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<!DOCTYPE html> <html class="client-nojs" lang="de" dir="ltr"> <head> <meta charset="UTF-8"> <title>Fundamentalbereich – Wikipedia</title> <script>(function(){var className="client-js";var cookie=document.cookie.match(/(?:^|; )dewikimwclientpreferences=([^;]+)/);if(cookie){cookie[1].split('%2C').forEach(function(pref){className=className.replace(new RegExp('(^| )'+pref.replace(/-clientpref-\w+$|[^\w-]+/g,'')+'-clientpref-\\w+( 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class="mw-page-title-main">Fundamentalbereich</span></h1> <div id="bodyContent" class="vector-body"> <div id="siteSub" class="noprint">aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie</div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"></div></div> <div id="contentSub2"></div> <div id="jump-to-nav"></div> <a class="mw-jump-link" href="#mw-head">Zur Navigation springen</a> <a class="mw-jump-link" href="#searchInput">Zur Suche springen</a> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr"><figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Datei:Corequerschnitt_EPR_Symmetriesektor_RK01.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8c/Corequerschnitt_EPR_Symmetriesektor_RK01.svg/220px-Corequerschnitt_EPR_Symmetriesektor_RK01.svg.png" decoding="async" width="220" height="154" class="mw-file-element" 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In diesem Fall ist der Fundamentalbereich ein <i><a href="/wiki/Kreissektor" title="Kreissektor">Kreissektor</a></i> mit einem Öffnungswinkel von 45°. Gleiche Farben bedeuten gleiche physikalische Eigenschaften</figcaption></figure> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Datei:Corequerschnitt_EPR_Spiegelsymmetrieachsen_RK01.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7d/Corequerschnitt_EPR_Spiegelsymmetrieachsen_RK01.svg/220px-Corequerschnitt_EPR_Spiegelsymmetrieachsen_RK01.svg.png" decoding="async" width="220" height="220" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7d/Corequerschnitt_EPR_Spiegelsymmetrieachsen_RK01.svg/330px-Corequerschnitt_EPR_Spiegelsymmetrieachsen_RK01.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7d/Corequerschnitt_EPR_Spiegelsymmetrieachsen_RK01.svg/440px-Corequerschnitt_EPR_Spiegelsymmetrieachsen_RK01.svg.png 2x" data-file-width="638" data-file-height="638" /></a><figcaption>Symmetrischer zweidimensionaler Bereich, der Rotationssymmetrieelemente und Spiegelsymmetriegeraden besitzt und zum Symmetrietyp der <a href="/wiki/Diedergruppe" title="Diedergruppe">Diedergruppe</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D_{4}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>D</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D_{4}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d99bbbdaf59e06536c67afbce7c3f681acd1688" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.979ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle D_{4}}"></span> gehört</figcaption></figure> <p>Ein <b>Fundamentalbereich</b> (auch <b>Fundamentalregion</b>) ist ein zusammenhängender Teilbereich eines geometrischen oder physikalischen Objekts mit <b><a href="/wiki/Symmetrie_(Geometrie)" title="Symmetrie (Geometrie)">Symmetrien</a></b>, der so gewählt ist, dass sich keine geometrischen oder physikalischen Eigenschaften wiederholen. </p><p>Symmetrie bedeutet, dass in dem Objekt diese Eigenschaften eines Raumbereichs mehrfach vorhanden sind. In der <a href="/wiki/Informationstheorie" title="Informationstheorie">Informationstheorie</a> werden diejenigen Informationen, die in einer Informationsquelle mehrfach vorkommen, als <a href="/wiki/Redundanz_(Informationstheorie)" title="Redundanz (Informationstheorie)">redundant</a> bezeichnet. <i>Redundanz</i> tritt auch bei Objekten der Geometrie und Physik auf. Ist sie auf eine Symmetrie des Objekts zurückzuführen, so ist ein Fundamentalbereich ein geeignetes Mittel zu einer Beschreibung des Objekts, die von diesen Redundanzen frei ist. In einem solchen Fall kann und sollte man sich aus <a href="/wiki/Pragmatismus" title="Pragmatismus">pragmatischen</a> Gründen auf <i>einen</i> Fundamentalbereich beschränken. Wie in der Informationstheorie auch kann Redundanz aber gewollt eingesetzt werden, etwa um Fehler in Eingabedaten und <a href="/wiki/Computerprogramm" title="Computerprogramm">Computerprogrammen</a> zu finden. </p><p>Die ersten beiden Grafiken entstammen dem Zweig der <i>globalen Berechnungen</i> der <a href="/wiki/Reaktorphysik" title="Reaktorphysik">Reaktorphysik</a>. Die erste zeigt einen horizontalen Querschnitt durch <i>einen</i> Fundamentalbereich, die zweite einen horizontalen Querschnitt durch den gesamten Reaktor (der Baureihe <a href="/wiki/EPR_(Kernkraftwerk)" title="EPR (Kernkraftwerk)">EPR</a>), der durch die vier ebenfalls eingezeichneten Spiegelsymmetriegeraden in acht Fundamentalbereiche unterteilt wird. </p> <div id="toc" class="toc" role="navigation" aria-labelledby="mw-toc-heading"><input type="checkbox" role="button" id="toctogglecheckbox" class="toctogglecheckbox" style="display:none" /><div class="toctitle" lang="de" dir="ltr"><h2 id="mw-toc-heading">Inhaltsverzeichnis</h2><span class="toctogglespan"><label class="toctogglelabel" for="toctogglecheckbox"></label></span></div> <ul> <li class="toclevel-1 tocsection-1"><a href="#Definition"><span class="tocnumber">1</span> <span class="toctext">Definition</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-2"><a href="#Formale_Definition"><span class="tocnumber">2</span> <span class="toctext">Formale Definition</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-3"><a href="#Formales_Beispiel"><span class="tocnumber">3</span> <span class="toctext">Formales Beispiel</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-4"><a href="#Punktlagen"><span class="tocnumber">4</span> <span class="toctext">Punktlagen</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-5"><a href="#Fundamentalbereiche_in_Physik_und_Chemie"><span class="tocnumber">5</span> <span class="toctext">Fundamentalbereiche in Physik und Chemie</span></a> <ul> <li class="toclevel-2 tocsection-6"><a href="#Äußere_Randbedingungen"><span class="tocnumber">5.1</span> <span class="toctext">Äußere Randbedingungen</span></a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-7"><a href="#Innere_Randbedingungen"><span class="tocnumber">5.2</span> <span class="toctext">Innere Randbedingungen</span></a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-8"><a href="#Beispiele_aus_der_Kristallographie_und_Chemie"><span class="tocnumber">5.3</span> <span class="toctext">Beispiele aus der Kristallographie und Chemie</span></a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-9"><a href="#Beispiele_aus_der_Reaktorphysik"><span class="tocnumber">5.4</span> <span class="toctext">Beispiele aus der Reaktorphysik</span></a></li> </ul> </li> <li class="toclevel-1 tocsection-10"><a href="#Beispiele_für_Fundamentalbereiche_im_dreidimensionalen_euklidischen_Raum"><span class="tocnumber">6</span> <span class="toctext">Beispiele für Fundamentalbereiche im dreidimensionalen euklidischen Raum</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-11"><a href="#Fundamentalbereiche_Platonischer_Körper"><span class="tocnumber">7</span> <span class="toctext">Fundamentalbereiche Platonischer Körper</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-12"><a href="#Siehe_auch"><span class="tocnumber">8</span> <span class="toctext">Siehe auch</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-13"><a href="#Einzelnachweise"><span class="tocnumber">9</span> <span class="toctext">Einzelnachweise</span></a></li> </ul> </div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definition">Definition</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Fundamentalbereich&veaction=edit&section=1" title="Abschnitt bearbeiten: Definition" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Fundamentalbereich&action=edit&section=1" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Definition"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Als <i>Fundamentalbereich</i> oder <i>Fundamentalregion</i> eines <a href="/wiki/K%C3%B6rper_(Geometrie)" title="Körper (Geometrie)">Körpers</a>, einer ebenen <a href="/wiki/Geometrische_Figur" title="Geometrische Figur">geometrischen Figur</a> oder eines eindimensionalen Objekts mit <a href="/wiki/Symmetrie_(Geometrie)" title="Symmetrie (Geometrie)">Symmetrien</a>, die durch eine <a href="/wiki/Symmetriegruppe" title="Symmetriegruppe">Symmetriegruppe</a> beschrieben werden, <i>bezeichnet man jedes zusammenhängende Gebiet, das in seinem Innern kein Paar äquivalenter Punkte enthält und sich nicht weiter vergrößern lässt, ohne diese Eigenschaft zu verlieren</i> (<a href="/wiki/David_Hilbert" title="David Hilbert">David Hilbert</a> und <a href="/wiki/Stefan_Cohn-Vossen" title="Stefan Cohn-Vossen">Stefan Cohn-Vossen</a>, 1932).<sup id="cite_ref-Hilbert_1932_1-0" class="reference"><a href="#cite_note-Hilbert_1932-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> </p><p>Der Mathematiker <a href="/wiki/Felix_Klein" title="Felix Klein">Felix Klein</a>, dem wir bedeutende Ergebnisse in der Geometrie verdanken, definierte den Fundamentalbereich (eingeschränkt auf <a href="/wiki/Punktgruppe" title="Punktgruppe">Punktgruppen</a>) im Jahr 1884 so: <i>Wir bezeichnen als Fundamentalbereich einer Gruppe von Punkttransformationen allgemein einen solchen Raumtheil, der von jeder zugehörigen Punktgruppe einen und nur einen Punkt enthält.</i><sup id="cite_ref-Klein_1884_2-0" class="reference"><a href="#cite_note-Klein_1884-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> </p><p>Ein Element der Symmetriegruppe bildet einen Punkt des Fundamentalbereichs auf einen symmetrisch äquivalenten Punkt im Gesamtbereich ab. Diese beiden bilden ein <i>Paar äquivalenter Punkte</i> der Definition von Hilbert und Cohn-Vossen. Sie heben außerdem hervor: „Außer durch die Aufstellung der in einer Gruppe vorhandenen <a href="/wiki/Drehung" title="Drehung">Drehungen</a> und <a href="/wiki/Parallelverschiebung" title="Parallelverschiebung">Translationen</a> kann man jede Gruppe auch durch eine einfache <a href="/wiki/Geometrische_Figur" title="Geometrische Figur">geometrische Figur</a> kennzeichnen“,<sup id="cite_ref-Hilbert_1932_1-1" class="reference"><a href="#cite_note-Hilbert_1932-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> eben diesen <i>Fundamentalbereich</i>. Kennt man zum Beispiel die Positionen der Atome in einem Fundamentalbereich, so kennt man sie im ganzen <a href="/wiki/Kristall" title="Kristall">Kristall</a>. </p><p>In der Physik und Chemie, insbesondere in der <a href="/wiki/Kristallographie" title="Kristallographie">Kristallographie</a>, betrachtet man <a href="/wiki/Atom" title="Atom">Atome</a>, <a href="/wiki/Ion" title="Ion">Ionen</a> und <a href="/wiki/Molek%C3%BCl" title="Molekül">Moleküle</a> und abstrahiert sie gelegentlich als Punkte. Der allgemeinere Fall ist aber der, dass man <i>Raumbereiche</i> und nicht Punkte behandelt. Dann ist die Definition von Hilbert und Cohn-Vossen auf ein <i>Paar äquivalenter Raumbereiche</i> zu erweitern. Auch im Fall den abgebildeten 2D-Grafiken sind streng genommen keine flächenhaften Objekte gemeint, sondern prismatische 3D-Objekte, deren Eigenschaften nicht von der dritten <a href="/wiki/Raum_(Physik)#Raum_in_der_klassischen_Mechanik" title="Raum (Physik)">Raumdimension</a> (der „z-Achse“) des (<a href="/wiki/Euklidischer_Raum" title="Euklidischer Raum">euklidischen</a>) Raums abhängen. </p><p>Man kann den Fundamentalbereich, den man in den Fokus stellt, aus mehreren (oder unendlich vielen) frei wählen. Anstelle des in der ersten Grafik dargestellten Fundamentalbereich hätte man auch einen der sieben anderen Symmetriesektoren der zweiten Grafik wählen können. In der <a href="/wiki/Computerphysik" title="Computerphysik">numerischen Physik</a> wird der Fundamentalbereichs oft nach praktischen und programmiertechnischen Gesichtspunkten ausgewählt, etwa: Welcher Fundamentalbereich ist anschaulich, welcher wird in einem Fachgebiet bevorzugt? Wie lassen sich Eigenschaften der Teilbereiche des Fundamentalbereichs übersichtlich in einem <i><a href="/wiki/Feld_(Datentyp)" class="mw-redirect" title="Feld (Datentyp)">Feld</a></i> eines Computerprogramms speichern? </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Formale_Definition">Formale Definition</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Fundamentalbereich&veaction=edit&section=2" title="Abschnitt bearbeiten: Formale Definition" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Fundamentalbereich&action=edit&section=2" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Formale Definition"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Ein <i>Fundamentalbereich</i> bezüglich einer <a href="/wiki/Transformationsgruppe" class="mw-redirect" title="Transformationsgruppe">Transformationsgruppe</a> ist eine spezielle zusammenhängende <a href="/wiki/Teilmenge" title="Teilmenge">Teilmenge</a> eines <a href="/wiki/Topologischer_Raum" title="Topologischer Raum">topologischen Raumes</a>. Seien <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}"></span> ein topologischer Raum und <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}"></span> eine Transformationsgruppe von <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}"></span>. Für einen <a href="/wiki/Punkt_(Geometrie)" title="Punkt (Geometrie)">Punkt</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in X}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in X}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e580967f68f36743e894aa7944f032dda6ea01d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.15ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\in X}"></span> bezeichne <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G(x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G(x)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d6d96c680c58289ec8857273d6938cacd742084" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.966ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle G(x)}"></span>, die Menge aller Bilder von <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"></span> unter den Elementen von <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}"></span>, die <a href="/wiki/Gruppenoperation#Bahn" title="Gruppenoperation">Bahn</a> (<span style="font-style:normal;font-weight:normal"><a href="/wiki/Englische_Sprache" title="Englische Sprache">englisch</a></span> <span lang="en-Latn" style="font-style:italic">Orbit</span>) von <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"></span>. Dann heißt die <a href="/wiki/Menge_(Mathematik)" title="Menge (Mathematik)">Menge</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F\subset X}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>F</mi> <mo>⊂</mo> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F\subset X}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/253df0b206fc9c6fa0e67b94d7eb807e9f253274" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.819ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F\subset X}"></span> ein Fundamentalbereich von <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}"></span>, wenn für jedes <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in X}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in X}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e580967f68f36743e894aa7944f032dda6ea01d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.15ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\in X}"></span> gilt, dass der <a href="/wiki/Schnittmenge" class="mw-redirect" title="Schnittmenge">Schnitt</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G(x)\cap F}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∩</mo> <mi>F</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G(x)\cap F}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/057fd1c3418a04d714a51349029fb53d8b0bbb91" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.289ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle G(x)\cap F}"></span> eine einelementige Menge ist.<sup id="cite_ref-Walz_2000_3-0" class="reference"><a href="#cite_note-Walz_2000-3"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Formales_Beispiel">Formales Beispiel</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Fundamentalbereich&veaction=edit&section=3" title="Abschnitt bearbeiten: Formales Beispiel" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Fundamentalbereich&action=edit&section=3" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Formales Beispiel"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Das Quadrat <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [0,1)\times [0,1)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>×</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [0,1)\times [0,1)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2a5c8feb02f7c84fc137e0db8ae9a67aec97d04" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.661ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [0,1)\times [0,1)}"></span> ist ein Fundamentalbereich von <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e150115ab9f63023215109595b76686a1ff890fd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.732ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}"></span> bezüglich der Transformationsgruppe <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a807ab4cb3de13a66771b5a303aca31e0391e6aa" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.605ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}"></span> aller Translationen um Vektoren mit ganzzahligen Komponenten. Jeder Punkt <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∈</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7436cca5d34cde6f59fd9989fe0e996e403acfb9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.901ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}}"></span> lässt sich schreiben als <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (u+n,v+m)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>u</mi> <mo>+</mo> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mi>v</mi> <mo>+</mo> <mi>m</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (u+n,v+m)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc4461ebb896b4bf7213d55fcc8f31aec267830c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.416ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (u+n,v+m)}"></span> mit <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (u,v)\in [0,1)\times [0,1)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>u</mi> <mo>,</mo> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∈</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>×</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (u,v)\in [0,1)\times [0,1)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83a8a5f823200b06b350942e35745e43de79c716" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.802ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (u,v)\in [0,1)\times [0,1)}"></span> und <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (n,m)\in \mathbb {Z} ^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mi>m</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∈</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (n,m)\in \mathbb {Z} ^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abff5ffce76c5f5f7dbbbc0086e7fe1b959790b9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.724ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle (n,m)\in \mathbb {Z} ^{2}}"></span>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Punktlagen">Punktlagen</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Fundamentalbereich&veaction=edit&section=4" title="Abschnitt bearbeiten: Punktlagen" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Fundamentalbereich&action=edit&section=4" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Punktlagen"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="hauptartikel" role="navigation"><span class="hauptartikel-pfeil" title="siehe" aria-hidden="true" role="presentation">→ </span><i><span class="hauptartikel-text">Hauptartikel</span>: <a href="/wiki/Punktlage" title="Punktlage">Punktlage</a></i></div> <p>Punkte können nach ihrer Lage unterschieden werden. Ist der Punkt nicht <a href="/wiki/Fixpunkt_(Mathematik)" title="Fixpunkt (Mathematik)">Fixpunkt</a> einer der Symmetrieoperationen, so hat er maximal viele symmetrisch äquivalente Punkte, im Fall der <a href="/wiki/Diedergruppe" title="Diedergruppe">Diedergruppe</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D_{4}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>D</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D_{4}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d99bbbdaf59e06536c67afbce7c3f681acd1688" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.979ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle D_{4}}"></span> zum Beispiel 8 (s. o.). Ist der Punkt allerdings ein Fixpunkt, liegt er zum Beispiel auf einer Spiegelsymmetriegeraden, so sind die bezüglich dieser Symmetrieoperationen symmetrisch äquivalenten Punkte mit dem Punkt selbst identisch. Im Beispiel der ersten Grafik gibt es einen Fixpunkt, den Punkt am spitzen Winkel des Kreissektors, der zum Fundamentalbereich gehört. Nicht zum Fundamentalbereich gehören alle anderen Punkte der zweiten (schrägen) Spiegelsymmetriegeraden, da sie Wiederholungen der Punkte auf der ersten Spiegelsymmetriegeraden sind. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Fundamentalbereiche_in_Physik_und_Chemie">Fundamentalbereiche in Physik und Chemie</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Fundamentalbereich&veaction=edit&section=5" title="Abschnitt bearbeiten: Fundamentalbereiche in Physik und Chemie" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Fundamentalbereich&action=edit&section=5" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Fundamentalbereiche in Physik und Chemie"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>In der Mathematik ist die Symmetrie eines Objekts und damit der Fundamentalbereich durch die Geometrie des Objekts allein festgelegt. In den Naturwissenschaften kommen, zusätzlich zu dem erwähnten Fakt, dass Raumbereiche und nicht Punkte verglichen werden, zwei weitere Aspekte hinzu: </p> <ul><li>Die bei Anwendung einer Symmetrieoperation zu vergleichenden Raumbereiche müssen gleiche stoffliche Zusammensetzung und gleiche physikalische und chemische Eigenschaften besitzen.</li> <li>Die äußeren <a href="/wiki/Randbedingung#Randbedingungen_und_Differentialgleichungen" title="Randbedingung">Randbedingungen</a> müssen, sofern es sich um kein (zumindest im Modell) unendlich ausgedehntes Objekt handelt, die gleichen Symmetrieelemente wie die Geometrie des Objekts besitzen.</li></ul> <p>Bei der Wahl eines physikalischen Fundamentalbereichs wird man zuerst vom geometrischen ausgehen und hat dann „Füllungen“ des Raumbereichs und Randbedingungen an seiner äußeren Begrenzung einzubeziehen. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Äußere_Randbedingungen"><span id=".C3.84u.C3.9Fere_Randbedingungen"></span>Äußere Randbedingungen</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Fundamentalbereich&veaction=edit&section=6" title="Abschnitt bearbeiten: Äußere Randbedingungen" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Fundamentalbereich&action=edit&section=6" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Äußere Randbedingungen"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Äußere Randbedingungen sind Randbedingungen zum „Außenraum“ und sind durch die Umgebung des Objekts festgelegt. Will man zum Beispiel die Temperaturverteilung bei Abkühlung eines <a href="/wiki/Homogenit%C3%A4t" title="Homogenität">homogenen</a> und homogen erwärmten Würfels (zu einem gegebenen Zeitpunkt) numerisch berechnen, ist der geometrische Fundamentalbereich des Würfels (s. u.) nur brauchbar, wenn auch die Randbedingungen passen. Wird die Temperatur des Raumbereichs um den Würfel herum konstant gehalten, ist das der Fall. <a href="/wiki/W%C3%A4rmed%C3%A4mmung" title="Wärmedämmung">Dämmt</a> man eine Seitenfläche des Würfels, muss ein anderer, ein größerer Fundamentalbereich gewählt werden. </p><p>Nutzt man ein entsprechendes Computerprogramm, so sind die Randbedingungen meist vor Rechnungsbeginn bekannt. Sie gehören zu den Eingabedaten. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Innere_Randbedingungen">Innere Randbedingungen</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Fundamentalbereich&veaction=edit&section=7" title="Abschnitt bearbeiten: Innere Randbedingungen" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Fundamentalbereich&action=edit&section=7" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Innere Randbedingungen"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Äußere Randbedingungen sind von weiteren Randbedingungen zu unterscheiden. Wird ausschließlich <i>ein</i> Fundamentalbereich vorgegeben, so ist allein daraus nicht immer ersichtlich, ob es sich um einen Fundamentalbereich des Symmetrietyps <i>Punktsymmetrie</i>, <i>Spiegelsymmetrie</i>, <i>Rotationssymmetrie</i> oder <i>Translationssymmetrie</i> handeln soll. Das wird durch Vorgaben an den inneren Begrenzungslinien des Fundamentalbereichs durch Randbedingungen festgelegt, die (wenn auch nicht fachübergreifend einheitlich) <i>Symmetrierandbedingungen</i> genannt werden. </p><p>Innere Randbedingungen werden in der Regel im Computerprogramm als <i><a href="/wiki/Parameter_(Informatik)" title="Parameter (Informatik)">Parameter</a></i> festgelegt und gehören ebenfalls zu den Eingabedaten. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Beispiele_aus_der_Kristallographie_und_Chemie">Beispiele aus der Kristallographie und Chemie</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Fundamentalbereich&veaction=edit&section=8" title="Abschnitt bearbeiten: Beispiele aus der Kristallographie und Chemie" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Fundamentalbereich&action=edit&section=8" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Beispiele aus der Kristallographie und Chemie"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Datei:Wigner-Seitz_Animation.gif" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/24/Wigner-Seitz_Animation.gif/220px-Wigner-Seitz_Animation.gif" decoding="async" width="220" height="115" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/24/Wigner-Seitz_Animation.gif/330px-Wigner-Seitz_Animation.gif 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/24/Wigner-Seitz_Animation.gif/440px-Wigner-Seitz_Animation.gif 2x" data-file-width="713" data-file-height="372" /></a><figcaption><a href="/wiki/Gitter_(Geometrie)" title="Gitter (Geometrie)">Gitterpunkte</a>, Gitterlinien, Elementarzellen und zugehörige Wigner-Seitz-Zellen (rot) eines Parallelogrammgitters unter verschiedenen Winkeln. Eine dieser Zellen kann als Fundamentalbereich gewählt werden</figcaption></figure> <p>Der Fundamentalbereich wird in verschiedenen Zweigen der Physik und Chemie unterschiedlich benannt. In der Kristallographie ist eine <a href="/wiki/Elementarzelle" title="Elementarzelle">Elementarzelle</a> ein Fundamentalbereich in Form eines <a href="/wiki/Parallelepiped" title="Parallelepiped">Parallelepipeds</a>, der zu der Untergruppe der Translationssymmetrien eines Kristalls gehört. Eine <a href="/wiki/Wigner-Seitz-Zelle" title="Wigner-Seitz-Zelle">Wigner-Seitz-Zelle</a> ist in manchen Fällen ebenfalls ein Fundamentalbereich. Der Zeitschriftenartikel „On the Constitution of Metallic Sodium“<sup id="cite_ref-Wigner_1933_4-0" class="reference"><a href="#cite_note-Wigner_1933-4"><span class="cite-bracket">[</span>4<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> von Wigner und Seitz war Ausgangspunkt und Vorbild für viele nachfolgende Arbeiten, die <a href="/wiki/Schr%C3%B6dingergleichung" title="Schrödingergleichung">Schrödingergleichung</a> unter Ausnutzung von Symmetrien und Fundamentalbereichen (näherungsweise) zu lösen, um mit der daraus erhaltenen <a href="/wiki/Wellenfunktion" title="Wellenfunktion">Wellenfunktion</a> physikalische und chemische Eigenschaften von <a href="/wiki/Chemisches_Element" title="Chemisches Element">chemischen Elementen</a>, <a href="/wiki/Chemische_Verbindung" title="Chemische Verbindung">chemischen Verbindungen</a> und Kristallen zu berechnen. Dazu gehören <a href="/wiki/Gitterparameter" title="Gitterparameter">Gitterkonstanten</a>, <a href="/wiki/Bindungsenergie" title="Bindungsenergie">Bindungsenergien</a>, <a href="/wiki/Verdampfungsenthalpie" title="Verdampfungsenthalpie">Verdampfungsenthalpien</a>, <a href="/wiki/Kompressionsmodul#Kompressibilität" title="Kompressionsmodul">Kompressibilitäten</a> etc. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Beispiele_aus_der_Reaktorphysik">Beispiele aus der Reaktorphysik</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Fundamentalbereich&veaction=edit&section=9" title="Abschnitt bearbeiten: Beispiele aus der Reaktorphysik" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Fundamentalbereich&action=edit&section=9" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Beispiele aus der Reaktorphysik"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>In der Reaktorphysik werden <a href="/wiki/Physikalische_Gr%C3%B6%C3%9Fe" title="Physikalische Größe">physikalische Größen</a>, vorrangig <a href="/wiki/Neutronenfluss" title="Neutronenfluss">Neutronenflüsse</a> und <a href="/wiki/Neutronenfluss#Neutronenflussspektrum" title="Neutronenfluss">Neutronenflussspektren</a>, für <i>Wigner-Seitz-Zellen</i> oder Zellen anderen Typs berechnet. Dabei werden vorhandene Symmetrien genutzt oder Symmetrien näherungsweise sogar künstlich eingeführt, etwa wird ein Quadrat durch einen flächengleichen Kreis ersetzt, um Speicherplatz und Rechenzeit zu sparen,<sup id="cite_ref-Glasstone_1952_5-0" class="reference"><a href="#cite_note-Glasstone_1952-5"><span class="cite-bracket">[</span>5<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> soweit das physikalisch vertretbar ist. Das ist eine Vorgehensweise, die direkt auf Wigner und Seitz zurückgeht, die ein Polyeder durch eine volumengleiche Kugel ersetzten. In den Zweigen <i>Zellberechnungen</i> und den eingangs erwähnten <i>globalen Berechnungen</i> der Reaktorphysik spielen Fundamentalbereiche eine Hauptrolle, ohne dass der von Mathematikern geprägte Name <i>Fundamentalbereich</i> explizit verwendet wird. Viele <a href="/wiki/Kernreaktor" title="Kernreaktor">Kernreaktortypen</a> werden gezielt symmetrisch konstruiert, auch deswegen, um sie überhaupt berechnen zu können, weil Symmetrien und Fundamentalbereiche den Speicherplatzbedarf und die Rechenzeiten der für Konstruktion und Betrieb notwendigen Computerprogramme (drastisch) verringern. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Beispiele_für_Fundamentalbereiche_im_dreidimensionalen_euklidischen_Raum"><span id="Beispiele_f.C3.BCr_Fundamentalbereiche_im_dreidimensionalen_euklidischen_Raum"></span>Beispiele für Fundamentalbereiche im dreidimensionalen euklidischen Raum</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Fundamentalbereich&veaction=edit&section=10" title="Abschnitt bearbeiten: Beispiele für Fundamentalbereiche im dreidimensionalen euklidischen Raum" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Fundamentalbereich&action=edit&section=10" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Beispiele für Fundamentalbereiche im dreidimensionalen euklidischen Raum"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Hilbert und Cohn-Vossen hielten 1932 fest: </p> <dl><dd>„Solche Fundamentalbereiche spielen bei allen diskontinuierlichen Abbildungsgruppen eine wichtige Rolle, nicht nur bei den Bewegungsgruppen. Im allgemeinen ist es keine einfache Aufgabe, einen Fundamentalbereich für eine gegebene Gruppe zu bestimmen, oder überhaupt die Existenz eines Fundamentalbereiches für eine Gattung von Gruppen zu beweisen. Für die ebenen diskontinuierlichen Bewegungsgruppen lassen sich aber in jedem Fall leicht Fundamentalbereiche konstruieren.“<sup id="cite_ref-Hilbert_1932_1-2" class="reference"><a href="#cite_note-Hilbert_1932-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup></dd></dl> <p>In seinem <a href="/wiki/Hilbertsche_Probleme#Hilberts_achtzehntes_Problem" title="Hilbertsche Probleme">achtzehnten Problem</a> fragte Hilbert im Jahr 1900, ob es im dreidimensionalen Raum Polyeder gibt, die nicht als Fundamentalbereich einer Bewegungsgruppe auftreten, mit denen aber trotzdem der gesamte Raum lückenlos gekachelt werden kann. Dass dies der Fall ist, konnte erstmals <a href="/wiki/Karl_Reinhardt_(Mathematiker)" title="Karl Reinhardt (Mathematiker)">Karl Reinhardt</a> 1928 durch Angabe eines Falles zeigen.<sup id="cite_ref-Reinhard_1928_6-0" class="reference"><a href="#cite_note-Reinhard_1928-6"><span class="cite-bracket">[</span>6<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> 1932 fand dann <a href="/wiki/Heinrich_Heesch" title="Heinrich Heesch">Heinrich Heesch</a> eine solche Lösung auch für die Ebene. Das Gebiet ist ein aktives Forschungsgebiet, zum Beispiel bei <a href="/wiki/Quasikristall" title="Quasikristall">Quasikristallen</a> nach <a href="/wiki/Roger_Penrose" title="Roger Penrose">Roger Penrose</a> und selbstähnlichen fraktalen Parkettierungen nach <a href="/wiki/William_Thurston" title="William Thurston">William Thurston</a>. </p><p>Fälle leicht zu konstruierender Fundamentalbereiche im dreidimensionalen euklidischen Raum sind die folgenden: </p> <ul><li>Drehung um 180° um eine Achse: Die <a href="/wiki/Gruppenoperation#Bahn" title="Gruppenoperation">Bahn</a> ist entweder eine Menge von zwei Punkten, die sich in Bezug auf die Achse gegenüberliegen, oder ein einzelner Punkt auf der Achse. Der Fundamentalbereich ist ein Halbraum, der von einer beliebigen Ebene begrenzt wird. Von dieser Ebene selbst gehört nur eine von der Achse begrenzte Halbebene zum Fundamentalbereich.</li></ul> <ul><li>n-fache Drehung um eine Achse: Die Bahn ist entweder eine Menge von <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"></span> Punkten um die Achse oder ein einzelner Punkt auf der Achse. Der Fundamentalbereich ist ein Sektor.</li></ul> <ul><li>Spiegelung an einer Ebene: Die Bahn ist entweder eine Menge von zwei Punkten, einer auf jeder Seite der Ebene, oder ein einzelner Punkt in der Ebene. Der Fundamentalbereich ist ein Halbraum, der von dieser Ebene begrenzt wird.</li></ul> <ul><li><a href="/wiki/Punktsymmetrie" title="Punktsymmetrie">Punktsymmetrie</a>: Die Bahn ist eine Menge von zwei Punkten, einer auf jeder Seite des Zentrums, mit Ausnahme einer Bahn, die nur aus dem Zentrum besteht. Der Fundamentalbereich ist ein Halbraum, der von einer beliebigen Ebene durch das Zentrum begrenzt wird. Wieder gehört nur eine Halbebene zum Fundamentalbereich.</li></ul> <ul><li>Diskrete <a href="/wiki/Symmetrie_(Geometrie)#Translationssymmetrie" title="Symmetrie (Geometrie)">Translationssymmetrie</a> in einer Richtung: Die Bahnen sind Translationen eines 1D-Gitters in Richtung des Translationsvektors. Der Fundamentalbereich ist eine unendliche Platte.</li></ul> <ul><li>Diskrete Translationssymmetrie in zwei Richtungen: Die Bahnen sind Verschiebungen eines 2D-Gitters in der durch die Translationsvektoren aufgespannten Ebene. Der Fundamentalbereich ist ein unendlicher Balken mit dem Querschnitt eines Parallelogramms.</li></ul> <ul><li>Diskrete Translationssymmetrie in drei Richtungen: Die Bahnen sind Translationen des Gitters. Der Fundamentalbereich ist eine Elementarzelle.</li></ul> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Datei:Cube_Fundamental_Domains01_RK01.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/61/Cube_Fundamental_Domains01_RK01.svg/220px-Cube_Fundamental_Domains01_RK01.svg.png" decoding="async" width="220" height="222" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/61/Cube_Fundamental_Domains01_RK01.svg/330px-Cube_Fundamental_Domains01_RK01.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/61/Cube_Fundamental_Domains01_RK01.svg/440px-Cube_Fundamental_Domains01_RK01.svg.png 2x" data-file-width="704" data-file-height="709" /></a><figcaption>Fundamentalbereiche eines homogenen Würfels. Die Stirnflächen von 24 Fundamentalbereichen (der 48 insgesamt) sind in der Grafik sichtbar</figcaption></figure> <p>Bei Translationssymmetrie in Kombination mit anderen Symmetrien ist der Fundamentalbereich ein Teil der Elementarzelle. Beispielsweise ist für <a href="/wiki/Ebene_kristallographische_Gruppe" title="Ebene kristallographische Gruppe">Wandmustergruppen</a> der Fundamentalbereich um einen Faktor 2, 3, 4, 6, 8 oder 12 kleiner als die Elementarzelle. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Fundamentalbereiche_Platonischer_Körper"><span id="Fundamentalbereiche_Platonischer_K.C3.B6rper"></span>Fundamentalbereiche Platonischer Körper</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Fundamentalbereich&veaction=edit&section=11" title="Abschnitt bearbeiten: Fundamentalbereiche Platonischer Körper" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Fundamentalbereich&action=edit&section=11" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Fundamentalbereiche Platonischer Körper"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Datei:Octahedral_reflection_domains.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/10/Octahedral_reflection_domains.png/220px-Octahedral_reflection_domains.png" decoding="async" width="220" height="217" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/10/Octahedral_reflection_domains.png/330px-Octahedral_reflection_domains.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/10/Octahedral_reflection_domains.png/440px-Octahedral_reflection_domains.png 2x" data-file-width="825" data-file-height="813" /></a><figcaption>Fundamentalbereiche von Würfel oder Oktaeder durch Zentralprojektion vom Fixpunkt aus auf eine umhüllende Kugel veranschaulicht</figcaption></figure> <p>Etwas komplizierter ist es, die geometrische Gestalt des Fundamentalbereichs eines homogenen <a href="/wiki/W%C3%BCrfel_(Geometrie)" title="Würfel (Geometrie)">Würfels</a> zu finden. Ein homogener Würfel besitzt 48 Symmetrieelemente, das <a href="/wiki/Neutrales_Element" title="Neutrales Element">neutrale Element</a>, 23 Rotationssymmetrieelemente und Spiegelungen an 24 Symmetrieebenen. Der Würfel kann in seine 48 (äquivalenten) Fundamentalbereiche zerlegt werden, wenn man Schnitte längs der 24 Spiegelsymmetrieebenen ausführt. Das Ergebnis zeigt die Abbildung <i>Fundamentalbereiche eines homogenen Würfels</i>. Es gibt zwei Typen von Fundamentalbereichen, die spiegelsymmetrisch sind. Obwohl unterschiedlich eingefärbt, sind die (physikalischen) Eigenschaften der beiden Typen gleich. Ein Fundamentalbereich hat die Gestalt eines (nicht regelmäßigen) <a href="/wiki/Tetraeder" title="Tetraeder">Tetraeders</a>. Seine in der Grafik nicht sichtbaren Kanten verlaufen von den Eckpunkten des sichtbaren rechtwinkligen Dreiecks zum Fixpunkt der Symmetrieoperationen, dem Mittelpunkt des Würfels. </p><p>Die <a href="/wiki/Platonischer_K%C3%B6rper" title="Platonischer Körper">Platonischen Körper</a> <i>Würfel</i> und reguläres <i><a href="/wiki/Oktaeder" title="Oktaeder">Oktaeder</a></i> sind <a href="/wiki/Platonischer_K%C3%B6rper#Dualität" title="Platonischer Körper">duale Körper</a>. Deshalb sind die <i>Würfelgruppe</i> und die <i><a href="/wiki/Oktaedergruppe" title="Oktaedergruppe">Oktaedergruppe</a></i> <a href="/wiki/Isomorphismus#Gruppenisomorphismus" title="Isomorphismus">isomorph</a>, da duale Körper den gleichen Symmetrietyp besitzen. Folglich besitzt auch das Oktaeder 48 Fundamentalbereiche. Gemeinsam lassen sich die Fundamentalbereiche von Würfel oder Oktaeder durch Zentralprojektion vom Fixpunkt aus auf eine umhüllende Kugel veranschaulichen, wie in der Abbildung dargestellt. Die Spiegelsymmetrieebenen schneiden die Kugel in <a href="/wiki/Gro%C3%9Fkreis" title="Großkreis">Großkreisen</a>. Diese Projektion der regulären Körper auf eine Kugel geht auf Felix Klein zurück, der sie bereits im ersten Abschnitt seiner berühmten Monographie eingeführt hat.<sup id="cite_ref-Klein_1884_2-1" class="reference"><a href="#cite_note-Klein_1884-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> </p><p>Das regelmäßige homogene Tetraeder besitzt 24 Symmetrieelemente, die die <i><a href="/wiki/Tetraeder#Symmetrie" title="Tetraeder">Tetraedergruppe</a></i> bilden. Sie ist <a href="/wiki/Untergruppe" title="Untergruppe">Untergruppe</a> der Würfelgruppe (Oktaedergruppe). Das Tetraeder hat folglich 24 Fundamentalbereiche. Der duale Körper des Tetraeders ist wieder ein Tetraeder. </p><p>Die Platonischen Körper <i>regelmäßiges <a href="/wiki/Dodekaeder" title="Dodekaeder">Pentagondodekaeder</a></i> und <i>regelmäßiges <a href="/wiki/Ikosaeder" title="Ikosaeder">Ikosaeder</a></i> sind dual und besitzen 120 Symmetrieelemente (Ikosaedergruppe) und 120 Fundamentalbereiche. Analog zur Abbildung <i>Fundamentalbereiche von Würfel oder Oktaeder</i> ist die Projektion der Fundamentalbereiche von Dodekaeder oder Ikosaeder auf eine Kugel im Artikel <i><a href="/wiki/Ikosaedergruppe" title="Ikosaedergruppe">Ikosaedergruppe</a></i> abgebildet. </p><p>Eine interessante und gut illustrierte Einführung zum Thema <i>Fundamentalbereiche der Polyeder</i> hat <i><a href="/wiki/Springer_Spektrum" title="Springer Spektrum">Spektrum</a></i> ins <a href="/wiki/World_Wide_Web" title="World Wide Web">Web</a> gestellt.<sup id="cite_ref-Poeppe_2004_7-0" class="reference"><a href="#cite_note-Poeppe_2004-7"><span class="cite-bracket">[</span>7<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Fundamentalbereich&veaction=edit&section=12" title="Abschnitt bearbeiten: Siehe auch" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Fundamentalbereich&action=edit&section=12" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Siehe auch"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/Symmetrie_(Physik)" title="Symmetrie (Physik)">Symmetrie (Physik)</a></li> <li><a href="/wiki/Symmetriegruppe" title="Symmetriegruppe">Symmetriegruppe</a></li> <li><a href="/wiki/Brillouin-Zone" title="Brillouin-Zone">Brillouin-Zone</a></li> <li><a href="/wiki/Fundamentalpolygon" title="Fundamentalpolygon">Fundamentalpolygon</a></li> <li><a href="/wiki/Modulform" title="Modulform">Modulform</a></li> <li><a href="/wiki/Spitzenform" title="Spitzenform">Spitzenform</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Fundamentalbereich&veaction=edit&section=13" title="Abschnitt bearbeiten: Einzelnachweise" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Fundamentalbereich&action=edit&section=13" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Einzelnachweise"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ol class="references"> <li id="cite_note-Hilbert_1932-1"><span class="mw-cite-backlink">↑ <sup><a href="#cite_ref-Hilbert_1932_1-0">a</a></sup> <sup><a href="#cite_ref-Hilbert_1932_1-1">b</a></sup> <sup><a href="#cite_ref-Hilbert_1932_1-2">c</a></sup></span> <span class="reference-text"> David Hilbert, Stefan Cohn-Vossen: <cite style="font-style:italic">Anschauliche Geometrie</cite>. Springer, Berlin 1932, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>56–61</span> (VIII, 310, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.de/books?id=3UOGBwAAQBAJ&pg=PA56&q=Fundamentalbereich#v=onepage">eingeschränkte Vorschau</a> in der Google-Buchsuche).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Fundamentalbereich&rft.au=David+Hilbert%2C+Stefan+Cohn-Vossen&rft.btitle=Anschauliche+Geometrie&rft.date=1932&rft.genre=book&rft.pages=56-61&rft.place=Berlin&rft.pub=Springer" style="display:none"> </span></span> </li> <li id="cite_note-Klein_1884-2"><span class="mw-cite-backlink">↑ <sup><a href="#cite_ref-Klein_1884_2-0">a</a></sup> <sup><a href="#cite_ref-Klein_1884_2-1">b</a></sup></span> <span class="reference-text"> Felix Klein: <cite style="font-style:italic">Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade</cite>. Teubner, Leipzig 1884, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>22 und 3</span> (VIII, 260, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/vorlesungenber00kleiuoft/page/22">online</a>).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Fundamentalbereich&rft.au=Felix+Klein&rft.btitle=Vorlesungen+%C3%BCber+das+Ikosaeder+und+die+Aufl%C3%B6sung+der+Gleichungen+vom+f%C3%BCnften+Grade&rft.date=1884&rft.genre=book&rft.pages=22+und+3&rft.place=Leipzig&rft.pub=Teubner" style="display:none"> </span></span> </li> <li id="cite_note-Walz_2000-3"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-Walz_2000_3-0">↑</a></span> <span class="reference-text"> <cite style="font-style:italic">Fundamentalbereich</cite>. In: Guido Walz (Hrsg.): <cite style="font-style:italic">Lexikon der Mathematik</cite>. 1. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/Heidelberg 2000, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/3827404398" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 3-8274-0439-8</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Fundamentalbereich&rft.atitle=Fundamentalbereich&rft.btitle=Lexikon+der+Mathematik&rft.date=2000&rft.edition=1&rft.genre=book&rft.isbn=3827404398&rft.place=Mannheim%2FHeidelberg&rft.pub=Spektrum+Akademischer+Verlag" style="display:none"> </span></span> </li> <li id="cite_note-Wigner_1933-4"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-Wigner_1933_4-0">↑</a></span> <span class="reference-text">Eugene Wigner, Frederick Seitz: <cite style="font-style:italic">On the constitution of metallic sodium</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Physical Review</cite>. <span style="white-space:nowrap">Band<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>43</span>, <span style="white-space:nowrap">Nr.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>10</span>, 1933, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>804</span> (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.researchgate.net/profile/B_Ramachandran/post/Wigner-Seitz_derivation/attachment/5b96e5723843b0067538b3e3/AS%3A669429314617351%401536615794562/download/Ref-Wigner-Seitz-I-PhysRev-1933-43-804.pdf">online</a> [PDF]).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Fundamentalbereich&rft.atitle=On+the+constitution+of+metallic+sodium&rft.au=Eugene+Wigner%2C+Frederick+Seitz&rft.date=1933&rft.genre=journal&rft.issue=10&rft.jtitle=Physical+Review&rft.pages=804&rft.volume=43" style="display:none"> </span></span> </li> <li id="cite_note-Glasstone_1952-5"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-Glasstone_1952_5-0">↑</a></span> <span class="reference-text"> Samuel Glasstone, Milton C. Edlund: <cite style="font-style:italic">The elements of nuclear reactor theory</cite>. MacMillan, London 1952, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>265<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>f</span>. (VII, 416, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=mdp.39015026517386&view=1up&seq=277">online</a>).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Fundamentalbereich&rft.au=Samuel+Glasstone%2C+Milton+C.+Edlund&rft.btitle=The+elements+of+nuclear+reactor+theory&rft.date=1952&rft.genre=book&rft.pages=265+f.&rft.place=London&rft.pub=MacMillan" style="display:none"> </span></span> </li> <li id="cite_note-Reinhard_1928-6"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-Reinhard_1928_6-0">↑</a></span> <span class="reference-text"> Karl Reinhardt: <i>Zur Zerlegung der euklidischen Räume in kongruente Polytope</i>, Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften, 1928, S. 150–155</span> </li> <li id="cite_note-Poeppe_2004-7"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-Poeppe_2004_7-0">↑</a></span> <span class="reference-text"> <span class="cite">Christoph Pöppe: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.spektrum.de/alias/raeumliche-geometrie/fundamentalbereiche-auf-der-kugel-und-das-familienregister-der-polyeder/713728"><i>Fundamentalbereiche auf der Kugel und das Familienregister der Polyeder.</i></a> Spektrum, 28. März 2004,<span class="Abrufdatum"> abgerufen am 24. August 2019</span>.</span><span style="display: none;" class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Adc&rfr_id=info%3Asid%2Fde.wikipedia.org%3AFundamentalbereich&rft.title=Fundamentalbereiche+auf+der+Kugel+und+das+Familienregister+der+Polyeder&rft.description=Fundamentalbereiche+auf+der+Kugel+und+das+Familienregister+der+Polyeder&rft.identifier=https%3A%2F%2Fwww.spektrum.de%2Falias%2Fraeumliche-geometrie%2Ffundamentalbereiche-auf-der-kugel-und-das-familienregister-der-polyeder%2F713728&rft.creator=Christoph+P%C3%B6ppe&rft.publisher=Spektrum&rft.date=2004-03-28"> </span></span> </li> </ol> <div class="hintergrundfarbe1 rahmenfarbe1 navigation-not-searchable normdaten-typ-s" style="border-style: solid; border-width: 1px; clear: left; margin-bottom:1em; margin-top:1em; padding: 0.25em; overflow: hidden; word-break: break-word; word-wrap: break-word;" id="normdaten"> <div style="display: table-cell; vertical-align: middle; width: 100%;"> <div> Normdaten (Sachbegriff): <a href="/wiki/Gemeinsame_Normdatei" title="Gemeinsame Normdatei">GND</a>: <span class="plainlinks-print"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://d-nb.info/gnd/4326716-6">4326716-6</a></span> <span class="noprint">(<a rel="nofollow" class="external text" href="https://lobid.org/gnd/4326716-6">lobid</a>, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://swb.bsz-bw.de/DB=2.104/SET=1/TTL=1/CMD?retrace=0&trm_old=&ACT=SRCHA&IKT=2999&SRT=RLV&TRM=4326716-6">OGND</a><span class="metadata">, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://prometheus.lmu.de/gnd/4326716-6">AKS</a></span>)</span> <span class="metadata"></span></div> </div></div></div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Abgerufen von „<a dir="ltr" href="https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Fundamentalbereich&oldid=243268347">https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Fundamentalbereich&oldid=243268347</a>“</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/Wikipedia:Kategorien" title="Wikipedia:Kategorien">Kategorien</a>: <ul><li><a href="/wiki/Kategorie:Komplexe_Geometrie" title="Kategorie:Komplexe Geometrie">Komplexe Geometrie</a></li><li><a href="/wiki/Kategorie:Symmetriegruppe" title="Kategorie:Symmetriegruppe">Symmetriegruppe</a></li><li><a href="/wiki/Kategorie:Symmetrie_(Physik)" title="Kategorie:Symmetrie (Physik)">Symmetrie (Physik)</a></li><li><a href="/wiki/Kategorie:Kristallographie" title="Kategorie:Kristallographie">Kristallographie</a></li></ul></div></div> </div> </div> <div id="mw-navigation"> <h2>Navigationsmenü</h2> <div id="mw-head"> <nav id="p-personal" class="mw-portlet mw-portlet-personal vector-user-menu-legacy vector-menu" aria-labelledby="p-personal-label" > <h3 id="p-personal-label" class="vector-menu-heading " > <span class="vector-menu-heading-label">Meine Werkzeuge</span> </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-anonuserpage" class="mw-list-item"><span title="Benutzerseite der IP-Adresse, von der aus du Änderungen durchführst">Nicht angemeldet</span></li><li id="pt-anontalk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Spezial:Meine_Diskussionsseite" title="Diskussion über Änderungen von dieser IP-Adresse [n]" accesskey="n"><span>Diskussionsseite</span></a></li><li id="pt-anoncontribs" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Spezial:Meine_Beitr%C3%A4ge" title="Eine Liste der Bearbeitungen, die von dieser IP-Adresse gemacht wurden [y]" accesskey="y"><span>Beiträge</span></a></li><li id="pt-createaccount" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Spezial:Benutzerkonto_anlegen&returnto=Fundamentalbereich" title="Wir ermutigen dich dazu, ein Benutzerkonto zu erstellen und dich anzumelden. Es ist jedoch nicht zwingend erforderlich."><span>Benutzerkonto erstellen</span></a></li><li id="pt-login" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Spezial:Anmelden&returnto=Fundamentalbereich" title="Anmelden ist zwar keine Pflicht, wird aber gerne gesehen. [o]" accesskey="o"><span>Anmelden</span></a></li> </ul> </div> </nav> <div id="left-navigation"> <nav id="p-namespaces" class="mw-portlet mw-portlet-namespaces vector-menu-tabs vector-menu-tabs-legacy vector-menu" aria-labelledby="p-namespaces-label" > <h3 id="p-namespaces-label" class="vector-menu-heading " > <span class="vector-menu-heading-label">Namensräume</span> </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected mw-list-item"><a href="/wiki/Fundamentalbereich" title="Seiteninhalt anzeigen [c]" accesskey="c"><span>Artikel</span></a></li><li id="ca-talk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Diskussion:Fundamentalbereich" rel="discussion" title="Diskussion zum Seiteninhalt [t]" accesskey="t"><span>Diskussion</span></a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-variants" class="mw-portlet mw-portlet-variants emptyPortlet vector-menu-dropdown vector-menu" aria-labelledby="p-variants-label" > <input type="checkbox" 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