmfact1.p1.4.4.m4.1.1" mathvariant="normal" xref="S2.Thmfact1.p1.4.4.m4.1.1.cmml">…</mi><mo id="S2.Thmfact1.p1.4.4.m4.3.3.2.2.5" xref="S2.Thmfact1.p1.4.4.m4.3.3.2.3.cmml">,</mo><msub id="S2.Thmfact1.p1.4.4.m4.3.3.2.2.2" xref="S2.Thmfact1.p1.4.4.m4.3.3.2.2.2.cmml"><mi id="S2.Thmfact1.p1.4.4.m4.3.3.2.2.2.2" xref="S2.Thmfact1.p1.4.4.m4.3.3.2.2.2.2.cmml">𝐰</mi><mi id="S2.Thmfact1.p1.4.4.m4.3.3.2.2.2.3" xref="S2.Thmfact1.p1.4.4.m4.3.3.2.2.2.3.cmml">d</mi></msub><mo id="S2.Thmfact1.p1.4.4.m4.3.3.2.2.6" stretchy="false" xref="S2.Thmfact1.p1.4.4.m4.3.3.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmfact1.p1.4.4.m4.3b"><apply id="S2.Thmfact1.p1.4.4.m4.3.3.cmml" xref="S2.Thmfact1.p1.4.4.m4.3.3"><eq id="S2.Thmfact1.p1.4.4.m4.3.3.3.cmml" xref="S2.Thmfact1.p1.4.4.m4.3.3.3"></eq><ci id="S2.Thmfact1.p1.4.4.m4.3.3.4.cmml" xref="S2.Thmfact1.p1.4.4.m4.3.3.4">𝑊</ci><vector id="S2.Thmfact1.p1.4.4.m4.3.3.2.3.cmml" xref="S2.Thmfact1.p1.4.4.m4.3.3.2.2"><apply id="S2.Thmfact1.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmfact1.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmfact1.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmfact1.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmfact1.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmfact1.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.2">𝐰</ci><cn id="S2.Thmfact1.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.Thmfact1.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S2.Thmfact1.p1.4.4.m4.1.1.cmml" xref="S2.Thmfact1.p1.4.4.m4.1.1">…</ci><apply id="S2.Thmfact1.p1.4.4.m4.3.3.2.2.2.cmml" xref="S2.Thmfact1.p1.4.4.m4.3.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmfact1.p1.4.4.m4.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Thmfact1.p1.4.4.m4.3.3.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmfact1.p1.4.4.m4.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Thmfact1.p1.4.4.m4.3.3.2.2.2.2">𝐰</ci><ci id="S2.Thmfact1.p1.4.4.m4.3.3.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Thmfact1.p1.4.4.m4.3.3.2.2.2.3">𝑑</ci></apply></vector></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmfact1.p1.4.4.m4.3c">W=(\mathbf{w}_{1},\ldots,\mathbf{w}_{d})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmfact1.p1.4.4.m4.3d">italic_W = ( bold_w start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , bold_w start_POSTSUBSCRIPT italic_d end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> are two pairs of mutually unbiased bases in <math alttext="\mathbb{C}^{d}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmfact1.p1.5.5.m5.1"><semantics id="S2.Thmfact1.p1.5.5.m5.1a"><msup id="S2.Thmfact1.p1.5.5.m5.1.1" xref="S2.Thmfact1.p1.5.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S2.Thmfact1.p1.5.5.m5.1.1.2" xref="S2.Thmfact1.p1.5.5.m5.1.1.2.cmml">ℂ</mi><mi id="S2.Thmfact1.p1.5.5.m5.1.1.3" xref="S2.Thmfact1.p1.5.5.m5.1.1.3.cmml">d</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmfact1.p1.5.5.m5.1b"><apply id="S2.Thmfact1.p1.5.5.m5.1.1.cmml" xref="S2.Thmfact1.p1.5.5.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmfact1.p1.5.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmfact1.p1.5.5.m5.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.Thmfact1.p1.5.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmfact1.p1.5.5.m5.1.1.2">ℂ</ci><ci id="S2.Thmfact1.p1.5.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S2.Thmfact1.p1.5.5.m5.1.1.3">𝑑</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmfact1.p1.5.5.m5.1c">\mathbb{C}^{d}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmfact1.p1.5.5.m5.1d">blackboard_C start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, with the corresponding complex Hadamard matrices <math alttext="H=H_{X,Y}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmfact1.p1.6.6.m6.2"><semantics id="S2.Thmfact1.p1.6.6.m6.2a"><mrow id="S2.Thmfact1.p1.6.6.m6.2.3" xref="S2.Thmfact1.p1.6.6.m6.2.3.cmml"><mi id="S2.Thmfact1.p1.6.6.m6.2.3.2" xref="S2.Thmfact1.p1.6.6.m6.2.3.2.cmml">H</mi><mo id="S2.Thmfact1.p1.6.6.m6.2.3.1" xref="S2.Thmfact1.p1.6.6.m6.2.3.1.cmml">=</mo><msub id="S2.Thmfact1.p1.6.6.m6.2.3.3" xref="S2.Thmfact1.p1.6.6.m6.2.3.3.cmml"><mi id="S2.Thmfact1.p1.6.6.m6.2.3.3.2" xref="S2.Thmfact1.p1.6.6.m6.2.3.3.2.cmml">H</mi><mrow id="S2.Thmfact1.p1.6.6.m6.2.2.2.4" xref="S2.Thmfact1.p1.6.6.m6.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.Thmfact1.p1.6.6.m6.1.1.1.1" xref="S2.Thmfact1.p1.6.6.m6.1.1.1.1.cmml">X</mi><mo id="S2.Thmfact1.p1.6.6.m6.2.2.2.4.1" xref="S2.Thmfact1.p1.6.6.m6.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.Thmfact1.p1.6.6.m6.2.2.2.2" xref="S2.Thmfact1.p1.6.6.m6.2.2.2.2.cmml">Y</mi></mrow></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmfact1.p1.6.6.m6.2b"><apply id="S2.Thmfact1.p1.6.6.m6.2.3.cmml" xref="S2.Thmfact1.p1.6.6.m6.2.3"><eq id="S2.Thmfact1.p1.6.6.m6.2.3.1.cmml" xref="S2.Thmfact1.p1.6.6.m6.2.3.1"></eq><ci id="S2.Thmfact1.p1.6.6.m6.2.3.2.cmml" xref="S2.Thmfact1.p1.6.6.m6.2.3.2">𝐻</ci><apply id="S2.Thmfact1.p1.6.6.m6.2.3.3.cmml" xref="S2.Thmfact1.p1.6.6.m6.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmfact1.p1.6.6.m6.2.3.3.1.cmml" xref="S2.Thmfact1.p1.6.6.m6.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmfact1.p1.6.6.m6.2.3.3.2.cmml" xref="S2.Thmfact1.p1.6.6.m6.2.3.3.2">𝐻</ci><list id="S2.Thmfact1.p1.6.6.m6.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Thmfact1.p1.6.6.m6.2.2.2.4"><ci id="S2.Thmfact1.p1.6.6.m6.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmfact1.p1.6.6.m6.1.1.1.1">𝑋</ci><ci id="S2.Thmfact1.p1.6.6.m6.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Thmfact1.p1.6.6.m6.2.2.2.2">𝑌</ci></list></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmfact1.p1.6.6.m6.2c">H=H_{X,Y}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmfact1.p1.6.6.m6.2d">italic_H = italic_H start_POSTSUBSCRIPT italic_X , italic_Y end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="\tilde{H}=H_{V,W}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmfact1.p1.7.7.m7.2"><semantics id="S2.Thmfact1.p1.7.7.m7.2a"><mrow id="S2.Thmfact1.p1.7.7.m7.2.3" xref="S2.Thmfact1.p1.7.7.m7.2.3.cmml"><mover accent="true" id="S2.Thmfact1.p1.7.7.m7.2.3.2" xref="S2.Thmfact1.p1.7.7.m7.2.3.2.cmml"><mi id="S2.Thmfact1.p1.7.7.m7.2.3.2.2" xref="S2.Thmfact1.p1.7.7.m7.2.3.2.2.cmml">H</mi><mo id="S2.Thmfact1.p1.7.7.m7.2.3.2.1" xref="S2.Thmfact1.p1.7.7.m7.2.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S2.Thmfact1.p1.7.7.m7.2.3.1" xref="S2.Thmfact1.p1.7.7.m7.2.3.1.cmml">=</mo><msub id="S2.Thmfact1.p1.7.7.m7.2.3.3" xref="S2.Thmfact1.p1.7.7.m7.2.3.3.cmml"><mi id="S2.Thmfact1.p1.7.7.m7.2.3.3.2" xref="S2.Thmfact1.p1.7.7.m7.2.3.3.2.cmml">H</mi><mrow id="S2.Thmfact1.p1.7.7.m7.2.2.2.4" xref="S2.Thmfact1.p1.7.7.m7.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.Thmfact1.p1.7.7.m7.1.1.1.1" xref="S2.Thmfact1.p1.7.7.m7.1.1.1.1.cmml">V</mi><mo id="S2.Thmfact1.p1.7.7.m7.2.2.2.4.1" xref="S2.Thmfact1.p1.7.7.m7.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.Thmfact1.p1.7.7.m7.2.2.2.2" xref="S2.Thmfact1.p1.7.7.m7.2.2.2.2.cmml">W</mi></mrow></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmfact1.p1.7.7.m7.2b"><apply id="S2.Thmfact1.p1.7.7.m7.2.3.cmml" xref="S2.Thmfact1.p1.7.7.m7.2.3"><eq id="S2.Thmfact1.p1.7.7.m7.2.3.1.cmml" xref="S2.Thmfact1.p1.7.7.m7.2.3.1"></eq><apply id="S2.Thmfact1.p1.7.7.m7.2.3.2.cmml" xref="S2.Thmfact1.p1.7.7.m7.2.3.2"><ci id="S2.Thmfact1.p1.7.7.m7.2.3.2.1.cmml" xref="S2.Thmfact1.p1.7.7.m7.2.3.2.1">~</ci><ci id="S2.Thmfact1.p1.7.7.m7.2.3.2.2.cmml" xref="S2.Thmfact1.p1.7.7.m7.2.3.2.2">𝐻</ci></apply><apply id="S2.Thmfact1.p1.7.7.m7.2.3.3.cmml" xref="S2.Thmfact1.p1.7.7.m7.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmfact1.p1.7.7.m7.2.3.3.1.cmml" xref="S2.Thmfact1.p1.7.7.m7.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmfact1.p1.7.7.m7.2.3.3.2.cmml" xref="S2.Thmfact1.p1.7.7.m7.2.3.3.2">𝐻</ci><list id="S2.Thmfact1.p1.7.7.m7.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Thmfact1.p1.7.7.m7.2.2.2.4"><ci id="S2.Thmfact1.p1.7.7.m7.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmfact1.p1.7.7.m7.1.1.1.1">𝑉</ci><ci id="S2.Thmfact1.p1.7.7.m7.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Thmfact1.p1.7.7.m7.2.2.2.2">𝑊</ci></list></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmfact1.p1.7.7.m7.2c">\tilde{H}=H_{V,W}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmfact1.p1.7.7.m7.2d">over~ start_ARG italic_H end_ARG = italic_H start_POSTSUBSCRIPT italic_V , italic_W end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> defined as in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#S2.E1" title="Equation 2.1 ‣ 2. Pairs of MUBs ‣ Triplets of Mutually Unbiased Bases"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2.1</span></a>). The following are equivalent:</span></p> <ol class="ltx_enumerate" id="S2.I1"> <li class="ltx_item" id="S2.I1.i1" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">(1)</span> <div class="ltx_para" id="S2.I1.i1.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.I1.i1.p1.2"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.I1.i1.p1.2.1">the pair </span><math alttext="(X,Y)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.I1.i1.p1.1.m1.2"><semantics id="S2.I1.i1.p1.1.m1.2a"><mrow id="S2.I1.i1.p1.1.m1.2.3.2" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.2.3.1.cmml"><mo id="S2.I1.i1.p1.1.m1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1.cmml">X</mi><mo id="S2.I1.i1.p1.1.m1.2.3.2.2" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.I1.i1.p1.1.m1.2.2" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.2.2.cmml">Y</mi><mo id="S2.I1.i1.p1.1.m1.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.2.3.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.I1.i1.p1.1.m1.2b"><interval closure="open" id="S2.I1.i1.p1.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.2.3.2"><ci id="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1">𝑋</ci><ci id="S2.I1.i1.p1.1.m1.2.2.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.2.2">𝑌</ci></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.I1.i1.p1.1.m1.2c">(X,Y)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.I1.i1.p1.1.m1.2d">( italic_X , italic_Y )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.I1.i1.p1.2.2"> is directly unitary equivalent (as in Definition </span><a class="ltx_ref ltx_font_italic" href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#S1.Thmfact1" title="Definition 1.1. ‣ 1. Introduction ‣ Triplets of Mutually Unbiased Bases"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1.1</span></a><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.I1.i1.p1.2.3">) to the pair </span><math alttext="(V,W)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.I1.i1.p1.2.m2.2"><semantics id="S2.I1.i1.p1.2.m2.2a"><mrow id="S2.I1.i1.p1.2.m2.2.3.2" xref="S2.I1.i1.p1.2.m2.2.3.1.cmml"><mo id="S2.I1.i1.p1.2.m2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.I1.i1.p1.2.m2.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S2.I1.i1.p1.2.m2.1.1" xref="S2.I1.i1.p1.2.m2.1.1.cmml">V</mi><mo id="S2.I1.i1.p1.2.m2.2.3.2.2" xref="S2.I1.i1.p1.2.m2.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.I1.i1.p1.2.m2.2.2" xref="S2.I1.i1.p1.2.m2.2.2.cmml">W</mi><mo id="S2.I1.i1.p1.2.m2.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.I1.i1.p1.2.m2.2.3.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.I1.i1.p1.2.m2.2b"><interval closure="open" id="S2.I1.i1.p1.2.m2.2.3.1.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.2.m2.2.3.2"><ci id="S2.I1.i1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.2.m2.1.1">𝑉</ci><ci id="S2.I1.i1.p1.2.m2.2.2.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.2.m2.2.2">𝑊</ci></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.I1.i1.p1.2.m2.2c">(V,W)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.I1.i1.p1.2.m2.2d">( italic_V , italic_W )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.I1.i1.p1.2.4">,</span></p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S2.I1.i2" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">(2)</span> <div class="ltx_para" id="S2.I1.i2.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.I1.i2.p1.2"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.I1.i2.p1.2.1">there exist two diagonal matrices </span><math alttext="D_{1},D_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.I1.i2.p1.1.m1.2"><semantics id="S2.I1.i2.p1.1.m1.2a"><mrow id="S2.I1.i2.p1.1.m1.2.2.2" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.2.2.3.cmml"><msub id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.2" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml">D</mi><mn id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.3" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S2.I1.i2.p1.1.m1.2.2.2.3" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S2.I1.i2.p1.1.m1.2.2.2.2" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.I1.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.2" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.cmml">D</mi><mn id="S2.I1.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.3" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.I1.i2.p1.1.m1.2b"><list id="S2.I1.i2.p1.1.m1.2.2.3.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.2.2.2"><apply id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.2">𝐷</ci><cn id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S2.I1.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I1.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.I1.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.2">𝐷</ci><cn id="S2.I1.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.2.2.2.2.3">2</cn></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.I1.i2.p1.1.m1.2c">D_{1},D_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.I1.i2.p1.1.m1.2d">italic_D start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_D start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.I1.i2.p1.2.2"> such that </span><math alttext="\tilde{H}=D_{1}HD_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.I1.i2.p1.2.m2.1"><semantics id="S2.I1.i2.p1.2.m2.1a"><mrow id="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2.2" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2.2.cmml">H</mi><mo id="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2.1" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.cmml"><msub id="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.2" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.2.2" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.2.2.cmml">D</mi><mn id="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.2.3" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.1" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.3" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.3.cmml">H</mi><mo id="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.1a" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.4" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.4.cmml"><mi id="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.4.2" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.4.2.cmml">D</mi><mn id="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.4.3" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.4.3.cmml">2</mn></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.I1.i2.p1.2.m2.1b"><apply id="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1"><eq id="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1"></eq><apply id="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2"><ci id="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2.1">~</ci><ci id="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.2.2">𝐻</ci></apply><apply id="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3"><times id="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.1"></times><apply id="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.2.2">𝐷</ci><cn id="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.2.3">1</cn></apply><ci id="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.3">𝐻</ci><apply id="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.4.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.4.1.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.4">subscript</csymbol><ci id="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.4.2.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.4.2">𝐷</ci><cn id="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.4.3.cmml" type="integer" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.3.4.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.I1.i2.p1.2.m2.1c">\tilde{H}=D_{1}HD_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.I1.i2.p1.2.m2.1d">over~ start_ARG italic_H end_ARG = italic_D start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_H italic_D start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.I1.i2.p1.2.3">,</span></p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S2.I1.i3" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">(3)</span> <div class="ltx_para" id="S2.I1.i3.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.I1.i3.p1.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.I1.i3.p1.1.1">the corresponding Haagerup invariants are equal, i.e. </span><math alttext="\forall j,k,l,r:\;g^{H}_{j,k,l,r}=g^{\tilde{H}}_{j,k,l,r}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.I1.i3.p1.1.m1.12"><semantics id="S2.I1.i3.p1.1.m1.12a"><mrow id="S2.I1.i3.p1.1.m1.12.12" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.12.12.cmml"><mrow id="S2.I1.i3.p1.1.m1.12.12.1.1" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.12.12.1.2.cmml"><mrow id="S2.I1.i3.p1.1.m1.12.12.1.1.1" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.12.12.1.1.1.cmml"><mo id="S2.I1.i3.p1.1.m1.12.12.1.1.1.1" rspace="0.167em" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.12.12.1.1.1.1.cmml">∀</mo><mi id="S2.I1.i3.p1.1.m1.12.12.1.1.1.2" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.12.12.1.1.1.2.cmml">j</mi></mrow><mo id="S2.I1.i3.p1.1.m1.12.12.1.1.2" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.12.12.1.2.cmml">,</mo><mi id="S2.I1.i3.p1.1.m1.9.9" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.9.9.cmml">k</mi><mo id="S2.I1.i3.p1.1.m1.12.12.1.1.3" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.12.12.1.2.cmml">,</mo><mi id="S2.I1.i3.p1.1.m1.10.10" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.10.10.cmml">l</mi><mo id="S2.I1.i3.p1.1.m1.12.12.1.1.4" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.12.12.1.2.cmml">,</mo><mi id="S2.I1.i3.p1.1.m1.11.11" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.11.11.cmml">r</mi></mrow><mo id="S2.I1.i3.p1.1.m1.12.12.2" lspace="0.278em" rspace="0.558em" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.12.12.2.cmml">:</mo><mrow id="S2.I1.i3.p1.1.m1.12.12.3" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.12.12.3.cmml"><msubsup id="S2.I1.i3.p1.1.m1.12.12.3.2" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.12.12.3.2.cmml"><mi id="S2.I1.i3.p1.1.m1.12.12.3.2.2.2" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.12.12.3.2.2.2.cmml">g</mi><mrow id="S2.I1.i3.p1.1.m1.4.4.4.6" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.4.4.4.5.cmml"><mi id="S2.I1.i3.p1.1.m1.1.1.1.1" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml">j</mi><mo id="S2.I1.i3.p1.1.m1.4.4.4.6.1" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.4.4.4.5.cmml">,</mo><mi id="S2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.2.2" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml">k</mi><mo id="S2.I1.i3.p1.1.m1.4.4.4.6.2" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.4.4.4.5.cmml">,</mo><mi id="S2.I1.i3.p1.1.m1.3.3.3.3" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.3.3.3.3.cmml">l</mi><mo id="S2.I1.i3.p1.1.m1.4.4.4.6.3" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.4.4.4.5.cmml">,</mo><mi id="S2.I1.i3.p1.1.m1.4.4.4.4" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.4.4.4.4.cmml">r</mi></mrow><mi id="S2.I1.i3.p1.1.m1.12.12.3.2.2.3" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.12.12.3.2.2.3.cmml">H</mi></msubsup><mo id="S2.I1.i3.p1.1.m1.12.12.3.1" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.12.12.3.1.cmml">=</mo><msubsup id="S2.I1.i3.p1.1.m1.12.12.3.3" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.12.12.3.3.cmml"><mi id="S2.I1.i3.p1.1.m1.12.12.3.3.2.2" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.12.12.3.3.2.2.cmml">g</mi><mrow id="S2.I1.i3.p1.1.m1.8.8.4.6" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.8.8.4.5.cmml"><mi id="S2.I1.i3.p1.1.m1.5.5.1.1" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.5.5.1.1.cmml">j</mi><mo id="S2.I1.i3.p1.1.m1.8.8.4.6.1" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.8.8.4.5.cmml">,</mo><mi id="S2.I1.i3.p1.1.m1.6.6.2.2" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.6.6.2.2.cmml">k</mi><mo id="S2.I1.i3.p1.1.m1.8.8.4.6.2" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.8.8.4.5.cmml">,</mo><mi id="S2.I1.i3.p1.1.m1.7.7.3.3" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.7.7.3.3.cmml">l</mi><mo id="S2.I1.i3.p1.1.m1.8.8.4.6.3" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.8.8.4.5.cmml">,</mo><mi id="S2.I1.i3.p1.1.m1.8.8.4.4" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.8.8.4.4.cmml">r</mi></mrow><mover accent="true" id="S2.I1.i3.p1.1.m1.12.12.3.3.2.3" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.12.12.3.3.2.3.cmml"><mi id="S2.I1.i3.p1.1.m1.12.12.3.3.2.3.2" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.12.12.3.3.2.3.2.cmml">H</mi><mo id="S2.I1.i3.p1.1.m1.12.12.3.3.2.3.1" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.12.12.3.3.2.3.1.cmml">~</mo></mover></msubsup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.I1.i3.p1.1.m1.12b"><apply id="S2.I1.i3.p1.1.m1.12.12.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.12.12"><ci id="S2.I1.i3.p1.1.m1.12.12.2.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.12.12.2">:</ci><list id="S2.I1.i3.p1.1.m1.12.12.1.2.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.12.12.1.1"><apply id="S2.I1.i3.p1.1.m1.12.12.1.1.1.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.12.12.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.I1.i3.p1.1.m1.12.12.1.1.1.1.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.12.12.1.1.1.1">for-all</csymbol><ci id="S2.I1.i3.p1.1.m1.12.12.1.1.1.2.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.12.12.1.1.1.2">𝑗</ci></apply><ci id="S2.I1.i3.p1.1.m1.9.9.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.9.9">𝑘</ci><ci id="S2.I1.i3.p1.1.m1.10.10.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.10.10">𝑙</ci><ci id="S2.I1.i3.p1.1.m1.11.11.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.11.11">𝑟</ci></list><apply id="S2.I1.i3.p1.1.m1.12.12.3.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.12.12.3"><eq id="S2.I1.i3.p1.1.m1.12.12.3.1.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.12.12.3.1"></eq><apply id="S2.I1.i3.p1.1.m1.12.12.3.2.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.12.12.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I1.i3.p1.1.m1.12.12.3.2.1.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.12.12.3.2">subscript</csymbol><apply id="S2.I1.i3.p1.1.m1.12.12.3.2.2.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.12.12.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I1.i3.p1.1.m1.12.12.3.2.2.1.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.12.12.3.2">superscript</csymbol><ci id="S2.I1.i3.p1.1.m1.12.12.3.2.2.2.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.12.12.3.2.2.2">𝑔</ci><ci id="S2.I1.i3.p1.1.m1.12.12.3.2.2.3.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.12.12.3.2.2.3">𝐻</ci></apply><list id="S2.I1.i3.p1.1.m1.4.4.4.5.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.4.4.4.6"><ci id="S2.I1.i3.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.1.1.1.1">𝑗</ci><ci id="S2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.2.2.2.2">𝑘</ci><ci id="S2.I1.i3.p1.1.m1.3.3.3.3.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.3.3.3.3">𝑙</ci><ci id="S2.I1.i3.p1.1.m1.4.4.4.4.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.4.4.4.4">𝑟</ci></list></apply><apply id="S2.I1.i3.p1.1.m1.12.12.3.3.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.12.12.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I1.i3.p1.1.m1.12.12.3.3.1.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.12.12.3.3">subscript</csymbol><apply id="S2.I1.i3.p1.1.m1.12.12.3.3.2.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.12.12.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I1.i3.p1.1.m1.12.12.3.3.2.1.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.12.12.3.3">superscript</csymbol><ci id="S2.I1.i3.p1.1.m1.12.12.3.3.2.2.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.12.12.3.3.2.2">𝑔</ci><apply id="S2.I1.i3.p1.1.m1.12.12.3.3.2.3.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.12.12.3.3.2.3"><ci id="S2.I1.i3.p1.1.m1.12.12.3.3.2.3.1.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.12.12.3.3.2.3.1">~</ci><ci id="S2.I1.i3.p1.1.m1.12.12.3.3.2.3.2.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.12.12.3.3.2.3.2">𝐻</ci></apply></apply><list id="S2.I1.i3.p1.1.m1.8.8.4.5.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.8.8.4.6"><ci id="S2.I1.i3.p1.1.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.5.5.1.1">𝑗</ci><ci id="S2.I1.i3.p1.1.m1.6.6.2.2.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.6.6.2.2">𝑘</ci><ci id="S2.I1.i3.p1.1.m1.7.7.3.3.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.7.7.3.3">𝑙</ci><ci id="S2.I1.i3.p1.1.m1.8.8.4.4.cmml" xref="S2.I1.i3.p1.1.m1.8.8.4.4">𝑟</ci></list></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.I1.i3.p1.1.m1.12c">\forall j,k,l,r:\;g^{H}_{j,k,l,r}=g^{\tilde{H}}_{j,k,l,r}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.I1.i3.p1.1.m1.12d">∀ italic_j , italic_k , italic_l , italic_r : italic_g start_POSTSUPERSCRIPT italic_H end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k , italic_l , italic_r end_POSTSUBSCRIPT = italic_g start_POSTSUPERSCRIPT over~ start_ARG italic_H end_ARG end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k , italic_l , italic_r end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.I1.i3.p1.1.2">,</span></p> </div> </li> </ol> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="S2.4"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="S2.1.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.1.p1.2">The directions <math alttext="(1)\Rightarrow(2)\Rightarrow(3)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.1.p1.1.m1.3"><semantics id="S2.1.p1.1.m1.3a"><mrow id="S2.1.p1.1.m1.3.4" xref="S2.1.p1.1.m1.3.4.cmml"><mrow id="S2.1.p1.1.m1.3.4.2.2" xref="S2.1.p1.1.m1.3.4.cmml"><mo id="S2.1.p1.1.m1.3.4.2.2.1" stretchy="false" xref="S2.1.p1.1.m1.3.4.cmml">(</mo><mn id="S2.1.p1.1.m1.1.1" xref="S2.1.p1.1.m1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S2.1.p1.1.m1.3.4.2.2.2" stretchy="false" xref="S2.1.p1.1.m1.3.4.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.1.p1.1.m1.3.4.3" stretchy="false" xref="S2.1.p1.1.m1.3.4.3.cmml">⇒</mo><mrow id="S2.1.p1.1.m1.3.4.4.2" xref="S2.1.p1.1.m1.3.4.cmml"><mo id="S2.1.p1.1.m1.3.4.4.2.1" stretchy="false" xref="S2.1.p1.1.m1.3.4.cmml">(</mo><mn id="S2.1.p1.1.m1.2.2" xref="S2.1.p1.1.m1.2.2.cmml">2</mn><mo id="S2.1.p1.1.m1.3.4.4.2.2" stretchy="false" xref="S2.1.p1.1.m1.3.4.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.1.p1.1.m1.3.4.5" stretchy="false" xref="S2.1.p1.1.m1.3.4.5.cmml">⇒</mo><mrow id="S2.1.p1.1.m1.3.4.6.2" xref="S2.1.p1.1.m1.3.4.cmml"><mo id="S2.1.p1.1.m1.3.4.6.2.1" stretchy="false" xref="S2.1.p1.1.m1.3.4.cmml">(</mo><mn id="S2.1.p1.1.m1.3.3" xref="S2.1.p1.1.m1.3.3.cmml">3</mn><mo id="S2.1.p1.1.m1.3.4.6.2.2" stretchy="false" xref="S2.1.p1.1.m1.3.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.1.p1.1.m1.3b"><apply id="S2.1.p1.1.m1.3.4.cmml" xref="S2.1.p1.1.m1.3.4"><and id="S2.1.p1.1.m1.3.4a.cmml" xref="S2.1.p1.1.m1.3.4"></and><apply id="S2.1.p1.1.m1.3.4b.cmml" xref="S2.1.p1.1.m1.3.4"><ci id="S2.1.p1.1.m1.3.4.3.cmml" xref="S2.1.p1.1.m1.3.4.3">⇒</ci><cn id="S2.1.p1.1.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.1.p1.1.m1.1.1">1</cn><cn id="S2.1.p1.1.m1.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.1.p1.1.m1.2.2">2</cn></apply><apply id="S2.1.p1.1.m1.3.4c.cmml" xref="S2.1.p1.1.m1.3.4"><ci id="S2.1.p1.1.m1.3.4.5.cmml" xref="S2.1.p1.1.m1.3.4.5">⇒</ci><share href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#S2.1.p1.1.m1.3.4.4.cmml" id="S2.1.p1.1.m1.3.4d.cmml" xref="S2.1.p1.1.m1.3.4"></share><cn id="S2.1.p1.1.m1.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.1.p1.1.m1.3.3">3</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.1.p1.1.m1.3c">(1)\Rightarrow(2)\Rightarrow(3)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.1.p1.1.m1.3d">( 1 ) ⇒ ( 2 ) ⇒ ( 3 )</annotation></semantics></math> are trivial. We will show here only the implication <math alttext="(3)\Rightarrow(1)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.1.p1.2.m2.2"><semantics id="S2.1.p1.2.m2.2a"><mrow id="S2.1.p1.2.m2.2.3" xref="S2.1.p1.2.m2.2.3.cmml"><mrow id="S2.1.p1.2.m2.2.3.2.2" xref="S2.1.p1.2.m2.2.3.cmml"><mo id="S2.1.p1.2.m2.2.3.2.2.1" stretchy="false" xref="S2.1.p1.2.m2.2.3.cmml">(</mo><mn id="S2.1.p1.2.m2.1.1" xref="S2.1.p1.2.m2.1.1.cmml">3</mn><mo id="S2.1.p1.2.m2.2.3.2.2.2" stretchy="false" xref="S2.1.p1.2.m2.2.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.1.p1.2.m2.2.3.1" stretchy="false" xref="S2.1.p1.2.m2.2.3.1.cmml">⇒</mo><mrow id="S2.1.p1.2.m2.2.3.3.2" xref="S2.1.p1.2.m2.2.3.cmml"><mo id="S2.1.p1.2.m2.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.1.p1.2.m2.2.3.cmml">(</mo><mn id="S2.1.p1.2.m2.2.2" xref="S2.1.p1.2.m2.2.2.cmml">1</mn><mo id="S2.1.p1.2.m2.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.1.p1.2.m2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.1.p1.2.m2.2b"><apply id="S2.1.p1.2.m2.2.3.cmml" xref="S2.1.p1.2.m2.2.3"><ci id="S2.1.p1.2.m2.2.3.1.cmml" xref="S2.1.p1.2.m2.2.3.1">⇒</ci><cn id="S2.1.p1.2.m2.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.1.p1.2.m2.1.1">3</cn><cn id="S2.1.p1.2.m2.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.1.p1.2.m2.2.2">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.1.p1.2.m2.2c">(3)\Rightarrow(1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.1.p1.2.m2.2d">( 3 ) ⇒ ( 1 )</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.2.p2"> <p class="ltx_p" id="S2.2.p2.14">Assume the Haagerup invariants corresponding to <math alttext="H" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.2.p2.1.m1.1"><semantics id="S2.2.p2.1.m1.1a"><mi id="S2.2.p2.1.m1.1.1" xref="S2.2.p2.1.m1.1.1.cmml">H</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.2.p2.1.m1.1b"><ci id="S2.2.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.2.p2.1.m1.1.1">𝐻</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.2.p2.1.m1.1c">H</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.2.p2.1.m1.1d">italic_H</annotation></semantics></math> and <math alttext="\tilde{H}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.2.p2.2.m2.1"><semantics id="S2.2.p2.2.m2.1a"><mover accent="true" id="S2.2.p2.2.m2.1.1" xref="S2.2.p2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S2.2.p2.2.m2.1.1.2" xref="S2.2.p2.2.m2.1.1.2.cmml">H</mi><mo id="S2.2.p2.2.m2.1.1.1" xref="S2.2.p2.2.m2.1.1.1.cmml">~</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.2.p2.2.m2.1b"><apply id="S2.2.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.2.p2.2.m2.1.1"><ci id="S2.2.p2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.2.p2.2.m2.1.1.1">~</ci><ci id="S2.2.p2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.2.p2.2.m2.1.1.2">𝐻</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.2.p2.2.m2.1c">\tilde{H}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.2.p2.2.m2.1d">over~ start_ARG italic_H end_ARG</annotation></semantics></math> are equal; <math alttext="g^{H}=g^{\tilde{H}}=:g" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S2.2.p2.3.m3.1"><semantics id="S2.2.p2.3.m3.1a"><mrow id="S2.2.p2.3.m3.1b"><msup id="S2.2.p2.3.m3.1.1"><mi id="S2.2.p2.3.m3.1.1.2">g</mi><mi id="S2.2.p2.3.m3.1.1.3">H</mi></msup><mo id="S2.2.p2.3.m3.1.2">=</mo><msup id="S2.2.p2.3.m3.1.3"><mi id="S2.2.p2.3.m3.1.3.2">g</mi><mover accent="true" id="S2.2.p2.3.m3.1.3.3"><mi id="S2.2.p2.3.m3.1.3.3.2">H</mi><mo id="S2.2.p2.3.m3.1.3.3.1">~</mo></mover></msup><mo id="S2.2.p2.3.m3.1.4" rspace="0em">=</mo><mo id="S2.2.p2.3.m3.1.5" rspace="0.278em">:</mo><mi id="S2.2.p2.3.m3.1.6">g</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.2.p2.3.m3.1c">g^{H}=g^{\tilde{H}}=:g</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.2.p2.3.m3.1d">italic_g start_POSTSUPERSCRIPT italic_H end_POSTSUPERSCRIPT = italic_g start_POSTSUPERSCRIPT over~ start_ARG italic_H end_ARG end_POSTSUPERSCRIPT = : italic_g</annotation></semantics></math>. Multiplying each of the basis vectors with a ”phase factor” – i.e. with a complex number of unit length – does not change the rank one projections determined by these vectors and, ultimately, whether these systems are directly unitary equivalent or not. It does not change the value of the Haagerup invariants either. Hence, by adjusting the phases of the vectors in <math alttext="Y" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.2.p2.4.m4.1"><semantics id="S2.2.p2.4.m4.1a"><mi id="S2.2.p2.4.m4.1.1" xref="S2.2.p2.4.m4.1.1.cmml">Y</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.2.p2.4.m4.1b"><ci id="S2.2.p2.4.m4.1.1.cmml" xref="S2.2.p2.4.m4.1.1">𝑌</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.2.p2.4.m4.1c">Y</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.2.p2.4.m4.1d">italic_Y</annotation></semantics></math>, <math alttext="\mathbf{f}_{j}^{\prime}=\alpha_{j}\mathbf{f}_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.2.p2.5.m5.1"><semantics id="S2.2.p2.5.m5.1a"><mrow id="S2.2.p2.5.m5.1.1" xref="S2.2.p2.5.m5.1.1.cmml"><msubsup id="S2.2.p2.5.m5.1.1.2" xref="S2.2.p2.5.m5.1.1.2.cmml"><mi id="S2.2.p2.5.m5.1.1.2.2.2" xref="S2.2.p2.5.m5.1.1.2.2.2.cmml">𝐟</mi><mi id="S2.2.p2.5.m5.1.1.2.2.3" xref="S2.2.p2.5.m5.1.1.2.2.3.cmml">j</mi><mo id="S2.2.p2.5.m5.1.1.2.3" xref="S2.2.p2.5.m5.1.1.2.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="S2.2.p2.5.m5.1.1.1" xref="S2.2.p2.5.m5.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.2.p2.5.m5.1.1.3" xref="S2.2.p2.5.m5.1.1.3.cmml"><msub id="S2.2.p2.5.m5.1.1.3.2" xref="S2.2.p2.5.m5.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.2.p2.5.m5.1.1.3.2.2" xref="S2.2.p2.5.m5.1.1.3.2.2.cmml">α</mi><mi id="S2.2.p2.5.m5.1.1.3.2.3" xref="S2.2.p2.5.m5.1.1.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S2.2.p2.5.m5.1.1.3.1" xref="S2.2.p2.5.m5.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.2.p2.5.m5.1.1.3.3" xref="S2.2.p2.5.m5.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.2.p2.5.m5.1.1.3.3.2" xref="S2.2.p2.5.m5.1.1.3.3.2.cmml">𝐟</mi><mi id="S2.2.p2.5.m5.1.1.3.3.3" xref="S2.2.p2.5.m5.1.1.3.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.2.p2.5.m5.1b"><apply id="S2.2.p2.5.m5.1.1.cmml" xref="S2.2.p2.5.m5.1.1"><eq id="S2.2.p2.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S2.2.p2.5.m5.1.1.1"></eq><apply id="S2.2.p2.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S2.2.p2.5.m5.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.2.p2.5.m5.1.1.2.1.cmml" xref="S2.2.p2.5.m5.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S2.2.p2.5.m5.1.1.2.2.cmml" xref="S2.2.p2.5.m5.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.2.p2.5.m5.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.2.p2.5.m5.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.2.p2.5.m5.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.2.p2.5.m5.1.1.2.2.2">𝐟</ci><ci id="S2.2.p2.5.m5.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.2.p2.5.m5.1.1.2.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S2.2.p2.5.m5.1.1.2.3.cmml" xref="S2.2.p2.5.m5.1.1.2.3">′</ci></apply><apply id="S2.2.p2.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S2.2.p2.5.m5.1.1.3"><times id="S2.2.p2.5.m5.1.1.3.1.cmml" xref="S2.2.p2.5.m5.1.1.3.1"></times><apply id="S2.2.p2.5.m5.1.1.3.2.cmml" xref="S2.2.p2.5.m5.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.2.p2.5.m5.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.2.p2.5.m5.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.2.p2.5.m5.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.2.p2.5.m5.1.1.3.2.2">𝛼</ci><ci id="S2.2.p2.5.m5.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.2.p2.5.m5.1.1.3.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="S2.2.p2.5.m5.1.1.3.3.cmml" xref="S2.2.p2.5.m5.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.2.p2.5.m5.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.2.p2.5.m5.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.2.p2.5.m5.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.2.p2.5.m5.1.1.3.3.2">𝐟</ci><ci id="S2.2.p2.5.m5.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.2.p2.5.m5.1.1.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.2.p2.5.m5.1c">\mathbf{f}_{j}^{\prime}=\alpha_{j}\mathbf{f}_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.2.p2.5.m5.1d">bold_f start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT = italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT bold_f start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> (<math alttext="|\alpha_{j}|=1)" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S2.2.p2.6.m6.1"><semantics id="S2.2.p2.6.m6.1a"><mrow id="S2.2.p2.6.m6.1b"><mo fence="false" id="S2.2.p2.6.m6.1.1" rspace="0.167em" stretchy="false">|</mo><msub id="S2.2.p2.6.m6.1.2"><mi id="S2.2.p2.6.m6.1.2.2">α</mi><mi id="S2.2.p2.6.m6.1.2.3">j</mi></msub><mo fence="false" id="S2.2.p2.6.m6.1.3" stretchy="false">|</mo><mo id="S2.2.p2.6.m6.1.4" lspace="0.167em">=</mo><mn id="S2.2.p2.6.m6.1.5">1</mn><mo id="S2.2.p2.6.m6.1.6" stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.2.p2.6.m6.1c">|\alpha_{j}|=1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.2.p2.6.m6.1d">| italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT | = 1 )</annotation></semantics></math>, we may arrange that <math alttext="\langle\mathbf{f}_{j}^{\prime},\mathbf{e}_{1}\rangle=1/\sqrt{d}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.2.p2.7.m7.2"><semantics id="S2.2.p2.7.m7.2a"><mrow id="S2.2.p2.7.m7.2.2" xref="S2.2.p2.7.m7.2.2.cmml"><mrow id="S2.2.p2.7.m7.2.2.2.2" xref="S2.2.p2.7.m7.2.2.2.3.cmml"><mo id="S2.2.p2.7.m7.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.2.p2.7.m7.2.2.2.3.cmml">⟨</mo><msubsup id="S2.2.p2.7.m7.1.1.1.1.1" xref="S2.2.p2.7.m7.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.2.p2.7.m7.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.2.p2.7.m7.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝐟</mi><mi id="S2.2.p2.7.m7.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.2.p2.7.m7.1.1.1.1.1.2.3.cmml">j</mi><mo id="S2.2.p2.7.m7.1.1.1.1.1.3" xref="S2.2.p2.7.m7.1.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="S2.2.p2.7.m7.2.2.2.2.4" xref="S2.2.p2.7.m7.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S2.2.p2.7.m7.2.2.2.2.2" xref="S2.2.p2.7.m7.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.2.p2.7.m7.2.2.2.2.2.2" xref="S2.2.p2.7.m7.2.2.2.2.2.2.cmml">𝐞</mi><mn id="S2.2.p2.7.m7.2.2.2.2.2.3" xref="S2.2.p2.7.m7.2.2.2.2.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S2.2.p2.7.m7.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S2.2.p2.7.m7.2.2.2.3.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S2.2.p2.7.m7.2.2.3" xref="S2.2.p2.7.m7.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="S2.2.p2.7.m7.2.2.4" xref="S2.2.p2.7.m7.2.2.4.cmml"><mn id="S2.2.p2.7.m7.2.2.4.2" xref="S2.2.p2.7.m7.2.2.4.2.cmml">1</mn><mo id="S2.2.p2.7.m7.2.2.4.1" xref="S2.2.p2.7.m7.2.2.4.1.cmml">/</mo><msqrt id="S2.2.p2.7.m7.2.2.4.3" xref="S2.2.p2.7.m7.2.2.4.3.cmml"><mi id="S2.2.p2.7.m7.2.2.4.3.2" xref="S2.2.p2.7.m7.2.2.4.3.2.cmml">d</mi></msqrt></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.2.p2.7.m7.2b"><apply id="S2.2.p2.7.m7.2.2.cmml" xref="S2.2.p2.7.m7.2.2"><eq id="S2.2.p2.7.m7.2.2.3.cmml" xref="S2.2.p2.7.m7.2.2.3"></eq><list id="S2.2.p2.7.m7.2.2.2.3.cmml" xref="S2.2.p2.7.m7.2.2.2.2"><apply id="S2.2.p2.7.m7.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.2.p2.7.m7.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.2.p2.7.m7.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.2.p2.7.m7.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S2.2.p2.7.m7.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.2.p2.7.m7.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.2.p2.7.m7.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.2.p2.7.m7.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.2.p2.7.m7.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.2.p2.7.m7.1.1.1.1.1.2.2">𝐟</ci><ci id="S2.2.p2.7.m7.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.2.p2.7.m7.1.1.1.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S2.2.p2.7.m7.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.2.p2.7.m7.1.1.1.1.1.3">′</ci></apply><apply id="S2.2.p2.7.m7.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.2.p2.7.m7.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.2.p2.7.m7.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.2.p2.7.m7.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.2.p2.7.m7.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.2.p2.7.m7.2.2.2.2.2.2">𝐞</ci><cn id="S2.2.p2.7.m7.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.2.p2.7.m7.2.2.2.2.2.3">1</cn></apply></list><apply id="S2.2.p2.7.m7.2.2.4.cmml" xref="S2.2.p2.7.m7.2.2.4"><divide id="S2.2.p2.7.m7.2.2.4.1.cmml" xref="S2.2.p2.7.m7.2.2.4.1"></divide><cn id="S2.2.p2.7.m7.2.2.4.2.cmml" type="integer" xref="S2.2.p2.7.m7.2.2.4.2">1</cn><apply id="S2.2.p2.7.m7.2.2.4.3.cmml" xref="S2.2.p2.7.m7.2.2.4.3"><root id="S2.2.p2.7.m7.2.2.4.3a.cmml" xref="S2.2.p2.7.m7.2.2.4.3"></root><ci id="S2.2.p2.7.m7.2.2.4.3.2.cmml" xref="S2.2.p2.7.m7.2.2.4.3.2">𝑑</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.2.p2.7.m7.2c">\langle\mathbf{f}_{j}^{\prime},\mathbf{e}_{1}\rangle=1/\sqrt{d}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.2.p2.7.m7.2d">⟨ bold_f start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , bold_e start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ⟩ = 1 / square-root start_ARG italic_d end_ARG</annotation></semantics></math>. We may then adjust the phases of the vectors in <math alttext="X" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.2.p2.8.m8.1"><semantics id="S2.2.p2.8.m8.1a"><mi id="S2.2.p2.8.m8.1.1" xref="S2.2.p2.8.m8.1.1.cmml">X</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.2.p2.8.m8.1b"><ci id="S2.2.p2.8.m8.1.1.cmml" xref="S2.2.p2.8.m8.1.1">𝑋</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.2.p2.8.m8.1c">X</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.2.p2.8.m8.1d">italic_X</annotation></semantics></math>, <math alttext="\mathbf{e}_{k}^{\prime}=\beta_{k}\mathbf{e}_{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.2.p2.9.m9.1"><semantics id="S2.2.p2.9.m9.1a"><mrow id="S2.2.p2.9.m9.1.1" xref="S2.2.p2.9.m9.1.1.cmml"><msubsup id="S2.2.p2.9.m9.1.1.2" xref="S2.2.p2.9.m9.1.1.2.cmml"><mi id="S2.2.p2.9.m9.1.1.2.2.2" xref="S2.2.p2.9.m9.1.1.2.2.2.cmml">𝐞</mi><mi id="S2.2.p2.9.m9.1.1.2.2.3" xref="S2.2.p2.9.m9.1.1.2.2.3.cmml">k</mi><mo id="S2.2.p2.9.m9.1.1.2.3" xref="S2.2.p2.9.m9.1.1.2.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="S2.2.p2.9.m9.1.1.1" xref="S2.2.p2.9.m9.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.2.p2.9.m9.1.1.3" xref="S2.2.p2.9.m9.1.1.3.cmml"><msub id="S2.2.p2.9.m9.1.1.3.2" xref="S2.2.p2.9.m9.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.2.p2.9.m9.1.1.3.2.2" xref="S2.2.p2.9.m9.1.1.3.2.2.cmml">β</mi><mi id="S2.2.p2.9.m9.1.1.3.2.3" xref="S2.2.p2.9.m9.1.1.3.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S2.2.p2.9.m9.1.1.3.1" xref="S2.2.p2.9.m9.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.2.p2.9.m9.1.1.3.3" xref="S2.2.p2.9.m9.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.2.p2.9.m9.1.1.3.3.2" xref="S2.2.p2.9.m9.1.1.3.3.2.cmml">𝐞</mi><mi id="S2.2.p2.9.m9.1.1.3.3.3" xref="S2.2.p2.9.m9.1.1.3.3.3.cmml">k</mi></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.2.p2.9.m9.1b"><apply id="S2.2.p2.9.m9.1.1.cmml" xref="S2.2.p2.9.m9.1.1"><eq id="S2.2.p2.9.m9.1.1.1.cmml" xref="S2.2.p2.9.m9.1.1.1"></eq><apply id="S2.2.p2.9.m9.1.1.2.cmml" xref="S2.2.p2.9.m9.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.2.p2.9.m9.1.1.2.1.cmml" xref="S2.2.p2.9.m9.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S2.2.p2.9.m9.1.1.2.2.cmml" xref="S2.2.p2.9.m9.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.2.p2.9.m9.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.2.p2.9.m9.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.2.p2.9.m9.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.2.p2.9.m9.1.1.2.2.2">𝐞</ci><ci id="S2.2.p2.9.m9.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.2.p2.9.m9.1.1.2.2.3">𝑘</ci></apply><ci id="S2.2.p2.9.m9.1.1.2.3.cmml" xref="S2.2.p2.9.m9.1.1.2.3">′</ci></apply><apply id="S2.2.p2.9.m9.1.1.3.cmml" xref="S2.2.p2.9.m9.1.1.3"><times id="S2.2.p2.9.m9.1.1.3.1.cmml" xref="S2.2.p2.9.m9.1.1.3.1"></times><apply id="S2.2.p2.9.m9.1.1.3.2.cmml" xref="S2.2.p2.9.m9.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.2.p2.9.m9.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.2.p2.9.m9.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.2.p2.9.m9.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.2.p2.9.m9.1.1.3.2.2">𝛽</ci><ci id="S2.2.p2.9.m9.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.2.p2.9.m9.1.1.3.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S2.2.p2.9.m9.1.1.3.3.cmml" xref="S2.2.p2.9.m9.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.2.p2.9.m9.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.2.p2.9.m9.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.2.p2.9.m9.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.2.p2.9.m9.1.1.3.3.2">𝐞</ci><ci id="S2.2.p2.9.m9.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.2.p2.9.m9.1.1.3.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.2.p2.9.m9.1c">\mathbf{e}_{k}^{\prime}=\beta_{k}\mathbf{e}_{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.2.p2.9.m9.1d">bold_e start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT = italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT bold_e start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> (<math alttext="|\beta_{k}|=1)" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S2.2.p2.10.m10.1"><semantics id="S2.2.p2.10.m10.1a"><mrow id="S2.2.p2.10.m10.1b"><mo fence="false" id="S2.2.p2.10.m10.1.1" rspace="0.167em" stretchy="false">|</mo><msub id="S2.2.p2.10.m10.1.2"><mi id="S2.2.p2.10.m10.1.2.2">β</mi><mi id="S2.2.p2.10.m10.1.2.3">k</mi></msub><mo fence="false" id="S2.2.p2.10.m10.1.3" stretchy="false">|</mo><mo id="S2.2.p2.10.m10.1.4" lspace="0.167em">=</mo><mn id="S2.2.p2.10.m10.1.5">1</mn><mo id="S2.2.p2.10.m10.1.6" stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.2.p2.10.m10.1c">|\beta_{k}|=1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.2.p2.10.m10.1d">| italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT | = 1 )</annotation></semantics></math>, in such a way that <math alttext="\langle\mathbf{e}_{k}^{\prime},\mathbf{f}_{1}^{\prime}\rangle=1/\sqrt{d}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.2.p2.11.m11.2"><semantics id="S2.2.p2.11.m11.2a"><mrow id="S2.2.p2.11.m11.2.2" xref="S2.2.p2.11.m11.2.2.cmml"><mrow id="S2.2.p2.11.m11.2.2.2.2" xref="S2.2.p2.11.m11.2.2.2.3.cmml"><mo id="S2.2.p2.11.m11.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.2.p2.11.m11.2.2.2.3.cmml">⟨</mo><msubsup id="S2.2.p2.11.m11.1.1.1.1.1" xref="S2.2.p2.11.m11.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.2.p2.11.m11.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.2.p2.11.m11.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝐞</mi><mi id="S2.2.p2.11.m11.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.2.p2.11.m11.1.1.1.1.1.2.3.cmml">k</mi><mo id="S2.2.p2.11.m11.1.1.1.1.1.3" xref="S2.2.p2.11.m11.1.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="S2.2.p2.11.m11.2.2.2.2.4" xref="S2.2.p2.11.m11.2.2.2.3.cmml">,</mo><msubsup id="S2.2.p2.11.m11.2.2.2.2.2" xref="S2.2.p2.11.m11.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.2.p2.11.m11.2.2.2.2.2.2.2" xref="S2.2.p2.11.m11.2.2.2.2.2.2.2.cmml">𝐟</mi><mn id="S2.2.p2.11.m11.2.2.2.2.2.2.3" xref="S2.2.p2.11.m11.2.2.2.2.2.2.3.cmml">1</mn><mo id="S2.2.p2.11.m11.2.2.2.2.2.3" xref="S2.2.p2.11.m11.2.2.2.2.2.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="S2.2.p2.11.m11.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S2.2.p2.11.m11.2.2.2.3.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S2.2.p2.11.m11.2.2.3" xref="S2.2.p2.11.m11.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="S2.2.p2.11.m11.2.2.4" xref="S2.2.p2.11.m11.2.2.4.cmml"><mn id="S2.2.p2.11.m11.2.2.4.2" xref="S2.2.p2.11.m11.2.2.4.2.cmml">1</mn><mo id="S2.2.p2.11.m11.2.2.4.1" xref="S2.2.p2.11.m11.2.2.4.1.cmml">/</mo><msqrt id="S2.2.p2.11.m11.2.2.4.3" xref="S2.2.p2.11.m11.2.2.4.3.cmml"><mi id="S2.2.p2.11.m11.2.2.4.3.2" xref="S2.2.p2.11.m11.2.2.4.3.2.cmml">d</mi></msqrt></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.2.p2.11.m11.2b"><apply id="S2.2.p2.11.m11.2.2.cmml" xref="S2.2.p2.11.m11.2.2"><eq id="S2.2.p2.11.m11.2.2.3.cmml" xref="S2.2.p2.11.m11.2.2.3"></eq><list id="S2.2.p2.11.m11.2.2.2.3.cmml" xref="S2.2.p2.11.m11.2.2.2.2"><apply id="S2.2.p2.11.m11.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.2.p2.11.m11.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.2.p2.11.m11.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.2.p2.11.m11.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S2.2.p2.11.m11.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.2.p2.11.m11.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.2.p2.11.m11.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.2.p2.11.m11.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.2.p2.11.m11.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.2.p2.11.m11.1.1.1.1.1.2.2">𝐞</ci><ci id="S2.2.p2.11.m11.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.2.p2.11.m11.1.1.1.1.1.2.3">𝑘</ci></apply><ci id="S2.2.p2.11.m11.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.2.p2.11.m11.1.1.1.1.1.3">′</ci></apply><apply id="S2.2.p2.11.m11.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.2.p2.11.m11.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.2.p2.11.m11.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.2.p2.11.m11.2.2.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S2.2.p2.11.m11.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.2.p2.11.m11.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.2.p2.11.m11.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.2.p2.11.m11.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.2.p2.11.m11.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.2.p2.11.m11.2.2.2.2.2.2.2">𝐟</ci><cn id="S2.2.p2.11.m11.2.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.2.p2.11.m11.2.2.2.2.2.2.3">1</cn></apply><ci id="S2.2.p2.11.m11.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.2.p2.11.m11.2.2.2.2.2.3">′</ci></apply></list><apply id="S2.2.p2.11.m11.2.2.4.cmml" xref="S2.2.p2.11.m11.2.2.4"><divide id="S2.2.p2.11.m11.2.2.4.1.cmml" xref="S2.2.p2.11.m11.2.2.4.1"></divide><cn id="S2.2.p2.11.m11.2.2.4.2.cmml" type="integer" xref="S2.2.p2.11.m11.2.2.4.2">1</cn><apply id="S2.2.p2.11.m11.2.2.4.3.cmml" xref="S2.2.p2.11.m11.2.2.4.3"><root id="S2.2.p2.11.m11.2.2.4.3a.cmml" xref="S2.2.p2.11.m11.2.2.4.3"></root><ci id="S2.2.p2.11.m11.2.2.4.3.2.cmml" xref="S2.2.p2.11.m11.2.2.4.3.2">𝑑</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.2.p2.11.m11.2c">\langle\mathbf{e}_{k}^{\prime},\mathbf{f}_{1}^{\prime}\rangle=1/\sqrt{d}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.2.p2.11.m11.2d">⟨ bold_e start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , bold_f start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ⟩ = 1 / square-root start_ARG italic_d end_ARG</annotation></semantics></math>. By a similar modification, we can achieve that <math alttext="\langle\mathbf{v}_{j}^{\prime},\mathbf{w}_{k}^{\prime}\rangle=1/\sqrt{d}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.2.p2.12.m12.2"><semantics id="S2.2.p2.12.m12.2a"><mrow id="S2.2.p2.12.m12.2.2" xref="S2.2.p2.12.m12.2.2.cmml"><mrow id="S2.2.p2.12.m12.2.2.2.2" xref="S2.2.p2.12.m12.2.2.2.3.cmml"><mo id="S2.2.p2.12.m12.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.2.p2.12.m12.2.2.2.3.cmml">⟨</mo><msubsup id="S2.2.p2.12.m12.1.1.1.1.1" xref="S2.2.p2.12.m12.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.2.p2.12.m12.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.2.p2.12.m12.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝐯</mi><mi id="S2.2.p2.12.m12.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.2.p2.12.m12.1.1.1.1.1.2.3.cmml">j</mi><mo id="S2.2.p2.12.m12.1.1.1.1.1.3" xref="S2.2.p2.12.m12.1.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="S2.2.p2.12.m12.2.2.2.2.4" xref="S2.2.p2.12.m12.2.2.2.3.cmml">,</mo><msubsup id="S2.2.p2.12.m12.2.2.2.2.2" xref="S2.2.p2.12.m12.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.2.p2.12.m12.2.2.2.2.2.2.2" xref="S2.2.p2.12.m12.2.2.2.2.2.2.2.cmml">𝐰</mi><mi id="S2.2.p2.12.m12.2.2.2.2.2.2.3" xref="S2.2.p2.12.m12.2.2.2.2.2.2.3.cmml">k</mi><mo id="S2.2.p2.12.m12.2.2.2.2.2.3" xref="S2.2.p2.12.m12.2.2.2.2.2.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="S2.2.p2.12.m12.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S2.2.p2.12.m12.2.2.2.3.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S2.2.p2.12.m12.2.2.3" xref="S2.2.p2.12.m12.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="S2.2.p2.12.m12.2.2.4" xref="S2.2.p2.12.m12.2.2.4.cmml"><mn id="S2.2.p2.12.m12.2.2.4.2" xref="S2.2.p2.12.m12.2.2.4.2.cmml">1</mn><mo id="S2.2.p2.12.m12.2.2.4.1" xref="S2.2.p2.12.m12.2.2.4.1.cmml">/</mo><msqrt id="S2.2.p2.12.m12.2.2.4.3" xref="S2.2.p2.12.m12.2.2.4.3.cmml"><mi id="S2.2.p2.12.m12.2.2.4.3.2" xref="S2.2.p2.12.m12.2.2.4.3.2.cmml">d</mi></msqrt></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.2.p2.12.m12.2b"><apply id="S2.2.p2.12.m12.2.2.cmml" xref="S2.2.p2.12.m12.2.2"><eq id="S2.2.p2.12.m12.2.2.3.cmml" xref="S2.2.p2.12.m12.2.2.3"></eq><list id="S2.2.p2.12.m12.2.2.2.3.cmml" xref="S2.2.p2.12.m12.2.2.2.2"><apply id="S2.2.p2.12.m12.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.2.p2.12.m12.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.2.p2.12.m12.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.2.p2.12.m12.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S2.2.p2.12.m12.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.2.p2.12.m12.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.2.p2.12.m12.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.2.p2.12.m12.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.2.p2.12.m12.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.2.p2.12.m12.1.1.1.1.1.2.2">𝐯</ci><ci id="S2.2.p2.12.m12.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.2.p2.12.m12.1.1.1.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S2.2.p2.12.m12.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.2.p2.12.m12.1.1.1.1.1.3">′</ci></apply><apply id="S2.2.p2.12.m12.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.2.p2.12.m12.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.2.p2.12.m12.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.2.p2.12.m12.2.2.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S2.2.p2.12.m12.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.2.p2.12.m12.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.2.p2.12.m12.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.2.p2.12.m12.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.2.p2.12.m12.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.2.p2.12.m12.2.2.2.2.2.2.2">𝐰</ci><ci id="S2.2.p2.12.m12.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.2.p2.12.m12.2.2.2.2.2.2.3">𝑘</ci></apply><ci id="S2.2.p2.12.m12.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.2.p2.12.m12.2.2.2.2.2.3">′</ci></apply></list><apply id="S2.2.p2.12.m12.2.2.4.cmml" xref="S2.2.p2.12.m12.2.2.4"><divide id="S2.2.p2.12.m12.2.2.4.1.cmml" xref="S2.2.p2.12.m12.2.2.4.1"></divide><cn id="S2.2.p2.12.m12.2.2.4.2.cmml" type="integer" xref="S2.2.p2.12.m12.2.2.4.2">1</cn><apply id="S2.2.p2.12.m12.2.2.4.3.cmml" xref="S2.2.p2.12.m12.2.2.4.3"><root id="S2.2.p2.12.m12.2.2.4.3a.cmml" xref="S2.2.p2.12.m12.2.2.4.3"></root><ci id="S2.2.p2.12.m12.2.2.4.3.2.cmml" xref="S2.2.p2.12.m12.2.2.4.3.2">𝑑</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.2.p2.12.m12.2c">\langle\mathbf{v}_{j}^{\prime},\mathbf{w}_{k}^{\prime}\rangle=1/\sqrt{d}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.2.p2.12.m12.2d">⟨ bold_v start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , bold_w start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ⟩ = 1 / square-root start_ARG italic_d end_ARG</annotation></semantics></math>, whenever <math alttext="j" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.2.p2.13.m13.1"><semantics id="S2.2.p2.13.m13.1a"><mi id="S2.2.p2.13.m13.1.1" xref="S2.2.p2.13.m13.1.1.cmml">j</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.2.p2.13.m13.1b"><ci id="S2.2.p2.13.m13.1.1.cmml" xref="S2.2.p2.13.m13.1.1">𝑗</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.2.p2.13.m13.1c">j</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.2.p2.13.m13.1d">italic_j</annotation></semantics></math> or <math alttext="k" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.2.p2.14.m14.1"><semantics id="S2.2.p2.14.m14.1a"><mi id="S2.2.p2.14.m14.1.1" xref="S2.2.p2.14.m14.1.1.cmml">k</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.2.p2.14.m14.1b"><ci id="S2.2.p2.14.m14.1.1.cmml" xref="S2.2.p2.14.m14.1.1">𝑘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.2.p2.14.m14.1c">k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.2.p2.14.m14.1d">italic_k</annotation></semantics></math> is equal to 1.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.3.p3"> <p class="ltx_p" id="S2.3.p3.4">Then</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.Ex1"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\left(\frac{1}{\sqrt{d}}\right)^{3}\langle\mathbf{e}_{j}^{\prime},\mathbf{f}_{% k}^{\prime}\rangle=\langle\mathbf{e}_{j}^{\prime},\mathbf{f}_{k}^{\prime}% \rangle\langle\mathbf{f}_{k}^{\prime},\mathbf{e}_{1}^{\prime}\rangle\,\langle% \mathbf{e}_{1}^{\prime},\mathbf{f}_{1}^{\prime}\rangle\,\langle\mathbf{f}_{1}^% {\prime},\mathbf{e}_{j}^{\prime}\rangle\,=g_{j,k,1,1}" class="ltx_Math" display="block" id="S2.Ex1.m1.15"><semantics id="S2.Ex1.m1.15a"><mrow id="S2.Ex1.m1.15.15" xref="S2.Ex1.m1.15.15.cmml"><mrow id="S2.Ex1.m1.7.7.2" xref="S2.Ex1.m1.7.7.2.cmml"><msup id="S2.Ex1.m1.7.7.2.4" xref="S2.Ex1.m1.7.7.2.4.cmml"><mrow id="S2.Ex1.m1.7.7.2.4.2.2" xref="S2.Ex1.m1.5.5.cmml"><mo id="S2.Ex1.m1.7.7.2.4.2.2.1" xref="S2.Ex1.m1.5.5.cmml">(</mo><mfrac id="S2.Ex1.m1.5.5" xref="S2.Ex1.m1.5.5.cmml"><mn id="S2.Ex1.m1.5.5.2" xref="S2.Ex1.m1.5.5.2.cmml">1</mn><msqrt id="S2.Ex1.m1.5.5.3" xref="S2.Ex1.m1.5.5.3.cmml"><mi id="S2.Ex1.m1.5.5.3.2" xref="S2.Ex1.m1.5.5.3.2.cmml">d</mi></msqrt></mfrac><mo id="S2.Ex1.m1.7.7.2.4.2.2.2" xref="S2.Ex1.m1.5.5.cmml">)</mo></mrow><mn id="S2.Ex1.m1.7.7.2.4.3" xref="S2.Ex1.m1.7.7.2.4.3.cmml">3</mn></msup><mo id="S2.Ex1.m1.7.7.2.3" xref="S2.Ex1.m1.7.7.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex1.m1.7.7.2.2.2" xref="S2.Ex1.m1.7.7.2.2.3.cmml"><mo id="S2.Ex1.m1.7.7.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.Ex1.m1.7.7.2.2.3.cmml">⟨</mo><msubsup id="S2.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1" xref="S2.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.2" xref="S2.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.cmml">𝐞</mi><mi id="S2.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.3" xref="S2.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.cmml">j</mi><mo id="S2.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="S2.Ex1.m1.7.7.2.2.2.4" xref="S2.Ex1.m1.7.7.2.2.3.cmml">,</mo><msubsup id="S2.Ex1.m1.7.7.2.2.2.2" xref="S2.Ex1.m1.7.7.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.Ex1.m1.7.7.2.2.2.2.2.2" xref="S2.Ex1.m1.7.7.2.2.2.2.2.2.cmml">𝐟</mi><mi id="S2.Ex1.m1.7.7.2.2.2.2.2.3" xref="S2.Ex1.m1.7.7.2.2.2.2.2.3.cmml">k</mi><mo id="S2.Ex1.m1.7.7.2.2.2.2.3" xref="S2.Ex1.m1.7.7.2.2.2.2.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="S2.Ex1.m1.7.7.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S2.Ex1.m1.7.7.2.2.3.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><mo id="S2.Ex1.m1.15.15.12" xref="S2.Ex1.m1.15.15.12.cmml">=</mo><mrow id="S2.Ex1.m1.15.15.10" xref="S2.Ex1.m1.15.15.10.cmml"><mrow id="S2.Ex1.m1.9.9.4.2.2" xref="S2.Ex1.m1.9.9.4.2.3.cmml"><mo id="S2.Ex1.m1.9.9.4.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.Ex1.m1.9.9.4.2.3.cmml">⟨</mo><msubsup id="S2.Ex1.m1.8.8.3.1.1.1" xref="S2.Ex1.m1.8.8.3.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex1.m1.8.8.3.1.1.1.2.2" xref="S2.Ex1.m1.8.8.3.1.1.1.2.2.cmml">𝐞</mi><mi id="S2.Ex1.m1.8.8.3.1.1.1.2.3" xref="S2.Ex1.m1.8.8.3.1.1.1.2.3.cmml">j</mi><mo id="S2.Ex1.m1.8.8.3.1.1.1.3" xref="S2.Ex1.m1.8.8.3.1.1.1.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="S2.Ex1.m1.9.9.4.2.2.4" xref="S2.Ex1.m1.9.9.4.2.3.cmml">,</mo><msubsup id="S2.Ex1.m1.9.9.4.2.2.2" xref="S2.Ex1.m1.9.9.4.2.2.2.cmml"><mi id="S2.Ex1.m1.9.9.4.2.2.2.2.2" xref="S2.Ex1.m1.9.9.4.2.2.2.2.2.cmml">𝐟</mi><mi id="S2.Ex1.m1.9.9.4.2.2.2.2.3" xref="S2.Ex1.m1.9.9.4.2.2.2.2.3.cmml">k</mi><mo id="S2.Ex1.m1.9.9.4.2.2.2.3" xref="S2.Ex1.m1.9.9.4.2.2.2.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="S2.Ex1.m1.9.9.4.2.2.5" stretchy="false" xref="S2.Ex1.m1.9.9.4.2.3.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S2.Ex1.m1.15.15.10.9" xref="S2.Ex1.m1.15.15.10.9.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex1.m1.11.11.6.4.2" xref="S2.Ex1.m1.11.11.6.4.3.cmml"><mo id="S2.Ex1.m1.11.11.6.4.2.3" stretchy="false" xref="S2.Ex1.m1.11.11.6.4.3.cmml">⟨</mo><msubsup id="S2.Ex1.m1.10.10.5.3.1.1" xref="S2.Ex1.m1.10.10.5.3.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex1.m1.10.10.5.3.1.1.2.2" xref="S2.Ex1.m1.10.10.5.3.1.1.2.2.cmml">𝐟</mi><mi id="S2.Ex1.m1.10.10.5.3.1.1.2.3" xref="S2.Ex1.m1.10.10.5.3.1.1.2.3.cmml">k</mi><mo id="S2.Ex1.m1.10.10.5.3.1.1.3" xref="S2.Ex1.m1.10.10.5.3.1.1.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="S2.Ex1.m1.11.11.6.4.2.4" xref="S2.Ex1.m1.11.11.6.4.3.cmml">,</mo><msubsup id="S2.Ex1.m1.11.11.6.4.2.2" xref="S2.Ex1.m1.11.11.6.4.2.2.cmml"><mi id="S2.Ex1.m1.11.11.6.4.2.2.2.2" xref="S2.Ex1.m1.11.11.6.4.2.2.2.2.cmml">𝐞</mi><mn id="S2.Ex1.m1.11.11.6.4.2.2.2.3" xref="S2.Ex1.m1.11.11.6.4.2.2.2.3.cmml">1</mn><mo id="S2.Ex1.m1.11.11.6.4.2.2.3" xref="S2.Ex1.m1.11.11.6.4.2.2.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="S2.Ex1.m1.11.11.6.4.2.5" stretchy="false" xref="S2.Ex1.m1.11.11.6.4.3.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S2.Ex1.m1.15.15.10.9a" lspace="0.170em" xref="S2.Ex1.m1.15.15.10.9.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex1.m1.13.13.8.6.2" xref="S2.Ex1.m1.13.13.8.6.3.cmml"><mo id="S2.Ex1.m1.13.13.8.6.2.3" stretchy="false" xref="S2.Ex1.m1.13.13.8.6.3.cmml">⟨</mo><msubsup id="S2.Ex1.m1.12.12.7.5.1.1" xref="S2.Ex1.m1.12.12.7.5.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex1.m1.12.12.7.5.1.1.2.2" xref="S2.Ex1.m1.12.12.7.5.1.1.2.2.cmml">𝐞</mi><mn id="S2.Ex1.m1.12.12.7.5.1.1.2.3" xref="S2.Ex1.m1.12.12.7.5.1.1.2.3.cmml">1</mn><mo id="S2.Ex1.m1.12.12.7.5.1.1.3" xref="S2.Ex1.m1.12.12.7.5.1.1.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="S2.Ex1.m1.13.13.8.6.2.4" xref="S2.Ex1.m1.13.13.8.6.3.cmml">,</mo><msubsup id="S2.Ex1.m1.13.13.8.6.2.2" xref="S2.Ex1.m1.13.13.8.6.2.2.cmml"><mi id="S2.Ex1.m1.13.13.8.6.2.2.2.2" xref="S2.Ex1.m1.13.13.8.6.2.2.2.2.cmml">𝐟</mi><mn id="S2.Ex1.m1.13.13.8.6.2.2.2.3" xref="S2.Ex1.m1.13.13.8.6.2.2.2.3.cmml">1</mn><mo id="S2.Ex1.m1.13.13.8.6.2.2.3" xref="S2.Ex1.m1.13.13.8.6.2.2.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="S2.Ex1.m1.13.13.8.6.2.5" stretchy="false" xref="S2.Ex1.m1.13.13.8.6.3.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S2.Ex1.m1.15.15.10.9b" lspace="0.170em" xref="S2.Ex1.m1.15.15.10.9.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex1.m1.15.15.10.8.2" xref="S2.Ex1.m1.15.15.10.8.3.cmml"><mo id="S2.Ex1.m1.15.15.10.8.2.3" stretchy="false" xref="S2.Ex1.m1.15.15.10.8.3.cmml">⟨</mo><msubsup id="S2.Ex1.m1.14.14.9.7.1.1" xref="S2.Ex1.m1.14.14.9.7.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex1.m1.14.14.9.7.1.1.2.2" xref="S2.Ex1.m1.14.14.9.7.1.1.2.2.cmml">𝐟</mi><mn id="S2.Ex1.m1.14.14.9.7.1.1.2.3" xref="S2.Ex1.m1.14.14.9.7.1.1.2.3.cmml">1</mn><mo id="S2.Ex1.m1.14.14.9.7.1.1.3" xref="S2.Ex1.m1.14.14.9.7.1.1.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="S2.Ex1.m1.15.15.10.8.2.4" xref="S2.Ex1.m1.15.15.10.8.3.cmml">,</mo><msubsup id="S2.Ex1.m1.15.15.10.8.2.2" xref="S2.Ex1.m1.15.15.10.8.2.2.cmml"><mi id="S2.Ex1.m1.15.15.10.8.2.2.2.2" xref="S2.Ex1.m1.15.15.10.8.2.2.2.2.cmml">𝐞</mi><mi id="S2.Ex1.m1.15.15.10.8.2.2.2.3" xref="S2.Ex1.m1.15.15.10.8.2.2.2.3.cmml">j</mi><mo id="S2.Ex1.m1.15.15.10.8.2.2.3" xref="S2.Ex1.m1.15.15.10.8.2.2.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="S2.Ex1.m1.15.15.10.8.2.5" rspace="0.170em" stretchy="false" xref="S2.Ex1.m1.15.15.10.8.3.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><mo id="S2.Ex1.m1.15.15.13" xref="S2.Ex1.m1.15.15.13.cmml">=</mo><msub id="S2.Ex1.m1.15.15.14" xref="S2.Ex1.m1.15.15.14.cmml"><mi id="S2.Ex1.m1.15.15.14.2" xref="S2.Ex1.m1.15.15.14.2.cmml">g</mi><mrow id="S2.Ex1.m1.4.4.4.6" xref="S2.Ex1.m1.4.4.4.5.cmml"><mi id="S2.Ex1.m1.1.1.1.1" xref="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.cmml">j</mi><mo id="S2.Ex1.m1.4.4.4.6.1" xref="S2.Ex1.m1.4.4.4.5.cmml">,</mo><mi id="S2.Ex1.m1.2.2.2.2" xref="S2.Ex1.m1.2.2.2.2.cmml">k</mi><mo id="S2.Ex1.m1.4.4.4.6.2" xref="S2.Ex1.m1.4.4.4.5.cmml">,</mo><mn id="S2.Ex1.m1.3.3.3.3" xref="S2.Ex1.m1.3.3.3.3.cmml">1</mn><mo id="S2.Ex1.m1.4.4.4.6.3" xref="S2.Ex1.m1.4.4.4.5.cmml">,</mo><mn id="S2.Ex1.m1.4.4.4.4" xref="S2.Ex1.m1.4.4.4.4.cmml">1</mn></mrow></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex1.m1.15b"><apply id="S2.Ex1.m1.15.15.cmml" xref="S2.Ex1.m1.15.15"><and id="S2.Ex1.m1.15.15a.cmml" xref="S2.Ex1.m1.15.15"></and><apply id="S2.Ex1.m1.15.15b.cmml" xref="S2.Ex1.m1.15.15"><eq id="S2.Ex1.m1.15.15.12.cmml" xref="S2.Ex1.m1.15.15.12"></eq><apply id="S2.Ex1.m1.7.7.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.7.7.2"><times id="S2.Ex1.m1.7.7.2.3.cmml" xref="S2.Ex1.m1.7.7.2.3"></times><apply id="S2.Ex1.m1.7.7.2.4.cmml" xref="S2.Ex1.m1.7.7.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex1.m1.7.7.2.4.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.7.7.2.4">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex1.m1.5.5.cmml" xref="S2.Ex1.m1.7.7.2.4.2.2"><divide id="S2.Ex1.m1.5.5.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.7.7.2.4.2.2"></divide><cn id="S2.Ex1.m1.5.5.2.cmml" type="integer" xref="S2.Ex1.m1.5.5.2">1</cn><apply id="S2.Ex1.m1.5.5.3.cmml" xref="S2.Ex1.m1.5.5.3"><root id="S2.Ex1.m1.5.5.3a.cmml" xref="S2.Ex1.m1.5.5.3"></root><ci id="S2.Ex1.m1.5.5.3.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.5.5.3.2">𝑑</ci></apply></apply><cn id="S2.Ex1.m1.7.7.2.4.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex1.m1.7.7.2.4.3">3</cn></apply><list id="S2.Ex1.m1.7.7.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex1.m1.7.7.2.2.2"><apply id="S2.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.2">𝐞</ci><ci id="S2.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S2.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex1.m1.6.6.1.1.1.1.3">′</ci></apply><apply id="S2.Ex1.m1.7.7.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.7.7.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex1.m1.7.7.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.7.7.2.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex1.m1.7.7.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.7.7.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex1.m1.7.7.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.7.7.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex1.m1.7.7.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.7.7.2.2.2.2.2.2">𝐟</ci><ci id="S2.Ex1.m1.7.7.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex1.m1.7.7.2.2.2.2.2.3">𝑘</ci></apply><ci id="S2.Ex1.m1.7.7.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex1.m1.7.7.2.2.2.2.3">′</ci></apply></list></apply><apply id="S2.Ex1.m1.15.15.10.cmml" xref="S2.Ex1.m1.15.15.10"><times id="S2.Ex1.m1.15.15.10.9.cmml" xref="S2.Ex1.m1.15.15.10.9"></times><list id="S2.Ex1.m1.9.9.4.2.3.cmml" xref="S2.Ex1.m1.9.9.4.2.2"><apply id="S2.Ex1.m1.8.8.3.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.8.8.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex1.m1.8.8.3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.8.8.3.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex1.m1.8.8.3.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.8.8.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex1.m1.8.8.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.8.8.3.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex1.m1.8.8.3.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.8.8.3.1.1.1.2.2">𝐞</ci><ci id="S2.Ex1.m1.8.8.3.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex1.m1.8.8.3.1.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S2.Ex1.m1.8.8.3.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex1.m1.8.8.3.1.1.1.3">′</ci></apply><apply id="S2.Ex1.m1.9.9.4.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.9.9.4.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex1.m1.9.9.4.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.9.9.4.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex1.m1.9.9.4.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.9.9.4.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex1.m1.9.9.4.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.9.9.4.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex1.m1.9.9.4.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.9.9.4.2.2.2.2.2">𝐟</ci><ci id="S2.Ex1.m1.9.9.4.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex1.m1.9.9.4.2.2.2.2.3">𝑘</ci></apply><ci id="S2.Ex1.m1.9.9.4.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex1.m1.9.9.4.2.2.2.3">′</ci></apply></list><list id="S2.Ex1.m1.11.11.6.4.3.cmml" xref="S2.Ex1.m1.11.11.6.4.2"><apply id="S2.Ex1.m1.10.10.5.3.1.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.10.10.5.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex1.m1.10.10.5.3.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.10.10.5.3.1.1">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex1.m1.10.10.5.3.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.10.10.5.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex1.m1.10.10.5.3.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.10.10.5.3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex1.m1.10.10.5.3.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.10.10.5.3.1.1.2.2">𝐟</ci><ci id="S2.Ex1.m1.10.10.5.3.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex1.m1.10.10.5.3.1.1.2.3">𝑘</ci></apply><ci id="S2.Ex1.m1.10.10.5.3.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex1.m1.10.10.5.3.1.1.3">′</ci></apply><apply id="S2.Ex1.m1.11.11.6.4.2.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.11.11.6.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex1.m1.11.11.6.4.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.11.11.6.4.2.2">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex1.m1.11.11.6.4.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.11.11.6.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex1.m1.11.11.6.4.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.11.11.6.4.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex1.m1.11.11.6.4.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.11.11.6.4.2.2.2.2">𝐞</ci><cn id="S2.Ex1.m1.11.11.6.4.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex1.m1.11.11.6.4.2.2.2.3">1</cn></apply><ci id="S2.Ex1.m1.11.11.6.4.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex1.m1.11.11.6.4.2.2.3">′</ci></apply></list><list id="S2.Ex1.m1.13.13.8.6.3.cmml" xref="S2.Ex1.m1.13.13.8.6.2"><apply id="S2.Ex1.m1.12.12.7.5.1.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.12.12.7.5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex1.m1.12.12.7.5.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.12.12.7.5.1.1">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex1.m1.12.12.7.5.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.12.12.7.5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex1.m1.12.12.7.5.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.12.12.7.5.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex1.m1.12.12.7.5.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.12.12.7.5.1.1.2.2">𝐞</ci><cn id="S2.Ex1.m1.12.12.7.5.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex1.m1.12.12.7.5.1.1.2.3">1</cn></apply><ci id="S2.Ex1.m1.12.12.7.5.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex1.m1.12.12.7.5.1.1.3">′</ci></apply><apply id="S2.Ex1.m1.13.13.8.6.2.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.13.13.8.6.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex1.m1.13.13.8.6.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.13.13.8.6.2.2">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex1.m1.13.13.8.6.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.13.13.8.6.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex1.m1.13.13.8.6.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.13.13.8.6.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex1.m1.13.13.8.6.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.13.13.8.6.2.2.2.2">𝐟</ci><cn id="S2.Ex1.m1.13.13.8.6.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex1.m1.13.13.8.6.2.2.2.3">1</cn></apply><ci id="S2.Ex1.m1.13.13.8.6.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex1.m1.13.13.8.6.2.2.3">′</ci></apply></list><list id="S2.Ex1.m1.15.15.10.8.3.cmml" xref="S2.Ex1.m1.15.15.10.8.2"><apply id="S2.Ex1.m1.14.14.9.7.1.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.14.14.9.7.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex1.m1.14.14.9.7.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.14.14.9.7.1.1">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex1.m1.14.14.9.7.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.14.14.9.7.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex1.m1.14.14.9.7.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.14.14.9.7.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex1.m1.14.14.9.7.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.14.14.9.7.1.1.2.2">𝐟</ci><cn id="S2.Ex1.m1.14.14.9.7.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex1.m1.14.14.9.7.1.1.2.3">1</cn></apply><ci id="S2.Ex1.m1.14.14.9.7.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex1.m1.14.14.9.7.1.1.3">′</ci></apply><apply id="S2.Ex1.m1.15.15.10.8.2.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.15.15.10.8.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex1.m1.15.15.10.8.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.15.15.10.8.2.2">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex1.m1.15.15.10.8.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.15.15.10.8.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex1.m1.15.15.10.8.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.15.15.10.8.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex1.m1.15.15.10.8.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.15.15.10.8.2.2.2.2">𝐞</ci><ci id="S2.Ex1.m1.15.15.10.8.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex1.m1.15.15.10.8.2.2.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S2.Ex1.m1.15.15.10.8.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex1.m1.15.15.10.8.2.2.3">′</ci></apply></list></apply></apply><apply id="S2.Ex1.m1.15.15c.cmml" xref="S2.Ex1.m1.15.15"><eq id="S2.Ex1.m1.15.15.13.cmml" xref="S2.Ex1.m1.15.15.13"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#S2.Ex1.m1.15.15.10.cmml" id="S2.Ex1.m1.15.15d.cmml" xref="S2.Ex1.m1.15.15"></share><apply id="S2.Ex1.m1.15.15.14.cmml" xref="S2.Ex1.m1.15.15.14"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex1.m1.15.15.14.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.15.15.14">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex1.m1.15.15.14.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.15.15.14.2">𝑔</ci><list id="S2.Ex1.m1.4.4.4.5.cmml" xref="S2.Ex1.m1.4.4.4.6"><ci id="S2.Ex1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.1.1.1.1">𝑗</ci><ci id="S2.Ex1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.2.2.2.2">𝑘</ci><cn id="S2.Ex1.m1.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex1.m1.3.3.3.3">1</cn><cn id="S2.Ex1.m1.4.4.4.4.cmml" type="integer" xref="S2.Ex1.m1.4.4.4.4">1</cn></list></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex1.m1.15c">\left(\frac{1}{\sqrt{d}}\right)^{3}\langle\mathbf{e}_{j}^{\prime},\mathbf{f}_{% k}^{\prime}\rangle=\langle\mathbf{e}_{j}^{\prime},\mathbf{f}_{k}^{\prime}% \rangle\langle\mathbf{f}_{k}^{\prime},\mathbf{e}_{1}^{\prime}\rangle\,\langle% \mathbf{e}_{1}^{\prime},\mathbf{f}_{1}^{\prime}\rangle\,\langle\mathbf{f}_{1}^% {\prime},\mathbf{e}_{j}^{\prime}\rangle\,=g_{j,k,1,1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex1.m1.15d">( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG square-root start_ARG italic_d end_ARG end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT ⟨ bold_e start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , bold_f start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ⟩ = ⟨ bold_e start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , bold_f start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ⟩ ⟨ bold_f start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , bold_e start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ⟩ ⟨ bold_e start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , bold_f start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ⟩ ⟨ bold_f start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , bold_e start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ⟩ = italic_g start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k , 1 , 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.3.p3.3">and similarly, <math alttext="(1/\sqrt{d})^{3}\langle\mathbf{v}_{j}^{\prime},\mathbf{w}_{k}^{\prime}\rangle=% g_{j,k,1,1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.3.p3.1.m1.7"><semantics id="S2.3.p3.1.m1.7a"><mrow id="S2.3.p3.1.m1.7.7" xref="S2.3.p3.1.m1.7.7.cmml"><mrow id="S2.3.p3.1.m1.7.7.3" xref="S2.3.p3.1.m1.7.7.3.cmml"><msup id="S2.3.p3.1.m1.5.5.1.1" xref="S2.3.p3.1.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S2.3.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1" xref="S2.3.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.3.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.3.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.3.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.1" xref="S2.3.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S2.3.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.2" xref="S2.3.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S2.3.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1" xref="S2.3.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml">/</mo><msqrt id="S2.3.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.3" xref="S2.3.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.3.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.3.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.2.cmml">d</mi></msqrt></mrow><mo id="S2.3.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.3.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S2.3.p3.1.m1.5.5.1.1.3" xref="S2.3.p3.1.m1.5.5.1.1.3.cmml">3</mn></msup><mo id="S2.3.p3.1.m1.7.7.3.4" xref="S2.3.p3.1.m1.7.7.3.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.3.p3.1.m1.7.7.3.3.2" xref="S2.3.p3.1.m1.7.7.3.3.3.cmml"><mo id="S2.3.p3.1.m1.7.7.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.3.p3.1.m1.7.7.3.3.3.cmml">⟨</mo><msubsup id="S2.3.p3.1.m1.6.6.2.2.1.1" xref="S2.3.p3.1.m1.6.6.2.2.1.1.cmml"><mi id="S2.3.p3.1.m1.6.6.2.2.1.1.2.2" xref="S2.3.p3.1.m1.6.6.2.2.1.1.2.2.cmml">𝐯</mi><mi id="S2.3.p3.1.m1.6.6.2.2.1.1.2.3" xref="S2.3.p3.1.m1.6.6.2.2.1.1.2.3.cmml">j</mi><mo id="S2.3.p3.1.m1.6.6.2.2.1.1.3" xref="S2.3.p3.1.m1.6.6.2.2.1.1.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="S2.3.p3.1.m1.7.7.3.3.2.4" xref="S2.3.p3.1.m1.7.7.3.3.3.cmml">,</mo><msubsup id="S2.3.p3.1.m1.7.7.3.3.2.2" xref="S2.3.p3.1.m1.7.7.3.3.2.2.cmml"><mi id="S2.3.p3.1.m1.7.7.3.3.2.2.2.2" xref="S2.3.p3.1.m1.7.7.3.3.2.2.2.2.cmml">𝐰</mi><mi id="S2.3.p3.1.m1.7.7.3.3.2.2.2.3" xref="S2.3.p3.1.m1.7.7.3.3.2.2.2.3.cmml">k</mi><mo id="S2.3.p3.1.m1.7.7.3.3.2.2.3" xref="S2.3.p3.1.m1.7.7.3.3.2.2.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="S2.3.p3.1.m1.7.7.3.3.2.5" stretchy="false" xref="S2.3.p3.1.m1.7.7.3.3.3.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><mo id="S2.3.p3.1.m1.7.7.4" xref="S2.3.p3.1.m1.7.7.4.cmml">=</mo><msub id="S2.3.p3.1.m1.7.7.5" xref="S2.3.p3.1.m1.7.7.5.cmml"><mi id="S2.3.p3.1.m1.7.7.5.2" xref="S2.3.p3.1.m1.7.7.5.2.cmml">g</mi><mrow id="S2.3.p3.1.m1.4.4.4.6" xref="S2.3.p3.1.m1.4.4.4.5.cmml"><mi id="S2.3.p3.1.m1.1.1.1.1" xref="S2.3.p3.1.m1.1.1.1.1.cmml">j</mi><mo id="S2.3.p3.1.m1.4.4.4.6.1" xref="S2.3.p3.1.m1.4.4.4.5.cmml">,</mo><mi id="S2.3.p3.1.m1.2.2.2.2" xref="S2.3.p3.1.m1.2.2.2.2.cmml">k</mi><mo id="S2.3.p3.1.m1.4.4.4.6.2" xref="S2.3.p3.1.m1.4.4.4.5.cmml">,</mo><mn id="S2.3.p3.1.m1.3.3.3.3" xref="S2.3.p3.1.m1.3.3.3.3.cmml">1</mn><mo id="S2.3.p3.1.m1.4.4.4.6.3" xref="S2.3.p3.1.m1.4.4.4.5.cmml">,</mo><mn id="S2.3.p3.1.m1.4.4.4.4" xref="S2.3.p3.1.m1.4.4.4.4.cmml">1</mn></mrow></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.3.p3.1.m1.7b"><apply id="S2.3.p3.1.m1.7.7.cmml" xref="S2.3.p3.1.m1.7.7"><eq id="S2.3.p3.1.m1.7.7.4.cmml" xref="S2.3.p3.1.m1.7.7.4"></eq><apply id="S2.3.p3.1.m1.7.7.3.cmml" xref="S2.3.p3.1.m1.7.7.3"><times id="S2.3.p3.1.m1.7.7.3.4.cmml" xref="S2.3.p3.1.m1.7.7.3.4"></times><apply id="S2.3.p3.1.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S2.3.p3.1.m1.5.5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.3.p3.1.m1.5.5.1.1.2.cmml" xref="S2.3.p3.1.m1.5.5.1.1">superscript</csymbol><apply id="S2.3.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.3.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1"><divide id="S2.3.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.3.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1"></divide><cn id="S2.3.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S2.3.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.2">1</cn><apply id="S2.3.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.3.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.3"><root id="S2.3.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S2.3.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.3"></root><ci id="S2.3.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.3.p3.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.2">𝑑</ci></apply></apply><cn id="S2.3.p3.1.m1.5.5.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.3.p3.1.m1.5.5.1.1.3">3</cn></apply><list id="S2.3.p3.1.m1.7.7.3.3.3.cmml" xref="S2.3.p3.1.m1.7.7.3.3.2"><apply id="S2.3.p3.1.m1.6.6.2.2.1.1.cmml" xref="S2.3.p3.1.m1.6.6.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.3.p3.1.m1.6.6.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.3.p3.1.m1.6.6.2.2.1.1">superscript</csymbol><apply id="S2.3.p3.1.m1.6.6.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.3.p3.1.m1.6.6.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.3.p3.1.m1.6.6.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S2.3.p3.1.m1.6.6.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.3.p3.1.m1.6.6.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S2.3.p3.1.m1.6.6.2.2.1.1.2.2">𝐯</ci><ci id="S2.3.p3.1.m1.6.6.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S2.3.p3.1.m1.6.6.2.2.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S2.3.p3.1.m1.6.6.2.2.1.1.3.cmml" xref="S2.3.p3.1.m1.6.6.2.2.1.1.3">′</ci></apply><apply id="S2.3.p3.1.m1.7.7.3.3.2.2.cmml" xref="S2.3.p3.1.m1.7.7.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.3.p3.1.m1.7.7.3.3.2.2.1.cmml" xref="S2.3.p3.1.m1.7.7.3.3.2.2">superscript</csymbol><apply id="S2.3.p3.1.m1.7.7.3.3.2.2.2.cmml" xref="S2.3.p3.1.m1.7.7.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.3.p3.1.m1.7.7.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="S2.3.p3.1.m1.7.7.3.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.3.p3.1.m1.7.7.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S2.3.p3.1.m1.7.7.3.3.2.2.2.2">𝐰</ci><ci id="S2.3.p3.1.m1.7.7.3.3.2.2.2.3.cmml" xref="S2.3.p3.1.m1.7.7.3.3.2.2.2.3">𝑘</ci></apply><ci id="S2.3.p3.1.m1.7.7.3.3.2.2.3.cmml" xref="S2.3.p3.1.m1.7.7.3.3.2.2.3">′</ci></apply></list></apply><apply id="S2.3.p3.1.m1.7.7.5.cmml" xref="S2.3.p3.1.m1.7.7.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.3.p3.1.m1.7.7.5.1.cmml" xref="S2.3.p3.1.m1.7.7.5">subscript</csymbol><ci id="S2.3.p3.1.m1.7.7.5.2.cmml" xref="S2.3.p3.1.m1.7.7.5.2">𝑔</ci><list id="S2.3.p3.1.m1.4.4.4.5.cmml" xref="S2.3.p3.1.m1.4.4.4.6"><ci id="S2.3.p3.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.3.p3.1.m1.1.1.1.1">𝑗</ci><ci id="S2.3.p3.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.3.p3.1.m1.2.2.2.2">𝑘</ci><cn id="S2.3.p3.1.m1.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.3.p3.1.m1.3.3.3.3">1</cn><cn id="S2.3.p3.1.m1.4.4.4.4.cmml" type="integer" xref="S2.3.p3.1.m1.4.4.4.4">1</cn></list></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.3.p3.1.m1.7c">(1/\sqrt{d})^{3}\langle\mathbf{v}_{j}^{\prime},\mathbf{w}_{k}^{\prime}\rangle=% g_{j,k,1,1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.3.p3.1.m1.7d">( 1 / square-root start_ARG italic_d end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT ⟨ bold_v start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , bold_w start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ⟩ = italic_g start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k , 1 , 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> showing that <math alttext="\langle\mathbf{e}_{j}^{\prime},\mathbf{f}_{k}^{\prime}\rangle=\langle\mathbf{v% }_{j}^{\prime},\mathbf{w}_{k}^{\prime}\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.3.p3.2.m2.4"><semantics id="S2.3.p3.2.m2.4a"><mrow id="S2.3.p3.2.m2.4.4" xref="S2.3.p3.2.m2.4.4.cmml"><mrow id="S2.3.p3.2.m2.2.2.2.2" xref="S2.3.p3.2.m2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S2.3.p3.2.m2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.3.p3.2.m2.2.2.2.3.cmml">⟨</mo><msubsup id="S2.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1" xref="S2.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝐞</mi><mi id="S2.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.2.3.cmml">j</mi><mo id="S2.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.3" xref="S2.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="S2.3.p3.2.m2.2.2.2.2.4" xref="S2.3.p3.2.m2.2.2.2.3.cmml">,</mo><msubsup id="S2.3.p3.2.m2.2.2.2.2.2" xref="S2.3.p3.2.m2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.3.p3.2.m2.2.2.2.2.2.2.2" xref="S2.3.p3.2.m2.2.2.2.2.2.2.2.cmml">𝐟</mi><mi id="S2.3.p3.2.m2.2.2.2.2.2.2.3" xref="S2.3.p3.2.m2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">k</mi><mo id="S2.3.p3.2.m2.2.2.2.2.2.3" xref="S2.3.p3.2.m2.2.2.2.2.2.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="S2.3.p3.2.m2.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S2.3.p3.2.m2.2.2.2.3.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S2.3.p3.2.m2.4.4.5" xref="S2.3.p3.2.m2.4.4.5.cmml">=</mo><mrow id="S2.3.p3.2.m2.4.4.4.2" xref="S2.3.p3.2.m2.4.4.4.3.cmml"><mo id="S2.3.p3.2.m2.4.4.4.2.3" stretchy="false" xref="S2.3.p3.2.m2.4.4.4.3.cmml">⟨</mo><msubsup id="S2.3.p3.2.m2.3.3.3.1.1" xref="S2.3.p3.2.m2.3.3.3.1.1.cmml"><mi id="S2.3.p3.2.m2.3.3.3.1.1.2.2" xref="S2.3.p3.2.m2.3.3.3.1.1.2.2.cmml">𝐯</mi><mi id="S2.3.p3.2.m2.3.3.3.1.1.2.3" xref="S2.3.p3.2.m2.3.3.3.1.1.2.3.cmml">j</mi><mo id="S2.3.p3.2.m2.3.3.3.1.1.3" xref="S2.3.p3.2.m2.3.3.3.1.1.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="S2.3.p3.2.m2.4.4.4.2.4" xref="S2.3.p3.2.m2.4.4.4.3.cmml">,</mo><msubsup id="S2.3.p3.2.m2.4.4.4.2.2" xref="S2.3.p3.2.m2.4.4.4.2.2.cmml"><mi id="S2.3.p3.2.m2.4.4.4.2.2.2.2" xref="S2.3.p3.2.m2.4.4.4.2.2.2.2.cmml">𝐰</mi><mi id="S2.3.p3.2.m2.4.4.4.2.2.2.3" xref="S2.3.p3.2.m2.4.4.4.2.2.2.3.cmml">k</mi><mo id="S2.3.p3.2.m2.4.4.4.2.2.3" xref="S2.3.p3.2.m2.4.4.4.2.2.3.cmml">′</mo></msubsup><mo id="S2.3.p3.2.m2.4.4.4.2.5" stretchy="false" xref="S2.3.p3.2.m2.4.4.4.3.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.3.p3.2.m2.4b"><apply id="S2.3.p3.2.m2.4.4.cmml" xref="S2.3.p3.2.m2.4.4"><eq id="S2.3.p3.2.m2.4.4.5.cmml" xref="S2.3.p3.2.m2.4.4.5"></eq><list id="S2.3.p3.2.m2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.3.p3.2.m2.2.2.2.2"><apply id="S2.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S2.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.2.2">𝐞</ci><ci id="S2.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S2.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.3">′</ci></apply><apply id="S2.3.p3.2.m2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.3.p3.2.m2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.3.p3.2.m2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.3.p3.2.m2.2.2.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S2.3.p3.2.m2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.3.p3.2.m2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.3.p3.2.m2.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.3.p3.2.m2.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.3.p3.2.m2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.3.p3.2.m2.2.2.2.2.2.2.2">𝐟</ci><ci id="S2.3.p3.2.m2.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.3.p3.2.m2.2.2.2.2.2.2.3">𝑘</ci></apply><ci id="S2.3.p3.2.m2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.3.p3.2.m2.2.2.2.2.2.3">′</ci></apply></list><list id="S2.3.p3.2.m2.4.4.4.3.cmml" xref="S2.3.p3.2.m2.4.4.4.2"><apply id="S2.3.p3.2.m2.3.3.3.1.1.cmml" xref="S2.3.p3.2.m2.3.3.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.3.p3.2.m2.3.3.3.1.1.1.cmml" xref="S2.3.p3.2.m2.3.3.3.1.1">superscript</csymbol><apply id="S2.3.p3.2.m2.3.3.3.1.1.2.cmml" xref="S2.3.p3.2.m2.3.3.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.3.p3.2.m2.3.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S2.3.p3.2.m2.3.3.3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.3.p3.2.m2.3.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S2.3.p3.2.m2.3.3.3.1.1.2.2">𝐯</ci><ci id="S2.3.p3.2.m2.3.3.3.1.1.2.3.cmml" xref="S2.3.p3.2.m2.3.3.3.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><ci id="S2.3.p3.2.m2.3.3.3.1.1.3.cmml" xref="S2.3.p3.2.m2.3.3.3.1.1.3">′</ci></apply><apply id="S2.3.p3.2.m2.4.4.4.2.2.cmml" xref="S2.3.p3.2.m2.4.4.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.3.p3.2.m2.4.4.4.2.2.1.cmml" xref="S2.3.p3.2.m2.4.4.4.2.2">superscript</csymbol><apply id="S2.3.p3.2.m2.4.4.4.2.2.2.cmml" xref="S2.3.p3.2.m2.4.4.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.3.p3.2.m2.4.4.4.2.2.2.1.cmml" xref="S2.3.p3.2.m2.4.4.4.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.3.p3.2.m2.4.4.4.2.2.2.2.cmml" xref="S2.3.p3.2.m2.4.4.4.2.2.2.2">𝐰</ci><ci id="S2.3.p3.2.m2.4.4.4.2.2.2.3.cmml" xref="S2.3.p3.2.m2.4.4.4.2.2.2.3">𝑘</ci></apply><ci id="S2.3.p3.2.m2.4.4.4.2.2.3.cmml" xref="S2.3.p3.2.m2.4.4.4.2.2.3">′</ci></apply></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.3.p3.2.m2.4c">\langle\mathbf{e}_{j}^{\prime},\mathbf{f}_{k}^{\prime}\rangle=\langle\mathbf{v% }_{j}^{\prime},\mathbf{w}_{k}^{\prime}\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.3.p3.2.m2.4d">⟨ bold_e start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , bold_f start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ⟩ = ⟨ bold_v start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , bold_w start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ⟩</annotation></semantics></math> for every <math alttext="1\leq j,k\leq d" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.3.p3.3.m3.2"><semantics id="S2.3.p3.3.m3.2a"><mrow id="S2.3.p3.3.m3.2.2.2" xref="S2.3.p3.3.m3.2.2.3.cmml"><mrow id="S2.3.p3.3.m3.1.1.1.1" xref="S2.3.p3.3.m3.1.1.1.1.cmml"><mn id="S2.3.p3.3.m3.1.1.1.1.2" xref="S2.3.p3.3.m3.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S2.3.p3.3.m3.1.1.1.1.1" xref="S2.3.p3.3.m3.1.1.1.1.1.cmml">≤</mo><mi id="S2.3.p3.3.m3.1.1.1.1.3" xref="S2.3.p3.3.m3.1.1.1.1.3.cmml">j</mi></mrow><mo id="S2.3.p3.3.m3.2.2.2.3" xref="S2.3.p3.3.m3.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S2.3.p3.3.m3.2.2.2.2" xref="S2.3.p3.3.m3.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.3.p3.3.m3.2.2.2.2.2" xref="S2.3.p3.3.m3.2.2.2.2.2.cmml">k</mi><mo id="S2.3.p3.3.m3.2.2.2.2.1" xref="S2.3.p3.3.m3.2.2.2.2.1.cmml">≤</mo><mi id="S2.3.p3.3.m3.2.2.2.2.3" xref="S2.3.p3.3.m3.2.2.2.2.3.cmml">d</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.3.p3.3.m3.2b"><apply id="S2.3.p3.3.m3.2.2.3.cmml" xref="S2.3.p3.3.m3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.3.p3.3.m3.2.2.3a.cmml" xref="S2.3.p3.3.m3.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S2.3.p3.3.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.3.p3.3.m3.1.1.1.1"><leq id="S2.3.p3.3.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.3.p3.3.m3.1.1.1.1.1"></leq><cn id="S2.3.p3.3.m3.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S2.3.p3.3.m3.1.1.1.1.2">1</cn><ci id="S2.3.p3.3.m3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.3.p3.3.m3.1.1.1.1.3">𝑗</ci></apply><apply id="S2.3.p3.3.m3.2.2.2.2.cmml" xref="S2.3.p3.3.m3.2.2.2.2"><leq id="S2.3.p3.3.m3.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.3.p3.3.m3.2.2.2.2.1"></leq><ci id="S2.3.p3.3.m3.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.3.p3.3.m3.2.2.2.2.2">𝑘</ci><ci id="S2.3.p3.3.m3.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.3.p3.3.m3.2.2.2.2.3">𝑑</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.3.p3.3.m3.2c">1\leq j,k\leq d</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.3.p3.3.m3.2d">1 ≤ italic_j , italic_k ≤ italic_d</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.4.p4"> <p class="ltx_p" id="S2.4.p4.8">It follows that for the uniquely determined unitary operator <math alttext="U" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.4.p4.1.m1.1"><semantics id="S2.4.p4.1.m1.1a"><mi id="S2.4.p4.1.m1.1.1" xref="S2.4.p4.1.m1.1.1.cmml">U</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.4.p4.1.m1.1b"><ci id="S2.4.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.4.p4.1.m1.1.1">𝑈</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.4.p4.1.m1.1c">U</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.4.p4.1.m1.1d">italic_U</annotation></semantics></math> such that <math alttext="U\mathbf{e}_{k}^{\prime}=\mathbf{v}_{k}^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.4.p4.2.m2.1"><semantics id="S2.4.p4.2.m2.1a"><mrow id="S2.4.p4.2.m2.1.1" xref="S2.4.p4.2.m2.1.1.cmml"><mrow id="S2.4.p4.2.m2.1.1.2" xref="S2.4.p4.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S2.4.p4.2.m2.1.1.2.2" xref="S2.4.p4.2.m2.1.1.2.2.cmml">U</mi><mo id="S2.4.p4.2.m2.1.1.2.1" xref="S2.4.p4.2.m2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S2.4.p4.2.m2.1.1.2.3" xref="S2.4.p4.2.m2.1.1.2.3.cmml"><mi id="S2.4.p4.2.m2.1.1.2.3.2.2" xref="S2.4.p4.2.m2.1.1.2.3.2.2.cmml">𝐞</mi><mi id="S2.4.p4.2.m2.1.1.2.3.2.3" xref="S2.4.p4.2.m2.1.1.2.3.2.3.cmml">k</mi><mo id="S2.4.p4.2.m2.1.1.2.3.3" xref="S2.4.p4.2.m2.1.1.2.3.3.cmml">′</mo></msubsup></mrow><mo id="S2.4.p4.2.m2.1.1.1" xref="S2.4.p4.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><msubsup id="S2.4.p4.2.m2.1.1.3" xref="S2.4.p4.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S2.4.p4.2.m2.1.1.3.2.2" xref="S2.4.p4.2.m2.1.1.3.2.2.cmml">𝐯</mi><mi id="S2.4.p4.2.m2.1.1.3.2.3" xref="S2.4.p4.2.m2.1.1.3.2.3.cmml">k</mi><mo id="S2.4.p4.2.m2.1.1.3.3" xref="S2.4.p4.2.m2.1.1.3.3.cmml">′</mo></msubsup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.4.p4.2.m2.1b"><apply id="S2.4.p4.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.4.p4.2.m2.1.1"><eq id="S2.4.p4.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.4.p4.2.m2.1.1.1"></eq><apply id="S2.4.p4.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.4.p4.2.m2.1.1.2"><times id="S2.4.p4.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S2.4.p4.2.m2.1.1.2.1"></times><ci id="S2.4.p4.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S2.4.p4.2.m2.1.1.2.2">𝑈</ci><apply id="S2.4.p4.2.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S2.4.p4.2.m2.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.4.p4.2.m2.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.4.p4.2.m2.1.1.2.3">superscript</csymbol><apply id="S2.4.p4.2.m2.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.4.p4.2.m2.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.4.p4.2.m2.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S2.4.p4.2.m2.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.4.p4.2.m2.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S2.4.p4.2.m2.1.1.2.3.2.2">𝐞</ci><ci id="S2.4.p4.2.m2.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S2.4.p4.2.m2.1.1.2.3.2.3">𝑘</ci></apply><ci id="S2.4.p4.2.m2.1.1.2.3.3.cmml" xref="S2.4.p4.2.m2.1.1.2.3.3">′</ci></apply></apply><apply id="S2.4.p4.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S2.4.p4.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.4.p4.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S2.4.p4.2.m2.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S2.4.p4.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S2.4.p4.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.4.p4.2.m2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.4.p4.2.m2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.4.p4.2.m2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.4.p4.2.m2.1.1.3.2.2">𝐯</ci><ci id="S2.4.p4.2.m2.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.4.p4.2.m2.1.1.3.2.3">𝑘</ci></apply><ci id="S2.4.p4.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S2.4.p4.2.m2.1.1.3.3">′</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.4.p4.2.m2.1c">U\mathbf{e}_{k}^{\prime}=\mathbf{v}_{k}^{\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.4.p4.2.m2.1d">italic_U bold_e start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT = bold_v start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> (for all <math alttext="k\in[d]" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.4.p4.3.m3.1"><semantics id="S2.4.p4.3.m3.1a"><mrow id="S2.4.p4.3.m3.1.2" xref="S2.4.p4.3.m3.1.2.cmml"><mi id="S2.4.p4.3.m3.1.2.2" xref="S2.4.p4.3.m3.1.2.2.cmml">k</mi><mo id="S2.4.p4.3.m3.1.2.1" xref="S2.4.p4.3.m3.1.2.1.cmml">∈</mo><mrow id="S2.4.p4.3.m3.1.2.3.2" xref="S2.4.p4.3.m3.1.2.3.1.cmml"><mo id="S2.4.p4.3.m3.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.4.p4.3.m3.1.2.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S2.4.p4.3.m3.1.1" xref="S2.4.p4.3.m3.1.1.cmml">d</mi><mo id="S2.4.p4.3.m3.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.4.p4.3.m3.1.2.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.4.p4.3.m3.1b"><apply id="S2.4.p4.3.m3.1.2.cmml" xref="S2.4.p4.3.m3.1.2"><in id="S2.4.p4.3.m3.1.2.1.cmml" xref="S2.4.p4.3.m3.1.2.1"></in><ci id="S2.4.p4.3.m3.1.2.2.cmml" xref="S2.4.p4.3.m3.1.2.2">𝑘</ci><apply id="S2.4.p4.3.m3.1.2.3.1.cmml" xref="S2.4.p4.3.m3.1.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.4.p4.3.m3.1.2.3.1.1.cmml" xref="S2.4.p4.3.m3.1.2.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S2.4.p4.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.4.p4.3.m3.1.1">𝑑</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.4.p4.3.m3.1c">k\in[d]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.4.p4.3.m3.1d">italic_k ∈ [ italic_d ]</annotation></semantics></math>), we also have <math alttext="U\mathbf{f}_{k}^{\prime}=\mathbf{w}_{k}^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.4.p4.4.m4.1"><semantics id="S2.4.p4.4.m4.1a"><mrow id="S2.4.p4.4.m4.1.1" xref="S2.4.p4.4.m4.1.1.cmml"><mrow id="S2.4.p4.4.m4.1.1.2" xref="S2.4.p4.4.m4.1.1.2.cmml"><mi id="S2.4.p4.4.m4.1.1.2.2" xref="S2.4.p4.4.m4.1.1.2.2.cmml">U</mi><mo id="S2.4.p4.4.m4.1.1.2.1" xref="S2.4.p4.4.m4.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S2.4.p4.4.m4.1.1.2.3" xref="S2.4.p4.4.m4.1.1.2.3.cmml"><mi id="S2.4.p4.4.m4.1.1.2.3.2.2" xref="S2.4.p4.4.m4.1.1.2.3.2.2.cmml">𝐟</mi><mi id="S2.4.p4.4.m4.1.1.2.3.2.3" xref="S2.4.p4.4.m4.1.1.2.3.2.3.cmml">k</mi><mo id="S2.4.p4.4.m4.1.1.2.3.3" xref="S2.4.p4.4.m4.1.1.2.3.3.cmml">′</mo></msubsup></mrow><mo id="S2.4.p4.4.m4.1.1.1" xref="S2.4.p4.4.m4.1.1.1.cmml">=</mo><msubsup id="S2.4.p4.4.m4.1.1.3" xref="S2.4.p4.4.m4.1.1.3.cmml"><mi id="S2.4.p4.4.m4.1.1.3.2.2" xref="S2.4.p4.4.m4.1.1.3.2.2.cmml">𝐰</mi><mi id="S2.4.p4.4.m4.1.1.3.2.3" xref="S2.4.p4.4.m4.1.1.3.2.3.cmml">k</mi><mo id="S2.4.p4.4.m4.1.1.3.3" xref="S2.4.p4.4.m4.1.1.3.3.cmml">′</mo></msubsup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.4.p4.4.m4.1b"><apply id="S2.4.p4.4.m4.1.1.cmml" xref="S2.4.p4.4.m4.1.1"><eq id="S2.4.p4.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S2.4.p4.4.m4.1.1.1"></eq><apply id="S2.4.p4.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S2.4.p4.4.m4.1.1.2"><times id="S2.4.p4.4.m4.1.1.2.1.cmml" xref="S2.4.p4.4.m4.1.1.2.1"></times><ci id="S2.4.p4.4.m4.1.1.2.2.cmml" xref="S2.4.p4.4.m4.1.1.2.2">𝑈</ci><apply id="S2.4.p4.4.m4.1.1.2.3.cmml" xref="S2.4.p4.4.m4.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.4.p4.4.m4.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.4.p4.4.m4.1.1.2.3">superscript</csymbol><apply id="S2.4.p4.4.m4.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.4.p4.4.m4.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.4.p4.4.m4.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S2.4.p4.4.m4.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.4.p4.4.m4.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S2.4.p4.4.m4.1.1.2.3.2.2">𝐟</ci><ci id="S2.4.p4.4.m4.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S2.4.p4.4.m4.1.1.2.3.2.3">𝑘</ci></apply><ci id="S2.4.p4.4.m4.1.1.2.3.3.cmml" xref="S2.4.p4.4.m4.1.1.2.3.3">′</ci></apply></apply><apply id="S2.4.p4.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S2.4.p4.4.m4.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.4.p4.4.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S2.4.p4.4.m4.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S2.4.p4.4.m4.1.1.3.2.cmml" xref="S2.4.p4.4.m4.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.4.p4.4.m4.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.4.p4.4.m4.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.4.p4.4.m4.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.4.p4.4.m4.1.1.3.2.2">𝐰</ci><ci id="S2.4.p4.4.m4.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.4.p4.4.m4.1.1.3.2.3">𝑘</ci></apply><ci id="S2.4.p4.4.m4.1.1.3.3.cmml" xref="S2.4.p4.4.m4.1.1.3.3">′</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.4.p4.4.m4.1c">U\mathbf{f}_{k}^{\prime}=\mathbf{w}_{k}^{\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.4.p4.4.m4.1d">italic_U bold_f start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT = bold_w start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> (for all <math alttext="k\in[d]" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.4.p4.5.m5.1"><semantics id="S2.4.p4.5.m5.1a"><mrow id="S2.4.p4.5.m5.1.2" xref="S2.4.p4.5.m5.1.2.cmml"><mi id="S2.4.p4.5.m5.1.2.2" xref="S2.4.p4.5.m5.1.2.2.cmml">k</mi><mo id="S2.4.p4.5.m5.1.2.1" xref="S2.4.p4.5.m5.1.2.1.cmml">∈</mo><mrow id="S2.4.p4.5.m5.1.2.3.2" xref="S2.4.p4.5.m5.1.2.3.1.cmml"><mo id="S2.4.p4.5.m5.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.4.p4.5.m5.1.2.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S2.4.p4.5.m5.1.1" xref="S2.4.p4.5.m5.1.1.cmml">d</mi><mo id="S2.4.p4.5.m5.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.4.p4.5.m5.1.2.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.4.p4.5.m5.1b"><apply id="S2.4.p4.5.m5.1.2.cmml" xref="S2.4.p4.5.m5.1.2"><in id="S2.4.p4.5.m5.1.2.1.cmml" xref="S2.4.p4.5.m5.1.2.1"></in><ci id="S2.4.p4.5.m5.1.2.2.cmml" xref="S2.4.p4.5.m5.1.2.2">𝑘</ci><apply id="S2.4.p4.5.m5.1.2.3.1.cmml" xref="S2.4.p4.5.m5.1.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.4.p4.5.m5.1.2.3.1.1.cmml" xref="S2.4.p4.5.m5.1.2.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S2.4.p4.5.m5.1.1.cmml" xref="S2.4.p4.5.m5.1.1">𝑑</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.4.p4.5.m5.1c">k\in[d]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.4.p4.5.m5.1d">italic_k ∈ [ italic_d ]</annotation></semantics></math>), and hence that <math alttext="U" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.4.p4.6.m6.1"><semantics id="S2.4.p4.6.m6.1a"><mi id="S2.4.p4.6.m6.1.1" xref="S2.4.p4.6.m6.1.1.cmml">U</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.4.p4.6.m6.1b"><ci id="S2.4.p4.6.m6.1.1.cmml" xref="S2.4.p4.6.m6.1.1">𝑈</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.4.p4.6.m6.1c">U</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.4.p4.6.m6.1d">italic_U</annotation></semantics></math> establishes a direct unitary equivalence between the pairs <math alttext="(X,Y)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.4.p4.7.m7.2"><semantics id="S2.4.p4.7.m7.2a"><mrow id="S2.4.p4.7.m7.2.3.2" xref="S2.4.p4.7.m7.2.3.1.cmml"><mo id="S2.4.p4.7.m7.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.4.p4.7.m7.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S2.4.p4.7.m7.1.1" xref="S2.4.p4.7.m7.1.1.cmml">X</mi><mo id="S2.4.p4.7.m7.2.3.2.2" xref="S2.4.p4.7.m7.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.4.p4.7.m7.2.2" xref="S2.4.p4.7.m7.2.2.cmml">Y</mi><mo id="S2.4.p4.7.m7.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.4.p4.7.m7.2.3.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.4.p4.7.m7.2b"><interval closure="open" id="S2.4.p4.7.m7.2.3.1.cmml" xref="S2.4.p4.7.m7.2.3.2"><ci id="S2.4.p4.7.m7.1.1.cmml" xref="S2.4.p4.7.m7.1.1">𝑋</ci><ci id="S2.4.p4.7.m7.2.2.cmml" xref="S2.4.p4.7.m7.2.2">𝑌</ci></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.4.p4.7.m7.2c">(X,Y)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.4.p4.7.m7.2d">( italic_X , italic_Y )</annotation></semantics></math> and <math alttext="(V,W)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.4.p4.8.m8.2"><semantics id="S2.4.p4.8.m8.2a"><mrow id="S2.4.p4.8.m8.2.3.2" xref="S2.4.p4.8.m8.2.3.1.cmml"><mo id="S2.4.p4.8.m8.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.4.p4.8.m8.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S2.4.p4.8.m8.1.1" xref="S2.4.p4.8.m8.1.1.cmml">V</mi><mo id="S2.4.p4.8.m8.2.3.2.2" xref="S2.4.p4.8.m8.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.4.p4.8.m8.2.2" xref="S2.4.p4.8.m8.2.2.cmml">W</mi><mo id="S2.4.p4.8.m8.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.4.p4.8.m8.2.3.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.4.p4.8.m8.2b"><interval closure="open" id="S2.4.p4.8.m8.2.3.1.cmml" xref="S2.4.p4.8.m8.2.3.2"><ci id="S2.4.p4.8.m8.1.1.cmml" xref="S2.4.p4.8.m8.1.1">𝑉</ci><ci id="S2.4.p4.8.m8.2.2.cmml" xref="S2.4.p4.8.m8.2.2">𝑊</ci></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.4.p4.8.m8.2c">(V,W)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.4.p4.8.m8.2d">( italic_V , italic_W )</annotation></semantics></math>. ∎</p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S2.p8"> <p class="ltx_p" id="S2.p8.1">We can now connect the notion of equivalence of complex Hadamard matrices to the notion of permutational unitary equivalence of MUB-pairs.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_proposition" id="S2.Thmfact2"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.Thmfact2.1.1.1">Proposition 2.2</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.Thmfact2.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="S2.Thmfact2.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.Thmfact2.p1.7"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.Thmfact2.p1.7.7">Let <math alttext="X=\{\mathbf{e}_{1},\ldots,\mathbf{e}_{d}\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmfact2.p1.1.1.m1.3"><semantics id="S2.Thmfact2.p1.1.1.m1.3a"><mrow id="S2.Thmfact2.p1.1.1.m1.3.3" xref="S2.Thmfact2.p1.1.1.m1.3.3.cmml"><mi id="S2.Thmfact2.p1.1.1.m1.3.3.4" xref="S2.Thmfact2.p1.1.1.m1.3.3.4.cmml">X</mi><mo id="S2.Thmfact2.p1.1.1.m1.3.3.3" xref="S2.Thmfact2.p1.1.1.m1.3.3.3.cmml">=</mo><mrow id="S2.Thmfact2.p1.1.1.m1.3.3.2.2" xref="S2.Thmfact2.p1.1.1.m1.3.3.2.3.cmml"><mo id="S2.Thmfact2.p1.1.1.m1.3.3.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.Thmfact2.p1.1.1.m1.3.3.2.3.cmml">{</mo><msub id="S2.Thmfact2.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1" xref="S2.Thmfact2.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Thmfact2.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S2.Thmfact2.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">𝐞</mi><mn id="S2.Thmfact2.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S2.Thmfact2.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S2.Thmfact2.p1.1.1.m1.3.3.2.2.4" xref="S2.Thmfact2.p1.1.1.m1.3.3.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.Thmfact2.p1.1.1.m1.1.1" mathvariant="normal" xref="S2.Thmfact2.p1.1.1.m1.1.1.cmml">…</mi><mo id="S2.Thmfact2.p1.1.1.m1.3.3.2.2.5" xref="S2.Thmfact2.p1.1.1.m1.3.3.2.3.cmml">,</mo><msub id="S2.Thmfact2.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2" xref="S2.Thmfact2.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2.cmml"><mi id="S2.Thmfact2.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2.2" xref="S2.Thmfact2.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2.2.cmml">𝐞</mi><mi id="S2.Thmfact2.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2.3" xref="S2.Thmfact2.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2.3.cmml">d</mi></msub><mo id="S2.Thmfact2.p1.1.1.m1.3.3.2.2.6" stretchy="false" xref="S2.Thmfact2.p1.1.1.m1.3.3.2.3.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmfact2.p1.1.1.m1.3b"><apply id="S2.Thmfact2.p1.1.1.m1.3.3.cmml" xref="S2.Thmfact2.p1.1.1.m1.3.3"><eq id="S2.Thmfact2.p1.1.1.m1.3.3.3.cmml" xref="S2.Thmfact2.p1.1.1.m1.3.3.3"></eq><ci id="S2.Thmfact2.p1.1.1.m1.3.3.4.cmml" xref="S2.Thmfact2.p1.1.1.m1.3.3.4">𝑋</ci><set id="S2.Thmfact2.p1.1.1.m1.3.3.2.3.cmml" xref="S2.Thmfact2.p1.1.1.m1.3.3.2.2"><apply id="S2.Thmfact2.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmfact2.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmfact2.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmfact2.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmfact2.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmfact2.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.2">𝐞</ci><cn id="S2.Thmfact2.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.Thmfact2.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S2.Thmfact2.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.Thmfact2.p1.1.1.m1.1.1">…</ci><apply id="S2.Thmfact2.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S2.Thmfact2.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmfact2.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Thmfact2.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmfact2.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Thmfact2.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2.2">𝐞</ci><ci id="S2.Thmfact2.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Thmfact2.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2.3">𝑑</ci></apply></set></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmfact2.p1.1.1.m1.3c">X=\{\mathbf{e}_{1},\ldots,\mathbf{e}_{d}\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmfact2.p1.1.1.m1.3d">italic_X = { bold_e start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , bold_e start_POSTSUBSCRIPT italic_d end_POSTSUBSCRIPT }</annotation></semantics></math>, <math alttext="Y=\{\mathbf{f}_{1},\ldots,\mathbf{f}_{d}\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmfact2.p1.2.2.m2.3"><semantics id="S2.Thmfact2.p1.2.2.m2.3a"><mrow id="S2.Thmfact2.p1.2.2.m2.3.3" xref="S2.Thmfact2.p1.2.2.m2.3.3.cmml"><mi id="S2.Thmfact2.p1.2.2.m2.3.3.4" xref="S2.Thmfact2.p1.2.2.m2.3.3.4.cmml">Y</mi><mo id="S2.Thmfact2.p1.2.2.m2.3.3.3" xref="S2.Thmfact2.p1.2.2.m2.3.3.3.cmml">=</mo><mrow id="S2.Thmfact2.p1.2.2.m2.3.3.2.2" xref="S2.Thmfact2.p1.2.2.m2.3.3.2.3.cmml"><mo id="S2.Thmfact2.p1.2.2.m2.3.3.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.Thmfact2.p1.2.2.m2.3.3.2.3.cmml">{</mo><msub id="S2.Thmfact2.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1" xref="S2.Thmfact2.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Thmfact2.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.2" xref="S2.Thmfact2.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.2.cmml">𝐟</mi><mn id="S2.Thmfact2.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3" xref="S2.Thmfact2.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S2.Thmfact2.p1.2.2.m2.3.3.2.2.4" xref="S2.Thmfact2.p1.2.2.m2.3.3.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.Thmfact2.p1.2.2.m2.1.1" mathvariant="normal" xref="S2.Thmfact2.p1.2.2.m2.1.1.cmml">…</mi><mo id="S2.Thmfact2.p1.2.2.m2.3.3.2.2.5" xref="S2.Thmfact2.p1.2.2.m2.3.3.2.3.cmml">,</mo><msub id="S2.Thmfact2.p1.2.2.m2.3.3.2.2.2" xref="S2.Thmfact2.p1.2.2.m2.3.3.2.2.2.cmml"><mi id="S2.Thmfact2.p1.2.2.m2.3.3.2.2.2.2" xref="S2.Thmfact2.p1.2.2.m2.3.3.2.2.2.2.cmml">𝐟</mi><mi id="S2.Thmfact2.p1.2.2.m2.3.3.2.2.2.3" xref="S2.Thmfact2.p1.2.2.m2.3.3.2.2.2.3.cmml">d</mi></msub><mo id="S2.Thmfact2.p1.2.2.m2.3.3.2.2.6" stretchy="false" xref="S2.Thmfact2.p1.2.2.m2.3.3.2.3.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmfact2.p1.2.2.m2.3b"><apply id="S2.Thmfact2.p1.2.2.m2.3.3.cmml" xref="S2.Thmfact2.p1.2.2.m2.3.3"><eq id="S2.Thmfact2.p1.2.2.m2.3.3.3.cmml" xref="S2.Thmfact2.p1.2.2.m2.3.3.3"></eq><ci id="S2.Thmfact2.p1.2.2.m2.3.3.4.cmml" xref="S2.Thmfact2.p1.2.2.m2.3.3.4">𝑌</ci><set id="S2.Thmfact2.p1.2.2.m2.3.3.2.3.cmml" xref="S2.Thmfact2.p1.2.2.m2.3.3.2.2"><apply id="S2.Thmfact2.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmfact2.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmfact2.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmfact2.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmfact2.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmfact2.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.2">𝐟</ci><cn id="S2.Thmfact2.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.Thmfact2.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S2.Thmfact2.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.Thmfact2.p1.2.2.m2.1.1">…</ci><apply id="S2.Thmfact2.p1.2.2.m2.3.3.2.2.2.cmml" xref="S2.Thmfact2.p1.2.2.m2.3.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmfact2.p1.2.2.m2.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Thmfact2.p1.2.2.m2.3.3.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmfact2.p1.2.2.m2.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Thmfact2.p1.2.2.m2.3.3.2.2.2.2">𝐟</ci><ci id="S2.Thmfact2.p1.2.2.m2.3.3.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Thmfact2.p1.2.2.m2.3.3.2.2.2.3">𝑑</ci></apply></set></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmfact2.p1.2.2.m2.3c">Y=\{\mathbf{f}_{1},\ldots,\mathbf{f}_{d}\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmfact2.p1.2.2.m2.3d">italic_Y = { bold_f start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , bold_f start_POSTSUBSCRIPT italic_d end_POSTSUBSCRIPT }</annotation></semantics></math> and <math alttext="V=\{\mathbf{v}_{1},\ldots,\mathbf{v}_{d}\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmfact2.p1.3.3.m3.3"><semantics id="S2.Thmfact2.p1.3.3.m3.3a"><mrow id="S2.Thmfact2.p1.3.3.m3.3.3" xref="S2.Thmfact2.p1.3.3.m3.3.3.cmml"><mi id="S2.Thmfact2.p1.3.3.m3.3.3.4" xref="S2.Thmfact2.p1.3.3.m3.3.3.4.cmml">V</mi><mo id="S2.Thmfact2.p1.3.3.m3.3.3.3" xref="S2.Thmfact2.p1.3.3.m3.3.3.3.cmml">=</mo><mrow id="S2.Thmfact2.p1.3.3.m3.3.3.2.2" xref="S2.Thmfact2.p1.3.3.m3.3.3.2.3.cmml"><mo id="S2.Thmfact2.p1.3.3.m3.3.3.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.Thmfact2.p1.3.3.m3.3.3.2.3.cmml">{</mo><msub id="S2.Thmfact2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1" xref="S2.Thmfact2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Thmfact2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.2" xref="S2.Thmfact2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.2.cmml">𝐯</mi><mn id="S2.Thmfact2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3" xref="S2.Thmfact2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S2.Thmfact2.p1.3.3.m3.3.3.2.2.4" xref="S2.Thmfact2.p1.3.3.m3.3.3.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.Thmfact2.p1.3.3.m3.1.1" mathvariant="normal" xref="S2.Thmfact2.p1.3.3.m3.1.1.cmml">…</mi><mo id="S2.Thmfact2.p1.3.3.m3.3.3.2.2.5" xref="S2.Thmfact2.p1.3.3.m3.3.3.2.3.cmml">,</mo><msub id="S2.Thmfact2.p1.3.3.m3.3.3.2.2.2" xref="S2.Thmfact2.p1.3.3.m3.3.3.2.2.2.cmml"><mi id="S2.Thmfact2.p1.3.3.m3.3.3.2.2.2.2" xref="S2.Thmfact2.p1.3.3.m3.3.3.2.2.2.2.cmml">𝐯</mi><mi id="S2.Thmfact2.p1.3.3.m3.3.3.2.2.2.3" xref="S2.Thmfact2.p1.3.3.m3.3.3.2.2.2.3.cmml">d</mi></msub><mo id="S2.Thmfact2.p1.3.3.m3.3.3.2.2.6" stretchy="false" xref="S2.Thmfact2.p1.3.3.m3.3.3.2.3.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmfact2.p1.3.3.m3.3b"><apply id="S2.Thmfact2.p1.3.3.m3.3.3.cmml" xref="S2.Thmfact2.p1.3.3.m3.3.3"><eq id="S2.Thmfact2.p1.3.3.m3.3.3.3.cmml" xref="S2.Thmfact2.p1.3.3.m3.3.3.3"></eq><ci id="S2.Thmfact2.p1.3.3.m3.3.3.4.cmml" xref="S2.Thmfact2.p1.3.3.m3.3.3.4">𝑉</ci><set id="S2.Thmfact2.p1.3.3.m3.3.3.2.3.cmml" xref="S2.Thmfact2.p1.3.3.m3.3.3.2.2"><apply id="S2.Thmfact2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmfact2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmfact2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmfact2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmfact2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmfact2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.2">𝐯</ci><cn id="S2.Thmfact2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.Thmfact2.p1.3.3.m3.2.2.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S2.Thmfact2.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.Thmfact2.p1.3.3.m3.1.1">…</ci><apply id="S2.Thmfact2.p1.3.3.m3.3.3.2.2.2.cmml" xref="S2.Thmfact2.p1.3.3.m3.3.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmfact2.p1.3.3.m3.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Thmfact2.p1.3.3.m3.3.3.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmfact2.p1.3.3.m3.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Thmfact2.p1.3.3.m3.3.3.2.2.2.2">𝐯</ci><ci id="S2.Thmfact2.p1.3.3.m3.3.3.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Thmfact2.p1.3.3.m3.3.3.2.2.2.3">𝑑</ci></apply></set></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmfact2.p1.3.3.m3.3c">V=\{\mathbf{v}_{1},\ldots,\mathbf{v}_{d}\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmfact2.p1.3.3.m3.3d">italic_V = { bold_v start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , bold_v start_POSTSUBSCRIPT italic_d end_POSTSUBSCRIPT }</annotation></semantics></math>, <math alttext="W=\{\mathbf{w}_{1},\ldots,\mathbf{w}_{d}\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmfact2.p1.4.4.m4.3"><semantics id="S2.Thmfact2.p1.4.4.m4.3a"><mrow id="S2.Thmfact2.p1.4.4.m4.3.3" xref="S2.Thmfact2.p1.4.4.m4.3.3.cmml"><mi id="S2.Thmfact2.p1.4.4.m4.3.3.4" xref="S2.Thmfact2.p1.4.4.m4.3.3.4.cmml">W</mi><mo id="S2.Thmfact2.p1.4.4.m4.3.3.3" xref="S2.Thmfact2.p1.4.4.m4.3.3.3.cmml">=</mo><mrow id="S2.Thmfact2.p1.4.4.m4.3.3.2.2" xref="S2.Thmfact2.p1.4.4.m4.3.3.2.3.cmml"><mo id="S2.Thmfact2.p1.4.4.m4.3.3.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.Thmfact2.p1.4.4.m4.3.3.2.3.cmml">{</mo><msub id="S2.Thmfact2.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1" xref="S2.Thmfact2.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Thmfact2.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.2" xref="S2.Thmfact2.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.2.cmml">𝐰</mi><mn id="S2.Thmfact2.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.3" xref="S2.Thmfact2.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S2.Thmfact2.p1.4.4.m4.3.3.2.2.4" xref="S2.Thmfact2.p1.4.4.m4.3.3.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.Thmfact2.p1.4.4.m4.1.1" mathvariant="normal" xref="S2.Thmfact2.p1.4.4.m4.1.1.cmml">…</mi><mo id="S2.Thmfact2.p1.4.4.m4.3.3.2.2.5" xref="S2.Thmfact2.p1.4.4.m4.3.3.2.3.cmml">,</mo><msub id="S2.Thmfact2.p1.4.4.m4.3.3.2.2.2" xref="S2.Thmfact2.p1.4.4.m4.3.3.2.2.2.cmml"><mi id="S2.Thmfact2.p1.4.4.m4.3.3.2.2.2.2" xref="S2.Thmfact2.p1.4.4.m4.3.3.2.2.2.2.cmml">𝐰</mi><mi id="S2.Thmfact2.p1.4.4.m4.3.3.2.2.2.3" xref="S2.Thmfact2.p1.4.4.m4.3.3.2.2.2.3.cmml">d</mi></msub><mo id="S2.Thmfact2.p1.4.4.m4.3.3.2.2.6" stretchy="false" xref="S2.Thmfact2.p1.4.4.m4.3.3.2.3.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmfact2.p1.4.4.m4.3b"><apply id="S2.Thmfact2.p1.4.4.m4.3.3.cmml" xref="S2.Thmfact2.p1.4.4.m4.3.3"><eq id="S2.Thmfact2.p1.4.4.m4.3.3.3.cmml" xref="S2.Thmfact2.p1.4.4.m4.3.3.3"></eq><ci id="S2.Thmfact2.p1.4.4.m4.3.3.4.cmml" xref="S2.Thmfact2.p1.4.4.m4.3.3.4">𝑊</ci><set id="S2.Thmfact2.p1.4.4.m4.3.3.2.3.cmml" xref="S2.Thmfact2.p1.4.4.m4.3.3.2.2"><apply id="S2.Thmfact2.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmfact2.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmfact2.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmfact2.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmfact2.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmfact2.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.2">𝐰</ci><cn id="S2.Thmfact2.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.Thmfact2.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S2.Thmfact2.p1.4.4.m4.1.1.cmml" xref="S2.Thmfact2.p1.4.4.m4.1.1">…</ci><apply id="S2.Thmfact2.p1.4.4.m4.3.3.2.2.2.cmml" xref="S2.Thmfact2.p1.4.4.m4.3.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmfact2.p1.4.4.m4.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Thmfact2.p1.4.4.m4.3.3.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmfact2.p1.4.4.m4.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Thmfact2.p1.4.4.m4.3.3.2.2.2.2">𝐰</ci><ci id="S2.Thmfact2.p1.4.4.m4.3.3.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Thmfact2.p1.4.4.m4.3.3.2.2.2.3">𝑑</ci></apply></set></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmfact2.p1.4.4.m4.3c">W=\{\mathbf{w}_{1},\ldots,\mathbf{w}_{d}\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmfact2.p1.4.4.m4.3d">italic_W = { bold_w start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , bold_w start_POSTSUBSCRIPT italic_d end_POSTSUBSCRIPT }</annotation></semantics></math> be two pairs of mutually unbiased bases in <math alttext="\mathbb{C}^{d}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmfact2.p1.5.5.m5.1"><semantics id="S2.Thmfact2.p1.5.5.m5.1a"><msup id="S2.Thmfact2.p1.5.5.m5.1.1" xref="S2.Thmfact2.p1.5.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S2.Thmfact2.p1.5.5.m5.1.1.2" xref="S2.Thmfact2.p1.5.5.m5.1.1.2.cmml">ℂ</mi><mi id="S2.Thmfact2.p1.5.5.m5.1.1.3" xref="S2.Thmfact2.p1.5.5.m5.1.1.3.cmml">d</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmfact2.p1.5.5.m5.1b"><apply id="S2.Thmfact2.p1.5.5.m5.1.1.cmml" xref="S2.Thmfact2.p1.5.5.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmfact2.p1.5.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmfact2.p1.5.5.m5.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.Thmfact2.p1.5.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmfact2.p1.5.5.m5.1.1.2">ℂ</ci><ci id="S2.Thmfact2.p1.5.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S2.Thmfact2.p1.5.5.m5.1.1.3">𝑑</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmfact2.p1.5.5.m5.1c">\mathbb{C}^{d}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmfact2.p1.5.5.m5.1d">blackboard_C start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, with the corresponding complex Hadamard matrices <math alttext="H=H_{X,Y}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmfact2.p1.6.6.m6.2"><semantics id="S2.Thmfact2.p1.6.6.m6.2a"><mrow id="S2.Thmfact2.p1.6.6.m6.2.3" xref="S2.Thmfact2.p1.6.6.m6.2.3.cmml"><mi id="S2.Thmfact2.p1.6.6.m6.2.3.2" xref="S2.Thmfact2.p1.6.6.m6.2.3.2.cmml">H</mi><mo id="S2.Thmfact2.p1.6.6.m6.2.3.1" xref="S2.Thmfact2.p1.6.6.m6.2.3.1.cmml">=</mo><msub id="S2.Thmfact2.p1.6.6.m6.2.3.3" xref="S2.Thmfact2.p1.6.6.m6.2.3.3.cmml"><mi id="S2.Thmfact2.p1.6.6.m6.2.3.3.2" xref="S2.Thmfact2.p1.6.6.m6.2.3.3.2.cmml">H</mi><mrow id="S2.Thmfact2.p1.6.6.m6.2.2.2.4" xref="S2.Thmfact2.p1.6.6.m6.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.Thmfact2.p1.6.6.m6.1.1.1.1" xref="S2.Thmfact2.p1.6.6.m6.1.1.1.1.cmml">X</mi><mo id="S2.Thmfact2.p1.6.6.m6.2.2.2.4.1" xref="S2.Thmfact2.p1.6.6.m6.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.Thmfact2.p1.6.6.m6.2.2.2.2" xref="S2.Thmfact2.p1.6.6.m6.2.2.2.2.cmml">Y</mi></mrow></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmfact2.p1.6.6.m6.2b"><apply id="S2.Thmfact2.p1.6.6.m6.2.3.cmml" xref="S2.Thmfact2.p1.6.6.m6.2.3"><eq id="S2.Thmfact2.p1.6.6.m6.2.3.1.cmml" xref="S2.Thmfact2.p1.6.6.m6.2.3.1"></eq><ci id="S2.Thmfact2.p1.6.6.m6.2.3.2.cmml" xref="S2.Thmfact2.p1.6.6.m6.2.3.2">𝐻</ci><apply id="S2.Thmfact2.p1.6.6.m6.2.3.3.cmml" xref="S2.Thmfact2.p1.6.6.m6.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmfact2.p1.6.6.m6.2.3.3.1.cmml" xref="S2.Thmfact2.p1.6.6.m6.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmfact2.p1.6.6.m6.2.3.3.2.cmml" xref="S2.Thmfact2.p1.6.6.m6.2.3.3.2">𝐻</ci><list id="S2.Thmfact2.p1.6.6.m6.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Thmfact2.p1.6.6.m6.2.2.2.4"><ci id="S2.Thmfact2.p1.6.6.m6.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmfact2.p1.6.6.m6.1.1.1.1">𝑋</ci><ci id="S2.Thmfact2.p1.6.6.m6.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Thmfact2.p1.6.6.m6.2.2.2.2">𝑌</ci></list></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmfact2.p1.6.6.m6.2c">H=H_{X,Y}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmfact2.p1.6.6.m6.2d">italic_H = italic_H start_POSTSUBSCRIPT italic_X , italic_Y end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="\tilde{H}=H_{V,W}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmfact2.p1.7.7.m7.2"><semantics id="S2.Thmfact2.p1.7.7.m7.2a"><mrow id="S2.Thmfact2.p1.7.7.m7.2.3" xref="S2.Thmfact2.p1.7.7.m7.2.3.cmml"><mover accent="true" id="S2.Thmfact2.p1.7.7.m7.2.3.2" xref="S2.Thmfact2.p1.7.7.m7.2.3.2.cmml"><mi id="S2.Thmfact2.p1.7.7.m7.2.3.2.2" xref="S2.Thmfact2.p1.7.7.m7.2.3.2.2.cmml">H</mi><mo id="S2.Thmfact2.p1.7.7.m7.2.3.2.1" xref="S2.Thmfact2.p1.7.7.m7.2.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S2.Thmfact2.p1.7.7.m7.2.3.1" xref="S2.Thmfact2.p1.7.7.m7.2.3.1.cmml">=</mo><msub id="S2.Thmfact2.p1.7.7.m7.2.3.3" xref="S2.Thmfact2.p1.7.7.m7.2.3.3.cmml"><mi id="S2.Thmfact2.p1.7.7.m7.2.3.3.2" xref="S2.Thmfact2.p1.7.7.m7.2.3.3.2.cmml">H</mi><mrow id="S2.Thmfact2.p1.7.7.m7.2.2.2.4" xref="S2.Thmfact2.p1.7.7.m7.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.Thmfact2.p1.7.7.m7.1.1.1.1" xref="S2.Thmfact2.p1.7.7.m7.1.1.1.1.cmml">V</mi><mo id="S2.Thmfact2.p1.7.7.m7.2.2.2.4.1" xref="S2.Thmfact2.p1.7.7.m7.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.Thmfact2.p1.7.7.m7.2.2.2.2" xref="S2.Thmfact2.p1.7.7.m7.2.2.2.2.cmml">W</mi></mrow></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmfact2.p1.7.7.m7.2b"><apply id="S2.Thmfact2.p1.7.7.m7.2.3.cmml" xref="S2.Thmfact2.p1.7.7.m7.2.3"><eq id="S2.Thmfact2.p1.7.7.m7.2.3.1.cmml" xref="S2.Thmfact2.p1.7.7.m7.2.3.1"></eq><apply id="S2.Thmfact2.p1.7.7.m7.2.3.2.cmml" xref="S2.Thmfact2.p1.7.7.m7.2.3.2"><ci id="S2.Thmfact2.p1.7.7.m7.2.3.2.1.cmml" xref="S2.Thmfact2.p1.7.7.m7.2.3.2.1">~</ci><ci id="S2.Thmfact2.p1.7.7.m7.2.3.2.2.cmml" xref="S2.Thmfact2.p1.7.7.m7.2.3.2.2">𝐻</ci></apply><apply id="S2.Thmfact2.p1.7.7.m7.2.3.3.cmml" xref="S2.Thmfact2.p1.7.7.m7.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmfact2.p1.7.7.m7.2.3.3.1.cmml" xref="S2.Thmfact2.p1.7.7.m7.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmfact2.p1.7.7.m7.2.3.3.2.cmml" xref="S2.Thmfact2.p1.7.7.m7.2.3.3.2">𝐻</ci><list id="S2.Thmfact2.p1.7.7.m7.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Thmfact2.p1.7.7.m7.2.2.2.4"><ci id="S2.Thmfact2.p1.7.7.m7.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmfact2.p1.7.7.m7.1.1.1.1">𝑉</ci><ci id="S2.Thmfact2.p1.7.7.m7.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Thmfact2.p1.7.7.m7.2.2.2.2">𝑊</ci></list></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmfact2.p1.7.7.m7.2c">\tilde{H}=H_{V,W}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmfact2.p1.7.7.m7.2d">over~ start_ARG italic_H end_ARG = italic_H start_POSTSUBSCRIPT italic_V , italic_W end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> defined as in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#S2.E1" title="Equation 2.1 ‣ 2. Pairs of MUBs ‣ Triplets of Mutually Unbiased Bases"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2.1</span></a>). The following are equivalent:</span></p> <ol class="ltx_enumerate" id="S2.I2"> <li class="ltx_item" id="S2.I2.i1" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">(1)</span> <div class="ltx_para" id="S2.I2.i1.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.I2.i1.p1.7"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.I2.i1.p1.7.1">The complex Hadamard matrix </span><math alttext="H" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.I2.i1.p1.1.m1.1"><semantics id="S2.I2.i1.p1.1.m1.1a"><mi id="S2.I2.i1.p1.1.m1.1.1" xref="S2.I2.i1.p1.1.m1.1.1.cmml">H</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.I2.i1.p1.1.m1.1b"><ci id="S2.I2.i1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.I2.i1.p1.1.m1.1.1">𝐻</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.I2.i1.p1.1.m1.1c">H</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.I2.i1.p1.1.m1.1d">italic_H</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.I2.i1.p1.7.2"> is equivalent to </span><math alttext="\tilde{H}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.I2.i1.p1.2.m2.1"><semantics id="S2.I2.i1.p1.2.m2.1a"><mover accent="true" id="S2.I2.i1.p1.2.m2.1.1" xref="S2.I2.i1.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S2.I2.i1.p1.2.m2.1.1.2" xref="S2.I2.i1.p1.2.m2.1.1.2.cmml">H</mi><mo id="S2.I2.i1.p1.2.m2.1.1.1" xref="S2.I2.i1.p1.2.m2.1.1.1.cmml">~</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.I2.i1.p1.2.m2.1b"><apply id="S2.I2.i1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.I2.i1.p1.2.m2.1.1"><ci id="S2.I2.i1.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.I2.i1.p1.2.m2.1.1.1">~</ci><ci id="S2.I2.i1.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.I2.i1.p1.2.m2.1.1.2">𝐻</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.I2.i1.p1.2.m2.1c">\tilde{H}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.I2.i1.p1.2.m2.1d">over~ start_ARG italic_H end_ARG</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.I2.i1.p1.7.3"> or </span><math alttext="\tilde{H}^{\ast}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.I2.i1.p1.3.m3.1"><semantics id="S2.I2.i1.p1.3.m3.1a"><msup id="S2.I2.i1.p1.3.m3.1.1" xref="S2.I2.i1.p1.3.m3.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S2.I2.i1.p1.3.m3.1.1.2" xref="S2.I2.i1.p1.3.m3.1.1.2.cmml"><mi id="S2.I2.i1.p1.3.m3.1.1.2.2" xref="S2.I2.i1.p1.3.m3.1.1.2.2.cmml">H</mi><mo id="S2.I2.i1.p1.3.m3.1.1.2.1" xref="S2.I2.i1.p1.3.m3.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S2.I2.i1.p1.3.m3.1.1.3" xref="S2.I2.i1.p1.3.m3.1.1.3.cmml">∗</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.I2.i1.p1.3.m3.1b"><apply id="S2.I2.i1.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.I2.i1.p1.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I2.i1.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S2.I2.i1.p1.3.m3.1.1">superscript</csymbol><apply id="S2.I2.i1.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S2.I2.i1.p1.3.m3.1.1.2"><ci id="S2.I2.i1.p1.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S2.I2.i1.p1.3.m3.1.1.2.1">~</ci><ci id="S2.I2.i1.p1.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S2.I2.i1.p1.3.m3.1.1.2.2">𝐻</ci></apply><ci id="S2.I2.i1.p1.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S2.I2.i1.p1.3.m3.1.1.3">∗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.I2.i1.p1.3.m3.1c">\tilde{H}^{\ast}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.I2.i1.p1.3.m3.1d">over~ start_ARG italic_H end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.I2.i1.p1.7.4">. That is, </span><math alttext="H=P_{1}D_{1}\tilde{H}D_{2}P_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.I2.i1.p1.4.m4.1"><semantics id="S2.I2.i1.p1.4.m4.1a"><mrow id="S2.I2.i1.p1.4.m4.1.1" xref="S2.I2.i1.p1.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S2.I2.i1.p1.4.m4.1.1.2" xref="S2.I2.i1.p1.4.m4.1.1.2.cmml">H</mi><mo id="S2.I2.i1.p1.4.m4.1.1.1" xref="S2.I2.i1.p1.4.m4.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.I2.i1.p1.4.m4.1.1.3" xref="S2.I2.i1.p1.4.m4.1.1.3.cmml"><msub id="S2.I2.i1.p1.4.m4.1.1.3.2" xref="S2.I2.i1.p1.4.m4.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.I2.i1.p1.4.m4.1.1.3.2.2" xref="S2.I2.i1.p1.4.m4.1.1.3.2.2.cmml">P</mi><mn id="S2.I2.i1.p1.4.m4.1.1.3.2.3" xref="S2.I2.i1.p1.4.m4.1.1.3.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S2.I2.i1.p1.4.m4.1.1.3.1" xref="S2.I2.i1.p1.4.m4.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.I2.i1.p1.4.m4.1.1.3.3" xref="S2.I2.i1.p1.4.m4.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.I2.i1.p1.4.m4.1.1.3.3.2" xref="S2.I2.i1.p1.4.m4.1.1.3.3.2.cmml">D</mi><mn id="S2.I2.i1.p1.4.m4.1.1.3.3.3" xref="S2.I2.i1.p1.4.m4.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S2.I2.i1.p1.4.m4.1.1.3.1a" xref="S2.I2.i1.p1.4.m4.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S2.I2.i1.p1.4.m4.1.1.3.4" xref="S2.I2.i1.p1.4.m4.1.1.3.4.cmml"><mi id="S2.I2.i1.p1.4.m4.1.1.3.4.2" xref="S2.I2.i1.p1.4.m4.1.1.3.4.2.cmml">H</mi><mo id="S2.I2.i1.p1.4.m4.1.1.3.4.1" xref="S2.I2.i1.p1.4.m4.1.1.3.4.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S2.I2.i1.p1.4.m4.1.1.3.1b" xref="S2.I2.i1.p1.4.m4.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.I2.i1.p1.4.m4.1.1.3.5" xref="S2.I2.i1.p1.4.m4.1.1.3.5.cmml"><mi id="S2.I2.i1.p1.4.m4.1.1.3.5.2" xref="S2.I2.i1.p1.4.m4.1.1.3.5.2.cmml">D</mi><mn id="S2.I2.i1.p1.4.m4.1.1.3.5.3" xref="S2.I2.i1.p1.4.m4.1.1.3.5.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S2.I2.i1.p1.4.m4.1.1.3.1c" xref="S2.I2.i1.p1.4.m4.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.I2.i1.p1.4.m4.1.1.3.6" xref="S2.I2.i1.p1.4.m4.1.1.3.6.cmml"><mi id="S2.I2.i1.p1.4.m4.1.1.3.6.2" xref="S2.I2.i1.p1.4.m4.1.1.3.6.2.cmml">P</mi><mn id="S2.I2.i1.p1.4.m4.1.1.3.6.3" xref="S2.I2.i1.p1.4.m4.1.1.3.6.3.cmml">2</mn></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.I2.i1.p1.4.m4.1b"><apply id="S2.I2.i1.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S2.I2.i1.p1.4.m4.1.1"><eq id="S2.I2.i1.p1.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S2.I2.i1.p1.4.m4.1.1.1"></eq><ci id="S2.I2.i1.p1.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S2.I2.i1.p1.4.m4.1.1.2">𝐻</ci><apply id="S2.I2.i1.p1.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S2.I2.i1.p1.4.m4.1.1.3"><times id="S2.I2.i1.p1.4.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S2.I2.i1.p1.4.m4.1.1.3.1"></times><apply id="S2.I2.i1.p1.4.m4.1.1.3.2.cmml" xref="S2.I2.i1.p1.4.m4.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I2.i1.p1.4.m4.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.I2.i1.p1.4.m4.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.I2.i1.p1.4.m4.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.I2.i1.p1.4.m4.1.1.3.2.2">𝑃</ci><cn id="S2.I2.i1.p1.4.m4.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.I2.i1.p1.4.m4.1.1.3.2.3">1</cn></apply><apply id="S2.I2.i1.p1.4.m4.1.1.3.3.cmml" xref="S2.I2.i1.p1.4.m4.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I2.i1.p1.4.m4.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.I2.i1.p1.4.m4.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.I2.i1.p1.4.m4.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.I2.i1.p1.4.m4.1.1.3.3.2">𝐷</ci><cn id="S2.I2.i1.p1.4.m4.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.I2.i1.p1.4.m4.1.1.3.3.3">1</cn></apply><apply id="S2.I2.i1.p1.4.m4.1.1.3.4.cmml" xref="S2.I2.i1.p1.4.m4.1.1.3.4"><ci id="S2.I2.i1.p1.4.m4.1.1.3.4.1.cmml" xref="S2.I2.i1.p1.4.m4.1.1.3.4.1">~</ci><ci id="S2.I2.i1.p1.4.m4.1.1.3.4.2.cmml" xref="S2.I2.i1.p1.4.m4.1.1.3.4.2">𝐻</ci></apply><apply id="S2.I2.i1.p1.4.m4.1.1.3.5.cmml" xref="S2.I2.i1.p1.4.m4.1.1.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I2.i1.p1.4.m4.1.1.3.5.1.cmml" xref="S2.I2.i1.p1.4.m4.1.1.3.5">subscript</csymbol><ci id="S2.I2.i1.p1.4.m4.1.1.3.5.2.cmml" xref="S2.I2.i1.p1.4.m4.1.1.3.5.2">𝐷</ci><cn id="S2.I2.i1.p1.4.m4.1.1.3.5.3.cmml" type="integer" xref="S2.I2.i1.p1.4.m4.1.1.3.5.3">2</cn></apply><apply id="S2.I2.i1.p1.4.m4.1.1.3.6.cmml" xref="S2.I2.i1.p1.4.m4.1.1.3.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I2.i1.p1.4.m4.1.1.3.6.1.cmml" xref="S2.I2.i1.p1.4.m4.1.1.3.6">subscript</csymbol><ci id="S2.I2.i1.p1.4.m4.1.1.3.6.2.cmml" xref="S2.I2.i1.p1.4.m4.1.1.3.6.2">𝑃</ci><cn id="S2.I2.i1.p1.4.m4.1.1.3.6.3.cmml" type="integer" xref="S2.I2.i1.p1.4.m4.1.1.3.6.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.I2.i1.p1.4.m4.1c">H=P_{1}D_{1}\tilde{H}D_{2}P_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.I2.i1.p1.4.m4.1d">italic_H = italic_P start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_D start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT over~ start_ARG italic_H end_ARG italic_D start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT italic_P start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.I2.i1.p1.7.5"> or </span><math alttext="H=P_{1}D_{1}\tilde{H}^{\ast}D_{2}P_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.I2.i1.p1.5.m5.1"><semantics id="S2.I2.i1.p1.5.m5.1a"><mrow id="S2.I2.i1.p1.5.m5.1.1" xref="S2.I2.i1.p1.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S2.I2.i1.p1.5.m5.1.1.2" xref="S2.I2.i1.p1.5.m5.1.1.2.cmml">H</mi><mo id="S2.I2.i1.p1.5.m5.1.1.1" xref="S2.I2.i1.p1.5.m5.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.I2.i1.p1.5.m5.1.1.3" xref="S2.I2.i1.p1.5.m5.1.1.3.cmml"><msub id="S2.I2.i1.p1.5.m5.1.1.3.2" xref="S2.I2.i1.p1.5.m5.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.I2.i1.p1.5.m5.1.1.3.2.2" xref="S2.I2.i1.p1.5.m5.1.1.3.2.2.cmml">P</mi><mn id="S2.I2.i1.p1.5.m5.1.1.3.2.3" xref="S2.I2.i1.p1.5.m5.1.1.3.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S2.I2.i1.p1.5.m5.1.1.3.1" xref="S2.I2.i1.p1.5.m5.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.I2.i1.p1.5.m5.1.1.3.3" xref="S2.I2.i1.p1.5.m5.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.I2.i1.p1.5.m5.1.1.3.3.2" xref="S2.I2.i1.p1.5.m5.1.1.3.3.2.cmml">D</mi><mn id="S2.I2.i1.p1.5.m5.1.1.3.3.3" xref="S2.I2.i1.p1.5.m5.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S2.I2.i1.p1.5.m5.1.1.3.1a" xref="S2.I2.i1.p1.5.m5.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S2.I2.i1.p1.5.m5.1.1.3.4" xref="S2.I2.i1.p1.5.m5.1.1.3.4.cmml"><mover accent="true" id="S2.I2.i1.p1.5.m5.1.1.3.4.2" xref="S2.I2.i1.p1.5.m5.1.1.3.4.2.cmml"><mi id="S2.I2.i1.p1.5.m5.1.1.3.4.2.2" xref="S2.I2.i1.p1.5.m5.1.1.3.4.2.2.cmml">H</mi><mo id="S2.I2.i1.p1.5.m5.1.1.3.4.2.1" xref="S2.I2.i1.p1.5.m5.1.1.3.4.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S2.I2.i1.p1.5.m5.1.1.3.4.3" xref="S2.I2.i1.p1.5.m5.1.1.3.4.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S2.I2.i1.p1.5.m5.1.1.3.1b" xref="S2.I2.i1.p1.5.m5.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.I2.i1.p1.5.m5.1.1.3.5" xref="S2.I2.i1.p1.5.m5.1.1.3.5.cmml"><mi id="S2.I2.i1.p1.5.m5.1.1.3.5.2" xref="S2.I2.i1.p1.5.m5.1.1.3.5.2.cmml">D</mi><mn id="S2.I2.i1.p1.5.m5.1.1.3.5.3" xref="S2.I2.i1.p1.5.m5.1.1.3.5.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S2.I2.i1.p1.5.m5.1.1.3.1c" xref="S2.I2.i1.p1.5.m5.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.I2.i1.p1.5.m5.1.1.3.6" xref="S2.I2.i1.p1.5.m5.1.1.3.6.cmml"><mi id="S2.I2.i1.p1.5.m5.1.1.3.6.2" xref="S2.I2.i1.p1.5.m5.1.1.3.6.2.cmml">P</mi><mn id="S2.I2.i1.p1.5.m5.1.1.3.6.3" xref="S2.I2.i1.p1.5.m5.1.1.3.6.3.cmml">2</mn></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.I2.i1.p1.5.m5.1b"><apply id="S2.I2.i1.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="S2.I2.i1.p1.5.m5.1.1"><eq id="S2.I2.i1.p1.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S2.I2.i1.p1.5.m5.1.1.1"></eq><ci id="S2.I2.i1.p1.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S2.I2.i1.p1.5.m5.1.1.2">𝐻</ci><apply id="S2.I2.i1.p1.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S2.I2.i1.p1.5.m5.1.1.3"><times id="S2.I2.i1.p1.5.m5.1.1.3.1.cmml" xref="S2.I2.i1.p1.5.m5.1.1.3.1"></times><apply id="S2.I2.i1.p1.5.m5.1.1.3.2.cmml" xref="S2.I2.i1.p1.5.m5.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I2.i1.p1.5.m5.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.I2.i1.p1.5.m5.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.I2.i1.p1.5.m5.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.I2.i1.p1.5.m5.1.1.3.2.2">𝑃</ci><cn id="S2.I2.i1.p1.5.m5.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.I2.i1.p1.5.m5.1.1.3.2.3">1</cn></apply><apply id="S2.I2.i1.p1.5.m5.1.1.3.3.cmml" xref="S2.I2.i1.p1.5.m5.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I2.i1.p1.5.m5.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.I2.i1.p1.5.m5.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.I2.i1.p1.5.m5.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.I2.i1.p1.5.m5.1.1.3.3.2">𝐷</ci><cn id="S2.I2.i1.p1.5.m5.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.I2.i1.p1.5.m5.1.1.3.3.3">1</cn></apply><apply id="S2.I2.i1.p1.5.m5.1.1.3.4.cmml" xref="S2.I2.i1.p1.5.m5.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I2.i1.p1.5.m5.1.1.3.4.1.cmml" xref="S2.I2.i1.p1.5.m5.1.1.3.4">superscript</csymbol><apply id="S2.I2.i1.p1.5.m5.1.1.3.4.2.cmml" xref="S2.I2.i1.p1.5.m5.1.1.3.4.2"><ci id="S2.I2.i1.p1.5.m5.1.1.3.4.2.1.cmml" xref="S2.I2.i1.p1.5.m5.1.1.3.4.2.1">~</ci><ci id="S2.I2.i1.p1.5.m5.1.1.3.4.2.2.cmml" xref="S2.I2.i1.p1.5.m5.1.1.3.4.2.2">𝐻</ci></apply><ci id="S2.I2.i1.p1.5.m5.1.1.3.4.3.cmml" xref="S2.I2.i1.p1.5.m5.1.1.3.4.3">∗</ci></apply><apply id="S2.I2.i1.p1.5.m5.1.1.3.5.cmml" xref="S2.I2.i1.p1.5.m5.1.1.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I2.i1.p1.5.m5.1.1.3.5.1.cmml" xref="S2.I2.i1.p1.5.m5.1.1.3.5">subscript</csymbol><ci id="S2.I2.i1.p1.5.m5.1.1.3.5.2.cmml" xref="S2.I2.i1.p1.5.m5.1.1.3.5.2">𝐷</ci><cn id="S2.I2.i1.p1.5.m5.1.1.3.5.3.cmml" type="integer" xref="S2.I2.i1.p1.5.m5.1.1.3.5.3">2</cn></apply><apply id="S2.I2.i1.p1.5.m5.1.1.3.6.cmml" xref="S2.I2.i1.p1.5.m5.1.1.3.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I2.i1.p1.5.m5.1.1.3.6.1.cmml" xref="S2.I2.i1.p1.5.m5.1.1.3.6">subscript</csymbol><ci id="S2.I2.i1.p1.5.m5.1.1.3.6.2.cmml" xref="S2.I2.i1.p1.5.m5.1.1.3.6.2">𝑃</ci><cn id="S2.I2.i1.p1.5.m5.1.1.3.6.3.cmml" type="integer" xref="S2.I2.i1.p1.5.m5.1.1.3.6.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.I2.i1.p1.5.m5.1c">H=P_{1}D_{1}\tilde{H}^{\ast}D_{2}P_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.I2.i1.p1.5.m5.1d">italic_H = italic_P start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_D start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT over~ start_ARG italic_H end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_D start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT italic_P start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.I2.i1.p1.7.6"> with some unitary diagonal matrices </span><math alttext="D_{1},D_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.I2.i1.p1.6.m6.2"><semantics id="S2.I2.i1.p1.6.m6.2a"><mrow id="S2.I2.i1.p1.6.m6.2.2.2" xref="S2.I2.i1.p1.6.m6.2.2.3.cmml"><msub id="S2.I2.i1.p1.6.m6.1.1.1.1" xref="S2.I2.i1.p1.6.m6.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.I2.i1.p1.6.m6.1.1.1.1.2" xref="S2.I2.i1.p1.6.m6.1.1.1.1.2.cmml">D</mi><mn id="S2.I2.i1.p1.6.m6.1.1.1.1.3" xref="S2.I2.i1.p1.6.m6.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S2.I2.i1.p1.6.m6.2.2.2.3" xref="S2.I2.i1.p1.6.m6.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S2.I2.i1.p1.6.m6.2.2.2.2" xref="S2.I2.i1.p1.6.m6.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.I2.i1.p1.6.m6.2.2.2.2.2" xref="S2.I2.i1.p1.6.m6.2.2.2.2.2.cmml">D</mi><mn id="S2.I2.i1.p1.6.m6.2.2.2.2.3" xref="S2.I2.i1.p1.6.m6.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.I2.i1.p1.6.m6.2b"><list id="S2.I2.i1.p1.6.m6.2.2.3.cmml" xref="S2.I2.i1.p1.6.m6.2.2.2"><apply id="S2.I2.i1.p1.6.m6.1.1.1.1.cmml" xref="S2.I2.i1.p1.6.m6.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I2.i1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.I2.i1.p1.6.m6.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.I2.i1.p1.6.m6.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.I2.i1.p1.6.m6.1.1.1.1.2">𝐷</ci><cn id="S2.I2.i1.p1.6.m6.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.I2.i1.p1.6.m6.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S2.I2.i1.p1.6.m6.2.2.2.2.cmml" xref="S2.I2.i1.p1.6.m6.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I2.i1.p1.6.m6.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.I2.i1.p1.6.m6.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.I2.i1.p1.6.m6.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.I2.i1.p1.6.m6.2.2.2.2.2">𝐷</ci><cn id="S2.I2.i1.p1.6.m6.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.I2.i1.p1.6.m6.2.2.2.2.3">2</cn></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.I2.i1.p1.6.m6.2c">D_{1},D_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.I2.i1.p1.6.m6.2d">italic_D start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_D start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.I2.i1.p1.7.7"> and permutation matrices </span><math alttext="P_{1},P_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.I2.i1.p1.7.m7.2"><semantics id="S2.I2.i1.p1.7.m7.2a"><mrow id="S2.I2.i1.p1.7.m7.2.2.2" xref="S2.I2.i1.p1.7.m7.2.2.3.cmml"><msub id="S2.I2.i1.p1.7.m7.1.1.1.1" xref="S2.I2.i1.p1.7.m7.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.I2.i1.p1.7.m7.1.1.1.1.2" xref="S2.I2.i1.p1.7.m7.1.1.1.1.2.cmml">P</mi><mn id="S2.I2.i1.p1.7.m7.1.1.1.1.3" xref="S2.I2.i1.p1.7.m7.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S2.I2.i1.p1.7.m7.2.2.2.3" xref="S2.I2.i1.p1.7.m7.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S2.I2.i1.p1.7.m7.2.2.2.2" xref="S2.I2.i1.p1.7.m7.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.I2.i1.p1.7.m7.2.2.2.2.2" xref="S2.I2.i1.p1.7.m7.2.2.2.2.2.cmml">P</mi><mn id="S2.I2.i1.p1.7.m7.2.2.2.2.3" xref="S2.I2.i1.p1.7.m7.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.I2.i1.p1.7.m7.2b"><list id="S2.I2.i1.p1.7.m7.2.2.3.cmml" xref="S2.I2.i1.p1.7.m7.2.2.2"><apply id="S2.I2.i1.p1.7.m7.1.1.1.1.cmml" xref="S2.I2.i1.p1.7.m7.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I2.i1.p1.7.m7.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.I2.i1.p1.7.m7.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.I2.i1.p1.7.m7.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.I2.i1.p1.7.m7.1.1.1.1.2">𝑃</ci><cn id="S2.I2.i1.p1.7.m7.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.I2.i1.p1.7.m7.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S2.I2.i1.p1.7.m7.2.2.2.2.cmml" xref="S2.I2.i1.p1.7.m7.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I2.i1.p1.7.m7.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.I2.i1.p1.7.m7.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.I2.i1.p1.7.m7.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.I2.i1.p1.7.m7.2.2.2.2.2">𝑃</ci><cn id="S2.I2.i1.p1.7.m7.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.I2.i1.p1.7.m7.2.2.2.2.3">2</cn></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.I2.i1.p1.7.m7.2c">P_{1},P_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.I2.i1.p1.7.m7.2d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_P start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.I2.i1.p1.7.8">.</span></p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S2.I2.i2" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">(2)</span> <div class="ltx_para" id="S2.I2.i2.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.I2.i2.p1.2"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.I2.i2.p1.2.1">The pair </span><math alttext="(X,Y)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.I2.i2.p1.1.m1.2"><semantics id="S2.I2.i2.p1.1.m1.2a"><mrow id="S2.I2.i2.p1.1.m1.2.3.2" xref="S2.I2.i2.p1.1.m1.2.3.1.cmml"><mo id="S2.I2.i2.p1.1.m1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.I2.i2.p1.1.m1.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S2.I2.i2.p1.1.m1.1.1" xref="S2.I2.i2.p1.1.m1.1.1.cmml">X</mi><mo id="S2.I2.i2.p1.1.m1.2.3.2.2" xref="S2.I2.i2.p1.1.m1.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.I2.i2.p1.1.m1.2.2" xref="S2.I2.i2.p1.1.m1.2.2.cmml">Y</mi><mo id="S2.I2.i2.p1.1.m1.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.I2.i2.p1.1.m1.2.3.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.I2.i2.p1.1.m1.2b"><interval closure="open" id="S2.I2.i2.p1.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S2.I2.i2.p1.1.m1.2.3.2"><ci id="S2.I2.i2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.I2.i2.p1.1.m1.1.1">𝑋</ci><ci id="S2.I2.i2.p1.1.m1.2.2.cmml" xref="S2.I2.i2.p1.1.m1.2.2">𝑌</ci></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.I2.i2.p1.1.m1.2c">(X,Y)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.I2.i2.p1.1.m1.2d">( italic_X , italic_Y )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.I2.i2.p1.2.2"> is permutationally unitary equivalent (as in Definition </span><a class="ltx_ref ltx_font_italic" href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#S1.Thmfact2" title="Definition 1.2. ‣ 1. Introduction ‣ Triplets of Mutually Unbiased Bases"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1.2</span></a><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.I2.i2.p1.2.3">) to the pair </span><math alttext="(V,W)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.I2.i2.p1.2.m2.2"><semantics id="S2.I2.i2.p1.2.m2.2a"><mrow id="S2.I2.i2.p1.2.m2.2.3.2" xref="S2.I2.i2.p1.2.m2.2.3.1.cmml"><mo id="S2.I2.i2.p1.2.m2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.I2.i2.p1.2.m2.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S2.I2.i2.p1.2.m2.1.1" xref="S2.I2.i2.p1.2.m2.1.1.cmml">V</mi><mo id="S2.I2.i2.p1.2.m2.2.3.2.2" xref="S2.I2.i2.p1.2.m2.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.I2.i2.p1.2.m2.2.2" xref="S2.I2.i2.p1.2.m2.2.2.cmml">W</mi><mo id="S2.I2.i2.p1.2.m2.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.I2.i2.p1.2.m2.2.3.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.I2.i2.p1.2.m2.2b"><interval closure="open" id="S2.I2.i2.p1.2.m2.2.3.1.cmml" xref="S2.I2.i2.p1.2.m2.2.3.2"><ci id="S2.I2.i2.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.I2.i2.p1.2.m2.1.1">𝑉</ci><ci id="S2.I2.i2.p1.2.m2.2.2.cmml" xref="S2.I2.i2.p1.2.m2.2.2">𝑊</ci></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.I2.i2.p1.2.m2.2c">(V,W)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.I2.i2.p1.2.m2.2d">( italic_V , italic_W )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.I2.i2.p1.2.4"></span></p> </div> </li> </ol> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="S2.5"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="S2.5.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.5.p1.7">The statement readily follows from the previous proposition. All we need to observe is that the Hadamard matrices <math alttext="H_{X,Y}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.5.p1.1.m1.2"><semantics id="S2.5.p1.1.m1.2a"><msub id="S2.5.p1.1.m1.2.3" xref="S2.5.p1.1.m1.2.3.cmml"><mi id="S2.5.p1.1.m1.2.3.2" xref="S2.5.p1.1.m1.2.3.2.cmml">H</mi><mrow id="S2.5.p1.1.m1.2.2.2.4" xref="S2.5.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.5.p1.1.m1.1.1.1.1" xref="S2.5.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml">X</mi><mo id="S2.5.p1.1.m1.2.2.2.4.1" xref="S2.5.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.5.p1.1.m1.2.2.2.2" xref="S2.5.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml">Y</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.5.p1.1.m1.2b"><apply id="S2.5.p1.1.m1.2.3.cmml" xref="S2.5.p1.1.m1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.5.p1.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S2.5.p1.1.m1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.5.p1.1.m1.2.3.2.cmml" xref="S2.5.p1.1.m1.2.3.2">𝐻</ci><list id="S2.5.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.5.p1.1.m1.2.2.2.4"><ci id="S2.5.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.5.p1.1.m1.1.1.1.1">𝑋</ci><ci id="S2.5.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.5.p1.1.m1.2.2.2.2">𝑌</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.5.p1.1.m1.2c">H_{X,Y}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.5.p1.1.m1.2d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT italic_X , italic_Y end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="H_{Y,X}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.5.p1.2.m2.2"><semantics id="S2.5.p1.2.m2.2a"><msub id="S2.5.p1.2.m2.2.3" xref="S2.5.p1.2.m2.2.3.cmml"><mi id="S2.5.p1.2.m2.2.3.2" xref="S2.5.p1.2.m2.2.3.2.cmml">H</mi><mrow id="S2.5.p1.2.m2.2.2.2.4" xref="S2.5.p1.2.m2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.5.p1.2.m2.1.1.1.1" xref="S2.5.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml">Y</mi><mo id="S2.5.p1.2.m2.2.2.2.4.1" xref="S2.5.p1.2.m2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.5.p1.2.m2.2.2.2.2" xref="S2.5.p1.2.m2.2.2.2.2.cmml">X</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.5.p1.2.m2.2b"><apply id="S2.5.p1.2.m2.2.3.cmml" xref="S2.5.p1.2.m2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.5.p1.2.m2.2.3.1.cmml" xref="S2.5.p1.2.m2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.5.p1.2.m2.2.3.2.cmml" xref="S2.5.p1.2.m2.2.3.2">𝐻</ci><list id="S2.5.p1.2.m2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.5.p1.2.m2.2.2.2.4"><ci id="S2.5.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.5.p1.2.m2.1.1.1.1">𝑌</ci><ci id="S2.5.p1.2.m2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.5.p1.2.m2.2.2.2.2">𝑋</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.5.p1.2.m2.2c">H_{Y,X}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.5.p1.2.m2.2d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT italic_Y , italic_X end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, corresponding to the pairs <math alttext="(X,Y)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.5.p1.3.m3.2"><semantics id="S2.5.p1.3.m3.2a"><mrow id="S2.5.p1.3.m3.2.3.2" xref="S2.5.p1.3.m3.2.3.1.cmml"><mo id="S2.5.p1.3.m3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.5.p1.3.m3.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S2.5.p1.3.m3.1.1" xref="S2.5.p1.3.m3.1.1.cmml">X</mi><mo id="S2.5.p1.3.m3.2.3.2.2" xref="S2.5.p1.3.m3.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.5.p1.3.m3.2.2" xref="S2.5.p1.3.m3.2.2.cmml">Y</mi><mo id="S2.5.p1.3.m3.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.5.p1.3.m3.2.3.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.5.p1.3.m3.2b"><interval closure="open" id="S2.5.p1.3.m3.2.3.1.cmml" xref="S2.5.p1.3.m3.2.3.2"><ci id="S2.5.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.5.p1.3.m3.1.1">𝑋</ci><ci id="S2.5.p1.3.m3.2.2.cmml" xref="S2.5.p1.3.m3.2.2">𝑌</ci></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.5.p1.3.m3.2c">(X,Y)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.5.p1.3.m3.2d">( italic_X , italic_Y )</annotation></semantics></math> and <math alttext="(Y,X)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.5.p1.4.m4.2"><semantics id="S2.5.p1.4.m4.2a"><mrow id="S2.5.p1.4.m4.2.3.2" xref="S2.5.p1.4.m4.2.3.1.cmml"><mo id="S2.5.p1.4.m4.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.5.p1.4.m4.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S2.5.p1.4.m4.1.1" xref="S2.5.p1.4.m4.1.1.cmml">Y</mi><mo id="S2.5.p1.4.m4.2.3.2.2" xref="S2.5.p1.4.m4.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.5.p1.4.m4.2.2" xref="S2.5.p1.4.m4.2.2.cmml">X</mi><mo id="S2.5.p1.4.m4.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.5.p1.4.m4.2.3.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.5.p1.4.m4.2b"><interval closure="open" id="S2.5.p1.4.m4.2.3.1.cmml" xref="S2.5.p1.4.m4.2.3.2"><ci id="S2.5.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S2.5.p1.4.m4.1.1">𝑌</ci><ci id="S2.5.p1.4.m4.2.2.cmml" xref="S2.5.p1.4.m4.2.2">𝑋</ci></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.5.p1.4.m4.2c">(Y,X)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.5.p1.4.m4.2d">( italic_Y , italic_X )</annotation></semantics></math>, are adjoints of each other, and a change of the order of vectors in <math alttext="X" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.5.p1.5.m5.1"><semantics id="S2.5.p1.5.m5.1a"><mi id="S2.5.p1.5.m5.1.1" xref="S2.5.p1.5.m5.1.1.cmml">X</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.5.p1.5.m5.1b"><ci id="S2.5.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="S2.5.p1.5.m5.1.1">𝑋</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.5.p1.5.m5.1c">X</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.5.p1.5.m5.1d">italic_X</annotation></semantics></math> (or <math alttext="Y" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.5.p1.6.m6.1"><semantics id="S2.5.p1.6.m6.1a"><mi id="S2.5.p1.6.m6.1.1" xref="S2.5.p1.6.m6.1.1.cmml">Y</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.5.p1.6.m6.1b"><ci id="S2.5.p1.6.m6.1.1.cmml" xref="S2.5.p1.6.m6.1.1">𝑌</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.5.p1.6.m6.1c">Y</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.5.p1.6.m6.1d">italic_Y</annotation></semantics></math>) corresponds to multiplication of <math alttext="H_{XY}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.5.p1.7.m7.1"><semantics id="S2.5.p1.7.m7.1a"><msub id="S2.5.p1.7.m7.1.1" xref="S2.5.p1.7.m7.1.1.cmml"><mi id="S2.5.p1.7.m7.1.1.2" xref="S2.5.p1.7.m7.1.1.2.cmml">H</mi><mrow id="S2.5.p1.7.m7.1.1.3" xref="S2.5.p1.7.m7.1.1.3.cmml"><mi id="S2.5.p1.7.m7.1.1.3.2" xref="S2.5.p1.7.m7.1.1.3.2.cmml">X</mi><mo id="S2.5.p1.7.m7.1.1.3.1" xref="S2.5.p1.7.m7.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.5.p1.7.m7.1.1.3.3" xref="S2.5.p1.7.m7.1.1.3.3.cmml">Y</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.5.p1.7.m7.1b"><apply id="S2.5.p1.7.m7.1.1.cmml" xref="S2.5.p1.7.m7.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.5.p1.7.m7.1.1.1.cmml" xref="S2.5.p1.7.m7.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.5.p1.7.m7.1.1.2.cmml" xref="S2.5.p1.7.m7.1.1.2">𝐻</ci><apply id="S2.5.p1.7.m7.1.1.3.cmml" xref="S2.5.p1.7.m7.1.1.3"><times id="S2.5.p1.7.m7.1.1.3.1.cmml" xref="S2.5.p1.7.m7.1.1.3.1"></times><ci id="S2.5.p1.7.m7.1.1.3.2.cmml" xref="S2.5.p1.7.m7.1.1.3.2">𝑋</ci><ci id="S2.5.p1.7.m7.1.1.3.3.cmml" xref="S2.5.p1.7.m7.1.1.3.3">𝑌</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.5.p1.7.m7.1c">H_{XY}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.5.p1.7.m7.1d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT italic_X italic_Y end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> by a permutation matrix from the left (or from the right). ∎</p> </div> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_nremark" id="S2.Thmfact3"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.Thmfact3.1.1.1">Remark 2.3</span></span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.Thmfact3.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="S2.Thmfact3.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.Thmfact3.p1.7"><span class="ltx_text" id="S2.Thmfact3.p1.7.7" style="font-size:90%;">In view of this proposition, it would make sense to use an alternative definition of equivalence of complex Hadamard matrices. Namely, it would be natural to call <math alttext="H" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmfact3.p1.1.1.m1.1"><semantics id="S2.Thmfact3.p1.1.1.m1.1a"><mi id="S2.Thmfact3.p1.1.1.m1.1.1" xref="S2.Thmfact3.p1.1.1.m1.1.1.cmml">H</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmfact3.p1.1.1.m1.1b"><ci id="S2.Thmfact3.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.Thmfact3.p1.1.1.m1.1.1">𝐻</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmfact3.p1.1.1.m1.1c">H</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmfact3.p1.1.1.m1.1d">italic_H</annotation></semantics></math> and <math alttext="\tilde{H}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmfact3.p1.2.2.m2.1"><semantics id="S2.Thmfact3.p1.2.2.m2.1a"><mover accent="true" id="S2.Thmfact3.p1.2.2.m2.1.1" xref="S2.Thmfact3.p1.2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S2.Thmfact3.p1.2.2.m2.1.1.2" xref="S2.Thmfact3.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml">H</mi><mo id="S2.Thmfact3.p1.2.2.m2.1.1.1" xref="S2.Thmfact3.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml">~</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmfact3.p1.2.2.m2.1b"><apply id="S2.Thmfact3.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.Thmfact3.p1.2.2.m2.1.1"><ci id="S2.Thmfact3.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmfact3.p1.2.2.m2.1.1.1">~</ci><ci id="S2.Thmfact3.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmfact3.p1.2.2.m2.1.1.2">𝐻</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmfact3.p1.2.2.m2.1c">\tilde{H}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmfact3.p1.2.2.m2.1d">over~ start_ARG italic_H end_ARG</annotation></semantics></math> equivalent if <math alttext="H=P_{1}D_{1}\tilde{H}D_{2}P_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmfact3.p1.3.3.m3.1"><semantics id="S2.Thmfact3.p1.3.3.m3.1a"><mrow id="S2.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1" xref="S2.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S2.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.2" xref="S2.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml">H</mi><mo id="S2.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.1" xref="S2.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.3" xref="S2.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.3.cmml"><msub id="S2.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.3.2" xref="S2.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.3.2.2" xref="S2.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.3.2.2.cmml">P</mi><mn id="S2.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.3.2.3" xref="S2.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.3.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S2.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.3.1" xref="S2.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.3.3" xref="S2.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.3.3.2" xref="S2.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.3.3.2.cmml">D</mi><mn id="S2.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.3.3.3" xref="S2.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S2.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.3.1a" xref="S2.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S2.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.3.4" xref="S2.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.3.4.cmml"><mi id="S2.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.3.4.2" xref="S2.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.3.4.2.cmml">H</mi><mo id="S2.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.3.4.1" xref="S2.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.3.4.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S2.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.3.1b" xref="S2.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.3.5" xref="S2.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.3.5.cmml"><mi id="S2.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.3.5.2" xref="S2.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.3.5.2.cmml">D</mi><mn id="S2.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.3.5.3" xref="S2.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.3.5.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S2.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.3.1c" xref="S2.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.3.6" xref="S2.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.3.6.cmml"><mi id="S2.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.3.6.2" xref="S2.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.3.6.2.cmml">P</mi><mn id="S2.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.3.6.3" xref="S2.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.3.6.3.cmml">2</mn></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmfact3.p1.3.3.m3.1b"><apply id="S2.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1"><eq id="S2.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.1"></eq><ci id="S2.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.2">𝐻</ci><apply id="S2.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S2.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.3"><times id="S2.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.3.1"></times><apply id="S2.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.3.2.2">𝑃</ci><cn id="S2.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.3.2.3">1</cn></apply><apply id="S2.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.3.3.2">𝐷</ci><cn id="S2.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.3.3.3">1</cn></apply><apply id="S2.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.3.4.cmml" xref="S2.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.3.4"><ci id="S2.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.3.4.1.cmml" xref="S2.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.3.4.1">~</ci><ci id="S2.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.3.4.2.cmml" xref="S2.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.3.4.2">𝐻</ci></apply><apply id="S2.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.3.5.cmml" xref="S2.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.3.5.1.cmml" xref="S2.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.3.5">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.3.5.2.cmml" xref="S2.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.3.5.2">𝐷</ci><cn id="S2.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.3.5.3.cmml" type="integer" xref="S2.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.3.5.3">2</cn></apply><apply id="S2.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.3.6.cmml" xref="S2.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.3.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.3.6.1.cmml" xref="S2.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.3.6">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.3.6.2.cmml" xref="S2.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.3.6.2">𝑃</ci><cn id="S2.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.3.6.3.cmml" type="integer" xref="S2.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.3.6.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmfact3.p1.3.3.m3.1c">H=P_{1}D_{1}\tilde{H}D_{2}P_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmfact3.p1.3.3.m3.1d">italic_H = italic_P start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_D start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT over~ start_ARG italic_H end_ARG italic_D start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT italic_P start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> or <math alttext="H=P_{1}D_{1}\tilde{H}^{\ast}D_{2}P_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmfact3.p1.4.4.m4.1"><semantics id="S2.Thmfact3.p1.4.4.m4.1a"><mrow id="S2.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1" xref="S2.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S2.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.2" xref="S2.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.2.cmml">H</mi><mo id="S2.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.1" xref="S2.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.3" xref="S2.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.3.cmml"><msub id="S2.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.3.2" xref="S2.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.3.2.2" xref="S2.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.3.2.2.cmml">P</mi><mn id="S2.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.3.2.3" xref="S2.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.3.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S2.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.3.1" xref="S2.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.3.3" xref="S2.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.3.3.2" xref="S2.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.3.3.2.cmml">D</mi><mn id="S2.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.3.3.3" xref="S2.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S2.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.3.1a" xref="S2.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S2.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.3.4" xref="S2.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.3.4.cmml"><mover accent="true" id="S2.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.3.4.2" xref="S2.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.3.4.2.cmml"><mi id="S2.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.3.4.2.2" xref="S2.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.3.4.2.2.cmml">H</mi><mo id="S2.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.3.4.2.1" xref="S2.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.3.4.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S2.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.3.4.3" xref="S2.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.3.4.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S2.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.3.1b" xref="S2.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.3.5" xref="S2.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.3.5.cmml"><mi id="S2.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.3.5.2" xref="S2.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.3.5.2.cmml">D</mi><mn id="S2.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.3.5.3" xref="S2.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.3.5.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S2.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.3.1c" xref="S2.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.3.6" xref="S2.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.3.6.cmml"><mi id="S2.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.3.6.2" xref="S2.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.3.6.2.cmml">P</mi><mn id="S2.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.3.6.3" xref="S2.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.3.6.3.cmml">2</mn></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmfact3.p1.4.4.m4.1b"><apply id="S2.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.cmml" xref="S2.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1"><eq id="S2.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.1"></eq><ci id="S2.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.2">𝐻</ci><apply id="S2.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S2.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.3"><times id="S2.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.3.1"></times><apply id="S2.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.3.2.2">𝑃</ci><cn id="S2.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.3.2.3">1</cn></apply><apply id="S2.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.3.3.2">𝐷</ci><cn id="S2.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.3.3.3">1</cn></apply><apply id="S2.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.3.4.cmml" xref="S2.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.3.4.1.cmml" xref="S2.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.3.4">superscript</csymbol><apply id="S2.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.3.4.2.cmml" xref="S2.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.3.4.2"><ci id="S2.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.3.4.2.1.cmml" xref="S2.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.3.4.2.1">~</ci><ci id="S2.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.3.4.2.2.cmml" xref="S2.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.3.4.2.2">𝐻</ci></apply><ci id="S2.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.3.4.3.cmml" xref="S2.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.3.4.3">∗</ci></apply><apply id="S2.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.3.5.cmml" xref="S2.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.3.5.1.cmml" xref="S2.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.3.5">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.3.5.2.cmml" xref="S2.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.3.5.2">𝐷</ci><cn id="S2.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.3.5.3.cmml" type="integer" xref="S2.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.3.5.3">2</cn></apply><apply id="S2.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.3.6.cmml" xref="S2.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.3.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.3.6.1.cmml" xref="S2.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.3.6">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.3.6.2.cmml" xref="S2.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.3.6.2">𝑃</ci><cn id="S2.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.3.6.3.cmml" type="integer" xref="S2.Thmfact3.p1.4.4.m4.1.1.3.6.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmfact3.p1.4.4.m4.1c">H=P_{1}D_{1}\tilde{H}^{\ast}D_{2}P_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmfact3.p1.4.4.m4.1d">italic_H = italic_P start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_D start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT over~ start_ARG italic_H end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_D start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT italic_P start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> with some unitary diagonal matrices <math alttext="D_{1},D_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmfact3.p1.5.5.m5.2"><semantics id="S2.Thmfact3.p1.5.5.m5.2a"><mrow id="S2.Thmfact3.p1.5.5.m5.2.2.2" xref="S2.Thmfact3.p1.5.5.m5.2.2.3.cmml"><msub id="S2.Thmfact3.p1.5.5.m5.1.1.1.1" xref="S2.Thmfact3.p1.5.5.m5.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Thmfact3.p1.5.5.m5.1.1.1.1.2" xref="S2.Thmfact3.p1.5.5.m5.1.1.1.1.2.cmml">D</mi><mn id="S2.Thmfact3.p1.5.5.m5.1.1.1.1.3" xref="S2.Thmfact3.p1.5.5.m5.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S2.Thmfact3.p1.5.5.m5.2.2.2.3" xref="S2.Thmfact3.p1.5.5.m5.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S2.Thmfact3.p1.5.5.m5.2.2.2.2" xref="S2.Thmfact3.p1.5.5.m5.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.Thmfact3.p1.5.5.m5.2.2.2.2.2" xref="S2.Thmfact3.p1.5.5.m5.2.2.2.2.2.cmml">D</mi><mn id="S2.Thmfact3.p1.5.5.m5.2.2.2.2.3" xref="S2.Thmfact3.p1.5.5.m5.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmfact3.p1.5.5.m5.2b"><list id="S2.Thmfact3.p1.5.5.m5.2.2.3.cmml" xref="S2.Thmfact3.p1.5.5.m5.2.2.2"><apply id="S2.Thmfact3.p1.5.5.m5.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmfact3.p1.5.5.m5.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmfact3.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmfact3.p1.5.5.m5.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmfact3.p1.5.5.m5.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmfact3.p1.5.5.m5.1.1.1.1.2">𝐷</ci><cn id="S2.Thmfact3.p1.5.5.m5.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.Thmfact3.p1.5.5.m5.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S2.Thmfact3.p1.5.5.m5.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Thmfact3.p1.5.5.m5.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmfact3.p1.5.5.m5.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Thmfact3.p1.5.5.m5.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmfact3.p1.5.5.m5.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Thmfact3.p1.5.5.m5.2.2.2.2.2">𝐷</ci><cn id="S2.Thmfact3.p1.5.5.m5.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.Thmfact3.p1.5.5.m5.2.2.2.2.3">2</cn></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmfact3.p1.5.5.m5.2c">D_{1},D_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmfact3.p1.5.5.m5.2d">italic_D start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_D start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and permutation matrices <math alttext="P_{1},P_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmfact3.p1.6.6.m6.2"><semantics id="S2.Thmfact3.p1.6.6.m6.2a"><mrow id="S2.Thmfact3.p1.6.6.m6.2.2.2" xref="S2.Thmfact3.p1.6.6.m6.2.2.3.cmml"><msub id="S2.Thmfact3.p1.6.6.m6.1.1.1.1" xref="S2.Thmfact3.p1.6.6.m6.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Thmfact3.p1.6.6.m6.1.1.1.1.2" xref="S2.Thmfact3.p1.6.6.m6.1.1.1.1.2.cmml">P</mi><mn id="S2.Thmfact3.p1.6.6.m6.1.1.1.1.3" xref="S2.Thmfact3.p1.6.6.m6.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S2.Thmfact3.p1.6.6.m6.2.2.2.3" xref="S2.Thmfact3.p1.6.6.m6.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S2.Thmfact3.p1.6.6.m6.2.2.2.2" xref="S2.Thmfact3.p1.6.6.m6.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.Thmfact3.p1.6.6.m6.2.2.2.2.2" xref="S2.Thmfact3.p1.6.6.m6.2.2.2.2.2.cmml">P</mi><mn id="S2.Thmfact3.p1.6.6.m6.2.2.2.2.3" xref="S2.Thmfact3.p1.6.6.m6.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmfact3.p1.6.6.m6.2b"><list id="S2.Thmfact3.p1.6.6.m6.2.2.3.cmml" xref="S2.Thmfact3.p1.6.6.m6.2.2.2"><apply id="S2.Thmfact3.p1.6.6.m6.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmfact3.p1.6.6.m6.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmfact3.p1.6.6.m6.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmfact3.p1.6.6.m6.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmfact3.p1.6.6.m6.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmfact3.p1.6.6.m6.1.1.1.1.2">𝑃</ci><cn id="S2.Thmfact3.p1.6.6.m6.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.Thmfact3.p1.6.6.m6.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S2.Thmfact3.p1.6.6.m6.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Thmfact3.p1.6.6.m6.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmfact3.p1.6.6.m6.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Thmfact3.p1.6.6.m6.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmfact3.p1.6.6.m6.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Thmfact3.p1.6.6.m6.2.2.2.2.2">𝑃</ci><cn id="S2.Thmfact3.p1.6.6.m6.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.Thmfact3.p1.6.6.m6.2.2.2.2.3">2</cn></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmfact3.p1.6.6.m6.2c">P_{1},P_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmfact3.p1.6.6.m6.2d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_P start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. However, in the literature, the traditional definition of equivalence does not include the adjoint <math alttext="\tilde{H}^{\ast}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmfact3.p1.7.7.m7.1"><semantics id="S2.Thmfact3.p1.7.7.m7.1a"><msup id="S2.Thmfact3.p1.7.7.m7.1.1" xref="S2.Thmfact3.p1.7.7.m7.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S2.Thmfact3.p1.7.7.m7.1.1.2" xref="S2.Thmfact3.p1.7.7.m7.1.1.2.cmml"><mi id="S2.Thmfact3.p1.7.7.m7.1.1.2.2" xref="S2.Thmfact3.p1.7.7.m7.1.1.2.2.cmml">H</mi><mo id="S2.Thmfact3.p1.7.7.m7.1.1.2.1" xref="S2.Thmfact3.p1.7.7.m7.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S2.Thmfact3.p1.7.7.m7.1.1.3" xref="S2.Thmfact3.p1.7.7.m7.1.1.3.cmml">∗</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmfact3.p1.7.7.m7.1b"><apply id="S2.Thmfact3.p1.7.7.m7.1.1.cmml" xref="S2.Thmfact3.p1.7.7.m7.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmfact3.p1.7.7.m7.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmfact3.p1.7.7.m7.1.1">superscript</csymbol><apply id="S2.Thmfact3.p1.7.7.m7.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmfact3.p1.7.7.m7.1.1.2"><ci id="S2.Thmfact3.p1.7.7.m7.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Thmfact3.p1.7.7.m7.1.1.2.1">~</ci><ci id="S2.Thmfact3.p1.7.7.m7.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Thmfact3.p1.7.7.m7.1.1.2.2">𝐻</ci></apply><ci id="S2.Thmfact3.p1.7.7.m7.1.1.3.cmml" xref="S2.Thmfact3.p1.7.7.m7.1.1.3">∗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmfact3.p1.7.7.m7.1c">\tilde{H}^{\ast}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmfact3.p1.7.7.m7.1d">over~ start_ARG italic_H end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. ∎</span></p> </div> </div> </section> <section class="ltx_section" id="S3"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">3. </span>MUB-triplets and Hadamard cubes</h2> <div class="ltx_para" id="S3.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.p1.1">In this section we consider triplets of mutually unbiased bases, and provide a characterization result up to unitary equivalence. To motivate the discussion below, observe that for any three vectors <math alttext="\mathbf{u}_{1},\mathbf{u}_{2},\mathbf{u}_{3}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p1.1.m1.3"><semantics id="S3.p1.1.m1.3a"><mrow id="S3.p1.1.m1.3.3.3" xref="S3.p1.1.m1.3.3.4.cmml"><msub id="S3.p1.1.m1.1.1.1.1" xref="S3.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.p1.1.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.p1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml">𝐮</mi><mn id="S3.p1.1.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.p1.1.m1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.p1.1.m1.3.3.3.4" xref="S3.p1.1.m1.3.3.4.cmml">,</mo><msub id="S3.p1.1.m1.2.2.2.2" xref="S3.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.p1.1.m1.2.2.2.2.2" xref="S3.p1.1.m1.2.2.2.2.2.cmml">𝐮</mi><mn id="S3.p1.1.m1.2.2.2.2.3" xref="S3.p1.1.m1.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S3.p1.1.m1.3.3.3.5" xref="S3.p1.1.m1.3.3.4.cmml">,</mo><msub id="S3.p1.1.m1.3.3.3.3" xref="S3.p1.1.m1.3.3.3.3.cmml"><mi id="S3.p1.1.m1.3.3.3.3.2" xref="S3.p1.1.m1.3.3.3.3.2.cmml">𝐮</mi><mn id="S3.p1.1.m1.3.3.3.3.3" xref="S3.p1.1.m1.3.3.3.3.3.cmml">3</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p1.1.m1.3b"><list id="S3.p1.1.m1.3.3.4.cmml" xref="S3.p1.1.m1.3.3.3"><apply id="S3.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p1.1.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p1.1.m1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p1.1.m1.1.1.1.1.2">𝐮</ci><cn id="S3.p1.1.m1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.p1.1.m1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S3.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.p1.1.m1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p1.1.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.p1.1.m1.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p1.1.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.p1.1.m1.2.2.2.2.2">𝐮</ci><cn id="S3.p1.1.m1.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.p1.1.m1.2.2.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S3.p1.1.m1.3.3.3.3.cmml" xref="S3.p1.1.m1.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p1.1.m1.3.3.3.3.1.cmml" xref="S3.p1.1.m1.3.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.p1.1.m1.3.3.3.3.2.cmml" xref="S3.p1.1.m1.3.3.3.3.2">𝐮</ci><cn id="S3.p1.1.m1.3.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.p1.1.m1.3.3.3.3.3">3</cn></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p1.1.m1.3c">\mathbf{u}_{1},\mathbf{u}_{2},\mathbf{u}_{3}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p1.1.m1.3d">bold_u start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , bold_u start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT , bold_u start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> the product</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.p2"> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E1"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(3.1)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\langle\mathbf{u}_{1},\mathbf{u}_{2}\rangle\,\langle\mathbf{u}_{2},\mathbf{u}_% {3}\rangle\,\langle\mathbf{u}_{3},\mathbf{u}_{1}\rangle" class="ltx_Math" display="block" id="S3.E1.m1.6"><semantics id="S3.E1.m1.6a"><mrow id="S3.E1.m1.6.6" xref="S3.E1.m1.6.6.cmml"><mrow id="S3.E1.m1.2.2.2.2" xref="S3.E1.m1.2.2.2.3.cmml"><mo id="S3.E1.m1.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.E1.m1.2.2.2.3.cmml">⟨</mo><msub id="S3.E1.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝐮</mi><mn id="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.E1.m1.2.2.2.2.4" xref="S3.E1.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.E1.m1.2.2.2.2.2" xref="S3.E1.m1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.E1.m1.2.2.2.2.2.2" xref="S3.E1.m1.2.2.2.2.2.2.cmml">𝐮</mi><mn id="S3.E1.m1.2.2.2.2.2.3" xref="S3.E1.m1.2.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S3.E1.m1.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.E1.m1.2.2.2.3.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S3.E1.m1.6.6.7" lspace="0.170em" xref="S3.E1.m1.6.6.7.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E1.m1.4.4.4.2" xref="S3.E1.m1.4.4.4.3.cmml"><mo id="S3.E1.m1.4.4.4.2.3" stretchy="false" xref="S3.E1.m1.4.4.4.3.cmml">⟨</mo><msub id="S3.E1.m1.3.3.3.1.1" xref="S3.E1.m1.3.3.3.1.1.cmml"><mi id="S3.E1.m1.3.3.3.1.1.2" xref="S3.E1.m1.3.3.3.1.1.2.cmml">𝐮</mi><mn id="S3.E1.m1.3.3.3.1.1.3" xref="S3.E1.m1.3.3.3.1.1.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S3.E1.m1.4.4.4.2.4" xref="S3.E1.m1.4.4.4.3.cmml">,</mo><msub id="S3.E1.m1.4.4.4.2.2" xref="S3.E1.m1.4.4.4.2.2.cmml"><mi id="S3.E1.m1.4.4.4.2.2.2" xref="S3.E1.m1.4.4.4.2.2.2.cmml">𝐮</mi><mn id="S3.E1.m1.4.4.4.2.2.3" xref="S3.E1.m1.4.4.4.2.2.3.cmml">3</mn></msub><mo id="S3.E1.m1.4.4.4.2.5" stretchy="false" xref="S3.E1.m1.4.4.4.3.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S3.E1.m1.6.6.7a" lspace="0.170em" xref="S3.E1.m1.6.6.7.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E1.m1.6.6.6.2" xref="S3.E1.m1.6.6.6.3.cmml"><mo id="S3.E1.m1.6.6.6.2.3" stretchy="false" xref="S3.E1.m1.6.6.6.3.cmml">⟨</mo><msub id="S3.E1.m1.5.5.5.1.1" xref="S3.E1.m1.5.5.5.1.1.cmml"><mi id="S3.E1.m1.5.5.5.1.1.2" xref="S3.E1.m1.5.5.5.1.1.2.cmml">𝐮</mi><mn id="S3.E1.m1.5.5.5.1.1.3" xref="S3.E1.m1.5.5.5.1.1.3.cmml">3</mn></msub><mo id="S3.E1.m1.6.6.6.2.4" xref="S3.E1.m1.6.6.6.3.cmml">,</mo><msub id="S3.E1.m1.6.6.6.2.2" xref="S3.E1.m1.6.6.6.2.2.cmml"><mi id="S3.E1.m1.6.6.6.2.2.2" xref="S3.E1.m1.6.6.6.2.2.2.cmml">𝐮</mi><mn id="S3.E1.m1.6.6.6.2.2.3" xref="S3.E1.m1.6.6.6.2.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.E1.m1.6.6.6.2.5" stretchy="false" xref="S3.E1.m1.6.6.6.3.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E1.m1.6b"><apply id="S3.E1.m1.6.6.cmml" xref="S3.E1.m1.6.6"><times id="S3.E1.m1.6.6.7.cmml" xref="S3.E1.m1.6.6.7"></times><list id="S3.E1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E1.m1.2.2.2.2"><apply id="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.2">𝐮</ci><cn id="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E1.m1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S3.E1.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E1.m1.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E1.m1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E1.m1.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E1.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E1.m1.2.2.2.2.2.2">𝐮</ci><cn id="S3.E1.m1.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E1.m1.2.2.2.2.2.3">2</cn></apply></list><list id="S3.E1.m1.4.4.4.3.cmml" xref="S3.E1.m1.4.4.4.2"><apply id="S3.E1.m1.3.3.3.1.1.cmml" xref="S3.E1.m1.3.3.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E1.m1.3.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.E1.m1.3.3.3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.E1.m1.3.3.3.1.1.2.cmml" xref="S3.E1.m1.3.3.3.1.1.2">𝐮</ci><cn id="S3.E1.m1.3.3.3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E1.m1.3.3.3.1.1.3">2</cn></apply><apply id="S3.E1.m1.4.4.4.2.2.cmml" xref="S3.E1.m1.4.4.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E1.m1.4.4.4.2.2.1.cmml" xref="S3.E1.m1.4.4.4.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E1.m1.4.4.4.2.2.2.cmml" xref="S3.E1.m1.4.4.4.2.2.2">𝐮</ci><cn id="S3.E1.m1.4.4.4.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E1.m1.4.4.4.2.2.3">3</cn></apply></list><list id="S3.E1.m1.6.6.6.3.cmml" xref="S3.E1.m1.6.6.6.2"><apply id="S3.E1.m1.5.5.5.1.1.cmml" xref="S3.E1.m1.5.5.5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E1.m1.5.5.5.1.1.1.cmml" xref="S3.E1.m1.5.5.5.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.E1.m1.5.5.5.1.1.2.cmml" xref="S3.E1.m1.5.5.5.1.1.2">𝐮</ci><cn id="S3.E1.m1.5.5.5.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E1.m1.5.5.5.1.1.3">3</cn></apply><apply id="S3.E1.m1.6.6.6.2.2.cmml" xref="S3.E1.m1.6.6.6.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E1.m1.6.6.6.2.2.1.cmml" xref="S3.E1.m1.6.6.6.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E1.m1.6.6.6.2.2.2.cmml" xref="S3.E1.m1.6.6.6.2.2.2">𝐮</ci><cn id="S3.E1.m1.6.6.6.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E1.m1.6.6.6.2.2.3">1</cn></apply></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E1.m1.6c">\langle\mathbf{u}_{1},\mathbf{u}_{2}\rangle\,\langle\mathbf{u}_{2},\mathbf{u}_% {3}\rangle\,\langle\mathbf{u}_{3},\mathbf{u}_{1}\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E1.m1.6d">⟨ bold_u start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , bold_u start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ⟩ ⟨ bold_u start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT , bold_u start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT ⟩ ⟨ bold_u start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT , bold_u start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ⟩</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S3.p3"> <p class="ltx_p" id="S3.p3.4">is independent of the “phases” of the vectors; that is, replacing any of these vectors <math alttext="\mathbf{u}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.1.m1.1"><semantics id="S3.p3.1.m1.1a"><mi id="S3.p3.1.m1.1.1" xref="S3.p3.1.m1.1.1.cmml">𝐮</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.1.m1.1b"><ci id="S3.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.p3.1.m1.1.1">𝐮</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.1.m1.1c">\mathbf{u}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.1.m1.1d">bold_u</annotation></semantics></math> by a vector <math alttext="\mathbf{u}^{\prime}=\lambda\mathbf{u}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.2.m2.1"><semantics id="S3.p3.2.m2.1a"><mrow id="S3.p3.2.m2.1.1" xref="S3.p3.2.m2.1.1.cmml"><msup id="S3.p3.2.m2.1.1.2" xref="S3.p3.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S3.p3.2.m2.1.1.2.2" xref="S3.p3.2.m2.1.1.2.2.cmml">𝐮</mi><mo id="S3.p3.2.m2.1.1.2.3" xref="S3.p3.2.m2.1.1.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.p3.2.m2.1.1.1" xref="S3.p3.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.p3.2.m2.1.1.3" xref="S3.p3.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.p3.2.m2.1.1.3.2" xref="S3.p3.2.m2.1.1.3.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.p3.2.m2.1.1.3.1" xref="S3.p3.2.m2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.p3.2.m2.1.1.3.3" xref="S3.p3.2.m2.1.1.3.3.cmml">𝐮</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.2.m2.1b"><apply id="S3.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.p3.2.m2.1.1"><eq id="S3.p3.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.p3.2.m2.1.1.1"></eq><apply id="S3.p3.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.p3.2.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.p3.2.m2.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S3.p3.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.p3.2.m2.1.1.2.2">𝐮</ci><ci id="S3.p3.2.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S3.p3.2.m2.1.1.2.3">′</ci></apply><apply id="S3.p3.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.p3.2.m2.1.1.3"><times id="S3.p3.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.p3.2.m2.1.1.3.1"></times><ci id="S3.p3.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.p3.2.m2.1.1.3.2">𝜆</ci><ci id="S3.p3.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S3.p3.2.m2.1.1.3.3">𝐮</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.2.m2.1c">\mathbf{u}^{\prime}=\lambda\mathbf{u}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.2.m2.1d">bold_u start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT = italic_λ bold_u</annotation></semantics></math>, where <math alttext="|\lambda|=1" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.3.m3.1"><semantics id="S3.p3.3.m3.1a"><mrow id="S3.p3.3.m3.1.2" xref="S3.p3.3.m3.1.2.cmml"><mrow id="S3.p3.3.m3.1.2.2.2" xref="S3.p3.3.m3.1.2.2.1.cmml"><mo id="S3.p3.3.m3.1.2.2.2.1" stretchy="false" xref="S3.p3.3.m3.1.2.2.1.1.cmml">|</mo><mi id="S3.p3.3.m3.1.1" xref="S3.p3.3.m3.1.1.cmml">λ</mi><mo id="S3.p3.3.m3.1.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S3.p3.3.m3.1.2.2.1.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S3.p3.3.m3.1.2.1" xref="S3.p3.3.m3.1.2.1.cmml">=</mo><mn id="S3.p3.3.m3.1.2.3" xref="S3.p3.3.m3.1.2.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.3.m3.1b"><apply id="S3.p3.3.m3.1.2.cmml" xref="S3.p3.3.m3.1.2"><eq id="S3.p3.3.m3.1.2.1.cmml" xref="S3.p3.3.m3.1.2.1"></eq><apply id="S3.p3.3.m3.1.2.2.1.cmml" xref="S3.p3.3.m3.1.2.2.2"><abs id="S3.p3.3.m3.1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.p3.3.m3.1.2.2.2.1"></abs><ci id="S3.p3.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.p3.3.m3.1.1">𝜆</ci></apply><cn id="S3.p3.3.m3.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.p3.3.m3.1.2.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.3.m3.1c">|\lambda|=1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.3.m3.1d">| italic_λ | = 1</annotation></semantics></math> (henceforth written as <math alttext="\mathbf{u}^{\prime}\sim\mathbf{u}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.4.m4.1"><semantics id="S3.p3.4.m4.1a"><mrow id="S3.p3.4.m4.1.1" xref="S3.p3.4.m4.1.1.cmml"><msup id="S3.p3.4.m4.1.1.2" xref="S3.p3.4.m4.1.1.2.cmml"><mi id="S3.p3.4.m4.1.1.2.2" xref="S3.p3.4.m4.1.1.2.2.cmml">𝐮</mi><mo id="S3.p3.4.m4.1.1.2.3" xref="S3.p3.4.m4.1.1.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.p3.4.m4.1.1.1" xref="S3.p3.4.m4.1.1.1.cmml">∼</mo><mi id="S3.p3.4.m4.1.1.3" xref="S3.p3.4.m4.1.1.3.cmml">𝐮</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.4.m4.1b"><apply id="S3.p3.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.p3.4.m4.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.p3.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.p3.4.m4.1.1.1">similar-to</csymbol><apply id="S3.p3.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.p3.4.m4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.4.m4.1.1.2.1.cmml" xref="S3.p3.4.m4.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S3.p3.4.m4.1.1.2.2.cmml" xref="S3.p3.4.m4.1.1.2.2">𝐮</ci><ci id="S3.p3.4.m4.1.1.2.3.cmml" xref="S3.p3.4.m4.1.1.2.3">′</ci></apply><ci id="S3.p3.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S3.p3.4.m4.1.1.3">𝐮</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.4.m4.1c">\mathbf{u}^{\prime}\sim\mathbf{u}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.4.m4.1d">bold_u start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ∼ bold_u</annotation></semantics></math>) will cause no change in the product value. Furthermore, when all the vectors are of unit length, we may re-write (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#S3.E1" title="Equation 3.1 ‣ 3. MUB-triplets and Hadamard cubes ‣ Triplets of Mutually Unbiased Bases"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3.1</span></a>) as</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E2"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(3.2)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\langle\mathbf{u}_{1},\mathbf{u}_{2}\rangle\,\langle\mathbf{u}_{2},\mathbf{u}_% {3}\rangle\,\langle\mathbf{u}_{3},\mathbf{u}_{1}\rangle=\rm{Tr}(\;|\mathbf{u}_% {1}\rangle\!\langle\mathbf{u}_{1}|\mathbf{u}_{2}\rangle\,\langle\mathbf{u}_{2}% |\mathbf{u}_{3}\rangle\,\langle\mathbf{u}_{3}|={\rm Tr}(P_{1}P_{2}P_{3})," class="ltx_math_unparsed" display="block" id="S3.E2.m1.1"><semantics id="S3.E2.m1.1a"><mrow id="S3.E2.m1.1b"><mrow id="S3.E2.m1.1.1"><mo id="S3.E2.m1.1.1.1" stretchy="false">⟨</mo><msub id="S3.E2.m1.1.1.2"><mi id="S3.E2.m1.1.1.2.2">𝐮</mi><mn id="S3.E2.m1.1.1.2.3">1</mn></msub><mo id="S3.E2.m1.1.1.3">,</mo><msub id="S3.E2.m1.1.1.4"><mi id="S3.E2.m1.1.1.4.2">𝐮</mi><mn id="S3.E2.m1.1.1.4.3">2</mn></msub><mo id="S3.E2.m1.1.1.5" rspace="0.170em" stretchy="false">⟩</mo></mrow><mrow id="S3.E2.m1.1.2"><mo id="S3.E2.m1.1.2.1" stretchy="false">⟨</mo><msub id="S3.E2.m1.1.2.2"><mi id="S3.E2.m1.1.2.2.2">𝐮</mi><mn id="S3.E2.m1.1.2.2.3">2</mn></msub><mo id="S3.E2.m1.1.2.3">,</mo><msub id="S3.E2.m1.1.2.4"><mi id="S3.E2.m1.1.2.4.2">𝐮</mi><mn id="S3.E2.m1.1.2.4.3">3</mn></msub><mo id="S3.E2.m1.1.2.5" rspace="0.170em" stretchy="false">⟩</mo></mrow><mrow id="S3.E2.m1.1.3"><mo id="S3.E2.m1.1.3.1" stretchy="false">⟨</mo><msub id="S3.E2.m1.1.3.2"><mi id="S3.E2.m1.1.3.2.2">𝐮</mi><mn id="S3.E2.m1.1.3.2.3">3</mn></msub><mo id="S3.E2.m1.1.3.3">,</mo><msub id="S3.E2.m1.1.3.4"><mi id="S3.E2.m1.1.3.4.2">𝐮</mi><mn id="S3.E2.m1.1.3.4.3">1</mn></msub><mo id="S3.E2.m1.1.3.5" stretchy="false">⟩</mo></mrow><mo id="S3.E2.m1.1.4">=</mo><mi id="S3.E2.m1.1.5">Tr</mi><mrow id="S3.E2.m1.1.6"><mo id="S3.E2.m1.1.6.1" rspace="0.280em" stretchy="false">(</mo><mo fence="false" id="S3.E2.m1.1.6.2" rspace="0.167em" stretchy="false">|</mo><msub id="S3.E2.m1.1.6.3"><mi id="S3.E2.m1.1.6.3.2">𝐮</mi><mn id="S3.E2.m1.1.6.3.3">1</mn></msub><mpadded width="0.219em"><mo id="S3.E2.m1.1.6.4" stretchy="false">⟩</mo></mpadded></mrow><mrow id="S3.E2.m1.1.7"><mo id="S3.E2.m1.1.7.1" stretchy="false">⟨</mo><msub id="S3.E2.m1.1.7.2"><mi id="S3.E2.m1.1.7.2.2">𝐮</mi><mn id="S3.E2.m1.1.7.2.3">1</mn></msub><mo fence="false" id="S3.E2.m1.1.7.3" rspace="0.167em" stretchy="false">|</mo><msub id="S3.E2.m1.1.7.4"><mi id="S3.E2.m1.1.7.4.2">𝐮</mi><mn id="S3.E2.m1.1.7.4.3">2</mn></msub><mo id="S3.E2.m1.1.7.5" rspace="0.170em" stretchy="false">⟩</mo></mrow><mrow id="S3.E2.m1.1.8"><mo id="S3.E2.m1.1.8.1" stretchy="false">⟨</mo><msub id="S3.E2.m1.1.8.2"><mi id="S3.E2.m1.1.8.2.2">𝐮</mi><mn id="S3.E2.m1.1.8.2.3">2</mn></msub><mo fence="false" id="S3.E2.m1.1.8.3" rspace="0.167em" stretchy="false">|</mo><msub id="S3.E2.m1.1.8.4"><mi id="S3.E2.m1.1.8.4.2">𝐮</mi><mn id="S3.E2.m1.1.8.4.3">3</mn></msub><mo id="S3.E2.m1.1.8.5" rspace="0.170em" stretchy="false">⟩</mo></mrow><mrow id="S3.E2.m1.1.9"><mo id="S3.E2.m1.1.9.1" stretchy="false">⟨</mo><msub id="S3.E2.m1.1.9.2"><mi id="S3.E2.m1.1.9.2.2">𝐮</mi><mn id="S3.E2.m1.1.9.2.3">3</mn></msub><mo fence="false" id="S3.E2.m1.1.9.3" stretchy="false">|</mo><mo id="S3.E2.m1.1.9.4" lspace="0.167em">=</mo><mi id="S3.E2.m1.1.9.5">Tr</mi><mrow id="S3.E2.m1.1.9.6"><mo id="S3.E2.m1.1.9.6.1" stretchy="false">(</mo><msub id="S3.E2.m1.1.9.6.2"><mi id="S3.E2.m1.1.9.6.2.2" mathvariant="normal">P</mi><mn id="S3.E2.m1.1.9.6.2.3">1</mn></msub><msub id="S3.E2.m1.1.9.6.3"><mi id="S3.E2.m1.1.9.6.3.2" mathvariant="normal">P</mi><mn id="S3.E2.m1.1.9.6.3.3">2</mn></msub><msub id="S3.E2.m1.1.9.6.4"><mi id="S3.E2.m1.1.9.6.4.2" mathvariant="normal">P</mi><mn id="S3.E2.m1.1.9.6.4.3">3</mn></msub><mo id="S3.E2.m1.1.9.6.5" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S3.E2.m1.1.9.7">,</mo></mrow></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E2.m1.1c">\langle\mathbf{u}_{1},\mathbf{u}_{2}\rangle\,\langle\mathbf{u}_{2},\mathbf{u}_% {3}\rangle\,\langle\mathbf{u}_{3},\mathbf{u}_{1}\rangle=\rm{Tr}(\;|\mathbf{u}_% {1}\rangle\!\langle\mathbf{u}_{1}|\mathbf{u}_{2}\rangle\,\langle\mathbf{u}_{2}% |\mathbf{u}_{3}\rangle\,\langle\mathbf{u}_{3}|={\rm Tr}(P_{1}P_{2}P_{3}),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E2.m1.1d">⟨ bold_u start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , bold_u start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ⟩ ⟨ bold_u start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT , bold_u start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT ⟩ ⟨ bold_u start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT , bold_u start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ⟩ = roman_Tr ( | bold_u start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ⟩ ⟨ bold_u start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT | bold_u start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ⟩ ⟨ bold_u start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT | bold_u start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT ⟩ ⟨ bold_u start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT | = roman_Tr ( roman_P start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT roman_P start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT roman_P start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.p3.7">where <math alttext="P_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.5.m1.1"><semantics id="S3.p3.5.m1.1a"><msub id="S3.p3.5.m1.1.1" xref="S3.p3.5.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.p3.5.m1.1.1.2" xref="S3.p3.5.m1.1.1.2.cmml">P</mi><mi id="S3.p3.5.m1.1.1.3" xref="S3.p3.5.m1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.5.m1.1b"><apply id="S3.p3.5.m1.1.1.cmml" xref="S3.p3.5.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.5.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.p3.5.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.5.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.p3.5.m1.1.1.2">𝑃</ci><ci id="S3.p3.5.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.p3.5.m1.1.1.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.5.m1.1c">P_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.5.m1.1d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> are the orthogonal projections onto the one-dimensional subspaces spanned by the vectors <math alttext="\mathbf{u}_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.6.m2.1"><semantics id="S3.p3.6.m2.1a"><msub id="S3.p3.6.m2.1.1" xref="S3.p3.6.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.p3.6.m2.1.1.2" xref="S3.p3.6.m2.1.1.2.cmml">𝐮</mi><mi id="S3.p3.6.m2.1.1.3" xref="S3.p3.6.m2.1.1.3.cmml">j</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.6.m2.1b"><apply id="S3.p3.6.m2.1.1.cmml" xref="S3.p3.6.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p3.6.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.p3.6.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p3.6.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.p3.6.m2.1.1.2">𝐮</ci><ci id="S3.p3.6.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.p3.6.m2.1.1.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.6.m2.1c">\mathbf{u}_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.6.m2.1d">bold_u start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> (<math alttext="j=1,2,3" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p3.7.m3.3"><semantics id="S3.p3.7.m3.3a"><mrow id="S3.p3.7.m3.3.4" xref="S3.p3.7.m3.3.4.cmml"><mi id="S3.p3.7.m3.3.4.2" xref="S3.p3.7.m3.3.4.2.cmml">j</mi><mo id="S3.p3.7.m3.3.4.1" xref="S3.p3.7.m3.3.4.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.p3.7.m3.3.4.3.2" xref="S3.p3.7.m3.3.4.3.1.cmml"><mn id="S3.p3.7.m3.1.1" xref="S3.p3.7.m3.1.1.cmml">1</mn><mo id="S3.p3.7.m3.3.4.3.2.1" xref="S3.p3.7.m3.3.4.3.1.cmml">,</mo><mn id="S3.p3.7.m3.2.2" xref="S3.p3.7.m3.2.2.cmml">2</mn><mo id="S3.p3.7.m3.3.4.3.2.2" xref="S3.p3.7.m3.3.4.3.1.cmml">,</mo><mn id="S3.p3.7.m3.3.3" xref="S3.p3.7.m3.3.3.cmml">3</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p3.7.m3.3b"><apply id="S3.p3.7.m3.3.4.cmml" xref="S3.p3.7.m3.3.4"><eq id="S3.p3.7.m3.3.4.1.cmml" xref="S3.p3.7.m3.3.4.1"></eq><ci id="S3.p3.7.m3.3.4.2.cmml" xref="S3.p3.7.m3.3.4.2">𝑗</ci><list id="S3.p3.7.m3.3.4.3.1.cmml" xref="S3.p3.7.m3.3.4.3.2"><cn id="S3.p3.7.m3.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.p3.7.m3.1.1">1</cn><cn id="S3.p3.7.m3.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.p3.7.m3.2.2">2</cn><cn id="S3.p3.7.m3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.p3.7.m3.3.3">3</cn></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p3.7.m3.3c">j=1,2,3</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p3.7.m3.3d">italic_j = 1 , 2 , 3</annotation></semantics></math>).</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.p4"> <p class="ltx_p" id="S3.p4.2">Motivated by the formula above, given a triplet of mutually unbiased bases <math alttext="X=(\mathbf{e}_{1},\dots,\mathbf{e}_{d}),Y=(\mathbf{f}_{1},\dots,\mathbf{f}_{d}% ),Z=(\mathbf{g}_{1},\dots,\mathbf{g}_{d})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p4.1.m1.5"><semantics id="S3.p4.1.m1.5a"><mrow id="S3.p4.1.m1.5.5.2" xref="S3.p4.1.m1.5.5.3.cmml"><mrow id="S3.p4.1.m1.4.4.1.1" xref="S3.p4.1.m1.4.4.1.1.cmml"><mi id="S3.p4.1.m1.4.4.1.1.4" xref="S3.p4.1.m1.4.4.1.1.4.cmml">X</mi><mo id="S3.p4.1.m1.4.4.1.1.3" xref="S3.p4.1.m1.4.4.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.p4.1.m1.4.4.1.1.2.2" xref="S3.p4.1.m1.4.4.1.1.2.3.cmml"><mo id="S3.p4.1.m1.4.4.1.1.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.p4.1.m1.4.4.1.1.2.3.cmml">(</mo><msub id="S3.p4.1.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S3.p4.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.p4.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.2" xref="S3.p4.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml">𝐞</mi><mn id="S3.p4.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3" xref="S3.p4.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.p4.1.m1.4.4.1.1.2.2.4" xref="S3.p4.1.m1.4.4.1.1.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.p4.1.m1.1.1" mathvariant="normal" xref="S3.p4.1.m1.1.1.cmml">…</mi><mo id="S3.p4.1.m1.4.4.1.1.2.2.5" xref="S3.p4.1.m1.4.4.1.1.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.p4.1.m1.4.4.1.1.2.2.2" xref="S3.p4.1.m1.4.4.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.p4.1.m1.4.4.1.1.2.2.2.2" xref="S3.p4.1.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.cmml">𝐞</mi><mi id="S3.p4.1.m1.4.4.1.1.2.2.2.3" xref="S3.p4.1.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.cmml">d</mi></msub><mo id="S3.p4.1.m1.4.4.1.1.2.2.6" stretchy="false" xref="S3.p4.1.m1.4.4.1.1.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.p4.1.m1.5.5.2.3" xref="S3.p4.1.m1.5.5.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.2" xref="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.3.cmml"><mrow id="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.1.1" xref="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.1.1.cmml"><mi id="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.1.1.4" xref="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.1.1.4.cmml">Y</mi><mo id="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.1.1.3" xref="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.1.1.2.2" xref="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.1.1.2.3.cmml"><mo id="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.1.1.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.1.1.2.3.cmml">(</mo><msub id="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">𝐟</mi><mn id="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.1.1.2.2.4" xref="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.1.1.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.p4.1.m1.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.p4.1.m1.2.2.cmml">…</mi><mo id="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.1.1.2.2.5" xref="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.1.1.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.1.1.2.2.2" xref="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.1.1.2.2.2.2" xref="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.1.1.2.2.2.2.cmml">𝐟</mi><mi id="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.1.1.2.2.2.3" xref="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.1.1.2.2.2.3.cmml">d</mi></msub><mo id="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.1.1.2.2.6" stretchy="false" xref="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.1.1.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.2.3" xref="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.2.2" xref="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.2.2.4" xref="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.2.2.4.cmml">Z</mi><mo id="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.2.2.3" xref="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.2.2.2.2" xref="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.2.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1" xref="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml">𝐠</mi><mn id="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.4" xref="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.p4.1.m1.3.3" mathvariant="normal" xref="S3.p4.1.m1.3.3.cmml">…</mi><mo id="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.5" xref="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.2" xref="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml">𝐠</mi><mi id="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.2.3" xref="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">d</mi></msub><mo id="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.6" stretchy="false" xref="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p4.1.m1.5b"><apply id="S3.p4.1.m1.5.5.3.cmml" xref="S3.p4.1.m1.5.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p4.1.m1.5.5.3a.cmml" xref="S3.p4.1.m1.5.5.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.p4.1.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S3.p4.1.m1.4.4.1.1"><eq id="S3.p4.1.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="S3.p4.1.m1.4.4.1.1.3"></eq><ci id="S3.p4.1.m1.4.4.1.1.4.cmml" xref="S3.p4.1.m1.4.4.1.1.4">𝑋</ci><vector id="S3.p4.1.m1.4.4.1.1.2.3.cmml" xref="S3.p4.1.m1.4.4.1.1.2.2"><apply id="S3.p4.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p4.1.m1.4.4.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p4.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p4.1.m1.4.4.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p4.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p4.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.2">𝐞</ci><cn id="S3.p4.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.p4.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S3.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.p4.1.m1.1.1">…</ci><apply id="S3.p4.1.m1.4.4.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.p4.1.m1.4.4.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p4.1.m1.4.4.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.p4.1.m1.4.4.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p4.1.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.p4.1.m1.4.4.1.1.2.2.2.2">𝐞</ci><ci id="S3.p4.1.m1.4.4.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.p4.1.m1.4.4.1.1.2.2.2.3">𝑑</ci></apply></vector></apply><apply id="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.3.cmml" xref="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.3a.cmml" xref="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.1.1.cmml" xref="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.1.1"><eq id="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.1.1.3"></eq><ci id="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.1.1.4.cmml" xref="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.1.1.4">𝑌</ci><vector id="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.1.1.2.2"><apply id="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.1.2">𝐟</ci><cn id="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S3.p4.1.m1.2.2.cmml" xref="S3.p4.1.m1.2.2">…</ci><apply id="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.1.1.2.2.2.2">𝐟</ci><ci id="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.1.1.2.2.2.3">𝑑</ci></apply></vector></apply><apply id="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.2.2.cmml" xref="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.2.2"><eq id="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.2.2.3"></eq><ci id="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.2.2.4.cmml" xref="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.2.2.4">𝑍</ci><vector id="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.2.2.2.2"><apply id="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.2">𝐠</ci><cn id="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.2.2.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S3.p4.1.m1.3.3.cmml" xref="S3.p4.1.m1.3.3">…</ci><apply id="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.2.2">𝐠</ci><ci id="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.p4.1.m1.5.5.2.2.2.2.2.2.2.3">𝑑</ci></apply></vector></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p4.1.m1.5c">X=(\mathbf{e}_{1},\dots,\mathbf{e}_{d}),Y=(\mathbf{f}_{1},\dots,\mathbf{f}_{d}% ),Z=(\mathbf{g}_{1},\dots,\mathbf{g}_{d})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p4.1.m1.5d">italic_X = ( bold_e start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , bold_e start_POSTSUBSCRIPT italic_d end_POSTSUBSCRIPT ) , italic_Y = ( bold_f start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , bold_f start_POSTSUBSCRIPT italic_d end_POSTSUBSCRIPT ) , italic_Z = ( bold_g start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , bold_g start_POSTSUBSCRIPT italic_d end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> in <math alttext="\mathbb{C}^{d}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p4.2.m2.1"><semantics id="S3.p4.2.m2.1a"><msup id="S3.p4.2.m2.1.1" xref="S3.p4.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.p4.2.m2.1.1.2" xref="S3.p4.2.m2.1.1.2.cmml">ℂ</mi><mi id="S3.p4.2.m2.1.1.3" xref="S3.p4.2.m2.1.1.3.cmml">d</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p4.2.m2.1b"><apply id="S3.p4.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.p4.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p4.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.p4.2.m2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.p4.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.p4.2.m2.1.1.2">ℂ</ci><ci id="S3.p4.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.p4.2.m2.1.1.3">𝑑</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p4.2.m2.1c">\mathbb{C}^{d}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p4.2.m2.1d">blackboard_C start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, we will consider the normalized products</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E3"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(3.3)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="C_{j,k,l}=\sqrt{d^{3}}\,\langle\mathbf{e}_{j},\mathbf{f}_{k}\rangle\langle% \mathbf{f}_{k},\mathbf{g}_{l}\rangle\langle\mathbf{g}_{l},\mathbf{e}_{j}% \rangle\;\;\;\;(1\leq j,k,l\leq d)." class="ltx_Math" display="block" id="S3.E3.m1.6"><semantics id="S3.E3.m1.6a"><mrow id="S3.E3.m1.6.6.1" xref="S3.E3.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="S3.E3.m1.6.6.1.1" xref="S3.E3.m1.6.6.1.1.cmml"><msub id="S3.E3.m1.6.6.1.1.4" xref="S3.E3.m1.6.6.1.1.4.cmml"><mi id="S3.E3.m1.6.6.1.1.4.2" xref="S3.E3.m1.6.6.1.1.4.2.cmml">C</mi><mrow id="S3.E3.m1.3.3.3.5" xref="S3.E3.m1.3.3.3.4.cmml"><mi id="S3.E3.m1.1.1.1.1" xref="S3.E3.m1.1.1.1.1.cmml">j</mi><mo id="S3.E3.m1.3.3.3.5.1" xref="S3.E3.m1.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.E3.m1.2.2.2.2" xref="S3.E3.m1.2.2.2.2.cmml">k</mi><mo id="S3.E3.m1.3.3.3.5.2" xref="S3.E3.m1.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.E3.m1.3.3.3.3" xref="S3.E3.m1.3.3.3.3.cmml">l</mi></mrow></msub><mo id="S3.E3.m1.6.6.1.1.3" xref="S3.E3.m1.6.6.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.E3.m1.6.6.1.1.2.2" xref="S3.E3.m1.6.6.1.1.2.3.cmml"><mrow id="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1" xref="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml"><msqrt id="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.8" xref="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.8.cmml"><msup id="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.8.2" xref="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.8.2.cmml"><mi id="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.8.2.2" xref="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.8.2.2.cmml">d</mi><mn id="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.8.2.3" xref="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.8.2.3.cmml">3</mn></msup></msqrt><mo id="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.7" lspace="0.170em" xref="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.7.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.3.cmml">⟨</mo><msub id="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝐞</mi><mi id="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.4" xref="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">𝐟</mi><mi id="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.3.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.7a" xref="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.7.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.4.2" xref="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mo id="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.4.2.3" stretchy="false" xref="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.4.3.cmml">⟨</mo><msub id="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.1.1" xref="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml"><mi id="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.1.1.2" xref="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.1.1.2.cmml">𝐟</mi><mi id="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.1.1.3" xref="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.4.2.4" xref="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.4.3.cmml">,</mo><msub id="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.4.2.2" xref="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml"><mi id="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.4.2.2.2" xref="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.4.2.2.2.cmml">𝐠</mi><mi id="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.4.2.2.3" xref="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.4.2.2.3.cmml">l</mi></msub><mo id="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.4.2.5" stretchy="false" xref="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.4.3.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.7b" xref="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.7.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.6.2" xref="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.6.3.cmml"><mo id="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.6.2.3" stretchy="false" xref="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.6.3.cmml">⟨</mo><msub id="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.5.1.1" xref="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.5.1.1.cmml"><mi id="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.5.1.1.2" xref="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.5.1.1.2.cmml">𝐠</mi><mi id="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.5.1.1.3" xref="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.5.1.1.3.cmml">l</mi></msub><mo id="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.6.2.4" xref="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.6.3.cmml">,</mo><msub id="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.6.2.2" xref="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.6.2.2.cmml"><mi id="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.6.2.2.2" xref="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.6.2.2.2.cmml">𝐞</mi><mi id="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.6.2.2.3" xref="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.6.2.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.6.2.5" stretchy="false" xref="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.6.3.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><mspace id="S3.E3.m1.6.6.1.1.2.2.3" width="1.11111111111111em" xref="S3.E3.m1.6.6.1.1.2.3.cmml"></mspace><mrow id="S3.E3.m1.6.6.1.1.2.2.2.1" xref="S3.E3.m1.6.6.1.1.2.3.cmml"><mo id="S3.E3.m1.6.6.1.1.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S3.E3.m1.6.6.1.1.2.3.cmml">(</mo><mrow id="S3.E3.m1.6.6.1.1.2.2.2.1.1.2" xref="S3.E3.m1.6.6.1.1.2.2.2.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.E3.m1.6.6.1.1.2.2.2.1.1.1.1" xref="S3.E3.m1.6.6.1.1.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mn id="S3.E3.m1.6.6.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2" xref="S3.E3.m1.6.6.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S3.E3.m1.6.6.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.E3.m1.6.6.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml">≤</mo><mrow id="S3.E3.m1.6.6.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E3.m1.6.6.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml"><mi id="S3.E3.m1.4.4" xref="S3.E3.m1.4.4.cmml">j</mi><mo id="S3.E3.m1.6.6.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3.2.1" xref="S3.E3.m1.6.6.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.E3.m1.5.5" xref="S3.E3.m1.5.5.cmml">k</mi></mrow></mrow><mo id="S3.E3.m1.6.6.1.1.2.2.2.1.1.2.3" xref="S3.E3.m1.6.6.1.1.2.2.2.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.E3.m1.6.6.1.1.2.2.2.1.1.2.2" xref="S3.E3.m1.6.6.1.1.2.2.2.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.E3.m1.6.6.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2" xref="S3.E3.m1.6.6.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.cmml">l</mi><mo id="S3.E3.m1.6.6.1.1.2.2.2.1.1.2.2.1" xref="S3.E3.m1.6.6.1.1.2.2.2.1.1.2.2.1.cmml">≤</mo><mi id="S3.E3.m1.6.6.1.1.2.2.2.1.1.2.2.3" xref="S3.E3.m1.6.6.1.1.2.2.2.1.1.2.2.3.cmml">d</mi></mrow></mrow><mo id="S3.E3.m1.6.6.1.1.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S3.E3.m1.6.6.1.1.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E3.m1.6.6.1.2" lspace="0em" xref="S3.E3.m1.6.6.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E3.m1.6b"><apply id="S3.E3.m1.6.6.1.1.cmml" xref="S3.E3.m1.6.6.1"><eq id="S3.E3.m1.6.6.1.1.3.cmml" xref="S3.E3.m1.6.6.1.1.3"></eq><apply id="S3.E3.m1.6.6.1.1.4.cmml" xref="S3.E3.m1.6.6.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E3.m1.6.6.1.1.4.1.cmml" xref="S3.E3.m1.6.6.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S3.E3.m1.6.6.1.1.4.2.cmml" xref="S3.E3.m1.6.6.1.1.4.2">𝐶</ci><list id="S3.E3.m1.3.3.3.4.cmml" xref="S3.E3.m1.3.3.3.5"><ci id="S3.E3.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E3.m1.1.1.1.1">𝑗</ci><ci id="S3.E3.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E3.m1.2.2.2.2">𝑘</ci><ci id="S3.E3.m1.3.3.3.3.cmml" xref="S3.E3.m1.3.3.3.3">𝑙</ci></list></apply><list id="S3.E3.m1.6.6.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E3.m1.6.6.1.1.2.2"><apply id="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1"><times id="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.7.cmml" xref="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.7"></times><apply id="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.8.cmml" xref="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.8"><root id="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.8a.cmml" xref="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.8"></root><apply id="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.8.2.cmml" xref="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.8.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.8.2.1.cmml" xref="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.8.2">superscript</csymbol><ci id="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.8.2.2.cmml" xref="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.8.2.2">𝑑</ci><cn id="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.8.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.8.2.3">3</cn></apply></apply><list id="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2"><apply id="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝐞</ci><ci id="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.2.2">𝐟</ci><ci id="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.2.2.3">𝑘</ci></apply></list><list id="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.4.2"><apply id="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml" xref="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.1.1.2.cmml" xref="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.1.1.2">𝐟</ci><ci id="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.1.1.3.cmml" xref="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.1.1.3">𝑘</ci></apply><apply id="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.4.2.2.1.cmml" xref="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.4.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.4.2.2.2.cmml" xref="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.4.2.2.2">𝐠</ci><ci id="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.4.2.2.3.cmml" xref="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.4.2.2.3">𝑙</ci></apply></list><list id="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.6.3.cmml" xref="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.6.2"><apply id="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.5.1.1.cmml" xref="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.5.1.1.1.cmml" xref="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.5.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.5.1.1.2.cmml" xref="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.5.1.1.2">𝐠</ci><ci id="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.5.1.1.3.cmml" xref="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.5.1.1.3">𝑙</ci></apply><apply id="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.6.2.2.cmml" xref="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.6.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.6.2.2.1.cmml" xref="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.6.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.6.2.2.2.cmml" xref="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.6.2.2.2">𝐞</ci><ci id="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.6.2.2.3.cmml" xref="S3.E3.m1.6.6.1.1.1.1.1.6.2.2.3">𝑗</ci></apply></list></apply><apply id="S3.E3.m1.6.6.1.1.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.E3.m1.6.6.1.1.2.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E3.m1.6.6.1.1.2.2.2.1.1.3a.cmml" xref="S3.E3.m1.6.6.1.1.2.2.2.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.E3.m1.6.6.1.1.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E3.m1.6.6.1.1.2.2.2.1.1.1.1"><leq id="S3.E3.m1.6.6.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E3.m1.6.6.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1"></leq><cn id="S3.E3.m1.6.6.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S3.E3.m1.6.6.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2">1</cn><list id="S3.E3.m1.6.6.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E3.m1.6.6.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3.2"><ci id="S3.E3.m1.4.4.cmml" xref="S3.E3.m1.4.4">𝑗</ci><ci id="S3.E3.m1.5.5.cmml" xref="S3.E3.m1.5.5">𝑘</ci></list></apply><apply id="S3.E3.m1.6.6.1.1.2.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E3.m1.6.6.1.1.2.2.2.1.1.2.2"><leq id="S3.E3.m1.6.6.1.1.2.2.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E3.m1.6.6.1.1.2.2.2.1.1.2.2.1"></leq><ci id="S3.E3.m1.6.6.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E3.m1.6.6.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2">𝑙</ci><ci id="S3.E3.m1.6.6.1.1.2.2.2.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.E3.m1.6.6.1.1.2.2.2.1.1.2.2.3">𝑑</ci></apply></apply></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E3.m1.6c">C_{j,k,l}=\sqrt{d^{3}}\,\langle\mathbf{e}_{j},\mathbf{f}_{k}\rangle\langle% \mathbf{f}_{k},\mathbf{g}_{l}\rangle\langle\mathbf{g}_{l},\mathbf{e}_{j}% \rangle\;\;\;\;(1\leq j,k,l\leq d).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E3.m1.6d">italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k , italic_l end_POSTSUBSCRIPT = square-root start_ARG italic_d start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ⟨ bold_e start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT , bold_f start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ⟩ ⟨ bold_f start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT , bold_g start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT ⟩ ⟨ bold_g start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT , bold_e start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ⟩ ( 1 ≤ italic_j , italic_k , italic_l ≤ italic_d ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S3.p5"> <p class="ltx_p" id="S3.p5.3">We may think of <math alttext="C" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p5.1.m1.1"><semantics id="S3.p5.1.m1.1a"><mi id="S3.p5.1.m1.1.1" xref="S3.p5.1.m1.1.1.cmml">C</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p5.1.m1.1b"><ci id="S3.p5.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.p5.1.m1.1.1">𝐶</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p5.1.m1.1c">C</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p5.1.m1.1d">italic_C</annotation></semantics></math> as a cube of size <math alttext="d\times d\times d" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p5.2.m2.1"><semantics id="S3.p5.2.m2.1a"><mrow id="S3.p5.2.m2.1.1" xref="S3.p5.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.p5.2.m2.1.1.2" xref="S3.p5.2.m2.1.1.2.cmml">d</mi><mo id="S3.p5.2.m2.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S3.p5.2.m2.1.1.1.cmml">×</mo><mi id="S3.p5.2.m2.1.1.3" xref="S3.p5.2.m2.1.1.3.cmml">d</mi><mo id="S3.p5.2.m2.1.1.1a" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S3.p5.2.m2.1.1.1.cmml">×</mo><mi id="S3.p5.2.m2.1.1.4" xref="S3.p5.2.m2.1.1.4.cmml">d</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p5.2.m2.1b"><apply id="S3.p5.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.p5.2.m2.1.1"><times id="S3.p5.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.p5.2.m2.1.1.1"></times><ci id="S3.p5.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.p5.2.m2.1.1.2">𝑑</ci><ci id="S3.p5.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.p5.2.m2.1.1.3">𝑑</ci><ci id="S3.p5.2.m2.1.1.4.cmml" xref="S3.p5.2.m2.1.1.4">𝑑</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p5.2.m2.1c">d\times d\times d</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p5.2.m2.1d">italic_d × italic_d × italic_d</annotation></semantics></math>, filled with complex numbers of modulus 1. We shall say that it is the <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.p5.3.1">Hadamard cube associated with the MUB-triplet</span> <math alttext="(X,Y,Z)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p5.3.m3.3"><semantics id="S3.p5.3.m3.3a"><mrow id="S3.p5.3.m3.3.4.2" xref="S3.p5.3.m3.3.4.1.cmml"><mo id="S3.p5.3.m3.3.4.2.1" stretchy="false" xref="S3.p5.3.m3.3.4.1.cmml">(</mo><mi id="S3.p5.3.m3.1.1" xref="S3.p5.3.m3.1.1.cmml">X</mi><mo id="S3.p5.3.m3.3.4.2.2" xref="S3.p5.3.m3.3.4.1.cmml">,</mo><mi id="S3.p5.3.m3.2.2" xref="S3.p5.3.m3.2.2.cmml">Y</mi><mo id="S3.p5.3.m3.3.4.2.3" xref="S3.p5.3.m3.3.4.1.cmml">,</mo><mi id="S3.p5.3.m3.3.3" xref="S3.p5.3.m3.3.3.cmml">Z</mi><mo id="S3.p5.3.m3.3.4.2.4" stretchy="false" xref="S3.p5.3.m3.3.4.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p5.3.m3.3b"><vector id="S3.p5.3.m3.3.4.1.cmml" xref="S3.p5.3.m3.3.4.2"><ci id="S3.p5.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.p5.3.m3.1.1">𝑋</ci><ci id="S3.p5.3.m3.2.2.cmml" xref="S3.p5.3.m3.2.2">𝑌</ci><ci id="S3.p5.3.m3.3.3.cmml" xref="S3.p5.3.m3.3.3">𝑍</ci></vector></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p5.3.m3.3c">(X,Y,Z)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p5.3.m3.3d">( italic_X , italic_Y , italic_Z )</annotation></semantics></math>. Note that we may rewrite the defining equation above as</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex1"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="C_{j,k,l}=h_{j,k}\,\tilde{h}_{k,l}\,\tilde{\tilde{h}}_{l,j}" class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex1.m1.9"><semantics id="S3.Ex1.m1.9a"><mrow id="S3.Ex1.m1.9.10" xref="S3.Ex1.m1.9.10.cmml"><msub id="S3.Ex1.m1.9.10.2" xref="S3.Ex1.m1.9.10.2.cmml"><mi id="S3.Ex1.m1.9.10.2.2" xref="S3.Ex1.m1.9.10.2.2.cmml">C</mi><mrow id="S3.Ex1.m1.3.3.3.5" xref="S3.Ex1.m1.3.3.3.4.cmml"><mi id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex1.m1.3.3.3.5.1" xref="S3.Ex1.m1.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex1.m1.2.2.2.2" xref="S3.Ex1.m1.2.2.2.2.cmml">k</mi><mo id="S3.Ex1.m1.3.3.3.5.2" xref="S3.Ex1.m1.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex1.m1.3.3.3.3" xref="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.cmml">l</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex1.m1.9.10.1" xref="S3.Ex1.m1.9.10.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex1.m1.9.10.3" xref="S3.Ex1.m1.9.10.3.cmml"><msub id="S3.Ex1.m1.9.10.3.2" xref="S3.Ex1.m1.9.10.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex1.m1.9.10.3.2.2" xref="S3.Ex1.m1.9.10.3.2.2.cmml">h</mi><mrow id="S3.Ex1.m1.5.5.2.4" xref="S3.Ex1.m1.5.5.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex1.m1.4.4.1.1" xref="S3.Ex1.m1.4.4.1.1.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex1.m1.5.5.2.4.1" xref="S3.Ex1.m1.5.5.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex1.m1.5.5.2.2" xref="S3.Ex1.m1.5.5.2.2.cmml">k</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex1.m1.9.10.3.1" xref="S3.Ex1.m1.9.10.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex1.m1.9.10.3.3" xref="S3.Ex1.m1.9.10.3.3.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex1.m1.9.10.3.3.2" xref="S3.Ex1.m1.9.10.3.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex1.m1.9.10.3.3.2.2" xref="S3.Ex1.m1.9.10.3.3.2.2.cmml">h</mi><mo id="S3.Ex1.m1.9.10.3.3.2.1" xref="S3.Ex1.m1.9.10.3.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="S3.Ex1.m1.7.7.2.4" xref="S3.Ex1.m1.7.7.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex1.m1.6.6.1.1" xref="S3.Ex1.m1.6.6.1.1.cmml">k</mi><mo id="S3.Ex1.m1.7.7.2.4.1" xref="S3.Ex1.m1.7.7.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex1.m1.7.7.2.2" xref="S3.Ex1.m1.7.7.2.2.cmml">l</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex1.m1.9.10.3.1a" xref="S3.Ex1.m1.9.10.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex1.m1.9.10.3.4" xref="S3.Ex1.m1.9.10.3.4.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex1.m1.9.10.3.4.2" xref="S3.Ex1.m1.9.10.3.4.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex1.m1.9.10.3.4.2.2" xref="S3.Ex1.m1.9.10.3.4.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex1.m1.9.10.3.4.2.2.2" xref="S3.Ex1.m1.9.10.3.4.2.2.2.cmml">h</mi><mo id="S3.Ex1.m1.9.10.3.4.2.2.1" xref="S3.Ex1.m1.9.10.3.4.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S3.Ex1.m1.9.10.3.4.2.1" xref="S3.Ex1.m1.9.10.3.4.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="S3.Ex1.m1.9.9.2.4" xref="S3.Ex1.m1.9.9.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex1.m1.8.8.1.1" xref="S3.Ex1.m1.8.8.1.1.cmml">l</mi><mo id="S3.Ex1.m1.9.9.2.4.1" xref="S3.Ex1.m1.9.9.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex1.m1.9.9.2.2" xref="S3.Ex1.m1.9.9.2.2.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex1.m1.9b"><apply id="S3.Ex1.m1.9.10.cmml" xref="S3.Ex1.m1.9.10"><eq id="S3.Ex1.m1.9.10.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.9.10.1"></eq><apply id="S3.Ex1.m1.9.10.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.9.10.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex1.m1.9.10.2.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.9.10.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex1.m1.9.10.2.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.9.10.2.2">𝐶</ci><list id="S3.Ex1.m1.3.3.3.4.cmml" xref="S3.Ex1.m1.3.3.3.5"><ci id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1">𝑗</ci><ci id="S3.Ex1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.2.2.2.2">𝑘</ci><ci id="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex1.m1.3.3.3.3">𝑙</ci></list></apply><apply id="S3.Ex1.m1.9.10.3.cmml" xref="S3.Ex1.m1.9.10.3"><times id="S3.Ex1.m1.9.10.3.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.9.10.3.1"></times><apply id="S3.Ex1.m1.9.10.3.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.9.10.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex1.m1.9.10.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.9.10.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex1.m1.9.10.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.9.10.3.2.2">ℎ</ci><list id="S3.Ex1.m1.5.5.2.3.cmml" xref="S3.Ex1.m1.5.5.2.4"><ci id="S3.Ex1.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.4.4.1.1">𝑗</ci><ci id="S3.Ex1.m1.5.5.2.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.5.5.2.2">𝑘</ci></list></apply><apply id="S3.Ex1.m1.9.10.3.3.cmml" xref="S3.Ex1.m1.9.10.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex1.m1.9.10.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.9.10.3.3">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex1.m1.9.10.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.9.10.3.3.2"><ci id="S3.Ex1.m1.9.10.3.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.9.10.3.3.2.1">~</ci><ci id="S3.Ex1.m1.9.10.3.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.9.10.3.3.2.2">ℎ</ci></apply><list id="S3.Ex1.m1.7.7.2.3.cmml" xref="S3.Ex1.m1.7.7.2.4"><ci id="S3.Ex1.m1.6.6.1.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.6.6.1.1">𝑘</ci><ci id="S3.Ex1.m1.7.7.2.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.7.7.2.2">𝑙</ci></list></apply><apply id="S3.Ex1.m1.9.10.3.4.cmml" xref="S3.Ex1.m1.9.10.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex1.m1.9.10.3.4.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.9.10.3.4">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex1.m1.9.10.3.4.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.9.10.3.4.2"><ci id="S3.Ex1.m1.9.10.3.4.2.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.9.10.3.4.2.1">~</ci><apply id="S3.Ex1.m1.9.10.3.4.2.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.9.10.3.4.2.2"><ci id="S3.Ex1.m1.9.10.3.4.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.9.10.3.4.2.2.1">~</ci><ci id="S3.Ex1.m1.9.10.3.4.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.9.10.3.4.2.2.2">ℎ</ci></apply></apply><list id="S3.Ex1.m1.9.9.2.3.cmml" xref="S3.Ex1.m1.9.9.2.4"><ci id="S3.Ex1.m1.8.8.1.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.8.8.1.1">𝑙</ci><ci id="S3.Ex1.m1.9.9.2.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.9.9.2.2">𝑗</ci></list></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex1.m1.9c">C_{j,k,l}=h_{j,k}\,\tilde{h}_{k,l}\,\tilde{\tilde{h}}_{l,j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex1.m1.9d">italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k , italic_l end_POSTSUBSCRIPT = italic_h start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k end_POSTSUBSCRIPT over~ start_ARG italic_h end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_k , italic_l end_POSTSUBSCRIPT over~ start_ARG over~ start_ARG italic_h end_ARG end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l , italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.p5.9">where</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex2"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="h_{j,k}={\sqrt{d}}\langle\mathbf{e}_{j},\mathbf{f}_{k}\rangle,\;\;\tilde{h}_{k% ,l}=\sqrt{d}\langle\mathbf{f}_{k},\mathbf{g}_{l}\rangle,\;\;\tilde{\tilde{h}}_% {k,l}={\sqrt{d}}\langle\mathbf{g}_{k},\mathbf{e}_{l}\rangle" class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex2.m1.8"><semantics id="S3.Ex2.m1.8a"><mrow id="S3.Ex2.m1.8.8.2" xref="S3.Ex2.m1.8.8.3.cmml"><mrow id="S3.Ex2.m1.7.7.1.1" xref="S3.Ex2.m1.7.7.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex2.m1.7.7.1.1.4" xref="S3.Ex2.m1.7.7.1.1.4.cmml"><mi id="S3.Ex2.m1.7.7.1.1.4.2" xref="S3.Ex2.m1.7.7.1.1.4.2.cmml">h</mi><mrow id="S3.Ex2.m1.2.2.2.4" xref="S3.Ex2.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex2.m1.2.2.2.4.1" xref="S3.Ex2.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex2.m1.2.2.2.2" xref="S3.Ex2.m1.2.2.2.2.cmml">k</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex2.m1.7.7.1.1.3" xref="S3.Ex2.m1.7.7.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex2.m1.7.7.1.1.2" xref="S3.Ex2.m1.7.7.1.1.2.cmml"><msqrt id="S3.Ex2.m1.7.7.1.1.2.4" xref="S3.Ex2.m1.7.7.1.1.2.4.cmml"><mi id="S3.Ex2.m1.7.7.1.1.2.4.2" xref="S3.Ex2.m1.7.7.1.1.2.4.2.cmml">d</mi></msqrt><mo id="S3.Ex2.m1.7.7.1.1.2.3" xref="S3.Ex2.m1.7.7.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex2.m1.7.7.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex2.m1.7.7.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="S3.Ex2.m1.7.7.1.1.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex2.m1.7.7.1.1.2.2.3.cmml">⟨</mo><msub id="S3.Ex2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝐞</mi><mi id="S3.Ex2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.Ex2.m1.7.7.1.1.2.2.2.4" xref="S3.Ex2.m1.7.7.1.1.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex2.m1.7.7.1.1.2.2.2.2" xref="S3.Ex2.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex2.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex2.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2.cmml">𝐟</mi><mi id="S3.Ex2.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.3" xref="S3.Ex2.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.Ex2.m1.7.7.1.1.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.Ex2.m1.7.7.1.1.2.2.3.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex2.m1.8.8.2.3" rspace="0.727em" xref="S3.Ex2.m1.8.8.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.2" xref="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.3.cmml"><mrow id="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.1.1" xref="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.1.1.4" xref="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.1.1.4.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.1.1.4.2" xref="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.1.1.4.2.cmml"><mi id="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.1.1.4.2.2" xref="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.1.1.4.2.2.cmml">h</mi><mo id="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.1.1.4.2.1" xref="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.1.1.4.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="S3.Ex2.m1.4.4.2.4" xref="S3.Ex2.m1.4.4.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex2.m1.3.3.1.1" xref="S3.Ex2.m1.3.3.1.1.cmml">k</mi><mo id="S3.Ex2.m1.4.4.2.4.1" xref="S3.Ex2.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex2.m1.4.4.2.2" xref="S3.Ex2.m1.4.4.2.2.cmml">l</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.1.1.3" xref="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.1.1.2" xref="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.1.1.2.cmml"><msqrt id="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.1.1.2.4" xref="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.1.1.2.4.cmml"><mi id="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.1.1.2.4.2" xref="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.1.1.2.4.2.cmml">d</mi></msqrt><mo id="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.1.1.2.3" xref="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.1.1.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.1.1.2.2.3.cmml">⟨</mo><msub id="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝐟</mi><mi id="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.1.1.2.2.2.4" xref="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.1.1.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.1.1.2.2.2.2" xref="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.1.1.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.1.1.2.2.2.2.2.cmml">𝐠</mi><mi id="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.1.1.2.2.2.2.3" xref="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.1.1.2.2.2.2.3.cmml">l</mi></msub><mo id="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.1.1.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.1.1.2.2.3.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.2.3" rspace="0.727em" xref="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.2.2" xref="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.2.2.cmml"><msub id="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.2.2.4" xref="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.2.2.4.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.2.2.4.2" xref="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.2.2.4.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.2.2.4.2.2" xref="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.2.2.4.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.2.2.4.2.2.2" xref="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.2.2.4.2.2.2.cmml">h</mi><mo id="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.2.2.4.2.2.1" xref="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.2.2.4.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.2.2.4.2.1" xref="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.2.2.4.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="S3.Ex2.m1.6.6.2.4" xref="S3.Ex2.m1.6.6.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.cmml">k</mi><mo id="S3.Ex2.m1.6.6.2.4.1" xref="S3.Ex2.m1.6.6.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex2.m1.6.6.2.2" xref="S3.Ex2.m1.6.6.2.2.cmml">l</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.2.2.3" xref="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.2.2.2.cmml"><msqrt id="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.2.2.2.4" xref="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.2.2.2.4.cmml"><mi id="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.2.2.2.4.2" xref="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.2.2.2.4.2.cmml">d</mi></msqrt><mo id="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.2.2.2.3" xref="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.2.2.2.2.3.cmml">⟨</mo><msub id="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.2.2.1.1.1.1" xref="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.2.2.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml">𝐠</mi><mi id="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.2.2.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.2.2.2.2.2.4" xref="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml">𝐞</mi><mi id="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.2.2.2.2.2.2.3" xref="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">l</mi></msub><mo id="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.2.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.2.2.2.2.3.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex2.m1.8b"><apply id="S3.Ex2.m1.8.8.3.cmml" xref="S3.Ex2.m1.8.8.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex2.m1.8.8.3a.cmml" xref="S3.Ex2.m1.8.8.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.Ex2.m1.7.7.1.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.7.7.1.1"><eq id="S3.Ex2.m1.7.7.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex2.m1.7.7.1.1.3"></eq><apply id="S3.Ex2.m1.7.7.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex2.m1.7.7.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex2.m1.7.7.1.1.4.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.7.7.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex2.m1.7.7.1.1.4.2.cmml" xref="S3.Ex2.m1.7.7.1.1.4.2">ℎ</ci><list id="S3.Ex2.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex2.m1.2.2.2.4"><ci id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1">𝑗</ci><ci id="S3.Ex2.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex2.m1.2.2.2.2">𝑘</ci></list></apply><apply id="S3.Ex2.m1.7.7.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex2.m1.7.7.1.1.2"><times id="S3.Ex2.m1.7.7.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex2.m1.7.7.1.1.2.3"></times><apply id="S3.Ex2.m1.7.7.1.1.2.4.cmml" xref="S3.Ex2.m1.7.7.1.1.2.4"><root id="S3.Ex2.m1.7.7.1.1.2.4a.cmml" xref="S3.Ex2.m1.7.7.1.1.2.4"></root><ci id="S3.Ex2.m1.7.7.1.1.2.4.2.cmml" xref="S3.Ex2.m1.7.7.1.1.2.4.2">𝑑</ci></apply><list id="S3.Ex2.m1.7.7.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex2.m1.7.7.1.1.2.2.2"><apply id="S3.Ex2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2">𝐞</ci><ci id="S3.Ex2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.Ex2.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex2.m1.7.7.1.1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex2.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.7.7.1.1.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex2.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex2.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2">𝐟</ci><ci id="S3.Ex2.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex2.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.3">𝑘</ci></apply></list></apply></apply><apply id="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.3a.cmml" xref="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.1.1"><eq id="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.1.1.3"></eq><apply id="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.1.1.4.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.1.1.4">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.1.1.4.2.cmml" xref="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.1.1.4.2"><ci id="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.1.1.4.2.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.1.1.4.2.1">~</ci><ci id="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.1.1.4.2.2.cmml" xref="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.1.1.4.2.2">ℎ</ci></apply><list id="S3.Ex2.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S3.Ex2.m1.4.4.2.4"><ci id="S3.Ex2.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.3.3.1.1">𝑘</ci><ci id="S3.Ex2.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S3.Ex2.m1.4.4.2.2">𝑙</ci></list></apply><apply id="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.1.1.2"><times id="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.1.1.2.3"></times><apply id="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.1.1.2.4.cmml" xref="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.1.1.2.4"><root id="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.1.1.2.4a.cmml" xref="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.1.1.2.4"></root><ci id="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.1.1.2.4.2.cmml" xref="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.1.1.2.4.2">𝑑</ci></apply><list id="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.1.1.2.2.2"><apply id="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.1.1.1.1.1.1.2">𝐟</ci><ci id="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.1.1.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply><apply id="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.1.1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.1.1.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.1.1.2.2.2.2.2">𝐠</ci><ci id="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.1.1.2.2.2.2.3">𝑙</ci></apply></list></apply></apply><apply id="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.2.2"><eq id="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.2.2.3"></eq><apply id="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.2.2.4.cmml" xref="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.2.2.4.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.2.2.4">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.2.2.4.2.cmml" xref="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.2.2.4.2"><ci id="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.2.2.4.2.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.2.2.4.2.1">~</ci><apply id="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.2.2.4.2.2.cmml" xref="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.2.2.4.2.2"><ci id="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.2.2.4.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.2.2.4.2.2.1">~</ci><ci id="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.2.2.4.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.2.2.4.2.2.2">ℎ</ci></apply></apply><list id="S3.Ex2.m1.6.6.2.3.cmml" xref="S3.Ex2.m1.6.6.2.4"><ci id="S3.Ex2.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.5.5.1.1">𝑘</ci><ci id="S3.Ex2.m1.6.6.2.2.cmml" xref="S3.Ex2.m1.6.6.2.2">𝑙</ci></list></apply><apply id="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.2.2.2"><times id="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.2.2.2.3"></times><apply id="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.2.2.2.4.cmml" xref="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.2.2.2.4"><root id="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.2.2.2.4a.cmml" xref="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.2.2.2.4"></root><ci id="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.2.2.2.4.2.cmml" xref="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.2.2.2.4.2">𝑑</ci></apply><list id="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.2.2.2.2.2"><apply id="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.2.2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.2.2.1.1.1.1.2">𝐠</ci><ci id="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.2.2.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply><apply id="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.2.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.2.2.2.2.2.2.2">𝐞</ci><ci id="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex2.m1.8.8.2.2.2.2.2.2.2.2.3">𝑙</ci></apply></list></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex2.m1.8c">h_{j,k}={\sqrt{d}}\langle\mathbf{e}_{j},\mathbf{f}_{k}\rangle,\;\;\tilde{h}_{k% ,l}=\sqrt{d}\langle\mathbf{f}_{k},\mathbf{g}_{l}\rangle,\;\;\tilde{\tilde{h}}_% {k,l}={\sqrt{d}}\langle\mathbf{g}_{k},\mathbf{e}_{l}\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex2.m1.8d">italic_h start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k end_POSTSUBSCRIPT = square-root start_ARG italic_d end_ARG ⟨ bold_e start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT , bold_f start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ⟩ , over~ start_ARG italic_h end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_k , italic_l end_POSTSUBSCRIPT = square-root start_ARG italic_d end_ARG ⟨ bold_f start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT , bold_g start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT ⟩ , over~ start_ARG over~ start_ARG italic_h end_ARG end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_k , italic_l end_POSTSUBSCRIPT = square-root start_ARG italic_d end_ARG ⟨ bold_g start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT , bold_e start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT ⟩</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.p5.8">are the matrix entries of the <math alttext="3" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p5.4.m1.1"><semantics id="S3.p5.4.m1.1a"><mn id="S3.p5.4.m1.1.1" xref="S3.p5.4.m1.1.1.cmml">3</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p5.4.m1.1b"><cn id="S3.p5.4.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.p5.4.m1.1.1">3</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p5.4.m1.1c">3</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p5.4.m1.1d">3</annotation></semantics></math> complex Hadamard matrices <math alttext="H,\tilde{H}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p5.5.m2.2"><semantics id="S3.p5.5.m2.2a"><mrow id="S3.p5.5.m2.2.3.2" xref="S3.p5.5.m2.2.3.1.cmml"><mi id="S3.p5.5.m2.1.1" xref="S3.p5.5.m2.1.1.cmml">H</mi><mo id="S3.p5.5.m2.2.3.2.1" xref="S3.p5.5.m2.2.3.1.cmml">,</mo><mover accent="true" id="S3.p5.5.m2.2.2" xref="S3.p5.5.m2.2.2.cmml"><mi id="S3.p5.5.m2.2.2.2" xref="S3.p5.5.m2.2.2.2.cmml">H</mi><mo id="S3.p5.5.m2.2.2.1" xref="S3.p5.5.m2.2.2.1.cmml">~</mo></mover></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p5.5.m2.2b"><list id="S3.p5.5.m2.2.3.1.cmml" xref="S3.p5.5.m2.2.3.2"><ci id="S3.p5.5.m2.1.1.cmml" xref="S3.p5.5.m2.1.1">𝐻</ci><apply id="S3.p5.5.m2.2.2.cmml" xref="S3.p5.5.m2.2.2"><ci id="S3.p5.5.m2.2.2.1.cmml" xref="S3.p5.5.m2.2.2.1">~</ci><ci id="S3.p5.5.m2.2.2.2.cmml" xref="S3.p5.5.m2.2.2.2">𝐻</ci></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p5.5.m2.2c">H,\tilde{H}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p5.5.m2.2d">italic_H , over~ start_ARG italic_H end_ARG</annotation></semantics></math> and <math alttext="\tilde{\tilde{H}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p5.6.m3.1"><semantics id="S3.p5.6.m3.1a"><mover accent="true" id="S3.p5.6.m3.1.1" xref="S3.p5.6.m3.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.p5.6.m3.1.1.2" xref="S3.p5.6.m3.1.1.2.cmml"><mi id="S3.p5.6.m3.1.1.2.2" xref="S3.p5.6.m3.1.1.2.2.cmml">H</mi><mo id="S3.p5.6.m3.1.1.2.1" xref="S3.p5.6.m3.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S3.p5.6.m3.1.1.1" xref="S3.p5.6.m3.1.1.1.cmml">~</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p5.6.m3.1b"><apply id="S3.p5.6.m3.1.1.cmml" xref="S3.p5.6.m3.1.1"><ci id="S3.p5.6.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.p5.6.m3.1.1.1">~</ci><apply id="S3.p5.6.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.p5.6.m3.1.1.2"><ci id="S3.p5.6.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S3.p5.6.m3.1.1.2.1">~</ci><ci id="S3.p5.6.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S3.p5.6.m3.1.1.2.2">𝐻</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p5.6.m3.1c">\tilde{\tilde{H}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p5.6.m3.1d">over~ start_ARG over~ start_ARG italic_H end_ARG end_ARG</annotation></semantics></math> corresponding to the MUB-pairs <math alttext="(X,Y),(Y,Z)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p5.7.m4.6"><semantics id="S3.p5.7.m4.6a"><mrow id="S3.p5.7.m4.6.6.2" xref="S3.p5.7.m4.6.6.3.cmml"><mrow id="S3.p5.7.m4.5.5.1.1.2" xref="S3.p5.7.m4.5.5.1.1.1.cmml"><mo id="S3.p5.7.m4.5.5.1.1.2.1" stretchy="false" xref="S3.p5.7.m4.5.5.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.p5.7.m4.1.1" xref="S3.p5.7.m4.1.1.cmml">X</mi><mo id="S3.p5.7.m4.5.5.1.1.2.2" xref="S3.p5.7.m4.5.5.1.1.1.cmml">,</mo><mi id="S3.p5.7.m4.2.2" xref="S3.p5.7.m4.2.2.cmml">Y</mi><mo id="S3.p5.7.m4.5.5.1.1.2.3" stretchy="false" xref="S3.p5.7.m4.5.5.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.p5.7.m4.6.6.2.3" xref="S3.p5.7.m4.6.6.3.cmml">,</mo><mrow id="S3.p5.7.m4.6.6.2.2.2" xref="S3.p5.7.m4.6.6.2.2.1.cmml"><mo id="S3.p5.7.m4.6.6.2.2.2.1" stretchy="false" xref="S3.p5.7.m4.6.6.2.2.1.cmml">(</mo><mi id="S3.p5.7.m4.3.3" xref="S3.p5.7.m4.3.3.cmml">Y</mi><mo id="S3.p5.7.m4.6.6.2.2.2.2" xref="S3.p5.7.m4.6.6.2.2.1.cmml">,</mo><mi id="S3.p5.7.m4.4.4" xref="S3.p5.7.m4.4.4.cmml">Z</mi><mo id="S3.p5.7.m4.6.6.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.p5.7.m4.6.6.2.2.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p5.7.m4.6b"><list id="S3.p5.7.m4.6.6.3.cmml" xref="S3.p5.7.m4.6.6.2"><interval closure="open" id="S3.p5.7.m4.5.5.1.1.1.cmml" xref="S3.p5.7.m4.5.5.1.1.2"><ci id="S3.p5.7.m4.1.1.cmml" xref="S3.p5.7.m4.1.1">𝑋</ci><ci id="S3.p5.7.m4.2.2.cmml" xref="S3.p5.7.m4.2.2">𝑌</ci></interval><interval closure="open" id="S3.p5.7.m4.6.6.2.2.1.cmml" xref="S3.p5.7.m4.6.6.2.2.2"><ci id="S3.p5.7.m4.3.3.cmml" xref="S3.p5.7.m4.3.3">𝑌</ci><ci id="S3.p5.7.m4.4.4.cmml" xref="S3.p5.7.m4.4.4">𝑍</ci></interval></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p5.7.m4.6c">(X,Y),(Y,Z)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p5.7.m4.6d">( italic_X , italic_Y ) , ( italic_Y , italic_Z )</annotation></semantics></math> and <math alttext="(Z,X)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p5.8.m5.2"><semantics id="S3.p5.8.m5.2a"><mrow id="S3.p5.8.m5.2.3.2" xref="S3.p5.8.m5.2.3.1.cmml"><mo id="S3.p5.8.m5.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.p5.8.m5.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.p5.8.m5.1.1" xref="S3.p5.8.m5.1.1.cmml">Z</mi><mo id="S3.p5.8.m5.2.3.2.2" xref="S3.p5.8.m5.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.p5.8.m5.2.2" xref="S3.p5.8.m5.2.2.cmml">X</mi><mo id="S3.p5.8.m5.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.p5.8.m5.2.3.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p5.8.m5.2b"><interval closure="open" id="S3.p5.8.m5.2.3.1.cmml" xref="S3.p5.8.m5.2.3.2"><ci id="S3.p5.8.m5.1.1.cmml" xref="S3.p5.8.m5.1.1">𝑍</ci><ci id="S3.p5.8.m5.2.2.cmml" xref="S3.p5.8.m5.2.2">𝑋</ci></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p5.8.m5.2c">(Z,X)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p5.8.m5.2d">( italic_Z , italic_X )</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.p6"> <p class="ltx_p" id="S3.p6.1">We now summarize the basic properties of the Hadamard cube <math alttext="C" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p6.1.m1.1"><semantics id="S3.p6.1.m1.1a"><mi id="S3.p6.1.m1.1.1" xref="S3.p6.1.m1.1.1.cmml">C</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p6.1.m1.1b"><ci id="S3.p6.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.p6.1.m1.1.1">𝐶</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p6.1.m1.1c">C</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p6.1.m1.1d">italic_C</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_proposition" id="S3.Thmfact1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.Thmfact1.1.1.1">Proposition 3.1</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.Thmfact1.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="S3.Thmfact1.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.Thmfact1.p1.2"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.Thmfact1.p1.2.2">For the Hadamard cube <math alttext="C" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmfact1.p1.1.1.m1.1"><semantics id="S3.Thmfact1.p1.1.1.m1.1a"><mi id="S3.Thmfact1.p1.1.1.m1.1.1" xref="S3.Thmfact1.p1.1.1.m1.1.1.cmml">C</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmfact1.p1.1.1.m1.1b"><ci id="S3.Thmfact1.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.Thmfact1.p1.1.1.m1.1.1">𝐶</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmfact1.p1.1.1.m1.1c">C</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmfact1.p1.1.1.m1.1d">italic_C</annotation></semantics></math> (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#S3.E3" title="Equation 3.3 ‣ 3. MUB-triplets and Hadamard cubes ‣ Triplets of Mutually Unbiased Bases"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3.3</span></a>) associated with a MUB-triplet <math alttext="(X,Y,Z)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmfact1.p1.2.2.m2.3"><semantics id="S3.Thmfact1.p1.2.2.m2.3a"><mrow id="S3.Thmfact1.p1.2.2.m2.3.4.2" xref="S3.Thmfact1.p1.2.2.m2.3.4.1.cmml"><mo id="S3.Thmfact1.p1.2.2.m2.3.4.2.1" stretchy="false" xref="S3.Thmfact1.p1.2.2.m2.3.4.1.cmml">(</mo><mi id="S3.Thmfact1.p1.2.2.m2.1.1" xref="S3.Thmfact1.p1.2.2.m2.1.1.cmml">X</mi><mo id="S3.Thmfact1.p1.2.2.m2.3.4.2.2" xref="S3.Thmfact1.p1.2.2.m2.3.4.1.cmml">,</mo><mi id="S3.Thmfact1.p1.2.2.m2.2.2" xref="S3.Thmfact1.p1.2.2.m2.2.2.cmml">Y</mi><mo id="S3.Thmfact1.p1.2.2.m2.3.4.2.3" xref="S3.Thmfact1.p1.2.2.m2.3.4.1.cmml">,</mo><mi id="S3.Thmfact1.p1.2.2.m2.3.3" xref="S3.Thmfact1.p1.2.2.m2.3.3.cmml">Z</mi><mo id="S3.Thmfact1.p1.2.2.m2.3.4.2.4" stretchy="false" xref="S3.Thmfact1.p1.2.2.m2.3.4.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmfact1.p1.2.2.m2.3b"><vector id="S3.Thmfact1.p1.2.2.m2.3.4.1.cmml" xref="S3.Thmfact1.p1.2.2.m2.3.4.2"><ci id="S3.Thmfact1.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.Thmfact1.p1.2.2.m2.1.1">𝑋</ci><ci id="S3.Thmfact1.p1.2.2.m2.2.2.cmml" xref="S3.Thmfact1.p1.2.2.m2.2.2">𝑌</ci><ci id="S3.Thmfact1.p1.2.2.m2.3.3.cmml" xref="S3.Thmfact1.p1.2.2.m2.3.3">𝑍</ci></vector></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmfact1.p1.2.2.m2.3c">(X,Y,Z)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmfact1.p1.2.2.m2.3d">( italic_X , italic_Y , italic_Z )</annotation></semantics></math>, as defined in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#S3.E3" title="Equation 3.3 ‣ 3. MUB-triplets and Hadamard cubes ‣ Triplets of Mutually Unbiased Bases"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3.3</span></a>), we have that</span></p> <ul class="ltx_itemize" id="S3.I1"> <li class="ltx_item" id="S3.I1.ix1" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">i)</span> <div class="ltx_para" id="S3.I1.ix1.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.I1.ix1.p1.2"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I1.ix1.p1.2.1">its entries are normalized: </span><math alttext="\forall j,k,l\in[d]" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.4"><semantics id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.4a"><mrow id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.4.4" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.4.4.cmml"><mrow id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.4.4.1.1" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.4.4.1.2.cmml"><mrow id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.4.4.1.1.1" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.4.4.1.1.1.cmml"><mo id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1" rspace="0.167em" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.cmml">∀</mo><mi id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.4.4.1.1.1.2" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.4.4.1.1.1.2.cmml">j</mi></mrow><mo id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.4.4.1.1.2" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.4.4.1.2.cmml">,</mo><mi id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.2.2" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.2.2.cmml">k</mi><mo id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.4.4.1.1.3" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.4.4.1.2.cmml">,</mo><mi id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.3.3" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.cmml">l</mi></mrow><mo id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.4.4.2" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.4.4.2.cmml">∈</mo><mrow id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.4.4.3.2" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.4.4.3.1.cmml"><mo id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.4.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.4.4.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.1.1" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.1.1.cmml">d</mi><mo id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.4.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.4.4.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.4b"><apply id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.4.4.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.4.4"><in id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.4.4.2.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.4.4.2"></in><list id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.4.4.1.2.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.4.4.1.1"><apply id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.4.4.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1">for-all</csymbol><ci id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.4.4.1.1.1.2">𝑗</ci></apply><ci id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.2.2.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.2.2">𝑘</ci><ci id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.3.3.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.3.3">𝑙</ci></list><apply id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.4.4.3.1.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.4.4.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.4.4.3.1.1.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.4.4.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.1.m1.1.1">𝑑</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.4c">\forall j,k,l\in[d]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I1.ix1.p1.1.m1.4d">∀ italic_j , italic_k , italic_l ∈ [ italic_d ]</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I1.ix1.p1.2.2">: </span><math alttext="|C_{j,k,l}|=1" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.ix1.p1.2.m2.4"><semantics id="S3.I1.ix1.p1.2.m2.4a"><mrow id="S3.I1.ix1.p1.2.m2.4.4" xref="S3.I1.ix1.p1.2.m2.4.4.cmml"><mrow id="S3.I1.ix1.p1.2.m2.4.4.1.1" xref="S3.I1.ix1.p1.2.m2.4.4.1.2.cmml"><mo id="S3.I1.ix1.p1.2.m2.4.4.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.I1.ix1.p1.2.m2.4.4.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S3.I1.ix1.p1.2.m2.4.4.1.1.1" xref="S3.I1.ix1.p1.2.m2.4.4.1.1.1.cmml"><mi id="S3.I1.ix1.p1.2.m2.4.4.1.1.1.2" xref="S3.I1.ix1.p1.2.m2.4.4.1.1.1.2.cmml">C</mi><mrow id="S3.I1.ix1.p1.2.m2.3.3.3.5" xref="S3.I1.ix1.p1.2.m2.3.3.3.4.cmml"><mi id="S3.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1" xref="S3.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml">j</mi><mo id="S3.I1.ix1.p1.2.m2.3.3.3.5.1" xref="S3.I1.ix1.p1.2.m2.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.I1.ix1.p1.2.m2.2.2.2.2" xref="S3.I1.ix1.p1.2.m2.2.2.2.2.cmml">k</mi><mo id="S3.I1.ix1.p1.2.m2.3.3.3.5.2" xref="S3.I1.ix1.p1.2.m2.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.I1.ix1.p1.2.m2.3.3.3.3" xref="S3.I1.ix1.p1.2.m2.3.3.3.3.cmml">l</mi></mrow></msub><mo id="S3.I1.ix1.p1.2.m2.4.4.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.I1.ix1.p1.2.m2.4.4.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S3.I1.ix1.p1.2.m2.4.4.2" xref="S3.I1.ix1.p1.2.m2.4.4.2.cmml">=</mo><mn id="S3.I1.ix1.p1.2.m2.4.4.3" xref="S3.I1.ix1.p1.2.m2.4.4.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I1.ix1.p1.2.m2.4b"><apply id="S3.I1.ix1.p1.2.m2.4.4.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.2.m2.4.4"><eq id="S3.I1.ix1.p1.2.m2.4.4.2.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.2.m2.4.4.2"></eq><apply id="S3.I1.ix1.p1.2.m2.4.4.1.2.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.2.m2.4.4.1.1"><abs id="S3.I1.ix1.p1.2.m2.4.4.1.2.1.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.2.m2.4.4.1.1.2"></abs><apply id="S3.I1.ix1.p1.2.m2.4.4.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.2.m2.4.4.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.ix1.p1.2.m2.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.2.m2.4.4.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.ix1.p1.2.m2.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.2.m2.4.4.1.1.1.2">𝐶</ci><list id="S3.I1.ix1.p1.2.m2.3.3.3.4.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.2.m2.3.3.3.5"><ci id="S3.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1">𝑗</ci><ci id="S3.I1.ix1.p1.2.m2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.2.m2.2.2.2.2">𝑘</ci><ci id="S3.I1.ix1.p1.2.m2.3.3.3.3.cmml" xref="S3.I1.ix1.p1.2.m2.3.3.3.3">𝑙</ci></list></apply></apply><cn id="S3.I1.ix1.p1.2.m2.4.4.3.cmml" type="integer" xref="S3.I1.ix1.p1.2.m2.4.4.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I1.ix1.p1.2.m2.4c">|C_{j,k,l}|=1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I1.ix1.p1.2.m2.4d">| italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k , italic_l end_POSTSUBSCRIPT | = 1</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I1.ix1.p1.2.3">,</span></p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S3.I1.ix2" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">ii)</span> <div class="ltx_para" id="S3.I1.ix2.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.I1.ix2.p1.3"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I1.ix2.p1.3.1">each of its two-dimensional cross-sections (”slices”) form a complex Hadamard matrix, i.e. for any fixed </span><math alttext="j\in[d]" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.1a"><mrow id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.1.2" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.1.2.cmml"><mi id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.1.2.2" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.1.2.2.cmml">j</mi><mo id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.1.2.1" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.1.2.1.cmml">∈</mo><mrow id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.1.2.3.2" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.1.2.3.1.cmml"><mo id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.1.2.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.1.1" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.1.1.cmml">d</mi><mo id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.1.2.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.1b"><apply id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.1.2.cmml" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.1.2"><in id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.1.2.1"></in><ci id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.1.2.2">𝑗</ci><apply id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.1.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.1.2.3.1.1.cmml" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.1.2.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.I1.ix2.p1.1.m1.1.1">𝑑</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.1c">j\in[d]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I1.ix2.p1.1.m1.1d">italic_j ∈ [ italic_d ]</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I1.ix2.p1.3.2"> the slices </span><math alttext="C_{j,\cdot,\cdot},C_{\cdot,j,\cdot}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.ix2.p1.2.m2.8"><semantics id="S3.I1.ix2.p1.2.m2.8a"><mrow id="S3.I1.ix2.p1.2.m2.8.8.2" xref="S3.I1.ix2.p1.2.m2.8.8.3.cmml"><msub id="S3.I1.ix2.p1.2.m2.7.7.1.1" xref="S3.I1.ix2.p1.2.m2.7.7.1.1.cmml"><mi id="S3.I1.ix2.p1.2.m2.7.7.1.1.2" xref="S3.I1.ix2.p1.2.m2.7.7.1.1.2.cmml">C</mi><mrow id="S3.I1.ix2.p1.2.m2.3.3.3.5" xref="S3.I1.ix2.p1.2.m2.3.3.3.4.cmml"><mi id="S3.I1.ix2.p1.2.m2.1.1.1.1" xref="S3.I1.ix2.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml">j</mi><mo id="S3.I1.ix2.p1.2.m2.3.3.3.5.1" rspace="0em" xref="S3.I1.ix2.p1.2.m2.3.3.3.4.cmml">,</mo><mo id="S3.I1.ix2.p1.2.m2.2.2.2.2" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.I1.ix2.p1.2.m2.2.2.2.2.cmml">⋅</mo><mo id="S3.I1.ix2.p1.2.m2.3.3.3.5.2" rspace="0em" xref="S3.I1.ix2.p1.2.m2.3.3.3.4.cmml">,</mo><mo id="S3.I1.ix2.p1.2.m2.3.3.3.3" lspace="0em" xref="S3.I1.ix2.p1.2.m2.3.3.3.3.cmml">⋅</mo></mrow></msub><mo id="S3.I1.ix2.p1.2.m2.8.8.2.3" xref="S3.I1.ix2.p1.2.m2.8.8.3.cmml">,</mo><msub id="S3.I1.ix2.p1.2.m2.8.8.2.2" xref="S3.I1.ix2.p1.2.m2.8.8.2.2.cmml"><mi id="S3.I1.ix2.p1.2.m2.8.8.2.2.2" xref="S3.I1.ix2.p1.2.m2.8.8.2.2.2.cmml">C</mi><mrow id="S3.I1.ix2.p1.2.m2.6.6.3.5" xref="S3.I1.ix2.p1.2.m2.6.6.3.4.cmml"><mo id="S3.I1.ix2.p1.2.m2.4.4.1.1" rspace="0em" xref="S3.I1.ix2.p1.2.m2.4.4.1.1.cmml">⋅</mo><mo id="S3.I1.ix2.p1.2.m2.6.6.3.5.1" xref="S3.I1.ix2.p1.2.m2.6.6.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.I1.ix2.p1.2.m2.5.5.2.2" xref="S3.I1.ix2.p1.2.m2.5.5.2.2.cmml">j</mi><mo id="S3.I1.ix2.p1.2.m2.6.6.3.5.2" rspace="0em" xref="S3.I1.ix2.p1.2.m2.6.6.3.4.cmml">,</mo><mo id="S3.I1.ix2.p1.2.m2.6.6.3.3" lspace="0em" xref="S3.I1.ix2.p1.2.m2.6.6.3.3.cmml">⋅</mo></mrow></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I1.ix2.p1.2.m2.8b"><list id="S3.I1.ix2.p1.2.m2.8.8.3.cmml" xref="S3.I1.ix2.p1.2.m2.8.8.2"><apply id="S3.I1.ix2.p1.2.m2.7.7.1.1.cmml" xref="S3.I1.ix2.p1.2.m2.7.7.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.ix2.p1.2.m2.7.7.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.ix2.p1.2.m2.7.7.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.ix2.p1.2.m2.7.7.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.ix2.p1.2.m2.7.7.1.1.2">𝐶</ci><list id="S3.I1.ix2.p1.2.m2.3.3.3.4.cmml" xref="S3.I1.ix2.p1.2.m2.3.3.3.5"><ci id="S3.I1.ix2.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.ix2.p1.2.m2.1.1.1.1">𝑗</ci><ci id="S3.I1.ix2.p1.2.m2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.I1.ix2.p1.2.m2.2.2.2.2">⋅</ci><ci id="S3.I1.ix2.p1.2.m2.3.3.3.3.cmml" xref="S3.I1.ix2.p1.2.m2.3.3.3.3">⋅</ci></list></apply><apply id="S3.I1.ix2.p1.2.m2.8.8.2.2.cmml" xref="S3.I1.ix2.p1.2.m2.8.8.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.ix2.p1.2.m2.8.8.2.2.1.cmml" xref="S3.I1.ix2.p1.2.m2.8.8.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.ix2.p1.2.m2.8.8.2.2.2.cmml" xref="S3.I1.ix2.p1.2.m2.8.8.2.2.2">𝐶</ci><list id="S3.I1.ix2.p1.2.m2.6.6.3.4.cmml" xref="S3.I1.ix2.p1.2.m2.6.6.3.5"><ci id="S3.I1.ix2.p1.2.m2.4.4.1.1.cmml" xref="S3.I1.ix2.p1.2.m2.4.4.1.1">⋅</ci><ci id="S3.I1.ix2.p1.2.m2.5.5.2.2.cmml" xref="S3.I1.ix2.p1.2.m2.5.5.2.2">𝑗</ci><ci id="S3.I1.ix2.p1.2.m2.6.6.3.3.cmml" xref="S3.I1.ix2.p1.2.m2.6.6.3.3">⋅</ci></list></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I1.ix2.p1.2.m2.8c">C_{j,\cdot,\cdot},C_{\cdot,j,\cdot}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I1.ix2.p1.2.m2.8d">italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j , ⋅ , ⋅ end_POSTSUBSCRIPT , italic_C start_POSTSUBSCRIPT ⋅ , italic_j , ⋅ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I1.ix2.p1.3.3"> and </span><math alttext="C_{\cdot,\cdot,j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.ix2.p1.3.m3.3"><semantics id="S3.I1.ix2.p1.3.m3.3a"><msub id="S3.I1.ix2.p1.3.m3.3.4" xref="S3.I1.ix2.p1.3.m3.3.4.cmml"><mi id="S3.I1.ix2.p1.3.m3.3.4.2" xref="S3.I1.ix2.p1.3.m3.3.4.2.cmml">C</mi><mrow id="S3.I1.ix2.p1.3.m3.3.3.3.5" xref="S3.I1.ix2.p1.3.m3.3.3.3.4.cmml"><mo id="S3.I1.ix2.p1.3.m3.1.1.1.1" rspace="0em" xref="S3.I1.ix2.p1.3.m3.1.1.1.1.cmml">⋅</mo><mo id="S3.I1.ix2.p1.3.m3.3.3.3.5.1" rspace="0em" xref="S3.I1.ix2.p1.3.m3.3.3.3.4.cmml">,</mo><mo id="S3.I1.ix2.p1.3.m3.2.2.2.2" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.I1.ix2.p1.3.m3.2.2.2.2.cmml">⋅</mo><mo id="S3.I1.ix2.p1.3.m3.3.3.3.5.2" xref="S3.I1.ix2.p1.3.m3.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.I1.ix2.p1.3.m3.3.3.3.3" xref="S3.I1.ix2.p1.3.m3.3.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I1.ix2.p1.3.m3.3b"><apply id="S3.I1.ix2.p1.3.m3.3.4.cmml" xref="S3.I1.ix2.p1.3.m3.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.ix2.p1.3.m3.3.4.1.cmml" xref="S3.I1.ix2.p1.3.m3.3.4">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.ix2.p1.3.m3.3.4.2.cmml" xref="S3.I1.ix2.p1.3.m3.3.4.2">𝐶</ci><list id="S3.I1.ix2.p1.3.m3.3.3.3.4.cmml" xref="S3.I1.ix2.p1.3.m3.3.3.3.5"><ci id="S3.I1.ix2.p1.3.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.ix2.p1.3.m3.1.1.1.1">⋅</ci><ci id="S3.I1.ix2.p1.3.m3.2.2.2.2.cmml" xref="S3.I1.ix2.p1.3.m3.2.2.2.2">⋅</ci><ci id="S3.I1.ix2.p1.3.m3.3.3.3.3.cmml" xref="S3.I1.ix2.p1.3.m3.3.3.3.3">𝑗</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I1.ix2.p1.3.m3.3c">C_{\cdot,\cdot,j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I1.ix2.p1.3.m3.3d">italic_C start_POSTSUBSCRIPT ⋅ , ⋅ , italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I1.ix2.p1.3.4"> are complex Hadamard matrices,</span></p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S3.I1.ix3" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">iii)</span> <div class="ltx_para" id="S3.I1.ix3.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.I1.ix3.p1.5"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I1.ix3.p1.5.1">parallel slices are phase-equivalent complex Hadamard matrices; that is, for the parallel cross-sections </span><math alttext="C_{j,\cdot,\cdot}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.3"><semantics id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.3a"><msub id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.3.4" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.3.4.cmml"><mi id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.3.4.2" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.3.4.2.cmml">C</mi><mrow id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.3.3.3.5" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.3.3.3.4.cmml"><mi id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.1.1.1.1" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml">j</mi><mo id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.3.3.3.5.1" rspace="0em" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.3.3.3.4.cmml">,</mo><mo id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.2.2.2.2" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml">⋅</mo><mo id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.3.3.3.5.2" rspace="0em" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.3.3.3.4.cmml">,</mo><mo id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.3.3.3.3" lspace="0em" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.3.3.3.3.cmml">⋅</mo></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.3b"><apply id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.3.4.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.3.4.1.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.3.4">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.3.4.2.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.3.4.2">𝐶</ci><list id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.3.3.3.4.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.3.3.3.5"><ci id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.1.1.1.1">𝑗</ci><ci id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.2.2.2.2">⋅</ci><ci id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.3.3.3.3.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.1.m1.3.3.3.3">⋅</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.3c">C_{j,\cdot,\cdot}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I1.ix3.p1.1.m1.3d">italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j , ⋅ , ⋅ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I1.ix3.p1.5.2"> and </span><math alttext="C_{j^{\prime},\cdot,\cdot}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.ix3.p1.2.m2.3"><semantics id="S3.I1.ix3.p1.2.m2.3a"><msub id="S3.I1.ix3.p1.2.m2.3.4" xref="S3.I1.ix3.p1.2.m2.3.4.cmml"><mi id="S3.I1.ix3.p1.2.m2.3.4.2" xref="S3.I1.ix3.p1.2.m2.3.4.2.cmml">C</mi><mrow id="S3.I1.ix3.p1.2.m2.3.3.3.3" xref="S3.I1.ix3.p1.2.m2.3.3.3.4.cmml"><msup id="S3.I1.ix3.p1.2.m2.3.3.3.3.1" xref="S3.I1.ix3.p1.2.m2.3.3.3.3.1.cmml"><mi id="S3.I1.ix3.p1.2.m2.3.3.3.3.1.2" xref="S3.I1.ix3.p1.2.m2.3.3.3.3.1.2.cmml">j</mi><mo id="S3.I1.ix3.p1.2.m2.3.3.3.3.1.3" xref="S3.I1.ix3.p1.2.m2.3.3.3.3.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.I1.ix3.p1.2.m2.3.3.3.3.2" rspace="0em" xref="S3.I1.ix3.p1.2.m2.3.3.3.4.cmml">,</mo><mo id="S3.I1.ix3.p1.2.m2.1.1.1.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.I1.ix3.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml">⋅</mo><mo id="S3.I1.ix3.p1.2.m2.3.3.3.3.3" rspace="0em" xref="S3.I1.ix3.p1.2.m2.3.3.3.4.cmml">,</mo><mo id="S3.I1.ix3.p1.2.m2.2.2.2.2" lspace="0em" xref="S3.I1.ix3.p1.2.m2.2.2.2.2.cmml">⋅</mo></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I1.ix3.p1.2.m2.3b"><apply id="S3.I1.ix3.p1.2.m2.3.4.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.2.m2.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.ix3.p1.2.m2.3.4.1.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.2.m2.3.4">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.ix3.p1.2.m2.3.4.2.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.2.m2.3.4.2">𝐶</ci><list id="S3.I1.ix3.p1.2.m2.3.3.3.4.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.2.m2.3.3.3.3"><apply id="S3.I1.ix3.p1.2.m2.3.3.3.3.1.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.2.m2.3.3.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.ix3.p1.2.m2.3.3.3.3.1.1.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.2.m2.3.3.3.3.1">superscript</csymbol><ci id="S3.I1.ix3.p1.2.m2.3.3.3.3.1.2.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.2.m2.3.3.3.3.1.2">𝑗</ci><ci id="S3.I1.ix3.p1.2.m2.3.3.3.3.1.3.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.2.m2.3.3.3.3.1.3">′</ci></apply><ci id="S3.I1.ix3.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.2.m2.1.1.1.1">⋅</ci><ci id="S3.I1.ix3.p1.2.m2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.2.m2.2.2.2.2">⋅</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I1.ix3.p1.2.m2.3c">C_{j^{\prime},\cdot,\cdot}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I1.ix3.p1.2.m2.3d">italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , ⋅ , ⋅ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I1.ix3.p1.5.3">, there exist scalars </span><math alttext="\lambda_{k},\mu_{l}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.ix3.p1.3.m3.2"><semantics id="S3.I1.ix3.p1.3.m3.2a"><mrow id="S3.I1.ix3.p1.3.m3.2.2.2" xref="S3.I1.ix3.p1.3.m3.2.2.3.cmml"><msub id="S3.I1.ix3.p1.3.m3.1.1.1.1" xref="S3.I1.ix3.p1.3.m3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.I1.ix3.p1.3.m3.1.1.1.1.2" xref="S3.I1.ix3.p1.3.m3.1.1.1.1.2.cmml">λ</mi><mi id="S3.I1.ix3.p1.3.m3.1.1.1.1.3" xref="S3.I1.ix3.p1.3.m3.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.I1.ix3.p1.3.m3.2.2.2.3" xref="S3.I1.ix3.p1.3.m3.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.I1.ix3.p1.3.m3.2.2.2.2" xref="S3.I1.ix3.p1.3.m3.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.I1.ix3.p1.3.m3.2.2.2.2.2" xref="S3.I1.ix3.p1.3.m3.2.2.2.2.2.cmml">μ</mi><mi id="S3.I1.ix3.p1.3.m3.2.2.2.2.3" xref="S3.I1.ix3.p1.3.m3.2.2.2.2.3.cmml">l</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I1.ix3.p1.3.m3.2b"><list id="S3.I1.ix3.p1.3.m3.2.2.3.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.3.m3.2.2.2"><apply id="S3.I1.ix3.p1.3.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.3.m3.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.ix3.p1.3.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.3.m3.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.ix3.p1.3.m3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.3.m3.1.1.1.1.2">𝜆</ci><ci id="S3.I1.ix3.p1.3.m3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.3.m3.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply><apply id="S3.I1.ix3.p1.3.m3.2.2.2.2.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.3.m3.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.ix3.p1.3.m3.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.3.m3.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.ix3.p1.3.m3.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.3.m3.2.2.2.2.2">𝜇</ci><ci id="S3.I1.ix3.p1.3.m3.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.3.m3.2.2.2.2.3">𝑙</ci></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I1.ix3.p1.3.m3.2c">\lambda_{k},\mu_{l}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I1.ix3.p1.3.m3.2d">italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT , italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I1.ix3.p1.5.4"> (</span><math alttext="k,l\in[d]" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.ix3.p1.4.m4.3"><semantics id="S3.I1.ix3.p1.4.m4.3a"><mrow id="S3.I1.ix3.p1.4.m4.3.4" xref="S3.I1.ix3.p1.4.m4.3.4.cmml"><mrow id="S3.I1.ix3.p1.4.m4.3.4.2.2" xref="S3.I1.ix3.p1.4.m4.3.4.2.1.cmml"><mi id="S3.I1.ix3.p1.4.m4.2.2" xref="S3.I1.ix3.p1.4.m4.2.2.cmml">k</mi><mo id="S3.I1.ix3.p1.4.m4.3.4.2.2.1" xref="S3.I1.ix3.p1.4.m4.3.4.2.1.cmml">,</mo><mi id="S3.I1.ix3.p1.4.m4.3.3" xref="S3.I1.ix3.p1.4.m4.3.3.cmml">l</mi></mrow><mo id="S3.I1.ix3.p1.4.m4.3.4.1" xref="S3.I1.ix3.p1.4.m4.3.4.1.cmml">∈</mo><mrow id="S3.I1.ix3.p1.4.m4.3.4.3.2" xref="S3.I1.ix3.p1.4.m4.3.4.3.1.cmml"><mo id="S3.I1.ix3.p1.4.m4.3.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.I1.ix3.p1.4.m4.3.4.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S3.I1.ix3.p1.4.m4.1.1" xref="S3.I1.ix3.p1.4.m4.1.1.cmml">d</mi><mo id="S3.I1.ix3.p1.4.m4.3.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.I1.ix3.p1.4.m4.3.4.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I1.ix3.p1.4.m4.3b"><apply id="S3.I1.ix3.p1.4.m4.3.4.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.4.m4.3.4"><in id="S3.I1.ix3.p1.4.m4.3.4.1.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.4.m4.3.4.1"></in><list id="S3.I1.ix3.p1.4.m4.3.4.2.1.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.4.m4.3.4.2.2"><ci id="S3.I1.ix3.p1.4.m4.2.2.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.4.m4.2.2">𝑘</ci><ci id="S3.I1.ix3.p1.4.m4.3.3.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.4.m4.3.3">𝑙</ci></list><apply id="S3.I1.ix3.p1.4.m4.3.4.3.1.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.4.m4.3.4.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.I1.ix3.p1.4.m4.3.4.3.1.1.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.4.m4.3.4.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S3.I1.ix3.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.4.m4.1.1">𝑑</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I1.ix3.p1.4.m4.3c">k,l\in[d]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I1.ix3.p1.4.m4.3d">italic_k , italic_l ∈ [ italic_d ]</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I1.ix3.p1.5.5">) such that </span><math alttext="C_{j^{\prime},k,l}=\lambda_{k}\,C_{j,k,l}\,\mu_{l}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.ix3.p1.5.m5.6"><semantics id="S3.I1.ix3.p1.5.m5.6a"><mrow id="S3.I1.ix3.p1.5.m5.6.7" xref="S3.I1.ix3.p1.5.m5.6.7.cmml"><msub id="S3.I1.ix3.p1.5.m5.6.7.2" xref="S3.I1.ix3.p1.5.m5.6.7.2.cmml"><mi id="S3.I1.ix3.p1.5.m5.6.7.2.2" xref="S3.I1.ix3.p1.5.m5.6.7.2.2.cmml">C</mi><mrow id="S3.I1.ix3.p1.5.m5.3.3.3.3" xref="S3.I1.ix3.p1.5.m5.3.3.3.4.cmml"><msup id="S3.I1.ix3.p1.5.m5.3.3.3.3.1" xref="S3.I1.ix3.p1.5.m5.3.3.3.3.1.cmml"><mi id="S3.I1.ix3.p1.5.m5.3.3.3.3.1.2" xref="S3.I1.ix3.p1.5.m5.3.3.3.3.1.2.cmml">j</mi><mo id="S3.I1.ix3.p1.5.m5.3.3.3.3.1.3" xref="S3.I1.ix3.p1.5.m5.3.3.3.3.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.I1.ix3.p1.5.m5.3.3.3.3.2" xref="S3.I1.ix3.p1.5.m5.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.I1.ix3.p1.5.m5.1.1.1.1" xref="S3.I1.ix3.p1.5.m5.1.1.1.1.cmml">k</mi><mo id="S3.I1.ix3.p1.5.m5.3.3.3.3.3" xref="S3.I1.ix3.p1.5.m5.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.I1.ix3.p1.5.m5.2.2.2.2" xref="S3.I1.ix3.p1.5.m5.2.2.2.2.cmml">l</mi></mrow></msub><mo id="S3.I1.ix3.p1.5.m5.6.7.1" xref="S3.I1.ix3.p1.5.m5.6.7.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.I1.ix3.p1.5.m5.6.7.3" xref="S3.I1.ix3.p1.5.m5.6.7.3.cmml"><msub id="S3.I1.ix3.p1.5.m5.6.7.3.2" xref="S3.I1.ix3.p1.5.m5.6.7.3.2.cmml"><mi id="S3.I1.ix3.p1.5.m5.6.7.3.2.2" xref="S3.I1.ix3.p1.5.m5.6.7.3.2.2.cmml">λ</mi><mi id="S3.I1.ix3.p1.5.m5.6.7.3.2.3" xref="S3.I1.ix3.p1.5.m5.6.7.3.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.I1.ix3.p1.5.m5.6.7.3.1" xref="S3.I1.ix3.p1.5.m5.6.7.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.I1.ix3.p1.5.m5.6.7.3.3" xref="S3.I1.ix3.p1.5.m5.6.7.3.3.cmml"><mi id="S3.I1.ix3.p1.5.m5.6.7.3.3.2" xref="S3.I1.ix3.p1.5.m5.6.7.3.3.2.cmml">C</mi><mrow id="S3.I1.ix3.p1.5.m5.6.6.3.5" xref="S3.I1.ix3.p1.5.m5.6.6.3.4.cmml"><mi id="S3.I1.ix3.p1.5.m5.4.4.1.1" xref="S3.I1.ix3.p1.5.m5.4.4.1.1.cmml">j</mi><mo id="S3.I1.ix3.p1.5.m5.6.6.3.5.1" xref="S3.I1.ix3.p1.5.m5.6.6.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.I1.ix3.p1.5.m5.5.5.2.2" xref="S3.I1.ix3.p1.5.m5.5.5.2.2.cmml">k</mi><mo id="S3.I1.ix3.p1.5.m5.6.6.3.5.2" xref="S3.I1.ix3.p1.5.m5.6.6.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.I1.ix3.p1.5.m5.6.6.3.3" xref="S3.I1.ix3.p1.5.m5.6.6.3.3.cmml">l</mi></mrow></msub><mo id="S3.I1.ix3.p1.5.m5.6.7.3.1a" xref="S3.I1.ix3.p1.5.m5.6.7.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.I1.ix3.p1.5.m5.6.7.3.4" xref="S3.I1.ix3.p1.5.m5.6.7.3.4.cmml"><mi id="S3.I1.ix3.p1.5.m5.6.7.3.4.2" xref="S3.I1.ix3.p1.5.m5.6.7.3.4.2.cmml">μ</mi><mi id="S3.I1.ix3.p1.5.m5.6.7.3.4.3" xref="S3.I1.ix3.p1.5.m5.6.7.3.4.3.cmml">l</mi></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I1.ix3.p1.5.m5.6b"><apply id="S3.I1.ix3.p1.5.m5.6.7.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.5.m5.6.7"><eq id="S3.I1.ix3.p1.5.m5.6.7.1.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.5.m5.6.7.1"></eq><apply id="S3.I1.ix3.p1.5.m5.6.7.2.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.5.m5.6.7.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.ix3.p1.5.m5.6.7.2.1.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.5.m5.6.7.2">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.ix3.p1.5.m5.6.7.2.2.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.5.m5.6.7.2.2">𝐶</ci><list id="S3.I1.ix3.p1.5.m5.3.3.3.4.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.5.m5.3.3.3.3"><apply id="S3.I1.ix3.p1.5.m5.3.3.3.3.1.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.5.m5.3.3.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.ix3.p1.5.m5.3.3.3.3.1.1.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.5.m5.3.3.3.3.1">superscript</csymbol><ci id="S3.I1.ix3.p1.5.m5.3.3.3.3.1.2.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.5.m5.3.3.3.3.1.2">𝑗</ci><ci id="S3.I1.ix3.p1.5.m5.3.3.3.3.1.3.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.5.m5.3.3.3.3.1.3">′</ci></apply><ci id="S3.I1.ix3.p1.5.m5.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.5.m5.1.1.1.1">𝑘</ci><ci id="S3.I1.ix3.p1.5.m5.2.2.2.2.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.5.m5.2.2.2.2">𝑙</ci></list></apply><apply id="S3.I1.ix3.p1.5.m5.6.7.3.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.5.m5.6.7.3"><times id="S3.I1.ix3.p1.5.m5.6.7.3.1.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.5.m5.6.7.3.1"></times><apply id="S3.I1.ix3.p1.5.m5.6.7.3.2.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.5.m5.6.7.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.ix3.p1.5.m5.6.7.3.2.1.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.5.m5.6.7.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.ix3.p1.5.m5.6.7.3.2.2.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.5.m5.6.7.3.2.2">𝜆</ci><ci id="S3.I1.ix3.p1.5.m5.6.7.3.2.3.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.5.m5.6.7.3.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S3.I1.ix3.p1.5.m5.6.7.3.3.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.5.m5.6.7.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.ix3.p1.5.m5.6.7.3.3.1.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.5.m5.6.7.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.ix3.p1.5.m5.6.7.3.3.2.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.5.m5.6.7.3.3.2">𝐶</ci><list id="S3.I1.ix3.p1.5.m5.6.6.3.4.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.5.m5.6.6.3.5"><ci id="S3.I1.ix3.p1.5.m5.4.4.1.1.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.5.m5.4.4.1.1">𝑗</ci><ci id="S3.I1.ix3.p1.5.m5.5.5.2.2.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.5.m5.5.5.2.2">𝑘</ci><ci id="S3.I1.ix3.p1.5.m5.6.6.3.3.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.5.m5.6.6.3.3">𝑙</ci></list></apply><apply id="S3.I1.ix3.p1.5.m5.6.7.3.4.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.5.m5.6.7.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.ix3.p1.5.m5.6.7.3.4.1.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.5.m5.6.7.3.4">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.ix3.p1.5.m5.6.7.3.4.2.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.5.m5.6.7.3.4.2">𝜇</ci><ci id="S3.I1.ix3.p1.5.m5.6.7.3.4.3.cmml" xref="S3.I1.ix3.p1.5.m5.6.7.3.4.3">𝑙</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I1.ix3.p1.5.m5.6c">C_{j^{\prime},k,l}=\lambda_{k}\,C_{j,k,l}\,\mu_{l}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I1.ix3.p1.5.m5.6d">italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_k , italic_l end_POSTSUBSCRIPT = italic_λ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k , italic_l end_POSTSUBSCRIPT italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I1.ix3.p1.5.6">, and similarly for parallel cross-sections in the other two directions,</span></p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S3.I1.ix4" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">iv)</span> <div class="ltx_para" id="S3.I1.ix4.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.I1.ix4.p1.3"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I1.ix4.p1.3.1">its one-dimensional cross-sections (”piercings”) sum to </span><math alttext="\sqrt{d}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.ix4.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.I1.ix4.p1.1.m1.1a"><msqrt id="S3.I1.ix4.p1.1.m1.1.1" xref="S3.I1.ix4.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.I1.ix4.p1.1.m1.1.1.2" xref="S3.I1.ix4.p1.1.m1.1.1.2.cmml">d</mi></msqrt><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I1.ix4.p1.1.m1.1b"><apply id="S3.I1.ix4.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.I1.ix4.p1.1.m1.1.1"><root id="S3.I1.ix4.p1.1.m1.1.1a.cmml" xref="S3.I1.ix4.p1.1.m1.1.1"></root><ci id="S3.I1.ix4.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.ix4.p1.1.m1.1.1.2">𝑑</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I1.ix4.p1.1.m1.1c">\sqrt{d}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I1.ix4.p1.1.m1.1d">square-root start_ARG italic_d end_ARG</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I1.ix4.p1.3.2">, that is, for any fixed </span><math alttext="k,l\in[d]" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.ix4.p1.2.m2.3"><semantics id="S3.I1.ix4.p1.2.m2.3a"><mrow id="S3.I1.ix4.p1.2.m2.3.4" xref="S3.I1.ix4.p1.2.m2.3.4.cmml"><mrow id="S3.I1.ix4.p1.2.m2.3.4.2.2" xref="S3.I1.ix4.p1.2.m2.3.4.2.1.cmml"><mi id="S3.I1.ix4.p1.2.m2.2.2" xref="S3.I1.ix4.p1.2.m2.2.2.cmml">k</mi><mo id="S3.I1.ix4.p1.2.m2.3.4.2.2.1" xref="S3.I1.ix4.p1.2.m2.3.4.2.1.cmml">,</mo><mi id="S3.I1.ix4.p1.2.m2.3.3" xref="S3.I1.ix4.p1.2.m2.3.3.cmml">l</mi></mrow><mo id="S3.I1.ix4.p1.2.m2.3.4.1" xref="S3.I1.ix4.p1.2.m2.3.4.1.cmml">∈</mo><mrow id="S3.I1.ix4.p1.2.m2.3.4.3.2" xref="S3.I1.ix4.p1.2.m2.3.4.3.1.cmml"><mo id="S3.I1.ix4.p1.2.m2.3.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.I1.ix4.p1.2.m2.3.4.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S3.I1.ix4.p1.2.m2.1.1" xref="S3.I1.ix4.p1.2.m2.1.1.cmml">d</mi><mo id="S3.I1.ix4.p1.2.m2.3.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.I1.ix4.p1.2.m2.3.4.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I1.ix4.p1.2.m2.3b"><apply id="S3.I1.ix4.p1.2.m2.3.4.cmml" xref="S3.I1.ix4.p1.2.m2.3.4"><in id="S3.I1.ix4.p1.2.m2.3.4.1.cmml" xref="S3.I1.ix4.p1.2.m2.3.4.1"></in><list id="S3.I1.ix4.p1.2.m2.3.4.2.1.cmml" xref="S3.I1.ix4.p1.2.m2.3.4.2.2"><ci id="S3.I1.ix4.p1.2.m2.2.2.cmml" xref="S3.I1.ix4.p1.2.m2.2.2">𝑘</ci><ci id="S3.I1.ix4.p1.2.m2.3.3.cmml" xref="S3.I1.ix4.p1.2.m2.3.3">𝑙</ci></list><apply id="S3.I1.ix4.p1.2.m2.3.4.3.1.cmml" xref="S3.I1.ix4.p1.2.m2.3.4.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.I1.ix4.p1.2.m2.3.4.3.1.1.cmml" xref="S3.I1.ix4.p1.2.m2.3.4.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S3.I1.ix4.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.I1.ix4.p1.2.m2.1.1">𝑑</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I1.ix4.p1.2.m2.3c">k,l\in[d]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I1.ix4.p1.2.m2.3d">italic_k , italic_l ∈ [ italic_d ]</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I1.ix4.p1.3.3"> we have </span><math alttext="\sum_{j=1}^{d}C_{j,k,l}=\sqrt{d}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.ix4.p1.3.m3.3"><semantics id="S3.I1.ix4.p1.3.m3.3a"><mrow id="S3.I1.ix4.p1.3.m3.3.4" xref="S3.I1.ix4.p1.3.m3.3.4.cmml"><mrow id="S3.I1.ix4.p1.3.m3.3.4.2" xref="S3.I1.ix4.p1.3.m3.3.4.2.cmml"><msubsup id="S3.I1.ix4.p1.3.m3.3.4.2.1" xref="S3.I1.ix4.p1.3.m3.3.4.2.1.cmml"><mo id="S3.I1.ix4.p1.3.m3.3.4.2.1.2.2" xref="S3.I1.ix4.p1.3.m3.3.4.2.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.I1.ix4.p1.3.m3.3.4.2.1.2.3" xref="S3.I1.ix4.p1.3.m3.3.4.2.1.2.3.cmml"><mi id="S3.I1.ix4.p1.3.m3.3.4.2.1.2.3.2" xref="S3.I1.ix4.p1.3.m3.3.4.2.1.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.I1.ix4.p1.3.m3.3.4.2.1.2.3.1" xref="S3.I1.ix4.p1.3.m3.3.4.2.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.I1.ix4.p1.3.m3.3.4.2.1.2.3.3" xref="S3.I1.ix4.p1.3.m3.3.4.2.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S3.I1.ix4.p1.3.m3.3.4.2.1.3" xref="S3.I1.ix4.p1.3.m3.3.4.2.1.3.cmml">d</mi></msubsup><msub id="S3.I1.ix4.p1.3.m3.3.4.2.2" xref="S3.I1.ix4.p1.3.m3.3.4.2.2.cmml"><mi id="S3.I1.ix4.p1.3.m3.3.4.2.2.2" xref="S3.I1.ix4.p1.3.m3.3.4.2.2.2.cmml">C</mi><mrow id="S3.I1.ix4.p1.3.m3.3.3.3.5" xref="S3.I1.ix4.p1.3.m3.3.3.3.4.cmml"><mi id="S3.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1" xref="S3.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.cmml">j</mi><mo id="S3.I1.ix4.p1.3.m3.3.3.3.5.1" xref="S3.I1.ix4.p1.3.m3.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.I1.ix4.p1.3.m3.2.2.2.2" xref="S3.I1.ix4.p1.3.m3.2.2.2.2.cmml">k</mi><mo id="S3.I1.ix4.p1.3.m3.3.3.3.5.2" xref="S3.I1.ix4.p1.3.m3.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.I1.ix4.p1.3.m3.3.3.3.3" xref="S3.I1.ix4.p1.3.m3.3.3.3.3.cmml">l</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S3.I1.ix4.p1.3.m3.3.4.1" xref="S3.I1.ix4.p1.3.m3.3.4.1.cmml">=</mo><msqrt id="S3.I1.ix4.p1.3.m3.3.4.3" xref="S3.I1.ix4.p1.3.m3.3.4.3.cmml"><mi id="S3.I1.ix4.p1.3.m3.3.4.3.2" xref="S3.I1.ix4.p1.3.m3.3.4.3.2.cmml">d</mi></msqrt></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I1.ix4.p1.3.m3.3b"><apply id="S3.I1.ix4.p1.3.m3.3.4.cmml" xref="S3.I1.ix4.p1.3.m3.3.4"><eq id="S3.I1.ix4.p1.3.m3.3.4.1.cmml" xref="S3.I1.ix4.p1.3.m3.3.4.1"></eq><apply id="S3.I1.ix4.p1.3.m3.3.4.2.cmml" xref="S3.I1.ix4.p1.3.m3.3.4.2"><apply id="S3.I1.ix4.p1.3.m3.3.4.2.1.cmml" xref="S3.I1.ix4.p1.3.m3.3.4.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.ix4.p1.3.m3.3.4.2.1.1.cmml" xref="S3.I1.ix4.p1.3.m3.3.4.2.1">superscript</csymbol><apply id="S3.I1.ix4.p1.3.m3.3.4.2.1.2.cmml" xref="S3.I1.ix4.p1.3.m3.3.4.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.ix4.p1.3.m3.3.4.2.1.2.1.cmml" xref="S3.I1.ix4.p1.3.m3.3.4.2.1">subscript</csymbol><sum id="S3.I1.ix4.p1.3.m3.3.4.2.1.2.2.cmml" xref="S3.I1.ix4.p1.3.m3.3.4.2.1.2.2"></sum><apply id="S3.I1.ix4.p1.3.m3.3.4.2.1.2.3.cmml" xref="S3.I1.ix4.p1.3.m3.3.4.2.1.2.3"><eq id="S3.I1.ix4.p1.3.m3.3.4.2.1.2.3.1.cmml" xref="S3.I1.ix4.p1.3.m3.3.4.2.1.2.3.1"></eq><ci id="S3.I1.ix4.p1.3.m3.3.4.2.1.2.3.2.cmml" xref="S3.I1.ix4.p1.3.m3.3.4.2.1.2.3.2">𝑗</ci><cn id="S3.I1.ix4.p1.3.m3.3.4.2.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.I1.ix4.p1.3.m3.3.4.2.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S3.I1.ix4.p1.3.m3.3.4.2.1.3.cmml" xref="S3.I1.ix4.p1.3.m3.3.4.2.1.3">𝑑</ci></apply><apply id="S3.I1.ix4.p1.3.m3.3.4.2.2.cmml" xref="S3.I1.ix4.p1.3.m3.3.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.ix4.p1.3.m3.3.4.2.2.1.cmml" xref="S3.I1.ix4.p1.3.m3.3.4.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.ix4.p1.3.m3.3.4.2.2.2.cmml" xref="S3.I1.ix4.p1.3.m3.3.4.2.2.2">𝐶</ci><list id="S3.I1.ix4.p1.3.m3.3.3.3.4.cmml" xref="S3.I1.ix4.p1.3.m3.3.3.3.5"><ci id="S3.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.ix4.p1.3.m3.1.1.1.1">𝑗</ci><ci id="S3.I1.ix4.p1.3.m3.2.2.2.2.cmml" xref="S3.I1.ix4.p1.3.m3.2.2.2.2">𝑘</ci><ci id="S3.I1.ix4.p1.3.m3.3.3.3.3.cmml" xref="S3.I1.ix4.p1.3.m3.3.3.3.3">𝑙</ci></list></apply></apply><apply id="S3.I1.ix4.p1.3.m3.3.4.3.cmml" xref="S3.I1.ix4.p1.3.m3.3.4.3"><root id="S3.I1.ix4.p1.3.m3.3.4.3a.cmml" xref="S3.I1.ix4.p1.3.m3.3.4.3"></root><ci id="S3.I1.ix4.p1.3.m3.3.4.3.2.cmml" xref="S3.I1.ix4.p1.3.m3.3.4.3.2">𝑑</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I1.ix4.p1.3.m3.3c">\sum_{j=1}^{d}C_{j,k,l}=\sqrt{d}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I1.ix4.p1.3.m3.3d">∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k , italic_l end_POSTSUBSCRIPT = square-root start_ARG italic_d end_ARG</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I1.ix4.p1.3.4"> , and similarly for piercings of the other two directions.</span></p> </div> </li> </ul> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="S3.2"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="S3.1.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.1.p1.1">Using the fact that <math alttext="X,Y,Z" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.1.p1.1.m1.3"><semantics id="S3.1.p1.1.m1.3a"><mrow id="S3.1.p1.1.m1.3.4.2" xref="S3.1.p1.1.m1.3.4.1.cmml"><mi id="S3.1.p1.1.m1.1.1" xref="S3.1.p1.1.m1.1.1.cmml">X</mi><mo id="S3.1.p1.1.m1.3.4.2.1" xref="S3.1.p1.1.m1.3.4.1.cmml">,</mo><mi id="S3.1.p1.1.m1.2.2" xref="S3.1.p1.1.m1.2.2.cmml">Y</mi><mo id="S3.1.p1.1.m1.3.4.2.2" xref="S3.1.p1.1.m1.3.4.1.cmml">,</mo><mi id="S3.1.p1.1.m1.3.3" xref="S3.1.p1.1.m1.3.3.cmml">Z</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.1.p1.1.m1.3b"><list id="S3.1.p1.1.m1.3.4.1.cmml" xref="S3.1.p1.1.m1.3.4.2"><ci id="S3.1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.1.p1.1.m1.1.1">𝑋</ci><ci id="S3.1.p1.1.m1.2.2.cmml" xref="S3.1.p1.1.m1.2.2">𝑌</ci><ci id="S3.1.p1.1.m1.3.3.cmml" xref="S3.1.p1.1.m1.3.3">𝑍</ci></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.1.p1.1.m1.3c">X,Y,Z</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.1.p1.1.m1.3d">italic_X , italic_Y , italic_Z</annotation></semantics></math> form an MUB-triplet, properties (i), (ii) and (iii) follow immediately from the defining equation (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#S3.E3" title="Equation 3.3 ‣ 3. MUB-triplets and Hadamard cubes ‣ Triplets of Mutually Unbiased Bases"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3.3</span></a>).</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.2.p2"> <p class="ltx_p" id="S3.2.p2.6">To prove (iv), we use the notation <math alttext="P_{j}=|\mathbf{e}_{j}\rangle\langle\mathbf{e}_{j}|" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.2.p2.1.m1.2"><semantics id="S3.2.p2.1.m1.2a"><mrow id="S3.2.p2.1.m1.2.2" xref="S3.2.p2.1.m1.2.2.cmml"><msub id="S3.2.p2.1.m1.2.2.4" xref="S3.2.p2.1.m1.2.2.4.cmml"><mi id="S3.2.p2.1.m1.2.2.4.2" xref="S3.2.p2.1.m1.2.2.4.2.cmml">P</mi><mi id="S3.2.p2.1.m1.2.2.4.3" xref="S3.2.p2.1.m1.2.2.4.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.2.p2.1.m1.2.2.3" xref="S3.2.p2.1.m1.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.2.p2.1.m1.2.2.2" xref="S3.2.p2.1.m1.2.2.2.cmml"><mrow id="S3.2.p2.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.2.p2.1.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.2.p2.1.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S3.2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝐞</mi><mi id="S3.2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.2.p2.1.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S3.2.p2.1.m1.2.2.2.3" xref="S3.2.p2.1.m1.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.2.p2.1.m1.2.2.2.2.1" xref="S3.2.p2.1.m1.2.2.2.2.2.cmml"><mo id="S3.2.p2.1.m1.2.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S3.2.p2.1.m1.2.2.2.2.2.1.cmml">⟨</mo><msub id="S3.2.p2.1.m1.2.2.2.2.1.1" xref="S3.2.p2.1.m1.2.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S3.2.p2.1.m1.2.2.2.2.1.1.2" xref="S3.2.p2.1.m1.2.2.2.2.1.1.2.cmml">𝐞</mi><mi id="S3.2.p2.1.m1.2.2.2.2.1.1.3" xref="S3.2.p2.1.m1.2.2.2.2.1.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.2.p2.1.m1.2.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S3.2.p2.1.m1.2.2.2.2.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.2.p2.1.m1.2b"><apply id="S3.2.p2.1.m1.2.2.cmml" xref="S3.2.p2.1.m1.2.2"><eq id="S3.2.p2.1.m1.2.2.3.cmml" xref="S3.2.p2.1.m1.2.2.3"></eq><apply id="S3.2.p2.1.m1.2.2.4.cmml" xref="S3.2.p2.1.m1.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.2.p2.1.m1.2.2.4.1.cmml" xref="S3.2.p2.1.m1.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S3.2.p2.1.m1.2.2.4.2.cmml" xref="S3.2.p2.1.m1.2.2.4.2">𝑃</ci><ci id="S3.2.p2.1.m1.2.2.4.3.cmml" xref="S3.2.p2.1.m1.2.2.4.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.2.p2.1.m1.2.2.2.cmml" xref="S3.2.p2.1.m1.2.2.2"><times id="S3.2.p2.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.2.p2.1.m1.2.2.2.3"></times><apply id="S3.2.p2.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.2.p2.1.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.2.p2.1.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2">ket</csymbol><apply id="S3.2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.2">𝐞</ci><ci id="S3.2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S3.2.p2.1.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.2.p2.1.m1.2.2.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.2.p2.1.m1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.2.p2.1.m1.2.2.2.2.1.2">bra</csymbol><apply id="S3.2.p2.1.m1.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.2.p2.1.m1.2.2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.2.p2.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.2.p2.1.m1.2.2.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.2.p2.1.m1.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.2.p2.1.m1.2.2.2.2.1.1.2">𝐞</ci><ci id="S3.2.p2.1.m1.2.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.2.p2.1.m1.2.2.2.2.1.1.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.2.p2.1.m1.2c">P_{j}=|\mathbf{e}_{j}\rangle\langle\mathbf{e}_{j}|</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.2.p2.1.m1.2d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT = | bold_e start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ⟩ ⟨ bold_e start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT |</annotation></semantics></math>, <math alttext="Q_{k}=|\mathbf{f}_{k}\rangle\langle\mathbf{f}_{k}|" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.2.p2.2.m2.2"><semantics id="S3.2.p2.2.m2.2a"><mrow id="S3.2.p2.2.m2.2.2" xref="S3.2.p2.2.m2.2.2.cmml"><msub id="S3.2.p2.2.m2.2.2.4" xref="S3.2.p2.2.m2.2.2.4.cmml"><mi id="S3.2.p2.2.m2.2.2.4.2" xref="S3.2.p2.2.m2.2.2.4.2.cmml">Q</mi><mi id="S3.2.p2.2.m2.2.2.4.3" xref="S3.2.p2.2.m2.2.2.4.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.2.p2.2.m2.2.2.3" xref="S3.2.p2.2.m2.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.2.p2.2.m2.2.2.2" xref="S3.2.p2.2.m2.2.2.2.cmml"><mrow id="S3.2.p2.2.m2.1.1.1.1.1" xref="S3.2.p2.2.m2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.2.p2.2.m2.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S3.2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝐟</mi><mi id="S3.2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.2.p2.2.m2.1.1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S3.2.p2.2.m2.2.2.2.3" xref="S3.2.p2.2.m2.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.2.p2.2.m2.2.2.2.2.1" xref="S3.2.p2.2.m2.2.2.2.2.2.cmml"><mo id="S3.2.p2.2.m2.2.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S3.2.p2.2.m2.2.2.2.2.2.1.cmml">⟨</mo><msub id="S3.2.p2.2.m2.2.2.2.2.1.1" xref="S3.2.p2.2.m2.2.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S3.2.p2.2.m2.2.2.2.2.1.1.2" xref="S3.2.p2.2.m2.2.2.2.2.1.1.2.cmml">𝐟</mi><mi id="S3.2.p2.2.m2.2.2.2.2.1.1.3" xref="S3.2.p2.2.m2.2.2.2.2.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.2.p2.2.m2.2.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S3.2.p2.2.m2.2.2.2.2.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.2.p2.2.m2.2b"><apply id="S3.2.p2.2.m2.2.2.cmml" xref="S3.2.p2.2.m2.2.2"><eq id="S3.2.p2.2.m2.2.2.3.cmml" xref="S3.2.p2.2.m2.2.2.3"></eq><apply id="S3.2.p2.2.m2.2.2.4.cmml" xref="S3.2.p2.2.m2.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.2.p2.2.m2.2.2.4.1.cmml" xref="S3.2.p2.2.m2.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S3.2.p2.2.m2.2.2.4.2.cmml" xref="S3.2.p2.2.m2.2.2.4.2">𝑄</ci><ci id="S3.2.p2.2.m2.2.2.4.3.cmml" xref="S3.2.p2.2.m2.2.2.4.3">𝑘</ci></apply><apply id="S3.2.p2.2.m2.2.2.2.cmml" xref="S3.2.p2.2.m2.2.2.2"><times id="S3.2.p2.2.m2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.2.p2.2.m2.2.2.2.3"></times><apply id="S3.2.p2.2.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.2.p2.2.m2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.2.p2.2.m2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.2">ket</csymbol><apply id="S3.2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.2">𝐟</ci><ci id="S3.2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S3.2.p2.2.m2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.2.p2.2.m2.2.2.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.2.p2.2.m2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.2.p2.2.m2.2.2.2.2.1.2">bra</csymbol><apply id="S3.2.p2.2.m2.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.2.p2.2.m2.2.2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.2.p2.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.2.p2.2.m2.2.2.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.2.p2.2.m2.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.2.p2.2.m2.2.2.2.2.1.1.2">𝐟</ci><ci id="S3.2.p2.2.m2.2.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.2.p2.2.m2.2.2.2.2.1.1.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.2.p2.2.m2.2c">Q_{k}=|\mathbf{f}_{k}\rangle\langle\mathbf{f}_{k}|</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.2.p2.2.m2.2d">italic_Q start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT = | bold_f start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ⟩ ⟨ bold_f start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT |</annotation></semantics></math>, <math alttext="R_{l}=|\mathbf{g}_{l}\rangle\langle\mathbf{g}_{l}|" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.2.p2.3.m3.2"><semantics id="S3.2.p2.3.m3.2a"><mrow id="S3.2.p2.3.m3.2.2" xref="S3.2.p2.3.m3.2.2.cmml"><msub id="S3.2.p2.3.m3.2.2.4" xref="S3.2.p2.3.m3.2.2.4.cmml"><mi id="S3.2.p2.3.m3.2.2.4.2" xref="S3.2.p2.3.m3.2.2.4.2.cmml">R</mi><mi id="S3.2.p2.3.m3.2.2.4.3" xref="S3.2.p2.3.m3.2.2.4.3.cmml">l</mi></msub><mo id="S3.2.p2.3.m3.2.2.3" xref="S3.2.p2.3.m3.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.2.p2.3.m3.2.2.2" xref="S3.2.p2.3.m3.2.2.2.cmml"><mrow id="S3.2.p2.3.m3.1.1.1.1.1" xref="S3.2.p2.3.m3.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.2.p2.3.m3.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.2.p2.3.m3.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S3.2.p2.3.m3.1.1.1.1.1.1" xref="S3.2.p2.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.2.p2.3.m3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.2.p2.3.m3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝐠</mi><mi id="S3.2.p2.3.m3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.2.p2.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">l</mi></msub><mo id="S3.2.p2.3.m3.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.2.p2.3.m3.1.1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S3.2.p2.3.m3.2.2.2.3" xref="S3.2.p2.3.m3.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.2.p2.3.m3.2.2.2.2.1" xref="S3.2.p2.3.m3.2.2.2.2.2.cmml"><mo id="S3.2.p2.3.m3.2.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S3.2.p2.3.m3.2.2.2.2.2.1.cmml">⟨</mo><msub id="S3.2.p2.3.m3.2.2.2.2.1.1" xref="S3.2.p2.3.m3.2.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S3.2.p2.3.m3.2.2.2.2.1.1.2" xref="S3.2.p2.3.m3.2.2.2.2.1.1.2.cmml">𝐠</mi><mi id="S3.2.p2.3.m3.2.2.2.2.1.1.3" xref="S3.2.p2.3.m3.2.2.2.2.1.1.3.cmml">l</mi></msub><mo id="S3.2.p2.3.m3.2.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S3.2.p2.3.m3.2.2.2.2.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.2.p2.3.m3.2b"><apply id="S3.2.p2.3.m3.2.2.cmml" xref="S3.2.p2.3.m3.2.2"><eq id="S3.2.p2.3.m3.2.2.3.cmml" xref="S3.2.p2.3.m3.2.2.3"></eq><apply id="S3.2.p2.3.m3.2.2.4.cmml" xref="S3.2.p2.3.m3.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.2.p2.3.m3.2.2.4.1.cmml" xref="S3.2.p2.3.m3.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S3.2.p2.3.m3.2.2.4.2.cmml" xref="S3.2.p2.3.m3.2.2.4.2">𝑅</ci><ci id="S3.2.p2.3.m3.2.2.4.3.cmml" xref="S3.2.p2.3.m3.2.2.4.3">𝑙</ci></apply><apply id="S3.2.p2.3.m3.2.2.2.cmml" xref="S3.2.p2.3.m3.2.2.2"><times id="S3.2.p2.3.m3.2.2.2.3.cmml" xref="S3.2.p2.3.m3.2.2.2.3"></times><apply id="S3.2.p2.3.m3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.2.p2.3.m3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.2.p2.3.m3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.2.p2.3.m3.1.1.1.1.1.2">ket</csymbol><apply id="S3.2.p2.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.2.p2.3.m3.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.2.p2.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.2.p2.3.m3.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.2.p2.3.m3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.2.p2.3.m3.1.1.1.1.1.1.2">𝐠</ci><ci id="S3.2.p2.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.2.p2.3.m3.1.1.1.1.1.1.3">𝑙</ci></apply></apply><apply id="S3.2.p2.3.m3.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.2.p2.3.m3.2.2.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.2.p2.3.m3.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.2.p2.3.m3.2.2.2.2.1.2">bra</csymbol><apply id="S3.2.p2.3.m3.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.2.p2.3.m3.2.2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.2.p2.3.m3.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.2.p2.3.m3.2.2.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.2.p2.3.m3.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.2.p2.3.m3.2.2.2.2.1.1.2">𝐠</ci><ci id="S3.2.p2.3.m3.2.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.2.p2.3.m3.2.2.2.2.1.1.3">𝑙</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.2.p2.3.m3.2c">R_{l}=|\mathbf{g}_{l}\rangle\langle\mathbf{g}_{l}|</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.2.p2.3.m3.2d">italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT = | bold_g start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT ⟩ ⟨ bold_g start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT |</annotation></semantics></math>, and equation (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#S3.E2" title="Equation 3.2 ‣ 3. MUB-triplets and Hadamard cubes ‣ Triplets of Mutually Unbiased Bases"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3.2</span></a>), to obtain <math alttext="\sum_{j=1}^{d}C_{j,k,l}=\sqrt{d^{3}}\sum_{j=1}^{d}\rm{Tr}\ P_{j}Q_{k}R_{l}=% \sqrt{d^{3}}\rm{Tr}\ (\sum_{j=1}^{d}P_{j})Q_{k}R_{l}=\sqrt{d^{3}}\rm{Tr}\ Q_{k% }R_{l}=\sqrt{d}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.2.p2.4.m4.4"><semantics id="S3.2.p2.4.m4.4a"><mrow id="S3.2.p2.4.m4.4.4" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.cmml"><mrow id="S3.2.p2.4.m4.4.4.3" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.3.cmml"><msubsup id="S3.2.p2.4.m4.4.4.3.1" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.3.1.cmml"><mo id="S3.2.p2.4.m4.4.4.3.1.2.2" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.2.p2.4.m4.4.4.3.1.2.3" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.3.1.2.3.cmml"><mi id="S3.2.p2.4.m4.4.4.3.1.2.3.2" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.3.1.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.2.p2.4.m4.4.4.3.1.2.3.1" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.2.p2.4.m4.4.4.3.1.2.3.3" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S3.2.p2.4.m4.4.4.3.1.3" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.3.1.3.cmml">d</mi></msubsup><msub id="S3.2.p2.4.m4.4.4.3.2" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.3.2.cmml"><mi id="S3.2.p2.4.m4.4.4.3.2.2" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.3.2.2.cmml">C</mi><mrow id="S3.2.p2.4.m4.3.3.3.5" xref="S3.2.p2.4.m4.3.3.3.4.cmml"><mi id="S3.2.p2.4.m4.1.1.1.1" xref="S3.2.p2.4.m4.1.1.1.1.cmml">j</mi><mo id="S3.2.p2.4.m4.3.3.3.5.1" xref="S3.2.p2.4.m4.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.2.p2.4.m4.2.2.2.2" xref="S3.2.p2.4.m4.2.2.2.2.cmml">k</mi><mo id="S3.2.p2.4.m4.3.3.3.5.2" xref="S3.2.p2.4.m4.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.2.p2.4.m4.3.3.3.3" xref="S3.2.p2.4.m4.3.3.3.3.cmml">l</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S3.2.p2.4.m4.4.4.4" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.4.cmml">=</mo><mrow id="S3.2.p2.4.m4.4.4.5" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.cmml"><msqrt id="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.2" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.2.cmml"><msup id="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.2.2" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.2.2.cmml"><mi id="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.2.2.2" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.2.2.2.cmml">d</mi><mn id="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.2.2.3" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.2.2.3.cmml">3</mn></msup></msqrt><mo id="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.1" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.3" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.3.cmml"><msubsup id="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.3.1" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.3.1.cmml"><mo id="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.3.1.2.2" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.3.1.2.3" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.3.1.2.3.cmml"><mi id="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.3.1.2.3.2" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.3.1.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.3.1.2.3.1" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.3.1.2.3.3" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.3.1.3" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.3.1.3.cmml">d</mi></msubsup><mrow id="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.3.2" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.3.2.cmml"><mi id="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.3.2.2" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.3.2.2.cmml">Tr</mi><mo id="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.3.2.1" lspace="0.500em" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.3.2.3" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.3.2.3.cmml"><mi id="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.3.2.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.3.2.3.2.cmml">P</mi><mi id="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.3.2.3.3" mathvariant="normal" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.3.2.3.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.3.2.1a" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.3.2.4" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.3.2.4.cmml"><mi id="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.3.2.4.2" mathvariant="normal" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.3.2.4.2.cmml">Q</mi><mi id="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.3.2.4.3" mathvariant="normal" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.3.2.4.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.3.2.1b" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.3.2.5" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.3.2.5.cmml"><mi id="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.3.2.5.2" mathvariant="normal" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.3.2.5.2.cmml">R</mi><mi id="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.3.2.5.3" mathvariant="normal" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.3.2.5.3.cmml">l</mi></msub></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.2.p2.4.m4.4.4.6" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.6.cmml">=</mo><mrow id="S3.2.p2.4.m4.4.4.1" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.cmml"><msqrt id="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.3" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.3.cmml"><msup id="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.3.2" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.3.2.cmml"><mi id="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.3.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.3.2.2.cmml">d</mi><mn id="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.3.2.3" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.3.2.3.cmml">3</mn></msup></msqrt><mo id="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.2" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.4" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.4.cmml">Tr</mi><mo id="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.2a" lspace="0.500em" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.1.1" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.1.1.1" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.1.1.1.1" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.2.2" lspace="0em" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.2.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml">d</mi></msubsup><msub id="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.1.1.1.2" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.1.1.1.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.1.1.1.2.2.cmml">P</mi><mi id="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.1.1.1.2.3" mathvariant="normal" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.1.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.2b" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.5" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.5.cmml"><mi id="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.5.2" mathvariant="normal" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.5.2.cmml">Q</mi><mi id="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.5.3" mathvariant="normal" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.5.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.2c" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.6" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.6.cmml"><mi id="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.6.2" mathvariant="normal" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.6.2.cmml">R</mi><mi id="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.6.3" mathvariant="normal" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.6.3.cmml">l</mi></msub></mrow><mo id="S3.2.p2.4.m4.4.4.7" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.7.cmml">=</mo><mrow id="S3.2.p2.4.m4.4.4.8" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.8.cmml"><msqrt id="S3.2.p2.4.m4.4.4.8.2" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.8.2.cmml"><msup id="S3.2.p2.4.m4.4.4.8.2.2" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.8.2.2.cmml"><mi id="S3.2.p2.4.m4.4.4.8.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.8.2.2.2.cmml">d</mi><mn id="S3.2.p2.4.m4.4.4.8.2.2.3" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.8.2.2.3.cmml">3</mn></msup></msqrt><mo id="S3.2.p2.4.m4.4.4.8.1" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.8.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.2.p2.4.m4.4.4.8.3" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.8.3.cmml">Tr</mi><mo id="S3.2.p2.4.m4.4.4.8.1a" lspace="0.500em" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.8.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.2.p2.4.m4.4.4.8.4" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.8.4.cmml"><mi id="S3.2.p2.4.m4.4.4.8.4.2" mathvariant="normal" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.8.4.2.cmml">Q</mi><mi id="S3.2.p2.4.m4.4.4.8.4.3" mathvariant="normal" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.8.4.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.2.p2.4.m4.4.4.8.1b" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.8.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.2.p2.4.m4.4.4.8.5" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.8.5.cmml"><mi id="S3.2.p2.4.m4.4.4.8.5.2" mathvariant="normal" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.8.5.2.cmml">R</mi><mi id="S3.2.p2.4.m4.4.4.8.5.3" mathvariant="normal" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.8.5.3.cmml">l</mi></msub></mrow><mo id="S3.2.p2.4.m4.4.4.9" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.9.cmml">=</mo><msqrt id="S3.2.p2.4.m4.4.4.10" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.10.cmml"><mi id="S3.2.p2.4.m4.4.4.10.2" mathvariant="normal" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.10.2.cmml">d</mi></msqrt></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.2.p2.4.m4.4b"><apply id="S3.2.p2.4.m4.4.4.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4"><and id="S3.2.p2.4.m4.4.4a.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4"></and><apply id="S3.2.p2.4.m4.4.4b.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4"><eq id="S3.2.p2.4.m4.4.4.4.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.4"></eq><apply id="S3.2.p2.4.m4.4.4.3.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.3"><apply id="S3.2.p2.4.m4.4.4.3.1.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.2.p2.4.m4.4.4.3.1.1.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.3.1">superscript</csymbol><apply id="S3.2.p2.4.m4.4.4.3.1.2.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.2.p2.4.m4.4.4.3.1.2.1.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.3.1">subscript</csymbol><sum id="S3.2.p2.4.m4.4.4.3.1.2.2.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.3.1.2.2"></sum><apply id="S3.2.p2.4.m4.4.4.3.1.2.3.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.3.1.2.3"><eq id="S3.2.p2.4.m4.4.4.3.1.2.3.1.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.3.1.2.3.1"></eq><ci id="S3.2.p2.4.m4.4.4.3.1.2.3.2.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.3.1.2.3.2">𝑗</ci><cn id="S3.2.p2.4.m4.4.4.3.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.3.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S3.2.p2.4.m4.4.4.3.1.3.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.3.1.3">𝑑</ci></apply><apply id="S3.2.p2.4.m4.4.4.3.2.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.2.p2.4.m4.4.4.3.2.1.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.2.p2.4.m4.4.4.3.2.2.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.3.2.2">𝐶</ci><list id="S3.2.p2.4.m4.3.3.3.4.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.3.3.3.5"><ci id="S3.2.p2.4.m4.1.1.1.1.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.1.1.1.1">𝑗</ci><ci id="S3.2.p2.4.m4.2.2.2.2.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.2.2.2.2">𝑘</ci><ci id="S3.2.p2.4.m4.3.3.3.3.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.3.3.3.3">𝑙</ci></list></apply></apply><apply id="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.5"><times id="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.1.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.1"></times><apply id="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.2.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.2"><root id="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.2a.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.2"></root><apply id="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.2.2.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.2.2.1.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.2.2">superscript</csymbol><ci id="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.2.2.2.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.2.2.2">𝑑</ci><cn id="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.2.2.3">3</cn></apply></apply><apply id="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.3.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.3"><apply id="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.3.1.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.3.1.1.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.3.1">superscript</csymbol><apply id="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.3.1.2.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.3.1.2.1.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.3.1">subscript</csymbol><sum id="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.3.1.2.2.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.3.1.2.2"></sum><apply id="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.3.1.2.3.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.3.1.2.3"><eq id="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.3.1.2.3.1.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.3.1.2.3.1"></eq><ci id="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.3.1.2.3.2.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.3.1.2.3.2">𝑗</ci><cn id="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.3.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.3.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.3.1.3.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.3.1.3">𝑑</ci></apply><apply id="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.3.2.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.3.2"><times id="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.3.2.1.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.3.2.1"></times><ci id="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.3.2.2.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.3.2.2">Tr</ci><apply id="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.3.2.3.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.3.2.3.1.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.3.2.3.2.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.3.2.3.2">P</ci><ci id="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.3.2.3.3.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.3.2.3.3">j</ci></apply><apply id="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.3.2.4.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.3.2.4.1.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.3.2.4">subscript</csymbol><ci id="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.3.2.4.2.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.3.2.4.2">Q</ci><ci id="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.3.2.4.3.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.3.2.4.3">k</ci></apply><apply id="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.3.2.5.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.3.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.3.2.5.1.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.3.2.5">subscript</csymbol><ci id="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.3.2.5.2.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.3.2.5.2">R</ci><ci id="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.3.2.5.3.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.5.3.2.5.3">l</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.2.p2.4.m4.4.4c.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4"><eq id="S3.2.p2.4.m4.4.4.6.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.6"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#S3.2.p2.4.m4.4.4.5.cmml" id="S3.2.p2.4.m4.4.4d.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4"></share><apply id="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.1"><times id="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.2.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.2"></times><apply id="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.3.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.3"><root id="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.3a.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.3"></root><apply id="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.3.2.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.3.2.1.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.3.2.2.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.3.2.2">d</ci><cn id="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.3.2.3">3</cn></apply></apply><ci id="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.4.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.4">Tr</ci><apply id="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.1.1"><apply id="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><sum id="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.2.2"></sum><apply id="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.2.3"><eq id="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.2.3.1"></eq><ci id="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.2.3.2">j</ci><cn id="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.1.1.1.1.3">d</ci></apply><apply id="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.1.1.1.2.2">P</ci><ci id="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.1.1.1.2.3">j</ci></apply></apply><apply id="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.5.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.5.1.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.5">subscript</csymbol><ci id="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.5.2.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.5.2">Q</ci><ci id="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.5.3.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.5.3">k</ci></apply><apply id="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.6.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.6.1.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.6">subscript</csymbol><ci id="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.6.2.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.6.2">R</ci><ci id="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.6.3.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.1.6.3">l</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.2.p2.4.m4.4.4e.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4"><eq id="S3.2.p2.4.m4.4.4.7.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.7"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#S3.2.p2.4.m4.4.4.1.cmml" id="S3.2.p2.4.m4.4.4f.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4"></share><apply id="S3.2.p2.4.m4.4.4.8.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.8"><times id="S3.2.p2.4.m4.4.4.8.1.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.8.1"></times><apply id="S3.2.p2.4.m4.4.4.8.2.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.8.2"><root id="S3.2.p2.4.m4.4.4.8.2a.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.8.2"></root><apply id="S3.2.p2.4.m4.4.4.8.2.2.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.8.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.2.p2.4.m4.4.4.8.2.2.1.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.8.2.2">superscript</csymbol><ci id="S3.2.p2.4.m4.4.4.8.2.2.2.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.8.2.2.2">d</ci><cn id="S3.2.p2.4.m4.4.4.8.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.8.2.2.3">3</cn></apply></apply><ci id="S3.2.p2.4.m4.4.4.8.3.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.8.3">Tr</ci><apply id="S3.2.p2.4.m4.4.4.8.4.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.8.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.2.p2.4.m4.4.4.8.4.1.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.8.4">subscript</csymbol><ci id="S3.2.p2.4.m4.4.4.8.4.2.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.8.4.2">Q</ci><ci id="S3.2.p2.4.m4.4.4.8.4.3.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.8.4.3">k</ci></apply><apply id="S3.2.p2.4.m4.4.4.8.5.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.8.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.2.p2.4.m4.4.4.8.5.1.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.8.5">subscript</csymbol><ci id="S3.2.p2.4.m4.4.4.8.5.2.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.8.5.2">R</ci><ci id="S3.2.p2.4.m4.4.4.8.5.3.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.8.5.3">l</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.2.p2.4.m4.4.4g.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4"><eq id="S3.2.p2.4.m4.4.4.9.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.9"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#S3.2.p2.4.m4.4.4.8.cmml" id="S3.2.p2.4.m4.4.4h.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4"></share><apply id="S3.2.p2.4.m4.4.4.10.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.10"><root id="S3.2.p2.4.m4.4.4.10a.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.10"></root><ci id="S3.2.p2.4.m4.4.4.10.2.cmml" xref="S3.2.p2.4.m4.4.4.10.2">d</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.2.p2.4.m4.4c">\sum_{j=1}^{d}C_{j,k,l}=\sqrt{d^{3}}\sum_{j=1}^{d}\rm{Tr}\ P_{j}Q_{k}R_{l}=% \sqrt{d^{3}}\rm{Tr}\ (\sum_{j=1}^{d}P_{j})Q_{k}R_{l}=\sqrt{d^{3}}\rm{Tr}\ Q_{k% }R_{l}=\sqrt{d}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.2.p2.4.m4.4d">∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k , italic_l end_POSTSUBSCRIPT = square-root start_ARG italic_d start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT roman_Tr roman_P start_POSTSUBSCRIPT roman_j end_POSTSUBSCRIPT roman_Q start_POSTSUBSCRIPT roman_k end_POSTSUBSCRIPT roman_R start_POSTSUBSCRIPT roman_l end_POSTSUBSCRIPT = square-root start_ARG roman_d start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG roman_Tr ( ∑ start_POSTSUBSCRIPT roman_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT roman_d end_POSTSUPERSCRIPT roman_P start_POSTSUBSCRIPT roman_j end_POSTSUBSCRIPT ) roman_Q start_POSTSUBSCRIPT roman_k end_POSTSUBSCRIPT roman_R start_POSTSUBSCRIPT roman_l end_POSTSUBSCRIPT = square-root start_ARG roman_d start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG roman_Tr roman_Q start_POSTSUBSCRIPT roman_k end_POSTSUBSCRIPT roman_R start_POSTSUBSCRIPT roman_l end_POSTSUBSCRIPT = square-root start_ARG roman_d end_ARG</annotation></semantics></math>, where we have used the fact the <math alttext="\sum_{j=1}^{d}P_{j}=I" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.2.p2.5.m5.1"><semantics id="S3.2.p2.5.m5.1a"><mrow id="S3.2.p2.5.m5.1.1" xref="S3.2.p2.5.m5.1.1.cmml"><mrow id="S3.2.p2.5.m5.1.1.2" xref="S3.2.p2.5.m5.1.1.2.cmml"><msubsup id="S3.2.p2.5.m5.1.1.2.1" xref="S3.2.p2.5.m5.1.1.2.1.cmml"><mo id="S3.2.p2.5.m5.1.1.2.1.2.2" xref="S3.2.p2.5.m5.1.1.2.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.2.p2.5.m5.1.1.2.1.2.3" xref="S3.2.p2.5.m5.1.1.2.1.2.3.cmml"><mi id="S3.2.p2.5.m5.1.1.2.1.2.3.2" xref="S3.2.p2.5.m5.1.1.2.1.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.2.p2.5.m5.1.1.2.1.2.3.1" xref="S3.2.p2.5.m5.1.1.2.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.2.p2.5.m5.1.1.2.1.2.3.3" xref="S3.2.p2.5.m5.1.1.2.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S3.2.p2.5.m5.1.1.2.1.3" xref="S3.2.p2.5.m5.1.1.2.1.3.cmml">d</mi></msubsup><msub id="S3.2.p2.5.m5.1.1.2.2" xref="S3.2.p2.5.m5.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.2.p2.5.m5.1.1.2.2.2" xref="S3.2.p2.5.m5.1.1.2.2.2.cmml">P</mi><mi id="S3.2.p2.5.m5.1.1.2.2.3" xref="S3.2.p2.5.m5.1.1.2.2.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="S3.2.p2.5.m5.1.1.1" xref="S3.2.p2.5.m5.1.1.1.cmml">=</mo><mi id="S3.2.p2.5.m5.1.1.3" xref="S3.2.p2.5.m5.1.1.3.cmml">I</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.2.p2.5.m5.1b"><apply id="S3.2.p2.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.2.p2.5.m5.1.1"><eq id="S3.2.p2.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S3.2.p2.5.m5.1.1.1"></eq><apply id="S3.2.p2.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S3.2.p2.5.m5.1.1.2"><apply id="S3.2.p2.5.m5.1.1.2.1.cmml" xref="S3.2.p2.5.m5.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.2.p2.5.m5.1.1.2.1.1.cmml" xref="S3.2.p2.5.m5.1.1.2.1">superscript</csymbol><apply id="S3.2.p2.5.m5.1.1.2.1.2.cmml" xref="S3.2.p2.5.m5.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.2.p2.5.m5.1.1.2.1.2.1.cmml" xref="S3.2.p2.5.m5.1.1.2.1">subscript</csymbol><sum id="S3.2.p2.5.m5.1.1.2.1.2.2.cmml" xref="S3.2.p2.5.m5.1.1.2.1.2.2"></sum><apply id="S3.2.p2.5.m5.1.1.2.1.2.3.cmml" xref="S3.2.p2.5.m5.1.1.2.1.2.3"><eq id="S3.2.p2.5.m5.1.1.2.1.2.3.1.cmml" xref="S3.2.p2.5.m5.1.1.2.1.2.3.1"></eq><ci id="S3.2.p2.5.m5.1.1.2.1.2.3.2.cmml" xref="S3.2.p2.5.m5.1.1.2.1.2.3.2">𝑗</ci><cn id="S3.2.p2.5.m5.1.1.2.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.2.p2.5.m5.1.1.2.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S3.2.p2.5.m5.1.1.2.1.3.cmml" xref="S3.2.p2.5.m5.1.1.2.1.3">𝑑</ci></apply><apply id="S3.2.p2.5.m5.1.1.2.2.cmml" xref="S3.2.p2.5.m5.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.2.p2.5.m5.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.2.p2.5.m5.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.2.p2.5.m5.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.2.p2.5.m5.1.1.2.2.2">𝑃</ci><ci id="S3.2.p2.5.m5.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.2.p2.5.m5.1.1.2.2.3">𝑗</ci></apply></apply><ci id="S3.2.p2.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S3.2.p2.5.m5.1.1.3">𝐼</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.2.p2.5.m5.1c">\sum_{j=1}^{d}P_{j}=I</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.2.p2.5.m5.1d">∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT = italic_I</annotation></semantics></math>, and <math alttext="\rm{Tr}\ Q_{k}R_{l}=1/d" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.2.p2.6.m6.1"><semantics id="S3.2.p2.6.m6.1a"><mrow id="S3.2.p2.6.m6.1.1" xref="S3.2.p2.6.m6.1.1.cmml"><mrow id="S3.2.p2.6.m6.1.1.2" xref="S3.2.p2.6.m6.1.1.2.cmml"><mi id="S3.2.p2.6.m6.1.1.2.2" xref="S3.2.p2.6.m6.1.1.2.2.cmml">Tr</mi><mo id="S3.2.p2.6.m6.1.1.2.1" lspace="0.500em" xref="S3.2.p2.6.m6.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.2.p2.6.m6.1.1.2.3" xref="S3.2.p2.6.m6.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.2.p2.6.m6.1.1.2.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.2.p2.6.m6.1.1.2.3.2.cmml">Q</mi><mi id="S3.2.p2.6.m6.1.1.2.3.3" mathvariant="normal" xref="S3.2.p2.6.m6.1.1.2.3.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.2.p2.6.m6.1.1.2.1a" xref="S3.2.p2.6.m6.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.2.p2.6.m6.1.1.2.4" xref="S3.2.p2.6.m6.1.1.2.4.cmml"><mi id="S3.2.p2.6.m6.1.1.2.4.2" mathvariant="normal" xref="S3.2.p2.6.m6.1.1.2.4.2.cmml">R</mi><mi id="S3.2.p2.6.m6.1.1.2.4.3" mathvariant="normal" xref="S3.2.p2.6.m6.1.1.2.4.3.cmml">l</mi></msub></mrow><mo id="S3.2.p2.6.m6.1.1.1" xref="S3.2.p2.6.m6.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.2.p2.6.m6.1.1.3" xref="S3.2.p2.6.m6.1.1.3.cmml"><mn id="S3.2.p2.6.m6.1.1.3.2" xref="S3.2.p2.6.m6.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S3.2.p2.6.m6.1.1.3.1" xref="S3.2.p2.6.m6.1.1.3.1.cmml">/</mo><mi id="S3.2.p2.6.m6.1.1.3.3" mathvariant="normal" xref="S3.2.p2.6.m6.1.1.3.3.cmml">d</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.2.p2.6.m6.1b"><apply id="S3.2.p2.6.m6.1.1.cmml" xref="S3.2.p2.6.m6.1.1"><eq id="S3.2.p2.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S3.2.p2.6.m6.1.1.1"></eq><apply id="S3.2.p2.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S3.2.p2.6.m6.1.1.2"><times id="S3.2.p2.6.m6.1.1.2.1.cmml" xref="S3.2.p2.6.m6.1.1.2.1"></times><ci id="S3.2.p2.6.m6.1.1.2.2.cmml" xref="S3.2.p2.6.m6.1.1.2.2">Tr</ci><apply id="S3.2.p2.6.m6.1.1.2.3.cmml" xref="S3.2.p2.6.m6.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.2.p2.6.m6.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.2.p2.6.m6.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.2.p2.6.m6.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.2.p2.6.m6.1.1.2.3.2">Q</ci><ci id="S3.2.p2.6.m6.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.2.p2.6.m6.1.1.2.3.3">k</ci></apply><apply id="S3.2.p2.6.m6.1.1.2.4.cmml" xref="S3.2.p2.6.m6.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.2.p2.6.m6.1.1.2.4.1.cmml" xref="S3.2.p2.6.m6.1.1.2.4">subscript</csymbol><ci id="S3.2.p2.6.m6.1.1.2.4.2.cmml" xref="S3.2.p2.6.m6.1.1.2.4.2">R</ci><ci id="S3.2.p2.6.m6.1.1.2.4.3.cmml" xref="S3.2.p2.6.m6.1.1.2.4.3">l</ci></apply></apply><apply id="S3.2.p2.6.m6.1.1.3.cmml" xref="S3.2.p2.6.m6.1.1.3"><divide id="S3.2.p2.6.m6.1.1.3.1.cmml" xref="S3.2.p2.6.m6.1.1.3.1"></divide><cn id="S3.2.p2.6.m6.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.2.p2.6.m6.1.1.3.2">1</cn><ci id="S3.2.p2.6.m6.1.1.3.3.cmml" xref="S3.2.p2.6.m6.1.1.3.3">d</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.2.p2.6.m6.1c">\rm{Tr}\ Q_{k}R_{l}=1/d</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.2.p2.6.m6.1d">roman_Tr roman_Q start_POSTSUBSCRIPT roman_k end_POSTSUBSCRIPT roman_R start_POSTSUBSCRIPT roman_l end_POSTSUBSCRIPT = 1 / roman_d</annotation></semantics></math>. ∎</p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S3.p7"> <p class="ltx_p" id="S3.p7.1">As the properties (i)-(iv) are fundamental, it is natural to introduce the following definition.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_defi" id="S3.Thmfact2"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.Thmfact2.1.1.1">Definition 3.2</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.Thmfact2.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="S3.Thmfact2.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.Thmfact2.p1.1">A cube of size <math alttext="d\times d\times d" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmfact2.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.Thmfact2.p1.1.m1.1a"><mrow id="S3.Thmfact2.p1.1.m1.1.1" xref="S3.Thmfact2.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.Thmfact2.p1.1.m1.1.1.2" xref="S3.Thmfact2.p1.1.m1.1.1.2.cmml">d</mi><mo id="S3.Thmfact2.p1.1.m1.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S3.Thmfact2.p1.1.m1.1.1.1.cmml">×</mo><mi id="S3.Thmfact2.p1.1.m1.1.1.3" xref="S3.Thmfact2.p1.1.m1.1.1.3.cmml">d</mi><mo id="S3.Thmfact2.p1.1.m1.1.1.1a" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S3.Thmfact2.p1.1.m1.1.1.1.cmml">×</mo><mi id="S3.Thmfact2.p1.1.m1.1.1.4" xref="S3.Thmfact2.p1.1.m1.1.1.4.cmml">d</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmfact2.p1.1.m1.1b"><apply id="S3.Thmfact2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.Thmfact2.p1.1.m1.1.1"><times id="S3.Thmfact2.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmfact2.p1.1.m1.1.1.1"></times><ci id="S3.Thmfact2.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmfact2.p1.1.m1.1.1.2">𝑑</ci><ci id="S3.Thmfact2.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.Thmfact2.p1.1.m1.1.1.3">𝑑</ci><ci id="S3.Thmfact2.p1.1.m1.1.1.4.cmml" xref="S3.Thmfact2.p1.1.m1.1.1.4">𝑑</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmfact2.p1.1.m1.1c">d\times d\times d</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmfact2.p1.1.m1.1d">italic_d × italic_d × italic_d</annotation></semantics></math> is called a <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="S3.Thmfact2.p1.1.1">Hadamard cube</em> if it satisfies properties (i)-(iv) in Proposition <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#S3.Thmfact1" title="Proposition 3.1. ‣ 3. MUB-triplets and Hadamard cubes ‣ Triplets of Mutually Unbiased Bases"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3.1</span></a>.</p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S3.p8"> <p class="ltx_p" id="S3.p8.1">Note that – for reasons of clarity – we have listed property (i) separately, although it is redundant, as it follows from (ii) by definition. In fact, later in this section we shall see that there are further redundancies, and some weaker assumptions also imply conditions (i)-(iv).</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.p9"> <p class="ltx_p" id="S3.p9.4">Having introduced the concept of a Hadamard cube, we have two immediate questions to consider. First, given a Hadamard cube <math alttext="C" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p9.1.m1.1"><semantics id="S3.p9.1.m1.1a"><mi id="S3.p9.1.m1.1.1" xref="S3.p9.1.m1.1.1.cmml">C</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p9.1.m1.1b"><ci id="S3.p9.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.p9.1.m1.1.1">𝐶</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p9.1.m1.1c">C</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p9.1.m1.1d">italic_C</annotation></semantics></math>, does there exist a MUB-triplet <math alttext="(X,Y,Z)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p9.2.m2.3"><semantics id="S3.p9.2.m2.3a"><mrow id="S3.p9.2.m2.3.4.2" xref="S3.p9.2.m2.3.4.1.cmml"><mo id="S3.p9.2.m2.3.4.2.1" stretchy="false" xref="S3.p9.2.m2.3.4.1.cmml">(</mo><mi id="S3.p9.2.m2.1.1" xref="S3.p9.2.m2.1.1.cmml">X</mi><mo id="S3.p9.2.m2.3.4.2.2" xref="S3.p9.2.m2.3.4.1.cmml">,</mo><mi id="S3.p9.2.m2.2.2" xref="S3.p9.2.m2.2.2.cmml">Y</mi><mo id="S3.p9.2.m2.3.4.2.3" xref="S3.p9.2.m2.3.4.1.cmml">,</mo><mi id="S3.p9.2.m2.3.3" xref="S3.p9.2.m2.3.3.cmml">Z</mi><mo id="S3.p9.2.m2.3.4.2.4" stretchy="false" xref="S3.p9.2.m2.3.4.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p9.2.m2.3b"><vector id="S3.p9.2.m2.3.4.1.cmml" xref="S3.p9.2.m2.3.4.2"><ci id="S3.p9.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.p9.2.m2.1.1">𝑋</ci><ci id="S3.p9.2.m2.2.2.cmml" xref="S3.p9.2.m2.2.2">𝑌</ci><ci id="S3.p9.2.m2.3.3.cmml" xref="S3.p9.2.m2.3.3">𝑍</ci></vector></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p9.2.m2.3c">(X,Y,Z)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p9.2.m2.3d">( italic_X , italic_Y , italic_Z )</annotation></semantics></math> such that its associated Hadamard cube is exactly <math alttext="C" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p9.3.m3.1"><semantics id="S3.p9.3.m3.1a"><mi id="S3.p9.3.m3.1.1" xref="S3.p9.3.m3.1.1.cmml">C</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p9.3.m3.1b"><ci id="S3.p9.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.p9.3.m3.1.1">𝐶</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p9.3.m3.1c">C</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p9.3.m3.1d">italic_C</annotation></semantics></math>? If so, does the Hadamard cube <math alttext="C" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p9.4.m4.1"><semantics id="S3.p9.4.m4.1a"><mi id="S3.p9.4.m4.1.1" xref="S3.p9.4.m4.1.1.cmml">C</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p9.4.m4.1b"><ci id="S3.p9.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.p9.4.m4.1.1">𝐶</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p9.4.m4.1c">C</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p9.4.m4.1d">italic_C</annotation></semantics></math> determine the original MUB-triplet up to unitary equivalence? Below we shall answer both questions in the affirmative.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_proposition" id="S3.Thmfact3"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.Thmfact3.1.1.1">Proposition 3.3</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.Thmfact3.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="S3.Thmfact3.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.Thmfact3.p1.3"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.Thmfact3.p1.3.3">Assume <math alttext="((\mathbf{e}_{j})_{j=1}^{d},(\mathbf{f}_{j})_{j=1}^{d},(\mathbf{g}_{j})_{j=1}^% {d})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.3"><semantics id="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.3a"><mrow id="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.3.3.3" xref="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.3.3.4.cmml"><mo id="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.3.3.3.4" stretchy="false" xref="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.3.3.4.cmml">(</mo><msubsup id="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.1.1.1.1" xref="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝐞</mi><mi id="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.1.1.1.1.3.cmml">d</mi></msubsup><mo id="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.3.3.3.5" xref="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.3.3.4.cmml">,</mo><msubsup id="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.2.2.2.2" xref="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.2.2.2.2.1.1.1" xref="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1" xref="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.2" xref="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml">𝐟</mi><mi id="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.3" xref="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.2.2.2.2.1.3" xref="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.2.2.2.2.1.3.cmml"><mi id="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.2.2.2.2.1.3.2" xref="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.2.2.2.2.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.2.2.2.2.1.3.1" xref="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.2.2.2.2.1.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.2.2.2.2.1.3.3" xref="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.2.2.2.2.1.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.2.2.2.2.3" xref="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.2.2.2.2.3.cmml">d</mi></msubsup><mo id="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.3.3.3.6" xref="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.3.3.4.cmml">,</mo><msubsup id="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.3.3.3.3" xref="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.3.3.3.3.cmml"><mrow id="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.3.3.3.3.1.1.1" xref="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.3.3.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.3.3.3.3.1.1.1.1" xref="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.2" xref="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.2.cmml">𝐠</mi><mi id="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.3" xref="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.3.3.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.3.3.3.3.1.3" xref="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.3.3.3.3.1.3.cmml"><mi id="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.3.3.3.3.1.3.2" xref="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.3.3.3.3.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.3.3.3.3.1.3.1" xref="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.3.3.3.3.1.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.3.3.3.3.1.3.3" xref="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.3.3.3.3.1.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.3.3.3.3.3" xref="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.3.3.3.3.3.cmml">d</mi></msubsup><mo id="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.3.3.3.7" stretchy="false" xref="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.3.3.4.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.3b"><vector id="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.3.3.4.cmml" xref="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.3.3.3"><apply id="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝐞</ci><ci id="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.3"><eq id="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.3.1"></eq><ci id="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.3.2">𝑗</ci><cn id="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.1.1.1.1.3">𝑑</ci></apply><apply id="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.2.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.2.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.2.2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.2.2.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.2">𝐟</ci><ci id="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.2.2.2.2.1.3.cmml" xref="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.2.2.2.2.1.3"><eq id="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.2.2.2.2.1.3.1.cmml" xref="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.2.2.2.2.1.3.1"></eq><ci id="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.2.2.2.2.1.3.2.cmml" xref="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.2.2.2.2.1.3.2">𝑗</ci><cn id="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.2.2.2.2.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.2.2.2.2.1.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.2.2.2.2.3">𝑑</ci></apply><apply id="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.3.3.3.3.cmml" xref="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.3.3.3.3.2.cmml" xref="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.3.3.3.3">superscript</csymbol><apply id="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.3.3.3.3.1.cmml" xref="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.3.3.3.3.1.2.cmml" xref="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.3.3.3.3">subscript</csymbol><apply id="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.3.3.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.3.3.3.3.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.2">𝐠</ci><ci id="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.3.3.3.3.1.3.cmml" xref="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.3.3.3.3.1.3"><eq id="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.3.3.3.3.1.3.1.cmml" xref="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.3.3.3.3.1.3.1"></eq><ci id="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.3.3.3.3.1.3.2.cmml" xref="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.3.3.3.3.1.3.2">𝑗</ci><cn id="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.3.3.3.3.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.3.3.3.3.1.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.3.3.3.3.3.cmml" xref="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.3.3.3.3.3">𝑑</ci></apply></vector></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.3c">((\mathbf{e}_{j})_{j=1}^{d},(\mathbf{f}_{j})_{j=1}^{d},(\mathbf{g}_{j})_{j=1}^% {d})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmfact3.p1.1.1.m1.3d">( ( bold_e start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT , ( bold_f start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT , ( bold_g start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> and <math alttext="((\tilde{\mathbf{e}}_{j})_{j=1}^{d},(\tilde{\mathbf{f}}_{j})_{j=1}^{d},(\tilde% {\mathbf{g}}_{j})_{j=1}^{d})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.3"><semantics id="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.3a"><mrow id="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.3.3.3" xref="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.3.3.4.cmml"><mo id="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.3.3.3.4" stretchy="false" xref="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.3.3.4.cmml">(</mo><msubsup id="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.1.1.1.1" xref="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝐞</mi><mo id="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.1.1.1.1.3" xref="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.1.1.1.1.3.cmml">d</mi></msubsup><mo id="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.3.3.3.5" xref="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.3.3.4.cmml">,</mo><msubsup id="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.2.2.2.2" xref="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.2.2.2.2.1.1.1" xref="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.1" xref="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.2" xref="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml">𝐟</mi><mo id="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.1" xref="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.3" xref="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.2.2.2.2.1.3" xref="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.2.2.2.2.1.3.cmml"><mi id="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.2.2.2.2.1.3.2" xref="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.2.2.2.2.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.2.2.2.2.1.3.1" xref="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.2.2.2.2.1.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.2.2.2.2.1.3.3" xref="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.2.2.2.2.1.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.2.2.2.2.3" xref="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.2.2.2.2.3.cmml">d</mi></msubsup><mo id="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.3.3.3.6" xref="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.3.3.4.cmml">,</mo><msubsup id="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.3.3.3.3" xref="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.3.3.3.3.cmml"><mrow id="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.3.3.3.3.1.1.1" xref="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.3.3.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.3.3.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.3.3.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.3.3.3.3.1.1.1.1" xref="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.3.3.3.3.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.3.3.3.3.1.1.1.1.2" xref="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.3.3.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.3.3.3.3.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.3.3.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml">𝐠</mi><mo id="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.3.3.3.3.1.1.1.1.2.1" xref="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.3.3.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.3.3.3.3.1.1.1.1.3" xref="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.3.3.3.3.1.1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.3.3.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.3.3.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.3.3.3.3.1.3" xref="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.3.3.3.3.1.3.cmml"><mi id="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.3.3.3.3.1.3.2" xref="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.3.3.3.3.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.3.3.3.3.1.3.1" xref="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.3.3.3.3.1.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.3.3.3.3.1.3.3" xref="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.3.3.3.3.1.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.3.3.3.3.3" xref="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.3.3.3.3.3.cmml">d</mi></msubsup><mo id="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.3.3.3.7" stretchy="false" xref="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.3.3.4.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.3b"><vector id="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.3.3.4.cmml" xref="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.3.3.3"><apply id="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><ci id="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝐞</ci></apply><ci id="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.3"><eq id="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.3.1"></eq><ci id="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.3.2">𝑗</ci><cn id="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.1.1.1.1.3">𝑑</ci></apply><apply id="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.2.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.2.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.2.2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.2.2.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.2"><ci id="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.2">𝐟</ci></apply><ci id="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.2.2.2.2.1.3.cmml" xref="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.2.2.2.2.1.3"><eq id="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.2.2.2.2.1.3.1.cmml" xref="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.2.2.2.2.1.3.1"></eq><ci id="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.2.2.2.2.1.3.2.cmml" xref="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.2.2.2.2.1.3.2">𝑗</ci><cn id="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.2.2.2.2.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.2.2.2.2.1.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.2.2.2.2.3">𝑑</ci></apply><apply id="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.3.3.3.3.cmml" xref="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.3.3.3.3.2.cmml" xref="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.3.3.3.3">superscript</csymbol><apply id="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.3.3.3.3.1.cmml" xref="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.3.3.3.3.1.2.cmml" xref="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.3.3.3.3">subscript</csymbol><apply id="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.3.3.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.3.3.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.3.3.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.3.3.3.3.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.3.3.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.3.3.3.3.1.1.1.1.2"><ci id="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.3.3.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.3.3.3.3.1.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.3.3.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.3.3.3.3.1.1.1.1.2.2">𝐠</ci></apply><ci id="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.3.3.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.3.3.3.3.1.1.1.1.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.3.3.3.3.1.3.cmml" xref="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.3.3.3.3.1.3"><eq id="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.3.3.3.3.1.3.1.cmml" xref="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.3.3.3.3.1.3.1"></eq><ci id="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.3.3.3.3.1.3.2.cmml" xref="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.3.3.3.3.1.3.2">𝑗</ci><cn id="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.3.3.3.3.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.3.3.3.3.1.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.3.3.3.3.3.cmml" xref="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.3.3.3.3.3">𝑑</ci></apply></vector></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.3c">((\tilde{\mathbf{e}}_{j})_{j=1}^{d},(\tilde{\mathbf{f}}_{j})_{j=1}^{d},(\tilde% {\mathbf{g}}_{j})_{j=1}^{d})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmfact3.p1.2.2.m2.3d">( ( over~ start_ARG bold_e end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT , ( over~ start_ARG bold_f end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT , ( over~ start_ARG bold_g end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> are two MUB-triplets in <math alttext="\mathbb{C}^{d}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmfact3.p1.3.3.m3.1"><semantics id="S3.Thmfact3.p1.3.3.m3.1a"><msup id="S3.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1" xref="S3.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.2" xref="S3.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml">ℂ</mi><mi id="S3.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.3" xref="S3.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.3.cmml">d</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmfact3.p1.3.3.m3.1b"><apply id="S3.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.2">ℂ</ci><ci id="S3.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.Thmfact3.p1.3.3.m3.1.1.3">𝑑</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmfact3.p1.3.3.m3.1c">\mathbb{C}^{d}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmfact3.p1.3.3.m3.1d">blackboard_C start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. They give rise to the same Hadamard cube, i.e.</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex3"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\langle\mathbf{e}_{j},\mathbf{f}_{k}\rangle\langle\mathbf{f}_{k},\mathbf{g}_{l% }\rangle\langle\mathbf{g}_{l},\mathbf{e}_{j}\rangle=\langle\tilde{\mathbf{e}}_% {j},\tilde{\mathbf{f}}_{k}\rangle\langle\tilde{\mathbf{f}}_{k},\tilde{\mathbf{% g}}_{l}\rangle\langle\tilde{\mathbf{g}}_{l},\tilde{\mathbf{e}}_{j}\rangle" class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex3.m1.12"><semantics id="S3.Ex3.m1.12a"><mrow id="S3.Ex3.m1.12.12" xref="S3.Ex3.m1.12.12.cmml"><mrow id="S3.Ex3.m1.6.6.6" xref="S3.Ex3.m1.6.6.6.cmml"><mrow id="S3.Ex3.m1.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex3.m1.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S3.Ex3.m1.2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex3.m1.2.2.2.2.3.cmml">⟨</mo><msub id="S3.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝐞</mi><mi id="S3.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.Ex3.m1.2.2.2.2.2.4" xref="S3.Ex3.m1.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex3.m1.2.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex3.m1.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex3.m1.2.2.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex3.m1.2.2.2.2.2.2.2.cmml">𝐟</mi><mi id="S3.Ex3.m1.2.2.2.2.2.2.3" xref="S3.Ex3.m1.2.2.2.2.2.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.Ex3.m1.2.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.Ex3.m1.2.2.2.2.3.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S3.Ex3.m1.6.6.6.7" xref="S3.Ex3.m1.6.6.6.7.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex3.m1.4.4.4.4.2" xref="S3.Ex3.m1.4.4.4.4.3.cmml"><mo id="S3.Ex3.m1.4.4.4.4.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex3.m1.4.4.4.4.3.cmml">⟨</mo><msub id="S3.Ex3.m1.3.3.3.3.1.1" xref="S3.Ex3.m1.3.3.3.3.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex3.m1.3.3.3.3.1.1.2" xref="S3.Ex3.m1.3.3.3.3.1.1.2.cmml">𝐟</mi><mi id="S3.Ex3.m1.3.3.3.3.1.1.3" xref="S3.Ex3.m1.3.3.3.3.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.Ex3.m1.4.4.4.4.2.4" xref="S3.Ex3.m1.4.4.4.4.3.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex3.m1.4.4.4.4.2.2" xref="S3.Ex3.m1.4.4.4.4.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex3.m1.4.4.4.4.2.2.2" xref="S3.Ex3.m1.4.4.4.4.2.2.2.cmml">𝐠</mi><mi id="S3.Ex3.m1.4.4.4.4.2.2.3" xref="S3.Ex3.m1.4.4.4.4.2.2.3.cmml">l</mi></msub><mo id="S3.Ex3.m1.4.4.4.4.2.5" stretchy="false" xref="S3.Ex3.m1.4.4.4.4.3.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S3.Ex3.m1.6.6.6.7a" xref="S3.Ex3.m1.6.6.6.7.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex3.m1.6.6.6.6.2" xref="S3.Ex3.m1.6.6.6.6.3.cmml"><mo id="S3.Ex3.m1.6.6.6.6.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex3.m1.6.6.6.6.3.cmml">⟨</mo><msub id="S3.Ex3.m1.5.5.5.5.1.1" xref="S3.Ex3.m1.5.5.5.5.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex3.m1.5.5.5.5.1.1.2" xref="S3.Ex3.m1.5.5.5.5.1.1.2.cmml">𝐠</mi><mi id="S3.Ex3.m1.5.5.5.5.1.1.3" xref="S3.Ex3.m1.5.5.5.5.1.1.3.cmml">l</mi></msub><mo id="S3.Ex3.m1.6.6.6.6.2.4" xref="S3.Ex3.m1.6.6.6.6.3.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex3.m1.6.6.6.6.2.2" xref="S3.Ex3.m1.6.6.6.6.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex3.m1.6.6.6.6.2.2.2" xref="S3.Ex3.m1.6.6.6.6.2.2.2.cmml">𝐞</mi><mi id="S3.Ex3.m1.6.6.6.6.2.2.3" xref="S3.Ex3.m1.6.6.6.6.2.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.Ex3.m1.6.6.6.6.2.5" stretchy="false" xref="S3.Ex3.m1.6.6.6.6.3.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex3.m1.12.12.13" xref="S3.Ex3.m1.12.12.13.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex3.m1.12.12.12" xref="S3.Ex3.m1.12.12.12.cmml"><mrow id="S3.Ex3.m1.8.8.8.2.2" xref="S3.Ex3.m1.8.8.8.2.3.cmml"><mo id="S3.Ex3.m1.8.8.8.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex3.m1.8.8.8.2.3.cmml">⟨</mo><msub id="S3.Ex3.m1.7.7.7.1.1.1" xref="S3.Ex3.m1.7.7.7.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex3.m1.7.7.7.1.1.1.2" xref="S3.Ex3.m1.7.7.7.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex3.m1.7.7.7.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex3.m1.7.7.7.1.1.1.2.2.cmml">𝐞</mi><mo id="S3.Ex3.m1.7.7.7.1.1.1.2.1" xref="S3.Ex3.m1.7.7.7.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.Ex3.m1.7.7.7.1.1.1.3" xref="S3.Ex3.m1.7.7.7.1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.Ex3.m1.8.8.8.2.2.4" xref="S3.Ex3.m1.8.8.8.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex3.m1.8.8.8.2.2.2" xref="S3.Ex3.m1.8.8.8.2.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex3.m1.8.8.8.2.2.2.2" xref="S3.Ex3.m1.8.8.8.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex3.m1.8.8.8.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex3.m1.8.8.8.2.2.2.2.2.cmml">𝐟</mi><mo id="S3.Ex3.m1.8.8.8.2.2.2.2.1" xref="S3.Ex3.m1.8.8.8.2.2.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.Ex3.m1.8.8.8.2.2.2.3" xref="S3.Ex3.m1.8.8.8.2.2.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.Ex3.m1.8.8.8.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.Ex3.m1.8.8.8.2.3.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S3.Ex3.m1.12.12.12.7" xref="S3.Ex3.m1.12.12.12.7.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex3.m1.10.10.10.4.2" xref="S3.Ex3.m1.10.10.10.4.3.cmml"><mo id="S3.Ex3.m1.10.10.10.4.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex3.m1.10.10.10.4.3.cmml">⟨</mo><msub id="S3.Ex3.m1.9.9.9.3.1.1" xref="S3.Ex3.m1.9.9.9.3.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex3.m1.9.9.9.3.1.1.2" xref="S3.Ex3.m1.9.9.9.3.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex3.m1.9.9.9.3.1.1.2.2" xref="S3.Ex3.m1.9.9.9.3.1.1.2.2.cmml">𝐟</mi><mo id="S3.Ex3.m1.9.9.9.3.1.1.2.1" xref="S3.Ex3.m1.9.9.9.3.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.Ex3.m1.9.9.9.3.1.1.3" xref="S3.Ex3.m1.9.9.9.3.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.Ex3.m1.10.10.10.4.2.4" xref="S3.Ex3.m1.10.10.10.4.3.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex3.m1.10.10.10.4.2.2" xref="S3.Ex3.m1.10.10.10.4.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex3.m1.10.10.10.4.2.2.2" xref="S3.Ex3.m1.10.10.10.4.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex3.m1.10.10.10.4.2.2.2.2" xref="S3.Ex3.m1.10.10.10.4.2.2.2.2.cmml">𝐠</mi><mo id="S3.Ex3.m1.10.10.10.4.2.2.2.1" xref="S3.Ex3.m1.10.10.10.4.2.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.Ex3.m1.10.10.10.4.2.2.3" xref="S3.Ex3.m1.10.10.10.4.2.2.3.cmml">l</mi></msub><mo id="S3.Ex3.m1.10.10.10.4.2.5" stretchy="false" xref="S3.Ex3.m1.10.10.10.4.3.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S3.Ex3.m1.12.12.12.7a" xref="S3.Ex3.m1.12.12.12.7.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex3.m1.12.12.12.6.2" xref="S3.Ex3.m1.12.12.12.6.3.cmml"><mo id="S3.Ex3.m1.12.12.12.6.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex3.m1.12.12.12.6.3.cmml">⟨</mo><msub id="S3.Ex3.m1.11.11.11.5.1.1" xref="S3.Ex3.m1.11.11.11.5.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex3.m1.11.11.11.5.1.1.2" xref="S3.Ex3.m1.11.11.11.5.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex3.m1.11.11.11.5.1.1.2.2" xref="S3.Ex3.m1.11.11.11.5.1.1.2.2.cmml">𝐠</mi><mo id="S3.Ex3.m1.11.11.11.5.1.1.2.1" xref="S3.Ex3.m1.11.11.11.5.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.Ex3.m1.11.11.11.5.1.1.3" xref="S3.Ex3.m1.11.11.11.5.1.1.3.cmml">l</mi></msub><mo id="S3.Ex3.m1.12.12.12.6.2.4" xref="S3.Ex3.m1.12.12.12.6.3.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex3.m1.12.12.12.6.2.2" xref="S3.Ex3.m1.12.12.12.6.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex3.m1.12.12.12.6.2.2.2" xref="S3.Ex3.m1.12.12.12.6.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex3.m1.12.12.12.6.2.2.2.2" xref="S3.Ex3.m1.12.12.12.6.2.2.2.2.cmml">𝐞</mi><mo id="S3.Ex3.m1.12.12.12.6.2.2.2.1" xref="S3.Ex3.m1.12.12.12.6.2.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.Ex3.m1.12.12.12.6.2.2.3" xref="S3.Ex3.m1.12.12.12.6.2.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.Ex3.m1.12.12.12.6.2.5" stretchy="false" xref="S3.Ex3.m1.12.12.12.6.3.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex3.m1.12b"><apply id="S3.Ex3.m1.12.12.cmml" xref="S3.Ex3.m1.12.12"><eq id="S3.Ex3.m1.12.12.13.cmml" xref="S3.Ex3.m1.12.12.13"></eq><apply id="S3.Ex3.m1.6.6.6.cmml" xref="S3.Ex3.m1.6.6.6"><times id="S3.Ex3.m1.6.6.6.7.cmml" xref="S3.Ex3.m1.6.6.6.7"></times><list id="S3.Ex3.m1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex3.m1.2.2.2.2.2"><apply id="S3.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.2">𝐞</ci><ci id="S3.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.Ex3.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex3.m1.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.2.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex3.m1.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.2.2.2.2.2.2.2">𝐟</ci><ci id="S3.Ex3.m1.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex3.m1.2.2.2.2.2.2.3">𝑘</ci></apply></list><list id="S3.Ex3.m1.4.4.4.4.3.cmml" xref="S3.Ex3.m1.4.4.4.4.2"><apply id="S3.Ex3.m1.3.3.3.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.3.3.3.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex3.m1.3.3.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.3.3.3.3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex3.m1.3.3.3.3.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.3.3.3.3.1.1.2">𝐟</ci><ci id="S3.Ex3.m1.3.3.3.3.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex3.m1.3.3.3.3.1.1.3">𝑘</ci></apply><apply id="S3.Ex3.m1.4.4.4.4.2.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.4.4.4.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex3.m1.4.4.4.4.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.4.4.4.4.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex3.m1.4.4.4.4.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.4.4.4.4.2.2.2">𝐠</ci><ci id="S3.Ex3.m1.4.4.4.4.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex3.m1.4.4.4.4.2.2.3">𝑙</ci></apply></list><list id="S3.Ex3.m1.6.6.6.6.3.cmml" xref="S3.Ex3.m1.6.6.6.6.2"><apply id="S3.Ex3.m1.5.5.5.5.1.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.5.5.5.5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex3.m1.5.5.5.5.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.5.5.5.5.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex3.m1.5.5.5.5.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.5.5.5.5.1.1.2">𝐠</ci><ci id="S3.Ex3.m1.5.5.5.5.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex3.m1.5.5.5.5.1.1.3">𝑙</ci></apply><apply id="S3.Ex3.m1.6.6.6.6.2.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.6.6.6.6.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex3.m1.6.6.6.6.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.6.6.6.6.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex3.m1.6.6.6.6.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.6.6.6.6.2.2.2">𝐞</ci><ci id="S3.Ex3.m1.6.6.6.6.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex3.m1.6.6.6.6.2.2.3">𝑗</ci></apply></list></apply><apply id="S3.Ex3.m1.12.12.12.cmml" xref="S3.Ex3.m1.12.12.12"><times id="S3.Ex3.m1.12.12.12.7.cmml" xref="S3.Ex3.m1.12.12.12.7"></times><list id="S3.Ex3.m1.8.8.8.2.3.cmml" xref="S3.Ex3.m1.8.8.8.2.2"><apply id="S3.Ex3.m1.7.7.7.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.7.7.7.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex3.m1.7.7.7.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.7.7.7.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex3.m1.7.7.7.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.7.7.7.1.1.1.2"><ci id="S3.Ex3.m1.7.7.7.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.7.7.7.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="S3.Ex3.m1.7.7.7.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.7.7.7.1.1.1.2.2">𝐞</ci></apply><ci id="S3.Ex3.m1.7.7.7.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex3.m1.7.7.7.1.1.1.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.Ex3.m1.8.8.8.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.8.8.8.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex3.m1.8.8.8.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.8.8.8.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex3.m1.8.8.8.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.8.8.8.2.2.2.2"><ci id="S3.Ex3.m1.8.8.8.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.8.8.8.2.2.2.2.1">~</ci><ci id="S3.Ex3.m1.8.8.8.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.8.8.8.2.2.2.2.2">𝐟</ci></apply><ci id="S3.Ex3.m1.8.8.8.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex3.m1.8.8.8.2.2.2.3">𝑘</ci></apply></list><list id="S3.Ex3.m1.10.10.10.4.3.cmml" xref="S3.Ex3.m1.10.10.10.4.2"><apply id="S3.Ex3.m1.9.9.9.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.9.9.9.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex3.m1.9.9.9.3.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.9.9.9.3.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex3.m1.9.9.9.3.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.9.9.9.3.1.1.2"><ci id="S3.Ex3.m1.9.9.9.3.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.9.9.9.3.1.1.2.1">~</ci><ci id="S3.Ex3.m1.9.9.9.3.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.9.9.9.3.1.1.2.2">𝐟</ci></apply><ci id="S3.Ex3.m1.9.9.9.3.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex3.m1.9.9.9.3.1.1.3">𝑘</ci></apply><apply id="S3.Ex3.m1.10.10.10.4.2.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.10.10.10.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex3.m1.10.10.10.4.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.10.10.10.4.2.2">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex3.m1.10.10.10.4.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.10.10.10.4.2.2.2"><ci id="S3.Ex3.m1.10.10.10.4.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.10.10.10.4.2.2.2.1">~</ci><ci id="S3.Ex3.m1.10.10.10.4.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.10.10.10.4.2.2.2.2">𝐠</ci></apply><ci id="S3.Ex3.m1.10.10.10.4.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex3.m1.10.10.10.4.2.2.3">𝑙</ci></apply></list><list id="S3.Ex3.m1.12.12.12.6.3.cmml" xref="S3.Ex3.m1.12.12.12.6.2"><apply id="S3.Ex3.m1.11.11.11.5.1.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.11.11.11.5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex3.m1.11.11.11.5.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.11.11.11.5.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex3.m1.11.11.11.5.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.11.11.11.5.1.1.2"><ci id="S3.Ex3.m1.11.11.11.5.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.11.11.11.5.1.1.2.1">~</ci><ci id="S3.Ex3.m1.11.11.11.5.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.11.11.11.5.1.1.2.2">𝐠</ci></apply><ci id="S3.Ex3.m1.11.11.11.5.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex3.m1.11.11.11.5.1.1.3">𝑙</ci></apply><apply id="S3.Ex3.m1.12.12.12.6.2.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.12.12.12.6.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex3.m1.12.12.12.6.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.12.12.12.6.2.2">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex3.m1.12.12.12.6.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.12.12.12.6.2.2.2"><ci id="S3.Ex3.m1.12.12.12.6.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.12.12.12.6.2.2.2.1">~</ci><ci id="S3.Ex3.m1.12.12.12.6.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.12.12.12.6.2.2.2.2">𝐞</ci></apply><ci id="S3.Ex3.m1.12.12.12.6.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex3.m1.12.12.12.6.2.2.3">𝑗</ci></apply></list></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex3.m1.12c">\langle\mathbf{e}_{j},\mathbf{f}_{k}\rangle\langle\mathbf{f}_{k},\mathbf{g}_{l% }\rangle\langle\mathbf{g}_{l},\mathbf{e}_{j}\rangle=\langle\tilde{\mathbf{e}}_% {j},\tilde{\mathbf{f}}_{k}\rangle\langle\tilde{\mathbf{f}}_{k},\tilde{\mathbf{% g}}_{l}\rangle\langle\tilde{\mathbf{g}}_{l},\tilde{\mathbf{e}}_{j}\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex3.m1.12d">⟨ bold_e start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT , bold_f start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ⟩ ⟨ bold_f start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT , bold_g start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT ⟩ ⟨ bold_g start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT , bold_e start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ⟩ = ⟨ over~ start_ARG bold_e end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT , over~ start_ARG bold_f end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ⟩ ⟨ over~ start_ARG bold_f end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT , over~ start_ARG bold_g end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT ⟩ ⟨ over~ start_ARG bold_g end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT , over~ start_ARG bold_e end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ⟩</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.Thmfact3.p1.4"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.Thmfact3.p1.4.1">for all <math alttext="j,k,l\in[n]" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmfact3.p1.4.1.m1.4"><semantics id="S3.Thmfact3.p1.4.1.m1.4a"><mrow id="S3.Thmfact3.p1.4.1.m1.4.5" xref="S3.Thmfact3.p1.4.1.m1.4.5.cmml"><mrow id="S3.Thmfact3.p1.4.1.m1.4.5.2.2" xref="S3.Thmfact3.p1.4.1.m1.4.5.2.1.cmml"><mi id="S3.Thmfact3.p1.4.1.m1.2.2" xref="S3.Thmfact3.p1.4.1.m1.2.2.cmml">j</mi><mo id="S3.Thmfact3.p1.4.1.m1.4.5.2.2.1" xref="S3.Thmfact3.p1.4.1.m1.4.5.2.1.cmml">,</mo><mi id="S3.Thmfact3.p1.4.1.m1.3.3" xref="S3.Thmfact3.p1.4.1.m1.3.3.cmml">k</mi><mo id="S3.Thmfact3.p1.4.1.m1.4.5.2.2.2" xref="S3.Thmfact3.p1.4.1.m1.4.5.2.1.cmml">,</mo><mi id="S3.Thmfact3.p1.4.1.m1.4.4" xref="S3.Thmfact3.p1.4.1.m1.4.4.cmml">l</mi></mrow><mo id="S3.Thmfact3.p1.4.1.m1.4.5.1" xref="S3.Thmfact3.p1.4.1.m1.4.5.1.cmml">∈</mo><mrow id="S3.Thmfact3.p1.4.1.m1.4.5.3.2" xref="S3.Thmfact3.p1.4.1.m1.4.5.3.1.cmml"><mo id="S3.Thmfact3.p1.4.1.m1.4.5.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Thmfact3.p1.4.1.m1.4.5.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S3.Thmfact3.p1.4.1.m1.1.1" xref="S3.Thmfact3.p1.4.1.m1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.Thmfact3.p1.4.1.m1.4.5.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.Thmfact3.p1.4.1.m1.4.5.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmfact3.p1.4.1.m1.4b"><apply id="S3.Thmfact3.p1.4.1.m1.4.5.cmml" xref="S3.Thmfact3.p1.4.1.m1.4.5"><in id="S3.Thmfact3.p1.4.1.m1.4.5.1.cmml" xref="S3.Thmfact3.p1.4.1.m1.4.5.1"></in><list id="S3.Thmfact3.p1.4.1.m1.4.5.2.1.cmml" xref="S3.Thmfact3.p1.4.1.m1.4.5.2.2"><ci id="S3.Thmfact3.p1.4.1.m1.2.2.cmml" xref="S3.Thmfact3.p1.4.1.m1.2.2">𝑗</ci><ci id="S3.Thmfact3.p1.4.1.m1.3.3.cmml" xref="S3.Thmfact3.p1.4.1.m1.3.3">𝑘</ci><ci id="S3.Thmfact3.p1.4.1.m1.4.4.cmml" xref="S3.Thmfact3.p1.4.1.m1.4.4">𝑙</ci></list><apply id="S3.Thmfact3.p1.4.1.m1.4.5.3.1.cmml" xref="S3.Thmfact3.p1.4.1.m1.4.5.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.Thmfact3.p1.4.1.m1.4.5.3.1.1.cmml" xref="S3.Thmfact3.p1.4.1.m1.4.5.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S3.Thmfact3.p1.4.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.Thmfact3.p1.4.1.m1.1.1">𝑛</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmfact3.p1.4.1.m1.4c">j,k,l\in[n]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmfact3.p1.4.1.m1.4d">italic_j , italic_k , italic_l ∈ [ italic_n ]</annotation></semantics></math>, if and only if the MUB-triplets are directly unitary equivalent in the sense of Definiton <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#S1.Thmfact1" title="Definition 1.1. ‣ 1. Introduction ‣ Triplets of Mutually Unbiased Bases"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1.1</span></a>.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="S3.6"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="S3.3.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.3.p1.1">One direction is trivial: if the MUB-triplets are directly unitary equivalent, they give rise to the same Hadamard cube.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.4.p2"> <p class="ltx_p" id="S3.4.p2.3">For the other direction, assume that the cubes <math alttext="C" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.4.p2.1.m1.1"><semantics id="S3.4.p2.1.m1.1a"><mi id="S3.4.p2.1.m1.1.1" xref="S3.4.p2.1.m1.1.1.cmml">C</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.4.p2.1.m1.1b"><ci id="S3.4.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.4.p2.1.m1.1.1">𝐶</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.4.p2.1.m1.1c">C</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.4.p2.1.m1.1d">italic_C</annotation></semantics></math> and <math alttext="\tilde{C}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.4.p2.2.m2.1"><semantics id="S3.4.p2.2.m2.1a"><mover accent="true" id="S3.4.p2.2.m2.1.1" xref="S3.4.p2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.4.p2.2.m2.1.1.2" xref="S3.4.p2.2.m2.1.1.2.cmml">C</mi><mo id="S3.4.p2.2.m2.1.1.1" xref="S3.4.p2.2.m2.1.1.1.cmml">~</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.4.p2.2.m2.1b"><apply id="S3.4.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.4.p2.2.m2.1.1"><ci id="S3.4.p2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.4.p2.2.m2.1.1.1">~</ci><ci id="S3.4.p2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.4.p2.2.m2.1.1.2">𝐶</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.4.p2.2.m2.1c">\tilde{C}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.4.p2.2.m2.1d">over~ start_ARG italic_C end_ARG</annotation></semantics></math> determined by the MUB-triplets in question are the same. By fixing <math alttext="l=1" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.4.p2.3.m3.1"><semantics id="S3.4.p2.3.m3.1a"><mrow id="S3.4.p2.3.m3.1.1" xref="S3.4.p2.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.4.p2.3.m3.1.1.2" xref="S3.4.p2.3.m3.1.1.2.cmml">l</mi><mo id="S3.4.p2.3.m3.1.1.1" xref="S3.4.p2.3.m3.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S3.4.p2.3.m3.1.1.3" xref="S3.4.p2.3.m3.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.4.p2.3.m3.1b"><apply id="S3.4.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.4.p2.3.m3.1.1"><eq id="S3.4.p2.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.4.p2.3.m3.1.1.1"></eq><ci id="S3.4.p2.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.4.p2.3.m3.1.1.2">𝑙</ci><cn id="S3.4.p2.3.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.4.p2.3.m3.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.4.p2.3.m3.1c">l=1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.4.p2.3.m3.1d">italic_l = 1</annotation></semantics></math>, we obtain</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex4"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\langle\mathbf{e}_{j},\mathbf{f}_{k}\rangle\langle\mathbf{f}_{k},\mathbf{g}_{1% }\rangle\langle\mathbf{g}_{1},\mathbf{e}_{j}\rangle=\langle\tilde{\mathbf{e}}_% {j},\tilde{\mathbf{f}}_{k}\rangle\langle\tilde{\mathbf{f}}_{k},\tilde{\mathbf{% g}}_{1}\rangle\langle\tilde{\mathbf{g}}_{1},\tilde{\mathbf{e}}_{j}\rangle\ \ % \ \ \ \forall j,k\in[d]," class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex4.m1.2"><semantics id="S3.Ex4.m1.2a"><mrow id="S3.Ex4.m1.2.2.1"><mrow id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.2" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.6" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.6.cmml"><mrow id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.3.cmml">⟨</mo><msub id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝐞</mi><mi id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.4" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">𝐟</mi><mi id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.3.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.6.7" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.6.7.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.4.4.2" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.4.4.3.cmml"><mo id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.4.4.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.4.4.3.cmml">⟨</mo><msub id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.1.1" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.1.1.2" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.1.1.2.cmml">𝐟</mi><mi id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.1.1.3" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.4.4.2.4" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.4.4.3.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.4.4.2.2" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.4.4.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.4.4.2.2.2" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.4.4.2.2.2.cmml">𝐠</mi><mn id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.4.4.2.2.3" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.4.4.2.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.4.4.2.5" stretchy="false" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.4.4.3.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.6.7a" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.6.7.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.6.6.2" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.6.6.3.cmml"><mo id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.6.6.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.6.6.3.cmml">⟨</mo><msub id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.5.5.1.1" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.5.5.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.5.5.1.1.2" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.5.5.1.1.2.cmml">𝐠</mi><mn id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.5.5.1.1.3" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.5.5.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.6.6.2.4" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.6.6.3.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.6.6.2.2" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.6.6.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.6.6.2.2.2" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.6.6.2.2.2.cmml">𝐞</mi><mi id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.6.6.2.2.3" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.6.6.2.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.6.6.2.5" stretchy="false" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.6.6.3.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.9" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.9.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.8.2" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.8.3.cmml"><mrow id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.2.2" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.2.3.cmml"><mo id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.2.3.cmml">⟨</mo><msub id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝐞</mi><mo id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.2.2.4" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.2.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.2.2.2.2" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.2.2.2.2.2.cmml">𝐟</mi><mo id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.2.2.2.2.1" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.2.2.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.2.2.2.3" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.2.2.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.2.3.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.7" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.7.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.4.2" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.4.3.cmml"><mo id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.4.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.4.3.cmml">⟨</mo><msub id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.3.1.1" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.3.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.3.1.1.2" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.3.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.3.1.1.2.2" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.3.1.1.2.2.cmml">𝐟</mi><mo id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.3.1.1.2.1" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.3.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.3.1.1.3" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.3.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.4.2.4" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.4.3.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.4.2.2" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.4.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.4.2.2.2" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.4.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.4.2.2.2.2" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.4.2.2.2.2.cmml">𝐠</mi><mo id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.4.2.2.2.1" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.4.2.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mn id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.4.2.2.3" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.4.2.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.4.2.5" stretchy="false" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.4.3.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.7a" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.7.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.6.2" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.6.3.cmml"><mo id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.6.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.6.3.cmml">⟨</mo><msub id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.5.1.1" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.5.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.5.1.1.2" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.5.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.5.1.1.2.2" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.5.1.1.2.2.cmml">𝐠</mi><mo id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.5.1.1.2.1" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.5.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mn id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.5.1.1.3" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.5.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.6.2.4" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.6.3.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.6.2.2" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.6.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.6.2.2.2" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.6.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.6.2.2.2.2" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.6.2.2.2.2.cmml">𝐞</mi><mo id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.6.2.2.2.1" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.6.2.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.6.2.2.3" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.6.2.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.6.2.5" stretchy="false" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.6.3.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><mspace id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.8.2.3" width="2.667em" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.8.3.cmml"></mspace><mrow id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.8.2.2" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.8.2.2.cmml"><mo id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.8.2.2.1" rspace="0.167em" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.8.2.2.1.cmml">∀</mo><mi id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.8.2.2.2" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.8.2.2.2.cmml">j</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.2.3" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.2.2" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.2.2.2.cmml">k</mi><mo id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.2.2.1" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.2.2.1.cmml">∈</mo><mrow id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.2.2.3.2" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.2.2.3.1.cmml"><mo id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.2.2.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S3.Ex4.m1.1.1" xref="S3.Ex4.m1.1.1.cmml">d</mi><mo id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.2.2.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex4.m1.2.2.1.2">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex4.m1.2b"><apply id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.3a.cmml" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1"><eq id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.9.cmml" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.9"></eq><apply id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.6.cmml" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.6"><times id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.6.7.cmml" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.6.7"></times><list id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2"><apply id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝐞</ci><ci id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.2">𝐟</ci><ci id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.2.2.3">𝑘</ci></apply></list><list id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.4.4.3.cmml" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.4.4.2"><apply id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.1.1.2">𝐟</ci><ci id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.1.1.3">𝑘</ci></apply><apply id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.4.4.2.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.4.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.4.4.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.4.4.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.4.4.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.4.4.2.2.2">𝐠</ci><cn id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.4.4.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.4.4.2.2.3">1</cn></apply></list><list id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.6.6.3.cmml" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.6.6.2"><apply id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.5.5.1.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.5.5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.5.5.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.5.5.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.5.5.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.5.5.1.1.2">𝐠</ci><cn id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.5.5.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.5.5.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.6.6.2.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.6.6.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.6.6.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.6.6.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.6.6.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.6.6.2.2.2">𝐞</ci><ci id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.6.6.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.6.6.2.2.3">𝑗</ci></apply></list></apply><list id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.8.3.cmml" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.8.2"><apply id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1"><times id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.7.cmml" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.7"></times><list id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.2.2"><apply id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.1.1.1.2"><ci id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.1.1.1.2.2">𝐞</ci></apply><ci id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.1.1.1.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.2.2.2.2"><ci id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.2.2.2.2.1">~</ci><ci id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.2.2.2.2.2">𝐟</ci></apply><ci id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.2.2.2.3">𝑘</ci></apply></list><list id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.4.3.cmml" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.4.2"><apply id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.3.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.3.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.3.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.3.1.1.2"><ci id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.3.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.3.1.1.2.1">~</ci><ci id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.3.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.3.1.1.2.2">𝐟</ci></apply><ci id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.3.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.3.1.1.3">𝑘</ci></apply><apply id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.4.2.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.4.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.4.2.2">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.4.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.4.2.2.2"><ci id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.4.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.4.2.2.2.1">~</ci><ci id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.4.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.4.2.2.2.2">𝐠</ci></apply><cn id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.4.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.4.2.2.3">1</cn></apply></list><list id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.6.3.cmml" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.6.2"><apply id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.5.1.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.5.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.5.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.5.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.5.1.1.2"><ci id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.5.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.5.1.1.2.1">~</ci><ci id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.5.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.5.1.1.2.2">𝐠</ci></apply><cn id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.5.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.5.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.6.2.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.6.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.6.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.6.2.2">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.6.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.6.2.2.2"><ci id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.6.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.6.2.2.2.1">~</ci><ci id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.6.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.6.2.2.2.2">𝐞</ci></apply><ci id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.6.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.7.1.1.6.2.2.3">𝑗</ci></apply></list></apply><apply id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.8.2.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.8.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.8.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.8.2.2.1">for-all</csymbol><ci id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.8.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.1.1.8.2.2.2">𝑗</ci></apply></list></apply><apply id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.2.2"><in id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.2.2.1"></in><ci id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.2.2.2">𝑘</ci><apply id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.2.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.2.2.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.2.2.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S3.Ex4.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.1.1">𝑑</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex4.m1.2c">\langle\mathbf{e}_{j},\mathbf{f}_{k}\rangle\langle\mathbf{f}_{k},\mathbf{g}_{1% }\rangle\langle\mathbf{g}_{1},\mathbf{e}_{j}\rangle=\langle\tilde{\mathbf{e}}_% {j},\tilde{\mathbf{f}}_{k}\rangle\langle\tilde{\mathbf{f}}_{k},\tilde{\mathbf{% g}}_{1}\rangle\langle\tilde{\mathbf{g}}_{1},\tilde{\mathbf{e}}_{j}\rangle\ \ % \ \ \ \forall j,k\in[d],</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex4.m1.2d">⟨ bold_e start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT , bold_f start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ⟩ ⟨ bold_f start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT , bold_g start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ⟩ ⟨ bold_g start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , bold_e start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ⟩ = ⟨ over~ start_ARG bold_e end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT , over~ start_ARG bold_f end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ⟩ ⟨ over~ start_ARG bold_f end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT , over~ start_ARG bold_g end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ⟩ ⟨ over~ start_ARG bold_g end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , over~ start_ARG bold_e end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ⟩ ∀ italic_j , italic_k ∈ [ italic_d ] ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.4.p2.20">showing that <math alttext="D_{1}HD_{2}=\tilde{D}_{1}\tilde{H}\tilde{D}_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.4.p2.4.m1.1"><semantics id="S3.4.p2.4.m1.1a"><mrow id="S3.4.p2.4.m1.1.1" xref="S3.4.p2.4.m1.1.1.cmml"><mrow id="S3.4.p2.4.m1.1.1.2" xref="S3.4.p2.4.m1.1.1.2.cmml"><msub id="S3.4.p2.4.m1.1.1.2.2" xref="S3.4.p2.4.m1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.4.p2.4.m1.1.1.2.2.2" xref="S3.4.p2.4.m1.1.1.2.2.2.cmml">D</mi><mn id="S3.4.p2.4.m1.1.1.2.2.3" xref="S3.4.p2.4.m1.1.1.2.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.4.p2.4.m1.1.1.2.1" xref="S3.4.p2.4.m1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.4.p2.4.m1.1.1.2.3" xref="S3.4.p2.4.m1.1.1.2.3.cmml">H</mi><mo id="S3.4.p2.4.m1.1.1.2.1a" xref="S3.4.p2.4.m1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.4.p2.4.m1.1.1.2.4" xref="S3.4.p2.4.m1.1.1.2.4.cmml"><mi id="S3.4.p2.4.m1.1.1.2.4.2" xref="S3.4.p2.4.m1.1.1.2.4.2.cmml">D</mi><mn id="S3.4.p2.4.m1.1.1.2.4.3" xref="S3.4.p2.4.m1.1.1.2.4.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="S3.4.p2.4.m1.1.1.1" xref="S3.4.p2.4.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.4.p2.4.m1.1.1.3" xref="S3.4.p2.4.m1.1.1.3.cmml"><msub id="S3.4.p2.4.m1.1.1.3.2" xref="S3.4.p2.4.m1.1.1.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.4.p2.4.m1.1.1.3.2.2" xref="S3.4.p2.4.m1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S3.4.p2.4.m1.1.1.3.2.2.2" xref="S3.4.p2.4.m1.1.1.3.2.2.2.cmml">D</mi><mo id="S3.4.p2.4.m1.1.1.3.2.2.1" xref="S3.4.p2.4.m1.1.1.3.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mn id="S3.4.p2.4.m1.1.1.3.2.3" xref="S3.4.p2.4.m1.1.1.3.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.4.p2.4.m1.1.1.3.1" xref="S3.4.p2.4.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S3.4.p2.4.m1.1.1.3.3" xref="S3.4.p2.4.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.4.p2.4.m1.1.1.3.3.2" xref="S3.4.p2.4.m1.1.1.3.3.2.cmml">H</mi><mo id="S3.4.p2.4.m1.1.1.3.3.1" xref="S3.4.p2.4.m1.1.1.3.3.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S3.4.p2.4.m1.1.1.3.1a" xref="S3.4.p2.4.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.4.p2.4.m1.1.1.3.4" xref="S3.4.p2.4.m1.1.1.3.4.cmml"><mover accent="true" id="S3.4.p2.4.m1.1.1.3.4.2" xref="S3.4.p2.4.m1.1.1.3.4.2.cmml"><mi id="S3.4.p2.4.m1.1.1.3.4.2.2" xref="S3.4.p2.4.m1.1.1.3.4.2.2.cmml">D</mi><mo id="S3.4.p2.4.m1.1.1.3.4.2.1" xref="S3.4.p2.4.m1.1.1.3.4.2.1.cmml">~</mo></mover><mn id="S3.4.p2.4.m1.1.1.3.4.3" xref="S3.4.p2.4.m1.1.1.3.4.3.cmml">2</mn></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.4.p2.4.m1.1b"><apply id="S3.4.p2.4.m1.1.1.cmml" xref="S3.4.p2.4.m1.1.1"><eq id="S3.4.p2.4.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.4.p2.4.m1.1.1.1"></eq><apply id="S3.4.p2.4.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.4.p2.4.m1.1.1.2"><times id="S3.4.p2.4.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.4.p2.4.m1.1.1.2.1"></times><apply id="S3.4.p2.4.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.4.p2.4.m1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.4.p2.4.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.4.p2.4.m1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.4.p2.4.m1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.4.p2.4.m1.1.1.2.2.2">𝐷</ci><cn id="S3.4.p2.4.m1.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.4.p2.4.m1.1.1.2.2.3">1</cn></apply><ci id="S3.4.p2.4.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.4.p2.4.m1.1.1.2.3">𝐻</ci><apply id="S3.4.p2.4.m1.1.1.2.4.cmml" xref="S3.4.p2.4.m1.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.4.p2.4.m1.1.1.2.4.1.cmml" xref="S3.4.p2.4.m1.1.1.2.4">subscript</csymbol><ci id="S3.4.p2.4.m1.1.1.2.4.2.cmml" xref="S3.4.p2.4.m1.1.1.2.4.2">𝐷</ci><cn id="S3.4.p2.4.m1.1.1.2.4.3.cmml" type="integer" xref="S3.4.p2.4.m1.1.1.2.4.3">2</cn></apply></apply><apply id="S3.4.p2.4.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.4.p2.4.m1.1.1.3"><times id="S3.4.p2.4.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.4.p2.4.m1.1.1.3.1"></times><apply id="S3.4.p2.4.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.4.p2.4.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.4.p2.4.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.4.p2.4.m1.1.1.3.2">subscript</csymbol><apply id="S3.4.p2.4.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.4.p2.4.m1.1.1.3.2.2"><ci id="S3.4.p2.4.m1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S3.4.p2.4.m1.1.1.3.2.2.1">~</ci><ci id="S3.4.p2.4.m1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S3.4.p2.4.m1.1.1.3.2.2.2">𝐷</ci></apply><cn id="S3.4.p2.4.m1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.4.p2.4.m1.1.1.3.2.3">1</cn></apply><apply id="S3.4.p2.4.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.4.p2.4.m1.1.1.3.3"><ci id="S3.4.p2.4.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.4.p2.4.m1.1.1.3.3.1">~</ci><ci id="S3.4.p2.4.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.4.p2.4.m1.1.1.3.3.2">𝐻</ci></apply><apply id="S3.4.p2.4.m1.1.1.3.4.cmml" xref="S3.4.p2.4.m1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.4.p2.4.m1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S3.4.p2.4.m1.1.1.3.4">subscript</csymbol><apply id="S3.4.p2.4.m1.1.1.3.4.2.cmml" xref="S3.4.p2.4.m1.1.1.3.4.2"><ci id="S3.4.p2.4.m1.1.1.3.4.2.1.cmml" xref="S3.4.p2.4.m1.1.1.3.4.2.1">~</ci><ci id="S3.4.p2.4.m1.1.1.3.4.2.2.cmml" xref="S3.4.p2.4.m1.1.1.3.4.2.2">𝐷</ci></apply><cn id="S3.4.p2.4.m1.1.1.3.4.3.cmml" type="integer" xref="S3.4.p2.4.m1.1.1.3.4.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.4.p2.4.m1.1c">D_{1}HD_{2}=\tilde{D}_{1}\tilde{H}\tilde{D}_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.4.p2.4.m1.1d">italic_D start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_H italic_D start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT = over~ start_ARG italic_D end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT over~ start_ARG italic_H end_ARG over~ start_ARG italic_D end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> where <math alttext="H,\tilde{H}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.4.p2.5.m2.2"><semantics id="S3.4.p2.5.m2.2a"><mrow id="S3.4.p2.5.m2.2.3.2" xref="S3.4.p2.5.m2.2.3.1.cmml"><mi id="S3.4.p2.5.m2.1.1" xref="S3.4.p2.5.m2.1.1.cmml">H</mi><mo id="S3.4.p2.5.m2.2.3.2.1" xref="S3.4.p2.5.m2.2.3.1.cmml">,</mo><mover accent="true" id="S3.4.p2.5.m2.2.2" xref="S3.4.p2.5.m2.2.2.cmml"><mi id="S3.4.p2.5.m2.2.2.2" xref="S3.4.p2.5.m2.2.2.2.cmml">H</mi><mo id="S3.4.p2.5.m2.2.2.1" xref="S3.4.p2.5.m2.2.2.1.cmml">~</mo></mover></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.4.p2.5.m2.2b"><list id="S3.4.p2.5.m2.2.3.1.cmml" xref="S3.4.p2.5.m2.2.3.2"><ci id="S3.4.p2.5.m2.1.1.cmml" xref="S3.4.p2.5.m2.1.1">𝐻</ci><apply id="S3.4.p2.5.m2.2.2.cmml" xref="S3.4.p2.5.m2.2.2"><ci id="S3.4.p2.5.m2.2.2.1.cmml" xref="S3.4.p2.5.m2.2.2.1">~</ci><ci id="S3.4.p2.5.m2.2.2.2.cmml" xref="S3.4.p2.5.m2.2.2.2">𝐻</ci></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.4.p2.5.m2.2c">H,\tilde{H}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.4.p2.5.m2.2d">italic_H , over~ start_ARG italic_H end_ARG</annotation></semantics></math> are the Hadamard matrices associated to the pairs <math alttext="((\mathbf{e}_{j})_{j=1}^{d},(\mathbf{f}_{j})_{j=1}^{d}" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S3.4.p2.6.m3.1"><semantics id="S3.4.p2.6.m3.1a"><mrow id="S3.4.p2.6.m3.1b"><mo id="S3.4.p2.6.m3.1.1" stretchy="false">(</mo><msubsup id="S3.4.p2.6.m3.1.2"><mrow id="S3.4.p2.6.m3.1.2.2.2"><mo id="S3.4.p2.6.m3.1.2.2.2.1" stretchy="false">(</mo><msub id="S3.4.p2.6.m3.1.2.2.2.2"><mi id="S3.4.p2.6.m3.1.2.2.2.2.2">𝐞</mi><mi id="S3.4.p2.6.m3.1.2.2.2.2.3">j</mi></msub><mo id="S3.4.p2.6.m3.1.2.2.2.3" stretchy="false">)</mo></mrow><mrow id="S3.4.p2.6.m3.1.2.2.3"><mi id="S3.4.p2.6.m3.1.2.2.3.2">j</mi><mo id="S3.4.p2.6.m3.1.2.2.3.1">=</mo><mn id="S3.4.p2.6.m3.1.2.2.3.3">1</mn></mrow><mi id="S3.4.p2.6.m3.1.2.3">d</mi></msubsup><mo id="S3.4.p2.6.m3.1.3">,</mo><msubsup id="S3.4.p2.6.m3.1.4"><mrow id="S3.4.p2.6.m3.1.4.2.2"><mo id="S3.4.p2.6.m3.1.4.2.2.1" stretchy="false">(</mo><msub id="S3.4.p2.6.m3.1.4.2.2.2"><mi id="S3.4.p2.6.m3.1.4.2.2.2.2">𝐟</mi><mi id="S3.4.p2.6.m3.1.4.2.2.2.3">j</mi></msub><mo id="S3.4.p2.6.m3.1.4.2.2.3" stretchy="false">)</mo></mrow><mrow id="S3.4.p2.6.m3.1.4.2.3"><mi id="S3.4.p2.6.m3.1.4.2.3.2">j</mi><mo id="S3.4.p2.6.m3.1.4.2.3.1">=</mo><mn id="S3.4.p2.6.m3.1.4.2.3.3">1</mn></mrow><mi id="S3.4.p2.6.m3.1.4.3">d</mi></msubsup></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.4.p2.6.m3.1c">((\mathbf{e}_{j})_{j=1}^{d},(\mathbf{f}_{j})_{j=1}^{d}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.4.p2.6.m3.1d">( ( bold_e start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT , ( bold_f start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="((\tilde{\mathbf{e}}_{j})_{j=1}^{d},(\tilde{\mathbf{f}}_{j})_{j=1})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.4.p2.7.m4.2"><semantics id="S3.4.p2.7.m4.2a"><mrow id="S3.4.p2.7.m4.2.2.2" xref="S3.4.p2.7.m4.2.2.3.cmml"><mo id="S3.4.p2.7.m4.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.4.p2.7.m4.2.2.3.cmml">(</mo><msubsup id="S3.4.p2.7.m4.1.1.1.1" xref="S3.4.p2.7.m4.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.4.p2.7.m4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.4.p2.7.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.4.p2.7.m4.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.4.p2.7.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.4.p2.7.m4.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.4.p2.7.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.4.p2.7.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.4.p2.7.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.4.p2.7.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.4.p2.7.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝐞</mi><mo id="S3.4.p2.7.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.4.p2.7.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.4.p2.7.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.4.p2.7.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.4.p2.7.m4.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.4.p2.7.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S3.4.p2.7.m4.1.1.1.1.1.3" xref="S3.4.p2.7.m4.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.4.p2.7.m4.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.4.p2.7.m4.1.1.1.1.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.4.p2.7.m4.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.4.p2.7.m4.1.1.1.1.1.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.4.p2.7.m4.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.4.p2.7.m4.1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S3.4.p2.7.m4.1.1.1.1.3" xref="S3.4.p2.7.m4.1.1.1.1.3.cmml">d</mi></msubsup><mo id="S3.4.p2.7.m4.2.2.2.4" xref="S3.4.p2.7.m4.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.4.p2.7.m4.2.2.2.2" xref="S3.4.p2.7.m4.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S3.4.p2.7.m4.2.2.2.2.1.1" xref="S3.4.p2.7.m4.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.4.p2.7.m4.2.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.4.p2.7.m4.2.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.4.p2.7.m4.2.2.2.2.1.1.1" xref="S3.4.p2.7.m4.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.4.p2.7.m4.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="S3.4.p2.7.m4.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.4.p2.7.m4.2.2.2.2.1.1.1.2.2" xref="S3.4.p2.7.m4.2.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml">𝐟</mi><mo id="S3.4.p2.7.m4.2.2.2.2.1.1.1.2.1" xref="S3.4.p2.7.m4.2.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.4.p2.7.m4.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="S3.4.p2.7.m4.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.4.p2.7.m4.2.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.4.p2.7.m4.2.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S3.4.p2.7.m4.2.2.2.2.3" xref="S3.4.p2.7.m4.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.4.p2.7.m4.2.2.2.2.3.2" xref="S3.4.p2.7.m4.2.2.2.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.4.p2.7.m4.2.2.2.2.3.1" xref="S3.4.p2.7.m4.2.2.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.4.p2.7.m4.2.2.2.2.3.3" xref="S3.4.p2.7.m4.2.2.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S3.4.p2.7.m4.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.4.p2.7.m4.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.4.p2.7.m4.2b"><interval closure="open" id="S3.4.p2.7.m4.2.2.3.cmml" xref="S3.4.p2.7.m4.2.2.2"><apply id="S3.4.p2.7.m4.1.1.1.1.cmml" xref="S3.4.p2.7.m4.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.4.p2.7.m4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.4.p2.7.m4.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.4.p2.7.m4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.4.p2.7.m4.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.4.p2.7.m4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.4.p2.7.m4.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.4.p2.7.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.4.p2.7.m4.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.4.p2.7.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.4.p2.7.m4.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.4.p2.7.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.4.p2.7.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><ci id="S3.4.p2.7.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.4.p2.7.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="S3.4.p2.7.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.4.p2.7.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝐞</ci></apply><ci id="S3.4.p2.7.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.4.p2.7.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.4.p2.7.m4.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.4.p2.7.m4.1.1.1.1.1.3"><eq id="S3.4.p2.7.m4.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.4.p2.7.m4.1.1.1.1.1.3.1"></eq><ci id="S3.4.p2.7.m4.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.4.p2.7.m4.1.1.1.1.1.3.2">𝑗</ci><cn id="S3.4.p2.7.m4.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.4.p2.7.m4.1.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S3.4.p2.7.m4.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.4.p2.7.m4.1.1.1.1.3">𝑑</ci></apply><apply id="S3.4.p2.7.m4.2.2.2.2.cmml" xref="S3.4.p2.7.m4.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.4.p2.7.m4.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.4.p2.7.m4.2.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S3.4.p2.7.m4.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.4.p2.7.m4.2.2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.4.p2.7.m4.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.4.p2.7.m4.2.2.2.2.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.4.p2.7.m4.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.4.p2.7.m4.2.2.2.2.1.1.1.2"><ci id="S3.4.p2.7.m4.2.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.4.p2.7.m4.2.2.2.2.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="S3.4.p2.7.m4.2.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.4.p2.7.m4.2.2.2.2.1.1.1.2.2">𝐟</ci></apply><ci id="S3.4.p2.7.m4.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.4.p2.7.m4.2.2.2.2.1.1.1.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.4.p2.7.m4.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.4.p2.7.m4.2.2.2.2.3"><eq id="S3.4.p2.7.m4.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.4.p2.7.m4.2.2.2.2.3.1"></eq><ci id="S3.4.p2.7.m4.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.4.p2.7.m4.2.2.2.2.3.2">𝑗</ci><cn id="S3.4.p2.7.m4.2.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.4.p2.7.m4.2.2.2.2.3.3">1</cn></apply></apply></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.4.p2.7.m4.2c">((\tilde{\mathbf{e}}_{j})_{j=1}^{d},(\tilde{\mathbf{f}}_{j})_{j=1})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.4.p2.7.m4.2d">( ( over~ start_ARG bold_e end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT , ( over~ start_ARG bold_f end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> respectively, and <math alttext="D_{1},D_{2},\tilde{D}_{1},\tilde{D}_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.4.p2.8.m5.4"><semantics id="S3.4.p2.8.m5.4a"><mrow id="S3.4.p2.8.m5.4.4.4" xref="S3.4.p2.8.m5.4.4.5.cmml"><msub id="S3.4.p2.8.m5.1.1.1.1" xref="S3.4.p2.8.m5.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.4.p2.8.m5.1.1.1.1.2" xref="S3.4.p2.8.m5.1.1.1.1.2.cmml">D</mi><mn id="S3.4.p2.8.m5.1.1.1.1.3" xref="S3.4.p2.8.m5.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.4.p2.8.m5.4.4.4.5" xref="S3.4.p2.8.m5.4.4.5.cmml">,</mo><msub id="S3.4.p2.8.m5.2.2.2.2" xref="S3.4.p2.8.m5.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.4.p2.8.m5.2.2.2.2.2" xref="S3.4.p2.8.m5.2.2.2.2.2.cmml">D</mi><mn id="S3.4.p2.8.m5.2.2.2.2.3" xref="S3.4.p2.8.m5.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S3.4.p2.8.m5.4.4.4.6" xref="S3.4.p2.8.m5.4.4.5.cmml">,</mo><msub id="S3.4.p2.8.m5.3.3.3.3" xref="S3.4.p2.8.m5.3.3.3.3.cmml"><mover accent="true" id="S3.4.p2.8.m5.3.3.3.3.2" xref="S3.4.p2.8.m5.3.3.3.3.2.cmml"><mi id="S3.4.p2.8.m5.3.3.3.3.2.2" xref="S3.4.p2.8.m5.3.3.3.3.2.2.cmml">D</mi><mo id="S3.4.p2.8.m5.3.3.3.3.2.1" xref="S3.4.p2.8.m5.3.3.3.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mn id="S3.4.p2.8.m5.3.3.3.3.3" xref="S3.4.p2.8.m5.3.3.3.3.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.4.p2.8.m5.4.4.4.7" xref="S3.4.p2.8.m5.4.4.5.cmml">,</mo><msub id="S3.4.p2.8.m5.4.4.4.4" xref="S3.4.p2.8.m5.4.4.4.4.cmml"><mover accent="true" id="S3.4.p2.8.m5.4.4.4.4.2" xref="S3.4.p2.8.m5.4.4.4.4.2.cmml"><mi id="S3.4.p2.8.m5.4.4.4.4.2.2" xref="S3.4.p2.8.m5.4.4.4.4.2.2.cmml">D</mi><mo id="S3.4.p2.8.m5.4.4.4.4.2.1" xref="S3.4.p2.8.m5.4.4.4.4.2.1.cmml">~</mo></mover><mn id="S3.4.p2.8.m5.4.4.4.4.3" xref="S3.4.p2.8.m5.4.4.4.4.3.cmml">2</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.4.p2.8.m5.4b"><list id="S3.4.p2.8.m5.4.4.5.cmml" xref="S3.4.p2.8.m5.4.4.4"><apply id="S3.4.p2.8.m5.1.1.1.1.cmml" xref="S3.4.p2.8.m5.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.4.p2.8.m5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.4.p2.8.m5.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.4.p2.8.m5.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.4.p2.8.m5.1.1.1.1.2">𝐷</ci><cn id="S3.4.p2.8.m5.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.4.p2.8.m5.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S3.4.p2.8.m5.2.2.2.2.cmml" xref="S3.4.p2.8.m5.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.4.p2.8.m5.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.4.p2.8.m5.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.4.p2.8.m5.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.4.p2.8.m5.2.2.2.2.2">𝐷</ci><cn id="S3.4.p2.8.m5.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.4.p2.8.m5.2.2.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S3.4.p2.8.m5.3.3.3.3.cmml" xref="S3.4.p2.8.m5.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.4.p2.8.m5.3.3.3.3.1.cmml" xref="S3.4.p2.8.m5.3.3.3.3">subscript</csymbol><apply id="S3.4.p2.8.m5.3.3.3.3.2.cmml" xref="S3.4.p2.8.m5.3.3.3.3.2"><ci id="S3.4.p2.8.m5.3.3.3.3.2.1.cmml" xref="S3.4.p2.8.m5.3.3.3.3.2.1">~</ci><ci id="S3.4.p2.8.m5.3.3.3.3.2.2.cmml" xref="S3.4.p2.8.m5.3.3.3.3.2.2">𝐷</ci></apply><cn id="S3.4.p2.8.m5.3.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.4.p2.8.m5.3.3.3.3.3">1</cn></apply><apply id="S3.4.p2.8.m5.4.4.4.4.cmml" xref="S3.4.p2.8.m5.4.4.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.4.p2.8.m5.4.4.4.4.1.cmml" xref="S3.4.p2.8.m5.4.4.4.4">subscript</csymbol><apply id="S3.4.p2.8.m5.4.4.4.4.2.cmml" xref="S3.4.p2.8.m5.4.4.4.4.2"><ci id="S3.4.p2.8.m5.4.4.4.4.2.1.cmml" xref="S3.4.p2.8.m5.4.4.4.4.2.1">~</ci><ci id="S3.4.p2.8.m5.4.4.4.4.2.2.cmml" xref="S3.4.p2.8.m5.4.4.4.4.2.2">𝐷</ci></apply><cn id="S3.4.p2.8.m5.4.4.4.4.3.cmml" type="integer" xref="S3.4.p2.8.m5.4.4.4.4.3">2</cn></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.4.p2.8.m5.4c">D_{1},D_{2},\tilde{D}_{1},\tilde{D}_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.4.p2.8.m5.4d">italic_D start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_D start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT , over~ start_ARG italic_D end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , over~ start_ARG italic_D end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> are the diagonal matrices with diagonal entries <math alttext="(\langle\mathbf{g}_{1},\mathbf{e}_{j}\rangle)_{j=1}^{d}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.4.p2.9.m6.1"><semantics id="S3.4.p2.9.m6.1a"><msubsup id="S3.4.p2.9.m6.1.1" xref="S3.4.p2.9.m6.1.1.cmml"><mrow id="S3.4.p2.9.m6.1.1.1.1.1" xref="S3.4.p2.9.m6.1.1.cmml"><mo id="S3.4.p2.9.m6.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.4.p2.9.m6.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.4.p2.9.m6.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.4.p2.9.m6.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S3.4.p2.9.m6.1.1.1.1.1.1.2.3" stretchy="false" xref="S3.4.p2.9.m6.1.1.1.1.1.1.3.cmml">⟨</mo><msub id="S3.4.p2.9.m6.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.4.p2.9.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.4.p2.9.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.4.p2.9.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝐠</mi><mn id="S3.4.p2.9.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.4.p2.9.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.4.p2.9.m6.1.1.1.1.1.1.2.4" xref="S3.4.p2.9.m6.1.1.1.1.1.1.3.cmml">,</mo><msub id="S3.4.p2.9.m6.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.4.p2.9.m6.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.4.p2.9.m6.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.4.p2.9.m6.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">𝐞</mi><mi id="S3.4.p2.9.m6.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.4.p2.9.m6.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.4.p2.9.m6.1.1.1.1.1.1.2.5" stretchy="false" xref="S3.4.p2.9.m6.1.1.1.1.1.1.3.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S3.4.p2.9.m6.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.4.p2.9.m6.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S3.4.p2.9.m6.1.1.1.3" xref="S3.4.p2.9.m6.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.4.p2.9.m6.1.1.1.3.2" xref="S3.4.p2.9.m6.1.1.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.4.p2.9.m6.1.1.1.3.1" xref="S3.4.p2.9.m6.1.1.1.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.4.p2.9.m6.1.1.1.3.3" xref="S3.4.p2.9.m6.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S3.4.p2.9.m6.1.1.3" xref="S3.4.p2.9.m6.1.1.3.cmml">d</mi></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.4.p2.9.m6.1b"><apply id="S3.4.p2.9.m6.1.1.cmml" xref="S3.4.p2.9.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.4.p2.9.m6.1.1.2.cmml" xref="S3.4.p2.9.m6.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.4.p2.9.m6.1.1.1.cmml" xref="S3.4.p2.9.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.4.p2.9.m6.1.1.1.2.cmml" xref="S3.4.p2.9.m6.1.1">subscript</csymbol><list id="S3.4.p2.9.m6.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.4.p2.9.m6.1.1.1.1.1.1.2"><apply id="S3.4.p2.9.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.4.p2.9.m6.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.4.p2.9.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.4.p2.9.m6.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.4.p2.9.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.4.p2.9.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝐠</ci><cn id="S3.4.p2.9.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.4.p2.9.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S3.4.p2.9.m6.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.4.p2.9.m6.1.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.4.p2.9.m6.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.4.p2.9.m6.1.1.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.4.p2.9.m6.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.4.p2.9.m6.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝐞</ci><ci id="S3.4.p2.9.m6.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.4.p2.9.m6.1.1.1.1.1.1.2.2.3">𝑗</ci></apply></list><apply id="S3.4.p2.9.m6.1.1.1.3.cmml" xref="S3.4.p2.9.m6.1.1.1.3"><eq id="S3.4.p2.9.m6.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.4.p2.9.m6.1.1.1.3.1"></eq><ci id="S3.4.p2.9.m6.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.4.p2.9.m6.1.1.1.3.2">𝑗</ci><cn id="S3.4.p2.9.m6.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.4.p2.9.m6.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S3.4.p2.9.m6.1.1.3.cmml" xref="S3.4.p2.9.m6.1.1.3">𝑑</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.4.p2.9.m6.1c">(\langle\mathbf{g}_{1},\mathbf{e}_{j}\rangle)_{j=1}^{d}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.4.p2.9.m6.1d">( ⟨ bold_g start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , bold_e start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ⟩ ) start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, <math alttext="(\langle\mathbf{f}_{k},\mathbf{g}_{1}\rangle)_{k=1}^{d}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.4.p2.10.m7.1"><semantics id="S3.4.p2.10.m7.1a"><msubsup id="S3.4.p2.10.m7.1.1" xref="S3.4.p2.10.m7.1.1.cmml"><mrow id="S3.4.p2.10.m7.1.1.1.1.1" xref="S3.4.p2.10.m7.1.1.cmml"><mo id="S3.4.p2.10.m7.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.4.p2.10.m7.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.4.p2.10.m7.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.4.p2.10.m7.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S3.4.p2.10.m7.1.1.1.1.1.1.2.3" stretchy="false" xref="S3.4.p2.10.m7.1.1.1.1.1.1.3.cmml">⟨</mo><msub id="S3.4.p2.10.m7.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.4.p2.10.m7.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.4.p2.10.m7.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.4.p2.10.m7.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝐟</mi><mi id="S3.4.p2.10.m7.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.4.p2.10.m7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.4.p2.10.m7.1.1.1.1.1.1.2.4" xref="S3.4.p2.10.m7.1.1.1.1.1.1.3.cmml">,</mo><msub id="S3.4.p2.10.m7.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.4.p2.10.m7.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.4.p2.10.m7.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.4.p2.10.m7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">𝐠</mi><mn id="S3.4.p2.10.m7.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.4.p2.10.m7.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.4.p2.10.m7.1.1.1.1.1.1.2.5" stretchy="false" xref="S3.4.p2.10.m7.1.1.1.1.1.1.3.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S3.4.p2.10.m7.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.4.p2.10.m7.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S3.4.p2.10.m7.1.1.1.3" xref="S3.4.p2.10.m7.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.4.p2.10.m7.1.1.1.3.2" xref="S3.4.p2.10.m7.1.1.1.3.2.cmml">k</mi><mo id="S3.4.p2.10.m7.1.1.1.3.1" xref="S3.4.p2.10.m7.1.1.1.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.4.p2.10.m7.1.1.1.3.3" xref="S3.4.p2.10.m7.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S3.4.p2.10.m7.1.1.3" xref="S3.4.p2.10.m7.1.1.3.cmml">d</mi></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.4.p2.10.m7.1b"><apply id="S3.4.p2.10.m7.1.1.cmml" xref="S3.4.p2.10.m7.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.4.p2.10.m7.1.1.2.cmml" xref="S3.4.p2.10.m7.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.4.p2.10.m7.1.1.1.cmml" xref="S3.4.p2.10.m7.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.4.p2.10.m7.1.1.1.2.cmml" xref="S3.4.p2.10.m7.1.1">subscript</csymbol><list id="S3.4.p2.10.m7.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.4.p2.10.m7.1.1.1.1.1.1.2"><apply id="S3.4.p2.10.m7.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.4.p2.10.m7.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.4.p2.10.m7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.4.p2.10.m7.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.4.p2.10.m7.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.4.p2.10.m7.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝐟</ci><ci id="S3.4.p2.10.m7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.4.p2.10.m7.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply><apply id="S3.4.p2.10.m7.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.4.p2.10.m7.1.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.4.p2.10.m7.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.4.p2.10.m7.1.1.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.4.p2.10.m7.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.4.p2.10.m7.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝐠</ci><cn id="S3.4.p2.10.m7.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.4.p2.10.m7.1.1.1.1.1.1.2.2.3">1</cn></apply></list><apply id="S3.4.p2.10.m7.1.1.1.3.cmml" xref="S3.4.p2.10.m7.1.1.1.3"><eq id="S3.4.p2.10.m7.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.4.p2.10.m7.1.1.1.3.1"></eq><ci id="S3.4.p2.10.m7.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.4.p2.10.m7.1.1.1.3.2">𝑘</ci><cn id="S3.4.p2.10.m7.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.4.p2.10.m7.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S3.4.p2.10.m7.1.1.3.cmml" xref="S3.4.p2.10.m7.1.1.3">𝑑</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.4.p2.10.m7.1c">(\langle\mathbf{f}_{k},\mathbf{g}_{1}\rangle)_{k=1}^{d}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.4.p2.10.m7.1d">( ⟨ bold_f start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT , bold_g start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ⟩ ) start_POSTSUBSCRIPT italic_k = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, <math alttext="(\langle\tilde{\mathbf{g}}_{1},\tilde{\mathbf{e}}_{j}\rangle)_{j=1}^{d}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.4.p2.11.m8.1"><semantics id="S3.4.p2.11.m8.1a"><msubsup id="S3.4.p2.11.m8.1.1" xref="S3.4.p2.11.m8.1.1.cmml"><mrow id="S3.4.p2.11.m8.1.1.1.1.1" xref="S3.4.p2.11.m8.1.1.cmml"><mo id="S3.4.p2.11.m8.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.4.p2.11.m8.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.4.p2.11.m8.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.4.p2.11.m8.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S3.4.p2.11.m8.1.1.1.1.1.1.2.3" stretchy="false" xref="S3.4.p2.11.m8.1.1.1.1.1.1.3.cmml">⟨</mo><msub id="S3.4.p2.11.m8.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.4.p2.11.m8.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.4.p2.11.m8.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.4.p2.11.m8.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.4.p2.11.m8.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.4.p2.11.m8.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝐠</mi><mo id="S3.4.p2.11.m8.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.4.p2.11.m8.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mn id="S3.4.p2.11.m8.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.4.p2.11.m8.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.4.p2.11.m8.1.1.1.1.1.1.2.4" xref="S3.4.p2.11.m8.1.1.1.1.1.1.3.cmml">,</mo><msub id="S3.4.p2.11.m8.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.4.p2.11.m8.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.4.p2.11.m8.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.4.p2.11.m8.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.4.p2.11.m8.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S3.4.p2.11.m8.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">𝐞</mi><mo id="S3.4.p2.11.m8.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1" xref="S3.4.p2.11.m8.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.4.p2.11.m8.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.4.p2.11.m8.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.4.p2.11.m8.1.1.1.1.1.1.2.5" stretchy="false" xref="S3.4.p2.11.m8.1.1.1.1.1.1.3.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S3.4.p2.11.m8.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.4.p2.11.m8.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S3.4.p2.11.m8.1.1.1.3" xref="S3.4.p2.11.m8.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.4.p2.11.m8.1.1.1.3.2" xref="S3.4.p2.11.m8.1.1.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.4.p2.11.m8.1.1.1.3.1" xref="S3.4.p2.11.m8.1.1.1.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.4.p2.11.m8.1.1.1.3.3" xref="S3.4.p2.11.m8.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S3.4.p2.11.m8.1.1.3" xref="S3.4.p2.11.m8.1.1.3.cmml">d</mi></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.4.p2.11.m8.1b"><apply id="S3.4.p2.11.m8.1.1.cmml" xref="S3.4.p2.11.m8.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.4.p2.11.m8.1.1.2.cmml" xref="S3.4.p2.11.m8.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.4.p2.11.m8.1.1.1.cmml" xref="S3.4.p2.11.m8.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.4.p2.11.m8.1.1.1.2.cmml" xref="S3.4.p2.11.m8.1.1">subscript</csymbol><list id="S3.4.p2.11.m8.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.4.p2.11.m8.1.1.1.1.1.1.2"><apply id="S3.4.p2.11.m8.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.4.p2.11.m8.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.4.p2.11.m8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.4.p2.11.m8.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.4.p2.11.m8.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.4.p2.11.m8.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><ci id="S3.4.p2.11.m8.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.4.p2.11.m8.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="S3.4.p2.11.m8.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.4.p2.11.m8.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝐠</ci></apply><cn id="S3.4.p2.11.m8.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.4.p2.11.m8.1.1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S3.4.p2.11.m8.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.4.p2.11.m8.1.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.4.p2.11.m8.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.4.p2.11.m8.1.1.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><apply id="S3.4.p2.11.m8.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.4.p2.11.m8.1.1.1.1.1.1.2.2.2"><ci id="S3.4.p2.11.m8.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.4.p2.11.m8.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1">~</ci><ci id="S3.4.p2.11.m8.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.4.p2.11.m8.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2">𝐞</ci></apply><ci id="S3.4.p2.11.m8.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.4.p2.11.m8.1.1.1.1.1.1.2.2.3">𝑗</ci></apply></list><apply id="S3.4.p2.11.m8.1.1.1.3.cmml" xref="S3.4.p2.11.m8.1.1.1.3"><eq id="S3.4.p2.11.m8.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.4.p2.11.m8.1.1.1.3.1"></eq><ci id="S3.4.p2.11.m8.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.4.p2.11.m8.1.1.1.3.2">𝑗</ci><cn id="S3.4.p2.11.m8.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.4.p2.11.m8.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S3.4.p2.11.m8.1.1.3.cmml" xref="S3.4.p2.11.m8.1.1.3">𝑑</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.4.p2.11.m8.1c">(\langle\tilde{\mathbf{g}}_{1},\tilde{\mathbf{e}}_{j}\rangle)_{j=1}^{d}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.4.p2.11.m8.1d">( ⟨ over~ start_ARG bold_g end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , over~ start_ARG bold_e end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ⟩ ) start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, and <math alttext="(\langle\tilde{\mathbf{f}}_{k},\tilde{\mathbf{g}}_{1}\rangle)_{k=1}^{d}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.4.p2.12.m9.1"><semantics id="S3.4.p2.12.m9.1a"><msubsup id="S3.4.p2.12.m9.1.1" xref="S3.4.p2.12.m9.1.1.cmml"><mrow id="S3.4.p2.12.m9.1.1.1.1.1" xref="S3.4.p2.12.m9.1.1.cmml"><mo id="S3.4.p2.12.m9.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.4.p2.12.m9.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.4.p2.12.m9.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.4.p2.12.m9.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S3.4.p2.12.m9.1.1.1.1.1.1.2.3" stretchy="false" xref="S3.4.p2.12.m9.1.1.1.1.1.1.3.cmml">⟨</mo><msub id="S3.4.p2.12.m9.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.4.p2.12.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.4.p2.12.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.4.p2.12.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.4.p2.12.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.4.p2.12.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝐟</mi><mo id="S3.4.p2.12.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.4.p2.12.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.4.p2.12.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.4.p2.12.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.4.p2.12.m9.1.1.1.1.1.1.2.4" xref="S3.4.p2.12.m9.1.1.1.1.1.1.3.cmml">,</mo><msub id="S3.4.p2.12.m9.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.4.p2.12.m9.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.4.p2.12.m9.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.4.p2.12.m9.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.4.p2.12.m9.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S3.4.p2.12.m9.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">𝐠</mi><mo id="S3.4.p2.12.m9.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1" xref="S3.4.p2.12.m9.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mn id="S3.4.p2.12.m9.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.4.p2.12.m9.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.4.p2.12.m9.1.1.1.1.1.1.2.5" stretchy="false" xref="S3.4.p2.12.m9.1.1.1.1.1.1.3.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S3.4.p2.12.m9.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.4.p2.12.m9.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S3.4.p2.12.m9.1.1.1.3" xref="S3.4.p2.12.m9.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.4.p2.12.m9.1.1.1.3.2" xref="S3.4.p2.12.m9.1.1.1.3.2.cmml">k</mi><mo id="S3.4.p2.12.m9.1.1.1.3.1" xref="S3.4.p2.12.m9.1.1.1.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.4.p2.12.m9.1.1.1.3.3" xref="S3.4.p2.12.m9.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S3.4.p2.12.m9.1.1.3" xref="S3.4.p2.12.m9.1.1.3.cmml">d</mi></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.4.p2.12.m9.1b"><apply id="S3.4.p2.12.m9.1.1.cmml" xref="S3.4.p2.12.m9.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.4.p2.12.m9.1.1.2.cmml" xref="S3.4.p2.12.m9.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.4.p2.12.m9.1.1.1.cmml" xref="S3.4.p2.12.m9.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.4.p2.12.m9.1.1.1.2.cmml" xref="S3.4.p2.12.m9.1.1">subscript</csymbol><list id="S3.4.p2.12.m9.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.4.p2.12.m9.1.1.1.1.1.1.2"><apply id="S3.4.p2.12.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.4.p2.12.m9.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.4.p2.12.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.4.p2.12.m9.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.4.p2.12.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.4.p2.12.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><ci id="S3.4.p2.12.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.4.p2.12.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="S3.4.p2.12.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.4.p2.12.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝐟</ci></apply><ci id="S3.4.p2.12.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.4.p2.12.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply><apply id="S3.4.p2.12.m9.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.4.p2.12.m9.1.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.4.p2.12.m9.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.4.p2.12.m9.1.1.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><apply id="S3.4.p2.12.m9.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.4.p2.12.m9.1.1.1.1.1.1.2.2.2"><ci id="S3.4.p2.12.m9.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.4.p2.12.m9.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1">~</ci><ci id="S3.4.p2.12.m9.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.4.p2.12.m9.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2">𝐠</ci></apply><cn id="S3.4.p2.12.m9.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.4.p2.12.m9.1.1.1.1.1.1.2.2.3">1</cn></apply></list><apply id="S3.4.p2.12.m9.1.1.1.3.cmml" xref="S3.4.p2.12.m9.1.1.1.3"><eq id="S3.4.p2.12.m9.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.4.p2.12.m9.1.1.1.3.1"></eq><ci id="S3.4.p2.12.m9.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.4.p2.12.m9.1.1.1.3.2">𝑘</ci><cn id="S3.4.p2.12.m9.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.4.p2.12.m9.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S3.4.p2.12.m9.1.1.3.cmml" xref="S3.4.p2.12.m9.1.1.3">𝑑</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.4.p2.12.m9.1c">(\langle\tilde{\mathbf{f}}_{k},\tilde{\mathbf{g}}_{1}\rangle)_{k=1}^{d}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.4.p2.12.m9.1d">( ⟨ over~ start_ARG bold_f end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT , over~ start_ARG bold_g end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ⟩ ) start_POSTSUBSCRIPT italic_k = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, respectively) Thus, by proposition <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#S2.Thmfact1" title="Proposition 2.1. ‣ 2. Pairs of MUBs ‣ Triplets of Mutually Unbiased Bases"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2.1</span></a>, there exists a unitary <math alttext="U" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.4.p2.13.m10.1"><semantics id="S3.4.p2.13.m10.1a"><mi id="S3.4.p2.13.m10.1.1" xref="S3.4.p2.13.m10.1.1.cmml">U</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.4.p2.13.m10.1b"><ci id="S3.4.p2.13.m10.1.1.cmml" xref="S3.4.p2.13.m10.1.1">𝑈</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.4.p2.13.m10.1c">U</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.4.p2.13.m10.1d">italic_U</annotation></semantics></math> which makes the pairs <math alttext="((\mathbf{e}_{j})_{j=1}^{d},(\mathbf{f}_{j})_{j=1}^{d})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.4.p2.14.m11.2"><semantics id="S3.4.p2.14.m11.2a"><mrow id="S3.4.p2.14.m11.2.2.2" xref="S3.4.p2.14.m11.2.2.3.cmml"><mo id="S3.4.p2.14.m11.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.4.p2.14.m11.2.2.3.cmml">(</mo><msubsup id="S3.4.p2.14.m11.1.1.1.1" xref="S3.4.p2.14.m11.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.4.p2.14.m11.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.4.p2.14.m11.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.4.p2.14.m11.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.4.p2.14.m11.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.4.p2.14.m11.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.4.p2.14.m11.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.4.p2.14.m11.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.4.p2.14.m11.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝐞</mi><mi id="S3.4.p2.14.m11.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.4.p2.14.m11.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.4.p2.14.m11.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.4.p2.14.m11.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S3.4.p2.14.m11.1.1.1.1.1.3" xref="S3.4.p2.14.m11.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.4.p2.14.m11.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.4.p2.14.m11.1.1.1.1.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.4.p2.14.m11.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.4.p2.14.m11.1.1.1.1.1.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.4.p2.14.m11.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.4.p2.14.m11.1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S3.4.p2.14.m11.1.1.1.1.3" xref="S3.4.p2.14.m11.1.1.1.1.3.cmml">d</mi></msubsup><mo id="S3.4.p2.14.m11.2.2.2.4" xref="S3.4.p2.14.m11.2.2.3.cmml">,</mo><msubsup id="S3.4.p2.14.m11.2.2.2.2" xref="S3.4.p2.14.m11.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S3.4.p2.14.m11.2.2.2.2.1.1.1" xref="S3.4.p2.14.m11.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.4.p2.14.m11.2.2.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.4.p2.14.m11.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.4.p2.14.m11.2.2.2.2.1.1.1.1" xref="S3.4.p2.14.m11.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.4.p2.14.m11.2.2.2.2.1.1.1.1.2" xref="S3.4.p2.14.m11.2.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml">𝐟</mi><mi id="S3.4.p2.14.m11.2.2.2.2.1.1.1.1.3" xref="S3.4.p2.14.m11.2.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.4.p2.14.m11.2.2.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.4.p2.14.m11.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S3.4.p2.14.m11.2.2.2.2.1.3" xref="S3.4.p2.14.m11.2.2.2.2.1.3.cmml"><mi id="S3.4.p2.14.m11.2.2.2.2.1.3.2" xref="S3.4.p2.14.m11.2.2.2.2.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.4.p2.14.m11.2.2.2.2.1.3.1" xref="S3.4.p2.14.m11.2.2.2.2.1.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.4.p2.14.m11.2.2.2.2.1.3.3" xref="S3.4.p2.14.m11.2.2.2.2.1.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S3.4.p2.14.m11.2.2.2.2.3" xref="S3.4.p2.14.m11.2.2.2.2.3.cmml">d</mi></msubsup><mo id="S3.4.p2.14.m11.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.4.p2.14.m11.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.4.p2.14.m11.2b"><interval closure="open" id="S3.4.p2.14.m11.2.2.3.cmml" xref="S3.4.p2.14.m11.2.2.2"><apply id="S3.4.p2.14.m11.1.1.1.1.cmml" xref="S3.4.p2.14.m11.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.4.p2.14.m11.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.4.p2.14.m11.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.4.p2.14.m11.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.4.p2.14.m11.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.4.p2.14.m11.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.4.p2.14.m11.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.4.p2.14.m11.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.4.p2.14.m11.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.4.p2.14.m11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.4.p2.14.m11.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.4.p2.14.m11.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.4.p2.14.m11.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝐞</ci><ci id="S3.4.p2.14.m11.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.4.p2.14.m11.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.4.p2.14.m11.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.4.p2.14.m11.1.1.1.1.1.3"><eq id="S3.4.p2.14.m11.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.4.p2.14.m11.1.1.1.1.1.3.1"></eq><ci id="S3.4.p2.14.m11.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.4.p2.14.m11.1.1.1.1.1.3.2">𝑗</ci><cn id="S3.4.p2.14.m11.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.4.p2.14.m11.1.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S3.4.p2.14.m11.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.4.p2.14.m11.1.1.1.1.3">𝑑</ci></apply><apply id="S3.4.p2.14.m11.2.2.2.2.cmml" xref="S3.4.p2.14.m11.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.4.p2.14.m11.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.4.p2.14.m11.2.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S3.4.p2.14.m11.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.4.p2.14.m11.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.4.p2.14.m11.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S3.4.p2.14.m11.2.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S3.4.p2.14.m11.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.4.p2.14.m11.2.2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.4.p2.14.m11.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.4.p2.14.m11.2.2.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.4.p2.14.m11.2.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.4.p2.14.m11.2.2.2.2.1.1.1.1.2">𝐟</ci><ci id="S3.4.p2.14.m11.2.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.4.p2.14.m11.2.2.2.2.1.1.1.1.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.4.p2.14.m11.2.2.2.2.1.3.cmml" xref="S3.4.p2.14.m11.2.2.2.2.1.3"><eq id="S3.4.p2.14.m11.2.2.2.2.1.3.1.cmml" xref="S3.4.p2.14.m11.2.2.2.2.1.3.1"></eq><ci id="S3.4.p2.14.m11.2.2.2.2.1.3.2.cmml" xref="S3.4.p2.14.m11.2.2.2.2.1.3.2">𝑗</ci><cn id="S3.4.p2.14.m11.2.2.2.2.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.4.p2.14.m11.2.2.2.2.1.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S3.4.p2.14.m11.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.4.p2.14.m11.2.2.2.2.3">𝑑</ci></apply></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.4.p2.14.m11.2c">((\mathbf{e}_{j})_{j=1}^{d},(\mathbf{f}_{j})_{j=1}^{d})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.4.p2.14.m11.2d">( ( bold_e start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT , ( bold_f start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> and <math alttext="((\tilde{\mathbf{e}}_{j})_{j=1}^{d},(\tilde{\mathbf{f}}_{j})_{j=1})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.4.p2.15.m12.2"><semantics id="S3.4.p2.15.m12.2a"><mrow id="S3.4.p2.15.m12.2.2.2" xref="S3.4.p2.15.m12.2.2.3.cmml"><mo id="S3.4.p2.15.m12.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.4.p2.15.m12.2.2.3.cmml">(</mo><msubsup id="S3.4.p2.15.m12.1.1.1.1" xref="S3.4.p2.15.m12.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.4.p2.15.m12.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.4.p2.15.m12.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.4.p2.15.m12.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.4.p2.15.m12.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.4.p2.15.m12.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.4.p2.15.m12.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.4.p2.15.m12.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.4.p2.15.m12.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.4.p2.15.m12.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.4.p2.15.m12.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝐞</mi><mo id="S3.4.p2.15.m12.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.4.p2.15.m12.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.4.p2.15.m12.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.4.p2.15.m12.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.4.p2.15.m12.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.4.p2.15.m12.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S3.4.p2.15.m12.1.1.1.1.1.3" xref="S3.4.p2.15.m12.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.4.p2.15.m12.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.4.p2.15.m12.1.1.1.1.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.4.p2.15.m12.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.4.p2.15.m12.1.1.1.1.1.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.4.p2.15.m12.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.4.p2.15.m12.1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S3.4.p2.15.m12.1.1.1.1.3" xref="S3.4.p2.15.m12.1.1.1.1.3.cmml">d</mi></msubsup><mo id="S3.4.p2.15.m12.2.2.2.4" xref="S3.4.p2.15.m12.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.4.p2.15.m12.2.2.2.2" xref="S3.4.p2.15.m12.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S3.4.p2.15.m12.2.2.2.2.1.1" xref="S3.4.p2.15.m12.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.4.p2.15.m12.2.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.4.p2.15.m12.2.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.4.p2.15.m12.2.2.2.2.1.1.1" xref="S3.4.p2.15.m12.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.4.p2.15.m12.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="S3.4.p2.15.m12.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.4.p2.15.m12.2.2.2.2.1.1.1.2.2" xref="S3.4.p2.15.m12.2.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml">𝐟</mi><mo id="S3.4.p2.15.m12.2.2.2.2.1.1.1.2.1" xref="S3.4.p2.15.m12.2.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.4.p2.15.m12.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="S3.4.p2.15.m12.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.4.p2.15.m12.2.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.4.p2.15.m12.2.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S3.4.p2.15.m12.2.2.2.2.3" xref="S3.4.p2.15.m12.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.4.p2.15.m12.2.2.2.2.3.2" xref="S3.4.p2.15.m12.2.2.2.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.4.p2.15.m12.2.2.2.2.3.1" xref="S3.4.p2.15.m12.2.2.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.4.p2.15.m12.2.2.2.2.3.3" xref="S3.4.p2.15.m12.2.2.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S3.4.p2.15.m12.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.4.p2.15.m12.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.4.p2.15.m12.2b"><interval closure="open" id="S3.4.p2.15.m12.2.2.3.cmml" xref="S3.4.p2.15.m12.2.2.2"><apply id="S3.4.p2.15.m12.1.1.1.1.cmml" xref="S3.4.p2.15.m12.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.4.p2.15.m12.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.4.p2.15.m12.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.4.p2.15.m12.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.4.p2.15.m12.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.4.p2.15.m12.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.4.p2.15.m12.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.4.p2.15.m12.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.4.p2.15.m12.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.4.p2.15.m12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.4.p2.15.m12.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.4.p2.15.m12.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.4.p2.15.m12.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><ci id="S3.4.p2.15.m12.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.4.p2.15.m12.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="S3.4.p2.15.m12.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.4.p2.15.m12.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝐞</ci></apply><ci id="S3.4.p2.15.m12.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.4.p2.15.m12.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.4.p2.15.m12.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.4.p2.15.m12.1.1.1.1.1.3"><eq id="S3.4.p2.15.m12.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.4.p2.15.m12.1.1.1.1.1.3.1"></eq><ci id="S3.4.p2.15.m12.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.4.p2.15.m12.1.1.1.1.1.3.2">𝑗</ci><cn id="S3.4.p2.15.m12.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.4.p2.15.m12.1.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S3.4.p2.15.m12.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.4.p2.15.m12.1.1.1.1.3">𝑑</ci></apply><apply id="S3.4.p2.15.m12.2.2.2.2.cmml" xref="S3.4.p2.15.m12.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.4.p2.15.m12.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.4.p2.15.m12.2.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S3.4.p2.15.m12.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.4.p2.15.m12.2.2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.4.p2.15.m12.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.4.p2.15.m12.2.2.2.2.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.4.p2.15.m12.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.4.p2.15.m12.2.2.2.2.1.1.1.2"><ci id="S3.4.p2.15.m12.2.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.4.p2.15.m12.2.2.2.2.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="S3.4.p2.15.m12.2.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.4.p2.15.m12.2.2.2.2.1.1.1.2.2">𝐟</ci></apply><ci id="S3.4.p2.15.m12.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.4.p2.15.m12.2.2.2.2.1.1.1.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.4.p2.15.m12.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.4.p2.15.m12.2.2.2.2.3"><eq id="S3.4.p2.15.m12.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.4.p2.15.m12.2.2.2.2.3.1"></eq><ci id="S3.4.p2.15.m12.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.4.p2.15.m12.2.2.2.2.3.2">𝑗</ci><cn id="S3.4.p2.15.m12.2.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.4.p2.15.m12.2.2.2.2.3.3">1</cn></apply></apply></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.4.p2.15.m12.2c">((\tilde{\mathbf{e}}_{j})_{j=1}^{d},(\tilde{\mathbf{f}}_{j})_{j=1})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.4.p2.15.m12.2d">( ( over~ start_ARG bold_e end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT , ( over~ start_ARG bold_f end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> directly unitary equivalent. We only need to prove that <math alttext="U" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.4.p2.16.m13.1"><semantics id="S3.4.p2.16.m13.1a"><mi id="S3.4.p2.16.m13.1.1" xref="S3.4.p2.16.m13.1.1.cmml">U</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.4.p2.16.m13.1b"><ci id="S3.4.p2.16.m13.1.1.cmml" xref="S3.4.p2.16.m13.1.1">𝑈</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.4.p2.16.m13.1c">U</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.4.p2.16.m13.1d">italic_U</annotation></semantics></math> also connects the third elements of the two triplets; i.e. that for the projections <math alttext="R_{l}=|\mathbf{g}_{l}\rangle\langle\mathbf{g}_{l}|" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.4.p2.17.m14.2"><semantics id="S3.4.p2.17.m14.2a"><mrow id="S3.4.p2.17.m14.2.2" xref="S3.4.p2.17.m14.2.2.cmml"><msub id="S3.4.p2.17.m14.2.2.4" xref="S3.4.p2.17.m14.2.2.4.cmml"><mi id="S3.4.p2.17.m14.2.2.4.2" xref="S3.4.p2.17.m14.2.2.4.2.cmml">R</mi><mi id="S3.4.p2.17.m14.2.2.4.3" xref="S3.4.p2.17.m14.2.2.4.3.cmml">l</mi></msub><mo id="S3.4.p2.17.m14.2.2.3" xref="S3.4.p2.17.m14.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.4.p2.17.m14.2.2.2" xref="S3.4.p2.17.m14.2.2.2.cmml"><mrow id="S3.4.p2.17.m14.1.1.1.1.1" xref="S3.4.p2.17.m14.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.4.p2.17.m14.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.4.p2.17.m14.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S3.4.p2.17.m14.1.1.1.1.1.1" xref="S3.4.p2.17.m14.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.4.p2.17.m14.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.4.p2.17.m14.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝐠</mi><mi id="S3.4.p2.17.m14.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.4.p2.17.m14.1.1.1.1.1.1.3.cmml">l</mi></msub><mo id="S3.4.p2.17.m14.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.4.p2.17.m14.1.1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S3.4.p2.17.m14.2.2.2.3" xref="S3.4.p2.17.m14.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.4.p2.17.m14.2.2.2.2.1" xref="S3.4.p2.17.m14.2.2.2.2.2.cmml"><mo id="S3.4.p2.17.m14.2.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S3.4.p2.17.m14.2.2.2.2.2.1.cmml">⟨</mo><msub id="S3.4.p2.17.m14.2.2.2.2.1.1" xref="S3.4.p2.17.m14.2.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S3.4.p2.17.m14.2.2.2.2.1.1.2" xref="S3.4.p2.17.m14.2.2.2.2.1.1.2.cmml">𝐠</mi><mi id="S3.4.p2.17.m14.2.2.2.2.1.1.3" xref="S3.4.p2.17.m14.2.2.2.2.1.1.3.cmml">l</mi></msub><mo id="S3.4.p2.17.m14.2.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S3.4.p2.17.m14.2.2.2.2.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.4.p2.17.m14.2b"><apply id="S3.4.p2.17.m14.2.2.cmml" xref="S3.4.p2.17.m14.2.2"><eq id="S3.4.p2.17.m14.2.2.3.cmml" xref="S3.4.p2.17.m14.2.2.3"></eq><apply id="S3.4.p2.17.m14.2.2.4.cmml" xref="S3.4.p2.17.m14.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.4.p2.17.m14.2.2.4.1.cmml" xref="S3.4.p2.17.m14.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S3.4.p2.17.m14.2.2.4.2.cmml" xref="S3.4.p2.17.m14.2.2.4.2">𝑅</ci><ci id="S3.4.p2.17.m14.2.2.4.3.cmml" xref="S3.4.p2.17.m14.2.2.4.3">𝑙</ci></apply><apply id="S3.4.p2.17.m14.2.2.2.cmml" xref="S3.4.p2.17.m14.2.2.2"><times id="S3.4.p2.17.m14.2.2.2.3.cmml" xref="S3.4.p2.17.m14.2.2.2.3"></times><apply id="S3.4.p2.17.m14.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.4.p2.17.m14.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.4.p2.17.m14.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.4.p2.17.m14.1.1.1.1.1.2">ket</csymbol><apply id="S3.4.p2.17.m14.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.4.p2.17.m14.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.4.p2.17.m14.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.4.p2.17.m14.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.4.p2.17.m14.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.4.p2.17.m14.1.1.1.1.1.1.2">𝐠</ci><ci id="S3.4.p2.17.m14.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.4.p2.17.m14.1.1.1.1.1.1.3">𝑙</ci></apply></apply><apply id="S3.4.p2.17.m14.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.4.p2.17.m14.2.2.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.4.p2.17.m14.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.4.p2.17.m14.2.2.2.2.1.2">bra</csymbol><apply id="S3.4.p2.17.m14.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.4.p2.17.m14.2.2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.4.p2.17.m14.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.4.p2.17.m14.2.2.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.4.p2.17.m14.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.4.p2.17.m14.2.2.2.2.1.1.2">𝐠</ci><ci id="S3.4.p2.17.m14.2.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.4.p2.17.m14.2.2.2.2.1.1.3">𝑙</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.4.p2.17.m14.2c">R_{l}=|\mathbf{g}_{l}\rangle\langle\mathbf{g}_{l}|</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.4.p2.17.m14.2d">italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT = | bold_g start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT ⟩ ⟨ bold_g start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT |</annotation></semantics></math> and <math alttext="\tilde{R}_{l}=|\tilde{\mathbf{g}}_{l}\rangle\langle\tilde{\mathbf{g}}_{j}|" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.4.p2.18.m15.2"><semantics id="S3.4.p2.18.m15.2a"><mrow id="S3.4.p2.18.m15.2.2" xref="S3.4.p2.18.m15.2.2.cmml"><msub id="S3.4.p2.18.m15.2.2.4" xref="S3.4.p2.18.m15.2.2.4.cmml"><mover accent="true" id="S3.4.p2.18.m15.2.2.4.2" xref="S3.4.p2.18.m15.2.2.4.2.cmml"><mi id="S3.4.p2.18.m15.2.2.4.2.2" xref="S3.4.p2.18.m15.2.2.4.2.2.cmml">R</mi><mo id="S3.4.p2.18.m15.2.2.4.2.1" xref="S3.4.p2.18.m15.2.2.4.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.4.p2.18.m15.2.2.4.3" xref="S3.4.p2.18.m15.2.2.4.3.cmml">l</mi></msub><mo id="S3.4.p2.18.m15.2.2.3" xref="S3.4.p2.18.m15.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.4.p2.18.m15.2.2.2" xref="S3.4.p2.18.m15.2.2.2.cmml"><mrow id="S3.4.p2.18.m15.1.1.1.1.1" xref="S3.4.p2.18.m15.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.4.p2.18.m15.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.4.p2.18.m15.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S3.4.p2.18.m15.1.1.1.1.1.1" xref="S3.4.p2.18.m15.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.4.p2.18.m15.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.4.p2.18.m15.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.4.p2.18.m15.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.4.p2.18.m15.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝐠</mi><mo id="S3.4.p2.18.m15.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.4.p2.18.m15.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.4.p2.18.m15.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.4.p2.18.m15.1.1.1.1.1.1.3.cmml">l</mi></msub><mo id="S3.4.p2.18.m15.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.4.p2.18.m15.1.1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S3.4.p2.18.m15.2.2.2.3" xref="S3.4.p2.18.m15.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.4.p2.18.m15.2.2.2.2.1" xref="S3.4.p2.18.m15.2.2.2.2.2.cmml"><mo id="S3.4.p2.18.m15.2.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S3.4.p2.18.m15.2.2.2.2.2.1.cmml">⟨</mo><msub id="S3.4.p2.18.m15.2.2.2.2.1.1" xref="S3.4.p2.18.m15.2.2.2.2.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.4.p2.18.m15.2.2.2.2.1.1.2" xref="S3.4.p2.18.m15.2.2.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="S3.4.p2.18.m15.2.2.2.2.1.1.2.2" xref="S3.4.p2.18.m15.2.2.2.2.1.1.2.2.cmml">𝐠</mi><mo id="S3.4.p2.18.m15.2.2.2.2.1.1.2.1" xref="S3.4.p2.18.m15.2.2.2.2.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.4.p2.18.m15.2.2.2.2.1.1.3" xref="S3.4.p2.18.m15.2.2.2.2.1.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.4.p2.18.m15.2.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S3.4.p2.18.m15.2.2.2.2.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.4.p2.18.m15.2b"><apply id="S3.4.p2.18.m15.2.2.cmml" xref="S3.4.p2.18.m15.2.2"><eq id="S3.4.p2.18.m15.2.2.3.cmml" xref="S3.4.p2.18.m15.2.2.3"></eq><apply id="S3.4.p2.18.m15.2.2.4.cmml" xref="S3.4.p2.18.m15.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.4.p2.18.m15.2.2.4.1.cmml" xref="S3.4.p2.18.m15.2.2.4">subscript</csymbol><apply id="S3.4.p2.18.m15.2.2.4.2.cmml" xref="S3.4.p2.18.m15.2.2.4.2"><ci id="S3.4.p2.18.m15.2.2.4.2.1.cmml" xref="S3.4.p2.18.m15.2.2.4.2.1">~</ci><ci id="S3.4.p2.18.m15.2.2.4.2.2.cmml" xref="S3.4.p2.18.m15.2.2.4.2.2">𝑅</ci></apply><ci id="S3.4.p2.18.m15.2.2.4.3.cmml" xref="S3.4.p2.18.m15.2.2.4.3">𝑙</ci></apply><apply id="S3.4.p2.18.m15.2.2.2.cmml" xref="S3.4.p2.18.m15.2.2.2"><times id="S3.4.p2.18.m15.2.2.2.3.cmml" xref="S3.4.p2.18.m15.2.2.2.3"></times><apply id="S3.4.p2.18.m15.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.4.p2.18.m15.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.4.p2.18.m15.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.4.p2.18.m15.1.1.1.1.1.2">ket</csymbol><apply id="S3.4.p2.18.m15.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.4.p2.18.m15.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.4.p2.18.m15.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.4.p2.18.m15.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.4.p2.18.m15.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.4.p2.18.m15.1.1.1.1.1.1.2"><ci id="S3.4.p2.18.m15.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.4.p2.18.m15.1.1.1.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="S3.4.p2.18.m15.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.4.p2.18.m15.1.1.1.1.1.1.2.2">𝐠</ci></apply><ci id="S3.4.p2.18.m15.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.4.p2.18.m15.1.1.1.1.1.1.3">𝑙</ci></apply></apply><apply id="S3.4.p2.18.m15.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.4.p2.18.m15.2.2.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.4.p2.18.m15.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.4.p2.18.m15.2.2.2.2.1.2">bra</csymbol><apply id="S3.4.p2.18.m15.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.4.p2.18.m15.2.2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.4.p2.18.m15.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.4.p2.18.m15.2.2.2.2.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.4.p2.18.m15.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.4.p2.18.m15.2.2.2.2.1.1.2"><ci id="S3.4.p2.18.m15.2.2.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.4.p2.18.m15.2.2.2.2.1.1.2.1">~</ci><ci id="S3.4.p2.18.m15.2.2.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.4.p2.18.m15.2.2.2.2.1.1.2.2">𝐠</ci></apply><ci id="S3.4.p2.18.m15.2.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.4.p2.18.m15.2.2.2.2.1.1.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.4.p2.18.m15.2c">\tilde{R}_{l}=|\tilde{\mathbf{g}}_{l}\rangle\langle\tilde{\mathbf{g}}_{j}|</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.4.p2.18.m15.2d">over~ start_ARG italic_R end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT = | over~ start_ARG bold_g end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT ⟩ ⟨ over~ start_ARG bold_g end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT |</annotation></semantics></math> we have <math alttext="UR_{l}U^{*}=\tilde{R}_{l}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.4.p2.19.m16.1"><semantics id="S3.4.p2.19.m16.1a"><mrow id="S3.4.p2.19.m16.1.1" xref="S3.4.p2.19.m16.1.1.cmml"><mrow id="S3.4.p2.19.m16.1.1.2" xref="S3.4.p2.19.m16.1.1.2.cmml"><mi id="S3.4.p2.19.m16.1.1.2.2" xref="S3.4.p2.19.m16.1.1.2.2.cmml">U</mi><mo id="S3.4.p2.19.m16.1.1.2.1" xref="S3.4.p2.19.m16.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.4.p2.19.m16.1.1.2.3" xref="S3.4.p2.19.m16.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.4.p2.19.m16.1.1.2.3.2" xref="S3.4.p2.19.m16.1.1.2.3.2.cmml">R</mi><mi id="S3.4.p2.19.m16.1.1.2.3.3" xref="S3.4.p2.19.m16.1.1.2.3.3.cmml">l</mi></msub><mo id="S3.4.p2.19.m16.1.1.2.1a" xref="S3.4.p2.19.m16.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.4.p2.19.m16.1.1.2.4" xref="S3.4.p2.19.m16.1.1.2.4.cmml"><mi id="S3.4.p2.19.m16.1.1.2.4.2" xref="S3.4.p2.19.m16.1.1.2.4.2.cmml">U</mi><mo id="S3.4.p2.19.m16.1.1.2.4.3" xref="S3.4.p2.19.m16.1.1.2.4.3.cmml">∗</mo></msup></mrow><mo id="S3.4.p2.19.m16.1.1.1" xref="S3.4.p2.19.m16.1.1.1.cmml">=</mo><msub id="S3.4.p2.19.m16.1.1.3" xref="S3.4.p2.19.m16.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S3.4.p2.19.m16.1.1.3.2" xref="S3.4.p2.19.m16.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.4.p2.19.m16.1.1.3.2.2" xref="S3.4.p2.19.m16.1.1.3.2.2.cmml">R</mi><mo id="S3.4.p2.19.m16.1.1.3.2.1" xref="S3.4.p2.19.m16.1.1.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.4.p2.19.m16.1.1.3.3" xref="S3.4.p2.19.m16.1.1.3.3.cmml">l</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.4.p2.19.m16.1b"><apply id="S3.4.p2.19.m16.1.1.cmml" xref="S3.4.p2.19.m16.1.1"><eq id="S3.4.p2.19.m16.1.1.1.cmml" xref="S3.4.p2.19.m16.1.1.1"></eq><apply id="S3.4.p2.19.m16.1.1.2.cmml" xref="S3.4.p2.19.m16.1.1.2"><times id="S3.4.p2.19.m16.1.1.2.1.cmml" xref="S3.4.p2.19.m16.1.1.2.1"></times><ci id="S3.4.p2.19.m16.1.1.2.2.cmml" xref="S3.4.p2.19.m16.1.1.2.2">𝑈</ci><apply id="S3.4.p2.19.m16.1.1.2.3.cmml" xref="S3.4.p2.19.m16.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.4.p2.19.m16.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.4.p2.19.m16.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.4.p2.19.m16.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.4.p2.19.m16.1.1.2.3.2">𝑅</ci><ci id="S3.4.p2.19.m16.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.4.p2.19.m16.1.1.2.3.3">𝑙</ci></apply><apply id="S3.4.p2.19.m16.1.1.2.4.cmml" xref="S3.4.p2.19.m16.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.4.p2.19.m16.1.1.2.4.1.cmml" xref="S3.4.p2.19.m16.1.1.2.4">superscript</csymbol><ci id="S3.4.p2.19.m16.1.1.2.4.2.cmml" xref="S3.4.p2.19.m16.1.1.2.4.2">𝑈</ci><times id="S3.4.p2.19.m16.1.1.2.4.3.cmml" xref="S3.4.p2.19.m16.1.1.2.4.3"></times></apply></apply><apply id="S3.4.p2.19.m16.1.1.3.cmml" xref="S3.4.p2.19.m16.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.4.p2.19.m16.1.1.3.1.cmml" xref="S3.4.p2.19.m16.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S3.4.p2.19.m16.1.1.3.2.cmml" xref="S3.4.p2.19.m16.1.1.3.2"><ci id="S3.4.p2.19.m16.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.4.p2.19.m16.1.1.3.2.1">~</ci><ci id="S3.4.p2.19.m16.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.4.p2.19.m16.1.1.3.2.2">𝑅</ci></apply><ci id="S3.4.p2.19.m16.1.1.3.3.cmml" xref="S3.4.p2.19.m16.1.1.3.3">𝑙</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.4.p2.19.m16.1c">UR_{l}U^{*}=\tilde{R}_{l}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.4.p2.19.m16.1d">italic_U italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT italic_U start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT = over~ start_ARG italic_R end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, for all <math alttext="j\in[d]" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.4.p2.20.m17.1"><semantics id="S3.4.p2.20.m17.1a"><mrow id="S3.4.p2.20.m17.1.2" xref="S3.4.p2.20.m17.1.2.cmml"><mi id="S3.4.p2.20.m17.1.2.2" xref="S3.4.p2.20.m17.1.2.2.cmml">j</mi><mo id="S3.4.p2.20.m17.1.2.1" xref="S3.4.p2.20.m17.1.2.1.cmml">∈</mo><mrow id="S3.4.p2.20.m17.1.2.3.2" xref="S3.4.p2.20.m17.1.2.3.1.cmml"><mo id="S3.4.p2.20.m17.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.4.p2.20.m17.1.2.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S3.4.p2.20.m17.1.1" xref="S3.4.p2.20.m17.1.1.cmml">d</mi><mo id="S3.4.p2.20.m17.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.4.p2.20.m17.1.2.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.4.p2.20.m17.1b"><apply id="S3.4.p2.20.m17.1.2.cmml" xref="S3.4.p2.20.m17.1.2"><in id="S3.4.p2.20.m17.1.2.1.cmml" xref="S3.4.p2.20.m17.1.2.1"></in><ci id="S3.4.p2.20.m17.1.2.2.cmml" xref="S3.4.p2.20.m17.1.2.2">𝑗</ci><apply id="S3.4.p2.20.m17.1.2.3.1.cmml" xref="S3.4.p2.20.m17.1.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.4.p2.20.m17.1.2.3.1.1.cmml" xref="S3.4.p2.20.m17.1.2.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S3.4.p2.20.m17.1.1.cmml" xref="S3.4.p2.20.m17.1.1">𝑑</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.4.p2.20.m17.1c">j\in[d]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.4.p2.20.m17.1d">italic_j ∈ [ italic_d ]</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.5.p3"> <p class="ltx_p" id="S3.5.p3.3">Recall that the set of matrices <math alttext="M_{d}(\mathbb{C})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.5.p3.1.m1.1"><semantics id="S3.5.p3.1.m1.1a"><mrow id="S3.5.p3.1.m1.1.2" xref="S3.5.p3.1.m1.1.2.cmml"><msub id="S3.5.p3.1.m1.1.2.2" xref="S3.5.p3.1.m1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.5.p3.1.m1.1.2.2.2" xref="S3.5.p3.1.m1.1.2.2.2.cmml">M</mi><mi id="S3.5.p3.1.m1.1.2.2.3" xref="S3.5.p3.1.m1.1.2.2.3.cmml">d</mi></msub><mo id="S3.5.p3.1.m1.1.2.1" xref="S3.5.p3.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.5.p3.1.m1.1.2.3.2" xref="S3.5.p3.1.m1.1.2.cmml"><mo id="S3.5.p3.1.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.5.p3.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.5.p3.1.m1.1.1" xref="S3.5.p3.1.m1.1.1.cmml">ℂ</mi><mo id="S3.5.p3.1.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.5.p3.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.5.p3.1.m1.1b"><apply id="S3.5.p3.1.m1.1.2.cmml" xref="S3.5.p3.1.m1.1.2"><times id="S3.5.p3.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S3.5.p3.1.m1.1.2.1"></times><apply id="S3.5.p3.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S3.5.p3.1.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.5.p3.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.5.p3.1.m1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.5.p3.1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.5.p3.1.m1.1.2.2.2">𝑀</ci><ci id="S3.5.p3.1.m1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.5.p3.1.m1.1.2.2.3">𝑑</ci></apply><ci id="S3.5.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.5.p3.1.m1.1.1">ℂ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.5.p3.1.m1.1c">M_{d}(\mathbb{C})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.5.p3.1.m1.1d">italic_M start_POSTSUBSCRIPT italic_d end_POSTSUBSCRIPT ( blackboard_C )</annotation></semantics></math> forms an inner product space with the <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.5.p3.3.1">Hilbert-Schmidt</span> inner product <math alttext="\langle A,B\rangle_{H}\equiv{\rm Tr}(A^{*}B)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.5.p3.2.m2.3"><semantics id="S3.5.p3.2.m2.3a"><mrow id="S3.5.p3.2.m2.3.3" xref="S3.5.p3.2.m2.3.3.cmml"><msub id="S3.5.p3.2.m2.3.3.3" xref="S3.5.p3.2.m2.3.3.3.cmml"><mrow id="S3.5.p3.2.m2.3.3.3.2.2" xref="S3.5.p3.2.m2.3.3.3.2.1.cmml"><mo id="S3.5.p3.2.m2.3.3.3.2.2.1" stretchy="false" xref="S3.5.p3.2.m2.3.3.3.2.1.cmml">⟨</mo><mi id="S3.5.p3.2.m2.1.1" xref="S3.5.p3.2.m2.1.1.cmml">A</mi><mo id="S3.5.p3.2.m2.3.3.3.2.2.2" xref="S3.5.p3.2.m2.3.3.3.2.1.cmml">,</mo><mi id="S3.5.p3.2.m2.2.2" xref="S3.5.p3.2.m2.2.2.cmml">B</mi><mo id="S3.5.p3.2.m2.3.3.3.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.5.p3.2.m2.3.3.3.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mi id="S3.5.p3.2.m2.3.3.3.3" xref="S3.5.p3.2.m2.3.3.3.3.cmml">H</mi></msub><mo id="S3.5.p3.2.m2.3.3.2" xref="S3.5.p3.2.m2.3.3.2.cmml">≡</mo><mrow id="S3.5.p3.2.m2.3.3.1" xref="S3.5.p3.2.m2.3.3.1.cmml"><mi id="S3.5.p3.2.m2.3.3.1.3" xref="S3.5.p3.2.m2.3.3.1.3.cmml">Tr</mi><mo id="S3.5.p3.2.m2.3.3.1.2" xref="S3.5.p3.2.m2.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.5.p3.2.m2.3.3.1.1.1" xref="S3.5.p3.2.m2.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.5.p3.2.m2.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.5.p3.2.m2.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.5.p3.2.m2.3.3.1.1.1.1" xref="S3.5.p3.2.m2.3.3.1.1.1.1.cmml"><msup id="S3.5.p3.2.m2.3.3.1.1.1.1.2" xref="S3.5.p3.2.m2.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.5.p3.2.m2.3.3.1.1.1.1.2.2" xref="S3.5.p3.2.m2.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml">A</mi><mo id="S3.5.p3.2.m2.3.3.1.1.1.1.2.3" xref="S3.5.p3.2.m2.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S3.5.p3.2.m2.3.3.1.1.1.1.1" xref="S3.5.p3.2.m2.3.3.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.5.p3.2.m2.3.3.1.1.1.1.3" xref="S3.5.p3.2.m2.3.3.1.1.1.1.3.cmml">B</mi></mrow><mo id="S3.5.p3.2.m2.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.5.p3.2.m2.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.5.p3.2.m2.3b"><apply id="S3.5.p3.2.m2.3.3.cmml" xref="S3.5.p3.2.m2.3.3"><equivalent id="S3.5.p3.2.m2.3.3.2.cmml" xref="S3.5.p3.2.m2.3.3.2"></equivalent><apply id="S3.5.p3.2.m2.3.3.3.cmml" xref="S3.5.p3.2.m2.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.5.p3.2.m2.3.3.3.1.cmml" xref="S3.5.p3.2.m2.3.3.3">subscript</csymbol><list id="S3.5.p3.2.m2.3.3.3.2.1.cmml" xref="S3.5.p3.2.m2.3.3.3.2.2"><ci id="S3.5.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.5.p3.2.m2.1.1">𝐴</ci><ci id="S3.5.p3.2.m2.2.2.cmml" xref="S3.5.p3.2.m2.2.2">𝐵</ci></list><ci id="S3.5.p3.2.m2.3.3.3.3.cmml" xref="S3.5.p3.2.m2.3.3.3.3">𝐻</ci></apply><apply id="S3.5.p3.2.m2.3.3.1.cmml" xref="S3.5.p3.2.m2.3.3.1"><times id="S3.5.p3.2.m2.3.3.1.2.cmml" xref="S3.5.p3.2.m2.3.3.1.2"></times><ci id="S3.5.p3.2.m2.3.3.1.3.cmml" xref="S3.5.p3.2.m2.3.3.1.3">Tr</ci><apply id="S3.5.p3.2.m2.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.5.p3.2.m2.3.3.1.1.1"><times id="S3.5.p3.2.m2.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.5.p3.2.m2.3.3.1.1.1.1.1"></times><apply id="S3.5.p3.2.m2.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.5.p3.2.m2.3.3.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.5.p3.2.m2.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.5.p3.2.m2.3.3.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S3.5.p3.2.m2.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.5.p3.2.m2.3.3.1.1.1.1.2.2">𝐴</ci><times id="S3.5.p3.2.m2.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.5.p3.2.m2.3.3.1.1.1.1.2.3"></times></apply><ci id="S3.5.p3.2.m2.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.5.p3.2.m2.3.3.1.1.1.1.3">𝐵</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.5.p3.2.m2.3c">\langle A,B\rangle_{H}\equiv{\rm Tr}(A^{*}B)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.5.p3.2.m2.3d">⟨ italic_A , italic_B ⟩ start_POSTSUBSCRIPT italic_H end_POSTSUBSCRIPT ≡ roman_Tr ( italic_A start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_B )</annotation></semantics></math> and consider the <math alttext="d^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.5.p3.3.m3.1"><semantics id="S3.5.p3.3.m3.1a"><msup id="S3.5.p3.3.m3.1.1" xref="S3.5.p3.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.5.p3.3.m3.1.1.2" xref="S3.5.p3.3.m3.1.1.2.cmml">d</mi><mn id="S3.5.p3.3.m3.1.1.3" xref="S3.5.p3.3.m3.1.1.3.cmml">2</mn></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.5.p3.3.m3.1b"><apply id="S3.5.p3.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.5.p3.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.5.p3.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.5.p3.3.m3.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.5.p3.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.5.p3.3.m3.1.1.2">𝑑</ci><cn id="S3.5.p3.3.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.5.p3.3.m3.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.5.p3.3.m3.1c">d^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.5.p3.3.m3.1d">italic_d start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> matrices</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.6.p4"> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E4"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(3.4)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="A_{j,k}:=|\mathbf{e}_{j}\rangle\langle\mathbf{e}_{j}|\mathbf{f}_{k}\rangle% \langle\mathbf{f}_{k}|=P_{j}Q_{k}\;\;\;\;(j,k\in[d])." class="ltx_Math" display="block" id="S3.E4.m1.6"><semantics id="S3.E4.m1.6a"><mrow id="S3.E4.m1.6.6.1"><mrow id="S3.E4.m1.6.6.1.1.2" xref="S3.E4.m1.6.6.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1" xref="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.6" xref="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.6.cmml"><mi id="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.6.2" xref="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.6.2.cmml">A</mi><mrow id="S3.E4.m1.2.2.2.4" xref="S3.E4.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E4.m1.1.1.1.1" xref="S3.E4.m1.1.1.1.1.cmml">j</mi><mo id="S3.E4.m1.2.2.2.4.1" xref="S3.E4.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.E4.m1.2.2.2.2" xref="S3.E4.m1.2.2.2.2.cmml">k</mi></mrow></msub><mo id="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.7" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.7.cmml">:=</mo><mrow id="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.4" xref="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.4.cmml"><mrow id="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝐞</mi><mi id="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.4.5" xref="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.4.5.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mo id="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml">⟨</mo><msub id="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.1.1" xref="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml"><mi id="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.1.1.2" xref="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.1.1.2.cmml">𝐞</mi><mi id="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.1.1.3" xref="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.1.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.2.4" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml">|</mo><msub id="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml"><mi id="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.2.2.2" xref="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.2.2.2.cmml">𝐟</mi><mi id="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.2.2.3" xref="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.2.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.2.5" stretchy="false" xref="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.4.5a" xref="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.4.5.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.4.4.1" xref="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.4.4.2.cmml"><mo id="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.4.4.1.2" stretchy="false" xref="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.4.4.2.1.cmml">⟨</mo><msub id="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.4.4.1.1" xref="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.4.4.1.1.cmml"><mi id="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.4.4.1.1.2" xref="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.4.4.1.1.2.cmml">𝐟</mi><mi id="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.4.4.1.1.3" xref="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.4.4.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.4.4.1.3" stretchy="false" xref="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.4.4.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.8" xref="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.8.cmml">=</mo><mrow id="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.9" xref="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.9.cmml"><msub id="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.9.2" xref="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.9.2.cmml"><mi id="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.9.2.2" xref="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.9.2.2.cmml">P</mi><mi id="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.9.2.3" xref="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.9.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.9.1" xref="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.9.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.9.3" xref="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.9.3.cmml"><mi id="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.9.3.2" xref="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.9.3.2.cmml">Q</mi><mi id="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.9.3.3" xref="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.9.3.3.cmml">k</mi></msub></mrow></mrow><mspace id="S3.E4.m1.6.6.1.1.2.3" width="1.11111111111111em" xref="S3.E4.m1.6.6.1.1.3a.cmml"></mspace><mrow id="S3.E4.m1.6.6.1.1.2.2.1" xref="S3.E4.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.cmml"><mo id="S3.E4.m1.6.6.1.1.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S3.E4.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E4.m1.6.6.1.1.2.2.1.1" xref="S3.E4.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S3.E4.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.2.2" xref="S3.E4.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.2.1.cmml"><mi id="S3.E4.m1.4.4" xref="S3.E4.m1.4.4.cmml">j</mi><mo id="S3.E4.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.2.2.1" xref="S3.E4.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.2.1.cmml">,</mo><mi id="S3.E4.m1.5.5" xref="S3.E4.m1.5.5.cmml">k</mi></mrow><mo id="S3.E4.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1" xref="S3.E4.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.cmml">∈</mo><mrow id="S3.E4.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.3.2" xref="S3.E4.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.3.1.cmml"><mo id="S3.E4.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E4.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S3.E4.m1.3.3" xref="S3.E4.m1.3.3.cmml">d</mi><mo id="S3.E4.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.E4.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E4.m1.6.6.1.1.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S3.E4.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E4.m1.6.6.1.2" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E4.m1.6b"><apply id="S3.E4.m1.6.6.1.1.3.cmml" xref="S3.E4.m1.6.6.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E4.m1.6.6.1.1.3a.cmml" xref="S3.E4.m1.6.6.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1"><and id="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1a.cmml" xref="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1"></and><apply id="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1b.cmml" xref="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.7.cmml" xref="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.7">assign</csymbol><apply id="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.6.cmml" xref="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.6.1.cmml" xref="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.6">subscript</csymbol><ci id="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.6.2.cmml" xref="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.6.2">𝐴</ci><list id="S3.E4.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E4.m1.2.2.2.4"><ci id="S3.E4.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E4.m1.1.1.1.1">𝑗</ci><ci id="S3.E4.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E4.m1.2.2.2.2">𝑘</ci></list></apply><apply id="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.4"><times id="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.4.5.cmml" xref="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.4.5"></times><apply id="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2">ket</csymbol><apply id="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝐞</ci><ci id="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.2.3">inner-product</csymbol><apply id="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.1.1.2">𝐞</ci><ci id="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.1.1.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.2.2.1.cmml" xref="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.2.2.2">𝐟</ci><ci id="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.2.2.3.cmml" xref="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.2.2.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.4.4.2.cmml" xref="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.4.4.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.4.4.2.1.cmml" xref="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.4.4.1.2">bra</csymbol><apply id="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.4.4.1.1.cmml" xref="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.4.4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.4.4.1.1.1.cmml" xref="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.4.4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.4.4.1.1.2.cmml" xref="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.4.4.1.1.2">𝐟</ci><ci id="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.4.4.1.1.3.cmml" xref="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.4.4.1.1.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1c.cmml" xref="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1"><eq id="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.8.cmml" xref="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.8"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.4.cmml" id="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1d.cmml" xref="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1"></share><apply id="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.9.cmml" xref="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.9"><times id="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.9.1.cmml" xref="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.9.1"></times><apply id="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.9.2.cmml" xref="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.9.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.9.2.1.cmml" xref="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.9.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.9.2.2.cmml" xref="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.9.2.2">𝑃</ci><ci id="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.9.2.3.cmml" xref="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.9.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.9.3.cmml" xref="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.9.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.9.3.1.cmml" xref="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.9.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.9.3.2.cmml" xref="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.9.3.2">𝑄</ci><ci id="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.9.3.3.cmml" xref="S3.E4.m1.6.6.1.1.1.1.9.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E4.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.E4.m1.6.6.1.1.2.2.1"><in id="S3.E4.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.E4.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.1"></in><list id="S3.E4.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E4.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.2.2"><ci id="S3.E4.m1.4.4.cmml" xref="S3.E4.m1.4.4">𝑗</ci><ci id="S3.E4.m1.5.5.cmml" xref="S3.E4.m1.5.5">𝑘</ci></list><apply id="S3.E4.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E4.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.E4.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.3.1.1.cmml" xref="S3.E4.m1.6.6.1.1.2.2.1.1.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S3.E4.m1.3.3.cmml" xref="S3.E4.m1.3.3">𝑑</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E4.m1.6c">A_{j,k}:=|\mathbf{e}_{j}\rangle\langle\mathbf{e}_{j}|\mathbf{f}_{k}\rangle% \langle\mathbf{f}_{k}|=P_{j}Q_{k}\;\;\;\;(j,k\in[d]).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E4.m1.6d">italic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k end_POSTSUBSCRIPT := | bold_e start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ⟩ ⟨ bold_e start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT | bold_f start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ⟩ ⟨ bold_f start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT | = italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_Q start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_j , italic_k ∈ [ italic_d ] ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.6.p4.10">Using the MUB-property, direct computation shows that</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E5"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(3.5)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\langle A_{j,k},A_{j^{\prime},k^{\prime}}\rangle_{H}=\delta_{j,j^{\prime}}% \delta_{k,k^{\prime}}\frac{1}{d}\;\;\;\;(j,j^{\prime},k,k^{\prime}\in[d])," class="ltx_Math" display="block" id="S3.E5.m1.12"><semantics id="S3.E5.m1.12a"><mrow id="S3.E5.m1.12.12.1" xref="S3.E5.m1.12.12.1.1.cmml"><mrow id="S3.E5.m1.12.12.1.1" xref="S3.E5.m1.12.12.1.1.cmml"><msub id="S3.E5.m1.12.12.1.1.2" xref="S3.E5.m1.12.12.1.1.2.cmml"><mrow id="S3.E5.m1.12.12.1.1.2.2.2" xref="S3.E5.m1.12.12.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="S3.E5.m1.12.12.1.1.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.E5.m1.12.12.1.1.2.2.3.cmml">⟨</mo><msub id="S3.E5.m1.12.12.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E5.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E5.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E5.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.2.cmml">A</mi><mrow id="S3.E5.m1.2.2.2.4" xref="S3.E5.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E5.m1.1.1.1.1" xref="S3.E5.m1.1.1.1.1.cmml">j</mi><mo id="S3.E5.m1.2.2.2.4.1" xref="S3.E5.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.E5.m1.2.2.2.2" xref="S3.E5.m1.2.2.2.2.cmml">k</mi></mrow></msub><mo id="S3.E5.m1.12.12.1.1.2.2.2.4" xref="S3.E5.m1.12.12.1.1.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.E5.m1.12.12.1.1.2.2.2.2" xref="S3.E5.m1.12.12.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.E5.m1.12.12.1.1.2.2.2.2.2" xref="S3.E5.m1.12.12.1.1.2.2.2.2.2.cmml">A</mi><mrow id="S3.E5.m1.4.4.2.2" xref="S3.E5.m1.4.4.2.3.cmml"><msup id="S3.E5.m1.3.3.1.1.1" xref="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">j</mi><mo id="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.E5.m1.4.4.2.2.3" xref="S3.E5.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><msup id="S3.E5.m1.4.4.2.2.2" xref="S3.E5.m1.4.4.2.2.2.cmml"><mi id="S3.E5.m1.4.4.2.2.2.2" xref="S3.E5.m1.4.4.2.2.2.2.cmml">k</mi><mo id="S3.E5.m1.4.4.2.2.2.3" xref="S3.E5.m1.4.4.2.2.2.3.cmml">′</mo></msup></mrow></msub><mo id="S3.E5.m1.12.12.1.1.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.E5.m1.12.12.1.1.2.2.3.cmml">⟩</mo></mrow><mi id="S3.E5.m1.12.12.1.1.2.4" xref="S3.E5.m1.12.12.1.1.2.4.cmml">H</mi></msub><mo id="S3.E5.m1.12.12.1.1.5" xref="S3.E5.m1.12.12.1.1.5.cmml">=</mo><mrow id="S3.E5.m1.12.12.1.1.4.2" xref="S3.E5.m1.12.12.1.1.4.3.cmml"><mrow id="S3.E5.m1.12.12.1.1.3.1.1" xref="S3.E5.m1.12.12.1.1.3.1.1.cmml"><msub id="S3.E5.m1.12.12.1.1.3.1.1.2" xref="S3.E5.m1.12.12.1.1.3.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E5.m1.12.12.1.1.3.1.1.2.2" xref="S3.E5.m1.12.12.1.1.3.1.1.2.2.cmml">δ</mi><mrow id="S3.E5.m1.6.6.2.2" xref="S3.E5.m1.6.6.2.3.cmml"><mi id="S3.E5.m1.5.5.1.1" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1.cmml">j</mi><mo id="S3.E5.m1.6.6.2.2.2" xref="S3.E5.m1.6.6.2.3.cmml">,</mo><msup id="S3.E5.m1.6.6.2.2.1" xref="S3.E5.m1.6.6.2.2.1.cmml"><mi id="S3.E5.m1.6.6.2.2.1.2" xref="S3.E5.m1.6.6.2.2.1.2.cmml">j</mi><mo id="S3.E5.m1.6.6.2.2.1.3" xref="S3.E5.m1.6.6.2.2.1.3.cmml">′</mo></msup></mrow></msub><mo id="S3.E5.m1.12.12.1.1.3.1.1.1" xref="S3.E5.m1.12.12.1.1.3.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E5.m1.12.12.1.1.3.1.1.3" xref="S3.E5.m1.12.12.1.1.3.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E5.m1.12.12.1.1.3.1.1.3.2" xref="S3.E5.m1.12.12.1.1.3.1.1.3.2.cmml">δ</mi><mrow id="S3.E5.m1.8.8.2.2" xref="S3.E5.m1.8.8.2.3.cmml"><mi id="S3.E5.m1.7.7.1.1" xref="S3.E5.m1.7.7.1.1.cmml">k</mi><mo id="S3.E5.m1.8.8.2.2.2" xref="S3.E5.m1.8.8.2.3.cmml">,</mo><msup id="S3.E5.m1.8.8.2.2.1" xref="S3.E5.m1.8.8.2.2.1.cmml"><mi id="S3.E5.m1.8.8.2.2.1.2" xref="S3.E5.m1.8.8.2.2.1.2.cmml">k</mi><mo id="S3.E5.m1.8.8.2.2.1.3" xref="S3.E5.m1.8.8.2.2.1.3.cmml">′</mo></msup></mrow></msub><mo id="S3.E5.m1.12.12.1.1.3.1.1.1a" xref="S3.E5.m1.12.12.1.1.3.1.1.1.cmml">⁢</mo><mfrac id="S3.E5.m1.12.12.1.1.3.1.1.4" xref="S3.E5.m1.12.12.1.1.3.1.1.4.cmml"><mn id="S3.E5.m1.12.12.1.1.3.1.1.4.2" xref="S3.E5.m1.12.12.1.1.3.1.1.4.2.cmml">1</mn><mi id="S3.E5.m1.12.12.1.1.3.1.1.4.3" xref="S3.E5.m1.12.12.1.1.3.1.1.4.3.cmml">d</mi></mfrac></mrow><mspace id="S3.E5.m1.12.12.1.1.4.2.3" width="1.11111111111111em" xref="S3.E5.m1.12.12.1.1.4.3.cmml"></mspace><mrow id="S3.E5.m1.12.12.1.1.4.2.2.1" xref="S3.E5.m1.12.12.1.1.4.2.2.1.1.cmml"><mo id="S3.E5.m1.12.12.1.1.4.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S3.E5.m1.12.12.1.1.4.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E5.m1.12.12.1.1.4.2.2.1.1" xref="S3.E5.m1.12.12.1.1.4.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S3.E5.m1.12.12.1.1.4.2.2.1.1.2.2" xref="S3.E5.m1.12.12.1.1.4.2.2.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.E5.m1.10.10" xref="S3.E5.m1.10.10.cmml">j</mi><mo id="S3.E5.m1.12.12.1.1.4.2.2.1.1.2.2.3" xref="S3.E5.m1.12.12.1.1.4.2.2.1.1.2.3.cmml">,</mo><msup id="S3.E5.m1.12.12.1.1.4.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.E5.m1.12.12.1.1.4.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E5.m1.12.12.1.1.4.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E5.m1.12.12.1.1.4.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">j</mi><mo id="S3.E5.m1.12.12.1.1.4.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E5.m1.12.12.1.1.4.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.E5.m1.12.12.1.1.4.2.2.1.1.2.2.4" xref="S3.E5.m1.12.12.1.1.4.2.2.1.1.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.E5.m1.11.11" xref="S3.E5.m1.11.11.cmml">k</mi><mo id="S3.E5.m1.12.12.1.1.4.2.2.1.1.2.2.5" xref="S3.E5.m1.12.12.1.1.4.2.2.1.1.2.3.cmml">,</mo><msup id="S3.E5.m1.12.12.1.1.4.2.2.1.1.2.2.2" xref="S3.E5.m1.12.12.1.1.4.2.2.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.E5.m1.12.12.1.1.4.2.2.1.1.2.2.2.2" xref="S3.E5.m1.12.12.1.1.4.2.2.1.1.2.2.2.2.cmml">k</mi><mo id="S3.E5.m1.12.12.1.1.4.2.2.1.1.2.2.2.3" xref="S3.E5.m1.12.12.1.1.4.2.2.1.1.2.2.2.3.cmml">′</mo></msup></mrow><mo id="S3.E5.m1.12.12.1.1.4.2.2.1.1.3" xref="S3.E5.m1.12.12.1.1.4.2.2.1.1.3.cmml">∈</mo><mrow id="S3.E5.m1.12.12.1.1.4.2.2.1.1.4.2" xref="S3.E5.m1.12.12.1.1.4.2.2.1.1.4.1.cmml"><mo id="S3.E5.m1.12.12.1.1.4.2.2.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S3.E5.m1.12.12.1.1.4.2.2.1.1.4.1.1.cmml">[</mo><mi id="S3.E5.m1.9.9" xref="S3.E5.m1.9.9.cmml">d</mi><mo id="S3.E5.m1.12.12.1.1.4.2.2.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S3.E5.m1.12.12.1.1.4.2.2.1.1.4.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E5.m1.12.12.1.1.4.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S3.E5.m1.12.12.1.1.4.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E5.m1.12.12.1.2" xref="S3.E5.m1.12.12.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E5.m1.12b"><apply id="S3.E5.m1.12.12.1.1.cmml" xref="S3.E5.m1.12.12.1"><eq id="S3.E5.m1.12.12.1.1.5.cmml" xref="S3.E5.m1.12.12.1.1.5"></eq><apply id="S3.E5.m1.12.12.1.1.2.cmml" xref="S3.E5.m1.12.12.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E5.m1.12.12.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E5.m1.12.12.1.1.2">subscript</csymbol><list id="S3.E5.m1.12.12.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.E5.m1.12.12.1.1.2.2.2"><apply id="S3.E5.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E5.m1.12.12.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E5.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E5.m1.12.12.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.E5.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E5.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.2">𝐴</ci><list id="S3.E5.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E5.m1.2.2.2.4"><ci id="S3.E5.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E5.m1.1.1.1.1">𝑗</ci><ci id="S3.E5.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E5.m1.2.2.2.2">𝑘</ci></list></apply><apply id="S3.E5.m1.12.12.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E5.m1.12.12.1.1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E5.m1.12.12.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E5.m1.12.12.1.1.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E5.m1.12.12.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E5.m1.12.12.1.1.2.2.2.2.2">𝐴</ci><list id="S3.E5.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.2.2"><apply id="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.E5.m1.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E5.m1.3.3.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.2">𝑗</ci><ci id="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E5.m1.3.3.1.1.1.3">′</ci></apply><apply id="S3.E5.m1.4.4.2.2.2.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E5.m1.4.4.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S3.E5.m1.4.4.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.2.2.2.2">𝑘</ci><ci id="S3.E5.m1.4.4.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.2.2.2.3">′</ci></apply></list></apply></list><ci id="S3.E5.m1.12.12.1.1.2.4.cmml" xref="S3.E5.m1.12.12.1.1.2.4">𝐻</ci></apply><list id="S3.E5.m1.12.12.1.1.4.3.cmml" xref="S3.E5.m1.12.12.1.1.4.2"><apply id="S3.E5.m1.12.12.1.1.3.1.1.cmml" xref="S3.E5.m1.12.12.1.1.3.1.1"><times id="S3.E5.m1.12.12.1.1.3.1.1.1.cmml" xref="S3.E5.m1.12.12.1.1.3.1.1.1"></times><apply id="S3.E5.m1.12.12.1.1.3.1.1.2.cmml" xref="S3.E5.m1.12.12.1.1.3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E5.m1.12.12.1.1.3.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E5.m1.12.12.1.1.3.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E5.m1.12.12.1.1.3.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E5.m1.12.12.1.1.3.1.1.2.2">𝛿</ci><list id="S3.E5.m1.6.6.2.3.cmml" xref="S3.E5.m1.6.6.2.2"><ci id="S3.E5.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S3.E5.m1.5.5.1.1">𝑗</ci><apply id="S3.E5.m1.6.6.2.2.1.cmml" xref="S3.E5.m1.6.6.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E5.m1.6.6.2.2.1.1.cmml" xref="S3.E5.m1.6.6.2.2.1">superscript</csymbol><ci id="S3.E5.m1.6.6.2.2.1.2.cmml" xref="S3.E5.m1.6.6.2.2.1.2">𝑗</ci><ci id="S3.E5.m1.6.6.2.2.1.3.cmml" xref="S3.E5.m1.6.6.2.2.1.3">′</ci></apply></list></apply><apply id="S3.E5.m1.12.12.1.1.3.1.1.3.cmml" xref="S3.E5.m1.12.12.1.1.3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E5.m1.12.12.1.1.3.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E5.m1.12.12.1.1.3.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E5.m1.12.12.1.1.3.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E5.m1.12.12.1.1.3.1.1.3.2">𝛿</ci><list id="S3.E5.m1.8.8.2.3.cmml" xref="S3.E5.m1.8.8.2.2"><ci id="S3.E5.m1.7.7.1.1.cmml" xref="S3.E5.m1.7.7.1.1">𝑘</ci><apply id="S3.E5.m1.8.8.2.2.1.cmml" xref="S3.E5.m1.8.8.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E5.m1.8.8.2.2.1.1.cmml" xref="S3.E5.m1.8.8.2.2.1">superscript</csymbol><ci id="S3.E5.m1.8.8.2.2.1.2.cmml" xref="S3.E5.m1.8.8.2.2.1.2">𝑘</ci><ci id="S3.E5.m1.8.8.2.2.1.3.cmml" xref="S3.E5.m1.8.8.2.2.1.3">′</ci></apply></list></apply><apply id="S3.E5.m1.12.12.1.1.3.1.1.4.cmml" xref="S3.E5.m1.12.12.1.1.3.1.1.4"><divide id="S3.E5.m1.12.12.1.1.3.1.1.4.1.cmml" xref="S3.E5.m1.12.12.1.1.3.1.1.4"></divide><cn id="S3.E5.m1.12.12.1.1.3.1.1.4.2.cmml" type="integer" xref="S3.E5.m1.12.12.1.1.3.1.1.4.2">1</cn><ci id="S3.E5.m1.12.12.1.1.3.1.1.4.3.cmml" xref="S3.E5.m1.12.12.1.1.3.1.1.4.3">𝑑</ci></apply></apply><apply id="S3.E5.m1.12.12.1.1.4.2.2.1.1.cmml" xref="S3.E5.m1.12.12.1.1.4.2.2.1"><in id="S3.E5.m1.12.12.1.1.4.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.E5.m1.12.12.1.1.4.2.2.1.1.3"></in><list id="S3.E5.m1.12.12.1.1.4.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E5.m1.12.12.1.1.4.2.2.1.1.2.2"><ci id="S3.E5.m1.10.10.cmml" xref="S3.E5.m1.10.10">𝑗</ci><apply id="S3.E5.m1.12.12.1.1.4.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E5.m1.12.12.1.1.4.2.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E5.m1.12.12.1.1.4.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E5.m1.12.12.1.1.4.2.2.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.E5.m1.12.12.1.1.4.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E5.m1.12.12.1.1.4.2.2.1.1.1.1.1.2">𝑗</ci><ci id="S3.E5.m1.12.12.1.1.4.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E5.m1.12.12.1.1.4.2.2.1.1.1.1.1.3">′</ci></apply><ci id="S3.E5.m1.11.11.cmml" xref="S3.E5.m1.11.11">𝑘</ci><apply id="S3.E5.m1.12.12.1.1.4.2.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E5.m1.12.12.1.1.4.2.2.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E5.m1.12.12.1.1.4.2.2.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E5.m1.12.12.1.1.4.2.2.1.1.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S3.E5.m1.12.12.1.1.4.2.2.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E5.m1.12.12.1.1.4.2.2.1.1.2.2.2.2">𝑘</ci><ci id="S3.E5.m1.12.12.1.1.4.2.2.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E5.m1.12.12.1.1.4.2.2.1.1.2.2.2.3">′</ci></apply></list><apply id="S3.E5.m1.12.12.1.1.4.2.2.1.1.4.1.cmml" xref="S3.E5.m1.12.12.1.1.4.2.2.1.1.4.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.E5.m1.12.12.1.1.4.2.2.1.1.4.1.1.cmml" xref="S3.E5.m1.12.12.1.1.4.2.2.1.1.4.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S3.E5.m1.9.9.cmml" xref="S3.E5.m1.9.9">𝑑</ci></apply></apply></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E5.m1.12c">\langle A_{j,k},A_{j^{\prime},k^{\prime}}\rangle_{H}=\delta_{j,j^{\prime}}% \delta_{k,k^{\prime}}\frac{1}{d}\;\;\;\;(j,j^{\prime},k,k^{\prime}\in[d]),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E5.m1.12d">⟨ italic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k end_POSTSUBSCRIPT , italic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_j start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_k start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ⟩ start_POSTSUBSCRIPT italic_H end_POSTSUBSCRIPT = italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_j start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_k , italic_k start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_d end_ARG ( italic_j , italic_j start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_k , italic_k start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ∈ [ italic_d ] ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.6.p4.4">i.e. that these <math alttext="d^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.6.p4.1.m1.1"><semantics id="S3.6.p4.1.m1.1a"><msup id="S3.6.p4.1.m1.1.1" xref="S3.6.p4.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.6.p4.1.m1.1.1.2" xref="S3.6.p4.1.m1.1.1.2.cmml">d</mi><mn id="S3.6.p4.1.m1.1.1.3" xref="S3.6.p4.1.m1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.6.p4.1.m1.1b"><apply id="S3.6.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.6.p4.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.6.p4.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.6.p4.1.m1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.6.p4.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.6.p4.1.m1.1.1.2">𝑑</ci><cn id="S3.6.p4.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.6.p4.1.m1.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.6.p4.1.m1.1c">d^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.6.p4.1.m1.1d">italic_d start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> matrices form an orthogonal basis of <math alttext="M_{d}(\mathbb{C})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.6.p4.2.m2.1"><semantics id="S3.6.p4.2.m2.1a"><mrow id="S3.6.p4.2.m2.1.2" xref="S3.6.p4.2.m2.1.2.cmml"><msub id="S3.6.p4.2.m2.1.2.2" xref="S3.6.p4.2.m2.1.2.2.cmml"><mi id="S3.6.p4.2.m2.1.2.2.2" xref="S3.6.p4.2.m2.1.2.2.2.cmml">M</mi><mi id="S3.6.p4.2.m2.1.2.2.3" xref="S3.6.p4.2.m2.1.2.2.3.cmml">d</mi></msub><mo id="S3.6.p4.2.m2.1.2.1" xref="S3.6.p4.2.m2.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.6.p4.2.m2.1.2.3.2" xref="S3.6.p4.2.m2.1.2.cmml"><mo id="S3.6.p4.2.m2.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.6.p4.2.m2.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.6.p4.2.m2.1.1" xref="S3.6.p4.2.m2.1.1.cmml">ℂ</mi><mo id="S3.6.p4.2.m2.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.6.p4.2.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.6.p4.2.m2.1b"><apply id="S3.6.p4.2.m2.1.2.cmml" xref="S3.6.p4.2.m2.1.2"><times id="S3.6.p4.2.m2.1.2.1.cmml" xref="S3.6.p4.2.m2.1.2.1"></times><apply id="S3.6.p4.2.m2.1.2.2.cmml" xref="S3.6.p4.2.m2.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.6.p4.2.m2.1.2.2.1.cmml" xref="S3.6.p4.2.m2.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.6.p4.2.m2.1.2.2.2.cmml" xref="S3.6.p4.2.m2.1.2.2.2">𝑀</ci><ci id="S3.6.p4.2.m2.1.2.2.3.cmml" xref="S3.6.p4.2.m2.1.2.2.3">𝑑</ci></apply><ci id="S3.6.p4.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.6.p4.2.m2.1.1">ℂ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.6.p4.2.m2.1c">M_{d}(\mathbb{C})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.6.p4.2.m2.1d">italic_M start_POSTSUBSCRIPT italic_d end_POSTSUBSCRIPT ( blackboard_C )</annotation></semantics></math>, normalized to <math alttext="1/\sqrt{d}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.6.p4.3.m3.1"><semantics id="S3.6.p4.3.m3.1a"><mrow id="S3.6.p4.3.m3.1.1" xref="S3.6.p4.3.m3.1.1.cmml"><mn id="S3.6.p4.3.m3.1.1.2" xref="S3.6.p4.3.m3.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S3.6.p4.3.m3.1.1.1" xref="S3.6.p4.3.m3.1.1.1.cmml">/</mo><msqrt id="S3.6.p4.3.m3.1.1.3" xref="S3.6.p4.3.m3.1.1.3.cmml"><mi id="S3.6.p4.3.m3.1.1.3.2" xref="S3.6.p4.3.m3.1.1.3.2.cmml">d</mi></msqrt></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.6.p4.3.m3.1b"><apply id="S3.6.p4.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.6.p4.3.m3.1.1"><divide id="S3.6.p4.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.6.p4.3.m3.1.1.1"></divide><cn id="S3.6.p4.3.m3.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S3.6.p4.3.m3.1.1.2">1</cn><apply id="S3.6.p4.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.6.p4.3.m3.1.1.3"><root id="S3.6.p4.3.m3.1.1.3a.cmml" xref="S3.6.p4.3.m3.1.1.3"></root><ci id="S3.6.p4.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S3.6.p4.3.m3.1.1.3.2">𝑑</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.6.p4.3.m3.1c">1/\sqrt{d}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.6.p4.3.m3.1d">1 / square-root start_ARG italic_d end_ARG</annotation></semantics></math>. Clearly, the same is true regarding the (possibly different) set of <math alttext="d^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.6.p4.4.m4.1"><semantics id="S3.6.p4.4.m4.1a"><msup id="S3.6.p4.4.m4.1.1" xref="S3.6.p4.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S3.6.p4.4.m4.1.1.2" xref="S3.6.p4.4.m4.1.1.2.cmml">d</mi><mn id="S3.6.p4.4.m4.1.1.3" xref="S3.6.p4.4.m4.1.1.3.cmml">2</mn></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.6.p4.4.m4.1b"><apply id="S3.6.p4.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.6.p4.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.6.p4.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.6.p4.4.m4.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.6.p4.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.6.p4.4.m4.1.1.2">𝑑</ci><cn id="S3.6.p4.4.m4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.6.p4.4.m4.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.6.p4.4.m4.1c">d^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.6.p4.4.m4.1d">italic_d start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> matrices</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex5"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\tilde{A}_{j,k}:=UA_{j,k}U^{*}=|\tilde{\mathbf{e}}_{j}\rangle\langle\tilde{% \mathbf{e}}_{j}|\tilde{\mathbf{f}}_{k}\rangle\langle\tilde{\mathbf{f}}_{k}|\;% \;\;\;(j,j^{\prime},k,k^{\prime}\in[d])." class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex5.m1.8"><semantics id="S3.Ex5.m1.8a"><mrow id="S3.Ex5.m1.8.8.1"><mrow id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.2" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.6" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.6.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.6.2" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.6.2.cmml"><mi id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.6.2.2" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.6.2.2.cmml">A</mi><mo id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.6.2.1" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.6.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="S3.Ex5.m1.2.2.2.4" xref="S3.Ex5.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex5.m1.2.2.2.4.1" xref="S3.Ex5.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex5.m1.2.2.2.2" xref="S3.Ex5.m1.2.2.2.2.cmml">k</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.7" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.7.cmml">:=</mo><mrow id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.8" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.8.cmml"><mi id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.8.2" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.8.2.cmml">U</mi><mo id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.8.1" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.8.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.8.3" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.8.3.cmml"><mi id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.8.3.2" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.8.3.2.cmml">A</mi><mrow id="S3.Ex5.m1.4.4.2.4" xref="S3.Ex5.m1.4.4.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex5.m1.3.3.1.1" xref="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex5.m1.4.4.2.4.1" xref="S3.Ex5.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex5.m1.4.4.2.2" xref="S3.Ex5.m1.4.4.2.2.cmml">k</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.8.1a" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.8.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.8.4" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.8.4.cmml"><mi id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.8.4.2" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.8.4.2.cmml">U</mi><mo id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.8.4.3" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.8.4.3.cmml">∗</mo></msup></mrow><mo id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.9" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.9.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.4" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.4.cmml"><mrow id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝐞</mi><mo id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.4.5" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.4.5.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mo id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml">⟨</mo><msub id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.2.2.1.1" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.2.2.1.1.2" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.cmml">𝐞</mi><mo id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.2.2.1.1.2.1" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.2.2.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.2.2.1.1.3" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.2.2.1.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.2.4" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml">|</mo><msub id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.2.2.2" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.cmml">𝐟</mi><mo id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.2.2.2.1" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.2.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.2.2.3" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.2.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.2.5" stretchy="false" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.4.5a" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.4.5.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.4.4.1" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.4.4.2.cmml"><mo id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.4.4.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.4.4.2.1.cmml">⟨</mo><msub id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.4.4.1.1" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.4.4.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.4.4.1.1.2" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.4.4.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.4.4.1.1.2.2" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.4.4.1.1.2.2.cmml">𝐟</mi><mo id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.4.4.1.1.2.1" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.4.4.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.4.4.1.1.3" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.4.4.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.4.4.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.4.4.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></mrow><mspace id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.2.3" width="1.11111111111111em" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.3a.cmml"></mspace><mrow id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.2.2.1" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.2.2.1.1" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.2.2" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex5.m1.6.6" xref="S3.Ex5.m1.6.6.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.2.3.cmml">,</mo><msup id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.2.2.4" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex5.m1.7.7" xref="S3.Ex5.m1.7.7.cmml">k</mi><mo id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.2.2.5" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.2.3.cmml">,</mo><msup id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.2.2.2.2" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.2.2.2.2.cmml">k</mi><mo id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3.cmml">′</mo></msup></mrow><mo id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.3" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.3.cmml">∈</mo><mrow id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.4.2" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.4.1.cmml"><mo id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.4.1.1.cmml">[</mo><mi id="S3.Ex5.m1.5.5" xref="S3.Ex5.m1.5.5.cmml">d</mi><mo id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.4.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex5.m1.8.8.1.2" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex5.m1.8b"><apply id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.3a.cmml" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1"><and id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1a.cmml" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1"></and><apply id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1b.cmml" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.7.cmml" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.7">assign</csymbol><apply id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.6.cmml" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.6.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.6">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.6.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.6.2"><ci id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.6.2.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.6.2.1">~</ci><ci id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.6.2.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.6.2.2">𝐴</ci></apply><list id="S3.Ex5.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex5.m1.2.2.2.4"><ci id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1">𝑗</ci><ci id="S3.Ex5.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.2.2.2.2">𝑘</ci></list></apply><apply id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.8.cmml" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.8"><times id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.8.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.8.1"></times><ci id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.8.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.8.2">𝑈</ci><apply id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.8.3.cmml" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.8.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.8.3.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.8.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.8.3.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.8.3.2">𝐴</ci><list id="S3.Ex5.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S3.Ex5.m1.4.4.2.4"><ci id="S3.Ex5.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.3.3.1.1">𝑗</ci><ci id="S3.Ex5.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.4.4.2.2">𝑘</ci></list></apply><apply id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.8.4.cmml" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.8.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.8.4.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.8.4">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.8.4.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.8.4.2">𝑈</ci><times id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.8.4.3.cmml" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.8.4.3"></times></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1c.cmml" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1"><eq id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.9.cmml" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.9"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.8.cmml" id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1d.cmml" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1"></share><apply id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.4"><times id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.4.5.cmml" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.4.5"></times><apply id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2">ket</csymbol><apply id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><ci id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝐞</ci></apply><ci id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.2.3">inner-product</csymbol><apply id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.2.2.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.2.2.1.1.2"><ci id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.2.2.1.1.2.1">~</ci><ci id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2">𝐞</ci></apply><ci id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.2.2.1.1.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.2.2">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.2.2.2"><ci id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.2.2.2.1">~</ci><ci id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2">𝐟</ci></apply><ci id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.3.3.2.2.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.4.4.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.4.4.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.4.4.2.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.4.4.1.2">bra</csymbol><apply id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.4.4.1.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.4.4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.4.4.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.4.4.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.4.4.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.4.4.1.1.2"><ci id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.4.4.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.4.4.1.1.2.1">~</ci><ci id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.4.4.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.4.4.1.1.2.2">𝐟</ci></apply><ci id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.4.4.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.1.1.4.4.1.1.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.2.2.1"><in id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.3"></in><list id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.2.2"><ci id="S3.Ex5.m1.6.6.cmml" xref="S3.Ex5.m1.6.6">𝑗</ci><apply id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2">𝑗</ci><ci id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3">′</ci></apply><ci id="S3.Ex5.m1.7.7.cmml" xref="S3.Ex5.m1.7.7">𝑘</ci><apply id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.2.2.2.2">𝑘</ci><ci id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.2.2.2.3">′</ci></apply></list><apply id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.4.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.4.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.4.1.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.1.2.2.1.1.4.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S3.Ex5.m1.5.5.cmml" xref="S3.Ex5.m1.5.5">𝑑</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex5.m1.8c">\tilde{A}_{j,k}:=UA_{j,k}U^{*}=|\tilde{\mathbf{e}}_{j}\rangle\langle\tilde{% \mathbf{e}}_{j}|\tilde{\mathbf{f}}_{k}\rangle\langle\tilde{\mathbf{f}}_{k}|\;% \;\;\;(j,j^{\prime},k,k^{\prime}\in[d]).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex5.m1.8d">over~ start_ARG italic_A end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k end_POSTSUBSCRIPT := italic_U italic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k end_POSTSUBSCRIPT italic_U start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT = | over~ start_ARG bold_e end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ⟩ ⟨ over~ start_ARG bold_e end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT | over~ start_ARG bold_f end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ⟩ ⟨ over~ start_ARG bold_f end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT | ( italic_j , italic_j start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_k , italic_k start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ∈ [ italic_d ] ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.6.p4.5">Then for every <math alttext="j,k,l\in[d]" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.6.p4.5.m1.4"><semantics id="S3.6.p4.5.m1.4a"><mrow id="S3.6.p4.5.m1.4.5" xref="S3.6.p4.5.m1.4.5.cmml"><mrow id="S3.6.p4.5.m1.4.5.2.2" xref="S3.6.p4.5.m1.4.5.2.1.cmml"><mi id="S3.6.p4.5.m1.2.2" xref="S3.6.p4.5.m1.2.2.cmml">j</mi><mo id="S3.6.p4.5.m1.4.5.2.2.1" xref="S3.6.p4.5.m1.4.5.2.1.cmml">,</mo><mi id="S3.6.p4.5.m1.3.3" xref="S3.6.p4.5.m1.3.3.cmml">k</mi><mo id="S3.6.p4.5.m1.4.5.2.2.2" xref="S3.6.p4.5.m1.4.5.2.1.cmml">,</mo><mi id="S3.6.p4.5.m1.4.4" xref="S3.6.p4.5.m1.4.4.cmml">l</mi></mrow><mo id="S3.6.p4.5.m1.4.5.1" xref="S3.6.p4.5.m1.4.5.1.cmml">∈</mo><mrow id="S3.6.p4.5.m1.4.5.3.2" xref="S3.6.p4.5.m1.4.5.3.1.cmml"><mo id="S3.6.p4.5.m1.4.5.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.6.p4.5.m1.4.5.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S3.6.p4.5.m1.1.1" xref="S3.6.p4.5.m1.1.1.cmml">d</mi><mo id="S3.6.p4.5.m1.4.5.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.6.p4.5.m1.4.5.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.6.p4.5.m1.4b"><apply id="S3.6.p4.5.m1.4.5.cmml" xref="S3.6.p4.5.m1.4.5"><in id="S3.6.p4.5.m1.4.5.1.cmml" xref="S3.6.p4.5.m1.4.5.1"></in><list id="S3.6.p4.5.m1.4.5.2.1.cmml" xref="S3.6.p4.5.m1.4.5.2.2"><ci id="S3.6.p4.5.m1.2.2.cmml" xref="S3.6.p4.5.m1.2.2">𝑗</ci><ci id="S3.6.p4.5.m1.3.3.cmml" xref="S3.6.p4.5.m1.3.3">𝑘</ci><ci id="S3.6.p4.5.m1.4.4.cmml" xref="S3.6.p4.5.m1.4.4">𝑙</ci></list><apply id="S3.6.p4.5.m1.4.5.3.1.cmml" xref="S3.6.p4.5.m1.4.5.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.6.p4.5.m1.4.5.3.1.1.cmml" xref="S3.6.p4.5.m1.4.5.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S3.6.p4.5.m1.1.1.cmml" xref="S3.6.p4.5.m1.1.1">𝑑</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.6.p4.5.m1.4c">j,k,l\in[d]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.6.p4.5.m1.4d">italic_j , italic_k , italic_l ∈ [ italic_d ]</annotation></semantics></math>,</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_eqnarray ltx_eqn_table" id="S4.EGx1"> <tbody id="S3.E6"> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="2"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(3.6)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\langle UR_{l}U^{*},\tilde{A}_{j,k}\rangle_{H}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex6.m1.4"><semantics id="S3.Ex6.m1.4a"><msub id="S3.Ex6.m1.4.4" xref="S3.Ex6.m1.4.4.cmml"><mrow id="S3.Ex6.m1.4.4.2.2" xref="S3.Ex6.m1.4.4.2.3.cmml"><mo id="S3.Ex6.m1.4.4.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex6.m1.4.4.2.3.cmml">⟨</mo><mrow id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">U</mi><mo id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.3.2.cmml">R</mi><mi id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.3.3.cmml">l</mi></msub><mo id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1a" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.4" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.4.2" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.4.2.cmml">U</mi><mo id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.4.3" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.4.3.cmml">∗</mo></msup></mrow><mo id="S3.Ex6.m1.4.4.2.2.4" xref="S3.Ex6.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex6.m1.4.4.2.2.2" xref="S3.Ex6.m1.4.4.2.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex6.m1.4.4.2.2.2.2" xref="S3.Ex6.m1.4.4.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex6.m1.4.4.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex6.m1.4.4.2.2.2.2.2.cmml">A</mi><mo id="S3.Ex6.m1.4.4.2.2.2.2.1" xref="S3.Ex6.m1.4.4.2.2.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="S3.Ex6.m1.2.2.2.4" xref="S3.Ex6.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex6.m1.2.2.2.4.1" xref="S3.Ex6.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex6.m1.2.2.2.2" xref="S3.Ex6.m1.2.2.2.2.cmml">k</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex6.m1.4.4.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.Ex6.m1.4.4.2.3.cmml">⟩</mo></mrow><mi id="S3.Ex6.m1.4.4.4" xref="S3.Ex6.m1.4.4.4.cmml">H</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex6.m1.4b"><apply id="S3.Ex6.m1.4.4.cmml" xref="S3.Ex6.m1.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex6.m1.4.4.3.cmml" xref="S3.Ex6.m1.4.4">subscript</csymbol><list id="S3.Ex6.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S3.Ex6.m1.4.4.2.2"><apply id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1"><times id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1"></times><ci id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.2">𝑈</ci><apply id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.3.2">𝑅</ci><ci id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.3.3">𝑙</ci></apply><apply id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.4">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.4.2">𝑈</ci><times id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.4.3.cmml" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.4.3"></times></apply></apply><apply id="S3.Ex6.m1.4.4.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.4.4.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex6.m1.4.4.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.4.4.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex6.m1.4.4.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.4.4.2.2.2.2"><ci id="S3.Ex6.m1.4.4.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.4.4.2.2.2.2.1">~</ci><ci id="S3.Ex6.m1.4.4.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.4.4.2.2.2.2.2">𝐴</ci></apply><list id="S3.Ex6.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex6.m1.2.2.2.4"><ci id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1">𝑗</ci><ci id="S3.Ex6.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.2.2.2.2">𝑘</ci></list></apply></list><ci id="S3.Ex6.m1.4.4.4.cmml" xref="S3.Ex6.m1.4.4.4">𝐻</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex6.m1.4c">\displaystyle\langle UR_{l}U^{*},\tilde{A}_{j,k}\rangle_{H}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex6.m1.4d">⟨ italic_U italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT italic_U start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT , over~ start_ARG italic_A end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k end_POSTSUBSCRIPT ⟩ start_POSTSUBSCRIPT italic_H end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex6.m2.1"><semantics id="S3.Ex6.m2.1a"><mo id="S3.Ex6.m2.1.1" xref="S3.Ex6.m2.1.1.cmml">=</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex6.m2.1b"><eq id="S3.Ex6.m2.1.1.cmml" xref="S3.Ex6.m2.1.1"></eq></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex6.m2.1c">\displaystyle=</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex6.m2.1d">=</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\langle UR_{l}U^{*},UA_{j,k}U^{*}\rangle_{H}=\langle R_{l},A_{j,k% }\rangle_{H}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex6.m3.8"><semantics id="S3.Ex6.m3.8a"><mrow id="S3.Ex6.m3.8.8" xref="S3.Ex6.m3.8.8.cmml"><msub id="S3.Ex6.m3.6.6.2" xref="S3.Ex6.m3.6.6.2.cmml"><mrow id="S3.Ex6.m3.6.6.2.2.2" xref="S3.Ex6.m3.6.6.2.2.3.cmml"><mo id="S3.Ex6.m3.6.6.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex6.m3.6.6.2.2.3.cmml">⟨</mo><mrow id="S3.Ex6.m3.5.5.1.1.1.1" xref="S3.Ex6.m3.5.5.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex6.m3.5.5.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex6.m3.5.5.1.1.1.1.2.cmml">U</mi><mo id="S3.Ex6.m3.5.5.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex6.m3.5.5.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex6.m3.5.5.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex6.m3.5.5.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex6.m3.5.5.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex6.m3.5.5.1.1.1.1.3.2.cmml">R</mi><mi id="S3.Ex6.m3.5.5.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex6.m3.5.5.1.1.1.1.3.3.cmml">l</mi></msub><mo id="S3.Ex6.m3.5.5.1.1.1.1.1a" xref="S3.Ex6.m3.5.5.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.Ex6.m3.5.5.1.1.1.1.4" xref="S3.Ex6.m3.5.5.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.Ex6.m3.5.5.1.1.1.1.4.2" xref="S3.Ex6.m3.5.5.1.1.1.1.4.2.cmml">U</mi><mo id="S3.Ex6.m3.5.5.1.1.1.1.4.3" xref="S3.Ex6.m3.5.5.1.1.1.1.4.3.cmml">∗</mo></msup></mrow><mo id="S3.Ex6.m3.6.6.2.2.2.4" xref="S3.Ex6.m3.6.6.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S3.Ex6.m3.6.6.2.2.2.2" xref="S3.Ex6.m3.6.6.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex6.m3.6.6.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex6.m3.6.6.2.2.2.2.2.cmml">U</mi><mo id="S3.Ex6.m3.6.6.2.2.2.2.1" xref="S3.Ex6.m3.6.6.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex6.m3.6.6.2.2.2.2.3" xref="S3.Ex6.m3.6.6.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex6.m3.6.6.2.2.2.2.3.2" xref="S3.Ex6.m3.6.6.2.2.2.2.3.2.cmml">A</mi><mrow id="S3.Ex6.m3.2.2.2.4" xref="S3.Ex6.m3.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex6.m3.1.1.1.1" xref="S3.Ex6.m3.1.1.1.1.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex6.m3.2.2.2.4.1" xref="S3.Ex6.m3.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex6.m3.2.2.2.2" xref="S3.Ex6.m3.2.2.2.2.cmml">k</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex6.m3.6.6.2.2.2.2.1a" xref="S3.Ex6.m3.6.6.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.Ex6.m3.6.6.2.2.2.2.4" xref="S3.Ex6.m3.6.6.2.2.2.2.4.cmml"><mi id="S3.Ex6.m3.6.6.2.2.2.2.4.2" xref="S3.Ex6.m3.6.6.2.2.2.2.4.2.cmml">U</mi><mo id="S3.Ex6.m3.6.6.2.2.2.2.4.3" xref="S3.Ex6.m3.6.6.2.2.2.2.4.3.cmml">∗</mo></msup></mrow><mo id="S3.Ex6.m3.6.6.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.Ex6.m3.6.6.2.2.3.cmml">⟩</mo></mrow><mi id="S3.Ex6.m3.6.6.2.4" xref="S3.Ex6.m3.6.6.2.4.cmml">H</mi></msub><mo id="S3.Ex6.m3.8.8.5" xref="S3.Ex6.m3.8.8.5.cmml">=</mo><msub id="S3.Ex6.m3.8.8.4" xref="S3.Ex6.m3.8.8.4.cmml"><mrow id="S3.Ex6.m3.8.8.4.2.2" xref="S3.Ex6.m3.8.8.4.2.3.cmml"><mo id="S3.Ex6.m3.8.8.4.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex6.m3.8.8.4.2.3.cmml">⟨</mo><msub id="S3.Ex6.m3.7.7.3.1.1.1" xref="S3.Ex6.m3.7.7.3.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex6.m3.7.7.3.1.1.1.2" xref="S3.Ex6.m3.7.7.3.1.1.1.2.cmml">R</mi><mi id="S3.Ex6.m3.7.7.3.1.1.1.3" xref="S3.Ex6.m3.7.7.3.1.1.1.3.cmml">l</mi></msub><mo id="S3.Ex6.m3.8.8.4.2.2.4" xref="S3.Ex6.m3.8.8.4.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex6.m3.8.8.4.2.2.2" xref="S3.Ex6.m3.8.8.4.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex6.m3.8.8.4.2.2.2.2" xref="S3.Ex6.m3.8.8.4.2.2.2.2.cmml">A</mi><mrow id="S3.Ex6.m3.4.4.2.4" xref="S3.Ex6.m3.4.4.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex6.m3.3.3.1.1" xref="S3.Ex6.m3.3.3.1.1.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex6.m3.4.4.2.4.1" xref="S3.Ex6.m3.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex6.m3.4.4.2.2" xref="S3.Ex6.m3.4.4.2.2.cmml">k</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex6.m3.8.8.4.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.Ex6.m3.8.8.4.2.3.cmml">⟩</mo></mrow><mi id="S3.Ex6.m3.8.8.4.4" xref="S3.Ex6.m3.8.8.4.4.cmml">H</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex6.m3.8b"><apply id="S3.Ex6.m3.8.8.cmml" xref="S3.Ex6.m3.8.8"><eq id="S3.Ex6.m3.8.8.5.cmml" xref="S3.Ex6.m3.8.8.5"></eq><apply id="S3.Ex6.m3.6.6.2.cmml" xref="S3.Ex6.m3.6.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex6.m3.6.6.2.3.cmml" xref="S3.Ex6.m3.6.6.2">subscript</csymbol><list id="S3.Ex6.m3.6.6.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex6.m3.6.6.2.2.2"><apply id="S3.Ex6.m3.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex6.m3.5.5.1.1.1.1"><times id="S3.Ex6.m3.5.5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex6.m3.5.5.1.1.1.1.1"></times><ci id="S3.Ex6.m3.5.5.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex6.m3.5.5.1.1.1.1.2">𝑈</ci><apply id="S3.Ex6.m3.5.5.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex6.m3.5.5.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex6.m3.5.5.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex6.m3.5.5.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex6.m3.5.5.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex6.m3.5.5.1.1.1.1.3.2">𝑅</ci><ci id="S3.Ex6.m3.5.5.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex6.m3.5.5.1.1.1.1.3.3">𝑙</ci></apply><apply id="S3.Ex6.m3.5.5.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex6.m3.5.5.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex6.m3.5.5.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.Ex6.m3.5.5.1.1.1.1.4">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex6.m3.5.5.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.Ex6.m3.5.5.1.1.1.1.4.2">𝑈</ci><times id="S3.Ex6.m3.5.5.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S3.Ex6.m3.5.5.1.1.1.1.4.3"></times></apply></apply><apply id="S3.Ex6.m3.6.6.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex6.m3.6.6.2.2.2.2"><times id="S3.Ex6.m3.6.6.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex6.m3.6.6.2.2.2.2.1"></times><ci id="S3.Ex6.m3.6.6.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex6.m3.6.6.2.2.2.2.2">𝑈</ci><apply id="S3.Ex6.m3.6.6.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex6.m3.6.6.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex6.m3.6.6.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex6.m3.6.6.2.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex6.m3.6.6.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex6.m3.6.6.2.2.2.2.3.2">𝐴</ci><list id="S3.Ex6.m3.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex6.m3.2.2.2.4"><ci id="S3.Ex6.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex6.m3.1.1.1.1">𝑗</ci><ci id="S3.Ex6.m3.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex6.m3.2.2.2.2">𝑘</ci></list></apply><apply id="S3.Ex6.m3.6.6.2.2.2.2.4.cmml" xref="S3.Ex6.m3.6.6.2.2.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex6.m3.6.6.2.2.2.2.4.1.cmml" xref="S3.Ex6.m3.6.6.2.2.2.2.4">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex6.m3.6.6.2.2.2.2.4.2.cmml" xref="S3.Ex6.m3.6.6.2.2.2.2.4.2">𝑈</ci><times id="S3.Ex6.m3.6.6.2.2.2.2.4.3.cmml" xref="S3.Ex6.m3.6.6.2.2.2.2.4.3"></times></apply></apply></list><ci id="S3.Ex6.m3.6.6.2.4.cmml" xref="S3.Ex6.m3.6.6.2.4">𝐻</ci></apply><apply id="S3.Ex6.m3.8.8.4.cmml" xref="S3.Ex6.m3.8.8.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex6.m3.8.8.4.3.cmml" xref="S3.Ex6.m3.8.8.4">subscript</csymbol><list id="S3.Ex6.m3.8.8.4.2.3.cmml" xref="S3.Ex6.m3.8.8.4.2.2"><apply id="S3.Ex6.m3.7.7.3.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex6.m3.7.7.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex6.m3.7.7.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex6.m3.7.7.3.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex6.m3.7.7.3.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex6.m3.7.7.3.1.1.1.2">𝑅</ci><ci id="S3.Ex6.m3.7.7.3.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex6.m3.7.7.3.1.1.1.3">𝑙</ci></apply><apply id="S3.Ex6.m3.8.8.4.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex6.m3.8.8.4.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex6.m3.8.8.4.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex6.m3.8.8.4.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex6.m3.8.8.4.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex6.m3.8.8.4.2.2.2.2">𝐴</ci><list id="S3.Ex6.m3.4.4.2.3.cmml" xref="S3.Ex6.m3.4.4.2.4"><ci id="S3.Ex6.m3.3.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex6.m3.3.3.1.1">𝑗</ci><ci id="S3.Ex6.m3.4.4.2.2.cmml" xref="S3.Ex6.m3.4.4.2.2">𝑘</ci></list></apply></list><ci id="S3.Ex6.m3.8.8.4.4.cmml" xref="S3.Ex6.m3.8.8.4.4">𝐻</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex6.m3.8c">\displaystyle\langle UR_{l}U^{*},UA_{j,k}U^{*}\rangle_{H}=\langle R_{l},A_{j,k% }\rangle_{H}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex6.m3.8d">⟨ italic_U italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT italic_U start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_U italic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k end_POSTSUBSCRIPT italic_U start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ⟩ start_POSTSUBSCRIPT italic_H end_POSTSUBSCRIPT = ⟨ italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT , italic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k end_POSTSUBSCRIPT ⟩ start_POSTSUBSCRIPT italic_H end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr> <tr class="ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E6.m1.1"><semantics id="S3.E6.m1.1a"><mo id="S3.E6.m1.1.1" xref="S3.E6.m1.1.1.cmml">=</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E6.m1.1b"><eq id="S3.E6.m1.1.1.cmml" xref="S3.E6.m1.1.1"></eq></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E6.m1.1c">\displaystyle=</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E6.m1.1d">=</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle{\rm Tr}(R_{l}A_{j,k})=\langle\mathbf{g}_{l},\mathbf{e}_{j}% \rangle\langle\mathbf{e}_{j},\mathbf{f}_{k}\rangle\langle\mathbf{f}_{k},% \mathbf{g}_{l}\rangle=\frac{1}{\sqrt{d^{3}}}C_{j,k,l}." class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E6.m2.6"><semantics id="S3.E6.m2.6a"><mrow id="S3.E6.m2.6.6.1" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.cmml"><mrow id="S3.E6.m2.6.6.1.1" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.cmml"><mrow id="S3.E6.m2.6.6.1.1.1" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E6.m2.6.6.1.1.1.3" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.1.3.cmml">Tr</mi><mo id="S3.E6.m2.6.6.1.1.1.2" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E6.m2.6.6.1.1.1.1.1" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E6.m2.6.6.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E6.m2.6.6.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E6.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E6.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">R</mi><mi id="S3.E6.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">l</mi></msub><mo id="S3.E6.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E6.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E6.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">A</mi><mrow id="S3.E6.m2.2.2.2.4" xref="S3.E6.m2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E6.m2.1.1.1.1" xref="S3.E6.m2.1.1.1.1.cmml">j</mi><mo id="S3.E6.m2.2.2.2.4.1" xref="S3.E6.m2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.E6.m2.2.2.2.2" xref="S3.E6.m2.2.2.2.2.cmml">k</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S3.E6.m2.6.6.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E6.m2.6.6.1.1.9" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.9.cmml">=</mo><mrow id="S3.E6.m2.6.6.1.1.7" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.7.cmml"><mrow id="S3.E6.m2.6.6.1.1.3.2.2" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.3.2.3.cmml"><mo id="S3.E6.m2.6.6.1.1.3.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.3.2.3.cmml">⟨</mo><msub id="S3.E6.m2.6.6.1.1.2.1.1.1" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E6.m2.6.6.1.1.2.1.1.1.2" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.2.1.1.1.2.cmml">𝐠</mi><mi id="S3.E6.m2.6.6.1.1.2.1.1.1.3" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.2.1.1.1.3.cmml">l</mi></msub><mo id="S3.E6.m2.6.6.1.1.3.2.2.4" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.3.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.E6.m2.6.6.1.1.3.2.2.2" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.3.2.2.2.cmml"><mi id="S3.E6.m2.6.6.1.1.3.2.2.2.2" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.3.2.2.2.2.cmml">𝐞</mi><mi id="S3.E6.m2.6.6.1.1.3.2.2.2.3" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.3.2.2.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.E6.m2.6.6.1.1.3.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.3.2.3.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S3.E6.m2.6.6.1.1.7.7" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.7.7.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E6.m2.6.6.1.1.5.4.2" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.5.4.3.cmml"><mo id="S3.E6.m2.6.6.1.1.5.4.2.3" stretchy="false" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.5.4.3.cmml">⟨</mo><msub id="S3.E6.m2.6.6.1.1.4.3.1.1" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.4.3.1.1.cmml"><mi id="S3.E6.m2.6.6.1.1.4.3.1.1.2" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.4.3.1.1.2.cmml">𝐞</mi><mi id="S3.E6.m2.6.6.1.1.4.3.1.1.3" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.4.3.1.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.E6.m2.6.6.1.1.5.4.2.4" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.5.4.3.cmml">,</mo><msub id="S3.E6.m2.6.6.1.1.5.4.2.2" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.5.4.2.2.cmml"><mi id="S3.E6.m2.6.6.1.1.5.4.2.2.2" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.5.4.2.2.2.cmml">𝐟</mi><mi id="S3.E6.m2.6.6.1.1.5.4.2.2.3" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.5.4.2.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.E6.m2.6.6.1.1.5.4.2.5" stretchy="false" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.5.4.3.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S3.E6.m2.6.6.1.1.7.7a" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.7.7.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E6.m2.6.6.1.1.7.6.2" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.7.6.3.cmml"><mo id="S3.E6.m2.6.6.1.1.7.6.2.3" stretchy="false" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.7.6.3.cmml">⟨</mo><msub id="S3.E6.m2.6.6.1.1.6.5.1.1" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.6.5.1.1.cmml"><mi id="S3.E6.m2.6.6.1.1.6.5.1.1.2" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.6.5.1.1.2.cmml">𝐟</mi><mi id="S3.E6.m2.6.6.1.1.6.5.1.1.3" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.6.5.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.E6.m2.6.6.1.1.7.6.2.4" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.7.6.3.cmml">,</mo><msub id="S3.E6.m2.6.6.1.1.7.6.2.2" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.7.6.2.2.cmml"><mi id="S3.E6.m2.6.6.1.1.7.6.2.2.2" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.7.6.2.2.2.cmml">𝐠</mi><mi id="S3.E6.m2.6.6.1.1.7.6.2.2.3" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.7.6.2.2.3.cmml">l</mi></msub><mo id="S3.E6.m2.6.6.1.1.7.6.2.5" stretchy="false" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.7.6.3.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E6.m2.6.6.1.1.10" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.10.cmml">=</mo><mrow id="S3.E6.m2.6.6.1.1.11" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.11.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.E6.m2.6.6.1.1.11.2" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.11.2.cmml"><mfrac id="S3.E6.m2.6.6.1.1.11.2a" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.11.2.cmml"><mn id="S3.E6.m2.6.6.1.1.11.2.2" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.11.2.2.cmml">1</mn><msqrt id="S3.E6.m2.6.6.1.1.11.2.3" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.11.2.3.cmml"><msup id="S3.E6.m2.6.6.1.1.11.2.3.2" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.11.2.3.2.cmml"><mi id="S3.E6.m2.6.6.1.1.11.2.3.2.2" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.11.2.3.2.2.cmml">d</mi><mn id="S3.E6.m2.6.6.1.1.11.2.3.2.3" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.11.2.3.2.3.cmml">3</mn></msup></msqrt></mfrac></mstyle><mo id="S3.E6.m2.6.6.1.1.11.1" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.11.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E6.m2.6.6.1.1.11.3" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.11.3.cmml"><mi id="S3.E6.m2.6.6.1.1.11.3.2" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.11.3.2.cmml">C</mi><mrow id="S3.E6.m2.5.5.3.5" xref="S3.E6.m2.5.5.3.4.cmml"><mi id="S3.E6.m2.3.3.1.1" xref="S3.E6.m2.3.3.1.1.cmml">j</mi><mo id="S3.E6.m2.5.5.3.5.1" xref="S3.E6.m2.5.5.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.E6.m2.4.4.2.2" xref="S3.E6.m2.4.4.2.2.cmml">k</mi><mo id="S3.E6.m2.5.5.3.5.2" xref="S3.E6.m2.5.5.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.E6.m2.5.5.3.3" xref="S3.E6.m2.5.5.3.3.cmml">l</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mo id="S3.E6.m2.6.6.1.2" lspace="0em" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E6.m2.6b"><apply id="S3.E6.m2.6.6.1.1.cmml" xref="S3.E6.m2.6.6.1"><and id="S3.E6.m2.6.6.1.1a.cmml" xref="S3.E6.m2.6.6.1"></and><apply id="S3.E6.m2.6.6.1.1b.cmml" xref="S3.E6.m2.6.6.1"><eq id="S3.E6.m2.6.6.1.1.9.cmml" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.9"></eq><apply id="S3.E6.m2.6.6.1.1.1.cmml" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.1"><times id="S3.E6.m2.6.6.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.1.2"></times><ci id="S3.E6.m2.6.6.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.1.3">Tr</ci><apply id="S3.E6.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.1.1.1"><times id="S3.E6.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S3.E6.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E6.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑅</ci><ci id="S3.E6.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑙</ci></apply><apply id="S3.E6.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E6.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2">𝐴</ci><list id="S3.E6.m2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E6.m2.2.2.2.4"><ci id="S3.E6.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E6.m2.1.1.1.1">𝑗</ci><ci id="S3.E6.m2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E6.m2.2.2.2.2">𝑘</ci></list></apply></apply></apply><apply id="S3.E6.m2.6.6.1.1.7.cmml" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.7"><times id="S3.E6.m2.6.6.1.1.7.7.cmml" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.7.7"></times><list id="S3.E6.m2.6.6.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.3.2.2"><apply id="S3.E6.m2.6.6.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.m2.6.6.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.E6.m2.6.6.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.2.1.1.1.2">𝐠</ci><ci id="S3.E6.m2.6.6.1.1.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.2.1.1.1.3">𝑙</ci></apply><apply id="S3.E6.m2.6.6.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.m2.6.6.1.1.3.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.3.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E6.m2.6.6.1.1.3.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.3.2.2.2.2">𝐞</ci><ci id="S3.E6.m2.6.6.1.1.3.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.3.2.2.2.3">𝑗</ci></apply></list><list id="S3.E6.m2.6.6.1.1.5.4.3.cmml" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.5.4.2"><apply id="S3.E6.m2.6.6.1.1.4.3.1.1.cmml" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.4.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.m2.6.6.1.1.4.3.1.1.1.cmml" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.4.3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.E6.m2.6.6.1.1.4.3.1.1.2.cmml" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.4.3.1.1.2">𝐞</ci><ci id="S3.E6.m2.6.6.1.1.4.3.1.1.3.cmml" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.4.3.1.1.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.E6.m2.6.6.1.1.5.4.2.2.cmml" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.5.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.m2.6.6.1.1.5.4.2.2.1.cmml" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.5.4.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E6.m2.6.6.1.1.5.4.2.2.2.cmml" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.5.4.2.2.2">𝐟</ci><ci id="S3.E6.m2.6.6.1.1.5.4.2.2.3.cmml" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.5.4.2.2.3">𝑘</ci></apply></list><list id="S3.E6.m2.6.6.1.1.7.6.3.cmml" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.7.6.2"><apply id="S3.E6.m2.6.6.1.1.6.5.1.1.cmml" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.6.5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.m2.6.6.1.1.6.5.1.1.1.cmml" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.6.5.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.E6.m2.6.6.1.1.6.5.1.1.2.cmml" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.6.5.1.1.2">𝐟</ci><ci id="S3.E6.m2.6.6.1.1.6.5.1.1.3.cmml" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.6.5.1.1.3">𝑘</ci></apply><apply id="S3.E6.m2.6.6.1.1.7.6.2.2.cmml" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.7.6.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.m2.6.6.1.1.7.6.2.2.1.cmml" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.7.6.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E6.m2.6.6.1.1.7.6.2.2.2.cmml" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.7.6.2.2.2">𝐠</ci><ci id="S3.E6.m2.6.6.1.1.7.6.2.2.3.cmml" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.7.6.2.2.3">𝑙</ci></apply></list></apply></apply><apply id="S3.E6.m2.6.6.1.1c.cmml" xref="S3.E6.m2.6.6.1"><eq id="S3.E6.m2.6.6.1.1.10.cmml" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.10"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#S3.E6.m2.6.6.1.1.7.cmml" id="S3.E6.m2.6.6.1.1d.cmml" xref="S3.E6.m2.6.6.1"></share><apply id="S3.E6.m2.6.6.1.1.11.cmml" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.11"><times id="S3.E6.m2.6.6.1.1.11.1.cmml" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.11.1"></times><apply id="S3.E6.m2.6.6.1.1.11.2.cmml" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.11.2"><divide id="S3.E6.m2.6.6.1.1.11.2.1.cmml" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.11.2"></divide><cn id="S3.E6.m2.6.6.1.1.11.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.11.2.2">1</cn><apply id="S3.E6.m2.6.6.1.1.11.2.3.cmml" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.11.2.3"><root id="S3.E6.m2.6.6.1.1.11.2.3a.cmml" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.11.2.3"></root><apply id="S3.E6.m2.6.6.1.1.11.2.3.2.cmml" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.11.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.m2.6.6.1.1.11.2.3.2.1.cmml" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.11.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.E6.m2.6.6.1.1.11.2.3.2.2.cmml" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.11.2.3.2.2">𝑑</ci><cn id="S3.E6.m2.6.6.1.1.11.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.11.2.3.2.3">3</cn></apply></apply></apply><apply id="S3.E6.m2.6.6.1.1.11.3.cmml" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.11.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.m2.6.6.1.1.11.3.1.cmml" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.11.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E6.m2.6.6.1.1.11.3.2.cmml" xref="S3.E6.m2.6.6.1.1.11.3.2">𝐶</ci><list id="S3.E6.m2.5.5.3.4.cmml" xref="S3.E6.m2.5.5.3.5"><ci id="S3.E6.m2.3.3.1.1.cmml" xref="S3.E6.m2.3.3.1.1">𝑗</ci><ci id="S3.E6.m2.4.4.2.2.cmml" xref="S3.E6.m2.4.4.2.2">𝑘</ci><ci id="S3.E6.m2.5.5.3.3.cmml" xref="S3.E6.m2.5.5.3.3">𝑙</ci></list></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E6.m2.6c">\displaystyle{\rm Tr}(R_{l}A_{j,k})=\langle\mathbf{g}_{l},\mathbf{e}_{j}% \rangle\langle\mathbf{e}_{j},\mathbf{f}_{k}\rangle\langle\mathbf{f}_{k},% \mathbf{g}_{l}\rangle=\frac{1}{\sqrt{d^{3}}}C_{j,k,l}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E6.m2.6d">roman_Tr ( italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT italic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k end_POSTSUBSCRIPT ) = ⟨ bold_g start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT , bold_e start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ⟩ ⟨ bold_e start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT , bold_f start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ⟩ ⟨ bold_f start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT , bold_g start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT ⟩ = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG square-root start_ARG italic_d start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG end_ARG italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k , italic_l end_POSTSUBSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr> </tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.6.p4.11">We similarly obtain that</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex7"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\langle\tilde{R}_{l},\tilde{A}_{j,k}\rangle_{H}={\rm Tr}(\tilde{R}_{l}\tilde{A% }_{j,k})=\langle\tilde{\mathbf{g}}_{l},\tilde{\mathbf{e}}_{j}\rangle\langle% \tilde{\mathbf{e}}_{j},\tilde{\mathbf{f}}_{k}\rangle\langle\tilde{\mathbf{f}}_% {k},\tilde{\mathbf{g}}_{l}\rangle=\frac{1}{\sqrt{d^{3}}}\tilde{C}_{j,k,l}=% \frac{1}{\sqrt{d^{3}}}C_{j,k,l};" class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex7.m1.11"><semantics id="S3.Ex7.m1.11a"><mrow id="S3.Ex7.m1.11.11.1" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.2" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.2.cmml"><mrow id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.2.2.3.cmml">⟨</mo><msub id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">R</mi><mo id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.3.cmml">l</mi></msub><mo id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.2.2.2.4" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.2.2.2.2" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.2.2.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml">A</mi><mo id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.2.2.2.2.2.1" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="S3.Ex7.m1.2.2.2.4" xref="S3.Ex7.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex7.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex7.m1.1.1.1.1.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex7.m1.2.2.2.4.1" xref="S3.Ex7.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex7.m1.2.2.2.2" xref="S3.Ex7.m1.2.2.2.2.cmml">k</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.2.2.3.cmml">⟩</mo></mrow><mi id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.2.4" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.2.4.cmml">H</mi></msub><mo id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.11" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.11.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.3" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.3.3" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.3.3.cmml">Tr</mi><mo id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.3.2" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.3.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.3.1.1" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.3.1.1.1" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.2" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.2.2.2.cmml">R</mi><mo id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.2.2.1" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.2.3.cmml">l</mi></msub><mo id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.1" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.3" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.3.2.2.cmml">A</mi><mo id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.3.2.1" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="S3.Ex7.m1.4.4.2.4" xref="S3.Ex7.m1.4.4.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex7.m1.3.3.1.1" xref="S3.Ex7.m1.3.3.1.1.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex7.m1.4.4.2.4.1" xref="S3.Ex7.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex7.m1.4.4.2.2" xref="S3.Ex7.m1.4.4.2.2.cmml">k</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.3.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.12" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.12.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.9" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.9.cmml"><mrow id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.5.2.2" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.5.2.3.cmml"><mo id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.5.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.5.2.3.cmml">⟨</mo><msub id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.4.1.1.1" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.4.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.4.1.1.1.2" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.4.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.4.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.4.1.1.1.2.2.cmml">𝐠</mi><mo id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.4.1.1.1.2.1" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.4.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.4.1.1.1.3" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.4.1.1.1.3.cmml">l</mi></msub><mo id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.5.2.2.4" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.5.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.5.2.2.2" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.5.2.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.5.2.2.2.2" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.5.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.5.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.5.2.2.2.2.2.cmml">𝐞</mi><mo id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.5.2.2.2.2.1" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.5.2.2.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.5.2.2.2.3" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.5.2.2.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.5.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.5.2.3.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.9.7" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.9.7.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.7.4.2" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.7.4.3.cmml"><mo id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.7.4.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.7.4.3.cmml">⟨</mo><msub id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.6.3.1.1" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.6.3.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.6.3.1.1.2" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.6.3.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.6.3.1.1.2.2" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.6.3.1.1.2.2.cmml">𝐞</mi><mo id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.6.3.1.1.2.1" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.6.3.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.6.3.1.1.3" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.6.3.1.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.7.4.2.4" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.7.4.3.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.7.4.2.2" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.7.4.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.7.4.2.2.2" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.7.4.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.7.4.2.2.2.2" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.7.4.2.2.2.2.cmml">𝐟</mi><mo id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.7.4.2.2.2.1" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.7.4.2.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.7.4.2.2.3" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.7.4.2.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.7.4.2.5" stretchy="false" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.7.4.3.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.9.7a" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.9.7.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.9.6.2" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.9.6.3.cmml"><mo id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.9.6.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.9.6.3.cmml">⟨</mo><msub id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.8.5.1.1" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.8.5.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.8.5.1.1.2" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.8.5.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.8.5.1.1.2.2" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.8.5.1.1.2.2.cmml">𝐟</mi><mo id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.8.5.1.1.2.1" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.8.5.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.8.5.1.1.3" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.8.5.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.9.6.2.4" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.9.6.3.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.9.6.2.2" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.9.6.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.9.6.2.2.2" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.9.6.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.9.6.2.2.2.2" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.9.6.2.2.2.2.cmml">𝐠</mi><mo id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.9.6.2.2.2.1" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.9.6.2.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.9.6.2.2.3" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.9.6.2.2.3.cmml">l</mi></msub><mo id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.9.6.2.5" stretchy="false" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.9.6.3.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.13" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.13.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.14" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.14.cmml"><mfrac id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.14.2" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.14.2.cmml"><mn id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.14.2.2" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.14.2.2.cmml">1</mn><msqrt id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.14.2.3" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.14.2.3.cmml"><msup id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.14.2.3.2" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.14.2.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.14.2.3.2.2" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.14.2.3.2.2.cmml">d</mi><mn id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.14.2.3.2.3" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.14.2.3.2.3.cmml">3</mn></msup></msqrt></mfrac><mo id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.14.1" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.14.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.14.3" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.14.3.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.14.3.2" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.14.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.14.3.2.2" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.14.3.2.2.cmml">C</mi><mo id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.14.3.2.1" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.14.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="S3.Ex7.m1.7.7.3.5" xref="S3.Ex7.m1.7.7.3.4.cmml"><mi id="S3.Ex7.m1.5.5.1.1" xref="S3.Ex7.m1.5.5.1.1.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex7.m1.7.7.3.5.1" xref="S3.Ex7.m1.7.7.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex7.m1.6.6.2.2" xref="S3.Ex7.m1.6.6.2.2.cmml">k</mi><mo id="S3.Ex7.m1.7.7.3.5.2" xref="S3.Ex7.m1.7.7.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex7.m1.7.7.3.3" xref="S3.Ex7.m1.7.7.3.3.cmml">l</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.15" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.15.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.16" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.16.cmml"><mfrac id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.16.2" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.16.2.cmml"><mn id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.16.2.2" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.16.2.2.cmml">1</mn><msqrt id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.16.2.3" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.16.2.3.cmml"><msup id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.16.2.3.2" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.16.2.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.16.2.3.2.2" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.16.2.3.2.2.cmml">d</mi><mn id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.16.2.3.2.3" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.16.2.3.2.3.cmml">3</mn></msup></msqrt></mfrac><mo id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.16.1" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.16.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.16.3" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.16.3.cmml"><mi id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.16.3.2" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.16.3.2.cmml">C</mi><mrow id="S3.Ex7.m1.10.10.3.5" xref="S3.Ex7.m1.10.10.3.4.cmml"><mi id="S3.Ex7.m1.8.8.1.1" xref="S3.Ex7.m1.8.8.1.1.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex7.m1.10.10.3.5.1" xref="S3.Ex7.m1.10.10.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex7.m1.9.9.2.2" xref="S3.Ex7.m1.9.9.2.2.cmml">k</mi><mo id="S3.Ex7.m1.10.10.3.5.2" xref="S3.Ex7.m1.10.10.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex7.m1.10.10.3.3" xref="S3.Ex7.m1.10.10.3.3.cmml">l</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mo id="S3.Ex7.m1.11.11.1.2" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.cmml">;</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex7.m1.11b"><apply id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1"><and id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1a.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1"></and><apply id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1b.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1"><eq id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.11.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.11"></eq><apply id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.2">subscript</csymbol><list id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.2.2.2"><apply id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.2"><ci id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑅</ci></apply><ci id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.3">𝑙</ci></apply><apply id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.2.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.2.2.2.2.2"><ci id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.2.2.2.2.2.1">~</ci><ci id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.2.2.2.2.2.2">𝐴</ci></apply><list id="S3.Ex7.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex7.m1.2.2.2.4"><ci id="S3.Ex7.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.1.1.1.1">𝑗</ci><ci id="S3.Ex7.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.2.2.2.2">𝑘</ci></list></apply></list><ci id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.2.4.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.2.4">𝐻</ci></apply><apply id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.3"><times id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.3.2"></times><ci id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.3.3">Tr</ci><apply id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.3.1.1"><times id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.1"></times><apply id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.2.2"><ci id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.2.2.1">~</ci><ci id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.2.2.2">𝑅</ci></apply><ci id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.2.3">𝑙</ci></apply><apply id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.3.2"><ci id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.3.2.1">~</ci><ci id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.3.1.1.1.3.2.2">𝐴</ci></apply><list id="S3.Ex7.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S3.Ex7.m1.4.4.2.4"><ci id="S3.Ex7.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.3.3.1.1">𝑗</ci><ci id="S3.Ex7.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.4.4.2.2">𝑘</ci></list></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1c.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1"><eq id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.12.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.12"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#S3.Ex7.m1.11.11.1.1.3.cmml" id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1d.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1"></share><apply id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.9.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.9"><times id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.9.7.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.9.7"></times><list id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.5.2.3.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.5.2.2"><apply id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.4.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.4.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.4.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.4.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.4.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.4.1.1.1.2"><ci id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.4.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.4.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.4.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.4.1.1.1.2.2">𝐠</ci></apply><ci id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.4.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.4.1.1.1.3">𝑙</ci></apply><apply id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.5.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.5.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.5.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.5.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.5.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.5.2.2.2.2"><ci id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.5.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.5.2.2.2.2.1">~</ci><ci id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.5.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.5.2.2.2.2.2">𝐞</ci></apply><ci id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.5.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.5.2.2.2.3">𝑗</ci></apply></list><list id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.7.4.3.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.7.4.2"><apply id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.6.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.6.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.6.3.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.6.3.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.6.3.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.6.3.1.1.2"><ci id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.6.3.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.6.3.1.1.2.1">~</ci><ci id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.6.3.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.6.3.1.1.2.2">𝐞</ci></apply><ci id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.6.3.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.6.3.1.1.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.7.4.2.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.7.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.7.4.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.7.4.2.2">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.7.4.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.7.4.2.2.2"><ci id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.7.4.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.7.4.2.2.2.1">~</ci><ci id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.7.4.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.7.4.2.2.2.2">𝐟</ci></apply><ci id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.7.4.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.7.4.2.2.3">𝑘</ci></apply></list><list id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.9.6.3.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.9.6.2"><apply id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.8.5.1.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.8.5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.8.5.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.8.5.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.8.5.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.8.5.1.1.2"><ci id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.8.5.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.8.5.1.1.2.1">~</ci><ci id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.8.5.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.8.5.1.1.2.2">𝐟</ci></apply><ci id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.8.5.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.8.5.1.1.3">𝑘</ci></apply><apply id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.9.6.2.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.9.6.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.9.6.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.9.6.2.2">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.9.6.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.9.6.2.2.2"><ci id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.9.6.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.9.6.2.2.2.1">~</ci><ci id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.9.6.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.9.6.2.2.2.2">𝐠</ci></apply><ci id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.9.6.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.9.6.2.2.3">𝑙</ci></apply></list></apply></apply><apply id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1e.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1"><eq id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.13.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.13"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#S3.Ex7.m1.11.11.1.1.9.cmml" id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1f.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1"></share><apply id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.14.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.14"><times id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.14.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.14.1"></times><apply id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.14.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.14.2"><divide id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.14.2.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.14.2"></divide><cn id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.14.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.14.2.2">1</cn><apply id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.14.2.3.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.14.2.3"><root id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.14.2.3a.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.14.2.3"></root><apply id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.14.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.14.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.14.2.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.14.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.14.2.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.14.2.3.2.2">𝑑</ci><cn id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.14.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.14.2.3.2.3">3</cn></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.14.3.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.14.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.14.3.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.14.3">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.14.3.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.14.3.2"><ci id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.14.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.14.3.2.1">~</ci><ci id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.14.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.14.3.2.2">𝐶</ci></apply><list id="S3.Ex7.m1.7.7.3.4.cmml" xref="S3.Ex7.m1.7.7.3.5"><ci id="S3.Ex7.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.5.5.1.1">𝑗</ci><ci id="S3.Ex7.m1.6.6.2.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.6.6.2.2">𝑘</ci><ci id="S3.Ex7.m1.7.7.3.3.cmml" xref="S3.Ex7.m1.7.7.3.3">𝑙</ci></list></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1g.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1"><eq id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.15.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.15"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#S3.Ex7.m1.11.11.1.1.14.cmml" id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1h.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1"></share><apply id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.16.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.16"><times id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.16.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.16.1"></times><apply id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.16.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.16.2"><divide id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.16.2.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.16.2"></divide><cn id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.16.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.16.2.2">1</cn><apply id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.16.2.3.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.16.2.3"><root id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.16.2.3a.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.16.2.3"></root><apply id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.16.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.16.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.16.2.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.16.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.16.2.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.16.2.3.2.2">𝑑</ci><cn id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.16.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.16.2.3.2.3">3</cn></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.16.3.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.16.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.16.3.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.16.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.16.3.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.11.11.1.1.16.3.2">𝐶</ci><list id="S3.Ex7.m1.10.10.3.4.cmml" xref="S3.Ex7.m1.10.10.3.5"><ci id="S3.Ex7.m1.8.8.1.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.8.8.1.1">𝑗</ci><ci id="S3.Ex7.m1.9.9.2.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.9.9.2.2">𝑘</ci><ci id="S3.Ex7.m1.10.10.3.3.cmml" xref="S3.Ex7.m1.10.10.3.3">𝑙</ci></list></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex7.m1.11c">\langle\tilde{R}_{l},\tilde{A}_{j,k}\rangle_{H}={\rm Tr}(\tilde{R}_{l}\tilde{A% }_{j,k})=\langle\tilde{\mathbf{g}}_{l},\tilde{\mathbf{e}}_{j}\rangle\langle% \tilde{\mathbf{e}}_{j},\tilde{\mathbf{f}}_{k}\rangle\langle\tilde{\mathbf{f}}_% {k},\tilde{\mathbf{g}}_{l}\rangle=\frac{1}{\sqrt{d^{3}}}\tilde{C}_{j,k,l}=% \frac{1}{\sqrt{d^{3}}}C_{j,k,l};</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex7.m1.11d">⟨ over~ start_ARG italic_R end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT , over~ start_ARG italic_A end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k end_POSTSUBSCRIPT ⟩ start_POSTSUBSCRIPT italic_H end_POSTSUBSCRIPT = roman_Tr ( over~ start_ARG italic_R end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT over~ start_ARG italic_A end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k end_POSTSUBSCRIPT ) = ⟨ over~ start_ARG bold_g end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT , over~ start_ARG bold_e end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ⟩ ⟨ over~ start_ARG bold_e end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT , over~ start_ARG bold_f end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ⟩ ⟨ over~ start_ARG bold_f end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT , over~ start_ARG bold_g end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT ⟩ = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG square-root start_ARG italic_d start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG end_ARG over~ start_ARG italic_C end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k , italic_l end_POSTSUBSCRIPT = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG square-root start_ARG italic_d start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG end_ARG italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k , italic_l end_POSTSUBSCRIPT ;</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.6.p4.9">i.e. <math alttext="UR_{l}U^{*}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.6.p4.6.m1.1"><semantics id="S3.6.p4.6.m1.1a"><mrow id="S3.6.p4.6.m1.1.1" xref="S3.6.p4.6.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.6.p4.6.m1.1.1.2" xref="S3.6.p4.6.m1.1.1.2.cmml">U</mi><mo id="S3.6.p4.6.m1.1.1.1" xref="S3.6.p4.6.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.6.p4.6.m1.1.1.3" xref="S3.6.p4.6.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.6.p4.6.m1.1.1.3.2" xref="S3.6.p4.6.m1.1.1.3.2.cmml">R</mi><mi id="S3.6.p4.6.m1.1.1.3.3" xref="S3.6.p4.6.m1.1.1.3.3.cmml">l</mi></msub><mo id="S3.6.p4.6.m1.1.1.1a" xref="S3.6.p4.6.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.6.p4.6.m1.1.1.4" xref="S3.6.p4.6.m1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.6.p4.6.m1.1.1.4.2" xref="S3.6.p4.6.m1.1.1.4.2.cmml">U</mi><mo id="S3.6.p4.6.m1.1.1.4.3" xref="S3.6.p4.6.m1.1.1.4.3.cmml">∗</mo></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.6.p4.6.m1.1b"><apply id="S3.6.p4.6.m1.1.1.cmml" xref="S3.6.p4.6.m1.1.1"><times id="S3.6.p4.6.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.6.p4.6.m1.1.1.1"></times><ci id="S3.6.p4.6.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.6.p4.6.m1.1.1.2">𝑈</ci><apply id="S3.6.p4.6.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.6.p4.6.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.6.p4.6.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.6.p4.6.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.6.p4.6.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.6.p4.6.m1.1.1.3.2">𝑅</ci><ci id="S3.6.p4.6.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.6.p4.6.m1.1.1.3.3">𝑙</ci></apply><apply id="S3.6.p4.6.m1.1.1.4.cmml" xref="S3.6.p4.6.m1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.6.p4.6.m1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.6.p4.6.m1.1.1.4">superscript</csymbol><ci id="S3.6.p4.6.m1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.6.p4.6.m1.1.1.4.2">𝑈</ci><times id="S3.6.p4.6.m1.1.1.4.3.cmml" xref="S3.6.p4.6.m1.1.1.4.3"></times></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.6.p4.6.m1.1c">UR_{l}U^{*}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.6.p4.6.m1.1d">italic_U italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT italic_U start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="\tilde{R}_{l}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.6.p4.7.m2.1"><semantics id="S3.6.p4.7.m2.1a"><msub id="S3.6.p4.7.m2.1.1" xref="S3.6.p4.7.m2.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.6.p4.7.m2.1.1.2" xref="S3.6.p4.7.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S3.6.p4.7.m2.1.1.2.2" xref="S3.6.p4.7.m2.1.1.2.2.cmml">R</mi><mo id="S3.6.p4.7.m2.1.1.2.1" xref="S3.6.p4.7.m2.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.6.p4.7.m2.1.1.3" xref="S3.6.p4.7.m2.1.1.3.cmml">l</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.6.p4.7.m2.1b"><apply id="S3.6.p4.7.m2.1.1.cmml" xref="S3.6.p4.7.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.6.p4.7.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.6.p4.7.m2.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.6.p4.7.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.6.p4.7.m2.1.1.2"><ci id="S3.6.p4.7.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.6.p4.7.m2.1.1.2.1">~</ci><ci id="S3.6.p4.7.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.6.p4.7.m2.1.1.2.2">𝑅</ci></apply><ci id="S3.6.p4.7.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.6.p4.7.m2.1.1.3">𝑙</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.6.p4.7.m2.1c">\tilde{R}_{l}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.6.p4.7.m2.1d">over~ start_ARG italic_R end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> have the same inner product with all elements of the basis <math alttext="(\tilde{A}_{j,k})_{(j,k\in[d])}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.6.p4.8.m3.7"><semantics id="S3.6.p4.8.m3.7a"><msub id="S3.6.p4.8.m3.7.7" xref="S3.6.p4.8.m3.7.7.cmml"><mrow id="S3.6.p4.8.m3.7.7.1.1" xref="S3.6.p4.8.m3.7.7.1.1.1.cmml"><mo id="S3.6.p4.8.m3.7.7.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.6.p4.8.m3.7.7.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.6.p4.8.m3.7.7.1.1.1" xref="S3.6.p4.8.m3.7.7.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.6.p4.8.m3.7.7.1.1.1.2" xref="S3.6.p4.8.m3.7.7.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.6.p4.8.m3.7.7.1.1.1.2.2" xref="S3.6.p4.8.m3.7.7.1.1.1.2.2.cmml">A</mi><mo id="S3.6.p4.8.m3.7.7.1.1.1.2.1" xref="S3.6.p4.8.m3.7.7.1.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="S3.6.p4.8.m3.2.2.2.4" xref="S3.6.p4.8.m3.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.6.p4.8.m3.1.1.1.1" xref="S3.6.p4.8.m3.1.1.1.1.cmml">j</mi><mo id="S3.6.p4.8.m3.2.2.2.4.1" xref="S3.6.p4.8.m3.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.6.p4.8.m3.2.2.2.2" xref="S3.6.p4.8.m3.2.2.2.2.cmml">k</mi></mrow></msub><mo id="S3.6.p4.8.m3.7.7.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.6.p4.8.m3.7.7.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S3.6.p4.8.m3.6.6.4.4" xref="S3.6.p4.8.m3.6.6.4.4.1.cmml"><mo id="S3.6.p4.8.m3.6.6.4.4.2" stretchy="false" xref="S3.6.p4.8.m3.6.6.4.4.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.6.p4.8.m3.6.6.4.4.1" xref="S3.6.p4.8.m3.6.6.4.4.1.cmml"><mrow id="S3.6.p4.8.m3.6.6.4.4.1.2.2" xref="S3.6.p4.8.m3.6.6.4.4.1.2.1.cmml"><mi id="S3.6.p4.8.m3.4.4.2.2" xref="S3.6.p4.8.m3.4.4.2.2.cmml">j</mi><mo id="S3.6.p4.8.m3.6.6.4.4.1.2.2.1" xref="S3.6.p4.8.m3.6.6.4.4.1.2.1.cmml">,</mo><mi id="S3.6.p4.8.m3.5.5.3.3" xref="S3.6.p4.8.m3.5.5.3.3.cmml">k</mi></mrow><mo id="S3.6.p4.8.m3.6.6.4.4.1.1" xref="S3.6.p4.8.m3.6.6.4.4.1.1.cmml">∈</mo><mrow id="S3.6.p4.8.m3.6.6.4.4.1.3.2" xref="S3.6.p4.8.m3.6.6.4.4.1.3.1.cmml"><mo id="S3.6.p4.8.m3.6.6.4.4.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.6.p4.8.m3.6.6.4.4.1.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S3.6.p4.8.m3.3.3.1.1" xref="S3.6.p4.8.m3.3.3.1.1.cmml">d</mi><mo id="S3.6.p4.8.m3.6.6.4.4.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.6.p4.8.m3.6.6.4.4.1.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S3.6.p4.8.m3.6.6.4.4.3" stretchy="false" xref="S3.6.p4.8.m3.6.6.4.4.1.cmml">)</mo></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.6.p4.8.m3.7b"><apply id="S3.6.p4.8.m3.7.7.cmml" xref="S3.6.p4.8.m3.7.7"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.6.p4.8.m3.7.7.2.cmml" xref="S3.6.p4.8.m3.7.7">subscript</csymbol><apply id="S3.6.p4.8.m3.7.7.1.1.1.cmml" xref="S3.6.p4.8.m3.7.7.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.6.p4.8.m3.7.7.1.1.1.1.cmml" xref="S3.6.p4.8.m3.7.7.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.6.p4.8.m3.7.7.1.1.1.2.cmml" xref="S3.6.p4.8.m3.7.7.1.1.1.2"><ci id="S3.6.p4.8.m3.7.7.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.6.p4.8.m3.7.7.1.1.1.2.1">~</ci><ci id="S3.6.p4.8.m3.7.7.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.6.p4.8.m3.7.7.1.1.1.2.2">𝐴</ci></apply><list id="S3.6.p4.8.m3.2.2.2.3.cmml" xref="S3.6.p4.8.m3.2.2.2.4"><ci id="S3.6.p4.8.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.6.p4.8.m3.1.1.1.1">𝑗</ci><ci id="S3.6.p4.8.m3.2.2.2.2.cmml" xref="S3.6.p4.8.m3.2.2.2.2">𝑘</ci></list></apply><apply id="S3.6.p4.8.m3.6.6.4.4.1.cmml" xref="S3.6.p4.8.m3.6.6.4.4"><in id="S3.6.p4.8.m3.6.6.4.4.1.1.cmml" xref="S3.6.p4.8.m3.6.6.4.4.1.1"></in><list id="S3.6.p4.8.m3.6.6.4.4.1.2.1.cmml" xref="S3.6.p4.8.m3.6.6.4.4.1.2.2"><ci id="S3.6.p4.8.m3.4.4.2.2.cmml" xref="S3.6.p4.8.m3.4.4.2.2">𝑗</ci><ci id="S3.6.p4.8.m3.5.5.3.3.cmml" xref="S3.6.p4.8.m3.5.5.3.3">𝑘</ci></list><apply id="S3.6.p4.8.m3.6.6.4.4.1.3.1.cmml" xref="S3.6.p4.8.m3.6.6.4.4.1.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.6.p4.8.m3.6.6.4.4.1.3.1.1.cmml" xref="S3.6.p4.8.m3.6.6.4.4.1.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S3.6.p4.8.m3.3.3.1.1.cmml" xref="S3.6.p4.8.m3.3.3.1.1">𝑑</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.6.p4.8.m3.7c">(\tilde{A}_{j,k})_{(j,k\in[d])}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.6.p4.8.m3.7d">( over~ start_ARG italic_A end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT ( italic_j , italic_k ∈ [ italic_d ] ) end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, and hence <math alttext="UR_{l}U^{*}=\tilde{R}_{l}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.6.p4.9.m4.1"><semantics id="S3.6.p4.9.m4.1a"><mrow id="S3.6.p4.9.m4.1.1" xref="S3.6.p4.9.m4.1.1.cmml"><mrow id="S3.6.p4.9.m4.1.1.2" xref="S3.6.p4.9.m4.1.1.2.cmml"><mi id="S3.6.p4.9.m4.1.1.2.2" xref="S3.6.p4.9.m4.1.1.2.2.cmml">U</mi><mo id="S3.6.p4.9.m4.1.1.2.1" xref="S3.6.p4.9.m4.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.6.p4.9.m4.1.1.2.3" xref="S3.6.p4.9.m4.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.6.p4.9.m4.1.1.2.3.2" xref="S3.6.p4.9.m4.1.1.2.3.2.cmml">R</mi><mi id="S3.6.p4.9.m4.1.1.2.3.3" xref="S3.6.p4.9.m4.1.1.2.3.3.cmml">l</mi></msub><mo id="S3.6.p4.9.m4.1.1.2.1a" xref="S3.6.p4.9.m4.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.6.p4.9.m4.1.1.2.4" xref="S3.6.p4.9.m4.1.1.2.4.cmml"><mi id="S3.6.p4.9.m4.1.1.2.4.2" xref="S3.6.p4.9.m4.1.1.2.4.2.cmml">U</mi><mo id="S3.6.p4.9.m4.1.1.2.4.3" xref="S3.6.p4.9.m4.1.1.2.4.3.cmml">∗</mo></msup></mrow><mo id="S3.6.p4.9.m4.1.1.1" xref="S3.6.p4.9.m4.1.1.1.cmml">=</mo><msub id="S3.6.p4.9.m4.1.1.3" xref="S3.6.p4.9.m4.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S3.6.p4.9.m4.1.1.3.2" xref="S3.6.p4.9.m4.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.6.p4.9.m4.1.1.3.2.2" xref="S3.6.p4.9.m4.1.1.3.2.2.cmml">R</mi><mo id="S3.6.p4.9.m4.1.1.3.2.1" xref="S3.6.p4.9.m4.1.1.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S3.6.p4.9.m4.1.1.3.3" xref="S3.6.p4.9.m4.1.1.3.3.cmml">l</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.6.p4.9.m4.1b"><apply id="S3.6.p4.9.m4.1.1.cmml" xref="S3.6.p4.9.m4.1.1"><eq id="S3.6.p4.9.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.6.p4.9.m4.1.1.1"></eq><apply id="S3.6.p4.9.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.6.p4.9.m4.1.1.2"><times id="S3.6.p4.9.m4.1.1.2.1.cmml" xref="S3.6.p4.9.m4.1.1.2.1"></times><ci id="S3.6.p4.9.m4.1.1.2.2.cmml" xref="S3.6.p4.9.m4.1.1.2.2">𝑈</ci><apply id="S3.6.p4.9.m4.1.1.2.3.cmml" xref="S3.6.p4.9.m4.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.6.p4.9.m4.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.6.p4.9.m4.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.6.p4.9.m4.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.6.p4.9.m4.1.1.2.3.2">𝑅</ci><ci id="S3.6.p4.9.m4.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.6.p4.9.m4.1.1.2.3.3">𝑙</ci></apply><apply id="S3.6.p4.9.m4.1.1.2.4.cmml" xref="S3.6.p4.9.m4.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.6.p4.9.m4.1.1.2.4.1.cmml" xref="S3.6.p4.9.m4.1.1.2.4">superscript</csymbol><ci id="S3.6.p4.9.m4.1.1.2.4.2.cmml" xref="S3.6.p4.9.m4.1.1.2.4.2">𝑈</ci><times id="S3.6.p4.9.m4.1.1.2.4.3.cmml" xref="S3.6.p4.9.m4.1.1.2.4.3"></times></apply></apply><apply id="S3.6.p4.9.m4.1.1.3.cmml" xref="S3.6.p4.9.m4.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.6.p4.9.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S3.6.p4.9.m4.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S3.6.p4.9.m4.1.1.3.2.cmml" xref="S3.6.p4.9.m4.1.1.3.2"><ci id="S3.6.p4.9.m4.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.6.p4.9.m4.1.1.3.2.1">~</ci><ci id="S3.6.p4.9.m4.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.6.p4.9.m4.1.1.3.2.2">𝑅</ci></apply><ci id="S3.6.p4.9.m4.1.1.3.3.cmml" xref="S3.6.p4.9.m4.1.1.3.3">𝑙</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.6.p4.9.m4.1c">UR_{l}U^{*}=\tilde{R}_{l}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.6.p4.9.m4.1d">italic_U italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT italic_U start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT = over~ start_ARG italic_R end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. ∎</p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S3.p10"> <p class="ltx_p" id="S3.p10.2">Next we investigate the redundancies in the properties (i)-(iv) of Proposition <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#S3.Thmfact1" title="Proposition 3.1. ‣ 3. MUB-triplets and Hadamard cubes ‣ Triplets of Mutually Unbiased Bases"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3.1</span></a>. Namely, we show that a set of weaker assumptions on a cube <math alttext="C" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p10.1.m1.1"><semantics id="S3.p10.1.m1.1a"><mi id="S3.p10.1.m1.1.1" xref="S3.p10.1.m1.1.1.cmml">C</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p10.1.m1.1b"><ci id="S3.p10.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.p10.1.m1.1.1">𝐶</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p10.1.m1.1c">C</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p10.1.m1.1d">italic_C</annotation></semantics></math> is sufficient to imply that all of the properties (i)-(iv) hold. In the same proof we also show that properties (i)-(iv) guarantee that <math alttext="C" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p10.2.m2.1"><semantics id="S3.p10.2.m2.1a"><mi id="S3.p10.2.m2.1.1" xref="S3.p10.2.m2.1.1.cmml">C</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p10.2.m2.1b"><ci id="S3.p10.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.p10.2.m2.1.1">𝐶</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p10.2.m2.1c">C</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p10.2.m2.1d">italic_C</annotation></semantics></math> is associated with an MUB-triplet.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.p11"> <p class="ltx_p" id="S3.p11.2">Before we proceed to our formal proposition, we make some remarks on the defining properties of Hadamard cubes. First, note that given any three complex Hadamard matrices <math alttext="H,\tilde{H}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p11.1.m1.2"><semantics id="S3.p11.1.m1.2a"><mrow id="S3.p11.1.m1.2.3.2" xref="S3.p11.1.m1.2.3.1.cmml"><mi id="S3.p11.1.m1.1.1" xref="S3.p11.1.m1.1.1.cmml">H</mi><mo id="S3.p11.1.m1.2.3.2.1" xref="S3.p11.1.m1.2.3.1.cmml">,</mo><mover accent="true" id="S3.p11.1.m1.2.2" xref="S3.p11.1.m1.2.2.cmml"><mi id="S3.p11.1.m1.2.2.2" xref="S3.p11.1.m1.2.2.2.cmml">H</mi><mo id="S3.p11.1.m1.2.2.1" xref="S3.p11.1.m1.2.2.1.cmml">~</mo></mover></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p11.1.m1.2b"><list id="S3.p11.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S3.p11.1.m1.2.3.2"><ci id="S3.p11.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.p11.1.m1.1.1">𝐻</ci><apply id="S3.p11.1.m1.2.2.cmml" xref="S3.p11.1.m1.2.2"><ci id="S3.p11.1.m1.2.2.1.cmml" xref="S3.p11.1.m1.2.2.1">~</ci><ci id="S3.p11.1.m1.2.2.2.cmml" xref="S3.p11.1.m1.2.2.2">𝐻</ci></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p11.1.m1.2c">H,\tilde{H}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p11.1.m1.2d">italic_H , over~ start_ARG italic_H end_ARG</annotation></semantics></math> and <math alttext="\tilde{\tilde{H}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p11.2.m2.1"><semantics id="S3.p11.2.m2.1a"><mover accent="true" id="S3.p11.2.m2.1.1" xref="S3.p11.2.m2.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.p11.2.m2.1.1.2" xref="S3.p11.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S3.p11.2.m2.1.1.2.2" xref="S3.p11.2.m2.1.1.2.2.cmml">H</mi><mo id="S3.p11.2.m2.1.1.2.1" xref="S3.p11.2.m2.1.1.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S3.p11.2.m2.1.1.1" xref="S3.p11.2.m2.1.1.1.cmml">~</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p11.2.m2.1b"><apply id="S3.p11.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.p11.2.m2.1.1"><ci id="S3.p11.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.p11.2.m2.1.1.1">~</ci><apply id="S3.p11.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.p11.2.m2.1.1.2"><ci id="S3.p11.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.p11.2.m2.1.1.2.1">~</ci><ci id="S3.p11.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.p11.2.m2.1.1.2.2">𝐻</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p11.2.m2.1c">\tilde{\tilde{H}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p11.2.m2.1d">over~ start_ARG over~ start_ARG italic_H end_ARG end_ARG</annotation></semantics></math>, the product</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E7"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(3.7)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="C_{j,k,l}:=H_{j,k}\tilde{H}_{k,l}\tilde{\tilde{H}}_{l,j}" class="ltx_Math" display="block" id="S3.E7.m1.9"><semantics id="S3.E7.m1.9a"><mrow id="S3.E7.m1.9.10" xref="S3.E7.m1.9.10.cmml"><msub id="S3.E7.m1.9.10.2" xref="S3.E7.m1.9.10.2.cmml"><mi id="S3.E7.m1.9.10.2.2" xref="S3.E7.m1.9.10.2.2.cmml">C</mi><mrow id="S3.E7.m1.3.3.3.5" xref="S3.E7.m1.3.3.3.4.cmml"><mi id="S3.E7.m1.1.1.1.1" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.cmml">j</mi><mo id="S3.E7.m1.3.3.3.5.1" xref="S3.E7.m1.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.E7.m1.2.2.2.2" xref="S3.E7.m1.2.2.2.2.cmml">k</mi><mo id="S3.E7.m1.3.3.3.5.2" xref="S3.E7.m1.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.E7.m1.3.3.3.3" xref="S3.E7.m1.3.3.3.3.cmml">l</mi></mrow></msub><mo id="S3.E7.m1.9.10.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S3.E7.m1.9.10.1.cmml">:=</mo><mrow id="S3.E7.m1.9.10.3" xref="S3.E7.m1.9.10.3.cmml"><msub id="S3.E7.m1.9.10.3.2" xref="S3.E7.m1.9.10.3.2.cmml"><mi id="S3.E7.m1.9.10.3.2.2" xref="S3.E7.m1.9.10.3.2.2.cmml">H</mi><mrow id="S3.E7.m1.5.5.2.4" xref="S3.E7.m1.5.5.2.3.cmml"><mi id="S3.E7.m1.4.4.1.1" xref="S3.E7.m1.4.4.1.1.cmml">j</mi><mo id="S3.E7.m1.5.5.2.4.1" xref="S3.E7.m1.5.5.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.E7.m1.5.5.2.2" xref="S3.E7.m1.5.5.2.2.cmml">k</mi></mrow></msub><mo id="S3.E7.m1.9.10.3.1" xref="S3.E7.m1.9.10.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E7.m1.9.10.3.3" xref="S3.E7.m1.9.10.3.3.cmml"><mover accent="true" id="S3.E7.m1.9.10.3.3.2" xref="S3.E7.m1.9.10.3.3.2.cmml"><mi id="S3.E7.m1.9.10.3.3.2.2" xref="S3.E7.m1.9.10.3.3.2.2.cmml">H</mi><mo id="S3.E7.m1.9.10.3.3.2.1" xref="S3.E7.m1.9.10.3.3.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="S3.E7.m1.7.7.2.4" xref="S3.E7.m1.7.7.2.3.cmml"><mi id="S3.E7.m1.6.6.1.1" xref="S3.E7.m1.6.6.1.1.cmml">k</mi><mo id="S3.E7.m1.7.7.2.4.1" xref="S3.E7.m1.7.7.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.E7.m1.7.7.2.2" xref="S3.E7.m1.7.7.2.2.cmml">l</mi></mrow></msub><mo id="S3.E7.m1.9.10.3.1a" xref="S3.E7.m1.9.10.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E7.m1.9.10.3.4" xref="S3.E7.m1.9.10.3.4.cmml"><mover accent="true" id="S3.E7.m1.9.10.3.4.2" xref="S3.E7.m1.9.10.3.4.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.E7.m1.9.10.3.4.2.2" xref="S3.E7.m1.9.10.3.4.2.2.cmml"><mi id="S3.E7.m1.9.10.3.4.2.2.2" xref="S3.E7.m1.9.10.3.4.2.2.2.cmml">H</mi><mo id="S3.E7.m1.9.10.3.4.2.2.1" xref="S3.E7.m1.9.10.3.4.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mo id="S3.E7.m1.9.10.3.4.2.1" xref="S3.E7.m1.9.10.3.4.2.1.cmml">~</mo></mover><mrow id="S3.E7.m1.9.9.2.4" xref="S3.E7.m1.9.9.2.3.cmml"><mi id="S3.E7.m1.8.8.1.1" xref="S3.E7.m1.8.8.1.1.cmml">l</mi><mo id="S3.E7.m1.9.9.2.4.1" xref="S3.E7.m1.9.9.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.E7.m1.9.9.2.2" xref="S3.E7.m1.9.9.2.2.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E7.m1.9b"><apply id="S3.E7.m1.9.10.cmml" xref="S3.E7.m1.9.10"><csymbol cd="latexml" id="S3.E7.m1.9.10.1.cmml" xref="S3.E7.m1.9.10.1">assign</csymbol><apply id="S3.E7.m1.9.10.2.cmml" xref="S3.E7.m1.9.10.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E7.m1.9.10.2.1.cmml" xref="S3.E7.m1.9.10.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E7.m1.9.10.2.2.cmml" xref="S3.E7.m1.9.10.2.2">𝐶</ci><list id="S3.E7.m1.3.3.3.4.cmml" xref="S3.E7.m1.3.3.3.5"><ci id="S3.E7.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1">𝑗</ci><ci id="S3.E7.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E7.m1.2.2.2.2">𝑘</ci><ci id="S3.E7.m1.3.3.3.3.cmml" xref="S3.E7.m1.3.3.3.3">𝑙</ci></list></apply><apply id="S3.E7.m1.9.10.3.cmml" xref="S3.E7.m1.9.10.3"><times id="S3.E7.m1.9.10.3.1.cmml" xref="S3.E7.m1.9.10.3.1"></times><apply id="S3.E7.m1.9.10.3.2.cmml" xref="S3.E7.m1.9.10.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E7.m1.9.10.3.2.1.cmml" xref="S3.E7.m1.9.10.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E7.m1.9.10.3.2.2.cmml" xref="S3.E7.m1.9.10.3.2.2">𝐻</ci><list id="S3.E7.m1.5.5.2.3.cmml" xref="S3.E7.m1.5.5.2.4"><ci id="S3.E7.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S3.E7.m1.4.4.1.1">𝑗</ci><ci id="S3.E7.m1.5.5.2.2.cmml" xref="S3.E7.m1.5.5.2.2">𝑘</ci></list></apply><apply id="S3.E7.m1.9.10.3.3.cmml" xref="S3.E7.m1.9.10.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E7.m1.9.10.3.3.1.cmml" xref="S3.E7.m1.9.10.3.3">subscript</csymbol><apply id="S3.E7.m1.9.10.3.3.2.cmml" xref="S3.E7.m1.9.10.3.3.2"><ci id="S3.E7.m1.9.10.3.3.2.1.cmml" xref="S3.E7.m1.9.10.3.3.2.1">~</ci><ci id="S3.E7.m1.9.10.3.3.2.2.cmml" xref="S3.E7.m1.9.10.3.3.2.2">𝐻</ci></apply><list id="S3.E7.m1.7.7.2.3.cmml" xref="S3.E7.m1.7.7.2.4"><ci id="S3.E7.m1.6.6.1.1.cmml" xref="S3.E7.m1.6.6.1.1">𝑘</ci><ci id="S3.E7.m1.7.7.2.2.cmml" xref="S3.E7.m1.7.7.2.2">𝑙</ci></list></apply><apply id="S3.E7.m1.9.10.3.4.cmml" xref="S3.E7.m1.9.10.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E7.m1.9.10.3.4.1.cmml" xref="S3.E7.m1.9.10.3.4">subscript</csymbol><apply id="S3.E7.m1.9.10.3.4.2.cmml" xref="S3.E7.m1.9.10.3.4.2"><ci id="S3.E7.m1.9.10.3.4.2.1.cmml" xref="S3.E7.m1.9.10.3.4.2.1">~</ci><apply id="S3.E7.m1.9.10.3.4.2.2.cmml" xref="S3.E7.m1.9.10.3.4.2.2"><ci id="S3.E7.m1.9.10.3.4.2.2.1.cmml" xref="S3.E7.m1.9.10.3.4.2.2.1">~</ci><ci id="S3.E7.m1.9.10.3.4.2.2.2.cmml" xref="S3.E7.m1.9.10.3.4.2.2.2">𝐻</ci></apply></apply><list id="S3.E7.m1.9.9.2.3.cmml" xref="S3.E7.m1.9.9.2.4"><ci id="S3.E7.m1.8.8.1.1.cmml" xref="S3.E7.m1.8.8.1.1">𝑙</ci><ci id="S3.E7.m1.9.9.2.2.cmml" xref="S3.E7.m1.9.9.2.2">𝑗</ci></list></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E7.m1.9c">C_{j,k,l}:=H_{j,k}\tilde{H}_{k,l}\tilde{\tilde{H}}_{l,j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E7.m1.9d">italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k , italic_l end_POSTSUBSCRIPT := italic_H start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k end_POSTSUBSCRIPT over~ start_ARG italic_H end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_k , italic_l end_POSTSUBSCRIPT over~ start_ARG over~ start_ARG italic_H end_ARG end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_l , italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.p11.7">satisfies properties (i)-(iii) of Proposition <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#S3.Thmfact1" title="Proposition 3.1. ‣ 3. MUB-triplets and Hadamard cubes ‣ Triplets of Mutually Unbiased Bases"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3.1</span></a> automatically, while property (iv) is not necessarily satisfied. This shows that the last property does not follow from the previous ones. It is also quite clear that neither property (ii), nor property (iii) is a consequence of the other ones. So instead of “dropping” either of them, we shall consider a weaker form of each. For example, by property (ii), any pair of one-dimensional piercings contained in a 2 dimensional slice, as elements of <math alttext="\mathbb{C}^{d}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p11.3.m1.1"><semantics id="S3.p11.3.m1.1a"><msup id="S3.p11.3.m1.1.1" xref="S3.p11.3.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.p11.3.m1.1.1.2" xref="S3.p11.3.m1.1.1.2.cmml">ℂ</mi><mi id="S3.p11.3.m1.1.1.3" xref="S3.p11.3.m1.1.1.3.cmml">d</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p11.3.m1.1b"><apply id="S3.p11.3.m1.1.1.cmml" xref="S3.p11.3.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p11.3.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.p11.3.m1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.p11.3.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.p11.3.m1.1.1.2">ℂ</ci><ci id="S3.p11.3.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.p11.3.m1.1.1.3">𝑑</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p11.3.m1.1c">\mathbb{C}^{d}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p11.3.m1.1d">blackboard_C start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, are orthogonal. However, it is considerably weaker to ask for parallel 2-dimensional slices, as elements of <math alttext="\mathbb{C}^{d^{2}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p11.4.m2.1"><semantics id="S3.p11.4.m2.1a"><msup id="S3.p11.4.m2.1.1" xref="S3.p11.4.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.p11.4.m2.1.1.2" xref="S3.p11.4.m2.1.1.2.cmml">ℂ</mi><msup id="S3.p11.4.m2.1.1.3" xref="S3.p11.4.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.p11.4.m2.1.1.3.2" xref="S3.p11.4.m2.1.1.3.2.cmml">d</mi><mn id="S3.p11.4.m2.1.1.3.3" xref="S3.p11.4.m2.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p11.4.m2.1b"><apply id="S3.p11.4.m2.1.1.cmml" xref="S3.p11.4.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p11.4.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.p11.4.m2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.p11.4.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.p11.4.m2.1.1.2">ℂ</ci><apply id="S3.p11.4.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.p11.4.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p11.4.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.p11.4.m2.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.p11.4.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.p11.4.m2.1.1.3.2">𝑑</ci><cn id="S3.p11.4.m2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.p11.4.m2.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p11.4.m2.1c">\mathbb{C}^{d^{2}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p11.4.m2.1d">blackboard_C start_POSTSUPERSCRIPT italic_d start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, to be orthogonal. Also, by <math alttext="(iii)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p11.5.m3.1"><semantics id="S3.p11.5.m3.1a"><mrow id="S3.p11.5.m3.1.1.1" xref="S3.p11.5.m3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.p11.5.m3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.p11.5.m3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.p11.5.m3.1.1.1.1" xref="S3.p11.5.m3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.p11.5.m3.1.1.1.1.2" xref="S3.p11.5.m3.1.1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="S3.p11.5.m3.1.1.1.1.1" xref="S3.p11.5.m3.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.p11.5.m3.1.1.1.1.3" xref="S3.p11.5.m3.1.1.1.1.3.cmml">i</mi><mo id="S3.p11.5.m3.1.1.1.1.1a" xref="S3.p11.5.m3.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.p11.5.m3.1.1.1.1.4" xref="S3.p11.5.m3.1.1.1.1.4.cmml">i</mi></mrow><mo id="S3.p11.5.m3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.p11.5.m3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p11.5.m3.1b"><apply id="S3.p11.5.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p11.5.m3.1.1.1"><times id="S3.p11.5.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p11.5.m3.1.1.1.1.1"></times><ci id="S3.p11.5.m3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p11.5.m3.1.1.1.1.2">𝑖</ci><ci id="S3.p11.5.m3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.p11.5.m3.1.1.1.1.3">𝑖</ci><ci id="S3.p11.5.m3.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.p11.5.m3.1.1.1.1.4">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p11.5.m3.1c">(iii)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p11.5.m3.1d">( italic_i italic_i italic_i )</annotation></semantics></math> it follows that if we consider a sub-cuboid of our Hadamard cube and mark its vertices with black and white in a checkered manner, then the product of the four “black” entries will coincide the with the product of its four “white” entries. That is, for any triplets of indices <math alttext="j,k,l" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p11.6.m4.3"><semantics id="S3.p11.6.m4.3a"><mrow id="S3.p11.6.m4.3.4.2" xref="S3.p11.6.m4.3.4.1.cmml"><mi id="S3.p11.6.m4.1.1" xref="S3.p11.6.m4.1.1.cmml">j</mi><mo id="S3.p11.6.m4.3.4.2.1" xref="S3.p11.6.m4.3.4.1.cmml">,</mo><mi id="S3.p11.6.m4.2.2" xref="S3.p11.6.m4.2.2.cmml">k</mi><mo id="S3.p11.6.m4.3.4.2.2" xref="S3.p11.6.m4.3.4.1.cmml">,</mo><mi id="S3.p11.6.m4.3.3" xref="S3.p11.6.m4.3.3.cmml">l</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p11.6.m4.3b"><list id="S3.p11.6.m4.3.4.1.cmml" xref="S3.p11.6.m4.3.4.2"><ci id="S3.p11.6.m4.1.1.cmml" xref="S3.p11.6.m4.1.1">𝑗</ci><ci id="S3.p11.6.m4.2.2.cmml" xref="S3.p11.6.m4.2.2">𝑘</ci><ci id="S3.p11.6.m4.3.3.cmml" xref="S3.p11.6.m4.3.3">𝑙</ci></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p11.6.m4.3c">j,k,l</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p11.6.m4.3d">italic_j , italic_k , italic_l</annotation></semantics></math> and <math alttext="j^{\prime},k^{\prime},l^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p11.7.m5.3"><semantics id="S3.p11.7.m5.3a"><mrow id="S3.p11.7.m5.3.3.3" xref="S3.p11.7.m5.3.3.4.cmml"><msup id="S3.p11.7.m5.1.1.1.1" xref="S3.p11.7.m5.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.p11.7.m5.1.1.1.1.2" xref="S3.p11.7.m5.1.1.1.1.2.cmml">j</mi><mo id="S3.p11.7.m5.1.1.1.1.3" xref="S3.p11.7.m5.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.p11.7.m5.3.3.3.4" xref="S3.p11.7.m5.3.3.4.cmml">,</mo><msup id="S3.p11.7.m5.2.2.2.2" xref="S3.p11.7.m5.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.p11.7.m5.2.2.2.2.2" xref="S3.p11.7.m5.2.2.2.2.2.cmml">k</mi><mo id="S3.p11.7.m5.2.2.2.2.3" xref="S3.p11.7.m5.2.2.2.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.p11.7.m5.3.3.3.5" xref="S3.p11.7.m5.3.3.4.cmml">,</mo><msup id="S3.p11.7.m5.3.3.3.3" xref="S3.p11.7.m5.3.3.3.3.cmml"><mi id="S3.p11.7.m5.3.3.3.3.2" xref="S3.p11.7.m5.3.3.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="S3.p11.7.m5.3.3.3.3.3" xref="S3.p11.7.m5.3.3.3.3.3.cmml">′</mo></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p11.7.m5.3b"><list id="S3.p11.7.m5.3.3.4.cmml" xref="S3.p11.7.m5.3.3.3"><apply id="S3.p11.7.m5.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p11.7.m5.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p11.7.m5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p11.7.m5.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.p11.7.m5.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p11.7.m5.1.1.1.1.2">𝑗</ci><ci id="S3.p11.7.m5.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.p11.7.m5.1.1.1.1.3">′</ci></apply><apply id="S3.p11.7.m5.2.2.2.2.cmml" xref="S3.p11.7.m5.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p11.7.m5.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.p11.7.m5.2.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S3.p11.7.m5.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.p11.7.m5.2.2.2.2.2">𝑘</ci><ci id="S3.p11.7.m5.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.p11.7.m5.2.2.2.2.3">′</ci></apply><apply id="S3.p11.7.m5.3.3.3.3.cmml" xref="S3.p11.7.m5.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p11.7.m5.3.3.3.3.1.cmml" xref="S3.p11.7.m5.3.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="S3.p11.7.m5.3.3.3.3.2.cmml" xref="S3.p11.7.m5.3.3.3.3.2">𝑙</ci><ci id="S3.p11.7.m5.3.3.3.3.3.cmml" xref="S3.p11.7.m5.3.3.3.3.3">′</ci></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p11.7.m5.3c">j^{\prime},k^{\prime},l^{\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p11.7.m5.3d">italic_j start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_k start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_l start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> we have the following <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.p11.7.1">Haagerup condition</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E8"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(3.8)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="C_{j^{\prime},k,l}C_{j,k^{\prime},l}C_{j,k,l^{\prime}}C_{j^{\prime},k^{\prime}% ,l^{\prime}}=C_{j,k,l}C_{j^{\prime},k^{\prime},l}C_{j,k^{\prime},l^{\prime}}C_% {j^{\prime},k,l^{\prime}}." class="ltx_Math" display="block" id="S3.E8.m1.25"><semantics id="S3.E8.m1.25a"><mrow id="S3.E8.m1.25.25.1" xref="S3.E8.m1.25.25.1.1.cmml"><mrow id="S3.E8.m1.25.25.1.1" xref="S3.E8.m1.25.25.1.1.cmml"><mrow id="S3.E8.m1.25.25.1.1.2" xref="S3.E8.m1.25.25.1.1.2.cmml"><msub id="S3.E8.m1.25.25.1.1.2.2" xref="S3.E8.m1.25.25.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.E8.m1.25.25.1.1.2.2.2" xref="S3.E8.m1.25.25.1.1.2.2.2.cmml">C</mi><mrow id="S3.E8.m1.3.3.3.3" xref="S3.E8.m1.3.3.3.4.cmml"><msup id="S3.E8.m1.3.3.3.3.1" xref="S3.E8.m1.3.3.3.3.1.cmml"><mi id="S3.E8.m1.3.3.3.3.1.2" xref="S3.E8.m1.3.3.3.3.1.2.cmml">j</mi><mo id="S3.E8.m1.3.3.3.3.1.3" xref="S3.E8.m1.3.3.3.3.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.E8.m1.3.3.3.3.2" xref="S3.E8.m1.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.E8.m1.1.1.1.1" xref="S3.E8.m1.1.1.1.1.cmml">k</mi><mo id="S3.E8.m1.3.3.3.3.3" xref="S3.E8.m1.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.E8.m1.2.2.2.2" xref="S3.E8.m1.2.2.2.2.cmml">l</mi></mrow></msub><mo id="S3.E8.m1.25.25.1.1.2.1" xref="S3.E8.m1.25.25.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E8.m1.25.25.1.1.2.3" xref="S3.E8.m1.25.25.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.E8.m1.25.25.1.1.2.3.2" xref="S3.E8.m1.25.25.1.1.2.3.2.cmml">C</mi><mrow id="S3.E8.m1.6.6.3.3" xref="S3.E8.m1.6.6.3.4.cmml"><mi id="S3.E8.m1.4.4.1.1" xref="S3.E8.m1.4.4.1.1.cmml">j</mi><mo id="S3.E8.m1.6.6.3.3.2" xref="S3.E8.m1.6.6.3.4.cmml">,</mo><msup id="S3.E8.m1.6.6.3.3.1" xref="S3.E8.m1.6.6.3.3.1.cmml"><mi id="S3.E8.m1.6.6.3.3.1.2" xref="S3.E8.m1.6.6.3.3.1.2.cmml">k</mi><mo id="S3.E8.m1.6.6.3.3.1.3" xref="S3.E8.m1.6.6.3.3.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.E8.m1.6.6.3.3.3" xref="S3.E8.m1.6.6.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.E8.m1.5.5.2.2" xref="S3.E8.m1.5.5.2.2.cmml">l</mi></mrow></msub><mo id="S3.E8.m1.25.25.1.1.2.1a" xref="S3.E8.m1.25.25.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E8.m1.25.25.1.1.2.4" xref="S3.E8.m1.25.25.1.1.2.4.cmml"><mi id="S3.E8.m1.25.25.1.1.2.4.2" xref="S3.E8.m1.25.25.1.1.2.4.2.cmml">C</mi><mrow id="S3.E8.m1.9.9.3.3" xref="S3.E8.m1.9.9.3.4.cmml"><mi id="S3.E8.m1.7.7.1.1" xref="S3.E8.m1.7.7.1.1.cmml">j</mi><mo id="S3.E8.m1.9.9.3.3.2" xref="S3.E8.m1.9.9.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.E8.m1.8.8.2.2" xref="S3.E8.m1.8.8.2.2.cmml">k</mi><mo id="S3.E8.m1.9.9.3.3.3" xref="S3.E8.m1.9.9.3.4.cmml">,</mo><msup id="S3.E8.m1.9.9.3.3.1" xref="S3.E8.m1.9.9.3.3.1.cmml"><mi id="S3.E8.m1.9.9.3.3.1.2" xref="S3.E8.m1.9.9.3.3.1.2.cmml">l</mi><mo id="S3.E8.m1.9.9.3.3.1.3" xref="S3.E8.m1.9.9.3.3.1.3.cmml">′</mo></msup></mrow></msub><mo id="S3.E8.m1.25.25.1.1.2.1b" xref="S3.E8.m1.25.25.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E8.m1.25.25.1.1.2.5" xref="S3.E8.m1.25.25.1.1.2.5.cmml"><mi id="S3.E8.m1.25.25.1.1.2.5.2" xref="S3.E8.m1.25.25.1.1.2.5.2.cmml">C</mi><mrow id="S3.E8.m1.12.12.3.3" xref="S3.E8.m1.12.12.3.4.cmml"><msup id="S3.E8.m1.10.10.1.1.1" xref="S3.E8.m1.10.10.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E8.m1.10.10.1.1.1.2" xref="S3.E8.m1.10.10.1.1.1.2.cmml">j</mi><mo id="S3.E8.m1.10.10.1.1.1.3" xref="S3.E8.m1.10.10.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.E8.m1.12.12.3.3.4" xref="S3.E8.m1.12.12.3.4.cmml">,</mo><msup id="S3.E8.m1.11.11.2.2.2" xref="S3.E8.m1.11.11.2.2.2.cmml"><mi id="S3.E8.m1.11.11.2.2.2.2" xref="S3.E8.m1.11.11.2.2.2.2.cmml">k</mi><mo id="S3.E8.m1.11.11.2.2.2.3" xref="S3.E8.m1.11.11.2.2.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.E8.m1.12.12.3.3.5" xref="S3.E8.m1.12.12.3.4.cmml">,</mo><msup id="S3.E8.m1.12.12.3.3.3" xref="S3.E8.m1.12.12.3.3.3.cmml"><mi id="S3.E8.m1.12.12.3.3.3.2" xref="S3.E8.m1.12.12.3.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="S3.E8.m1.12.12.3.3.3.3" xref="S3.E8.m1.12.12.3.3.3.3.cmml">′</mo></msup></mrow></msub></mrow><mo id="S3.E8.m1.25.25.1.1.1" xref="S3.E8.m1.25.25.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.E8.m1.25.25.1.1.3" xref="S3.E8.m1.25.25.1.1.3.cmml"><msub id="S3.E8.m1.25.25.1.1.3.2" xref="S3.E8.m1.25.25.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.E8.m1.25.25.1.1.3.2.2" xref="S3.E8.m1.25.25.1.1.3.2.2.cmml">C</mi><mrow id="S3.E8.m1.15.15.3.5" xref="S3.E8.m1.15.15.3.4.cmml"><mi id="S3.E8.m1.13.13.1.1" xref="S3.E8.m1.13.13.1.1.cmml">j</mi><mo id="S3.E8.m1.15.15.3.5.1" xref="S3.E8.m1.15.15.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.E8.m1.14.14.2.2" xref="S3.E8.m1.14.14.2.2.cmml">k</mi><mo id="S3.E8.m1.15.15.3.5.2" xref="S3.E8.m1.15.15.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.E8.m1.15.15.3.3" xref="S3.E8.m1.15.15.3.3.cmml">l</mi></mrow></msub><mo id="S3.E8.m1.25.25.1.1.3.1" xref="S3.E8.m1.25.25.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E8.m1.25.25.1.1.3.3" xref="S3.E8.m1.25.25.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.E8.m1.25.25.1.1.3.3.2" xref="S3.E8.m1.25.25.1.1.3.3.2.cmml">C</mi><mrow id="S3.E8.m1.18.18.3.3" xref="S3.E8.m1.18.18.3.4.cmml"><msup id="S3.E8.m1.17.17.2.2.1" xref="S3.E8.m1.17.17.2.2.1.cmml"><mi id="S3.E8.m1.17.17.2.2.1.2" xref="S3.E8.m1.17.17.2.2.1.2.cmml">j</mi><mo id="S3.E8.m1.17.17.2.2.1.3" xref="S3.E8.m1.17.17.2.2.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.E8.m1.18.18.3.3.3" xref="S3.E8.m1.18.18.3.4.cmml">,</mo><msup id="S3.E8.m1.18.18.3.3.2" xref="S3.E8.m1.18.18.3.3.2.cmml"><mi id="S3.E8.m1.18.18.3.3.2.2" xref="S3.E8.m1.18.18.3.3.2.2.cmml">k</mi><mo id="S3.E8.m1.18.18.3.3.2.3" xref="S3.E8.m1.18.18.3.3.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.E8.m1.18.18.3.3.4" xref="S3.E8.m1.18.18.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.E8.m1.16.16.1.1" xref="S3.E8.m1.16.16.1.1.cmml">l</mi></mrow></msub><mo id="S3.E8.m1.25.25.1.1.3.1a" xref="S3.E8.m1.25.25.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E8.m1.25.25.1.1.3.4" xref="S3.E8.m1.25.25.1.1.3.4.cmml"><mi id="S3.E8.m1.25.25.1.1.3.4.2" xref="S3.E8.m1.25.25.1.1.3.4.2.cmml">C</mi><mrow id="S3.E8.m1.21.21.3.3" xref="S3.E8.m1.21.21.3.4.cmml"><mi id="S3.E8.m1.19.19.1.1" xref="S3.E8.m1.19.19.1.1.cmml">j</mi><mo id="S3.E8.m1.21.21.3.3.3" xref="S3.E8.m1.21.21.3.4.cmml">,</mo><msup id="S3.E8.m1.20.20.2.2.1" xref="S3.E8.m1.20.20.2.2.1.cmml"><mi id="S3.E8.m1.20.20.2.2.1.2" xref="S3.E8.m1.20.20.2.2.1.2.cmml">k</mi><mo id="S3.E8.m1.20.20.2.2.1.3" xref="S3.E8.m1.20.20.2.2.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.E8.m1.21.21.3.3.4" xref="S3.E8.m1.21.21.3.4.cmml">,</mo><msup id="S3.E8.m1.21.21.3.3.2" xref="S3.E8.m1.21.21.3.3.2.cmml"><mi id="S3.E8.m1.21.21.3.3.2.2" xref="S3.E8.m1.21.21.3.3.2.2.cmml">l</mi><mo id="S3.E8.m1.21.21.3.3.2.3" xref="S3.E8.m1.21.21.3.3.2.3.cmml">′</mo></msup></mrow></msub><mo id="S3.E8.m1.25.25.1.1.3.1b" xref="S3.E8.m1.25.25.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E8.m1.25.25.1.1.3.5" xref="S3.E8.m1.25.25.1.1.3.5.cmml"><mi id="S3.E8.m1.25.25.1.1.3.5.2" xref="S3.E8.m1.25.25.1.1.3.5.2.cmml">C</mi><mrow id="S3.E8.m1.24.24.3.3" xref="S3.E8.m1.24.24.3.4.cmml"><msup id="S3.E8.m1.23.23.2.2.1" xref="S3.E8.m1.23.23.2.2.1.cmml"><mi id="S3.E8.m1.23.23.2.2.1.2" xref="S3.E8.m1.23.23.2.2.1.2.cmml">j</mi><mo id="S3.E8.m1.23.23.2.2.1.3" xref="S3.E8.m1.23.23.2.2.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.E8.m1.24.24.3.3.3" xref="S3.E8.m1.24.24.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.E8.m1.22.22.1.1" xref="S3.E8.m1.22.22.1.1.cmml">k</mi><mo id="S3.E8.m1.24.24.3.3.4" xref="S3.E8.m1.24.24.3.4.cmml">,</mo><msup id="S3.E8.m1.24.24.3.3.2" xref="S3.E8.m1.24.24.3.3.2.cmml"><mi id="S3.E8.m1.24.24.3.3.2.2" xref="S3.E8.m1.24.24.3.3.2.2.cmml">l</mi><mo id="S3.E8.m1.24.24.3.3.2.3" xref="S3.E8.m1.24.24.3.3.2.3.cmml">′</mo></msup></mrow></msub></mrow></mrow><mo id="S3.E8.m1.25.25.1.2" lspace="0em" xref="S3.E8.m1.25.25.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E8.m1.25b"><apply id="S3.E8.m1.25.25.1.1.cmml" xref="S3.E8.m1.25.25.1"><eq id="S3.E8.m1.25.25.1.1.1.cmml" xref="S3.E8.m1.25.25.1.1.1"></eq><apply id="S3.E8.m1.25.25.1.1.2.cmml" xref="S3.E8.m1.25.25.1.1.2"><times id="S3.E8.m1.25.25.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E8.m1.25.25.1.1.2.1"></times><apply id="S3.E8.m1.25.25.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E8.m1.25.25.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E8.m1.25.25.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E8.m1.25.25.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E8.m1.25.25.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E8.m1.25.25.1.1.2.2.2">𝐶</ci><list id="S3.E8.m1.3.3.3.4.cmml" xref="S3.E8.m1.3.3.3.3"><apply id="S3.E8.m1.3.3.3.3.1.cmml" xref="S3.E8.m1.3.3.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E8.m1.3.3.3.3.1.1.cmml" xref="S3.E8.m1.3.3.3.3.1">superscript</csymbol><ci id="S3.E8.m1.3.3.3.3.1.2.cmml" xref="S3.E8.m1.3.3.3.3.1.2">𝑗</ci><ci id="S3.E8.m1.3.3.3.3.1.3.cmml" xref="S3.E8.m1.3.3.3.3.1.3">′</ci></apply><ci id="S3.E8.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E8.m1.1.1.1.1">𝑘</ci><ci id="S3.E8.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.2.2">𝑙</ci></list></apply><apply id="S3.E8.m1.25.25.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E8.m1.25.25.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E8.m1.25.25.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.E8.m1.25.25.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E8.m1.25.25.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.E8.m1.25.25.1.1.2.3.2">𝐶</ci><list id="S3.E8.m1.6.6.3.4.cmml" xref="S3.E8.m1.6.6.3.3"><ci id="S3.E8.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S3.E8.m1.4.4.1.1">𝑗</ci><apply id="S3.E8.m1.6.6.3.3.1.cmml" xref="S3.E8.m1.6.6.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E8.m1.6.6.3.3.1.1.cmml" xref="S3.E8.m1.6.6.3.3.1">superscript</csymbol><ci id="S3.E8.m1.6.6.3.3.1.2.cmml" xref="S3.E8.m1.6.6.3.3.1.2">𝑘</ci><ci id="S3.E8.m1.6.6.3.3.1.3.cmml" xref="S3.E8.m1.6.6.3.3.1.3">′</ci></apply><ci id="S3.E8.m1.5.5.2.2.cmml" xref="S3.E8.m1.5.5.2.2">𝑙</ci></list></apply><apply id="S3.E8.m1.25.25.1.1.2.4.cmml" xref="S3.E8.m1.25.25.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E8.m1.25.25.1.1.2.4.1.cmml" xref="S3.E8.m1.25.25.1.1.2.4">subscript</csymbol><ci id="S3.E8.m1.25.25.1.1.2.4.2.cmml" xref="S3.E8.m1.25.25.1.1.2.4.2">𝐶</ci><list id="S3.E8.m1.9.9.3.4.cmml" xref="S3.E8.m1.9.9.3.3"><ci id="S3.E8.m1.7.7.1.1.cmml" xref="S3.E8.m1.7.7.1.1">𝑗</ci><ci id="S3.E8.m1.8.8.2.2.cmml" xref="S3.E8.m1.8.8.2.2">𝑘</ci><apply id="S3.E8.m1.9.9.3.3.1.cmml" xref="S3.E8.m1.9.9.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E8.m1.9.9.3.3.1.1.cmml" xref="S3.E8.m1.9.9.3.3.1">superscript</csymbol><ci id="S3.E8.m1.9.9.3.3.1.2.cmml" xref="S3.E8.m1.9.9.3.3.1.2">𝑙</ci><ci id="S3.E8.m1.9.9.3.3.1.3.cmml" xref="S3.E8.m1.9.9.3.3.1.3">′</ci></apply></list></apply><apply id="S3.E8.m1.25.25.1.1.2.5.cmml" xref="S3.E8.m1.25.25.1.1.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E8.m1.25.25.1.1.2.5.1.cmml" xref="S3.E8.m1.25.25.1.1.2.5">subscript</csymbol><ci id="S3.E8.m1.25.25.1.1.2.5.2.cmml" xref="S3.E8.m1.25.25.1.1.2.5.2">𝐶</ci><list id="S3.E8.m1.12.12.3.4.cmml" xref="S3.E8.m1.12.12.3.3"><apply id="S3.E8.m1.10.10.1.1.1.cmml" xref="S3.E8.m1.10.10.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E8.m1.10.10.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E8.m1.10.10.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.E8.m1.10.10.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E8.m1.10.10.1.1.1.2">𝑗</ci><ci id="S3.E8.m1.10.10.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E8.m1.10.10.1.1.1.3">′</ci></apply><apply id="S3.E8.m1.11.11.2.2.2.cmml" xref="S3.E8.m1.11.11.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E8.m1.11.11.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E8.m1.11.11.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S3.E8.m1.11.11.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E8.m1.11.11.2.2.2.2">𝑘</ci><ci id="S3.E8.m1.11.11.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E8.m1.11.11.2.2.2.3">′</ci></apply><apply id="S3.E8.m1.12.12.3.3.3.cmml" xref="S3.E8.m1.12.12.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E8.m1.12.12.3.3.3.1.cmml" xref="S3.E8.m1.12.12.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E8.m1.12.12.3.3.3.2.cmml" xref="S3.E8.m1.12.12.3.3.3.2">𝑙</ci><ci id="S3.E8.m1.12.12.3.3.3.3.cmml" xref="S3.E8.m1.12.12.3.3.3.3">′</ci></apply></list></apply></apply><apply id="S3.E8.m1.25.25.1.1.3.cmml" xref="S3.E8.m1.25.25.1.1.3"><times id="S3.E8.m1.25.25.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E8.m1.25.25.1.1.3.1"></times><apply id="S3.E8.m1.25.25.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E8.m1.25.25.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E8.m1.25.25.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E8.m1.25.25.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E8.m1.25.25.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E8.m1.25.25.1.1.3.2.2">𝐶</ci><list id="S3.E8.m1.15.15.3.4.cmml" xref="S3.E8.m1.15.15.3.5"><ci id="S3.E8.m1.13.13.1.1.cmml" xref="S3.E8.m1.13.13.1.1">𝑗</ci><ci id="S3.E8.m1.14.14.2.2.cmml" xref="S3.E8.m1.14.14.2.2">𝑘</ci><ci id="S3.E8.m1.15.15.3.3.cmml" xref="S3.E8.m1.15.15.3.3">𝑙</ci></list></apply><apply id="S3.E8.m1.25.25.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E8.m1.25.25.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E8.m1.25.25.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E8.m1.25.25.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E8.m1.25.25.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.E8.m1.25.25.1.1.3.3.2">𝐶</ci><list id="S3.E8.m1.18.18.3.4.cmml" xref="S3.E8.m1.18.18.3.3"><apply id="S3.E8.m1.17.17.2.2.1.cmml" xref="S3.E8.m1.17.17.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E8.m1.17.17.2.2.1.1.cmml" xref="S3.E8.m1.17.17.2.2.1">superscript</csymbol><ci id="S3.E8.m1.17.17.2.2.1.2.cmml" xref="S3.E8.m1.17.17.2.2.1.2">𝑗</ci><ci id="S3.E8.m1.17.17.2.2.1.3.cmml" xref="S3.E8.m1.17.17.2.2.1.3">′</ci></apply><apply id="S3.E8.m1.18.18.3.3.2.cmml" xref="S3.E8.m1.18.18.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E8.m1.18.18.3.3.2.1.cmml" xref="S3.E8.m1.18.18.3.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.E8.m1.18.18.3.3.2.2.cmml" xref="S3.E8.m1.18.18.3.3.2.2">𝑘</ci><ci id="S3.E8.m1.18.18.3.3.2.3.cmml" xref="S3.E8.m1.18.18.3.3.2.3">′</ci></apply><ci id="S3.E8.m1.16.16.1.1.cmml" xref="S3.E8.m1.16.16.1.1">𝑙</ci></list></apply><apply id="S3.E8.m1.25.25.1.1.3.4.cmml" xref="S3.E8.m1.25.25.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E8.m1.25.25.1.1.3.4.1.cmml" xref="S3.E8.m1.25.25.1.1.3.4">subscript</csymbol><ci id="S3.E8.m1.25.25.1.1.3.4.2.cmml" xref="S3.E8.m1.25.25.1.1.3.4.2">𝐶</ci><list id="S3.E8.m1.21.21.3.4.cmml" xref="S3.E8.m1.21.21.3.3"><ci id="S3.E8.m1.19.19.1.1.cmml" xref="S3.E8.m1.19.19.1.1">𝑗</ci><apply id="S3.E8.m1.20.20.2.2.1.cmml" xref="S3.E8.m1.20.20.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E8.m1.20.20.2.2.1.1.cmml" xref="S3.E8.m1.20.20.2.2.1">superscript</csymbol><ci id="S3.E8.m1.20.20.2.2.1.2.cmml" xref="S3.E8.m1.20.20.2.2.1.2">𝑘</ci><ci id="S3.E8.m1.20.20.2.2.1.3.cmml" xref="S3.E8.m1.20.20.2.2.1.3">′</ci></apply><apply id="S3.E8.m1.21.21.3.3.2.cmml" xref="S3.E8.m1.21.21.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E8.m1.21.21.3.3.2.1.cmml" xref="S3.E8.m1.21.21.3.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.E8.m1.21.21.3.3.2.2.cmml" xref="S3.E8.m1.21.21.3.3.2.2">𝑙</ci><ci id="S3.E8.m1.21.21.3.3.2.3.cmml" xref="S3.E8.m1.21.21.3.3.2.3">′</ci></apply></list></apply><apply id="S3.E8.m1.25.25.1.1.3.5.cmml" xref="S3.E8.m1.25.25.1.1.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E8.m1.25.25.1.1.3.5.1.cmml" xref="S3.E8.m1.25.25.1.1.3.5">subscript</csymbol><ci id="S3.E8.m1.25.25.1.1.3.5.2.cmml" xref="S3.E8.m1.25.25.1.1.3.5.2">𝐶</ci><list id="S3.E8.m1.24.24.3.4.cmml" xref="S3.E8.m1.24.24.3.3"><apply id="S3.E8.m1.23.23.2.2.1.cmml" xref="S3.E8.m1.23.23.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E8.m1.23.23.2.2.1.1.cmml" xref="S3.E8.m1.23.23.2.2.1">superscript</csymbol><ci id="S3.E8.m1.23.23.2.2.1.2.cmml" xref="S3.E8.m1.23.23.2.2.1.2">𝑗</ci><ci id="S3.E8.m1.23.23.2.2.1.3.cmml" xref="S3.E8.m1.23.23.2.2.1.3">′</ci></apply><ci id="S3.E8.m1.22.22.1.1.cmml" xref="S3.E8.m1.22.22.1.1">𝑘</ci><apply id="S3.E8.m1.24.24.3.3.2.cmml" xref="S3.E8.m1.24.24.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E8.m1.24.24.3.3.2.1.cmml" xref="S3.E8.m1.24.24.3.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.E8.m1.24.24.3.3.2.2.cmml" xref="S3.E8.m1.24.24.3.3.2.2">𝑙</ci><ci id="S3.E8.m1.24.24.3.3.2.3.cmml" xref="S3.E8.m1.24.24.3.3.2.3">′</ci></apply></list></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E8.m1.25c">C_{j^{\prime},k,l}C_{j,k^{\prime},l}C_{j,k,l^{\prime}}C_{j^{\prime},k^{\prime}% ,l^{\prime}}=C_{j,k,l}C_{j^{\prime},k^{\prime},l}C_{j,k^{\prime},l^{\prime}}C_% {j^{\prime},k,l^{\prime}}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E8.m1.25d">italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_k , italic_l end_POSTSUBSCRIPT italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_l end_POSTSUBSCRIPT italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k , italic_l start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_k start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_l start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT = italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k , italic_l end_POSTSUBSCRIPT italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_k start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_l end_POSTSUBSCRIPT italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_l start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_k , italic_l start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.p11.8">After this preparation we can describe a minimal set of requirements for a cube to be a Hadamard cube.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_proposition" id="S3.Thmfact4"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.Thmfact4.1.1.1">Proposition 3.4</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.Thmfact4.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="S3.Thmfact4.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.Thmfact4.p1.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.Thmfact4.p1.1.1">Assume <math alttext="C=(C_{j,k,l})_{j,kl,\in[d]}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.8"><semantics id="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.8a"><mrow id="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.8.8" xref="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.8.8.cmml"><mi id="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.8.8.3" xref="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.8.8.3.cmml">C</mi><mo id="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.8.8.2" xref="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.8.8.2.cmml">=</mo><msub id="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.8.8.1" xref="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.8.8.1.cmml"><mrow id="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.8.8.1.1.1" xref="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.8.8.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.8.8.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.8.8.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.8.8.1.1.1.1" xref="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.8.8.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.8.8.1.1.1.1.2" xref="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.8.8.1.1.1.1.2.cmml">C</mi><mrow id="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.3.3.3.5" xref="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.3.3.3.4.cmml"><mi id="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.1.1.1.1" xref="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.1.1.1.1.cmml">j</mi><mo id="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.3.3.3.5.1" xref="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.2.2.2.2" xref="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.2.2.2.2.cmml">k</mi><mo id="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.3.3.3.5.2" xref="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.3.3.3.3" xref="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.3.3.3.3.cmml">l</mi></mrow></msub><mo id="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.8.8.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.8.8.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.7.7.4.4" xref="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.7.7.4.5.cmml"><mrow id="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.6.6.3.3.1.1" xref="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.6.6.3.3.1.2.cmml"><mi id="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.4.4.1.1" xref="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.4.4.1.1.cmml">j</mi><mo id="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.6.6.3.3.1.1.2" xref="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.6.6.3.3.1.2.cmml">,</mo><mrow id="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.6.6.3.3.1.1.1" xref="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.6.6.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.6.6.3.3.1.1.1.2" xref="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.6.6.3.3.1.1.1.2.cmml">k</mi><mo id="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.6.6.3.3.1.1.1.1" xref="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.6.6.3.3.1.1.1.3" xref="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.6.6.3.3.1.1.1.3.cmml">l</mi></mrow></mrow><mo id="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.7.7.4.4.3" xref="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.7.7.4.5.cmml">,</mo><mrow id="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.7.7.4.4.2" xref="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.7.7.4.4.2.cmml"><mi id="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.7.7.4.4.2.2" xref="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.7.7.4.4.2.2.cmml"></mi><mo id="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.7.7.4.4.2.1" xref="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.7.7.4.4.2.1.cmml">∈</mo><mrow id="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.7.7.4.4.2.3.2" xref="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.7.7.4.4.2.3.1.cmml"><mo id="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.7.7.4.4.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.7.7.4.4.2.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.5.5.2.2" xref="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.5.5.2.2.cmml">d</mi><mo id="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.7.7.4.4.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.7.7.4.4.2.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.8b"><apply id="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.8.8.cmml" xref="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.8.8"><eq id="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.8.8.2.cmml" xref="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.8.8.2"></eq><ci id="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.8.8.3.cmml" xref="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.8.8.3">𝐶</ci><apply id="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.8.8.1.cmml" xref="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.8.8.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.8.8.1.2.cmml" xref="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.8.8.1">subscript</csymbol><apply id="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.8.8.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.8.8.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.8.8.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.8.8.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.8.8.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.8.8.1.1.1.1.2">𝐶</ci><list id="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.3.3.3.4.cmml" xref="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.3.3.3.5"><ci id="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.1.1.1.1">𝑗</ci><ci id="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.2.2.2.2">𝑘</ci><ci id="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.3.3.3.3.cmml" xref="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.3.3.3.3">𝑙</ci></list></apply><list id="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.7.7.4.5.cmml" xref="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.7.7.4.4"><list id="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.6.6.3.3.1.2.cmml" xref="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.6.6.3.3.1.1"><ci id="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.4.4.1.1">𝑗</ci><apply id="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.6.6.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.6.6.3.3.1.1.1"><times id="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.6.6.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.6.6.3.3.1.1.1.1"></times><ci id="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.6.6.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.6.6.3.3.1.1.1.2">𝑘</ci><ci id="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.6.6.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.6.6.3.3.1.1.1.3">𝑙</ci></apply></list><apply id="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.7.7.4.4.2.cmml" xref="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.7.7.4.4.2"><in id="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.7.7.4.4.2.1.cmml" xref="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.7.7.4.4.2.1"></in><csymbol cd="latexml" id="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.7.7.4.4.2.2.cmml" xref="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.7.7.4.4.2.2">absent</csymbol><apply id="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.7.7.4.4.2.3.1.cmml" xref="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.7.7.4.4.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.7.7.4.4.2.3.1.1.cmml" xref="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.7.7.4.4.2.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.5.5.2.2.cmml" xref="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.5.5.2.2">𝑑</ci></apply></apply></list></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.8c">C=(C_{j,k,l})_{j,kl,\in[d]}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmfact4.p1.1.1.m1.8d">italic_C = ( italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k , italic_l end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k italic_l , ∈ [ italic_d ] end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is an array of complex numbers satisfying the following conditions:</span></p> <ul class="ltx_itemize" id="S3.I2"> <li class="ltx_item" id="S3.I2.ix1" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">i’)</span> <div class="ltx_para" id="S3.I2.ix1.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.I2.ix1.p1.2"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I2.ix1.p1.2.1">its entries are normalized: </span><math alttext="\forall j,k,l\in[d]" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I2.ix1.p1.1.m1.4"><semantics id="S3.I2.ix1.p1.1.m1.4a"><mrow id="S3.I2.ix1.p1.1.m1.4.4" xref="S3.I2.ix1.p1.1.m1.4.4.cmml"><mrow id="S3.I2.ix1.p1.1.m1.4.4.1.1" xref="S3.I2.ix1.p1.1.m1.4.4.1.2.cmml"><mrow id="S3.I2.ix1.p1.1.m1.4.4.1.1.1" xref="S3.I2.ix1.p1.1.m1.4.4.1.1.1.cmml"><mo id="S3.I2.ix1.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1" rspace="0.167em" xref="S3.I2.ix1.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.cmml">∀</mo><mi id="S3.I2.ix1.p1.1.m1.4.4.1.1.1.2" xref="S3.I2.ix1.p1.1.m1.4.4.1.1.1.2.cmml">j</mi></mrow><mo id="S3.I2.ix1.p1.1.m1.4.4.1.1.2" xref="S3.I2.ix1.p1.1.m1.4.4.1.2.cmml">,</mo><mi id="S3.I2.ix1.p1.1.m1.2.2" xref="S3.I2.ix1.p1.1.m1.2.2.cmml">k</mi><mo id="S3.I2.ix1.p1.1.m1.4.4.1.1.3" xref="S3.I2.ix1.p1.1.m1.4.4.1.2.cmml">,</mo><mi id="S3.I2.ix1.p1.1.m1.3.3" xref="S3.I2.ix1.p1.1.m1.3.3.cmml">l</mi></mrow><mo id="S3.I2.ix1.p1.1.m1.4.4.2" xref="S3.I2.ix1.p1.1.m1.4.4.2.cmml">∈</mo><mrow id="S3.I2.ix1.p1.1.m1.4.4.3.2" xref="S3.I2.ix1.p1.1.m1.4.4.3.1.cmml"><mo id="S3.I2.ix1.p1.1.m1.4.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.I2.ix1.p1.1.m1.4.4.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S3.I2.ix1.p1.1.m1.1.1" xref="S3.I2.ix1.p1.1.m1.1.1.cmml">d</mi><mo id="S3.I2.ix1.p1.1.m1.4.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.I2.ix1.p1.1.m1.4.4.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I2.ix1.p1.1.m1.4b"><apply id="S3.I2.ix1.p1.1.m1.4.4.cmml" xref="S3.I2.ix1.p1.1.m1.4.4"><in id="S3.I2.ix1.p1.1.m1.4.4.2.cmml" xref="S3.I2.ix1.p1.1.m1.4.4.2"></in><list id="S3.I2.ix1.p1.1.m1.4.4.1.2.cmml" xref="S3.I2.ix1.p1.1.m1.4.4.1.1"><apply id="S3.I2.ix1.p1.1.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="S3.I2.ix1.p1.1.m1.4.4.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.I2.ix1.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I2.ix1.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1">for-all</csymbol><ci id="S3.I2.ix1.p1.1.m1.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I2.ix1.p1.1.m1.4.4.1.1.1.2">𝑗</ci></apply><ci id="S3.I2.ix1.p1.1.m1.2.2.cmml" xref="S3.I2.ix1.p1.1.m1.2.2">𝑘</ci><ci id="S3.I2.ix1.p1.1.m1.3.3.cmml" xref="S3.I2.ix1.p1.1.m1.3.3">𝑙</ci></list><apply id="S3.I2.ix1.p1.1.m1.4.4.3.1.cmml" xref="S3.I2.ix1.p1.1.m1.4.4.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.I2.ix1.p1.1.m1.4.4.3.1.1.cmml" xref="S3.I2.ix1.p1.1.m1.4.4.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S3.I2.ix1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.I2.ix1.p1.1.m1.1.1">𝑑</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I2.ix1.p1.1.m1.4c">\forall j,k,l\in[d]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I2.ix1.p1.1.m1.4d">∀ italic_j , italic_k , italic_l ∈ [ italic_d ]</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I2.ix1.p1.2.2">: </span><math alttext="|C_{j,k,l}|=1" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I2.ix1.p1.2.m2.4"><semantics id="S3.I2.ix1.p1.2.m2.4a"><mrow id="S3.I2.ix1.p1.2.m2.4.4" xref="S3.I2.ix1.p1.2.m2.4.4.cmml"><mrow id="S3.I2.ix1.p1.2.m2.4.4.1.1" xref="S3.I2.ix1.p1.2.m2.4.4.1.2.cmml"><mo id="S3.I2.ix1.p1.2.m2.4.4.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.I2.ix1.p1.2.m2.4.4.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S3.I2.ix1.p1.2.m2.4.4.1.1.1" xref="S3.I2.ix1.p1.2.m2.4.4.1.1.1.cmml"><mi id="S3.I2.ix1.p1.2.m2.4.4.1.1.1.2" xref="S3.I2.ix1.p1.2.m2.4.4.1.1.1.2.cmml">C</mi><mrow id="S3.I2.ix1.p1.2.m2.3.3.3.5" xref="S3.I2.ix1.p1.2.m2.3.3.3.4.cmml"><mi id="S3.I2.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1" xref="S3.I2.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml">j</mi><mo id="S3.I2.ix1.p1.2.m2.3.3.3.5.1" xref="S3.I2.ix1.p1.2.m2.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.I2.ix1.p1.2.m2.2.2.2.2" xref="S3.I2.ix1.p1.2.m2.2.2.2.2.cmml">k</mi><mo id="S3.I2.ix1.p1.2.m2.3.3.3.5.2" xref="S3.I2.ix1.p1.2.m2.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.I2.ix1.p1.2.m2.3.3.3.3" xref="S3.I2.ix1.p1.2.m2.3.3.3.3.cmml">l</mi></mrow></msub><mo id="S3.I2.ix1.p1.2.m2.4.4.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.I2.ix1.p1.2.m2.4.4.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S3.I2.ix1.p1.2.m2.4.4.2" xref="S3.I2.ix1.p1.2.m2.4.4.2.cmml">=</mo><mn id="S3.I2.ix1.p1.2.m2.4.4.3" xref="S3.I2.ix1.p1.2.m2.4.4.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I2.ix1.p1.2.m2.4b"><apply id="S3.I2.ix1.p1.2.m2.4.4.cmml" xref="S3.I2.ix1.p1.2.m2.4.4"><eq id="S3.I2.ix1.p1.2.m2.4.4.2.cmml" xref="S3.I2.ix1.p1.2.m2.4.4.2"></eq><apply id="S3.I2.ix1.p1.2.m2.4.4.1.2.cmml" xref="S3.I2.ix1.p1.2.m2.4.4.1.1"><abs id="S3.I2.ix1.p1.2.m2.4.4.1.2.1.cmml" xref="S3.I2.ix1.p1.2.m2.4.4.1.1.2"></abs><apply id="S3.I2.ix1.p1.2.m2.4.4.1.1.1.cmml" xref="S3.I2.ix1.p1.2.m2.4.4.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I2.ix1.p1.2.m2.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I2.ix1.p1.2.m2.4.4.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.I2.ix1.p1.2.m2.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I2.ix1.p1.2.m2.4.4.1.1.1.2">𝐶</ci><list id="S3.I2.ix1.p1.2.m2.3.3.3.4.cmml" xref="S3.I2.ix1.p1.2.m2.3.3.3.5"><ci id="S3.I2.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I2.ix1.p1.2.m2.1.1.1.1">𝑗</ci><ci id="S3.I2.ix1.p1.2.m2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.I2.ix1.p1.2.m2.2.2.2.2">𝑘</ci><ci id="S3.I2.ix1.p1.2.m2.3.3.3.3.cmml" xref="S3.I2.ix1.p1.2.m2.3.3.3.3">𝑙</ci></list></apply></apply><cn id="S3.I2.ix1.p1.2.m2.4.4.3.cmml" type="integer" xref="S3.I2.ix1.p1.2.m2.4.4.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I2.ix1.p1.2.m2.4c">|C_{j,k,l}|=1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I2.ix1.p1.2.m2.4d">| italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k , italic_l end_POSTSUBSCRIPT | = 1</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I2.ix1.p1.2.3">,</span></p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S3.I2.ix2" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">ii’)</span> <div class="ltx_para" id="S3.I2.ix2.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.I2.ix2.p1.2"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I2.ix2.p1.2.1">at least one of its faces – which we will call the “bottom face” – is a complex Hadamard matrix, and the </span><math alttext="d" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I2.ix2.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.I2.ix2.p1.1.m1.1a"><mi id="S3.I2.ix2.p1.1.m1.1.1" xref="S3.I2.ix2.p1.1.m1.1.1.cmml">d</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I2.ix2.p1.1.m1.1b"><ci id="S3.I2.ix2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.I2.ix2.p1.1.m1.1.1">𝑑</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I2.ix2.p1.1.m1.1c">d</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I2.ix2.p1.1.m1.1d">italic_d</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I2.ix2.p1.2.2"> slices parallel to the bottom face are pairwise orthogonal, as elements of </span><math alttext="\mathbb{C}^{d^{2}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I2.ix2.p1.2.m2.1"><semantics id="S3.I2.ix2.p1.2.m2.1a"><msup id="S3.I2.ix2.p1.2.m2.1.1" xref="S3.I2.ix2.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.I2.ix2.p1.2.m2.1.1.2" xref="S3.I2.ix2.p1.2.m2.1.1.2.cmml">ℂ</mi><msup id="S3.I2.ix2.p1.2.m2.1.1.3" xref="S3.I2.ix2.p1.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.I2.ix2.p1.2.m2.1.1.3.2" xref="S3.I2.ix2.p1.2.m2.1.1.3.2.cmml">d</mi><mn id="S3.I2.ix2.p1.2.m2.1.1.3.3" xref="S3.I2.ix2.p1.2.m2.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I2.ix2.p1.2.m2.1b"><apply id="S3.I2.ix2.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.I2.ix2.p1.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I2.ix2.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.I2.ix2.p1.2.m2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.I2.ix2.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.I2.ix2.p1.2.m2.1.1.2">ℂ</ci><apply id="S3.I2.ix2.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.I2.ix2.p1.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I2.ix2.p1.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I2.ix2.p1.2.m2.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.I2.ix2.p1.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.I2.ix2.p1.2.m2.1.1.3.2">𝑑</ci><cn id="S3.I2.ix2.p1.2.m2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.I2.ix2.p1.2.m2.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I2.ix2.p1.2.m2.1c">\mathbb{C}^{d^{2}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I2.ix2.p1.2.m2.1d">blackboard_C start_POSTSUPERSCRIPT italic_d start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I2.ix2.p1.2.3">,</span></p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S3.I2.ix3" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">iii’)</span> <div class="ltx_para" id="S3.I2.ix3.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.I2.ix3.p1.2"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I2.ix3.p1.2.1">for any triplets of indices </span><math alttext="j,k,l" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I2.ix3.p1.1.m1.3"><semantics id="S3.I2.ix3.p1.1.m1.3a"><mrow id="S3.I2.ix3.p1.1.m1.3.4.2" xref="S3.I2.ix3.p1.1.m1.3.4.1.cmml"><mi id="S3.I2.ix3.p1.1.m1.1.1" xref="S3.I2.ix3.p1.1.m1.1.1.cmml">j</mi><mo id="S3.I2.ix3.p1.1.m1.3.4.2.1" xref="S3.I2.ix3.p1.1.m1.3.4.1.cmml">,</mo><mi id="S3.I2.ix3.p1.1.m1.2.2" xref="S3.I2.ix3.p1.1.m1.2.2.cmml">k</mi><mo id="S3.I2.ix3.p1.1.m1.3.4.2.2" xref="S3.I2.ix3.p1.1.m1.3.4.1.cmml">,</mo><mi id="S3.I2.ix3.p1.1.m1.3.3" xref="S3.I2.ix3.p1.1.m1.3.3.cmml">l</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I2.ix3.p1.1.m1.3b"><list id="S3.I2.ix3.p1.1.m1.3.4.1.cmml" xref="S3.I2.ix3.p1.1.m1.3.4.2"><ci id="S3.I2.ix3.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.I2.ix3.p1.1.m1.1.1">𝑗</ci><ci id="S3.I2.ix3.p1.1.m1.2.2.cmml" xref="S3.I2.ix3.p1.1.m1.2.2">𝑘</ci><ci id="S3.I2.ix3.p1.1.m1.3.3.cmml" xref="S3.I2.ix3.p1.1.m1.3.3">𝑙</ci></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I2.ix3.p1.1.m1.3c">j,k,l</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I2.ix3.p1.1.m1.3d">italic_j , italic_k , italic_l</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I2.ix3.p1.2.2"> and </span><math alttext="j^{\prime},k^{\prime},l^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I2.ix3.p1.2.m2.3"><semantics id="S3.I2.ix3.p1.2.m2.3a"><mrow id="S3.I2.ix3.p1.2.m2.3.3.3" xref="S3.I2.ix3.p1.2.m2.3.3.4.cmml"><msup id="S3.I2.ix3.p1.2.m2.1.1.1.1" xref="S3.I2.ix3.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.I2.ix3.p1.2.m2.1.1.1.1.2" xref="S3.I2.ix3.p1.2.m2.1.1.1.1.2.cmml">j</mi><mo id="S3.I2.ix3.p1.2.m2.1.1.1.1.3" xref="S3.I2.ix3.p1.2.m2.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.I2.ix3.p1.2.m2.3.3.3.4" xref="S3.I2.ix3.p1.2.m2.3.3.4.cmml">,</mo><msup id="S3.I2.ix3.p1.2.m2.2.2.2.2" xref="S3.I2.ix3.p1.2.m2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.I2.ix3.p1.2.m2.2.2.2.2.2" xref="S3.I2.ix3.p1.2.m2.2.2.2.2.2.cmml">k</mi><mo id="S3.I2.ix3.p1.2.m2.2.2.2.2.3" xref="S3.I2.ix3.p1.2.m2.2.2.2.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.I2.ix3.p1.2.m2.3.3.3.5" xref="S3.I2.ix3.p1.2.m2.3.3.4.cmml">,</mo><msup id="S3.I2.ix3.p1.2.m2.3.3.3.3" xref="S3.I2.ix3.p1.2.m2.3.3.3.3.cmml"><mi id="S3.I2.ix3.p1.2.m2.3.3.3.3.2" xref="S3.I2.ix3.p1.2.m2.3.3.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="S3.I2.ix3.p1.2.m2.3.3.3.3.3" xref="S3.I2.ix3.p1.2.m2.3.3.3.3.3.cmml">′</mo></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I2.ix3.p1.2.m2.3b"><list id="S3.I2.ix3.p1.2.m2.3.3.4.cmml" xref="S3.I2.ix3.p1.2.m2.3.3.3"><apply id="S3.I2.ix3.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I2.ix3.p1.2.m2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I2.ix3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I2.ix3.p1.2.m2.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.I2.ix3.p1.2.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I2.ix3.p1.2.m2.1.1.1.1.2">𝑗</ci><ci id="S3.I2.ix3.p1.2.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I2.ix3.p1.2.m2.1.1.1.1.3">′</ci></apply><apply id="S3.I2.ix3.p1.2.m2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.I2.ix3.p1.2.m2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I2.ix3.p1.2.m2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.I2.ix3.p1.2.m2.2.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S3.I2.ix3.p1.2.m2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.I2.ix3.p1.2.m2.2.2.2.2.2">𝑘</ci><ci id="S3.I2.ix3.p1.2.m2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.I2.ix3.p1.2.m2.2.2.2.2.3">′</ci></apply><apply id="S3.I2.ix3.p1.2.m2.3.3.3.3.cmml" xref="S3.I2.ix3.p1.2.m2.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I2.ix3.p1.2.m2.3.3.3.3.1.cmml" xref="S3.I2.ix3.p1.2.m2.3.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="S3.I2.ix3.p1.2.m2.3.3.3.3.2.cmml" xref="S3.I2.ix3.p1.2.m2.3.3.3.3.2">𝑙</ci><ci id="S3.I2.ix3.p1.2.m2.3.3.3.3.3.cmml" xref="S3.I2.ix3.p1.2.m2.3.3.3.3.3">′</ci></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I2.ix3.p1.2.m2.3c">j^{\prime},k^{\prime},l^{\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I2.ix3.p1.2.m2.3d">italic_j start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_k start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_l start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I2.ix3.p1.2.3"> equation (</span><a class="ltx_ref ltx_font_italic" href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#S3.E8" title="Equation 3.8 ‣ 3. MUB-triplets and Hadamard cubes ‣ Triplets of Mutually Unbiased Bases"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3.8</span></a><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I2.ix3.p1.2.4">) holds,</span></p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S3.I2.ix4" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">iv’)</span> <div class="ltx_para" id="S3.I2.ix4.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.I2.ix4.p1.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I2.ix4.p1.1.1">entries in any one-dimensional “horizontal” cross-section (i.e. one parallel to the bottom face) sum to </span><math alttext="\sqrt{d}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I2.ix4.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.I2.ix4.p1.1.m1.1a"><msqrt id="S3.I2.ix4.p1.1.m1.1.1" xref="S3.I2.ix4.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.I2.ix4.p1.1.m1.1.1.2" xref="S3.I2.ix4.p1.1.m1.1.1.2.cmml">d</mi></msqrt><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I2.ix4.p1.1.m1.1b"><apply id="S3.I2.ix4.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.I2.ix4.p1.1.m1.1.1"><root id="S3.I2.ix4.p1.1.m1.1.1a.cmml" xref="S3.I2.ix4.p1.1.m1.1.1"></root><ci id="S3.I2.ix4.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.I2.ix4.p1.1.m1.1.1.2">𝑑</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I2.ix4.p1.1.m1.1c">\sqrt{d}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I2.ix4.p1.1.m1.1d">square-root start_ARG italic_d end_ARG</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I2.ix4.p1.1.2">.</span></p> </div> </li> </ul> <p class="ltx_p" id="S3.Thmfact4.p1.6"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.Thmfact4.p1.6.5">Then <math alttext="C" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmfact4.p1.2.1.m1.1"><semantics id="S3.Thmfact4.p1.2.1.m1.1a"><mi id="S3.Thmfact4.p1.2.1.m1.1.1" xref="S3.Thmfact4.p1.2.1.m1.1.1.cmml">C</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmfact4.p1.2.1.m1.1b"><ci id="S3.Thmfact4.p1.2.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.Thmfact4.p1.2.1.m1.1.1">𝐶</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmfact4.p1.2.1.m1.1c">C</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmfact4.p1.2.1.m1.1d">italic_C</annotation></semantics></math> is a Hadamard cube, i.e. it satisfies properties <math alttext="(i-iv)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmfact4.p1.3.2.m2.1"><semantics id="S3.Thmfact4.p1.3.2.m2.1a"><mrow id="S3.Thmfact4.p1.3.2.m2.1.1.1" xref="S3.Thmfact4.p1.3.2.m2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Thmfact4.p1.3.2.m2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Thmfact4.p1.3.2.m2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Thmfact4.p1.3.2.m2.1.1.1.1" xref="S3.Thmfact4.p1.3.2.m2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Thmfact4.p1.3.2.m2.1.1.1.1.2" xref="S3.Thmfact4.p1.3.2.m2.1.1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="S3.Thmfact4.p1.3.2.m2.1.1.1.1.1" xref="S3.Thmfact4.p1.3.2.m2.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.Thmfact4.p1.3.2.m2.1.1.1.1.3" xref="S3.Thmfact4.p1.3.2.m2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Thmfact4.p1.3.2.m2.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Thmfact4.p1.3.2.m2.1.1.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.Thmfact4.p1.3.2.m2.1.1.1.1.3.1" xref="S3.Thmfact4.p1.3.2.m2.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Thmfact4.p1.3.2.m2.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Thmfact4.p1.3.2.m2.1.1.1.1.3.3.cmml">v</mi></mrow></mrow><mo id="S3.Thmfact4.p1.3.2.m2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Thmfact4.p1.3.2.m2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmfact4.p1.3.2.m2.1b"><apply id="S3.Thmfact4.p1.3.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmfact4.p1.3.2.m2.1.1.1"><minus id="S3.Thmfact4.p1.3.2.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmfact4.p1.3.2.m2.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S3.Thmfact4.p1.3.2.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmfact4.p1.3.2.m2.1.1.1.1.2">𝑖</ci><apply id="S3.Thmfact4.p1.3.2.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Thmfact4.p1.3.2.m2.1.1.1.1.3"><times id="S3.Thmfact4.p1.3.2.m2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Thmfact4.p1.3.2.m2.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.Thmfact4.p1.3.2.m2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Thmfact4.p1.3.2.m2.1.1.1.1.3.2">𝑖</ci><ci id="S3.Thmfact4.p1.3.2.m2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Thmfact4.p1.3.2.m2.1.1.1.1.3.3">𝑣</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmfact4.p1.3.2.m2.1c">(i-iv)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmfact4.p1.3.2.m2.1d">( italic_i - italic_i italic_v )</annotation></semantics></math> of Proposition <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#S3.Thmfact1" title="Proposition 3.1. ‣ 3. MUB-triplets and Hadamard cubes ‣ Triplets of Mutually Unbiased Bases"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3.1</span></a>. Also, there exists an MUB-triplet <math alttext="(X,Y,Z)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmfact4.p1.4.3.m3.3"><semantics id="S3.Thmfact4.p1.4.3.m3.3a"><mrow id="S3.Thmfact4.p1.4.3.m3.3.4.2" xref="S3.Thmfact4.p1.4.3.m3.3.4.1.cmml"><mo id="S3.Thmfact4.p1.4.3.m3.3.4.2.1" stretchy="false" xref="S3.Thmfact4.p1.4.3.m3.3.4.1.cmml">(</mo><mi id="S3.Thmfact4.p1.4.3.m3.1.1" xref="S3.Thmfact4.p1.4.3.m3.1.1.cmml">X</mi><mo id="S3.Thmfact4.p1.4.3.m3.3.4.2.2" xref="S3.Thmfact4.p1.4.3.m3.3.4.1.cmml">,</mo><mi id="S3.Thmfact4.p1.4.3.m3.2.2" xref="S3.Thmfact4.p1.4.3.m3.2.2.cmml">Y</mi><mo id="S3.Thmfact4.p1.4.3.m3.3.4.2.3" xref="S3.Thmfact4.p1.4.3.m3.3.4.1.cmml">,</mo><mi id="S3.Thmfact4.p1.4.3.m3.3.3" xref="S3.Thmfact4.p1.4.3.m3.3.3.cmml">Z</mi><mo id="S3.Thmfact4.p1.4.3.m3.3.4.2.4" stretchy="false" xref="S3.Thmfact4.p1.4.3.m3.3.4.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmfact4.p1.4.3.m3.3b"><vector id="S3.Thmfact4.p1.4.3.m3.3.4.1.cmml" xref="S3.Thmfact4.p1.4.3.m3.3.4.2"><ci id="S3.Thmfact4.p1.4.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.Thmfact4.p1.4.3.m3.1.1">𝑋</ci><ci id="S3.Thmfact4.p1.4.3.m3.2.2.cmml" xref="S3.Thmfact4.p1.4.3.m3.2.2">𝑌</ci><ci id="S3.Thmfact4.p1.4.3.m3.3.3.cmml" xref="S3.Thmfact4.p1.4.3.m3.3.3">𝑍</ci></vector></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmfact4.p1.4.3.m3.3c">(X,Y,Z)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmfact4.p1.4.3.m3.3d">( italic_X , italic_Y , italic_Z )</annotation></semantics></math> such that <math alttext="C" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmfact4.p1.5.4.m4.1"><semantics id="S3.Thmfact4.p1.5.4.m4.1a"><mi id="S3.Thmfact4.p1.5.4.m4.1.1" xref="S3.Thmfact4.p1.5.4.m4.1.1.cmml">C</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmfact4.p1.5.4.m4.1b"><ci id="S3.Thmfact4.p1.5.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.Thmfact4.p1.5.4.m4.1.1">𝐶</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmfact4.p1.5.4.m4.1c">C</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmfact4.p1.5.4.m4.1d">italic_C</annotation></semantics></math> is the Hadamard cube associated with <math alttext="(X,Y,Z)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmfact4.p1.6.5.m5.3"><semantics id="S3.Thmfact4.p1.6.5.m5.3a"><mrow id="S3.Thmfact4.p1.6.5.m5.3.4.2" xref="S3.Thmfact4.p1.6.5.m5.3.4.1.cmml"><mo id="S3.Thmfact4.p1.6.5.m5.3.4.2.1" stretchy="false" xref="S3.Thmfact4.p1.6.5.m5.3.4.1.cmml">(</mo><mi id="S3.Thmfact4.p1.6.5.m5.1.1" xref="S3.Thmfact4.p1.6.5.m5.1.1.cmml">X</mi><mo id="S3.Thmfact4.p1.6.5.m5.3.4.2.2" xref="S3.Thmfact4.p1.6.5.m5.3.4.1.cmml">,</mo><mi id="S3.Thmfact4.p1.6.5.m5.2.2" xref="S3.Thmfact4.p1.6.5.m5.2.2.cmml">Y</mi><mo id="S3.Thmfact4.p1.6.5.m5.3.4.2.3" xref="S3.Thmfact4.p1.6.5.m5.3.4.1.cmml">,</mo><mi id="S3.Thmfact4.p1.6.5.m5.3.3" xref="S3.Thmfact4.p1.6.5.m5.3.3.cmml">Z</mi><mo id="S3.Thmfact4.p1.6.5.m5.3.4.2.4" stretchy="false" xref="S3.Thmfact4.p1.6.5.m5.3.4.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmfact4.p1.6.5.m5.3b"><vector id="S3.Thmfact4.p1.6.5.m5.3.4.1.cmml" xref="S3.Thmfact4.p1.6.5.m5.3.4.2"><ci id="S3.Thmfact4.p1.6.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.Thmfact4.p1.6.5.m5.1.1">𝑋</ci><ci id="S3.Thmfact4.p1.6.5.m5.2.2.cmml" xref="S3.Thmfact4.p1.6.5.m5.2.2">𝑌</ci><ci id="S3.Thmfact4.p1.6.5.m5.3.3.cmml" xref="S3.Thmfact4.p1.6.5.m5.3.3">𝑍</ci></vector></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmfact4.p1.6.5.m5.3c">(X,Y,Z)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmfact4.p1.6.5.m5.3d">( italic_X , italic_Y , italic_Z )</annotation></semantics></math>.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="S3.13"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="S3.7.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.7.p1.1">It is enough to show the last statement, i.e. that there exists an MUB-triplet associated to the cube <math alttext="C" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.7.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.7.p1.1.m1.1a"><mi id="S3.7.p1.1.m1.1.1" xref="S3.7.p1.1.m1.1.1.cmml">C</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.7.p1.1.m1.1b"><ci id="S3.7.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.7.p1.1.m1.1.1">𝐶</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.7.p1.1.m1.1c">C</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.7.p1.1.m1.1d">italic_C</annotation></semantics></math>. Properties (i)-(iv) of Proposition <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#S3.Thmfact1" title="Proposition 3.1. ‣ 3. MUB-triplets and Hadamard cubes ‣ Triplets of Mutually Unbiased Bases"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3.1</span></a> will then follow automatically.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.8.p2"> <p class="ltx_p" id="S3.8.p2.8">We can pick an arbitrary orthonormal basis <math alttext="(\mathbf{e}_{j})_{j\in[d]}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.8.p2.1.m1.2"><semantics id="S3.8.p2.1.m1.2a"><msub id="S3.8.p2.1.m1.2.2" xref="S3.8.p2.1.m1.2.2.cmml"><mrow id="S3.8.p2.1.m1.2.2.1.1" xref="S3.8.p2.1.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.8.p2.1.m1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.8.p2.1.m1.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.8.p2.1.m1.2.2.1.1.1" xref="S3.8.p2.1.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.8.p2.1.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S3.8.p2.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">𝐞</mi><mi id="S3.8.p2.1.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S3.8.p2.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.8.p2.1.m1.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.8.p2.1.m1.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S3.8.p2.1.m1.1.1.1" xref="S3.8.p2.1.m1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.8.p2.1.m1.1.1.1.3" xref="S3.8.p2.1.m1.1.1.1.3.cmml">j</mi><mo id="S3.8.p2.1.m1.1.1.1.2" xref="S3.8.p2.1.m1.1.1.1.2.cmml">∈</mo><mrow id="S3.8.p2.1.m1.1.1.1.4.2" xref="S3.8.p2.1.m1.1.1.1.4.1.cmml"><mo id="S3.8.p2.1.m1.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S3.8.p2.1.m1.1.1.1.4.1.1.cmml">[</mo><mi id="S3.8.p2.1.m1.1.1.1.1" xref="S3.8.p2.1.m1.1.1.1.1.cmml">d</mi><mo id="S3.8.p2.1.m1.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S3.8.p2.1.m1.1.1.1.4.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.8.p2.1.m1.2b"><apply id="S3.8.p2.1.m1.2.2.cmml" xref="S3.8.p2.1.m1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.8.p2.1.m1.2.2.2.cmml" xref="S3.8.p2.1.m1.2.2">subscript</csymbol><apply id="S3.8.p2.1.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.8.p2.1.m1.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.8.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.8.p2.1.m1.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.8.p2.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.8.p2.1.m1.2.2.1.1.1.2">𝐞</ci><ci id="S3.8.p2.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.8.p2.1.m1.2.2.1.1.1.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.8.p2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.8.p2.1.m1.1.1.1"><in id="S3.8.p2.1.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.8.p2.1.m1.1.1.1.2"></in><ci id="S3.8.p2.1.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.8.p2.1.m1.1.1.1.3">𝑗</ci><apply id="S3.8.p2.1.m1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.8.p2.1.m1.1.1.1.4.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.8.p2.1.m1.1.1.1.4.1.1.cmml" xref="S3.8.p2.1.m1.1.1.1.4.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S3.8.p2.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.8.p2.1.m1.1.1.1.1">𝑑</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.8.p2.1.m1.2c">(\mathbf{e}_{j})_{j\in[d]}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.8.p2.1.m1.2d">( bold_e start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_j ∈ [ italic_d ] end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> to be the first element of our MUB-triplet. To fix notations, let us say that the “bottom face” of <math alttext="C" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.8.p2.2.m2.1"><semantics id="S3.8.p2.2.m2.1a"><mi id="S3.8.p2.2.m2.1.1" xref="S3.8.p2.2.m2.1.1.cmml">C</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.8.p2.2.m2.1b"><ci id="S3.8.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.8.p2.2.m2.1.1">𝐶</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.8.p2.2.m2.1c">C</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.8.p2.2.m2.1d">italic_C</annotation></semantics></math> is the one corresponding to the indeces <math alttext="\{(j,k,l)\in[d]^{3}\,|\,l=d\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.8.p2.3.m3.6"><semantics id="S3.8.p2.3.m3.6a"><mrow id="S3.8.p2.3.m3.6.6.2" xref="S3.8.p2.3.m3.6.6.3.cmml"><mo id="S3.8.p2.3.m3.6.6.2.3" stretchy="false" xref="S3.8.p2.3.m3.6.6.3.1.cmml">{</mo><mrow id="S3.8.p2.3.m3.5.5.1.1" xref="S3.8.p2.3.m3.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S3.8.p2.3.m3.5.5.1.1.2.2" xref="S3.8.p2.3.m3.5.5.1.1.2.1.cmml"><mo id="S3.8.p2.3.m3.5.5.1.1.2.2.1" stretchy="false" xref="S3.8.p2.3.m3.5.5.1.1.2.1.cmml">(</mo><mi id="S3.8.p2.3.m3.1.1" xref="S3.8.p2.3.m3.1.1.cmml">j</mi><mo id="S3.8.p2.3.m3.5.5.1.1.2.2.2" xref="S3.8.p2.3.m3.5.5.1.1.2.1.cmml">,</mo><mi id="S3.8.p2.3.m3.2.2" xref="S3.8.p2.3.m3.2.2.cmml">k</mi><mo id="S3.8.p2.3.m3.5.5.1.1.2.2.3" xref="S3.8.p2.3.m3.5.5.1.1.2.1.cmml">,</mo><mi id="S3.8.p2.3.m3.3.3" xref="S3.8.p2.3.m3.3.3.cmml">l</mi><mo id="S3.8.p2.3.m3.5.5.1.1.2.2.4" stretchy="false" xref="S3.8.p2.3.m3.5.5.1.1.2.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.8.p2.3.m3.5.5.1.1.1" xref="S3.8.p2.3.m3.5.5.1.1.1.cmml">∈</mo><msup id="S3.8.p2.3.m3.5.5.1.1.3" xref="S3.8.p2.3.m3.5.5.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.8.p2.3.m3.5.5.1.1.3.2.2" xref="S3.8.p2.3.m3.5.5.1.1.3.2.1.cmml"><mo id="S3.8.p2.3.m3.5.5.1.1.3.2.2.1" stretchy="false" xref="S3.8.p2.3.m3.5.5.1.1.3.2.1.1.cmml">[</mo><mi id="S3.8.p2.3.m3.4.4" xref="S3.8.p2.3.m3.4.4.cmml">d</mi><mo id="S3.8.p2.3.m3.5.5.1.1.3.2.2.2" stretchy="false" xref="S3.8.p2.3.m3.5.5.1.1.3.2.1.1.cmml">]</mo></mrow><mn id="S3.8.p2.3.m3.5.5.1.1.3.3" xref="S3.8.p2.3.m3.5.5.1.1.3.3.cmml">3</mn></msup></mrow><mo id="S3.8.p2.3.m3.6.6.2.4" lspace="0em" rspace="0.170em" xref="S3.8.p2.3.m3.6.6.3.1.cmml">|</mo><mrow id="S3.8.p2.3.m3.6.6.2.2" xref="S3.8.p2.3.m3.6.6.2.2.cmml"><mi id="S3.8.p2.3.m3.6.6.2.2.2" xref="S3.8.p2.3.m3.6.6.2.2.2.cmml">l</mi><mo id="S3.8.p2.3.m3.6.6.2.2.1" xref="S3.8.p2.3.m3.6.6.2.2.1.cmml">=</mo><mi id="S3.8.p2.3.m3.6.6.2.2.3" xref="S3.8.p2.3.m3.6.6.2.2.3.cmml">d</mi></mrow><mo id="S3.8.p2.3.m3.6.6.2.5" stretchy="false" xref="S3.8.p2.3.m3.6.6.3.1.cmml">}</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.8.p2.3.m3.6b"><apply id="S3.8.p2.3.m3.6.6.3.cmml" xref="S3.8.p2.3.m3.6.6.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.8.p2.3.m3.6.6.3.1.cmml" xref="S3.8.p2.3.m3.6.6.2.3">conditional-set</csymbol><apply id="S3.8.p2.3.m3.5.5.1.1.cmml" xref="S3.8.p2.3.m3.5.5.1.1"><in id="S3.8.p2.3.m3.5.5.1.1.1.cmml" xref="S3.8.p2.3.m3.5.5.1.1.1"></in><vector id="S3.8.p2.3.m3.5.5.1.1.2.1.cmml" xref="S3.8.p2.3.m3.5.5.1.1.2.2"><ci id="S3.8.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.8.p2.3.m3.1.1">𝑗</ci><ci id="S3.8.p2.3.m3.2.2.cmml" xref="S3.8.p2.3.m3.2.2">𝑘</ci><ci id="S3.8.p2.3.m3.3.3.cmml" xref="S3.8.p2.3.m3.3.3">𝑙</ci></vector><apply id="S3.8.p2.3.m3.5.5.1.1.3.cmml" xref="S3.8.p2.3.m3.5.5.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.8.p2.3.m3.5.5.1.1.3.1.cmml" xref="S3.8.p2.3.m3.5.5.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S3.8.p2.3.m3.5.5.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.8.p2.3.m3.5.5.1.1.3.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.8.p2.3.m3.5.5.1.1.3.2.1.1.cmml" xref="S3.8.p2.3.m3.5.5.1.1.3.2.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S3.8.p2.3.m3.4.4.cmml" xref="S3.8.p2.3.m3.4.4">𝑑</ci></apply><cn id="S3.8.p2.3.m3.5.5.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.8.p2.3.m3.5.5.1.1.3.3">3</cn></apply></apply><apply id="S3.8.p2.3.m3.6.6.2.2.cmml" xref="S3.8.p2.3.m3.6.6.2.2"><eq id="S3.8.p2.3.m3.6.6.2.2.1.cmml" xref="S3.8.p2.3.m3.6.6.2.2.1"></eq><ci id="S3.8.p2.3.m3.6.6.2.2.2.cmml" xref="S3.8.p2.3.m3.6.6.2.2.2">𝑙</ci><ci id="S3.8.p2.3.m3.6.6.2.2.3.cmml" xref="S3.8.p2.3.m3.6.6.2.2.3">𝑑</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.8.p2.3.m3.6c">\{(j,k,l)\in[d]^{3}\,|\,l=d\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.8.p2.3.m3.6d">{ ( italic_j , italic_k , italic_l ) ∈ [ italic_d ] start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT | italic_l = italic_d }</annotation></semantics></math>. We then use this face to define the second term of our MUB triplet; let <math alttext="\mathbf{f}_{j}:=\frac{1}{\sqrt{d}}\sum_{k=1}^{d}C_{k,j,d}\mathbf{e}_{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.8.p2.4.m4.3"><semantics id="S3.8.p2.4.m4.3a"><mrow id="S3.8.p2.4.m4.3.4" xref="S3.8.p2.4.m4.3.4.cmml"><msub id="S3.8.p2.4.m4.3.4.2" xref="S3.8.p2.4.m4.3.4.2.cmml"><mi id="S3.8.p2.4.m4.3.4.2.2" xref="S3.8.p2.4.m4.3.4.2.2.cmml">𝐟</mi><mi id="S3.8.p2.4.m4.3.4.2.3" xref="S3.8.p2.4.m4.3.4.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.8.p2.4.m4.3.4.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S3.8.p2.4.m4.3.4.1.cmml">:=</mo><mrow id="S3.8.p2.4.m4.3.4.3" xref="S3.8.p2.4.m4.3.4.3.cmml"><mfrac id="S3.8.p2.4.m4.3.4.3.2" xref="S3.8.p2.4.m4.3.4.3.2.cmml"><mn id="S3.8.p2.4.m4.3.4.3.2.2" xref="S3.8.p2.4.m4.3.4.3.2.2.cmml">1</mn><msqrt id="S3.8.p2.4.m4.3.4.3.2.3" xref="S3.8.p2.4.m4.3.4.3.2.3.cmml"><mi id="S3.8.p2.4.m4.3.4.3.2.3.2" xref="S3.8.p2.4.m4.3.4.3.2.3.2.cmml">d</mi></msqrt></mfrac><mo id="S3.8.p2.4.m4.3.4.3.1" xref="S3.8.p2.4.m4.3.4.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.8.p2.4.m4.3.4.3.3" xref="S3.8.p2.4.m4.3.4.3.3.cmml"><msubsup id="S3.8.p2.4.m4.3.4.3.3.1" xref="S3.8.p2.4.m4.3.4.3.3.1.cmml"><mo id="S3.8.p2.4.m4.3.4.3.3.1.2.2" xref="S3.8.p2.4.m4.3.4.3.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.8.p2.4.m4.3.4.3.3.1.2.3" xref="S3.8.p2.4.m4.3.4.3.3.1.2.3.cmml"><mi id="S3.8.p2.4.m4.3.4.3.3.1.2.3.2" xref="S3.8.p2.4.m4.3.4.3.3.1.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S3.8.p2.4.m4.3.4.3.3.1.2.3.1" xref="S3.8.p2.4.m4.3.4.3.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.8.p2.4.m4.3.4.3.3.1.2.3.3" xref="S3.8.p2.4.m4.3.4.3.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S3.8.p2.4.m4.3.4.3.3.1.3" xref="S3.8.p2.4.m4.3.4.3.3.1.3.cmml">d</mi></msubsup><mrow id="S3.8.p2.4.m4.3.4.3.3.2" xref="S3.8.p2.4.m4.3.4.3.3.2.cmml"><msub id="S3.8.p2.4.m4.3.4.3.3.2.2" xref="S3.8.p2.4.m4.3.4.3.3.2.2.cmml"><mi id="S3.8.p2.4.m4.3.4.3.3.2.2.2" xref="S3.8.p2.4.m4.3.4.3.3.2.2.2.cmml">C</mi><mrow id="S3.8.p2.4.m4.3.3.3.5" xref="S3.8.p2.4.m4.3.3.3.4.cmml"><mi id="S3.8.p2.4.m4.1.1.1.1" xref="S3.8.p2.4.m4.1.1.1.1.cmml">k</mi><mo id="S3.8.p2.4.m4.3.3.3.5.1" xref="S3.8.p2.4.m4.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.8.p2.4.m4.2.2.2.2" xref="S3.8.p2.4.m4.2.2.2.2.cmml">j</mi><mo id="S3.8.p2.4.m4.3.3.3.5.2" xref="S3.8.p2.4.m4.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.8.p2.4.m4.3.3.3.3" xref="S3.8.p2.4.m4.3.3.3.3.cmml">d</mi></mrow></msub><mo id="S3.8.p2.4.m4.3.4.3.3.2.1" xref="S3.8.p2.4.m4.3.4.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.8.p2.4.m4.3.4.3.3.2.3" xref="S3.8.p2.4.m4.3.4.3.3.2.3.cmml"><mi id="S3.8.p2.4.m4.3.4.3.3.2.3.2" xref="S3.8.p2.4.m4.3.4.3.3.2.3.2.cmml">𝐞</mi><mi id="S3.8.p2.4.m4.3.4.3.3.2.3.3" xref="S3.8.p2.4.m4.3.4.3.3.2.3.3.cmml">k</mi></msub></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.8.p2.4.m4.3b"><apply id="S3.8.p2.4.m4.3.4.cmml" xref="S3.8.p2.4.m4.3.4"><csymbol cd="latexml" id="S3.8.p2.4.m4.3.4.1.cmml" xref="S3.8.p2.4.m4.3.4.1">assign</csymbol><apply id="S3.8.p2.4.m4.3.4.2.cmml" xref="S3.8.p2.4.m4.3.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.8.p2.4.m4.3.4.2.1.cmml" xref="S3.8.p2.4.m4.3.4.2">subscript</csymbol><ci id="S3.8.p2.4.m4.3.4.2.2.cmml" xref="S3.8.p2.4.m4.3.4.2.2">𝐟</ci><ci id="S3.8.p2.4.m4.3.4.2.3.cmml" xref="S3.8.p2.4.m4.3.4.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.8.p2.4.m4.3.4.3.cmml" xref="S3.8.p2.4.m4.3.4.3"><times id="S3.8.p2.4.m4.3.4.3.1.cmml" xref="S3.8.p2.4.m4.3.4.3.1"></times><apply id="S3.8.p2.4.m4.3.4.3.2.cmml" xref="S3.8.p2.4.m4.3.4.3.2"><divide id="S3.8.p2.4.m4.3.4.3.2.1.cmml" xref="S3.8.p2.4.m4.3.4.3.2"></divide><cn id="S3.8.p2.4.m4.3.4.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.8.p2.4.m4.3.4.3.2.2">1</cn><apply id="S3.8.p2.4.m4.3.4.3.2.3.cmml" xref="S3.8.p2.4.m4.3.4.3.2.3"><root id="S3.8.p2.4.m4.3.4.3.2.3a.cmml" xref="S3.8.p2.4.m4.3.4.3.2.3"></root><ci id="S3.8.p2.4.m4.3.4.3.2.3.2.cmml" xref="S3.8.p2.4.m4.3.4.3.2.3.2">𝑑</ci></apply></apply><apply id="S3.8.p2.4.m4.3.4.3.3.cmml" xref="S3.8.p2.4.m4.3.4.3.3"><apply id="S3.8.p2.4.m4.3.4.3.3.1.cmml" xref="S3.8.p2.4.m4.3.4.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.8.p2.4.m4.3.4.3.3.1.1.cmml" xref="S3.8.p2.4.m4.3.4.3.3.1">superscript</csymbol><apply id="S3.8.p2.4.m4.3.4.3.3.1.2.cmml" xref="S3.8.p2.4.m4.3.4.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.8.p2.4.m4.3.4.3.3.1.2.1.cmml" xref="S3.8.p2.4.m4.3.4.3.3.1">subscript</csymbol><sum id="S3.8.p2.4.m4.3.4.3.3.1.2.2.cmml" xref="S3.8.p2.4.m4.3.4.3.3.1.2.2"></sum><apply id="S3.8.p2.4.m4.3.4.3.3.1.2.3.cmml" xref="S3.8.p2.4.m4.3.4.3.3.1.2.3"><eq id="S3.8.p2.4.m4.3.4.3.3.1.2.3.1.cmml" xref="S3.8.p2.4.m4.3.4.3.3.1.2.3.1"></eq><ci id="S3.8.p2.4.m4.3.4.3.3.1.2.3.2.cmml" xref="S3.8.p2.4.m4.3.4.3.3.1.2.3.2">𝑘</ci><cn id="S3.8.p2.4.m4.3.4.3.3.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.8.p2.4.m4.3.4.3.3.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S3.8.p2.4.m4.3.4.3.3.1.3.cmml" xref="S3.8.p2.4.m4.3.4.3.3.1.3">𝑑</ci></apply><apply id="S3.8.p2.4.m4.3.4.3.3.2.cmml" xref="S3.8.p2.4.m4.3.4.3.3.2"><times id="S3.8.p2.4.m4.3.4.3.3.2.1.cmml" xref="S3.8.p2.4.m4.3.4.3.3.2.1"></times><apply id="S3.8.p2.4.m4.3.4.3.3.2.2.cmml" xref="S3.8.p2.4.m4.3.4.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.8.p2.4.m4.3.4.3.3.2.2.1.cmml" xref="S3.8.p2.4.m4.3.4.3.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.8.p2.4.m4.3.4.3.3.2.2.2.cmml" xref="S3.8.p2.4.m4.3.4.3.3.2.2.2">𝐶</ci><list id="S3.8.p2.4.m4.3.3.3.4.cmml" xref="S3.8.p2.4.m4.3.3.3.5"><ci id="S3.8.p2.4.m4.1.1.1.1.cmml" xref="S3.8.p2.4.m4.1.1.1.1">𝑘</ci><ci id="S3.8.p2.4.m4.2.2.2.2.cmml" xref="S3.8.p2.4.m4.2.2.2.2">𝑗</ci><ci id="S3.8.p2.4.m4.3.3.3.3.cmml" xref="S3.8.p2.4.m4.3.3.3.3">𝑑</ci></list></apply><apply id="S3.8.p2.4.m4.3.4.3.3.2.3.cmml" xref="S3.8.p2.4.m4.3.4.3.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.8.p2.4.m4.3.4.3.3.2.3.1.cmml" xref="S3.8.p2.4.m4.3.4.3.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.8.p2.4.m4.3.4.3.3.2.3.2.cmml" xref="S3.8.p2.4.m4.3.4.3.3.2.3.2">𝐞</ci><ci id="S3.8.p2.4.m4.3.4.3.3.2.3.3.cmml" xref="S3.8.p2.4.m4.3.4.3.3.2.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.8.p2.4.m4.3c">\mathbf{f}_{j}:=\frac{1}{\sqrt{d}}\sum_{k=1}^{d}C_{k,j,d}\mathbf{e}_{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.8.p2.4.m4.3d">bold_f start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT := divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG square-root start_ARG italic_d end_ARG end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_k = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_k , italic_j , italic_d end_POSTSUBSCRIPT bold_e start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. The fact that <math alttext="C_{\cdot,\cdot,d}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.8.p2.5.m5.3"><semantics id="S3.8.p2.5.m5.3a"><msub id="S3.8.p2.5.m5.3.4" xref="S3.8.p2.5.m5.3.4.cmml"><mi id="S3.8.p2.5.m5.3.4.2" xref="S3.8.p2.5.m5.3.4.2.cmml">C</mi><mrow id="S3.8.p2.5.m5.3.3.3.5" xref="S3.8.p2.5.m5.3.3.3.4.cmml"><mo id="S3.8.p2.5.m5.1.1.1.1" rspace="0em" xref="S3.8.p2.5.m5.1.1.1.1.cmml">⋅</mo><mo id="S3.8.p2.5.m5.3.3.3.5.1" rspace="0em" xref="S3.8.p2.5.m5.3.3.3.4.cmml">,</mo><mo id="S3.8.p2.5.m5.2.2.2.2" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.8.p2.5.m5.2.2.2.2.cmml">⋅</mo><mo id="S3.8.p2.5.m5.3.3.3.5.2" xref="S3.8.p2.5.m5.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.8.p2.5.m5.3.3.3.3" xref="S3.8.p2.5.m5.3.3.3.3.cmml">d</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.8.p2.5.m5.3b"><apply id="S3.8.p2.5.m5.3.4.cmml" xref="S3.8.p2.5.m5.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.8.p2.5.m5.3.4.1.cmml" xref="S3.8.p2.5.m5.3.4">subscript</csymbol><ci id="S3.8.p2.5.m5.3.4.2.cmml" xref="S3.8.p2.5.m5.3.4.2">𝐶</ci><list id="S3.8.p2.5.m5.3.3.3.4.cmml" xref="S3.8.p2.5.m5.3.3.3.5"><ci id="S3.8.p2.5.m5.1.1.1.1.cmml" xref="S3.8.p2.5.m5.1.1.1.1">⋅</ci><ci id="S3.8.p2.5.m5.2.2.2.2.cmml" xref="S3.8.p2.5.m5.2.2.2.2">⋅</ci><ci id="S3.8.p2.5.m5.3.3.3.3.cmml" xref="S3.8.p2.5.m5.3.3.3.3">𝑑</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.8.p2.5.m5.3c">C_{\cdot,\cdot,d}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.8.p2.5.m5.3d">italic_C start_POSTSUBSCRIPT ⋅ , ⋅ , italic_d end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is a complex Hadamard matrix implies that <math alttext="(\mathbf{f}_{j})_{j\in[d]}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.8.p2.6.m6.2"><semantics id="S3.8.p2.6.m6.2a"><msub id="S3.8.p2.6.m6.2.2" xref="S3.8.p2.6.m6.2.2.cmml"><mrow id="S3.8.p2.6.m6.2.2.1.1" xref="S3.8.p2.6.m6.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.8.p2.6.m6.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.8.p2.6.m6.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.8.p2.6.m6.2.2.1.1.1" xref="S3.8.p2.6.m6.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.8.p2.6.m6.2.2.1.1.1.2" xref="S3.8.p2.6.m6.2.2.1.1.1.2.cmml">𝐟</mi><mi id="S3.8.p2.6.m6.2.2.1.1.1.3" xref="S3.8.p2.6.m6.2.2.1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.8.p2.6.m6.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.8.p2.6.m6.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S3.8.p2.6.m6.1.1.1" xref="S3.8.p2.6.m6.1.1.1.cmml"><mi id="S3.8.p2.6.m6.1.1.1.3" xref="S3.8.p2.6.m6.1.1.1.3.cmml">j</mi><mo id="S3.8.p2.6.m6.1.1.1.2" xref="S3.8.p2.6.m6.1.1.1.2.cmml">∈</mo><mrow id="S3.8.p2.6.m6.1.1.1.4.2" xref="S3.8.p2.6.m6.1.1.1.4.1.cmml"><mo id="S3.8.p2.6.m6.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S3.8.p2.6.m6.1.1.1.4.1.1.cmml">[</mo><mi id="S3.8.p2.6.m6.1.1.1.1" xref="S3.8.p2.6.m6.1.1.1.1.cmml">d</mi><mo id="S3.8.p2.6.m6.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S3.8.p2.6.m6.1.1.1.4.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.8.p2.6.m6.2b"><apply id="S3.8.p2.6.m6.2.2.cmml" xref="S3.8.p2.6.m6.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.8.p2.6.m6.2.2.2.cmml" xref="S3.8.p2.6.m6.2.2">subscript</csymbol><apply id="S3.8.p2.6.m6.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.8.p2.6.m6.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.8.p2.6.m6.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.8.p2.6.m6.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.8.p2.6.m6.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.8.p2.6.m6.2.2.1.1.1.2">𝐟</ci><ci id="S3.8.p2.6.m6.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.8.p2.6.m6.2.2.1.1.1.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.8.p2.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S3.8.p2.6.m6.1.1.1"><in id="S3.8.p2.6.m6.1.1.1.2.cmml" xref="S3.8.p2.6.m6.1.1.1.2"></in><ci id="S3.8.p2.6.m6.1.1.1.3.cmml" xref="S3.8.p2.6.m6.1.1.1.3">𝑗</ci><apply id="S3.8.p2.6.m6.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.8.p2.6.m6.1.1.1.4.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.8.p2.6.m6.1.1.1.4.1.1.cmml" xref="S3.8.p2.6.m6.1.1.1.4.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S3.8.p2.6.m6.1.1.1.1.cmml" xref="S3.8.p2.6.m6.1.1.1.1">𝑑</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.8.p2.6.m6.2c">(\mathbf{f}_{j})_{j\in[d]}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.8.p2.6.m6.2d">( bold_f start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_j ∈ [ italic_d ] end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is an orthonormal basis. Moreover, we have that <math alttext="\langle\mathbf{e}_{k},\mathbf{f}_{j}\rangle=\frac{1}{\sqrt{d}}C_{k,j,d}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.8.p2.7.m7.5"><semantics id="S3.8.p2.7.m7.5a"><mrow id="S3.8.p2.7.m7.5.5" xref="S3.8.p2.7.m7.5.5.cmml"><mrow id="S3.8.p2.7.m7.5.5.2.2" xref="S3.8.p2.7.m7.5.5.2.3.cmml"><mo id="S3.8.p2.7.m7.5.5.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.8.p2.7.m7.5.5.2.3.cmml">⟨</mo><msub id="S3.8.p2.7.m7.4.4.1.1.1" xref="S3.8.p2.7.m7.4.4.1.1.1.cmml"><mi id="S3.8.p2.7.m7.4.4.1.1.1.2" xref="S3.8.p2.7.m7.4.4.1.1.1.2.cmml">𝐞</mi><mi id="S3.8.p2.7.m7.4.4.1.1.1.3" xref="S3.8.p2.7.m7.4.4.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.8.p2.7.m7.5.5.2.2.4" xref="S3.8.p2.7.m7.5.5.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.8.p2.7.m7.5.5.2.2.2" xref="S3.8.p2.7.m7.5.5.2.2.2.cmml"><mi id="S3.8.p2.7.m7.5.5.2.2.2.2" xref="S3.8.p2.7.m7.5.5.2.2.2.2.cmml">𝐟</mi><mi id="S3.8.p2.7.m7.5.5.2.2.2.3" xref="S3.8.p2.7.m7.5.5.2.2.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.8.p2.7.m7.5.5.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.8.p2.7.m7.5.5.2.3.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S3.8.p2.7.m7.5.5.3" xref="S3.8.p2.7.m7.5.5.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.8.p2.7.m7.5.5.4" xref="S3.8.p2.7.m7.5.5.4.cmml"><mfrac id="S3.8.p2.7.m7.5.5.4.2" xref="S3.8.p2.7.m7.5.5.4.2.cmml"><mn id="S3.8.p2.7.m7.5.5.4.2.2" xref="S3.8.p2.7.m7.5.5.4.2.2.cmml">1</mn><msqrt id="S3.8.p2.7.m7.5.5.4.2.3" xref="S3.8.p2.7.m7.5.5.4.2.3.cmml"><mi id="S3.8.p2.7.m7.5.5.4.2.3.2" xref="S3.8.p2.7.m7.5.5.4.2.3.2.cmml">d</mi></msqrt></mfrac><mo id="S3.8.p2.7.m7.5.5.4.1" xref="S3.8.p2.7.m7.5.5.4.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.8.p2.7.m7.5.5.4.3" xref="S3.8.p2.7.m7.5.5.4.3.cmml"><mi id="S3.8.p2.7.m7.5.5.4.3.2" xref="S3.8.p2.7.m7.5.5.4.3.2.cmml">C</mi><mrow id="S3.8.p2.7.m7.3.3.3.5" xref="S3.8.p2.7.m7.3.3.3.4.cmml"><mi id="S3.8.p2.7.m7.1.1.1.1" xref="S3.8.p2.7.m7.1.1.1.1.cmml">k</mi><mo id="S3.8.p2.7.m7.3.3.3.5.1" xref="S3.8.p2.7.m7.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.8.p2.7.m7.2.2.2.2" xref="S3.8.p2.7.m7.2.2.2.2.cmml">j</mi><mo id="S3.8.p2.7.m7.3.3.3.5.2" xref="S3.8.p2.7.m7.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.8.p2.7.m7.3.3.3.3" xref="S3.8.p2.7.m7.3.3.3.3.cmml">d</mi></mrow></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.8.p2.7.m7.5b"><apply id="S3.8.p2.7.m7.5.5.cmml" xref="S3.8.p2.7.m7.5.5"><eq id="S3.8.p2.7.m7.5.5.3.cmml" xref="S3.8.p2.7.m7.5.5.3"></eq><list id="S3.8.p2.7.m7.5.5.2.3.cmml" xref="S3.8.p2.7.m7.5.5.2.2"><apply id="S3.8.p2.7.m7.4.4.1.1.1.cmml" xref="S3.8.p2.7.m7.4.4.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.8.p2.7.m7.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S3.8.p2.7.m7.4.4.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.8.p2.7.m7.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S3.8.p2.7.m7.4.4.1.1.1.2">𝐞</ci><ci id="S3.8.p2.7.m7.4.4.1.1.1.3.cmml" xref="S3.8.p2.7.m7.4.4.1.1.1.3">𝑘</ci></apply><apply id="S3.8.p2.7.m7.5.5.2.2.2.cmml" xref="S3.8.p2.7.m7.5.5.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.8.p2.7.m7.5.5.2.2.2.1.cmml" xref="S3.8.p2.7.m7.5.5.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.8.p2.7.m7.5.5.2.2.2.2.cmml" xref="S3.8.p2.7.m7.5.5.2.2.2.2">𝐟</ci><ci id="S3.8.p2.7.m7.5.5.2.2.2.3.cmml" xref="S3.8.p2.7.m7.5.5.2.2.2.3">𝑗</ci></apply></list><apply id="S3.8.p2.7.m7.5.5.4.cmml" xref="S3.8.p2.7.m7.5.5.4"><times id="S3.8.p2.7.m7.5.5.4.1.cmml" xref="S3.8.p2.7.m7.5.5.4.1"></times><apply id="S3.8.p2.7.m7.5.5.4.2.cmml" xref="S3.8.p2.7.m7.5.5.4.2"><divide id="S3.8.p2.7.m7.5.5.4.2.1.cmml" xref="S3.8.p2.7.m7.5.5.4.2"></divide><cn id="S3.8.p2.7.m7.5.5.4.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.8.p2.7.m7.5.5.4.2.2">1</cn><apply id="S3.8.p2.7.m7.5.5.4.2.3.cmml" xref="S3.8.p2.7.m7.5.5.4.2.3"><root id="S3.8.p2.7.m7.5.5.4.2.3a.cmml" xref="S3.8.p2.7.m7.5.5.4.2.3"></root><ci id="S3.8.p2.7.m7.5.5.4.2.3.2.cmml" xref="S3.8.p2.7.m7.5.5.4.2.3.2">𝑑</ci></apply></apply><apply id="S3.8.p2.7.m7.5.5.4.3.cmml" xref="S3.8.p2.7.m7.5.5.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.8.p2.7.m7.5.5.4.3.1.cmml" xref="S3.8.p2.7.m7.5.5.4.3">subscript</csymbol><ci id="S3.8.p2.7.m7.5.5.4.3.2.cmml" xref="S3.8.p2.7.m7.5.5.4.3.2">𝐶</ci><list id="S3.8.p2.7.m7.3.3.3.4.cmml" xref="S3.8.p2.7.m7.3.3.3.5"><ci id="S3.8.p2.7.m7.1.1.1.1.cmml" xref="S3.8.p2.7.m7.1.1.1.1">𝑘</ci><ci id="S3.8.p2.7.m7.2.2.2.2.cmml" xref="S3.8.p2.7.m7.2.2.2.2">𝑗</ci><ci id="S3.8.p2.7.m7.3.3.3.3.cmml" xref="S3.8.p2.7.m7.3.3.3.3">𝑑</ci></list></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.8.p2.7.m7.5c">\langle\mathbf{e}_{k},\mathbf{f}_{j}\rangle=\frac{1}{\sqrt{d}}C_{k,j,d}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.8.p2.7.m7.5d">⟨ bold_e start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT , bold_f start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ⟩ = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG square-root start_ARG italic_d end_ARG end_ARG italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_k , italic_j , italic_d end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>; in particular, <math alttext="\left((\mathbf{e}_{j})_{j\in[d]},(\mathbf{f}_{j})_{j\in[d]}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.8.p2.8.m8.4"><semantics id="S3.8.p2.8.m8.4a"><mrow id="S3.8.p2.8.m8.4.4.2" xref="S3.8.p2.8.m8.4.4.3.cmml"><mo id="S3.8.p2.8.m8.4.4.2.3" xref="S3.8.p2.8.m8.4.4.3.cmml">(</mo><msub id="S3.8.p2.8.m8.3.3.1.1" xref="S3.8.p2.8.m8.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S3.8.p2.8.m8.3.3.1.1.1.1" xref="S3.8.p2.8.m8.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.8.p2.8.m8.3.3.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.8.p2.8.m8.3.3.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.8.p2.8.m8.3.3.1.1.1.1.1" xref="S3.8.p2.8.m8.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.8.p2.8.m8.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="S3.8.p2.8.m8.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml">𝐞</mi><mi id="S3.8.p2.8.m8.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="S3.8.p2.8.m8.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.8.p2.8.m8.3.3.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.8.p2.8.m8.3.3.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S3.8.p2.8.m8.1.1.1" xref="S3.8.p2.8.m8.1.1.1.cmml"><mi id="S3.8.p2.8.m8.1.1.1.3" xref="S3.8.p2.8.m8.1.1.1.3.cmml">j</mi><mo id="S3.8.p2.8.m8.1.1.1.2" xref="S3.8.p2.8.m8.1.1.1.2.cmml">∈</mo><mrow id="S3.8.p2.8.m8.1.1.1.4.2" xref="S3.8.p2.8.m8.1.1.1.4.1.cmml"><mo id="S3.8.p2.8.m8.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S3.8.p2.8.m8.1.1.1.4.1.1.cmml">[</mo><mi id="S3.8.p2.8.m8.1.1.1.1" xref="S3.8.p2.8.m8.1.1.1.1.cmml">d</mi><mo id="S3.8.p2.8.m8.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S3.8.p2.8.m8.1.1.1.4.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></msub><mo id="S3.8.p2.8.m8.4.4.2.4" xref="S3.8.p2.8.m8.4.4.3.cmml">,</mo><msub id="S3.8.p2.8.m8.4.4.2.2" xref="S3.8.p2.8.m8.4.4.2.2.cmml"><mrow id="S3.8.p2.8.m8.4.4.2.2.1.1" xref="S3.8.p2.8.m8.4.4.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.8.p2.8.m8.4.4.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.8.p2.8.m8.4.4.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.8.p2.8.m8.4.4.2.2.1.1.1" xref="S3.8.p2.8.m8.4.4.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.8.p2.8.m8.4.4.2.2.1.1.1.2" xref="S3.8.p2.8.m8.4.4.2.2.1.1.1.2.cmml">𝐟</mi><mi id="S3.8.p2.8.m8.4.4.2.2.1.1.1.3" xref="S3.8.p2.8.m8.4.4.2.2.1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.8.p2.8.m8.4.4.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.8.p2.8.m8.4.4.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S3.8.p2.8.m8.2.2.1" xref="S3.8.p2.8.m8.2.2.1.cmml"><mi id="S3.8.p2.8.m8.2.2.1.3" xref="S3.8.p2.8.m8.2.2.1.3.cmml">j</mi><mo id="S3.8.p2.8.m8.2.2.1.2" xref="S3.8.p2.8.m8.2.2.1.2.cmml">∈</mo><mrow id="S3.8.p2.8.m8.2.2.1.4.2" xref="S3.8.p2.8.m8.2.2.1.4.1.cmml"><mo id="S3.8.p2.8.m8.2.2.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S3.8.p2.8.m8.2.2.1.4.1.1.cmml">[</mo><mi id="S3.8.p2.8.m8.2.2.1.1" xref="S3.8.p2.8.m8.2.2.1.1.cmml">d</mi><mo id="S3.8.p2.8.m8.2.2.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S3.8.p2.8.m8.2.2.1.4.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></msub><mo id="S3.8.p2.8.m8.4.4.2.5" xref="S3.8.p2.8.m8.4.4.3.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.8.p2.8.m8.4b"><interval closure="open" id="S3.8.p2.8.m8.4.4.3.cmml" xref="S3.8.p2.8.m8.4.4.2"><apply id="S3.8.p2.8.m8.3.3.1.1.cmml" xref="S3.8.p2.8.m8.3.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.8.p2.8.m8.3.3.1.1.2.cmml" xref="S3.8.p2.8.m8.3.3.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.8.p2.8.m8.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.8.p2.8.m8.3.3.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.8.p2.8.m8.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.8.p2.8.m8.3.3.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.8.p2.8.m8.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.8.p2.8.m8.3.3.1.1.1.1.1.2">𝐞</ci><ci id="S3.8.p2.8.m8.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.8.p2.8.m8.3.3.1.1.1.1.1.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.8.p2.8.m8.1.1.1.cmml" xref="S3.8.p2.8.m8.1.1.1"><in id="S3.8.p2.8.m8.1.1.1.2.cmml" xref="S3.8.p2.8.m8.1.1.1.2"></in><ci id="S3.8.p2.8.m8.1.1.1.3.cmml" xref="S3.8.p2.8.m8.1.1.1.3">𝑗</ci><apply id="S3.8.p2.8.m8.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.8.p2.8.m8.1.1.1.4.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.8.p2.8.m8.1.1.1.4.1.1.cmml" xref="S3.8.p2.8.m8.1.1.1.4.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S3.8.p2.8.m8.1.1.1.1.cmml" xref="S3.8.p2.8.m8.1.1.1.1">𝑑</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.8.p2.8.m8.4.4.2.2.cmml" xref="S3.8.p2.8.m8.4.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.8.p2.8.m8.4.4.2.2.2.cmml" xref="S3.8.p2.8.m8.4.4.2.2">subscript</csymbol><apply id="S3.8.p2.8.m8.4.4.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.8.p2.8.m8.4.4.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.8.p2.8.m8.4.4.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.8.p2.8.m8.4.4.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.8.p2.8.m8.4.4.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.8.p2.8.m8.4.4.2.2.1.1.1.2">𝐟</ci><ci id="S3.8.p2.8.m8.4.4.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.8.p2.8.m8.4.4.2.2.1.1.1.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.8.p2.8.m8.2.2.1.cmml" xref="S3.8.p2.8.m8.2.2.1"><in id="S3.8.p2.8.m8.2.2.1.2.cmml" xref="S3.8.p2.8.m8.2.2.1.2"></in><ci id="S3.8.p2.8.m8.2.2.1.3.cmml" xref="S3.8.p2.8.m8.2.2.1.3">𝑗</ci><apply id="S3.8.p2.8.m8.2.2.1.4.1.cmml" xref="S3.8.p2.8.m8.2.2.1.4.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.8.p2.8.m8.2.2.1.4.1.1.cmml" xref="S3.8.p2.8.m8.2.2.1.4.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S3.8.p2.8.m8.2.2.1.1.cmml" xref="S3.8.p2.8.m8.2.2.1.1">𝑑</ci></apply></apply></apply></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.8.p2.8.m8.4c">\left((\mathbf{e}_{j})_{j\in[d]},(\mathbf{f}_{j})_{j\in[d]}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.8.p2.8.m8.4d">( ( bold_e start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_j ∈ [ italic_d ] end_POSTSUBSCRIPT , ( bold_f start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_j ∈ [ italic_d ] end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> is an MUB pair. The problem is to find a suitable third basis to form an MUB-triplet.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.9.p3"> <p class="ltx_p" id="S3.9.p3.7">Let us look at this problem not in term of bases <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.9.p3.7.1">vectors</span>, but – as we have done before – in terms of rank one orthogonal projections. Let <math alttext="P_{k}:=|\mathbf{e}_{k}\rangle\langle\mathbf{e}_{k}|,Q_{k}:=|\mathbf{f}_{k}% \rangle\langle\mathbf{f}_{k}|" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.9.p3.1.m1.2"><semantics id="S3.9.p3.1.m1.2a"><mrow id="S3.9.p3.1.m1.2.2.2" xref="S3.9.p3.1.m1.2.2.3.cmml"><mrow id="S3.9.p3.1.m1.1.1.1.1" xref="S3.9.p3.1.m1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.9.p3.1.m1.1.1.1.1.4" xref="S3.9.p3.1.m1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.9.p3.1.m1.1.1.1.1.4.2" xref="S3.9.p3.1.m1.1.1.1.1.4.2.cmml">P</mi><mi id="S3.9.p3.1.m1.1.1.1.1.4.3" xref="S3.9.p3.1.m1.1.1.1.1.4.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.9.p3.1.m1.1.1.1.1.3" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S3.9.p3.1.m1.1.1.1.1.3.cmml">:=</mo><mrow id="S3.9.p3.1.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.9.p3.1.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S3.9.p3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.9.p3.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.9.p3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.9.p3.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S3.9.p3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.9.p3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.9.p3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.9.p3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝐞</mi><mi id="S3.9.p3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.9.p3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.9.p3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.9.p3.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S3.9.p3.1.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.9.p3.1.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.9.p3.1.m1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S3.9.p3.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mo id="S3.9.p3.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S3.9.p3.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml">⟨</mo><msub id="S3.9.p3.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1" xref="S3.9.p3.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml"><mi id="S3.9.p3.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2" xref="S3.9.p3.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.cmml">𝐞</mi><mi id="S3.9.p3.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3" xref="S3.9.p3.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.9.p3.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S3.9.p3.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.9.p3.1.m1.2.2.2.3" xref="S3.9.p3.1.m1.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.9.p3.1.m1.2.2.2.2" xref="S3.9.p3.1.m1.2.2.2.2.cmml"><msub id="S3.9.p3.1.m1.2.2.2.2.4" xref="S3.9.p3.1.m1.2.2.2.2.4.cmml"><mi id="S3.9.p3.1.m1.2.2.2.2.4.2" xref="S3.9.p3.1.m1.2.2.2.2.4.2.cmml">Q</mi><mi id="S3.9.p3.1.m1.2.2.2.2.4.3" xref="S3.9.p3.1.m1.2.2.2.2.4.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.9.p3.1.m1.2.2.2.2.3" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S3.9.p3.1.m1.2.2.2.2.3.cmml">:=</mo><mrow id="S3.9.p3.1.m1.2.2.2.2.2" xref="S3.9.p3.1.m1.2.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S3.9.p3.1.m1.2.2.2.2.1.1.1" xref="S3.9.p3.1.m1.2.2.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S3.9.p3.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.9.p3.1.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S3.9.p3.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1" xref="S3.9.p3.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.9.p3.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.2" xref="S3.9.p3.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml">𝐟</mi><mi id="S3.9.p3.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.3" xref="S3.9.p3.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.9.p3.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.9.p3.1.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S3.9.p3.1.m1.2.2.2.2.2.3" xref="S3.9.p3.1.m1.2.2.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.9.p3.1.m1.2.2.2.2.2.2.1" xref="S3.9.p3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mo id="S3.9.p3.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S3.9.p3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml">⟨</mo><msub id="S3.9.p3.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1" xref="S3.9.p3.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S3.9.p3.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.2" xref="S3.9.p3.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.2.cmml">𝐟</mi><mi id="S3.9.p3.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3" xref="S3.9.p3.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.9.p3.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S3.9.p3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.9.p3.1.m1.2b"><apply id="S3.9.p3.1.m1.2.2.3.cmml" xref="S3.9.p3.1.m1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.9.p3.1.m1.2.2.3a.cmml" xref="S3.9.p3.1.m1.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.9.p3.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.9.p3.1.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.9.p3.1.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.9.p3.1.m1.1.1.1.1.3">assign</csymbol><apply id="S3.9.p3.1.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.9.p3.1.m1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.9.p3.1.m1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.9.p3.1.m1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S3.9.p3.1.m1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.9.p3.1.m1.1.1.1.1.4.2">𝑃</ci><ci id="S3.9.p3.1.m1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S3.9.p3.1.m1.1.1.1.1.4.3">𝑘</ci></apply><apply id="S3.9.p3.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.9.p3.1.m1.1.1.1.1.2"><times id="S3.9.p3.1.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.9.p3.1.m1.1.1.1.1.2.3"></times><apply id="S3.9.p3.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.9.p3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.9.p3.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.9.p3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">ket</csymbol><apply id="S3.9.p3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.9.p3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.9.p3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.9.p3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.9.p3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.9.p3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝐞</ci><ci id="S3.9.p3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.9.p3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S3.9.p3.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.9.p3.1.m1.1.1.1.1.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.9.p3.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.9.p3.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.2">bra</csymbol><apply id="S3.9.p3.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.9.p3.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.9.p3.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.9.p3.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.9.p3.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.9.p3.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2">𝐞</ci><ci id="S3.9.p3.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.9.p3.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.9.p3.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.9.p3.1.m1.2.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.9.p3.1.m1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.9.p3.1.m1.2.2.2.2.3">assign</csymbol><apply id="S3.9.p3.1.m1.2.2.2.2.4.cmml" xref="S3.9.p3.1.m1.2.2.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.9.p3.1.m1.2.2.2.2.4.1.cmml" xref="S3.9.p3.1.m1.2.2.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S3.9.p3.1.m1.2.2.2.2.4.2.cmml" xref="S3.9.p3.1.m1.2.2.2.2.4.2">𝑄</ci><ci id="S3.9.p3.1.m1.2.2.2.2.4.3.cmml" xref="S3.9.p3.1.m1.2.2.2.2.4.3">𝑘</ci></apply><apply id="S3.9.p3.1.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.9.p3.1.m1.2.2.2.2.2"><times id="S3.9.p3.1.m1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.9.p3.1.m1.2.2.2.2.2.3"></times><apply id="S3.9.p3.1.m1.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.9.p3.1.m1.2.2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.9.p3.1.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.9.p3.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.2">ket</csymbol><apply id="S3.9.p3.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.9.p3.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.9.p3.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.9.p3.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.9.p3.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.9.p3.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.2">𝐟</ci><ci id="S3.9.p3.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.9.p3.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S3.9.p3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.9.p3.1.m1.2.2.2.2.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.9.p3.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.9.p3.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.2">bra</csymbol><apply id="S3.9.p3.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.9.p3.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.9.p3.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.9.p3.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.9.p3.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.9.p3.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.2">𝐟</ci><ci id="S3.9.p3.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.9.p3.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.9.p3.1.m1.2c">P_{k}:=|\mathbf{e}_{k}\rangle\langle\mathbf{e}_{k}|,Q_{k}:=|\mathbf{f}_{k}% \rangle\langle\mathbf{f}_{k}|</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.9.p3.1.m1.2d">italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT := | bold_e start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ⟩ ⟨ bold_e start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT | , italic_Q start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT := | bold_f start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ⟩ ⟨ bold_f start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT |</annotation></semantics></math> (<math alttext="k\in[d]" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.9.p3.2.m2.1"><semantics id="S3.9.p3.2.m2.1a"><mrow id="S3.9.p3.2.m2.1.2" xref="S3.9.p3.2.m2.1.2.cmml"><mi id="S3.9.p3.2.m2.1.2.2" xref="S3.9.p3.2.m2.1.2.2.cmml">k</mi><mo id="S3.9.p3.2.m2.1.2.1" xref="S3.9.p3.2.m2.1.2.1.cmml">∈</mo><mrow id="S3.9.p3.2.m2.1.2.3.2" xref="S3.9.p3.2.m2.1.2.3.1.cmml"><mo id="S3.9.p3.2.m2.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.9.p3.2.m2.1.2.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S3.9.p3.2.m2.1.1" xref="S3.9.p3.2.m2.1.1.cmml">d</mi><mo id="S3.9.p3.2.m2.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.9.p3.2.m2.1.2.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.9.p3.2.m2.1b"><apply id="S3.9.p3.2.m2.1.2.cmml" xref="S3.9.p3.2.m2.1.2"><in id="S3.9.p3.2.m2.1.2.1.cmml" xref="S3.9.p3.2.m2.1.2.1"></in><ci id="S3.9.p3.2.m2.1.2.2.cmml" xref="S3.9.p3.2.m2.1.2.2">𝑘</ci><apply id="S3.9.p3.2.m2.1.2.3.1.cmml" xref="S3.9.p3.2.m2.1.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.9.p3.2.m2.1.2.3.1.1.cmml" xref="S3.9.p3.2.m2.1.2.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S3.9.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.9.p3.2.m2.1.1">𝑑</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.9.p3.2.m2.1c">k\in[d]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.9.p3.2.m2.1d">italic_k ∈ [ italic_d ]</annotation></semantics></math>) and <math alttext="A_{j,k}:=P_{j}Q_{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.9.p3.3.m3.2"><semantics id="S3.9.p3.3.m3.2a"><mrow id="S3.9.p3.3.m3.2.3" xref="S3.9.p3.3.m3.2.3.cmml"><msub id="S3.9.p3.3.m3.2.3.2" xref="S3.9.p3.3.m3.2.3.2.cmml"><mi id="S3.9.p3.3.m3.2.3.2.2" xref="S3.9.p3.3.m3.2.3.2.2.cmml">A</mi><mrow id="S3.9.p3.3.m3.2.2.2.4" xref="S3.9.p3.3.m3.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.9.p3.3.m3.1.1.1.1" xref="S3.9.p3.3.m3.1.1.1.1.cmml">j</mi><mo id="S3.9.p3.3.m3.2.2.2.4.1" xref="S3.9.p3.3.m3.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.9.p3.3.m3.2.2.2.2" xref="S3.9.p3.3.m3.2.2.2.2.cmml">k</mi></mrow></msub><mo id="S3.9.p3.3.m3.2.3.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S3.9.p3.3.m3.2.3.1.cmml">:=</mo><mrow id="S3.9.p3.3.m3.2.3.3" xref="S3.9.p3.3.m3.2.3.3.cmml"><msub id="S3.9.p3.3.m3.2.3.3.2" xref="S3.9.p3.3.m3.2.3.3.2.cmml"><mi id="S3.9.p3.3.m3.2.3.3.2.2" xref="S3.9.p3.3.m3.2.3.3.2.2.cmml">P</mi><mi id="S3.9.p3.3.m3.2.3.3.2.3" xref="S3.9.p3.3.m3.2.3.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.9.p3.3.m3.2.3.3.1" xref="S3.9.p3.3.m3.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.9.p3.3.m3.2.3.3.3" xref="S3.9.p3.3.m3.2.3.3.3.cmml"><mi id="S3.9.p3.3.m3.2.3.3.3.2" xref="S3.9.p3.3.m3.2.3.3.3.2.cmml">Q</mi><mi id="S3.9.p3.3.m3.2.3.3.3.3" xref="S3.9.p3.3.m3.2.3.3.3.3.cmml">k</mi></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.9.p3.3.m3.2b"><apply id="S3.9.p3.3.m3.2.3.cmml" xref="S3.9.p3.3.m3.2.3"><csymbol cd="latexml" id="S3.9.p3.3.m3.2.3.1.cmml" xref="S3.9.p3.3.m3.2.3.1">assign</csymbol><apply id="S3.9.p3.3.m3.2.3.2.cmml" xref="S3.9.p3.3.m3.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.9.p3.3.m3.2.3.2.1.cmml" xref="S3.9.p3.3.m3.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.9.p3.3.m3.2.3.2.2.cmml" xref="S3.9.p3.3.m3.2.3.2.2">𝐴</ci><list id="S3.9.p3.3.m3.2.2.2.3.cmml" xref="S3.9.p3.3.m3.2.2.2.4"><ci id="S3.9.p3.3.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.9.p3.3.m3.1.1.1.1">𝑗</ci><ci id="S3.9.p3.3.m3.2.2.2.2.cmml" xref="S3.9.p3.3.m3.2.2.2.2">𝑘</ci></list></apply><apply id="S3.9.p3.3.m3.2.3.3.cmml" xref="S3.9.p3.3.m3.2.3.3"><times id="S3.9.p3.3.m3.2.3.3.1.cmml" xref="S3.9.p3.3.m3.2.3.3.1"></times><apply id="S3.9.p3.3.m3.2.3.3.2.cmml" xref="S3.9.p3.3.m3.2.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.9.p3.3.m3.2.3.3.2.1.cmml" xref="S3.9.p3.3.m3.2.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.9.p3.3.m3.2.3.3.2.2.cmml" xref="S3.9.p3.3.m3.2.3.3.2.2">𝑃</ci><ci id="S3.9.p3.3.m3.2.3.3.2.3.cmml" xref="S3.9.p3.3.m3.2.3.3.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.9.p3.3.m3.2.3.3.3.cmml" xref="S3.9.p3.3.m3.2.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.9.p3.3.m3.2.3.3.3.1.cmml" xref="S3.9.p3.3.m3.2.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.9.p3.3.m3.2.3.3.3.2.cmml" xref="S3.9.p3.3.m3.2.3.3.3.2">𝑄</ci><ci id="S3.9.p3.3.m3.2.3.3.3.3.cmml" xref="S3.9.p3.3.m3.2.3.3.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.9.p3.3.m3.2c">A_{j,k}:=P_{j}Q_{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.9.p3.3.m3.2d">italic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k end_POSTSUBSCRIPT := italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_Q start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> <math alttext="(j,k\in[d])" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.9.p3.4.m4.4"><semantics id="S3.9.p3.4.m4.4a"><mrow id="S3.9.p3.4.m4.4.4.1" xref="S3.9.p3.4.m4.4.4.1.1.cmml"><mo id="S3.9.p3.4.m4.4.4.1.2" stretchy="false" xref="S3.9.p3.4.m4.4.4.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.9.p3.4.m4.4.4.1.1" xref="S3.9.p3.4.m4.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S3.9.p3.4.m4.4.4.1.1.2.2" xref="S3.9.p3.4.m4.4.4.1.1.2.1.cmml"><mi id="S3.9.p3.4.m4.2.2" xref="S3.9.p3.4.m4.2.2.cmml">j</mi><mo id="S3.9.p3.4.m4.4.4.1.1.2.2.1" xref="S3.9.p3.4.m4.4.4.1.1.2.1.cmml">,</mo><mi id="S3.9.p3.4.m4.3.3" xref="S3.9.p3.4.m4.3.3.cmml">k</mi></mrow><mo id="S3.9.p3.4.m4.4.4.1.1.1" xref="S3.9.p3.4.m4.4.4.1.1.1.cmml">∈</mo><mrow id="S3.9.p3.4.m4.4.4.1.1.3.2" xref="S3.9.p3.4.m4.4.4.1.1.3.1.cmml"><mo id="S3.9.p3.4.m4.4.4.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.9.p3.4.m4.4.4.1.1.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S3.9.p3.4.m4.1.1" xref="S3.9.p3.4.m4.1.1.cmml">d</mi><mo id="S3.9.p3.4.m4.4.4.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.9.p3.4.m4.4.4.1.1.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S3.9.p3.4.m4.4.4.1.3" stretchy="false" xref="S3.9.p3.4.m4.4.4.1.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.9.p3.4.m4.4b"><apply id="S3.9.p3.4.m4.4.4.1.1.cmml" xref="S3.9.p3.4.m4.4.4.1"><in id="S3.9.p3.4.m4.4.4.1.1.1.cmml" xref="S3.9.p3.4.m4.4.4.1.1.1"></in><list id="S3.9.p3.4.m4.4.4.1.1.2.1.cmml" xref="S3.9.p3.4.m4.4.4.1.1.2.2"><ci id="S3.9.p3.4.m4.2.2.cmml" xref="S3.9.p3.4.m4.2.2">𝑗</ci><ci id="S3.9.p3.4.m4.3.3.cmml" xref="S3.9.p3.4.m4.3.3">𝑘</ci></list><apply id="S3.9.p3.4.m4.4.4.1.1.3.1.cmml" xref="S3.9.p3.4.m4.4.4.1.1.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.9.p3.4.m4.4.4.1.1.3.1.1.cmml" xref="S3.9.p3.4.m4.4.4.1.1.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S3.9.p3.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.9.p3.4.m4.1.1">𝑑</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.9.p3.4.m4.4c">(j,k\in[d])</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.9.p3.4.m4.4d">( italic_j , italic_k ∈ [ italic_d ] )</annotation></semantics></math> as in the proof of Prop. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#S3.Thmfact3" title="Proposition 3.3. ‣ 3. MUB-triplets and Hadamard cubes ‣ Triplets of Mutually Unbiased Bases"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3.3</span></a>. Instead of the vectors of the third basis, – whose “phases”, in any case, are not determined by our cube – we need to find <math alttext="d" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.9.p3.5.m5.1"><semantics id="S3.9.p3.5.m5.1a"><mi id="S3.9.p3.5.m5.1.1" xref="S3.9.p3.5.m5.1.1.cmml">d</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.9.p3.5.m5.1b"><ci id="S3.9.p3.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.9.p3.5.m5.1.1">𝑑</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.9.p3.5.m5.1c">d</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.9.p3.5.m5.1d">italic_d</annotation></semantics></math> orthogonal projections <math alttext="R_{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.9.p3.6.m6.1"><semantics id="S3.9.p3.6.m6.1a"><msub id="S3.9.p3.6.m6.1.1" xref="S3.9.p3.6.m6.1.1.cmml"><mi id="S3.9.p3.6.m6.1.1.2" xref="S3.9.p3.6.m6.1.1.2.cmml">R</mi><mi id="S3.9.p3.6.m6.1.1.3" xref="S3.9.p3.6.m6.1.1.3.cmml">k</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.9.p3.6.m6.1b"><apply id="S3.9.p3.6.m6.1.1.cmml" xref="S3.9.p3.6.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.9.p3.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S3.9.p3.6.m6.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.9.p3.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S3.9.p3.6.m6.1.1.2">𝑅</ci><ci id="S3.9.p3.6.m6.1.1.3.cmml" xref="S3.9.p3.6.m6.1.1.3">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.9.p3.6.m6.1c">R_{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.9.p3.6.m6.1d">italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> <math alttext="(k\in[d])" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.9.p3.7.m7.2"><semantics id="S3.9.p3.7.m7.2a"><mrow id="S3.9.p3.7.m7.2.2.1" xref="S3.9.p3.7.m7.2.2.1.1.cmml"><mo id="S3.9.p3.7.m7.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S3.9.p3.7.m7.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.9.p3.7.m7.2.2.1.1" xref="S3.9.p3.7.m7.2.2.1.1.cmml"><mi id="S3.9.p3.7.m7.2.2.1.1.2" xref="S3.9.p3.7.m7.2.2.1.1.2.cmml">k</mi><mo id="S3.9.p3.7.m7.2.2.1.1.1" xref="S3.9.p3.7.m7.2.2.1.1.1.cmml">∈</mo><mrow id="S3.9.p3.7.m7.2.2.1.1.3.2" xref="S3.9.p3.7.m7.2.2.1.1.3.1.cmml"><mo id="S3.9.p3.7.m7.2.2.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.9.p3.7.m7.2.2.1.1.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S3.9.p3.7.m7.1.1" xref="S3.9.p3.7.m7.1.1.cmml">d</mi><mo id="S3.9.p3.7.m7.2.2.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.9.p3.7.m7.2.2.1.1.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S3.9.p3.7.m7.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S3.9.p3.7.m7.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.9.p3.7.m7.2b"><apply id="S3.9.p3.7.m7.2.2.1.1.cmml" xref="S3.9.p3.7.m7.2.2.1"><in id="S3.9.p3.7.m7.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.9.p3.7.m7.2.2.1.1.1"></in><ci id="S3.9.p3.7.m7.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.9.p3.7.m7.2.2.1.1.2">𝑘</ci><apply id="S3.9.p3.7.m7.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.9.p3.7.m7.2.2.1.1.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.9.p3.7.m7.2.2.1.1.3.1.1.cmml" xref="S3.9.p3.7.m7.2.2.1.1.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S3.9.p3.7.m7.1.1.cmml" xref="S3.9.p3.7.m7.1.1">𝑑</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.9.p3.7.m7.2c">(k\in[d])</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.9.p3.7.m7.2d">( italic_k ∈ [ italic_d ] )</annotation></semantics></math> such that</p> <ul class="ltx_itemize" id="S3.I3"> <li class="ltx_item" id="S3.I3.ix1" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">(a)</span> <div class="ltx_para" id="S3.I3.ix1.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.I3.ix1.p1.1"><math alttext="{\rm Tr}(R_{k}R_{j})=\delta_{k,j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I3.ix1.p1.1.m1.3"><semantics id="S3.I3.ix1.p1.1.m1.3a"><mrow id="S3.I3.ix1.p1.1.m1.3.3" xref="S3.I3.ix1.p1.1.m1.3.3.cmml"><mrow id="S3.I3.ix1.p1.1.m1.3.3.1" xref="S3.I3.ix1.p1.1.m1.3.3.1.cmml"><mi id="S3.I3.ix1.p1.1.m1.3.3.1.3" xref="S3.I3.ix1.p1.1.m1.3.3.1.3.cmml">Tr</mi><mo id="S3.I3.ix1.p1.1.m1.3.3.1.2" xref="S3.I3.ix1.p1.1.m1.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I3.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1" xref="S3.I3.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.I3.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.I3.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.I3.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S3.I3.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.I3.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S3.I3.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.I3.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.2" xref="S3.I3.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml">R</mi><mi id="S3.I3.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.3" xref="S3.I3.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.I3.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S3.I3.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.I3.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="S3.I3.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.I3.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="S3.I3.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml">R</mi><mi id="S3.I3.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.3.3" xref="S3.I3.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="S3.I3.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.I3.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.I3.ix1.p1.1.m1.3.3.2" xref="S3.I3.ix1.p1.1.m1.3.3.2.cmml">=</mo><msub id="S3.I3.ix1.p1.1.m1.3.3.3" xref="S3.I3.ix1.p1.1.m1.3.3.3.cmml"><mi id="S3.I3.ix1.p1.1.m1.3.3.3.2" xref="S3.I3.ix1.p1.1.m1.3.3.3.2.cmml">δ</mi><mrow id="S3.I3.ix1.p1.1.m1.2.2.2.4" xref="S3.I3.ix1.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.I3.ix1.p1.1.m1.1.1.1.1" xref="S3.I3.ix1.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml">k</mi><mo id="S3.I3.ix1.p1.1.m1.2.2.2.4.1" xref="S3.I3.ix1.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.I3.ix1.p1.1.m1.2.2.2.2" xref="S3.I3.ix1.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I3.ix1.p1.1.m1.3b"><apply id="S3.I3.ix1.p1.1.m1.3.3.cmml" xref="S3.I3.ix1.p1.1.m1.3.3"><eq id="S3.I3.ix1.p1.1.m1.3.3.2.cmml" xref="S3.I3.ix1.p1.1.m1.3.3.2"></eq><apply id="S3.I3.ix1.p1.1.m1.3.3.1.cmml" xref="S3.I3.ix1.p1.1.m1.3.3.1"><times id="S3.I3.ix1.p1.1.m1.3.3.1.2.cmml" xref="S3.I3.ix1.p1.1.m1.3.3.1.2"></times><ci id="S3.I3.ix1.p1.1.m1.3.3.1.3.cmml" xref="S3.I3.ix1.p1.1.m1.3.3.1.3">Tr</ci><apply id="S3.I3.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I3.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1"><times id="S3.I3.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I3.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.1"></times><apply id="S3.I3.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I3.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I3.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.I3.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.I3.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.I3.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.2">𝑅</ci><ci id="S3.I3.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.I3.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S3.I3.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I3.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I3.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I3.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.I3.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.I3.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.3.2">𝑅</ci><ci id="S3.I3.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.I3.ix1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.I3.ix1.p1.1.m1.3.3.3.cmml" xref="S3.I3.ix1.p1.1.m1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I3.ix1.p1.1.m1.3.3.3.1.cmml" xref="S3.I3.ix1.p1.1.m1.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.I3.ix1.p1.1.m1.3.3.3.2.cmml" xref="S3.I3.ix1.p1.1.m1.3.3.3.2">𝛿</ci><list id="S3.I3.ix1.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.I3.ix1.p1.1.m1.2.2.2.4"><ci id="S3.I3.ix1.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I3.ix1.p1.1.m1.1.1.1.1">𝑘</ci><ci id="S3.I3.ix1.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.I3.ix1.p1.1.m1.2.2.2.2">𝑗</ci></list></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I3.ix1.p1.1.m1.3c">{\rm Tr}(R_{k}R_{j})=\delta_{k,j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I3.ix1.p1.1.m1.3d">roman_Tr ( italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) = italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_k , italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>; this ensures that they are all rank one and are pairwise orthogonal – i.e. they correspond to an ONB,</p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S3.I3.ix2" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">(b)</span> <div class="ltx_para" id="S3.I3.ix2.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.I3.ix2.p1.2"><math alttext="{\rm Tr}(P_{k}R_{j})={\rm Tr}(Q_{k}R_{j})=1/d" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I3.ix2.p1.1.m1.2"><semantics id="S3.I3.ix2.p1.1.m1.2a"><mrow id="S3.I3.ix2.p1.1.m1.2.2" xref="S3.I3.ix2.p1.1.m1.2.2.cmml"><mrow id="S3.I3.ix2.p1.1.m1.1.1.1" xref="S3.I3.ix2.p1.1.m1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.I3.ix2.p1.1.m1.1.1.1.3" xref="S3.I3.ix2.p1.1.m1.1.1.1.3.cmml">Tr</mi><mo id="S3.I3.ix2.p1.1.m1.1.1.1.2" xref="S3.I3.ix2.p1.1.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I3.ix2.p1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.I3.ix2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.I3.ix2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.I3.ix2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.I3.ix2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.I3.ix2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.I3.ix2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.I3.ix2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.I3.ix2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.I3.ix2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">P</mi><mi id="S3.I3.ix2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.I3.ix2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.I3.ix2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.I3.ix2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.I3.ix2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.I3.ix2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.I3.ix2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.I3.ix2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">R</mi><mi id="S3.I3.ix2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.I3.ix2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="S3.I3.ix2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.I3.ix2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.I3.ix2.p1.1.m1.2.2.4" xref="S3.I3.ix2.p1.1.m1.2.2.4.cmml">=</mo><mrow id="S3.I3.ix2.p1.1.m1.2.2.2" xref="S3.I3.ix2.p1.1.m1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.I3.ix2.p1.1.m1.2.2.2.3" xref="S3.I3.ix2.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml">Tr</mi><mo id="S3.I3.ix2.p1.1.m1.2.2.2.2" xref="S3.I3.ix2.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I3.ix2.p1.1.m1.2.2.2.1.1" xref="S3.I3.ix2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.I3.ix2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.I3.ix2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.I3.ix2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1" xref="S3.I3.ix2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.cmml"><msub id="S3.I3.ix2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.2" xref="S3.I3.ix2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.I3.ix2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.2.2" xref="S3.I3.ix2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml">Q</mi><mi id="S3.I3.ix2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.2.3" xref="S3.I3.ix2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.I3.ix2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.1" xref="S3.I3.ix2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.I3.ix2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3" xref="S3.I3.ix2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.I3.ix2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.2" xref="S3.I3.ix2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml">R</mi><mi id="S3.I3.ix2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.3" xref="S3.I3.ix2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="S3.I3.ix2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.I3.ix2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.I3.ix2.p1.1.m1.2.2.5" xref="S3.I3.ix2.p1.1.m1.2.2.5.cmml">=</mo><mrow id="S3.I3.ix2.p1.1.m1.2.2.6" xref="S3.I3.ix2.p1.1.m1.2.2.6.cmml"><mn id="S3.I3.ix2.p1.1.m1.2.2.6.2" xref="S3.I3.ix2.p1.1.m1.2.2.6.2.cmml">1</mn><mo id="S3.I3.ix2.p1.1.m1.2.2.6.1" xref="S3.I3.ix2.p1.1.m1.2.2.6.1.cmml">/</mo><mi id="S3.I3.ix2.p1.1.m1.2.2.6.3" xref="S3.I3.ix2.p1.1.m1.2.2.6.3.cmml">d</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I3.ix2.p1.1.m1.2b"><apply id="S3.I3.ix2.p1.1.m1.2.2.cmml" xref="S3.I3.ix2.p1.1.m1.2.2"><and id="S3.I3.ix2.p1.1.m1.2.2a.cmml" xref="S3.I3.ix2.p1.1.m1.2.2"></and><apply id="S3.I3.ix2.p1.1.m1.2.2b.cmml" xref="S3.I3.ix2.p1.1.m1.2.2"><eq id="S3.I3.ix2.p1.1.m1.2.2.4.cmml" xref="S3.I3.ix2.p1.1.m1.2.2.4"></eq><apply id="S3.I3.ix2.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.I3.ix2.p1.1.m1.1.1.1"><times id="S3.I3.ix2.p1.1.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I3.ix2.p1.1.m1.1.1.1.2"></times><ci id="S3.I3.ix2.p1.1.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I3.ix2.p1.1.m1.1.1.1.3">Tr</ci><apply id="S3.I3.ix2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I3.ix2.p1.1.m1.1.1.1.1.1"><times id="S3.I3.ix2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I3.ix2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S3.I3.ix2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I3.ix2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I3.ix2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.I3.ix2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.I3.ix2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.I3.ix2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑃</ci><ci id="S3.I3.ix2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.I3.ix2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S3.I3.ix2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I3.ix2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I3.ix2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I3.ix2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.I3.ix2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.I3.ix2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑅</ci><ci id="S3.I3.ix2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.I3.ix2.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.I3.ix2.p1.1.m1.2.2.2.cmml" xref="S3.I3.ix2.p1.1.m1.2.2.2"><times id="S3.I3.ix2.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.I3.ix2.p1.1.m1.2.2.2.2"></times><ci id="S3.I3.ix2.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.I3.ix2.p1.1.m1.2.2.2.3">Tr</ci><apply id="S3.I3.ix2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.I3.ix2.p1.1.m1.2.2.2.1.1"><times id="S3.I3.ix2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I3.ix2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.1"></times><apply id="S3.I3.ix2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I3.ix2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I3.ix2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.I3.ix2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.I3.ix2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.I3.ix2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.2.2">𝑄</ci><ci id="S3.I3.ix2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.I3.ix2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S3.I3.ix2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I3.ix2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I3.ix2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I3.ix2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.I3.ix2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.I3.ix2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.2">𝑅</ci><ci id="S3.I3.ix2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.I3.ix2.p1.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.I3.ix2.p1.1.m1.2.2c.cmml" xref="S3.I3.ix2.p1.1.m1.2.2"><eq id="S3.I3.ix2.p1.1.m1.2.2.5.cmml" xref="S3.I3.ix2.p1.1.m1.2.2.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#S3.I3.ix2.p1.1.m1.2.2.2.cmml" id="S3.I3.ix2.p1.1.m1.2.2d.cmml" xref="S3.I3.ix2.p1.1.m1.2.2"></share><apply id="S3.I3.ix2.p1.1.m1.2.2.6.cmml" xref="S3.I3.ix2.p1.1.m1.2.2.6"><divide id="S3.I3.ix2.p1.1.m1.2.2.6.1.cmml" xref="S3.I3.ix2.p1.1.m1.2.2.6.1"></divide><cn id="S3.I3.ix2.p1.1.m1.2.2.6.2.cmml" type="integer" xref="S3.I3.ix2.p1.1.m1.2.2.6.2">1</cn><ci id="S3.I3.ix2.p1.1.m1.2.2.6.3.cmml" xref="S3.I3.ix2.p1.1.m1.2.2.6.3">𝑑</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I3.ix2.p1.1.m1.2c">{\rm Tr}(P_{k}R_{j})={\rm Tr}(Q_{k}R_{j})=1/d</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I3.ix2.p1.1.m1.2d">roman_Tr ( italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) = roman_Tr ( italic_Q start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) = 1 / italic_d</annotation></semantics></math> for all <math alttext="k,j\in[d]" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I3.ix2.p1.2.m2.3"><semantics id="S3.I3.ix2.p1.2.m2.3a"><mrow id="S3.I3.ix2.p1.2.m2.3.4" xref="S3.I3.ix2.p1.2.m2.3.4.cmml"><mrow id="S3.I3.ix2.p1.2.m2.3.4.2.2" xref="S3.I3.ix2.p1.2.m2.3.4.2.1.cmml"><mi id="S3.I3.ix2.p1.2.m2.2.2" xref="S3.I3.ix2.p1.2.m2.2.2.cmml">k</mi><mo id="S3.I3.ix2.p1.2.m2.3.4.2.2.1" xref="S3.I3.ix2.p1.2.m2.3.4.2.1.cmml">,</mo><mi id="S3.I3.ix2.p1.2.m2.3.3" xref="S3.I3.ix2.p1.2.m2.3.3.cmml">j</mi></mrow><mo id="S3.I3.ix2.p1.2.m2.3.4.1" xref="S3.I3.ix2.p1.2.m2.3.4.1.cmml">∈</mo><mrow id="S3.I3.ix2.p1.2.m2.3.4.3.2" xref="S3.I3.ix2.p1.2.m2.3.4.3.1.cmml"><mo id="S3.I3.ix2.p1.2.m2.3.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.I3.ix2.p1.2.m2.3.4.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S3.I3.ix2.p1.2.m2.1.1" xref="S3.I3.ix2.p1.2.m2.1.1.cmml">d</mi><mo id="S3.I3.ix2.p1.2.m2.3.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.I3.ix2.p1.2.m2.3.4.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I3.ix2.p1.2.m2.3b"><apply id="S3.I3.ix2.p1.2.m2.3.4.cmml" xref="S3.I3.ix2.p1.2.m2.3.4"><in id="S3.I3.ix2.p1.2.m2.3.4.1.cmml" xref="S3.I3.ix2.p1.2.m2.3.4.1"></in><list id="S3.I3.ix2.p1.2.m2.3.4.2.1.cmml" xref="S3.I3.ix2.p1.2.m2.3.4.2.2"><ci id="S3.I3.ix2.p1.2.m2.2.2.cmml" xref="S3.I3.ix2.p1.2.m2.2.2">𝑘</ci><ci id="S3.I3.ix2.p1.2.m2.3.3.cmml" xref="S3.I3.ix2.p1.2.m2.3.3">𝑗</ci></list><apply id="S3.I3.ix2.p1.2.m2.3.4.3.1.cmml" xref="S3.I3.ix2.p1.2.m2.3.4.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.I3.ix2.p1.2.m2.3.4.3.1.1.cmml" xref="S3.I3.ix2.p1.2.m2.3.4.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S3.I3.ix2.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.I3.ix2.p1.2.m2.1.1">𝑑</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I3.ix2.p1.2.m2.3c">k,j\in[d]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I3.ix2.p1.2.m2.3d">italic_k , italic_j ∈ [ italic_d ]</annotation></semantics></math>; to ensure that the three bases form a MUB-triplet, and</p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S3.I3.ix3" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">(c)</span> <div class="ltx_para" id="S3.I3.ix3.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.I3.ix3.p1.3"><math alttext="{\rm Tr}(P_{k}Q_{j}R_{l})=1/\sqrt{d^{3}}\,C_{j,k,l}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4"><semantics id="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4a"><mrow id="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4" xref="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.cmml"><mrow id="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.1" xref="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.1.cmml"><mi id="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.1.3" xref="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.1.3.cmml">Tr</mi><mo id="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.1.2" xref="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.1.1.1" xref="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.2" xref="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.2.2" xref="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.cmml">P</mi><mi id="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.2.3" xref="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.3" xref="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.3.2" xref="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.cmml">Q</mi><mi id="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.3.3" xref="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1a" xref="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.4" xref="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.4.2" xref="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.cmml">R</mi><mi id="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.4.3" xref="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.4.3.cmml">l</mi></msub></mrow><mo id="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.2" xref="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.3" xref="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.3.cmml"><mrow id="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.3.2" xref="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.3.2.cmml"><mn id="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.3.2.2" xref="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.3.2.2.cmml">1</mn><mo id="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.3.2.1" xref="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.3.2.1.cmml">/</mo><msqrt id="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.3.2.3" xref="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.3.2.3.cmml"><msup id="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.3.2.3.2" xref="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.3.2.3.2.cmml"><mi id="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.3.2.3.2.2" xref="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.3.2.3.2.2.cmml">d</mi><mn id="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.3.2.3.2.3" xref="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.3.2.3.2.3.cmml">3</mn></msup></msqrt></mrow><mo id="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.3.1" lspace="0.170em" xref="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.3.3" xref="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.3.3.cmml"><mi id="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.3.3.2" xref="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.3.3.2.cmml">C</mi><mrow id="S3.I3.ix3.p1.1.m1.3.3.3.5" xref="S3.I3.ix3.p1.1.m1.3.3.3.4.cmml"><mi id="S3.I3.ix3.p1.1.m1.1.1.1.1" xref="S3.I3.ix3.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml">j</mi><mo id="S3.I3.ix3.p1.1.m1.3.3.3.5.1" xref="S3.I3.ix3.p1.1.m1.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.I3.ix3.p1.1.m1.2.2.2.2" xref="S3.I3.ix3.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml">k</mi><mo id="S3.I3.ix3.p1.1.m1.3.3.3.5.2" xref="S3.I3.ix3.p1.1.m1.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.I3.ix3.p1.1.m1.3.3.3.3" xref="S3.I3.ix3.p1.1.m1.3.3.3.3.cmml">l</mi></mrow></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4b"><apply id="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.cmml" xref="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4"><eq id="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.2.cmml" xref="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.2"></eq><apply id="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.1.cmml" xref="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.1"><times id="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.1.2.cmml" xref="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.1.2"></times><ci id="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.1.3.cmml" xref="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.1.3">Tr</ci><apply id="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.1.1.1"><times id="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1"></times><apply id="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.2.2">𝑃</ci><ci id="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.3.2">𝑄</ci><ci id="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.4.2">𝑅</ci><ci id="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.4.3">𝑙</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.3.cmml" xref="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.3"><times id="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.3.1.cmml" xref="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.3.1"></times><apply id="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.3.2.cmml" xref="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.3.2"><divide id="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.3.2.1.cmml" xref="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.3.2.1"></divide><cn id="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.3.2.2">1</cn><apply id="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.3.2.3.cmml" xref="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.3.2.3"><root id="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.3.2.3a.cmml" xref="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.3.2.3"></root><apply id="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.3.2.3.2.cmml" xref="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.3.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.3.2.3.2.1.cmml" xref="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.3.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.3.2.3.2.2.cmml" xref="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.3.2.3.2.2">𝑑</ci><cn id="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.3.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.3.2.3.2.3">3</cn></apply></apply></apply><apply id="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.3.3.cmml" xref="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.3.3.1.cmml" xref="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.3.3.2.cmml" xref="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4.4.3.3.2">𝐶</ci><list id="S3.I3.ix3.p1.1.m1.3.3.3.4.cmml" xref="S3.I3.ix3.p1.1.m1.3.3.3.5"><ci id="S3.I3.ix3.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I3.ix3.p1.1.m1.1.1.1.1">𝑗</ci><ci id="S3.I3.ix3.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.I3.ix3.p1.1.m1.2.2.2.2">𝑘</ci><ci id="S3.I3.ix3.p1.1.m1.3.3.3.3.cmml" xref="S3.I3.ix3.p1.1.m1.3.3.3.3">𝑙</ci></list></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4c">{\rm Tr}(P_{k}Q_{j}R_{l})=1/\sqrt{d^{3}}\,C_{j,k,l}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I3.ix3.p1.1.m1.4d">roman_Tr ( italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT italic_Q start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT ) = 1 / square-root start_ARG italic_d start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k , italic_l end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> for all <math alttext="j,k,l\in[d]" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I3.ix3.p1.2.m2.4"><semantics id="S3.I3.ix3.p1.2.m2.4a"><mrow id="S3.I3.ix3.p1.2.m2.4.5" xref="S3.I3.ix3.p1.2.m2.4.5.cmml"><mrow id="S3.I3.ix3.p1.2.m2.4.5.2.2" xref="S3.I3.ix3.p1.2.m2.4.5.2.1.cmml"><mi id="S3.I3.ix3.p1.2.m2.2.2" xref="S3.I3.ix3.p1.2.m2.2.2.cmml">j</mi><mo id="S3.I3.ix3.p1.2.m2.4.5.2.2.1" xref="S3.I3.ix3.p1.2.m2.4.5.2.1.cmml">,</mo><mi id="S3.I3.ix3.p1.2.m2.3.3" xref="S3.I3.ix3.p1.2.m2.3.3.cmml">k</mi><mo id="S3.I3.ix3.p1.2.m2.4.5.2.2.2" xref="S3.I3.ix3.p1.2.m2.4.5.2.1.cmml">,</mo><mi id="S3.I3.ix3.p1.2.m2.4.4" xref="S3.I3.ix3.p1.2.m2.4.4.cmml">l</mi></mrow><mo id="S3.I3.ix3.p1.2.m2.4.5.1" xref="S3.I3.ix3.p1.2.m2.4.5.1.cmml">∈</mo><mrow id="S3.I3.ix3.p1.2.m2.4.5.3.2" xref="S3.I3.ix3.p1.2.m2.4.5.3.1.cmml"><mo id="S3.I3.ix3.p1.2.m2.4.5.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.I3.ix3.p1.2.m2.4.5.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S3.I3.ix3.p1.2.m2.1.1" xref="S3.I3.ix3.p1.2.m2.1.1.cmml">d</mi><mo id="S3.I3.ix3.p1.2.m2.4.5.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.I3.ix3.p1.2.m2.4.5.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I3.ix3.p1.2.m2.4b"><apply id="S3.I3.ix3.p1.2.m2.4.5.cmml" xref="S3.I3.ix3.p1.2.m2.4.5"><in id="S3.I3.ix3.p1.2.m2.4.5.1.cmml" xref="S3.I3.ix3.p1.2.m2.4.5.1"></in><list id="S3.I3.ix3.p1.2.m2.4.5.2.1.cmml" xref="S3.I3.ix3.p1.2.m2.4.5.2.2"><ci id="S3.I3.ix3.p1.2.m2.2.2.cmml" xref="S3.I3.ix3.p1.2.m2.2.2">𝑗</ci><ci id="S3.I3.ix3.p1.2.m2.3.3.cmml" xref="S3.I3.ix3.p1.2.m2.3.3">𝑘</ci><ci id="S3.I3.ix3.p1.2.m2.4.4.cmml" xref="S3.I3.ix3.p1.2.m2.4.4">𝑙</ci></list><apply id="S3.I3.ix3.p1.2.m2.4.5.3.1.cmml" xref="S3.I3.ix3.p1.2.m2.4.5.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.I3.ix3.p1.2.m2.4.5.3.1.1.cmml" xref="S3.I3.ix3.p1.2.m2.4.5.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S3.I3.ix3.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.I3.ix3.p1.2.m2.1.1">𝑑</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I3.ix3.p1.2.m2.4c">j,k,l\in[d]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I3.ix3.p1.2.m2.4d">italic_j , italic_k , italic_l ∈ [ italic_d ]</annotation></semantics></math>; to ensure that <math alttext="C" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I3.ix3.p1.3.m3.1"><semantics id="S3.I3.ix3.p1.3.m3.1a"><mi id="S3.I3.ix3.p1.3.m3.1.1" xref="S3.I3.ix3.p1.3.m3.1.1.cmml">C</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I3.ix3.p1.3.m3.1b"><ci id="S3.I3.ix3.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.I3.ix3.p1.3.m3.1.1">𝐶</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I3.ix3.p1.3.m3.1c">C</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I3.ix3.p1.3.m3.1d">italic_C</annotation></semantics></math> is indeed the Hadamard-cube corresponding to the constructed MUB-triplet.</p> </div> </li> </ul> </div> <div class="ltx_para" id="S3.10.p4"> <p class="ltx_p" id="S3.10.p4.4">As was already noted before, the matrices <math alttext="A_{j,k}=P_{j}Q_{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.10.p4.1.m1.2"><semantics id="S3.10.p4.1.m1.2a"><mrow id="S3.10.p4.1.m1.2.3" xref="S3.10.p4.1.m1.2.3.cmml"><msub id="S3.10.p4.1.m1.2.3.2" xref="S3.10.p4.1.m1.2.3.2.cmml"><mi id="S3.10.p4.1.m1.2.3.2.2" xref="S3.10.p4.1.m1.2.3.2.2.cmml">A</mi><mrow id="S3.10.p4.1.m1.2.2.2.4" xref="S3.10.p4.1.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.10.p4.1.m1.1.1.1.1" xref="S3.10.p4.1.m1.1.1.1.1.cmml">j</mi><mo id="S3.10.p4.1.m1.2.2.2.4.1" xref="S3.10.p4.1.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.10.p4.1.m1.2.2.2.2" xref="S3.10.p4.1.m1.2.2.2.2.cmml">k</mi></mrow></msub><mo id="S3.10.p4.1.m1.2.3.1" xref="S3.10.p4.1.m1.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.10.p4.1.m1.2.3.3" xref="S3.10.p4.1.m1.2.3.3.cmml"><msub id="S3.10.p4.1.m1.2.3.3.2" xref="S3.10.p4.1.m1.2.3.3.2.cmml"><mi id="S3.10.p4.1.m1.2.3.3.2.2" xref="S3.10.p4.1.m1.2.3.3.2.2.cmml">P</mi><mi id="S3.10.p4.1.m1.2.3.3.2.3" xref="S3.10.p4.1.m1.2.3.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.10.p4.1.m1.2.3.3.1" xref="S3.10.p4.1.m1.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.10.p4.1.m1.2.3.3.3" xref="S3.10.p4.1.m1.2.3.3.3.cmml"><mi id="S3.10.p4.1.m1.2.3.3.3.2" xref="S3.10.p4.1.m1.2.3.3.3.2.cmml">Q</mi><mi id="S3.10.p4.1.m1.2.3.3.3.3" xref="S3.10.p4.1.m1.2.3.3.3.3.cmml">k</mi></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.10.p4.1.m1.2b"><apply id="S3.10.p4.1.m1.2.3.cmml" xref="S3.10.p4.1.m1.2.3"><eq id="S3.10.p4.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S3.10.p4.1.m1.2.3.1"></eq><apply id="S3.10.p4.1.m1.2.3.2.cmml" xref="S3.10.p4.1.m1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.10.p4.1.m1.2.3.2.1.cmml" xref="S3.10.p4.1.m1.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.10.p4.1.m1.2.3.2.2.cmml" xref="S3.10.p4.1.m1.2.3.2.2">𝐴</ci><list id="S3.10.p4.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.10.p4.1.m1.2.2.2.4"><ci id="S3.10.p4.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.10.p4.1.m1.1.1.1.1">𝑗</ci><ci id="S3.10.p4.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.10.p4.1.m1.2.2.2.2">𝑘</ci></list></apply><apply id="S3.10.p4.1.m1.2.3.3.cmml" xref="S3.10.p4.1.m1.2.3.3"><times id="S3.10.p4.1.m1.2.3.3.1.cmml" xref="S3.10.p4.1.m1.2.3.3.1"></times><apply id="S3.10.p4.1.m1.2.3.3.2.cmml" xref="S3.10.p4.1.m1.2.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.10.p4.1.m1.2.3.3.2.1.cmml" xref="S3.10.p4.1.m1.2.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.10.p4.1.m1.2.3.3.2.2.cmml" xref="S3.10.p4.1.m1.2.3.3.2.2">𝑃</ci><ci id="S3.10.p4.1.m1.2.3.3.2.3.cmml" xref="S3.10.p4.1.m1.2.3.3.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.10.p4.1.m1.2.3.3.3.cmml" xref="S3.10.p4.1.m1.2.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.10.p4.1.m1.2.3.3.3.1.cmml" xref="S3.10.p4.1.m1.2.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.10.p4.1.m1.2.3.3.3.2.cmml" xref="S3.10.p4.1.m1.2.3.3.3.2">𝑄</ci><ci id="S3.10.p4.1.m1.2.3.3.3.3.cmml" xref="S3.10.p4.1.m1.2.3.3.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.10.p4.1.m1.2c">A_{j,k}=P_{j}Q_{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.10.p4.1.m1.2d">italic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k end_POSTSUBSCRIPT = italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_Q start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> <math alttext="(j,k\in[d])" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.10.p4.2.m2.4"><semantics id="S3.10.p4.2.m2.4a"><mrow id="S3.10.p4.2.m2.4.4.1" xref="S3.10.p4.2.m2.4.4.1.1.cmml"><mo id="S3.10.p4.2.m2.4.4.1.2" stretchy="false" xref="S3.10.p4.2.m2.4.4.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.10.p4.2.m2.4.4.1.1" xref="S3.10.p4.2.m2.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S3.10.p4.2.m2.4.4.1.1.2.2" xref="S3.10.p4.2.m2.4.4.1.1.2.1.cmml"><mi id="S3.10.p4.2.m2.2.2" xref="S3.10.p4.2.m2.2.2.cmml">j</mi><mo id="S3.10.p4.2.m2.4.4.1.1.2.2.1" xref="S3.10.p4.2.m2.4.4.1.1.2.1.cmml">,</mo><mi id="S3.10.p4.2.m2.3.3" xref="S3.10.p4.2.m2.3.3.cmml">k</mi></mrow><mo id="S3.10.p4.2.m2.4.4.1.1.1" xref="S3.10.p4.2.m2.4.4.1.1.1.cmml">∈</mo><mrow id="S3.10.p4.2.m2.4.4.1.1.3.2" xref="S3.10.p4.2.m2.4.4.1.1.3.1.cmml"><mo id="S3.10.p4.2.m2.4.4.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.10.p4.2.m2.4.4.1.1.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S3.10.p4.2.m2.1.1" xref="S3.10.p4.2.m2.1.1.cmml">d</mi><mo id="S3.10.p4.2.m2.4.4.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.10.p4.2.m2.4.4.1.1.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S3.10.p4.2.m2.4.4.1.3" stretchy="false" xref="S3.10.p4.2.m2.4.4.1.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.10.p4.2.m2.4b"><apply id="S3.10.p4.2.m2.4.4.1.1.cmml" xref="S3.10.p4.2.m2.4.4.1"><in id="S3.10.p4.2.m2.4.4.1.1.1.cmml" xref="S3.10.p4.2.m2.4.4.1.1.1"></in><list id="S3.10.p4.2.m2.4.4.1.1.2.1.cmml" xref="S3.10.p4.2.m2.4.4.1.1.2.2"><ci id="S3.10.p4.2.m2.2.2.cmml" xref="S3.10.p4.2.m2.2.2">𝑗</ci><ci id="S3.10.p4.2.m2.3.3.cmml" xref="S3.10.p4.2.m2.3.3">𝑘</ci></list><apply id="S3.10.p4.2.m2.4.4.1.1.3.1.cmml" xref="S3.10.p4.2.m2.4.4.1.1.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.10.p4.2.m2.4.4.1.1.3.1.1.cmml" xref="S3.10.p4.2.m2.4.4.1.1.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S3.10.p4.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.10.p4.2.m2.1.1">𝑑</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.10.p4.2.m2.4c">(j,k\in[d])</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.10.p4.2.m2.4d">( italic_j , italic_k ∈ [ italic_d ] )</annotation></semantics></math> defined in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#S3.E4" title="Equation 3.4 ‣ Proof. ‣ 3. MUB-triplets and Hadamard cubes ‣ Triplets of Mutually Unbiased Bases"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3.4</span></a>) form an orthogonal basis of <math alttext="M_{d}(\mathbb{C})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.10.p4.3.m3.1"><semantics id="S3.10.p4.3.m3.1a"><mrow id="S3.10.p4.3.m3.1.2" xref="S3.10.p4.3.m3.1.2.cmml"><msub id="S3.10.p4.3.m3.1.2.2" xref="S3.10.p4.3.m3.1.2.2.cmml"><mi id="S3.10.p4.3.m3.1.2.2.2" xref="S3.10.p4.3.m3.1.2.2.2.cmml">M</mi><mi id="S3.10.p4.3.m3.1.2.2.3" xref="S3.10.p4.3.m3.1.2.2.3.cmml">d</mi></msub><mo id="S3.10.p4.3.m3.1.2.1" xref="S3.10.p4.3.m3.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.10.p4.3.m3.1.2.3.2" xref="S3.10.p4.3.m3.1.2.cmml"><mo id="S3.10.p4.3.m3.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.10.p4.3.m3.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.10.p4.3.m3.1.1" xref="S3.10.p4.3.m3.1.1.cmml">ℂ</mi><mo id="S3.10.p4.3.m3.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.10.p4.3.m3.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.10.p4.3.m3.1b"><apply id="S3.10.p4.3.m3.1.2.cmml" xref="S3.10.p4.3.m3.1.2"><times id="S3.10.p4.3.m3.1.2.1.cmml" xref="S3.10.p4.3.m3.1.2.1"></times><apply id="S3.10.p4.3.m3.1.2.2.cmml" xref="S3.10.p4.3.m3.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.10.p4.3.m3.1.2.2.1.cmml" xref="S3.10.p4.3.m3.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.10.p4.3.m3.1.2.2.2.cmml" xref="S3.10.p4.3.m3.1.2.2.2">𝑀</ci><ci id="S3.10.p4.3.m3.1.2.2.3.cmml" xref="S3.10.p4.3.m3.1.2.2.3">𝑑</ci></apply><ci id="S3.10.p4.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.10.p4.3.m3.1.1">ℂ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.10.p4.3.m3.1c">M_{d}(\mathbb{C})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.10.p4.3.m3.1d">italic_M start_POSTSUBSCRIPT italic_d end_POSTSUBSCRIPT ( blackboard_C )</annotation></semantics></math>, normalized to <math alttext="1/\sqrt{d}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.10.p4.4.m4.1"><semantics id="S3.10.p4.4.m4.1a"><mrow id="S3.10.p4.4.m4.1.1" xref="S3.10.p4.4.m4.1.1.cmml"><mn id="S3.10.p4.4.m4.1.1.2" xref="S3.10.p4.4.m4.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S3.10.p4.4.m4.1.1.1" xref="S3.10.p4.4.m4.1.1.1.cmml">/</mo><msqrt id="S3.10.p4.4.m4.1.1.3" xref="S3.10.p4.4.m4.1.1.3.cmml"><mi id="S3.10.p4.4.m4.1.1.3.2" xref="S3.10.p4.4.m4.1.1.3.2.cmml">d</mi></msqrt></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.10.p4.4.m4.1b"><apply id="S3.10.p4.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.10.p4.4.m4.1.1"><divide id="S3.10.p4.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.10.p4.4.m4.1.1.1"></divide><cn id="S3.10.p4.4.m4.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S3.10.p4.4.m4.1.1.2">1</cn><apply id="S3.10.p4.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S3.10.p4.4.m4.1.1.3"><root id="S3.10.p4.4.m4.1.1.3a.cmml" xref="S3.10.p4.4.m4.1.1.3"></root><ci id="S3.10.p4.4.m4.1.1.3.2.cmml" xref="S3.10.p4.4.m4.1.1.3.2">𝑑</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.10.p4.4.m4.1c">1/\sqrt{d}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.10.p4.4.m4.1d">1 / square-root start_ARG italic_d end_ARG</annotation></semantics></math>. It follows that with the definition</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex8"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="R_{l}:=\frac{1}{\sqrt{d}}\sum_{j,k\in[d]}C_{j,k,l}\,A_{j,k}^{*}={\sqrt{d}}\sum% _{j,k\in[d]}C_{j,k,l}\,Q_{k}P_{j}\;\;\;(l\in[d])" class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex8.m1.16"><semantics id="S3.Ex8.m1.16a"><mrow id="S3.Ex8.m1.16.16" xref="S3.Ex8.m1.16.16.cmml"><msub id="S3.Ex8.m1.16.16.3" xref="S3.Ex8.m1.16.16.3.cmml"><mi id="S3.Ex8.m1.16.16.3.2" xref="S3.Ex8.m1.16.16.3.2.cmml">R</mi><mi id="S3.Ex8.m1.16.16.3.3" xref="S3.Ex8.m1.16.16.3.3.cmml">l</mi></msub><mo id="S3.Ex8.m1.16.16.4" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S3.Ex8.m1.16.16.4.cmml">:=</mo><mrow id="S3.Ex8.m1.16.16.5" xref="S3.Ex8.m1.16.16.5.cmml"><mfrac id="S3.Ex8.m1.16.16.5.2" xref="S3.Ex8.m1.16.16.5.2.cmml"><mn id="S3.Ex8.m1.16.16.5.2.2" xref="S3.Ex8.m1.16.16.5.2.2.cmml">1</mn><msqrt id="S3.Ex8.m1.16.16.5.2.3" xref="S3.Ex8.m1.16.16.5.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex8.m1.16.16.5.2.3.2" xref="S3.Ex8.m1.16.16.5.2.3.2.cmml">d</mi></msqrt></mfrac><mo id="S3.Ex8.m1.16.16.5.1" xref="S3.Ex8.m1.16.16.5.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex8.m1.16.16.5.3" xref="S3.Ex8.m1.16.16.5.3.cmml"><munder id="S3.Ex8.m1.16.16.5.3.1" xref="S3.Ex8.m1.16.16.5.3.1.cmml"><mo id="S3.Ex8.m1.16.16.5.3.1.2" movablelimits="false" xref="S3.Ex8.m1.16.16.5.3.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.Ex8.m1.3.3.3" xref="S3.Ex8.m1.3.3.3.cmml"><mrow id="S3.Ex8.m1.3.3.3.5.2" xref="S3.Ex8.m1.3.3.3.5.1.cmml"><mi id="S3.Ex8.m1.2.2.2.2" xref="S3.Ex8.m1.2.2.2.2.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex8.m1.3.3.3.5.2.1" xref="S3.Ex8.m1.3.3.3.5.1.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex8.m1.3.3.3.3" xref="S3.Ex8.m1.3.3.3.3.cmml">k</mi></mrow><mo id="S3.Ex8.m1.3.3.3.4" xref="S3.Ex8.m1.3.3.3.4.cmml">∈</mo><mrow id="S3.Ex8.m1.3.3.3.6.2" xref="S3.Ex8.m1.3.3.3.6.1.cmml"><mo id="S3.Ex8.m1.3.3.3.6.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex8.m1.3.3.3.6.1.1.cmml">[</mo><mi id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.cmml">d</mi><mo id="S3.Ex8.m1.3.3.3.6.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex8.m1.3.3.3.6.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></munder><mrow id="S3.Ex8.m1.16.16.5.3.2" xref="S3.Ex8.m1.16.16.5.3.2.cmml"><msub id="S3.Ex8.m1.16.16.5.3.2.2" xref="S3.Ex8.m1.16.16.5.3.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex8.m1.16.16.5.3.2.2.2" xref="S3.Ex8.m1.16.16.5.3.2.2.2.cmml">C</mi><mrow id="S3.Ex8.m1.6.6.3.5" xref="S3.Ex8.m1.6.6.3.4.cmml"><mi id="S3.Ex8.m1.4.4.1.1" xref="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex8.m1.6.6.3.5.1" xref="S3.Ex8.m1.6.6.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex8.m1.5.5.2.2" xref="S3.Ex8.m1.5.5.2.2.cmml">k</mi><mo id="S3.Ex8.m1.6.6.3.5.2" xref="S3.Ex8.m1.6.6.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex8.m1.6.6.3.3" xref="S3.Ex8.m1.6.6.3.3.cmml">l</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex8.m1.16.16.5.3.2.1" xref="S3.Ex8.m1.16.16.5.3.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S3.Ex8.m1.16.16.5.3.2.3" xref="S3.Ex8.m1.16.16.5.3.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex8.m1.16.16.5.3.2.3.2.2" xref="S3.Ex8.m1.16.16.5.3.2.3.2.2.cmml">A</mi><mrow id="S3.Ex8.m1.8.8.2.4" xref="S3.Ex8.m1.8.8.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex8.m1.7.7.1.1" xref="S3.Ex8.m1.7.7.1.1.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex8.m1.8.8.2.4.1" xref="S3.Ex8.m1.8.8.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex8.m1.8.8.2.2" xref="S3.Ex8.m1.8.8.2.2.cmml">k</mi></mrow><mo id="S3.Ex8.m1.16.16.5.3.2.3.3" xref="S3.Ex8.m1.16.16.5.3.2.3.3.cmml">∗</mo></msubsup></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex8.m1.16.16.6" xref="S3.Ex8.m1.16.16.6.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex8.m1.16.16.1" xref="S3.Ex8.m1.16.16.1.cmml"><msqrt id="S3.Ex8.m1.16.16.1.3" xref="S3.Ex8.m1.16.16.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex8.m1.16.16.1.3.2" xref="S3.Ex8.m1.16.16.1.3.2.cmml">d</mi></msqrt><mo id="S3.Ex8.m1.16.16.1.2" xref="S3.Ex8.m1.16.16.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex8.m1.16.16.1.1" xref="S3.Ex8.m1.16.16.1.1.cmml"><munder id="S3.Ex8.m1.16.16.1.1.2" xref="S3.Ex8.m1.16.16.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex8.m1.16.16.1.1.2.2" movablelimits="false" xref="S3.Ex8.m1.16.16.1.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.Ex8.m1.11.11.3" xref="S3.Ex8.m1.11.11.3.cmml"><mrow id="S3.Ex8.m1.11.11.3.5.2" xref="S3.Ex8.m1.11.11.3.5.1.cmml"><mi id="S3.Ex8.m1.10.10.2.2" xref="S3.Ex8.m1.10.10.2.2.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex8.m1.11.11.3.5.2.1" xref="S3.Ex8.m1.11.11.3.5.1.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex8.m1.11.11.3.3" xref="S3.Ex8.m1.11.11.3.3.cmml">k</mi></mrow><mo id="S3.Ex8.m1.11.11.3.4" xref="S3.Ex8.m1.11.11.3.4.cmml">∈</mo><mrow id="S3.Ex8.m1.11.11.3.6.2" xref="S3.Ex8.m1.11.11.3.6.1.cmml"><mo id="S3.Ex8.m1.11.11.3.6.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex8.m1.11.11.3.6.1.1.cmml">[</mo><mi id="S3.Ex8.m1.9.9.1.1" xref="S3.Ex8.m1.9.9.1.1.cmml">d</mi><mo id="S3.Ex8.m1.11.11.3.6.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex8.m1.11.11.3.6.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></munder><mrow id="S3.Ex8.m1.16.16.1.1.1" xref="S3.Ex8.m1.16.16.1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex8.m1.16.16.1.1.1.3" xref="S3.Ex8.m1.16.16.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex8.m1.16.16.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex8.m1.16.16.1.1.1.3.2.cmml">C</mi><mrow id="S3.Ex8.m1.14.14.3.5" xref="S3.Ex8.m1.14.14.3.4.cmml"><mi id="S3.Ex8.m1.12.12.1.1" xref="S3.Ex8.m1.12.12.1.1.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex8.m1.14.14.3.5.1" xref="S3.Ex8.m1.14.14.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex8.m1.13.13.2.2" xref="S3.Ex8.m1.13.13.2.2.cmml">k</mi><mo id="S3.Ex8.m1.14.14.3.5.2" xref="S3.Ex8.m1.14.14.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex8.m1.14.14.3.3" xref="S3.Ex8.m1.14.14.3.3.cmml">l</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex8.m1.16.16.1.1.1.2" xref="S3.Ex8.m1.16.16.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex8.m1.16.16.1.1.1.4" xref="S3.Ex8.m1.16.16.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.Ex8.m1.16.16.1.1.1.4.2" xref="S3.Ex8.m1.16.16.1.1.1.4.2.cmml">Q</mi><mi id="S3.Ex8.m1.16.16.1.1.1.4.3" xref="S3.Ex8.m1.16.16.1.1.1.4.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.Ex8.m1.16.16.1.1.1.2a" xref="S3.Ex8.m1.16.16.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex8.m1.16.16.1.1.1.5" xref="S3.Ex8.m1.16.16.1.1.1.5.cmml"><mi id="S3.Ex8.m1.16.16.1.1.1.5.2" xref="S3.Ex8.m1.16.16.1.1.1.5.2.cmml">P</mi><mi id="S3.Ex8.m1.16.16.1.1.1.5.3" xref="S3.Ex8.m1.16.16.1.1.1.5.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.Ex8.m1.16.16.1.1.1.2b" xref="S3.Ex8.m1.16.16.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex8.m1.16.16.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex8.m1.16.16.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex8.m1.16.16.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex8.m1.16.16.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex8.m1.16.16.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex8.m1.16.16.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex8.m1.16.16.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex8.m1.16.16.1.1.1.1.1.1.2.cmml">l</mi><mo id="S3.Ex8.m1.16.16.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex8.m1.16.16.1.1.1.1.1.1.1.cmml">∈</mo><mrow id="S3.Ex8.m1.16.16.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex8.m1.16.16.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S3.Ex8.m1.16.16.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex8.m1.16.16.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S3.Ex8.m1.15.15" xref="S3.Ex8.m1.15.15.cmml">d</mi><mo id="S3.Ex8.m1.16.16.1.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex8.m1.16.16.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex8.m1.16.16.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex8.m1.16.16.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex8.m1.16b"><apply id="S3.Ex8.m1.16.16.cmml" xref="S3.Ex8.m1.16.16"><and id="S3.Ex8.m1.16.16a.cmml" xref="S3.Ex8.m1.16.16"></and><apply id="S3.Ex8.m1.16.16b.cmml" xref="S3.Ex8.m1.16.16"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex8.m1.16.16.4.cmml" xref="S3.Ex8.m1.16.16.4">assign</csymbol><apply id="S3.Ex8.m1.16.16.3.cmml" xref="S3.Ex8.m1.16.16.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex8.m1.16.16.3.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.16.16.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex8.m1.16.16.3.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.16.16.3.2">𝑅</ci><ci id="S3.Ex8.m1.16.16.3.3.cmml" xref="S3.Ex8.m1.16.16.3.3">𝑙</ci></apply><apply id="S3.Ex8.m1.16.16.5.cmml" xref="S3.Ex8.m1.16.16.5"><times id="S3.Ex8.m1.16.16.5.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.16.16.5.1"></times><apply id="S3.Ex8.m1.16.16.5.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.16.16.5.2"><divide id="S3.Ex8.m1.16.16.5.2.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.16.16.5.2"></divide><cn id="S3.Ex8.m1.16.16.5.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex8.m1.16.16.5.2.2">1</cn><apply id="S3.Ex8.m1.16.16.5.2.3.cmml" xref="S3.Ex8.m1.16.16.5.2.3"><root id="S3.Ex8.m1.16.16.5.2.3a.cmml" xref="S3.Ex8.m1.16.16.5.2.3"></root><ci id="S3.Ex8.m1.16.16.5.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.16.16.5.2.3.2">𝑑</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex8.m1.16.16.5.3.cmml" xref="S3.Ex8.m1.16.16.5.3"><apply id="S3.Ex8.m1.16.16.5.3.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.16.16.5.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex8.m1.16.16.5.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.16.16.5.3.1">subscript</csymbol><sum id="S3.Ex8.m1.16.16.5.3.1.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.16.16.5.3.1.2"></sum><apply id="S3.Ex8.m1.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.3"><in id="S3.Ex8.m1.3.3.3.4.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.3.4"></in><list id="S3.Ex8.m1.3.3.3.5.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.3.5.2"><ci id="S3.Ex8.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.2.2.2.2">𝑗</ci><ci id="S3.Ex8.m1.3.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.3.3">𝑘</ci></list><apply id="S3.Ex8.m1.3.3.3.6.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.3.6.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex8.m1.3.3.3.6.1.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.3.6.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1.1">𝑑</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex8.m1.16.16.5.3.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.16.16.5.3.2"><times id="S3.Ex8.m1.16.16.5.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.16.16.5.3.2.1"></times><apply id="S3.Ex8.m1.16.16.5.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.16.16.5.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex8.m1.16.16.5.3.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.16.16.5.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex8.m1.16.16.5.3.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.16.16.5.3.2.2.2">𝐶</ci><list id="S3.Ex8.m1.6.6.3.4.cmml" xref="S3.Ex8.m1.6.6.3.5"><ci id="S3.Ex8.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.4.4.1.1">𝑗</ci><ci id="S3.Ex8.m1.5.5.2.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.5.5.2.2">𝑘</ci><ci id="S3.Ex8.m1.6.6.3.3.cmml" xref="S3.Ex8.m1.6.6.3.3">𝑙</ci></list></apply><apply id="S3.Ex8.m1.16.16.5.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex8.m1.16.16.5.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex8.m1.16.16.5.3.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.16.16.5.3.2.3">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex8.m1.16.16.5.3.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.16.16.5.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex8.m1.16.16.5.3.2.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.16.16.5.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex8.m1.16.16.5.3.2.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.16.16.5.3.2.3.2.2">𝐴</ci><list id="S3.Ex8.m1.8.8.2.3.cmml" xref="S3.Ex8.m1.8.8.2.4"><ci id="S3.Ex8.m1.7.7.1.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.7.7.1.1">𝑗</ci><ci id="S3.Ex8.m1.8.8.2.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.8.8.2.2">𝑘</ci></list></apply><times id="S3.Ex8.m1.16.16.5.3.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex8.m1.16.16.5.3.2.3.3"></times></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex8.m1.16.16c.cmml" xref="S3.Ex8.m1.16.16"><eq id="S3.Ex8.m1.16.16.6.cmml" xref="S3.Ex8.m1.16.16.6"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#S3.Ex8.m1.16.16.5.cmml" id="S3.Ex8.m1.16.16d.cmml" xref="S3.Ex8.m1.16.16"></share><apply id="S3.Ex8.m1.16.16.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.16.16.1"><times id="S3.Ex8.m1.16.16.1.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.16.16.1.2"></times><apply id="S3.Ex8.m1.16.16.1.3.cmml" xref="S3.Ex8.m1.16.16.1.3"><root id="S3.Ex8.m1.16.16.1.3a.cmml" xref="S3.Ex8.m1.16.16.1.3"></root><ci id="S3.Ex8.m1.16.16.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.16.16.1.3.2">𝑑</ci></apply><apply id="S3.Ex8.m1.16.16.1.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.16.16.1.1"><apply id="S3.Ex8.m1.16.16.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.16.16.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex8.m1.16.16.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.16.16.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="S3.Ex8.m1.16.16.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.16.16.1.1.2.2"></sum><apply id="S3.Ex8.m1.11.11.3.cmml" xref="S3.Ex8.m1.11.11.3"><in id="S3.Ex8.m1.11.11.3.4.cmml" xref="S3.Ex8.m1.11.11.3.4"></in><list id="S3.Ex8.m1.11.11.3.5.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.11.11.3.5.2"><ci id="S3.Ex8.m1.10.10.2.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.10.10.2.2">𝑗</ci><ci id="S3.Ex8.m1.11.11.3.3.cmml" xref="S3.Ex8.m1.11.11.3.3">𝑘</ci></list><apply id="S3.Ex8.m1.11.11.3.6.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.11.11.3.6.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex8.m1.11.11.3.6.1.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.11.11.3.6.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S3.Ex8.m1.9.9.1.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.9.9.1.1">𝑑</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex8.m1.16.16.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.16.16.1.1.1"><times id="S3.Ex8.m1.16.16.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.16.16.1.1.1.2"></times><apply id="S3.Ex8.m1.16.16.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex8.m1.16.16.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex8.m1.16.16.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.16.16.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex8.m1.16.16.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.16.16.1.1.1.3.2">𝐶</ci><list id="S3.Ex8.m1.14.14.3.4.cmml" xref="S3.Ex8.m1.14.14.3.5"><ci id="S3.Ex8.m1.12.12.1.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.12.12.1.1">𝑗</ci><ci id="S3.Ex8.m1.13.13.2.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.13.13.2.2">𝑘</ci><ci id="S3.Ex8.m1.14.14.3.3.cmml" xref="S3.Ex8.m1.14.14.3.3">𝑙</ci></list></apply><apply id="S3.Ex8.m1.16.16.1.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex8.m1.16.16.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex8.m1.16.16.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.16.16.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex8.m1.16.16.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.16.16.1.1.1.4.2">𝑄</ci><ci id="S3.Ex8.m1.16.16.1.1.1.4.3.cmml" xref="S3.Ex8.m1.16.16.1.1.1.4.3">𝑘</ci></apply><apply id="S3.Ex8.m1.16.16.1.1.1.5.cmml" xref="S3.Ex8.m1.16.16.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex8.m1.16.16.1.1.1.5.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.16.16.1.1.1.5">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex8.m1.16.16.1.1.1.5.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.16.16.1.1.1.5.2">𝑃</ci><ci id="S3.Ex8.m1.16.16.1.1.1.5.3.cmml" xref="S3.Ex8.m1.16.16.1.1.1.5.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.Ex8.m1.16.16.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.16.16.1.1.1.1.1"><in id="S3.Ex8.m1.16.16.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.16.16.1.1.1.1.1.1.1"></in><ci id="S3.Ex8.m1.16.16.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.16.16.1.1.1.1.1.1.2">𝑙</ci><apply id="S3.Ex8.m1.16.16.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.16.16.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex8.m1.16.16.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.16.16.1.1.1.1.1.1.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S3.Ex8.m1.15.15.cmml" xref="S3.Ex8.m1.15.15">𝑑</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex8.m1.16c">R_{l}:=\frac{1}{\sqrt{d}}\sum_{j,k\in[d]}C_{j,k,l}\,A_{j,k}^{*}={\sqrt{d}}\sum% _{j,k\in[d]}C_{j,k,l}\,Q_{k}P_{j}\;\;\;(l\in[d])</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex8.m1.16d">italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT := divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG square-root start_ARG italic_d end_ARG end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k ∈ [ italic_d ] end_POSTSUBSCRIPT italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k , italic_l end_POSTSUBSCRIPT italic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT = square-root start_ARG italic_d end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k ∈ [ italic_d ] end_POSTSUBSCRIPT italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k , italic_l end_POSTSUBSCRIPT italic_Q start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( italic_l ∈ [ italic_d ] )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.10.p4.9">we have that</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex9"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="{\rm Tr}(P_{j}Q_{k}R_{l})={\rm Tr}(A_{j,k}R_{l})=\langle A_{j,k}^{*},R_{l}% \rangle_{H}=\frac{1}{\sqrt{d^{3}}}\,C_{j,k,l}," class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex9.m1.8"><semantics id="S3.Ex9.m1.8a"><mrow id="S3.Ex9.m1.8.8.1" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.1" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.1.3" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.1.3.cmml">Tr</mi><mo id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.1.2" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">P</mi><mi id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">Q</mi><mi id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">R</mi><mi id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">l</mi></msub></mrow><mo id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.6" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.6.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.2" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.2.3" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.2.3.cmml">Tr</mi><mo id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.2.2" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.2.1.1" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.2.1.1.1" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.2" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.2.2.cmml">A</mi><mrow id="S3.Ex9.m1.2.2.2.4" xref="S3.Ex9.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex9.m1.2.2.2.4.1" xref="S3.Ex9.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex9.m1.2.2.2.2" xref="S3.Ex9.m1.2.2.2.2.cmml">k</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.1" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.3" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml">R</mi><mi id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.3.3.cmml">l</mi></msub></mrow><mo id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.7" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.7.cmml">=</mo><msub id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.4" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.4.cmml"><mrow id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.4.2.2" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.4.2.3.cmml"><mo id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.4.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.4.2.3.cmml">⟨</mo><msubsup id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.3.1.1.1" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.3.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.3.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.3.1.1.1.2.2.cmml">A</mi><mrow id="S3.Ex9.m1.4.4.2.4" xref="S3.Ex9.m1.4.4.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex9.m1.3.3.1.1" xref="S3.Ex9.m1.3.3.1.1.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex9.m1.4.4.2.4.1" xref="S3.Ex9.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex9.m1.4.4.2.2" xref="S3.Ex9.m1.4.4.2.2.cmml">k</mi></mrow><mo id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.3.1.1.1.3" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.3.1.1.1.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.4.2.2.4" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.4.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.4.2.2.2" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.4.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.4.2.2.2.2" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.4.2.2.2.2.cmml">R</mi><mi id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.4.2.2.2.3" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.4.2.2.2.3.cmml">l</mi></msub><mo id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.4.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.4.2.3.cmml">⟩</mo></mrow><mi id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.4.4" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.4.4.cmml">H</mi></msub><mo id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.8" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.8.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.9" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.9.cmml"><mfrac id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.9.2" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.9.2.cmml"><mn id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.9.2.2" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.9.2.2.cmml">1</mn><msqrt id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.9.2.3" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.9.2.3.cmml"><msup id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.9.2.3.2" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.9.2.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.9.2.3.2.2" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.9.2.3.2.2.cmml">d</mi><mn id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.9.2.3.2.3" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.9.2.3.2.3.cmml">3</mn></msup></msqrt></mfrac><mo id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.9.1" lspace="0.170em" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.9.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.9.3" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.9.3.cmml"><mi id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.9.3.2" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.9.3.2.cmml">C</mi><mrow id="S3.Ex9.m1.7.7.3.5" xref="S3.Ex9.m1.7.7.3.4.cmml"><mi id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex9.m1.7.7.3.5.1" xref="S3.Ex9.m1.7.7.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex9.m1.6.6.2.2" xref="S3.Ex9.m1.6.6.2.2.cmml">k</mi><mo id="S3.Ex9.m1.7.7.3.5.2" xref="S3.Ex9.m1.7.7.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex9.m1.7.7.3.3" xref="S3.Ex9.m1.7.7.3.3.cmml">l</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mo id="S3.Ex9.m1.8.8.1.2" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex9.m1.8b"><apply id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1"><and id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1a.cmml" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1"></and><apply id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1b.cmml" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1"><eq id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.6.cmml" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.6"></eq><apply id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.1"><times id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.1.2"></times><ci id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.1.3">Tr</ci><apply id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.1.1.1"><times id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑃</ci><ci id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑄</ci><ci id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply><apply id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4.2">𝑅</ci><ci id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.4.3">𝑙</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.2"><times id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.2.2"></times><ci id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.2.3">Tr</ci><apply id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.2.1.1"><times id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.1"></times><apply id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.2.2">𝐴</ci><list id="S3.Ex9.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex9.m1.2.2.2.4"><ci id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1">𝑗</ci><ci id="S3.Ex9.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.2.2.2.2">𝑘</ci></list></apply><apply id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.3.2">𝑅</ci><ci id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.3.3">𝑙</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1c.cmml" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1"><eq id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.7.cmml" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.7"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#S3.Ex9.m1.8.8.1.1.2.cmml" id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1d.cmml" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1"></share><apply id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.4.3.cmml" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.4">subscript</csymbol><list id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.4.2.3.cmml" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.4.2.2"><apply id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.3.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.3.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.3.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.3.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.3.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.3.1.1.1.2.2">𝐴</ci><list id="S3.Ex9.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S3.Ex9.m1.4.4.2.4"><ci id="S3.Ex9.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.3.3.1.1">𝑗</ci><ci id="S3.Ex9.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.4.4.2.2">𝑘</ci></list></apply><times id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.3.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.3.1.1.1.3"></times></apply><apply id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.4.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.4.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.4.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.4.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.4.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.4.2.2.2.2">𝑅</ci><ci id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.4.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.4.2.2.2.3">𝑙</ci></apply></list><ci id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.4.4.cmml" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.4.4">𝐻</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1e.cmml" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1"><eq id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.8.cmml" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.8"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#S3.Ex9.m1.8.8.1.1.4.cmml" id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1f.cmml" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1"></share><apply id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.9.cmml" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.9"><times id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.9.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.9.1"></times><apply id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.9.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.9.2"><divide id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.9.2.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.9.2"></divide><cn id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.9.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.9.2.2">1</cn><apply id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.9.2.3.cmml" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.9.2.3"><root id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.9.2.3a.cmml" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.9.2.3"></root><apply id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.9.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.9.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.9.2.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.9.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.9.2.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.9.2.3.2.2">𝑑</ci><cn id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.9.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.9.2.3.2.3">3</cn></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.9.3.cmml" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.9.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.9.3.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.9.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.9.3.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.8.8.1.1.9.3.2">𝐶</ci><list id="S3.Ex9.m1.7.7.3.4.cmml" xref="S3.Ex9.m1.7.7.3.5"><ci id="S3.Ex9.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.5.5.1.1">𝑗</ci><ci id="S3.Ex9.m1.6.6.2.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.6.6.2.2">𝑘</ci><ci id="S3.Ex9.m1.7.7.3.3.cmml" xref="S3.Ex9.m1.7.7.3.3">𝑙</ci></list></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex9.m1.8c">{\rm Tr}(P_{j}Q_{k}R_{l})={\rm Tr}(A_{j,k}R_{l})=\langle A_{j,k}^{*},R_{l}% \rangle_{H}=\frac{1}{\sqrt{d^{3}}}\,C_{j,k,l},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex9.m1.8d">roman_Tr ( italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_Q start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT ) = roman_Tr ( italic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k end_POSTSUBSCRIPT italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT ) = ⟨ italic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT ⟩ start_POSTSUBSCRIPT italic_H end_POSTSUBSCRIPT = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG square-root start_ARG italic_d start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG end_ARG italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k , italic_l end_POSTSUBSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.10.p4.5">as required by point <math alttext="(c)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.10.p4.5.m1.1"><semantics id="S3.10.p4.5.m1.1a"><mrow id="S3.10.p4.5.m1.1.2.2"><mo id="S3.10.p4.5.m1.1.2.2.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S3.10.p4.5.m1.1.1" xref="S3.10.p4.5.m1.1.1.cmml">c</mi><mo id="S3.10.p4.5.m1.1.2.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.10.p4.5.m1.1b"><ci id="S3.10.p4.5.m1.1.1.cmml" xref="S3.10.p4.5.m1.1.1">𝑐</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.10.p4.5.m1.1c">(c)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.10.p4.5.m1.1d">( italic_c )</annotation></semantics></math>. Moreover, we have</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_eqnarray ltx_eqn_table" id="S4.EGx2"> <tbody id="S3.Ex11"> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle{\rm Tr}(Q_{k}R_{l})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex10.m1.1"><semantics id="S3.Ex10.m1.1a"><mrow id="S3.Ex10.m1.1.1" xref="S3.Ex10.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex10.m1.1.1.3" xref="S3.Ex10.m1.1.1.3.cmml">Tr</mi><mo id="S3.Ex10.m1.1.1.2" xref="S3.Ex10.m1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">Q</mi><mi id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">R</mi><mi id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">l</mi></msub></mrow><mo id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex10.m1.1b"><apply id="S3.Ex10.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.1.1"><times id="S3.Ex10.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.1.1.2"></times><ci id="S3.Ex10.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.1.1.3">Tr</ci><apply id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1"><times id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.2.2">𝑄</ci><ci id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.3.2">𝑅</ci><ci id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.1.3.3">𝑙</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex10.m1.1c">\displaystyle{\rm Tr}(Q_{k}R_{l})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex10.m1.1d">roman_Tr ( italic_Q start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex10.m2.1"><semantics id="S3.Ex10.m2.1a"><mo id="S3.Ex10.m2.1.1" xref="S3.Ex10.m2.1.1.cmml">=</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex10.m2.1b"><eq id="S3.Ex10.m2.1.1.cmml" xref="S3.Ex10.m2.1.1"></eq></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex10.m2.1c">\displaystyle=</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex10.m2.1d">=</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\frac{1}{\sqrt{d}}\sum_{j^{\prime},k^{\prime}\in[d]}C_{j^{\prime}% ,k^{\prime},l}{\rm Tr}(Q_{k}A^{*}_{j^{\prime},k^{\prime}})=\frac{1}{\sqrt{d}}% \sum_{j^{\prime},k^{\prime}\in[d]}C_{j^{\prime},k^{\prime},l}{\rm Tr}(Q_{k}Q_{% k^{\prime}}P_{j^{\prime}})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex10.m3.16"><semantics id="S3.Ex10.m3.16a"><mrow id="S3.Ex10.m3.16.16" xref="S3.Ex10.m3.16.16.cmml"><mrow id="S3.Ex10.m3.15.15.1" xref="S3.Ex10.m3.15.15.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex10.m3.15.15.1.3" xref="S3.Ex10.m3.15.15.1.3.cmml"><mfrac id="S3.Ex10.m3.15.15.1.3a" xref="S3.Ex10.m3.15.15.1.3.cmml"><mn id="S3.Ex10.m3.15.15.1.3.2" xref="S3.Ex10.m3.15.15.1.3.2.cmml">1</mn><msqrt id="S3.Ex10.m3.15.15.1.3.3" xref="S3.Ex10.m3.15.15.1.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex10.m3.15.15.1.3.3.2" xref="S3.Ex10.m3.15.15.1.3.3.2.cmml">d</mi></msqrt></mfrac></mstyle><mo id="S3.Ex10.m3.15.15.1.2" xref="S3.Ex10.m3.15.15.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex10.m3.15.15.1.1" xref="S3.Ex10.m3.15.15.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex10.m3.15.15.1.1.2" xref="S3.Ex10.m3.15.15.1.1.2.cmml"><munder id="S3.Ex10.m3.15.15.1.1.2a" xref="S3.Ex10.m3.15.15.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex10.m3.15.15.1.1.2.2" movablelimits="false" xref="S3.Ex10.m3.15.15.1.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.Ex10.m3.3.3.3" xref="S3.Ex10.m3.3.3.3.cmml"><mrow id="S3.Ex10.m3.3.3.3.3.2" xref="S3.Ex10.m3.3.3.3.3.3.cmml"><msup id="S3.Ex10.m3.2.2.2.2.1.1" xref="S3.Ex10.m3.2.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex10.m3.2.2.2.2.1.1.2" xref="S3.Ex10.m3.2.2.2.2.1.1.2.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex10.m3.2.2.2.2.1.1.3" xref="S3.Ex10.m3.2.2.2.2.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.Ex10.m3.3.3.3.3.2.3" xref="S3.Ex10.m3.3.3.3.3.3.cmml">,</mo><msup id="S3.Ex10.m3.3.3.3.3.2.2" xref="S3.Ex10.m3.3.3.3.3.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex10.m3.3.3.3.3.2.2.2" xref="S3.Ex10.m3.3.3.3.3.2.2.2.cmml">k</mi><mo id="S3.Ex10.m3.3.3.3.3.2.2.3" xref="S3.Ex10.m3.3.3.3.3.2.2.3.cmml">′</mo></msup></mrow><mo id="S3.Ex10.m3.3.3.3.4" xref="S3.Ex10.m3.3.3.3.4.cmml">∈</mo><mrow id="S3.Ex10.m3.3.3.3.5.2" xref="S3.Ex10.m3.3.3.3.5.1.cmml"><mo id="S3.Ex10.m3.3.3.3.5.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex10.m3.3.3.3.5.1.1.cmml">[</mo><mi id="S3.Ex10.m3.1.1.1.1" xref="S3.Ex10.m3.1.1.1.1.cmml">d</mi><mo id="S3.Ex10.m3.3.3.3.5.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex10.m3.3.3.3.5.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></munder></mstyle><mrow id="S3.Ex10.m3.15.15.1.1.1" xref="S3.Ex10.m3.15.15.1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex10.m3.15.15.1.1.1.3" xref="S3.Ex10.m3.15.15.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex10.m3.15.15.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex10.m3.15.15.1.1.1.3.2.cmml">C</mi><mrow id="S3.Ex10.m3.6.6.3.3" xref="S3.Ex10.m3.6.6.3.4.cmml"><msup id="S3.Ex10.m3.5.5.2.2.1" xref="S3.Ex10.m3.5.5.2.2.1.cmml"><mi id="S3.Ex10.m3.5.5.2.2.1.2" xref="S3.Ex10.m3.5.5.2.2.1.2.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex10.m3.5.5.2.2.1.3" xref="S3.Ex10.m3.5.5.2.2.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.Ex10.m3.6.6.3.3.3" xref="S3.Ex10.m3.6.6.3.4.cmml">,</mo><msup id="S3.Ex10.m3.6.6.3.3.2" xref="S3.Ex10.m3.6.6.3.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex10.m3.6.6.3.3.2.2" xref="S3.Ex10.m3.6.6.3.3.2.2.cmml">k</mi><mo id="S3.Ex10.m3.6.6.3.3.2.3" xref="S3.Ex10.m3.6.6.3.3.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.Ex10.m3.6.6.3.3.4" xref="S3.Ex10.m3.6.6.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex10.m3.4.4.1.1" xref="S3.Ex10.m3.4.4.1.1.cmml">l</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex10.m3.15.15.1.1.1.2" xref="S3.Ex10.m3.15.15.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex10.m3.15.15.1.1.1.4" xref="S3.Ex10.m3.15.15.1.1.1.4.cmml">Tr</mi><mo id="S3.Ex10.m3.15.15.1.1.1.2a" xref="S3.Ex10.m3.15.15.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex10.m3.15.15.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex10.m3.15.15.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex10.m3.15.15.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex10.m3.15.15.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex10.m3.15.15.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex10.m3.15.15.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex10.m3.15.15.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex10.m3.15.15.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex10.m3.15.15.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex10.m3.15.15.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">Q</mi><mi id="S3.Ex10.m3.15.15.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex10.m3.15.15.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.Ex10.m3.15.15.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex10.m3.15.15.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S3.Ex10.m3.15.15.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex10.m3.15.15.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex10.m3.15.15.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex10.m3.15.15.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">A</mi><mrow id="S3.Ex10.m3.8.8.2.2" xref="S3.Ex10.m3.8.8.2.3.cmml"><msup id="S3.Ex10.m3.7.7.1.1.1" xref="S3.Ex10.m3.7.7.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex10.m3.7.7.1.1.1.2" xref="S3.Ex10.m3.7.7.1.1.1.2.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex10.m3.7.7.1.1.1.3" xref="S3.Ex10.m3.7.7.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.Ex10.m3.8.8.2.2.3" xref="S3.Ex10.m3.8.8.2.3.cmml">,</mo><msup id="S3.Ex10.m3.8.8.2.2.2" xref="S3.Ex10.m3.8.8.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex10.m3.8.8.2.2.2.2" xref="S3.Ex10.m3.8.8.2.2.2.2.cmml">k</mi><mo id="S3.Ex10.m3.8.8.2.2.2.3" xref="S3.Ex10.m3.8.8.2.2.2.3.cmml">′</mo></msup></mrow><mo id="S3.Ex10.m3.15.15.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.Ex10.m3.15.15.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">∗</mo></msubsup></mrow><mo id="S3.Ex10.m3.15.15.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex10.m3.15.15.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex10.m3.16.16.3" xref="S3.Ex10.m3.16.16.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex10.m3.16.16.2" xref="S3.Ex10.m3.16.16.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex10.m3.16.16.2.3" xref="S3.Ex10.m3.16.16.2.3.cmml"><mfrac id="S3.Ex10.m3.16.16.2.3a" xref="S3.Ex10.m3.16.16.2.3.cmml"><mn id="S3.Ex10.m3.16.16.2.3.2" xref="S3.Ex10.m3.16.16.2.3.2.cmml">1</mn><msqrt id="S3.Ex10.m3.16.16.2.3.3" xref="S3.Ex10.m3.16.16.2.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex10.m3.16.16.2.3.3.2" xref="S3.Ex10.m3.16.16.2.3.3.2.cmml">d</mi></msqrt></mfrac></mstyle><mo id="S3.Ex10.m3.16.16.2.2" xref="S3.Ex10.m3.16.16.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex10.m3.16.16.2.1" xref="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.2" xref="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.2.cmml"><munder id="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.2a" xref="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.2.2" movablelimits="false" xref="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.Ex10.m3.11.11.3" xref="S3.Ex10.m3.11.11.3.cmml"><mrow id="S3.Ex10.m3.11.11.3.3.2" xref="S3.Ex10.m3.11.11.3.3.3.cmml"><msup id="S3.Ex10.m3.10.10.2.2.1.1" xref="S3.Ex10.m3.10.10.2.2.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex10.m3.10.10.2.2.1.1.2" xref="S3.Ex10.m3.10.10.2.2.1.1.2.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex10.m3.10.10.2.2.1.1.3" xref="S3.Ex10.m3.10.10.2.2.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.Ex10.m3.11.11.3.3.2.3" xref="S3.Ex10.m3.11.11.3.3.3.cmml">,</mo><msup id="S3.Ex10.m3.11.11.3.3.2.2" xref="S3.Ex10.m3.11.11.3.3.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex10.m3.11.11.3.3.2.2.2" xref="S3.Ex10.m3.11.11.3.3.2.2.2.cmml">k</mi><mo id="S3.Ex10.m3.11.11.3.3.2.2.3" xref="S3.Ex10.m3.11.11.3.3.2.2.3.cmml">′</mo></msup></mrow><mo id="S3.Ex10.m3.11.11.3.4" xref="S3.Ex10.m3.11.11.3.4.cmml">∈</mo><mrow id="S3.Ex10.m3.11.11.3.5.2" xref="S3.Ex10.m3.11.11.3.5.1.cmml"><mo id="S3.Ex10.m3.11.11.3.5.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex10.m3.11.11.3.5.1.1.cmml">[</mo><mi id="S3.Ex10.m3.9.9.1.1" xref="S3.Ex10.m3.9.9.1.1.cmml">d</mi><mo id="S3.Ex10.m3.11.11.3.5.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex10.m3.11.11.3.5.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></munder></mstyle><mrow id="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.1" xref="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.1.3" xref="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.1.3.2" xref="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.1.3.2.cmml">C</mi><mrow id="S3.Ex10.m3.14.14.3.3" xref="S3.Ex10.m3.14.14.3.4.cmml"><msup id="S3.Ex10.m3.13.13.2.2.1" xref="S3.Ex10.m3.13.13.2.2.1.cmml"><mi id="S3.Ex10.m3.13.13.2.2.1.2" xref="S3.Ex10.m3.13.13.2.2.1.2.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex10.m3.13.13.2.2.1.3" xref="S3.Ex10.m3.13.13.2.2.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.Ex10.m3.14.14.3.3.3" xref="S3.Ex10.m3.14.14.3.4.cmml">,</mo><msup id="S3.Ex10.m3.14.14.3.3.2" xref="S3.Ex10.m3.14.14.3.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex10.m3.14.14.3.3.2.2" xref="S3.Ex10.m3.14.14.3.3.2.2.cmml">k</mi><mo id="S3.Ex10.m3.14.14.3.3.2.3" xref="S3.Ex10.m3.14.14.3.3.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.Ex10.m3.14.14.3.3.4" xref="S3.Ex10.m3.14.14.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex10.m3.12.12.1.1" xref="S3.Ex10.m3.12.12.1.1.cmml">l</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.1.2" xref="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.1.4" xref="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.1.4.cmml">Tr</mi><mo id="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.1.2a" xref="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.1.1.1" xref="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml">Q</mi><mi id="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml">Q</mi><msup id="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">k</mi><mo id="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">′</mo></msup></msub><mo id="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.1.1.1.1.1a" xref="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.1.1.1.1.4" xref="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.1.1.1.1.4.2" xref="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.1.1.1.1.4.2.cmml">P</mi><msup id="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.1.1.1.1.4.3" xref="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.1.1.1.1.4.3.2" xref="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.1.1.1.1.4.3.3" xref="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.1.1.1.1.4.3.3.cmml">′</mo></msup></msub></mrow><mo id="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex10.m3.16b"><apply id="S3.Ex10.m3.16.16.cmml" xref="S3.Ex10.m3.16.16"><eq id="S3.Ex10.m3.16.16.3.cmml" xref="S3.Ex10.m3.16.16.3"></eq><apply id="S3.Ex10.m3.15.15.1.cmml" xref="S3.Ex10.m3.15.15.1"><times id="S3.Ex10.m3.15.15.1.2.cmml" xref="S3.Ex10.m3.15.15.1.2"></times><apply id="S3.Ex10.m3.15.15.1.3.cmml" xref="S3.Ex10.m3.15.15.1.3"><divide id="S3.Ex10.m3.15.15.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex10.m3.15.15.1.3"></divide><cn id="S3.Ex10.m3.15.15.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex10.m3.15.15.1.3.2">1</cn><apply id="S3.Ex10.m3.15.15.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex10.m3.15.15.1.3.3"><root id="S3.Ex10.m3.15.15.1.3.3a.cmml" xref="S3.Ex10.m3.15.15.1.3.3"></root><ci id="S3.Ex10.m3.15.15.1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex10.m3.15.15.1.3.3.2">𝑑</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex10.m3.15.15.1.1.cmml" xref="S3.Ex10.m3.15.15.1.1"><apply id="S3.Ex10.m3.15.15.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex10.m3.15.15.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex10.m3.15.15.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex10.m3.15.15.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="S3.Ex10.m3.15.15.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex10.m3.15.15.1.1.2.2"></sum><apply id="S3.Ex10.m3.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex10.m3.3.3.3"><in id="S3.Ex10.m3.3.3.3.4.cmml" xref="S3.Ex10.m3.3.3.3.4"></in><list id="S3.Ex10.m3.3.3.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex10.m3.3.3.3.3.2"><apply id="S3.Ex10.m3.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex10.m3.2.2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex10.m3.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex10.m3.2.2.2.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex10.m3.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex10.m3.2.2.2.2.1.1.2">𝑗</ci><ci id="S3.Ex10.m3.2.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex10.m3.2.2.2.2.1.1.3">′</ci></apply><apply id="S3.Ex10.m3.3.3.3.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex10.m3.3.3.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex10.m3.3.3.3.3.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex10.m3.3.3.3.3.2.2">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex10.m3.3.3.3.3.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex10.m3.3.3.3.3.2.2.2">𝑘</ci><ci id="S3.Ex10.m3.3.3.3.3.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex10.m3.3.3.3.3.2.2.3">′</ci></apply></list><apply id="S3.Ex10.m3.3.3.3.5.1.cmml" xref="S3.Ex10.m3.3.3.3.5.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex10.m3.3.3.3.5.1.1.cmml" xref="S3.Ex10.m3.3.3.3.5.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S3.Ex10.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex10.m3.1.1.1.1">𝑑</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex10.m3.15.15.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex10.m3.15.15.1.1.1"><times id="S3.Ex10.m3.15.15.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex10.m3.15.15.1.1.1.2"></times><apply id="S3.Ex10.m3.15.15.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex10.m3.15.15.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex10.m3.15.15.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex10.m3.15.15.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex10.m3.15.15.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex10.m3.15.15.1.1.1.3.2">𝐶</ci><list id="S3.Ex10.m3.6.6.3.4.cmml" xref="S3.Ex10.m3.6.6.3.3"><apply id="S3.Ex10.m3.5.5.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex10.m3.5.5.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex10.m3.5.5.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex10.m3.5.5.2.2.1">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex10.m3.5.5.2.2.1.2.cmml" xref="S3.Ex10.m3.5.5.2.2.1.2">𝑗</ci><ci id="S3.Ex10.m3.5.5.2.2.1.3.cmml" xref="S3.Ex10.m3.5.5.2.2.1.3">′</ci></apply><apply id="S3.Ex10.m3.6.6.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex10.m3.6.6.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex10.m3.6.6.3.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex10.m3.6.6.3.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex10.m3.6.6.3.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex10.m3.6.6.3.3.2.2">𝑘</ci><ci id="S3.Ex10.m3.6.6.3.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex10.m3.6.6.3.3.2.3">′</ci></apply><ci id="S3.Ex10.m3.4.4.1.1.cmml" xref="S3.Ex10.m3.4.4.1.1">𝑙</ci></list></apply><ci id="S3.Ex10.m3.15.15.1.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex10.m3.15.15.1.1.1.4">Tr</ci><apply id="S3.Ex10.m3.15.15.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex10.m3.15.15.1.1.1.1.1"><times id="S3.Ex10.m3.15.15.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex10.m3.15.15.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S3.Ex10.m3.15.15.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex10.m3.15.15.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex10.m3.15.15.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex10.m3.15.15.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex10.m3.15.15.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex10.m3.15.15.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑄</ci><ci id="S3.Ex10.m3.15.15.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex10.m3.15.15.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S3.Ex10.m3.15.15.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex10.m3.15.15.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex10.m3.15.15.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex10.m3.15.15.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex10.m3.15.15.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex10.m3.15.15.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex10.m3.15.15.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex10.m3.15.15.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex10.m3.15.15.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex10.m3.15.15.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝐴</ci><times id="S3.Ex10.m3.15.15.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex10.m3.15.15.1.1.1.1.1.1.3.2.3"></times></apply><list id="S3.Ex10.m3.8.8.2.3.cmml" xref="S3.Ex10.m3.8.8.2.2"><apply id="S3.Ex10.m3.7.7.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex10.m3.7.7.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex10.m3.7.7.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex10.m3.7.7.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex10.m3.7.7.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex10.m3.7.7.1.1.1.2">𝑗</ci><ci id="S3.Ex10.m3.7.7.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex10.m3.7.7.1.1.1.3">′</ci></apply><apply id="S3.Ex10.m3.8.8.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex10.m3.8.8.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex10.m3.8.8.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex10.m3.8.8.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex10.m3.8.8.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex10.m3.8.8.2.2.2.2">𝑘</ci><ci id="S3.Ex10.m3.8.8.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex10.m3.8.8.2.2.2.3">′</ci></apply></list></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex10.m3.16.16.2.cmml" xref="S3.Ex10.m3.16.16.2"><times id="S3.Ex10.m3.16.16.2.2.cmml" xref="S3.Ex10.m3.16.16.2.2"></times><apply id="S3.Ex10.m3.16.16.2.3.cmml" xref="S3.Ex10.m3.16.16.2.3"><divide id="S3.Ex10.m3.16.16.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex10.m3.16.16.2.3"></divide><cn id="S3.Ex10.m3.16.16.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex10.m3.16.16.2.3.2">1</cn><apply id="S3.Ex10.m3.16.16.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex10.m3.16.16.2.3.3"><root id="S3.Ex10.m3.16.16.2.3.3a.cmml" xref="S3.Ex10.m3.16.16.2.3.3"></root><ci id="S3.Ex10.m3.16.16.2.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex10.m3.16.16.2.3.3.2">𝑑</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.cmml" xref="S3.Ex10.m3.16.16.2.1"><apply id="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.2.cmml" xref="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.2">subscript</csymbol><sum id="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.2.2"></sum><apply id="S3.Ex10.m3.11.11.3.cmml" xref="S3.Ex10.m3.11.11.3"><in id="S3.Ex10.m3.11.11.3.4.cmml" xref="S3.Ex10.m3.11.11.3.4"></in><list id="S3.Ex10.m3.11.11.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex10.m3.11.11.3.3.2"><apply id="S3.Ex10.m3.10.10.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex10.m3.10.10.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex10.m3.10.10.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex10.m3.10.10.2.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex10.m3.10.10.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex10.m3.10.10.2.2.1.1.2">𝑗</ci><ci id="S3.Ex10.m3.10.10.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex10.m3.10.10.2.2.1.1.3">′</ci></apply><apply id="S3.Ex10.m3.11.11.3.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex10.m3.11.11.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex10.m3.11.11.3.3.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex10.m3.11.11.3.3.2.2">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex10.m3.11.11.3.3.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex10.m3.11.11.3.3.2.2.2">𝑘</ci><ci id="S3.Ex10.m3.11.11.3.3.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex10.m3.11.11.3.3.2.2.3">′</ci></apply></list><apply id="S3.Ex10.m3.11.11.3.5.1.cmml" xref="S3.Ex10.m3.11.11.3.5.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex10.m3.11.11.3.5.1.1.cmml" xref="S3.Ex10.m3.11.11.3.5.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S3.Ex10.m3.9.9.1.1.cmml" xref="S3.Ex10.m3.9.9.1.1">𝑑</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.1"><times id="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.1.2"></times><apply id="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.1.3.2">𝐶</ci><list id="S3.Ex10.m3.14.14.3.4.cmml" xref="S3.Ex10.m3.14.14.3.3"><apply id="S3.Ex10.m3.13.13.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex10.m3.13.13.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex10.m3.13.13.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex10.m3.13.13.2.2.1">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex10.m3.13.13.2.2.1.2.cmml" xref="S3.Ex10.m3.13.13.2.2.1.2">𝑗</ci><ci id="S3.Ex10.m3.13.13.2.2.1.3.cmml" xref="S3.Ex10.m3.13.13.2.2.1.3">′</ci></apply><apply id="S3.Ex10.m3.14.14.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex10.m3.14.14.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex10.m3.14.14.3.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex10.m3.14.14.3.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex10.m3.14.14.3.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex10.m3.14.14.3.3.2.2">𝑘</ci><ci id="S3.Ex10.m3.14.14.3.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex10.m3.14.14.3.3.2.3">′</ci></apply><ci id="S3.Ex10.m3.12.12.1.1.cmml" xref="S3.Ex10.m3.12.12.1.1">𝑙</ci></list></apply><ci id="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.1.4">Tr</ci><apply id="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.1.1.1"><times id="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.1.1.1.1.2.2">𝑄</ci><ci id="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.1.1.1.1.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.1.1.1.1.3.2">𝑄</ci><apply id="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑘</ci><ci id="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.1.1.1.1.3.3.3">′</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.1.1.1.1.4.2">𝑃</ci><apply id="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.1.1.1.1.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.1.1.1.1.4.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.1.1.1.1.4.3.2">𝑗</ci><ci id="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.1.1.1.1.4.3.3.cmml" xref="S3.Ex10.m3.16.16.2.1.1.1.1.1.4.3.3">′</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex10.m3.16c">\displaystyle\frac{1}{\sqrt{d}}\sum_{j^{\prime},k^{\prime}\in[d]}C_{j^{\prime}% ,k^{\prime},l}{\rm Tr}(Q_{k}A^{*}_{j^{\prime},k^{\prime}})=\frac{1}{\sqrt{d}}% \sum_{j^{\prime},k^{\prime}\in[d]}C_{j^{\prime},k^{\prime},l}{\rm Tr}(Q_{k}Q_{% k^{\prime}}P_{j^{\prime}})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex10.m3.16d">divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG square-root start_ARG italic_d end_ARG end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_k start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ∈ [ italic_d ] end_POSTSUBSCRIPT italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_k start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_l end_POSTSUBSCRIPT roman_Tr ( italic_Q start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT italic_A start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_j start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_k start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ) = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG square-root start_ARG italic_d end_ARG end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_k start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ∈ [ italic_d ] end_POSTSUBSCRIPT italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_k start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_l end_POSTSUBSCRIPT roman_Tr ( italic_Q start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT italic_Q start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr> <tr class="ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex11.m1.1"><semantics id="S3.Ex11.m1.1a"><mo id="S3.Ex11.m1.1.1" xref="S3.Ex11.m1.1.1.cmml">=</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex11.m1.1b"><eq id="S3.Ex11.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.1.1"></eq></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex11.m1.1c">\displaystyle=</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex11.m1.1d">=</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\frac{1}{\sqrt{d}}\sum_{j^{\prime}\in[d]}C_{j^{\prime},k,l}{\rm Tr% }(Q_{k}P_{j^{\prime}})=\frac{1}{d\sqrt{d}}\sum_{j^{\prime}\in[d]}C_{j^{\prime}% ,k,l}=\frac{1}{d}," class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex11.m2.9"><semantics id="S3.Ex11.m2.9a"><mrow id="S3.Ex11.m2.9.9.1" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.3" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.3a" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.3.cmml"><mn id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><msqrt id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.3.3.2.cmml">d</mi></msqrt></mfrac></mstyle><mo id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.2" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.2.cmml"><munder id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.2a" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.2.2" movablelimits="false" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.Ex11.m2.1.1.1" xref="S3.Ex11.m2.1.1.1.cmml"><msup id="S3.Ex11.m2.1.1.1.3" xref="S3.Ex11.m2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex11.m2.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex11.m2.1.1.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex11.m2.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex11.m2.1.1.1.3.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.Ex11.m2.1.1.1.2" xref="S3.Ex11.m2.1.1.1.2.cmml">∈</mo><mrow id="S3.Ex11.m2.1.1.1.4.2" xref="S3.Ex11.m2.1.1.1.4.1.cmml"><mo id="S3.Ex11.m2.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex11.m2.1.1.1.4.1.1.cmml">[</mo><mi id="S3.Ex11.m2.1.1.1.1" xref="S3.Ex11.m2.1.1.1.1.cmml">d</mi><mo id="S3.Ex11.m2.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex11.m2.1.1.1.4.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></munder></mstyle><mrow id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.1.3.2.cmml">C</mi><mrow id="S3.Ex11.m2.4.4.3.3" xref="S3.Ex11.m2.4.4.3.4.cmml"><msup id="S3.Ex11.m2.4.4.3.3.1" xref="S3.Ex11.m2.4.4.3.3.1.cmml"><mi id="S3.Ex11.m2.4.4.3.3.1.2" xref="S3.Ex11.m2.4.4.3.3.1.2.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex11.m2.4.4.3.3.1.3" xref="S3.Ex11.m2.4.4.3.3.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.Ex11.m2.4.4.3.3.2" xref="S3.Ex11.m2.4.4.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex11.m2.2.2.1.1" xref="S3.Ex11.m2.2.2.1.1.cmml">k</mi><mo id="S3.Ex11.m2.4.4.3.3.3" xref="S3.Ex11.m2.4.4.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex11.m2.3.3.2.2" xref="S3.Ex11.m2.3.3.2.2.cmml">l</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.1.4" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.1.4.cmml">Tr</mi><mo id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.1.2a" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">Q</mi><mi id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">P</mi><msup id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">′</mo></msup></msub></mrow><mo id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.3" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.4" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.4.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.4.2" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.4.2.cmml"><mfrac id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.4.2a" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.4.2.cmml"><mn id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.4.2.2" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.4.2.2.cmml">1</mn><mrow id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.4.2.3" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.4.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.4.2.3.2" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.4.2.3.2.cmml">d</mi><mo id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.4.2.3.1" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.4.2.3.1.cmml">⁢</mo><msqrt id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.4.2.3.3" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.4.2.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.4.2.3.3.2" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.4.2.3.3.2.cmml">d</mi></msqrt></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.4.1" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.4.3" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.4.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.4.3.1" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.4.3.1.cmml"><munder id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.4.3.1a" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.4.3.1.cmml"><mo id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.4.3.1.2" movablelimits="false" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.4.3.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.Ex11.m2.5.5.1" xref="S3.Ex11.m2.5.5.1.cmml"><msup id="S3.Ex11.m2.5.5.1.3" xref="S3.Ex11.m2.5.5.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex11.m2.5.5.1.3.2" xref="S3.Ex11.m2.5.5.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex11.m2.5.5.1.3.3" xref="S3.Ex11.m2.5.5.1.3.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.Ex11.m2.5.5.1.2" xref="S3.Ex11.m2.5.5.1.2.cmml">∈</mo><mrow id="S3.Ex11.m2.5.5.1.4.2" xref="S3.Ex11.m2.5.5.1.4.1.cmml"><mo id="S3.Ex11.m2.5.5.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex11.m2.5.5.1.4.1.1.cmml">[</mo><mi id="S3.Ex11.m2.5.5.1.1" xref="S3.Ex11.m2.5.5.1.1.cmml">d</mi><mo id="S3.Ex11.m2.5.5.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex11.m2.5.5.1.4.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></munder></mstyle><msub id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.4.3.2" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.4.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.4.3.2.2" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.4.3.2.2.cmml">C</mi><mrow id="S3.Ex11.m2.8.8.3.3" xref="S3.Ex11.m2.8.8.3.4.cmml"><msup id="S3.Ex11.m2.8.8.3.3.1" xref="S3.Ex11.m2.8.8.3.3.1.cmml"><mi id="S3.Ex11.m2.8.8.3.3.1.2" xref="S3.Ex11.m2.8.8.3.3.1.2.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex11.m2.8.8.3.3.1.3" xref="S3.Ex11.m2.8.8.3.3.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.Ex11.m2.8.8.3.3.2" xref="S3.Ex11.m2.8.8.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex11.m2.6.6.1.1" xref="S3.Ex11.m2.6.6.1.1.cmml">k</mi><mo id="S3.Ex11.m2.8.8.3.3.3" xref="S3.Ex11.m2.8.8.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex11.m2.7.7.2.2" xref="S3.Ex11.m2.7.7.2.2.cmml">l</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mo id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.5" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.5.cmml">=</mo><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.6" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.6.cmml"><mfrac id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.6a" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.6.cmml"><mn id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.6.2" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.6.2.cmml">1</mn><mi id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.6.3" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.6.3.cmml">d</mi></mfrac></mstyle></mrow><mo id="S3.Ex11.m2.9.9.1.2" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex11.m2.9b"><apply id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.cmml" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1"><and id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1a.cmml" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1"></and><apply id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1b.cmml" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1"><eq id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.3"></eq><apply id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1"><times id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.2"></times><apply id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.3"><divide id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.3"></divide><cn id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.3.2">1</cn><apply id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.3.3"><root id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.3.3a.cmml" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.3.3"></root><ci id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.3.3.2">𝑑</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1"><apply id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.2.2"></sum><apply id="S3.Ex11.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex11.m2.1.1.1"><in id="S3.Ex11.m2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex11.m2.1.1.1.2"></in><apply id="S3.Ex11.m2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex11.m2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex11.m2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex11.m2.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex11.m2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex11.m2.1.1.1.3.2">𝑗</ci><ci id="S3.Ex11.m2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex11.m2.1.1.1.3.3">′</ci></apply><apply id="S3.Ex11.m2.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.Ex11.m2.1.1.1.4.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex11.m2.1.1.1.4.1.1.cmml" xref="S3.Ex11.m2.1.1.1.4.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S3.Ex11.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex11.m2.1.1.1.1">𝑑</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.1"><times id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.1.3.2">𝐶</ci><list id="S3.Ex11.m2.4.4.3.4.cmml" xref="S3.Ex11.m2.4.4.3.3"><apply id="S3.Ex11.m2.4.4.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex11.m2.4.4.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex11.m2.4.4.3.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex11.m2.4.4.3.3.1">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex11.m2.4.4.3.3.1.2.cmml" xref="S3.Ex11.m2.4.4.3.3.1.2">𝑗</ci><ci id="S3.Ex11.m2.4.4.3.3.1.3.cmml" xref="S3.Ex11.m2.4.4.3.3.1.3">′</ci></apply><ci id="S3.Ex11.m2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex11.m2.2.2.1.1">𝑘</ci><ci id="S3.Ex11.m2.3.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex11.m2.3.3.2.2">𝑙</ci></list></apply><ci id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.1.4">Tr</ci><apply id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑄</ci><ci id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑃</ci><apply id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑗</ci><ci id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">′</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.4"><times id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.4.1.cmml" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.4.1"></times><apply id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.4.2.cmml" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.4.2"><divide id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.4.2.1.cmml" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.4.2"></divide><cn id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.4.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.4.2.2">1</cn><apply id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.4.2.3.cmml" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.4.2.3"><times id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.4.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.4.2.3.1"></times><ci id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.4.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.4.2.3.2">𝑑</ci><apply id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.4.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.4.2.3.3"><root id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.4.2.3.3a.cmml" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.4.2.3.3"></root><ci id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.4.2.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.4.2.3.3.2">𝑑</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.4.3.cmml" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.4.3"><apply id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.4.3.1.cmml" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.4.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.4.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.4.3.1">subscript</csymbol><sum id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.4.3.1.2.cmml" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.4.3.1.2"></sum><apply id="S3.Ex11.m2.5.5.1.cmml" xref="S3.Ex11.m2.5.5.1"><in id="S3.Ex11.m2.5.5.1.2.cmml" xref="S3.Ex11.m2.5.5.1.2"></in><apply id="S3.Ex11.m2.5.5.1.3.cmml" xref="S3.Ex11.m2.5.5.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex11.m2.5.5.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex11.m2.5.5.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex11.m2.5.5.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex11.m2.5.5.1.3.2">𝑗</ci><ci id="S3.Ex11.m2.5.5.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex11.m2.5.5.1.3.3">′</ci></apply><apply id="S3.Ex11.m2.5.5.1.4.1.cmml" xref="S3.Ex11.m2.5.5.1.4.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex11.m2.5.5.1.4.1.1.cmml" xref="S3.Ex11.m2.5.5.1.4.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S3.Ex11.m2.5.5.1.1.cmml" xref="S3.Ex11.m2.5.5.1.1">𝑑</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.4.3.2.cmml" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.4.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.4.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.4.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.4.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.4.3.2.2">𝐶</ci><list id="S3.Ex11.m2.8.8.3.4.cmml" xref="S3.Ex11.m2.8.8.3.3"><apply id="S3.Ex11.m2.8.8.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex11.m2.8.8.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex11.m2.8.8.3.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex11.m2.8.8.3.3.1">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex11.m2.8.8.3.3.1.2.cmml" xref="S3.Ex11.m2.8.8.3.3.1.2">𝑗</ci><ci id="S3.Ex11.m2.8.8.3.3.1.3.cmml" xref="S3.Ex11.m2.8.8.3.3.1.3">′</ci></apply><ci id="S3.Ex11.m2.6.6.1.1.cmml" xref="S3.Ex11.m2.6.6.1.1">𝑘</ci><ci id="S3.Ex11.m2.7.7.2.2.cmml" xref="S3.Ex11.m2.7.7.2.2">𝑙</ci></list></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1c.cmml" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1"><eq id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.5.cmml" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#S3.Ex11.m2.9.9.1.1.4.cmml" id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1d.cmml" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1"></share><apply id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.6.cmml" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.6"><divide id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.6.1.cmml" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.6"></divide><cn id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.6.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.6.2">1</cn><ci id="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.6.3.cmml" xref="S3.Ex11.m2.9.9.1.1.6.3">𝑑</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex11.m2.9c">\displaystyle\frac{1}{\sqrt{d}}\sum_{j^{\prime}\in[d]}C_{j^{\prime},k,l}{\rm Tr% }(Q_{k}P_{j^{\prime}})=\frac{1}{d\sqrt{d}}\sum_{j^{\prime}\in[d]}C_{j^{\prime}% ,k,l}=\frac{1}{d},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex11.m2.9d">divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG square-root start_ARG italic_d end_ARG end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ∈ [ italic_d ] end_POSTSUBSCRIPT italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_k , italic_l end_POSTSUBSCRIPT roman_Tr ( italic_Q start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ) = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_d square-root start_ARG italic_d end_ARG end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ∈ [ italic_d ] end_POSTSUBSCRIPT italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_k , italic_l end_POSTSUBSCRIPT = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_d end_ARG ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr> </tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.10.p4.8">where the last equality follows by assumption (iv’). Similar computation shows that <math alttext="{\rm Tr}(P_{k}R_{l})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.10.p4.6.m1.1"><semantics id="S3.10.p4.6.m1.1a"><mrow id="S3.10.p4.6.m1.1.1" xref="S3.10.p4.6.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.10.p4.6.m1.1.1.3" xref="S3.10.p4.6.m1.1.1.3.cmml">Tr</mi><mo id="S3.10.p4.6.m1.1.1.2" xref="S3.10.p4.6.m1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.10.p4.6.m1.1.1.1.1" xref="S3.10.p4.6.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.10.p4.6.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.10.p4.6.m1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.10.p4.6.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.10.p4.6.m1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.10.p4.6.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.10.p4.6.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.10.p4.6.m1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.10.p4.6.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">P</mi><mi id="S3.10.p4.6.m1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.10.p4.6.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.10.p4.6.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.10.p4.6.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.10.p4.6.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.10.p4.6.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.10.p4.6.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.10.p4.6.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">R</mi><mi id="S3.10.p4.6.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.10.p4.6.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">l</mi></msub></mrow><mo id="S3.10.p4.6.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.10.p4.6.m1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.10.p4.6.m1.1b"><apply id="S3.10.p4.6.m1.1.1.cmml" xref="S3.10.p4.6.m1.1.1"><times id="S3.10.p4.6.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.10.p4.6.m1.1.1.2"></times><ci id="S3.10.p4.6.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.10.p4.6.m1.1.1.3">Tr</ci><apply id="S3.10.p4.6.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.10.p4.6.m1.1.1.1.1"><times id="S3.10.p4.6.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.10.p4.6.m1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S3.10.p4.6.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.10.p4.6.m1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.10.p4.6.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.10.p4.6.m1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.10.p4.6.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.10.p4.6.m1.1.1.1.1.1.2.2">𝑃</ci><ci id="S3.10.p4.6.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.10.p4.6.m1.1.1.1.1.1.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S3.10.p4.6.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.10.p4.6.m1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.10.p4.6.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.10.p4.6.m1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.10.p4.6.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.10.p4.6.m1.1.1.1.1.1.3.2">𝑅</ci><ci id="S3.10.p4.6.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.10.p4.6.m1.1.1.1.1.1.3.3">𝑙</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.10.p4.6.m1.1c">{\rm Tr}(P_{k}R_{l})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.10.p4.6.m1.1d">roman_Tr ( italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> is also equal to <math alttext="1/d" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.10.p4.7.m2.1"><semantics id="S3.10.p4.7.m2.1a"><mrow id="S3.10.p4.7.m2.1.1" xref="S3.10.p4.7.m2.1.1.cmml"><mn id="S3.10.p4.7.m2.1.1.2" xref="S3.10.p4.7.m2.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S3.10.p4.7.m2.1.1.1" xref="S3.10.p4.7.m2.1.1.1.cmml">/</mo><mi id="S3.10.p4.7.m2.1.1.3" xref="S3.10.p4.7.m2.1.1.3.cmml">d</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.10.p4.7.m2.1b"><apply id="S3.10.p4.7.m2.1.1.cmml" xref="S3.10.p4.7.m2.1.1"><divide id="S3.10.p4.7.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.10.p4.7.m2.1.1.1"></divide><cn id="S3.10.p4.7.m2.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S3.10.p4.7.m2.1.1.2">1</cn><ci id="S3.10.p4.7.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.10.p4.7.m2.1.1.3">𝑑</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.10.p4.7.m2.1c">1/d</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.10.p4.7.m2.1d">1 / italic_d</annotation></semantics></math>. Therefore, point <math alttext="(b)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.10.p4.8.m3.1"><semantics id="S3.10.p4.8.m3.1a"><mrow id="S3.10.p4.8.m3.1.2.2"><mo id="S3.10.p4.8.m3.1.2.2.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S3.10.p4.8.m3.1.1" xref="S3.10.p4.8.m3.1.1.cmml">b</mi><mo id="S3.10.p4.8.m3.1.2.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.10.p4.8.m3.1b"><ci id="S3.10.p4.8.m3.1.1.cmml" xref="S3.10.p4.8.m3.1.1">𝑏</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.10.p4.8.m3.1c">(b)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.10.p4.8.m3.1d">( italic_b )</annotation></semantics></math> above is also satisfied.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.11.p5"> <p class="ltx_p" id="S3.11.p5.3">Since we have the coefficients of <math alttext="R_{l}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.11.p5.1.m1.1"><semantics id="S3.11.p5.1.m1.1a"><msub id="S3.11.p5.1.m1.1.1" xref="S3.11.p5.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.11.p5.1.m1.1.1.2" xref="S3.11.p5.1.m1.1.1.2.cmml">R</mi><mi id="S3.11.p5.1.m1.1.1.3" xref="S3.11.p5.1.m1.1.1.3.cmml">l</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.11.p5.1.m1.1b"><apply id="S3.11.p5.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.11.p5.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.11.p5.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.11.p5.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.11.p5.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.11.p5.1.m1.1.1.2">𝑅</ci><ci id="S3.11.p5.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.11.p5.1.m1.1.1.3">𝑙</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.11.p5.1.m1.1c">R_{l}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.11.p5.1.m1.1d">italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> <math alttext="R_{l^{\prime}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.11.p5.2.m2.1"><semantics id="S3.11.p5.2.m2.1a"><msub id="S3.11.p5.2.m2.1.1" xref="S3.11.p5.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.11.p5.2.m2.1.1.2" xref="S3.11.p5.2.m2.1.1.2.cmml">R</mi><msup id="S3.11.p5.2.m2.1.1.3" xref="S3.11.p5.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.11.p5.2.m2.1.1.3.2" xref="S3.11.p5.2.m2.1.1.3.2.cmml">l</mi><mo id="S3.11.p5.2.m2.1.1.3.3" xref="S3.11.p5.2.m2.1.1.3.3.cmml">′</mo></msup></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.11.p5.2.m2.1b"><apply id="S3.11.p5.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.11.p5.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.11.p5.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.11.p5.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.11.p5.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.11.p5.2.m2.1.1.2">𝑅</ci><apply id="S3.11.p5.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.11.p5.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.11.p5.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.11.p5.2.m2.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.11.p5.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.11.p5.2.m2.1.1.3.2">𝑙</ci><ci id="S3.11.p5.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S3.11.p5.2.m2.1.1.3.3">′</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.11.p5.2.m2.1c">R_{l^{\prime}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.11.p5.2.m2.1d">italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_l start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> in an orthogonal basis of <math alttext="M_{d}(\mathbb{C})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.11.p5.3.m3.1"><semantics id="S3.11.p5.3.m3.1a"><mrow id="S3.11.p5.3.m3.1.2" xref="S3.11.p5.3.m3.1.2.cmml"><msub id="S3.11.p5.3.m3.1.2.2" xref="S3.11.p5.3.m3.1.2.2.cmml"><mi id="S3.11.p5.3.m3.1.2.2.2" xref="S3.11.p5.3.m3.1.2.2.2.cmml">M</mi><mi id="S3.11.p5.3.m3.1.2.2.3" xref="S3.11.p5.3.m3.1.2.2.3.cmml">d</mi></msub><mo id="S3.11.p5.3.m3.1.2.1" xref="S3.11.p5.3.m3.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.11.p5.3.m3.1.2.3.2" xref="S3.11.p5.3.m3.1.2.cmml"><mo id="S3.11.p5.3.m3.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.11.p5.3.m3.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.11.p5.3.m3.1.1" xref="S3.11.p5.3.m3.1.1.cmml">ℂ</mi><mo id="S3.11.p5.3.m3.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.11.p5.3.m3.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.11.p5.3.m3.1b"><apply id="S3.11.p5.3.m3.1.2.cmml" xref="S3.11.p5.3.m3.1.2"><times id="S3.11.p5.3.m3.1.2.1.cmml" xref="S3.11.p5.3.m3.1.2.1"></times><apply id="S3.11.p5.3.m3.1.2.2.cmml" xref="S3.11.p5.3.m3.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.11.p5.3.m3.1.2.2.1.cmml" xref="S3.11.p5.3.m3.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.11.p5.3.m3.1.2.2.2.cmml" xref="S3.11.p5.3.m3.1.2.2.2">𝑀</ci><ci id="S3.11.p5.3.m3.1.2.2.3.cmml" xref="S3.11.p5.3.m3.1.2.2.3">𝑑</ci></apply><ci id="S3.11.p5.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.11.p5.3.m3.1.1">ℂ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.11.p5.3.m3.1c">M_{d}(\mathbb{C})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.11.p5.3.m3.1d">italic_M start_POSTSUBSCRIPT italic_d end_POSTSUBSCRIPT ( blackboard_C )</annotation></semantics></math>, it is easy to compute the Hilbert-Schmidt product:</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex12"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\langle R_{l},R_{l^{\prime}}\rangle_{H}=\frac{1}{d^{2}}\sum_{j,k}\overline{C}_% {j,k,l}C_{j,k,l^{\prime}}=\delta_{l,l^{\prime}}," class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex12.m1.11"><semantics id="S3.Ex12.m1.11a"><mrow id="S3.Ex12.m1.11.11.1" xref="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex12.m1.11.11.1.1" xref="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.2" xref="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.2.cmml"><mrow id="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.2.2.3.cmml">⟨</mo><msub id="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.2.cmml">R</mi><mi id="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.3.cmml">l</mi></msub><mo id="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.2.2.2.4" xref="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.2.2.2.2" xref="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.2.2.2.2.2.cmml">R</mi><msup id="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.2.2.2.2.3" xref="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.2.2.2.2.3.2" xref="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.2.2.2.2.3.3" xref="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.2.2.2.2.3.3.cmml">′</mo></msup></msub><mo id="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.2.2.3.cmml">⟩</mo></mrow><mi id="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.2.4" xref="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.2.4.cmml">H</mi></msub><mo id="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.4" xref="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.4.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.5" xref="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.5.cmml"><mfrac id="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.5.2" xref="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.5.2.cmml"><mn id="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.5.2.2" xref="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.5.2.2.cmml">1</mn><msup id="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.5.2.3" xref="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.5.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.5.2.3.2" xref="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.5.2.3.2.cmml">d</mi><mn id="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.5.2.3.3" xref="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.5.2.3.3.cmml">2</mn></msup></mfrac><mo id="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.5.1" xref="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.5.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.5.3" xref="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.5.3.cmml"><munder id="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.5.3.1" xref="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.5.3.1.cmml"><mo id="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.5.3.1.2" movablelimits="false" xref="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.5.3.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.Ex12.m1.2.2.2.4" xref="S3.Ex12.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex12.m1.1.1.1.1.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex12.m1.2.2.2.4.1" xref="S3.Ex12.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex12.m1.2.2.2.2" xref="S3.Ex12.m1.2.2.2.2.cmml">k</mi></mrow></munder><mrow id="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.5.3.2" xref="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.5.3.2.cmml"><msub id="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.5.3.2.2" xref="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.5.3.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.5.3.2.2.2" xref="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.5.3.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.5.3.2.2.2.2" xref="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.5.3.2.2.2.2.cmml">C</mi><mo id="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.5.3.2.2.2.1" xref="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.5.3.2.2.2.1.cmml">¯</mo></mover><mrow id="S3.Ex12.m1.5.5.3.5" xref="S3.Ex12.m1.5.5.3.4.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.3.3.1.1" xref="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex12.m1.5.5.3.5.1" xref="S3.Ex12.m1.5.5.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex12.m1.4.4.2.2" xref="S3.Ex12.m1.4.4.2.2.cmml">k</mi><mo id="S3.Ex12.m1.5.5.3.5.2" xref="S3.Ex12.m1.5.5.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex12.m1.5.5.3.3" xref="S3.Ex12.m1.5.5.3.3.cmml">l</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.5.3.2.1" xref="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.5.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.5.3.2.3" xref="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.5.3.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.5.3.2.3.2" xref="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.5.3.2.3.2.cmml">C</mi><mrow id="S3.Ex12.m1.8.8.3.3" xref="S3.Ex12.m1.8.8.3.4.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.6.6.1.1" xref="S3.Ex12.m1.6.6.1.1.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex12.m1.8.8.3.3.2" xref="S3.Ex12.m1.8.8.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex12.m1.7.7.2.2" xref="S3.Ex12.m1.7.7.2.2.cmml">k</mi><mo id="S3.Ex12.m1.8.8.3.3.3" xref="S3.Ex12.m1.8.8.3.4.cmml">,</mo><msup id="S3.Ex12.m1.8.8.3.3.1" xref="S3.Ex12.m1.8.8.3.3.1.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.8.8.3.3.1.2" xref="S3.Ex12.m1.8.8.3.3.1.2.cmml">l</mi><mo id="S3.Ex12.m1.8.8.3.3.1.3" xref="S3.Ex12.m1.8.8.3.3.1.3.cmml">′</mo></msup></mrow></msub></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.6" xref="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.6.cmml">=</mo><msub id="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.7" xref="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.7.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.7.2" xref="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.7.2.cmml">δ</mi><mrow id="S3.Ex12.m1.10.10.2.2" xref="S3.Ex12.m1.10.10.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.cmml">l</mi><mo id="S3.Ex12.m1.10.10.2.2.2" xref="S3.Ex12.m1.10.10.2.3.cmml">,</mo><msup id="S3.Ex12.m1.10.10.2.2.1" xref="S3.Ex12.m1.10.10.2.2.1.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.10.10.2.2.1.2" xref="S3.Ex12.m1.10.10.2.2.1.2.cmml">l</mi><mo id="S3.Ex12.m1.10.10.2.2.1.3" xref="S3.Ex12.m1.10.10.2.2.1.3.cmml">′</mo></msup></mrow></msub></mrow><mo id="S3.Ex12.m1.11.11.1.2" xref="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex12.m1.11b"><apply id="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.11.11.1"><and id="S3.Ex12.m1.11.11.1.1a.cmml" xref="S3.Ex12.m1.11.11.1"></and><apply id="S3.Ex12.m1.11.11.1.1b.cmml" xref="S3.Ex12.m1.11.11.1"><eq id="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.4"></eq><apply id="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.2">subscript</csymbol><list id="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.2.2.2"><apply id="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.2">𝑅</ci><ci id="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.3">𝑙</ci></apply><apply id="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.2.2.2.2.2">𝑅</ci><apply id="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.2.2.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.2.2.2.2.3.2">𝑙</ci><ci id="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.2.2.2.2.3.3">′</ci></apply></apply></list><ci id="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.2.4.cmml" xref="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.2.4">𝐻</ci></apply><apply id="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.5.cmml" xref="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.5"><times id="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.5.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.5.1"></times><apply id="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.5.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.5.2"><divide id="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.5.2.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.5.2"></divide><cn id="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.5.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.5.2.2">1</cn><apply id="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.5.2.3.cmml" xref="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.5.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.5.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.5.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.5.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.5.2.3.2">𝑑</ci><cn id="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.5.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.5.2.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.5.3.cmml" xref="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.5.3"><apply id="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.5.3.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.5.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.5.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.5.3.1">subscript</csymbol><sum id="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.5.3.1.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.5.3.1.2"></sum><list id="S3.Ex12.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex12.m1.2.2.2.4"><ci id="S3.Ex12.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.1.1.1.1">𝑗</ci><ci id="S3.Ex12.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.2.2.2.2">𝑘</ci></list></apply><apply id="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.5.3.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.5.3.2"><times id="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.5.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.5.3.2.1"></times><apply id="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.5.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.5.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.5.3.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.5.3.2.2">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.5.3.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.5.3.2.2.2"><ci id="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.5.3.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.5.3.2.2.2.1">¯</ci><ci id="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.5.3.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.5.3.2.2.2.2">𝐶</ci></apply><list id="S3.Ex12.m1.5.5.3.4.cmml" xref="S3.Ex12.m1.5.5.3.5"><ci id="S3.Ex12.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.3.3.1.1">𝑗</ci><ci id="S3.Ex12.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.4.4.2.2">𝑘</ci><ci id="S3.Ex12.m1.5.5.3.3.cmml" xref="S3.Ex12.m1.5.5.3.3">𝑙</ci></list></apply><apply id="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.5.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.5.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.5.3.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.5.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.5.3.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.5.3.2.3.2">𝐶</ci><list id="S3.Ex12.m1.8.8.3.4.cmml" xref="S3.Ex12.m1.8.8.3.3"><ci id="S3.Ex12.m1.6.6.1.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.6.6.1.1">𝑗</ci><ci id="S3.Ex12.m1.7.7.2.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.7.7.2.2">𝑘</ci><apply id="S3.Ex12.m1.8.8.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.8.8.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex12.m1.8.8.3.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.8.8.3.3.1">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex12.m1.8.8.3.3.1.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.8.8.3.3.1.2">𝑙</ci><ci id="S3.Ex12.m1.8.8.3.3.1.3.cmml" xref="S3.Ex12.m1.8.8.3.3.1.3">′</ci></apply></list></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex12.m1.11.11.1.1c.cmml" xref="S3.Ex12.m1.11.11.1"><eq id="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.6.cmml" xref="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.6"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#S3.Ex12.m1.11.11.1.1.5.cmml" id="S3.Ex12.m1.11.11.1.1d.cmml" xref="S3.Ex12.m1.11.11.1"></share><apply id="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.7.cmml" xref="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.7"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.7.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.7">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.7.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.11.11.1.1.7.2">𝛿</ci><list id="S3.Ex12.m1.10.10.2.3.cmml" xref="S3.Ex12.m1.10.10.2.2"><ci id="S3.Ex12.m1.9.9.1.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.9.9.1.1">𝑙</ci><apply id="S3.Ex12.m1.10.10.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.10.10.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex12.m1.10.10.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.10.10.2.2.1">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex12.m1.10.10.2.2.1.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.10.10.2.2.1.2">𝑙</ci><ci id="S3.Ex12.m1.10.10.2.2.1.3.cmml" xref="S3.Ex12.m1.10.10.2.2.1.3">′</ci></apply></list></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex12.m1.11c">\langle R_{l},R_{l^{\prime}}\rangle_{H}=\frac{1}{d^{2}}\sum_{j,k}\overline{C}_% {j,k,l}C_{j,k,l^{\prime}}=\delta_{l,l^{\prime}},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex12.m1.11d">⟨ italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT , italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_l start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ⟩ start_POSTSUBSCRIPT italic_H end_POSTSUBSCRIPT = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_d start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k end_POSTSUBSCRIPT over¯ start_ARG italic_C end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k , italic_l end_POSTSUBSCRIPT italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k , italic_l start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT = italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_l , italic_l start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.11.p5.7">where we have used assumptions (i’) and (ii’). Thus, <math alttext="{\rm Tr}(R_{l}^{*}R_{l^{\prime}})=\delta_{l,l^{\prime}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.11.p5.4.m1.3"><semantics id="S3.11.p5.4.m1.3a"><mrow id="S3.11.p5.4.m1.3.3" xref="S3.11.p5.4.m1.3.3.cmml"><mrow id="S3.11.p5.4.m1.3.3.1" xref="S3.11.p5.4.m1.3.3.1.cmml"><mi id="S3.11.p5.4.m1.3.3.1.3" xref="S3.11.p5.4.m1.3.3.1.3.cmml">Tr</mi><mo id="S3.11.p5.4.m1.3.3.1.2" xref="S3.11.p5.4.m1.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.11.p5.4.m1.3.3.1.1.1" xref="S3.11.p5.4.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.11.p5.4.m1.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.11.p5.4.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.11.p5.4.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S3.11.p5.4.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S3.11.p5.4.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S3.11.p5.4.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.11.p5.4.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.11.p5.4.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2.cmml">R</mi><mi id="S3.11.p5.4.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.11.p5.4.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3.cmml">l</mi><mo id="S3.11.p5.4.m1.3.3.1.1.1.1.2.3" xref="S3.11.p5.4.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="S3.11.p5.4.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S3.11.p5.4.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.11.p5.4.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="S3.11.p5.4.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.11.p5.4.m1.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="S3.11.p5.4.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml">R</mi><msup id="S3.11.p5.4.m1.3.3.1.1.1.1.3.3" xref="S3.11.p5.4.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.11.p5.4.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.11.p5.4.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="S3.11.p5.4.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.11.p5.4.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.3.cmml">′</mo></msup></msub></mrow><mo id="S3.11.p5.4.m1.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.11.p5.4.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.11.p5.4.m1.3.3.2" xref="S3.11.p5.4.m1.3.3.2.cmml">=</mo><msub id="S3.11.p5.4.m1.3.3.3" xref="S3.11.p5.4.m1.3.3.3.cmml"><mi id="S3.11.p5.4.m1.3.3.3.2" xref="S3.11.p5.4.m1.3.3.3.2.cmml">δ</mi><mrow id="S3.11.p5.4.m1.2.2.2.2" xref="S3.11.p5.4.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.11.p5.4.m1.1.1.1.1" xref="S3.11.p5.4.m1.1.1.1.1.cmml">l</mi><mo id="S3.11.p5.4.m1.2.2.2.2.2" xref="S3.11.p5.4.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><msup id="S3.11.p5.4.m1.2.2.2.2.1" xref="S3.11.p5.4.m1.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="S3.11.p5.4.m1.2.2.2.2.1.2" xref="S3.11.p5.4.m1.2.2.2.2.1.2.cmml">l</mi><mo id="S3.11.p5.4.m1.2.2.2.2.1.3" xref="S3.11.p5.4.m1.2.2.2.2.1.3.cmml">′</mo></msup></mrow></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.11.p5.4.m1.3b"><apply id="S3.11.p5.4.m1.3.3.cmml" xref="S3.11.p5.4.m1.3.3"><eq id="S3.11.p5.4.m1.3.3.2.cmml" xref="S3.11.p5.4.m1.3.3.2"></eq><apply id="S3.11.p5.4.m1.3.3.1.cmml" xref="S3.11.p5.4.m1.3.3.1"><times id="S3.11.p5.4.m1.3.3.1.2.cmml" xref="S3.11.p5.4.m1.3.3.1.2"></times><ci id="S3.11.p5.4.m1.3.3.1.3.cmml" xref="S3.11.p5.4.m1.3.3.1.3">Tr</ci><apply id="S3.11.p5.4.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.11.p5.4.m1.3.3.1.1.1"><times id="S3.11.p5.4.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.11.p5.4.m1.3.3.1.1.1.1.1"></times><apply id="S3.11.p5.4.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.11.p5.4.m1.3.3.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.11.p5.4.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.11.p5.4.m1.3.3.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S3.11.p5.4.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.11.p5.4.m1.3.3.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.11.p5.4.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.11.p5.4.m1.3.3.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.11.p5.4.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.11.p5.4.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2">𝑅</ci><ci id="S3.11.p5.4.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.11.p5.4.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3">𝑙</ci></apply><times id="S3.11.p5.4.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.11.p5.4.m1.3.3.1.1.1.1.2.3"></times></apply><apply id="S3.11.p5.4.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.11.p5.4.m1.3.3.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.11.p5.4.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.11.p5.4.m1.3.3.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.11.p5.4.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.11.p5.4.m1.3.3.1.1.1.1.3.2">𝑅</ci><apply id="S3.11.p5.4.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.11.p5.4.m1.3.3.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.11.p5.4.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.11.p5.4.m1.3.3.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S3.11.p5.4.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.11.p5.4.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.2">𝑙</ci><ci id="S3.11.p5.4.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.11.p5.4.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.3">′</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.11.p5.4.m1.3.3.3.cmml" xref="S3.11.p5.4.m1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.11.p5.4.m1.3.3.3.1.cmml" xref="S3.11.p5.4.m1.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.11.p5.4.m1.3.3.3.2.cmml" xref="S3.11.p5.4.m1.3.3.3.2">𝛿</ci><list id="S3.11.p5.4.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.11.p5.4.m1.2.2.2.2"><ci id="S3.11.p5.4.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.11.p5.4.m1.1.1.1.1">𝑙</ci><apply id="S3.11.p5.4.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.11.p5.4.m1.2.2.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.11.p5.4.m1.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.11.p5.4.m1.2.2.2.2.1">superscript</csymbol><ci id="S3.11.p5.4.m1.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S3.11.p5.4.m1.2.2.2.2.1.2">𝑙</ci><ci id="S3.11.p5.4.m1.2.2.2.2.1.3.cmml" xref="S3.11.p5.4.m1.2.2.2.2.1.3">′</ci></apply></list></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.11.p5.4.m1.3c">{\rm Tr}(R_{l}^{*}R_{l^{\prime}})=\delta_{l,l^{\prime}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.11.p5.4.m1.3d">roman_Tr ( italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_l start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ) = italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_l , italic_l start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>; which is almost what point <math alttext="(a)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.11.p5.5.m2.1"><semantics id="S3.11.p5.5.m2.1a"><mrow id="S3.11.p5.5.m2.1.2.2"><mo id="S3.11.p5.5.m2.1.2.2.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S3.11.p5.5.m2.1.1" xref="S3.11.p5.5.m2.1.1.cmml">a</mi><mo id="S3.11.p5.5.m2.1.2.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.11.p5.5.m2.1b"><ci id="S3.11.p5.5.m2.1.1.cmml" xref="S3.11.p5.5.m2.1.1">𝑎</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.11.p5.5.m2.1c">(a)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.11.p5.5.m2.1d">( italic_a )</annotation></semantics></math> asks for. What remains to be shown is that each <math alttext="R_{l}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.11.p5.6.m3.1"><semantics id="S3.11.p5.6.m3.1a"><msub id="S3.11.p5.6.m3.1.1" xref="S3.11.p5.6.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.11.p5.6.m3.1.1.2" xref="S3.11.p5.6.m3.1.1.2.cmml">R</mi><mi id="S3.11.p5.6.m3.1.1.3" xref="S3.11.p5.6.m3.1.1.3.cmml">l</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.11.p5.6.m3.1b"><apply id="S3.11.p5.6.m3.1.1.cmml" xref="S3.11.p5.6.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.11.p5.6.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.11.p5.6.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.11.p5.6.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.11.p5.6.m3.1.1.2">𝑅</ci><ci id="S3.11.p5.6.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.11.p5.6.m3.1.1.3">𝑙</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.11.p5.6.m3.1c">R_{l}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.11.p5.6.m3.1d">italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is in fact an orthogonal projection; i.e. that <math alttext="R_{l}^{*}=R_{l}=R_{l}^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.11.p5.7.m4.1"><semantics id="S3.11.p5.7.m4.1a"><mrow id="S3.11.p5.7.m4.1.1" xref="S3.11.p5.7.m4.1.1.cmml"><msubsup id="S3.11.p5.7.m4.1.1.2" xref="S3.11.p5.7.m4.1.1.2.cmml"><mi id="S3.11.p5.7.m4.1.1.2.2.2" xref="S3.11.p5.7.m4.1.1.2.2.2.cmml">R</mi><mi id="S3.11.p5.7.m4.1.1.2.2.3" xref="S3.11.p5.7.m4.1.1.2.2.3.cmml">l</mi><mo id="S3.11.p5.7.m4.1.1.2.3" xref="S3.11.p5.7.m4.1.1.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="S3.11.p5.7.m4.1.1.3" xref="S3.11.p5.7.m4.1.1.3.cmml">=</mo><msub id="S3.11.p5.7.m4.1.1.4" xref="S3.11.p5.7.m4.1.1.4.cmml"><mi id="S3.11.p5.7.m4.1.1.4.2" xref="S3.11.p5.7.m4.1.1.4.2.cmml">R</mi><mi id="S3.11.p5.7.m4.1.1.4.3" xref="S3.11.p5.7.m4.1.1.4.3.cmml">l</mi></msub><mo id="S3.11.p5.7.m4.1.1.5" xref="S3.11.p5.7.m4.1.1.5.cmml">=</mo><msubsup id="S3.11.p5.7.m4.1.1.6" xref="S3.11.p5.7.m4.1.1.6.cmml"><mi id="S3.11.p5.7.m4.1.1.6.2.2" xref="S3.11.p5.7.m4.1.1.6.2.2.cmml">R</mi><mi id="S3.11.p5.7.m4.1.1.6.2.3" xref="S3.11.p5.7.m4.1.1.6.2.3.cmml">l</mi><mn id="S3.11.p5.7.m4.1.1.6.3" xref="S3.11.p5.7.m4.1.1.6.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.11.p5.7.m4.1b"><apply id="S3.11.p5.7.m4.1.1.cmml" xref="S3.11.p5.7.m4.1.1"><and id="S3.11.p5.7.m4.1.1a.cmml" xref="S3.11.p5.7.m4.1.1"></and><apply id="S3.11.p5.7.m4.1.1b.cmml" xref="S3.11.p5.7.m4.1.1"><eq id="S3.11.p5.7.m4.1.1.3.cmml" xref="S3.11.p5.7.m4.1.1.3"></eq><apply id="S3.11.p5.7.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.11.p5.7.m4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.11.p5.7.m4.1.1.2.1.cmml" xref="S3.11.p5.7.m4.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S3.11.p5.7.m4.1.1.2.2.cmml" xref="S3.11.p5.7.m4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.11.p5.7.m4.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.11.p5.7.m4.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.11.p5.7.m4.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.11.p5.7.m4.1.1.2.2.2">𝑅</ci><ci id="S3.11.p5.7.m4.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.11.p5.7.m4.1.1.2.2.3">𝑙</ci></apply><times id="S3.11.p5.7.m4.1.1.2.3.cmml" xref="S3.11.p5.7.m4.1.1.2.3"></times></apply><apply id="S3.11.p5.7.m4.1.1.4.cmml" xref="S3.11.p5.7.m4.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.11.p5.7.m4.1.1.4.1.cmml" xref="S3.11.p5.7.m4.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S3.11.p5.7.m4.1.1.4.2.cmml" xref="S3.11.p5.7.m4.1.1.4.2">𝑅</ci><ci id="S3.11.p5.7.m4.1.1.4.3.cmml" xref="S3.11.p5.7.m4.1.1.4.3">𝑙</ci></apply></apply><apply id="S3.11.p5.7.m4.1.1c.cmml" xref="S3.11.p5.7.m4.1.1"><eq id="S3.11.p5.7.m4.1.1.5.cmml" xref="S3.11.p5.7.m4.1.1.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#S3.11.p5.7.m4.1.1.4.cmml" id="S3.11.p5.7.m4.1.1d.cmml" xref="S3.11.p5.7.m4.1.1"></share><apply id="S3.11.p5.7.m4.1.1.6.cmml" xref="S3.11.p5.7.m4.1.1.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.11.p5.7.m4.1.1.6.1.cmml" xref="S3.11.p5.7.m4.1.1.6">superscript</csymbol><apply id="S3.11.p5.7.m4.1.1.6.2.cmml" xref="S3.11.p5.7.m4.1.1.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.11.p5.7.m4.1.1.6.2.1.cmml" xref="S3.11.p5.7.m4.1.1.6">subscript</csymbol><ci id="S3.11.p5.7.m4.1.1.6.2.2.cmml" xref="S3.11.p5.7.m4.1.1.6.2.2">𝑅</ci><ci id="S3.11.p5.7.m4.1.1.6.2.3.cmml" xref="S3.11.p5.7.m4.1.1.6.2.3">𝑙</ci></apply><cn id="S3.11.p5.7.m4.1.1.6.3.cmml" type="integer" xref="S3.11.p5.7.m4.1.1.6.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.11.p5.7.m4.1c">R_{l}^{*}=R_{l}=R_{l}^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.11.p5.7.m4.1d">italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT = italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT = italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. In order to proceed, let us note that</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_eqnarray ltx_eqn_table" id="S4.EGx3"> <tbody id="S3.Ex14"> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle A_{j,k}A_{j^{\prime},k^{\prime}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex13.m1.4"><semantics id="S3.Ex13.m1.4a"><mrow id="S3.Ex13.m1.4.5" xref="S3.Ex13.m1.4.5.cmml"><msub id="S3.Ex13.m1.4.5.2" xref="S3.Ex13.m1.4.5.2.cmml"><mi id="S3.Ex13.m1.4.5.2.2" xref="S3.Ex13.m1.4.5.2.2.cmml">A</mi><mrow id="S3.Ex13.m1.2.2.2.4" xref="S3.Ex13.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex13.m1.2.2.2.4.1" xref="S3.Ex13.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex13.m1.2.2.2.2" xref="S3.Ex13.m1.2.2.2.2.cmml">k</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex13.m1.4.5.1" xref="S3.Ex13.m1.4.5.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex13.m1.4.5.3" xref="S3.Ex13.m1.4.5.3.cmml"><mi id="S3.Ex13.m1.4.5.3.2" xref="S3.Ex13.m1.4.5.3.2.cmml">A</mi><mrow id="S3.Ex13.m1.4.4.2.2" xref="S3.Ex13.m1.4.4.2.3.cmml"><msup id="S3.Ex13.m1.3.3.1.1.1" xref="S3.Ex13.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex13.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S3.Ex13.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex13.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S3.Ex13.m1.3.3.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.Ex13.m1.4.4.2.2.3" xref="S3.Ex13.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><msup id="S3.Ex13.m1.4.4.2.2.2" xref="S3.Ex13.m1.4.4.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex13.m1.4.4.2.2.2.2" xref="S3.Ex13.m1.4.4.2.2.2.2.cmml">k</mi><mo id="S3.Ex13.m1.4.4.2.2.2.3" xref="S3.Ex13.m1.4.4.2.2.2.3.cmml">′</mo></msup></mrow></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex13.m1.4b"><apply id="S3.Ex13.m1.4.5.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.5"><times id="S3.Ex13.m1.4.5.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.5.1"></times><apply id="S3.Ex13.m1.4.5.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex13.m1.4.5.2.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.5.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex13.m1.4.5.2.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.5.2.2">𝐴</ci><list id="S3.Ex13.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.2.4"><ci id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1">𝑗</ci><ci id="S3.Ex13.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.2.2">𝑘</ci></list></apply><apply id="S3.Ex13.m1.4.5.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.5.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex13.m1.4.5.3.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.5.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex13.m1.4.5.3.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.5.3.2">𝐴</ci><list id="S3.Ex13.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.2.2"><apply id="S3.Ex13.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.3.3.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex13.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.3.3.1.1.1.2">𝑗</ci><ci id="S3.Ex13.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.3.3.1.1.1.3">′</ci></apply><apply id="S3.Ex13.m1.4.4.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex13.m1.4.4.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex13.m1.4.4.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.2.2.2.2">𝑘</ci><ci id="S3.Ex13.m1.4.4.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.4.4.2.2.2.3">′</ci></apply></list></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex13.m1.4c">\displaystyle A_{j,k}A_{j^{\prime},k^{\prime}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex13.m1.4d">italic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k end_POSTSUBSCRIPT italic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_j start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_k start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex13.m2.1"><semantics id="S3.Ex13.m2.1a"><mo id="S3.Ex13.m2.1.1" xref="S3.Ex13.m2.1.1.cmml">=</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex13.m2.1b"><eq id="S3.Ex13.m2.1.1.cmml" xref="S3.Ex13.m2.1.1"></eq></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex13.m2.1c">\displaystyle=</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex13.m2.1d">=</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle|\mathbf{e}_{j}\rangle\langle\mathbf{e}_{j}|\mathbf{f}_{k}\rangle% \langle\mathbf{f}_{k}|\mathbf{e}_{j^{\prime}}\rangle\langle\mathbf{e}_{j^{% \prime}}|\mathbf{f}_{k^{\prime}}\rangle\langle\mathbf{f}_{k^{\prime}}|=\frac{% \langle\mathbf{e}_{j},\mathbf{f}_{k}\rangle\langle\mathbf{f}_{k},\mathbf{e}_{j% ^{\prime}}\rangle\langle\mathbf{e}_{j^{\prime}},\mathbf{f}_{k^{\prime}}\rangle% }{\langle\mathbf{e}_{j},\mathbf{f}_{k^{\prime}}\rangle}\,|\mathbf{e}_{j}% \rangle\langle\mathbf{e}_{j}|\mathbf{f}_{k^{\prime}}\rangle\langle\mathbf{f}_{% k^{\prime}}|" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex13.m3.20"><semantics id="S3.Ex13.m3.20a"><mrow id="S3.Ex13.m3.20.20" xref="S3.Ex13.m3.20.20.cmml"><mrow id="S3.Ex13.m3.16.16.8" xref="S3.Ex13.m3.16.16.8.cmml"><mrow id="S3.Ex13.m3.9.9.1.1.1" xref="S3.Ex13.m3.9.9.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex13.m3.9.9.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex13.m3.9.9.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S3.Ex13.m3.9.9.1.1.1.1" xref="S3.Ex13.m3.9.9.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex13.m3.9.9.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex13.m3.9.9.1.1.1.1.2.cmml">𝐞</mi><mi id="S3.Ex13.m3.9.9.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex13.m3.9.9.1.1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.Ex13.m3.9.9.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex13.m3.9.9.1.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S3.Ex13.m3.16.16.8.9" xref="S3.Ex13.m3.16.16.8.9.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex13.m3.11.11.3.3.2" xref="S3.Ex13.m3.11.11.3.3.3.cmml"><mo id="S3.Ex13.m3.11.11.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex13.m3.11.11.3.3.3.1.cmml">⟨</mo><msub id="S3.Ex13.m3.10.10.2.2.1.1" xref="S3.Ex13.m3.10.10.2.2.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex13.m3.10.10.2.2.1.1.2" xref="S3.Ex13.m3.10.10.2.2.1.1.2.cmml">𝐞</mi><mi id="S3.Ex13.m3.10.10.2.2.1.1.3" xref="S3.Ex13.m3.10.10.2.2.1.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.Ex13.m3.11.11.3.3.2.4" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.Ex13.m3.11.11.3.3.3.1.cmml">|</mo><msub id="S3.Ex13.m3.11.11.3.3.2.2" xref="S3.Ex13.m3.11.11.3.3.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex13.m3.11.11.3.3.2.2.2" xref="S3.Ex13.m3.11.11.3.3.2.2.2.cmml">𝐟</mi><mi id="S3.Ex13.m3.11.11.3.3.2.2.3" xref="S3.Ex13.m3.11.11.3.3.2.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.Ex13.m3.11.11.3.3.2.5" stretchy="false" xref="S3.Ex13.m3.11.11.3.3.3.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S3.Ex13.m3.16.16.8.9a" xref="S3.Ex13.m3.16.16.8.9.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex13.m3.13.13.5.5.2" xref="S3.Ex13.m3.13.13.5.5.3.cmml"><mo id="S3.Ex13.m3.13.13.5.5.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex13.m3.13.13.5.5.3.1.cmml">⟨</mo><msub id="S3.Ex13.m3.12.12.4.4.1.1" xref="S3.Ex13.m3.12.12.4.4.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex13.m3.12.12.4.4.1.1.2" xref="S3.Ex13.m3.12.12.4.4.1.1.2.cmml">𝐟</mi><mi id="S3.Ex13.m3.12.12.4.4.1.1.3" xref="S3.Ex13.m3.12.12.4.4.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.Ex13.m3.13.13.5.5.2.4" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.Ex13.m3.13.13.5.5.3.1.cmml">|</mo><msub id="S3.Ex13.m3.13.13.5.5.2.2" xref="S3.Ex13.m3.13.13.5.5.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex13.m3.13.13.5.5.2.2.2" xref="S3.Ex13.m3.13.13.5.5.2.2.2.cmml">𝐞</mi><msup id="S3.Ex13.m3.13.13.5.5.2.2.3" xref="S3.Ex13.m3.13.13.5.5.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex13.m3.13.13.5.5.2.2.3.2" xref="S3.Ex13.m3.13.13.5.5.2.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex13.m3.13.13.5.5.2.2.3.3" xref="S3.Ex13.m3.13.13.5.5.2.2.3.3.cmml">′</mo></msup></msub><mo id="S3.Ex13.m3.13.13.5.5.2.5" stretchy="false" xref="S3.Ex13.m3.13.13.5.5.3.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S3.Ex13.m3.16.16.8.9b" xref="S3.Ex13.m3.16.16.8.9.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex13.m3.15.15.7.7.2" xref="S3.Ex13.m3.15.15.7.7.3.cmml"><mo id="S3.Ex13.m3.15.15.7.7.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex13.m3.15.15.7.7.3.1.cmml">⟨</mo><msub id="S3.Ex13.m3.14.14.6.6.1.1" xref="S3.Ex13.m3.14.14.6.6.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex13.m3.14.14.6.6.1.1.2" xref="S3.Ex13.m3.14.14.6.6.1.1.2.cmml">𝐞</mi><msup id="S3.Ex13.m3.14.14.6.6.1.1.3" xref="S3.Ex13.m3.14.14.6.6.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex13.m3.14.14.6.6.1.1.3.2" xref="S3.Ex13.m3.14.14.6.6.1.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex13.m3.14.14.6.6.1.1.3.3" xref="S3.Ex13.m3.14.14.6.6.1.1.3.3.cmml">′</mo></msup></msub><mo id="S3.Ex13.m3.15.15.7.7.2.4" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.Ex13.m3.15.15.7.7.3.1.cmml">|</mo><msub id="S3.Ex13.m3.15.15.7.7.2.2" xref="S3.Ex13.m3.15.15.7.7.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex13.m3.15.15.7.7.2.2.2" xref="S3.Ex13.m3.15.15.7.7.2.2.2.cmml">𝐟</mi><msup id="S3.Ex13.m3.15.15.7.7.2.2.3" xref="S3.Ex13.m3.15.15.7.7.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex13.m3.15.15.7.7.2.2.3.2" xref="S3.Ex13.m3.15.15.7.7.2.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S3.Ex13.m3.15.15.7.7.2.2.3.3" xref="S3.Ex13.m3.15.15.7.7.2.2.3.3.cmml">′</mo></msup></msub><mo id="S3.Ex13.m3.15.15.7.7.2.5" stretchy="false" xref="S3.Ex13.m3.15.15.7.7.3.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S3.Ex13.m3.16.16.8.9c" xref="S3.Ex13.m3.16.16.8.9.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex13.m3.16.16.8.8.1" xref="S3.Ex13.m3.16.16.8.8.2.cmml"><mo id="S3.Ex13.m3.16.16.8.8.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex13.m3.16.16.8.8.2.1.cmml">⟨</mo><msub id="S3.Ex13.m3.16.16.8.8.1.1" xref="S3.Ex13.m3.16.16.8.8.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex13.m3.16.16.8.8.1.1.2" xref="S3.Ex13.m3.16.16.8.8.1.1.2.cmml">𝐟</mi><msup id="S3.Ex13.m3.16.16.8.8.1.1.3" xref="S3.Ex13.m3.16.16.8.8.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex13.m3.16.16.8.8.1.1.3.2" xref="S3.Ex13.m3.16.16.8.8.1.1.3.2.cmml">k</mi><mo id="S3.Ex13.m3.16.16.8.8.1.1.3.3" xref="S3.Ex13.m3.16.16.8.8.1.1.3.3.cmml">′</mo></msup></msub><mo id="S3.Ex13.m3.16.16.8.8.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex13.m3.16.16.8.8.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex13.m3.20.20.13" xref="S3.Ex13.m3.20.20.13.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex13.m3.20.20.12" xref="S3.Ex13.m3.20.20.12.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex13.m3.8.8" xref="S3.Ex13.m3.8.8.cmml"><mfrac id="S3.Ex13.m3.8.8a" xref="S3.Ex13.m3.8.8.cmml"><mrow id="S3.Ex13.m3.6.6.6" xref="S3.Ex13.m3.6.6.6.cmml"><mrow id="S3.Ex13.m3.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex13.m3.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S3.Ex13.m3.2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex13.m3.2.2.2.2.3.cmml">⟨</mo><msub id="S3.Ex13.m3.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex13.m3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex13.m3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex13.m3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝐞</mi><mi id="S3.Ex13.m3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex13.m3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.Ex13.m3.2.2.2.2.2.4" xref="S3.Ex13.m3.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex13.m3.2.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex13.m3.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex13.m3.2.2.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex13.m3.2.2.2.2.2.2.2.cmml">𝐟</mi><mi id="S3.Ex13.m3.2.2.2.2.2.2.3" xref="S3.Ex13.m3.2.2.2.2.2.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.Ex13.m3.2.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.Ex13.m3.2.2.2.2.3.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S3.Ex13.m3.6.6.6.7" xref="S3.Ex13.m3.6.6.6.7.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex13.m3.4.4.4.4.2" xref="S3.Ex13.m3.4.4.4.4.3.cmml"><mo id="S3.Ex13.m3.4.4.4.4.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex13.m3.4.4.4.4.3.cmml">⟨</mo><msub id="S3.Ex13.m3.3.3.3.3.1.1" xref="S3.Ex13.m3.3.3.3.3.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex13.m3.3.3.3.3.1.1.2" xref="S3.Ex13.m3.3.3.3.3.1.1.2.cmml">𝐟</mi><mi id="S3.Ex13.m3.3.3.3.3.1.1.3" xref="S3.Ex13.m3.3.3.3.3.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.Ex13.m3.4.4.4.4.2.4" xref="S3.Ex13.m3.4.4.4.4.3.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex13.m3.4.4.4.4.2.2" xref="S3.Ex13.m3.4.4.4.4.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex13.m3.4.4.4.4.2.2.2" xref="S3.Ex13.m3.4.4.4.4.2.2.2.cmml">𝐞</mi><msup id="S3.Ex13.m3.4.4.4.4.2.2.3" xref="S3.Ex13.m3.4.4.4.4.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex13.m3.4.4.4.4.2.2.3.2" xref="S3.Ex13.m3.4.4.4.4.2.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex13.m3.4.4.4.4.2.2.3.3" xref="S3.Ex13.m3.4.4.4.4.2.2.3.3.cmml">′</mo></msup></msub><mo id="S3.Ex13.m3.4.4.4.4.2.5" stretchy="false" xref="S3.Ex13.m3.4.4.4.4.3.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S3.Ex13.m3.6.6.6.7a" xref="S3.Ex13.m3.6.6.6.7.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex13.m3.6.6.6.6.2" xref="S3.Ex13.m3.6.6.6.6.3.cmml"><mo id="S3.Ex13.m3.6.6.6.6.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex13.m3.6.6.6.6.3.cmml">⟨</mo><msub id="S3.Ex13.m3.5.5.5.5.1.1" xref="S3.Ex13.m3.5.5.5.5.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex13.m3.5.5.5.5.1.1.2" xref="S3.Ex13.m3.5.5.5.5.1.1.2.cmml">𝐞</mi><msup id="S3.Ex13.m3.5.5.5.5.1.1.3" xref="S3.Ex13.m3.5.5.5.5.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex13.m3.5.5.5.5.1.1.3.2" xref="S3.Ex13.m3.5.5.5.5.1.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex13.m3.5.5.5.5.1.1.3.3" xref="S3.Ex13.m3.5.5.5.5.1.1.3.3.cmml">′</mo></msup></msub><mo id="S3.Ex13.m3.6.6.6.6.2.4" xref="S3.Ex13.m3.6.6.6.6.3.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex13.m3.6.6.6.6.2.2" xref="S3.Ex13.m3.6.6.6.6.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex13.m3.6.6.6.6.2.2.2" xref="S3.Ex13.m3.6.6.6.6.2.2.2.cmml">𝐟</mi><msup id="S3.Ex13.m3.6.6.6.6.2.2.3" xref="S3.Ex13.m3.6.6.6.6.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex13.m3.6.6.6.6.2.2.3.2" xref="S3.Ex13.m3.6.6.6.6.2.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S3.Ex13.m3.6.6.6.6.2.2.3.3" xref="S3.Ex13.m3.6.6.6.6.2.2.3.3.cmml">′</mo></msup></msub><mo id="S3.Ex13.m3.6.6.6.6.2.5" stretchy="false" xref="S3.Ex13.m3.6.6.6.6.3.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><mrow id="S3.Ex13.m3.8.8.8.2" xref="S3.Ex13.m3.8.8.8.3.cmml"><mo id="S3.Ex13.m3.8.8.8.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex13.m3.8.8.8.3.cmml">⟨</mo><msub id="S3.Ex13.m3.7.7.7.1.1" xref="S3.Ex13.m3.7.7.7.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex13.m3.7.7.7.1.1.2" xref="S3.Ex13.m3.7.7.7.1.1.2.cmml">𝐞</mi><mi id="S3.Ex13.m3.7.7.7.1.1.3" xref="S3.Ex13.m3.7.7.7.1.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.Ex13.m3.8.8.8.2.4" xref="S3.Ex13.m3.8.8.8.3.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex13.m3.8.8.8.2.2" xref="S3.Ex13.m3.8.8.8.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex13.m3.8.8.8.2.2.2" xref="S3.Ex13.m3.8.8.8.2.2.2.cmml">𝐟</mi><msup id="S3.Ex13.m3.8.8.8.2.2.3" xref="S3.Ex13.m3.8.8.8.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex13.m3.8.8.8.2.2.3.2" xref="S3.Ex13.m3.8.8.8.2.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S3.Ex13.m3.8.8.8.2.2.3.3" xref="S3.Ex13.m3.8.8.8.2.2.3.3.cmml">′</mo></msup></msub><mo id="S3.Ex13.m3.8.8.8.2.5" stretchy="false" xref="S3.Ex13.m3.8.8.8.3.cmml">⟩</mo></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S3.Ex13.m3.20.20.12.5" lspace="0.170em" xref="S3.Ex13.m3.20.20.12.5.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex13.m3.17.17.9.1.1" xref="S3.Ex13.m3.17.17.9.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex13.m3.17.17.9.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex13.m3.17.17.9.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S3.Ex13.m3.17.17.9.1.1.1" xref="S3.Ex13.m3.17.17.9.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex13.m3.17.17.9.1.1.1.2" xref="S3.Ex13.m3.17.17.9.1.1.1.2.cmml">𝐞</mi><mi id="S3.Ex13.m3.17.17.9.1.1.1.3" xref="S3.Ex13.m3.17.17.9.1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.Ex13.m3.17.17.9.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex13.m3.17.17.9.1.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S3.Ex13.m3.20.20.12.5a" xref="S3.Ex13.m3.20.20.12.5.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex13.m3.19.19.11.3.2" xref="S3.Ex13.m3.19.19.11.3.3.cmml"><mo id="S3.Ex13.m3.19.19.11.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex13.m3.19.19.11.3.3.1.cmml">⟨</mo><msub id="S3.Ex13.m3.18.18.10.2.1.1" xref="S3.Ex13.m3.18.18.10.2.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex13.m3.18.18.10.2.1.1.2" xref="S3.Ex13.m3.18.18.10.2.1.1.2.cmml">𝐞</mi><mi id="S3.Ex13.m3.18.18.10.2.1.1.3" xref="S3.Ex13.m3.18.18.10.2.1.1.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.Ex13.m3.19.19.11.3.2.4" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.Ex13.m3.19.19.11.3.3.1.cmml">|</mo><msub id="S3.Ex13.m3.19.19.11.3.2.2" xref="S3.Ex13.m3.19.19.11.3.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex13.m3.19.19.11.3.2.2.2" xref="S3.Ex13.m3.19.19.11.3.2.2.2.cmml">𝐟</mi><msup id="S3.Ex13.m3.19.19.11.3.2.2.3" xref="S3.Ex13.m3.19.19.11.3.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex13.m3.19.19.11.3.2.2.3.2" xref="S3.Ex13.m3.19.19.11.3.2.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S3.Ex13.m3.19.19.11.3.2.2.3.3" xref="S3.Ex13.m3.19.19.11.3.2.2.3.3.cmml">′</mo></msup></msub><mo id="S3.Ex13.m3.19.19.11.3.2.5" stretchy="false" xref="S3.Ex13.m3.19.19.11.3.3.1.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S3.Ex13.m3.20.20.12.5b" xref="S3.Ex13.m3.20.20.12.5.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex13.m3.20.20.12.4.1" xref="S3.Ex13.m3.20.20.12.4.2.cmml"><mo id="S3.Ex13.m3.20.20.12.4.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex13.m3.20.20.12.4.2.1.cmml">⟨</mo><msub id="S3.Ex13.m3.20.20.12.4.1.1" xref="S3.Ex13.m3.20.20.12.4.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex13.m3.20.20.12.4.1.1.2" xref="S3.Ex13.m3.20.20.12.4.1.1.2.cmml">𝐟</mi><msup id="S3.Ex13.m3.20.20.12.4.1.1.3" xref="S3.Ex13.m3.20.20.12.4.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex13.m3.20.20.12.4.1.1.3.2" xref="S3.Ex13.m3.20.20.12.4.1.1.3.2.cmml">k</mi><mo id="S3.Ex13.m3.20.20.12.4.1.1.3.3" xref="S3.Ex13.m3.20.20.12.4.1.1.3.3.cmml">′</mo></msup></msub><mo id="S3.Ex13.m3.20.20.12.4.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex13.m3.20.20.12.4.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex13.m3.20b"><apply id="S3.Ex13.m3.20.20.cmml" xref="S3.Ex13.m3.20.20"><eq id="S3.Ex13.m3.20.20.13.cmml" xref="S3.Ex13.m3.20.20.13"></eq><apply id="S3.Ex13.m3.16.16.8.cmml" xref="S3.Ex13.m3.16.16.8"><times id="S3.Ex13.m3.16.16.8.9.cmml" xref="S3.Ex13.m3.16.16.8.9"></times><apply id="S3.Ex13.m3.9.9.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex13.m3.9.9.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex13.m3.9.9.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex13.m3.9.9.1.1.1.2">ket</csymbol><apply id="S3.Ex13.m3.9.9.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex13.m3.9.9.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex13.m3.9.9.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex13.m3.9.9.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex13.m3.9.9.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex13.m3.9.9.1.1.1.1.2">𝐞</ci><ci id="S3.Ex13.m3.9.9.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex13.m3.9.9.1.1.1.1.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex13.m3.11.11.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex13.m3.11.11.3.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex13.m3.11.11.3.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex13.m3.11.11.3.3.2.3">inner-product</csymbol><apply id="S3.Ex13.m3.10.10.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex13.m3.10.10.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex13.m3.10.10.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex13.m3.10.10.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex13.m3.10.10.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex13.m3.10.10.2.2.1.1.2">𝐞</ci><ci id="S3.Ex13.m3.10.10.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex13.m3.10.10.2.2.1.1.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.Ex13.m3.11.11.3.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex13.m3.11.11.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex13.m3.11.11.3.3.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex13.m3.11.11.3.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex13.m3.11.11.3.3.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex13.m3.11.11.3.3.2.2.2">𝐟</ci><ci id="S3.Ex13.m3.11.11.3.3.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex13.m3.11.11.3.3.2.2.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex13.m3.13.13.5.5.3.cmml" xref="S3.Ex13.m3.13.13.5.5.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex13.m3.13.13.5.5.3.1.cmml" xref="S3.Ex13.m3.13.13.5.5.2.3">inner-product</csymbol><apply id="S3.Ex13.m3.12.12.4.4.1.1.cmml" xref="S3.Ex13.m3.12.12.4.4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex13.m3.12.12.4.4.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex13.m3.12.12.4.4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex13.m3.12.12.4.4.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex13.m3.12.12.4.4.1.1.2">𝐟</ci><ci id="S3.Ex13.m3.12.12.4.4.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex13.m3.12.12.4.4.1.1.3">𝑘</ci></apply><apply id="S3.Ex13.m3.13.13.5.5.2.2.cmml" xref="S3.Ex13.m3.13.13.5.5.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex13.m3.13.13.5.5.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex13.m3.13.13.5.5.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex13.m3.13.13.5.5.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex13.m3.13.13.5.5.2.2.2">𝐞</ci><apply id="S3.Ex13.m3.13.13.5.5.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex13.m3.13.13.5.5.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex13.m3.13.13.5.5.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex13.m3.13.13.5.5.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex13.m3.13.13.5.5.2.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex13.m3.13.13.5.5.2.2.3.2">𝑗</ci><ci id="S3.Ex13.m3.13.13.5.5.2.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex13.m3.13.13.5.5.2.2.3.3">′</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex13.m3.15.15.7.7.3.cmml" xref="S3.Ex13.m3.15.15.7.7.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex13.m3.15.15.7.7.3.1.cmml" xref="S3.Ex13.m3.15.15.7.7.2.3">inner-product</csymbol><apply id="S3.Ex13.m3.14.14.6.6.1.1.cmml" xref="S3.Ex13.m3.14.14.6.6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex13.m3.14.14.6.6.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex13.m3.14.14.6.6.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex13.m3.14.14.6.6.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex13.m3.14.14.6.6.1.1.2">𝐞</ci><apply id="S3.Ex13.m3.14.14.6.6.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex13.m3.14.14.6.6.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex13.m3.14.14.6.6.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex13.m3.14.14.6.6.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex13.m3.14.14.6.6.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex13.m3.14.14.6.6.1.1.3.2">𝑗</ci><ci id="S3.Ex13.m3.14.14.6.6.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex13.m3.14.14.6.6.1.1.3.3">′</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex13.m3.15.15.7.7.2.2.cmml" xref="S3.Ex13.m3.15.15.7.7.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex13.m3.15.15.7.7.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex13.m3.15.15.7.7.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex13.m3.15.15.7.7.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex13.m3.15.15.7.7.2.2.2">𝐟</ci><apply id="S3.Ex13.m3.15.15.7.7.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex13.m3.15.15.7.7.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex13.m3.15.15.7.7.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex13.m3.15.15.7.7.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex13.m3.15.15.7.7.2.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex13.m3.15.15.7.7.2.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S3.Ex13.m3.15.15.7.7.2.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex13.m3.15.15.7.7.2.2.3.3">′</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex13.m3.16.16.8.8.2.cmml" xref="S3.Ex13.m3.16.16.8.8.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex13.m3.16.16.8.8.2.1.cmml" xref="S3.Ex13.m3.16.16.8.8.1.2">bra</csymbol><apply id="S3.Ex13.m3.16.16.8.8.1.1.cmml" xref="S3.Ex13.m3.16.16.8.8.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex13.m3.16.16.8.8.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex13.m3.16.16.8.8.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex13.m3.16.16.8.8.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex13.m3.16.16.8.8.1.1.2">𝐟</ci><apply id="S3.Ex13.m3.16.16.8.8.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex13.m3.16.16.8.8.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex13.m3.16.16.8.8.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex13.m3.16.16.8.8.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex13.m3.16.16.8.8.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex13.m3.16.16.8.8.1.1.3.2">𝑘</ci><ci id="S3.Ex13.m3.16.16.8.8.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex13.m3.16.16.8.8.1.1.3.3">′</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex13.m3.20.20.12.cmml" xref="S3.Ex13.m3.20.20.12"><times id="S3.Ex13.m3.20.20.12.5.cmml" xref="S3.Ex13.m3.20.20.12.5"></times><apply id="S3.Ex13.m3.8.8.cmml" xref="S3.Ex13.m3.8.8"><divide id="S3.Ex13.m3.8.8.9.cmml" xref="S3.Ex13.m3.8.8"></divide><apply id="S3.Ex13.m3.6.6.6.cmml" xref="S3.Ex13.m3.6.6.6"><times id="S3.Ex13.m3.6.6.6.7.cmml" xref="S3.Ex13.m3.6.6.6.7"></times><list id="S3.Ex13.m3.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex13.m3.2.2.2.2.2"><apply id="S3.Ex13.m3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex13.m3.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex13.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex13.m3.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex13.m3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex13.m3.1.1.1.1.1.1.2">𝐞</ci><ci id="S3.Ex13.m3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex13.m3.1.1.1.1.1.1.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.Ex13.m3.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex13.m3.2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex13.m3.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex13.m3.2.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex13.m3.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex13.m3.2.2.2.2.2.2.2">𝐟</ci><ci id="S3.Ex13.m3.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex13.m3.2.2.2.2.2.2.3">𝑘</ci></apply></list><list id="S3.Ex13.m3.4.4.4.4.3.cmml" xref="S3.Ex13.m3.4.4.4.4.2"><apply id="S3.Ex13.m3.3.3.3.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex13.m3.3.3.3.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex13.m3.3.3.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex13.m3.3.3.3.3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex13.m3.3.3.3.3.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex13.m3.3.3.3.3.1.1.2">𝐟</ci><ci id="S3.Ex13.m3.3.3.3.3.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex13.m3.3.3.3.3.1.1.3">𝑘</ci></apply><apply id="S3.Ex13.m3.4.4.4.4.2.2.cmml" xref="S3.Ex13.m3.4.4.4.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex13.m3.4.4.4.4.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex13.m3.4.4.4.4.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex13.m3.4.4.4.4.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex13.m3.4.4.4.4.2.2.2">𝐞</ci><apply id="S3.Ex13.m3.4.4.4.4.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex13.m3.4.4.4.4.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex13.m3.4.4.4.4.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex13.m3.4.4.4.4.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex13.m3.4.4.4.4.2.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex13.m3.4.4.4.4.2.2.3.2">𝑗</ci><ci id="S3.Ex13.m3.4.4.4.4.2.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex13.m3.4.4.4.4.2.2.3.3">′</ci></apply></apply></list><list id="S3.Ex13.m3.6.6.6.6.3.cmml" xref="S3.Ex13.m3.6.6.6.6.2"><apply id="S3.Ex13.m3.5.5.5.5.1.1.cmml" xref="S3.Ex13.m3.5.5.5.5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex13.m3.5.5.5.5.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex13.m3.5.5.5.5.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex13.m3.5.5.5.5.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex13.m3.5.5.5.5.1.1.2">𝐞</ci><apply id="S3.Ex13.m3.5.5.5.5.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex13.m3.5.5.5.5.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex13.m3.5.5.5.5.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex13.m3.5.5.5.5.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex13.m3.5.5.5.5.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex13.m3.5.5.5.5.1.1.3.2">𝑗</ci><ci id="S3.Ex13.m3.5.5.5.5.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex13.m3.5.5.5.5.1.1.3.3">′</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex13.m3.6.6.6.6.2.2.cmml" xref="S3.Ex13.m3.6.6.6.6.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex13.m3.6.6.6.6.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex13.m3.6.6.6.6.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex13.m3.6.6.6.6.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex13.m3.6.6.6.6.2.2.2">𝐟</ci><apply id="S3.Ex13.m3.6.6.6.6.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex13.m3.6.6.6.6.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex13.m3.6.6.6.6.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex13.m3.6.6.6.6.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex13.m3.6.6.6.6.2.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex13.m3.6.6.6.6.2.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S3.Ex13.m3.6.6.6.6.2.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex13.m3.6.6.6.6.2.2.3.3">′</ci></apply></apply></list></apply><list id="S3.Ex13.m3.8.8.8.3.cmml" xref="S3.Ex13.m3.8.8.8.2"><apply id="S3.Ex13.m3.7.7.7.1.1.cmml" xref="S3.Ex13.m3.7.7.7.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex13.m3.7.7.7.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex13.m3.7.7.7.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex13.m3.7.7.7.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex13.m3.7.7.7.1.1.2">𝐞</ci><ci id="S3.Ex13.m3.7.7.7.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex13.m3.7.7.7.1.1.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.Ex13.m3.8.8.8.2.2.cmml" xref="S3.Ex13.m3.8.8.8.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex13.m3.8.8.8.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex13.m3.8.8.8.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex13.m3.8.8.8.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex13.m3.8.8.8.2.2.2">𝐟</ci><apply id="S3.Ex13.m3.8.8.8.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex13.m3.8.8.8.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex13.m3.8.8.8.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex13.m3.8.8.8.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex13.m3.8.8.8.2.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex13.m3.8.8.8.2.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S3.Ex13.m3.8.8.8.2.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex13.m3.8.8.8.2.2.3.3">′</ci></apply></apply></list></apply><apply id="S3.Ex13.m3.17.17.9.1.2.cmml" xref="S3.Ex13.m3.17.17.9.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex13.m3.17.17.9.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex13.m3.17.17.9.1.1.2">ket</csymbol><apply id="S3.Ex13.m3.17.17.9.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex13.m3.17.17.9.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex13.m3.17.17.9.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex13.m3.17.17.9.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex13.m3.17.17.9.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex13.m3.17.17.9.1.1.1.2">𝐞</ci><ci id="S3.Ex13.m3.17.17.9.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex13.m3.17.17.9.1.1.1.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex13.m3.19.19.11.3.3.cmml" xref="S3.Ex13.m3.19.19.11.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex13.m3.19.19.11.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex13.m3.19.19.11.3.2.3">inner-product</csymbol><apply id="S3.Ex13.m3.18.18.10.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex13.m3.18.18.10.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex13.m3.18.18.10.2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex13.m3.18.18.10.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex13.m3.18.18.10.2.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex13.m3.18.18.10.2.1.1.2">𝐞</ci><ci id="S3.Ex13.m3.18.18.10.2.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex13.m3.18.18.10.2.1.1.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.Ex13.m3.19.19.11.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex13.m3.19.19.11.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex13.m3.19.19.11.3.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex13.m3.19.19.11.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex13.m3.19.19.11.3.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex13.m3.19.19.11.3.2.2.2">𝐟</ci><apply id="S3.Ex13.m3.19.19.11.3.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex13.m3.19.19.11.3.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex13.m3.19.19.11.3.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex13.m3.19.19.11.3.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex13.m3.19.19.11.3.2.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex13.m3.19.19.11.3.2.2.3.2">𝑘</ci><ci id="S3.Ex13.m3.19.19.11.3.2.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex13.m3.19.19.11.3.2.2.3.3">′</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex13.m3.20.20.12.4.2.cmml" xref="S3.Ex13.m3.20.20.12.4.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex13.m3.20.20.12.4.2.1.cmml" xref="S3.Ex13.m3.20.20.12.4.1.2">bra</csymbol><apply id="S3.Ex13.m3.20.20.12.4.1.1.cmml" xref="S3.Ex13.m3.20.20.12.4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex13.m3.20.20.12.4.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex13.m3.20.20.12.4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex13.m3.20.20.12.4.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex13.m3.20.20.12.4.1.1.2">𝐟</ci><apply id="S3.Ex13.m3.20.20.12.4.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex13.m3.20.20.12.4.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex13.m3.20.20.12.4.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex13.m3.20.20.12.4.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex13.m3.20.20.12.4.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex13.m3.20.20.12.4.1.1.3.2">𝑘</ci><ci id="S3.Ex13.m3.20.20.12.4.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex13.m3.20.20.12.4.1.1.3.3">′</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex13.m3.20c">\displaystyle|\mathbf{e}_{j}\rangle\langle\mathbf{e}_{j}|\mathbf{f}_{k}\rangle% \langle\mathbf{f}_{k}|\mathbf{e}_{j^{\prime}}\rangle\langle\mathbf{e}_{j^{% \prime}}|\mathbf{f}_{k^{\prime}}\rangle\langle\mathbf{f}_{k^{\prime}}|=\frac{% \langle\mathbf{e}_{j},\mathbf{f}_{k}\rangle\langle\mathbf{f}_{k},\mathbf{e}_{j% ^{\prime}}\rangle\langle\mathbf{e}_{j^{\prime}},\mathbf{f}_{k^{\prime}}\rangle% }{\langle\mathbf{e}_{j},\mathbf{f}_{k^{\prime}}\rangle}\,|\mathbf{e}_{j}% \rangle\langle\mathbf{e}_{j}|\mathbf{f}_{k^{\prime}}\rangle\langle\mathbf{f}_{% k^{\prime}}|</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex13.m3.20d">| bold_e start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ⟩ ⟨ bold_e start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT | bold_f start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ⟩ ⟨ bold_f start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT | bold_e start_POSTSUBSCRIPT italic_j start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ⟩ ⟨ bold_e start_POSTSUBSCRIPT italic_j start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT | bold_f start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ⟩ ⟨ bold_f start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT | = divide start_ARG ⟨ bold_e start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT , bold_f start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ⟩ ⟨ bold_f start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT , bold_e start_POSTSUBSCRIPT italic_j start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ⟩ ⟨ bold_e start_POSTSUBSCRIPT italic_j start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT , bold_f start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ⟩ end_ARG start_ARG ⟨ bold_e start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT , bold_f start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ⟩ end_ARG | bold_e start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ⟩ ⟨ bold_e start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT | bold_f start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ⟩ ⟨ bold_f start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT |</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr> <tr class="ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex14.m1.1"><semantics id="S3.Ex14.m1.1a"><mo id="S3.Ex14.m1.1.1" xref="S3.Ex14.m1.1.1.cmml">=</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex14.m1.1b"><eq id="S3.Ex14.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex14.m1.1.1"></eq></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex14.m1.1c">\displaystyle=</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex14.m1.1d">=</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\frac{1}{d}\,\frac{C_{j,k,d}\overline{C_{j^{\prime},k,d}}C_{j^{% \prime},k^{\prime},d}}{C_{j,k^{\prime},d}}\,A_{j,k^{\prime}}=\frac{1}{d}\,% \frac{C_{j,k,d}C_{j^{\prime},k^{\prime},d}}{C_{j^{\prime},k,d}C_{j,k^{\prime},% d}}\,A_{j,k^{\prime}}," class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex14.m2.29"><semantics id="S3.Ex14.m2.29a"><mrow id="S3.Ex14.m2.29.29.1" xref="S3.Ex14.m2.29.29.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex14.m2.29.29.1.1" xref="S3.Ex14.m2.29.29.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex14.m2.29.29.1.1.2" xref="S3.Ex14.m2.29.29.1.1.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex14.m2.29.29.1.1.2.2" xref="S3.Ex14.m2.29.29.1.1.2.2.cmml"><mfrac id="S3.Ex14.m2.29.29.1.1.2.2a" xref="S3.Ex14.m2.29.29.1.1.2.2.cmml"><mn id="S3.Ex14.m2.29.29.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex14.m2.29.29.1.1.2.2.2.cmml">1</mn><mi id="S3.Ex14.m2.29.29.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex14.m2.29.29.1.1.2.2.3.cmml">d</mi></mfrac></mstyle><mo id="S3.Ex14.m2.29.29.1.1.2.1" lspace="0.170em" xref="S3.Ex14.m2.29.29.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex14.m2.12.12" xref="S3.Ex14.m2.12.12.cmml"><mfrac id="S3.Ex14.m2.12.12a" xref="S3.Ex14.m2.12.12.cmml"><mrow id="S3.Ex14.m2.9.9.9" xref="S3.Ex14.m2.9.9.9.cmml"><msub id="S3.Ex14.m2.9.9.9.11" xref="S3.Ex14.m2.9.9.9.11.cmml"><mi id="S3.Ex14.m2.9.9.9.11.2" xref="S3.Ex14.m2.9.9.9.11.2.cmml">C</mi><mrow id="S3.Ex14.m2.3.3.3.3.3.5" xref="S3.Ex14.m2.3.3.3.3.3.4.cmml"><mi id="S3.Ex14.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex14.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex14.m2.3.3.3.3.3.5.1" xref="S3.Ex14.m2.3.3.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex14.m2.2.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex14.m2.2.2.2.2.2.2.cmml">k</mi><mo id="S3.Ex14.m2.3.3.3.3.3.5.2" xref="S3.Ex14.m2.3.3.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex14.m2.3.3.3.3.3.3" xref="S3.Ex14.m2.3.3.3.3.3.3.cmml">d</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex14.m2.9.9.9.10" xref="S3.Ex14.m2.9.9.9.10.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S3.Ex14.m2.6.6.6.6" xref="S3.Ex14.m2.6.6.6.6.cmml"><msub id="S3.Ex14.m2.6.6.6.6.3" xref="S3.Ex14.m2.6.6.6.6.3.cmml"><mi id="S3.Ex14.m2.6.6.6.6.3.5" xref="S3.Ex14.m2.6.6.6.6.3.5.cmml">C</mi><mrow id="S3.Ex14.m2.6.6.6.6.3.3.3.3" xref="S3.Ex14.m2.6.6.6.6.3.3.3.4.cmml"><msup id="S3.Ex14.m2.6.6.6.6.3.3.3.3.1" xref="S3.Ex14.m2.6.6.6.6.3.3.3.3.1.cmml"><mi id="S3.Ex14.m2.6.6.6.6.3.3.3.3.1.2" xref="S3.Ex14.m2.6.6.6.6.3.3.3.3.1.2.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex14.m2.6.6.6.6.3.3.3.3.1.3" xref="S3.Ex14.m2.6.6.6.6.3.3.3.3.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.Ex14.m2.6.6.6.6.3.3.3.3.2" xref="S3.Ex14.m2.6.6.6.6.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex14.m2.4.4.4.4.1.1.1.1" xref="S3.Ex14.m2.4.4.4.4.1.1.1.1.cmml">k</mi><mo id="S3.Ex14.m2.6.6.6.6.3.3.3.3.3" xref="S3.Ex14.m2.6.6.6.6.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex14.m2.5.5.5.5.2.2.2.2" xref="S3.Ex14.m2.5.5.5.5.2.2.2.2.cmml">d</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex14.m2.6.6.6.6.4" xref="S3.Ex14.m2.6.6.6.6.4.cmml">¯</mo></mover><mo id="S3.Ex14.m2.9.9.9.10a" xref="S3.Ex14.m2.9.9.9.10.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex14.m2.9.9.9.12" xref="S3.Ex14.m2.9.9.9.12.cmml"><mi id="S3.Ex14.m2.9.9.9.12.2" xref="S3.Ex14.m2.9.9.9.12.2.cmml">C</mi><mrow id="S3.Ex14.m2.9.9.9.9.3.3" xref="S3.Ex14.m2.9.9.9.9.3.4.cmml"><msup id="S3.Ex14.m2.8.8.8.8.2.2.1" xref="S3.Ex14.m2.8.8.8.8.2.2.1.cmml"><mi id="S3.Ex14.m2.8.8.8.8.2.2.1.2" xref="S3.Ex14.m2.8.8.8.8.2.2.1.2.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex14.m2.8.8.8.8.2.2.1.3" xref="S3.Ex14.m2.8.8.8.8.2.2.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.Ex14.m2.9.9.9.9.3.3.3" xref="S3.Ex14.m2.9.9.9.9.3.4.cmml">,</mo><msup id="S3.Ex14.m2.9.9.9.9.3.3.2" xref="S3.Ex14.m2.9.9.9.9.3.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex14.m2.9.9.9.9.3.3.2.2" xref="S3.Ex14.m2.9.9.9.9.3.3.2.2.cmml">k</mi><mo id="S3.Ex14.m2.9.9.9.9.3.3.2.3" xref="S3.Ex14.m2.9.9.9.9.3.3.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.Ex14.m2.9.9.9.9.3.3.4" xref="S3.Ex14.m2.9.9.9.9.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex14.m2.7.7.7.7.1.1" xref="S3.Ex14.m2.7.7.7.7.1.1.cmml">d</mi></mrow></msub></mrow><msub id="S3.Ex14.m2.12.12.12" xref="S3.Ex14.m2.12.12.12.cmml"><mi id="S3.Ex14.m2.12.12.12.5" xref="S3.Ex14.m2.12.12.12.5.cmml">C</mi><mrow id="S3.Ex14.m2.12.12.12.3.3.3" xref="S3.Ex14.m2.12.12.12.3.3.4.cmml"><mi id="S3.Ex14.m2.10.10.10.1.1.1" xref="S3.Ex14.m2.10.10.10.1.1.1.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex14.m2.12.12.12.3.3.3.2" xref="S3.Ex14.m2.12.12.12.3.3.4.cmml">,</mo><msup id="S3.Ex14.m2.12.12.12.3.3.3.1" xref="S3.Ex14.m2.12.12.12.3.3.3.1.cmml"><mi id="S3.Ex14.m2.12.12.12.3.3.3.1.2" xref="S3.Ex14.m2.12.12.12.3.3.3.1.2.cmml">k</mi><mo id="S3.Ex14.m2.12.12.12.3.3.3.1.3" xref="S3.Ex14.m2.12.12.12.3.3.3.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.Ex14.m2.12.12.12.3.3.3.3" xref="S3.Ex14.m2.12.12.12.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex14.m2.11.11.11.2.2.2" xref="S3.Ex14.m2.11.11.11.2.2.2.cmml">d</mi></mrow></msub></mfrac></mstyle><mo id="S3.Ex14.m2.29.29.1.1.2.1a" lspace="0.170em" xref="S3.Ex14.m2.29.29.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex14.m2.29.29.1.1.2.3" xref="S3.Ex14.m2.29.29.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex14.m2.29.29.1.1.2.3.2" xref="S3.Ex14.m2.29.29.1.1.2.3.2.cmml">A</mi><mrow id="S3.Ex14.m2.14.14.2.2" xref="S3.Ex14.m2.14.14.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex14.m2.13.13.1.1" xref="S3.Ex14.m2.13.13.1.1.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex14.m2.14.14.2.2.2" xref="S3.Ex14.m2.14.14.2.3.cmml">,</mo><msup id="S3.Ex14.m2.14.14.2.2.1" xref="S3.Ex14.m2.14.14.2.2.1.cmml"><mi id="S3.Ex14.m2.14.14.2.2.1.2" xref="S3.Ex14.m2.14.14.2.2.1.2.cmml">k</mi><mo id="S3.Ex14.m2.14.14.2.2.1.3" xref="S3.Ex14.m2.14.14.2.2.1.3.cmml">′</mo></msup></mrow></msub></mrow><mo id="S3.Ex14.m2.29.29.1.1.1" xref="S3.Ex14.m2.29.29.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex14.m2.29.29.1.1.3" xref="S3.Ex14.m2.29.29.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex14.m2.29.29.1.1.3.2" xref="S3.Ex14.m2.29.29.1.1.3.2.cmml"><mfrac id="S3.Ex14.m2.29.29.1.1.3.2a" xref="S3.Ex14.m2.29.29.1.1.3.2.cmml"><mn id="S3.Ex14.m2.29.29.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex14.m2.29.29.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mi id="S3.Ex14.m2.29.29.1.1.3.2.3" xref="S3.Ex14.m2.29.29.1.1.3.2.3.cmml">d</mi></mfrac></mstyle><mo id="S3.Ex14.m2.29.29.1.1.3.1" lspace="0.170em" xref="S3.Ex14.m2.29.29.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex14.m2.26.26" xref="S3.Ex14.m2.26.26.cmml"><mfrac id="S3.Ex14.m2.26.26a" xref="S3.Ex14.m2.26.26.cmml"><mrow id="S3.Ex14.m2.20.20.6" xref="S3.Ex14.m2.20.20.6.cmml"><msub id="S3.Ex14.m2.20.20.6.8" xref="S3.Ex14.m2.20.20.6.8.cmml"><mi id="S3.Ex14.m2.20.20.6.8.2" xref="S3.Ex14.m2.20.20.6.8.2.cmml">C</mi><mrow id="S3.Ex14.m2.17.17.3.3.3.5" xref="S3.Ex14.m2.17.17.3.3.3.4.cmml"><mi id="S3.Ex14.m2.15.15.1.1.1.1" xref="S3.Ex14.m2.15.15.1.1.1.1.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex14.m2.17.17.3.3.3.5.1" xref="S3.Ex14.m2.17.17.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex14.m2.16.16.2.2.2.2" xref="S3.Ex14.m2.16.16.2.2.2.2.cmml">k</mi><mo id="S3.Ex14.m2.17.17.3.3.3.5.2" xref="S3.Ex14.m2.17.17.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex14.m2.17.17.3.3.3.3" xref="S3.Ex14.m2.17.17.3.3.3.3.cmml">d</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex14.m2.20.20.6.7" xref="S3.Ex14.m2.20.20.6.7.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex14.m2.20.20.6.9" xref="S3.Ex14.m2.20.20.6.9.cmml"><mi id="S3.Ex14.m2.20.20.6.9.2" xref="S3.Ex14.m2.20.20.6.9.2.cmml">C</mi><mrow id="S3.Ex14.m2.20.20.6.6.3.3" xref="S3.Ex14.m2.20.20.6.6.3.4.cmml"><msup id="S3.Ex14.m2.19.19.5.5.2.2.1" xref="S3.Ex14.m2.19.19.5.5.2.2.1.cmml"><mi id="S3.Ex14.m2.19.19.5.5.2.2.1.2" xref="S3.Ex14.m2.19.19.5.5.2.2.1.2.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex14.m2.19.19.5.5.2.2.1.3" xref="S3.Ex14.m2.19.19.5.5.2.2.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.Ex14.m2.20.20.6.6.3.3.3" xref="S3.Ex14.m2.20.20.6.6.3.4.cmml">,</mo><msup id="S3.Ex14.m2.20.20.6.6.3.3.2" xref="S3.Ex14.m2.20.20.6.6.3.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex14.m2.20.20.6.6.3.3.2.2" xref="S3.Ex14.m2.20.20.6.6.3.3.2.2.cmml">k</mi><mo id="S3.Ex14.m2.20.20.6.6.3.3.2.3" xref="S3.Ex14.m2.20.20.6.6.3.3.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.Ex14.m2.20.20.6.6.3.3.4" xref="S3.Ex14.m2.20.20.6.6.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex14.m2.18.18.4.4.1.1" xref="S3.Ex14.m2.18.18.4.4.1.1.cmml">d</mi></mrow></msub></mrow><mrow id="S3.Ex14.m2.26.26.12" xref="S3.Ex14.m2.26.26.12.cmml"><msub id="S3.Ex14.m2.26.26.12.8" xref="S3.Ex14.m2.26.26.12.8.cmml"><mi id="S3.Ex14.m2.26.26.12.8.2" xref="S3.Ex14.m2.26.26.12.8.2.cmml">C</mi><mrow id="S3.Ex14.m2.23.23.9.3.3.3" xref="S3.Ex14.m2.23.23.9.3.3.4.cmml"><msup id="S3.Ex14.m2.23.23.9.3.3.3.1" xref="S3.Ex14.m2.23.23.9.3.3.3.1.cmml"><mi id="S3.Ex14.m2.23.23.9.3.3.3.1.2" xref="S3.Ex14.m2.23.23.9.3.3.3.1.2.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex14.m2.23.23.9.3.3.3.1.3" xref="S3.Ex14.m2.23.23.9.3.3.3.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.Ex14.m2.23.23.9.3.3.3.2" xref="S3.Ex14.m2.23.23.9.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex14.m2.21.21.7.1.1.1" xref="S3.Ex14.m2.21.21.7.1.1.1.cmml">k</mi><mo id="S3.Ex14.m2.23.23.9.3.3.3.3" xref="S3.Ex14.m2.23.23.9.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex14.m2.22.22.8.2.2.2" xref="S3.Ex14.m2.22.22.8.2.2.2.cmml">d</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex14.m2.26.26.12.7" xref="S3.Ex14.m2.26.26.12.7.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex14.m2.26.26.12.9" xref="S3.Ex14.m2.26.26.12.9.cmml"><mi id="S3.Ex14.m2.26.26.12.9.2" xref="S3.Ex14.m2.26.26.12.9.2.cmml">C</mi><mrow id="S3.Ex14.m2.26.26.12.6.3.3" xref="S3.Ex14.m2.26.26.12.6.3.4.cmml"><mi id="S3.Ex14.m2.24.24.10.4.1.1" xref="S3.Ex14.m2.24.24.10.4.1.1.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex14.m2.26.26.12.6.3.3.2" xref="S3.Ex14.m2.26.26.12.6.3.4.cmml">,</mo><msup id="S3.Ex14.m2.26.26.12.6.3.3.1" xref="S3.Ex14.m2.26.26.12.6.3.3.1.cmml"><mi id="S3.Ex14.m2.26.26.12.6.3.3.1.2" xref="S3.Ex14.m2.26.26.12.6.3.3.1.2.cmml">k</mi><mo id="S3.Ex14.m2.26.26.12.6.3.3.1.3" xref="S3.Ex14.m2.26.26.12.6.3.3.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.Ex14.m2.26.26.12.6.3.3.3" xref="S3.Ex14.m2.26.26.12.6.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex14.m2.25.25.11.5.2.2" xref="S3.Ex14.m2.25.25.11.5.2.2.cmml">d</mi></mrow></msub></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S3.Ex14.m2.29.29.1.1.3.1a" lspace="0.170em" xref="S3.Ex14.m2.29.29.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex14.m2.29.29.1.1.3.3" xref="S3.Ex14.m2.29.29.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex14.m2.29.29.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex14.m2.29.29.1.1.3.3.2.cmml">A</mi><mrow id="S3.Ex14.m2.28.28.2.2" xref="S3.Ex14.m2.28.28.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex14.m2.27.27.1.1" xref="S3.Ex14.m2.27.27.1.1.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex14.m2.28.28.2.2.2" xref="S3.Ex14.m2.28.28.2.3.cmml">,</mo><msup id="S3.Ex14.m2.28.28.2.2.1" xref="S3.Ex14.m2.28.28.2.2.1.cmml"><mi id="S3.Ex14.m2.28.28.2.2.1.2" xref="S3.Ex14.m2.28.28.2.2.1.2.cmml">k</mi><mo id="S3.Ex14.m2.28.28.2.2.1.3" xref="S3.Ex14.m2.28.28.2.2.1.3.cmml">′</mo></msup></mrow></msub></mrow></mrow><mo id="S3.Ex14.m2.29.29.1.2" xref="S3.Ex14.m2.29.29.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex14.m2.29b"><apply id="S3.Ex14.m2.29.29.1.1.cmml" xref="S3.Ex14.m2.29.29.1"><eq id="S3.Ex14.m2.29.29.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex14.m2.29.29.1.1.1"></eq><apply id="S3.Ex14.m2.29.29.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex14.m2.29.29.1.1.2"><times id="S3.Ex14.m2.29.29.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex14.m2.29.29.1.1.2.1"></times><apply id="S3.Ex14.m2.29.29.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex14.m2.29.29.1.1.2.2"><divide id="S3.Ex14.m2.29.29.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex14.m2.29.29.1.1.2.2"></divide><cn id="S3.Ex14.m2.29.29.1.1.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex14.m2.29.29.1.1.2.2.2">1</cn><ci id="S3.Ex14.m2.29.29.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex14.m2.29.29.1.1.2.2.3">𝑑</ci></apply><apply id="S3.Ex14.m2.12.12.cmml" xref="S3.Ex14.m2.12.12"><divide id="S3.Ex14.m2.12.12.13.cmml" xref="S3.Ex14.m2.12.12"></divide><apply id="S3.Ex14.m2.9.9.9.cmml" xref="S3.Ex14.m2.9.9.9"><times id="S3.Ex14.m2.9.9.9.10.cmml" xref="S3.Ex14.m2.9.9.9.10"></times><apply id="S3.Ex14.m2.9.9.9.11.cmml" xref="S3.Ex14.m2.9.9.9.11"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex14.m2.9.9.9.11.1.cmml" xref="S3.Ex14.m2.9.9.9.11">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex14.m2.9.9.9.11.2.cmml" xref="S3.Ex14.m2.9.9.9.11.2">𝐶</ci><list id="S3.Ex14.m2.3.3.3.3.3.4.cmml" xref="S3.Ex14.m2.3.3.3.3.3.5"><ci id="S3.Ex14.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex14.m2.1.1.1.1.1.1">𝑗</ci><ci id="S3.Ex14.m2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex14.m2.2.2.2.2.2.2">𝑘</ci><ci id="S3.Ex14.m2.3.3.3.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex14.m2.3.3.3.3.3.3">𝑑</ci></list></apply><apply id="S3.Ex14.m2.6.6.6.6.cmml" xref="S3.Ex14.m2.6.6.6.6"><ci id="S3.Ex14.m2.6.6.6.6.4.cmml" xref="S3.Ex14.m2.6.6.6.6.4">¯</ci><apply id="S3.Ex14.m2.6.6.6.6.3.cmml" xref="S3.Ex14.m2.6.6.6.6.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex14.m2.6.6.6.6.3.4.cmml" xref="S3.Ex14.m2.6.6.6.6.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex14.m2.6.6.6.6.3.5.cmml" xref="S3.Ex14.m2.6.6.6.6.3.5">𝐶</ci><list id="S3.Ex14.m2.6.6.6.6.3.3.3.4.cmml" xref="S3.Ex14.m2.6.6.6.6.3.3.3.3"><apply id="S3.Ex14.m2.6.6.6.6.3.3.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex14.m2.6.6.6.6.3.3.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex14.m2.6.6.6.6.3.3.3.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex14.m2.6.6.6.6.3.3.3.3.1">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex14.m2.6.6.6.6.3.3.3.3.1.2.cmml" xref="S3.Ex14.m2.6.6.6.6.3.3.3.3.1.2">𝑗</ci><ci id="S3.Ex14.m2.6.6.6.6.3.3.3.3.1.3.cmml" xref="S3.Ex14.m2.6.6.6.6.3.3.3.3.1.3">′</ci></apply><ci id="S3.Ex14.m2.4.4.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex14.m2.4.4.4.4.1.1.1.1">𝑘</ci><ci id="S3.Ex14.m2.5.5.5.5.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex14.m2.5.5.5.5.2.2.2.2">𝑑</ci></list></apply></apply><apply id="S3.Ex14.m2.9.9.9.12.cmml" xref="S3.Ex14.m2.9.9.9.12"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex14.m2.9.9.9.12.1.cmml" xref="S3.Ex14.m2.9.9.9.12">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex14.m2.9.9.9.12.2.cmml" xref="S3.Ex14.m2.9.9.9.12.2">𝐶</ci><list id="S3.Ex14.m2.9.9.9.9.3.4.cmml" xref="S3.Ex14.m2.9.9.9.9.3.3"><apply id="S3.Ex14.m2.8.8.8.8.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex14.m2.8.8.8.8.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex14.m2.8.8.8.8.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex14.m2.8.8.8.8.2.2.1">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex14.m2.8.8.8.8.2.2.1.2.cmml" xref="S3.Ex14.m2.8.8.8.8.2.2.1.2">𝑗</ci><ci id="S3.Ex14.m2.8.8.8.8.2.2.1.3.cmml" xref="S3.Ex14.m2.8.8.8.8.2.2.1.3">′</ci></apply><apply id="S3.Ex14.m2.9.9.9.9.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex14.m2.9.9.9.9.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex14.m2.9.9.9.9.3.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex14.m2.9.9.9.9.3.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex14.m2.9.9.9.9.3.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex14.m2.9.9.9.9.3.3.2.2">𝑘</ci><ci id="S3.Ex14.m2.9.9.9.9.3.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex14.m2.9.9.9.9.3.3.2.3">′</ci></apply><ci id="S3.Ex14.m2.7.7.7.7.1.1.cmml" xref="S3.Ex14.m2.7.7.7.7.1.1">𝑑</ci></list></apply></apply><apply id="S3.Ex14.m2.12.12.12.cmml" xref="S3.Ex14.m2.12.12.12"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex14.m2.12.12.12.4.cmml" xref="S3.Ex14.m2.12.12.12">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex14.m2.12.12.12.5.cmml" xref="S3.Ex14.m2.12.12.12.5">𝐶</ci><list id="S3.Ex14.m2.12.12.12.3.3.4.cmml" xref="S3.Ex14.m2.12.12.12.3.3.3"><ci id="S3.Ex14.m2.10.10.10.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex14.m2.10.10.10.1.1.1">𝑗</ci><apply id="S3.Ex14.m2.12.12.12.3.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex14.m2.12.12.12.3.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex14.m2.12.12.12.3.3.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex14.m2.12.12.12.3.3.3.1">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex14.m2.12.12.12.3.3.3.1.2.cmml" xref="S3.Ex14.m2.12.12.12.3.3.3.1.2">𝑘</ci><ci id="S3.Ex14.m2.12.12.12.3.3.3.1.3.cmml" xref="S3.Ex14.m2.12.12.12.3.3.3.1.3">′</ci></apply><ci id="S3.Ex14.m2.11.11.11.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex14.m2.11.11.11.2.2.2">𝑑</ci></list></apply></apply><apply id="S3.Ex14.m2.29.29.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex14.m2.29.29.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex14.m2.29.29.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex14.m2.29.29.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex14.m2.29.29.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex14.m2.29.29.1.1.2.3.2">𝐴</ci><list id="S3.Ex14.m2.14.14.2.3.cmml" xref="S3.Ex14.m2.14.14.2.2"><ci id="S3.Ex14.m2.13.13.1.1.cmml" xref="S3.Ex14.m2.13.13.1.1">𝑗</ci><apply id="S3.Ex14.m2.14.14.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex14.m2.14.14.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex14.m2.14.14.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex14.m2.14.14.2.2.1">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex14.m2.14.14.2.2.1.2.cmml" xref="S3.Ex14.m2.14.14.2.2.1.2">𝑘</ci><ci id="S3.Ex14.m2.14.14.2.2.1.3.cmml" xref="S3.Ex14.m2.14.14.2.2.1.3">′</ci></apply></list></apply></apply><apply id="S3.Ex14.m2.29.29.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex14.m2.29.29.1.1.3"><times id="S3.Ex14.m2.29.29.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex14.m2.29.29.1.1.3.1"></times><apply id="S3.Ex14.m2.29.29.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex14.m2.29.29.1.1.3.2"><divide id="S3.Ex14.m2.29.29.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex14.m2.29.29.1.1.3.2"></divide><cn id="S3.Ex14.m2.29.29.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex14.m2.29.29.1.1.3.2.2">1</cn><ci id="S3.Ex14.m2.29.29.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex14.m2.29.29.1.1.3.2.3">𝑑</ci></apply><apply id="S3.Ex14.m2.26.26.cmml" xref="S3.Ex14.m2.26.26"><divide id="S3.Ex14.m2.26.26.13.cmml" xref="S3.Ex14.m2.26.26"></divide><apply id="S3.Ex14.m2.20.20.6.cmml" xref="S3.Ex14.m2.20.20.6"><times id="S3.Ex14.m2.20.20.6.7.cmml" xref="S3.Ex14.m2.20.20.6.7"></times><apply id="S3.Ex14.m2.20.20.6.8.cmml" xref="S3.Ex14.m2.20.20.6.8"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex14.m2.20.20.6.8.1.cmml" xref="S3.Ex14.m2.20.20.6.8">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex14.m2.20.20.6.8.2.cmml" xref="S3.Ex14.m2.20.20.6.8.2">𝐶</ci><list id="S3.Ex14.m2.17.17.3.3.3.4.cmml" xref="S3.Ex14.m2.17.17.3.3.3.5"><ci id="S3.Ex14.m2.15.15.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex14.m2.15.15.1.1.1.1">𝑗</ci><ci id="S3.Ex14.m2.16.16.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex14.m2.16.16.2.2.2.2">𝑘</ci><ci id="S3.Ex14.m2.17.17.3.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex14.m2.17.17.3.3.3.3">𝑑</ci></list></apply><apply id="S3.Ex14.m2.20.20.6.9.cmml" xref="S3.Ex14.m2.20.20.6.9"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex14.m2.20.20.6.9.1.cmml" xref="S3.Ex14.m2.20.20.6.9">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex14.m2.20.20.6.9.2.cmml" xref="S3.Ex14.m2.20.20.6.9.2">𝐶</ci><list id="S3.Ex14.m2.20.20.6.6.3.4.cmml" xref="S3.Ex14.m2.20.20.6.6.3.3"><apply id="S3.Ex14.m2.19.19.5.5.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex14.m2.19.19.5.5.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex14.m2.19.19.5.5.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex14.m2.19.19.5.5.2.2.1">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex14.m2.19.19.5.5.2.2.1.2.cmml" xref="S3.Ex14.m2.19.19.5.5.2.2.1.2">𝑗</ci><ci id="S3.Ex14.m2.19.19.5.5.2.2.1.3.cmml" xref="S3.Ex14.m2.19.19.5.5.2.2.1.3">′</ci></apply><apply id="S3.Ex14.m2.20.20.6.6.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex14.m2.20.20.6.6.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex14.m2.20.20.6.6.3.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex14.m2.20.20.6.6.3.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex14.m2.20.20.6.6.3.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex14.m2.20.20.6.6.3.3.2.2">𝑘</ci><ci id="S3.Ex14.m2.20.20.6.6.3.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex14.m2.20.20.6.6.3.3.2.3">′</ci></apply><ci id="S3.Ex14.m2.18.18.4.4.1.1.cmml" xref="S3.Ex14.m2.18.18.4.4.1.1">𝑑</ci></list></apply></apply><apply id="S3.Ex14.m2.26.26.12.cmml" xref="S3.Ex14.m2.26.26.12"><times id="S3.Ex14.m2.26.26.12.7.cmml" xref="S3.Ex14.m2.26.26.12.7"></times><apply id="S3.Ex14.m2.26.26.12.8.cmml" xref="S3.Ex14.m2.26.26.12.8"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex14.m2.26.26.12.8.1.cmml" xref="S3.Ex14.m2.26.26.12.8">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex14.m2.26.26.12.8.2.cmml" xref="S3.Ex14.m2.26.26.12.8.2">𝐶</ci><list id="S3.Ex14.m2.23.23.9.3.3.4.cmml" xref="S3.Ex14.m2.23.23.9.3.3.3"><apply id="S3.Ex14.m2.23.23.9.3.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex14.m2.23.23.9.3.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex14.m2.23.23.9.3.3.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex14.m2.23.23.9.3.3.3.1">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex14.m2.23.23.9.3.3.3.1.2.cmml" xref="S3.Ex14.m2.23.23.9.3.3.3.1.2">𝑗</ci><ci id="S3.Ex14.m2.23.23.9.3.3.3.1.3.cmml" xref="S3.Ex14.m2.23.23.9.3.3.3.1.3">′</ci></apply><ci id="S3.Ex14.m2.21.21.7.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex14.m2.21.21.7.1.1.1">𝑘</ci><ci id="S3.Ex14.m2.22.22.8.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex14.m2.22.22.8.2.2.2">𝑑</ci></list></apply><apply id="S3.Ex14.m2.26.26.12.9.cmml" xref="S3.Ex14.m2.26.26.12.9"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex14.m2.26.26.12.9.1.cmml" xref="S3.Ex14.m2.26.26.12.9">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex14.m2.26.26.12.9.2.cmml" xref="S3.Ex14.m2.26.26.12.9.2">𝐶</ci><list id="S3.Ex14.m2.26.26.12.6.3.4.cmml" xref="S3.Ex14.m2.26.26.12.6.3.3"><ci id="S3.Ex14.m2.24.24.10.4.1.1.cmml" xref="S3.Ex14.m2.24.24.10.4.1.1">𝑗</ci><apply id="S3.Ex14.m2.26.26.12.6.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex14.m2.26.26.12.6.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex14.m2.26.26.12.6.3.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex14.m2.26.26.12.6.3.3.1">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex14.m2.26.26.12.6.3.3.1.2.cmml" xref="S3.Ex14.m2.26.26.12.6.3.3.1.2">𝑘</ci><ci id="S3.Ex14.m2.26.26.12.6.3.3.1.3.cmml" xref="S3.Ex14.m2.26.26.12.6.3.3.1.3">′</ci></apply><ci id="S3.Ex14.m2.25.25.11.5.2.2.cmml" xref="S3.Ex14.m2.25.25.11.5.2.2">𝑑</ci></list></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex14.m2.29.29.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex14.m2.29.29.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex14.m2.29.29.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex14.m2.29.29.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex14.m2.29.29.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex14.m2.29.29.1.1.3.3.2">𝐴</ci><list id="S3.Ex14.m2.28.28.2.3.cmml" xref="S3.Ex14.m2.28.28.2.2"><ci id="S3.Ex14.m2.27.27.1.1.cmml" xref="S3.Ex14.m2.27.27.1.1">𝑗</ci><apply id="S3.Ex14.m2.28.28.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex14.m2.28.28.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex14.m2.28.28.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex14.m2.28.28.2.2.1">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex14.m2.28.28.2.2.1.2.cmml" xref="S3.Ex14.m2.28.28.2.2.1.2">𝑘</ci><ci id="S3.Ex14.m2.28.28.2.2.1.3.cmml" xref="S3.Ex14.m2.28.28.2.2.1.3">′</ci></apply></list></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex14.m2.29c">\displaystyle\frac{1}{d}\,\frac{C_{j,k,d}\overline{C_{j^{\prime},k,d}}C_{j^{% \prime},k^{\prime},d}}{C_{j,k^{\prime},d}}\,A_{j,k^{\prime}}=\frac{1}{d}\,% \frac{C_{j,k,d}C_{j^{\prime},k^{\prime},d}}{C_{j^{\prime},k,d}C_{j,k^{\prime},% d}}\,A_{j,k^{\prime}},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex14.m2.29d">divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_d end_ARG divide start_ARG italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k , italic_d end_POSTSUBSCRIPT over¯ start_ARG italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_k , italic_d end_POSTSUBSCRIPT end_ARG italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_k start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_d end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_d end_POSTSUBSCRIPT end_ARG italic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_d end_ARG divide start_ARG italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k , italic_d end_POSTSUBSCRIPT italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_k start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_d end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_k , italic_d end_POSTSUBSCRIPT italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_d end_POSTSUBSCRIPT end_ARG italic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr> </tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.11.p5.8">where we have used that for unit complex numbers conjugation is equivalent to taking reciprocals. In particular,</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E9"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(3.9)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="{\rm Tr}(A_{j,k}A_{j^{\prime},k^{\prime}})=\frac{1}{d}\,\frac{C_{j,k,d}C_{j^{% \prime},k^{\prime},d}}{C_{j^{\prime},k,d}C_{j,k^{\prime},d}}{\rm Tr}(P_{j}Q_{k% ^{\prime}})=\frac{1}{d^{2}}\,\frac{C_{j,k,d}C_{j^{\prime},k^{\prime},d}}{C_{j^% {\prime},k,d}C_{j,k^{\prime},d}}." class="ltx_Math" display="block" id="S3.E9.m1.29"><semantics id="S3.E9.m1.29a"><mrow id="S3.E9.m1.29.29.1" xref="S3.E9.m1.29.29.1.1.cmml"><mrow id="S3.E9.m1.29.29.1.1" xref="S3.E9.m1.29.29.1.1.cmml"><mrow id="S3.E9.m1.29.29.1.1.1" xref="S3.E9.m1.29.29.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E9.m1.29.29.1.1.1.3" xref="S3.E9.m1.29.29.1.1.1.3.cmml">Tr</mi><mo id="S3.E9.m1.29.29.1.1.1.2" xref="S3.E9.m1.29.29.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E9.m1.29.29.1.1.1.1.1" xref="S3.E9.m1.29.29.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E9.m1.29.29.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E9.m1.29.29.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E9.m1.29.29.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E9.m1.29.29.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E9.m1.29.29.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E9.m1.29.29.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E9.m1.29.29.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E9.m1.29.29.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">A</mi><mrow id="S3.E9.m1.2.2.2.4" xref="S3.E9.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E9.m1.1.1.1.1" xref="S3.E9.m1.1.1.1.1.cmml">j</mi><mo id="S3.E9.m1.2.2.2.4.1" xref="S3.E9.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.E9.m1.2.2.2.2" xref="S3.E9.m1.2.2.2.2.cmml">k</mi></mrow></msub><mo id="S3.E9.m1.29.29.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E9.m1.29.29.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E9.m1.29.29.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E9.m1.29.29.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E9.m1.29.29.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E9.m1.29.29.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">A</mi><mrow id="S3.E9.m1.4.4.2.2" xref="S3.E9.m1.4.4.2.3.cmml"><msup id="S3.E9.m1.3.3.1.1.1" xref="S3.E9.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E9.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S3.E9.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">j</mi><mo id="S3.E9.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S3.E9.m1.3.3.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.E9.m1.4.4.2.2.3" xref="S3.E9.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><msup id="S3.E9.m1.4.4.2.2.2" xref="S3.E9.m1.4.4.2.2.2.cmml"><mi id="S3.E9.m1.4.4.2.2.2.2" xref="S3.E9.m1.4.4.2.2.2.2.cmml">k</mi><mo id="S3.E9.m1.4.4.2.2.2.3" xref="S3.E9.m1.4.4.2.2.2.3.cmml">′</mo></msup></mrow></msub></mrow><mo id="S3.E9.m1.29.29.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E9.m1.29.29.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E9.m1.29.29.1.1.4" xref="S3.E9.m1.29.29.1.1.4.cmml">=</mo><mrow id="S3.E9.m1.29.29.1.1.2" xref="S3.E9.m1.29.29.1.1.2.cmml"><mfrac id="S3.E9.m1.29.29.1.1.2.3" xref="S3.E9.m1.29.29.1.1.2.3.cmml"><mn id="S3.E9.m1.29.29.1.1.2.3.2" xref="S3.E9.m1.29.29.1.1.2.3.2.cmml">1</mn><mi id="S3.E9.m1.29.29.1.1.2.3.3" xref="S3.E9.m1.29.29.1.1.2.3.3.cmml">d</mi></mfrac><mo id="S3.E9.m1.29.29.1.1.2.2" lspace="0.170em" xref="S3.E9.m1.29.29.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mfrac id="S3.E9.m1.16.16" xref="S3.E9.m1.16.16.cmml"><mrow id="S3.E9.m1.10.10.6" xref="S3.E9.m1.10.10.6.cmml"><msub id="S3.E9.m1.10.10.6.8" xref="S3.E9.m1.10.10.6.8.cmml"><mi id="S3.E9.m1.10.10.6.8.2" xref="S3.E9.m1.10.10.6.8.2.cmml">C</mi><mrow id="S3.E9.m1.7.7.3.3.3.5" xref="S3.E9.m1.7.7.3.3.3.4.cmml"><mi id="S3.E9.m1.5.5.1.1.1.1" xref="S3.E9.m1.5.5.1.1.1.1.cmml">j</mi><mo id="S3.E9.m1.7.7.3.3.3.5.1" xref="S3.E9.m1.7.7.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.E9.m1.6.6.2.2.2.2" xref="S3.E9.m1.6.6.2.2.2.2.cmml">k</mi><mo id="S3.E9.m1.7.7.3.3.3.5.2" xref="S3.E9.m1.7.7.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.E9.m1.7.7.3.3.3.3" xref="S3.E9.m1.7.7.3.3.3.3.cmml">d</mi></mrow></msub><mo id="S3.E9.m1.10.10.6.7" xref="S3.E9.m1.10.10.6.7.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E9.m1.10.10.6.9" xref="S3.E9.m1.10.10.6.9.cmml"><mi id="S3.E9.m1.10.10.6.9.2" xref="S3.E9.m1.10.10.6.9.2.cmml">C</mi><mrow id="S3.E9.m1.10.10.6.6.3.3" xref="S3.E9.m1.10.10.6.6.3.4.cmml"><msup id="S3.E9.m1.9.9.5.5.2.2.1" xref="S3.E9.m1.9.9.5.5.2.2.1.cmml"><mi id="S3.E9.m1.9.9.5.5.2.2.1.2" xref="S3.E9.m1.9.9.5.5.2.2.1.2.cmml">j</mi><mo id="S3.E9.m1.9.9.5.5.2.2.1.3" xref="S3.E9.m1.9.9.5.5.2.2.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.E9.m1.10.10.6.6.3.3.3" xref="S3.E9.m1.10.10.6.6.3.4.cmml">,</mo><msup id="S3.E9.m1.10.10.6.6.3.3.2" xref="S3.E9.m1.10.10.6.6.3.3.2.cmml"><mi id="S3.E9.m1.10.10.6.6.3.3.2.2" xref="S3.E9.m1.10.10.6.6.3.3.2.2.cmml">k</mi><mo id="S3.E9.m1.10.10.6.6.3.3.2.3" xref="S3.E9.m1.10.10.6.6.3.3.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.E9.m1.10.10.6.6.3.3.4" xref="S3.E9.m1.10.10.6.6.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.E9.m1.8.8.4.4.1.1" xref="S3.E9.m1.8.8.4.4.1.1.cmml">d</mi></mrow></msub></mrow><mrow id="S3.E9.m1.16.16.12" xref="S3.E9.m1.16.16.12.cmml"><msub id="S3.E9.m1.16.16.12.8" xref="S3.E9.m1.16.16.12.8.cmml"><mi id="S3.E9.m1.16.16.12.8.2" xref="S3.E9.m1.16.16.12.8.2.cmml">C</mi><mrow id="S3.E9.m1.13.13.9.3.3.3" xref="S3.E9.m1.13.13.9.3.3.4.cmml"><msup id="S3.E9.m1.13.13.9.3.3.3.1" xref="S3.E9.m1.13.13.9.3.3.3.1.cmml"><mi id="S3.E9.m1.13.13.9.3.3.3.1.2" xref="S3.E9.m1.13.13.9.3.3.3.1.2.cmml">j</mi><mo id="S3.E9.m1.13.13.9.3.3.3.1.3" xref="S3.E9.m1.13.13.9.3.3.3.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.E9.m1.13.13.9.3.3.3.2" xref="S3.E9.m1.13.13.9.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.E9.m1.11.11.7.1.1.1" xref="S3.E9.m1.11.11.7.1.1.1.cmml">k</mi><mo id="S3.E9.m1.13.13.9.3.3.3.3" xref="S3.E9.m1.13.13.9.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.E9.m1.12.12.8.2.2.2" xref="S3.E9.m1.12.12.8.2.2.2.cmml">d</mi></mrow></msub><mo id="S3.E9.m1.16.16.12.7" xref="S3.E9.m1.16.16.12.7.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E9.m1.16.16.12.9" xref="S3.E9.m1.16.16.12.9.cmml"><mi id="S3.E9.m1.16.16.12.9.2" xref="S3.E9.m1.16.16.12.9.2.cmml">C</mi><mrow id="S3.E9.m1.16.16.12.6.3.3" xref="S3.E9.m1.16.16.12.6.3.4.cmml"><mi id="S3.E9.m1.14.14.10.4.1.1" xref="S3.E9.m1.14.14.10.4.1.1.cmml">j</mi><mo id="S3.E9.m1.16.16.12.6.3.3.2" xref="S3.E9.m1.16.16.12.6.3.4.cmml">,</mo><msup id="S3.E9.m1.16.16.12.6.3.3.1" xref="S3.E9.m1.16.16.12.6.3.3.1.cmml"><mi id="S3.E9.m1.16.16.12.6.3.3.1.2" xref="S3.E9.m1.16.16.12.6.3.3.1.2.cmml">k</mi><mo id="S3.E9.m1.16.16.12.6.3.3.1.3" xref="S3.E9.m1.16.16.12.6.3.3.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.E9.m1.16.16.12.6.3.3.3" xref="S3.E9.m1.16.16.12.6.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.E9.m1.15.15.11.5.2.2" xref="S3.E9.m1.15.15.11.5.2.2.cmml">d</mi></mrow></msub></mrow></mfrac><mo id="S3.E9.m1.29.29.1.1.2.2a" xref="S3.E9.m1.29.29.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E9.m1.29.29.1.1.2.4" xref="S3.E9.m1.29.29.1.1.2.4.cmml">Tr</mi><mo id="S3.E9.m1.29.29.1.1.2.2b" xref="S3.E9.m1.29.29.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E9.m1.29.29.1.1.2.1.1" xref="S3.E9.m1.29.29.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E9.m1.29.29.1.1.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E9.m1.29.29.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E9.m1.29.29.1.1.2.1.1.1" xref="S3.E9.m1.29.29.1.1.2.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E9.m1.29.29.1.1.2.1.1.1.2" xref="S3.E9.m1.29.29.1.1.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E9.m1.29.29.1.1.2.1.1.1.2.2" xref="S3.E9.m1.29.29.1.1.2.1.1.1.2.2.cmml">P</mi><mi id="S3.E9.m1.29.29.1.1.2.1.1.1.2.3" xref="S3.E9.m1.29.29.1.1.2.1.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.E9.m1.29.29.1.1.2.1.1.1.1" xref="S3.E9.m1.29.29.1.1.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E9.m1.29.29.1.1.2.1.1.1.3" xref="S3.E9.m1.29.29.1.1.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E9.m1.29.29.1.1.2.1.1.1.3.2" xref="S3.E9.m1.29.29.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml">Q</mi><msup id="S3.E9.m1.29.29.1.1.2.1.1.1.3.3" xref="S3.E9.m1.29.29.1.1.2.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.E9.m1.29.29.1.1.2.1.1.1.3.3.2" xref="S3.E9.m1.29.29.1.1.2.1.1.1.3.3.2.cmml">k</mi><mo id="S3.E9.m1.29.29.1.1.2.1.1.1.3.3.3" xref="S3.E9.m1.29.29.1.1.2.1.1.1.3.3.3.cmml">′</mo></msup></msub></mrow><mo id="S3.E9.m1.29.29.1.1.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E9.m1.29.29.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E9.m1.29.29.1.1.5" xref="S3.E9.m1.29.29.1.1.5.cmml">=</mo><mrow id="S3.E9.m1.29.29.1.1.6" xref="S3.E9.m1.29.29.1.1.6.cmml"><mfrac id="S3.E9.m1.29.29.1.1.6.2" xref="S3.E9.m1.29.29.1.1.6.2.cmml"><mn id="S3.E9.m1.29.29.1.1.6.2.2" xref="S3.E9.m1.29.29.1.1.6.2.2.cmml">1</mn><msup id="S3.E9.m1.29.29.1.1.6.2.3" xref="S3.E9.m1.29.29.1.1.6.2.3.cmml"><mi id="S3.E9.m1.29.29.1.1.6.2.3.2" xref="S3.E9.m1.29.29.1.1.6.2.3.2.cmml">d</mi><mn id="S3.E9.m1.29.29.1.1.6.2.3.3" xref="S3.E9.m1.29.29.1.1.6.2.3.3.cmml">2</mn></msup></mfrac><mo id="S3.E9.m1.29.29.1.1.6.1" lspace="0.170em" xref="S3.E9.m1.29.29.1.1.6.1.cmml">⁢</mo><mfrac id="S3.E9.m1.28.28" xref="S3.E9.m1.28.28.cmml"><mrow id="S3.E9.m1.22.22.6" xref="S3.E9.m1.22.22.6.cmml"><msub id="S3.E9.m1.22.22.6.8" xref="S3.E9.m1.22.22.6.8.cmml"><mi id="S3.E9.m1.22.22.6.8.2" xref="S3.E9.m1.22.22.6.8.2.cmml">C</mi><mrow id="S3.E9.m1.19.19.3.3.3.5" xref="S3.E9.m1.19.19.3.3.3.4.cmml"><mi id="S3.E9.m1.17.17.1.1.1.1" xref="S3.E9.m1.17.17.1.1.1.1.cmml">j</mi><mo id="S3.E9.m1.19.19.3.3.3.5.1" xref="S3.E9.m1.19.19.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.E9.m1.18.18.2.2.2.2" xref="S3.E9.m1.18.18.2.2.2.2.cmml">k</mi><mo id="S3.E9.m1.19.19.3.3.3.5.2" xref="S3.E9.m1.19.19.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.E9.m1.19.19.3.3.3.3" xref="S3.E9.m1.19.19.3.3.3.3.cmml">d</mi></mrow></msub><mo id="S3.E9.m1.22.22.6.7" xref="S3.E9.m1.22.22.6.7.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E9.m1.22.22.6.9" xref="S3.E9.m1.22.22.6.9.cmml"><mi id="S3.E9.m1.22.22.6.9.2" xref="S3.E9.m1.22.22.6.9.2.cmml">C</mi><mrow id="S3.E9.m1.22.22.6.6.3.3" xref="S3.E9.m1.22.22.6.6.3.4.cmml"><msup id="S3.E9.m1.21.21.5.5.2.2.1" xref="S3.E9.m1.21.21.5.5.2.2.1.cmml"><mi id="S3.E9.m1.21.21.5.5.2.2.1.2" xref="S3.E9.m1.21.21.5.5.2.2.1.2.cmml">j</mi><mo id="S3.E9.m1.21.21.5.5.2.2.1.3" xref="S3.E9.m1.21.21.5.5.2.2.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.E9.m1.22.22.6.6.3.3.3" xref="S3.E9.m1.22.22.6.6.3.4.cmml">,</mo><msup id="S3.E9.m1.22.22.6.6.3.3.2" xref="S3.E9.m1.22.22.6.6.3.3.2.cmml"><mi id="S3.E9.m1.22.22.6.6.3.3.2.2" xref="S3.E9.m1.22.22.6.6.3.3.2.2.cmml">k</mi><mo id="S3.E9.m1.22.22.6.6.3.3.2.3" xref="S3.E9.m1.22.22.6.6.3.3.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.E9.m1.22.22.6.6.3.3.4" xref="S3.E9.m1.22.22.6.6.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.E9.m1.20.20.4.4.1.1" xref="S3.E9.m1.20.20.4.4.1.1.cmml">d</mi></mrow></msub></mrow><mrow id="S3.E9.m1.28.28.12" xref="S3.E9.m1.28.28.12.cmml"><msub id="S3.E9.m1.28.28.12.8" xref="S3.E9.m1.28.28.12.8.cmml"><mi id="S3.E9.m1.28.28.12.8.2" xref="S3.E9.m1.28.28.12.8.2.cmml">C</mi><mrow id="S3.E9.m1.25.25.9.3.3.3" xref="S3.E9.m1.25.25.9.3.3.4.cmml"><msup id="S3.E9.m1.25.25.9.3.3.3.1" xref="S3.E9.m1.25.25.9.3.3.3.1.cmml"><mi id="S3.E9.m1.25.25.9.3.3.3.1.2" xref="S3.E9.m1.25.25.9.3.3.3.1.2.cmml">j</mi><mo id="S3.E9.m1.25.25.9.3.3.3.1.3" xref="S3.E9.m1.25.25.9.3.3.3.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.E9.m1.25.25.9.3.3.3.2" xref="S3.E9.m1.25.25.9.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.E9.m1.23.23.7.1.1.1" xref="S3.E9.m1.23.23.7.1.1.1.cmml">k</mi><mo id="S3.E9.m1.25.25.9.3.3.3.3" xref="S3.E9.m1.25.25.9.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.E9.m1.24.24.8.2.2.2" xref="S3.E9.m1.24.24.8.2.2.2.cmml">d</mi></mrow></msub><mo id="S3.E9.m1.28.28.12.7" xref="S3.E9.m1.28.28.12.7.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E9.m1.28.28.12.9" xref="S3.E9.m1.28.28.12.9.cmml"><mi id="S3.E9.m1.28.28.12.9.2" xref="S3.E9.m1.28.28.12.9.2.cmml">C</mi><mrow id="S3.E9.m1.28.28.12.6.3.3" xref="S3.E9.m1.28.28.12.6.3.4.cmml"><mi id="S3.E9.m1.26.26.10.4.1.1" xref="S3.E9.m1.26.26.10.4.1.1.cmml">j</mi><mo id="S3.E9.m1.28.28.12.6.3.3.2" xref="S3.E9.m1.28.28.12.6.3.4.cmml">,</mo><msup id="S3.E9.m1.28.28.12.6.3.3.1" xref="S3.E9.m1.28.28.12.6.3.3.1.cmml"><mi id="S3.E9.m1.28.28.12.6.3.3.1.2" xref="S3.E9.m1.28.28.12.6.3.3.1.2.cmml">k</mi><mo id="S3.E9.m1.28.28.12.6.3.3.1.3" xref="S3.E9.m1.28.28.12.6.3.3.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.E9.m1.28.28.12.6.3.3.3" xref="S3.E9.m1.28.28.12.6.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.E9.m1.27.27.11.5.2.2" xref="S3.E9.m1.27.27.11.5.2.2.cmml">d</mi></mrow></msub></mrow></mfrac></mrow></mrow><mo id="S3.E9.m1.29.29.1.2" lspace="0em" xref="S3.E9.m1.29.29.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E9.m1.29b"><apply id="S3.E9.m1.29.29.1.1.cmml" xref="S3.E9.m1.29.29.1"><and id="S3.E9.m1.29.29.1.1a.cmml" xref="S3.E9.m1.29.29.1"></and><apply id="S3.E9.m1.29.29.1.1b.cmml" xref="S3.E9.m1.29.29.1"><eq id="S3.E9.m1.29.29.1.1.4.cmml" xref="S3.E9.m1.29.29.1.1.4"></eq><apply id="S3.E9.m1.29.29.1.1.1.cmml" xref="S3.E9.m1.29.29.1.1.1"><times id="S3.E9.m1.29.29.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E9.m1.29.29.1.1.1.2"></times><ci id="S3.E9.m1.29.29.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E9.m1.29.29.1.1.1.3">Tr</ci><apply id="S3.E9.m1.29.29.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E9.m1.29.29.1.1.1.1.1"><times id="S3.E9.m1.29.29.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E9.m1.29.29.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S3.E9.m1.29.29.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E9.m1.29.29.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E9.m1.29.29.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E9.m1.29.29.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E9.m1.29.29.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E9.m1.29.29.1.1.1.1.1.1.2.2">𝐴</ci><list id="S3.E9.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E9.m1.2.2.2.4"><ci id="S3.E9.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E9.m1.1.1.1.1">𝑗</ci><ci id="S3.E9.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E9.m1.2.2.2.2">𝑘</ci></list></apply><apply id="S3.E9.m1.29.29.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E9.m1.29.29.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E9.m1.29.29.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E9.m1.29.29.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E9.m1.29.29.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E9.m1.29.29.1.1.1.1.1.1.3.2">𝐴</ci><list id="S3.E9.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S3.E9.m1.4.4.2.2"><apply id="S3.E9.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.E9.m1.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E9.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E9.m1.3.3.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.E9.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E9.m1.3.3.1.1.1.2">𝑗</ci><ci id="S3.E9.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E9.m1.3.3.1.1.1.3">′</ci></apply><apply id="S3.E9.m1.4.4.2.2.2.cmml" xref="S3.E9.m1.4.4.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E9.m1.4.4.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E9.m1.4.4.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S3.E9.m1.4.4.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E9.m1.4.4.2.2.2.2">𝑘</ci><ci id="S3.E9.m1.4.4.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E9.m1.4.4.2.2.2.3">′</ci></apply></list></apply></apply></apply><apply id="S3.E9.m1.29.29.1.1.2.cmml" xref="S3.E9.m1.29.29.1.1.2"><times id="S3.E9.m1.29.29.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E9.m1.29.29.1.1.2.2"></times><apply id="S3.E9.m1.29.29.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E9.m1.29.29.1.1.2.3"><divide id="S3.E9.m1.29.29.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.E9.m1.29.29.1.1.2.3"></divide><cn id="S3.E9.m1.29.29.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.E9.m1.29.29.1.1.2.3.2">1</cn><ci id="S3.E9.m1.29.29.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.E9.m1.29.29.1.1.2.3.3">𝑑</ci></apply><apply id="S3.E9.m1.16.16.cmml" xref="S3.E9.m1.16.16"><divide id="S3.E9.m1.16.16.13.cmml" xref="S3.E9.m1.16.16"></divide><apply id="S3.E9.m1.10.10.6.cmml" xref="S3.E9.m1.10.10.6"><times id="S3.E9.m1.10.10.6.7.cmml" xref="S3.E9.m1.10.10.6.7"></times><apply id="S3.E9.m1.10.10.6.8.cmml" xref="S3.E9.m1.10.10.6.8"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E9.m1.10.10.6.8.1.cmml" xref="S3.E9.m1.10.10.6.8">subscript</csymbol><ci id="S3.E9.m1.10.10.6.8.2.cmml" xref="S3.E9.m1.10.10.6.8.2">𝐶</ci><list id="S3.E9.m1.7.7.3.3.3.4.cmml" xref="S3.E9.m1.7.7.3.3.3.5"><ci id="S3.E9.m1.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E9.m1.5.5.1.1.1.1">𝑗</ci><ci id="S3.E9.m1.6.6.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E9.m1.6.6.2.2.2.2">𝑘</ci><ci id="S3.E9.m1.7.7.3.3.3.3.cmml" xref="S3.E9.m1.7.7.3.3.3.3">𝑑</ci></list></apply><apply id="S3.E9.m1.10.10.6.9.cmml" xref="S3.E9.m1.10.10.6.9"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E9.m1.10.10.6.9.1.cmml" xref="S3.E9.m1.10.10.6.9">subscript</csymbol><ci id="S3.E9.m1.10.10.6.9.2.cmml" xref="S3.E9.m1.10.10.6.9.2">𝐶</ci><list id="S3.E9.m1.10.10.6.6.3.4.cmml" xref="S3.E9.m1.10.10.6.6.3.3"><apply id="S3.E9.m1.9.9.5.5.2.2.1.cmml" xref="S3.E9.m1.9.9.5.5.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E9.m1.9.9.5.5.2.2.1.1.cmml" xref="S3.E9.m1.9.9.5.5.2.2.1">superscript</csymbol><ci id="S3.E9.m1.9.9.5.5.2.2.1.2.cmml" xref="S3.E9.m1.9.9.5.5.2.2.1.2">𝑗</ci><ci id="S3.E9.m1.9.9.5.5.2.2.1.3.cmml" xref="S3.E9.m1.9.9.5.5.2.2.1.3">′</ci></apply><apply id="S3.E9.m1.10.10.6.6.3.3.2.cmml" xref="S3.E9.m1.10.10.6.6.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E9.m1.10.10.6.6.3.3.2.1.cmml" xref="S3.E9.m1.10.10.6.6.3.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.E9.m1.10.10.6.6.3.3.2.2.cmml" xref="S3.E9.m1.10.10.6.6.3.3.2.2">𝑘</ci><ci id="S3.E9.m1.10.10.6.6.3.3.2.3.cmml" xref="S3.E9.m1.10.10.6.6.3.3.2.3">′</ci></apply><ci id="S3.E9.m1.8.8.4.4.1.1.cmml" xref="S3.E9.m1.8.8.4.4.1.1">𝑑</ci></list></apply></apply><apply id="S3.E9.m1.16.16.12.cmml" xref="S3.E9.m1.16.16.12"><times id="S3.E9.m1.16.16.12.7.cmml" xref="S3.E9.m1.16.16.12.7"></times><apply id="S3.E9.m1.16.16.12.8.cmml" xref="S3.E9.m1.16.16.12.8"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E9.m1.16.16.12.8.1.cmml" xref="S3.E9.m1.16.16.12.8">subscript</csymbol><ci id="S3.E9.m1.16.16.12.8.2.cmml" xref="S3.E9.m1.16.16.12.8.2">𝐶</ci><list id="S3.E9.m1.13.13.9.3.3.4.cmml" xref="S3.E9.m1.13.13.9.3.3.3"><apply id="S3.E9.m1.13.13.9.3.3.3.1.cmml" xref="S3.E9.m1.13.13.9.3.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E9.m1.13.13.9.3.3.3.1.1.cmml" xref="S3.E9.m1.13.13.9.3.3.3.1">superscript</csymbol><ci id="S3.E9.m1.13.13.9.3.3.3.1.2.cmml" xref="S3.E9.m1.13.13.9.3.3.3.1.2">𝑗</ci><ci id="S3.E9.m1.13.13.9.3.3.3.1.3.cmml" xref="S3.E9.m1.13.13.9.3.3.3.1.3">′</ci></apply><ci id="S3.E9.m1.11.11.7.1.1.1.cmml" xref="S3.E9.m1.11.11.7.1.1.1">𝑘</ci><ci id="S3.E9.m1.12.12.8.2.2.2.cmml" xref="S3.E9.m1.12.12.8.2.2.2">𝑑</ci></list></apply><apply id="S3.E9.m1.16.16.12.9.cmml" xref="S3.E9.m1.16.16.12.9"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E9.m1.16.16.12.9.1.cmml" xref="S3.E9.m1.16.16.12.9">subscript</csymbol><ci id="S3.E9.m1.16.16.12.9.2.cmml" xref="S3.E9.m1.16.16.12.9.2">𝐶</ci><list id="S3.E9.m1.16.16.12.6.3.4.cmml" xref="S3.E9.m1.16.16.12.6.3.3"><ci id="S3.E9.m1.14.14.10.4.1.1.cmml" xref="S3.E9.m1.14.14.10.4.1.1">𝑗</ci><apply id="S3.E9.m1.16.16.12.6.3.3.1.cmml" xref="S3.E9.m1.16.16.12.6.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E9.m1.16.16.12.6.3.3.1.1.cmml" xref="S3.E9.m1.16.16.12.6.3.3.1">superscript</csymbol><ci id="S3.E9.m1.16.16.12.6.3.3.1.2.cmml" xref="S3.E9.m1.16.16.12.6.3.3.1.2">𝑘</ci><ci id="S3.E9.m1.16.16.12.6.3.3.1.3.cmml" xref="S3.E9.m1.16.16.12.6.3.3.1.3">′</ci></apply><ci id="S3.E9.m1.15.15.11.5.2.2.cmml" xref="S3.E9.m1.15.15.11.5.2.2">𝑑</ci></list></apply></apply></apply><ci id="S3.E9.m1.29.29.1.1.2.4.cmml" xref="S3.E9.m1.29.29.1.1.2.4">Tr</ci><apply id="S3.E9.m1.29.29.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S3.E9.m1.29.29.1.1.2.1.1"><times id="S3.E9.m1.29.29.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E9.m1.29.29.1.1.2.1.1.1.1"></times><apply id="S3.E9.m1.29.29.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E9.m1.29.29.1.1.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E9.m1.29.29.1.1.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E9.m1.29.29.1.1.2.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E9.m1.29.29.1.1.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E9.m1.29.29.1.1.2.1.1.1.2.2">𝑃</ci><ci id="S3.E9.m1.29.29.1.1.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E9.m1.29.29.1.1.2.1.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.E9.m1.29.29.1.1.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E9.m1.29.29.1.1.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E9.m1.29.29.1.1.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E9.m1.29.29.1.1.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E9.m1.29.29.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E9.m1.29.29.1.1.2.1.1.1.3.2">𝑄</ci><apply id="S3.E9.m1.29.29.1.1.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E9.m1.29.29.1.1.2.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E9.m1.29.29.1.1.2.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E9.m1.29.29.1.1.2.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E9.m1.29.29.1.1.2.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.E9.m1.29.29.1.1.2.1.1.1.3.3.2">𝑘</ci><ci id="S3.E9.m1.29.29.1.1.2.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.E9.m1.29.29.1.1.2.1.1.1.3.3.3">′</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E9.m1.29.29.1.1c.cmml" xref="S3.E9.m1.29.29.1"><eq id="S3.E9.m1.29.29.1.1.5.cmml" xref="S3.E9.m1.29.29.1.1.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#S3.E9.m1.29.29.1.1.2.cmml" id="S3.E9.m1.29.29.1.1d.cmml" xref="S3.E9.m1.29.29.1"></share><apply id="S3.E9.m1.29.29.1.1.6.cmml" xref="S3.E9.m1.29.29.1.1.6"><times id="S3.E9.m1.29.29.1.1.6.1.cmml" xref="S3.E9.m1.29.29.1.1.6.1"></times><apply id="S3.E9.m1.29.29.1.1.6.2.cmml" xref="S3.E9.m1.29.29.1.1.6.2"><divide id="S3.E9.m1.29.29.1.1.6.2.1.cmml" xref="S3.E9.m1.29.29.1.1.6.2"></divide><cn id="S3.E9.m1.29.29.1.1.6.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.E9.m1.29.29.1.1.6.2.2">1</cn><apply id="S3.E9.m1.29.29.1.1.6.2.3.cmml" xref="S3.E9.m1.29.29.1.1.6.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E9.m1.29.29.1.1.6.2.3.1.cmml" xref="S3.E9.m1.29.29.1.1.6.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E9.m1.29.29.1.1.6.2.3.2.cmml" xref="S3.E9.m1.29.29.1.1.6.2.3.2">𝑑</ci><cn id="S3.E9.m1.29.29.1.1.6.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E9.m1.29.29.1.1.6.2.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S3.E9.m1.28.28.cmml" xref="S3.E9.m1.28.28"><divide id="S3.E9.m1.28.28.13.cmml" xref="S3.E9.m1.28.28"></divide><apply id="S3.E9.m1.22.22.6.cmml" xref="S3.E9.m1.22.22.6"><times id="S3.E9.m1.22.22.6.7.cmml" xref="S3.E9.m1.22.22.6.7"></times><apply id="S3.E9.m1.22.22.6.8.cmml" xref="S3.E9.m1.22.22.6.8"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E9.m1.22.22.6.8.1.cmml" xref="S3.E9.m1.22.22.6.8">subscript</csymbol><ci id="S3.E9.m1.22.22.6.8.2.cmml" xref="S3.E9.m1.22.22.6.8.2">𝐶</ci><list id="S3.E9.m1.19.19.3.3.3.4.cmml" xref="S3.E9.m1.19.19.3.3.3.5"><ci id="S3.E9.m1.17.17.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E9.m1.17.17.1.1.1.1">𝑗</ci><ci id="S3.E9.m1.18.18.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E9.m1.18.18.2.2.2.2">𝑘</ci><ci id="S3.E9.m1.19.19.3.3.3.3.cmml" xref="S3.E9.m1.19.19.3.3.3.3">𝑑</ci></list></apply><apply id="S3.E9.m1.22.22.6.9.cmml" xref="S3.E9.m1.22.22.6.9"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E9.m1.22.22.6.9.1.cmml" xref="S3.E9.m1.22.22.6.9">subscript</csymbol><ci id="S3.E9.m1.22.22.6.9.2.cmml" xref="S3.E9.m1.22.22.6.9.2">𝐶</ci><list id="S3.E9.m1.22.22.6.6.3.4.cmml" xref="S3.E9.m1.22.22.6.6.3.3"><apply id="S3.E9.m1.21.21.5.5.2.2.1.cmml" xref="S3.E9.m1.21.21.5.5.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E9.m1.21.21.5.5.2.2.1.1.cmml" xref="S3.E9.m1.21.21.5.5.2.2.1">superscript</csymbol><ci id="S3.E9.m1.21.21.5.5.2.2.1.2.cmml" xref="S3.E9.m1.21.21.5.5.2.2.1.2">𝑗</ci><ci id="S3.E9.m1.21.21.5.5.2.2.1.3.cmml" xref="S3.E9.m1.21.21.5.5.2.2.1.3">′</ci></apply><apply id="S3.E9.m1.22.22.6.6.3.3.2.cmml" xref="S3.E9.m1.22.22.6.6.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E9.m1.22.22.6.6.3.3.2.1.cmml" xref="S3.E9.m1.22.22.6.6.3.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.E9.m1.22.22.6.6.3.3.2.2.cmml" xref="S3.E9.m1.22.22.6.6.3.3.2.2">𝑘</ci><ci id="S3.E9.m1.22.22.6.6.3.3.2.3.cmml" xref="S3.E9.m1.22.22.6.6.3.3.2.3">′</ci></apply><ci id="S3.E9.m1.20.20.4.4.1.1.cmml" xref="S3.E9.m1.20.20.4.4.1.1">𝑑</ci></list></apply></apply><apply id="S3.E9.m1.28.28.12.cmml" xref="S3.E9.m1.28.28.12"><times id="S3.E9.m1.28.28.12.7.cmml" xref="S3.E9.m1.28.28.12.7"></times><apply id="S3.E9.m1.28.28.12.8.cmml" xref="S3.E9.m1.28.28.12.8"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E9.m1.28.28.12.8.1.cmml" xref="S3.E9.m1.28.28.12.8">subscript</csymbol><ci id="S3.E9.m1.28.28.12.8.2.cmml" xref="S3.E9.m1.28.28.12.8.2">𝐶</ci><list id="S3.E9.m1.25.25.9.3.3.4.cmml" xref="S3.E9.m1.25.25.9.3.3.3"><apply id="S3.E9.m1.25.25.9.3.3.3.1.cmml" xref="S3.E9.m1.25.25.9.3.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E9.m1.25.25.9.3.3.3.1.1.cmml" xref="S3.E9.m1.25.25.9.3.3.3.1">superscript</csymbol><ci id="S3.E9.m1.25.25.9.3.3.3.1.2.cmml" xref="S3.E9.m1.25.25.9.3.3.3.1.2">𝑗</ci><ci id="S3.E9.m1.25.25.9.3.3.3.1.3.cmml" xref="S3.E9.m1.25.25.9.3.3.3.1.3">′</ci></apply><ci id="S3.E9.m1.23.23.7.1.1.1.cmml" xref="S3.E9.m1.23.23.7.1.1.1">𝑘</ci><ci id="S3.E9.m1.24.24.8.2.2.2.cmml" xref="S3.E9.m1.24.24.8.2.2.2">𝑑</ci></list></apply><apply id="S3.E9.m1.28.28.12.9.cmml" xref="S3.E9.m1.28.28.12.9"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E9.m1.28.28.12.9.1.cmml" xref="S3.E9.m1.28.28.12.9">subscript</csymbol><ci id="S3.E9.m1.28.28.12.9.2.cmml" xref="S3.E9.m1.28.28.12.9.2">𝐶</ci><list id="S3.E9.m1.28.28.12.6.3.4.cmml" xref="S3.E9.m1.28.28.12.6.3.3"><ci id="S3.E9.m1.26.26.10.4.1.1.cmml" xref="S3.E9.m1.26.26.10.4.1.1">𝑗</ci><apply id="S3.E9.m1.28.28.12.6.3.3.1.cmml" xref="S3.E9.m1.28.28.12.6.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E9.m1.28.28.12.6.3.3.1.1.cmml" xref="S3.E9.m1.28.28.12.6.3.3.1">superscript</csymbol><ci id="S3.E9.m1.28.28.12.6.3.3.1.2.cmml" xref="S3.E9.m1.28.28.12.6.3.3.1.2">𝑘</ci><ci id="S3.E9.m1.28.28.12.6.3.3.1.3.cmml" xref="S3.E9.m1.28.28.12.6.3.3.1.3">′</ci></apply><ci id="S3.E9.m1.27.27.11.5.2.2.cmml" xref="S3.E9.m1.27.27.11.5.2.2">𝑑</ci></list></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E9.m1.29c">{\rm Tr}(A_{j,k}A_{j^{\prime},k^{\prime}})=\frac{1}{d}\,\frac{C_{j,k,d}C_{j^{% \prime},k^{\prime},d}}{C_{j^{\prime},k,d}C_{j,k^{\prime},d}}{\rm Tr}(P_{j}Q_{k% ^{\prime}})=\frac{1}{d^{2}}\,\frac{C_{j,k,d}C_{j^{\prime},k^{\prime},d}}{C_{j^% {\prime},k,d}C_{j,k^{\prime},d}}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E9.m1.29d">roman_Tr ( italic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k end_POSTSUBSCRIPT italic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_j start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_k start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ) = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_d end_ARG divide start_ARG italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k , italic_d end_POSTSUBSCRIPT italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_k start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_d end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_k , italic_d end_POSTSUBSCRIPT italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_d end_POSTSUBSCRIPT end_ARG roman_Tr ( italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_Q start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ) = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_d start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG divide start_ARG italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k , italic_d end_POSTSUBSCRIPT italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_k start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_d end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_k , italic_d end_POSTSUBSCRIPT italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_d end_POSTSUBSCRIPT end_ARG .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S3.12.p6"> <p class="ltx_p" id="S3.12.p6.1">We can now show that <math alttext="R_{l}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.12.p6.1.m1.1"><semantics id="S3.12.p6.1.m1.1a"><msub id="S3.12.p6.1.m1.1.1" xref="S3.12.p6.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.12.p6.1.m1.1.1.2" xref="S3.12.p6.1.m1.1.1.2.cmml">R</mi><mi id="S3.12.p6.1.m1.1.1.3" xref="S3.12.p6.1.m1.1.1.3.cmml">l</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.12.p6.1.m1.1b"><apply id="S3.12.p6.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.12.p6.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.12.p6.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.12.p6.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.12.p6.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.12.p6.1.m1.1.1.2">𝑅</ci><ci id="S3.12.p6.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.12.p6.1.m1.1.1.3">𝑙</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.12.p6.1.m1.1c">R_{l}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.12.p6.1.m1.1d">italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is an orthogonal projection. We have that</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_eqnarray ltx_eqn_table" id="S4.EGx4"> <tbody id="S3.Ex18"> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle(R_{l}^{*})^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex15.m1.1"><semantics id="S3.Ex15.m1.1a"><msup id="S3.Ex15.m1.1.1" xref="S3.Ex15.m1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msubsup id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">R</mi><mi id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">l</mi><mo id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S3.Ex15.m1.1.1.3" xref="S3.Ex15.m1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex15.m1.1b"><apply id="S3.Ex15.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex15.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.2.2">𝑅</ci><ci id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.2.3">𝑙</ci></apply><times id="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex15.m1.1.1.1.1.1.3"></times></apply><cn id="S3.Ex15.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex15.m1.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex15.m1.1c">\displaystyle(R_{l}^{*})^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex15.m1.1d">( italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex15.m2.1"><semantics id="S3.Ex15.m2.1a"><mo id="S3.Ex15.m2.1.1" xref="S3.Ex15.m2.1.1.cmml">=</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex15.m2.1b"><eq id="S3.Ex15.m2.1.1.cmml" xref="S3.Ex15.m2.1.1"></eq></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex15.m2.1c">\displaystyle=</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex15.m2.1d">=</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\left(\frac{1}{\sqrt{d}}\sum_{j,k\in[d]}\overline{C_{j,k,l}}\,A_{% j,k}\right)^{2}=\frac{1}{d}\sum_{j,k,j^{\prime},k^{\prime}\in[d]}\overline{C_{% j,k,l}}\,\overline{C_{j^{\prime},k^{\prime},l}}A_{j,k}A_{j^{\prime},k^{\prime}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex15.m3.24"><semantics id="S3.Ex15.m3.24a"><mrow id="S3.Ex15.m3.24.24" xref="S3.Ex15.m3.24.24.cmml"><msup id="S3.Ex15.m3.24.24.1" xref="S3.Ex15.m3.24.24.1.cmml"><mrow id="S3.Ex15.m3.24.24.1.1.1" xref="S3.Ex15.m3.24.24.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex15.m3.24.24.1.1.1.2" xref="S3.Ex15.m3.24.24.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex15.m3.24.24.1.1.1.1" xref="S3.Ex15.m3.24.24.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex15.m3.24.24.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex15.m3.24.24.1.1.1.1.2.cmml"><mfrac id="S3.Ex15.m3.24.24.1.1.1.1.2a" xref="S3.Ex15.m3.24.24.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="S3.Ex15.m3.24.24.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex15.m3.24.24.1.1.1.1.2.2.cmml">1</mn><msqrt id="S3.Ex15.m3.24.24.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex15.m3.24.24.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex15.m3.24.24.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.Ex15.m3.24.24.1.1.1.1.2.3.2.cmml">d</mi></msqrt></mfrac></mstyle><mo id="S3.Ex15.m3.24.24.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex15.m3.24.24.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex15.m3.24.24.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex15.m3.24.24.1.1.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex15.m3.24.24.1.1.1.1.3.1" xref="S3.Ex15.m3.24.24.1.1.1.1.3.1.cmml"><munder id="S3.Ex15.m3.24.24.1.1.1.1.3.1a" xref="S3.Ex15.m3.24.24.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S3.Ex15.m3.24.24.1.1.1.1.3.1.2" movablelimits="false" xref="S3.Ex15.m3.24.24.1.1.1.1.3.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.Ex15.m3.3.3.3" xref="S3.Ex15.m3.3.3.3.cmml"><mrow id="S3.Ex15.m3.3.3.3.5.2" xref="S3.Ex15.m3.3.3.3.5.1.cmml"><mi id="S3.Ex15.m3.2.2.2.2" xref="S3.Ex15.m3.2.2.2.2.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex15.m3.3.3.3.5.2.1" xref="S3.Ex15.m3.3.3.3.5.1.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex15.m3.3.3.3.3" xref="S3.Ex15.m3.3.3.3.3.cmml">k</mi></mrow><mo id="S3.Ex15.m3.3.3.3.4" xref="S3.Ex15.m3.3.3.3.4.cmml">∈</mo><mrow id="S3.Ex15.m3.3.3.3.6.2" xref="S3.Ex15.m3.3.3.3.6.1.cmml"><mo id="S3.Ex15.m3.3.3.3.6.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex15.m3.3.3.3.6.1.1.cmml">[</mo><mi id="S3.Ex15.m3.1.1.1.1" xref="S3.Ex15.m3.1.1.1.1.cmml">d</mi><mo id="S3.Ex15.m3.3.3.3.6.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex15.m3.3.3.3.6.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></munder></mstyle><mrow id="S3.Ex15.m3.24.24.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex15.m3.24.24.1.1.1.1.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex15.m3.6.6" xref="S3.Ex15.m3.6.6.cmml"><msub id="S3.Ex15.m3.6.6.3" xref="S3.Ex15.m3.6.6.3.cmml"><mi id="S3.Ex15.m3.6.6.3.5" xref="S3.Ex15.m3.6.6.3.5.cmml">C</mi><mrow id="S3.Ex15.m3.6.6.3.3.3.5" xref="S3.Ex15.m3.6.6.3.3.3.4.cmml"><mi id="S3.Ex15.m3.4.4.1.1.1.1" xref="S3.Ex15.m3.4.4.1.1.1.1.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex15.m3.6.6.3.3.3.5.1" xref="S3.Ex15.m3.6.6.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex15.m3.5.5.2.2.2.2" xref="S3.Ex15.m3.5.5.2.2.2.2.cmml">k</mi><mo id="S3.Ex15.m3.6.6.3.3.3.5.2" xref="S3.Ex15.m3.6.6.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex15.m3.6.6.3.3.3.3" xref="S3.Ex15.m3.6.6.3.3.3.3.cmml">l</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex15.m3.6.6.4" xref="S3.Ex15.m3.6.6.4.cmml">¯</mo></mover><mo id="S3.Ex15.m3.24.24.1.1.1.1.3.2.1" xref="S3.Ex15.m3.24.24.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex15.m3.24.24.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex15.m3.24.24.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex15.m3.24.24.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S3.Ex15.m3.24.24.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">A</mi><mrow id="S3.Ex15.m3.8.8.2.4" xref="S3.Ex15.m3.8.8.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex15.m3.7.7.1.1" xref="S3.Ex15.m3.7.7.1.1.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex15.m3.8.8.2.4.1" xref="S3.Ex15.m3.8.8.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex15.m3.8.8.2.2" xref="S3.Ex15.m3.8.8.2.2.cmml">k</mi></mrow></msub></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex15.m3.24.24.1.1.1.3" xref="S3.Ex15.m3.24.24.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S3.Ex15.m3.24.24.1.3" xref="S3.Ex15.m3.24.24.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.Ex15.m3.24.24.2" xref="S3.Ex15.m3.24.24.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex15.m3.24.24.3" xref="S3.Ex15.m3.24.24.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex15.m3.24.24.3.2" xref="S3.Ex15.m3.24.24.3.2.cmml"><mfrac id="S3.Ex15.m3.24.24.3.2a" xref="S3.Ex15.m3.24.24.3.2.cmml"><mn id="S3.Ex15.m3.24.24.3.2.2" xref="S3.Ex15.m3.24.24.3.2.2.cmml">1</mn><mi id="S3.Ex15.m3.24.24.3.2.3" xref="S3.Ex15.m3.24.24.3.2.3.cmml">d</mi></mfrac></mstyle><mo id="S3.Ex15.m3.24.24.3.1" xref="S3.Ex15.m3.24.24.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex15.m3.24.24.3.3" xref="S3.Ex15.m3.24.24.3.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex15.m3.24.24.3.3.1" xref="S3.Ex15.m3.24.24.3.3.1.cmml"><munder id="S3.Ex15.m3.24.24.3.3.1a" xref="S3.Ex15.m3.24.24.3.3.1.cmml"><mo id="S3.Ex15.m3.24.24.3.3.1.2" movablelimits="false" xref="S3.Ex15.m3.24.24.3.3.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.Ex15.m3.13.13.5" xref="S3.Ex15.m3.13.13.5.cmml"><mrow id="S3.Ex15.m3.13.13.5.5.2" xref="S3.Ex15.m3.13.13.5.5.3.cmml"><mi id="S3.Ex15.m3.10.10.2.2" xref="S3.Ex15.m3.10.10.2.2.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex15.m3.13.13.5.5.2.3" xref="S3.Ex15.m3.13.13.5.5.3.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex15.m3.11.11.3.3" xref="S3.Ex15.m3.11.11.3.3.cmml">k</mi><mo id="S3.Ex15.m3.13.13.5.5.2.4" xref="S3.Ex15.m3.13.13.5.5.3.cmml">,</mo><msup id="S3.Ex15.m3.12.12.4.4.1.1" xref="S3.Ex15.m3.12.12.4.4.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex15.m3.12.12.4.4.1.1.2" xref="S3.Ex15.m3.12.12.4.4.1.1.2.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex15.m3.12.12.4.4.1.1.3" xref="S3.Ex15.m3.12.12.4.4.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.Ex15.m3.13.13.5.5.2.5" xref="S3.Ex15.m3.13.13.5.5.3.cmml">,</mo><msup id="S3.Ex15.m3.13.13.5.5.2.2" xref="S3.Ex15.m3.13.13.5.5.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex15.m3.13.13.5.5.2.2.2" xref="S3.Ex15.m3.13.13.5.5.2.2.2.cmml">k</mi><mo id="S3.Ex15.m3.13.13.5.5.2.2.3" xref="S3.Ex15.m3.13.13.5.5.2.2.3.cmml">′</mo></msup></mrow><mo id="S3.Ex15.m3.13.13.5.6" xref="S3.Ex15.m3.13.13.5.6.cmml">∈</mo><mrow id="S3.Ex15.m3.13.13.5.7.2" xref="S3.Ex15.m3.13.13.5.7.1.cmml"><mo id="S3.Ex15.m3.13.13.5.7.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex15.m3.13.13.5.7.1.1.cmml">[</mo><mi id="S3.Ex15.m3.9.9.1.1" xref="S3.Ex15.m3.9.9.1.1.cmml">d</mi><mo id="S3.Ex15.m3.13.13.5.7.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex15.m3.13.13.5.7.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></munder></mstyle><mrow id="S3.Ex15.m3.24.24.3.3.2" xref="S3.Ex15.m3.24.24.3.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex15.m3.16.16" xref="S3.Ex15.m3.16.16.cmml"><msub id="S3.Ex15.m3.16.16.3" xref="S3.Ex15.m3.16.16.3.cmml"><mi id="S3.Ex15.m3.16.16.3.5" xref="S3.Ex15.m3.16.16.3.5.cmml">C</mi><mrow id="S3.Ex15.m3.16.16.3.3.3.5" xref="S3.Ex15.m3.16.16.3.3.3.4.cmml"><mi id="S3.Ex15.m3.14.14.1.1.1.1" xref="S3.Ex15.m3.14.14.1.1.1.1.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex15.m3.16.16.3.3.3.5.1" xref="S3.Ex15.m3.16.16.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex15.m3.15.15.2.2.2.2" xref="S3.Ex15.m3.15.15.2.2.2.2.cmml">k</mi><mo id="S3.Ex15.m3.16.16.3.3.3.5.2" xref="S3.Ex15.m3.16.16.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex15.m3.16.16.3.3.3.3" xref="S3.Ex15.m3.16.16.3.3.3.3.cmml">l</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex15.m3.16.16.4" xref="S3.Ex15.m3.16.16.4.cmml">¯</mo></mover><mo id="S3.Ex15.m3.24.24.3.3.2.1" xref="S3.Ex15.m3.24.24.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S3.Ex15.m3.19.19" xref="S3.Ex15.m3.19.19.cmml"><msub id="S3.Ex15.m3.19.19.3" xref="S3.Ex15.m3.19.19.3.cmml"><mi id="S3.Ex15.m3.19.19.3.5" xref="S3.Ex15.m3.19.19.3.5.cmml">C</mi><mrow id="S3.Ex15.m3.19.19.3.3.3.3" xref="S3.Ex15.m3.19.19.3.3.3.4.cmml"><msup id="S3.Ex15.m3.18.18.2.2.2.2.1" xref="S3.Ex15.m3.18.18.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="S3.Ex15.m3.18.18.2.2.2.2.1.2" xref="S3.Ex15.m3.18.18.2.2.2.2.1.2.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex15.m3.18.18.2.2.2.2.1.3" xref="S3.Ex15.m3.18.18.2.2.2.2.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.Ex15.m3.19.19.3.3.3.3.3" xref="S3.Ex15.m3.19.19.3.3.3.4.cmml">,</mo><msup id="S3.Ex15.m3.19.19.3.3.3.3.2" xref="S3.Ex15.m3.19.19.3.3.3.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex15.m3.19.19.3.3.3.3.2.2" xref="S3.Ex15.m3.19.19.3.3.3.3.2.2.cmml">k</mi><mo id="S3.Ex15.m3.19.19.3.3.3.3.2.3" xref="S3.Ex15.m3.19.19.3.3.3.3.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.Ex15.m3.19.19.3.3.3.3.4" xref="S3.Ex15.m3.19.19.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex15.m3.17.17.1.1.1.1" xref="S3.Ex15.m3.17.17.1.1.1.1.cmml">l</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex15.m3.19.19.4" xref="S3.Ex15.m3.19.19.4.cmml">¯</mo></mover><mo id="S3.Ex15.m3.24.24.3.3.2.1a" xref="S3.Ex15.m3.24.24.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex15.m3.24.24.3.3.2.2" xref="S3.Ex15.m3.24.24.3.3.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex15.m3.24.24.3.3.2.2.2" xref="S3.Ex15.m3.24.24.3.3.2.2.2.cmml">A</mi><mrow id="S3.Ex15.m3.21.21.2.4" xref="S3.Ex15.m3.21.21.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex15.m3.20.20.1.1" xref="S3.Ex15.m3.20.20.1.1.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex15.m3.21.21.2.4.1" xref="S3.Ex15.m3.21.21.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex15.m3.21.21.2.2" xref="S3.Ex15.m3.21.21.2.2.cmml">k</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex15.m3.24.24.3.3.2.1b" xref="S3.Ex15.m3.24.24.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex15.m3.24.24.3.3.2.3" xref="S3.Ex15.m3.24.24.3.3.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex15.m3.24.24.3.3.2.3.2" xref="S3.Ex15.m3.24.24.3.3.2.3.2.cmml">A</mi><mrow id="S3.Ex15.m3.23.23.2.2" xref="S3.Ex15.m3.23.23.2.3.cmml"><msup id="S3.Ex15.m3.22.22.1.1.1" xref="S3.Ex15.m3.22.22.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex15.m3.22.22.1.1.1.2" xref="S3.Ex15.m3.22.22.1.1.1.2.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex15.m3.22.22.1.1.1.3" xref="S3.Ex15.m3.22.22.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.Ex15.m3.23.23.2.2.3" xref="S3.Ex15.m3.23.23.2.3.cmml">,</mo><msup id="S3.Ex15.m3.23.23.2.2.2" xref="S3.Ex15.m3.23.23.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex15.m3.23.23.2.2.2.2" xref="S3.Ex15.m3.23.23.2.2.2.2.cmml">k</mi><mo id="S3.Ex15.m3.23.23.2.2.2.3" xref="S3.Ex15.m3.23.23.2.2.2.3.cmml">′</mo></msup></mrow></msub></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex15.m3.24b"><apply id="S3.Ex15.m3.24.24.cmml" xref="S3.Ex15.m3.24.24"><eq id="S3.Ex15.m3.24.24.2.cmml" xref="S3.Ex15.m3.24.24.2"></eq><apply id="S3.Ex15.m3.24.24.1.cmml" xref="S3.Ex15.m3.24.24.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex15.m3.24.24.1.2.cmml" xref="S3.Ex15.m3.24.24.1">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex15.m3.24.24.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex15.m3.24.24.1.1.1"><times id="S3.Ex15.m3.24.24.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex15.m3.24.24.1.1.1.1.1"></times><apply id="S3.Ex15.m3.24.24.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex15.m3.24.24.1.1.1.1.2"><divide id="S3.Ex15.m3.24.24.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex15.m3.24.24.1.1.1.1.2"></divide><cn id="S3.Ex15.m3.24.24.1.1.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex15.m3.24.24.1.1.1.1.2.2">1</cn><apply id="S3.Ex15.m3.24.24.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex15.m3.24.24.1.1.1.1.2.3"><root id="S3.Ex15.m3.24.24.1.1.1.1.2.3a.cmml" xref="S3.Ex15.m3.24.24.1.1.1.1.2.3"></root><ci id="S3.Ex15.m3.24.24.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex15.m3.24.24.1.1.1.1.2.3.2">𝑑</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex15.m3.24.24.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex15.m3.24.24.1.1.1.1.3"><apply id="S3.Ex15.m3.24.24.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex15.m3.24.24.1.1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex15.m3.24.24.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex15.m3.24.24.1.1.1.1.3.1">subscript</csymbol><sum id="S3.Ex15.m3.24.24.1.1.1.1.3.1.2.cmml" xref="S3.Ex15.m3.24.24.1.1.1.1.3.1.2"></sum><apply id="S3.Ex15.m3.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex15.m3.3.3.3"><in id="S3.Ex15.m3.3.3.3.4.cmml" xref="S3.Ex15.m3.3.3.3.4"></in><list id="S3.Ex15.m3.3.3.3.5.1.cmml" xref="S3.Ex15.m3.3.3.3.5.2"><ci id="S3.Ex15.m3.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex15.m3.2.2.2.2">𝑗</ci><ci id="S3.Ex15.m3.3.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex15.m3.3.3.3.3">𝑘</ci></list><apply id="S3.Ex15.m3.3.3.3.6.1.cmml" xref="S3.Ex15.m3.3.3.3.6.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex15.m3.3.3.3.6.1.1.cmml" xref="S3.Ex15.m3.3.3.3.6.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S3.Ex15.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex15.m3.1.1.1.1">𝑑</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex15.m3.24.24.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex15.m3.24.24.1.1.1.1.3.2"><times id="S3.Ex15.m3.24.24.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex15.m3.24.24.1.1.1.1.3.2.1"></times><apply id="S3.Ex15.m3.6.6.cmml" xref="S3.Ex15.m3.6.6"><ci id="S3.Ex15.m3.6.6.4.cmml" xref="S3.Ex15.m3.6.6.4">¯</ci><apply id="S3.Ex15.m3.6.6.3.cmml" xref="S3.Ex15.m3.6.6.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex15.m3.6.6.3.4.cmml" xref="S3.Ex15.m3.6.6.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex15.m3.6.6.3.5.cmml" xref="S3.Ex15.m3.6.6.3.5">𝐶</ci><list id="S3.Ex15.m3.6.6.3.3.3.4.cmml" xref="S3.Ex15.m3.6.6.3.3.3.5"><ci id="S3.Ex15.m3.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex15.m3.4.4.1.1.1.1">𝑗</ci><ci id="S3.Ex15.m3.5.5.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex15.m3.5.5.2.2.2.2">𝑘</ci><ci id="S3.Ex15.m3.6.6.3.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex15.m3.6.6.3.3.3.3">𝑙</ci></list></apply></apply><apply id="S3.Ex15.m3.24.24.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex15.m3.24.24.1.1.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex15.m3.24.24.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex15.m3.24.24.1.1.1.1.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex15.m3.24.24.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex15.m3.24.24.1.1.1.1.3.2.2.2">𝐴</ci><list id="S3.Ex15.m3.8.8.2.3.cmml" xref="S3.Ex15.m3.8.8.2.4"><ci id="S3.Ex15.m3.7.7.1.1.cmml" xref="S3.Ex15.m3.7.7.1.1">𝑗</ci><ci id="S3.Ex15.m3.8.8.2.2.cmml" xref="S3.Ex15.m3.8.8.2.2">𝑘</ci></list></apply></apply></apply></apply><cn id="S3.Ex15.m3.24.24.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex15.m3.24.24.1.3">2</cn></apply><apply id="S3.Ex15.m3.24.24.3.cmml" xref="S3.Ex15.m3.24.24.3"><times id="S3.Ex15.m3.24.24.3.1.cmml" xref="S3.Ex15.m3.24.24.3.1"></times><apply id="S3.Ex15.m3.24.24.3.2.cmml" xref="S3.Ex15.m3.24.24.3.2"><divide id="S3.Ex15.m3.24.24.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex15.m3.24.24.3.2"></divide><cn id="S3.Ex15.m3.24.24.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex15.m3.24.24.3.2.2">1</cn><ci id="S3.Ex15.m3.24.24.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex15.m3.24.24.3.2.3">𝑑</ci></apply><apply id="S3.Ex15.m3.24.24.3.3.cmml" xref="S3.Ex15.m3.24.24.3.3"><apply id="S3.Ex15.m3.24.24.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex15.m3.24.24.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex15.m3.24.24.3.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex15.m3.24.24.3.3.1">subscript</csymbol><sum id="S3.Ex15.m3.24.24.3.3.1.2.cmml" xref="S3.Ex15.m3.24.24.3.3.1.2"></sum><apply id="S3.Ex15.m3.13.13.5.cmml" xref="S3.Ex15.m3.13.13.5"><in id="S3.Ex15.m3.13.13.5.6.cmml" xref="S3.Ex15.m3.13.13.5.6"></in><list id="S3.Ex15.m3.13.13.5.5.3.cmml" xref="S3.Ex15.m3.13.13.5.5.2"><ci id="S3.Ex15.m3.10.10.2.2.cmml" xref="S3.Ex15.m3.10.10.2.2">𝑗</ci><ci id="S3.Ex15.m3.11.11.3.3.cmml" xref="S3.Ex15.m3.11.11.3.3">𝑘</ci><apply id="S3.Ex15.m3.12.12.4.4.1.1.cmml" xref="S3.Ex15.m3.12.12.4.4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex15.m3.12.12.4.4.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex15.m3.12.12.4.4.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex15.m3.12.12.4.4.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex15.m3.12.12.4.4.1.1.2">𝑗</ci><ci id="S3.Ex15.m3.12.12.4.4.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex15.m3.12.12.4.4.1.1.3">′</ci></apply><apply id="S3.Ex15.m3.13.13.5.5.2.2.cmml" xref="S3.Ex15.m3.13.13.5.5.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex15.m3.13.13.5.5.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex15.m3.13.13.5.5.2.2">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex15.m3.13.13.5.5.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex15.m3.13.13.5.5.2.2.2">𝑘</ci><ci id="S3.Ex15.m3.13.13.5.5.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex15.m3.13.13.5.5.2.2.3">′</ci></apply></list><apply id="S3.Ex15.m3.13.13.5.7.1.cmml" xref="S3.Ex15.m3.13.13.5.7.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex15.m3.13.13.5.7.1.1.cmml" xref="S3.Ex15.m3.13.13.5.7.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S3.Ex15.m3.9.9.1.1.cmml" xref="S3.Ex15.m3.9.9.1.1">𝑑</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex15.m3.24.24.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex15.m3.24.24.3.3.2"><times id="S3.Ex15.m3.24.24.3.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex15.m3.24.24.3.3.2.1"></times><apply id="S3.Ex15.m3.16.16.cmml" xref="S3.Ex15.m3.16.16"><ci id="S3.Ex15.m3.16.16.4.cmml" xref="S3.Ex15.m3.16.16.4">¯</ci><apply id="S3.Ex15.m3.16.16.3.cmml" xref="S3.Ex15.m3.16.16.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex15.m3.16.16.3.4.cmml" xref="S3.Ex15.m3.16.16.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex15.m3.16.16.3.5.cmml" xref="S3.Ex15.m3.16.16.3.5">𝐶</ci><list id="S3.Ex15.m3.16.16.3.3.3.4.cmml" xref="S3.Ex15.m3.16.16.3.3.3.5"><ci id="S3.Ex15.m3.14.14.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex15.m3.14.14.1.1.1.1">𝑗</ci><ci id="S3.Ex15.m3.15.15.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex15.m3.15.15.2.2.2.2">𝑘</ci><ci id="S3.Ex15.m3.16.16.3.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex15.m3.16.16.3.3.3.3">𝑙</ci></list></apply></apply><apply id="S3.Ex15.m3.19.19.cmml" xref="S3.Ex15.m3.19.19"><ci id="S3.Ex15.m3.19.19.4.cmml" xref="S3.Ex15.m3.19.19.4">¯</ci><apply id="S3.Ex15.m3.19.19.3.cmml" xref="S3.Ex15.m3.19.19.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex15.m3.19.19.3.4.cmml" xref="S3.Ex15.m3.19.19.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex15.m3.19.19.3.5.cmml" xref="S3.Ex15.m3.19.19.3.5">𝐶</ci><list id="S3.Ex15.m3.19.19.3.3.3.4.cmml" xref="S3.Ex15.m3.19.19.3.3.3.3"><apply id="S3.Ex15.m3.18.18.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex15.m3.18.18.2.2.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex15.m3.18.18.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex15.m3.18.18.2.2.2.2.1">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex15.m3.18.18.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S3.Ex15.m3.18.18.2.2.2.2.1.2">𝑗</ci><ci id="S3.Ex15.m3.18.18.2.2.2.2.1.3.cmml" xref="S3.Ex15.m3.18.18.2.2.2.2.1.3">′</ci></apply><apply id="S3.Ex15.m3.19.19.3.3.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex15.m3.19.19.3.3.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex15.m3.19.19.3.3.3.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex15.m3.19.19.3.3.3.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex15.m3.19.19.3.3.3.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex15.m3.19.19.3.3.3.3.2.2">𝑘</ci><ci id="S3.Ex15.m3.19.19.3.3.3.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex15.m3.19.19.3.3.3.3.2.3">′</ci></apply><ci id="S3.Ex15.m3.17.17.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex15.m3.17.17.1.1.1.1">𝑙</ci></list></apply></apply><apply id="S3.Ex15.m3.24.24.3.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex15.m3.24.24.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex15.m3.24.24.3.3.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex15.m3.24.24.3.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex15.m3.24.24.3.3.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex15.m3.24.24.3.3.2.2.2">𝐴</ci><list id="S3.Ex15.m3.21.21.2.3.cmml" xref="S3.Ex15.m3.21.21.2.4"><ci id="S3.Ex15.m3.20.20.1.1.cmml" xref="S3.Ex15.m3.20.20.1.1">𝑗</ci><ci id="S3.Ex15.m3.21.21.2.2.cmml" xref="S3.Ex15.m3.21.21.2.2">𝑘</ci></list></apply><apply id="S3.Ex15.m3.24.24.3.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex15.m3.24.24.3.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex15.m3.24.24.3.3.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex15.m3.24.24.3.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex15.m3.24.24.3.3.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex15.m3.24.24.3.3.2.3.2">𝐴</ci><list id="S3.Ex15.m3.23.23.2.3.cmml" xref="S3.Ex15.m3.23.23.2.2"><apply id="S3.Ex15.m3.22.22.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex15.m3.22.22.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex15.m3.22.22.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex15.m3.22.22.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex15.m3.22.22.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex15.m3.22.22.1.1.1.2">𝑗</ci><ci id="S3.Ex15.m3.22.22.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex15.m3.22.22.1.1.1.3">′</ci></apply><apply id="S3.Ex15.m3.23.23.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex15.m3.23.23.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex15.m3.23.23.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex15.m3.23.23.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex15.m3.23.23.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex15.m3.23.23.2.2.2.2">𝑘</ci><ci id="S3.Ex15.m3.23.23.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex15.m3.23.23.2.2.2.3">′</ci></apply></list></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex15.m3.24c">\displaystyle\left(\frac{1}{\sqrt{d}}\sum_{j,k\in[d]}\overline{C_{j,k,l}}\,A_{% j,k}\right)^{2}=\frac{1}{d}\sum_{j,k,j^{\prime},k^{\prime}\in[d]}\overline{C_{% j,k,l}}\,\overline{C_{j^{\prime},k^{\prime},l}}A_{j,k}A_{j^{\prime},k^{\prime}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex15.m3.24d">( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG square-root start_ARG italic_d end_ARG end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k ∈ [ italic_d ] end_POSTSUBSCRIPT over¯ start_ARG italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k , italic_l end_POSTSUBSCRIPT end_ARG italic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_d end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k , italic_j start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_k start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ∈ [ italic_d ] end_POSTSUBSCRIPT over¯ start_ARG italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k , italic_l end_POSTSUBSCRIPT end_ARG over¯ start_ARG italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_k start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_l end_POSTSUBSCRIPT end_ARG italic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k end_POSTSUBSCRIPT italic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_j start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_k start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr> <tr class="ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex16.m1.1"><semantics id="S3.Ex16.m1.1a"><mo id="S3.Ex16.m1.1.1" xref="S3.Ex16.m1.1.1.cmml">=</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex16.m1.1b"><eq id="S3.Ex16.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex16.m1.1.1"></eq></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex16.m1.1c">\displaystyle=</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex16.m1.1d">=</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\frac{1}{d^{2}}\frac{C_{j,k,d}\,C_{j^{\prime},k^{\prime},d}}{C_{j% ,k,l}C_{j^{\prime},k^{\prime},l}C_{j,k^{\prime},d}C_{j^{\prime},k,d}}A_{j,k^{% \prime}}=\frac{1}{d^{2}}\frac{C_{j,k,d}\,C_{j^{\prime},k^{\prime},d}}{C_{j^{% \prime},k,l}C_{j,k^{\prime},l}C_{j,k,d}C_{j^{\prime},k^{\prime},d}}A_{j,k^{% \prime}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex16.m2.40"><semantics id="S3.Ex16.m2.40a"><mrow id="S3.Ex16.m2.40.41" xref="S3.Ex16.m2.40.41.cmml"><mrow id="S3.Ex16.m2.40.41.2" xref="S3.Ex16.m2.40.41.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex16.m2.40.41.2.2" xref="S3.Ex16.m2.40.41.2.2.cmml"><mfrac id="S3.Ex16.m2.40.41.2.2a" xref="S3.Ex16.m2.40.41.2.2.cmml"><mn id="S3.Ex16.m2.40.41.2.2.2" xref="S3.Ex16.m2.40.41.2.2.2.cmml">1</mn><msup id="S3.Ex16.m2.40.41.2.2.3" xref="S3.Ex16.m2.40.41.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex16.m2.40.41.2.2.3.2" xref="S3.Ex16.m2.40.41.2.2.3.2.cmml">d</mi><mn id="S3.Ex16.m2.40.41.2.2.3.3" xref="S3.Ex16.m2.40.41.2.2.3.3.cmml">2</mn></msup></mfrac></mstyle><mo id="S3.Ex16.m2.40.41.2.1" xref="S3.Ex16.m2.40.41.2.1.cmml">⁢</mo><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex16.m2.18.18" xref="S3.Ex16.m2.18.18.cmml"><mfrac id="S3.Ex16.m2.18.18a" xref="S3.Ex16.m2.18.18.cmml"><mrow id="S3.Ex16.m2.6.6.6" xref="S3.Ex16.m2.6.6.6.cmml"><msub id="S3.Ex16.m2.6.6.6.8" xref="S3.Ex16.m2.6.6.6.8.cmml"><mi id="S3.Ex16.m2.6.6.6.8.2" xref="S3.Ex16.m2.6.6.6.8.2.cmml">C</mi><mrow id="S3.Ex16.m2.3.3.3.3.3.5" xref="S3.Ex16.m2.3.3.3.3.3.4.cmml"><mi id="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex16.m2.3.3.3.3.3.5.1" xref="S3.Ex16.m2.3.3.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex16.m2.2.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex16.m2.2.2.2.2.2.2.cmml">k</mi><mo id="S3.Ex16.m2.3.3.3.3.3.5.2" xref="S3.Ex16.m2.3.3.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex16.m2.3.3.3.3.3.3" xref="S3.Ex16.m2.3.3.3.3.3.3.cmml">d</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex16.m2.6.6.6.7" lspace="0.170em" xref="S3.Ex16.m2.6.6.6.7.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex16.m2.6.6.6.9" xref="S3.Ex16.m2.6.6.6.9.cmml"><mi id="S3.Ex16.m2.6.6.6.9.2" xref="S3.Ex16.m2.6.6.6.9.2.cmml">C</mi><mrow id="S3.Ex16.m2.6.6.6.6.3.3" xref="S3.Ex16.m2.6.6.6.6.3.4.cmml"><msup id="S3.Ex16.m2.5.5.5.5.2.2.1" xref="S3.Ex16.m2.5.5.5.5.2.2.1.cmml"><mi id="S3.Ex16.m2.5.5.5.5.2.2.1.2" xref="S3.Ex16.m2.5.5.5.5.2.2.1.2.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex16.m2.5.5.5.5.2.2.1.3" xref="S3.Ex16.m2.5.5.5.5.2.2.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.Ex16.m2.6.6.6.6.3.3.3" xref="S3.Ex16.m2.6.6.6.6.3.4.cmml">,</mo><msup id="S3.Ex16.m2.6.6.6.6.3.3.2" xref="S3.Ex16.m2.6.6.6.6.3.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex16.m2.6.6.6.6.3.3.2.2" xref="S3.Ex16.m2.6.6.6.6.3.3.2.2.cmml">k</mi><mo id="S3.Ex16.m2.6.6.6.6.3.3.2.3" xref="S3.Ex16.m2.6.6.6.6.3.3.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.Ex16.m2.6.6.6.6.3.3.4" xref="S3.Ex16.m2.6.6.6.6.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex16.m2.4.4.4.4.1.1" xref="S3.Ex16.m2.4.4.4.4.1.1.cmml">d</mi></mrow></msub></mrow><mrow id="S3.Ex16.m2.18.18.18" xref="S3.Ex16.m2.18.18.18.cmml"><msub id="S3.Ex16.m2.18.18.18.14" xref="S3.Ex16.m2.18.18.18.14.cmml"><mi id="S3.Ex16.m2.18.18.18.14.2" xref="S3.Ex16.m2.18.18.18.14.2.cmml">C</mi><mrow id="S3.Ex16.m2.9.9.9.3.3.5" xref="S3.Ex16.m2.9.9.9.3.3.4.cmml"><mi id="S3.Ex16.m2.7.7.7.1.1.1" xref="S3.Ex16.m2.7.7.7.1.1.1.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex16.m2.9.9.9.3.3.5.1" xref="S3.Ex16.m2.9.9.9.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex16.m2.8.8.8.2.2.2" xref="S3.Ex16.m2.8.8.8.2.2.2.cmml">k</mi><mo id="S3.Ex16.m2.9.9.9.3.3.5.2" xref="S3.Ex16.m2.9.9.9.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex16.m2.9.9.9.3.3.3" xref="S3.Ex16.m2.9.9.9.3.3.3.cmml">l</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex16.m2.18.18.18.13" xref="S3.Ex16.m2.18.18.18.13.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex16.m2.18.18.18.15" xref="S3.Ex16.m2.18.18.18.15.cmml"><mi id="S3.Ex16.m2.18.18.18.15.2" xref="S3.Ex16.m2.18.18.18.15.2.cmml">C</mi><mrow id="S3.Ex16.m2.12.12.12.6.3.3" xref="S3.Ex16.m2.12.12.12.6.3.4.cmml"><msup id="S3.Ex16.m2.11.11.11.5.2.2.1" xref="S3.Ex16.m2.11.11.11.5.2.2.1.cmml"><mi id="S3.Ex16.m2.11.11.11.5.2.2.1.2" xref="S3.Ex16.m2.11.11.11.5.2.2.1.2.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex16.m2.11.11.11.5.2.2.1.3" xref="S3.Ex16.m2.11.11.11.5.2.2.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.Ex16.m2.12.12.12.6.3.3.3" xref="S3.Ex16.m2.12.12.12.6.3.4.cmml">,</mo><msup id="S3.Ex16.m2.12.12.12.6.3.3.2" xref="S3.Ex16.m2.12.12.12.6.3.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex16.m2.12.12.12.6.3.3.2.2" xref="S3.Ex16.m2.12.12.12.6.3.3.2.2.cmml">k</mi><mo id="S3.Ex16.m2.12.12.12.6.3.3.2.3" xref="S3.Ex16.m2.12.12.12.6.3.3.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.Ex16.m2.12.12.12.6.3.3.4" xref="S3.Ex16.m2.12.12.12.6.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex16.m2.10.10.10.4.1.1" xref="S3.Ex16.m2.10.10.10.4.1.1.cmml">l</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex16.m2.18.18.18.13a" xref="S3.Ex16.m2.18.18.18.13.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex16.m2.18.18.18.16" xref="S3.Ex16.m2.18.18.18.16.cmml"><mi id="S3.Ex16.m2.18.18.18.16.2" xref="S3.Ex16.m2.18.18.18.16.2.cmml">C</mi><mrow id="S3.Ex16.m2.15.15.15.9.3.3" xref="S3.Ex16.m2.15.15.15.9.3.4.cmml"><mi id="S3.Ex16.m2.13.13.13.7.1.1" xref="S3.Ex16.m2.13.13.13.7.1.1.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex16.m2.15.15.15.9.3.3.2" xref="S3.Ex16.m2.15.15.15.9.3.4.cmml">,</mo><msup id="S3.Ex16.m2.15.15.15.9.3.3.1" xref="S3.Ex16.m2.15.15.15.9.3.3.1.cmml"><mi id="S3.Ex16.m2.15.15.15.9.3.3.1.2" xref="S3.Ex16.m2.15.15.15.9.3.3.1.2.cmml">k</mi><mo id="S3.Ex16.m2.15.15.15.9.3.3.1.3" xref="S3.Ex16.m2.15.15.15.9.3.3.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.Ex16.m2.15.15.15.9.3.3.3" xref="S3.Ex16.m2.15.15.15.9.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex16.m2.14.14.14.8.2.2" xref="S3.Ex16.m2.14.14.14.8.2.2.cmml">d</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex16.m2.18.18.18.13b" xref="S3.Ex16.m2.18.18.18.13.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex16.m2.18.18.18.17" xref="S3.Ex16.m2.18.18.18.17.cmml"><mi id="S3.Ex16.m2.18.18.18.17.2" xref="S3.Ex16.m2.18.18.18.17.2.cmml">C</mi><mrow id="S3.Ex16.m2.18.18.18.12.3.3" xref="S3.Ex16.m2.18.18.18.12.3.4.cmml"><msup id="S3.Ex16.m2.18.18.18.12.3.3.1" xref="S3.Ex16.m2.18.18.18.12.3.3.1.cmml"><mi id="S3.Ex16.m2.18.18.18.12.3.3.1.2" xref="S3.Ex16.m2.18.18.18.12.3.3.1.2.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex16.m2.18.18.18.12.3.3.1.3" xref="S3.Ex16.m2.18.18.18.12.3.3.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.Ex16.m2.18.18.18.12.3.3.2" xref="S3.Ex16.m2.18.18.18.12.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex16.m2.16.16.16.10.1.1" xref="S3.Ex16.m2.16.16.16.10.1.1.cmml">k</mi><mo id="S3.Ex16.m2.18.18.18.12.3.3.3" xref="S3.Ex16.m2.18.18.18.12.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex16.m2.17.17.17.11.2.2" xref="S3.Ex16.m2.17.17.17.11.2.2.cmml">d</mi></mrow></msub></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S3.Ex16.m2.40.41.2.1a" xref="S3.Ex16.m2.40.41.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex16.m2.40.41.2.3" xref="S3.Ex16.m2.40.41.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex16.m2.40.41.2.3.2" xref="S3.Ex16.m2.40.41.2.3.2.cmml">A</mi><mrow id="S3.Ex16.m2.20.20.2.2" xref="S3.Ex16.m2.20.20.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex16.m2.19.19.1.1" xref="S3.Ex16.m2.19.19.1.1.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex16.m2.20.20.2.2.2" xref="S3.Ex16.m2.20.20.2.3.cmml">,</mo><msup id="S3.Ex16.m2.20.20.2.2.1" xref="S3.Ex16.m2.20.20.2.2.1.cmml"><mi id="S3.Ex16.m2.20.20.2.2.1.2" xref="S3.Ex16.m2.20.20.2.2.1.2.cmml">k</mi><mo id="S3.Ex16.m2.20.20.2.2.1.3" xref="S3.Ex16.m2.20.20.2.2.1.3.cmml">′</mo></msup></mrow></msub></mrow><mo id="S3.Ex16.m2.40.41.1" xref="S3.Ex16.m2.40.41.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex16.m2.40.41.3" xref="S3.Ex16.m2.40.41.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex16.m2.40.41.3.2" xref="S3.Ex16.m2.40.41.3.2.cmml"><mfrac id="S3.Ex16.m2.40.41.3.2a" xref="S3.Ex16.m2.40.41.3.2.cmml"><mn id="S3.Ex16.m2.40.41.3.2.2" xref="S3.Ex16.m2.40.41.3.2.2.cmml">1</mn><msup id="S3.Ex16.m2.40.41.3.2.3" xref="S3.Ex16.m2.40.41.3.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex16.m2.40.41.3.2.3.2" xref="S3.Ex16.m2.40.41.3.2.3.2.cmml">d</mi><mn id="S3.Ex16.m2.40.41.3.2.3.3" xref="S3.Ex16.m2.40.41.3.2.3.3.cmml">2</mn></msup></mfrac></mstyle><mo id="S3.Ex16.m2.40.41.3.1" xref="S3.Ex16.m2.40.41.3.1.cmml">⁢</mo><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex16.m2.38.38" xref="S3.Ex16.m2.38.38.cmml"><mfrac id="S3.Ex16.m2.38.38a" xref="S3.Ex16.m2.38.38.cmml"><mrow id="S3.Ex16.m2.26.26.6" xref="S3.Ex16.m2.26.26.6.cmml"><msub id="S3.Ex16.m2.26.26.6.8" xref="S3.Ex16.m2.26.26.6.8.cmml"><mi id="S3.Ex16.m2.26.26.6.8.2" xref="S3.Ex16.m2.26.26.6.8.2.cmml">C</mi><mrow id="S3.Ex16.m2.23.23.3.3.3.5" xref="S3.Ex16.m2.23.23.3.3.3.4.cmml"><mi id="S3.Ex16.m2.21.21.1.1.1.1" xref="S3.Ex16.m2.21.21.1.1.1.1.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex16.m2.23.23.3.3.3.5.1" xref="S3.Ex16.m2.23.23.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex16.m2.22.22.2.2.2.2" xref="S3.Ex16.m2.22.22.2.2.2.2.cmml">k</mi><mo id="S3.Ex16.m2.23.23.3.3.3.5.2" xref="S3.Ex16.m2.23.23.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex16.m2.23.23.3.3.3.3" xref="S3.Ex16.m2.23.23.3.3.3.3.cmml">d</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex16.m2.26.26.6.7" lspace="0.170em" xref="S3.Ex16.m2.26.26.6.7.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex16.m2.26.26.6.9" xref="S3.Ex16.m2.26.26.6.9.cmml"><mi id="S3.Ex16.m2.26.26.6.9.2" xref="S3.Ex16.m2.26.26.6.9.2.cmml">C</mi><mrow id="S3.Ex16.m2.26.26.6.6.3.3" xref="S3.Ex16.m2.26.26.6.6.3.4.cmml"><msup id="S3.Ex16.m2.25.25.5.5.2.2.1" xref="S3.Ex16.m2.25.25.5.5.2.2.1.cmml"><mi id="S3.Ex16.m2.25.25.5.5.2.2.1.2" xref="S3.Ex16.m2.25.25.5.5.2.2.1.2.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex16.m2.25.25.5.5.2.2.1.3" xref="S3.Ex16.m2.25.25.5.5.2.2.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.Ex16.m2.26.26.6.6.3.3.3" xref="S3.Ex16.m2.26.26.6.6.3.4.cmml">,</mo><msup id="S3.Ex16.m2.26.26.6.6.3.3.2" xref="S3.Ex16.m2.26.26.6.6.3.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex16.m2.26.26.6.6.3.3.2.2" xref="S3.Ex16.m2.26.26.6.6.3.3.2.2.cmml">k</mi><mo id="S3.Ex16.m2.26.26.6.6.3.3.2.3" xref="S3.Ex16.m2.26.26.6.6.3.3.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.Ex16.m2.26.26.6.6.3.3.4" xref="S3.Ex16.m2.26.26.6.6.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex16.m2.24.24.4.4.1.1" xref="S3.Ex16.m2.24.24.4.4.1.1.cmml">d</mi></mrow></msub></mrow><mrow id="S3.Ex16.m2.38.38.18" xref="S3.Ex16.m2.38.38.18.cmml"><msub id="S3.Ex16.m2.38.38.18.14" xref="S3.Ex16.m2.38.38.18.14.cmml"><mi id="S3.Ex16.m2.38.38.18.14.2" xref="S3.Ex16.m2.38.38.18.14.2.cmml">C</mi><mrow id="S3.Ex16.m2.29.29.9.3.3.3" xref="S3.Ex16.m2.29.29.9.3.3.4.cmml"><msup id="S3.Ex16.m2.29.29.9.3.3.3.1" xref="S3.Ex16.m2.29.29.9.3.3.3.1.cmml"><mi id="S3.Ex16.m2.29.29.9.3.3.3.1.2" xref="S3.Ex16.m2.29.29.9.3.3.3.1.2.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex16.m2.29.29.9.3.3.3.1.3" xref="S3.Ex16.m2.29.29.9.3.3.3.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.Ex16.m2.29.29.9.3.3.3.2" xref="S3.Ex16.m2.29.29.9.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex16.m2.27.27.7.1.1.1" xref="S3.Ex16.m2.27.27.7.1.1.1.cmml">k</mi><mo id="S3.Ex16.m2.29.29.9.3.3.3.3" xref="S3.Ex16.m2.29.29.9.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex16.m2.28.28.8.2.2.2" xref="S3.Ex16.m2.28.28.8.2.2.2.cmml">l</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex16.m2.38.38.18.13" xref="S3.Ex16.m2.38.38.18.13.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex16.m2.38.38.18.15" xref="S3.Ex16.m2.38.38.18.15.cmml"><mi id="S3.Ex16.m2.38.38.18.15.2" xref="S3.Ex16.m2.38.38.18.15.2.cmml">C</mi><mrow id="S3.Ex16.m2.32.32.12.6.3.3" xref="S3.Ex16.m2.32.32.12.6.3.4.cmml"><mi id="S3.Ex16.m2.30.30.10.4.1.1" xref="S3.Ex16.m2.30.30.10.4.1.1.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex16.m2.32.32.12.6.3.3.2" xref="S3.Ex16.m2.32.32.12.6.3.4.cmml">,</mo><msup id="S3.Ex16.m2.32.32.12.6.3.3.1" xref="S3.Ex16.m2.32.32.12.6.3.3.1.cmml"><mi id="S3.Ex16.m2.32.32.12.6.3.3.1.2" xref="S3.Ex16.m2.32.32.12.6.3.3.1.2.cmml">k</mi><mo id="S3.Ex16.m2.32.32.12.6.3.3.1.3" xref="S3.Ex16.m2.32.32.12.6.3.3.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.Ex16.m2.32.32.12.6.3.3.3" xref="S3.Ex16.m2.32.32.12.6.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex16.m2.31.31.11.5.2.2" xref="S3.Ex16.m2.31.31.11.5.2.2.cmml">l</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex16.m2.38.38.18.13a" xref="S3.Ex16.m2.38.38.18.13.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex16.m2.38.38.18.16" xref="S3.Ex16.m2.38.38.18.16.cmml"><mi id="S3.Ex16.m2.38.38.18.16.2" xref="S3.Ex16.m2.38.38.18.16.2.cmml">C</mi><mrow id="S3.Ex16.m2.35.35.15.9.3.5" xref="S3.Ex16.m2.35.35.15.9.3.4.cmml"><mi id="S3.Ex16.m2.33.33.13.7.1.1" xref="S3.Ex16.m2.33.33.13.7.1.1.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex16.m2.35.35.15.9.3.5.1" xref="S3.Ex16.m2.35.35.15.9.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex16.m2.34.34.14.8.2.2" xref="S3.Ex16.m2.34.34.14.8.2.2.cmml">k</mi><mo id="S3.Ex16.m2.35.35.15.9.3.5.2" xref="S3.Ex16.m2.35.35.15.9.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex16.m2.35.35.15.9.3.3" xref="S3.Ex16.m2.35.35.15.9.3.3.cmml">d</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex16.m2.38.38.18.13b" xref="S3.Ex16.m2.38.38.18.13.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex16.m2.38.38.18.17" xref="S3.Ex16.m2.38.38.18.17.cmml"><mi id="S3.Ex16.m2.38.38.18.17.2" xref="S3.Ex16.m2.38.38.18.17.2.cmml">C</mi><mrow id="S3.Ex16.m2.38.38.18.12.3.3" xref="S3.Ex16.m2.38.38.18.12.3.4.cmml"><msup id="S3.Ex16.m2.37.37.17.11.2.2.1" xref="S3.Ex16.m2.37.37.17.11.2.2.1.cmml"><mi id="S3.Ex16.m2.37.37.17.11.2.2.1.2" xref="S3.Ex16.m2.37.37.17.11.2.2.1.2.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex16.m2.37.37.17.11.2.2.1.3" xref="S3.Ex16.m2.37.37.17.11.2.2.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.Ex16.m2.38.38.18.12.3.3.3" xref="S3.Ex16.m2.38.38.18.12.3.4.cmml">,</mo><msup id="S3.Ex16.m2.38.38.18.12.3.3.2" xref="S3.Ex16.m2.38.38.18.12.3.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex16.m2.38.38.18.12.3.3.2.2" xref="S3.Ex16.m2.38.38.18.12.3.3.2.2.cmml">k</mi><mo id="S3.Ex16.m2.38.38.18.12.3.3.2.3" xref="S3.Ex16.m2.38.38.18.12.3.3.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.Ex16.m2.38.38.18.12.3.3.4" xref="S3.Ex16.m2.38.38.18.12.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex16.m2.36.36.16.10.1.1" xref="S3.Ex16.m2.36.36.16.10.1.1.cmml">d</mi></mrow></msub></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S3.Ex16.m2.40.41.3.1a" xref="S3.Ex16.m2.40.41.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex16.m2.40.41.3.3" xref="S3.Ex16.m2.40.41.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex16.m2.40.41.3.3.2" xref="S3.Ex16.m2.40.41.3.3.2.cmml">A</mi><mrow id="S3.Ex16.m2.40.40.2.2" xref="S3.Ex16.m2.40.40.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex16.m2.39.39.1.1" xref="S3.Ex16.m2.39.39.1.1.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex16.m2.40.40.2.2.2" xref="S3.Ex16.m2.40.40.2.3.cmml">,</mo><msup id="S3.Ex16.m2.40.40.2.2.1" xref="S3.Ex16.m2.40.40.2.2.1.cmml"><mi id="S3.Ex16.m2.40.40.2.2.1.2" xref="S3.Ex16.m2.40.40.2.2.1.2.cmml">k</mi><mo id="S3.Ex16.m2.40.40.2.2.1.3" xref="S3.Ex16.m2.40.40.2.2.1.3.cmml">′</mo></msup></mrow></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex16.m2.40b"><apply id="S3.Ex16.m2.40.41.cmml" xref="S3.Ex16.m2.40.41"><eq id="S3.Ex16.m2.40.41.1.cmml" xref="S3.Ex16.m2.40.41.1"></eq><apply id="S3.Ex16.m2.40.41.2.cmml" xref="S3.Ex16.m2.40.41.2"><times id="S3.Ex16.m2.40.41.2.1.cmml" xref="S3.Ex16.m2.40.41.2.1"></times><apply id="S3.Ex16.m2.40.41.2.2.cmml" xref="S3.Ex16.m2.40.41.2.2"><divide id="S3.Ex16.m2.40.41.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex16.m2.40.41.2.2"></divide><cn id="S3.Ex16.m2.40.41.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex16.m2.40.41.2.2.2">1</cn><apply id="S3.Ex16.m2.40.41.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex16.m2.40.41.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex16.m2.40.41.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex16.m2.40.41.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex16.m2.40.41.2.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex16.m2.40.41.2.2.3.2">𝑑</ci><cn id="S3.Ex16.m2.40.41.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex16.m2.40.41.2.2.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S3.Ex16.m2.18.18.cmml" xref="S3.Ex16.m2.18.18"><divide id="S3.Ex16.m2.18.18.19.cmml" xref="S3.Ex16.m2.18.18"></divide><apply id="S3.Ex16.m2.6.6.6.cmml" xref="S3.Ex16.m2.6.6.6"><times id="S3.Ex16.m2.6.6.6.7.cmml" xref="S3.Ex16.m2.6.6.6.7"></times><apply id="S3.Ex16.m2.6.6.6.8.cmml" xref="S3.Ex16.m2.6.6.6.8"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex16.m2.6.6.6.8.1.cmml" xref="S3.Ex16.m2.6.6.6.8">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex16.m2.6.6.6.8.2.cmml" xref="S3.Ex16.m2.6.6.6.8.2">𝐶</ci><list id="S3.Ex16.m2.3.3.3.3.3.4.cmml" xref="S3.Ex16.m2.3.3.3.3.3.5"><ci id="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex16.m2.1.1.1.1.1.1">𝑗</ci><ci id="S3.Ex16.m2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex16.m2.2.2.2.2.2.2">𝑘</ci><ci id="S3.Ex16.m2.3.3.3.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex16.m2.3.3.3.3.3.3">𝑑</ci></list></apply><apply id="S3.Ex16.m2.6.6.6.9.cmml" xref="S3.Ex16.m2.6.6.6.9"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex16.m2.6.6.6.9.1.cmml" xref="S3.Ex16.m2.6.6.6.9">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex16.m2.6.6.6.9.2.cmml" xref="S3.Ex16.m2.6.6.6.9.2">𝐶</ci><list id="S3.Ex16.m2.6.6.6.6.3.4.cmml" xref="S3.Ex16.m2.6.6.6.6.3.3"><apply id="S3.Ex16.m2.5.5.5.5.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex16.m2.5.5.5.5.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex16.m2.5.5.5.5.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex16.m2.5.5.5.5.2.2.1">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex16.m2.5.5.5.5.2.2.1.2.cmml" xref="S3.Ex16.m2.5.5.5.5.2.2.1.2">𝑗</ci><ci id="S3.Ex16.m2.5.5.5.5.2.2.1.3.cmml" xref="S3.Ex16.m2.5.5.5.5.2.2.1.3">′</ci></apply><apply id="S3.Ex16.m2.6.6.6.6.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex16.m2.6.6.6.6.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex16.m2.6.6.6.6.3.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex16.m2.6.6.6.6.3.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex16.m2.6.6.6.6.3.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex16.m2.6.6.6.6.3.3.2.2">𝑘</ci><ci id="S3.Ex16.m2.6.6.6.6.3.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex16.m2.6.6.6.6.3.3.2.3">′</ci></apply><ci id="S3.Ex16.m2.4.4.4.4.1.1.cmml" xref="S3.Ex16.m2.4.4.4.4.1.1">𝑑</ci></list></apply></apply><apply id="S3.Ex16.m2.18.18.18.cmml" xref="S3.Ex16.m2.18.18.18"><times id="S3.Ex16.m2.18.18.18.13.cmml" xref="S3.Ex16.m2.18.18.18.13"></times><apply id="S3.Ex16.m2.18.18.18.14.cmml" xref="S3.Ex16.m2.18.18.18.14"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex16.m2.18.18.18.14.1.cmml" xref="S3.Ex16.m2.18.18.18.14">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex16.m2.18.18.18.14.2.cmml" xref="S3.Ex16.m2.18.18.18.14.2">𝐶</ci><list id="S3.Ex16.m2.9.9.9.3.3.4.cmml" xref="S3.Ex16.m2.9.9.9.3.3.5"><ci id="S3.Ex16.m2.7.7.7.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex16.m2.7.7.7.1.1.1">𝑗</ci><ci id="S3.Ex16.m2.8.8.8.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex16.m2.8.8.8.2.2.2">𝑘</ci><ci id="S3.Ex16.m2.9.9.9.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex16.m2.9.9.9.3.3.3">𝑙</ci></list></apply><apply id="S3.Ex16.m2.18.18.18.15.cmml" xref="S3.Ex16.m2.18.18.18.15"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex16.m2.18.18.18.15.1.cmml" xref="S3.Ex16.m2.18.18.18.15">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex16.m2.18.18.18.15.2.cmml" xref="S3.Ex16.m2.18.18.18.15.2">𝐶</ci><list id="S3.Ex16.m2.12.12.12.6.3.4.cmml" xref="S3.Ex16.m2.12.12.12.6.3.3"><apply id="S3.Ex16.m2.11.11.11.5.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex16.m2.11.11.11.5.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex16.m2.11.11.11.5.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex16.m2.11.11.11.5.2.2.1">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex16.m2.11.11.11.5.2.2.1.2.cmml" xref="S3.Ex16.m2.11.11.11.5.2.2.1.2">𝑗</ci><ci id="S3.Ex16.m2.11.11.11.5.2.2.1.3.cmml" xref="S3.Ex16.m2.11.11.11.5.2.2.1.3">′</ci></apply><apply id="S3.Ex16.m2.12.12.12.6.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex16.m2.12.12.12.6.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex16.m2.12.12.12.6.3.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex16.m2.12.12.12.6.3.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex16.m2.12.12.12.6.3.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex16.m2.12.12.12.6.3.3.2.2">𝑘</ci><ci id="S3.Ex16.m2.12.12.12.6.3.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex16.m2.12.12.12.6.3.3.2.3">′</ci></apply><ci id="S3.Ex16.m2.10.10.10.4.1.1.cmml" xref="S3.Ex16.m2.10.10.10.4.1.1">𝑙</ci></list></apply><apply id="S3.Ex16.m2.18.18.18.16.cmml" xref="S3.Ex16.m2.18.18.18.16"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex16.m2.18.18.18.16.1.cmml" xref="S3.Ex16.m2.18.18.18.16">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex16.m2.18.18.18.16.2.cmml" xref="S3.Ex16.m2.18.18.18.16.2">𝐶</ci><list id="S3.Ex16.m2.15.15.15.9.3.4.cmml" xref="S3.Ex16.m2.15.15.15.9.3.3"><ci id="S3.Ex16.m2.13.13.13.7.1.1.cmml" xref="S3.Ex16.m2.13.13.13.7.1.1">𝑗</ci><apply id="S3.Ex16.m2.15.15.15.9.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex16.m2.15.15.15.9.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex16.m2.15.15.15.9.3.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex16.m2.15.15.15.9.3.3.1">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex16.m2.15.15.15.9.3.3.1.2.cmml" xref="S3.Ex16.m2.15.15.15.9.3.3.1.2">𝑘</ci><ci id="S3.Ex16.m2.15.15.15.9.3.3.1.3.cmml" xref="S3.Ex16.m2.15.15.15.9.3.3.1.3">′</ci></apply><ci id="S3.Ex16.m2.14.14.14.8.2.2.cmml" xref="S3.Ex16.m2.14.14.14.8.2.2">𝑑</ci></list></apply><apply id="S3.Ex16.m2.18.18.18.17.cmml" xref="S3.Ex16.m2.18.18.18.17"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex16.m2.18.18.18.17.1.cmml" xref="S3.Ex16.m2.18.18.18.17">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex16.m2.18.18.18.17.2.cmml" xref="S3.Ex16.m2.18.18.18.17.2">𝐶</ci><list id="S3.Ex16.m2.18.18.18.12.3.4.cmml" xref="S3.Ex16.m2.18.18.18.12.3.3"><apply id="S3.Ex16.m2.18.18.18.12.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex16.m2.18.18.18.12.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex16.m2.18.18.18.12.3.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex16.m2.18.18.18.12.3.3.1">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex16.m2.18.18.18.12.3.3.1.2.cmml" xref="S3.Ex16.m2.18.18.18.12.3.3.1.2">𝑗</ci><ci id="S3.Ex16.m2.18.18.18.12.3.3.1.3.cmml" xref="S3.Ex16.m2.18.18.18.12.3.3.1.3">′</ci></apply><ci id="S3.Ex16.m2.16.16.16.10.1.1.cmml" xref="S3.Ex16.m2.16.16.16.10.1.1">𝑘</ci><ci id="S3.Ex16.m2.17.17.17.11.2.2.cmml" xref="S3.Ex16.m2.17.17.17.11.2.2">𝑑</ci></list></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex16.m2.40.41.2.3.cmml" xref="S3.Ex16.m2.40.41.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex16.m2.40.41.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex16.m2.40.41.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex16.m2.40.41.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex16.m2.40.41.2.3.2">𝐴</ci><list id="S3.Ex16.m2.20.20.2.3.cmml" xref="S3.Ex16.m2.20.20.2.2"><ci id="S3.Ex16.m2.19.19.1.1.cmml" xref="S3.Ex16.m2.19.19.1.1">𝑗</ci><apply id="S3.Ex16.m2.20.20.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex16.m2.20.20.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex16.m2.20.20.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex16.m2.20.20.2.2.1">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex16.m2.20.20.2.2.1.2.cmml" xref="S3.Ex16.m2.20.20.2.2.1.2">𝑘</ci><ci id="S3.Ex16.m2.20.20.2.2.1.3.cmml" xref="S3.Ex16.m2.20.20.2.2.1.3">′</ci></apply></list></apply></apply><apply id="S3.Ex16.m2.40.41.3.cmml" xref="S3.Ex16.m2.40.41.3"><times id="S3.Ex16.m2.40.41.3.1.cmml" xref="S3.Ex16.m2.40.41.3.1"></times><apply id="S3.Ex16.m2.40.41.3.2.cmml" xref="S3.Ex16.m2.40.41.3.2"><divide id="S3.Ex16.m2.40.41.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex16.m2.40.41.3.2"></divide><cn id="S3.Ex16.m2.40.41.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex16.m2.40.41.3.2.2">1</cn><apply id="S3.Ex16.m2.40.41.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex16.m2.40.41.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex16.m2.40.41.3.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex16.m2.40.41.3.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex16.m2.40.41.3.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex16.m2.40.41.3.2.3.2">𝑑</ci><cn id="S3.Ex16.m2.40.41.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex16.m2.40.41.3.2.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S3.Ex16.m2.38.38.cmml" xref="S3.Ex16.m2.38.38"><divide id="S3.Ex16.m2.38.38.19.cmml" xref="S3.Ex16.m2.38.38"></divide><apply id="S3.Ex16.m2.26.26.6.cmml" xref="S3.Ex16.m2.26.26.6"><times id="S3.Ex16.m2.26.26.6.7.cmml" xref="S3.Ex16.m2.26.26.6.7"></times><apply id="S3.Ex16.m2.26.26.6.8.cmml" xref="S3.Ex16.m2.26.26.6.8"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex16.m2.26.26.6.8.1.cmml" xref="S3.Ex16.m2.26.26.6.8">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex16.m2.26.26.6.8.2.cmml" xref="S3.Ex16.m2.26.26.6.8.2">𝐶</ci><list id="S3.Ex16.m2.23.23.3.3.3.4.cmml" xref="S3.Ex16.m2.23.23.3.3.3.5"><ci id="S3.Ex16.m2.21.21.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex16.m2.21.21.1.1.1.1">𝑗</ci><ci id="S3.Ex16.m2.22.22.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex16.m2.22.22.2.2.2.2">𝑘</ci><ci id="S3.Ex16.m2.23.23.3.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex16.m2.23.23.3.3.3.3">𝑑</ci></list></apply><apply id="S3.Ex16.m2.26.26.6.9.cmml" xref="S3.Ex16.m2.26.26.6.9"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex16.m2.26.26.6.9.1.cmml" xref="S3.Ex16.m2.26.26.6.9">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex16.m2.26.26.6.9.2.cmml" xref="S3.Ex16.m2.26.26.6.9.2">𝐶</ci><list id="S3.Ex16.m2.26.26.6.6.3.4.cmml" xref="S3.Ex16.m2.26.26.6.6.3.3"><apply id="S3.Ex16.m2.25.25.5.5.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex16.m2.25.25.5.5.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex16.m2.25.25.5.5.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex16.m2.25.25.5.5.2.2.1">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex16.m2.25.25.5.5.2.2.1.2.cmml" xref="S3.Ex16.m2.25.25.5.5.2.2.1.2">𝑗</ci><ci id="S3.Ex16.m2.25.25.5.5.2.2.1.3.cmml" xref="S3.Ex16.m2.25.25.5.5.2.2.1.3">′</ci></apply><apply id="S3.Ex16.m2.26.26.6.6.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex16.m2.26.26.6.6.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex16.m2.26.26.6.6.3.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex16.m2.26.26.6.6.3.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex16.m2.26.26.6.6.3.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex16.m2.26.26.6.6.3.3.2.2">𝑘</ci><ci id="S3.Ex16.m2.26.26.6.6.3.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex16.m2.26.26.6.6.3.3.2.3">′</ci></apply><ci id="S3.Ex16.m2.24.24.4.4.1.1.cmml" xref="S3.Ex16.m2.24.24.4.4.1.1">𝑑</ci></list></apply></apply><apply id="S3.Ex16.m2.38.38.18.cmml" xref="S3.Ex16.m2.38.38.18"><times id="S3.Ex16.m2.38.38.18.13.cmml" xref="S3.Ex16.m2.38.38.18.13"></times><apply id="S3.Ex16.m2.38.38.18.14.cmml" xref="S3.Ex16.m2.38.38.18.14"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex16.m2.38.38.18.14.1.cmml" xref="S3.Ex16.m2.38.38.18.14">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex16.m2.38.38.18.14.2.cmml" xref="S3.Ex16.m2.38.38.18.14.2">𝐶</ci><list id="S3.Ex16.m2.29.29.9.3.3.4.cmml" xref="S3.Ex16.m2.29.29.9.3.3.3"><apply id="S3.Ex16.m2.29.29.9.3.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex16.m2.29.29.9.3.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex16.m2.29.29.9.3.3.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex16.m2.29.29.9.3.3.3.1">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex16.m2.29.29.9.3.3.3.1.2.cmml" xref="S3.Ex16.m2.29.29.9.3.3.3.1.2">𝑗</ci><ci id="S3.Ex16.m2.29.29.9.3.3.3.1.3.cmml" xref="S3.Ex16.m2.29.29.9.3.3.3.1.3">′</ci></apply><ci id="S3.Ex16.m2.27.27.7.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex16.m2.27.27.7.1.1.1">𝑘</ci><ci id="S3.Ex16.m2.28.28.8.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex16.m2.28.28.8.2.2.2">𝑙</ci></list></apply><apply id="S3.Ex16.m2.38.38.18.15.cmml" xref="S3.Ex16.m2.38.38.18.15"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex16.m2.38.38.18.15.1.cmml" xref="S3.Ex16.m2.38.38.18.15">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex16.m2.38.38.18.15.2.cmml" xref="S3.Ex16.m2.38.38.18.15.2">𝐶</ci><list id="S3.Ex16.m2.32.32.12.6.3.4.cmml" xref="S3.Ex16.m2.32.32.12.6.3.3"><ci id="S3.Ex16.m2.30.30.10.4.1.1.cmml" xref="S3.Ex16.m2.30.30.10.4.1.1">𝑗</ci><apply id="S3.Ex16.m2.32.32.12.6.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex16.m2.32.32.12.6.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex16.m2.32.32.12.6.3.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex16.m2.32.32.12.6.3.3.1">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex16.m2.32.32.12.6.3.3.1.2.cmml" xref="S3.Ex16.m2.32.32.12.6.3.3.1.2">𝑘</ci><ci id="S3.Ex16.m2.32.32.12.6.3.3.1.3.cmml" xref="S3.Ex16.m2.32.32.12.6.3.3.1.3">′</ci></apply><ci id="S3.Ex16.m2.31.31.11.5.2.2.cmml" xref="S3.Ex16.m2.31.31.11.5.2.2">𝑙</ci></list></apply><apply id="S3.Ex16.m2.38.38.18.16.cmml" xref="S3.Ex16.m2.38.38.18.16"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex16.m2.38.38.18.16.1.cmml" xref="S3.Ex16.m2.38.38.18.16">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex16.m2.38.38.18.16.2.cmml" xref="S3.Ex16.m2.38.38.18.16.2">𝐶</ci><list id="S3.Ex16.m2.35.35.15.9.3.4.cmml" xref="S3.Ex16.m2.35.35.15.9.3.5"><ci id="S3.Ex16.m2.33.33.13.7.1.1.cmml" xref="S3.Ex16.m2.33.33.13.7.1.1">𝑗</ci><ci id="S3.Ex16.m2.34.34.14.8.2.2.cmml" xref="S3.Ex16.m2.34.34.14.8.2.2">𝑘</ci><ci id="S3.Ex16.m2.35.35.15.9.3.3.cmml" xref="S3.Ex16.m2.35.35.15.9.3.3">𝑑</ci></list></apply><apply id="S3.Ex16.m2.38.38.18.17.cmml" xref="S3.Ex16.m2.38.38.18.17"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex16.m2.38.38.18.17.1.cmml" xref="S3.Ex16.m2.38.38.18.17">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex16.m2.38.38.18.17.2.cmml" xref="S3.Ex16.m2.38.38.18.17.2">𝐶</ci><list id="S3.Ex16.m2.38.38.18.12.3.4.cmml" xref="S3.Ex16.m2.38.38.18.12.3.3"><apply id="S3.Ex16.m2.37.37.17.11.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex16.m2.37.37.17.11.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex16.m2.37.37.17.11.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex16.m2.37.37.17.11.2.2.1">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex16.m2.37.37.17.11.2.2.1.2.cmml" xref="S3.Ex16.m2.37.37.17.11.2.2.1.2">𝑗</ci><ci id="S3.Ex16.m2.37.37.17.11.2.2.1.3.cmml" xref="S3.Ex16.m2.37.37.17.11.2.2.1.3">′</ci></apply><apply id="S3.Ex16.m2.38.38.18.12.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex16.m2.38.38.18.12.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex16.m2.38.38.18.12.3.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex16.m2.38.38.18.12.3.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex16.m2.38.38.18.12.3.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex16.m2.38.38.18.12.3.3.2.2">𝑘</ci><ci id="S3.Ex16.m2.38.38.18.12.3.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex16.m2.38.38.18.12.3.3.2.3">′</ci></apply><ci id="S3.Ex16.m2.36.36.16.10.1.1.cmml" xref="S3.Ex16.m2.36.36.16.10.1.1">𝑑</ci></list></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex16.m2.40.41.3.3.cmml" xref="S3.Ex16.m2.40.41.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex16.m2.40.41.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex16.m2.40.41.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex16.m2.40.41.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex16.m2.40.41.3.3.2">𝐴</ci><list id="S3.Ex16.m2.40.40.2.3.cmml" xref="S3.Ex16.m2.40.40.2.2"><ci id="S3.Ex16.m2.39.39.1.1.cmml" xref="S3.Ex16.m2.39.39.1.1">𝑗</ci><apply id="S3.Ex16.m2.40.40.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex16.m2.40.40.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex16.m2.40.40.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex16.m2.40.40.2.2.1">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex16.m2.40.40.2.2.1.2.cmml" xref="S3.Ex16.m2.40.40.2.2.1.2">𝑘</ci><ci id="S3.Ex16.m2.40.40.2.2.1.3.cmml" xref="S3.Ex16.m2.40.40.2.2.1.3">′</ci></apply></list></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex16.m2.40c">\displaystyle\frac{1}{d^{2}}\frac{C_{j,k,d}\,C_{j^{\prime},k^{\prime},d}}{C_{j% ,k,l}C_{j^{\prime},k^{\prime},l}C_{j,k^{\prime},d}C_{j^{\prime},k,d}}A_{j,k^{% \prime}}=\frac{1}{d^{2}}\frac{C_{j,k,d}\,C_{j^{\prime},k^{\prime},d}}{C_{j^{% \prime},k,l}C_{j,k^{\prime},l}C_{j,k,d}C_{j^{\prime},k^{\prime},d}}A_{j,k^{% \prime}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex16.m2.40d">divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_d start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG divide start_ARG italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k , italic_d end_POSTSUBSCRIPT italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_k start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_d end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k , italic_l end_POSTSUBSCRIPT italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_k start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_l end_POSTSUBSCRIPT italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_d end_POSTSUBSCRIPT italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_k , italic_d end_POSTSUBSCRIPT end_ARG italic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_d start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG divide start_ARG italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k , italic_d end_POSTSUBSCRIPT italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_k start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_d end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_k , italic_l end_POSTSUBSCRIPT italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_l end_POSTSUBSCRIPT italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k , italic_d end_POSTSUBSCRIPT italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_k start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_d end_POSTSUBSCRIPT end_ARG italic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr> <tr class="ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex17.m1.1"><semantics id="S3.Ex17.m1.1a"><mo id="S3.Ex17.m1.1.1" xref="S3.Ex17.m1.1.1.cmml">=</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex17.m1.1b"><eq id="S3.Ex17.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex17.m1.1.1"></eq></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex17.m1.1c">\displaystyle=</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex17.m1.1d">=</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\frac{1}{d^{2}}\sum_{j,k,j^{\prime},k^{\prime}\in[d]}\overline{C_% {j^{\prime},k,l}}\,\overline{C_{j,k^{\prime},l}}A_{j,k^{\prime}}=\left(\frac{1% }{\sqrt{d^{3}}}\sum_{j^{\prime},k\in[d]}\overline{C_{j^{\prime},k,l}}\right)% \left(\frac{1}{\sqrt{d}}\sum_{j,k^{\prime}\in[d]}\overline{C_{j,k^{\prime},l}}% A_{j,k^{\prime}}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex17.m2.29"><semantics id="S3.Ex17.m2.29a"><mrow id="S3.Ex17.m2.29.29" xref="S3.Ex17.m2.29.29.cmml"><mrow id="S3.Ex17.m2.29.29.4" xref="S3.Ex17.m2.29.29.4.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex17.m2.29.29.4.2" xref="S3.Ex17.m2.29.29.4.2.cmml"><mfrac id="S3.Ex17.m2.29.29.4.2a" xref="S3.Ex17.m2.29.29.4.2.cmml"><mn id="S3.Ex17.m2.29.29.4.2.2" xref="S3.Ex17.m2.29.29.4.2.2.cmml">1</mn><msup id="S3.Ex17.m2.29.29.4.2.3" xref="S3.Ex17.m2.29.29.4.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex17.m2.29.29.4.2.3.2" xref="S3.Ex17.m2.29.29.4.2.3.2.cmml">d</mi><mn id="S3.Ex17.m2.29.29.4.2.3.3" xref="S3.Ex17.m2.29.29.4.2.3.3.cmml">2</mn></msup></mfrac></mstyle><mo id="S3.Ex17.m2.29.29.4.1" xref="S3.Ex17.m2.29.29.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex17.m2.29.29.4.3" xref="S3.Ex17.m2.29.29.4.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex17.m2.29.29.4.3.1" xref="S3.Ex17.m2.29.29.4.3.1.cmml"><munder id="S3.Ex17.m2.29.29.4.3.1a" xref="S3.Ex17.m2.29.29.4.3.1.cmml"><mo id="S3.Ex17.m2.29.29.4.3.1.2" movablelimits="false" xref="S3.Ex17.m2.29.29.4.3.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.Ex17.m2.5.5.5" xref="S3.Ex17.m2.5.5.5.cmml"><mrow id="S3.Ex17.m2.5.5.5.5.2" xref="S3.Ex17.m2.5.5.5.5.3.cmml"><mi id="S3.Ex17.m2.2.2.2.2" xref="S3.Ex17.m2.2.2.2.2.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex17.m2.5.5.5.5.2.3" xref="S3.Ex17.m2.5.5.5.5.3.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex17.m2.3.3.3.3" xref="S3.Ex17.m2.3.3.3.3.cmml">k</mi><mo id="S3.Ex17.m2.5.5.5.5.2.4" xref="S3.Ex17.m2.5.5.5.5.3.cmml">,</mo><msup id="S3.Ex17.m2.4.4.4.4.1.1" xref="S3.Ex17.m2.4.4.4.4.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex17.m2.4.4.4.4.1.1.2" xref="S3.Ex17.m2.4.4.4.4.1.1.2.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex17.m2.4.4.4.4.1.1.3" xref="S3.Ex17.m2.4.4.4.4.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.Ex17.m2.5.5.5.5.2.5" xref="S3.Ex17.m2.5.5.5.5.3.cmml">,</mo><msup id="S3.Ex17.m2.5.5.5.5.2.2" xref="S3.Ex17.m2.5.5.5.5.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex17.m2.5.5.5.5.2.2.2" xref="S3.Ex17.m2.5.5.5.5.2.2.2.cmml">k</mi><mo id="S3.Ex17.m2.5.5.5.5.2.2.3" xref="S3.Ex17.m2.5.5.5.5.2.2.3.cmml">′</mo></msup></mrow><mo id="S3.Ex17.m2.5.5.5.6" xref="S3.Ex17.m2.5.5.5.6.cmml">∈</mo><mrow id="S3.Ex17.m2.5.5.5.7.2" xref="S3.Ex17.m2.5.5.5.7.1.cmml"><mo id="S3.Ex17.m2.5.5.5.7.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex17.m2.5.5.5.7.1.1.cmml">[</mo><mi id="S3.Ex17.m2.1.1.1.1" xref="S3.Ex17.m2.1.1.1.1.cmml">d</mi><mo id="S3.Ex17.m2.5.5.5.7.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex17.m2.5.5.5.7.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></munder></mstyle><mrow id="S3.Ex17.m2.29.29.4.3.2" xref="S3.Ex17.m2.29.29.4.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex17.m2.8.8" xref="S3.Ex17.m2.8.8.cmml"><msub id="S3.Ex17.m2.8.8.3" xref="S3.Ex17.m2.8.8.3.cmml"><mi id="S3.Ex17.m2.8.8.3.5" xref="S3.Ex17.m2.8.8.3.5.cmml">C</mi><mrow id="S3.Ex17.m2.8.8.3.3.3.3" xref="S3.Ex17.m2.8.8.3.3.3.4.cmml"><msup id="S3.Ex17.m2.8.8.3.3.3.3.1" xref="S3.Ex17.m2.8.8.3.3.3.3.1.cmml"><mi id="S3.Ex17.m2.8.8.3.3.3.3.1.2" xref="S3.Ex17.m2.8.8.3.3.3.3.1.2.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex17.m2.8.8.3.3.3.3.1.3" xref="S3.Ex17.m2.8.8.3.3.3.3.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.Ex17.m2.8.8.3.3.3.3.2" xref="S3.Ex17.m2.8.8.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex17.m2.6.6.1.1.1.1" xref="S3.Ex17.m2.6.6.1.1.1.1.cmml">k</mi><mo id="S3.Ex17.m2.8.8.3.3.3.3.3" xref="S3.Ex17.m2.8.8.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex17.m2.7.7.2.2.2.2" xref="S3.Ex17.m2.7.7.2.2.2.2.cmml">l</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex17.m2.8.8.4" xref="S3.Ex17.m2.8.8.4.cmml">¯</mo></mover><mo id="S3.Ex17.m2.29.29.4.3.2.1" xref="S3.Ex17.m2.29.29.4.3.2.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S3.Ex17.m2.11.11" xref="S3.Ex17.m2.11.11.cmml"><msub id="S3.Ex17.m2.11.11.3" xref="S3.Ex17.m2.11.11.3.cmml"><mi id="S3.Ex17.m2.11.11.3.5" xref="S3.Ex17.m2.11.11.3.5.cmml">C</mi><mrow id="S3.Ex17.m2.11.11.3.3.3.3" xref="S3.Ex17.m2.11.11.3.3.3.4.cmml"><mi id="S3.Ex17.m2.9.9.1.1.1.1" xref="S3.Ex17.m2.9.9.1.1.1.1.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex17.m2.11.11.3.3.3.3.2" xref="S3.Ex17.m2.11.11.3.3.3.4.cmml">,</mo><msup id="S3.Ex17.m2.11.11.3.3.3.3.1" xref="S3.Ex17.m2.11.11.3.3.3.3.1.cmml"><mi id="S3.Ex17.m2.11.11.3.3.3.3.1.2" xref="S3.Ex17.m2.11.11.3.3.3.3.1.2.cmml">k</mi><mo id="S3.Ex17.m2.11.11.3.3.3.3.1.3" xref="S3.Ex17.m2.11.11.3.3.3.3.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.Ex17.m2.11.11.3.3.3.3.3" xref="S3.Ex17.m2.11.11.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex17.m2.10.10.2.2.2.2" xref="S3.Ex17.m2.10.10.2.2.2.2.cmml">l</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex17.m2.11.11.4" xref="S3.Ex17.m2.11.11.4.cmml">¯</mo></mover><mo id="S3.Ex17.m2.29.29.4.3.2.1a" xref="S3.Ex17.m2.29.29.4.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex17.m2.29.29.4.3.2.2" xref="S3.Ex17.m2.29.29.4.3.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex17.m2.29.29.4.3.2.2.2" xref="S3.Ex17.m2.29.29.4.3.2.2.2.cmml">A</mi><mrow id="S3.Ex17.m2.13.13.2.2" xref="S3.Ex17.m2.13.13.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex17.m2.12.12.1.1" xref="S3.Ex17.m2.12.12.1.1.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex17.m2.13.13.2.2.2" xref="S3.Ex17.m2.13.13.2.3.cmml">,</mo><msup id="S3.Ex17.m2.13.13.2.2.1" xref="S3.Ex17.m2.13.13.2.2.1.cmml"><mi id="S3.Ex17.m2.13.13.2.2.1.2" xref="S3.Ex17.m2.13.13.2.2.1.2.cmml">k</mi><mo id="S3.Ex17.m2.13.13.2.2.1.3" xref="S3.Ex17.m2.13.13.2.2.1.3.cmml">′</mo></msup></mrow></msub></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex17.m2.29.29.3" xref="S3.Ex17.m2.29.29.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex17.m2.29.29.2" xref="S3.Ex17.m2.29.29.2.cmml"><mrow id="S3.Ex17.m2.28.28.1.1.1" xref="S3.Ex17.m2.28.28.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex17.m2.28.28.1.1.1.2" xref="S3.Ex17.m2.28.28.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex17.m2.28.28.1.1.1.1" xref="S3.Ex17.m2.28.28.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex17.m2.28.28.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex17.m2.28.28.1.1.1.1.2.cmml"><mfrac id="S3.Ex17.m2.28.28.1.1.1.1.2a" xref="S3.Ex17.m2.28.28.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="S3.Ex17.m2.28.28.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex17.m2.28.28.1.1.1.1.2.2.cmml">1</mn><msqrt id="S3.Ex17.m2.28.28.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex17.m2.28.28.1.1.1.1.2.3.cmml"><msup id="S3.Ex17.m2.28.28.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.Ex17.m2.28.28.1.1.1.1.2.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex17.m2.28.28.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="S3.Ex17.m2.28.28.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml">d</mi><mn id="S3.Ex17.m2.28.28.1.1.1.1.2.3.2.3" xref="S3.Ex17.m2.28.28.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml">3</mn></msup></msqrt></mfrac></mstyle><mo id="S3.Ex17.m2.28.28.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex17.m2.28.28.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex17.m2.28.28.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex17.m2.28.28.1.1.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex17.m2.28.28.1.1.1.1.3.1" xref="S3.Ex17.m2.28.28.1.1.1.1.3.1.cmml"><munder id="S3.Ex17.m2.28.28.1.1.1.1.3.1a" xref="S3.Ex17.m2.28.28.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S3.Ex17.m2.28.28.1.1.1.1.3.1.2" movablelimits="false" xref="S3.Ex17.m2.28.28.1.1.1.1.3.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.Ex17.m2.16.16.3" xref="S3.Ex17.m2.16.16.3.cmml"><mrow id="S3.Ex17.m2.16.16.3.3.1" xref="S3.Ex17.m2.16.16.3.3.2.cmml"><msup id="S3.Ex17.m2.16.16.3.3.1.1" xref="S3.Ex17.m2.16.16.3.3.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex17.m2.16.16.3.3.1.1.2" xref="S3.Ex17.m2.16.16.3.3.1.1.2.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex17.m2.16.16.3.3.1.1.3" xref="S3.Ex17.m2.16.16.3.3.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.Ex17.m2.16.16.3.3.1.2" xref="S3.Ex17.m2.16.16.3.3.2.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex17.m2.15.15.2.2" xref="S3.Ex17.m2.15.15.2.2.cmml">k</mi></mrow><mo id="S3.Ex17.m2.16.16.3.4" xref="S3.Ex17.m2.16.16.3.4.cmml">∈</mo><mrow id="S3.Ex17.m2.16.16.3.5.2" xref="S3.Ex17.m2.16.16.3.5.1.cmml"><mo id="S3.Ex17.m2.16.16.3.5.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex17.m2.16.16.3.5.1.1.cmml">[</mo><mi id="S3.Ex17.m2.14.14.1.1" xref="S3.Ex17.m2.14.14.1.1.cmml">d</mi><mo id="S3.Ex17.m2.16.16.3.5.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex17.m2.16.16.3.5.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></munder></mstyle><mover accent="true" id="S3.Ex17.m2.19.19" xref="S3.Ex17.m2.19.19.cmml"><msub id="S3.Ex17.m2.19.19.3" xref="S3.Ex17.m2.19.19.3.cmml"><mi id="S3.Ex17.m2.19.19.3.5" xref="S3.Ex17.m2.19.19.3.5.cmml">C</mi><mrow id="S3.Ex17.m2.19.19.3.3.3.3" xref="S3.Ex17.m2.19.19.3.3.3.4.cmml"><msup id="S3.Ex17.m2.19.19.3.3.3.3.1" xref="S3.Ex17.m2.19.19.3.3.3.3.1.cmml"><mi id="S3.Ex17.m2.19.19.3.3.3.3.1.2" xref="S3.Ex17.m2.19.19.3.3.3.3.1.2.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex17.m2.19.19.3.3.3.3.1.3" xref="S3.Ex17.m2.19.19.3.3.3.3.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.Ex17.m2.19.19.3.3.3.3.2" xref="S3.Ex17.m2.19.19.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex17.m2.17.17.1.1.1.1" xref="S3.Ex17.m2.17.17.1.1.1.1.cmml">k</mi><mo id="S3.Ex17.m2.19.19.3.3.3.3.3" xref="S3.Ex17.m2.19.19.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex17.m2.18.18.2.2.2.2" xref="S3.Ex17.m2.18.18.2.2.2.2.cmml">l</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex17.m2.19.19.4" xref="S3.Ex17.m2.19.19.4.cmml">¯</mo></mover></mrow></mrow><mo id="S3.Ex17.m2.28.28.1.1.1.3" xref="S3.Ex17.m2.28.28.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex17.m2.29.29.2.3" xref="S3.Ex17.m2.29.29.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex17.m2.29.29.2.2.1" xref="S3.Ex17.m2.29.29.2.2.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex17.m2.29.29.2.2.1.2" xref="S3.Ex17.m2.29.29.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex17.m2.29.29.2.2.1.1" xref="S3.Ex17.m2.29.29.2.2.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex17.m2.29.29.2.2.1.1.2" xref="S3.Ex17.m2.29.29.2.2.1.1.2.cmml"><mfrac id="S3.Ex17.m2.29.29.2.2.1.1.2a" xref="S3.Ex17.m2.29.29.2.2.1.1.2.cmml"><mn id="S3.Ex17.m2.29.29.2.2.1.1.2.2" xref="S3.Ex17.m2.29.29.2.2.1.1.2.2.cmml">1</mn><msqrt id="S3.Ex17.m2.29.29.2.2.1.1.2.3" xref="S3.Ex17.m2.29.29.2.2.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex17.m2.29.29.2.2.1.1.2.3.2" xref="S3.Ex17.m2.29.29.2.2.1.1.2.3.2.cmml">d</mi></msqrt></mfrac></mstyle><mo id="S3.Ex17.m2.29.29.2.2.1.1.1" xref="S3.Ex17.m2.29.29.2.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex17.m2.29.29.2.2.1.1.3" xref="S3.Ex17.m2.29.29.2.2.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex17.m2.29.29.2.2.1.1.3.1" xref="S3.Ex17.m2.29.29.2.2.1.1.3.1.cmml"><munder id="S3.Ex17.m2.29.29.2.2.1.1.3.1a" xref="S3.Ex17.m2.29.29.2.2.1.1.3.1.cmml"><mo id="S3.Ex17.m2.29.29.2.2.1.1.3.1.2" movablelimits="false" xref="S3.Ex17.m2.29.29.2.2.1.1.3.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.Ex17.m2.22.22.3" xref="S3.Ex17.m2.22.22.3.cmml"><mrow id="S3.Ex17.m2.22.22.3.3.1" xref="S3.Ex17.m2.22.22.3.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex17.m2.21.21.2.2" xref="S3.Ex17.m2.21.21.2.2.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex17.m2.22.22.3.3.1.2" xref="S3.Ex17.m2.22.22.3.3.2.cmml">,</mo><msup id="S3.Ex17.m2.22.22.3.3.1.1" xref="S3.Ex17.m2.22.22.3.3.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex17.m2.22.22.3.3.1.1.2" xref="S3.Ex17.m2.22.22.3.3.1.1.2.cmml">k</mi><mo id="S3.Ex17.m2.22.22.3.3.1.1.3" xref="S3.Ex17.m2.22.22.3.3.1.1.3.cmml">′</mo></msup></mrow><mo id="S3.Ex17.m2.22.22.3.4" xref="S3.Ex17.m2.22.22.3.4.cmml">∈</mo><mrow id="S3.Ex17.m2.22.22.3.5.2" xref="S3.Ex17.m2.22.22.3.5.1.cmml"><mo id="S3.Ex17.m2.22.22.3.5.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex17.m2.22.22.3.5.1.1.cmml">[</mo><mi id="S3.Ex17.m2.20.20.1.1" xref="S3.Ex17.m2.20.20.1.1.cmml">d</mi><mo id="S3.Ex17.m2.22.22.3.5.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex17.m2.22.22.3.5.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></munder></mstyle><mrow id="S3.Ex17.m2.29.29.2.2.1.1.3.2" xref="S3.Ex17.m2.29.29.2.2.1.1.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex17.m2.25.25" xref="S3.Ex17.m2.25.25.cmml"><msub id="S3.Ex17.m2.25.25.3" xref="S3.Ex17.m2.25.25.3.cmml"><mi id="S3.Ex17.m2.25.25.3.5" xref="S3.Ex17.m2.25.25.3.5.cmml">C</mi><mrow id="S3.Ex17.m2.25.25.3.3.3.3" xref="S3.Ex17.m2.25.25.3.3.3.4.cmml"><mi id="S3.Ex17.m2.23.23.1.1.1.1" xref="S3.Ex17.m2.23.23.1.1.1.1.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex17.m2.25.25.3.3.3.3.2" xref="S3.Ex17.m2.25.25.3.3.3.4.cmml">,</mo><msup id="S3.Ex17.m2.25.25.3.3.3.3.1" xref="S3.Ex17.m2.25.25.3.3.3.3.1.cmml"><mi id="S3.Ex17.m2.25.25.3.3.3.3.1.2" xref="S3.Ex17.m2.25.25.3.3.3.3.1.2.cmml">k</mi><mo id="S3.Ex17.m2.25.25.3.3.3.3.1.3" xref="S3.Ex17.m2.25.25.3.3.3.3.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.Ex17.m2.25.25.3.3.3.3.3" xref="S3.Ex17.m2.25.25.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex17.m2.24.24.2.2.2.2" xref="S3.Ex17.m2.24.24.2.2.2.2.cmml">l</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex17.m2.25.25.4" xref="S3.Ex17.m2.25.25.4.cmml">¯</mo></mover><mo id="S3.Ex17.m2.29.29.2.2.1.1.3.2.1" xref="S3.Ex17.m2.29.29.2.2.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex17.m2.29.29.2.2.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex17.m2.29.29.2.2.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex17.m2.29.29.2.2.1.1.3.2.2.2" xref="S3.Ex17.m2.29.29.2.2.1.1.3.2.2.2.cmml">A</mi><mrow id="S3.Ex17.m2.27.27.2.2" xref="S3.Ex17.m2.27.27.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex17.m2.26.26.1.1" xref="S3.Ex17.m2.26.26.1.1.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex17.m2.27.27.2.2.2" xref="S3.Ex17.m2.27.27.2.3.cmml">,</mo><msup id="S3.Ex17.m2.27.27.2.2.1" xref="S3.Ex17.m2.27.27.2.2.1.cmml"><mi id="S3.Ex17.m2.27.27.2.2.1.2" xref="S3.Ex17.m2.27.27.2.2.1.2.cmml">k</mi><mo id="S3.Ex17.m2.27.27.2.2.1.3" xref="S3.Ex17.m2.27.27.2.2.1.3.cmml">′</mo></msup></mrow></msub></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex17.m2.29.29.2.2.1.3" xref="S3.Ex17.m2.29.29.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex17.m2.29b"><apply id="S3.Ex17.m2.29.29.cmml" xref="S3.Ex17.m2.29.29"><eq id="S3.Ex17.m2.29.29.3.cmml" xref="S3.Ex17.m2.29.29.3"></eq><apply id="S3.Ex17.m2.29.29.4.cmml" xref="S3.Ex17.m2.29.29.4"><times id="S3.Ex17.m2.29.29.4.1.cmml" xref="S3.Ex17.m2.29.29.4.1"></times><apply id="S3.Ex17.m2.29.29.4.2.cmml" xref="S3.Ex17.m2.29.29.4.2"><divide id="S3.Ex17.m2.29.29.4.2.1.cmml" xref="S3.Ex17.m2.29.29.4.2"></divide><cn id="S3.Ex17.m2.29.29.4.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex17.m2.29.29.4.2.2">1</cn><apply id="S3.Ex17.m2.29.29.4.2.3.cmml" xref="S3.Ex17.m2.29.29.4.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex17.m2.29.29.4.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex17.m2.29.29.4.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex17.m2.29.29.4.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex17.m2.29.29.4.2.3.2">𝑑</ci><cn id="S3.Ex17.m2.29.29.4.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex17.m2.29.29.4.2.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S3.Ex17.m2.29.29.4.3.cmml" xref="S3.Ex17.m2.29.29.4.3"><apply id="S3.Ex17.m2.29.29.4.3.1.cmml" xref="S3.Ex17.m2.29.29.4.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex17.m2.29.29.4.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex17.m2.29.29.4.3.1">subscript</csymbol><sum id="S3.Ex17.m2.29.29.4.3.1.2.cmml" xref="S3.Ex17.m2.29.29.4.3.1.2"></sum><apply id="S3.Ex17.m2.5.5.5.cmml" xref="S3.Ex17.m2.5.5.5"><in id="S3.Ex17.m2.5.5.5.6.cmml" xref="S3.Ex17.m2.5.5.5.6"></in><list id="S3.Ex17.m2.5.5.5.5.3.cmml" xref="S3.Ex17.m2.5.5.5.5.2"><ci id="S3.Ex17.m2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex17.m2.2.2.2.2">𝑗</ci><ci id="S3.Ex17.m2.3.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex17.m2.3.3.3.3">𝑘</ci><apply id="S3.Ex17.m2.4.4.4.4.1.1.cmml" xref="S3.Ex17.m2.4.4.4.4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex17.m2.4.4.4.4.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex17.m2.4.4.4.4.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex17.m2.4.4.4.4.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex17.m2.4.4.4.4.1.1.2">𝑗</ci><ci id="S3.Ex17.m2.4.4.4.4.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex17.m2.4.4.4.4.1.1.3">′</ci></apply><apply id="S3.Ex17.m2.5.5.5.5.2.2.cmml" xref="S3.Ex17.m2.5.5.5.5.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex17.m2.5.5.5.5.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex17.m2.5.5.5.5.2.2">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex17.m2.5.5.5.5.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex17.m2.5.5.5.5.2.2.2">𝑘</ci><ci id="S3.Ex17.m2.5.5.5.5.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex17.m2.5.5.5.5.2.2.3">′</ci></apply></list><apply id="S3.Ex17.m2.5.5.5.7.1.cmml" xref="S3.Ex17.m2.5.5.5.7.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex17.m2.5.5.5.7.1.1.cmml" xref="S3.Ex17.m2.5.5.5.7.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S3.Ex17.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex17.m2.1.1.1.1">𝑑</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex17.m2.29.29.4.3.2.cmml" xref="S3.Ex17.m2.29.29.4.3.2"><times id="S3.Ex17.m2.29.29.4.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex17.m2.29.29.4.3.2.1"></times><apply id="S3.Ex17.m2.8.8.cmml" xref="S3.Ex17.m2.8.8"><ci id="S3.Ex17.m2.8.8.4.cmml" xref="S3.Ex17.m2.8.8.4">¯</ci><apply id="S3.Ex17.m2.8.8.3.cmml" xref="S3.Ex17.m2.8.8.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex17.m2.8.8.3.4.cmml" xref="S3.Ex17.m2.8.8.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex17.m2.8.8.3.5.cmml" xref="S3.Ex17.m2.8.8.3.5">𝐶</ci><list id="S3.Ex17.m2.8.8.3.3.3.4.cmml" xref="S3.Ex17.m2.8.8.3.3.3.3"><apply id="S3.Ex17.m2.8.8.3.3.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex17.m2.8.8.3.3.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex17.m2.8.8.3.3.3.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex17.m2.8.8.3.3.3.3.1">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex17.m2.8.8.3.3.3.3.1.2.cmml" xref="S3.Ex17.m2.8.8.3.3.3.3.1.2">𝑗</ci><ci id="S3.Ex17.m2.8.8.3.3.3.3.1.3.cmml" xref="S3.Ex17.m2.8.8.3.3.3.3.1.3">′</ci></apply><ci id="S3.Ex17.m2.6.6.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex17.m2.6.6.1.1.1.1">𝑘</ci><ci id="S3.Ex17.m2.7.7.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex17.m2.7.7.2.2.2.2">𝑙</ci></list></apply></apply><apply id="S3.Ex17.m2.11.11.cmml" xref="S3.Ex17.m2.11.11"><ci id="S3.Ex17.m2.11.11.4.cmml" xref="S3.Ex17.m2.11.11.4">¯</ci><apply id="S3.Ex17.m2.11.11.3.cmml" xref="S3.Ex17.m2.11.11.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex17.m2.11.11.3.4.cmml" xref="S3.Ex17.m2.11.11.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex17.m2.11.11.3.5.cmml" xref="S3.Ex17.m2.11.11.3.5">𝐶</ci><list id="S3.Ex17.m2.11.11.3.3.3.4.cmml" xref="S3.Ex17.m2.11.11.3.3.3.3"><ci id="S3.Ex17.m2.9.9.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex17.m2.9.9.1.1.1.1">𝑗</ci><apply id="S3.Ex17.m2.11.11.3.3.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex17.m2.11.11.3.3.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex17.m2.11.11.3.3.3.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex17.m2.11.11.3.3.3.3.1">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex17.m2.11.11.3.3.3.3.1.2.cmml" xref="S3.Ex17.m2.11.11.3.3.3.3.1.2">𝑘</ci><ci id="S3.Ex17.m2.11.11.3.3.3.3.1.3.cmml" xref="S3.Ex17.m2.11.11.3.3.3.3.1.3">′</ci></apply><ci id="S3.Ex17.m2.10.10.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex17.m2.10.10.2.2.2.2">𝑙</ci></list></apply></apply><apply id="S3.Ex17.m2.29.29.4.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex17.m2.29.29.4.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex17.m2.29.29.4.3.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex17.m2.29.29.4.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex17.m2.29.29.4.3.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex17.m2.29.29.4.3.2.2.2">𝐴</ci><list id="S3.Ex17.m2.13.13.2.3.cmml" xref="S3.Ex17.m2.13.13.2.2"><ci id="S3.Ex17.m2.12.12.1.1.cmml" xref="S3.Ex17.m2.12.12.1.1">𝑗</ci><apply id="S3.Ex17.m2.13.13.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex17.m2.13.13.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex17.m2.13.13.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex17.m2.13.13.2.2.1">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex17.m2.13.13.2.2.1.2.cmml" xref="S3.Ex17.m2.13.13.2.2.1.2">𝑘</ci><ci id="S3.Ex17.m2.13.13.2.2.1.3.cmml" xref="S3.Ex17.m2.13.13.2.2.1.3">′</ci></apply></list></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex17.m2.29.29.2.cmml" xref="S3.Ex17.m2.29.29.2"><times id="S3.Ex17.m2.29.29.2.3.cmml" xref="S3.Ex17.m2.29.29.2.3"></times><apply id="S3.Ex17.m2.28.28.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex17.m2.28.28.1.1.1"><times id="S3.Ex17.m2.28.28.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex17.m2.28.28.1.1.1.1.1"></times><apply id="S3.Ex17.m2.28.28.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex17.m2.28.28.1.1.1.1.2"><divide id="S3.Ex17.m2.28.28.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex17.m2.28.28.1.1.1.1.2"></divide><cn id="S3.Ex17.m2.28.28.1.1.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex17.m2.28.28.1.1.1.1.2.2">1</cn><apply id="S3.Ex17.m2.28.28.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex17.m2.28.28.1.1.1.1.2.3"><root id="S3.Ex17.m2.28.28.1.1.1.1.2.3a.cmml" xref="S3.Ex17.m2.28.28.1.1.1.1.2.3"></root><apply id="S3.Ex17.m2.28.28.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex17.m2.28.28.1.1.1.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex17.m2.28.28.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex17.m2.28.28.1.1.1.1.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex17.m2.28.28.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex17.m2.28.28.1.1.1.1.2.3.2.2">𝑑</ci><cn id="S3.Ex17.m2.28.28.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex17.m2.28.28.1.1.1.1.2.3.2.3">3</cn></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex17.m2.28.28.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex17.m2.28.28.1.1.1.1.3"><apply id="S3.Ex17.m2.28.28.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex17.m2.28.28.1.1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex17.m2.28.28.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex17.m2.28.28.1.1.1.1.3.1">subscript</csymbol><sum id="S3.Ex17.m2.28.28.1.1.1.1.3.1.2.cmml" xref="S3.Ex17.m2.28.28.1.1.1.1.3.1.2"></sum><apply id="S3.Ex17.m2.16.16.3.cmml" xref="S3.Ex17.m2.16.16.3"><in id="S3.Ex17.m2.16.16.3.4.cmml" xref="S3.Ex17.m2.16.16.3.4"></in><list id="S3.Ex17.m2.16.16.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex17.m2.16.16.3.3.1"><apply id="S3.Ex17.m2.16.16.3.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex17.m2.16.16.3.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex17.m2.16.16.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex17.m2.16.16.3.3.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex17.m2.16.16.3.3.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex17.m2.16.16.3.3.1.1.2">𝑗</ci><ci id="S3.Ex17.m2.16.16.3.3.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex17.m2.16.16.3.3.1.1.3">′</ci></apply><ci id="S3.Ex17.m2.15.15.2.2.cmml" xref="S3.Ex17.m2.15.15.2.2">𝑘</ci></list><apply id="S3.Ex17.m2.16.16.3.5.1.cmml" xref="S3.Ex17.m2.16.16.3.5.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex17.m2.16.16.3.5.1.1.cmml" xref="S3.Ex17.m2.16.16.3.5.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S3.Ex17.m2.14.14.1.1.cmml" xref="S3.Ex17.m2.14.14.1.1">𝑑</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex17.m2.19.19.cmml" xref="S3.Ex17.m2.19.19"><ci id="S3.Ex17.m2.19.19.4.cmml" xref="S3.Ex17.m2.19.19.4">¯</ci><apply id="S3.Ex17.m2.19.19.3.cmml" xref="S3.Ex17.m2.19.19.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex17.m2.19.19.3.4.cmml" xref="S3.Ex17.m2.19.19.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex17.m2.19.19.3.5.cmml" xref="S3.Ex17.m2.19.19.3.5">𝐶</ci><list id="S3.Ex17.m2.19.19.3.3.3.4.cmml" xref="S3.Ex17.m2.19.19.3.3.3.3"><apply id="S3.Ex17.m2.19.19.3.3.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex17.m2.19.19.3.3.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex17.m2.19.19.3.3.3.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex17.m2.19.19.3.3.3.3.1">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex17.m2.19.19.3.3.3.3.1.2.cmml" xref="S3.Ex17.m2.19.19.3.3.3.3.1.2">𝑗</ci><ci id="S3.Ex17.m2.19.19.3.3.3.3.1.3.cmml" xref="S3.Ex17.m2.19.19.3.3.3.3.1.3">′</ci></apply><ci id="S3.Ex17.m2.17.17.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex17.m2.17.17.1.1.1.1">𝑘</ci><ci id="S3.Ex17.m2.18.18.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex17.m2.18.18.2.2.2.2">𝑙</ci></list></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex17.m2.29.29.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex17.m2.29.29.2.2.1"><times id="S3.Ex17.m2.29.29.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex17.m2.29.29.2.2.1.1.1"></times><apply id="S3.Ex17.m2.29.29.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex17.m2.29.29.2.2.1.1.2"><divide id="S3.Ex17.m2.29.29.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex17.m2.29.29.2.2.1.1.2"></divide><cn id="S3.Ex17.m2.29.29.2.2.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex17.m2.29.29.2.2.1.1.2.2">1</cn><apply id="S3.Ex17.m2.29.29.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex17.m2.29.29.2.2.1.1.2.3"><root id="S3.Ex17.m2.29.29.2.2.1.1.2.3a.cmml" xref="S3.Ex17.m2.29.29.2.2.1.1.2.3"></root><ci id="S3.Ex17.m2.29.29.2.2.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex17.m2.29.29.2.2.1.1.2.3.2">𝑑</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex17.m2.29.29.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex17.m2.29.29.2.2.1.1.3"><apply id="S3.Ex17.m2.29.29.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex17.m2.29.29.2.2.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex17.m2.29.29.2.2.1.1.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex17.m2.29.29.2.2.1.1.3.1">subscript</csymbol><sum id="S3.Ex17.m2.29.29.2.2.1.1.3.1.2.cmml" xref="S3.Ex17.m2.29.29.2.2.1.1.3.1.2"></sum><apply id="S3.Ex17.m2.22.22.3.cmml" xref="S3.Ex17.m2.22.22.3"><in id="S3.Ex17.m2.22.22.3.4.cmml" xref="S3.Ex17.m2.22.22.3.4"></in><list id="S3.Ex17.m2.22.22.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex17.m2.22.22.3.3.1"><ci id="S3.Ex17.m2.21.21.2.2.cmml" xref="S3.Ex17.m2.21.21.2.2">𝑗</ci><apply id="S3.Ex17.m2.22.22.3.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex17.m2.22.22.3.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex17.m2.22.22.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex17.m2.22.22.3.3.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex17.m2.22.22.3.3.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex17.m2.22.22.3.3.1.1.2">𝑘</ci><ci id="S3.Ex17.m2.22.22.3.3.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex17.m2.22.22.3.3.1.1.3">′</ci></apply></list><apply id="S3.Ex17.m2.22.22.3.5.1.cmml" xref="S3.Ex17.m2.22.22.3.5.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex17.m2.22.22.3.5.1.1.cmml" xref="S3.Ex17.m2.22.22.3.5.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S3.Ex17.m2.20.20.1.1.cmml" xref="S3.Ex17.m2.20.20.1.1">𝑑</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex17.m2.29.29.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex17.m2.29.29.2.2.1.1.3.2"><times id="S3.Ex17.m2.29.29.2.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex17.m2.29.29.2.2.1.1.3.2.1"></times><apply id="S3.Ex17.m2.25.25.cmml" xref="S3.Ex17.m2.25.25"><ci id="S3.Ex17.m2.25.25.4.cmml" xref="S3.Ex17.m2.25.25.4">¯</ci><apply id="S3.Ex17.m2.25.25.3.cmml" xref="S3.Ex17.m2.25.25.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex17.m2.25.25.3.4.cmml" xref="S3.Ex17.m2.25.25.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex17.m2.25.25.3.5.cmml" xref="S3.Ex17.m2.25.25.3.5">𝐶</ci><list id="S3.Ex17.m2.25.25.3.3.3.4.cmml" xref="S3.Ex17.m2.25.25.3.3.3.3"><ci id="S3.Ex17.m2.23.23.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex17.m2.23.23.1.1.1.1">𝑗</ci><apply id="S3.Ex17.m2.25.25.3.3.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex17.m2.25.25.3.3.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex17.m2.25.25.3.3.3.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex17.m2.25.25.3.3.3.3.1">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex17.m2.25.25.3.3.3.3.1.2.cmml" xref="S3.Ex17.m2.25.25.3.3.3.3.1.2">𝑘</ci><ci id="S3.Ex17.m2.25.25.3.3.3.3.1.3.cmml" xref="S3.Ex17.m2.25.25.3.3.3.3.1.3">′</ci></apply><ci id="S3.Ex17.m2.24.24.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex17.m2.24.24.2.2.2.2">𝑙</ci></list></apply></apply><apply id="S3.Ex17.m2.29.29.2.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex17.m2.29.29.2.2.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex17.m2.29.29.2.2.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex17.m2.29.29.2.2.1.1.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex17.m2.29.29.2.2.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex17.m2.29.29.2.2.1.1.3.2.2.2">𝐴</ci><list id="S3.Ex17.m2.27.27.2.3.cmml" xref="S3.Ex17.m2.27.27.2.2"><ci id="S3.Ex17.m2.26.26.1.1.cmml" xref="S3.Ex17.m2.26.26.1.1">𝑗</ci><apply id="S3.Ex17.m2.27.27.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex17.m2.27.27.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex17.m2.27.27.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex17.m2.27.27.2.2.1">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex17.m2.27.27.2.2.1.2.cmml" xref="S3.Ex17.m2.27.27.2.2.1.2">𝑘</ci><ci id="S3.Ex17.m2.27.27.2.2.1.3.cmml" xref="S3.Ex17.m2.27.27.2.2.1.3">′</ci></apply></list></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex17.m2.29c">\displaystyle\frac{1}{d^{2}}\sum_{j,k,j^{\prime},k^{\prime}\in[d]}\overline{C_% {j^{\prime},k,l}}\,\overline{C_{j,k^{\prime},l}}A_{j,k^{\prime}}=\left(\frac{1% }{\sqrt{d^{3}}}\sum_{j^{\prime},k\in[d]}\overline{C_{j^{\prime},k,l}}\right)% \left(\frac{1}{\sqrt{d}}\sum_{j,k^{\prime}\in[d]}\overline{C_{j,k^{\prime},l}}% A_{j,k^{\prime}}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex17.m2.29d">divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_d start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k , italic_j start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_k start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ∈ [ italic_d ] end_POSTSUBSCRIPT over¯ start_ARG italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_k , italic_l end_POSTSUBSCRIPT end_ARG over¯ start_ARG italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_l end_POSTSUBSCRIPT end_ARG italic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT = ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG square-root start_ARG italic_d start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_k ∈ [ italic_d ] end_POSTSUBSCRIPT over¯ start_ARG italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_k , italic_l end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ) ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG square-root start_ARG italic_d end_ARG end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ∈ [ italic_d ] end_POSTSUBSCRIPT over¯ start_ARG italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_l end_POSTSUBSCRIPT end_ARG italic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr> <tr class="ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex18.m1.1"><semantics id="S3.Ex18.m1.1a"><mo id="S3.Ex18.m1.1.1" xref="S3.Ex18.m1.1.1.cmml">=</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex18.m1.1b"><eq id="S3.Ex18.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex18.m1.1.1"></eq></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex18.m1.1c">\displaystyle=</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex18.m1.1d">=</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\left(\frac{1}{\sqrt{d^{3}}}\sum_{k\in[d]}\sqrt{d}\right)R_{l}^{*% }=R_{l}^{*}," class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex18.m2.2"><semantics id="S3.Ex18.m2.2a"><mrow id="S3.Ex18.m2.2.2.1" xref="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex18.m2.2.2.1.1" xref="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1" xref="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mfrac id="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">1</mn><msqrt id="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><msup id="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml">d</mi><mn id="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3" xref="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml">3</mn></msup></msqrt></mfrac></mstyle><mo id="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"><munder id="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1a" xref="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.2" movablelimits="false" xref="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.Ex18.m2.1.1.1" xref="S3.Ex18.m2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex18.m2.1.1.1.3" xref="S3.Ex18.m2.1.1.1.3.cmml">k</mi><mo id="S3.Ex18.m2.1.1.1.2" xref="S3.Ex18.m2.1.1.1.2.cmml">∈</mo><mrow id="S3.Ex18.m2.1.1.1.4.2" xref="S3.Ex18.m2.1.1.1.4.1.cmml"><mo id="S3.Ex18.m2.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex18.m2.1.1.1.4.1.1.cmml">[</mo><mi id="S3.Ex18.m2.1.1.1.1" xref="S3.Ex18.m2.1.1.1.1.cmml">d</mi><mo id="S3.Ex18.m2.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex18.m2.1.1.1.4.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></munder></mstyle><msqrt id="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">d</mi></msqrt></mrow></mrow><mo id="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.2" xref="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.3" xref="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml">R</mi><mi id="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.3.2.3" xref="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml">l</mi><mo id="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.3.3.cmml">∗</mo></msubsup></mrow><mo id="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.2" xref="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.2.cmml">=</mo><msubsup id="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.3" xref="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.3.2.2.cmml">R</mi><mi id="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.3.2.3" xref="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.3.2.3.cmml">l</mi><mo id="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.3.3" xref="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.3.3.cmml">∗</mo></msubsup></mrow><mo id="S3.Ex18.m2.2.2.1.2" xref="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex18.m2.2b"><apply id="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex18.m2.2.2.1"><eq id="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.2"></eq><apply id="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1"><times id="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.2"></times><apply id="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.1.1"><times id="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2"><divide id="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2"></divide><cn id="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2">1</cn><apply id="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3"><root id="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3a.cmml" xref="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3"></root><apply id="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2">𝑑</ci><cn id="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3">3</cn></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.3"><apply id="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1">subscript</csymbol><sum id="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.2.cmml" xref="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.2"></sum><apply id="S3.Ex18.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex18.m2.1.1.1"><in id="S3.Ex18.m2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex18.m2.1.1.1.2"></in><ci id="S3.Ex18.m2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex18.m2.1.1.1.3">𝑘</ci><apply id="S3.Ex18.m2.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.Ex18.m2.1.1.1.4.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex18.m2.1.1.1.4.1.1.cmml" xref="S3.Ex18.m2.1.1.1.4.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S3.Ex18.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex18.m2.1.1.1.1">𝑑</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2"><root id="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2a.cmml" xref="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2"></root><ci id="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑑</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.3.2.2">𝑅</ci><ci id="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.3.2.3">𝑙</ci></apply><times id="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.1.3.3"></times></apply></apply><apply id="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.3.2.2">𝑅</ci><ci id="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.3.2.3">𝑙</ci></apply><times id="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex18.m2.2.2.1.1.3.3"></times></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex18.m2.2c">\displaystyle\left(\frac{1}{\sqrt{d^{3}}}\sum_{k\in[d]}\sqrt{d}\right)R_{l}^{*% }=R_{l}^{*},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex18.m2.2d">( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG square-root start_ARG italic_d start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_k ∈ [ italic_d ] end_POSTSUBSCRIPT square-root start_ARG italic_d end_ARG ) italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT = italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr> </tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.12.p6.2">where from the second line to the third we used assumption (iii’) – i.e. the relation (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#S3.E8" title="Equation 3.8 ‣ 3. MUB-triplets and Hadamard cubes ‣ Triplets of Mutually Unbiased Bases"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3.8</span></a>) – to “reshuffle” indices, and assumption (iv’) from the third line to the fourth. Thus, the only thing that remains to be proven is the self-adjointness of <math alttext="R_{l}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.12.p6.2.m1.1"><semantics id="S3.12.p6.2.m1.1a"><msub id="S3.12.p6.2.m1.1.1" xref="S3.12.p6.2.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.12.p6.2.m1.1.1.2" xref="S3.12.p6.2.m1.1.1.2.cmml">R</mi><mi id="S3.12.p6.2.m1.1.1.3" xref="S3.12.p6.2.m1.1.1.3.cmml">l</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.12.p6.2.m1.1b"><apply id="S3.12.p6.2.m1.1.1.cmml" xref="S3.12.p6.2.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.12.p6.2.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.12.p6.2.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.12.p6.2.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.12.p6.2.m1.1.1.2">𝑅</ci><ci id="S3.12.p6.2.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.12.p6.2.m1.1.1.3">𝑙</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.12.p6.2.m1.1c">R_{l}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.12.p6.2.m1.1d">italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.13.p7"> <p class="ltx_p" id="S3.13.p7.6">To show that <math alttext="R_{l}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.13.p7.1.m1.1"><semantics id="S3.13.p7.1.m1.1a"><msub id="S3.13.p7.1.m1.1.1" xref="S3.13.p7.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.13.p7.1.m1.1.1.2" xref="S3.13.p7.1.m1.1.1.2.cmml">R</mi><mi id="S3.13.p7.1.m1.1.1.3" xref="S3.13.p7.1.m1.1.1.3.cmml">l</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.13.p7.1.m1.1b"><apply id="S3.13.p7.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.13.p7.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.13.p7.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.13.p7.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.13.p7.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.13.p7.1.m1.1.1.2">𝑅</ci><ci id="S3.13.p7.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.13.p7.1.m1.1.1.3">𝑙</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.13.p7.1.m1.1c">R_{l}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.13.p7.1.m1.1d">italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="R_{l}^{*}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.13.p7.2.m2.1"><semantics id="S3.13.p7.2.m2.1a"><msubsup id="S3.13.p7.2.m2.1.1" xref="S3.13.p7.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.13.p7.2.m2.1.1.2.2" xref="S3.13.p7.2.m2.1.1.2.2.cmml">R</mi><mi id="S3.13.p7.2.m2.1.1.2.3" xref="S3.13.p7.2.m2.1.1.2.3.cmml">l</mi><mo id="S3.13.p7.2.m2.1.1.3" xref="S3.13.p7.2.m2.1.1.3.cmml">∗</mo></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.13.p7.2.m2.1b"><apply id="S3.13.p7.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.13.p7.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.13.p7.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.13.p7.2.m2.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.13.p7.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.13.p7.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.13.p7.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.13.p7.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.13.p7.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.13.p7.2.m2.1.1.2.2">𝑅</ci><ci id="S3.13.p7.2.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S3.13.p7.2.m2.1.1.2.3">𝑙</ci></apply><times id="S3.13.p7.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.13.p7.2.m2.1.1.3"></times></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.13.p7.2.m2.1c">R_{l}^{*}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.13.p7.2.m2.1d">italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> coincide, it is enough to check that their Hilbert-Schmidt product with each <math alttext="A_{j,k}^{*}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.13.p7.3.m3.2"><semantics id="S3.13.p7.3.m3.2a"><msubsup id="S3.13.p7.3.m3.2.3" xref="S3.13.p7.3.m3.2.3.cmml"><mi id="S3.13.p7.3.m3.2.3.2.2" xref="S3.13.p7.3.m3.2.3.2.2.cmml">A</mi><mrow id="S3.13.p7.3.m3.2.2.2.4" xref="S3.13.p7.3.m3.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.13.p7.3.m3.1.1.1.1" xref="S3.13.p7.3.m3.1.1.1.1.cmml">j</mi><mo id="S3.13.p7.3.m3.2.2.2.4.1" xref="S3.13.p7.3.m3.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.13.p7.3.m3.2.2.2.2" xref="S3.13.p7.3.m3.2.2.2.2.cmml">k</mi></mrow><mo id="S3.13.p7.3.m3.2.3.3" xref="S3.13.p7.3.m3.2.3.3.cmml">∗</mo></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.13.p7.3.m3.2b"><apply id="S3.13.p7.3.m3.2.3.cmml" xref="S3.13.p7.3.m3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.13.p7.3.m3.2.3.1.cmml" xref="S3.13.p7.3.m3.2.3">superscript</csymbol><apply id="S3.13.p7.3.m3.2.3.2.cmml" xref="S3.13.p7.3.m3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.13.p7.3.m3.2.3.2.1.cmml" xref="S3.13.p7.3.m3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.13.p7.3.m3.2.3.2.2.cmml" xref="S3.13.p7.3.m3.2.3.2.2">𝐴</ci><list id="S3.13.p7.3.m3.2.2.2.3.cmml" xref="S3.13.p7.3.m3.2.2.2.4"><ci id="S3.13.p7.3.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.13.p7.3.m3.1.1.1.1">𝑗</ci><ci id="S3.13.p7.3.m3.2.2.2.2.cmml" xref="S3.13.p7.3.m3.2.2.2.2">𝑘</ci></list></apply><times id="S3.13.p7.3.m3.2.3.3.cmml" xref="S3.13.p7.3.m3.2.3.3"></times></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.13.p7.3.m3.2c">A_{j,k}^{*}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.13.p7.3.m3.2d">italic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> (<math alttext="j,k\in[d]" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.13.p7.4.m4.3"><semantics id="S3.13.p7.4.m4.3a"><mrow id="S3.13.p7.4.m4.3.4" xref="S3.13.p7.4.m4.3.4.cmml"><mrow id="S3.13.p7.4.m4.3.4.2.2" xref="S3.13.p7.4.m4.3.4.2.1.cmml"><mi id="S3.13.p7.4.m4.2.2" xref="S3.13.p7.4.m4.2.2.cmml">j</mi><mo id="S3.13.p7.4.m4.3.4.2.2.1" xref="S3.13.p7.4.m4.3.4.2.1.cmml">,</mo><mi id="S3.13.p7.4.m4.3.3" xref="S3.13.p7.4.m4.3.3.cmml">k</mi></mrow><mo id="S3.13.p7.4.m4.3.4.1" xref="S3.13.p7.4.m4.3.4.1.cmml">∈</mo><mrow id="S3.13.p7.4.m4.3.4.3.2" xref="S3.13.p7.4.m4.3.4.3.1.cmml"><mo id="S3.13.p7.4.m4.3.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.13.p7.4.m4.3.4.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S3.13.p7.4.m4.1.1" xref="S3.13.p7.4.m4.1.1.cmml">d</mi><mo id="S3.13.p7.4.m4.3.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.13.p7.4.m4.3.4.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.13.p7.4.m4.3b"><apply id="S3.13.p7.4.m4.3.4.cmml" xref="S3.13.p7.4.m4.3.4"><in id="S3.13.p7.4.m4.3.4.1.cmml" xref="S3.13.p7.4.m4.3.4.1"></in><list id="S3.13.p7.4.m4.3.4.2.1.cmml" xref="S3.13.p7.4.m4.3.4.2.2"><ci id="S3.13.p7.4.m4.2.2.cmml" xref="S3.13.p7.4.m4.2.2">𝑗</ci><ci id="S3.13.p7.4.m4.3.3.cmml" xref="S3.13.p7.4.m4.3.3">𝑘</ci></list><apply id="S3.13.p7.4.m4.3.4.3.1.cmml" xref="S3.13.p7.4.m4.3.4.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.13.p7.4.m4.3.4.3.1.1.cmml" xref="S3.13.p7.4.m4.3.4.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S3.13.p7.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.13.p7.4.m4.1.1">𝑑</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.13.p7.4.m4.3c">j,k\in[d]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.13.p7.4.m4.3d">italic_j , italic_k ∈ [ italic_d ]</annotation></semantics></math>) coincide since the latter operators form an orthogonal basis of <math alttext="M_{d}(\mathbb{C})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.13.p7.5.m5.1"><semantics id="S3.13.p7.5.m5.1a"><mrow id="S3.13.p7.5.m5.1.2" xref="S3.13.p7.5.m5.1.2.cmml"><msub id="S3.13.p7.5.m5.1.2.2" xref="S3.13.p7.5.m5.1.2.2.cmml"><mi id="S3.13.p7.5.m5.1.2.2.2" xref="S3.13.p7.5.m5.1.2.2.2.cmml">M</mi><mi id="S3.13.p7.5.m5.1.2.2.3" xref="S3.13.p7.5.m5.1.2.2.3.cmml">d</mi></msub><mo id="S3.13.p7.5.m5.1.2.1" xref="S3.13.p7.5.m5.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.13.p7.5.m5.1.2.3.2" xref="S3.13.p7.5.m5.1.2.cmml"><mo id="S3.13.p7.5.m5.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.13.p7.5.m5.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.13.p7.5.m5.1.1" xref="S3.13.p7.5.m5.1.1.cmml">ℂ</mi><mo id="S3.13.p7.5.m5.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.13.p7.5.m5.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.13.p7.5.m5.1b"><apply id="S3.13.p7.5.m5.1.2.cmml" xref="S3.13.p7.5.m5.1.2"><times id="S3.13.p7.5.m5.1.2.1.cmml" xref="S3.13.p7.5.m5.1.2.1"></times><apply id="S3.13.p7.5.m5.1.2.2.cmml" xref="S3.13.p7.5.m5.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.13.p7.5.m5.1.2.2.1.cmml" xref="S3.13.p7.5.m5.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.13.p7.5.m5.1.2.2.2.cmml" xref="S3.13.p7.5.m5.1.2.2.2">𝑀</ci><ci id="S3.13.p7.5.m5.1.2.2.3.cmml" xref="S3.13.p7.5.m5.1.2.2.3">𝑑</ci></apply><ci id="S3.13.p7.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.13.p7.5.m5.1.1">ℂ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.13.p7.5.m5.1c">M_{d}(\mathbb{C})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.13.p7.5.m5.1d">italic_M start_POSTSUBSCRIPT italic_d end_POSTSUBSCRIPT ( blackboard_C )</annotation></semantics></math>. We already know that <math alttext="\langle A_{j,k}^{*},R_{l}\rangle_{H}={\rm Tr}(P_{j}Q_{k}R_{l})=1/\sqrt{d^{3}}C% _{j,k,l}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.13.p7.6.m6.8"><semantics id="S3.13.p7.6.m6.8a"><mrow id="S3.13.p7.6.m6.8.8" xref="S3.13.p7.6.m6.8.8.cmml"><msub id="S3.13.p7.6.m6.7.7.2" xref="S3.13.p7.6.m6.7.7.2.cmml"><mrow id="S3.13.p7.6.m6.7.7.2.2.2" xref="S3.13.p7.6.m6.7.7.2.2.3.cmml"><mo id="S3.13.p7.6.m6.7.7.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.13.p7.6.m6.7.7.2.2.3.cmml">⟨</mo><msubsup id="S3.13.p7.6.m6.6.6.1.1.1.1" xref="S3.13.p7.6.m6.6.6.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.13.p7.6.m6.6.6.1.1.1.1.2.2" xref="S3.13.p7.6.m6.6.6.1.1.1.1.2.2.cmml">A</mi><mrow id="S3.13.p7.6.m6.2.2.2.4" xref="S3.13.p7.6.m6.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.13.p7.6.m6.1.1.1.1" xref="S3.13.p7.6.m6.1.1.1.1.cmml">j</mi><mo id="S3.13.p7.6.m6.2.2.2.4.1" xref="S3.13.p7.6.m6.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.13.p7.6.m6.2.2.2.2" xref="S3.13.p7.6.m6.2.2.2.2.cmml">k</mi></mrow><mo id="S3.13.p7.6.m6.6.6.1.1.1.1.3" xref="S3.13.p7.6.m6.6.6.1.1.1.1.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="S3.13.p7.6.m6.7.7.2.2.2.4" xref="S3.13.p7.6.m6.7.7.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.13.p7.6.m6.7.7.2.2.2.2" xref="S3.13.p7.6.m6.7.7.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.13.p7.6.m6.7.7.2.2.2.2.2" xref="S3.13.p7.6.m6.7.7.2.2.2.2.2.cmml">R</mi><mi id="S3.13.p7.6.m6.7.7.2.2.2.2.3" xref="S3.13.p7.6.m6.7.7.2.2.2.2.3.cmml">l</mi></msub><mo id="S3.13.p7.6.m6.7.7.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.13.p7.6.m6.7.7.2.2.3.cmml">⟩</mo></mrow><mi id="S3.13.p7.6.m6.7.7.2.4" xref="S3.13.p7.6.m6.7.7.2.4.cmml">H</mi></msub><mo id="S3.13.p7.6.m6.8.8.5" xref="S3.13.p7.6.m6.8.8.5.cmml">=</mo><mrow id="S3.13.p7.6.m6.8.8.3" xref="S3.13.p7.6.m6.8.8.3.cmml"><mi id="S3.13.p7.6.m6.8.8.3.3" xref="S3.13.p7.6.m6.8.8.3.3.cmml">Tr</mi><mo id="S3.13.p7.6.m6.8.8.3.2" xref="S3.13.p7.6.m6.8.8.3.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.13.p7.6.m6.8.8.3.1.1" xref="S3.13.p7.6.m6.8.8.3.1.1.1.cmml"><mo id="S3.13.p7.6.m6.8.8.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.13.p7.6.m6.8.8.3.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.13.p7.6.m6.8.8.3.1.1.1" xref="S3.13.p7.6.m6.8.8.3.1.1.1.cmml"><msub id="S3.13.p7.6.m6.8.8.3.1.1.1.2" xref="S3.13.p7.6.m6.8.8.3.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.13.p7.6.m6.8.8.3.1.1.1.2.2" xref="S3.13.p7.6.m6.8.8.3.1.1.1.2.2.cmml">P</mi><mi id="S3.13.p7.6.m6.8.8.3.1.1.1.2.3" xref="S3.13.p7.6.m6.8.8.3.1.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.13.p7.6.m6.8.8.3.1.1.1.1" xref="S3.13.p7.6.m6.8.8.3.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.13.p7.6.m6.8.8.3.1.1.1.3" xref="S3.13.p7.6.m6.8.8.3.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.13.p7.6.m6.8.8.3.1.1.1.3.2" xref="S3.13.p7.6.m6.8.8.3.1.1.1.3.2.cmml">Q</mi><mi id="S3.13.p7.6.m6.8.8.3.1.1.1.3.3" xref="S3.13.p7.6.m6.8.8.3.1.1.1.3.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.13.p7.6.m6.8.8.3.1.1.1.1a" xref="S3.13.p7.6.m6.8.8.3.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.13.p7.6.m6.8.8.3.1.1.1.4" xref="S3.13.p7.6.m6.8.8.3.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.13.p7.6.m6.8.8.3.1.1.1.4.2" xref="S3.13.p7.6.m6.8.8.3.1.1.1.4.2.cmml">R</mi><mi id="S3.13.p7.6.m6.8.8.3.1.1.1.4.3" xref="S3.13.p7.6.m6.8.8.3.1.1.1.4.3.cmml">l</mi></msub></mrow><mo id="S3.13.p7.6.m6.8.8.3.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.13.p7.6.m6.8.8.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.13.p7.6.m6.8.8.6" xref="S3.13.p7.6.m6.8.8.6.cmml">=</mo><mrow id="S3.13.p7.6.m6.8.8.7" xref="S3.13.p7.6.m6.8.8.7.cmml"><mrow id="S3.13.p7.6.m6.8.8.7.2" xref="S3.13.p7.6.m6.8.8.7.2.cmml"><mn id="S3.13.p7.6.m6.8.8.7.2.2" xref="S3.13.p7.6.m6.8.8.7.2.2.cmml">1</mn><mo id="S3.13.p7.6.m6.8.8.7.2.1" xref="S3.13.p7.6.m6.8.8.7.2.1.cmml">/</mo><msqrt id="S3.13.p7.6.m6.8.8.7.2.3" xref="S3.13.p7.6.m6.8.8.7.2.3.cmml"><msup id="S3.13.p7.6.m6.8.8.7.2.3.2" xref="S3.13.p7.6.m6.8.8.7.2.3.2.cmml"><mi id="S3.13.p7.6.m6.8.8.7.2.3.2.2" xref="S3.13.p7.6.m6.8.8.7.2.3.2.2.cmml">d</mi><mn id="S3.13.p7.6.m6.8.8.7.2.3.2.3" xref="S3.13.p7.6.m6.8.8.7.2.3.2.3.cmml">3</mn></msup></msqrt></mrow><mo id="S3.13.p7.6.m6.8.8.7.1" xref="S3.13.p7.6.m6.8.8.7.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.13.p7.6.m6.8.8.7.3" xref="S3.13.p7.6.m6.8.8.7.3.cmml"><mi id="S3.13.p7.6.m6.8.8.7.3.2" xref="S3.13.p7.6.m6.8.8.7.3.2.cmml">C</mi><mrow id="S3.13.p7.6.m6.5.5.3.5" xref="S3.13.p7.6.m6.5.5.3.4.cmml"><mi id="S3.13.p7.6.m6.3.3.1.1" xref="S3.13.p7.6.m6.3.3.1.1.cmml">j</mi><mo id="S3.13.p7.6.m6.5.5.3.5.1" xref="S3.13.p7.6.m6.5.5.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.13.p7.6.m6.4.4.2.2" xref="S3.13.p7.6.m6.4.4.2.2.cmml">k</mi><mo id="S3.13.p7.6.m6.5.5.3.5.2" xref="S3.13.p7.6.m6.5.5.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.13.p7.6.m6.5.5.3.3" xref="S3.13.p7.6.m6.5.5.3.3.cmml">l</mi></mrow></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.13.p7.6.m6.8b"><apply id="S3.13.p7.6.m6.8.8.cmml" xref="S3.13.p7.6.m6.8.8"><and id="S3.13.p7.6.m6.8.8a.cmml" xref="S3.13.p7.6.m6.8.8"></and><apply id="S3.13.p7.6.m6.8.8b.cmml" xref="S3.13.p7.6.m6.8.8"><eq id="S3.13.p7.6.m6.8.8.5.cmml" xref="S3.13.p7.6.m6.8.8.5"></eq><apply id="S3.13.p7.6.m6.7.7.2.cmml" xref="S3.13.p7.6.m6.7.7.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.13.p7.6.m6.7.7.2.3.cmml" xref="S3.13.p7.6.m6.7.7.2">subscript</csymbol><list id="S3.13.p7.6.m6.7.7.2.2.3.cmml" xref="S3.13.p7.6.m6.7.7.2.2.2"><apply id="S3.13.p7.6.m6.6.6.1.1.1.1.cmml" xref="S3.13.p7.6.m6.6.6.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.13.p7.6.m6.6.6.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.13.p7.6.m6.6.6.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.13.p7.6.m6.6.6.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.13.p7.6.m6.6.6.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.13.p7.6.m6.6.6.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.13.p7.6.m6.6.6.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.13.p7.6.m6.6.6.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.13.p7.6.m6.6.6.1.1.1.1.2.2">𝐴</ci><list id="S3.13.p7.6.m6.2.2.2.3.cmml" xref="S3.13.p7.6.m6.2.2.2.4"><ci id="S3.13.p7.6.m6.1.1.1.1.cmml" xref="S3.13.p7.6.m6.1.1.1.1">𝑗</ci><ci id="S3.13.p7.6.m6.2.2.2.2.cmml" xref="S3.13.p7.6.m6.2.2.2.2">𝑘</ci></list></apply><times id="S3.13.p7.6.m6.6.6.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.13.p7.6.m6.6.6.1.1.1.1.3"></times></apply><apply id="S3.13.p7.6.m6.7.7.2.2.2.2.cmml" xref="S3.13.p7.6.m6.7.7.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.13.p7.6.m6.7.7.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.13.p7.6.m6.7.7.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.13.p7.6.m6.7.7.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.13.p7.6.m6.7.7.2.2.2.2.2">𝑅</ci><ci id="S3.13.p7.6.m6.7.7.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.13.p7.6.m6.7.7.2.2.2.2.3">𝑙</ci></apply></list><ci id="S3.13.p7.6.m6.7.7.2.4.cmml" xref="S3.13.p7.6.m6.7.7.2.4">𝐻</ci></apply><apply id="S3.13.p7.6.m6.8.8.3.cmml" xref="S3.13.p7.6.m6.8.8.3"><times id="S3.13.p7.6.m6.8.8.3.2.cmml" xref="S3.13.p7.6.m6.8.8.3.2"></times><ci id="S3.13.p7.6.m6.8.8.3.3.cmml" xref="S3.13.p7.6.m6.8.8.3.3">Tr</ci><apply id="S3.13.p7.6.m6.8.8.3.1.1.1.cmml" xref="S3.13.p7.6.m6.8.8.3.1.1"><times id="S3.13.p7.6.m6.8.8.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.13.p7.6.m6.8.8.3.1.1.1.1"></times><apply id="S3.13.p7.6.m6.8.8.3.1.1.1.2.cmml" xref="S3.13.p7.6.m6.8.8.3.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.13.p7.6.m6.8.8.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.13.p7.6.m6.8.8.3.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.13.p7.6.m6.8.8.3.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.13.p7.6.m6.8.8.3.1.1.1.2.2">𝑃</ci><ci id="S3.13.p7.6.m6.8.8.3.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.13.p7.6.m6.8.8.3.1.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.13.p7.6.m6.8.8.3.1.1.1.3.cmml" xref="S3.13.p7.6.m6.8.8.3.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.13.p7.6.m6.8.8.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.13.p7.6.m6.8.8.3.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.13.p7.6.m6.8.8.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.13.p7.6.m6.8.8.3.1.1.1.3.2">𝑄</ci><ci id="S3.13.p7.6.m6.8.8.3.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.13.p7.6.m6.8.8.3.1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply><apply id="S3.13.p7.6.m6.8.8.3.1.1.1.4.cmml" xref="S3.13.p7.6.m6.8.8.3.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.13.p7.6.m6.8.8.3.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.13.p7.6.m6.8.8.3.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S3.13.p7.6.m6.8.8.3.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.13.p7.6.m6.8.8.3.1.1.1.4.2">𝑅</ci><ci id="S3.13.p7.6.m6.8.8.3.1.1.1.4.3.cmml" xref="S3.13.p7.6.m6.8.8.3.1.1.1.4.3">𝑙</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.13.p7.6.m6.8.8c.cmml" xref="S3.13.p7.6.m6.8.8"><eq id="S3.13.p7.6.m6.8.8.6.cmml" xref="S3.13.p7.6.m6.8.8.6"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#S3.13.p7.6.m6.8.8.3.cmml" id="S3.13.p7.6.m6.8.8d.cmml" xref="S3.13.p7.6.m6.8.8"></share><apply id="S3.13.p7.6.m6.8.8.7.cmml" xref="S3.13.p7.6.m6.8.8.7"><times id="S3.13.p7.6.m6.8.8.7.1.cmml" xref="S3.13.p7.6.m6.8.8.7.1"></times><apply id="S3.13.p7.6.m6.8.8.7.2.cmml" xref="S3.13.p7.6.m6.8.8.7.2"><divide id="S3.13.p7.6.m6.8.8.7.2.1.cmml" xref="S3.13.p7.6.m6.8.8.7.2.1"></divide><cn id="S3.13.p7.6.m6.8.8.7.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.13.p7.6.m6.8.8.7.2.2">1</cn><apply id="S3.13.p7.6.m6.8.8.7.2.3.cmml" xref="S3.13.p7.6.m6.8.8.7.2.3"><root id="S3.13.p7.6.m6.8.8.7.2.3a.cmml" xref="S3.13.p7.6.m6.8.8.7.2.3"></root><apply id="S3.13.p7.6.m6.8.8.7.2.3.2.cmml" xref="S3.13.p7.6.m6.8.8.7.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.13.p7.6.m6.8.8.7.2.3.2.1.cmml" xref="S3.13.p7.6.m6.8.8.7.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.13.p7.6.m6.8.8.7.2.3.2.2.cmml" xref="S3.13.p7.6.m6.8.8.7.2.3.2.2">𝑑</ci><cn id="S3.13.p7.6.m6.8.8.7.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.13.p7.6.m6.8.8.7.2.3.2.3">3</cn></apply></apply></apply><apply id="S3.13.p7.6.m6.8.8.7.3.cmml" xref="S3.13.p7.6.m6.8.8.7.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.13.p7.6.m6.8.8.7.3.1.cmml" xref="S3.13.p7.6.m6.8.8.7.3">subscript</csymbol><ci id="S3.13.p7.6.m6.8.8.7.3.2.cmml" xref="S3.13.p7.6.m6.8.8.7.3.2">𝐶</ci><list id="S3.13.p7.6.m6.5.5.3.4.cmml" xref="S3.13.p7.6.m6.5.5.3.5"><ci id="S3.13.p7.6.m6.3.3.1.1.cmml" xref="S3.13.p7.6.m6.3.3.1.1">𝑗</ci><ci id="S3.13.p7.6.m6.4.4.2.2.cmml" xref="S3.13.p7.6.m6.4.4.2.2">𝑘</ci><ci id="S3.13.p7.6.m6.5.5.3.3.cmml" xref="S3.13.p7.6.m6.5.5.3.3">𝑙</ci></list></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.13.p7.6.m6.8c">\langle A_{j,k}^{*},R_{l}\rangle_{H}={\rm Tr}(P_{j}Q_{k}R_{l})=1/\sqrt{d^{3}}C% _{j,k,l}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.13.p7.6.m6.8d">⟨ italic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT ⟩ start_POSTSUBSCRIPT italic_H end_POSTSUBSCRIPT = roman_Tr ( italic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_Q start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT ) = 1 / square-root start_ARG italic_d start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k , italic_l end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. Also,</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_eqnarray ltx_eqn_table" id="S4.EGx5"> <tbody id="S3.Ex21"> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\langle A_{j,k}^{*},R_{l}^{*}\rangle_{H}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex19.m1.4"><semantics id="S3.Ex19.m1.4a"><msub id="S3.Ex19.m1.4.4" xref="S3.Ex19.m1.4.4.cmml"><mrow id="S3.Ex19.m1.4.4.2.2" xref="S3.Ex19.m1.4.4.2.3.cmml"><mo id="S3.Ex19.m1.4.4.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex19.m1.4.4.2.3.cmml">⟨</mo><msubsup id="S3.Ex19.m1.3.3.1.1.1" xref="S3.Ex19.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex19.m1.3.3.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex19.m1.3.3.1.1.1.2.2.cmml">A</mi><mrow id="S3.Ex19.m1.2.2.2.4" xref="S3.Ex19.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex19.m1.2.2.2.4.1" xref="S3.Ex19.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex19.m1.2.2.2.2" xref="S3.Ex19.m1.2.2.2.2.cmml">k</mi></mrow><mo id="S3.Ex19.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S3.Ex19.m1.3.3.1.1.1.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="S3.Ex19.m1.4.4.2.2.4" xref="S3.Ex19.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><msubsup id="S3.Ex19.m1.4.4.2.2.2" xref="S3.Ex19.m1.4.4.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex19.m1.4.4.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex19.m1.4.4.2.2.2.2.2.cmml">R</mi><mi id="S3.Ex19.m1.4.4.2.2.2.2.3" xref="S3.Ex19.m1.4.4.2.2.2.2.3.cmml">l</mi><mo id="S3.Ex19.m1.4.4.2.2.2.3" xref="S3.Ex19.m1.4.4.2.2.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="S3.Ex19.m1.4.4.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.Ex19.m1.4.4.2.3.cmml">⟩</mo></mrow><mi id="S3.Ex19.m1.4.4.4" xref="S3.Ex19.m1.4.4.4.cmml">H</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex19.m1.4b"><apply id="S3.Ex19.m1.4.4.cmml" xref="S3.Ex19.m1.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex19.m1.4.4.3.cmml" xref="S3.Ex19.m1.4.4">subscript</csymbol><list id="S3.Ex19.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S3.Ex19.m1.4.4.2.2"><apply id="S3.Ex19.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex19.m1.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex19.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex19.m1.3.3.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex19.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex19.m1.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex19.m1.3.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex19.m1.3.3.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex19.m1.3.3.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex19.m1.3.3.1.1.1.2.2">𝐴</ci><list id="S3.Ex19.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex19.m1.2.2.2.4"><ci id="S3.Ex19.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex19.m1.1.1.1.1">𝑗</ci><ci id="S3.Ex19.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex19.m1.2.2.2.2">𝑘</ci></list></apply><times id="S3.Ex19.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex19.m1.3.3.1.1.1.3"></times></apply><apply id="S3.Ex19.m1.4.4.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex19.m1.4.4.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex19.m1.4.4.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex19.m1.4.4.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex19.m1.4.4.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex19.m1.4.4.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex19.m1.4.4.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex19.m1.4.4.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex19.m1.4.4.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex19.m1.4.4.2.2.2.2.2">𝑅</ci><ci id="S3.Ex19.m1.4.4.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex19.m1.4.4.2.2.2.2.3">𝑙</ci></apply><times id="S3.Ex19.m1.4.4.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex19.m1.4.4.2.2.2.3"></times></apply></list><ci id="S3.Ex19.m1.4.4.4.cmml" xref="S3.Ex19.m1.4.4.4">𝐻</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex19.m1.4c">\displaystyle\langle A_{j,k}^{*},R_{l}^{*}\rangle_{H}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex19.m1.4d">⟨ italic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_R start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ⟩ start_POSTSUBSCRIPT italic_H end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex19.m2.1"><semantics id="S3.Ex19.m2.1a"><mo id="S3.Ex19.m2.1.1" xref="S3.Ex19.m2.1.1.cmml">=</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex19.m2.1b"><eq id="S3.Ex19.m2.1.1.cmml" xref="S3.Ex19.m2.1.1"></eq></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex19.m2.1c">\displaystyle=</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex19.m2.1d">=</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\frac{1}{\sqrt{d}}\sum_{j^{\prime},k^{\prime}\in[d]}\overline{C_{% j^{\prime},k^{\prime},l}}\,{\rm Tr}(A_{j,k}A_{j^{\prime},k^{\prime}})=\frac{1}% {d^{2}\sqrt{d}}\sum_{j^{\prime},k^{\prime}\in[d]}\frac{C_{j,k,d}\,C_{j^{\prime% },k^{\prime},d}}{C_{j^{\prime},k^{\prime},l}C_{j^{\prime},k,d}C_{j,k^{\prime},% d}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex19.m3.29"><semantics id="S3.Ex19.m3.29a"><mrow id="S3.Ex19.m3.29.29" xref="S3.Ex19.m3.29.29.cmml"><mrow id="S3.Ex19.m3.29.29.1" xref="S3.Ex19.m3.29.29.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex19.m3.29.29.1.3" xref="S3.Ex19.m3.29.29.1.3.cmml"><mfrac id="S3.Ex19.m3.29.29.1.3a" xref="S3.Ex19.m3.29.29.1.3.cmml"><mn id="S3.Ex19.m3.29.29.1.3.2" xref="S3.Ex19.m3.29.29.1.3.2.cmml">1</mn><msqrt id="S3.Ex19.m3.29.29.1.3.3" xref="S3.Ex19.m3.29.29.1.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex19.m3.29.29.1.3.3.2" xref="S3.Ex19.m3.29.29.1.3.3.2.cmml">d</mi></msqrt></mfrac></mstyle><mo id="S3.Ex19.m3.29.29.1.2" xref="S3.Ex19.m3.29.29.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex19.m3.29.29.1.1" xref="S3.Ex19.m3.29.29.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex19.m3.29.29.1.1.2" xref="S3.Ex19.m3.29.29.1.1.2.cmml"><munder id="S3.Ex19.m3.29.29.1.1.2a" xref="S3.Ex19.m3.29.29.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex19.m3.29.29.1.1.2.2" movablelimits="false" xref="S3.Ex19.m3.29.29.1.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.Ex19.m3.3.3.3" xref="S3.Ex19.m3.3.3.3.cmml"><mrow id="S3.Ex19.m3.3.3.3.3.2" xref="S3.Ex19.m3.3.3.3.3.3.cmml"><msup id="S3.Ex19.m3.2.2.2.2.1.1" xref="S3.Ex19.m3.2.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex19.m3.2.2.2.2.1.1.2" xref="S3.Ex19.m3.2.2.2.2.1.1.2.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex19.m3.2.2.2.2.1.1.3" xref="S3.Ex19.m3.2.2.2.2.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.Ex19.m3.3.3.3.3.2.3" xref="S3.Ex19.m3.3.3.3.3.3.cmml">,</mo><msup id="S3.Ex19.m3.3.3.3.3.2.2" xref="S3.Ex19.m3.3.3.3.3.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex19.m3.3.3.3.3.2.2.2" xref="S3.Ex19.m3.3.3.3.3.2.2.2.cmml">k</mi><mo id="S3.Ex19.m3.3.3.3.3.2.2.3" xref="S3.Ex19.m3.3.3.3.3.2.2.3.cmml">′</mo></msup></mrow><mo id="S3.Ex19.m3.3.3.3.4" xref="S3.Ex19.m3.3.3.3.4.cmml">∈</mo><mrow id="S3.Ex19.m3.3.3.3.5.2" xref="S3.Ex19.m3.3.3.3.5.1.cmml"><mo id="S3.Ex19.m3.3.3.3.5.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex19.m3.3.3.3.5.1.1.cmml">[</mo><mi id="S3.Ex19.m3.1.1.1.1" xref="S3.Ex19.m3.1.1.1.1.cmml">d</mi><mo id="S3.Ex19.m3.3.3.3.5.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex19.m3.3.3.3.5.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></munder></mstyle><mrow id="S3.Ex19.m3.29.29.1.1.1" xref="S3.Ex19.m3.29.29.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex19.m3.6.6" xref="S3.Ex19.m3.6.6.cmml"><msub id="S3.Ex19.m3.6.6.3" xref="S3.Ex19.m3.6.6.3.cmml"><mi id="S3.Ex19.m3.6.6.3.5" xref="S3.Ex19.m3.6.6.3.5.cmml">C</mi><mrow id="S3.Ex19.m3.6.6.3.3.3.3" xref="S3.Ex19.m3.6.6.3.3.3.4.cmml"><msup id="S3.Ex19.m3.5.5.2.2.2.2.1" xref="S3.Ex19.m3.5.5.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="S3.Ex19.m3.5.5.2.2.2.2.1.2" xref="S3.Ex19.m3.5.5.2.2.2.2.1.2.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex19.m3.5.5.2.2.2.2.1.3" xref="S3.Ex19.m3.5.5.2.2.2.2.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.Ex19.m3.6.6.3.3.3.3.3" xref="S3.Ex19.m3.6.6.3.3.3.4.cmml">,</mo><msup id="S3.Ex19.m3.6.6.3.3.3.3.2" xref="S3.Ex19.m3.6.6.3.3.3.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex19.m3.6.6.3.3.3.3.2.2" xref="S3.Ex19.m3.6.6.3.3.3.3.2.2.cmml">k</mi><mo id="S3.Ex19.m3.6.6.3.3.3.3.2.3" xref="S3.Ex19.m3.6.6.3.3.3.3.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.Ex19.m3.6.6.3.3.3.3.4" xref="S3.Ex19.m3.6.6.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex19.m3.4.4.1.1.1.1" xref="S3.Ex19.m3.4.4.1.1.1.1.cmml">l</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex19.m3.6.6.4" xref="S3.Ex19.m3.6.6.4.cmml">¯</mo></mover><mo id="S3.Ex19.m3.29.29.1.1.1.2" xref="S3.Ex19.m3.29.29.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex19.m3.29.29.1.1.1.3" xref="S3.Ex19.m3.29.29.1.1.1.3.cmml">Tr</mi><mo id="S3.Ex19.m3.29.29.1.1.1.2a" xref="S3.Ex19.m3.29.29.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex19.m3.29.29.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex19.m3.29.29.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex19.m3.29.29.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex19.m3.29.29.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex19.m3.29.29.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex19.m3.29.29.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex19.m3.29.29.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex19.m3.29.29.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex19.m3.29.29.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex19.m3.29.29.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">A</mi><mrow id="S3.Ex19.m3.8.8.2.4" xref="S3.Ex19.m3.8.8.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex19.m3.7.7.1.1" xref="S3.Ex19.m3.7.7.1.1.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex19.m3.8.8.2.4.1" xref="S3.Ex19.m3.8.8.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex19.m3.8.8.2.2" xref="S3.Ex19.m3.8.8.2.2.cmml">k</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex19.m3.29.29.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex19.m3.29.29.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex19.m3.29.29.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex19.m3.29.29.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex19.m3.29.29.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex19.m3.29.29.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">A</mi><mrow id="S3.Ex19.m3.10.10.2.2" xref="S3.Ex19.m3.10.10.2.3.cmml"><msup id="S3.Ex19.m3.9.9.1.1.1" xref="S3.Ex19.m3.9.9.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex19.m3.9.9.1.1.1.2" xref="S3.Ex19.m3.9.9.1.1.1.2.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex19.m3.9.9.1.1.1.3" xref="S3.Ex19.m3.9.9.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.Ex19.m3.10.10.2.2.3" xref="S3.Ex19.m3.10.10.2.3.cmml">,</mo><msup id="S3.Ex19.m3.10.10.2.2.2" xref="S3.Ex19.m3.10.10.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex19.m3.10.10.2.2.2.2" xref="S3.Ex19.m3.10.10.2.2.2.2.cmml">k</mi><mo id="S3.Ex19.m3.10.10.2.2.2.3" xref="S3.Ex19.m3.10.10.2.2.2.3.cmml">′</mo></msup></mrow></msub></mrow><mo id="S3.Ex19.m3.29.29.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex19.m3.29.29.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex19.m3.29.29.2" xref="S3.Ex19.m3.29.29.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex19.m3.29.29.3" xref="S3.Ex19.m3.29.29.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex19.m3.29.29.3.2" xref="S3.Ex19.m3.29.29.3.2.cmml"><mfrac id="S3.Ex19.m3.29.29.3.2a" xref="S3.Ex19.m3.29.29.3.2.cmml"><mn id="S3.Ex19.m3.29.29.3.2.2" xref="S3.Ex19.m3.29.29.3.2.2.cmml">1</mn><mrow id="S3.Ex19.m3.29.29.3.2.3" xref="S3.Ex19.m3.29.29.3.2.3.cmml"><msup id="S3.Ex19.m3.29.29.3.2.3.2" xref="S3.Ex19.m3.29.29.3.2.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex19.m3.29.29.3.2.3.2.2" xref="S3.Ex19.m3.29.29.3.2.3.2.2.cmml">d</mi><mn id="S3.Ex19.m3.29.29.3.2.3.2.3" xref="S3.Ex19.m3.29.29.3.2.3.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.Ex19.m3.29.29.3.2.3.1" xref="S3.Ex19.m3.29.29.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><msqrt id="S3.Ex19.m3.29.29.3.2.3.3" xref="S3.Ex19.m3.29.29.3.2.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex19.m3.29.29.3.2.3.3.2" xref="S3.Ex19.m3.29.29.3.2.3.3.2.cmml">d</mi></msqrt></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S3.Ex19.m3.29.29.3.1" xref="S3.Ex19.m3.29.29.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex19.m3.29.29.3.3" xref="S3.Ex19.m3.29.29.3.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex19.m3.29.29.3.3.1" xref="S3.Ex19.m3.29.29.3.3.1.cmml"><munder id="S3.Ex19.m3.29.29.3.3.1a" xref="S3.Ex19.m3.29.29.3.3.1.cmml"><mo id="S3.Ex19.m3.29.29.3.3.1.2" movablelimits="false" xref="S3.Ex19.m3.29.29.3.3.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.Ex19.m3.13.13.3" xref="S3.Ex19.m3.13.13.3.cmml"><mrow id="S3.Ex19.m3.13.13.3.3.2" xref="S3.Ex19.m3.13.13.3.3.3.cmml"><msup id="S3.Ex19.m3.12.12.2.2.1.1" xref="S3.Ex19.m3.12.12.2.2.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex19.m3.12.12.2.2.1.1.2" xref="S3.Ex19.m3.12.12.2.2.1.1.2.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex19.m3.12.12.2.2.1.1.3" xref="S3.Ex19.m3.12.12.2.2.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.Ex19.m3.13.13.3.3.2.3" xref="S3.Ex19.m3.13.13.3.3.3.cmml">,</mo><msup id="S3.Ex19.m3.13.13.3.3.2.2" xref="S3.Ex19.m3.13.13.3.3.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex19.m3.13.13.3.3.2.2.2" xref="S3.Ex19.m3.13.13.3.3.2.2.2.cmml">k</mi><mo id="S3.Ex19.m3.13.13.3.3.2.2.3" xref="S3.Ex19.m3.13.13.3.3.2.2.3.cmml">′</mo></msup></mrow><mo id="S3.Ex19.m3.13.13.3.4" xref="S3.Ex19.m3.13.13.3.4.cmml">∈</mo><mrow id="S3.Ex19.m3.13.13.3.5.2" xref="S3.Ex19.m3.13.13.3.5.1.cmml"><mo id="S3.Ex19.m3.13.13.3.5.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex19.m3.13.13.3.5.1.1.cmml">[</mo><mi id="S3.Ex19.m3.11.11.1.1" xref="S3.Ex19.m3.11.11.1.1.cmml">d</mi><mo id="S3.Ex19.m3.13.13.3.5.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex19.m3.13.13.3.5.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></munder></mstyle><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex19.m3.28.28" xref="S3.Ex19.m3.28.28.cmml"><mfrac id="S3.Ex19.m3.28.28a" xref="S3.Ex19.m3.28.28.cmml"><mrow id="S3.Ex19.m3.19.19.6" xref="S3.Ex19.m3.19.19.6.cmml"><msub id="S3.Ex19.m3.19.19.6.8" xref="S3.Ex19.m3.19.19.6.8.cmml"><mi id="S3.Ex19.m3.19.19.6.8.2" xref="S3.Ex19.m3.19.19.6.8.2.cmml">C</mi><mrow id="S3.Ex19.m3.16.16.3.3.3.5" xref="S3.Ex19.m3.16.16.3.3.3.4.cmml"><mi id="S3.Ex19.m3.14.14.1.1.1.1" xref="S3.Ex19.m3.14.14.1.1.1.1.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex19.m3.16.16.3.3.3.5.1" xref="S3.Ex19.m3.16.16.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex19.m3.15.15.2.2.2.2" xref="S3.Ex19.m3.15.15.2.2.2.2.cmml">k</mi><mo id="S3.Ex19.m3.16.16.3.3.3.5.2" xref="S3.Ex19.m3.16.16.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex19.m3.16.16.3.3.3.3" xref="S3.Ex19.m3.16.16.3.3.3.3.cmml">d</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex19.m3.19.19.6.7" lspace="0.170em" xref="S3.Ex19.m3.19.19.6.7.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex19.m3.19.19.6.9" xref="S3.Ex19.m3.19.19.6.9.cmml"><mi id="S3.Ex19.m3.19.19.6.9.2" xref="S3.Ex19.m3.19.19.6.9.2.cmml">C</mi><mrow id="S3.Ex19.m3.19.19.6.6.3.3" xref="S3.Ex19.m3.19.19.6.6.3.4.cmml"><msup id="S3.Ex19.m3.18.18.5.5.2.2.1" xref="S3.Ex19.m3.18.18.5.5.2.2.1.cmml"><mi id="S3.Ex19.m3.18.18.5.5.2.2.1.2" xref="S3.Ex19.m3.18.18.5.5.2.2.1.2.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex19.m3.18.18.5.5.2.2.1.3" xref="S3.Ex19.m3.18.18.5.5.2.2.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.Ex19.m3.19.19.6.6.3.3.3" xref="S3.Ex19.m3.19.19.6.6.3.4.cmml">,</mo><msup id="S3.Ex19.m3.19.19.6.6.3.3.2" xref="S3.Ex19.m3.19.19.6.6.3.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex19.m3.19.19.6.6.3.3.2.2" xref="S3.Ex19.m3.19.19.6.6.3.3.2.2.cmml">k</mi><mo id="S3.Ex19.m3.19.19.6.6.3.3.2.3" xref="S3.Ex19.m3.19.19.6.6.3.3.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.Ex19.m3.19.19.6.6.3.3.4" xref="S3.Ex19.m3.19.19.6.6.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex19.m3.17.17.4.4.1.1" xref="S3.Ex19.m3.17.17.4.4.1.1.cmml">d</mi></mrow></msub></mrow><mrow id="S3.Ex19.m3.28.28.15" xref="S3.Ex19.m3.28.28.15.cmml"><msub id="S3.Ex19.m3.28.28.15.11" xref="S3.Ex19.m3.28.28.15.11.cmml"><mi id="S3.Ex19.m3.28.28.15.11.2" xref="S3.Ex19.m3.28.28.15.11.2.cmml">C</mi><mrow id="S3.Ex19.m3.22.22.9.3.3.3" xref="S3.Ex19.m3.22.22.9.3.3.4.cmml"><msup id="S3.Ex19.m3.21.21.8.2.2.2.1" xref="S3.Ex19.m3.21.21.8.2.2.2.1.cmml"><mi id="S3.Ex19.m3.21.21.8.2.2.2.1.2" xref="S3.Ex19.m3.21.21.8.2.2.2.1.2.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex19.m3.21.21.8.2.2.2.1.3" xref="S3.Ex19.m3.21.21.8.2.2.2.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.Ex19.m3.22.22.9.3.3.3.3" xref="S3.Ex19.m3.22.22.9.3.3.4.cmml">,</mo><msup id="S3.Ex19.m3.22.22.9.3.3.3.2" xref="S3.Ex19.m3.22.22.9.3.3.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex19.m3.22.22.9.3.3.3.2.2" xref="S3.Ex19.m3.22.22.9.3.3.3.2.2.cmml">k</mi><mo id="S3.Ex19.m3.22.22.9.3.3.3.2.3" xref="S3.Ex19.m3.22.22.9.3.3.3.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.Ex19.m3.22.22.9.3.3.3.4" xref="S3.Ex19.m3.22.22.9.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex19.m3.20.20.7.1.1.1" xref="S3.Ex19.m3.20.20.7.1.1.1.cmml">l</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex19.m3.28.28.15.10" xref="S3.Ex19.m3.28.28.15.10.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex19.m3.28.28.15.12" xref="S3.Ex19.m3.28.28.15.12.cmml"><mi id="S3.Ex19.m3.28.28.15.12.2" xref="S3.Ex19.m3.28.28.15.12.2.cmml">C</mi><mrow id="S3.Ex19.m3.25.25.12.6.3.3" xref="S3.Ex19.m3.25.25.12.6.3.4.cmml"><msup id="S3.Ex19.m3.25.25.12.6.3.3.1" xref="S3.Ex19.m3.25.25.12.6.3.3.1.cmml"><mi id="S3.Ex19.m3.25.25.12.6.3.3.1.2" xref="S3.Ex19.m3.25.25.12.6.3.3.1.2.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex19.m3.25.25.12.6.3.3.1.3" xref="S3.Ex19.m3.25.25.12.6.3.3.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.Ex19.m3.25.25.12.6.3.3.2" xref="S3.Ex19.m3.25.25.12.6.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex19.m3.23.23.10.4.1.1" xref="S3.Ex19.m3.23.23.10.4.1.1.cmml">k</mi><mo id="S3.Ex19.m3.25.25.12.6.3.3.3" xref="S3.Ex19.m3.25.25.12.6.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex19.m3.24.24.11.5.2.2" xref="S3.Ex19.m3.24.24.11.5.2.2.cmml">d</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex19.m3.28.28.15.10a" xref="S3.Ex19.m3.28.28.15.10.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex19.m3.28.28.15.13" xref="S3.Ex19.m3.28.28.15.13.cmml"><mi id="S3.Ex19.m3.28.28.15.13.2" xref="S3.Ex19.m3.28.28.15.13.2.cmml">C</mi><mrow id="S3.Ex19.m3.28.28.15.9.3.3" xref="S3.Ex19.m3.28.28.15.9.3.4.cmml"><mi id="S3.Ex19.m3.26.26.13.7.1.1" xref="S3.Ex19.m3.26.26.13.7.1.1.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex19.m3.28.28.15.9.3.3.2" xref="S3.Ex19.m3.28.28.15.9.3.4.cmml">,</mo><msup id="S3.Ex19.m3.28.28.15.9.3.3.1" xref="S3.Ex19.m3.28.28.15.9.3.3.1.cmml"><mi id="S3.Ex19.m3.28.28.15.9.3.3.1.2" xref="S3.Ex19.m3.28.28.15.9.3.3.1.2.cmml">k</mi><mo id="S3.Ex19.m3.28.28.15.9.3.3.1.3" xref="S3.Ex19.m3.28.28.15.9.3.3.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.Ex19.m3.28.28.15.9.3.3.3" xref="S3.Ex19.m3.28.28.15.9.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex19.m3.27.27.14.8.2.2" xref="S3.Ex19.m3.27.27.14.8.2.2.cmml">d</mi></mrow></msub></mrow></mfrac></mstyle></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex19.m3.29b"><apply id="S3.Ex19.m3.29.29.cmml" xref="S3.Ex19.m3.29.29"><eq id="S3.Ex19.m3.29.29.2.cmml" xref="S3.Ex19.m3.29.29.2"></eq><apply id="S3.Ex19.m3.29.29.1.cmml" xref="S3.Ex19.m3.29.29.1"><times id="S3.Ex19.m3.29.29.1.2.cmml" xref="S3.Ex19.m3.29.29.1.2"></times><apply id="S3.Ex19.m3.29.29.1.3.cmml" xref="S3.Ex19.m3.29.29.1.3"><divide id="S3.Ex19.m3.29.29.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex19.m3.29.29.1.3"></divide><cn id="S3.Ex19.m3.29.29.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex19.m3.29.29.1.3.2">1</cn><apply id="S3.Ex19.m3.29.29.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex19.m3.29.29.1.3.3"><root id="S3.Ex19.m3.29.29.1.3.3a.cmml" xref="S3.Ex19.m3.29.29.1.3.3"></root><ci id="S3.Ex19.m3.29.29.1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex19.m3.29.29.1.3.3.2">𝑑</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex19.m3.29.29.1.1.cmml" xref="S3.Ex19.m3.29.29.1.1"><apply id="S3.Ex19.m3.29.29.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex19.m3.29.29.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex19.m3.29.29.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex19.m3.29.29.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="S3.Ex19.m3.29.29.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex19.m3.29.29.1.1.2.2"></sum><apply id="S3.Ex19.m3.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex19.m3.3.3.3"><in id="S3.Ex19.m3.3.3.3.4.cmml" xref="S3.Ex19.m3.3.3.3.4"></in><list id="S3.Ex19.m3.3.3.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex19.m3.3.3.3.3.2"><apply id="S3.Ex19.m3.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex19.m3.2.2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex19.m3.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex19.m3.2.2.2.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex19.m3.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex19.m3.2.2.2.2.1.1.2">𝑗</ci><ci id="S3.Ex19.m3.2.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex19.m3.2.2.2.2.1.1.3">′</ci></apply><apply id="S3.Ex19.m3.3.3.3.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex19.m3.3.3.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex19.m3.3.3.3.3.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex19.m3.3.3.3.3.2.2">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex19.m3.3.3.3.3.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex19.m3.3.3.3.3.2.2.2">𝑘</ci><ci id="S3.Ex19.m3.3.3.3.3.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex19.m3.3.3.3.3.2.2.3">′</ci></apply></list><apply id="S3.Ex19.m3.3.3.3.5.1.cmml" xref="S3.Ex19.m3.3.3.3.5.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex19.m3.3.3.3.5.1.1.cmml" xref="S3.Ex19.m3.3.3.3.5.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S3.Ex19.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex19.m3.1.1.1.1">𝑑</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex19.m3.29.29.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex19.m3.29.29.1.1.1"><times id="S3.Ex19.m3.29.29.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex19.m3.29.29.1.1.1.2"></times><apply id="S3.Ex19.m3.6.6.cmml" xref="S3.Ex19.m3.6.6"><ci id="S3.Ex19.m3.6.6.4.cmml" xref="S3.Ex19.m3.6.6.4">¯</ci><apply id="S3.Ex19.m3.6.6.3.cmml" xref="S3.Ex19.m3.6.6.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex19.m3.6.6.3.4.cmml" xref="S3.Ex19.m3.6.6.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex19.m3.6.6.3.5.cmml" xref="S3.Ex19.m3.6.6.3.5">𝐶</ci><list id="S3.Ex19.m3.6.6.3.3.3.4.cmml" xref="S3.Ex19.m3.6.6.3.3.3.3"><apply id="S3.Ex19.m3.5.5.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex19.m3.5.5.2.2.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex19.m3.5.5.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex19.m3.5.5.2.2.2.2.1">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex19.m3.5.5.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S3.Ex19.m3.5.5.2.2.2.2.1.2">𝑗</ci><ci id="S3.Ex19.m3.5.5.2.2.2.2.1.3.cmml" xref="S3.Ex19.m3.5.5.2.2.2.2.1.3">′</ci></apply><apply id="S3.Ex19.m3.6.6.3.3.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex19.m3.6.6.3.3.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex19.m3.6.6.3.3.3.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex19.m3.6.6.3.3.3.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex19.m3.6.6.3.3.3.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex19.m3.6.6.3.3.3.3.2.2">𝑘</ci><ci id="S3.Ex19.m3.6.6.3.3.3.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex19.m3.6.6.3.3.3.3.2.3">′</ci></apply><ci id="S3.Ex19.m3.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex19.m3.4.4.1.1.1.1">𝑙</ci></list></apply></apply><ci id="S3.Ex19.m3.29.29.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex19.m3.29.29.1.1.1.3">Tr</ci><apply id="S3.Ex19.m3.29.29.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex19.m3.29.29.1.1.1.1.1"><times id="S3.Ex19.m3.29.29.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex19.m3.29.29.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S3.Ex19.m3.29.29.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex19.m3.29.29.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex19.m3.29.29.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex19.m3.29.29.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex19.m3.29.29.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex19.m3.29.29.1.1.1.1.1.1.2.2">𝐴</ci><list id="S3.Ex19.m3.8.8.2.3.cmml" xref="S3.Ex19.m3.8.8.2.4"><ci id="S3.Ex19.m3.7.7.1.1.cmml" xref="S3.Ex19.m3.7.7.1.1">𝑗</ci><ci id="S3.Ex19.m3.8.8.2.2.cmml" xref="S3.Ex19.m3.8.8.2.2">𝑘</ci></list></apply><apply id="S3.Ex19.m3.29.29.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex19.m3.29.29.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex19.m3.29.29.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex19.m3.29.29.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex19.m3.29.29.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex19.m3.29.29.1.1.1.1.1.1.3.2">𝐴</ci><list id="S3.Ex19.m3.10.10.2.3.cmml" xref="S3.Ex19.m3.10.10.2.2"><apply id="S3.Ex19.m3.9.9.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex19.m3.9.9.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex19.m3.9.9.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex19.m3.9.9.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex19.m3.9.9.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex19.m3.9.9.1.1.1.2">𝑗</ci><ci id="S3.Ex19.m3.9.9.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex19.m3.9.9.1.1.1.3">′</ci></apply><apply id="S3.Ex19.m3.10.10.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex19.m3.10.10.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex19.m3.10.10.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex19.m3.10.10.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex19.m3.10.10.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex19.m3.10.10.2.2.2.2">𝑘</ci><ci id="S3.Ex19.m3.10.10.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex19.m3.10.10.2.2.2.3">′</ci></apply></list></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex19.m3.29.29.3.cmml" xref="S3.Ex19.m3.29.29.3"><times id="S3.Ex19.m3.29.29.3.1.cmml" xref="S3.Ex19.m3.29.29.3.1"></times><apply id="S3.Ex19.m3.29.29.3.2.cmml" xref="S3.Ex19.m3.29.29.3.2"><divide id="S3.Ex19.m3.29.29.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex19.m3.29.29.3.2"></divide><cn id="S3.Ex19.m3.29.29.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex19.m3.29.29.3.2.2">1</cn><apply id="S3.Ex19.m3.29.29.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex19.m3.29.29.3.2.3"><times id="S3.Ex19.m3.29.29.3.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex19.m3.29.29.3.2.3.1"></times><apply id="S3.Ex19.m3.29.29.3.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex19.m3.29.29.3.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex19.m3.29.29.3.2.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex19.m3.29.29.3.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex19.m3.29.29.3.2.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex19.m3.29.29.3.2.3.2.2">𝑑</ci><cn id="S3.Ex19.m3.29.29.3.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex19.m3.29.29.3.2.3.2.3">2</cn></apply><apply id="S3.Ex19.m3.29.29.3.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex19.m3.29.29.3.2.3.3"><root id="S3.Ex19.m3.29.29.3.2.3.3a.cmml" xref="S3.Ex19.m3.29.29.3.2.3.3"></root><ci id="S3.Ex19.m3.29.29.3.2.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex19.m3.29.29.3.2.3.3.2">𝑑</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex19.m3.29.29.3.3.cmml" xref="S3.Ex19.m3.29.29.3.3"><apply id="S3.Ex19.m3.29.29.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex19.m3.29.29.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex19.m3.29.29.3.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex19.m3.29.29.3.3.1">subscript</csymbol><sum id="S3.Ex19.m3.29.29.3.3.1.2.cmml" xref="S3.Ex19.m3.29.29.3.3.1.2"></sum><apply id="S3.Ex19.m3.13.13.3.cmml" xref="S3.Ex19.m3.13.13.3"><in id="S3.Ex19.m3.13.13.3.4.cmml" xref="S3.Ex19.m3.13.13.3.4"></in><list id="S3.Ex19.m3.13.13.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex19.m3.13.13.3.3.2"><apply id="S3.Ex19.m3.12.12.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex19.m3.12.12.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex19.m3.12.12.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex19.m3.12.12.2.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex19.m3.12.12.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex19.m3.12.12.2.2.1.1.2">𝑗</ci><ci id="S3.Ex19.m3.12.12.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex19.m3.12.12.2.2.1.1.3">′</ci></apply><apply id="S3.Ex19.m3.13.13.3.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex19.m3.13.13.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex19.m3.13.13.3.3.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex19.m3.13.13.3.3.2.2">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex19.m3.13.13.3.3.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex19.m3.13.13.3.3.2.2.2">𝑘</ci><ci id="S3.Ex19.m3.13.13.3.3.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex19.m3.13.13.3.3.2.2.3">′</ci></apply></list><apply id="S3.Ex19.m3.13.13.3.5.1.cmml" xref="S3.Ex19.m3.13.13.3.5.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex19.m3.13.13.3.5.1.1.cmml" xref="S3.Ex19.m3.13.13.3.5.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S3.Ex19.m3.11.11.1.1.cmml" xref="S3.Ex19.m3.11.11.1.1">𝑑</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex19.m3.28.28.cmml" xref="S3.Ex19.m3.28.28"><divide id="S3.Ex19.m3.28.28.16.cmml" xref="S3.Ex19.m3.28.28"></divide><apply id="S3.Ex19.m3.19.19.6.cmml" xref="S3.Ex19.m3.19.19.6"><times id="S3.Ex19.m3.19.19.6.7.cmml" xref="S3.Ex19.m3.19.19.6.7"></times><apply id="S3.Ex19.m3.19.19.6.8.cmml" xref="S3.Ex19.m3.19.19.6.8"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex19.m3.19.19.6.8.1.cmml" xref="S3.Ex19.m3.19.19.6.8">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex19.m3.19.19.6.8.2.cmml" xref="S3.Ex19.m3.19.19.6.8.2">𝐶</ci><list id="S3.Ex19.m3.16.16.3.3.3.4.cmml" xref="S3.Ex19.m3.16.16.3.3.3.5"><ci id="S3.Ex19.m3.14.14.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex19.m3.14.14.1.1.1.1">𝑗</ci><ci id="S3.Ex19.m3.15.15.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex19.m3.15.15.2.2.2.2">𝑘</ci><ci id="S3.Ex19.m3.16.16.3.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex19.m3.16.16.3.3.3.3">𝑑</ci></list></apply><apply id="S3.Ex19.m3.19.19.6.9.cmml" xref="S3.Ex19.m3.19.19.6.9"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex19.m3.19.19.6.9.1.cmml" xref="S3.Ex19.m3.19.19.6.9">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex19.m3.19.19.6.9.2.cmml" xref="S3.Ex19.m3.19.19.6.9.2">𝐶</ci><list id="S3.Ex19.m3.19.19.6.6.3.4.cmml" xref="S3.Ex19.m3.19.19.6.6.3.3"><apply id="S3.Ex19.m3.18.18.5.5.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex19.m3.18.18.5.5.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex19.m3.18.18.5.5.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex19.m3.18.18.5.5.2.2.1">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex19.m3.18.18.5.5.2.2.1.2.cmml" xref="S3.Ex19.m3.18.18.5.5.2.2.1.2">𝑗</ci><ci id="S3.Ex19.m3.18.18.5.5.2.2.1.3.cmml" xref="S3.Ex19.m3.18.18.5.5.2.2.1.3">′</ci></apply><apply id="S3.Ex19.m3.19.19.6.6.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex19.m3.19.19.6.6.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex19.m3.19.19.6.6.3.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex19.m3.19.19.6.6.3.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex19.m3.19.19.6.6.3.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex19.m3.19.19.6.6.3.3.2.2">𝑘</ci><ci id="S3.Ex19.m3.19.19.6.6.3.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex19.m3.19.19.6.6.3.3.2.3">′</ci></apply><ci id="S3.Ex19.m3.17.17.4.4.1.1.cmml" xref="S3.Ex19.m3.17.17.4.4.1.1">𝑑</ci></list></apply></apply><apply id="S3.Ex19.m3.28.28.15.cmml" xref="S3.Ex19.m3.28.28.15"><times id="S3.Ex19.m3.28.28.15.10.cmml" xref="S3.Ex19.m3.28.28.15.10"></times><apply id="S3.Ex19.m3.28.28.15.11.cmml" xref="S3.Ex19.m3.28.28.15.11"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex19.m3.28.28.15.11.1.cmml" xref="S3.Ex19.m3.28.28.15.11">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex19.m3.28.28.15.11.2.cmml" xref="S3.Ex19.m3.28.28.15.11.2">𝐶</ci><list id="S3.Ex19.m3.22.22.9.3.3.4.cmml" xref="S3.Ex19.m3.22.22.9.3.3.3"><apply id="S3.Ex19.m3.21.21.8.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex19.m3.21.21.8.2.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex19.m3.21.21.8.2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex19.m3.21.21.8.2.2.2.1">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex19.m3.21.21.8.2.2.2.1.2.cmml" xref="S3.Ex19.m3.21.21.8.2.2.2.1.2">𝑗</ci><ci id="S3.Ex19.m3.21.21.8.2.2.2.1.3.cmml" xref="S3.Ex19.m3.21.21.8.2.2.2.1.3">′</ci></apply><apply id="S3.Ex19.m3.22.22.9.3.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex19.m3.22.22.9.3.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex19.m3.22.22.9.3.3.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex19.m3.22.22.9.3.3.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex19.m3.22.22.9.3.3.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex19.m3.22.22.9.3.3.3.2.2">𝑘</ci><ci id="S3.Ex19.m3.22.22.9.3.3.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex19.m3.22.22.9.3.3.3.2.3">′</ci></apply><ci id="S3.Ex19.m3.20.20.7.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex19.m3.20.20.7.1.1.1">𝑙</ci></list></apply><apply id="S3.Ex19.m3.28.28.15.12.cmml" xref="S3.Ex19.m3.28.28.15.12"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex19.m3.28.28.15.12.1.cmml" xref="S3.Ex19.m3.28.28.15.12">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex19.m3.28.28.15.12.2.cmml" xref="S3.Ex19.m3.28.28.15.12.2">𝐶</ci><list id="S3.Ex19.m3.25.25.12.6.3.4.cmml" xref="S3.Ex19.m3.25.25.12.6.3.3"><apply id="S3.Ex19.m3.25.25.12.6.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex19.m3.25.25.12.6.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex19.m3.25.25.12.6.3.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex19.m3.25.25.12.6.3.3.1">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex19.m3.25.25.12.6.3.3.1.2.cmml" xref="S3.Ex19.m3.25.25.12.6.3.3.1.2">𝑗</ci><ci id="S3.Ex19.m3.25.25.12.6.3.3.1.3.cmml" xref="S3.Ex19.m3.25.25.12.6.3.3.1.3">′</ci></apply><ci id="S3.Ex19.m3.23.23.10.4.1.1.cmml" xref="S3.Ex19.m3.23.23.10.4.1.1">𝑘</ci><ci id="S3.Ex19.m3.24.24.11.5.2.2.cmml" xref="S3.Ex19.m3.24.24.11.5.2.2">𝑑</ci></list></apply><apply id="S3.Ex19.m3.28.28.15.13.cmml" xref="S3.Ex19.m3.28.28.15.13"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex19.m3.28.28.15.13.1.cmml" xref="S3.Ex19.m3.28.28.15.13">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex19.m3.28.28.15.13.2.cmml" xref="S3.Ex19.m3.28.28.15.13.2">𝐶</ci><list id="S3.Ex19.m3.28.28.15.9.3.4.cmml" xref="S3.Ex19.m3.28.28.15.9.3.3"><ci id="S3.Ex19.m3.26.26.13.7.1.1.cmml" xref="S3.Ex19.m3.26.26.13.7.1.1">𝑗</ci><apply id="S3.Ex19.m3.28.28.15.9.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex19.m3.28.28.15.9.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex19.m3.28.28.15.9.3.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex19.m3.28.28.15.9.3.3.1">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex19.m3.28.28.15.9.3.3.1.2.cmml" xref="S3.Ex19.m3.28.28.15.9.3.3.1.2">𝑘</ci><ci id="S3.Ex19.m3.28.28.15.9.3.3.1.3.cmml" xref="S3.Ex19.m3.28.28.15.9.3.3.1.3">′</ci></apply><ci id="S3.Ex19.m3.27.27.14.8.2.2.cmml" xref="S3.Ex19.m3.27.27.14.8.2.2">𝑑</ci></list></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex19.m3.29c">\displaystyle\frac{1}{\sqrt{d}}\sum_{j^{\prime},k^{\prime}\in[d]}\overline{C_{% j^{\prime},k^{\prime},l}}\,{\rm Tr}(A_{j,k}A_{j^{\prime},k^{\prime}})=\frac{1}% {d^{2}\sqrt{d}}\sum_{j^{\prime},k^{\prime}\in[d]}\frac{C_{j,k,d}\,C_{j^{\prime% },k^{\prime},d}}{C_{j^{\prime},k^{\prime},l}C_{j^{\prime},k,d}C_{j,k^{\prime},% d}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex19.m3.29d">divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG square-root start_ARG italic_d end_ARG end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_k start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ∈ [ italic_d ] end_POSTSUBSCRIPT over¯ start_ARG italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_k start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_l end_POSTSUBSCRIPT end_ARG roman_Tr ( italic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k end_POSTSUBSCRIPT italic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_j start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_k start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ) = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_d start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT square-root start_ARG italic_d end_ARG end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_k start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ∈ [ italic_d ] end_POSTSUBSCRIPT divide start_ARG italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k , italic_d end_POSTSUBSCRIPT italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_k start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_d end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_k start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_l end_POSTSUBSCRIPT italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_k , italic_d end_POSTSUBSCRIPT italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_d end_POSTSUBSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr> <tr class="ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex20.m1.1"><semantics id="S3.Ex20.m1.1a"><mo id="S3.Ex20.m1.1.1" xref="S3.Ex20.m1.1.1.cmml">=</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex20.m1.1b"><eq id="S3.Ex20.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex20.m1.1.1"></eq></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex20.m1.1c">\displaystyle=</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex20.m1.1d">=</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\frac{1}{d^{2}\sqrt{d}}\sum_{j^{\prime},k^{\prime}\in[d]}C_{j,k,l% }\overline{C_{j^{\prime},k,l}}\,\overline{C_{j,k^{\prime},l}}=\frac{1}{d^{2}% \sqrt{d}}C_{j,k,l}\sum_{j^{\prime}\in[d]}\overline{C_{j^{\prime},k,l}}\,\sum_{% k^{\prime}\in[d]}\overline{C_{j,k^{\prime},l}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex20.m2.23"><semantics id="S3.Ex20.m2.23a"><mrow id="S3.Ex20.m2.23.24" xref="S3.Ex20.m2.23.24.cmml"><mrow id="S3.Ex20.m2.23.24.2" xref="S3.Ex20.m2.23.24.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex20.m2.23.24.2.2" xref="S3.Ex20.m2.23.24.2.2.cmml"><mfrac id="S3.Ex20.m2.23.24.2.2a" xref="S3.Ex20.m2.23.24.2.2.cmml"><mn id="S3.Ex20.m2.23.24.2.2.2" xref="S3.Ex20.m2.23.24.2.2.2.cmml">1</mn><mrow id="S3.Ex20.m2.23.24.2.2.3" xref="S3.Ex20.m2.23.24.2.2.3.cmml"><msup id="S3.Ex20.m2.23.24.2.2.3.2" xref="S3.Ex20.m2.23.24.2.2.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex20.m2.23.24.2.2.3.2.2" xref="S3.Ex20.m2.23.24.2.2.3.2.2.cmml">d</mi><mn id="S3.Ex20.m2.23.24.2.2.3.2.3" xref="S3.Ex20.m2.23.24.2.2.3.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.Ex20.m2.23.24.2.2.3.1" xref="S3.Ex20.m2.23.24.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msqrt id="S3.Ex20.m2.23.24.2.2.3.3" xref="S3.Ex20.m2.23.24.2.2.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex20.m2.23.24.2.2.3.3.2" xref="S3.Ex20.m2.23.24.2.2.3.3.2.cmml">d</mi></msqrt></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S3.Ex20.m2.23.24.2.1" xref="S3.Ex20.m2.23.24.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex20.m2.23.24.2.3" xref="S3.Ex20.m2.23.24.2.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex20.m2.23.24.2.3.1" xref="S3.Ex20.m2.23.24.2.3.1.cmml"><munder id="S3.Ex20.m2.23.24.2.3.1a" xref="S3.Ex20.m2.23.24.2.3.1.cmml"><mo id="S3.Ex20.m2.23.24.2.3.1.2" movablelimits="false" xref="S3.Ex20.m2.23.24.2.3.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.Ex20.m2.3.3.3" xref="S3.Ex20.m2.3.3.3.cmml"><mrow id="S3.Ex20.m2.3.3.3.3.2" xref="S3.Ex20.m2.3.3.3.3.3.cmml"><msup id="S3.Ex20.m2.2.2.2.2.1.1" xref="S3.Ex20.m2.2.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex20.m2.2.2.2.2.1.1.2" xref="S3.Ex20.m2.2.2.2.2.1.1.2.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex20.m2.2.2.2.2.1.1.3" xref="S3.Ex20.m2.2.2.2.2.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.Ex20.m2.3.3.3.3.2.3" xref="S3.Ex20.m2.3.3.3.3.3.cmml">,</mo><msup id="S3.Ex20.m2.3.3.3.3.2.2" xref="S3.Ex20.m2.3.3.3.3.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex20.m2.3.3.3.3.2.2.2" xref="S3.Ex20.m2.3.3.3.3.2.2.2.cmml">k</mi><mo id="S3.Ex20.m2.3.3.3.3.2.2.3" xref="S3.Ex20.m2.3.3.3.3.2.2.3.cmml">′</mo></msup></mrow><mo id="S3.Ex20.m2.3.3.3.4" xref="S3.Ex20.m2.3.3.3.4.cmml">∈</mo><mrow id="S3.Ex20.m2.3.3.3.5.2" xref="S3.Ex20.m2.3.3.3.5.1.cmml"><mo id="S3.Ex20.m2.3.3.3.5.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex20.m2.3.3.3.5.1.1.cmml">[</mo><mi id="S3.Ex20.m2.1.1.1.1" xref="S3.Ex20.m2.1.1.1.1.cmml">d</mi><mo id="S3.Ex20.m2.3.3.3.5.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex20.m2.3.3.3.5.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></munder></mstyle><mrow id="S3.Ex20.m2.23.24.2.3.2" xref="S3.Ex20.m2.23.24.2.3.2.cmml"><msub id="S3.Ex20.m2.23.24.2.3.2.2" xref="S3.Ex20.m2.23.24.2.3.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex20.m2.23.24.2.3.2.2.2" xref="S3.Ex20.m2.23.24.2.3.2.2.2.cmml">C</mi><mrow id="S3.Ex20.m2.6.6.3.5" xref="S3.Ex20.m2.6.6.3.4.cmml"><mi id="S3.Ex20.m2.4.4.1.1" xref="S3.Ex20.m2.4.4.1.1.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex20.m2.6.6.3.5.1" xref="S3.Ex20.m2.6.6.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex20.m2.5.5.2.2" xref="S3.Ex20.m2.5.5.2.2.cmml">k</mi><mo id="S3.Ex20.m2.6.6.3.5.2" xref="S3.Ex20.m2.6.6.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex20.m2.6.6.3.3" xref="S3.Ex20.m2.6.6.3.3.cmml">l</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex20.m2.23.24.2.3.2.1" xref="S3.Ex20.m2.23.24.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S3.Ex20.m2.9.9" xref="S3.Ex20.m2.9.9.cmml"><msub id="S3.Ex20.m2.9.9.3" xref="S3.Ex20.m2.9.9.3.cmml"><mi id="S3.Ex20.m2.9.9.3.5" xref="S3.Ex20.m2.9.9.3.5.cmml">C</mi><mrow id="S3.Ex20.m2.9.9.3.3.3.3" xref="S3.Ex20.m2.9.9.3.3.3.4.cmml"><msup id="S3.Ex20.m2.9.9.3.3.3.3.1" xref="S3.Ex20.m2.9.9.3.3.3.3.1.cmml"><mi id="S3.Ex20.m2.9.9.3.3.3.3.1.2" xref="S3.Ex20.m2.9.9.3.3.3.3.1.2.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex20.m2.9.9.3.3.3.3.1.3" xref="S3.Ex20.m2.9.9.3.3.3.3.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.Ex20.m2.9.9.3.3.3.3.2" xref="S3.Ex20.m2.9.9.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex20.m2.7.7.1.1.1.1" xref="S3.Ex20.m2.7.7.1.1.1.1.cmml">k</mi><mo id="S3.Ex20.m2.9.9.3.3.3.3.3" xref="S3.Ex20.m2.9.9.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex20.m2.8.8.2.2.2.2" xref="S3.Ex20.m2.8.8.2.2.2.2.cmml">l</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex20.m2.9.9.4" xref="S3.Ex20.m2.9.9.4.cmml">¯</mo></mover><mo id="S3.Ex20.m2.23.24.2.3.2.1a" xref="S3.Ex20.m2.23.24.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S3.Ex20.m2.12.12" xref="S3.Ex20.m2.12.12.cmml"><msub id="S3.Ex20.m2.12.12.3" xref="S3.Ex20.m2.12.12.3.cmml"><mi id="S3.Ex20.m2.12.12.3.5" xref="S3.Ex20.m2.12.12.3.5.cmml">C</mi><mrow id="S3.Ex20.m2.12.12.3.3.3.3" xref="S3.Ex20.m2.12.12.3.3.3.4.cmml"><mi id="S3.Ex20.m2.10.10.1.1.1.1" xref="S3.Ex20.m2.10.10.1.1.1.1.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex20.m2.12.12.3.3.3.3.2" xref="S3.Ex20.m2.12.12.3.3.3.4.cmml">,</mo><msup id="S3.Ex20.m2.12.12.3.3.3.3.1" xref="S3.Ex20.m2.12.12.3.3.3.3.1.cmml"><mi id="S3.Ex20.m2.12.12.3.3.3.3.1.2" xref="S3.Ex20.m2.12.12.3.3.3.3.1.2.cmml">k</mi><mo id="S3.Ex20.m2.12.12.3.3.3.3.1.3" xref="S3.Ex20.m2.12.12.3.3.3.3.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.Ex20.m2.12.12.3.3.3.3.3" xref="S3.Ex20.m2.12.12.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex20.m2.11.11.2.2.2.2" xref="S3.Ex20.m2.11.11.2.2.2.2.cmml">l</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex20.m2.12.12.4" xref="S3.Ex20.m2.12.12.4.cmml">¯</mo></mover></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex20.m2.23.24.1" xref="S3.Ex20.m2.23.24.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex20.m2.23.24.3" xref="S3.Ex20.m2.23.24.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex20.m2.23.24.3.2" xref="S3.Ex20.m2.23.24.3.2.cmml"><mfrac id="S3.Ex20.m2.23.24.3.2a" xref="S3.Ex20.m2.23.24.3.2.cmml"><mn id="S3.Ex20.m2.23.24.3.2.2" xref="S3.Ex20.m2.23.24.3.2.2.cmml">1</mn><mrow id="S3.Ex20.m2.23.24.3.2.3" xref="S3.Ex20.m2.23.24.3.2.3.cmml"><msup id="S3.Ex20.m2.23.24.3.2.3.2" xref="S3.Ex20.m2.23.24.3.2.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex20.m2.23.24.3.2.3.2.2" xref="S3.Ex20.m2.23.24.3.2.3.2.2.cmml">d</mi><mn id="S3.Ex20.m2.23.24.3.2.3.2.3" xref="S3.Ex20.m2.23.24.3.2.3.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.Ex20.m2.23.24.3.2.3.1" xref="S3.Ex20.m2.23.24.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><msqrt id="S3.Ex20.m2.23.24.3.2.3.3" xref="S3.Ex20.m2.23.24.3.2.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex20.m2.23.24.3.2.3.3.2" xref="S3.Ex20.m2.23.24.3.2.3.3.2.cmml">d</mi></msqrt></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S3.Ex20.m2.23.24.3.1" xref="S3.Ex20.m2.23.24.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex20.m2.23.24.3.3" xref="S3.Ex20.m2.23.24.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex20.m2.23.24.3.3.2" xref="S3.Ex20.m2.23.24.3.3.2.cmml">C</mi><mrow id="S3.Ex20.m2.15.15.3.5" xref="S3.Ex20.m2.15.15.3.4.cmml"><mi id="S3.Ex20.m2.13.13.1.1" xref="S3.Ex20.m2.13.13.1.1.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex20.m2.15.15.3.5.1" xref="S3.Ex20.m2.15.15.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex20.m2.14.14.2.2" xref="S3.Ex20.m2.14.14.2.2.cmml">k</mi><mo id="S3.Ex20.m2.15.15.3.5.2" xref="S3.Ex20.m2.15.15.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex20.m2.15.15.3.3" xref="S3.Ex20.m2.15.15.3.3.cmml">l</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex20.m2.23.24.3.1a" xref="S3.Ex20.m2.23.24.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex20.m2.23.24.3.4" xref="S3.Ex20.m2.23.24.3.4.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex20.m2.23.24.3.4.1" xref="S3.Ex20.m2.23.24.3.4.1.cmml"><munder id="S3.Ex20.m2.23.24.3.4.1a" xref="S3.Ex20.m2.23.24.3.4.1.cmml"><mo id="S3.Ex20.m2.23.24.3.4.1.2" movablelimits="false" xref="S3.Ex20.m2.23.24.3.4.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.Ex20.m2.16.16.1" xref="S3.Ex20.m2.16.16.1.cmml"><msup id="S3.Ex20.m2.16.16.1.3" xref="S3.Ex20.m2.16.16.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex20.m2.16.16.1.3.2" xref="S3.Ex20.m2.16.16.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex20.m2.16.16.1.3.3" xref="S3.Ex20.m2.16.16.1.3.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.Ex20.m2.16.16.1.2" xref="S3.Ex20.m2.16.16.1.2.cmml">∈</mo><mrow id="S3.Ex20.m2.16.16.1.4.2" xref="S3.Ex20.m2.16.16.1.4.1.cmml"><mo id="S3.Ex20.m2.16.16.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex20.m2.16.16.1.4.1.1.cmml">[</mo><mi id="S3.Ex20.m2.16.16.1.1" xref="S3.Ex20.m2.16.16.1.1.cmml">d</mi><mo id="S3.Ex20.m2.16.16.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex20.m2.16.16.1.4.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></munder></mstyle><mrow id="S3.Ex20.m2.23.24.3.4.2" xref="S3.Ex20.m2.23.24.3.4.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex20.m2.19.19" xref="S3.Ex20.m2.19.19.cmml"><msub id="S3.Ex20.m2.19.19.3" xref="S3.Ex20.m2.19.19.3.cmml"><mi id="S3.Ex20.m2.19.19.3.5" xref="S3.Ex20.m2.19.19.3.5.cmml">C</mi><mrow id="S3.Ex20.m2.19.19.3.3.3.3" xref="S3.Ex20.m2.19.19.3.3.3.4.cmml"><msup id="S3.Ex20.m2.19.19.3.3.3.3.1" xref="S3.Ex20.m2.19.19.3.3.3.3.1.cmml"><mi id="S3.Ex20.m2.19.19.3.3.3.3.1.2" xref="S3.Ex20.m2.19.19.3.3.3.3.1.2.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex20.m2.19.19.3.3.3.3.1.3" xref="S3.Ex20.m2.19.19.3.3.3.3.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.Ex20.m2.19.19.3.3.3.3.2" xref="S3.Ex20.m2.19.19.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex20.m2.17.17.1.1.1.1" xref="S3.Ex20.m2.17.17.1.1.1.1.cmml">k</mi><mo id="S3.Ex20.m2.19.19.3.3.3.3.3" xref="S3.Ex20.m2.19.19.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex20.m2.18.18.2.2.2.2" xref="S3.Ex20.m2.18.18.2.2.2.2.cmml">l</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex20.m2.19.19.4" xref="S3.Ex20.m2.19.19.4.cmml">¯</mo></mover><mo id="S3.Ex20.m2.23.24.3.4.2.1" xref="S3.Ex20.m2.23.24.3.4.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex20.m2.23.24.3.4.2.2" xref="S3.Ex20.m2.23.24.3.4.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex20.m2.23.24.3.4.2.2.1" xref="S3.Ex20.m2.23.24.3.4.2.2.1.cmml"><munder id="S3.Ex20.m2.23.24.3.4.2.2.1a" xref="S3.Ex20.m2.23.24.3.4.2.2.1.cmml"><mo id="S3.Ex20.m2.23.24.3.4.2.2.1.2" movablelimits="false" xref="S3.Ex20.m2.23.24.3.4.2.2.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.Ex20.m2.20.20.1" xref="S3.Ex20.m2.20.20.1.cmml"><msup id="S3.Ex20.m2.20.20.1.3" xref="S3.Ex20.m2.20.20.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex20.m2.20.20.1.3.2" xref="S3.Ex20.m2.20.20.1.3.2.cmml">k</mi><mo id="S3.Ex20.m2.20.20.1.3.3" xref="S3.Ex20.m2.20.20.1.3.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.Ex20.m2.20.20.1.2" xref="S3.Ex20.m2.20.20.1.2.cmml">∈</mo><mrow id="S3.Ex20.m2.20.20.1.4.2" xref="S3.Ex20.m2.20.20.1.4.1.cmml"><mo id="S3.Ex20.m2.20.20.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex20.m2.20.20.1.4.1.1.cmml">[</mo><mi id="S3.Ex20.m2.20.20.1.1" xref="S3.Ex20.m2.20.20.1.1.cmml">d</mi><mo id="S3.Ex20.m2.20.20.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex20.m2.20.20.1.4.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></munder></mstyle><mover accent="true" id="S3.Ex20.m2.23.23" xref="S3.Ex20.m2.23.23.cmml"><msub id="S3.Ex20.m2.23.23.3" xref="S3.Ex20.m2.23.23.3.cmml"><mi id="S3.Ex20.m2.23.23.3.5" xref="S3.Ex20.m2.23.23.3.5.cmml">C</mi><mrow id="S3.Ex20.m2.23.23.3.3.3.3" xref="S3.Ex20.m2.23.23.3.3.3.4.cmml"><mi id="S3.Ex20.m2.21.21.1.1.1.1" xref="S3.Ex20.m2.21.21.1.1.1.1.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex20.m2.23.23.3.3.3.3.2" xref="S3.Ex20.m2.23.23.3.3.3.4.cmml">,</mo><msup id="S3.Ex20.m2.23.23.3.3.3.3.1" xref="S3.Ex20.m2.23.23.3.3.3.3.1.cmml"><mi id="S3.Ex20.m2.23.23.3.3.3.3.1.2" xref="S3.Ex20.m2.23.23.3.3.3.3.1.2.cmml">k</mi><mo id="S3.Ex20.m2.23.23.3.3.3.3.1.3" xref="S3.Ex20.m2.23.23.3.3.3.3.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.Ex20.m2.23.23.3.3.3.3.3" xref="S3.Ex20.m2.23.23.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex20.m2.22.22.2.2.2.2" xref="S3.Ex20.m2.22.22.2.2.2.2.cmml">l</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex20.m2.23.23.4" xref="S3.Ex20.m2.23.23.4.cmml">¯</mo></mover></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex20.m2.23b"><apply id="S3.Ex20.m2.23.24.cmml" xref="S3.Ex20.m2.23.24"><eq id="S3.Ex20.m2.23.24.1.cmml" xref="S3.Ex20.m2.23.24.1"></eq><apply id="S3.Ex20.m2.23.24.2.cmml" xref="S3.Ex20.m2.23.24.2"><times id="S3.Ex20.m2.23.24.2.1.cmml" xref="S3.Ex20.m2.23.24.2.1"></times><apply id="S3.Ex20.m2.23.24.2.2.cmml" xref="S3.Ex20.m2.23.24.2.2"><divide id="S3.Ex20.m2.23.24.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex20.m2.23.24.2.2"></divide><cn id="S3.Ex20.m2.23.24.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex20.m2.23.24.2.2.2">1</cn><apply id="S3.Ex20.m2.23.24.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex20.m2.23.24.2.2.3"><times id="S3.Ex20.m2.23.24.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex20.m2.23.24.2.2.3.1"></times><apply id="S3.Ex20.m2.23.24.2.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex20.m2.23.24.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex20.m2.23.24.2.2.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex20.m2.23.24.2.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex20.m2.23.24.2.2.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex20.m2.23.24.2.2.3.2.2">𝑑</ci><cn id="S3.Ex20.m2.23.24.2.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex20.m2.23.24.2.2.3.2.3">2</cn></apply><apply id="S3.Ex20.m2.23.24.2.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex20.m2.23.24.2.2.3.3"><root id="S3.Ex20.m2.23.24.2.2.3.3a.cmml" xref="S3.Ex20.m2.23.24.2.2.3.3"></root><ci id="S3.Ex20.m2.23.24.2.2.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex20.m2.23.24.2.2.3.3.2">𝑑</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex20.m2.23.24.2.3.cmml" xref="S3.Ex20.m2.23.24.2.3"><apply id="S3.Ex20.m2.23.24.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex20.m2.23.24.2.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex20.m2.23.24.2.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex20.m2.23.24.2.3.1">subscript</csymbol><sum id="S3.Ex20.m2.23.24.2.3.1.2.cmml" xref="S3.Ex20.m2.23.24.2.3.1.2"></sum><apply id="S3.Ex20.m2.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex20.m2.3.3.3"><in id="S3.Ex20.m2.3.3.3.4.cmml" xref="S3.Ex20.m2.3.3.3.4"></in><list id="S3.Ex20.m2.3.3.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex20.m2.3.3.3.3.2"><apply id="S3.Ex20.m2.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex20.m2.2.2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex20.m2.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex20.m2.2.2.2.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex20.m2.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex20.m2.2.2.2.2.1.1.2">𝑗</ci><ci id="S3.Ex20.m2.2.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex20.m2.2.2.2.2.1.1.3">′</ci></apply><apply id="S3.Ex20.m2.3.3.3.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex20.m2.3.3.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex20.m2.3.3.3.3.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex20.m2.3.3.3.3.2.2">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex20.m2.3.3.3.3.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex20.m2.3.3.3.3.2.2.2">𝑘</ci><ci id="S3.Ex20.m2.3.3.3.3.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex20.m2.3.3.3.3.2.2.3">′</ci></apply></list><apply id="S3.Ex20.m2.3.3.3.5.1.cmml" xref="S3.Ex20.m2.3.3.3.5.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex20.m2.3.3.3.5.1.1.cmml" xref="S3.Ex20.m2.3.3.3.5.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S3.Ex20.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex20.m2.1.1.1.1">𝑑</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex20.m2.23.24.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex20.m2.23.24.2.3.2"><times id="S3.Ex20.m2.23.24.2.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex20.m2.23.24.2.3.2.1"></times><apply id="S3.Ex20.m2.23.24.2.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex20.m2.23.24.2.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex20.m2.23.24.2.3.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex20.m2.23.24.2.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex20.m2.23.24.2.3.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex20.m2.23.24.2.3.2.2.2">𝐶</ci><list id="S3.Ex20.m2.6.6.3.4.cmml" xref="S3.Ex20.m2.6.6.3.5"><ci id="S3.Ex20.m2.4.4.1.1.cmml" xref="S3.Ex20.m2.4.4.1.1">𝑗</ci><ci id="S3.Ex20.m2.5.5.2.2.cmml" xref="S3.Ex20.m2.5.5.2.2">𝑘</ci><ci id="S3.Ex20.m2.6.6.3.3.cmml" xref="S3.Ex20.m2.6.6.3.3">𝑙</ci></list></apply><apply id="S3.Ex20.m2.9.9.cmml" xref="S3.Ex20.m2.9.9"><ci id="S3.Ex20.m2.9.9.4.cmml" xref="S3.Ex20.m2.9.9.4">¯</ci><apply id="S3.Ex20.m2.9.9.3.cmml" xref="S3.Ex20.m2.9.9.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex20.m2.9.9.3.4.cmml" xref="S3.Ex20.m2.9.9.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex20.m2.9.9.3.5.cmml" xref="S3.Ex20.m2.9.9.3.5">𝐶</ci><list id="S3.Ex20.m2.9.9.3.3.3.4.cmml" xref="S3.Ex20.m2.9.9.3.3.3.3"><apply id="S3.Ex20.m2.9.9.3.3.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex20.m2.9.9.3.3.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex20.m2.9.9.3.3.3.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex20.m2.9.9.3.3.3.3.1">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex20.m2.9.9.3.3.3.3.1.2.cmml" xref="S3.Ex20.m2.9.9.3.3.3.3.1.2">𝑗</ci><ci id="S3.Ex20.m2.9.9.3.3.3.3.1.3.cmml" xref="S3.Ex20.m2.9.9.3.3.3.3.1.3">′</ci></apply><ci id="S3.Ex20.m2.7.7.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex20.m2.7.7.1.1.1.1">𝑘</ci><ci id="S3.Ex20.m2.8.8.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex20.m2.8.8.2.2.2.2">𝑙</ci></list></apply></apply><apply id="S3.Ex20.m2.12.12.cmml" xref="S3.Ex20.m2.12.12"><ci id="S3.Ex20.m2.12.12.4.cmml" xref="S3.Ex20.m2.12.12.4">¯</ci><apply id="S3.Ex20.m2.12.12.3.cmml" xref="S3.Ex20.m2.12.12.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex20.m2.12.12.3.4.cmml" xref="S3.Ex20.m2.12.12.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex20.m2.12.12.3.5.cmml" xref="S3.Ex20.m2.12.12.3.5">𝐶</ci><list id="S3.Ex20.m2.12.12.3.3.3.4.cmml" xref="S3.Ex20.m2.12.12.3.3.3.3"><ci id="S3.Ex20.m2.10.10.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex20.m2.10.10.1.1.1.1">𝑗</ci><apply id="S3.Ex20.m2.12.12.3.3.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex20.m2.12.12.3.3.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex20.m2.12.12.3.3.3.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex20.m2.12.12.3.3.3.3.1">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex20.m2.12.12.3.3.3.3.1.2.cmml" xref="S3.Ex20.m2.12.12.3.3.3.3.1.2">𝑘</ci><ci id="S3.Ex20.m2.12.12.3.3.3.3.1.3.cmml" xref="S3.Ex20.m2.12.12.3.3.3.3.1.3">′</ci></apply><ci id="S3.Ex20.m2.11.11.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex20.m2.11.11.2.2.2.2">𝑙</ci></list></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex20.m2.23.24.3.cmml" xref="S3.Ex20.m2.23.24.3"><times id="S3.Ex20.m2.23.24.3.1.cmml" xref="S3.Ex20.m2.23.24.3.1"></times><apply id="S3.Ex20.m2.23.24.3.2.cmml" xref="S3.Ex20.m2.23.24.3.2"><divide id="S3.Ex20.m2.23.24.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex20.m2.23.24.3.2"></divide><cn id="S3.Ex20.m2.23.24.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex20.m2.23.24.3.2.2">1</cn><apply id="S3.Ex20.m2.23.24.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex20.m2.23.24.3.2.3"><times id="S3.Ex20.m2.23.24.3.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex20.m2.23.24.3.2.3.1"></times><apply id="S3.Ex20.m2.23.24.3.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex20.m2.23.24.3.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex20.m2.23.24.3.2.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex20.m2.23.24.3.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex20.m2.23.24.3.2.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex20.m2.23.24.3.2.3.2.2">𝑑</ci><cn id="S3.Ex20.m2.23.24.3.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex20.m2.23.24.3.2.3.2.3">2</cn></apply><apply id="S3.Ex20.m2.23.24.3.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex20.m2.23.24.3.2.3.3"><root id="S3.Ex20.m2.23.24.3.2.3.3a.cmml" xref="S3.Ex20.m2.23.24.3.2.3.3"></root><ci id="S3.Ex20.m2.23.24.3.2.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex20.m2.23.24.3.2.3.3.2">𝑑</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex20.m2.23.24.3.3.cmml" xref="S3.Ex20.m2.23.24.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex20.m2.23.24.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex20.m2.23.24.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex20.m2.23.24.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex20.m2.23.24.3.3.2">𝐶</ci><list id="S3.Ex20.m2.15.15.3.4.cmml" xref="S3.Ex20.m2.15.15.3.5"><ci id="S3.Ex20.m2.13.13.1.1.cmml" xref="S3.Ex20.m2.13.13.1.1">𝑗</ci><ci id="S3.Ex20.m2.14.14.2.2.cmml" xref="S3.Ex20.m2.14.14.2.2">𝑘</ci><ci id="S3.Ex20.m2.15.15.3.3.cmml" xref="S3.Ex20.m2.15.15.3.3">𝑙</ci></list></apply><apply id="S3.Ex20.m2.23.24.3.4.cmml" xref="S3.Ex20.m2.23.24.3.4"><apply id="S3.Ex20.m2.23.24.3.4.1.cmml" xref="S3.Ex20.m2.23.24.3.4.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex20.m2.23.24.3.4.1.1.cmml" xref="S3.Ex20.m2.23.24.3.4.1">subscript</csymbol><sum id="S3.Ex20.m2.23.24.3.4.1.2.cmml" xref="S3.Ex20.m2.23.24.3.4.1.2"></sum><apply id="S3.Ex20.m2.16.16.1.cmml" xref="S3.Ex20.m2.16.16.1"><in id="S3.Ex20.m2.16.16.1.2.cmml" xref="S3.Ex20.m2.16.16.1.2"></in><apply id="S3.Ex20.m2.16.16.1.3.cmml" xref="S3.Ex20.m2.16.16.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex20.m2.16.16.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex20.m2.16.16.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex20.m2.16.16.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex20.m2.16.16.1.3.2">𝑗</ci><ci id="S3.Ex20.m2.16.16.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex20.m2.16.16.1.3.3">′</ci></apply><apply id="S3.Ex20.m2.16.16.1.4.1.cmml" xref="S3.Ex20.m2.16.16.1.4.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex20.m2.16.16.1.4.1.1.cmml" xref="S3.Ex20.m2.16.16.1.4.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S3.Ex20.m2.16.16.1.1.cmml" xref="S3.Ex20.m2.16.16.1.1">𝑑</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex20.m2.23.24.3.4.2.cmml" xref="S3.Ex20.m2.23.24.3.4.2"><times id="S3.Ex20.m2.23.24.3.4.2.1.cmml" xref="S3.Ex20.m2.23.24.3.4.2.1"></times><apply id="S3.Ex20.m2.19.19.cmml" xref="S3.Ex20.m2.19.19"><ci id="S3.Ex20.m2.19.19.4.cmml" xref="S3.Ex20.m2.19.19.4">¯</ci><apply id="S3.Ex20.m2.19.19.3.cmml" xref="S3.Ex20.m2.19.19.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex20.m2.19.19.3.4.cmml" xref="S3.Ex20.m2.19.19.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex20.m2.19.19.3.5.cmml" xref="S3.Ex20.m2.19.19.3.5">𝐶</ci><list id="S3.Ex20.m2.19.19.3.3.3.4.cmml" xref="S3.Ex20.m2.19.19.3.3.3.3"><apply id="S3.Ex20.m2.19.19.3.3.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex20.m2.19.19.3.3.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex20.m2.19.19.3.3.3.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex20.m2.19.19.3.3.3.3.1">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex20.m2.19.19.3.3.3.3.1.2.cmml" xref="S3.Ex20.m2.19.19.3.3.3.3.1.2">𝑗</ci><ci id="S3.Ex20.m2.19.19.3.3.3.3.1.3.cmml" xref="S3.Ex20.m2.19.19.3.3.3.3.1.3">′</ci></apply><ci id="S3.Ex20.m2.17.17.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex20.m2.17.17.1.1.1.1">𝑘</ci><ci id="S3.Ex20.m2.18.18.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex20.m2.18.18.2.2.2.2">𝑙</ci></list></apply></apply><apply id="S3.Ex20.m2.23.24.3.4.2.2.cmml" xref="S3.Ex20.m2.23.24.3.4.2.2"><apply id="S3.Ex20.m2.23.24.3.4.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex20.m2.23.24.3.4.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex20.m2.23.24.3.4.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex20.m2.23.24.3.4.2.2.1">subscript</csymbol><sum id="S3.Ex20.m2.23.24.3.4.2.2.1.2.cmml" xref="S3.Ex20.m2.23.24.3.4.2.2.1.2"></sum><apply id="S3.Ex20.m2.20.20.1.cmml" xref="S3.Ex20.m2.20.20.1"><in id="S3.Ex20.m2.20.20.1.2.cmml" xref="S3.Ex20.m2.20.20.1.2"></in><apply id="S3.Ex20.m2.20.20.1.3.cmml" xref="S3.Ex20.m2.20.20.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex20.m2.20.20.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex20.m2.20.20.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex20.m2.20.20.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex20.m2.20.20.1.3.2">𝑘</ci><ci id="S3.Ex20.m2.20.20.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex20.m2.20.20.1.3.3">′</ci></apply><apply id="S3.Ex20.m2.20.20.1.4.1.cmml" xref="S3.Ex20.m2.20.20.1.4.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex20.m2.20.20.1.4.1.1.cmml" xref="S3.Ex20.m2.20.20.1.4.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S3.Ex20.m2.20.20.1.1.cmml" xref="S3.Ex20.m2.20.20.1.1">𝑑</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex20.m2.23.23.cmml" xref="S3.Ex20.m2.23.23"><ci id="S3.Ex20.m2.23.23.4.cmml" xref="S3.Ex20.m2.23.23.4">¯</ci><apply id="S3.Ex20.m2.23.23.3.cmml" xref="S3.Ex20.m2.23.23.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex20.m2.23.23.3.4.cmml" xref="S3.Ex20.m2.23.23.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex20.m2.23.23.3.5.cmml" xref="S3.Ex20.m2.23.23.3.5">𝐶</ci><list id="S3.Ex20.m2.23.23.3.3.3.4.cmml" xref="S3.Ex20.m2.23.23.3.3.3.3"><ci id="S3.Ex20.m2.21.21.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex20.m2.21.21.1.1.1.1">𝑗</ci><apply id="S3.Ex20.m2.23.23.3.3.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex20.m2.23.23.3.3.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex20.m2.23.23.3.3.3.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex20.m2.23.23.3.3.3.3.1">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex20.m2.23.23.3.3.3.3.1.2.cmml" xref="S3.Ex20.m2.23.23.3.3.3.3.1.2">𝑘</ci><ci id="S3.Ex20.m2.23.23.3.3.3.3.1.3.cmml" xref="S3.Ex20.m2.23.23.3.3.3.3.1.3">′</ci></apply><ci id="S3.Ex20.m2.22.22.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex20.m2.22.22.2.2.2.2">𝑙</ci></list></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex20.m2.23c">\displaystyle\frac{1}{d^{2}\sqrt{d}}\sum_{j^{\prime},k^{\prime}\in[d]}C_{j,k,l% }\overline{C_{j^{\prime},k,l}}\,\overline{C_{j,k^{\prime},l}}=\frac{1}{d^{2}% \sqrt{d}}C_{j,k,l}\sum_{j^{\prime}\in[d]}\overline{C_{j^{\prime},k,l}}\,\sum_{% k^{\prime}\in[d]}\overline{C_{j,k^{\prime},l}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex20.m2.23d">divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_d start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT square-root start_ARG italic_d end_ARG end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_k start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ∈ [ italic_d ] end_POSTSUBSCRIPT italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k , italic_l end_POSTSUBSCRIPT over¯ start_ARG italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_k , italic_l end_POSTSUBSCRIPT end_ARG over¯ start_ARG italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_l end_POSTSUBSCRIPT end_ARG = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_d start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT square-root start_ARG italic_d end_ARG end_ARG italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k , italic_l end_POSTSUBSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ∈ [ italic_d ] end_POSTSUBSCRIPT over¯ start_ARG italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_k , italic_l end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_k start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ∈ [ italic_d ] end_POSTSUBSCRIPT over¯ start_ARG italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_l end_POSTSUBSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr> <tr class="ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex21.m1.1"><semantics id="S3.Ex21.m1.1a"><mo id="S3.Ex21.m1.1.1" xref="S3.Ex21.m1.1.1.cmml">=</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex21.m1.1b"><eq id="S3.Ex21.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex21.m1.1.1"></eq></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex21.m1.1c">\displaystyle=</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex21.m1.1d">=</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\frac{1}{\sqrt{d^{3}}}C_{j,k,l}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex21.m2.3"><semantics id="S3.Ex21.m2.3a"><mrow id="S3.Ex21.m2.3.4" xref="S3.Ex21.m2.3.4.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex21.m2.3.4.2" xref="S3.Ex21.m2.3.4.2.cmml"><mfrac id="S3.Ex21.m2.3.4.2a" xref="S3.Ex21.m2.3.4.2.cmml"><mn id="S3.Ex21.m2.3.4.2.2" xref="S3.Ex21.m2.3.4.2.2.cmml">1</mn><msqrt id="S3.Ex21.m2.3.4.2.3" xref="S3.Ex21.m2.3.4.2.3.cmml"><msup id="S3.Ex21.m2.3.4.2.3.2" xref="S3.Ex21.m2.3.4.2.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex21.m2.3.4.2.3.2.2" xref="S3.Ex21.m2.3.4.2.3.2.2.cmml">d</mi><mn id="S3.Ex21.m2.3.4.2.3.2.3" xref="S3.Ex21.m2.3.4.2.3.2.3.cmml">3</mn></msup></msqrt></mfrac></mstyle><mo id="S3.Ex21.m2.3.4.1" xref="S3.Ex21.m2.3.4.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex21.m2.3.4.3" xref="S3.Ex21.m2.3.4.3.cmml"><mi id="S3.Ex21.m2.3.4.3.2" xref="S3.Ex21.m2.3.4.3.2.cmml">C</mi><mrow id="S3.Ex21.m2.3.3.3.5" xref="S3.Ex21.m2.3.3.3.4.cmml"><mi id="S3.Ex21.m2.1.1.1.1" xref="S3.Ex21.m2.1.1.1.1.cmml">j</mi><mo id="S3.Ex21.m2.3.3.3.5.1" xref="S3.Ex21.m2.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex21.m2.2.2.2.2" xref="S3.Ex21.m2.2.2.2.2.cmml">k</mi><mo id="S3.Ex21.m2.3.3.3.5.2" xref="S3.Ex21.m2.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex21.m2.3.3.3.3" xref="S3.Ex21.m2.3.3.3.3.cmml">l</mi></mrow></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex21.m2.3b"><apply id="S3.Ex21.m2.3.4.cmml" xref="S3.Ex21.m2.3.4"><times id="S3.Ex21.m2.3.4.1.cmml" xref="S3.Ex21.m2.3.4.1"></times><apply id="S3.Ex21.m2.3.4.2.cmml" xref="S3.Ex21.m2.3.4.2"><divide id="S3.Ex21.m2.3.4.2.1.cmml" xref="S3.Ex21.m2.3.4.2"></divide><cn id="S3.Ex21.m2.3.4.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex21.m2.3.4.2.2">1</cn><apply id="S3.Ex21.m2.3.4.2.3.cmml" xref="S3.Ex21.m2.3.4.2.3"><root id="S3.Ex21.m2.3.4.2.3a.cmml" xref="S3.Ex21.m2.3.4.2.3"></root><apply id="S3.Ex21.m2.3.4.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex21.m2.3.4.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex21.m2.3.4.2.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex21.m2.3.4.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex21.m2.3.4.2.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex21.m2.3.4.2.3.2.2">𝑑</ci><cn id="S3.Ex21.m2.3.4.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex21.m2.3.4.2.3.2.3">3</cn></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex21.m2.3.4.3.cmml" xref="S3.Ex21.m2.3.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex21.m2.3.4.3.1.cmml" xref="S3.Ex21.m2.3.4.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex21.m2.3.4.3.2.cmml" xref="S3.Ex21.m2.3.4.3.2">𝐶</ci><list id="S3.Ex21.m2.3.3.3.4.cmml" xref="S3.Ex21.m2.3.3.3.5"><ci id="S3.Ex21.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex21.m2.1.1.1.1">𝑗</ci><ci id="S3.Ex21.m2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex21.m2.2.2.2.2">𝑘</ci><ci id="S3.Ex21.m2.3.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex21.m2.3.3.3.3">𝑙</ci></list></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex21.m2.3c">\displaystyle\frac{1}{\sqrt{d^{3}}}C_{j,k,l}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex21.m2.3d">divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG square-root start_ARG italic_d start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG end_ARG italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k , italic_l end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr> </tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.13.p7.7">where again from the first line to the second we used relation (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#S3.E8" title="Equation 3.8 ‣ 3. MUB-triplets and Hadamard cubes ‣ Triplets of Mutually Unbiased Bases"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3.8</span></a>), and from the second line to the third assumption (iv’). Thus, the proof is complete. ∎</p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S3.p12"> <p class="ltx_p" id="S3.p12.2">To end this section we give a natural generalization of the notion of Hadamard cubes. Notice that the defining equations (i)-(iv) in Proposition <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#S3.E3" title="Equation 3.3 ‣ 3. MUB-triplets and Hadamard cubes ‣ Triplets of Mutually Unbiased Bases"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3.3</span></a> include the operation of conjugation. This is so, because the condition <math alttext="|C_{j,k,l}|=1" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p12.1.m1.4"><semantics id="S3.p12.1.m1.4a"><mrow id="S3.p12.1.m1.4.4" xref="S3.p12.1.m1.4.4.cmml"><mrow id="S3.p12.1.m1.4.4.1.1" xref="S3.p12.1.m1.4.4.1.2.cmml"><mo id="S3.p12.1.m1.4.4.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.p12.1.m1.4.4.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S3.p12.1.m1.4.4.1.1.1" xref="S3.p12.1.m1.4.4.1.1.1.cmml"><mi id="S3.p12.1.m1.4.4.1.1.1.2" xref="S3.p12.1.m1.4.4.1.1.1.2.cmml">C</mi><mrow id="S3.p12.1.m1.3.3.3.5" xref="S3.p12.1.m1.3.3.3.4.cmml"><mi id="S3.p12.1.m1.1.1.1.1" xref="S3.p12.1.m1.1.1.1.1.cmml">j</mi><mo id="S3.p12.1.m1.3.3.3.5.1" xref="S3.p12.1.m1.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.p12.1.m1.2.2.2.2" xref="S3.p12.1.m1.2.2.2.2.cmml">k</mi><mo id="S3.p12.1.m1.3.3.3.5.2" xref="S3.p12.1.m1.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.p12.1.m1.3.3.3.3" xref="S3.p12.1.m1.3.3.3.3.cmml">l</mi></mrow></msub><mo id="S3.p12.1.m1.4.4.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.p12.1.m1.4.4.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S3.p12.1.m1.4.4.2" xref="S3.p12.1.m1.4.4.2.cmml">=</mo><mn id="S3.p12.1.m1.4.4.3" xref="S3.p12.1.m1.4.4.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p12.1.m1.4b"><apply id="S3.p12.1.m1.4.4.cmml" xref="S3.p12.1.m1.4.4"><eq id="S3.p12.1.m1.4.4.2.cmml" xref="S3.p12.1.m1.4.4.2"></eq><apply id="S3.p12.1.m1.4.4.1.2.cmml" xref="S3.p12.1.m1.4.4.1.1"><abs id="S3.p12.1.m1.4.4.1.2.1.cmml" xref="S3.p12.1.m1.4.4.1.1.2"></abs><apply id="S3.p12.1.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="S3.p12.1.m1.4.4.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p12.1.m1.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p12.1.m1.4.4.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.p12.1.m1.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S3.p12.1.m1.4.4.1.1.1.2">𝐶</ci><list id="S3.p12.1.m1.3.3.3.4.cmml" xref="S3.p12.1.m1.3.3.3.5"><ci id="S3.p12.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p12.1.m1.1.1.1.1">𝑗</ci><ci id="S3.p12.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.p12.1.m1.2.2.2.2">𝑘</ci><ci id="S3.p12.1.m1.3.3.3.3.cmml" xref="S3.p12.1.m1.3.3.3.3">𝑙</ci></list></apply></apply><cn id="S3.p12.1.m1.4.4.3.cmml" type="integer" xref="S3.p12.1.m1.4.4.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p12.1.m1.4c">|C_{j,k,l}|=1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p12.1.m1.4d">| italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k , italic_l end_POSTSUBSCRIPT | = 1</annotation></semantics></math> can only be expressed as <math alttext="C_{j,k,l}\overline{C_{j,k,l}}=1" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p12.2.m2.6"><semantics id="S3.p12.2.m2.6a"><mrow id="S3.p12.2.m2.6.7" xref="S3.p12.2.m2.6.7.cmml"><mrow id="S3.p12.2.m2.6.7.2" xref="S3.p12.2.m2.6.7.2.cmml"><msub id="S3.p12.2.m2.6.7.2.2" xref="S3.p12.2.m2.6.7.2.2.cmml"><mi id="S3.p12.2.m2.6.7.2.2.2" xref="S3.p12.2.m2.6.7.2.2.2.cmml">C</mi><mrow id="S3.p12.2.m2.3.3.3.5" xref="S3.p12.2.m2.3.3.3.4.cmml"><mi id="S3.p12.2.m2.1.1.1.1" xref="S3.p12.2.m2.1.1.1.1.cmml">j</mi><mo id="S3.p12.2.m2.3.3.3.5.1" xref="S3.p12.2.m2.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.p12.2.m2.2.2.2.2" xref="S3.p12.2.m2.2.2.2.2.cmml">k</mi><mo id="S3.p12.2.m2.3.3.3.5.2" xref="S3.p12.2.m2.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.p12.2.m2.3.3.3.3" xref="S3.p12.2.m2.3.3.3.3.cmml">l</mi></mrow></msub><mo id="S3.p12.2.m2.6.7.2.1" xref="S3.p12.2.m2.6.7.2.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S3.p12.2.m2.6.6" xref="S3.p12.2.m2.6.6.cmml"><msub id="S3.p12.2.m2.6.6.3" xref="S3.p12.2.m2.6.6.3.cmml"><mi id="S3.p12.2.m2.6.6.3.5" xref="S3.p12.2.m2.6.6.3.5.cmml">C</mi><mrow id="S3.p12.2.m2.6.6.3.3.3.5" xref="S3.p12.2.m2.6.6.3.3.3.4.cmml"><mi id="S3.p12.2.m2.4.4.1.1.1.1" xref="S3.p12.2.m2.4.4.1.1.1.1.cmml">j</mi><mo id="S3.p12.2.m2.6.6.3.3.3.5.1" xref="S3.p12.2.m2.6.6.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.p12.2.m2.5.5.2.2.2.2" xref="S3.p12.2.m2.5.5.2.2.2.2.cmml">k</mi><mo id="S3.p12.2.m2.6.6.3.3.3.5.2" xref="S3.p12.2.m2.6.6.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.p12.2.m2.6.6.3.3.3.3" xref="S3.p12.2.m2.6.6.3.3.3.3.cmml">l</mi></mrow></msub><mo id="S3.p12.2.m2.6.6.4" xref="S3.p12.2.m2.6.6.4.cmml">¯</mo></mover></mrow><mo id="S3.p12.2.m2.6.7.1" xref="S3.p12.2.m2.6.7.1.cmml">=</mo><mn id="S3.p12.2.m2.6.7.3" xref="S3.p12.2.m2.6.7.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p12.2.m2.6b"><apply id="S3.p12.2.m2.6.7.cmml" xref="S3.p12.2.m2.6.7"><eq id="S3.p12.2.m2.6.7.1.cmml" xref="S3.p12.2.m2.6.7.1"></eq><apply id="S3.p12.2.m2.6.7.2.cmml" xref="S3.p12.2.m2.6.7.2"><times id="S3.p12.2.m2.6.7.2.1.cmml" xref="S3.p12.2.m2.6.7.2.1"></times><apply id="S3.p12.2.m2.6.7.2.2.cmml" xref="S3.p12.2.m2.6.7.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p12.2.m2.6.7.2.2.1.cmml" xref="S3.p12.2.m2.6.7.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.p12.2.m2.6.7.2.2.2.cmml" xref="S3.p12.2.m2.6.7.2.2.2">𝐶</ci><list id="S3.p12.2.m2.3.3.3.4.cmml" xref="S3.p12.2.m2.3.3.3.5"><ci id="S3.p12.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p12.2.m2.1.1.1.1">𝑗</ci><ci id="S3.p12.2.m2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.p12.2.m2.2.2.2.2">𝑘</ci><ci id="S3.p12.2.m2.3.3.3.3.cmml" xref="S3.p12.2.m2.3.3.3.3">𝑙</ci></list></apply><apply id="S3.p12.2.m2.6.6.cmml" xref="S3.p12.2.m2.6.6"><ci id="S3.p12.2.m2.6.6.4.cmml" xref="S3.p12.2.m2.6.6.4">¯</ci><apply id="S3.p12.2.m2.6.6.3.cmml" xref="S3.p12.2.m2.6.6.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p12.2.m2.6.6.3.4.cmml" xref="S3.p12.2.m2.6.6.3">subscript</csymbol><ci id="S3.p12.2.m2.6.6.3.5.cmml" xref="S3.p12.2.m2.6.6.3.5">𝐶</ci><list id="S3.p12.2.m2.6.6.3.3.3.4.cmml" xref="S3.p12.2.m2.6.6.3.3.3.5"><ci id="S3.p12.2.m2.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p12.2.m2.4.4.1.1.1.1">𝑗</ci><ci id="S3.p12.2.m2.5.5.2.2.2.2.cmml" xref="S3.p12.2.m2.5.5.2.2.2.2">𝑘</ci><ci id="S3.p12.2.m2.6.6.3.3.3.3.cmml" xref="S3.p12.2.m2.6.6.3.3.3.3">𝑙</ci></list></apply></apply></apply><cn id="S3.p12.2.m2.6.7.3.cmml" type="integer" xref="S3.p12.2.m2.6.7.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p12.2.m2.6c">C_{j,k,l}\overline{C_{j,k,l}}=1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p12.2.m2.6d">italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k , italic_l end_POSTSUBSCRIPT over¯ start_ARG italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k , italic_l end_POSTSUBSCRIPT end_ARG = 1</annotation></semantics></math>. However, keeping in mind Hilbert’s Nullstellensatz, it could be advantageous to express all properties of the cube as polynomials of its entries. Therefore, we introduce the notion of <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.p12.2.1">inverse orthogonal cubes</span> as follows.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_defi" id="S3.Thmfact5"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.Thmfact5.1.1.1">Definition 3.5</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.Thmfact5.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="S3.Thmfact5.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.Thmfact5.p1.2">A <math alttext="d\times d\times d" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmfact5.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.Thmfact5.p1.1.m1.1a"><mrow id="S3.Thmfact5.p1.1.m1.1.1" xref="S3.Thmfact5.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.Thmfact5.p1.1.m1.1.1.2" xref="S3.Thmfact5.p1.1.m1.1.1.2.cmml">d</mi><mo id="S3.Thmfact5.p1.1.m1.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S3.Thmfact5.p1.1.m1.1.1.1.cmml">×</mo><mi id="S3.Thmfact5.p1.1.m1.1.1.3" xref="S3.Thmfact5.p1.1.m1.1.1.3.cmml">d</mi><mo id="S3.Thmfact5.p1.1.m1.1.1.1a" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S3.Thmfact5.p1.1.m1.1.1.1.cmml">×</mo><mi id="S3.Thmfact5.p1.1.m1.1.1.4" xref="S3.Thmfact5.p1.1.m1.1.1.4.cmml">d</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmfact5.p1.1.m1.1b"><apply id="S3.Thmfact5.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.Thmfact5.p1.1.m1.1.1"><times id="S3.Thmfact5.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmfact5.p1.1.m1.1.1.1"></times><ci id="S3.Thmfact5.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmfact5.p1.1.m1.1.1.2">𝑑</ci><ci id="S3.Thmfact5.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.Thmfact5.p1.1.m1.1.1.3">𝑑</ci><ci id="S3.Thmfact5.p1.1.m1.1.1.4.cmml" xref="S3.Thmfact5.p1.1.m1.1.1.4">𝑑</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmfact5.p1.1.m1.1c">d\times d\times d</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmfact5.p1.1.m1.1d">italic_d × italic_d × italic_d</annotation></semantics></math> array <math alttext="C" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmfact5.p1.2.m2.1"><semantics id="S3.Thmfact5.p1.2.m2.1a"><mi id="S3.Thmfact5.p1.2.m2.1.1" xref="S3.Thmfact5.p1.2.m2.1.1.cmml">C</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmfact5.p1.2.m2.1b"><ci id="S3.Thmfact5.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.Thmfact5.p1.2.m2.1.1">𝐶</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmfact5.p1.2.m2.1c">C</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmfact5.p1.2.m2.1d">italic_C</annotation></semantics></math> of complex numbers is called an <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.Thmfact5.p1.2.1">inverse orthogonal cube</span>, if the following are satisfied:</p> <ul class="ltx_itemize" id="S3.I4"> <li class="ltx_item" id="S3.I4.ix1" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">a)</span> <div class="ltx_para" id="S3.I4.ix1.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.I4.ix1.p1.3">All 2-dimensional slices of <math alttext="C" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I4.ix1.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.I4.ix1.p1.1.m1.1a"><mi id="S3.I4.ix1.p1.1.m1.1.1" xref="S3.I4.ix1.p1.1.m1.1.1.cmml">C</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I4.ix1.p1.1.m1.1b"><ci id="S3.I4.ix1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.I4.ix1.p1.1.m1.1.1">𝐶</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I4.ix1.p1.1.m1.1c">C</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I4.ix1.p1.1.m1.1d">italic_C</annotation></semantics></math> are inverse-orthogonal matrices, i.e. for any two distinct column (or row) <math alttext="u,v" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I4.ix1.p1.2.m2.2"><semantics id="S3.I4.ix1.p1.2.m2.2a"><mrow id="S3.I4.ix1.p1.2.m2.2.3.2" xref="S3.I4.ix1.p1.2.m2.2.3.1.cmml"><mi id="S3.I4.ix1.p1.2.m2.1.1" xref="S3.I4.ix1.p1.2.m2.1.1.cmml">u</mi><mo id="S3.I4.ix1.p1.2.m2.2.3.2.1" xref="S3.I4.ix1.p1.2.m2.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.I4.ix1.p1.2.m2.2.2" xref="S3.I4.ix1.p1.2.m2.2.2.cmml">v</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I4.ix1.p1.2.m2.2b"><list id="S3.I4.ix1.p1.2.m2.2.3.1.cmml" xref="S3.I4.ix1.p1.2.m2.2.3.2"><ci id="S3.I4.ix1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.I4.ix1.p1.2.m2.1.1">𝑢</ci><ci id="S3.I4.ix1.p1.2.m2.2.2.cmml" xref="S3.I4.ix1.p1.2.m2.2.2">𝑣</ci></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I4.ix1.p1.2.m2.2c">u,v</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I4.ix1.p1.2.m2.2d">italic_u , italic_v</annotation></semantics></math> of a slice we have <math alttext="\sum_{j=1}^{d}u_{j}/v_{j}=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I4.ix1.p1.3.m3.1"><semantics id="S3.I4.ix1.p1.3.m3.1a"><mrow id="S3.I4.ix1.p1.3.m3.1.1" xref="S3.I4.ix1.p1.3.m3.1.1.cmml"><mrow id="S3.I4.ix1.p1.3.m3.1.1.2" xref="S3.I4.ix1.p1.3.m3.1.1.2.cmml"><msubsup id="S3.I4.ix1.p1.3.m3.1.1.2.1" xref="S3.I4.ix1.p1.3.m3.1.1.2.1.cmml"><mo id="S3.I4.ix1.p1.3.m3.1.1.2.1.2.2" xref="S3.I4.ix1.p1.3.m3.1.1.2.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.I4.ix1.p1.3.m3.1.1.2.1.2.3" xref="S3.I4.ix1.p1.3.m3.1.1.2.1.2.3.cmml"><mi id="S3.I4.ix1.p1.3.m3.1.1.2.1.2.3.2" xref="S3.I4.ix1.p1.3.m3.1.1.2.1.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.I4.ix1.p1.3.m3.1.1.2.1.2.3.1" xref="S3.I4.ix1.p1.3.m3.1.1.2.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.I4.ix1.p1.3.m3.1.1.2.1.2.3.3" xref="S3.I4.ix1.p1.3.m3.1.1.2.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S3.I4.ix1.p1.3.m3.1.1.2.1.3" xref="S3.I4.ix1.p1.3.m3.1.1.2.1.3.cmml">d</mi></msubsup><mrow id="S3.I4.ix1.p1.3.m3.1.1.2.2" xref="S3.I4.ix1.p1.3.m3.1.1.2.2.cmml"><msub id="S3.I4.ix1.p1.3.m3.1.1.2.2.2" xref="S3.I4.ix1.p1.3.m3.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.I4.ix1.p1.3.m3.1.1.2.2.2.2" xref="S3.I4.ix1.p1.3.m3.1.1.2.2.2.2.cmml">u</mi><mi id="S3.I4.ix1.p1.3.m3.1.1.2.2.2.3" xref="S3.I4.ix1.p1.3.m3.1.1.2.2.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.I4.ix1.p1.3.m3.1.1.2.2.1" xref="S3.I4.ix1.p1.3.m3.1.1.2.2.1.cmml">/</mo><msub id="S3.I4.ix1.p1.3.m3.1.1.2.2.3" xref="S3.I4.ix1.p1.3.m3.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.I4.ix1.p1.3.m3.1.1.2.2.3.2" xref="S3.I4.ix1.p1.3.m3.1.1.2.2.3.2.cmml">v</mi><mi id="S3.I4.ix1.p1.3.m3.1.1.2.2.3.3" xref="S3.I4.ix1.p1.3.m3.1.1.2.2.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S3.I4.ix1.p1.3.m3.1.1.1" xref="S3.I4.ix1.p1.3.m3.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S3.I4.ix1.p1.3.m3.1.1.3" xref="S3.I4.ix1.p1.3.m3.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I4.ix1.p1.3.m3.1b"><apply id="S3.I4.ix1.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.I4.ix1.p1.3.m3.1.1"><eq id="S3.I4.ix1.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.I4.ix1.p1.3.m3.1.1.1"></eq><apply id="S3.I4.ix1.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.I4.ix1.p1.3.m3.1.1.2"><apply id="S3.I4.ix1.p1.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S3.I4.ix1.p1.3.m3.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I4.ix1.p1.3.m3.1.1.2.1.1.cmml" xref="S3.I4.ix1.p1.3.m3.1.1.2.1">superscript</csymbol><apply id="S3.I4.ix1.p1.3.m3.1.1.2.1.2.cmml" xref="S3.I4.ix1.p1.3.m3.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I4.ix1.p1.3.m3.1.1.2.1.2.1.cmml" xref="S3.I4.ix1.p1.3.m3.1.1.2.1">subscript</csymbol><sum id="S3.I4.ix1.p1.3.m3.1.1.2.1.2.2.cmml" xref="S3.I4.ix1.p1.3.m3.1.1.2.1.2.2"></sum><apply id="S3.I4.ix1.p1.3.m3.1.1.2.1.2.3.cmml" xref="S3.I4.ix1.p1.3.m3.1.1.2.1.2.3"><eq id="S3.I4.ix1.p1.3.m3.1.1.2.1.2.3.1.cmml" xref="S3.I4.ix1.p1.3.m3.1.1.2.1.2.3.1"></eq><ci id="S3.I4.ix1.p1.3.m3.1.1.2.1.2.3.2.cmml" xref="S3.I4.ix1.p1.3.m3.1.1.2.1.2.3.2">𝑗</ci><cn id="S3.I4.ix1.p1.3.m3.1.1.2.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.I4.ix1.p1.3.m3.1.1.2.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S3.I4.ix1.p1.3.m3.1.1.2.1.3.cmml" xref="S3.I4.ix1.p1.3.m3.1.1.2.1.3">𝑑</ci></apply><apply id="S3.I4.ix1.p1.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S3.I4.ix1.p1.3.m3.1.1.2.2"><divide id="S3.I4.ix1.p1.3.m3.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.I4.ix1.p1.3.m3.1.1.2.2.1"></divide><apply id="S3.I4.ix1.p1.3.m3.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.I4.ix1.p1.3.m3.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I4.ix1.p1.3.m3.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.I4.ix1.p1.3.m3.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.I4.ix1.p1.3.m3.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.I4.ix1.p1.3.m3.1.1.2.2.2.2">𝑢</ci><ci id="S3.I4.ix1.p1.3.m3.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.I4.ix1.p1.3.m3.1.1.2.2.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="S3.I4.ix1.p1.3.m3.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.I4.ix1.p1.3.m3.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I4.ix1.p1.3.m3.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.I4.ix1.p1.3.m3.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.I4.ix1.p1.3.m3.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.I4.ix1.p1.3.m3.1.1.2.2.3.2">𝑣</ci><ci id="S3.I4.ix1.p1.3.m3.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S3.I4.ix1.p1.3.m3.1.1.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply><cn id="S3.I4.ix1.p1.3.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.I4.ix1.p1.3.m3.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I4.ix1.p1.3.m3.1c">\sum_{j=1}^{d}u_{j}/v_{j}=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I4.ix1.p1.3.m3.1d">∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT / italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT = 0</annotation></semantics></math>,</p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S3.I4.ix2" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">b)</span> <div class="ltx_para" id="S3.I4.ix2.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.I4.ix2.p1.2">for any choices of indies <math alttext="j,k,l" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I4.ix2.p1.1.m1.3"><semantics id="S3.I4.ix2.p1.1.m1.3a"><mrow id="S3.I4.ix2.p1.1.m1.3.4.2" xref="S3.I4.ix2.p1.1.m1.3.4.1.cmml"><mi id="S3.I4.ix2.p1.1.m1.1.1" xref="S3.I4.ix2.p1.1.m1.1.1.cmml">j</mi><mo id="S3.I4.ix2.p1.1.m1.3.4.2.1" xref="S3.I4.ix2.p1.1.m1.3.4.1.cmml">,</mo><mi id="S3.I4.ix2.p1.1.m1.2.2" xref="S3.I4.ix2.p1.1.m1.2.2.cmml">k</mi><mo id="S3.I4.ix2.p1.1.m1.3.4.2.2" xref="S3.I4.ix2.p1.1.m1.3.4.1.cmml">,</mo><mi id="S3.I4.ix2.p1.1.m1.3.3" xref="S3.I4.ix2.p1.1.m1.3.3.cmml">l</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I4.ix2.p1.1.m1.3b"><list id="S3.I4.ix2.p1.1.m1.3.4.1.cmml" xref="S3.I4.ix2.p1.1.m1.3.4.2"><ci id="S3.I4.ix2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.I4.ix2.p1.1.m1.1.1">𝑗</ci><ci id="S3.I4.ix2.p1.1.m1.2.2.cmml" xref="S3.I4.ix2.p1.1.m1.2.2">𝑘</ci><ci id="S3.I4.ix2.p1.1.m1.3.3.cmml" xref="S3.I4.ix2.p1.1.m1.3.3">𝑙</ci></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I4.ix2.p1.1.m1.3c">j,k,l</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I4.ix2.p1.1.m1.3d">italic_j , italic_k , italic_l</annotation></semantics></math> and <math alttext="j^{\prime},k^{\prime},l^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I4.ix2.p1.2.m2.3"><semantics id="S3.I4.ix2.p1.2.m2.3a"><mrow id="S3.I4.ix2.p1.2.m2.3.3.3" xref="S3.I4.ix2.p1.2.m2.3.3.4.cmml"><msup id="S3.I4.ix2.p1.2.m2.1.1.1.1" xref="S3.I4.ix2.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.I4.ix2.p1.2.m2.1.1.1.1.2" xref="S3.I4.ix2.p1.2.m2.1.1.1.1.2.cmml">j</mi><mo id="S3.I4.ix2.p1.2.m2.1.1.1.1.3" xref="S3.I4.ix2.p1.2.m2.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.I4.ix2.p1.2.m2.3.3.3.4" xref="S3.I4.ix2.p1.2.m2.3.3.4.cmml">,</mo><msup id="S3.I4.ix2.p1.2.m2.2.2.2.2" xref="S3.I4.ix2.p1.2.m2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.I4.ix2.p1.2.m2.2.2.2.2.2" xref="S3.I4.ix2.p1.2.m2.2.2.2.2.2.cmml">k</mi><mo id="S3.I4.ix2.p1.2.m2.2.2.2.2.3" xref="S3.I4.ix2.p1.2.m2.2.2.2.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.I4.ix2.p1.2.m2.3.3.3.5" xref="S3.I4.ix2.p1.2.m2.3.3.4.cmml">,</mo><msup id="S3.I4.ix2.p1.2.m2.3.3.3.3" xref="S3.I4.ix2.p1.2.m2.3.3.3.3.cmml"><mi id="S3.I4.ix2.p1.2.m2.3.3.3.3.2" xref="S3.I4.ix2.p1.2.m2.3.3.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="S3.I4.ix2.p1.2.m2.3.3.3.3.3" xref="S3.I4.ix2.p1.2.m2.3.3.3.3.3.cmml">′</mo></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I4.ix2.p1.2.m2.3b"><list id="S3.I4.ix2.p1.2.m2.3.3.4.cmml" xref="S3.I4.ix2.p1.2.m2.3.3.3"><apply id="S3.I4.ix2.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I4.ix2.p1.2.m2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I4.ix2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I4.ix2.p1.2.m2.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.I4.ix2.p1.2.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I4.ix2.p1.2.m2.1.1.1.1.2">𝑗</ci><ci id="S3.I4.ix2.p1.2.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I4.ix2.p1.2.m2.1.1.1.1.3">′</ci></apply><apply id="S3.I4.ix2.p1.2.m2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.I4.ix2.p1.2.m2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I4.ix2.p1.2.m2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.I4.ix2.p1.2.m2.2.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S3.I4.ix2.p1.2.m2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.I4.ix2.p1.2.m2.2.2.2.2.2">𝑘</ci><ci id="S3.I4.ix2.p1.2.m2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.I4.ix2.p1.2.m2.2.2.2.2.3">′</ci></apply><apply id="S3.I4.ix2.p1.2.m2.3.3.3.3.cmml" xref="S3.I4.ix2.p1.2.m2.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I4.ix2.p1.2.m2.3.3.3.3.1.cmml" xref="S3.I4.ix2.p1.2.m2.3.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="S3.I4.ix2.p1.2.m2.3.3.3.3.2.cmml" xref="S3.I4.ix2.p1.2.m2.3.3.3.3.2">𝑙</ci><ci id="S3.I4.ix2.p1.2.m2.3.3.3.3.3.cmml" xref="S3.I4.ix2.p1.2.m2.3.3.3.3.3">′</ci></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I4.ix2.p1.2.m2.3c">j^{\prime},k^{\prime},l^{\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I4.ix2.p1.2.m2.3d">italic_j start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_k start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_l start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> we have the Haagerup condition (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#S3.E8" title="Equation 3.8 ‣ 3. MUB-triplets and Hadamard cubes ‣ Triplets of Mutually Unbiased Bases"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3.8</span></a>),</p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S3.I4.ix3" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">c)</span> <div class="ltx_para" id="S3.I4.ix3.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.I4.ix3.p1.4">for all 1-dimensional cross-sections of <math alttext="C" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I4.ix3.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.I4.ix3.p1.1.m1.1a"><mi id="S3.I4.ix3.p1.1.m1.1.1" xref="S3.I4.ix3.p1.1.m1.1.1.cmml">C</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I4.ix3.p1.1.m1.1b"><ci id="S3.I4.ix3.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.I4.ix3.p1.1.m1.1.1">𝐶</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I4.ix3.p1.1.m1.1c">C</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I4.ix3.p1.1.m1.1d">italic_C</annotation></semantics></math> sum to <math alttext="\sqrt{d}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I4.ix3.p1.2.m2.1"><semantics id="S3.I4.ix3.p1.2.m2.1a"><msqrt id="S3.I4.ix3.p1.2.m2.1.1" xref="S3.I4.ix3.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.I4.ix3.p1.2.m2.1.1.2" xref="S3.I4.ix3.p1.2.m2.1.1.2.cmml">d</mi></msqrt><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I4.ix3.p1.2.m2.1b"><apply id="S3.I4.ix3.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.I4.ix3.p1.2.m2.1.1"><root id="S3.I4.ix3.p1.2.m2.1.1a.cmml" xref="S3.I4.ix3.p1.2.m2.1.1"></root><ci id="S3.I4.ix3.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.I4.ix3.p1.2.m2.1.1.2">𝑑</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I4.ix3.p1.2.m2.1c">\sqrt{d}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I4.ix3.p1.2.m2.1d">square-root start_ARG italic_d end_ARG</annotation></semantics></math>, that is, <math alttext="\sum_{j=1}^{d}C_{j,k,l}=\sqrt{d}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I4.ix3.p1.3.m3.3"><semantics id="S3.I4.ix3.p1.3.m3.3a"><mrow id="S3.I4.ix3.p1.3.m3.3.4" xref="S3.I4.ix3.p1.3.m3.3.4.cmml"><mrow id="S3.I4.ix3.p1.3.m3.3.4.2" xref="S3.I4.ix3.p1.3.m3.3.4.2.cmml"><msubsup id="S3.I4.ix3.p1.3.m3.3.4.2.1" xref="S3.I4.ix3.p1.3.m3.3.4.2.1.cmml"><mo id="S3.I4.ix3.p1.3.m3.3.4.2.1.2.2" xref="S3.I4.ix3.p1.3.m3.3.4.2.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.I4.ix3.p1.3.m3.3.4.2.1.2.3" xref="S3.I4.ix3.p1.3.m3.3.4.2.1.2.3.cmml"><mi id="S3.I4.ix3.p1.3.m3.3.4.2.1.2.3.2" xref="S3.I4.ix3.p1.3.m3.3.4.2.1.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.I4.ix3.p1.3.m3.3.4.2.1.2.3.1" xref="S3.I4.ix3.p1.3.m3.3.4.2.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.I4.ix3.p1.3.m3.3.4.2.1.2.3.3" xref="S3.I4.ix3.p1.3.m3.3.4.2.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S3.I4.ix3.p1.3.m3.3.4.2.1.3" xref="S3.I4.ix3.p1.3.m3.3.4.2.1.3.cmml">d</mi></msubsup><msub id="S3.I4.ix3.p1.3.m3.3.4.2.2" xref="S3.I4.ix3.p1.3.m3.3.4.2.2.cmml"><mi id="S3.I4.ix3.p1.3.m3.3.4.2.2.2" xref="S3.I4.ix3.p1.3.m3.3.4.2.2.2.cmml">C</mi><mrow id="S3.I4.ix3.p1.3.m3.3.3.3.5" xref="S3.I4.ix3.p1.3.m3.3.3.3.4.cmml"><mi id="S3.I4.ix3.p1.3.m3.1.1.1.1" xref="S3.I4.ix3.p1.3.m3.1.1.1.1.cmml">j</mi><mo id="S3.I4.ix3.p1.3.m3.3.3.3.5.1" xref="S3.I4.ix3.p1.3.m3.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.I4.ix3.p1.3.m3.2.2.2.2" xref="S3.I4.ix3.p1.3.m3.2.2.2.2.cmml">k</mi><mo id="S3.I4.ix3.p1.3.m3.3.3.3.5.2" xref="S3.I4.ix3.p1.3.m3.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.I4.ix3.p1.3.m3.3.3.3.3" xref="S3.I4.ix3.p1.3.m3.3.3.3.3.cmml">l</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S3.I4.ix3.p1.3.m3.3.4.1" xref="S3.I4.ix3.p1.3.m3.3.4.1.cmml">=</mo><msqrt id="S3.I4.ix3.p1.3.m3.3.4.3" xref="S3.I4.ix3.p1.3.m3.3.4.3.cmml"><mi id="S3.I4.ix3.p1.3.m3.3.4.3.2" xref="S3.I4.ix3.p1.3.m3.3.4.3.2.cmml">d</mi></msqrt></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I4.ix3.p1.3.m3.3b"><apply id="S3.I4.ix3.p1.3.m3.3.4.cmml" xref="S3.I4.ix3.p1.3.m3.3.4"><eq id="S3.I4.ix3.p1.3.m3.3.4.1.cmml" xref="S3.I4.ix3.p1.3.m3.3.4.1"></eq><apply id="S3.I4.ix3.p1.3.m3.3.4.2.cmml" xref="S3.I4.ix3.p1.3.m3.3.4.2"><apply id="S3.I4.ix3.p1.3.m3.3.4.2.1.cmml" xref="S3.I4.ix3.p1.3.m3.3.4.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I4.ix3.p1.3.m3.3.4.2.1.1.cmml" xref="S3.I4.ix3.p1.3.m3.3.4.2.1">superscript</csymbol><apply id="S3.I4.ix3.p1.3.m3.3.4.2.1.2.cmml" xref="S3.I4.ix3.p1.3.m3.3.4.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I4.ix3.p1.3.m3.3.4.2.1.2.1.cmml" xref="S3.I4.ix3.p1.3.m3.3.4.2.1">subscript</csymbol><sum id="S3.I4.ix3.p1.3.m3.3.4.2.1.2.2.cmml" xref="S3.I4.ix3.p1.3.m3.3.4.2.1.2.2"></sum><apply id="S3.I4.ix3.p1.3.m3.3.4.2.1.2.3.cmml" xref="S3.I4.ix3.p1.3.m3.3.4.2.1.2.3"><eq id="S3.I4.ix3.p1.3.m3.3.4.2.1.2.3.1.cmml" xref="S3.I4.ix3.p1.3.m3.3.4.2.1.2.3.1"></eq><ci id="S3.I4.ix3.p1.3.m3.3.4.2.1.2.3.2.cmml" xref="S3.I4.ix3.p1.3.m3.3.4.2.1.2.3.2">𝑗</ci><cn id="S3.I4.ix3.p1.3.m3.3.4.2.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.I4.ix3.p1.3.m3.3.4.2.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S3.I4.ix3.p1.3.m3.3.4.2.1.3.cmml" xref="S3.I4.ix3.p1.3.m3.3.4.2.1.3">𝑑</ci></apply><apply id="S3.I4.ix3.p1.3.m3.3.4.2.2.cmml" xref="S3.I4.ix3.p1.3.m3.3.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I4.ix3.p1.3.m3.3.4.2.2.1.cmml" xref="S3.I4.ix3.p1.3.m3.3.4.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.I4.ix3.p1.3.m3.3.4.2.2.2.cmml" xref="S3.I4.ix3.p1.3.m3.3.4.2.2.2">𝐶</ci><list id="S3.I4.ix3.p1.3.m3.3.3.3.4.cmml" xref="S3.I4.ix3.p1.3.m3.3.3.3.5"><ci id="S3.I4.ix3.p1.3.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I4.ix3.p1.3.m3.1.1.1.1">𝑗</ci><ci id="S3.I4.ix3.p1.3.m3.2.2.2.2.cmml" xref="S3.I4.ix3.p1.3.m3.2.2.2.2">𝑘</ci><ci id="S3.I4.ix3.p1.3.m3.3.3.3.3.cmml" xref="S3.I4.ix3.p1.3.m3.3.3.3.3">𝑙</ci></list></apply></apply><apply id="S3.I4.ix3.p1.3.m3.3.4.3.cmml" xref="S3.I4.ix3.p1.3.m3.3.4.3"><root id="S3.I4.ix3.p1.3.m3.3.4.3a.cmml" xref="S3.I4.ix3.p1.3.m3.3.4.3"></root><ci id="S3.I4.ix3.p1.3.m3.3.4.3.2.cmml" xref="S3.I4.ix3.p1.3.m3.3.4.3.2">𝑑</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I4.ix3.p1.3.m3.3c">\sum_{j=1}^{d}C_{j,k,l}=\sqrt{d}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I4.ix3.p1.3.m3.3d">∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k , italic_l end_POSTSUBSCRIPT = square-root start_ARG italic_d end_ARG</annotation></semantics></math> for any fixed <math alttext="k,l\in[d]" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I4.ix3.p1.4.m4.3"><semantics id="S3.I4.ix3.p1.4.m4.3a"><mrow id="S3.I4.ix3.p1.4.m4.3.4" xref="S3.I4.ix3.p1.4.m4.3.4.cmml"><mrow id="S3.I4.ix3.p1.4.m4.3.4.2.2" xref="S3.I4.ix3.p1.4.m4.3.4.2.1.cmml"><mi id="S3.I4.ix3.p1.4.m4.2.2" xref="S3.I4.ix3.p1.4.m4.2.2.cmml">k</mi><mo id="S3.I4.ix3.p1.4.m4.3.4.2.2.1" xref="S3.I4.ix3.p1.4.m4.3.4.2.1.cmml">,</mo><mi id="S3.I4.ix3.p1.4.m4.3.3" xref="S3.I4.ix3.p1.4.m4.3.3.cmml">l</mi></mrow><mo id="S3.I4.ix3.p1.4.m4.3.4.1" xref="S3.I4.ix3.p1.4.m4.3.4.1.cmml">∈</mo><mrow id="S3.I4.ix3.p1.4.m4.3.4.3.2" xref="S3.I4.ix3.p1.4.m4.3.4.3.1.cmml"><mo id="S3.I4.ix3.p1.4.m4.3.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.I4.ix3.p1.4.m4.3.4.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S3.I4.ix3.p1.4.m4.1.1" xref="S3.I4.ix3.p1.4.m4.1.1.cmml">d</mi><mo id="S3.I4.ix3.p1.4.m4.3.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.I4.ix3.p1.4.m4.3.4.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I4.ix3.p1.4.m4.3b"><apply id="S3.I4.ix3.p1.4.m4.3.4.cmml" xref="S3.I4.ix3.p1.4.m4.3.4"><in id="S3.I4.ix3.p1.4.m4.3.4.1.cmml" xref="S3.I4.ix3.p1.4.m4.3.4.1"></in><list id="S3.I4.ix3.p1.4.m4.3.4.2.1.cmml" xref="S3.I4.ix3.p1.4.m4.3.4.2.2"><ci id="S3.I4.ix3.p1.4.m4.2.2.cmml" xref="S3.I4.ix3.p1.4.m4.2.2">𝑘</ci><ci id="S3.I4.ix3.p1.4.m4.3.3.cmml" xref="S3.I4.ix3.p1.4.m4.3.3">𝑙</ci></list><apply id="S3.I4.ix3.p1.4.m4.3.4.3.1.cmml" xref="S3.I4.ix3.p1.4.m4.3.4.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.I4.ix3.p1.4.m4.3.4.3.1.1.cmml" xref="S3.I4.ix3.p1.4.m4.3.4.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S3.I4.ix3.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.I4.ix3.p1.4.m4.1.1">𝑑</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I4.ix3.p1.4.m4.3c">k,l\in[d]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I4.ix3.p1.4.m4.3d">italic_k , italic_l ∈ [ italic_d ]</annotation></semantics></math>, and similarly for piercings of the other two directions.</p> </div> </li> </ul> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S3.p13"> <p class="ltx_p" id="S3.p13.1">We hope to use these polynomial equations to deduce non-trivial conclusions about Hadamard cubes.</p> </div> </section> <section class="ltx_section" id="S4"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">4. </span>Hadamard cubes in dimension 6</h2> <div class="ltx_para" id="S4.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.p1.1">In this section we turn to the special case <math alttext="d=6" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p1.1.m1.1"><semantics id="S4.p1.1.m1.1a"><mrow id="S4.p1.1.m1.1.1" xref="S4.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.p1.1.m1.1.1.2" xref="S4.p1.1.m1.1.1.2.cmml">d</mi><mo id="S4.p1.1.m1.1.1.1" xref="S4.p1.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.p1.1.m1.1.1.3" xref="S4.p1.1.m1.1.1.3.cmml">6</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p1.1.m1.1b"><apply id="S4.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.p1.1.m1.1.1"><eq id="S4.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.p1.1.m1.1.1.1"></eq><ci id="S4.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.p1.1.m1.1.1.2">𝑑</ci><cn id="S4.p1.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.p1.1.m1.1.1.3">6</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p1.1.m1.1c">d=6</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p1.1.m1.1d">italic_d = 6</annotation></semantics></math>, the lowest dimension where the maximal number of MUBs is not known.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.p2"> <p class="ltx_p" id="S4.p2.1">Fairly strong numerical evidence suggests that the maximal number of MUBs in dimension 6 is three. Instead of trying to prove the non-existence of a quadruple of MUBs, it is natural to try to characterize all triplets of MUB. If we succeed in doing so, the non-existence result for quadruples may follow automatically as a consequence of previous results in the literature. Following this strategy, we will formulate some conjectures about <math alttext="6\times 6\times 6" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p2.1.m1.1"><semantics id="S4.p2.1.m1.1a"><mrow id="S4.p2.1.m1.1.1" xref="S4.p2.1.m1.1.1.cmml"><mn id="S4.p2.1.m1.1.1.2" xref="S4.p2.1.m1.1.1.2.cmml">6</mn><mo id="S4.p2.1.m1.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.p2.1.m1.1.1.1.cmml">×</mo><mn id="S4.p2.1.m1.1.1.3" xref="S4.p2.1.m1.1.1.3.cmml">6</mn><mo id="S4.p2.1.m1.1.1.1a" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.p2.1.m1.1.1.1.cmml">×</mo><mn id="S4.p2.1.m1.1.1.4" xref="S4.p2.1.m1.1.1.4.cmml">6</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p2.1.m1.1b"><apply id="S4.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.p2.1.m1.1.1"><times id="S4.p2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.p2.1.m1.1.1.1"></times><cn id="S4.p2.1.m1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.p2.1.m1.1.1.2">6</cn><cn id="S4.p2.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.p2.1.m1.1.1.3">6</cn><cn id="S4.p2.1.m1.1.1.4.cmml" type="integer" xref="S4.p2.1.m1.1.1.4">6</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p2.1.m1.1c">6\times 6\times 6</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p2.1.m1.1d">6 × 6 × 6</annotation></semantics></math> Hadamard cubes based on numerical evidence, and outline how these conjectures could lead to the proof of Zauner’s conjecture that the maximal number of MUBs in dimension 6 is three.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.p3"> <p class="ltx_p" id="S4.p3.1">We begin by recalling a few facts about complex Hadamard matrices in dimension 6. While a complete characterization is still missing, it is believed that complex Hadamard matrices in dimension 6 form a connected 4-parameter manifold, and a single isolated point outside this manifold <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#bib.bib26" title="">26</a>]</cite>. An online catalogue of complex Hadamard matrices is maintained at <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#bib.bib33" title="">33</a>]</cite>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.p4"> <p class="ltx_p" id="S4.p4.1">Let us recall some notable 2-parameter families of complex Hadamard matrices here.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.p5"> <p class="ltx_p" id="S4.p5.3">The <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.p5.3.1">Fourier family</span> of complex Hadamard matrices of order 6 is the two-parameter family</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E1"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(4.1)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="F(x,y)=\left[\begin{array}[]{cccccc}1&1&1&1&1&1\\ 1&\omega^{2}&\omega&x&\omega^{2}x&\omega x\\ 1&\omega&\omega^{2}&y&\omega y&\omega^{2}y\\ 1&1&1&-1&-1&-1\\ 1&\omega^{2}&\omega&-x&-\omega^{2}x&-\omega x\\ 1&\omega&\omega^{2}&-y&-\omega y&-\omega^{2}y\end{array}\right]" class="ltx_Math" display="block" id="S4.E1.m1.3"><semantics id="S4.E1.m1.3a"><mrow id="S4.E1.m1.3.4" xref="S4.E1.m1.3.4.cmml"><mrow id="S4.E1.m1.3.4.2" xref="S4.E1.m1.3.4.2.cmml"><mi id="S4.E1.m1.3.4.2.2" xref="S4.E1.m1.3.4.2.2.cmml">F</mi><mo id="S4.E1.m1.3.4.2.1" xref="S4.E1.m1.3.4.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E1.m1.3.4.2.3.2" xref="S4.E1.m1.3.4.2.3.1.cmml"><mo id="S4.E1.m1.3.4.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.E1.m1.3.4.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S4.E1.m1.1.1" xref="S4.E1.m1.1.1.cmml">x</mi><mo id="S4.E1.m1.3.4.2.3.2.2" xref="S4.E1.m1.3.4.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.E1.m1.2.2" xref="S4.E1.m1.2.2.cmml">y</mi><mo id="S4.E1.m1.3.4.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.E1.m1.3.4.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E1.m1.3.4.1" xref="S4.E1.m1.3.4.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.E1.m1.3.4.3.2" xref="S4.E1.m1.3.4.3.1.cmml"><mo id="S4.E1.m1.3.4.3.2.1" xref="S4.E1.m1.3.4.3.1.1.cmml">[</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="S4.E1.m1.3.3" rowspacing="0pt" xref="S4.E1.m1.3.3.cmml"><mtr id="S4.E1.m1.3.3a" xref="S4.E1.m1.3.3.cmml"><mtd id="S4.E1.m1.3.3b" xref="S4.E1.m1.3.3.cmml"><mn id="S4.E1.m1.3.3.1.1.1" xref="S4.E1.m1.3.3.1.1.1.cmml">1</mn></mtd><mtd id="S4.E1.m1.3.3c" xref="S4.E1.m1.3.3.cmml"><mn id="S4.E1.m1.3.3.1.2.1" xref="S4.E1.m1.3.3.1.2.1.cmml">1</mn></mtd><mtd id="S4.E1.m1.3.3d" xref="S4.E1.m1.3.3.cmml"><mn id="S4.E1.m1.3.3.1.3.1" xref="S4.E1.m1.3.3.1.3.1.cmml">1</mn></mtd><mtd id="S4.E1.m1.3.3e" xref="S4.E1.m1.3.3.cmml"><mn id="S4.E1.m1.3.3.1.4.1" xref="S4.E1.m1.3.3.1.4.1.cmml">1</mn></mtd><mtd id="S4.E1.m1.3.3f" xref="S4.E1.m1.3.3.cmml"><mn id="S4.E1.m1.3.3.1.5.1" xref="S4.E1.m1.3.3.1.5.1.cmml">1</mn></mtd><mtd id="S4.E1.m1.3.3g" xref="S4.E1.m1.3.3.cmml"><mn id="S4.E1.m1.3.3.1.6.1" xref="S4.E1.m1.3.3.1.6.1.cmml">1</mn></mtd></mtr><mtr id="S4.E1.m1.3.3h" xref="S4.E1.m1.3.3.cmml"><mtd id="S4.E1.m1.3.3i" xref="S4.E1.m1.3.3.cmml"><mn id="S4.E1.m1.3.3.2.1.1" xref="S4.E1.m1.3.3.2.1.1.cmml">1</mn></mtd><mtd id="S4.E1.m1.3.3j" xref="S4.E1.m1.3.3.cmml"><msup id="S4.E1.m1.3.3.2.2.1" xref="S4.E1.m1.3.3.2.2.1.cmml"><mi id="S4.E1.m1.3.3.2.2.1.2" xref="S4.E1.m1.3.3.2.2.1.2.cmml">ω</mi><mn id="S4.E1.m1.3.3.2.2.1.3" xref="S4.E1.m1.3.3.2.2.1.3.cmml">2</mn></msup></mtd><mtd id="S4.E1.m1.3.3k" xref="S4.E1.m1.3.3.cmml"><mi id="S4.E1.m1.3.3.2.3.1" xref="S4.E1.m1.3.3.2.3.1.cmml">ω</mi></mtd><mtd id="S4.E1.m1.3.3l" xref="S4.E1.m1.3.3.cmml"><mi id="S4.E1.m1.3.3.2.4.1" xref="S4.E1.m1.3.3.2.4.1.cmml">x</mi></mtd><mtd id="S4.E1.m1.3.3m" xref="S4.E1.m1.3.3.cmml"><mrow id="S4.E1.m1.3.3.2.5.1" xref="S4.E1.m1.3.3.2.5.1.cmml"><msup id="S4.E1.m1.3.3.2.5.1.2" xref="S4.E1.m1.3.3.2.5.1.2.cmml"><mi id="S4.E1.m1.3.3.2.5.1.2.2" xref="S4.E1.m1.3.3.2.5.1.2.2.cmml">ω</mi><mn id="S4.E1.m1.3.3.2.5.1.2.3" xref="S4.E1.m1.3.3.2.5.1.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S4.E1.m1.3.3.2.5.1.1" xref="S4.E1.m1.3.3.2.5.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E1.m1.3.3.2.5.1.3" xref="S4.E1.m1.3.3.2.5.1.3.cmml">x</mi></mrow></mtd><mtd id="S4.E1.m1.3.3n" xref="S4.E1.m1.3.3.cmml"><mrow id="S4.E1.m1.3.3.2.6.1" xref="S4.E1.m1.3.3.2.6.1.cmml"><mi id="S4.E1.m1.3.3.2.6.1.2" xref="S4.E1.m1.3.3.2.6.1.2.cmml">ω</mi><mo id="S4.E1.m1.3.3.2.6.1.1" xref="S4.E1.m1.3.3.2.6.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E1.m1.3.3.2.6.1.3" xref="S4.E1.m1.3.3.2.6.1.3.cmml">x</mi></mrow></mtd></mtr><mtr id="S4.E1.m1.3.3o" xref="S4.E1.m1.3.3.cmml"><mtd id="S4.E1.m1.3.3p" xref="S4.E1.m1.3.3.cmml"><mn id="S4.E1.m1.3.3.3.1.1" xref="S4.E1.m1.3.3.3.1.1.cmml">1</mn></mtd><mtd id="S4.E1.m1.3.3q" xref="S4.E1.m1.3.3.cmml"><mi id="S4.E1.m1.3.3.3.2.1" xref="S4.E1.m1.3.3.3.2.1.cmml">ω</mi></mtd><mtd id="S4.E1.m1.3.3r" xref="S4.E1.m1.3.3.cmml"><msup id="S4.E1.m1.3.3.3.3.1" xref="S4.E1.m1.3.3.3.3.1.cmml"><mi id="S4.E1.m1.3.3.3.3.1.2" xref="S4.E1.m1.3.3.3.3.1.2.cmml">ω</mi><mn id="S4.E1.m1.3.3.3.3.1.3" xref="S4.E1.m1.3.3.3.3.1.3.cmml">2</mn></msup></mtd><mtd id="S4.E1.m1.3.3s" xref="S4.E1.m1.3.3.cmml"><mi id="S4.E1.m1.3.3.3.4.1" xref="S4.E1.m1.3.3.3.4.1.cmml">y</mi></mtd><mtd id="S4.E1.m1.3.3t" xref="S4.E1.m1.3.3.cmml"><mrow id="S4.E1.m1.3.3.3.5.1" xref="S4.E1.m1.3.3.3.5.1.cmml"><mi id="S4.E1.m1.3.3.3.5.1.2" xref="S4.E1.m1.3.3.3.5.1.2.cmml">ω</mi><mo id="S4.E1.m1.3.3.3.5.1.1" xref="S4.E1.m1.3.3.3.5.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E1.m1.3.3.3.5.1.3" xref="S4.E1.m1.3.3.3.5.1.3.cmml">y</mi></mrow></mtd><mtd id="S4.E1.m1.3.3u" xref="S4.E1.m1.3.3.cmml"><mrow id="S4.E1.m1.3.3.3.6.1" xref="S4.E1.m1.3.3.3.6.1.cmml"><msup id="S4.E1.m1.3.3.3.6.1.2" xref="S4.E1.m1.3.3.3.6.1.2.cmml"><mi id="S4.E1.m1.3.3.3.6.1.2.2" xref="S4.E1.m1.3.3.3.6.1.2.2.cmml">ω</mi><mn id="S4.E1.m1.3.3.3.6.1.2.3" xref="S4.E1.m1.3.3.3.6.1.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S4.E1.m1.3.3.3.6.1.1" xref="S4.E1.m1.3.3.3.6.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E1.m1.3.3.3.6.1.3" xref="S4.E1.m1.3.3.3.6.1.3.cmml">y</mi></mrow></mtd></mtr><mtr id="S4.E1.m1.3.3v" xref="S4.E1.m1.3.3.cmml"><mtd id="S4.E1.m1.3.3w" xref="S4.E1.m1.3.3.cmml"><mn id="S4.E1.m1.3.3.4.1.1" xref="S4.E1.m1.3.3.4.1.1.cmml">1</mn></mtd><mtd id="S4.E1.m1.3.3x" xref="S4.E1.m1.3.3.cmml"><mn id="S4.E1.m1.3.3.4.2.1" xref="S4.E1.m1.3.3.4.2.1.cmml">1</mn></mtd><mtd id="S4.E1.m1.3.3y" xref="S4.E1.m1.3.3.cmml"><mn id="S4.E1.m1.3.3.4.3.1" xref="S4.E1.m1.3.3.4.3.1.cmml">1</mn></mtd><mtd id="S4.E1.m1.3.3z" xref="S4.E1.m1.3.3.cmml"><mrow id="S4.E1.m1.3.3.4.4.1" xref="S4.E1.m1.3.3.4.4.1.cmml"><mo id="S4.E1.m1.3.3.4.4.1a" xref="S4.E1.m1.3.3.4.4.1.cmml">−</mo><mn id="S4.E1.m1.3.3.4.4.1.2" xref="S4.E1.m1.3.3.4.4.1.2.cmml">1</mn></mrow></mtd><mtd id="S4.E1.m1.3.3aa" xref="S4.E1.m1.3.3.cmml"><mrow id="S4.E1.m1.3.3.4.5.1" xref="S4.E1.m1.3.3.4.5.1.cmml"><mo id="S4.E1.m1.3.3.4.5.1a" xref="S4.E1.m1.3.3.4.5.1.cmml">−</mo><mn id="S4.E1.m1.3.3.4.5.1.2" xref="S4.E1.m1.3.3.4.5.1.2.cmml">1</mn></mrow></mtd><mtd id="S4.E1.m1.3.3ab" xref="S4.E1.m1.3.3.cmml"><mrow id="S4.E1.m1.3.3.4.6.1" xref="S4.E1.m1.3.3.4.6.1.cmml"><mo id="S4.E1.m1.3.3.4.6.1a" xref="S4.E1.m1.3.3.4.6.1.cmml">−</mo><mn id="S4.E1.m1.3.3.4.6.1.2" xref="S4.E1.m1.3.3.4.6.1.2.cmml">1</mn></mrow></mtd></mtr><mtr id="S4.E1.m1.3.3ac" xref="S4.E1.m1.3.3.cmml"><mtd id="S4.E1.m1.3.3ad" xref="S4.E1.m1.3.3.cmml"><mn id="S4.E1.m1.3.3.5.1.1" xref="S4.E1.m1.3.3.5.1.1.cmml">1</mn></mtd><mtd id="S4.E1.m1.3.3ae" xref="S4.E1.m1.3.3.cmml"><msup id="S4.E1.m1.3.3.5.2.1" xref="S4.E1.m1.3.3.5.2.1.cmml"><mi id="S4.E1.m1.3.3.5.2.1.2" xref="S4.E1.m1.3.3.5.2.1.2.cmml">ω</mi><mn id="S4.E1.m1.3.3.5.2.1.3" xref="S4.E1.m1.3.3.5.2.1.3.cmml">2</mn></msup></mtd><mtd id="S4.E1.m1.3.3af" xref="S4.E1.m1.3.3.cmml"><mi id="S4.E1.m1.3.3.5.3.1" xref="S4.E1.m1.3.3.5.3.1.cmml">ω</mi></mtd><mtd id="S4.E1.m1.3.3ag" xref="S4.E1.m1.3.3.cmml"><mrow id="S4.E1.m1.3.3.5.4.1" xref="S4.E1.m1.3.3.5.4.1.cmml"><mo id="S4.E1.m1.3.3.5.4.1a" xref="S4.E1.m1.3.3.5.4.1.cmml">−</mo><mi id="S4.E1.m1.3.3.5.4.1.2" xref="S4.E1.m1.3.3.5.4.1.2.cmml">x</mi></mrow></mtd><mtd id="S4.E1.m1.3.3ah" xref="S4.E1.m1.3.3.cmml"><mrow id="S4.E1.m1.3.3.5.5.1" xref="S4.E1.m1.3.3.5.5.1.cmml"><mo id="S4.E1.m1.3.3.5.5.1a" xref="S4.E1.m1.3.3.5.5.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.E1.m1.3.3.5.5.1.2" xref="S4.E1.m1.3.3.5.5.1.2.cmml"><msup id="S4.E1.m1.3.3.5.5.1.2.2" xref="S4.E1.m1.3.3.5.5.1.2.2.cmml"><mi id="S4.E1.m1.3.3.5.5.1.2.2.2" xref="S4.E1.m1.3.3.5.5.1.2.2.2.cmml">ω</mi><mn id="S4.E1.m1.3.3.5.5.1.2.2.3" xref="S4.E1.m1.3.3.5.5.1.2.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S4.E1.m1.3.3.5.5.1.2.1" xref="S4.E1.m1.3.3.5.5.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E1.m1.3.3.5.5.1.2.3" xref="S4.E1.m1.3.3.5.5.1.2.3.cmml">x</mi></mrow></mrow></mtd><mtd id="S4.E1.m1.3.3ai" xref="S4.E1.m1.3.3.cmml"><mrow id="S4.E1.m1.3.3.5.6.1" xref="S4.E1.m1.3.3.5.6.1.cmml"><mo id="S4.E1.m1.3.3.5.6.1a" xref="S4.E1.m1.3.3.5.6.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.E1.m1.3.3.5.6.1.2" xref="S4.E1.m1.3.3.5.6.1.2.cmml"><mi id="S4.E1.m1.3.3.5.6.1.2.2" xref="S4.E1.m1.3.3.5.6.1.2.2.cmml">ω</mi><mo id="S4.E1.m1.3.3.5.6.1.2.1" xref="S4.E1.m1.3.3.5.6.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E1.m1.3.3.5.6.1.2.3" xref="S4.E1.m1.3.3.5.6.1.2.3.cmml">x</mi></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="S4.E1.m1.3.3aj" xref="S4.E1.m1.3.3.cmml"><mtd id="S4.E1.m1.3.3ak" xref="S4.E1.m1.3.3.cmml"><mn id="S4.E1.m1.3.3.6.1.1" xref="S4.E1.m1.3.3.6.1.1.cmml">1</mn></mtd><mtd id="S4.E1.m1.3.3al" xref="S4.E1.m1.3.3.cmml"><mi id="S4.E1.m1.3.3.6.2.1" xref="S4.E1.m1.3.3.6.2.1.cmml">ω</mi></mtd><mtd id="S4.E1.m1.3.3am" xref="S4.E1.m1.3.3.cmml"><msup id="S4.E1.m1.3.3.6.3.1" xref="S4.E1.m1.3.3.6.3.1.cmml"><mi id="S4.E1.m1.3.3.6.3.1.2" xref="S4.E1.m1.3.3.6.3.1.2.cmml">ω</mi><mn id="S4.E1.m1.3.3.6.3.1.3" xref="S4.E1.m1.3.3.6.3.1.3.cmml">2</mn></msup></mtd><mtd id="S4.E1.m1.3.3an" xref="S4.E1.m1.3.3.cmml"><mrow id="S4.E1.m1.3.3.6.4.1" xref="S4.E1.m1.3.3.6.4.1.cmml"><mo id="S4.E1.m1.3.3.6.4.1a" xref="S4.E1.m1.3.3.6.4.1.cmml">−</mo><mi id="S4.E1.m1.3.3.6.4.1.2" xref="S4.E1.m1.3.3.6.4.1.2.cmml">y</mi></mrow></mtd><mtd id="S4.E1.m1.3.3ao" xref="S4.E1.m1.3.3.cmml"><mrow id="S4.E1.m1.3.3.6.5.1" xref="S4.E1.m1.3.3.6.5.1.cmml"><mo id="S4.E1.m1.3.3.6.5.1a" xref="S4.E1.m1.3.3.6.5.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.E1.m1.3.3.6.5.1.2" xref="S4.E1.m1.3.3.6.5.1.2.cmml"><mi id="S4.E1.m1.3.3.6.5.1.2.2" xref="S4.E1.m1.3.3.6.5.1.2.2.cmml">ω</mi><mo id="S4.E1.m1.3.3.6.5.1.2.1" xref="S4.E1.m1.3.3.6.5.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E1.m1.3.3.6.5.1.2.3" xref="S4.E1.m1.3.3.6.5.1.2.3.cmml">y</mi></mrow></mrow></mtd><mtd id="S4.E1.m1.3.3ap" xref="S4.E1.m1.3.3.cmml"><mrow id="S4.E1.m1.3.3.6.6.1" xref="S4.E1.m1.3.3.6.6.1.cmml"><mo id="S4.E1.m1.3.3.6.6.1a" xref="S4.E1.m1.3.3.6.6.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.E1.m1.3.3.6.6.1.2" xref="S4.E1.m1.3.3.6.6.1.2.cmml"><msup id="S4.E1.m1.3.3.6.6.1.2.2" xref="S4.E1.m1.3.3.6.6.1.2.2.cmml"><mi id="S4.E1.m1.3.3.6.6.1.2.2.2" xref="S4.E1.m1.3.3.6.6.1.2.2.2.cmml">ω</mi><mn id="S4.E1.m1.3.3.6.6.1.2.2.3" xref="S4.E1.m1.3.3.6.6.1.2.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S4.E1.m1.3.3.6.6.1.2.1" xref="S4.E1.m1.3.3.6.6.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E1.m1.3.3.6.6.1.2.3" xref="S4.E1.m1.3.3.6.6.1.2.3.cmml">y</mi></mrow></mrow></mtd></mtr></mtable><mo id="S4.E1.m1.3.4.3.2.2" xref="S4.E1.m1.3.4.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E1.m1.3b"><apply id="S4.E1.m1.3.4.cmml" xref="S4.E1.m1.3.4"><eq id="S4.E1.m1.3.4.1.cmml" xref="S4.E1.m1.3.4.1"></eq><apply id="S4.E1.m1.3.4.2.cmml" xref="S4.E1.m1.3.4.2"><times id="S4.E1.m1.3.4.2.1.cmml" xref="S4.E1.m1.3.4.2.1"></times><ci id="S4.E1.m1.3.4.2.2.cmml" xref="S4.E1.m1.3.4.2.2">𝐹</ci><interval closure="open" id="S4.E1.m1.3.4.2.3.1.cmml" xref="S4.E1.m1.3.4.2.3.2"><ci id="S4.E1.m1.1.1.cmml" xref="S4.E1.m1.1.1">𝑥</ci><ci id="S4.E1.m1.2.2.cmml" xref="S4.E1.m1.2.2">𝑦</ci></interval></apply><apply id="S4.E1.m1.3.4.3.1.cmml" xref="S4.E1.m1.3.4.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.E1.m1.3.4.3.1.1.cmml" xref="S4.E1.m1.3.4.3.2.1">delimited-[]</csymbol><matrix id="S4.E1.m1.3.3.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3"><matrixrow id="S4.E1.m1.3.3a.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3"><cn id="S4.E1.m1.3.3.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.E1.m1.3.3.1.1.1">1</cn><cn id="S4.E1.m1.3.3.1.2.1.cmml" type="integer" xref="S4.E1.m1.3.3.1.2.1">1</cn><cn id="S4.E1.m1.3.3.1.3.1.cmml" type="integer" xref="S4.E1.m1.3.3.1.3.1">1</cn><cn id="S4.E1.m1.3.3.1.4.1.cmml" type="integer" xref="S4.E1.m1.3.3.1.4.1">1</cn><cn id="S4.E1.m1.3.3.1.5.1.cmml" type="integer" xref="S4.E1.m1.3.3.1.5.1">1</cn><cn id="S4.E1.m1.3.3.1.6.1.cmml" type="integer" xref="S4.E1.m1.3.3.1.6.1">1</cn></matrixrow><matrixrow id="S4.E1.m1.3.3b.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3"><cn id="S4.E1.m1.3.3.2.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.E1.m1.3.3.2.1.1">1</cn><apply id="S4.E1.m1.3.3.2.2.1.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E1.m1.3.3.2.2.1.1.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3.2.2.1">superscript</csymbol><ci id="S4.E1.m1.3.3.2.2.1.2.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3.2.2.1.2">𝜔</ci><cn id="S4.E1.m1.3.3.2.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E1.m1.3.3.2.2.1.3">2</cn></apply><ci id="S4.E1.m1.3.3.2.3.1.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3.2.3.1">𝜔</ci><ci id="S4.E1.m1.3.3.2.4.1.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3.2.4.1">𝑥</ci><apply id="S4.E1.m1.3.3.2.5.1.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3.2.5.1"><times id="S4.E1.m1.3.3.2.5.1.1.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3.2.5.1.1"></times><apply id="S4.E1.m1.3.3.2.5.1.2.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3.2.5.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E1.m1.3.3.2.5.1.2.1.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3.2.5.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.E1.m1.3.3.2.5.1.2.2.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3.2.5.1.2.2">𝜔</ci><cn id="S4.E1.m1.3.3.2.5.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.E1.m1.3.3.2.5.1.2.3">2</cn></apply><ci id="S4.E1.m1.3.3.2.5.1.3.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3.2.5.1.3">𝑥</ci></apply><apply id="S4.E1.m1.3.3.2.6.1.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3.2.6.1"><times id="S4.E1.m1.3.3.2.6.1.1.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3.2.6.1.1"></times><ci id="S4.E1.m1.3.3.2.6.1.2.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3.2.6.1.2">𝜔</ci><ci id="S4.E1.m1.3.3.2.6.1.3.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3.2.6.1.3">𝑥</ci></apply></matrixrow><matrixrow id="S4.E1.m1.3.3c.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3"><cn id="S4.E1.m1.3.3.3.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.E1.m1.3.3.3.1.1">1</cn><ci id="S4.E1.m1.3.3.3.2.1.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3.3.2.1">𝜔</ci><apply id="S4.E1.m1.3.3.3.3.1.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E1.m1.3.3.3.3.1.1.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3.3.3.1">superscript</csymbol><ci id="S4.E1.m1.3.3.3.3.1.2.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3.3.3.1.2">𝜔</ci><cn id="S4.E1.m1.3.3.3.3.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E1.m1.3.3.3.3.1.3">2</cn></apply><ci id="S4.E1.m1.3.3.3.4.1.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3.3.4.1">𝑦</ci><apply id="S4.E1.m1.3.3.3.5.1.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3.3.5.1"><times id="S4.E1.m1.3.3.3.5.1.1.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3.3.5.1.1"></times><ci id="S4.E1.m1.3.3.3.5.1.2.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3.3.5.1.2">𝜔</ci><ci id="S4.E1.m1.3.3.3.5.1.3.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3.3.5.1.3">𝑦</ci></apply><apply id="S4.E1.m1.3.3.3.6.1.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3.3.6.1"><times id="S4.E1.m1.3.3.3.6.1.1.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3.3.6.1.1"></times><apply id="S4.E1.m1.3.3.3.6.1.2.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3.3.6.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E1.m1.3.3.3.6.1.2.1.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3.3.6.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.E1.m1.3.3.3.6.1.2.2.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3.3.6.1.2.2">𝜔</ci><cn id="S4.E1.m1.3.3.3.6.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.E1.m1.3.3.3.6.1.2.3">2</cn></apply><ci id="S4.E1.m1.3.3.3.6.1.3.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3.3.6.1.3">𝑦</ci></apply></matrixrow><matrixrow id="S4.E1.m1.3.3d.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3"><cn id="S4.E1.m1.3.3.4.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.E1.m1.3.3.4.1.1">1</cn><cn id="S4.E1.m1.3.3.4.2.1.cmml" type="integer" xref="S4.E1.m1.3.3.4.2.1">1</cn><cn id="S4.E1.m1.3.3.4.3.1.cmml" type="integer" xref="S4.E1.m1.3.3.4.3.1">1</cn><apply id="S4.E1.m1.3.3.4.4.1.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3.4.4.1"><minus id="S4.E1.m1.3.3.4.4.1.1.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3.4.4.1"></minus><cn id="S4.E1.m1.3.3.4.4.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.E1.m1.3.3.4.4.1.2">1</cn></apply><apply id="S4.E1.m1.3.3.4.5.1.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3.4.5.1"><minus id="S4.E1.m1.3.3.4.5.1.1.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3.4.5.1"></minus><cn id="S4.E1.m1.3.3.4.5.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.E1.m1.3.3.4.5.1.2">1</cn></apply><apply id="S4.E1.m1.3.3.4.6.1.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3.4.6.1"><minus id="S4.E1.m1.3.3.4.6.1.1.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3.4.6.1"></minus><cn id="S4.E1.m1.3.3.4.6.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.E1.m1.3.3.4.6.1.2">1</cn></apply></matrixrow><matrixrow id="S4.E1.m1.3.3e.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3"><cn id="S4.E1.m1.3.3.5.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.E1.m1.3.3.5.1.1">1</cn><apply id="S4.E1.m1.3.3.5.2.1.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3.5.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E1.m1.3.3.5.2.1.1.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3.5.2.1">superscript</csymbol><ci id="S4.E1.m1.3.3.5.2.1.2.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3.5.2.1.2">𝜔</ci><cn id="S4.E1.m1.3.3.5.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E1.m1.3.3.5.2.1.3">2</cn></apply><ci id="S4.E1.m1.3.3.5.3.1.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3.5.3.1">𝜔</ci><apply id="S4.E1.m1.3.3.5.4.1.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3.5.4.1"><minus id="S4.E1.m1.3.3.5.4.1.1.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3.5.4.1"></minus><ci id="S4.E1.m1.3.3.5.4.1.2.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3.5.4.1.2">𝑥</ci></apply><apply id="S4.E1.m1.3.3.5.5.1.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3.5.5.1"><minus id="S4.E1.m1.3.3.5.5.1.1.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3.5.5.1"></minus><apply id="S4.E1.m1.3.3.5.5.1.2.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3.5.5.1.2"><times id="S4.E1.m1.3.3.5.5.1.2.1.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3.5.5.1.2.1"></times><apply id="S4.E1.m1.3.3.5.5.1.2.2.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3.5.5.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E1.m1.3.3.5.5.1.2.2.1.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3.5.5.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S4.E1.m1.3.3.5.5.1.2.2.2.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3.5.5.1.2.2.2">𝜔</ci><cn id="S4.E1.m1.3.3.5.5.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.E1.m1.3.3.5.5.1.2.2.3">2</cn></apply><ci id="S4.E1.m1.3.3.5.5.1.2.3.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3.5.5.1.2.3">𝑥</ci></apply></apply><apply id="S4.E1.m1.3.3.5.6.1.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3.5.6.1"><minus id="S4.E1.m1.3.3.5.6.1.1.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3.5.6.1"></minus><apply id="S4.E1.m1.3.3.5.6.1.2.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3.5.6.1.2"><times id="S4.E1.m1.3.3.5.6.1.2.1.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3.5.6.1.2.1"></times><ci id="S4.E1.m1.3.3.5.6.1.2.2.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3.5.6.1.2.2">𝜔</ci><ci id="S4.E1.m1.3.3.5.6.1.2.3.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3.5.6.1.2.3">𝑥</ci></apply></apply></matrixrow><matrixrow id="S4.E1.m1.3.3f.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3"><cn id="S4.E1.m1.3.3.6.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.E1.m1.3.3.6.1.1">1</cn><ci id="S4.E1.m1.3.3.6.2.1.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3.6.2.1">𝜔</ci><apply id="S4.E1.m1.3.3.6.3.1.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3.6.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E1.m1.3.3.6.3.1.1.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3.6.3.1">superscript</csymbol><ci id="S4.E1.m1.3.3.6.3.1.2.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3.6.3.1.2">𝜔</ci><cn id="S4.E1.m1.3.3.6.3.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E1.m1.3.3.6.3.1.3">2</cn></apply><apply id="S4.E1.m1.3.3.6.4.1.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3.6.4.1"><minus id="S4.E1.m1.3.3.6.4.1.1.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3.6.4.1"></minus><ci id="S4.E1.m1.3.3.6.4.1.2.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3.6.4.1.2">𝑦</ci></apply><apply id="S4.E1.m1.3.3.6.5.1.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3.6.5.1"><minus id="S4.E1.m1.3.3.6.5.1.1.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3.6.5.1"></minus><apply id="S4.E1.m1.3.3.6.5.1.2.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3.6.5.1.2"><times id="S4.E1.m1.3.3.6.5.1.2.1.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3.6.5.1.2.1"></times><ci id="S4.E1.m1.3.3.6.5.1.2.2.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3.6.5.1.2.2">𝜔</ci><ci id="S4.E1.m1.3.3.6.5.1.2.3.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3.6.5.1.2.3">𝑦</ci></apply></apply><apply id="S4.E1.m1.3.3.6.6.1.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3.6.6.1"><minus id="S4.E1.m1.3.3.6.6.1.1.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3.6.6.1"></minus><apply id="S4.E1.m1.3.3.6.6.1.2.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3.6.6.1.2"><times id="S4.E1.m1.3.3.6.6.1.2.1.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3.6.6.1.2.1"></times><apply id="S4.E1.m1.3.3.6.6.1.2.2.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3.6.6.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E1.m1.3.3.6.6.1.2.2.1.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3.6.6.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S4.E1.m1.3.3.6.6.1.2.2.2.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3.6.6.1.2.2.2">𝜔</ci><cn id="S4.E1.m1.3.3.6.6.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.E1.m1.3.3.6.6.1.2.2.3">2</cn></apply><ci id="S4.E1.m1.3.3.6.6.1.2.3.cmml" xref="S4.E1.m1.3.3.6.6.1.2.3">𝑦</ci></apply></apply></matrixrow></matrix></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E1.m1.3c">F(x,y)=\left[\begin{array}[]{cccccc}1&1&1&1&1&1\\ 1&\omega^{2}&\omega&x&\omega^{2}x&\omega x\\ 1&\omega&\omega^{2}&y&\omega y&\omega^{2}y\\ 1&1&1&-1&-1&-1\\ 1&\omega^{2}&\omega&-x&-\omega^{2}x&-\omega x\\ 1&\omega&\omega^{2}&-y&-\omega y&-\omega^{2}y\end{array}\right]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E1.m1.3d">italic_F ( italic_x , italic_y ) = [ start_ARRAY start_ROW start_CELL 1 end_CELL start_CELL 1 end_CELL start_CELL 1 end_CELL start_CELL 1 end_CELL start_CELL 1 end_CELL start_CELL 1 end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 1 end_CELL start_CELL italic_ω start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL start_CELL italic_ω end_CELL start_CELL italic_x end_CELL start_CELL italic_ω start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_x end_CELL start_CELL italic_ω italic_x end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 1 end_CELL start_CELL italic_ω end_CELL start_CELL italic_ω start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL start_CELL italic_y end_CELL start_CELL italic_ω italic_y end_CELL start_CELL italic_ω start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_y end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 1 end_CELL start_CELL 1 end_CELL start_CELL 1 end_CELL start_CELL - 1 end_CELL start_CELL - 1 end_CELL start_CELL - 1 end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 1 end_CELL start_CELL italic_ω start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL start_CELL italic_ω end_CELL start_CELL - italic_x end_CELL start_CELL - italic_ω start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_x end_CELL start_CELL - italic_ω italic_x end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 1 end_CELL start_CELL italic_ω end_CELL start_CELL italic_ω start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL start_CELL - italic_y end_CELL start_CELL - italic_ω italic_y end_CELL start_CELL - italic_ω start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_y end_CELL end_ROW end_ARRAY ]</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.p5.2">where <math alttext="\omega=e^{2i\pi/3}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p5.1.m1.1"><semantics id="S4.p5.1.m1.1a"><mrow id="S4.p5.1.m1.1.1" xref="S4.p5.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.p5.1.m1.1.1.2" xref="S4.p5.1.m1.1.1.2.cmml">ω</mi><mo id="S4.p5.1.m1.1.1.1" xref="S4.p5.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><msup id="S4.p5.1.m1.1.1.3" xref="S4.p5.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.p5.1.m1.1.1.3.2" xref="S4.p5.1.m1.1.1.3.2.cmml">e</mi><mrow id="S4.p5.1.m1.1.1.3.3" xref="S4.p5.1.m1.1.1.3.3.cmml"><mrow id="S4.p5.1.m1.1.1.3.3.2" xref="S4.p5.1.m1.1.1.3.3.2.cmml"><mn id="S4.p5.1.m1.1.1.3.3.2.2" xref="S4.p5.1.m1.1.1.3.3.2.2.cmml">2</mn><mo id="S4.p5.1.m1.1.1.3.3.2.1" xref="S4.p5.1.m1.1.1.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.p5.1.m1.1.1.3.3.2.3" xref="S4.p5.1.m1.1.1.3.3.2.3.cmml">i</mi><mo id="S4.p5.1.m1.1.1.3.3.2.1a" xref="S4.p5.1.m1.1.1.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.p5.1.m1.1.1.3.3.2.4" xref="S4.p5.1.m1.1.1.3.3.2.4.cmml">π</mi></mrow><mo id="S4.p5.1.m1.1.1.3.3.1" xref="S4.p5.1.m1.1.1.3.3.1.cmml">/</mo><mn id="S4.p5.1.m1.1.1.3.3.3" xref="S4.p5.1.m1.1.1.3.3.3.cmml">3</mn></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p5.1.m1.1b"><apply id="S4.p5.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.p5.1.m1.1.1"><eq id="S4.p5.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.p5.1.m1.1.1.1"></eq><ci id="S4.p5.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.p5.1.m1.1.1.2">𝜔</ci><apply id="S4.p5.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.p5.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p5.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.p5.1.m1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S4.p5.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.p5.1.m1.1.1.3.2">𝑒</ci><apply id="S4.p5.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.p5.1.m1.1.1.3.3"><divide id="S4.p5.1.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.p5.1.m1.1.1.3.3.1"></divide><apply id="S4.p5.1.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.p5.1.m1.1.1.3.3.2"><times id="S4.p5.1.m1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.p5.1.m1.1.1.3.3.2.1"></times><cn id="S4.p5.1.m1.1.1.3.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.p5.1.m1.1.1.3.3.2.2">2</cn><ci id="S4.p5.1.m1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S4.p5.1.m1.1.1.3.3.2.3">𝑖</ci><ci id="S4.p5.1.m1.1.1.3.3.2.4.cmml" xref="S4.p5.1.m1.1.1.3.3.2.4">𝜋</ci></apply><cn id="S4.p5.1.m1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.p5.1.m1.1.1.3.3.3">3</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p5.1.m1.1c">\omega=e^{2i\pi/3}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p5.1.m1.1d">italic_ω = italic_e start_POSTSUPERSCRIPT 2 italic_i italic_π / 3 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, and <math alttext="x,y" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p5.2.m2.2"><semantics id="S4.p5.2.m2.2a"><mrow id="S4.p5.2.m2.2.3.2" xref="S4.p5.2.m2.2.3.1.cmml"><mi id="S4.p5.2.m2.1.1" xref="S4.p5.2.m2.1.1.cmml">x</mi><mo id="S4.p5.2.m2.2.3.2.1" xref="S4.p5.2.m2.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.p5.2.m2.2.2" xref="S4.p5.2.m2.2.2.cmml">y</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p5.2.m2.2b"><list id="S4.p5.2.m2.2.3.1.cmml" xref="S4.p5.2.m2.2.3.2"><ci id="S4.p5.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.p5.2.m2.1.1">𝑥</ci><ci id="S4.p5.2.m2.2.2.cmml" xref="S4.p5.2.m2.2.2">𝑦</ci></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p5.2.m2.2c">x,y</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p5.2.m2.2d">italic_x , italic_y</annotation></semantics></math> are arbitrary complex numbers of unit modulus.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.p6"> <p class="ltx_p" id="S4.p6.1">In standard terminology, it is customary to refer to <math alttext="F^{T}(x,y)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p6.1.m1.2"><semantics id="S4.p6.1.m1.2a"><mrow id="S4.p6.1.m1.2.3" xref="S4.p6.1.m1.2.3.cmml"><msup id="S4.p6.1.m1.2.3.2" xref="S4.p6.1.m1.2.3.2.cmml"><mi id="S4.p6.1.m1.2.3.2.2" xref="S4.p6.1.m1.2.3.2.2.cmml">F</mi><mi id="S4.p6.1.m1.2.3.2.3" xref="S4.p6.1.m1.2.3.2.3.cmml">T</mi></msup><mo id="S4.p6.1.m1.2.3.1" xref="S4.p6.1.m1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p6.1.m1.2.3.3.2" xref="S4.p6.1.m1.2.3.3.1.cmml"><mo id="S4.p6.1.m1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.p6.1.m1.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S4.p6.1.m1.1.1" xref="S4.p6.1.m1.1.1.cmml">x</mi><mo id="S4.p6.1.m1.2.3.3.2.2" xref="S4.p6.1.m1.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.p6.1.m1.2.2" xref="S4.p6.1.m1.2.2.cmml">y</mi><mo id="S4.p6.1.m1.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.p6.1.m1.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p6.1.m1.2b"><apply id="S4.p6.1.m1.2.3.cmml" xref="S4.p6.1.m1.2.3"><times id="S4.p6.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S4.p6.1.m1.2.3.1"></times><apply id="S4.p6.1.m1.2.3.2.cmml" xref="S4.p6.1.m1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p6.1.m1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.p6.1.m1.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S4.p6.1.m1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.p6.1.m1.2.3.2.2">𝐹</ci><ci id="S4.p6.1.m1.2.3.2.3.cmml" xref="S4.p6.1.m1.2.3.2.3">𝑇</ci></apply><interval closure="open" id="S4.p6.1.m1.2.3.3.1.cmml" xref="S4.p6.1.m1.2.3.3.2"><ci id="S4.p6.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.p6.1.m1.1.1">𝑥</ci><ci id="S4.p6.1.m1.2.2.cmml" xref="S4.p6.1.m1.2.2">𝑦</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p6.1.m1.2c">F^{T}(x,y)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p6.1.m1.2d">italic_F start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_x , italic_y )</annotation></semantics></math> as the <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.p6.1.1">transposed Fourier family</span>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.p7"> <p class="ltx_p" id="S4.p7.1">We will also need the <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.p7.1.1">Szöllősi</span> family <math alttext="X(\alpha)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p7.1.m1.1"><semantics id="S4.p7.1.m1.1a"><mrow id="S4.p7.1.m1.1.2" xref="S4.p7.1.m1.1.2.cmml"><mi id="S4.p7.1.m1.1.2.2" xref="S4.p7.1.m1.1.2.2.cmml">X</mi><mo id="S4.p7.1.m1.1.2.1" xref="S4.p7.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p7.1.m1.1.2.3.2" xref="S4.p7.1.m1.1.2.cmml"><mo id="S4.p7.1.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.p7.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.p7.1.m1.1.1" xref="S4.p7.1.m1.1.1.cmml">α</mi><mo id="S4.p7.1.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.p7.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p7.1.m1.1b"><apply id="S4.p7.1.m1.1.2.cmml" xref="S4.p7.1.m1.1.2"><times id="S4.p7.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S4.p7.1.m1.1.2.1"></times><ci id="S4.p7.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S4.p7.1.m1.1.2.2">𝑋</ci><ci id="S4.p7.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.p7.1.m1.1.1">𝛼</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p7.1.m1.1c">X(\alpha)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p7.1.m1.1d">italic_X ( italic_α )</annotation></semantics></math> described in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#bib.bib27" title="">27</a>]</cite>, whose elements can be represented in the form</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.p8"> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E2"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(4.2)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="S=\left[\begin{array}[]{cccccc}a&b&c&d&e&f\\ c&a&b&f&d&e\\ b&c&a&e&f&d\\ \overline{d}&\overline{f}&\overline{e}&-\overline{a}&-\overline{c}&-\overline{% b}\\ \overline{e}&\overline{d}&\overline{f}&-\overline{b}&-\overline{a}&-\overline{% c}\\ \overline{f}&\overline{e}&\overline{d}&-\overline{c}&-\overline{b}&-\overline{% a}\end{array}\right]" class="ltx_Math" display="block" id="S4.E2.m1.1"><semantics id="S4.E2.m1.1a"><mrow id="S4.E2.m1.1.2" xref="S4.E2.m1.1.2.cmml"><mi id="S4.E2.m1.1.2.2" xref="S4.E2.m1.1.2.2.cmml">S</mi><mo id="S4.E2.m1.1.2.1" xref="S4.E2.m1.1.2.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.E2.m1.1.2.3.2" xref="S4.E2.m1.1.2.3.1.cmml"><mo id="S4.E2.m1.1.2.3.2.1" xref="S4.E2.m1.1.2.3.1.1.cmml">[</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="S4.E2.m1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S4.E2.m1.1.1.cmml"><mtr id="S4.E2.m1.1.1a" xref="S4.E2.m1.1.1.cmml"><mtd id="S4.E2.m1.1.1b" xref="S4.E2.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.cmml">a</mi></mtd><mtd id="S4.E2.m1.1.1c" xref="S4.E2.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.E2.m1.1.1.1.2.1" xref="S4.E2.m1.1.1.1.2.1.cmml">b</mi></mtd><mtd id="S4.E2.m1.1.1d" xref="S4.E2.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.E2.m1.1.1.1.3.1" xref="S4.E2.m1.1.1.1.3.1.cmml">c</mi></mtd><mtd id="S4.E2.m1.1.1e" xref="S4.E2.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.E2.m1.1.1.1.4.1" xref="S4.E2.m1.1.1.1.4.1.cmml">d</mi></mtd><mtd id="S4.E2.m1.1.1f" xref="S4.E2.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.E2.m1.1.1.1.5.1" xref="S4.E2.m1.1.1.1.5.1.cmml">e</mi></mtd><mtd id="S4.E2.m1.1.1g" xref="S4.E2.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.E2.m1.1.1.1.6.1" xref="S4.E2.m1.1.1.1.6.1.cmml">f</mi></mtd></mtr><mtr id="S4.E2.m1.1.1h" xref="S4.E2.m1.1.1.cmml"><mtd id="S4.E2.m1.1.1i" xref="S4.E2.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.E2.m1.1.1.2.1.1" xref="S4.E2.m1.1.1.2.1.1.cmml">c</mi></mtd><mtd id="S4.E2.m1.1.1j" xref="S4.E2.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.E2.m1.1.1.2.2.1" xref="S4.E2.m1.1.1.2.2.1.cmml">a</mi></mtd><mtd id="S4.E2.m1.1.1k" xref="S4.E2.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.E2.m1.1.1.2.3.1" xref="S4.E2.m1.1.1.2.3.1.cmml">b</mi></mtd><mtd id="S4.E2.m1.1.1l" xref="S4.E2.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.E2.m1.1.1.2.4.1" xref="S4.E2.m1.1.1.2.4.1.cmml">f</mi></mtd><mtd id="S4.E2.m1.1.1m" xref="S4.E2.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.E2.m1.1.1.2.5.1" xref="S4.E2.m1.1.1.2.5.1.cmml">d</mi></mtd><mtd id="S4.E2.m1.1.1n" xref="S4.E2.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.E2.m1.1.1.2.6.1" xref="S4.E2.m1.1.1.2.6.1.cmml">e</mi></mtd></mtr><mtr id="S4.E2.m1.1.1o" xref="S4.E2.m1.1.1.cmml"><mtd id="S4.E2.m1.1.1p" xref="S4.E2.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.E2.m1.1.1.3.1.1" xref="S4.E2.m1.1.1.3.1.1.cmml">b</mi></mtd><mtd id="S4.E2.m1.1.1q" xref="S4.E2.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.E2.m1.1.1.3.2.1" xref="S4.E2.m1.1.1.3.2.1.cmml">c</mi></mtd><mtd id="S4.E2.m1.1.1r" xref="S4.E2.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.E2.m1.1.1.3.3.1" xref="S4.E2.m1.1.1.3.3.1.cmml">a</mi></mtd><mtd id="S4.E2.m1.1.1s" xref="S4.E2.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.E2.m1.1.1.3.4.1" xref="S4.E2.m1.1.1.3.4.1.cmml">e</mi></mtd><mtd id="S4.E2.m1.1.1t" xref="S4.E2.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.E2.m1.1.1.3.5.1" xref="S4.E2.m1.1.1.3.5.1.cmml">f</mi></mtd><mtd id="S4.E2.m1.1.1u" xref="S4.E2.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.E2.m1.1.1.3.6.1" xref="S4.E2.m1.1.1.3.6.1.cmml">d</mi></mtd></mtr><mtr id="S4.E2.m1.1.1v" xref="S4.E2.m1.1.1.cmml"><mtd id="S4.E2.m1.1.1w" xref="S4.E2.m1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.E2.m1.1.1.4.1.1" xref="S4.E2.m1.1.1.4.1.1.cmml"><mi id="S4.E2.m1.1.1.4.1.1.2" xref="S4.E2.m1.1.1.4.1.1.2.cmml">d</mi><mo id="S4.E2.m1.1.1.4.1.1.1" xref="S4.E2.m1.1.1.4.1.1.1.cmml">¯</mo></mover></mtd><mtd id="S4.E2.m1.1.1x" xref="S4.E2.m1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.E2.m1.1.1.4.2.1" xref="S4.E2.m1.1.1.4.2.1.cmml"><mi id="S4.E2.m1.1.1.4.2.1.2" xref="S4.E2.m1.1.1.4.2.1.2.cmml">f</mi><mo id="S4.E2.m1.1.1.4.2.1.1" xref="S4.E2.m1.1.1.4.2.1.1.cmml">¯</mo></mover></mtd><mtd id="S4.E2.m1.1.1y" xref="S4.E2.m1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.E2.m1.1.1.4.3.1" xref="S4.E2.m1.1.1.4.3.1.cmml"><mi id="S4.E2.m1.1.1.4.3.1.2" xref="S4.E2.m1.1.1.4.3.1.2.cmml">e</mi><mo id="S4.E2.m1.1.1.4.3.1.1" xref="S4.E2.m1.1.1.4.3.1.1.cmml">¯</mo></mover></mtd><mtd id="S4.E2.m1.1.1z" xref="S4.E2.m1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E2.m1.1.1.4.4.1" xref="S4.E2.m1.1.1.4.4.1.cmml"><mo id="S4.E2.m1.1.1.4.4.1a" xref="S4.E2.m1.1.1.4.4.1.cmml">−</mo><mover accent="true" id="S4.E2.m1.1.1.4.4.1.2" xref="S4.E2.m1.1.1.4.4.1.2.cmml"><mi id="S4.E2.m1.1.1.4.4.1.2.2" xref="S4.E2.m1.1.1.4.4.1.2.2.cmml">a</mi><mo id="S4.E2.m1.1.1.4.4.1.2.1" xref="S4.E2.m1.1.1.4.4.1.2.1.cmml">¯</mo></mover></mrow></mtd><mtd id="S4.E2.m1.1.1aa" xref="S4.E2.m1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E2.m1.1.1.4.5.1" xref="S4.E2.m1.1.1.4.5.1.cmml"><mo id="S4.E2.m1.1.1.4.5.1a" xref="S4.E2.m1.1.1.4.5.1.cmml">−</mo><mover accent="true" id="S4.E2.m1.1.1.4.5.1.2" xref="S4.E2.m1.1.1.4.5.1.2.cmml"><mi id="S4.E2.m1.1.1.4.5.1.2.2" xref="S4.E2.m1.1.1.4.5.1.2.2.cmml">c</mi><mo id="S4.E2.m1.1.1.4.5.1.2.1" xref="S4.E2.m1.1.1.4.5.1.2.1.cmml">¯</mo></mover></mrow></mtd><mtd id="S4.E2.m1.1.1ab" xref="S4.E2.m1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E2.m1.1.1.4.6.1" xref="S4.E2.m1.1.1.4.6.1.cmml"><mo id="S4.E2.m1.1.1.4.6.1a" xref="S4.E2.m1.1.1.4.6.1.cmml">−</mo><mover accent="true" id="S4.E2.m1.1.1.4.6.1.2" xref="S4.E2.m1.1.1.4.6.1.2.cmml"><mi id="S4.E2.m1.1.1.4.6.1.2.2" xref="S4.E2.m1.1.1.4.6.1.2.2.cmml">b</mi><mo id="S4.E2.m1.1.1.4.6.1.2.1" xref="S4.E2.m1.1.1.4.6.1.2.1.cmml">¯</mo></mover></mrow></mtd></mtr><mtr id="S4.E2.m1.1.1ac" xref="S4.E2.m1.1.1.cmml"><mtd id="S4.E2.m1.1.1ad" xref="S4.E2.m1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.E2.m1.1.1.5.1.1" xref="S4.E2.m1.1.1.5.1.1.cmml"><mi id="S4.E2.m1.1.1.5.1.1.2" xref="S4.E2.m1.1.1.5.1.1.2.cmml">e</mi><mo id="S4.E2.m1.1.1.5.1.1.1" xref="S4.E2.m1.1.1.5.1.1.1.cmml">¯</mo></mover></mtd><mtd id="S4.E2.m1.1.1ae" xref="S4.E2.m1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.E2.m1.1.1.5.2.1" xref="S4.E2.m1.1.1.5.2.1.cmml"><mi id="S4.E2.m1.1.1.5.2.1.2" xref="S4.E2.m1.1.1.5.2.1.2.cmml">d</mi><mo id="S4.E2.m1.1.1.5.2.1.1" xref="S4.E2.m1.1.1.5.2.1.1.cmml">¯</mo></mover></mtd><mtd id="S4.E2.m1.1.1af" xref="S4.E2.m1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.E2.m1.1.1.5.3.1" xref="S4.E2.m1.1.1.5.3.1.cmml"><mi id="S4.E2.m1.1.1.5.3.1.2" xref="S4.E2.m1.1.1.5.3.1.2.cmml">f</mi><mo id="S4.E2.m1.1.1.5.3.1.1" xref="S4.E2.m1.1.1.5.3.1.1.cmml">¯</mo></mover></mtd><mtd id="S4.E2.m1.1.1ag" xref="S4.E2.m1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E2.m1.1.1.5.4.1" xref="S4.E2.m1.1.1.5.4.1.cmml"><mo id="S4.E2.m1.1.1.5.4.1a" xref="S4.E2.m1.1.1.5.4.1.cmml">−</mo><mover accent="true" id="S4.E2.m1.1.1.5.4.1.2" xref="S4.E2.m1.1.1.5.4.1.2.cmml"><mi id="S4.E2.m1.1.1.5.4.1.2.2" xref="S4.E2.m1.1.1.5.4.1.2.2.cmml">b</mi><mo id="S4.E2.m1.1.1.5.4.1.2.1" xref="S4.E2.m1.1.1.5.4.1.2.1.cmml">¯</mo></mover></mrow></mtd><mtd id="S4.E2.m1.1.1ah" xref="S4.E2.m1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E2.m1.1.1.5.5.1" xref="S4.E2.m1.1.1.5.5.1.cmml"><mo id="S4.E2.m1.1.1.5.5.1a" xref="S4.E2.m1.1.1.5.5.1.cmml">−</mo><mover accent="true" id="S4.E2.m1.1.1.5.5.1.2" xref="S4.E2.m1.1.1.5.5.1.2.cmml"><mi id="S4.E2.m1.1.1.5.5.1.2.2" xref="S4.E2.m1.1.1.5.5.1.2.2.cmml">a</mi><mo id="S4.E2.m1.1.1.5.5.1.2.1" xref="S4.E2.m1.1.1.5.5.1.2.1.cmml">¯</mo></mover></mrow></mtd><mtd id="S4.E2.m1.1.1ai" xref="S4.E2.m1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E2.m1.1.1.5.6.1" xref="S4.E2.m1.1.1.5.6.1.cmml"><mo id="S4.E2.m1.1.1.5.6.1a" xref="S4.E2.m1.1.1.5.6.1.cmml">−</mo><mover accent="true" id="S4.E2.m1.1.1.5.6.1.2" xref="S4.E2.m1.1.1.5.6.1.2.cmml"><mi id="S4.E2.m1.1.1.5.6.1.2.2" xref="S4.E2.m1.1.1.5.6.1.2.2.cmml">c</mi><mo id="S4.E2.m1.1.1.5.6.1.2.1" xref="S4.E2.m1.1.1.5.6.1.2.1.cmml">¯</mo></mover></mrow></mtd></mtr><mtr id="S4.E2.m1.1.1aj" xref="S4.E2.m1.1.1.cmml"><mtd id="S4.E2.m1.1.1ak" xref="S4.E2.m1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.E2.m1.1.1.6.1.1" xref="S4.E2.m1.1.1.6.1.1.cmml"><mi id="S4.E2.m1.1.1.6.1.1.2" xref="S4.E2.m1.1.1.6.1.1.2.cmml">f</mi><mo id="S4.E2.m1.1.1.6.1.1.1" xref="S4.E2.m1.1.1.6.1.1.1.cmml">¯</mo></mover></mtd><mtd id="S4.E2.m1.1.1al" xref="S4.E2.m1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.E2.m1.1.1.6.2.1" xref="S4.E2.m1.1.1.6.2.1.cmml"><mi id="S4.E2.m1.1.1.6.2.1.2" xref="S4.E2.m1.1.1.6.2.1.2.cmml">e</mi><mo id="S4.E2.m1.1.1.6.2.1.1" xref="S4.E2.m1.1.1.6.2.1.1.cmml">¯</mo></mover></mtd><mtd id="S4.E2.m1.1.1am" xref="S4.E2.m1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.E2.m1.1.1.6.3.1" xref="S4.E2.m1.1.1.6.3.1.cmml"><mi id="S4.E2.m1.1.1.6.3.1.2" xref="S4.E2.m1.1.1.6.3.1.2.cmml">d</mi><mo id="S4.E2.m1.1.1.6.3.1.1" xref="S4.E2.m1.1.1.6.3.1.1.cmml">¯</mo></mover></mtd><mtd id="S4.E2.m1.1.1an" xref="S4.E2.m1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E2.m1.1.1.6.4.1" xref="S4.E2.m1.1.1.6.4.1.cmml"><mo id="S4.E2.m1.1.1.6.4.1a" xref="S4.E2.m1.1.1.6.4.1.cmml">−</mo><mover accent="true" id="S4.E2.m1.1.1.6.4.1.2" xref="S4.E2.m1.1.1.6.4.1.2.cmml"><mi id="S4.E2.m1.1.1.6.4.1.2.2" xref="S4.E2.m1.1.1.6.4.1.2.2.cmml">c</mi><mo id="S4.E2.m1.1.1.6.4.1.2.1" xref="S4.E2.m1.1.1.6.4.1.2.1.cmml">¯</mo></mover></mrow></mtd><mtd id="S4.E2.m1.1.1ao" xref="S4.E2.m1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E2.m1.1.1.6.5.1" xref="S4.E2.m1.1.1.6.5.1.cmml"><mo id="S4.E2.m1.1.1.6.5.1a" xref="S4.E2.m1.1.1.6.5.1.cmml">−</mo><mover accent="true" id="S4.E2.m1.1.1.6.5.1.2" xref="S4.E2.m1.1.1.6.5.1.2.cmml"><mi id="S4.E2.m1.1.1.6.5.1.2.2" xref="S4.E2.m1.1.1.6.5.1.2.2.cmml">b</mi><mo id="S4.E2.m1.1.1.6.5.1.2.1" xref="S4.E2.m1.1.1.6.5.1.2.1.cmml">¯</mo></mover></mrow></mtd><mtd id="S4.E2.m1.1.1ap" xref="S4.E2.m1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E2.m1.1.1.6.6.1" xref="S4.E2.m1.1.1.6.6.1.cmml"><mo id="S4.E2.m1.1.1.6.6.1a" xref="S4.E2.m1.1.1.6.6.1.cmml">−</mo><mover accent="true" id="S4.E2.m1.1.1.6.6.1.2" xref="S4.E2.m1.1.1.6.6.1.2.cmml"><mi id="S4.E2.m1.1.1.6.6.1.2.2" xref="S4.E2.m1.1.1.6.6.1.2.2.cmml">a</mi><mo id="S4.E2.m1.1.1.6.6.1.2.1" xref="S4.E2.m1.1.1.6.6.1.2.1.cmml">¯</mo></mover></mrow></mtd></mtr></mtable><mo id="S4.E2.m1.1.2.3.2.2" xref="S4.E2.m1.1.2.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E2.m1.1b"><apply id="S4.E2.m1.1.2.cmml" xref="S4.E2.m1.1.2"><eq id="S4.E2.m1.1.2.1.cmml" xref="S4.E2.m1.1.2.1"></eq><ci id="S4.E2.m1.1.2.2.cmml" xref="S4.E2.m1.1.2.2">𝑆</ci><apply id="S4.E2.m1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.E2.m1.1.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.E2.m1.1.2.3.1.1.cmml" xref="S4.E2.m1.1.2.3.2.1">delimited-[]</csymbol><matrix id="S4.E2.m1.1.1.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1"><matrixrow id="S4.E2.m1.1.1a.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1"><ci id="S4.E2.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.1.1.1">𝑎</ci><ci id="S4.E2.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.1.2.1">𝑏</ci><ci id="S4.E2.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.1.3.1">𝑐</ci><ci id="S4.E2.m1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.1.4.1">𝑑</ci><ci id="S4.E2.m1.1.1.1.5.1.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.1.5.1">𝑒</ci><ci id="S4.E2.m1.1.1.1.6.1.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.1.6.1">𝑓</ci></matrixrow><matrixrow id="S4.E2.m1.1.1b.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1"><ci id="S4.E2.m1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.2.1.1">𝑐</ci><ci id="S4.E2.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.2.2.1">𝑎</ci><ci id="S4.E2.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.2.3.1">𝑏</ci><ci id="S4.E2.m1.1.1.2.4.1.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.2.4.1">𝑓</ci><ci id="S4.E2.m1.1.1.2.5.1.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.2.5.1">𝑑</ci><ci id="S4.E2.m1.1.1.2.6.1.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.2.6.1">𝑒</ci></matrixrow><matrixrow id="S4.E2.m1.1.1c.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1"><ci id="S4.E2.m1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.3.1.1">𝑏</ci><ci id="S4.E2.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.3.2.1">𝑐</ci><ci id="S4.E2.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.3.3.1">𝑎</ci><ci id="S4.E2.m1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.3.4.1">𝑒</ci><ci id="S4.E2.m1.1.1.3.5.1.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.3.5.1">𝑓</ci><ci id="S4.E2.m1.1.1.3.6.1.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.3.6.1">𝑑</ci></matrixrow><matrixrow id="S4.E2.m1.1.1d.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1"><apply id="S4.E2.m1.1.1.4.1.1.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.4.1.1"><ci id="S4.E2.m1.1.1.4.1.1.1.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.4.1.1.1">¯</ci><ci id="S4.E2.m1.1.1.4.1.1.2.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.4.1.1.2">𝑑</ci></apply><apply id="S4.E2.m1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.4.2.1"><ci id="S4.E2.m1.1.1.4.2.1.1.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.4.2.1.1">¯</ci><ci id="S4.E2.m1.1.1.4.2.1.2.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.4.2.1.2">𝑓</ci></apply><apply id="S4.E2.m1.1.1.4.3.1.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.4.3.1"><ci id="S4.E2.m1.1.1.4.3.1.1.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.4.3.1.1">¯</ci><ci id="S4.E2.m1.1.1.4.3.1.2.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.4.3.1.2">𝑒</ci></apply><apply id="S4.E2.m1.1.1.4.4.1.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.4.4.1"><minus id="S4.E2.m1.1.1.4.4.1.1.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.4.4.1"></minus><apply id="S4.E2.m1.1.1.4.4.1.2.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.4.4.1.2"><ci id="S4.E2.m1.1.1.4.4.1.2.1.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.4.4.1.2.1">¯</ci><ci id="S4.E2.m1.1.1.4.4.1.2.2.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.4.4.1.2.2">𝑎</ci></apply></apply><apply id="S4.E2.m1.1.1.4.5.1.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.4.5.1"><minus id="S4.E2.m1.1.1.4.5.1.1.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.4.5.1"></minus><apply id="S4.E2.m1.1.1.4.5.1.2.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.4.5.1.2"><ci id="S4.E2.m1.1.1.4.5.1.2.1.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.4.5.1.2.1">¯</ci><ci id="S4.E2.m1.1.1.4.5.1.2.2.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.4.5.1.2.2">𝑐</ci></apply></apply><apply id="S4.E2.m1.1.1.4.6.1.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.4.6.1"><minus id="S4.E2.m1.1.1.4.6.1.1.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.4.6.1"></minus><apply id="S4.E2.m1.1.1.4.6.1.2.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.4.6.1.2"><ci id="S4.E2.m1.1.1.4.6.1.2.1.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.4.6.1.2.1">¯</ci><ci id="S4.E2.m1.1.1.4.6.1.2.2.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.4.6.1.2.2">𝑏</ci></apply></apply></matrixrow><matrixrow id="S4.E2.m1.1.1e.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1"><apply id="S4.E2.m1.1.1.5.1.1.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.5.1.1"><ci id="S4.E2.m1.1.1.5.1.1.1.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.5.1.1.1">¯</ci><ci id="S4.E2.m1.1.1.5.1.1.2.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.5.1.1.2">𝑒</ci></apply><apply id="S4.E2.m1.1.1.5.2.1.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.5.2.1"><ci id="S4.E2.m1.1.1.5.2.1.1.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.5.2.1.1">¯</ci><ci id="S4.E2.m1.1.1.5.2.1.2.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.5.2.1.2">𝑑</ci></apply><apply id="S4.E2.m1.1.1.5.3.1.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.5.3.1"><ci id="S4.E2.m1.1.1.5.3.1.1.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.5.3.1.1">¯</ci><ci id="S4.E2.m1.1.1.5.3.1.2.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.5.3.1.2">𝑓</ci></apply><apply id="S4.E2.m1.1.1.5.4.1.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.5.4.1"><minus id="S4.E2.m1.1.1.5.4.1.1.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.5.4.1"></minus><apply id="S4.E2.m1.1.1.5.4.1.2.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.5.4.1.2"><ci id="S4.E2.m1.1.1.5.4.1.2.1.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.5.4.1.2.1">¯</ci><ci id="S4.E2.m1.1.1.5.4.1.2.2.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.5.4.1.2.2">𝑏</ci></apply></apply><apply id="S4.E2.m1.1.1.5.5.1.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.5.5.1"><minus id="S4.E2.m1.1.1.5.5.1.1.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.5.5.1"></minus><apply id="S4.E2.m1.1.1.5.5.1.2.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.5.5.1.2"><ci id="S4.E2.m1.1.1.5.5.1.2.1.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.5.5.1.2.1">¯</ci><ci id="S4.E2.m1.1.1.5.5.1.2.2.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.5.5.1.2.2">𝑎</ci></apply></apply><apply id="S4.E2.m1.1.1.5.6.1.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.5.6.1"><minus id="S4.E2.m1.1.1.5.6.1.1.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.5.6.1"></minus><apply id="S4.E2.m1.1.1.5.6.1.2.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.5.6.1.2"><ci id="S4.E2.m1.1.1.5.6.1.2.1.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.5.6.1.2.1">¯</ci><ci id="S4.E2.m1.1.1.5.6.1.2.2.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.5.6.1.2.2">𝑐</ci></apply></apply></matrixrow><matrixrow id="S4.E2.m1.1.1f.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1"><apply id="S4.E2.m1.1.1.6.1.1.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.6.1.1"><ci id="S4.E2.m1.1.1.6.1.1.1.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.6.1.1.1">¯</ci><ci id="S4.E2.m1.1.1.6.1.1.2.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.6.1.1.2">𝑓</ci></apply><apply id="S4.E2.m1.1.1.6.2.1.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.6.2.1"><ci id="S4.E2.m1.1.1.6.2.1.1.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.6.2.1.1">¯</ci><ci id="S4.E2.m1.1.1.6.2.1.2.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.6.2.1.2">𝑒</ci></apply><apply id="S4.E2.m1.1.1.6.3.1.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.6.3.1"><ci id="S4.E2.m1.1.1.6.3.1.1.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.6.3.1.1">¯</ci><ci id="S4.E2.m1.1.1.6.3.1.2.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.6.3.1.2">𝑑</ci></apply><apply id="S4.E2.m1.1.1.6.4.1.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.6.4.1"><minus id="S4.E2.m1.1.1.6.4.1.1.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.6.4.1"></minus><apply id="S4.E2.m1.1.1.6.4.1.2.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.6.4.1.2"><ci id="S4.E2.m1.1.1.6.4.1.2.1.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.6.4.1.2.1">¯</ci><ci id="S4.E2.m1.1.1.6.4.1.2.2.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.6.4.1.2.2">𝑐</ci></apply></apply><apply id="S4.E2.m1.1.1.6.5.1.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.6.5.1"><minus id="S4.E2.m1.1.1.6.5.1.1.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.6.5.1"></minus><apply id="S4.E2.m1.1.1.6.5.1.2.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.6.5.1.2"><ci id="S4.E2.m1.1.1.6.5.1.2.1.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.6.5.1.2.1">¯</ci><ci id="S4.E2.m1.1.1.6.5.1.2.2.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.6.5.1.2.2">𝑏</ci></apply></apply><apply id="S4.E2.m1.1.1.6.6.1.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.6.6.1"><minus id="S4.E2.m1.1.1.6.6.1.1.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.6.6.1"></minus><apply id="S4.E2.m1.1.1.6.6.1.2.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.6.6.1.2"><ci id="S4.E2.m1.1.1.6.6.1.2.1.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.6.6.1.2.1">¯</ci><ci id="S4.E2.m1.1.1.6.6.1.2.2.cmml" xref="S4.E2.m1.1.1.6.6.1.2.2">𝑎</ci></apply></apply></matrixrow></matrix></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E2.m1.1c">S=\left[\begin{array}[]{cccccc}a&b&c&d&e&f\\ c&a&b&f&d&e\\ b&c&a&e&f&d\\ \overline{d}&\overline{f}&\overline{e}&-\overline{a}&-\overline{c}&-\overline{% b}\\ \overline{e}&\overline{d}&\overline{f}&-\overline{b}&-\overline{a}&-\overline{% c}\\ \overline{f}&\overline{e}&\overline{d}&-\overline{c}&-\overline{b}&-\overline{% a}\end{array}\right]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E2.m1.1d">italic_S = [ start_ARRAY start_ROW start_CELL italic_a end_CELL start_CELL italic_b end_CELL start_CELL italic_c end_CELL start_CELL italic_d end_CELL start_CELL italic_e end_CELL start_CELL italic_f end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_c end_CELL start_CELL italic_a end_CELL start_CELL italic_b end_CELL start_CELL italic_f end_CELL start_CELL italic_d end_CELL start_CELL italic_e end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_b end_CELL start_CELL italic_c end_CELL start_CELL italic_a end_CELL start_CELL italic_e end_CELL start_CELL italic_f end_CELL start_CELL italic_d end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL over¯ start_ARG italic_d end_ARG end_CELL start_CELL over¯ start_ARG italic_f end_ARG end_CELL start_CELL over¯ start_ARG italic_e end_ARG end_CELL start_CELL - over¯ start_ARG italic_a end_ARG end_CELL start_CELL - over¯ start_ARG italic_c end_ARG end_CELL start_CELL - over¯ start_ARG italic_b end_ARG end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL over¯ start_ARG italic_e end_ARG end_CELL start_CELL over¯ start_ARG italic_d end_ARG end_CELL start_CELL over¯ start_ARG italic_f end_ARG end_CELL start_CELL - over¯ start_ARG italic_b end_ARG end_CELL start_CELL - over¯ start_ARG italic_a end_ARG end_CELL start_CELL - over¯ start_ARG italic_c end_ARG end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL over¯ start_ARG italic_f end_ARG end_CELL start_CELL over¯ start_ARG italic_e end_ARG end_CELL start_CELL over¯ start_ARG italic_d end_ARG end_CELL start_CELL - over¯ start_ARG italic_c end_ARG end_CELL start_CELL - over¯ start_ARG italic_b end_ARG end_CELL start_CELL - over¯ start_ARG italic_a end_ARG end_CELL end_ROW end_ARRAY ]</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S4.p9"> <p class="ltx_p" id="S4.p9.4">Szöllősi <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#bib.bib27" title="">27</a>]</cite> showed that complex Hadamard matrices of this form constitute – up to the equivalence relation (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#S2.E2" title="Equation 2.2 ‣ 2. Pairs of MUBs ‣ Triplets of Mutually Unbiased Bases"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2.2</span></a>) – a two-parameter family <math alttext="X(\alpha)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p9.1.m1.1"><semantics id="S4.p9.1.m1.1a"><mrow id="S4.p9.1.m1.1.2" xref="S4.p9.1.m1.1.2.cmml"><mi id="S4.p9.1.m1.1.2.2" xref="S4.p9.1.m1.1.2.2.cmml">X</mi><mo id="S4.p9.1.m1.1.2.1" xref="S4.p9.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p9.1.m1.1.2.3.2" xref="S4.p9.1.m1.1.2.cmml"><mo id="S4.p9.1.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.p9.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.p9.1.m1.1.1" xref="S4.p9.1.m1.1.1.cmml">α</mi><mo id="S4.p9.1.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.p9.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p9.1.m1.1b"><apply id="S4.p9.1.m1.1.2.cmml" xref="S4.p9.1.m1.1.2"><times id="S4.p9.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S4.p9.1.m1.1.2.1"></times><ci id="S4.p9.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S4.p9.1.m1.1.2.2">𝑋</ci><ci id="S4.p9.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.p9.1.m1.1.1">𝛼</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p9.1.m1.1c">X(\alpha)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p9.1.m1.1d">italic_X ( italic_α )</annotation></semantics></math>, parametrized by a complex parameter <math alttext="\alpha" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p9.2.m2.1"><semantics id="S4.p9.2.m2.1a"><mi id="S4.p9.2.m2.1.1" xref="S4.p9.2.m2.1.1.cmml">α</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p9.2.m2.1b"><ci id="S4.p9.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.p9.2.m2.1.1">𝛼</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p9.2.m2.1c">\alpha</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p9.2.m2.1d">italic_α</annotation></semantics></math>. In the notation (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#S4.E2" title="Equation 4.2 ‣ 4. Hadamard cubes in dimension 6 ‣ Triplets of Mutually Unbiased Bases"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4.2</span></a>) we have suppressed the dependence on <math alttext="\alpha" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p9.3.m3.1"><semantics id="S4.p9.3.m3.1a"><mi id="S4.p9.3.m3.1.1" xref="S4.p9.3.m3.1.1.cmml">α</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p9.3.m3.1b"><ci id="S4.p9.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.p9.3.m3.1.1">𝛼</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p9.3.m3.1c">\alpha</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p9.3.m3.1d">italic_α</annotation></semantics></math>, as we will only need the fact that the matrices <math alttext="S" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p9.4.m4.1"><semantics id="S4.p9.4.m4.1a"><mi id="S4.p9.4.m4.1.1" xref="S4.p9.4.m4.1.1.cmml">S</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p9.4.m4.1b"><ci id="S4.p9.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.p9.4.m4.1.1">𝑆</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p9.4.m4.1c">S</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p9.4.m4.1d">italic_S</annotation></semantics></math> have the 2-circulant form above.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.p10"> <p class="ltx_p" id="S4.p10.6">It is worth mentioning two known facts here. First, the family <math alttext="X(\alpha)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p10.1.m1.1"><semantics id="S4.p10.1.m1.1a"><mrow id="S4.p10.1.m1.1.2" xref="S4.p10.1.m1.1.2.cmml"><mi id="S4.p10.1.m1.1.2.2" xref="S4.p10.1.m1.1.2.2.cmml">X</mi><mo id="S4.p10.1.m1.1.2.1" xref="S4.p10.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p10.1.m1.1.2.3.2" xref="S4.p10.1.m1.1.2.cmml"><mo id="S4.p10.1.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.p10.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.p10.1.m1.1.1" xref="S4.p10.1.m1.1.1.cmml">α</mi><mo id="S4.p10.1.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.p10.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p10.1.m1.1b"><apply id="S4.p10.1.m1.1.2.cmml" xref="S4.p10.1.m1.1.2"><times id="S4.p10.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S4.p10.1.m1.1.2.1"></times><ci id="S4.p10.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S4.p10.1.m1.1.2.2">𝑋</ci><ci id="S4.p10.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.p10.1.m1.1.1">𝛼</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p10.1.m1.1c">X(\alpha)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p10.1.m1.1d">italic_X ( italic_α )</annotation></semantics></math> is self-adjoint in the sense that if <math alttext="S\in X(\alpha)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p10.2.m2.1"><semantics id="S4.p10.2.m2.1a"><mrow id="S4.p10.2.m2.1.2" xref="S4.p10.2.m2.1.2.cmml"><mi id="S4.p10.2.m2.1.2.2" xref="S4.p10.2.m2.1.2.2.cmml">S</mi><mo id="S4.p10.2.m2.1.2.1" xref="S4.p10.2.m2.1.2.1.cmml">∈</mo><mrow id="S4.p10.2.m2.1.2.3" xref="S4.p10.2.m2.1.2.3.cmml"><mi id="S4.p10.2.m2.1.2.3.2" xref="S4.p10.2.m2.1.2.3.2.cmml">X</mi><mo id="S4.p10.2.m2.1.2.3.1" xref="S4.p10.2.m2.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p10.2.m2.1.2.3.3.2" xref="S4.p10.2.m2.1.2.3.cmml"><mo id="S4.p10.2.m2.1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.p10.2.m2.1.2.3.cmml">(</mo><mi id="S4.p10.2.m2.1.1" xref="S4.p10.2.m2.1.1.cmml">α</mi><mo id="S4.p10.2.m2.1.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.p10.2.m2.1.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p10.2.m2.1b"><apply id="S4.p10.2.m2.1.2.cmml" xref="S4.p10.2.m2.1.2"><in id="S4.p10.2.m2.1.2.1.cmml" xref="S4.p10.2.m2.1.2.1"></in><ci id="S4.p10.2.m2.1.2.2.cmml" xref="S4.p10.2.m2.1.2.2">𝑆</ci><apply id="S4.p10.2.m2.1.2.3.cmml" xref="S4.p10.2.m2.1.2.3"><times id="S4.p10.2.m2.1.2.3.1.cmml" xref="S4.p10.2.m2.1.2.3.1"></times><ci id="S4.p10.2.m2.1.2.3.2.cmml" xref="S4.p10.2.m2.1.2.3.2">𝑋</ci><ci id="S4.p10.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.p10.2.m2.1.1">𝛼</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p10.2.m2.1c">S\in X(\alpha)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p10.2.m2.1d">italic_S ∈ italic_X ( italic_α )</annotation></semantics></math> then <math alttext="S^{\ast}\in X(\alpha)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p10.3.m3.1"><semantics id="S4.p10.3.m3.1a"><mrow id="S4.p10.3.m3.1.2" xref="S4.p10.3.m3.1.2.cmml"><msup id="S4.p10.3.m3.1.2.2" xref="S4.p10.3.m3.1.2.2.cmml"><mi id="S4.p10.3.m3.1.2.2.2" xref="S4.p10.3.m3.1.2.2.2.cmml">S</mi><mo id="S4.p10.3.m3.1.2.2.3" xref="S4.p10.3.m3.1.2.2.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S4.p10.3.m3.1.2.1" xref="S4.p10.3.m3.1.2.1.cmml">∈</mo><mrow id="S4.p10.3.m3.1.2.3" xref="S4.p10.3.m3.1.2.3.cmml"><mi id="S4.p10.3.m3.1.2.3.2" xref="S4.p10.3.m3.1.2.3.2.cmml">X</mi><mo id="S4.p10.3.m3.1.2.3.1" xref="S4.p10.3.m3.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p10.3.m3.1.2.3.3.2" xref="S4.p10.3.m3.1.2.3.cmml"><mo id="S4.p10.3.m3.1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.p10.3.m3.1.2.3.cmml">(</mo><mi id="S4.p10.3.m3.1.1" xref="S4.p10.3.m3.1.1.cmml">α</mi><mo id="S4.p10.3.m3.1.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.p10.3.m3.1.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p10.3.m3.1b"><apply id="S4.p10.3.m3.1.2.cmml" xref="S4.p10.3.m3.1.2"><in id="S4.p10.3.m3.1.2.1.cmml" xref="S4.p10.3.m3.1.2.1"></in><apply id="S4.p10.3.m3.1.2.2.cmml" xref="S4.p10.3.m3.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p10.3.m3.1.2.2.1.cmml" xref="S4.p10.3.m3.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S4.p10.3.m3.1.2.2.2.cmml" xref="S4.p10.3.m3.1.2.2.2">𝑆</ci><ci id="S4.p10.3.m3.1.2.2.3.cmml" xref="S4.p10.3.m3.1.2.2.3">∗</ci></apply><apply id="S4.p10.3.m3.1.2.3.cmml" xref="S4.p10.3.m3.1.2.3"><times id="S4.p10.3.m3.1.2.3.1.cmml" xref="S4.p10.3.m3.1.2.3.1"></times><ci id="S4.p10.3.m3.1.2.3.2.cmml" xref="S4.p10.3.m3.1.2.3.2">𝑋</ci><ci id="S4.p10.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.p10.3.m3.1.1">𝛼</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p10.3.m3.1c">S^{\ast}\in X(\alpha)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p10.3.m3.1d">italic_S start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ∈ italic_X ( italic_α )</annotation></semantics></math> (up to equivalence). Second, the families <math alttext="F(x,y)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p10.4.m4.2"><semantics id="S4.p10.4.m4.2a"><mrow id="S4.p10.4.m4.2.3" xref="S4.p10.4.m4.2.3.cmml"><mi id="S4.p10.4.m4.2.3.2" xref="S4.p10.4.m4.2.3.2.cmml">F</mi><mo id="S4.p10.4.m4.2.3.1" xref="S4.p10.4.m4.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p10.4.m4.2.3.3.2" xref="S4.p10.4.m4.2.3.3.1.cmml"><mo id="S4.p10.4.m4.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.p10.4.m4.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S4.p10.4.m4.1.1" xref="S4.p10.4.m4.1.1.cmml">x</mi><mo id="S4.p10.4.m4.2.3.3.2.2" xref="S4.p10.4.m4.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.p10.4.m4.2.2" xref="S4.p10.4.m4.2.2.cmml">y</mi><mo id="S4.p10.4.m4.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.p10.4.m4.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p10.4.m4.2b"><apply id="S4.p10.4.m4.2.3.cmml" xref="S4.p10.4.m4.2.3"><times id="S4.p10.4.m4.2.3.1.cmml" xref="S4.p10.4.m4.2.3.1"></times><ci id="S4.p10.4.m4.2.3.2.cmml" xref="S4.p10.4.m4.2.3.2">𝐹</ci><interval closure="open" id="S4.p10.4.m4.2.3.3.1.cmml" xref="S4.p10.4.m4.2.3.3.2"><ci id="S4.p10.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.p10.4.m4.1.1">𝑥</ci><ci id="S4.p10.4.m4.2.2.cmml" xref="S4.p10.4.m4.2.2">𝑦</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p10.4.m4.2c">F(x,y)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p10.4.m4.2d">italic_F ( italic_x , italic_y )</annotation></semantics></math> and <math alttext="X(\alpha)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p10.5.m5.1"><semantics id="S4.p10.5.m5.1a"><mrow id="S4.p10.5.m5.1.2" xref="S4.p10.5.m5.1.2.cmml"><mi id="S4.p10.5.m5.1.2.2" xref="S4.p10.5.m5.1.2.2.cmml">X</mi><mo id="S4.p10.5.m5.1.2.1" xref="S4.p10.5.m5.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p10.5.m5.1.2.3.2" xref="S4.p10.5.m5.1.2.cmml"><mo id="S4.p10.5.m5.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.p10.5.m5.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.p10.5.m5.1.1" xref="S4.p10.5.m5.1.1.cmml">α</mi><mo id="S4.p10.5.m5.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.p10.5.m5.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p10.5.m5.1b"><apply id="S4.p10.5.m5.1.2.cmml" xref="S4.p10.5.m5.1.2"><times id="S4.p10.5.m5.1.2.1.cmml" xref="S4.p10.5.m5.1.2.1"></times><ci id="S4.p10.5.m5.1.2.2.cmml" xref="S4.p10.5.m5.1.2.2">𝑋</ci><ci id="S4.p10.5.m5.1.1.cmml" xref="S4.p10.5.m5.1.1">𝛼</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p10.5.m5.1c">X(\alpha)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p10.5.m5.1d">italic_X ( italic_α )</annotation></semantics></math> intersect each other in the matrix <math alttext="F(\omega,\omega)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p10.6.m6.2"><semantics id="S4.p10.6.m6.2a"><mrow id="S4.p10.6.m6.2.3" xref="S4.p10.6.m6.2.3.cmml"><mi id="S4.p10.6.m6.2.3.2" xref="S4.p10.6.m6.2.3.2.cmml">F</mi><mo id="S4.p10.6.m6.2.3.1" xref="S4.p10.6.m6.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p10.6.m6.2.3.3.2" xref="S4.p10.6.m6.2.3.3.1.cmml"><mo id="S4.p10.6.m6.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.p10.6.m6.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S4.p10.6.m6.1.1" xref="S4.p10.6.m6.1.1.cmml">ω</mi><mo id="S4.p10.6.m6.2.3.3.2.2" xref="S4.p10.6.m6.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.p10.6.m6.2.2" xref="S4.p10.6.m6.2.2.cmml">ω</mi><mo id="S4.p10.6.m6.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.p10.6.m6.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p10.6.m6.2b"><apply id="S4.p10.6.m6.2.3.cmml" xref="S4.p10.6.m6.2.3"><times id="S4.p10.6.m6.2.3.1.cmml" xref="S4.p10.6.m6.2.3.1"></times><ci id="S4.p10.6.m6.2.3.2.cmml" xref="S4.p10.6.m6.2.3.2">𝐹</ci><interval closure="open" id="S4.p10.6.m6.2.3.3.1.cmml" xref="S4.p10.6.m6.2.3.3.2"><ci id="S4.p10.6.m6.1.1.cmml" xref="S4.p10.6.m6.1.1">𝜔</ci><ci id="S4.p10.6.m6.2.2.cmml" xref="S4.p10.6.m6.2.2">𝜔</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p10.6.m6.2c">F(\omega,\omega)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p10.6.m6.2d">italic_F ( italic_ω , italic_ω )</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.p11"> <p class="ltx_p" id="S4.p11.1">Let us also recall here the most general known construction of MUB-triplets in dimension 6, based on an idea of Zauner <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#bib.bib32" title="">32</a>]</cite>, and described in full generality by Szöllősi in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#bib.bib27" title="">27</a>]</cite>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.p12"> <p class="ltx_p" id="S4.p12.1">Every matrix <math alttext="S\in X(\alpha)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p12.1.m1.1"><semantics id="S4.p12.1.m1.1a"><mrow id="S4.p12.1.m1.1.2" xref="S4.p12.1.m1.1.2.cmml"><mi id="S4.p12.1.m1.1.2.2" xref="S4.p12.1.m1.1.2.2.cmml">S</mi><mo id="S4.p12.1.m1.1.2.1" xref="S4.p12.1.m1.1.2.1.cmml">∈</mo><mrow id="S4.p12.1.m1.1.2.3" xref="S4.p12.1.m1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.p12.1.m1.1.2.3.2" xref="S4.p12.1.m1.1.2.3.2.cmml">X</mi><mo id="S4.p12.1.m1.1.2.3.1" xref="S4.p12.1.m1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p12.1.m1.1.2.3.3.2" xref="S4.p12.1.m1.1.2.3.cmml"><mo id="S4.p12.1.m1.1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.p12.1.m1.1.2.3.cmml">(</mo><mi id="S4.p12.1.m1.1.1" xref="S4.p12.1.m1.1.1.cmml">α</mi><mo id="S4.p12.1.m1.1.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.p12.1.m1.1.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p12.1.m1.1b"><apply id="S4.p12.1.m1.1.2.cmml" xref="S4.p12.1.m1.1.2"><in id="S4.p12.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S4.p12.1.m1.1.2.1"></in><ci id="S4.p12.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S4.p12.1.m1.1.2.2">𝑆</ci><apply id="S4.p12.1.m1.1.2.3.cmml" xref="S4.p12.1.m1.1.2.3"><times id="S4.p12.1.m1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.p12.1.m1.1.2.3.1"></times><ci id="S4.p12.1.m1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.p12.1.m1.1.2.3.2">𝑋</ci><ci id="S4.p12.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.p12.1.m1.1.1">𝛼</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p12.1.m1.1c">S\in X(\alpha)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p12.1.m1.1d">italic_S ∈ italic_X ( italic_α )</annotation></semantics></math> of the form (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#S4.E2" title="Equation 4.2 ‣ 4. Hadamard cubes in dimension 6 ‣ Triplets of Mutually Unbiased Bases"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4.2</span></a>) can be written as a product</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E3"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(4.3)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="S=F_{1}^{-1}F_{2}," class="ltx_Math" display="block" id="S4.E3.m1.1"><semantics id="S4.E3.m1.1a"><mrow id="S4.E3.m1.1.1.1" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E3.m1.1.1.1.1" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E3.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.2.cmml">S</mi><mo id="S4.E3.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.E3.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.3.cmml"><msubsup id="S4.E3.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.E3.m1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">F</mi><mn id="S4.E3.m1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">1</mn><mrow id="S4.E3.m1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mo id="S4.E3.m1.1.1.1.1.3.2.3a" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">−</mo><mn id="S4.E3.m1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msubsup><mo id="S4.E3.m1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E3.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.E3.m1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">F</mi><mn id="S4.E3.m1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow></mrow><mo id="S4.E3.m1.1.1.1.2" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E3.m1.1b"><apply id="S4.E3.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E3.m1.1.1.1"><eq id="S4.E3.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.1"></eq><ci id="S4.E3.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.2">𝑆</ci><apply id="S4.E3.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.3"><times id="S4.E3.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S4.E3.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E3.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><apply id="S4.E3.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E3.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E3.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.3.2.2.2">𝐹</ci><cn id="S4.E3.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.3.2.2.3">1</cn></apply><apply id="S4.E3.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.3.2.3"><minus id="S4.E3.m1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.3.2.3"></minus><cn id="S4.E3.m1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.3.2.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="S4.E3.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E3.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E3.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.3.3.2">𝐹</ci><cn id="S4.E3.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E3.m1.1.1.1.1.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E3.m1.1c">S=F_{1}^{-1}F_{2},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E3.m1.1d">italic_S = italic_F start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_F start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.p12.10">where <math alttext="F_{1}=D_{1}F(x_{1},y_{1})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p12.2.m1.2"><semantics id="S4.p12.2.m1.2a"><mrow id="S4.p12.2.m1.2.2" xref="S4.p12.2.m1.2.2.cmml"><msub id="S4.p12.2.m1.2.2.4" xref="S4.p12.2.m1.2.2.4.cmml"><mi id="S4.p12.2.m1.2.2.4.2" xref="S4.p12.2.m1.2.2.4.2.cmml">F</mi><mn id="S4.p12.2.m1.2.2.4.3" xref="S4.p12.2.m1.2.2.4.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.p12.2.m1.2.2.3" xref="S4.p12.2.m1.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="S4.p12.2.m1.2.2.2" xref="S4.p12.2.m1.2.2.2.cmml"><msub id="S4.p12.2.m1.2.2.2.4" xref="S4.p12.2.m1.2.2.2.4.cmml"><mi id="S4.p12.2.m1.2.2.2.4.2" xref="S4.p12.2.m1.2.2.2.4.2.cmml">D</mi><mn id="S4.p12.2.m1.2.2.2.4.3" xref="S4.p12.2.m1.2.2.2.4.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.p12.2.m1.2.2.2.3" xref="S4.p12.2.m1.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mi id="S4.p12.2.m1.2.2.2.5" xref="S4.p12.2.m1.2.2.2.5.cmml">F</mi><mo id="S4.p12.2.m1.2.2.2.3a" xref="S4.p12.2.m1.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p12.2.m1.2.2.2.2.2" xref="S4.p12.2.m1.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S4.p12.2.m1.2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S4.p12.2.m1.2.2.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="S4.p12.2.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.p12.2.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.p12.2.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.p12.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="S4.p12.2.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.p12.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.p12.2.m1.2.2.2.2.2.4" xref="S4.p12.2.m1.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S4.p12.2.m1.2.2.2.2.2.2" xref="S4.p12.2.m1.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.p12.2.m1.2.2.2.2.2.2.2" xref="S4.p12.2.m1.2.2.2.2.2.2.2.cmml">y</mi><mn id="S4.p12.2.m1.2.2.2.2.2.2.3" xref="S4.p12.2.m1.2.2.2.2.2.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.p12.2.m1.2.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S4.p12.2.m1.2.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p12.2.m1.2b"><apply id="S4.p12.2.m1.2.2.cmml" xref="S4.p12.2.m1.2.2"><eq id="S4.p12.2.m1.2.2.3.cmml" xref="S4.p12.2.m1.2.2.3"></eq><apply id="S4.p12.2.m1.2.2.4.cmml" xref="S4.p12.2.m1.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p12.2.m1.2.2.4.1.cmml" xref="S4.p12.2.m1.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S4.p12.2.m1.2.2.4.2.cmml" xref="S4.p12.2.m1.2.2.4.2">𝐹</ci><cn id="S4.p12.2.m1.2.2.4.3.cmml" type="integer" xref="S4.p12.2.m1.2.2.4.3">1</cn></apply><apply id="S4.p12.2.m1.2.2.2.cmml" xref="S4.p12.2.m1.2.2.2"><times id="S4.p12.2.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.p12.2.m1.2.2.2.3"></times><apply id="S4.p12.2.m1.2.2.2.4.cmml" xref="S4.p12.2.m1.2.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p12.2.m1.2.2.2.4.1.cmml" xref="S4.p12.2.m1.2.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S4.p12.2.m1.2.2.2.4.2.cmml" xref="S4.p12.2.m1.2.2.2.4.2">𝐷</ci><cn id="S4.p12.2.m1.2.2.2.4.3.cmml" type="integer" xref="S4.p12.2.m1.2.2.2.4.3">1</cn></apply><ci id="S4.p12.2.m1.2.2.2.5.cmml" xref="S4.p12.2.m1.2.2.2.5">𝐹</ci><interval closure="open" id="S4.p12.2.m1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.p12.2.m1.2.2.2.2.2"><apply id="S4.p12.2.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p12.2.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p12.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p12.2.m1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.p12.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.p12.2.m1.1.1.1.1.1.1.2">𝑥</ci><cn id="S4.p12.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.p12.2.m1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S4.p12.2.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.p12.2.m1.2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p12.2.m1.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.p12.2.m1.2.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.p12.2.m1.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.p12.2.m1.2.2.2.2.2.2.2">𝑦</ci><cn id="S4.p12.2.m1.2.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.p12.2.m1.2.2.2.2.2.2.3">1</cn></apply></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p12.2.m1.2c">F_{1}=D_{1}F(x_{1},y_{1})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p12.2.m1.2d">italic_F start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT = italic_D start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_F ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_y start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> and <math alttext="F_{2}=D_{2}F(x_{2},y_{2})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p12.3.m2.2"><semantics id="S4.p12.3.m2.2a"><mrow id="S4.p12.3.m2.2.2" xref="S4.p12.3.m2.2.2.cmml"><msub id="S4.p12.3.m2.2.2.4" xref="S4.p12.3.m2.2.2.4.cmml"><mi id="S4.p12.3.m2.2.2.4.2" xref="S4.p12.3.m2.2.2.4.2.cmml">F</mi><mn id="S4.p12.3.m2.2.2.4.3" xref="S4.p12.3.m2.2.2.4.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S4.p12.3.m2.2.2.3" xref="S4.p12.3.m2.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="S4.p12.3.m2.2.2.2" xref="S4.p12.3.m2.2.2.2.cmml"><msub id="S4.p12.3.m2.2.2.2.4" xref="S4.p12.3.m2.2.2.2.4.cmml"><mi id="S4.p12.3.m2.2.2.2.4.2" xref="S4.p12.3.m2.2.2.2.4.2.cmml">D</mi><mn id="S4.p12.3.m2.2.2.2.4.3" xref="S4.p12.3.m2.2.2.2.4.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S4.p12.3.m2.2.2.2.3" xref="S4.p12.3.m2.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mi id="S4.p12.3.m2.2.2.2.5" xref="S4.p12.3.m2.2.2.2.5.cmml">F</mi><mo id="S4.p12.3.m2.2.2.2.3a" xref="S4.p12.3.m2.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p12.3.m2.2.2.2.2.2" xref="S4.p12.3.m2.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S4.p12.3.m2.2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S4.p12.3.m2.2.2.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="S4.p12.3.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.p12.3.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.p12.3.m2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.p12.3.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="S4.p12.3.m2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.p12.3.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S4.p12.3.m2.2.2.2.2.2.4" xref="S4.p12.3.m2.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S4.p12.3.m2.2.2.2.2.2.2" xref="S4.p12.3.m2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.p12.3.m2.2.2.2.2.2.2.2" xref="S4.p12.3.m2.2.2.2.2.2.2.2.cmml">y</mi><mn id="S4.p12.3.m2.2.2.2.2.2.2.3" xref="S4.p12.3.m2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S4.p12.3.m2.2.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S4.p12.3.m2.2.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p12.3.m2.2b"><apply id="S4.p12.3.m2.2.2.cmml" xref="S4.p12.3.m2.2.2"><eq id="S4.p12.3.m2.2.2.3.cmml" xref="S4.p12.3.m2.2.2.3"></eq><apply id="S4.p12.3.m2.2.2.4.cmml" xref="S4.p12.3.m2.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p12.3.m2.2.2.4.1.cmml" xref="S4.p12.3.m2.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S4.p12.3.m2.2.2.4.2.cmml" xref="S4.p12.3.m2.2.2.4.2">𝐹</ci><cn id="S4.p12.3.m2.2.2.4.3.cmml" type="integer" xref="S4.p12.3.m2.2.2.4.3">2</cn></apply><apply id="S4.p12.3.m2.2.2.2.cmml" xref="S4.p12.3.m2.2.2.2"><times id="S4.p12.3.m2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.p12.3.m2.2.2.2.3"></times><apply id="S4.p12.3.m2.2.2.2.4.cmml" xref="S4.p12.3.m2.2.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p12.3.m2.2.2.2.4.1.cmml" xref="S4.p12.3.m2.2.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S4.p12.3.m2.2.2.2.4.2.cmml" xref="S4.p12.3.m2.2.2.2.4.2">𝐷</ci><cn id="S4.p12.3.m2.2.2.2.4.3.cmml" type="integer" xref="S4.p12.3.m2.2.2.2.4.3">2</cn></apply><ci id="S4.p12.3.m2.2.2.2.5.cmml" xref="S4.p12.3.m2.2.2.2.5">𝐹</ci><interval closure="open" id="S4.p12.3.m2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.p12.3.m2.2.2.2.2.2"><apply id="S4.p12.3.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p12.3.m2.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p12.3.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p12.3.m2.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.p12.3.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.p12.3.m2.1.1.1.1.1.1.2">𝑥</ci><cn id="S4.p12.3.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.p12.3.m2.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply><apply id="S4.p12.3.m2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.p12.3.m2.2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p12.3.m2.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.p12.3.m2.2.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.p12.3.m2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.p12.3.m2.2.2.2.2.2.2.2">𝑦</ci><cn id="S4.p12.3.m2.2.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.p12.3.m2.2.2.2.2.2.2.3">2</cn></apply></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p12.3.m2.2c">F_{2}=D_{2}F(x_{2},y_{2})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p12.3.m2.2d">italic_F start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT = italic_D start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT italic_F ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT , italic_y start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math>, with some unitary diagonal matrices <math alttext="D_{1},D_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p12.4.m3.2"><semantics id="S4.p12.4.m3.2a"><mrow id="S4.p12.4.m3.2.2.2" xref="S4.p12.4.m3.2.2.3.cmml"><msub id="S4.p12.4.m3.1.1.1.1" xref="S4.p12.4.m3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.p12.4.m3.1.1.1.1.2" xref="S4.p12.4.m3.1.1.1.1.2.cmml">D</mi><mn id="S4.p12.4.m3.1.1.1.1.3" xref="S4.p12.4.m3.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.p12.4.m3.2.2.2.3" xref="S4.p12.4.m3.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S4.p12.4.m3.2.2.2.2" xref="S4.p12.4.m3.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.p12.4.m3.2.2.2.2.2" xref="S4.p12.4.m3.2.2.2.2.2.cmml">D</mi><mn id="S4.p12.4.m3.2.2.2.2.3" xref="S4.p12.4.m3.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p12.4.m3.2b"><list id="S4.p12.4.m3.2.2.3.cmml" xref="S4.p12.4.m3.2.2.2"><apply id="S4.p12.4.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p12.4.m3.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p12.4.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p12.4.m3.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.p12.4.m3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.p12.4.m3.1.1.1.1.2">𝐷</ci><cn id="S4.p12.4.m3.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.p12.4.m3.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S4.p12.4.m3.2.2.2.2.cmml" xref="S4.p12.4.m3.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p12.4.m3.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.p12.4.m3.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.p12.4.m3.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.p12.4.m3.2.2.2.2.2">𝐷</ci><cn id="S4.p12.4.m3.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.p12.4.m3.2.2.2.2.3">2</cn></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p12.4.m3.2c">D_{1},D_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p12.4.m3.2d">italic_D start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_D start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, and some members <math alttext="F(x_{1},y_{1})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p12.5.m4.2"><semantics id="S4.p12.5.m4.2a"><mrow id="S4.p12.5.m4.2.2" xref="S4.p12.5.m4.2.2.cmml"><mi id="S4.p12.5.m4.2.2.4" xref="S4.p12.5.m4.2.2.4.cmml">F</mi><mo id="S4.p12.5.m4.2.2.3" xref="S4.p12.5.m4.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p12.5.m4.2.2.2.2" xref="S4.p12.5.m4.2.2.2.3.cmml"><mo id="S4.p12.5.m4.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S4.p12.5.m4.2.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="S4.p12.5.m4.1.1.1.1.1" xref="S4.p12.5.m4.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.p12.5.m4.1.1.1.1.1.2" xref="S4.p12.5.m4.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="S4.p12.5.m4.1.1.1.1.1.3" xref="S4.p12.5.m4.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.p12.5.m4.2.2.2.2.4" xref="S4.p12.5.m4.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S4.p12.5.m4.2.2.2.2.2" xref="S4.p12.5.m4.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.p12.5.m4.2.2.2.2.2.2" xref="S4.p12.5.m4.2.2.2.2.2.2.cmml">y</mi><mn id="S4.p12.5.m4.2.2.2.2.2.3" xref="S4.p12.5.m4.2.2.2.2.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.p12.5.m4.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S4.p12.5.m4.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p12.5.m4.2b"><apply id="S4.p12.5.m4.2.2.cmml" xref="S4.p12.5.m4.2.2"><times id="S4.p12.5.m4.2.2.3.cmml" xref="S4.p12.5.m4.2.2.3"></times><ci id="S4.p12.5.m4.2.2.4.cmml" xref="S4.p12.5.m4.2.2.4">𝐹</ci><interval closure="open" id="S4.p12.5.m4.2.2.2.3.cmml" xref="S4.p12.5.m4.2.2.2.2"><apply id="S4.p12.5.m4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p12.5.m4.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p12.5.m4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p12.5.m4.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.p12.5.m4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.p12.5.m4.1.1.1.1.1.2">𝑥</ci><cn id="S4.p12.5.m4.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.p12.5.m4.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S4.p12.5.m4.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.p12.5.m4.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p12.5.m4.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.p12.5.m4.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.p12.5.m4.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.p12.5.m4.2.2.2.2.2.2">𝑦</ci><cn id="S4.p12.5.m4.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.p12.5.m4.2.2.2.2.2.3">1</cn></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p12.5.m4.2c">F(x_{1},y_{1})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p12.5.m4.2d">italic_F ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_y start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> and <math alttext="F(x_{2},y_{2})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p12.6.m5.2"><semantics id="S4.p12.6.m5.2a"><mrow id="S4.p12.6.m5.2.2" xref="S4.p12.6.m5.2.2.cmml"><mi id="S4.p12.6.m5.2.2.4" xref="S4.p12.6.m5.2.2.4.cmml">F</mi><mo id="S4.p12.6.m5.2.2.3" xref="S4.p12.6.m5.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p12.6.m5.2.2.2.2" xref="S4.p12.6.m5.2.2.2.3.cmml"><mo id="S4.p12.6.m5.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S4.p12.6.m5.2.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="S4.p12.6.m5.1.1.1.1.1" xref="S4.p12.6.m5.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.p12.6.m5.1.1.1.1.1.2" xref="S4.p12.6.m5.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="S4.p12.6.m5.1.1.1.1.1.3" xref="S4.p12.6.m5.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S4.p12.6.m5.2.2.2.2.4" xref="S4.p12.6.m5.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S4.p12.6.m5.2.2.2.2.2" xref="S4.p12.6.m5.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.p12.6.m5.2.2.2.2.2.2" xref="S4.p12.6.m5.2.2.2.2.2.2.cmml">y</mi><mn id="S4.p12.6.m5.2.2.2.2.2.3" xref="S4.p12.6.m5.2.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S4.p12.6.m5.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S4.p12.6.m5.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p12.6.m5.2b"><apply id="S4.p12.6.m5.2.2.cmml" xref="S4.p12.6.m5.2.2"><times id="S4.p12.6.m5.2.2.3.cmml" xref="S4.p12.6.m5.2.2.3"></times><ci id="S4.p12.6.m5.2.2.4.cmml" xref="S4.p12.6.m5.2.2.4">𝐹</ci><interval closure="open" id="S4.p12.6.m5.2.2.2.3.cmml" xref="S4.p12.6.m5.2.2.2.2"><apply id="S4.p12.6.m5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p12.6.m5.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p12.6.m5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p12.6.m5.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.p12.6.m5.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.p12.6.m5.1.1.1.1.1.2">𝑥</ci><cn id="S4.p12.6.m5.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.p12.6.m5.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply><apply id="S4.p12.6.m5.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.p12.6.m5.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p12.6.m5.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.p12.6.m5.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.p12.6.m5.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.p12.6.m5.2.2.2.2.2.2">𝑦</ci><cn id="S4.p12.6.m5.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.p12.6.m5.2.2.2.2.2.3">2</cn></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p12.6.m5.2c">F(x_{2},y_{2})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p12.6.m5.2d">italic_F ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT , italic_y start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> of the Fourier family (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#S4.E1" title="Equation 4.1 ‣ 4. Hadamard cubes in dimension 6 ‣ Triplets of Mutually Unbiased Bases"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4.1</span></a>). Therefore the matrices <math alttext="(I,F_{1},F_{2})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p12.7.m6.3"><semantics id="S4.p12.7.m6.3a"><mrow id="S4.p12.7.m6.3.3.2" xref="S4.p12.7.m6.3.3.3.cmml"><mo id="S4.p12.7.m6.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.p12.7.m6.3.3.3.cmml">(</mo><mi id="S4.p12.7.m6.1.1" xref="S4.p12.7.m6.1.1.cmml">I</mi><mo id="S4.p12.7.m6.3.3.2.4" xref="S4.p12.7.m6.3.3.3.cmml">,</mo><msub id="S4.p12.7.m6.2.2.1.1" xref="S4.p12.7.m6.2.2.1.1.cmml"><mi id="S4.p12.7.m6.2.2.1.1.2" xref="S4.p12.7.m6.2.2.1.1.2.cmml">F</mi><mn id="S4.p12.7.m6.2.2.1.1.3" xref="S4.p12.7.m6.2.2.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.p12.7.m6.3.3.2.5" xref="S4.p12.7.m6.3.3.3.cmml">,</mo><msub id="S4.p12.7.m6.3.3.2.2" xref="S4.p12.7.m6.3.3.2.2.cmml"><mi id="S4.p12.7.m6.3.3.2.2.2" xref="S4.p12.7.m6.3.3.2.2.2.cmml">F</mi><mn id="S4.p12.7.m6.3.3.2.2.3" xref="S4.p12.7.m6.3.3.2.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S4.p12.7.m6.3.3.2.6" stretchy="false" xref="S4.p12.7.m6.3.3.3.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p12.7.m6.3b"><vector id="S4.p12.7.m6.3.3.3.cmml" xref="S4.p12.7.m6.3.3.2"><ci id="S4.p12.7.m6.1.1.cmml" xref="S4.p12.7.m6.1.1">𝐼</ci><apply id="S4.p12.7.m6.2.2.1.1.cmml" xref="S4.p12.7.m6.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p12.7.m6.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.p12.7.m6.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.p12.7.m6.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.p12.7.m6.2.2.1.1.2">𝐹</ci><cn id="S4.p12.7.m6.2.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.p12.7.m6.2.2.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S4.p12.7.m6.3.3.2.2.cmml" xref="S4.p12.7.m6.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p12.7.m6.3.3.2.2.1.cmml" xref="S4.p12.7.m6.3.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.p12.7.m6.3.3.2.2.2.cmml" xref="S4.p12.7.m6.3.3.2.2.2">𝐹</ci><cn id="S4.p12.7.m6.3.3.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.p12.7.m6.3.3.2.2.3">2</cn></apply></vector></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p12.7.m6.3c">(I,F_{1},F_{2})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p12.7.m6.3d">( italic_I , italic_F start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_F start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> form a 2-parameter family of MUB-triplets (the dependence of <math alttext="S,F_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p12.8.m7.2"><semantics id="S4.p12.8.m7.2a"><mrow id="S4.p12.8.m7.2.2.1" xref="S4.p12.8.m7.2.2.2.cmml"><mi id="S4.p12.8.m7.1.1" xref="S4.p12.8.m7.1.1.cmml">S</mi><mo id="S4.p12.8.m7.2.2.1.2" xref="S4.p12.8.m7.2.2.2.cmml">,</mo><msub id="S4.p12.8.m7.2.2.1.1" xref="S4.p12.8.m7.2.2.1.1.cmml"><mi id="S4.p12.8.m7.2.2.1.1.2" xref="S4.p12.8.m7.2.2.1.1.2.cmml">F</mi><mn id="S4.p12.8.m7.2.2.1.1.3" xref="S4.p12.8.m7.2.2.1.1.3.cmml">1</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p12.8.m7.2b"><list id="S4.p12.8.m7.2.2.2.cmml" xref="S4.p12.8.m7.2.2.1"><ci id="S4.p12.8.m7.1.1.cmml" xref="S4.p12.8.m7.1.1">𝑆</ci><apply id="S4.p12.8.m7.2.2.1.1.cmml" xref="S4.p12.8.m7.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p12.8.m7.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.p12.8.m7.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.p12.8.m7.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.p12.8.m7.2.2.1.1.2">𝐹</ci><cn id="S4.p12.8.m7.2.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.p12.8.m7.2.2.1.1.3">1</cn></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p12.8.m7.2c">S,F_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p12.8.m7.2d">italic_S , italic_F start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="F_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p12.9.m8.1"><semantics id="S4.p12.9.m8.1a"><msub id="S4.p12.9.m8.1.1" xref="S4.p12.9.m8.1.1.cmml"><mi id="S4.p12.9.m8.1.1.2" xref="S4.p12.9.m8.1.1.2.cmml">F</mi><mn id="S4.p12.9.m8.1.1.3" xref="S4.p12.9.m8.1.1.3.cmml">2</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p12.9.m8.1b"><apply id="S4.p12.9.m8.1.1.cmml" xref="S4.p12.9.m8.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p12.9.m8.1.1.1.cmml" xref="S4.p12.9.m8.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.p12.9.m8.1.1.2.cmml" xref="S4.p12.9.m8.1.1.2">𝐹</ci><cn id="S4.p12.9.m8.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.p12.9.m8.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p12.9.m8.1c">F_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p12.9.m8.1d">italic_F start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> on the complex parameter <math alttext="\alpha" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p12.10.m9.1"><semantics id="S4.p12.10.m9.1a"><mi id="S4.p12.10.m9.1.1" xref="S4.p12.10.m9.1.1.cmml">α</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p12.10.m9.1b"><ci id="S4.p12.10.m9.1.1.cmml" xref="S4.p12.10.m9.1.1">𝛼</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p12.10.m9.1c">\alpha</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p12.10.m9.1d">italic_α</annotation></semantics></math> is suppressed in the notation).</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.p13"> <p class="ltx_p" id="S4.p13.4">The Hadamard cube <math alttext="C" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p13.1.m1.1"><semantics id="S4.p13.1.m1.1a"><mi id="S4.p13.1.m1.1.1" xref="S4.p13.1.m1.1.1.cmml">C</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p13.1.m1.1b"><ci id="S4.p13.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.p13.1.m1.1.1">𝐶</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p13.1.m1.1c">C</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p13.1.m1.1d">italic_C</annotation></semantics></math>, associated with the MUB-triplet <math alttext="(I,F_{1},F_{2})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p13.2.m2.3"><semantics id="S4.p13.2.m2.3a"><mrow id="S4.p13.2.m2.3.3.2" xref="S4.p13.2.m2.3.3.3.cmml"><mo id="S4.p13.2.m2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.p13.2.m2.3.3.3.cmml">(</mo><mi id="S4.p13.2.m2.1.1" xref="S4.p13.2.m2.1.1.cmml">I</mi><mo id="S4.p13.2.m2.3.3.2.4" xref="S4.p13.2.m2.3.3.3.cmml">,</mo><msub id="S4.p13.2.m2.2.2.1.1" xref="S4.p13.2.m2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S4.p13.2.m2.2.2.1.1.2" xref="S4.p13.2.m2.2.2.1.1.2.cmml">F</mi><mn id="S4.p13.2.m2.2.2.1.1.3" xref="S4.p13.2.m2.2.2.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.p13.2.m2.3.3.2.5" xref="S4.p13.2.m2.3.3.3.cmml">,</mo><msub id="S4.p13.2.m2.3.3.2.2" xref="S4.p13.2.m2.3.3.2.2.cmml"><mi id="S4.p13.2.m2.3.3.2.2.2" xref="S4.p13.2.m2.3.3.2.2.2.cmml">F</mi><mn id="S4.p13.2.m2.3.3.2.2.3" xref="S4.p13.2.m2.3.3.2.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S4.p13.2.m2.3.3.2.6" stretchy="false" xref="S4.p13.2.m2.3.3.3.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p13.2.m2.3b"><vector id="S4.p13.2.m2.3.3.3.cmml" xref="S4.p13.2.m2.3.3.2"><ci id="S4.p13.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.p13.2.m2.1.1">𝐼</ci><apply id="S4.p13.2.m2.2.2.1.1.cmml" xref="S4.p13.2.m2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p13.2.m2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.p13.2.m2.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.p13.2.m2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.p13.2.m2.2.2.1.1.2">𝐹</ci><cn id="S4.p13.2.m2.2.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.p13.2.m2.2.2.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S4.p13.2.m2.3.3.2.2.cmml" xref="S4.p13.2.m2.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p13.2.m2.3.3.2.2.1.cmml" xref="S4.p13.2.m2.3.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.p13.2.m2.3.3.2.2.2.cmml" xref="S4.p13.2.m2.3.3.2.2.2">𝐹</ci><cn id="S4.p13.2.m2.3.3.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.p13.2.m2.3.3.2.2.3">2</cn></apply></vector></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p13.2.m2.3c">(I,F_{1},F_{2})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p13.2.m2.3d">( italic_I , italic_F start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_F start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math>, has a very special form. For the orientation of the cube let us assume that horizontal slices are equivalent to <math alttext="S" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p13.3.m3.1"><semantics id="S4.p13.3.m3.1a"><mi id="S4.p13.3.m3.1.1" xref="S4.p13.3.m3.1.1.cmml">S</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p13.3.m3.1b"><ci id="S4.p13.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.p13.3.m3.1.1">𝑆</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p13.3.m3.1c">S</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p13.3.m3.1d">italic_S</annotation></semantics></math>. The <math alttext="j" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p13.4.m4.1"><semantics id="S4.p13.4.m4.1a"><mi id="S4.p13.4.m4.1.1" xref="S4.p13.4.m4.1.1.cmml">j</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p13.4.m4.1b"><ci id="S4.p13.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.p13.4.m4.1.1">𝑗</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p13.4.m4.1c">j</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p13.4.m4.1d">italic_j</annotation></semantics></math>th horizontal slice, by definition, is given by</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E4"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(4.4)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="C_{j,k,l}=(I^{*}F_{1})_{j,k}(F_{1}^{*}F_{2})_{k,l}(F_{2}^{*}I)_{l,j}" class="ltx_Math" display="block" id="S4.E4.m1.12"><semantics id="S4.E4.m1.12a"><mrow id="S4.E4.m1.12.12" xref="S4.E4.m1.12.12.cmml"><msub id="S4.E4.m1.12.12.5" xref="S4.E4.m1.12.12.5.cmml"><mi id="S4.E4.m1.12.12.5.2" xref="S4.E4.m1.12.12.5.2.cmml">C</mi><mrow id="S4.E4.m1.3.3.3.5" xref="S4.E4.m1.3.3.3.4.cmml"><mi id="S4.E4.m1.1.1.1.1" xref="S4.E4.m1.1.1.1.1.cmml">j</mi><mo id="S4.E4.m1.3.3.3.5.1" xref="S4.E4.m1.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S4.E4.m1.2.2.2.2" xref="S4.E4.m1.2.2.2.2.cmml">k</mi><mo id="S4.E4.m1.3.3.3.5.2" xref="S4.E4.m1.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S4.E4.m1.3.3.3.3" xref="S4.E4.m1.3.3.3.3.cmml">l</mi></mrow></msub><mo id="S4.E4.m1.12.12.4" xref="S4.E4.m1.12.12.4.cmml">=</mo><mrow id="S4.E4.m1.12.12.3" xref="S4.E4.m1.12.12.3.cmml"><msub id="S4.E4.m1.10.10.1.1" xref="S4.E4.m1.10.10.1.1.cmml"><mrow id="S4.E4.m1.10.10.1.1.1.1" xref="S4.E4.m1.10.10.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E4.m1.10.10.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E4.m1.10.10.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E4.m1.10.10.1.1.1.1.1" xref="S4.E4.m1.10.10.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S4.E4.m1.10.10.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E4.m1.10.10.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E4.m1.10.10.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E4.m1.10.10.1.1.1.1.1.2.2.cmml">I</mi><mo id="S4.E4.m1.10.10.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E4.m1.10.10.1.1.1.1.1.2.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S4.E4.m1.10.10.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E4.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E4.m1.10.10.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E4.m1.10.10.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E4.m1.10.10.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E4.m1.10.10.1.1.1.1.1.3.2.cmml">F</mi><mn id="S4.E4.m1.10.10.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E4.m1.10.10.1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow><mo id="S4.E4.m1.10.10.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E4.m1.10.10.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S4.E4.m1.5.5.2.4" xref="S4.E4.m1.5.5.2.3.cmml"><mi id="S4.E4.m1.4.4.1.1" xref="S4.E4.m1.4.4.1.1.cmml">j</mi><mo id="S4.E4.m1.5.5.2.4.1" xref="S4.E4.m1.5.5.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.E4.m1.5.5.2.2" xref="S4.E4.m1.5.5.2.2.cmml">k</mi></mrow></msub><mo id="S4.E4.m1.12.12.3.4" xref="S4.E4.m1.12.12.3.4.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E4.m1.11.11.2.2" xref="S4.E4.m1.11.11.2.2.cmml"><mrow id="S4.E4.m1.11.11.2.2.1.1" xref="S4.E4.m1.11.11.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E4.m1.11.11.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E4.m1.11.11.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E4.m1.11.11.2.2.1.1.1" xref="S4.E4.m1.11.11.2.2.1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.E4.m1.11.11.2.2.1.1.1.2" xref="S4.E4.m1.11.11.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E4.m1.11.11.2.2.1.1.1.2.2.2" xref="S4.E4.m1.11.11.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml">F</mi><mn id="S4.E4.m1.11.11.2.2.1.1.1.2.2.3" xref="S4.E4.m1.11.11.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml">1</mn><mo id="S4.E4.m1.11.11.2.2.1.1.1.2.3" xref="S4.E4.m1.11.11.2.2.1.1.1.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="S4.E4.m1.11.11.2.2.1.1.1.1" xref="S4.E4.m1.11.11.2.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E4.m1.11.11.2.2.1.1.1.3" xref="S4.E4.m1.11.11.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E4.m1.11.11.2.2.1.1.1.3.2" xref="S4.E4.m1.11.11.2.2.1.1.1.3.2.cmml">F</mi><mn id="S4.E4.m1.11.11.2.2.1.1.1.3.3" xref="S4.E4.m1.11.11.2.2.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="S4.E4.m1.11.11.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E4.m1.11.11.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S4.E4.m1.7.7.2.4" xref="S4.E4.m1.7.7.2.3.cmml"><mi id="S4.E4.m1.6.6.1.1" xref="S4.E4.m1.6.6.1.1.cmml">k</mi><mo id="S4.E4.m1.7.7.2.4.1" xref="S4.E4.m1.7.7.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.E4.m1.7.7.2.2" xref="S4.E4.m1.7.7.2.2.cmml">l</mi></mrow></msub><mo id="S4.E4.m1.12.12.3.4a" xref="S4.E4.m1.12.12.3.4.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E4.m1.12.12.3.3" xref="S4.E4.m1.12.12.3.3.cmml"><mrow id="S4.E4.m1.12.12.3.3.1.1" xref="S4.E4.m1.12.12.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E4.m1.12.12.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E4.m1.12.12.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E4.m1.12.12.3.3.1.1.1" xref="S4.E4.m1.12.12.3.3.1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.E4.m1.12.12.3.3.1.1.1.2" xref="S4.E4.m1.12.12.3.3.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E4.m1.12.12.3.3.1.1.1.2.2.2" xref="S4.E4.m1.12.12.3.3.1.1.1.2.2.2.cmml">F</mi><mn id="S4.E4.m1.12.12.3.3.1.1.1.2.2.3" xref="S4.E4.m1.12.12.3.3.1.1.1.2.2.3.cmml">2</mn><mo id="S4.E4.m1.12.12.3.3.1.1.1.2.3" xref="S4.E4.m1.12.12.3.3.1.1.1.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="S4.E4.m1.12.12.3.3.1.1.1.1" xref="S4.E4.m1.12.12.3.3.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E4.m1.12.12.3.3.1.1.1.3" xref="S4.E4.m1.12.12.3.3.1.1.1.3.cmml">I</mi></mrow><mo id="S4.E4.m1.12.12.3.3.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E4.m1.12.12.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S4.E4.m1.9.9.2.4" xref="S4.E4.m1.9.9.2.3.cmml"><mi id="S4.E4.m1.8.8.1.1" xref="S4.E4.m1.8.8.1.1.cmml">l</mi><mo id="S4.E4.m1.9.9.2.4.1" xref="S4.E4.m1.9.9.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.E4.m1.9.9.2.2" xref="S4.E4.m1.9.9.2.2.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E4.m1.12b"><apply id="S4.E4.m1.12.12.cmml" xref="S4.E4.m1.12.12"><eq id="S4.E4.m1.12.12.4.cmml" xref="S4.E4.m1.12.12.4"></eq><apply id="S4.E4.m1.12.12.5.cmml" xref="S4.E4.m1.12.12.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E4.m1.12.12.5.1.cmml" xref="S4.E4.m1.12.12.5">subscript</csymbol><ci id="S4.E4.m1.12.12.5.2.cmml" xref="S4.E4.m1.12.12.5.2">𝐶</ci><list id="S4.E4.m1.3.3.3.4.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.3.5"><ci id="S4.E4.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E4.m1.1.1.1.1">𝑗</ci><ci id="S4.E4.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E4.m1.2.2.2.2">𝑘</ci><ci id="S4.E4.m1.3.3.3.3.cmml" xref="S4.E4.m1.3.3.3.3">𝑙</ci></list></apply><apply id="S4.E4.m1.12.12.3.cmml" xref="S4.E4.m1.12.12.3"><times id="S4.E4.m1.12.12.3.4.cmml" xref="S4.E4.m1.12.12.3.4"></times><apply id="S4.E4.m1.10.10.1.1.cmml" xref="S4.E4.m1.10.10.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E4.m1.10.10.1.1.2.cmml" xref="S4.E4.m1.10.10.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.E4.m1.10.10.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E4.m1.10.10.1.1.1.1"><times id="S4.E4.m1.10.10.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E4.m1.10.10.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S4.E4.m1.10.10.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E4.m1.10.10.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E4.m1.10.10.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E4.m1.10.10.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.E4.m1.10.10.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E4.m1.10.10.1.1.1.1.1.2.2">𝐼</ci><times id="S4.E4.m1.10.10.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E4.m1.10.10.1.1.1.1.1.2.3"></times></apply><apply id="S4.E4.m1.10.10.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E4.m1.10.10.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E4.m1.10.10.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E4.m1.10.10.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E4.m1.10.10.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E4.m1.10.10.1.1.1.1.1.3.2">𝐹</ci><cn id="S4.E4.m1.10.10.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E4.m1.10.10.1.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply><list id="S4.E4.m1.5.5.2.3.cmml" xref="S4.E4.m1.5.5.2.4"><ci id="S4.E4.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S4.E4.m1.4.4.1.1">𝑗</ci><ci id="S4.E4.m1.5.5.2.2.cmml" xref="S4.E4.m1.5.5.2.2">𝑘</ci></list></apply><apply id="S4.E4.m1.11.11.2.2.cmml" xref="S4.E4.m1.11.11.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E4.m1.11.11.2.2.2.cmml" xref="S4.E4.m1.11.11.2.2">subscript</csymbol><apply id="S4.E4.m1.11.11.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.E4.m1.11.11.2.2.1.1"><times id="S4.E4.m1.11.11.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E4.m1.11.11.2.2.1.1.1.1"></times><apply id="S4.E4.m1.11.11.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E4.m1.11.11.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E4.m1.11.11.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E4.m1.11.11.2.2.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.E4.m1.11.11.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E4.m1.11.11.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E4.m1.11.11.2.2.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.E4.m1.11.11.2.2.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E4.m1.11.11.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.E4.m1.11.11.2.2.1.1.1.2.2.2">𝐹</ci><cn id="S4.E4.m1.11.11.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.E4.m1.11.11.2.2.1.1.1.2.2.3">1</cn></apply><times id="S4.E4.m1.11.11.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E4.m1.11.11.2.2.1.1.1.2.3"></times></apply><apply id="S4.E4.m1.11.11.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E4.m1.11.11.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E4.m1.11.11.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E4.m1.11.11.2.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E4.m1.11.11.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E4.m1.11.11.2.2.1.1.1.3.2">𝐹</ci><cn id="S4.E4.m1.11.11.2.2.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E4.m1.11.11.2.2.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply><list id="S4.E4.m1.7.7.2.3.cmml" xref="S4.E4.m1.7.7.2.4"><ci id="S4.E4.m1.6.6.1.1.cmml" xref="S4.E4.m1.6.6.1.1">𝑘</ci><ci id="S4.E4.m1.7.7.2.2.cmml" xref="S4.E4.m1.7.7.2.2">𝑙</ci></list></apply><apply id="S4.E4.m1.12.12.3.3.cmml" xref="S4.E4.m1.12.12.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E4.m1.12.12.3.3.2.cmml" xref="S4.E4.m1.12.12.3.3">subscript</csymbol><apply id="S4.E4.m1.12.12.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.E4.m1.12.12.3.3.1.1"><times id="S4.E4.m1.12.12.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E4.m1.12.12.3.3.1.1.1.1"></times><apply id="S4.E4.m1.12.12.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E4.m1.12.12.3.3.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E4.m1.12.12.3.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E4.m1.12.12.3.3.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.E4.m1.12.12.3.3.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E4.m1.12.12.3.3.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E4.m1.12.12.3.3.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.E4.m1.12.12.3.3.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E4.m1.12.12.3.3.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.E4.m1.12.12.3.3.1.1.1.2.2.2">𝐹</ci><cn id="S4.E4.m1.12.12.3.3.1.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.E4.m1.12.12.3.3.1.1.1.2.2.3">2</cn></apply><times id="S4.E4.m1.12.12.3.3.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E4.m1.12.12.3.3.1.1.1.2.3"></times></apply><ci id="S4.E4.m1.12.12.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E4.m1.12.12.3.3.1.1.1.3">𝐼</ci></apply><list id="S4.E4.m1.9.9.2.3.cmml" xref="S4.E4.m1.9.9.2.4"><ci id="S4.E4.m1.8.8.1.1.cmml" xref="S4.E4.m1.8.8.1.1">𝑙</ci><ci id="S4.E4.m1.9.9.2.2.cmml" xref="S4.E4.m1.9.9.2.2">𝑗</ci></list></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E4.m1.12c">C_{j,k,l}=(I^{*}F_{1})_{j,k}(F_{1}^{*}F_{2})_{k,l}(F_{2}^{*}I)_{l,j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E4.m1.12d">italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k , italic_l end_POSTSUBSCRIPT = ( italic_I start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_F start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_j , italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_F start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_F start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_k , italic_l end_POSTSUBSCRIPT ( italic_F start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_I ) start_POSTSUBSCRIPT italic_l , italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S4.p14"> <p class="ltx_p" id="S4.p14.12">A direct calculation shows that each slice <math alttext="C_{j,\cdot,\cdot}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p14.1.m1.3"><semantics id="S4.p14.1.m1.3a"><msub id="S4.p14.1.m1.3.4" xref="S4.p14.1.m1.3.4.cmml"><mi id="S4.p14.1.m1.3.4.2" xref="S4.p14.1.m1.3.4.2.cmml">C</mi><mrow id="S4.p14.1.m1.3.3.3.5" xref="S4.p14.1.m1.3.3.3.4.cmml"><mi id="S4.p14.1.m1.1.1.1.1" xref="S4.p14.1.m1.1.1.1.1.cmml">j</mi><mo id="S4.p14.1.m1.3.3.3.5.1" rspace="0em" xref="S4.p14.1.m1.3.3.3.4.cmml">,</mo><mo id="S4.p14.1.m1.2.2.2.2" lspace="0em" rspace="0em" xref="S4.p14.1.m1.2.2.2.2.cmml">⋅</mo><mo id="S4.p14.1.m1.3.3.3.5.2" rspace="0em" xref="S4.p14.1.m1.3.3.3.4.cmml">,</mo><mo id="S4.p14.1.m1.3.3.3.3" lspace="0em" xref="S4.p14.1.m1.3.3.3.3.cmml">⋅</mo></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p14.1.m1.3b"><apply id="S4.p14.1.m1.3.4.cmml" xref="S4.p14.1.m1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p14.1.m1.3.4.1.cmml" xref="S4.p14.1.m1.3.4">subscript</csymbol><ci id="S4.p14.1.m1.3.4.2.cmml" xref="S4.p14.1.m1.3.4.2">𝐶</ci><list id="S4.p14.1.m1.3.3.3.4.cmml" xref="S4.p14.1.m1.3.3.3.5"><ci id="S4.p14.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p14.1.m1.1.1.1.1">𝑗</ci><ci id="S4.p14.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.p14.1.m1.2.2.2.2">⋅</ci><ci id="S4.p14.1.m1.3.3.3.3.cmml" xref="S4.p14.1.m1.3.3.3.3">⋅</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p14.1.m1.3c">C_{j,\cdot,\cdot}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p14.1.m1.3d">italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j , ⋅ , ⋅ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> consists of four circulant blocks of size <math alttext="3\times 3" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p14.2.m2.1"><semantics id="S4.p14.2.m2.1a"><mrow id="S4.p14.2.m2.1.1" xref="S4.p14.2.m2.1.1.cmml"><mn id="S4.p14.2.m2.1.1.2" xref="S4.p14.2.m2.1.1.2.cmml">3</mn><mo id="S4.p14.2.m2.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.p14.2.m2.1.1.1.cmml">×</mo><mn id="S4.p14.2.m2.1.1.3" xref="S4.p14.2.m2.1.1.3.cmml">3</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p14.2.m2.1b"><apply id="S4.p14.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.p14.2.m2.1.1"><times id="S4.p14.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.p14.2.m2.1.1.1"></times><cn id="S4.p14.2.m2.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.p14.2.m2.1.1.2">3</cn><cn id="S4.p14.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.p14.2.m2.1.1.3">3</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p14.2.m2.1c">3\times 3</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p14.2.m2.1d">3 × 3</annotation></semantics></math>. As such, each slice <math alttext="C_{j,\cdot,\cdot}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p14.3.m3.3"><semantics id="S4.p14.3.m3.3a"><msub id="S4.p14.3.m3.3.4" xref="S4.p14.3.m3.3.4.cmml"><mi id="S4.p14.3.m3.3.4.2" xref="S4.p14.3.m3.3.4.2.cmml">C</mi><mrow id="S4.p14.3.m3.3.3.3.5" xref="S4.p14.3.m3.3.3.3.4.cmml"><mi id="S4.p14.3.m3.1.1.1.1" xref="S4.p14.3.m3.1.1.1.1.cmml">j</mi><mo id="S4.p14.3.m3.3.3.3.5.1" rspace="0em" xref="S4.p14.3.m3.3.3.3.4.cmml">,</mo><mo id="S4.p14.3.m3.2.2.2.2" lspace="0em" rspace="0em" xref="S4.p14.3.m3.2.2.2.2.cmml">⋅</mo><mo id="S4.p14.3.m3.3.3.3.5.2" rspace="0em" xref="S4.p14.3.m3.3.3.3.4.cmml">,</mo><mo id="S4.p14.3.m3.3.3.3.3" lspace="0em" xref="S4.p14.3.m3.3.3.3.3.cmml">⋅</mo></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p14.3.m3.3b"><apply id="S4.p14.3.m3.3.4.cmml" xref="S4.p14.3.m3.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p14.3.m3.3.4.1.cmml" xref="S4.p14.3.m3.3.4">subscript</csymbol><ci id="S4.p14.3.m3.3.4.2.cmml" xref="S4.p14.3.m3.3.4.2">𝐶</ci><list id="S4.p14.3.m3.3.3.3.4.cmml" xref="S4.p14.3.m3.3.3.3.5"><ci id="S4.p14.3.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p14.3.m3.1.1.1.1">𝑗</ci><ci id="S4.p14.3.m3.2.2.2.2.cmml" xref="S4.p14.3.m3.2.2.2.2">⋅</ci><ci id="S4.p14.3.m3.3.3.3.3.cmml" xref="S4.p14.3.m3.3.3.3.3">⋅</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p14.3.m3.3c">C_{j,\cdot,\cdot}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p14.3.m3.3d">italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_j , ⋅ , ⋅ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> consists of at most 12 distinct values, and hence the cube <math alttext="C" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p14.4.m4.1"><semantics id="S4.p14.4.m4.1a"><mi id="S4.p14.4.m4.1.1" xref="S4.p14.4.m4.1.1.cmml">C</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p14.4.m4.1b"><ci id="S4.p14.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.p14.4.m4.1.1">𝐶</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p14.4.m4.1c">C</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p14.4.m4.1d">italic_C</annotation></semantics></math> contains at most 72 distinct values, Further straightforward calculations show that these 72 values can be paired into 36 conjugate pairs. After a permutation of indices we arrive at a block decomposition of the cube <math alttext="C" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p14.5.m5.1"><semantics id="S4.p14.5.m5.1a"><mi id="S4.p14.5.m5.1.1" xref="S4.p14.5.m5.1.1.cmml">C</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p14.5.m5.1b"><ci id="S4.p14.5.m5.1.1.cmml" xref="S4.p14.5.m5.1.1">𝐶</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p14.5.m5.1c">C</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p14.5.m5.1d">italic_C</annotation></semantics></math> into mini-cubes of size <math alttext="2\times 2\times 2" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p14.6.m6.1"><semantics id="S4.p14.6.m6.1a"><mrow id="S4.p14.6.m6.1.1" xref="S4.p14.6.m6.1.1.cmml"><mn id="S4.p14.6.m6.1.1.2" xref="S4.p14.6.m6.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="S4.p14.6.m6.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.p14.6.m6.1.1.1.cmml">×</mo><mn id="S4.p14.6.m6.1.1.3" xref="S4.p14.6.m6.1.1.3.cmml">2</mn><mo id="S4.p14.6.m6.1.1.1a" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.p14.6.m6.1.1.1.cmml">×</mo><mn id="S4.p14.6.m6.1.1.4" xref="S4.p14.6.m6.1.1.4.cmml">2</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p14.6.m6.1b"><apply id="S4.p14.6.m6.1.1.cmml" xref="S4.p14.6.m6.1.1"><times id="S4.p14.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S4.p14.6.m6.1.1.1"></times><cn id="S4.p14.6.m6.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.p14.6.m6.1.1.2">2</cn><cn id="S4.p14.6.m6.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.p14.6.m6.1.1.3">2</cn><cn id="S4.p14.6.m6.1.1.4.cmml" type="integer" xref="S4.p14.6.m6.1.1.4">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p14.6.m6.1c">2\times 2\times 2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p14.6.m6.1d">2 × 2 × 2</annotation></semantics></math>, where the entries at opposite corners of each min-cube are conjugates of each other. This is shown in Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#S4.F1" title="Figure 1 ‣ 4. Hadamard cubes in dimension 6 ‣ Triplets of Mutually Unbiased Bases"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>. (Note that any value inside the cube can be filled in by equation (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#S3.E8" title="Equation 3.8 ‣ 3. MUB-triplets and Hadamard cubes ‣ Triplets of Mutually Unbiased Bases"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3.8</span></a>).) We call such a cube <math alttext="C" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p14.7.m7.1"><semantics id="S4.p14.7.m7.1a"><mi id="S4.p14.7.m7.1.1" xref="S4.p14.7.m7.1.1.cmml">C</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p14.7.m7.1b"><ci id="S4.p14.7.m7.1.1.cmml" xref="S4.p14.7.m7.1.1">𝐶</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p14.7.m7.1c">C</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p14.7.m7.1d">italic_C</annotation></semantics></math> <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.p14.12.1">generic</span> if the 36 conjugate pairs of numbers appearing in it are all distinct. In contrast, when <math alttext="S=F(\omega,\omega)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p14.8.m8.2"><semantics id="S4.p14.8.m8.2a"><mrow id="S4.p14.8.m8.2.3" xref="S4.p14.8.m8.2.3.cmml"><mi id="S4.p14.8.m8.2.3.2" xref="S4.p14.8.m8.2.3.2.cmml">S</mi><mo id="S4.p14.8.m8.2.3.1" xref="S4.p14.8.m8.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.p14.8.m8.2.3.3" xref="S4.p14.8.m8.2.3.3.cmml"><mi id="S4.p14.8.m8.2.3.3.2" xref="S4.p14.8.m8.2.3.3.2.cmml">F</mi><mo id="S4.p14.8.m8.2.3.3.1" xref="S4.p14.8.m8.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p14.8.m8.2.3.3.3.2" xref="S4.p14.8.m8.2.3.3.3.1.cmml"><mo id="S4.p14.8.m8.2.3.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.p14.8.m8.2.3.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S4.p14.8.m8.1.1" xref="S4.p14.8.m8.1.1.cmml">ω</mi><mo id="S4.p14.8.m8.2.3.3.3.2.2" xref="S4.p14.8.m8.2.3.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.p14.8.m8.2.2" xref="S4.p14.8.m8.2.2.cmml">ω</mi><mo id="S4.p14.8.m8.2.3.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.p14.8.m8.2.3.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p14.8.m8.2b"><apply id="S4.p14.8.m8.2.3.cmml" xref="S4.p14.8.m8.2.3"><eq id="S4.p14.8.m8.2.3.1.cmml" xref="S4.p14.8.m8.2.3.1"></eq><ci id="S4.p14.8.m8.2.3.2.cmml" xref="S4.p14.8.m8.2.3.2">𝑆</ci><apply id="S4.p14.8.m8.2.3.3.cmml" xref="S4.p14.8.m8.2.3.3"><times id="S4.p14.8.m8.2.3.3.1.cmml" xref="S4.p14.8.m8.2.3.3.1"></times><ci id="S4.p14.8.m8.2.3.3.2.cmml" xref="S4.p14.8.m8.2.3.3.2">𝐹</ci><interval closure="open" id="S4.p14.8.m8.2.3.3.3.1.cmml" xref="S4.p14.8.m8.2.3.3.3.2"><ci id="S4.p14.8.m8.1.1.cmml" xref="S4.p14.8.m8.1.1">𝜔</ci><ci id="S4.p14.8.m8.2.2.cmml" xref="S4.p14.8.m8.2.2">𝜔</ci></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p14.8.m8.2c">S=F(\omega,\omega)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p14.8.m8.2d">italic_S = italic_F ( italic_ω , italic_ω )</annotation></semantics></math> in equation (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#S4.E3" title="Equation 4.3 ‣ 4. Hadamard cubes in dimension 6 ‣ Triplets of Mutually Unbiased Bases"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4.3</span></a>), the construction leads to an MUB-triplet <math alttext="(X_{1},X_{2},X_{3})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p14.9.m9.3"><semantics id="S4.p14.9.m9.3a"><mrow id="S4.p14.9.m9.3.3.3" xref="S4.p14.9.m9.3.3.4.cmml"><mo id="S4.p14.9.m9.3.3.3.4" stretchy="false" xref="S4.p14.9.m9.3.3.4.cmml">(</mo><msub id="S4.p14.9.m9.1.1.1.1" xref="S4.p14.9.m9.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.p14.9.m9.1.1.1.1.2" xref="S4.p14.9.m9.1.1.1.1.2.cmml">X</mi><mn id="S4.p14.9.m9.1.1.1.1.3" xref="S4.p14.9.m9.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.p14.9.m9.3.3.3.5" xref="S4.p14.9.m9.3.3.4.cmml">,</mo><msub id="S4.p14.9.m9.2.2.2.2" xref="S4.p14.9.m9.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.p14.9.m9.2.2.2.2.2" xref="S4.p14.9.m9.2.2.2.2.2.cmml">X</mi><mn id="S4.p14.9.m9.2.2.2.2.3" xref="S4.p14.9.m9.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S4.p14.9.m9.3.3.3.6" xref="S4.p14.9.m9.3.3.4.cmml">,</mo><msub id="S4.p14.9.m9.3.3.3.3" xref="S4.p14.9.m9.3.3.3.3.cmml"><mi id="S4.p14.9.m9.3.3.3.3.2" xref="S4.p14.9.m9.3.3.3.3.2.cmml">X</mi><mn id="S4.p14.9.m9.3.3.3.3.3" xref="S4.p14.9.m9.3.3.3.3.3.cmml">3</mn></msub><mo id="S4.p14.9.m9.3.3.3.7" stretchy="false" xref="S4.p14.9.m9.3.3.4.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p14.9.m9.3b"><vector id="S4.p14.9.m9.3.3.4.cmml" xref="S4.p14.9.m9.3.3.3"><apply id="S4.p14.9.m9.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p14.9.m9.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p14.9.m9.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p14.9.m9.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.p14.9.m9.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.p14.9.m9.1.1.1.1.2">𝑋</ci><cn id="S4.p14.9.m9.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.p14.9.m9.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S4.p14.9.m9.2.2.2.2.cmml" xref="S4.p14.9.m9.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p14.9.m9.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.p14.9.m9.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.p14.9.m9.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.p14.9.m9.2.2.2.2.2">𝑋</ci><cn id="S4.p14.9.m9.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.p14.9.m9.2.2.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S4.p14.9.m9.3.3.3.3.cmml" xref="S4.p14.9.m9.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p14.9.m9.3.3.3.3.1.cmml" xref="S4.p14.9.m9.3.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.p14.9.m9.3.3.3.3.2.cmml" xref="S4.p14.9.m9.3.3.3.3.2">𝑋</ci><cn id="S4.p14.9.m9.3.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.p14.9.m9.3.3.3.3.3">3</cn></apply></vector></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p14.9.m9.3c">(X_{1},X_{2},X_{3})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p14.9.m9.3d">( italic_X start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_X start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT , italic_X start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> such that each of the three transition matrices <math alttext="X_{j}X_{k}^{\ast}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p14.10.m10.1"><semantics id="S4.p14.10.m10.1a"><mrow id="S4.p14.10.m10.1.1" xref="S4.p14.10.m10.1.1.cmml"><msub id="S4.p14.10.m10.1.1.2" xref="S4.p14.10.m10.1.1.2.cmml"><mi id="S4.p14.10.m10.1.1.2.2" xref="S4.p14.10.m10.1.1.2.2.cmml">X</mi><mi id="S4.p14.10.m10.1.1.2.3" xref="S4.p14.10.m10.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S4.p14.10.m10.1.1.1" xref="S4.p14.10.m10.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.p14.10.m10.1.1.3" xref="S4.p14.10.m10.1.1.3.cmml"><mi id="S4.p14.10.m10.1.1.3.2.2" xref="S4.p14.10.m10.1.1.3.2.2.cmml">X</mi><mi id="S4.p14.10.m10.1.1.3.2.3" xref="S4.p14.10.m10.1.1.3.2.3.cmml">k</mi><mo id="S4.p14.10.m10.1.1.3.3" xref="S4.p14.10.m10.1.1.3.3.cmml">∗</mo></msubsup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p14.10.m10.1b"><apply id="S4.p14.10.m10.1.1.cmml" xref="S4.p14.10.m10.1.1"><times id="S4.p14.10.m10.1.1.1.cmml" xref="S4.p14.10.m10.1.1.1"></times><apply id="S4.p14.10.m10.1.1.2.cmml" xref="S4.p14.10.m10.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p14.10.m10.1.1.2.1.cmml" xref="S4.p14.10.m10.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.p14.10.m10.1.1.2.2.cmml" xref="S4.p14.10.m10.1.1.2.2">𝑋</ci><ci id="S4.p14.10.m10.1.1.2.3.cmml" xref="S4.p14.10.m10.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="S4.p14.10.m10.1.1.3.cmml" xref="S4.p14.10.m10.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p14.10.m10.1.1.3.1.cmml" xref="S4.p14.10.m10.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.p14.10.m10.1.1.3.2.cmml" xref="S4.p14.10.m10.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p14.10.m10.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.p14.10.m10.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.p14.10.m10.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.p14.10.m10.1.1.3.2.2">𝑋</ci><ci id="S4.p14.10.m10.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.p14.10.m10.1.1.3.2.3">𝑘</ci></apply><ci id="S4.p14.10.m10.1.1.3.3.cmml" xref="S4.p14.10.m10.1.1.3.3">∗</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p14.10.m10.1c">X_{j}X_{k}^{\ast}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p14.10.m10.1d">italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> are equivalent to the matrix <math alttext="F(\omega,\omega)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p14.11.m11.2"><semantics id="S4.p14.11.m11.2a"><mrow id="S4.p14.11.m11.2.3" xref="S4.p14.11.m11.2.3.cmml"><mi id="S4.p14.11.m11.2.3.2" xref="S4.p14.11.m11.2.3.2.cmml">F</mi><mo id="S4.p14.11.m11.2.3.1" xref="S4.p14.11.m11.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p14.11.m11.2.3.3.2" xref="S4.p14.11.m11.2.3.3.1.cmml"><mo id="S4.p14.11.m11.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.p14.11.m11.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S4.p14.11.m11.1.1" xref="S4.p14.11.m11.1.1.cmml">ω</mi><mo id="S4.p14.11.m11.2.3.3.2.2" xref="S4.p14.11.m11.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.p14.11.m11.2.2" xref="S4.p14.11.m11.2.2.cmml">ω</mi><mo id="S4.p14.11.m11.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.p14.11.m11.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p14.11.m11.2b"><apply id="S4.p14.11.m11.2.3.cmml" xref="S4.p14.11.m11.2.3"><times id="S4.p14.11.m11.2.3.1.cmml" xref="S4.p14.11.m11.2.3.1"></times><ci id="S4.p14.11.m11.2.3.2.cmml" xref="S4.p14.11.m11.2.3.2">𝐹</ci><interval closure="open" id="S4.p14.11.m11.2.3.3.1.cmml" xref="S4.p14.11.m11.2.3.3.2"><ci id="S4.p14.11.m11.1.1.cmml" xref="S4.p14.11.m11.1.1">𝜔</ci><ci id="S4.p14.11.m11.2.2.cmml" xref="S4.p14.11.m11.2.2">𝜔</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p14.11.m11.2c">F(\omega,\omega)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p14.11.m11.2d">italic_F ( italic_ω , italic_ω )</annotation></semantics></math>, and the associated Hadamard cube <math alttext="C" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p14.12.m12.1"><semantics id="S4.p14.12.m12.1a"><mi id="S4.p14.12.m12.1.1" xref="S4.p14.12.m12.1.1.cmml">C</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p14.12.m12.1b"><ci id="S4.p14.12.m12.1.1.cmml" xref="S4.p14.12.m12.1.1">𝐶</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p14.12.m12.1c">C</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p14.12.m12.1d">italic_C</annotation></semantics></math> consists of 24th roots of unity exclusively. We call the arising cube <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.p14.12.2">exceptional</span>, and remark that it is unique up to permutations of indices, and applying conjugation to all elements.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.p15"> <p class="ltx_p" id="S4.p15.1">We now turn to describing the results of some numerical experiments that we have conducted in connection with MUB-triplets in dimension 6.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.p16"> <p class="ltx_p" id="S4.p16.1">Following common methodology <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#bib.bib25" title="">25</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#bib.bib5" title="">5</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#bib.bib7" title="">7</a>]</cite> we formulate the numerical search for MUB-triplets as a continuous optimization task. The loss function we use to quantify the mutually unbiased properties of a set of matrices is the simple unweighted sum of two terms: one quantifying orthogonality, the other quantifying unbiasedness:</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.p17"> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex1"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\sum_{1\leq i\leq 3}\sum_{1\leq k,l\leq 6}|(X_{i}^{*}X_{i}-I)_{kl}|^{2}+\sum_{% 1\leq i<j\leq 3}\sum_{1\leq k,l\leq 6}(|(X_{i}^{*}X_{j})_{kl}|-\frac{1}{\sqrt{% 6}})^{2}," class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex1.m1.5"><semantics id="S4.Ex1.m1.5a"><mrow id="S4.Ex1.m1.5.5.1" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.cmml"><munder id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.2" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.2.2" movablelimits="false" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.2.3.cmml"><mn id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.2.3.2" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.2.3.2.cmml">1</mn><mo id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.2.3.3" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.2.3.3.cmml">≤</mo><mi id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.2.3.4" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.2.3.4.cmml">i</mi><mo id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.2.3.5" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.2.3.5.cmml">≤</mo><mn id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.2.3.6" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.2.3.6.cmml">3</mn></mrow></munder><mrow id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.cmml"><munder id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.2.2" lspace="0.167em" movablelimits="false" rspace="0em" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S4.Ex1.m1.2.2.2.2" xref="S4.Ex1.m1.2.2.2.3.cmml"><mrow id="S4.Ex1.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S4.Ex1.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S4.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">≤</mo><mi id="S4.Ex1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></mrow><mo id="S4.Ex1.m1.2.2.2.2.3" xref="S4.Ex1.m1.2.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.Ex1.m1.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex1.m1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex1.m1.2.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex1.m1.2.2.2.2.2.2.cmml">l</mi><mo id="S4.Ex1.m1.2.2.2.2.2.1" xref="S4.Ex1.m1.2.2.2.2.2.1.cmml">≤</mo><mn id="S4.Ex1.m1.2.2.2.2.2.3" xref="S4.Ex1.m1.2.2.2.2.2.3.cmml">6</mn></mrow></mrow></munder><msup id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msubsup id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">X</mi><mi id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">i</mi><mo id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">X</mi><mi id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow><mo id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">I</mi></mrow><mo id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">l</mi></mrow></msub><mo id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mn id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><mo id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.3" rspace="0.055em" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.3.cmml">+</mo><mrow id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.cmml"><munder id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.2" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.2.cmml"><mo id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.2.2" movablelimits="false" rspace="0em" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.2.3.cmml"><mn id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.2.3.2" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.2.3.2.cmml">1</mn><mo id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.2.3.3" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.2.3.3.cmml">≤</mo><mi id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.2.3.4" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.2.3.4.cmml">i</mi><mo id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.2.3.5" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.2.3.5.cmml"><</mo><mi id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.2.3.6" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.2.3.6.cmml">j</mi><mo id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.2.3.7" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.2.3.7.cmml">≤</mo><mn id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.2.3.8" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.2.3.8.cmml">3</mn></mrow></munder><mrow id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.cmml"><munder id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.2" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.2.2" movablelimits="false" rspace="0em" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S4.Ex1.m1.4.4.2.2" xref="S4.Ex1.m1.4.4.2.3.cmml"><mrow id="S4.Ex1.m1.3.3.1.1.1" xref="S4.Ex1.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mn id="S4.Ex1.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S4.Ex1.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S4.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S4.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">≤</mo><mi id="S4.Ex1.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S4.Ex1.m1.3.3.1.1.1.3.cmml">k</mi></mrow><mo id="S4.Ex1.m1.4.4.2.2.3" xref="S4.Ex1.m1.4.4.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.Ex1.m1.4.4.2.2.2" xref="S4.Ex1.m1.4.4.2.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex1.m1.4.4.2.2.2.2" xref="S4.Ex1.m1.4.4.2.2.2.2.cmml">l</mi><mo id="S4.Ex1.m1.4.4.2.2.2.1" xref="S4.Ex1.m1.4.4.2.2.2.1.cmml">≤</mo><mn id="S4.Ex1.m1.4.4.2.2.2.3" xref="S4.Ex1.m1.4.4.2.2.2.3.cmml">6</mn></mrow></mrow></munder><msup id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">X</mi><mi id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">i</mi><mo id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">X</mi><mi id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">l</mi></mrow></msub><mo id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.2.cmml">−</mo><mfrac id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><msqrt id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mn id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">6</mn></msqrt></mfrac></mrow><mo id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.3" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex1.m1.5.5.1.2" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex1.m1.5b"><apply id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1"><plus id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.3"></plus><apply id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1"><apply id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.2.2"></sum><apply id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.2.3"><and id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.2.3a.cmml" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.2.3"></and><apply id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.2.3b.cmml" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.2.3"><leq id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.2.3.3"></leq><cn id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.2.3.2">1</cn><ci id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.2.3.4.cmml" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.2.3.4">𝑖</ci></apply><apply id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.2.3c.cmml" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.2.3"><leq id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.2.3.5.cmml" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.2.3.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.2.3.4.cmml" id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.2.3d.cmml" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.2.3"></share><cn id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.2.3.6.cmml" type="integer" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.2.3.6">3</cn></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1"><apply id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.2.2"></sum><apply id="S4.Ex1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex1.m1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex1.m1.2.2.2.3a.cmml" xref="S4.Ex1.m1.2.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.Ex1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.1.1.1.1.1"><leq id="S4.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1"></leq><cn id="S4.Ex1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex1.m1.1.1.1.1.1.2">1</cn><ci id="S4.Ex1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex1.m1.1.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply><apply id="S4.Ex1.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.2.2.2.2.2"><leq id="S4.Ex1.m1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.2.2.2.2.2.1"></leq><ci id="S4.Ex1.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.2.2.2.2.2.2">𝑙</ci><cn id="S4.Ex1.m1.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex1.m1.2.2.2.2.2.3">6</cn></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1"><abs id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2"></abs><apply id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2">𝑋</ci><ci id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3">𝑖</ci></apply><times id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3"></times></apply><apply id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑋</ci><ci id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">𝑖</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝐼</ci></apply><apply id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑙</ci></apply></apply></apply><cn id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2"><apply id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.2">subscript</csymbol><sum id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.2.2"></sum><apply id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.2.3"><and id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.2.3a.cmml" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.2.3"></and><apply id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.2.3b.cmml" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.2.3"><leq id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.2.3.3"></leq><cn id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.2.3.2">1</cn><ci id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.2.3.4.cmml" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.2.3.4">𝑖</ci></apply><apply id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.2.3c.cmml" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.2.3"><lt id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.2.3.5.cmml" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.2.3.5"></lt><share href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.2.3.4.cmml" id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.2.3d.cmml" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.2.3"></share><ci id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.2.3.6.cmml" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.2.3.6">𝑗</ci></apply><apply id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.2.3e.cmml" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.2.3"><leq id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.2.3.7.cmml" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.2.3.7"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.2.3.6.cmml" id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.2.3f.cmml" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.2.3"></share><cn id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.2.3.8.cmml" type="integer" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.2.3.8">3</cn></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1"><apply id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.2">subscript</csymbol><sum id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.2.2"></sum><apply id="S4.Ex1.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S4.Ex1.m1.4.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex1.m1.4.4.2.3a.cmml" xref="S4.Ex1.m1.4.4.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.Ex1.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.3.3.1.1.1"><leq id="S4.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1"></leq><cn id="S4.Ex1.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex1.m1.3.3.1.1.1.2">1</cn><ci id="S4.Ex1.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex1.m1.3.3.1.1.1.3">𝑘</ci></apply><apply id="S4.Ex1.m1.4.4.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.4.4.2.2.2"><leq id="S4.Ex1.m1.4.4.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.4.4.2.2.2.1"></leq><ci id="S4.Ex1.m1.4.4.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.4.4.2.2.2.2">𝑙</ci><cn id="S4.Ex1.m1.4.4.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex1.m1.4.4.2.2.2.3">6</cn></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1"><minus id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.2"></minus><apply id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1"><abs id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2"></abs><apply id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑋</ci><ci id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">𝑖</ci></apply><times id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"></times></apply><apply id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑋</ci><ci id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑘</ci><ci id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑙</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.3"><divide id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.3"></divide><cn id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2">1</cn><apply id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3"><root id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3a.cmml" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3"></root><cn id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.2">6</cn></apply></apply></apply><cn id="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex1.m1.5.5.1.1.2.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex1.m1.5c">\sum_{1\leq i\leq 3}\sum_{1\leq k,l\leq 6}|(X_{i}^{*}X_{i}-I)_{kl}|^{2}+\sum_{% 1\leq i<j\leq 3}\sum_{1\leq k,l\leq 6}(|(X_{i}^{*}X_{j})_{kl}|-\frac{1}{\sqrt{% 6}})^{2},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex1.m1.5d">∑ start_POSTSUBSCRIPT 1 ≤ italic_i ≤ 3 end_POSTSUBSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT 1 ≤ italic_k , italic_l ≤ 6 end_POSTSUBSCRIPT | ( italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT - italic_I ) start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_l end_POSTSUBSCRIPT | start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + ∑ start_POSTSUBSCRIPT 1 ≤ italic_i < italic_j ≤ 3 end_POSTSUBSCRIPT ∑ start_POSTSUBSCRIPT 1 ≤ italic_k , italic_l ≤ 6 end_POSTSUBSCRIPT ( | ( italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_l end_POSTSUBSCRIPT | - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG square-root start_ARG 6 end_ARG end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S4.p18"> <p class="ltx_p" id="S4.p18.1">This loss function is nonnegative, and it is zero if and only if all the MUB properties are satisfied. We use gradient-based optimization to find minima of this loss function, starting the optimization from three random unimodular matrices (scaled by a factor of <math alttext="\frac{1}{\sqrt{6}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p18.1.m1.1"><semantics id="S4.p18.1.m1.1a"><mfrac id="S4.p18.1.m1.1.1" xref="S4.p18.1.m1.1.1.cmml"><mn id="S4.p18.1.m1.1.1.2" xref="S4.p18.1.m1.1.1.2.cmml">1</mn><msqrt id="S4.p18.1.m1.1.1.3" xref="S4.p18.1.m1.1.1.3.cmml"><mn id="S4.p18.1.m1.1.1.3.2" xref="S4.p18.1.m1.1.1.3.2.cmml">6</mn></msqrt></mfrac><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p18.1.m1.1b"><apply id="S4.p18.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.p18.1.m1.1.1"><divide id="S4.p18.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.p18.1.m1.1.1"></divide><cn id="S4.p18.1.m1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.p18.1.m1.1.1.2">1</cn><apply id="S4.p18.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.p18.1.m1.1.1.3"><root id="S4.p18.1.m1.1.1.3a.cmml" xref="S4.p18.1.m1.1.1.3"></root><cn id="S4.p18.1.m1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.p18.1.m1.1.1.3.2">6</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p18.1.m1.1c">\frac{1}{\sqrt{6}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p18.1.m1.1d">divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG square-root start_ARG 6 end_ARG end_ARG</annotation></semantics></math>). The loss function is non-convex, so the optimization process can get stuck at local minima.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.p19"> <p class="ltx_p" id="S4.p19.2">After repeating the above process appropriately, we have obtained a collection of <math alttext="20000" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p19.1.m1.1"><semantics id="S4.p19.1.m1.1a"><mn id="S4.p19.1.m1.1.1" xref="S4.p19.1.m1.1.1.cmml">20000</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p19.1.m1.1b"><cn id="S4.p19.1.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.p19.1.m1.1.1">20000</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p19.1.m1.1c">20000</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p19.1.m1.1d">20000</annotation></semantics></math> numerical MUB-triplets <math alttext="(X_{1},X_{2},X_{3})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p19.2.m2.3"><semantics id="S4.p19.2.m2.3a"><mrow id="S4.p19.2.m2.3.3.3" xref="S4.p19.2.m2.3.3.4.cmml"><mo id="S4.p19.2.m2.3.3.3.4" stretchy="false" xref="S4.p19.2.m2.3.3.4.cmml">(</mo><msub id="S4.p19.2.m2.1.1.1.1" xref="S4.p19.2.m2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.p19.2.m2.1.1.1.1.2" xref="S4.p19.2.m2.1.1.1.1.2.cmml">X</mi><mn id="S4.p19.2.m2.1.1.1.1.3" xref="S4.p19.2.m2.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.p19.2.m2.3.3.3.5" xref="S4.p19.2.m2.3.3.4.cmml">,</mo><msub id="S4.p19.2.m2.2.2.2.2" xref="S4.p19.2.m2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.p19.2.m2.2.2.2.2.2" xref="S4.p19.2.m2.2.2.2.2.2.cmml">X</mi><mn id="S4.p19.2.m2.2.2.2.2.3" xref="S4.p19.2.m2.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S4.p19.2.m2.3.3.3.6" xref="S4.p19.2.m2.3.3.4.cmml">,</mo><msub id="S4.p19.2.m2.3.3.3.3" xref="S4.p19.2.m2.3.3.3.3.cmml"><mi id="S4.p19.2.m2.3.3.3.3.2" xref="S4.p19.2.m2.3.3.3.3.2.cmml">X</mi><mn id="S4.p19.2.m2.3.3.3.3.3" xref="S4.p19.2.m2.3.3.3.3.3.cmml">3</mn></msub><mo id="S4.p19.2.m2.3.3.3.7" stretchy="false" xref="S4.p19.2.m2.3.3.4.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p19.2.m2.3b"><vector id="S4.p19.2.m2.3.3.4.cmml" xref="S4.p19.2.m2.3.3.3"><apply id="S4.p19.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p19.2.m2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p19.2.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p19.2.m2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.p19.2.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.p19.2.m2.1.1.1.1.2">𝑋</ci><cn id="S4.p19.2.m2.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.p19.2.m2.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S4.p19.2.m2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.p19.2.m2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p19.2.m2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.p19.2.m2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.p19.2.m2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.p19.2.m2.2.2.2.2.2">𝑋</ci><cn id="S4.p19.2.m2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.p19.2.m2.2.2.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S4.p19.2.m2.3.3.3.3.cmml" xref="S4.p19.2.m2.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p19.2.m2.3.3.3.3.1.cmml" xref="S4.p19.2.m2.3.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.p19.2.m2.3.3.3.3.2.cmml" xref="S4.p19.2.m2.3.3.3.3.2">𝑋</ci><cn id="S4.p19.2.m2.3.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.p19.2.m2.3.3.3.3.3">3</cn></apply></vector></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p19.2.m2.3c">(X_{1},X_{2},X_{3})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p19.2.m2.3d">( italic_X start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_X start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT , italic_X start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math>. We summarize the results of this numerical experiment below.</p> </div> <figure class="ltx_figure" id="S4.F1"><svg class="ltx_picture ltx_centering" height="472.44" id="S4.F1.pic1" overflow="visible" version="1.1" width="629.92"><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.4pt" transform="translate(0,472.44) matrix(1 0 0 -1 0 0) translate(314.96,0) translate(0,236.22)"><clippath id="pgfcp1"><path d="M -314.96 -236.22 M -314.96 -236.22 L -314.96 236.22 L 314.96 236.22 L 314.96 -236.22 Z M 314.96 236.22"></path></clippath><g clip-path="url(#pgfcp1)"><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.8pt" transform="matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 -141.73 118.98)"><foreignobject height="4.17" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="5.12"><math alttext="a" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.pic1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.F1.pic1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mi id="S4.F1.pic1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml">a</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.pic1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><ci id="S4.F1.pic1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1">𝑎</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.pic1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">a</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.pic1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">italic_a</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.8pt" transform="matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 -114.23 132.57)"><foreignobject height="8.61" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="5.78"><math alttext="f" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.F1.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mi id="S4.F1.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml">f</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><ci id="S4.F1.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1">𝑓</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">f</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.pic1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">italic_f</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.8pt" transform="matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 -85.58 145.54)"><foreignobject height="6.73" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="4.16"><math alttext="b" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.pic1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.F1.pic1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mi id="S4.F1.pic1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml">b</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.pic1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><ci id="S4.F1.pic1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1">𝑏</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.pic1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">b</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.pic1.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">italic_b</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.8pt" transform="matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 -57.92 160.74)"><foreignobject height="4.17" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="4.51"><math alttext="e" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.F1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mi id="S4.F1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml">e</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><ci id="S4.F1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1">𝑒</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">e</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.pic1.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">italic_e</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.8pt" transform="matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 -29.93 174.65)"><foreignobject height="4.17" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="4.19"><math alttext="c" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.F1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mi id="S4.F1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml">c</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><ci id="S4.F1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1">𝑐</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">c</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.pic1.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">italic_c</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.8pt" transform="matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 -2.52 187.29)"><foreignobject height="6.73" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="5.04"><math alttext="d" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.F1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mi id="S4.F1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml">d</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><ci id="S4.F1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1">𝑑</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">d</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.pic1.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">italic_d</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.8pt" transform="matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 -117.31 104.17)"><foreignobject height="9.74" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="11.93"><math alttext="\gamma\overline{f}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.pic1.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.F1.pic1.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mrow id="S4.F1.pic1.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S4.F1.pic1.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.F1.pic1.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1" xref="S4.F1.pic1.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S4.F1.pic1.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3" xref="S4.F1.pic1.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml">f</mi><mo id="S4.F1.pic1.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.pic1.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S4.F1.pic1.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><times id="S4.F1.pic1.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1"></times><ci id="S4.F1.pic1.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2">𝛾</ci><apply id="S4.F1.pic1.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3"><ci id="S4.F1.pic1.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1">¯</ci><ci id="S4.F1.pic1.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2">𝑓</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.pic1.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">\gamma\overline{f}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.pic1.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">italic_γ over¯ start_ARG italic_f end_ARG</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.8pt" transform="matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 -92.62 118.08)"><foreignobject height="9.74" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="18.24"><math alttext="-\gamma\overline{a}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.pic1.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.F1.pic1.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mrow id="S4.F1.pic1.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S4.F1.pic1.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><mo id="S4.F1.pic1.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1a" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.F1.pic1.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" xref="S4.F1.pic1.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.F1.pic1.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1" xref="S4.F1.pic1.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S4.F1.pic1.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3" xref="S4.F1.pic1.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.cmml">a</mi><mo id="S4.F1.pic1.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.pic1.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S4.F1.pic1.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><minus id="S4.F1.pic1.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"></minus><apply id="S4.F1.pic1.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2"><times id="S4.F1.pic1.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1"></times><ci id="S4.F1.pic1.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2">𝛾</ci><apply id="S4.F1.pic1.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3"><ci id="S4.F1.pic1.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1">¯</ci><ci id="S4.F1.pic1.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2">𝑎</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.pic1.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">-\gamma\overline{a}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.pic1.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">- italic_γ over¯ start_ARG italic_a end_ARG</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.8pt" transform="matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 -61.64 132)"><foreignobject height="9.74" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="11.93"><math alttext="\gamma\overline{e}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.pic1.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.F1.pic1.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mrow id="S4.F1.pic1.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S4.F1.pic1.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.F1.pic1.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1" xref="S4.F1.pic1.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S4.F1.pic1.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3" xref="S4.F1.pic1.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml">e</mi><mo id="S4.F1.pic1.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.pic1.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S4.F1.pic1.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><times id="S4.F1.pic1.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1"></times><ci id="S4.F1.pic1.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2">𝛾</ci><apply id="S4.F1.pic1.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3"><ci id="S4.F1.pic1.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1">¯</ci><ci id="S4.F1.pic1.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2">𝑒</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.pic1.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">\gamma\overline{e}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.pic1.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">italic_γ over¯ start_ARG italic_e end_ARG</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.8pt" transform="matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 -36.95 145.92)"><foreignobject height="9.74" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="18.24"><math alttext="-\gamma\overline{b}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.pic1.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.F1.pic1.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mrow id="S4.F1.pic1.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S4.F1.pic1.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><mo id="S4.F1.pic1.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1a" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.F1.pic1.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" xref="S4.F1.pic1.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.F1.pic1.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1" xref="S4.F1.pic1.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S4.F1.pic1.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3" xref="S4.F1.pic1.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.cmml">b</mi><mo id="S4.F1.pic1.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.pic1.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S4.F1.pic1.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><minus id="S4.F1.pic1.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"></minus><apply id="S4.F1.pic1.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2"><times id="S4.F1.pic1.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1"></times><ci id="S4.F1.pic1.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2">𝛾</ci><apply id="S4.F1.pic1.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3"><ci id="S4.F1.pic1.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1">¯</ci><ci id="S4.F1.pic1.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2">𝑏</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.pic1.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">-\gamma\overline{b}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.pic1.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">- italic_γ over¯ start_ARG italic_b end_ARG</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.8pt" transform="matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 -5.97 159.84)"><foreignobject height="9.74" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="11.93"><math alttext="\gamma\overline{d}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.F1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mrow id="S4.F1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S4.F1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.F1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1" xref="S4.F1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S4.F1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3" xref="S4.F1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml">d</mi><mo id="S4.F1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S4.F1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><times id="S4.F1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1"></times><ci id="S4.F1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2">𝛾</ci><apply id="S4.F1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3"><ci id="S4.F1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1">¯</ci><ci id="S4.F1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2">𝑑</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">\gamma\overline{d}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.pic1.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">italic_γ over¯ start_ARG italic_d end_ARG</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.8pt" transform="matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 18.72 173.75)"><foreignobject height="9.74" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="18.24"><math alttext="-\gamma\overline{c}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.F1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mrow id="S4.F1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S4.F1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><mo id="S4.F1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1a" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.F1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" xref="S4.F1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.F1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1" xref="S4.F1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S4.F1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3" xref="S4.F1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.cmml">c</mi><mo id="S4.F1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S4.F1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><minus id="S4.F1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"></minus><apply id="S4.F1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2"><times id="S4.F1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1"></times><ci id="S4.F1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2">𝛾</ci><apply id="S4.F1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3"><ci id="S4.F1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1">¯</ci><ci id="S4.F1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2">𝑐</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">-\gamma\overline{c}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.pic1.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.12.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">- italic_γ over¯ start_ARG italic_c end_ARG</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.8pt" transform="matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 -85.6 91.15)"><foreignobject height="4.17" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="4.19"><math alttext="c" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.pic1.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.F1.pic1.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mi id="S4.F1.pic1.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml">c</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.pic1.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><ci id="S4.F1.pic1.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1">𝑐</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.pic1.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">c</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.pic1.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.13.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">italic_c</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.8pt" transform="matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 -57.92 105.07)"><foreignobject height="4.17" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="4.51"><math alttext="e" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.pic1.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.F1.pic1.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mi id="S4.F1.pic1.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml">e</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.pic1.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><ci id="S4.F1.pic1.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1">𝑒</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.pic1.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">e</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.pic1.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">italic_e</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.8pt" transform="matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 -30.39 118.98)"><foreignobject height="4.17" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="5.12"><math alttext="a" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.pic1.15.15.15.15.15.15.15.15.15.15.15.15.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.F1.pic1.15.15.15.15.15.15.15.15.15.15.15.15.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mi id="S4.F1.pic1.15.15.15.15.15.15.15.15.15.15.15.15.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.15.15.15.15.15.15.15.15.15.15.15.15.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml">a</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.pic1.15.15.15.15.15.15.15.15.15.15.15.15.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><ci id="S4.F1.pic1.15.15.15.15.15.15.15.15.15.15.15.15.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.15.15.15.15.15.15.15.15.15.15.15.15.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1">𝑎</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.pic1.15.15.15.15.15.15.15.15.15.15.15.15.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">a</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.pic1.15.15.15.15.15.15.15.15.15.15.15.15.15.15.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">italic_a</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.8pt" transform="matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 -2.52 131.62)"><foreignobject height="6.73" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="5.04"><math alttext="d" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.pic1.16.16.16.16.16.16.16.16.16.16.16.16.16.16.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.F1.pic1.16.16.16.16.16.16.16.16.16.16.16.16.16.16.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mi id="S4.F1.pic1.16.16.16.16.16.16.16.16.16.16.16.16.16.16.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.16.16.16.16.16.16.16.16.16.16.16.16.16.16.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml">d</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.pic1.16.16.16.16.16.16.16.16.16.16.16.16.16.16.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><ci id="S4.F1.pic1.16.16.16.16.16.16.16.16.16.16.16.16.16.16.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.16.16.16.16.16.16.16.16.16.16.16.16.16.16.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1">𝑑</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.pic1.16.16.16.16.16.16.16.16.16.16.16.16.16.16.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">d</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.pic1.16.16.16.16.16.16.16.16.16.16.16.16.16.16.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">italic_d</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.8pt" transform="matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 25.76 145.54)"><foreignobject height="6.73" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="4.16"><math alttext="b" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.pic1.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.F1.pic1.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mi id="S4.F1.pic1.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml">b</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.pic1.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><ci id="S4.F1.pic1.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1">𝑏</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.pic1.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">b</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.pic1.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">italic_b</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.8pt" transform="matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 52.78 160.4)"><foreignobject height="8.61" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="5.78"><math alttext="f" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.pic1.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.F1.pic1.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mi id="S4.F1.pic1.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml">f</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.pic1.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><ci id="S4.F1.pic1.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1">𝑓</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.pic1.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">f</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.pic1.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">italic_f</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.8pt" transform="matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 -61.64 76.33)"><foreignobject height="9.74" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="11.93"><math alttext="\gamma\overline{e}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.F1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mrow id="S4.F1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S4.F1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.F1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1" xref="S4.F1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S4.F1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3" xref="S4.F1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml">e</mi><mo id="S4.F1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S4.F1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><times id="S4.F1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1"></times><ci id="S4.F1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2">𝛾</ci><apply id="S4.F1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3"><ci id="S4.F1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1">¯</ci><ci id="S4.F1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2">𝑒</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">\gamma\overline{e}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.pic1.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.19.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">italic_γ over¯ start_ARG italic_e end_ARG</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.8pt" transform="matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 -36.95 90.25)"><foreignobject height="9.74" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="18.24"><math alttext="-\gamma\overline{c}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.pic1.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.F1.pic1.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mrow id="S4.F1.pic1.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S4.F1.pic1.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><mo id="S4.F1.pic1.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1a" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.F1.pic1.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" xref="S4.F1.pic1.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.F1.pic1.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1" xref="S4.F1.pic1.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S4.F1.pic1.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3" xref="S4.F1.pic1.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.cmml">c</mi><mo id="S4.F1.pic1.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.pic1.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S4.F1.pic1.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><minus id="S4.F1.pic1.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"></minus><apply id="S4.F1.pic1.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2"><times id="S4.F1.pic1.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1"></times><ci id="S4.F1.pic1.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2">𝛾</ci><apply id="S4.F1.pic1.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3"><ci id="S4.F1.pic1.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1">¯</ci><ci id="S4.F1.pic1.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2">𝑐</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.pic1.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">-\gamma\overline{c}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.pic1.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">- italic_γ over¯ start_ARG italic_c end_ARG</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.8pt" transform="matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 -5.97 104.17)"><foreignobject height="9.74" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="11.93"><math alttext="\gamma\overline{d}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.pic1.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.F1.pic1.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mrow id="S4.F1.pic1.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S4.F1.pic1.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.F1.pic1.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1" xref="S4.F1.pic1.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S4.F1.pic1.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3" xref="S4.F1.pic1.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml">d</mi><mo id="S4.F1.pic1.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.pic1.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S4.F1.pic1.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><times id="S4.F1.pic1.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1"></times><ci id="S4.F1.pic1.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2">𝛾</ci><apply id="S4.F1.pic1.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3"><ci id="S4.F1.pic1.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1">¯</ci><ci id="S4.F1.pic1.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2">𝑑</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.pic1.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">\gamma\overline{d}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.pic1.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.21.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">italic_γ over¯ start_ARG italic_d end_ARG</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.8pt" transform="matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 18.72 118.08)"><foreignobject height="9.74" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="18.24"><math alttext="-\gamma\overline{a}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.pic1.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.F1.pic1.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mrow id="S4.F1.pic1.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S4.F1.pic1.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><mo id="S4.F1.pic1.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1a" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.F1.pic1.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" xref="S4.F1.pic1.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.F1.pic1.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1" xref="S4.F1.pic1.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S4.F1.pic1.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3" xref="S4.F1.pic1.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.cmml">a</mi><mo id="S4.F1.pic1.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.pic1.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S4.F1.pic1.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><minus id="S4.F1.pic1.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"></minus><apply id="S4.F1.pic1.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2"><times id="S4.F1.pic1.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1"></times><ci id="S4.F1.pic1.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2">𝛾</ci><apply id="S4.F1.pic1.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3"><ci id="S4.F1.pic1.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1">¯</ci><ci id="S4.F1.pic1.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2">𝑎</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.pic1.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">-\gamma\overline{a}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.pic1.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.22.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">- italic_γ over¯ start_ARG italic_a end_ARG</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.8pt" transform="matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 49.7 132)"><foreignobject height="9.74" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="11.93"><math alttext="\gamma\overline{f}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.pic1.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.F1.pic1.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mrow id="S4.F1.pic1.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S4.F1.pic1.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.F1.pic1.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1" xref="S4.F1.pic1.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S4.F1.pic1.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3" xref="S4.F1.pic1.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml">f</mi><mo id="S4.F1.pic1.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.pic1.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S4.F1.pic1.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><times id="S4.F1.pic1.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1"></times><ci id="S4.F1.pic1.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2">𝛾</ci><apply id="S4.F1.pic1.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3"><ci id="S4.F1.pic1.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1">¯</ci><ci id="S4.F1.pic1.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2">𝑓</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.pic1.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">\gamma\overline{f}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.pic1.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.23.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">italic_γ over¯ start_ARG italic_f end_ARG</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.8pt" transform="matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 74.39 145.92)"><foreignobject height="9.74" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="18.24"><math alttext="-\gamma\overline{b}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.pic1.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.F1.pic1.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mrow id="S4.F1.pic1.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S4.F1.pic1.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><mo id="S4.F1.pic1.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1a" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.F1.pic1.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" xref="S4.F1.pic1.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.F1.pic1.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1" xref="S4.F1.pic1.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S4.F1.pic1.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3" xref="S4.F1.pic1.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.cmml">b</mi><mo id="S4.F1.pic1.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.pic1.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S4.F1.pic1.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><minus id="S4.F1.pic1.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"></minus><apply id="S4.F1.pic1.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2"><times id="S4.F1.pic1.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1"></times><ci id="S4.F1.pic1.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2">𝛾</ci><apply id="S4.F1.pic1.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3"><ci id="S4.F1.pic1.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1">¯</ci><ci id="S4.F1.pic1.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2">𝑏</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.pic1.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">-\gamma\overline{b}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.pic1.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">- italic_γ over¯ start_ARG italic_b end_ARG</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.8pt" transform="matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 -29.91 62.04)"><foreignobject height="6.73" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="4.16"><math alttext="b" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.pic1.25.25.25.25.25.25.25.25.25.25.25.25.25.25.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.F1.pic1.25.25.25.25.25.25.25.25.25.25.25.25.25.25.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mi id="S4.F1.pic1.25.25.25.25.25.25.25.25.25.25.25.25.25.25.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.25.25.25.25.25.25.25.25.25.25.25.25.25.25.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml">b</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.pic1.25.25.25.25.25.25.25.25.25.25.25.25.25.25.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><ci id="S4.F1.pic1.25.25.25.25.25.25.25.25.25.25.25.25.25.25.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.25.25.25.25.25.25.25.25.25.25.25.25.25.25.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1">𝑏</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.pic1.25.25.25.25.25.25.25.25.25.25.25.25.25.25.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">b</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.pic1.25.25.25.25.25.25.25.25.25.25.25.25.25.25.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">italic_b</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.8pt" transform="matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 -2.52 75.95)"><foreignobject height="6.73" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="5.04"><math alttext="d" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.pic1.26.26.26.26.26.26.26.26.26.26.26.26.26.26.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.F1.pic1.26.26.26.26.26.26.26.26.26.26.26.26.26.26.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mi id="S4.F1.pic1.26.26.26.26.26.26.26.26.26.26.26.26.26.26.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.26.26.26.26.26.26.26.26.26.26.26.26.26.26.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml">d</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.pic1.26.26.26.26.26.26.26.26.26.26.26.26.26.26.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><ci id="S4.F1.pic1.26.26.26.26.26.26.26.26.26.26.26.26.26.26.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.26.26.26.26.26.26.26.26.26.26.26.26.26.26.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1">𝑑</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.pic1.26.26.26.26.26.26.26.26.26.26.26.26.26.26.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">d</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.pic1.26.26.26.26.26.26.26.26.26.26.26.26.26.26.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">italic_d</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.8pt" transform="matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 25.74 91.15)"><foreignobject height="4.17" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="4.19"><math alttext="c" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.pic1.27.27.27.27.27.27.27.27.27.27.27.27.27.27.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.F1.pic1.27.27.27.27.27.27.27.27.27.27.27.27.27.27.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mi id="S4.F1.pic1.27.27.27.27.27.27.27.27.27.27.27.27.27.27.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.27.27.27.27.27.27.27.27.27.27.27.27.27.27.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml">c</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.pic1.27.27.27.27.27.27.27.27.27.27.27.27.27.27.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><ci id="S4.F1.pic1.27.27.27.27.27.27.27.27.27.27.27.27.27.27.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.27.27.27.27.27.27.27.27.27.27.27.27.27.27.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1">𝑐</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.pic1.27.27.27.27.27.27.27.27.27.27.27.27.27.27.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">c</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.pic1.27.27.27.27.27.27.27.27.27.27.27.27.27.27.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">italic_c</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.8pt" transform="matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 52.78 104.73)"><foreignobject height="8.61" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="5.78"><math alttext="f" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.pic1.28.28.28.28.28.28.28.28.28.28.28.28.28.28.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.F1.pic1.28.28.28.28.28.28.28.28.28.28.28.28.28.28.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mi id="S4.F1.pic1.28.28.28.28.28.28.28.28.28.28.28.28.28.28.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.28.28.28.28.28.28.28.28.28.28.28.28.28.28.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml">f</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.pic1.28.28.28.28.28.28.28.28.28.28.28.28.28.28.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><ci id="S4.F1.pic1.28.28.28.28.28.28.28.28.28.28.28.28.28.28.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.28.28.28.28.28.28.28.28.28.28.28.28.28.28.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1">𝑓</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.pic1.28.28.28.28.28.28.28.28.28.28.28.28.28.28.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">f</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.pic1.28.28.28.28.28.28.28.28.28.28.28.28.28.28.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">italic_f</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.8pt" transform="matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 80.94 118.98)"><foreignobject height="4.17" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="5.12"><math alttext="a" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.pic1.29.29.29.29.29.29.29.29.29.29.29.29.29.29.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.F1.pic1.29.29.29.29.29.29.29.29.29.29.29.29.29.29.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mi id="S4.F1.pic1.29.29.29.29.29.29.29.29.29.29.29.29.29.29.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.29.29.29.29.29.29.29.29.29.29.29.29.29.29.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml">a</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.pic1.29.29.29.29.29.29.29.29.29.29.29.29.29.29.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><ci id="S4.F1.pic1.29.29.29.29.29.29.29.29.29.29.29.29.29.29.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.29.29.29.29.29.29.29.29.29.29.29.29.29.29.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1">𝑎</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.pic1.29.29.29.29.29.29.29.29.29.29.29.29.29.29.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">a</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.pic1.29.29.29.29.29.29.29.29.29.29.29.29.29.29.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">italic_a</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.8pt" transform="matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 109.08 132.9)"><foreignobject height="4.17" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="4.51"><math alttext="e" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.pic1.30.30.30.30.30.30.30.30.30.30.30.30.30.30.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.F1.pic1.30.30.30.30.30.30.30.30.30.30.30.30.30.30.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mi id="S4.F1.pic1.30.30.30.30.30.30.30.30.30.30.30.30.30.30.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.30.30.30.30.30.30.30.30.30.30.30.30.30.30.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml">e</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.pic1.30.30.30.30.30.30.30.30.30.30.30.30.30.30.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><ci id="S4.F1.pic1.30.30.30.30.30.30.30.30.30.30.30.30.30.30.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.30.30.30.30.30.30.30.30.30.30.30.30.30.30.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1">𝑒</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.pic1.30.30.30.30.30.30.30.30.30.30.30.30.30.30.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">e</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.pic1.30.30.30.30.30.30.30.30.30.30.30.30.30.30.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">italic_e</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.8pt" transform="matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 -5.97 48.5)"><foreignobject height="9.74" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="11.93"><math alttext="\gamma\overline{d}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.pic1.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.F1.pic1.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mrow id="S4.F1.pic1.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S4.F1.pic1.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.F1.pic1.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1" xref="S4.F1.pic1.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S4.F1.pic1.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3" xref="S4.F1.pic1.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml">d</mi><mo id="S4.F1.pic1.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.pic1.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S4.F1.pic1.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><times id="S4.F1.pic1.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1"></times><ci id="S4.F1.pic1.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2">𝛾</ci><apply id="S4.F1.pic1.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3"><ci id="S4.F1.pic1.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1">¯</ci><ci id="S4.F1.pic1.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2">𝑑</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.pic1.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">\gamma\overline{d}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.pic1.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.31.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">italic_γ over¯ start_ARG italic_d end_ARG</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.8pt" transform="matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 18.72 62.41)"><foreignobject height="9.74" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="18.24"><math alttext="-\gamma\overline{b}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.pic1.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.F1.pic1.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mrow id="S4.F1.pic1.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S4.F1.pic1.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><mo id="S4.F1.pic1.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1a" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.F1.pic1.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" xref="S4.F1.pic1.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.F1.pic1.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1" xref="S4.F1.pic1.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S4.F1.pic1.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3" xref="S4.F1.pic1.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.cmml">b</mi><mo id="S4.F1.pic1.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.pic1.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S4.F1.pic1.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><minus id="S4.F1.pic1.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"></minus><apply id="S4.F1.pic1.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2"><times id="S4.F1.pic1.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1"></times><ci id="S4.F1.pic1.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2">𝛾</ci><apply id="S4.F1.pic1.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3"><ci id="S4.F1.pic1.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1">¯</ci><ci id="S4.F1.pic1.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2">𝑏</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.pic1.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">-\gamma\overline{b}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.pic1.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.32.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">- italic_γ over¯ start_ARG italic_b end_ARG</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.8pt" transform="matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 49.7 76.33)"><foreignobject height="9.74" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="11.93"><math alttext="\gamma\overline{f}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.pic1.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.F1.pic1.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mrow id="S4.F1.pic1.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S4.F1.pic1.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.F1.pic1.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1" xref="S4.F1.pic1.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S4.F1.pic1.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3" xref="S4.F1.pic1.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml">f</mi><mo id="S4.F1.pic1.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.pic1.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S4.F1.pic1.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><times id="S4.F1.pic1.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1"></times><ci id="S4.F1.pic1.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2">𝛾</ci><apply id="S4.F1.pic1.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3"><ci id="S4.F1.pic1.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1">¯</ci><ci id="S4.F1.pic1.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2">𝑓</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.pic1.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">\gamma\overline{f}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.pic1.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">italic_γ over¯ start_ARG italic_f end_ARG</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.8pt" transform="matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 74.39 90.25)"><foreignobject height="9.74" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="18.24"><math alttext="-\gamma\overline{c}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.pic1.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.F1.pic1.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mrow id="S4.F1.pic1.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S4.F1.pic1.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><mo id="S4.F1.pic1.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1a" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.F1.pic1.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" xref="S4.F1.pic1.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.F1.pic1.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1" xref="S4.F1.pic1.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S4.F1.pic1.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3" xref="S4.F1.pic1.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.cmml">c</mi><mo id="S4.F1.pic1.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.pic1.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S4.F1.pic1.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><minus id="S4.F1.pic1.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"></minus><apply id="S4.F1.pic1.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2"><times id="S4.F1.pic1.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1"></times><ci id="S4.F1.pic1.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2">𝛾</ci><apply id="S4.F1.pic1.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3"><ci id="S4.F1.pic1.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1">¯</ci><ci id="S4.F1.pic1.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2">𝑐</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.pic1.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">-\gamma\overline{c}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.pic1.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.34.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">- italic_γ over¯ start_ARG italic_c end_ARG</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.8pt" transform="matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 105.37 104.17)"><foreignobject height="9.74" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="11.93"><math alttext="\gamma\overline{e}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.pic1.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.F1.pic1.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mrow id="S4.F1.pic1.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S4.F1.pic1.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.F1.pic1.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1" xref="S4.F1.pic1.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S4.F1.pic1.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3" xref="S4.F1.pic1.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml">e</mi><mo id="S4.F1.pic1.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.pic1.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S4.F1.pic1.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><times id="S4.F1.pic1.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1"></times><ci id="S4.F1.pic1.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2">𝛾</ci><apply id="S4.F1.pic1.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3"><ci id="S4.F1.pic1.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1">¯</ci><ci id="S4.F1.pic1.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2">𝑒</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.pic1.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">\gamma\overline{e}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.pic1.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.35.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">italic_γ over¯ start_ARG italic_e end_ARG</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.8pt" transform="matrix(1.0 0.0 0.0 1.0 130.06 118.08)"><foreignobject height="9.74" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="18.24"><math alttext="-\gamma\overline{a}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.pic1.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.F1.pic1.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mrow id="S4.F1.pic1.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S4.F1.pic1.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><mo id="S4.F1.pic1.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1a" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.F1.pic1.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" xref="S4.F1.pic1.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.F1.pic1.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1" xref="S4.F1.pic1.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S4.F1.pic1.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3" xref="S4.F1.pic1.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.cmml">a</mi><mo id="S4.F1.pic1.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.pic1.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S4.F1.pic1.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><minus id="S4.F1.pic1.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"></minus><apply id="S4.F1.pic1.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2"><times id="S4.F1.pic1.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1"></times><ci id="S4.F1.pic1.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2">𝛾</ci><apply id="S4.F1.pic1.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3"><ci id="S4.F1.pic1.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1">¯</ci><ci id="S4.F1.pic1.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2">𝑎</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.pic1.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">-\gamma\overline{a}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.pic1.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.36.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">- italic_γ over¯ start_ARG italic_a end_ARG</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.8pt" transform="matrix(1.0 0.5 0.0 1.0 144 89.48)"><foreignobject height="9.74" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="18.24"><math alttext="-\gamma\overline{a}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.pic1.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.F1.pic1.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mrow id="S4.F1.pic1.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S4.F1.pic1.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><mo id="S4.F1.pic1.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1a" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.F1.pic1.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" xref="S4.F1.pic1.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.F1.pic1.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1" xref="S4.F1.pic1.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S4.F1.pic1.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3" xref="S4.F1.pic1.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.cmml">a</mi><mo id="S4.F1.pic1.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.pic1.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S4.F1.pic1.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><minus id="S4.F1.pic1.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"></minus><apply id="S4.F1.pic1.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2"><times id="S4.F1.pic1.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1"></times><ci id="S4.F1.pic1.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2">𝛾</ci><apply id="S4.F1.pic1.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3"><ci id="S4.F1.pic1.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1">¯</ci><ci id="S4.F1.pic1.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2">𝑎</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.pic1.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">-\gamma\overline{a}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.pic1.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.37.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">- italic_γ over¯ start_ARG italic_a end_ARG</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.8pt" transform="matrix(1.0 0.5 0.0 1.0 149.66 57.27)"><foreignobject height="7.86" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="6.92"><math alttext="\overline{a}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.pic1.38.38.38.38.38.38.38.38.38.38.38.38.38.38.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.F1.pic1.38.38.38.38.38.38.38.38.38.38.38.38.38.38.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mover accent="true" id="S4.F1.pic1.38.38.38.38.38.38.38.38.38.38.38.38.38.38.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S4.F1.pic1.38.38.38.38.38.38.38.38.38.38.38.38.38.38.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.38.38.38.38.38.38.38.38.38.38.38.38.38.38.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.38.38.38.38.38.38.38.38.38.38.38.38.38.38.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml">a</mi><mo id="S4.F1.pic1.38.38.38.38.38.38.38.38.38.38.38.38.38.38.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.38.38.38.38.38.38.38.38.38.38.38.38.38.38.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml">¯</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.pic1.38.38.38.38.38.38.38.38.38.38.38.38.38.38.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S4.F1.pic1.38.38.38.38.38.38.38.38.38.38.38.38.38.38.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.38.38.38.38.38.38.38.38.38.38.38.38.38.38.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><ci id="S4.F1.pic1.38.38.38.38.38.38.38.38.38.38.38.38.38.38.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.38.38.38.38.38.38.38.38.38.38.38.38.38.38.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1">¯</ci><ci id="S4.F1.pic1.38.38.38.38.38.38.38.38.38.38.38.38.38.38.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.38.38.38.38.38.38.38.38.38.38.38.38.38.38.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2">𝑎</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.pic1.38.38.38.38.38.38.38.38.38.38.38.38.38.38.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">\overline{a}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.pic1.38.38.38.38.38.38.38.38.38.38.38.38.38.38.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">over¯ start_ARG italic_a end_ARG</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.8pt" transform="matrix(1.0 0.5 0.0 1.0 143.25 20.92)"><foreignobject height="9.74" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="19.73"><math alttext="-\gamma^{\prime}\overline{a^{\prime}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.pic1.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.F1.pic1.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mrow id="S4.F1.pic1.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S4.F1.pic1.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><mo id="S4.F1.pic1.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1a" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.F1.pic1.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" xref="S4.F1.pic1.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml"><msup id="S4.F1.pic1.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2" xref="S4.F1.pic1.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.F1.pic1.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.3" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S4.F1.pic1.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1" xref="S4.F1.pic1.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S4.F1.pic1.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3" xref="S4.F1.pic1.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml"><msup id="S4.F1.pic1.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2" xref="S4.F1.pic1.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.2.cmml">a</mi><mo id="S4.F1.pic1.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.3" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S4.F1.pic1.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.pic1.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S4.F1.pic1.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><minus id="S4.F1.pic1.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"></minus><apply id="S4.F1.pic1.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2"><times id="S4.F1.pic1.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1"></times><apply id="S4.F1.pic1.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F1.pic1.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S4.F1.pic1.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.2">𝛾</ci><ci id="S4.F1.pic1.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.3">′</ci></apply><apply id="S4.F1.pic1.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3"><ci id="S4.F1.pic1.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1">¯</ci><apply id="S4.F1.pic1.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F1.pic1.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S4.F1.pic1.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.2">𝑎</ci><ci id="S4.F1.pic1.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.3">′</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.pic1.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">-\gamma^{\prime}\overline{a^{\prime}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.pic1.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.39.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">- italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT over¯ start_ARG italic_a start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.8pt" transform="matrix(1.0 0.5 0.0 1.0 149.66 -10.91)"><foreignobject height="7.86" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="6.92"><math alttext="\overline{a^{\prime}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.pic1.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.F1.pic1.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mover accent="true" id="S4.F1.pic1.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S4.F1.pic1.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><msup id="S4.F1.pic1.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" xref="S4.F1.pic1.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml">a</mi><mo id="S4.F1.pic1.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S4.F1.pic1.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml">¯</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.pic1.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S4.F1.pic1.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><ci id="S4.F1.pic1.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1">¯</ci><apply id="S4.F1.pic1.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F1.pic1.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.F1.pic1.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2">𝑎</ci><ci id="S4.F1.pic1.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3">′</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.pic1.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">\overline{a^{\prime}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.pic1.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.40.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">over¯ start_ARG italic_a start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.8pt" transform="matrix(1.0 0.5 0.0 1.0 142.51 -47.63)"><foreignobject height="9.74" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="21.22"><math alttext="-\gamma^{\prime\prime}\overline{a^{\prime\prime}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.pic1.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.F1.pic1.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mrow id="S4.F1.pic1.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S4.F1.pic1.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><mo id="S4.F1.pic1.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1a" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.F1.pic1.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" xref="S4.F1.pic1.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml"><msup id="S4.F1.pic1.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2" xref="S4.F1.pic1.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.F1.pic1.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.3" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.3.cmml">′′</mo></msup><mo id="S4.F1.pic1.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1" xref="S4.F1.pic1.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S4.F1.pic1.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3" xref="S4.F1.pic1.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml"><msup id="S4.F1.pic1.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2" xref="S4.F1.pic1.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.2.cmml">a</mi><mo id="S4.F1.pic1.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.3" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.3.cmml">′′</mo></msup><mo id="S4.F1.pic1.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.pic1.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S4.F1.pic1.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><minus id="S4.F1.pic1.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"></minus><apply id="S4.F1.pic1.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2"><times id="S4.F1.pic1.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1"></times><apply id="S4.F1.pic1.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F1.pic1.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S4.F1.pic1.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.2">𝛾</ci><ci id="S4.F1.pic1.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.3">′′</ci></apply><apply id="S4.F1.pic1.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3"><ci id="S4.F1.pic1.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1">¯</ci><apply id="S4.F1.pic1.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F1.pic1.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S4.F1.pic1.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.2">𝑎</ci><ci id="S4.F1.pic1.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.3">′′</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.pic1.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">-\gamma^{\prime\prime}\overline{a^{\prime\prime}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.pic1.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.41.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">- italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT ′ ′ end_POSTSUPERSCRIPT over¯ start_ARG italic_a start_POSTSUPERSCRIPT ′ ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.8pt" transform="matrix(1.0 0.5 0.0 1.0 149.66 -79.09)"><foreignobject height="7.86" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="6.92"><math alttext="\overline{a^{\prime\prime}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.pic1.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.F1.pic1.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mover accent="true" id="S4.F1.pic1.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S4.F1.pic1.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><msup id="S4.F1.pic1.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" xref="S4.F1.pic1.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml">a</mi><mo id="S4.F1.pic1.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml">′′</mo></msup><mo id="S4.F1.pic1.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml">¯</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.pic1.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S4.F1.pic1.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><ci id="S4.F1.pic1.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1">¯</ci><apply id="S4.F1.pic1.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F1.pic1.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.F1.pic1.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2">𝑎</ci><ci id="S4.F1.pic1.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3">′′</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.pic1.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">\overline{a^{\prime\prime}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.pic1.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.42.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">over¯ start_ARG italic_a start_POSTSUPERSCRIPT ′ ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.8pt" transform="matrix(1.0 0.5 0.0 1.0 119.32 77.14)"><foreignobject height="9.74" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="11.93"><math alttext="\gamma\overline{e}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.pic1.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.F1.pic1.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mrow id="S4.F1.pic1.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S4.F1.pic1.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.F1.pic1.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1" xref="S4.F1.pic1.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S4.F1.pic1.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3" xref="S4.F1.pic1.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml">e</mi><mo id="S4.F1.pic1.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.pic1.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S4.F1.pic1.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><times id="S4.F1.pic1.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1"></times><ci id="S4.F1.pic1.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2">𝛾</ci><apply id="S4.F1.pic1.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3"><ci id="S4.F1.pic1.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1">¯</ci><ci id="S4.F1.pic1.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2">𝑒</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.pic1.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">\gamma\overline{e}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.pic1.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.43.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">italic_γ over¯ start_ARG italic_e end_ARG</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.8pt" transform="matrix(1.0 0.5 0.0 1.0 121.82 43.36)"><foreignobject height="7.86" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="6.92"><math alttext="\overline{e}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.pic1.44.44.44.44.44.44.44.44.44.44.44.44.44.44.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.F1.pic1.44.44.44.44.44.44.44.44.44.44.44.44.44.44.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mover accent="true" id="S4.F1.pic1.44.44.44.44.44.44.44.44.44.44.44.44.44.44.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S4.F1.pic1.44.44.44.44.44.44.44.44.44.44.44.44.44.44.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.44.44.44.44.44.44.44.44.44.44.44.44.44.44.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.44.44.44.44.44.44.44.44.44.44.44.44.44.44.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml">e</mi><mo id="S4.F1.pic1.44.44.44.44.44.44.44.44.44.44.44.44.44.44.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.44.44.44.44.44.44.44.44.44.44.44.44.44.44.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml">¯</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.pic1.44.44.44.44.44.44.44.44.44.44.44.44.44.44.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S4.F1.pic1.44.44.44.44.44.44.44.44.44.44.44.44.44.44.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.44.44.44.44.44.44.44.44.44.44.44.44.44.44.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><ci id="S4.F1.pic1.44.44.44.44.44.44.44.44.44.44.44.44.44.44.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.44.44.44.44.44.44.44.44.44.44.44.44.44.44.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1">¯</ci><ci id="S4.F1.pic1.44.44.44.44.44.44.44.44.44.44.44.44.44.44.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.44.44.44.44.44.44.44.44.44.44.44.44.44.44.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2">𝑒</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.pic1.44.44.44.44.44.44.44.44.44.44.44.44.44.44.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">\overline{e}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.pic1.44.44.44.44.44.44.44.44.44.44.44.44.44.44.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">over¯ start_ARG italic_e end_ARG</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.8pt" transform="matrix(1.0 0.5 0.0 1.0 118.57 8.58)"><foreignobject height="9.74" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="13.42"><math alttext="\gamma^{\prime}\overline{e^{\prime}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.pic1.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.F1.pic1.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mrow id="S4.F1.pic1.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S4.F1.pic1.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><msup id="S4.F1.pic1.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" xref="S4.F1.pic1.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.F1.pic1.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S4.F1.pic1.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1" xref="S4.F1.pic1.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S4.F1.pic1.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3" xref="S4.F1.pic1.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml"><msup id="S4.F1.pic1.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2" xref="S4.F1.pic1.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.2.cmml">e</mi><mo id="S4.F1.pic1.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.3" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S4.F1.pic1.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.pic1.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S4.F1.pic1.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><times id="S4.F1.pic1.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1"></times><apply id="S4.F1.pic1.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F1.pic1.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.F1.pic1.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2">𝛾</ci><ci id="S4.F1.pic1.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3">′</ci></apply><apply id="S4.F1.pic1.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3"><ci id="S4.F1.pic1.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1">¯</ci><apply id="S4.F1.pic1.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F1.pic1.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S4.F1.pic1.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.2">𝑒</ci><ci id="S4.F1.pic1.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.3">′</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.pic1.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">\gamma^{\prime}\overline{e^{\prime}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.pic1.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.45.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT over¯ start_ARG italic_e start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.8pt" transform="matrix(1.0 0.5 0.0 1.0 121.82 -24.82)"><foreignobject height="7.86" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="6.92"><math alttext="\overline{e^{\prime}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.pic1.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.F1.pic1.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mover accent="true" id="S4.F1.pic1.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S4.F1.pic1.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><msup id="S4.F1.pic1.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" xref="S4.F1.pic1.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml">e</mi><mo id="S4.F1.pic1.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S4.F1.pic1.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml">¯</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.pic1.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S4.F1.pic1.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><ci id="S4.F1.pic1.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1">¯</ci><apply id="S4.F1.pic1.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F1.pic1.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.F1.pic1.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2">𝑒</ci><ci id="S4.F1.pic1.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3">′</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.pic1.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">\overline{e^{\prime}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.pic1.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.46.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">over¯ start_ARG italic_e start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.8pt" transform="matrix(1.0 0.5 0.0 1.0 117.82 -59.97)"><foreignobject height="9.74" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="14.92"><math alttext="\gamma^{\prime\prime}\overline{e^{\prime\prime}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.pic1.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.F1.pic1.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mrow id="S4.F1.pic1.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S4.F1.pic1.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><msup id="S4.F1.pic1.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" xref="S4.F1.pic1.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.F1.pic1.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml">′′</mo></msup><mo id="S4.F1.pic1.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1" xref="S4.F1.pic1.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S4.F1.pic1.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3" xref="S4.F1.pic1.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml"><msup id="S4.F1.pic1.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2" xref="S4.F1.pic1.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.2.cmml">e</mi><mo id="S4.F1.pic1.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.3" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.3.cmml">′′</mo></msup><mo id="S4.F1.pic1.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.pic1.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S4.F1.pic1.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><times id="S4.F1.pic1.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1"></times><apply id="S4.F1.pic1.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F1.pic1.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.F1.pic1.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2">𝛾</ci><ci id="S4.F1.pic1.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3">′′</ci></apply><apply id="S4.F1.pic1.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3"><ci id="S4.F1.pic1.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1">¯</ci><apply id="S4.F1.pic1.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F1.pic1.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S4.F1.pic1.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.2">𝑒</ci><ci id="S4.F1.pic1.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.3">′′</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.pic1.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">\gamma^{\prime\prime}\overline{e^{\prime\prime}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.pic1.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.47.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT ′ ′ end_POSTSUPERSCRIPT over¯ start_ARG italic_e start_POSTSUPERSCRIPT ′ ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.8pt" transform="matrix(1.0 0.5 0.0 1.0 121.82 -93.01)"><foreignobject height="7.86" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="6.92"><math alttext="\overline{e^{\prime\prime}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.pic1.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.F1.pic1.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mover accent="true" id="S4.F1.pic1.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S4.F1.pic1.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><msup id="S4.F1.pic1.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" xref="S4.F1.pic1.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml">e</mi><mo id="S4.F1.pic1.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml">′′</mo></msup><mo id="S4.F1.pic1.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml">¯</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.pic1.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S4.F1.pic1.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><ci id="S4.F1.pic1.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1">¯</ci><apply id="S4.F1.pic1.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F1.pic1.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.F1.pic1.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2">𝑒</ci><ci id="S4.F1.pic1.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3">′′</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.pic1.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">\overline{e^{\prime\prime}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.pic1.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.48.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">over¯ start_ARG italic_e start_POSTSUPERSCRIPT ′ ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.8pt" transform="matrix(1.0 0.5 0.0 1.0 88.33 61.64)"><foreignobject height="9.74" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="18.24"><math alttext="-\gamma\overline{c}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.pic1.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.F1.pic1.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mrow id="S4.F1.pic1.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S4.F1.pic1.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><mo id="S4.F1.pic1.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1a" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.F1.pic1.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" xref="S4.F1.pic1.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.F1.pic1.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1" xref="S4.F1.pic1.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S4.F1.pic1.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3" xref="S4.F1.pic1.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.cmml">c</mi><mo id="S4.F1.pic1.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.pic1.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S4.F1.pic1.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><minus id="S4.F1.pic1.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"></minus><apply id="S4.F1.pic1.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2"><times id="S4.F1.pic1.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1"></times><ci id="S4.F1.pic1.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2">𝛾</ci><apply id="S4.F1.pic1.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3"><ci id="S4.F1.pic1.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1">¯</ci><ci id="S4.F1.pic1.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2">𝑐</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.pic1.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">-\gamma\overline{c}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.pic1.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.49.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">- italic_γ over¯ start_ARG italic_c end_ARG</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.8pt" transform="matrix(1.0 0.5 0.0 1.0 93.99 29.44)"><foreignobject height="7.86" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="6.92"><math alttext="\overline{c}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.pic1.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.F1.pic1.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mover accent="true" id="S4.F1.pic1.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S4.F1.pic1.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml">c</mi><mo id="S4.F1.pic1.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml">¯</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.pic1.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S4.F1.pic1.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><ci id="S4.F1.pic1.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1">¯</ci><ci id="S4.F1.pic1.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2">𝑐</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.pic1.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">\overline{c}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.pic1.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.50.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">over¯ start_ARG italic_c end_ARG</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.8pt" transform="matrix(1.0 0.5 0.0 1.0 87.58 -6.91)"><foreignobject height="9.74" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="19.73"><math alttext="-\gamma^{\prime}\overline{c^{\prime}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.pic1.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.F1.pic1.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mrow id="S4.F1.pic1.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S4.F1.pic1.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><mo id="S4.F1.pic1.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1a" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.F1.pic1.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" xref="S4.F1.pic1.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml"><msup id="S4.F1.pic1.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2" xref="S4.F1.pic1.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.F1.pic1.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.3" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S4.F1.pic1.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1" xref="S4.F1.pic1.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S4.F1.pic1.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3" xref="S4.F1.pic1.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml"><msup id="S4.F1.pic1.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2" xref="S4.F1.pic1.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.2.cmml">c</mi><mo id="S4.F1.pic1.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.3" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S4.F1.pic1.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.pic1.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S4.F1.pic1.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><minus id="S4.F1.pic1.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"></minus><apply id="S4.F1.pic1.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2"><times id="S4.F1.pic1.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1"></times><apply id="S4.F1.pic1.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F1.pic1.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S4.F1.pic1.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.2">𝛾</ci><ci id="S4.F1.pic1.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.3">′</ci></apply><apply id="S4.F1.pic1.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3"><ci id="S4.F1.pic1.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1">¯</ci><apply id="S4.F1.pic1.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F1.pic1.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S4.F1.pic1.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.2">𝑐</ci><ci id="S4.F1.pic1.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.3">′</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.pic1.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">-\gamma^{\prime}\overline{c^{\prime}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.pic1.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">- italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT over¯ start_ARG italic_c start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.8pt" transform="matrix(1.0 0.5 0.0 1.0 93.99 -38.74)"><foreignobject height="7.86" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="6.92"><math alttext="\overline{c^{\prime}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.pic1.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.F1.pic1.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mover accent="true" id="S4.F1.pic1.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S4.F1.pic1.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><msup id="S4.F1.pic1.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" xref="S4.F1.pic1.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml">c</mi><mo id="S4.F1.pic1.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S4.F1.pic1.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml">¯</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.pic1.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S4.F1.pic1.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><ci id="S4.F1.pic1.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1">¯</ci><apply id="S4.F1.pic1.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F1.pic1.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.F1.pic1.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2">𝑐</ci><ci id="S4.F1.pic1.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3">′</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.pic1.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">\overline{c^{\prime}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.pic1.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.52.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">over¯ start_ARG italic_c start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.8pt" transform="matrix(1.0 0.5 0.0 1.0 86.84 -75.47)"><foreignobject height="9.74" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="21.22"><math alttext="-\gamma^{\prime\prime}\overline{c^{\prime\prime}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.pic1.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.F1.pic1.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mrow id="S4.F1.pic1.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S4.F1.pic1.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><mo id="S4.F1.pic1.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1a" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.F1.pic1.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" xref="S4.F1.pic1.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml"><msup id="S4.F1.pic1.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2" xref="S4.F1.pic1.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.F1.pic1.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.3" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.3.cmml">′′</mo></msup><mo id="S4.F1.pic1.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1" xref="S4.F1.pic1.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S4.F1.pic1.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3" xref="S4.F1.pic1.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml"><msup id="S4.F1.pic1.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2" xref="S4.F1.pic1.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.2.cmml">c</mi><mo id="S4.F1.pic1.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.3" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.3.cmml">′′</mo></msup><mo id="S4.F1.pic1.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.pic1.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S4.F1.pic1.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><minus id="S4.F1.pic1.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"></minus><apply id="S4.F1.pic1.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2"><times id="S4.F1.pic1.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1"></times><apply id="S4.F1.pic1.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F1.pic1.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S4.F1.pic1.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.2">𝛾</ci><ci id="S4.F1.pic1.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.3">′′</ci></apply><apply id="S4.F1.pic1.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3"><ci id="S4.F1.pic1.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1">¯</ci><apply id="S4.F1.pic1.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F1.pic1.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S4.F1.pic1.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.2">𝑐</ci><ci id="S4.F1.pic1.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.3">′′</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.pic1.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">-\gamma^{\prime\prime}\overline{c^{\prime\prime}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.pic1.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.53.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">- italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT ′ ′ end_POSTSUPERSCRIPT over¯ start_ARG italic_c start_POSTSUPERSCRIPT ′ ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.8pt" transform="matrix(1.0 0.5 0.0 1.0 93.99 -106.92)"><foreignobject height="7.86" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="6.92"><math alttext="\overline{c^{\prime\prime}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.pic1.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.F1.pic1.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mover accent="true" id="S4.F1.pic1.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S4.F1.pic1.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><msup id="S4.F1.pic1.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" xref="S4.F1.pic1.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml">c</mi><mo id="S4.F1.pic1.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml">′′</mo></msup><mo id="S4.F1.pic1.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml">¯</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.pic1.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S4.F1.pic1.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><ci id="S4.F1.pic1.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1">¯</ci><apply id="S4.F1.pic1.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F1.pic1.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.F1.pic1.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2">𝑐</ci><ci id="S4.F1.pic1.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3">′′</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.pic1.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">\overline{c^{\prime\prime}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.pic1.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.54.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">over¯ start_ARG italic_c start_POSTSUPERSCRIPT ′ ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.8pt" transform="matrix(1.0 0.5 0.0 1.0 63.65 49.3)"><foreignobject height="9.74" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="11.93"><math alttext="\gamma\overline{f}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.pic1.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.F1.pic1.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mrow id="S4.F1.pic1.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S4.F1.pic1.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.F1.pic1.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1" xref="S4.F1.pic1.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S4.F1.pic1.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3" xref="S4.F1.pic1.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml">f</mi><mo id="S4.F1.pic1.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.pic1.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S4.F1.pic1.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><times id="S4.F1.pic1.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1"></times><ci id="S4.F1.pic1.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2">𝛾</ci><apply id="S4.F1.pic1.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3"><ci id="S4.F1.pic1.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1">¯</ci><ci id="S4.F1.pic1.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2">𝑓</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.pic1.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">\gamma\overline{f}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.pic1.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.55.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">italic_γ over¯ start_ARG italic_f end_ARG</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.8pt" transform="matrix(1.0 0.5 0.0 1.0 66.15 15.52)"><foreignobject height="7.86" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="6.92"><math alttext="\overline{f}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.pic1.56.56.56.56.56.56.56.56.56.56.56.56.56.56.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.F1.pic1.56.56.56.56.56.56.56.56.56.56.56.56.56.56.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mover accent="true" id="S4.F1.pic1.56.56.56.56.56.56.56.56.56.56.56.56.56.56.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S4.F1.pic1.56.56.56.56.56.56.56.56.56.56.56.56.56.56.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.56.56.56.56.56.56.56.56.56.56.56.56.56.56.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.56.56.56.56.56.56.56.56.56.56.56.56.56.56.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml">f</mi><mo id="S4.F1.pic1.56.56.56.56.56.56.56.56.56.56.56.56.56.56.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.56.56.56.56.56.56.56.56.56.56.56.56.56.56.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml">¯</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.pic1.56.56.56.56.56.56.56.56.56.56.56.56.56.56.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S4.F1.pic1.56.56.56.56.56.56.56.56.56.56.56.56.56.56.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.56.56.56.56.56.56.56.56.56.56.56.56.56.56.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><ci id="S4.F1.pic1.56.56.56.56.56.56.56.56.56.56.56.56.56.56.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.56.56.56.56.56.56.56.56.56.56.56.56.56.56.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1">¯</ci><ci id="S4.F1.pic1.56.56.56.56.56.56.56.56.56.56.56.56.56.56.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.56.56.56.56.56.56.56.56.56.56.56.56.56.56.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2">𝑓</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.pic1.56.56.56.56.56.56.56.56.56.56.56.56.56.56.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">\overline{f}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.pic1.56.56.56.56.56.56.56.56.56.56.56.56.56.56.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">over¯ start_ARG italic_f end_ARG</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.8pt" transform="matrix(1.0 0.5 0.0 1.0 62.9 -19.25)"><foreignobject height="9.74" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="13.42"><math alttext="\gamma^{\prime}\overline{f^{\prime}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.pic1.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.F1.pic1.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mrow id="S4.F1.pic1.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S4.F1.pic1.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><msup id="S4.F1.pic1.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" xref="S4.F1.pic1.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.F1.pic1.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S4.F1.pic1.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1" xref="S4.F1.pic1.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S4.F1.pic1.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3" xref="S4.F1.pic1.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml"><msup id="S4.F1.pic1.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2" xref="S4.F1.pic1.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.2.cmml">f</mi><mo id="S4.F1.pic1.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.3" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S4.F1.pic1.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.pic1.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S4.F1.pic1.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><times id="S4.F1.pic1.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1"></times><apply id="S4.F1.pic1.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F1.pic1.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.F1.pic1.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2">𝛾</ci><ci id="S4.F1.pic1.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3">′</ci></apply><apply id="S4.F1.pic1.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3"><ci id="S4.F1.pic1.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1">¯</ci><apply id="S4.F1.pic1.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F1.pic1.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S4.F1.pic1.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.2">𝑓</ci><ci id="S4.F1.pic1.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.3">′</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.pic1.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">\gamma^{\prime}\overline{f^{\prime}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.pic1.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.57.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT over¯ start_ARG italic_f start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.8pt" transform="matrix(1.0 0.5 0.0 1.0 66.15 -52.66)"><foreignobject height="7.86" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="6.92"><math alttext="\overline{f^{\prime}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.pic1.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.F1.pic1.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mover accent="true" id="S4.F1.pic1.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S4.F1.pic1.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><msup id="S4.F1.pic1.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" xref="S4.F1.pic1.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml">f</mi><mo id="S4.F1.pic1.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S4.F1.pic1.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml">¯</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.pic1.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S4.F1.pic1.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><ci id="S4.F1.pic1.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1">¯</ci><apply id="S4.F1.pic1.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F1.pic1.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.F1.pic1.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2">𝑓</ci><ci id="S4.F1.pic1.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3">′</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.pic1.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">\overline{f^{\prime}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.pic1.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.58.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">over¯ start_ARG italic_f start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.8pt" transform="matrix(1.0 0.5 0.0 1.0 62.15 -87.81)"><foreignobject height="9.74" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="14.92"><math alttext="\gamma^{\prime\prime}\overline{f^{\prime\prime}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.pic1.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.F1.pic1.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mrow id="S4.F1.pic1.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S4.F1.pic1.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><msup id="S4.F1.pic1.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" xref="S4.F1.pic1.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.F1.pic1.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml">′′</mo></msup><mo id="S4.F1.pic1.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1" xref="S4.F1.pic1.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S4.F1.pic1.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3" xref="S4.F1.pic1.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml"><msup id="S4.F1.pic1.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2" xref="S4.F1.pic1.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.2.cmml">f</mi><mo id="S4.F1.pic1.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.3" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.3.cmml">′′</mo></msup><mo id="S4.F1.pic1.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.pic1.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S4.F1.pic1.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><times id="S4.F1.pic1.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1"></times><apply id="S4.F1.pic1.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F1.pic1.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.F1.pic1.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2">𝛾</ci><ci id="S4.F1.pic1.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3">′′</ci></apply><apply id="S4.F1.pic1.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3"><ci id="S4.F1.pic1.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1">¯</ci><apply id="S4.F1.pic1.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F1.pic1.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S4.F1.pic1.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.2">𝑓</ci><ci id="S4.F1.pic1.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.3">′′</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.pic1.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">\gamma^{\prime\prime}\overline{f^{\prime\prime}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.pic1.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.59.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT ′ ′ end_POSTSUPERSCRIPT over¯ start_ARG italic_f start_POSTSUPERSCRIPT ′ ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.8pt" transform="matrix(1.0 0.5 0.0 1.0 66.15 -120.84)"><foreignobject height="7.86" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="6.92"><math alttext="\overline{f^{\prime\prime}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.pic1.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.F1.pic1.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mover accent="true" id="S4.F1.pic1.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S4.F1.pic1.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><msup id="S4.F1.pic1.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" xref="S4.F1.pic1.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml">f</mi><mo id="S4.F1.pic1.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml">′′</mo></msup><mo id="S4.F1.pic1.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml">¯</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.pic1.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S4.F1.pic1.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><ci id="S4.F1.pic1.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1">¯</ci><apply id="S4.F1.pic1.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F1.pic1.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.F1.pic1.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2">𝑓</ci><ci id="S4.F1.pic1.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3">′′</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.pic1.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">\overline{f^{\prime\prime}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.pic1.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">over¯ start_ARG italic_f start_POSTSUPERSCRIPT ′ ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.8pt" transform="matrix(1.0 0.5 0.0 1.0 32.66 33.81)"><foreignobject height="9.74" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="18.24"><math alttext="-\gamma\overline{b}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.pic1.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.F1.pic1.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mrow id="S4.F1.pic1.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S4.F1.pic1.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><mo id="S4.F1.pic1.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1a" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.F1.pic1.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" xref="S4.F1.pic1.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.F1.pic1.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1" xref="S4.F1.pic1.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S4.F1.pic1.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3" xref="S4.F1.pic1.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.cmml">b</mi><mo id="S4.F1.pic1.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.pic1.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S4.F1.pic1.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><minus id="S4.F1.pic1.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"></minus><apply id="S4.F1.pic1.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2"><times id="S4.F1.pic1.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1"></times><ci id="S4.F1.pic1.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2">𝛾</ci><apply id="S4.F1.pic1.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3"><ci id="S4.F1.pic1.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1">¯</ci><ci id="S4.F1.pic1.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2">𝑏</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.pic1.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">-\gamma\overline{b}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.pic1.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.61.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">- italic_γ over¯ start_ARG italic_b end_ARG</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.8pt" transform="matrix(1.0 0.5 0.0 1.0 38.32 1.6)"><foreignobject height="7.86" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="6.92"><math alttext="\overline{b}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.pic1.62.62.62.62.62.62.62.62.62.62.62.62.62.62.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.F1.pic1.62.62.62.62.62.62.62.62.62.62.62.62.62.62.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mover accent="true" id="S4.F1.pic1.62.62.62.62.62.62.62.62.62.62.62.62.62.62.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S4.F1.pic1.62.62.62.62.62.62.62.62.62.62.62.62.62.62.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.62.62.62.62.62.62.62.62.62.62.62.62.62.62.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.62.62.62.62.62.62.62.62.62.62.62.62.62.62.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml">b</mi><mo id="S4.F1.pic1.62.62.62.62.62.62.62.62.62.62.62.62.62.62.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.62.62.62.62.62.62.62.62.62.62.62.62.62.62.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml">¯</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.pic1.62.62.62.62.62.62.62.62.62.62.62.62.62.62.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S4.F1.pic1.62.62.62.62.62.62.62.62.62.62.62.62.62.62.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.62.62.62.62.62.62.62.62.62.62.62.62.62.62.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><ci id="S4.F1.pic1.62.62.62.62.62.62.62.62.62.62.62.62.62.62.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.62.62.62.62.62.62.62.62.62.62.62.62.62.62.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1">¯</ci><ci id="S4.F1.pic1.62.62.62.62.62.62.62.62.62.62.62.62.62.62.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.62.62.62.62.62.62.62.62.62.62.62.62.62.62.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2">𝑏</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.pic1.62.62.62.62.62.62.62.62.62.62.62.62.62.62.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">\overline{b}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.pic1.62.62.62.62.62.62.62.62.62.62.62.62.62.62.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">over¯ start_ARG italic_b end_ARG</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.8pt" transform="matrix(1.0 0.5 0.0 1.0 31.91 -34.75)"><foreignobject height="9.74" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="19.73"><math alttext="-\gamma^{\prime}\overline{b^{\prime}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.pic1.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.F1.pic1.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mrow id="S4.F1.pic1.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S4.F1.pic1.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><mo id="S4.F1.pic1.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1a" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.F1.pic1.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" xref="S4.F1.pic1.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml"><msup id="S4.F1.pic1.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2" xref="S4.F1.pic1.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.F1.pic1.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.3" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S4.F1.pic1.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1" xref="S4.F1.pic1.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S4.F1.pic1.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3" xref="S4.F1.pic1.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml"><msup id="S4.F1.pic1.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2" xref="S4.F1.pic1.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.2.cmml">b</mi><mo id="S4.F1.pic1.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.3" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S4.F1.pic1.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.pic1.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S4.F1.pic1.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><minus id="S4.F1.pic1.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"></minus><apply id="S4.F1.pic1.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2"><times id="S4.F1.pic1.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1"></times><apply id="S4.F1.pic1.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F1.pic1.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S4.F1.pic1.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.2">𝛾</ci><ci id="S4.F1.pic1.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.3">′</ci></apply><apply id="S4.F1.pic1.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3"><ci id="S4.F1.pic1.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1">¯</ci><apply id="S4.F1.pic1.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F1.pic1.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S4.F1.pic1.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.2">𝑏</ci><ci id="S4.F1.pic1.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.3">′</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.pic1.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">-\gamma^{\prime}\overline{b^{\prime}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.pic1.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.63.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">- italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT over¯ start_ARG italic_b start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.8pt" transform="matrix(1.0 0.5 0.0 1.0 38.32 -66.58)"><foreignobject height="7.86" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="6.92"><math alttext="\overline{b^{\prime}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.pic1.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.F1.pic1.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mover accent="true" id="S4.F1.pic1.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S4.F1.pic1.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><msup id="S4.F1.pic1.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" xref="S4.F1.pic1.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml">b</mi><mo id="S4.F1.pic1.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S4.F1.pic1.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml">¯</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.pic1.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S4.F1.pic1.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><ci id="S4.F1.pic1.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1">¯</ci><apply id="S4.F1.pic1.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F1.pic1.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.F1.pic1.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2">𝑏</ci><ci id="S4.F1.pic1.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3">′</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.pic1.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">\overline{b^{\prime}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.pic1.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.64.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">over¯ start_ARG italic_b start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.8pt" transform="matrix(1.0 0.5 0.0 1.0 31.17 -103.3)"><foreignobject height="9.74" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="21.22"><math alttext="-\gamma^{\prime\prime}\overline{b^{\prime\prime}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.pic1.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.F1.pic1.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mrow id="S4.F1.pic1.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S4.F1.pic1.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><mo id="S4.F1.pic1.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1a" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.F1.pic1.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" xref="S4.F1.pic1.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml"><msup id="S4.F1.pic1.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2" xref="S4.F1.pic1.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.F1.pic1.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.3" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.3.cmml">′′</mo></msup><mo id="S4.F1.pic1.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1" xref="S4.F1.pic1.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S4.F1.pic1.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3" xref="S4.F1.pic1.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml"><msup id="S4.F1.pic1.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2" xref="S4.F1.pic1.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.2.cmml">b</mi><mo id="S4.F1.pic1.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.3" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.3.cmml">′′</mo></msup><mo id="S4.F1.pic1.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.pic1.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S4.F1.pic1.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><minus id="S4.F1.pic1.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"></minus><apply id="S4.F1.pic1.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2"><times id="S4.F1.pic1.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1"></times><apply id="S4.F1.pic1.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F1.pic1.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S4.F1.pic1.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.2">𝛾</ci><ci id="S4.F1.pic1.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.3">′′</ci></apply><apply id="S4.F1.pic1.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3"><ci id="S4.F1.pic1.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1">¯</ci><apply id="S4.F1.pic1.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F1.pic1.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S4.F1.pic1.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.2">𝑏</ci><ci id="S4.F1.pic1.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.3">′′</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.pic1.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">-\gamma^{\prime\prime}\overline{b^{\prime\prime}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.pic1.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.65.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">- italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT ′ ′ end_POSTSUPERSCRIPT over¯ start_ARG italic_b start_POSTSUPERSCRIPT ′ ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.8pt" transform="matrix(1.0 0.5 0.0 1.0 38.32 -134.76)"><foreignobject height="7.86" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="6.92"><math alttext="\overline{b^{\prime\prime}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.pic1.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.F1.pic1.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mover accent="true" id="S4.F1.pic1.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S4.F1.pic1.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><msup id="S4.F1.pic1.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" xref="S4.F1.pic1.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml">b</mi><mo id="S4.F1.pic1.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml">′′</mo></msup><mo id="S4.F1.pic1.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml">¯</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.pic1.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S4.F1.pic1.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><ci id="S4.F1.pic1.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1">¯</ci><apply id="S4.F1.pic1.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F1.pic1.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.F1.pic1.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2">𝑏</ci><ci id="S4.F1.pic1.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3">′′</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.pic1.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">\overline{b^{\prime\prime}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.pic1.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.66.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">over¯ start_ARG italic_b start_POSTSUPERSCRIPT ′ ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.8pt" transform="matrix(1.0 0.5 0.0 1.0 7.98 21.47)"><foreignobject height="9.74" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="11.93"><math alttext="\gamma\overline{d}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.pic1.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.F1.pic1.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mrow id="S4.F1.pic1.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S4.F1.pic1.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.F1.pic1.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1" xref="S4.F1.pic1.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S4.F1.pic1.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3" xref="S4.F1.pic1.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml">d</mi><mo id="S4.F1.pic1.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.pic1.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S4.F1.pic1.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><times id="S4.F1.pic1.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1"></times><ci id="S4.F1.pic1.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2">𝛾</ci><apply id="S4.F1.pic1.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3"><ci id="S4.F1.pic1.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1">¯</ci><ci id="S4.F1.pic1.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2">𝑑</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.pic1.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">\gamma\overline{d}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.pic1.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.67.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">italic_γ over¯ start_ARG italic_d end_ARG</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.8pt" transform="matrix(1.0 0.5 0.0 1.0 10.48 -12.31)"><foreignobject height="7.86" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="6.92"><math alttext="\overline{d}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.pic1.68.68.68.68.68.68.68.68.68.68.68.68.68.68.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.F1.pic1.68.68.68.68.68.68.68.68.68.68.68.68.68.68.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mover accent="true" id="S4.F1.pic1.68.68.68.68.68.68.68.68.68.68.68.68.68.68.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S4.F1.pic1.68.68.68.68.68.68.68.68.68.68.68.68.68.68.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.68.68.68.68.68.68.68.68.68.68.68.68.68.68.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.68.68.68.68.68.68.68.68.68.68.68.68.68.68.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml">d</mi><mo id="S4.F1.pic1.68.68.68.68.68.68.68.68.68.68.68.68.68.68.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.68.68.68.68.68.68.68.68.68.68.68.68.68.68.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml">¯</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.pic1.68.68.68.68.68.68.68.68.68.68.68.68.68.68.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S4.F1.pic1.68.68.68.68.68.68.68.68.68.68.68.68.68.68.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.68.68.68.68.68.68.68.68.68.68.68.68.68.68.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><ci id="S4.F1.pic1.68.68.68.68.68.68.68.68.68.68.68.68.68.68.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.68.68.68.68.68.68.68.68.68.68.68.68.68.68.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1">¯</ci><ci id="S4.F1.pic1.68.68.68.68.68.68.68.68.68.68.68.68.68.68.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.68.68.68.68.68.68.68.68.68.68.68.68.68.68.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2">𝑑</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.pic1.68.68.68.68.68.68.68.68.68.68.68.68.68.68.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">\overline{d}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.pic1.68.68.68.68.68.68.68.68.68.68.68.68.68.68.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">over¯ start_ARG italic_d end_ARG</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.8pt" transform="matrix(1.0 0.5 0.0 1.0 7.23 -47.09)"><foreignobject height="9.74" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="13.42"><math alttext="\gamma^{\prime}\overline{d^{\prime}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.pic1.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.F1.pic1.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mrow id="S4.F1.pic1.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S4.F1.pic1.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><msup id="S4.F1.pic1.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" xref="S4.F1.pic1.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.F1.pic1.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S4.F1.pic1.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1" xref="S4.F1.pic1.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S4.F1.pic1.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3" xref="S4.F1.pic1.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml"><msup id="S4.F1.pic1.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2" xref="S4.F1.pic1.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.2.cmml">d</mi><mo id="S4.F1.pic1.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.3" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S4.F1.pic1.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.pic1.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S4.F1.pic1.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><times id="S4.F1.pic1.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1"></times><apply id="S4.F1.pic1.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F1.pic1.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.F1.pic1.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2">𝛾</ci><ci id="S4.F1.pic1.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3">′</ci></apply><apply id="S4.F1.pic1.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3"><ci id="S4.F1.pic1.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1">¯</ci><apply id="S4.F1.pic1.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F1.pic1.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S4.F1.pic1.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.2">𝑑</ci><ci id="S4.F1.pic1.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.3">′</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.pic1.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">\gamma^{\prime}\overline{d^{\prime}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.pic1.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.69.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT over¯ start_ARG italic_d start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.8pt" transform="matrix(1.0 0.5 0.0 1.0 10.48 -80.49)"><foreignobject height="7.86" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="6.92"><math alttext="\overline{d^{\prime}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.pic1.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.F1.pic1.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mover accent="true" id="S4.F1.pic1.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S4.F1.pic1.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><msup id="S4.F1.pic1.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" xref="S4.F1.pic1.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml">d</mi><mo id="S4.F1.pic1.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S4.F1.pic1.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml">¯</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.pic1.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S4.F1.pic1.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><ci id="S4.F1.pic1.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1">¯</ci><apply id="S4.F1.pic1.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F1.pic1.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.F1.pic1.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2">𝑑</ci><ci id="S4.F1.pic1.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3">′</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.pic1.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">\overline{d^{\prime}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.pic1.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">over¯ start_ARG italic_d start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.8pt" transform="matrix(1.0 0.5 0.0 1.0 6.48 -115.64)"><foreignobject height="9.74" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="14.92"><math alttext="\gamma^{\prime\prime}\overline{d^{\prime\prime}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.pic1.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.F1.pic1.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mrow id="S4.F1.pic1.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S4.F1.pic1.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><msup id="S4.F1.pic1.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" xref="S4.F1.pic1.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.F1.pic1.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml">′′</mo></msup><mo id="S4.F1.pic1.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1" xref="S4.F1.pic1.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S4.F1.pic1.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3" xref="S4.F1.pic1.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml"><msup id="S4.F1.pic1.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2" xref="S4.F1.pic1.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.2.cmml">d</mi><mo id="S4.F1.pic1.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.3" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.3.cmml">′′</mo></msup><mo id="S4.F1.pic1.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.pic1.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S4.F1.pic1.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><times id="S4.F1.pic1.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1"></times><apply id="S4.F1.pic1.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F1.pic1.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.F1.pic1.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2">𝛾</ci><ci id="S4.F1.pic1.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3">′′</ci></apply><apply id="S4.F1.pic1.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3"><ci id="S4.F1.pic1.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1">¯</ci><apply id="S4.F1.pic1.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F1.pic1.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S4.F1.pic1.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.2">𝑑</ci><ci id="S4.F1.pic1.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.3">′′</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.pic1.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">\gamma^{\prime\prime}\overline{d^{\prime\prime}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.pic1.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.71.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT ′ ′ end_POSTSUPERSCRIPT over¯ start_ARG italic_d start_POSTSUPERSCRIPT ′ ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.8pt" transform="matrix(1.0 0.5 0.0 1.0 10.48 -148.68)"><foreignobject height="7.86" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="6.92"><math alttext="\overline{d^{\prime\prime}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.pic1.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.F1.pic1.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mover accent="true" id="S4.F1.pic1.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S4.F1.pic1.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><msup id="S4.F1.pic1.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" xref="S4.F1.pic1.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml">d</mi><mo id="S4.F1.pic1.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml">′′</mo></msup><mo id="S4.F1.pic1.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml">¯</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.pic1.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S4.F1.pic1.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><ci id="S4.F1.pic1.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1">¯</ci><apply id="S4.F1.pic1.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F1.pic1.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.F1.pic1.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2">𝑑</ci><ci id="S4.F1.pic1.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3">′′</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.pic1.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">\overline{d^{\prime\prime}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.pic1.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.72.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">over¯ start_ARG italic_d start_POSTSUPERSCRIPT ′ ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.8pt" transform="matrix(1.0 -0.5 0.0 1.0 -155.68 96.22)"><foreignobject height="4.17" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="5.12"><math alttext="a" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.pic1.73.73.73.73.73.73.73.73.73.73.73.73.73.73.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.F1.pic1.73.73.73.73.73.73.73.73.73.73.73.73.73.73.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mi id="S4.F1.pic1.73.73.73.73.73.73.73.73.73.73.73.73.73.73.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.73.73.73.73.73.73.73.73.73.73.73.73.73.73.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml">a</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.pic1.73.73.73.73.73.73.73.73.73.73.73.73.73.73.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><ci id="S4.F1.pic1.73.73.73.73.73.73.73.73.73.73.73.73.73.73.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.73.73.73.73.73.73.73.73.73.73.73.73.73.73.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1">𝑎</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.pic1.73.73.73.73.73.73.73.73.73.73.73.73.73.73.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">a</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.pic1.73.73.73.73.73.73.73.73.73.73.73.73.73.73.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">italic_a</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.8pt" transform="matrix(1.0 -0.5 0.0 1.0 -162.29 63.59)"><foreignobject height="7.86" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="18.34"><math alttext="-a\overline{\gamma}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.pic1.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.F1.pic1.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mrow id="S4.F1.pic1.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S4.F1.pic1.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><mo id="S4.F1.pic1.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1a" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.F1.pic1.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" xref="S4.F1.pic1.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml">a</mi><mo id="S4.F1.pic1.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1" xref="S4.F1.pic1.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S4.F1.pic1.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3" xref="S4.F1.pic1.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.F1.pic1.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.pic1.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S4.F1.pic1.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><minus id="S4.F1.pic1.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"></minus><apply id="S4.F1.pic1.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2"><times id="S4.F1.pic1.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1"></times><ci id="S4.F1.pic1.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2">𝑎</ci><apply id="S4.F1.pic1.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3"><ci id="S4.F1.pic1.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1">¯</ci><ci id="S4.F1.pic1.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2">𝛾</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.pic1.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">-a\overline{\gamma}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.pic1.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.74.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">- italic_a over¯ start_ARG italic_γ end_ARG</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.8pt" transform="matrix(1.0 -0.5 0.0 1.0 -156.42 27.66)"><foreignobject height="5.68" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="6.61"><math alttext="a^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.pic1.75.75.75.75.75.75.75.75.75.75.75.75.75.75.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.F1.pic1.75.75.75.75.75.75.75.75.75.75.75.75.75.75.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><msup id="S4.F1.pic1.75.75.75.75.75.75.75.75.75.75.75.75.75.75.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S4.F1.pic1.75.75.75.75.75.75.75.75.75.75.75.75.75.75.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.75.75.75.75.75.75.75.75.75.75.75.75.75.75.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.75.75.75.75.75.75.75.75.75.75.75.75.75.75.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml">a</mi><mo id="S4.F1.pic1.75.75.75.75.75.75.75.75.75.75.75.75.75.75.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.75.75.75.75.75.75.75.75.75.75.75.75.75.75.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.pic1.75.75.75.75.75.75.75.75.75.75.75.75.75.75.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S4.F1.pic1.75.75.75.75.75.75.75.75.75.75.75.75.75.75.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.75.75.75.75.75.75.75.75.75.75.75.75.75.75.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F1.pic1.75.75.75.75.75.75.75.75.75.75.75.75.75.75.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.75.75.75.75.75.75.75.75.75.75.75.75.75.75.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.F1.pic1.75.75.75.75.75.75.75.75.75.75.75.75.75.75.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.75.75.75.75.75.75.75.75.75.75.75.75.75.75.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2">𝑎</ci><ci id="S4.F1.pic1.75.75.75.75.75.75.75.75.75.75.75.75.75.75.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.75.75.75.75.75.75.75.75.75.75.75.75.75.75.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3">′</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.pic1.75.75.75.75.75.75.75.75.75.75.75.75.75.75.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">a^{\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.pic1.75.75.75.75.75.75.75.75.75.75.75.75.75.75.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">italic_a start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.8pt" transform="matrix(1.0 -0.5 0.0 1.0 -163.03 -4.22)"><foreignobject height="7.86" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="19.83"><math alttext="-a^{\prime}\overline{\gamma^{\prime}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.pic1.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.F1.pic1.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mrow id="S4.F1.pic1.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S4.F1.pic1.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><mo id="S4.F1.pic1.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1a" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.F1.pic1.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" xref="S4.F1.pic1.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml"><msup id="S4.F1.pic1.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2" xref="S4.F1.pic1.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.2.cmml">a</mi><mo id="S4.F1.pic1.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.3" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S4.F1.pic1.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1" xref="S4.F1.pic1.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S4.F1.pic1.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3" xref="S4.F1.pic1.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml"><msup id="S4.F1.pic1.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2" xref="S4.F1.pic1.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.F1.pic1.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.3" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S4.F1.pic1.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.pic1.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S4.F1.pic1.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><minus id="S4.F1.pic1.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"></minus><apply id="S4.F1.pic1.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2"><times id="S4.F1.pic1.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1"></times><apply id="S4.F1.pic1.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F1.pic1.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S4.F1.pic1.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.2">𝑎</ci><ci id="S4.F1.pic1.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.3">′</ci></apply><apply id="S4.F1.pic1.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3"><ci id="S4.F1.pic1.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1">¯</ci><apply id="S4.F1.pic1.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F1.pic1.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S4.F1.pic1.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.2">𝛾</ci><ci id="S4.F1.pic1.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.3">′</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.pic1.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">-a^{\prime}\overline{\gamma^{\prime}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.pic1.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.76.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">- italic_a start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT over¯ start_ARG italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.8pt" transform="matrix(1.0 -0.5 0.0 1.0 -157.17 -40.15)"><foreignobject height="5.68" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="8.1"><math alttext="a^{\prime\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.pic1.77.77.77.77.77.77.77.77.77.77.77.77.77.77.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.F1.pic1.77.77.77.77.77.77.77.77.77.77.77.77.77.77.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><msup id="S4.F1.pic1.77.77.77.77.77.77.77.77.77.77.77.77.77.77.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S4.F1.pic1.77.77.77.77.77.77.77.77.77.77.77.77.77.77.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.77.77.77.77.77.77.77.77.77.77.77.77.77.77.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.77.77.77.77.77.77.77.77.77.77.77.77.77.77.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml">a</mi><mo id="S4.F1.pic1.77.77.77.77.77.77.77.77.77.77.77.77.77.77.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.77.77.77.77.77.77.77.77.77.77.77.77.77.77.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml">′′</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.pic1.77.77.77.77.77.77.77.77.77.77.77.77.77.77.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S4.F1.pic1.77.77.77.77.77.77.77.77.77.77.77.77.77.77.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.77.77.77.77.77.77.77.77.77.77.77.77.77.77.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F1.pic1.77.77.77.77.77.77.77.77.77.77.77.77.77.77.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.77.77.77.77.77.77.77.77.77.77.77.77.77.77.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.F1.pic1.77.77.77.77.77.77.77.77.77.77.77.77.77.77.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.77.77.77.77.77.77.77.77.77.77.77.77.77.77.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2">𝑎</ci><ci id="S4.F1.pic1.77.77.77.77.77.77.77.77.77.77.77.77.77.77.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.77.77.77.77.77.77.77.77.77.77.77.77.77.77.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3">′′</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.pic1.77.77.77.77.77.77.77.77.77.77.77.77.77.77.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">a^{\prime\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.pic1.77.77.77.77.77.77.77.77.77.77.77.77.77.77.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">italic_a start_POSTSUPERSCRIPT ′ ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.8pt" transform="matrix(1.0 -0.5 0.0 1.0 -163.78 -72.03)"><foreignobject height="7.86" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="21.33"><math alttext="-a^{\prime\prime}\overline{\gamma^{\prime\prime}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.pic1.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.F1.pic1.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mrow id="S4.F1.pic1.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S4.F1.pic1.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><mo id="S4.F1.pic1.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1a" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.F1.pic1.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" xref="S4.F1.pic1.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml"><msup id="S4.F1.pic1.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2" xref="S4.F1.pic1.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.2.cmml">a</mi><mo id="S4.F1.pic1.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.3" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.3.cmml">′′</mo></msup><mo id="S4.F1.pic1.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1" xref="S4.F1.pic1.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S4.F1.pic1.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3" xref="S4.F1.pic1.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml"><msup id="S4.F1.pic1.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2" xref="S4.F1.pic1.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.F1.pic1.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.3" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.3.cmml">′′</mo></msup><mo id="S4.F1.pic1.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.pic1.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S4.F1.pic1.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><minus id="S4.F1.pic1.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"></minus><apply id="S4.F1.pic1.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2"><times id="S4.F1.pic1.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1"></times><apply id="S4.F1.pic1.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F1.pic1.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S4.F1.pic1.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.2">𝑎</ci><ci id="S4.F1.pic1.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.3">′′</ci></apply><apply id="S4.F1.pic1.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3"><ci id="S4.F1.pic1.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1">¯</ci><apply id="S4.F1.pic1.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F1.pic1.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S4.F1.pic1.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.2">𝛾</ci><ci id="S4.F1.pic1.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.3">′′</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.pic1.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">-a^{\prime\prime}\overline{\gamma^{\prime\prime}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.pic1.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.78.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">- italic_a start_POSTSUPERSCRIPT ′ ′ end_POSTSUPERSCRIPT over¯ start_ARG italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT ′ ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.8pt" transform="matrix(1.0 -0.5 0.0 1.0 -131.25 83.1)"><foreignobject height="9.74" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="11.93"><math alttext="\gamma\overline{f}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.pic1.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.F1.pic1.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mrow id="S4.F1.pic1.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S4.F1.pic1.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.F1.pic1.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1" xref="S4.F1.pic1.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S4.F1.pic1.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3" xref="S4.F1.pic1.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml">f</mi><mo id="S4.F1.pic1.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.pic1.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S4.F1.pic1.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><times id="S4.F1.pic1.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1"></times><ci id="S4.F1.pic1.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2">𝛾</ci><apply id="S4.F1.pic1.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3"><ci id="S4.F1.pic1.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1">¯</ci><ci id="S4.F1.pic1.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2">𝑓</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.pic1.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">\gamma\overline{f}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.pic1.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.79.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">italic_γ over¯ start_ARG italic_f end_ARG</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.8pt" transform="matrix(1.0 -0.5 0.0 1.0 -128.74 46.82)"><foreignobject height="7.86" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="6.92"><math alttext="\overline{f}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.pic1.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.F1.pic1.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mover accent="true" id="S4.F1.pic1.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S4.F1.pic1.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml">f</mi><mo id="S4.F1.pic1.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml">¯</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.pic1.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S4.F1.pic1.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><ci id="S4.F1.pic1.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1">¯</ci><ci id="S4.F1.pic1.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2">𝑓</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.pic1.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">\overline{f}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.pic1.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">over¯ start_ARG italic_f end_ARG</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.8pt" transform="matrix(1.0 -0.5 0.0 1.0 -131.99 15.29)"><foreignobject height="9.74" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="13.42"><math alttext="\gamma^{\prime}\overline{f^{\prime}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.pic1.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.F1.pic1.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mrow id="S4.F1.pic1.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S4.F1.pic1.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><msup id="S4.F1.pic1.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" xref="S4.F1.pic1.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.F1.pic1.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S4.F1.pic1.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1" xref="S4.F1.pic1.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S4.F1.pic1.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3" xref="S4.F1.pic1.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml"><msup id="S4.F1.pic1.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2" xref="S4.F1.pic1.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.2.cmml">f</mi><mo id="S4.F1.pic1.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.3" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S4.F1.pic1.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.pic1.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S4.F1.pic1.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><times id="S4.F1.pic1.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1"></times><apply id="S4.F1.pic1.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F1.pic1.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.F1.pic1.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2">𝛾</ci><ci id="S4.F1.pic1.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3">′</ci></apply><apply id="S4.F1.pic1.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3"><ci id="S4.F1.pic1.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1">¯</ci><apply id="S4.F1.pic1.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F1.pic1.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S4.F1.pic1.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.2">𝑓</ci><ci id="S4.F1.pic1.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.3">′</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.pic1.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">\gamma^{\prime}\overline{f^{\prime}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.pic1.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.81.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT over¯ start_ARG italic_f start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.8pt" transform="matrix(1.0 -0.5 0.0 1.0 -128.74 -21.37)"><foreignobject height="7.86" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="6.92"><math alttext="\overline{f^{\prime}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.pic1.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.F1.pic1.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mover accent="true" id="S4.F1.pic1.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S4.F1.pic1.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><msup id="S4.F1.pic1.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" xref="S4.F1.pic1.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml">f</mi><mo id="S4.F1.pic1.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S4.F1.pic1.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml">¯</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.pic1.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S4.F1.pic1.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><ci id="S4.F1.pic1.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1">¯</ci><apply id="S4.F1.pic1.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F1.pic1.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.F1.pic1.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2">𝑓</ci><ci id="S4.F1.pic1.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3">′</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.pic1.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">\overline{f^{\prime}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.pic1.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.82.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">over¯ start_ARG italic_f start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.8pt" transform="matrix(1.0 -0.5 0.0 1.0 -132.74 -52.52)"><foreignobject height="9.74" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="14.92"><math alttext="\gamma^{\prime\prime}\overline{f^{\prime\prime}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.pic1.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.F1.pic1.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mrow id="S4.F1.pic1.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S4.F1.pic1.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><msup id="S4.F1.pic1.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" xref="S4.F1.pic1.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.F1.pic1.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml">′′</mo></msup><mo id="S4.F1.pic1.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1" xref="S4.F1.pic1.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S4.F1.pic1.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3" xref="S4.F1.pic1.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml"><msup id="S4.F1.pic1.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2" xref="S4.F1.pic1.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.2.cmml">f</mi><mo id="S4.F1.pic1.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.3" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.3.cmml">′′</mo></msup><mo id="S4.F1.pic1.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.pic1.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S4.F1.pic1.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><times id="S4.F1.pic1.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1"></times><apply id="S4.F1.pic1.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F1.pic1.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.F1.pic1.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2">𝛾</ci><ci id="S4.F1.pic1.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3">′′</ci></apply><apply id="S4.F1.pic1.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3"><ci id="S4.F1.pic1.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1">¯</ci><apply id="S4.F1.pic1.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F1.pic1.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S4.F1.pic1.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.2">𝑓</ci><ci id="S4.F1.pic1.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.3">′′</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.pic1.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">\gamma^{\prime\prime}\overline{f^{\prime\prime}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.pic1.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.83.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT ′ ′ end_POSTSUPERSCRIPT over¯ start_ARG italic_f start_POSTSUPERSCRIPT ′ ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.8pt" transform="matrix(1.0 -0.5 0.0 1.0 -128.74 -89.55)"><foreignobject height="7.86" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="6.92"><math alttext="\overline{f^{\prime\prime}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.pic1.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.F1.pic1.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mover accent="true" id="S4.F1.pic1.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S4.F1.pic1.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><msup id="S4.F1.pic1.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" xref="S4.F1.pic1.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml">f</mi><mo id="S4.F1.pic1.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml">′′</mo></msup><mo id="S4.F1.pic1.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml">¯</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.pic1.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S4.F1.pic1.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><ci id="S4.F1.pic1.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1">¯</ci><apply id="S4.F1.pic1.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F1.pic1.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.F1.pic1.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2">𝑓</ci><ci id="S4.F1.pic1.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3">′′</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.pic1.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">\overline{f^{\prime\prime}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.pic1.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.84.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">over¯ start_ARG italic_f start_POSTSUPERSCRIPT ′ ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.8pt" transform="matrix(1.0 -0.5 0.0 1.0 -99.54 68.15)"><foreignobject height="4.17" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="4.19"><math alttext="c" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.pic1.85.85.85.85.85.85.85.85.85.85.85.85.85.85.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.F1.pic1.85.85.85.85.85.85.85.85.85.85.85.85.85.85.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mi id="S4.F1.pic1.85.85.85.85.85.85.85.85.85.85.85.85.85.85.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.85.85.85.85.85.85.85.85.85.85.85.85.85.85.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml">c</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.pic1.85.85.85.85.85.85.85.85.85.85.85.85.85.85.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><ci id="S4.F1.pic1.85.85.85.85.85.85.85.85.85.85.85.85.85.85.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.85.85.85.85.85.85.85.85.85.85.85.85.85.85.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1">𝑐</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.pic1.85.85.85.85.85.85.85.85.85.85.85.85.85.85.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">c</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.pic1.85.85.85.85.85.85.85.85.85.85.85.85.85.85.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">italic_c</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.8pt" transform="matrix(1.0 -0.5 0.0 1.0 -106.15 35.52)"><foreignobject height="7.86" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="17.41"><math alttext="-c\overline{\gamma}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.pic1.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.F1.pic1.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mrow id="S4.F1.pic1.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S4.F1.pic1.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><mo id="S4.F1.pic1.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1a" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.F1.pic1.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" xref="S4.F1.pic1.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml">c</mi><mo id="S4.F1.pic1.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1" xref="S4.F1.pic1.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S4.F1.pic1.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3" xref="S4.F1.pic1.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.F1.pic1.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.pic1.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S4.F1.pic1.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><minus id="S4.F1.pic1.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"></minus><apply id="S4.F1.pic1.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2"><times id="S4.F1.pic1.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1"></times><ci id="S4.F1.pic1.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2">𝑐</ci><apply id="S4.F1.pic1.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3"><ci id="S4.F1.pic1.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1">¯</ci><ci id="S4.F1.pic1.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2">𝛾</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.pic1.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">-c\overline{\gamma}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.pic1.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.86.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">- italic_c over¯ start_ARG italic_γ end_ARG</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.8pt" transform="matrix(1.0 -0.5 0.0 1.0 -100.29 -0.41)"><foreignobject height="5.68" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="5.68"><math alttext="c^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.pic1.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.F1.pic1.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><msup id="S4.F1.pic1.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S4.F1.pic1.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml">c</mi><mo id="S4.F1.pic1.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.pic1.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S4.F1.pic1.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F1.pic1.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.F1.pic1.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2">𝑐</ci><ci id="S4.F1.pic1.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3">′</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.pic1.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">c^{\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.pic1.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.87.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">italic_c start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.8pt" transform="matrix(1.0 -0.5 0.0 1.0 -106.9 -32.29)"><foreignobject height="7.86" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="18.91"><math alttext="-c^{\prime}\overline{\gamma^{\prime}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.pic1.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.F1.pic1.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mrow id="S4.F1.pic1.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S4.F1.pic1.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><mo id="S4.F1.pic1.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1a" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.F1.pic1.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" xref="S4.F1.pic1.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml"><msup id="S4.F1.pic1.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2" xref="S4.F1.pic1.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.2.cmml">c</mi><mo id="S4.F1.pic1.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.3" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S4.F1.pic1.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1" xref="S4.F1.pic1.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S4.F1.pic1.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3" xref="S4.F1.pic1.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml"><msup id="S4.F1.pic1.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2" xref="S4.F1.pic1.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.F1.pic1.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.3" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S4.F1.pic1.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.pic1.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S4.F1.pic1.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><minus id="S4.F1.pic1.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"></minus><apply id="S4.F1.pic1.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2"><times id="S4.F1.pic1.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1"></times><apply id="S4.F1.pic1.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F1.pic1.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S4.F1.pic1.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.2">𝑐</ci><ci id="S4.F1.pic1.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.3">′</ci></apply><apply id="S4.F1.pic1.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3"><ci id="S4.F1.pic1.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1">¯</ci><apply id="S4.F1.pic1.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F1.pic1.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S4.F1.pic1.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.2">𝛾</ci><ci id="S4.F1.pic1.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.3">′</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.pic1.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">-c^{\prime}\overline{\gamma^{\prime}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.pic1.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.88.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">- italic_c start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT over¯ start_ARG italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.8pt" transform="matrix(1.0 -0.5 0.0 1.0 -101.03 -68.22)"><foreignobject height="5.68" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="7.17"><math alttext="c^{\prime\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.pic1.89.89.89.89.89.89.89.89.89.89.89.89.89.89.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.F1.pic1.89.89.89.89.89.89.89.89.89.89.89.89.89.89.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><msup id="S4.F1.pic1.89.89.89.89.89.89.89.89.89.89.89.89.89.89.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S4.F1.pic1.89.89.89.89.89.89.89.89.89.89.89.89.89.89.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.89.89.89.89.89.89.89.89.89.89.89.89.89.89.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.89.89.89.89.89.89.89.89.89.89.89.89.89.89.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml">c</mi><mo id="S4.F1.pic1.89.89.89.89.89.89.89.89.89.89.89.89.89.89.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.89.89.89.89.89.89.89.89.89.89.89.89.89.89.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml">′′</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.pic1.89.89.89.89.89.89.89.89.89.89.89.89.89.89.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S4.F1.pic1.89.89.89.89.89.89.89.89.89.89.89.89.89.89.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.89.89.89.89.89.89.89.89.89.89.89.89.89.89.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F1.pic1.89.89.89.89.89.89.89.89.89.89.89.89.89.89.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.89.89.89.89.89.89.89.89.89.89.89.89.89.89.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.F1.pic1.89.89.89.89.89.89.89.89.89.89.89.89.89.89.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.89.89.89.89.89.89.89.89.89.89.89.89.89.89.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2">𝑐</ci><ci id="S4.F1.pic1.89.89.89.89.89.89.89.89.89.89.89.89.89.89.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.89.89.89.89.89.89.89.89.89.89.89.89.89.89.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3">′′</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.pic1.89.89.89.89.89.89.89.89.89.89.89.89.89.89.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">c^{\prime\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.pic1.89.89.89.89.89.89.89.89.89.89.89.89.89.89.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">italic_c start_POSTSUPERSCRIPT ′ ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.8pt" transform="matrix(1.0 -0.5 0.0 1.0 -107.65 -100.1)"><foreignobject height="7.86" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="20.4"><math alttext="-c^{\prime\prime}\overline{\gamma^{\prime\prime}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.pic1.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.F1.pic1.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mrow id="S4.F1.pic1.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S4.F1.pic1.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><mo id="S4.F1.pic1.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1a" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.F1.pic1.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" xref="S4.F1.pic1.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml"><msup id="S4.F1.pic1.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2" xref="S4.F1.pic1.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.2.cmml">c</mi><mo id="S4.F1.pic1.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.3" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.3.cmml">′′</mo></msup><mo id="S4.F1.pic1.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1" xref="S4.F1.pic1.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S4.F1.pic1.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3" xref="S4.F1.pic1.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml"><msup id="S4.F1.pic1.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2" xref="S4.F1.pic1.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.F1.pic1.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.3" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.3.cmml">′′</mo></msup><mo id="S4.F1.pic1.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.pic1.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S4.F1.pic1.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><minus id="S4.F1.pic1.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"></minus><apply id="S4.F1.pic1.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2"><times id="S4.F1.pic1.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1"></times><apply id="S4.F1.pic1.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F1.pic1.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S4.F1.pic1.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.2">𝑐</ci><ci id="S4.F1.pic1.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.3">′′</ci></apply><apply id="S4.F1.pic1.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3"><ci id="S4.F1.pic1.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1">¯</ci><apply id="S4.F1.pic1.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F1.pic1.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S4.F1.pic1.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.2">𝛾</ci><ci id="S4.F1.pic1.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.3">′′</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.pic1.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">-c^{\prime\prime}\overline{\gamma^{\prime\prime}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.pic1.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">- italic_c start_POSTSUPERSCRIPT ′ ′ end_POSTSUPERSCRIPT over¯ start_ARG italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT ′ ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.8pt" transform="matrix(1.0 -0.5 0.0 1.0 -75.58 55.27)"><foreignobject height="9.74" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="11.93"><math alttext="\gamma\overline{e}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.pic1.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.F1.pic1.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mrow id="S4.F1.pic1.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S4.F1.pic1.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.F1.pic1.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1" xref="S4.F1.pic1.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S4.F1.pic1.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3" xref="S4.F1.pic1.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml">e</mi><mo id="S4.F1.pic1.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.pic1.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S4.F1.pic1.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><times id="S4.F1.pic1.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1"></times><ci id="S4.F1.pic1.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2">𝛾</ci><apply id="S4.F1.pic1.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3"><ci id="S4.F1.pic1.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1">¯</ci><ci id="S4.F1.pic1.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2">𝑒</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.pic1.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">\gamma\overline{e}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.pic1.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.91.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">italic_γ over¯ start_ARG italic_e end_ARG</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.8pt" transform="matrix(1.0 -0.5 0.0 1.0 -73.07 18.98)"><foreignobject height="7.86" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="6.92"><math alttext="\overline{e}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.pic1.92.92.92.92.92.92.92.92.92.92.92.92.92.92.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.F1.pic1.92.92.92.92.92.92.92.92.92.92.92.92.92.92.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mover accent="true" id="S4.F1.pic1.92.92.92.92.92.92.92.92.92.92.92.92.92.92.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S4.F1.pic1.92.92.92.92.92.92.92.92.92.92.92.92.92.92.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.92.92.92.92.92.92.92.92.92.92.92.92.92.92.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.92.92.92.92.92.92.92.92.92.92.92.92.92.92.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml">e</mi><mo id="S4.F1.pic1.92.92.92.92.92.92.92.92.92.92.92.92.92.92.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.92.92.92.92.92.92.92.92.92.92.92.92.92.92.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml">¯</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.pic1.92.92.92.92.92.92.92.92.92.92.92.92.92.92.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S4.F1.pic1.92.92.92.92.92.92.92.92.92.92.92.92.92.92.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.92.92.92.92.92.92.92.92.92.92.92.92.92.92.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><ci id="S4.F1.pic1.92.92.92.92.92.92.92.92.92.92.92.92.92.92.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.92.92.92.92.92.92.92.92.92.92.92.92.92.92.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1">¯</ci><ci id="S4.F1.pic1.92.92.92.92.92.92.92.92.92.92.92.92.92.92.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.92.92.92.92.92.92.92.92.92.92.92.92.92.92.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2">𝑒</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.pic1.92.92.92.92.92.92.92.92.92.92.92.92.92.92.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">\overline{e}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.pic1.92.92.92.92.92.92.92.92.92.92.92.92.92.92.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">over¯ start_ARG italic_e end_ARG</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.8pt" transform="matrix(1.0 -0.5 0.0 1.0 -76.32 -12.54)"><foreignobject height="9.74" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="13.42"><math alttext="\gamma^{\prime}\overline{e^{\prime}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.pic1.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.F1.pic1.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mrow id="S4.F1.pic1.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S4.F1.pic1.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><msup id="S4.F1.pic1.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" xref="S4.F1.pic1.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.F1.pic1.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S4.F1.pic1.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1" xref="S4.F1.pic1.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S4.F1.pic1.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3" xref="S4.F1.pic1.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml"><msup id="S4.F1.pic1.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2" xref="S4.F1.pic1.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.2.cmml">e</mi><mo id="S4.F1.pic1.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.3" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S4.F1.pic1.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.pic1.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S4.F1.pic1.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><times id="S4.F1.pic1.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1"></times><apply id="S4.F1.pic1.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F1.pic1.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.F1.pic1.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2">𝛾</ci><ci id="S4.F1.pic1.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3">′</ci></apply><apply id="S4.F1.pic1.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3"><ci id="S4.F1.pic1.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1">¯</ci><apply id="S4.F1.pic1.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F1.pic1.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S4.F1.pic1.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.2">𝑒</ci><ci id="S4.F1.pic1.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.3">′</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.pic1.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">\gamma^{\prime}\overline{e^{\prime}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.pic1.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.93.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT over¯ start_ARG italic_e start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.8pt" transform="matrix(1.0 -0.5 0.0 1.0 -73.07 -49.2)"><foreignobject height="7.86" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="6.92"><math alttext="\overline{e^{\prime}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.pic1.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.F1.pic1.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mover accent="true" id="S4.F1.pic1.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S4.F1.pic1.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><msup id="S4.F1.pic1.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" xref="S4.F1.pic1.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml">e</mi><mo id="S4.F1.pic1.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S4.F1.pic1.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml">¯</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.pic1.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S4.F1.pic1.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><ci id="S4.F1.pic1.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1">¯</ci><apply id="S4.F1.pic1.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F1.pic1.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.F1.pic1.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2">𝑒</ci><ci id="S4.F1.pic1.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3">′</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.pic1.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">\overline{e^{\prime}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.pic1.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.94.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">over¯ start_ARG italic_e start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.8pt" transform="matrix(1.0 -0.5 0.0 1.0 -77.07 -80.35)"><foreignobject height="9.74" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="14.92"><math alttext="\gamma^{\prime\prime}\overline{e^{\prime\prime}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.pic1.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.F1.pic1.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mrow id="S4.F1.pic1.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S4.F1.pic1.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><msup id="S4.F1.pic1.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" xref="S4.F1.pic1.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.F1.pic1.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml">′′</mo></msup><mo id="S4.F1.pic1.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1" xref="S4.F1.pic1.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S4.F1.pic1.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3" xref="S4.F1.pic1.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml"><msup id="S4.F1.pic1.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2" xref="S4.F1.pic1.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.2.cmml">e</mi><mo id="S4.F1.pic1.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.3" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.3.cmml">′′</mo></msup><mo id="S4.F1.pic1.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.pic1.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S4.F1.pic1.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><times id="S4.F1.pic1.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1"></times><apply id="S4.F1.pic1.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F1.pic1.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.F1.pic1.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2">𝛾</ci><ci id="S4.F1.pic1.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3">′′</ci></apply><apply id="S4.F1.pic1.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3"><ci id="S4.F1.pic1.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1">¯</ci><apply id="S4.F1.pic1.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F1.pic1.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S4.F1.pic1.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.2">𝑒</ci><ci id="S4.F1.pic1.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.3">′′</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.pic1.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">\gamma^{\prime\prime}\overline{e^{\prime\prime}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.pic1.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.95.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT ′ ′ end_POSTSUPERSCRIPT over¯ start_ARG italic_e start_POSTSUPERSCRIPT ′ ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.8pt" transform="matrix(1.0 -0.5 0.0 1.0 -73.07 -117.38)"><foreignobject height="7.86" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="6.92"><math alttext="\overline{e^{\prime\prime}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.pic1.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.F1.pic1.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mover accent="true" id="S4.F1.pic1.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S4.F1.pic1.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><msup id="S4.F1.pic1.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" xref="S4.F1.pic1.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml">e</mi><mo id="S4.F1.pic1.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml">′′</mo></msup><mo id="S4.F1.pic1.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml">¯</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.pic1.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S4.F1.pic1.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><ci id="S4.F1.pic1.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1">¯</ci><apply id="S4.F1.pic1.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F1.pic1.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.F1.pic1.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2">𝑒</ci><ci id="S4.F1.pic1.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3">′′</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.pic1.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">\overline{e^{\prime\prime}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.pic1.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.96.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">over¯ start_ARG italic_e start_POSTSUPERSCRIPT ′ ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.8pt" transform="matrix(1.0 -0.5 0.0 1.0 -43.86 39.03)"><foreignobject height="6.73" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="4.16"><math alttext="b" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.pic1.97.97.97.97.97.97.97.97.97.97.97.97.97.97.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.F1.pic1.97.97.97.97.97.97.97.97.97.97.97.97.97.97.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mi id="S4.F1.pic1.97.97.97.97.97.97.97.97.97.97.97.97.97.97.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.97.97.97.97.97.97.97.97.97.97.97.97.97.97.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml">b</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.pic1.97.97.97.97.97.97.97.97.97.97.97.97.97.97.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><ci id="S4.F1.pic1.97.97.97.97.97.97.97.97.97.97.97.97.97.97.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.97.97.97.97.97.97.97.97.97.97.97.97.97.97.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1">𝑏</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.pic1.97.97.97.97.97.97.97.97.97.97.97.97.97.97.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">b</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.pic1.97.97.97.97.97.97.97.97.97.97.97.97.97.97.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">italic_b</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.8pt" transform="matrix(1.0 -0.5 0.0 1.0 -50.47 7.68)"><foreignobject height="7.86" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="17.38"><math alttext="-b\overline{\gamma}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.pic1.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.F1.pic1.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mrow id="S4.F1.pic1.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S4.F1.pic1.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><mo id="S4.F1.pic1.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1a" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.F1.pic1.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" xref="S4.F1.pic1.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml">b</mi><mo id="S4.F1.pic1.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1" xref="S4.F1.pic1.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S4.F1.pic1.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3" xref="S4.F1.pic1.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.F1.pic1.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.pic1.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S4.F1.pic1.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><minus id="S4.F1.pic1.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"></minus><apply id="S4.F1.pic1.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2"><times id="S4.F1.pic1.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1"></times><ci id="S4.F1.pic1.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2">𝑏</ci><apply id="S4.F1.pic1.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3"><ci id="S4.F1.pic1.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1">¯</ci><ci id="S4.F1.pic1.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2">𝛾</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.pic1.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">-b\overline{\gamma}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.pic1.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.98.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">- italic_b over¯ start_ARG italic_γ end_ARG</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.8pt" transform="matrix(1.0 -0.5 0.0 1.0 -44.6 -29.53)"><foreignobject height="8.23" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="5.65"><math alttext="b^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.pic1.99.99.99.99.99.99.99.99.99.99.99.99.99.99.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.F1.pic1.99.99.99.99.99.99.99.99.99.99.99.99.99.99.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><msup id="S4.F1.pic1.99.99.99.99.99.99.99.99.99.99.99.99.99.99.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S4.F1.pic1.99.99.99.99.99.99.99.99.99.99.99.99.99.99.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.99.99.99.99.99.99.99.99.99.99.99.99.99.99.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.99.99.99.99.99.99.99.99.99.99.99.99.99.99.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml">b</mi><mo id="S4.F1.pic1.99.99.99.99.99.99.99.99.99.99.99.99.99.99.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.99.99.99.99.99.99.99.99.99.99.99.99.99.99.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.pic1.99.99.99.99.99.99.99.99.99.99.99.99.99.99.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S4.F1.pic1.99.99.99.99.99.99.99.99.99.99.99.99.99.99.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.99.99.99.99.99.99.99.99.99.99.99.99.99.99.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F1.pic1.99.99.99.99.99.99.99.99.99.99.99.99.99.99.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.99.99.99.99.99.99.99.99.99.99.99.99.99.99.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.F1.pic1.99.99.99.99.99.99.99.99.99.99.99.99.99.99.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.99.99.99.99.99.99.99.99.99.99.99.99.99.99.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2">𝑏</ci><ci id="S4.F1.pic1.99.99.99.99.99.99.99.99.99.99.99.99.99.99.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.99.99.99.99.99.99.99.99.99.99.99.99.99.99.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3">′</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.pic1.99.99.99.99.99.99.99.99.99.99.99.99.99.99.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">b^{\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.pic1.99.99.99.99.99.99.99.99.99.99.99.99.99.99.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">italic_b start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.8pt" transform="matrix(1.0 -0.5 0.0 1.0 -51.21 -60.32)"><foreignobject height="8.23" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="18.87"><math alttext="-b^{\prime}\overline{\gamma^{\prime}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.pic1.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.F1.pic1.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mrow id="S4.F1.pic1.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S4.F1.pic1.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><mo id="S4.F1.pic1.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1a" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.F1.pic1.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" xref="S4.F1.pic1.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml"><msup id="S4.F1.pic1.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2" xref="S4.F1.pic1.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.2.cmml">b</mi><mo id="S4.F1.pic1.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.3" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S4.F1.pic1.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1" xref="S4.F1.pic1.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S4.F1.pic1.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3" xref="S4.F1.pic1.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml"><msup id="S4.F1.pic1.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2" xref="S4.F1.pic1.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.F1.pic1.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.3" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S4.F1.pic1.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.pic1.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S4.F1.pic1.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><minus id="S4.F1.pic1.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"></minus><apply id="S4.F1.pic1.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2"><times id="S4.F1.pic1.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1"></times><apply id="S4.F1.pic1.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F1.pic1.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S4.F1.pic1.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.2">𝑏</ci><ci id="S4.F1.pic1.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.3">′</ci></apply><apply id="S4.F1.pic1.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3"><ci id="S4.F1.pic1.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1">¯</ci><apply id="S4.F1.pic1.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F1.pic1.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S4.F1.pic1.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.2">𝛾</ci><ci id="S4.F1.pic1.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.3">′</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.pic1.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">-b^{\prime}\overline{\gamma^{\prime}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.pic1.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.100.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">- italic_b start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT over¯ start_ARG italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.8pt" transform="matrix(1.0 -0.5 0.0 1.0 -45.35 -97.34)"><foreignobject height="8.23" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="7.14"><math alttext="b^{\prime\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.pic1.101.101.101.101.101.101.101.101.101.101.101.101.101.101.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.F1.pic1.101.101.101.101.101.101.101.101.101.101.101.101.101.101.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><msup id="S4.F1.pic1.101.101.101.101.101.101.101.101.101.101.101.101.101.101.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S4.F1.pic1.101.101.101.101.101.101.101.101.101.101.101.101.101.101.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.101.101.101.101.101.101.101.101.101.101.101.101.101.101.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.101.101.101.101.101.101.101.101.101.101.101.101.101.101.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml">b</mi><mo id="S4.F1.pic1.101.101.101.101.101.101.101.101.101.101.101.101.101.101.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.101.101.101.101.101.101.101.101.101.101.101.101.101.101.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml">′′</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.pic1.101.101.101.101.101.101.101.101.101.101.101.101.101.101.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S4.F1.pic1.101.101.101.101.101.101.101.101.101.101.101.101.101.101.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.101.101.101.101.101.101.101.101.101.101.101.101.101.101.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F1.pic1.101.101.101.101.101.101.101.101.101.101.101.101.101.101.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.101.101.101.101.101.101.101.101.101.101.101.101.101.101.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.F1.pic1.101.101.101.101.101.101.101.101.101.101.101.101.101.101.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.101.101.101.101.101.101.101.101.101.101.101.101.101.101.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2">𝑏</ci><ci id="S4.F1.pic1.101.101.101.101.101.101.101.101.101.101.101.101.101.101.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.101.101.101.101.101.101.101.101.101.101.101.101.101.101.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3">′′</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.pic1.101.101.101.101.101.101.101.101.101.101.101.101.101.101.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">b^{\prime\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.pic1.101.101.101.101.101.101.101.101.101.101.101.101.101.101.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">italic_b start_POSTSUPERSCRIPT ′ ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.8pt" transform="matrix(1.0 -0.5 0.0 1.0 -51.96 -128.13)"><foreignobject height="8.23" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="20.36"><math alttext="-b^{\prime\prime}\overline{\gamma^{\prime\prime}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.pic1.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.F1.pic1.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mrow id="S4.F1.pic1.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S4.F1.pic1.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><mo id="S4.F1.pic1.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1a" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.F1.pic1.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" xref="S4.F1.pic1.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml"><msup id="S4.F1.pic1.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2" xref="S4.F1.pic1.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.2.cmml">b</mi><mo id="S4.F1.pic1.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.3" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.3.cmml">′′</mo></msup><mo id="S4.F1.pic1.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1" xref="S4.F1.pic1.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S4.F1.pic1.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3" xref="S4.F1.pic1.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml"><msup id="S4.F1.pic1.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2" xref="S4.F1.pic1.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.F1.pic1.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.3" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.3.cmml">′′</mo></msup><mo id="S4.F1.pic1.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.pic1.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S4.F1.pic1.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><minus id="S4.F1.pic1.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"></minus><apply id="S4.F1.pic1.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2"><times id="S4.F1.pic1.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1"></times><apply id="S4.F1.pic1.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F1.pic1.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S4.F1.pic1.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.2">𝑏</ci><ci id="S4.F1.pic1.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.3">′′</ci></apply><apply id="S4.F1.pic1.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3"><ci id="S4.F1.pic1.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.1">¯</ci><apply id="S4.F1.pic1.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F1.pic1.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S4.F1.pic1.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.2">𝛾</ci><ci id="S4.F1.pic1.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.2.3">′′</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.pic1.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">-b^{\prime\prime}\overline{\gamma^{\prime\prime}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.pic1.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.102.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">- italic_b start_POSTSUPERSCRIPT ′ ′ end_POSTSUPERSCRIPT over¯ start_ARG italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT ′ ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.8pt" transform="matrix(1.0 -0.5 0.0 1.0 -19.91 27.43)"><foreignobject height="9.74" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="11.93"><math alttext="\gamma\overline{d}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.pic1.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.F1.pic1.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mrow id="S4.F1.pic1.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S4.F1.pic1.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.F1.pic1.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1" xref="S4.F1.pic1.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S4.F1.pic1.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3" xref="S4.F1.pic1.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml">d</mi><mo id="S4.F1.pic1.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.pic1.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S4.F1.pic1.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><times id="S4.F1.pic1.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1"></times><ci id="S4.F1.pic1.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2">𝛾</ci><apply id="S4.F1.pic1.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3"><ci id="S4.F1.pic1.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1">¯</ci><ci id="S4.F1.pic1.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2">𝑑</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.pic1.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">\gamma\overline{d}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.pic1.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.103.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">italic_γ over¯ start_ARG italic_d end_ARG</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.8pt" transform="matrix(1.0 -0.5 0.0 1.0 -17.4 -8.85)"><foreignobject height="7.86" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="6.92"><math alttext="\overline{d}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.pic1.104.104.104.104.104.104.104.104.104.104.104.104.104.104.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.F1.pic1.104.104.104.104.104.104.104.104.104.104.104.104.104.104.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mover accent="true" id="S4.F1.pic1.104.104.104.104.104.104.104.104.104.104.104.104.104.104.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S4.F1.pic1.104.104.104.104.104.104.104.104.104.104.104.104.104.104.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.104.104.104.104.104.104.104.104.104.104.104.104.104.104.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.104.104.104.104.104.104.104.104.104.104.104.104.104.104.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml">d</mi><mo id="S4.F1.pic1.104.104.104.104.104.104.104.104.104.104.104.104.104.104.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.104.104.104.104.104.104.104.104.104.104.104.104.104.104.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml">¯</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.pic1.104.104.104.104.104.104.104.104.104.104.104.104.104.104.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S4.F1.pic1.104.104.104.104.104.104.104.104.104.104.104.104.104.104.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.104.104.104.104.104.104.104.104.104.104.104.104.104.104.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><ci id="S4.F1.pic1.104.104.104.104.104.104.104.104.104.104.104.104.104.104.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.104.104.104.104.104.104.104.104.104.104.104.104.104.104.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1">¯</ci><ci id="S4.F1.pic1.104.104.104.104.104.104.104.104.104.104.104.104.104.104.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.104.104.104.104.104.104.104.104.104.104.104.104.104.104.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2">𝑑</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.pic1.104.104.104.104.104.104.104.104.104.104.104.104.104.104.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">\overline{d}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.pic1.104.104.104.104.104.104.104.104.104.104.104.104.104.104.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">over¯ start_ARG italic_d end_ARG</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.8pt" transform="matrix(1.0 -0.5 0.0 1.0 -20.66 -40.38)"><foreignobject height="9.74" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="13.42"><math alttext="\gamma^{\prime}\overline{d^{\prime}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.pic1.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.F1.pic1.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mrow id="S4.F1.pic1.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S4.F1.pic1.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><msup id="S4.F1.pic1.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" xref="S4.F1.pic1.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.F1.pic1.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S4.F1.pic1.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1" xref="S4.F1.pic1.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S4.F1.pic1.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3" xref="S4.F1.pic1.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml"><msup id="S4.F1.pic1.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2" xref="S4.F1.pic1.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.2.cmml">d</mi><mo id="S4.F1.pic1.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.3" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S4.F1.pic1.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.pic1.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S4.F1.pic1.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><times id="S4.F1.pic1.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1"></times><apply id="S4.F1.pic1.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F1.pic1.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.F1.pic1.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2">𝛾</ci><ci id="S4.F1.pic1.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3">′</ci></apply><apply id="S4.F1.pic1.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3"><ci id="S4.F1.pic1.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1">¯</ci><apply id="S4.F1.pic1.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F1.pic1.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S4.F1.pic1.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.2">𝑑</ci><ci id="S4.F1.pic1.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.3">′</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.pic1.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">\gamma^{\prime}\overline{d^{\prime}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.pic1.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.105.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT over¯ start_ARG italic_d start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.8pt" transform="matrix(1.0 -0.5 0.0 1.0 -17.4 -77.04)"><foreignobject height="7.86" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="6.92"><math alttext="\overline{d^{\prime}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.pic1.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.F1.pic1.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mover accent="true" id="S4.F1.pic1.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S4.F1.pic1.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><msup id="S4.F1.pic1.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" xref="S4.F1.pic1.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml">d</mi><mo id="S4.F1.pic1.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S4.F1.pic1.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml">¯</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.pic1.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S4.F1.pic1.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><ci id="S4.F1.pic1.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1">¯</ci><apply id="S4.F1.pic1.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F1.pic1.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.F1.pic1.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2">𝑑</ci><ci id="S4.F1.pic1.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3">′</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.pic1.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">\overline{d^{\prime}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.pic1.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.106.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">over¯ start_ARG italic_d start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.8pt" transform="matrix(1.0 -0.5 0.0 1.0 -21.4 -108.18)"><foreignobject height="9.74" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="14.92"><math alttext="\gamma^{\prime\prime}\overline{d^{\prime\prime}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.pic1.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.F1.pic1.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mrow id="S4.F1.pic1.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S4.F1.pic1.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><msup id="S4.F1.pic1.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" xref="S4.F1.pic1.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.F1.pic1.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml">′′</mo></msup><mo id="S4.F1.pic1.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1" xref="S4.F1.pic1.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S4.F1.pic1.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3" xref="S4.F1.pic1.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml"><msup id="S4.F1.pic1.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2" xref="S4.F1.pic1.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.2.cmml">d</mi><mo id="S4.F1.pic1.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.3" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.3.cmml">′′</mo></msup><mo id="S4.F1.pic1.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.pic1.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S4.F1.pic1.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><times id="S4.F1.pic1.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1"></times><apply id="S4.F1.pic1.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F1.pic1.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.F1.pic1.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2">𝛾</ci><ci id="S4.F1.pic1.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3">′′</ci></apply><apply id="S4.F1.pic1.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3"><ci id="S4.F1.pic1.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.1">¯</ci><apply id="S4.F1.pic1.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F1.pic1.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S4.F1.pic1.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.2">𝑑</ci><ci id="S4.F1.pic1.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.3.2.3">′′</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.pic1.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">\gamma^{\prime\prime}\overline{d^{\prime\prime}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.pic1.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.107.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">italic_γ start_POSTSUPERSCRIPT ′ ′ end_POSTSUPERSCRIPT over¯ start_ARG italic_d start_POSTSUPERSCRIPT ′ ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g fill="#000000" stroke="#000000" stroke-width="0.8pt" transform="matrix(1.0 -0.5 0.0 1.0 -17.4 -145.22)"><foreignobject height="7.86" overflow="visible" transform="matrix(1 0 0 -1 0 16.6)" width="6.92"><math alttext="\overline{d^{\prime\prime}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.pic1.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.F1.pic1.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1a"><mover accent="true" id="S4.F1.pic1.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="S4.F1.pic1.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><msup id="S4.F1.pic1.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2" xref="S4.F1.pic1.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.F1.pic1.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml">d</mi><mo id="S4.F1.pic1.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml">′′</mo></msup><mo id="S4.F1.pic1.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1" mathsize="70%" xref="S4.F1.pic1.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml">¯</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.pic1.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S4.F1.pic1.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1"><ci id="S4.F1.pic1.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.1">¯</ci><apply id="S4.F1.pic1.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F1.pic1.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.F1.pic1.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.F1.pic1.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.F1.pic1.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.2">𝑑</ci><ci id="S4.F1.pic1.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.F1.pic1.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1.1.2.3">′′</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.pic1.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1c">\overline{d^{\prime\prime}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.pic1.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.108.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.m1.1d">over¯ start_ARG italic_d start_POSTSUPERSCRIPT ′ ′ end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math></foreignobject></g><g color="#808080" fill="#808080" stroke="#808080" stroke-width="0.2pt"><path d="M -167.03 -83.52 L -0.03 -167.02" style="fill:none"></path></g><g color="#808080" fill="#808080" stroke="#808080" stroke-width="0.2pt"><path d="M 167.03 -83.52 L 0.03 -167.02" style="fill:none"></path></g><g color="#808080" fill="#808080" stroke="#808080" stroke-width="0.2pt"><path d="M 0 204.57 L 167.01 121.07" style="fill:none"></path></g><g color="#808080" fill="#808080" stroke="#808080" stroke-width="0.2pt"><path d="M -167.03 -49.43 L -0.03 -132.93" style="fill:none"></path></g><g color="#808080" fill="#808080" stroke="#808080" stroke-width="0.2pt"><path d="M 167.03 -49.43 L 0.03 -132.93" style="fill:none"></path></g><g color="#808080" fill="#808080" stroke="#808080" stroke-width="0.2pt"><path d="M -27.83 190.66 L 139.17 107.15" style="fill:none"></path></g><g color="#808080" fill="#808080" stroke="#808080" stroke-width="0.2pt"><path d="M -167.03 -15.34 L -0.03 -98.84" style="fill:none"></path></g><g color="#808080" fill="#808080" stroke="#808080" stroke-width="0.2pt"><path d="M 167.03 -15.34 L 0.03 -98.84" style="fill:none"></path></g><g color="#808080" fill="#808080" stroke="#808080" stroke-width="0.2pt"><path d="M -55.67 176.74 L 111.34 93.24" style="fill:none"></path></g><g color="#808080" fill="#808080" stroke="#808080" stroke-width="0.2pt"><path d="M -167.03 18.75 L -0.03 -64.75" style="fill:none"></path></g><g color="#808080" fill="#808080" stroke="#808080" stroke-width="0.2pt"><path d="M 167.03 18.75 L 0.03 -64.75" style="fill:none"></path></g><g color="#808080" fill="#808080" stroke="#808080" stroke-width="0.2pt"><path d="M -83.5 162.82 L 83.5 79.32" style="fill:none"></path></g><g color="#808080" fill="#808080" stroke="#808080" stroke-width="0.2pt"><path d="M -167.03 52.85 L -0.03 -30.66" style="fill:none"></path></g><g color="#808080" fill="#808080" stroke="#808080" stroke-width="0.2pt"><path d="M 167.03 52.85 L 0.03 -30.66" style="fill:none"></path></g><g color="#808080" fill="#808080" stroke="#808080" stroke-width="0.2pt"><path d="M -111.34 148.9 L 55.67 65.4" style="fill:none"></path></g><g color="#808080" fill="#808080" stroke="#808080" stroke-width="0.2pt"><path d="M -167.03 86.94 L -0.03 3.43" style="fill:none"></path></g><g color="#808080" fill="#808080" stroke="#808080" stroke-width="0.2pt"><path d="M 167.03 86.94 L 0.03 3.43" style="fill:none"></path></g><g color="#808080" fill="#808080" stroke="#808080" stroke-width="0.2pt"><path d="M -139.17 134.99 L 27.83 51.48" style="fill:none"></path></g><g color="#808080" fill="#808080" stroke="#808080" stroke-width="0.2pt"><path d="M -167.03 121.03 L -0.03 37.52" style="fill:none"></path></g><g color="#808080" fill="#808080" stroke="#808080" stroke-width="0.2pt"><path d="M 167.03 121.03 L 0.03 37.52" style="fill:none"></path></g><g color="#808080" fill="#808080" stroke="#808080" stroke-width="0.2pt"><path d="M -167.01 121.07 L 0 37.57" style="fill:none"></path></g><g color="#808080" fill="#808080" stroke="#808080" stroke-width="0.2pt"><path d="M -167.03 -83.52 L -167.03 121.03" style="fill:none"></path></g><g color="#808080" fill="#808080" stroke="#808080" stroke-width="0.2pt"><path d="M 167.03 -83.52 L 167.03 121.03" style="fill:none"></path></g><g color="#808080" fill="#808080" stroke="#808080" stroke-width="0.2pt"><path d="M 0 204.57 L -167.01 121.07" style="fill:none"></path></g><g color="#808080" fill="#808080" stroke="#808080" stroke-width="0.2pt"><path d="M -139.2 -97.44 L -139.2 107.11" style="fill:none"></path></g><g color="#808080" fill="#808080" stroke="#808080" stroke-width="0.2pt"><path d="M 139.2 -97.44 L 139.2 107.11" style="fill:none"></path></g><g color="#808080" fill="#808080" stroke="#808080" stroke-width="0.2pt"><path d="M 27.83 190.66 L -139.17 107.15" style="fill:none"></path></g><g color="#808080" fill="#808080" stroke="#808080" stroke-width="0.2pt"><path d="M -111.36 -111.35 L -111.36 93.19" style="fill:none"></path></g><g color="#808080" fill="#808080" stroke="#808080" stroke-width="0.2pt"><path d="M 111.36 -111.35 L 111.36 93.19" style="fill:none"></path></g><g color="#808080" fill="#808080" stroke="#808080" stroke-width="0.2pt"><path d="M 55.67 176.74 L -111.34 93.24" style="fill:none"></path></g><g color="#808080" fill="#808080" stroke="#808080" stroke-width="0.2pt"><path d="M -83.53 -125.27 L -83.53 79.27" style="fill:none"></path></g><g color="#808080" fill="#808080" stroke="#808080" stroke-width="0.2pt"><path d="M 83.53 -125.27 L 83.53 79.27" style="fill:none"></path></g><g color="#808080" fill="#808080" stroke="#808080" stroke-width="0.2pt"><path d="M 83.5 162.82 L -83.5 79.32" style="fill:none"></path></g><g color="#808080" fill="#808080" stroke="#808080" stroke-width="0.2pt"><path d="M -55.7 -139.19 L -55.7 65.36" style="fill:none"></path></g><g color="#808080" fill="#808080" stroke="#808080" stroke-width="0.2pt"><path d="M 55.7 -139.19 L 55.7 65.36" style="fill:none"></path></g><g color="#808080" fill="#808080" stroke="#808080" stroke-width="0.2pt"><path d="M 111.34 148.9 L -55.67 65.4" style="fill:none"></path></g><g color="#808080" fill="#808080" stroke="#808080" stroke-width="0.2pt"><path d="M -27.86 -153.1 L -27.86 51.44" style="fill:none"></path></g><g color="#808080" fill="#808080" stroke="#808080" stroke-width="0.2pt"><path d="M 27.86 -153.1 L 27.86 51.44" style="fill:none"></path></g><g color="#808080" fill="#808080" stroke="#808080" stroke-width="0.2pt"><path d="M 139.17 134.99 L -27.83 51.48" style="fill:none"></path></g><g color="#808080" fill="#808080" stroke="#808080" stroke-width="0.2pt"><path d="M -0.03 -167.02 L -0.03 37.52" style="fill:none"></path></g><g color="#808080" fill="#808080" stroke="#808080" stroke-width="0.2pt"><path d="M 0.03 -167.02 L 0.03 37.52" style="fill:none"></path></g><g color="#808080" fill="#808080" stroke="#808080" stroke-width="0.2pt"><path d="M 167.01 121.07 L 0 37.57" style="fill:none"></path></g><g stroke-width="0.8pt"><path d="M -167.03 -83.52 L -0.03 -167.02" style="fill:none"></path></g><g stroke-width="0.8pt"><path d="M 167.03 -83.52 L 0.03 -167.02" style="fill:none"></path></g><g stroke-width="0.8pt"><path d="M 0 204.57 L 167.01 121.07" style="fill:none"></path></g><g stroke-width="0.8pt"><path d="M -167.03 -15.34 L -0.03 -98.84" style="fill:none"></path></g><g stroke-width="0.8pt"><path d="M 167.03 -15.34 L 0.03 -98.84" style="fill:none"></path></g><g stroke-width="0.8pt"><path d="M -55.67 176.74 L 111.34 93.24" style="fill:none"></path></g><g stroke-width="0.8pt"><path d="M -167.03 52.85 L -0.03 -30.66" style="fill:none"></path></g><g stroke-width="0.8pt"><path d="M 167.03 52.85 L 0.03 -30.66" style="fill:none"></path></g><g stroke-width="0.8pt"><path d="M -111.34 148.9 L 55.67 65.4" style="fill:none"></path></g><g stroke-width="0.8pt"><path d="M -167.03 121.03 L -0.03 37.52" style="fill:none"></path></g><g stroke-width="0.8pt"><path d="M 167.03 121.03 L 0.03 37.52" style="fill:none"></path></g><g stroke-width="0.8pt"><path d="M -167.01 121.07 L 0 37.57" style="fill:none"></path></g><g stroke-width="0.8pt"><path d="M -167.03 -83.52 L -167.03 121.03" style="fill:none"></path></g><g stroke-width="0.8pt"><path d="M 167.03 -83.52 L 167.03 121.03" style="fill:none"></path></g><g stroke-width="0.8pt"><path d="M 0 204.57 L -167.01 121.07" style="fill:none"></path></g><g stroke-width="0.8pt"><path d="M -111.36 -111.35 L -111.36 93.19" style="fill:none"></path></g><g stroke-width="0.8pt"><path d="M 111.36 -111.35 L 111.36 93.19" style="fill:none"></path></g><g stroke-width="0.8pt"><path d="M 55.67 176.74 L -111.34 93.24" style="fill:none"></path></g><g stroke-width="0.8pt"><path d="M -55.7 -139.19 L -55.7 65.36" style="fill:none"></path></g><g stroke-width="0.8pt"><path d="M 55.7 -139.19 L 55.7 65.36" style="fill:none"></path></g><g stroke-width="0.8pt"><path d="M 111.34 148.9 L -55.67 65.4" style="fill:none"></path></g><g stroke-width="0.8pt"><path d="M -0.03 -167.02 L -0.03 37.52" style="fill:none"></path></g><g stroke-width="0.8pt"><path d="M 0.03 -167.02 L 0.03 37.52" style="fill:none"></path></g><g stroke-width="0.8pt"><path d="M 167.01 121.07 L 0 37.57" style="fill:none"></path></g><g></g></g></g></svg> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure">Figure 1. </span>Figure demonstrating the block decomposition into <math alttext="3\times 3\times 3" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.3.m1.1"><semantics id="S4.F1.3.m1.1b"><mrow id="S4.F1.3.m1.1.1" xref="S4.F1.3.m1.1.1.cmml"><mn id="S4.F1.3.m1.1.1.2" xref="S4.F1.3.m1.1.1.2.cmml">3</mn><mo id="S4.F1.3.m1.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.F1.3.m1.1.1.1.cmml">×</mo><mn id="S4.F1.3.m1.1.1.3" xref="S4.F1.3.m1.1.1.3.cmml">3</mn><mo id="S4.F1.3.m1.1.1.1b" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.F1.3.m1.1.1.1.cmml">×</mo><mn id="S4.F1.3.m1.1.1.4" xref="S4.F1.3.m1.1.1.4.cmml">3</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.3.m1.1c"><apply id="S4.F1.3.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.3.m1.1.1"><times id="S4.F1.3.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.3.m1.1.1.1"></times><cn id="S4.F1.3.m1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.F1.3.m1.1.1.2">3</cn><cn id="S4.F1.3.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.F1.3.m1.1.1.3">3</cn><cn id="S4.F1.3.m1.1.1.4.cmml" type="integer" xref="S4.F1.3.m1.1.1.4">3</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.3.m1.1d">3\times 3\times 3</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.3.m1.1e">3 × 3 × 3</annotation></semantics></math> mini-cubes of shape <math alttext="2\times 2\times 2" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.4.m2.1"><semantics id="S4.F1.4.m2.1b"><mrow id="S4.F1.4.m2.1.1" xref="S4.F1.4.m2.1.1.cmml"><mn id="S4.F1.4.m2.1.1.2" xref="S4.F1.4.m2.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="S4.F1.4.m2.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.F1.4.m2.1.1.1.cmml">×</mo><mn id="S4.F1.4.m2.1.1.3" xref="S4.F1.4.m2.1.1.3.cmml">2</mn><mo id="S4.F1.4.m2.1.1.1b" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.F1.4.m2.1.1.1.cmml">×</mo><mn id="S4.F1.4.m2.1.1.4" xref="S4.F1.4.m2.1.1.4.cmml">2</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.4.m2.1c"><apply id="S4.F1.4.m2.1.1.cmml" xref="S4.F1.4.m2.1.1"><times id="S4.F1.4.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.4.m2.1.1.1"></times><cn id="S4.F1.4.m2.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.F1.4.m2.1.1.2">2</cn><cn id="S4.F1.4.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.F1.4.m2.1.1.3">2</cn><cn id="S4.F1.4.m2.1.1.4.cmml" type="integer" xref="S4.F1.4.m2.1.1.4">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.4.m2.1d">2\times 2\times 2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.4.m2.1e">2 × 2 × 2</annotation></semantics></math>. </figcaption> </figure> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_observation" id="S4.Thmfact1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S4.Thmfact1.1.1.1">Empirical observation 4.1</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S4.Thmfact1.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="S4.Thmfact1.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.Thmfact1.p1.6">Up to numerical tolerance, each of our numerical MUB-triplets <math alttext="\{X_{1},X_{2},X_{3}\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmfact1.p1.1.m1.3"><semantics id="S4.Thmfact1.p1.1.m1.3a"><mrow id="S4.Thmfact1.p1.1.m1.3.3.3" xref="S4.Thmfact1.p1.1.m1.3.3.4.cmml"><mo id="S4.Thmfact1.p1.1.m1.3.3.3.4" stretchy="false" xref="S4.Thmfact1.p1.1.m1.3.3.4.cmml">{</mo><msub id="S4.Thmfact1.p1.1.m1.1.1.1.1" xref="S4.Thmfact1.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmfact1.p1.1.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.Thmfact1.p1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml">X</mi><mn id="S4.Thmfact1.p1.1.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.Thmfact1.p1.1.m1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.Thmfact1.p1.1.m1.3.3.3.5" xref="S4.Thmfact1.p1.1.m1.3.3.4.cmml">,</mo><msub id="S4.Thmfact1.p1.1.m1.2.2.2.2" xref="S4.Thmfact1.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.Thmfact1.p1.1.m1.2.2.2.2.2" xref="S4.Thmfact1.p1.1.m1.2.2.2.2.2.cmml">X</mi><mn id="S4.Thmfact1.p1.1.m1.2.2.2.2.3" xref="S4.Thmfact1.p1.1.m1.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S4.Thmfact1.p1.1.m1.3.3.3.6" xref="S4.Thmfact1.p1.1.m1.3.3.4.cmml">,</mo><msub id="S4.Thmfact1.p1.1.m1.3.3.3.3" xref="S4.Thmfact1.p1.1.m1.3.3.3.3.cmml"><mi id="S4.Thmfact1.p1.1.m1.3.3.3.3.2" xref="S4.Thmfact1.p1.1.m1.3.3.3.3.2.cmml">X</mi><mn id="S4.Thmfact1.p1.1.m1.3.3.3.3.3" xref="S4.Thmfact1.p1.1.m1.3.3.3.3.3.cmml">3</mn></msub><mo id="S4.Thmfact1.p1.1.m1.3.3.3.7" stretchy="false" xref="S4.Thmfact1.p1.1.m1.3.3.4.cmml">}</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmfact1.p1.1.m1.3b"><set id="S4.Thmfact1.p1.1.m1.3.3.4.cmml" xref="S4.Thmfact1.p1.1.m1.3.3.3"><apply id="S4.Thmfact1.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmfact1.p1.1.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmfact1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmfact1.p1.1.m1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmfact1.p1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmfact1.p1.1.m1.1.1.1.1.2">𝑋</ci><cn id="S4.Thmfact1.p1.1.m1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmfact1.p1.1.m1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S4.Thmfact1.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmfact1.p1.1.m1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmfact1.p1.1.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Thmfact1.p1.1.m1.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmfact1.p1.1.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmfact1.p1.1.m1.2.2.2.2.2">𝑋</ci><cn id="S4.Thmfact1.p1.1.m1.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmfact1.p1.1.m1.2.2.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S4.Thmfact1.p1.1.m1.3.3.3.3.cmml" xref="S4.Thmfact1.p1.1.m1.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmfact1.p1.1.m1.3.3.3.3.1.cmml" xref="S4.Thmfact1.p1.1.m1.3.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmfact1.p1.1.m1.3.3.3.3.2.cmml" xref="S4.Thmfact1.p1.1.m1.3.3.3.3.2">𝑋</ci><cn id="S4.Thmfact1.p1.1.m1.3.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmfact1.p1.1.m1.3.3.3.3.3">3</cn></apply></set></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmfact1.p1.1.m1.3c">\{X_{1},X_{2},X_{3}\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmfact1.p1.1.m1.3d">{ italic_X start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_X start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT , italic_X start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT }</annotation></semantics></math> is permutationally unitary equivalent to an MUB-triplet obtained by the construction (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#S4.E3" title="Equation 4.3 ‣ 4. Hadamard cubes in dimension 6 ‣ Triplets of Mutually Unbiased Bases"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4.3</span></a>) above. In terms of statistics, for approximately 50<math alttext="\%" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmfact1.p1.2.m2.1"><semantics id="S4.Thmfact1.p1.2.m2.1a"><mo id="S4.Thmfact1.p1.2.m2.1.1" xref="S4.Thmfact1.p1.2.m2.1.1.cmml">%</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmfact1.p1.2.m2.1b"><csymbol cd="latexml" id="S4.Thmfact1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.Thmfact1.p1.2.m2.1.1">percent</csymbol></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmfact1.p1.2.m2.1c">\%</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmfact1.p1.2.m2.1d">%</annotation></semantics></math> of the random initializations the optimization process does not reach loss 0, and hence we do not find a numerical MUB-triplet. For about 43<math alttext="\%" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmfact1.p1.3.m3.1"><semantics id="S4.Thmfact1.p1.3.m3.1a"><mo id="S4.Thmfact1.p1.3.m3.1.1" xref="S4.Thmfact1.p1.3.m3.1.1.cmml">%</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmfact1.p1.3.m3.1b"><csymbol cd="latexml" id="S4.Thmfact1.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.Thmfact1.p1.3.m3.1.1">percent</csymbol></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmfact1.p1.3.m3.1c">\%</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmfact1.p1.3.m3.1d">%</annotation></semantics></math> of the cases the optimization process converges to a numerical MUB-triplet which gives rise to a <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.Thmfact1.p1.6.1">generic</span> cube <math alttext="C" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmfact1.p1.4.m4.1"><semantics id="S4.Thmfact1.p1.4.m4.1a"><mi id="S4.Thmfact1.p1.4.m4.1.1" xref="S4.Thmfact1.p1.4.m4.1.1.cmml">C</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmfact1.p1.4.m4.1b"><ci id="S4.Thmfact1.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.Thmfact1.p1.4.m4.1.1">𝐶</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmfact1.p1.4.m4.1c">C</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmfact1.p1.4.m4.1d">italic_C</annotation></semantics></math>. Finally, for about 7<math alttext="\%" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmfact1.p1.5.m5.1"><semantics id="S4.Thmfact1.p1.5.m5.1a"><mo id="S4.Thmfact1.p1.5.m5.1.1" xref="S4.Thmfact1.p1.5.m5.1.1.cmml">%</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmfact1.p1.5.m5.1b"><csymbol cd="latexml" id="S4.Thmfact1.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="S4.Thmfact1.p1.5.m5.1.1">percent</csymbol></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmfact1.p1.5.m5.1c">\%</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmfact1.p1.5.m5.1d">%</annotation></semantics></math> of the cases the optimization process converges to a numberical MUB-triplet which gives rise to an <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.Thmfact1.p1.6.2">exceptional</span> cube <math alttext="C" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmfact1.p1.6.m6.1"><semantics id="S4.Thmfact1.p1.6.m6.1a"><mi id="S4.Thmfact1.p1.6.m6.1.1" xref="S4.Thmfact1.p1.6.m6.1.1.cmml">C</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmfact1.p1.6.m6.1b"><ci id="S4.Thmfact1.p1.6.m6.1.1.cmml" xref="S4.Thmfact1.p1.6.m6.1.1">𝐶</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmfact1.p1.6.m6.1c">C</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmfact1.p1.6.m6.1d">italic_C</annotation></semantics></math>.</p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S4.p20"> <p class="ltx_p" id="S4.p20.1">Upon this numerical evidence, we make the following conjecture.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_conjecture" id="Thmconjecture1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmconjecture1.1.1.1">Conjecture 1</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmconjecture1.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmconjecture1.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmconjecture1.p1.6"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmconjecture1.p1.6.6">Any MUB-triplet <math alttext="(X_{1},X_{2},X_{3})" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmconjecture1.p1.1.1.m1.3"><semantics id="Thmconjecture1.p1.1.1.m1.3a"><mrow id="Thmconjecture1.p1.1.1.m1.3.3.3" xref="Thmconjecture1.p1.1.1.m1.3.3.4.cmml"><mo id="Thmconjecture1.p1.1.1.m1.3.3.3.4" stretchy="false" xref="Thmconjecture1.p1.1.1.m1.3.3.4.cmml">(</mo><msub id="Thmconjecture1.p1.1.1.m1.1.1.1.1" xref="Thmconjecture1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Thmconjecture1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2" xref="Thmconjecture1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml">X</mi><mn id="Thmconjecture1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.3" xref="Thmconjecture1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="Thmconjecture1.p1.1.1.m1.3.3.3.5" xref="Thmconjecture1.p1.1.1.m1.3.3.4.cmml">,</mo><msub id="Thmconjecture1.p1.1.1.m1.2.2.2.2" xref="Thmconjecture1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.cmml"><mi id="Thmconjecture1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2" xref="Thmconjecture1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.cmml">X</mi><mn id="Thmconjecture1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.3" xref="Thmconjecture1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="Thmconjecture1.p1.1.1.m1.3.3.3.6" xref="Thmconjecture1.p1.1.1.m1.3.3.4.cmml">,</mo><msub id="Thmconjecture1.p1.1.1.m1.3.3.3.3" xref="Thmconjecture1.p1.1.1.m1.3.3.3.3.cmml"><mi id="Thmconjecture1.p1.1.1.m1.3.3.3.3.2" xref="Thmconjecture1.p1.1.1.m1.3.3.3.3.2.cmml">X</mi><mn id="Thmconjecture1.p1.1.1.m1.3.3.3.3.3" xref="Thmconjecture1.p1.1.1.m1.3.3.3.3.3.cmml">3</mn></msub><mo id="Thmconjecture1.p1.1.1.m1.3.3.3.7" stretchy="false" xref="Thmconjecture1.p1.1.1.m1.3.3.4.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmconjecture1.p1.1.1.m1.3b"><vector id="Thmconjecture1.p1.1.1.m1.3.3.4.cmml" xref="Thmconjecture1.p1.1.1.m1.3.3.3"><apply id="Thmconjecture1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmconjecture1.p1.1.1.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmconjecture1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmconjecture1.p1.1.1.m1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmconjecture1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmconjecture1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2">𝑋</ci><cn id="Thmconjecture1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Thmconjecture1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="Thmconjecture1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="Thmconjecture1.p1.1.1.m1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmconjecture1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="Thmconjecture1.p1.1.1.m1.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="Thmconjecture1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="Thmconjecture1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2">𝑋</ci><cn id="Thmconjecture1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="Thmconjecture1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.3">2</cn></apply><apply id="Thmconjecture1.p1.1.1.m1.3.3.3.3.cmml" xref="Thmconjecture1.p1.1.1.m1.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmconjecture1.p1.1.1.m1.3.3.3.3.1.cmml" xref="Thmconjecture1.p1.1.1.m1.3.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="Thmconjecture1.p1.1.1.m1.3.3.3.3.2.cmml" xref="Thmconjecture1.p1.1.1.m1.3.3.3.3.2">𝑋</ci><cn id="Thmconjecture1.p1.1.1.m1.3.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="Thmconjecture1.p1.1.1.m1.3.3.3.3.3">3</cn></apply></vector></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmconjecture1.p1.1.1.m1.3c">(X_{1},X_{2},X_{3})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmconjecture1.p1.1.1.m1.3d">( italic_X start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_X start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT , italic_X start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> in dimension <math alttext="d=6" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmconjecture1.p1.2.2.m2.1"><semantics id="Thmconjecture1.p1.2.2.m2.1a"><mrow id="Thmconjecture1.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmconjecture1.p1.2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="Thmconjecture1.p1.2.2.m2.1.1.2" xref="Thmconjecture1.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml">d</mi><mo id="Thmconjecture1.p1.2.2.m2.1.1.1" xref="Thmconjecture1.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="Thmconjecture1.p1.2.2.m2.1.1.3" xref="Thmconjecture1.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml">6</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmconjecture1.p1.2.2.m2.1b"><apply id="Thmconjecture1.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmconjecture1.p1.2.2.m2.1.1"><eq id="Thmconjecture1.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="Thmconjecture1.p1.2.2.m2.1.1.1"></eq><ci id="Thmconjecture1.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="Thmconjecture1.p1.2.2.m2.1.1.2">𝑑</ci><cn id="Thmconjecture1.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Thmconjecture1.p1.2.2.m2.1.1.3">6</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmconjecture1.p1.2.2.m2.1c">d=6</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmconjecture1.p1.2.2.m2.1d">italic_d = 6</annotation></semantics></math> is permutationally unitary equivalent to an MUB-triplet obtained by the construction (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#S4.E3" title="Equation 4.3 ‣ 4. Hadamard cubes in dimension 6 ‣ Triplets of Mutually Unbiased Bases"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4.3</span></a>). In particular, for the transition matrices <math alttext="\sqrt{6}X_{1}X_{2}^{\ast},\sqrt{6}X_{2}X_{3}^{\ast},\sqrt{6}X_{3}X_{1}^{\ast}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.3"><semantics id="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.3a"><mrow id="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.3.3.3" xref="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.3.3.4.cmml"><mrow id="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.1.1.1.1" xref="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.1.1.1.1.cmml"><msqrt id="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.1.1.1.1.2" xref="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.1.1.1.1.2.2" xref="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.1.1.1.1.2.2.cmml">6</mn></msqrt><mo id="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1" xref="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.1.1.1.1.3" xref="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.1.1.1.1.3.2" xref="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.1.1.1.1.3.2.cmml">X</mi><mn id="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.1.1.1.1.3.3" xref="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub><mo id="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1a" xref="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.1.1.1.1.4" xref="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.1.1.1.1.4.2.2" xref="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.1.1.1.1.4.2.2.cmml">X</mi><mn id="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.1.1.1.1.4.2.3" xref="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.1.1.1.1.4.2.3.cmml">2</mn><mo id="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.1.1.1.1.4.3" xref="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.1.1.1.1.4.3.cmml">∗</mo></msubsup></mrow><mo id="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.3.3.3.4" xref="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.3.3.4.cmml">,</mo><mrow id="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.2.2.2.2" xref="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.2.2.2.2.cmml"><msqrt id="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.2.2.2.2.2" xref="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.2.2.2.2.2.cmml"><mn id="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.2.2.2.2.2.2" xref="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.2.2.2.2.2.2.cmml">6</mn></msqrt><mo id="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.2.2.2.2.1" xref="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.2.2.2.2.3" xref="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.2.2.2.2.3.2" xref="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.2.2.2.2.3.2.cmml">X</mi><mn id="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.2.2.2.2.3.3" xref="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.2.2.2.2.3.3.cmml">2</mn></msub><mo id="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.2.2.2.2.1a" xref="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.2.2.2.2.4" xref="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.2.2.2.2.4.cmml"><mi id="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.2.2.2.2.4.2.2" xref="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.2.2.2.2.4.2.2.cmml">X</mi><mn id="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.2.2.2.2.4.2.3" xref="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.2.2.2.2.4.2.3.cmml">3</mn><mo id="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.2.2.2.2.4.3" xref="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.2.2.2.2.4.3.cmml">∗</mo></msubsup></mrow><mo id="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.3.3.3.5" xref="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.3.3.4.cmml">,</mo><mrow id="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.3.3.3.3" xref="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.3.3.3.3.cmml"><msqrt id="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.3.3.3.3.2" xref="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.3.3.3.3.2.cmml"><mn id="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.3.3.3.3.2.2" xref="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.3.3.3.3.2.2.cmml">6</mn></msqrt><mo id="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.3.3.3.3.1" xref="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.3.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.3.3.3.3.3" xref="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.3.3.3.3.3.cmml"><mi id="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.3.3.3.3.3.2" xref="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.3.3.3.3.3.2.cmml">X</mi><mn id="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.3.3.3.3.3.3" xref="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.3.3.3.3.3.3.cmml">3</mn></msub><mo id="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.3.3.3.3.1a" xref="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.3.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.3.3.3.3.4" xref="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.3.3.3.3.4.cmml"><mi id="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.3.3.3.3.4.2.2" xref="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.3.3.3.3.4.2.2.cmml">X</mi><mn id="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.3.3.3.3.4.2.3" xref="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.3.3.3.3.4.2.3.cmml">1</mn><mo id="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.3.3.3.3.4.3" xref="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.3.3.3.3.4.3.cmml">∗</mo></msubsup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.3b"><list id="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.3.3.4.cmml" xref="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.3.3.3"><apply id="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.1.1.1.1.cmml" xref="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.1.1.1.1"><times id="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1"></times><apply id="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.1.1.1.1.2"><root id="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.1.1.1.1.2a.cmml" xref="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.1.1.1.1.2"></root><cn id="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.1.1.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.1.1.1.1.2.2">6</cn></apply><apply id="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.1.1.1.1.3.2">𝑋</ci><cn id="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply><apply id="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.1.1.1.1.4.cmml" xref="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.1.1.1.1.4">superscript</csymbol><apply id="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.1.1.1.1.4.2.2">𝑋</ci><cn id="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.1.1.1.1.4.2.3.cmml" type="integer" xref="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.1.1.1.1.4.2.3">2</cn></apply><ci id="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.1.1.1.1.4.3">∗</ci></apply></apply><apply id="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.2.2.2.2.cmml" xref="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.2.2.2.2"><times id="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.2.2.2.2.1.cmml" xref="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.2.2.2.2.1"></times><apply id="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.2.2.2.2.2.cmml" xref="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.2.2.2.2.2"><root id="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.2.2.2.2.2a.cmml" xref="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.2.2.2.2.2"></root><cn id="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.2.2.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.2.2.2.2.2.2">6</cn></apply><apply id="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.2.2.2.2.3.cmml" xref="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.2.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.2.2.2.2.3.2">𝑋</ci><cn id="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.2.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.2.2.2.2.3.3">2</cn></apply><apply id="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.2.2.2.2.4.cmml" xref="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.2.2.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.2.2.2.2.4.1.cmml" xref="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.2.2.2.2.4">superscript</csymbol><apply id="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.2.2.2.2.4.2.cmml" xref="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.2.2.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.2.2.2.2.4.2.1.cmml" xref="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.2.2.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.2.2.2.2.4.2.2.cmml" xref="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.2.2.2.2.4.2.2">𝑋</ci><cn id="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.2.2.2.2.4.2.3.cmml" type="integer" xref="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.2.2.2.2.4.2.3">3</cn></apply><ci id="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.2.2.2.2.4.3.cmml" xref="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.2.2.2.2.4.3">∗</ci></apply></apply><apply id="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.3.3.3.3.cmml" xref="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.3.3.3.3"><times id="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.3.3.3.3.1.cmml" xref="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.3.3.3.3.1"></times><apply id="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.3.3.3.3.2.cmml" xref="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.3.3.3.3.2"><root id="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.3.3.3.3.2a.cmml" xref="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.3.3.3.3.2"></root><cn id="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.3.3.3.3.2.2.cmml" type="integer" xref="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.3.3.3.3.2.2">6</cn></apply><apply id="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.3.3.3.3.3.cmml" xref="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.3.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.3.3.3.3.3.1.cmml" xref="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.3.3.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.3.3.3.3.3.2.cmml" xref="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.3.3.3.3.3.2">𝑋</ci><cn id="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.3.3.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.3.3.3.3.3.3">3</cn></apply><apply id="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.3.3.3.3.4.cmml" xref="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.3.3.3.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.3.3.3.3.4.1.cmml" xref="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.3.3.3.3.4">superscript</csymbol><apply id="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.3.3.3.3.4.2.cmml" xref="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.3.3.3.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.3.3.3.3.4.2.1.cmml" xref="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.3.3.3.3.4">subscript</csymbol><ci id="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.3.3.3.3.4.2.2.cmml" xref="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.3.3.3.3.4.2.2">𝑋</ci><cn id="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.3.3.3.3.4.2.3.cmml" type="integer" xref="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.3.3.3.3.4.2.3">1</cn></apply><ci id="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.3.3.3.3.4.3.cmml" xref="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.3.3.3.3.4.3">∗</ci></apply></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.3c">\sqrt{6}X_{1}X_{2}^{\ast},\sqrt{6}X_{2}X_{3}^{\ast},\sqrt{6}X_{3}X_{1}^{\ast}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmconjecture1.p1.3.3.m3.3d">square-root start_ARG 6 end_ARG italic_X start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_X start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT , square-root start_ARG 6 end_ARG italic_X start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT italic_X start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT , square-root start_ARG 6 end_ARG italic_X start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT italic_X start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> we have that one belongs to the Szöllősi family <math alttext="X(\alpha)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmconjecture1.p1.4.4.m4.1"><semantics id="Thmconjecture1.p1.4.4.m4.1a"><mrow id="Thmconjecture1.p1.4.4.m4.1.2" xref="Thmconjecture1.p1.4.4.m4.1.2.cmml"><mi id="Thmconjecture1.p1.4.4.m4.1.2.2" xref="Thmconjecture1.p1.4.4.m4.1.2.2.cmml">X</mi><mo id="Thmconjecture1.p1.4.4.m4.1.2.1" xref="Thmconjecture1.p1.4.4.m4.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmconjecture1.p1.4.4.m4.1.2.3.2" xref="Thmconjecture1.p1.4.4.m4.1.2.cmml"><mo id="Thmconjecture1.p1.4.4.m4.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmconjecture1.p1.4.4.m4.1.2.cmml">(</mo><mi id="Thmconjecture1.p1.4.4.m4.1.1" xref="Thmconjecture1.p1.4.4.m4.1.1.cmml">α</mi><mo id="Thmconjecture1.p1.4.4.m4.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="Thmconjecture1.p1.4.4.m4.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmconjecture1.p1.4.4.m4.1b"><apply id="Thmconjecture1.p1.4.4.m4.1.2.cmml" xref="Thmconjecture1.p1.4.4.m4.1.2"><times id="Thmconjecture1.p1.4.4.m4.1.2.1.cmml" xref="Thmconjecture1.p1.4.4.m4.1.2.1"></times><ci id="Thmconjecture1.p1.4.4.m4.1.2.2.cmml" xref="Thmconjecture1.p1.4.4.m4.1.2.2">𝑋</ci><ci id="Thmconjecture1.p1.4.4.m4.1.1.cmml" xref="Thmconjecture1.p1.4.4.m4.1.1">𝛼</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmconjecture1.p1.4.4.m4.1c">X(\alpha)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmconjecture1.p1.4.4.m4.1d">italic_X ( italic_α )</annotation></semantics></math>, one to the Fourier family <math alttext="F(x,y)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmconjecture1.p1.5.5.m5.2"><semantics id="Thmconjecture1.p1.5.5.m5.2a"><mrow id="Thmconjecture1.p1.5.5.m5.2.3" xref="Thmconjecture1.p1.5.5.m5.2.3.cmml"><mi id="Thmconjecture1.p1.5.5.m5.2.3.2" xref="Thmconjecture1.p1.5.5.m5.2.3.2.cmml">F</mi><mo id="Thmconjecture1.p1.5.5.m5.2.3.1" xref="Thmconjecture1.p1.5.5.m5.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmconjecture1.p1.5.5.m5.2.3.3.2" xref="Thmconjecture1.p1.5.5.m5.2.3.3.1.cmml"><mo id="Thmconjecture1.p1.5.5.m5.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmconjecture1.p1.5.5.m5.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="Thmconjecture1.p1.5.5.m5.1.1" xref="Thmconjecture1.p1.5.5.m5.1.1.cmml">x</mi><mo id="Thmconjecture1.p1.5.5.m5.2.3.3.2.2" xref="Thmconjecture1.p1.5.5.m5.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="Thmconjecture1.p1.5.5.m5.2.2" xref="Thmconjecture1.p1.5.5.m5.2.2.cmml">y</mi><mo id="Thmconjecture1.p1.5.5.m5.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="Thmconjecture1.p1.5.5.m5.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmconjecture1.p1.5.5.m5.2b"><apply id="Thmconjecture1.p1.5.5.m5.2.3.cmml" xref="Thmconjecture1.p1.5.5.m5.2.3"><times id="Thmconjecture1.p1.5.5.m5.2.3.1.cmml" xref="Thmconjecture1.p1.5.5.m5.2.3.1"></times><ci id="Thmconjecture1.p1.5.5.m5.2.3.2.cmml" xref="Thmconjecture1.p1.5.5.m5.2.3.2">𝐹</ci><interval closure="open" id="Thmconjecture1.p1.5.5.m5.2.3.3.1.cmml" xref="Thmconjecture1.p1.5.5.m5.2.3.3.2"><ci id="Thmconjecture1.p1.5.5.m5.1.1.cmml" xref="Thmconjecture1.p1.5.5.m5.1.1">𝑥</ci><ci id="Thmconjecture1.p1.5.5.m5.2.2.cmml" xref="Thmconjecture1.p1.5.5.m5.2.2">𝑦</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmconjecture1.p1.5.5.m5.2c">F(x,y)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmconjecture1.p1.5.5.m5.2d">italic_F ( italic_x , italic_y )</annotation></semantics></math>, and one to the transposed family <math alttext="F^{T}(x,y)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmconjecture1.p1.6.6.m6.2"><semantics id="Thmconjecture1.p1.6.6.m6.2a"><mrow id="Thmconjecture1.p1.6.6.m6.2.3" xref="Thmconjecture1.p1.6.6.m6.2.3.cmml"><msup id="Thmconjecture1.p1.6.6.m6.2.3.2" xref="Thmconjecture1.p1.6.6.m6.2.3.2.cmml"><mi id="Thmconjecture1.p1.6.6.m6.2.3.2.2" xref="Thmconjecture1.p1.6.6.m6.2.3.2.2.cmml">F</mi><mi id="Thmconjecture1.p1.6.6.m6.2.3.2.3" xref="Thmconjecture1.p1.6.6.m6.2.3.2.3.cmml">T</mi></msup><mo id="Thmconjecture1.p1.6.6.m6.2.3.1" xref="Thmconjecture1.p1.6.6.m6.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmconjecture1.p1.6.6.m6.2.3.3.2" xref="Thmconjecture1.p1.6.6.m6.2.3.3.1.cmml"><mo id="Thmconjecture1.p1.6.6.m6.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmconjecture1.p1.6.6.m6.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="Thmconjecture1.p1.6.6.m6.1.1" xref="Thmconjecture1.p1.6.6.m6.1.1.cmml">x</mi><mo id="Thmconjecture1.p1.6.6.m6.2.3.3.2.2" xref="Thmconjecture1.p1.6.6.m6.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="Thmconjecture1.p1.6.6.m6.2.2" xref="Thmconjecture1.p1.6.6.m6.2.2.cmml">y</mi><mo id="Thmconjecture1.p1.6.6.m6.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="Thmconjecture1.p1.6.6.m6.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmconjecture1.p1.6.6.m6.2b"><apply id="Thmconjecture1.p1.6.6.m6.2.3.cmml" xref="Thmconjecture1.p1.6.6.m6.2.3"><times id="Thmconjecture1.p1.6.6.m6.2.3.1.cmml" xref="Thmconjecture1.p1.6.6.m6.2.3.1"></times><apply id="Thmconjecture1.p1.6.6.m6.2.3.2.cmml" xref="Thmconjecture1.p1.6.6.m6.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmconjecture1.p1.6.6.m6.2.3.2.1.cmml" xref="Thmconjecture1.p1.6.6.m6.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="Thmconjecture1.p1.6.6.m6.2.3.2.2.cmml" xref="Thmconjecture1.p1.6.6.m6.2.3.2.2">𝐹</ci><ci id="Thmconjecture1.p1.6.6.m6.2.3.2.3.cmml" xref="Thmconjecture1.p1.6.6.m6.2.3.2.3">𝑇</ci></apply><interval closure="open" id="Thmconjecture1.p1.6.6.m6.2.3.3.1.cmml" xref="Thmconjecture1.p1.6.6.m6.2.3.3.2"><ci id="Thmconjecture1.p1.6.6.m6.1.1.cmml" xref="Thmconjecture1.p1.6.6.m6.1.1">𝑥</ci><ci id="Thmconjecture1.p1.6.6.m6.2.2.cmml" xref="Thmconjecture1.p1.6.6.m6.2.2">𝑦</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmconjecture1.p1.6.6.m6.2c">F^{T}(x,y)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmconjecture1.p1.6.6.m6.2d">italic_F start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_x , italic_y )</annotation></semantics></math>.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S4.p21"> <p class="ltx_p" id="S4.p21.2">The validity of this conjecture would immediately imply that the maximum number of MUBs in dimension 6 is three. Indeed, by the statement of the conjecture, in any MUB-triplet one of the transition matrices <math alttext="X_{j}X^{\ast}_{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p21.1.m1.1"><semantics id="S4.p21.1.m1.1a"><mrow id="S4.p21.1.m1.1.1" xref="S4.p21.1.m1.1.1.cmml"><msub id="S4.p21.1.m1.1.1.2" xref="S4.p21.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.p21.1.m1.1.1.2.2" xref="S4.p21.1.m1.1.1.2.2.cmml">X</mi><mi id="S4.p21.1.m1.1.1.2.3" xref="S4.p21.1.m1.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S4.p21.1.m1.1.1.1" xref="S4.p21.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.p21.1.m1.1.1.3" xref="S4.p21.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.p21.1.m1.1.1.3.2.2" xref="S4.p21.1.m1.1.1.3.2.2.cmml">X</mi><mi id="S4.p21.1.m1.1.1.3.3" xref="S4.p21.1.m1.1.1.3.3.cmml">k</mi><mo id="S4.p21.1.m1.1.1.3.2.3" xref="S4.p21.1.m1.1.1.3.2.3.cmml">∗</mo></msubsup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p21.1.m1.1b"><apply id="S4.p21.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.p21.1.m1.1.1"><times id="S4.p21.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.p21.1.m1.1.1.1"></times><apply id="S4.p21.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.p21.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p21.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.p21.1.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.p21.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.p21.1.m1.1.1.2.2">𝑋</ci><ci id="S4.p21.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.p21.1.m1.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="S4.p21.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.p21.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p21.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.p21.1.m1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S4.p21.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.p21.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p21.1.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.p21.1.m1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S4.p21.1.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.p21.1.m1.1.1.3.2.2">𝑋</ci><ci id="S4.p21.1.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.p21.1.m1.1.1.3.2.3">∗</ci></apply><ci id="S4.p21.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.p21.1.m1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p21.1.m1.1c">X_{j}X^{\ast}_{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p21.1.m1.1d">italic_X start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_X start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is an element of the Fourier family <math alttext="F(x,y)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p21.2.m2.2"><semantics id="S4.p21.2.m2.2a"><mrow id="S4.p21.2.m2.2.3" xref="S4.p21.2.m2.2.3.cmml"><mi id="S4.p21.2.m2.2.3.2" xref="S4.p21.2.m2.2.3.2.cmml">F</mi><mo id="S4.p21.2.m2.2.3.1" xref="S4.p21.2.m2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p21.2.m2.2.3.3.2" xref="S4.p21.2.m2.2.3.3.1.cmml"><mo id="S4.p21.2.m2.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.p21.2.m2.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S4.p21.2.m2.1.1" xref="S4.p21.2.m2.1.1.cmml">x</mi><mo id="S4.p21.2.m2.2.3.3.2.2" xref="S4.p21.2.m2.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.p21.2.m2.2.2" xref="S4.p21.2.m2.2.2.cmml">y</mi><mo id="S4.p21.2.m2.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.p21.2.m2.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p21.2.m2.2b"><apply id="S4.p21.2.m2.2.3.cmml" xref="S4.p21.2.m2.2.3"><times id="S4.p21.2.m2.2.3.1.cmml" xref="S4.p21.2.m2.2.3.1"></times><ci id="S4.p21.2.m2.2.3.2.cmml" xref="S4.p21.2.m2.2.3.2">𝐹</ci><interval closure="open" id="S4.p21.2.m2.2.3.3.1.cmml" xref="S4.p21.2.m2.2.3.3.2"><ci id="S4.p21.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.p21.2.m2.1.1">𝑥</ci><ci id="S4.p21.2.m2.2.2.cmml" xref="S4.p21.2.m2.2.2">𝑦</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p21.2.m2.2c">F(x,y)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p21.2.m2.2d">italic_F ( italic_x , italic_y )</annotation></semantics></math>, and an earlier result in the literature <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#bib.bib17" title="">17</a>]</cite> ensures that such a matrix cannot be part of a quadruple of MUBs.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.p22"> <p class="ltx_p" id="S4.p22.1">Next we turn to some non-trivial properties of the Hadamard cubes corresponding to the construction (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#S4.E3" title="Equation 4.3 ‣ 4. Hadamard cubes in dimension 6 ‣ Triplets of Mutually Unbiased Bases"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4.3</span></a>). To this end, we need to remind the reader of some terminology introduced in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#bib.bib23" title="">23</a>]</cite></p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.p23"> <p class="ltx_p" id="S4.p23.3">For a unimodular vector <math alttext="v=(v_{1},\dots,v_{d})\in\mathbb{T}^{d}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p23.1.m1.3"><semantics id="S4.p23.1.m1.3a"><mrow id="S4.p23.1.m1.3.3" xref="S4.p23.1.m1.3.3.cmml"><mi id="S4.p23.1.m1.3.3.4" xref="S4.p23.1.m1.3.3.4.cmml">v</mi><mo id="S4.p23.1.m1.3.3.5" xref="S4.p23.1.m1.3.3.5.cmml">=</mo><mrow id="S4.p23.1.m1.3.3.2.2" xref="S4.p23.1.m1.3.3.2.3.cmml"><mo id="S4.p23.1.m1.3.3.2.2.3" stretchy="false" xref="S4.p23.1.m1.3.3.2.3.cmml">(</mo><msub id="S4.p23.1.m1.2.2.1.1.1" xref="S4.p23.1.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.p23.1.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S4.p23.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">v</mi><mn id="S4.p23.1.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S4.p23.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.p23.1.m1.3.3.2.2.4" xref="S4.p23.1.m1.3.3.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.p23.1.m1.1.1" mathvariant="normal" xref="S4.p23.1.m1.1.1.cmml">…</mi><mo id="S4.p23.1.m1.3.3.2.2.5" xref="S4.p23.1.m1.3.3.2.3.cmml">,</mo><msub id="S4.p23.1.m1.3.3.2.2.2" xref="S4.p23.1.m1.3.3.2.2.2.cmml"><mi id="S4.p23.1.m1.3.3.2.2.2.2" xref="S4.p23.1.m1.3.3.2.2.2.2.cmml">v</mi><mi id="S4.p23.1.m1.3.3.2.2.2.3" xref="S4.p23.1.m1.3.3.2.2.2.3.cmml">d</mi></msub><mo id="S4.p23.1.m1.3.3.2.2.6" stretchy="false" xref="S4.p23.1.m1.3.3.2.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.p23.1.m1.3.3.6" xref="S4.p23.1.m1.3.3.6.cmml">∈</mo><msup id="S4.p23.1.m1.3.3.7" xref="S4.p23.1.m1.3.3.7.cmml"><mi id="S4.p23.1.m1.3.3.7.2" xref="S4.p23.1.m1.3.3.7.2.cmml">𝕋</mi><mi id="S4.p23.1.m1.3.3.7.3" xref="S4.p23.1.m1.3.3.7.3.cmml">d</mi></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p23.1.m1.3b"><apply id="S4.p23.1.m1.3.3.cmml" xref="S4.p23.1.m1.3.3"><and id="S4.p23.1.m1.3.3a.cmml" xref="S4.p23.1.m1.3.3"></and><apply id="S4.p23.1.m1.3.3b.cmml" xref="S4.p23.1.m1.3.3"><eq id="S4.p23.1.m1.3.3.5.cmml" xref="S4.p23.1.m1.3.3.5"></eq><ci id="S4.p23.1.m1.3.3.4.cmml" xref="S4.p23.1.m1.3.3.4">𝑣</ci><vector id="S4.p23.1.m1.3.3.2.3.cmml" xref="S4.p23.1.m1.3.3.2.2"><apply id="S4.p23.1.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.p23.1.m1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p23.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p23.1.m1.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.p23.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.p23.1.m1.2.2.1.1.1.2">𝑣</ci><cn id="S4.p23.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.p23.1.m1.2.2.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S4.p23.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.p23.1.m1.1.1">…</ci><apply id="S4.p23.1.m1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S4.p23.1.m1.3.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p23.1.m1.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="S4.p23.1.m1.3.3.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.p23.1.m1.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S4.p23.1.m1.3.3.2.2.2.2">𝑣</ci><ci id="S4.p23.1.m1.3.3.2.2.2.3.cmml" xref="S4.p23.1.m1.3.3.2.2.2.3">𝑑</ci></apply></vector></apply><apply id="S4.p23.1.m1.3.3c.cmml" xref="S4.p23.1.m1.3.3"><in id="S4.p23.1.m1.3.3.6.cmml" xref="S4.p23.1.m1.3.3.6"></in><share href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#S4.p23.1.m1.3.3.2.cmml" id="S4.p23.1.m1.3.3d.cmml" xref="S4.p23.1.m1.3.3"></share><apply id="S4.p23.1.m1.3.3.7.cmml" xref="S4.p23.1.m1.3.3.7"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p23.1.m1.3.3.7.1.cmml" xref="S4.p23.1.m1.3.3.7">superscript</csymbol><ci id="S4.p23.1.m1.3.3.7.2.cmml" xref="S4.p23.1.m1.3.3.7.2">𝕋</ci><ci id="S4.p23.1.m1.3.3.7.3.cmml" xref="S4.p23.1.m1.3.3.7.3">𝑑</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p23.1.m1.3c">v=(v_{1},\dots,v_{d})\in\mathbb{T}^{d}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p23.1.m1.3d">italic_v = ( italic_v start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_d end_POSTSUBSCRIPT ) ∈ blackboard_T start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> and an integer vector <math alttext="\gamma=(\gamma_{1},\dots,\gamma_{d})\in\mathbb{Z}^{d}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p23.2.m2.3"><semantics id="S4.p23.2.m2.3a"><mrow id="S4.p23.2.m2.3.3" xref="S4.p23.2.m2.3.3.cmml"><mi id="S4.p23.2.m2.3.3.4" xref="S4.p23.2.m2.3.3.4.cmml">γ</mi><mo id="S4.p23.2.m2.3.3.5" xref="S4.p23.2.m2.3.3.5.cmml">=</mo><mrow id="S4.p23.2.m2.3.3.2.2" xref="S4.p23.2.m2.3.3.2.3.cmml"><mo id="S4.p23.2.m2.3.3.2.2.3" stretchy="false" xref="S4.p23.2.m2.3.3.2.3.cmml">(</mo><msub id="S4.p23.2.m2.2.2.1.1.1" xref="S4.p23.2.m2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.p23.2.m2.2.2.1.1.1.2" xref="S4.p23.2.m2.2.2.1.1.1.2.cmml">γ</mi><mn id="S4.p23.2.m2.2.2.1.1.1.3" xref="S4.p23.2.m2.2.2.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.p23.2.m2.3.3.2.2.4" xref="S4.p23.2.m2.3.3.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.p23.2.m2.1.1" mathvariant="normal" xref="S4.p23.2.m2.1.1.cmml">…</mi><mo id="S4.p23.2.m2.3.3.2.2.5" xref="S4.p23.2.m2.3.3.2.3.cmml">,</mo><msub id="S4.p23.2.m2.3.3.2.2.2" xref="S4.p23.2.m2.3.3.2.2.2.cmml"><mi id="S4.p23.2.m2.3.3.2.2.2.2" xref="S4.p23.2.m2.3.3.2.2.2.2.cmml">γ</mi><mi id="S4.p23.2.m2.3.3.2.2.2.3" xref="S4.p23.2.m2.3.3.2.2.2.3.cmml">d</mi></msub><mo id="S4.p23.2.m2.3.3.2.2.6" stretchy="false" xref="S4.p23.2.m2.3.3.2.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.p23.2.m2.3.3.6" xref="S4.p23.2.m2.3.3.6.cmml">∈</mo><msup id="S4.p23.2.m2.3.3.7" xref="S4.p23.2.m2.3.3.7.cmml"><mi id="S4.p23.2.m2.3.3.7.2" xref="S4.p23.2.m2.3.3.7.2.cmml">ℤ</mi><mi id="S4.p23.2.m2.3.3.7.3" xref="S4.p23.2.m2.3.3.7.3.cmml">d</mi></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p23.2.m2.3b"><apply id="S4.p23.2.m2.3.3.cmml" xref="S4.p23.2.m2.3.3"><and id="S4.p23.2.m2.3.3a.cmml" xref="S4.p23.2.m2.3.3"></and><apply id="S4.p23.2.m2.3.3b.cmml" xref="S4.p23.2.m2.3.3"><eq id="S4.p23.2.m2.3.3.5.cmml" xref="S4.p23.2.m2.3.3.5"></eq><ci id="S4.p23.2.m2.3.3.4.cmml" xref="S4.p23.2.m2.3.3.4">𝛾</ci><vector id="S4.p23.2.m2.3.3.2.3.cmml" xref="S4.p23.2.m2.3.3.2.2"><apply id="S4.p23.2.m2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.p23.2.m2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p23.2.m2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p23.2.m2.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.p23.2.m2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.p23.2.m2.2.2.1.1.1.2">𝛾</ci><cn id="S4.p23.2.m2.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.p23.2.m2.2.2.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S4.p23.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.p23.2.m2.1.1">…</ci><apply id="S4.p23.2.m2.3.3.2.2.2.cmml" xref="S4.p23.2.m2.3.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p23.2.m2.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="S4.p23.2.m2.3.3.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.p23.2.m2.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S4.p23.2.m2.3.3.2.2.2.2">𝛾</ci><ci id="S4.p23.2.m2.3.3.2.2.2.3.cmml" xref="S4.p23.2.m2.3.3.2.2.2.3">𝑑</ci></apply></vector></apply><apply id="S4.p23.2.m2.3.3c.cmml" xref="S4.p23.2.m2.3.3"><in id="S4.p23.2.m2.3.3.6.cmml" xref="S4.p23.2.m2.3.3.6"></in><share href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#S4.p23.2.m2.3.3.2.cmml" id="S4.p23.2.m2.3.3d.cmml" xref="S4.p23.2.m2.3.3"></share><apply id="S4.p23.2.m2.3.3.7.cmml" xref="S4.p23.2.m2.3.3.7"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p23.2.m2.3.3.7.1.cmml" xref="S4.p23.2.m2.3.3.7">superscript</csymbol><ci id="S4.p23.2.m2.3.3.7.2.cmml" xref="S4.p23.2.m2.3.3.7.2">ℤ</ci><ci id="S4.p23.2.m2.3.3.7.3.cmml" xref="S4.p23.2.m2.3.3.7.3">𝑑</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p23.2.m2.3c">\gamma=(\gamma_{1},\dots,\gamma_{d})\in\mathbb{Z}^{d}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p23.2.m2.3d">italic_γ = ( italic_γ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_d end_POSTSUBSCRIPT ) ∈ blackboard_Z start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> we will use the notation <math alttext="v^{\gamma}=\prod_{j=1}^{d}v_{j}^{\gamma_{j}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p23.3.m3.1"><semantics id="S4.p23.3.m3.1a"><mrow id="S4.p23.3.m3.1.1" xref="S4.p23.3.m3.1.1.cmml"><msup id="S4.p23.3.m3.1.1.2" xref="S4.p23.3.m3.1.1.2.cmml"><mi id="S4.p23.3.m3.1.1.2.2" xref="S4.p23.3.m3.1.1.2.2.cmml">v</mi><mi id="S4.p23.3.m3.1.1.2.3" xref="S4.p23.3.m3.1.1.2.3.cmml">γ</mi></msup><mo id="S4.p23.3.m3.1.1.1" rspace="0.111em" xref="S4.p23.3.m3.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.p23.3.m3.1.1.3" xref="S4.p23.3.m3.1.1.3.cmml"><msubsup id="S4.p23.3.m3.1.1.3.1" xref="S4.p23.3.m3.1.1.3.1.cmml"><mo id="S4.p23.3.m3.1.1.3.1.2.2" xref="S4.p23.3.m3.1.1.3.1.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="S4.p23.3.m3.1.1.3.1.2.3" xref="S4.p23.3.m3.1.1.3.1.2.3.cmml"><mi id="S4.p23.3.m3.1.1.3.1.2.3.2" xref="S4.p23.3.m3.1.1.3.1.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S4.p23.3.m3.1.1.3.1.2.3.1" xref="S4.p23.3.m3.1.1.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S4.p23.3.m3.1.1.3.1.2.3.3" xref="S4.p23.3.m3.1.1.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S4.p23.3.m3.1.1.3.1.3" xref="S4.p23.3.m3.1.1.3.1.3.cmml">d</mi></msubsup><msubsup id="S4.p23.3.m3.1.1.3.2" xref="S4.p23.3.m3.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.p23.3.m3.1.1.3.2.2.2" xref="S4.p23.3.m3.1.1.3.2.2.2.cmml">v</mi><mi id="S4.p23.3.m3.1.1.3.2.2.3" xref="S4.p23.3.m3.1.1.3.2.2.3.cmml">j</mi><msub id="S4.p23.3.m3.1.1.3.2.3" xref="S4.p23.3.m3.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.p23.3.m3.1.1.3.2.3.2" xref="S4.p23.3.m3.1.1.3.2.3.2.cmml">γ</mi><mi id="S4.p23.3.m3.1.1.3.2.3.3" xref="S4.p23.3.m3.1.1.3.2.3.3.cmml">j</mi></msub></msubsup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p23.3.m3.1b"><apply id="S4.p23.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.p23.3.m3.1.1"><eq id="S4.p23.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S4.p23.3.m3.1.1.1"></eq><apply id="S4.p23.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S4.p23.3.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p23.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S4.p23.3.m3.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.p23.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S4.p23.3.m3.1.1.2.2">𝑣</ci><ci id="S4.p23.3.m3.1.1.2.3.cmml" xref="S4.p23.3.m3.1.1.2.3">𝛾</ci></apply><apply id="S4.p23.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S4.p23.3.m3.1.1.3"><apply id="S4.p23.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S4.p23.3.m3.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p23.3.m3.1.1.3.1.1.cmml" xref="S4.p23.3.m3.1.1.3.1">superscript</csymbol><apply id="S4.p23.3.m3.1.1.3.1.2.cmml" xref="S4.p23.3.m3.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p23.3.m3.1.1.3.1.2.1.cmml" xref="S4.p23.3.m3.1.1.3.1">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S4.p23.3.m3.1.1.3.1.2.2.cmml" xref="S4.p23.3.m3.1.1.3.1.2.2">product</csymbol><apply id="S4.p23.3.m3.1.1.3.1.2.3.cmml" xref="S4.p23.3.m3.1.1.3.1.2.3"><eq id="S4.p23.3.m3.1.1.3.1.2.3.1.cmml" xref="S4.p23.3.m3.1.1.3.1.2.3.1"></eq><ci id="S4.p23.3.m3.1.1.3.1.2.3.2.cmml" xref="S4.p23.3.m3.1.1.3.1.2.3.2">𝑗</ci><cn id="S4.p23.3.m3.1.1.3.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.p23.3.m3.1.1.3.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S4.p23.3.m3.1.1.3.1.3.cmml" xref="S4.p23.3.m3.1.1.3.1.3">𝑑</ci></apply><apply id="S4.p23.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S4.p23.3.m3.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p23.3.m3.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.p23.3.m3.1.1.3.2">superscript</csymbol><apply id="S4.p23.3.m3.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.p23.3.m3.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p23.3.m3.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S4.p23.3.m3.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.p23.3.m3.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S4.p23.3.m3.1.1.3.2.2.2">𝑣</ci><ci id="S4.p23.3.m3.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S4.p23.3.m3.1.1.3.2.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="S4.p23.3.m3.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.p23.3.m3.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p23.3.m3.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.p23.3.m3.1.1.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.p23.3.m3.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.p23.3.m3.1.1.3.2.3.2">𝛾</ci><ci id="S4.p23.3.m3.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S4.p23.3.m3.1.1.3.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p23.3.m3.1c">v^{\gamma}=\prod_{j=1}^{d}v_{j}^{\gamma_{j}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p23.3.m3.1d">italic_v start_POSTSUPERSCRIPT italic_γ end_POSTSUPERSCRIPT = ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.p24"> <p class="ltx_p" id="S4.p24.4">Let <math alttext="H" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p24.1.m1.1"><semantics id="S4.p24.1.m1.1a"><mi id="S4.p24.1.m1.1.1" xref="S4.p24.1.m1.1.1.cmml">H</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p24.1.m1.1b"><ci id="S4.p24.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.p24.1.m1.1.1">𝐻</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p24.1.m1.1c">H</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p24.1.m1.1d">italic_H</annotation></semantics></math> be a complex Hadamard matrix of order <math alttext="d" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p24.2.m2.1"><semantics id="S4.p24.2.m2.1a"><mi id="S4.p24.2.m2.1.1" xref="S4.p24.2.m2.1.1.cmml">d</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p24.2.m2.1b"><ci id="S4.p24.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.p24.2.m2.1.1">𝑑</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p24.2.m2.1c">d</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p24.2.m2.1d">italic_d</annotation></semantics></math>, with columns <math alttext="h_{1},\dots,h_{d}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p24.3.m3.3"><semantics id="S4.p24.3.m3.3a"><mrow id="S4.p24.3.m3.3.3.2" xref="S4.p24.3.m3.3.3.3.cmml"><msub id="S4.p24.3.m3.2.2.1.1" xref="S4.p24.3.m3.2.2.1.1.cmml"><mi id="S4.p24.3.m3.2.2.1.1.2" xref="S4.p24.3.m3.2.2.1.1.2.cmml">h</mi><mn id="S4.p24.3.m3.2.2.1.1.3" xref="S4.p24.3.m3.2.2.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.p24.3.m3.3.3.2.3" xref="S4.p24.3.m3.3.3.3.cmml">,</mo><mi id="S4.p24.3.m3.1.1" mathvariant="normal" xref="S4.p24.3.m3.1.1.cmml">…</mi><mo id="S4.p24.3.m3.3.3.2.4" xref="S4.p24.3.m3.3.3.3.cmml">,</mo><msub id="S4.p24.3.m3.3.3.2.2" xref="S4.p24.3.m3.3.3.2.2.cmml"><mi id="S4.p24.3.m3.3.3.2.2.2" xref="S4.p24.3.m3.3.3.2.2.2.cmml">h</mi><mi id="S4.p24.3.m3.3.3.2.2.3" xref="S4.p24.3.m3.3.3.2.2.3.cmml">d</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p24.3.m3.3b"><list id="S4.p24.3.m3.3.3.3.cmml" xref="S4.p24.3.m3.3.3.2"><apply id="S4.p24.3.m3.2.2.1.1.cmml" xref="S4.p24.3.m3.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p24.3.m3.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.p24.3.m3.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.p24.3.m3.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.p24.3.m3.2.2.1.1.2">ℎ</ci><cn id="S4.p24.3.m3.2.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.p24.3.m3.2.2.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S4.p24.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.p24.3.m3.1.1">…</ci><apply id="S4.p24.3.m3.3.3.2.2.cmml" xref="S4.p24.3.m3.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p24.3.m3.3.3.2.2.1.cmml" xref="S4.p24.3.m3.3.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.p24.3.m3.3.3.2.2.2.cmml" xref="S4.p24.3.m3.3.3.2.2.2">ℎ</ci><ci id="S4.p24.3.m3.3.3.2.2.3.cmml" xref="S4.p24.3.m3.3.3.2.2.3">𝑑</ci></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p24.3.m3.3c">h_{1},\dots,h_{d}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p24.3.m3.3d">italic_h start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_h start_POSTSUBSCRIPT italic_d end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. For an integer vector <math alttext="\gamma\in\mathbb{Z}^{d}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p24.4.m4.1"><semantics id="S4.p24.4.m4.1a"><mrow id="S4.p24.4.m4.1.1" xref="S4.p24.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S4.p24.4.m4.1.1.2" xref="S4.p24.4.m4.1.1.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.p24.4.m4.1.1.1" xref="S4.p24.4.m4.1.1.1.cmml">∈</mo><msup id="S4.p24.4.m4.1.1.3" xref="S4.p24.4.m4.1.1.3.cmml"><mi id="S4.p24.4.m4.1.1.3.2" xref="S4.p24.4.m4.1.1.3.2.cmml">ℤ</mi><mi id="S4.p24.4.m4.1.1.3.3" xref="S4.p24.4.m4.1.1.3.3.cmml">d</mi></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p24.4.m4.1b"><apply id="S4.p24.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.p24.4.m4.1.1"><in id="S4.p24.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S4.p24.4.m4.1.1.1"></in><ci id="S4.p24.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S4.p24.4.m4.1.1.2">𝛾</ci><apply id="S4.p24.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S4.p24.4.m4.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p24.4.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S4.p24.4.m4.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S4.p24.4.m4.1.1.3.2.cmml" xref="S4.p24.4.m4.1.1.3.2">ℤ</ci><ci id="S4.p24.4.m4.1.1.3.3.cmml" xref="S4.p24.4.m4.1.1.3.3">𝑑</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p24.4.m4.1c">\gamma\in\mathbb{Z}^{d}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p24.4.m4.1d">italic_γ ∈ blackboard_Z start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> we define</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.p25"> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E5"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(4.5)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="g_{H}(\gamma)=\sum_{k=1}^{d}h_{k}^{\gamma},\ \ \ G_{H}(\gamma)=|g_{H}(\gamma)|% ^{2}=\left(\sum_{k=1}^{d}h_{k}^{\gamma}\right)\left(\sum_{k=1}^{d}h_{k}^{-% \gamma}\right)" class="ltx_Math" display="block" id="S4.E5.m1.5"><semantics id="S4.E5.m1.5a"><mrow id="S4.E5.m1.5.5.2" xref="S4.E5.m1.5.5.3.cmml"><mrow id="S4.E5.m1.4.4.1.1" xref="S4.E5.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S4.E5.m1.4.4.1.1.2" xref="S4.E5.m1.4.4.1.1.2.cmml"><msub id="S4.E5.m1.4.4.1.1.2.2" xref="S4.E5.m1.4.4.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.E5.m1.4.4.1.1.2.2.2" xref="S4.E5.m1.4.4.1.1.2.2.2.cmml">g</mi><mi id="S4.E5.m1.4.4.1.1.2.2.3" xref="S4.E5.m1.4.4.1.1.2.2.3.cmml">H</mi></msub><mo id="S4.E5.m1.4.4.1.1.2.1" xref="S4.E5.m1.4.4.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E5.m1.4.4.1.1.2.3.2" xref="S4.E5.m1.4.4.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E5.m1.4.4.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.E5.m1.4.4.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.E5.m1.1.1" xref="S4.E5.m1.1.1.cmml">γ</mi><mo id="S4.E5.m1.4.4.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.E5.m1.4.4.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E5.m1.4.4.1.1.1" rspace="0.111em" xref="S4.E5.m1.4.4.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.E5.m1.4.4.1.1.3" xref="S4.E5.m1.4.4.1.1.3.cmml"><munderover id="S4.E5.m1.4.4.1.1.3.1" xref="S4.E5.m1.4.4.1.1.3.1.cmml"><mo id="S4.E5.m1.4.4.1.1.3.1.2.2" movablelimits="false" xref="S4.E5.m1.4.4.1.1.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S4.E5.m1.4.4.1.1.3.1.2.3" xref="S4.E5.m1.4.4.1.1.3.1.2.3.cmml"><mi id="S4.E5.m1.4.4.1.1.3.1.2.3.2" xref="S4.E5.m1.4.4.1.1.3.1.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.E5.m1.4.4.1.1.3.1.2.3.1" xref="S4.E5.m1.4.4.1.1.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S4.E5.m1.4.4.1.1.3.1.2.3.3" xref="S4.E5.m1.4.4.1.1.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S4.E5.m1.4.4.1.1.3.1.3" xref="S4.E5.m1.4.4.1.1.3.1.3.cmml">d</mi></munderover><msubsup id="S4.E5.m1.4.4.1.1.3.2" xref="S4.E5.m1.4.4.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.E5.m1.4.4.1.1.3.2.2.2" xref="S4.E5.m1.4.4.1.1.3.2.2.2.cmml">h</mi><mi id="S4.E5.m1.4.4.1.1.3.2.2.3" xref="S4.E5.m1.4.4.1.1.3.2.2.3.cmml">k</mi><mi id="S4.E5.m1.4.4.1.1.3.2.3" xref="S4.E5.m1.4.4.1.1.3.2.3.cmml">γ</mi></msubsup></mrow></mrow><mo id="S4.E5.m1.5.5.2.3" rspace="1.667em" xref="S4.E5.m1.5.5.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.E5.m1.5.5.2.2" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.cmml"><mrow id="S4.E5.m1.5.5.2.2.5" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.5.cmml"><msub id="S4.E5.m1.5.5.2.2.5.2" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.5.2.cmml"><mi id="S4.E5.m1.5.5.2.2.5.2.2" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.5.2.2.cmml">G</mi><mi id="S4.E5.m1.5.5.2.2.5.2.3" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.5.2.3.cmml">H</mi></msub><mo id="S4.E5.m1.5.5.2.2.5.1" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.5.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E5.m1.5.5.2.2.5.3.2" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.5.cmml"><mo id="S4.E5.m1.5.5.2.2.5.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.5.cmml">(</mo><mi id="S4.E5.m1.2.2" xref="S4.E5.m1.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.E5.m1.5.5.2.2.5.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.5.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E5.m1.5.5.2.2.6" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.6.cmml">=</mo><msup id="S4.E5.m1.5.5.2.2.1" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.1.cmml"><mrow id="S4.E5.m1.5.5.2.2.1.1.1" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E5.m1.5.5.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S4.E5.m1.5.5.2.2.1.1.1.1" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.E5.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.2" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E5.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml">g</mi><mi id="S4.E5.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml">H</mi></msub><mo id="S4.E5.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.1" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E5.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E5.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.E5.m1.3.3" xref="S4.E5.m1.3.3.cmml">γ</mi><mo id="S4.E5.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E5.m1.5.5.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mn id="S4.E5.m1.5.5.2.2.1.3" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S4.E5.m1.5.5.2.2.7" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.7.cmml">=</mo><mrow id="S4.E5.m1.5.5.2.2.3" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.3.cmml"><mrow id="S4.E5.m1.5.5.2.2.2.1.1" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E5.m1.5.5.2.2.2.1.1.2" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E5.m1.5.5.2.2.2.1.1.1" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.cmml"><munderover id="S4.E5.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.1" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E5.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.1.2.2" lspace="0em" movablelimits="false" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S4.E5.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.E5.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.1.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.E5.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.1.2.3.1" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S4.E5.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.1.2.3.3" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S4.E5.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.1.3" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml">d</mi></munderover><msubsup id="S4.E5.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.2" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E5.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.2.2.2" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml">h</mi><mi id="S4.E5.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.2.2.3" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml">k</mi><mi id="S4.E5.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.2.3" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml">γ</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.E5.m1.5.5.2.2.2.1.1.3" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.E5.m1.5.5.2.2.3.3" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.3.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E5.m1.5.5.2.2.3.2.1" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.3.2.1.1.cmml"><mo id="S4.E5.m1.5.5.2.2.3.2.1.2" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.3.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E5.m1.5.5.2.2.3.2.1.1" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.3.2.1.1.cmml"><munderover id="S4.E5.m1.5.5.2.2.3.2.1.1.1" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.3.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E5.m1.5.5.2.2.3.2.1.1.1.2.2" lspace="0em" movablelimits="false" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.3.2.1.1.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S4.E5.m1.5.5.2.2.3.2.1.1.1.2.3" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.3.2.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.E5.m1.5.5.2.2.3.2.1.1.1.2.3.2" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.3.2.1.1.1.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.E5.m1.5.5.2.2.3.2.1.1.1.2.3.1" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.3.2.1.1.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S4.E5.m1.5.5.2.2.3.2.1.1.1.2.3.3" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.3.2.1.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S4.E5.m1.5.5.2.2.3.2.1.1.1.3" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.3.2.1.1.1.3.cmml">d</mi></munderover><msubsup id="S4.E5.m1.5.5.2.2.3.2.1.1.2" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.3.2.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E5.m1.5.5.2.2.3.2.1.1.2.2.2" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.3.2.1.1.2.2.2.cmml">h</mi><mi id="S4.E5.m1.5.5.2.2.3.2.1.1.2.2.3" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.3.2.1.1.2.2.3.cmml">k</mi><mrow id="S4.E5.m1.5.5.2.2.3.2.1.1.2.3" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.3.2.1.1.2.3.cmml"><mo id="S4.E5.m1.5.5.2.2.3.2.1.1.2.3a" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.3.2.1.1.2.3.cmml">−</mo><mi id="S4.E5.m1.5.5.2.2.3.2.1.1.2.3.2" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.3.2.1.1.2.3.2.cmml">γ</mi></mrow></msubsup></mrow><mo id="S4.E5.m1.5.5.2.2.3.2.1.3" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.3.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E5.m1.5b"><apply id="S4.E5.m1.5.5.3.cmml" xref="S4.E5.m1.5.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E5.m1.5.5.3a.cmml" xref="S4.E5.m1.5.5.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.E5.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S4.E5.m1.4.4.1.1"><eq id="S4.E5.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="S4.E5.m1.4.4.1.1.1"></eq><apply id="S4.E5.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="S4.E5.m1.4.4.1.1.2"><times id="S4.E5.m1.4.4.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E5.m1.4.4.1.1.2.1"></times><apply id="S4.E5.m1.4.4.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E5.m1.4.4.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E5.m1.4.4.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.E5.m1.4.4.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E5.m1.4.4.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.E5.m1.4.4.1.1.2.2.2">𝑔</ci><ci id="S4.E5.m1.4.4.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.E5.m1.4.4.1.1.2.2.3">𝐻</ci></apply><ci id="S4.E5.m1.1.1.cmml" xref="S4.E5.m1.1.1">𝛾</ci></apply><apply id="S4.E5.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="S4.E5.m1.4.4.1.1.3"><apply id="S4.E5.m1.4.4.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E5.m1.4.4.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E5.m1.4.4.1.1.3.1.1.cmml" xref="S4.E5.m1.4.4.1.1.3.1">superscript</csymbol><apply id="S4.E5.m1.4.4.1.1.3.1.2.cmml" xref="S4.E5.m1.4.4.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E5.m1.4.4.1.1.3.1.2.1.cmml" xref="S4.E5.m1.4.4.1.1.3.1">subscript</csymbol><sum id="S4.E5.m1.4.4.1.1.3.1.2.2.cmml" xref="S4.E5.m1.4.4.1.1.3.1.2.2"></sum><apply id="S4.E5.m1.4.4.1.1.3.1.2.3.cmml" xref="S4.E5.m1.4.4.1.1.3.1.2.3"><eq id="S4.E5.m1.4.4.1.1.3.1.2.3.1.cmml" xref="S4.E5.m1.4.4.1.1.3.1.2.3.1"></eq><ci id="S4.E5.m1.4.4.1.1.3.1.2.3.2.cmml" xref="S4.E5.m1.4.4.1.1.3.1.2.3.2">𝑘</ci><cn id="S4.E5.m1.4.4.1.1.3.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E5.m1.4.4.1.1.3.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S4.E5.m1.4.4.1.1.3.1.3.cmml" xref="S4.E5.m1.4.4.1.1.3.1.3">𝑑</ci></apply><apply id="S4.E5.m1.4.4.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E5.m1.4.4.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E5.m1.4.4.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E5.m1.4.4.1.1.3.2">superscript</csymbol><apply id="S4.E5.m1.4.4.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E5.m1.4.4.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E5.m1.4.4.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S4.E5.m1.4.4.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E5.m1.4.4.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S4.E5.m1.4.4.1.1.3.2.2.2">ℎ</ci><ci id="S4.E5.m1.4.4.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S4.E5.m1.4.4.1.1.3.2.2.3">𝑘</ci></apply><ci id="S4.E5.m1.4.4.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.E5.m1.4.4.1.1.3.2.3">𝛾</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.E5.m1.5.5.2.2.cmml" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2"><and id="S4.E5.m1.5.5.2.2a.cmml" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2"></and><apply id="S4.E5.m1.5.5.2.2b.cmml" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2"><eq id="S4.E5.m1.5.5.2.2.6.cmml" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.6"></eq><apply id="S4.E5.m1.5.5.2.2.5.cmml" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.5"><times id="S4.E5.m1.5.5.2.2.5.1.cmml" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.5.1"></times><apply id="S4.E5.m1.5.5.2.2.5.2.cmml" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E5.m1.5.5.2.2.5.2.1.cmml" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.5.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E5.m1.5.5.2.2.5.2.2.cmml" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.5.2.2">𝐺</ci><ci id="S4.E5.m1.5.5.2.2.5.2.3.cmml" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.5.2.3">𝐻</ci></apply><ci id="S4.E5.m1.2.2.cmml" xref="S4.E5.m1.2.2">𝛾</ci></apply><apply id="S4.E5.m1.5.5.2.2.1.cmml" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E5.m1.5.5.2.2.1.2.cmml" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.1">superscript</csymbol><apply id="S4.E5.m1.5.5.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.1.1.1"><abs id="S4.E5.m1.5.5.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.1.1.1.2"></abs><apply id="S4.E5.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.1.1.1.1"><times id="S4.E5.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.1"></times><apply id="S4.E5.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E5.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E5.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.2.2">𝑔</ci><ci id="S4.E5.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.1.1.1.1.2.3">𝐻</ci></apply><ci id="S4.E5.m1.3.3.cmml" xref="S4.E5.m1.3.3">𝛾</ci></apply></apply><cn id="S4.E5.m1.5.5.2.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.1.3">2</cn></apply></apply><apply id="S4.E5.m1.5.5.2.2c.cmml" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2"><eq id="S4.E5.m1.5.5.2.2.7.cmml" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.7"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#S4.E5.m1.5.5.2.2.1.cmml" id="S4.E5.m1.5.5.2.2d.cmml" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2"></share><apply id="S4.E5.m1.5.5.2.2.3.cmml" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.3"><times id="S4.E5.m1.5.5.2.2.3.3.cmml" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.3.3"></times><apply id="S4.E5.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.2.1.1"><apply id="S4.E5.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E5.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.E5.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E5.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.1">subscript</csymbol><sum id="S4.E5.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.1.2.2"></sum><apply id="S4.E5.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.1.2.3"><eq id="S4.E5.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.1.2.3.1"></eq><ci id="S4.E5.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.1.2.3.2">𝑘</ci><cn id="S4.E5.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S4.E5.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.1.3">𝑑</ci></apply><apply id="S4.E5.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E5.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.E5.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E5.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E5.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.2.2.2">ℎ</ci><ci id="S4.E5.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.2.2.3">𝑘</ci></apply><ci id="S4.E5.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.2.3">𝛾</ci></apply></apply><apply id="S4.E5.m1.5.5.2.2.3.2.1.1.cmml" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.3.2.1"><apply id="S4.E5.m1.5.5.2.2.3.2.1.1.1.cmml" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.3.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E5.m1.5.5.2.2.3.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.3.2.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.E5.m1.5.5.2.2.3.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.3.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E5.m1.5.5.2.2.3.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.3.2.1.1.1">subscript</csymbol><sum id="S4.E5.m1.5.5.2.2.3.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.3.2.1.1.1.2.2"></sum><apply id="S4.E5.m1.5.5.2.2.3.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.3.2.1.1.1.2.3"><eq id="S4.E5.m1.5.5.2.2.3.2.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.3.2.1.1.1.2.3.1"></eq><ci id="S4.E5.m1.5.5.2.2.3.2.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.3.2.1.1.1.2.3.2">𝑘</ci><cn id="S4.E5.m1.5.5.2.2.3.2.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.3.2.1.1.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S4.E5.m1.5.5.2.2.3.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.3.2.1.1.1.3">𝑑</ci></apply><apply id="S4.E5.m1.5.5.2.2.3.2.1.1.2.cmml" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.3.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E5.m1.5.5.2.2.3.2.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.3.2.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.E5.m1.5.5.2.2.3.2.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.3.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E5.m1.5.5.2.2.3.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.3.2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E5.m1.5.5.2.2.3.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.3.2.1.1.2.2.2">ℎ</ci><ci id="S4.E5.m1.5.5.2.2.3.2.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.3.2.1.1.2.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S4.E5.m1.5.5.2.2.3.2.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.3.2.1.1.2.3"><minus id="S4.E5.m1.5.5.2.2.3.2.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.3.2.1.1.2.3"></minus><ci id="S4.E5.m1.5.5.2.2.3.2.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.E5.m1.5.5.2.2.3.2.1.1.2.3.2">𝛾</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E5.m1.5c">g_{H}(\gamma)=\sum_{k=1}^{d}h_{k}^{\gamma},\ \ \ G_{H}(\gamma)=|g_{H}(\gamma)|% ^{2}=\left(\sum_{k=1}^{d}h_{k}^{\gamma}\right)\left(\sum_{k=1}^{d}h_{k}^{-% \gamma}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E5.m1.5d">italic_g start_POSTSUBSCRIPT italic_H end_POSTSUBSCRIPT ( italic_γ ) = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_k = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT italic_h start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_γ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_H end_POSTSUBSCRIPT ( italic_γ ) = | italic_g start_POSTSUBSCRIPT italic_H end_POSTSUBSCRIPT ( italic_γ ) | start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT = ( ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_k = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT italic_h start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_γ end_POSTSUPERSCRIPT ) ( ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_k = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_d end_POSTSUPERSCRIPT italic_h start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - italic_γ end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S4.p26"> <p class="ltx_p" id="S4.p26.1">With this terminology at hand we can formulate the second main conjecture of this paper.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_conjecture" id="Thmconjecture2"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmconjecture2.1.1.1">Conjecture 2</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmconjecture2.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmconjecture2.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmconjecture2.p1.9"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmconjecture2.p1.9.9">Let <math alttext="(X_{1},X_{2},X_{3})" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmconjecture2.p1.1.1.m1.3"><semantics id="Thmconjecture2.p1.1.1.m1.3a"><mrow id="Thmconjecture2.p1.1.1.m1.3.3.3" xref="Thmconjecture2.p1.1.1.m1.3.3.4.cmml"><mo id="Thmconjecture2.p1.1.1.m1.3.3.3.4" stretchy="false" xref="Thmconjecture2.p1.1.1.m1.3.3.4.cmml">(</mo><msub id="Thmconjecture2.p1.1.1.m1.1.1.1.1" xref="Thmconjecture2.p1.1.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Thmconjecture2.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2" xref="Thmconjecture2.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml">X</mi><mn id="Thmconjecture2.p1.1.1.m1.1.1.1.1.3" xref="Thmconjecture2.p1.1.1.m1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="Thmconjecture2.p1.1.1.m1.3.3.3.5" xref="Thmconjecture2.p1.1.1.m1.3.3.4.cmml">,</mo><msub id="Thmconjecture2.p1.1.1.m1.2.2.2.2" xref="Thmconjecture2.p1.1.1.m1.2.2.2.2.cmml"><mi id="Thmconjecture2.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2" xref="Thmconjecture2.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.cmml">X</mi><mn id="Thmconjecture2.p1.1.1.m1.2.2.2.2.3" xref="Thmconjecture2.p1.1.1.m1.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="Thmconjecture2.p1.1.1.m1.3.3.3.6" xref="Thmconjecture2.p1.1.1.m1.3.3.4.cmml">,</mo><msub id="Thmconjecture2.p1.1.1.m1.3.3.3.3" xref="Thmconjecture2.p1.1.1.m1.3.3.3.3.cmml"><mi id="Thmconjecture2.p1.1.1.m1.3.3.3.3.2" xref="Thmconjecture2.p1.1.1.m1.3.3.3.3.2.cmml">X</mi><mn id="Thmconjecture2.p1.1.1.m1.3.3.3.3.3" xref="Thmconjecture2.p1.1.1.m1.3.3.3.3.3.cmml">3</mn></msub><mo id="Thmconjecture2.p1.1.1.m1.3.3.3.7" stretchy="false" xref="Thmconjecture2.p1.1.1.m1.3.3.4.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmconjecture2.p1.1.1.m1.3b"><vector id="Thmconjecture2.p1.1.1.m1.3.3.4.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.1.1.m1.3.3.3"><apply id="Thmconjecture2.p1.1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.1.1.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmconjecture2.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.1.1.m1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmconjecture2.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2">𝑋</ci><cn id="Thmconjecture2.p1.1.1.m1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Thmconjecture2.p1.1.1.m1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="Thmconjecture2.p1.1.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.1.1.m1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmconjecture2.p1.1.1.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.1.1.m1.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="Thmconjecture2.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2">𝑋</ci><cn id="Thmconjecture2.p1.1.1.m1.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="Thmconjecture2.p1.1.1.m1.2.2.2.2.3">2</cn></apply><apply id="Thmconjecture2.p1.1.1.m1.3.3.3.3.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.1.1.m1.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmconjecture2.p1.1.1.m1.3.3.3.3.1.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.1.1.m1.3.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="Thmconjecture2.p1.1.1.m1.3.3.3.3.2.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.1.1.m1.3.3.3.3.2">𝑋</ci><cn id="Thmconjecture2.p1.1.1.m1.3.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="Thmconjecture2.p1.1.1.m1.3.3.3.3.3">3</cn></apply></vector></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmconjecture2.p1.1.1.m1.3c">(X_{1},X_{2},X_{3})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmconjecture2.p1.1.1.m1.3d">( italic_X start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_X start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT , italic_X start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> be an MUB-triplet in dimension 6, and let <math alttext="H_{1}=\sqrt{6}X_{1}^{\ast}X_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmconjecture2.p1.2.2.m2.1"><semantics id="Thmconjecture2.p1.2.2.m2.1a"><mrow id="Thmconjecture2.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmconjecture2.p1.2.2.m2.1.1.cmml"><msub id="Thmconjecture2.p1.2.2.m2.1.1.2" xref="Thmconjecture2.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="Thmconjecture2.p1.2.2.m2.1.1.2.2" xref="Thmconjecture2.p1.2.2.m2.1.1.2.2.cmml">H</mi><mn id="Thmconjecture2.p1.2.2.m2.1.1.2.3" xref="Thmconjecture2.p1.2.2.m2.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="Thmconjecture2.p1.2.2.m2.1.1.1" xref="Thmconjecture2.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="Thmconjecture2.p1.2.2.m2.1.1.3" xref="Thmconjecture2.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml"><msqrt id="Thmconjecture2.p1.2.2.m2.1.1.3.2" xref="Thmconjecture2.p1.2.2.m2.1.1.3.2.cmml"><mn id="Thmconjecture2.p1.2.2.m2.1.1.3.2.2" xref="Thmconjecture2.p1.2.2.m2.1.1.3.2.2.cmml">6</mn></msqrt><mo id="Thmconjecture2.p1.2.2.m2.1.1.3.1" xref="Thmconjecture2.p1.2.2.m2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="Thmconjecture2.p1.2.2.m2.1.1.3.3" xref="Thmconjecture2.p1.2.2.m2.1.1.3.3.cmml"><mi id="Thmconjecture2.p1.2.2.m2.1.1.3.3.2.2" xref="Thmconjecture2.p1.2.2.m2.1.1.3.3.2.2.cmml">X</mi><mn id="Thmconjecture2.p1.2.2.m2.1.1.3.3.2.3" xref="Thmconjecture2.p1.2.2.m2.1.1.3.3.2.3.cmml">1</mn><mo id="Thmconjecture2.p1.2.2.m2.1.1.3.3.3" xref="Thmconjecture2.p1.2.2.m2.1.1.3.3.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="Thmconjecture2.p1.2.2.m2.1.1.3.1a" xref="Thmconjecture2.p1.2.2.m2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="Thmconjecture2.p1.2.2.m2.1.1.3.4" xref="Thmconjecture2.p1.2.2.m2.1.1.3.4.cmml"><mi id="Thmconjecture2.p1.2.2.m2.1.1.3.4.2" xref="Thmconjecture2.p1.2.2.m2.1.1.3.4.2.cmml">X</mi><mn id="Thmconjecture2.p1.2.2.m2.1.1.3.4.3" xref="Thmconjecture2.p1.2.2.m2.1.1.3.4.3.cmml">2</mn></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmconjecture2.p1.2.2.m2.1b"><apply id="Thmconjecture2.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.2.2.m2.1.1"><eq id="Thmconjecture2.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.2.2.m2.1.1.1"></eq><apply id="Thmconjecture2.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.2.2.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmconjecture2.p1.2.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.2.2.m2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="Thmconjecture2.p1.2.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.2.2.m2.1.1.2.2">𝐻</ci><cn id="Thmconjecture2.p1.2.2.m2.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="Thmconjecture2.p1.2.2.m2.1.1.2.3">1</cn></apply><apply id="Thmconjecture2.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.2.2.m2.1.1.3"><times id="Thmconjecture2.p1.2.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.2.2.m2.1.1.3.1"></times><apply id="Thmconjecture2.p1.2.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.2.2.m2.1.1.3.2"><root id="Thmconjecture2.p1.2.2.m2.1.1.3.2a.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.2.2.m2.1.1.3.2"></root><cn id="Thmconjecture2.p1.2.2.m2.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="Thmconjecture2.p1.2.2.m2.1.1.3.2.2">6</cn></apply><apply id="Thmconjecture2.p1.2.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.2.2.m2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmconjecture2.p1.2.2.m2.1.1.3.3.1.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.2.2.m2.1.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="Thmconjecture2.p1.2.2.m2.1.1.3.3.2.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.2.2.m2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmconjecture2.p1.2.2.m2.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.2.2.m2.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="Thmconjecture2.p1.2.2.m2.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.2.2.m2.1.1.3.3.2.2">𝑋</ci><cn id="Thmconjecture2.p1.2.2.m2.1.1.3.3.2.3.cmml" type="integer" xref="Thmconjecture2.p1.2.2.m2.1.1.3.3.2.3">1</cn></apply><ci id="Thmconjecture2.p1.2.2.m2.1.1.3.3.3.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.2.2.m2.1.1.3.3.3">∗</ci></apply><apply id="Thmconjecture2.p1.2.2.m2.1.1.3.4.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.2.2.m2.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmconjecture2.p1.2.2.m2.1.1.3.4.1.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.2.2.m2.1.1.3.4">subscript</csymbol><ci id="Thmconjecture2.p1.2.2.m2.1.1.3.4.2.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.2.2.m2.1.1.3.4.2">𝑋</ci><cn id="Thmconjecture2.p1.2.2.m2.1.1.3.4.3.cmml" type="integer" xref="Thmconjecture2.p1.2.2.m2.1.1.3.4.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmconjecture2.p1.2.2.m2.1c">H_{1}=\sqrt{6}X_{1}^{\ast}X_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmconjecture2.p1.2.2.m2.1d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT = square-root start_ARG 6 end_ARG italic_X start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_X start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, <math alttext="H_{2}=\sqrt{6}X_{2}^{\ast}X_{3}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmconjecture2.p1.3.3.m3.1"><semantics id="Thmconjecture2.p1.3.3.m3.1a"><mrow id="Thmconjecture2.p1.3.3.m3.1.1" xref="Thmconjecture2.p1.3.3.m3.1.1.cmml"><msub id="Thmconjecture2.p1.3.3.m3.1.1.2" xref="Thmconjecture2.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml"><mi id="Thmconjecture2.p1.3.3.m3.1.1.2.2" xref="Thmconjecture2.p1.3.3.m3.1.1.2.2.cmml">H</mi><mn id="Thmconjecture2.p1.3.3.m3.1.1.2.3" xref="Thmconjecture2.p1.3.3.m3.1.1.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="Thmconjecture2.p1.3.3.m3.1.1.1" xref="Thmconjecture2.p1.3.3.m3.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="Thmconjecture2.p1.3.3.m3.1.1.3" xref="Thmconjecture2.p1.3.3.m3.1.1.3.cmml"><msqrt id="Thmconjecture2.p1.3.3.m3.1.1.3.2" xref="Thmconjecture2.p1.3.3.m3.1.1.3.2.cmml"><mn id="Thmconjecture2.p1.3.3.m3.1.1.3.2.2" xref="Thmconjecture2.p1.3.3.m3.1.1.3.2.2.cmml">6</mn></msqrt><mo id="Thmconjecture2.p1.3.3.m3.1.1.3.1" xref="Thmconjecture2.p1.3.3.m3.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="Thmconjecture2.p1.3.3.m3.1.1.3.3" xref="Thmconjecture2.p1.3.3.m3.1.1.3.3.cmml"><mi id="Thmconjecture2.p1.3.3.m3.1.1.3.3.2.2" xref="Thmconjecture2.p1.3.3.m3.1.1.3.3.2.2.cmml">X</mi><mn id="Thmconjecture2.p1.3.3.m3.1.1.3.3.2.3" xref="Thmconjecture2.p1.3.3.m3.1.1.3.3.2.3.cmml">2</mn><mo id="Thmconjecture2.p1.3.3.m3.1.1.3.3.3" xref="Thmconjecture2.p1.3.3.m3.1.1.3.3.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="Thmconjecture2.p1.3.3.m3.1.1.3.1a" xref="Thmconjecture2.p1.3.3.m3.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="Thmconjecture2.p1.3.3.m3.1.1.3.4" xref="Thmconjecture2.p1.3.3.m3.1.1.3.4.cmml"><mi id="Thmconjecture2.p1.3.3.m3.1.1.3.4.2" xref="Thmconjecture2.p1.3.3.m3.1.1.3.4.2.cmml">X</mi><mn id="Thmconjecture2.p1.3.3.m3.1.1.3.4.3" xref="Thmconjecture2.p1.3.3.m3.1.1.3.4.3.cmml">3</mn></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmconjecture2.p1.3.3.m3.1b"><apply id="Thmconjecture2.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.3.3.m3.1.1"><eq id="Thmconjecture2.p1.3.3.m3.1.1.1.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.3.3.m3.1.1.1"></eq><apply id="Thmconjecture2.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.3.3.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmconjecture2.p1.3.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.3.3.m3.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="Thmconjecture2.p1.3.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.3.3.m3.1.1.2.2">𝐻</ci><cn id="Thmconjecture2.p1.3.3.m3.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="Thmconjecture2.p1.3.3.m3.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="Thmconjecture2.p1.3.3.m3.1.1.3.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.3.3.m3.1.1.3"><times id="Thmconjecture2.p1.3.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.3.3.m3.1.1.3.1"></times><apply id="Thmconjecture2.p1.3.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.3.3.m3.1.1.3.2"><root id="Thmconjecture2.p1.3.3.m3.1.1.3.2a.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.3.3.m3.1.1.3.2"></root><cn id="Thmconjecture2.p1.3.3.m3.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="Thmconjecture2.p1.3.3.m3.1.1.3.2.2">6</cn></apply><apply id="Thmconjecture2.p1.3.3.m3.1.1.3.3.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.3.3.m3.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmconjecture2.p1.3.3.m3.1.1.3.3.1.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.3.3.m3.1.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="Thmconjecture2.p1.3.3.m3.1.1.3.3.2.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.3.3.m3.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmconjecture2.p1.3.3.m3.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.3.3.m3.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="Thmconjecture2.p1.3.3.m3.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.3.3.m3.1.1.3.3.2.2">𝑋</ci><cn id="Thmconjecture2.p1.3.3.m3.1.1.3.3.2.3.cmml" type="integer" xref="Thmconjecture2.p1.3.3.m3.1.1.3.3.2.3">2</cn></apply><ci id="Thmconjecture2.p1.3.3.m3.1.1.3.3.3.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.3.3.m3.1.1.3.3.3">∗</ci></apply><apply id="Thmconjecture2.p1.3.3.m3.1.1.3.4.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.3.3.m3.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmconjecture2.p1.3.3.m3.1.1.3.4.1.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.3.3.m3.1.1.3.4">subscript</csymbol><ci id="Thmconjecture2.p1.3.3.m3.1.1.3.4.2.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.3.3.m3.1.1.3.4.2">𝑋</ci><cn id="Thmconjecture2.p1.3.3.m3.1.1.3.4.3.cmml" type="integer" xref="Thmconjecture2.p1.3.3.m3.1.1.3.4.3">3</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmconjecture2.p1.3.3.m3.1c">H_{2}=\sqrt{6}X_{2}^{\ast}X_{3}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmconjecture2.p1.3.3.m3.1d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT = square-root start_ARG 6 end_ARG italic_X start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_X start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="H_{3}=\sqrt{6}X_{3}^{\ast}X_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmconjecture2.p1.4.4.m4.1"><semantics id="Thmconjecture2.p1.4.4.m4.1a"><mrow id="Thmconjecture2.p1.4.4.m4.1.1" xref="Thmconjecture2.p1.4.4.m4.1.1.cmml"><msub id="Thmconjecture2.p1.4.4.m4.1.1.2" xref="Thmconjecture2.p1.4.4.m4.1.1.2.cmml"><mi id="Thmconjecture2.p1.4.4.m4.1.1.2.2" xref="Thmconjecture2.p1.4.4.m4.1.1.2.2.cmml">H</mi><mn id="Thmconjecture2.p1.4.4.m4.1.1.2.3" xref="Thmconjecture2.p1.4.4.m4.1.1.2.3.cmml">3</mn></msub><mo id="Thmconjecture2.p1.4.4.m4.1.1.1" xref="Thmconjecture2.p1.4.4.m4.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="Thmconjecture2.p1.4.4.m4.1.1.3" xref="Thmconjecture2.p1.4.4.m4.1.1.3.cmml"><msqrt id="Thmconjecture2.p1.4.4.m4.1.1.3.2" xref="Thmconjecture2.p1.4.4.m4.1.1.3.2.cmml"><mn id="Thmconjecture2.p1.4.4.m4.1.1.3.2.2" xref="Thmconjecture2.p1.4.4.m4.1.1.3.2.2.cmml">6</mn></msqrt><mo id="Thmconjecture2.p1.4.4.m4.1.1.3.1" xref="Thmconjecture2.p1.4.4.m4.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="Thmconjecture2.p1.4.4.m4.1.1.3.3" xref="Thmconjecture2.p1.4.4.m4.1.1.3.3.cmml"><mi id="Thmconjecture2.p1.4.4.m4.1.1.3.3.2.2" xref="Thmconjecture2.p1.4.4.m4.1.1.3.3.2.2.cmml">X</mi><mn id="Thmconjecture2.p1.4.4.m4.1.1.3.3.2.3" xref="Thmconjecture2.p1.4.4.m4.1.1.3.3.2.3.cmml">3</mn><mo id="Thmconjecture2.p1.4.4.m4.1.1.3.3.3" xref="Thmconjecture2.p1.4.4.m4.1.1.3.3.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="Thmconjecture2.p1.4.4.m4.1.1.3.1a" xref="Thmconjecture2.p1.4.4.m4.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="Thmconjecture2.p1.4.4.m4.1.1.3.4" xref="Thmconjecture2.p1.4.4.m4.1.1.3.4.cmml"><mi id="Thmconjecture2.p1.4.4.m4.1.1.3.4.2" xref="Thmconjecture2.p1.4.4.m4.1.1.3.4.2.cmml">X</mi><mn id="Thmconjecture2.p1.4.4.m4.1.1.3.4.3" xref="Thmconjecture2.p1.4.4.m4.1.1.3.4.3.cmml">1</mn></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmconjecture2.p1.4.4.m4.1b"><apply id="Thmconjecture2.p1.4.4.m4.1.1.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.4.4.m4.1.1"><eq id="Thmconjecture2.p1.4.4.m4.1.1.1.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.4.4.m4.1.1.1"></eq><apply id="Thmconjecture2.p1.4.4.m4.1.1.2.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.4.4.m4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmconjecture2.p1.4.4.m4.1.1.2.1.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.4.4.m4.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="Thmconjecture2.p1.4.4.m4.1.1.2.2.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.4.4.m4.1.1.2.2">𝐻</ci><cn id="Thmconjecture2.p1.4.4.m4.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="Thmconjecture2.p1.4.4.m4.1.1.2.3">3</cn></apply><apply id="Thmconjecture2.p1.4.4.m4.1.1.3.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.4.4.m4.1.1.3"><times id="Thmconjecture2.p1.4.4.m4.1.1.3.1.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.4.4.m4.1.1.3.1"></times><apply id="Thmconjecture2.p1.4.4.m4.1.1.3.2.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.4.4.m4.1.1.3.2"><root id="Thmconjecture2.p1.4.4.m4.1.1.3.2a.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.4.4.m4.1.1.3.2"></root><cn id="Thmconjecture2.p1.4.4.m4.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="Thmconjecture2.p1.4.4.m4.1.1.3.2.2">6</cn></apply><apply id="Thmconjecture2.p1.4.4.m4.1.1.3.3.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.4.4.m4.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmconjecture2.p1.4.4.m4.1.1.3.3.1.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.4.4.m4.1.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="Thmconjecture2.p1.4.4.m4.1.1.3.3.2.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.4.4.m4.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmconjecture2.p1.4.4.m4.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.4.4.m4.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="Thmconjecture2.p1.4.4.m4.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.4.4.m4.1.1.3.3.2.2">𝑋</ci><cn id="Thmconjecture2.p1.4.4.m4.1.1.3.3.2.3.cmml" type="integer" xref="Thmconjecture2.p1.4.4.m4.1.1.3.3.2.3">3</cn></apply><ci id="Thmconjecture2.p1.4.4.m4.1.1.3.3.3.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.4.4.m4.1.1.3.3.3">∗</ci></apply><apply id="Thmconjecture2.p1.4.4.m4.1.1.3.4.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.4.4.m4.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmconjecture2.p1.4.4.m4.1.1.3.4.1.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.4.4.m4.1.1.3.4">subscript</csymbol><ci id="Thmconjecture2.p1.4.4.m4.1.1.3.4.2.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.4.4.m4.1.1.3.4.2">𝑋</ci><cn id="Thmconjecture2.p1.4.4.m4.1.1.3.4.3.cmml" type="integer" xref="Thmconjecture2.p1.4.4.m4.1.1.3.4.3">1</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmconjecture2.p1.4.4.m4.1c">H_{3}=\sqrt{6}X_{3}^{\ast}X_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmconjecture2.p1.4.4.m4.1d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT = square-root start_ARG 6 end_ARG italic_X start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT italic_X start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> denote the corresponding transition matrices. Let <math alttext="\pi\in S_{6}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmconjecture2.p1.5.5.m5.1"><semantics id="Thmconjecture2.p1.5.5.m5.1a"><mrow id="Thmconjecture2.p1.5.5.m5.1.1" xref="Thmconjecture2.p1.5.5.m5.1.1.cmml"><mi id="Thmconjecture2.p1.5.5.m5.1.1.2" xref="Thmconjecture2.p1.5.5.m5.1.1.2.cmml">π</mi><mo id="Thmconjecture2.p1.5.5.m5.1.1.1" xref="Thmconjecture2.p1.5.5.m5.1.1.1.cmml">∈</mo><msub id="Thmconjecture2.p1.5.5.m5.1.1.3" xref="Thmconjecture2.p1.5.5.m5.1.1.3.cmml"><mi id="Thmconjecture2.p1.5.5.m5.1.1.3.2" xref="Thmconjecture2.p1.5.5.m5.1.1.3.2.cmml">S</mi><mn id="Thmconjecture2.p1.5.5.m5.1.1.3.3" xref="Thmconjecture2.p1.5.5.m5.1.1.3.3.cmml">6</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmconjecture2.p1.5.5.m5.1b"><apply id="Thmconjecture2.p1.5.5.m5.1.1.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.5.5.m5.1.1"><in id="Thmconjecture2.p1.5.5.m5.1.1.1.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.5.5.m5.1.1.1"></in><ci id="Thmconjecture2.p1.5.5.m5.1.1.2.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.5.5.m5.1.1.2">𝜋</ci><apply id="Thmconjecture2.p1.5.5.m5.1.1.3.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.5.5.m5.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmconjecture2.p1.5.5.m5.1.1.3.1.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.5.5.m5.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="Thmconjecture2.p1.5.5.m5.1.1.3.2.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.5.5.m5.1.1.3.2">𝑆</ci><cn id="Thmconjecture2.p1.5.5.m5.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="Thmconjecture2.p1.5.5.m5.1.1.3.3">6</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmconjecture2.p1.5.5.m5.1c">\pi\in S_{6}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmconjecture2.p1.5.5.m5.1d">italic_π ∈ italic_S start_POSTSUBSCRIPT 6 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> be any permutation. Then <math alttext="G_{H_{j}}(\pi(1,1,1,-1,-1,-1))=0" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4"><semantics id="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4a"><mrow id="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4" xref="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.cmml"><mrow id="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.1" xref="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.1.cmml"><msub id="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.1.3" xref="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.1.3.cmml"><mi id="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.1.3.2" xref="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.1.3.2.cmml">G</mi><msub id="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.1.3.3" xref="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.1.3.3.cmml"><mi id="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.1.3.3.2" xref="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.1.3.3.2.cmml">H</mi><mi id="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.1.3.3.3" xref="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.1.3.3.3.cmml">j</mi></msub></msub><mo id="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.1.2" xref="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.1.1.1" xref="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.1.1.1.1.cmml"><mo id="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.1.1.1.1" xref="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.1.1.1.1.cmml"><mi id="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.1.1.1.1.5" xref="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.1.1.1.1.5.cmml">π</mi><mo id="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.1.1.1.1.4" xref="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.1.1.1.1.4.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.3" xref="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.4.cmml"><mo id="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.3.4" stretchy="false" xref="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.4.cmml">(</mo><mn id="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.1.1" xref="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.1.1.cmml">1</mn><mo id="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.3.5" xref="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.4.cmml">,</mo><mn id="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.2.2" xref="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.2.2.cmml">1</mn><mo id="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.3.6" xref="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.4.cmml">,</mo><mn id="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.3.3" xref="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.3.3.cmml">1</mn><mo id="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.3.7" xref="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.4.cmml">,</mo><mrow id="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.1.1.1.1.1.1.1a" xref="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn></mrow><mo id="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.3.8" xref="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.4.cmml">,</mo><mrow id="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.1.1.1.1.2.2.2" xref="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mo id="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.1.1.1.1.2.2.2a" xref="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.1.1.1.1.2.2.2.cmml">−</mo><mn id="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">1</mn></mrow><mo id="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.3.9" xref="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.4.cmml">,</mo><mrow id="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.3.3" xref="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mo id="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.3.3a" xref="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.3.3.cmml">−</mo><mn id="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">1</mn></mrow><mo id="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.3.10" stretchy="false" xref="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.2" xref="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.2.cmml">=</mo><mn id="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.3" xref="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4b"><apply id="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4"><eq id="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.2.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.2"></eq><apply id="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.1.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.1"><times id="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.1.2.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.1.2"></times><apply id="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.1.3.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.1.3.1.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.1.3">subscript</csymbol><ci id="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.1.3.2.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.1.3.2">𝐺</ci><apply id="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.1.3.3.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.1.3.3.1.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.1.3.3.2.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.1.3.3.2">𝐻</ci><ci id="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.1.3.3.3.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.1.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.1.1.1"><times id="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.1.1.1.1.4.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.1.1.1.1.4"></times><ci id="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.1.1.1.1.5.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.1.1.1.1.5">𝜋</ci><vector id="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.3"><cn id="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.1.1.cmml" type="integer" xref="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.1.1">1</cn><cn id="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.2.2.cmml" type="integer" xref="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.2.2">1</cn><cn id="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.3.3.cmml" type="integer" xref="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.3.3">1</cn><apply id="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.1.1.1.1.1.1.1"></minus><cn id="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2">1</cn></apply><apply id="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.1.1.1.1.2.2.2"><minus id="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.1.1.1.1.2.2.2"></minus><cn id="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.1.1.1.1.2.2.2.2">1</cn></apply><apply id="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.3.3"><minus id="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.3.3"></minus><cn id="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" type="integer" xref="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.3.3.2">1</cn></apply></vector></apply></apply><cn id="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.3.cmml" type="integer" xref="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4.4.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4c">G_{H_{j}}(\pi(1,1,1,-1,-1,-1))=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmconjecture2.p1.6.6.m6.4d">italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_H start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( italic_π ( 1 , 1 , 1 , - 1 , - 1 , - 1 ) ) = 0</annotation></semantics></math> for all <math alttext="j=1,2,3" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmconjecture2.p1.7.7.m7.3"><semantics id="Thmconjecture2.p1.7.7.m7.3a"><mrow id="Thmconjecture2.p1.7.7.m7.3.4" xref="Thmconjecture2.p1.7.7.m7.3.4.cmml"><mi id="Thmconjecture2.p1.7.7.m7.3.4.2" xref="Thmconjecture2.p1.7.7.m7.3.4.2.cmml">j</mi><mo id="Thmconjecture2.p1.7.7.m7.3.4.1" xref="Thmconjecture2.p1.7.7.m7.3.4.1.cmml">=</mo><mrow id="Thmconjecture2.p1.7.7.m7.3.4.3.2" xref="Thmconjecture2.p1.7.7.m7.3.4.3.1.cmml"><mn id="Thmconjecture2.p1.7.7.m7.1.1" xref="Thmconjecture2.p1.7.7.m7.1.1.cmml">1</mn><mo id="Thmconjecture2.p1.7.7.m7.3.4.3.2.1" xref="Thmconjecture2.p1.7.7.m7.3.4.3.1.cmml">,</mo><mn id="Thmconjecture2.p1.7.7.m7.2.2" xref="Thmconjecture2.p1.7.7.m7.2.2.cmml">2</mn><mo id="Thmconjecture2.p1.7.7.m7.3.4.3.2.2" xref="Thmconjecture2.p1.7.7.m7.3.4.3.1.cmml">,</mo><mn id="Thmconjecture2.p1.7.7.m7.3.3" xref="Thmconjecture2.p1.7.7.m7.3.3.cmml">3</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmconjecture2.p1.7.7.m7.3b"><apply id="Thmconjecture2.p1.7.7.m7.3.4.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.7.7.m7.3.4"><eq id="Thmconjecture2.p1.7.7.m7.3.4.1.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.7.7.m7.3.4.1"></eq><ci id="Thmconjecture2.p1.7.7.m7.3.4.2.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.7.7.m7.3.4.2">𝑗</ci><list id="Thmconjecture2.p1.7.7.m7.3.4.3.1.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.7.7.m7.3.4.3.2"><cn id="Thmconjecture2.p1.7.7.m7.1.1.cmml" type="integer" xref="Thmconjecture2.p1.7.7.m7.1.1">1</cn><cn id="Thmconjecture2.p1.7.7.m7.2.2.cmml" type="integer" xref="Thmconjecture2.p1.7.7.m7.2.2">2</cn><cn id="Thmconjecture2.p1.7.7.m7.3.3.cmml" type="integer" xref="Thmconjecture2.p1.7.7.m7.3.3">3</cn></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmconjecture2.p1.7.7.m7.3c">j=1,2,3</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmconjecture2.p1.7.7.m7.3d">italic_j = 1 , 2 , 3</annotation></semantics></math>. Also, <math alttext="G_{H_{j}}(\pi(3,3,3,-3,-3,-3))=0" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4"><semantics id="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4a"><mrow id="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4" xref="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.cmml"><mrow id="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.1" xref="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.1.cmml"><msub id="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.1.3" xref="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.1.3.cmml"><mi id="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.1.3.2" xref="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.1.3.2.cmml">G</mi><msub id="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.1.3.3" xref="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.1.3.3.cmml"><mi id="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.1.3.3.2" xref="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.1.3.3.2.cmml">H</mi><mi id="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.1.3.3.3" xref="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.1.3.3.3.cmml">j</mi></msub></msub><mo id="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.1.2" xref="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.1.1.1" xref="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.1.1.1.1.cmml"><mo id="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.1.1.1.1" xref="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.1.1.1.1.cmml"><mi id="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.1.1.1.1.5" xref="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.1.1.1.1.5.cmml">π</mi><mo id="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.1.1.1.1.4" xref="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.1.1.1.1.4.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.1.1.1.1.3.3" xref="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.1.1.1.1.3.4.cmml"><mo id="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.1.1.1.1.3.3.4" stretchy="false" xref="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.1.1.1.1.3.4.cmml">(</mo><mn id="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.1.1" xref="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.1.1.cmml">3</mn><mo id="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.1.1.1.1.3.3.5" xref="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.1.1.1.1.3.4.cmml">,</mo><mn id="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.2.2" xref="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.2.2.cmml">3</mn><mo id="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.1.1.1.1.3.3.6" xref="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.1.1.1.1.3.4.cmml">,</mo><mn id="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.3.3" xref="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.3.3.cmml">3</mn><mo id="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.1.1.1.1.3.3.7" xref="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.1.1.1.1.3.4.cmml">,</mo><mrow id="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.1.1.1.1.1.1.1a" xref="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">3</mn></mrow><mo id="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.1.1.1.1.3.3.8" xref="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.1.1.1.1.3.4.cmml">,</mo><mrow id="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.1.1.1.1.2.2.2" xref="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mo id="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.1.1.1.1.2.2.2a" xref="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.1.1.1.1.2.2.2.cmml">−</mo><mn id="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">3</mn></mrow><mo id="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.1.1.1.1.3.3.9" xref="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.1.1.1.1.3.4.cmml">,</mo><mrow id="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.1.1.1.1.3.3.3" xref="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mo id="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.1.1.1.1.3.3.3a" xref="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.1.1.1.1.3.3.3.cmml">−</mo><mn id="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">3</mn></mrow><mo id="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.1.1.1.1.3.3.10" stretchy="false" xref="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.1.1.1.1.3.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.2" xref="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.2.cmml">=</mo><mn id="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.3" xref="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4b"><apply id="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4"><eq id="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.2.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.2"></eq><apply id="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.1.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.1"><times id="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.1.2.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.1.2"></times><apply id="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.1.3.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.1.3.1.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.1.3">subscript</csymbol><ci id="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.1.3.2.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.1.3.2">𝐺</ci><apply id="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.1.3.3.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.1.3.3.1.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.1.3.3.2.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.1.3.3.2">𝐻</ci><ci id="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.1.3.3.3.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.1.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.1.1.1"><times id="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.1.1.1.1.4.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.1.1.1.1.4"></times><ci id="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.1.1.1.1.5.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.1.1.1.1.5">𝜋</ci><vector id="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.1.1.1.1.3.3"><cn id="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.1.1.cmml" type="integer" xref="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.1.1">3</cn><cn id="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.2.2.cmml" type="integer" xref="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.2.2">3</cn><cn id="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.3.3.cmml" type="integer" xref="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.3.3">3</cn><apply id="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.1.1.1.1.1.1.1"></minus><cn id="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2">3</cn></apply><apply id="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.1.1.1.1.2.2.2"><minus id="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.1.1.1.1.2.2.2"></minus><cn id="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.1.1.1.1.2.2.2.2">3</cn></apply><apply id="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.1.1.1.1.3.3.3"><minus id="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.1.1.1.1.3.3.3"></minus><cn id="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" type="integer" xref="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.1.1.1.1.3.3.3.2">3</cn></apply></vector></apply></apply><cn id="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.3.cmml" type="integer" xref="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4.4.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4c">G_{H_{j}}(\pi(3,3,3,-3,-3,-3))=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmconjecture2.p1.8.8.m8.4d">italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_H start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( italic_π ( 3 , 3 , 3 , - 3 , - 3 , - 3 ) ) = 0</annotation></semantics></math> for two of the three indices <math alttext="j=1,2,3" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmconjecture2.p1.9.9.m9.3"><semantics id="Thmconjecture2.p1.9.9.m9.3a"><mrow id="Thmconjecture2.p1.9.9.m9.3.4" xref="Thmconjecture2.p1.9.9.m9.3.4.cmml"><mi id="Thmconjecture2.p1.9.9.m9.3.4.2" xref="Thmconjecture2.p1.9.9.m9.3.4.2.cmml">j</mi><mo id="Thmconjecture2.p1.9.9.m9.3.4.1" xref="Thmconjecture2.p1.9.9.m9.3.4.1.cmml">=</mo><mrow id="Thmconjecture2.p1.9.9.m9.3.4.3.2" xref="Thmconjecture2.p1.9.9.m9.3.4.3.1.cmml"><mn id="Thmconjecture2.p1.9.9.m9.1.1" xref="Thmconjecture2.p1.9.9.m9.1.1.cmml">1</mn><mo id="Thmconjecture2.p1.9.9.m9.3.4.3.2.1" xref="Thmconjecture2.p1.9.9.m9.3.4.3.1.cmml">,</mo><mn id="Thmconjecture2.p1.9.9.m9.2.2" xref="Thmconjecture2.p1.9.9.m9.2.2.cmml">2</mn><mo id="Thmconjecture2.p1.9.9.m9.3.4.3.2.2" xref="Thmconjecture2.p1.9.9.m9.3.4.3.1.cmml">,</mo><mn id="Thmconjecture2.p1.9.9.m9.3.3" xref="Thmconjecture2.p1.9.9.m9.3.3.cmml">3</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmconjecture2.p1.9.9.m9.3b"><apply id="Thmconjecture2.p1.9.9.m9.3.4.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.9.9.m9.3.4"><eq id="Thmconjecture2.p1.9.9.m9.3.4.1.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.9.9.m9.3.4.1"></eq><ci id="Thmconjecture2.p1.9.9.m9.3.4.2.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.9.9.m9.3.4.2">𝑗</ci><list id="Thmconjecture2.p1.9.9.m9.3.4.3.1.cmml" xref="Thmconjecture2.p1.9.9.m9.3.4.3.2"><cn id="Thmconjecture2.p1.9.9.m9.1.1.cmml" type="integer" xref="Thmconjecture2.p1.9.9.m9.1.1">1</cn><cn id="Thmconjecture2.p1.9.9.m9.2.2.cmml" type="integer" xref="Thmconjecture2.p1.9.9.m9.2.2">2</cn><cn id="Thmconjecture2.p1.9.9.m9.3.3.cmml" type="integer" xref="Thmconjecture2.p1.9.9.m9.3.3">3</cn></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmconjecture2.p1.9.9.m9.3c">j=1,2,3</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmconjecture2.p1.9.9.m9.3d">italic_j = 1 , 2 , 3</annotation></semantics></math>, but it is not necessarily zero for the third one.</span></p> </div> <div class="ltx_para" id="Thmconjecture2.p2"> <p class="ltx_p" id="Thmconjecture2.p2.5"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmconjecture2.p2.5.5">In terms of the Hadamard cube <math alttext="C" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmconjecture2.p2.1.1.m1.1"><semantics id="Thmconjecture2.p2.1.1.m1.1a"><mi id="Thmconjecture2.p2.1.1.m1.1.1" xref="Thmconjecture2.p2.1.1.m1.1.1.cmml">C</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmconjecture2.p2.1.1.m1.1b"><ci id="Thmconjecture2.p2.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmconjecture2.p2.1.1.m1.1.1">𝐶</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmconjecture2.p2.1.1.m1.1c">C</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmconjecture2.p2.1.1.m1.1d">italic_C</annotation></semantics></math> associated with the MUB-triplet <math alttext="(X_{1},X_{2},X_{3})" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmconjecture2.p2.2.2.m2.3"><semantics id="Thmconjecture2.p2.2.2.m2.3a"><mrow id="Thmconjecture2.p2.2.2.m2.3.3.3" xref="Thmconjecture2.p2.2.2.m2.3.3.4.cmml"><mo id="Thmconjecture2.p2.2.2.m2.3.3.3.4" stretchy="false" xref="Thmconjecture2.p2.2.2.m2.3.3.4.cmml">(</mo><msub id="Thmconjecture2.p2.2.2.m2.1.1.1.1" xref="Thmconjecture2.p2.2.2.m2.1.1.1.1.cmml"><mi id="Thmconjecture2.p2.2.2.m2.1.1.1.1.2" xref="Thmconjecture2.p2.2.2.m2.1.1.1.1.2.cmml">X</mi><mn id="Thmconjecture2.p2.2.2.m2.1.1.1.1.3" xref="Thmconjecture2.p2.2.2.m2.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="Thmconjecture2.p2.2.2.m2.3.3.3.5" xref="Thmconjecture2.p2.2.2.m2.3.3.4.cmml">,</mo><msub id="Thmconjecture2.p2.2.2.m2.2.2.2.2" xref="Thmconjecture2.p2.2.2.m2.2.2.2.2.cmml"><mi id="Thmconjecture2.p2.2.2.m2.2.2.2.2.2" xref="Thmconjecture2.p2.2.2.m2.2.2.2.2.2.cmml">X</mi><mn id="Thmconjecture2.p2.2.2.m2.2.2.2.2.3" xref="Thmconjecture2.p2.2.2.m2.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="Thmconjecture2.p2.2.2.m2.3.3.3.6" xref="Thmconjecture2.p2.2.2.m2.3.3.4.cmml">,</mo><msub id="Thmconjecture2.p2.2.2.m2.3.3.3.3" xref="Thmconjecture2.p2.2.2.m2.3.3.3.3.cmml"><mi id="Thmconjecture2.p2.2.2.m2.3.3.3.3.2" xref="Thmconjecture2.p2.2.2.m2.3.3.3.3.2.cmml">X</mi><mn id="Thmconjecture2.p2.2.2.m2.3.3.3.3.3" xref="Thmconjecture2.p2.2.2.m2.3.3.3.3.3.cmml">3</mn></msub><mo id="Thmconjecture2.p2.2.2.m2.3.3.3.7" stretchy="false" xref="Thmconjecture2.p2.2.2.m2.3.3.4.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmconjecture2.p2.2.2.m2.3b"><vector id="Thmconjecture2.p2.2.2.m2.3.3.4.cmml" xref="Thmconjecture2.p2.2.2.m2.3.3.3"><apply id="Thmconjecture2.p2.2.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="Thmconjecture2.p2.2.2.m2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmconjecture2.p2.2.2.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmconjecture2.p2.2.2.m2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmconjecture2.p2.2.2.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmconjecture2.p2.2.2.m2.1.1.1.1.2">𝑋</ci><cn id="Thmconjecture2.p2.2.2.m2.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Thmconjecture2.p2.2.2.m2.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="Thmconjecture2.p2.2.2.m2.2.2.2.2.cmml" xref="Thmconjecture2.p2.2.2.m2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmconjecture2.p2.2.2.m2.2.2.2.2.1.cmml" xref="Thmconjecture2.p2.2.2.m2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="Thmconjecture2.p2.2.2.m2.2.2.2.2.2.cmml" xref="Thmconjecture2.p2.2.2.m2.2.2.2.2.2">𝑋</ci><cn id="Thmconjecture2.p2.2.2.m2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="Thmconjecture2.p2.2.2.m2.2.2.2.2.3">2</cn></apply><apply id="Thmconjecture2.p2.2.2.m2.3.3.3.3.cmml" xref="Thmconjecture2.p2.2.2.m2.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmconjecture2.p2.2.2.m2.3.3.3.3.1.cmml" xref="Thmconjecture2.p2.2.2.m2.3.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="Thmconjecture2.p2.2.2.m2.3.3.3.3.2.cmml" xref="Thmconjecture2.p2.2.2.m2.3.3.3.3.2">𝑋</ci><cn id="Thmconjecture2.p2.2.2.m2.3.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="Thmconjecture2.p2.2.2.m2.3.3.3.3.3">3</cn></apply></vector></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmconjecture2.p2.2.2.m2.3c">(X_{1},X_{2},X_{3})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmconjecture2.p2.2.2.m2.3d">( italic_X start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_X start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT , italic_X start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math>, we have that <math alttext="G_{H}(\pi(1,1,1,-1,-1,-1))=0" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4"><semantics id="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4a"><mrow id="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4.4" xref="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4.4.cmml"><mrow id="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4.4.1" xref="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4.4.1.cmml"><msub id="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4.4.1.3" xref="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4.4.1.3.cmml"><mi id="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4.4.1.3.2" xref="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4.4.1.3.2.cmml">G</mi><mi id="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4.4.1.3.3" xref="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4.4.1.3.3.cmml">H</mi></msub><mo id="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4.4.1.2" xref="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4.4.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4.4.1.1.1" xref="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.cmml"><mo id="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4.4.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4.4.1.1.1.1" xref="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.cmml"><mi id="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.5" xref="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.5.cmml">π</mi><mo id="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.4" xref="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.4.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.3.3" xref="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.3.4.cmml"><mo id="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.3.3.4" stretchy="false" xref="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.3.4.cmml">(</mo><mn id="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.1.1" xref="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.1.1.cmml">1</mn><mo id="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.3.3.5" xref="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.3.4.cmml">,</mo><mn id="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.2.2" xref="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.2.2.cmml">1</mn><mo id="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.3.3.6" xref="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.3.4.cmml">,</mo><mn id="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.3.3" xref="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.3.3.cmml">1</mn><mo id="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.3.3.7" xref="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.3.4.cmml">,</mo><mrow id="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1a" xref="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn></mrow><mo id="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.3.3.8" xref="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.3.4.cmml">,</mo><mrow id="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.2.2.2" xref="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mo id="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.2.2.2a" xref="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.2.2.2.cmml">−</mo><mn id="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">1</mn></mrow><mo id="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.3.3.9" xref="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.3.4.cmml">,</mo><mrow id="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.3.3.3" xref="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mo id="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.3.3.3a" xref="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.3.3.3.cmml">−</mo><mn id="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">1</mn></mrow><mo id="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.3.3.10" stretchy="false" xref="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.3.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4.4.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4.4.2" xref="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4.4.2.cmml">=</mo><mn id="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4.4.3" xref="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4.4.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4b"><apply id="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4.4.cmml" xref="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4.4"><eq id="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4.4.2.cmml" xref="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4.4.2"></eq><apply id="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4.4.1.cmml" xref="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4.4.1"><times id="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4.4.1.2.cmml" xref="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4.4.1.2"></times><apply id="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4.4.1.3.cmml" xref="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4.4.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4.4.1.3.1.cmml" xref="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4.4.1.3">subscript</csymbol><ci id="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4.4.1.3.2.cmml" xref="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4.4.1.3.2">𝐺</ci><ci id="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4.4.1.3.3.cmml" xref="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4.4.1.3.3">𝐻</ci></apply><apply id="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4.4.1.1.1"><times id="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.4.cmml" xref="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.4"></times><ci id="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.5.cmml" xref="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.5">𝜋</ci><vector id="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.3.3"><cn id="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.1.1.cmml" type="integer" xref="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.1.1">1</cn><cn id="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.2.2.cmml" type="integer" xref="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.2.2">1</cn><cn id="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.3.3.cmml" type="integer" xref="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.3.3">1</cn><apply id="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1"></minus><cn id="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2">1</cn></apply><apply id="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.2.2.2"><minus id="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.2.2.2"></minus><cn id="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.2.2.2.2">1</cn></apply><apply id="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.3.3.3"><minus id="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.3.3.3"></minus><cn id="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" type="integer" xref="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.3.3.3.2">1</cn></apply></vector></apply></apply><cn id="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4.4.3.cmml" type="integer" xref="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4.4.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4c">G_{H}(\pi(1,1,1,-1,-1,-1))=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmconjecture2.p2.3.3.m3.4d">italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_H end_POSTSUBSCRIPT ( italic_π ( 1 , 1 , 1 , - 1 , - 1 , - 1 ) ) = 0</annotation></semantics></math> for any slice <math alttext="H" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmconjecture2.p2.4.4.m4.1"><semantics id="Thmconjecture2.p2.4.4.m4.1a"><mi id="Thmconjecture2.p2.4.4.m4.1.1" xref="Thmconjecture2.p2.4.4.m4.1.1.cmml">H</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmconjecture2.p2.4.4.m4.1b"><ci id="Thmconjecture2.p2.4.4.m4.1.1.cmml" xref="Thmconjecture2.p2.4.4.m4.1.1">𝐻</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmconjecture2.p2.4.4.m4.1c">H</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmconjecture2.p2.4.4.m4.1d">italic_H</annotation></semantics></math> of the cube, and <math alttext="G_{H}(\pi(3,3,3,-3,-3,-3))=0" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4"><semantics id="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4a"><mrow id="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4.4" xref="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4.4.cmml"><mrow id="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4.4.1" xref="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4.4.1.cmml"><msub id="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4.4.1.3" xref="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4.4.1.3.cmml"><mi id="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4.4.1.3.2" xref="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4.4.1.3.2.cmml">G</mi><mi id="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4.4.1.3.3" xref="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4.4.1.3.3.cmml">H</mi></msub><mo id="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4.4.1.2" xref="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4.4.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4.4.1.1.1" xref="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4.4.1.1.1.1.cmml"><mo id="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4.4.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4.4.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4.4.1.1.1.1" xref="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4.4.1.1.1.1.cmml"><mi id="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4.4.1.1.1.1.5" xref="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4.4.1.1.1.1.5.cmml">π</mi><mo id="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4.4.1.1.1.1.4" xref="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4.4.1.1.1.1.4.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4.4.1.1.1.1.3.3" xref="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4.4.1.1.1.1.3.4.cmml"><mo id="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4.4.1.1.1.1.3.3.4" stretchy="false" xref="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4.4.1.1.1.1.3.4.cmml">(</mo><mn id="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.1.1" xref="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.1.1.cmml">3</mn><mo id="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4.4.1.1.1.1.3.3.5" xref="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4.4.1.1.1.1.3.4.cmml">,</mo><mn id="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.2.2" xref="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.2.2.cmml">3</mn><mo id="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4.4.1.1.1.1.3.3.6" xref="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4.4.1.1.1.1.3.4.cmml">,</mo><mn id="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.3.3" xref="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.3.3.cmml">3</mn><mo id="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4.4.1.1.1.1.3.3.7" xref="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4.4.1.1.1.1.3.4.cmml">,</mo><mrow id="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4.4.1.1.1.1.1.1.1a" xref="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">3</mn></mrow><mo id="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4.4.1.1.1.1.3.3.8" xref="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4.4.1.1.1.1.3.4.cmml">,</mo><mrow id="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4.4.1.1.1.1.2.2.2" xref="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4.4.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mo id="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4.4.1.1.1.1.2.2.2a" xref="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4.4.1.1.1.1.2.2.2.cmml">−</mo><mn id="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4.4.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4.4.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">3</mn></mrow><mo id="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4.4.1.1.1.1.3.3.9" xref="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4.4.1.1.1.1.3.4.cmml">,</mo><mrow id="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4.4.1.1.1.1.3.3.3" xref="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4.4.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mo id="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4.4.1.1.1.1.3.3.3a" xref="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4.4.1.1.1.1.3.3.3.cmml">−</mo><mn id="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4.4.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4.4.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">3</mn></mrow><mo id="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4.4.1.1.1.1.3.3.10" stretchy="false" xref="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4.4.1.1.1.1.3.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4.4.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4.4.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4.4.2" xref="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4.4.2.cmml">=</mo><mn id="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4.4.3" xref="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4.4.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4b"><apply id="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4.4.cmml" xref="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4.4"><eq id="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4.4.2.cmml" xref="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4.4.2"></eq><apply id="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4.4.1.cmml" xref="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4.4.1"><times id="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4.4.1.2.cmml" xref="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4.4.1.2"></times><apply id="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4.4.1.3.cmml" xref="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4.4.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4.4.1.3.1.cmml" xref="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4.4.1.3">subscript</csymbol><ci id="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4.4.1.3.2.cmml" xref="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4.4.1.3.2">𝐺</ci><ci id="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4.4.1.3.3.cmml" xref="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4.4.1.3.3">𝐻</ci></apply><apply id="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4.4.1.1.1"><times id="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4.4.1.1.1.1.4.cmml" xref="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4.4.1.1.1.1.4"></times><ci id="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4.4.1.1.1.1.5.cmml" xref="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4.4.1.1.1.1.5">𝜋</ci><vector id="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4.4.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4.4.1.1.1.1.3.3"><cn id="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.1.1.cmml" type="integer" xref="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.1.1">3</cn><cn id="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.2.2.cmml" type="integer" xref="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.2.2">3</cn><cn id="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.3.3.cmml" type="integer" xref="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.3.3">3</cn><apply id="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4.4.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4.4.1.1.1.1.1.1.1"></minus><cn id="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2">3</cn></apply><apply id="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4.4.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4.4.1.1.1.1.2.2.2"><minus id="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4.4.1.1.1.1.2.2.2"></minus><cn id="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4.4.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4.4.1.1.1.1.2.2.2.2">3</cn></apply><apply id="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4.4.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4.4.1.1.1.1.3.3.3"><minus id="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4.4.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4.4.1.1.1.1.3.3.3"></minus><cn id="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4.4.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" type="integer" xref="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4.4.1.1.1.1.3.3.3.2">3</cn></apply></vector></apply></apply><cn id="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4.4.3.cmml" type="integer" xref="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4.4.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4c">G_{H}(\pi(3,3,3,-3,-3,-3))=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmconjecture2.p2.5.5.m5.4d">italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_H end_POSTSUBSCRIPT ( italic_π ( 3 , 3 , 3 , - 3 , - 3 , - 3 ) ) = 0</annotation></semantics></math> for slices in two parallel classes of the cube, but not necessarily in the third one.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S4.p27"> <p class="ltx_p" id="S4.p27.9">We can formulate this conjecture as a single algebraic identity as follows. Consider the function</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E6"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(4.6)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\tilde{G}_{H}(\gamma)=\sum_{\pi}G_{H}(\pi(\gamma))" class="ltx_Math" display="block" id="S4.E6.m1.3"><semantics id="S4.E6.m1.3a"><mrow id="S4.E6.m1.3.3" xref="S4.E6.m1.3.3.cmml"><mrow id="S4.E6.m1.3.3.3" xref="S4.E6.m1.3.3.3.cmml"><msub id="S4.E6.m1.3.3.3.2" xref="S4.E6.m1.3.3.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.E6.m1.3.3.3.2.2" xref="S4.E6.m1.3.3.3.2.2.cmml"><mi id="S4.E6.m1.3.3.3.2.2.2" xref="S4.E6.m1.3.3.3.2.2.2.cmml">G</mi><mo id="S4.E6.m1.3.3.3.2.2.1" xref="S4.E6.m1.3.3.3.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S4.E6.m1.3.3.3.2.3" xref="S4.E6.m1.3.3.3.2.3.cmml">H</mi></msub><mo id="S4.E6.m1.3.3.3.1" xref="S4.E6.m1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E6.m1.3.3.3.3.2" xref="S4.E6.m1.3.3.3.cmml"><mo id="S4.E6.m1.3.3.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.E6.m1.3.3.3.cmml">(</mo><mi id="S4.E6.m1.1.1" xref="S4.E6.m1.1.1.cmml">γ</mi><mo id="S4.E6.m1.3.3.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.E6.m1.3.3.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E6.m1.3.3.2" rspace="0.111em" xref="S4.E6.m1.3.3.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.E6.m1.3.3.1" xref="S4.E6.m1.3.3.1.cmml"><munder id="S4.E6.m1.3.3.1.2" xref="S4.E6.m1.3.3.1.2.cmml"><mo id="S4.E6.m1.3.3.1.2.2" movablelimits="false" xref="S4.E6.m1.3.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mi id="S4.E6.m1.3.3.1.2.3" xref="S4.E6.m1.3.3.1.2.3.cmml">π</mi></munder><mrow id="S4.E6.m1.3.3.1.1" xref="S4.E6.m1.3.3.1.1.cmml"><msub id="S4.E6.m1.3.3.1.1.3" xref="S4.E6.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E6.m1.3.3.1.1.3.2" xref="S4.E6.m1.3.3.1.1.3.2.cmml">G</mi><mi id="S4.E6.m1.3.3.1.1.3.3" xref="S4.E6.m1.3.3.1.1.3.3.cmml">H</mi></msub><mo id="S4.E6.m1.3.3.1.1.2" xref="S4.E6.m1.3.3.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E6.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S4.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E6.m1.3.3.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S4.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml">π</mi><mo id="S4.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.E6.m1.2.2" xref="S4.E6.m1.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S4.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E6.m1.3.3.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E6.m1.3b"><apply id="S4.E6.m1.3.3.cmml" xref="S4.E6.m1.3.3"><eq id="S4.E6.m1.3.3.2.cmml" xref="S4.E6.m1.3.3.2"></eq><apply id="S4.E6.m1.3.3.3.cmml" xref="S4.E6.m1.3.3.3"><times id="S4.E6.m1.3.3.3.1.cmml" xref="S4.E6.m1.3.3.3.1"></times><apply id="S4.E6.m1.3.3.3.2.cmml" xref="S4.E6.m1.3.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E6.m1.3.3.3.2.1.cmml" xref="S4.E6.m1.3.3.3.2">subscript</csymbol><apply id="S4.E6.m1.3.3.3.2.2.cmml" xref="S4.E6.m1.3.3.3.2.2"><ci id="S4.E6.m1.3.3.3.2.2.1.cmml" xref="S4.E6.m1.3.3.3.2.2.1">~</ci><ci id="S4.E6.m1.3.3.3.2.2.2.cmml" xref="S4.E6.m1.3.3.3.2.2.2">𝐺</ci></apply><ci id="S4.E6.m1.3.3.3.2.3.cmml" xref="S4.E6.m1.3.3.3.2.3">𝐻</ci></apply><ci id="S4.E6.m1.1.1.cmml" xref="S4.E6.m1.1.1">𝛾</ci></apply><apply id="S4.E6.m1.3.3.1.cmml" xref="S4.E6.m1.3.3.1"><apply id="S4.E6.m1.3.3.1.2.cmml" xref="S4.E6.m1.3.3.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E6.m1.3.3.1.2.1.cmml" xref="S4.E6.m1.3.3.1.2">subscript</csymbol><sum id="S4.E6.m1.3.3.1.2.2.cmml" xref="S4.E6.m1.3.3.1.2.2"></sum><ci id="S4.E6.m1.3.3.1.2.3.cmml" xref="S4.E6.m1.3.3.1.2.3">𝜋</ci></apply><apply id="S4.E6.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S4.E6.m1.3.3.1.1"><times id="S4.E6.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S4.E6.m1.3.3.1.1.2"></times><apply id="S4.E6.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S4.E6.m1.3.3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E6.m1.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E6.m1.3.3.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E6.m1.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E6.m1.3.3.1.1.3.2">𝐺</ci><ci id="S4.E6.m1.3.3.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E6.m1.3.3.1.1.3.3">𝐻</ci></apply><apply id="S4.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E6.m1.3.3.1.1.1.1"><times id="S4.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S4.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E6.m1.3.3.1.1.1.1.1.2">𝜋</ci><ci id="S4.E6.m1.2.2.cmml" xref="S4.E6.m1.2.2">𝛾</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E6.m1.3c">\tilde{G}_{H}(\gamma)=\sum_{\pi}G_{H}(\pi(\gamma))</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E6.m1.3d">over~ start_ARG italic_G end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_H end_POSTSUBSCRIPT ( italic_γ ) = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_π end_POSTSUBSCRIPT italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_H end_POSTSUBSCRIPT ( italic_π ( italic_γ ) )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.p27.8">where the summation is taken over all permutations <math alttext="\pi\in S_{6}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p27.1.m1.1"><semantics id="S4.p27.1.m1.1a"><mrow id="S4.p27.1.m1.1.1" xref="S4.p27.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.p27.1.m1.1.1.2" xref="S4.p27.1.m1.1.1.2.cmml">π</mi><mo id="S4.p27.1.m1.1.1.1" xref="S4.p27.1.m1.1.1.1.cmml">∈</mo><msub id="S4.p27.1.m1.1.1.3" xref="S4.p27.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.p27.1.m1.1.1.3.2" xref="S4.p27.1.m1.1.1.3.2.cmml">S</mi><mn id="S4.p27.1.m1.1.1.3.3" xref="S4.p27.1.m1.1.1.3.3.cmml">6</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p27.1.m1.1b"><apply id="S4.p27.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.p27.1.m1.1.1"><in id="S4.p27.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.p27.1.m1.1.1.1"></in><ci id="S4.p27.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.p27.1.m1.1.1.2">𝜋</ci><apply id="S4.p27.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.p27.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p27.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.p27.1.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.p27.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.p27.1.m1.1.1.3.2">𝑆</ci><cn id="S4.p27.1.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.p27.1.m1.1.1.3.3">6</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p27.1.m1.1c">\pi\in S_{6}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p27.1.m1.1d">italic_π ∈ italic_S start_POSTSUBSCRIPT 6 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. Recall that <math alttext="G_{H}(\gamma)\geq 0" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p27.2.m2.1"><semantics id="S4.p27.2.m2.1a"><mrow id="S4.p27.2.m2.1.2" xref="S4.p27.2.m2.1.2.cmml"><mrow id="S4.p27.2.m2.1.2.2" xref="S4.p27.2.m2.1.2.2.cmml"><msub id="S4.p27.2.m2.1.2.2.2" xref="S4.p27.2.m2.1.2.2.2.cmml"><mi id="S4.p27.2.m2.1.2.2.2.2" xref="S4.p27.2.m2.1.2.2.2.2.cmml">G</mi><mi id="S4.p27.2.m2.1.2.2.2.3" xref="S4.p27.2.m2.1.2.2.2.3.cmml">H</mi></msub><mo id="S4.p27.2.m2.1.2.2.1" xref="S4.p27.2.m2.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p27.2.m2.1.2.2.3.2" xref="S4.p27.2.m2.1.2.2.cmml"><mo id="S4.p27.2.m2.1.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.p27.2.m2.1.2.2.cmml">(</mo><mi id="S4.p27.2.m2.1.1" xref="S4.p27.2.m2.1.1.cmml">γ</mi><mo id="S4.p27.2.m2.1.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.p27.2.m2.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.p27.2.m2.1.2.1" xref="S4.p27.2.m2.1.2.1.cmml">≥</mo><mn id="S4.p27.2.m2.1.2.3" xref="S4.p27.2.m2.1.2.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p27.2.m2.1b"><apply id="S4.p27.2.m2.1.2.cmml" xref="S4.p27.2.m2.1.2"><geq id="S4.p27.2.m2.1.2.1.cmml" xref="S4.p27.2.m2.1.2.1"></geq><apply id="S4.p27.2.m2.1.2.2.cmml" xref="S4.p27.2.m2.1.2.2"><times id="S4.p27.2.m2.1.2.2.1.cmml" xref="S4.p27.2.m2.1.2.2.1"></times><apply id="S4.p27.2.m2.1.2.2.2.cmml" xref="S4.p27.2.m2.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p27.2.m2.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.p27.2.m2.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.p27.2.m2.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.p27.2.m2.1.2.2.2.2">𝐺</ci><ci id="S4.p27.2.m2.1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.p27.2.m2.1.2.2.2.3">𝐻</ci></apply><ci id="S4.p27.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.p27.2.m2.1.1">𝛾</ci></apply><cn id="S4.p27.2.m2.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.p27.2.m2.1.2.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p27.2.m2.1c">G_{H}(\gamma)\geq 0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p27.2.m2.1d">italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_H end_POSTSUBSCRIPT ( italic_γ ) ≥ 0</annotation></semantics></math> for all <math alttext="\gamma" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p27.3.m3.1"><semantics id="S4.p27.3.m3.1a"><mi id="S4.p27.3.m3.1.1" xref="S4.p27.3.m3.1.1.cmml">γ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p27.3.m3.1b"><ci id="S4.p27.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.p27.3.m3.1.1">𝛾</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p27.3.m3.1c">\gamma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p27.3.m3.1d">italic_γ</annotation></semantics></math>, so <math alttext="\tilde{G}_{H}(\gamma)=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p27.4.m4.1"><semantics id="S4.p27.4.m4.1a"><mrow id="S4.p27.4.m4.1.2" xref="S4.p27.4.m4.1.2.cmml"><mrow id="S4.p27.4.m4.1.2.2" xref="S4.p27.4.m4.1.2.2.cmml"><msub id="S4.p27.4.m4.1.2.2.2" xref="S4.p27.4.m4.1.2.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.p27.4.m4.1.2.2.2.2" xref="S4.p27.4.m4.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.p27.4.m4.1.2.2.2.2.2" xref="S4.p27.4.m4.1.2.2.2.2.2.cmml">G</mi><mo id="S4.p27.4.m4.1.2.2.2.2.1" xref="S4.p27.4.m4.1.2.2.2.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S4.p27.4.m4.1.2.2.2.3" xref="S4.p27.4.m4.1.2.2.2.3.cmml">H</mi></msub><mo id="S4.p27.4.m4.1.2.2.1" xref="S4.p27.4.m4.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p27.4.m4.1.2.2.3.2" xref="S4.p27.4.m4.1.2.2.cmml"><mo id="S4.p27.4.m4.1.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.p27.4.m4.1.2.2.cmml">(</mo><mi id="S4.p27.4.m4.1.1" xref="S4.p27.4.m4.1.1.cmml">γ</mi><mo id="S4.p27.4.m4.1.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.p27.4.m4.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.p27.4.m4.1.2.1" xref="S4.p27.4.m4.1.2.1.cmml">=</mo><mn id="S4.p27.4.m4.1.2.3" xref="S4.p27.4.m4.1.2.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p27.4.m4.1b"><apply id="S4.p27.4.m4.1.2.cmml" xref="S4.p27.4.m4.1.2"><eq id="S4.p27.4.m4.1.2.1.cmml" xref="S4.p27.4.m4.1.2.1"></eq><apply id="S4.p27.4.m4.1.2.2.cmml" xref="S4.p27.4.m4.1.2.2"><times id="S4.p27.4.m4.1.2.2.1.cmml" xref="S4.p27.4.m4.1.2.2.1"></times><apply id="S4.p27.4.m4.1.2.2.2.cmml" xref="S4.p27.4.m4.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p27.4.m4.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.p27.4.m4.1.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S4.p27.4.m4.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.p27.4.m4.1.2.2.2.2"><ci id="S4.p27.4.m4.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.p27.4.m4.1.2.2.2.2.1">~</ci><ci id="S4.p27.4.m4.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.p27.4.m4.1.2.2.2.2.2">𝐺</ci></apply><ci id="S4.p27.4.m4.1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.p27.4.m4.1.2.2.2.3">𝐻</ci></apply><ci id="S4.p27.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.p27.4.m4.1.1">𝛾</ci></apply><cn id="S4.p27.4.m4.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.p27.4.m4.1.2.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p27.4.m4.1c">\tilde{G}_{H}(\gamma)=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p27.4.m4.1d">over~ start_ARG italic_G end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_H end_POSTSUBSCRIPT ( italic_γ ) = 0</annotation></semantics></math> happens if and only if each term in the summation is 0. Therefore, <math alttext="\sum_{j=1}^{3}\tilde{G}_{H_{j}}(1,1,1,-1,-1,-1)=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p27.5.m5.6"><semantics id="S4.p27.5.m5.6a"><mrow id="S4.p27.5.m5.6.6" xref="S4.p27.5.m5.6.6.cmml"><mrow id="S4.p27.5.m5.6.6.3" xref="S4.p27.5.m5.6.6.3.cmml"><msubsup id="S4.p27.5.m5.6.6.3.4" xref="S4.p27.5.m5.6.6.3.4.cmml"><mo id="S4.p27.5.m5.6.6.3.4.2.2" xref="S4.p27.5.m5.6.6.3.4.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S4.p27.5.m5.6.6.3.4.2.3" xref="S4.p27.5.m5.6.6.3.4.2.3.cmml"><mi id="S4.p27.5.m5.6.6.3.4.2.3.2" xref="S4.p27.5.m5.6.6.3.4.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S4.p27.5.m5.6.6.3.4.2.3.1" xref="S4.p27.5.m5.6.6.3.4.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S4.p27.5.m5.6.6.3.4.2.3.3" xref="S4.p27.5.m5.6.6.3.4.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mn id="S4.p27.5.m5.6.6.3.4.3" xref="S4.p27.5.m5.6.6.3.4.3.cmml">3</mn></msubsup><mrow id="S4.p27.5.m5.6.6.3.3" xref="S4.p27.5.m5.6.6.3.3.cmml"><msub id="S4.p27.5.m5.6.6.3.3.5" xref="S4.p27.5.m5.6.6.3.3.5.cmml"><mover accent="true" id="S4.p27.5.m5.6.6.3.3.5.2" xref="S4.p27.5.m5.6.6.3.3.5.2.cmml"><mi id="S4.p27.5.m5.6.6.3.3.5.2.2" xref="S4.p27.5.m5.6.6.3.3.5.2.2.cmml">G</mi><mo id="S4.p27.5.m5.6.6.3.3.5.2.1" xref="S4.p27.5.m5.6.6.3.3.5.2.1.cmml">~</mo></mover><msub id="S4.p27.5.m5.6.6.3.3.5.3" xref="S4.p27.5.m5.6.6.3.3.5.3.cmml"><mi id="S4.p27.5.m5.6.6.3.3.5.3.2" xref="S4.p27.5.m5.6.6.3.3.5.3.2.cmml">H</mi><mi id="S4.p27.5.m5.6.6.3.3.5.3.3" xref="S4.p27.5.m5.6.6.3.3.5.3.3.cmml">j</mi></msub></msub><mo id="S4.p27.5.m5.6.6.3.3.4" xref="S4.p27.5.m5.6.6.3.3.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p27.5.m5.6.6.3.3.3.3" xref="S4.p27.5.m5.6.6.3.3.3.4.cmml"><mo id="S4.p27.5.m5.6.6.3.3.3.3.4" stretchy="false" xref="S4.p27.5.m5.6.6.3.3.3.4.cmml">(</mo><mn id="S4.p27.5.m5.1.1" xref="S4.p27.5.m5.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.p27.5.m5.6.6.3.3.3.3.5" xref="S4.p27.5.m5.6.6.3.3.3.4.cmml">,</mo><mn id="S4.p27.5.m5.2.2" xref="S4.p27.5.m5.2.2.cmml">1</mn><mo id="S4.p27.5.m5.6.6.3.3.3.3.6" xref="S4.p27.5.m5.6.6.3.3.3.4.cmml">,</mo><mn id="S4.p27.5.m5.3.3" xref="S4.p27.5.m5.3.3.cmml">1</mn><mo id="S4.p27.5.m5.6.6.3.3.3.3.7" xref="S4.p27.5.m5.6.6.3.3.3.4.cmml">,</mo><mrow id="S4.p27.5.m5.4.4.1.1.1.1.1" xref="S4.p27.5.m5.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.p27.5.m5.4.4.1.1.1.1.1a" xref="S4.p27.5.m5.4.4.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S4.p27.5.m5.4.4.1.1.1.1.1.2" xref="S4.p27.5.m5.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn></mrow><mo id="S4.p27.5.m5.6.6.3.3.3.3.8" xref="S4.p27.5.m5.6.6.3.3.3.4.cmml">,</mo><mrow id="S4.p27.5.m5.5.5.2.2.2.2.2" xref="S4.p27.5.m5.5.5.2.2.2.2.2.cmml"><mo id="S4.p27.5.m5.5.5.2.2.2.2.2a" xref="S4.p27.5.m5.5.5.2.2.2.2.2.cmml">−</mo><mn id="S4.p27.5.m5.5.5.2.2.2.2.2.2" xref="S4.p27.5.m5.5.5.2.2.2.2.2.2.cmml">1</mn></mrow><mo id="S4.p27.5.m5.6.6.3.3.3.3.9" xref="S4.p27.5.m5.6.6.3.3.3.4.cmml">,</mo><mrow id="S4.p27.5.m5.6.6.3.3.3.3.3" xref="S4.p27.5.m5.6.6.3.3.3.3.3.cmml"><mo id="S4.p27.5.m5.6.6.3.3.3.3.3a" xref="S4.p27.5.m5.6.6.3.3.3.3.3.cmml">−</mo><mn id="S4.p27.5.m5.6.6.3.3.3.3.3.2" xref="S4.p27.5.m5.6.6.3.3.3.3.3.2.cmml">1</mn></mrow><mo id="S4.p27.5.m5.6.6.3.3.3.3.10" stretchy="false" xref="S4.p27.5.m5.6.6.3.3.3.4.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.p27.5.m5.6.6.4" xref="S4.p27.5.m5.6.6.4.cmml">=</mo><mn id="S4.p27.5.m5.6.6.5" xref="S4.p27.5.m5.6.6.5.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p27.5.m5.6b"><apply id="S4.p27.5.m5.6.6.cmml" xref="S4.p27.5.m5.6.6"><eq id="S4.p27.5.m5.6.6.4.cmml" xref="S4.p27.5.m5.6.6.4"></eq><apply id="S4.p27.5.m5.6.6.3.cmml" xref="S4.p27.5.m5.6.6.3"><apply id="S4.p27.5.m5.6.6.3.4.cmml" xref="S4.p27.5.m5.6.6.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p27.5.m5.6.6.3.4.1.cmml" xref="S4.p27.5.m5.6.6.3.4">superscript</csymbol><apply id="S4.p27.5.m5.6.6.3.4.2.cmml" xref="S4.p27.5.m5.6.6.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p27.5.m5.6.6.3.4.2.1.cmml" xref="S4.p27.5.m5.6.6.3.4">subscript</csymbol><sum id="S4.p27.5.m5.6.6.3.4.2.2.cmml" xref="S4.p27.5.m5.6.6.3.4.2.2"></sum><apply id="S4.p27.5.m5.6.6.3.4.2.3.cmml" xref="S4.p27.5.m5.6.6.3.4.2.3"><eq id="S4.p27.5.m5.6.6.3.4.2.3.1.cmml" xref="S4.p27.5.m5.6.6.3.4.2.3.1"></eq><ci id="S4.p27.5.m5.6.6.3.4.2.3.2.cmml" xref="S4.p27.5.m5.6.6.3.4.2.3.2">𝑗</ci><cn id="S4.p27.5.m5.6.6.3.4.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.p27.5.m5.6.6.3.4.2.3.3">1</cn></apply></apply><cn id="S4.p27.5.m5.6.6.3.4.3.cmml" type="integer" xref="S4.p27.5.m5.6.6.3.4.3">3</cn></apply><apply id="S4.p27.5.m5.6.6.3.3.cmml" xref="S4.p27.5.m5.6.6.3.3"><times id="S4.p27.5.m5.6.6.3.3.4.cmml" xref="S4.p27.5.m5.6.6.3.3.4"></times><apply id="S4.p27.5.m5.6.6.3.3.5.cmml" xref="S4.p27.5.m5.6.6.3.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p27.5.m5.6.6.3.3.5.1.cmml" xref="S4.p27.5.m5.6.6.3.3.5">subscript</csymbol><apply id="S4.p27.5.m5.6.6.3.3.5.2.cmml" xref="S4.p27.5.m5.6.6.3.3.5.2"><ci id="S4.p27.5.m5.6.6.3.3.5.2.1.cmml" xref="S4.p27.5.m5.6.6.3.3.5.2.1">~</ci><ci id="S4.p27.5.m5.6.6.3.3.5.2.2.cmml" xref="S4.p27.5.m5.6.6.3.3.5.2.2">𝐺</ci></apply><apply id="S4.p27.5.m5.6.6.3.3.5.3.cmml" xref="S4.p27.5.m5.6.6.3.3.5.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p27.5.m5.6.6.3.3.5.3.1.cmml" xref="S4.p27.5.m5.6.6.3.3.5.3">subscript</csymbol><ci id="S4.p27.5.m5.6.6.3.3.5.3.2.cmml" xref="S4.p27.5.m5.6.6.3.3.5.3.2">𝐻</ci><ci id="S4.p27.5.m5.6.6.3.3.5.3.3.cmml" xref="S4.p27.5.m5.6.6.3.3.5.3.3">𝑗</ci></apply></apply><vector id="S4.p27.5.m5.6.6.3.3.3.4.cmml" xref="S4.p27.5.m5.6.6.3.3.3.3"><cn id="S4.p27.5.m5.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.p27.5.m5.1.1">1</cn><cn id="S4.p27.5.m5.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.p27.5.m5.2.2">1</cn><cn id="S4.p27.5.m5.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.p27.5.m5.3.3">1</cn><apply id="S4.p27.5.m5.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p27.5.m5.4.4.1.1.1.1.1"><minus id="S4.p27.5.m5.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p27.5.m5.4.4.1.1.1.1.1"></minus><cn id="S4.p27.5.m5.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.p27.5.m5.4.4.1.1.1.1.1.2">1</cn></apply><apply id="S4.p27.5.m5.5.5.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.p27.5.m5.5.5.2.2.2.2.2"><minus id="S4.p27.5.m5.5.5.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.p27.5.m5.5.5.2.2.2.2.2"></minus><cn id="S4.p27.5.m5.5.5.2.2.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.p27.5.m5.5.5.2.2.2.2.2.2">1</cn></apply><apply id="S4.p27.5.m5.6.6.3.3.3.3.3.cmml" xref="S4.p27.5.m5.6.6.3.3.3.3.3"><minus id="S4.p27.5.m5.6.6.3.3.3.3.3.1.cmml" xref="S4.p27.5.m5.6.6.3.3.3.3.3"></minus><cn id="S4.p27.5.m5.6.6.3.3.3.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.p27.5.m5.6.6.3.3.3.3.3.2">1</cn></apply></vector></apply></apply><cn id="S4.p27.5.m5.6.6.5.cmml" type="integer" xref="S4.p27.5.m5.6.6.5">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p27.5.m5.6c">\sum_{j=1}^{3}\tilde{G}_{H_{j}}(1,1,1,-1,-1,-1)=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p27.5.m5.6d">∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT over~ start_ARG italic_G end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_H start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( 1 , 1 , 1 , - 1 , - 1 , - 1 ) = 0</annotation></semantics></math> is equivalent to <math alttext="G_{H_{j}}(\pi(1,1,1,-1,-1,-1))=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p27.6.m6.4"><semantics id="S4.p27.6.m6.4a"><mrow id="S4.p27.6.m6.4.4" xref="S4.p27.6.m6.4.4.cmml"><mrow id="S4.p27.6.m6.4.4.1" xref="S4.p27.6.m6.4.4.1.cmml"><msub id="S4.p27.6.m6.4.4.1.3" xref="S4.p27.6.m6.4.4.1.3.cmml"><mi id="S4.p27.6.m6.4.4.1.3.2" xref="S4.p27.6.m6.4.4.1.3.2.cmml">G</mi><msub id="S4.p27.6.m6.4.4.1.3.3" xref="S4.p27.6.m6.4.4.1.3.3.cmml"><mi id="S4.p27.6.m6.4.4.1.3.3.2" xref="S4.p27.6.m6.4.4.1.3.3.2.cmml">H</mi><mi id="S4.p27.6.m6.4.4.1.3.3.3" xref="S4.p27.6.m6.4.4.1.3.3.3.cmml">j</mi></msub></msub><mo id="S4.p27.6.m6.4.4.1.2" xref="S4.p27.6.m6.4.4.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p27.6.m6.4.4.1.1.1" xref="S4.p27.6.m6.4.4.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.p27.6.m6.4.4.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.p27.6.m6.4.4.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.p27.6.m6.4.4.1.1.1.1" xref="S4.p27.6.m6.4.4.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.p27.6.m6.4.4.1.1.1.1.5" xref="S4.p27.6.m6.4.4.1.1.1.1.5.cmml">π</mi><mo id="S4.p27.6.m6.4.4.1.1.1.1.4" xref="S4.p27.6.m6.4.4.1.1.1.1.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p27.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.3" xref="S4.p27.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.4.cmml"><mo id="S4.p27.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.3.4" stretchy="false" xref="S4.p27.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.4.cmml">(</mo><mn id="S4.p27.6.m6.1.1" xref="S4.p27.6.m6.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.p27.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.3.5" xref="S4.p27.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.4.cmml">,</mo><mn id="S4.p27.6.m6.2.2" xref="S4.p27.6.m6.2.2.cmml">1</mn><mo id="S4.p27.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.3.6" xref="S4.p27.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.4.cmml">,</mo><mn id="S4.p27.6.m6.3.3" xref="S4.p27.6.m6.3.3.cmml">1</mn><mo id="S4.p27.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.3.7" xref="S4.p27.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.4.cmml">,</mo><mrow id="S4.p27.6.m6.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.p27.6.m6.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.p27.6.m6.4.4.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S4.p27.6.m6.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S4.p27.6.m6.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.p27.6.m6.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn></mrow><mo id="S4.p27.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.3.8" xref="S4.p27.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.4.cmml">,</mo><mrow id="S4.p27.6.m6.4.4.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.p27.6.m6.4.4.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mo id="S4.p27.6.m6.4.4.1.1.1.1.2.2.2a" xref="S4.p27.6.m6.4.4.1.1.1.1.2.2.2.cmml">−</mo><mn id="S4.p27.6.m6.4.4.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S4.p27.6.m6.4.4.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">1</mn></mrow><mo id="S4.p27.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.3.9" xref="S4.p27.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.4.cmml">,</mo><mrow id="S4.p27.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.p27.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mo id="S4.p27.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.3.3a" xref="S4.p27.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.3.3.cmml">−</mo><mn id="S4.p27.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S4.p27.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">1</mn></mrow><mo id="S4.p27.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.3.10" stretchy="false" xref="S4.p27.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.p27.6.m6.4.4.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.p27.6.m6.4.4.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.p27.6.m6.4.4.2" xref="S4.p27.6.m6.4.4.2.cmml">=</mo><mn id="S4.p27.6.m6.4.4.3" xref="S4.p27.6.m6.4.4.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p27.6.m6.4b"><apply id="S4.p27.6.m6.4.4.cmml" xref="S4.p27.6.m6.4.4"><eq id="S4.p27.6.m6.4.4.2.cmml" xref="S4.p27.6.m6.4.4.2"></eq><apply id="S4.p27.6.m6.4.4.1.cmml" xref="S4.p27.6.m6.4.4.1"><times id="S4.p27.6.m6.4.4.1.2.cmml" xref="S4.p27.6.m6.4.4.1.2"></times><apply id="S4.p27.6.m6.4.4.1.3.cmml" xref="S4.p27.6.m6.4.4.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p27.6.m6.4.4.1.3.1.cmml" xref="S4.p27.6.m6.4.4.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.p27.6.m6.4.4.1.3.2.cmml" xref="S4.p27.6.m6.4.4.1.3.2">𝐺</ci><apply id="S4.p27.6.m6.4.4.1.3.3.cmml" xref="S4.p27.6.m6.4.4.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p27.6.m6.4.4.1.3.3.1.cmml" xref="S4.p27.6.m6.4.4.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.p27.6.m6.4.4.1.3.3.2.cmml" xref="S4.p27.6.m6.4.4.1.3.3.2">𝐻</ci><ci id="S4.p27.6.m6.4.4.1.3.3.3.cmml" xref="S4.p27.6.m6.4.4.1.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S4.p27.6.m6.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p27.6.m6.4.4.1.1.1"><times id="S4.p27.6.m6.4.4.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.p27.6.m6.4.4.1.1.1.1.4"></times><ci id="S4.p27.6.m6.4.4.1.1.1.1.5.cmml" xref="S4.p27.6.m6.4.4.1.1.1.1.5">𝜋</ci><vector id="S4.p27.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S4.p27.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.3"><cn id="S4.p27.6.m6.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.p27.6.m6.1.1">1</cn><cn id="S4.p27.6.m6.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.p27.6.m6.2.2">1</cn><cn id="S4.p27.6.m6.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.p27.6.m6.3.3">1</cn><apply id="S4.p27.6.m6.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p27.6.m6.4.4.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S4.p27.6.m6.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p27.6.m6.4.4.1.1.1.1.1.1.1"></minus><cn id="S4.p27.6.m6.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.p27.6.m6.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2">1</cn></apply><apply id="S4.p27.6.m6.4.4.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.p27.6.m6.4.4.1.1.1.1.2.2.2"><minus id="S4.p27.6.m6.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.p27.6.m6.4.4.1.1.1.1.2.2.2"></minus><cn id="S4.p27.6.m6.4.4.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.p27.6.m6.4.4.1.1.1.1.2.2.2.2">1</cn></apply><apply id="S4.p27.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.p27.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.3.3"><minus id="S4.p27.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S4.p27.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.3.3"></minus><cn id="S4.p27.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.p27.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.3.3.2">1</cn></apply></vector></apply></apply><cn id="S4.p27.6.m6.4.4.3.cmml" type="integer" xref="S4.p27.6.m6.4.4.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p27.6.m6.4c">G_{H_{j}}(\pi(1,1,1,-1,-1,-1))=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p27.6.m6.4d">italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_H start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( italic_π ( 1 , 1 , 1 , - 1 , - 1 , - 1 ) ) = 0</annotation></semantics></math> for each <math alttext="j" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p27.7.m7.1"><semantics id="S4.p27.7.m7.1a"><mi id="S4.p27.7.m7.1.1" xref="S4.p27.7.m7.1.1.cmml">j</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p27.7.m7.1b"><ci id="S4.p27.7.m7.1.1.cmml" xref="S4.p27.7.m7.1.1">𝑗</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p27.7.m7.1c">j</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p27.7.m7.1d">italic_j</annotation></semantics></math> and each <math alttext="\pi" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p27.8.m8.1"><semantics id="S4.p27.8.m8.1a"><mi id="S4.p27.8.m8.1.1" xref="S4.p27.8.m8.1.1.cmml">π</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p27.8.m8.1b"><ci id="S4.p27.8.m8.1.1.cmml" xref="S4.p27.8.m8.1.1">𝜋</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p27.8.m8.1c">\pi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p27.8.m8.1d">italic_π</annotation></semantics></math>, which is the first statement of the conjecture.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.p28"> <p class="ltx_p" id="S4.p28.4">Consider now the sum <math alttext="\tilde{G}_{H_{1}}(\gamma_{2})\tilde{G}_{H_{2}}(\gamma_{2})+\tilde{G}_{H_{2}}(% \gamma_{2})\tilde{G}_{H_{3}}(\gamma_{2})+\tilde{G}_{H_{3}}(\gamma_{2})\tilde{G% }_{H_{1}}(\gamma_{2})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p28.1.m1.6"><semantics id="S4.p28.1.m1.6a"><mrow id="S4.p28.1.m1.6.6" xref="S4.p28.1.m1.6.6.cmml"><mrow id="S4.p28.1.m1.2.2.2" xref="S4.p28.1.m1.2.2.2.cmml"><msub id="S4.p28.1.m1.2.2.2.4" xref="S4.p28.1.m1.2.2.2.4.cmml"><mover accent="true" id="S4.p28.1.m1.2.2.2.4.2" xref="S4.p28.1.m1.2.2.2.4.2.cmml"><mi id="S4.p28.1.m1.2.2.2.4.2.2" xref="S4.p28.1.m1.2.2.2.4.2.2.cmml">G</mi><mo id="S4.p28.1.m1.2.2.2.4.2.1" xref="S4.p28.1.m1.2.2.2.4.2.1.cmml">~</mo></mover><msub id="S4.p28.1.m1.2.2.2.4.3" xref="S4.p28.1.m1.2.2.2.4.3.cmml"><mi id="S4.p28.1.m1.2.2.2.4.3.2" xref="S4.p28.1.m1.2.2.2.4.3.2.cmml">H</mi><mn id="S4.p28.1.m1.2.2.2.4.3.3" xref="S4.p28.1.m1.2.2.2.4.3.3.cmml">1</mn></msub></msub><mo id="S4.p28.1.m1.2.2.2.3" xref="S4.p28.1.m1.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p28.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.p28.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.p28.1.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.p28.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.p28.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.p28.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.p28.1.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.p28.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">γ</mi><mn id="S4.p28.1.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.p28.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S4.p28.1.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.p28.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.p28.1.m1.2.2.2.3a" xref="S4.p28.1.m1.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><msub id="S4.p28.1.m1.2.2.2.5" xref="S4.p28.1.m1.2.2.2.5.cmml"><mover accent="true" id="S4.p28.1.m1.2.2.2.5.2" xref="S4.p28.1.m1.2.2.2.5.2.cmml"><mi id="S4.p28.1.m1.2.2.2.5.2.2" xref="S4.p28.1.m1.2.2.2.5.2.2.cmml">G</mi><mo id="S4.p28.1.m1.2.2.2.5.2.1" xref="S4.p28.1.m1.2.2.2.5.2.1.cmml">~</mo></mover><msub id="S4.p28.1.m1.2.2.2.5.3" xref="S4.p28.1.m1.2.2.2.5.3.cmml"><mi id="S4.p28.1.m1.2.2.2.5.3.2" xref="S4.p28.1.m1.2.2.2.5.3.2.cmml">H</mi><mn id="S4.p28.1.m1.2.2.2.5.3.3" xref="S4.p28.1.m1.2.2.2.5.3.3.cmml">2</mn></msub></msub><mo id="S4.p28.1.m1.2.2.2.3b" xref="S4.p28.1.m1.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p28.1.m1.2.2.2.2.1" xref="S4.p28.1.m1.2.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="S4.p28.1.m1.2.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S4.p28.1.m1.2.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.p28.1.m1.2.2.2.2.1.1" xref="S4.p28.1.m1.2.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S4.p28.1.m1.2.2.2.2.1.1.2" xref="S4.p28.1.m1.2.2.2.2.1.1.2.cmml">γ</mi><mn id="S4.p28.1.m1.2.2.2.2.1.1.3" xref="S4.p28.1.m1.2.2.2.2.1.1.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S4.p28.1.m1.2.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S4.p28.1.m1.2.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.p28.1.m1.6.6.7" xref="S4.p28.1.m1.6.6.7.cmml">+</mo><mrow id="S4.p28.1.m1.4.4.4" xref="S4.p28.1.m1.4.4.4.cmml"><msub id="S4.p28.1.m1.4.4.4.4" xref="S4.p28.1.m1.4.4.4.4.cmml"><mover accent="true" id="S4.p28.1.m1.4.4.4.4.2" xref="S4.p28.1.m1.4.4.4.4.2.cmml"><mi id="S4.p28.1.m1.4.4.4.4.2.2" xref="S4.p28.1.m1.4.4.4.4.2.2.cmml">G</mi><mo id="S4.p28.1.m1.4.4.4.4.2.1" xref="S4.p28.1.m1.4.4.4.4.2.1.cmml">~</mo></mover><msub id="S4.p28.1.m1.4.4.4.4.3" xref="S4.p28.1.m1.4.4.4.4.3.cmml"><mi id="S4.p28.1.m1.4.4.4.4.3.2" xref="S4.p28.1.m1.4.4.4.4.3.2.cmml">H</mi><mn id="S4.p28.1.m1.4.4.4.4.3.3" xref="S4.p28.1.m1.4.4.4.4.3.3.cmml">2</mn></msub></msub><mo id="S4.p28.1.m1.4.4.4.3" xref="S4.p28.1.m1.4.4.4.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p28.1.m1.3.3.3.1.1" xref="S4.p28.1.m1.3.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="S4.p28.1.m1.3.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.p28.1.m1.3.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.p28.1.m1.3.3.3.1.1.1" xref="S4.p28.1.m1.3.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S4.p28.1.m1.3.3.3.1.1.1.2" xref="S4.p28.1.m1.3.3.3.1.1.1.2.cmml">γ</mi><mn id="S4.p28.1.m1.3.3.3.1.1.1.3" xref="S4.p28.1.m1.3.3.3.1.1.1.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S4.p28.1.m1.3.3.3.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.p28.1.m1.3.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.p28.1.m1.4.4.4.3a" xref="S4.p28.1.m1.4.4.4.3.cmml">⁢</mo><msub id="S4.p28.1.m1.4.4.4.5" xref="S4.p28.1.m1.4.4.4.5.cmml"><mover accent="true" id="S4.p28.1.m1.4.4.4.5.2" xref="S4.p28.1.m1.4.4.4.5.2.cmml"><mi id="S4.p28.1.m1.4.4.4.5.2.2" xref="S4.p28.1.m1.4.4.4.5.2.2.cmml">G</mi><mo id="S4.p28.1.m1.4.4.4.5.2.1" xref="S4.p28.1.m1.4.4.4.5.2.1.cmml">~</mo></mover><msub id="S4.p28.1.m1.4.4.4.5.3" xref="S4.p28.1.m1.4.4.4.5.3.cmml"><mi id="S4.p28.1.m1.4.4.4.5.3.2" xref="S4.p28.1.m1.4.4.4.5.3.2.cmml">H</mi><mn id="S4.p28.1.m1.4.4.4.5.3.3" xref="S4.p28.1.m1.4.4.4.5.3.3.cmml">3</mn></msub></msub><mo id="S4.p28.1.m1.4.4.4.3b" xref="S4.p28.1.m1.4.4.4.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p28.1.m1.4.4.4.2.1" xref="S4.p28.1.m1.4.4.4.2.1.1.cmml"><mo id="S4.p28.1.m1.4.4.4.2.1.2" stretchy="false" xref="S4.p28.1.m1.4.4.4.2.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.p28.1.m1.4.4.4.2.1.1" xref="S4.p28.1.m1.4.4.4.2.1.1.cmml"><mi id="S4.p28.1.m1.4.4.4.2.1.1.2" xref="S4.p28.1.m1.4.4.4.2.1.1.2.cmml">γ</mi><mn id="S4.p28.1.m1.4.4.4.2.1.1.3" xref="S4.p28.1.m1.4.4.4.2.1.1.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S4.p28.1.m1.4.4.4.2.1.3" stretchy="false" xref="S4.p28.1.m1.4.4.4.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.p28.1.m1.6.6.7a" xref="S4.p28.1.m1.6.6.7.cmml">+</mo><mrow id="S4.p28.1.m1.6.6.6" xref="S4.p28.1.m1.6.6.6.cmml"><msub id="S4.p28.1.m1.6.6.6.4" xref="S4.p28.1.m1.6.6.6.4.cmml"><mover accent="true" id="S4.p28.1.m1.6.6.6.4.2" xref="S4.p28.1.m1.6.6.6.4.2.cmml"><mi id="S4.p28.1.m1.6.6.6.4.2.2" xref="S4.p28.1.m1.6.6.6.4.2.2.cmml">G</mi><mo id="S4.p28.1.m1.6.6.6.4.2.1" xref="S4.p28.1.m1.6.6.6.4.2.1.cmml">~</mo></mover><msub id="S4.p28.1.m1.6.6.6.4.3" xref="S4.p28.1.m1.6.6.6.4.3.cmml"><mi id="S4.p28.1.m1.6.6.6.4.3.2" xref="S4.p28.1.m1.6.6.6.4.3.2.cmml">H</mi><mn id="S4.p28.1.m1.6.6.6.4.3.3" xref="S4.p28.1.m1.6.6.6.4.3.3.cmml">3</mn></msub></msub><mo id="S4.p28.1.m1.6.6.6.3" xref="S4.p28.1.m1.6.6.6.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p28.1.m1.5.5.5.1.1" xref="S4.p28.1.m1.5.5.5.1.1.1.cmml"><mo id="S4.p28.1.m1.5.5.5.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.p28.1.m1.5.5.5.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.p28.1.m1.5.5.5.1.1.1" xref="S4.p28.1.m1.5.5.5.1.1.1.cmml"><mi id="S4.p28.1.m1.5.5.5.1.1.1.2" xref="S4.p28.1.m1.5.5.5.1.1.1.2.cmml">γ</mi><mn id="S4.p28.1.m1.5.5.5.1.1.1.3" xref="S4.p28.1.m1.5.5.5.1.1.1.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S4.p28.1.m1.5.5.5.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.p28.1.m1.5.5.5.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.p28.1.m1.6.6.6.3a" xref="S4.p28.1.m1.6.6.6.3.cmml">⁢</mo><msub id="S4.p28.1.m1.6.6.6.5" xref="S4.p28.1.m1.6.6.6.5.cmml"><mover accent="true" id="S4.p28.1.m1.6.6.6.5.2" xref="S4.p28.1.m1.6.6.6.5.2.cmml"><mi id="S4.p28.1.m1.6.6.6.5.2.2" xref="S4.p28.1.m1.6.6.6.5.2.2.cmml">G</mi><mo id="S4.p28.1.m1.6.6.6.5.2.1" xref="S4.p28.1.m1.6.6.6.5.2.1.cmml">~</mo></mover><msub id="S4.p28.1.m1.6.6.6.5.3" xref="S4.p28.1.m1.6.6.6.5.3.cmml"><mi id="S4.p28.1.m1.6.6.6.5.3.2" xref="S4.p28.1.m1.6.6.6.5.3.2.cmml">H</mi><mn id="S4.p28.1.m1.6.6.6.5.3.3" xref="S4.p28.1.m1.6.6.6.5.3.3.cmml">1</mn></msub></msub><mo id="S4.p28.1.m1.6.6.6.3b" xref="S4.p28.1.m1.6.6.6.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p28.1.m1.6.6.6.2.1" xref="S4.p28.1.m1.6.6.6.2.1.1.cmml"><mo id="S4.p28.1.m1.6.6.6.2.1.2" stretchy="false" xref="S4.p28.1.m1.6.6.6.2.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.p28.1.m1.6.6.6.2.1.1" xref="S4.p28.1.m1.6.6.6.2.1.1.cmml"><mi id="S4.p28.1.m1.6.6.6.2.1.1.2" xref="S4.p28.1.m1.6.6.6.2.1.1.2.cmml">γ</mi><mn id="S4.p28.1.m1.6.6.6.2.1.1.3" xref="S4.p28.1.m1.6.6.6.2.1.1.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S4.p28.1.m1.6.6.6.2.1.3" stretchy="false" xref="S4.p28.1.m1.6.6.6.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p28.1.m1.6b"><apply id="S4.p28.1.m1.6.6.cmml" xref="S4.p28.1.m1.6.6"><plus id="S4.p28.1.m1.6.6.7.cmml" xref="S4.p28.1.m1.6.6.7"></plus><apply id="S4.p28.1.m1.2.2.2.cmml" xref="S4.p28.1.m1.2.2.2"><times id="S4.p28.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.p28.1.m1.2.2.2.3"></times><apply id="S4.p28.1.m1.2.2.2.4.cmml" xref="S4.p28.1.m1.2.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p28.1.m1.2.2.2.4.1.cmml" xref="S4.p28.1.m1.2.2.2.4">subscript</csymbol><apply id="S4.p28.1.m1.2.2.2.4.2.cmml" xref="S4.p28.1.m1.2.2.2.4.2"><ci id="S4.p28.1.m1.2.2.2.4.2.1.cmml" xref="S4.p28.1.m1.2.2.2.4.2.1">~</ci><ci id="S4.p28.1.m1.2.2.2.4.2.2.cmml" xref="S4.p28.1.m1.2.2.2.4.2.2">𝐺</ci></apply><apply id="S4.p28.1.m1.2.2.2.4.3.cmml" xref="S4.p28.1.m1.2.2.2.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p28.1.m1.2.2.2.4.3.1.cmml" xref="S4.p28.1.m1.2.2.2.4.3">subscript</csymbol><ci id="S4.p28.1.m1.2.2.2.4.3.2.cmml" xref="S4.p28.1.m1.2.2.2.4.3.2">𝐻</ci><cn id="S4.p28.1.m1.2.2.2.4.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.p28.1.m1.2.2.2.4.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.p28.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p28.1.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p28.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p28.1.m1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.p28.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.p28.1.m1.1.1.1.1.1.1.2">𝛾</ci><cn id="S4.p28.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.p28.1.m1.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply><apply id="S4.p28.1.m1.2.2.2.5.cmml" xref="S4.p28.1.m1.2.2.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p28.1.m1.2.2.2.5.1.cmml" xref="S4.p28.1.m1.2.2.2.5">subscript</csymbol><apply id="S4.p28.1.m1.2.2.2.5.2.cmml" xref="S4.p28.1.m1.2.2.2.5.2"><ci id="S4.p28.1.m1.2.2.2.5.2.1.cmml" xref="S4.p28.1.m1.2.2.2.5.2.1">~</ci><ci id="S4.p28.1.m1.2.2.2.5.2.2.cmml" xref="S4.p28.1.m1.2.2.2.5.2.2">𝐺</ci></apply><apply id="S4.p28.1.m1.2.2.2.5.3.cmml" xref="S4.p28.1.m1.2.2.2.5.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p28.1.m1.2.2.2.5.3.1.cmml" xref="S4.p28.1.m1.2.2.2.5.3">subscript</csymbol><ci id="S4.p28.1.m1.2.2.2.5.3.2.cmml" xref="S4.p28.1.m1.2.2.2.5.3.2">𝐻</ci><cn id="S4.p28.1.m1.2.2.2.5.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.p28.1.m1.2.2.2.5.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S4.p28.1.m1.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S4.p28.1.m1.2.2.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p28.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.p28.1.m1.2.2.2.2.1">subscript</csymbol><ci id="S4.p28.1.m1.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.p28.1.m1.2.2.2.2.1.1.2">𝛾</ci><cn id="S4.p28.1.m1.2.2.2.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.p28.1.m1.2.2.2.2.1.1.3">2</cn></apply></apply><apply id="S4.p28.1.m1.4.4.4.cmml" xref="S4.p28.1.m1.4.4.4"><times id="S4.p28.1.m1.4.4.4.3.cmml" xref="S4.p28.1.m1.4.4.4.3"></times><apply id="S4.p28.1.m1.4.4.4.4.cmml" xref="S4.p28.1.m1.4.4.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p28.1.m1.4.4.4.4.1.cmml" xref="S4.p28.1.m1.4.4.4.4">subscript</csymbol><apply id="S4.p28.1.m1.4.4.4.4.2.cmml" xref="S4.p28.1.m1.4.4.4.4.2"><ci id="S4.p28.1.m1.4.4.4.4.2.1.cmml" xref="S4.p28.1.m1.4.4.4.4.2.1">~</ci><ci id="S4.p28.1.m1.4.4.4.4.2.2.cmml" xref="S4.p28.1.m1.4.4.4.4.2.2">𝐺</ci></apply><apply id="S4.p28.1.m1.4.4.4.4.3.cmml" xref="S4.p28.1.m1.4.4.4.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p28.1.m1.4.4.4.4.3.1.cmml" xref="S4.p28.1.m1.4.4.4.4.3">subscript</csymbol><ci id="S4.p28.1.m1.4.4.4.4.3.2.cmml" xref="S4.p28.1.m1.4.4.4.4.3.2">𝐻</ci><cn id="S4.p28.1.m1.4.4.4.4.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.p28.1.m1.4.4.4.4.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S4.p28.1.m1.3.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.p28.1.m1.3.3.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p28.1.m1.3.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p28.1.m1.3.3.3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.p28.1.m1.3.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S4.p28.1.m1.3.3.3.1.1.1.2">𝛾</ci><cn id="S4.p28.1.m1.3.3.3.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.p28.1.m1.3.3.3.1.1.1.3">2</cn></apply><apply id="S4.p28.1.m1.4.4.4.5.cmml" xref="S4.p28.1.m1.4.4.4.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p28.1.m1.4.4.4.5.1.cmml" xref="S4.p28.1.m1.4.4.4.5">subscript</csymbol><apply id="S4.p28.1.m1.4.4.4.5.2.cmml" xref="S4.p28.1.m1.4.4.4.5.2"><ci id="S4.p28.1.m1.4.4.4.5.2.1.cmml" xref="S4.p28.1.m1.4.4.4.5.2.1">~</ci><ci id="S4.p28.1.m1.4.4.4.5.2.2.cmml" xref="S4.p28.1.m1.4.4.4.5.2.2">𝐺</ci></apply><apply id="S4.p28.1.m1.4.4.4.5.3.cmml" xref="S4.p28.1.m1.4.4.4.5.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p28.1.m1.4.4.4.5.3.1.cmml" xref="S4.p28.1.m1.4.4.4.5.3">subscript</csymbol><ci id="S4.p28.1.m1.4.4.4.5.3.2.cmml" xref="S4.p28.1.m1.4.4.4.5.3.2">𝐻</ci><cn id="S4.p28.1.m1.4.4.4.5.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.p28.1.m1.4.4.4.5.3.3">3</cn></apply></apply><apply id="S4.p28.1.m1.4.4.4.2.1.1.cmml" xref="S4.p28.1.m1.4.4.4.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p28.1.m1.4.4.4.2.1.1.1.cmml" xref="S4.p28.1.m1.4.4.4.2.1">subscript</csymbol><ci id="S4.p28.1.m1.4.4.4.2.1.1.2.cmml" xref="S4.p28.1.m1.4.4.4.2.1.1.2">𝛾</ci><cn id="S4.p28.1.m1.4.4.4.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.p28.1.m1.4.4.4.2.1.1.3">2</cn></apply></apply><apply id="S4.p28.1.m1.6.6.6.cmml" xref="S4.p28.1.m1.6.6.6"><times id="S4.p28.1.m1.6.6.6.3.cmml" xref="S4.p28.1.m1.6.6.6.3"></times><apply id="S4.p28.1.m1.6.6.6.4.cmml" xref="S4.p28.1.m1.6.6.6.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p28.1.m1.6.6.6.4.1.cmml" xref="S4.p28.1.m1.6.6.6.4">subscript</csymbol><apply id="S4.p28.1.m1.6.6.6.4.2.cmml" xref="S4.p28.1.m1.6.6.6.4.2"><ci id="S4.p28.1.m1.6.6.6.4.2.1.cmml" xref="S4.p28.1.m1.6.6.6.4.2.1">~</ci><ci id="S4.p28.1.m1.6.6.6.4.2.2.cmml" xref="S4.p28.1.m1.6.6.6.4.2.2">𝐺</ci></apply><apply id="S4.p28.1.m1.6.6.6.4.3.cmml" xref="S4.p28.1.m1.6.6.6.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p28.1.m1.6.6.6.4.3.1.cmml" xref="S4.p28.1.m1.6.6.6.4.3">subscript</csymbol><ci id="S4.p28.1.m1.6.6.6.4.3.2.cmml" xref="S4.p28.1.m1.6.6.6.4.3.2">𝐻</ci><cn id="S4.p28.1.m1.6.6.6.4.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.p28.1.m1.6.6.6.4.3.3">3</cn></apply></apply><apply id="S4.p28.1.m1.5.5.5.1.1.1.cmml" xref="S4.p28.1.m1.5.5.5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p28.1.m1.5.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p28.1.m1.5.5.5.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.p28.1.m1.5.5.5.1.1.1.2.cmml" xref="S4.p28.1.m1.5.5.5.1.1.1.2">𝛾</ci><cn id="S4.p28.1.m1.5.5.5.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.p28.1.m1.5.5.5.1.1.1.3">2</cn></apply><apply id="S4.p28.1.m1.6.6.6.5.cmml" xref="S4.p28.1.m1.6.6.6.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p28.1.m1.6.6.6.5.1.cmml" xref="S4.p28.1.m1.6.6.6.5">subscript</csymbol><apply id="S4.p28.1.m1.6.6.6.5.2.cmml" xref="S4.p28.1.m1.6.6.6.5.2"><ci id="S4.p28.1.m1.6.6.6.5.2.1.cmml" xref="S4.p28.1.m1.6.6.6.5.2.1">~</ci><ci id="S4.p28.1.m1.6.6.6.5.2.2.cmml" xref="S4.p28.1.m1.6.6.6.5.2.2">𝐺</ci></apply><apply id="S4.p28.1.m1.6.6.6.5.3.cmml" xref="S4.p28.1.m1.6.6.6.5.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p28.1.m1.6.6.6.5.3.1.cmml" xref="S4.p28.1.m1.6.6.6.5.3">subscript</csymbol><ci id="S4.p28.1.m1.6.6.6.5.3.2.cmml" xref="S4.p28.1.m1.6.6.6.5.3.2">𝐻</ci><cn id="S4.p28.1.m1.6.6.6.5.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.p28.1.m1.6.6.6.5.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.p28.1.m1.6.6.6.2.1.1.cmml" xref="S4.p28.1.m1.6.6.6.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p28.1.m1.6.6.6.2.1.1.1.cmml" xref="S4.p28.1.m1.6.6.6.2.1">subscript</csymbol><ci id="S4.p28.1.m1.6.6.6.2.1.1.2.cmml" xref="S4.p28.1.m1.6.6.6.2.1.1.2">𝛾</ci><cn id="S4.p28.1.m1.6.6.6.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.p28.1.m1.6.6.6.2.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p28.1.m1.6c">\tilde{G}_{H_{1}}(\gamma_{2})\tilde{G}_{H_{2}}(\gamma_{2})+\tilde{G}_{H_{2}}(% \gamma_{2})\tilde{G}_{H_{3}}(\gamma_{2})+\tilde{G}_{H_{3}}(\gamma_{2})\tilde{G% }_{H_{1}}(\gamma_{2})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p28.1.m1.6d">over~ start_ARG italic_G end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_H start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( italic_γ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) over~ start_ARG italic_G end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_H start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( italic_γ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) + over~ start_ARG italic_G end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_H start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( italic_γ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) over~ start_ARG italic_G end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_H start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( italic_γ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) + over~ start_ARG italic_G end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_H start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( italic_γ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) over~ start_ARG italic_G end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_H start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( italic_γ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math>, for the case <math alttext="\gamma_{2}=(3,3,3,-3,-3,-3)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p28.2.m2.6"><semantics id="S4.p28.2.m2.6a"><mrow id="S4.p28.2.m2.6.6" xref="S4.p28.2.m2.6.6.cmml"><msub id="S4.p28.2.m2.6.6.5" xref="S4.p28.2.m2.6.6.5.cmml"><mi id="S4.p28.2.m2.6.6.5.2" xref="S4.p28.2.m2.6.6.5.2.cmml">γ</mi><mn id="S4.p28.2.m2.6.6.5.3" xref="S4.p28.2.m2.6.6.5.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S4.p28.2.m2.6.6.4" xref="S4.p28.2.m2.6.6.4.cmml">=</mo><mrow id="S4.p28.2.m2.6.6.3.3" xref="S4.p28.2.m2.6.6.3.4.cmml"><mo id="S4.p28.2.m2.6.6.3.3.4" stretchy="false" xref="S4.p28.2.m2.6.6.3.4.cmml">(</mo><mn id="S4.p28.2.m2.1.1" xref="S4.p28.2.m2.1.1.cmml">3</mn><mo id="S4.p28.2.m2.6.6.3.3.5" xref="S4.p28.2.m2.6.6.3.4.cmml">,</mo><mn id="S4.p28.2.m2.2.2" xref="S4.p28.2.m2.2.2.cmml">3</mn><mo id="S4.p28.2.m2.6.6.3.3.6" xref="S4.p28.2.m2.6.6.3.4.cmml">,</mo><mn id="S4.p28.2.m2.3.3" xref="S4.p28.2.m2.3.3.cmml">3</mn><mo id="S4.p28.2.m2.6.6.3.3.7" xref="S4.p28.2.m2.6.6.3.4.cmml">,</mo><mrow id="S4.p28.2.m2.4.4.1.1.1" xref="S4.p28.2.m2.4.4.1.1.1.cmml"><mo id="S4.p28.2.m2.4.4.1.1.1a" xref="S4.p28.2.m2.4.4.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S4.p28.2.m2.4.4.1.1.1.2" xref="S4.p28.2.m2.4.4.1.1.1.2.cmml">3</mn></mrow><mo id="S4.p28.2.m2.6.6.3.3.8" xref="S4.p28.2.m2.6.6.3.4.cmml">,</mo><mrow id="S4.p28.2.m2.5.5.2.2.2" xref="S4.p28.2.m2.5.5.2.2.2.cmml"><mo id="S4.p28.2.m2.5.5.2.2.2a" xref="S4.p28.2.m2.5.5.2.2.2.cmml">−</mo><mn id="S4.p28.2.m2.5.5.2.2.2.2" xref="S4.p28.2.m2.5.5.2.2.2.2.cmml">3</mn></mrow><mo id="S4.p28.2.m2.6.6.3.3.9" xref="S4.p28.2.m2.6.6.3.4.cmml">,</mo><mrow id="S4.p28.2.m2.6.6.3.3.3" xref="S4.p28.2.m2.6.6.3.3.3.cmml"><mo id="S4.p28.2.m2.6.6.3.3.3a" xref="S4.p28.2.m2.6.6.3.3.3.cmml">−</mo><mn id="S4.p28.2.m2.6.6.3.3.3.2" xref="S4.p28.2.m2.6.6.3.3.3.2.cmml">3</mn></mrow><mo id="S4.p28.2.m2.6.6.3.3.10" stretchy="false" xref="S4.p28.2.m2.6.6.3.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p28.2.m2.6b"><apply id="S4.p28.2.m2.6.6.cmml" xref="S4.p28.2.m2.6.6"><eq id="S4.p28.2.m2.6.6.4.cmml" xref="S4.p28.2.m2.6.6.4"></eq><apply id="S4.p28.2.m2.6.6.5.cmml" xref="S4.p28.2.m2.6.6.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p28.2.m2.6.6.5.1.cmml" xref="S4.p28.2.m2.6.6.5">subscript</csymbol><ci id="S4.p28.2.m2.6.6.5.2.cmml" xref="S4.p28.2.m2.6.6.5.2">𝛾</ci><cn id="S4.p28.2.m2.6.6.5.3.cmml" type="integer" xref="S4.p28.2.m2.6.6.5.3">2</cn></apply><vector id="S4.p28.2.m2.6.6.3.4.cmml" xref="S4.p28.2.m2.6.6.3.3"><cn id="S4.p28.2.m2.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.p28.2.m2.1.1">3</cn><cn id="S4.p28.2.m2.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.p28.2.m2.2.2">3</cn><cn id="S4.p28.2.m2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.p28.2.m2.3.3">3</cn><apply id="S4.p28.2.m2.4.4.1.1.1.cmml" xref="S4.p28.2.m2.4.4.1.1.1"><minus id="S4.p28.2.m2.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p28.2.m2.4.4.1.1.1"></minus><cn id="S4.p28.2.m2.4.4.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.p28.2.m2.4.4.1.1.1.2">3</cn></apply><apply id="S4.p28.2.m2.5.5.2.2.2.cmml" xref="S4.p28.2.m2.5.5.2.2.2"><minus id="S4.p28.2.m2.5.5.2.2.2.1.cmml" xref="S4.p28.2.m2.5.5.2.2.2"></minus><cn id="S4.p28.2.m2.5.5.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.p28.2.m2.5.5.2.2.2.2">3</cn></apply><apply id="S4.p28.2.m2.6.6.3.3.3.cmml" xref="S4.p28.2.m2.6.6.3.3.3"><minus id="S4.p28.2.m2.6.6.3.3.3.1.cmml" xref="S4.p28.2.m2.6.6.3.3.3"></minus><cn id="S4.p28.2.m2.6.6.3.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.p28.2.m2.6.6.3.3.3.2">3</cn></apply></vector></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p28.2.m2.6c">\gamma_{2}=(3,3,3,-3,-3,-3)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p28.2.m2.6d">italic_γ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT = ( 3 , 3 , 3 , - 3 , - 3 , - 3 )</annotation></semantics></math>. Due to each term being nonnegative, this expression is zero if and only if <math alttext="\tilde{G}_{H_{j}}(\gamma_{2})=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p28.3.m3.1"><semantics id="S4.p28.3.m3.1a"><mrow id="S4.p28.3.m3.1.1" xref="S4.p28.3.m3.1.1.cmml"><mrow id="S4.p28.3.m3.1.1.1" xref="S4.p28.3.m3.1.1.1.cmml"><msub id="S4.p28.3.m3.1.1.1.3" xref="S4.p28.3.m3.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S4.p28.3.m3.1.1.1.3.2" xref="S4.p28.3.m3.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.p28.3.m3.1.1.1.3.2.2" xref="S4.p28.3.m3.1.1.1.3.2.2.cmml">G</mi><mo id="S4.p28.3.m3.1.1.1.3.2.1" xref="S4.p28.3.m3.1.1.1.3.2.1.cmml">~</mo></mover><msub id="S4.p28.3.m3.1.1.1.3.3" xref="S4.p28.3.m3.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.p28.3.m3.1.1.1.3.3.2" xref="S4.p28.3.m3.1.1.1.3.3.2.cmml">H</mi><mi id="S4.p28.3.m3.1.1.1.3.3.3" xref="S4.p28.3.m3.1.1.1.3.3.3.cmml">j</mi></msub></msub><mo id="S4.p28.3.m3.1.1.1.2" xref="S4.p28.3.m3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p28.3.m3.1.1.1.1.1" xref="S4.p28.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.p28.3.m3.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.p28.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.p28.3.m3.1.1.1.1.1.1" xref="S4.p28.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.p28.3.m3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.p28.3.m3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">γ</mi><mn id="S4.p28.3.m3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.p28.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S4.p28.3.m3.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.p28.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.p28.3.m3.1.1.2" xref="S4.p28.3.m3.1.1.2.cmml">=</mo><mn id="S4.p28.3.m3.1.1.3" xref="S4.p28.3.m3.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p28.3.m3.1b"><apply id="S4.p28.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.p28.3.m3.1.1"><eq id="S4.p28.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S4.p28.3.m3.1.1.2"></eq><apply id="S4.p28.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S4.p28.3.m3.1.1.1"><times id="S4.p28.3.m3.1.1.1.2.cmml" xref="S4.p28.3.m3.1.1.1.2"></times><apply id="S4.p28.3.m3.1.1.1.3.cmml" xref="S4.p28.3.m3.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p28.3.m3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.p28.3.m3.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S4.p28.3.m3.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.p28.3.m3.1.1.1.3.2"><ci id="S4.p28.3.m3.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.p28.3.m3.1.1.1.3.2.1">~</ci><ci id="S4.p28.3.m3.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.p28.3.m3.1.1.1.3.2.2">𝐺</ci></apply><apply id="S4.p28.3.m3.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.p28.3.m3.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p28.3.m3.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.p28.3.m3.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.p28.3.m3.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.p28.3.m3.1.1.1.3.3.2">𝐻</ci><ci id="S4.p28.3.m3.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.p28.3.m3.1.1.1.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S4.p28.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p28.3.m3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p28.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p28.3.m3.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.p28.3.m3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.p28.3.m3.1.1.1.1.1.1.2">𝛾</ci><cn id="S4.p28.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.p28.3.m3.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply><cn id="S4.p28.3.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.p28.3.m3.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p28.3.m3.1c">\tilde{G}_{H_{j}}(\gamma_{2})=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p28.3.m3.1d">over~ start_ARG italic_G end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_H start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( italic_γ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) = 0</annotation></semantics></math> for at least two indices <math alttext="j" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p28.4.m4.1"><semantics id="S4.p28.4.m4.1a"><mi id="S4.p28.4.m4.1.1" xref="S4.p28.4.m4.1.1.cmml">j</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p28.4.m4.1b"><ci id="S4.p28.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.p28.4.m4.1.1">𝑗</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p28.4.m4.1c">j</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p28.4.m4.1d">italic_j</annotation></semantics></math>, and this is equivalent to the second statement of the conjecture.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.p29"> <p class="ltx_p" id="S4.p29.1">In summary, Conjecture <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#Thmconjecture2" title="Conjecture 2. ‣ 4. Hadamard cubes in dimension 6 ‣ Triplets of Mutually Unbiased Bases"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a> is equivalent to the following algebraic identity:</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.p30"> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E7"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(4.7)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\tilde{G}_{H_{1}}(\gamma_{1})+\tilde{G}_{H_{2}}(\gamma_{1})+\tilde{G}_{H_{3}}(% \gamma_{1})+\tilde{G}_{H_{1}}(\gamma_{2})\tilde{G}_{H_{2}}(\gamma_{2})+\tilde{% G}_{H_{2}}(\gamma_{2})\tilde{G}_{H_{3}}(\gamma_{2})+\tilde{G}_{H_{3}}(\gamma_{% 2})\tilde{G}_{H_{1}}(\gamma_{2})=0," class="ltx_Math" display="block" id="S4.E7.m1.1"><semantics id="S4.E7.m1.1a"><mrow id="S4.E7.m1.1.1.1" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E7.m1.1.1.1.1" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E7.m1.1.1.1.1.9" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.9.cmml"><mrow id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">G</mi><mo id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">~</mo></mover><msub id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">H</mi><mn id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></msub></msub><mo id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">γ</mi><mn id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E7.m1.1.1.1.1.9.10" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.9.10.cmml">+</mo><mrow id="S4.E7.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><msub id="S4.E7.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mover accent="true" id="S4.E7.m1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml"><mi id="S4.E7.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.cmml">G</mi><mo id="S4.E7.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.1" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.1.cmml">~</mo></mover><msub id="S4.E7.m1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml"><mi id="S4.E7.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.cmml">H</mi><mn id="S4.E7.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.3" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.3.cmml">2</mn></msub></msub><mo id="S4.E7.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E7.m1.1.1.1.1.2.2.1.1" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E7.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.E7.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E7.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml">γ</mi><mn id="S4.E7.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.E7.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E7.m1.1.1.1.1.9.10a" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.9.10.cmml">+</mo><mrow id="S4.E7.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"><msub id="S4.E7.m1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mover accent="true" id="S4.E7.m1.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml"><mi id="S4.E7.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.2" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.2.cmml">G</mi><mo id="S4.E7.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.1" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.1.cmml">~</mo></mover><msub id="S4.E7.m1.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml"><mi id="S4.E7.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.2" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.2.cmml">H</mi><mn id="S4.E7.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.cmml">3</mn></msub></msub><mo id="S4.E7.m1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E7.m1.1.1.1.1.3.3.1.1" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E7.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.E7.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E7.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.cmml">γ</mi><mn id="S4.E7.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.E7.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E7.m1.1.1.1.1.9.10b" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.9.10.cmml">+</mo><mrow id="S4.E7.m1.1.1.1.1.5.5" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.5.5.cmml"><msub id="S4.E7.m1.1.1.1.1.5.5.4" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.5.5.4.cmml"><mover accent="true" id="S4.E7.m1.1.1.1.1.5.5.4.2" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.5.5.4.2.cmml"><mi id="S4.E7.m1.1.1.1.1.5.5.4.2.2" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.5.5.4.2.2.cmml">G</mi><mo id="S4.E7.m1.1.1.1.1.5.5.4.2.1" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.5.5.4.2.1.cmml">~</mo></mover><msub id="S4.E7.m1.1.1.1.1.5.5.4.3" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.5.5.4.3.cmml"><mi id="S4.E7.m1.1.1.1.1.5.5.4.3.2" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.5.5.4.3.2.cmml">H</mi><mn id="S4.E7.m1.1.1.1.1.5.5.4.3.3" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.5.5.4.3.3.cmml">1</mn></msub></msub><mo id="S4.E7.m1.1.1.1.1.5.5.3" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.5.5.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E7.m1.1.1.1.1.4.4.1.1" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.4.4.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E7.m1.1.1.1.1.4.4.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.4.4.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.E7.m1.1.1.1.1.4.4.1.1.1" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.4.4.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E7.m1.1.1.1.1.4.4.1.1.1.2" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.4.4.1.1.1.2.cmml">γ</mi><mn id="S4.E7.m1.1.1.1.1.4.4.1.1.1.3" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.4.4.1.1.1.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S4.E7.m1.1.1.1.1.4.4.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.4.4.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.E7.m1.1.1.1.1.5.5.3a" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.5.5.3.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E7.m1.1.1.1.1.5.5.5" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.5.5.5.cmml"><mover accent="true" id="S4.E7.m1.1.1.1.1.5.5.5.2" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.cmml"><mi id="S4.E7.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2.cmml">G</mi><mo id="S4.E7.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.1" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.1.cmml">~</mo></mover><msub id="S4.E7.m1.1.1.1.1.5.5.5.3" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.5.5.5.3.cmml"><mi id="S4.E7.m1.1.1.1.1.5.5.5.3.2" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.5.5.5.3.2.cmml">H</mi><mn id="S4.E7.m1.1.1.1.1.5.5.5.3.3" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.5.5.5.3.3.cmml">2</mn></msub></msub><mo id="S4.E7.m1.1.1.1.1.5.5.3b" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.5.5.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E7.m1.1.1.1.1.5.5.2.1" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.5.5.2.1.1.cmml"><mo id="S4.E7.m1.1.1.1.1.5.5.2.1.2" stretchy="false" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.5.5.2.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.E7.m1.1.1.1.1.5.5.2.1.1" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.5.5.2.1.1.cmml"><mi id="S4.E7.m1.1.1.1.1.5.5.2.1.1.2" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.5.5.2.1.1.2.cmml">γ</mi><mn id="S4.E7.m1.1.1.1.1.5.5.2.1.1.3" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.5.5.2.1.1.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S4.E7.m1.1.1.1.1.5.5.2.1.3" stretchy="false" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.5.5.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E7.m1.1.1.1.1.9.10c" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.9.10.cmml">+</mo><mrow id="S4.E7.m1.1.1.1.1.7.7" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.7.7.cmml"><msub id="S4.E7.m1.1.1.1.1.7.7.4" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.7.7.4.cmml"><mover accent="true" id="S4.E7.m1.1.1.1.1.7.7.4.2" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.7.7.4.2.cmml"><mi id="S4.E7.m1.1.1.1.1.7.7.4.2.2" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.7.7.4.2.2.cmml">G</mi><mo id="S4.E7.m1.1.1.1.1.7.7.4.2.1" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.7.7.4.2.1.cmml">~</mo></mover><msub id="S4.E7.m1.1.1.1.1.7.7.4.3" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.7.7.4.3.cmml"><mi id="S4.E7.m1.1.1.1.1.7.7.4.3.2" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.7.7.4.3.2.cmml">H</mi><mn id="S4.E7.m1.1.1.1.1.7.7.4.3.3" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.7.7.4.3.3.cmml">2</mn></msub></msub><mo id="S4.E7.m1.1.1.1.1.7.7.3" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.7.7.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E7.m1.1.1.1.1.6.6.1.1" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.6.6.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E7.m1.1.1.1.1.6.6.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.6.6.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.E7.m1.1.1.1.1.6.6.1.1.1" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.6.6.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E7.m1.1.1.1.1.6.6.1.1.1.2" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.6.6.1.1.1.2.cmml">γ</mi><mn id="S4.E7.m1.1.1.1.1.6.6.1.1.1.3" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.6.6.1.1.1.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S4.E7.m1.1.1.1.1.6.6.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.6.6.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.E7.m1.1.1.1.1.7.7.3a" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.7.7.3.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E7.m1.1.1.1.1.7.7.5" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.7.7.5.cmml"><mover accent="true" id="S4.E7.m1.1.1.1.1.7.7.5.2" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.7.7.5.2.cmml"><mi id="S4.E7.m1.1.1.1.1.7.7.5.2.2" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.7.7.5.2.2.cmml">G</mi><mo id="S4.E7.m1.1.1.1.1.7.7.5.2.1" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.7.7.5.2.1.cmml">~</mo></mover><msub id="S4.E7.m1.1.1.1.1.7.7.5.3" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.7.7.5.3.cmml"><mi id="S4.E7.m1.1.1.1.1.7.7.5.3.2" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.7.7.5.3.2.cmml">H</mi><mn id="S4.E7.m1.1.1.1.1.7.7.5.3.3" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.7.7.5.3.3.cmml">3</mn></msub></msub><mo id="S4.E7.m1.1.1.1.1.7.7.3b" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.7.7.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E7.m1.1.1.1.1.7.7.2.1" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.7.7.2.1.1.cmml"><mo id="S4.E7.m1.1.1.1.1.7.7.2.1.2" stretchy="false" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.7.7.2.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.E7.m1.1.1.1.1.7.7.2.1.1" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.7.7.2.1.1.cmml"><mi id="S4.E7.m1.1.1.1.1.7.7.2.1.1.2" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.7.7.2.1.1.2.cmml">γ</mi><mn id="S4.E7.m1.1.1.1.1.7.7.2.1.1.3" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.7.7.2.1.1.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S4.E7.m1.1.1.1.1.7.7.2.1.3" stretchy="false" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.7.7.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E7.m1.1.1.1.1.9.10d" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.9.10.cmml">+</mo><mrow id="S4.E7.m1.1.1.1.1.9.9" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.9.9.cmml"><msub id="S4.E7.m1.1.1.1.1.9.9.4" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.9.9.4.cmml"><mover accent="true" id="S4.E7.m1.1.1.1.1.9.9.4.2" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.9.9.4.2.cmml"><mi id="S4.E7.m1.1.1.1.1.9.9.4.2.2" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.9.9.4.2.2.cmml">G</mi><mo id="S4.E7.m1.1.1.1.1.9.9.4.2.1" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.9.9.4.2.1.cmml">~</mo></mover><msub id="S4.E7.m1.1.1.1.1.9.9.4.3" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.9.9.4.3.cmml"><mi id="S4.E7.m1.1.1.1.1.9.9.4.3.2" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.9.9.4.3.2.cmml">H</mi><mn id="S4.E7.m1.1.1.1.1.9.9.4.3.3" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.9.9.4.3.3.cmml">3</mn></msub></msub><mo id="S4.E7.m1.1.1.1.1.9.9.3" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.9.9.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E7.m1.1.1.1.1.8.8.1.1" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.8.8.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E7.m1.1.1.1.1.8.8.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.8.8.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.E7.m1.1.1.1.1.8.8.1.1.1" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.8.8.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E7.m1.1.1.1.1.8.8.1.1.1.2" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.8.8.1.1.1.2.cmml">γ</mi><mn id="S4.E7.m1.1.1.1.1.8.8.1.1.1.3" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.8.8.1.1.1.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S4.E7.m1.1.1.1.1.8.8.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.8.8.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.E7.m1.1.1.1.1.9.9.3a" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.9.9.3.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E7.m1.1.1.1.1.9.9.5" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.9.9.5.cmml"><mover accent="true" id="S4.E7.m1.1.1.1.1.9.9.5.2" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.9.9.5.2.cmml"><mi id="S4.E7.m1.1.1.1.1.9.9.5.2.2" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.9.9.5.2.2.cmml">G</mi><mo id="S4.E7.m1.1.1.1.1.9.9.5.2.1" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.9.9.5.2.1.cmml">~</mo></mover><msub id="S4.E7.m1.1.1.1.1.9.9.5.3" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.9.9.5.3.cmml"><mi id="S4.E7.m1.1.1.1.1.9.9.5.3.2" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.9.9.5.3.2.cmml">H</mi><mn id="S4.E7.m1.1.1.1.1.9.9.5.3.3" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.9.9.5.3.3.cmml">1</mn></msub></msub><mo id="S4.E7.m1.1.1.1.1.9.9.3b" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.9.9.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E7.m1.1.1.1.1.9.9.2.1" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.9.9.2.1.1.cmml"><mo id="S4.E7.m1.1.1.1.1.9.9.2.1.2" stretchy="false" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.9.9.2.1.1.cmml">(</mo><msub id="S4.E7.m1.1.1.1.1.9.9.2.1.1" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.9.9.2.1.1.cmml"><mi id="S4.E7.m1.1.1.1.1.9.9.2.1.1.2" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.9.9.2.1.1.2.cmml">γ</mi><mn id="S4.E7.m1.1.1.1.1.9.9.2.1.1.3" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.9.9.2.1.1.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S4.E7.m1.1.1.1.1.9.9.2.1.3" stretchy="false" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.9.9.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E7.m1.1.1.1.1.10" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.10.cmml">=</mo><mn id="S4.E7.m1.1.1.1.1.11" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.11.cmml">0</mn></mrow><mo id="S4.E7.m1.1.1.1.2" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E7.m1.1b"><apply id="S4.E7.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1"><eq id="S4.E7.m1.1.1.1.1.10.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.10"></eq><apply id="S4.E7.m1.1.1.1.1.9.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.9"><plus id="S4.E7.m1.1.1.1.1.9.10.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.9.10"></plus><apply id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1"><times id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.3.2"><ci id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1">~</ci><ci id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝐺</ci></apply><apply id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝐻</ci><cn id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝛾</ci><cn id="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.E7.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.2.2"><times id="S4.E7.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.2.2.2"></times><apply id="S4.E7.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E7.m1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><apply id="S4.E7.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.2.2.3.2"><ci id="S4.E7.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.1.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.1">~</ci><ci id="S4.E7.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.2">𝐺</ci></apply><apply id="S4.E7.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E7.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.1.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.2.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E7.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2">𝐻</ci><cn id="S4.E7.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S4.E7.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E7.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.E7.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2">𝛾</ci><cn id="S4.E7.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.E7.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.3.3"><times id="S4.E7.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.3.3.2"></times><apply id="S4.E7.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E7.m1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.3.3.3">subscript</csymbol><apply id="S4.E7.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.3.3.3.2"><ci id="S4.E7.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.1.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.1">~</ci><ci id="S4.E7.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.2.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.3.3.3.2.2">𝐺</ci></apply><apply id="S4.E7.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E7.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.1.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.3.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E7.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.2.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.2">𝐻</ci><cn id="S4.E7.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.3.3.3.3.3">3</cn></apply></apply><apply id="S4.E7.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.3.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E7.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.3.3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.E7.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.2">𝛾</ci><cn id="S4.E7.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.3.3.1.1.1.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.E7.m1.1.1.1.1.5.5.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.5.5"><times id="S4.E7.m1.1.1.1.1.5.5.3.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.5.5.3"></times><apply id="S4.E7.m1.1.1.1.1.5.5.4.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.5.5.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E7.m1.1.1.1.1.5.5.4.1.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.5.5.4">subscript</csymbol><apply id="S4.E7.m1.1.1.1.1.5.5.4.2.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.5.5.4.2"><ci id="S4.E7.m1.1.1.1.1.5.5.4.2.1.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.5.5.4.2.1">~</ci><ci id="S4.E7.m1.1.1.1.1.5.5.4.2.2.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.5.5.4.2.2">𝐺</ci></apply><apply id="S4.E7.m1.1.1.1.1.5.5.4.3.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.5.5.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E7.m1.1.1.1.1.5.5.4.3.1.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.5.5.4.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E7.m1.1.1.1.1.5.5.4.3.2.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.5.5.4.3.2">𝐻</ci><cn id="S4.E7.m1.1.1.1.1.5.5.4.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.5.5.4.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.E7.m1.1.1.1.1.4.4.1.1.1.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.4.4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E7.m1.1.1.1.1.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.4.4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.E7.m1.1.1.1.1.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.4.4.1.1.1.2">𝛾</ci><cn id="S4.E7.m1.1.1.1.1.4.4.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.4.4.1.1.1.3">2</cn></apply><apply id="S4.E7.m1.1.1.1.1.5.5.5.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.5.5.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E7.m1.1.1.1.1.5.5.5.1.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.5.5.5">subscript</csymbol><apply id="S4.E7.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.5.5.5.2"><ci id="S4.E7.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.1.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.1">~</ci><ci id="S4.E7.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.5.5.5.2.2">𝐺</ci></apply><apply id="S4.E7.m1.1.1.1.1.5.5.5.3.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.5.5.5.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E7.m1.1.1.1.1.5.5.5.3.1.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.5.5.5.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E7.m1.1.1.1.1.5.5.5.3.2.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.5.5.5.3.2">𝐻</ci><cn id="S4.E7.m1.1.1.1.1.5.5.5.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.5.5.5.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S4.E7.m1.1.1.1.1.5.5.2.1.1.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.5.5.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E7.m1.1.1.1.1.5.5.2.1.1.1.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.5.5.2.1">subscript</csymbol><ci id="S4.E7.m1.1.1.1.1.5.5.2.1.1.2.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.5.5.2.1.1.2">𝛾</ci><cn id="S4.E7.m1.1.1.1.1.5.5.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.5.5.2.1.1.3">2</cn></apply></apply><apply id="S4.E7.m1.1.1.1.1.7.7.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.7.7"><times id="S4.E7.m1.1.1.1.1.7.7.3.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.7.7.3"></times><apply id="S4.E7.m1.1.1.1.1.7.7.4.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.7.7.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E7.m1.1.1.1.1.7.7.4.1.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.7.7.4">subscript</csymbol><apply id="S4.E7.m1.1.1.1.1.7.7.4.2.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.7.7.4.2"><ci id="S4.E7.m1.1.1.1.1.7.7.4.2.1.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.7.7.4.2.1">~</ci><ci id="S4.E7.m1.1.1.1.1.7.7.4.2.2.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.7.7.4.2.2">𝐺</ci></apply><apply id="S4.E7.m1.1.1.1.1.7.7.4.3.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.7.7.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E7.m1.1.1.1.1.7.7.4.3.1.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.7.7.4.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E7.m1.1.1.1.1.7.7.4.3.2.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.7.7.4.3.2">𝐻</ci><cn id="S4.E7.m1.1.1.1.1.7.7.4.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.7.7.4.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S4.E7.m1.1.1.1.1.6.6.1.1.1.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.6.6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E7.m1.1.1.1.1.6.6.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.6.6.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.E7.m1.1.1.1.1.6.6.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.6.6.1.1.1.2">𝛾</ci><cn id="S4.E7.m1.1.1.1.1.6.6.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.6.6.1.1.1.3">2</cn></apply><apply id="S4.E7.m1.1.1.1.1.7.7.5.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.7.7.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E7.m1.1.1.1.1.7.7.5.1.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.7.7.5">subscript</csymbol><apply id="S4.E7.m1.1.1.1.1.7.7.5.2.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.7.7.5.2"><ci id="S4.E7.m1.1.1.1.1.7.7.5.2.1.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.7.7.5.2.1">~</ci><ci id="S4.E7.m1.1.1.1.1.7.7.5.2.2.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.7.7.5.2.2">𝐺</ci></apply><apply id="S4.E7.m1.1.1.1.1.7.7.5.3.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.7.7.5.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E7.m1.1.1.1.1.7.7.5.3.1.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.7.7.5.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E7.m1.1.1.1.1.7.7.5.3.2.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.7.7.5.3.2">𝐻</ci><cn id="S4.E7.m1.1.1.1.1.7.7.5.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.7.7.5.3.3">3</cn></apply></apply><apply id="S4.E7.m1.1.1.1.1.7.7.2.1.1.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.7.7.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E7.m1.1.1.1.1.7.7.2.1.1.1.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.7.7.2.1">subscript</csymbol><ci id="S4.E7.m1.1.1.1.1.7.7.2.1.1.2.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.7.7.2.1.1.2">𝛾</ci><cn id="S4.E7.m1.1.1.1.1.7.7.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.7.7.2.1.1.3">2</cn></apply></apply><apply id="S4.E7.m1.1.1.1.1.9.9.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.9.9"><times id="S4.E7.m1.1.1.1.1.9.9.3.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.9.9.3"></times><apply id="S4.E7.m1.1.1.1.1.9.9.4.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.9.9.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E7.m1.1.1.1.1.9.9.4.1.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.9.9.4">subscript</csymbol><apply id="S4.E7.m1.1.1.1.1.9.9.4.2.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.9.9.4.2"><ci id="S4.E7.m1.1.1.1.1.9.9.4.2.1.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.9.9.4.2.1">~</ci><ci id="S4.E7.m1.1.1.1.1.9.9.4.2.2.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.9.9.4.2.2">𝐺</ci></apply><apply id="S4.E7.m1.1.1.1.1.9.9.4.3.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.9.9.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E7.m1.1.1.1.1.9.9.4.3.1.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.9.9.4.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E7.m1.1.1.1.1.9.9.4.3.2.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.9.9.4.3.2">𝐻</ci><cn id="S4.E7.m1.1.1.1.1.9.9.4.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.9.9.4.3.3">3</cn></apply></apply><apply id="S4.E7.m1.1.1.1.1.8.8.1.1.1.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.8.8.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E7.m1.1.1.1.1.8.8.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.8.8.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.E7.m1.1.1.1.1.8.8.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.8.8.1.1.1.2">𝛾</ci><cn id="S4.E7.m1.1.1.1.1.8.8.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.8.8.1.1.1.3">2</cn></apply><apply id="S4.E7.m1.1.1.1.1.9.9.5.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.9.9.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E7.m1.1.1.1.1.9.9.5.1.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.9.9.5">subscript</csymbol><apply id="S4.E7.m1.1.1.1.1.9.9.5.2.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.9.9.5.2"><ci id="S4.E7.m1.1.1.1.1.9.9.5.2.1.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.9.9.5.2.1">~</ci><ci id="S4.E7.m1.1.1.1.1.9.9.5.2.2.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.9.9.5.2.2">𝐺</ci></apply><apply id="S4.E7.m1.1.1.1.1.9.9.5.3.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.9.9.5.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E7.m1.1.1.1.1.9.9.5.3.1.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.9.9.5.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E7.m1.1.1.1.1.9.9.5.3.2.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.9.9.5.3.2">𝐻</ci><cn id="S4.E7.m1.1.1.1.1.9.9.5.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.9.9.5.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.E7.m1.1.1.1.1.9.9.2.1.1.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.9.9.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E7.m1.1.1.1.1.9.9.2.1.1.1.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.9.9.2.1">subscript</csymbol><ci id="S4.E7.m1.1.1.1.1.9.9.2.1.1.2.cmml" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.9.9.2.1.1.2">𝛾</ci><cn id="S4.E7.m1.1.1.1.1.9.9.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.9.9.2.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply><cn id="S4.E7.m1.1.1.1.1.11.cmml" type="integer" xref="S4.E7.m1.1.1.1.1.11">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E7.m1.1c">\tilde{G}_{H_{1}}(\gamma_{1})+\tilde{G}_{H_{2}}(\gamma_{1})+\tilde{G}_{H_{3}}(% \gamma_{1})+\tilde{G}_{H_{1}}(\gamma_{2})\tilde{G}_{H_{2}}(\gamma_{2})+\tilde{% G}_{H_{2}}(\gamma_{2})\tilde{G}_{H_{3}}(\gamma_{2})+\tilde{G}_{H_{3}}(\gamma_{% 2})\tilde{G}_{H_{1}}(\gamma_{2})=0,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E7.m1.1d">over~ start_ARG italic_G end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_H start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( italic_γ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ) + over~ start_ARG italic_G end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_H start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( italic_γ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ) + over~ start_ARG italic_G end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_H start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( italic_γ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ) + over~ start_ARG italic_G end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_H start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( italic_γ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) over~ start_ARG italic_G end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_H start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( italic_γ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) + over~ start_ARG italic_G end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_H start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( italic_γ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) over~ start_ARG italic_G end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_H start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( italic_γ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) + over~ start_ARG italic_G end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_H start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( italic_γ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) over~ start_ARG italic_G end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_H start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( italic_γ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) = 0 ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S4.p31"> <p class="ltx_p" id="S4.p31.2">where <math alttext="\gamma_{1}=(1,1,1,-1-1,-1)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p31.1.m1.5"><semantics id="S4.p31.1.m1.5a"><mrow id="S4.p31.1.m1.5.5" xref="S4.p31.1.m1.5.5.cmml"><msub id="S4.p31.1.m1.5.5.4" xref="S4.p31.1.m1.5.5.4.cmml"><mi id="S4.p31.1.m1.5.5.4.2" xref="S4.p31.1.m1.5.5.4.2.cmml">γ</mi><mn id="S4.p31.1.m1.5.5.4.3" xref="S4.p31.1.m1.5.5.4.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.p31.1.m1.5.5.3" xref="S4.p31.1.m1.5.5.3.cmml">=</mo><mrow id="S4.p31.1.m1.5.5.2.2" xref="S4.p31.1.m1.5.5.2.3.cmml"><mo id="S4.p31.1.m1.5.5.2.2.3" stretchy="false" xref="S4.p31.1.m1.5.5.2.3.cmml">(</mo><mn id="S4.p31.1.m1.1.1" xref="S4.p31.1.m1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.p31.1.m1.5.5.2.2.4" xref="S4.p31.1.m1.5.5.2.3.cmml">,</mo><mn id="S4.p31.1.m1.2.2" xref="S4.p31.1.m1.2.2.cmml">1</mn><mo id="S4.p31.1.m1.5.5.2.2.5" xref="S4.p31.1.m1.5.5.2.3.cmml">,</mo><mn id="S4.p31.1.m1.3.3" xref="S4.p31.1.m1.3.3.cmml">1</mn><mo id="S4.p31.1.m1.5.5.2.2.6" xref="S4.p31.1.m1.5.5.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S4.p31.1.m1.4.4.1.1.1" xref="S4.p31.1.m1.4.4.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.p31.1.m1.4.4.1.1.1.2" xref="S4.p31.1.m1.4.4.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.p31.1.m1.4.4.1.1.1.2a" xref="S4.p31.1.m1.4.4.1.1.1.2.cmml">−</mo><mn id="S4.p31.1.m1.4.4.1.1.1.2.2" xref="S4.p31.1.m1.4.4.1.1.1.2.2.cmml">1</mn></mrow><mo id="S4.p31.1.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S4.p31.1.m1.4.4.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S4.p31.1.m1.4.4.1.1.1.3" xref="S4.p31.1.m1.4.4.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S4.p31.1.m1.5.5.2.2.7" xref="S4.p31.1.m1.5.5.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S4.p31.1.m1.5.5.2.2.2" xref="S4.p31.1.m1.5.5.2.2.2.cmml"><mo id="S4.p31.1.m1.5.5.2.2.2a" xref="S4.p31.1.m1.5.5.2.2.2.cmml">−</mo><mn id="S4.p31.1.m1.5.5.2.2.2.2" xref="S4.p31.1.m1.5.5.2.2.2.2.cmml">1</mn></mrow><mo id="S4.p31.1.m1.5.5.2.2.8" stretchy="false" xref="S4.p31.1.m1.5.5.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p31.1.m1.5b"><apply id="S4.p31.1.m1.5.5.cmml" xref="S4.p31.1.m1.5.5"><eq id="S4.p31.1.m1.5.5.3.cmml" xref="S4.p31.1.m1.5.5.3"></eq><apply id="S4.p31.1.m1.5.5.4.cmml" xref="S4.p31.1.m1.5.5.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p31.1.m1.5.5.4.1.cmml" xref="S4.p31.1.m1.5.5.4">subscript</csymbol><ci id="S4.p31.1.m1.5.5.4.2.cmml" xref="S4.p31.1.m1.5.5.4.2">𝛾</ci><cn id="S4.p31.1.m1.5.5.4.3.cmml" type="integer" xref="S4.p31.1.m1.5.5.4.3">1</cn></apply><vector id="S4.p31.1.m1.5.5.2.3.cmml" xref="S4.p31.1.m1.5.5.2.2"><cn id="S4.p31.1.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.p31.1.m1.1.1">1</cn><cn id="S4.p31.1.m1.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.p31.1.m1.2.2">1</cn><cn id="S4.p31.1.m1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.p31.1.m1.3.3">1</cn><apply id="S4.p31.1.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="S4.p31.1.m1.4.4.1.1.1"><minus id="S4.p31.1.m1.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p31.1.m1.4.4.1.1.1.1"></minus><apply id="S4.p31.1.m1.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S4.p31.1.m1.4.4.1.1.1.2"><minus id="S4.p31.1.m1.4.4.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.p31.1.m1.4.4.1.1.1.2"></minus><cn id="S4.p31.1.m1.4.4.1.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.p31.1.m1.4.4.1.1.1.2.2">1</cn></apply><cn id="S4.p31.1.m1.4.4.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.p31.1.m1.4.4.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S4.p31.1.m1.5.5.2.2.2.cmml" xref="S4.p31.1.m1.5.5.2.2.2"><minus id="S4.p31.1.m1.5.5.2.2.2.1.cmml" xref="S4.p31.1.m1.5.5.2.2.2"></minus><cn id="S4.p31.1.m1.5.5.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.p31.1.m1.5.5.2.2.2.2">1</cn></apply></vector></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p31.1.m1.5c">\gamma_{1}=(1,1,1,-1-1,-1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p31.1.m1.5d">italic_γ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT = ( 1 , 1 , 1 , - 1 - 1 , - 1 )</annotation></semantics></math> and <math alttext="\gamma_{2}=(3,3,3,-3,-3,-3)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p31.2.m2.6"><semantics id="S4.p31.2.m2.6a"><mrow id="S4.p31.2.m2.6.6" xref="S4.p31.2.m2.6.6.cmml"><msub id="S4.p31.2.m2.6.6.5" xref="S4.p31.2.m2.6.6.5.cmml"><mi id="S4.p31.2.m2.6.6.5.2" xref="S4.p31.2.m2.6.6.5.2.cmml">γ</mi><mn id="S4.p31.2.m2.6.6.5.3" xref="S4.p31.2.m2.6.6.5.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S4.p31.2.m2.6.6.4" xref="S4.p31.2.m2.6.6.4.cmml">=</mo><mrow id="S4.p31.2.m2.6.6.3.3" xref="S4.p31.2.m2.6.6.3.4.cmml"><mo id="S4.p31.2.m2.6.6.3.3.4" stretchy="false" xref="S4.p31.2.m2.6.6.3.4.cmml">(</mo><mn id="S4.p31.2.m2.1.1" xref="S4.p31.2.m2.1.1.cmml">3</mn><mo id="S4.p31.2.m2.6.6.3.3.5" xref="S4.p31.2.m2.6.6.3.4.cmml">,</mo><mn id="S4.p31.2.m2.2.2" xref="S4.p31.2.m2.2.2.cmml">3</mn><mo id="S4.p31.2.m2.6.6.3.3.6" xref="S4.p31.2.m2.6.6.3.4.cmml">,</mo><mn id="S4.p31.2.m2.3.3" xref="S4.p31.2.m2.3.3.cmml">3</mn><mo id="S4.p31.2.m2.6.6.3.3.7" xref="S4.p31.2.m2.6.6.3.4.cmml">,</mo><mrow id="S4.p31.2.m2.4.4.1.1.1" xref="S4.p31.2.m2.4.4.1.1.1.cmml"><mo id="S4.p31.2.m2.4.4.1.1.1a" xref="S4.p31.2.m2.4.4.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S4.p31.2.m2.4.4.1.1.1.2" xref="S4.p31.2.m2.4.4.1.1.1.2.cmml">3</mn></mrow><mo id="S4.p31.2.m2.6.6.3.3.8" xref="S4.p31.2.m2.6.6.3.4.cmml">,</mo><mrow id="S4.p31.2.m2.5.5.2.2.2" xref="S4.p31.2.m2.5.5.2.2.2.cmml"><mo id="S4.p31.2.m2.5.5.2.2.2a" xref="S4.p31.2.m2.5.5.2.2.2.cmml">−</mo><mn id="S4.p31.2.m2.5.5.2.2.2.2" xref="S4.p31.2.m2.5.5.2.2.2.2.cmml">3</mn></mrow><mo id="S4.p31.2.m2.6.6.3.3.9" xref="S4.p31.2.m2.6.6.3.4.cmml">,</mo><mrow id="S4.p31.2.m2.6.6.3.3.3" xref="S4.p31.2.m2.6.6.3.3.3.cmml"><mo id="S4.p31.2.m2.6.6.3.3.3a" xref="S4.p31.2.m2.6.6.3.3.3.cmml">−</mo><mn id="S4.p31.2.m2.6.6.3.3.3.2" xref="S4.p31.2.m2.6.6.3.3.3.2.cmml">3</mn></mrow><mo id="S4.p31.2.m2.6.6.3.3.10" stretchy="false" xref="S4.p31.2.m2.6.6.3.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p31.2.m2.6b"><apply id="S4.p31.2.m2.6.6.cmml" xref="S4.p31.2.m2.6.6"><eq id="S4.p31.2.m2.6.6.4.cmml" xref="S4.p31.2.m2.6.6.4"></eq><apply id="S4.p31.2.m2.6.6.5.cmml" xref="S4.p31.2.m2.6.6.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p31.2.m2.6.6.5.1.cmml" xref="S4.p31.2.m2.6.6.5">subscript</csymbol><ci id="S4.p31.2.m2.6.6.5.2.cmml" xref="S4.p31.2.m2.6.6.5.2">𝛾</ci><cn id="S4.p31.2.m2.6.6.5.3.cmml" type="integer" xref="S4.p31.2.m2.6.6.5.3">2</cn></apply><vector id="S4.p31.2.m2.6.6.3.4.cmml" xref="S4.p31.2.m2.6.6.3.3"><cn id="S4.p31.2.m2.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.p31.2.m2.1.1">3</cn><cn id="S4.p31.2.m2.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.p31.2.m2.2.2">3</cn><cn id="S4.p31.2.m2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.p31.2.m2.3.3">3</cn><apply id="S4.p31.2.m2.4.4.1.1.1.cmml" xref="S4.p31.2.m2.4.4.1.1.1"><minus id="S4.p31.2.m2.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p31.2.m2.4.4.1.1.1"></minus><cn id="S4.p31.2.m2.4.4.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.p31.2.m2.4.4.1.1.1.2">3</cn></apply><apply id="S4.p31.2.m2.5.5.2.2.2.cmml" xref="S4.p31.2.m2.5.5.2.2.2"><minus id="S4.p31.2.m2.5.5.2.2.2.1.cmml" xref="S4.p31.2.m2.5.5.2.2.2"></minus><cn id="S4.p31.2.m2.5.5.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.p31.2.m2.5.5.2.2.2.2">3</cn></apply><apply id="S4.p31.2.m2.6.6.3.3.3.cmml" xref="S4.p31.2.m2.6.6.3.3.3"><minus id="S4.p31.2.m2.6.6.3.3.3.1.cmml" xref="S4.p31.2.m2.6.6.3.3.3"></minus><cn id="S4.p31.2.m2.6.6.3.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.p31.2.m2.6.6.3.3.3.2">3</cn></apply></vector></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p31.2.m2.6c">\gamma_{2}=(3,3,3,-3,-3,-3)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p31.2.m2.6d">italic_γ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT = ( 3 , 3 , 3 , - 3 , - 3 , - 3 )</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.p32"> <p class="ltx_p" id="S4.p32.3">Note also that, using the identity <math alttext="\overline{z}=1/z" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p32.1.m1.1"><semantics id="S4.p32.1.m1.1a"><mrow id="S4.p32.1.m1.1.1" xref="S4.p32.1.m1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.p32.1.m1.1.1.2" xref="S4.p32.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.p32.1.m1.1.1.2.2" xref="S4.p32.1.m1.1.1.2.2.cmml">z</mi><mo id="S4.p32.1.m1.1.1.2.1" xref="S4.p32.1.m1.1.1.2.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S4.p32.1.m1.1.1.1" xref="S4.p32.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.p32.1.m1.1.1.3" xref="S4.p32.1.m1.1.1.3.cmml"><mn id="S4.p32.1.m1.1.1.3.2" xref="S4.p32.1.m1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S4.p32.1.m1.1.1.3.1" xref="S4.p32.1.m1.1.1.3.1.cmml">/</mo><mi id="S4.p32.1.m1.1.1.3.3" xref="S4.p32.1.m1.1.1.3.3.cmml">z</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p32.1.m1.1b"><apply id="S4.p32.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.p32.1.m1.1.1"><eq id="S4.p32.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.p32.1.m1.1.1.1"></eq><apply id="S4.p32.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.p32.1.m1.1.1.2"><ci id="S4.p32.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.p32.1.m1.1.1.2.1">¯</ci><ci id="S4.p32.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.p32.1.m1.1.1.2.2">𝑧</ci></apply><apply id="S4.p32.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.p32.1.m1.1.1.3"><divide id="S4.p32.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.p32.1.m1.1.1.3.1"></divide><cn id="S4.p32.1.m1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.p32.1.m1.1.1.3.2">1</cn><ci id="S4.p32.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.p32.1.m1.1.1.3.3">𝑧</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p32.1.m1.1c">\overline{z}=1/z</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p32.1.m1.1d">over¯ start_ARG italic_z end_ARG = 1 / italic_z</annotation></semantics></math> for complex numbers of unit length, the function <math alttext="{G}_{H}(\gamma)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p32.2.m2.1"><semantics id="S4.p32.2.m2.1a"><mrow id="S4.p32.2.m2.1.2" xref="S4.p32.2.m2.1.2.cmml"><msub id="S4.p32.2.m2.1.2.2" xref="S4.p32.2.m2.1.2.2.cmml"><mi id="S4.p32.2.m2.1.2.2.2" xref="S4.p32.2.m2.1.2.2.2.cmml">G</mi><mi id="S4.p32.2.m2.1.2.2.3" xref="S4.p32.2.m2.1.2.2.3.cmml">H</mi></msub><mo id="S4.p32.2.m2.1.2.1" xref="S4.p32.2.m2.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p32.2.m2.1.2.3.2" xref="S4.p32.2.m2.1.2.cmml"><mo id="S4.p32.2.m2.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.p32.2.m2.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.p32.2.m2.1.1" xref="S4.p32.2.m2.1.1.cmml">γ</mi><mo id="S4.p32.2.m2.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.p32.2.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p32.2.m2.1b"><apply id="S4.p32.2.m2.1.2.cmml" xref="S4.p32.2.m2.1.2"><times id="S4.p32.2.m2.1.2.1.cmml" xref="S4.p32.2.m2.1.2.1"></times><apply id="S4.p32.2.m2.1.2.2.cmml" xref="S4.p32.2.m2.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p32.2.m2.1.2.2.1.cmml" xref="S4.p32.2.m2.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.p32.2.m2.1.2.2.2.cmml" xref="S4.p32.2.m2.1.2.2.2">𝐺</ci><ci id="S4.p32.2.m2.1.2.2.3.cmml" xref="S4.p32.2.m2.1.2.2.3">𝐻</ci></apply><ci id="S4.p32.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.p32.2.m2.1.1">𝛾</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p32.2.m2.1c">{G}_{H}(\gamma)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p32.2.m2.1d">italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_H end_POSTSUBSCRIPT ( italic_γ )</annotation></semantics></math> can be defined as a rational function of the variables, as indicated in the last equation in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#S4.E5" title="Equation 4.5 ‣ 4. Hadamard cubes in dimension 6 ‣ Triplets of Mutually Unbiased Bases"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4.5</span></a>). As such, equation (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#S4.E7" title="Equation 4.7 ‣ 4. Hadamard cubes in dimension 6 ‣ Triplets of Mutually Unbiased Bases"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4.7</span></a>) reduces to a single rational function of the variables being 0. In principle, such a relation may be established via Gröbner basis techniques, as a consequence of the orthogonality and unbiased relations between the vectors of the bases <math alttext="X_{1},X_{2},X_{3}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p32.3.m3.3"><semantics id="S4.p32.3.m3.3a"><mrow id="S4.p32.3.m3.3.3.3" xref="S4.p32.3.m3.3.3.4.cmml"><msub id="S4.p32.3.m3.1.1.1.1" xref="S4.p32.3.m3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.p32.3.m3.1.1.1.1.2" xref="S4.p32.3.m3.1.1.1.1.2.cmml">X</mi><mn id="S4.p32.3.m3.1.1.1.1.3" xref="S4.p32.3.m3.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.p32.3.m3.3.3.3.4" xref="S4.p32.3.m3.3.3.4.cmml">,</mo><msub id="S4.p32.3.m3.2.2.2.2" xref="S4.p32.3.m3.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.p32.3.m3.2.2.2.2.2" xref="S4.p32.3.m3.2.2.2.2.2.cmml">X</mi><mn id="S4.p32.3.m3.2.2.2.2.3" xref="S4.p32.3.m3.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S4.p32.3.m3.3.3.3.5" xref="S4.p32.3.m3.3.3.4.cmml">,</mo><msub id="S4.p32.3.m3.3.3.3.3" xref="S4.p32.3.m3.3.3.3.3.cmml"><mi id="S4.p32.3.m3.3.3.3.3.2" xref="S4.p32.3.m3.3.3.3.3.2.cmml">X</mi><mn id="S4.p32.3.m3.3.3.3.3.3" xref="S4.p32.3.m3.3.3.3.3.3.cmml">3</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p32.3.m3.3b"><list id="S4.p32.3.m3.3.3.4.cmml" xref="S4.p32.3.m3.3.3.3"><apply id="S4.p32.3.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p32.3.m3.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p32.3.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p32.3.m3.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.p32.3.m3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.p32.3.m3.1.1.1.1.2">𝑋</ci><cn id="S4.p32.3.m3.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.p32.3.m3.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S4.p32.3.m3.2.2.2.2.cmml" xref="S4.p32.3.m3.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p32.3.m3.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.p32.3.m3.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.p32.3.m3.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.p32.3.m3.2.2.2.2.2">𝑋</ci><cn id="S4.p32.3.m3.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.p32.3.m3.2.2.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S4.p32.3.m3.3.3.3.3.cmml" xref="S4.p32.3.m3.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p32.3.m3.3.3.3.3.1.cmml" xref="S4.p32.3.m3.3.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.p32.3.m3.3.3.3.3.2.cmml" xref="S4.p32.3.m3.3.3.3.3.2">𝑋</ci><cn id="S4.p32.3.m3.3.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.p32.3.m3.3.3.3.3.3">3</cn></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p32.3.m3.3c">X_{1},X_{2},X_{3}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p32.3.m3.3d">italic_X start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_X start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT , italic_X start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. In particular, equation (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#S4.E7" title="Equation 4.7 ‣ 4. Hadamard cubes in dimension 6 ‣ Triplets of Mutually Unbiased Bases"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4.7</span></a>) might be implied by conditions a), b) and c) defining inverse orthogonal cubes in Definition <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#S3.Thmfact5" title="Definition 3.5. ‣ 3. MUB-triplets and Hadamard cubes ‣ Triplets of Mutually Unbiased Bases"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3.5</span></a>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.p33"> <p class="ltx_p" id="S4.p33.1">We now show how Conjecture <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#Thmconjecture2" title="Conjecture 2. ‣ 4. Hadamard cubes in dimension 6 ‣ Triplets of Mutually Unbiased Bases"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a> can be an intermediate step in proving Zauner’s conjecture that the maximal number of MUBs in dimension 6 is three.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_proposition" id="S4.Thmfact2"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S4.Thmfact2.1.1.1">Proposition 4.2</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S4.Thmfact2.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="S4.Thmfact2.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.Thmfact2.p1.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.Thmfact2.p1.1.1">The validity of Conjecture <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#Thmconjecture2" title="Conjecture 2. ‣ 4. Hadamard cubes in dimension 6 ‣ Triplets of Mutually Unbiased Bases"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a> implies that the maximal number of MUBs in <math alttext="\mathbb{C}^{6}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmfact2.p1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.Thmfact2.p1.1.1.m1.1a"><msup id="S4.Thmfact2.p1.1.1.m1.1.1" xref="S4.Thmfact2.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmfact2.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="S4.Thmfact2.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml">ℂ</mi><mn id="S4.Thmfact2.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="S4.Thmfact2.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml">6</mn></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmfact2.p1.1.1.m1.1b"><apply id="S4.Thmfact2.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.Thmfact2.p1.1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmfact2.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmfact2.p1.1.1.m1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.Thmfact2.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmfact2.p1.1.1.m1.1.1.2">ℂ</ci><cn id="S4.Thmfact2.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmfact2.p1.1.1.m1.1.1.3">6</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmfact2.p1.1.1.m1.1c">\mathbb{C}^{6}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmfact2.p1.1.1.m1.1d">blackboard_C start_POSTSUPERSCRIPT 6 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is three.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="S4.22"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="S4.1.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.1.p1.1">We first show that if for a complex Hadamard matrix <math alttext="H" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.1.p1.1.m1.1"><semantics id="S4.1.p1.1.m1.1a"><mi id="S4.1.p1.1.m1.1.1" xref="S4.1.p1.1.m1.1.1.cmml">H</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.1.p1.1.m1.1b"><ci id="S4.1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.1.p1.1.m1.1.1">𝐻</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.1.p1.1.m1.1c">H</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.1.p1.1.m1.1d">italic_H</annotation></semantics></math> of order 6 the equations</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E8"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(4.8)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="G_{H}(\pi(1,1,1,-1,-1,-1))=G_{H}(\pi(3,3,3,-3,-3,-3))=0" class="ltx_Math" display="block" id="S4.E8.m1.8"><semantics id="S4.E8.m1.8a"><mrow id="S4.E8.m1.8.8" xref="S4.E8.m1.8.8.cmml"><mrow id="S4.E8.m1.7.7.1" xref="S4.E8.m1.7.7.1.cmml"><msub id="S4.E8.m1.7.7.1.3" xref="S4.E8.m1.7.7.1.3.cmml"><mi id="S4.E8.m1.7.7.1.3.2" xref="S4.E8.m1.7.7.1.3.2.cmml">G</mi><mi id="S4.E8.m1.7.7.1.3.3" xref="S4.E8.m1.7.7.1.3.3.cmml">H</mi></msub><mo id="S4.E8.m1.7.7.1.2" xref="S4.E8.m1.7.7.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E8.m1.7.7.1.1.1" xref="S4.E8.m1.7.7.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E8.m1.7.7.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E8.m1.7.7.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E8.m1.7.7.1.1.1.1" xref="S4.E8.m1.7.7.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E8.m1.7.7.1.1.1.1.5" xref="S4.E8.m1.7.7.1.1.1.1.5.cmml">π</mi><mo id="S4.E8.m1.7.7.1.1.1.1.4" xref="S4.E8.m1.7.7.1.1.1.1.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E8.m1.7.7.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E8.m1.7.7.1.1.1.1.3.4.cmml"><mo id="S4.E8.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.4" stretchy="false" xref="S4.E8.m1.7.7.1.1.1.1.3.4.cmml">(</mo><mn id="S4.E8.m1.1.1" xref="S4.E8.m1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.E8.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.5" xref="S4.E8.m1.7.7.1.1.1.1.3.4.cmml">,</mo><mn id="S4.E8.m1.2.2" xref="S4.E8.m1.2.2.cmml">1</mn><mo id="S4.E8.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.6" xref="S4.E8.m1.7.7.1.1.1.1.3.4.cmml">,</mo><mn id="S4.E8.m1.3.3" xref="S4.E8.m1.3.3.cmml">1</mn><mo id="S4.E8.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.7" xref="S4.E8.m1.7.7.1.1.1.1.3.4.cmml">,</mo><mrow id="S4.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S4.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S4.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn></mrow><mo id="S4.E8.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.8" xref="S4.E8.m1.7.7.1.1.1.1.3.4.cmml">,</mo><mrow id="S4.E8.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.E8.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mo id="S4.E8.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2a" xref="S4.E8.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2.cmml">−</mo><mn id="S4.E8.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S4.E8.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">1</mn></mrow><mo id="S4.E8.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.9" xref="S4.E8.m1.7.7.1.1.1.1.3.4.cmml">,</mo><mrow id="S4.E8.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.E8.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mo id="S4.E8.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.3a" xref="S4.E8.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.3.cmml">−</mo><mn id="S4.E8.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S4.E8.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">1</mn></mrow><mo id="S4.E8.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.10" stretchy="false" xref="S4.E8.m1.7.7.1.1.1.1.3.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E8.m1.7.7.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E8.m1.7.7.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E8.m1.8.8.4" xref="S4.E8.m1.8.8.4.cmml">=</mo><mrow id="S4.E8.m1.8.8.2" xref="S4.E8.m1.8.8.2.cmml"><msub id="S4.E8.m1.8.8.2.3" xref="S4.E8.m1.8.8.2.3.cmml"><mi id="S4.E8.m1.8.8.2.3.2" xref="S4.E8.m1.8.8.2.3.2.cmml">G</mi><mi id="S4.E8.m1.8.8.2.3.3" xref="S4.E8.m1.8.8.2.3.3.cmml">H</mi></msub><mo id="S4.E8.m1.8.8.2.2" xref="S4.E8.m1.8.8.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E8.m1.8.8.2.1.1" xref="S4.E8.m1.8.8.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E8.m1.8.8.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E8.m1.8.8.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E8.m1.8.8.2.1.1.1" xref="S4.E8.m1.8.8.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E8.m1.8.8.2.1.1.1.5" xref="S4.E8.m1.8.8.2.1.1.1.5.cmml">π</mi><mo id="S4.E8.m1.8.8.2.1.1.1.4" xref="S4.E8.m1.8.8.2.1.1.1.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E8.m1.8.8.2.1.1.1.3.3" xref="S4.E8.m1.8.8.2.1.1.1.3.4.cmml"><mo id="S4.E8.m1.8.8.2.1.1.1.3.3.4" stretchy="false" xref="S4.E8.m1.8.8.2.1.1.1.3.4.cmml">(</mo><mn id="S4.E8.m1.4.4" xref="S4.E8.m1.4.4.cmml">3</mn><mo id="S4.E8.m1.8.8.2.1.1.1.3.3.5" xref="S4.E8.m1.8.8.2.1.1.1.3.4.cmml">,</mo><mn id="S4.E8.m1.5.5" xref="S4.E8.m1.5.5.cmml">3</mn><mo id="S4.E8.m1.8.8.2.1.1.1.3.3.6" xref="S4.E8.m1.8.8.2.1.1.1.3.4.cmml">,</mo><mn id="S4.E8.m1.6.6" xref="S4.E8.m1.6.6.cmml">3</mn><mo id="S4.E8.m1.8.8.2.1.1.1.3.3.7" xref="S4.E8.m1.8.8.2.1.1.1.3.4.cmml">,</mo><mrow id="S4.E8.m1.8.8.2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E8.m1.8.8.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E8.m1.8.8.2.1.1.1.1.1.1a" xref="S4.E8.m1.8.8.2.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S4.E8.m1.8.8.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E8.m1.8.8.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">3</mn></mrow><mo id="S4.E8.m1.8.8.2.1.1.1.3.3.8" xref="S4.E8.m1.8.8.2.1.1.1.3.4.cmml">,</mo><mrow id="S4.E8.m1.8.8.2.1.1.1.2.2.2" xref="S4.E8.m1.8.8.2.1.1.1.2.2.2.cmml"><mo id="S4.E8.m1.8.8.2.1.1.1.2.2.2a" xref="S4.E8.m1.8.8.2.1.1.1.2.2.2.cmml">−</mo><mn id="S4.E8.m1.8.8.2.1.1.1.2.2.2.2" xref="S4.E8.m1.8.8.2.1.1.1.2.2.2.2.cmml">3</mn></mrow><mo id="S4.E8.m1.8.8.2.1.1.1.3.3.9" xref="S4.E8.m1.8.8.2.1.1.1.3.4.cmml">,</mo><mrow id="S4.E8.m1.8.8.2.1.1.1.3.3.3" xref="S4.E8.m1.8.8.2.1.1.1.3.3.3.cmml"><mo id="S4.E8.m1.8.8.2.1.1.1.3.3.3a" xref="S4.E8.m1.8.8.2.1.1.1.3.3.3.cmml">−</mo><mn id="S4.E8.m1.8.8.2.1.1.1.3.3.3.2" xref="S4.E8.m1.8.8.2.1.1.1.3.3.3.2.cmml">3</mn></mrow><mo id="S4.E8.m1.8.8.2.1.1.1.3.3.10" stretchy="false" xref="S4.E8.m1.8.8.2.1.1.1.3.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E8.m1.8.8.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E8.m1.8.8.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E8.m1.8.8.5" xref="S4.E8.m1.8.8.5.cmml">=</mo><mn id="S4.E8.m1.8.8.6" xref="S4.E8.m1.8.8.6.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E8.m1.8b"><apply id="S4.E8.m1.8.8.cmml" xref="S4.E8.m1.8.8"><and id="S4.E8.m1.8.8a.cmml" xref="S4.E8.m1.8.8"></and><apply id="S4.E8.m1.8.8b.cmml" xref="S4.E8.m1.8.8"><eq id="S4.E8.m1.8.8.4.cmml" xref="S4.E8.m1.8.8.4"></eq><apply id="S4.E8.m1.7.7.1.cmml" xref="S4.E8.m1.7.7.1"><times id="S4.E8.m1.7.7.1.2.cmml" xref="S4.E8.m1.7.7.1.2"></times><apply id="S4.E8.m1.7.7.1.3.cmml" xref="S4.E8.m1.7.7.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E8.m1.7.7.1.3.1.cmml" xref="S4.E8.m1.7.7.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E8.m1.7.7.1.3.2.cmml" xref="S4.E8.m1.7.7.1.3.2">𝐺</ci><ci id="S4.E8.m1.7.7.1.3.3.cmml" xref="S4.E8.m1.7.7.1.3.3">𝐻</ci></apply><apply id="S4.E8.m1.7.7.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E8.m1.7.7.1.1.1"><times id="S4.E8.m1.7.7.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.E8.m1.7.7.1.1.1.1.4"></times><ci id="S4.E8.m1.7.7.1.1.1.1.5.cmml" xref="S4.E8.m1.7.7.1.1.1.1.5">𝜋</ci><vector id="S4.E8.m1.7.7.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S4.E8.m1.7.7.1.1.1.1.3.3"><cn id="S4.E8.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.E8.m1.1.1">1</cn><cn id="S4.E8.m1.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.E8.m1.2.2">1</cn><cn id="S4.E8.m1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E8.m1.3.3">1</cn><apply id="S4.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S4.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1"></minus><cn id="S4.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.E8.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2">1</cn></apply><apply id="S4.E8.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.E8.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2"><minus id="S4.E8.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E8.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2"></minus><cn id="S4.E8.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.E8.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2.2">1</cn></apply><apply id="S4.E8.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.E8.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.3"><minus id="S4.E8.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S4.E8.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.3"></minus><cn id="S4.E8.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.E8.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.3.2">1</cn></apply></vector></apply></apply><apply id="S4.E8.m1.8.8.2.cmml" xref="S4.E8.m1.8.8.2"><times id="S4.E8.m1.8.8.2.2.cmml" xref="S4.E8.m1.8.8.2.2"></times><apply id="S4.E8.m1.8.8.2.3.cmml" xref="S4.E8.m1.8.8.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E8.m1.8.8.2.3.1.cmml" xref="S4.E8.m1.8.8.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E8.m1.8.8.2.3.2.cmml" xref="S4.E8.m1.8.8.2.3.2">𝐺</ci><ci id="S4.E8.m1.8.8.2.3.3.cmml" xref="S4.E8.m1.8.8.2.3.3">𝐻</ci></apply><apply id="S4.E8.m1.8.8.2.1.1.1.cmml" xref="S4.E8.m1.8.8.2.1.1"><times id="S4.E8.m1.8.8.2.1.1.1.4.cmml" xref="S4.E8.m1.8.8.2.1.1.1.4"></times><ci id="S4.E8.m1.8.8.2.1.1.1.5.cmml" xref="S4.E8.m1.8.8.2.1.1.1.5">𝜋</ci><vector id="S4.E8.m1.8.8.2.1.1.1.3.4.cmml" xref="S4.E8.m1.8.8.2.1.1.1.3.3"><cn id="S4.E8.m1.4.4.cmml" type="integer" xref="S4.E8.m1.4.4">3</cn><cn id="S4.E8.m1.5.5.cmml" type="integer" xref="S4.E8.m1.5.5">3</cn><cn id="S4.E8.m1.6.6.cmml" type="integer" xref="S4.E8.m1.6.6">3</cn><apply id="S4.E8.m1.8.8.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E8.m1.8.8.2.1.1.1.1.1.1"><minus id="S4.E8.m1.8.8.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E8.m1.8.8.2.1.1.1.1.1.1"></minus><cn id="S4.E8.m1.8.8.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.E8.m1.8.8.2.1.1.1.1.1.1.2">3</cn></apply><apply id="S4.E8.m1.8.8.2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.E8.m1.8.8.2.1.1.1.2.2.2"><minus id="S4.E8.m1.8.8.2.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E8.m1.8.8.2.1.1.1.2.2.2"></minus><cn id="S4.E8.m1.8.8.2.1.1.1.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.E8.m1.8.8.2.1.1.1.2.2.2.2">3</cn></apply><apply id="S4.E8.m1.8.8.2.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.E8.m1.8.8.2.1.1.1.3.3.3"><minus id="S4.E8.m1.8.8.2.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S4.E8.m1.8.8.2.1.1.1.3.3.3"></minus><cn id="S4.E8.m1.8.8.2.1.1.1.3.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.E8.m1.8.8.2.1.1.1.3.3.3.2">3</cn></apply></vector></apply></apply></apply><apply id="S4.E8.m1.8.8c.cmml" xref="S4.E8.m1.8.8"><eq id="S4.E8.m1.8.8.5.cmml" xref="S4.E8.m1.8.8.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#S4.E8.m1.8.8.2.cmml" id="S4.E8.m1.8.8d.cmml" xref="S4.E8.m1.8.8"></share><cn id="S4.E8.m1.8.8.6.cmml" type="integer" xref="S4.E8.m1.8.8.6">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E8.m1.8c">G_{H}(\pi(1,1,1,-1,-1,-1))=G_{H}(\pi(3,3,3,-3,-3,-3))=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E8.m1.8d">italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_H end_POSTSUBSCRIPT ( italic_π ( 1 , 1 , 1 , - 1 , - 1 , - 1 ) ) = italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_H end_POSTSUBSCRIPT ( italic_π ( 3 , 3 , 3 , - 3 , - 3 , - 3 ) ) = 0</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.1.p1.10">hold for all permutations <math alttext="\pi" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.1.p1.2.m1.1"><semantics id="S4.1.p1.2.m1.1a"><mi id="S4.1.p1.2.m1.1.1" xref="S4.1.p1.2.m1.1.1.cmml">π</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.1.p1.2.m1.1b"><ci id="S4.1.p1.2.m1.1.1.cmml" xref="S4.1.p1.2.m1.1.1">𝜋</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.1.p1.2.m1.1c">\pi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.1.p1.2.m1.1d">italic_π</annotation></semantics></math>, then <math alttext="H" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.1.p1.3.m2.1"><semantics id="S4.1.p1.3.m2.1a"><mi id="S4.1.p1.3.m2.1.1" xref="S4.1.p1.3.m2.1.1.cmml">H</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.1.p1.3.m2.1b"><ci id="S4.1.p1.3.m2.1.1.cmml" xref="S4.1.p1.3.m2.1.1">𝐻</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.1.p1.3.m2.1c">H</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.1.p1.3.m2.1d">italic_H</annotation></semantics></math> must belong to the Fourier family <math alttext="F(x,y)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.1.p1.4.m3.2"><semantics id="S4.1.p1.4.m3.2a"><mrow id="S4.1.p1.4.m3.2.3" xref="S4.1.p1.4.m3.2.3.cmml"><mi id="S4.1.p1.4.m3.2.3.2" xref="S4.1.p1.4.m3.2.3.2.cmml">F</mi><mo id="S4.1.p1.4.m3.2.3.1" xref="S4.1.p1.4.m3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.1.p1.4.m3.2.3.3.2" xref="S4.1.p1.4.m3.2.3.3.1.cmml"><mo id="S4.1.p1.4.m3.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.1.p1.4.m3.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S4.1.p1.4.m3.1.1" xref="S4.1.p1.4.m3.1.1.cmml">x</mi><mo id="S4.1.p1.4.m3.2.3.3.2.2" xref="S4.1.p1.4.m3.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.1.p1.4.m3.2.2" xref="S4.1.p1.4.m3.2.2.cmml">y</mi><mo id="S4.1.p1.4.m3.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.1.p1.4.m3.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.1.p1.4.m3.2b"><apply id="S4.1.p1.4.m3.2.3.cmml" xref="S4.1.p1.4.m3.2.3"><times id="S4.1.p1.4.m3.2.3.1.cmml" xref="S4.1.p1.4.m3.2.3.1"></times><ci id="S4.1.p1.4.m3.2.3.2.cmml" xref="S4.1.p1.4.m3.2.3.2">𝐹</ci><interval closure="open" id="S4.1.p1.4.m3.2.3.3.1.cmml" xref="S4.1.p1.4.m3.2.3.3.2"><ci id="S4.1.p1.4.m3.1.1.cmml" xref="S4.1.p1.4.m3.1.1">𝑥</ci><ci id="S4.1.p1.4.m3.2.2.cmml" xref="S4.1.p1.4.m3.2.2">𝑦</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.1.p1.4.m3.2c">F(x,y)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.1.p1.4.m3.2d">italic_F ( italic_x , italic_y )</annotation></semantics></math> or to the Szöllősi family <math alttext="X(\alpha)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.1.p1.5.m4.1"><semantics id="S4.1.p1.5.m4.1a"><mrow id="S4.1.p1.5.m4.1.2" xref="S4.1.p1.5.m4.1.2.cmml"><mi id="S4.1.p1.5.m4.1.2.2" xref="S4.1.p1.5.m4.1.2.2.cmml">X</mi><mo id="S4.1.p1.5.m4.1.2.1" xref="S4.1.p1.5.m4.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.1.p1.5.m4.1.2.3.2" xref="S4.1.p1.5.m4.1.2.cmml"><mo id="S4.1.p1.5.m4.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.1.p1.5.m4.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.1.p1.5.m4.1.1" xref="S4.1.p1.5.m4.1.1.cmml">α</mi><mo id="S4.1.p1.5.m4.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.1.p1.5.m4.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.1.p1.5.m4.1b"><apply id="S4.1.p1.5.m4.1.2.cmml" xref="S4.1.p1.5.m4.1.2"><times id="S4.1.p1.5.m4.1.2.1.cmml" xref="S4.1.p1.5.m4.1.2.1"></times><ci id="S4.1.p1.5.m4.1.2.2.cmml" xref="S4.1.p1.5.m4.1.2.2">𝑋</ci><ci id="S4.1.p1.5.m4.1.1.cmml" xref="S4.1.p1.5.m4.1.1">𝛼</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.1.p1.5.m4.1c">X(\alpha)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.1.p1.5.m4.1d">italic_X ( italic_α )</annotation></semantics></math>. Once this is established, we can fall back on known results from the literature. Namely, it was proven in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#bib.bib17" title="">17</a>]</cite> that matrices from the Fourier family <math alttext="F(x,y)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.1.p1.6.m5.2"><semantics id="S4.1.p1.6.m5.2a"><mrow id="S4.1.p1.6.m5.2.3" xref="S4.1.p1.6.m5.2.3.cmml"><mi id="S4.1.p1.6.m5.2.3.2" xref="S4.1.p1.6.m5.2.3.2.cmml">F</mi><mo id="S4.1.p1.6.m5.2.3.1" xref="S4.1.p1.6.m5.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.1.p1.6.m5.2.3.3.2" xref="S4.1.p1.6.m5.2.3.3.1.cmml"><mo id="S4.1.p1.6.m5.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.1.p1.6.m5.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S4.1.p1.6.m5.1.1" xref="S4.1.p1.6.m5.1.1.cmml">x</mi><mo id="S4.1.p1.6.m5.2.3.3.2.2" xref="S4.1.p1.6.m5.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.1.p1.6.m5.2.2" xref="S4.1.p1.6.m5.2.2.cmml">y</mi><mo id="S4.1.p1.6.m5.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.1.p1.6.m5.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.1.p1.6.m5.2b"><apply id="S4.1.p1.6.m5.2.3.cmml" xref="S4.1.p1.6.m5.2.3"><times id="S4.1.p1.6.m5.2.3.1.cmml" xref="S4.1.p1.6.m5.2.3.1"></times><ci id="S4.1.p1.6.m5.2.3.2.cmml" xref="S4.1.p1.6.m5.2.3.2">𝐹</ci><interval closure="open" id="S4.1.p1.6.m5.2.3.3.1.cmml" xref="S4.1.p1.6.m5.2.3.3.2"><ci id="S4.1.p1.6.m5.1.1.cmml" xref="S4.1.p1.6.m5.1.1">𝑥</ci><ci id="S4.1.p1.6.m5.2.2.cmml" xref="S4.1.p1.6.m5.2.2">𝑦</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.1.p1.6.m5.2c">F(x,y)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.1.p1.6.m5.2d">italic_F ( italic_x , italic_y )</annotation></semantics></math> cannot be part of any quadruplet of MUBs, and hence Zauner’s conjecture follows if <math alttext="H" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.1.p1.7.m6.1"><semantics id="S4.1.p1.7.m6.1a"><mi id="S4.1.p1.7.m6.1.1" xref="S4.1.p1.7.m6.1.1.cmml">H</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.1.p1.7.m6.1b"><ci id="S4.1.p1.7.m6.1.1.cmml" xref="S4.1.p1.7.m6.1.1">𝐻</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.1.p1.7.m6.1c">H</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.1.p1.7.m6.1d">italic_H</annotation></semantics></math> is belongs to the Fourier family. Also, if <math alttext="H" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.1.p1.8.m7.1"><semantics id="S4.1.p1.8.m7.1a"><mi id="S4.1.p1.8.m7.1.1" xref="S4.1.p1.8.m7.1.1.cmml">H</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.1.p1.8.m7.1b"><ci id="S4.1.p1.8.m7.1.1.cmml" xref="S4.1.p1.8.m7.1.1">𝐻</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.1.p1.8.m7.1c">H</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.1.p1.8.m7.1d">italic_H</annotation></semantics></math> belongs to the Szöllősi family <math alttext="X(\alpha)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.1.p1.9.m8.1"><semantics id="S4.1.p1.9.m8.1a"><mrow id="S4.1.p1.9.m8.1.2" xref="S4.1.p1.9.m8.1.2.cmml"><mi id="S4.1.p1.9.m8.1.2.2" xref="S4.1.p1.9.m8.1.2.2.cmml">X</mi><mo id="S4.1.p1.9.m8.1.2.1" xref="S4.1.p1.9.m8.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.1.p1.9.m8.1.2.3.2" xref="S4.1.p1.9.m8.1.2.cmml"><mo id="S4.1.p1.9.m8.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.1.p1.9.m8.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.1.p1.9.m8.1.1" xref="S4.1.p1.9.m8.1.1.cmml">α</mi><mo id="S4.1.p1.9.m8.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.1.p1.9.m8.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.1.p1.9.m8.1b"><apply id="S4.1.p1.9.m8.1.2.cmml" xref="S4.1.p1.9.m8.1.2"><times id="S4.1.p1.9.m8.1.2.1.cmml" xref="S4.1.p1.9.m8.1.2.1"></times><ci id="S4.1.p1.9.m8.1.2.2.cmml" xref="S4.1.p1.9.m8.1.2.2">𝑋</ci><ci id="S4.1.p1.9.m8.1.1.cmml" xref="S4.1.p1.9.m8.1.1">𝛼</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.1.p1.9.m8.1c">X(\alpha)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.1.p1.9.m8.1d">italic_X ( italic_α )</annotation></semantics></math>, the discussion after <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#bib.bib12" title="">12</a>, Theorem 9]</cite> shows that <math alttext="H" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.1.p1.10.m9.1"><semantics id="S4.1.p1.10.m9.1a"><mi id="S4.1.p1.10.m9.1.1" xref="S4.1.p1.10.m9.1.1.cmml">H</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.1.p1.10.m9.1b"><ci id="S4.1.p1.10.m9.1.1.cmml" xref="S4.1.p1.10.m9.1.1">𝐻</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.1.p1.10.m9.1c">H</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.1.p1.10.m9.1d">italic_H</annotation></semantics></math> cannot be part of a quadruplet of MUBs. (We warn the reader here that there appears to be a small gap in the proof of <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#bib.bib11" title="">11</a>, Lemma 11]</cite> upon which the results of <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#bib.bib12" title="">12</a>]</cite> depend. However, we trust that the gap can be readily eliminated.)</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.2.p2"> <p class="ltx_p" id="S4.2.p2.3">Note that <math alttext="G_{H}(\pi(1,1,1,-1,-1,-1))=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.2.p2.1.m1.4"><semantics id="S4.2.p2.1.m1.4a"><mrow id="S4.2.p2.1.m1.4.4" xref="S4.2.p2.1.m1.4.4.cmml"><mrow id="S4.2.p2.1.m1.4.4.1" xref="S4.2.p2.1.m1.4.4.1.cmml"><msub id="S4.2.p2.1.m1.4.4.1.3" xref="S4.2.p2.1.m1.4.4.1.3.cmml"><mi id="S4.2.p2.1.m1.4.4.1.3.2" xref="S4.2.p2.1.m1.4.4.1.3.2.cmml">G</mi><mi id="S4.2.p2.1.m1.4.4.1.3.3" xref="S4.2.p2.1.m1.4.4.1.3.3.cmml">H</mi></msub><mo id="S4.2.p2.1.m1.4.4.1.2" xref="S4.2.p2.1.m1.4.4.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.2.p2.1.m1.4.4.1.1.1" xref="S4.2.p2.1.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.2.p2.1.m1.4.4.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.2.p2.1.m1.4.4.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.2.p2.1.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S4.2.p2.1.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.2.p2.1.m1.4.4.1.1.1.1.5" xref="S4.2.p2.1.m1.4.4.1.1.1.1.5.cmml">π</mi><mo id="S4.2.p2.1.m1.4.4.1.1.1.1.4" xref="S4.2.p2.1.m1.4.4.1.1.1.1.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.2.p2.1.m1.4.4.1.1.1.1.3.3" xref="S4.2.p2.1.m1.4.4.1.1.1.1.3.4.cmml"><mo id="S4.2.p2.1.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.4" stretchy="false" xref="S4.2.p2.1.m1.4.4.1.1.1.1.3.4.cmml">(</mo><mn id="S4.2.p2.1.m1.1.1" xref="S4.2.p2.1.m1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.2.p2.1.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.5" xref="S4.2.p2.1.m1.4.4.1.1.1.1.3.4.cmml">,</mo><mn id="S4.2.p2.1.m1.2.2" xref="S4.2.p2.1.m1.2.2.cmml">1</mn><mo id="S4.2.p2.1.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.6" xref="S4.2.p2.1.m1.4.4.1.1.1.1.3.4.cmml">,</mo><mn id="S4.2.p2.1.m1.3.3" xref="S4.2.p2.1.m1.3.3.cmml">1</mn><mo id="S4.2.p2.1.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.7" xref="S4.2.p2.1.m1.4.4.1.1.1.1.3.4.cmml">,</mo><mrow id="S4.2.p2.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.2.p2.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.2.p2.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S4.2.p2.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S4.2.p2.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.2.p2.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn></mrow><mo id="S4.2.p2.1.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.8" xref="S4.2.p2.1.m1.4.4.1.1.1.1.3.4.cmml">,</mo><mrow id="S4.2.p2.1.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.2.p2.1.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mo id="S4.2.p2.1.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2a" xref="S4.2.p2.1.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.cmml">−</mo><mn id="S4.2.p2.1.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S4.2.p2.1.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">1</mn></mrow><mo id="S4.2.p2.1.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.9" xref="S4.2.p2.1.m1.4.4.1.1.1.1.3.4.cmml">,</mo><mrow id="S4.2.p2.1.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.2.p2.1.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mo id="S4.2.p2.1.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.3a" xref="S4.2.p2.1.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.3.cmml">−</mo><mn id="S4.2.p2.1.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S4.2.p2.1.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">1</mn></mrow><mo id="S4.2.p2.1.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.10" stretchy="false" xref="S4.2.p2.1.m1.4.4.1.1.1.1.3.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.2.p2.1.m1.4.4.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.2.p2.1.m1.4.4.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.2.p2.1.m1.4.4.2" xref="S4.2.p2.1.m1.4.4.2.cmml">=</mo><mn id="S4.2.p2.1.m1.4.4.3" xref="S4.2.p2.1.m1.4.4.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.2.p2.1.m1.4b"><apply id="S4.2.p2.1.m1.4.4.cmml" xref="S4.2.p2.1.m1.4.4"><eq id="S4.2.p2.1.m1.4.4.2.cmml" xref="S4.2.p2.1.m1.4.4.2"></eq><apply id="S4.2.p2.1.m1.4.4.1.cmml" xref="S4.2.p2.1.m1.4.4.1"><times id="S4.2.p2.1.m1.4.4.1.2.cmml" xref="S4.2.p2.1.m1.4.4.1.2"></times><apply id="S4.2.p2.1.m1.4.4.1.3.cmml" xref="S4.2.p2.1.m1.4.4.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.2.p2.1.m1.4.4.1.3.1.cmml" xref="S4.2.p2.1.m1.4.4.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.2.p2.1.m1.4.4.1.3.2.cmml" xref="S4.2.p2.1.m1.4.4.1.3.2">𝐺</ci><ci id="S4.2.p2.1.m1.4.4.1.3.3.cmml" xref="S4.2.p2.1.m1.4.4.1.3.3">𝐻</ci></apply><apply id="S4.2.p2.1.m1.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S4.2.p2.1.m1.4.4.1.1.1"><times id="S4.2.p2.1.m1.4.4.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.2.p2.1.m1.4.4.1.1.1.1.4"></times><ci id="S4.2.p2.1.m1.4.4.1.1.1.1.5.cmml" xref="S4.2.p2.1.m1.4.4.1.1.1.1.5">𝜋</ci><vector id="S4.2.p2.1.m1.4.4.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S4.2.p2.1.m1.4.4.1.1.1.1.3.3"><cn id="S4.2.p2.1.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.2.p2.1.m1.1.1">1</cn><cn id="S4.2.p2.1.m1.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.2.p2.1.m1.2.2">1</cn><cn id="S4.2.p2.1.m1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.2.p2.1.m1.3.3">1</cn><apply id="S4.2.p2.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.2.p2.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S4.2.p2.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.2.p2.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1"></minus><cn id="S4.2.p2.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.2.p2.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2">1</cn></apply><apply id="S4.2.p2.1.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.2.p2.1.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2"><minus id="S4.2.p2.1.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.2.p2.1.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2"></minus><cn id="S4.2.p2.1.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.2.p2.1.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.2">1</cn></apply><apply id="S4.2.p2.1.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.2.p2.1.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.3"><minus id="S4.2.p2.1.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S4.2.p2.1.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.3"></minus><cn id="S4.2.p2.1.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.2.p2.1.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.3.2">1</cn></apply></vector></apply></apply><cn id="S4.2.p2.1.m1.4.4.3.cmml" type="integer" xref="S4.2.p2.1.m1.4.4.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.2.p2.1.m1.4c">G_{H}(\pi(1,1,1,-1,-1,-1))=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.2.p2.1.m1.4d">italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_H end_POSTSUBSCRIPT ( italic_π ( 1 , 1 , 1 , - 1 , - 1 , - 1 ) ) = 0</annotation></semantics></math> and <math alttext="G_{H}(\pi(3,3,3,-3,-3,-3))=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.2.p2.2.m2.4"><semantics id="S4.2.p2.2.m2.4a"><mrow id="S4.2.p2.2.m2.4.4" xref="S4.2.p2.2.m2.4.4.cmml"><mrow id="S4.2.p2.2.m2.4.4.1" xref="S4.2.p2.2.m2.4.4.1.cmml"><msub id="S4.2.p2.2.m2.4.4.1.3" xref="S4.2.p2.2.m2.4.4.1.3.cmml"><mi id="S4.2.p2.2.m2.4.4.1.3.2" xref="S4.2.p2.2.m2.4.4.1.3.2.cmml">G</mi><mi id="S4.2.p2.2.m2.4.4.1.3.3" xref="S4.2.p2.2.m2.4.4.1.3.3.cmml">H</mi></msub><mo id="S4.2.p2.2.m2.4.4.1.2" xref="S4.2.p2.2.m2.4.4.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.2.p2.2.m2.4.4.1.1.1" xref="S4.2.p2.2.m2.4.4.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.2.p2.2.m2.4.4.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.2.p2.2.m2.4.4.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.2.p2.2.m2.4.4.1.1.1.1" xref="S4.2.p2.2.m2.4.4.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.2.p2.2.m2.4.4.1.1.1.1.5" xref="S4.2.p2.2.m2.4.4.1.1.1.1.5.cmml">π</mi><mo id="S4.2.p2.2.m2.4.4.1.1.1.1.4" xref="S4.2.p2.2.m2.4.4.1.1.1.1.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.2.p2.2.m2.4.4.1.1.1.1.3.3" xref="S4.2.p2.2.m2.4.4.1.1.1.1.3.4.cmml"><mo id="S4.2.p2.2.m2.4.4.1.1.1.1.3.3.4" stretchy="false" xref="S4.2.p2.2.m2.4.4.1.1.1.1.3.4.cmml">(</mo><mn id="S4.2.p2.2.m2.1.1" xref="S4.2.p2.2.m2.1.1.cmml">3</mn><mo id="S4.2.p2.2.m2.4.4.1.1.1.1.3.3.5" xref="S4.2.p2.2.m2.4.4.1.1.1.1.3.4.cmml">,</mo><mn id="S4.2.p2.2.m2.2.2" xref="S4.2.p2.2.m2.2.2.cmml">3</mn><mo id="S4.2.p2.2.m2.4.4.1.1.1.1.3.3.6" xref="S4.2.p2.2.m2.4.4.1.1.1.1.3.4.cmml">,</mo><mn id="S4.2.p2.2.m2.3.3" xref="S4.2.p2.2.m2.3.3.cmml">3</mn><mo id="S4.2.p2.2.m2.4.4.1.1.1.1.3.3.7" xref="S4.2.p2.2.m2.4.4.1.1.1.1.3.4.cmml">,</mo><mrow id="S4.2.p2.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.2.p2.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.2.p2.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S4.2.p2.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S4.2.p2.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.2.p2.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">3</mn></mrow><mo id="S4.2.p2.2.m2.4.4.1.1.1.1.3.3.8" xref="S4.2.p2.2.m2.4.4.1.1.1.1.3.4.cmml">,</mo><mrow id="S4.2.p2.2.m2.4.4.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.2.p2.2.m2.4.4.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mo id="S4.2.p2.2.m2.4.4.1.1.1.1.2.2.2a" xref="S4.2.p2.2.m2.4.4.1.1.1.1.2.2.2.cmml">−</mo><mn id="S4.2.p2.2.m2.4.4.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S4.2.p2.2.m2.4.4.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">3</mn></mrow><mo id="S4.2.p2.2.m2.4.4.1.1.1.1.3.3.9" xref="S4.2.p2.2.m2.4.4.1.1.1.1.3.4.cmml">,</mo><mrow id="S4.2.p2.2.m2.4.4.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.2.p2.2.m2.4.4.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mo id="S4.2.p2.2.m2.4.4.1.1.1.1.3.3.3a" xref="S4.2.p2.2.m2.4.4.1.1.1.1.3.3.3.cmml">−</mo><mn id="S4.2.p2.2.m2.4.4.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S4.2.p2.2.m2.4.4.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">3</mn></mrow><mo id="S4.2.p2.2.m2.4.4.1.1.1.1.3.3.10" stretchy="false" xref="S4.2.p2.2.m2.4.4.1.1.1.1.3.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.2.p2.2.m2.4.4.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.2.p2.2.m2.4.4.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.2.p2.2.m2.4.4.2" xref="S4.2.p2.2.m2.4.4.2.cmml">=</mo><mn id="S4.2.p2.2.m2.4.4.3" xref="S4.2.p2.2.m2.4.4.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.2.p2.2.m2.4b"><apply id="S4.2.p2.2.m2.4.4.cmml" xref="S4.2.p2.2.m2.4.4"><eq id="S4.2.p2.2.m2.4.4.2.cmml" xref="S4.2.p2.2.m2.4.4.2"></eq><apply id="S4.2.p2.2.m2.4.4.1.cmml" xref="S4.2.p2.2.m2.4.4.1"><times id="S4.2.p2.2.m2.4.4.1.2.cmml" xref="S4.2.p2.2.m2.4.4.1.2"></times><apply id="S4.2.p2.2.m2.4.4.1.3.cmml" xref="S4.2.p2.2.m2.4.4.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.2.p2.2.m2.4.4.1.3.1.cmml" xref="S4.2.p2.2.m2.4.4.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.2.p2.2.m2.4.4.1.3.2.cmml" xref="S4.2.p2.2.m2.4.4.1.3.2">𝐺</ci><ci id="S4.2.p2.2.m2.4.4.1.3.3.cmml" xref="S4.2.p2.2.m2.4.4.1.3.3">𝐻</ci></apply><apply id="S4.2.p2.2.m2.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S4.2.p2.2.m2.4.4.1.1.1"><times id="S4.2.p2.2.m2.4.4.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.2.p2.2.m2.4.4.1.1.1.1.4"></times><ci id="S4.2.p2.2.m2.4.4.1.1.1.1.5.cmml" xref="S4.2.p2.2.m2.4.4.1.1.1.1.5">𝜋</ci><vector id="S4.2.p2.2.m2.4.4.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S4.2.p2.2.m2.4.4.1.1.1.1.3.3"><cn id="S4.2.p2.2.m2.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.2.p2.2.m2.1.1">3</cn><cn id="S4.2.p2.2.m2.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.2.p2.2.m2.2.2">3</cn><cn id="S4.2.p2.2.m2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.2.p2.2.m2.3.3">3</cn><apply id="S4.2.p2.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.2.p2.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S4.2.p2.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.2.p2.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1"></minus><cn id="S4.2.p2.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.2.p2.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2">3</cn></apply><apply id="S4.2.p2.2.m2.4.4.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.2.p2.2.m2.4.4.1.1.1.1.2.2.2"><minus id="S4.2.p2.2.m2.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.2.p2.2.m2.4.4.1.1.1.1.2.2.2"></minus><cn id="S4.2.p2.2.m2.4.4.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.2.p2.2.m2.4.4.1.1.1.1.2.2.2.2">3</cn></apply><apply id="S4.2.p2.2.m2.4.4.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.2.p2.2.m2.4.4.1.1.1.1.3.3.3"><minus id="S4.2.p2.2.m2.4.4.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S4.2.p2.2.m2.4.4.1.1.1.1.3.3.3"></minus><cn id="S4.2.p2.2.m2.4.4.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.2.p2.2.m2.4.4.1.1.1.1.3.3.3.2">3</cn></apply></vector></apply></apply><cn id="S4.2.p2.2.m2.4.4.3.cmml" type="integer" xref="S4.2.p2.2.m2.4.4.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.2.p2.2.m2.4c">G_{H}(\pi(3,3,3,-3,-3,-3))=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.2.p2.2.m2.4d">italic_G start_POSTSUBSCRIPT italic_H end_POSTSUBSCRIPT ( italic_π ( 3 , 3 , 3 , - 3 , - 3 , - 3 ) ) = 0</annotation></semantics></math> for all permutations <math alttext="\pi" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.2.p2.3.m3.1"><semantics id="S4.2.p2.3.m3.1a"><mi id="S4.2.p2.3.m3.1.1" xref="S4.2.p2.3.m3.1.1.cmml">π</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.2.p2.3.m3.1b"><ci id="S4.2.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.2.p2.3.m3.1.1">𝜋</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.2.p2.3.m3.1c">\pi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.2.p2.3.m3.1d">italic_π</annotation></semantics></math> occurs if and only if</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E9"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(4.9)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\tilde{G}_{H}(1,1,1,-1,-1,-1)=0,\ \ \ \tilde{G}_{H}(3,3,3,-3,-3,-3)=0." class="ltx_Math" display="block" id="S4.E9.m1.7"><semantics id="S4.E9.m1.7a"><mrow id="S4.E9.m1.7.7.1"><mrow id="S4.E9.m1.7.7.1.1.2" xref="S4.E9.m1.7.7.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.E9.m1.7.7.1.1.1.1" xref="S4.E9.m1.7.7.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E9.m1.7.7.1.1.1.1.3" xref="S4.E9.m1.7.7.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S4.E9.m1.7.7.1.1.1.1.3.5" xref="S4.E9.m1.7.7.1.1.1.1.3.5.cmml"><mover accent="true" id="S4.E9.m1.7.7.1.1.1.1.3.5.2" xref="S4.E9.m1.7.7.1.1.1.1.3.5.2.cmml"><mi id="S4.E9.m1.7.7.1.1.1.1.3.5.2.2" xref="S4.E9.m1.7.7.1.1.1.1.3.5.2.2.cmml">G</mi><mo id="S4.E9.m1.7.7.1.1.1.1.3.5.2.1" xref="S4.E9.m1.7.7.1.1.1.1.3.5.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S4.E9.m1.7.7.1.1.1.1.3.5.3" xref="S4.E9.m1.7.7.1.1.1.1.3.5.3.cmml">H</mi></msub><mo id="S4.E9.m1.7.7.1.1.1.1.3.4" xref="S4.E9.m1.7.7.1.1.1.1.3.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E9.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.E9.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.4.cmml"><mo id="S4.E9.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.3.4" stretchy="false" xref="S4.E9.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.4.cmml">(</mo><mn id="S4.E9.m1.1.1" xref="S4.E9.m1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.E9.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.3.5" xref="S4.E9.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.4.cmml">,</mo><mn id="S4.E9.m1.2.2" xref="S4.E9.m1.2.2.cmml">1</mn><mo id="S4.E9.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.3.6" xref="S4.E9.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.4.cmml">,</mo><mn id="S4.E9.m1.3.3" xref="S4.E9.m1.3.3.cmml">1</mn><mo id="S4.E9.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.3.7" xref="S4.E9.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.4.cmml">,</mo><mrow id="S4.E9.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E9.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E9.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S4.E9.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S4.E9.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E9.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn></mrow><mo id="S4.E9.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.3.8" xref="S4.E9.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.4.cmml">,</mo><mrow id="S4.E9.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S4.E9.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mo id="S4.E9.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2.2a" xref="S4.E9.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">−</mo><mn id="S4.E9.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S4.E9.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">1</mn></mrow><mo id="S4.E9.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.3.9" xref="S4.E9.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.4.cmml">,</mo><mrow id="S4.E9.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S4.E9.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml"><mo id="S4.E9.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.3.3a" xref="S4.E9.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">−</mo><mn id="S4.E9.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.3.3.2" xref="S4.E9.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.3.3.2.cmml">1</mn></mrow><mo id="S4.E9.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.3.10" stretchy="false" xref="S4.E9.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E9.m1.7.7.1.1.1.1.4" xref="S4.E9.m1.7.7.1.1.1.1.4.cmml">=</mo><mn id="S4.E9.m1.7.7.1.1.1.1.5" xref="S4.E9.m1.7.7.1.1.1.1.5.cmml">0</mn></mrow><mo id="S4.E9.m1.7.7.1.1.2.3" rspace="1.667em" xref="S4.E9.m1.7.7.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.E9.m1.7.7.1.1.2.2" xref="S4.E9.m1.7.7.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S4.E9.m1.7.7.1.1.2.2.3" xref="S4.E9.m1.7.7.1.1.2.2.3.cmml"><msub id="S4.E9.m1.7.7.1.1.2.2.3.5" xref="S4.E9.m1.7.7.1.1.2.2.3.5.cmml"><mover accent="true" id="S4.E9.m1.7.7.1.1.2.2.3.5.2" xref="S4.E9.m1.7.7.1.1.2.2.3.5.2.cmml"><mi id="S4.E9.m1.7.7.1.1.2.2.3.5.2.2" xref="S4.E9.m1.7.7.1.1.2.2.3.5.2.2.cmml">G</mi><mo id="S4.E9.m1.7.7.1.1.2.2.3.5.2.1" xref="S4.E9.m1.7.7.1.1.2.2.3.5.2.1.cmml">~</mo></mover><mi id="S4.E9.m1.7.7.1.1.2.2.3.5.3" xref="S4.E9.m1.7.7.1.1.2.2.3.5.3.cmml">H</mi></msub><mo id="S4.E9.m1.7.7.1.1.2.2.3.4" xref="S4.E9.m1.7.7.1.1.2.2.3.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E9.m1.7.7.1.1.2.2.3.3.3" xref="S4.E9.m1.7.7.1.1.2.2.3.3.4.cmml"><mo id="S4.E9.m1.7.7.1.1.2.2.3.3.3.4" stretchy="false" xref="S4.E9.m1.7.7.1.1.2.2.3.3.4.cmml">(</mo><mn id="S4.E9.m1.4.4" xref="S4.E9.m1.4.4.cmml">3</mn><mo id="S4.E9.m1.7.7.1.1.2.2.3.3.3.5" xref="S4.E9.m1.7.7.1.1.2.2.3.3.4.cmml">,</mo><mn id="S4.E9.m1.5.5" xref="S4.E9.m1.5.5.cmml">3</mn><mo id="S4.E9.m1.7.7.1.1.2.2.3.3.3.6" xref="S4.E9.m1.7.7.1.1.2.2.3.3.4.cmml">,</mo><mn id="S4.E9.m1.6.6" xref="S4.E9.m1.6.6.cmml">3</mn><mo id="S4.E9.m1.7.7.1.1.2.2.3.3.3.7" xref="S4.E9.m1.7.7.1.1.2.2.3.3.4.cmml">,</mo><mrow id="S4.E9.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1" xref="S4.E9.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E9.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1a" xref="S4.E9.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S4.E9.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S4.E9.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">3</mn></mrow><mo id="S4.E9.m1.7.7.1.1.2.2.3.3.3.8" xref="S4.E9.m1.7.7.1.1.2.2.3.3.4.cmml">,</mo><mrow id="S4.E9.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="S4.E9.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml"><mo id="S4.E9.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2.2a" xref="S4.E9.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml">−</mo><mn id="S4.E9.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2.2.2" xref="S4.E9.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2.2.2.cmml">3</mn></mrow><mo id="S4.E9.m1.7.7.1.1.2.2.3.3.3.9" xref="S4.E9.m1.7.7.1.1.2.2.3.3.4.cmml">,</mo><mrow id="S4.E9.m1.7.7.1.1.2.2.3.3.3.3" xref="S4.E9.m1.7.7.1.1.2.2.3.3.3.3.cmml"><mo id="S4.E9.m1.7.7.1.1.2.2.3.3.3.3a" xref="S4.E9.m1.7.7.1.1.2.2.3.3.3.3.cmml">−</mo><mn id="S4.E9.m1.7.7.1.1.2.2.3.3.3.3.2" xref="S4.E9.m1.7.7.1.1.2.2.3.3.3.3.2.cmml">3</mn></mrow><mo id="S4.E9.m1.7.7.1.1.2.2.3.3.3.10" stretchy="false" xref="S4.E9.m1.7.7.1.1.2.2.3.3.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E9.m1.7.7.1.1.2.2.4" xref="S4.E9.m1.7.7.1.1.2.2.4.cmml">=</mo><mn id="S4.E9.m1.7.7.1.1.2.2.5" xref="S4.E9.m1.7.7.1.1.2.2.5.cmml">0</mn></mrow></mrow><mo id="S4.E9.m1.7.7.1.2" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E9.m1.7b"><apply id="S4.E9.m1.7.7.1.1.3.cmml" xref="S4.E9.m1.7.7.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E9.m1.7.7.1.1.3a.cmml" xref="S4.E9.m1.7.7.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.E9.m1.7.7.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E9.m1.7.7.1.1.1.1"><eq id="S4.E9.m1.7.7.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.E9.m1.7.7.1.1.1.1.4"></eq><apply id="S4.E9.m1.7.7.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E9.m1.7.7.1.1.1.1.3"><times id="S4.E9.m1.7.7.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S4.E9.m1.7.7.1.1.1.1.3.4"></times><apply id="S4.E9.m1.7.7.1.1.1.1.3.5.cmml" xref="S4.E9.m1.7.7.1.1.1.1.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E9.m1.7.7.1.1.1.1.3.5.1.cmml" xref="S4.E9.m1.7.7.1.1.1.1.3.5">subscript</csymbol><apply id="S4.E9.m1.7.7.1.1.1.1.3.5.2.cmml" xref="S4.E9.m1.7.7.1.1.1.1.3.5.2"><ci id="S4.E9.m1.7.7.1.1.1.1.3.5.2.1.cmml" xref="S4.E9.m1.7.7.1.1.1.1.3.5.2.1">~</ci><ci id="S4.E9.m1.7.7.1.1.1.1.3.5.2.2.cmml" xref="S4.E9.m1.7.7.1.1.1.1.3.5.2.2">𝐺</ci></apply><ci id="S4.E9.m1.7.7.1.1.1.1.3.5.3.cmml" xref="S4.E9.m1.7.7.1.1.1.1.3.5.3">𝐻</ci></apply><vector id="S4.E9.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.4.cmml" xref="S4.E9.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.3"><cn id="S4.E9.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.E9.m1.1.1">1</cn><cn id="S4.E9.m1.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.E9.m1.2.2">1</cn><cn id="S4.E9.m1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E9.m1.3.3">1</cn><apply id="S4.E9.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E9.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S4.E9.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E9.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><cn id="S4.E9.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.E9.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2">1</cn></apply><apply id="S4.E9.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E9.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2.2"><minus id="S4.E9.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E9.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2.2"></minus><cn id="S4.E9.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.E9.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2.2.2">1</cn></apply><apply id="S4.E9.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S4.E9.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.3.3"><minus id="S4.E9.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.3.3.1.cmml" xref="S4.E9.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.3.3"></minus><cn id="S4.E9.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.E9.m1.7.7.1.1.1.1.3.3.3.3.2">1</cn></apply></vector></apply><cn id="S4.E9.m1.7.7.1.1.1.1.5.cmml" type="integer" xref="S4.E9.m1.7.7.1.1.1.1.5">0</cn></apply><apply id="S4.E9.m1.7.7.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E9.m1.7.7.1.1.2.2"><eq id="S4.E9.m1.7.7.1.1.2.2.4.cmml" xref="S4.E9.m1.7.7.1.1.2.2.4"></eq><apply id="S4.E9.m1.7.7.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.E9.m1.7.7.1.1.2.2.3"><times id="S4.E9.m1.7.7.1.1.2.2.3.4.cmml" xref="S4.E9.m1.7.7.1.1.2.2.3.4"></times><apply id="S4.E9.m1.7.7.1.1.2.2.3.5.cmml" xref="S4.E9.m1.7.7.1.1.2.2.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E9.m1.7.7.1.1.2.2.3.5.1.cmml" xref="S4.E9.m1.7.7.1.1.2.2.3.5">subscript</csymbol><apply id="S4.E9.m1.7.7.1.1.2.2.3.5.2.cmml" xref="S4.E9.m1.7.7.1.1.2.2.3.5.2"><ci id="S4.E9.m1.7.7.1.1.2.2.3.5.2.1.cmml" xref="S4.E9.m1.7.7.1.1.2.2.3.5.2.1">~</ci><ci id="S4.E9.m1.7.7.1.1.2.2.3.5.2.2.cmml" xref="S4.E9.m1.7.7.1.1.2.2.3.5.2.2">𝐺</ci></apply><ci id="S4.E9.m1.7.7.1.1.2.2.3.5.3.cmml" xref="S4.E9.m1.7.7.1.1.2.2.3.5.3">𝐻</ci></apply><vector id="S4.E9.m1.7.7.1.1.2.2.3.3.4.cmml" xref="S4.E9.m1.7.7.1.1.2.2.3.3.3"><cn id="S4.E9.m1.4.4.cmml" type="integer" xref="S4.E9.m1.4.4">3</cn><cn id="S4.E9.m1.5.5.cmml" type="integer" xref="S4.E9.m1.5.5">3</cn><cn id="S4.E9.m1.6.6.cmml" type="integer" xref="S4.E9.m1.6.6">3</cn><apply id="S4.E9.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E9.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1"><minus id="S4.E9.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E9.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1"></minus><cn id="S4.E9.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.E9.m1.7.7.1.1.2.2.1.1.1.1.2">3</cn></apply><apply id="S4.E9.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E9.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2.2"><minus id="S4.E9.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E9.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2.2"></minus><cn id="S4.E9.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.E9.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2.2.2">3</cn></apply><apply id="S4.E9.m1.7.7.1.1.2.2.3.3.3.3.cmml" xref="S4.E9.m1.7.7.1.1.2.2.3.3.3.3"><minus id="S4.E9.m1.7.7.1.1.2.2.3.3.3.3.1.cmml" xref="S4.E9.m1.7.7.1.1.2.2.3.3.3.3"></minus><cn id="S4.E9.m1.7.7.1.1.2.2.3.3.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.E9.m1.7.7.1.1.2.2.3.3.3.3.2">3</cn></apply></vector></apply><cn id="S4.E9.m1.7.7.1.1.2.2.5.cmml" type="integer" xref="S4.E9.m1.7.7.1.1.2.2.5">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E9.m1.7c">\tilde{G}_{H}(1,1,1,-1,-1,-1)=0,\ \ \ \tilde{G}_{H}(3,3,3,-3,-3,-3)=0.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E9.m1.7d">over~ start_ARG italic_G end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_H end_POSTSUBSCRIPT ( 1 , 1 , 1 , - 1 , - 1 , - 1 ) = 0 , over~ start_ARG italic_G end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_H end_POSTSUBSCRIPT ( 3 , 3 , 3 , - 3 , - 3 , - 3 ) = 0 .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S4.3.p3"> <p class="ltx_p" id="S4.3.p3.3">It remains to show that in this case <math alttext="H" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.3.p3.1.m1.1"><semantics id="S4.3.p3.1.m1.1a"><mi id="S4.3.p3.1.m1.1.1" xref="S4.3.p3.1.m1.1.1.cmml">H</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.3.p3.1.m1.1b"><ci id="S4.3.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.3.p3.1.m1.1.1">𝐻</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.3.p3.1.m1.1c">H</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.3.p3.1.m1.1d">italic_H</annotation></semantics></math> belongs to the Fourier family <math alttext="F(x,y)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.3.p3.2.m2.2"><semantics id="S4.3.p3.2.m2.2a"><mrow id="S4.3.p3.2.m2.2.3" xref="S4.3.p3.2.m2.2.3.cmml"><mi id="S4.3.p3.2.m2.2.3.2" xref="S4.3.p3.2.m2.2.3.2.cmml">F</mi><mo id="S4.3.p3.2.m2.2.3.1" xref="S4.3.p3.2.m2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.3.p3.2.m2.2.3.3.2" xref="S4.3.p3.2.m2.2.3.3.1.cmml"><mo id="S4.3.p3.2.m2.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.3.p3.2.m2.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S4.3.p3.2.m2.1.1" xref="S4.3.p3.2.m2.1.1.cmml">x</mi><mo id="S4.3.p3.2.m2.2.3.3.2.2" xref="S4.3.p3.2.m2.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.3.p3.2.m2.2.2" xref="S4.3.p3.2.m2.2.2.cmml">y</mi><mo id="S4.3.p3.2.m2.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.3.p3.2.m2.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.3.p3.2.m2.2b"><apply id="S4.3.p3.2.m2.2.3.cmml" xref="S4.3.p3.2.m2.2.3"><times id="S4.3.p3.2.m2.2.3.1.cmml" xref="S4.3.p3.2.m2.2.3.1"></times><ci id="S4.3.p3.2.m2.2.3.2.cmml" xref="S4.3.p3.2.m2.2.3.2">𝐹</ci><interval closure="open" id="S4.3.p3.2.m2.2.3.3.1.cmml" xref="S4.3.p3.2.m2.2.3.3.2"><ci id="S4.3.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.3.p3.2.m2.1.1">𝑥</ci><ci id="S4.3.p3.2.m2.2.2.cmml" xref="S4.3.p3.2.m2.2.2">𝑦</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.3.p3.2.m2.2c">F(x,y)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.3.p3.2.m2.2d">italic_F ( italic_x , italic_y )</annotation></semantics></math> or the Szöllősi family <math alttext="X(\alpha)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.3.p3.3.m3.1"><semantics id="S4.3.p3.3.m3.1a"><mrow id="S4.3.p3.3.m3.1.2" xref="S4.3.p3.3.m3.1.2.cmml"><mi id="S4.3.p3.3.m3.1.2.2" xref="S4.3.p3.3.m3.1.2.2.cmml">X</mi><mo id="S4.3.p3.3.m3.1.2.1" xref="S4.3.p3.3.m3.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.3.p3.3.m3.1.2.3.2" xref="S4.3.p3.3.m3.1.2.cmml"><mo id="S4.3.p3.3.m3.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.3.p3.3.m3.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.3.p3.3.m3.1.1" xref="S4.3.p3.3.m3.1.1.cmml">α</mi><mo id="S4.3.p3.3.m3.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.3.p3.3.m3.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.3.p3.3.m3.1b"><apply id="S4.3.p3.3.m3.1.2.cmml" xref="S4.3.p3.3.m3.1.2"><times id="S4.3.p3.3.m3.1.2.1.cmml" xref="S4.3.p3.3.m3.1.2.1"></times><ci id="S4.3.p3.3.m3.1.2.2.cmml" xref="S4.3.p3.3.m3.1.2.2">𝑋</ci><ci id="S4.3.p3.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.3.p3.3.m3.1.1">𝛼</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.3.p3.3.m3.1c">X(\alpha)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.3.p3.3.m3.1d">italic_X ( italic_α )</annotation></semantics></math>. We will need some auxiliary definitions and lemmas during the proof. We first recall a general definition from <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#bib.bib3" title="">3</a>]</cite> which makes sense in any even dimensions.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_defi" id="S4.Thmfact3"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S4.Thmfact3.1.1.1">Definition 4.3</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S4.Thmfact3.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="S4.Thmfact3.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.Thmfact3.p1.5">A vector <math alttext="v\in\mathbb{C}^{2n}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmfact3.p1.1.m1.1"><semantics id="S4.Thmfact3.p1.1.m1.1a"><mrow id="S4.Thmfact3.p1.1.m1.1.1" xref="S4.Thmfact3.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmfact3.p1.1.m1.1.1.2" xref="S4.Thmfact3.p1.1.m1.1.1.2.cmml">v</mi><mo id="S4.Thmfact3.p1.1.m1.1.1.1" xref="S4.Thmfact3.p1.1.m1.1.1.1.cmml">∈</mo><msup id="S4.Thmfact3.p1.1.m1.1.1.3" xref="S4.Thmfact3.p1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Thmfact3.p1.1.m1.1.1.3.2" xref="S4.Thmfact3.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml">ℂ</mi><mrow id="S4.Thmfact3.p1.1.m1.1.1.3.3" xref="S4.Thmfact3.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml"><mn id="S4.Thmfact3.p1.1.m1.1.1.3.3.2" xref="S4.Thmfact3.p1.1.m1.1.1.3.3.2.cmml">2</mn><mo id="S4.Thmfact3.p1.1.m1.1.1.3.3.1" xref="S4.Thmfact3.p1.1.m1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Thmfact3.p1.1.m1.1.1.3.3.3" xref="S4.Thmfact3.p1.1.m1.1.1.3.3.3.cmml">n</mi></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmfact3.p1.1.m1.1b"><apply id="S4.Thmfact3.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.Thmfact3.p1.1.m1.1.1"><in id="S4.Thmfact3.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmfact3.p1.1.m1.1.1.1"></in><ci id="S4.Thmfact3.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmfact3.p1.1.m1.1.1.2">𝑣</ci><apply id="S4.Thmfact3.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmfact3.p1.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmfact3.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Thmfact3.p1.1.m1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S4.Thmfact3.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Thmfact3.p1.1.m1.1.1.3.2">ℂ</ci><apply id="S4.Thmfact3.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Thmfact3.p1.1.m1.1.1.3.3"><times id="S4.Thmfact3.p1.1.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Thmfact3.p1.1.m1.1.1.3.3.1"></times><cn id="S4.Thmfact3.p1.1.m1.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.Thmfact3.p1.1.m1.1.1.3.3.2">2</cn><ci id="S4.Thmfact3.p1.1.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Thmfact3.p1.1.m1.1.1.3.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmfact3.p1.1.m1.1c">v\in\mathbb{C}^{2n}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmfact3.p1.1.m1.1d">italic_v ∈ blackboard_C start_POSTSUPERSCRIPT 2 italic_n end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is called <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="S4.Thmfact3.p1.5.1">binary</em>, if it is of the form <math alttext="(x_{1},-x_{1},\ldots,x_{n},-x_{n})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmfact3.p1.2.m2.5"><semantics id="S4.Thmfact3.p1.2.m2.5a"><mrow id="S4.Thmfact3.p1.2.m2.5.5.4" xref="S4.Thmfact3.p1.2.m2.5.5.5.cmml"><mo id="S4.Thmfact3.p1.2.m2.5.5.4.5" stretchy="false" xref="S4.Thmfact3.p1.2.m2.5.5.5.cmml">(</mo><msub id="S4.Thmfact3.p1.2.m2.2.2.1.1" xref="S4.Thmfact3.p1.2.m2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmfact3.p1.2.m2.2.2.1.1.2" xref="S4.Thmfact3.p1.2.m2.2.2.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="S4.Thmfact3.p1.2.m2.2.2.1.1.3" xref="S4.Thmfact3.p1.2.m2.2.2.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.Thmfact3.p1.2.m2.5.5.4.6" xref="S4.Thmfact3.p1.2.m2.5.5.5.cmml">,</mo><mrow id="S4.Thmfact3.p1.2.m2.3.3.2.2" xref="S4.Thmfact3.p1.2.m2.3.3.2.2.cmml"><mo id="S4.Thmfact3.p1.2.m2.3.3.2.2a" xref="S4.Thmfact3.p1.2.m2.3.3.2.2.cmml">−</mo><msub id="S4.Thmfact3.p1.2.m2.3.3.2.2.2" xref="S4.Thmfact3.p1.2.m2.3.3.2.2.2.cmml"><mi id="S4.Thmfact3.p1.2.m2.3.3.2.2.2.2" xref="S4.Thmfact3.p1.2.m2.3.3.2.2.2.2.cmml">x</mi><mn id="S4.Thmfact3.p1.2.m2.3.3.2.2.2.3" xref="S4.Thmfact3.p1.2.m2.3.3.2.2.2.3.cmml">1</mn></msub></mrow><mo id="S4.Thmfact3.p1.2.m2.5.5.4.7" xref="S4.Thmfact3.p1.2.m2.5.5.5.cmml">,</mo><mi id="S4.Thmfact3.p1.2.m2.1.1" mathvariant="normal" xref="S4.Thmfact3.p1.2.m2.1.1.cmml">…</mi><mo id="S4.Thmfact3.p1.2.m2.5.5.4.8" xref="S4.Thmfact3.p1.2.m2.5.5.5.cmml">,</mo><msub id="S4.Thmfact3.p1.2.m2.4.4.3.3" xref="S4.Thmfact3.p1.2.m2.4.4.3.3.cmml"><mi id="S4.Thmfact3.p1.2.m2.4.4.3.3.2" xref="S4.Thmfact3.p1.2.m2.4.4.3.3.2.cmml">x</mi><mi id="S4.Thmfact3.p1.2.m2.4.4.3.3.3" xref="S4.Thmfact3.p1.2.m2.4.4.3.3.3.cmml">n</mi></msub><mo id="S4.Thmfact3.p1.2.m2.5.5.4.9" xref="S4.Thmfact3.p1.2.m2.5.5.5.cmml">,</mo><mrow id="S4.Thmfact3.p1.2.m2.5.5.4.4" xref="S4.Thmfact3.p1.2.m2.5.5.4.4.cmml"><mo id="S4.Thmfact3.p1.2.m2.5.5.4.4a" xref="S4.Thmfact3.p1.2.m2.5.5.4.4.cmml">−</mo><msub id="S4.Thmfact3.p1.2.m2.5.5.4.4.2" xref="S4.Thmfact3.p1.2.m2.5.5.4.4.2.cmml"><mi id="S4.Thmfact3.p1.2.m2.5.5.4.4.2.2" xref="S4.Thmfact3.p1.2.m2.5.5.4.4.2.2.cmml">x</mi><mi id="S4.Thmfact3.p1.2.m2.5.5.4.4.2.3" xref="S4.Thmfact3.p1.2.m2.5.5.4.4.2.3.cmml">n</mi></msub></mrow><mo id="S4.Thmfact3.p1.2.m2.5.5.4.10" stretchy="false" xref="S4.Thmfact3.p1.2.m2.5.5.5.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmfact3.p1.2.m2.5b"><vector id="S4.Thmfact3.p1.2.m2.5.5.5.cmml" xref="S4.Thmfact3.p1.2.m2.5.5.4"><apply id="S4.Thmfact3.p1.2.m2.2.2.1.1.cmml" xref="S4.Thmfact3.p1.2.m2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmfact3.p1.2.m2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmfact3.p1.2.m2.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmfact3.p1.2.m2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmfact3.p1.2.m2.2.2.1.1.2">𝑥</ci><cn id="S4.Thmfact3.p1.2.m2.2.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmfact3.p1.2.m2.2.2.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S4.Thmfact3.p1.2.m2.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Thmfact3.p1.2.m2.3.3.2.2"><minus id="S4.Thmfact3.p1.2.m2.3.3.2.2.1.cmml" xref="S4.Thmfact3.p1.2.m2.3.3.2.2"></minus><apply id="S4.Thmfact3.p1.2.m2.3.3.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmfact3.p1.2.m2.3.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmfact3.p1.2.m2.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Thmfact3.p1.2.m2.3.3.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmfact3.p1.2.m2.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmfact3.p1.2.m2.3.3.2.2.2.2">𝑥</ci><cn id="S4.Thmfact3.p1.2.m2.3.3.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmfact3.p1.2.m2.3.3.2.2.2.3">1</cn></apply></apply><ci id="S4.Thmfact3.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.Thmfact3.p1.2.m2.1.1">…</ci><apply id="S4.Thmfact3.p1.2.m2.4.4.3.3.cmml" xref="S4.Thmfact3.p1.2.m2.4.4.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmfact3.p1.2.m2.4.4.3.3.1.cmml" xref="S4.Thmfact3.p1.2.m2.4.4.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmfact3.p1.2.m2.4.4.3.3.2.cmml" xref="S4.Thmfact3.p1.2.m2.4.4.3.3.2">𝑥</ci><ci id="S4.Thmfact3.p1.2.m2.4.4.3.3.3.cmml" xref="S4.Thmfact3.p1.2.m2.4.4.3.3.3">𝑛</ci></apply><apply id="S4.Thmfact3.p1.2.m2.5.5.4.4.cmml" xref="S4.Thmfact3.p1.2.m2.5.5.4.4"><minus id="S4.Thmfact3.p1.2.m2.5.5.4.4.1.cmml" xref="S4.Thmfact3.p1.2.m2.5.5.4.4"></minus><apply id="S4.Thmfact3.p1.2.m2.5.5.4.4.2.cmml" xref="S4.Thmfact3.p1.2.m2.5.5.4.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmfact3.p1.2.m2.5.5.4.4.2.1.cmml" xref="S4.Thmfact3.p1.2.m2.5.5.4.4.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmfact3.p1.2.m2.5.5.4.4.2.2.cmml" xref="S4.Thmfact3.p1.2.m2.5.5.4.4.2.2">𝑥</ci><ci id="S4.Thmfact3.p1.2.m2.5.5.4.4.2.3.cmml" xref="S4.Thmfact3.p1.2.m2.5.5.4.4.2.3">𝑛</ci></apply></apply></vector></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmfact3.p1.2.m2.5c">(x_{1},-x_{1},\ldots,x_{n},-x_{n})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmfact3.p1.2.m2.5d">( italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , - italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT , - italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math>, up to a permutation of the indices. We will call a scalar product <math alttext="\langle v,w\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmfact3.p1.3.m3.2"><semantics id="S4.Thmfact3.p1.3.m3.2a"><mrow id="S4.Thmfact3.p1.3.m3.2.3.2" xref="S4.Thmfact3.p1.3.m3.2.3.1.cmml"><mo id="S4.Thmfact3.p1.3.m3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Thmfact3.p1.3.m3.2.3.1.cmml">⟨</mo><mi id="S4.Thmfact3.p1.3.m3.1.1" xref="S4.Thmfact3.p1.3.m3.1.1.cmml">v</mi><mo id="S4.Thmfact3.p1.3.m3.2.3.2.2" xref="S4.Thmfact3.p1.3.m3.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.Thmfact3.p1.3.m3.2.2" xref="S4.Thmfact3.p1.3.m3.2.2.cmml">w</mi><mo id="S4.Thmfact3.p1.3.m3.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.Thmfact3.p1.3.m3.2.3.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmfact3.p1.3.m3.2b"><list id="S4.Thmfact3.p1.3.m3.2.3.1.cmml" xref="S4.Thmfact3.p1.3.m3.2.3.2"><ci id="S4.Thmfact3.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.Thmfact3.p1.3.m3.1.1">𝑣</ci><ci id="S4.Thmfact3.p1.3.m3.2.2.cmml" xref="S4.Thmfact3.p1.3.m3.2.2">𝑤</ci></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmfact3.p1.3.m3.2c">\langle v,w\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmfact3.p1.3.m3.2d">⟨ italic_v , italic_w ⟩</annotation></semantics></math> <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="S4.Thmfact3.p1.5.2">binary</em>, if the vector <math alttext="\overline{v}.w" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmfact3.p1.4.m4.2"><semantics id="S4.Thmfact3.p1.4.m4.2a"><mrow id="S4.Thmfact3.p1.4.m4.2.3.2" xref="S4.Thmfact3.p1.4.m4.2.3.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.Thmfact3.p1.4.m4.1.1" xref="S4.Thmfact3.p1.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmfact3.p1.4.m4.1.1.2" xref="S4.Thmfact3.p1.4.m4.1.1.2.cmml">v</mi><mo id="S4.Thmfact3.p1.4.m4.1.1.1" xref="S4.Thmfact3.p1.4.m4.1.1.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S4.Thmfact3.p1.4.m4.2.3.2.1" lspace="0em" rspace="0.167em" xref="S4.Thmfact3.p1.4.m4.2.3.1a.cmml">.</mo><mi id="S4.Thmfact3.p1.4.m4.2.2" xref="S4.Thmfact3.p1.4.m4.2.2.cmml">w</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmfact3.p1.4.m4.2b"><apply id="S4.Thmfact3.p1.4.m4.2.3.1.cmml" xref="S4.Thmfact3.p1.4.m4.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmfact3.p1.4.m4.2.3.1a.cmml" xref="S4.Thmfact3.p1.4.m4.2.3.2.1">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.Thmfact3.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.Thmfact3.p1.4.m4.1.1"><ci id="S4.Thmfact3.p1.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmfact3.p1.4.m4.1.1.1">¯</ci><ci id="S4.Thmfact3.p1.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmfact3.p1.4.m4.1.1.2">𝑣</ci></apply><ci id="S4.Thmfact3.p1.4.m4.2.2.cmml" xref="S4.Thmfact3.p1.4.m4.2.2">𝑤</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmfact3.p1.4.m4.2c">\overline{v}.w</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmfact3.p1.4.m4.2d">over¯ start_ARG italic_v end_ARG . italic_w</annotation></semantics></math> is binary, where <span class="ltx_text ltx_markedasmath" id="S4.Thmfact3.p1.5.3">.</span> denotes the element-wise product.</p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S4.4.p4"> <p class="ltx_p" id="S4.4.p4.1">We can characterize binary vectors by the following lemma.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lemma" id="S4.Thmfact4"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S4.Thmfact4.1.1.1">Lemma 4.4</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S4.Thmfact4.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="S4.Thmfact4.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.Thmfact4.p1.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.Thmfact4.p1.1.1">A set of complex numbers <math alttext="\{\alpha_{i}\in\mathbb{C}:i=1,\ldots,2n\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmfact4.p1.1.1.m1.4"><semantics id="S4.Thmfact4.p1.1.1.m1.4a"><mrow id="S4.Thmfact4.p1.1.1.m1.4.4.2" xref="S4.Thmfact4.p1.1.1.m1.4.4.3.cmml"><mo id="S4.Thmfact4.p1.1.1.m1.4.4.2.3" stretchy="false" xref="S4.Thmfact4.p1.1.1.m1.4.4.3.1.cmml">{</mo><mrow id="S4.Thmfact4.p1.1.1.m1.3.3.1.1" xref="S4.Thmfact4.p1.1.1.m1.3.3.1.1.cmml"><msub id="S4.Thmfact4.p1.1.1.m1.3.3.1.1.2" xref="S4.Thmfact4.p1.1.1.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Thmfact4.p1.1.1.m1.3.3.1.1.2.2" xref="S4.Thmfact4.p1.1.1.m1.3.3.1.1.2.2.cmml">α</mi><mi id="S4.Thmfact4.p1.1.1.m1.3.3.1.1.2.3" xref="S4.Thmfact4.p1.1.1.m1.3.3.1.1.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S4.Thmfact4.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1" xref="S4.Thmfact4.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.cmml">∈</mo><mi id="S4.Thmfact4.p1.1.1.m1.3.3.1.1.3" xref="S4.Thmfact4.p1.1.1.m1.3.3.1.1.3.cmml">ℂ</mi></mrow><mo id="S4.Thmfact4.p1.1.1.m1.4.4.2.4" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S4.Thmfact4.p1.1.1.m1.4.4.3.1.cmml">:</mo><mrow id="S4.Thmfact4.p1.1.1.m1.4.4.2.2" xref="S4.Thmfact4.p1.1.1.m1.4.4.2.2.cmml"><mi id="S4.Thmfact4.p1.1.1.m1.4.4.2.2.3" xref="S4.Thmfact4.p1.1.1.m1.4.4.2.2.3.cmml">i</mi><mo id="S4.Thmfact4.p1.1.1.m1.4.4.2.2.2" xref="S4.Thmfact4.p1.1.1.m1.4.4.2.2.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.Thmfact4.p1.1.1.m1.4.4.2.2.1.1" xref="S4.Thmfact4.p1.1.1.m1.4.4.2.2.1.2.cmml"><mn id="S4.Thmfact4.p1.1.1.m1.1.1" xref="S4.Thmfact4.p1.1.1.m1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.Thmfact4.p1.1.1.m1.4.4.2.2.1.1.2" xref="S4.Thmfact4.p1.1.1.m1.4.4.2.2.1.2.cmml">,</mo><mi id="S4.Thmfact4.p1.1.1.m1.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.Thmfact4.p1.1.1.m1.2.2.cmml">…</mi><mo id="S4.Thmfact4.p1.1.1.m1.4.4.2.2.1.1.3" xref="S4.Thmfact4.p1.1.1.m1.4.4.2.2.1.2.cmml">,</mo><mrow id="S4.Thmfact4.p1.1.1.m1.4.4.2.2.1.1.1" xref="S4.Thmfact4.p1.1.1.m1.4.4.2.2.1.1.1.cmml"><mn id="S4.Thmfact4.p1.1.1.m1.4.4.2.2.1.1.1.2" xref="S4.Thmfact4.p1.1.1.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="S4.Thmfact4.p1.1.1.m1.4.4.2.2.1.1.1.1" xref="S4.Thmfact4.p1.1.1.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Thmfact4.p1.1.1.m1.4.4.2.2.1.1.1.3" xref="S4.Thmfact4.p1.1.1.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.cmml">n</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Thmfact4.p1.1.1.m1.4.4.2.5" stretchy="false" xref="S4.Thmfact4.p1.1.1.m1.4.4.3.1.cmml">}</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmfact4.p1.1.1.m1.4b"><apply id="S4.Thmfact4.p1.1.1.m1.4.4.3.cmml" xref="S4.Thmfact4.p1.1.1.m1.4.4.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.Thmfact4.p1.1.1.m1.4.4.3.1.cmml" xref="S4.Thmfact4.p1.1.1.m1.4.4.2.3">conditional-set</csymbol><apply id="S4.Thmfact4.p1.1.1.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S4.Thmfact4.p1.1.1.m1.3.3.1.1"><in id="S4.Thmfact4.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmfact4.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1"></in><apply id="S4.Thmfact4.p1.1.1.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmfact4.p1.1.1.m1.3.3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmfact4.p1.1.1.m1.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Thmfact4.p1.1.1.m1.3.3.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmfact4.p1.1.1.m1.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Thmfact4.p1.1.1.m1.3.3.1.1.2.2">𝛼</ci><ci id="S4.Thmfact4.p1.1.1.m1.3.3.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Thmfact4.p1.1.1.m1.3.3.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S4.Thmfact4.p1.1.1.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmfact4.p1.1.1.m1.3.3.1.1.3">ℂ</ci></apply><apply id="S4.Thmfact4.p1.1.1.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S4.Thmfact4.p1.1.1.m1.4.4.2.2"><eq id="S4.Thmfact4.p1.1.1.m1.4.4.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmfact4.p1.1.1.m1.4.4.2.2.2"></eq><ci id="S4.Thmfact4.p1.1.1.m1.4.4.2.2.3.cmml" xref="S4.Thmfact4.p1.1.1.m1.4.4.2.2.3">𝑖</ci><list id="S4.Thmfact4.p1.1.1.m1.4.4.2.2.1.2.cmml" xref="S4.Thmfact4.p1.1.1.m1.4.4.2.2.1.1"><cn id="S4.Thmfact4.p1.1.1.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.Thmfact4.p1.1.1.m1.1.1">1</cn><ci id="S4.Thmfact4.p1.1.1.m1.2.2.cmml" xref="S4.Thmfact4.p1.1.1.m1.2.2">…</ci><apply id="S4.Thmfact4.p1.1.1.m1.4.4.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmfact4.p1.1.1.m1.4.4.2.2.1.1.1"><times id="S4.Thmfact4.p1.1.1.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmfact4.p1.1.1.m1.4.4.2.2.1.1.1.1"></times><cn id="S4.Thmfact4.p1.1.1.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.Thmfact4.p1.1.1.m1.4.4.2.2.1.1.1.2">2</cn><ci id="S4.Thmfact4.p1.1.1.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmfact4.p1.1.1.m1.4.4.2.2.1.1.1.3">𝑛</ci></apply></list></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmfact4.p1.1.1.m1.4c">\{\alpha_{i}\in\mathbb{C}:i=1,\ldots,2n\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmfact4.p1.1.1.m1.4d">{ italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ∈ blackboard_C : italic_i = 1 , … , 2 italic_n }</annotation></semantics></math> is binary if and only if</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E10"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(4.10)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\sum_{i=1}^{2n}\alpha_{i}^{k}=0" class="ltx_Math" display="block" id="S4.E10.m1.1"><semantics id="S4.E10.m1.1a"><mrow id="S4.E10.m1.1.1" xref="S4.E10.m1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E10.m1.1.1.2" xref="S4.E10.m1.1.1.2.cmml"><munderover id="S4.E10.m1.1.1.2.1" xref="S4.E10.m1.1.1.2.1.cmml"><mo id="S4.E10.m1.1.1.2.1.2.2" movablelimits="false" xref="S4.E10.m1.1.1.2.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S4.E10.m1.1.1.2.1.2.3" xref="S4.E10.m1.1.1.2.1.2.3.cmml"><mi id="S4.E10.m1.1.1.2.1.2.3.2" xref="S4.E10.m1.1.1.2.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S4.E10.m1.1.1.2.1.2.3.1" xref="S4.E10.m1.1.1.2.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S4.E10.m1.1.1.2.1.2.3.3" xref="S4.E10.m1.1.1.2.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mrow id="S4.E10.m1.1.1.2.1.3" xref="S4.E10.m1.1.1.2.1.3.cmml"><mn id="S4.E10.m1.1.1.2.1.3.2" xref="S4.E10.m1.1.1.2.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="S4.E10.m1.1.1.2.1.3.1" xref="S4.E10.m1.1.1.2.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.E10.m1.1.1.2.1.3.3" xref="S4.E10.m1.1.1.2.1.3.3.cmml">n</mi></mrow></munderover><msubsup id="S4.E10.m1.1.1.2.2" xref="S4.E10.m1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.E10.m1.1.1.2.2.2.2" xref="S4.E10.m1.1.1.2.2.2.2.cmml">α</mi><mi id="S4.E10.m1.1.1.2.2.2.3" xref="S4.E10.m1.1.1.2.2.2.3.cmml">i</mi><mi id="S4.E10.m1.1.1.2.2.3" xref="S4.E10.m1.1.1.2.2.3.cmml">k</mi></msubsup></mrow><mo id="S4.E10.m1.1.1.1" xref="S4.E10.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.E10.m1.1.1.3" xref="S4.E10.m1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E10.m1.1b"><apply id="S4.E10.m1.1.1.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1"><eq id="S4.E10.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.1"></eq><apply id="S4.E10.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.2"><apply id="S4.E10.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E10.m1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.2.1">superscript</csymbol><apply id="S4.E10.m1.1.1.2.1.2.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E10.m1.1.1.2.1.2.1.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.2.1">subscript</csymbol><sum id="S4.E10.m1.1.1.2.1.2.2.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.2.1.2.2"></sum><apply id="S4.E10.m1.1.1.2.1.2.3.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.2.1.2.3"><eq id="S4.E10.m1.1.1.2.1.2.3.1.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.2.1.2.3.1"></eq><ci id="S4.E10.m1.1.1.2.1.2.3.2.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.2.1.2.3.2">𝑖</ci><cn id="S4.E10.m1.1.1.2.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E10.m1.1.1.2.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.E10.m1.1.1.2.1.3.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.2.1.3"><times id="S4.E10.m1.1.1.2.1.3.1.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.2.1.3.1"></times><cn id="S4.E10.m1.1.1.2.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.E10.m1.1.1.2.1.3.2">2</cn><ci id="S4.E10.m1.1.1.2.1.3.3.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.2.1.3.3">𝑛</ci></apply></apply><apply id="S4.E10.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E10.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="S4.E10.m1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E10.m1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E10.m1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.2.2.2.2">𝛼</ci><ci id="S4.E10.m1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.2.2.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S4.E10.m1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.E10.m1.1.1.2.2.3">𝑘</ci></apply></apply><cn id="S4.E10.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E10.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E10.m1.1c">\sum_{i=1}^{2n}\alpha_{i}^{k}=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E10.m1.1d">∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 italic_n end_POSTSUPERSCRIPT italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT = 0</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.Thmfact4.p1.6"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.Thmfact4.p1.6.5">holds for all odd <math alttext="k" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmfact4.p1.2.1.m1.1"><semantics id="S4.Thmfact4.p1.2.1.m1.1a"><mi id="S4.Thmfact4.p1.2.1.m1.1.1" xref="S4.Thmfact4.p1.2.1.m1.1.1.cmml">k</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmfact4.p1.2.1.m1.1b"><ci id="S4.Thmfact4.p1.2.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.Thmfact4.p1.2.1.m1.1.1">𝑘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmfact4.p1.2.1.m1.1c">k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmfact4.p1.2.1.m1.1d">italic_k</annotation></semantics></math> in the range <math alttext="1\leq k\leq 2n-1" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmfact4.p1.3.2.m2.1"><semantics id="S4.Thmfact4.p1.3.2.m2.1a"><mrow id="S4.Thmfact4.p1.3.2.m2.1.1" xref="S4.Thmfact4.p1.3.2.m2.1.1.cmml"><mn id="S4.Thmfact4.p1.3.2.m2.1.1.2" xref="S4.Thmfact4.p1.3.2.m2.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S4.Thmfact4.p1.3.2.m2.1.1.3" xref="S4.Thmfact4.p1.3.2.m2.1.1.3.cmml">≤</mo><mi id="S4.Thmfact4.p1.3.2.m2.1.1.4" xref="S4.Thmfact4.p1.3.2.m2.1.1.4.cmml">k</mi><mo id="S4.Thmfact4.p1.3.2.m2.1.1.5" xref="S4.Thmfact4.p1.3.2.m2.1.1.5.cmml">≤</mo><mrow id="S4.Thmfact4.p1.3.2.m2.1.1.6" xref="S4.Thmfact4.p1.3.2.m2.1.1.6.cmml"><mrow id="S4.Thmfact4.p1.3.2.m2.1.1.6.2" xref="S4.Thmfact4.p1.3.2.m2.1.1.6.2.cmml"><mn id="S4.Thmfact4.p1.3.2.m2.1.1.6.2.2" xref="S4.Thmfact4.p1.3.2.m2.1.1.6.2.2.cmml">2</mn><mo id="S4.Thmfact4.p1.3.2.m2.1.1.6.2.1" xref="S4.Thmfact4.p1.3.2.m2.1.1.6.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Thmfact4.p1.3.2.m2.1.1.6.2.3" xref="S4.Thmfact4.p1.3.2.m2.1.1.6.2.3.cmml">n</mi></mrow><mo id="S4.Thmfact4.p1.3.2.m2.1.1.6.1" xref="S4.Thmfact4.p1.3.2.m2.1.1.6.1.cmml">−</mo><mn id="S4.Thmfact4.p1.3.2.m2.1.1.6.3" xref="S4.Thmfact4.p1.3.2.m2.1.1.6.3.cmml">1</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmfact4.p1.3.2.m2.1b"><apply id="S4.Thmfact4.p1.3.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.Thmfact4.p1.3.2.m2.1.1"><and id="S4.Thmfact4.p1.3.2.m2.1.1a.cmml" xref="S4.Thmfact4.p1.3.2.m2.1.1"></and><apply id="S4.Thmfact4.p1.3.2.m2.1.1b.cmml" xref="S4.Thmfact4.p1.3.2.m2.1.1"><leq id="S4.Thmfact4.p1.3.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmfact4.p1.3.2.m2.1.1.3"></leq><cn id="S4.Thmfact4.p1.3.2.m2.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.Thmfact4.p1.3.2.m2.1.1.2">1</cn><ci id="S4.Thmfact4.p1.3.2.m2.1.1.4.cmml" xref="S4.Thmfact4.p1.3.2.m2.1.1.4">𝑘</ci></apply><apply id="S4.Thmfact4.p1.3.2.m2.1.1c.cmml" xref="S4.Thmfact4.p1.3.2.m2.1.1"><leq id="S4.Thmfact4.p1.3.2.m2.1.1.5.cmml" xref="S4.Thmfact4.p1.3.2.m2.1.1.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#S4.Thmfact4.p1.3.2.m2.1.1.4.cmml" id="S4.Thmfact4.p1.3.2.m2.1.1d.cmml" xref="S4.Thmfact4.p1.3.2.m2.1.1"></share><apply id="S4.Thmfact4.p1.3.2.m2.1.1.6.cmml" xref="S4.Thmfact4.p1.3.2.m2.1.1.6"><minus id="S4.Thmfact4.p1.3.2.m2.1.1.6.1.cmml" xref="S4.Thmfact4.p1.3.2.m2.1.1.6.1"></minus><apply id="S4.Thmfact4.p1.3.2.m2.1.1.6.2.cmml" xref="S4.Thmfact4.p1.3.2.m2.1.1.6.2"><times id="S4.Thmfact4.p1.3.2.m2.1.1.6.2.1.cmml" xref="S4.Thmfact4.p1.3.2.m2.1.1.6.2.1"></times><cn id="S4.Thmfact4.p1.3.2.m2.1.1.6.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.Thmfact4.p1.3.2.m2.1.1.6.2.2">2</cn><ci id="S4.Thmfact4.p1.3.2.m2.1.1.6.2.3.cmml" xref="S4.Thmfact4.p1.3.2.m2.1.1.6.2.3">𝑛</ci></apply><cn id="S4.Thmfact4.p1.3.2.m2.1.1.6.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmfact4.p1.3.2.m2.1.1.6.3">1</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmfact4.p1.3.2.m2.1c">1\leq k\leq 2n-1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmfact4.p1.3.2.m2.1d">1 ≤ italic_k ≤ 2 italic_n - 1</annotation></semantics></math>. If all <math alttext="\alpha_{i}\in\mathbb{C}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmfact4.p1.4.3.m3.1"><semantics id="S4.Thmfact4.p1.4.3.m3.1a"><mrow id="S4.Thmfact4.p1.4.3.m3.1.1" xref="S4.Thmfact4.p1.4.3.m3.1.1.cmml"><msub id="S4.Thmfact4.p1.4.3.m3.1.1.2" xref="S4.Thmfact4.p1.4.3.m3.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Thmfact4.p1.4.3.m3.1.1.2.2" xref="S4.Thmfact4.p1.4.3.m3.1.1.2.2.cmml">α</mi><mi id="S4.Thmfact4.p1.4.3.m3.1.1.2.3" xref="S4.Thmfact4.p1.4.3.m3.1.1.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S4.Thmfact4.p1.4.3.m3.1.1.1" xref="S4.Thmfact4.p1.4.3.m3.1.1.1.cmml">∈</mo><mi id="S4.Thmfact4.p1.4.3.m3.1.1.3" xref="S4.Thmfact4.p1.4.3.m3.1.1.3.cmml">ℂ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmfact4.p1.4.3.m3.1b"><apply id="S4.Thmfact4.p1.4.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.Thmfact4.p1.4.3.m3.1.1"><in id="S4.Thmfact4.p1.4.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmfact4.p1.4.3.m3.1.1.1"></in><apply id="S4.Thmfact4.p1.4.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmfact4.p1.4.3.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmfact4.p1.4.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Thmfact4.p1.4.3.m3.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmfact4.p1.4.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Thmfact4.p1.4.3.m3.1.1.2.2">𝛼</ci><ci id="S4.Thmfact4.p1.4.3.m3.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Thmfact4.p1.4.3.m3.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S4.Thmfact4.p1.4.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmfact4.p1.4.3.m3.1.1.3">ℂ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmfact4.p1.4.3.m3.1c">\alpha_{i}\in\mathbb{C}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmfact4.p1.4.3.m3.1d">italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ∈ blackboard_C</annotation></semantics></math> have unit length, then it is enough to assume (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#S4.E10" title="Equation 4.10 ‣ Lemma 4.4. ‣ Proof. ‣ 4. Hadamard cubes in dimension 6 ‣ Triplets of Mutually Unbiased Bases"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4.10</span></a>) for all odd <math alttext="k" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmfact4.p1.5.4.m4.1"><semantics id="S4.Thmfact4.p1.5.4.m4.1a"><mi id="S4.Thmfact4.p1.5.4.m4.1.1" xref="S4.Thmfact4.p1.5.4.m4.1.1.cmml">k</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmfact4.p1.5.4.m4.1b"><ci id="S4.Thmfact4.p1.5.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.Thmfact4.p1.5.4.m4.1.1">𝑘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmfact4.p1.5.4.m4.1c">k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmfact4.p1.5.4.m4.1d">italic_k</annotation></semantics></math> in the range <math alttext="1\leq k\leq n" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmfact4.p1.6.5.m5.1"><semantics id="S4.Thmfact4.p1.6.5.m5.1a"><mrow id="S4.Thmfact4.p1.6.5.m5.1.1" xref="S4.Thmfact4.p1.6.5.m5.1.1.cmml"><mn id="S4.Thmfact4.p1.6.5.m5.1.1.2" xref="S4.Thmfact4.p1.6.5.m5.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S4.Thmfact4.p1.6.5.m5.1.1.3" xref="S4.Thmfact4.p1.6.5.m5.1.1.3.cmml">≤</mo><mi id="S4.Thmfact4.p1.6.5.m5.1.1.4" xref="S4.Thmfact4.p1.6.5.m5.1.1.4.cmml">k</mi><mo id="S4.Thmfact4.p1.6.5.m5.1.1.5" xref="S4.Thmfact4.p1.6.5.m5.1.1.5.cmml">≤</mo><mi id="S4.Thmfact4.p1.6.5.m5.1.1.6" xref="S4.Thmfact4.p1.6.5.m5.1.1.6.cmml">n</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmfact4.p1.6.5.m5.1b"><apply id="S4.Thmfact4.p1.6.5.m5.1.1.cmml" xref="S4.Thmfact4.p1.6.5.m5.1.1"><and id="S4.Thmfact4.p1.6.5.m5.1.1a.cmml" xref="S4.Thmfact4.p1.6.5.m5.1.1"></and><apply id="S4.Thmfact4.p1.6.5.m5.1.1b.cmml" xref="S4.Thmfact4.p1.6.5.m5.1.1"><leq id="S4.Thmfact4.p1.6.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmfact4.p1.6.5.m5.1.1.3"></leq><cn id="S4.Thmfact4.p1.6.5.m5.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.Thmfact4.p1.6.5.m5.1.1.2">1</cn><ci id="S4.Thmfact4.p1.6.5.m5.1.1.4.cmml" xref="S4.Thmfact4.p1.6.5.m5.1.1.4">𝑘</ci></apply><apply id="S4.Thmfact4.p1.6.5.m5.1.1c.cmml" xref="S4.Thmfact4.p1.6.5.m5.1.1"><leq id="S4.Thmfact4.p1.6.5.m5.1.1.5.cmml" xref="S4.Thmfact4.p1.6.5.m5.1.1.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#S4.Thmfact4.p1.6.5.m5.1.1.4.cmml" id="S4.Thmfact4.p1.6.5.m5.1.1d.cmml" xref="S4.Thmfact4.p1.6.5.m5.1.1"></share><ci id="S4.Thmfact4.p1.6.5.m5.1.1.6.cmml" xref="S4.Thmfact4.p1.6.5.m5.1.1.6">𝑛</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmfact4.p1.6.5.m5.1c">1\leq k\leq n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmfact4.p1.6.5.m5.1d">1 ≤ italic_k ≤ italic_n</annotation></semantics></math></span></p> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="S4.6.2"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="S4.5.1.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.5.1.p1.8">One direction of the statement is trivial. For the other direction, write <math alttext="p_{j}=\sum_{j=1}^{2n}\alpha_{i}^{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.5.1.p1.1.m1.1"><semantics id="S4.5.1.p1.1.m1.1a"><mrow id="S4.5.1.p1.1.m1.1.1" xref="S4.5.1.p1.1.m1.1.1.cmml"><msub id="S4.5.1.p1.1.m1.1.1.2" xref="S4.5.1.p1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.5.1.p1.1.m1.1.1.2.2" xref="S4.5.1.p1.1.m1.1.1.2.2.cmml">p</mi><mi id="S4.5.1.p1.1.m1.1.1.2.3" xref="S4.5.1.p1.1.m1.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S4.5.1.p1.1.m1.1.1.1" rspace="0.111em" xref="S4.5.1.p1.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.5.1.p1.1.m1.1.1.3" xref="S4.5.1.p1.1.m1.1.1.3.cmml"><msubsup id="S4.5.1.p1.1.m1.1.1.3.1" xref="S4.5.1.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S4.5.1.p1.1.m1.1.1.3.1.2.2" xref="S4.5.1.p1.1.m1.1.1.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S4.5.1.p1.1.m1.1.1.3.1.2.3" xref="S4.5.1.p1.1.m1.1.1.3.1.2.3.cmml"><mi id="S4.5.1.p1.1.m1.1.1.3.1.2.3.2" xref="S4.5.1.p1.1.m1.1.1.3.1.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S4.5.1.p1.1.m1.1.1.3.1.2.3.1" xref="S4.5.1.p1.1.m1.1.1.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S4.5.1.p1.1.m1.1.1.3.1.2.3.3" xref="S4.5.1.p1.1.m1.1.1.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mrow id="S4.5.1.p1.1.m1.1.1.3.1.3" xref="S4.5.1.p1.1.m1.1.1.3.1.3.cmml"><mn id="S4.5.1.p1.1.m1.1.1.3.1.3.2" xref="S4.5.1.p1.1.m1.1.1.3.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="S4.5.1.p1.1.m1.1.1.3.1.3.1" xref="S4.5.1.p1.1.m1.1.1.3.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.5.1.p1.1.m1.1.1.3.1.3.3" xref="S4.5.1.p1.1.m1.1.1.3.1.3.3.cmml">n</mi></mrow></msubsup><msubsup id="S4.5.1.p1.1.m1.1.1.3.2" xref="S4.5.1.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.5.1.p1.1.m1.1.1.3.2.2.2" xref="S4.5.1.p1.1.m1.1.1.3.2.2.2.cmml">α</mi><mi id="S4.5.1.p1.1.m1.1.1.3.2.2.3" xref="S4.5.1.p1.1.m1.1.1.3.2.2.3.cmml">i</mi><mi id="S4.5.1.p1.1.m1.1.1.3.2.3" xref="S4.5.1.p1.1.m1.1.1.3.2.3.cmml">j</mi></msubsup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.5.1.p1.1.m1.1b"><apply id="S4.5.1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.5.1.p1.1.m1.1.1"><eq id="S4.5.1.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.5.1.p1.1.m1.1.1.1"></eq><apply id="S4.5.1.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.5.1.p1.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.5.1.p1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.5.1.p1.1.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.5.1.p1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.5.1.p1.1.m1.1.1.2.2">𝑝</ci><ci id="S4.5.1.p1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.5.1.p1.1.m1.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="S4.5.1.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.5.1.p1.1.m1.1.1.3"><apply id="S4.5.1.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.5.1.p1.1.m1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.5.1.p1.1.m1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S4.5.1.p1.1.m1.1.1.3.1">superscript</csymbol><apply id="S4.5.1.p1.1.m1.1.1.3.1.2.cmml" xref="S4.5.1.p1.1.m1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.5.1.p1.1.m1.1.1.3.1.2.1.cmml" xref="S4.5.1.p1.1.m1.1.1.3.1">subscript</csymbol><sum id="S4.5.1.p1.1.m1.1.1.3.1.2.2.cmml" xref="S4.5.1.p1.1.m1.1.1.3.1.2.2"></sum><apply id="S4.5.1.p1.1.m1.1.1.3.1.2.3.cmml" xref="S4.5.1.p1.1.m1.1.1.3.1.2.3"><eq id="S4.5.1.p1.1.m1.1.1.3.1.2.3.1.cmml" xref="S4.5.1.p1.1.m1.1.1.3.1.2.3.1"></eq><ci id="S4.5.1.p1.1.m1.1.1.3.1.2.3.2.cmml" xref="S4.5.1.p1.1.m1.1.1.3.1.2.3.2">𝑗</ci><cn id="S4.5.1.p1.1.m1.1.1.3.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.5.1.p1.1.m1.1.1.3.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.5.1.p1.1.m1.1.1.3.1.3.cmml" xref="S4.5.1.p1.1.m1.1.1.3.1.3"><times id="S4.5.1.p1.1.m1.1.1.3.1.3.1.cmml" xref="S4.5.1.p1.1.m1.1.1.3.1.3.1"></times><cn id="S4.5.1.p1.1.m1.1.1.3.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.5.1.p1.1.m1.1.1.3.1.3.2">2</cn><ci id="S4.5.1.p1.1.m1.1.1.3.1.3.3.cmml" xref="S4.5.1.p1.1.m1.1.1.3.1.3.3">𝑛</ci></apply></apply><apply id="S4.5.1.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.5.1.p1.1.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.5.1.p1.1.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.5.1.p1.1.m1.1.1.3.2">superscript</csymbol><apply id="S4.5.1.p1.1.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.5.1.p1.1.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.5.1.p1.1.m1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S4.5.1.p1.1.m1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.5.1.p1.1.m1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S4.5.1.p1.1.m1.1.1.3.2.2.2">𝛼</ci><ci id="S4.5.1.p1.1.m1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S4.5.1.p1.1.m1.1.1.3.2.2.3">𝑖</ci></apply><ci id="S4.5.1.p1.1.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.5.1.p1.1.m1.1.1.3.2.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.5.1.p1.1.m1.1c">p_{j}=\sum_{j=1}^{2n}\alpha_{i}^{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.5.1.p1.1.m1.1d">italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 italic_n end_POSTSUPERSCRIPT italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_j end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> for the <math alttext="j" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.5.1.p1.2.m2.1"><semantics id="S4.5.1.p1.2.m2.1a"><mi id="S4.5.1.p1.2.m2.1.1" xref="S4.5.1.p1.2.m2.1.1.cmml">j</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.5.1.p1.2.m2.1b"><ci id="S4.5.1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.5.1.p1.2.m2.1.1">𝑗</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.5.1.p1.2.m2.1c">j</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.5.1.p1.2.m2.1d">italic_j</annotation></semantics></math>th power sum, and <math alttext="e_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.5.1.p1.3.m3.1"><semantics id="S4.5.1.p1.3.m3.1a"><msub id="S4.5.1.p1.3.m3.1.1" xref="S4.5.1.p1.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S4.5.1.p1.3.m3.1.1.2" xref="S4.5.1.p1.3.m3.1.1.2.cmml">e</mi><mi id="S4.5.1.p1.3.m3.1.1.3" xref="S4.5.1.p1.3.m3.1.1.3.cmml">j</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.5.1.p1.3.m3.1b"><apply id="S4.5.1.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.5.1.p1.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.5.1.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S4.5.1.p1.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.5.1.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S4.5.1.p1.3.m3.1.1.2">𝑒</ci><ci id="S4.5.1.p1.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S4.5.1.p1.3.m3.1.1.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.5.1.p1.3.m3.1c">e_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.5.1.p1.3.m3.1d">italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> for the <math alttext="j" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.5.1.p1.4.m4.1"><semantics id="S4.5.1.p1.4.m4.1a"><mi id="S4.5.1.p1.4.m4.1.1" xref="S4.5.1.p1.4.m4.1.1.cmml">j</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.5.1.p1.4.m4.1b"><ci id="S4.5.1.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.5.1.p1.4.m4.1.1">𝑗</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.5.1.p1.4.m4.1c">j</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.5.1.p1.4.m4.1d">italic_j</annotation></semantics></math>th elementary symmetric polynomial of the variables <math alttext="\alpha_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.5.1.p1.5.m5.1"><semantics id="S4.5.1.p1.5.m5.1a"><msub id="S4.5.1.p1.5.m5.1.1" xref="S4.5.1.p1.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S4.5.1.p1.5.m5.1.1.2" xref="S4.5.1.p1.5.m5.1.1.2.cmml">α</mi><mi id="S4.5.1.p1.5.m5.1.1.3" xref="S4.5.1.p1.5.m5.1.1.3.cmml">i</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.5.1.p1.5.m5.1b"><apply id="S4.5.1.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="S4.5.1.p1.5.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.5.1.p1.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S4.5.1.p1.5.m5.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.5.1.p1.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S4.5.1.p1.5.m5.1.1.2">𝛼</ci><ci id="S4.5.1.p1.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S4.5.1.p1.5.m5.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.5.1.p1.5.m5.1c">\alpha_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.5.1.p1.5.m5.1d">italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. Assume that all <math alttext="p_{k}=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.5.1.p1.6.m6.1"><semantics id="S4.5.1.p1.6.m6.1a"><mrow id="S4.5.1.p1.6.m6.1.1" xref="S4.5.1.p1.6.m6.1.1.cmml"><msub id="S4.5.1.p1.6.m6.1.1.2" xref="S4.5.1.p1.6.m6.1.1.2.cmml"><mi id="S4.5.1.p1.6.m6.1.1.2.2" xref="S4.5.1.p1.6.m6.1.1.2.2.cmml">p</mi><mi id="S4.5.1.p1.6.m6.1.1.2.3" xref="S4.5.1.p1.6.m6.1.1.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.5.1.p1.6.m6.1.1.1" xref="S4.5.1.p1.6.m6.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.5.1.p1.6.m6.1.1.3" xref="S4.5.1.p1.6.m6.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.5.1.p1.6.m6.1b"><apply id="S4.5.1.p1.6.m6.1.1.cmml" xref="S4.5.1.p1.6.m6.1.1"><eq id="S4.5.1.p1.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S4.5.1.p1.6.m6.1.1.1"></eq><apply id="S4.5.1.p1.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S4.5.1.p1.6.m6.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.5.1.p1.6.m6.1.1.2.1.cmml" xref="S4.5.1.p1.6.m6.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.5.1.p1.6.m6.1.1.2.2.cmml" xref="S4.5.1.p1.6.m6.1.1.2.2">𝑝</ci><ci id="S4.5.1.p1.6.m6.1.1.2.3.cmml" xref="S4.5.1.p1.6.m6.1.1.2.3">𝑘</ci></apply><cn id="S4.5.1.p1.6.m6.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.5.1.p1.6.m6.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.5.1.p1.6.m6.1c">p_{k}=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.5.1.p1.6.m6.1d">italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT = 0</annotation></semantics></math> for all odd <math alttext="k" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.5.1.p1.7.m7.1"><semantics id="S4.5.1.p1.7.m7.1a"><mi id="S4.5.1.p1.7.m7.1.1" xref="S4.5.1.p1.7.m7.1.1.cmml">k</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.5.1.p1.7.m7.1b"><ci id="S4.5.1.p1.7.m7.1.1.cmml" xref="S4.5.1.p1.7.m7.1.1">𝑘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.5.1.p1.7.m7.1c">k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.5.1.p1.7.m7.1d">italic_k</annotation></semantics></math> in the range <math alttext="1\leq k\leq 2n-1" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.5.1.p1.8.m8.1"><semantics id="S4.5.1.p1.8.m8.1a"><mrow id="S4.5.1.p1.8.m8.1.1" xref="S4.5.1.p1.8.m8.1.1.cmml"><mn id="S4.5.1.p1.8.m8.1.1.2" xref="S4.5.1.p1.8.m8.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S4.5.1.p1.8.m8.1.1.3" xref="S4.5.1.p1.8.m8.1.1.3.cmml">≤</mo><mi id="S4.5.1.p1.8.m8.1.1.4" xref="S4.5.1.p1.8.m8.1.1.4.cmml">k</mi><mo id="S4.5.1.p1.8.m8.1.1.5" xref="S4.5.1.p1.8.m8.1.1.5.cmml">≤</mo><mrow id="S4.5.1.p1.8.m8.1.1.6" xref="S4.5.1.p1.8.m8.1.1.6.cmml"><mrow id="S4.5.1.p1.8.m8.1.1.6.2" xref="S4.5.1.p1.8.m8.1.1.6.2.cmml"><mn id="S4.5.1.p1.8.m8.1.1.6.2.2" xref="S4.5.1.p1.8.m8.1.1.6.2.2.cmml">2</mn><mo id="S4.5.1.p1.8.m8.1.1.6.2.1" xref="S4.5.1.p1.8.m8.1.1.6.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.5.1.p1.8.m8.1.1.6.2.3" xref="S4.5.1.p1.8.m8.1.1.6.2.3.cmml">n</mi></mrow><mo id="S4.5.1.p1.8.m8.1.1.6.1" xref="S4.5.1.p1.8.m8.1.1.6.1.cmml">−</mo><mn id="S4.5.1.p1.8.m8.1.1.6.3" xref="S4.5.1.p1.8.m8.1.1.6.3.cmml">1</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.5.1.p1.8.m8.1b"><apply id="S4.5.1.p1.8.m8.1.1.cmml" xref="S4.5.1.p1.8.m8.1.1"><and id="S4.5.1.p1.8.m8.1.1a.cmml" xref="S4.5.1.p1.8.m8.1.1"></and><apply id="S4.5.1.p1.8.m8.1.1b.cmml" xref="S4.5.1.p1.8.m8.1.1"><leq id="S4.5.1.p1.8.m8.1.1.3.cmml" xref="S4.5.1.p1.8.m8.1.1.3"></leq><cn id="S4.5.1.p1.8.m8.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.5.1.p1.8.m8.1.1.2">1</cn><ci id="S4.5.1.p1.8.m8.1.1.4.cmml" xref="S4.5.1.p1.8.m8.1.1.4">𝑘</ci></apply><apply id="S4.5.1.p1.8.m8.1.1c.cmml" xref="S4.5.1.p1.8.m8.1.1"><leq id="S4.5.1.p1.8.m8.1.1.5.cmml" xref="S4.5.1.p1.8.m8.1.1.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#S4.5.1.p1.8.m8.1.1.4.cmml" id="S4.5.1.p1.8.m8.1.1d.cmml" xref="S4.5.1.p1.8.m8.1.1"></share><apply id="S4.5.1.p1.8.m8.1.1.6.cmml" xref="S4.5.1.p1.8.m8.1.1.6"><minus id="S4.5.1.p1.8.m8.1.1.6.1.cmml" xref="S4.5.1.p1.8.m8.1.1.6.1"></minus><apply id="S4.5.1.p1.8.m8.1.1.6.2.cmml" xref="S4.5.1.p1.8.m8.1.1.6.2"><times id="S4.5.1.p1.8.m8.1.1.6.2.1.cmml" xref="S4.5.1.p1.8.m8.1.1.6.2.1"></times><cn id="S4.5.1.p1.8.m8.1.1.6.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.5.1.p1.8.m8.1.1.6.2.2">2</cn><ci id="S4.5.1.p1.8.m8.1.1.6.2.3.cmml" xref="S4.5.1.p1.8.m8.1.1.6.2.3">𝑛</ci></apply><cn id="S4.5.1.p1.8.m8.1.1.6.3.cmml" type="integer" xref="S4.5.1.p1.8.m8.1.1.6.3">1</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.5.1.p1.8.m8.1c">1\leq k\leq 2n-1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.5.1.p1.8.m8.1d">1 ≤ italic_k ≤ 2 italic_n - 1</annotation></semantics></math>. Let</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex2"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="f(z):=\prod_{j=1}^{2n}(z-\alpha_{j})=\sum_{j=0}^{2n}(-1)^{j}e_{j}z^{2n-j}" class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex2.m1.3"><semantics id="S4.Ex2.m1.3a"><mrow id="S4.Ex2.m1.3.3" xref="S4.Ex2.m1.3.3.cmml"><mrow id="S4.Ex2.m1.3.3.4" xref="S4.Ex2.m1.3.3.4.cmml"><mi id="S4.Ex2.m1.3.3.4.2" xref="S4.Ex2.m1.3.3.4.2.cmml">f</mi><mo id="S4.Ex2.m1.3.3.4.1" xref="S4.Ex2.m1.3.3.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex2.m1.3.3.4.3.2" xref="S4.Ex2.m1.3.3.4.cmml"><mo id="S4.Ex2.m1.3.3.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex2.m1.3.3.4.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex2.m1.1.1" xref="S4.Ex2.m1.1.1.cmml">z</mi><mo id="S4.Ex2.m1.3.3.4.3.2.2" rspace="0.278em" stretchy="false" xref="S4.Ex2.m1.3.3.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex2.m1.3.3.5" rspace="0.111em" xref="S4.Ex2.m1.3.3.5.cmml">:=</mo><mrow id="S4.Ex2.m1.2.2.1" xref="S4.Ex2.m1.2.2.1.cmml"><munderover id="S4.Ex2.m1.2.2.1.2" xref="S4.Ex2.m1.2.2.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex2.m1.2.2.1.2.2.2" movablelimits="false" rspace="0em" xref="S4.Ex2.m1.2.2.1.2.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="S4.Ex2.m1.2.2.1.2.2.3" xref="S4.Ex2.m1.2.2.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex2.m1.2.2.1.2.2.3.2" xref="S4.Ex2.m1.2.2.1.2.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S4.Ex2.m1.2.2.1.2.2.3.1" xref="S4.Ex2.m1.2.2.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S4.Ex2.m1.2.2.1.2.2.3.3" xref="S4.Ex2.m1.2.2.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mrow id="S4.Ex2.m1.2.2.1.2.3" xref="S4.Ex2.m1.2.2.1.2.3.cmml"><mn id="S4.Ex2.m1.2.2.1.2.3.2" xref="S4.Ex2.m1.2.2.1.2.3.2.cmml">2</mn><mo id="S4.Ex2.m1.2.2.1.2.3.1" xref="S4.Ex2.m1.2.2.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex2.m1.2.2.1.2.3.3" xref="S4.Ex2.m1.2.2.1.2.3.3.cmml">n</mi></mrow></munderover><mrow id="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1" xref="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">z</mi><mo id="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml">α</mi><mi id="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex2.m1.3.3.6" rspace="0.111em" xref="S4.Ex2.m1.3.3.6.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex2.m1.3.3.2" xref="S4.Ex2.m1.3.3.2.cmml"><munderover id="S4.Ex2.m1.3.3.2.2" xref="S4.Ex2.m1.3.3.2.2.cmml"><mo id="S4.Ex2.m1.3.3.2.2.2.2" movablelimits="false" rspace="0em" xref="S4.Ex2.m1.3.3.2.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S4.Ex2.m1.3.3.2.2.2.3" xref="S4.Ex2.m1.3.3.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex2.m1.3.3.2.2.2.3.2" xref="S4.Ex2.m1.3.3.2.2.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S4.Ex2.m1.3.3.2.2.2.3.1" xref="S4.Ex2.m1.3.3.2.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S4.Ex2.m1.3.3.2.2.2.3.3" xref="S4.Ex2.m1.3.3.2.2.2.3.3.cmml">0</mn></mrow><mrow id="S4.Ex2.m1.3.3.2.2.3" xref="S4.Ex2.m1.3.3.2.2.3.cmml"><mn id="S4.Ex2.m1.3.3.2.2.3.2" xref="S4.Ex2.m1.3.3.2.2.3.2.cmml">2</mn><mo id="S4.Ex2.m1.3.3.2.2.3.1" xref="S4.Ex2.m1.3.3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex2.m1.3.3.2.2.3.3" xref="S4.Ex2.m1.3.3.2.2.3.3.cmml">n</mi></mrow></munderover><mrow id="S4.Ex2.m1.3.3.2.1" xref="S4.Ex2.m1.3.3.2.1.cmml"><msup id="S4.Ex2.m1.3.3.2.1.1" xref="S4.Ex2.m1.3.3.2.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex2.m1.3.3.2.1.1.1.1" xref="S4.Ex2.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex2.m1.3.3.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex2.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex2.m1.3.3.2.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex2.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex2.m1.3.3.2.1.1.1.1.1a" xref="S4.Ex2.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S4.Ex2.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex2.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn></mrow><mo id="S4.Ex2.m1.3.3.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex2.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S4.Ex2.m1.3.3.2.1.1.3" xref="S4.Ex2.m1.3.3.2.1.1.3.cmml">j</mi></msup><mo id="S4.Ex2.m1.3.3.2.1.2" xref="S4.Ex2.m1.3.3.2.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex2.m1.3.3.2.1.3" xref="S4.Ex2.m1.3.3.2.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex2.m1.3.3.2.1.3.2" xref="S4.Ex2.m1.3.3.2.1.3.2.cmml">e</mi><mi id="S4.Ex2.m1.3.3.2.1.3.3" xref="S4.Ex2.m1.3.3.2.1.3.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S4.Ex2.m1.3.3.2.1.2a" xref="S4.Ex2.m1.3.3.2.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S4.Ex2.m1.3.3.2.1.4" xref="S4.Ex2.m1.3.3.2.1.4.cmml"><mi id="S4.Ex2.m1.3.3.2.1.4.2" xref="S4.Ex2.m1.3.3.2.1.4.2.cmml">z</mi><mrow id="S4.Ex2.m1.3.3.2.1.4.3" xref="S4.Ex2.m1.3.3.2.1.4.3.cmml"><mrow id="S4.Ex2.m1.3.3.2.1.4.3.2" xref="S4.Ex2.m1.3.3.2.1.4.3.2.cmml"><mn id="S4.Ex2.m1.3.3.2.1.4.3.2.2" xref="S4.Ex2.m1.3.3.2.1.4.3.2.2.cmml">2</mn><mo id="S4.Ex2.m1.3.3.2.1.4.3.2.1" xref="S4.Ex2.m1.3.3.2.1.4.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex2.m1.3.3.2.1.4.3.2.3" xref="S4.Ex2.m1.3.3.2.1.4.3.2.3.cmml">n</mi></mrow><mo id="S4.Ex2.m1.3.3.2.1.4.3.1" xref="S4.Ex2.m1.3.3.2.1.4.3.1.cmml">−</mo><mi id="S4.Ex2.m1.3.3.2.1.4.3.3" xref="S4.Ex2.m1.3.3.2.1.4.3.3.cmml">j</mi></mrow></msup></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex2.m1.3b"><apply id="S4.Ex2.m1.3.3.cmml" xref="S4.Ex2.m1.3.3"><and id="S4.Ex2.m1.3.3a.cmml" xref="S4.Ex2.m1.3.3"></and><apply id="S4.Ex2.m1.3.3b.cmml" xref="S4.Ex2.m1.3.3"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex2.m1.3.3.5.cmml" xref="S4.Ex2.m1.3.3.5">assign</csymbol><apply id="S4.Ex2.m1.3.3.4.cmml" xref="S4.Ex2.m1.3.3.4"><times id="S4.Ex2.m1.3.3.4.1.cmml" xref="S4.Ex2.m1.3.3.4.1"></times><ci id="S4.Ex2.m1.3.3.4.2.cmml" xref="S4.Ex2.m1.3.3.4.2">𝑓</ci><ci id="S4.Ex2.m1.1.1.cmml" xref="S4.Ex2.m1.1.1">𝑧</ci></apply><apply id="S4.Ex2.m1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex2.m1.2.2.1"><apply id="S4.Ex2.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S4.Ex2.m1.2.2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex2.m1.2.2.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex2.m1.2.2.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex2.m1.2.2.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex2.m1.2.2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex2.m1.2.2.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex2.m1.2.2.1.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex2.m1.2.2.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex2.m1.2.2.1.2.2.2">product</csymbol><apply id="S4.Ex2.m1.2.2.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex2.m1.2.2.1.2.2.3"><eq id="S4.Ex2.m1.2.2.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex2.m1.2.2.1.2.2.3.1"></eq><ci id="S4.Ex2.m1.2.2.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex2.m1.2.2.1.2.2.3.2">𝑗</ci><cn id="S4.Ex2.m1.2.2.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex2.m1.2.2.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.Ex2.m1.2.2.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex2.m1.2.2.1.2.3"><times id="S4.Ex2.m1.2.2.1.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex2.m1.2.2.1.2.3.1"></times><cn id="S4.Ex2.m1.2.2.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex2.m1.2.2.1.2.3.2">2</cn><ci id="S4.Ex2.m1.2.2.1.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex2.m1.2.2.1.2.3.3">𝑛</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1"><minus id="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.2">𝑧</ci><apply id="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.3.2">𝛼</ci><ci id="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex2.m1.2.2.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex2.m1.3.3c.cmml" xref="S4.Ex2.m1.3.3"><eq id="S4.Ex2.m1.3.3.6.cmml" xref="S4.Ex2.m1.3.3.6"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#S4.Ex2.m1.2.2.1.cmml" id="S4.Ex2.m1.3.3d.cmml" xref="S4.Ex2.m1.3.3"></share><apply id="S4.Ex2.m1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex2.m1.3.3.2"><apply id="S4.Ex2.m1.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex2.m1.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex2.m1.3.3.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex2.m1.3.3.2.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex2.m1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex2.m1.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex2.m1.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex2.m1.3.3.2.2">subscript</csymbol><sum id="S4.Ex2.m1.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex2.m1.3.3.2.2.2.2"></sum><apply id="S4.Ex2.m1.3.3.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex2.m1.3.3.2.2.2.3"><eq id="S4.Ex2.m1.3.3.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex2.m1.3.3.2.2.2.3.1"></eq><ci id="S4.Ex2.m1.3.3.2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex2.m1.3.3.2.2.2.3.2">𝑗</ci><cn id="S4.Ex2.m1.3.3.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex2.m1.3.3.2.2.2.3.3">0</cn></apply></apply><apply id="S4.Ex2.m1.3.3.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex2.m1.3.3.2.2.3"><times id="S4.Ex2.m1.3.3.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex2.m1.3.3.2.2.3.1"></times><cn id="S4.Ex2.m1.3.3.2.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex2.m1.3.3.2.2.3.2">2</cn><ci id="S4.Ex2.m1.3.3.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex2.m1.3.3.2.2.3.3">𝑛</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex2.m1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex2.m1.3.3.2.1"><times id="S4.Ex2.m1.3.3.2.1.2.cmml" xref="S4.Ex2.m1.3.3.2.1.2"></times><apply id="S4.Ex2.m1.3.3.2.1.1.cmml" xref="S4.Ex2.m1.3.3.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex2.m1.3.3.2.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex2.m1.3.3.2.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex2.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex2.m1.3.3.2.1.1.1.1"><minus id="S4.Ex2.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex2.m1.3.3.2.1.1.1.1"></minus><cn id="S4.Ex2.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex2.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.2">1</cn></apply><ci id="S4.Ex2.m1.3.3.2.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex2.m1.3.3.2.1.1.3">𝑗</ci></apply><apply id="S4.Ex2.m1.3.3.2.1.3.cmml" xref="S4.Ex2.m1.3.3.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex2.m1.3.3.2.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex2.m1.3.3.2.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex2.m1.3.3.2.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex2.m1.3.3.2.1.3.2">𝑒</ci><ci id="S4.Ex2.m1.3.3.2.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex2.m1.3.3.2.1.3.3">𝑗</ci></apply><apply id="S4.Ex2.m1.3.3.2.1.4.cmml" xref="S4.Ex2.m1.3.3.2.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex2.m1.3.3.2.1.4.1.cmml" xref="S4.Ex2.m1.3.3.2.1.4">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex2.m1.3.3.2.1.4.2.cmml" xref="S4.Ex2.m1.3.3.2.1.4.2">𝑧</ci><apply id="S4.Ex2.m1.3.3.2.1.4.3.cmml" xref="S4.Ex2.m1.3.3.2.1.4.3"><minus id="S4.Ex2.m1.3.3.2.1.4.3.1.cmml" xref="S4.Ex2.m1.3.3.2.1.4.3.1"></minus><apply id="S4.Ex2.m1.3.3.2.1.4.3.2.cmml" xref="S4.Ex2.m1.3.3.2.1.4.3.2"><times id="S4.Ex2.m1.3.3.2.1.4.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex2.m1.3.3.2.1.4.3.2.1"></times><cn id="S4.Ex2.m1.3.3.2.1.4.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex2.m1.3.3.2.1.4.3.2.2">2</cn><ci id="S4.Ex2.m1.3.3.2.1.4.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex2.m1.3.3.2.1.4.3.2.3">𝑛</ci></apply><ci id="S4.Ex2.m1.3.3.2.1.4.3.3.cmml" xref="S4.Ex2.m1.3.3.2.1.4.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex2.m1.3c">f(z):=\prod_{j=1}^{2n}(z-\alpha_{j})=\sum_{j=0}^{2n}(-1)^{j}e_{j}z^{2n-j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex2.m1.3d">italic_f ( italic_z ) := ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 italic_n end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_z - italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_j = 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 italic_n end_POSTSUPERSCRIPT ( - 1 ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_j end_POSTSUPERSCRIPT italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT italic_z start_POSTSUPERSCRIPT 2 italic_n - italic_j end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.5.1.p1.22">It is enough to show that <math alttext="f" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.5.1.p1.9.m1.1"><semantics id="S4.5.1.p1.9.m1.1a"><mi id="S4.5.1.p1.9.m1.1.1" xref="S4.5.1.p1.9.m1.1.1.cmml">f</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.5.1.p1.9.m1.1b"><ci id="S4.5.1.p1.9.m1.1.1.cmml" xref="S4.5.1.p1.9.m1.1.1">𝑓</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.5.1.p1.9.m1.1c">f</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.5.1.p1.9.m1.1d">italic_f</annotation></semantics></math> is an even function, <math alttext="f(z)=f(-z)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.5.1.p1.10.m2.2"><semantics id="S4.5.1.p1.10.m2.2a"><mrow id="S4.5.1.p1.10.m2.2.2" xref="S4.5.1.p1.10.m2.2.2.cmml"><mrow id="S4.5.1.p1.10.m2.2.2.3" xref="S4.5.1.p1.10.m2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.5.1.p1.10.m2.2.2.3.2" xref="S4.5.1.p1.10.m2.2.2.3.2.cmml">f</mi><mo id="S4.5.1.p1.10.m2.2.2.3.1" xref="S4.5.1.p1.10.m2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.5.1.p1.10.m2.2.2.3.3.2" xref="S4.5.1.p1.10.m2.2.2.3.cmml"><mo id="S4.5.1.p1.10.m2.2.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.5.1.p1.10.m2.2.2.3.cmml">(</mo><mi id="S4.5.1.p1.10.m2.1.1" xref="S4.5.1.p1.10.m2.1.1.cmml">z</mi><mo id="S4.5.1.p1.10.m2.2.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.5.1.p1.10.m2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.5.1.p1.10.m2.2.2.2" xref="S4.5.1.p1.10.m2.2.2.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.5.1.p1.10.m2.2.2.1" xref="S4.5.1.p1.10.m2.2.2.1.cmml"><mi id="S4.5.1.p1.10.m2.2.2.1.3" xref="S4.5.1.p1.10.m2.2.2.1.3.cmml">f</mi><mo id="S4.5.1.p1.10.m2.2.2.1.2" xref="S4.5.1.p1.10.m2.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.5.1.p1.10.m2.2.2.1.1.1" xref="S4.5.1.p1.10.m2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.5.1.p1.10.m2.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.5.1.p1.10.m2.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.5.1.p1.10.m2.2.2.1.1.1.1" xref="S4.5.1.p1.10.m2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.5.1.p1.10.m2.2.2.1.1.1.1a" xref="S4.5.1.p1.10.m2.2.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S4.5.1.p1.10.m2.2.2.1.1.1.1.2" xref="S4.5.1.p1.10.m2.2.2.1.1.1.1.2.cmml">z</mi></mrow><mo id="S4.5.1.p1.10.m2.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.5.1.p1.10.m2.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.5.1.p1.10.m2.2b"><apply id="S4.5.1.p1.10.m2.2.2.cmml" xref="S4.5.1.p1.10.m2.2.2"><eq id="S4.5.1.p1.10.m2.2.2.2.cmml" xref="S4.5.1.p1.10.m2.2.2.2"></eq><apply id="S4.5.1.p1.10.m2.2.2.3.cmml" xref="S4.5.1.p1.10.m2.2.2.3"><times id="S4.5.1.p1.10.m2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.5.1.p1.10.m2.2.2.3.1"></times><ci id="S4.5.1.p1.10.m2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.5.1.p1.10.m2.2.2.3.2">𝑓</ci><ci id="S4.5.1.p1.10.m2.1.1.cmml" xref="S4.5.1.p1.10.m2.1.1">𝑧</ci></apply><apply id="S4.5.1.p1.10.m2.2.2.1.cmml" xref="S4.5.1.p1.10.m2.2.2.1"><times id="S4.5.1.p1.10.m2.2.2.1.2.cmml" xref="S4.5.1.p1.10.m2.2.2.1.2"></times><ci id="S4.5.1.p1.10.m2.2.2.1.3.cmml" xref="S4.5.1.p1.10.m2.2.2.1.3">𝑓</ci><apply id="S4.5.1.p1.10.m2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.5.1.p1.10.m2.2.2.1.1.1"><minus id="S4.5.1.p1.10.m2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.5.1.p1.10.m2.2.2.1.1.1"></minus><ci id="S4.5.1.p1.10.m2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.5.1.p1.10.m2.2.2.1.1.1.1.2">𝑧</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.5.1.p1.10.m2.2c">f(z)=f(-z)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.5.1.p1.10.m2.2d">italic_f ( italic_z ) = italic_f ( - italic_z )</annotation></semantics></math>, because in that case <math alttext="f(z)=g(z^{2})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.5.1.p1.11.m3.2"><semantics id="S4.5.1.p1.11.m3.2a"><mrow id="S4.5.1.p1.11.m3.2.2" xref="S4.5.1.p1.11.m3.2.2.cmml"><mrow id="S4.5.1.p1.11.m3.2.2.3" xref="S4.5.1.p1.11.m3.2.2.3.cmml"><mi id="S4.5.1.p1.11.m3.2.2.3.2" xref="S4.5.1.p1.11.m3.2.2.3.2.cmml">f</mi><mo id="S4.5.1.p1.11.m3.2.2.3.1" xref="S4.5.1.p1.11.m3.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.5.1.p1.11.m3.2.2.3.3.2" xref="S4.5.1.p1.11.m3.2.2.3.cmml"><mo id="S4.5.1.p1.11.m3.2.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.5.1.p1.11.m3.2.2.3.cmml">(</mo><mi id="S4.5.1.p1.11.m3.1.1" xref="S4.5.1.p1.11.m3.1.1.cmml">z</mi><mo id="S4.5.1.p1.11.m3.2.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.5.1.p1.11.m3.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.5.1.p1.11.m3.2.2.2" xref="S4.5.1.p1.11.m3.2.2.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.5.1.p1.11.m3.2.2.1" xref="S4.5.1.p1.11.m3.2.2.1.cmml"><mi id="S4.5.1.p1.11.m3.2.2.1.3" xref="S4.5.1.p1.11.m3.2.2.1.3.cmml">g</mi><mo id="S4.5.1.p1.11.m3.2.2.1.2" xref="S4.5.1.p1.11.m3.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.5.1.p1.11.m3.2.2.1.1.1" xref="S4.5.1.p1.11.m3.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.5.1.p1.11.m3.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.5.1.p1.11.m3.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S4.5.1.p1.11.m3.2.2.1.1.1.1" xref="S4.5.1.p1.11.m3.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.5.1.p1.11.m3.2.2.1.1.1.1.2" xref="S4.5.1.p1.11.m3.2.2.1.1.1.1.2.cmml">z</mi><mn id="S4.5.1.p1.11.m3.2.2.1.1.1.1.3" xref="S4.5.1.p1.11.m3.2.2.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S4.5.1.p1.11.m3.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.5.1.p1.11.m3.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.5.1.p1.11.m3.2b"><apply id="S4.5.1.p1.11.m3.2.2.cmml" xref="S4.5.1.p1.11.m3.2.2"><eq id="S4.5.1.p1.11.m3.2.2.2.cmml" xref="S4.5.1.p1.11.m3.2.2.2"></eq><apply id="S4.5.1.p1.11.m3.2.2.3.cmml" xref="S4.5.1.p1.11.m3.2.2.3"><times id="S4.5.1.p1.11.m3.2.2.3.1.cmml" xref="S4.5.1.p1.11.m3.2.2.3.1"></times><ci id="S4.5.1.p1.11.m3.2.2.3.2.cmml" xref="S4.5.1.p1.11.m3.2.2.3.2">𝑓</ci><ci id="S4.5.1.p1.11.m3.1.1.cmml" xref="S4.5.1.p1.11.m3.1.1">𝑧</ci></apply><apply id="S4.5.1.p1.11.m3.2.2.1.cmml" xref="S4.5.1.p1.11.m3.2.2.1"><times id="S4.5.1.p1.11.m3.2.2.1.2.cmml" xref="S4.5.1.p1.11.m3.2.2.1.2"></times><ci id="S4.5.1.p1.11.m3.2.2.1.3.cmml" xref="S4.5.1.p1.11.m3.2.2.1.3">𝑔</ci><apply id="S4.5.1.p1.11.m3.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.5.1.p1.11.m3.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.5.1.p1.11.m3.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.5.1.p1.11.m3.2.2.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.5.1.p1.11.m3.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.5.1.p1.11.m3.2.2.1.1.1.1.2">𝑧</ci><cn id="S4.5.1.p1.11.m3.2.2.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.5.1.p1.11.m3.2.2.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.5.1.p1.11.m3.2c">f(z)=g(z^{2})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.5.1.p1.11.m3.2d">italic_f ( italic_z ) = italic_g ( italic_z start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> for some polynomial <math alttext="g(z)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.5.1.p1.12.m4.1"><semantics id="S4.5.1.p1.12.m4.1a"><mrow id="S4.5.1.p1.12.m4.1.2" xref="S4.5.1.p1.12.m4.1.2.cmml"><mi id="S4.5.1.p1.12.m4.1.2.2" xref="S4.5.1.p1.12.m4.1.2.2.cmml">g</mi><mo id="S4.5.1.p1.12.m4.1.2.1" xref="S4.5.1.p1.12.m4.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.5.1.p1.12.m4.1.2.3.2" xref="S4.5.1.p1.12.m4.1.2.cmml"><mo id="S4.5.1.p1.12.m4.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.5.1.p1.12.m4.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.5.1.p1.12.m4.1.1" xref="S4.5.1.p1.12.m4.1.1.cmml">z</mi><mo id="S4.5.1.p1.12.m4.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.5.1.p1.12.m4.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.5.1.p1.12.m4.1b"><apply id="S4.5.1.p1.12.m4.1.2.cmml" xref="S4.5.1.p1.12.m4.1.2"><times id="S4.5.1.p1.12.m4.1.2.1.cmml" xref="S4.5.1.p1.12.m4.1.2.1"></times><ci id="S4.5.1.p1.12.m4.1.2.2.cmml" xref="S4.5.1.p1.12.m4.1.2.2">𝑔</ci><ci id="S4.5.1.p1.12.m4.1.1.cmml" xref="S4.5.1.p1.12.m4.1.1">𝑧</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.5.1.p1.12.m4.1c">g(z)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.5.1.p1.12.m4.1d">italic_g ( italic_z )</annotation></semantics></math>, and hence the roots of <math alttext="f" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.5.1.p1.13.m5.1"><semantics id="S4.5.1.p1.13.m5.1a"><mi id="S4.5.1.p1.13.m5.1.1" xref="S4.5.1.p1.13.m5.1.1.cmml">f</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.5.1.p1.13.m5.1b"><ci id="S4.5.1.p1.13.m5.1.1.cmml" xref="S4.5.1.p1.13.m5.1.1">𝑓</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.5.1.p1.13.m5.1c">f</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.5.1.p1.13.m5.1d">italic_f</annotation></semantics></math> come in pairs <math alttext="\pm\alpha_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.5.1.p1.14.m6.1"><semantics id="S4.5.1.p1.14.m6.1a"><mrow id="S4.5.1.p1.14.m6.1.1" xref="S4.5.1.p1.14.m6.1.1.cmml"><mo id="S4.5.1.p1.14.m6.1.1a" xref="S4.5.1.p1.14.m6.1.1.cmml">±</mo><msub id="S4.5.1.p1.14.m6.1.1.2" xref="S4.5.1.p1.14.m6.1.1.2.cmml"><mi id="S4.5.1.p1.14.m6.1.1.2.2" xref="S4.5.1.p1.14.m6.1.1.2.2.cmml">α</mi><mi id="S4.5.1.p1.14.m6.1.1.2.3" xref="S4.5.1.p1.14.m6.1.1.2.3.cmml">j</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.5.1.p1.14.m6.1b"><apply id="S4.5.1.p1.14.m6.1.1.cmml" xref="S4.5.1.p1.14.m6.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.5.1.p1.14.m6.1.1.1.cmml" xref="S4.5.1.p1.14.m6.1.1">plus-or-minus</csymbol><apply id="S4.5.1.p1.14.m6.1.1.2.cmml" xref="S4.5.1.p1.14.m6.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.5.1.p1.14.m6.1.1.2.1.cmml" xref="S4.5.1.p1.14.m6.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.5.1.p1.14.m6.1.1.2.2.cmml" xref="S4.5.1.p1.14.m6.1.1.2.2">𝛼</ci><ci id="S4.5.1.p1.14.m6.1.1.2.3.cmml" xref="S4.5.1.p1.14.m6.1.1.2.3">𝑗</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.5.1.p1.14.m6.1c">\pm\alpha_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.5.1.p1.14.m6.1d">± italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. To this end, it is enough to show that all <math alttext="e_{2j-1}=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.5.1.p1.15.m7.1"><semantics id="S4.5.1.p1.15.m7.1a"><mrow id="S4.5.1.p1.15.m7.1.1" xref="S4.5.1.p1.15.m7.1.1.cmml"><msub id="S4.5.1.p1.15.m7.1.1.2" xref="S4.5.1.p1.15.m7.1.1.2.cmml"><mi id="S4.5.1.p1.15.m7.1.1.2.2" xref="S4.5.1.p1.15.m7.1.1.2.2.cmml">e</mi><mrow id="S4.5.1.p1.15.m7.1.1.2.3" xref="S4.5.1.p1.15.m7.1.1.2.3.cmml"><mrow id="S4.5.1.p1.15.m7.1.1.2.3.2" xref="S4.5.1.p1.15.m7.1.1.2.3.2.cmml"><mn id="S4.5.1.p1.15.m7.1.1.2.3.2.2" xref="S4.5.1.p1.15.m7.1.1.2.3.2.2.cmml">2</mn><mo id="S4.5.1.p1.15.m7.1.1.2.3.2.1" xref="S4.5.1.p1.15.m7.1.1.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.5.1.p1.15.m7.1.1.2.3.2.3" xref="S4.5.1.p1.15.m7.1.1.2.3.2.3.cmml">j</mi></mrow><mo id="S4.5.1.p1.15.m7.1.1.2.3.1" xref="S4.5.1.p1.15.m7.1.1.2.3.1.cmml">−</mo><mn id="S4.5.1.p1.15.m7.1.1.2.3.3" xref="S4.5.1.p1.15.m7.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S4.5.1.p1.15.m7.1.1.1" xref="S4.5.1.p1.15.m7.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.5.1.p1.15.m7.1.1.3" xref="S4.5.1.p1.15.m7.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.5.1.p1.15.m7.1b"><apply id="S4.5.1.p1.15.m7.1.1.cmml" xref="S4.5.1.p1.15.m7.1.1"><eq id="S4.5.1.p1.15.m7.1.1.1.cmml" xref="S4.5.1.p1.15.m7.1.1.1"></eq><apply id="S4.5.1.p1.15.m7.1.1.2.cmml" xref="S4.5.1.p1.15.m7.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.5.1.p1.15.m7.1.1.2.1.cmml" xref="S4.5.1.p1.15.m7.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.5.1.p1.15.m7.1.1.2.2.cmml" xref="S4.5.1.p1.15.m7.1.1.2.2">𝑒</ci><apply id="S4.5.1.p1.15.m7.1.1.2.3.cmml" xref="S4.5.1.p1.15.m7.1.1.2.3"><minus id="S4.5.1.p1.15.m7.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.5.1.p1.15.m7.1.1.2.3.1"></minus><apply id="S4.5.1.p1.15.m7.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.5.1.p1.15.m7.1.1.2.3.2"><times id="S4.5.1.p1.15.m7.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.5.1.p1.15.m7.1.1.2.3.2.1"></times><cn id="S4.5.1.p1.15.m7.1.1.2.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.5.1.p1.15.m7.1.1.2.3.2.2">2</cn><ci id="S4.5.1.p1.15.m7.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S4.5.1.p1.15.m7.1.1.2.3.2.3">𝑗</ci></apply><cn id="S4.5.1.p1.15.m7.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.5.1.p1.15.m7.1.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><cn id="S4.5.1.p1.15.m7.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.5.1.p1.15.m7.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.5.1.p1.15.m7.1c">e_{2j-1}=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.5.1.p1.15.m7.1d">italic_e start_POSTSUBSCRIPT 2 italic_j - 1 end_POSTSUBSCRIPT = 0</annotation></semantics></math> for <math alttext="1\leq j\leq n" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.5.1.p1.16.m8.1"><semantics id="S4.5.1.p1.16.m8.1a"><mrow id="S4.5.1.p1.16.m8.1.1" xref="S4.5.1.p1.16.m8.1.1.cmml"><mn id="S4.5.1.p1.16.m8.1.1.2" xref="S4.5.1.p1.16.m8.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S4.5.1.p1.16.m8.1.1.3" xref="S4.5.1.p1.16.m8.1.1.3.cmml">≤</mo><mi id="S4.5.1.p1.16.m8.1.1.4" xref="S4.5.1.p1.16.m8.1.1.4.cmml">j</mi><mo id="S4.5.1.p1.16.m8.1.1.5" xref="S4.5.1.p1.16.m8.1.1.5.cmml">≤</mo><mi id="S4.5.1.p1.16.m8.1.1.6" xref="S4.5.1.p1.16.m8.1.1.6.cmml">n</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.5.1.p1.16.m8.1b"><apply id="S4.5.1.p1.16.m8.1.1.cmml" xref="S4.5.1.p1.16.m8.1.1"><and id="S4.5.1.p1.16.m8.1.1a.cmml" xref="S4.5.1.p1.16.m8.1.1"></and><apply id="S4.5.1.p1.16.m8.1.1b.cmml" xref="S4.5.1.p1.16.m8.1.1"><leq id="S4.5.1.p1.16.m8.1.1.3.cmml" xref="S4.5.1.p1.16.m8.1.1.3"></leq><cn id="S4.5.1.p1.16.m8.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.5.1.p1.16.m8.1.1.2">1</cn><ci id="S4.5.1.p1.16.m8.1.1.4.cmml" xref="S4.5.1.p1.16.m8.1.1.4">𝑗</ci></apply><apply id="S4.5.1.p1.16.m8.1.1c.cmml" xref="S4.5.1.p1.16.m8.1.1"><leq id="S4.5.1.p1.16.m8.1.1.5.cmml" xref="S4.5.1.p1.16.m8.1.1.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#S4.5.1.p1.16.m8.1.1.4.cmml" id="S4.5.1.p1.16.m8.1.1d.cmml" xref="S4.5.1.p1.16.m8.1.1"></share><ci id="S4.5.1.p1.16.m8.1.1.6.cmml" xref="S4.5.1.p1.16.m8.1.1.6">𝑛</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.5.1.p1.16.m8.1c">1\leq j\leq n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.5.1.p1.16.m8.1d">1 ≤ italic_j ≤ italic_n</annotation></semantics></math>. This, in turn, follows from <math alttext="p_{1}=e_{1}=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.5.1.p1.17.m9.1"><semantics id="S4.5.1.p1.17.m9.1a"><mrow id="S4.5.1.p1.17.m9.1.1" xref="S4.5.1.p1.17.m9.1.1.cmml"><msub id="S4.5.1.p1.17.m9.1.1.2" xref="S4.5.1.p1.17.m9.1.1.2.cmml"><mi id="S4.5.1.p1.17.m9.1.1.2.2" xref="S4.5.1.p1.17.m9.1.1.2.2.cmml">p</mi><mn id="S4.5.1.p1.17.m9.1.1.2.3" xref="S4.5.1.p1.17.m9.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.5.1.p1.17.m9.1.1.3" xref="S4.5.1.p1.17.m9.1.1.3.cmml">=</mo><msub id="S4.5.1.p1.17.m9.1.1.4" xref="S4.5.1.p1.17.m9.1.1.4.cmml"><mi id="S4.5.1.p1.17.m9.1.1.4.2" xref="S4.5.1.p1.17.m9.1.1.4.2.cmml">e</mi><mn id="S4.5.1.p1.17.m9.1.1.4.3" xref="S4.5.1.p1.17.m9.1.1.4.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.5.1.p1.17.m9.1.1.5" xref="S4.5.1.p1.17.m9.1.1.5.cmml">=</mo><mn id="S4.5.1.p1.17.m9.1.1.6" xref="S4.5.1.p1.17.m9.1.1.6.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.5.1.p1.17.m9.1b"><apply id="S4.5.1.p1.17.m9.1.1.cmml" xref="S4.5.1.p1.17.m9.1.1"><and id="S4.5.1.p1.17.m9.1.1a.cmml" xref="S4.5.1.p1.17.m9.1.1"></and><apply id="S4.5.1.p1.17.m9.1.1b.cmml" xref="S4.5.1.p1.17.m9.1.1"><eq id="S4.5.1.p1.17.m9.1.1.3.cmml" xref="S4.5.1.p1.17.m9.1.1.3"></eq><apply id="S4.5.1.p1.17.m9.1.1.2.cmml" xref="S4.5.1.p1.17.m9.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.5.1.p1.17.m9.1.1.2.1.cmml" xref="S4.5.1.p1.17.m9.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.5.1.p1.17.m9.1.1.2.2.cmml" xref="S4.5.1.p1.17.m9.1.1.2.2">𝑝</ci><cn id="S4.5.1.p1.17.m9.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.5.1.p1.17.m9.1.1.2.3">1</cn></apply><apply id="S4.5.1.p1.17.m9.1.1.4.cmml" xref="S4.5.1.p1.17.m9.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.5.1.p1.17.m9.1.1.4.1.cmml" xref="S4.5.1.p1.17.m9.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S4.5.1.p1.17.m9.1.1.4.2.cmml" xref="S4.5.1.p1.17.m9.1.1.4.2">𝑒</ci><cn id="S4.5.1.p1.17.m9.1.1.4.3.cmml" type="integer" xref="S4.5.1.p1.17.m9.1.1.4.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.5.1.p1.17.m9.1.1c.cmml" xref="S4.5.1.p1.17.m9.1.1"><eq id="S4.5.1.p1.17.m9.1.1.5.cmml" xref="S4.5.1.p1.17.m9.1.1.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#S4.5.1.p1.17.m9.1.1.4.cmml" id="S4.5.1.p1.17.m9.1.1d.cmml" xref="S4.5.1.p1.17.m9.1.1"></share><cn id="S4.5.1.p1.17.m9.1.1.6.cmml" type="integer" xref="S4.5.1.p1.17.m9.1.1.6">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.5.1.p1.17.m9.1c">p_{1}=e_{1}=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.5.1.p1.17.m9.1d">italic_p start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT = italic_e start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT = 0</annotation></semantics></math>, and induction on <math alttext="j" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.5.1.p1.18.m10.1"><semantics id="S4.5.1.p1.18.m10.1a"><mi id="S4.5.1.p1.18.m10.1.1" xref="S4.5.1.p1.18.m10.1.1.cmml">j</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.5.1.p1.18.m10.1b"><ci id="S4.5.1.p1.18.m10.1.1.cmml" xref="S4.5.1.p1.18.m10.1.1">𝑗</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.5.1.p1.18.m10.1c">j</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.5.1.p1.18.m10.1d">italic_j</annotation></semantics></math> via Newton’s identities, <math alttext="(2j-1)e_{2j-1}=\sum_{k=1}^{2j-1}(-1)^{k+1}e_{2j-1-k}p_{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.5.1.p1.19.m11.2"><semantics id="S4.5.1.p1.19.m11.2a"><mrow id="S4.5.1.p1.19.m11.2.2" xref="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.cmml"><mrow id="S4.5.1.p1.19.m11.1.1.1" xref="S4.5.1.p1.19.m11.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.5.1.p1.19.m11.1.1.1.1.1" xref="S4.5.1.p1.19.m11.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.5.1.p1.19.m11.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.5.1.p1.19.m11.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.5.1.p1.19.m11.1.1.1.1.1.1" xref="S4.5.1.p1.19.m11.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.5.1.p1.19.m11.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.5.1.p1.19.m11.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="S4.5.1.p1.19.m11.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.5.1.p1.19.m11.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">2</mn><mo id="S4.5.1.p1.19.m11.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.5.1.p1.19.m11.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.5.1.p1.19.m11.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.5.1.p1.19.m11.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">j</mi></mrow><mo id="S4.5.1.p1.19.m11.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.5.1.p1.19.m11.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S4.5.1.p1.19.m11.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.5.1.p1.19.m11.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S4.5.1.p1.19.m11.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.5.1.p1.19.m11.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.5.1.p1.19.m11.1.1.1.2" xref="S4.5.1.p1.19.m11.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S4.5.1.p1.19.m11.1.1.1.3" xref="S4.5.1.p1.19.m11.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.5.1.p1.19.m11.1.1.1.3.2" xref="S4.5.1.p1.19.m11.1.1.1.3.2.cmml">e</mi><mrow id="S4.5.1.p1.19.m11.1.1.1.3.3" xref="S4.5.1.p1.19.m11.1.1.1.3.3.cmml"><mrow id="S4.5.1.p1.19.m11.1.1.1.3.3.2" xref="S4.5.1.p1.19.m11.1.1.1.3.3.2.cmml"><mn id="S4.5.1.p1.19.m11.1.1.1.3.3.2.2" xref="S4.5.1.p1.19.m11.1.1.1.3.3.2.2.cmml">2</mn><mo id="S4.5.1.p1.19.m11.1.1.1.3.3.2.1" xref="S4.5.1.p1.19.m11.1.1.1.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.5.1.p1.19.m11.1.1.1.3.3.2.3" xref="S4.5.1.p1.19.m11.1.1.1.3.3.2.3.cmml">j</mi></mrow><mo id="S4.5.1.p1.19.m11.1.1.1.3.3.1" xref="S4.5.1.p1.19.m11.1.1.1.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="S4.5.1.p1.19.m11.1.1.1.3.3.3" xref="S4.5.1.p1.19.m11.1.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub></mrow><mo id="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.3" rspace="0.111em" xref="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2" xref="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.cmml"><msubsup id="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.2" xref="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.2.cmml"><mo id="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.2.2.2" rspace="0em" xref="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.2.2.3" xref="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.2.2.3.2" xref="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.2.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.2.2.3.1" xref="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.2.2.3.3" xref="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mrow id="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.2.3" xref="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.2.3.cmml"><mrow id="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.2.3.2" xref="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.2.3.2.cmml"><mn id="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.2.3.2.2" xref="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.2.3.2.2.cmml">2</mn><mo id="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.2.3.2.1" xref="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.2.3.2.3" xref="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.2.3.2.3.cmml">j</mi></mrow><mo id="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.2.3.1" xref="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.2.3.1.cmml">−</mo><mn id="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.2.3.3" xref="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msubsup><mrow id="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.1" xref="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.1.cmml"><msup id="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.1.1" xref="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.1.1.1.1" xref="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.1.1.1.1.1a" xref="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn></mrow><mo id="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.1.1.3" xref="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.1.1.3.2" xref="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.1.1.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.1.1.3.1" xref="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.1.1.3.1.cmml">+</mo><mn id="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.1.1.3.3" xref="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.1.2" xref="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.1.3" xref="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.1.3.cmml"><mi id="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.1.3.2" xref="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.1.3.2.cmml">e</mi><mrow id="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.1.3.3" xref="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.1.3.3.cmml"><mrow id="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.1.3.3.2" xref="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.1.3.3.2.cmml"><mn id="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.1.3.3.2.2" xref="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.1.3.3.2.2.cmml">2</mn><mo id="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.1.3.3.2.1" xref="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.1.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.1.3.3.2.3" xref="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.1.3.3.2.3.cmml">j</mi></mrow><mo id="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.1.3.3.1" xref="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.1.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.1.3.3.3" xref="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.1.3.3.3.cmml">1</mn><mo id="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.1.3.3.1a" xref="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.1.3.3.1.cmml">−</mo><mi id="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.1.3.3.4" xref="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.1.3.3.4.cmml">k</mi></mrow></msub><mo id="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.1.2a" xref="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.1.4" xref="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.1.4.cmml"><mi id="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.1.4.2" xref="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.1.4.2.cmml">p</mi><mi id="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.1.4.3" xref="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.1.4.3.cmml">k</mi></msub></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.5.1.p1.19.m11.2b"><apply id="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.cmml" xref="S4.5.1.p1.19.m11.2.2"><eq id="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.3.cmml" xref="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.3"></eq><apply id="S4.5.1.p1.19.m11.1.1.1.cmml" xref="S4.5.1.p1.19.m11.1.1.1"><times id="S4.5.1.p1.19.m11.1.1.1.2.cmml" xref="S4.5.1.p1.19.m11.1.1.1.2"></times><apply id="S4.5.1.p1.19.m11.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.5.1.p1.19.m11.1.1.1.1.1"><minus id="S4.5.1.p1.19.m11.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.5.1.p1.19.m11.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S4.5.1.p1.19.m11.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.5.1.p1.19.m11.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S4.5.1.p1.19.m11.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.5.1.p1.19.m11.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><cn id="S4.5.1.p1.19.m11.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.5.1.p1.19.m11.1.1.1.1.1.1.2.2">2</cn><ci id="S4.5.1.p1.19.m11.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.5.1.p1.19.m11.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑗</ci></apply><cn id="S4.5.1.p1.19.m11.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.5.1.p1.19.m11.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S4.5.1.p1.19.m11.1.1.1.3.cmml" xref="S4.5.1.p1.19.m11.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.5.1.p1.19.m11.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.5.1.p1.19.m11.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.5.1.p1.19.m11.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.5.1.p1.19.m11.1.1.1.3.2">𝑒</ci><apply id="S4.5.1.p1.19.m11.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.5.1.p1.19.m11.1.1.1.3.3"><minus id="S4.5.1.p1.19.m11.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.5.1.p1.19.m11.1.1.1.3.3.1"></minus><apply id="S4.5.1.p1.19.m11.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.5.1.p1.19.m11.1.1.1.3.3.2"><times id="S4.5.1.p1.19.m11.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.5.1.p1.19.m11.1.1.1.3.3.2.1"></times><cn id="S4.5.1.p1.19.m11.1.1.1.3.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.5.1.p1.19.m11.1.1.1.3.3.2.2">2</cn><ci id="S4.5.1.p1.19.m11.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S4.5.1.p1.19.m11.1.1.1.3.3.2.3">𝑗</ci></apply><cn id="S4.5.1.p1.19.m11.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.5.1.p1.19.m11.1.1.1.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.cmml" xref="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2"><apply id="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.2.cmml" xref="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.2">subscript</csymbol><sum id="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.2.2.2"></sum><apply id="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.2.2.3"><eq id="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.2.2.3.1"></eq><ci id="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.2.2.3.2">𝑘</ci><cn id="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.2.3"><minus id="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.2.3.1"></minus><apply id="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.2.3.2"><times id="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.2.3.2.1.cmml" xref="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.2.3.2.1"></times><cn id="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.2.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.2.3.2.2">2</cn><ci id="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.2.3.2.3.cmml" xref="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.2.3.2.3">𝑗</ci></apply><cn id="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.1.cmml" xref="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.1"><times id="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.1.2.cmml" xref="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.1.2"></times><apply id="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.1.1.cmml" xref="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.1.1.1.1"><minus id="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.1.1.1.1"></minus><cn id="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.1.1.1.1.1.2">1</cn></apply><apply id="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.1.1.3"><plus id="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.1.1.3.1"></plus><ci id="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.1.1.3.2">𝑘</ci><cn id="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.1.1.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.1.3.cmml" xref="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.1.3.1.cmml" xref="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.1.3.2.cmml" xref="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.1.3.2">𝑒</ci><apply id="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.1.3.3.cmml" xref="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.1.3.3"><minus id="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.1.3.3.1.cmml" xref="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.1.3.3.1"></minus><apply id="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.1.3.3.2.cmml" xref="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.1.3.3.2"><times id="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.1.3.3.2.1"></times><cn id="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.1.3.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.1.3.3.2.2">2</cn><ci id="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.1.3.3.2.3.cmml" xref="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.1.3.3.2.3">𝑗</ci></apply><cn id="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.1.3.3.3">1</cn><ci id="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.1.3.3.4.cmml" xref="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.1.3.3.4">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.1.4.cmml" xref="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.1.4.1.cmml" xref="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.1.4">subscript</csymbol><ci id="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.1.4.2.cmml" xref="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.1.4.2">𝑝</ci><ci id="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.1.4.3.cmml" xref="S4.5.1.p1.19.m11.2.2.2.1.4.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.5.1.p1.19.m11.2c">(2j-1)e_{2j-1}=\sum_{k=1}^{2j-1}(-1)^{k+1}e_{2j-1-k}p_{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.5.1.p1.19.m11.2d">( 2 italic_j - 1 ) italic_e start_POSTSUBSCRIPT 2 italic_j - 1 end_POSTSUBSCRIPT = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_k = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 italic_j - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ( - 1 ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUPERSCRIPT italic_e start_POSTSUBSCRIPT 2 italic_j - 1 - italic_k end_POSTSUBSCRIPT italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. Each term here contains an odd index <math alttext="p_{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.5.1.p1.20.m12.1"><semantics id="S4.5.1.p1.20.m12.1a"><msub id="S4.5.1.p1.20.m12.1.1" xref="S4.5.1.p1.20.m12.1.1.cmml"><mi id="S4.5.1.p1.20.m12.1.1.2" xref="S4.5.1.p1.20.m12.1.1.2.cmml">p</mi><mi id="S4.5.1.p1.20.m12.1.1.3" xref="S4.5.1.p1.20.m12.1.1.3.cmml">k</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.5.1.p1.20.m12.1b"><apply id="S4.5.1.p1.20.m12.1.1.cmml" xref="S4.5.1.p1.20.m12.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.5.1.p1.20.m12.1.1.1.cmml" xref="S4.5.1.p1.20.m12.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.5.1.p1.20.m12.1.1.2.cmml" xref="S4.5.1.p1.20.m12.1.1.2">𝑝</ci><ci id="S4.5.1.p1.20.m12.1.1.3.cmml" xref="S4.5.1.p1.20.m12.1.1.3">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.5.1.p1.20.m12.1c">p_{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.5.1.p1.20.m12.1d">italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> or an odd index <math alttext="e_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.5.1.p1.21.m13.1"><semantics id="S4.5.1.p1.21.m13.1a"><msub id="S4.5.1.p1.21.m13.1.1" xref="S4.5.1.p1.21.m13.1.1.cmml"><mi id="S4.5.1.p1.21.m13.1.1.2" xref="S4.5.1.p1.21.m13.1.1.2.cmml">e</mi><mi id="S4.5.1.p1.21.m13.1.1.3" xref="S4.5.1.p1.21.m13.1.1.3.cmml">i</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.5.1.p1.21.m13.1b"><apply id="S4.5.1.p1.21.m13.1.1.cmml" xref="S4.5.1.p1.21.m13.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.5.1.p1.21.m13.1.1.1.cmml" xref="S4.5.1.p1.21.m13.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.5.1.p1.21.m13.1.1.2.cmml" xref="S4.5.1.p1.21.m13.1.1.2">𝑒</ci><ci id="S4.5.1.p1.21.m13.1.1.3.cmml" xref="S4.5.1.p1.21.m13.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.5.1.p1.21.m13.1c">e_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.5.1.p1.21.m13.1d">italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> with <math alttext="i<2j-1" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.5.1.p1.22.m14.1"><semantics id="S4.5.1.p1.22.m14.1a"><mrow id="S4.5.1.p1.22.m14.1.1" xref="S4.5.1.p1.22.m14.1.1.cmml"><mi id="S4.5.1.p1.22.m14.1.1.2" xref="S4.5.1.p1.22.m14.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="S4.5.1.p1.22.m14.1.1.1" xref="S4.5.1.p1.22.m14.1.1.1.cmml"><</mo><mrow id="S4.5.1.p1.22.m14.1.1.3" xref="S4.5.1.p1.22.m14.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.5.1.p1.22.m14.1.1.3.2" xref="S4.5.1.p1.22.m14.1.1.3.2.cmml"><mn id="S4.5.1.p1.22.m14.1.1.3.2.2" xref="S4.5.1.p1.22.m14.1.1.3.2.2.cmml">2</mn><mo id="S4.5.1.p1.22.m14.1.1.3.2.1" xref="S4.5.1.p1.22.m14.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.5.1.p1.22.m14.1.1.3.2.3" xref="S4.5.1.p1.22.m14.1.1.3.2.3.cmml">j</mi></mrow><mo id="S4.5.1.p1.22.m14.1.1.3.1" xref="S4.5.1.p1.22.m14.1.1.3.1.cmml">−</mo><mn id="S4.5.1.p1.22.m14.1.1.3.3" xref="S4.5.1.p1.22.m14.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.5.1.p1.22.m14.1b"><apply id="S4.5.1.p1.22.m14.1.1.cmml" xref="S4.5.1.p1.22.m14.1.1"><lt id="S4.5.1.p1.22.m14.1.1.1.cmml" xref="S4.5.1.p1.22.m14.1.1.1"></lt><ci id="S4.5.1.p1.22.m14.1.1.2.cmml" xref="S4.5.1.p1.22.m14.1.1.2">𝑖</ci><apply id="S4.5.1.p1.22.m14.1.1.3.cmml" xref="S4.5.1.p1.22.m14.1.1.3"><minus id="S4.5.1.p1.22.m14.1.1.3.1.cmml" xref="S4.5.1.p1.22.m14.1.1.3.1"></minus><apply id="S4.5.1.p1.22.m14.1.1.3.2.cmml" xref="S4.5.1.p1.22.m14.1.1.3.2"><times id="S4.5.1.p1.22.m14.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.5.1.p1.22.m14.1.1.3.2.1"></times><cn id="S4.5.1.p1.22.m14.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.5.1.p1.22.m14.1.1.3.2.2">2</cn><ci id="S4.5.1.p1.22.m14.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.5.1.p1.22.m14.1.1.3.2.3">𝑗</ci></apply><cn id="S4.5.1.p1.22.m14.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.5.1.p1.22.m14.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.5.1.p1.22.m14.1c">i<2j-1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.5.1.p1.22.m14.1d">italic_i < 2 italic_j - 1</annotation></semantics></math>, and hence vanishes by induction.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.6.2.p2"> <p class="ltx_p" id="S4.6.2.p2.8">If all <math alttext="\alpha_{j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.6.2.p2.1.m1.1"><semantics id="S4.6.2.p2.1.m1.1a"><msub id="S4.6.2.p2.1.m1.1.1" xref="S4.6.2.p2.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.6.2.p2.1.m1.1.1.2" xref="S4.6.2.p2.1.m1.1.1.2.cmml">α</mi><mi id="S4.6.2.p2.1.m1.1.1.3" xref="S4.6.2.p2.1.m1.1.1.3.cmml">j</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.6.2.p2.1.m1.1b"><apply id="S4.6.2.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.6.2.p2.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.6.2.p2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.6.2.p2.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.6.2.p2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.6.2.p2.1.m1.1.1.2">𝛼</ci><ci id="S4.6.2.p2.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.6.2.p2.1.m1.1.1.3">𝑗</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.6.2.p2.1.m1.1c">\alpha_{j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.6.2.p2.1.m1.1d">italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> satisfy <math alttext="\alpha_{j}\overline{\alpha_{j}}=1" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.6.2.p2.2.m2.1"><semantics id="S4.6.2.p2.2.m2.1a"><mrow id="S4.6.2.p2.2.m2.1.1" xref="S4.6.2.p2.2.m2.1.1.cmml"><mrow id="S4.6.2.p2.2.m2.1.1.2" xref="S4.6.2.p2.2.m2.1.1.2.cmml"><msub id="S4.6.2.p2.2.m2.1.1.2.2" xref="S4.6.2.p2.2.m2.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.6.2.p2.2.m2.1.1.2.2.2" xref="S4.6.2.p2.2.m2.1.1.2.2.2.cmml">α</mi><mi id="S4.6.2.p2.2.m2.1.1.2.2.3" xref="S4.6.2.p2.2.m2.1.1.2.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S4.6.2.p2.2.m2.1.1.2.1" xref="S4.6.2.p2.2.m2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S4.6.2.p2.2.m2.1.1.2.3" xref="S4.6.2.p2.2.m2.1.1.2.3.cmml"><msub id="S4.6.2.p2.2.m2.1.1.2.3.2" xref="S4.6.2.p2.2.m2.1.1.2.3.2.cmml"><mi id="S4.6.2.p2.2.m2.1.1.2.3.2.2" xref="S4.6.2.p2.2.m2.1.1.2.3.2.2.cmml">α</mi><mi id="S4.6.2.p2.2.m2.1.1.2.3.2.3" xref="S4.6.2.p2.2.m2.1.1.2.3.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S4.6.2.p2.2.m2.1.1.2.3.1" xref="S4.6.2.p2.2.m2.1.1.2.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow><mo id="S4.6.2.p2.2.m2.1.1.1" xref="S4.6.2.p2.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.6.2.p2.2.m2.1.1.3" xref="S4.6.2.p2.2.m2.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.6.2.p2.2.m2.1b"><apply id="S4.6.2.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.6.2.p2.2.m2.1.1"><eq id="S4.6.2.p2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.6.2.p2.2.m2.1.1.1"></eq><apply id="S4.6.2.p2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.6.2.p2.2.m2.1.1.2"><times id="S4.6.2.p2.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S4.6.2.p2.2.m2.1.1.2.1"></times><apply id="S4.6.2.p2.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S4.6.2.p2.2.m2.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.6.2.p2.2.m2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.6.2.p2.2.m2.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.6.2.p2.2.m2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.6.2.p2.2.m2.1.1.2.2.2">𝛼</ci><ci id="S4.6.2.p2.2.m2.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.6.2.p2.2.m2.1.1.2.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="S4.6.2.p2.2.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S4.6.2.p2.2.m2.1.1.2.3"><ci id="S4.6.2.p2.2.m2.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.6.2.p2.2.m2.1.1.2.3.1">¯</ci><apply id="S4.6.2.p2.2.m2.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.6.2.p2.2.m2.1.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.6.2.p2.2.m2.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.6.2.p2.2.m2.1.1.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.6.2.p2.2.m2.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.6.2.p2.2.m2.1.1.2.3.2.2">𝛼</ci><ci id="S4.6.2.p2.2.m2.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S4.6.2.p2.2.m2.1.1.2.3.2.3">𝑗</ci></apply></apply></apply><cn id="S4.6.2.p2.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.6.2.p2.2.m2.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.6.2.p2.2.m2.1c">\alpha_{j}\overline{\alpha_{j}}=1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.6.2.p2.2.m2.1d">italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT over¯ start_ARG italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_ARG = 1</annotation></semantics></math>, then <math alttext="\overline{e_{j}}\cdot e_{2n}=e_{2n-j}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.6.2.p2.3.m3.1"><semantics id="S4.6.2.p2.3.m3.1a"><mrow id="S4.6.2.p2.3.m3.1.1" xref="S4.6.2.p2.3.m3.1.1.cmml"><mrow id="S4.6.2.p2.3.m3.1.1.2" xref="S4.6.2.p2.3.m3.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.6.2.p2.3.m3.1.1.2.2" xref="S4.6.2.p2.3.m3.1.1.2.2.cmml"><msub id="S4.6.2.p2.3.m3.1.1.2.2.2" xref="S4.6.2.p2.3.m3.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S4.6.2.p2.3.m3.1.1.2.2.2.2" xref="S4.6.2.p2.3.m3.1.1.2.2.2.2.cmml">e</mi><mi id="S4.6.2.p2.3.m3.1.1.2.2.2.3" xref="S4.6.2.p2.3.m3.1.1.2.2.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S4.6.2.p2.3.m3.1.1.2.2.1" xref="S4.6.2.p2.3.m3.1.1.2.2.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S4.6.2.p2.3.m3.1.1.2.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.6.2.p2.3.m3.1.1.2.1.cmml">⋅</mo><msub id="S4.6.2.p2.3.m3.1.1.2.3" xref="S4.6.2.p2.3.m3.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.6.2.p2.3.m3.1.1.2.3.2" xref="S4.6.2.p2.3.m3.1.1.2.3.2.cmml">e</mi><mrow id="S4.6.2.p2.3.m3.1.1.2.3.3" xref="S4.6.2.p2.3.m3.1.1.2.3.3.cmml"><mn id="S4.6.2.p2.3.m3.1.1.2.3.3.2" xref="S4.6.2.p2.3.m3.1.1.2.3.3.2.cmml">2</mn><mo id="S4.6.2.p2.3.m3.1.1.2.3.3.1" xref="S4.6.2.p2.3.m3.1.1.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.6.2.p2.3.m3.1.1.2.3.3.3" xref="S4.6.2.p2.3.m3.1.1.2.3.3.3.cmml">n</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S4.6.2.p2.3.m3.1.1.1" xref="S4.6.2.p2.3.m3.1.1.1.cmml">=</mo><msub id="S4.6.2.p2.3.m3.1.1.3" xref="S4.6.2.p2.3.m3.1.1.3.cmml"><mi id="S4.6.2.p2.3.m3.1.1.3.2" xref="S4.6.2.p2.3.m3.1.1.3.2.cmml">e</mi><mrow id="S4.6.2.p2.3.m3.1.1.3.3" xref="S4.6.2.p2.3.m3.1.1.3.3.cmml"><mrow id="S4.6.2.p2.3.m3.1.1.3.3.2" xref="S4.6.2.p2.3.m3.1.1.3.3.2.cmml"><mn id="S4.6.2.p2.3.m3.1.1.3.3.2.2" xref="S4.6.2.p2.3.m3.1.1.3.3.2.2.cmml">2</mn><mo id="S4.6.2.p2.3.m3.1.1.3.3.2.1" xref="S4.6.2.p2.3.m3.1.1.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.6.2.p2.3.m3.1.1.3.3.2.3" xref="S4.6.2.p2.3.m3.1.1.3.3.2.3.cmml">n</mi></mrow><mo id="S4.6.2.p2.3.m3.1.1.3.3.1" xref="S4.6.2.p2.3.m3.1.1.3.3.1.cmml">−</mo><mi id="S4.6.2.p2.3.m3.1.1.3.3.3" xref="S4.6.2.p2.3.m3.1.1.3.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.6.2.p2.3.m3.1b"><apply id="S4.6.2.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.6.2.p2.3.m3.1.1"><eq id="S4.6.2.p2.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S4.6.2.p2.3.m3.1.1.1"></eq><apply id="S4.6.2.p2.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S4.6.2.p2.3.m3.1.1.2"><ci id="S4.6.2.p2.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S4.6.2.p2.3.m3.1.1.2.1">⋅</ci><apply id="S4.6.2.p2.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S4.6.2.p2.3.m3.1.1.2.2"><ci id="S4.6.2.p2.3.m3.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.6.2.p2.3.m3.1.1.2.2.1">¯</ci><apply id="S4.6.2.p2.3.m3.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.6.2.p2.3.m3.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.6.2.p2.3.m3.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.6.2.p2.3.m3.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.6.2.p2.3.m3.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.6.2.p2.3.m3.1.1.2.2.2.2">𝑒</ci><ci id="S4.6.2.p2.3.m3.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.6.2.p2.3.m3.1.1.2.2.2.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S4.6.2.p2.3.m3.1.1.2.3.cmml" xref="S4.6.2.p2.3.m3.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.6.2.p2.3.m3.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.6.2.p2.3.m3.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.6.2.p2.3.m3.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.6.2.p2.3.m3.1.1.2.3.2">𝑒</ci><apply id="S4.6.2.p2.3.m3.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.6.2.p2.3.m3.1.1.2.3.3"><times id="S4.6.2.p2.3.m3.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S4.6.2.p2.3.m3.1.1.2.3.3.1"></times><cn id="S4.6.2.p2.3.m3.1.1.2.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.6.2.p2.3.m3.1.1.2.3.3.2">2</cn><ci id="S4.6.2.p2.3.m3.1.1.2.3.3.3.cmml" xref="S4.6.2.p2.3.m3.1.1.2.3.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.6.2.p2.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S4.6.2.p2.3.m3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.6.2.p2.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S4.6.2.p2.3.m3.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.6.2.p2.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S4.6.2.p2.3.m3.1.1.3.2">𝑒</ci><apply id="S4.6.2.p2.3.m3.1.1.3.3.cmml" xref="S4.6.2.p2.3.m3.1.1.3.3"><minus id="S4.6.2.p2.3.m3.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.6.2.p2.3.m3.1.1.3.3.1"></minus><apply id="S4.6.2.p2.3.m3.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.6.2.p2.3.m3.1.1.3.3.2"><times id="S4.6.2.p2.3.m3.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.6.2.p2.3.m3.1.1.3.3.2.1"></times><cn id="S4.6.2.p2.3.m3.1.1.3.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.6.2.p2.3.m3.1.1.3.3.2.2">2</cn><ci id="S4.6.2.p2.3.m3.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S4.6.2.p2.3.m3.1.1.3.3.2.3">𝑛</ci></apply><ci id="S4.6.2.p2.3.m3.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.6.2.p2.3.m3.1.1.3.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.6.2.p2.3.m3.1c">\overline{e_{j}}\cdot e_{2n}=e_{2n-j}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.6.2.p2.3.m3.1d">over¯ start_ARG italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ⋅ italic_e start_POSTSUBSCRIPT 2 italic_n end_POSTSUBSCRIPT = italic_e start_POSTSUBSCRIPT 2 italic_n - italic_j end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, and hence the vanishing of <math alttext="e_{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.6.2.p2.4.m4.1"><semantics id="S4.6.2.p2.4.m4.1a"><msub id="S4.6.2.p2.4.m4.1.1" xref="S4.6.2.p2.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S4.6.2.p2.4.m4.1.1.2" xref="S4.6.2.p2.4.m4.1.1.2.cmml">e</mi><mi id="S4.6.2.p2.4.m4.1.1.3" xref="S4.6.2.p2.4.m4.1.1.3.cmml">k</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.6.2.p2.4.m4.1b"><apply id="S4.6.2.p2.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.6.2.p2.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.6.2.p2.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S4.6.2.p2.4.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.6.2.p2.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S4.6.2.p2.4.m4.1.1.2">𝑒</ci><ci id="S4.6.2.p2.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S4.6.2.p2.4.m4.1.1.3">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.6.2.p2.4.m4.1c">e_{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.6.2.p2.4.m4.1d">italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> implies the vanishing of <math alttext="e_{2n-k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.6.2.p2.5.m5.1"><semantics id="S4.6.2.p2.5.m5.1a"><msub id="S4.6.2.p2.5.m5.1.1" xref="S4.6.2.p2.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S4.6.2.p2.5.m5.1.1.2" xref="S4.6.2.p2.5.m5.1.1.2.cmml">e</mi><mrow id="S4.6.2.p2.5.m5.1.1.3" xref="S4.6.2.p2.5.m5.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.6.2.p2.5.m5.1.1.3.2" xref="S4.6.2.p2.5.m5.1.1.3.2.cmml"><mn id="S4.6.2.p2.5.m5.1.1.3.2.2" xref="S4.6.2.p2.5.m5.1.1.3.2.2.cmml">2</mn><mo id="S4.6.2.p2.5.m5.1.1.3.2.1" xref="S4.6.2.p2.5.m5.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.6.2.p2.5.m5.1.1.3.2.3" xref="S4.6.2.p2.5.m5.1.1.3.2.3.cmml">n</mi></mrow><mo id="S4.6.2.p2.5.m5.1.1.3.1" xref="S4.6.2.p2.5.m5.1.1.3.1.cmml">−</mo><mi id="S4.6.2.p2.5.m5.1.1.3.3" xref="S4.6.2.p2.5.m5.1.1.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.6.2.p2.5.m5.1b"><apply id="S4.6.2.p2.5.m5.1.1.cmml" xref="S4.6.2.p2.5.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.6.2.p2.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S4.6.2.p2.5.m5.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.6.2.p2.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S4.6.2.p2.5.m5.1.1.2">𝑒</ci><apply id="S4.6.2.p2.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S4.6.2.p2.5.m5.1.1.3"><minus id="S4.6.2.p2.5.m5.1.1.3.1.cmml" xref="S4.6.2.p2.5.m5.1.1.3.1"></minus><apply id="S4.6.2.p2.5.m5.1.1.3.2.cmml" xref="S4.6.2.p2.5.m5.1.1.3.2"><times id="S4.6.2.p2.5.m5.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.6.2.p2.5.m5.1.1.3.2.1"></times><cn id="S4.6.2.p2.5.m5.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.6.2.p2.5.m5.1.1.3.2.2">2</cn><ci id="S4.6.2.p2.5.m5.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.6.2.p2.5.m5.1.1.3.2.3">𝑛</ci></apply><ci id="S4.6.2.p2.5.m5.1.1.3.3.cmml" xref="S4.6.2.p2.5.m5.1.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.6.2.p2.5.m5.1c">e_{2n-k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.6.2.p2.5.m5.1d">italic_e start_POSTSUBSCRIPT 2 italic_n - italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. Therefore, it is enough to assume <math alttext="p_{k}=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.6.2.p2.6.m6.1"><semantics id="S4.6.2.p2.6.m6.1a"><mrow id="S4.6.2.p2.6.m6.1.1" xref="S4.6.2.p2.6.m6.1.1.cmml"><msub id="S4.6.2.p2.6.m6.1.1.2" xref="S4.6.2.p2.6.m6.1.1.2.cmml"><mi id="S4.6.2.p2.6.m6.1.1.2.2" xref="S4.6.2.p2.6.m6.1.1.2.2.cmml">p</mi><mi id="S4.6.2.p2.6.m6.1.1.2.3" xref="S4.6.2.p2.6.m6.1.1.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S4.6.2.p2.6.m6.1.1.1" xref="S4.6.2.p2.6.m6.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.6.2.p2.6.m6.1.1.3" xref="S4.6.2.p2.6.m6.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.6.2.p2.6.m6.1b"><apply id="S4.6.2.p2.6.m6.1.1.cmml" xref="S4.6.2.p2.6.m6.1.1"><eq id="S4.6.2.p2.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S4.6.2.p2.6.m6.1.1.1"></eq><apply id="S4.6.2.p2.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S4.6.2.p2.6.m6.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.6.2.p2.6.m6.1.1.2.1.cmml" xref="S4.6.2.p2.6.m6.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.6.2.p2.6.m6.1.1.2.2.cmml" xref="S4.6.2.p2.6.m6.1.1.2.2">𝑝</ci><ci id="S4.6.2.p2.6.m6.1.1.2.3.cmml" xref="S4.6.2.p2.6.m6.1.1.2.3">𝑘</ci></apply><cn id="S4.6.2.p2.6.m6.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.6.2.p2.6.m6.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.6.2.p2.6.m6.1c">p_{k}=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.6.2.p2.6.m6.1d">italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT = 0</annotation></semantics></math> for odd <math alttext="k" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.6.2.p2.7.m7.1"><semantics id="S4.6.2.p2.7.m7.1a"><mi id="S4.6.2.p2.7.m7.1.1" xref="S4.6.2.p2.7.m7.1.1.cmml">k</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.6.2.p2.7.m7.1b"><ci id="S4.6.2.p2.7.m7.1.1.cmml" xref="S4.6.2.p2.7.m7.1.1">𝑘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.6.2.p2.7.m7.1c">k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.6.2.p2.7.m7.1d">italic_k</annotation></semantics></math> in the range <math alttext="1\leq k\leq n" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.6.2.p2.8.m8.1"><semantics id="S4.6.2.p2.8.m8.1a"><mrow id="S4.6.2.p2.8.m8.1.1" xref="S4.6.2.p2.8.m8.1.1.cmml"><mn id="S4.6.2.p2.8.m8.1.1.2" xref="S4.6.2.p2.8.m8.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S4.6.2.p2.8.m8.1.1.3" xref="S4.6.2.p2.8.m8.1.1.3.cmml">≤</mo><mi id="S4.6.2.p2.8.m8.1.1.4" xref="S4.6.2.p2.8.m8.1.1.4.cmml">k</mi><mo id="S4.6.2.p2.8.m8.1.1.5" xref="S4.6.2.p2.8.m8.1.1.5.cmml">≤</mo><mi id="S4.6.2.p2.8.m8.1.1.6" xref="S4.6.2.p2.8.m8.1.1.6.cmml">n</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.6.2.p2.8.m8.1b"><apply id="S4.6.2.p2.8.m8.1.1.cmml" xref="S4.6.2.p2.8.m8.1.1"><and id="S4.6.2.p2.8.m8.1.1a.cmml" xref="S4.6.2.p2.8.m8.1.1"></and><apply id="S4.6.2.p2.8.m8.1.1b.cmml" xref="S4.6.2.p2.8.m8.1.1"><leq id="S4.6.2.p2.8.m8.1.1.3.cmml" xref="S4.6.2.p2.8.m8.1.1.3"></leq><cn id="S4.6.2.p2.8.m8.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.6.2.p2.8.m8.1.1.2">1</cn><ci id="S4.6.2.p2.8.m8.1.1.4.cmml" xref="S4.6.2.p2.8.m8.1.1.4">𝑘</ci></apply><apply id="S4.6.2.p2.8.m8.1.1c.cmml" xref="S4.6.2.p2.8.m8.1.1"><leq id="S4.6.2.p2.8.m8.1.1.5.cmml" xref="S4.6.2.p2.8.m8.1.1.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#S4.6.2.p2.8.m8.1.1.4.cmml" id="S4.6.2.p2.8.m8.1.1d.cmml" xref="S4.6.2.p2.8.m8.1.1"></share><ci id="S4.6.2.p2.8.m8.1.1.6.cmml" xref="S4.6.2.p2.8.m8.1.1.6">𝑛</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.6.2.p2.8.m8.1c">1\leq k\leq n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.6.2.p2.8.m8.1d">1 ≤ italic_k ≤ italic_n</annotation></semantics></math>, and the same proof applies verbatim. ∎</p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S4.7.p5"> <p class="ltx_p" id="S4.7.p5.1">In dimension 6, unimodular binary vectors have a particularly simple characterization:</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lemma" id="S4.Thmfact5"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S4.Thmfact5.1.1.1">Lemma 4.5</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S4.Thmfact5.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="S4.Thmfact5.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.Thmfact5.p1.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.Thmfact5.p1.1.1">The following are equivalent for a zero-sum vector <math alttext="\mathbf{v}=(v_{1},\dots,v_{6})\in\mathbb{T}^{6}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmfact5.p1.1.1.m1.3"><semantics id="S4.Thmfact5.p1.1.1.m1.3a"><mrow id="S4.Thmfact5.p1.1.1.m1.3.3" xref="S4.Thmfact5.p1.1.1.m1.3.3.cmml"><mi id="S4.Thmfact5.p1.1.1.m1.3.3.4" xref="S4.Thmfact5.p1.1.1.m1.3.3.4.cmml">𝐯</mi><mo id="S4.Thmfact5.p1.1.1.m1.3.3.5" xref="S4.Thmfact5.p1.1.1.m1.3.3.5.cmml">=</mo><mrow id="S4.Thmfact5.p1.1.1.m1.3.3.2.2" xref="S4.Thmfact5.p1.1.1.m1.3.3.2.3.cmml"><mo id="S4.Thmfact5.p1.1.1.m1.3.3.2.2.3" stretchy="false" xref="S4.Thmfact5.p1.1.1.m1.3.3.2.3.cmml">(</mo><msub id="S4.Thmfact5.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1" xref="S4.Thmfact5.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmfact5.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S4.Thmfact5.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">v</mi><mn id="S4.Thmfact5.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S4.Thmfact5.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.Thmfact5.p1.1.1.m1.3.3.2.2.4" xref="S4.Thmfact5.p1.1.1.m1.3.3.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.Thmfact5.p1.1.1.m1.1.1" mathvariant="normal" xref="S4.Thmfact5.p1.1.1.m1.1.1.cmml">…</mi><mo id="S4.Thmfact5.p1.1.1.m1.3.3.2.2.5" xref="S4.Thmfact5.p1.1.1.m1.3.3.2.3.cmml">,</mo><msub id="S4.Thmfact5.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2" xref="S4.Thmfact5.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2.cmml"><mi id="S4.Thmfact5.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2.2" xref="S4.Thmfact5.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2.2.cmml">v</mi><mn id="S4.Thmfact5.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2.3" xref="S4.Thmfact5.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2.3.cmml">6</mn></msub><mo id="S4.Thmfact5.p1.1.1.m1.3.3.2.2.6" stretchy="false" xref="S4.Thmfact5.p1.1.1.m1.3.3.2.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.Thmfact5.p1.1.1.m1.3.3.6" xref="S4.Thmfact5.p1.1.1.m1.3.3.6.cmml">∈</mo><msup id="S4.Thmfact5.p1.1.1.m1.3.3.7" xref="S4.Thmfact5.p1.1.1.m1.3.3.7.cmml"><mi id="S4.Thmfact5.p1.1.1.m1.3.3.7.2" xref="S4.Thmfact5.p1.1.1.m1.3.3.7.2.cmml">𝕋</mi><mn id="S4.Thmfact5.p1.1.1.m1.3.3.7.3" xref="S4.Thmfact5.p1.1.1.m1.3.3.7.3.cmml">6</mn></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmfact5.p1.1.1.m1.3b"><apply id="S4.Thmfact5.p1.1.1.m1.3.3.cmml" xref="S4.Thmfact5.p1.1.1.m1.3.3"><and id="S4.Thmfact5.p1.1.1.m1.3.3a.cmml" xref="S4.Thmfact5.p1.1.1.m1.3.3"></and><apply id="S4.Thmfact5.p1.1.1.m1.3.3b.cmml" xref="S4.Thmfact5.p1.1.1.m1.3.3"><eq id="S4.Thmfact5.p1.1.1.m1.3.3.5.cmml" xref="S4.Thmfact5.p1.1.1.m1.3.3.5"></eq><ci id="S4.Thmfact5.p1.1.1.m1.3.3.4.cmml" xref="S4.Thmfact5.p1.1.1.m1.3.3.4">𝐯</ci><vector id="S4.Thmfact5.p1.1.1.m1.3.3.2.3.cmml" xref="S4.Thmfact5.p1.1.1.m1.3.3.2.2"><apply id="S4.Thmfact5.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmfact5.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmfact5.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmfact5.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmfact5.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmfact5.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.2">𝑣</ci><cn id="S4.Thmfact5.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmfact5.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S4.Thmfact5.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.Thmfact5.p1.1.1.m1.1.1">…</ci><apply id="S4.Thmfact5.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmfact5.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmfact5.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Thmfact5.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmfact5.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmfact5.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2.2">𝑣</ci><cn id="S4.Thmfact5.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmfact5.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2.3">6</cn></apply></vector></apply><apply id="S4.Thmfact5.p1.1.1.m1.3.3c.cmml" xref="S4.Thmfact5.p1.1.1.m1.3.3"><in id="S4.Thmfact5.p1.1.1.m1.3.3.6.cmml" xref="S4.Thmfact5.p1.1.1.m1.3.3.6"></in><share href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#S4.Thmfact5.p1.1.1.m1.3.3.2.cmml" id="S4.Thmfact5.p1.1.1.m1.3.3d.cmml" xref="S4.Thmfact5.p1.1.1.m1.3.3"></share><apply id="S4.Thmfact5.p1.1.1.m1.3.3.7.cmml" xref="S4.Thmfact5.p1.1.1.m1.3.3.7"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmfact5.p1.1.1.m1.3.3.7.1.cmml" xref="S4.Thmfact5.p1.1.1.m1.3.3.7">superscript</csymbol><ci id="S4.Thmfact5.p1.1.1.m1.3.3.7.2.cmml" xref="S4.Thmfact5.p1.1.1.m1.3.3.7.2">𝕋</ci><cn id="S4.Thmfact5.p1.1.1.m1.3.3.7.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmfact5.p1.1.1.m1.3.3.7.3">6</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmfact5.p1.1.1.m1.3c">\mathbf{v}=(v_{1},\dots,v_{6})\in\mathbb{T}^{6}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmfact5.p1.1.1.m1.3d">bold_v = ( italic_v start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_v start_POSTSUBSCRIPT 6 end_POSTSUBSCRIPT ) ∈ blackboard_T start_POSTSUPERSCRIPT 6 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>:</span></p> <ul class="ltx_itemize" id="S4.I1"> <li class="ltx_item" id="S4.I1.ix1" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">1)</span> <div class="ltx_para" id="S4.I1.ix1.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.I1.ix1.p1.1"><math alttext="\mathbf{v}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.I1.ix1.p1.1.m1.1"><semantics id="S4.I1.ix1.p1.1.m1.1a"><mi id="S4.I1.ix1.p1.1.m1.1.1" xref="S4.I1.ix1.p1.1.m1.1.1.cmml">𝐯</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.I1.ix1.p1.1.m1.1b"><ci id="S4.I1.ix1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.I1.ix1.p1.1.m1.1.1">𝐯</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.I1.ix1.p1.1.m1.1c">\mathbf{v}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.I1.ix1.p1.1.m1.1d">bold_v</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.I1.ix1.p1.1.1"> is binary,</span></p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S4.I1.ix2" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">2)</span> <div class="ltx_para" id="S4.I1.ix2.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.I1.ix2.p1.2"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.I1.ix2.p1.2.1">for any </span><math alttext="i" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.I1.ix2.p1.1.m1.1"><semantics id="S4.I1.ix2.p1.1.m1.1a"><mi id="S4.I1.ix2.p1.1.m1.1.1" xref="S4.I1.ix2.p1.1.m1.1.1.cmml">i</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.I1.ix2.p1.1.m1.1b"><ci id="S4.I1.ix2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.I1.ix2.p1.1.m1.1.1">𝑖</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.I1.ix2.p1.1.m1.1c">i</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.I1.ix2.p1.1.m1.1d">italic_i</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.I1.ix2.p1.2.2">, the normalized vector </span><math alttext="\mathbf{v}/v_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.I1.ix2.p1.2.m2.1"><semantics id="S4.I1.ix2.p1.2.m2.1a"><mrow id="S4.I1.ix2.p1.2.m2.1.1" xref="S4.I1.ix2.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.I1.ix2.p1.2.m2.1.1.2" xref="S4.I1.ix2.p1.2.m2.1.1.2.cmml">𝐯</mi><mo id="S4.I1.ix2.p1.2.m2.1.1.1" xref="S4.I1.ix2.p1.2.m2.1.1.1.cmml">/</mo><msub id="S4.I1.ix2.p1.2.m2.1.1.3" xref="S4.I1.ix2.p1.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S4.I1.ix2.p1.2.m2.1.1.3.2" xref="S4.I1.ix2.p1.2.m2.1.1.3.2.cmml">v</mi><mi id="S4.I1.ix2.p1.2.m2.1.1.3.3" xref="S4.I1.ix2.p1.2.m2.1.1.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.I1.ix2.p1.2.m2.1b"><apply id="S4.I1.ix2.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.I1.ix2.p1.2.m2.1.1"><divide id="S4.I1.ix2.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.I1.ix2.p1.2.m2.1.1.1"></divide><ci id="S4.I1.ix2.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.I1.ix2.p1.2.m2.1.1.2">𝐯</ci><apply id="S4.I1.ix2.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S4.I1.ix2.p1.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.I1.ix2.p1.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S4.I1.ix2.p1.2.m2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.I1.ix2.p1.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S4.I1.ix2.p1.2.m2.1.1.3.2">𝑣</ci><ci id="S4.I1.ix2.p1.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S4.I1.ix2.p1.2.m2.1.1.3.3">𝑖</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.I1.ix2.p1.2.m2.1c">\mathbf{v}/v_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.I1.ix2.p1.2.m2.1d">bold_v / italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.I1.ix2.p1.2.3"> contains a -1,</span></p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S4.I1.ix3" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">3)</span> <div class="ltx_para" id="S4.I1.ix3.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.I1.ix3.p1.2"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.I1.ix3.p1.2.1">there exists some pair of indices </span><math alttext="i,j" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.I1.ix3.p1.1.m1.2"><semantics id="S4.I1.ix3.p1.1.m1.2a"><mrow id="S4.I1.ix3.p1.1.m1.2.3.2" xref="S4.I1.ix3.p1.1.m1.2.3.1.cmml"><mi id="S4.I1.ix3.p1.1.m1.1.1" xref="S4.I1.ix3.p1.1.m1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S4.I1.ix3.p1.1.m1.2.3.2.1" xref="S4.I1.ix3.p1.1.m1.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.I1.ix3.p1.1.m1.2.2" xref="S4.I1.ix3.p1.1.m1.2.2.cmml">j</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.I1.ix3.p1.1.m1.2b"><list id="S4.I1.ix3.p1.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S4.I1.ix3.p1.1.m1.2.3.2"><ci id="S4.I1.ix3.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.I1.ix3.p1.1.m1.1.1">𝑖</ci><ci id="S4.I1.ix3.p1.1.m1.2.2.cmml" xref="S4.I1.ix3.p1.1.m1.2.2">𝑗</ci></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.I1.ix3.p1.1.m1.2c">i,j</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.I1.ix3.p1.1.m1.2d">italic_i , italic_j</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.I1.ix3.p1.2.2">, such that </span><math alttext="v_{i}+v_{j}=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.I1.ix3.p1.2.m2.1"><semantics id="S4.I1.ix3.p1.2.m2.1a"><mrow id="S4.I1.ix3.p1.2.m2.1.1" xref="S4.I1.ix3.p1.2.m2.1.1.cmml"><mrow id="S4.I1.ix3.p1.2.m2.1.1.2" xref="S4.I1.ix3.p1.2.m2.1.1.2.cmml"><msub id="S4.I1.ix3.p1.2.m2.1.1.2.2" xref="S4.I1.ix3.p1.2.m2.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.I1.ix3.p1.2.m2.1.1.2.2.2" xref="S4.I1.ix3.p1.2.m2.1.1.2.2.2.cmml">v</mi><mi id="S4.I1.ix3.p1.2.m2.1.1.2.2.3" xref="S4.I1.ix3.p1.2.m2.1.1.2.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S4.I1.ix3.p1.2.m2.1.1.2.1" xref="S4.I1.ix3.p1.2.m2.1.1.2.1.cmml">+</mo><msub id="S4.I1.ix3.p1.2.m2.1.1.2.3" xref="S4.I1.ix3.p1.2.m2.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.I1.ix3.p1.2.m2.1.1.2.3.2" xref="S4.I1.ix3.p1.2.m2.1.1.2.3.2.cmml">v</mi><mi id="S4.I1.ix3.p1.2.m2.1.1.2.3.3" xref="S4.I1.ix3.p1.2.m2.1.1.2.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="S4.I1.ix3.p1.2.m2.1.1.1" xref="S4.I1.ix3.p1.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.I1.ix3.p1.2.m2.1.1.3" xref="S4.I1.ix3.p1.2.m2.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.I1.ix3.p1.2.m2.1b"><apply id="S4.I1.ix3.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.I1.ix3.p1.2.m2.1.1"><eq id="S4.I1.ix3.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.I1.ix3.p1.2.m2.1.1.1"></eq><apply id="S4.I1.ix3.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.I1.ix3.p1.2.m2.1.1.2"><plus id="S4.I1.ix3.p1.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S4.I1.ix3.p1.2.m2.1.1.2.1"></plus><apply id="S4.I1.ix3.p1.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S4.I1.ix3.p1.2.m2.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.I1.ix3.p1.2.m2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.I1.ix3.p1.2.m2.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.I1.ix3.p1.2.m2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.I1.ix3.p1.2.m2.1.1.2.2.2">𝑣</ci><ci id="S4.I1.ix3.p1.2.m2.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.I1.ix3.p1.2.m2.1.1.2.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S4.I1.ix3.p1.2.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S4.I1.ix3.p1.2.m2.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.I1.ix3.p1.2.m2.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.I1.ix3.p1.2.m2.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.I1.ix3.p1.2.m2.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.I1.ix3.p1.2.m2.1.1.2.3.2">𝑣</ci><ci id="S4.I1.ix3.p1.2.m2.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.I1.ix3.p1.2.m2.1.1.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><cn id="S4.I1.ix3.p1.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.I1.ix3.p1.2.m2.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.I1.ix3.p1.2.m2.1c">v_{i}+v_{j}=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.I1.ix3.p1.2.m2.1d">italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT + italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT = 0</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.I1.ix3.p1.2.3">.</span></p> </div> </li> </ul> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="S4.8.3"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="S4.8.3.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.8.3.p1.5">Directions <math alttext="1\Rightarrow 2" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.8.3.p1.1.m1.1"><semantics id="S4.8.3.p1.1.m1.1a"><mrow id="S4.8.3.p1.1.m1.1.1" xref="S4.8.3.p1.1.m1.1.1.cmml"><mn id="S4.8.3.p1.1.m1.1.1.2" xref="S4.8.3.p1.1.m1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S4.8.3.p1.1.m1.1.1.1" stretchy="false" xref="S4.8.3.p1.1.m1.1.1.1.cmml">⇒</mo><mn id="S4.8.3.p1.1.m1.1.1.3" xref="S4.8.3.p1.1.m1.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.8.3.p1.1.m1.1b"><apply id="S4.8.3.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.8.3.p1.1.m1.1.1"><ci id="S4.8.3.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.8.3.p1.1.m1.1.1.1">⇒</ci><cn id="S4.8.3.p1.1.m1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.8.3.p1.1.m1.1.1.2">1</cn><cn id="S4.8.3.p1.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.8.3.p1.1.m1.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.8.3.p1.1.m1.1c">1\Rightarrow 2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.8.3.p1.1.m1.1d">1 ⇒ 2</annotation></semantics></math> and <math alttext="2\Rightarrow 3" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.8.3.p1.2.m2.1"><semantics id="S4.8.3.p1.2.m2.1a"><mrow id="S4.8.3.p1.2.m2.1.1" xref="S4.8.3.p1.2.m2.1.1.cmml"><mn id="S4.8.3.p1.2.m2.1.1.2" xref="S4.8.3.p1.2.m2.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="S4.8.3.p1.2.m2.1.1.1" stretchy="false" xref="S4.8.3.p1.2.m2.1.1.1.cmml">⇒</mo><mn id="S4.8.3.p1.2.m2.1.1.3" xref="S4.8.3.p1.2.m2.1.1.3.cmml">3</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.8.3.p1.2.m2.1b"><apply id="S4.8.3.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.8.3.p1.2.m2.1.1"><ci id="S4.8.3.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.8.3.p1.2.m2.1.1.1">⇒</ci><cn id="S4.8.3.p1.2.m2.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.8.3.p1.2.m2.1.1.2">2</cn><cn id="S4.8.3.p1.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.8.3.p1.2.m2.1.1.3">3</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.8.3.p1.2.m2.1c">2\Rightarrow 3</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.8.3.p1.2.m2.1d">2 ⇒ 3</annotation></semantics></math> are trivial. For the implication <math alttext="3\Rightarrow 1" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.8.3.p1.3.m3.1"><semantics id="S4.8.3.p1.3.m3.1a"><mrow id="S4.8.3.p1.3.m3.1.1" xref="S4.8.3.p1.3.m3.1.1.cmml"><mn id="S4.8.3.p1.3.m3.1.1.2" xref="S4.8.3.p1.3.m3.1.1.2.cmml">3</mn><mo id="S4.8.3.p1.3.m3.1.1.1" stretchy="false" xref="S4.8.3.p1.3.m3.1.1.1.cmml">⇒</mo><mn id="S4.8.3.p1.3.m3.1.1.3" xref="S4.8.3.p1.3.m3.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.8.3.p1.3.m3.1b"><apply id="S4.8.3.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.8.3.p1.3.m3.1.1"><ci id="S4.8.3.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S4.8.3.p1.3.m3.1.1.1">⇒</ci><cn id="S4.8.3.p1.3.m3.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.8.3.p1.3.m3.1.1.2">3</cn><cn id="S4.8.3.p1.3.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.8.3.p1.3.m3.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.8.3.p1.3.m3.1c">3\Rightarrow 1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.8.3.p1.3.m3.1d">3 ⇒ 1</annotation></semantics></math> observe that if <math alttext="v_{i}+v_{j}=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.8.3.p1.4.m4.1"><semantics id="S4.8.3.p1.4.m4.1a"><mrow id="S4.8.3.p1.4.m4.1.1" xref="S4.8.3.p1.4.m4.1.1.cmml"><mrow id="S4.8.3.p1.4.m4.1.1.2" xref="S4.8.3.p1.4.m4.1.1.2.cmml"><msub id="S4.8.3.p1.4.m4.1.1.2.2" xref="S4.8.3.p1.4.m4.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.8.3.p1.4.m4.1.1.2.2.2" xref="S4.8.3.p1.4.m4.1.1.2.2.2.cmml">v</mi><mi id="S4.8.3.p1.4.m4.1.1.2.2.3" xref="S4.8.3.p1.4.m4.1.1.2.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S4.8.3.p1.4.m4.1.1.2.1" xref="S4.8.3.p1.4.m4.1.1.2.1.cmml">+</mo><msub id="S4.8.3.p1.4.m4.1.1.2.3" xref="S4.8.3.p1.4.m4.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.8.3.p1.4.m4.1.1.2.3.2" xref="S4.8.3.p1.4.m4.1.1.2.3.2.cmml">v</mi><mi id="S4.8.3.p1.4.m4.1.1.2.3.3" xref="S4.8.3.p1.4.m4.1.1.2.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="S4.8.3.p1.4.m4.1.1.1" xref="S4.8.3.p1.4.m4.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.8.3.p1.4.m4.1.1.3" xref="S4.8.3.p1.4.m4.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.8.3.p1.4.m4.1b"><apply id="S4.8.3.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.8.3.p1.4.m4.1.1"><eq id="S4.8.3.p1.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S4.8.3.p1.4.m4.1.1.1"></eq><apply id="S4.8.3.p1.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S4.8.3.p1.4.m4.1.1.2"><plus id="S4.8.3.p1.4.m4.1.1.2.1.cmml" xref="S4.8.3.p1.4.m4.1.1.2.1"></plus><apply id="S4.8.3.p1.4.m4.1.1.2.2.cmml" xref="S4.8.3.p1.4.m4.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.8.3.p1.4.m4.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.8.3.p1.4.m4.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.8.3.p1.4.m4.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.8.3.p1.4.m4.1.1.2.2.2">𝑣</ci><ci id="S4.8.3.p1.4.m4.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.8.3.p1.4.m4.1.1.2.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S4.8.3.p1.4.m4.1.1.2.3.cmml" xref="S4.8.3.p1.4.m4.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.8.3.p1.4.m4.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.8.3.p1.4.m4.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.8.3.p1.4.m4.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.8.3.p1.4.m4.1.1.2.3.2">𝑣</ci><ci id="S4.8.3.p1.4.m4.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.8.3.p1.4.m4.1.1.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><cn id="S4.8.3.p1.4.m4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.8.3.p1.4.m4.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.8.3.p1.4.m4.1c">v_{i}+v_{j}=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.8.3.p1.4.m4.1d">italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT + italic_v start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT = 0</annotation></semantics></math>, then the rest of the entries also sum up to zero, and we can apply Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#S4.Thmfact4" title="Lemma 4.4. ‣ Proof. ‣ 4. Hadamard cubes in dimension 6 ‣ Triplets of Mutually Unbiased Bases"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4.4</span></a> with <math alttext="n=2" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.8.3.p1.5.m5.1"><semantics id="S4.8.3.p1.5.m5.1a"><mrow id="S4.8.3.p1.5.m5.1.1" xref="S4.8.3.p1.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S4.8.3.p1.5.m5.1.1.2" xref="S4.8.3.p1.5.m5.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S4.8.3.p1.5.m5.1.1.1" xref="S4.8.3.p1.5.m5.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.8.3.p1.5.m5.1.1.3" xref="S4.8.3.p1.5.m5.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.8.3.p1.5.m5.1b"><apply id="S4.8.3.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="S4.8.3.p1.5.m5.1.1"><eq id="S4.8.3.p1.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S4.8.3.p1.5.m5.1.1.1"></eq><ci id="S4.8.3.p1.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S4.8.3.p1.5.m5.1.1.2">𝑛</ci><cn id="S4.8.3.p1.5.m5.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.8.3.p1.5.m5.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.8.3.p1.5.m5.1c">n=2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.8.3.p1.5.m5.1d">italic_n = 2</annotation></semantics></math>. ∎</p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S4.9.p6"> <p class="ltx_p" id="S4.9.p6.1">We will need yet another algebraic condition which implies that a unimodular vector is binary.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_proposition" id="S4.Thmfact6"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S4.Thmfact6.1.1.1">Proposition 4.6</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S4.Thmfact6.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="S4.Thmfact6.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.Thmfact6.p1.6"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.Thmfact6.p1.6.6">Assume that <math alttext="\mathbf{x}=(x_{1},\ldots,x_{6})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmfact6.p1.1.1.m1.3"><semantics id="S4.Thmfact6.p1.1.1.m1.3a"><mrow id="S4.Thmfact6.p1.1.1.m1.3.3" xref="S4.Thmfact6.p1.1.1.m1.3.3.cmml"><mi id="S4.Thmfact6.p1.1.1.m1.3.3.4" xref="S4.Thmfact6.p1.1.1.m1.3.3.4.cmml">𝐱</mi><mo id="S4.Thmfact6.p1.1.1.m1.3.3.3" xref="S4.Thmfact6.p1.1.1.m1.3.3.3.cmml">=</mo><mrow id="S4.Thmfact6.p1.1.1.m1.3.3.2.2" xref="S4.Thmfact6.p1.1.1.m1.3.3.2.3.cmml"><mo id="S4.Thmfact6.p1.1.1.m1.3.3.2.2.3" stretchy="false" xref="S4.Thmfact6.p1.1.1.m1.3.3.2.3.cmml">(</mo><msub id="S4.Thmfact6.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1" xref="S4.Thmfact6.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmfact6.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S4.Thmfact6.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="S4.Thmfact6.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S4.Thmfact6.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.Thmfact6.p1.1.1.m1.3.3.2.2.4" xref="S4.Thmfact6.p1.1.1.m1.3.3.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.Thmfact6.p1.1.1.m1.1.1" mathvariant="normal" xref="S4.Thmfact6.p1.1.1.m1.1.1.cmml">…</mi><mo id="S4.Thmfact6.p1.1.1.m1.3.3.2.2.5" xref="S4.Thmfact6.p1.1.1.m1.3.3.2.3.cmml">,</mo><msub id="S4.Thmfact6.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2" xref="S4.Thmfact6.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2.cmml"><mi id="S4.Thmfact6.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2.2" xref="S4.Thmfact6.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2.2.cmml">x</mi><mn id="S4.Thmfact6.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2.3" xref="S4.Thmfact6.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2.3.cmml">6</mn></msub><mo id="S4.Thmfact6.p1.1.1.m1.3.3.2.2.6" stretchy="false" xref="S4.Thmfact6.p1.1.1.m1.3.3.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmfact6.p1.1.1.m1.3b"><apply id="S4.Thmfact6.p1.1.1.m1.3.3.cmml" xref="S4.Thmfact6.p1.1.1.m1.3.3"><eq id="S4.Thmfact6.p1.1.1.m1.3.3.3.cmml" xref="S4.Thmfact6.p1.1.1.m1.3.3.3"></eq><ci id="S4.Thmfact6.p1.1.1.m1.3.3.4.cmml" xref="S4.Thmfact6.p1.1.1.m1.3.3.4">𝐱</ci><vector id="S4.Thmfact6.p1.1.1.m1.3.3.2.3.cmml" xref="S4.Thmfact6.p1.1.1.m1.3.3.2.2"><apply id="S4.Thmfact6.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmfact6.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmfact6.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmfact6.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmfact6.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmfact6.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.2">𝑥</ci><cn id="S4.Thmfact6.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmfact6.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S4.Thmfact6.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.Thmfact6.p1.1.1.m1.1.1">…</ci><apply id="S4.Thmfact6.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmfact6.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmfact6.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Thmfact6.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmfact6.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmfact6.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2.2">𝑥</ci><cn id="S4.Thmfact6.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmfact6.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2.3">6</cn></apply></vector></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmfact6.p1.1.1.m1.3c">\mathbf{x}=(x_{1},\ldots,x_{6})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmfact6.p1.1.1.m1.3d">bold_x = ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_x start_POSTSUBSCRIPT 6 end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> is a unimodular vector such that <math alttext="x_{1}+\dots+x_{6}=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmfact6.p1.2.2.m2.1"><semantics id="S4.Thmfact6.p1.2.2.m2.1a"><mrow id="S4.Thmfact6.p1.2.2.m2.1.1" xref="S4.Thmfact6.p1.2.2.m2.1.1.cmml"><mrow id="S4.Thmfact6.p1.2.2.m2.1.1.2" xref="S4.Thmfact6.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml"><msub id="S4.Thmfact6.p1.2.2.m2.1.1.2.2" xref="S4.Thmfact6.p1.2.2.m2.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Thmfact6.p1.2.2.m2.1.1.2.2.2" xref="S4.Thmfact6.p1.2.2.m2.1.1.2.2.2.cmml">x</mi><mn id="S4.Thmfact6.p1.2.2.m2.1.1.2.2.3" xref="S4.Thmfact6.p1.2.2.m2.1.1.2.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.Thmfact6.p1.2.2.m2.1.1.2.1" xref="S4.Thmfact6.p1.2.2.m2.1.1.2.1.cmml">+</mo><mi id="S4.Thmfact6.p1.2.2.m2.1.1.2.3" mathvariant="normal" xref="S4.Thmfact6.p1.2.2.m2.1.1.2.3.cmml">⋯</mi><mo id="S4.Thmfact6.p1.2.2.m2.1.1.2.1a" xref="S4.Thmfact6.p1.2.2.m2.1.1.2.1.cmml">+</mo><msub id="S4.Thmfact6.p1.2.2.m2.1.1.2.4" xref="S4.Thmfact6.p1.2.2.m2.1.1.2.4.cmml"><mi id="S4.Thmfact6.p1.2.2.m2.1.1.2.4.2" xref="S4.Thmfact6.p1.2.2.m2.1.1.2.4.2.cmml">x</mi><mn id="S4.Thmfact6.p1.2.2.m2.1.1.2.4.3" xref="S4.Thmfact6.p1.2.2.m2.1.1.2.4.3.cmml">6</mn></msub></mrow><mo id="S4.Thmfact6.p1.2.2.m2.1.1.1" xref="S4.Thmfact6.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.Thmfact6.p1.2.2.m2.1.1.3" xref="S4.Thmfact6.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmfact6.p1.2.2.m2.1b"><apply id="S4.Thmfact6.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.Thmfact6.p1.2.2.m2.1.1"><eq id="S4.Thmfact6.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmfact6.p1.2.2.m2.1.1.1"></eq><apply id="S4.Thmfact6.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmfact6.p1.2.2.m2.1.1.2"><plus id="S4.Thmfact6.p1.2.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Thmfact6.p1.2.2.m2.1.1.2.1"></plus><apply id="S4.Thmfact6.p1.2.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Thmfact6.p1.2.2.m2.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmfact6.p1.2.2.m2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Thmfact6.p1.2.2.m2.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmfact6.p1.2.2.m2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmfact6.p1.2.2.m2.1.1.2.2.2">𝑥</ci><cn id="S4.Thmfact6.p1.2.2.m2.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmfact6.p1.2.2.m2.1.1.2.2.3">1</cn></apply><ci id="S4.Thmfact6.p1.2.2.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Thmfact6.p1.2.2.m2.1.1.2.3">⋯</ci><apply id="S4.Thmfact6.p1.2.2.m2.1.1.2.4.cmml" xref="S4.Thmfact6.p1.2.2.m2.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmfact6.p1.2.2.m2.1.1.2.4.1.cmml" xref="S4.Thmfact6.p1.2.2.m2.1.1.2.4">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmfact6.p1.2.2.m2.1.1.2.4.2.cmml" xref="S4.Thmfact6.p1.2.2.m2.1.1.2.4.2">𝑥</ci><cn id="S4.Thmfact6.p1.2.2.m2.1.1.2.4.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmfact6.p1.2.2.m2.1.1.2.4.3">6</cn></apply></apply><cn id="S4.Thmfact6.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmfact6.p1.2.2.m2.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmfact6.p1.2.2.m2.1c">x_{1}+\dots+x_{6}=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmfact6.p1.2.2.m2.1d">italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT + ⋯ + italic_x start_POSTSUBSCRIPT 6 end_POSTSUBSCRIPT = 0</annotation></semantics></math> and <math alttext="x_{1}x_{3}x_{5}+x_{2}x_{4}x_{6}=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1"><semantics id="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1a"><mrow id="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1" xref="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.cmml"><mrow id="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2" xref="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml"><mrow id="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2.2" xref="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2.2.cmml"><msub id="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2.2.2" xref="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2.2.2.2" xref="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2.2.2.2.cmml">x</mi><mn id="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2.2.2.3" xref="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2.2.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2.2.1" xref="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2.2.3" xref="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2.2.3.2" xref="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2.2.3.2.cmml">x</mi><mn id="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2.2.3.3" xref="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2.2.3.3.cmml">3</mn></msub><mo id="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2.2.1a" xref="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2.2.4" xref="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2.2.4.cmml"><mi id="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2.2.4.2" xref="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2.2.4.2.cmml">x</mi><mn id="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2.2.4.3" xref="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2.2.4.3.cmml">5</mn></msub></mrow><mo id="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2.1" xref="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2.1.cmml">+</mo><mrow id="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2.3" xref="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2.3.cmml"><msub id="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2.3.2" xref="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2.3.2.cmml"><mi id="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2.3.2.2" xref="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2.3.2.2.cmml">x</mi><mn id="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2.3.2.3" xref="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2.3.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2.3.1" xref="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2.3.3" xref="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2.3.3.cmml"><mi id="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2.3.3.2" xref="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2.3.3.2.cmml">x</mi><mn id="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2.3.3.3" xref="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2.3.3.3.cmml">4</mn></msub><mo id="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2.3.1a" xref="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2.3.4" xref="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2.3.4.cmml"><mi id="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2.3.4.2" xref="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2.3.4.2.cmml">x</mi><mn id="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2.3.4.3" xref="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2.3.4.3.cmml">6</mn></msub></mrow></mrow><mo id="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.1" xref="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.3" xref="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1b"><apply id="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1"><eq id="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.1"></eq><apply id="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2"><plus id="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2.1"></plus><apply id="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2.2"><times id="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2.2.1"></times><apply id="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2.2.2.2">𝑥</ci><cn id="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2.2.2.3">1</cn></apply><apply id="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2.2.3.2">𝑥</ci><cn id="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2.2.3.3">3</cn></apply><apply id="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2.2.4.cmml" xref="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2.2.4.1.cmml" xref="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2.2.4.2.cmml" xref="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2.2.4.2">𝑥</ci><cn id="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2.2.4.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2.2.4.3">5</cn></apply></apply><apply id="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2.3"><times id="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2.3.1"></times><apply id="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2.3.2.2">𝑥</ci><cn id="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2.3.2.3">2</cn></apply><apply id="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2.3.3.2">𝑥</ci><cn id="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2.3.3.3">4</cn></apply><apply id="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2.3.4.cmml" xref="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2.3.4.1.cmml" xref="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2.3.4">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2.3.4.2.cmml" xref="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2.3.4.2">𝑥</ci><cn id="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2.3.4.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.2.3.4.3">6</cn></apply></apply></apply><cn id="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1c">x_{1}x_{3}x_{5}+x_{2}x_{4}x_{6}=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmfact6.p1.3.3.m3.1d">italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUBSCRIPT 5 end_POSTSUBSCRIPT + italic_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUBSCRIPT 4 end_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUBSCRIPT 6 end_POSTSUBSCRIPT = 0</annotation></semantics></math>. Then <math alttext="\mathbf{x}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmfact6.p1.4.4.m4.1"><semantics id="S4.Thmfact6.p1.4.4.m4.1a"><mi id="S4.Thmfact6.p1.4.4.m4.1.1" xref="S4.Thmfact6.p1.4.4.m4.1.1.cmml">𝐱</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmfact6.p1.4.4.m4.1b"><ci id="S4.Thmfact6.p1.4.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.Thmfact6.p1.4.4.m4.1.1">𝐱</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmfact6.p1.4.4.m4.1c">\mathbf{x}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmfact6.p1.4.4.m4.1d">bold_x</annotation></semantics></math> is binary, and <math alttext="(x_{2},x_{4},x_{6})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmfact6.p1.5.5.m5.3"><semantics id="S4.Thmfact6.p1.5.5.m5.3a"><mrow id="S4.Thmfact6.p1.5.5.m5.3.3.3" xref="S4.Thmfact6.p1.5.5.m5.3.3.4.cmml"><mo id="S4.Thmfact6.p1.5.5.m5.3.3.3.4" stretchy="false" xref="S4.Thmfact6.p1.5.5.m5.3.3.4.cmml">(</mo><msub id="S4.Thmfact6.p1.5.5.m5.1.1.1.1" xref="S4.Thmfact6.p1.5.5.m5.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmfact6.p1.5.5.m5.1.1.1.1.2" xref="S4.Thmfact6.p1.5.5.m5.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="S4.Thmfact6.p1.5.5.m5.1.1.1.1.3" xref="S4.Thmfact6.p1.5.5.m5.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S4.Thmfact6.p1.5.5.m5.3.3.3.5" xref="S4.Thmfact6.p1.5.5.m5.3.3.4.cmml">,</mo><msub id="S4.Thmfact6.p1.5.5.m5.2.2.2.2" xref="S4.Thmfact6.p1.5.5.m5.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.Thmfact6.p1.5.5.m5.2.2.2.2.2" xref="S4.Thmfact6.p1.5.5.m5.2.2.2.2.2.cmml">x</mi><mn id="S4.Thmfact6.p1.5.5.m5.2.2.2.2.3" xref="S4.Thmfact6.p1.5.5.m5.2.2.2.2.3.cmml">4</mn></msub><mo id="S4.Thmfact6.p1.5.5.m5.3.3.3.6" xref="S4.Thmfact6.p1.5.5.m5.3.3.4.cmml">,</mo><msub id="S4.Thmfact6.p1.5.5.m5.3.3.3.3" xref="S4.Thmfact6.p1.5.5.m5.3.3.3.3.cmml"><mi id="S4.Thmfact6.p1.5.5.m5.3.3.3.3.2" xref="S4.Thmfact6.p1.5.5.m5.3.3.3.3.2.cmml">x</mi><mn id="S4.Thmfact6.p1.5.5.m5.3.3.3.3.3" xref="S4.Thmfact6.p1.5.5.m5.3.3.3.3.3.cmml">6</mn></msub><mo id="S4.Thmfact6.p1.5.5.m5.3.3.3.7" stretchy="false" xref="S4.Thmfact6.p1.5.5.m5.3.3.4.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmfact6.p1.5.5.m5.3b"><vector id="S4.Thmfact6.p1.5.5.m5.3.3.4.cmml" xref="S4.Thmfact6.p1.5.5.m5.3.3.3"><apply id="S4.Thmfact6.p1.5.5.m5.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmfact6.p1.5.5.m5.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmfact6.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmfact6.p1.5.5.m5.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmfact6.p1.5.5.m5.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmfact6.p1.5.5.m5.1.1.1.1.2">𝑥</ci><cn id="S4.Thmfact6.p1.5.5.m5.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmfact6.p1.5.5.m5.1.1.1.1.3">2</cn></apply><apply id="S4.Thmfact6.p1.5.5.m5.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmfact6.p1.5.5.m5.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmfact6.p1.5.5.m5.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Thmfact6.p1.5.5.m5.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmfact6.p1.5.5.m5.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmfact6.p1.5.5.m5.2.2.2.2.2">𝑥</ci><cn id="S4.Thmfact6.p1.5.5.m5.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmfact6.p1.5.5.m5.2.2.2.2.3">4</cn></apply><apply id="S4.Thmfact6.p1.5.5.m5.3.3.3.3.cmml" xref="S4.Thmfact6.p1.5.5.m5.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmfact6.p1.5.5.m5.3.3.3.3.1.cmml" xref="S4.Thmfact6.p1.5.5.m5.3.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmfact6.p1.5.5.m5.3.3.3.3.2.cmml" xref="S4.Thmfact6.p1.5.5.m5.3.3.3.3.2">𝑥</ci><cn id="S4.Thmfact6.p1.5.5.m5.3.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmfact6.p1.5.5.m5.3.3.3.3.3">6</cn></apply></vector></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmfact6.p1.5.5.m5.3c">(x_{2},x_{4},x_{6})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmfact6.p1.5.5.m5.3d">( italic_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT , italic_x start_POSTSUBSCRIPT 4 end_POSTSUBSCRIPT , italic_x start_POSTSUBSCRIPT 6 end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> can be reordered so that <math alttext="x_{1}+x_{2}=x_{3}+x_{4}=x_{5}+x_{6}=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1"><semantics id="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1a"><mrow id="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1" xref="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.cmml"><mrow id="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.2" xref="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.2.cmml"><msub id="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.2.2" xref="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.2.2.2" xref="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.2.2.2.cmml">x</mi><mn id="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.2.2.3" xref="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.2.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.2.1" xref="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.2.1.cmml">+</mo><msub id="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.2.3" xref="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.2.3.2" xref="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.2.3.2.cmml">x</mi><mn id="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.2.3.3" xref="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.2.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.3" xref="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.4" xref="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.4.cmml"><msub id="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.4.2" xref="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.4.2.cmml"><mi id="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.4.2.2" xref="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.4.2.2.cmml">x</mi><mn id="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.4.2.3" xref="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.4.2.3.cmml">3</mn></msub><mo id="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.4.1" xref="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.4.1.cmml">+</mo><msub id="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.4.3" xref="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.4.3.cmml"><mi id="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.4.3.2" xref="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.4.3.2.cmml">x</mi><mn id="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.4.3.3" xref="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.4.3.3.cmml">4</mn></msub></mrow><mo id="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.5" xref="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.5.cmml">=</mo><mrow id="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.6" xref="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.6.cmml"><msub id="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.6.2" xref="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.6.2.cmml"><mi id="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.6.2.2" xref="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.6.2.2.cmml">x</mi><mn id="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.6.2.3" xref="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.6.2.3.cmml">5</mn></msub><mo id="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.6.1" xref="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.6.1.cmml">+</mo><msub id="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.6.3" xref="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.6.3.cmml"><mi id="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.6.3.2" xref="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.6.3.2.cmml">x</mi><mn id="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.6.3.3" xref="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.6.3.3.cmml">6</mn></msub></mrow><mo id="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.7" xref="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.7.cmml">=</mo><mn id="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.8" xref="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.8.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1b"><apply id="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.cmml" xref="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1"><and id="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1a.cmml" xref="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1"></and><apply id="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1b.cmml" xref="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1"><eq id="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.3"></eq><apply id="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.2"><plus id="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.2.1"></plus><apply id="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.2.2.2">𝑥</ci><cn id="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.2.2.3">1</cn></apply><apply id="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.2.3.2">𝑥</ci><cn id="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.2.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.4.cmml" xref="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.4"><plus id="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.4.1.cmml" xref="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.4.1"></plus><apply id="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.4.2.cmml" xref="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.4.2.1.cmml" xref="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.4.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.4.2.2.cmml" xref="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.4.2.2">𝑥</ci><cn id="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.4.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.4.2.3">3</cn></apply><apply id="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.4.3.cmml" xref="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.4.3.1.cmml" xref="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.4.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.4.3.2.cmml" xref="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.4.3.2">𝑥</ci><cn id="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.4.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.4.3.3">4</cn></apply></apply></apply><apply id="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1c.cmml" xref="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1"><eq id="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.5.cmml" xref="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.4.cmml" id="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1d.cmml" xref="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1"></share><apply id="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.6.cmml" xref="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.6"><plus id="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.6.1.cmml" xref="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.6.1"></plus><apply id="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.6.2.cmml" xref="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.6.2.1.cmml" xref="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.6.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.6.2.2.cmml" xref="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.6.2.2">𝑥</ci><cn id="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.6.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.6.2.3">5</cn></apply><apply id="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.6.3.cmml" xref="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.6.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.6.3.1.cmml" xref="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.6.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.6.3.2.cmml" xref="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.6.3.2">𝑥</ci><cn id="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.6.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.6.3.3">6</cn></apply></apply></apply><apply id="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1e.cmml" xref="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1"><eq id="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.7.cmml" xref="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.7"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.6.cmml" id="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1f.cmml" xref="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1"></share><cn id="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.8.cmml" type="integer" xref="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1.1.8">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1c">x_{1}+x_{2}=x_{3}+x_{4}=x_{5}+x_{6}=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmfact6.p1.6.6.m6.1d">italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT + italic_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT = italic_x start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT + italic_x start_POSTSUBSCRIPT 4 end_POSTSUBSCRIPT = italic_x start_POSTSUBSCRIPT 5 end_POSTSUBSCRIPT + italic_x start_POSTSUBSCRIPT 6 end_POSTSUBSCRIPT = 0</annotation></semantics></math> holds.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="S4.14.8"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="S4.10.4.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.10.4.p1.2">By the assumptions <math alttext="x_{1}+\dots+x_{6}=0,\ x_{1}x_{3}x_{5}+x_{2}x_{4}x_{6}=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.10.4.p1.1.m1.2"><semantics id="S4.10.4.p1.1.m1.2a"><mrow id="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2" xref="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.3.cmml"><mrow id="S4.10.4.p1.1.m1.1.1.1.1" xref="S4.10.4.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.10.4.p1.1.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.10.4.p1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="S4.10.4.p1.1.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.10.4.p1.1.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.10.4.p1.1.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.10.4.p1.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">x</mi><mn id="S4.10.4.p1.1.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.10.4.p1.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.10.4.p1.1.m1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.10.4.p1.1.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">+</mo><mi id="S4.10.4.p1.1.m1.1.1.1.1.2.3" mathvariant="normal" xref="S4.10.4.p1.1.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">⋯</mi><mo id="S4.10.4.p1.1.m1.1.1.1.1.2.1a" xref="S4.10.4.p1.1.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">+</mo><msub id="S4.10.4.p1.1.m1.1.1.1.1.2.4" xref="S4.10.4.p1.1.m1.1.1.1.1.2.4.cmml"><mi id="S4.10.4.p1.1.m1.1.1.1.1.2.4.2" xref="S4.10.4.p1.1.m1.1.1.1.1.2.4.2.cmml">x</mi><mn id="S4.10.4.p1.1.m1.1.1.1.1.2.4.3" xref="S4.10.4.p1.1.m1.1.1.1.1.2.4.3.cmml">6</mn></msub></mrow><mo id="S4.10.4.p1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.10.4.p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.10.4.p1.1.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.10.4.p1.1.m1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><mo id="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.3" rspace="0.667em" xref="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2" xref="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2" xref="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2" xref="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.cmml"><msub id="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.2" xref="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml">x</mi><mn id="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.3" xref="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.1" xref="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.3" xref="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.3.2" xref="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml">x</mi><mn id="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.3.3" xref="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml">3</mn></msub><mo id="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.1a" xref="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.4" xref="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.4.cmml"><mi id="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.4.2" xref="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.4.2.cmml">x</mi><mn id="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.4.3" xref="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.4.3.cmml">5</mn></msub></mrow><mo id="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.1" xref="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.1.cmml">+</mo><mrow id="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3" xref="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3.cmml"><msub id="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3.2" xref="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3.2.cmml"><mi id="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3.2.2" xref="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3.2.2.cmml">x</mi><mn id="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3.2.3" xref="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3.1" xref="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3.3" xref="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3.3.cmml"><mi id="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3.3.2" xref="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3.3.2.cmml">x</mi><mn id="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3.3.3" xref="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3.3.3.cmml">4</mn></msub><mo id="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3.1a" xref="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3.4" xref="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3.4.cmml"><mi id="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3.4.2" xref="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3.4.2.cmml">x</mi><mn id="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3.4.3" xref="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3.4.3.cmml">6</mn></msub></mrow></mrow><mo id="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.1" xref="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.1.cmml">=</mo><mn id="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.3" xref="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.3.cmml">0</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.10.4.p1.1.m1.2b"><apply id="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.3.cmml" xref="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.3a.cmml" xref="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.10.4.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.10.4.p1.1.m1.1.1.1.1"><eq id="S4.10.4.p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.10.4.p1.1.m1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S4.10.4.p1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.10.4.p1.1.m1.1.1.1.1.2"><plus id="S4.10.4.p1.1.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.10.4.p1.1.m1.1.1.1.1.2.1"></plus><apply id="S4.10.4.p1.1.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.10.4.p1.1.m1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.10.4.p1.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.10.4.p1.1.m1.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.10.4.p1.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.10.4.p1.1.m1.1.1.1.1.2.2.2">𝑥</ci><cn id="S4.10.4.p1.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.10.4.p1.1.m1.1.1.1.1.2.2.3">1</cn></apply><ci id="S4.10.4.p1.1.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.10.4.p1.1.m1.1.1.1.1.2.3">⋯</ci><apply id="S4.10.4.p1.1.m1.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="S4.10.4.p1.1.m1.1.1.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.10.4.p1.1.m1.1.1.1.1.2.4.1.cmml" xref="S4.10.4.p1.1.m1.1.1.1.1.2.4">subscript</csymbol><ci id="S4.10.4.p1.1.m1.1.1.1.1.2.4.2.cmml" xref="S4.10.4.p1.1.m1.1.1.1.1.2.4.2">𝑥</ci><cn id="S4.10.4.p1.1.m1.1.1.1.1.2.4.3.cmml" type="integer" xref="S4.10.4.p1.1.m1.1.1.1.1.2.4.3">6</cn></apply></apply><cn id="S4.10.4.p1.1.m1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.10.4.p1.1.m1.1.1.1.1.3">0</cn></apply><apply id="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2"><eq id="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.1"></eq><apply id="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2"><plus id="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.1"></plus><apply id="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2"><times id="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.1"></times><apply id="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2">𝑥</ci><cn id="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.3">1</cn></apply><apply id="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.3.2">𝑥</ci><cn id="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.3.3">3</cn></apply><apply id="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.4.cmml" xref="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.4.1.cmml" xref="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.4.2.cmml" xref="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.4.2">𝑥</ci><cn id="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.4.3.cmml" type="integer" xref="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.2.4.3">5</cn></apply></apply><apply id="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3"><times id="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3.1"></times><apply id="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3.2.1.cmml" xref="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3.2.2.cmml" xref="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3.2.2">𝑥</ci><cn id="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3.2.3">2</cn></apply><apply id="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3.3.1.cmml" xref="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3.3.2.cmml" xref="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3.3.2">𝑥</ci><cn id="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3.3.3">4</cn></apply><apply id="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3.4.cmml" xref="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3.4.1.cmml" xref="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3.4">subscript</csymbol><ci id="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3.4.2.cmml" xref="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3.4.2">𝑥</ci><cn id="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3.4.3.cmml" type="integer" xref="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.2.3.4.3">6</cn></apply></apply></apply><cn id="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.10.4.p1.1.m1.2.2.2.2.3">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.10.4.p1.1.m1.2c">x_{1}+\dots+x_{6}=0,\ x_{1}x_{3}x_{5}+x_{2}x_{4}x_{6}=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.10.4.p1.1.m1.2d">italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT + ⋯ + italic_x start_POSTSUBSCRIPT 6 end_POSTSUBSCRIPT = 0 , italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUBSCRIPT 5 end_POSTSUBSCRIPT + italic_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUBSCRIPT 4 end_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUBSCRIPT 6 end_POSTSUBSCRIPT = 0</annotation></semantics></math>, and the fact that each <math alttext="x_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.10.4.p1.2.m2.1"><semantics id="S4.10.4.p1.2.m2.1a"><msub id="S4.10.4.p1.2.m2.1.1" xref="S4.10.4.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.10.4.p1.2.m2.1.1.2" xref="S4.10.4.p1.2.m2.1.1.2.cmml">x</mi><mi id="S4.10.4.p1.2.m2.1.1.3" xref="S4.10.4.p1.2.m2.1.1.3.cmml">i</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.10.4.p1.2.m2.1b"><apply id="S4.10.4.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.10.4.p1.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.10.4.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.10.4.p1.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.10.4.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.10.4.p1.2.m2.1.1.2">𝑥</ci><ci id="S4.10.4.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S4.10.4.p1.2.m2.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.10.4.p1.2.m2.1c">x_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.10.4.p1.2.m2.1d">italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> has unit length, we obtain</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E11"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(4.11)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="x_{1}x_{3}+x_{3}x_{5}+x_{5}x_{1}=(\overline{x_{1}}+\overline{x_{3}}+\overline{% x_{5}})x_{1}x_{3}x_{5}=(\overline{x_{2}}+\overline{x_{4}}+\overline{x_{6}})x_{% 2}x_{4}x_{6}=x_{2}x_{4}+x_{4}x_{6}+x_{6}x_{2}." class="ltx_Math" display="block" id="S4.E11.m1.1"><semantics id="S4.E11.m1.1a"><mrow id="S4.E11.m1.1.1.1" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E11.m1.1.1.1.1" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E11.m1.1.1.1.1.4" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.cmml"><mrow id="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.2" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.2.cmml"><msub id="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.2.2" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.2.2.cmml"><mi id="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.2.2.2" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.cmml">x</mi><mn id="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.2.2.3" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.2.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.2.1" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.2.3" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.2.3.cmml"><mi id="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.2.3.2" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.2.3.2.cmml">x</mi><mn id="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.2.3.3" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.2.3.3.cmml">3</mn></msub></mrow><mo id="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.1" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.1.cmml">+</mo><mrow id="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.3" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.3.cmml"><msub id="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.3.2" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.3.2.cmml"><mi id="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.3.2.2" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.3.2.2.cmml">x</mi><mn id="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.3.2.3" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.3.2.3.cmml">3</mn></msub><mo id="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.3.1" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.3.3" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.3.3.cmml"><mi id="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.3.3.2" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.3.3.2.cmml">x</mi><mn id="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.3.3.3" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.3.3.3.cmml">5</mn></msub></mrow><mo id="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.1a" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.1.cmml">+</mo><mrow id="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.4" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.4.cmml"><msub id="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.4.2" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.4.2.cmml"><mi id="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.4.2.2" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.cmml">x</mi><mn id="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.4.2.3" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.4.2.3.cmml">5</mn></msub><mo id="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.4.1" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.4.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.4.3" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.4.3.cmml"><mi id="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.4.3.2" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.4.3.2.cmml">x</mi><mn id="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.4.3.3" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.4.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow></mrow><mo id="S4.E11.m1.1.1.1.1.5" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.5.cmml">=</mo><mrow id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">x</mi><mn id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mover accent="true" id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">x</mi><mn id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">3</mn></msub><mo id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mover accent="true" id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><msub id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml"><mi id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml">x</mi><mn id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml">5</mn></msub><mo id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml">¯</mo></mover></mrow><mo id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">x</mi><mn id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.2a" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.4" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">x</mi><mn id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">3</mn></msub><mo id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.2b" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.5" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.5.cmml"><mi id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.5.2" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.5.2.cmml">x</mi><mn id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.5.3" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.5.3.cmml">5</mn></msub></mrow><mo id="S4.E11.m1.1.1.1.1.6" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.6.cmml">=</mo><mrow id="S4.E11.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.1.1" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml"><msub id="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.2" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.2.cmml">x</mi><mn id="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.3" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.1" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml">+</mo><mover accent="true" id="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml"><msub id="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.2" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.2.cmml">x</mi><mn id="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.3" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.3.cmml">4</mn></msub><mo id="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1.cmml">¯</mo></mover><mo id="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1a" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml">+</mo><mover accent="true" id="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.4" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.4.cmml"><msub id="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.4.2" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.4.2.cmml"><mi id="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.4.2.2" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.4.2.2.cmml">x</mi><mn id="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.4.2.3" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.4.2.3.cmml">6</mn></msub><mo id="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.4.1" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.4.1.cmml">¯</mo></mover></mrow><mo id="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">x</mi><mn id="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.2a" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.4" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.4.cmml"><mi id="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.4.2" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.4.2.cmml">x</mi><mn id="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.4.3" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.4.3.cmml">4</mn></msub><mo id="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.2b" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.5" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.5.cmml"><mi id="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.5.2" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.5.2.cmml">x</mi><mn id="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.5.3" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.5.3.cmml">6</mn></msub></mrow><mo id="S4.E11.m1.1.1.1.1.7" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.7.cmml">=</mo><mrow id="S4.E11.m1.1.1.1.1.8" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.cmml"><mrow id="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.2" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.2.cmml"><msub id="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.2.2" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.2.2.cmml"><mi id="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.2.2.2" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.2.2.2.cmml">x</mi><mn id="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.2.2.3" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.2.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.2.1" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.2.3" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.2.3.cmml"><mi id="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.2.3.2" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.2.3.2.cmml">x</mi><mn id="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.2.3.3" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.2.3.3.cmml">4</mn></msub></mrow><mo id="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.1" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.1.cmml">+</mo><mrow id="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.3" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.3.cmml"><msub id="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.3.2" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.3.2.cmml"><mi id="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.3.2.2" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.3.2.2.cmml">x</mi><mn id="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.3.2.3" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.3.2.3.cmml">4</mn></msub><mo id="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.3.1" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.3.3" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.3.3.cmml"><mi id="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.3.3.2" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.3.3.2.cmml">x</mi><mn id="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.3.3.3" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.3.3.3.cmml">6</mn></msub></mrow><mo id="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.1a" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.1.cmml">+</mo><mrow id="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.4" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.4.cmml"><msub id="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.4.2" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.4.2.cmml"><mi id="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.4.2.2" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.4.2.2.cmml">x</mi><mn id="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.4.2.3" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.4.2.3.cmml">6</mn></msub><mo id="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.4.1" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.4.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.4.3" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.4.3.cmml"><mi id="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.4.3.2" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.4.3.2.cmml">x</mi><mn id="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.4.3.3" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.4.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E11.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E11.m1.1b"><apply id="S4.E11.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1"><and id="S4.E11.m1.1.1.1.1a.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1"></and><apply id="S4.E11.m1.1.1.1.1b.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1"><eq id="S4.E11.m1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.5"></eq><apply id="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.4"><plus id="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.1"></plus><apply id="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.2"><times id="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.2.1"></times><apply id="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.2.2.1.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.2.2.2">𝑥</ci><cn id="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.2.2.3">1</cn></apply><apply id="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.2.3.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.2.3.1.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.2.3.2.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.2.3.2">𝑥</ci><cn id="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.2.3.3">3</cn></apply></apply><apply id="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.3"><times id="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.3.1"></times><apply id="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.3.2.1.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.3.2.2.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.3.2.2">𝑥</ci><cn id="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.3.2.3">3</cn></apply><apply id="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.3.3.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.3.3.1.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.3.3.2.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.3.3.2">𝑥</ci><cn id="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.3.3.3">5</cn></apply></apply><apply id="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.4.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.4"><times id="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.4.1.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.4.1"></times><apply id="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.4.2.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.4.2.1.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.4.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.4.2.2.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.4.2.2">𝑥</ci><cn id="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.4.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.4.2.3">5</cn></apply><apply id="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.4.3.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.4.3.1.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.4.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.4.3.2.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.4.3.2">𝑥</ci><cn id="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.4.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.4.4.3.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1"><times id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><ci id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1">¯</ci><apply id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑥</ci><cn id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">1</cn></apply></apply><apply id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><ci id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1">¯</ci><apply id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑥</ci><cn id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">3</cn></apply></apply><apply id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4"><ci id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1">¯</ci><apply id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2">𝑥</ci><cn id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3">5</cn></apply></apply></apply><apply id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.3.2">𝑥</ci><cn id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply><apply id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.4.2">𝑥</ci><cn id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" type="integer" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.4.3">3</cn></apply><apply id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.5">subscript</csymbol><ci id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.5.2.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.5.2">𝑥</ci><cn id="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.5.3.cmml" type="integer" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.1.5.3">5</cn></apply></apply></apply><apply id="S4.E11.m1.1.1.1.1c.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1"><eq id="S4.E11.m1.1.1.1.1.6.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.6"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#S4.E11.m1.1.1.1.1.1.cmml" id="S4.E11.m1.1.1.1.1d.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1"></share><apply id="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.2"><times id="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.2"></times><apply id="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.1.1"><plus id="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1"></plus><apply id="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2"><ci id="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.1">¯</ci><apply id="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.2">𝑥</ci><cn id="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.3">2</cn></apply></apply><apply id="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3"><ci id="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1">¯</ci><apply id="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.2">𝑥</ci><cn id="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.3">4</cn></apply></apply><apply id="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.4.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.4"><ci id="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.4.1">¯</ci><apply id="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.4.2.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.4.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.4.2.2">𝑥</ci><cn id="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.4.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.4.2.3">6</cn></apply></apply></apply><apply id="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.3.2">𝑥</ci><cn id="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.3.3">2</cn></apply><apply id="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.4.1.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.4">subscript</csymbol><ci id="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.4.2.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.4.2">𝑥</ci><cn id="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.4.3.cmml" type="integer" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.4.3">4</cn></apply><apply id="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.5.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.5.1.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.5">subscript</csymbol><ci id="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.5.2.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.5.2">𝑥</ci><cn id="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.5.3.cmml" type="integer" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.2.5.3">6</cn></apply></apply></apply><apply id="S4.E11.m1.1.1.1.1e.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1"><eq id="S4.E11.m1.1.1.1.1.7.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.7"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#S4.E11.m1.1.1.1.1.2.cmml" id="S4.E11.m1.1.1.1.1f.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1"></share><apply id="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.8"><plus id="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.1.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.1"></plus><apply id="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.2.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.2"><times id="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.2.1.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.2.1"></times><apply id="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.2.2.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.2.2.1.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.2.2.2.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.2.2.2">𝑥</ci><cn id="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.2.3.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.2.3.1.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.2.3.2.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.2.3.2">𝑥</ci><cn id="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.2.3.3">4</cn></apply></apply><apply id="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.3.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.3"><times id="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.3.1.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.3.1"></times><apply id="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.3.2.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.3.2.1.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.3.2.2.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.3.2.2">𝑥</ci><cn id="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.3.2.3">4</cn></apply><apply id="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.3.3.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.3.3.1.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.3.3.2.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.3.3.2">𝑥</ci><cn id="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.3.3.3">6</cn></apply></apply><apply id="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.4.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.4"><times id="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.4.1.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.4.1"></times><apply id="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.4.2.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.4.2.1.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.4.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.4.2.2.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.4.2.2">𝑥</ci><cn id="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.4.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.4.2.3">6</cn></apply><apply id="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.4.3.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.4.3.1.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.4.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.4.3.2.cmml" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.4.3.2">𝑥</ci><cn id="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.4.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E11.m1.1.1.1.1.8.4.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E11.m1.1c">x_{1}x_{3}+x_{3}x_{5}+x_{5}x_{1}=(\overline{x_{1}}+\overline{x_{3}}+\overline{% x_{5}})x_{1}x_{3}x_{5}=(\overline{x_{2}}+\overline{x_{4}}+\overline{x_{6}})x_{% 2}x_{4}x_{6}=x_{2}x_{4}+x_{4}x_{6}+x_{6}x_{2}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E11.m1.1d">italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT + italic_x start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUBSCRIPT 5 end_POSTSUBSCRIPT + italic_x start_POSTSUBSCRIPT 5 end_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT = ( over¯ start_ARG italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG + over¯ start_ARG italic_x start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG + over¯ start_ARG italic_x start_POSTSUBSCRIPT 5 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ) italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUBSCRIPT 5 end_POSTSUBSCRIPT = ( over¯ start_ARG italic_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG + over¯ start_ARG italic_x start_POSTSUBSCRIPT 4 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG + over¯ start_ARG italic_x start_POSTSUBSCRIPT 6 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ) italic_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUBSCRIPT 4 end_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUBSCRIPT 6 end_POSTSUBSCRIPT = italic_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUBSCRIPT 4 end_POSTSUBSCRIPT + italic_x start_POSTSUBSCRIPT 4 end_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUBSCRIPT 6 end_POSTSUBSCRIPT + italic_x start_POSTSUBSCRIPT 6 end_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S4.11.5.p2"> <p class="ltx_p" id="S4.11.5.p2.1">Using this fact and the assumptions again, we get</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.12.6.p3"> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S4.EGx6"> <tbody id="S4.E12"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(4.12)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle(x_{1}+x_{2})(x_{1}+x_{4})(x_{1}+x_{6})=" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.E12.m1.3"><semantics id="S4.E12.m1.3a"><mrow id="S4.E12.m1.3.3" xref="S4.E12.m1.3.3.cmml"><mrow id="S4.E12.m1.3.3.3" xref="S4.E12.m1.3.3.3.cmml"><mrow id="S4.E12.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.E12.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E12.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E12.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E12.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E12.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.E12.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E12.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">x</mi><mn id="S4.E12.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E12.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.E12.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E12.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msub id="S4.E12.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E12.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E12.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E12.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">x</mi><mn id="S4.E12.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E12.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="S4.E12.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E12.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.E12.m1.3.3.3.4" xref="S4.E12.m1.3.3.3.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E12.m1.2.2.2.2.1" xref="S4.E12.m1.2.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="S4.E12.m1.2.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S4.E12.m1.2.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E12.m1.2.2.2.2.1.1" xref="S4.E12.m1.2.2.2.2.1.1.cmml"><msub id="S4.E12.m1.2.2.2.2.1.1.2" xref="S4.E12.m1.2.2.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E12.m1.2.2.2.2.1.1.2.2" xref="S4.E12.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.cmml">x</mi><mn id="S4.E12.m1.2.2.2.2.1.1.2.3" xref="S4.E12.m1.2.2.2.2.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.E12.m1.2.2.2.2.1.1.1" xref="S4.E12.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml">+</mo><msub id="S4.E12.m1.2.2.2.2.1.1.3" xref="S4.E12.m1.2.2.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E12.m1.2.2.2.2.1.1.3.2" xref="S4.E12.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml">x</mi><mn id="S4.E12.m1.2.2.2.2.1.1.3.3" xref="S4.E12.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml">4</mn></msub></mrow><mo id="S4.E12.m1.2.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S4.E12.m1.2.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.E12.m1.3.3.3.4a" xref="S4.E12.m1.3.3.3.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E12.m1.3.3.3.3.1" xref="S4.E12.m1.3.3.3.3.1.1.cmml"><mo id="S4.E12.m1.3.3.3.3.1.2" stretchy="false" xref="S4.E12.m1.3.3.3.3.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E12.m1.3.3.3.3.1.1" xref="S4.E12.m1.3.3.3.3.1.1.cmml"><msub id="S4.E12.m1.3.3.3.3.1.1.2" xref="S4.E12.m1.3.3.3.3.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E12.m1.3.3.3.3.1.1.2.2" xref="S4.E12.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.cmml">x</mi><mn id="S4.E12.m1.3.3.3.3.1.1.2.3" xref="S4.E12.m1.3.3.3.3.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.E12.m1.3.3.3.3.1.1.1" xref="S4.E12.m1.3.3.3.3.1.1.1.cmml">+</mo><msub id="S4.E12.m1.3.3.3.3.1.1.3" xref="S4.E12.m1.3.3.3.3.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E12.m1.3.3.3.3.1.1.3.2" xref="S4.E12.m1.3.3.3.3.1.1.3.2.cmml">x</mi><mn id="S4.E12.m1.3.3.3.3.1.1.3.3" xref="S4.E12.m1.3.3.3.3.1.1.3.3.cmml">6</mn></msub></mrow><mo id="S4.E12.m1.3.3.3.3.1.3" stretchy="false" xref="S4.E12.m1.3.3.3.3.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E12.m1.3.3.4" xref="S4.E12.m1.3.3.4.cmml">=</mo><mi id="S4.E12.m1.3.3.5" xref="S4.E12.m1.3.3.5.cmml"></mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E12.m1.3b"><apply id="S4.E12.m1.3.3.cmml" xref="S4.E12.m1.3.3"><eq id="S4.E12.m1.3.3.4.cmml" xref="S4.E12.m1.3.3.4"></eq><apply id="S4.E12.m1.3.3.3.cmml" xref="S4.E12.m1.3.3.3"><times id="S4.E12.m1.3.3.3.4.cmml" xref="S4.E12.m1.3.3.3.4"></times><apply id="S4.E12.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E12.m1.1.1.1.1.1"><plus id="S4.E12.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E12.m1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S4.E12.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E12.m1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E12.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E12.m1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E12.m1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑥</ci><cn id="S4.E12.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.E12.m1.1.1.1.1.1.1.2.3">1</cn></apply><apply id="S4.E12.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E12.m1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E12.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E12.m1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E12.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E12.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑥</ci><cn id="S4.E12.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E12.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S4.E12.m1.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S4.E12.m1.2.2.2.2.1"><plus id="S4.E12.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.E12.m1.2.2.2.2.1.1.1"></plus><apply id="S4.E12.m1.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.E12.m1.2.2.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E12.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E12.m1.2.2.2.2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E12.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E12.m1.2.2.2.2.1.1.2.2">𝑥</ci><cn id="S4.E12.m1.2.2.2.2.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.E12.m1.2.2.2.2.1.1.2.3">1</cn></apply><apply id="S4.E12.m1.2.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S4.E12.m1.2.2.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E12.m1.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E12.m1.2.2.2.2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E12.m1.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E12.m1.2.2.2.2.1.1.3.2">𝑥</ci><cn id="S4.E12.m1.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E12.m1.2.2.2.2.1.1.3.3">4</cn></apply></apply><apply id="S4.E12.m1.3.3.3.3.1.1.cmml" xref="S4.E12.m1.3.3.3.3.1"><plus id="S4.E12.m1.3.3.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.E12.m1.3.3.3.3.1.1.1"></plus><apply id="S4.E12.m1.3.3.3.3.1.1.2.cmml" xref="S4.E12.m1.3.3.3.3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E12.m1.3.3.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E12.m1.3.3.3.3.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E12.m1.3.3.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E12.m1.3.3.3.3.1.1.2.2">𝑥</ci><cn id="S4.E12.m1.3.3.3.3.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.E12.m1.3.3.3.3.1.1.2.3">1</cn></apply><apply id="S4.E12.m1.3.3.3.3.1.1.3.cmml" xref="S4.E12.m1.3.3.3.3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E12.m1.3.3.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E12.m1.3.3.3.3.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E12.m1.3.3.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E12.m1.3.3.3.3.1.1.3.2">𝑥</ci><cn id="S4.E12.m1.3.3.3.3.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E12.m1.3.3.3.3.1.1.3.3">6</cn></apply></apply></apply><csymbol cd="latexml" id="S4.E12.m1.3.3.5.cmml" xref="S4.E12.m1.3.3.5">absent</csymbol></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E12.m1.3c">\displaystyle(x_{1}+x_{2})(x_{1}+x_{4})(x_{1}+x_{6})=</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E12.m1.3d">( italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT + italic_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT + italic_x start_POSTSUBSCRIPT 4 end_POSTSUBSCRIPT ) ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT + italic_x start_POSTSUBSCRIPT 6 end_POSTSUBSCRIPT ) =</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S4.E13"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(4.13)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle x_{1}^{3}+x_{1}^{2}(x_{2}+x_{4}+x_{6})+x_{1}(x_{2}x_{4}+x_{4}x_{% 6}+x_{6}x_{2})+x_{2}x_{4}x_{6}=" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.E13.m1.2"><semantics id="S4.E13.m1.2a"><mrow id="S4.E13.m1.2.2" xref="S4.E13.m1.2.2.cmml"><mrow id="S4.E13.m1.2.2.2" xref="S4.E13.m1.2.2.2.cmml"><msubsup id="S4.E13.m1.2.2.2.4" xref="S4.E13.m1.2.2.2.4.cmml"><mi id="S4.E13.m1.2.2.2.4.2.2" xref="S4.E13.m1.2.2.2.4.2.2.cmml">x</mi><mn id="S4.E13.m1.2.2.2.4.2.3" xref="S4.E13.m1.2.2.2.4.2.3.cmml">1</mn><mn id="S4.E13.m1.2.2.2.4.3" xref="S4.E13.m1.2.2.2.4.3.cmml">3</mn></msubsup><mo id="S4.E13.m1.2.2.2.3" xref="S4.E13.m1.2.2.2.3.cmml">+</mo><mrow id="S4.E13.m1.1.1.1.1" xref="S4.E13.m1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.E13.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.E13.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E13.m1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.E13.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">x</mi><mn id="S4.E13.m1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.E13.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">1</mn><mn id="S4.E13.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E13.m1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S4.E13.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.E13.m1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E13.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E13.m1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">x</mi><mn id="S4.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S4.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msub id="S4.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">x</mi><mn id="S4.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">4</mn></msub><mo id="S4.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S4.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msub id="S4.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S4.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S4.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S4.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">x</mi><mn id="S4.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S4.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">6</mn></msub></mrow><mo id="S4.E13.m1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E13.m1.2.2.2.3a" xref="S4.E13.m1.2.2.2.3.cmml">+</mo><mrow id="S4.E13.m1.2.2.2.2" xref="S4.E13.m1.2.2.2.2.cmml"><msub id="S4.E13.m1.2.2.2.2.3" xref="S4.E13.m1.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.E13.m1.2.2.2.2.3.2" xref="S4.E13.m1.2.2.2.2.3.2.cmml">x</mi><mn id="S4.E13.m1.2.2.2.2.3.3" xref="S4.E13.m1.2.2.2.2.3.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.E13.m1.2.2.2.2.2" xref="S4.E13.m1.2.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1" xref="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1" xref="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml"><msub id="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2" xref="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2" xref="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml">x</mi><mn id="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.3" xref="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.1" xref="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.3" xref="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.3.2" xref="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.3.2.cmml">x</mi><mn id="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.3.3" xref="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.3.3.cmml">4</mn></msub></mrow><mo id="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.1" xref="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml"><msub id="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2" xref="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2" xref="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml">x</mi><mn id="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.3" xref="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml">4</mn></msub><mo id="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.1" xref="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3" xref="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.2" xref="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.2.cmml">x</mi><mn id="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.3" xref="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml">6</mn></msub></mrow><mo id="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.1a" xref="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.4" xref="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.4.cmml"><msub id="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.4.2" xref="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.4.2.cmml"><mi id="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.4.2.2" xref="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.4.2.2.cmml">x</mi><mn id="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.4.2.3" xref="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.4.2.3.cmml">6</mn></msub><mo id="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.4.1" xref="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.4.3" xref="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.4.3.2" xref="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.4.3.2.cmml">x</mi><mn id="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.4.3.3" xref="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.4.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow></mrow><mo id="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E13.m1.2.2.2.3b" xref="S4.E13.m1.2.2.2.3.cmml">+</mo><mrow id="S4.E13.m1.2.2.2.5" xref="S4.E13.m1.2.2.2.5.cmml"><msub id="S4.E13.m1.2.2.2.5.2" xref="S4.E13.m1.2.2.2.5.2.cmml"><mi id="S4.E13.m1.2.2.2.5.2.2" xref="S4.E13.m1.2.2.2.5.2.2.cmml">x</mi><mn id="S4.E13.m1.2.2.2.5.2.3" xref="S4.E13.m1.2.2.2.5.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S4.E13.m1.2.2.2.5.1" xref="S4.E13.m1.2.2.2.5.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E13.m1.2.2.2.5.3" xref="S4.E13.m1.2.2.2.5.3.cmml"><mi id="S4.E13.m1.2.2.2.5.3.2" xref="S4.E13.m1.2.2.2.5.3.2.cmml">x</mi><mn id="S4.E13.m1.2.2.2.5.3.3" xref="S4.E13.m1.2.2.2.5.3.3.cmml">4</mn></msub><mo id="S4.E13.m1.2.2.2.5.1a" xref="S4.E13.m1.2.2.2.5.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E13.m1.2.2.2.5.4" xref="S4.E13.m1.2.2.2.5.4.cmml"><mi id="S4.E13.m1.2.2.2.5.4.2" xref="S4.E13.m1.2.2.2.5.4.2.cmml">x</mi><mn id="S4.E13.m1.2.2.2.5.4.3" xref="S4.E13.m1.2.2.2.5.4.3.cmml">6</mn></msub></mrow></mrow><mo id="S4.E13.m1.2.2.3" xref="S4.E13.m1.2.2.3.cmml">=</mo><mi id="S4.E13.m1.2.2.4" xref="S4.E13.m1.2.2.4.cmml"></mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E13.m1.2b"><apply id="S4.E13.m1.2.2.cmml" xref="S4.E13.m1.2.2"><eq id="S4.E13.m1.2.2.3.cmml" xref="S4.E13.m1.2.2.3"></eq><apply id="S4.E13.m1.2.2.2.cmml" xref="S4.E13.m1.2.2.2"><plus id="S4.E13.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E13.m1.2.2.2.3"></plus><apply id="S4.E13.m1.2.2.2.4.cmml" xref="S4.E13.m1.2.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E13.m1.2.2.2.4.1.cmml" xref="S4.E13.m1.2.2.2.4">superscript</csymbol><apply id="S4.E13.m1.2.2.2.4.2.cmml" xref="S4.E13.m1.2.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E13.m1.2.2.2.4.2.1.cmml" xref="S4.E13.m1.2.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S4.E13.m1.2.2.2.4.2.2.cmml" xref="S4.E13.m1.2.2.2.4.2.2">𝑥</ci><cn id="S4.E13.m1.2.2.2.4.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.E13.m1.2.2.2.4.2.3">1</cn></apply><cn id="S4.E13.m1.2.2.2.4.3.cmml" type="integer" xref="S4.E13.m1.2.2.2.4.3">3</cn></apply><apply id="S4.E13.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E13.m1.1.1.1.1"><times id="S4.E13.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E13.m1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S4.E13.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E13.m1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E13.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E13.m1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.E13.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E13.m1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E13.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E13.m1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E13.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E13.m1.1.1.1.1.3.2.2">𝑥</ci><cn id="S4.E13.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.E13.m1.1.1.1.1.3.2.3">1</cn></apply><cn id="S4.E13.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E13.m1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S4.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E13.m1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S4.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S4.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑥</ci><cn id="S4.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="S4.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑥</ci><cn id="S4.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">4</cn></apply><apply id="S4.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S4.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S4.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.2">𝑥</ci><cn id="S4.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" type="integer" xref="S4.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.3">6</cn></apply></apply></apply><apply id="S4.E13.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E13.m1.2.2.2.2"><times id="S4.E13.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E13.m1.2.2.2.2.2"></times><apply id="S4.E13.m1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.E13.m1.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E13.m1.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.E13.m1.2.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E13.m1.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.E13.m1.2.2.2.2.3.2">𝑥</ci><cn id="S4.E13.m1.2.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E13.m1.2.2.2.2.3.3">1</cn></apply><apply id="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1"><plus id="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.1"></plus><apply id="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.2"><times id="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.1"></times><apply id="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2">𝑥</ci><cn id="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.3.2">𝑥</ci><cn id="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.3.3">4</cn></apply></apply><apply id="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.3"><times id="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.1"></times><apply id="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2">𝑥</ci><cn id="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.3">4</cn></apply><apply id="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.2">𝑥</ci><cn id="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.3">6</cn></apply></apply><apply id="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.4.cmml" xref="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.4"><times id="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.4.1"></times><apply id="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.4.2.cmml" xref="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.4.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.4.2.2">𝑥</ci><cn id="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.4.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.4.2.3">6</cn></apply><apply id="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.4.3.cmml" xref="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.4.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.4.3.2">𝑥</ci><cn id="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.4.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.4.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.E13.m1.2.2.2.5.cmml" xref="S4.E13.m1.2.2.2.5"><times id="S4.E13.m1.2.2.2.5.1.cmml" xref="S4.E13.m1.2.2.2.5.1"></times><apply id="S4.E13.m1.2.2.2.5.2.cmml" xref="S4.E13.m1.2.2.2.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E13.m1.2.2.2.5.2.1.cmml" xref="S4.E13.m1.2.2.2.5.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E13.m1.2.2.2.5.2.2.cmml" xref="S4.E13.m1.2.2.2.5.2.2">𝑥</ci><cn id="S4.E13.m1.2.2.2.5.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.E13.m1.2.2.2.5.2.3">2</cn></apply><apply id="S4.E13.m1.2.2.2.5.3.cmml" xref="S4.E13.m1.2.2.2.5.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E13.m1.2.2.2.5.3.1.cmml" xref="S4.E13.m1.2.2.2.5.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E13.m1.2.2.2.5.3.2.cmml" xref="S4.E13.m1.2.2.2.5.3.2">𝑥</ci><cn id="S4.E13.m1.2.2.2.5.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E13.m1.2.2.2.5.3.3">4</cn></apply><apply id="S4.E13.m1.2.2.2.5.4.cmml" xref="S4.E13.m1.2.2.2.5.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E13.m1.2.2.2.5.4.1.cmml" xref="S4.E13.m1.2.2.2.5.4">subscript</csymbol><ci id="S4.E13.m1.2.2.2.5.4.2.cmml" xref="S4.E13.m1.2.2.2.5.4.2">𝑥</ci><cn id="S4.E13.m1.2.2.2.5.4.3.cmml" type="integer" xref="S4.E13.m1.2.2.2.5.4.3">6</cn></apply></apply></apply><csymbol cd="latexml" id="S4.E13.m1.2.2.4.cmml" xref="S4.E13.m1.2.2.4">absent</csymbol></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E13.m1.2c">\displaystyle x_{1}^{3}+x_{1}^{2}(x_{2}+x_{4}+x_{6})+x_{1}(x_{2}x_{4}+x_{4}x_{% 6}+x_{6}x_{2})+x_{2}x_{4}x_{6}=</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E13.m1.2d">italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT + italic_x start_POSTSUBSCRIPT 4 end_POSTSUBSCRIPT + italic_x start_POSTSUBSCRIPT 6 end_POSTSUBSCRIPT ) + italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUBSCRIPT 4 end_POSTSUBSCRIPT + italic_x start_POSTSUBSCRIPT 4 end_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUBSCRIPT 6 end_POSTSUBSCRIPT + italic_x start_POSTSUBSCRIPT 6 end_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) + italic_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUBSCRIPT 4 end_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUBSCRIPT 6 end_POSTSUBSCRIPT =</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S4.E14"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(4.14)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle x_{1}(x_{1}^{2}-x_{1}(x_{1}+x_{3}+x_{5})+(x_{1}x_{3}+x_{3}x_{5}+% x_{5}x_{1})-x_{3}x_{5})=0," class="ltx_Math" display="inline" id="S4.E14.m1.1"><semantics id="S4.E14.m1.1a"><mrow id="S4.E14.m1.1.1.1" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E14.m1.1.1.1.1" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">x</mi><mn id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">x</mi><mn id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">1</mn><mn id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">−</mo><mrow id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">x</mi><mn id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">x</mi><mn id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msub id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">x</mi><mn id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">3</mn></msub><mo id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msub id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">x</mi><mn id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">5</mn></msub></mrow><mo id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">+</mo><mrow id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml"><mo id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.cmml"><msub id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.cmml">x</mi><mn id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.1" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.2" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.2.cmml">x</mi><mn id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.3" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.3.cmml">3</mn></msub></mrow><mo id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.cmml"><msub id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.2" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.2.cmml">x</mi><mn id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.3" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.3.cmml">3</mn></msub><mo id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.1" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2.cmml">x</mi><mn id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.3" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.3.cmml">5</mn></msub></mrow><mo id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1a" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.4" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.4.cmml"><msub id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.4.2" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.4.2.cmml"><mi id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.4.2.2" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.4.2.2.cmml">x</mi><mn id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.4.2.3" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.4.2.3.cmml">5</mn></msub><mo id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.4.1" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.4.3" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.4.3.cmml"><mi id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.4.3.2" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.4.3.2.cmml">x</mi><mn id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.4.3.3" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.4.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow></mrow><mo id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mrow id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><msub id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml"><mi id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml">x</mi><mn id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml">3</mn></msub><mo id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml">x</mi><mn id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.cmml">5</mn></msub></mrow></mrow><mo id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.E14.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mn id="S4.E14.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><mo id="S4.E14.m1.1.1.1.2" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E14.m1.1b"><apply id="S4.E14.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1"><eq id="S4.E14.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.2"></eq><apply id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1"><times id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.3.2">𝑥</ci><cn id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply><apply id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"></minus><apply id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><plus id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"></plus><apply id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></minus><apply id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑥</ci><cn id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">1</cn></apply><cn id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑥</ci><cn id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply><apply id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑥</ci><cn id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">1</cn></apply><apply id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑥</ci><cn id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">3</cn></apply><apply id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2">𝑥</ci><cn id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" type="integer" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3">5</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1"><plus id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1"></plus><apply id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2"><times id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.1"></times><apply id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.2">𝑥</ci><cn id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.2.3">1</cn></apply><apply id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.2">𝑥</ci><cn id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.3.3">3</cn></apply></apply><apply id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3"><times id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.1"></times><apply id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.2">𝑥</ci><cn id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.3">3</cn></apply><apply id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2">𝑥</ci><cn id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.3">5</cn></apply></apply><apply id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.4.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.4"><times id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.4.1.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.4.1"></times><apply id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.4.2.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.4.2.1.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.4.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.4.2.2.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.4.2.2">𝑥</ci><cn id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.4.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.4.2.3">5</cn></apply><apply id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.4.3.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.4.3.1.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.4.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.4.3.2.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.4.3.2">𝑥</ci><cn id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.4.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.4.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4"><times id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1"></times><apply id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2">𝑥</ci><cn id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3">3</cn></apply><apply id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3">subscript</csymbol><ci id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2">𝑥</ci><cn id="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3">5</cn></apply></apply></apply></apply><cn id="S4.E14.m1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E14.m1.1.1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E14.m1.1c">\displaystyle x_{1}(x_{1}^{2}-x_{1}(x_{1}+x_{3}+x_{5})+(x_{1}x_{3}+x_{3}x_{5}+% x_{5}x_{1})-x_{3}x_{5})=0,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E14.m1.1d">italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT - italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT + italic_x start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT + italic_x start_POSTSUBSCRIPT 5 end_POSTSUBSCRIPT ) + ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT + italic_x start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUBSCRIPT 5 end_POSTSUBSCRIPT + italic_x start_POSTSUBSCRIPT 5 end_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ) - italic_x start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUBSCRIPT 5 end_POSTSUBSCRIPT ) = 0 ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.12.6.p3.1">where the last equation is trivial, as the expression in the bracket is formally zero.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.13.7.p4"> <p class="ltx_p" id="S4.13.7.p4.6">By permutational symmetry, we can assume that the first factor of the product in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#S4.E12" title="Equation 4.12 ‣ Proof. ‣ Proof. ‣ 4. Hadamard cubes in dimension 6 ‣ Triplets of Mutually Unbiased Bases"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4.12</span></a>) is zero, i.e. <math alttext="x_{1}+x_{2}=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.13.7.p4.1.m1.1"><semantics id="S4.13.7.p4.1.m1.1a"><mrow id="S4.13.7.p4.1.m1.1.1" xref="S4.13.7.p4.1.m1.1.1.cmml"><mrow id="S4.13.7.p4.1.m1.1.1.2" xref="S4.13.7.p4.1.m1.1.1.2.cmml"><msub id="S4.13.7.p4.1.m1.1.1.2.2" xref="S4.13.7.p4.1.m1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.13.7.p4.1.m1.1.1.2.2.2" xref="S4.13.7.p4.1.m1.1.1.2.2.2.cmml">x</mi><mn id="S4.13.7.p4.1.m1.1.1.2.2.3" xref="S4.13.7.p4.1.m1.1.1.2.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.13.7.p4.1.m1.1.1.2.1" xref="S4.13.7.p4.1.m1.1.1.2.1.cmml">+</mo><msub id="S4.13.7.p4.1.m1.1.1.2.3" xref="S4.13.7.p4.1.m1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.13.7.p4.1.m1.1.1.2.3.2" xref="S4.13.7.p4.1.m1.1.1.2.3.2.cmml">x</mi><mn id="S4.13.7.p4.1.m1.1.1.2.3.3" xref="S4.13.7.p4.1.m1.1.1.2.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="S4.13.7.p4.1.m1.1.1.1" xref="S4.13.7.p4.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.13.7.p4.1.m1.1.1.3" xref="S4.13.7.p4.1.m1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.13.7.p4.1.m1.1b"><apply id="S4.13.7.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.13.7.p4.1.m1.1.1"><eq id="S4.13.7.p4.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.13.7.p4.1.m1.1.1.1"></eq><apply id="S4.13.7.p4.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.13.7.p4.1.m1.1.1.2"><plus id="S4.13.7.p4.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.13.7.p4.1.m1.1.1.2.1"></plus><apply id="S4.13.7.p4.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.13.7.p4.1.m1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.13.7.p4.1.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.13.7.p4.1.m1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.13.7.p4.1.m1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.13.7.p4.1.m1.1.1.2.2.2">𝑥</ci><cn id="S4.13.7.p4.1.m1.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.13.7.p4.1.m1.1.1.2.2.3">1</cn></apply><apply id="S4.13.7.p4.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.13.7.p4.1.m1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.13.7.p4.1.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.13.7.p4.1.m1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.13.7.p4.1.m1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.13.7.p4.1.m1.1.1.2.3.2">𝑥</ci><cn id="S4.13.7.p4.1.m1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.13.7.p4.1.m1.1.1.2.3.3">2</cn></apply></apply><cn id="S4.13.7.p4.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.13.7.p4.1.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.13.7.p4.1.m1.1c">x_{1}+x_{2}=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.13.7.p4.1.m1.1d">italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT + italic_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT = 0</annotation></semantics></math>. Then, by Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#S4.Thmfact5" title="Lemma 4.5. ‣ Proof. ‣ 4. Hadamard cubes in dimension 6 ‣ Triplets of Mutually Unbiased Bases"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4.5</span></a>, the vector <math alttext="\mathbf{x}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.13.7.p4.2.m2.1"><semantics id="S4.13.7.p4.2.m2.1a"><mi id="S4.13.7.p4.2.m2.1.1" xref="S4.13.7.p4.2.m2.1.1.cmml">𝐱</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.13.7.p4.2.m2.1b"><ci id="S4.13.7.p4.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.13.7.p4.2.m2.1.1">𝐱</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.13.7.p4.2.m2.1c">\mathbf{x}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.13.7.p4.2.m2.1d">bold_x</annotation></semantics></math> must be binary, and hence the negative of <math alttext="x_{3}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.13.7.p4.3.m3.1"><semantics id="S4.13.7.p4.3.m3.1a"><msub id="S4.13.7.p4.3.m3.1.1" xref="S4.13.7.p4.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S4.13.7.p4.3.m3.1.1.2" xref="S4.13.7.p4.3.m3.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="S4.13.7.p4.3.m3.1.1.3" xref="S4.13.7.p4.3.m3.1.1.3.cmml">3</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.13.7.p4.3.m3.1b"><apply id="S4.13.7.p4.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.13.7.p4.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.13.7.p4.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S4.13.7.p4.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.13.7.p4.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S4.13.7.p4.3.m3.1.1.2">𝑥</ci><cn id="S4.13.7.p4.3.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.13.7.p4.3.m3.1.1.3">3</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.13.7.p4.3.m3.1c">x_{3}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.13.7.p4.3.m3.1d">italic_x start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> must appear among <math alttext="x_{4},x_{5},x_{6}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.13.7.p4.4.m4.3"><semantics id="S4.13.7.p4.4.m4.3a"><mrow id="S4.13.7.p4.4.m4.3.3.3" xref="S4.13.7.p4.4.m4.3.3.4.cmml"><msub id="S4.13.7.p4.4.m4.1.1.1.1" xref="S4.13.7.p4.4.m4.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.13.7.p4.4.m4.1.1.1.1.2" xref="S4.13.7.p4.4.m4.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="S4.13.7.p4.4.m4.1.1.1.1.3" xref="S4.13.7.p4.4.m4.1.1.1.1.3.cmml">4</mn></msub><mo id="S4.13.7.p4.4.m4.3.3.3.4" xref="S4.13.7.p4.4.m4.3.3.4.cmml">,</mo><msub id="S4.13.7.p4.4.m4.2.2.2.2" xref="S4.13.7.p4.4.m4.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.13.7.p4.4.m4.2.2.2.2.2" xref="S4.13.7.p4.4.m4.2.2.2.2.2.cmml">x</mi><mn id="S4.13.7.p4.4.m4.2.2.2.2.3" xref="S4.13.7.p4.4.m4.2.2.2.2.3.cmml">5</mn></msub><mo id="S4.13.7.p4.4.m4.3.3.3.5" xref="S4.13.7.p4.4.m4.3.3.4.cmml">,</mo><msub id="S4.13.7.p4.4.m4.3.3.3.3" xref="S4.13.7.p4.4.m4.3.3.3.3.cmml"><mi id="S4.13.7.p4.4.m4.3.3.3.3.2" xref="S4.13.7.p4.4.m4.3.3.3.3.2.cmml">x</mi><mn id="S4.13.7.p4.4.m4.3.3.3.3.3" xref="S4.13.7.p4.4.m4.3.3.3.3.3.cmml">6</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.13.7.p4.4.m4.3b"><list id="S4.13.7.p4.4.m4.3.3.4.cmml" xref="S4.13.7.p4.4.m4.3.3.3"><apply id="S4.13.7.p4.4.m4.1.1.1.1.cmml" xref="S4.13.7.p4.4.m4.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.13.7.p4.4.m4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.13.7.p4.4.m4.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.13.7.p4.4.m4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.13.7.p4.4.m4.1.1.1.1.2">𝑥</ci><cn id="S4.13.7.p4.4.m4.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.13.7.p4.4.m4.1.1.1.1.3">4</cn></apply><apply id="S4.13.7.p4.4.m4.2.2.2.2.cmml" xref="S4.13.7.p4.4.m4.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.13.7.p4.4.m4.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.13.7.p4.4.m4.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.13.7.p4.4.m4.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.13.7.p4.4.m4.2.2.2.2.2">𝑥</ci><cn id="S4.13.7.p4.4.m4.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.13.7.p4.4.m4.2.2.2.2.3">5</cn></apply><apply id="S4.13.7.p4.4.m4.3.3.3.3.cmml" xref="S4.13.7.p4.4.m4.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.13.7.p4.4.m4.3.3.3.3.1.cmml" xref="S4.13.7.p4.4.m4.3.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.13.7.p4.4.m4.3.3.3.3.2.cmml" xref="S4.13.7.p4.4.m4.3.3.3.3.2">𝑥</ci><cn id="S4.13.7.p4.4.m4.3.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.13.7.p4.4.m4.3.3.3.3.3">6</cn></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.13.7.p4.4.m4.3c">x_{4},x_{5},x_{6}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.13.7.p4.4.m4.3d">italic_x start_POSTSUBSCRIPT 4 end_POSTSUBSCRIPT , italic_x start_POSTSUBSCRIPT 5 end_POSTSUBSCRIPT , italic_x start_POSTSUBSCRIPT 6 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. If <math alttext="x_{3}+x_{4}=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.13.7.p4.5.m5.1"><semantics id="S4.13.7.p4.5.m5.1a"><mrow id="S4.13.7.p4.5.m5.1.1" xref="S4.13.7.p4.5.m5.1.1.cmml"><mrow id="S4.13.7.p4.5.m5.1.1.2" xref="S4.13.7.p4.5.m5.1.1.2.cmml"><msub id="S4.13.7.p4.5.m5.1.1.2.2" xref="S4.13.7.p4.5.m5.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.13.7.p4.5.m5.1.1.2.2.2" xref="S4.13.7.p4.5.m5.1.1.2.2.2.cmml">x</mi><mn id="S4.13.7.p4.5.m5.1.1.2.2.3" xref="S4.13.7.p4.5.m5.1.1.2.2.3.cmml">3</mn></msub><mo id="S4.13.7.p4.5.m5.1.1.2.1" xref="S4.13.7.p4.5.m5.1.1.2.1.cmml">+</mo><msub id="S4.13.7.p4.5.m5.1.1.2.3" xref="S4.13.7.p4.5.m5.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.13.7.p4.5.m5.1.1.2.3.2" xref="S4.13.7.p4.5.m5.1.1.2.3.2.cmml">x</mi><mn id="S4.13.7.p4.5.m5.1.1.2.3.3" xref="S4.13.7.p4.5.m5.1.1.2.3.3.cmml">4</mn></msub></mrow><mo id="S4.13.7.p4.5.m5.1.1.1" xref="S4.13.7.p4.5.m5.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.13.7.p4.5.m5.1.1.3" xref="S4.13.7.p4.5.m5.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.13.7.p4.5.m5.1b"><apply id="S4.13.7.p4.5.m5.1.1.cmml" xref="S4.13.7.p4.5.m5.1.1"><eq id="S4.13.7.p4.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S4.13.7.p4.5.m5.1.1.1"></eq><apply id="S4.13.7.p4.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S4.13.7.p4.5.m5.1.1.2"><plus id="S4.13.7.p4.5.m5.1.1.2.1.cmml" xref="S4.13.7.p4.5.m5.1.1.2.1"></plus><apply id="S4.13.7.p4.5.m5.1.1.2.2.cmml" xref="S4.13.7.p4.5.m5.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.13.7.p4.5.m5.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.13.7.p4.5.m5.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.13.7.p4.5.m5.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.13.7.p4.5.m5.1.1.2.2.2">𝑥</ci><cn id="S4.13.7.p4.5.m5.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.13.7.p4.5.m5.1.1.2.2.3">3</cn></apply><apply id="S4.13.7.p4.5.m5.1.1.2.3.cmml" xref="S4.13.7.p4.5.m5.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.13.7.p4.5.m5.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.13.7.p4.5.m5.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.13.7.p4.5.m5.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.13.7.p4.5.m5.1.1.2.3.2">𝑥</ci><cn id="S4.13.7.p4.5.m5.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.13.7.p4.5.m5.1.1.2.3.3">4</cn></apply></apply><cn id="S4.13.7.p4.5.m5.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.13.7.p4.5.m5.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.13.7.p4.5.m5.1c">x_{3}+x_{4}=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.13.7.p4.5.m5.1d">italic_x start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT + italic_x start_POSTSUBSCRIPT 4 end_POSTSUBSCRIPT = 0</annotation></semantics></math> or <math alttext="x_{3}+x_{6}=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.13.7.p4.6.m6.1"><semantics id="S4.13.7.p4.6.m6.1a"><mrow id="S4.13.7.p4.6.m6.1.1" xref="S4.13.7.p4.6.m6.1.1.cmml"><mrow id="S4.13.7.p4.6.m6.1.1.2" xref="S4.13.7.p4.6.m6.1.1.2.cmml"><msub id="S4.13.7.p4.6.m6.1.1.2.2" xref="S4.13.7.p4.6.m6.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.13.7.p4.6.m6.1.1.2.2.2" xref="S4.13.7.p4.6.m6.1.1.2.2.2.cmml">x</mi><mn id="S4.13.7.p4.6.m6.1.1.2.2.3" xref="S4.13.7.p4.6.m6.1.1.2.2.3.cmml">3</mn></msub><mo id="S4.13.7.p4.6.m6.1.1.2.1" xref="S4.13.7.p4.6.m6.1.1.2.1.cmml">+</mo><msub id="S4.13.7.p4.6.m6.1.1.2.3" xref="S4.13.7.p4.6.m6.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.13.7.p4.6.m6.1.1.2.3.2" xref="S4.13.7.p4.6.m6.1.1.2.3.2.cmml">x</mi><mn id="S4.13.7.p4.6.m6.1.1.2.3.3" xref="S4.13.7.p4.6.m6.1.1.2.3.3.cmml">6</mn></msub></mrow><mo id="S4.13.7.p4.6.m6.1.1.1" xref="S4.13.7.p4.6.m6.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.13.7.p4.6.m6.1.1.3" xref="S4.13.7.p4.6.m6.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.13.7.p4.6.m6.1b"><apply id="S4.13.7.p4.6.m6.1.1.cmml" xref="S4.13.7.p4.6.m6.1.1"><eq id="S4.13.7.p4.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S4.13.7.p4.6.m6.1.1.1"></eq><apply id="S4.13.7.p4.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S4.13.7.p4.6.m6.1.1.2"><plus id="S4.13.7.p4.6.m6.1.1.2.1.cmml" xref="S4.13.7.p4.6.m6.1.1.2.1"></plus><apply id="S4.13.7.p4.6.m6.1.1.2.2.cmml" xref="S4.13.7.p4.6.m6.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.13.7.p4.6.m6.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.13.7.p4.6.m6.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.13.7.p4.6.m6.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.13.7.p4.6.m6.1.1.2.2.2">𝑥</ci><cn id="S4.13.7.p4.6.m6.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.13.7.p4.6.m6.1.1.2.2.3">3</cn></apply><apply id="S4.13.7.p4.6.m6.1.1.2.3.cmml" xref="S4.13.7.p4.6.m6.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.13.7.p4.6.m6.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.13.7.p4.6.m6.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.13.7.p4.6.m6.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.13.7.p4.6.m6.1.1.2.3.2">𝑥</ci><cn id="S4.13.7.p4.6.m6.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.13.7.p4.6.m6.1.1.2.3.3">6</cn></apply></apply><cn id="S4.13.7.p4.6.m6.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.13.7.p4.6.m6.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.13.7.p4.6.m6.1c">x_{3}+x_{6}=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.13.7.p4.6.m6.1d">italic_x start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT + italic_x start_POSTSUBSCRIPT 6 end_POSTSUBSCRIPT = 0</annotation></semantics></math>, then the proof is finished.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.14.8.p5"> <p class="ltx_p" id="S4.14.8.p5.2">The only remaining case to consider is when <math alttext="x_{3}+x_{5}=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.14.8.p5.1.m1.1"><semantics id="S4.14.8.p5.1.m1.1a"><mrow id="S4.14.8.p5.1.m1.1.1" xref="S4.14.8.p5.1.m1.1.1.cmml"><mrow id="S4.14.8.p5.1.m1.1.1.2" xref="S4.14.8.p5.1.m1.1.1.2.cmml"><msub id="S4.14.8.p5.1.m1.1.1.2.2" xref="S4.14.8.p5.1.m1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.14.8.p5.1.m1.1.1.2.2.2" xref="S4.14.8.p5.1.m1.1.1.2.2.2.cmml">x</mi><mn id="S4.14.8.p5.1.m1.1.1.2.2.3" xref="S4.14.8.p5.1.m1.1.1.2.2.3.cmml">3</mn></msub><mo id="S4.14.8.p5.1.m1.1.1.2.1" xref="S4.14.8.p5.1.m1.1.1.2.1.cmml">+</mo><msub id="S4.14.8.p5.1.m1.1.1.2.3" xref="S4.14.8.p5.1.m1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.14.8.p5.1.m1.1.1.2.3.2" xref="S4.14.8.p5.1.m1.1.1.2.3.2.cmml">x</mi><mn id="S4.14.8.p5.1.m1.1.1.2.3.3" xref="S4.14.8.p5.1.m1.1.1.2.3.3.cmml">5</mn></msub></mrow><mo id="S4.14.8.p5.1.m1.1.1.1" xref="S4.14.8.p5.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.14.8.p5.1.m1.1.1.3" xref="S4.14.8.p5.1.m1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.14.8.p5.1.m1.1b"><apply id="S4.14.8.p5.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.14.8.p5.1.m1.1.1"><eq id="S4.14.8.p5.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.14.8.p5.1.m1.1.1.1"></eq><apply id="S4.14.8.p5.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.14.8.p5.1.m1.1.1.2"><plus id="S4.14.8.p5.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.14.8.p5.1.m1.1.1.2.1"></plus><apply id="S4.14.8.p5.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.14.8.p5.1.m1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.14.8.p5.1.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.14.8.p5.1.m1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.14.8.p5.1.m1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.14.8.p5.1.m1.1.1.2.2.2">𝑥</ci><cn id="S4.14.8.p5.1.m1.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.14.8.p5.1.m1.1.1.2.2.3">3</cn></apply><apply id="S4.14.8.p5.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.14.8.p5.1.m1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.14.8.p5.1.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.14.8.p5.1.m1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.14.8.p5.1.m1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.14.8.p5.1.m1.1.1.2.3.2">𝑥</ci><cn id="S4.14.8.p5.1.m1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.14.8.p5.1.m1.1.1.2.3.3">5</cn></apply></apply><cn id="S4.14.8.p5.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.14.8.p5.1.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.14.8.p5.1.m1.1c">x_{3}+x_{5}=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.14.8.p5.1.m1.1d">italic_x start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT + italic_x start_POSTSUBSCRIPT 5 end_POSTSUBSCRIPT = 0</annotation></semantics></math>, in which case <math alttext="x_{4}+x_{6}=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.14.8.p5.2.m2.1"><semantics id="S4.14.8.p5.2.m2.1a"><mrow id="S4.14.8.p5.2.m2.1.1" xref="S4.14.8.p5.2.m2.1.1.cmml"><mrow id="S4.14.8.p5.2.m2.1.1.2" xref="S4.14.8.p5.2.m2.1.1.2.cmml"><msub id="S4.14.8.p5.2.m2.1.1.2.2" xref="S4.14.8.p5.2.m2.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.14.8.p5.2.m2.1.1.2.2.2" xref="S4.14.8.p5.2.m2.1.1.2.2.2.cmml">x</mi><mn id="S4.14.8.p5.2.m2.1.1.2.2.3" xref="S4.14.8.p5.2.m2.1.1.2.2.3.cmml">4</mn></msub><mo id="S4.14.8.p5.2.m2.1.1.2.1" xref="S4.14.8.p5.2.m2.1.1.2.1.cmml">+</mo><msub id="S4.14.8.p5.2.m2.1.1.2.3" xref="S4.14.8.p5.2.m2.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.14.8.p5.2.m2.1.1.2.3.2" xref="S4.14.8.p5.2.m2.1.1.2.3.2.cmml">x</mi><mn id="S4.14.8.p5.2.m2.1.1.2.3.3" xref="S4.14.8.p5.2.m2.1.1.2.3.3.cmml">6</mn></msub></mrow><mo id="S4.14.8.p5.2.m2.1.1.1" xref="S4.14.8.p5.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.14.8.p5.2.m2.1.1.3" xref="S4.14.8.p5.2.m2.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.14.8.p5.2.m2.1b"><apply id="S4.14.8.p5.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.14.8.p5.2.m2.1.1"><eq id="S4.14.8.p5.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.14.8.p5.2.m2.1.1.1"></eq><apply id="S4.14.8.p5.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.14.8.p5.2.m2.1.1.2"><plus id="S4.14.8.p5.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S4.14.8.p5.2.m2.1.1.2.1"></plus><apply id="S4.14.8.p5.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S4.14.8.p5.2.m2.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.14.8.p5.2.m2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.14.8.p5.2.m2.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.14.8.p5.2.m2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.14.8.p5.2.m2.1.1.2.2.2">𝑥</ci><cn id="S4.14.8.p5.2.m2.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.14.8.p5.2.m2.1.1.2.2.3">4</cn></apply><apply id="S4.14.8.p5.2.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S4.14.8.p5.2.m2.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.14.8.p5.2.m2.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.14.8.p5.2.m2.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.14.8.p5.2.m2.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.14.8.p5.2.m2.1.1.2.3.2">𝑥</ci><cn id="S4.14.8.p5.2.m2.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.14.8.p5.2.m2.1.1.2.3.3">6</cn></apply></apply><cn id="S4.14.8.p5.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.14.8.p5.2.m2.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.14.8.p5.2.m2.1c">x_{4}+x_{6}=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.14.8.p5.2.m2.1d">italic_x start_POSTSUBSCRIPT 4 end_POSTSUBSCRIPT + italic_x start_POSTSUBSCRIPT 6 end_POSTSUBSCRIPT = 0</annotation></semantics></math> also holds. In this case,</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex3"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="0=x_{1}x_{3}x_{5}+x_{2}x_{4}x_{6}=-(x_{1}x_{3}^{2}+x_{2}x_{4}^{2})=x_{2}(x_{3}% ^{2}-x_{4}^{2})," class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex3.m1.1"><semantics id="S4.Ex3.m1.1a"><mrow id="S4.Ex3.m1.1.1.1" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.4" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.4.cmml">0</mn><mo id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.5" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.5.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.cmml"><mrow id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.2" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.2.cmml"><msub id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.2.2" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.2.2.2" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.cmml">x</mi><mn id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.2.2.3" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.2.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.2.1" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.2.3" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.2.3.2" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.2.3.2.cmml">x</mi><mn id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.2.3.3" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.2.3.3.cmml">3</mn></msub><mo id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.2.1a" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.2.4" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.2.4.cmml"><mi id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.2.4.2" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.2.4.2.cmml">x</mi><mn id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.2.4.3" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.2.4.3.cmml">5</mn></msub></mrow><mo id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.1" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.1.cmml">+</mo><mrow id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.3" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.3.cmml"><msub id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.3.2" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.3.2.2" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.3.2.2.cmml">x</mi><mn id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.3.2.3" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.3.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.3.1" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.3.3" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.3.3.2" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.3.3.2.cmml">x</mi><mn id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.3.3.3" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.3.3.3.cmml">4</mn></msub><mo id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.3.1a" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.3.4" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.3.4.cmml"><mi id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.3.4.2" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.3.4.2.cmml">x</mi><mn id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.3.4.3" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.3.4.3.cmml">6</mn></msub></mrow></mrow><mo id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.7" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.7.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1a" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">x</mi><mn id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml">x</mi><mn id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml">3</mn><mn id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">x</mi><mn id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">x</mi><mn id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">4</mn><mn id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow></mrow><mo id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.8" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.8.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">x</mi><mn id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.2.1.1" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><msubsup id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.2.cmml">x</mi><mn id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.3.cmml">3</mn><mn id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><msubsup id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.2.cmml">x</mi><mn id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.3.cmml">4</mn><mn id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow><mo id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex3.m1.1.1.1.2" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex3.m1.1b"><apply id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1"><and id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1a.cmml" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1"></and><apply id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1b.cmml" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1"><eq id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.5"></eq><cn id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.4.cmml" type="integer" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.4">0</cn><apply id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.cmml" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6"><plus id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.1.cmml" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.1"></plus><apply id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.2.cmml" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.2"><times id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.2.1.cmml" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.2.1"></times><apply id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.2.2.cmml" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.2.2.2">𝑥</ci><cn id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.2.2.3">1</cn></apply><apply id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.2.3.cmml" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.2.3.2">𝑥</ci><cn id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.2.3.3">3</cn></apply><apply id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.2.4.cmml" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.2.4.1.cmml" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.2.4">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.2.4.2.cmml" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.2.4.2">𝑥</ci><cn id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.2.4.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.2.4.3">5</cn></apply></apply><apply id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.3.cmml" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.3"><times id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.3.1.cmml" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.3.1"></times><apply id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.3.2.cmml" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.3.2.2">𝑥</ci><cn id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.3.2.3">2</cn></apply><apply id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.3.3.cmml" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.3.3.2">𝑥</ci><cn id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.3.3.3">4</cn></apply><apply id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.3.4.cmml" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.3.4.1.cmml" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.3.4">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.3.4.2.cmml" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.3.4.2">𝑥</ci><cn id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.3.4.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.3.4.3">6</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1c.cmml" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1"><eq id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.7.cmml" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.7"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#S4.Ex3.m1.1.1.1.1.6.cmml" id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1d.cmml" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1"></share><apply id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1"><minus id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑥</ci><cn id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">1</cn></apply><apply id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2">𝑥</ci><cn id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3">3</cn></apply><cn id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑥</ci><cn id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">2</cn></apply><apply id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2">𝑥</ci><cn id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3">4</cn></apply><cn id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1e.cmml" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1"><eq id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.8.cmml" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.8"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#S4.Ex3.m1.1.1.1.1.1.cmml" id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1f.cmml" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1"></share><apply id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.2"><times id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.2.2"></times><apply id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.2.3.2">𝑥</ci><cn id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.2.3.3">2</cn></apply><apply id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.2.1.1"><minus id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1"></minus><apply id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.2">𝑥</ci><cn id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.3">3</cn></apply><cn id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.2">𝑥</ci><cn id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.3">4</cn></apply><cn id="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex3.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex3.m1.1c">0=x_{1}x_{3}x_{5}+x_{2}x_{4}x_{6}=-(x_{1}x_{3}^{2}+x_{2}x_{4}^{2})=x_{2}(x_{3}% ^{2}-x_{4}^{2}),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex3.m1.1d">0 = italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUBSCRIPT 5 end_POSTSUBSCRIPT + italic_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUBSCRIPT 4 end_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUBSCRIPT 6 end_POSTSUBSCRIPT = - ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUBSCRIPT 4 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) = italic_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT - italic_x start_POSTSUBSCRIPT 4 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.14.8.p5.7">and hence <math alttext="x_{3}=\pm x_{4}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.14.8.p5.3.m1.1"><semantics id="S4.14.8.p5.3.m1.1a"><mrow id="S4.14.8.p5.3.m1.1.1" xref="S4.14.8.p5.3.m1.1.1.cmml"><msub id="S4.14.8.p5.3.m1.1.1.2" xref="S4.14.8.p5.3.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.14.8.p5.3.m1.1.1.2.2" xref="S4.14.8.p5.3.m1.1.1.2.2.cmml">x</mi><mn id="S4.14.8.p5.3.m1.1.1.2.3" xref="S4.14.8.p5.3.m1.1.1.2.3.cmml">3</mn></msub><mo id="S4.14.8.p5.3.m1.1.1.1" xref="S4.14.8.p5.3.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.14.8.p5.3.m1.1.1.3" xref="S4.14.8.p5.3.m1.1.1.3.cmml"><mo id="S4.14.8.p5.3.m1.1.1.3a" xref="S4.14.8.p5.3.m1.1.1.3.cmml">±</mo><msub id="S4.14.8.p5.3.m1.1.1.3.2" xref="S4.14.8.p5.3.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.14.8.p5.3.m1.1.1.3.2.2" xref="S4.14.8.p5.3.m1.1.1.3.2.2.cmml">x</mi><mn id="S4.14.8.p5.3.m1.1.1.3.2.3" xref="S4.14.8.p5.3.m1.1.1.3.2.3.cmml">4</mn></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.14.8.p5.3.m1.1b"><apply id="S4.14.8.p5.3.m1.1.1.cmml" xref="S4.14.8.p5.3.m1.1.1"><eq id="S4.14.8.p5.3.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.14.8.p5.3.m1.1.1.1"></eq><apply id="S4.14.8.p5.3.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.14.8.p5.3.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.14.8.p5.3.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.14.8.p5.3.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.14.8.p5.3.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.14.8.p5.3.m1.1.1.2.2">𝑥</ci><cn id="S4.14.8.p5.3.m1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.14.8.p5.3.m1.1.1.2.3">3</cn></apply><apply id="S4.14.8.p5.3.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.14.8.p5.3.m1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S4.14.8.p5.3.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.14.8.p5.3.m1.1.1.3">plus-or-minus</csymbol><apply id="S4.14.8.p5.3.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.14.8.p5.3.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.14.8.p5.3.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.14.8.p5.3.m1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.14.8.p5.3.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.14.8.p5.3.m1.1.1.3.2.2">𝑥</ci><cn id="S4.14.8.p5.3.m1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.14.8.p5.3.m1.1.1.3.2.3">4</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.14.8.p5.3.m1.1c">x_{3}=\pm x_{4}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.14.8.p5.3.m1.1d">italic_x start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT = ± italic_x start_POSTSUBSCRIPT 4 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. If <math alttext="x_{3}=-x_{4}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.14.8.p5.4.m2.1"><semantics id="S4.14.8.p5.4.m2.1a"><mrow id="S4.14.8.p5.4.m2.1.1" xref="S4.14.8.p5.4.m2.1.1.cmml"><msub id="S4.14.8.p5.4.m2.1.1.2" xref="S4.14.8.p5.4.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S4.14.8.p5.4.m2.1.1.2.2" xref="S4.14.8.p5.4.m2.1.1.2.2.cmml">x</mi><mn id="S4.14.8.p5.4.m2.1.1.2.3" xref="S4.14.8.p5.4.m2.1.1.2.3.cmml">3</mn></msub><mo id="S4.14.8.p5.4.m2.1.1.1" xref="S4.14.8.p5.4.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.14.8.p5.4.m2.1.1.3" xref="S4.14.8.p5.4.m2.1.1.3.cmml"><mo id="S4.14.8.p5.4.m2.1.1.3a" xref="S4.14.8.p5.4.m2.1.1.3.cmml">−</mo><msub id="S4.14.8.p5.4.m2.1.1.3.2" xref="S4.14.8.p5.4.m2.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.14.8.p5.4.m2.1.1.3.2.2" xref="S4.14.8.p5.4.m2.1.1.3.2.2.cmml">x</mi><mn id="S4.14.8.p5.4.m2.1.1.3.2.3" xref="S4.14.8.p5.4.m2.1.1.3.2.3.cmml">4</mn></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.14.8.p5.4.m2.1b"><apply id="S4.14.8.p5.4.m2.1.1.cmml" xref="S4.14.8.p5.4.m2.1.1"><eq id="S4.14.8.p5.4.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.14.8.p5.4.m2.1.1.1"></eq><apply id="S4.14.8.p5.4.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.14.8.p5.4.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.14.8.p5.4.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S4.14.8.p5.4.m2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.14.8.p5.4.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S4.14.8.p5.4.m2.1.1.2.2">𝑥</ci><cn id="S4.14.8.p5.4.m2.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.14.8.p5.4.m2.1.1.2.3">3</cn></apply><apply id="S4.14.8.p5.4.m2.1.1.3.cmml" xref="S4.14.8.p5.4.m2.1.1.3"><minus id="S4.14.8.p5.4.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S4.14.8.p5.4.m2.1.1.3"></minus><apply id="S4.14.8.p5.4.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S4.14.8.p5.4.m2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.14.8.p5.4.m2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.14.8.p5.4.m2.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.14.8.p5.4.m2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.14.8.p5.4.m2.1.1.3.2.2">𝑥</ci><cn id="S4.14.8.p5.4.m2.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.14.8.p5.4.m2.1.1.3.2.3">4</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.14.8.p5.4.m2.1c">x_{3}=-x_{4}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.14.8.p5.4.m2.1d">italic_x start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT = - italic_x start_POSTSUBSCRIPT 4 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, the proof is finished. Finally, if <math alttext="x_{3}=x_{4}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.14.8.p5.5.m3.1"><semantics id="S4.14.8.p5.5.m3.1a"><mrow id="S4.14.8.p5.5.m3.1.1" xref="S4.14.8.p5.5.m3.1.1.cmml"><msub id="S4.14.8.p5.5.m3.1.1.2" xref="S4.14.8.p5.5.m3.1.1.2.cmml"><mi id="S4.14.8.p5.5.m3.1.1.2.2" xref="S4.14.8.p5.5.m3.1.1.2.2.cmml">x</mi><mn id="S4.14.8.p5.5.m3.1.1.2.3" xref="S4.14.8.p5.5.m3.1.1.2.3.cmml">3</mn></msub><mo id="S4.14.8.p5.5.m3.1.1.1" xref="S4.14.8.p5.5.m3.1.1.1.cmml">=</mo><msub id="S4.14.8.p5.5.m3.1.1.3" xref="S4.14.8.p5.5.m3.1.1.3.cmml"><mi id="S4.14.8.p5.5.m3.1.1.3.2" xref="S4.14.8.p5.5.m3.1.1.3.2.cmml">x</mi><mn id="S4.14.8.p5.5.m3.1.1.3.3" xref="S4.14.8.p5.5.m3.1.1.3.3.cmml">4</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.14.8.p5.5.m3.1b"><apply id="S4.14.8.p5.5.m3.1.1.cmml" xref="S4.14.8.p5.5.m3.1.1"><eq id="S4.14.8.p5.5.m3.1.1.1.cmml" xref="S4.14.8.p5.5.m3.1.1.1"></eq><apply id="S4.14.8.p5.5.m3.1.1.2.cmml" xref="S4.14.8.p5.5.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.14.8.p5.5.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S4.14.8.p5.5.m3.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.14.8.p5.5.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S4.14.8.p5.5.m3.1.1.2.2">𝑥</ci><cn id="S4.14.8.p5.5.m3.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.14.8.p5.5.m3.1.1.2.3">3</cn></apply><apply id="S4.14.8.p5.5.m3.1.1.3.cmml" xref="S4.14.8.p5.5.m3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.14.8.p5.5.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S4.14.8.p5.5.m3.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.14.8.p5.5.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S4.14.8.p5.5.m3.1.1.3.2">𝑥</ci><cn id="S4.14.8.p5.5.m3.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.14.8.p5.5.m3.1.1.3.3">4</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.14.8.p5.5.m3.1c">x_{3}=x_{4}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.14.8.p5.5.m3.1d">italic_x start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT = italic_x start_POSTSUBSCRIPT 4 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, then <math alttext="x_{3}=-x_{6}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.14.8.p5.6.m4.1"><semantics id="S4.14.8.p5.6.m4.1a"><mrow id="S4.14.8.p5.6.m4.1.1" xref="S4.14.8.p5.6.m4.1.1.cmml"><msub id="S4.14.8.p5.6.m4.1.1.2" xref="S4.14.8.p5.6.m4.1.1.2.cmml"><mi id="S4.14.8.p5.6.m4.1.1.2.2" xref="S4.14.8.p5.6.m4.1.1.2.2.cmml">x</mi><mn id="S4.14.8.p5.6.m4.1.1.2.3" xref="S4.14.8.p5.6.m4.1.1.2.3.cmml">3</mn></msub><mo id="S4.14.8.p5.6.m4.1.1.1" xref="S4.14.8.p5.6.m4.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.14.8.p5.6.m4.1.1.3" xref="S4.14.8.p5.6.m4.1.1.3.cmml"><mo id="S4.14.8.p5.6.m4.1.1.3a" xref="S4.14.8.p5.6.m4.1.1.3.cmml">−</mo><msub id="S4.14.8.p5.6.m4.1.1.3.2" xref="S4.14.8.p5.6.m4.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.14.8.p5.6.m4.1.1.3.2.2" xref="S4.14.8.p5.6.m4.1.1.3.2.2.cmml">x</mi><mn id="S4.14.8.p5.6.m4.1.1.3.2.3" xref="S4.14.8.p5.6.m4.1.1.3.2.3.cmml">6</mn></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.14.8.p5.6.m4.1b"><apply id="S4.14.8.p5.6.m4.1.1.cmml" xref="S4.14.8.p5.6.m4.1.1"><eq id="S4.14.8.p5.6.m4.1.1.1.cmml" xref="S4.14.8.p5.6.m4.1.1.1"></eq><apply id="S4.14.8.p5.6.m4.1.1.2.cmml" xref="S4.14.8.p5.6.m4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.14.8.p5.6.m4.1.1.2.1.cmml" xref="S4.14.8.p5.6.m4.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.14.8.p5.6.m4.1.1.2.2.cmml" xref="S4.14.8.p5.6.m4.1.1.2.2">𝑥</ci><cn id="S4.14.8.p5.6.m4.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.14.8.p5.6.m4.1.1.2.3">3</cn></apply><apply id="S4.14.8.p5.6.m4.1.1.3.cmml" xref="S4.14.8.p5.6.m4.1.1.3"><minus id="S4.14.8.p5.6.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S4.14.8.p5.6.m4.1.1.3"></minus><apply id="S4.14.8.p5.6.m4.1.1.3.2.cmml" xref="S4.14.8.p5.6.m4.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.14.8.p5.6.m4.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.14.8.p5.6.m4.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.14.8.p5.6.m4.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.14.8.p5.6.m4.1.1.3.2.2">𝑥</ci><cn id="S4.14.8.p5.6.m4.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.14.8.p5.6.m4.1.1.3.2.3">6</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.14.8.p5.6.m4.1c">x_{3}=-x_{6}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.14.8.p5.6.m4.1d">italic_x start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT = - italic_x start_POSTSUBSCRIPT 6 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> due to the relation <math alttext="x_{4}+x_{6}=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.14.8.p5.7.m5.1"><semantics id="S4.14.8.p5.7.m5.1a"><mrow id="S4.14.8.p5.7.m5.1.1" xref="S4.14.8.p5.7.m5.1.1.cmml"><mrow id="S4.14.8.p5.7.m5.1.1.2" xref="S4.14.8.p5.7.m5.1.1.2.cmml"><msub id="S4.14.8.p5.7.m5.1.1.2.2" xref="S4.14.8.p5.7.m5.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.14.8.p5.7.m5.1.1.2.2.2" xref="S4.14.8.p5.7.m5.1.1.2.2.2.cmml">x</mi><mn id="S4.14.8.p5.7.m5.1.1.2.2.3" xref="S4.14.8.p5.7.m5.1.1.2.2.3.cmml">4</mn></msub><mo id="S4.14.8.p5.7.m5.1.1.2.1" xref="S4.14.8.p5.7.m5.1.1.2.1.cmml">+</mo><msub id="S4.14.8.p5.7.m5.1.1.2.3" xref="S4.14.8.p5.7.m5.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.14.8.p5.7.m5.1.1.2.3.2" xref="S4.14.8.p5.7.m5.1.1.2.3.2.cmml">x</mi><mn id="S4.14.8.p5.7.m5.1.1.2.3.3" xref="S4.14.8.p5.7.m5.1.1.2.3.3.cmml">6</mn></msub></mrow><mo id="S4.14.8.p5.7.m5.1.1.1" xref="S4.14.8.p5.7.m5.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.14.8.p5.7.m5.1.1.3" xref="S4.14.8.p5.7.m5.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.14.8.p5.7.m5.1b"><apply id="S4.14.8.p5.7.m5.1.1.cmml" xref="S4.14.8.p5.7.m5.1.1"><eq id="S4.14.8.p5.7.m5.1.1.1.cmml" xref="S4.14.8.p5.7.m5.1.1.1"></eq><apply id="S4.14.8.p5.7.m5.1.1.2.cmml" xref="S4.14.8.p5.7.m5.1.1.2"><plus id="S4.14.8.p5.7.m5.1.1.2.1.cmml" xref="S4.14.8.p5.7.m5.1.1.2.1"></plus><apply id="S4.14.8.p5.7.m5.1.1.2.2.cmml" xref="S4.14.8.p5.7.m5.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.14.8.p5.7.m5.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.14.8.p5.7.m5.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.14.8.p5.7.m5.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.14.8.p5.7.m5.1.1.2.2.2">𝑥</ci><cn id="S4.14.8.p5.7.m5.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.14.8.p5.7.m5.1.1.2.2.3">4</cn></apply><apply id="S4.14.8.p5.7.m5.1.1.2.3.cmml" xref="S4.14.8.p5.7.m5.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.14.8.p5.7.m5.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.14.8.p5.7.m5.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.14.8.p5.7.m5.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.14.8.p5.7.m5.1.1.2.3.2">𝑥</ci><cn id="S4.14.8.p5.7.m5.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.14.8.p5.7.m5.1.1.2.3.3">6</cn></apply></apply><cn id="S4.14.8.p5.7.m5.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.14.8.p5.7.m5.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.14.8.p5.7.m5.1c">x_{4}+x_{6}=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.14.8.p5.7.m5.1d">italic_x start_POSTSUBSCRIPT 4 end_POSTSUBSCRIPT + italic_x start_POSTSUBSCRIPT 6 end_POSTSUBSCRIPT = 0</annotation></semantics></math>. ∎</p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S4.15.p7"> <p class="ltx_p" id="S4.15.p7.6">In the sequel, we will use the shorthand notation <math alttext="I\in\binom{n}{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.15.p7.1.m1.2"><semantics id="S4.15.p7.1.m1.2a"><mrow id="S4.15.p7.1.m1.2.3" xref="S4.15.p7.1.m1.2.3.cmml"><mi id="S4.15.p7.1.m1.2.3.2" xref="S4.15.p7.1.m1.2.3.2.cmml">I</mi><mo id="S4.15.p7.1.m1.2.3.1" xref="S4.15.p7.1.m1.2.3.1.cmml">∈</mo><mrow id="S4.15.p7.1.m1.2.2.4" xref="S4.15.p7.1.m1.2.2.3.cmml"><mo id="S4.15.p7.1.m1.2.2.4.1" xref="S4.15.p7.1.m1.2.2.3.1.cmml">(</mo><mfrac id="S4.15.p7.1.m1.2.2.2.2" linethickness="0pt" xref="S4.15.p7.1.m1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.15.p7.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.15.p7.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">n</mi><mi id="S4.15.p7.1.m1.2.2.2.2.2.1" xref="S4.15.p7.1.m1.2.2.2.2.2.1.cmml">k</mi></mfrac><mo id="S4.15.p7.1.m1.2.2.4.2" xref="S4.15.p7.1.m1.2.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.15.p7.1.m1.2b"><apply id="S4.15.p7.1.m1.2.3.cmml" xref="S4.15.p7.1.m1.2.3"><in id="S4.15.p7.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S4.15.p7.1.m1.2.3.1"></in><ci id="S4.15.p7.1.m1.2.3.2.cmml" xref="S4.15.p7.1.m1.2.3.2">𝐼</ci><apply id="S4.15.p7.1.m1.2.2.3.cmml" xref="S4.15.p7.1.m1.2.2.4"><csymbol cd="latexml" id="S4.15.p7.1.m1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.15.p7.1.m1.2.2.4.1">binomial</csymbol><ci id="S4.15.p7.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.15.p7.1.m1.1.1.1.1.1.1">𝑛</ci><ci id="S4.15.p7.1.m1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.15.p7.1.m1.2.2.2.2.2.1">𝑘</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.15.p7.1.m1.2c">I\in\binom{n}{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.15.p7.1.m1.2d">italic_I ∈ ( FRACOP start_ARG italic_n end_ARG start_ARG italic_k end_ARG )</annotation></semantics></math> for a <math alttext="k" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.15.p7.2.m2.1"><semantics id="S4.15.p7.2.m2.1a"><mi id="S4.15.p7.2.m2.1.1" xref="S4.15.p7.2.m2.1.1.cmml">k</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.15.p7.2.m2.1b"><ci id="S4.15.p7.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.15.p7.2.m2.1.1">𝑘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.15.p7.2.m2.1c">k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.15.p7.2.m2.1d">italic_k</annotation></semantics></math>-element subset <math alttext="I" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.15.p7.3.m3.1"><semantics id="S4.15.p7.3.m3.1a"><mi id="S4.15.p7.3.m3.1.1" xref="S4.15.p7.3.m3.1.1.cmml">I</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.15.p7.3.m3.1b"><ci id="S4.15.p7.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.15.p7.3.m3.1.1">𝐼</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.15.p7.3.m3.1c">I</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.15.p7.3.m3.1d">italic_I</annotation></semantics></math> of <math alttext="\{1,\ldots,n\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.15.p7.4.m4.3"><semantics id="S4.15.p7.4.m4.3a"><mrow id="S4.15.p7.4.m4.3.4.2" xref="S4.15.p7.4.m4.3.4.1.cmml"><mo id="S4.15.p7.4.m4.3.4.2.1" stretchy="false" xref="S4.15.p7.4.m4.3.4.1.cmml">{</mo><mn id="S4.15.p7.4.m4.1.1" xref="S4.15.p7.4.m4.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.15.p7.4.m4.3.4.2.2" xref="S4.15.p7.4.m4.3.4.1.cmml">,</mo><mi id="S4.15.p7.4.m4.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.15.p7.4.m4.2.2.cmml">…</mi><mo id="S4.15.p7.4.m4.3.4.2.3" xref="S4.15.p7.4.m4.3.4.1.cmml">,</mo><mi id="S4.15.p7.4.m4.3.3" xref="S4.15.p7.4.m4.3.3.cmml">n</mi><mo id="S4.15.p7.4.m4.3.4.2.4" stretchy="false" xref="S4.15.p7.4.m4.3.4.1.cmml">}</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.15.p7.4.m4.3b"><set id="S4.15.p7.4.m4.3.4.1.cmml" xref="S4.15.p7.4.m4.3.4.2"><cn id="S4.15.p7.4.m4.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.15.p7.4.m4.1.1">1</cn><ci id="S4.15.p7.4.m4.2.2.cmml" xref="S4.15.p7.4.m4.2.2">…</ci><ci id="S4.15.p7.4.m4.3.3.cmml" xref="S4.15.p7.4.m4.3.3">𝑛</ci></set></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.15.p7.4.m4.3c">\{1,\ldots,n\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.15.p7.4.m4.3d">{ 1 , … , italic_n }</annotation></semantics></math>. Given <math alttext="I\in\binom{n}{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.15.p7.5.m5.2"><semantics id="S4.15.p7.5.m5.2a"><mrow id="S4.15.p7.5.m5.2.3" xref="S4.15.p7.5.m5.2.3.cmml"><mi id="S4.15.p7.5.m5.2.3.2" xref="S4.15.p7.5.m5.2.3.2.cmml">I</mi><mo id="S4.15.p7.5.m5.2.3.1" xref="S4.15.p7.5.m5.2.3.1.cmml">∈</mo><mrow id="S4.15.p7.5.m5.2.2.4" xref="S4.15.p7.5.m5.2.2.3.cmml"><mo id="S4.15.p7.5.m5.2.2.4.1" xref="S4.15.p7.5.m5.2.2.3.1.cmml">(</mo><mfrac id="S4.15.p7.5.m5.2.2.2.2" linethickness="0pt" xref="S4.15.p7.5.m5.2.2.3.cmml"><mi id="S4.15.p7.5.m5.1.1.1.1.1.1" xref="S4.15.p7.5.m5.1.1.1.1.1.1.cmml">n</mi><mi id="S4.15.p7.5.m5.2.2.2.2.2.1" xref="S4.15.p7.5.m5.2.2.2.2.2.1.cmml">k</mi></mfrac><mo id="S4.15.p7.5.m5.2.2.4.2" xref="S4.15.p7.5.m5.2.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.15.p7.5.m5.2b"><apply id="S4.15.p7.5.m5.2.3.cmml" xref="S4.15.p7.5.m5.2.3"><in id="S4.15.p7.5.m5.2.3.1.cmml" xref="S4.15.p7.5.m5.2.3.1"></in><ci id="S4.15.p7.5.m5.2.3.2.cmml" xref="S4.15.p7.5.m5.2.3.2">𝐼</ci><apply id="S4.15.p7.5.m5.2.2.3.cmml" xref="S4.15.p7.5.m5.2.2.4"><csymbol cd="latexml" id="S4.15.p7.5.m5.2.2.3.1.cmml" xref="S4.15.p7.5.m5.2.2.4.1">binomial</csymbol><ci id="S4.15.p7.5.m5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.15.p7.5.m5.1.1.1.1.1.1">𝑛</ci><ci id="S4.15.p7.5.m5.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.15.p7.5.m5.2.2.2.2.2.1">𝑘</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.15.p7.5.m5.2c">I\in\binom{n}{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.15.p7.5.m5.2d">italic_I ∈ ( FRACOP start_ARG italic_n end_ARG start_ARG italic_k end_ARG )</annotation></semantics></math>, let <math alttext="\mu(I)=(\mu_{1},\ldots,\mu_{n})\in\{\pm 1\}^{n}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.15.p7.6.m6.5"><semantics id="S4.15.p7.6.m6.5a"><mrow id="S4.15.p7.6.m6.5.5" xref="S4.15.p7.6.m6.5.5.cmml"><mrow id="S4.15.p7.6.m6.5.5.5" xref="S4.15.p7.6.m6.5.5.5.cmml"><mi id="S4.15.p7.6.m6.5.5.5.2" xref="S4.15.p7.6.m6.5.5.5.2.cmml">μ</mi><mo id="S4.15.p7.6.m6.5.5.5.1" xref="S4.15.p7.6.m6.5.5.5.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.15.p7.6.m6.5.5.5.3.2" xref="S4.15.p7.6.m6.5.5.5.cmml"><mo id="S4.15.p7.6.m6.5.5.5.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.15.p7.6.m6.5.5.5.cmml">(</mo><mi id="S4.15.p7.6.m6.1.1" xref="S4.15.p7.6.m6.1.1.cmml">I</mi><mo id="S4.15.p7.6.m6.5.5.5.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.15.p7.6.m6.5.5.5.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.15.p7.6.m6.5.5.6" xref="S4.15.p7.6.m6.5.5.6.cmml">=</mo><mrow id="S4.15.p7.6.m6.4.4.2.2" xref="S4.15.p7.6.m6.4.4.2.3.cmml"><mo id="S4.15.p7.6.m6.4.4.2.2.3" stretchy="false" xref="S4.15.p7.6.m6.4.4.2.3.cmml">(</mo><msub id="S4.15.p7.6.m6.3.3.1.1.1" xref="S4.15.p7.6.m6.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S4.15.p7.6.m6.3.3.1.1.1.2" xref="S4.15.p7.6.m6.3.3.1.1.1.2.cmml">μ</mi><mn id="S4.15.p7.6.m6.3.3.1.1.1.3" xref="S4.15.p7.6.m6.3.3.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.15.p7.6.m6.4.4.2.2.4" xref="S4.15.p7.6.m6.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.15.p7.6.m6.2.2" mathvariant="normal" xref="S4.15.p7.6.m6.2.2.cmml">…</mi><mo id="S4.15.p7.6.m6.4.4.2.2.5" xref="S4.15.p7.6.m6.4.4.2.3.cmml">,</mo><msub id="S4.15.p7.6.m6.4.4.2.2.2" xref="S4.15.p7.6.m6.4.4.2.2.2.cmml"><mi id="S4.15.p7.6.m6.4.4.2.2.2.2" xref="S4.15.p7.6.m6.4.4.2.2.2.2.cmml">μ</mi><mi id="S4.15.p7.6.m6.4.4.2.2.2.3" xref="S4.15.p7.6.m6.4.4.2.2.2.3.cmml">n</mi></msub><mo id="S4.15.p7.6.m6.4.4.2.2.6" stretchy="false" xref="S4.15.p7.6.m6.4.4.2.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.15.p7.6.m6.5.5.7" xref="S4.15.p7.6.m6.5.5.7.cmml">∈</mo><msup id="S4.15.p7.6.m6.5.5.3" xref="S4.15.p7.6.m6.5.5.3.cmml"><mrow id="S4.15.p7.6.m6.5.5.3.1.1" xref="S4.15.p7.6.m6.5.5.3.1.2.cmml"><mo id="S4.15.p7.6.m6.5.5.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.15.p7.6.m6.5.5.3.1.2.cmml">{</mo><mrow id="S4.15.p7.6.m6.5.5.3.1.1.1" xref="S4.15.p7.6.m6.5.5.3.1.1.1.cmml"><mo id="S4.15.p7.6.m6.5.5.3.1.1.1a" xref="S4.15.p7.6.m6.5.5.3.1.1.1.cmml">±</mo><mn id="S4.15.p7.6.m6.5.5.3.1.1.1.2" xref="S4.15.p7.6.m6.5.5.3.1.1.1.2.cmml">1</mn></mrow><mo id="S4.15.p7.6.m6.5.5.3.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.15.p7.6.m6.5.5.3.1.2.cmml">}</mo></mrow><mi id="S4.15.p7.6.m6.5.5.3.3" xref="S4.15.p7.6.m6.5.5.3.3.cmml">n</mi></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.15.p7.6.m6.5b"><apply id="S4.15.p7.6.m6.5.5.cmml" xref="S4.15.p7.6.m6.5.5"><and id="S4.15.p7.6.m6.5.5a.cmml" xref="S4.15.p7.6.m6.5.5"></and><apply id="S4.15.p7.6.m6.5.5b.cmml" xref="S4.15.p7.6.m6.5.5"><eq id="S4.15.p7.6.m6.5.5.6.cmml" xref="S4.15.p7.6.m6.5.5.6"></eq><apply id="S4.15.p7.6.m6.5.5.5.cmml" xref="S4.15.p7.6.m6.5.5.5"><times id="S4.15.p7.6.m6.5.5.5.1.cmml" xref="S4.15.p7.6.m6.5.5.5.1"></times><ci id="S4.15.p7.6.m6.5.5.5.2.cmml" xref="S4.15.p7.6.m6.5.5.5.2">𝜇</ci><ci id="S4.15.p7.6.m6.1.1.cmml" xref="S4.15.p7.6.m6.1.1">𝐼</ci></apply><vector id="S4.15.p7.6.m6.4.4.2.3.cmml" xref="S4.15.p7.6.m6.4.4.2.2"><apply id="S4.15.p7.6.m6.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.15.p7.6.m6.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.15.p7.6.m6.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.15.p7.6.m6.3.3.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.15.p7.6.m6.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S4.15.p7.6.m6.3.3.1.1.1.2">𝜇</ci><cn id="S4.15.p7.6.m6.3.3.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.15.p7.6.m6.3.3.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S4.15.p7.6.m6.2.2.cmml" xref="S4.15.p7.6.m6.2.2">…</ci><apply id="S4.15.p7.6.m6.4.4.2.2.2.cmml" xref="S4.15.p7.6.m6.4.4.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.15.p7.6.m6.4.4.2.2.2.1.cmml" xref="S4.15.p7.6.m6.4.4.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.15.p7.6.m6.4.4.2.2.2.2.cmml" xref="S4.15.p7.6.m6.4.4.2.2.2.2">𝜇</ci><ci id="S4.15.p7.6.m6.4.4.2.2.2.3.cmml" xref="S4.15.p7.6.m6.4.4.2.2.2.3">𝑛</ci></apply></vector></apply><apply id="S4.15.p7.6.m6.5.5c.cmml" xref="S4.15.p7.6.m6.5.5"><in id="S4.15.p7.6.m6.5.5.7.cmml" xref="S4.15.p7.6.m6.5.5.7"></in><share href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#S4.15.p7.6.m6.4.4.2.cmml" id="S4.15.p7.6.m6.5.5d.cmml" xref="S4.15.p7.6.m6.5.5"></share><apply id="S4.15.p7.6.m6.5.5.3.cmml" xref="S4.15.p7.6.m6.5.5.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.15.p7.6.m6.5.5.3.2.cmml" xref="S4.15.p7.6.m6.5.5.3">superscript</csymbol><set id="S4.15.p7.6.m6.5.5.3.1.2.cmml" xref="S4.15.p7.6.m6.5.5.3.1.1"><apply id="S4.15.p7.6.m6.5.5.3.1.1.1.cmml" xref="S4.15.p7.6.m6.5.5.3.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.15.p7.6.m6.5.5.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.15.p7.6.m6.5.5.3.1.1.1">plus-or-minus</csymbol><cn id="S4.15.p7.6.m6.5.5.3.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.15.p7.6.m6.5.5.3.1.1.1.2">1</cn></apply></set><ci id="S4.15.p7.6.m6.5.5.3.3.cmml" xref="S4.15.p7.6.m6.5.5.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.15.p7.6.m6.5c">\mu(I)=(\mu_{1},\ldots,\mu_{n})\in\{\pm 1\}^{n}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.15.p7.6.m6.5d">italic_μ ( italic_I ) = ( italic_μ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT ) ∈ { ± 1 } start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> be defined by</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E15"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(4.15)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\mu_{j}=\begin{cases}-1,\qquad&j\in I\\ 1,\qquad&j\not\in I.\end{cases}" class="ltx_Math" display="block" id="S4.E15.m1.4"><semantics id="S4.E15.m1.4a"><mrow id="S4.E15.m1.4.5" xref="S4.E15.m1.4.5.cmml"><msub id="S4.E15.m1.4.5.2" xref="S4.E15.m1.4.5.2.cmml"><mi id="S4.E15.m1.4.5.2.2" xref="S4.E15.m1.4.5.2.2.cmml">μ</mi><mi id="S4.E15.m1.4.5.2.3" xref="S4.E15.m1.4.5.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S4.E15.m1.4.5.1" xref="S4.E15.m1.4.5.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.E15.m1.4.4" xref="S4.E15.m1.4.5.3.1.cmml"><mo id="S4.E15.m1.4.4.5" xref="S4.E15.m1.4.5.3.1.1.cmml">{</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="S4.E15.m1.4.4.4" rowspacing="0pt" xref="S4.E15.m1.4.5.3.1.cmml"><mtr id="S4.E15.m1.4.4.4a" xref="S4.E15.m1.4.5.3.1.cmml"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S4.E15.m1.4.4.4b" xref="S4.E15.m1.4.5.3.1.cmml"><mrow id="S4.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S4.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S4.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn></mrow><mo id="S4.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S4.E15.m1.4.4.4c" xref="S4.E15.m1.4.5.3.1.cmml"><mrow id="S4.E15.m1.2.2.2.2.2.1" xref="S4.E15.m1.2.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="S4.E15.m1.2.2.2.2.2.1.2" xref="S4.E15.m1.2.2.2.2.2.1.2.cmml">j</mi><mo id="S4.E15.m1.2.2.2.2.2.1.1" xref="S4.E15.m1.2.2.2.2.2.1.1.cmml">∈</mo><mi id="S4.E15.m1.2.2.2.2.2.1.3" xref="S4.E15.m1.2.2.2.2.2.1.3.cmml">I</mi></mrow></mtd></mtr><mtr id="S4.E15.m1.4.4.4d" xref="S4.E15.m1.4.5.3.1.cmml"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S4.E15.m1.4.4.4e" xref="S4.E15.m1.4.5.3.1.cmml"><mrow id="S4.E15.m1.3.3.3.3.1.1.3" xref="S4.E15.m1.4.5.3.1.cmml"><mn id="S4.E15.m1.3.3.3.3.1.1.1" xref="S4.E15.m1.3.3.3.3.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.E15.m1.3.3.3.3.1.1.3.1" xref="S4.E15.m1.4.5.3.1.cmml">,</mo></mrow></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S4.E15.m1.4.4.4f" xref="S4.E15.m1.4.5.3.1.cmml"><mrow id="S4.E15.m1.4.4.4.4.2.1.1" xref="S4.E15.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E15.m1.4.4.4.4.2.1.1.1" xref="S4.E15.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E15.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.2" xref="S4.E15.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.2.cmml">j</mi><mo id="S4.E15.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1" xref="S4.E15.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.cmml">∉</mo><mi id="S4.E15.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.3" xref="S4.E15.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.3.cmml">I</mi></mrow><mo id="S4.E15.m1.4.4.4.4.2.1.1.2" lspace="0em" xref="S4.E15.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.cmml">.</mo></mrow></mtd></mtr></mtable></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E15.m1.4b"><apply id="S4.E15.m1.4.5.cmml" xref="S4.E15.m1.4.5"><eq id="S4.E15.m1.4.5.1.cmml" xref="S4.E15.m1.4.5.1"></eq><apply id="S4.E15.m1.4.5.2.cmml" xref="S4.E15.m1.4.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E15.m1.4.5.2.1.cmml" xref="S4.E15.m1.4.5.2">subscript</csymbol><ci id="S4.E15.m1.4.5.2.2.cmml" xref="S4.E15.m1.4.5.2.2">𝜇</ci><ci id="S4.E15.m1.4.5.2.3.cmml" xref="S4.E15.m1.4.5.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="S4.E15.m1.4.5.3.1.cmml" xref="S4.E15.m1.4.4"><csymbol cd="latexml" id="S4.E15.m1.4.5.3.1.1.cmml" xref="S4.E15.m1.4.4.5">cases</csymbol><apply id="S4.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S4.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><cn id="S4.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">1</cn></apply><apply id="S4.E15.m1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E15.m1.2.2.2.2.2.1"><in id="S4.E15.m1.2.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S4.E15.m1.2.2.2.2.2.1.1"></in><ci id="S4.E15.m1.2.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S4.E15.m1.2.2.2.2.2.1.2">𝑗</ci><ci id="S4.E15.m1.2.2.2.2.2.1.3.cmml" xref="S4.E15.m1.2.2.2.2.2.1.3">𝐼</ci></apply><cn id="S4.E15.m1.3.3.3.3.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.E15.m1.3.3.3.3.1.1.1">1</cn><apply id="S4.E15.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.cmml" xref="S4.E15.m1.4.4.4.4.2.1.1"><notin id="S4.E15.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E15.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1"></notin><ci id="S4.E15.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E15.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.2">𝑗</ci><ci id="S4.E15.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E15.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.3">𝐼</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E15.m1.4c">\mu_{j}=\begin{cases}-1,\qquad&j\in I\\ 1,\qquad&j\not\in I.\end{cases}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E15.m1.4d">italic_μ start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT = { start_ROW start_CELL - 1 , end_CELL start_CELL italic_j ∈ italic_I end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 1 , end_CELL start_CELL italic_j ∉ italic_I . end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_corollary" id="S4.Thmfact7"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S4.Thmfact7.1.1.1">Corollary 4.7</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S4.Thmfact7.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="S4.Thmfact7.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.Thmfact7.p1.4"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.Thmfact7.p1.4.4">Let <math alttext="\mathbf{a},\mathbf{b}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmfact7.p1.1.1.m1.2"><semantics id="S4.Thmfact7.p1.1.1.m1.2a"><mrow id="S4.Thmfact7.p1.1.1.m1.2.3.2" xref="S4.Thmfact7.p1.1.1.m1.2.3.1.cmml"><mi id="S4.Thmfact7.p1.1.1.m1.1.1" xref="S4.Thmfact7.p1.1.1.m1.1.1.cmml">𝐚</mi><mo id="S4.Thmfact7.p1.1.1.m1.2.3.2.1" xref="S4.Thmfact7.p1.1.1.m1.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.Thmfact7.p1.1.1.m1.2.2" xref="S4.Thmfact7.p1.1.1.m1.2.2.cmml">𝐛</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmfact7.p1.1.1.m1.2b"><list id="S4.Thmfact7.p1.1.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S4.Thmfact7.p1.1.1.m1.2.3.2"><ci id="S4.Thmfact7.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.Thmfact7.p1.1.1.m1.1.1">𝐚</ci><ci id="S4.Thmfact7.p1.1.1.m1.2.2.cmml" xref="S4.Thmfact7.p1.1.1.m1.2.2">𝐛</ci></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmfact7.p1.1.1.m1.2c">\mathbf{a},\mathbf{b}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmfact7.p1.1.1.m1.2d">bold_a , bold_b</annotation></semantics></math> be unimodular vectors in <math alttext="\mathbb{C}^{6}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmfact7.p1.2.2.m2.1"><semantics id="S4.Thmfact7.p1.2.2.m2.1a"><msup id="S4.Thmfact7.p1.2.2.m2.1.1" xref="S4.Thmfact7.p1.2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmfact7.p1.2.2.m2.1.1.2" xref="S4.Thmfact7.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml">ℂ</mi><mn id="S4.Thmfact7.p1.2.2.m2.1.1.3" xref="S4.Thmfact7.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml">6</mn></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmfact7.p1.2.2.m2.1b"><apply id="S4.Thmfact7.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.Thmfact7.p1.2.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmfact7.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmfact7.p1.2.2.m2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.Thmfact7.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmfact7.p1.2.2.m2.1.1.2">ℂ</ci><cn id="S4.Thmfact7.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmfact7.p1.2.2.m2.1.1.3">6</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmfact7.p1.2.2.m2.1c">\mathbb{C}^{6}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmfact7.p1.2.2.m2.1d">blackboard_C start_POSTSUPERSCRIPT 6 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, and assume that for some <math alttext="I\in\binom{6}{3}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmfact7.p1.3.3.m3.2"><semantics id="S4.Thmfact7.p1.3.3.m3.2a"><mrow id="S4.Thmfact7.p1.3.3.m3.2.3" xref="S4.Thmfact7.p1.3.3.m3.2.3.cmml"><mi id="S4.Thmfact7.p1.3.3.m3.2.3.2" xref="S4.Thmfact7.p1.3.3.m3.2.3.2.cmml">I</mi><mo id="S4.Thmfact7.p1.3.3.m3.2.3.1" xref="S4.Thmfact7.p1.3.3.m3.2.3.1.cmml">∈</mo><mrow id="S4.Thmfact7.p1.3.3.m3.2.2.4" xref="S4.Thmfact7.p1.3.3.m3.2.2.3.cmml"><mo id="S4.Thmfact7.p1.3.3.m3.2.2.4.1" xref="S4.Thmfact7.p1.3.3.m3.2.2.3.1.cmml">(</mo><mfrac id="S4.Thmfact7.p1.3.3.m3.2.2.2.2" linethickness="0pt" xref="S4.Thmfact7.p1.3.3.m3.2.2.3.cmml"><mn id="S4.Thmfact7.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Thmfact7.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml">6</mn><mn id="S4.Thmfact7.p1.3.3.m3.2.2.2.2.2.1" xref="S4.Thmfact7.p1.3.3.m3.2.2.2.2.2.1.cmml">3</mn></mfrac><mo id="S4.Thmfact7.p1.3.3.m3.2.2.4.2" xref="S4.Thmfact7.p1.3.3.m3.2.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmfact7.p1.3.3.m3.2b"><apply id="S4.Thmfact7.p1.3.3.m3.2.3.cmml" xref="S4.Thmfact7.p1.3.3.m3.2.3"><in id="S4.Thmfact7.p1.3.3.m3.2.3.1.cmml" xref="S4.Thmfact7.p1.3.3.m3.2.3.1"></in><ci id="S4.Thmfact7.p1.3.3.m3.2.3.2.cmml" xref="S4.Thmfact7.p1.3.3.m3.2.3.2">𝐼</ci><apply id="S4.Thmfact7.p1.3.3.m3.2.2.3.cmml" xref="S4.Thmfact7.p1.3.3.m3.2.2.4"><csymbol cd="latexml" id="S4.Thmfact7.p1.3.3.m3.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Thmfact7.p1.3.3.m3.2.2.4.1">binomial</csymbol><cn id="S4.Thmfact7.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.Thmfact7.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1">6</cn><cn id="S4.Thmfact7.p1.3.3.m3.2.2.2.2.2.1.cmml" type="integer" xref="S4.Thmfact7.p1.3.3.m3.2.2.2.2.2.1">3</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmfact7.p1.3.3.m3.2c">I\in\binom{6}{3}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmfact7.p1.3.3.m3.2d">italic_I ∈ ( FRACOP start_ARG 6 end_ARG start_ARG 3 end_ARG )</annotation></semantics></math> and <math alttext="\lambda\in\mathbb{T}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmfact7.p1.4.4.m4.1"><semantics id="S4.Thmfact7.p1.4.4.m4.1a"><mrow id="S4.Thmfact7.p1.4.4.m4.1.1" xref="S4.Thmfact7.p1.4.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmfact7.p1.4.4.m4.1.1.2" xref="S4.Thmfact7.p1.4.4.m4.1.1.2.cmml">λ</mi><mo id="S4.Thmfact7.p1.4.4.m4.1.1.1" xref="S4.Thmfact7.p1.4.4.m4.1.1.1.cmml">∈</mo><mi id="S4.Thmfact7.p1.4.4.m4.1.1.3" xref="S4.Thmfact7.p1.4.4.m4.1.1.3.cmml">𝕋</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmfact7.p1.4.4.m4.1b"><apply id="S4.Thmfact7.p1.4.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.Thmfact7.p1.4.4.m4.1.1"><in id="S4.Thmfact7.p1.4.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmfact7.p1.4.4.m4.1.1.1"></in><ci id="S4.Thmfact7.p1.4.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmfact7.p1.4.4.m4.1.1.2">𝜆</ci><ci id="S4.Thmfact7.p1.4.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmfact7.p1.4.4.m4.1.1.3">𝕋</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmfact7.p1.4.4.m4.1c">\lambda\in\mathbb{T}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmfact7.p1.4.4.m4.1d">italic_λ ∈ blackboard_T</annotation></semantics></math> we have</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex4"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\mathbf{a}^{\mu(I)}=\lambda,\ \ \ \mathbf{b}^{\mu(I)}=-\lambda," class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex4.m1.3"><semantics id="S4.Ex4.m1.3a"><mrow id="S4.Ex4.m1.3.3.1"><mrow id="S4.Ex4.m1.3.3.1.1.2" xref="S4.Ex4.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S4.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><msup id="S4.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml">𝐚</mi><mrow id="S4.Ex4.m1.1.1.1" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex4.m1.1.1.1.3" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.3.cmml">μ</mi><mo id="S4.Ex4.m1.1.1.1.2" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex4.m1.1.1.1.4.2" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex4.m1.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex4.m1.1.1.1.1" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.cmml">I</mi><mo id="S4.Ex4.m1.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msup><mo id="S4.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mi id="S4.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml">λ</mi></mrow><mo id="S4.Ex4.m1.3.3.1.1.2.3" rspace="1.667em" xref="S4.Ex4.m1.3.3.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.Ex4.m1.3.3.1.1.2.2" xref="S4.Ex4.m1.3.3.1.1.2.2.cmml"><msup id="S4.Ex4.m1.3.3.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex4.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex4.m1.3.3.1.1.2.2.2.2" xref="S4.Ex4.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.cmml">𝐛</mi><mrow id="S4.Ex4.m1.2.2.1" xref="S4.Ex4.m1.2.2.1.cmml"><mi id="S4.Ex4.m1.2.2.1.3" xref="S4.Ex4.m1.2.2.1.3.cmml">μ</mi><mo id="S4.Ex4.m1.2.2.1.2" xref="S4.Ex4.m1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex4.m1.2.2.1.4.2" xref="S4.Ex4.m1.2.2.1.cmml"><mo id="S4.Ex4.m1.2.2.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex4.m1.2.2.1.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex4.m1.2.2.1.1" xref="S4.Ex4.m1.2.2.1.1.cmml">I</mi><mo id="S4.Ex4.m1.2.2.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex4.m1.2.2.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msup><mo id="S4.Ex4.m1.3.3.1.1.2.2.1" xref="S4.Ex4.m1.3.3.1.1.2.2.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex4.m1.3.3.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex4.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="S4.Ex4.m1.3.3.1.1.2.2.3a" xref="S4.Ex4.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml">−</mo><mi id="S4.Ex4.m1.3.3.1.1.2.2.3.2" xref="S4.Ex4.m1.3.3.1.1.2.2.3.2.cmml">λ</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex4.m1.3.3.1.2">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex4.m1.3b"><apply id="S4.Ex4.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex4.m1.3.3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex4.m1.3.3.1.1.3a.cmml" xref="S4.Ex4.m1.3.3.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1"><eq id="S4.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S4.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.2.2">𝐚</ci><apply id="S4.Ex4.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1"><times id="S4.Ex4.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.2"></times><ci id="S4.Ex4.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.3">𝜇</ci><ci id="S4.Ex4.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex4.m1.1.1.1.1">𝐼</ci></apply></apply><ci id="S4.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.3">𝜆</ci></apply><apply id="S4.Ex4.m1.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex4.m1.3.3.1.1.2.2"><eq id="S4.Ex4.m1.3.3.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex4.m1.3.3.1.1.2.2.1"></eq><apply id="S4.Ex4.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex4.m1.3.3.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex4.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex4.m1.3.3.1.1.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S4.Ex4.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex4.m1.3.3.1.1.2.2.2.2">𝐛</ci><apply id="S4.Ex4.m1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex4.m1.2.2.1"><times id="S4.Ex4.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S4.Ex4.m1.2.2.1.2"></times><ci id="S4.Ex4.m1.2.2.1.3.cmml" xref="S4.Ex4.m1.2.2.1.3">𝜇</ci><ci id="S4.Ex4.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S4.Ex4.m1.2.2.1.1">𝐼</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex4.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex4.m1.3.3.1.1.2.2.3"><minus id="S4.Ex4.m1.3.3.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex4.m1.3.3.1.1.2.2.3"></minus><ci id="S4.Ex4.m1.3.3.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex4.m1.3.3.1.1.2.2.3.2">𝜆</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex4.m1.3c">\mathbf{a}^{\mu(I)}=\lambda,\ \ \ \mathbf{b}^{\mu(I)}=-\lambda,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex4.m1.3d">bold_a start_POSTSUPERSCRIPT italic_μ ( italic_I ) end_POSTSUPERSCRIPT = italic_λ , bold_b start_POSTSUPERSCRIPT italic_μ ( italic_I ) end_POSTSUPERSCRIPT = - italic_λ ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.Thmfact7.p1.5"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.Thmfact7.p1.5.1">where we use the notation <math alttext="\mathbf{x}^{\gamma}=\prod x_{i}^{\gamma_{i}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmfact7.p1.5.1.m1.1"><semantics id="S4.Thmfact7.p1.5.1.m1.1a"><mrow id="S4.Thmfact7.p1.5.1.m1.1.1" xref="S4.Thmfact7.p1.5.1.m1.1.1.cmml"><msup id="S4.Thmfact7.p1.5.1.m1.1.1.2" xref="S4.Thmfact7.p1.5.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Thmfact7.p1.5.1.m1.1.1.2.2" xref="S4.Thmfact7.p1.5.1.m1.1.1.2.2.cmml">𝐱</mi><mi id="S4.Thmfact7.p1.5.1.m1.1.1.2.3" xref="S4.Thmfact7.p1.5.1.m1.1.1.2.3.cmml">γ</mi></msup><mo id="S4.Thmfact7.p1.5.1.m1.1.1.1" rspace="0.111em" xref="S4.Thmfact7.p1.5.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.Thmfact7.p1.5.1.m1.1.1.3" xref="S4.Thmfact7.p1.5.1.m1.1.1.3.cmml"><mo id="S4.Thmfact7.p1.5.1.m1.1.1.3.1" xref="S4.Thmfact7.p1.5.1.m1.1.1.3.1.cmml">∏</mo><msubsup id="S4.Thmfact7.p1.5.1.m1.1.1.3.2" xref="S4.Thmfact7.p1.5.1.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.Thmfact7.p1.5.1.m1.1.1.3.2.2.2" xref="S4.Thmfact7.p1.5.1.m1.1.1.3.2.2.2.cmml">x</mi><mi id="S4.Thmfact7.p1.5.1.m1.1.1.3.2.2.3" xref="S4.Thmfact7.p1.5.1.m1.1.1.3.2.2.3.cmml">i</mi><msub id="S4.Thmfact7.p1.5.1.m1.1.1.3.2.3" xref="S4.Thmfact7.p1.5.1.m1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S4.Thmfact7.p1.5.1.m1.1.1.3.2.3.2" xref="S4.Thmfact7.p1.5.1.m1.1.1.3.2.3.2.cmml">γ</mi><mi id="S4.Thmfact7.p1.5.1.m1.1.1.3.2.3.3" xref="S4.Thmfact7.p1.5.1.m1.1.1.3.2.3.3.cmml">i</mi></msub></msubsup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmfact7.p1.5.1.m1.1b"><apply id="S4.Thmfact7.p1.5.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.Thmfact7.p1.5.1.m1.1.1"><eq id="S4.Thmfact7.p1.5.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmfact7.p1.5.1.m1.1.1.1"></eq><apply id="S4.Thmfact7.p1.5.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmfact7.p1.5.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmfact7.p1.5.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Thmfact7.p1.5.1.m1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S4.Thmfact7.p1.5.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Thmfact7.p1.5.1.m1.1.1.2.2">𝐱</ci><ci id="S4.Thmfact7.p1.5.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Thmfact7.p1.5.1.m1.1.1.2.3">𝛾</ci></apply><apply id="S4.Thmfact7.p1.5.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmfact7.p1.5.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S4.Thmfact7.p1.5.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Thmfact7.p1.5.1.m1.1.1.3.1">product</csymbol><apply id="S4.Thmfact7.p1.5.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Thmfact7.p1.5.1.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmfact7.p1.5.1.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Thmfact7.p1.5.1.m1.1.1.3.2">superscript</csymbol><apply id="S4.Thmfact7.p1.5.1.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Thmfact7.p1.5.1.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmfact7.p1.5.1.m1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S4.Thmfact7.p1.5.1.m1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmfact7.p1.5.1.m1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmfact7.p1.5.1.m1.1.1.3.2.2.2">𝑥</ci><ci id="S4.Thmfact7.p1.5.1.m1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S4.Thmfact7.p1.5.1.m1.1.1.3.2.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S4.Thmfact7.p1.5.1.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Thmfact7.p1.5.1.m1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmfact7.p1.5.1.m1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Thmfact7.p1.5.1.m1.1.1.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmfact7.p1.5.1.m1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Thmfact7.p1.5.1.m1.1.1.3.2.3.2">𝛾</ci><ci id="S4.Thmfact7.p1.5.1.m1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Thmfact7.p1.5.1.m1.1.1.3.2.3.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmfact7.p1.5.1.m1.1c">\mathbf{x}^{\gamma}=\prod x_{i}^{\gamma_{i}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmfact7.p1.5.1.m1.1d">bold_x start_POSTSUPERSCRIPT italic_γ end_POSTSUPERSCRIPT = ∏ italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>.</span></p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.Thmfact7.p2"> <p class="ltx_p" id="S4.Thmfact7.p2.4"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.Thmfact7.p2.4.4">Then the scalar product <math alttext="\langle a,b\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmfact7.p2.1.1.m1.2"><semantics id="S4.Thmfact7.p2.1.1.m1.2a"><mrow id="S4.Thmfact7.p2.1.1.m1.2.3.2" xref="S4.Thmfact7.p2.1.1.m1.2.3.1.cmml"><mo id="S4.Thmfact7.p2.1.1.m1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Thmfact7.p2.1.1.m1.2.3.1.cmml">⟨</mo><mi id="S4.Thmfact7.p2.1.1.m1.1.1" xref="S4.Thmfact7.p2.1.1.m1.1.1.cmml">a</mi><mo id="S4.Thmfact7.p2.1.1.m1.2.3.2.2" xref="S4.Thmfact7.p2.1.1.m1.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.Thmfact7.p2.1.1.m1.2.2" xref="S4.Thmfact7.p2.1.1.m1.2.2.cmml">b</mi><mo id="S4.Thmfact7.p2.1.1.m1.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.Thmfact7.p2.1.1.m1.2.3.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmfact7.p2.1.1.m1.2b"><list id="S4.Thmfact7.p2.1.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S4.Thmfact7.p2.1.1.m1.2.3.2"><ci id="S4.Thmfact7.p2.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.Thmfact7.p2.1.1.m1.1.1">𝑎</ci><ci id="S4.Thmfact7.p2.1.1.m1.2.2.cmml" xref="S4.Thmfact7.p2.1.1.m1.2.2">𝑏</ci></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmfact7.p2.1.1.m1.2c">\langle a,b\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmfact7.p2.1.1.m1.2d">⟨ italic_a , italic_b ⟩</annotation></semantics></math> is binary, such that the cancellations are compatible with <math alttext="I" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmfact7.p2.2.2.m2.1"><semantics id="S4.Thmfact7.p2.2.2.m2.1a"><mi id="S4.Thmfact7.p2.2.2.m2.1.1" xref="S4.Thmfact7.p2.2.2.m2.1.1.cmml">I</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmfact7.p2.2.2.m2.1b"><ci id="S4.Thmfact7.p2.2.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.Thmfact7.p2.2.2.m2.1.1">𝐼</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmfact7.p2.2.2.m2.1c">I</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmfact7.p2.2.2.m2.1d">italic_I</annotation></semantics></math> in the following sense: there is a bijection <math alttext="\varphi:I\to I^{c}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmfact7.p2.3.3.m3.1"><semantics id="S4.Thmfact7.p2.3.3.m3.1a"><mrow id="S4.Thmfact7.p2.3.3.m3.1.1" xref="S4.Thmfact7.p2.3.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmfact7.p2.3.3.m3.1.1.2" xref="S4.Thmfact7.p2.3.3.m3.1.1.2.cmml">φ</mi><mo id="S4.Thmfact7.p2.3.3.m3.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S4.Thmfact7.p2.3.3.m3.1.1.1.cmml">:</mo><mrow id="S4.Thmfact7.p2.3.3.m3.1.1.3" xref="S4.Thmfact7.p2.3.3.m3.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Thmfact7.p2.3.3.m3.1.1.3.2" xref="S4.Thmfact7.p2.3.3.m3.1.1.3.2.cmml">I</mi><mo id="S4.Thmfact7.p2.3.3.m3.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.Thmfact7.p2.3.3.m3.1.1.3.1.cmml">→</mo><msup id="S4.Thmfact7.p2.3.3.m3.1.1.3.3" xref="S4.Thmfact7.p2.3.3.m3.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.Thmfact7.p2.3.3.m3.1.1.3.3.2" xref="S4.Thmfact7.p2.3.3.m3.1.1.3.3.2.cmml">I</mi><mi id="S4.Thmfact7.p2.3.3.m3.1.1.3.3.3" xref="S4.Thmfact7.p2.3.3.m3.1.1.3.3.3.cmml">c</mi></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmfact7.p2.3.3.m3.1b"><apply id="S4.Thmfact7.p2.3.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.Thmfact7.p2.3.3.m3.1.1"><ci id="S4.Thmfact7.p2.3.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmfact7.p2.3.3.m3.1.1.1">:</ci><ci id="S4.Thmfact7.p2.3.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmfact7.p2.3.3.m3.1.1.2">𝜑</ci><apply id="S4.Thmfact7.p2.3.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmfact7.p2.3.3.m3.1.1.3"><ci id="S4.Thmfact7.p2.3.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Thmfact7.p2.3.3.m3.1.1.3.1">→</ci><ci id="S4.Thmfact7.p2.3.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Thmfact7.p2.3.3.m3.1.1.3.2">𝐼</ci><apply id="S4.Thmfact7.p2.3.3.m3.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Thmfact7.p2.3.3.m3.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmfact7.p2.3.3.m3.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.Thmfact7.p2.3.3.m3.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S4.Thmfact7.p2.3.3.m3.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.Thmfact7.p2.3.3.m3.1.1.3.3.2">𝐼</ci><ci id="S4.Thmfact7.p2.3.3.m3.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Thmfact7.p2.3.3.m3.1.1.3.3.3">𝑐</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmfact7.p2.3.3.m3.1c">\varphi:I\to I^{c}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmfact7.p2.3.3.m3.1d">italic_φ : italic_I → italic_I start_POSTSUPERSCRIPT italic_c end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, such that for all <math alttext="i\in I" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmfact7.p2.4.4.m4.1"><semantics id="S4.Thmfact7.p2.4.4.m4.1a"><mrow id="S4.Thmfact7.p2.4.4.m4.1.1" xref="S4.Thmfact7.p2.4.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmfact7.p2.4.4.m4.1.1.2" xref="S4.Thmfact7.p2.4.4.m4.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="S4.Thmfact7.p2.4.4.m4.1.1.1" xref="S4.Thmfact7.p2.4.4.m4.1.1.1.cmml">∈</mo><mi id="S4.Thmfact7.p2.4.4.m4.1.1.3" xref="S4.Thmfact7.p2.4.4.m4.1.1.3.cmml">I</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmfact7.p2.4.4.m4.1b"><apply id="S4.Thmfact7.p2.4.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.Thmfact7.p2.4.4.m4.1.1"><in id="S4.Thmfact7.p2.4.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmfact7.p2.4.4.m4.1.1.1"></in><ci id="S4.Thmfact7.p2.4.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmfact7.p2.4.4.m4.1.1.2">𝑖</ci><ci id="S4.Thmfact7.p2.4.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmfact7.p2.4.4.m4.1.1.3">𝐼</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmfact7.p2.4.4.m4.1c">i\in I</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmfact7.p2.4.4.m4.1d">italic_i ∈ italic_I</annotation></semantics></math>:</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex5"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="a_{i}/b_{i}+a_{\varphi(i)}/b_{\varphi(i)}=0" class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex5.m1.2"><semantics id="S4.Ex5.m1.2a"><mrow id="S4.Ex5.m1.2.3" xref="S4.Ex5.m1.2.3.cmml"><mrow id="S4.Ex5.m1.2.3.2" xref="S4.Ex5.m1.2.3.2.cmml"><mrow id="S4.Ex5.m1.2.3.2.2" xref="S4.Ex5.m1.2.3.2.2.cmml"><msub id="S4.Ex5.m1.2.3.2.2.2" xref="S4.Ex5.m1.2.3.2.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex5.m1.2.3.2.2.2.2" xref="S4.Ex5.m1.2.3.2.2.2.2.cmml">a</mi><mi id="S4.Ex5.m1.2.3.2.2.2.3" xref="S4.Ex5.m1.2.3.2.2.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S4.Ex5.m1.2.3.2.2.1" xref="S4.Ex5.m1.2.3.2.2.1.cmml">/</mo><msub id="S4.Ex5.m1.2.3.2.2.3" xref="S4.Ex5.m1.2.3.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex5.m1.2.3.2.2.3.2" xref="S4.Ex5.m1.2.3.2.2.3.2.cmml">b</mi><mi id="S4.Ex5.m1.2.3.2.2.3.3" xref="S4.Ex5.m1.2.3.2.2.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow><mo id="S4.Ex5.m1.2.3.2.1" xref="S4.Ex5.m1.2.3.2.1.cmml">+</mo><mrow id="S4.Ex5.m1.2.3.2.3" xref="S4.Ex5.m1.2.3.2.3.cmml"><msub id="S4.Ex5.m1.2.3.2.3.2" xref="S4.Ex5.m1.2.3.2.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex5.m1.2.3.2.3.2.2" xref="S4.Ex5.m1.2.3.2.3.2.2.cmml">a</mi><mrow id="S4.Ex5.m1.1.1.1" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex5.m1.1.1.1.3" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1.3.cmml">φ</mi><mo id="S4.Ex5.m1.1.1.1.2" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex5.m1.1.1.1.4.2" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex5.m1.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex5.m1.1.1.1.1" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S4.Ex5.m1.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msub><mo id="S4.Ex5.m1.2.3.2.3.1" xref="S4.Ex5.m1.2.3.2.3.1.cmml">/</mo><msub id="S4.Ex5.m1.2.3.2.3.3" xref="S4.Ex5.m1.2.3.2.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex5.m1.2.3.2.3.3.2" xref="S4.Ex5.m1.2.3.2.3.3.2.cmml">b</mi><mrow id="S4.Ex5.m1.2.2.1" xref="S4.Ex5.m1.2.2.1.cmml"><mi id="S4.Ex5.m1.2.2.1.3" xref="S4.Ex5.m1.2.2.1.3.cmml">φ</mi><mo id="S4.Ex5.m1.2.2.1.2" xref="S4.Ex5.m1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex5.m1.2.2.1.4.2" xref="S4.Ex5.m1.2.2.1.cmml"><mo id="S4.Ex5.m1.2.2.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex5.m1.2.2.1.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex5.m1.2.2.1.1" xref="S4.Ex5.m1.2.2.1.1.cmml">i</mi><mo id="S4.Ex5.m1.2.2.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex5.m1.2.2.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msub></mrow></mrow><mo id="S4.Ex5.m1.2.3.1" xref="S4.Ex5.m1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S4.Ex5.m1.2.3.3" xref="S4.Ex5.m1.2.3.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex5.m1.2b"><apply id="S4.Ex5.m1.2.3.cmml" xref="S4.Ex5.m1.2.3"><eq id="S4.Ex5.m1.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex5.m1.2.3.1"></eq><apply id="S4.Ex5.m1.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex5.m1.2.3.2"><plus id="S4.Ex5.m1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex5.m1.2.3.2.1"></plus><apply id="S4.Ex5.m1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex5.m1.2.3.2.2"><divide id="S4.Ex5.m1.2.3.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex5.m1.2.3.2.2.1"></divide><apply id="S4.Ex5.m1.2.3.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex5.m1.2.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex5.m1.2.3.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex5.m1.2.3.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex5.m1.2.3.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex5.m1.2.3.2.2.2.2">𝑎</ci><ci id="S4.Ex5.m1.2.3.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex5.m1.2.3.2.2.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S4.Ex5.m1.2.3.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex5.m1.2.3.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex5.m1.2.3.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex5.m1.2.3.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex5.m1.2.3.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex5.m1.2.3.2.2.3.2">𝑏</ci><ci id="S4.Ex5.m1.2.3.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex5.m1.2.3.2.2.3.3">𝑖</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex5.m1.2.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex5.m1.2.3.2.3"><divide id="S4.Ex5.m1.2.3.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex5.m1.2.3.2.3.1"></divide><apply id="S4.Ex5.m1.2.3.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex5.m1.2.3.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex5.m1.2.3.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex5.m1.2.3.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex5.m1.2.3.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex5.m1.2.3.2.3.2.2">𝑎</ci><apply id="S4.Ex5.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1"><times id="S4.Ex5.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1.2"></times><ci id="S4.Ex5.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1.3">𝜑</ci><ci id="S4.Ex5.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex5.m1.1.1.1.1">𝑖</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex5.m1.2.3.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex5.m1.2.3.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex5.m1.2.3.2.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex5.m1.2.3.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex5.m1.2.3.2.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex5.m1.2.3.2.3.3.2">𝑏</ci><apply id="S4.Ex5.m1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex5.m1.2.2.1"><times id="S4.Ex5.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S4.Ex5.m1.2.2.1.2"></times><ci id="S4.Ex5.m1.2.2.1.3.cmml" xref="S4.Ex5.m1.2.2.1.3">𝜑</ci><ci id="S4.Ex5.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S4.Ex5.m1.2.2.1.1">𝑖</ci></apply></apply></apply></apply><cn id="S4.Ex5.m1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex5.m1.2.3.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex5.m1.2c">a_{i}/b_{i}+a_{\varphi(i)}/b_{\varphi(i)}=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex5.m1.2d">italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT / italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT + italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_φ ( italic_i ) end_POSTSUBSCRIPT / italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_φ ( italic_i ) end_POSTSUBSCRIPT = 0</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="S4.16.9"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="S4.16.9.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.16.9.p1.2">By permutational symmetry, we can assume without loss of generality that <math alttext="I=\{1,3,5\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.16.9.p1.1.m1.3"><semantics id="S4.16.9.p1.1.m1.3a"><mrow id="S4.16.9.p1.1.m1.3.4" xref="S4.16.9.p1.1.m1.3.4.cmml"><mi id="S4.16.9.p1.1.m1.3.4.2" xref="S4.16.9.p1.1.m1.3.4.2.cmml">I</mi><mo id="S4.16.9.p1.1.m1.3.4.1" xref="S4.16.9.p1.1.m1.3.4.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.16.9.p1.1.m1.3.4.3.2" xref="S4.16.9.p1.1.m1.3.4.3.1.cmml"><mo id="S4.16.9.p1.1.m1.3.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.16.9.p1.1.m1.3.4.3.1.cmml">{</mo><mn id="S4.16.9.p1.1.m1.1.1" xref="S4.16.9.p1.1.m1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.16.9.p1.1.m1.3.4.3.2.2" xref="S4.16.9.p1.1.m1.3.4.3.1.cmml">,</mo><mn id="S4.16.9.p1.1.m1.2.2" xref="S4.16.9.p1.1.m1.2.2.cmml">3</mn><mo id="S4.16.9.p1.1.m1.3.4.3.2.3" xref="S4.16.9.p1.1.m1.3.4.3.1.cmml">,</mo><mn id="S4.16.9.p1.1.m1.3.3" xref="S4.16.9.p1.1.m1.3.3.cmml">5</mn><mo id="S4.16.9.p1.1.m1.3.4.3.2.4" stretchy="false" xref="S4.16.9.p1.1.m1.3.4.3.1.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.16.9.p1.1.m1.3b"><apply id="S4.16.9.p1.1.m1.3.4.cmml" xref="S4.16.9.p1.1.m1.3.4"><eq id="S4.16.9.p1.1.m1.3.4.1.cmml" xref="S4.16.9.p1.1.m1.3.4.1"></eq><ci id="S4.16.9.p1.1.m1.3.4.2.cmml" xref="S4.16.9.p1.1.m1.3.4.2">𝐼</ci><set id="S4.16.9.p1.1.m1.3.4.3.1.cmml" xref="S4.16.9.p1.1.m1.3.4.3.2"><cn id="S4.16.9.p1.1.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.16.9.p1.1.m1.1.1">1</cn><cn id="S4.16.9.p1.1.m1.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.16.9.p1.1.m1.2.2">3</cn><cn id="S4.16.9.p1.1.m1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.16.9.p1.1.m1.3.3">5</cn></set></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.16.9.p1.1.m1.3c">I=\{1,3,5\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.16.9.p1.1.m1.3d">italic_I = { 1 , 3 , 5 }</annotation></semantics></math>, and then we can apply Proposition <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#S4.Thmfact6" title="Proposition 4.6. ‣ Proof. ‣ 4. Hadamard cubes in dimension 6 ‣ Triplets of Mutually Unbiased Bases"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4.6</span></a> with <math alttext="x_{i}=a_{i}/b_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.16.9.p1.2.m2.1"><semantics id="S4.16.9.p1.2.m2.1a"><mrow id="S4.16.9.p1.2.m2.1.1" xref="S4.16.9.p1.2.m2.1.1.cmml"><msub id="S4.16.9.p1.2.m2.1.1.2" xref="S4.16.9.p1.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S4.16.9.p1.2.m2.1.1.2.2" xref="S4.16.9.p1.2.m2.1.1.2.2.cmml">x</mi><mi id="S4.16.9.p1.2.m2.1.1.2.3" xref="S4.16.9.p1.2.m2.1.1.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S4.16.9.p1.2.m2.1.1.1" xref="S4.16.9.p1.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.16.9.p1.2.m2.1.1.3" xref="S4.16.9.p1.2.m2.1.1.3.cmml"><msub id="S4.16.9.p1.2.m2.1.1.3.2" xref="S4.16.9.p1.2.m2.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.16.9.p1.2.m2.1.1.3.2.2" xref="S4.16.9.p1.2.m2.1.1.3.2.2.cmml">a</mi><mi id="S4.16.9.p1.2.m2.1.1.3.2.3" xref="S4.16.9.p1.2.m2.1.1.3.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S4.16.9.p1.2.m2.1.1.3.1" xref="S4.16.9.p1.2.m2.1.1.3.1.cmml">/</mo><msub id="S4.16.9.p1.2.m2.1.1.3.3" xref="S4.16.9.p1.2.m2.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.16.9.p1.2.m2.1.1.3.3.2" xref="S4.16.9.p1.2.m2.1.1.3.3.2.cmml">b</mi><mi id="S4.16.9.p1.2.m2.1.1.3.3.3" xref="S4.16.9.p1.2.m2.1.1.3.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.16.9.p1.2.m2.1b"><apply id="S4.16.9.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.16.9.p1.2.m2.1.1"><eq id="S4.16.9.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.16.9.p1.2.m2.1.1.1"></eq><apply id="S4.16.9.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.16.9.p1.2.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.16.9.p1.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S4.16.9.p1.2.m2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.16.9.p1.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S4.16.9.p1.2.m2.1.1.2.2">𝑥</ci><ci id="S4.16.9.p1.2.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S4.16.9.p1.2.m2.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S4.16.9.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S4.16.9.p1.2.m2.1.1.3"><divide id="S4.16.9.p1.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S4.16.9.p1.2.m2.1.1.3.1"></divide><apply id="S4.16.9.p1.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S4.16.9.p1.2.m2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.16.9.p1.2.m2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.16.9.p1.2.m2.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.16.9.p1.2.m2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.16.9.p1.2.m2.1.1.3.2.2">𝑎</ci><ci id="S4.16.9.p1.2.m2.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.16.9.p1.2.m2.1.1.3.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S4.16.9.p1.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S4.16.9.p1.2.m2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.16.9.p1.2.m2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.16.9.p1.2.m2.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.16.9.p1.2.m2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.16.9.p1.2.m2.1.1.3.3.2">𝑏</ci><ci id="S4.16.9.p1.2.m2.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.16.9.p1.2.m2.1.1.3.3.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.16.9.p1.2.m2.1c">x_{i}=a_{i}/b_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.16.9.p1.2.m2.1d">italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT = italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT / italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. ∎</p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S4.17.p8"> <p class="ltx_p" id="S4.17.p8.7">We remind the reader that given a complex Hadamard matrix <math alttext="H" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.17.p8.1.m1.1"><semantics id="S4.17.p8.1.m1.1a"><mi id="S4.17.p8.1.m1.1.1" xref="S4.17.p8.1.m1.1.1.cmml">H</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.17.p8.1.m1.1b"><ci id="S4.17.p8.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.17.p8.1.m1.1.1">𝐻</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.17.p8.1.m1.1c">H</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.17.p8.1.m1.1d">italic_H</annotation></semantics></math>, the operation ”<span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.17.p8.4.3">dephasing <math alttext="H" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.17.p8.2.1.m1.1"><semantics id="S4.17.p8.2.1.m1.1a"><mi id="S4.17.p8.2.1.m1.1.1" xref="S4.17.p8.2.1.m1.1.1.cmml">H</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.17.p8.2.1.m1.1b"><ci id="S4.17.p8.2.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.17.p8.2.1.m1.1.1">𝐻</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.17.p8.2.1.m1.1c">H</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.17.p8.2.1.m1.1d">italic_H</annotation></semantics></math> by row <math alttext="i" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.17.p8.3.2.m2.1"><semantics id="S4.17.p8.3.2.m2.1a"><mi id="S4.17.p8.3.2.m2.1.1" xref="S4.17.p8.3.2.m2.1.1.cmml">i</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.17.p8.3.2.m2.1b"><ci id="S4.17.p8.3.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.17.p8.3.2.m2.1.1">𝑖</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.17.p8.3.2.m2.1c">i</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.17.p8.3.2.m2.1d">italic_i</annotation></semantics></math> and column <math alttext="j" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.17.p8.4.3.m3.1"><semantics id="S4.17.p8.4.3.m3.1a"><mi id="S4.17.p8.4.3.m3.1.1" xref="S4.17.p8.4.3.m3.1.1.cmml">j</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.17.p8.4.3.m3.1b"><ci id="S4.17.p8.4.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.17.p8.4.3.m3.1.1">𝑗</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.17.p8.4.3.m3.1c">j</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.17.p8.4.3.m3.1d">italic_j</annotation></semantics></math></span>” means that that we multiply the rows and columns of <math alttext="H" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.17.p8.5.m2.1"><semantics id="S4.17.p8.5.m2.1a"><mi id="S4.17.p8.5.m2.1.1" xref="S4.17.p8.5.m2.1.1.cmml">H</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.17.p8.5.m2.1b"><ci id="S4.17.p8.5.m2.1.1.cmml" xref="S4.17.p8.5.m2.1.1">𝐻</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.17.p8.5.m2.1c">H</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.17.p8.5.m2.1d">italic_H</annotation></semantics></math> by unit nmbers in such a way that row <math alttext="i" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.17.p8.6.m3.1"><semantics id="S4.17.p8.6.m3.1a"><mi id="S4.17.p8.6.m3.1.1" xref="S4.17.p8.6.m3.1.1.cmml">i</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.17.p8.6.m3.1b"><ci id="S4.17.p8.6.m3.1.1.cmml" xref="S4.17.p8.6.m3.1.1">𝑖</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.17.p8.6.m3.1c">i</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.17.p8.6.m3.1d">italic_i</annotation></semantics></math> and column <math alttext="j" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.17.p8.7.m4.1"><semantics id="S4.17.p8.7.m4.1a"><mi id="S4.17.p8.7.m4.1.1" xref="S4.17.p8.7.m4.1.1.cmml">j</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.17.p8.7.m4.1b"><ci id="S4.17.p8.7.m4.1.1.cmml" xref="S4.17.p8.7.m4.1.1">𝑗</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.17.p8.7.m4.1c">j</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.17.p8.7.m4.1d">italic_j</annotation></semantics></math> become the constant 1 vectors. We can give a simple application of Corollary <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#S4.Thmfact7" title="Corollary 4.7. ‣ Proof. ‣ 4. Hadamard cubes in dimension 6 ‣ Triplets of Mutually Unbiased Bases"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4.7</span></a> in terms of this dephasing operation.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_proposition" id="S4.Thmfact8"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S4.Thmfact8.1.1.1">Proposition 4.8</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S4.Thmfact8.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="S4.Thmfact8.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.Thmfact8.p1.11"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.Thmfact8.p1.11.11">Let <math alttext="I\in\binom{6}{3}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmfact8.p1.1.1.m1.2"><semantics id="S4.Thmfact8.p1.1.1.m1.2a"><mrow id="S4.Thmfact8.p1.1.1.m1.2.3" xref="S4.Thmfact8.p1.1.1.m1.2.3.cmml"><mi id="S4.Thmfact8.p1.1.1.m1.2.3.2" xref="S4.Thmfact8.p1.1.1.m1.2.3.2.cmml">I</mi><mo id="S4.Thmfact8.p1.1.1.m1.2.3.1" xref="S4.Thmfact8.p1.1.1.m1.2.3.1.cmml">∈</mo><mrow id="S4.Thmfact8.p1.1.1.m1.2.2.4" xref="S4.Thmfact8.p1.1.1.m1.2.2.3.cmml"><mo id="S4.Thmfact8.p1.1.1.m1.2.2.4.1" xref="S4.Thmfact8.p1.1.1.m1.2.2.3.1.cmml">(</mo><mfrac id="S4.Thmfact8.p1.1.1.m1.2.2.2.2" linethickness="0pt" xref="S4.Thmfact8.p1.1.1.m1.2.2.3.cmml"><mn id="S4.Thmfact8.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Thmfact8.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">6</mn><mn id="S4.Thmfact8.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.1" xref="S4.Thmfact8.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.1.cmml">3</mn></mfrac><mo id="S4.Thmfact8.p1.1.1.m1.2.2.4.2" xref="S4.Thmfact8.p1.1.1.m1.2.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmfact8.p1.1.1.m1.2b"><apply id="S4.Thmfact8.p1.1.1.m1.2.3.cmml" xref="S4.Thmfact8.p1.1.1.m1.2.3"><in id="S4.Thmfact8.p1.1.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S4.Thmfact8.p1.1.1.m1.2.3.1"></in><ci id="S4.Thmfact8.p1.1.1.m1.2.3.2.cmml" xref="S4.Thmfact8.p1.1.1.m1.2.3.2">𝐼</ci><apply id="S4.Thmfact8.p1.1.1.m1.2.2.3.cmml" xref="S4.Thmfact8.p1.1.1.m1.2.2.4"><csymbol cd="latexml" id="S4.Thmfact8.p1.1.1.m1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Thmfact8.p1.1.1.m1.2.2.4.1">binomial</csymbol><cn id="S4.Thmfact8.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.Thmfact8.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1">6</cn><cn id="S4.Thmfact8.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.1.cmml" type="integer" xref="S4.Thmfact8.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.1">3</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmfact8.p1.1.1.m1.2c">I\in\binom{6}{3}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmfact8.p1.1.1.m1.2d">italic_I ∈ ( FRACOP start_ARG 6 end_ARG start_ARG 3 end_ARG )</annotation></semantics></math>, and let <math alttext="H" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmfact8.p1.2.2.m2.1"><semantics id="S4.Thmfact8.p1.2.2.m2.1a"><mi id="S4.Thmfact8.p1.2.2.m2.1.1" xref="S4.Thmfact8.p1.2.2.m2.1.1.cmml">H</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmfact8.p1.2.2.m2.1b"><ci id="S4.Thmfact8.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.Thmfact8.p1.2.2.m2.1.1">𝐻</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmfact8.p1.2.2.m2.1c">H</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmfact8.p1.2.2.m2.1d">italic_H</annotation></semantics></math> be a complex Hadamard matrix of order 6. Assume that <math alttext="H" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmfact8.p1.3.3.m3.1"><semantics id="S4.Thmfact8.p1.3.3.m3.1a"><mi id="S4.Thmfact8.p1.3.3.m3.1.1" xref="S4.Thmfact8.p1.3.3.m3.1.1.cmml">H</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmfact8.p1.3.3.m3.1b"><ci id="S4.Thmfact8.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.Thmfact8.p1.3.3.m3.1.1">𝐻</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmfact8.p1.3.3.m3.1c">H</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmfact8.p1.3.3.m3.1d">italic_H</annotation></semantics></math> is <math alttext="I" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmfact8.p1.4.4.m4.1"><semantics id="S4.Thmfact8.p1.4.4.m4.1a"><mi id="S4.Thmfact8.p1.4.4.m4.1.1" xref="S4.Thmfact8.p1.4.4.m4.1.1.cmml">I</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmfact8.p1.4.4.m4.1b"><ci id="S4.Thmfact8.p1.4.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.Thmfact8.p1.4.4.m4.1.1">𝐼</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmfact8.p1.4.4.m4.1c">I</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmfact8.p1.4.4.m4.1d">italic_I</annotation></semantics></math>-binary, i.e for the columns <math alttext="h_{1},\dots,h_{6}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmfact8.p1.5.5.m5.3"><semantics id="S4.Thmfact8.p1.5.5.m5.3a"><mrow id="S4.Thmfact8.p1.5.5.m5.3.3.2" xref="S4.Thmfact8.p1.5.5.m5.3.3.3.cmml"><msub id="S4.Thmfact8.p1.5.5.m5.2.2.1.1" xref="S4.Thmfact8.p1.5.5.m5.2.2.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmfact8.p1.5.5.m5.2.2.1.1.2" xref="S4.Thmfact8.p1.5.5.m5.2.2.1.1.2.cmml">h</mi><mn id="S4.Thmfact8.p1.5.5.m5.2.2.1.1.3" xref="S4.Thmfact8.p1.5.5.m5.2.2.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.Thmfact8.p1.5.5.m5.3.3.2.3" xref="S4.Thmfact8.p1.5.5.m5.3.3.3.cmml">,</mo><mi id="S4.Thmfact8.p1.5.5.m5.1.1" mathvariant="normal" xref="S4.Thmfact8.p1.5.5.m5.1.1.cmml">…</mi><mo id="S4.Thmfact8.p1.5.5.m5.3.3.2.4" xref="S4.Thmfact8.p1.5.5.m5.3.3.3.cmml">,</mo><msub id="S4.Thmfact8.p1.5.5.m5.3.3.2.2" xref="S4.Thmfact8.p1.5.5.m5.3.3.2.2.cmml"><mi id="S4.Thmfact8.p1.5.5.m5.3.3.2.2.2" xref="S4.Thmfact8.p1.5.5.m5.3.3.2.2.2.cmml">h</mi><mn id="S4.Thmfact8.p1.5.5.m5.3.3.2.2.3" xref="S4.Thmfact8.p1.5.5.m5.3.3.2.2.3.cmml">6</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmfact8.p1.5.5.m5.3b"><list id="S4.Thmfact8.p1.5.5.m5.3.3.3.cmml" xref="S4.Thmfact8.p1.5.5.m5.3.3.2"><apply id="S4.Thmfact8.p1.5.5.m5.2.2.1.1.cmml" xref="S4.Thmfact8.p1.5.5.m5.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmfact8.p1.5.5.m5.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmfact8.p1.5.5.m5.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmfact8.p1.5.5.m5.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmfact8.p1.5.5.m5.2.2.1.1.2">ℎ</ci><cn id="S4.Thmfact8.p1.5.5.m5.2.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmfact8.p1.5.5.m5.2.2.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S4.Thmfact8.p1.5.5.m5.1.1.cmml" xref="S4.Thmfact8.p1.5.5.m5.1.1">…</ci><apply id="S4.Thmfact8.p1.5.5.m5.3.3.2.2.cmml" xref="S4.Thmfact8.p1.5.5.m5.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmfact8.p1.5.5.m5.3.3.2.2.1.cmml" xref="S4.Thmfact8.p1.5.5.m5.3.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmfact8.p1.5.5.m5.3.3.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmfact8.p1.5.5.m5.3.3.2.2.2">ℎ</ci><cn id="S4.Thmfact8.p1.5.5.m5.3.3.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmfact8.p1.5.5.m5.3.3.2.2.3">6</cn></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmfact8.p1.5.5.m5.3c">h_{1},\dots,h_{6}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmfact8.p1.5.5.m5.3d">italic_h start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_h start_POSTSUBSCRIPT 6 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> of <math alttext="H" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmfact8.p1.6.6.m6.1"><semantics id="S4.Thmfact8.p1.6.6.m6.1a"><mi id="S4.Thmfact8.p1.6.6.m6.1.1" xref="S4.Thmfact8.p1.6.6.m6.1.1.cmml">H</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmfact8.p1.6.6.m6.1b"><ci id="S4.Thmfact8.p1.6.6.m6.1.1.cmml" xref="S4.Thmfact8.p1.6.6.m6.1.1">𝐻</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmfact8.p1.6.6.m6.1c">H</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmfact8.p1.6.6.m6.1d">italic_H</annotation></semantics></math>, we have that the vector <math alttext="(h_{1}^{\mu(I)},\dots,h_{6}^{\mu(I)}" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S4.Thmfact8.p1.7.7.m7.3"><semantics id="S4.Thmfact8.p1.7.7.m7.3a"><mrow id="S4.Thmfact8.p1.7.7.m7.3b"><mo id="S4.Thmfact8.p1.7.7.m7.3.4" stretchy="false">(</mo><msubsup id="S4.Thmfact8.p1.7.7.m7.3.5"><mi id="S4.Thmfact8.p1.7.7.m7.3.5.2.2">h</mi><mn id="S4.Thmfact8.p1.7.7.m7.3.5.2.3">1</mn><mrow id="S4.Thmfact8.p1.7.7.m7.1.1.1"><mi id="S4.Thmfact8.p1.7.7.m7.1.1.1.3">μ</mi><mo id="S4.Thmfact8.p1.7.7.m7.1.1.1.2">⁢</mo><mrow id="S4.Thmfact8.p1.7.7.m7.1.1.1.4.2"><mo id="S4.Thmfact8.p1.7.7.m7.1.1.1.4.2.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S4.Thmfact8.p1.7.7.m7.1.1.1.1">I</mi><mo id="S4.Thmfact8.p1.7.7.m7.1.1.1.4.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></msubsup><mo id="S4.Thmfact8.p1.7.7.m7.3.6">,</mo><mi id="S4.Thmfact8.p1.7.7.m7.3.3" mathvariant="normal">…</mi><mo id="S4.Thmfact8.p1.7.7.m7.3.7">,</mo><msubsup id="S4.Thmfact8.p1.7.7.m7.3.8"><mi id="S4.Thmfact8.p1.7.7.m7.3.8.2.2">h</mi><mn id="S4.Thmfact8.p1.7.7.m7.3.8.2.3">6</mn><mrow id="S4.Thmfact8.p1.7.7.m7.2.2.1"><mi id="S4.Thmfact8.p1.7.7.m7.2.2.1.3">μ</mi><mo id="S4.Thmfact8.p1.7.7.m7.2.2.1.2">⁢</mo><mrow id="S4.Thmfact8.p1.7.7.m7.2.2.1.4.2"><mo id="S4.Thmfact8.p1.7.7.m7.2.2.1.4.2.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S4.Thmfact8.p1.7.7.m7.2.2.1.1">I</mi><mo id="S4.Thmfact8.p1.7.7.m7.2.2.1.4.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></msubsup></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmfact8.p1.7.7.m7.3c">(h_{1}^{\mu(I)},\dots,h_{6}^{\mu(I)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmfact8.p1.7.7.m7.3d">( italic_h start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_μ ( italic_I ) end_POSTSUPERSCRIPT , … , italic_h start_POSTSUBSCRIPT 6 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_μ ( italic_I ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is binary. Then, after dephasing <math alttext="H" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmfact8.p1.8.8.m8.1"><semantics id="S4.Thmfact8.p1.8.8.m8.1a"><mi id="S4.Thmfact8.p1.8.8.m8.1.1" xref="S4.Thmfact8.p1.8.8.m8.1.1.cmml">H</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmfact8.p1.8.8.m8.1b"><ci id="S4.Thmfact8.p1.8.8.m8.1.1.cmml" xref="S4.Thmfact8.p1.8.8.m8.1.1">𝐻</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmfact8.p1.8.8.m8.1c">H</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmfact8.p1.8.8.m8.1d">italic_H</annotation></semantics></math> by a row in <math alttext="I" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmfact8.p1.9.9.m9.1"><semantics id="S4.Thmfact8.p1.9.9.m9.1a"><mi id="S4.Thmfact8.p1.9.9.m9.1.1" xref="S4.Thmfact8.p1.9.9.m9.1.1.cmml">I</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmfact8.p1.9.9.m9.1b"><ci id="S4.Thmfact8.p1.9.9.m9.1.1.cmml" xref="S4.Thmfact8.p1.9.9.m9.1.1">𝐼</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmfact8.p1.9.9.m9.1c">I</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmfact8.p1.9.9.m9.1d">italic_I</annotation></semantics></math> and an arbitrary column, there will be a row in <math alttext="I^{c}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmfact8.p1.10.10.m10.1"><semantics id="S4.Thmfact8.p1.10.10.m10.1a"><msup id="S4.Thmfact8.p1.10.10.m10.1.1" xref="S4.Thmfact8.p1.10.10.m10.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmfact8.p1.10.10.m10.1.1.2" xref="S4.Thmfact8.p1.10.10.m10.1.1.2.cmml">I</mi><mi id="S4.Thmfact8.p1.10.10.m10.1.1.3" xref="S4.Thmfact8.p1.10.10.m10.1.1.3.cmml">c</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmfact8.p1.10.10.m10.1b"><apply id="S4.Thmfact8.p1.10.10.m10.1.1.cmml" xref="S4.Thmfact8.p1.10.10.m10.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmfact8.p1.10.10.m10.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmfact8.p1.10.10.m10.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.Thmfact8.p1.10.10.m10.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmfact8.p1.10.10.m10.1.1.2">𝐼</ci><ci id="S4.Thmfact8.p1.10.10.m10.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmfact8.p1.10.10.m10.1.1.3">𝑐</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmfact8.p1.10.10.m10.1c">I^{c}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmfact8.p1.10.10.m10.1d">italic_I start_POSTSUPERSCRIPT italic_c end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> which contains a <math alttext="-1" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmfact8.p1.11.11.m11.1"><semantics id="S4.Thmfact8.p1.11.11.m11.1a"><mrow id="S4.Thmfact8.p1.11.11.m11.1.1" xref="S4.Thmfact8.p1.11.11.m11.1.1.cmml"><mo id="S4.Thmfact8.p1.11.11.m11.1.1a" xref="S4.Thmfact8.p1.11.11.m11.1.1.cmml">−</mo><mn id="S4.Thmfact8.p1.11.11.m11.1.1.2" xref="S4.Thmfact8.p1.11.11.m11.1.1.2.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmfact8.p1.11.11.m11.1b"><apply id="S4.Thmfact8.p1.11.11.m11.1.1.cmml" xref="S4.Thmfact8.p1.11.11.m11.1.1"><minus id="S4.Thmfact8.p1.11.11.m11.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmfact8.p1.11.11.m11.1.1"></minus><cn id="S4.Thmfact8.p1.11.11.m11.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.Thmfact8.p1.11.11.m11.1.1.2">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmfact8.p1.11.11.m11.1c">-1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmfact8.p1.11.11.m11.1d">- 1</annotation></semantics></math> entry in the dephased matrix.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="S4.18.10"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="S4.18.10.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.18.10.p1.14">For simplicity, introduce the notation <math alttext="\alpha_{j}=h_{j}^{\mu(I)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.18.10.p1.1.m1.1"><semantics id="S4.18.10.p1.1.m1.1a"><mrow id="S4.18.10.p1.1.m1.1.2" xref="S4.18.10.p1.1.m1.1.2.cmml"><msub id="S4.18.10.p1.1.m1.1.2.2" xref="S4.18.10.p1.1.m1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.18.10.p1.1.m1.1.2.2.2" xref="S4.18.10.p1.1.m1.1.2.2.2.cmml">α</mi><mi id="S4.18.10.p1.1.m1.1.2.2.3" xref="S4.18.10.p1.1.m1.1.2.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S4.18.10.p1.1.m1.1.2.1" xref="S4.18.10.p1.1.m1.1.2.1.cmml">=</mo><msubsup id="S4.18.10.p1.1.m1.1.2.3" xref="S4.18.10.p1.1.m1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.18.10.p1.1.m1.1.2.3.2.2" xref="S4.18.10.p1.1.m1.1.2.3.2.2.cmml">h</mi><mi id="S4.18.10.p1.1.m1.1.2.3.2.3" xref="S4.18.10.p1.1.m1.1.2.3.2.3.cmml">j</mi><mrow id="S4.18.10.p1.1.m1.1.1.1" xref="S4.18.10.p1.1.m1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.18.10.p1.1.m1.1.1.1.3" xref="S4.18.10.p1.1.m1.1.1.1.3.cmml">μ</mi><mo id="S4.18.10.p1.1.m1.1.1.1.2" xref="S4.18.10.p1.1.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.18.10.p1.1.m1.1.1.1.4.2" xref="S4.18.10.p1.1.m1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.18.10.p1.1.m1.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S4.18.10.p1.1.m1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.18.10.p1.1.m1.1.1.1.1" xref="S4.18.10.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml">I</mi><mo id="S4.18.10.p1.1.m1.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S4.18.10.p1.1.m1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msubsup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.18.10.p1.1.m1.1b"><apply id="S4.18.10.p1.1.m1.1.2.cmml" xref="S4.18.10.p1.1.m1.1.2"><eq id="S4.18.10.p1.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S4.18.10.p1.1.m1.1.2.1"></eq><apply id="S4.18.10.p1.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S4.18.10.p1.1.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.18.10.p1.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.18.10.p1.1.m1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.18.10.p1.1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.18.10.p1.1.m1.1.2.2.2">𝛼</ci><ci id="S4.18.10.p1.1.m1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.18.10.p1.1.m1.1.2.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="S4.18.10.p1.1.m1.1.2.3.cmml" xref="S4.18.10.p1.1.m1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.18.10.p1.1.m1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.18.10.p1.1.m1.1.2.3">superscript</csymbol><apply id="S4.18.10.p1.1.m1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.18.10.p1.1.m1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.18.10.p1.1.m1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.18.10.p1.1.m1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.18.10.p1.1.m1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.18.10.p1.1.m1.1.2.3.2.2">ℎ</ci><ci id="S4.18.10.p1.1.m1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S4.18.10.p1.1.m1.1.2.3.2.3">𝑗</ci></apply><apply id="S4.18.10.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.18.10.p1.1.m1.1.1.1"><times id="S4.18.10.p1.1.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.18.10.p1.1.m1.1.1.1.2"></times><ci id="S4.18.10.p1.1.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.18.10.p1.1.m1.1.1.1.3">𝜇</ci><ci id="S4.18.10.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.18.10.p1.1.m1.1.1.1.1">𝐼</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.18.10.p1.1.m1.1c">\alpha_{j}=h_{j}^{\mu(I)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.18.10.p1.1.m1.1d">italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT = italic_h start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_μ ( italic_I ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. Pick an arbitrary column of <math alttext="H" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.18.10.p1.2.m2.1"><semantics id="S4.18.10.p1.2.m2.1a"><mi id="S4.18.10.p1.2.m2.1.1" xref="S4.18.10.p1.2.m2.1.1.cmml">H</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.18.10.p1.2.m2.1b"><ci id="S4.18.10.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.18.10.p1.2.m2.1.1">𝐻</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.18.10.p1.2.m2.1c">H</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.18.10.p1.2.m2.1d">italic_H</annotation></semantics></math>. By permutational symmetry, we can assume it is <math alttext="h_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.18.10.p1.3.m3.1"><semantics id="S4.18.10.p1.3.m3.1a"><msub id="S4.18.10.p1.3.m3.1.1" xref="S4.18.10.p1.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S4.18.10.p1.3.m3.1.1.2" xref="S4.18.10.p1.3.m3.1.1.2.cmml">h</mi><mn id="S4.18.10.p1.3.m3.1.1.3" xref="S4.18.10.p1.3.m3.1.1.3.cmml">1</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.18.10.p1.3.m3.1b"><apply id="S4.18.10.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.18.10.p1.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.18.10.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S4.18.10.p1.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.18.10.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S4.18.10.p1.3.m3.1.1.2">ℎ</ci><cn id="S4.18.10.p1.3.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.18.10.p1.3.m3.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.18.10.p1.3.m3.1c">h_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.18.10.p1.3.m3.1d">italic_h start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> . Since <math alttext="(\alpha_{1},\ldots,\alpha_{6})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.18.10.p1.4.m4.3"><semantics id="S4.18.10.p1.4.m4.3a"><mrow id="S4.18.10.p1.4.m4.3.3.2" xref="S4.18.10.p1.4.m4.3.3.3.cmml"><mo id="S4.18.10.p1.4.m4.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.18.10.p1.4.m4.3.3.3.cmml">(</mo><msub id="S4.18.10.p1.4.m4.2.2.1.1" xref="S4.18.10.p1.4.m4.2.2.1.1.cmml"><mi id="S4.18.10.p1.4.m4.2.2.1.1.2" xref="S4.18.10.p1.4.m4.2.2.1.1.2.cmml">α</mi><mn id="S4.18.10.p1.4.m4.2.2.1.1.3" xref="S4.18.10.p1.4.m4.2.2.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.18.10.p1.4.m4.3.3.2.4" xref="S4.18.10.p1.4.m4.3.3.3.cmml">,</mo><mi id="S4.18.10.p1.4.m4.1.1" mathvariant="normal" xref="S4.18.10.p1.4.m4.1.1.cmml">…</mi><mo id="S4.18.10.p1.4.m4.3.3.2.5" xref="S4.18.10.p1.4.m4.3.3.3.cmml">,</mo><msub id="S4.18.10.p1.4.m4.3.3.2.2" xref="S4.18.10.p1.4.m4.3.3.2.2.cmml"><mi id="S4.18.10.p1.4.m4.3.3.2.2.2" xref="S4.18.10.p1.4.m4.3.3.2.2.2.cmml">α</mi><mn id="S4.18.10.p1.4.m4.3.3.2.2.3" xref="S4.18.10.p1.4.m4.3.3.2.2.3.cmml">6</mn></msub><mo id="S4.18.10.p1.4.m4.3.3.2.6" stretchy="false" xref="S4.18.10.p1.4.m4.3.3.3.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.18.10.p1.4.m4.3b"><vector id="S4.18.10.p1.4.m4.3.3.3.cmml" xref="S4.18.10.p1.4.m4.3.3.2"><apply id="S4.18.10.p1.4.m4.2.2.1.1.cmml" xref="S4.18.10.p1.4.m4.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.18.10.p1.4.m4.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.18.10.p1.4.m4.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.18.10.p1.4.m4.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.18.10.p1.4.m4.2.2.1.1.2">𝛼</ci><cn id="S4.18.10.p1.4.m4.2.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.18.10.p1.4.m4.2.2.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S4.18.10.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.18.10.p1.4.m4.1.1">…</ci><apply id="S4.18.10.p1.4.m4.3.3.2.2.cmml" xref="S4.18.10.p1.4.m4.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.18.10.p1.4.m4.3.3.2.2.1.cmml" xref="S4.18.10.p1.4.m4.3.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.18.10.p1.4.m4.3.3.2.2.2.cmml" xref="S4.18.10.p1.4.m4.3.3.2.2.2">𝛼</ci><cn id="S4.18.10.p1.4.m4.3.3.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.18.10.p1.4.m4.3.3.2.2.3">6</cn></apply></vector></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.18.10.p1.4.m4.3c">(\alpha_{1},\ldots,\alpha_{6})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.18.10.p1.4.m4.3d">( italic_α start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_α start_POSTSUBSCRIPT 6 end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> is binary, there exists <math alttext="j" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.18.10.p1.5.m5.1"><semantics id="S4.18.10.p1.5.m5.1a"><mi id="S4.18.10.p1.5.m5.1.1" xref="S4.18.10.p1.5.m5.1.1.cmml">j</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.18.10.p1.5.m5.1b"><ci id="S4.18.10.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="S4.18.10.p1.5.m5.1.1">𝑗</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.18.10.p1.5.m5.1c">j</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.18.10.p1.5.m5.1d">italic_j</annotation></semantics></math> such that <math alttext="\alpha_{1}+\alpha_{j}=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.18.10.p1.6.m6.1"><semantics id="S4.18.10.p1.6.m6.1a"><mrow id="S4.18.10.p1.6.m6.1.1" xref="S4.18.10.p1.6.m6.1.1.cmml"><mrow id="S4.18.10.p1.6.m6.1.1.2" xref="S4.18.10.p1.6.m6.1.1.2.cmml"><msub id="S4.18.10.p1.6.m6.1.1.2.2" xref="S4.18.10.p1.6.m6.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.18.10.p1.6.m6.1.1.2.2.2" xref="S4.18.10.p1.6.m6.1.1.2.2.2.cmml">α</mi><mn id="S4.18.10.p1.6.m6.1.1.2.2.3" xref="S4.18.10.p1.6.m6.1.1.2.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.18.10.p1.6.m6.1.1.2.1" xref="S4.18.10.p1.6.m6.1.1.2.1.cmml">+</mo><msub id="S4.18.10.p1.6.m6.1.1.2.3" xref="S4.18.10.p1.6.m6.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.18.10.p1.6.m6.1.1.2.3.2" xref="S4.18.10.p1.6.m6.1.1.2.3.2.cmml">α</mi><mi id="S4.18.10.p1.6.m6.1.1.2.3.3" xref="S4.18.10.p1.6.m6.1.1.2.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="S4.18.10.p1.6.m6.1.1.1" xref="S4.18.10.p1.6.m6.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.18.10.p1.6.m6.1.1.3" xref="S4.18.10.p1.6.m6.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.18.10.p1.6.m6.1b"><apply id="S4.18.10.p1.6.m6.1.1.cmml" xref="S4.18.10.p1.6.m6.1.1"><eq id="S4.18.10.p1.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S4.18.10.p1.6.m6.1.1.1"></eq><apply id="S4.18.10.p1.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S4.18.10.p1.6.m6.1.1.2"><plus id="S4.18.10.p1.6.m6.1.1.2.1.cmml" xref="S4.18.10.p1.6.m6.1.1.2.1"></plus><apply id="S4.18.10.p1.6.m6.1.1.2.2.cmml" xref="S4.18.10.p1.6.m6.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.18.10.p1.6.m6.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.18.10.p1.6.m6.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.18.10.p1.6.m6.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.18.10.p1.6.m6.1.1.2.2.2">𝛼</ci><cn id="S4.18.10.p1.6.m6.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.18.10.p1.6.m6.1.1.2.2.3">1</cn></apply><apply id="S4.18.10.p1.6.m6.1.1.2.3.cmml" xref="S4.18.10.p1.6.m6.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.18.10.p1.6.m6.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.18.10.p1.6.m6.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.18.10.p1.6.m6.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.18.10.p1.6.m6.1.1.2.3.2">𝛼</ci><ci id="S4.18.10.p1.6.m6.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.18.10.p1.6.m6.1.1.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><cn id="S4.18.10.p1.6.m6.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.18.10.p1.6.m6.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.18.10.p1.6.m6.1c">\alpha_{1}+\alpha_{j}=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.18.10.p1.6.m6.1d">italic_α start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT + italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT = 0</annotation></semantics></math>. Without loss of generality, assume that <math alttext="\alpha_{1}+\alpha_{2}=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.18.10.p1.7.m7.1"><semantics id="S4.18.10.p1.7.m7.1a"><mrow id="S4.18.10.p1.7.m7.1.1" xref="S4.18.10.p1.7.m7.1.1.cmml"><mrow id="S4.18.10.p1.7.m7.1.1.2" xref="S4.18.10.p1.7.m7.1.1.2.cmml"><msub id="S4.18.10.p1.7.m7.1.1.2.2" xref="S4.18.10.p1.7.m7.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.18.10.p1.7.m7.1.1.2.2.2" xref="S4.18.10.p1.7.m7.1.1.2.2.2.cmml">α</mi><mn id="S4.18.10.p1.7.m7.1.1.2.2.3" xref="S4.18.10.p1.7.m7.1.1.2.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.18.10.p1.7.m7.1.1.2.1" xref="S4.18.10.p1.7.m7.1.1.2.1.cmml">+</mo><msub id="S4.18.10.p1.7.m7.1.1.2.3" xref="S4.18.10.p1.7.m7.1.1.2.3.cmml"><mi id="S4.18.10.p1.7.m7.1.1.2.3.2" xref="S4.18.10.p1.7.m7.1.1.2.3.2.cmml">α</mi><mn id="S4.18.10.p1.7.m7.1.1.2.3.3" xref="S4.18.10.p1.7.m7.1.1.2.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="S4.18.10.p1.7.m7.1.1.1" xref="S4.18.10.p1.7.m7.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.18.10.p1.7.m7.1.1.3" xref="S4.18.10.p1.7.m7.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.18.10.p1.7.m7.1b"><apply id="S4.18.10.p1.7.m7.1.1.cmml" xref="S4.18.10.p1.7.m7.1.1"><eq id="S4.18.10.p1.7.m7.1.1.1.cmml" xref="S4.18.10.p1.7.m7.1.1.1"></eq><apply id="S4.18.10.p1.7.m7.1.1.2.cmml" xref="S4.18.10.p1.7.m7.1.1.2"><plus id="S4.18.10.p1.7.m7.1.1.2.1.cmml" xref="S4.18.10.p1.7.m7.1.1.2.1"></plus><apply id="S4.18.10.p1.7.m7.1.1.2.2.cmml" xref="S4.18.10.p1.7.m7.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.18.10.p1.7.m7.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.18.10.p1.7.m7.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.18.10.p1.7.m7.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.18.10.p1.7.m7.1.1.2.2.2">𝛼</ci><cn id="S4.18.10.p1.7.m7.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.18.10.p1.7.m7.1.1.2.2.3">1</cn></apply><apply id="S4.18.10.p1.7.m7.1.1.2.3.cmml" xref="S4.18.10.p1.7.m7.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.18.10.p1.7.m7.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.18.10.p1.7.m7.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.18.10.p1.7.m7.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.18.10.p1.7.m7.1.1.2.3.2">𝛼</ci><cn id="S4.18.10.p1.7.m7.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.18.10.p1.7.m7.1.1.2.3.3">2</cn></apply></apply><cn id="S4.18.10.p1.7.m7.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.18.10.p1.7.m7.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.18.10.p1.7.m7.1c">\alpha_{1}+\alpha_{2}=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.18.10.p1.7.m7.1d">italic_α start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT + italic_α start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT = 0</annotation></semantics></math>. This means that <math alttext="h_{1}^{\mu(I)}=\alpha_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.18.10.p1.8.m8.1"><semantics id="S4.18.10.p1.8.m8.1a"><mrow id="S4.18.10.p1.8.m8.1.2" xref="S4.18.10.p1.8.m8.1.2.cmml"><msubsup id="S4.18.10.p1.8.m8.1.2.2" xref="S4.18.10.p1.8.m8.1.2.2.cmml"><mi id="S4.18.10.p1.8.m8.1.2.2.2.2" xref="S4.18.10.p1.8.m8.1.2.2.2.2.cmml">h</mi><mn id="S4.18.10.p1.8.m8.1.2.2.2.3" xref="S4.18.10.p1.8.m8.1.2.2.2.3.cmml">1</mn><mrow id="S4.18.10.p1.8.m8.1.1.1" xref="S4.18.10.p1.8.m8.1.1.1.cmml"><mi id="S4.18.10.p1.8.m8.1.1.1.3" xref="S4.18.10.p1.8.m8.1.1.1.3.cmml">μ</mi><mo id="S4.18.10.p1.8.m8.1.1.1.2" xref="S4.18.10.p1.8.m8.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.18.10.p1.8.m8.1.1.1.4.2" xref="S4.18.10.p1.8.m8.1.1.1.cmml"><mo id="S4.18.10.p1.8.m8.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S4.18.10.p1.8.m8.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.18.10.p1.8.m8.1.1.1.1" xref="S4.18.10.p1.8.m8.1.1.1.1.cmml">I</mi><mo id="S4.18.10.p1.8.m8.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S4.18.10.p1.8.m8.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msubsup><mo id="S4.18.10.p1.8.m8.1.2.1" xref="S4.18.10.p1.8.m8.1.2.1.cmml">=</mo><msub id="S4.18.10.p1.8.m8.1.2.3" xref="S4.18.10.p1.8.m8.1.2.3.cmml"><mi id="S4.18.10.p1.8.m8.1.2.3.2" xref="S4.18.10.p1.8.m8.1.2.3.2.cmml">α</mi><mn id="S4.18.10.p1.8.m8.1.2.3.3" xref="S4.18.10.p1.8.m8.1.2.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.18.10.p1.8.m8.1b"><apply id="S4.18.10.p1.8.m8.1.2.cmml" xref="S4.18.10.p1.8.m8.1.2"><eq id="S4.18.10.p1.8.m8.1.2.1.cmml" xref="S4.18.10.p1.8.m8.1.2.1"></eq><apply id="S4.18.10.p1.8.m8.1.2.2.cmml" xref="S4.18.10.p1.8.m8.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.18.10.p1.8.m8.1.2.2.1.cmml" xref="S4.18.10.p1.8.m8.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="S4.18.10.p1.8.m8.1.2.2.2.cmml" xref="S4.18.10.p1.8.m8.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.18.10.p1.8.m8.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.18.10.p1.8.m8.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.18.10.p1.8.m8.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.18.10.p1.8.m8.1.2.2.2.2">ℎ</ci><cn id="S4.18.10.p1.8.m8.1.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.18.10.p1.8.m8.1.2.2.2.3">1</cn></apply><apply id="S4.18.10.p1.8.m8.1.1.1.cmml" xref="S4.18.10.p1.8.m8.1.1.1"><times id="S4.18.10.p1.8.m8.1.1.1.2.cmml" xref="S4.18.10.p1.8.m8.1.1.1.2"></times><ci id="S4.18.10.p1.8.m8.1.1.1.3.cmml" xref="S4.18.10.p1.8.m8.1.1.1.3">𝜇</ci><ci id="S4.18.10.p1.8.m8.1.1.1.1.cmml" xref="S4.18.10.p1.8.m8.1.1.1.1">𝐼</ci></apply></apply><apply id="S4.18.10.p1.8.m8.1.2.3.cmml" xref="S4.18.10.p1.8.m8.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.18.10.p1.8.m8.1.2.3.1.cmml" xref="S4.18.10.p1.8.m8.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.18.10.p1.8.m8.1.2.3.2.cmml" xref="S4.18.10.p1.8.m8.1.2.3.2">𝛼</ci><cn id="S4.18.10.p1.8.m8.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.18.10.p1.8.m8.1.2.3.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.18.10.p1.8.m8.1c">h_{1}^{\mu(I)}=\alpha_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.18.10.p1.8.m8.1d">italic_h start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_μ ( italic_I ) end_POSTSUPERSCRIPT = italic_α start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="h_{2}^{\mu(I)}=-\alpha_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.18.10.p1.9.m9.1"><semantics id="S4.18.10.p1.9.m9.1a"><mrow id="S4.18.10.p1.9.m9.1.2" xref="S4.18.10.p1.9.m9.1.2.cmml"><msubsup id="S4.18.10.p1.9.m9.1.2.2" xref="S4.18.10.p1.9.m9.1.2.2.cmml"><mi id="S4.18.10.p1.9.m9.1.2.2.2.2" xref="S4.18.10.p1.9.m9.1.2.2.2.2.cmml">h</mi><mn id="S4.18.10.p1.9.m9.1.2.2.2.3" xref="S4.18.10.p1.9.m9.1.2.2.2.3.cmml">2</mn><mrow id="S4.18.10.p1.9.m9.1.1.1" xref="S4.18.10.p1.9.m9.1.1.1.cmml"><mi id="S4.18.10.p1.9.m9.1.1.1.3" xref="S4.18.10.p1.9.m9.1.1.1.3.cmml">μ</mi><mo id="S4.18.10.p1.9.m9.1.1.1.2" xref="S4.18.10.p1.9.m9.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.18.10.p1.9.m9.1.1.1.4.2" xref="S4.18.10.p1.9.m9.1.1.1.cmml"><mo id="S4.18.10.p1.9.m9.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S4.18.10.p1.9.m9.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.18.10.p1.9.m9.1.1.1.1" xref="S4.18.10.p1.9.m9.1.1.1.1.cmml">I</mi><mo id="S4.18.10.p1.9.m9.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S4.18.10.p1.9.m9.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msubsup><mo id="S4.18.10.p1.9.m9.1.2.1" xref="S4.18.10.p1.9.m9.1.2.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.18.10.p1.9.m9.1.2.3" xref="S4.18.10.p1.9.m9.1.2.3.cmml"><mo id="S4.18.10.p1.9.m9.1.2.3a" xref="S4.18.10.p1.9.m9.1.2.3.cmml">−</mo><msub id="S4.18.10.p1.9.m9.1.2.3.2" xref="S4.18.10.p1.9.m9.1.2.3.2.cmml"><mi id="S4.18.10.p1.9.m9.1.2.3.2.2" xref="S4.18.10.p1.9.m9.1.2.3.2.2.cmml">α</mi><mn id="S4.18.10.p1.9.m9.1.2.3.2.3" xref="S4.18.10.p1.9.m9.1.2.3.2.3.cmml">1</mn></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.18.10.p1.9.m9.1b"><apply id="S4.18.10.p1.9.m9.1.2.cmml" xref="S4.18.10.p1.9.m9.1.2"><eq id="S4.18.10.p1.9.m9.1.2.1.cmml" xref="S4.18.10.p1.9.m9.1.2.1"></eq><apply id="S4.18.10.p1.9.m9.1.2.2.cmml" xref="S4.18.10.p1.9.m9.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.18.10.p1.9.m9.1.2.2.1.cmml" xref="S4.18.10.p1.9.m9.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="S4.18.10.p1.9.m9.1.2.2.2.cmml" xref="S4.18.10.p1.9.m9.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.18.10.p1.9.m9.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.18.10.p1.9.m9.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.18.10.p1.9.m9.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.18.10.p1.9.m9.1.2.2.2.2">ℎ</ci><cn id="S4.18.10.p1.9.m9.1.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.18.10.p1.9.m9.1.2.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S4.18.10.p1.9.m9.1.1.1.cmml" xref="S4.18.10.p1.9.m9.1.1.1"><times id="S4.18.10.p1.9.m9.1.1.1.2.cmml" xref="S4.18.10.p1.9.m9.1.1.1.2"></times><ci id="S4.18.10.p1.9.m9.1.1.1.3.cmml" xref="S4.18.10.p1.9.m9.1.1.1.3">𝜇</ci><ci id="S4.18.10.p1.9.m9.1.1.1.1.cmml" xref="S4.18.10.p1.9.m9.1.1.1.1">𝐼</ci></apply></apply><apply id="S4.18.10.p1.9.m9.1.2.3.cmml" xref="S4.18.10.p1.9.m9.1.2.3"><minus id="S4.18.10.p1.9.m9.1.2.3.1.cmml" xref="S4.18.10.p1.9.m9.1.2.3"></minus><apply id="S4.18.10.p1.9.m9.1.2.3.2.cmml" xref="S4.18.10.p1.9.m9.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.18.10.p1.9.m9.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.18.10.p1.9.m9.1.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.18.10.p1.9.m9.1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.18.10.p1.9.m9.1.2.3.2.2">𝛼</ci><cn id="S4.18.10.p1.9.m9.1.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.18.10.p1.9.m9.1.2.3.2.3">1</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.18.10.p1.9.m9.1c">h_{2}^{\mu(I)}=-\alpha_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.18.10.p1.9.m9.1d">italic_h start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_μ ( italic_I ) end_POSTSUPERSCRIPT = - italic_α start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. Let us dephase <math alttext="H" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.18.10.p1.10.m10.1"><semantics id="S4.18.10.p1.10.m10.1a"><mi id="S4.18.10.p1.10.m10.1.1" xref="S4.18.10.p1.10.m10.1.1.cmml">H</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.18.10.p1.10.m10.1b"><ci id="S4.18.10.p1.10.m10.1.1.cmml" xref="S4.18.10.p1.10.m10.1.1">𝐻</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.18.10.p1.10.m10.1c">H</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.18.10.p1.10.m10.1d">italic_H</annotation></semantics></math> by <math alttext="h_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.18.10.p1.11.m11.1"><semantics id="S4.18.10.p1.11.m11.1a"><msub id="S4.18.10.p1.11.m11.1.1" xref="S4.18.10.p1.11.m11.1.1.cmml"><mi id="S4.18.10.p1.11.m11.1.1.2" xref="S4.18.10.p1.11.m11.1.1.2.cmml">h</mi><mn id="S4.18.10.p1.11.m11.1.1.3" xref="S4.18.10.p1.11.m11.1.1.3.cmml">1</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.18.10.p1.11.m11.1b"><apply id="S4.18.10.p1.11.m11.1.1.cmml" xref="S4.18.10.p1.11.m11.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.18.10.p1.11.m11.1.1.1.cmml" xref="S4.18.10.p1.11.m11.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.18.10.p1.11.m11.1.1.2.cmml" xref="S4.18.10.p1.11.m11.1.1.2">ℎ</ci><cn id="S4.18.10.p1.11.m11.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.18.10.p1.11.m11.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.18.10.p1.11.m11.1c">h_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.18.10.p1.11.m11.1d">italic_h start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and a row <math alttext="i" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.18.10.p1.12.m12.1"><semantics id="S4.18.10.p1.12.m12.1a"><mi id="S4.18.10.p1.12.m12.1.1" xref="S4.18.10.p1.12.m12.1.1.cmml">i</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.18.10.p1.12.m12.1b"><ci id="S4.18.10.p1.12.m12.1.1.cmml" xref="S4.18.10.p1.12.m12.1.1">𝑖</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.18.10.p1.12.m12.1c">i</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.18.10.p1.12.m12.1d">italic_i</annotation></semantics></math> in <math alttext="I" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.18.10.p1.13.m13.1"><semantics id="S4.18.10.p1.13.m13.1a"><mi id="S4.18.10.p1.13.m13.1.1" xref="S4.18.10.p1.13.m13.1.1.cmml">I</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.18.10.p1.13.m13.1b"><ci id="S4.18.10.p1.13.m13.1.1.cmml" xref="S4.18.10.p1.13.m13.1.1">𝐼</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.18.10.p1.13.m13.1c">I</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.18.10.p1.13.m13.1d">italic_I</annotation></semantics></math>. By applying Corollary <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#S4.Thmfact7" title="Corollary 4.7. ‣ Proof. ‣ 4. Hadamard cubes in dimension 6 ‣ Triplets of Mutually Unbiased Bases"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4.7</span></a> we get a bijection <math alttext="\varphi:I\to I^{c}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.18.10.p1.14.m14.1"><semantics id="S4.18.10.p1.14.m14.1a"><mrow id="S4.18.10.p1.14.m14.1.1" xref="S4.18.10.p1.14.m14.1.1.cmml"><mi id="S4.18.10.p1.14.m14.1.1.2" xref="S4.18.10.p1.14.m14.1.1.2.cmml">φ</mi><mo id="S4.18.10.p1.14.m14.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S4.18.10.p1.14.m14.1.1.1.cmml">:</mo><mrow id="S4.18.10.p1.14.m14.1.1.3" xref="S4.18.10.p1.14.m14.1.1.3.cmml"><mi id="S4.18.10.p1.14.m14.1.1.3.2" xref="S4.18.10.p1.14.m14.1.1.3.2.cmml">I</mi><mo id="S4.18.10.p1.14.m14.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S4.18.10.p1.14.m14.1.1.3.1.cmml">→</mo><msup id="S4.18.10.p1.14.m14.1.1.3.3" xref="S4.18.10.p1.14.m14.1.1.3.3.cmml"><mi id="S4.18.10.p1.14.m14.1.1.3.3.2" xref="S4.18.10.p1.14.m14.1.1.3.3.2.cmml">I</mi><mi id="S4.18.10.p1.14.m14.1.1.3.3.3" xref="S4.18.10.p1.14.m14.1.1.3.3.3.cmml">c</mi></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.18.10.p1.14.m14.1b"><apply id="S4.18.10.p1.14.m14.1.1.cmml" xref="S4.18.10.p1.14.m14.1.1"><ci id="S4.18.10.p1.14.m14.1.1.1.cmml" xref="S4.18.10.p1.14.m14.1.1.1">:</ci><ci id="S4.18.10.p1.14.m14.1.1.2.cmml" xref="S4.18.10.p1.14.m14.1.1.2">𝜑</ci><apply id="S4.18.10.p1.14.m14.1.1.3.cmml" xref="S4.18.10.p1.14.m14.1.1.3"><ci id="S4.18.10.p1.14.m14.1.1.3.1.cmml" xref="S4.18.10.p1.14.m14.1.1.3.1">→</ci><ci id="S4.18.10.p1.14.m14.1.1.3.2.cmml" xref="S4.18.10.p1.14.m14.1.1.3.2">𝐼</ci><apply id="S4.18.10.p1.14.m14.1.1.3.3.cmml" xref="S4.18.10.p1.14.m14.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.18.10.p1.14.m14.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.18.10.p1.14.m14.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S4.18.10.p1.14.m14.1.1.3.3.2.cmml" xref="S4.18.10.p1.14.m14.1.1.3.3.2">𝐼</ci><ci id="S4.18.10.p1.14.m14.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.18.10.p1.14.m14.1.1.3.3.3">𝑐</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.18.10.p1.14.m14.1c">\varphi:I\to I^{c}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.18.10.p1.14.m14.1d">italic_φ : italic_I → italic_I start_POSTSUPERSCRIPT italic_c end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, and</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex6"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="h_{1,i}/h_{2,i}+h_{1,\varphi(i)}/h_{2,\varphi(i)}=1/1+1/h_{2,\varphi(i)}=0" class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex6.m1.13"><semantics id="S4.Ex6.m1.13a"><mrow id="S4.Ex6.m1.13.14" xref="S4.Ex6.m1.13.14.cmml"><mrow id="S4.Ex6.m1.13.14.2" xref="S4.Ex6.m1.13.14.2.cmml"><mrow id="S4.Ex6.m1.13.14.2.2" xref="S4.Ex6.m1.13.14.2.2.cmml"><msub id="S4.Ex6.m1.13.14.2.2.2" xref="S4.Ex6.m1.13.14.2.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex6.m1.13.14.2.2.2.2" xref="S4.Ex6.m1.13.14.2.2.2.2.cmml">h</mi><mrow id="S4.Ex6.m1.2.2.2.4" xref="S4.Ex6.m1.2.2.2.3.cmml"><mn id="S4.Ex6.m1.1.1.1.1" xref="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.Ex6.m1.2.2.2.4.1" xref="S4.Ex6.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex6.m1.2.2.2.2" xref="S4.Ex6.m1.2.2.2.2.cmml">i</mi></mrow></msub><mo id="S4.Ex6.m1.13.14.2.2.1" xref="S4.Ex6.m1.13.14.2.2.1.cmml">/</mo><msub id="S4.Ex6.m1.13.14.2.2.3" xref="S4.Ex6.m1.13.14.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex6.m1.13.14.2.2.3.2" xref="S4.Ex6.m1.13.14.2.2.3.2.cmml">h</mi><mrow id="S4.Ex6.m1.4.4.2.4" xref="S4.Ex6.m1.4.4.2.3.cmml"><mn id="S4.Ex6.m1.3.3.1.1" xref="S4.Ex6.m1.3.3.1.1.cmml">2</mn><mo id="S4.Ex6.m1.4.4.2.4.1" xref="S4.Ex6.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex6.m1.4.4.2.2" xref="S4.Ex6.m1.4.4.2.2.cmml">i</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S4.Ex6.m1.13.14.2.1" xref="S4.Ex6.m1.13.14.2.1.cmml">+</mo><mrow id="S4.Ex6.m1.13.14.2.3" xref="S4.Ex6.m1.13.14.2.3.cmml"><msub id="S4.Ex6.m1.13.14.2.3.2" xref="S4.Ex6.m1.13.14.2.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex6.m1.13.14.2.3.2.2" xref="S4.Ex6.m1.13.14.2.3.2.2.cmml">h</mi><mrow id="S4.Ex6.m1.7.7.3.3" xref="S4.Ex6.m1.7.7.3.4.cmml"><mn id="S4.Ex6.m1.6.6.2.2" xref="S4.Ex6.m1.6.6.2.2.cmml">1</mn><mo id="S4.Ex6.m1.7.7.3.3.2" xref="S4.Ex6.m1.7.7.3.4.cmml">,</mo><mrow id="S4.Ex6.m1.7.7.3.3.1" xref="S4.Ex6.m1.7.7.3.3.1.cmml"><mi id="S4.Ex6.m1.7.7.3.3.1.2" xref="S4.Ex6.m1.7.7.3.3.1.2.cmml">φ</mi><mo id="S4.Ex6.m1.7.7.3.3.1.1" xref="S4.Ex6.m1.7.7.3.3.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex6.m1.7.7.3.3.1.3.2" xref="S4.Ex6.m1.7.7.3.3.1.cmml"><mo id="S4.Ex6.m1.7.7.3.3.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex6.m1.7.7.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.cmml">i</mi><mo id="S4.Ex6.m1.7.7.3.3.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex6.m1.7.7.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></msub><mo id="S4.Ex6.m1.13.14.2.3.1" xref="S4.Ex6.m1.13.14.2.3.1.cmml">/</mo><msub id="S4.Ex6.m1.13.14.2.3.3" xref="S4.Ex6.m1.13.14.2.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex6.m1.13.14.2.3.3.2" xref="S4.Ex6.m1.13.14.2.3.3.2.cmml">h</mi><mrow id="S4.Ex6.m1.10.10.3.3" xref="S4.Ex6.m1.10.10.3.4.cmml"><mn id="S4.Ex6.m1.9.9.2.2" xref="S4.Ex6.m1.9.9.2.2.cmml">2</mn><mo id="S4.Ex6.m1.10.10.3.3.2" xref="S4.Ex6.m1.10.10.3.4.cmml">,</mo><mrow id="S4.Ex6.m1.10.10.3.3.1" xref="S4.Ex6.m1.10.10.3.3.1.cmml"><mi id="S4.Ex6.m1.10.10.3.3.1.2" xref="S4.Ex6.m1.10.10.3.3.1.2.cmml">φ</mi><mo id="S4.Ex6.m1.10.10.3.3.1.1" xref="S4.Ex6.m1.10.10.3.3.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex6.m1.10.10.3.3.1.3.2" xref="S4.Ex6.m1.10.10.3.3.1.cmml"><mo id="S4.Ex6.m1.10.10.3.3.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex6.m1.10.10.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex6.m1.8.8.1.1" xref="S4.Ex6.m1.8.8.1.1.cmml">i</mi><mo id="S4.Ex6.m1.10.10.3.3.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex6.m1.10.10.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></msub></mrow></mrow><mo id="S4.Ex6.m1.13.14.3" xref="S4.Ex6.m1.13.14.3.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex6.m1.13.14.4" xref="S4.Ex6.m1.13.14.4.cmml"><mrow id="S4.Ex6.m1.13.14.4.2" xref="S4.Ex6.m1.13.14.4.2.cmml"><mn id="S4.Ex6.m1.13.14.4.2.2" xref="S4.Ex6.m1.13.14.4.2.2.cmml">1</mn><mo id="S4.Ex6.m1.13.14.4.2.1" xref="S4.Ex6.m1.13.14.4.2.1.cmml">/</mo><mn id="S4.Ex6.m1.13.14.4.2.3" xref="S4.Ex6.m1.13.14.4.2.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S4.Ex6.m1.13.14.4.1" xref="S4.Ex6.m1.13.14.4.1.cmml">+</mo><mrow id="S4.Ex6.m1.13.14.4.3" xref="S4.Ex6.m1.13.14.4.3.cmml"><mn id="S4.Ex6.m1.13.14.4.3.2" xref="S4.Ex6.m1.13.14.4.3.2.cmml">1</mn><mo id="S4.Ex6.m1.13.14.4.3.1" xref="S4.Ex6.m1.13.14.4.3.1.cmml">/</mo><msub id="S4.Ex6.m1.13.14.4.3.3" xref="S4.Ex6.m1.13.14.4.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex6.m1.13.14.4.3.3.2" xref="S4.Ex6.m1.13.14.4.3.3.2.cmml">h</mi><mrow id="S4.Ex6.m1.13.13.3.3" xref="S4.Ex6.m1.13.13.3.4.cmml"><mn id="S4.Ex6.m1.12.12.2.2" xref="S4.Ex6.m1.12.12.2.2.cmml">2</mn><mo id="S4.Ex6.m1.13.13.3.3.2" xref="S4.Ex6.m1.13.13.3.4.cmml">,</mo><mrow id="S4.Ex6.m1.13.13.3.3.1" xref="S4.Ex6.m1.13.13.3.3.1.cmml"><mi id="S4.Ex6.m1.13.13.3.3.1.2" xref="S4.Ex6.m1.13.13.3.3.1.2.cmml">φ</mi><mo id="S4.Ex6.m1.13.13.3.3.1.1" xref="S4.Ex6.m1.13.13.3.3.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex6.m1.13.13.3.3.1.3.2" xref="S4.Ex6.m1.13.13.3.3.1.cmml"><mo id="S4.Ex6.m1.13.13.3.3.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex6.m1.13.13.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S4.Ex6.m1.11.11.1.1" xref="S4.Ex6.m1.11.11.1.1.cmml">i</mi><mo id="S4.Ex6.m1.13.13.3.3.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex6.m1.13.13.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></msub></mrow></mrow><mo id="S4.Ex6.m1.13.14.5" xref="S4.Ex6.m1.13.14.5.cmml">=</mo><mn id="S4.Ex6.m1.13.14.6" xref="S4.Ex6.m1.13.14.6.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex6.m1.13b"><apply id="S4.Ex6.m1.13.14.cmml" xref="S4.Ex6.m1.13.14"><and id="S4.Ex6.m1.13.14a.cmml" xref="S4.Ex6.m1.13.14"></and><apply id="S4.Ex6.m1.13.14b.cmml" xref="S4.Ex6.m1.13.14"><eq id="S4.Ex6.m1.13.14.3.cmml" xref="S4.Ex6.m1.13.14.3"></eq><apply id="S4.Ex6.m1.13.14.2.cmml" xref="S4.Ex6.m1.13.14.2"><plus id="S4.Ex6.m1.13.14.2.1.cmml" xref="S4.Ex6.m1.13.14.2.1"></plus><apply id="S4.Ex6.m1.13.14.2.2.cmml" xref="S4.Ex6.m1.13.14.2.2"><divide id="S4.Ex6.m1.13.14.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex6.m1.13.14.2.2.1"></divide><apply id="S4.Ex6.m1.13.14.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex6.m1.13.14.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex6.m1.13.14.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex6.m1.13.14.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex6.m1.13.14.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex6.m1.13.14.2.2.2.2">ℎ</ci><list id="S4.Ex6.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex6.m1.2.2.2.4"><cn id="S4.Ex6.m1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.Ex6.m1.1.1.1.1">1</cn><ci id="S4.Ex6.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex6.m1.2.2.2.2">𝑖</ci></list></apply><apply id="S4.Ex6.m1.13.14.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex6.m1.13.14.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex6.m1.13.14.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex6.m1.13.14.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex6.m1.13.14.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex6.m1.13.14.2.2.3.2">ℎ</ci><list id="S4.Ex6.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S4.Ex6.m1.4.4.2.4"><cn id="S4.Ex6.m1.3.3.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.Ex6.m1.3.3.1.1">2</cn><ci id="S4.Ex6.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S4.Ex6.m1.4.4.2.2">𝑖</ci></list></apply></apply><apply id="S4.Ex6.m1.13.14.2.3.cmml" xref="S4.Ex6.m1.13.14.2.3"><divide id="S4.Ex6.m1.13.14.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex6.m1.13.14.2.3.1"></divide><apply id="S4.Ex6.m1.13.14.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex6.m1.13.14.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex6.m1.13.14.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex6.m1.13.14.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex6.m1.13.14.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex6.m1.13.14.2.3.2.2">ℎ</ci><list id="S4.Ex6.m1.7.7.3.4.cmml" xref="S4.Ex6.m1.7.7.3.3"><cn id="S4.Ex6.m1.6.6.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex6.m1.6.6.2.2">1</cn><apply id="S4.Ex6.m1.7.7.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex6.m1.7.7.3.3.1"><times id="S4.Ex6.m1.7.7.3.3.1.1.cmml" xref="S4.Ex6.m1.7.7.3.3.1.1"></times><ci id="S4.Ex6.m1.7.7.3.3.1.2.cmml" xref="S4.Ex6.m1.7.7.3.3.1.2">𝜑</ci><ci id="S4.Ex6.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S4.Ex6.m1.5.5.1.1">𝑖</ci></apply></list></apply><apply id="S4.Ex6.m1.13.14.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex6.m1.13.14.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex6.m1.13.14.2.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex6.m1.13.14.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex6.m1.13.14.2.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex6.m1.13.14.2.3.3.2">ℎ</ci><list id="S4.Ex6.m1.10.10.3.4.cmml" xref="S4.Ex6.m1.10.10.3.3"><cn id="S4.Ex6.m1.9.9.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex6.m1.9.9.2.2">2</cn><apply id="S4.Ex6.m1.10.10.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex6.m1.10.10.3.3.1"><times id="S4.Ex6.m1.10.10.3.3.1.1.cmml" xref="S4.Ex6.m1.10.10.3.3.1.1"></times><ci id="S4.Ex6.m1.10.10.3.3.1.2.cmml" xref="S4.Ex6.m1.10.10.3.3.1.2">𝜑</ci><ci id="S4.Ex6.m1.8.8.1.1.cmml" xref="S4.Ex6.m1.8.8.1.1">𝑖</ci></apply></list></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex6.m1.13.14.4.cmml" xref="S4.Ex6.m1.13.14.4"><plus id="S4.Ex6.m1.13.14.4.1.cmml" xref="S4.Ex6.m1.13.14.4.1"></plus><apply id="S4.Ex6.m1.13.14.4.2.cmml" xref="S4.Ex6.m1.13.14.4.2"><divide id="S4.Ex6.m1.13.14.4.2.1.cmml" xref="S4.Ex6.m1.13.14.4.2.1"></divide><cn id="S4.Ex6.m1.13.14.4.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex6.m1.13.14.4.2.2">1</cn><cn id="S4.Ex6.m1.13.14.4.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex6.m1.13.14.4.2.3">1</cn></apply><apply id="S4.Ex6.m1.13.14.4.3.cmml" xref="S4.Ex6.m1.13.14.4.3"><divide id="S4.Ex6.m1.13.14.4.3.1.cmml" xref="S4.Ex6.m1.13.14.4.3.1"></divide><cn id="S4.Ex6.m1.13.14.4.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex6.m1.13.14.4.3.2">1</cn><apply id="S4.Ex6.m1.13.14.4.3.3.cmml" xref="S4.Ex6.m1.13.14.4.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex6.m1.13.14.4.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex6.m1.13.14.4.3.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex6.m1.13.14.4.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex6.m1.13.14.4.3.3.2">ℎ</ci><list id="S4.Ex6.m1.13.13.3.4.cmml" xref="S4.Ex6.m1.13.13.3.3"><cn id="S4.Ex6.m1.12.12.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex6.m1.12.12.2.2">2</cn><apply id="S4.Ex6.m1.13.13.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex6.m1.13.13.3.3.1"><times id="S4.Ex6.m1.13.13.3.3.1.1.cmml" xref="S4.Ex6.m1.13.13.3.3.1.1"></times><ci id="S4.Ex6.m1.13.13.3.3.1.2.cmml" xref="S4.Ex6.m1.13.13.3.3.1.2">𝜑</ci><ci id="S4.Ex6.m1.11.11.1.1.cmml" xref="S4.Ex6.m1.11.11.1.1">𝑖</ci></apply></list></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex6.m1.13.14c.cmml" xref="S4.Ex6.m1.13.14"><eq id="S4.Ex6.m1.13.14.5.cmml" xref="S4.Ex6.m1.13.14.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#S4.Ex6.m1.13.14.4.cmml" id="S4.Ex6.m1.13.14d.cmml" xref="S4.Ex6.m1.13.14"></share><cn id="S4.Ex6.m1.13.14.6.cmml" type="integer" xref="S4.Ex6.m1.13.14.6">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex6.m1.13c">h_{1,i}/h_{2,i}+h_{1,\varphi(i)}/h_{2,\varphi(i)}=1/1+1/h_{2,\varphi(i)}=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex6.m1.13d">italic_h start_POSTSUBSCRIPT 1 , italic_i end_POSTSUBSCRIPT / italic_h start_POSTSUBSCRIPT 2 , italic_i end_POSTSUBSCRIPT + italic_h start_POSTSUBSCRIPT 1 , italic_φ ( italic_i ) end_POSTSUBSCRIPT / italic_h start_POSTSUBSCRIPT 2 , italic_φ ( italic_i ) end_POSTSUBSCRIPT = 1 / 1 + 1 / italic_h start_POSTSUBSCRIPT 2 , italic_φ ( italic_i ) end_POSTSUBSCRIPT = 0</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.18.10.p1.15">which is exactly the claim. ∎</p> </div> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_proposition" id="S4.Thmfact9"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S4.Thmfact9.1.1.1">Proposition 4.9</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S4.Thmfact9.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="S4.Thmfact9.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.Thmfact9.p1.6"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.Thmfact9.p1.6.6">Let <math alttext="H" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmfact9.p1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.Thmfact9.p1.1.1.m1.1a"><mi id="S4.Thmfact9.p1.1.1.m1.1.1" xref="S4.Thmfact9.p1.1.1.m1.1.1.cmml">H</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmfact9.p1.1.1.m1.1b"><ci id="S4.Thmfact9.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.Thmfact9.p1.1.1.m1.1.1">𝐻</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmfact9.p1.1.1.m1.1c">H</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmfact9.p1.1.1.m1.1d">italic_H</annotation></semantics></math> be a Hadamard matrix which satisfies <math alttext="g_{H}(\pi(1,1,1,-1,-1,-1))=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4"><semantics id="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4a"><mrow id="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4.4" xref="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4.4.cmml"><mrow id="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4.4.1" xref="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4.4.1.cmml"><msub id="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4.4.1.3" xref="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4.4.1.3.cmml"><mi id="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4.4.1.3.2" xref="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4.4.1.3.2.cmml">g</mi><mi id="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4.4.1.3.3" xref="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4.4.1.3.3.cmml">H</mi></msub><mo id="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4.4.1.2" xref="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4.4.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1" xref="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1.1" xref="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1.1.5" xref="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1.1.5.cmml">π</mi><mo id="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1.1.4" xref="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1.1.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1.1.3.4.cmml"><mo id="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1.1.3.3.4" stretchy="false" xref="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1.1.3.4.cmml">(</mo><mn id="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.1.1" xref="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1.1.3.3.5" xref="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1.1.3.4.cmml">,</mo><mn id="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.2.2" xref="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.2.2.cmml">1</mn><mo id="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1.1.3.3.6" xref="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1.1.3.4.cmml">,</mo><mn id="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.3.3" xref="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.3.3.cmml">1</mn><mo id="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1.1.3.3.7" xref="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1.1.3.4.cmml">,</mo><mrow id="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn></mrow><mo id="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1.1.3.3.8" xref="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1.1.3.4.cmml">,</mo><mrow id="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mo id="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1.1.2.2.2a" xref="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1.1.2.2.2.cmml">−</mo><mn id="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">1</mn></mrow><mo id="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1.1.3.3.9" xref="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1.1.3.4.cmml">,</mo><mrow id="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mo id="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1.1.3.3.3a" xref="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1.1.3.3.3.cmml">−</mo><mn id="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">1</mn></mrow><mo id="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1.1.3.3.10" stretchy="false" xref="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1.1.3.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4.4.2" xref="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4.4.2.cmml">=</mo><mn id="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4.4.3" xref="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4.4.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4b"><apply id="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4.4.cmml" xref="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4.4"><eq id="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4.4.2.cmml" xref="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4.4.2"></eq><apply id="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4.4.1.cmml" xref="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4.4.1"><times id="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4.4.1.2.cmml" xref="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4.4.1.2"></times><apply id="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4.4.1.3.cmml" xref="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4.4.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4.4.1.3.1.cmml" xref="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4.4.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4.4.1.3.2.cmml" xref="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4.4.1.3.2">𝑔</ci><ci id="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4.4.1.3.3.cmml" xref="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4.4.1.3.3">𝐻</ci></apply><apply id="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1"><times id="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1.1.4"></times><ci id="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1.1.5.cmml" xref="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1.1.5">𝜋</ci><vector id="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1.1.3.3"><cn id="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.1.1">1</cn><cn id="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.2.2">1</cn><cn id="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.3.3">1</cn><apply id="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1"></minus><cn id="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2">1</cn></apply><apply id="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1.1.2.2.2"><minus id="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1.1.2.2.2"></minus><cn id="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1.1.2.2.2.2">1</cn></apply><apply id="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1.1.3.3.3"><minus id="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1.1.3.3.3"></minus><cn id="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1.1.3.3.3.2">1</cn></apply></vector></apply></apply><cn id="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4.4.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4.4.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4c">g_{H}(\pi(1,1,1,-1,-1,-1))=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmfact9.p1.2.2.m2.4d">italic_g start_POSTSUBSCRIPT italic_H end_POSTSUBSCRIPT ( italic_π ( 1 , 1 , 1 , - 1 , - 1 , - 1 ) ) = 0</annotation></semantics></math>, and <math alttext="g_{H}(\pi(3,3,3,-3,-3,-3))=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4"><semantics id="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4a"><mrow id="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4.4" xref="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4.4.cmml"><mrow id="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4.4.1" xref="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4.4.1.cmml"><msub id="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4.4.1.3" xref="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4.4.1.3.cmml"><mi id="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4.4.1.3.2" xref="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4.4.1.3.2.cmml">g</mi><mi id="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4.4.1.3.3" xref="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4.4.1.3.3.cmml">H</mi></msub><mo id="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4.4.1.2" xref="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4.4.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1" xref="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.1" xref="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.5" xref="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.5.cmml">π</mi><mo id="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.4" xref="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.3.4.cmml"><mo id="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.3.3.4" stretchy="false" xref="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.3.4.cmml">(</mo><mn id="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.1.1" xref="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.1.1.cmml">3</mn><mo id="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.3.3.5" xref="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.3.4.cmml">,</mo><mn id="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.2.2" xref="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.2.2.cmml">3</mn><mo id="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.3.3.6" xref="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.3.4.cmml">,</mo><mn id="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.3.3" xref="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.3.3.cmml">3</mn><mo id="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.3.3.7" xref="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.3.4.cmml">,</mo><mrow id="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">3</mn></mrow><mo id="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.3.3.8" xref="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.3.4.cmml">,</mo><mrow id="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mo id="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.2.2.2a" xref="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.2.2.2.cmml">−</mo><mn id="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">3</mn></mrow><mo id="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.3.3.9" xref="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.3.4.cmml">,</mo><mrow id="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.3.3.3" xref="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mo id="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.3.3.3a" xref="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.3.3.3.cmml">−</mo><mn id="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">3</mn></mrow><mo id="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.3.3.10" stretchy="false" xref="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.3.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4.4.2" xref="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4.4.2.cmml">=</mo><mn id="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4.4.3" xref="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4.4.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4b"><apply id="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4.4.cmml" xref="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4.4"><eq id="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4.4.2.cmml" xref="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4.4.2"></eq><apply id="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4.4.1.cmml" xref="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4.4.1"><times id="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4.4.1.2.cmml" xref="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4.4.1.2"></times><apply id="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4.4.1.3.cmml" xref="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4.4.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4.4.1.3.1.cmml" xref="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4.4.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4.4.1.3.2.cmml" xref="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4.4.1.3.2">𝑔</ci><ci id="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4.4.1.3.3.cmml" xref="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4.4.1.3.3">𝐻</ci></apply><apply id="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1"><times id="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.4"></times><ci id="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.5.cmml" xref="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.5">𝜋</ci><vector id="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.3.3"><cn id="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.1.1">3</cn><cn id="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.2.2">3</cn><cn id="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.3.3">3</cn><apply id="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1"></minus><cn id="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2">3</cn></apply><apply id="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.2.2.2"><minus id="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.2.2.2"></minus><cn id="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.2.2.2.2">3</cn></apply><apply id="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.3.3.3"><minus id="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.3.3.3"></minus><cn id="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4.4.1.1.1.1.3.3.3.2">3</cn></apply></vector></apply></apply><cn id="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4.4.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4.4.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4c">g_{H}(\pi(3,3,3,-3,-3,-3))=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmfact9.p1.3.3.m3.4d">italic_g start_POSTSUBSCRIPT italic_H end_POSTSUBSCRIPT ( italic_π ( 3 , 3 , 3 , - 3 , - 3 , - 3 ) ) = 0</annotation></semantics></math> for all permutations <math alttext="\pi" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmfact9.p1.4.4.m4.1"><semantics id="S4.Thmfact9.p1.4.4.m4.1a"><mi id="S4.Thmfact9.p1.4.4.m4.1.1" xref="S4.Thmfact9.p1.4.4.m4.1.1.cmml">π</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmfact9.p1.4.4.m4.1b"><ci id="S4.Thmfact9.p1.4.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.Thmfact9.p1.4.4.m4.1.1">𝜋</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmfact9.p1.4.4.m4.1c">\pi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmfact9.p1.4.4.m4.1d">italic_π</annotation></semantics></math>. Then after dephasing <math alttext="H" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmfact9.p1.5.5.m5.1"><semantics id="S4.Thmfact9.p1.5.5.m5.1a"><mi id="S4.Thmfact9.p1.5.5.m5.1.1" xref="S4.Thmfact9.p1.5.5.m5.1.1.cmml">H</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmfact9.p1.5.5.m5.1b"><ci id="S4.Thmfact9.p1.5.5.m5.1.1.cmml" xref="S4.Thmfact9.p1.5.5.m5.1.1">𝐻</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmfact9.p1.5.5.m5.1c">H</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmfact9.p1.5.5.m5.1d">italic_H</annotation></semantics></math> by an arbitrary row and column, there exist three distinct rows containing a <math alttext="-1" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmfact9.p1.6.6.m6.1"><semantics id="S4.Thmfact9.p1.6.6.m6.1a"><mrow id="S4.Thmfact9.p1.6.6.m6.1.1" xref="S4.Thmfact9.p1.6.6.m6.1.1.cmml"><mo id="S4.Thmfact9.p1.6.6.m6.1.1a" xref="S4.Thmfact9.p1.6.6.m6.1.1.cmml">−</mo><mn id="S4.Thmfact9.p1.6.6.m6.1.1.2" xref="S4.Thmfact9.p1.6.6.m6.1.1.2.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmfact9.p1.6.6.m6.1b"><apply id="S4.Thmfact9.p1.6.6.m6.1.1.cmml" xref="S4.Thmfact9.p1.6.6.m6.1.1"><minus id="S4.Thmfact9.p1.6.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmfact9.p1.6.6.m6.1.1"></minus><cn id="S4.Thmfact9.p1.6.6.m6.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.Thmfact9.p1.6.6.m6.1.1.2">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmfact9.p1.6.6.m6.1c">-1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmfact9.p1.6.6.m6.1d">- 1</annotation></semantics></math> entry.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="S4.20.12"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="S4.19.11.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.19.11.p1.4">First, recall that if for <math alttext="I\in\binom{6}{3}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.19.11.p1.1.m1.2"><semantics id="S4.19.11.p1.1.m1.2a"><mrow id="S4.19.11.p1.1.m1.2.3" xref="S4.19.11.p1.1.m1.2.3.cmml"><mi id="S4.19.11.p1.1.m1.2.3.2" xref="S4.19.11.p1.1.m1.2.3.2.cmml">I</mi><mo id="S4.19.11.p1.1.m1.2.3.1" xref="S4.19.11.p1.1.m1.2.3.1.cmml">∈</mo><mrow id="S4.19.11.p1.1.m1.2.2.4" xref="S4.19.11.p1.1.m1.2.2.3.cmml"><mo id="S4.19.11.p1.1.m1.2.2.4.1" xref="S4.19.11.p1.1.m1.2.2.3.1.cmml">(</mo><mfrac id="S4.19.11.p1.1.m1.2.2.2.2" linethickness="0pt" xref="S4.19.11.p1.1.m1.2.2.3.cmml"><mn id="S4.19.11.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.19.11.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">6</mn><mn id="S4.19.11.p1.1.m1.2.2.2.2.2.1" xref="S4.19.11.p1.1.m1.2.2.2.2.2.1.cmml">3</mn></mfrac><mo id="S4.19.11.p1.1.m1.2.2.4.2" xref="S4.19.11.p1.1.m1.2.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.19.11.p1.1.m1.2b"><apply id="S4.19.11.p1.1.m1.2.3.cmml" xref="S4.19.11.p1.1.m1.2.3"><in id="S4.19.11.p1.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S4.19.11.p1.1.m1.2.3.1"></in><ci id="S4.19.11.p1.1.m1.2.3.2.cmml" xref="S4.19.11.p1.1.m1.2.3.2">𝐼</ci><apply id="S4.19.11.p1.1.m1.2.2.3.cmml" xref="S4.19.11.p1.1.m1.2.2.4"><csymbol cd="latexml" id="S4.19.11.p1.1.m1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.19.11.p1.1.m1.2.2.4.1">binomial</csymbol><cn id="S4.19.11.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.19.11.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1">6</cn><cn id="S4.19.11.p1.1.m1.2.2.2.2.2.1.cmml" type="integer" xref="S4.19.11.p1.1.m1.2.2.2.2.2.1">3</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.19.11.p1.1.m1.2c">I\in\binom{6}{3}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.19.11.p1.1.m1.2d">italic_I ∈ ( FRACOP start_ARG 6 end_ARG start_ARG 3 end_ARG )</annotation></semantics></math>, <math alttext="g_{H}(\mu(I))=g_{H}(3\cdot\mu(I))=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.19.11.p1.2.m2.4"><semantics id="S4.19.11.p1.2.m2.4a"><mrow id="S4.19.11.p1.2.m2.4.4" xref="S4.19.11.p1.2.m2.4.4.cmml"><mrow id="S4.19.11.p1.2.m2.3.3.1" xref="S4.19.11.p1.2.m2.3.3.1.cmml"><msub id="S4.19.11.p1.2.m2.3.3.1.3" xref="S4.19.11.p1.2.m2.3.3.1.3.cmml"><mi id="S4.19.11.p1.2.m2.3.3.1.3.2" xref="S4.19.11.p1.2.m2.3.3.1.3.2.cmml">g</mi><mi id="S4.19.11.p1.2.m2.3.3.1.3.3" xref="S4.19.11.p1.2.m2.3.3.1.3.3.cmml">H</mi></msub><mo id="S4.19.11.p1.2.m2.3.3.1.2" xref="S4.19.11.p1.2.m2.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.19.11.p1.2.m2.3.3.1.1.1" xref="S4.19.11.p1.2.m2.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.19.11.p1.2.m2.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.19.11.p1.2.m2.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.19.11.p1.2.m2.3.3.1.1.1.1" xref="S4.19.11.p1.2.m2.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.19.11.p1.2.m2.3.3.1.1.1.1.2" xref="S4.19.11.p1.2.m2.3.3.1.1.1.1.2.cmml">μ</mi><mo id="S4.19.11.p1.2.m2.3.3.1.1.1.1.1" xref="S4.19.11.p1.2.m2.3.3.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.19.11.p1.2.m2.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="S4.19.11.p1.2.m2.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.19.11.p1.2.m2.3.3.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.19.11.p1.2.m2.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.19.11.p1.2.m2.1.1" xref="S4.19.11.p1.2.m2.1.1.cmml">I</mi><mo id="S4.19.11.p1.2.m2.3.3.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.19.11.p1.2.m2.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.19.11.p1.2.m2.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.19.11.p1.2.m2.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.19.11.p1.2.m2.4.4.4" xref="S4.19.11.p1.2.m2.4.4.4.cmml">=</mo><mrow id="S4.19.11.p1.2.m2.4.4.2" xref="S4.19.11.p1.2.m2.4.4.2.cmml"><msub id="S4.19.11.p1.2.m2.4.4.2.3" xref="S4.19.11.p1.2.m2.4.4.2.3.cmml"><mi id="S4.19.11.p1.2.m2.4.4.2.3.2" xref="S4.19.11.p1.2.m2.4.4.2.3.2.cmml">g</mi><mi id="S4.19.11.p1.2.m2.4.4.2.3.3" xref="S4.19.11.p1.2.m2.4.4.2.3.3.cmml">H</mi></msub><mo id="S4.19.11.p1.2.m2.4.4.2.2" xref="S4.19.11.p1.2.m2.4.4.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.19.11.p1.2.m2.4.4.2.1.1" xref="S4.19.11.p1.2.m2.4.4.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.19.11.p1.2.m2.4.4.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.19.11.p1.2.m2.4.4.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.19.11.p1.2.m2.4.4.2.1.1.1" xref="S4.19.11.p1.2.m2.4.4.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.19.11.p1.2.m2.4.4.2.1.1.1.2" xref="S4.19.11.p1.2.m2.4.4.2.1.1.1.2.cmml"><mn id="S4.19.11.p1.2.m2.4.4.2.1.1.1.2.2" xref="S4.19.11.p1.2.m2.4.4.2.1.1.1.2.2.cmml">3</mn><mo id="S4.19.11.p1.2.m2.4.4.2.1.1.1.2.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.19.11.p1.2.m2.4.4.2.1.1.1.2.1.cmml">⋅</mo><mi id="S4.19.11.p1.2.m2.4.4.2.1.1.1.2.3" xref="S4.19.11.p1.2.m2.4.4.2.1.1.1.2.3.cmml">μ</mi></mrow><mo id="S4.19.11.p1.2.m2.4.4.2.1.1.1.1" xref="S4.19.11.p1.2.m2.4.4.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.19.11.p1.2.m2.4.4.2.1.1.1.3.2" xref="S4.19.11.p1.2.m2.4.4.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.19.11.p1.2.m2.4.4.2.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.19.11.p1.2.m2.4.4.2.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S4.19.11.p1.2.m2.2.2" xref="S4.19.11.p1.2.m2.2.2.cmml">I</mi><mo id="S4.19.11.p1.2.m2.4.4.2.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.19.11.p1.2.m2.4.4.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.19.11.p1.2.m2.4.4.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.19.11.p1.2.m2.4.4.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.19.11.p1.2.m2.4.4.5" xref="S4.19.11.p1.2.m2.4.4.5.cmml">=</mo><mn id="S4.19.11.p1.2.m2.4.4.6" xref="S4.19.11.p1.2.m2.4.4.6.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.19.11.p1.2.m2.4b"><apply id="S4.19.11.p1.2.m2.4.4.cmml" xref="S4.19.11.p1.2.m2.4.4"><and id="S4.19.11.p1.2.m2.4.4a.cmml" xref="S4.19.11.p1.2.m2.4.4"></and><apply id="S4.19.11.p1.2.m2.4.4b.cmml" xref="S4.19.11.p1.2.m2.4.4"><eq id="S4.19.11.p1.2.m2.4.4.4.cmml" xref="S4.19.11.p1.2.m2.4.4.4"></eq><apply id="S4.19.11.p1.2.m2.3.3.1.cmml" xref="S4.19.11.p1.2.m2.3.3.1"><times id="S4.19.11.p1.2.m2.3.3.1.2.cmml" xref="S4.19.11.p1.2.m2.3.3.1.2"></times><apply id="S4.19.11.p1.2.m2.3.3.1.3.cmml" xref="S4.19.11.p1.2.m2.3.3.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.19.11.p1.2.m2.3.3.1.3.1.cmml" xref="S4.19.11.p1.2.m2.3.3.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.19.11.p1.2.m2.3.3.1.3.2.cmml" xref="S4.19.11.p1.2.m2.3.3.1.3.2">𝑔</ci><ci id="S4.19.11.p1.2.m2.3.3.1.3.3.cmml" xref="S4.19.11.p1.2.m2.3.3.1.3.3">𝐻</ci></apply><apply id="S4.19.11.p1.2.m2.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.19.11.p1.2.m2.3.3.1.1.1"><times id="S4.19.11.p1.2.m2.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.19.11.p1.2.m2.3.3.1.1.1.1.1"></times><ci id="S4.19.11.p1.2.m2.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.19.11.p1.2.m2.3.3.1.1.1.1.2">𝜇</ci><ci id="S4.19.11.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.19.11.p1.2.m2.1.1">𝐼</ci></apply></apply><apply id="S4.19.11.p1.2.m2.4.4.2.cmml" xref="S4.19.11.p1.2.m2.4.4.2"><times id="S4.19.11.p1.2.m2.4.4.2.2.cmml" xref="S4.19.11.p1.2.m2.4.4.2.2"></times><apply id="S4.19.11.p1.2.m2.4.4.2.3.cmml" xref="S4.19.11.p1.2.m2.4.4.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.19.11.p1.2.m2.4.4.2.3.1.cmml" xref="S4.19.11.p1.2.m2.4.4.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.19.11.p1.2.m2.4.4.2.3.2.cmml" xref="S4.19.11.p1.2.m2.4.4.2.3.2">𝑔</ci><ci id="S4.19.11.p1.2.m2.4.4.2.3.3.cmml" xref="S4.19.11.p1.2.m2.4.4.2.3.3">𝐻</ci></apply><apply id="S4.19.11.p1.2.m2.4.4.2.1.1.1.cmml" xref="S4.19.11.p1.2.m2.4.4.2.1.1"><times id="S4.19.11.p1.2.m2.4.4.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.19.11.p1.2.m2.4.4.2.1.1.1.1"></times><apply id="S4.19.11.p1.2.m2.4.4.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.19.11.p1.2.m2.4.4.2.1.1.1.2"><ci id="S4.19.11.p1.2.m2.4.4.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.19.11.p1.2.m2.4.4.2.1.1.1.2.1">⋅</ci><cn id="S4.19.11.p1.2.m2.4.4.2.1.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.19.11.p1.2.m2.4.4.2.1.1.1.2.2">3</cn><ci id="S4.19.11.p1.2.m2.4.4.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.19.11.p1.2.m2.4.4.2.1.1.1.2.3">𝜇</ci></apply><ci id="S4.19.11.p1.2.m2.2.2.cmml" xref="S4.19.11.p1.2.m2.2.2">𝐼</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.19.11.p1.2.m2.4.4c.cmml" xref="S4.19.11.p1.2.m2.4.4"><eq id="S4.19.11.p1.2.m2.4.4.5.cmml" xref="S4.19.11.p1.2.m2.4.4.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#S4.19.11.p1.2.m2.4.4.2.cmml" id="S4.19.11.p1.2.m2.4.4d.cmml" xref="S4.19.11.p1.2.m2.4.4"></share><cn id="S4.19.11.p1.2.m2.4.4.6.cmml" type="integer" xref="S4.19.11.p1.2.m2.4.4.6">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.19.11.p1.2.m2.4c">g_{H}(\mu(I))=g_{H}(3\cdot\mu(I))=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.19.11.p1.2.m2.4d">italic_g start_POSTSUBSCRIPT italic_H end_POSTSUBSCRIPT ( italic_μ ( italic_I ) ) = italic_g start_POSTSUBSCRIPT italic_H end_POSTSUBSCRIPT ( 3 ⋅ italic_μ ( italic_I ) ) = 0</annotation></semantics></math>, then <math alttext="H" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.19.11.p1.3.m3.1"><semantics id="S4.19.11.p1.3.m3.1a"><mi id="S4.19.11.p1.3.m3.1.1" xref="S4.19.11.p1.3.m3.1.1.cmml">H</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.19.11.p1.3.m3.1b"><ci id="S4.19.11.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.19.11.p1.3.m3.1.1">𝐻</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.19.11.p1.3.m3.1c">H</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.19.11.p1.3.m3.1d">italic_H</annotation></semantics></math> is <math alttext="I" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.19.11.p1.4.m4.1"><semantics id="S4.19.11.p1.4.m4.1a"><mi id="S4.19.11.p1.4.m4.1.1" xref="S4.19.11.p1.4.m4.1.1.cmml">I</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.19.11.p1.4.m4.1b"><ci id="S4.19.11.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.19.11.p1.4.m4.1.1">𝐼</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.19.11.p1.4.m4.1c">I</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.19.11.p1.4.m4.1d">italic_I</annotation></semantics></math>-binary by Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#S4.Thmfact4" title="Lemma 4.4. ‣ Proof. ‣ 4. Hadamard cubes in dimension 6 ‣ Triplets of Mutually Unbiased Bases"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4.4</span></a>, so Proposition <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#S4.Thmfact8" title="Proposition 4.8. ‣ Proof. ‣ 4. Hadamard cubes in dimension 6 ‣ Triplets of Mutually Unbiased Bases"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4.8</span></a> can be applied.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.20.12.p2"> <p class="ltx_p" id="S4.20.12.p2.12">Pick an arbitrary row and column, say the first one, and dephase the matrix. Then taking <math alttext="I=(1,5,6)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.20.12.p2.1.m1.3"><semantics id="S4.20.12.p2.1.m1.3a"><mrow id="S4.20.12.p2.1.m1.3.4" xref="S4.20.12.p2.1.m1.3.4.cmml"><mi id="S4.20.12.p2.1.m1.3.4.2" xref="S4.20.12.p2.1.m1.3.4.2.cmml">I</mi><mo id="S4.20.12.p2.1.m1.3.4.1" xref="S4.20.12.p2.1.m1.3.4.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.20.12.p2.1.m1.3.4.3.2" xref="S4.20.12.p2.1.m1.3.4.3.1.cmml"><mo id="S4.20.12.p2.1.m1.3.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.20.12.p2.1.m1.3.4.3.1.cmml">(</mo><mn id="S4.20.12.p2.1.m1.1.1" xref="S4.20.12.p2.1.m1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.20.12.p2.1.m1.3.4.3.2.2" xref="S4.20.12.p2.1.m1.3.4.3.1.cmml">,</mo><mn id="S4.20.12.p2.1.m1.2.2" xref="S4.20.12.p2.1.m1.2.2.cmml">5</mn><mo id="S4.20.12.p2.1.m1.3.4.3.2.3" xref="S4.20.12.p2.1.m1.3.4.3.1.cmml">,</mo><mn id="S4.20.12.p2.1.m1.3.3" xref="S4.20.12.p2.1.m1.3.3.cmml">6</mn><mo id="S4.20.12.p2.1.m1.3.4.3.2.4" stretchy="false" xref="S4.20.12.p2.1.m1.3.4.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.20.12.p2.1.m1.3b"><apply id="S4.20.12.p2.1.m1.3.4.cmml" xref="S4.20.12.p2.1.m1.3.4"><eq id="S4.20.12.p2.1.m1.3.4.1.cmml" xref="S4.20.12.p2.1.m1.3.4.1"></eq><ci id="S4.20.12.p2.1.m1.3.4.2.cmml" xref="S4.20.12.p2.1.m1.3.4.2">𝐼</ci><vector id="S4.20.12.p2.1.m1.3.4.3.1.cmml" xref="S4.20.12.p2.1.m1.3.4.3.2"><cn id="S4.20.12.p2.1.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.20.12.p2.1.m1.1.1">1</cn><cn id="S4.20.12.p2.1.m1.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.20.12.p2.1.m1.2.2">5</cn><cn id="S4.20.12.p2.1.m1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.20.12.p2.1.m1.3.3">6</cn></vector></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.20.12.p2.1.m1.3c">I=(1,5,6)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.20.12.p2.1.m1.3d">italic_I = ( 1 , 5 , 6 )</annotation></semantics></math>, by Proposition <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#S4.Thmfact8" title="Proposition 4.8. ‣ Proof. ‣ 4. Hadamard cubes in dimension 6 ‣ Triplets of Mutually Unbiased Bases"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4.8</span></a>, there exists a row in <math alttext="I^{c}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.20.12.p2.2.m2.1"><semantics id="S4.20.12.p2.2.m2.1a"><msup id="S4.20.12.p2.2.m2.1.1" xref="S4.20.12.p2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.20.12.p2.2.m2.1.1.2" xref="S4.20.12.p2.2.m2.1.1.2.cmml">I</mi><mi id="S4.20.12.p2.2.m2.1.1.3" xref="S4.20.12.p2.2.m2.1.1.3.cmml">c</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.20.12.p2.2.m2.1b"><apply id="S4.20.12.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.20.12.p2.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.20.12.p2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.20.12.p2.2.m2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.20.12.p2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.20.12.p2.2.m2.1.1.2">𝐼</ci><ci id="S4.20.12.p2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S4.20.12.p2.2.m2.1.1.3">𝑐</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.20.12.p2.2.m2.1c">I^{c}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.20.12.p2.2.m2.1d">italic_I start_POSTSUPERSCRIPT italic_c end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, which contains a <math alttext="-1" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.20.12.p2.3.m3.1"><semantics id="S4.20.12.p2.3.m3.1a"><mrow id="S4.20.12.p2.3.m3.1.1" xref="S4.20.12.p2.3.m3.1.1.cmml"><mo id="S4.20.12.p2.3.m3.1.1a" xref="S4.20.12.p2.3.m3.1.1.cmml">−</mo><mn id="S4.20.12.p2.3.m3.1.1.2" xref="S4.20.12.p2.3.m3.1.1.2.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.20.12.p2.3.m3.1b"><apply id="S4.20.12.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.20.12.p2.3.m3.1.1"><minus id="S4.20.12.p2.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S4.20.12.p2.3.m3.1.1"></minus><cn id="S4.20.12.p2.3.m3.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.20.12.p2.3.m3.1.1.2">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.20.12.p2.3.m3.1c">-1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.20.12.p2.3.m3.1d">- 1</annotation></semantics></math>. Without loss of generality, let this be column number <math alttext="2" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.20.12.p2.4.m4.1"><semantics id="S4.20.12.p2.4.m4.1a"><mn id="S4.20.12.p2.4.m4.1.1" xref="S4.20.12.p2.4.m4.1.1.cmml">2</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.20.12.p2.4.m4.1b"><cn id="S4.20.12.p2.4.m4.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.20.12.p2.4.m4.1.1">2</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.20.12.p2.4.m4.1c">2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.20.12.p2.4.m4.1d">2</annotation></semantics></math>. Then taking <math alttext="I=(1,2,6)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.20.12.p2.5.m5.3"><semantics id="S4.20.12.p2.5.m5.3a"><mrow id="S4.20.12.p2.5.m5.3.4" xref="S4.20.12.p2.5.m5.3.4.cmml"><mi id="S4.20.12.p2.5.m5.3.4.2" xref="S4.20.12.p2.5.m5.3.4.2.cmml">I</mi><mo id="S4.20.12.p2.5.m5.3.4.1" xref="S4.20.12.p2.5.m5.3.4.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.20.12.p2.5.m5.3.4.3.2" xref="S4.20.12.p2.5.m5.3.4.3.1.cmml"><mo id="S4.20.12.p2.5.m5.3.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.20.12.p2.5.m5.3.4.3.1.cmml">(</mo><mn id="S4.20.12.p2.5.m5.1.1" xref="S4.20.12.p2.5.m5.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.20.12.p2.5.m5.3.4.3.2.2" xref="S4.20.12.p2.5.m5.3.4.3.1.cmml">,</mo><mn id="S4.20.12.p2.5.m5.2.2" xref="S4.20.12.p2.5.m5.2.2.cmml">2</mn><mo id="S4.20.12.p2.5.m5.3.4.3.2.3" xref="S4.20.12.p2.5.m5.3.4.3.1.cmml">,</mo><mn id="S4.20.12.p2.5.m5.3.3" xref="S4.20.12.p2.5.m5.3.3.cmml">6</mn><mo id="S4.20.12.p2.5.m5.3.4.3.2.4" stretchy="false" xref="S4.20.12.p2.5.m5.3.4.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.20.12.p2.5.m5.3b"><apply id="S4.20.12.p2.5.m5.3.4.cmml" xref="S4.20.12.p2.5.m5.3.4"><eq id="S4.20.12.p2.5.m5.3.4.1.cmml" xref="S4.20.12.p2.5.m5.3.4.1"></eq><ci id="S4.20.12.p2.5.m5.3.4.2.cmml" xref="S4.20.12.p2.5.m5.3.4.2">𝐼</ci><vector id="S4.20.12.p2.5.m5.3.4.3.1.cmml" xref="S4.20.12.p2.5.m5.3.4.3.2"><cn id="S4.20.12.p2.5.m5.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.20.12.p2.5.m5.1.1">1</cn><cn id="S4.20.12.p2.5.m5.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.20.12.p2.5.m5.2.2">2</cn><cn id="S4.20.12.p2.5.m5.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.20.12.p2.5.m5.3.3">6</cn></vector></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.20.12.p2.5.m5.3c">I=(1,2,6)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.20.12.p2.5.m5.3d">italic_I = ( 1 , 2 , 6 )</annotation></semantics></math>, we find a second row in <math alttext="I^{c}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.20.12.p2.6.m6.1"><semantics id="S4.20.12.p2.6.m6.1a"><msup id="S4.20.12.p2.6.m6.1.1" xref="S4.20.12.p2.6.m6.1.1.cmml"><mi id="S4.20.12.p2.6.m6.1.1.2" xref="S4.20.12.p2.6.m6.1.1.2.cmml">I</mi><mi id="S4.20.12.p2.6.m6.1.1.3" xref="S4.20.12.p2.6.m6.1.1.3.cmml">c</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.20.12.p2.6.m6.1b"><apply id="S4.20.12.p2.6.m6.1.1.cmml" xref="S4.20.12.p2.6.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.20.12.p2.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S4.20.12.p2.6.m6.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.20.12.p2.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S4.20.12.p2.6.m6.1.1.2">𝐼</ci><ci id="S4.20.12.p2.6.m6.1.1.3.cmml" xref="S4.20.12.p2.6.m6.1.1.3">𝑐</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.20.12.p2.6.m6.1c">I^{c}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.20.12.p2.6.m6.1d">italic_I start_POSTSUPERSCRIPT italic_c end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> containing a <math alttext="-1" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.20.12.p2.7.m7.1"><semantics id="S4.20.12.p2.7.m7.1a"><mrow id="S4.20.12.p2.7.m7.1.1" xref="S4.20.12.p2.7.m7.1.1.cmml"><mo id="S4.20.12.p2.7.m7.1.1a" xref="S4.20.12.p2.7.m7.1.1.cmml">−</mo><mn id="S4.20.12.p2.7.m7.1.1.2" xref="S4.20.12.p2.7.m7.1.1.2.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.20.12.p2.7.m7.1b"><apply id="S4.20.12.p2.7.m7.1.1.cmml" xref="S4.20.12.p2.7.m7.1.1"><minus id="S4.20.12.p2.7.m7.1.1.1.cmml" xref="S4.20.12.p2.7.m7.1.1"></minus><cn id="S4.20.12.p2.7.m7.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.20.12.p2.7.m7.1.1.2">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.20.12.p2.7.m7.1c">-1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.20.12.p2.7.m7.1d">- 1</annotation></semantics></math>, let this be row number 3. Finally, taking <math alttext="I" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.20.12.p2.8.m8.1"><semantics id="S4.20.12.p2.8.m8.1a"><mi id="S4.20.12.p2.8.m8.1.1" xref="S4.20.12.p2.8.m8.1.1.cmml">I</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.20.12.p2.8.m8.1b"><ci id="S4.20.12.p2.8.m8.1.1.cmml" xref="S4.20.12.p2.8.m8.1.1">𝐼</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.20.12.p2.8.m8.1c">I</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.20.12.p2.8.m8.1d">italic_I</annotation></semantics></math> to be <math alttext="(1,2,3)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.20.12.p2.9.m9.3"><semantics id="S4.20.12.p2.9.m9.3a"><mrow id="S4.20.12.p2.9.m9.3.4.2" xref="S4.20.12.p2.9.m9.3.4.1.cmml"><mo id="S4.20.12.p2.9.m9.3.4.2.1" stretchy="false" xref="S4.20.12.p2.9.m9.3.4.1.cmml">(</mo><mn id="S4.20.12.p2.9.m9.1.1" xref="S4.20.12.p2.9.m9.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.20.12.p2.9.m9.3.4.2.2" xref="S4.20.12.p2.9.m9.3.4.1.cmml">,</mo><mn id="S4.20.12.p2.9.m9.2.2" xref="S4.20.12.p2.9.m9.2.2.cmml">2</mn><mo id="S4.20.12.p2.9.m9.3.4.2.3" xref="S4.20.12.p2.9.m9.3.4.1.cmml">,</mo><mn id="S4.20.12.p2.9.m9.3.3" xref="S4.20.12.p2.9.m9.3.3.cmml">3</mn><mo id="S4.20.12.p2.9.m9.3.4.2.4" stretchy="false" xref="S4.20.12.p2.9.m9.3.4.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.20.12.p2.9.m9.3b"><vector id="S4.20.12.p2.9.m9.3.4.1.cmml" xref="S4.20.12.p2.9.m9.3.4.2"><cn id="S4.20.12.p2.9.m9.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.20.12.p2.9.m9.1.1">1</cn><cn id="S4.20.12.p2.9.m9.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.20.12.p2.9.m9.2.2">2</cn><cn id="S4.20.12.p2.9.m9.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.20.12.p2.9.m9.3.3">3</cn></vector></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.20.12.p2.9.m9.3c">(1,2,3)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.20.12.p2.9.m9.3d">( 1 , 2 , 3 )</annotation></semantics></math>, its complement must also contain a <math alttext="-1" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.20.12.p2.10.m10.1"><semantics id="S4.20.12.p2.10.m10.1a"><mrow id="S4.20.12.p2.10.m10.1.1" xref="S4.20.12.p2.10.m10.1.1.cmml"><mo id="S4.20.12.p2.10.m10.1.1a" xref="S4.20.12.p2.10.m10.1.1.cmml">−</mo><mn id="S4.20.12.p2.10.m10.1.1.2" xref="S4.20.12.p2.10.m10.1.1.2.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.20.12.p2.10.m10.1b"><apply id="S4.20.12.p2.10.m10.1.1.cmml" xref="S4.20.12.p2.10.m10.1.1"><minus id="S4.20.12.p2.10.m10.1.1.1.cmml" xref="S4.20.12.p2.10.m10.1.1"></minus><cn id="S4.20.12.p2.10.m10.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.20.12.p2.10.m10.1.1.2">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.20.12.p2.10.m10.1c">-1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.20.12.p2.10.m10.1d">- 1</annotation></semantics></math>, and hence we find the third row with a <math alttext="-1" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.20.12.p2.11.m11.1"><semantics id="S4.20.12.p2.11.m11.1a"><mrow id="S4.20.12.p2.11.m11.1.1" xref="S4.20.12.p2.11.m11.1.1.cmml"><mo id="S4.20.12.p2.11.m11.1.1a" xref="S4.20.12.p2.11.m11.1.1.cmml">−</mo><mn id="S4.20.12.p2.11.m11.1.1.2" xref="S4.20.12.p2.11.m11.1.1.2.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.20.12.p2.11.m11.1b"><apply id="S4.20.12.p2.11.m11.1.1.cmml" xref="S4.20.12.p2.11.m11.1.1"><minus id="S4.20.12.p2.11.m11.1.1.1.cmml" xref="S4.20.12.p2.11.m11.1.1"></minus><cn id="S4.20.12.p2.11.m11.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.20.12.p2.11.m11.1.1.2">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.20.12.p2.11.m11.1c">-1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.20.12.p2.11.m11.1d">- 1</annotation></semantics></math> entry. Thus the matrix contains three <math alttext="-1" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.20.12.p2.12.m12.1"><semantics id="S4.20.12.p2.12.m12.1a"><mrow id="S4.20.12.p2.12.m12.1.1" xref="S4.20.12.p2.12.m12.1.1.cmml"><mo id="S4.20.12.p2.12.m12.1.1a" xref="S4.20.12.p2.12.m12.1.1.cmml">−</mo><mn id="S4.20.12.p2.12.m12.1.1.2" xref="S4.20.12.p2.12.m12.1.1.2.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.20.12.p2.12.m12.1b"><apply id="S4.20.12.p2.12.m12.1.1.cmml" xref="S4.20.12.p2.12.m12.1.1"><minus id="S4.20.12.p2.12.m12.1.1.1.cmml" xref="S4.20.12.p2.12.m12.1.1"></minus><cn id="S4.20.12.p2.12.m12.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.20.12.p2.12.m12.1.1.2">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.20.12.p2.12.m12.1c">-1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.20.12.p2.12.m12.1d">- 1</annotation></semantics></math>’s in different rows, as claimed. ∎</p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S4.21.p9"> <p class="ltx_p" id="S4.21.p9.8">Finally, we can invoke the results of <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#bib.bib24" title="">24</a>]</cite>, stating that if a complex Hadamard matrix <math alttext="H^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.21.p9.1.m1.1"><semantics id="S4.21.p9.1.m1.1a"><msup id="S4.21.p9.1.m1.1.1" xref="S4.21.p9.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.21.p9.1.m1.1.1.2" xref="S4.21.p9.1.m1.1.1.2.cmml">H</mi><mo id="S4.21.p9.1.m1.1.1.3" xref="S4.21.p9.1.m1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.21.p9.1.m1.1b"><apply id="S4.21.p9.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.21.p9.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.21.p9.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.21.p9.1.m1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.21.p9.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.21.p9.1.m1.1.1.2">𝐻</ci><ci id="S4.21.p9.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.21.p9.1.m1.1.1.3">′</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.21.p9.1.m1.1c">H^{\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.21.p9.1.m1.1d">italic_H start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> of order 6 contains -1 entries in three distinct columns, then <math alttext="H^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.21.p9.2.m2.1"><semantics id="S4.21.p9.2.m2.1a"><msup id="S4.21.p9.2.m2.1.1" xref="S4.21.p9.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.21.p9.2.m2.1.1.2" xref="S4.21.p9.2.m2.1.1.2.cmml">H</mi><mo id="S4.21.p9.2.m2.1.1.3" xref="S4.21.p9.2.m2.1.1.3.cmml">′</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.21.p9.2.m2.1b"><apply id="S4.21.p9.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.21.p9.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.21.p9.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.21.p9.2.m2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.21.p9.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.21.p9.2.m2.1.1.2">𝐻</ci><ci id="S4.21.p9.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S4.21.p9.2.m2.1.1.3">′</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.21.p9.2.m2.1c">H^{\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.21.p9.2.m2.1d">italic_H start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> must belong to the transposed Fourier family <math alttext="F^{T}(x,y)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.21.p9.3.m3.2"><semantics id="S4.21.p9.3.m3.2a"><mrow id="S4.21.p9.3.m3.2.3" xref="S4.21.p9.3.m3.2.3.cmml"><msup id="S4.21.p9.3.m3.2.3.2" xref="S4.21.p9.3.m3.2.3.2.cmml"><mi id="S4.21.p9.3.m3.2.3.2.2" xref="S4.21.p9.3.m3.2.3.2.2.cmml">F</mi><mi id="S4.21.p9.3.m3.2.3.2.3" xref="S4.21.p9.3.m3.2.3.2.3.cmml">T</mi></msup><mo id="S4.21.p9.3.m3.2.3.1" xref="S4.21.p9.3.m3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.21.p9.3.m3.2.3.3.2" xref="S4.21.p9.3.m3.2.3.3.1.cmml"><mo id="S4.21.p9.3.m3.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.21.p9.3.m3.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S4.21.p9.3.m3.1.1" xref="S4.21.p9.3.m3.1.1.cmml">x</mi><mo id="S4.21.p9.3.m3.2.3.3.2.2" xref="S4.21.p9.3.m3.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.21.p9.3.m3.2.2" xref="S4.21.p9.3.m3.2.2.cmml">y</mi><mo id="S4.21.p9.3.m3.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.21.p9.3.m3.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.21.p9.3.m3.2b"><apply id="S4.21.p9.3.m3.2.3.cmml" xref="S4.21.p9.3.m3.2.3"><times id="S4.21.p9.3.m3.2.3.1.cmml" xref="S4.21.p9.3.m3.2.3.1"></times><apply id="S4.21.p9.3.m3.2.3.2.cmml" xref="S4.21.p9.3.m3.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.21.p9.3.m3.2.3.2.1.cmml" xref="S4.21.p9.3.m3.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S4.21.p9.3.m3.2.3.2.2.cmml" xref="S4.21.p9.3.m3.2.3.2.2">𝐹</ci><ci id="S4.21.p9.3.m3.2.3.2.3.cmml" xref="S4.21.p9.3.m3.2.3.2.3">𝑇</ci></apply><interval closure="open" id="S4.21.p9.3.m3.2.3.3.1.cmml" xref="S4.21.p9.3.m3.2.3.3.2"><ci id="S4.21.p9.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.21.p9.3.m3.1.1">𝑥</ci><ci id="S4.21.p9.3.m3.2.2.cmml" xref="S4.21.p9.3.m3.2.2">𝑦</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.21.p9.3.m3.2c">F^{T}(x,y)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.21.p9.3.m3.2d">italic_F start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_x , italic_y )</annotation></semantics></math> or the Szöllősi family <math alttext="X(\alpha)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.21.p9.4.m4.1"><semantics id="S4.21.p9.4.m4.1a"><mrow id="S4.21.p9.4.m4.1.2" xref="S4.21.p9.4.m4.1.2.cmml"><mi id="S4.21.p9.4.m4.1.2.2" xref="S4.21.p9.4.m4.1.2.2.cmml">X</mi><mo id="S4.21.p9.4.m4.1.2.1" xref="S4.21.p9.4.m4.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.21.p9.4.m4.1.2.3.2" xref="S4.21.p9.4.m4.1.2.cmml"><mo id="S4.21.p9.4.m4.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.21.p9.4.m4.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.21.p9.4.m4.1.1" xref="S4.21.p9.4.m4.1.1.cmml">α</mi><mo id="S4.21.p9.4.m4.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.21.p9.4.m4.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.21.p9.4.m4.1b"><apply id="S4.21.p9.4.m4.1.2.cmml" xref="S4.21.p9.4.m4.1.2"><times id="S4.21.p9.4.m4.1.2.1.cmml" xref="S4.21.p9.4.m4.1.2.1"></times><ci id="S4.21.p9.4.m4.1.2.2.cmml" xref="S4.21.p9.4.m4.1.2.2">𝑋</ci><ci id="S4.21.p9.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.21.p9.4.m4.1.1">𝛼</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.21.p9.4.m4.1c">X(\alpha)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.21.p9.4.m4.1d">italic_X ( italic_α )</annotation></semantics></math>. As we have -1 entries in three distinct rows of <math alttext="H" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.21.p9.5.m5.1"><semantics id="S4.21.p9.5.m5.1a"><mi id="S4.21.p9.5.m5.1.1" xref="S4.21.p9.5.m5.1.1.cmml">H</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.21.p9.5.m5.1b"><ci id="S4.21.p9.5.m5.1.1.cmml" xref="S4.21.p9.5.m5.1.1">𝐻</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.21.p9.5.m5.1c">H</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.21.p9.5.m5.1d">italic_H</annotation></semantics></math>, we conclude that <math alttext="H" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.21.p9.6.m6.1"><semantics id="S4.21.p9.6.m6.1a"><mi id="S4.21.p9.6.m6.1.1" xref="S4.21.p9.6.m6.1.1.cmml">H</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.21.p9.6.m6.1b"><ci id="S4.21.p9.6.m6.1.1.cmml" xref="S4.21.p9.6.m6.1.1">𝐻</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.21.p9.6.m6.1c">H</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.21.p9.6.m6.1d">italic_H</annotation></semantics></math> belongs to the Fourier family <math alttext="F(x,y)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.21.p9.7.m7.2"><semantics id="S4.21.p9.7.m7.2a"><mrow id="S4.21.p9.7.m7.2.3" xref="S4.21.p9.7.m7.2.3.cmml"><mi id="S4.21.p9.7.m7.2.3.2" xref="S4.21.p9.7.m7.2.3.2.cmml">F</mi><mo id="S4.21.p9.7.m7.2.3.1" xref="S4.21.p9.7.m7.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.21.p9.7.m7.2.3.3.2" xref="S4.21.p9.7.m7.2.3.3.1.cmml"><mo id="S4.21.p9.7.m7.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.21.p9.7.m7.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S4.21.p9.7.m7.1.1" xref="S4.21.p9.7.m7.1.1.cmml">x</mi><mo id="S4.21.p9.7.m7.2.3.3.2.2" xref="S4.21.p9.7.m7.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.21.p9.7.m7.2.2" xref="S4.21.p9.7.m7.2.2.cmml">y</mi><mo id="S4.21.p9.7.m7.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.21.p9.7.m7.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.21.p9.7.m7.2b"><apply id="S4.21.p9.7.m7.2.3.cmml" xref="S4.21.p9.7.m7.2.3"><times id="S4.21.p9.7.m7.2.3.1.cmml" xref="S4.21.p9.7.m7.2.3.1"></times><ci id="S4.21.p9.7.m7.2.3.2.cmml" xref="S4.21.p9.7.m7.2.3.2">𝐹</ci><interval closure="open" id="S4.21.p9.7.m7.2.3.3.1.cmml" xref="S4.21.p9.7.m7.2.3.3.2"><ci id="S4.21.p9.7.m7.1.1.cmml" xref="S4.21.p9.7.m7.1.1">𝑥</ci><ci id="S4.21.p9.7.m7.2.2.cmml" xref="S4.21.p9.7.m7.2.2">𝑦</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.21.p9.7.m7.2c">F(x,y)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.21.p9.7.m7.2d">italic_F ( italic_x , italic_y )</annotation></semantics></math> or the Sz”ollősi family <math alttext="X(\alpha)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.21.p9.8.m8.1"><semantics id="S4.21.p9.8.m8.1a"><mrow id="S4.21.p9.8.m8.1.2" xref="S4.21.p9.8.m8.1.2.cmml"><mi id="S4.21.p9.8.m8.1.2.2" xref="S4.21.p9.8.m8.1.2.2.cmml">X</mi><mo id="S4.21.p9.8.m8.1.2.1" xref="S4.21.p9.8.m8.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.21.p9.8.m8.1.2.3.2" xref="S4.21.p9.8.m8.1.2.cmml"><mo id="S4.21.p9.8.m8.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.21.p9.8.m8.1.2.cmml">(</mo><mi id="S4.21.p9.8.m8.1.1" xref="S4.21.p9.8.m8.1.1.cmml">α</mi><mo id="S4.21.p9.8.m8.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.21.p9.8.m8.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.21.p9.8.m8.1b"><apply id="S4.21.p9.8.m8.1.2.cmml" xref="S4.21.p9.8.m8.1.2"><times id="S4.21.p9.8.m8.1.2.1.cmml" xref="S4.21.p9.8.m8.1.2.1"></times><ci id="S4.21.p9.8.m8.1.2.2.cmml" xref="S4.21.p9.8.m8.1.2.2">𝑋</ci><ci id="S4.21.p9.8.m8.1.1.cmml" xref="S4.21.p9.8.m8.1.1">𝛼</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.21.p9.8.m8.1c">X(\alpha)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.21.p9.8.m8.1d">italic_X ( italic_α )</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.22.p10"> <p class="ltx_p" id="S4.22.p10.1">This completes the proof of Proposition <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#S4.Thmfact2" title="Proposition 4.2. ‣ 4. Hadamard cubes in dimension 6 ‣ Triplets of Mutually Unbiased Bases"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4.2</span></a>. ∎</p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S4.p34"> <p class="ltx_p" id="S4.p34.1">In summary, we have provided a single algebraic identity (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#S4.E7" title="Equation 4.7 ‣ 4. Hadamard cubes in dimension 6 ‣ Triplets of Mutually Unbiased Bases"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4.7</span></a>) for MUB-triplets which would imply that the maximum number of MUBs in dimension 6 is three. Such an algebraic identity could, in principle, be proved from the basic cube properties (i-iv) in Proposition <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14752v1#S3.Thmfact1" title="Proposition 3.1. ‣ 3. MUB-triplets and Hadamard cubes ‣ Triplets of Mutually Unbiased Bases"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3.1</span></a>.</p> </div> </section> <section class="ltx_bibliography" id="bib"> <h2 class="ltx_title ltx_title_bibliography">References</h2> <ul class="ltx_biblist"> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib1"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[1]</span> <span class="ltx_bibblock"> <span class="ltx_text ltx_font_smallcaps" id="bib.bib1.2.1">W. Averson</span>, </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib1.1.1">An Invitation to C<sup class="ltx_sup" id="bib.bib1.1.1.1"><span class="ltx_text ltx_font_upright" id="bib.bib1.1.1.1.1">∗</span></sup>-algebras.</span> Graduate Texts in Mathematics <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib1.3.2">13</span> (1976), Springer-Verlag. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib2"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[2]</span> <span class="ltx_bibblock"> <span class="ltx_text ltx_font_smallcaps" id="bib.bib2.1.1">S. Bandyopadhyay, P. O. Boykin, V. Roychowdhury & F. Vatan</span>, </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib2.2.1">A New Proof for the Existence of Mutually Unbiased Bases.</span> Algorithmica <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib2.3.2">34</span> (2002), 512-528. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib3"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[3]</span> <span class="ltx_bibblock"> <span class="ltx_text ltx_font_smallcaps" id="bib.bib3.1.1">T. Banica, J. Bichon, J.-M. Schlenker</span>, Representations of quantum permutation algebras. J. Funct. Anal. 257 (2009), no. 9, 2864–2910. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib4"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[4]</span> <span class="ltx_bibblock"> <span class="ltx_text ltx_font_smallcaps" id="bib.bib4.1.1">A. Belovs & J. Smotrovs</span>, </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib4.2.1">A Criterion for Attaining the Welch Bounds with Applications for Mutually Unbiased Bases</span>. Lecture Notes In Computer Science, Vol. 5393, Mathematical Methods in Computer Science: Essays in Memory of Thomas Beth, Section: Quantum Computing, (2008), 50 – 69. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib5"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[5]</span> <span class="ltx_bibblock"> <span class="ltx_text ltx_font_smallcaps" id="bib.bib5.1.1">I. Bengtsson, W. Bruzda, Å. Ericsson, J.-A. Larsson, W. Tadej & K. Życzkowski</span>, </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib5.2.1">Mutually unbiased bases and Hadamard matrices of order six.</span> J. Math. Phys. <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib5.3.2">48</span> (2007), no. 5, 052106, 21 pp. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib6"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[6]</span> <span class="ltx_bibblock"> <span class="ltx_text ltx_font_smallcaps" id="bib.bib6.1.1">D. Best & H. Kharaghani</span>, </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib6.2.1">Unbiased complex Hadamard matrices and bases.</span> Cryptography and Communications - Discrete Structures, Boolean Functions and Sequences, <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib6.3.2">2</span> (2010), 199–209. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib7"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[7]</span> <span class="ltx_bibblock"> <span class="ltx_text ltx_font_smallcaps" id="bib.bib7.1.1">S. Brierley, S. Weigert & I. Bengtsson</span>, </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib7.2.1">All Mutually Unbiased Bases in Dimensions Two to Five.</span> Quantum Information and Computing <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib7.3.2">10</span>, (2010), 803-820. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib8"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[8]</span> <span class="ltx_bibblock"> <span class="ltx_text ltx_font_smallcaps" id="bib.bib8.1.1">S. Brierley & S. Weigert</span>, </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib8.2.1">Maximal sets of mutually unbiased quantum states in dimension six.</span> Phys. Rev. A (3) <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib8.3.2">78</span> (2008), no. 4, 042312, 8 pp. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib9"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[9]</span> <span class="ltx_bibblock"> <span class="ltx_text ltx_font_smallcaps" id="bib.bib9.1.1">S. Brierley & S. Weigert</span>, </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib9.2.1">Constructing Mutually Unbiased Bases in Dimension Six.</span> Phys. Rev. A (3) <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib9.3.2">79</span> (2009), no. 5, 052316, 13 pp. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib10"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[10]</span> <span class="ltx_bibblock"> <span class="ltx_text ltx_font_smallcaps" id="bib.bib10.1.1">P. Butterley & W. Hall</span>, </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib10.2.1">Numerical evidence for the maximum number of mutually unbiased bases in dimension six</span>. Physics Letters A <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib10.3.2">369</span> (2007) 5-8. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib11"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[11]</span> <span class="ltx_bibblock"> <span class="ltx_text ltx_font_smallcaps" id="bib.bib11.1.1">L. Chen, L. Yu</span>, </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib11.2.1">Product states and Schmidt rank of mutually unbiased bases in dimension six</span>, J. Phys. A: Math. Theor. (2017), 50 475304 </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib12"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[12]</span> <span class="ltx_bibblock"> <span class="ltx_text ltx_font_smallcaps" id="bib.bib12.2.1">X. Chen, M. Liang, M. Hu, L. Chen</span>, </span> <span class="ltx_bibblock"><math alttext="H_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="bib.bib12.1.m1.1"><semantics id="bib.bib12.1.m1.1a"><msub id="bib.bib12.1.m1.1.1" xref="bib.bib12.1.m1.1.1.cmml"><mi id="bib.bib12.1.m1.1.1.2" xref="bib.bib12.1.m1.1.1.2.cmml">H</mi><mn id="bib.bib12.1.m1.1.1.3" xref="bib.bib12.1.m1.1.1.3.cmml">2</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="bib.bib12.1.m1.1b"><apply id="bib.bib12.1.m1.1.1.cmml" xref="bib.bib12.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="bib.bib12.1.m1.1.1.1.cmml" xref="bib.bib12.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="bib.bib12.1.m1.1.1.2.cmml" xref="bib.bib12.1.m1.1.1.2">𝐻</ci><cn id="bib.bib12.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="bib.bib12.1.m1.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="bib.bib12.1.m1.1c">H_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="bib.bib12.1.m1.1d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib12.3.1">-reducible matrices in six-dimensional mutually unbiased bases</span>, Quantum Information Processing (2021) 20:353. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib13"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[13]</span> <span class="ltx_bibblock"> <span class="ltx_text ltx_font_smallcaps" id="bib.bib13.1.1">T. Durt, B. G. Englert, I. Bengtsson, K. Życzkowski</span>, </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib13.2.1">On mutually unbiased bases</span> International Journal of Quantum Information, Vol. <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib13.3.2">8</span>, No. 4 (2010) 535–640 </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib14"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[14]</span> <span class="ltx_bibblock"> <span class="ltx_text ltx_font_smallcaps" id="bib.bib14.4.1">U. Haagerup</span>, </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib14.3.3">Orthogonal maximal Abelian <math alttext="\ast" class="ltx_Math" display="inline" id="bib.bib14.1.1.m1.1"><semantics id="bib.bib14.1.1.m1.1a"><mo id="bib.bib14.1.1.m1.1.1" xref="bib.bib14.1.1.m1.1.1.cmml">∗</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="bib.bib14.1.1.m1.1b"><ci id="bib.bib14.1.1.m1.1.1.cmml" xref="bib.bib14.1.1.m1.1.1">∗</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="bib.bib14.1.1.m1.1c">\ast</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="bib.bib14.1.1.m1.1d">∗</annotation></semantics></math>-subalgebras of <math alttext="n\times n" class="ltx_Math" display="inline" id="bib.bib14.2.2.m2.1"><semantics id="bib.bib14.2.2.m2.1a"><mrow id="bib.bib14.2.2.m2.1.1" xref="bib.bib14.2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="bib.bib14.2.2.m2.1.1.2" xref="bib.bib14.2.2.m2.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="bib.bib14.2.2.m2.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="bib.bib14.2.2.m2.1.1.1.cmml">×</mo><mi id="bib.bib14.2.2.m2.1.1.3" xref="bib.bib14.2.2.m2.1.1.3.cmml">n</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="bib.bib14.2.2.m2.1b"><apply id="bib.bib14.2.2.m2.1.1.cmml" xref="bib.bib14.2.2.m2.1.1"><times id="bib.bib14.2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="bib.bib14.2.2.m2.1.1.1"></times><ci id="bib.bib14.2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="bib.bib14.2.2.m2.1.1.2">𝑛</ci><ci id="bib.bib14.2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="bib.bib14.2.2.m2.1.1.3">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="bib.bib14.2.2.m2.1c">n\times n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="bib.bib14.2.2.m2.1d">italic_n × italic_n</annotation></semantics></math> matrices and cyclic <math alttext="n" class="ltx_Math" display="inline" id="bib.bib14.3.3.m3.1"><semantics id="bib.bib14.3.3.m3.1a"><mi id="bib.bib14.3.3.m3.1.1" xref="bib.bib14.3.3.m3.1.1.cmml">n</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="bib.bib14.3.3.m3.1b"><ci id="bib.bib14.3.3.m3.1.1.cmml" xref="bib.bib14.3.3.m3.1.1">𝑛</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="bib.bib14.3.3.m3.1c">n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="bib.bib14.3.3.m3.1d">italic_n</annotation></semantics></math>-roots</span>. Operator Algebras and Quantum Field Theory (Rome), Cambridge, MA International Press, (1996), 296–322. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib15"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[15]</span> <span class="ltx_bibblock"> <span class="ltx_text ltx_font_smallcaps" id="bib.bib15.1.1">W. Holzmann, H. Kharaghani & W. Orrick</span>, </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib15.2.1">On the real unbiased Hadamard matrices.</span> Contemporary Mathematics, Combinatorics and Graphs, Volume <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib15.3.2">531</span> (2010), 243-250. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib16"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[16]</span> <span class="ltx_bibblock"> <span class="ltx_text ltx_font_smallcaps" id="bib.bib16.1.1">I. D. Ivanovic</span>, </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib16.2.1">Geometrical description of quantal state determination.</span> J. Phys. A <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib16.3.2">14</span> (1981), 3241. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib17"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[17]</span> <span class="ltx_bibblock"> <span class="ltx_text ltx_font_smallcaps" id="bib.bib17.1.1">P. Jaming, M. Matolcsi, P. Móra, F. Szöllősi, M. Weiner</span>, </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib17.2.1">A generalized Pauli problem and an infinite family of MUB-triplets in dimension 6.</span> J. Physics A: Mathematical and Theoretical, Vol. 42, Number 24, 245305, 2009. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib18"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[18]</span> <span class="ltx_bibblock"> <span class="ltx_text ltx_font_smallcaps" id="bib.bib18.2.1">B. R. Karlsson</span>, </span> <span class="ltx_bibblock"><math alttext="H_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="bib.bib18.1.m1.1"><semantics id="bib.bib18.1.m1.1a"><msub id="bib.bib18.1.m1.1.1" xref="bib.bib18.1.m1.1.1.cmml"><mi id="bib.bib18.1.m1.1.1.2" xref="bib.bib18.1.m1.1.1.2.cmml">H</mi><mn id="bib.bib18.1.m1.1.1.3" xref="bib.bib18.1.m1.1.1.3.cmml">2</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="bib.bib18.1.m1.1b"><apply id="bib.bib18.1.m1.1.1.cmml" xref="bib.bib18.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="bib.bib18.1.m1.1.1.1.cmml" xref="bib.bib18.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="bib.bib18.1.m1.1.1.2.cmml" xref="bib.bib18.1.m1.1.1.2">𝐻</ci><cn id="bib.bib18.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="bib.bib18.1.m1.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="bib.bib18.1.m1.1c">H_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="bib.bib18.1.m1.1d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib18.3.1">-reducible complex Hadamard matrices of order 6.</span> Linear Algebra and its Applications, Volume 434, Issue 1, 1 January 2011, Pages 239-246. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib19"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[19]</span> <span class="ltx_bibblock"> <span class="ltx_text ltx_font_smallcaps" id="bib.bib19.1.1">B. R. Karlsson</span>, </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib19.2.1">Three-parameter complex Hadamard matrices of order 6</span> Linear Algebra and its Applications, Volume 434, Issue 1, 1 January 2011, Pages 247-258 </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib20"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[20]</span> <span class="ltx_bibblock"> <span class="ltx_text ltx_font_smallcaps" id="bib.bib20.1.1">A. Klappenecker & M. Rötteler</span>, </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib20.2.1">Constructions of Mutually Unbiased Bases.</span> Finite fields and applications, 137–144, Lecture Notes in Comput. Sci., <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib20.3.2">2948</span>, Springer, Berlin, 2004. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib21"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[21]</span> <span class="ltx_bibblock"> <span class="ltx_text ltx_font_smallcaps" id="bib.bib21.1.1">N. LeCompte, W. J. Martin & W. Owens</span>, </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib21.2.1">On the equivalence between real mutually unbiased bases and a certain class of association schemes.</span> European Journal of Combinatorics, Volume <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib21.3.2">31</span>, Issue 6, August, (2010), 1499-1512. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib22"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[22]</span> <span class="ltx_bibblock"> <span class="ltx_text ltx_font_smallcaps" id="bib.bib22.1.1">M. Matolcsi</span>, </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib22.2.1">A Fourier analytic approach to the problem of mutually unbiased bases.</span> Stud. Sci. Math. Hung., to appear. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib23"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[23]</span> <span class="ltx_bibblock"> <span class="ltx_text ltx_font_smallcaps" id="bib.bib23.1.1">M. Matolcsi, I. Z. Ruzsa & M. Weiner</span> </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib23.2.1">Systems of mutually unbiased Hadamard matrices containing real and complex matrices.</span> Australasian J. Combinatorics, <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib23.3.2">55</span> (2013), 35–47. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib24"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[24]</span> <span class="ltx_bibblock"> <span class="ltx_text ltx_font_smallcaps" id="bib.bib24.1.1">A. Matszangosz, F. Szöllősi</span>, </span> <span class="ltx_bibblock">A characterization of complex Hadamard matrices appearing in families of MUB triplets. Des. Codes Cryptogr. 92, 4313-4333 (2024) </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib25"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[25]</span> <span class="ltx_bibblock"> <span class="ltx_text ltx_font_smallcaps" id="bib.bib25.1.1">P. Raynal, X. Lü, & B.-G. Englert</span>, </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib25.2.1">Mutually unbiased bases in six dimensions: The four most distant bases.</span> Phys. Rev. A <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib25.3.2">83</span> (2011) 062303. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib26"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[26]</span> <span class="ltx_bibblock"> <span class="ltx_text ltx_font_smallcaps" id="bib.bib26.1.1">F. Szöllősi</span>, </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib26.2.1">Complex Hadamard matrices of order 6: a four-parameter family.</span> J. London Math Soc., (2) 85 (2012), no. 3, 616–632. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib27"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[27]</span> <span class="ltx_bibblock"> <span class="ltx_text ltx_font_smallcaps" id="bib.bib27.1.1">F. Szöllősi</span>, A two-parameter family of complex Hadamard matrices of order 6 induced by hypocycloids. Proc. Amer. Math. Soc. 138 (2010), no. 3, 921–928 </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib28"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[28]</span> <span class="ltx_bibblock"> <span class="ltx_text ltx_font_smallcaps" id="bib.bib28.1.1">W. Tadej & K. Życzkowski</span>, </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib28.2.1">A concise guide to complex Hadamard matrices.</span> Open Syst. Inf. Dyn. <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib28.3.2">13</span>, (2006) 133-177. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib29"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[29]</span> <span class="ltx_bibblock"> <span class="ltx_text ltx_font_smallcaps" id="bib.bib29.1.1">M. Weiner</span>, </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib29.2.1">A gap for the maximum number of mutually unbiased bases.</span> Proceedings of the AMS, to appear. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib30"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[30]</span> <span class="ltx_bibblock"> <span class="ltx_text ltx_font_smallcaps" id="bib.bib30.1.1">P. Wocjan & T. Beth</span>, </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib30.2.1">New construction of mutually unbiased bases in square dimensions.</span> Quantum Inf. Comput. <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib30.3.2">5</span> (2005), 93-101. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib31"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[31]</span> <span class="ltx_bibblock"> <span class="ltx_text ltx_font_smallcaps" id="bib.bib31.1.1">W. K. Wootters & B. D. Fields</span>, </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib31.2.1">Optimal state-determination by mutually unbiased measurements.</span> Ann. Physics <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="bib.bib31.3.2">191</span> (1989), 363–381. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib32"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[32]</span> <span class="ltx_bibblock"> <span class="ltx_text ltx_font_smallcaps" id="bib.bib32.2.1">G. Zauner</span>, </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib32.3.1">Quantendesigns Grundzüge einer nichtkommutativen Designtheorie.</span> PhD thesis, Universität Wien, 1999. (available at http://www.mat.univie.ac.at/<math alttext="\sim" class="ltx_Math" display="inline" id="bib.bib32.1.m1.1"><semantics id="bib.bib32.1.m1.1a"><mo id="bib.bib32.1.m1.1.1" xref="bib.bib32.1.m1.1.1.cmml">∼</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="bib.bib32.1.m1.1b"><csymbol cd="latexml" id="bib.bib32.1.m1.1.1.cmml" xref="bib.bib32.1.m1.1.1">similar-to</csymbol></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="bib.bib32.1.m1.1c">\sim</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="bib.bib32.1.m1.1d">∼</annotation></semantics></math>neum/ms/zauner.pdf) </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib33"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[33]</span> <span class="ltx_bibblock"> Catalogue of complex Hadamard matrices: https://chaos.if.uj.edu.pl/ karol/hadamard/ </span> </li> </ul> </section> <div class="ltx_pagination ltx_role_newpage"></div> </article> </div> <footer class="ltx_page_footer"> <div class="ltx_page_logo">Generated on Tue Mar 18 21:29:12 2025 by <a class="ltx_LaTeXML_logo" href="http://dlmf.nist.gov/LaTeXML/"><span style="letter-spacing:-0.2em; margin-right:0.1em;">L<span class="ltx_font_smallcaps" style="position:relative; bottom:2.2pt;">a</span>T<span class="ltx_font_smallcaps" style="font-size:120%;position:relative; bottom:-0.2ex;">e</span></span><span style="font-size:90%; position:relative; bottom:-0.2ex;">XML</span><img alt="Mascot Sammy" src="data:image/png;base64,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"/></a> </div></footer> </div> </body> </html>