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vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Bibliographie"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7</span> <span>Bibliographie</span> </div> </a> <ul id="toc-Bibliographie-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Liens_externes" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Liens_externes"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">8</span> <span>Liens externes</span> </div> </a> <ul id="toc-Liens_externes-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="Sommaire" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" > <input type="checkbox" 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class="interlanguage-link interwiki-ca mw-list-item"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Sistema_duodecimal" title="Sistema duodecimal – catalan" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Sistema duodecimal" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="catalan" class="interlanguage-link-target"><span>Català</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/Dvan%C3%A1ctkov%C3%A1_soustava" title="Dvanáctková soustava – tchèque" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Dvanáctková soustava" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="tchèque" class="interlanguage-link-target"><span>Čeština</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cy mw-list-item"><a href="https://cy.wikipedia.org/wiki/Deuddegol" title="Deuddegol – gallois" lang="cy" hreflang="cy" data-title="Deuddegol" data-language-autonym="Cymraeg" data-language-local-name="gallois" class="interlanguage-link-target"><span>Cymraeg</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-da mw-list-item"><a href="https://da.wikipedia.org/wiki/Duodecimal" title="Duodecimal – danois" lang="da" hreflang="da" data-title="Duodecimal" data-language-autonym="Dansk" data-language-local-name="danois" class="interlanguage-link-target"><span>Dansk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-de mw-list-item"><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Duodezimalsystem" title="Duodezimalsystem – allemand" lang="de" hreflang="de" data-title="Duodezimalsystem" data-language-autonym="Deutsch" data-language-local-name="allemand" class="interlanguage-link-target"><span>Deutsch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-el mw-list-item"><a href="https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%94%CF%89%CE%B4%CE%B5%CE%BA%CE%B1%CE%B4%CE%B9%CE%BA%CF%8C_%CF%83%CF%8D%CF%83%CF%84%CE%B7%CE%BC%CE%B1_%CE%B1%CF%81%CE%AF%CE%B8%CE%BC%CE%B7%CF%83%CE%B7%CF%82" title="Δωδεκαδικό σύστημα αρίθμησης – grec" lang="el" hreflang="el" data-title="Δωδεκαδικό σύστημα αρίθμησης" data-language-autonym="Ελληνικά" data-language-local-name="grec" class="interlanguage-link-target"><span>Ελληνικά</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Duodecimal" title="Duodecimal – anglais" lang="en" hreflang="en" data-title="Duodecimal" data-language-autonym="English" data-language-local-name="anglais" class="interlanguage-link-target"><span>English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eo mw-list-item"><a href="https://eo.wikipedia.org/wiki/Dekduuma_sistemo" title="Dekduuma sistemo – espéranto" lang="eo" hreflang="eo" data-title="Dekduuma sistemo" data-language-autonym="Esperanto" data-language-local-name="espéranto" class="interlanguage-link-target"><span>Esperanto</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_duodecimal" title="Sistema duodecimal – espagnol" lang="es" hreflang="es" data-title="Sistema duodecimal" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="espagnol" class="interlanguage-link-target"><span>Español</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-et mw-list-item"><a href="https://et.wikipedia.org/wiki/Kaheteistk%C3%BCmnends%C3%BCsteem" title="Kaheteistkümnendsüsteem – estonien" lang="et" hreflang="et" data-title="Kaheteistkümnendsüsteem" data-language-autonym="Eesti" data-language-local-name="estonien" class="interlanguage-link-target"><span>Eesti</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eu mw-list-item"><a href="https://eu.wikipedia.org/wiki/Zenbaki-sistema_hamabitar" title="Zenbaki-sistema hamabitar – basque" lang="eu" hreflang="eu" data-title="Zenbaki-sistema hamabitar" data-language-autonym="Euskara" data-language-local-name="basque" class="interlanguage-link-target"><span>Euskara</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%AF%D8%B3%D8%AA%DA%AF%D8%A7%D9%87_%D8%A7%D8%B9%D8%AF%D8%A7%D8%AF_%D9%BE%D8%A7%DB%8C%D9%87_%DB%B1%DB%B2" title="دستگاه اعداد پایه ۱۲ – persan" lang="fa" hreflang="fa" data-title="دستگاه اعداد پایه ۱۲" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="persan" class="interlanguage-link-target"><span>فارسی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fi mw-list-item"><a href="https://fi.wikipedia.org/wiki/Duodesimaalij%C3%A4rjestelm%C3%A4" title="Duodesimaalijärjestelmä – finnois" lang="fi" hreflang="fi" data-title="Duodesimaalijärjestelmä" data-language-autonym="Suomi" data-language-local-name="finnois" class="interlanguage-link-target"><span>Suomi</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%91%D7%A1%D7%99%D7%A1_%D7%93%D7%95%D7%90%D7%95%D7%93%D7%A6%D7%99%D7%9E%D7%9C%D7%99" title="בסיס דואודצימלי – hébreu" lang="he" hreflang="he" data-title="בסיס דואודצימלי" 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hreflang="it" data-title="Sistema numerico duodecimale" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="italien" class="interlanguage-link-target"><span>Italiano</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%81%E4%BA%8C%E9%80%B2%E6%B3%95" title="十二進法 – japonais" lang="ja" hreflang="ja" data-title="十二進法" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="japonais" class="interlanguage-link-target"><span>日本語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%8B%AD%EC%9D%B4%EC%A7%84%EB%B2%95" title="십이진법 – coréen" lang="ko" hreflang="ko" data-title="십이진법" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="coréen" class="interlanguage-link-target"><span>한국어</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lv mw-list-item"><a href="https://lv.wikipedia.org/wiki/Duodecim%C4%81l%C4%81_skait%C4%AB%C5%A1anas_sist%C4%93ma" title="Duodecimālā skaitīšanas sistēma – letton" lang="lv" hreflang="lv" data-title="Duodecimālā skaitīšanas sistēma" data-language-autonym="Latviešu" data-language-local-name="letton" class="interlanguage-link-target"><span>Latviešu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mwl mw-list-item"><a href="https://mwl.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_numera%C3%A7on_duodecimal" title="Sistema de numeraçon duodecimal – mirandais" lang="mwl" hreflang="mwl" data-title="Sistema de numeraçon duodecimal" data-language-autonym="Mirandés" data-language-local-name="mirandais" class="interlanguage-link-target"><span>Mirandés</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Twaalftallig_stelsel" title="Twaalftallig stelsel – néerlandais" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Twaalftallig stelsel" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="néerlandais" 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data-title="Dwunastkowy system liczbowy" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="polonais" class="interlanguage-link-target"><span>Polski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_numera%C3%A7%C3%A3o_duodecimal" title="Sistema de numeração duodecimal – portugais" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Sistema de numeração duodecimal" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="portugais" class="interlanguage-link-target"><span>Português</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ro mw-list-item"><a href="https://ro.wikipedia.org/wiki/Sistem_duodecimal" title="Sistem duodecimal – roumain" lang="ro" hreflang="ro" data-title="Sistem duodecimal" data-language-autonym="Română" data-language-local-name="roumain" class="interlanguage-link-target"><span>Română</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D0%B0%D0%B4%D1%86%D0%B0%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D1%81%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F" title="Двенадцатеричная система счисления – russe" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Двенадцатеричная система счисления" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="russe" class="interlanguage-link-target"><span>Русский</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-simple mw-list-item"><a href="https://simple.wikipedia.org/wiki/Duodecimal" title="Duodecimal – Simple English" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Duodecimal" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="Simple English" class="interlanguage-link-target"><span>Simple English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/Dvanajsti%C5%A1ki_%C5%A1tevilski_sistem" 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href="https://uz.wikipedia.org/wiki/O%CA%BBn_ikkilik_sanoq_sistemasi" title="Oʻn ikkilik sanoq sistemasi – ouzbek" lang="uz" hreflang="uz" data-title="Oʻn ikkilik sanoq sistemasi" data-language-autonym="Oʻzbekcha / ўзбекча" data-language-local-name="ouzbek" class="interlanguage-link-target"><span>Oʻzbekcha / ўзбекча</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vi mw-list-item"><a href="https://vi.wikipedia.org/wiki/H%E1%BB%87_th%E1%BA%ADp_nh%E1%BB%8B_ph%C3%A2n" title="Hệ thập nhị phân – vietnamien" lang="vi" hreflang="vi" data-title="Hệ thập nhị phân" data-language-autonym="Tiếng Việt" data-language-local-name="vietnamien" class="interlanguage-link-target"><span>Tiếng Việt</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%81%E4%BA%8C%E8%BF%9B%E5%88%B6" title="十二进制 – chinois" lang="zh" hreflang="zh" data-title="十二进制" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="chinois" 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data-title="十二進制" data-language-autonym="粵語" data-language-local-name="cantonais" class="interlanguage-link-target"><span>粵語</span></a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><span class="wb-langlinks-edit wb-langlinks-link"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q212177#sitelinks-wikipedia" title="Modifier les liens interlangues" class="wbc-editpage">Modifier les liens</a></span></div> </div> </div> </div> </header> <div class="vector-page-toolbar"> <div class="vector-page-toolbar-container"> <div id="left-navigation"> <nav aria-label="Espaces de noms"> <div id="p-associated-pages" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-associated-pages" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Syst%C3%A8me_duod%C3%A9cimal" title="Voir le contenu de la page [c]" accesskey="c"><span>Article</span></a></li><li id="ca-talk" 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data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.unpin">masquer</button> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> <div id="bodyContent" class="vector-body" aria-labelledby="firstHeading" data-mw-ve-target-container> <div class="vector-body-before-content"> <div class="mw-indicators"> </div> <div id="siteSub" class="noprint">Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.</div> </div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"></div></div> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="fr" dir="ltr"><p>Le <b>système duodécimal</b>, aussi appelé système dozénal ou de base 12, est un <a href="/wiki/Syst%C3%A8me_de_num%C3%A9ration" title="Système de numération">système de numération</a>, où les nombres s'écrivent à l'aide de douze symboles. Souvent, les <a href="/wiki/Chiffres_arabes" title="Chiffres arabes">chiffres arabes</a> du système décimal ordinaire sont utilisés comme dix premiers symboles, les lettres A et B pour les deux restants. </p><p>Le nombre 12 admettant les quatre <a href="/wiki/Diviseur" title="Diviseur">diviseurs</a> 2, 3, 4 et 6, l'écriture en base <a href="/wiki/Base_(arithm%C3%A9tique)" title="Base (arithmétique)">base</a> 12 permet de diviser des entiers par 2, 3, 4, et 6, avec un résultat n'utilisant qu'un nombre fini de symboles après la virgule. En comparaison, c'est le cas pour la division par 2 et 5 dans le <a href="/wiki/Syst%C3%A8me_d%C3%A9cimal" title="Système décimal">système décimal</a> usuel (on obtient alors les <a href="/wiki/Nombre_d%C3%A9cimal" title="Nombre décimal">nombres décimaux</a>). </p><p>Ce système de numération de base 12 a été utilisé pour la mesure de certains types de quantités au cours de l'histoire et a été proposé comme une alternative au système décimal. </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Description">Description</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Syst%C3%A8me_duod%C3%A9cimal&veaction=edit&section=1" title="Modifier la section : Description" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Syst%C3%A8me_duod%C3%A9cimal&action=edit&section=1" title="Modifier le code source de la section : Description"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>En <a href="/wiki/Base_(arithm%C3%A9tique)" title="Base (arithmétique)">base</a> douze, on utilise généralement les dix <a href="/wiki/Chiffres_arabes" title="Chiffres arabes">chiffres arabes</a> de 0 à 9 ainsi que deux symboles variables pour représenter dix et onze, souvent A et B. Tout nombre peut être exprimé dans le système duodécimal à l'aide de ces douze symboles. </p> <table class="wikitable"> <caption>Premiers nombres entiers, en système décimal et en système duodécimal </caption> <tbody><tr> <td>Nombres écrits en base dix (système usuel)</td> <td>0</td> <td>1</td> <td>2</td> <td>3</td> <td>4</td> <td>5</td> <td>6</td> <td>7</td> <td>8</td> <td>9</td> <td>10</td> <td>11</td> <td>12</td> <td>13</td> <td>14</td> <td>15</td> <td>16</td> <td>17</td> <td>18</td> <td>19</td> <td>20</td> <td>21</td> <td>22</td> <td>23</td> <td>24 </td></tr> <tr> <td>Nombres écrits en duodécimal (base 12)</td> <td>0</td> <td>1</td> <td>2</td> <td>3</td> <td>4</td> <td>5</td> <td>6</td> <td>7</td> <td>8</td> <td>9</td> <td>A</td> <td>B</td> <td>10</td> <td>11</td> <td>12</td> <td>13</td> <td>14</td> <td>15</td> <td>16</td> <td>17 </td> <td>18</td> <td>19</td> <td>1A</td> <td>1B</td> <td>20 </td></tr></tbody></table> <p>Par exemple, le nombre qui s'écrit 25 en système décimal, peut se décomposer par paquets de douze comme 25=2x12+1, et s'écrit donc 21 dans le système duodécimal. Le nombre qui s'écrit 119 dans le système décimal de décompose comme 119=9x12+11 donc s'écrit 9B en système duodécimal. </p><p>Sont aussi parfois utilisés les symboles suivants pour représenter dix et onze : </p> <ul><li><b>X</b> (dix en chiffres romains) et <b>E</b> (de l'anglais <i>eleven</i>) ;</li> <li><b>T</b> (de l'anglais <i>ten</i>) et <b>E</b> (de l'anglais <i>eleven</i>) ;</li> <li><b>X</b> (dix en chiffres romains) et <b>Y</b> (qui suit la lettre X) ;</li> <li><b>↊</b> (deux culbuté) et <b><a href="/wiki/%E2%86%8B" title="↋">↋</a></b> (trois culbuté)<sup id="cite_ref-DSA_1-0" class="reference"><a href="#cite_note-DSA-1"><span class="cite_crochet">[</span>1<span class="cite_crochet">]</span></a></sup> ;</li> <li><b>α</b> (lettre grecque <i>alpha</i> minuscule) et <b>β</b> (lettre grecque <i>bêta</i> minuscule).</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Fractions">Fractions</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Syst%C3%A8me_duod%C3%A9cimal&veaction=edit&section=2" title="Modifier la section : Fractions" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Syst%C3%A8me_duod%C3%A9cimal&action=edit&section=2" title="Modifier le code source de la section : Fractions"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>La <a href="/wiki/Base_(arithm%C3%A9tique)" title="Base (arithmétique)">base</a> 12 permet de présenter les inverses des entiers 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, dans un développement fini<sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite_crochet">[</span>2<span class="cite_crochet">]</span></a></sup><sup class="reference cite_virgule">,</sup><sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3"><span class="cite_crochet">[</span>3<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>: </p> <ul><li>1/2 s'écrit 0,6 dans le système duodécimal ;</li> <li>1/3 s'écrit 0,4 ;</li> <li>1/4 s'écrit 0,3 ;</li> <li>1/6 s'écrit 0,2 ;</li> <li>1/8 s'écrit 0,16 ;</li> <li>1/9 s'écrit 0,14 ;</li> <li>1/12 s'écrit 0,1.</li></ul> <p>Ces nombres sont ainsi des nombres <i>duodécimaux</i>, c'est-à-dire qu'ils ont un développement fini en base 12 comme les <a href="/wiki/Nombre_d%C3%A9cimal" title="Nombre décimal">nombres décimaux</a> ont un développement fini en base dix<sup id="cite_ref-4" class="reference"><a href="#cite_note-4"><span class="cite_crochet">[</span>4<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. </p> <div class="NavFrame" style="border: thin solid #aaaaaa; margin:1em 2em; padding: 0 1em; font-size:100%; text-align:justify; overflow:hidden;"> <div class="NavHead" style="background-color:transparent; color:inherit; padding:0;">Démonstration</div><div class="NavContent" style="padding-bottom:0.4em"> <p>Le principe est d'écrire la fraction sous forme d'une fraction dont le dénominateur est une puissance de 12. Les calculs sont présentés d'abord en base décimale puis en base duodécimale. </p> <ul><li>Écriture décimale : <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1}{2}}={\frac {6}{12}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>6</mn> <mn>12</mn> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{2}}={\frac {6}{12}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b035259065685d0b36579fb7f3d7e4a1e147919e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:8.258ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{2}}={\frac {6}{12}}}"></span> - Écriture duodécimale : <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1}{2}}={\frac {6}{10}}=0,6}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>6</mn> <mn>10</mn> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>6</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{2}}={\frac {6}{10}}=0,6}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05c9f53e7fa1f95c153a0515f023f32655e85f75" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:14.715ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{2}}={\frac {6}{10}}=0,6}"></span></li> <li>Écriture décimale : <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1}{3}}={\frac {4}{12}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>3</mn> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>4</mn> <mn>12</mn> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{3}}={\frac {4}{12}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bb539d3e74cc8b97c4d750031b0aacff5c924ca" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:8.258ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{3}}={\frac {4}{12}}}"></span> - Écriture duodécimale : <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1}{3}}={\frac {4}{10}}=0,4}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>3</mn> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>4</mn> <mn>10</mn> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>4</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{3}}={\frac {4}{10}}=0,4}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a61085c4c5df4bd7513ebcabbb6be2395673b1e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:14.715ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{3}}={\frac {4}{10}}=0,4}"></span></li> <li>Écriture décimale : <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1}{4}}={\frac {3}{12}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>3</mn> <mn>12</mn> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{4}}={\frac {3}{12}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/268f2b94bff267229eb9016b8ca1824a922cb925" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:8.258ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{4}}={\frac {3}{12}}}"></span> - Écriture duodécimale : <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1}{4}}={\frac {3}{10}}=0,3}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>3</mn> <mn>10</mn> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>3</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{4}}={\frac {3}{10}}=0,3}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e766545d9a90c7586c2325d9b999ba1cf6b251a4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:14.715ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{4}}={\frac {3}{10}}=0,3}"></span></li> <li>Écriture décimale : <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1}{6}}={\frac {2}{12}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>6</mn> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>2</mn> <mn>12</mn> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{6}}={\frac {2}{12}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76aa5d447573c69934c09e94ef0392040f70a23e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:8.258ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{6}}={\frac {2}{12}}}"></span> - Écriture duodécimale : <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1}{6}}={\frac {2}{10}}=0,2}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>6</mn> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>2</mn> <mn>10</mn> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{6}}={\frac {2}{10}}=0,2}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/034ab043c871023a8db16ca16a2d5c91fff576d3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:14.715ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{6}}={\frac {2}{10}}=0,2}"></span></li> <li>Écriture décimale : <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1}{8}}={\frac {18}{12^{2}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>8</mn> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>18</mn> <msup> <mn>12</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{8}}={\frac {18}{12^{2}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72e2719abd38d85f97af0d5f0707b2200c721099" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:9.312ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{8}}={\frac {18}{12^{2}}}}"></span> - Écriture duodécimale : <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1}{8}}={\frac {16}{100}}=0,16}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>8</mn> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>16</mn> <mn>100</mn> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>16</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{8}}={\frac {16}{100}}=0,16}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e267c6c1b9bbd5126d8209f35ebcac04c3255fb9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:17.04ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{8}}={\frac {16}{100}}=0,16}"></span></li> <li>Écriture décimale : <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1}{9}}={\frac {16}{12^{2}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>9</mn> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>16</mn> <msup> <mn>12</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{9}}={\frac {16}{12^{2}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f75d8b338038bb707b9d09d234a264b44ddc0534" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:9.312ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{9}}={\frac {16}{12^{2}}}}"></span> - Écriture duodécimale : <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1}{9}}={\frac {14}{100}}=0,14}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>9</mn> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>14</mn> <mn>100</mn> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>14</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{9}}={\frac {14}{100}}=0,14}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5de544c3f1e732a471ef81936910e02626faa20" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:17.04ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{9}}={\frac {14}{100}}=0,14}"></span></li></ul> </div><div class="clear" style="clear:both;"></div> </div> <p>Les inverses de 5, 7, A (10 en base décimale) et B (11 en base décimale) ont, eux, un développement périodique illimité : </p> <ul><li>1/5 = 0,<span style="text-decoration: underline;">2497</span>2497...</li> <li>1/7 = 0,<span style="text-decoration: underline;">186A35</span>186A35 ....</li> <li>1/A = 0,1<span style="text-decoration: underline;">2497</span>2497...</li> <li>1/B = 0,<span style="text-decoration: underline;">1</span>1....</li></ul> <p>La démonstration est analogue à celle qui montre que 3 ou 7, par exemple, ont un développement périodique illimité en base dix et s'effectue par exemple en faisant appel à des propriétés de divisibilité ou de manière équivalente à des <a href="/wiki/Congruence_sur_les_entiers" title="Congruence sur les entiers">congruences</a><sup id="cite_ref-5" class="reference"><a href="#cite_note-5"><span class="cite_crochet">[</span>5<span class="cite_crochet">]</span></a></sup><sup class="reference cite_virgule">,</sup><sup id="cite_ref-6" class="reference"><a href="#cite_note-6"><span class="cite_crochet">[</span>6<span class="cite_crochet">]</span></a></sup> : </p> <div class="NavFrame" style="border: thin solid #aaaaaa; margin:1em 2em; padding: 0 1em; font-size:100%; text-align:justify; overflow:hidden;"> <div class="NavHead" style="background-color:transparent; color:inherit; padding:0;">Démonstration</div><div class="NavContent" style="padding-bottom:0.4em"> <p>Pour trouver l'inverse de l'entier <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>q</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06809d64fa7c817ffc7e323f85997f783dbdf71d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.07ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle q}"></span>, premier avec <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}"></span>, dans la base <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}"></span>, il suffit de trouver le plus petit entier <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"></span> tel que <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b^{n}\equiv 1{\pmod {q}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>≡</mo> <mn>1</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mspace width="1em" /> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>mod</mi> <mspace width="0.333em" /> <mi>q</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b^{n}\equiv 1{\pmod {q}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4c147f4740664aa823fe20f8a4a0ab8806377c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.231ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle b^{n}\equiv 1{\pmod {q}}}"></span>. Il existe alors <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N}"></span> tel que <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b^{n}=Nq+1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mi>N</mi> <mi>q</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b^{n}=Nq+1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32ee88fab056f5ff0a4a9ef27b8b4b3a3b239faf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.451ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle b^{n}=Nq+1}"></span> et donc </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1}{q}}={\frac {N}{b^{n}}}+{\frac {1}{b^{n}}}{\frac {1}{q}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>q</mi> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>N</mi> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>q</mi> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{q}}={\frac {N}{b^{n}}}+{\frac {1}{b^{n}}}{\frac {1}{q}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cabef88aae3c40ce940da908575c26b4aab1badc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:16.04ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{q}}={\frac {N}{b^{n}}}+{\frac {1}{b^{n}}}{\frac {1}{q}}}"></span></dd></dl> <p>En reprenant la valeur de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1}{q}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>q</mi> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{q}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31935b3350a60f92fd4189d0575dd8b876df36e6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:1.999ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{q}}}"></span> dans le second membre , on obtient </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1}{q}}={\frac {N}{b^{n}}}+{\frac {N}{b^{2n}}}+{\frac {1}{b^{2n}}}{\frac {1}{q}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>q</mi> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>N</mi> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>N</mi> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>q</mi> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{q}}={\frac {N}{b^{n}}}+{\frac {N}{b^{2n}}}+{\frac {1}{b^{2n}}}{\frac {1}{q}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e18f098137bece5b95cc984296d7c6ea14a25bc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:23.577ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{q}}={\frac {N}{b^{n}}}+{\frac {N}{b^{2n}}}+{\frac {1}{b^{2n}}}{\frac {1}{q}}}"></span></dd></dl> <p>et en répétant indéfiniment ce processus on obtient </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1}{q}}={\frac {N}{b^{n}}}+{\frac {N}{b^{2n}}}+{\frac {N}{b^{3n}}}+{\frac {N}{b^{4n}}}+\cdots }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>q</mi> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>N</mi> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>N</mi> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>N</mi> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>N</mi> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mo>⋯</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{q}}={\frac {N}{b^{n}}}+{\frac {N}{b^{2n}}}+{\frac {N}{b^{3n}}}+{\frac {N}{b^{4n}}}+\cdots }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d829a43b2eaa31e347e3a60d009f66fb790855ae" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:33.856ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{q}}={\frac {N}{b^{n}}}+{\frac {N}{b^{2n}}}+{\frac {N}{b^{3n}}}+{\frac {N}{b^{4n}}}+\cdots }"></span>.</dd></dl> <p>Or <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 12^{4}=20736=5\times 4147+1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mn>12</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>20736</mn> <mo>=</mo> <mn>5</mn> <mo>×</mo> <mn>4147</mn> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 12^{4}=20736=5\times 4147+1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac4beb836fb18a0b82b7ee12d9f40581f73400d2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:28.044ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 12^{4}=20736=5\times 4147+1}"></span>. Donc <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N=4147}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo>=</mo> <mn>4147</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N=4147}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5282793fc77329d72eb7f50955cbc359a87a2d34" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.812ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N=4147}"></span>. Or <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 4147=2\times 12^{3}+4\times 12^{2}+9\times 12+7}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>4147</mn> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mo>×</mo> <msup> <mn>12</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>4</mn> <mo>×</mo> <msup> <mn>12</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>9</mn> <mo>×</mo> <mn>12</mn> <mo>+</mo> <mn>7</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 4147=2\times 12^{3}+4\times 12^{2}+9\times 12+7}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa717afe70cd105a8ff60240fadeb142af97d220" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:38.524ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 4147=2\times 12^{3}+4\times 12^{2}+9\times 12+7}"></span> donc l'écriture duodécimale de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N}"></span> est 2497. L'écriture de la fraction 1/5 en duodécimal est donc </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1}{5}}={\frac {2497}{10^{4}}}+{\frac {2497}{10^{2\times 4}}}+{\frac {2497}{10^{3\times 4}}}+\cdots =0,249724972497\cdots }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>5</mn> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>2497</mn> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>2497</mn> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> <mo>×</mo> <mn>4</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>2497</mn> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> <mo>×</mo> <mn>4</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mo>⋯</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>249724972497</mn> <mo>⋯</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{5}}={\frac {2497}{10^{4}}}+{\frac {2497}{10^{2\times 4}}}+{\frac {2497}{10^{3\times 4}}}+\cdots =0,249724972497\cdots }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5637881b67d7d7860c6bc8acfbfce0d604cc2856" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:56.814ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{5}}={\frac {2497}{10^{4}}}+{\frac {2497}{10^{2\times 4}}}+{\frac {2497}{10^{3\times 4}}}+\cdots =0,249724972497\cdots }"></span>.</dd></dl> <p>De même, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 12^{6}=2985984=7\times 426569+1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mn>12</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>6</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>2985984</mn> <mo>=</mo> <mn>7</mn> <mo>×</mo> <mn>426569</mn> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 12^{6}=2985984=7\times 426569+1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ea88ae247afc21304af4d3f569fb09bcd72f1c5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:32.694ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 12^{6}=2985984=7\times 426569+1}"></span>. Donc <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N=426569}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo>=</mo> <mn>426569</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N=426569}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3638f559e6c0aae67e8183964f89d11befcf29b4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:12.137ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N=426569}"></span>. </p><p>Or <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 426569=1\times 12^{5}+8\times 12^{4}+6\times 12^{3}+10\times 12^{2}+3\times 12+5}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>426569</mn> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>×</mo> <msup> <mn>12</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>5</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>8</mn> <mo>×</mo> <msup> <mn>12</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>6</mn> <mo>×</mo> <msup> <mn>12</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>10</mn> <mo>×</mo> <msup> <mn>12</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>3</mn> <mo>×</mo> <mn>12</mn> <mo>+</mo> <mn>5</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 426569=1\times 12^{5}+8\times 12^{4}+6\times 12^{3}+10\times 12^{2}+3\times 12+5}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e975a45db0f40d20aab0d8442753658d8cdeb7c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:62.456ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 426569=1\times 12^{5}+8\times 12^{4}+6\times 12^{3}+10\times 12^{2}+3\times 12+5}"></span> donc l'écriture duodécimale de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N}"></span> est 186A35. L'écriture de la fraction 1/7 en duodécimal est donc </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1}{7}}={\frac {186A35}{10^{5}}}+{\frac {186A35}{10^{2\times 5}}}+{\frac {186A35}{10^{3\times 5}}}+\cdots =0,186A35186A35\cdots }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>7</mn> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mn>186</mn> <mi>A</mi> <mn>35</mn> </mrow> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>5</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mn>186</mn> <mi>A</mi> <mn>35</mn> </mrow> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> <mo>×</mo> <mn>5</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mn>186</mn> <mi>A</mi> <mn>35</mn> </mrow> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> <mo>×</mo> <mn>5</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mo>⋯</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>186</mn> <mi>A</mi> <mn>35186</mn> <mi>A</mi> <mn>35</mn> <mo>⋯</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{7}}={\frac {186A35}{10^{5}}}+{\frac {186A35}{10^{2\times 5}}}+{\frac {186A35}{10^{3\times 5}}}+\cdots =0,186A35186A35\cdots }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07a1c3d34166700775473e1c54a486c108b7b02c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:65.032ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{7}}={\frac {186A35}{10^{5}}}+{\frac {186A35}{10^{2\times 5}}}+{\frac {186A35}{10^{3\times 5}}}+\cdots =0,186A35186A35\cdots }"></span></dd></dl> <p>De même <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 12=11\times 1+1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>12</mn> <mo>=</mo> <mn>11</mn> <mo>×</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 12=11\times 1+1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b41142e1e5d0629af86adc109c05fa31b343a48" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:15.754ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 12=11\times 1+1}"></span>. ici <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N=1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N=1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85982022b9eb1f295b44de55023687a490db0a39" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.325ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N=1}"></span> et l'écriture en duodécimal de la fraction 1/11 est </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1}{B}}={\frac {1}{10}}+{\frac {1}{100}}+{\frac {1}{1000}}+\cdots =0,111\cdots }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>B</mi> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>10</mn> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>100</mn> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>1000</mn> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mo>⋯</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>111</mn> <mo>⋯</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{B}}={\frac {1}{10}}+{\frac {1}{100}}+{\frac {1}{1000}}+\cdots =0,111\cdots }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/413fc57cf276548e60d2573bcc94ca55a61a343b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:41.806ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{B}}={\frac {1}{10}}+{\frac {1}{100}}+{\frac {1}{1000}}+\cdots =0,111\cdots }"></span></dd></dl> <p>Quant à l'inverse de 10, c'est la moitié de l'inverse de 5. </p> </div><div class="clear" style="clear:both;"></div> </div> <p>En duodécimal (= 2 ᛫ 2 ᛫ 3), comme en <a href="/wiki/Syst%C3%A8me_s%C3%A9naire" title="Système sénaire">sénaire</a>, les fractions dont les dénominateurs sont des <a href="/wiki/Puissance_de_deux" title="Puissance de deux">puissances de 2</a>, de 3 ou des produits de puissances de 2 ou 3 ont une représentation finie<sup id="cite_ref-7" class="reference"><a href="#cite_note-7"><span class="cite_crochet">[</span>7<span class="cite_crochet">]</span></a></sup> : </p> <ul><li>1/8 s'exprime exactement avec un nombre fini de chiffres après la virgule : 0,16.</li> <li>1/<span style="text-decoration: overline;">16</span> (décimal : 1/18) s'écrit 0,08</li> <li>1/<span style="text-decoration: overline;">18</span> (décimal : 1/20) nécessite un développement périodique illimité car son dénominateur inclut 5 dans sa décomposition.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Utilisation">Utilisation</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Syst%C3%A8me_duod%C3%A9cimal&veaction=edit&section=3" title="Modifier la section : Utilisation" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Syst%C3%A8me_duod%C3%A9cimal&action=edit&section=3" title="Modifier le code source de la section : Utilisation"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Alors que le décompte par douzaines de certaines quantités comme les heures, les œufs ou les huîtres est fréquent, l'utilisation du système en base douze n'est pas courante. On en trouve pourtant un exemple pratique utilisé dans la langue <a href="/wiki/N%C3%A9palais" title="Népalais">népalaise</a><sup id="cite_ref-8" class="reference"><a href="#cite_note-8"><span class="cite_crochet">[</span>8<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. Les <a href="/wiki/Rome_antique" title="Rome antique">Romains</a> utilisaient également le système duodécimal pour représenter les <a href="/wiki/Num%C3%A9ration_romaine#Notation_des_fractions" title="Numération romaine">fractions</a>, alors qu'ils comptaient en base dix<sup id="cite_ref-9" class="reference"><a href="#cite_note-9"><span class="cite_crochet">[</span>9<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Histoire">Histoire</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Syst%C3%A8me_duod%C3%A9cimal&veaction=edit&section=4" title="Modifier la section : Histoire" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Syst%C3%A8me_duod%C3%A9cimal&action=edit&section=4" title="Modifier le code source de la section : Histoire"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Métrologie"><span id="M.C3.A9trologie"></span>Métrologie</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Syst%C3%A8me_duod%C3%A9cimal&veaction=edit&section=5" title="Modifier la section : Métrologie" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Syst%C3%A8me_duod%C3%A9cimal&action=edit&section=5" title="Modifier le code source de la section : Métrologie"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>En <a href="/wiki/Latin" title="Latin">latin</a>, il existe un grand nombre de noms et d'adjectifs pour désigner des ensembles de douze unités<sup id="cite_ref-10" class="reference"><a href="#cite_note-10"><span class="cite_crochet">[</span>10<span class="cite_crochet">]</span></a></sup> (<i>duodecim</i><sup id="cite_ref-11" class="reference"><a href="#cite_note-11"><span class="cite_crochet">[</span>a<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>), ce qui montre la familiarité du décompte en douzaines. Cependant, le latin réfère au douze comme « dix plus deux » plutôt qu'un nombre à part entière, et le traite comme un « accessoire de dix »<sup class="need_ref_tag" style="padding-left:2px;"><a href="/wiki/Aide:R%C3%A9f%C3%A9rence_n%C3%A9cessaire" title="Aide:Référence nécessaire"><span title="Ce passage nécessite une référence ; voir l'aide.">[réf. nécessaire]</span></a></sup>. </p> <ul><li><i><span class="lang-la" lang="la">duodecajugum</span></i> : attelage de douze coursiers ;</li> <li><i><span class="lang-la" lang="la">duodecas</span></i> : douzaine ;</li> <li><i><span class="lang-la" lang="la">duodecennium</span></i> : période de douze ans ;</li> <li><i><span class="lang-la" lang="la">duodecemvir</span></i> : collège de douze magistrats ;</li> <li>etc.</li></ul> <p>Des exemples de cet usage sont les douze mois de l'année, les douze heures d'une montre (découpage de la nuit et du jour en douze heures basé sur le <a href="/wiki/D%C3%A9can_en_%C3%89gypte_antique" title="Décan en Égypte antique">décan en Égypte antique</a><sup id="cite_ref-12" class="reference"><a href="#cite_note-12"><span class="cite_crochet">[</span>11<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>), les douze divisions traditionnelles du temps dans une journée en Chine, les douze <a href="/wiki/Signes_du_zodiaque" class="mw-redirect" title="Signes du zodiaque">signes du zodiaque</a> de l'astrologie, les douze signes du zodiaque de l'<a href="/wiki/Astrologie_chinoise" title="Astrologie chinoise">astrologie chinoise</a>, la <a href="/wiki/Une_douzaine_d%27%C5%93ufs_frais" title="Une douzaine d'œufs frais">douzaine</a> d'œufs etc. Il s'utilise encore dans le commerce (douzaine, grosse<sup id="cite_ref-13" class="reference"><a href="#cite_note-13"><span class="cite_crochet">[</span>b<span class="cite_crochet">]</span></a></sup> pour douze douzaines ou 12<sup>2</sup>). </p> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:Finger_counting_Russia_12.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e6/Finger_counting_Russia_12.png/220px-Finger_counting_Russia_12.png" decoding="async" width="220" height="253" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e6/Finger_counting_Russia_12.png 1.5x" data-file-width="269" data-file-height="309" /></a><figcaption>Comptage en duodécimal avec les <a href="/wiki/Phalanges_(anatomie)" class="mw-redirect" title="Phalanges (anatomie)">phalanges</a>.</figcaption></figure> <p>Certaines populations (<a href="/wiki/Moyen-Orient" title="Moyen-Orient">Moyen-Orient</a>, <a href="/wiki/Roumanie" title="Roumanie">Roumanie</a>, <a href="/wiki/%C3%89gypte" title="Égypte">Égypte</a>) connaissent ce système de longue date, en comptant les phalanges de la main en omettant celles du pouce (qui est utilisé pour pointer les phalanges des autres doigts), ce qui donne bien le nombre douze, base de cette numération<sup id="cite_ref-14" class="reference"><a href="#cite_note-14"><span class="cite_crochet">[</span>12<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. </p><p>L'abondance de diviseurs pour 12 (12 est un <a href="/wiki/Nombre_hautement_compos%C3%A9" title="Nombre hautement composé">nombre hautement composé</a>) pourrait expliquer que les systèmes de mesure aient longtemps comporté des sous-multiples en douzièmes (douze pouces dans un pied, douze <a href="/wiki/Pence" class="mw-redirect" title="Pence">pence</a> dans un <a href="/wiki/Shilling" title="Shilling">shilling</a>, douze <a href="/wiki/Denier_(monnaie)" title="Denier (monnaie)">deniers</a> dans un <a href="/wiki/Sou" title="Sou">sou</a>, douze pièces dans une douzaine, douze douzaines dans une grosse, douze grosses dans une grande grosse, etc.)<sup id="cite_ref-Ifrah45_15-0" class="reference"><a href="#cite_note-Ifrah45-15"><span class="cite_crochet">[</span>13<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. </p><p>Durant la <a href="/wiki/R%C3%A9volution_fran%C3%A7aise" title="Révolution française">révolution française</a>, quand il a été question d'unifier les systèmes des poids et mesures, l'Assemblée Nationale a demandé à l'<a href="/wiki/Acad%C3%A9mie_des_sciences_(France)" title="Académie des sciences (France)">Académie des sciences</a> de présenter un rapport sur cette réforme. Les académiciens <a href="/wiki/Jean-Charles_de_Borda" title="Jean-Charles de Borda">Jean-Charles de Borda</a>, <a href="/wiki/Antoine_Lavoisier" title="Antoine Lavoisier">Antoine Lavoisier</a>, <a href="/wiki/Mathieu_Tillet" title="Mathieu Tillet">Mathieu Tillet</a> et <a href="/wiki/Nicolas_de_Condorcet" title="Nicolas de Condorcet">Nicolas de Condorcet</a>, dans leur rapport de 1790, ont envisagé un temps de prendre le système duodécimal comme système arithmétique, avant d'y renoncer devant la difficulté de son acceptabilité<sup id="cite_ref-16" class="reference"><a href="#cite_note-16"><span class="cite_crochet">[</span>14<span class="cite_crochet">]</span></a></sup><sup class="reference cite_virgule">,</sup> <sup id="cite_ref-Glaser198171-72_17-0" class="reference"><a href="#cite_note-Glaser198171-72-17"><span class="cite_crochet">[</span>15<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. </p><p>À quelques rares exceptions près, dont celle notable des <a href="/wiki/%C3%89tats-Unis_d%27Am%C3%A9rique" class="mw-redirect" title="États-Unis d'Amérique">États-Unis d'Amérique</a>, ces systèmes ont été abandonnés partout, au profit du système décimal. Le <a href="/wiki/Royaume-Uni" title="Royaume-Uni">Royaume-Uni</a> a, par exemple, adopté la décimalisation de sa monnaie, la livre sterling, en 1971. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Numération_orale"><span id="Num.C3.A9ration_orale"></span>Numération orale</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Syst%C3%A8me_duod%C3%A9cimal&veaction=edit&section=6" title="Modifier la section : Numération orale" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Syst%C3%A8me_duod%C3%A9cimal&action=edit&section=6" title="Modifier le code source de la section : Numération orale"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>On ne trouve pas trace de système d'énonciation des nombres qui soit complètement duodécimal. Cependant on trouve quelques indices de douze nombres de base et, dans quelques peuples très localisés, une utilisation occasionnelle du système duodécimal. </p><p>Les langues germaniques ont douze nombres de base<sup class="need_ref_tag" style="padding-left:2px;"><a href="/wiki/Aide:R%C3%A9f%C3%A9rence_n%C3%A9cessaire" title="Aide:Référence nécessaire"><span title="Ce passage nécessite une référence ; voir l'aide.">[réf. nécessaire]</span></a></sup>. Contrairement aux <a href="/wiki/Langues_romanes" title="Langues romanes">langues romanes</a> ou slaves où les mots pour onze et douze signifient en fait respectivement « dix et un » et « dix et deux » (« undici », « dodici » en italien, suivis par « tredici » ; « odinnadsať », « dvenadsať » en russe, suivis par « trinadsať »), on dit « eleven », « twelve » en anglais, « elf », « twaalf » en néerlandais, selon un modèle différent de la série de nombres suivants (« thirteen, fourteen, fifteen… » en anglais, qui signifient tous « dix et trois, dix et quatre, dix et cinq… »). </p><p>H. F. Mathews, en 1917, communique sur des tribus du peuple <a href="/wiki/Nungu_(peuple)" title="Nungu (peuple)">Nungu</a>, dans la province de Nassawara au nord du <a href="/wiki/Niger" title="Niger">Niger</a> et signale la construction de 13 , 14, 15 etc. et 24, 36, etc. à l'aide du 12 (<i>oso</i>) et des 1 (<i>iri</i>), 2 (<i>aha</i> ), 3 (<i>acha</i>) etc. selon le principe suivant<sup id="cite_ref-18" class="reference"><a href="#cite_note-18"><span class="cite_crochet">[</span>16<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>: </p> <ul><li>13 = <i>oso shi iri</i>, 14 = <i>oso shi aha</i>, etc.</li> <li>24 = <i>oso aha</i>, 36 = <i>oso acha</i>, etc.</li></ul> <p>De même, Ross C. Caughley en 1972, étudiant le peuple sino-tibétain <a href="/wiki/Chepangs" title="Chepangs">Chepang</a>, signale l'utilisation occasionnelle de décompte en base duodécimale<sup id="cite_ref-19" class="reference"><a href="#cite_note-19"><span class="cite_crochet">[</span>17<span class="cite_crochet">]</span></a></sup> que Martine Mazaudon, en 2008, analyse comme suit<sup id="cite_ref-20" class="reference"><a href="#cite_note-20"><span class="cite_crochet">[</span>18<span class="cite_crochet">]</span></a></sup> : </p> <ul><li>15 = <i>yat hale sum.jyo<sup>?</sup></i> (un douze + trois)</li> <li>29 = <i>nis hale ponja.jyo<sup>?</sup></i> (deux douze + cinq)</li> <li>60 = <i>ponja hale</i> (cinq douze).</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Arithmétique"><span id="Arithm.C3.A9tique"></span>Arithmétique</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Syst%C3%A8me_duod%C3%A9cimal&veaction=edit&section=7" title="Modifier la section : Arithmétique" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Syst%C3%A8me_duod%C3%A9cimal&action=edit&section=7" title="Modifier le code source de la section : Arithmétique"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Peu de temps après la généralisation du système décimal positionnel en Europe, les mathématiciens commencent à s'intéresser aux systèmes de numération non décimaux. </p><p>Dans ses <i>Récréations mathématiques</i><sup id="cite_ref-21" class="reference"><a href="#cite_note-21"><span class="cite_crochet">[</span>19<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>, <a href="/wiki/%C3%89douard_Lucas" title="Édouard Lucas">Édouard Lucas</a> mentionne <a href="/wiki/Simon_Stevin" title="Simon Stevin">Simon Stevin</a> comme ayant imaginé dès le début du <abbr class="abbr" title="17ᵉ siècle"><span class="romain">XVII</span><sup style="font-size:72%">e</sup></abbr> siècle un système de numération duodécimal avant de devenir un farouche promoteur du système décimal dans son ouvrage <i>La Dîme</i>. Cependant, selon Anton Glaser<sup id="cite_ref-Glaser198114_22-0" class="reference"><a href="#cite_note-Glaser198114-22"><span class="cite_crochet">[</span>20<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>, il n'y aurait pas de telle mention dans les œuvres mathématiques de Stevin<sup id="cite_ref-23" class="reference"><a href="#cite_note-23"><span class="cite_crochet">[</span>21<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. </p><p>Une des premières traces de la possibilité de traiter l'arithmétique dans d'autres bases que la base décimale<sup id="cite_ref-24" class="reference"><a href="#cite_note-24"><span class="cite_crochet">[</span>22<span class="cite_crochet">]</span></a></sup> se trouve dans un article de 1654 de <a href="/wiki/Blaise_Pascal" title="Blaise Pascal">Blaise Pascal</a> sur <a href="/wiki/Ruban_de_Pascal" title="Ruban de Pascal">un critère de divisibilité</a>, <i>De numeris multiplicibus</i>. Après avoir exposé son critère en base dix, il explique que celui-ci est plus général et peut s'appliquer à d'autre bases<sup id="cite_ref-25" class="reference"><a href="#cite_note-25"><span class="cite_crochet">[</span>c<span class="cite_crochet">]</span></a></sup> comme la base douze, exemple à l'appui. À cette occasion, il expose le principe de la base duodécimale, indiquant la nécessité de deux symboles pour les <i>chiffres</i> dix et onze<sup id="cite_ref-26" class="reference"><a href="#cite_note-26"><span class="cite_crochet">[</span>23<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. </p><p>En 1670, dans son ouvrage <i>Mathesis biceps</i>, <a href="/wiki/Juan_Caramuel_y_Lobkowitz" title="Juan Caramuel y Lobkowitz">Juan Caramuel y Lobkowitz</a> consacre tout un chapitre aux numérations non décimales, se concentrant principalement sur la base 2 mais évoquant également les bases trois, quatre, cinq, sept, huit, neuf, dix, onze, douze et soixante<sup id="cite_ref-Glaser198120_27-0" class="reference"><a href="#cite_note-Glaser198120-27"><span class="cite_crochet">[</span>24<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. Mais c'est Joshua Jordaine qui, en 1687, dans son <i>Duodecimal arithmetick</i>, va pousser le plus loin l'exploitation d'une écriture fractionnaire duodécimale et en faire la promotion, la jugeant plus adaptée aux systèmes métrologiques en vigueur<sup id="cite_ref-Glaser1981170_28-0" class="reference"><a href="#cite_note-Glaser1981170-28"><span class="cite_crochet">[</span>25<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. Il conserve la notation décimale pour la <a href="/wiki/Partie_enti%C3%A8re_et_partie_fractionnaire" title="Partie entière et partie fractionnaire">partie entière</a> et utilise la notation duodécimale pour la partie fractionnaire<sup id="cite_ref-29" class="reference"><a href="#cite_note-29"><span class="cite_crochet">[</span>26<span class="cite_crochet">]</span></a></sup> sans pour autant inventer de symboles particuliers pour dix et onze, se contentant d'isoler ses chiffres par des séparateurs<sup id="cite_ref-Glaser198125_30-0" class="reference"><a href="#cite_note-Glaser198125-30"><span class="cite_crochet">[</span>27<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. Il présente les opérations classiques (4 opérations, technique de conversion de base décimale en base duodécimale<sup id="cite_ref-Glaser198127_31-0" class="reference"><a href="#cite_note-Glaser198127-31"><span class="cite_crochet">[</span>28<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>, extraction de la racine carrée et cubique, etc.) et expose son utilisation possible dans les systèmes métrologiques existants. </p><p>À partir du <abbr class="abbr" title="18ᵉ siècle"><span class="romain">XVIII</span><sup style="font-size:72%">e</sup></abbr> siècle, on trouve de nombreux exemples sur le système duodécimal dès que les ouvrages traitent d'écriture en base <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">a</span> quelconque (<a href="/wiki/%C3%89tienne_B%C3%A9zout" title="Étienne Bézout">Étienne Bézout</a><sup id="cite_ref-Glaser198164-65_32-0" class="reference"><a href="#cite_note-Glaser198164-65-32"><span class="cite_crochet">[</span>29<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>, <a href="/wiki/Peter_Barlow" title="Peter Barlow">Peter Barlow</a><sup id="cite_ref-Glaser198180-82_33-0" class="reference"><a href="#cite_note-Glaser198180-82-33"><span class="cite_crochet">[</span>30<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>, <a href="/wiki/Isaac_Pitman" title="Isaac Pitman">Isaac Pitman</a><sup id="cite_ref-Glaser198188_34-0" class="reference"><a href="#cite_note-Glaser198188-34"><span class="cite_crochet">[</span>31<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>, <a href="/wiki/John_W._Nystrom" title="John W. Nystrom">John W. Nystrom</a><sup id="cite_ref-Glaser198188-89_35-0" class="reference"><a href="#cite_note-Glaser198188-89-35"><span class="cite_crochet">[</span>32<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>, <a href="/wiki/Herbert_Spencer" title="Herbert Spencer">Herbert Spencer</a><sup id="cite_ref-Glaser1981110_36-0" class="reference"><a href="#cite_note-Glaser1981110-36"><span class="cite_crochet">[</span>33<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>, etc.). Certains de ces auteurs le trouvent logiquement plus adapté que le système décimal. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Dozénalisme"><span id="Doz.C3.A9nalisme"></span>Dozénalisme</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Syst%C3%A8me_duod%C3%A9cimal&veaction=edit&section=8" title="Modifier la section : Dozénalisme" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Syst%C3%A8me_duod%C3%A9cimal&action=edit&section=8" title="Modifier le code source de la section : Dozénalisme"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Le système duodécimal est très peu utilisé, mais il a ses adeptes. En France par exemple, l'<a href="/wiki/Inspection_g%C3%A9n%C3%A9rale_des_finances_(France)" title="Inspection générale des finances (France)">inspecteur général des finances</a> Jean Essig le propose en 1955 dans son <a href="/wiki/Essai" title="Essai">essai</a> <i>Douze notre dix futur, essai sur la numération duodécimale et un système métrique concordant</i><sup id="cite_ref-Ifrah45_15-1" class="reference"><a href="#cite_note-Ifrah45-15"><span class="cite_crochet">[</span>13<span class="cite_crochet">]</span></a></sup><sup class="reference cite_virgule">,</sup><sup id="cite_ref-37" class="reference"><a href="#cite_note-37"><span class="cite_crochet">[</span>34<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. </p><p>La Dozenal Society of Great Britain<sup id="cite_ref-38" class="reference"><a href="#cite_note-38"><span class="cite_crochet">[</span>35<span class="cite_crochet">]</span></a></sup><sup class="reference cite_virgule">,</sup><sup id="cite_ref-39" class="reference"><a href="#cite_note-39"><span class="cite_crochet">[</span>36<span class="cite_crochet">]</span></a></sup> au <a href="/wiki/Royaume-Uni" title="Royaume-Uni">Royaume-Uni</a> et la Dozenal Society of America<sup id="cite_ref-DSA_1-1" class="reference"><a href="#cite_note-DSA-1"><span class="cite_crochet">[</span>1<span class="cite_crochet">]</span></a></sup> aux <a href="/wiki/%C3%89tats-Unis" title="États-Unis">États-Unis</a> font la promotion du système duodécimal<sup id="cite_ref-40" class="reference"><a href="#cite_note-40"><span class="cite_crochet">[</span>d<span class="cite_crochet">]</span></a></sup> en affirmant qu'un système en base douze est meilleur que le système décimal tant du point de vue mathématique que pour les questions pratiques. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Notes_et_références"><span id="Notes_et_r.C3.A9f.C3.A9rences"></span>Notes et références</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Syst%C3%A8me_duod%C3%A9cimal&veaction=edit&section=9" title="Modifier la section : Notes et références" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Syst%C3%A8me_duod%C3%A9cimal&action=edit&section=9" title="Modifier le code source de la section : Notes et références"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Notes">Notes</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Syst%C3%A8me_duod%C3%A9cimal&veaction=edit&section=10" title="Modifier la section : Notes" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Syst%C3%A8me_duod%C3%A9cimal&action=edit&section=10" title="Modifier le code source de la section : Notes"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="references-small lower-alpha" style=""><div class="mw-references-wrap"><ol class="references"> <li id="cite_note-11"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-11">↑</a> </span><span class="reference-text">Outre sa signification numérique, le terme <i>duodecim</i> est une <a href="/wiki/M%C3%A9tonymie" title="Métonymie">métonymie</a> utilisée pour désigner la <a href="/wiki/Loi_des_douze_tables" class="mw-redirect" title="Loi des douze tables">Loi des douze tables</a>, le fondement du <a href="/wiki/Droit_romain" title="Droit romain">droit romain</a>.</span> </li> <li id="cite_note-13"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-13">↑</a> </span><span class="reference-text">Voir « <a href="https://fr.wiktionary.org/wiki/grosse" class="extiw" title="wikt:grosse">grosse</a> » sur le <a href="/wiki/Wiktionnaire" title="Wiktionnaire">wiktionnaire</a>.</span> </li> <li id="cite_note-25"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-25">↑</a> </span><span class="reference-text">Il l'avait annoncé en remarque préliminaire : <span class="citation">« cette méthode s'applique non seulement à notre système décimal de numération (système qui repose non sur une nécessité naturelle, comme le pense le vulgaire, mais sur une convention, d'ailleurs assez malheureuse) mais encore à tout système de numération ayant pour base tel nombre qu'on voudra. »</span></span> </li> <li id="cite_note-40"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-40">↑</a> </span><span class="reference-text">En <a href="/wiki/Anglais" title="Anglais">anglais</a>, <i>dozenal</i> (« dozénal ») est un <a href="/wiki/Synonymie" title="Synonymie">synonyme</a> de <i>duodecimal</i> (« duodécimal »).</span> </li> </ol></div> </div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Références"><span id="R.C3.A9f.C3.A9rences"></span>Références</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Syst%C3%A8me_duod%C3%A9cimal&veaction=edit&section=11" title="Modifier la section : Références" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Syst%C3%A8me_duod%C3%A9cimal&action=edit&section=11" title="Modifier le code source de la section : Références"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="references-small decimal" style=""><div class="mw-references-wrap mw-references-columns"><ol class="references"> <li id="cite_note-DSA-1"><span class="mw-cite-backlink noprint">↑ <sup><a href="#cite_ref-DSA_1-0">a</a> et <a href="#cite_ref-DSA_1-1">b</a></sup> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage">« <a rel="nofollow" class="external text" href="https://dozenal.org/"><cite style="font-style:normal;">Dozenal Society of America</cite></a> »</span>.</span> </li> <li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-2">↑</a> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage">« <a rel="nofollow" class="external text" href="https://wims.univ-cotedazur.fr/"><cite style="font-style:normal;">Convertisseuse de base</cite></a> », sur <span class="italique">WIMS</span> <small style="line-height:1em;">(consulté le <time class="nowrap" datetime="2024-07-13" data-sort-value="2024-07-13">13 juillet 2024</time>)</small></span>.</span> </li> <li id="cite_note-3"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-3">↑</a> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage" id="Wolfram"><span class="ouvrage" id="S._Wolfram"><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> S. Wolfram, « <a rel="nofollow" class="external text" href="https://demonstrations.wolfram.com/FractionsInDifferentBases/"><cite style="font-style:normal;" lang="en">Fractions in different bases</cite></a> », sur <span class="italique">Wolfram Demonstrations Project</span></span></span>.</span> </li> <li id="cite_note-4"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-4">↑</a> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage" id="Pickering2009"><span class="ouvrage" id="Maggie_Pickering2009"><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Maggie Pickering, <cite class="italique" lang="en">Representing fractions using different bases</cite>, School of mathematics, université de Bristol, <time>2009</time> <small style="line-height:1em;">(<a rel="nofollow" class="external text" href="https://people.maths.bris.ac.uk/~maxmr/analysis1/Pickering_EDITED_FINAL.pdf">lire en ligne</a>)</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Representing+fractions+using+different+bases&rft.pub=School+of+mathematics%2C+universit%C3%A9+de+Bristol&rft.aulast=Pickering&rft.aufirst=Maggie&rft.date=2009&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ASyst%C3%A8me+duod%C3%A9cimal"></span></span></span>. </span> </li> <li id="cite_note-5"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-5">↑</a> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage" id="Lyons2016"><span class="ouvrage" id="Christopher_Lyons2016"><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Christopher Lyons, « <cite style="font-style:normal" lang="en">The secret life of 1/n: A Journey far beyond the decimal point</cite> », <i><span class="lang-en" lang="en">The Mathematics Enthusiast</span></i>, <abbr class="abbr" title="volume">vol.</abbr> 13, numéro=3, pages=189-216,‎ <time>2016</time> <small style="line-height:1em;">(<a rel="nofollow" class="external text" href="https://scholarworks.umt.edu/tme/vol13/iss3/3">lire en ligne</a>)</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=The+secret+life+of+1%2Fn%3A+A+Journey+far+beyond+the+decimal+point&rft.jtitle=The+Mathematics+Enthusiast&rft.aulast=Lyons&rft.aufirst=Christopher&rft.date=2016&rft.volume=13%2C+num%C3%A9ro%3D3%2C+pages%3D189-216&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ASyst%C3%A8me+duod%C3%A9cimal"></span></span></span></span> </li> <li id="cite_note-6"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-6">↑</a> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage" id="Delahaye1998"><span class="ouvrage" id="Jean-Paul_Delahaye1998">Jean-Paul Delahaye, « <cite style="font-style:normal">Les fractions et leurs mystères</cite> », <i>Pour la science</i>, <abbr class="abbr" title="volume">vol.</abbr> 246,‎ <time class="nowrap" datetime="1998-04" data-sort-value="1998-04">avril 1998</time>, <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> <span class="nowrap">100-105</span><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=Les+fractions+et+leurs+myst%C3%A8res&rft.jtitle=Pour+la+science&rft.aulast=Delahaye&rft.aufirst=Jean-Paul&rft.date=1998-04&rft.volume=246&rft.pages=100-105&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ASyst%C3%A8me+duod%C3%A9cimal"></span></span></span>.</span> </li> <li id="cite_note-7"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-7">↑</a> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage" id="Briot1872"><span class="ouvrage" id="Charles_Briot1872">Charles Briot, <cite class="italique">Leçons nouvelles d'arithmétique</cite>, C. Delagrave et cie, <time>1872</time><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Le%C3%A7ons+nouvelles+d%27arithm%C3%A9tique&rft.pub=C.+Delagrave+et+cie&rft.aulast=Briot&rft.aufirst=Charles&rft.date=1872&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ASyst%C3%A8me+duod%C3%A9cimal"></span></span></span>, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.fr/books?id=LvZCAAAAIAAJ&newbks=1&newbks_redir=0&pg=PA307#v=onepage&f=false">p. 307</a></span> </li> <li id="cite_note-8"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-8">↑</a> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage" id="Mazaudon2007"><span class="ouvrage" id="Martine_Mazaudon2007">Martine Mazaudon, « <a rel="nofollow" class="external text" href="https://shs.hal.science/halshs-00166891/document"><cite style="font-style:normal;">Les principes de construction du nombre dans les langues tibéto-birmanes</cite></a> » <span typeof="mw:File"><span title="Accès libre au document"><img alt="Accès libre" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/65/Lock-green.svg/9px-Lock-green.svg.png" decoding="async" width="9" height="14" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/65/Lock-green.svg/14px-Lock-green.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/65/Lock-green.svg/18px-Lock-green.svg.png 2x" data-file-width="512" data-file-height="813" /></span></span> <abbr class="abbr indicateur-format format-doc" title="Document Microsoft Word">[doc]</abbr>, sur <span class="italique">shs.hal</span>, <time class="nowrap" datetime="2007-08-10" data-sort-value="2007-08-10">10 août 2007</time> <small style="line-height:1em;">(consulté le <time class="nowrap" datetime="2024-07-03" data-sort-value="2024-07-03">3 juillet 2024</time>)</small></span></span></span> </li> <li id="cite_note-9"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-9">↑</a> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage">« <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.echosciences-loire.fr/articles/il-etait-une-fois-la-numeration-partie-v-la-numeration-romaine"><cite style="font-style:normal;">Il était une fois...la numération. Partie V : la numération romaine</cite></a> », sur <span class="italique">www.echosciences-loire.fr</span> <small style="line-height:1em;">(consulté le <time class="nowrap" datetime="2024-07-02" data-sort-value="2024-07-02">2 juillet 2024</time>)</small></span></span> </li> <li id="cite_note-10"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-10">↑</a> </span><span class="reference-text">Dictionnaire <a href="/wiki/Gaffiot" class="mw-redirect" title="Gaffiot">Gaffiot</a>, <abbr class="abbr" title="page">p.</abbr> 569.</span> </li> <li id="cite_note-12"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-12">↑</a> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage" id="Verdet1998"><span class="ouvrage" id="Jean-Pierre_Verdet1998"><a href="/wiki/Jean-Pierre_Verdet" title="Jean-Pierre Verdet">Jean-Pierre Verdet</a>, <cite class="italique">Histoire de l'astronomie ancienne et classique</cite>, <a href="/wiki/Presses_universitaires_de_France" title="Presses universitaires de France">Presses universitaires de France</a>, <time>1998</time>, <abbr class="abbr" title="page">p.</abbr> 16<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Histoire+de+l%27astronomie+ancienne+et+classique&rft.pub=Presses+universitaires+de+France&rft.aulast=Verdet&rft.aufirst=Jean-Pierre&rft.date=1998&rft.pages=16&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ASyst%C3%A8me+duod%C3%A9cimal"></span></span></span>.</span> </li> <li id="cite_note-14"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-14">↑</a> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage" id="Huylebrouck2008"><span class="ouvrage" id="Dirk_Huylebrouck2008">Dirk Huylebrouck, <cite class="italique">Afrique et Mathématiques</cite>, Asp, Vubpress, Upa, <time>2008</time>, <abbr class="abbr" title="page">p.</abbr> 67<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Afrique+et+Math%C3%A9matiques&rft.pub=Asp%2C+Vubpress%2C+Upa&rft.aulast=Huylebrouck&rft.aufirst=Dirk&rft.date=2008&rft.pages=67&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ASyst%C3%A8me+duod%C3%A9cimal"></span></span></span></span> </li> <li id="cite_note-Ifrah45-15"><span class="mw-cite-backlink noprint">↑ <sup><a href="#cite_ref-Ifrah45_15-0">a</a> et <a href="#cite_ref-Ifrah45_15-1">b</a></sup> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage" id="Ifrah1981"><span class="ouvrage" id="George_Ifrah1981">George Ifrah, <cite class="italique">Histoire universelle des chiffres</cite>, Seghers, <time>1981</time>, <abbr class="abbr" title="page">p.</abbr> 45<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Histoire+universelle+des+chiffres&rft.pub=Seghers&rft.aulast=Ifrah&rft.aufirst=George&rft.date=1981&rft.pages=45&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ASyst%C3%A8me+duod%C3%A9cimal"></span></span></span></span> </li> <li id="cite_note-16"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-16">↑</a> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage"><cite style="font-style:normal">« Rapport fait à l'Académie des Sciences, par MM Borda, Lagrange, Lavoisier, Tillet et Condorcet le 27 octobre 1790 »</cite>, dans <cite class="italique">Histoire de l'Académie Royale des sciences</cite>, <abbr class="abbr" title="volume">vol.</abbr> 91 <small style="line-height:1em;">(<a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.fr/books?id=0ULRLhJiSe0C&pg=PA6#v=onepage&q&f=false">lire en ligne</a>)</small>, <abbr class="abbr" title="page">p.</abbr> 6<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=bookitem&rft.btitle=Histoire+de+l%27Acad%C3%A9mie+Royale+des+sciences&rft.atitle=Rapport+fait+%C3%A0+l%27Acad%C3%A9mie+des+Sciences%2C+par+MM+Borda%2C+Lagrange%2C+Lavoisier%2C+Tillet+et+Condorcet+le+27+octobre+1790&rft.volume=91&rft.pages=6&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ASyst%C3%A8me+duod%C3%A9cimal"></span></span></span> </li> <li id="cite_note-Glaser198171-72-17"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-Glaser198171-72_17-0">↑</a> </span><span class="reference-text"><a href="#Glaser1981">Glaser 1981</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 71-72. </span> </li> <li id="cite_note-18"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-18">↑</a> </span><span class="reference-text"> <span class="ouvrage" id="Mattews1917"><span class="ouvrage" id="H._F._Mattews1917"><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> H. F. Mattews, « <cite style="font-style:normal" lang="en">Notes on the Nungu tribe, Nassawara Province, northern Nigeria, and the neighboring tribes which use the duodecimal system of numeration</cite> », <i><span class="lang-en" lang="en">Harvard African Studies</span></i>, <abbr class="abbr" title="volume">vol.</abbr> 1,‎ <time>1917</time>, <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> <span class="nowrap">83-94</span> <small style="line-height:1em;">(<a rel="nofollow" class="external text" href="https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.32044042051185&view=1up&seq=17&skin=2021&q1=duodecimal">lire en ligne</a>)</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=Notes+on+the+Nungu+tribe%2C+Nassawara+Province%2C+northern+Nigeria%2C+and+the+neighboring+tribes+which+use+the+duodecimal+system+of+numeration&rft.jtitle=Harvard+African+Studies&rft.aulast=Mattews&rft.aufirst=H.+F.&rft.date=1917&rft.volume=1&rft.pages=83-94&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ASyst%C3%A8me+duod%C3%A9cimal"></span></span></span>, pages 93 et 94</span> </li> <li id="cite_note-19"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-19">↑</a> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage" id="Gaughley1972"><span class="ouvrage" id="Ross_Gaughley1972"><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Ross Gaughley, « <cite style="font-style:normal" lang="en">A Vocabulary of the Chepang Language Chepang -a Sino-Tibetan language with a duodecimal numeral base?</cite> », <i><span class="lang-en" lang="en">Prosodic Analysis and Asian Linguistics</span></i>,‎ <time>1972</time>, <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> <span class="nowrap">197-199</span><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=A+Vocabulary+of+the+Chepang+Language+Chepang+-a+Sino-Tibetan+language+with+a+duodecimal+numeral+base%3F&rft.jtitle=Prosodic+Analysis+and+Asian+Linguistics&rft.aulast=Gaughley&rft.aufirst=Ross&rft.date=1972&rft.pages=197-199&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ASyst%C3%A8me+duod%C3%A9cimal"></span></span></span></span> </li> <li id="cite_note-20"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-20">↑</a> </span><span class="reference-text">Martine Mazaudon. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://halshs.archives-ouvertes.fr/halshs-00273445/document">Number building in Tibeto-Burman languages</a>, 2008, halshs-00273445, <abbr class="abbr" title="page">p.</abbr> 16</span> </li> <li id="cite_note-21"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-21">↑</a> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage" id="Lucas1891"><span class="ouvrage" id="Édouard_Lucas1891">Édouard Lucas, <cite class="italique">Récréations mathématiques</cite>, <abbr class="abbr" title="volume">vol.</abbr> 3, <time>1891</time> <small style="line-height:1em;">(<a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.fr/books?id=xhgPAAAAIAAJ&hl=fr&pg=PA52">lire en ligne</a>)</small>, Quatre hommes et un caporal<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=R%C3%A9cr%C3%A9ations+math%C3%A9matiques&rft.aulast=Lucas&rft.aufirst=%C3%89douard&rft.date=1891&rft.volume=3&rft.pages=Quatre+hommes+et+un+caporal&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ASyst%C3%A8me+duod%C3%A9cimal"></span></span></span>.</span> </li> <li id="cite_note-Glaser198114-22"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-Glaser198114_22-0">↑</a> </span><span class="reference-text"><a href="#Glaser1981">Glaser 1981</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 14. </span> </li> <li id="cite_note-23"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-23">↑</a> </span><span class="reference-text"> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://iris.univ-lille.fr/handle/1908/3109">Œuvres accessibles</a> sur le site Iris de la bibliothèque numérique en histoire des sciences de Lille.</span> </li> <li id="cite_note-24"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-24">↑</a> </span><span class="reference-text"><a href="https://fr.wikisource.org/wiki/Page:%C5%92uvres_de_Blaise_Pascal,_III.djvu/329" class="extiw" title="s:Page:Œuvres de Blaise Pascal, III.djvu/329">Commentaire des éditeurs</a> sur l'article de Pascal.</span> </li> <li id="cite_note-26"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-26">↑</a> </span><span class="reference-text">Voir, dans le <a href="https://fr.wikisource.org/wiki/Livre:%C5%92uvres_de_Blaise_Pascal,_III.djvu" class="extiw" title="s:Livre:Œuvres de Blaise Pascal, III.djvu"><abbr class="abbr" title="Troisième">3<sup>e</sup></abbr> volume</a> de l'édition des <i>Œuvres de Pascal</i> par <a href="/wiki/L%C3%A9on_Brunschvicg" title="Léon Brunschvicg">Léon Brunschvicg</a> et <a href="/wiki/Pierre_Boutroux" title="Pierre Boutroux">Pierre Boutroux</a>,  <span class="plainlinks plainlinksneverexpand noarchive"><span class="lang-fr" lang="fr"><a class="external text" href="https://fr.wikisource.org/wiki/fr:Page:%C5%92uvres_de_Blaise_Pascal,_III.djvu/353">les pages 337-339 de la version originale en latin et sa traduction en français de <i>De Numeribus Multiplicibus</i></a></span>, disponible sur Wikisource</span>.</span> </li> <li id="cite_note-Glaser198120-27"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-Glaser198120_27-0">↑</a> </span><span class="reference-text"><a href="#Glaser1981">Glaser 1981</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 20. </span> </li> <li id="cite_note-Glaser1981170-28"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-Glaser1981170_28-0">↑</a> </span><span class="reference-text"><a href="#Glaser1981">Glaser 1981</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 170. </span> </li> <li id="cite_note-29"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-29">↑</a> </span><span class="reference-text">Pour un exemple voir <span class="ouvrage" id="1720"><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> <cite class="italique" lang="en">Mr. Jordaine's Duodecimal Arithmetick</cite>, <time>1720</time> <small style="line-height:1em;">(<a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.fr/books?id=aGlbAAAAQAAJ&hl=fr&pg=PA4#v=onepage&q&f=false">lire en ligne</a>)</small>, <abbr class="abbr" title="page">p.</abbr> 4<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Mr.+Jordaine%27s+Duodecimal+Arithmetick&rft.date=1720&rft.pages=4&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ASyst%C3%A8me+duod%C3%A9cimal"></span></span>.</span> </li> <li id="cite_note-Glaser198125-30"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-Glaser198125_30-0">↑</a> </span><span class="reference-text"><a href="#Glaser1981">Glaser 1981</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 25. </span> </li> <li id="cite_note-Glaser198127-31"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-Glaser198127_31-0">↑</a> </span><span class="reference-text"><a href="#Glaser1981">Glaser 1981</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 27. </span> </li> <li id="cite_note-Glaser198164-65-32"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-Glaser198164-65_32-0">↑</a> </span><span class="reference-text"><a href="#Glaser1981">Glaser 1981</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 64-65. </span> </li> <li id="cite_note-Glaser198180-82-33"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-Glaser198180-82_33-0">↑</a> </span><span class="reference-text"><a href="#Glaser1981">Glaser 1981</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 80-82. </span> </li> <li id="cite_note-Glaser198188-34"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-Glaser198188_34-0">↑</a> </span><span class="reference-text"><a href="#Glaser1981">Glaser 1981</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 88. </span> </li> <li id="cite_note-Glaser198188-89-35"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-Glaser198188-89_35-0">↑</a> </span><span class="reference-text"><a href="#Glaser1981">Glaser 1981</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 88-89. </span> </li> <li id="cite_note-Glaser1981110-36"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-Glaser1981110_36-0">↑</a> </span><span class="reference-text"><a href="#Glaser1981">Glaser 1981</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 110. </span> </li> <li id="cite_note-37"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-37">↑</a> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage" id="Collectif2012">Collectif, <cite class="italique">Dictionnaire historique des inspecteurs des Finances</cite>, Institut de la gestion publique et du développement économique, <time>2012</time>, « <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.fr/books?id=r6sJCwAAQBAJ&pg=PT669">Essig Jean Marie, p.653-654</a> »<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Dictionnaire+historique+des+inspecteurs+des+Finances&rft.atitle=Essig+Jean+Marie%2C+p.653-654&rft.pub=Institut+de+la+gestion+publique+et+du+d%C3%A9veloppement+%C3%A9conomique&rft.au=Collectif&rft.date=2012&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ASyst%C3%A8me+duod%C3%A9cimal"></span></span></span> </li> <li id="cite_note-38"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-38">↑</a> </span><span class="reference-text"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://dozenalsociety.org.uk">Dozenal Society of Great Britain</a>.</span> </li> <li id="cite_note-39"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-39">↑</a> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage">« <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.dozenalsociety.org.uk/apps/dozenalclock.html"><cite style="font-style:normal;">Dozenal clock</cite></a> », sur <span class="italique">Dozenal society</span></span>.</span> </li> </ol></div> </div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Voir_aussi">Voir aussi</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Syst%C3%A8me_duod%C3%A9cimal&veaction=edit&section=12" title="Modifier la section : Voir aussi" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Syst%C3%A8me_duod%C3%A9cimal&action=edit&section=12" title="Modifier le code source de la section : Voir aussi"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Bibliographie">Bibliographie</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Syst%C3%A8me_duod%C3%A9cimal&veaction=edit&section=13" title="Modifier la section : Bibliographie" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Syst%C3%A8me_duod%C3%A9cimal&action=edit&section=13" title="Modifier le code source de la section : Bibliographie"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><span class="ouvrage" id="Glaser1981"><span class="ouvrage" id="Anton_Glaser1981"><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Anton Glaser, <cite class="italique" lang="en">History of Binary and Other Nondecimal Numeration</cite>, Thomash Publishers, <time>1981</time> <small style="line-height:1em;">(<a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.eipiphiny.org/books/history-of-binary.pdf">lire en ligne</a>)</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=History+of+Binary+and+Other+Nondecimal+Numeration&rft.pub=Thomash+Publishers&rft.aulast=Glaser&rft.aufirst=Anton&rft.date=1981&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ASyst%C3%A8me+duod%C3%A9cimal"></span></span></span></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Liens_externes">Liens externes</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Syst%C3%A8me_duod%C3%A9cimal&veaction=edit&section=14" title="Modifier la section : Liens externes" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Syst%C3%A8me_duod%C3%A9cimal&action=edit&section=14" title="Modifier le code source de la section : Liens externes"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><span class="ouvrage" id="Pentzlin2013"><span class="ouvrage" id="Karl_Pentzlin2013"><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Karl Pentzlin, « <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.unicode.org/L2/L2013/13054-duodecimal.pdf"><cite style="font-style:normal;" lang="en">Proposal to encode Duodecimal Digit Forms in the UCS</cite></a> », <a href="/wiki/Unicode" title="Unicode">Unicode</a>, <time class="nowrap" datetime="2013-03-30" data-sort-value="2013-03-30">30 mars 2013</time></span></span></li> <li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> <a rel="nofollow" class="external text" href="http://dozenal.org">dozenal.org</a></li> <li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> <a rel="nofollow" class="external text" href="http://dozenalsociety.org.uk">dozenalsociety.org.uk</a></li></ul> <div class="navbox-container" style="clear:both;"> <table class="navbox collapsible noprint autocollapse" style=""> <tbody><tr><th class="navbox-title" colspan="3" style=""><div style="float:left; width:6em; text-align:left"><div class="noprint plainlinks nowrap tnavbar" style="padding:0; font-size:xx-small; color:var(--color-emphasized, #000000);"><a href="/wiki/Mod%C3%A8le:Palette_Base_de_num%C3%A9ration_positionnelle" title="Modèle:Palette Base de numération positionnelle"><abbr class="abbr" title="Voir ce modèle.">v</abbr></a> · <a class="external text" href="https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Mod%C3%A8le:Palette_Base_de_num%C3%A9ration_positionnelle&action=edit"><abbr class="abbr" title="Modifier ce modèle. Merci de prévisualiser avant de sauvegarder.">m</abbr></a></div></div><div style="font-size:110%"><a href="/wiki/Base_(arithm%C3%A9tique)" title="Base (arithmétique)">Base</a> de <a href="/wiki/Notation_positionnelle" title="Notation positionnelle">numération positionnelle</a></div></th> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style="">1 à 9</th> <td class="navbox-list" style=""><a href="/wiki/Syst%C3%A8me_unaire" title="Système unaire">unaire (1)</a>, <a href="/wiki/Syst%C3%A8me_binaire" title="Système binaire">binaire (2)</a>, <a href="/wiki/Syst%C3%A8me_ternaire" title="Système ternaire">ternaire (3)</a>, <a href="/wiki/Syst%C3%A8me_quaternaire" title="Système quaternaire">quaternaire (4)</a>, <a href="/wiki/Syst%C3%A8me_quinaire" title="Système quinaire">quinaire (5)</a>, <a href="/wiki/Syst%C3%A8me_s%C3%A9naire" title="Système sénaire">sénaire (6)</a>, <a href="/wiki/Syst%C3%A8me_sept%C3%A9naire" title="Système septénaire">septénaire (7)</a>, <a href="/wiki/Syst%C3%A8me_octal" title="Système octal">octal (8)</a>, <a href="/wiki/Syst%C3%A8me_nonaire" title="Système nonaire">nonaire (9)</a></td> <td class="navbox-image" rowspan="4" style="vertical-align:middle;padding-left:7px"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Fichier:Racine_carr%C3%A9e_bleue.svg" class="mw-file-description" title="Mathématiques"><img alt="Mathématiques" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1f/Racine_carr%C3%A9e_bleue.svg/70px-Racine_carr%C3%A9e_bleue.svg.png" decoding="async" width="70" height="70" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1f/Racine_carr%C3%A9e_bleue.svg/105px-Racine_carr%C3%A9e_bleue.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1f/Racine_carr%C3%A9e_bleue.svg/140px-Racine_carr%C3%A9e_bleue.svg.png 2x" data-file-width="128" data-file-height="128" /></a></span></td> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style="">10 à 60</th> <td class="navbox-list navbox-even" style=""><a href="/wiki/Syst%C3%A8me_d%C3%A9cimal" title="Système décimal">décimal (10)</a>, <a href="/wiki/Syst%C3%A8me_und%C3%A9cimal" title="Système undécimal">undécimal (11)</a>, <a class="mw-selflink selflink">duodécimal (12)</a>, <a href="/wiki/Syst%C3%A8me_trid%C3%A9cimal" title="Système tridécimal">tridécimal (13)</a>, <a href="/w/index.php?title=Syst%C3%A8me_quind%C3%A9cimal&action=edit&redlink=1" class="new" title="Système quindécimal (page inexistante)">quindécimal (15)</a>, <a href="/wiki/Syst%C3%A8me_hexad%C3%A9cimal" title="Système hexadécimal">hexadécimal (16)</a>, <a href="/w/index.php?title=Syst%C3%A8me_octod%C3%A9cimal&action=edit&redlink=1" class="new" title="Système octodécimal (page inexistante)">octodécimal (18)</a>, <a href="/wiki/Syst%C3%A8me_vic%C3%A9simal" title="Système vicésimal">vicésimal (20)</a>, <a href="/wiki/Syst%C3%A8me_%C3%A0_base_36" title="Système à base 36">base 36</a>, <a href="/wiki/Syst%C3%A8me_sexag%C3%A9simal" title="Système sexagésimal">sexagésimal (60)</a></td> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style="">Autre base</th> <td class="navbox-list" style=""><a href="/wiki/Base_d%27or" title="Base d'or">base d'or (φ)</a>, <a href="/wiki/Num%C3%A9ration_%C3%A0_bases_mixtes" title="Numération à bases mixtes"> mixte</a>, <a href="/wiki/Syst%C3%A8me_n%C3%A9gabinaire" title="Système négabinaire">négabinaire (–2)</a>, <a href="/wiki/Syst%C3%A8me_n%C3%A9gaternaire" title="Système négaternaire">négaternaire (-3)</a>, <a href="/w/index.php?title=Syst%C3%A8me_%C3%A0_base_complexe&action=edit&redlink=1" class="new" title="Système à base complexe (page inexistante)">bases complexes</a> <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Complex-base_system" class="extiw" title="en:Complex-base system"><span class="indicateur-langue" title="Article en anglais : « Complex-base system »">(en)</span></a> : <a href="/wiki/Syst%C3%A8me_quater-imaginaire" title="Système quater-imaginaire">quater-imaginaire (2<span class="texhtml">i</span>)</a></td> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style="">Notions</th> <td class="navbox-list navbox-even" style=""><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/wiki/Base_(arithm%C3%A9tique)" title="Base (arithmétique)">base</a></li> <li><a href="/wiki/Chiffre" title="Chiffre">chiffre</a></li> <li><a href="/wiki/Nombre" title="Nombre">nombre</a></li> <li><a href="/wiki/Notation_positionnelle" title="Notation positionnelle">notation positionnelle</a></li> <li><a href="/wiki/Num%C3%A9ration" title="Numération">numération</a></li> <li><a href="/wiki/Syst%C3%A8me_bibi-binaire" title="Système bibi-binaire">système bibi-binaire</a></li></ul> </div></td> </tr> </tbody></table> </div> <ul id="bandeau-portail" class="bandeau-portail"><li><span class="bandeau-portail-element"><span class="bandeau-portail-icone"><span class="noviewer skin-invert-image" typeof="mw:File"><a href="/wiki/Portail:Math%C3%A9matiques" title="Portail des mathématiques"><img alt="icône décorative" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1f/Racine_carr%C3%A9e_bleue.svg/24px-Racine_carr%C3%A9e_bleue.svg.png" decoding="async" width="24" height="24" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1f/Racine_carr%C3%A9e_bleue.svg/36px-Racine_carr%C3%A9e_bleue.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1f/Racine_carr%C3%A9e_bleue.svg/48px-Racine_carr%C3%A9e_bleue.svg.png 2x" data-file-width="128" data-file-height="128" /></a></span></span> <span class="bandeau-portail-texte"><a href="/wiki/Portail:Math%C3%A9matiques" title="Portail:Mathématiques">Portail des mathématiques</a></span> </span></li> </ul>    </div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1&useformat=desktop" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Ce document provient de « <a dir="ltr" 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