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<!DOCTYPE html> <html lang="es"> <head> <meta charset="UTF-8"> <meta http-equiv="X-UA-Compatible" content="IE=edge"> <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1"> <title>Universidad Complutense de Madrid</title> <meta name="description" content="La mayor universidad presencial de Espa帽a, con la mejor oferta educativa. En Madrid, rodeada de zonas verdes y con una intensa vida cultural y deportiva."> <meta name="keywords" content="Universidad Complutense de Madrid, Complutense, UCM, Educaci贸n, Innovaci贸n, Universidad de excelencia, Formaci贸n, Grado, M谩ster, Doctorado, Postgrado"> <link rel="apple-touch-icon" sizes = "192x192" href="/themes/ucm24/media/img/favicon-192.png"> <link rel="shortcut icon" href="/themes/ucm24/media/img/logoucm.ico"> <link rel="icon" href="/themes/ucm24/media/img/logoucm.ico"> <link type="text/css" media="screen" rel="stylesheet" href="/themes/ucm24/css/bootstrap.css"> <link type="text/css" media="all" rel="stylesheet" href="/themes/ucm24/css/font-awesome.min.css"> <link type="text/css" media="screen" rel="stylesheet" href="/themes/ucm24/css/ucm-theme.css?ft=20241122143449"> <link type="text/css" media="screen" rel="stylesheet" href="/themes/ucm24/css/ucm.css?ft=20241122143449"> <link type="text/css" media="screen" rel="stylesheet" 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fa-user fa-2x"></span> </button> <div id="cab-miescritorio" class="collapse navbar-collapse navbar-sup-collapse"> <ul> <li class="iniciasesion"><a href="https://www.ucm.es/login_sso/">Navegar identificado</a></li> </ul> </div> <ul id="lg_items"> <li><a href="https://www.ucm.es/english" title="English: Complutense University of Madrid"><img src="/themes/ucm24/media/img/banderas/en.png" alt="English"></a></li> </ul> <ul class="redes"> <li><a id="link_yb" class="redsocial" href="http://www.youtube.com/ucomplutensemadrid" target="_blank"><img alt="Youtube" src="/themes/ucm24/media/img/youtube.svg"></a></li> <li><a id="link_fb" class="redsocial" href="https://www.facebook.com/UniComplutense" target="_blank"><img alt="Facebook" src="/themes/ucm24/media/img/facebook.svg"></a></li> <li><a id="link_tw" class="redsocial" href="http://twitter.com/unicomplutense" target="_blank"><img alt="Twitter" src="/themes/ucm24/media/img/x.svg"></a></li> <li><a id="link_lnk" class="redsocial" 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role="none"><a role="menuitem" href="/consejo-de-gobierno">Consejo de Gobierno</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="https://www.ucm.es/consejosocial">Consejo Social</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="/claustro-universitario">Claustro</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="https://www.ucm.es/normativauniversidadcomplutense/">Normativa UCM</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="/defensoria-universitaria">Defensor铆a Universitaria</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="/inspeccion-de-servicios">Inspecci贸n de Servicios</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="/comision-de-reclamaciones">Comisi贸n de Reclamaciones</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="https://dce.ucm.es/">Delegaci贸n Central de Estudiantes</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="https://bouc.ucm.es/">BOUC</a></li> </ul></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="#">Centros</a> <ul class="submenu" role="menu"> <li role="none"><a role="menuitem" href="/facultades">Facultades</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="/departamentos-ucm">Departamentos</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="https://www.ucm.es/institutos-universitarios">Institutos Universitarios de Investigaci贸n</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="https://edoctorado.ucm.es/">Escuela de Doctorado</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="https://www.ucm.es/centros-adscritos">Centros de Ense帽anza Universitaria Adscritos</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="/colegios-mayores">Colegios Mayores</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="/centros">Otros Centros y Estructuras</a></li> </ul></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="#">Instituciones</a> <ul class="submenu" role="menu"> <li role="none"><a role="menuitem" href="https://www.ucm.es/mayores">Universidad para Mayores</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="https://www.ucm.es/fundacion/">Fundaci贸n</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="https://cursosveranoucm.com">Cursos de Verano El Escorial</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="https://www.ucm.es/escuelacomplutense/">Escuela Complutense</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="https://www.ucm.es/ecl">Escuela Complutense Latinoamericana</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="https://www.ucm.es/ccee">Centro para la ense帽anza del espa帽ol</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="https://www.ucm.es/idiomascomplutense/">Idiomas Complutense</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="https://encuentroscomplutense.es/">Encuentros Complutense</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="https://www.ucm.es/eg/">Escuela de Gobierno</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="https://www.ucm.es/compluemprende">Compluemprende</a></li> </ul></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="/servicios_1">Servicios</a> <ul class="submenu" role="menu"> <li role="none"><a role="menuitem" 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href="https://www.ucm.es/voluntariado/">Voluntariado</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="https://www.ucm.es/servicios_1">Listado completo</a></li> </ul></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="#">Pers. Docente y Pers. Investigador</a> <ul class="submenu" role="menu"> <li role="none"><a role="menuitem" href="/profesor-ayudante-doctor">Profesor/a ayudante doctor/a</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="/profesor-a-permanente-laboral">Profesor/a permanente laboral</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="/profesor-asociado">Profesor/a asociado/a</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="/profesor-asociado-de-ciencias-de-la-salud">Profesor Asociado de CC Salud</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="/profesor-contratado-doctor-y-profesor-contratado-doctor-interino">Profesor/a contratado/a doctor/a</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="/pinves">Personal Investigador</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="/funcionarios-de-carrera-2">Funcionarios de Carrera</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="/profesor-sustituto">Profesor/a sustituto/a</a></li> </ul></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="/ptgas">PTGAS</a> <ul class="submenu" role="menu"> <li role="none"><a role="menuitem" href="/empleo-ucm">Oferta de empleo p煤blico</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="/pas-funcionario">Personal Funcionario</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="/pas-laboral">Personal Laboral</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="/convocatorias-vigentes-pas">Convocatorias</a></li> </ul></li> <li><a href="/laucm" aria-label="Universidad"><span class="fa fa-plus-circle" aria-hidden="true"></span>Universidad</a></li> </ul> </li> <li role="none"> <a role="menuitem" href="/estudiar" class="dropdown-toggle" data-toggle="dropdown">Estudiar</a> <ul class="dropdown ul-grow-8" role="menu"> <li role="none"><a role="menuitem" href="/catalogo">catalogo</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="#">Grado</a> <ul class="submenu" role="menu"> <li role="none"><a role="menuitem" href="/grado">Grado</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="/admision-a-grado">Admisi贸n</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="/calendario-de-preinscripcion">Calendario</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="/matriculagrados">Matr铆cula</a></li> </ul></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="#">M谩ster</a> <ul class="submenu" role="menu"> <li role="none"><a role="menuitem" href="/master">M谩steres</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="/proceso-de-admision-masteres">Admisi贸n</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="/plazos-5">Plazos</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="/matriculamasteres">Matr铆cula</a></li> </ul></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="#">Doctorado</a> <ul class="submenu" role="menu"> <li role="none"><a role="menuitem" href="https://edoctorado.ucm.es/">Doctorado</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="https://edoctorado.ucm.es/admision">Admisi贸n</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="https://edoctorado.ucm.es/plazos">Plazos</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" 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role="none"><a role="menuitem" href="https://www.ucm.es/evau-">EvAU</a></li> </ul></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="#">Otros Estudios</a> <ul class="submenu" role="menu"> <li role="none"><a role="menuitem" href="/titulaciones-internacionales">Titulaciones Internacionales</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="/formacioncomplementaria">Formaci贸n Complementaria</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="/estudiantes-visitantes">Estudiantes visitantes</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="/formacion-de-idiomas">Formaci贸n de Idiomas</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="/formacion-especifica">Formaci贸n Espec铆fica</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="https://www.ucm.es/mayores">Universidad Mayores</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="https://www.ucm.es/informacion/estudiantes-internacionales">Estudiantes Internacionales</a></li> </ul></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="https://www.ucm.es/cfp/">Formaci贸n Permanente</a> <ul class="submenu" role="menu"> <li role="none"><a role="menuitem" href="https://www.ucm.es/cfp/master-propio">M谩ster de Formaci贸n Permanente</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="https://www.ucm.es/cfp/diploma-de-especializacion">Diploma de Especializaci贸n</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="https://www.ucm.es/cfp/experto">Experto</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="https://www.ucm.es/cfp/postgrado-de-especializacion">Postgrado de Especializaci贸n</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="https://www.ucm.es/cfp/diploma-de-formacion-permanente">Diploma de Formaci贸n Permanente</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="https://www.ucm.es/cfp/certificado-de-formacion-permanente">Certificado de Formaci贸n Permanente</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="https://www.ucm.es/cfp/microcredenciales">Microcredenciales</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="https://cfp.ucm.es/formacionprofesorado/">Formaci贸n PDI</a></li> </ul></li> <li><a href="/estudiar" aria-label="Estudiar"><span class="fa fa-plus-circle" aria-hidden="true"></span>Estudiar</a></li> </ul> </li> <li role="none"> <a role="menuitem" href="/internacional" class="dropdown-toggle" data-toggle="dropdown">Internacional</a> <ul class="dropdown ul-grow-5" role="menu"> <li role="none"><a role="menuitem" href="https://www.ucm.es/internacional">UCM Global</a> <ul class="submenu" role="menu"> <li role="none"><a role="menuitem" href="/pr">Presentaci贸n</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="/noticias-int">Noticias</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="/contacto-rrii">Oficina de Relaciones Internacionales</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="https://www.ucm.es/pid">Plan de Internacionalizaci贸n</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="https://una-europa.ucm.es/">Alianza Una Europa</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="https://www.ucm.es/rcc">Real Colegio Complutense de Harvard</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="/union-iberoamericana-de-universidades-1">Uni贸n Iberoam茅ricana de Universidades (UIU)</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="https://www.ucm.es/cooperacion-al-desarrollo-ucm/">Cooperaci贸n al Desarrollo</a></li> </ul></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="/internacional-convocatorias">Convocatorias</a> <ul class="submenu" role="menu"> <li role="none"><a role="menuitem" href="/convocatoria-alumnos">Estudiantes</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="/convocatoria-profesores">Profesores/as</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="/convocatoria-pas">Personal T茅cnico y de Gesti贸n (PTGAS)</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="/internacional-convocatorias-ucm">Convocatorias UCM</a></li> </ul></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="/programas-ucm">Programas UCM</a> <ul class="submenu" role="menu"> <li role="none"><a role="menuitem" href="https://ucm.adv-pub.moveon4.de/home-page-1700" target="_blank">Buscador de Convenios y Programas</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="https://www.ucm.es/programas-europeos">Erasmus+</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="/programas-internacionales">Programas Internacionales</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="https://www.ucm.es/maui">MAUI-Utrecht (USA)</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="/teaching-assistance">Teaching Assistant</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="https://www.ucm.es/aen">AEN-Utrecht (Australia)</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="/uc">Universidad de California</a></li> </ul></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="/movilidad-saliente">Movilidad Saliente</a> <ul class="submenu" role="menu"> <li role="none"><a role="menuitem" href="/movilidad-alumnos">Estudiantes</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="/movilidad-profesores">Profesores/as</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="/movilidad-pas">Personal T茅cnico y de Gesti贸n (PTGAS)</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="/practicas-erasmus">Pr谩cticas Erasmus+</a></li> </ul></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="/incoming">Movilidad Entrante</a> <ul class="submenu" role="menu"> <li role="none"><a role="menuitem" href="/alumnos-students">Estudiantes</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="/profesores-teachers">Profesores/as</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="/pas-staff">Personal T茅cnico y de Gesti贸n (PTGAS)</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="/practicas">Pr谩cticas Erasmus+</a></li> </ul></li> <li><a href="/internacional" aria-label="Internacional"><span class="fa fa-plus-circle" aria-hidden="true"></span>Internacional</a></li> </ul> </li> <li role="none"> <a role="menuitem" href="/investigar" class="dropdown-toggle" data-toggle="dropdown">Investigaci贸n</a> <ul class="dropdown ul-grow-4" role="menu"> <li role="none"><a role="menuitem" href="/servicios-investigacion">Servicios Inv.</a> <ul class="submenu" role="menu"> <li role="none"><a role="menuitem" href="https://www.ucm.es/pinves">Administraci贸n de Personal Investigador</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="/servicio-de-investigacion">Servicio de Investigaci贸n</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="https://www.ucm.es/otri">OTRI</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="https://www.ucm.es/apoyo-investigacion/">Coordinaci贸n y apoyo</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="https://oficinaeuropea.ucm.es/">Oficina Europea</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="https://www.ucm.es/investigacion-transferencia/sergeic">Gesti贸n Econ贸mica, Inv. y Centros</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="http://biblioteca.ucm.es">Biblioteca</a></li> </ul></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="/enlaces-tematicos">Enlaces Tem谩ticos</a> <ul class="submenu" role="menu"> <li role="none"><a role="menuitem" href="https://www.ucm.es/investigacion-transferencia/organigrama">Organigrama y estructura</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="https://www.ucm.es/cai">Centros de Asistencia a la Investigaci贸n (CAI)</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="/institutos-universitarios">Institutos Universitarios de Investigaci贸n</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="https://www.ucm.es/visavet">Centro de Vigilancia Sanitaria Veterinaria (VISAVET)</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="https://www.ucm.es/otri/otri-cultura-cientifica">Cultura Cient铆fica</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="https://www.ucm.es/hrs4r_es">HRS4R</a></li> </ul></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="/gestiones-frecuentes">Gestiones m谩s frecuentes</a> <ul class="submenu" role="menu"> <li role="none"><a role="menuitem" href="/peticion-de-certificados">Petici贸n de certificados de inv.</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="https://www.ucm.es/impresos-y-documentos">Resto de gestiones frecuentes</a></li> </ul></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="/otros-enlaces">Otros enlaces</a> <ul class="submenu" role="menu"> <li role="none"><a role="menuitem" href="/comision-de-investigacion">Comisi贸n de Investigaci贸n</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="/memorias-de-investigacion-ucm">Memorias de investigaci贸n UCM</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="https://produccioncientifica.ucm.es/">Portal de Producci贸n Cient铆fica</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="http://edoctorado.ucm.es/">Escuela de doctorado</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="https://euraxess.ec.europa.eu/user">EURAXESS</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="http://docta.ucm.es/">Docta Complutense</a></li> </ul></li> <li><a href="/investigar" aria-label="Investigaci贸n"><span class="fa fa-plus-circle" aria-hidden="true"></span>Investigaci贸n</a></li> </ul> </li> <li role="none"> <a role="menuitem" href="/sociedad" class="dropdown-toggle" data-toggle="dropdown">Vida universitaria</a> <ul class="dropdown ul-grow-4" role="menu"> <li role="none"><a role="menuitem" href="https://www.ucm.es/deportesucm">Deportes</a> <ul class="submenu" role="menu"> <li role="none"><a role="menuitem" href="https://www.ucm.es/deportesucm/competicion-interuniversitaria-">Competiciones deportivas</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="https://www.ucm.es/deportesucm/instalaciones-deportivas-">Instalaciones Deportivas</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="https://www.ucm.es/deportesucm/reservas">Reserva de instalaciones</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="https://www.ucm.es/deportesucm/tarjeta-de-deportes-">Tarjeta de deportes</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="https://www.ucm.es/deportesucm/escuelas-deportivas-">Escuelas Deportivas</a></li> </ul></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="/herramientas">Herramientas</a> <ul class="submenu" role="menu"> <li role="none"><a role="menuitem" href="/ucm-en-linea">UCM en l铆nea</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="/registro-general">Registro General</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="https://www.ucm.es/campusvirtual">Campus Virtual</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="https://www.ucm.es/buscador">Buscador</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="/tui-ucm">Tarjeta Universitaria</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="https://www.ucm.es/helpdesk">Helpdesk</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="/calendarios">Calendarios</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="https://www.ucm.es/faq">FAQ</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="https://geanet.ucm.es/RAPI/">RAPI2</a></li> </ul></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="http://www.ucm.es/cultura">Cultura</a> <ul class="submenu" role="menu"> <li role="none"><a role="menuitem" href="https://www.ucm.es/cultura/arte">Arte</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="https://www.ucm.es/cultura/visitas">Visitas</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="https://www.ucm.es/cultura/teatro-literatura-25">Teatro y Literatura</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="https://www.ucm.es/cultura/museos-colecciones-25">Patrimonio</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="https://www.ucm.es/cultura/musica-danza-25">M煤sica y Danza</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="https://www.ucm.es/ediciones-complutense">Ediciones Complutense</a></li> </ul></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="/actividades-1">Actividades</a> <ul class="submenu" role="menu"> <li role="none"><a role="menuitem" href="https://dce.ucm.es/">Delegaci贸n Central de Estudiantes</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="https://www.ucm.es/la-casa-del-estudiante">La casa del estudiante</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="https://www.ucm.es/la-casa-del-estudiante/asociaciones-estudiantes">Asociaciones</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="https://www.ucm.es/voluntariado">Voluntariado</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="https://venalacomplu.ucm.es/alojamiento">Alojamiento</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="https://encuentroscomplutense.es/">Encuentros complutense</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="https://www.universidadcomplutense.shop/">Tienda Complutense</a></li> <li role="none"><a role="menuitem" href="https://eventos.ucm.es">Eventos</a></li> </ul></li> <li><a href="/sociedad" aria-label="Vida universitaria"><span class="fa fa-plus-circle" aria-hidden="true"></span>Vida universitaria</a></li> </ul> </li> </ul> </div> </nav> </div> </div> </header> <main id="container_pag"> <ol class="breadcrumb"><a href="https://www.ucm.es/" title="锘縋ortada">锘縋ortada</a> » <a href="/estudios-ofertados" title="Estudios Ofertados">Estudios</a> » <a href="https://www.ucm.es/estudios/grado" title="锘縂rado y Doble Grado">锘縂rado y Doble Grado</a> » <a href="https://www.ucm.es/estudios/grado-matematicas-plan-800574" title="Matem谩ticas">Matem谩ticas</a> </ol> <hgroup class="title"> <h1>Matem谩ticas</h1> <h2>锘縂rado y Doble Grado. Curso 2024/2025.</h2> </hgroup> <div class="est_izq"> <div class="col"><div class="col1"></div><div class="col2"></div><div class="col3"></div></div> <ul class="menu_est"> <li><strong>Centro responsable</strong>: <a class="centro" href="http://matematicas.ucm.es/" title="Facultad de Ciencias Matem谩ticas">Facultad de Ciencias Matem谩ticas</a>. </li> <li><strong>Coordinaci贸n</strong>: <a class="centro" href="https://www.ucm.es/buscador?id=7432" title="Francisco Javier G谩llego Rodrigo">Francisco Javier G谩llego Rodrigo</a>. </li> <li><a href="https://www.ucm.es/estudios/grado-matematicas-acceso" title="Acceso y admisi贸n">Acceso y admisi贸n</a></li> <li><a href="https://www.ucm.es/estudios/grado-matematicas-estudios" title="Detalles de la titulaci贸n">Detalles de la titulaci贸n</a></li><li class="pdf"><i class="fa fa-file-pdf-o" aria-hidden="true"></i><a href="/data/cont/docs/titulaciones/58.pdf" title="D铆ptico de la titulaci贸n - PDF" target="_blank">D铆ptico de la titulaci贸n</a></li> </ul> </div> <div class="est_dcha"> <ul class="menu_est_ico"> <li><a href="https://www.ucm.es/estudios/grado-matematicas-plan" title="Planificaci贸n Docente"><span class="fa fa-calendar fa-2x" aria-hidden="true" title="Planificaci贸n Docente"></span></a></li> </ul> </div> <div style="clear: both"></div><div id="paratitulo"><h2>ELEMENTOS DE MATEM脕TICAS Y APLICACIONES - 800574</h2><h3>Curso Acad茅mico 2024-25</h3></div><div id="ucm_estudios"><h3>Datos Generales</h3><ul><li><strong>Plan de estudios: </strong>0803 - GRADO EN MATEM脕TICAS (2009-10)</li><li><strong>Car谩cter: </strong>Obligatoria</li><li><strong>ECTS: </strong>7.5</li></ul><h3>SINOPSIS</h3><h4>COMPETENCIAS</h4><h5>Generales</h5><div class="ucm_valor">Resolver problemas de Matem谩ticas, mediante habilidades de c谩lculo b谩sico y otras t茅cnicas.<br>Comunicar, tanto por escrito como de forma oral, conocimientos, procedimientos, resultados e ideas matem谩ticas.<br>Desarrollar la capacidad de identificar y describir matem谩ticamente un problema, estructurar la informaci贸n disponible y seleccionar un modelo adecuado.</div><h5>Espec铆ficas</h5><div class="ucm_valor">Conocer el lenguaje y las aplicaciones m谩s elementales de algunos temas matem谩ticos como por ejemplo la teor铆a de n煤meros, din谩mica discreta, trigonometr铆a plana y esf茅rica, geometr铆a y teor铆a de grafos, as铆 como algoritmos de resoluci贸n de problemas en estos temas.</div><h4>ACTIVIDADES DOCENTES</h4><h5>Clases te贸ricas</h5><div class="ucm_valor">Sesiones acad茅micas te贸ricas (2 por semana)</div><h5>Clases pr谩cticas</h5><div class="ucm_valor">Sesiones acad茅micas de problemas (1 por semana)</div><h5>Otras actividades</h5><div class="ucm_valor">Tutor铆as programadas. <br>Seminario optativo fuera de horas lectivas con conferencias o proyecci贸n de videos acerca de temas y aplicaciones complementarias a los contenidos.<br></div><h4>Presenciales</h4><div class="ucm_valor">3</div><h4>No presenciales</h4><div class="ucm_valor">4,5</div><h4>Semestre</h4><div class="ucm_valor">1,2</div><h4>Breve descriptor:</h4><div class="ucm_valor"><p style="margin: 0.06px 49px 0px 87.13px;"><span lang="ES" style="margin: 0px;">Se inicia al estudiante en algunas disciplinas de las matem谩ticas, haciendo especial incidencia en las aplicaciones en distintos aspectos de las ciencias, la tecnolog铆a o el arte.</span></p></div><h4>Requisitos</h4><div class="ucm_valor">No hay requisitos</div><h4>Objetivos</h4><div class="ucm_valor"><p style="margin: 0.06px 34.06px 0px 87.13px;"><span lang="ES" style="margin: 0px;">1. Conocer y manejar los conceptos y resultados b谩sicos de teor铆a de n煤meros, din谩mica discreta, trigonometr铆a plana y esf茅rica, geometr铆a y teor铆a de grafos. 2. Relacionar los contenidos matem谩ticos y la resoluci贸n de problemas en algunas aplicaciones en la ciencia, la cultura y la tecnolog铆a.</span></p></div><h4>Contenido</h4><div class="ucm_valor"><p style="margin: 0.06px 34.06px 0px 87.13px;"><span lang="ES" style="margin: 0px;">Parte 1. Teor铆a de n煤meros (Congruencias, Teorema de Fermat, Teorema chino, Zn, Ecuaciones diof谩nticas sencillas) y aplicaciones (D铆gitos de control, RSA). Parte 2. Geometr铆a (Grupos de simetr铆a y su representaci贸n, Transformaciones, Teselaciones) y aplicaciones (Teselaciones, La Alhambra, Pavimentos aperi贸dicos de Penrose). Parte 3. Trigonometr铆a plana y esf茅rica (Tri谩ngulos esf茅ricos, Coordenadas sobre la esfera y el elipsoide, Sistemas de referencia y transformaciones, Determinaci贸n de posiciones terrestres) y aplicaciones (Astronom铆a de posici贸n, Navegaci贸n, Sistemas de posicionamiento por sat茅lite: GPS, Galileo). Parte 4. Din谩mica discreta (Ecuaciones en diferencias lineales de primer y segundo orden, Bifurcaci贸n y caos) y aplicaciones (Poblaciones, Ecuaci贸n log铆stica). Parte 5. Teor铆a de grafos (Definiciones, grafos eulerianos y hamiltonianos, matrices asociadas a grafos) y aplicaciones (Problemas cl谩sicos: puentes de K枚nigsberg, problema del viajante; Google).</span></p></div><h4>Evaluaci贸n</h4><div class="ucm_valor">A lo largo del curso se podr谩n proponer entregas de problemas y la realizaci贸n de controles escritos en horario de clase.<br>La calificaci贸n final se calcula de la siguiente forma:<br><br>Ex谩menes parciales (liberatorios): 75% (repartido, a su vez, en 40% para el primer parcial y el 60% para el segundo parcial).<br>Ex谩menes finales (en su caso): 75%<br>Evaluaci贸n continua (que puede incluir entregas de problemas, controles escritos, participaci贸n en clase, etc.): 25%<br>Nota: Si la calificaci贸n final anterior fuera inferior a la nota del examen, se tomar谩 como nota final esta 煤ltima.<br><br>Los ex谩menes ser谩n comunes en la medida de lo posible.</div><h4>Bibliograf铆a</h4><div class="ucm_valor">1. M. Castrill贸n, A. D铆az-Cano, J.J. Etayo, M. Folgueira, J.A. Infante, L.M. Pozo, J.M. Rey: Apuntes de Elementos de Matem谩ticas y Aplicaciones, 2014. http://eprints.ucm.es/23255/4/ema.pdf".<br>2. T.S. Blyth & E.F. Robertson: "Sets and mappings". Essential Student Algebra, vol. 1, Chapman and Hall,Londres y Nueva York,<br>1986.<br>3. M.A. Armstrong : "Groups and symmetry". Springer-Verlag, Nueva York, 1988.<br>4. M. Berrocoso, M.E. Ram铆rez, J.M. Enr铆quez-Salamanca y A. P茅rez-Pe帽a: "Notas y apuntes de trigonometr铆a esf茅rica y astronom铆a de posici贸n". Universidad de C谩diz, 2003.<br>5. J.T. Sandefur: "Discrete Dynamical Systems. Theory and Applications". Clarendon Press, Oxford, 1990.<br>6. K. H. Rosen : "Matem谩tica discreta y sus aplicaciones". McGraw-Hill, Madrid, 2004.<br></div><h4>Otra informaci贸n relevante</h4><div class="ucm_valor">Bibliograf铆a complementaria<br>1. F. Ayres: "Teor铆a y problemas de trigonometr铆a plana y esf茅rica". Mc. Graw-Hill, 1976.<br>2. J. Casey: "A treatise of spherical trigonometry and its application to Geodesy and Astronomy with numerous examples", Merchant Books, 2007.<br>3. F. J. Cirre: "Matem谩tica discreta". Anaya, Madrid, 2004.<br>4. F. Garc铆a Merayo: "Matem谩tica discreta" Paraninfo, 2001.<br>5. R.L. Devaney: "An Introduction to Chaotic Dynamical Systems". Addison-Wesley. 1989.<br>6. B. Gr眉nbaum, G.C. Shephard: "Tilings and patterns". W.H. Freeman and Company, Nueva York, 1987.<br>7. M. 脕. Mart铆n, M. Mor谩n, M. Reyes: "Iniciaci贸n al caos: Sistemas din谩micos". S铆ntesis, 1995.<br>8. I. Stewart: "驴Juega Dios a los dados?". Cr铆tica, 1997<br><br><br>Material disponible en Campus Virtual: Notas y guiones de desarrollo del temario.<br></div><h3>Estructura</h3><table summary="M贸dulos y materias de la asignatura" class="ucm_tMin" cellpadding="0" cellspacing="4"><thead><tr><th>M贸dulos</th><th>Materias</th></tr></thead><tbody><tr><td>CONTENIDOS INICIALES</td><td class="ucm_last">ELEMENTOS DE MATEM脕TICAS Y APLICACIONES</td></tr></tbody></table><h3>Grupos</h3><table summary="Grupos de la asignatura" cellpadding="0" cellspacing="4"><thead><tr><th colspan="5" abbr="Tipo Grupo">Clases pr谩cticas</th></tr><tr><th>Grupo</th><th>Periodos</th><th>Horarios</th><th>Aula</th><th>Profesor</th></tr></thead><tbody><tr><td class="ucmPlan5" rowspan="2">Grupo m1</td><td class="ucmPlan7" rowspan="1">10/10/2024 - 13/12/2024</td><td class="ucmPlan8">VIERNES 10:00 - 11:00</td><td class="ucmPlan10">S-108</td><td class="ucm_last">MARTA FOLGUEIRA LOPEZ</td></tr><tr><td class="ucmPlan7" rowspan="1">20/01/2025 - 09/05/2025</td><td class="ucmPlan8">VIERNES 10:00 - 11:00</td><td class="ucmPlan10">S-108</td><td class="ucm_last">MARTA FOLGUEIRA LOPEZ</td></tr><tr><td class="ucmPlan5" rowspan="2">Grupo m2</td><td class="ucmPlan7" rowspan="1">10/10/2024 - 13/12/2024</td><td class="ucmPlan8">VIERNES 12:00 - 13:00</td><td class="ucmPlan10">S-109</td><td class="ucm_last">JOSE JAVIER ETAYO GORDEJUELA</td></tr><tr><td class="ucmPlan7" rowspan="1">20/01/2025 - 09/05/2025</td><td class="ucmPlan8">VIERNES 12:00 - 13:00</td><td class="ucmPlan10">S-109</td><td class="ucm_last">JOSE JAVIER ETAYO GORDEJUELA</td></tr><tr><td class="ucmPlan5" rowspan="2">Grupo m3</td><td class="ucmPlan7" rowspan="1">10/10/2024 - 13/12/2024</td><td class="ucmPlan8">VIERNES 13:00 - 14:00</td><td class="ucmPlan10">S-116</td><td class="ucm_last">JOSE JAVIER ETAYO GORDEJUELA</td></tr><tr><td class="ucmPlan7" rowspan="1">20/01/2025 - 09/05/2025</td><td class="ucmPlan8">VIERNES 13:00 - 14:00</td><td class="ucmPlan10">S-116</td><td class="ucm_last">JOSE JAVIER ETAYO GORDEJUELA</td></tr><tr><td class="ucmPlan5" rowspan="2">Grupo m4</td><td class="ucmPlan7" rowspan="1">10/10/2024 - 13/12/2024</td><td class="ucmPlan8">VIERNES 11:00 - 12:00</td><td class="ucmPlan10">B06</td><td class="ucm_last">JORGE SANTIAGO IBA脩EZ MARCOS<br/>VICTOR MANUEL SANCHEZ DE LOS REYES</td></tr><tr><td class="ucmPlan7" rowspan="1">20/01/2025 - 09/05/2025</td><td class="ucmPlan8">JUEVES 11:00 - 12:00</td><td class="ucmPlan10">B13</td><td class="ucm_last">JORGE SANTIAGO IBA脩EZ MARCOS<br/>VICTOR MANUEL SANCHEZ DE LOS REYES</td></tr><tr><td class="ucmPlan5" rowspan="2">Grupo t1</td><td class="ucmPlan7" rowspan="1">10/10/2024 - 13/12/2024</td><td class="ucmPlan8">VIERNES 15:00 - 16:00</td><td class="ucmPlan10">S-109</td><td class="ucm_last">RAQUEL DIAZ SANCHEZ</td></tr><tr><td class="ucmPlan7" rowspan="1">20/01/2025 - 09/05/2025</td><td class="ucmPlan8">JUEVES 15:00 - 16:00</td><td class="ucmPlan10">S-108</td><td class="ucm_last">LUIS GIRALDO SUAREZ</td></tr></tbody></table><br/><br/><table summary="Grupos de la asignatura" cellpadding="0" cellspacing="4"><thead><tr><th colspan="5" abbr="Tipo Grupo">Clases te贸ricas</th></tr><tr><th>Grupo</th><th>Periodos</th><th>Horarios</th><th>Aula</th><th>Profesor</th></tr></thead><tbody><tr><td class="ucmPlan5" rowspan="4">Grupo m1</td><td class="ucmPlan7" rowspan="2">10/10/2024 - 13/12/2024</td><td class="ucmPlan8">LUNES 11:00 - 12:00</td><td class="ucmPlan10">S-108</td><td class="ucm_last">GONZALO BARDERAS MANCHADO<br/>MARTA FOLGUEIRA LOPEZ</td></tr><tr><td class="ucmPlan8">MARTES 12:00 - 13:00</td><td class="ucmPlan10">S-108</td><td class="ucm_last">GONZALO BARDERAS MANCHADO<br/>MARTA FOLGUEIRA LOPEZ</td></tr><tr><td class="ucmPlan7" rowspan="2">20/01/2025 - 09/05/2025</td><td class="ucmPlan8">LUNES 11:00 - 12:00</td><td class="ucmPlan10">S-108</td><td class="ucm_last">GONZALO BARDERAS MANCHADO<br/>MARTA FOLGUEIRA LOPEZ</td></tr><tr><td class="ucmPlan8">MARTES 12:00 - 13:00</td><td class="ucmPlan10">B15</td><td class="ucm_last">GONZALO BARDERAS MANCHADO<br/>MARTA FOLGUEIRA LOPEZ</td></tr><tr><td class="ucmPlan5" rowspan="4">Grupo m2</td><td class="ucmPlan7" rowspan="2">10/10/2024 - 13/12/2024</td><td class="ucmPlan8">LUNES 13:00 - 14:00</td><td class="ucmPlan10">S-109</td><td class="ucm_last">JOSE JAVIER ETAYO GORDEJUELA</td></tr><tr><td class="ucmPlan8">JUEVES 13:00 - 14:00</td><td class="ucmPlan10">S-109</td><td class="ucm_last">JOSE JAVIER ETAYO GORDEJUELA</td></tr><tr><td class="ucmPlan7" rowspan="2">20/01/2025 - 09/05/2025</td><td class="ucmPlan8">LUNES 13:00 - 14:00</td><td class="ucmPlan10">S-109</td><td class="ucm_last">JOSE JAVIER ETAYO GORDEJUELA</td></tr><tr><td class="ucmPlan8">JUEVES 13:00 - 14:00</td><td class="ucmPlan10">S-109</td><td class="ucm_last">JOSE JAVIER ETAYO GORDEJUELA</td></tr><tr><td class="ucmPlan5" rowspan="4">Grupo m3</td><td class="ucmPlan7" rowspan="2">10/10/2024 - 13/12/2024</td><td class="ucmPlan8">LUNES 14:00 - 15:00</td><td class="ucmPlan10">S-116</td><td class="ucm_last">JOSE JAVIER ETAYO GORDEJUELA</td></tr><tr><td class="ucmPlan8">MI脡RCOLES 13:00 - 14:00</td><td class="ucmPlan10">B15</td><td class="ucm_last">JOSE JAVIER ETAYO GORDEJUELA</td></tr><tr><td class="ucmPlan7" rowspan="2">20/01/2025 - 09/05/2025</td><td class="ucmPlan8">LUNES 14:00 - 15:00</td><td class="ucmPlan10">S-116</td><td class="ucm_last">JOSE JAVIER ETAYO GORDEJUELA</td></tr><tr><td class="ucmPlan8">MI脡RCOLES 13:00 - 14:00</td><td class="ucmPlan10">B16</td><td class="ucm_last">JOSE JAVIER ETAYO GORDEJUELA</td></tr><tr><td class="ucmPlan5" rowspan="4">Grupo m4</td><td class="ucmPlan7" rowspan="2">10/10/2024 - 13/12/2024</td><td class="ucmPlan8">MARTES 11:00 - 12:00</td><td class="ucmPlan10">B08</td><td class="ucm_last">JOSE MANUEL UZAL COUSELO<br/>VICTOR MANUEL SANCHEZ DE LOS REYES</td></tr><tr><td class="ucmPlan8">JUEVES 11:00 - 12:00</td><td class="ucmPlan10">B06</td><td class="ucm_last">JOSE MANUEL UZAL COUSELO<br/>VICTOR MANUEL SANCHEZ DE LOS REYES</td></tr><tr><td class="ucmPlan7" rowspan="2">20/01/2025 - 09/05/2025</td><td class="ucmPlan8">LUNES 12:00 - 13:00</td><td class="ucmPlan10">B08</td><td class="ucm_last">JOSE MANUEL UZAL COUSELO<br/>VICTOR MANUEL SANCHEZ DE LOS REYES</td></tr><tr><td class="ucmPlan8">MARTES 12:00 - 13:00</td><td class="ucmPlan10">B08</td><td class="ucm_last">JOSE MANUEL UZAL COUSELO<br/>VICTOR MANUEL SANCHEZ DE LOS REYES</td></tr><tr><td class="ucmPlan5" rowspan="4">Grupo t1</td><td class="ucmPlan7" rowspan="2">10/10/2024 - 13/12/2024</td><td class="ucmPlan8">LUNES 16:00 - 17:00</td><td class="ucmPlan10">S-109</td><td class="ucm_last">RAQUEL DIAZ SANCHEZ</td></tr><tr><td class="ucmPlan8">MI脡RCOLES 15:00 - 16:00</td><td class="ucmPlan10">S-109</td><td class="ucm_last">RAQUEL DIAZ SANCHEZ</td></tr><tr><td class="ucmPlan7" rowspan="2">20/01/2025 - 09/05/2025</td><td class="ucmPlan8">LUNES 16:00 - 17:00</td><td class="ucmPlan10">S-108</td><td class="ucm_last">LUIS GIRALDO SUAREZ</td></tr><tr><td class="ucmPlan8">MI脡RCOLES 15:00 - 16:00</td><td class="ucmPlan10">S-108</td><td class="ucm_last">LUIS GIRALDO SUAREZ</td></tr></tbody></table><br/><br/></div> </main> <footer id="pie"> <div class="container"> <nav id="pie_1"> <ul> <li id="75"><a href="/fundacion">Fundaci贸n General</a></li> <li id="3215"><a href="https://www.ucm.es/portaldetransparencia/cii-ucm">Canal de denuncias</a></li> <li id="12"><a href="http://www.universia.es/">Universia Espa帽a</a></li> <li id="175"><a href="/empleo-ucm">Empleo UCM</a></li> <li id="1206"><a href="http://www.ucm.es/gespacios">Alquiler de espacios</a></li> <li id="3197"><a href="https://fpcm.es">Parque Cient铆fico</a></li> <li id="1361"><a href="https://www.ucm.es/buzon-de-sugerencias-y-quejas">Sugerencias y Quejas</a></li> </ul> </nav> <nav id="pie_2"> <ul> <li><a href="https://www.ucm.es/hrs4r_es" target="_blank"><img src="/themes/ucm24/media/img/hrs4r.png" alt="HR Excellence in Research"></a></li> <li><a href="https://www.una-europa.eu/" target="_blank"><img src="/themes/ucm24/media/img/una-europa.svg" alt="Una Europa"></a></li> <li><a href="https://www.ucm.es/informacion/pagina-principal" target="_blank"><img src="/themes/ucm24/media/img/ucrania.png" alt="Universidades Espa帽olas con Ucrania"></a></li> </ul> </nav> <nav id="pie_3"> <ul class="redes"> <li><a class="redsocial" href="http://www.youtube.com/ucomplutensemadrid" target="_blank"><img alt="Youtube" src="/themes/ucm24/media/img/youtube.svg"></a></li> <li><a class="redsocial" href="https://www.facebook.com/UniComplutense" target="_blank"><img alt="Facebook" src="/themes/ucm24/media/img/facebook.svg"></a></li> <li><a class="redsocial" href="http://twitter.com/unicomplutense" target="_blank"><img alt="Twitter" src="/themes/ucm24/media/img/x.svg"></a></li> <li><a class="redsocial" href="https://www.linkedin.com/company/universidadcomplutense" target="_blank"><img alt="Linkedin" src="/themes/ucm24/media/img/linkedin.svg"></a></li> <li><a class="redsocial" href="https://www.instagram.com/uni.complutense/" target="_blank"><img alt="Instagram" src="/themes/ucm24/media/img/instagram.svg"></a></li> <li><a class="redsocial" href="https://www.tiktok.com/@unicomplutense_oficial" target="_blank"><img alt="tiktok" src="/themes/ucm24/media/img/tiktok.svg"></a></li> </ul> </nav> </div> <div class="container"> <nav id="pie_contacto"> <ul> <li>© Universidad Complutense Madrid</li> <li><a href="/contacto">Localizaci贸n y contacto</a></li> <li><a href="/aviso-legal">Aviso Legal</a></li> <li><a href="https://www.ucm.es/dpd">Protecci贸n de datos</a></li> <li><a href="https://www.ucm.es/rss/rss.php?weid=3">RSS</a></li> </ul> </nav> </div> </footer> <script src="/themes/ucm24/js/jquery.min.js"></script> <script src="/themes/ucm24/js/bootstrap.js"></script> <script src="/themes/ucm24/js/ucm.js?ft=20241122143449"></script> <script> $( "ul#menu_vip > li > a" ).on( "touchstart click", function() { var dropdown; var li_parent; dropdown = $(this).next( "ul.dropdown" ); li_parent = $(this).parent(); event.preventDefault(); if(li_parent.hasClass("open")){ dropdown.removeClass ("is-active"); } else{ $( "ul#menu_vip ul" ).not(dropdown).removeClass ("is-active"); dropdown.toggleClass( "is-active" ); } }); $(document).mouseup(function(e) { var container = $(".is-active"); if (!container.is(e.target) && container.has(e.target).length === 0) { container.removeClass ("is-active") } }); </script>  <script type="didomi/javascript" data-vendor="c:universida-Qi3ayHq8" async src='https://www.googletagmanager.com/gtag/js?id=G-6XY0QFTRLR'></script> <script type="didomi/javascript" data-vendor="c:universida-Qi3ayHq8"> window.dataLayer = window.dataLayer || []; function gtag(){dataLayer.push(arguments);} gtag('js', new Date()); gtag('config', 'G-6XY0QFTRLR'); gtag('config', 'G-65GWBF2XN6'); </script> </body> </html>