CINXE.COM

<!DOCTYPE html> <html class="client-nojs vector-feature-language-in-header-enabled vector-feature-language-in-main-page-header-disabled vector-feature-sticky-header-disabled vector-feature-page-tools-pinned-disabled vector-feature-toc-pinned-clientpref-1 vector-feature-main-menu-pinned-disabled vector-feature-limited-width-clientpref-1 vector-feature-limited-width-content-enabled vector-feature-custom-font-size-clientpref-1 vector-feature-appearance-pinned-clientpref-1 vector-feature-night-mode-disabled skin-theme-clientpref-day vector-toc-available" lang="hu" dir="ltr"> <head> <meta charset="UTF-8"> <title>Transzformáció (matematika) – Wikipédia</title> <script>(function(){var className="client-js vector-feature-language-in-header-enabled vector-feature-language-in-main-page-header-disabled vector-feature-sticky-header-disabled vector-feature-page-tools-pinned-disabled vector-feature-toc-pinned-clientpref-1 vector-feature-main-menu-pinned-disabled vector-feature-limited-width-clientpref-1 vector-feature-limited-width-content-enabled vector-feature-custom-font-size-clientpref-1 vector-feature-appearance-pinned-clientpref-1 vector-feature-night-mode-disabled skin-theme-clientpref-day vector-toc-available";var cookie=document.cookie.match(/(?:^|; )huwikimwclientpreferences=([^;]+)/);if(cookie){cookie[1].split('%2C').forEach(function(pref){className=className.replace(new RegExp('(^| )'+pref.replace(/-clientpref-\w+$|[^\w-]+/g,'')+'-clientpref-\\w+( |$)'),'$1'+pref+'$2');});}document.documentElement.className=className;}());RLCONF={"wgBreakFrames":false,"wgSeparatorTransformTable":[",\t."," \t,"],"wgDigitTransformTable":["",""], "wgDefaultDateFormat":"ymd","wgMonthNames":["","január","február","március","április","május","június","július","augusztus","szeptember","október","november","december"],"wgRequestId":"e5a7a051-5b68-4066-a750-a02e56857164","wgCanonicalNamespace":"","wgCanonicalSpecialPageName":false,"wgNamespaceNumber":0,"wgPageName":"Transzformáció_(matematika)","wgTitle":"Transzformáció (matematika)","wgCurRevisionId":27653975,"wgRevisionId":27653975,"wgArticleId":307746,"wgIsArticle":true,"wgIsRedirect":false,"wgAction":"view","wgUserName":null,"wgUserGroups":["*"],"wgCategories":["Geometriai transzformációk"],"wgPageViewLanguage":"hu","wgPageContentLanguage":"hu","wgPageContentModel":"wikitext","wgRelevantPageName":"Transzformáció_(matematika)","wgRelevantArticleId":307746,"wgIsProbablyEditable":true,"wgRelevantPageIsProbablyEditable":true,"wgRestrictionEdit":[],"wgRestrictionMove":[],"wgNoticeProject":"wikipedia","wgCiteReferencePreviewsActive":true,"wgFlaggedRevsParams":{"tags":{ "accuracy":{"levels":2}}},"wgStableRevisionId":27653975,"wgMediaViewerOnClick":true,"wgMediaViewerEnabledByDefault":true,"wgPopupsFlags":0,"wgVisualEditor":{"pageLanguageCode":"hu","pageLanguageDir":"ltr","pageVariantFallbacks":"hu"},"wgMFDisplayWikibaseDescriptions":{"search":true,"watchlist":true,"tagline":true,"nearby":true},"wgWMESchemaEditAttemptStepOversample":false,"wgWMEPageLength":20000,"wgRelatedArticlesCompat":[],"wgEditSubmitButtonLabelPublish":true,"wgULSPosition":"interlanguage","wgULSisCompactLinksEnabled":false,"wgVector2022LanguageInHeader":true,"wgULSisLanguageSelectorEmpty":false,"wgWikibaseItemId":"Q1196371","wgCheckUserClientHintsHeadersJsApi":["brands","architecture","bitness","fullVersionList","mobile","model","platform","platformVersion"],"GEHomepageSuggestedEditsEnableTopics":true,"wgGETopicsMatchModeEnabled":false,"wgGEStructuredTaskRejectionReasonTextInputEnabled":false,"wgGELevelingUpEnabledForUser":false};RLSTATE={"ext.gadget.infobox":"ready", "ext.gadget.wikiMenuStyles":"ready","ext.globalCssJs.user.styles":"ready","site.styles":"ready","user.styles":"ready","ext.globalCssJs.user":"ready","user":"ready","user.options":"loading","ext.math.styles":"ready","ext.cite.styles":"ready","skins.vector.search.codex.styles":"ready","skins.vector.styles":"ready","skins.vector.icons":"ready","ext.flaggedRevs.basic":"ready","mediawiki.codex.messagebox.styles":"ready","ext.wikimediamessages.styles":"ready","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript":"ready","ext.uls.interlanguage":"ready","wikibase.client.init":"ready","ext.wikimediaBadges":"ready"};RLPAGEMODULES=["ext.cite.ux-enhancements","mediawiki.page.media","site","mediawiki.page.ready","mediawiki.toc","skins.vector.js","ext.centralNotice.geoIP","ext.centralNotice.startUp","ext.flaggedRevs.advanced","ext.gadget.wdsearch","ext.gadget.irclogin","ext.gadget.ImageAnnotator.loader","ext.gadget.collapsible","ext.gadget.kepdia","ext.gadget.kinai","ext.gadget.poziciosTerkep", "ext.gadget.wikiMenu","ext.gadget.wiwosm","ext.urlShortener.toolbar","ext.centralauth.centralautologin","mmv.bootstrap","ext.popups","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.init","ext.visualEditor.targetLoader","ext.echo.centralauth","ext.eventLogging","ext.wikimediaEvents","ext.navigationTiming","ext.uls.interface","ext.cx.eventlogging.campaigns","ext.cx.uls.quick.actions","wikibase.client.vector-2022","ext.checkUser.clientHints","ext.growthExperiments.SuggestedEditSession","oojs-ui.styles.icons-media","oojs-ui-core.icons","wikibase.sidebar.tracking"];</script> <script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.loader.impl(function(){return["user.options@12s5i",function($,jQuery,require,module){mw.user.tokens.set({"patrolToken":"+\\","watchToken":"+\\","csrfToken":"+\\"}); }];});});</script> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=hu&modules=ext.cite.styles%7Cext.flaggedRevs.basic%7Cext.math.styles%7Cext.uls.interlanguage%7Cext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript%7Cext.wikimediaBadges%7Cext.wikimediamessages.styles%7Cmediawiki.codex.messagebox.styles%7Cskins.vector.icons%2Cstyles%7Cskins.vector.search.codex.styles%7Cwikibase.client.init&only=styles&skin=vector-2022"> <script async="" src="/w/load.php?lang=hu&modules=startup&only=scripts&raw=1&skin=vector-2022"></script> <meta name="ResourceLoaderDynamicStyles" content=""> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=hu&modules=ext.gadget.infobox%2CwikiMenuStyles&only=styles&skin=vector-2022"> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=hu&modules=site.styles&only=styles&skin=vector-2022"> <meta name="generator" content="MediaWiki 1.44.0-wmf.5"> <meta name="referrer" content="origin"> <meta name="referrer" content="origin-when-cross-origin"> <meta name="robots" content="max-image-preview:standard"> <meta name="format-detection" content="telephone=no"> <meta name="viewport" content="width=1120"> <meta property="og:title" content="Transzformáció (matematika) – Wikipédia"> <meta property="og:type" content="website"> <link rel="preconnect" href="//upload.wikimedia.org"> <link rel="alternate" media="only screen and (max-width: 640px)" href="//hu.m.wikipedia.org/wiki/Transzform%C3%A1ci%C3%B3_(matematika)"> <link rel="alternate" type="application/x-wiki" title="Szerkesztés" href="/w/index.php?title=Transzform%C3%A1ci%C3%B3_(matematika)&action=edit"> <link rel="apple-touch-icon" href="/static/apple-touch/wikipedia.png"> <link rel="icon" href="/static/favicon/wikipedia.ico"> <link rel="search" type="application/opensearchdescription+xml" href="/w/rest.php/v1/search" title="Wikipédia (hu)"> <link rel="EditURI" type="application/rsd+xml" href="//hu.wikipedia.org/w/api.php?action=rsd"> <link rel="canonical" href="https://hu.wikipedia.org/wiki/Transzform%C3%A1ci%C3%B3_(matematika)"> <link rel="license" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.hu"> <link rel="alternate" type="application/atom+xml" title="Wikipédia Atom-hírcsatorna" href="/w/index.php?title=Speci%C3%A1lis:Friss_v%C3%A1ltoztat%C3%A1sok&feed=atom"> <link rel="dns-prefetch" href="//meta.wikimedia.org" /> <link rel="dns-prefetch" href="//login.wikimedia.org"> </head> <body class="skin--responsive skin-vector skin-vector-search-vue mediawiki ltr sitedir-ltr mw-hide-empty-elt ns-0 ns-subject mw-editable page-Transzformáció_matematika rootpage-Transzformáció_matematika skin-vector-2022 action-view"><a class="mw-jump-link" href="#bodyContent">Ugrás a tartalomhoz</a> <div class="vector-header-container"> <header class="vector-header mw-header"> <div class="vector-header-start"> <nav class="vector-main-menu-landmark" aria-label="Wiki"> <div id="vector-main-menu-dropdown" class="vector-dropdown vector-main-menu-dropdown vector-button-flush-left vector-button-flush-right" > <input type="checkbox" id="vector-main-menu-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-main-menu-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Főmenü" > <label id="vector-main-menu-dropdown-label" for="vector-main-menu-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-menu mw-ui-icon-wikimedia-menu"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Főmenü</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-main-menu-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> <div id="vector-main-menu" class="vector-main-menu vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-main-menu-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="main-menu-pinned" data-pinnable-element-id="vector-main-menu" data-pinned-container-id="vector-main-menu-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-main-menu-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Főmenü</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-main-menu.pin">áthelyezés az oldalsávba</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-main-menu.unpin">elrejtés</button> </div> <div id="p-navigation" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-navigation" > <div class="vector-menu-heading"> Navigáció </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-mainpage-description" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Kezd%C5%91lap" title="A kezdőlap megtekintése [z]" accesskey="z"><span>Kezdőlap</span></a></li><li id="n-sidebar-contents" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:Tartalom"><span>Tartalom</span></a></li><li id="n-sidebar-featured" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:Kiemelt_sz%C3%B3cikkek_list%C3%A1ja"><span>Kiemelt szócikkek</span></a></li><li id="n-recentchanges" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Speci%C3%A1lis:Friss_v%C3%A1ltoztat%C3%A1sok" title="A wikiben történt legutóbbi változtatások listája [r]" accesskey="r"><span>Friss változtatások</span></a></li><li id="n-randompage" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Speci%C3%A1lis:Lap_tal%C3%A1lomra" title="Egy véletlenszerűen kiválasztott lap betöltése [x]" accesskey="x"><span>Lap találomra</span></a></li><li id="n-sidebar-enquiries" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:Tudakoz%C3%B3"><span>Tudakozó</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-sidebar-participate" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-sidebar-participate" > <div class="vector-menu-heading"> Részvétel </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-sidebar-basics" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:%C3%9Aj_szerkeszt%C5%91knek"><span>Kezdőknek</span></a></li><li id="n-sidebar-help" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:Seg%C3%ADts%C3%A9g"><span>Segítség</span></a></li><li id="n-portal" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Port%C3%A1l:K%C3%B6z%C3%B6ss%C3%A9g" title="A projektről, miben segíthetsz, mit hol találsz meg"><span>Közösségi portál</span></a></li><li id="n-sidebar-contact" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:Kapcsolatfelv%C3%A9tel"><span>Kapcsolatfelvétel</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> <a href="/wiki/Kezd%C5%91lap" class="mw-logo"> <img class="mw-logo-icon" src="/static/images/icons/wikipedia.png" alt="" aria-hidden="true" height="50" width="50"> <span class="mw-logo-container skin-invert"> <img class="mw-logo-wordmark" alt="Wikipédia" src="/static/images/mobile/copyright/wikipedia-wordmark-fr.svg" style="width: 7.4375em; height: 1.125em;"> <img class="mw-logo-tagline" alt="" src="/static/images/mobile/copyright/wikipedia-tagline-hu.svg" width="120" height="13" style="width: 7.5em; height: 0.8125em;"> </span> </a> </div> <div class="vector-header-end"> <div id="p-search" role="search" class="vector-search-box-vue vector-search-box-collapses vector-search-box-show-thumbnail vector-search-box-auto-expand-width vector-search-box"> <a href="/wiki/Speci%C3%A1lis:Keres%C3%A9s" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only search-toggle" title="Keresés a Wikipédián [f]" accesskey="f"><span class="vector-icon mw-ui-icon-search mw-ui-icon-wikimedia-search"></span> <span>Keresés</span> </a> <div class="vector-typeahead-search-container"> <div class="cdx-typeahead-search cdx-typeahead-search--show-thumbnail cdx-typeahead-search--auto-expand-width"> <form action="/w/index.php" id="searchform" class="cdx-search-input cdx-search-input--has-end-button"> <div id="simpleSearch" class="cdx-search-input__input-wrapper" data-search-loc="header-moved"> <div class="cdx-text-input cdx-text-input--has-start-icon"> <input class="cdx-text-input__input" type="search" name="search" placeholder="Keresés a Wikipédián" aria-label="Keresés a Wikipédián" autocapitalize="sentences" title="Keresés a Wikipédián [f]" accesskey="f" id="searchInput" > <span class="cdx-text-input__icon cdx-text-input__start-icon"></span> </div> <input type="hidden" name="title" value="Speciális:Keresés"> </div> <button class="cdx-button cdx-search-input__end-button">Keresés</button> </form> </div> </div> </div> <nav class="vector-user-links vector-user-links-wide" aria-label="Személyes eszközök"> <div class="vector-user-links-main"> <div id="p-vector-user-menu-preferences" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <div id="p-vector-user-menu-userpage" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Megjelenés"> <div id="vector-appearance-dropdown" class="vector-dropdown " title="Change the appearance of the page's font size, width, and color" > <input type="checkbox" id="vector-appearance-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-appearance-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Megjelenés" > <label id="vector-appearance-dropdown-label" for="vector-appearance-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-appearance mw-ui-icon-wikimedia-appearance"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Megjelenés</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-appearance-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <div id="p-vector-user-menu-notifications" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <div id="p-vector-user-menu-overflow" class="vector-menu mw-portlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-sitesupport-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="//donate.wikimedia.org/wiki/Special:FundraiserRedirector?utm_source=donate&utm_medium=sidebar&utm_campaign=C13_hu.wikipedia.org&uselang=hu" class=""><span>Adományok</span></a> </li> <li id="pt-createaccount-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="/w/index.php?title=Speci%C3%A1lis:Szerkeszt%C5%91i_fi%C3%B3k_l%C3%A9trehoz%C3%A1sa&returnto=Transzform%C3%A1ci%C3%B3+%28matematika%29" title="Arra bíztatunk, hogy hozz létre egy fiókot, és jelentkezz be, azonban ez nem kötelező" class=""><span>Fiók létrehozása</span></a> </li> <li id="pt-login-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="/w/index.php?title=Speci%C3%A1lis:Bel%C3%A9p%C3%A9s&returnto=Transzform%C3%A1ci%C3%B3+%28matematika%29" title="Bejelentkezni javasolt, de nem kötelező [o]" accesskey="o" class=""><span>Bejelentkezés</span></a> </li> </ul> </div> </div> </div> <div id="vector-user-links-dropdown" class="vector-dropdown vector-user-menu vector-button-flush-right vector-user-menu-logged-out" title="További lehetőségek" > <input type="checkbox" id="vector-user-links-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-user-links-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Személyes eszközök" > <label id="vector-user-links-dropdown-label" for="vector-user-links-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-ellipsis mw-ui-icon-wikimedia-ellipsis"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Személyes eszközök</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-personal" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-personal user-links-collapsible-item" title="Felhasználói menü" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-sitesupport" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="//donate.wikimedia.org/wiki/Special:FundraiserRedirector?utm_source=donate&utm_medium=sidebar&utm_campaign=C13_hu.wikipedia.org&uselang=hu"><span>Adományok</span></a></li><li id="pt-createaccount" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Speci%C3%A1lis:Szerkeszt%C5%91i_fi%C3%B3k_l%C3%A9trehoz%C3%A1sa&returnto=Transzform%C3%A1ci%C3%B3+%28matematika%29" title="Arra bíztatunk, hogy hozz létre egy fiókot, és jelentkezz be, azonban ez nem kötelező"><span class="vector-icon mw-ui-icon-userAdd mw-ui-icon-wikimedia-userAdd"></span> <span>Fiók létrehozása</span></a></li><li id="pt-login" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Speci%C3%A1lis:Bel%C3%A9p%C3%A9s&returnto=Transzform%C3%A1ci%C3%B3+%28matematika%29" title="Bejelentkezni javasolt, de nem kötelező [o]" accesskey="o"><span class="vector-icon mw-ui-icon-logIn mw-ui-icon-wikimedia-logIn"></span> <span>Bejelentkezés</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-user-menu-anon-editor" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-user-menu-anon-editor" > <div class="vector-menu-heading"> Lapok kijelentkezett szerkesztőknek <a href="/wiki/Seg%C3%ADts%C3%A9g:Bevezet%C3%A9s" aria-label="Tudj meg többet a szerkesztésről"><span>további információk</span></a> </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-anoncontribs" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Speci%C3%A1lis:K%C3%B6zrem%C5%B1k%C3%B6d%C3%A9seim" title="Erről az IP-címről végrehajtott szerkesztések listája [y]" accesskey="y"><span>Közreműködések</span></a></li><li id="pt-anontalk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Speci%C3%A1lis:Vit%C3%A1m" title="Az általad használt IP-címről végrehajtott szerkesztések megvitatása [n]" accesskey="n"><span>Vitalap</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </header> </div> <div class="mw-page-container"> <div class="mw-page-container-inner"> <div class="vector-sitenotice-container"> <div id="siteNotice"></div> </div> <div class="vector-column-start"> <div class="vector-main-menu-container"> <div id="mw-navigation"> <nav id="mw-panel" class="vector-main-menu-landmark" aria-label="Wiki"> <div id="vector-main-menu-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> </div> </div> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav id="mw-panel-toc" aria-label="Tartalomjegyzék" data-event-name="ui.sidebar-toc" class="mw-table-of-contents-container vector-toc-landmark"> <div id="vector-toc-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-toc" class="vector-toc vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-toc-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="toc-pinned" data-pinnable-element-id="vector-toc" > <h2 class="vector-pinnable-header-label">Tartalomjegyzék</h2> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-toc.pin">áthelyezés az oldalsávba</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-toc.unpin">elrejtés</button> </div> <ul class="vector-toc-contents" id="mw-panel-toc-list"> <li id="toc-mw-content-text" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a href="#" class="vector-toc-link"> <div class="vector-toc-text">Bevezető</div> </a> </li> <li id="toc-Neve" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Neve"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1</span> <span>Neve</span> </div> </a> <ul id="toc-Neve-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Története" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Története"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2</span> <span>Története</span> </div> </a> <ul id="toc-Története-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Általános_jellemzők" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Általános_jellemzők"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3</span> <span>Általános jellemzők</span> </div> </a> <ul id="toc-Általános_jellemzők-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Fogalmak,_elnevezések" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Fogalmak,_elnevezések"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4</span> <span>Fogalmak, elnevezések</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Fogalmak,_elnevezések-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>A(z) Fogalmak, elnevezések alszakasz kinyitása/becsukása</span> </button> <ul id="toc-Fogalmak,_elnevezések-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Speciális_alakzatok" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Speciális_alakzatok"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.1</span> <span>Speciális alakzatok</span> </div> </a> <ul id="toc-Speciális_alakzatok-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Síkban" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Síkban"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.1.1</span> <span>Síkban</span> </div> </a> <ul id="toc-Síkban-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Térben" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Térben"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.1.2</span> <span>Térben</span> </div> </a> <ul id="toc-Térben-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Műveletek_transzformációkkal" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Műveletek_transzformációkkal"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.2</span> <span>Műveletek transzformációkkal</span> </div> </a> <ul id="toc-Műveletek_transzformációkkal-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-A_transzformációk_Klein-féle_rendszerezése" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#A_transzformációk_Klein-féle_rendszerezése"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5</span> <span>A transzformációk Klein-féle rendszerezése</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-A_transzformációk_Klein-féle_rendszerezése-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>A(z) A transzformációk Klein-féle rendszerezése alszakasz kinyitása/becsukása</span> </button> <ul id="toc-A_transzformációk_Klein-féle_rendszerezése-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Homeomorfia_(topologikus_transzformáció)" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Homeomorfia_(topologikus_transzformáció)"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5.1</span> <span>Homeomorfia (topologikus transzformáció)</span> </div> </a> <ul id="toc-Homeomorfia_(topologikus_transzformáció)-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Anamorfia" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Anamorfia"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5.1.1</span> <span>Anamorfia</span> </div> </a> <ul id="toc-Anamorfia-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Kollineáció_(projektivitás)" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Kollineáció_(projektivitás)"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5.2</span> <span>Kollineáció (projektivitás)</span> </div> </a> <ul id="toc-Kollineáció_(projektivitás)-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Affinitás" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Affinitás"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5.3</span> <span>Affinitás</span> </div> </a> <ul id="toc-Affinitás-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Hasonlóság" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Hasonlóság"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5.4</span> <span>Hasonlóság</span> </div> </a> <ul id="toc-Hasonlóság-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Egybevágóság" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Egybevágóság"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5.5</span> <span>Egybevágóság</span> </div> </a> <ul id="toc-Egybevágóság-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Elemi_(kanonikus)_síkbeli_transzformációk" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Elemi_(kanonikus)_síkbeli_transzformációk"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6</span> <span>Elemi (kanonikus) síkbeli transzformációk</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Elemi_(kanonikus)_síkbeli_transzformációk-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>A(z) Elemi (kanonikus) síkbeli transzformációk alszakasz kinyitása/becsukása</span> </button> <ul id="toc-Elemi_(kanonikus)_síkbeli_transzformációk-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Identitás" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Identitás"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6.1</span> <span>Identitás</span> </div> </a> <ul id="toc-Identitás-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Mozgások" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Mozgások"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6.2</span> <span>Mozgások</span> </div> </a> <ul id="toc-Mozgások-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Tükrözések_(szimmetriák)" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Tükrözések_(szimmetriák)"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6.3</span> <span>Tükrözések (szimmetriák)</span> </div> </a> <ul id="toc-Tükrözések_(szimmetriák)-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Középpontos_hasonlóság" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Középpontos_hasonlóság"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6.4</span> <span>Középpontos hasonlóság</span> </div> </a> <ul id="toc-Középpontos_hasonlóság-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Tengelyes_affinitások" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Tengelyes_affinitások"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6.5</span> <span>Tengelyes affinitások</span> </div> </a> <ul id="toc-Tengelyes_affinitások-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Projektivitás" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Projektivitás"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6.6</span> <span>Projektivitás</span> </div> </a> <ul id="toc-Projektivitás-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Elemi_(kanonikus)_térbeli_transzformációk" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Elemi_(kanonikus)_térbeli_transzformációk"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7</span> <span>Elemi (kanonikus) térbeli transzformációk</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Elemi_(kanonikus)_térbeli_transzformációk-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>A(z) Elemi (kanonikus) térbeli transzformációk alszakasz kinyitása/becsukása</span> </button> <ul id="toc-Elemi_(kanonikus)_térbeli_transzformációk-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Mozgások_2" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Mozgások_2"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7.1</span> <span>Mozgások</span> </div> </a> <ul id="toc-Mozgások_2-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Tükrözések" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Tükrözések"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7.2</span> <span>Tükrözések</span> </div> </a> <ul id="toc-Tükrözések-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Hasonlóság_2" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Hasonlóság_2"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7.3</span> <span>Hasonlóság</span> </div> </a> <ul id="toc-Hasonlóság_2-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Affinitás_2" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Affinitás_2"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7.4</span> <span>Affinitás</span> </div> </a> <ul id="toc-Affinitás_2-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Projektivitás_2" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Projektivitás_2"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7.5</span> <span>Projektivitás</span> </div> </a> <ul id="toc-Projektivitás_2-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-A_transzformációk_analízise" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#A_transzformációk_analízise"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">8</span> <span>A transzformációk analízise</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-A_transzformációk_analízise-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>A(z) A transzformációk analízise alszakasz kinyitása/becsukása</span> </button> <ul id="toc-A_transzformációk_analízise-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Pont-_és_bázistranszformáció" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Pont-_és_bázistranszformáció"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">8.1</span> <span>Pont- és bázistranszformáció</span> </div> </a> <ul id="toc-Pont-_és_bázistranszformáció-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Vetítés_(projekció,_perspektíva)" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Vetítés_(projekció,_perspektíva)"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">8.2</span> <span>Vetítés (projekció, perspektíva)</span> </div> </a> <ul id="toc-Vetítés_(projekció,_perspektíva)-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Síkvetületek" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Síkvetületek"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">8.3</span> <span>Síkvetületek</span> </div> </a> <ul id="toc-Síkvetületek-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Jegyzetek" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Jegyzetek"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">9</span> <span>Jegyzetek</span> </div> </a> <ul id="toc-Jegyzetek-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Források" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Források"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">10</span> <span>Források</span> </div> </a> <ul id="toc-Források-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="Tartalomjegyzék" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Tartalomjegyzék kinyitása/becsukása" > <label id="vector-page-titlebar-toc-label" for="vector-page-titlebar-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-listBullet mw-ui-icon-wikimedia-listBullet"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Tartalomjegyzék kinyitása/becsukása</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-titlebar-toc-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Transzformáció (matematika)</span></h1> <div id="p-lang-btn" class="vector-dropdown mw-portlet mw-portlet-lang" > <input type="checkbox" id="p-lang-btn-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-lang-btn" class="vector-dropdown-checkbox mw-interlanguage-selector" aria-label="Ugrás egy más nyelvű szócikkre. Elérhető 29 nyelven" > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-29" aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-language-progressive mw-ui-icon-wikimedia-language-progressive"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">29 nyelv</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_transformation" title="Geometric transformation – angol" lang="en" hreflang="en" data-title="Geometric transformation" data-language-autonym="English" data-language-local-name="angol" class="interlanguage-link-target"><span>English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ar badge-Q70893996 mw-list-item" title=""><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D8%AA%D8%AD%D9%88%D9%8A%D9%84_(%D9%87%D9%86%D8%AF%D8%B3%D8%A9_%D8%B1%D9%8A%D8%A7%D8%B6%D9%8A%D8%A9)" title="تحويل (هندسة رياضية) – arab" lang="ar" hreflang="ar" data-title="تحويل (هندسة رياضية)" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="arab" class="interlanguage-link-target"><span>العربية</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-az mw-list-item"><a href="https://az.wikipedia.org/wiki/H%C9%99nd%C9%99si_%C3%A7evrilm%C9%99l%C9%99r" title="Həndəsi çevrilmələr – azerbajdzsáni" lang="az" hreflang="az" data-title="Həndəsi çevrilmələr" data-language-autonym="Azərbaycanca" data-language-local-name="azerbajdzsáni" class="interlanguage-link-target"><span>Azərbaycanca</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bs mw-list-item"><a href="https://bs.wikipedia.org/wiki/Geometrijske_transformacije" title="Geometrijske transformacije – bosnyák" lang="bs" hreflang="bs" data-title="Geometrijske transformacije" data-language-autonym="Bosanski" data-language-local-name="bosnyák" class="interlanguage-link-target"><span>Bosanski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ca mw-list-item"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Transformaci%C3%B3_geom%C3%A8trica" title="Transformació geomètrica – katalán" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Transformació geomètrica" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="katalán" class="interlanguage-link-target"><span>Català</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/Geometrick%C3%A9_zobrazen%C3%AD" title="Geometrické zobrazení – cseh" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Geometrické zobrazení" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="cseh" class="interlanguage-link-target"><span>Čeština</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cv mw-list-item"><a href="https://cv.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82%D1%81%D0%B5%D0%BD_%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%84%D0%BE%D1%80%D0%BC%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%B9%C4%95" title="Координатсен трансформацийĕ – csuvas" lang="cv" hreflang="cv" data-title="Координатсен трансформацийĕ" data-language-autonym="Чӑвашла" data-language-local-name="csuvas" class="interlanguage-link-target"><span>Чӑвашла</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cy mw-list-item"><a href="https://cy.wikipedia.org/wiki/Trawsffurfiad_geometrig" title="Trawsffurfiad geometrig – walesi" lang="cy" hreflang="cy" data-title="Trawsffurfiad geometrig" data-language-autonym="Cymraeg" data-language-local-name="walesi" class="interlanguage-link-target"><span>Cymraeg</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-de mw-list-item"><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Koordinatentransformation" title="Koordinatentransformation – német" lang="de" hreflang="de" data-title="Koordinatentransformation" data-language-autonym="Deutsch" data-language-local-name="német" class="interlanguage-link-target"><span>Deutsch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-el mw-list-item"><a href="https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%93%CE%B5%CF%89%CE%BC%CE%B5%CF%84%CF%81%CE%B9%CE%BA%CF%8C%CF%82_%CE%BC%CE%B5%CF%84%CE%B1%CF%83%CF%87%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%84%CE%B9%CF%83%CE%BC%CF%8C%CF%82" title="Γεωμετρικός μετασχηματισμός – görög" lang="el" hreflang="el" data-title="Γεωμετρικός μετασχηματισμός" data-language-autonym="Ελληνικά" data-language-local-name="görög" class="interlanguage-link-target"><span>Ελληνικά</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eo mw-list-item"><a href="https://eo.wikipedia.org/wiki/Geometria_transformado" title="Geometria transformado – eszperantó" lang="eo" hreflang="eo" data-title="Geometria transformado" data-language-autonym="Esperanto" data-language-local-name="eszperantó" class="interlanguage-link-target"><span>Esperanto</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Transformaci%C3%B3n_geom%C3%A9trica" title="Transformación geométrica – spanyol" lang="es" hreflang="es" data-title="Transformación geométrica" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="spanyol" class="interlanguage-link-target"><span>Español</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fr mw-list-item"><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Transformation_g%C3%A9om%C3%A9trique" title="Transformation géométrique – francia" lang="fr" hreflang="fr" data-title="Transformation géométrique" data-language-autonym="Français" data-language-local-name="francia" class="interlanguage-link-target"><span>Français</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%94%D7%A2%D7%AA%D7%A7%D7%94_%D7%92%D7%90%D7%95%D7%9E%D7%98%D7%A8%D7%99%D7%AA" title="העתקה גאומטרית – héber" lang="he" hreflang="he" data-title="העתקה גאומטרית" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="héber" class="interlanguage-link-target"><span>עברית</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-id mw-list-item"><a href="https://id.wikipedia.org/wiki/Transformasi_geometri" title="Transformasi geometri – indonéz" lang="id" hreflang="id" data-title="Transformasi geometri" data-language-autonym="Bahasa Indonesia" data-language-local-name="indonéz" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Indonesia</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6%E7%9A%84%E5%A4%89%E6%8F%9B" title="幾何学的変換 – japán" lang="ja" hreflang="ja" data-title="幾何学的変換" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="japán" class="interlanguage-link-target"><span>日本語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lv mw-list-item"><a href="https://lv.wikipedia.org/wiki/%C4%A2eometrisk%C4%81_transform%C4%81cija" title="Ģeometriskā transformācija – lett" lang="lv" hreflang="lv" data-title="Ģeometriskā transformācija" data-language-autonym="Latviešu" data-language-local-name="lett" class="interlanguage-link-target"><span>Latviešu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Co%C3%B6rdinatentransformatie" title="Coördinatentransformatie – holland" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Coördinatentransformatie" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="holland" class="interlanguage-link-target"><span>Nederlands</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pl mw-list-item"><a href="https://pl.wikipedia.org/wiki/Przekszta%C5%82cenie_geometryczne" title="Przekształcenie geometryczne – lengyel" lang="pl" hreflang="pl" data-title="Przekształcenie geometryczne" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="lengyel" class="interlanguage-link-target"><span>Polski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Transforma%C3%A7%C3%A3o_geom%C3%A9trica" title="Transformação geométrica – portugál" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Transformação geométrica" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="portugál" class="interlanguage-link-target"><span>Português</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ro mw-list-item"><a href="https://ro.wikipedia.org/wiki/Transformare_geometric%C4%83" title="Transformare geometrică – román" lang="ro" hreflang="ro" data-title="Transformare geometrică" data-language-autonym="Română" data-language-local-name="román" class="interlanguage-link-target"><span>Română</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%B5%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82" title="Преобразование координат – orosz" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Преобразование координат" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="orosz" class="interlanguage-link-target"><span>Русский</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-simple mw-list-item"><a href="https://simple.wikipedia.org/wiki/Transformation" title="Transformation – Simple English" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Transformation" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="Simple English" class="interlanguage-link-target"><span>Simple English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sv mw-list-item"><a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/Koordinattransformation" title="Koordinattransformation – svéd" lang="sv" hreflang="sv" data-title="Koordinattransformation" data-language-autonym="Svenska" data-language-local-name="svéd" class="interlanguage-link-target"><span>Svenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ta mw-list-item"><a href="https://ta.wikipedia.org/wiki/%E0%AE%B5%E0%AE%9F%E0%AE%BF%E0%AE%B5%E0%AE%B5%E0%AE%BF%E0%AE%AF%E0%AE%B2%E0%AF%8D_%E0%AE%89%E0%AE%B0%E0%AF%81%E0%AE%AE%E0%AE%BE%E0%AE%B1%E0%AF%8D%E0%AE%B1%E0%AE%AE%E0%AF%8D" title="வடிவவியல் உருமாற்றம் – tamil" lang="ta" hreflang="ta" data-title="வடிவவியல் உருமாற்றம்" data-language-autonym="தமிழ்" data-language-local-name="tamil" class="interlanguage-link-target"><span>தமிழ்</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-th mw-list-item"><a href="https://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%81%E0%B8%9B%E0%B8%A5%E0%B8%87%E0%B8%97%E0%B8%B2%E0%B8%87%E0%B9%80%E0%B8%A3%E0%B8%82%E0%B8%B2%E0%B8%84%E0%B8%93%E0%B8%B4%E0%B8%95" title="การแปลงทางเรขาคณิต – thai" lang="th" hreflang="th" data-title="การแปลงทางเรขาคณิต" data-language-autonym="ไทย" data-language-local-name="thai" class="interlanguage-link-target"><span>ไทย</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uk mw-list-item"><a href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B5_%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%B2%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Геометричне перетворення – ukrán" lang="uk" hreflang="uk" data-title="Геометричне перетворення" data-language-autonym="Українська" data-language-local-name="ukrán" class="interlanguage-link-target"><span>Українська</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%B9%BE%E4%BD%95%E8%AE%8A%E6%8F%9B" title="幾何變換 – kínai" lang="zh" hreflang="zh" data-title="幾何變換" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="kínai" class="interlanguage-link-target"><span>中文</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-yue mw-list-item"><a href="https://zh-yue.wikipedia.org/wiki/%E5%B9%BE%E4%BD%95%E8%AE%8A%E6%8F%9B" title="幾何變換 – kantoni" lang="yue" hreflang="yue" data-title="幾何變換" data-language-autonym="粵語" data-language-local-name="kantoni" class="interlanguage-link-target"><span>粵語</span></a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><span class="wb-langlinks-edit wb-langlinks-link"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q1196371#sitelinks-wikipedia" title="Nyelvközi hivatkozások szerkesztése" class="wbc-editpage">Hivatkozások szerkesztése</a></span></div> </div> </div> </div> </header> <div class="vector-page-toolbar"> <div class="vector-page-toolbar-container"> <div id="left-navigation"> <nav aria-label="Névterek"> <div id="p-associated-pages" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-associated-pages" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Transzform%C3%A1ci%C3%B3_(matematika)" title="A lap megtekintése [c]" accesskey="c"><span>Szócikk</span></a></li><li id="ca-talk" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Vita:Transzform%C3%A1ci%C3%B3_(matematika)" rel="discussion" title="Az oldal tartalmának megvitatása [t]" accesskey="t"><span>Vitalap</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown emptyPortlet" > <input type="checkbox" id="vector-variants-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Nyelvvariáns váltása" > <label id="vector-variants-dropdown-label" for="vector-variants-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" ><span class="vector-dropdown-label-text">magyar</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-variants" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-variants emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> <div id="right-navigation" class="vector-collapsible"> <nav aria-label="Nézetek"> <div id="p-views" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-views" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-view" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Transzform%C3%A1ci%C3%B3_(matematika)"><span>Olvasás</span></a></li><li id="ca-edit" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Transzform%C3%A1ci%C3%B3_(matematika)&action=edit" title="Az oldal forráskódjának szerkesztése [e]" accesskey="e"><span>Szerkesztés</span></a></li><li id="ca-history" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Transzform%C3%A1ci%C3%B3_(matematika)&action=history" title="A lap korábbi változatai [h]" accesskey="h"><span>Laptörténet</span></a></li> </ul> </div> </div> </nav> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Oldal eszközök"> <div id="vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown vector-page-tools-dropdown" > <input type="checkbox" id="vector-page-tools-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Eszközök" > <label id="vector-page-tools-dropdown-label" for="vector-page-tools-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" ><span class="vector-dropdown-label-text">Eszközök</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-tools-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> <div id="vector-page-tools" class="vector-page-tools vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-page-tools-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="page-tools-pinned" data-pinnable-element-id="vector-page-tools" data-pinned-container-id="vector-page-tools-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-page-tools-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Eszközök</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.pin">áthelyezés az oldalsávba</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.unpin">elrejtés</button> </div> <div id="p-cactions" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-cactions emptyPortlet vector-has-collapsible-items" title="További lehetőségek" > <div class="vector-menu-heading"> Műveletek </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-more-view" class="selected vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/wiki/Transzform%C3%A1ci%C3%B3_(matematika)"><span>Olvasás</span></a></li><li id="ca-more-edit" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Transzform%C3%A1ci%C3%B3_(matematika)&action=edit" title="Az oldal forráskódjának szerkesztése [e]" accesskey="e"><span>Szerkesztés</span></a></li><li id="ca-more-history" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Transzform%C3%A1ci%C3%B3_(matematika)&action=history"><span>Laptörténet</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-tb" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-tb" > <div class="vector-menu-heading"> Általános </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-whatlinkshere" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Speci%C3%A1lis:Mi_hivatkozik_erre/Transzform%C3%A1ci%C3%B3_(matematika)" title="Az erre a lapra hivatkozó más lapok listája [j]" accesskey="j"><span>Mi hivatkozik erre?</span></a></li><li id="t-recentchangeslinked" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Speci%C3%A1lis:Kapcsol%C3%B3d%C3%B3_v%C3%A1ltoztat%C3%A1sok/Transzform%C3%A1ci%C3%B3_(matematika)" rel="nofollow" title="Az erről a lapról hivatkozott lapok utolsó változtatásai [k]" accesskey="k"><span>Kapcsolódó változtatások</span></a></li><li id="t-specialpages" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Speci%C3%A1lis:Speci%C3%A1lis_lapok" title="Az összes speciális lap listája [q]" accesskey="q"><span>Speciális lapok</span></a></li><li id="t-permalink" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Transzform%C3%A1ci%C3%B3_(matematika)&oldid=27653975" title="Állandó hivatkozás ezen lap ezen változatához"><span>Hivatkozás erre a változatra</span></a></li><li id="t-info" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Transzform%C3%A1ci%C3%B3_(matematika)&action=info" title="További információk erről a lapról"><span>Lapinformációk</span></a></li><li id="t-cite" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Speci%C3%A1lis:Hivatkoz%C3%A1s&page=Transzform%C3%A1ci%C3%B3_%28matematika%29&id=27653975&wpFormIdentifier=titleform" title="Információk a lap idézésével kapcsolatban"><span>Hogyan hivatkozz erre a lapra?</span></a></li><li id="t-urlshortener" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Speci%C3%A1lis:UrlShortener&url=https%3A%2F%2Fhu.wikipedia.org%2Fwiki%2FTranszform%25C3%25A1ci%25C3%25B3_%28matematika%29"><span>Rövidített URL készítése</span></a></li><li id="t-urlshortener-qrcode" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Speci%C3%A1lis:QrCode&url=https%3A%2F%2Fhu.wikipedia.org%2Fwiki%2FTranszform%25C3%25A1ci%25C3%25B3_%28matematika%29"><span>QR-kód letöltése</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-coll-print_export" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-coll-print_export" > <div class="vector-menu-heading"> Nyomtatás/exportálás </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="coll-create_a_book" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Speci%C3%A1lis:K%C3%B6nyv&bookcmd=book_creator&referer=Transzform%C3%A1ci%C3%B3+%28matematika%29"><span>Könyv készítése</span></a></li><li id="coll-download-as-rl" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Speci%C3%A1lis:DownloadAsPdf&page=Transzform%C3%A1ci%C3%B3_%28matematika%29&action=show-download-screen"><span>Letöltés PDF-ként</span></a></li><li id="t-print" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Transzform%C3%A1ci%C3%B3_(matematika)&printable=yes" title="A lap nyomtatható változata [p]" accesskey="p"><span>Nyomtatható változat</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-wikibase-otherprojects" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-wikibase-otherprojects" > <div class="vector-menu-heading"> Társprojektek </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="wb-otherproject-link wb-otherproject-commons mw-list-item"><a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Transformations_(geometry)" hreflang="en"><span>Wikimédia Commons</span></a></li><li id="t-wikibase" class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikibase-dataitem mw-list-item"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q1196371" title="Kapcsolt adattárelem [g]" accesskey="g"><span>Wikidata-adatlap</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> </div> <div class="vector-column-end"> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Oldal eszközök"> <div id="vector-page-tools-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Megjelenés"> <div id="vector-appearance-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-appearance" class="vector-appearance vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-appearance-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="appearance-pinned" data-pinnable-element-id="vector-appearance" data-pinned-container-id="vector-appearance-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-appearance-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Megjelenés</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.pin">áthelyezés az oldalsávba</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.unpin">elrejtés</button> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> <div id="bodyContent" class="vector-body" aria-labelledby="firstHeading" data-mw-ve-target-container> <div class="vector-body-before-content"> <div class="mw-indicators"> <div id="mw-indicator-indicator-fr-review-status" class="mw-indicator"><indicator name="fr-review-status" class="mw-fr-review-status-indicator" id="mw-fr-revision-toggle"><span class="cdx-fr-css-icon-review--status--stable"></span><b>Ellenőrzött</b></indicator></div> </div> <div id="siteSub" class="noprint">A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából</div> </div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"><div id="mw-fr-revision-messages"><div id="mw-fr-revision-details" class="mw-fr-revision-details-dialog" style="display:none;"><div tabindex="0"></div><div class="cdx-dialog cdx-dialog--horizontal-actions"><header class="cdx-dialog__header cdx-dialog__header--default"><div class="cdx-dialog__header__title-group"><h2 class="cdx-dialog__header__title">Változat állapota</h2><p class="cdx-dialog__header__subtitle">Ez a lap egy ellenőrzött változata</p></div><button class="cdx-button cdx-button--action-default cdx-button--weight-quiet
							cdx-button--size-medium cdx-button--icon-only cdx-dialog__header__close-button" aria-label="Close" onclick="document.getElementById("mw-fr-revision-details").style.display = "none";" type="submit"><span class="cdx-icon cdx-icon--medium
							cdx-fr-css-icon--close"></span></button></header><div class="cdx-dialog__body">Ez a <a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:Jel%C3%B6lt_lapv%C3%A1ltozatok" title="Wikipédia:Jelölt lapváltozatok">közzétett változat</a>, <a class="external text" href="https://hu.wikipedia.org/w/index.php?title=Speci%C3%A1lis:Rendszernapl%C3%B3k&type=review&page=Transzform%C3%A1ci%C3%B3_(matematika)">ellenőrizve</a>: <i>2024. december 2.</i><p><table id="mw-fr-revisionratings-box" class="flaggedrevs-color-1" style="margin: auto;" cellpadding="0"><tr><td class="fr-text" style="vertical-align: middle;">Pontosság</td><td class="fr-value40" style="vertical-align: middle;">ellenőrzött</td></tr></table></p></div></div><div tabindex="0"></div></div></div></div></div> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="hu" dir="ltr"><table class="dablink noprint noviewer" style="padding-left: 2em; vertical-align: middle;" cellpadding="0" cellspacing="0"><tbody><tr><td style="padding-right:.25em;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/F%C3%A1jl:Disambig.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/72/Disambig.svg/19px-Disambig.svg.png" decoding="async" width="19" height="15" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/72/Disambig.svg/29px-Disambig.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/72/Disambig.svg/38px-Disambig.svg.png 2x" data-file-width="230" data-file-height="183" /></a></span></td><td><i>A „Transzformáció” szócikk ide irányít át. Hasonló címmel lásd még: <a href="/wiki/Transzform%C3%A1ci%C3%B3_(egy%C3%A9rtelm%C5%B1s%C3%ADt%C5%91_lap)" class="mw-disambig" title="Transzformáció (egyértelműsítő lap)">Transzformáció (egyértelműsítő lap)</a>.</i></td></tr></tbody></table> <p>A <b>geometriai transzformáció</b> <a href="/wiki/Geometria" title="Geometria">geometriai</a> objektumok között létesített megfeleltetés, <a href="/wiki/F%C3%BCggv%C3%A9ny_(matematika)" title="Függvény (matematika)">függvény</a>, illetve <a href="/wiki/Rel%C3%A1ci%C3%B3" title="Reláció">reláció</a>. A geometriai transzformáció fogalmai szemléletes konkrétumokból származtathatók, de a tudomány fejlődése során <a href="/wiki/Absztrakci%C3%B3" title="Absztrakció">absztrakttá</a> váltak és korábban nem tapasztalt jellemzőkkel egészültek ki. </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Neve">Neve</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Transzform%C3%A1ci%C3%B3_(matematika)&action=edit&section=1" title="Szakasz szerkesztése: Neve"><span>szerkesztés</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Az elnevezés eredete bizonytalan és nem is találó, hiszen mint a <a href="/wiki/Latin_nyelv" title="Latin nyelv">latin</a> <i>transformare</i> <a href="/wiki/Ige_(nyelv%C3%A9szet)" title="Ige (nyelvészet)">ige</a> származéka <i>átalakítást</i> jelent, de sok transzformáció éppenhogy nem változtatja meg az alakzatok formáját (egybevágóság, hasonlóság). Talán a <i>transportatio</i> (átszállítás), <i>transplantatio</i> (átültetés), <i>transmissio</i> (átküldés) szavak egyike alkalmasabb lett volna, hiszen a pont-transzformációk a sík/tér pontjait (kevés kivétellel) máshová helyezik. Gyanítható, hogy a fogalom kialakulására és elnevezésére akkor került sor, amikor a kutatók az egyszerű, szemléletes <i>alaktartó</i> transzformációk után a torzképet generáló <i>(anamorf)</i> megfeleltetésekkel is kezdtek foglalkozni. </p><p>Gyakran a transzformáció helyett a <a href="/wiki/G%C3%B6r%C3%B6g_nyelv" title="Görög nyelv">görögből</a> származó <i>homológia</i> szó szerepel a szakirodalomban. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Története"><span id="T.C3.B6rt.C3.A9nete"></span>Története</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Transzform%C3%A1ci%C3%B3_(matematika)&action=edit&section=2" title="Szakasz szerkesztése: Története"><span>szerkesztés</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><a href="/wiki/Eukleid%C3%A9sz" class="mw-redirect mw-disambig" title="Eukleidész">Eukleidész</a> az <i><a href="/wiki/Elemek" title="Elemek">Elemek</a></i>ben csak két <a href="/wiki/Alakzat_(geometria)" title="Alakzat (geometria)">alakzat</a> <a href="/wiki/Egybev%C3%A1g%C3%B3s%C3%A1g" title="Egybevágóság">egybevágóságával</a> és <a href="/wiki/Hasonl%C3%B3s%C3%A1g" title="Hasonlóság">hasonlóságával</a>, mint az összehasonlítás (összemérés) egyik attribútumával foglalkozik anélkül, hogy ezeket megnevezné. Csupán úgy szólnak a tételei, hogy „bizonyos méretek egyezése esetén más méretek is egyelők”. (Pl. ha két háromszögben két oldal és a közbezárt szög megegyezik, akkor a harmadik oldal és a két másik szög is.) Az <i>Elemek</i> szellemében keletkezett <a href="/wiki/%C3%93kor" title="Ókor">ókori</a> és <a href="/wiki/K%C3%B6z%C3%A9pkor" title="Középkor">középkori</a> munkákban csupán nyomokban jelenik meg a <b>megfeleltetés</b>, s akkor is inkább olyan feladatokban, hogy „szerkesszük meg egy adott alakzat olyan képét ...” és az <i>olyan</i> kikötésében fogalmazódik meg (kezdetben burkoltan) az egybevágóság/hasonlóság kritériuma. Az <i>Elemek</i> szemlélete a szintetikus geometriát tárgyaló tankönyvek, monográfiák lapjain még a 20. században is felfedezhető (a <i>szimmetrikus alakzatok</i> vizsgálatával kiegészítve). </p><p>Bár az újkori matematikusok levelezésében követhető a fogalom fejlődése, az analitikus (koordinátás) tárgyalás első szisztematikus kidolgozását <a href="/wiki/Leonhard_Euler" title="Leonhard Euler">Leonhard Eulernek</a> tulajdoníthatjuk (<i>Introductio in analysis infinitorum</i>, 1784). </p><p>A merev testek helyváltoztatásához, mozgásához kapcsolódó vizsgálatokból kiindulva jutott el a matematika a térbeli és síkbeli alakzatokra értelmezett leképezések, a geometriai transzformációk fontosságának felismeréséhez. Lényeges fordulatot hozott az 1872-es év. Ekkor hangzott el <a href="/wiki/Felix_Klein" class="mw-redirect" title="Felix Klein">Felix Klein</a> (1849–1925) német matematikus nevezetes előadása, amelyre a matematika története az <i>Erlangeni Program</i> néven utal. Klein ebben az összefoglalójában hívta fel a figyelmet, hogy a geometriai transzformációkat vizsgálhatjuk aszerint is, hogy egyes alakzatoknak milyen tulajdonságait örökítik; más szóhasználattal, hogy a transzformáció során melyik tulajdonság változatlan, <b>invariáns</b>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Általános_jellemzők"><span id=".C3.81ltal.C3.A1nos_jellemz.C5.91k"></span>Általános jellemzők</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Transzform%C3%A1ci%C3%B3_(matematika)&action=edit&section=3" title="Szakasz szerkesztése: Általános jellemzők"><span>szerkesztés</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>A <a href="/wiki/Transzform%C3%A1ci%C3%B3geometria" title="Transzformációgeometria">transzformációgeometria</a> a ponttranszformációk tárgyalásánál az analitikus (algebrai) eszközöket nem használó <b>szintetikus geometria</b> a szemléletből származtatott geometriai fogalmakat használ, s a megállapítások főleg a szemléletes euklideszi sík (2D) és tér (3D) pontjaira, alakzataira vonatkoznak, lásd: <a href="/wiki/Euklideszi_s%C3%ADkgeometria" title="Euklideszi síkgeometria">euklideszi síkgeometria</a>. Ezzel szemben az analitikus eszközöket használó <a href="/wiki/Koordin%C3%A1tageometria" title="Koordinátageometria">koordinátageometria</a> <i>(<a href="/wiki/Line%C3%A1ris_algebra" title="Lineáris algebra">lineáris algebra</a>)</i> véges <a href="/wiki/Dimenzi%C3%B3" title="Dimenzió">dimenziójú</a> ponthalmazokkal, <i>n</i>-dimenziós <a href="/wiki/Vektort%C3%A9r" title="Vektortér">vektorterekkel</a> foglalkozik. Különbözik a transzformáció megadása is: szerkesztési szabály (<a href="/wiki/Algoritmus" title="Algoritmus">algoritmus</a>), illetve <a href="/wiki/K%C3%A9plet" title="Képlet">képlet</a> (egyenlet). A két szakterület eszköztárával definiált fogalmakat, tételeket össze kell vetni, azaz igazolni, hogy más „nyelven”, de ugyanarról beszélünk. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Fogalmak,_elnevezések"><span id="Fogalmak.2C_elnevez.C3.A9sek"></span>Fogalmak, elnevezések</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Transzform%C3%A1ci%C3%B3_(matematika)&action=edit&section=4" title="Szakasz szerkesztése: Fogalmak, elnevezések"><span>szerkesztés</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Szűkebb értelemben egy-egyértelmű <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>φ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.52ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi }"></span>: <i>P</i> → <i>P</i>* (<a href="/wiki/Pont_(geometria)" title="Pont (geometria)">pont</a>-pont) megfeleltetés a <b>ponttranszformáció</b>. </p><p>A <i>P</i> pont a transzformáció <b>tárgypont</b>ja, a megfeleltetett <i>P</i>* pont pedig a transzformáció <b>képpont</b>ja vagy <i>képe</i>. </p><p>Az összetartozó (<i>P</i>, <i>P</i>*) rendezett pár egy <b>homológ pontpár</b>. Hasonló értelemben használjuk a <i>tárgyalakzat</i>, <i>képalakzat</i>, <i>homológ alakzatok</i> elnevezéseket. Gyakran a transzformáció helyett is a <a href="/wiki/G%C3%B6r%C3%B6g_nyelv" title="Görög nyelv">görögből</a> származó <i>homológia</i> szó szerepel az irodalomban. </p><p>Valamivel általánosabb értelmezésben transzformációnak nevezzük azokat a megfeleltetéseket is, amelyeknél a megfelelő elempárok <i>különfélék</i>. Pl.: ponthoz-<a href="/wiki/Egyenes" title="Egyenes">egyenest</a> és egyeneshez-pontot rendelő megfeleltetések, a <b>korrelációk</b>. </p><p>Esetenként <a href="/wiki/Alakzat_(geometria)" title="Alakzat (geometria)">geometriai alakzatok</a> (idomok, testek, ponthalmazok), máskor a sík/tér minden pontjának áthelyezéseként-átalakításaként értelmezzük. Ugyanígy váltakozva a sík önmagára vagy egy másik síkra való transzformálásáról beszélünk. Ugyancsak transzformáció a térbeli alakzatok síkbeli szemléltetése: ábrázolása, de pont-pont megfeleltetést valósítunk meg a <a href="/wiki/F%C3%B6ld" title="Föld">Földet</a> síkban ábrázoló <a href="/wiki/Vet%C3%BClettan" title="Vetülettan">térképeken</a> is. A geometriai transzformáció egyik válfaját valósítják meg a <a href="/wiki/Komplex_anal%C3%ADzis" title="Komplex analízis">komplex függvények</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Speciális_alakzatok"><span id="Speci.C3.A1lis_alakzatok"></span>Speciális alakzatok</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Transzform%C3%A1ci%C3%B3_(matematika)&action=edit&section=5" title="Szakasz szerkesztése: Speciális alakzatok"><span>szerkesztés</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><b>Invariáns</b> (változatlan) alakzat: A sík/tér önmagára való leképezésekor néhány pont, egyenes vagy más fontos alakzat képe a tárgyával megegyezhet.</li> <li><b>Fix</b> (mozdulatlan) alakzat: Olyan invariáns alakzat, melynek minden pontja helyben marad.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Síkban"><span id="S.C3.ADkban"></span>Síkban</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Transzform%C3%A1ci%C3%B3_(matematika)&action=edit&section=6" title="Szakasz szerkesztése: Síkban"><span>szerkesztés</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <dl><dd><ul><li><b>Centrum</b>: fixpont, amelyre illeszkedő egyenesek invariáns egyenesek.</li> <li><b>Tengely</b>: fixegyenes. (Hagyományos -szinonim- elnevezés: forgás-, tükrözés-, affinítás-tengelye !)</li></ul></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Térben"><span id="T.C3.A9rben"></span>Térben</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Transzform%C3%A1ci%C3%B3_(matematika)&action=edit&section=7" title="Szakasz szerkesztése: Térben"><span>szerkesztés</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <dl><dd><ul><li><b>Centrum</b>: fixpont, amelyre illeszkedő egyenesek és síkok invariáns alakzatok.</li> <li><b>Tengely</b>: fixegyenes, amelyre illeszkedő egyenesek (metszők) és síkok invariáns alakzatok.</li> <li><b>Tengely-sík</b>: fixsík amelyre illeszkedő pontok és egyenesek invariáns alakzatok.</li></ul></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Műveletek_transzformációkkal"><span id="M.C5.B1veletek_transzform.C3.A1ci.C3.B3kkal"></span>Műveletek transzformációkkal</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Transzform%C3%A1ci%C3%B3_(matematika)&action=edit&section=8" title="Szakasz szerkesztése: Műveletek transzformációkkal"><span>szerkesztés</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li>Invertálás, megfordítás: ha a transzformációt megadó megfeleltetés egy-egyértelmű (<a href="/wiki/Bijekci%C3%B3" title="Bijekció">bijekció</a>), akkor létezik az <b>inverz</b>e, ami minden <i>P</i>* képponthoz annak <i>P</i> tárgypontját rendeli.</li></ul> <ul><li>Összetett függvényképzés: két vagy több transzformáció <b>kompozíció</b>ját kapjuk, ha egymásután hajtjuk végre azokat: <i>P</i> →<i>P</i>* az első, <i>P</i>* → <i>P</i>** a második hozzárendelés, amelyet egyetlen <i>P</i> → <i>P</i>** helyettesít. Ezért célszerű az „egyszerű”, (kevés eszközzel leírható) <i>elemi</i>, vagy <i>kanonikus</i> és az <i>összetett transzformáció</i>kat megkülönböztetni. A részletes tárgyalás kimutatja, hogy a kanonikus transzformációk kompozíciójával a sík minden olyan transzformációja előállítható, amelyik az összetevők invariáns tulajdonságaival rendelkezik.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="A_transzformációk_Klein-féle_rendszerezése"><span id="A_transzform.C3.A1ci.C3.B3k_Klein-f.C3.A9le_rendszerez.C3.A9se"></span>A transzformációk Klein-féle rendszerezése</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Transzform%C3%A1ci%C3%B3_(matematika)&action=edit&section=9" title="Szakasz szerkesztése: A transzformációk Klein-féle rendszerezése"><span>szerkesztés</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>(<small>Nem osztályozás, mert átfedések vannak!</small>) </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Homeomorfia_(topologikus_transzformáció)"><span id="Homeomorfia_.28topologikus_transzform.C3.A1ci.C3.B3.29"></span>Homeomorfia (topologikus transzformáció)</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Transzform%C3%A1ci%C3%B3_(matematika)&action=edit&section=10" title="Szakasz szerkesztése: Homeomorfia (topologikus transzformáció)"><span>szerkesztés</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <table class="dablink noprint noviewer" style="padding-left: 2em; vertical-align: middle;" cellpadding="0" cellspacing="0"><tbody><tr><td style="padding-right:.25em;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/F%C3%A1jl:Searchtool_right.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/32/Searchtool_right.svg/14px-Searchtool_right.svg.png" decoding="async" width="14" height="14" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/32/Searchtool_right.svg/21px-Searchtool_right.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/32/Searchtool_right.svg/28px-Searchtool_right.svg.png 2x" data-file-width="60" data-file-height="60" /></a></span></td><td><i>Bővebben: <a href="/wiki/Homeomorfia" title="Homeomorfia">Homeomorfia</a></i></td></tr></tbody></table> <p>Nagyon általános, kevés invarianciát mutató transzformációt kapunk, ha egy ábrát rugalmas lemezre rajzolunk, majd a lemezt tetszőlegesen alakítjuk, miközben csak arra ügyelünk, hogy <b>síkban</b> maradjon. Az ábra szinte a felismerhetetlenségig eltorzul. A távolságok, a szögek, az arányok is megváltoznak, de a formák egy része így is felismerhető. Az egyenesek, körök, sokszögek akármilyen görbévé-idommá változtathatók. Néhány invariáns tulajdonságot azonban itt is felfedezhetünk, s ezek egyike a <b>folytonosság</b>. Ez a fura transzformáció megőrzi az elemek <b>illeszkedését</b> is. A vonalakon elhelyezkedő pontok <b>rendezettsége</b> is megmarad: a tárgy- és képalakzat egymással <b>homeomorf</b> = <b>topologikusan ekvivalens</b>. (Szemléletesen illusztrálja a <b>topologikus</b> transzformációt egy úthálózat deformált térképe.) </p> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Anamorfia">Anamorfia</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Transzform%C3%A1ci%C3%B3_(matematika)&action=edit&section=11" title="Szakasz szerkesztése: Anamorfia"><span>szerkesztés</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/F%C3%A1jl:T%C3%BCkr%C3%B6z%C3%A9s_k%C3%B6rre_(inverzi%C3%B3).jpg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5e/T%C3%BCkr%C3%B6z%C3%A9s_k%C3%B6rre_%28inverzi%C3%B3%29.jpg/220px-T%C3%BCkr%C3%B6z%C3%A9s_k%C3%B6rre_%28inverzi%C3%B3%29.jpg" decoding="async" width="220" height="112" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5e/T%C3%BCkr%C3%B6z%C3%A9s_k%C3%B6rre_%28inverzi%C3%B3%29.jpg/330px-T%C3%BCkr%C3%B6z%C3%A9s_k%C3%B6rre_%28inverzi%C3%B3%29.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5e/T%C3%BCkr%C3%B6z%C3%A9s_k%C3%B6rre_%28inverzi%C3%B3%29.jpg/440px-T%C3%BCkr%C3%B6z%C3%A9s_k%C3%B6rre_%28inverzi%C3%B3%29.jpg 2x" data-file-width="707" data-file-height="360" /></a><figcaption>Tükrözés körre (inverzió)</figcaption></figure> <p>A valamivel „szabályosabb” (szerkesztésekkel vagy képletekkel megadott) transzformációkat <a href="/wiki/Anamorf%C3%B3zis" title="Anamorfózis">anamorfizmusoknak</a> nevezik, ha nem minden egyenesnek egyenes a képe. Ilyen pl. a körre vonatkozó <a href="/wiki/Inverzi%C3%B3" class="mw-redirect mw-disambig" title="Inverzió">inverzió</a>. <a href="/wiki/Orosz_Istv%C3%A1n_(grafikus)" title="Orosz István (grafikus)">Művészi ábrázolásnál</a> is alkalmazzák.<br /> <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.anamorphosis.com">Néhány példa és free-software!:</a> </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Kollineáció_(projektivitás)"><span id="Kolline.C3.A1ci.C3.B3_.28projektivit.C3.A1s.29"></span>Kollineáció (projektivitás)</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Transzform%C3%A1ci%C3%B3_(matematika)&action=edit&section=12" title="Szakasz szerkesztése: Kollineáció (projektivitás)"><span>szerkesztés</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <table class="dablink noprint noviewer" style="padding-left: 2em; vertical-align: middle;" cellpadding="0" cellspacing="0"><tbody><tr><td style="padding-right:.25em;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/F%C3%A1jl:Searchtool_right.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/32/Searchtool_right.svg/14px-Searchtool_right.svg.png" decoding="async" width="14" height="14" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/32/Searchtool_right.svg/21px-Searchtool_right.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/32/Searchtool_right.svg/28px-Searchtool_right.svg.png 2x" data-file-width="60" data-file-height="60" /></a></span></td><td><i>Bővebben: <a href="/wiki/Kolline%C3%A1ci%C3%B3" title="Kollineáció">Kollineáció</a></i></td></tr></tbody></table> <p>Olyan homeomorfia, aminél minden egyenes képe egyenes. A sík (<a href="/wiki/Bijekci%C3%B3" title="Bijekció">bijektív</a>)<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> <b>egyenestartó</b> leképezéseinek gyűjtőneve. Analitikusan elsőfokú (lineáris) <a href="/wiki/Egyenletrendszer" title="Egyenletrendszer">egyenletrendszerrel</a> adjuk meg: <b>lineáris transzformáció</b>. Az egyenesen levő pontnégyesek <b><a href="/wiki/Kett%C5%91sviszony" title="Kettősviszony">kettősviszony</a></b>át is megőrzi. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Affinitás"><span id="Affinit.C3.A1s"></span>Affinitás</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Transzform%C3%A1ci%C3%B3_(matematika)&action=edit&section=13" title="Szakasz szerkesztése: Affinitás"><span>szerkesztés</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <table class="dablink noprint noviewer" style="padding-left: 2em; vertical-align: middle;" cellpadding="0" cellspacing="0"><tbody><tr><td style="padding-right:.25em;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/F%C3%A1jl:Searchtool_right.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/32/Searchtool_right.svg/14px-Searchtool_right.svg.png" decoding="async" width="14" height="14" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/32/Searchtool_right.svg/21px-Searchtool_right.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/32/Searchtool_right.svg/28px-Searchtool_right.svg.png 2x" data-file-width="60" data-file-height="60" /></a></span></td><td><i>Bővebben: <a href="/wiki/Affin_transzform%C3%A1ci%C3%B3" title="Affin transzformáció">Affin transzformáció</a></i></td></tr></tbody></table> <p>Olyan kollineáció, ami a párhuzamos egyeneseket párhuzamos egyenesekbe transzformálja, azaz <b>párhuzamosságtartó</b>. Az egyenes három pontjának az <a href="/wiki/Kett%C5%91sviszony" title="Kettősviszony">osztóviszonyát</a> is örökli a kép. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Hasonlóság"><span id="Hasonl.C3.B3s.C3.A1g"></span>Hasonlóság</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Transzform%C3%A1ci%C3%B3_(matematika)&action=edit&section=14" title="Szakasz szerkesztése: Hasonlóság"><span>szerkesztés</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <table class="dablink noprint noviewer" style="padding-left: 2em; vertical-align: middle;" cellpadding="0" cellspacing="0"><tbody><tr><td style="padding-right:.25em;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/F%C3%A1jl:Searchtool_right.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/32/Searchtool_right.svg/14px-Searchtool_right.svg.png" decoding="async" width="14" height="14" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/32/Searchtool_right.svg/21px-Searchtool_right.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/32/Searchtool_right.svg/28px-Searchtool_right.svg.png 2x" data-file-width="60" data-file-height="60" /></a></span></td><td><i>Bővebben: <a href="/w/index.php?title=Hasonl%C3%B3s%C3%A1gi_transzform%C3%A1ci%C3%B3&action=edit&redlink=1" class="new" title="Hasonlósági transzformáció (a lap nem létezik)">Hasonlósági transzformáció</a></i></td></tr></tbody></table> <p>Olyan affinitás, ami megtartja a szakaszok <a href="/wiki/Ar%C3%A1ny" title="Arány">arányát</a> és az egyenesek <a href="/wiki/Sz%C3%B6g" title="Szög">hajlásszögét</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Egybevágóság"><span id="Egybev.C3.A1g.C3.B3s.C3.A1g"></span>Egybevágóság</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Transzform%C3%A1ci%C3%B3_(matematika)&action=edit&section=15" title="Szakasz szerkesztése: Egybevágóság"><span>szerkesztés</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <table class="dablink noprint noviewer" style="padding-left: 2em; vertical-align: middle;" cellpadding="0" cellspacing="0"><tbody><tr><td style="padding-right:.25em;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/F%C3%A1jl:Searchtool_right.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/32/Searchtool_right.svg/14px-Searchtool_right.svg.png" decoding="async" width="14" height="14" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/32/Searchtool_right.svg/21px-Searchtool_right.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/32/Searchtool_right.svg/28px-Searchtool_right.svg.png 2x" data-file-width="60" data-file-height="60" /></a></span></td><td><i>Bővebben: <a href="/wiki/Egybev%C3%A1g%C3%B3s%C3%A1gi_transzform%C3%A1ci%C3%B3" title="Egybevágósági transzformáció">Egybevágósági transzformáció</a></i></td></tr></tbody></table> <p>Olyan hasonlóság, ahol a szakaszok képének hossza is invariáns, azaz <b>távolságtartó</b>. A legegyszerűbb, triviális egybevágóság <a href="/wiki/Identit%C3%A1s_(geometria)" title="Identitás (geometria)">identitás</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Elemi_(kanonikus)_síkbeli_transzformációk"><span id="Elemi_.28kanonikus.29_s.C3.ADkbeli_transzform.C3.A1ci.C3.B3k"></span>Elemi (kanonikus) síkbeli transzformációk</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Transzform%C3%A1ci%C3%B3_(matematika)&action=edit&section=16" title="Szakasz szerkesztése: Elemi (kanonikus) síkbeli transzformációk"><span>szerkesztés</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Identitás"><span id="Identit.C3.A1s"></span>Identitás</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Transzform%C3%A1ci%C3%B3_(matematika)&action=edit&section=17" title="Szakasz szerkesztése: Identitás"><span>szerkesztés</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <table class="dablink noprint noviewer" style="padding-left: 2em; vertical-align: middle;" cellpadding="0" cellspacing="0"><tbody><tr><td style="padding-right:.25em;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/F%C3%A1jl:Searchtool_right.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/32/Searchtool_right.svg/14px-Searchtool_right.svg.png" decoding="async" width="14" height="14" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/32/Searchtool_right.svg/21px-Searchtool_right.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/32/Searchtool_right.svg/28px-Searchtool_right.svg.png 2x" data-file-width="60" data-file-height="60" /></a></span></td><td><i>Bővebben: <a href="/wiki/Identit%C3%A1s_(geometria)" title="Identitás (geometria)">Identitás (geometria)</a></i></td></tr></tbody></table> <p>A <b>P* = P</b> szabállyal adott transzformáció (= minden pontnak önmaga a képe). </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Mozgások"><span id="Mozg.C3.A1sok"></span>Mozgások</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Transzform%C3%A1ci%C3%B3_(matematika)&action=edit&section=18" title="Szakasz szerkesztése: Mozgások"><span>szerkesztés</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size mw-halign-left" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/F%C3%A1jl:Geometriai_transzform%C3%A1ci%C3%B3,_p%C3%A1rhuzamos_eltol%C3%A1s.jpg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/73/Geometriai_transzform%C3%A1ci%C3%B3%2C_p%C3%A1rhuzamos_eltol%C3%A1s.jpg/220px-Geometriai_transzform%C3%A1ci%C3%B3%2C_p%C3%A1rhuzamos_eltol%C3%A1s.jpg" decoding="async" width="220" height="151" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/73/Geometriai_transzform%C3%A1ci%C3%B3%2C_p%C3%A1rhuzamos_eltol%C3%A1s.jpg/330px-Geometriai_transzform%C3%A1ci%C3%B3%2C_p%C3%A1rhuzamos_eltol%C3%A1s.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/73/Geometriai_transzform%C3%A1ci%C3%B3%2C_p%C3%A1rhuzamos_eltol%C3%A1s.jpg/440px-Geometriai_transzform%C3%A1ci%C3%B3%2C_p%C3%A1rhuzamos_eltol%C3%A1s.jpg 2x" data-file-width="663" data-file-height="456" /></a><figcaption></figcaption></figure> <figure class="mw-default-size mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/F%C3%A1jl:Geometriai_transzform%C3%A1ci%C3%B3,_pont_k%C3%B6r%C3%BCli_elforgat%C3%A1s.jpg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/14/Geometriai_transzform%C3%A1ci%C3%B3%2C_pont_k%C3%B6r%C3%BCli_elforgat%C3%A1s.jpg/220px-Geometriai_transzform%C3%A1ci%C3%B3%2C_pont_k%C3%B6r%C3%BCli_elforgat%C3%A1s.jpg" decoding="async" width="220" height="154" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/14/Geometriai_transzform%C3%A1ci%C3%B3%2C_pont_k%C3%B6r%C3%BCli_elforgat%C3%A1s.jpg/330px-Geometriai_transzform%C3%A1ci%C3%B3%2C_pont_k%C3%B6r%C3%BCli_elforgat%C3%A1s.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/14/Geometriai_transzform%C3%A1ci%C3%B3%2C_pont_k%C3%B6r%C3%BCli_elforgat%C3%A1s.jpg/440px-Geometriai_transzform%C3%A1ci%C3%B3%2C_pont_k%C3%B6r%C3%BCli_elforgat%C3%A1s.jpg 2x" data-file-width="663" data-file-height="465" /></a><figcaption></figcaption></figure> <ul><li><b>Eltolás</b> <i>(transzláció)</i>: Minden <b>PP*</b> szakasz azonos irányú és nagyságú.</li> <li><b>Forgatás</b> <i>(rotáció)</i>: <b>C</b> fix, minden más <b>P</b>-re <b>PP*</b> azonos irányú és <b>C</b> közepű körív, azonos középponti szöggel.</li></ul> <p>(<small>A transzformáció szempontjából közömbös a mozgás pályája.</small>) </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Tükrözések_(szimmetriák)"><span id="T.C3.BCkr.C3.B6z.C3.A9sek_.28szimmetri.C3.A1k.29"></span>Tükrözések (szimmetriák)</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Transzform%C3%A1ci%C3%B3_(matematika)&action=edit&section=19" title="Szakasz szerkesztése: Tükrözések (szimmetriák)"><span>szerkesztés</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size mw-halign-left" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/F%C3%A1jl:Geometriai_transzform%C3%A1ci%C3%B3,_t%C3%BCkr%C3%B6z%C3%A9s_egyenesre.jpg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0f/Geometriai_transzform%C3%A1ci%C3%B3%2C_t%C3%BCkr%C3%B6z%C3%A9s_egyenesre.jpg/220px-Geometriai_transzform%C3%A1ci%C3%B3%2C_t%C3%BCkr%C3%B6z%C3%A9s_egyenesre.jpg" decoding="async" width="220" height="95" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0f/Geometriai_transzform%C3%A1ci%C3%B3%2C_t%C3%BCkr%C3%B6z%C3%A9s_egyenesre.jpg/330px-Geometriai_transzform%C3%A1ci%C3%B3%2C_t%C3%BCkr%C3%B6z%C3%A9s_egyenesre.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0f/Geometriai_transzform%C3%A1ci%C3%B3%2C_t%C3%BCkr%C3%B6z%C3%A9s_egyenesre.jpg/440px-Geometriai_transzform%C3%A1ci%C3%B3%2C_t%C3%BCkr%C3%B6z%C3%A9s_egyenesre.jpg 2x" data-file-width="701" data-file-height="304" /></a><figcaption>Tengelyes tükrözés</figcaption></figure> <figure class="mw-default-size mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/F%C3%A1jl:Geometriai_transzform%C3%A1ci%C3%B3,_k%C3%B6z%C3%A9ppontos_t%C3%BCkr%C3%B6z%C3%A9s.jpg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/32/Geometriai_transzform%C3%A1ci%C3%B3%2C_k%C3%B6z%C3%A9ppontos_t%C3%BCkr%C3%B6z%C3%A9s.jpg/220px-Geometriai_transzform%C3%A1ci%C3%B3%2C_k%C3%B6z%C3%A9ppontos_t%C3%BCkr%C3%B6z%C3%A9s.jpg" decoding="async" width="220" height="95" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/32/Geometriai_transzform%C3%A1ci%C3%B3%2C_k%C3%B6z%C3%A9ppontos_t%C3%BCkr%C3%B6z%C3%A9s.jpg/330px-Geometriai_transzform%C3%A1ci%C3%B3%2C_k%C3%B6z%C3%A9ppontos_t%C3%BCkr%C3%B6z%C3%A9s.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/32/Geometriai_transzform%C3%A1ci%C3%B3%2C_k%C3%B6z%C3%A9ppontos_t%C3%BCkr%C3%B6z%C3%A9s.jpg/440px-Geometriai_transzform%C3%A1ci%C3%B3%2C_k%C3%B6z%C3%A9ppontos_t%C3%BCkr%C3%B6z%C3%A9s.jpg 2x" data-file-width="701" data-file-height="304" /></a><figcaption>Középpontos tükrözés</figcaption></figure> <table class="dablink noprint noviewer" style="padding-left: 2em; vertical-align: middle;" cellpadding="0" cellspacing="0"><tbody><tr><td style="padding-right:.25em;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/F%C3%A1jl:Searchtool_right.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/32/Searchtool_right.svg/14px-Searchtool_right.svg.png" decoding="async" width="14" height="14" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/32/Searchtool_right.svg/21px-Searchtool_right.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/32/Searchtool_right.svg/28px-Searchtool_right.svg.png 2x" data-file-width="60" data-file-height="60" /></a></span></td><td><i>Bővebben: <a href="/wiki/T%C3%BCkr%C3%B6z%C3%A9s_(matematika)" title="Tükrözés (matematika)">Tükrözés (matematika)</a></i></td></tr></tbody></table> <ul><li><b>Tengelyes tükrözés</b>: Ha <b>P∈t</b>, akkor <b>P*=P</b>, különben <b>PP* ⊥ t</b> és <b>(P*t) = -(Pt)</b>.</li> <li><b>Középpontos tükrözés</b>: Ha <b>P=C</b>, akkor <b>P*=P</b>, különben <b>(P*C) = -(PC)</b></li></ul> <p>Tengely- / kör-<b>szimmetrikus</b> egy alakzat, ha önmagának a képe. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Középpontos_hasonlóság"><span id="K.C3.B6z.C3.A9ppontos_hasonl.C3.B3s.C3.A1g"></span>Középpontos hasonlóság</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Transzform%C3%A1ci%C3%B3_(matematika)&action=edit&section=20" title="Szakasz szerkesztése: Középpontos hasonlóság"><span>szerkesztés</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/F%C3%A1jl:Geometriai_transzform%C3%A1ci%C3%B3,_k%C3%B6z%C3%A9ppontos_hasonl%C3%B3s%C3%A1g_(homot%C3%A9cia).jpg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0d/Geometriai_transzform%C3%A1ci%C3%B3%2C_k%C3%B6z%C3%A9ppontos_hasonl%C3%B3s%C3%A1g_%28homot%C3%A9cia%29.jpg/220px-Geometriai_transzform%C3%A1ci%C3%B3%2C_k%C3%B6z%C3%A9ppontos_hasonl%C3%B3s%C3%A1g_%28homot%C3%A9cia%29.jpg" decoding="async" width="220" height="90" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0d/Geometriai_transzform%C3%A1ci%C3%B3%2C_k%C3%B6z%C3%A9ppontos_hasonl%C3%B3s%C3%A1g_%28homot%C3%A9cia%29.jpg/330px-Geometriai_transzform%C3%A1ci%C3%B3%2C_k%C3%B6z%C3%A9ppontos_hasonl%C3%B3s%C3%A1g_%28homot%C3%A9cia%29.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0d/Geometriai_transzform%C3%A1ci%C3%B3%2C_k%C3%B6z%C3%A9ppontos_hasonl%C3%B3s%C3%A1g_%28homot%C3%A9cia%29.jpg/440px-Geometriai_transzform%C3%A1ci%C3%B3%2C_k%C3%B6z%C3%A9ppontos_hasonl%C3%B3s%C3%A1g_%28homot%C3%A9cia%29.jpg 2x" data-file-width="626" data-file-height="257" /></a><figcaption>Homotécia</figcaption></figure> <table class="dablink noprint noviewer" style="padding-left: 2em; vertical-align: middle;" cellpadding="0" cellspacing="0"><tbody><tr><td style="padding-right:.25em;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/F%C3%A1jl:Searchtool_right.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/32/Searchtool_right.svg/14px-Searchtool_right.svg.png" decoding="async" width="14" height="14" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/32/Searchtool_right.svg/21px-Searchtool_right.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/32/Searchtool_right.svg/28px-Searchtool_right.svg.png 2x" data-file-width="60" data-file-height="60" /></a></span></td><td><i>Bővebben: <a href="/wiki/K%C3%B6z%C3%A9ppontos_hasonl%C3%B3s%C3%A1g" title="Középpontos hasonlóság">Középpontos hasonlóság</a></i></td></tr></tbody></table> <ul><li><b>Homotécia</b>: Ha <b>P=C</b>, akkor <b>P*=P</b>, különben <b>P* ∈ CP</b> és <b>CP* =</b> <i>k</i>.<b>CP</b> (k≠0)</li></ul> <p>A hasonlóság aránya k < 0 és k > 0 is lehet, </p> <dl><dd><ul><li>ha |k| < 1: kicsinyítés,</li> <li>ha 1 < |k|: nagyítás,</li> <li>ha k = 1: identitás,</li> <li>ha k = -1: tükrözés.</li></ul></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Tengelyes_affinitások"><span id="Tengelyes_affinit.C3.A1sok"></span>Tengelyes affinitások</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Transzform%C3%A1ci%C3%B3_(matematika)&action=edit&section=21" title="Szakasz szerkesztése: Tengelyes affinitások"><span>szerkesztés</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/F%C3%A1jl:Geometriai_transzform%C3%A1ci%C3%B3,_tengelyes-mer%C5%91leges_affinit%C3%A1s.jpg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/61/Geometriai_transzform%C3%A1ci%C3%B3%2C_tengelyes-mer%C5%91leges_affinit%C3%A1s.jpg/220px-Geometriai_transzform%C3%A1ci%C3%B3%2C_tengelyes-mer%C5%91leges_affinit%C3%A1s.jpg" decoding="async" width="220" height="100" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/61/Geometriai_transzform%C3%A1ci%C3%B3%2C_tengelyes-mer%C5%91leges_affinit%C3%A1s.jpg/330px-Geometriai_transzform%C3%A1ci%C3%B3%2C_tengelyes-mer%C5%91leges_affinit%C3%A1s.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/61/Geometriai_transzform%C3%A1ci%C3%B3%2C_tengelyes-mer%C5%91leges_affinit%C3%A1s.jpg/440px-Geometriai_transzform%C3%A1ci%C3%B3%2C_tengelyes-mer%C5%91leges_affinit%C3%A1s.jpg 2x" data-file-width="626" data-file-height="285" /></a><figcaption>Merőleges affinitás</figcaption></figure> <ul><li><b>Merőleges</b> <i>(ortogonális)</i> <b>affinitás</b>: Ha <b>P∈t</b>, akkor <b>P*=P</b>, különben <b>PP* ⊥ t</b> és <b>tP* =</b> <i>k</i>.<b>tP</b> (k≠0)</li></ul> <p>Az affinitás aránya k < 0 és k > 0 is lehet, </p> <dl><dd><ul><li>ha |k| < 1: összenyomás,</li> <li>ha 1 < |k|: nyújtás,</li> <li>ha k = 1: identitás,</li> <li>ha k = -1: tükrözés.</li></ul></dd></dl> <ul><li><b>Párhuzamos affinitás</b> <i>(nyírás, eláció)</i>: Ha <b>P∈t</b>, akkor <b>P*=P</b>, különben <b>PP* || t</b> és <b>tP* =</b> <i>k</i>.<b>tP</b> (k≠0)</li></ul> <p><small>(A nem-merőleges <i>(klinogonális)</i> affinitás: <b>PP*</b> szakaszok <b>t</b>-vel alkotott szöge azonos. Nem elemi transzf., kompozícióként állítható elő. A)</small> </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Projektivitás"><span id="Projektivit.C3.A1s"></span>Projektivitás</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Transzform%C3%A1ci%C3%B3_(matematika)&action=edit&section=22" title="Szakasz szerkesztése: Projektivitás"><span>szerkesztés</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/F%C3%A1jl:Geometriai_transzform%C3%A1ci%C3%B3,_vegyes_lek%C3%A9pez%C3%A9sek.jpg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/07/Geometriai_transzform%C3%A1ci%C3%B3%2C_vegyes_lek%C3%A9pez%C3%A9sek.jpg/220px-Geometriai_transzform%C3%A1ci%C3%B3%2C_vegyes_lek%C3%A9pez%C3%A9sek.jpg" decoding="async" width="220" height="170" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/07/Geometriai_transzform%C3%A1ci%C3%B3%2C_vegyes_lek%C3%A9pez%C3%A9sek.jpg/330px-Geometriai_transzform%C3%A1ci%C3%B3%2C_vegyes_lek%C3%A9pez%C3%A9sek.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/07/Geometriai_transzform%C3%A1ci%C3%B3%2C_vegyes_lek%C3%A9pez%C3%A9sek.jpg/440px-Geometriai_transzform%C3%A1ci%C3%B3%2C_vegyes_lek%C3%A9pez%C3%A9sek.jpg 2x" data-file-width="614" data-file-height="474" /></a><figcaption> Néhány leképezés</figcaption></figure> <ul><li><b>Centrális-axiális kollineáció</b></li></ul> <p>A transzformációt a <b>C</b> centrumával, a <b>t</b> tengelyével és egy homológ pontpárral (<b>P→P*</b>) adhatjuk meg.<br /> <b>A leképezés</b>: Ha <b>P∈t</b> és/vagy <b>P=C</b>, akkor <b>P*=P</b>, különben <b>PP*∈C</b>; továbbá ha <b>e||t</b>, akkor <b>e*||t</b>, különben az <b>(ee*)∈t</b>. </p> <dl><dd>! Az euklideszi sík nem minden esetben <b>kompakt</b> erre a megfeleltetésre nézve, azaz nem minden pontjának van képe és nem minden pont kép!! <dl><dd>Az <a href="/wiki/Ide%C3%A1lis_pont" class="mw-redirect" title="Ideális pont">ideális pontokkal</a> kiegészített euklideszi sík (klasszikus <a href="/wiki/Projekt%C3%ADv_koordin%C3%A1t%C3%A1k" class="mw-redirect" title="Projektív koordináták">projektív</a> sík) azonban igen.</dd></dl></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Elemi_(kanonikus)_térbeli_transzformációk"><span id="Elemi_.28kanonikus.29_t.C3.A9rbeli_transzform.C3.A1ci.C3.B3k"></span>Elemi (kanonikus) térbeli transzformációk</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Transzform%C3%A1ci%C3%B3_(matematika)&action=edit&section=23" title="Szakasz szerkesztése: Elemi (kanonikus) térbeli transzformációk"><span>szerkesztés</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><small>(Részletezés nélkül)</small> </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Mozgások_2"><span id="Mozg.C3.A1sok_2"></span>Mozgások</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Transzform%C3%A1ci%C3%B3_(matematika)&action=edit&section=24" title="Szakasz szerkesztése: Mozgások"><span>szerkesztés</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li>Egyenes menti eltolás</li> <li>Tengely körüli forgatás</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Tükrözések"><span id="T.C3.BCkr.C3.B6z.C3.A9sek"></span>Tükrözések</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Transzform%C3%A1ci%C3%B3_(matematika)&action=edit&section=25" title="Szakasz szerkesztése: Tükrözések"><span>szerkesztés</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li>Pontra</li> <li>Egyenesre</li> <li>Síkra</li></ul> <p>(Invariáns alakzatok: gömb-, henger-, sík-szimmetrikusak.) </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Hasonlóság_2"><span id="Hasonl.C3.B3s.C3.A1g_2"></span>Hasonlóság</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Transzform%C3%A1ci%C3%B3_(matematika)&action=edit&section=26" title="Szakasz szerkesztése: Hasonlóság"><span>szerkesztés</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li>Homotécia (középpontos kicsinyítés / nagyítás)</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Affinitás_2"><span id="Affinit.C3.A1s_2"></span>Affinitás</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Transzform%C3%A1ci%C3%B3_(matematika)&action=edit&section=27" title="Szakasz szerkesztése: Affinitás"><span>szerkesztés</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li>Tengelyes (szűkítés / tágítás)</li> <li>Tengely-síkos (lapítás / széthúzás)</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Projektivitás_2"><span id="Projektivit.C3.A1s_2"></span>Projektivitás</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Transzform%C3%A1ci%C3%B3_(matematika)&action=edit&section=28" title="Szakasz szerkesztése: Projektivitás"><span>szerkesztés</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li>Centrális-tengelysíkos kollineáció</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="A_transzformációk_analízise"><span id="A_transzform.C3.A1ci.C3.B3k_anal.C3.ADzise"></span>A transzformációk analízise</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Transzform%C3%A1ci%C3%B3_(matematika)&action=edit&section=29" title="Szakasz szerkesztése: A transzformációk analízise"><span>szerkesztés</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Az euklideszi sík transzformációi közül csak azokat vizsgálhatjuk az analitikus geometria eszközeivel, amelyeknek a leképezését </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{,}=X(x,y)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>,</mo> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{,}=X(x,y)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50cba907376f215e124f88d3dc70a881d1f6b47d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.426ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x^{,}=X(x,y)}"></span></dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y^{,}=Y(x,y)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>,</mo> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mi>Y</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y^{,}=Y(x,y)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbeb850166bad0ee1a0a3feb42a684385a49507e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.05ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle y^{,}=Y(x,y)}"></span></dd></dl> <p>alakú transzformációs <a href="/wiki/Egyenletrendszer" title="Egyenletrendszer">egyenletrendszerrel</a> írhatjuk le.<br /> A sík <b>affin</b> (hasonló, egybevágó) transzformációit </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{,}=a_{10}+a_{11}x+a_{12}y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>,</mo> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>10</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>11</mn> </mrow> </msub> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>12</mn> </mrow> </msub> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{,}=a_{10}+a_{11}x+a_{12}y}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6064e0bcd82623d4b2584953d436ab5664cd4a4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:22.602ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle x^{,}=a_{10}+a_{11}x+a_{12}y}"></span></dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y^{,}=a_{20}+a_{21}x+a_{22}y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>,</mo> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>20</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>21</mn> </mrow> </msub> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>22</mn> </mrow> </msub> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y^{,}=a_{20}+a_{21}x+a_{22}y}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c49572b6b583e7aa02e2a199207515ee359cecbf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:22.433ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle y^{,}=a_{20}+a_{21}x+a_{22}y}"></span></dd></dl> <p>homogén <a href="/wiki/Line%C3%A1ris_egyenletrendszer" title="Lineáris egyenletrendszer">lineáris egyenletrendszer</a> definiálja: <b>lineáris transzformációk</b>.<br /> </p> <figure class="mw-default-size mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/F%C3%A1jl:Affin_transzform%C3%A1ci%C3%B3k.jpg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/57/Affin_transzform%C3%A1ci%C3%B3k.jpg/220px-Affin_transzform%C3%A1ci%C3%B3k.jpg" decoding="async" width="220" height="253" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/57/Affin_transzform%C3%A1ci%C3%B3k.jpg/330px-Affin_transzform%C3%A1ci%C3%B3k.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/57/Affin_transzform%C3%A1ci%C3%B3k.jpg/440px-Affin_transzform%C3%A1ci%C3%B3k.jpg 2x" data-file-width="583" data-file-height="670" /></a><figcaption>Affin transzformációk</figcaption></figure> <p>A párhuzamosságot nem örökítő <a href="/wiki/Projekt%C3%ADv_koordin%C3%A1t%C3%A1k" class="mw-redirect" title="Projektív koordináták">projektív</a> transzformációk analíziséhez <a href="/wiki/Homog%C3%A9n_koordin%C3%A1t%C3%A1k" title="Homogén koordináták">homogén koordinátákat</a> kell használni </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}^{,}=a_{00}x_{0}+a_{01}x_{1}+a_{02}x_{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>,</mo> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>00</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>01</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>02</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}^{,}=a_{00}x_{0}+a_{01}x_{1}+a_{02}x_{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9c40a88539f35a2f3f2e104afe38e439e5dad90" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:27.633ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle x_{0}^{,}=a_{00}x_{0}+a_{01}x_{1}+a_{02}x_{2}}"></span></dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{1}^{,}=a_{10}x_{0}+a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>,</mo> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>10</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>11</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>12</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{1}^{,}=a_{10}x_{0}+a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/533036d972d6c6b8d718c2c9b76cf9bc1962f3f1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:27.633ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle x_{1}^{,}=a_{10}x_{0}+a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}}"></span></dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{2}^{,}=a_{20}x_{0}+a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>,</mo> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>20</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>21</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>22</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{2}^{,}=a_{20}x_{0}+a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f013bd009488d2bf176b824feadac549a7ec2b1e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:27.633ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle x_{2}^{,}=a_{20}x_{0}+a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}}"></span></dd></dl> <p>A kibővített euklideszi (=klasszikus projektív) sík közönséges pontjainak (x<sub>0</sub>≠0) kétféle koordinátáinak átszámításai: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x=x_{1}:x_{0}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>:</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=x_{1}:x_{0}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0612e132a2add8d4b9064208abb988dfc5eff07d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.133ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x=x_{1}:x_{0}}"></span></dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y=x_{2}:x_{0}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>:</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y=x_{2}:x_{0}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c917fbef48d3d6ebef18b05a9b6184aea791521b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.959ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y=x_{2}:x_{0}}"></span></dd></dl> <p>illetve<br /> </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x_{0},x_{1},x_{2})=(x,y,1)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x_{0},x_{1},x_{2})=(x,y,1)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc8e7df4ff74e40430db08d4478df15a0ca7e28f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.652ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x_{0},x_{1},x_{2})=(x,y,1)}"></span>.</dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Pont-_és_bázistranszformáció"><span id="Pont-_.C3.A9s_b.C3.A1zistranszform.C3.A1ci.C3.B3"></span>Pont- és bázistranszformáció</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Transzform%C3%A1ci%C3%B3_(matematika)&action=edit&section=30" title="Szakasz szerkesztése: Pont- és bázistranszformáció"><span>szerkesztés</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/F%C3%A1jl:B%C3%A1zistranszform%C3%A1ci%C3%B3k.jpg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3c/B%C3%A1zistranszform%C3%A1ci%C3%B3k.jpg/220px-B%C3%A1zistranszform%C3%A1ci%C3%B3k.jpg" decoding="async" width="220" height="255" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3c/B%C3%A1zistranszform%C3%A1ci%C3%B3k.jpg/330px-B%C3%A1zistranszform%C3%A1ci%C3%B3k.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3c/B%C3%A1zistranszform%C3%A1ci%C3%B3k.jpg/440px-B%C3%A1zistranszform%C3%A1ci%C3%B3k.jpg 2x" data-file-width="524" data-file-height="607" /></a><figcaption>Bázistranszformációk</figcaption></figure> <p>Az analitikus tárgyalásban meg szoktuk különböztetni két értelmezést: </p> <ol><li><b>Pont</b>-transzformáció: a sík pontjainak képét rögzített koordináta-rendszerben adjuk meg,</li> <li><b>Bázis</b>-(rendszer-) transzformáció: a pontokat a síkban rögzítve a koordináta-rendszert transzformáljuk.</li></ol> <p>Ez utóbbi értelmezés szerint a leképezés a koordináta-hálózat képével szemléltethető. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Vetítés_(projekció,_perspektíva)"><span id="Vet.C3.ADt.C3.A9s_.28projekci.C3.B3.2C_perspekt.C3.ADva.29"></span>Vetítés (projekció, perspektíva)</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Transzform%C3%A1ci%C3%B3_(matematika)&action=edit&section=31" title="Szakasz szerkesztése: Vetítés (projekció, perspektíva)"><span>szerkesztés</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/F%C3%A1jl:Projekci%C3%B3k.gif" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/33/Projekci%C3%B3k.gif/220px-Projekci%C3%B3k.gif" decoding="async" width="220" height="168" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/33/Projekci%C3%B3k.gif/330px-Projekci%C3%B3k.gif 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/33/Projekci%C3%B3k.gif/440px-Projekci%C3%B3k.gif 2x" data-file-width="513" data-file-height="392" /></a><figcaption>Vetítések</figcaption></figure> <p><b>Két sík</b> között úgy is megadhatunk egy leképezést, hogy a tárgysík pontjait a képsík pontjaiba vetítjük: </p> <ul><li><b>paralel projekció</b>: párhuzamos egyenesekkel</li> <li><b>centrális projekció</b>: egy (külső) pontra illeszkedő egyenesekkel.</li></ul> <p>A vetítés által generált leképezés típusa ezen kívül a két sík kölcsönös helyzetétől is függ. (L.: ábra)<br /> A sík vagy a tér <b>önmagára</b> való leképezése: </p> <ul><li><b><a href="/wiki/Perspekt%C3%ADva" title="Perspektíva">perspektív</a></b>: ha a homológ pontpárokat (<b>PP*</b>) összekötő egyenesek párhuzamosak, vagy centrálisak.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Síkvetületek"><span id="S.C3.ADkvet.C3.BCletek"></span>Síkvetületek</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Transzform%C3%A1ci%C3%B3_(matematika)&action=edit&section=32" title="Szakasz szerkesztése: Síkvetületek"><span>szerkesztés</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/F%C3%A1jl:T%C3%A9rk%C3%A9pvet%C3%BCletek.jpg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f0/T%C3%A9rk%C3%A9pvet%C3%BCletek.jpg/220px-T%C3%A9rk%C3%A9pvet%C3%BCletek.jpg" decoding="async" width="220" height="155" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f0/T%C3%A9rk%C3%A9pvet%C3%BCletek.jpg/330px-T%C3%A9rk%C3%A9pvet%C3%BCletek.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f0/T%C3%A9rk%C3%A9pvet%C3%BCletek.jpg/440px-T%C3%A9rk%C3%A9pvet%C3%BCletek.jpg 2x" data-file-width="966" data-file-height="682" /></a><figcaption>Térképek</figcaption></figure> <p>Különleges alkalmazásoknál használt transzformációk, például a </p> <ul><li><b>térábrázolás</b> (3D-grafika): <b>elfajuló</b> 3D kollineáció, (a tér pontjainak képe egy síkba kerül)</li></ul> <p>A műszaki gyakorlat a <a href="/wiki/Monge" class="mw-redirect" title="Monge">Monge</a>-féle vetületeket és <a href="/wiki/Axonometria" title="Axonometria">axonometrikus</a> perspektívát, a művészi térábrázolás centrális perspektívát használ. </p> <ul><li><b><a href="/wiki/Vet%C3%BClettan" title="Vetülettan">térképvetület</a></b>: a Földfelszín síkba transzformált képe.</li></ul> <p>A térképvetületek egy része valódi (perspektív) vetítéssel származtatható <i>(valódi vetület)</i>, másokat analitikus formulákkal adják meg <i>(képzetes vetület)</i>. A vetületek között összetett megfeleltetésekkel is találkozunk. (Pl.: A földgömböt hengerre, kúpra stb. vetítik, majd ezeket a térkép síkjára kiterítik, esetleg a közvetítő felületet ismételten vetítik.) </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Jegyzetek">Jegyzetek</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Transzform%C3%A1ci%C3%B3_(matematika)&action=edit&section=33" title="Szakasz szerkesztése: Jegyzetek"><span>szerkesztés</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="ref-1col"><div style="-moz-column-count:2; -webkit-column-count:2; column-count:2; -webkit-column-gap: 3em; -moz-column-gap: 3em; column-gap: 3em;"><ol class="references"> <li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a></span> <span class="reference-text">Kurusa Árpád: <i>Bevezetés a geometriába</i> (Polygon, 2015)</span> </li> </ol></div></div><div class="ref-1col"><div style="-moz-column-count:2; -webkit-column-count:2; column-count:2; -webkit-column-gap: 3em; -moz-column-gap: 3em; column-gap: 3em;"></div></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Források"><span id="Forr.C3.A1sok"></span>Források</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Transzform%C3%A1ci%C3%B3_(matematika)&action=edit&section=34" title="Szakasz szerkesztése: Források"><span>szerkesztés</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li>Coxeter, H.S.M.: <i>Projektív geometria</i>, Gondolat, Budapest (1986)</li> <li>Courant, R. - Robins, H.: <i>Mi a matematika?</i>, Gondolat, Budapest (1966)</li> <li>Euklidész (Mayer Gy.): <i>Elemek</i>, Gondolat, Budapest (1983); <a href="/wiki/Speci%C3%A1lis:K%C3%B6nyvforr%C3%A1sok/9632812670" title="Speciális:Könyvforrások/9632812670">ISBN 963 281 267 0</a>.</li> <li>Hack Frigyes: <i>A 3D-grafika geometriai alapjai</i>, ELTE,Budapest (2002)</li> <li>Hajós György: <i>Bevezetés a geometriába</i>, Tankönyvkiadó, Budapest (1960)</li> <li>Halmai Erzsébet: <i>Lineáris algebra</i>, Tankönyvkiadó, Budapest (1979)</li> <li>Kárteszi Ferenc: <i>Bevezetés a véges geometriákba</i>, Akadémiai Kiadó, Budapest (1972)</li> <li>Kárteszi Ferenc: <i>Ábrázoló geometria</i>, Tankönyvkiadó, Budapest (1957)</li> <li>Pachné - Frey: <i>Vektor- és tenzoranalízis</i>, Műszaki Könyvkiadó, Budapest (1964)</li> <li>Péntek Kálmán: <i>A lineáris algebra alapjai I.</i>, Oskar Kiadó, Szombathely (2000)</li> <li>Szendrei Ágnes: <i>Diszkrét matematika Logika algebra kombinatorika</i>, Polygon, Szeged (1994)</li></ul></div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1&useformat=desktop" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">A lap eredeti címe: „<a dir="ltr" href="https://hu.wikipedia.org/w/index.php?title=Transzformáció_(matematika)&oldid=27653975">https://hu.wikipedia.org/w/index.php?title=Transzformáció_(matematika)&oldid=27653975</a>”</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:Kateg%C3%B3ri%C3%A1k" title="Wikipédia:Kategóriák">Kategória</a>: <ul><li><a href="/wiki/Kateg%C3%B3ria:Geometriai_transzform%C3%A1ci%C3%B3k" title="Kategória:Geometriai transzformációk">Geometriai transzformációk</a></li></ul></div></div> </div> </main> </div> <div class="mw-footer-container"> <footer id="footer" class="mw-footer" > <ul id="footer-info"> <li id="footer-info-lastmod"> A lap utolsó módosítása: 2024. december 2., 15:36</li> <li id="footer-info-copyright">A lap szövege <a rel="nofollow" class="external text" href="http://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.hu">Creative Commons Nevezd meg! – Így add tovább! 4.0</a> licenc alatt van; egyes esetekben más módon is felhasználható. Részletekért lásd a <a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:Felhaszn%C3%A1l%C3%A1si_felt%C3%A9telek" title="Wikipédia:Felhasználási feltételek">felhasználási feltételeket</a>.</li> </ul> <ul id="footer-places"> <li id="footer-places-privacy"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Privacy_policy">Adatvédelmi irányelvek</a></li> <li id="footer-places-about"><a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:R%C3%B3lunk">A Wikipédiáról</a></li> <li id="footer-places-disclaimers"><a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:Jogi_nyilatkozat">Jogi nyilatkozat</a></li> <li id="footer-places-wm-codeofconduct"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Universal_Code_of_Conduct">Magatartási kódex</a></li> <li id="footer-places-developers"><a href="https://developer.wikimedia.org">Fejlesztők</a></li> <li id="footer-places-statslink"><a href="https://stats.wikimedia.org/#/hu.wikipedia.org">Statisztikák</a></li> <li id="footer-places-cookiestatement"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Cookie_statement">Sütinyilatkozat</a></li> <li id="footer-places-mobileview"><a href="//hu.m.wikipedia.org/w/index.php?title=Transzform%C3%A1ci%C3%B3_(matematika)&mobileaction=toggle_view_mobile" class="noprint stopMobileRedirectToggle">Mobil nézet</a></li> </ul> <ul id="footer-icons" class="noprint"> <li id="footer-copyrightico"><a href="https://wikimediafoundation.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/static/images/footer/wikimedia-button.svg" width="84" height="29" alt="Wikimedia Foundation" loading="lazy"></a></li> <li id="footer-poweredbyico"><a href="https://www.mediawiki.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/w/resources/assets/poweredby_mediawiki.svg" alt="Powered by MediaWiki" width="88" height="31" loading="lazy"></a></li> </ul> </footer> </div> </div> </div> <div class="vector-settings" id="p-dock-bottom"> <ul></ul> </div><script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.config.set({"wgHostname":"mw-web.codfw.main-5857dfdcd6-2z72n","wgBackendResponseTime":144,"wgPageParseReport":{"limitreport":{"cputime":"0.094","walltime":"0.238","ppvisitednodes":{"value":620,"limit":1000000},"postexpandincludesize":{"value":7331,"limit":2097152},"templateargumentsize":{"value":1237,"limit":2097152},"expansiondepth":{"value":10,"limit":100},"expensivefunctioncount":{"value":0,"limit":500},"unstrip-depth":{"value":0,"limit":20},"unstrip-size":{"value":772,"limit":5000000},"entityaccesscount":{"value":0,"limit":400},"timingprofile":["100.00% 53.742 1 -total"," 51.89% 27.888 1 Sablon:Redir"," 49.18% 26.433 9 Sablon:Dablink"," 41.78% 22.455 1 Sablon:Névelő_nagykezdőbetűvel_adott_szóhoz"," 37.84% 20.336 1 Sablon:Névelő_adott_szóhoz"," 24.32% 13.068 1 Sablon:Jegyzetek"," 19.78% 10.632 2 Sablon:References"," 10.21% 5.487 1 Sablon:ISBN"," 9.18% 4.935 8 Sablon:Bővebben"," 4.98% 2.678 2 Sablon:Hasáb_eleje"]},"scribunto":{"limitreport-timeusage":{"value":"0.005","limit":"10.000"},"limitreport-memusage":{"value":639866,"limit":52428800}},"cachereport":{"origin":"mw-web.codfw.main-bb779d474-wqdtr","timestamp":"20241202144630","ttl":2592000,"transientcontent":false}}});});</script> <script type="application/ld+json">{"@context":"https:\/\/schema.org","@type":"Article","name":"Transzform\u00e1ci\u00f3 (matematika)","url":"https:\/\/hu.wikipedia.org\/wiki\/Transzform%C3%A1ci%C3%B3_(matematika)","sameAs":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q1196371","mainEntity":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q1196371","author":{"@type":"Organization","name":"Contributors to Wikimedia projects"},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Wikimedia Foundation, Inc.","logo":{"@type":"ImageObject","url":"https:\/\/www.wikimedia.org\/static\/images\/wmf-hor-googpub.png"}},"datePublished":"2008-03-27T16:45:42Z"}</script> </body> </html>