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<!DOCTYPE html> <html lang="en"> <head> <meta content="text/html; charset=utf-8" http-equiv="content-type"/> <title>Two identities involving Cohen-Ramanujan expansions</title>  <meta content="width=device-width, initial-scale=1, shrink-to-fit=no" name="viewport"/> <link href="https://cdn.jsdelivr.net/npm/bootstrap@5.3.0/dist/css/bootstrap.min.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <link href="/static/browse/0.3.4/css/ar5iv.0.7.9.min.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <link href="/static/browse/0.3.4/css/ar5iv-fonts.0.7.9.min.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <link href="/static/browse/0.3.4/css/latexml_styles.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <script src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/bootstrap@5.3.0/dist/js/bootstrap.bundle.min.js"></script> <script src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/html2canvas/1.3.3/html2canvas.min.js"></script> <script src="/static/browse/0.3.4/js/addons_new.js"></script> <script src="/static/browse/0.3.4/js/feedbackOverlay.js"></script> <meta content="Ramanujan Sum; convolution sums; Cohen-Ramanujan Sum; Cohen-Ramanujan Expansions; asymtotic formulae; mean value; Jordan totient function; Klee’s function; divisor function" lang="en" name="keywords"/> <base href="/html/2503.12027v1/"/></head> <body> <nav class="ltx_page_navbar"> <nav class="ltx_TOC"> <ol class="ltx_toclist"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12027v1#S1" title="In Two identities involving Cohen-Ramanujan expansions"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">1 </span>Introduction</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12027v1#S2" title="In Two identities involving Cohen-Ramanujan expansions"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">2 </span>Proofs of the Results</span></a></li> </ol></nav> </nav> <div class="ltx_page_main"> <div class="ltx_page_content"> <article class="ltx_document ltx_authors_1line ltx_leqno"> <h1 class="ltx_title ltx_title_document">Two identities involving Cohen-Ramanujan expansions</h1> <div class="ltx_authors"> <span class="ltx_creator ltx_role_author"> <span class="ltx_personname">Arya Chandran </span><span class="ltx_author_notes"> <span class="ltx_contact ltx_role_address">Department of Mathematics, CVV Institute of Science and Technology, Chinmaya Vishwa Vidyapeeth (Deemed to be University), Anthiyal-Onakkoor Road, Ernakulam, Kerala-686667, India </span> <span class="ltx_contact ltx_role_email"><a href="mailto:aryavinayachandran@gmail.com">aryavinayachandran@gmail.com</a> </span></span></span> <span class="ltx_author_before"> and </span><span class="ltx_creator ltx_role_author"> <span class="ltx_personname">K Vishnu Namboothiri </span><span class="ltx_author_notes"> <span class="ltx_contact ltx_role_address">Department of Mathematics, Baby John Memorial Government College, Chavara, Sankaramangalam, Kollam – 691583, Kerala, India </span> <span class="ltx_contact ltx_role_address">Department of Collegiate Education, Government of Kerala, India </span> <span class="ltx_contact ltx_role_email"><a href="mailto:kvnamboothiri@gmail.com">kvnamboothiri@gmail.com</a> </span></span></span> </div> <div class="ltx_abstract"> <h6 class="ltx_title ltx_title_abstract">Abstract.</h6> <p class="ltx_p" id="id2.2">If <math alttext="c_{r}^{s}(n)" class="ltx_Math" display="inline" id="id1.1.m1.1"><semantics id="id1.1.m1.1a"><mrow id="id1.1.m1.1.2" xref="id1.1.m1.1.2.cmml"><msubsup id="id1.1.m1.1.2.2" xref="id1.1.m1.1.2.2.cmml"><mi id="id1.1.m1.1.2.2.2.2" xref="id1.1.m1.1.2.2.2.2.cmml">c</mi><mi id="id1.1.m1.1.2.2.2.3" xref="id1.1.m1.1.2.2.2.3.cmml">r</mi><mi id="id1.1.m1.1.2.2.3" xref="id1.1.m1.1.2.2.3.cmml">s</mi></msubsup><mo id="id1.1.m1.1.2.1" xref="id1.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="id1.1.m1.1.2.3.2" xref="id1.1.m1.1.2.cmml"><mo id="id1.1.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="id1.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="id1.1.m1.1.1" xref="id1.1.m1.1.1.cmml">n</mi><mo id="id1.1.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="id1.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="id1.1.m1.1b"><apply id="id1.1.m1.1.2.cmml" xref="id1.1.m1.1.2"><times id="id1.1.m1.1.2.1.cmml" xref="id1.1.m1.1.2.1"></times><apply id="id1.1.m1.1.2.2.cmml" xref="id1.1.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="id1.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="id1.1.m1.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="id1.1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="id1.1.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="id1.1.m1.1.2.2.2.1.cmml" xref="id1.1.m1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="id1.1.m1.1.2.2.2.2.cmml" xref="id1.1.m1.1.2.2.2.2">𝑐</ci><ci id="id1.1.m1.1.2.2.2.3.cmml" xref="id1.1.m1.1.2.2.2.3">𝑟</ci></apply><ci id="id1.1.m1.1.2.2.3.cmml" xref="id1.1.m1.1.2.2.3">𝑠</ci></apply><ci id="id1.1.m1.1.1.cmml" xref="id1.1.m1.1.1">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="id1.1.m1.1c">c_{r}^{s}(n)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="id1.1.m1.1d">italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n )</annotation></semantics></math> denotes the Cohen-Ramanujan sum, then an arithmetical function <math alttext="f" class="ltx_Math" display="inline" id="id2.2.m2.1"><semantics id="id2.2.m2.1a"><mi id="id2.2.m2.1.1" xref="id2.2.m2.1.1.cmml">f</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="id2.2.m2.1b"><ci id="id2.2.m2.1.1.cmml" xref="id2.2.m2.1.1">𝑓</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="id2.2.m2.1c">f</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="id2.2.m2.1d">italic_f</annotation></semantics></math> is said to admit a Cohen-Ramanujan expansion</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S2.EGx1"> <tbody id="S0.Ex1"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle f(n):=\sum\limits_{r}\widehat{f}(r)c_{r}^{s}(n)," class="ltx_Math" display="inline" id="S0.Ex1.m1.4"><semantics id="S0.Ex1.m1.4a"><mrow id="S0.Ex1.m1.4.4.1" xref="S0.Ex1.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S0.Ex1.m1.4.4.1.1" xref="S0.Ex1.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S0.Ex1.m1.4.4.1.1.2" xref="S0.Ex1.m1.4.4.1.1.2.cmml"><mi id="S0.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2" xref="S0.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.cmml">f</mi><mo id="S0.Ex1.m1.4.4.1.1.2.1" xref="S0.Ex1.m1.4.4.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S0.Ex1.m1.4.4.1.1.2.3.2" xref="S0.Ex1.m1.4.4.1.1.2.cmml"><mo id="S0.Ex1.m1.4.4.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S0.Ex1.m1.4.4.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S0.Ex1.m1.1.1" xref="S0.Ex1.m1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S0.Ex1.m1.4.4.1.1.2.3.2.2" rspace="0.278em" stretchy="false" xref="S0.Ex1.m1.4.4.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S0.Ex1.m1.4.4.1.1.1" rspace="0.278em" xref="S0.Ex1.m1.4.4.1.1.1.cmml">:=</mo><mrow id="S0.Ex1.m1.4.4.1.1.3" xref="S0.Ex1.m1.4.4.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S0.Ex1.m1.4.4.1.1.3.1" xref="S0.Ex1.m1.4.4.1.1.3.1.cmml"><munder id="S0.Ex1.m1.4.4.1.1.3.1a" xref="S0.Ex1.m1.4.4.1.1.3.1.cmml"><mo id="S0.Ex1.m1.4.4.1.1.3.1.2" movablelimits="false" xref="S0.Ex1.m1.4.4.1.1.3.1.2.cmml">∑</mo><mi id="S0.Ex1.m1.4.4.1.1.3.1.3" xref="S0.Ex1.m1.4.4.1.1.3.1.3.cmml">r</mi></munder></mstyle><mrow id="S0.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2" xref="S0.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S0.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2.2" xref="S0.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S0.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2.2.2" xref="S0.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2.2.2.cmml">f</mi><mo id="S0.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2.2.1" xref="S0.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S0.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2.1" xref="S0.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S0.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2.3.2" xref="S0.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2.cmml"><mo id="S0.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S0.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2.cmml">(</mo><mi id="S0.Ex1.m1.2.2" xref="S0.Ex1.m1.2.2.cmml">r</mi><mo id="S0.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S0.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S0.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2.1a" xref="S0.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S0.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2.4" xref="S0.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2.4.cmml"><mi id="S0.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2.4.2.2" xref="S0.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2.4.2.2.cmml">c</mi><mi id="S0.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2.4.2.3" xref="S0.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2.4.2.3.cmml">r</mi><mi id="S0.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2.4.3" xref="S0.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2.4.3.cmml">s</mi></msubsup><mo id="S0.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2.1b" xref="S0.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S0.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2.5.2" xref="S0.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2.cmml"><mo id="S0.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2.5.2.1" stretchy="false" xref="S0.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2.cmml">(</mo><mi id="S0.Ex1.m1.3.3" xref="S0.Ex1.m1.3.3.cmml">n</mi><mo id="S0.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2.5.2.2" stretchy="false" xref="S0.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S0.Ex1.m1.4.4.1.2" xref="S0.Ex1.m1.4.4.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S0.Ex1.m1.4b"><apply id="S0.Ex1.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S0.Ex1.m1.4.4.1"><csymbol cd="latexml" id="S0.Ex1.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="S0.Ex1.m1.4.4.1.1.1">assign</csymbol><apply id="S0.Ex1.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="S0.Ex1.m1.4.4.1.1.2"><times id="S0.Ex1.m1.4.4.1.1.2.1.cmml" xref="S0.Ex1.m1.4.4.1.1.2.1"></times><ci id="S0.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2.cmml" xref="S0.Ex1.m1.4.4.1.1.2.2">𝑓</ci><ci id="S0.Ex1.m1.1.1.cmml" xref="S0.Ex1.m1.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="S0.Ex1.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="S0.Ex1.m1.4.4.1.1.3"><apply id="S0.Ex1.m1.4.4.1.1.3.1.cmml" xref="S0.Ex1.m1.4.4.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S0.Ex1.m1.4.4.1.1.3.1.1.cmml" xref="S0.Ex1.m1.4.4.1.1.3.1">subscript</csymbol><sum id="S0.Ex1.m1.4.4.1.1.3.1.2.cmml" xref="S0.Ex1.m1.4.4.1.1.3.1.2"></sum><ci id="S0.Ex1.m1.4.4.1.1.3.1.3.cmml" xref="S0.Ex1.m1.4.4.1.1.3.1.3">𝑟</ci></apply><apply id="S0.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2.cmml" xref="S0.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2"><times id="S0.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2.1.cmml" xref="S0.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2.1"></times><apply id="S0.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2.2.cmml" xref="S0.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2.2"><ci id="S0.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S0.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2.2.1">^</ci><ci id="S0.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S0.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2.2.2">𝑓</ci></apply><ci id="S0.Ex1.m1.2.2.cmml" xref="S0.Ex1.m1.2.2">𝑟</ci><apply id="S0.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2.4.cmml" xref="S0.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S0.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2.4.1.cmml" xref="S0.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2.4">superscript</csymbol><apply id="S0.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2.4.2.cmml" xref="S0.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S0.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2.4.2.1.cmml" xref="S0.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2.4">subscript</csymbol><ci id="S0.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2.4.2.2.cmml" xref="S0.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2.4.2.2">𝑐</ci><ci id="S0.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2.4.2.3.cmml" xref="S0.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2.4.2.3">𝑟</ci></apply><ci id="S0.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2.4.3.cmml" xref="S0.Ex1.m1.4.4.1.1.3.2.4.3">𝑠</ci></apply><ci id="S0.Ex1.m1.3.3.cmml" xref="S0.Ex1.m1.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S0.Ex1.m1.4c">\displaystyle f(n):=\sum\limits_{r}\widehat{f}(r)c_{r}^{s}(n),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S0.Ex1.m1.4d">italic_f ( italic_n ) := ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG italic_f end_ARG ( italic_r ) italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="id5.5">if the series on the right hand side converges for suitable complex numbers <math alttext="\widehat{f}(r)" class="ltx_Math" display="inline" id="id3.3.m1.1"><semantics id="id3.3.m1.1a"><mrow id="id3.3.m1.1.2" xref="id3.3.m1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="id3.3.m1.1.2.2" xref="id3.3.m1.1.2.2.cmml"><mi id="id3.3.m1.1.2.2.2" xref="id3.3.m1.1.2.2.2.cmml">f</mi><mo id="id3.3.m1.1.2.2.1" xref="id3.3.m1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="id3.3.m1.1.2.1" xref="id3.3.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="id3.3.m1.1.2.3.2" xref="id3.3.m1.1.2.cmml"><mo id="id3.3.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="id3.3.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="id3.3.m1.1.1" xref="id3.3.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="id3.3.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="id3.3.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="id3.3.m1.1b"><apply id="id3.3.m1.1.2.cmml" xref="id3.3.m1.1.2"><times id="id3.3.m1.1.2.1.cmml" xref="id3.3.m1.1.2.1"></times><apply id="id3.3.m1.1.2.2.cmml" xref="id3.3.m1.1.2.2"><ci id="id3.3.m1.1.2.2.1.cmml" xref="id3.3.m1.1.2.2.1">^</ci><ci id="id3.3.m1.1.2.2.2.cmml" xref="id3.3.m1.1.2.2.2">𝑓</ci></apply><ci id="id3.3.m1.1.1.cmml" xref="id3.3.m1.1.1">𝑟</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="id3.3.m1.1c">\widehat{f}(r)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="id3.3.m1.1d">over^ start_ARG italic_f end_ARG ( italic_r )</annotation></semantics></math>. We deduce here a Cohen-Ramanujan expansion for the Jordan totient function <math alttext="J_{k}(n)" class="ltx_Math" display="inline" id="id4.4.m2.1"><semantics id="id4.4.m2.1a"><mrow id="id4.4.m2.1.2" xref="id4.4.m2.1.2.cmml"><msub id="id4.4.m2.1.2.2" xref="id4.4.m2.1.2.2.cmml"><mi id="id4.4.m2.1.2.2.2" xref="id4.4.m2.1.2.2.2.cmml">J</mi><mi id="id4.4.m2.1.2.2.3" xref="id4.4.m2.1.2.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="id4.4.m2.1.2.1" xref="id4.4.m2.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="id4.4.m2.1.2.3.2" xref="id4.4.m2.1.2.cmml"><mo id="id4.4.m2.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="id4.4.m2.1.2.cmml">(</mo><mi id="id4.4.m2.1.1" xref="id4.4.m2.1.1.cmml">n</mi><mo id="id4.4.m2.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="id4.4.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="id4.4.m2.1b"><apply id="id4.4.m2.1.2.cmml" xref="id4.4.m2.1.2"><times id="id4.4.m2.1.2.1.cmml" xref="id4.4.m2.1.2.1"></times><apply id="id4.4.m2.1.2.2.cmml" xref="id4.4.m2.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="id4.4.m2.1.2.2.1.cmml" xref="id4.4.m2.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="id4.4.m2.1.2.2.2.cmml" xref="id4.4.m2.1.2.2.2">𝐽</ci><ci id="id4.4.m2.1.2.2.3.cmml" xref="id4.4.m2.1.2.2.3">𝑘</ci></apply><ci id="id4.4.m2.1.1.cmml" xref="id4.4.m2.1.1">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="id4.4.m2.1c">J_{k}(n)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="id4.4.m2.1d">italic_J start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n )</annotation></semantics></math>. Further, we give an an asymptotic formula for the sum <math alttext="\sum\limits_{n\leq N}\frac{J_{a}(n)}{n^{a}}\frac{J_{b}(n+h)}{(n+h)^{b}}" class="ltx_Math" display="inline" id="id5.5.m3.3"><semantics id="id5.5.m3.3a"><mrow id="id5.5.m3.3.4" xref="id5.5.m3.3.4.cmml"><munder id="id5.5.m3.3.4.1" xref="id5.5.m3.3.4.1.cmml"><mo id="id5.5.m3.3.4.1.2" movablelimits="false" xref="id5.5.m3.3.4.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="id5.5.m3.3.4.1.3" xref="id5.5.m3.3.4.1.3.cmml"><mi id="id5.5.m3.3.4.1.3.2" xref="id5.5.m3.3.4.1.3.2.cmml">n</mi><mo id="id5.5.m3.3.4.1.3.1" xref="id5.5.m3.3.4.1.3.1.cmml">≤</mo><mi id="id5.5.m3.3.4.1.3.3" xref="id5.5.m3.3.4.1.3.3.cmml">N</mi></mrow></munder><mrow id="id5.5.m3.3.4.2" xref="id5.5.m3.3.4.2.cmml"><mfrac id="id5.5.m3.1.1" xref="id5.5.m3.1.1.cmml"><mrow id="id5.5.m3.1.1.1" xref="id5.5.m3.1.1.1.cmml"><msub id="id5.5.m3.1.1.1.3" xref="id5.5.m3.1.1.1.3.cmml"><mi id="id5.5.m3.1.1.1.3.2" xref="id5.5.m3.1.1.1.3.2.cmml">J</mi><mi id="id5.5.m3.1.1.1.3.3" xref="id5.5.m3.1.1.1.3.3.cmml">a</mi></msub><mo id="id5.5.m3.1.1.1.2" xref="id5.5.m3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="id5.5.m3.1.1.1.4.2" xref="id5.5.m3.1.1.1.cmml"><mo id="id5.5.m3.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="id5.5.m3.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="id5.5.m3.1.1.1.1" xref="id5.5.m3.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="id5.5.m3.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="id5.5.m3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><msup id="id5.5.m3.1.1.3" xref="id5.5.m3.1.1.3.cmml"><mi id="id5.5.m3.1.1.3.2" xref="id5.5.m3.1.1.3.2.cmml">n</mi><mi id="id5.5.m3.1.1.3.3" xref="id5.5.m3.1.1.3.3.cmml">a</mi></msup></mfrac><mo id="id5.5.m3.3.4.2.1" xref="id5.5.m3.3.4.2.1.cmml">⁢</mo><mfrac id="id5.5.m3.3.3" xref="id5.5.m3.3.3.cmml"><mrow id="id5.5.m3.2.2.1" xref="id5.5.m3.2.2.1.cmml"><msub id="id5.5.m3.2.2.1.3" xref="id5.5.m3.2.2.1.3.cmml"><mi id="id5.5.m3.2.2.1.3.2" xref="id5.5.m3.2.2.1.3.2.cmml">J</mi><mi id="id5.5.m3.2.2.1.3.3" xref="id5.5.m3.2.2.1.3.3.cmml">b</mi></msub><mo id="id5.5.m3.2.2.1.2" xref="id5.5.m3.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="id5.5.m3.2.2.1.1.1" xref="id5.5.m3.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="id5.5.m3.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="id5.5.m3.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="id5.5.m3.2.2.1.1.1.1" xref="id5.5.m3.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="id5.5.m3.2.2.1.1.1.1.2" xref="id5.5.m3.2.2.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="id5.5.m3.2.2.1.1.1.1.1" xref="id5.5.m3.2.2.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mi id="id5.5.m3.2.2.1.1.1.1.3" xref="id5.5.m3.2.2.1.1.1.1.3.cmml">h</mi></mrow><mo id="id5.5.m3.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="id5.5.m3.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><msup id="id5.5.m3.3.3.2" xref="id5.5.m3.3.3.2.cmml"><mrow id="id5.5.m3.3.3.2.1.1" xref="id5.5.m3.3.3.2.1.1.1.cmml"><mo id="id5.5.m3.3.3.2.1.1.2" stretchy="false" xref="id5.5.m3.3.3.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="id5.5.m3.3.3.2.1.1.1" xref="id5.5.m3.3.3.2.1.1.1.cmml"><mi id="id5.5.m3.3.3.2.1.1.1.2" xref="id5.5.m3.3.3.2.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="id5.5.m3.3.3.2.1.1.1.1" xref="id5.5.m3.3.3.2.1.1.1.1.cmml">+</mo><mi id="id5.5.m3.3.3.2.1.1.1.3" xref="id5.5.m3.3.3.2.1.1.1.3.cmml">h</mi></mrow><mo id="id5.5.m3.3.3.2.1.1.3" stretchy="false" xref="id5.5.m3.3.3.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="id5.5.m3.3.3.2.3" xref="id5.5.m3.3.3.2.3.cmml">b</mi></msup></mfrac></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="id5.5.m3.3b"><apply id="id5.5.m3.3.4.cmml" xref="id5.5.m3.3.4"><apply id="id5.5.m3.3.4.1.cmml" xref="id5.5.m3.3.4.1"><csymbol cd="ambiguous" id="id5.5.m3.3.4.1.1.cmml" xref="id5.5.m3.3.4.1">subscript</csymbol><sum id="id5.5.m3.3.4.1.2.cmml" xref="id5.5.m3.3.4.1.2"></sum><apply id="id5.5.m3.3.4.1.3.cmml" xref="id5.5.m3.3.4.1.3"><leq id="id5.5.m3.3.4.1.3.1.cmml" xref="id5.5.m3.3.4.1.3.1"></leq><ci id="id5.5.m3.3.4.1.3.2.cmml" xref="id5.5.m3.3.4.1.3.2">𝑛</ci><ci id="id5.5.m3.3.4.1.3.3.cmml" xref="id5.5.m3.3.4.1.3.3">𝑁</ci></apply></apply><apply id="id5.5.m3.3.4.2.cmml" xref="id5.5.m3.3.4.2"><times id="id5.5.m3.3.4.2.1.cmml" xref="id5.5.m3.3.4.2.1"></times><apply id="id5.5.m3.1.1.cmml" xref="id5.5.m3.1.1"><divide id="id5.5.m3.1.1.2.cmml" xref="id5.5.m3.1.1"></divide><apply id="id5.5.m3.1.1.1.cmml" xref="id5.5.m3.1.1.1"><times id="id5.5.m3.1.1.1.2.cmml" xref="id5.5.m3.1.1.1.2"></times><apply id="id5.5.m3.1.1.1.3.cmml" xref="id5.5.m3.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="id5.5.m3.1.1.1.3.1.cmml" xref="id5.5.m3.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="id5.5.m3.1.1.1.3.2.cmml" xref="id5.5.m3.1.1.1.3.2">𝐽</ci><ci id="id5.5.m3.1.1.1.3.3.cmml" xref="id5.5.m3.1.1.1.3.3">𝑎</ci></apply><ci id="id5.5.m3.1.1.1.1.cmml" xref="id5.5.m3.1.1.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="id5.5.m3.1.1.3.cmml" xref="id5.5.m3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="id5.5.m3.1.1.3.1.cmml" xref="id5.5.m3.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="id5.5.m3.1.1.3.2.cmml" xref="id5.5.m3.1.1.3.2">𝑛</ci><ci id="id5.5.m3.1.1.3.3.cmml" xref="id5.5.m3.1.1.3.3">𝑎</ci></apply></apply><apply id="id5.5.m3.3.3.cmml" xref="id5.5.m3.3.3"><divide id="id5.5.m3.3.3.3.cmml" xref="id5.5.m3.3.3"></divide><apply id="id5.5.m3.2.2.1.cmml" xref="id5.5.m3.2.2.1"><times id="id5.5.m3.2.2.1.2.cmml" xref="id5.5.m3.2.2.1.2"></times><apply id="id5.5.m3.2.2.1.3.cmml" xref="id5.5.m3.2.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="id5.5.m3.2.2.1.3.1.cmml" xref="id5.5.m3.2.2.1.3">subscript</csymbol><ci id="id5.5.m3.2.2.1.3.2.cmml" xref="id5.5.m3.2.2.1.3.2">𝐽</ci><ci id="id5.5.m3.2.2.1.3.3.cmml" xref="id5.5.m3.2.2.1.3.3">𝑏</ci></apply><apply id="id5.5.m3.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="id5.5.m3.2.2.1.1.1"><plus id="id5.5.m3.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="id5.5.m3.2.2.1.1.1.1.1"></plus><ci id="id5.5.m3.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="id5.5.m3.2.2.1.1.1.1.2">𝑛</ci><ci id="id5.5.m3.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="id5.5.m3.2.2.1.1.1.1.3">ℎ</ci></apply></apply><apply id="id5.5.m3.3.3.2.cmml" xref="id5.5.m3.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="id5.5.m3.3.3.2.2.cmml" xref="id5.5.m3.3.3.2">superscript</csymbol><apply id="id5.5.m3.3.3.2.1.1.1.cmml" xref="id5.5.m3.3.3.2.1.1"><plus id="id5.5.m3.3.3.2.1.1.1.1.cmml" xref="id5.5.m3.3.3.2.1.1.1.1"></plus><ci id="id5.5.m3.3.3.2.1.1.1.2.cmml" xref="id5.5.m3.3.3.2.1.1.1.2">𝑛</ci><ci id="id5.5.m3.3.3.2.1.1.1.3.cmml" xref="id5.5.m3.3.3.2.1.1.1.3">ℎ</ci></apply><ci id="id5.5.m3.3.3.2.3.cmml" xref="id5.5.m3.3.3.2.3">𝑏</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="id5.5.m3.3c">\sum\limits_{n\leq N}\frac{J_{a}(n)}{n^{a}}\frac{J_{b}(n+h)}{(n+h)^{b}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="id5.5.m3.3d">∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_n ≤ italic_N end_POSTSUBSCRIPT divide start_ARG italic_J start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n ) end_ARG start_ARG italic_n start_POSTSUPERSCRIPT italic_a end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG divide start_ARG italic_J start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n + italic_h ) end_ARG start_ARG ( italic_n + italic_h ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_keywords"> <h6 class="ltx_title ltx_title_keywords">Key words and phrases: </h6>Ramanujan Sum; convolution sums; Cohen-Ramanujan Sum; Cohen-Ramanujan Expansions; asymtotic formulae; mean value; Jordan totient function; Klee’s function; divisor function </div> <div class="ltx_classification"> <h6 class="ltx_title ltx_title_classification">2020 Mathematics Subject Classification: </h6>11A25, 11L03, 11N05, 11N37 </div> <section class="ltx_section" id="S1"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">1. </span>Introduction</h2> <div class="ltx_para" id="S1.p1"> <p class="ltx_p" id="S1.p1.2">Srinivasa Ramanujan <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12027v1#bib.bib13" title="">13</a>]</cite> introduced infinite Fourier series like expansions in the form <math alttext="\sum\limits_{r}a_{r}c_{r}(n)" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.1.m1.1"><semantics id="S1.p1.1.m1.1a"><mrow id="S1.p1.1.m1.1.2" xref="S1.p1.1.m1.1.2.cmml"><munder id="S1.p1.1.m1.1.2.1" xref="S1.p1.1.m1.1.2.1.cmml"><mo id="S1.p1.1.m1.1.2.1.2" movablelimits="false" xref="S1.p1.1.m1.1.2.1.2.cmml">∑</mo><mi id="S1.p1.1.m1.1.2.1.3" xref="S1.p1.1.m1.1.2.1.3.cmml">r</mi></munder><mrow id="S1.p1.1.m1.1.2.2" xref="S1.p1.1.m1.1.2.2.cmml"><msub id="S1.p1.1.m1.1.2.2.2" xref="S1.p1.1.m1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S1.p1.1.m1.1.2.2.2.2" xref="S1.p1.1.m1.1.2.2.2.2.cmml">a</mi><mi id="S1.p1.1.m1.1.2.2.2.3" xref="S1.p1.1.m1.1.2.2.2.3.cmml">r</mi></msub><mo id="S1.p1.1.m1.1.2.2.1" xref="S1.p1.1.m1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S1.p1.1.m1.1.2.2.3" xref="S1.p1.1.m1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S1.p1.1.m1.1.2.2.3.2" xref="S1.p1.1.m1.1.2.2.3.2.cmml">c</mi><mi id="S1.p1.1.m1.1.2.2.3.3" xref="S1.p1.1.m1.1.2.2.3.3.cmml">r</mi></msub><mo id="S1.p1.1.m1.1.2.2.1a" xref="S1.p1.1.m1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.p1.1.m1.1.2.2.4.2" xref="S1.p1.1.m1.1.2.2.cmml"><mo id="S1.p1.1.m1.1.2.2.4.2.1" stretchy="false" xref="S1.p1.1.m1.1.2.2.cmml">(</mo><mi id="S1.p1.1.m1.1.1" xref="S1.p1.1.m1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S1.p1.1.m1.1.2.2.4.2.2" stretchy="false" xref="S1.p1.1.m1.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.1.m1.1b"><apply id="S1.p1.1.m1.1.2.cmml" xref="S1.p1.1.m1.1.2"><apply id="S1.p1.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S1.p1.1.m1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p1.1.m1.1.2.1.1.cmml" xref="S1.p1.1.m1.1.2.1">subscript</csymbol><sum id="S1.p1.1.m1.1.2.1.2.cmml" xref="S1.p1.1.m1.1.2.1.2"></sum><ci id="S1.p1.1.m1.1.2.1.3.cmml" xref="S1.p1.1.m1.1.2.1.3">𝑟</ci></apply><apply id="S1.p1.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S1.p1.1.m1.1.2.2"><times id="S1.p1.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S1.p1.1.m1.1.2.2.1"></times><apply id="S1.p1.1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S1.p1.1.m1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p1.1.m1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S1.p1.1.m1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S1.p1.1.m1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S1.p1.1.m1.1.2.2.2.2">𝑎</ci><ci id="S1.p1.1.m1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S1.p1.1.m1.1.2.2.2.3">𝑟</ci></apply><apply id="S1.p1.1.m1.1.2.2.3.cmml" xref="S1.p1.1.m1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p1.1.m1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S1.p1.1.m1.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S1.p1.1.m1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S1.p1.1.m1.1.2.2.3.2">𝑐</ci><ci id="S1.p1.1.m1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S1.p1.1.m1.1.2.2.3.3">𝑟</ci></apply><ci id="S1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.p1.1.m1.1.1">𝑛</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.1.m1.1c">\sum\limits_{r}a_{r}c_{r}(n)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.1.m1.1d">∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n )</annotation></semantics></math> for several arithmetical functions where <math alttext="c_{r}(n)" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.2.m2.1"><semantics id="S1.p1.2.m2.1a"><mrow id="S1.p1.2.m2.1.2" xref="S1.p1.2.m2.1.2.cmml"><msub id="S1.p1.2.m2.1.2.2" xref="S1.p1.2.m2.1.2.2.cmml"><mi id="S1.p1.2.m2.1.2.2.2" xref="S1.p1.2.m2.1.2.2.2.cmml">c</mi><mi id="S1.p1.2.m2.1.2.2.3" xref="S1.p1.2.m2.1.2.2.3.cmml">r</mi></msub><mo id="S1.p1.2.m2.1.2.1" xref="S1.p1.2.m2.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.p1.2.m2.1.2.3.2" xref="S1.p1.2.m2.1.2.cmml"><mo id="S1.p1.2.m2.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.p1.2.m2.1.2.cmml">(</mo><mi id="S1.p1.2.m2.1.1" xref="S1.p1.2.m2.1.1.cmml">n</mi><mo id="S1.p1.2.m2.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.p1.2.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.2.m2.1b"><apply id="S1.p1.2.m2.1.2.cmml" xref="S1.p1.2.m2.1.2"><times id="S1.p1.2.m2.1.2.1.cmml" xref="S1.p1.2.m2.1.2.1"></times><apply id="S1.p1.2.m2.1.2.2.cmml" xref="S1.p1.2.m2.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p1.2.m2.1.2.2.1.cmml" xref="S1.p1.2.m2.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S1.p1.2.m2.1.2.2.2.cmml" xref="S1.p1.2.m2.1.2.2.2">𝑐</ci><ci id="S1.p1.2.m2.1.2.2.3.cmml" xref="S1.p1.2.m2.1.2.2.3">𝑟</ci></apply><ci id="S1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S1.p1.2.m2.1.1">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.2.m2.1c">c_{r}(n)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.2.m2.1d">italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n )</annotation></semantics></math> is the <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="S1.p1.2.1">Ramanujan sum</em> defined by</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S2.EGx2"> <tbody id="S1.Ex2"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle c_{r}(n):=\sum\limits_{\begin{subarray}{c}{m=1}\\ (m,r)=1\end{subarray}}^{r}e^{\frac{2\pi imn}{r}}." class="ltx_Math" display="inline" id="S1.Ex2.m1.3"><semantics id="S1.Ex2.m1.3a"><mrow id="S1.Ex2.m1.3.3.1" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.2" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.2.cmml"><msub id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.2.2" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.2.2.cmml"><mi id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.2.2.2" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml">c</mi><mi id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.2.2.3" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml">r</mi></msub><mo id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.2.1" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.2.3.2" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mo id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S1.Ex2.m1.2.2" xref="S1.Ex2.m1.2.2.cmml">n</mi><mo id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.2.3.2.2" rspace="0.278em" stretchy="false" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1" rspace="0.278em" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.cmml">:=</mo><mrow id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.3" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.1" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.1.cmml"><munderover id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.1a" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.1.cmml"><mo id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.1.2.2" movablelimits="false" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mtable id="S1.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S1.Ex2.m1.1.1.1a.2.cmml"><mtr id="S1.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1a" xref="S1.Ex2.m1.1.1.1a.2.cmml"><mtd id="S1.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1b" xref="S1.Ex2.m1.1.1.1a.2.cmml"><mrow id="S1.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1" xref="S1.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml"><mi id="S1.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2" xref="S1.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.cmml">m</mi><mo id="S1.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1" xref="S1.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S1.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3" xref="S1.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3.cmml">1</mn></mrow></mtd></mtr><mtr id="S1.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1c" xref="S1.Ex2.m1.1.1.1a.2.cmml"><mtd id="S1.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1d" xref="S1.Ex2.m1.1.1.1a.2.cmml"><mrow id="S1.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S1.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S1.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.4.2" xref="S1.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.4.1.cmml"><mo id="S1.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.4.2.1" stretchy="false" xref="S1.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.4.1.cmml">(</mo><mi id="S1.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">m</mi><mo id="S1.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.4.2.2" xref="S1.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.4.1.cmml">,</mo><mi id="S1.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S1.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">r</mi><mo id="S1.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.4.2.3" stretchy="false" xref="S1.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.4.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S1.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="S1.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">=</mo><mn id="S1.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5" xref="S1.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.cmml">1</mn></mrow></mtd></mtr></mtable><mi id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.1.3" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.1.3.cmml">r</mi></munderover></mstyle><msup id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.2" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.2.cmml"><mi id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.2.2" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.2.2.cmml">e</mi><mfrac id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.2.3" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.2.3.cmml"><mrow id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.2.3.2" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.cmml"><mn id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.2" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.2.cmml">2</mn><mo id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.1" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.3" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.3.cmml">π</mi><mo id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.1a" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.4" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.4.cmml">i</mi><mo id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.1b" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.5" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.5.cmml">m</mi><mo id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.1c" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.6" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.6.cmml">n</mi></mrow><mi id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.2.3.3" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.2.3.3.cmml">r</mi></mfrac></msup></mrow></mrow><mo id="S1.Ex2.m1.3.3.1.2" lspace="0em" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.Ex2.m1.3b"><apply id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1"><csymbol cd="latexml" id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.1">assign</csymbol><apply id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.2"><times id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.2.1"></times><apply id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.2.2.1.cmml" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.2.2.2">𝑐</ci><ci id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.2.2.3">𝑟</ci></apply><ci id="S1.Ex2.m1.2.2.cmml" xref="S1.Ex2.m1.2.2">𝑛</ci></apply><apply id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.3"><apply id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.1.1.cmml" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.1">superscript</csymbol><apply id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.1.2.cmml" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.1.2.1.cmml" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.1">subscript</csymbol><sum id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.1.2.2.cmml" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.1.2.2"></sum><list id="S1.Ex2.m1.1.1.1a.2.cmml" xref="S1.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1"><matrix id="S1.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1"><matrixrow id="S1.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1a.cmml" xref="S1.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1"><apply id="S1.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S1.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1"><eq id="S1.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1"></eq><ci id="S1.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.cmml" xref="S1.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2">𝑚</ci><cn id="S1.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3">1</cn></apply></matrixrow><matrixrow id="S1.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1b.cmml" xref="S1.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1"><apply id="S1.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S1.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2"><eq id="S1.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S1.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3"></eq><interval closure="open" id="S1.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.4.1.cmml" xref="S1.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.4.2"><ci id="S1.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">𝑚</ci><ci id="S1.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S1.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2">𝑟</ci></interval><cn id="S1.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5.cmml" type="integer" xref="S1.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.5">1</cn></apply></matrixrow></matrix></list></apply><ci id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.1.3.cmml" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.1.3">𝑟</ci></apply><apply id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.2.1.cmml" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.2.2.cmml" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.2.2">𝑒</ci><apply id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.2.3.cmml" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.2.3"><divide id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.2.3"></divide><apply id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.2.3.2"><times id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.1.cmml" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.1"></times><cn id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.2">2</cn><ci id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.3.cmml" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.3">𝜋</ci><ci id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.4.cmml" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.4">𝑖</ci><ci id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.5.cmml" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.5">𝑚</ci><ci id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.6.cmml" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.6">𝑛</ci></apply><ci id="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S1.Ex2.m1.3.3.1.1.3.2.3.3">𝑟</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.Ex2.m1.3c">\displaystyle c_{r}(n):=\sum\limits_{\begin{subarray}{c}{m=1}\\ (m,r)=1\end{subarray}}^{r}e^{\frac{2\pi imn}{r}}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.Ex2.m1.3d">italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n ) := ∑ start_POSTSUBSCRIPT start_ARG start_ROW start_CELL italic_m = 1 end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL ( italic_m , italic_r ) = 1 end_CELL end_ROW end_ARG end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT italic_e start_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG 2 italic_π italic_i italic_m italic_n end_ARG start_ARG italic_r end_ARG end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S1.p1.4">When such an infinite series representation exists for an arithmetical function <math alttext="f" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.3.m1.1"><semantics id="S1.p1.3.m1.1a"><mi id="S1.p1.3.m1.1.1" xref="S1.p1.3.m1.1.1.cmml">f</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.3.m1.1b"><ci id="S1.p1.3.m1.1.1.cmml" xref="S1.p1.3.m1.1.1">𝑓</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.3.m1.1c">f</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.3.m1.1d">italic_f</annotation></semantics></math> (mostly only pointwise convergent), <math alttext="f" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.4.m2.1"><semantics id="S1.p1.4.m2.1a"><mi id="S1.p1.4.m2.1.1" xref="S1.p1.4.m2.1.1.cmml">f</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.4.m2.1b"><ci id="S1.p1.4.m2.1.1.cmml" xref="S1.p1.4.m2.1.1">𝑓</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.4.m2.1c">f</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.4.m2.1d">italic_f</annotation></semantics></math> is said to possess a <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="S1.p1.4.1">Ramanujan-Fourier series expansion</em> or simply a <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="S1.p1.4.2">Ramanujan expansion</em>. Such expansions were computed for various functions, and several conditions were provided for the existence of Ramanujan expansions by many authors in papers like <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12027v1#bib.bib8" title="">8</a>]</cite>, <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12027v1#bib.bib9" title="">9</a>]</cite> and <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12027v1#bib.bib11" title="">11</a>]</cite>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p2"> <p class="ltx_p" id="S1.p2.9">E. Cohen generalized the Ramanujan sum in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12027v1#bib.bib5" title="">5</a>]</cite> defining the <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="S1.p2.9.1">Cohen-Ramanujan sum</em></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S2.EGx3"> <tbody id="S1.E1"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(1)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle c_{r}^{s}(n):=\sum\limits_{\begin{subarray}{c}h=1\\ {(h,r^{s})_{s}=1}\end{subarray}}^{r^{s}}e^{\frac{2\pi inh}{r^{s}}}." class="ltx_Math" display="inline" id="S1.E1.m1.3"><semantics id="S1.E1.m1.3a"><mrow id="S1.E1.m1.3.3.1" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S1.E1.m1.3.3.1.1" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S1.E1.m1.3.3.1.1.2" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.2.cmml"><msubsup id="S1.E1.m1.3.3.1.1.2.2" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.2.2.cmml"><mi id="S1.E1.m1.3.3.1.1.2.2.2.2" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.cmml">c</mi><mi id="S1.E1.m1.3.3.1.1.2.2.2.3" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.cmml">r</mi><mi id="S1.E1.m1.3.3.1.1.2.2.3" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml">s</mi></msubsup><mo id="S1.E1.m1.3.3.1.1.2.1" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.E1.m1.3.3.1.1.2.3.2" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mo id="S1.E1.m1.3.3.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S1.E1.m1.2.2" xref="S1.E1.m1.2.2.cmml">n</mi><mo id="S1.E1.m1.3.3.1.1.2.3.2.2" rspace="0.278em" stretchy="false" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S1.E1.m1.3.3.1.1.1" rspace="0.278em" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.cmml">:=</mo><mrow id="S1.E1.m1.3.3.1.1.3" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S1.E1.m1.3.3.1.1.3.1" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.3.1.cmml"><munderover id="S1.E1.m1.3.3.1.1.3.1a" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.3.1.cmml"><mo id="S1.E1.m1.3.3.1.1.3.1.2.2" movablelimits="false" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mtable id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S1.E1.m1.1.1.1a.2.cmml"><mtr id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1a" xref="S1.E1.m1.1.1.1a.2.cmml"><mtd id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1b" xref="S1.E1.m1.1.1.1a.2.cmml"><mrow id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml"><mi id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.cmml">h</mi><mo id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3.cmml">1</mn></mrow></mtd></mtr><mtr id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1c" xref="S1.E1.m1.1.1.1a.2.cmml"><mtd id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1d" xref="S1.E1.m1.1.1.1a.2.cmml"><mrow id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><msub id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.2.cmml"><mo id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.2.cmml">(</mo><mi id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">h</mi><mo id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.3" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.2.cmml">,</mo><msup id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml">r</mi><mi id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml">s</mi></msup><mo id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow><mi id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml">s</mi></msub><mo id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">=</mo><mn id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.4" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.4.cmml">1</mn></mrow></mtd></mtr></mtable><msup id="S1.E1.m1.3.3.1.1.3.1.3" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.3.1.3.cmml"><mi id="S1.E1.m1.3.3.1.1.3.1.3.2" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.3.1.3.2.cmml">r</mi><mi id="S1.E1.m1.3.3.1.1.3.1.3.3" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.3.1.3.3.cmml">s</mi></msup></munderover></mstyle><msup id="S1.E1.m1.3.3.1.1.3.2" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.3.2.cmml"><mi id="S1.E1.m1.3.3.1.1.3.2.2" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.3.2.2.cmml">e</mi><mfrac id="S1.E1.m1.3.3.1.1.3.2.3" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.3.2.3.cmml"><mrow id="S1.E1.m1.3.3.1.1.3.2.3.2" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.cmml"><mn id="S1.E1.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.2" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.2.cmml">2</mn><mo id="S1.E1.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.1" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.E1.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.3" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.3.cmml">π</mi><mo id="S1.E1.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.1a" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.E1.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.4" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.4.cmml">i</mi><mo id="S1.E1.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.1b" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.E1.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.5" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.5.cmml">n</mi><mo id="S1.E1.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.1c" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.E1.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.6" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.6.cmml">h</mi></mrow><msup id="S1.E1.m1.3.3.1.1.3.2.3.3" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.3.2.3.3.cmml"><mi id="S1.E1.m1.3.3.1.1.3.2.3.3.2" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.3.2.3.3.2.cmml">r</mi><mi id="S1.E1.m1.3.3.1.1.3.2.3.3.3" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.3.2.3.3.3.cmml">s</mi></msup></mfrac></msup></mrow></mrow><mo id="S1.E1.m1.3.3.1.2" lspace="0em" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.E1.m1.3b"><apply id="S1.E1.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S1.E1.m1.3.3.1"><csymbol cd="latexml" id="S1.E1.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.1">assign</csymbol><apply id="S1.E1.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.2"><times id="S1.E1.m1.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.2.1"></times><apply id="S1.E1.m1.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E1.m1.3.3.1.1.2.2.1.cmml" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="S1.E1.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E1.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S1.E1.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.2.2.2.2">𝑐</ci><ci id="S1.E1.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.2.2.2.3">𝑟</ci></apply><ci id="S1.E1.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.2.2.3">𝑠</ci></apply><ci id="S1.E1.m1.2.2.cmml" xref="S1.E1.m1.2.2">𝑛</ci></apply><apply id="S1.E1.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.3"><apply id="S1.E1.m1.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E1.m1.3.3.1.1.3.1.1.cmml" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.3.1">superscript</csymbol><apply id="S1.E1.m1.3.3.1.1.3.1.2.cmml" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E1.m1.3.3.1.1.3.1.2.1.cmml" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.3.1">subscript</csymbol><sum id="S1.E1.m1.3.3.1.1.3.1.2.2.cmml" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.3.1.2.2"></sum><list id="S1.E1.m1.1.1.1a.2.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1"><matrix id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1"><matrixrow id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1a.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1"><apply id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1"><eq id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.1"></eq><ci id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.2">ℎ</ci><cn id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.3">1</cn></apply></matrixrow><matrixrow id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1b.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1"><apply id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2"><eq id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3"></eq><apply id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><interval closure="open" id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1"><ci id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">ℎ</ci><apply id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.2">𝑟</ci><ci id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.1.1.1.3">𝑠</ci></apply></interval><ci id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3">𝑠</ci></apply><cn id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.4.cmml" type="integer" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.4">1</cn></apply></matrixrow></matrix></list></apply><apply id="S1.E1.m1.3.3.1.1.3.1.3.cmml" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.3.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E1.m1.3.3.1.1.3.1.3.1.cmml" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.3.1.3">superscript</csymbol><ci id="S1.E1.m1.3.3.1.1.3.1.3.2.cmml" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.3.1.3.2">𝑟</ci><ci id="S1.E1.m1.3.3.1.1.3.1.3.3.cmml" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.3.1.3.3">𝑠</ci></apply></apply><apply id="S1.E1.m1.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E1.m1.3.3.1.1.3.2.1.cmml" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S1.E1.m1.3.3.1.1.3.2.2.cmml" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.3.2.2">𝑒</ci><apply id="S1.E1.m1.3.3.1.1.3.2.3.cmml" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.3.2.3"><divide id="S1.E1.m1.3.3.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.3.2.3"></divide><apply id="S1.E1.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.3.2.3.2"><times id="S1.E1.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.1.cmml" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.1"></times><cn id="S1.E1.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.2">2</cn><ci id="S1.E1.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.3.cmml" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.3">𝜋</ci><ci id="S1.E1.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.4.cmml" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.4">𝑖</ci><ci id="S1.E1.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.5.cmml" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.5">𝑛</ci><ci id="S1.E1.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.6.cmml" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.3.2.3.2.6">ℎ</ci></apply><apply id="S1.E1.m1.3.3.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.3.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E1.m1.3.3.1.1.3.2.3.3.1.cmml" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.3.2.3.3">superscript</csymbol><ci id="S1.E1.m1.3.3.1.1.3.2.3.3.2.cmml" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.3.2.3.3.2">𝑟</ci><ci id="S1.E1.m1.3.3.1.1.3.2.3.3.3.cmml" xref="S1.E1.m1.3.3.1.1.3.2.3.3.3">𝑠</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.E1.m1.3c">\displaystyle c_{r}^{s}(n):=\sum\limits_{\begin{subarray}{c}h=1\\ {(h,r^{s})_{s}=1}\end{subarray}}^{r^{s}}e^{\frac{2\pi inh}{r^{s}}}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.E1.m1.3d">italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) := ∑ start_POSTSUBSCRIPT start_ARG start_ROW start_CELL italic_h = 1 end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL ( italic_h , italic_r start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT = 1 end_CELL end_ROW end_ARG end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_r start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT italic_e start_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG 2 italic_π italic_i italic_n italic_h end_ARG start_ARG italic_r start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S1.p2.8">When <math alttext="s=1" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p2.1.m1.1"><semantics id="S1.p2.1.m1.1a"><mrow id="S1.p2.1.m1.1.1" xref="S1.p2.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S1.p2.1.m1.1.1.2" xref="S1.p2.1.m1.1.1.2.cmml">s</mi><mo id="S1.p2.1.m1.1.1.1" xref="S1.p2.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S1.p2.1.m1.1.1.3" xref="S1.p2.1.m1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p2.1.m1.1b"><apply id="S1.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.p2.1.m1.1.1"><eq id="S1.p2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S1.p2.1.m1.1.1.1"></eq><ci id="S1.p2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S1.p2.1.m1.1.1.2">𝑠</ci><cn id="S1.p2.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.p2.1.m1.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p2.1.m1.1c">s=1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p2.1.m1.1d">italic_s = 1</annotation></semantics></math>, this sum reduces to the usual Ramanujan sum. In Cohen-Ramanujan sum, <math alttext="(m,n)_{s}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p2.2.m2.2"><semantics id="S1.p2.2.m2.2a"><msub id="S1.p2.2.m2.2.3" xref="S1.p2.2.m2.2.3.cmml"><mrow id="S1.p2.2.m2.2.3.2.2" xref="S1.p2.2.m2.2.3.2.1.cmml"><mo id="S1.p2.2.m2.2.3.2.2.1" stretchy="false" xref="S1.p2.2.m2.2.3.2.1.cmml">(</mo><mi id="S1.p2.2.m2.1.1" xref="S1.p2.2.m2.1.1.cmml">m</mi><mo id="S1.p2.2.m2.2.3.2.2.2" xref="S1.p2.2.m2.2.3.2.1.cmml">,</mo><mi id="S1.p2.2.m2.2.2" xref="S1.p2.2.m2.2.2.cmml">n</mi><mo id="S1.p2.2.m2.2.3.2.2.3" stretchy="false" xref="S1.p2.2.m2.2.3.2.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S1.p2.2.m2.2.3.3" xref="S1.p2.2.m2.2.3.3.cmml">s</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p2.2.m2.2b"><apply id="S1.p2.2.m2.2.3.cmml" xref="S1.p2.2.m2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p2.2.m2.2.3.1.cmml" xref="S1.p2.2.m2.2.3">subscript</csymbol><interval closure="open" id="S1.p2.2.m2.2.3.2.1.cmml" xref="S1.p2.2.m2.2.3.2.2"><ci id="S1.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S1.p2.2.m2.1.1">𝑚</ci><ci id="S1.p2.2.m2.2.2.cmml" xref="S1.p2.2.m2.2.2">𝑛</ci></interval><ci id="S1.p2.2.m2.2.3.3.cmml" xref="S1.p2.2.m2.2.3.3">𝑠</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p2.2.m2.2c">(m,n)_{s}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p2.2.m2.2d">( italic_m , italic_n ) start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> denotes the the <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="S1.p2.8.1">generalized GCD</em> of <math alttext="m" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p2.3.m3.1"><semantics id="S1.p2.3.m3.1a"><mi id="S1.p2.3.m3.1.1" xref="S1.p2.3.m3.1.1.cmml">m</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p2.3.m3.1b"><ci id="S1.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S1.p2.3.m3.1.1">𝑚</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p2.3.m3.1c">m</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p2.3.m3.1d">italic_m</annotation></semantics></math> and <math alttext="n" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p2.4.m4.1"><semantics id="S1.p2.4.m4.1a"><mi id="S1.p2.4.m4.1.1" xref="S1.p2.4.m4.1.1.cmml">n</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p2.4.m4.1b"><ci id="S1.p2.4.m4.1.1.cmml" xref="S1.p2.4.m4.1.1">𝑛</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p2.4.m4.1c">n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p2.4.m4.1d">italic_n</annotation></semantics></math>. It is defined to be equal to the largest positive integer <math alttext="l^{s}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p2.5.m5.1"><semantics id="S1.p2.5.m5.1a"><msup id="S1.p2.5.m5.1.1" xref="S1.p2.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S1.p2.5.m5.1.1.2" xref="S1.p2.5.m5.1.1.2.cmml">l</mi><mi id="S1.p2.5.m5.1.1.3" xref="S1.p2.5.m5.1.1.3.cmml">s</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p2.5.m5.1b"><apply id="S1.p2.5.m5.1.1.cmml" xref="S1.p2.5.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p2.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S1.p2.5.m5.1.1">superscript</csymbol><ci id="S1.p2.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S1.p2.5.m5.1.1.2">𝑙</ci><ci id="S1.p2.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S1.p2.5.m5.1.1.3">𝑠</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p2.5.m5.1c">l^{s}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p2.5.m5.1d">italic_l start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> such that <math alttext="l^{s}|m" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p2.6.m6.1"><semantics id="S1.p2.6.m6.1a"><mrow id="S1.p2.6.m6.1.1" xref="S1.p2.6.m6.1.1.cmml"><msup id="S1.p2.6.m6.1.1.2" xref="S1.p2.6.m6.1.1.2.cmml"><mi id="S1.p2.6.m6.1.1.2.2" xref="S1.p2.6.m6.1.1.2.2.cmml">l</mi><mi id="S1.p2.6.m6.1.1.2.3" xref="S1.p2.6.m6.1.1.2.3.cmml">s</mi></msup><mo fence="false" id="S1.p2.6.m6.1.1.1" xref="S1.p2.6.m6.1.1.1.cmml">|</mo><mi id="S1.p2.6.m6.1.1.3" xref="S1.p2.6.m6.1.1.3.cmml">m</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p2.6.m6.1b"><apply id="S1.p2.6.m6.1.1.cmml" xref="S1.p2.6.m6.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S1.p2.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S1.p2.6.m6.1.1.1">conditional</csymbol><apply id="S1.p2.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S1.p2.6.m6.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p2.6.m6.1.1.2.1.cmml" xref="S1.p2.6.m6.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S1.p2.6.m6.1.1.2.2.cmml" xref="S1.p2.6.m6.1.1.2.2">𝑙</ci><ci id="S1.p2.6.m6.1.1.2.3.cmml" xref="S1.p2.6.m6.1.1.2.3">𝑠</ci></apply><ci id="S1.p2.6.m6.1.1.3.cmml" xref="S1.p2.6.m6.1.1.3">𝑚</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p2.6.m6.1c">l^{s}|m</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p2.6.m6.1d">italic_l start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT | italic_m</annotation></semantics></math> and <math alttext="l^{s}|n" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p2.7.m7.1"><semantics id="S1.p2.7.m7.1a"><mrow id="S1.p2.7.m7.1.1" xref="S1.p2.7.m7.1.1.cmml"><msup id="S1.p2.7.m7.1.1.2" xref="S1.p2.7.m7.1.1.2.cmml"><mi id="S1.p2.7.m7.1.1.2.2" xref="S1.p2.7.m7.1.1.2.2.cmml">l</mi><mi id="S1.p2.7.m7.1.1.2.3" xref="S1.p2.7.m7.1.1.2.3.cmml">s</mi></msup><mo fence="false" id="S1.p2.7.m7.1.1.1" xref="S1.p2.7.m7.1.1.1.cmml">|</mo><mi id="S1.p2.7.m7.1.1.3" xref="S1.p2.7.m7.1.1.3.cmml">n</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p2.7.m7.1b"><apply id="S1.p2.7.m7.1.1.cmml" xref="S1.p2.7.m7.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S1.p2.7.m7.1.1.1.cmml" xref="S1.p2.7.m7.1.1.1">conditional</csymbol><apply id="S1.p2.7.m7.1.1.2.cmml" xref="S1.p2.7.m7.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p2.7.m7.1.1.2.1.cmml" xref="S1.p2.7.m7.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S1.p2.7.m7.1.1.2.2.cmml" xref="S1.p2.7.m7.1.1.2.2">𝑙</ci><ci id="S1.p2.7.m7.1.1.2.3.cmml" xref="S1.p2.7.m7.1.1.2.3">𝑠</ci></apply><ci id="S1.p2.7.m7.1.1.3.cmml" xref="S1.p2.7.m7.1.1.3">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p2.7.m7.1c">l^{s}|n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p2.7.m7.1d">italic_l start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT | italic_n</annotation></semantics></math> with <math alttext="l\in\mathbb{N}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p2.8.m8.1"><semantics id="S1.p2.8.m8.1a"><mrow id="S1.p2.8.m8.1.1" xref="S1.p2.8.m8.1.1.cmml"><mi id="S1.p2.8.m8.1.1.2" xref="S1.p2.8.m8.1.1.2.cmml">l</mi><mo id="S1.p2.8.m8.1.1.1" xref="S1.p2.8.m8.1.1.1.cmml">∈</mo><mi id="S1.p2.8.m8.1.1.3" xref="S1.p2.8.m8.1.1.3.cmml">ℕ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p2.8.m8.1b"><apply id="S1.p2.8.m8.1.1.cmml" xref="S1.p2.8.m8.1.1"><in id="S1.p2.8.m8.1.1.1.cmml" xref="S1.p2.8.m8.1.1.1"></in><ci id="S1.p2.8.m8.1.1.2.cmml" xref="S1.p2.8.m8.1.1.2">𝑙</ci><ci id="S1.p2.8.m8.1.1.3.cmml" xref="S1.p2.8.m8.1.1.3">ℕ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p2.8.m8.1c">l\in\mathbb{N}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p2.8.m8.1d">italic_l ∈ blackboard_N</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p3"> <p class="ltx_p" id="S1.p3.1">Analogous to Ramanujan expansions, an arithmetical function <math alttext="f" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p3.1.m1.1"><semantics id="S1.p3.1.m1.1a"><mi id="S1.p3.1.m1.1.1" xref="S1.p3.1.m1.1.1.cmml">f</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p3.1.m1.1b"><ci id="S1.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.p3.1.m1.1.1">𝑓</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p3.1.m1.1c">f</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p3.1.m1.1d">italic_f</annotation></semantics></math> is said to admit a <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="S1.p3.1.1">Cohen-Ramanujan expansion</em></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S2.EGx4"> <tbody id="S1.Ex3"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle f(n):=\sum\limits_{r}\widehat{f}(r)c_{r}^{s}(n)," class="ltx_Math" display="inline" id="S1.Ex3.m1.4"><semantics id="S1.Ex3.m1.4a"><mrow id="S1.Ex3.m1.4.4.1" xref="S1.Ex3.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S1.Ex3.m1.4.4.1.1" xref="S1.Ex3.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S1.Ex3.m1.4.4.1.1.2" xref="S1.Ex3.m1.4.4.1.1.2.cmml"><mi id="S1.Ex3.m1.4.4.1.1.2.2" xref="S1.Ex3.m1.4.4.1.1.2.2.cmml">f</mi><mo id="S1.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1" xref="S1.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.Ex3.m1.4.4.1.1.2.3.2" xref="S1.Ex3.m1.4.4.1.1.2.cmml"><mo id="S1.Ex3.m1.4.4.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.Ex3.m1.4.4.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S1.Ex3.m1.1.1" xref="S1.Ex3.m1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S1.Ex3.m1.4.4.1.1.2.3.2.2" rspace="0.278em" stretchy="false" xref="S1.Ex3.m1.4.4.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S1.Ex3.m1.4.4.1.1.1" rspace="0.278em" xref="S1.Ex3.m1.4.4.1.1.1.cmml">:=</mo><mrow id="S1.Ex3.m1.4.4.1.1.3" xref="S1.Ex3.m1.4.4.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S1.Ex3.m1.4.4.1.1.3.1" xref="S1.Ex3.m1.4.4.1.1.3.1.cmml"><munder id="S1.Ex3.m1.4.4.1.1.3.1a" xref="S1.Ex3.m1.4.4.1.1.3.1.cmml"><mo id="S1.Ex3.m1.4.4.1.1.3.1.2" movablelimits="false" xref="S1.Ex3.m1.4.4.1.1.3.1.2.cmml">∑</mo><mi id="S1.Ex3.m1.4.4.1.1.3.1.3" xref="S1.Ex3.m1.4.4.1.1.3.1.3.cmml">r</mi></munder></mstyle><mrow id="S1.Ex3.m1.4.4.1.1.3.2" xref="S1.Ex3.m1.4.4.1.1.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S1.Ex3.m1.4.4.1.1.3.2.2" xref="S1.Ex3.m1.4.4.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S1.Ex3.m1.4.4.1.1.3.2.2.2" xref="S1.Ex3.m1.4.4.1.1.3.2.2.2.cmml">f</mi><mo id="S1.Ex3.m1.4.4.1.1.3.2.2.1" xref="S1.Ex3.m1.4.4.1.1.3.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S1.Ex3.m1.4.4.1.1.3.2.1" xref="S1.Ex3.m1.4.4.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.Ex3.m1.4.4.1.1.3.2.3.2" xref="S1.Ex3.m1.4.4.1.1.3.2.cmml"><mo id="S1.Ex3.m1.4.4.1.1.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.Ex3.m1.4.4.1.1.3.2.cmml">(</mo><mi id="S1.Ex3.m1.2.2" xref="S1.Ex3.m1.2.2.cmml">r</mi><mo id="S1.Ex3.m1.4.4.1.1.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.Ex3.m1.4.4.1.1.3.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S1.Ex3.m1.4.4.1.1.3.2.1a" xref="S1.Ex3.m1.4.4.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S1.Ex3.m1.4.4.1.1.3.2.4" xref="S1.Ex3.m1.4.4.1.1.3.2.4.cmml"><mi id="S1.Ex3.m1.4.4.1.1.3.2.4.2.2" xref="S1.Ex3.m1.4.4.1.1.3.2.4.2.2.cmml">c</mi><mi id="S1.Ex3.m1.4.4.1.1.3.2.4.2.3" xref="S1.Ex3.m1.4.4.1.1.3.2.4.2.3.cmml">r</mi><mi id="S1.Ex3.m1.4.4.1.1.3.2.4.3" xref="S1.Ex3.m1.4.4.1.1.3.2.4.3.cmml">s</mi></msubsup><mo id="S1.Ex3.m1.4.4.1.1.3.2.1b" xref="S1.Ex3.m1.4.4.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.Ex3.m1.4.4.1.1.3.2.5.2" xref="S1.Ex3.m1.4.4.1.1.3.2.cmml"><mo id="S1.Ex3.m1.4.4.1.1.3.2.5.2.1" stretchy="false" xref="S1.Ex3.m1.4.4.1.1.3.2.cmml">(</mo><mi id="S1.Ex3.m1.3.3" xref="S1.Ex3.m1.3.3.cmml">n</mi><mo id="S1.Ex3.m1.4.4.1.1.3.2.5.2.2" stretchy="false" xref="S1.Ex3.m1.4.4.1.1.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S1.Ex3.m1.4.4.1.2" xref="S1.Ex3.m1.4.4.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.Ex3.m1.4b"><apply id="S1.Ex3.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S1.Ex3.m1.4.4.1"><csymbol cd="latexml" id="S1.Ex3.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex3.m1.4.4.1.1.1">assign</csymbol><apply id="S1.Ex3.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="S1.Ex3.m1.4.4.1.1.2"><times id="S1.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1.cmml" xref="S1.Ex3.m1.4.4.1.1.2.1"></times><ci id="S1.Ex3.m1.4.4.1.1.2.2.cmml" xref="S1.Ex3.m1.4.4.1.1.2.2">𝑓</ci><ci id="S1.Ex3.m1.1.1.cmml" xref="S1.Ex3.m1.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="S1.Ex3.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="S1.Ex3.m1.4.4.1.1.3"><apply id="S1.Ex3.m1.4.4.1.1.3.1.cmml" xref="S1.Ex3.m1.4.4.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex3.m1.4.4.1.1.3.1.1.cmml" xref="S1.Ex3.m1.4.4.1.1.3.1">subscript</csymbol><sum id="S1.Ex3.m1.4.4.1.1.3.1.2.cmml" xref="S1.Ex3.m1.4.4.1.1.3.1.2"></sum><ci id="S1.Ex3.m1.4.4.1.1.3.1.3.cmml" xref="S1.Ex3.m1.4.4.1.1.3.1.3">𝑟</ci></apply><apply id="S1.Ex3.m1.4.4.1.1.3.2.cmml" xref="S1.Ex3.m1.4.4.1.1.3.2"><times id="S1.Ex3.m1.4.4.1.1.3.2.1.cmml" xref="S1.Ex3.m1.4.4.1.1.3.2.1"></times><apply id="S1.Ex3.m1.4.4.1.1.3.2.2.cmml" xref="S1.Ex3.m1.4.4.1.1.3.2.2"><ci id="S1.Ex3.m1.4.4.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S1.Ex3.m1.4.4.1.1.3.2.2.1">^</ci><ci id="S1.Ex3.m1.4.4.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S1.Ex3.m1.4.4.1.1.3.2.2.2">𝑓</ci></apply><ci id="S1.Ex3.m1.2.2.cmml" xref="S1.Ex3.m1.2.2">𝑟</ci><apply id="S1.Ex3.m1.4.4.1.1.3.2.4.cmml" xref="S1.Ex3.m1.4.4.1.1.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex3.m1.4.4.1.1.3.2.4.1.cmml" xref="S1.Ex3.m1.4.4.1.1.3.2.4">superscript</csymbol><apply id="S1.Ex3.m1.4.4.1.1.3.2.4.2.cmml" xref="S1.Ex3.m1.4.4.1.1.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex3.m1.4.4.1.1.3.2.4.2.1.cmml" xref="S1.Ex3.m1.4.4.1.1.3.2.4">subscript</csymbol><ci id="S1.Ex3.m1.4.4.1.1.3.2.4.2.2.cmml" xref="S1.Ex3.m1.4.4.1.1.3.2.4.2.2">𝑐</ci><ci id="S1.Ex3.m1.4.4.1.1.3.2.4.2.3.cmml" xref="S1.Ex3.m1.4.4.1.1.3.2.4.2.3">𝑟</ci></apply><ci id="S1.Ex3.m1.4.4.1.1.3.2.4.3.cmml" xref="S1.Ex3.m1.4.4.1.1.3.2.4.3">𝑠</ci></apply><ci id="S1.Ex3.m1.3.3.cmml" xref="S1.Ex3.m1.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.Ex3.m1.4c">\displaystyle f(n):=\sum\limits_{r}\widehat{f}(r)c_{r}^{s}(n),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.Ex3.m1.4d">italic_f ( italic_n ) := ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG italic_f end_ARG ( italic_r ) italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S1.p3.2">if the series on the right hand side converges for suitable complex numbers <math alttext="\widehat{f}(r)" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p3.2.m1.1"><semantics id="S1.p3.2.m1.1a"><mrow id="S1.p3.2.m1.1.2" xref="S1.p3.2.m1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S1.p3.2.m1.1.2.2" xref="S1.p3.2.m1.1.2.2.cmml"><mi id="S1.p3.2.m1.1.2.2.2" xref="S1.p3.2.m1.1.2.2.2.cmml">f</mi><mo id="S1.p3.2.m1.1.2.2.1" xref="S1.p3.2.m1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S1.p3.2.m1.1.2.1" xref="S1.p3.2.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.p3.2.m1.1.2.3.2" xref="S1.p3.2.m1.1.2.cmml"><mo id="S1.p3.2.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.p3.2.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S1.p3.2.m1.1.1" xref="S1.p3.2.m1.1.1.cmml">r</mi><mo id="S1.p3.2.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.p3.2.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p3.2.m1.1b"><apply id="S1.p3.2.m1.1.2.cmml" xref="S1.p3.2.m1.1.2"><times id="S1.p3.2.m1.1.2.1.cmml" xref="S1.p3.2.m1.1.2.1"></times><apply id="S1.p3.2.m1.1.2.2.cmml" xref="S1.p3.2.m1.1.2.2"><ci id="S1.p3.2.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S1.p3.2.m1.1.2.2.1">^</ci><ci id="S1.p3.2.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S1.p3.2.m1.1.2.2.2">𝑓</ci></apply><ci id="S1.p3.2.m1.1.1.cmml" xref="S1.p3.2.m1.1.1">𝑟</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p3.2.m1.1c">\widehat{f}(r)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p3.2.m1.1d">over^ start_ARG italic_f end_ARG ( italic_r )</annotation></semantics></math>. These authors derived some conditions for the existence of such expansions in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12027v1#bib.bib4" title="">4</a>]</cite>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p4"> <p class="ltx_p" id="S1.p4.12">E. Cohen <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12027v1#bib.bib7" title="">7</a>]</cite> himself gave another generalization of the Ramanujan sum using <math alttext="k" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p4.1.m1.1"><semantics id="S1.p4.1.m1.1a"><mi id="S1.p4.1.m1.1.1" xref="S1.p4.1.m1.1.1.cmml">k</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p4.1.m1.1b"><ci id="S1.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.p4.1.m1.1.1">𝑘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p4.1.m1.1c">k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p4.1.m1.1d">italic_k</annotation></semantics></math>-vectors. A <math alttext="k" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p4.2.m2.1"><semantics id="S1.p4.2.m2.1a"><mi id="S1.p4.2.m2.1.1" xref="S1.p4.2.m2.1.1.cmml">k</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p4.2.m2.1b"><ci id="S1.p4.2.m2.1.1.cmml" xref="S1.p4.2.m2.1.1">𝑘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p4.2.m2.1c">k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p4.2.m2.1d">italic_k</annotation></semantics></math>-vector is an ordered set <math alttext="\{x_{i}\}=\{x_{1},\ldots,x_{k}\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p4.3.m3.4"><semantics id="S1.p4.3.m3.4a"><mrow id="S1.p4.3.m3.4.4" xref="S1.p4.3.m3.4.4.cmml"><mrow id="S1.p4.3.m3.2.2.1.1" xref="S1.p4.3.m3.2.2.1.2.cmml"><mo id="S1.p4.3.m3.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.p4.3.m3.2.2.1.2.cmml">{</mo><msub id="S1.p4.3.m3.2.2.1.1.1" xref="S1.p4.3.m3.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S1.p4.3.m3.2.2.1.1.1.2" xref="S1.p4.3.m3.2.2.1.1.1.2.cmml">x</mi><mi id="S1.p4.3.m3.2.2.1.1.1.3" xref="S1.p4.3.m3.2.2.1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S1.p4.3.m3.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.p4.3.m3.2.2.1.2.cmml">}</mo></mrow><mo id="S1.p4.3.m3.4.4.4" xref="S1.p4.3.m3.4.4.4.cmml">=</mo><mrow id="S1.p4.3.m3.4.4.3.2" xref="S1.p4.3.m3.4.4.3.3.cmml"><mo id="S1.p4.3.m3.4.4.3.2.3" stretchy="false" xref="S1.p4.3.m3.4.4.3.3.cmml">{</mo><msub id="S1.p4.3.m3.3.3.2.1.1" xref="S1.p4.3.m3.3.3.2.1.1.cmml"><mi id="S1.p4.3.m3.3.3.2.1.1.2" xref="S1.p4.3.m3.3.3.2.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="S1.p4.3.m3.3.3.2.1.1.3" xref="S1.p4.3.m3.3.3.2.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S1.p4.3.m3.4.4.3.2.4" xref="S1.p4.3.m3.4.4.3.3.cmml">,</mo><mi id="S1.p4.3.m3.1.1" mathvariant="normal" xref="S1.p4.3.m3.1.1.cmml">…</mi><mo id="S1.p4.3.m3.4.4.3.2.5" xref="S1.p4.3.m3.4.4.3.3.cmml">,</mo><msub id="S1.p4.3.m3.4.4.3.2.2" xref="S1.p4.3.m3.4.4.3.2.2.cmml"><mi id="S1.p4.3.m3.4.4.3.2.2.2" xref="S1.p4.3.m3.4.4.3.2.2.2.cmml">x</mi><mi id="S1.p4.3.m3.4.4.3.2.2.3" xref="S1.p4.3.m3.4.4.3.2.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S1.p4.3.m3.4.4.3.2.6" stretchy="false" xref="S1.p4.3.m3.4.4.3.3.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p4.3.m3.4b"><apply id="S1.p4.3.m3.4.4.cmml" xref="S1.p4.3.m3.4.4"><eq id="S1.p4.3.m3.4.4.4.cmml" xref="S1.p4.3.m3.4.4.4"></eq><set id="S1.p4.3.m3.2.2.1.2.cmml" xref="S1.p4.3.m3.2.2.1.1"><apply id="S1.p4.3.m3.2.2.1.1.1.cmml" xref="S1.p4.3.m3.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p4.3.m3.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p4.3.m3.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S1.p4.3.m3.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S1.p4.3.m3.2.2.1.1.1.2">𝑥</ci><ci id="S1.p4.3.m3.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S1.p4.3.m3.2.2.1.1.1.3">𝑖</ci></apply></set><set id="S1.p4.3.m3.4.4.3.3.cmml" xref="S1.p4.3.m3.4.4.3.2"><apply id="S1.p4.3.m3.3.3.2.1.1.cmml" xref="S1.p4.3.m3.3.3.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p4.3.m3.3.3.2.1.1.1.cmml" xref="S1.p4.3.m3.3.3.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S1.p4.3.m3.3.3.2.1.1.2.cmml" xref="S1.p4.3.m3.3.3.2.1.1.2">𝑥</ci><cn id="S1.p4.3.m3.3.3.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.p4.3.m3.3.3.2.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S1.p4.3.m3.1.1.cmml" xref="S1.p4.3.m3.1.1">…</ci><apply id="S1.p4.3.m3.4.4.3.2.2.cmml" xref="S1.p4.3.m3.4.4.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p4.3.m3.4.4.3.2.2.1.cmml" xref="S1.p4.3.m3.4.4.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S1.p4.3.m3.4.4.3.2.2.2.cmml" xref="S1.p4.3.m3.4.4.3.2.2.2">𝑥</ci><ci id="S1.p4.3.m3.4.4.3.2.2.3.cmml" xref="S1.p4.3.m3.4.4.3.2.2.3">𝑘</ci></apply></set></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p4.3.m3.4c">\{x_{i}\}=\{x_{1},\ldots,x_{k}\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p4.3.m3.4d">{ italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT } = { italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT }</annotation></semantics></math> of <math alttext="k" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p4.4.m4.1"><semantics id="S1.p4.4.m4.1a"><mi id="S1.p4.4.m4.1.1" xref="S1.p4.4.m4.1.1.cmml">k</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p4.4.m4.1b"><ci id="S1.p4.4.m4.1.1.cmml" xref="S1.p4.4.m4.1.1">𝑘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p4.4.m4.1c">k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p4.4.m4.1d">italic_k</annotation></semantics></math> integers. Two <math alttext="k" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p4.5.m5.1"><semantics id="S1.p4.5.m5.1a"><mi id="S1.p4.5.m5.1.1" xref="S1.p4.5.m5.1.1.cmml">k</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p4.5.m5.1b"><ci id="S1.p4.5.m5.1.1.cmml" xref="S1.p4.5.m5.1.1">𝑘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p4.5.m5.1c">k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p4.5.m5.1d">italic_k</annotation></semantics></math>-vectors <math alttext="\{x_{i}\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p4.6.m6.1"><semantics id="S1.p4.6.m6.1a"><mrow id="S1.p4.6.m6.1.1.1" xref="S1.p4.6.m6.1.1.2.cmml"><mo id="S1.p4.6.m6.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.p4.6.m6.1.1.2.cmml">{</mo><msub id="S1.p4.6.m6.1.1.1.1" xref="S1.p4.6.m6.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.p4.6.m6.1.1.1.1.2" xref="S1.p4.6.m6.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mi id="S1.p4.6.m6.1.1.1.1.3" xref="S1.p4.6.m6.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S1.p4.6.m6.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.p4.6.m6.1.1.2.cmml">}</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p4.6.m6.1b"><set id="S1.p4.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S1.p4.6.m6.1.1.1"><apply id="S1.p4.6.m6.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p4.6.m6.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p4.6.m6.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p4.6.m6.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S1.p4.6.m6.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.p4.6.m6.1.1.1.1.2">𝑥</ci><ci id="S1.p4.6.m6.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.p4.6.m6.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply></set></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p4.6.m6.1c">\{x_{i}\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p4.6.m6.1d">{ italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT }</annotation></semantics></math> and <math alttext="\{y_{i}\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p4.7.m7.1"><semantics id="S1.p4.7.m7.1a"><mrow id="S1.p4.7.m7.1.1.1" xref="S1.p4.7.m7.1.1.2.cmml"><mo id="S1.p4.7.m7.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.p4.7.m7.1.1.2.cmml">{</mo><msub id="S1.p4.7.m7.1.1.1.1" xref="S1.p4.7.m7.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.p4.7.m7.1.1.1.1.2" xref="S1.p4.7.m7.1.1.1.1.2.cmml">y</mi><mi id="S1.p4.7.m7.1.1.1.1.3" xref="S1.p4.7.m7.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S1.p4.7.m7.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.p4.7.m7.1.1.2.cmml">}</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p4.7.m7.1b"><set id="S1.p4.7.m7.1.1.2.cmml" xref="S1.p4.7.m7.1.1.1"><apply id="S1.p4.7.m7.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p4.7.m7.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p4.7.m7.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p4.7.m7.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S1.p4.7.m7.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.p4.7.m7.1.1.1.1.2">𝑦</ci><ci id="S1.p4.7.m7.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.p4.7.m7.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply></set></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p4.7.m7.1c">\{y_{i}\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p4.7.m7.1d">{ italic_y start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT }</annotation></semantics></math> are congruent (mod <math alttext="k,r" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p4.8.m8.2"><semantics id="S1.p4.8.m8.2a"><mrow id="S1.p4.8.m8.2.3.2" xref="S1.p4.8.m8.2.3.1.cmml"><mi id="S1.p4.8.m8.1.1" xref="S1.p4.8.m8.1.1.cmml">k</mi><mo id="S1.p4.8.m8.2.3.2.1" xref="S1.p4.8.m8.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S1.p4.8.m8.2.2" xref="S1.p4.8.m8.2.2.cmml">r</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p4.8.m8.2b"><list id="S1.p4.8.m8.2.3.1.cmml" xref="S1.p4.8.m8.2.3.2"><ci id="S1.p4.8.m8.1.1.cmml" xref="S1.p4.8.m8.1.1">𝑘</ci><ci id="S1.p4.8.m8.2.2.cmml" xref="S1.p4.8.m8.2.2">𝑟</ci></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p4.8.m8.2c">k,r</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p4.8.m8.2d">italic_k , italic_r</annotation></semantics></math>) if <math alttext="x_{i}\equiv y_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p4.9.m9.1"><semantics id="S1.p4.9.m9.1a"><mrow id="S1.p4.9.m9.1.1" xref="S1.p4.9.m9.1.1.cmml"><msub id="S1.p4.9.m9.1.1.2" xref="S1.p4.9.m9.1.1.2.cmml"><mi id="S1.p4.9.m9.1.1.2.2" xref="S1.p4.9.m9.1.1.2.2.cmml">x</mi><mi id="S1.p4.9.m9.1.1.2.3" xref="S1.p4.9.m9.1.1.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S1.p4.9.m9.1.1.1" xref="S1.p4.9.m9.1.1.1.cmml">≡</mo><msub id="S1.p4.9.m9.1.1.3" xref="S1.p4.9.m9.1.1.3.cmml"><mi id="S1.p4.9.m9.1.1.3.2" xref="S1.p4.9.m9.1.1.3.2.cmml">y</mi><mi id="S1.p4.9.m9.1.1.3.3" xref="S1.p4.9.m9.1.1.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p4.9.m9.1b"><apply id="S1.p4.9.m9.1.1.cmml" xref="S1.p4.9.m9.1.1"><equivalent id="S1.p4.9.m9.1.1.1.cmml" xref="S1.p4.9.m9.1.1.1"></equivalent><apply id="S1.p4.9.m9.1.1.2.cmml" xref="S1.p4.9.m9.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p4.9.m9.1.1.2.1.cmml" xref="S1.p4.9.m9.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S1.p4.9.m9.1.1.2.2.cmml" xref="S1.p4.9.m9.1.1.2.2">𝑥</ci><ci id="S1.p4.9.m9.1.1.2.3.cmml" xref="S1.p4.9.m9.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S1.p4.9.m9.1.1.3.cmml" xref="S1.p4.9.m9.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p4.9.m9.1.1.3.1.cmml" xref="S1.p4.9.m9.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S1.p4.9.m9.1.1.3.2.cmml" xref="S1.p4.9.m9.1.1.3.2">𝑦</ci><ci id="S1.p4.9.m9.1.1.3.3.cmml" xref="S1.p4.9.m9.1.1.3.3">𝑖</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p4.9.m9.1c">x_{i}\equiv y_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p4.9.m9.1d">italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ≡ italic_y start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> (mod <math alttext="r" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p4.10.m10.1"><semantics id="S1.p4.10.m10.1a"><mi id="S1.p4.10.m10.1.1" xref="S1.p4.10.m10.1.1.cmml">r</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p4.10.m10.1b"><ci id="S1.p4.10.m10.1.1.cmml" xref="S1.p4.10.m10.1.1">𝑟</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p4.10.m10.1c">r</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p4.10.m10.1d">italic_r</annotation></semantics></math>), <math alttext="i=1,\ldots,k" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p4.11.m11.3"><semantics id="S1.p4.11.m11.3a"><mrow id="S1.p4.11.m11.3.4" xref="S1.p4.11.m11.3.4.cmml"><mi id="S1.p4.11.m11.3.4.2" xref="S1.p4.11.m11.3.4.2.cmml">i</mi><mo id="S1.p4.11.m11.3.4.1" xref="S1.p4.11.m11.3.4.1.cmml">=</mo><mrow id="S1.p4.11.m11.3.4.3.2" xref="S1.p4.11.m11.3.4.3.1.cmml"><mn id="S1.p4.11.m11.1.1" xref="S1.p4.11.m11.1.1.cmml">1</mn><mo id="S1.p4.11.m11.3.4.3.2.1" xref="S1.p4.11.m11.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="S1.p4.11.m11.2.2" mathvariant="normal" xref="S1.p4.11.m11.2.2.cmml">…</mi><mo id="S1.p4.11.m11.3.4.3.2.2" xref="S1.p4.11.m11.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="S1.p4.11.m11.3.3" xref="S1.p4.11.m11.3.3.cmml">k</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p4.11.m11.3b"><apply id="S1.p4.11.m11.3.4.cmml" xref="S1.p4.11.m11.3.4"><eq id="S1.p4.11.m11.3.4.1.cmml" xref="S1.p4.11.m11.3.4.1"></eq><ci id="S1.p4.11.m11.3.4.2.cmml" xref="S1.p4.11.m11.3.4.2">𝑖</ci><list id="S1.p4.11.m11.3.4.3.1.cmml" xref="S1.p4.11.m11.3.4.3.2"><cn id="S1.p4.11.m11.1.1.cmml" type="integer" xref="S1.p4.11.m11.1.1">1</cn><ci id="S1.p4.11.m11.2.2.cmml" xref="S1.p4.11.m11.2.2">…</ci><ci id="S1.p4.11.m11.3.3.cmml" xref="S1.p4.11.m11.3.3">𝑘</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p4.11.m11.3c">i=1,\ldots,k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p4.11.m11.3d">italic_i = 1 , … , italic_k</annotation></semantics></math>. For <math alttext="k\geq 1" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p4.12.m12.1"><semantics id="S1.p4.12.m12.1a"><mrow id="S1.p4.12.m12.1.1" xref="S1.p4.12.m12.1.1.cmml"><mi id="S1.p4.12.m12.1.1.2" xref="S1.p4.12.m12.1.1.2.cmml">k</mi><mo id="S1.p4.12.m12.1.1.1" xref="S1.p4.12.m12.1.1.1.cmml">≥</mo><mn id="S1.p4.12.m12.1.1.3" xref="S1.p4.12.m12.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p4.12.m12.1b"><apply id="S1.p4.12.m12.1.1.cmml" xref="S1.p4.12.m12.1.1"><geq id="S1.p4.12.m12.1.1.1.cmml" xref="S1.p4.12.m12.1.1.1"></geq><ci id="S1.p4.12.m12.1.1.2.cmml" xref="S1.p4.12.m12.1.1.2">𝑘</ci><cn id="S1.p4.12.m12.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.p4.12.m12.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p4.12.m12.1c">k\geq 1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p4.12.m12.1d">italic_k ≥ 1</annotation></semantics></math>, Cohen defined</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S2.EGx5"> <tbody id="S1.E2"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(2)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle c^{k}(n,r)" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.E2.m1.2"><semantics id="S1.E2.m1.2a"><mrow id="S1.E2.m1.2.3" xref="S1.E2.m1.2.3.cmml"><msup id="S1.E2.m1.2.3.2" xref="S1.E2.m1.2.3.2.cmml"><mi id="S1.E2.m1.2.3.2.2" xref="S1.E2.m1.2.3.2.2.cmml">c</mi><mi id="S1.E2.m1.2.3.2.3" xref="S1.E2.m1.2.3.2.3.cmml">k</mi></msup><mo id="S1.E2.m1.2.3.1" xref="S1.E2.m1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.E2.m1.2.3.3.2" xref="S1.E2.m1.2.3.3.1.cmml"><mo id="S1.E2.m1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.E2.m1.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S1.E2.m1.1.1" xref="S1.E2.m1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S1.E2.m1.2.3.3.2.2" xref="S1.E2.m1.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S1.E2.m1.2.2" xref="S1.E2.m1.2.2.cmml">r</mi><mo id="S1.E2.m1.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S1.E2.m1.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.E2.m1.2b"><apply id="S1.E2.m1.2.3.cmml" xref="S1.E2.m1.2.3"><times id="S1.E2.m1.2.3.1.cmml" xref="S1.E2.m1.2.3.1"></times><apply id="S1.E2.m1.2.3.2.cmml" xref="S1.E2.m1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E2.m1.2.3.2.1.cmml" xref="S1.E2.m1.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S1.E2.m1.2.3.2.2.cmml" xref="S1.E2.m1.2.3.2.2">𝑐</ci><ci id="S1.E2.m1.2.3.2.3.cmml" xref="S1.E2.m1.2.3.2.3">𝑘</ci></apply><interval closure="open" id="S1.E2.m1.2.3.3.1.cmml" xref="S1.E2.m1.2.3.3.2"><ci id="S1.E2.m1.1.1.cmml" xref="S1.E2.m1.1.1">𝑛</ci><ci id="S1.E2.m1.2.2.cmml" xref="S1.E2.m1.2.2">𝑟</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.E2.m1.2c">\displaystyle c^{k}(n,r)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.E2.m1.2d">italic_c start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n , italic_r )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\sum\limits_{(\{x_{i}\},r)=1}e^{\frac{2\pi in(x_{1}+x_{2}+\ldots x% _{k})}{r}}," class="ltx_Math" display="inline" id="S1.E2.m2.4"><semantics id="S1.E2.m2.4a"><mrow id="S1.E2.m2.4.4.1" xref="S1.E2.m2.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S1.E2.m2.4.4.1.1" xref="S1.E2.m2.4.4.1.1.cmml"><mi id="S1.E2.m2.4.4.1.1.2" xref="S1.E2.m2.4.4.1.1.2.cmml"></mi><mo id="S1.E2.m2.4.4.1.1.1" xref="S1.E2.m2.4.4.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S1.E2.m2.4.4.1.1.3" xref="S1.E2.m2.4.4.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S1.E2.m2.4.4.1.1.3.1" xref="S1.E2.m2.4.4.1.1.3.1.cmml"><munder id="S1.E2.m2.4.4.1.1.3.1a" xref="S1.E2.m2.4.4.1.1.3.1.cmml"><mo id="S1.E2.m2.4.4.1.1.3.1.2" movablelimits="false" xref="S1.E2.m2.4.4.1.1.3.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="S1.E2.m2.2.2.2" xref="S1.E2.m2.2.2.2.cmml"><mrow id="S1.E2.m2.2.2.2.2.1" xref="S1.E2.m2.2.2.2.2.2.cmml"><mo id="S1.E2.m2.2.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S1.E2.m2.2.2.2.2.2.cmml">(</mo><mrow id="S1.E2.m2.2.2.2.2.1.1.1" xref="S1.E2.m2.2.2.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S1.E2.m2.2.2.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.E2.m2.2.2.2.2.1.1.2.cmml">{</mo><msub id="S1.E2.m2.2.2.2.2.1.1.1.1" xref="S1.E2.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.E2.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.2" xref="S1.E2.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mi id="S1.E2.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.3" xref="S1.E2.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S1.E2.m2.2.2.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.E2.m2.2.2.2.2.1.1.2.cmml">}</mo></mrow><mo id="S1.E2.m2.2.2.2.2.1.3" xref="S1.E2.m2.2.2.2.2.2.cmml">,</mo><mi id="S1.E2.m2.1.1.1.1" xref="S1.E2.m2.1.1.1.1.cmml">r</mi><mo id="S1.E2.m2.2.2.2.2.1.4" stretchy="false" xref="S1.E2.m2.2.2.2.2.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S1.E2.m2.2.2.2.3" xref="S1.E2.m2.2.2.2.3.cmml">=</mo><mn id="S1.E2.m2.2.2.2.4" xref="S1.E2.m2.2.2.2.4.cmml">1</mn></mrow></munder></mstyle><msup id="S1.E2.m2.4.4.1.1.3.2" xref="S1.E2.m2.4.4.1.1.3.2.cmml"><mi id="S1.E2.m2.4.4.1.1.3.2.2" xref="S1.E2.m2.4.4.1.1.3.2.2.cmml">e</mi><mfrac id="S1.E2.m2.3.3.1" xref="S1.E2.m2.3.3.1.cmml"><mrow id="S1.E2.m2.3.3.1.1.1" xref="S1.E2.m2.3.3.1.1.1.cmml"><mn id="S1.E2.m2.3.3.1.1.1.3" xref="S1.E2.m2.3.3.1.1.1.3.cmml">2</mn><mo id="S1.E2.m2.3.3.1.1.1.2" xref="S1.E2.m2.3.3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S1.E2.m2.3.3.1.1.1.4" xref="S1.E2.m2.3.3.1.1.1.4.cmml">π</mi><mo id="S1.E2.m2.3.3.1.1.1.2a" xref="S1.E2.m2.3.3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S1.E2.m2.3.3.1.1.1.5" xref="S1.E2.m2.3.3.1.1.1.5.cmml">i</mi><mo id="S1.E2.m2.3.3.1.1.1.2b" xref="S1.E2.m2.3.3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S1.E2.m2.3.3.1.1.1.6" xref="S1.E2.m2.3.3.1.1.1.6.cmml">n</mi><mo id="S1.E2.m2.3.3.1.1.1.2c" xref="S1.E2.m2.3.3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.E2.m2.3.3.1.1.1.1.1" xref="S1.E2.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S1.E2.m2.3.3.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.E2.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S1.E2.m2.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E2.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S1.E2.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S1.E2.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S1.E2.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S1.E2.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">x</mi><mn id="S1.E2.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S1.E2.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S1.E2.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E2.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msub id="S1.E2.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S1.E2.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S1.E2.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S1.E2.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">x</mi><mn id="S1.E2.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S1.E2.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S1.E2.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S1.E2.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S1.E2.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.4" xref="S1.E2.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S1.E2.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.4.2" mathvariant="normal" xref="S1.E2.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">…</mi><mo id="S1.E2.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.4.1" xref="S1.E2.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><msub id="S1.E2.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S1.E2.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="S1.E2.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.4.3.2" xref="S1.E2.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml">x</mi><mi id="S1.E2.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.4.3.3" xref="S1.E2.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.4.3.3.cmml">k</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S1.E2.m2.3.3.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.E2.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mi id="S1.E2.m2.3.3.1.3" xref="S1.E2.m2.3.3.1.3.cmml">r</mi></mfrac></msup></mrow></mrow><mo id="S1.E2.m2.4.4.1.2" xref="S1.E2.m2.4.4.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.E2.m2.4b"><apply id="S1.E2.m2.4.4.1.1.cmml" xref="S1.E2.m2.4.4.1"><eq id="S1.E2.m2.4.4.1.1.1.cmml" xref="S1.E2.m2.4.4.1.1.1"></eq><csymbol cd="latexml" id="S1.E2.m2.4.4.1.1.2.cmml" xref="S1.E2.m2.4.4.1.1.2">absent</csymbol><apply id="S1.E2.m2.4.4.1.1.3.cmml" xref="S1.E2.m2.4.4.1.1.3"><apply id="S1.E2.m2.4.4.1.1.3.1.cmml" xref="S1.E2.m2.4.4.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E2.m2.4.4.1.1.3.1.1.cmml" xref="S1.E2.m2.4.4.1.1.3.1">subscript</csymbol><sum id="S1.E2.m2.4.4.1.1.3.1.2.cmml" xref="S1.E2.m2.4.4.1.1.3.1.2"></sum><apply id="S1.E2.m2.2.2.2.cmml" xref="S1.E2.m2.2.2.2"><eq id="S1.E2.m2.2.2.2.3.cmml" xref="S1.E2.m2.2.2.2.3"></eq><interval closure="open" id="S1.E2.m2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S1.E2.m2.2.2.2.2.1"><set id="S1.E2.m2.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S1.E2.m2.2.2.2.2.1.1.1"><apply id="S1.E2.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E2.m2.2.2.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E2.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E2.m2.2.2.2.2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S1.E2.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E2.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.2">𝑥</ci><ci id="S1.E2.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.E2.m2.2.2.2.2.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply></set><ci id="S1.E2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E2.m2.1.1.1.1">𝑟</ci></interval><cn id="S1.E2.m2.2.2.2.4.cmml" type="integer" xref="S1.E2.m2.2.2.2.4">1</cn></apply></apply><apply id="S1.E2.m2.4.4.1.1.3.2.cmml" xref="S1.E2.m2.4.4.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E2.m2.4.4.1.1.3.2.1.cmml" xref="S1.E2.m2.4.4.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S1.E2.m2.4.4.1.1.3.2.2.cmml" xref="S1.E2.m2.4.4.1.1.3.2.2">𝑒</ci><apply id="S1.E2.m2.3.3.1.cmml" xref="S1.E2.m2.3.3.1"><divide id="S1.E2.m2.3.3.1.2.cmml" xref="S1.E2.m2.3.3.1"></divide><apply id="S1.E2.m2.3.3.1.1.1.cmml" xref="S1.E2.m2.3.3.1.1.1"><times id="S1.E2.m2.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E2.m2.3.3.1.1.1.2"></times><cn id="S1.E2.m2.3.3.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.E2.m2.3.3.1.1.1.3">2</cn><ci id="S1.E2.m2.3.3.1.1.1.4.cmml" xref="S1.E2.m2.3.3.1.1.1.4">𝜋</ci><ci id="S1.E2.m2.3.3.1.1.1.5.cmml" xref="S1.E2.m2.3.3.1.1.1.5">𝑖</ci><ci id="S1.E2.m2.3.3.1.1.1.6.cmml" xref="S1.E2.m2.3.3.1.1.1.6">𝑛</ci><apply id="S1.E2.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E2.m2.3.3.1.1.1.1.1"><plus id="S1.E2.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E2.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S1.E2.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E2.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E2.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S1.E2.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S1.E2.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S1.E2.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑥</ci><cn id="S1.E2.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S1.E2.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3">1</cn></apply><apply id="S1.E2.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.E2.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E2.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S1.E2.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S1.E2.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S1.E2.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑥</ci><cn id="S1.E2.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S1.E2.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S1.E2.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S1.E2.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.4"><times id="S1.E2.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S1.E2.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.4.1"></times><ci id="S1.E2.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S1.E2.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.4.2">…</ci><apply id="S1.E2.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S1.E2.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E2.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="S1.E2.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.4.3">subscript</csymbol><ci id="S1.E2.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="S1.E2.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.4.3.2">𝑥</ci><ci id="S1.E2.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.4.3.3.cmml" xref="S1.E2.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.4.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply><ci id="S1.E2.m2.3.3.1.3.cmml" xref="S1.E2.m2.3.3.1.3">𝑟</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.E2.m2.4c">\displaystyle=\sum\limits_{(\{x_{i}\},r)=1}e^{\frac{2\pi in(x_{1}+x_{2}+\ldots x% _{k})}{r}},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.E2.m2.4d">= ∑ start_POSTSUBSCRIPT ( { italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT } , italic_r ) = 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_e start_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG 2 italic_π italic_i italic_n ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT + italic_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT + … italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ) end_ARG start_ARG italic_r end_ARG end_POSTSUPERSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S1.p4.22">where <math alttext="\{x_{i}\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p4.13.m1.1"><semantics id="S1.p4.13.m1.1a"><mrow id="S1.p4.13.m1.1.1.1" xref="S1.p4.13.m1.1.1.2.cmml"><mo id="S1.p4.13.m1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.p4.13.m1.1.1.2.cmml">{</mo><msub id="S1.p4.13.m1.1.1.1.1" xref="S1.p4.13.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.p4.13.m1.1.1.1.1.2" xref="S1.p4.13.m1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mi id="S1.p4.13.m1.1.1.1.1.3" xref="S1.p4.13.m1.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S1.p4.13.m1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.p4.13.m1.1.1.2.cmml">}</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p4.13.m1.1b"><set id="S1.p4.13.m1.1.1.2.cmml" xref="S1.p4.13.m1.1.1.1"><apply id="S1.p4.13.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p4.13.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p4.13.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p4.13.m1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S1.p4.13.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.p4.13.m1.1.1.1.1.2">𝑥</ci><ci id="S1.p4.13.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.p4.13.m1.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply></set></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p4.13.m1.1c">\{x_{i}\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p4.13.m1.1d">{ italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT }</annotation></semantics></math> ranges over a residue system (mod <math alttext="k,r" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p4.14.m2.2"><semantics id="S1.p4.14.m2.2a"><mrow id="S1.p4.14.m2.2.3.2" xref="S1.p4.14.m2.2.3.1.cmml"><mi id="S1.p4.14.m2.1.1" xref="S1.p4.14.m2.1.1.cmml">k</mi><mo id="S1.p4.14.m2.2.3.2.1" xref="S1.p4.14.m2.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S1.p4.14.m2.2.2" xref="S1.p4.14.m2.2.2.cmml">r</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p4.14.m2.2b"><list id="S1.p4.14.m2.2.3.1.cmml" xref="S1.p4.14.m2.2.3.2"><ci id="S1.p4.14.m2.1.1.cmml" xref="S1.p4.14.m2.1.1">𝑘</ci><ci id="S1.p4.14.m2.2.2.cmml" xref="S1.p4.14.m2.2.2">𝑟</ci></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p4.14.m2.2c">k,r</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p4.14.m2.2d">italic_k , italic_r</annotation></semantics></math>). For positive integers <math alttext="k" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p4.15.m3.1"><semantics id="S1.p4.15.m3.1a"><mi id="S1.p4.15.m3.1.1" xref="S1.p4.15.m3.1.1.cmml">k</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p4.15.m3.1b"><ci id="S1.p4.15.m3.1.1.cmml" xref="S1.p4.15.m3.1.1">𝑘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p4.15.m3.1c">k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p4.15.m3.1d">italic_k</annotation></semantics></math> and <math alttext="n" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p4.16.m4.1"><semantics id="S1.p4.16.m4.1a"><mi id="S1.p4.16.m4.1.1" xref="S1.p4.16.m4.1.1.cmml">n</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p4.16.m4.1b"><ci id="S1.p4.16.m4.1.1.cmml" xref="S1.p4.16.m4.1.1">𝑛</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p4.16.m4.1c">n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p4.16.m4.1d">italic_n</annotation></semantics></math>, the <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="S1.p4.22.1">Jordan totient function</em> <math alttext="J_{k}(n)" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p4.17.m5.1"><semantics id="S1.p4.17.m5.1a"><mrow id="S1.p4.17.m5.1.2" xref="S1.p4.17.m5.1.2.cmml"><msub id="S1.p4.17.m5.1.2.2" xref="S1.p4.17.m5.1.2.2.cmml"><mi id="S1.p4.17.m5.1.2.2.2" xref="S1.p4.17.m5.1.2.2.2.cmml">J</mi><mi id="S1.p4.17.m5.1.2.2.3" xref="S1.p4.17.m5.1.2.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S1.p4.17.m5.1.2.1" xref="S1.p4.17.m5.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.p4.17.m5.1.2.3.2" xref="S1.p4.17.m5.1.2.cmml"><mo id="S1.p4.17.m5.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.p4.17.m5.1.2.cmml">(</mo><mi id="S1.p4.17.m5.1.1" xref="S1.p4.17.m5.1.1.cmml">n</mi><mo id="S1.p4.17.m5.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.p4.17.m5.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p4.17.m5.1b"><apply id="S1.p4.17.m5.1.2.cmml" xref="S1.p4.17.m5.1.2"><times id="S1.p4.17.m5.1.2.1.cmml" xref="S1.p4.17.m5.1.2.1"></times><apply id="S1.p4.17.m5.1.2.2.cmml" xref="S1.p4.17.m5.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p4.17.m5.1.2.2.1.cmml" xref="S1.p4.17.m5.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S1.p4.17.m5.1.2.2.2.cmml" xref="S1.p4.17.m5.1.2.2.2">𝐽</ci><ci id="S1.p4.17.m5.1.2.2.3.cmml" xref="S1.p4.17.m5.1.2.2.3">𝑘</ci></apply><ci id="S1.p4.17.m5.1.1.cmml" xref="S1.p4.17.m5.1.1">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p4.17.m5.1c">J_{k}(n)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p4.17.m5.1d">italic_J start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n )</annotation></semantics></math> is defined to be the number of ordered sets of <math alttext="k" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p4.18.m6.1"><semantics id="S1.p4.18.m6.1a"><mi id="S1.p4.18.m6.1.1" xref="S1.p4.18.m6.1.1.cmml">k</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p4.18.m6.1b"><ci id="S1.p4.18.m6.1.1.cmml" xref="S1.p4.18.m6.1.1">𝑘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p4.18.m6.1c">k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p4.18.m6.1d">italic_k</annotation></semantics></math> elements from a complete residue system (mod <math alttext="n" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p4.19.m7.1"><semantics id="S1.p4.19.m7.1a"><mi id="S1.p4.19.m7.1.1" xref="S1.p4.19.m7.1.1.cmml">n</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p4.19.m7.1b"><ci id="S1.p4.19.m7.1.1.cmml" xref="S1.p4.19.m7.1.1">𝑛</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p4.19.m7.1c">n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p4.19.m7.1d">italic_n</annotation></semantics></math>) such that the greatest common divisor of each set is prime to <math alttext="n" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p4.20.m8.1"><semantics id="S1.p4.20.m8.1a"><mi id="S1.p4.20.m8.1.1" xref="S1.p4.20.m8.1.1.cmml">n</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p4.20.m8.1b"><ci id="S1.p4.20.m8.1.1.cmml" xref="S1.p4.20.m8.1.1">𝑛</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p4.20.m8.1c">n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p4.20.m8.1d">italic_n</annotation></semantics></math>. A product formula for <math alttext="J_{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p4.21.m9.1"><semantics id="S1.p4.21.m9.1a"><msub id="S1.p4.21.m9.1.1" xref="S1.p4.21.m9.1.1.cmml"><mi id="S1.p4.21.m9.1.1.2" xref="S1.p4.21.m9.1.1.2.cmml">J</mi><mi id="S1.p4.21.m9.1.1.3" xref="S1.p4.21.m9.1.1.3.cmml">k</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p4.21.m9.1b"><apply id="S1.p4.21.m9.1.1.cmml" xref="S1.p4.21.m9.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p4.21.m9.1.1.1.cmml" xref="S1.p4.21.m9.1.1">subscript</csymbol><ci id="S1.p4.21.m9.1.1.2.cmml" xref="S1.p4.21.m9.1.1.2">𝐽</ci><ci id="S1.p4.21.m9.1.1.3.cmml" xref="S1.p4.21.m9.1.1.3">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p4.21.m9.1c">J_{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p4.21.m9.1d">italic_J start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><span class="ltx_text" id="S1.p4.22.2.1" style="color:#FF0000;">[</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12027v1#bib.bib1" title="">1</a><span class="ltx_text" id="S1.p4.22.3.2" style="color:#FF0000;">]</span></cite> similar to the one for the Euler totient function <math alttext="\varphi" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p4.22.m10.1"><semantics id="S1.p4.22.m10.1a"><mi id="S1.p4.22.m10.1.1" xref="S1.p4.22.m10.1.1.cmml">φ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p4.22.m10.1b"><ci id="S1.p4.22.m10.1.1.cmml" xref="S1.p4.22.m10.1.1">𝜑</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p4.22.m10.1c">\varphi</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p4.22.m10.1d">italic_φ</annotation></semantics></math> is</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S2.EGx6"> <tbody id="S1.Ex4"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle J_{k}(n)=n^{k}\prod\limits_{\begin{subarray}{c}p\mid n\\ p\text{ prime}\end{subarray}}(1-\frac{1}{p^{k}})." class="ltx_Math" display="inline" id="S1.Ex4.m1.3"><semantics id="S1.Ex4.m1.3a"><mrow id="S1.Ex4.m1.3.3.1" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.3" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.3.cmml"><msub id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.3.2" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.3.2.cmml"><mi id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.3.2.2" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.3.2.2.cmml">J</mi><mi id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.3.2.3" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.3.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.3.1" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.3.3.2" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mo id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S1.Ex4.m1.2.2" xref="S1.Ex4.m1.2.2.cmml">n</mi><mo id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.2" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.cmml"><msup id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.3.cmml"><mi id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.3.2" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.3.2.cmml">n</mi><mi id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.3.3" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.3.3.cmml">k</mi></msup><mo id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><munder id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.2a" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.2.2" movablelimits="false" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml">∏</mo><mtable id="S1.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S1.Ex4.m1.1.1.1a.2.cmml"><mtr id="S1.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1a" xref="S1.Ex4.m1.1.1.1a.2.cmml"><mtd id="S1.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1b" xref="S1.Ex4.m1.1.1.1a.2.cmml"><mrow id="S1.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S1.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">p</mi><mo id="S1.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">∣</mo><mi id="S1.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S1.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">n</mi></mrow></mtd></mtr><mtr id="S1.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1c" xref="S1.Ex4.m1.1.1.1a.2.cmml"><mtd id="S1.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1d" xref="S1.Ex4.m1.1.1.1a.2.cmml"><mrow id="S1.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="S1.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mi id="S1.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="S1.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml">p</mi><mo id="S1.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="S1.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><mtext id="S1.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="S1.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3a.cmml"> prime</mtext></mrow></mtd></mtr></mtable></munder></mstyle><mrow id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3a" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><msup id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">p</mi><mi id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">k</mi></msup></mfrac></mstyle></mrow><mo id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S1.Ex4.m1.3.3.1.2" lspace="0em" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.Ex4.m1.3b"><apply id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1"><eq id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.2"></eq><apply id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.3"><times id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.3.1"></times><apply id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.3.2.1.cmml" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.3.2.2.cmml" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.3.2.2">𝐽</ci><ci id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.3.2.3.cmml" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.3.2.3">𝑘</ci></apply><ci id="S1.Ex4.m1.2.2.cmml" xref="S1.Ex4.m1.2.2">𝑛</ci></apply><apply id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1"><times id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.2"></times><apply id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.3.2">𝑛</ci><ci id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.3.3.cmml" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply><apply id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1"><apply id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.2.2">product</csymbol><list id="S1.Ex4.m1.1.1.1a.2.cmml" xref="S1.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1"><matrix id="S1.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1"><matrixrow id="S1.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1a.cmml" xref="S1.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1"><apply id="S1.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S1.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">conditional</csymbol><ci id="S1.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑝</ci><ci id="S1.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑛</ci></apply></matrixrow><matrixrow id="S1.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1b.cmml" xref="S1.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1"><apply id="S1.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S1.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1"><times id="S1.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1"></times><ci id="S1.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S1.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2">𝑝</ci><ci id="S1.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3a.cmml" xref="S1.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3"><mtext id="S1.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S1.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3"> prime</mtext></ci></apply></matrixrow></matrix></list></apply><apply id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1"><minus id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><cn id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2">1</cn><apply id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3"><divide id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3"></divide><cn id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2">1</cn><apply id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑝</ci><ci id="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S1.Ex4.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.Ex4.m1.3c">\displaystyle J_{k}(n)=n^{k}\prod\limits_{\begin{subarray}{c}p\mid n\\ p\text{ prime}\end{subarray}}(1-\frac{1}{p^{k}}).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.Ex4.m1.3d">italic_J start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n ) = italic_n start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT ∏ start_POSTSUBSCRIPT start_ARG start_ROW start_CELL italic_p ∣ italic_n end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_p prime end_CELL end_ROW end_ARG end_POSTSUBSCRIPT ( 1 - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_p start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S1.p4.23">Hence <math alttext="J_{1}(n)=\varphi(n)" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p4.23.m1.2"><semantics id="S1.p4.23.m1.2a"><mrow id="S1.p4.23.m1.2.3" xref="S1.p4.23.m1.2.3.cmml"><mrow id="S1.p4.23.m1.2.3.2" xref="S1.p4.23.m1.2.3.2.cmml"><msub id="S1.p4.23.m1.2.3.2.2" xref="S1.p4.23.m1.2.3.2.2.cmml"><mi id="S1.p4.23.m1.2.3.2.2.2" xref="S1.p4.23.m1.2.3.2.2.2.cmml">J</mi><mn id="S1.p4.23.m1.2.3.2.2.3" xref="S1.p4.23.m1.2.3.2.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S1.p4.23.m1.2.3.2.1" xref="S1.p4.23.m1.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.p4.23.m1.2.3.2.3.2" xref="S1.p4.23.m1.2.3.2.cmml"><mo id="S1.p4.23.m1.2.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.p4.23.m1.2.3.2.cmml">(</mo><mi id="S1.p4.23.m1.1.1" xref="S1.p4.23.m1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S1.p4.23.m1.2.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.p4.23.m1.2.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S1.p4.23.m1.2.3.1" xref="S1.p4.23.m1.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="S1.p4.23.m1.2.3.3" xref="S1.p4.23.m1.2.3.3.cmml"><mi id="S1.p4.23.m1.2.3.3.2" xref="S1.p4.23.m1.2.3.3.2.cmml">φ</mi><mo id="S1.p4.23.m1.2.3.3.1" xref="S1.p4.23.m1.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.p4.23.m1.2.3.3.3.2" xref="S1.p4.23.m1.2.3.3.cmml"><mo id="S1.p4.23.m1.2.3.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.p4.23.m1.2.3.3.cmml">(</mo><mi id="S1.p4.23.m1.2.2" xref="S1.p4.23.m1.2.2.cmml">n</mi><mo id="S1.p4.23.m1.2.3.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.p4.23.m1.2.3.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p4.23.m1.2b"><apply id="S1.p4.23.m1.2.3.cmml" xref="S1.p4.23.m1.2.3"><eq id="S1.p4.23.m1.2.3.1.cmml" xref="S1.p4.23.m1.2.3.1"></eq><apply id="S1.p4.23.m1.2.3.2.cmml" xref="S1.p4.23.m1.2.3.2"><times id="S1.p4.23.m1.2.3.2.1.cmml" xref="S1.p4.23.m1.2.3.2.1"></times><apply id="S1.p4.23.m1.2.3.2.2.cmml" xref="S1.p4.23.m1.2.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p4.23.m1.2.3.2.2.1.cmml" xref="S1.p4.23.m1.2.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S1.p4.23.m1.2.3.2.2.2.cmml" xref="S1.p4.23.m1.2.3.2.2.2">𝐽</ci><cn id="S1.p4.23.m1.2.3.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S1.p4.23.m1.2.3.2.2.3">1</cn></apply><ci id="S1.p4.23.m1.1.1.cmml" xref="S1.p4.23.m1.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="S1.p4.23.m1.2.3.3.cmml" xref="S1.p4.23.m1.2.3.3"><times id="S1.p4.23.m1.2.3.3.1.cmml" xref="S1.p4.23.m1.2.3.3.1"></times><ci id="S1.p4.23.m1.2.3.3.2.cmml" xref="S1.p4.23.m1.2.3.3.2">𝜑</ci><ci id="S1.p4.23.m1.2.2.cmml" xref="S1.p4.23.m1.2.2">𝑛</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p4.23.m1.2c">J_{1}(n)=\varphi(n)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p4.23.m1.2d">italic_J start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n ) = italic_φ ( italic_n )</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p5"> <p class="ltx_p" id="S1.p5.5">Using the sum (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12027v1#S1.E2" title="In 1. Introduction ‣ Two identities involving Cohen-Ramanujan expansions"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>), Sivaramakrishnan <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12027v1#bib.bib14" title="">14</a>]</cite> derived the infinite expansion</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S2.EGx7"> <tbody id="S1.E3"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_left" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_left">(3)</span></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\frac{J_{s}(n^{s})}{n^{s}}\zeta(s+k)=\sum\limits_{\begin{subarray% }{c}r=1\end{subarray}}^{\infty}\frac{\mu(r)c^{k}(n,r)}{J_{s+k}(r)}," class="ltx_Math" display="inline" id="S1.E3.m1.7"><semantics id="S1.E3.m1.7a"><mrow id="S1.E3.m1.7.7.1" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.cmml"><mrow id="S1.E3.m1.7.7.1.1" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.cmml"><mrow id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S1.E3.m1.2.2" xref="S1.E3.m1.2.2.cmml"><mfrac id="S1.E3.m1.2.2a" xref="S1.E3.m1.2.2.cmml"><mrow id="S1.E3.m1.2.2.1" xref="S1.E3.m1.2.2.1.cmml"><msub id="S1.E3.m1.2.2.1.3" xref="S1.E3.m1.2.2.1.3.cmml"><mi id="S1.E3.m1.2.2.1.3.2" xref="S1.E3.m1.2.2.1.3.2.cmml">J</mi><mi id="S1.E3.m1.2.2.1.3.3" xref="S1.E3.m1.2.2.1.3.3.cmml">s</mi></msub><mo id="S1.E3.m1.2.2.1.2" xref="S1.E3.m1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.E3.m1.2.2.1.1.1" xref="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mi id="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">s</mi></msup><mo id="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><msup id="S1.E3.m1.2.2.3" xref="S1.E3.m1.2.2.3.cmml"><mi id="S1.E3.m1.2.2.3.2" xref="S1.E3.m1.2.2.3.2.cmml">n</mi><mi id="S1.E3.m1.2.2.3.3" xref="S1.E3.m1.2.2.3.3.cmml">s</mi></msup></mfrac></mstyle><mo id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.2" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.3" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.3.cmml">ζ</mi><mo id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.2a" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.cmml">s</mi><mo id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mi id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></mrow><mo id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S1.E3.m1.7.7.1.1.2" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S1.E3.m1.7.7.1.1.3" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S1.E3.m1.7.7.1.1.3.1" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.3.1.cmml"><munderover id="S1.E3.m1.7.7.1.1.3.1a" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.3.1.cmml"><mo id="S1.E3.m1.7.7.1.1.3.1.2.2" movablelimits="false" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mtable id="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E3.m1.1.1.1a.2.cmml"><mtr id="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1a" xref="S1.E3.m1.1.1.1a.2.cmml"><mtd id="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1b" xref="S1.E3.m1.1.1.1a.2.cmml"><mrow id="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">r</mi><mo id="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow></mtd></mtr></mtable><mi id="S1.E3.m1.7.7.1.1.3.1.3" mathvariant="normal" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.3.1.3.cmml">∞</mi></munderover></mstyle><mstyle displaystyle="true" id="S1.E3.m1.6.6" xref="S1.E3.m1.6.6.cmml"><mfrac id="S1.E3.m1.6.6a" xref="S1.E3.m1.6.6.cmml"><mrow id="S1.E3.m1.5.5.3" xref="S1.E3.m1.5.5.3.cmml"><mi id="S1.E3.m1.5.5.3.5" xref="S1.E3.m1.5.5.3.5.cmml">μ</mi><mo id="S1.E3.m1.5.5.3.4" xref="S1.E3.m1.5.5.3.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.E3.m1.5.5.3.6.2" xref="S1.E3.m1.5.5.3.cmml"><mo id="S1.E3.m1.5.5.3.6.2.1" stretchy="false" xref="S1.E3.m1.5.5.3.cmml">(</mo><mi id="S1.E3.m1.3.3.1.1" xref="S1.E3.m1.3.3.1.1.cmml">r</mi><mo id="S1.E3.m1.5.5.3.6.2.2" stretchy="false" xref="S1.E3.m1.5.5.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="S1.E3.m1.5.5.3.4a" xref="S1.E3.m1.5.5.3.4.cmml">⁢</mo><msup id="S1.E3.m1.5.5.3.7" xref="S1.E3.m1.5.5.3.7.cmml"><mi id="S1.E3.m1.5.5.3.7.2" xref="S1.E3.m1.5.5.3.7.2.cmml">c</mi><mi id="S1.E3.m1.5.5.3.7.3" xref="S1.E3.m1.5.5.3.7.3.cmml">k</mi></msup><mo id="S1.E3.m1.5.5.3.4b" xref="S1.E3.m1.5.5.3.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.E3.m1.5.5.3.8.2" xref="S1.E3.m1.5.5.3.8.1.cmml"><mo id="S1.E3.m1.5.5.3.8.2.1" stretchy="false" xref="S1.E3.m1.5.5.3.8.1.cmml">(</mo><mi id="S1.E3.m1.4.4.2.2" xref="S1.E3.m1.4.4.2.2.cmml">n</mi><mo id="S1.E3.m1.5.5.3.8.2.2" xref="S1.E3.m1.5.5.3.8.1.cmml">,</mo><mi id="S1.E3.m1.5.5.3.3" xref="S1.E3.m1.5.5.3.3.cmml">r</mi><mo id="S1.E3.m1.5.5.3.8.2.3" stretchy="false" xref="S1.E3.m1.5.5.3.8.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mrow id="S1.E3.m1.6.6.4" xref="S1.E3.m1.6.6.4.cmml"><msub id="S1.E3.m1.6.6.4.3" xref="S1.E3.m1.6.6.4.3.cmml"><mi id="S1.E3.m1.6.6.4.3.2" xref="S1.E3.m1.6.6.4.3.2.cmml">J</mi><mrow id="S1.E3.m1.6.6.4.3.3" xref="S1.E3.m1.6.6.4.3.3.cmml"><mi id="S1.E3.m1.6.6.4.3.3.2" xref="S1.E3.m1.6.6.4.3.3.2.cmml">s</mi><mo id="S1.E3.m1.6.6.4.3.3.1" xref="S1.E3.m1.6.6.4.3.3.1.cmml">+</mo><mi id="S1.E3.m1.6.6.4.3.3.3" xref="S1.E3.m1.6.6.4.3.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub><mo id="S1.E3.m1.6.6.4.2" xref="S1.E3.m1.6.6.4.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.E3.m1.6.6.4.4.2" xref="S1.E3.m1.6.6.4.cmml"><mo id="S1.E3.m1.6.6.4.4.2.1" stretchy="false" xref="S1.E3.m1.6.6.4.cmml">(</mo><mi id="S1.E3.m1.6.6.4.1" xref="S1.E3.m1.6.6.4.1.cmml">r</mi><mo id="S1.E3.m1.6.6.4.4.2.2" stretchy="false" xref="S1.E3.m1.6.6.4.cmml">)</mo></mrow></mrow></mfrac></mstyle></mrow></mrow><mo id="S1.E3.m1.7.7.1.2" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.E3.m1.7b"><apply id="S1.E3.m1.7.7.1.1.cmml" xref="S1.E3.m1.7.7.1"><eq id="S1.E3.m1.7.7.1.1.2.cmml" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.2"></eq><apply id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.cmml" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1"><times id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.2"></times><apply id="S1.E3.m1.2.2.cmml" xref="S1.E3.m1.2.2"><divide id="S1.E3.m1.2.2.2.cmml" xref="S1.E3.m1.2.2"></divide><apply id="S1.E3.m1.2.2.1.cmml" xref="S1.E3.m1.2.2.1"><times id="S1.E3.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S1.E3.m1.2.2.1.2"></times><apply id="S1.E3.m1.2.2.1.3.cmml" xref="S1.E3.m1.2.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E3.m1.2.2.1.3.1.cmml" xref="S1.E3.m1.2.2.1.3">subscript</csymbol><ci id="S1.E3.m1.2.2.1.3.2.cmml" xref="S1.E3.m1.2.2.1.3.2">𝐽</ci><ci id="S1.E3.m1.2.2.1.3.3.cmml" xref="S1.E3.m1.2.2.1.3.3">𝑠</ci></apply><apply id="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E3.m1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E3.m1.2.2.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.2">𝑛</ci><ci id="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.3">𝑠</ci></apply></apply><apply id="S1.E3.m1.2.2.3.cmml" xref="S1.E3.m1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E3.m1.2.2.3.1.cmml" xref="S1.E3.m1.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S1.E3.m1.2.2.3.2.cmml" xref="S1.E3.m1.2.2.3.2">𝑛</ci><ci id="S1.E3.m1.2.2.3.3.cmml" xref="S1.E3.m1.2.2.3.3">𝑠</ci></apply></apply><ci id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.3.cmml" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.3">𝜁</ci><apply id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1"><plus id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2">𝑠</ci><ci id="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S1.E3.m1.7.7.1.1.3.cmml" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.3"><apply id="S1.E3.m1.7.7.1.1.3.1.cmml" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E3.m1.7.7.1.1.3.1.1.cmml" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.3.1">superscript</csymbol><apply id="S1.E3.m1.7.7.1.1.3.1.2.cmml" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E3.m1.7.7.1.1.3.1.2.1.cmml" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.3.1">subscript</csymbol><sum id="S1.E3.m1.7.7.1.1.3.1.2.2.cmml" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.3.1.2.2"></sum><list id="S1.E3.m1.1.1.1a.2.cmml" xref="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1"><matrix id="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1"><matrixrow id="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1a.cmml" xref="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1"><apply id="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><eq id="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></eq><ci id="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑟</ci><cn id="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.E3.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply></matrixrow></matrix></list></apply><infinity id="S1.E3.m1.7.7.1.1.3.1.3.cmml" xref="S1.E3.m1.7.7.1.1.3.1.3"></infinity></apply><apply id="S1.E3.m1.6.6.cmml" xref="S1.E3.m1.6.6"><divide id="S1.E3.m1.6.6.5.cmml" xref="S1.E3.m1.6.6"></divide><apply id="S1.E3.m1.5.5.3.cmml" xref="S1.E3.m1.5.5.3"><times id="S1.E3.m1.5.5.3.4.cmml" xref="S1.E3.m1.5.5.3.4"></times><ci id="S1.E3.m1.5.5.3.5.cmml" xref="S1.E3.m1.5.5.3.5">𝜇</ci><ci id="S1.E3.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S1.E3.m1.3.3.1.1">𝑟</ci><apply id="S1.E3.m1.5.5.3.7.cmml" xref="S1.E3.m1.5.5.3.7"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E3.m1.5.5.3.7.1.cmml" xref="S1.E3.m1.5.5.3.7">superscript</csymbol><ci id="S1.E3.m1.5.5.3.7.2.cmml" xref="S1.E3.m1.5.5.3.7.2">𝑐</ci><ci id="S1.E3.m1.5.5.3.7.3.cmml" xref="S1.E3.m1.5.5.3.7.3">𝑘</ci></apply><interval closure="open" id="S1.E3.m1.5.5.3.8.1.cmml" xref="S1.E3.m1.5.5.3.8.2"><ci id="S1.E3.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S1.E3.m1.4.4.2.2">𝑛</ci><ci id="S1.E3.m1.5.5.3.3.cmml" xref="S1.E3.m1.5.5.3.3">𝑟</ci></interval></apply><apply id="S1.E3.m1.6.6.4.cmml" xref="S1.E3.m1.6.6.4"><times id="S1.E3.m1.6.6.4.2.cmml" xref="S1.E3.m1.6.6.4.2"></times><apply id="S1.E3.m1.6.6.4.3.cmml" xref="S1.E3.m1.6.6.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E3.m1.6.6.4.3.1.cmml" xref="S1.E3.m1.6.6.4.3">subscript</csymbol><ci id="S1.E3.m1.6.6.4.3.2.cmml" xref="S1.E3.m1.6.6.4.3.2">𝐽</ci><apply id="S1.E3.m1.6.6.4.3.3.cmml" xref="S1.E3.m1.6.6.4.3.3"><plus id="S1.E3.m1.6.6.4.3.3.1.cmml" xref="S1.E3.m1.6.6.4.3.3.1"></plus><ci id="S1.E3.m1.6.6.4.3.3.2.cmml" xref="S1.E3.m1.6.6.4.3.3.2">𝑠</ci><ci id="S1.E3.m1.6.6.4.3.3.3.cmml" xref="S1.E3.m1.6.6.4.3.3.3">𝑘</ci></apply></apply><ci id="S1.E3.m1.6.6.4.1.cmml" xref="S1.E3.m1.6.6.4.1">𝑟</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.E3.m1.7c">\displaystyle\frac{J_{s}(n^{s})}{n^{s}}\zeta(s+k)=\sum\limits_{\begin{subarray% }{c}r=1\end{subarray}}^{\infty}\frac{\mu(r)c^{k}(n,r)}{J_{s+k}(r)},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.E3.m1.7d">divide start_ARG italic_J start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT ) end_ARG start_ARG italic_n start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG italic_ζ ( italic_s + italic_k ) = ∑ start_POSTSUBSCRIPT start_ARG start_ROW start_CELL italic_r = 1 end_CELL end_ROW end_ARG end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∞ end_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG italic_μ ( italic_r ) italic_c start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n , italic_r ) end_ARG start_ARG italic_J start_POSTSUBSCRIPT italic_s + italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) end_ARG ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S1.p5.4">where <math alttext="s" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p5.1.m1.1"><semantics id="S1.p5.1.m1.1a"><mi id="S1.p5.1.m1.1.1" xref="S1.p5.1.m1.1.1.cmml">s</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p5.1.m1.1b"><ci id="S1.p5.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.p5.1.m1.1.1">𝑠</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p5.1.m1.1c">s</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p5.1.m1.1d">italic_s</annotation></semantics></math> and <math alttext="k" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p5.2.m2.1"><semantics id="S1.p5.2.m2.1a"><mi id="S1.p5.2.m2.1.1" xref="S1.p5.2.m2.1.1.cmml">k</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p5.2.m2.1b"><ci id="S1.p5.2.m2.1.1.cmml" xref="S1.p5.2.m2.1.1">𝑘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p5.2.m2.1c">k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p5.2.m2.1d">italic_k</annotation></semantics></math> are positive integers, <math alttext="\mu" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p5.3.m3.1"><semantics id="S1.p5.3.m3.1a"><mi id="S1.p5.3.m3.1.1" xref="S1.p5.3.m3.1.1.cmml">μ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p5.3.m3.1b"><ci id="S1.p5.3.m3.1.1.cmml" xref="S1.p5.3.m3.1.1">𝜇</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p5.3.m3.1c">\mu</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p5.3.m3.1d">italic_μ</annotation></semantics></math> is the Möbius function and <math alttext="\zeta" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p5.4.m4.1"><semantics id="S1.p5.4.m4.1a"><mi id="S1.p5.4.m4.1.1" xref="S1.p5.4.m4.1.1.cmml">ζ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p5.4.m4.1b"><ci id="S1.p5.4.m4.1.1.cmml" xref="S1.p5.4.m4.1.1">𝜁</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p5.4.m4.1c">\zeta</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p5.4.m4.1d">italic_ζ</annotation></semantics></math> is the Riemann zeta function.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p6"> <p class="ltx_p" id="S1.p6.1">Analogous to expansion (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12027v1#S1.E3" title="In 1. Introduction ‣ Two identities involving Cohen-Ramanujan expansions"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a>), we here derive the following identity involving Cohen-Ramanujan sum.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_theo" id="S1.Thmtheo1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S1.Thmtheo1.1.1.1">Theorem 1.1</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S1.Thmtheo1.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="S1.Thmtheo1.p1"> <p class="ltx_p" id="S1.Thmtheo1.p1.2"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S1.Thmtheo1.p1.2.2">For <math alttext="s,k\geq 1" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.Thmtheo1.p1.1.1.m1.2"><semantics id="S1.Thmtheo1.p1.1.1.m1.2a"><mrow id="S1.Thmtheo1.p1.1.1.m1.2.3" xref="S1.Thmtheo1.p1.1.1.m1.2.3.cmml"><mrow id="S1.Thmtheo1.p1.1.1.m1.2.3.2.2" xref="S1.Thmtheo1.p1.1.1.m1.2.3.2.1.cmml"><mi id="S1.Thmtheo1.p1.1.1.m1.1.1" xref="S1.Thmtheo1.p1.1.1.m1.1.1.cmml">s</mi><mo id="S1.Thmtheo1.p1.1.1.m1.2.3.2.2.1" xref="S1.Thmtheo1.p1.1.1.m1.2.3.2.1.cmml">,</mo><mi id="S1.Thmtheo1.p1.1.1.m1.2.2" xref="S1.Thmtheo1.p1.1.1.m1.2.2.cmml">k</mi></mrow><mo id="S1.Thmtheo1.p1.1.1.m1.2.3.1" xref="S1.Thmtheo1.p1.1.1.m1.2.3.1.cmml">≥</mo><mn id="S1.Thmtheo1.p1.1.1.m1.2.3.3" xref="S1.Thmtheo1.p1.1.1.m1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.Thmtheo1.p1.1.1.m1.2b"><apply id="S1.Thmtheo1.p1.1.1.m1.2.3.cmml" xref="S1.Thmtheo1.p1.1.1.m1.2.3"><geq id="S1.Thmtheo1.p1.1.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S1.Thmtheo1.p1.1.1.m1.2.3.1"></geq><list id="S1.Thmtheo1.p1.1.1.m1.2.3.2.1.cmml" xref="S1.Thmtheo1.p1.1.1.m1.2.3.2.2"><ci id="S1.Thmtheo1.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.Thmtheo1.p1.1.1.m1.1.1">𝑠</ci><ci id="S1.Thmtheo1.p1.1.1.m1.2.2.cmml" xref="S1.Thmtheo1.p1.1.1.m1.2.2">𝑘</ci></list><cn id="S1.Thmtheo1.p1.1.1.m1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S1.Thmtheo1.p1.1.1.m1.2.3.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.Thmtheo1.p1.1.1.m1.2c">s,k\geq 1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.Thmtheo1.p1.1.1.m1.2d">italic_s , italic_k ≥ 1</annotation></semantics></math> and <math alttext="n\in\mathbb{N}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.Thmtheo1.p1.2.2.m2.1"><semantics id="S1.Thmtheo1.p1.2.2.m2.1a"><mrow id="S1.Thmtheo1.p1.2.2.m2.1.1" xref="S1.Thmtheo1.p1.2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S1.Thmtheo1.p1.2.2.m2.1.1.2" xref="S1.Thmtheo1.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S1.Thmtheo1.p1.2.2.m2.1.1.1" xref="S1.Thmtheo1.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml">∈</mo><mi id="S1.Thmtheo1.p1.2.2.m2.1.1.3" xref="S1.Thmtheo1.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml">ℕ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.Thmtheo1.p1.2.2.m2.1b"><apply id="S1.Thmtheo1.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="S1.Thmtheo1.p1.2.2.m2.1.1"><in id="S1.Thmtheo1.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S1.Thmtheo1.p1.2.2.m2.1.1.1"></in><ci id="S1.Thmtheo1.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S1.Thmtheo1.p1.2.2.m2.1.1.2">𝑛</ci><ci id="S1.Thmtheo1.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S1.Thmtheo1.p1.2.2.m2.1.1.3">ℕ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.Thmtheo1.p1.2.2.m2.1c">n\in\mathbb{N}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.Thmtheo1.p1.2.2.m2.1d">italic_n ∈ blackboard_N</annotation></semantics></math>, we have</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S2.EGx8"> <tbody id="S1.Ex5"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\frac{J_{k}(n)}{n^{k}}=\sum\limits_{q}\frac{\mu(q)}{\zeta(s+k)J_{% s+k}(q)}c_{q}^{s}(n^{s})." class="ltx_Math" display="inline" id="S1.Ex5.m1.5"><semantics id="S1.Ex5.m1.5a"><mrow id="S1.Ex5.m1.5.5.1" xref="S1.Ex5.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S1.Ex5.m1.5.5.1.1" xref="S1.Ex5.m1.5.5.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S1.Ex5.m1.1.1" xref="S1.Ex5.m1.1.1.cmml"><mfrac id="S1.Ex5.m1.1.1a" xref="S1.Ex5.m1.1.1.cmml"><mrow id="S1.Ex5.m1.1.1.1" xref="S1.Ex5.m1.1.1.1.cmml"><msub id="S1.Ex5.m1.1.1.1.3" xref="S1.Ex5.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S1.Ex5.m1.1.1.1.3.2" xref="S1.Ex5.m1.1.1.1.3.2.cmml">J</mi><mi id="S1.Ex5.m1.1.1.1.3.3" xref="S1.Ex5.m1.1.1.1.3.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S1.Ex5.m1.1.1.1.2" xref="S1.Ex5.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.Ex5.m1.1.1.1.4.2" xref="S1.Ex5.m1.1.1.1.cmml"><mo id="S1.Ex5.m1.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S1.Ex5.m1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S1.Ex5.m1.1.1.1.1" xref="S1.Ex5.m1.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S1.Ex5.m1.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S1.Ex5.m1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><msup id="S1.Ex5.m1.1.1.3" xref="S1.Ex5.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S1.Ex5.m1.1.1.3.2" xref="S1.Ex5.m1.1.1.3.2.cmml">n</mi><mi id="S1.Ex5.m1.1.1.3.3" xref="S1.Ex5.m1.1.1.3.3.cmml">k</mi></msup></mfrac></mstyle><mo id="S1.Ex5.m1.5.5.1.1.2" xref="S1.Ex5.m1.5.5.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S1.Ex5.m1.5.5.1.1.1" xref="S1.Ex5.m1.5.5.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S1.Ex5.m1.5.5.1.1.1.2" xref="S1.Ex5.m1.5.5.1.1.1.2.cmml"><munder id="S1.Ex5.m1.5.5.1.1.1.2a" xref="S1.Ex5.m1.5.5.1.1.1.2.cmml"><mo id="S1.Ex5.m1.5.5.1.1.1.2.2" movablelimits="false" xref="S1.Ex5.m1.5.5.1.1.1.2.2.cmml">∑</mo><mi id="S1.Ex5.m1.5.5.1.1.1.2.3" xref="S1.Ex5.m1.5.5.1.1.1.2.3.cmml">q</mi></munder></mstyle><mrow id="S1.Ex5.m1.5.5.1.1.1.1" xref="S1.Ex5.m1.5.5.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S1.Ex5.m1.4.4" xref="S1.Ex5.m1.4.4.cmml"><mfrac id="S1.Ex5.m1.4.4a" xref="S1.Ex5.m1.4.4.cmml"><mrow id="S1.Ex5.m1.2.2.1" xref="S1.Ex5.m1.2.2.1.cmml"><mi id="S1.Ex5.m1.2.2.1.3" xref="S1.Ex5.m1.2.2.1.3.cmml">μ</mi><mo id="S1.Ex5.m1.2.2.1.2" xref="S1.Ex5.m1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.Ex5.m1.2.2.1.4.2" xref="S1.Ex5.m1.2.2.1.cmml"><mo id="S1.Ex5.m1.2.2.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S1.Ex5.m1.2.2.1.cmml">(</mo><mi id="S1.Ex5.m1.2.2.1.1" xref="S1.Ex5.m1.2.2.1.1.cmml">q</mi><mo id="S1.Ex5.m1.2.2.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S1.Ex5.m1.2.2.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mrow id="S1.Ex5.m1.4.4.3" xref="S1.Ex5.m1.4.4.3.cmml"><mi id="S1.Ex5.m1.4.4.3.4" xref="S1.Ex5.m1.4.4.3.4.cmml">ζ</mi><mo id="S1.Ex5.m1.4.4.3.3" xref="S1.Ex5.m1.4.4.3.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.Ex5.m1.4.4.3.2.1" xref="S1.Ex5.m1.4.4.3.2.1.1.cmml"><mo id="S1.Ex5.m1.4.4.3.2.1.2" stretchy="false" xref="S1.Ex5.m1.4.4.3.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S1.Ex5.m1.4.4.3.2.1.1" xref="S1.Ex5.m1.4.4.3.2.1.1.cmml"><mi id="S1.Ex5.m1.4.4.3.2.1.1.2" xref="S1.Ex5.m1.4.4.3.2.1.1.2.cmml">s</mi><mo id="S1.Ex5.m1.4.4.3.2.1.1.1" xref="S1.Ex5.m1.4.4.3.2.1.1.1.cmml">+</mo><mi id="S1.Ex5.m1.4.4.3.2.1.1.3" xref="S1.Ex5.m1.4.4.3.2.1.1.3.cmml">k</mi></mrow><mo id="S1.Ex5.m1.4.4.3.2.1.3" stretchy="false" xref="S1.Ex5.m1.4.4.3.2.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S1.Ex5.m1.4.4.3.3a" xref="S1.Ex5.m1.4.4.3.3.cmml">⁢</mo><msub id="S1.Ex5.m1.4.4.3.5" xref="S1.Ex5.m1.4.4.3.5.cmml"><mi id="S1.Ex5.m1.4.4.3.5.2" xref="S1.Ex5.m1.4.4.3.5.2.cmml">J</mi><mrow id="S1.Ex5.m1.4.4.3.5.3" xref="S1.Ex5.m1.4.4.3.5.3.cmml"><mi id="S1.Ex5.m1.4.4.3.5.3.2" xref="S1.Ex5.m1.4.4.3.5.3.2.cmml">s</mi><mo id="S1.Ex5.m1.4.4.3.5.3.1" xref="S1.Ex5.m1.4.4.3.5.3.1.cmml">+</mo><mi id="S1.Ex5.m1.4.4.3.5.3.3" xref="S1.Ex5.m1.4.4.3.5.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub><mo id="S1.Ex5.m1.4.4.3.3b" xref="S1.Ex5.m1.4.4.3.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.Ex5.m1.4.4.3.6.2" xref="S1.Ex5.m1.4.4.3.cmml"><mo id="S1.Ex5.m1.4.4.3.6.2.1" stretchy="false" xref="S1.Ex5.m1.4.4.3.cmml">(</mo><mi id="S1.Ex5.m1.3.3.2.1" xref="S1.Ex5.m1.3.3.2.1.cmml">q</mi><mo id="S1.Ex5.m1.4.4.3.6.2.2" stretchy="false" xref="S1.Ex5.m1.4.4.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S1.Ex5.m1.5.5.1.1.1.1.2" xref="S1.Ex5.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="S1.Ex5.m1.5.5.1.1.1.1.3" xref="S1.Ex5.m1.5.5.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S1.Ex5.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2" xref="S1.Ex5.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2.cmml">c</mi><mi id="S1.Ex5.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.3" xref="S1.Ex5.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.3.cmml">q</mi><mi id="S1.Ex5.m1.5.5.1.1.1.1.3.3" xref="S1.Ex5.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.cmml">s</mi></msubsup><mo id="S1.Ex5.m1.5.5.1.1.1.1.2a" xref="S1.Ex5.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.Ex5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1" xref="S1.Ex5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S1.Ex5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.Ex5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S1.Ex5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.Ex5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.Ex5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S1.Ex5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mi id="S1.Ex5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S1.Ex5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">s</mi></msup><mo id="S1.Ex5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.Ex5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S1.Ex5.m1.5.5.1.2" lspace="0em" xref="S1.Ex5.m1.5.5.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.Ex5.m1.5b"><apply id="S1.Ex5.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S1.Ex5.m1.5.5.1"><eq id="S1.Ex5.m1.5.5.1.1.2.cmml" xref="S1.Ex5.m1.5.5.1.1.2"></eq><apply id="S1.Ex5.m1.1.1.cmml" xref="S1.Ex5.m1.1.1"><divide id="S1.Ex5.m1.1.1.2.cmml" xref="S1.Ex5.m1.1.1"></divide><apply id="S1.Ex5.m1.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex5.m1.1.1.1"><times id="S1.Ex5.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.Ex5.m1.1.1.1.2"></times><apply id="S1.Ex5.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.Ex5.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex5.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S1.Ex5.m1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S1.Ex5.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S1.Ex5.m1.1.1.1.3.2">𝐽</ci><ci id="S1.Ex5.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S1.Ex5.m1.1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply><ci id="S1.Ex5.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex5.m1.1.1.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="S1.Ex5.m1.1.1.3.cmml" xref="S1.Ex5.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex5.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S1.Ex5.m1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S1.Ex5.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S1.Ex5.m1.1.1.3.2">𝑛</ci><ci id="S1.Ex5.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S1.Ex5.m1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S1.Ex5.m1.5.5.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex5.m1.5.5.1.1.1"><apply id="S1.Ex5.m1.5.5.1.1.1.2.cmml" xref="S1.Ex5.m1.5.5.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex5.m1.5.5.1.1.1.2.1.cmml" xref="S1.Ex5.m1.5.5.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="S1.Ex5.m1.5.5.1.1.1.2.2.cmml" xref="S1.Ex5.m1.5.5.1.1.1.2.2"></sum><ci id="S1.Ex5.m1.5.5.1.1.1.2.3.cmml" xref="S1.Ex5.m1.5.5.1.1.1.2.3">𝑞</ci></apply><apply id="S1.Ex5.m1.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex5.m1.5.5.1.1.1.1"><times id="S1.Ex5.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.Ex5.m1.5.5.1.1.1.1.2"></times><apply id="S1.Ex5.m1.4.4.cmml" xref="S1.Ex5.m1.4.4"><divide id="S1.Ex5.m1.4.4.4.cmml" xref="S1.Ex5.m1.4.4"></divide><apply id="S1.Ex5.m1.2.2.1.cmml" xref="S1.Ex5.m1.2.2.1"><times id="S1.Ex5.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S1.Ex5.m1.2.2.1.2"></times><ci id="S1.Ex5.m1.2.2.1.3.cmml" xref="S1.Ex5.m1.2.2.1.3">𝜇</ci><ci id="S1.Ex5.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S1.Ex5.m1.2.2.1.1">𝑞</ci></apply><apply id="S1.Ex5.m1.4.4.3.cmml" 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id="S1.Ex5.m1.3.3.2.1.cmml" xref="S1.Ex5.m1.3.3.2.1">𝑞</ci></apply></apply><apply id="S1.Ex5.m1.5.5.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.Ex5.m1.5.5.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex5.m1.5.5.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S1.Ex5.m1.5.5.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S1.Ex5.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S1.Ex5.m1.5.5.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex5.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S1.Ex5.m1.5.5.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S1.Ex5.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S1.Ex5.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2">𝑐</ci><ci id="S1.Ex5.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S1.Ex5.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.3">𝑞</ci></apply><ci id="S1.Ex5.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S1.Ex5.m1.5.5.1.1.1.1.3.3">𝑠</ci></apply><apply id="S1.Ex5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S1.Ex5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.Ex5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑛</ci><ci id="S1.Ex5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.Ex5.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑠</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.Ex5.m1.5c">\displaystyle\frac{J_{k}(n)}{n^{k}}=\sum\limits_{q}\frac{\mu(q)}{\zeta(s+k)J_{% s+k}(q)}c_{q}^{s}(n^{s}).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.Ex5.m1.5d">divide start_ARG italic_J start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n ) end_ARG start_ARG italic_n start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_q end_POSTSUBSCRIPT divide start_ARG italic_μ ( italic_q ) end_ARG start_ARG italic_ζ ( italic_s + italic_k ) italic_J start_POSTSUBSCRIPT italic_s + italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_q ) end_ARG italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_q end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p7"> <p class="ltx_p" id="S1.p7.6">H. Gadiyar, M. Ram Murthy and R. Padma <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12027v1#bib.bib10" title="">10</a>]</cite> derived an asymptotic formula for the sum <math alttext="\sum\limits_{n\leq N}f(n)g(n+h)," class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p7.1.m1.2"><semantics id="S1.p7.1.m1.2a"><mrow id="S1.p7.1.m1.2.2.1" xref="S1.p7.1.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S1.p7.1.m1.2.2.1.1" xref="S1.p7.1.m1.2.2.1.1.cmml"><munder id="S1.p7.1.m1.2.2.1.1.2" xref="S1.p7.1.m1.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S1.p7.1.m1.2.2.1.1.2.2" movablelimits="false" xref="S1.p7.1.m1.2.2.1.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S1.p7.1.m1.2.2.1.1.2.3" xref="S1.p7.1.m1.2.2.1.1.2.3.cmml"><mi id="S1.p7.1.m1.2.2.1.1.2.3.2" xref="S1.p7.1.m1.2.2.1.1.2.3.2.cmml">n</mi><mo id="S1.p7.1.m1.2.2.1.1.2.3.1" xref="S1.p7.1.m1.2.2.1.1.2.3.1.cmml">≤</mo><mi id="S1.p7.1.m1.2.2.1.1.2.3.3" xref="S1.p7.1.m1.2.2.1.1.2.3.3.cmml">N</mi></mrow></munder><mrow id="S1.p7.1.m1.2.2.1.1.1" xref="S1.p7.1.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S1.p7.1.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S1.p7.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">f</mi><mo id="S1.p7.1.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S1.p7.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.p7.1.m1.2.2.1.1.1.4.2" xref="S1.p7.1.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S1.p7.1.m1.2.2.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S1.p7.1.m1.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S1.p7.1.m1.1.1" xref="S1.p7.1.m1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S1.p7.1.m1.2.2.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S1.p7.1.m1.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S1.p7.1.m1.2.2.1.1.1.2a" xref="S1.p7.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S1.p7.1.m1.2.2.1.1.1.5" xref="S1.p7.1.m1.2.2.1.1.1.5.cmml">g</mi><mo id="S1.p7.1.m1.2.2.1.1.1.2b" xref="S1.p7.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.p7.1.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S1.p7.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S1.p7.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.p7.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S1.p7.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S1.p7.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.p7.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S1.p7.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S1.p7.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.p7.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mi id="S1.p7.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S1.p7.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">h</mi></mrow><mo id="S1.p7.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.p7.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S1.p7.1.m1.2.2.1.2" xref="S1.p7.1.m1.2.2.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p7.1.m1.2b"><apply id="S1.p7.1.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S1.p7.1.m1.2.2.1"><apply id="S1.p7.1.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S1.p7.1.m1.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p7.1.m1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S1.p7.1.m1.2.2.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="S1.p7.1.m1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S1.p7.1.m1.2.2.1.1.2.2"></sum><apply id="S1.p7.1.m1.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S1.p7.1.m1.2.2.1.1.2.3"><leq id="S1.p7.1.m1.2.2.1.1.2.3.1.cmml" xref="S1.p7.1.m1.2.2.1.1.2.3.1"></leq><ci id="S1.p7.1.m1.2.2.1.1.2.3.2.cmml" xref="S1.p7.1.m1.2.2.1.1.2.3.2">𝑛</ci><ci id="S1.p7.1.m1.2.2.1.1.2.3.3.cmml" xref="S1.p7.1.m1.2.2.1.1.2.3.3">𝑁</ci></apply></apply><apply id="S1.p7.1.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S1.p7.1.m1.2.2.1.1.1"><times id="S1.p7.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S1.p7.1.m1.2.2.1.1.1.2"></times><ci id="S1.p7.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S1.p7.1.m1.2.2.1.1.1.3">𝑓</ci><ci id="S1.p7.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.p7.1.m1.1.1">𝑛</ci><ci id="S1.p7.1.m1.2.2.1.1.1.5.cmml" xref="S1.p7.1.m1.2.2.1.1.1.5">𝑔</ci><apply id="S1.p7.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p7.1.m1.2.2.1.1.1.1.1"><plus id="S1.p7.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p7.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S1.p7.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.p7.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2">𝑛</ci><ci id="S1.p7.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.p7.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3">ℎ</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p7.1.m1.2c">\sum\limits_{n\leq N}f(n)g(n+h),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p7.1.m1.2d">∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_n ≤ italic_N end_POSTSUBSCRIPT italic_f ( italic_n ) italic_g ( italic_n + italic_h ) ,</annotation></semantics></math> where <math alttext="f" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p7.2.m2.1"><semantics id="S1.p7.2.m2.1a"><mi id="S1.p7.2.m2.1.1" xref="S1.p7.2.m2.1.1.cmml">f</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p7.2.m2.1b"><ci id="S1.p7.2.m2.1.1.cmml" xref="S1.p7.2.m2.1.1">𝑓</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p7.2.m2.1c">f</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p7.2.m2.1d">italic_f</annotation></semantics></math> and <math alttext="g" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p7.3.m3.1"><semantics id="S1.p7.3.m3.1a"><mi id="S1.p7.3.m3.1.1" xref="S1.p7.3.m3.1.1.cmml">g</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p7.3.m3.1b"><ci id="S1.p7.3.m3.1.1.cmml" xref="S1.p7.3.m3.1.1">𝑔</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p7.3.m3.1c">g</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p7.3.m3.1d">italic_g</annotation></semantics></math> are two arithmetical functions with absolutely convergent Ramanujan expansions. Inspired by this, for arithmetical functions <math alttext="f" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p7.4.m4.1"><semantics id="S1.p7.4.m4.1a"><mi id="S1.p7.4.m4.1.1" xref="S1.p7.4.m4.1.1.cmml">f</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p7.4.m4.1b"><ci id="S1.p7.4.m4.1.1.cmml" xref="S1.p7.4.m4.1.1">𝑓</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p7.4.m4.1c">f</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p7.4.m4.1d">italic_f</annotation></semantics></math> and <math alttext="g" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p7.5.m5.1"><semantics id="S1.p7.5.m5.1a"><mi id="S1.p7.5.m5.1.1" xref="S1.p7.5.m5.1.1.cmml">g</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p7.5.m5.1b"><ci id="S1.p7.5.m5.1.1.cmml" xref="S1.p7.5.m5.1.1">𝑔</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p7.5.m5.1c">g</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p7.5.m5.1d">italic_g</annotation></semantics></math> with absolutely convergent Cohen-Ramanujan expansions, an asymptotic formula for <math alttext="\sum\limits_{\begin{subarray}{c}n\leq N\end{subarray}}f(n)g(n+h)" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p7.6.m6.3"><semantics id="S1.p7.6.m6.3a"><mrow id="S1.p7.6.m6.3.3" xref="S1.p7.6.m6.3.3.cmml"><munder id="S1.p7.6.m6.3.3.2" xref="S1.p7.6.m6.3.3.2.cmml"><mo id="S1.p7.6.m6.3.3.2.2" movablelimits="false" xref="S1.p7.6.m6.3.3.2.2.cmml">∑</mo><mtable id="S1.p7.6.m6.1.1.1.1.1.1" xref="S1.p7.6.m6.1.1.1.2.cmml"><mtr id="S1.p7.6.m6.1.1.1.1.1.1a" xref="S1.p7.6.m6.1.1.1.2.cmml"><mtd id="S1.p7.6.m6.1.1.1.1.1.1b" xref="S1.p7.6.m6.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S1.p7.6.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.p7.6.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.p7.6.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S1.p7.6.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S1.p7.6.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.p7.6.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">≤</mo><mi id="S1.p7.6.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S1.p7.6.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">N</mi></mrow></mtd></mtr></mtable></munder><mrow id="S1.p7.6.m6.3.3.1" xref="S1.p7.6.m6.3.3.1.cmml"><mi id="S1.p7.6.m6.3.3.1.3" xref="S1.p7.6.m6.3.3.1.3.cmml">f</mi><mo id="S1.p7.6.m6.3.3.1.2" xref="S1.p7.6.m6.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.p7.6.m6.3.3.1.4.2" xref="S1.p7.6.m6.3.3.1.cmml"><mo id="S1.p7.6.m6.3.3.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S1.p7.6.m6.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S1.p7.6.m6.2.2" xref="S1.p7.6.m6.2.2.cmml">n</mi><mo id="S1.p7.6.m6.3.3.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S1.p7.6.m6.3.3.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S1.p7.6.m6.3.3.1.2a" xref="S1.p7.6.m6.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S1.p7.6.m6.3.3.1.5" xref="S1.p7.6.m6.3.3.1.5.cmml">g</mi><mo id="S1.p7.6.m6.3.3.1.2b" xref="S1.p7.6.m6.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.p7.6.m6.3.3.1.1.1" xref="S1.p7.6.m6.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S1.p7.6.m6.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.p7.6.m6.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S1.p7.6.m6.3.3.1.1.1.1" xref="S1.p7.6.m6.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.p7.6.m6.3.3.1.1.1.1.2" xref="S1.p7.6.m6.3.3.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S1.p7.6.m6.3.3.1.1.1.1.1" xref="S1.p7.6.m6.3.3.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mi id="S1.p7.6.m6.3.3.1.1.1.1.3" xref="S1.p7.6.m6.3.3.1.1.1.1.3.cmml">h</mi></mrow><mo id="S1.p7.6.m6.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.p7.6.m6.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p7.6.m6.3b"><apply id="S1.p7.6.m6.3.3.cmml" xref="S1.p7.6.m6.3.3"><apply id="S1.p7.6.m6.3.3.2.cmml" xref="S1.p7.6.m6.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p7.6.m6.3.3.2.1.cmml" xref="S1.p7.6.m6.3.3.2">subscript</csymbol><sum id="S1.p7.6.m6.3.3.2.2.cmml" xref="S1.p7.6.m6.3.3.2.2"></sum><list id="S1.p7.6.m6.1.1.1.2.cmml" xref="S1.p7.6.m6.1.1.1.1.1.1"><matrix id="S1.p7.6.m6.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p7.6.m6.1.1.1.1.1.1"><matrixrow id="S1.p7.6.m6.1.1.1.1.1.1a.cmml" xref="S1.p7.6.m6.1.1.1.1.1.1"><apply id="S1.p7.6.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p7.6.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><leq id="S1.p7.6.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p7.6.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></leq><ci id="S1.p7.6.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.p7.6.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑛</ci><ci id="S1.p7.6.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.p7.6.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑁</ci></apply></matrixrow></matrix></list></apply><apply id="S1.p7.6.m6.3.3.1.cmml" xref="S1.p7.6.m6.3.3.1"><times id="S1.p7.6.m6.3.3.1.2.cmml" xref="S1.p7.6.m6.3.3.1.2"></times><ci id="S1.p7.6.m6.3.3.1.3.cmml" xref="S1.p7.6.m6.3.3.1.3">𝑓</ci><ci id="S1.p7.6.m6.2.2.cmml" xref="S1.p7.6.m6.2.2">𝑛</ci><ci id="S1.p7.6.m6.3.3.1.5.cmml" xref="S1.p7.6.m6.3.3.1.5">𝑔</ci><apply id="S1.p7.6.m6.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p7.6.m6.3.3.1.1.1"><plus id="S1.p7.6.m6.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p7.6.m6.3.3.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S1.p7.6.m6.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.p7.6.m6.3.3.1.1.1.1.2">𝑛</ci><ci id="S1.p7.6.m6.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.p7.6.m6.3.3.1.1.1.1.3">ℎ</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p7.6.m6.3c">\sum\limits_{\begin{subarray}{c}n\leq N\end{subarray}}f(n)g(n+h)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p7.6.m6.3d">∑ start_POSTSUBSCRIPT start_ARG start_ROW start_CELL italic_n ≤ italic_N end_CELL end_ROW end_ARG end_POSTSUBSCRIPT italic_f ( italic_n ) italic_g ( italic_n + italic_h )</annotation></semantics></math> was provided by these authors in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12027v1#bib.bib3" title="">3</a>]</cite>. We use this asymptotic formula to derive the following symptotic identity which is similar to <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12027v1#bib.bib12" title="">12</a>, Corollary 2]</cite>.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_theo" id="S1.Thmtheo2"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S1.Thmtheo2.1.1.1">Theorem 1.2</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S1.Thmtheo2.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="S1.Thmtheo2.p1"> <p class="ltx_p" id="S1.Thmtheo2.p1.5"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S1.Thmtheo2.p1.5.5">If <math alttext="s>1" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.Thmtheo2.p1.1.1.m1.1"><semantics id="S1.Thmtheo2.p1.1.1.m1.1a"><mrow id="S1.Thmtheo2.p1.1.1.m1.1.1" xref="S1.Thmtheo2.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S1.Thmtheo2.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="S1.Thmtheo2.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml">s</mi><mo id="S1.Thmtheo2.p1.1.1.m1.1.1.1" xref="S1.Thmtheo2.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml">></mo><mn id="S1.Thmtheo2.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="S1.Thmtheo2.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.Thmtheo2.p1.1.1.m1.1b"><apply id="S1.Thmtheo2.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.Thmtheo2.p1.1.1.m1.1.1"><gt id="S1.Thmtheo2.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S1.Thmtheo2.p1.1.1.m1.1.1.1"></gt><ci id="S1.Thmtheo2.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S1.Thmtheo2.p1.1.1.m1.1.1.2">𝑠</ci><cn id="S1.Thmtheo2.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.Thmtheo2.p1.1.1.m1.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.Thmtheo2.p1.1.1.m1.1c">s>1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.Thmtheo2.p1.1.1.m1.1d">italic_s > 1</annotation></semantics></math>, <math alttext="a,b>1+\frac{s}{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.Thmtheo2.p1.2.2.m2.2"><semantics id="S1.Thmtheo2.p1.2.2.m2.2a"><mrow id="S1.Thmtheo2.p1.2.2.m2.2.3" xref="S1.Thmtheo2.p1.2.2.m2.2.3.cmml"><mrow id="S1.Thmtheo2.p1.2.2.m2.2.3.2.2" xref="S1.Thmtheo2.p1.2.2.m2.2.3.2.1.cmml"><mi id="S1.Thmtheo2.p1.2.2.m2.1.1" xref="S1.Thmtheo2.p1.2.2.m2.1.1.cmml">a</mi><mo id="S1.Thmtheo2.p1.2.2.m2.2.3.2.2.1" xref="S1.Thmtheo2.p1.2.2.m2.2.3.2.1.cmml">,</mo><mi id="S1.Thmtheo2.p1.2.2.m2.2.2" xref="S1.Thmtheo2.p1.2.2.m2.2.2.cmml">b</mi></mrow><mo id="S1.Thmtheo2.p1.2.2.m2.2.3.1" xref="S1.Thmtheo2.p1.2.2.m2.2.3.1.cmml">></mo><mrow id="S1.Thmtheo2.p1.2.2.m2.2.3.3" xref="S1.Thmtheo2.p1.2.2.m2.2.3.3.cmml"><mn id="S1.Thmtheo2.p1.2.2.m2.2.3.3.2" xref="S1.Thmtheo2.p1.2.2.m2.2.3.3.2.cmml">1</mn><mo id="S1.Thmtheo2.p1.2.2.m2.2.3.3.1" xref="S1.Thmtheo2.p1.2.2.m2.2.3.3.1.cmml">+</mo><mfrac id="S1.Thmtheo2.p1.2.2.m2.2.3.3.3" xref="S1.Thmtheo2.p1.2.2.m2.2.3.3.3.cmml"><mi id="S1.Thmtheo2.p1.2.2.m2.2.3.3.3.2" xref="S1.Thmtheo2.p1.2.2.m2.2.3.3.3.2.cmml">s</mi><mn id="S1.Thmtheo2.p1.2.2.m2.2.3.3.3.3" xref="S1.Thmtheo2.p1.2.2.m2.2.3.3.3.3.cmml">2</mn></mfrac></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.Thmtheo2.p1.2.2.m2.2b"><apply id="S1.Thmtheo2.p1.2.2.m2.2.3.cmml" xref="S1.Thmtheo2.p1.2.2.m2.2.3"><gt id="S1.Thmtheo2.p1.2.2.m2.2.3.1.cmml" xref="S1.Thmtheo2.p1.2.2.m2.2.3.1"></gt><list id="S1.Thmtheo2.p1.2.2.m2.2.3.2.1.cmml" xref="S1.Thmtheo2.p1.2.2.m2.2.3.2.2"><ci id="S1.Thmtheo2.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="S1.Thmtheo2.p1.2.2.m2.1.1">𝑎</ci><ci id="S1.Thmtheo2.p1.2.2.m2.2.2.cmml" xref="S1.Thmtheo2.p1.2.2.m2.2.2">𝑏</ci></list><apply id="S1.Thmtheo2.p1.2.2.m2.2.3.3.cmml" xref="S1.Thmtheo2.p1.2.2.m2.2.3.3"><plus id="S1.Thmtheo2.p1.2.2.m2.2.3.3.1.cmml" xref="S1.Thmtheo2.p1.2.2.m2.2.3.3.1"></plus><cn id="S1.Thmtheo2.p1.2.2.m2.2.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S1.Thmtheo2.p1.2.2.m2.2.3.3.2">1</cn><apply id="S1.Thmtheo2.p1.2.2.m2.2.3.3.3.cmml" xref="S1.Thmtheo2.p1.2.2.m2.2.3.3.3"><divide id="S1.Thmtheo2.p1.2.2.m2.2.3.3.3.1.cmml" xref="S1.Thmtheo2.p1.2.2.m2.2.3.3.3"></divide><ci id="S1.Thmtheo2.p1.2.2.m2.2.3.3.3.2.cmml" xref="S1.Thmtheo2.p1.2.2.m2.2.3.3.3.2">𝑠</ci><cn id="S1.Thmtheo2.p1.2.2.m2.2.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S1.Thmtheo2.p1.2.2.m2.2.3.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.Thmtheo2.p1.2.2.m2.2c">a,b>1+\frac{s}{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.Thmtheo2.p1.2.2.m2.2d">italic_a , italic_b > 1 + divide start_ARG italic_s end_ARG start_ARG 2 end_ARG</annotation></semantics></math> and <math alttext="h=m^{s}k" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.Thmtheo2.p1.3.3.m3.1"><semantics id="S1.Thmtheo2.p1.3.3.m3.1a"><mrow id="S1.Thmtheo2.p1.3.3.m3.1.1" xref="S1.Thmtheo2.p1.3.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S1.Thmtheo2.p1.3.3.m3.1.1.2" xref="S1.Thmtheo2.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml">h</mi><mo id="S1.Thmtheo2.p1.3.3.m3.1.1.1" xref="S1.Thmtheo2.p1.3.3.m3.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S1.Thmtheo2.p1.3.3.m3.1.1.3" xref="S1.Thmtheo2.p1.3.3.m3.1.1.3.cmml"><msup id="S1.Thmtheo2.p1.3.3.m3.1.1.3.2" xref="S1.Thmtheo2.p1.3.3.m3.1.1.3.2.cmml"><mi id="S1.Thmtheo2.p1.3.3.m3.1.1.3.2.2" xref="S1.Thmtheo2.p1.3.3.m3.1.1.3.2.2.cmml">m</mi><mi id="S1.Thmtheo2.p1.3.3.m3.1.1.3.2.3" xref="S1.Thmtheo2.p1.3.3.m3.1.1.3.2.3.cmml">s</mi></msup><mo id="S1.Thmtheo2.p1.3.3.m3.1.1.3.1" xref="S1.Thmtheo2.p1.3.3.m3.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.Thmtheo2.p1.3.3.m3.1.1.3.3" xref="S1.Thmtheo2.p1.3.3.m3.1.1.3.3.cmml">k</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.Thmtheo2.p1.3.3.m3.1b"><apply id="S1.Thmtheo2.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="S1.Thmtheo2.p1.3.3.m3.1.1"><eq id="S1.Thmtheo2.p1.3.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S1.Thmtheo2.p1.3.3.m3.1.1.1"></eq><ci id="S1.Thmtheo2.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S1.Thmtheo2.p1.3.3.m3.1.1.2">ℎ</ci><apply id="S1.Thmtheo2.p1.3.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S1.Thmtheo2.p1.3.3.m3.1.1.3"><times id="S1.Thmtheo2.p1.3.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S1.Thmtheo2.p1.3.3.m3.1.1.3.1"></times><apply id="S1.Thmtheo2.p1.3.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S1.Thmtheo2.p1.3.3.m3.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Thmtheo2.p1.3.3.m3.1.1.3.2.1.cmml" xref="S1.Thmtheo2.p1.3.3.m3.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S1.Thmtheo2.p1.3.3.m3.1.1.3.2.2.cmml" xref="S1.Thmtheo2.p1.3.3.m3.1.1.3.2.2">𝑚</ci><ci id="S1.Thmtheo2.p1.3.3.m3.1.1.3.2.3.cmml" xref="S1.Thmtheo2.p1.3.3.m3.1.1.3.2.3">𝑠</ci></apply><ci id="S1.Thmtheo2.p1.3.3.m3.1.1.3.3.cmml" xref="S1.Thmtheo2.p1.3.3.m3.1.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.Thmtheo2.p1.3.3.m3.1c">h=m^{s}k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.Thmtheo2.p1.3.3.m3.1d">italic_h = italic_m start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT italic_k</annotation></semantics></math>, where <math alttext="k" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.Thmtheo2.p1.4.4.m4.1"><semantics id="S1.Thmtheo2.p1.4.4.m4.1a"><mi id="S1.Thmtheo2.p1.4.4.m4.1.1" xref="S1.Thmtheo2.p1.4.4.m4.1.1.cmml">k</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.Thmtheo2.p1.4.4.m4.1b"><ci id="S1.Thmtheo2.p1.4.4.m4.1.1.cmml" xref="S1.Thmtheo2.p1.4.4.m4.1.1">𝑘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.Thmtheo2.p1.4.4.m4.1c">k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.Thmtheo2.p1.4.4.m4.1d">italic_k</annotation></semantics></math> is <math alttext="s-" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.Thmtheo2.p1.5.5.m5.1"><semantics id="S1.Thmtheo2.p1.5.5.m5.1a"><mrow id="S1.Thmtheo2.p1.5.5.m5.1.1" xref="S1.Thmtheo2.p1.5.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S1.Thmtheo2.p1.5.5.m5.1.1.2" xref="S1.Thmtheo2.p1.5.5.m5.1.1.2.cmml">s</mi><mo id="S1.Thmtheo2.p1.5.5.m5.1.1.3" xref="S1.Thmtheo2.p1.5.5.m5.1.1.3.cmml">−</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.Thmtheo2.p1.5.5.m5.1b"><apply id="S1.Thmtheo2.p1.5.5.m5.1.1.cmml" xref="S1.Thmtheo2.p1.5.5.m5.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S1.Thmtheo2.p1.5.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S1.Thmtheo2.p1.5.5.m5.1.1">limit-from</csymbol><ci id="S1.Thmtheo2.p1.5.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S1.Thmtheo2.p1.5.5.m5.1.1.2">𝑠</ci><minus id="S1.Thmtheo2.p1.5.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S1.Thmtheo2.p1.5.5.m5.1.1.3"></minus></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.Thmtheo2.p1.5.5.m5.1c">s-</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.Thmtheo2.p1.5.5.m5.1d">italic_s -</annotation></semantics></math> power free integer, then</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S2.EGx9"> <tbody id="S1.Ex6"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\sum\limits_{n\leq N}\frac{J_{a}(n)}{n^{a}}\frac{J_{b}(n+h)}{(n+h% )^{b}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.Ex6.m1.3"><semantics id="S1.Ex6.m1.3a"><mrow id="S1.Ex6.m1.3.4" xref="S1.Ex6.m1.3.4.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S1.Ex6.m1.3.4.1" xref="S1.Ex6.m1.3.4.1.cmml"><munder id="S1.Ex6.m1.3.4.1a" xref="S1.Ex6.m1.3.4.1.cmml"><mo id="S1.Ex6.m1.3.4.1.2" movablelimits="false" xref="S1.Ex6.m1.3.4.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="S1.Ex6.m1.3.4.1.3" xref="S1.Ex6.m1.3.4.1.3.cmml"><mi id="S1.Ex6.m1.3.4.1.3.2" xref="S1.Ex6.m1.3.4.1.3.2.cmml">n</mi><mo id="S1.Ex6.m1.3.4.1.3.1" xref="S1.Ex6.m1.3.4.1.3.1.cmml">≤</mo><mi id="S1.Ex6.m1.3.4.1.3.3" xref="S1.Ex6.m1.3.4.1.3.3.cmml">N</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="S1.Ex6.m1.3.4.2" xref="S1.Ex6.m1.3.4.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S1.Ex6.m1.1.1" xref="S1.Ex6.m1.1.1.cmml"><mfrac id="S1.Ex6.m1.1.1a" xref="S1.Ex6.m1.1.1.cmml"><mrow id="S1.Ex6.m1.1.1.1" xref="S1.Ex6.m1.1.1.1.cmml"><msub id="S1.Ex6.m1.1.1.1.3" xref="S1.Ex6.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S1.Ex6.m1.1.1.1.3.2" xref="S1.Ex6.m1.1.1.1.3.2.cmml">J</mi><mi id="S1.Ex6.m1.1.1.1.3.3" xref="S1.Ex6.m1.1.1.1.3.3.cmml">a</mi></msub><mo id="S1.Ex6.m1.1.1.1.2" xref="S1.Ex6.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.Ex6.m1.1.1.1.4.2" xref="S1.Ex6.m1.1.1.1.cmml"><mo id="S1.Ex6.m1.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S1.Ex6.m1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S1.Ex6.m1.1.1.1.1" xref="S1.Ex6.m1.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S1.Ex6.m1.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S1.Ex6.m1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><msup id="S1.Ex6.m1.1.1.3" xref="S1.Ex6.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S1.Ex6.m1.1.1.3.2" xref="S1.Ex6.m1.1.1.3.2.cmml">n</mi><mi id="S1.Ex6.m1.1.1.3.3" xref="S1.Ex6.m1.1.1.3.3.cmml">a</mi></msup></mfrac></mstyle><mo id="S1.Ex6.m1.3.4.2.1" xref="S1.Ex6.m1.3.4.2.1.cmml">⁢</mo><mstyle displaystyle="true" id="S1.Ex6.m1.3.3" xref="S1.Ex6.m1.3.3.cmml"><mfrac id="S1.Ex6.m1.3.3a" xref="S1.Ex6.m1.3.3.cmml"><mrow id="S1.Ex6.m1.2.2.1" xref="S1.Ex6.m1.2.2.1.cmml"><msub id="S1.Ex6.m1.2.2.1.3" xref="S1.Ex6.m1.2.2.1.3.cmml"><mi id="S1.Ex6.m1.2.2.1.3.2" xref="S1.Ex6.m1.2.2.1.3.2.cmml">J</mi><mi id="S1.Ex6.m1.2.2.1.3.3" xref="S1.Ex6.m1.2.2.1.3.3.cmml">b</mi></msub><mo id="S1.Ex6.m1.2.2.1.2" xref="S1.Ex6.m1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.Ex6.m1.2.2.1.1.1" xref="S1.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S1.Ex6.m1.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S1.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S1.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S1.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S1.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S1.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mi id="S1.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S1.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">h</mi></mrow><mo id="S1.Ex6.m1.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.Ex6.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><msup id="S1.Ex6.m1.3.3.2" xref="S1.Ex6.m1.3.3.2.cmml"><mrow id="S1.Ex6.m1.3.3.2.1.1" xref="S1.Ex6.m1.3.3.2.1.1.1.cmml"><mo id="S1.Ex6.m1.3.3.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.Ex6.m1.3.3.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S1.Ex6.m1.3.3.2.1.1.1" xref="S1.Ex6.m1.3.3.2.1.1.1.cmml"><mi id="S1.Ex6.m1.3.3.2.1.1.1.2" xref="S1.Ex6.m1.3.3.2.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S1.Ex6.m1.3.3.2.1.1.1.1" xref="S1.Ex6.m1.3.3.2.1.1.1.1.cmml">+</mo><mi id="S1.Ex6.m1.3.3.2.1.1.1.3" xref="S1.Ex6.m1.3.3.2.1.1.1.3.cmml">h</mi></mrow><mo id="S1.Ex6.m1.3.3.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.Ex6.m1.3.3.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S1.Ex6.m1.3.3.2.3" xref="S1.Ex6.m1.3.3.2.3.cmml">b</mi></msup></mfrac></mstyle></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.Ex6.m1.3b"><apply id="S1.Ex6.m1.3.4.cmml" xref="S1.Ex6.m1.3.4"><apply id="S1.Ex6.m1.3.4.1.cmml" xref="S1.Ex6.m1.3.4.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex6.m1.3.4.1.1.cmml" xref="S1.Ex6.m1.3.4.1">subscript</csymbol><sum id="S1.Ex6.m1.3.4.1.2.cmml" xref="S1.Ex6.m1.3.4.1.2"></sum><apply id="S1.Ex6.m1.3.4.1.3.cmml" xref="S1.Ex6.m1.3.4.1.3"><leq id="S1.Ex6.m1.3.4.1.3.1.cmml" xref="S1.Ex6.m1.3.4.1.3.1"></leq><ci id="S1.Ex6.m1.3.4.1.3.2.cmml" xref="S1.Ex6.m1.3.4.1.3.2">𝑛</ci><ci id="S1.Ex6.m1.3.4.1.3.3.cmml" xref="S1.Ex6.m1.3.4.1.3.3">𝑁</ci></apply></apply><apply id="S1.Ex6.m1.3.4.2.cmml" xref="S1.Ex6.m1.3.4.2"><times id="S1.Ex6.m1.3.4.2.1.cmml" xref="S1.Ex6.m1.3.4.2.1"></times><apply id="S1.Ex6.m1.1.1.cmml" xref="S1.Ex6.m1.1.1"><divide id="S1.Ex6.m1.1.1.2.cmml" xref="S1.Ex6.m1.1.1"></divide><apply id="S1.Ex6.m1.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex6.m1.1.1.1"><times id="S1.Ex6.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.Ex6.m1.1.1.1.2"></times><apply id="S1.Ex6.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.Ex6.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex6.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S1.Ex6.m1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S1.Ex6.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S1.Ex6.m1.1.1.1.3.2">𝐽</ci><ci id="S1.Ex6.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S1.Ex6.m1.1.1.1.3.3">𝑎</ci></apply><ci id="S1.Ex6.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex6.m1.1.1.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="S1.Ex6.m1.1.1.3.cmml" xref="S1.Ex6.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex6.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S1.Ex6.m1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S1.Ex6.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S1.Ex6.m1.1.1.3.2">𝑛</ci><ci id="S1.Ex6.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S1.Ex6.m1.1.1.3.3">𝑎</ci></apply></apply><apply id="S1.Ex6.m1.3.3.cmml" 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id="S1.Ex6.m1.3.3.2.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex6.m1.3.3.2.1.1"><plus id="S1.Ex6.m1.3.3.2.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex6.m1.3.3.2.1.1.1.1"></plus><ci id="S1.Ex6.m1.3.3.2.1.1.1.2.cmml" xref="S1.Ex6.m1.3.3.2.1.1.1.2">𝑛</ci><ci id="S1.Ex6.m1.3.3.2.1.1.1.3.cmml" xref="S1.Ex6.m1.3.3.2.1.1.1.3">ℎ</ci></apply><ci id="S1.Ex6.m1.3.3.2.3.cmml" xref="S1.Ex6.m1.3.3.2.3">𝑏</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.Ex6.m1.3c">\displaystyle\sum\limits_{n\leq N}\frac{J_{a}(n)}{n^{a}}\frac{J_{b}(n+h)}{(n+h% )^{b}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.Ex6.m1.3d">∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_n ≤ italic_N end_POSTSUBSCRIPT divide start_ARG italic_J start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n ) end_ARG start_ARG italic_n start_POSTSUPERSCRIPT italic_a end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG divide start_ARG italic_J start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n + italic_h ) end_ARG start_ARG ( italic_n + italic_h ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_b end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\sim N\prod\limits_{p\mid m}\Big{(}\big{(}1-\frac{1}{p^{s+a}}\big% {)}\big{(}1-\frac{1}{p^{s+b}}\big{)}+\frac{p^{s-1}}{p^{a+b+2s}}\Big{)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.Ex6.m2.1"><semantics id="S1.Ex6.m2.1a"><mrow id="S1.Ex6.m2.1.1" xref="S1.Ex6.m2.1.1.cmml"><mi id="S1.Ex6.m2.1.1.3" xref="S1.Ex6.m2.1.1.3.cmml"></mi><mo id="S1.Ex6.m2.1.1.2" xref="S1.Ex6.m2.1.1.2.cmml">∼</mo><mrow id="S1.Ex6.m2.1.1.1" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.cmml"><mi id="S1.Ex6.m2.1.1.1.3" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.3.cmml">N</mi><mo id="S1.Ex6.m2.1.1.1.2" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.2" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.2.cmml"><munder id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.2a" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.2.2" movablelimits="false" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.2.3" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.2.3.2" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.2.3.2.cmml">p</mi><mo id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.2.3.1" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.2.3.1.cmml">∣</mo><mi id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.2.3.3" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.2.3.3.cmml">m</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.2" maxsize="160%" minsize="160%" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" maxsize="120%" minsize="120%" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3a" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><msup id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">p</mi><mrow id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">s</mi><mo id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml">+</mo><mi id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">a</mi></mrow></msup></mfrac></mstyle></mrow><mo id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" maxsize="120%" minsize="120%" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml"><mo id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.2" maxsize="120%" minsize="120%" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml"><mn id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.cmml"><mfrac id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3a" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.cmml"><mn id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.cmml">1</mn><msup id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.cmml"><mi id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2.cmml">p</mi><mrow id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.3" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.3.2" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.3.2.cmml">s</mi><mo id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.3.1" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.3.1.cmml">+</mo><mi id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.3.3" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.3.3.cmml">b</mi></mrow></msup></mfrac></mstyle></mrow><mo id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.3" maxsize="120%" minsize="120%" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mfrac id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.4a" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><msup id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml"><mi id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml">p</mi><mrow id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml"><mi id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.2" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.2.cmml">s</mi><mo id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.1" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.1.cmml">−</mo><mn id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.3" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><msup id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml">p</mi><mrow id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.cmml"><mi id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.2" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.2.cmml">a</mi><mo id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.1" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.1.cmml">+</mo><mi id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.3" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.3.cmml">b</mi><mo id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.1a" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.4" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.4.cmml"><mn id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.4.2" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.4.2.cmml">2</mn><mo id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.4.1" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.4.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.4.3" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.4.3.cmml">s</mi></mrow></mrow></msup></mfrac></mstyle></mrow><mo id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.3" maxsize="160%" minsize="160%" 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xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.2.3.1">conditional</csymbol><ci id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.2.3.2">𝑝</ci><ci id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.2.3.3">𝑚</ci></apply></apply><apply id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1"><plus id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.3"></plus><apply id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3"></times><apply id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><cn id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">1</cn><apply id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><divide id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"></divide><cn id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">1</cn><apply id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑝</ci><apply id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3"><plus id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1"></plus><ci id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2">𝑠</ci><ci id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3">𝑎</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1"><minus id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1"></minus><cn id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2">1</cn><apply id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3"><divide id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3"></divide><cn id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2">1</cn><apply id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2">𝑝</ci><apply id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.3.cmml" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.3"><plus id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.3.1"></plus><ci id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.3.2">𝑠</ci><ci id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.3.3">𝑏</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.4"><divide id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.4"></divide><apply id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.2">superscript</csymbol><ci id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2">𝑝</ci><apply id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3"><minus id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.1.cmml" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.1"></minus><ci id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.2.cmml" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.2">𝑠</ci><cn id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.3">superscript</csymbol><ci id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2">𝑝</ci><apply id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.cmml" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3"><plus id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.1.cmml" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.1"></plus><ci id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.2.cmml" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.2">𝑎</ci><ci id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.3.cmml" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.3">𝑏</ci><apply id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.4.cmml" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.4"><times id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.4.1.cmml" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.4.1"></times><cn id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.4.2.cmml" type="integer" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.4.2">2</cn><ci id="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.4.3.cmml" xref="S1.Ex6.m2.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.4.3">𝑠</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.Ex6.m2.1c">\displaystyle\sim N\prod\limits_{p\mid m}\Big{(}\big{(}1-\frac{1}{p^{s+a}}\big% {)}\big{(}1-\frac{1}{p^{s+b}}\big{)}+\frac{p^{s-1}}{p^{a+b+2s}}\Big{)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.Ex6.m2.1d">∼ italic_N ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_p ∣ italic_m end_POSTSUBSCRIPT ( ( 1 - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_p start_POSTSUPERSCRIPT italic_s + italic_a end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ) ( 1 - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_p start_POSTSUPERSCRIPT italic_s + italic_b end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ) + divide start_ARG italic_p start_POSTSUPERSCRIPT italic_s - 1 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG italic_p start_POSTSUPERSCRIPT italic_a + italic_b + 2 italic_s end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S1.Ex7"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\times\prod\limits_{p\nmid m}\Big{(}\big{(}1-\frac{1}{p^{s+a}}% \big{)}\big{(}1-\frac{1}{p^{s+b}}\big{)}-\frac{1}{p^{a+b+2s}}\Big{)}." class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S1.Ex7.m1.1"><semantics id="S1.Ex7.m1.1a"><mrow id="S1.Ex7.m1.1b"><mo id="S1.Ex7.m1.1.1" rspace="0.222em">×</mo><mstyle displaystyle="true" id="S1.Ex7.m1.1.2"><munder id="S1.Ex7.m1.1.2a"><mo id="S1.Ex7.m1.1.2.2" movablelimits="false">∏</mo><mrow id="S1.Ex7.m1.1.2.3"><mi id="S1.Ex7.m1.1.2.3.2">p</mi><mo id="S1.Ex7.m1.1.2.3.1">∤</mo><mi id="S1.Ex7.m1.1.2.3.3">m</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="S1.Ex7.m1.1.3"><mo id="S1.Ex7.m1.1.3.1" maxsize="160%" minsize="160%">(</mo><mrow id="S1.Ex7.m1.1.3.2"><mo id="S1.Ex7.m1.1.3.2.1" maxsize="120%" minsize="120%">(</mo><mn id="S1.Ex7.m1.1.3.2.2">1</mn><mo id="S1.Ex7.m1.1.3.2.3">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S1.Ex7.m1.1.3.2.4"><mfrac id="S1.Ex7.m1.1.3.2.4a"><mn id="S1.Ex7.m1.1.3.2.4.2">1</mn><msup id="S1.Ex7.m1.1.3.2.4.3"><mi id="S1.Ex7.m1.1.3.2.4.3.2">p</mi><mrow id="S1.Ex7.m1.1.3.2.4.3.3"><mi id="S1.Ex7.m1.1.3.2.4.3.3.2">s</mi><mo id="S1.Ex7.m1.1.3.2.4.3.3.1">+</mo><mi id="S1.Ex7.m1.1.3.2.4.3.3.3">a</mi></mrow></msup></mfrac></mstyle><mo id="S1.Ex7.m1.1.3.2.5" maxsize="120%" minsize="120%">)</mo></mrow><mrow id="S1.Ex7.m1.1.3.3"><mo id="S1.Ex7.m1.1.3.3.1" maxsize="120%" minsize="120%">(</mo><mn id="S1.Ex7.m1.1.3.3.2">1</mn><mo id="S1.Ex7.m1.1.3.3.3">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S1.Ex7.m1.1.3.3.4"><mfrac id="S1.Ex7.m1.1.3.3.4a"><mn id="S1.Ex7.m1.1.3.3.4.2">1</mn><msup id="S1.Ex7.m1.1.3.3.4.3"><mi id="S1.Ex7.m1.1.3.3.4.3.2">p</mi><mrow id="S1.Ex7.m1.1.3.3.4.3.3"><mi id="S1.Ex7.m1.1.3.3.4.3.3.2">s</mi><mo id="S1.Ex7.m1.1.3.3.4.3.3.1">+</mo><mi id="S1.Ex7.m1.1.3.3.4.3.3.3">b</mi></mrow></msup></mfrac></mstyle><mo id="S1.Ex7.m1.1.3.3.5" maxsize="120%" minsize="120%">)</mo></mrow><mo id="S1.Ex7.m1.1.3.4">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S1.Ex7.m1.1.3.5"><mfrac id="S1.Ex7.m1.1.3.5a"><mn id="S1.Ex7.m1.1.3.5.2">1</mn><msup id="S1.Ex7.m1.1.3.5.3"><mi id="S1.Ex7.m1.1.3.5.3.2">p</mi><mrow id="S1.Ex7.m1.1.3.5.3.3"><mi id="S1.Ex7.m1.1.3.5.3.3.2">a</mi><mo id="S1.Ex7.m1.1.3.5.3.3.1">+</mo><mi id="S1.Ex7.m1.1.3.5.3.3.3">b</mi><mo id="S1.Ex7.m1.1.3.5.3.3.1a">+</mo><mrow id="S1.Ex7.m1.1.3.5.3.3.4"><mn id="S1.Ex7.m1.1.3.5.3.3.4.2">2</mn><mo id="S1.Ex7.m1.1.3.5.3.3.4.1">⁢</mo><mi id="S1.Ex7.m1.1.3.5.3.3.4.3">s</mi></mrow></mrow></msup></mfrac></mstyle><mo id="S1.Ex7.m1.1.3.6" maxsize="160%" minsize="160%">)</mo></mrow><mo id="S1.Ex7.m1.1.4" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.Ex7.m1.1c">\displaystyle\times\prod\limits_{p\nmid m}\Big{(}\big{(}1-\frac{1}{p^{s+a}}% \big{)}\big{(}1-\frac{1}{p^{s+b}}\big{)}-\frac{1}{p^{a+b+2s}}\Big{)}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.Ex7.m1.1d">× ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_p ∤ italic_m end_POSTSUBSCRIPT ( ( 1 - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_p start_POSTSUPERSCRIPT italic_s + italic_a end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ) ( 1 - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_p start_POSTSUPERSCRIPT italic_s + italic_b end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ) - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_p start_POSTSUPERSCRIPT italic_a + italic_b + 2 italic_s end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> </section> <section class="ltx_section" id="S2"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">2. </span>Proofs of the Results</h2> <div class="ltx_proof" id="S2.4"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof of Theorem <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12027v1#S1.Thmtheo1" title="Theorem 1.1. ‣ 1. Introduction ‣ Two identities involving Cohen-Ramanujan expansions"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1.1</span></a>.</h6> <div class="ltx_para" id="S2.1.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.1.p1.2">If <math alttext="s,k\geq 1" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.1.p1.1.m1.2"><semantics id="S2.1.p1.1.m1.2a"><mrow id="S2.1.p1.1.m1.2.3" xref="S2.1.p1.1.m1.2.3.cmml"><mrow id="S2.1.p1.1.m1.2.3.2.2" xref="S2.1.p1.1.m1.2.3.2.1.cmml"><mi id="S2.1.p1.1.m1.1.1" xref="S2.1.p1.1.m1.1.1.cmml">s</mi><mo id="S2.1.p1.1.m1.2.3.2.2.1" xref="S2.1.p1.1.m1.2.3.2.1.cmml">,</mo><mi id="S2.1.p1.1.m1.2.2" xref="S2.1.p1.1.m1.2.2.cmml">k</mi></mrow><mo id="S2.1.p1.1.m1.2.3.1" xref="S2.1.p1.1.m1.2.3.1.cmml">≥</mo><mn id="S2.1.p1.1.m1.2.3.3" xref="S2.1.p1.1.m1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.1.p1.1.m1.2b"><apply id="S2.1.p1.1.m1.2.3.cmml" xref="S2.1.p1.1.m1.2.3"><geq id="S2.1.p1.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S2.1.p1.1.m1.2.3.1"></geq><list id="S2.1.p1.1.m1.2.3.2.1.cmml" xref="S2.1.p1.1.m1.2.3.2.2"><ci id="S2.1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.1.p1.1.m1.1.1">𝑠</ci><ci id="S2.1.p1.1.m1.2.2.cmml" xref="S2.1.p1.1.m1.2.2">𝑘</ci></list><cn id="S2.1.p1.1.m1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.1.p1.1.m1.2.3.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.1.p1.1.m1.2c">s,k\geq 1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.1.p1.1.m1.2d">italic_s , italic_k ≥ 1</annotation></semantics></math>, by the multiplicative properties of <math alttext="\mu,J_{s},c^{*}_{r}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.1.p1.2.m2.3"><semantics id="S2.1.p1.2.m2.3a"><mrow id="S2.1.p1.2.m2.3.3.2" xref="S2.1.p1.2.m2.3.3.3.cmml"><mi id="S2.1.p1.2.m2.1.1" xref="S2.1.p1.2.m2.1.1.cmml">μ</mi><mo id="S2.1.p1.2.m2.3.3.2.3" xref="S2.1.p1.2.m2.3.3.3.cmml">,</mo><msub id="S2.1.p1.2.m2.2.2.1.1" xref="S2.1.p1.2.m2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S2.1.p1.2.m2.2.2.1.1.2" xref="S2.1.p1.2.m2.2.2.1.1.2.cmml">J</mi><mi id="S2.1.p1.2.m2.2.2.1.1.3" xref="S2.1.p1.2.m2.2.2.1.1.3.cmml">s</mi></msub><mo id="S2.1.p1.2.m2.3.3.2.4" xref="S2.1.p1.2.m2.3.3.3.cmml">,</mo><msubsup id="S2.1.p1.2.m2.3.3.2.2" xref="S2.1.p1.2.m2.3.3.2.2.cmml"><mi id="S2.1.p1.2.m2.3.3.2.2.2.2" xref="S2.1.p1.2.m2.3.3.2.2.2.2.cmml">c</mi><mi id="S2.1.p1.2.m2.3.3.2.2.3" xref="S2.1.p1.2.m2.3.3.2.2.3.cmml">r</mi><mo id="S2.1.p1.2.m2.3.3.2.2.2.3" xref="S2.1.p1.2.m2.3.3.2.2.2.3.cmml">∗</mo></msubsup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.1.p1.2.m2.3b"><list id="S2.1.p1.2.m2.3.3.3.cmml" xref="S2.1.p1.2.m2.3.3.2"><ci id="S2.1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.1.p1.2.m2.1.1">𝜇</ci><apply id="S2.1.p1.2.m2.2.2.1.1.cmml" xref="S2.1.p1.2.m2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.1.p1.2.m2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.1.p1.2.m2.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.1.p1.2.m2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.1.p1.2.m2.2.2.1.1.2">𝐽</ci><ci id="S2.1.p1.2.m2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S2.1.p1.2.m2.2.2.1.1.3">𝑠</ci></apply><apply id="S2.1.p1.2.m2.3.3.2.2.cmml" xref="S2.1.p1.2.m2.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.1.p1.2.m2.3.3.2.2.1.cmml" xref="S2.1.p1.2.m2.3.3.2.2">subscript</csymbol><apply id="S2.1.p1.2.m2.3.3.2.2.2.cmml" xref="S2.1.p1.2.m2.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.1.p1.2.m2.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="S2.1.p1.2.m2.3.3.2.2">superscript</csymbol><ci id="S2.1.p1.2.m2.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S2.1.p1.2.m2.3.3.2.2.2.2">𝑐</ci><times id="S2.1.p1.2.m2.3.3.2.2.2.3.cmml" xref="S2.1.p1.2.m2.3.3.2.2.2.3"></times></apply><ci id="S2.1.p1.2.m2.3.3.2.2.3.cmml" xref="S2.1.p1.2.m2.3.3.2.2.3">𝑟</ci></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.1.p1.2.m2.3c">\mu,J_{s},c^{*}_{r}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.1.p1.2.m2.3d">italic_μ , italic_J start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT , italic_c start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, we have</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S2.EGx10"> <tbody id="S2.Ex8"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\sum\limits_{q}\frac{\mu(q)c_{q}^{s}(n^{s})}{J_{s+k}(q)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Ex8.m1.3"><semantics id="S2.Ex8.m1.3a"><mrow id="S2.Ex8.m1.3.4" xref="S2.Ex8.m1.3.4.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.Ex8.m1.3.4.1" xref="S2.Ex8.m1.3.4.1.cmml"><munder id="S2.Ex8.m1.3.4.1a" xref="S2.Ex8.m1.3.4.1.cmml"><mo id="S2.Ex8.m1.3.4.1.2" movablelimits="false" xref="S2.Ex8.m1.3.4.1.2.cmml">∑</mo><mi id="S2.Ex8.m1.3.4.1.3" xref="S2.Ex8.m1.3.4.1.3.cmml">q</mi></munder></mstyle><mstyle displaystyle="true" id="S2.Ex8.m1.3.3" xref="S2.Ex8.m1.3.3.cmml"><mfrac id="S2.Ex8.m1.3.3a" xref="S2.Ex8.m1.3.3.cmml"><mrow id="S2.Ex8.m1.2.2.2" xref="S2.Ex8.m1.2.2.2.cmml"><mi id="S2.Ex8.m1.2.2.2.4" xref="S2.Ex8.m1.2.2.2.4.cmml">μ</mi><mo id="S2.Ex8.m1.2.2.2.3" xref="S2.Ex8.m1.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex8.m1.2.2.2.5.2" xref="S2.Ex8.m1.2.2.2.cmml"><mo id="S2.Ex8.m1.2.2.2.5.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex8.m1.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex8.m1.1.1.1.1" xref="S2.Ex8.m1.1.1.1.1.cmml">q</mi><mo id="S2.Ex8.m1.2.2.2.5.2.2" stretchy="false" xref="S2.Ex8.m1.2.2.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.Ex8.m1.2.2.2.3a" xref="S2.Ex8.m1.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><msubsup id="S2.Ex8.m1.2.2.2.6" xref="S2.Ex8.m1.2.2.2.6.cmml"><mi id="S2.Ex8.m1.2.2.2.6.2.2" xref="S2.Ex8.m1.2.2.2.6.2.2.cmml">c</mi><mi id="S2.Ex8.m1.2.2.2.6.2.3" xref="S2.Ex8.m1.2.2.2.6.2.3.cmml">q</mi><mi id="S2.Ex8.m1.2.2.2.6.3" xref="S2.Ex8.m1.2.2.2.6.3.cmml">s</mi></msubsup><mo id="S2.Ex8.m1.2.2.2.3b" xref="S2.Ex8.m1.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex8.m1.2.2.2.2.1" xref="S2.Ex8.m1.2.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex8.m1.2.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex8.m1.2.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><msup id="S2.Ex8.m1.2.2.2.2.1.1" xref="S2.Ex8.m1.2.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex8.m1.2.2.2.2.1.1.2" xref="S2.Ex8.m1.2.2.2.2.1.1.2.cmml">n</mi><mi id="S2.Ex8.m1.2.2.2.2.1.1.3" xref="S2.Ex8.m1.2.2.2.2.1.1.3.cmml">s</mi></msup><mo id="S2.Ex8.m1.2.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S2.Ex8.m1.2.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mrow id="S2.Ex8.m1.3.3.3" xref="S2.Ex8.m1.3.3.3.cmml"><msub id="S2.Ex8.m1.3.3.3.3" xref="S2.Ex8.m1.3.3.3.3.cmml"><mi id="S2.Ex8.m1.3.3.3.3.2" xref="S2.Ex8.m1.3.3.3.3.2.cmml">J</mi><mrow id="S2.Ex8.m1.3.3.3.3.3" xref="S2.Ex8.m1.3.3.3.3.3.cmml"><mi id="S2.Ex8.m1.3.3.3.3.3.2" xref="S2.Ex8.m1.3.3.3.3.3.2.cmml">s</mi><mo id="S2.Ex8.m1.3.3.3.3.3.1" xref="S2.Ex8.m1.3.3.3.3.3.1.cmml">+</mo><mi id="S2.Ex8.m1.3.3.3.3.3.3" xref="S2.Ex8.m1.3.3.3.3.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub><mo id="S2.Ex8.m1.3.3.3.2" xref="S2.Ex8.m1.3.3.3.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex8.m1.3.3.3.4.2" xref="S2.Ex8.m1.3.3.3.cmml"><mo id="S2.Ex8.m1.3.3.3.4.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex8.m1.3.3.3.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex8.m1.3.3.3.1" xref="S2.Ex8.m1.3.3.3.1.cmml">q</mi><mo id="S2.Ex8.m1.3.3.3.4.2.2" stretchy="false" xref="S2.Ex8.m1.3.3.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mfrac></mstyle></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex8.m1.3b"><apply id="S2.Ex8.m1.3.4.cmml" xref="S2.Ex8.m1.3.4"><apply id="S2.Ex8.m1.3.4.1.cmml" xref="S2.Ex8.m1.3.4.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex8.m1.3.4.1.1.cmml" xref="S2.Ex8.m1.3.4.1">subscript</csymbol><sum id="S2.Ex8.m1.3.4.1.2.cmml" xref="S2.Ex8.m1.3.4.1.2"></sum><ci id="S2.Ex8.m1.3.4.1.3.cmml" xref="S2.Ex8.m1.3.4.1.3">𝑞</ci></apply><apply id="S2.Ex8.m1.3.3.cmml" xref="S2.Ex8.m1.3.3"><divide id="S2.Ex8.m1.3.3.4.cmml" xref="S2.Ex8.m1.3.3"></divide><apply id="S2.Ex8.m1.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex8.m1.2.2.2"><times id="S2.Ex8.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex8.m1.2.2.2.3"></times><ci id="S2.Ex8.m1.2.2.2.4.cmml" xref="S2.Ex8.m1.2.2.2.4">𝜇</ci><ci id="S2.Ex8.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex8.m1.1.1.1.1">𝑞</ci><apply id="S2.Ex8.m1.2.2.2.6.cmml" xref="S2.Ex8.m1.2.2.2.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex8.m1.2.2.2.6.1.cmml" xref="S2.Ex8.m1.2.2.2.6">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex8.m1.2.2.2.6.2.cmml" xref="S2.Ex8.m1.2.2.2.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex8.m1.2.2.2.6.2.1.cmml" xref="S2.Ex8.m1.2.2.2.6">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex8.m1.2.2.2.6.2.2.cmml" xref="S2.Ex8.m1.2.2.2.6.2.2">𝑐</ci><ci id="S2.Ex8.m1.2.2.2.6.2.3.cmml" xref="S2.Ex8.m1.2.2.2.6.2.3">𝑞</ci></apply><ci id="S2.Ex8.m1.2.2.2.6.3.cmml" xref="S2.Ex8.m1.2.2.2.6.3">𝑠</ci></apply><apply id="S2.Ex8.m1.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S2.Ex8.m1.2.2.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex8.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex8.m1.2.2.2.2.1">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex8.m1.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex8.m1.2.2.2.2.1.1.2">𝑛</ci><ci id="S2.Ex8.m1.2.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex8.m1.2.2.2.2.1.1.3">𝑠</ci></apply></apply><apply id="S2.Ex8.m1.3.3.3.cmml" xref="S2.Ex8.m1.3.3.3"><times id="S2.Ex8.m1.3.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex8.m1.3.3.3.2"></times><apply id="S2.Ex8.m1.3.3.3.3.cmml" xref="S2.Ex8.m1.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex8.m1.3.3.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex8.m1.3.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex8.m1.3.3.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex8.m1.3.3.3.3.2">𝐽</ci><apply id="S2.Ex8.m1.3.3.3.3.3.cmml" xref="S2.Ex8.m1.3.3.3.3.3"><plus id="S2.Ex8.m1.3.3.3.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex8.m1.3.3.3.3.3.1"></plus><ci id="S2.Ex8.m1.3.3.3.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex8.m1.3.3.3.3.3.2">𝑠</ci><ci id="S2.Ex8.m1.3.3.3.3.3.3.cmml" xref="S2.Ex8.m1.3.3.3.3.3.3">𝑘</ci></apply></apply><ci id="S2.Ex8.m1.3.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex8.m1.3.3.3.1">𝑞</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex8.m1.3c">\displaystyle\sum\limits_{q}\frac{\mu(q)c_{q}^{s}(n^{s})}{J_{s+k}(q)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex8.m1.3d">∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_q end_POSTSUBSCRIPT divide start_ARG italic_μ ( italic_q ) italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_q end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT ) end_ARG start_ARG italic_J start_POSTSUBSCRIPT italic_s + italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_q ) end_ARG</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\prod\limits_{\begin{subarray}{c}p\\ p\text{ prime}\end{subarray}}\left(1+\frac{\mu(p)c_{p}^{s}(n^{s})}{J_{s+k}(p)}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Ex8.m2.5"><semantics id="S2.Ex8.m2.5a"><mrow id="S2.Ex8.m2.5.5" xref="S2.Ex8.m2.5.5.cmml"><mi id="S2.Ex8.m2.5.5.3" xref="S2.Ex8.m2.5.5.3.cmml"></mi><mo id="S2.Ex8.m2.5.5.2" xref="S2.Ex8.m2.5.5.2.cmml">=</mo><mrow id="S2.Ex8.m2.5.5.1" xref="S2.Ex8.m2.5.5.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.Ex8.m2.5.5.1.2" xref="S2.Ex8.m2.5.5.1.2.cmml"><munder id="S2.Ex8.m2.5.5.1.2a" xref="S2.Ex8.m2.5.5.1.2.cmml"><mo id="S2.Ex8.m2.5.5.1.2.2" movablelimits="false" xref="S2.Ex8.m2.5.5.1.2.2.cmml">∏</mo><mtable id="S2.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S2.Ex8.m2.1.1.1a.2.cmml"><mtr id="S2.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1a" xref="S2.Ex8.m2.1.1.1a.2.cmml"><mtd id="S2.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1b" xref="S2.Ex8.m2.1.1.1a.2.cmml"><mi id="S2.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">p</mi></mtd></mtr><mtr id="S2.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1c" xref="S2.Ex8.m2.1.1.1a.2.cmml"><mtd id="S2.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1d" xref="S2.Ex8.m2.1.1.1a.2.cmml"><mrow id="S2.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="S2.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="S2.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml">p</mi><mo id="S2.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="S2.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><mtext id="S2.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="S2.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3a.cmml"> prime</mtext></mrow></mtd></mtr></mtable></munder></mstyle><mrow id="S2.Ex8.m2.5.5.1.1.1" xref="S2.Ex8.m2.5.5.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex8.m2.5.5.1.1.1.2" xref="S2.Ex8.m2.5.5.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex8.m2.5.5.1.1.1.1" xref="S2.Ex8.m2.5.5.1.1.1.1.cmml"><mn id="S2.Ex8.m2.5.5.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex8.m2.5.5.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S2.Ex8.m2.5.5.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex8.m2.5.5.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S2.Ex8.m2.4.4" xref="S2.Ex8.m2.4.4.cmml"><mfrac id="S2.Ex8.m2.4.4a" xref="S2.Ex8.m2.4.4.cmml"><mrow id="S2.Ex8.m2.3.3.2" xref="S2.Ex8.m2.3.3.2.cmml"><mi id="S2.Ex8.m2.3.3.2.4" xref="S2.Ex8.m2.3.3.2.4.cmml">μ</mi><mo id="S2.Ex8.m2.3.3.2.3" xref="S2.Ex8.m2.3.3.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex8.m2.3.3.2.5.2" xref="S2.Ex8.m2.3.3.2.cmml"><mo id="S2.Ex8.m2.3.3.2.5.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex8.m2.3.3.2.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex8.m2.2.2.1.1" xref="S2.Ex8.m2.2.2.1.1.cmml">p</mi><mo id="S2.Ex8.m2.3.3.2.5.2.2" stretchy="false" xref="S2.Ex8.m2.3.3.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.Ex8.m2.3.3.2.3a" xref="S2.Ex8.m2.3.3.2.3.cmml">⁢</mo><msubsup id="S2.Ex8.m2.3.3.2.6" xref="S2.Ex8.m2.3.3.2.6.cmml"><mi id="S2.Ex8.m2.3.3.2.6.2.2" xref="S2.Ex8.m2.3.3.2.6.2.2.cmml">c</mi><mi id="S2.Ex8.m2.3.3.2.6.2.3" xref="S2.Ex8.m2.3.3.2.6.2.3.cmml">p</mi><mi id="S2.Ex8.m2.3.3.2.6.3" xref="S2.Ex8.m2.3.3.2.6.3.cmml">s</mi></msubsup><mo id="S2.Ex8.m2.3.3.2.3b" xref="S2.Ex8.m2.3.3.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex8.m2.3.3.2.2.1" xref="S2.Ex8.m2.3.3.2.2.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex8.m2.3.3.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex8.m2.3.3.2.2.1.1.cmml">(</mo><msup id="S2.Ex8.m2.3.3.2.2.1.1" xref="S2.Ex8.m2.3.3.2.2.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex8.m2.3.3.2.2.1.1.2" xref="S2.Ex8.m2.3.3.2.2.1.1.2.cmml">n</mi><mi id="S2.Ex8.m2.3.3.2.2.1.1.3" xref="S2.Ex8.m2.3.3.2.2.1.1.3.cmml">s</mi></msup><mo id="S2.Ex8.m2.3.3.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S2.Ex8.m2.3.3.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mrow id="S2.Ex8.m2.4.4.3" xref="S2.Ex8.m2.4.4.3.cmml"><msub id="S2.Ex8.m2.4.4.3.3" xref="S2.Ex8.m2.4.4.3.3.cmml"><mi id="S2.Ex8.m2.4.4.3.3.2" xref="S2.Ex8.m2.4.4.3.3.2.cmml">J</mi><mrow id="S2.Ex8.m2.4.4.3.3.3" xref="S2.Ex8.m2.4.4.3.3.3.cmml"><mi id="S2.Ex8.m2.4.4.3.3.3.2" xref="S2.Ex8.m2.4.4.3.3.3.2.cmml">s</mi><mo id="S2.Ex8.m2.4.4.3.3.3.1" xref="S2.Ex8.m2.4.4.3.3.3.1.cmml">+</mo><mi id="S2.Ex8.m2.4.4.3.3.3.3" xref="S2.Ex8.m2.4.4.3.3.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub><mo id="S2.Ex8.m2.4.4.3.2" xref="S2.Ex8.m2.4.4.3.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex8.m2.4.4.3.4.2" xref="S2.Ex8.m2.4.4.3.cmml"><mo id="S2.Ex8.m2.4.4.3.4.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex8.m2.4.4.3.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex8.m2.4.4.3.1" xref="S2.Ex8.m2.4.4.3.1.cmml">p</mi><mo id="S2.Ex8.m2.4.4.3.4.2.2" stretchy="false" xref="S2.Ex8.m2.4.4.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mfrac></mstyle></mrow><mo id="S2.Ex8.m2.5.5.1.1.1.3" xref="S2.Ex8.m2.5.5.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex8.m2.5b"><apply id="S2.Ex8.m2.5.5.cmml" xref="S2.Ex8.m2.5.5"><eq id="S2.Ex8.m2.5.5.2.cmml" xref="S2.Ex8.m2.5.5.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex8.m2.5.5.3.cmml" xref="S2.Ex8.m2.5.5.3">absent</csymbol><apply id="S2.Ex8.m2.5.5.1.cmml" xref="S2.Ex8.m2.5.5.1"><apply id="S2.Ex8.m2.5.5.1.2.cmml" xref="S2.Ex8.m2.5.5.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex8.m2.5.5.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex8.m2.5.5.1.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex8.m2.5.5.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex8.m2.5.5.1.2.2">product</csymbol><list id="S2.Ex8.m2.1.1.1a.2.cmml" xref="S2.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1"><matrix id="S2.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1"><matrixrow id="S2.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1a.cmml" xref="S2.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1"><ci id="S2.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1">𝑝</ci></matrixrow><matrixrow id="S2.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1b.cmml" xref="S2.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1"><apply id="S2.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S2.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1"><times id="S2.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1"></times><ci id="S2.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2">𝑝</ci><ci id="S2.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3a.cmml" xref="S2.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3"><mtext id="S2.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S2.Ex8.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3"> prime</mtext></ci></apply></matrixrow></matrix></list></apply><apply id="S2.Ex8.m2.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex8.m2.5.5.1.1.1"><plus id="S2.Ex8.m2.5.5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex8.m2.5.5.1.1.1.1.1"></plus><cn id="S2.Ex8.m2.5.5.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S2.Ex8.m2.5.5.1.1.1.1.2">1</cn><apply id="S2.Ex8.m2.4.4.cmml" xref="S2.Ex8.m2.4.4"><divide id="S2.Ex8.m2.4.4.4.cmml" xref="S2.Ex8.m2.4.4"></divide><apply id="S2.Ex8.m2.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex8.m2.3.3.2"><times id="S2.Ex8.m2.3.3.2.3.cmml" xref="S2.Ex8.m2.3.3.2.3"></times><ci id="S2.Ex8.m2.3.3.2.4.cmml" xref="S2.Ex8.m2.3.3.2.4">𝜇</ci><ci id="S2.Ex8.m2.2.2.1.1.cmml" xref="S2.Ex8.m2.2.2.1.1">𝑝</ci><apply id="S2.Ex8.m2.3.3.2.6.cmml" xref="S2.Ex8.m2.3.3.2.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex8.m2.3.3.2.6.1.cmml" xref="S2.Ex8.m2.3.3.2.6">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex8.m2.3.3.2.6.2.cmml" xref="S2.Ex8.m2.3.3.2.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex8.m2.3.3.2.6.2.1.cmml" xref="S2.Ex8.m2.3.3.2.6">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex8.m2.3.3.2.6.2.2.cmml" xref="S2.Ex8.m2.3.3.2.6.2.2">𝑐</ci><ci id="S2.Ex8.m2.3.3.2.6.2.3.cmml" xref="S2.Ex8.m2.3.3.2.6.2.3">𝑝</ci></apply><ci id="S2.Ex8.m2.3.3.2.6.3.cmml" xref="S2.Ex8.m2.3.3.2.6.3">𝑠</ci></apply><apply id="S2.Ex8.m2.3.3.2.2.1.1.cmml" xref="S2.Ex8.m2.3.3.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex8.m2.3.3.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex8.m2.3.3.2.2.1">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex8.m2.3.3.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex8.m2.3.3.2.2.1.1.2">𝑛</ci><ci id="S2.Ex8.m2.3.3.2.2.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex8.m2.3.3.2.2.1.1.3">𝑠</ci></apply></apply><apply id="S2.Ex8.m2.4.4.3.cmml" xref="S2.Ex8.m2.4.4.3"><times id="S2.Ex8.m2.4.4.3.2.cmml" xref="S2.Ex8.m2.4.4.3.2"></times><apply id="S2.Ex8.m2.4.4.3.3.cmml" xref="S2.Ex8.m2.4.4.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex8.m2.4.4.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex8.m2.4.4.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex8.m2.4.4.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex8.m2.4.4.3.3.2">𝐽</ci><apply id="S2.Ex8.m2.4.4.3.3.3.cmml" xref="S2.Ex8.m2.4.4.3.3.3"><plus id="S2.Ex8.m2.4.4.3.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex8.m2.4.4.3.3.3.1"></plus><ci id="S2.Ex8.m2.4.4.3.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex8.m2.4.4.3.3.3.2">𝑠</ci><ci id="S2.Ex8.m2.4.4.3.3.3.3.cmml" xref="S2.Ex8.m2.4.4.3.3.3.3">𝑘</ci></apply></apply><ci id="S2.Ex8.m2.4.4.3.1.cmml" xref="S2.Ex8.m2.4.4.3.1">𝑝</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex8.m2.5c">\displaystyle=\prod\limits_{\begin{subarray}{c}p\\ p\text{ prime}\end{subarray}}\left(1+\frac{\mu(p)c_{p}^{s}(n^{s})}{J_{s+k}(p)}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex8.m2.5d">= ∏ start_POSTSUBSCRIPT start_ARG start_ROW start_CELL italic_p end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_p prime end_CELL end_ROW end_ARG end_POSTSUBSCRIPT ( 1 + divide start_ARG italic_μ ( italic_p ) italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT ) end_ARG start_ARG italic_J start_POSTSUBSCRIPT italic_s + italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_p ) end_ARG )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S2.Ex9"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\prod\limits_{\begin{subarray}{c}p\mid n\\ p\text{ prime}\end{subarray}}\left(1+\frac{\mu(p)c_{p}^{s}(n^{s})}{J_{s+k}(p)}% \right)\prod\limits_{\begin{subarray}{c}p\nmid n\\ p\text{ prime}\end{subarray}}\left(1+\frac{\mu(p)c_{p}^{s}(n^{s})}{J_{s+k}(p)}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Ex9.m1.10"><semantics id="S2.Ex9.m1.10a"><mrow id="S2.Ex9.m1.10.10" xref="S2.Ex9.m1.10.10.cmml"><mi id="S2.Ex9.m1.10.10.4" xref="S2.Ex9.m1.10.10.4.cmml"></mi><mo id="S2.Ex9.m1.10.10.3" xref="S2.Ex9.m1.10.10.3.cmml">=</mo><mrow id="S2.Ex9.m1.10.10.2" xref="S2.Ex9.m1.10.10.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.Ex9.m1.10.10.2.3" xref="S2.Ex9.m1.10.10.2.3.cmml"><munder id="S2.Ex9.m1.10.10.2.3a" xref="S2.Ex9.m1.10.10.2.3.cmml"><mo id="S2.Ex9.m1.10.10.2.3.2" movablelimits="false" xref="S2.Ex9.m1.10.10.2.3.2.cmml">∏</mo><mtable id="S2.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S2.Ex9.m1.1.1.1a.2.cmml"><mtr id="S2.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1a" xref="S2.Ex9.m1.1.1.1a.2.cmml"><mtd id="S2.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1b" xref="S2.Ex9.m1.1.1.1a.2.cmml"><mrow id="S2.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">p</mi><mo id="S2.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">∣</mo><mi id="S2.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">n</mi></mrow></mtd></mtr><mtr id="S2.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1c" xref="S2.Ex9.m1.1.1.1a.2.cmml"><mtd id="S2.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1d" xref="S2.Ex9.m1.1.1.1a.2.cmml"><mrow id="S2.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="S2.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="S2.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml">p</mi><mo id="S2.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="S2.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><mtext id="S2.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="S2.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3a.cmml"> prime</mtext></mrow></mtd></mtr></mtable></munder></mstyle><mrow id="S2.Ex9.m1.10.10.2.2" xref="S2.Ex9.m1.10.10.2.2.cmml"><mrow id="S2.Ex9.m1.9.9.1.1.1.1" xref="S2.Ex9.m1.9.9.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex9.m1.9.9.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex9.m1.9.9.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex9.m1.9.9.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex9.m1.9.9.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S2.Ex9.m1.9.9.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex9.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S2.Ex9.m1.9.9.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex9.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S2.Ex9.m1.5.5" xref="S2.Ex9.m1.5.5.cmml"><mfrac id="S2.Ex9.m1.5.5a" xref="S2.Ex9.m1.5.5.cmml"><mrow id="S2.Ex9.m1.4.4.2" xref="S2.Ex9.m1.4.4.2.cmml"><mi id="S2.Ex9.m1.4.4.2.4" xref="S2.Ex9.m1.4.4.2.4.cmml">μ</mi><mo id="S2.Ex9.m1.4.4.2.3" xref="S2.Ex9.m1.4.4.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex9.m1.4.4.2.5.2" xref="S2.Ex9.m1.4.4.2.cmml"><mo id="S2.Ex9.m1.4.4.2.5.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex9.m1.4.4.2.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex9.m1.3.3.1.1" xref="S2.Ex9.m1.3.3.1.1.cmml">p</mi><mo id="S2.Ex9.m1.4.4.2.5.2.2" stretchy="false" xref="S2.Ex9.m1.4.4.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.Ex9.m1.4.4.2.3a" xref="S2.Ex9.m1.4.4.2.3.cmml">⁢</mo><msubsup id="S2.Ex9.m1.4.4.2.6" xref="S2.Ex9.m1.4.4.2.6.cmml"><mi id="S2.Ex9.m1.4.4.2.6.2.2" xref="S2.Ex9.m1.4.4.2.6.2.2.cmml">c</mi><mi id="S2.Ex9.m1.4.4.2.6.2.3" xref="S2.Ex9.m1.4.4.2.6.2.3.cmml">p</mi><mi id="S2.Ex9.m1.4.4.2.6.3" xref="S2.Ex9.m1.4.4.2.6.3.cmml">s</mi></msubsup><mo id="S2.Ex9.m1.4.4.2.3b" xref="S2.Ex9.m1.4.4.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex9.m1.4.4.2.2.1" xref="S2.Ex9.m1.4.4.2.2.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex9.m1.4.4.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex9.m1.4.4.2.2.1.1.cmml">(</mo><msup id="S2.Ex9.m1.4.4.2.2.1.1" xref="S2.Ex9.m1.4.4.2.2.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex9.m1.4.4.2.2.1.1.2" xref="S2.Ex9.m1.4.4.2.2.1.1.2.cmml">n</mi><mi id="S2.Ex9.m1.4.4.2.2.1.1.3" xref="S2.Ex9.m1.4.4.2.2.1.1.3.cmml">s</mi></msup><mo id="S2.Ex9.m1.4.4.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S2.Ex9.m1.4.4.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mrow id="S2.Ex9.m1.5.5.3" xref="S2.Ex9.m1.5.5.3.cmml"><msub id="S2.Ex9.m1.5.5.3.3" xref="S2.Ex9.m1.5.5.3.3.cmml"><mi id="S2.Ex9.m1.5.5.3.3.2" xref="S2.Ex9.m1.5.5.3.3.2.cmml">J</mi><mrow id="S2.Ex9.m1.5.5.3.3.3" xref="S2.Ex9.m1.5.5.3.3.3.cmml"><mi id="S2.Ex9.m1.5.5.3.3.3.2" xref="S2.Ex9.m1.5.5.3.3.3.2.cmml">s</mi><mo id="S2.Ex9.m1.5.5.3.3.3.1" xref="S2.Ex9.m1.5.5.3.3.3.1.cmml">+</mo><mi id="S2.Ex9.m1.5.5.3.3.3.3" xref="S2.Ex9.m1.5.5.3.3.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub><mo id="S2.Ex9.m1.5.5.3.2" xref="S2.Ex9.m1.5.5.3.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex9.m1.5.5.3.4.2" xref="S2.Ex9.m1.5.5.3.cmml"><mo id="S2.Ex9.m1.5.5.3.4.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex9.m1.5.5.3.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex9.m1.5.5.3.1" xref="S2.Ex9.m1.5.5.3.1.cmml">p</mi><mo id="S2.Ex9.m1.5.5.3.4.2.2" stretchy="false" xref="S2.Ex9.m1.5.5.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mfrac></mstyle></mrow><mo id="S2.Ex9.m1.9.9.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex9.m1.9.9.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.Ex9.m1.10.10.2.2.3" xref="S2.Ex9.m1.10.10.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex9.m1.10.10.2.2.2" xref="S2.Ex9.m1.10.10.2.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.Ex9.m1.10.10.2.2.2.2" xref="S2.Ex9.m1.10.10.2.2.2.2.cmml"><munder id="S2.Ex9.m1.10.10.2.2.2.2a" xref="S2.Ex9.m1.10.10.2.2.2.2.cmml"><mo id="S2.Ex9.m1.10.10.2.2.2.2.2" movablelimits="false" xref="S2.Ex9.m1.10.10.2.2.2.2.2.cmml">∏</mo><mtable id="S2.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S2.Ex9.m1.2.2.1a.2.cmml"><mtr id="S2.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1a" xref="S2.Ex9.m1.2.2.1a.2.cmml"><mtd id="S2.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1b" xref="S2.Ex9.m1.2.2.1a.2.cmml"><mrow id="S2.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">p</mi><mo id="S2.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">∤</mo><mi id="S2.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">n</mi></mrow></mtd></mtr><mtr id="S2.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1c" xref="S2.Ex9.m1.2.2.1a.2.cmml"><mtd id="S2.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1d" xref="S2.Ex9.m1.2.2.1a.2.cmml"><mrow id="S2.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1" xref="S2.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="S2.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml">p</mi><mo id="S2.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="S2.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><mtext id="S2.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="S2.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.3a.cmml"> prime</mtext></mrow></mtd></mtr></mtable></munder></mstyle><mrow id="S2.Ex9.m1.10.10.2.2.2.1.1" xref="S2.Ex9.m1.10.10.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex9.m1.10.10.2.2.2.1.1.2" xref="S2.Ex9.m1.10.10.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex9.m1.10.10.2.2.2.1.1.1" xref="S2.Ex9.m1.10.10.2.2.2.1.1.1.cmml"><mn id="S2.Ex9.m1.10.10.2.2.2.1.1.1.2" xref="S2.Ex9.m1.10.10.2.2.2.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S2.Ex9.m1.10.10.2.2.2.1.1.1.1" xref="S2.Ex9.m1.10.10.2.2.2.1.1.1.1.cmml">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S2.Ex9.m1.8.8" xref="S2.Ex9.m1.8.8.cmml"><mfrac id="S2.Ex9.m1.8.8a" xref="S2.Ex9.m1.8.8.cmml"><mrow id="S2.Ex9.m1.7.7.2" xref="S2.Ex9.m1.7.7.2.cmml"><mi id="S2.Ex9.m1.7.7.2.4" xref="S2.Ex9.m1.7.7.2.4.cmml">μ</mi><mo id="S2.Ex9.m1.7.7.2.3" xref="S2.Ex9.m1.7.7.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex9.m1.7.7.2.5.2" xref="S2.Ex9.m1.7.7.2.cmml"><mo id="S2.Ex9.m1.7.7.2.5.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex9.m1.7.7.2.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex9.m1.6.6.1.1" xref="S2.Ex9.m1.6.6.1.1.cmml">p</mi><mo id="S2.Ex9.m1.7.7.2.5.2.2" stretchy="false" xref="S2.Ex9.m1.7.7.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.Ex9.m1.7.7.2.3a" xref="S2.Ex9.m1.7.7.2.3.cmml">⁢</mo><msubsup id="S2.Ex9.m1.7.7.2.6" xref="S2.Ex9.m1.7.7.2.6.cmml"><mi id="S2.Ex9.m1.7.7.2.6.2.2" xref="S2.Ex9.m1.7.7.2.6.2.2.cmml">c</mi><mi id="S2.Ex9.m1.7.7.2.6.2.3" xref="S2.Ex9.m1.7.7.2.6.2.3.cmml">p</mi><mi id="S2.Ex9.m1.7.7.2.6.3" xref="S2.Ex9.m1.7.7.2.6.3.cmml">s</mi></msubsup><mo id="S2.Ex9.m1.7.7.2.3b" xref="S2.Ex9.m1.7.7.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex9.m1.7.7.2.2.1" xref="S2.Ex9.m1.7.7.2.2.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex9.m1.7.7.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex9.m1.7.7.2.2.1.1.cmml">(</mo><msup id="S2.Ex9.m1.7.7.2.2.1.1" xref="S2.Ex9.m1.7.7.2.2.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex9.m1.7.7.2.2.1.1.2" xref="S2.Ex9.m1.7.7.2.2.1.1.2.cmml">n</mi><mi id="S2.Ex9.m1.7.7.2.2.1.1.3" xref="S2.Ex9.m1.7.7.2.2.1.1.3.cmml">s</mi></msup><mo id="S2.Ex9.m1.7.7.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S2.Ex9.m1.7.7.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mrow id="S2.Ex9.m1.8.8.3" xref="S2.Ex9.m1.8.8.3.cmml"><msub id="S2.Ex9.m1.8.8.3.3" xref="S2.Ex9.m1.8.8.3.3.cmml"><mi id="S2.Ex9.m1.8.8.3.3.2" xref="S2.Ex9.m1.8.8.3.3.2.cmml">J</mi><mrow id="S2.Ex9.m1.8.8.3.3.3" xref="S2.Ex9.m1.8.8.3.3.3.cmml"><mi id="S2.Ex9.m1.8.8.3.3.3.2" xref="S2.Ex9.m1.8.8.3.3.3.2.cmml">s</mi><mo id="S2.Ex9.m1.8.8.3.3.3.1" xref="S2.Ex9.m1.8.8.3.3.3.1.cmml">+</mo><mi id="S2.Ex9.m1.8.8.3.3.3.3" xref="S2.Ex9.m1.8.8.3.3.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub><mo id="S2.Ex9.m1.8.8.3.2" xref="S2.Ex9.m1.8.8.3.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex9.m1.8.8.3.4.2" xref="S2.Ex9.m1.8.8.3.cmml"><mo id="S2.Ex9.m1.8.8.3.4.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex9.m1.8.8.3.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex9.m1.8.8.3.1" xref="S2.Ex9.m1.8.8.3.1.cmml">p</mi><mo id="S2.Ex9.m1.8.8.3.4.2.2" stretchy="false" xref="S2.Ex9.m1.8.8.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mfrac></mstyle></mrow><mo id="S2.Ex9.m1.10.10.2.2.2.1.1.3" xref="S2.Ex9.m1.10.10.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex9.m1.10b"><apply id="S2.Ex9.m1.10.10.cmml" xref="S2.Ex9.m1.10.10"><eq id="S2.Ex9.m1.10.10.3.cmml" xref="S2.Ex9.m1.10.10.3"></eq><csymbol cd="latexml" 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xref="S2.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑛</ci></apply></matrixrow><matrixrow id="S2.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1b.cmml" xref="S2.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1"><apply id="S2.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S2.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1"><times id="S2.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1"></times><ci id="S2.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2">𝑝</ci><ci id="S2.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3a.cmml" xref="S2.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3"><mtext id="S2.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S2.Ex9.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3"> prime</mtext></ci></apply></matrixrow></matrix></list></apply><apply id="S2.Ex9.m1.10.10.2.2.cmml" xref="S2.Ex9.m1.10.10.2.2"><times id="S2.Ex9.m1.10.10.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex9.m1.10.10.2.2.3"></times><apply id="S2.Ex9.m1.9.9.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex9.m1.9.9.1.1.1.1"><plus id="S2.Ex9.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex9.m1.9.9.1.1.1.1.1.1"></plus><cn id="S2.Ex9.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" 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xref="S2.Ex9.m1.7.7.2.2.1">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex9.m1.7.7.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex9.m1.7.7.2.2.1.1.2">𝑛</ci><ci id="S2.Ex9.m1.7.7.2.2.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex9.m1.7.7.2.2.1.1.3">𝑠</ci></apply></apply><apply id="S2.Ex9.m1.8.8.3.cmml" xref="S2.Ex9.m1.8.8.3"><times id="S2.Ex9.m1.8.8.3.2.cmml" xref="S2.Ex9.m1.8.8.3.2"></times><apply id="S2.Ex9.m1.8.8.3.3.cmml" xref="S2.Ex9.m1.8.8.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex9.m1.8.8.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex9.m1.8.8.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex9.m1.8.8.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex9.m1.8.8.3.3.2">𝐽</ci><apply id="S2.Ex9.m1.8.8.3.3.3.cmml" xref="S2.Ex9.m1.8.8.3.3.3"><plus id="S2.Ex9.m1.8.8.3.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex9.m1.8.8.3.3.3.1"></plus><ci id="S2.Ex9.m1.8.8.3.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex9.m1.8.8.3.3.3.2">𝑠</ci><ci id="S2.Ex9.m1.8.8.3.3.3.3.cmml" xref="S2.Ex9.m1.8.8.3.3.3.3">𝑘</ci></apply></apply><ci id="S2.Ex9.m1.8.8.3.1.cmml" 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end_ARG ) ∏ start_POSTSUBSCRIPT start_ARG start_ROW start_CELL italic_p ∤ italic_n end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_p prime end_CELL end_ROW end_ARG end_POSTSUBSCRIPT ( 1 + divide start_ARG italic_μ ( italic_p ) italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT ) end_ARG start_ARG italic_J start_POSTSUBSCRIPT italic_s + italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_p ) end_ARG )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S2.2.p2"> <p class="ltx_p" id="S2.2.p2.1">By the properties of the Cohen-Ramanujan sum <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12027v1#bib.bib6" title="">6</a>, Equation 1.5]</cite>, if <math alttext="p" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.2.p2.1.m1.1"><semantics id="S2.2.p2.1.m1.1a"><mi id="S2.2.p2.1.m1.1.1" xref="S2.2.p2.1.m1.1.1.cmml">p</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.2.p2.1.m1.1b"><ci id="S2.2.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.2.p2.1.m1.1.1">𝑝</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.2.p2.1.m1.1c">p</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.2.p2.1.m1.1d">italic_p</annotation></semantics></math> is a prime, we have</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S2.EGx11"> <tbody id="S2.Ex10"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle c^{s}_{p^{r}}(n)=\begin{cases}p^{sr}-p^{s(r-1)}&\text{ if }p^{sr% }|n\\ -p^{s(r-1)}&\text{ if }p^{s(r-1)}|n,\,p^{sr}\nmid n\\ 0&\text{ if }p^{s(r-1)}\nmid n\\ \end{cases}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Ex10.m1.7"><semantics id="S2.Ex10.m1.7a"><mrow id="S2.Ex10.m1.7.8" xref="S2.Ex10.m1.7.8.cmml"><mrow id="S2.Ex10.m1.7.8.2" xref="S2.Ex10.m1.7.8.2.cmml"><msubsup id="S2.Ex10.m1.7.8.2.2" xref="S2.Ex10.m1.7.8.2.2.cmml"><mi id="S2.Ex10.m1.7.8.2.2.2.2" xref="S2.Ex10.m1.7.8.2.2.2.2.cmml">c</mi><msup id="S2.Ex10.m1.7.8.2.2.3" xref="S2.Ex10.m1.7.8.2.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex10.m1.7.8.2.2.3.2" xref="S2.Ex10.m1.7.8.2.2.3.2.cmml">p</mi><mi id="S2.Ex10.m1.7.8.2.2.3.3" xref="S2.Ex10.m1.7.8.2.2.3.3.cmml">r</mi></msup><mi id="S2.Ex10.m1.7.8.2.2.2.3" xref="S2.Ex10.m1.7.8.2.2.2.3.cmml">s</mi></msubsup><mo id="S2.Ex10.m1.7.8.2.1" xref="S2.Ex10.m1.7.8.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex10.m1.7.8.2.3.2" xref="S2.Ex10.m1.7.8.2.cmml"><mo id="S2.Ex10.m1.7.8.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex10.m1.7.8.2.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex10.m1.7.7" xref="S2.Ex10.m1.7.7.cmml">n</mi><mo id="S2.Ex10.m1.7.8.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.Ex10.m1.7.8.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.Ex10.m1.7.8.1" xref="S2.Ex10.m1.7.8.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.Ex10.m1.6.6a" xref="S2.Ex10.m1.7.8.3.1.cmml"><mo id="S2.Ex10.m1.6.6a.7" xref="S2.Ex10.m1.7.8.3.1.1.cmml">{</mo><mtable columnspacing="5pt" id="S2.Ex10.m1.6.6.6a" rowspacing="0pt" xref="S2.Ex10.m1.7.8.3.1.cmml"><mtr id="S2.Ex10.m1.6.6.6aa" xref="S2.Ex10.m1.7.8.3.1.cmml"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S2.Ex10.m1.6.6.6ab" xref="S2.Ex10.m1.7.8.3.1.cmml"><mrow id="S2.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S2.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">p</mi><mrow id="S2.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S2.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">s</mi><mo id="S2.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S2.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S2.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">r</mi></mrow></msup><mo id="S2.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">−</mo><msup id="S2.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S2.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S2.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S2.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">p</mi><mrow id="S2.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">s</mi><mo id="S2.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">r</mi><mo id="S2.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S2.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S2.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msup></mrow></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S2.Ex10.m1.6.6.6ac" xref="S2.Ex10.m1.7.8.3.1.cmml"><mrow id="S2.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1" xref="S2.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.cmml"><mrow id="S2.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.2" xref="S2.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.2.cmml"><mtext id="S2.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.2.2" xref="S2.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.2.2a.cmml"> if </mtext><mo id="S2.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.2.1" xref="S2.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S2.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.2.3" xref="S2.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.2.3.2" xref="S2.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.2.3.2.cmml">p</mi><mrow id="S2.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.2.3.3" xref="S2.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.2.3.3.cmml"><mi id="S2.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.2.3.3.2" xref="S2.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.2.3.3.2.cmml">s</mi><mo id="S2.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.2.3.3.1" xref="S2.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.2.3.3.3" xref="S2.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.2.3.3.3.cmml">r</mi></mrow></msup></mrow><mo fence="false" id="S2.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.1" xref="S2.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.1.cmml">|</mo><mi id="S2.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.3" xref="S2.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.3.cmml">n</mi></mrow></mtd></mtr><mtr id="S2.Ex10.m1.6.6.6ad" xref="S2.Ex10.m1.7.8.3.1.cmml"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S2.Ex10.m1.6.6.6ae" xref="S2.Ex10.m1.7.8.3.1.cmml"><mrow id="S2.Ex10.m1.3.3.3.3.1.1" xref="S2.Ex10.m1.3.3.3.3.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex10.m1.3.3.3.3.1.1a" xref="S2.Ex10.m1.3.3.3.3.1.1.cmml">−</mo><msup id="S2.Ex10.m1.3.3.3.3.1.1.3" xref="S2.Ex10.m1.3.3.3.3.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Ex10.m1.3.3.3.3.1.1.3.2" xref="S2.Ex10.m1.3.3.3.3.1.1.3.2.cmml">p</mi><mrow id="S2.Ex10.m1.3.3.3.3.1.1.1.1" xref="S2.Ex10.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex10.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex10.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.3.cmml">s</mi><mo id="S2.Ex10.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex10.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex10.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex10.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex10.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex10.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex10.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex10.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex10.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex10.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">r</mi><mo id="S2.Ex10.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex10.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S2.Ex10.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex10.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S2.Ex10.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.Ex10.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msup></mrow></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S2.Ex10.m1.6.6.6af" xref="S2.Ex10.m1.7.8.3.1.cmml"><mrow id="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1" xref="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.cmml"><mrow id="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3" xref="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.cmml"><mrow id="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.3" xref="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.3.cmml"><mtext id="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.3.2" xref="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.3.2a.cmml"> if </mtext><mo id="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.3.1" xref="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.3.3" xref="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.3.3.cmml"><mi id="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.3.3.2" xref="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.3.3.2.cmml">p</mi><mrow id="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.1.1" xref="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.3" xref="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.3.cmml">s</mi><mo id="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.2" xref="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">r</mi><mo id="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msup></mrow><mo fence="false" id="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.2" xref="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.2.cmml">|</mo><mrow id="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.1" xref="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.2.cmml"><mi id="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.2" xref="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.2.cmml">n</mi><mo id="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.1.2" rspace="0.337em" xref="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.2.cmml">,</mo><msup id="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.1.1" xref="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.1.1.2" xref="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.1.1.2.cmml">p</mi><mrow id="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.1.1.3" xref="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.1.1.3.2.cmml">s</mi><mo id="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.1.1.3.1" xref="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.1.1.3.3" xref="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.1.1.3.3.cmml">r</mi></mrow></msup></mrow></mrow><mo id="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.4" xref="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.4.cmml">∤</mo><mi id="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.5" xref="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.5.cmml">n</mi></mrow></mtd></mtr><mtr id="S2.Ex10.m1.6.6.6ag" xref="S2.Ex10.m1.7.8.3.1.cmml"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S2.Ex10.m1.6.6.6ah" xref="S2.Ex10.m1.7.8.3.1.cmml"><mn id="S2.Ex10.m1.5.5.5.5.1.1" xref="S2.Ex10.m1.5.5.5.5.1.1.cmml">0</mn></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S2.Ex10.m1.6.6.6ai" xref="S2.Ex10.m1.7.8.3.1.cmml"><mrow id="S2.Ex10.m1.6.6.6.6.2.1" xref="S2.Ex10.m1.6.6.6.6.2.1.cmml"><mrow id="S2.Ex10.m1.6.6.6.6.2.1.3" xref="S2.Ex10.m1.6.6.6.6.2.1.3.cmml"><mtext id="S2.Ex10.m1.6.6.6.6.2.1.3.2" xref="S2.Ex10.m1.6.6.6.6.2.1.3.2a.cmml"> if </mtext><mo id="S2.Ex10.m1.6.6.6.6.2.1.3.1" xref="S2.Ex10.m1.6.6.6.6.2.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S2.Ex10.m1.6.6.6.6.2.1.3.3" xref="S2.Ex10.m1.6.6.6.6.2.1.3.3.cmml"><mi id="S2.Ex10.m1.6.6.6.6.2.1.3.3.2" xref="S2.Ex10.m1.6.6.6.6.2.1.3.3.2.cmml">p</mi><mrow id="S2.Ex10.m1.6.6.6.6.2.1.1.1" xref="S2.Ex10.m1.6.6.6.6.2.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex10.m1.6.6.6.6.2.1.1.1.3" xref="S2.Ex10.m1.6.6.6.6.2.1.1.1.3.cmml">s</mi><mo id="S2.Ex10.m1.6.6.6.6.2.1.1.1.2" xref="S2.Ex10.m1.6.6.6.6.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex10.m1.6.6.6.6.2.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex10.m1.6.6.6.6.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex10.m1.6.6.6.6.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex10.m1.6.6.6.6.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex10.m1.6.6.6.6.2.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex10.m1.6.6.6.6.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex10.m1.6.6.6.6.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex10.m1.6.6.6.6.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">r</mi><mo id="S2.Ex10.m1.6.6.6.6.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex10.m1.6.6.6.6.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S2.Ex10.m1.6.6.6.6.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex10.m1.6.6.6.6.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S2.Ex10.m1.6.6.6.6.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.Ex10.m1.6.6.6.6.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msup></mrow><mo id="S2.Ex10.m1.6.6.6.6.2.1.2" xref="S2.Ex10.m1.6.6.6.6.2.1.2.cmml">∤</mo><mi id="S2.Ex10.m1.6.6.6.6.2.1.4" xref="S2.Ex10.m1.6.6.6.6.2.1.4.cmml">n</mi></mrow></mtd></mtr></mtable></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex10.m1.7b"><apply id="S2.Ex10.m1.7.8.cmml" xref="S2.Ex10.m1.7.8"><eq id="S2.Ex10.m1.7.8.1.cmml" xref="S2.Ex10.m1.7.8.1"></eq><apply id="S2.Ex10.m1.7.8.2.cmml" xref="S2.Ex10.m1.7.8.2"><times id="S2.Ex10.m1.7.8.2.1.cmml" xref="S2.Ex10.m1.7.8.2.1"></times><apply id="S2.Ex10.m1.7.8.2.2.cmml" xref="S2.Ex10.m1.7.8.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex10.m1.7.8.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex10.m1.7.8.2.2">subscript</csymbol><apply id="S2.Ex10.m1.7.8.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex10.m1.7.8.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex10.m1.7.8.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex10.m1.7.8.2.2">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex10.m1.7.8.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex10.m1.7.8.2.2.2.2">𝑐</ci><ci id="S2.Ex10.m1.7.8.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex10.m1.7.8.2.2.2.3">𝑠</ci></apply><apply id="S2.Ex10.m1.7.8.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex10.m1.7.8.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex10.m1.7.8.2.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex10.m1.7.8.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex10.m1.7.8.2.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex10.m1.7.8.2.2.3.2">𝑝</ci><ci id="S2.Ex10.m1.7.8.2.2.3.3.cmml" xref="S2.Ex10.m1.7.8.2.2.3.3">𝑟</ci></apply></apply><ci id="S2.Ex10.m1.7.7.cmml" xref="S2.Ex10.m1.7.7">𝑛</ci></apply><apply id="S2.Ex10.m1.7.8.3.1.cmml" xref="S2.Ex10.m1.6.6a"><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex10.m1.7.8.3.1.1.cmml" 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xref="S2.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.4">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S2.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.4.2">𝑝</ci><apply id="S2.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S2.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S2.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑠</ci><apply id="S2.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S2.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S2.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑟</ci><cn id="S2.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S2.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.1">conditional</csymbol><apply id="S2.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S2.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.2"><times id="S2.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.2.1"></times><ci id="S2.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.2.2a.cmml" xref="S2.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.2.2"><mtext id="S2.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.2.2"> if </mtext></ci><apply id="S2.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.2.3.2">𝑝</ci><apply id="S2.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.2.3.3.cmml" xref="S2.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.2.3.3"><times id="S2.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.2.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.2.3.3.1"></times><ci id="S2.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.2.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.2.3.3.2">𝑠</ci><ci id="S2.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.2.3.3.3.cmml" xref="S2.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.2.3.3.3">𝑟</ci></apply></apply></apply><ci id="S2.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.3.cmml" xref="S2.Ex10.m1.2.2.2.2.2.1.3">𝑛</ci></apply><apply id="S2.Ex10.m1.3.3.3.3.1.1.cmml" xref="S2.Ex10.m1.3.3.3.3.1.1"><minus id="S2.Ex10.m1.3.3.3.3.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex10.m1.3.3.3.3.1.1"></minus><apply id="S2.Ex10.m1.3.3.3.3.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex10.m1.3.3.3.3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex10.m1.3.3.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex10.m1.3.3.3.3.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex10.m1.3.3.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex10.m1.3.3.3.3.1.1.3.2">𝑝</ci><apply id="S2.Ex10.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex10.m1.3.3.3.3.1.1.1.1"><times id="S2.Ex10.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex10.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.2"></times><ci id="S2.Ex10.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex10.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.3">𝑠</ci><apply id="S2.Ex10.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex10.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1"><minus id="S2.Ex10.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex10.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S2.Ex10.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex10.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑟</ci><cn id="S2.Ex10.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex10.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.cmml" xref="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.4.cmml" xref="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.4">not-divides</csymbol><apply id="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.cmml" xref="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.2">conditional</csymbol><apply id="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.3"><times id="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.3.1"></times><ci id="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.3.2a.cmml" xref="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.3.2"><mtext id="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.3.2"> if </mtext></ci><apply id="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.3.3.cmml" xref="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.3.3.2">𝑝</ci><apply id="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.1.1"><times id="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.2"></times><ci id="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.3">𝑠</ci><apply id="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1"><minus id="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.2">𝑟</ci><cn id="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply></apply></apply></apply><list id="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.2.cmml" xref="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.1"><ci id="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.2.cmml" xref="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.2">𝑛</ci><apply id="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.1.1.2">𝑝</ci><apply id="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.1.1.3"><times id="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.1.1.3.1"></times><ci id="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.1.1.3.2">𝑠</ci><ci id="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.1.1.3.3">𝑟</ci></apply></apply></list></apply><ci id="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.5.cmml" xref="S2.Ex10.m1.4.4.4.4.2.1.5">𝑛</ci></apply><cn id="S2.Ex10.m1.5.5.5.5.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.Ex10.m1.5.5.5.5.1.1">0</cn><apply id="S2.Ex10.m1.6.6.6.6.2.1.cmml" xref="S2.Ex10.m1.6.6.6.6.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex10.m1.6.6.6.6.2.1.2.cmml" xref="S2.Ex10.m1.6.6.6.6.2.1.2">not-divides</csymbol><apply id="S2.Ex10.m1.6.6.6.6.2.1.3.cmml" xref="S2.Ex10.m1.6.6.6.6.2.1.3"><times id="S2.Ex10.m1.6.6.6.6.2.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex10.m1.6.6.6.6.2.1.3.1"></times><ci id="S2.Ex10.m1.6.6.6.6.2.1.3.2a.cmml" xref="S2.Ex10.m1.6.6.6.6.2.1.3.2"><mtext id="S2.Ex10.m1.6.6.6.6.2.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex10.m1.6.6.6.6.2.1.3.2"> if </mtext></ci><apply id="S2.Ex10.m1.6.6.6.6.2.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex10.m1.6.6.6.6.2.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex10.m1.6.6.6.6.2.1.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex10.m1.6.6.6.6.2.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex10.m1.6.6.6.6.2.1.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex10.m1.6.6.6.6.2.1.3.3.2">𝑝</ci><apply id="S2.Ex10.m1.6.6.6.6.2.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex10.m1.6.6.6.6.2.1.1.1"><times id="S2.Ex10.m1.6.6.6.6.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex10.m1.6.6.6.6.2.1.1.1.2"></times><ci id="S2.Ex10.m1.6.6.6.6.2.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex10.m1.6.6.6.6.2.1.1.1.3">𝑠</ci><apply id="S2.Ex10.m1.6.6.6.6.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex10.m1.6.6.6.6.2.1.1.1.1.1"><minus id="S2.Ex10.m1.6.6.6.6.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex10.m1.6.6.6.6.2.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S2.Ex10.m1.6.6.6.6.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex10.m1.6.6.6.6.2.1.1.1.1.1.1.2">𝑟</ci><cn id="S2.Ex10.m1.6.6.6.6.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex10.m1.6.6.6.6.2.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply></apply></apply></apply><ci id="S2.Ex10.m1.6.6.6.6.2.1.4.cmml" xref="S2.Ex10.m1.6.6.6.6.2.1.4">𝑛</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex10.m1.7c">\displaystyle c^{s}_{p^{r}}(n)=\begin{cases}p^{sr}-p^{s(r-1)}&\text{ if }p^{sr% }|n\\ -p^{s(r-1)}&\text{ if }p^{s(r-1)}|n,\,p^{sr}\nmid n\\ 0&\text{ if }p^{s(r-1)}\nmid n\\ \end{cases}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex10.m1.7d">italic_c start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_p start_POSTSUPERSCRIPT italic_r end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n ) = { start_ROW start_CELL italic_p start_POSTSUPERSCRIPT italic_s italic_r end_POSTSUPERSCRIPT - italic_p start_POSTSUPERSCRIPT italic_s ( italic_r - 1 ) end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL start_CELL if italic_p start_POSTSUPERSCRIPT italic_s italic_r end_POSTSUPERSCRIPT | italic_n end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL - italic_p start_POSTSUPERSCRIPT italic_s ( italic_r - 1 ) end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL start_CELL if italic_p start_POSTSUPERSCRIPT italic_s ( italic_r - 1 ) end_POSTSUPERSCRIPT | italic_n , italic_p start_POSTSUPERSCRIPT italic_s italic_r end_POSTSUPERSCRIPT ∤ italic_n end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL 0 end_CELL start_CELL if italic_p start_POSTSUPERSCRIPT italic_s ( italic_r - 1 ) end_POSTSUPERSCRIPT ∤ italic_n end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.2.p2.2">and so</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S2.EGx12"> <tbody id="S2.Ex11"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\sum\limits_{q}\frac{\mu(q)c_{q}^{s}(n^{s})}{J_{s+k}(q)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Ex11.m1.3"><semantics id="S2.Ex11.m1.3a"><mrow id="S2.Ex11.m1.3.4" xref="S2.Ex11.m1.3.4.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.Ex11.m1.3.4.1" xref="S2.Ex11.m1.3.4.1.cmml"><munder id="S2.Ex11.m1.3.4.1a" xref="S2.Ex11.m1.3.4.1.cmml"><mo id="S2.Ex11.m1.3.4.1.2" movablelimits="false" xref="S2.Ex11.m1.3.4.1.2.cmml">∑</mo><mi id="S2.Ex11.m1.3.4.1.3" xref="S2.Ex11.m1.3.4.1.3.cmml">q</mi></munder></mstyle><mstyle displaystyle="true" id="S2.Ex11.m1.3.3" xref="S2.Ex11.m1.3.3.cmml"><mfrac id="S2.Ex11.m1.3.3a" xref="S2.Ex11.m1.3.3.cmml"><mrow id="S2.Ex11.m1.2.2.2" xref="S2.Ex11.m1.2.2.2.cmml"><mi id="S2.Ex11.m1.2.2.2.4" xref="S2.Ex11.m1.2.2.2.4.cmml">μ</mi><mo id="S2.Ex11.m1.2.2.2.3" xref="S2.Ex11.m1.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex11.m1.2.2.2.5.2" xref="S2.Ex11.m1.2.2.2.cmml"><mo id="S2.Ex11.m1.2.2.2.5.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex11.m1.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex11.m1.1.1.1.1" xref="S2.Ex11.m1.1.1.1.1.cmml">q</mi><mo id="S2.Ex11.m1.2.2.2.5.2.2" stretchy="false" xref="S2.Ex11.m1.2.2.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.Ex11.m1.2.2.2.3a" xref="S2.Ex11.m1.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><msubsup id="S2.Ex11.m1.2.2.2.6" xref="S2.Ex11.m1.2.2.2.6.cmml"><mi id="S2.Ex11.m1.2.2.2.6.2.2" xref="S2.Ex11.m1.2.2.2.6.2.2.cmml">c</mi><mi id="S2.Ex11.m1.2.2.2.6.2.3" xref="S2.Ex11.m1.2.2.2.6.2.3.cmml">q</mi><mi id="S2.Ex11.m1.2.2.2.6.3" xref="S2.Ex11.m1.2.2.2.6.3.cmml">s</mi></msubsup><mo id="S2.Ex11.m1.2.2.2.3b" xref="S2.Ex11.m1.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex11.m1.2.2.2.2.1" xref="S2.Ex11.m1.2.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex11.m1.2.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex11.m1.2.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><msup id="S2.Ex11.m1.2.2.2.2.1.1" xref="S2.Ex11.m1.2.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex11.m1.2.2.2.2.1.1.2" xref="S2.Ex11.m1.2.2.2.2.1.1.2.cmml">n</mi><mi id="S2.Ex11.m1.2.2.2.2.1.1.3" xref="S2.Ex11.m1.2.2.2.2.1.1.3.cmml">s</mi></msup><mo id="S2.Ex11.m1.2.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S2.Ex11.m1.2.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mrow id="S2.Ex11.m1.3.3.3" xref="S2.Ex11.m1.3.3.3.cmml"><msub id="S2.Ex11.m1.3.3.3.3" xref="S2.Ex11.m1.3.3.3.3.cmml"><mi id="S2.Ex11.m1.3.3.3.3.2" xref="S2.Ex11.m1.3.3.3.3.2.cmml">J</mi><mrow id="S2.Ex11.m1.3.3.3.3.3" xref="S2.Ex11.m1.3.3.3.3.3.cmml"><mi id="S2.Ex11.m1.3.3.3.3.3.2" xref="S2.Ex11.m1.3.3.3.3.3.2.cmml">s</mi><mo id="S2.Ex11.m1.3.3.3.3.3.1" xref="S2.Ex11.m1.3.3.3.3.3.1.cmml">+</mo><mi id="S2.Ex11.m1.3.3.3.3.3.3" xref="S2.Ex11.m1.3.3.3.3.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub><mo id="S2.Ex11.m1.3.3.3.2" xref="S2.Ex11.m1.3.3.3.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex11.m1.3.3.3.4.2" xref="S2.Ex11.m1.3.3.3.cmml"><mo id="S2.Ex11.m1.3.3.3.4.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex11.m1.3.3.3.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex11.m1.3.3.3.1" xref="S2.Ex11.m1.3.3.3.1.cmml">q</mi><mo id="S2.Ex11.m1.3.3.3.4.2.2" stretchy="false" xref="S2.Ex11.m1.3.3.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mfrac></mstyle></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex11.m1.3b"><apply id="S2.Ex11.m1.3.4.cmml" xref="S2.Ex11.m1.3.4"><apply id="S2.Ex11.m1.3.4.1.cmml" xref="S2.Ex11.m1.3.4.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex11.m1.3.4.1.1.cmml" xref="S2.Ex11.m1.3.4.1">subscript</csymbol><sum id="S2.Ex11.m1.3.4.1.2.cmml" xref="S2.Ex11.m1.3.4.1.2"></sum><ci id="S2.Ex11.m1.3.4.1.3.cmml" xref="S2.Ex11.m1.3.4.1.3">𝑞</ci></apply><apply id="S2.Ex11.m1.3.3.cmml" xref="S2.Ex11.m1.3.3"><divide id="S2.Ex11.m1.3.3.4.cmml" xref="S2.Ex11.m1.3.3"></divide><apply id="S2.Ex11.m1.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex11.m1.2.2.2"><times id="S2.Ex11.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex11.m1.2.2.2.3"></times><ci id="S2.Ex11.m1.2.2.2.4.cmml" xref="S2.Ex11.m1.2.2.2.4">𝜇</ci><ci id="S2.Ex11.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex11.m1.1.1.1.1">𝑞</ci><apply id="S2.Ex11.m1.2.2.2.6.cmml" xref="S2.Ex11.m1.2.2.2.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex11.m1.2.2.2.6.1.cmml" xref="S2.Ex11.m1.2.2.2.6">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex11.m1.2.2.2.6.2.cmml" xref="S2.Ex11.m1.2.2.2.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex11.m1.2.2.2.6.2.1.cmml" xref="S2.Ex11.m1.2.2.2.6">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex11.m1.2.2.2.6.2.2.cmml" xref="S2.Ex11.m1.2.2.2.6.2.2">𝑐</ci><ci id="S2.Ex11.m1.2.2.2.6.2.3.cmml" xref="S2.Ex11.m1.2.2.2.6.2.3">𝑞</ci></apply><ci id="S2.Ex11.m1.2.2.2.6.3.cmml" xref="S2.Ex11.m1.2.2.2.6.3">𝑠</ci></apply><apply id="S2.Ex11.m1.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S2.Ex11.m1.2.2.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex11.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex11.m1.2.2.2.2.1">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex11.m1.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex11.m1.2.2.2.2.1.1.2">𝑛</ci><ci id="S2.Ex11.m1.2.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex11.m1.2.2.2.2.1.1.3">𝑠</ci></apply></apply><apply id="S2.Ex11.m1.3.3.3.cmml" xref="S2.Ex11.m1.3.3.3"><times id="S2.Ex11.m1.3.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex11.m1.3.3.3.2"></times><apply id="S2.Ex11.m1.3.3.3.3.cmml" xref="S2.Ex11.m1.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex11.m1.3.3.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex11.m1.3.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex11.m1.3.3.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex11.m1.3.3.3.3.2">𝐽</ci><apply id="S2.Ex11.m1.3.3.3.3.3.cmml" xref="S2.Ex11.m1.3.3.3.3.3"><plus id="S2.Ex11.m1.3.3.3.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex11.m1.3.3.3.3.3.1"></plus><ci id="S2.Ex11.m1.3.3.3.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex11.m1.3.3.3.3.3.2">𝑠</ci><ci id="S2.Ex11.m1.3.3.3.3.3.3.cmml" xref="S2.Ex11.m1.3.3.3.3.3.3">𝑘</ci></apply></apply><ci id="S2.Ex11.m1.3.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex11.m1.3.3.3.1">𝑞</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex11.m1.3c">\displaystyle\sum\limits_{q}\frac{\mu(q)c_{q}^{s}(n^{s})}{J_{s+k}(q)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex11.m1.3d">∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_q end_POSTSUBSCRIPT divide start_ARG italic_μ ( italic_q ) italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_q end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT ) end_ARG start_ARG italic_J start_POSTSUBSCRIPT italic_s + italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_q ) end_ARG</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\prod\limits_{\begin{subarray}{c}p\mid n\\ p\text{ prime}\end{subarray}}(1-\frac{p^{s}-1}{p^{s+k}-1})\prod\limits_{\begin% {subarray}{c}p\nmid n\\ p\text{ prime}\end{subarray}}(1+\frac{1}{p^{s+k}-1})" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Ex11.m2.4"><semantics id="S2.Ex11.m2.4a"><mrow id="S2.Ex11.m2.4.4" xref="S2.Ex11.m2.4.4.cmml"><mi id="S2.Ex11.m2.4.4.4" xref="S2.Ex11.m2.4.4.4.cmml"></mi><mo id="S2.Ex11.m2.4.4.3" xref="S2.Ex11.m2.4.4.3.cmml">=</mo><mrow id="S2.Ex11.m2.4.4.2" xref="S2.Ex11.m2.4.4.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.Ex11.m2.4.4.2.3" xref="S2.Ex11.m2.4.4.2.3.cmml"><munder id="S2.Ex11.m2.4.4.2.3a" xref="S2.Ex11.m2.4.4.2.3.cmml"><mo id="S2.Ex11.m2.4.4.2.3.2" movablelimits="false" xref="S2.Ex11.m2.4.4.2.3.2.cmml">∏</mo><mtable id="S2.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S2.Ex11.m2.1.1.1a.2.cmml"><mtr id="S2.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1a" xref="S2.Ex11.m2.1.1.1a.2.cmml"><mtd id="S2.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1b" xref="S2.Ex11.m2.1.1.1a.2.cmml"><mrow id="S2.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">p</mi><mo id="S2.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">∣</mo><mi id="S2.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">n</mi></mrow></mtd></mtr><mtr id="S2.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1c" xref="S2.Ex11.m2.1.1.1a.2.cmml"><mtd id="S2.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1d" xref="S2.Ex11.m2.1.1.1a.2.cmml"><mrow id="S2.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="S2.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="S2.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml">p</mi><mo id="S2.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="S2.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><mtext id="S2.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="S2.Ex11.m2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3a.cmml"> prime</mtext></mrow></mtd></mtr></mtable></munder></mstyle><mrow id="S2.Ex11.m2.4.4.2.2" xref="S2.Ex11.m2.4.4.2.2.cmml"><mrow id="S2.Ex11.m2.3.3.1.1.1.1" xref="S2.Ex11.m2.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex11.m2.3.3.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex11.m2.3.3.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex11.m2.3.3.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex11.m2.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S2.Ex11.m2.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex11.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S2.Ex11.m2.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex11.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S2.Ex11.m2.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex11.m2.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S2.Ex11.m2.3.3.1.1.1.1.1.3a" xref="S2.Ex11.m2.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.Ex11.m2.3.3.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex11.m2.3.3.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><msup id="S2.Ex11.m2.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.Ex11.m2.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S2.Ex11.m2.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S2.Ex11.m2.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">p</mi><mi id="S2.Ex11.m2.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S2.Ex11.m2.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">s</mi></msup><mo id="S2.Ex11.m2.3.3.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S2.Ex11.m2.3.3.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">−</mo><mn id="S2.Ex11.m2.3.3.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S2.Ex11.m2.3.3.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">1</mn></mrow><mrow id="S2.Ex11.m2.3.3.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.Ex11.m2.3.3.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><msup id="S2.Ex11.m2.3.3.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S2.Ex11.m2.3.3.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S2.Ex11.m2.3.3.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S2.Ex11.m2.3.3.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">p</mi><mrow id="S2.Ex11.m2.3.3.1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S2.Ex11.m2.3.3.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex11.m2.3.3.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2" xref="S2.Ex11.m2.3.3.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.cmml">s</mi><mo id="S2.Ex11.m2.3.3.1.1.1.1.1.3.3.2.3.1" xref="S2.Ex11.m2.3.3.1.1.1.1.1.3.3.2.3.1.cmml">+</mo><mi id="S2.Ex11.m2.3.3.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3" xref="S2.Ex11.m2.3.3.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.cmml">k</mi></mrow></msup><mo id="S2.Ex11.m2.3.3.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S2.Ex11.m2.3.3.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="S2.Ex11.m2.3.3.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S2.Ex11.m2.3.3.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></mfrac></mstyle></mrow><mo id="S2.Ex11.m2.3.3.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.Ex11.m2.3.3.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.Ex11.m2.4.4.2.2.3" xref="S2.Ex11.m2.4.4.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex11.m2.4.4.2.2.2" xref="S2.Ex11.m2.4.4.2.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.Ex11.m2.4.4.2.2.2.2" xref="S2.Ex11.m2.4.4.2.2.2.2.cmml"><munder id="S2.Ex11.m2.4.4.2.2.2.2a" xref="S2.Ex11.m2.4.4.2.2.2.2.cmml"><mo id="S2.Ex11.m2.4.4.2.2.2.2.2" movablelimits="false" xref="S2.Ex11.m2.4.4.2.2.2.2.2.cmml">∏</mo><mtable id="S2.Ex11.m2.2.2.1.1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S2.Ex11.m2.2.2.1a.2.cmml"><mtr id="S2.Ex11.m2.2.2.1.1.1.1a" xref="S2.Ex11.m2.2.2.1a.2.cmml"><mtd id="S2.Ex11.m2.2.2.1.1.1.1b" xref="S2.Ex11.m2.2.2.1a.2.cmml"><mrow id="S2.Ex11.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex11.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex11.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex11.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">p</mi><mo id="S2.Ex11.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex11.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">∤</mo><mi id="S2.Ex11.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex11.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">n</mi></mrow></mtd></mtr><mtr id="S2.Ex11.m2.2.2.1.1.1.1c" xref="S2.Ex11.m2.2.2.1a.2.cmml"><mtd id="S2.Ex11.m2.2.2.1.1.1.1d" xref="S2.Ex11.m2.2.2.1a.2.cmml"><mrow id="S2.Ex11.m2.2.2.1.1.1.1.2.1.1" xref="S2.Ex11.m2.2.2.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex11.m2.2.2.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="S2.Ex11.m2.2.2.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml">p</mi><mo id="S2.Ex11.m2.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="S2.Ex11.m2.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><mtext id="S2.Ex11.m2.2.2.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="S2.Ex11.m2.2.2.1.1.1.1.2.1.1.3a.cmml"> prime</mtext></mrow></mtd></mtr></mtable></munder></mstyle><mrow id="S2.Ex11.m2.4.4.2.2.2.1.1" xref="S2.Ex11.m2.4.4.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex11.m2.4.4.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex11.m2.4.4.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex11.m2.4.4.2.2.2.1.1.1" xref="S2.Ex11.m2.4.4.2.2.2.1.1.1.cmml"><mn id="S2.Ex11.m2.4.4.2.2.2.1.1.1.2" xref="S2.Ex11.m2.4.4.2.2.2.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S2.Ex11.m2.4.4.2.2.2.1.1.1.1" xref="S2.Ex11.m2.4.4.2.2.2.1.1.1.1.cmml">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S2.Ex11.m2.4.4.2.2.2.1.1.1.3" xref="S2.Ex11.m2.4.4.2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S2.Ex11.m2.4.4.2.2.2.1.1.1.3a" xref="S2.Ex11.m2.4.4.2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mn id="S2.Ex11.m2.4.4.2.2.2.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex11.m2.4.4.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mrow id="S2.Ex11.m2.4.4.2.2.2.1.1.1.3.3" xref="S2.Ex11.m2.4.4.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml"><msup id="S2.Ex11.m2.4.4.2.2.2.1.1.1.3.3.2" xref="S2.Ex11.m2.4.4.2.2.2.1.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S2.Ex11.m2.4.4.2.2.2.1.1.1.3.3.2.2" xref="S2.Ex11.m2.4.4.2.2.2.1.1.1.3.3.2.2.cmml">p</mi><mrow id="S2.Ex11.m2.4.4.2.2.2.1.1.1.3.3.2.3" xref="S2.Ex11.m2.4.4.2.2.2.1.1.1.3.3.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex11.m2.4.4.2.2.2.1.1.1.3.3.2.3.2" xref="S2.Ex11.m2.4.4.2.2.2.1.1.1.3.3.2.3.2.cmml">s</mi><mo id="S2.Ex11.m2.4.4.2.2.2.1.1.1.3.3.2.3.1" xref="S2.Ex11.m2.4.4.2.2.2.1.1.1.3.3.2.3.1.cmml">+</mo><mi id="S2.Ex11.m2.4.4.2.2.2.1.1.1.3.3.2.3.3" xref="S2.Ex11.m2.4.4.2.2.2.1.1.1.3.3.2.3.3.cmml">k</mi></mrow></msup><mo id="S2.Ex11.m2.4.4.2.2.2.1.1.1.3.3.1" xref="S2.Ex11.m2.4.4.2.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="S2.Ex11.m2.4.4.2.2.2.1.1.1.3.3.3" xref="S2.Ex11.m2.4.4.2.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></mfrac></mstyle></mrow><mo id="S2.Ex11.m2.4.4.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" 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xref="S2.Ex11.m2.3.3.1.1.1.1.1.3.2.2.3">𝑠</ci></apply><cn id="S2.Ex11.m2.3.3.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex11.m2.3.3.1.1.1.1.1.3.2.3">1</cn></apply><apply id="S2.Ex11.m2.3.3.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex11.m2.3.3.1.1.1.1.1.3.3"><minus id="S2.Ex11.m2.3.3.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex11.m2.3.3.1.1.1.1.1.3.3.1"></minus><apply id="S2.Ex11.m2.3.3.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex11.m2.3.3.1.1.1.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex11.m2.3.3.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex11.m2.3.3.1.1.1.1.1.3.3.2">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex11.m2.3.3.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex11.m2.3.3.1.1.1.1.1.3.3.2.2">𝑝</ci><apply id="S2.Ex11.m2.3.3.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S2.Ex11.m2.3.3.1.1.1.1.1.3.3.2.3"><plus id="S2.Ex11.m2.3.3.1.1.1.1.1.3.3.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex11.m2.3.3.1.1.1.1.1.3.3.2.3.1"></plus><ci id="S2.Ex11.m2.3.3.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex11.m2.3.3.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2">𝑠</ci><ci id="S2.Ex11.m2.3.3.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.cmml" 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italic_p start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_ARG start_ARG italic_p start_POSTSUPERSCRIPT italic_s + italic_k end_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_ARG ) ∏ start_POSTSUBSCRIPT start_ARG start_ROW start_CELL italic_p ∤ italic_n end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_p prime end_CELL end_ROW end_ARG end_POSTSUBSCRIPT ( 1 + divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_p start_POSTSUPERSCRIPT italic_s + italic_k end_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_ARG )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S2.Ex12"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\prod\limits_{\begin{subarray}{c}p\end{subarray}}(\frac{1}{1-p^{% -(s+k)}})\prod\limits_{\begin{subarray}{c}p\mid n\\ p\text{ prime}\end{subarray}}(1-\frac{1}{p^{k}})." class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Ex12.m1.4"><semantics id="S2.Ex12.m1.4a"><mrow id="S2.Ex12.m1.4.4.1" xref="S2.Ex12.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex12.m1.4.4.1.1" xref="S2.Ex12.m1.4.4.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex12.m1.4.4.1.1.3" xref="S2.Ex12.m1.4.4.1.1.3.cmml"></mi><mo id="S2.Ex12.m1.4.4.1.1.2" xref="S2.Ex12.m1.4.4.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S2.Ex12.m1.4.4.1.1.1" xref="S2.Ex12.m1.4.4.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.Ex12.m1.4.4.1.1.1.2" xref="S2.Ex12.m1.4.4.1.1.1.2.cmml"><munder id="S2.Ex12.m1.4.4.1.1.1.2a" xref="S2.Ex12.m1.4.4.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.Ex12.m1.4.4.1.1.1.2.2" movablelimits="false" xref="S2.Ex12.m1.4.4.1.1.1.2.2.cmml">∏</mo><mtable id="S2.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex12.m1.1.1.1a.2.cmml"><mtr id="S2.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1a" xref="S2.Ex12.m1.1.1.1a.2.cmml"><mtd id="S2.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1b" xref="S2.Ex12.m1.1.1.1a.2.cmml"><mi id="S2.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">p</mi></mtd></mtr></mtable></munder></mstyle><mrow id="S2.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S2.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex12.m1.3.3.cmml"><mo id="S2.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex12.m1.3.3.cmml">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S2.Ex12.m1.3.3" xref="S2.Ex12.m1.3.3.cmml"><mfrac id="S2.Ex12.m1.3.3a" xref="S2.Ex12.m1.3.3.cmml"><mn id="S2.Ex12.m1.3.3.3" xref="S2.Ex12.m1.3.3.3.cmml">1</mn><mrow id="S2.Ex12.m1.3.3.1" xref="S2.Ex12.m1.3.3.1.cmml"><mn id="S2.Ex12.m1.3.3.1.3" xref="S2.Ex12.m1.3.3.1.3.cmml">1</mn><mo id="S2.Ex12.m1.3.3.1.2" xref="S2.Ex12.m1.3.3.1.2.cmml">−</mo><msup id="S2.Ex12.m1.3.3.1.4" xref="S2.Ex12.m1.3.3.1.4.cmml"><mi id="S2.Ex12.m1.3.3.1.4.2" xref="S2.Ex12.m1.3.3.1.4.2.cmml">p</mi><mrow id="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1" xref="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1a" xref="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">s</mi><mo id="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mi id="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></mrow><mo id="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msup></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S2.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.Ex12.m1.3.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml"><munder id="S2.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.2a" xref="S2.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2" movablelimits="false" xref="S2.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.cmml">∏</mo><mtable id="S2.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1" rowspacing="0pt" xref="S2.Ex12.m1.2.2.1a.2.cmml"><mtr id="S2.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1a" xref="S2.Ex12.m1.2.2.1a.2.cmml"><mtd id="S2.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1b" xref="S2.Ex12.m1.2.2.1a.2.cmml"><mrow id="S2.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">p</mi><mo id="S2.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">∣</mo><mi id="S2.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">n</mi></mrow></mtd></mtr><mtr id="S2.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1c" xref="S2.Ex12.m1.2.2.1a.2.cmml"><mtd id="S2.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1d" xref="S2.Ex12.m1.2.2.1a.2.cmml"><mrow id="S2.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1" xref="S2.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="S2.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml">p</mi><mo id="S2.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="S2.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><mtext id="S2.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="S2.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.3a.cmml"> prime</mtext></mrow></mtd></mtr></mtable></munder></mstyle><mrow id="S2.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S2.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S2.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S2.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S2.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3a" xref="S2.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S2.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><msup id="S2.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S2.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">p</mi><mi id="S2.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S2.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">k</mi></msup></mfrac></mstyle></mrow><mo id="S2.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.Ex12.m1.4.4.1.2" lspace="0em" xref="S2.Ex12.m1.4.4.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex12.m1.4b"><apply id="S2.Ex12.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S2.Ex12.m1.4.4.1"><eq id="S2.Ex12.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex12.m1.4.4.1.1.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex12.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex12.m1.4.4.1.1.3">absent</csymbol><apply id="S2.Ex12.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex12.m1.4.4.1.1.1"><apply id="S2.Ex12.m1.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex12.m1.4.4.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex12.m1.4.4.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex12.m1.4.4.1.1.1.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex12.m1.4.4.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex12.m1.4.4.1.1.1.2.2">product</csymbol><list id="S2.Ex12.m1.1.1.1a.2.cmml" xref="S2.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1"><matrix id="S2.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1"><matrixrow id="S2.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1a.cmml" xref="S2.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1"><ci id="S2.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex12.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">𝑝</ci></matrixrow></matrix></list></apply><apply id="S2.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1"><times id="S2.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.2"></times><apply id="S2.Ex12.m1.3.3.cmml" xref="S2.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.3.2"><divide id="S2.Ex12.m1.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.3.2"></divide><cn id="S2.Ex12.m1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex12.m1.3.3.3">1</cn><apply id="S2.Ex12.m1.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex12.m1.3.3.1"><minus id="S2.Ex12.m1.3.3.1.2.cmml" xref="S2.Ex12.m1.3.3.1.2"></minus><cn id="S2.Ex12.m1.3.3.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex12.m1.3.3.1.3">1</cn><apply id="S2.Ex12.m1.3.3.1.4.cmml" xref="S2.Ex12.m1.3.3.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex12.m1.3.3.1.4.1.cmml" xref="S2.Ex12.m1.3.3.1.4">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex12.m1.3.3.1.4.2.cmml" xref="S2.Ex12.m1.3.3.1.4.2">𝑝</ci><apply id="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1"><minus id="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1"></minus><apply id="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1"><plus id="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2">𝑠</ci><ci id="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex12.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1"><apply id="S2.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2">product</csymbol><list id="S2.Ex12.m1.2.2.1a.2.cmml" xref="S2.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1"><matrix id="S2.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1"><matrixrow id="S2.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1a.cmml" xref="S2.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1"><apply id="S2.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1">conditional</csymbol><ci id="S2.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑝</ci><ci id="S2.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑛</ci></apply></matrixrow><matrixrow id="S2.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1b.cmml" xref="S2.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1"><apply id="S2.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S2.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1"><times id="S2.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.1"></times><ci id="S2.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.2">𝑝</ci><ci id="S2.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.3a.cmml" xref="S2.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.3"><mtext id="S2.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S2.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.1.3"> prime</mtext></ci></apply></matrixrow></matrix></list></apply><apply id="S2.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S2.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><cn id="S2.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S2.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2">1</cn><apply id="S2.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><divide id="S2.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3"></divide><cn id="S2.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">1</cn><apply id="S2.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑝</ci><ci id="S2.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex12.m1.4c">\displaystyle=\prod\limits_{\begin{subarray}{c}p\end{subarray}}(\frac{1}{1-p^{% -(s+k)}})\prod\limits_{\begin{subarray}{c}p\mid n\\ p\text{ prime}\end{subarray}}(1-\frac{1}{p^{k}}).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex12.m1.4d">= ∏ start_POSTSUBSCRIPT start_ARG start_ROW start_CELL italic_p end_CELL end_ROW end_ARG end_POSTSUBSCRIPT ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 1 - italic_p start_POSTSUPERSCRIPT - ( italic_s + italic_k ) end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ) ∏ start_POSTSUBSCRIPT start_ARG start_ROW start_CELL italic_p ∣ italic_n end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_p prime end_CELL end_ROW end_ARG end_POSTSUBSCRIPT ( 1 - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_p start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S2.3.p3"> <p class="ltx_p" id="S2.3.p3.4">Now by <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12027v1#bib.bib2" title="">2</a>, Lemma 1.2]</cite>, we have</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S2.EGx13"> <tbody id="S2.Ex13"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\zeta(z)=\prod\limits_{p}\frac{1}{1-p^{-z}}." class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Ex13.m1.2"><semantics id="S2.Ex13.m1.2a"><mrow id="S2.Ex13.m1.2.2.1" xref="S2.Ex13.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex13.m1.2.2.1.1" xref="S2.Ex13.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex13.m1.2.2.1.1.2" xref="S2.Ex13.m1.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="S2.Ex13.m1.2.2.1.1.2.2" xref="S2.Ex13.m1.2.2.1.1.2.2.cmml">ζ</mi><mo id="S2.Ex13.m1.2.2.1.1.2.1" xref="S2.Ex13.m1.2.2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex13.m1.2.2.1.1.2.3.2" xref="S2.Ex13.m1.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S2.Ex13.m1.2.2.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex13.m1.2.2.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex13.m1.1.1" xref="S2.Ex13.m1.1.1.cmml">z</mi><mo id="S2.Ex13.m1.2.2.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.Ex13.m1.2.2.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.Ex13.m1.2.2.1.1.1" xref="S2.Ex13.m1.2.2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.Ex13.m1.2.2.1.1.3" xref="S2.Ex13.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.Ex13.m1.2.2.1.1.3.1" xref="S2.Ex13.m1.2.2.1.1.3.1.cmml"><munder id="S2.Ex13.m1.2.2.1.1.3.1a" xref="S2.Ex13.m1.2.2.1.1.3.1.cmml"><mo id="S2.Ex13.m1.2.2.1.1.3.1.2" movablelimits="false" xref="S2.Ex13.m1.2.2.1.1.3.1.2.cmml">∏</mo><mi id="S2.Ex13.m1.2.2.1.1.3.1.3" xref="S2.Ex13.m1.2.2.1.1.3.1.3.cmml">p</mi></munder></mstyle><mstyle displaystyle="true" id="S2.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2" xref="S2.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.cmml"><mfrac id="S2.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2a" xref="S2.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.cmml"><mn id="S2.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.2" xref="S2.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mrow id="S2.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.3" xref="S2.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.3.cmml"><mn id="S2.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.3.2" xref="S2.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.3.2.cmml">1</mn><mo id="S2.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.3.1" xref="S2.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.3.1.cmml">−</mo><msup id="S2.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.3.3" xref="S2.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.3.3.cmml"><mi id="S2.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.3.3.2" xref="S2.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.3.3.2.cmml">p</mi><mrow id="S2.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.3.3.3" xref="S2.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.3.3.3.cmml"><mo id="S2.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.3.3.3a" xref="S2.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.3.3.3.cmml">−</mo><mi id="S2.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.3.3.3.2" xref="S2.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.3.3.3.2.cmml">z</mi></mrow></msup></mrow></mfrac></mstyle></mrow></mrow><mo id="S2.Ex13.m1.2.2.1.2" lspace="0em" xref="S2.Ex13.m1.2.2.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex13.m1.2b"><apply id="S2.Ex13.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S2.Ex13.m1.2.2.1"><eq id="S2.Ex13.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex13.m1.2.2.1.1.1"></eq><apply id="S2.Ex13.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex13.m1.2.2.1.1.2"><times id="S2.Ex13.m1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex13.m1.2.2.1.1.2.1"></times><ci id="S2.Ex13.m1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex13.m1.2.2.1.1.2.2">𝜁</ci><ci id="S2.Ex13.m1.1.1.cmml" xref="S2.Ex13.m1.1.1">𝑧</ci></apply><apply id="S2.Ex13.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex13.m1.2.2.1.1.3"><apply id="S2.Ex13.m1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex13.m1.2.2.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex13.m1.2.2.1.1.3.1.1.cmml" xref="S2.Ex13.m1.2.2.1.1.3.1">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex13.m1.2.2.1.1.3.1.2.cmml" xref="S2.Ex13.m1.2.2.1.1.3.1.2">product</csymbol><ci id="S2.Ex13.m1.2.2.1.1.3.1.3.cmml" xref="S2.Ex13.m1.2.2.1.1.3.1.3">𝑝</ci></apply><apply id="S2.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2"><divide id="S2.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2"></divide><cn id="S2.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.2">1</cn><apply id="S2.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.3"><minus id="S2.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.3.1"></minus><cn id="S2.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.3.2">1</cn><apply id="S2.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S2.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.3.3">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.3.3.2">𝑝</ci><apply id="S2.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.3.3.3.cmml" xref="S2.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.3.3.3"><minus id="S2.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.3.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.3.3.3"></minus><ci id="S2.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.3.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.3.3.3.2">𝑧</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex13.m1.2c">\displaystyle\zeta(z)=\prod\limits_{p}\frac{1}{1-p^{-z}}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex13.m1.2d">italic_ζ ( italic_z ) = ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 1 - italic_p start_POSTSUPERSCRIPT - italic_z end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.3.p3.3">Further, <math alttext="\zeta(z)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.3.p3.1.m1.1"><semantics id="S2.3.p3.1.m1.1a"><mrow id="S2.3.p3.1.m1.1.2" xref="S2.3.p3.1.m1.1.2.cmml"><mi id="S2.3.p3.1.m1.1.2.2" xref="S2.3.p3.1.m1.1.2.2.cmml">ζ</mi><mo id="S2.3.p3.1.m1.1.2.1" xref="S2.3.p3.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.3.p3.1.m1.1.2.3.2" xref="S2.3.p3.1.m1.1.2.cmml"><mo id="S2.3.p3.1.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.3.p3.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.3.p3.1.m1.1.1" xref="S2.3.p3.1.m1.1.1.cmml">z</mi><mo id="S2.3.p3.1.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.3.p3.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.3.p3.1.m1.1b"><apply id="S2.3.p3.1.m1.1.2.cmml" xref="S2.3.p3.1.m1.1.2"><times id="S2.3.p3.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S2.3.p3.1.m1.1.2.1"></times><ci id="S2.3.p3.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S2.3.p3.1.m1.1.2.2">𝜁</ci><ci id="S2.3.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.3.p3.1.m1.1.1">𝑧</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.3.p3.1.m1.1c">\zeta(z)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.3.p3.1.m1.1d">italic_ζ ( italic_z )</annotation></semantics></math> converges for all <math alttext="z" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.3.p3.2.m2.1"><semantics id="S2.3.p3.2.m2.1a"><mi id="S2.3.p3.2.m2.1.1" xref="S2.3.p3.2.m2.1.1.cmml">z</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.3.p3.2.m2.1b"><ci id="S2.3.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.3.p3.2.m2.1.1">𝑧</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.3.p3.2.m2.1c">z</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.3.p3.2.m2.1d">italic_z</annotation></semantics></math> with <math alttext="Re(z)\geq 1" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.3.p3.3.m3.1"><semantics id="S2.3.p3.3.m3.1a"><mrow id="S2.3.p3.3.m3.1.2" xref="S2.3.p3.3.m3.1.2.cmml"><mrow id="S2.3.p3.3.m3.1.2.2" xref="S2.3.p3.3.m3.1.2.2.cmml"><mi id="S2.3.p3.3.m3.1.2.2.2" xref="S2.3.p3.3.m3.1.2.2.2.cmml">R</mi><mo id="S2.3.p3.3.m3.1.2.2.1" xref="S2.3.p3.3.m3.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.3.p3.3.m3.1.2.2.3" xref="S2.3.p3.3.m3.1.2.2.3.cmml">e</mi><mo id="S2.3.p3.3.m3.1.2.2.1a" xref="S2.3.p3.3.m3.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.3.p3.3.m3.1.2.2.4.2" xref="S2.3.p3.3.m3.1.2.2.cmml"><mo id="S2.3.p3.3.m3.1.2.2.4.2.1" stretchy="false" xref="S2.3.p3.3.m3.1.2.2.cmml">(</mo><mi id="S2.3.p3.3.m3.1.1" xref="S2.3.p3.3.m3.1.1.cmml">z</mi><mo id="S2.3.p3.3.m3.1.2.2.4.2.2" stretchy="false" xref="S2.3.p3.3.m3.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.3.p3.3.m3.1.2.1" xref="S2.3.p3.3.m3.1.2.1.cmml">≥</mo><mn id="S2.3.p3.3.m3.1.2.3" xref="S2.3.p3.3.m3.1.2.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.3.p3.3.m3.1b"><apply id="S2.3.p3.3.m3.1.2.cmml" xref="S2.3.p3.3.m3.1.2"><geq id="S2.3.p3.3.m3.1.2.1.cmml" xref="S2.3.p3.3.m3.1.2.1"></geq><apply id="S2.3.p3.3.m3.1.2.2.cmml" xref="S2.3.p3.3.m3.1.2.2"><times id="S2.3.p3.3.m3.1.2.2.1.cmml" xref="S2.3.p3.3.m3.1.2.2.1"></times><ci id="S2.3.p3.3.m3.1.2.2.2.cmml" xref="S2.3.p3.3.m3.1.2.2.2">𝑅</ci><ci id="S2.3.p3.3.m3.1.2.2.3.cmml" xref="S2.3.p3.3.m3.1.2.2.3">𝑒</ci><ci id="S2.3.p3.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.3.p3.3.m3.1.1">𝑧</ci></apply><cn id="S2.3.p3.3.m3.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.3.p3.3.m3.1.2.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.3.p3.3.m3.1c">Re(z)\geq 1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.3.p3.3.m3.1d">italic_R italic_e ( italic_z ) ≥ 1</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.4.p4"> <p class="ltx_p" id="S2.4.p4.1">Hence the last step in the above computations becomes equal to</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S2.EGx14"> <tbody id="S2.Ex14"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\zeta(k+s)\frac{J_{k}(n)}{n^{k}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Ex14.m1.2"><semantics id="S2.Ex14.m1.2a"><mrow id="S2.Ex14.m1.2.2" xref="S2.Ex14.m1.2.2.cmml"><mi id="S2.Ex14.m1.2.2.3" xref="S2.Ex14.m1.2.2.3.cmml">ζ</mi><mo id="S2.Ex14.m1.2.2.2" xref="S2.Ex14.m1.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex14.m1.2.2.1.1" xref="S2.Ex14.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex14.m1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex14.m1.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex14.m1.2.2.1.1.1" xref="S2.Ex14.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex14.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S2.Ex14.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">k</mi><mo id="S2.Ex14.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S2.Ex14.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">+</mo><mi id="S2.Ex14.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S2.Ex14.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">s</mi></mrow><mo id="S2.Ex14.m1.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.Ex14.m1.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.Ex14.m1.2.2.2a" xref="S2.Ex14.m1.2.2.2.cmml">⁢</mo><mstyle displaystyle="true" id="S2.Ex14.m1.1.1" xref="S2.Ex14.m1.1.1.cmml"><mfrac id="S2.Ex14.m1.1.1a" xref="S2.Ex14.m1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex14.m1.1.1.1" xref="S2.Ex14.m1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.Ex14.m1.1.1.1.3" xref="S2.Ex14.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Ex14.m1.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex14.m1.1.1.1.3.2.cmml">J</mi><mi id="S2.Ex14.m1.1.1.1.3.3" xref="S2.Ex14.m1.1.1.1.3.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S2.Ex14.m1.1.1.1.2" xref="S2.Ex14.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex14.m1.1.1.1.4.2" xref="S2.Ex14.m1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex14.m1.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex14.m1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex14.m1.1.1.1.1" xref="S2.Ex14.m1.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S2.Ex14.m1.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S2.Ex14.m1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><msup id="S2.Ex14.m1.1.1.3" xref="S2.Ex14.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Ex14.m1.1.1.3.2" xref="S2.Ex14.m1.1.1.3.2.cmml">n</mi><mi id="S2.Ex14.m1.1.1.3.3" xref="S2.Ex14.m1.1.1.3.3.cmml">k</mi></msup></mfrac></mstyle></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex14.m1.2b"><apply id="S2.Ex14.m1.2.2.cmml" xref="S2.Ex14.m1.2.2"><times id="S2.Ex14.m1.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex14.m1.2.2.2"></times><ci id="S2.Ex14.m1.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex14.m1.2.2.3">𝜁</ci><apply id="S2.Ex14.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex14.m1.2.2.1.1"><plus id="S2.Ex14.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex14.m1.2.2.1.1.1.1"></plus><ci id="S2.Ex14.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex14.m1.2.2.1.1.1.2">𝑘</ci><ci id="S2.Ex14.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex14.m1.2.2.1.1.1.3">𝑠</ci></apply><apply id="S2.Ex14.m1.1.1.cmml" xref="S2.Ex14.m1.1.1"><divide id="S2.Ex14.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex14.m1.1.1"></divide><apply id="S2.Ex14.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex14.m1.1.1.1"><times id="S2.Ex14.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex14.m1.1.1.1.2"></times><apply id="S2.Ex14.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex14.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex14.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex14.m1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex14.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex14.m1.1.1.1.3.2">𝐽</ci><ci id="S2.Ex14.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex14.m1.1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply><ci id="S2.Ex14.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex14.m1.1.1.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="S2.Ex14.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex14.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex14.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex14.m1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex14.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex14.m1.1.1.3.2">𝑛</ci><ci id="S2.Ex14.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex14.m1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex14.m1.2c">\displaystyle\zeta(k+s)\frac{J_{k}(n)}{n^{k}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex14.m1.2d">italic_ζ ( italic_k + italic_s ) divide start_ARG italic_J start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n ) end_ARG start_ARG italic_n start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.4.p4.2">which is what we claimed in the statement of the theorem. ∎</p> </div> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_defi" id="S2.Thmtheo1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.Thmtheo1.1.1.1">Definition 2.1</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.Thmtheo1.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="S2.Thmtheo1.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.Thmtheo1.p1.5"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.Thmtheo1.p1.5.5">For <math alttext="k,n\in\mathbb{N}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmtheo1.p1.1.1.m1.2"><semantics id="S2.Thmtheo1.p1.1.1.m1.2a"><mrow id="S2.Thmtheo1.p1.1.1.m1.2.3" xref="S2.Thmtheo1.p1.1.1.m1.2.3.cmml"><mrow id="S2.Thmtheo1.p1.1.1.m1.2.3.2.2" xref="S2.Thmtheo1.p1.1.1.m1.2.3.2.1.cmml"><mi id="S2.Thmtheo1.p1.1.1.m1.1.1" xref="S2.Thmtheo1.p1.1.1.m1.1.1.cmml">k</mi><mo id="S2.Thmtheo1.p1.1.1.m1.2.3.2.2.1" xref="S2.Thmtheo1.p1.1.1.m1.2.3.2.1.cmml">,</mo><mi id="S2.Thmtheo1.p1.1.1.m1.2.2" xref="S2.Thmtheo1.p1.1.1.m1.2.2.cmml">n</mi></mrow><mo id="S2.Thmtheo1.p1.1.1.m1.2.3.1" xref="S2.Thmtheo1.p1.1.1.m1.2.3.1.cmml">∈</mo><mi id="S2.Thmtheo1.p1.1.1.m1.2.3.3" xref="S2.Thmtheo1.p1.1.1.m1.2.3.3.cmml">ℕ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmtheo1.p1.1.1.m1.2b"><apply id="S2.Thmtheo1.p1.1.1.m1.2.3.cmml" xref="S2.Thmtheo1.p1.1.1.m1.2.3"><in id="S2.Thmtheo1.p1.1.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S2.Thmtheo1.p1.1.1.m1.2.3.1"></in><list id="S2.Thmtheo1.p1.1.1.m1.2.3.2.1.cmml" xref="S2.Thmtheo1.p1.1.1.m1.2.3.2.2"><ci id="S2.Thmtheo1.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.Thmtheo1.p1.1.1.m1.1.1">𝑘</ci><ci id="S2.Thmtheo1.p1.1.1.m1.2.2.cmml" xref="S2.Thmtheo1.p1.1.1.m1.2.2">𝑛</ci></list><ci id="S2.Thmtheo1.p1.1.1.m1.2.3.3.cmml" xref="S2.Thmtheo1.p1.1.1.m1.2.3.3">ℕ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmtheo1.p1.1.1.m1.2c">k,n\in\mathbb{N}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmtheo1.p1.1.1.m1.2d">italic_k , italic_n ∈ blackboard_N</annotation></semantics></math>, by <math alttext="\tau_{k}(n)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmtheo1.p1.2.2.m2.1"><semantics id="S2.Thmtheo1.p1.2.2.m2.1a"><mrow id="S2.Thmtheo1.p1.2.2.m2.1.2" xref="S2.Thmtheo1.p1.2.2.m2.1.2.cmml"><msub id="S2.Thmtheo1.p1.2.2.m2.1.2.2" xref="S2.Thmtheo1.p1.2.2.m2.1.2.2.cmml"><mi id="S2.Thmtheo1.p1.2.2.m2.1.2.2.2" xref="S2.Thmtheo1.p1.2.2.m2.1.2.2.2.cmml">τ</mi><mi id="S2.Thmtheo1.p1.2.2.m2.1.2.2.3" xref="S2.Thmtheo1.p1.2.2.m2.1.2.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S2.Thmtheo1.p1.2.2.m2.1.2.1" xref="S2.Thmtheo1.p1.2.2.m2.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Thmtheo1.p1.2.2.m2.1.2.3.2" xref="S2.Thmtheo1.p1.2.2.m2.1.2.cmml"><mo id="S2.Thmtheo1.p1.2.2.m2.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.Thmtheo1.p1.2.2.m2.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.Thmtheo1.p1.2.2.m2.1.1" xref="S2.Thmtheo1.p1.2.2.m2.1.1.cmml">n</mi><mo id="S2.Thmtheo1.p1.2.2.m2.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.Thmtheo1.p1.2.2.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmtheo1.p1.2.2.m2.1b"><apply id="S2.Thmtheo1.p1.2.2.m2.1.2.cmml" xref="S2.Thmtheo1.p1.2.2.m2.1.2"><times id="S2.Thmtheo1.p1.2.2.m2.1.2.1.cmml" xref="S2.Thmtheo1.p1.2.2.m2.1.2.1"></times><apply id="S2.Thmtheo1.p1.2.2.m2.1.2.2.cmml" xref="S2.Thmtheo1.p1.2.2.m2.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmtheo1.p1.2.2.m2.1.2.2.1.cmml" xref="S2.Thmtheo1.p1.2.2.m2.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmtheo1.p1.2.2.m2.1.2.2.2.cmml" xref="S2.Thmtheo1.p1.2.2.m2.1.2.2.2">𝜏</ci><ci id="S2.Thmtheo1.p1.2.2.m2.1.2.2.3.cmml" xref="S2.Thmtheo1.p1.2.2.m2.1.2.2.3">𝑘</ci></apply><ci id="S2.Thmtheo1.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.Thmtheo1.p1.2.2.m2.1.1">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmtheo1.p1.2.2.m2.1c">\tau_{k}(n)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmtheo1.p1.2.2.m2.1d">italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n )</annotation></semantics></math> we mean the number of positive integers <math alttext="l^{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmtheo1.p1.3.3.m3.1"><semantics id="S2.Thmtheo1.p1.3.3.m3.1a"><msup id="S2.Thmtheo1.p1.3.3.m3.1.1" xref="S2.Thmtheo1.p1.3.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S2.Thmtheo1.p1.3.3.m3.1.1.2" xref="S2.Thmtheo1.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml">l</mi><mi id="S2.Thmtheo1.p1.3.3.m3.1.1.3" xref="S2.Thmtheo1.p1.3.3.m3.1.1.3.cmml">k</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmtheo1.p1.3.3.m3.1b"><apply id="S2.Thmtheo1.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.Thmtheo1.p1.3.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmtheo1.p1.3.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmtheo1.p1.3.3.m3.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.Thmtheo1.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmtheo1.p1.3.3.m3.1.1.2">𝑙</ci><ci id="S2.Thmtheo1.p1.3.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S2.Thmtheo1.p1.3.3.m3.1.1.3">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmtheo1.p1.3.3.m3.1c">l^{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmtheo1.p1.3.3.m3.1d">italic_l start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> dividing <math alttext="n" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmtheo1.p1.4.4.m4.1"><semantics id="S2.Thmtheo1.p1.4.4.m4.1a"><mi id="S2.Thmtheo1.p1.4.4.m4.1.1" xref="S2.Thmtheo1.p1.4.4.m4.1.1.cmml">n</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmtheo1.p1.4.4.m4.1b"><ci id="S2.Thmtheo1.p1.4.4.m4.1.1.cmml" xref="S2.Thmtheo1.p1.4.4.m4.1.1">𝑛</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmtheo1.p1.4.4.m4.1c">n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmtheo1.p1.4.4.m4.1d">italic_n</annotation></semantics></math> with <math alttext="l\in\mathbb{N}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmtheo1.p1.5.5.m5.1"><semantics id="S2.Thmtheo1.p1.5.5.m5.1a"><mrow id="S2.Thmtheo1.p1.5.5.m5.1.1" xref="S2.Thmtheo1.p1.5.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S2.Thmtheo1.p1.5.5.m5.1.1.2" xref="S2.Thmtheo1.p1.5.5.m5.1.1.2.cmml">l</mi><mo id="S2.Thmtheo1.p1.5.5.m5.1.1.1" xref="S2.Thmtheo1.p1.5.5.m5.1.1.1.cmml">∈</mo><mi id="S2.Thmtheo1.p1.5.5.m5.1.1.3" xref="S2.Thmtheo1.p1.5.5.m5.1.1.3.cmml">ℕ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmtheo1.p1.5.5.m5.1b"><apply id="S2.Thmtheo1.p1.5.5.m5.1.1.cmml" xref="S2.Thmtheo1.p1.5.5.m5.1.1"><in id="S2.Thmtheo1.p1.5.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmtheo1.p1.5.5.m5.1.1.1"></in><ci id="S2.Thmtheo1.p1.5.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmtheo1.p1.5.5.m5.1.1.2">𝑙</ci><ci id="S2.Thmtheo1.p1.5.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S2.Thmtheo1.p1.5.5.m5.1.1.3">ℕ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmtheo1.p1.5.5.m5.1c">l\in\mathbb{N}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmtheo1.p1.5.5.m5.1d">italic_l ∈ blackboard_N</annotation></semantics></math>.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S2.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.p1.1">The following asymptotic result is from <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12027v1#bib.bib3" title="">3</a>]</cite>.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_theo" id="S2.Thmtheo2"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.Thmtheo2.1.1.1">Theorem 2.2</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.Thmtheo2.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="S2.Thmtheo2.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.Thmtheo2.p1.2"><cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.Thmtheo2.p1.2.3.1">[</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12027v1#bib.bib3" title="">3</a><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.Thmtheo2.p1.2.4.2">, Theorem 1.2]</span></cite><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.Thmtheo2.p1.2.2"> Suppose that <math alttext="f" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmtheo2.p1.1.1.m1.1"><semantics id="S2.Thmtheo2.p1.1.1.m1.1a"><mi id="S2.Thmtheo2.p1.1.1.m1.1.1" xref="S2.Thmtheo2.p1.1.1.m1.1.1.cmml">f</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmtheo2.p1.1.1.m1.1b"><ci id="S2.Thmtheo2.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.1.1.m1.1.1">𝑓</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmtheo2.p1.1.1.m1.1c">f</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmtheo2.p1.1.1.m1.1d">italic_f</annotation></semantics></math> and <math alttext="g" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmtheo2.p1.2.2.m2.1"><semantics id="S2.Thmtheo2.p1.2.2.m2.1a"><mi id="S2.Thmtheo2.p1.2.2.m2.1.1" xref="S2.Thmtheo2.p1.2.2.m2.1.1.cmml">g</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmtheo2.p1.2.2.m2.1b"><ci id="S2.Thmtheo2.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.2.2.m2.1.1">𝑔</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmtheo2.p1.2.2.m2.1c">g</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmtheo2.p1.2.2.m2.1d">italic_g</annotation></semantics></math> are two arithmetical functions with absolutely convergent Cohen-Ramanujan expansions</span></p> <p class="ltx_p ltx_align_center" id="S2.Thmtheo2.p1.4.2"><math alttext="f(n)=\sum\limits_{\begin{subarray}{c}r\end{subarray}}\widehat{f}(r)c_{r}^{s}(n)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.4"><semantics id="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.4a"><mrow id="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.4.5" xref="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.4.5.cmml"><mrow id="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.4.5.2" xref="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.4.5.2.cmml"><mi id="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.4.5.2.2" xref="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.4.5.2.2.cmml">f</mi><mo id="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.4.5.2.1" xref="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.4.5.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.4.5.2.3.2" xref="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.4.5.2.cmml"><mo id="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.4.5.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.4.5.2.cmml">(</mo><mi id="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.2.2" xref="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.2.2.cmml">n</mi><mo id="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.4.5.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.4.5.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.4.5.1" rspace="0.111em" xref="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.4.5.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.4.5.3" xref="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.4.5.3.cmml"><munder id="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.4.5.3.1" xref="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.4.5.3.1.cmml"><mo id="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.4.5.3.1.2" movablelimits="false" xref="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.4.5.3.1.2.cmml">∑</mo><mtable id="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.1.1.1.2.cmml"><mtr id="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.1.1.1.1.1.1a" xref="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.1.1.1.2.cmml"><mtd id="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.1.1.1.1.1.1b" xref="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">r</mi></mtd></mtr></mtable></munder><mrow id="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.4.5.3.2" xref="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.4.5.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.4.5.3.2.2" xref="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.4.5.3.2.2.cmml"><mi id="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.4.5.3.2.2.2" xref="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.4.5.3.2.2.2.cmml">f</mi><mo id="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.4.5.3.2.2.1" xref="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.4.5.3.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.4.5.3.2.1" xref="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.4.5.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.4.5.3.2.3.2" xref="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.4.5.3.2.cmml"><mo id="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.4.5.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.4.5.3.2.cmml">(</mo><mi id="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.3.3" xref="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.3.3.cmml">r</mi><mo id="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.4.5.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.4.5.3.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.4.5.3.2.1a" xref="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.4.5.3.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.4.5.3.2.4" xref="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.4.5.3.2.4.cmml"><mi id="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.4.5.3.2.4.2.2" xref="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.4.5.3.2.4.2.2.cmml">c</mi><mi id="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.4.5.3.2.4.2.3" xref="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.4.5.3.2.4.2.3.cmml">r</mi><mi id="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.4.5.3.2.4.3" xref="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.4.5.3.2.4.3.cmml">s</mi></msubsup><mo id="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.4.5.3.2.1b" xref="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.4.5.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.4.5.3.2.5.2" xref="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.4.5.3.2.cmml"><mo id="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.4.5.3.2.5.2.1" stretchy="false" xref="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.4.5.3.2.cmml">(</mo><mi id="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.4.4" xref="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.4.4.cmml">n</mi><mo id="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.4.5.3.2.5.2.2" stretchy="false" xref="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.4.5.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.4b"><apply id="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.4.5.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.4.5"><eq id="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.4.5.1.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.4.5.1"></eq><apply id="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.4.5.2.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.4.5.2"><times id="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.4.5.2.1.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.4.5.2.1"></times><ci id="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.4.5.2.2.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.4.5.2.2">𝑓</ci><ci id="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.2.2.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.2.2">𝑛</ci></apply><apply id="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.4.5.3.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.4.5.3"><apply id="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.4.5.3.1.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.4.5.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.4.5.3.1.1.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.4.5.3.1">subscript</csymbol><sum id="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.4.5.3.1.2.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.4.5.3.1.2"></sum><list id="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.1.1.1.1.1.1"><matrix id="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.1.1.1.1.1.1"><matrixrow id="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.1.1.1.1.1.1a.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.1.1.1.1.1.1"><ci id="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">𝑟</ci></matrixrow></matrix></list></apply><apply id="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.4.5.3.2.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.4.5.3.2"><times id="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.4.5.3.2.1.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.4.5.3.2.1"></times><apply id="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.4.5.3.2.2.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.4.5.3.2.2"><ci id="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.4.5.3.2.2.1.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.4.5.3.2.2.1">^</ci><ci id="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.4.5.3.2.2.2.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.4.5.3.2.2.2">𝑓</ci></apply><ci id="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.3.3.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.3.3">𝑟</ci><apply id="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.4.5.3.2.4.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.4.5.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.4.5.3.2.4.1.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.4.5.3.2.4">superscript</csymbol><apply id="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.4.5.3.2.4.2.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.4.5.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.4.5.3.2.4.2.1.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.4.5.3.2.4">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.4.5.3.2.4.2.2.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.4.5.3.2.4.2.2">𝑐</ci><ci id="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.4.5.3.2.4.2.3.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.4.5.3.2.4.2.3">𝑟</ci></apply><ci id="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.4.5.3.2.4.3.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.4.5.3.2.4.3">𝑠</ci></apply><ci id="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.4.4.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.4.4">𝑛</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.4c">f(n)=\sum\limits_{\begin{subarray}{c}r\end{subarray}}\widehat{f}(r)c_{r}^{s}(n)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmtheo2.p1.3.1.m1.4d">italic_f ( italic_n ) = ∑ start_POSTSUBSCRIPT start_ARG start_ROW start_CELL italic_r end_CELL end_ROW end_ARG end_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG italic_f end_ARG ( italic_r ) italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.Thmtheo2.p1.4.2.1"> and </span><math alttext="g(n)=\sum\limits_{\begin{subarray}{c}k\end{subarray}}\widehat{g}(k)c_{k}^{s}(n)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.4"><semantics id="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.4a"><mrow id="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.4.5" xref="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.4.5.cmml"><mrow id="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.4.5.2" xref="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.4.5.2.cmml"><mi id="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.4.5.2.2" xref="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.4.5.2.2.cmml">g</mi><mo id="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.4.5.2.1" xref="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.4.5.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.4.5.2.3.2" xref="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.4.5.2.cmml"><mo id="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.4.5.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.4.5.2.cmml">(</mo><mi id="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.2.2" xref="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.2.2.cmml">n</mi><mo id="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.4.5.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.4.5.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.4.5.1" rspace="0.111em" xref="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.4.5.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.4.5.3" xref="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.4.5.3.cmml"><munder id="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.4.5.3.1" xref="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.4.5.3.1.cmml"><mo id="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.4.5.3.1.2" movablelimits="false" xref="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.4.5.3.1.2.cmml">∑</mo><mtable id="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.1.1.1.2.cmml"><mtr id="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.1.1.1.1.1.1a" xref="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.1.1.1.2.cmml"><mtd id="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.1.1.1.1.1.1b" xref="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">k</mi></mtd></mtr></mtable></munder><mrow id="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.4.5.3.2" xref="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.4.5.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.4.5.3.2.2" xref="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.4.5.3.2.2.cmml"><mi id="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.4.5.3.2.2.2" xref="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.4.5.3.2.2.2.cmml">g</mi><mo id="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.4.5.3.2.2.1" xref="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.4.5.3.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.4.5.3.2.1" xref="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.4.5.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.4.5.3.2.3.2" xref="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.4.5.3.2.cmml"><mo id="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.4.5.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.4.5.3.2.cmml">(</mo><mi id="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.3.3" xref="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.3.3.cmml">k</mi><mo id="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.4.5.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.4.5.3.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.4.5.3.2.1a" xref="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.4.5.3.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.4.5.3.2.4" xref="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.4.5.3.2.4.cmml"><mi id="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.4.5.3.2.4.2.2" xref="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.4.5.3.2.4.2.2.cmml">c</mi><mi id="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.4.5.3.2.4.2.3" xref="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.4.5.3.2.4.2.3.cmml">k</mi><mi id="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.4.5.3.2.4.3" xref="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.4.5.3.2.4.3.cmml">s</mi></msubsup><mo id="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.4.5.3.2.1b" xref="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.4.5.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.4.5.3.2.5.2" xref="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.4.5.3.2.cmml"><mo id="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.4.5.3.2.5.2.1" stretchy="false" xref="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.4.5.3.2.cmml">(</mo><mi id="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.4.4" xref="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.4.4.cmml">n</mi><mo id="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.4.5.3.2.5.2.2" stretchy="false" xref="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.4.5.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.4b"><apply id="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.4.5.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.4.5"><eq id="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.4.5.1.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.4.5.1"></eq><apply id="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.4.5.2.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.4.5.2"><times id="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.4.5.2.1.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.4.5.2.1"></times><ci id="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.4.5.2.2.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.4.5.2.2">𝑔</ci><ci id="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.2.2.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.2.2">𝑛</ci></apply><apply id="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.4.5.3.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.4.5.3"><apply id="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.4.5.3.1.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.4.5.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.4.5.3.1.1.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.4.5.3.1">subscript</csymbol><sum id="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.4.5.3.1.2.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.4.5.3.1.2"></sum><list id="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.1.1.1.1.1.1"><matrix id="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.1.1.1.1.1.1"><matrixrow id="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.1.1.1.1.1.1a.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.1.1.1.1.1.1"><ci id="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1">𝑘</ci></matrixrow></matrix></list></apply><apply id="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.4.5.3.2.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.4.5.3.2"><times id="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.4.5.3.2.1.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.4.5.3.2.1"></times><apply id="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.4.5.3.2.2.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.4.5.3.2.2"><ci id="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.4.5.3.2.2.1.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.4.5.3.2.2.1">^</ci><ci id="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.4.5.3.2.2.2.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.4.5.3.2.2.2">𝑔</ci></apply><ci id="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.3.3.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.3.3">𝑘</ci><apply id="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.4.5.3.2.4.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.4.5.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.4.5.3.2.4.1.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.4.5.3.2.4">superscript</csymbol><apply id="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.4.5.3.2.4.2.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.4.5.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.4.5.3.2.4.2.1.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.4.5.3.2.4">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.4.5.3.2.4.2.2.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.4.5.3.2.4.2.2">𝑐</ci><ci id="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.4.5.3.2.4.2.3.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.4.5.3.2.4.2.3">𝑘</ci></apply><ci id="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.4.5.3.2.4.3.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.4.5.3.2.4.3">𝑠</ci></apply><ci id="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.4.4.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.4.4">𝑛</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.4c">g(n)=\sum\limits_{\begin{subarray}{c}k\end{subarray}}\widehat{g}(k)c_{k}^{s}(n)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmtheo2.p1.4.2.m2.4d">italic_g ( italic_n ) = ∑ start_POSTSUBSCRIPT start_ARG start_ROW start_CELL italic_k end_CELL end_ROW end_ARG end_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG italic_g end_ARG ( italic_k ) italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.Thmtheo2.p1.4.2.2"></span></p> <p class="ltx_p" id="S2.Thmtheo2.p1.7"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.Thmtheo2.p1.7.3">respectively. Suppose that <math alttext="\sum\limits_{\begin{subarray}{c}r,k\end{subarray}}|\widehat{f}(r)||\widehat{g}% (k)|(r^{s}k^{s})^{\frac{1}{2}}\tau_{s}(r^{s})\tau_{s}(k^{s})<\infty" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.8"><semantics id="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.8a"><mrow id="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.8.8" xref="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.8.8.cmml"><mrow id="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.8.8.5" xref="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.8.8.5.cmml"><munder id="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.8.8.5.6" xref="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.8.8.5.6.cmml"><mo id="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.8.8.5.6.2" movablelimits="false" xref="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.8.8.5.6.2.cmml">∑</mo><mtable id="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.1.1.1.2.cmml"><mtr id="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.1.1.1.1.1.1a" xref="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.1.1.1.2.cmml"><mtd id="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.1.1.1.1.1.1b" xref="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.4" xref="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">r</mi><mo id="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.4.1" xref="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">k</mi></mrow></mtd></mtr></mtable></munder><mrow id="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.8.8.5.5" xref="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.8.8.5.5.cmml"><mrow id="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.4.4.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.4.4.1.1.1.1.2" lspace="0em" stretchy="false" xref="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.4.4.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.2.cmml">f</mi><mo id="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.1" xref="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.2.2" xref="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.2.2.cmml">r</mi><mo id="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.4.4.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.4.4.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.8.8.5.5.6" xref="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.8.8.5.5.6.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.5.5.2.2.2.1" xref="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.5.5.2.2.2.2.cmml"><mo id="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.5.5.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.5.5.2.2.2.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.5.5.2.2.2.1.1" xref="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.5.5.2.2.2.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.5.5.2.2.2.1.1.2" xref="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.5.5.2.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.5.5.2.2.2.1.1.2.2" xref="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.5.5.2.2.2.1.1.2.2.cmml">g</mi><mo id="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.5.5.2.2.2.1.1.2.1" xref="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.5.5.2.2.2.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.5.5.2.2.2.1.1.1" xref="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.5.5.2.2.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.5.5.2.2.2.1.1.3.2" xref="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.5.5.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.5.5.2.2.2.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.5.5.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mi id="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.3.3" xref="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.3.3.cmml">k</mi><mo id="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.5.5.2.2.2.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.5.5.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.5.5.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.5.5.2.2.2.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.8.8.5.5.6a" xref="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.8.8.5.5.6.cmml">⁢</mo><msup id="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.6.6.3.3.3" xref="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.6.6.3.3.3.cmml"><mrow id="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.6.6.3.3.3.1.1" xref="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.6.6.3.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.6.6.3.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.6.6.3.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.6.6.3.3.3.1.1.1" xref="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.6.6.3.3.3.1.1.1.cmml"><msup id="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.6.6.3.3.3.1.1.1.2" xref="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.6.6.3.3.3.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.6.6.3.3.3.1.1.1.2.2" xref="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.6.6.3.3.3.1.1.1.2.2.cmml">r</mi><mi id="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.6.6.3.3.3.1.1.1.2.3" xref="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.6.6.3.3.3.1.1.1.2.3.cmml">s</mi></msup><mo id="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.6.6.3.3.3.1.1.1.1" xref="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.6.6.3.3.3.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.6.6.3.3.3.1.1.1.3" xref="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.6.6.3.3.3.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.6.6.3.3.3.1.1.1.3.2" xref="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.6.6.3.3.3.1.1.1.3.2.cmml">k</mi><mi id="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.6.6.3.3.3.1.1.1.3.3" xref="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.6.6.3.3.3.1.1.1.3.3.cmml">s</mi></msup></mrow><mo id="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.6.6.3.3.3.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.6.6.3.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mfrac id="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.6.6.3.3.3.3" xref="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.6.6.3.3.3.3.cmml"><mn id="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.6.6.3.3.3.3.2" xref="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.6.6.3.3.3.3.2.cmml">1</mn><mn id="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.6.6.3.3.3.3.3" xref="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.6.6.3.3.3.3.3.cmml">2</mn></mfrac></msup><mo id="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.8.8.5.5.6b" xref="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.8.8.5.5.6.cmml">⁢</mo><msub id="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.8.8.5.5.7" xref="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.8.8.5.5.7.cmml"><mi id="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.8.8.5.5.7.2" xref="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.8.8.5.5.7.2.cmml">τ</mi><mi id="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.8.8.5.5.7.3" xref="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.8.8.5.5.7.3.cmml">s</mi></msub><mo id="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.8.8.5.5.6c" xref="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.8.8.5.5.6.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.7.7.4.4.4.1" xref="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.7.7.4.4.4.1.1.cmml"><mo id="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.7.7.4.4.4.1.2" stretchy="false" xref="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.7.7.4.4.4.1.1.cmml">(</mo><msup id="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.7.7.4.4.4.1.1" xref="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.7.7.4.4.4.1.1.cmml"><mi id="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.7.7.4.4.4.1.1.2" xref="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.7.7.4.4.4.1.1.2.cmml">r</mi><mi id="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.7.7.4.4.4.1.1.3" xref="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.7.7.4.4.4.1.1.3.cmml">s</mi></msup><mo id="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.7.7.4.4.4.1.3" stretchy="false" xref="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.7.7.4.4.4.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.8.8.5.5.6d" xref="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.8.8.5.5.6.cmml">⁢</mo><msub id="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.8.8.5.5.8" xref="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.8.8.5.5.8.cmml"><mi id="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.8.8.5.5.8.2" xref="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.8.8.5.5.8.2.cmml">τ</mi><mi id="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.8.8.5.5.8.3" xref="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.8.8.5.5.8.3.cmml">s</mi></msub><mo id="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.8.8.5.5.6e" xref="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.8.8.5.5.6.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.8.8.5.5.5.1" xref="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.8.8.5.5.5.1.1.cmml"><mo id="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.8.8.5.5.5.1.2" stretchy="false" xref="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.8.8.5.5.5.1.1.cmml">(</mo><msup id="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.8.8.5.5.5.1.1" xref="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.8.8.5.5.5.1.1.cmml"><mi id="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.8.8.5.5.5.1.1.2" xref="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.8.8.5.5.5.1.1.2.cmml">k</mi><mi 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id="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.8.8.5.5.5.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.8.8.5.5.5.1.1.2">𝑘</ci><ci id="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.8.8.5.5.5.1.1.3.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.8.8.5.5.5.1.1.3">𝑠</ci></apply></apply></apply><infinity id="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.8.8.7.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.8.8.7"></infinity></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.8c">\sum\limits_{\begin{subarray}{c}r,k\end{subarray}}|\widehat{f}(r)||\widehat{g}% (k)|(r^{s}k^{s})^{\frac{1}{2}}\tau_{s}(r^{s})\tau_{s}(k^{s})<\infty</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmtheo2.p1.5.1.m1.8d">∑ start_POSTSUBSCRIPT start_ARG start_ROW start_CELL italic_r , italic_k end_CELL end_ROW end_ARG end_POSTSUBSCRIPT | over^ start_ARG italic_f end_ARG ( italic_r ) | | over^ start_ARG italic_g end_ARG ( italic_k ) | ( italic_r start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT italic_k start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG end_POSTSUPERSCRIPT italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT ) italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT ( italic_k start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT ) < ∞</annotation></semantics></math>. Then as <math alttext="N" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmtheo2.p1.6.2.m2.1"><semantics id="S2.Thmtheo2.p1.6.2.m2.1a"><mi id="S2.Thmtheo2.p1.6.2.m2.1.1" xref="S2.Thmtheo2.p1.6.2.m2.1.1.cmml">N</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmtheo2.p1.6.2.m2.1b"><ci id="S2.Thmtheo2.p1.6.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.6.2.m2.1.1">𝑁</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmtheo2.p1.6.2.m2.1c">N</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmtheo2.p1.6.2.m2.1d">italic_N</annotation></semantics></math> tends to infinity, <math alttext="\sum\limits_{\begin{subarray}{c}n\leq N\end{subarray}}f(n)g(n+h)\sim N\sum% \limits_{\begin{subarray}{c}r\end{subarray}}\widehat{f}(r)\widehat{g}(r)c_{r}^% {s}(h)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7"><semantics id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7a"><mrow id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.cmml"><mrow id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.1" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.1.cmml"><munder id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.1.2" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.1.2.cmml"><mo id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.1.2.2" movablelimits="false" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.1.2.2.cmml">∑</mo><mtable id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.1.1.1.2.cmml"><mtr id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.1.1.1.1.1.1a" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.1.1.1.2.cmml"><mtd id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.1.1.1.1.1.1b" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">≤</mo><mi id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">N</mi></mrow></mtd></mtr></mtable></munder><mrow id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.1.1" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.1.1.cmml"><mi id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.1.1.3" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.1.1.3.cmml">f</mi><mo id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.1.1.2" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.1.1.4.2" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.1.1.cmml"><mo id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.1.1.cmml">(</mo><mi id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.3.3" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.3.3.cmml">n</mi><mo id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.1.1.2a" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.1.1.5" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.1.1.5.cmml">g</mi><mo id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.1.1.2b" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.1.1.1.1" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.1.1.1.1.1" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.1.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mi id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.1.1.1.1.1.3.cmml">h</mi></mrow><mo id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.2" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.2.cmml">∼</mo><mrow id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.3" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.3.cmml"><mi id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.3.2" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.3.2.cmml">N</mi><mo id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.3.1" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.3.3" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.3.3.cmml"><munder id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.3.3.1" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.3.3.1.cmml"><mo id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.3.3.1.2" movablelimits="false" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.3.3.1.2.cmml">∑</mo><mtable id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.2.2.1.1.1.1" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.2.2.1.2.cmml"><mtr id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.2.2.1.1.1.1a" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.2.2.1.2.cmml"><mtd id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.2.2.1.1.1.1b" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.2.2.1.2.cmml"><mi id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">r</mi></mtd></mtr></mtable></munder><mrow id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.3.3.2" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.3.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.3.3.2.2" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.3.3.2.2.cmml"><mi id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.3.3.2.2.2" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.3.3.2.2.2.cmml">f</mi><mo id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.3.3.2.2.1" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.3.3.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.3.3.2.1" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.3.3.2.3.2" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.3.3.2.cmml"><mo id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.3.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.3.3.2.cmml">(</mo><mi id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.4.4" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.4.4.cmml">r</mi><mo id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.3.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.3.3.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.3.3.2.1a" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.3.3.2.4" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.3.3.2.4.cmml"><mi id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.3.3.2.4.2" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.3.3.2.4.2.cmml">g</mi><mo id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.3.3.2.4.1" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.3.3.2.4.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.3.3.2.1b" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.3.3.2.5.2" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.3.3.2.cmml"><mo id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.3.3.2.5.2.1" stretchy="false" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.3.3.2.cmml">(</mo><mi id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.5.5" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.5.5.cmml">r</mi><mo id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.3.3.2.5.2.2" stretchy="false" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.3.3.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.3.3.2.1c" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.3.3.2.6" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.3.3.2.6.cmml"><mi id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.3.3.2.6.2.2" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.3.3.2.6.2.2.cmml">c</mi><mi id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.3.3.2.6.2.3" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.3.3.2.6.2.3.cmml">r</mi><mi id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.3.3.2.6.3" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.3.3.2.6.3.cmml">s</mi></msubsup><mo id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.3.3.2.1d" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.3.3.2.7.2" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.3.3.2.cmml"><mo id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.3.3.2.7.2.1" stretchy="false" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.3.3.2.cmml">(</mo><mi id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.6.6" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.6.6.cmml">h</mi><mo id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.3.3.2.7.2.2" stretchy="false" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.3.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7b"><apply id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7"><csymbol cd="latexml" id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.2.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.2">similar-to</csymbol><apply id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.1.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.1"><apply id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.1.2.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.1.2.1.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.1.2">subscript</csymbol><sum id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.1.2.2.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.1.2.2"></sum><list id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.1.1.1.1.1.1"><matrix id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.1.1.1.1.1.1"><matrixrow id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.1.1.1.1.1.1a.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.1.1.1.1.1.1"><apply id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><leq id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></leq><ci id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑛</ci><ci id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑁</ci></apply></matrixrow></matrix></list></apply><apply id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.1.1.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.1.1"><times id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.1.1.2"></times><ci id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.1.1.3.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.1.1.3">𝑓</ci><ci id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.3.3.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.3.3">𝑛</ci><ci id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.1.1.5.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.1.1.5">𝑔</ci><apply id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.1.1.1.1"><plus id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.1.1.1.1.1.2">𝑛</ci><ci id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.1.1.1.1.1.3">ℎ</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.3.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.3"><times id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.3.1.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.3.1"></times><ci id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.3.2.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.3.2">𝑁</ci><apply id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.3.3.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.3.3"><apply id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.3.3.1.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.3.3.1.1.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.3.3.1">subscript</csymbol><sum id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.3.3.1.2.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.3.3.1.2"></sum><list id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.2.2.1.2.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.2.2.1.1.1.1"><matrix id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.2.2.1.1.1.1"><matrixrow id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.2.2.1.1.1.1a.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.2.2.1.1.1.1"><ci id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.2.2.1.1.1.1.1.1.1">𝑟</ci></matrixrow></matrix></list></apply><apply id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.3.3.2.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.3.3.2"><times id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.3.3.2.1.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.3.3.2.1"></times><apply id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.3.3.2.2.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.3.3.2.2"><ci id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.3.3.2.2.1.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.3.3.2.2.1">^</ci><ci id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.3.3.2.2.2.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.3.3.2.2.2">𝑓</ci></apply><ci id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.4.4.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.4.4">𝑟</ci><apply id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.3.3.2.4.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.3.3.2.4"><ci id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.3.3.2.4.1.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.3.3.2.4.1">^</ci><ci id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.3.3.2.4.2.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.3.3.2.4.2">𝑔</ci></apply><ci id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.5.5.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.5.5">𝑟</ci><apply id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.3.3.2.6.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.3.3.2.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.3.3.2.6.1.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.3.3.2.6">superscript</csymbol><apply id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.3.3.2.6.2.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.3.3.2.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.3.3.2.6.2.1.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.3.3.2.6">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.3.3.2.6.2.2.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.3.3.2.6.2.2">𝑐</ci><ci id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.3.3.2.6.2.3.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.3.3.2.6.2.3">𝑟</ci></apply><ci id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.3.3.2.6.3.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7.7.3.3.2.6.3">𝑠</ci></apply><ci id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.6.6.cmml" xref="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.6.6">ℎ</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7c">\sum\limits_{\begin{subarray}{c}n\leq N\end{subarray}}f(n)g(n+h)\sim N\sum% \limits_{\begin{subarray}{c}r\end{subarray}}\widehat{f}(r)\widehat{g}(r)c_{r}^% {s}(h)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmtheo2.p1.7.3.m3.7d">∑ start_POSTSUBSCRIPT start_ARG start_ROW start_CELL italic_n ≤ italic_N end_CELL end_ROW end_ARG end_POSTSUBSCRIPT italic_f ( italic_n ) italic_g ( italic_n + italic_h ) ∼ italic_N ∑ start_POSTSUBSCRIPT start_ARG start_ROW start_CELL italic_r end_CELL end_ROW end_ARG end_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG italic_f end_ARG ( italic_r ) over^ start_ARG italic_g end_ARG ( italic_r ) italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_h )</annotation></semantics></math>.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S2.p2"> <p class="ltx_p" id="S2.p2.1">Now we use this asymptotic identity along with the identity in Theorem <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12027v1#S1.Thmtheo1" title="Theorem 1.1. ‣ 1. Introduction ‣ Two identities involving Cohen-Ramanujan expansions"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1.1</span></a> to prove Theorem <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12027v1#S1.Thmtheo2" title="Theorem 1.2. ‣ 1. Introduction ‣ Two identities involving Cohen-Ramanujan expansions"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1.2</span></a>.</p> </div> <div class="ltx_proof" id="S2.6"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof of Theorem <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12027v1#S1.Thmtheo2" title="Theorem 1.2. ‣ 1. Introduction ‣ Two identities involving Cohen-Ramanujan expansions"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1.2</span></a>.</h6> <div class="ltx_para" id="S2.5.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.5.p1.1">We consider the convergence of the sum</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S2.EGx15"> <tbody id="S2.Ex15"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\sum\limits_{\begin{subarray}{c}r,t\end{subarray}}|\widehat{f}(r)% ||\widehat{g}(t)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Ex15.m1.4"><semantics id="S2.Ex15.m1.4a"><mrow id="S2.Ex15.m1.4.4" xref="S2.Ex15.m1.4.4.cmml"><mrow id="S2.Ex15.m1.4.4.1" xref="S2.Ex15.m1.4.4.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.Ex15.m1.4.4.1.2" xref="S2.Ex15.m1.4.4.1.2.cmml"><munder id="S2.Ex15.m1.4.4.1.2a" xref="S2.Ex15.m1.4.4.1.2.cmml"><mo id="S2.Ex15.m1.4.4.1.2.2" movablelimits="false" xref="S2.Ex15.m1.4.4.1.2.2.cmml">∑</mo><mtable id="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex15.m1.1.1.1a.2.cmml"><mtr id="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1a" xref="S2.Ex15.m1.1.1.1a.2.cmml"><mtd id="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1b" xref="S2.Ex15.m1.1.1.1a.2.cmml"><mrow id="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.4" xref="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">r</mi><mo id="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.4.1" xref="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">t</mi></mrow></mtd></mtr></mtable></munder></mstyle><mrow id="S2.Ex15.m1.4.4.1.1.1" xref="S2.Ex15.m1.4.4.1.1.2.cmml"><mo id="S2.Ex15.m1.4.4.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex15.m1.4.4.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S2.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S2.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S2.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.2.2" xref="S2.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.cmml">f</mi><mo id="S2.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.2.1" xref="S2.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S2.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex15.m1.2.2" xref="S2.Ex15.m1.2.2.cmml">r</mi><mo id="S2.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.Ex15.m1.4.4.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.Ex15.m1.4.4.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow><mo fence="false" id="S2.Ex15.m1.4.4.2" xref="S2.Ex15.m1.4.4.2.cmml">|</mo><mrow id="S2.Ex15.m1.4.4.3" xref="S2.Ex15.m1.4.4.3.cmml"><mover accent="true" id="S2.Ex15.m1.4.4.3.2" xref="S2.Ex15.m1.4.4.3.2.cmml"><mi id="S2.Ex15.m1.4.4.3.2.2" xref="S2.Ex15.m1.4.4.3.2.2.cmml">g</mi><mo id="S2.Ex15.m1.4.4.3.2.1" 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id="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1"><matrixrow id="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1a.cmml" xref="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1"><list id="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.4"><ci id="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">𝑟</ci><ci id="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex15.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2">𝑡</ci></list></matrixrow></matrix></list></apply><apply id="S2.Ex15.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex15.m1.4.4.1.1.1"><abs id="S2.Ex15.m1.4.4.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex15.m1.4.4.1.1.1.2"></abs><apply id="S2.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1"><times id="S2.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.1"></times><apply id="S2.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.2"><ci id="S2.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.2.1">^</ci><ci id="S2.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex15.m1.4.4.1.1.1.1.2.2">𝑓</ci></apply><ci 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class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle|(r^{s},t^{s})^{\frac{1}{2}}\tau_{s}(r^{s})\tau_{s}(t^{s})" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S2.Ex15.m2.1"><semantics id="S2.Ex15.m2.1a"><mrow id="S2.Ex15.m2.1b"><mo fence="false" id="S2.Ex15.m2.1.1" rspace="0.167em" stretchy="false">|</mo><msup id="S2.Ex15.m2.1.2"><mrow id="S2.Ex15.m2.1.2.2"><mo id="S2.Ex15.m2.1.2.2.1" stretchy="false">(</mo><msup id="S2.Ex15.m2.1.2.2.2"><mi id="S2.Ex15.m2.1.2.2.2.2">r</mi><mi id="S2.Ex15.m2.1.2.2.2.3">s</mi></msup><mo id="S2.Ex15.m2.1.2.2.3">,</mo><msup id="S2.Ex15.m2.1.2.2.4"><mi id="S2.Ex15.m2.1.2.2.4.2">t</mi><mi id="S2.Ex15.m2.1.2.2.4.3">s</mi></msup><mo id="S2.Ex15.m2.1.2.2.5" stretchy="false">)</mo></mrow><mfrac id="S2.Ex15.m2.1.2.3"><mn id="S2.Ex15.m2.1.2.3.2">1</mn><mn id="S2.Ex15.m2.1.2.3.3">2</mn></mfrac></msup><msub id="S2.Ex15.m2.1.3"><mi id="S2.Ex15.m2.1.3.2">τ</mi><mi id="S2.Ex15.m2.1.3.3">s</mi></msub><mrow id="S2.Ex15.m2.1.4"><mo id="S2.Ex15.m2.1.4.1" 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end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT ) italic_τ start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S2.Ex16"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\leq\sum\limits_{\begin{subarray}{c}r,t\end{subarray}}\frac{1}{J_% {s+a}(r)\zeta(s+a)}\frac{1}{J_{s+b}(t)\zeta(s+b)}(r^{s}t^{s})^{\frac{1}{2}}r^{% s}t^{s}." class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Ex16.m1.6"><semantics id="S2.Ex16.m1.6a"><mrow id="S2.Ex16.m1.6.6.1" xref="S2.Ex16.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex16.m1.6.6.1.1" xref="S2.Ex16.m1.6.6.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex16.m1.6.6.1.1.3" xref="S2.Ex16.m1.6.6.1.1.3.cmml"></mi><mo 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xref="S2.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">t</mi></mrow></mtd></mtr></mtable></munder></mstyle><mrow id="S2.Ex16.m1.6.6.1.1.1.1" xref="S2.Ex16.m1.6.6.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.Ex16.m1.3.3" xref="S2.Ex16.m1.3.3.cmml"><mfrac id="S2.Ex16.m1.3.3a" xref="S2.Ex16.m1.3.3.cmml"><mn id="S2.Ex16.m1.3.3.4" xref="S2.Ex16.m1.3.3.4.cmml">1</mn><mrow id="S2.Ex16.m1.3.3.2" xref="S2.Ex16.m1.3.3.2.cmml"><msub id="S2.Ex16.m1.3.3.2.4" xref="S2.Ex16.m1.3.3.2.4.cmml"><mi id="S2.Ex16.m1.3.3.2.4.2" xref="S2.Ex16.m1.3.3.2.4.2.cmml">J</mi><mrow id="S2.Ex16.m1.3.3.2.4.3" xref="S2.Ex16.m1.3.3.2.4.3.cmml"><mi id="S2.Ex16.m1.3.3.2.4.3.2" xref="S2.Ex16.m1.3.3.2.4.3.2.cmml">s</mi><mo id="S2.Ex16.m1.3.3.2.4.3.1" xref="S2.Ex16.m1.3.3.2.4.3.1.cmml">+</mo><mi id="S2.Ex16.m1.3.3.2.4.3.3" xref="S2.Ex16.m1.3.3.2.4.3.3.cmml">a</mi></mrow></msub><mo id="S2.Ex16.m1.3.3.2.3" xref="S2.Ex16.m1.3.3.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex16.m1.3.3.2.5.2" xref="S2.Ex16.m1.3.3.2.cmml"><mo id="S2.Ex16.m1.3.3.2.5.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex16.m1.3.3.2.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex16.m1.2.2.1.1" xref="S2.Ex16.m1.2.2.1.1.cmml">r</mi><mo id="S2.Ex16.m1.3.3.2.5.2.2" stretchy="false" xref="S2.Ex16.m1.3.3.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.Ex16.m1.3.3.2.3a" xref="S2.Ex16.m1.3.3.2.3.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex16.m1.3.3.2.6" xref="S2.Ex16.m1.3.3.2.6.cmml">ζ</mi><mo id="S2.Ex16.m1.3.3.2.3b" xref="S2.Ex16.m1.3.3.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex16.m1.3.3.2.2.1" xref="S2.Ex16.m1.3.3.2.2.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex16.m1.3.3.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex16.m1.3.3.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex16.m1.3.3.2.2.1.1" xref="S2.Ex16.m1.3.3.2.2.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex16.m1.3.3.2.2.1.1.2" xref="S2.Ex16.m1.3.3.2.2.1.1.2.cmml">s</mi><mo id="S2.Ex16.m1.3.3.2.2.1.1.1" xref="S2.Ex16.m1.3.3.2.2.1.1.1.cmml">+</mo><mi id="S2.Ex16.m1.3.3.2.2.1.1.3" xref="S2.Ex16.m1.3.3.2.2.1.1.3.cmml">a</mi></mrow><mo id="S2.Ex16.m1.3.3.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S2.Ex16.m1.3.3.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S2.Ex16.m1.6.6.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex16.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mstyle displaystyle="true" id="S2.Ex16.m1.5.5" xref="S2.Ex16.m1.5.5.cmml"><mfrac id="S2.Ex16.m1.5.5a" xref="S2.Ex16.m1.5.5.cmml"><mn id="S2.Ex16.m1.5.5.4" xref="S2.Ex16.m1.5.5.4.cmml">1</mn><mrow id="S2.Ex16.m1.5.5.2" xref="S2.Ex16.m1.5.5.2.cmml"><msub id="S2.Ex16.m1.5.5.2.4" xref="S2.Ex16.m1.5.5.2.4.cmml"><mi id="S2.Ex16.m1.5.5.2.4.2" xref="S2.Ex16.m1.5.5.2.4.2.cmml">J</mi><mrow id="S2.Ex16.m1.5.5.2.4.3" xref="S2.Ex16.m1.5.5.2.4.3.cmml"><mi id="S2.Ex16.m1.5.5.2.4.3.2" xref="S2.Ex16.m1.5.5.2.4.3.2.cmml">s</mi><mo id="S2.Ex16.m1.5.5.2.4.3.1" xref="S2.Ex16.m1.5.5.2.4.3.1.cmml">+</mo><mi id="S2.Ex16.m1.5.5.2.4.3.3" xref="S2.Ex16.m1.5.5.2.4.3.3.cmml">b</mi></mrow></msub><mo id="S2.Ex16.m1.5.5.2.3" xref="S2.Ex16.m1.5.5.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex16.m1.5.5.2.5.2" xref="S2.Ex16.m1.5.5.2.cmml"><mo id="S2.Ex16.m1.5.5.2.5.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex16.m1.5.5.2.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex16.m1.4.4.1.1" xref="S2.Ex16.m1.4.4.1.1.cmml">t</mi><mo id="S2.Ex16.m1.5.5.2.5.2.2" stretchy="false" xref="S2.Ex16.m1.5.5.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.Ex16.m1.5.5.2.3a" xref="S2.Ex16.m1.5.5.2.3.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex16.m1.5.5.2.6" xref="S2.Ex16.m1.5.5.2.6.cmml">ζ</mi><mo id="S2.Ex16.m1.5.5.2.3b" xref="S2.Ex16.m1.5.5.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex16.m1.5.5.2.2.1" xref="S2.Ex16.m1.5.5.2.2.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex16.m1.5.5.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex16.m1.5.5.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex16.m1.5.5.2.2.1.1" xref="S2.Ex16.m1.5.5.2.2.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex16.m1.5.5.2.2.1.1.2" xref="S2.Ex16.m1.5.5.2.2.1.1.2.cmml">s</mi><mo id="S2.Ex16.m1.5.5.2.2.1.1.1" xref="S2.Ex16.m1.5.5.2.2.1.1.1.cmml">+</mo><mi id="S2.Ex16.m1.5.5.2.2.1.1.3" xref="S2.Ex16.m1.5.5.2.2.1.1.3.cmml">b</mi></mrow><mo id="S2.Ex16.m1.5.5.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S2.Ex16.m1.5.5.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S2.Ex16.m1.6.6.1.1.1.1.2a" xref="S2.Ex16.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S2.Ex16.m1.6.6.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex16.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex16.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex16.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex16.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex16.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex16.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex16.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S2.Ex16.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex16.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.Ex16.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.Ex16.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">r</mi><mi id="S2.Ex16.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.Ex16.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">s</mi></msup><mo id="S2.Ex16.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex16.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S2.Ex16.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex16.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Ex16.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex16.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">t</mi><mi id="S2.Ex16.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.Ex16.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">s</mi></msup></mrow><mo id="S2.Ex16.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.Ex16.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mfrac id="S2.Ex16.m1.6.6.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex16.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S2.Ex16.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex16.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mn id="S2.Ex16.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.Ex16.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac></msup><mo id="S2.Ex16.m1.6.6.1.1.1.1.2b" xref="S2.Ex16.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S2.Ex16.m1.6.6.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex16.m1.6.6.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Ex16.m1.6.6.1.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex16.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.cmml">r</mi><mi id="S2.Ex16.m1.6.6.1.1.1.1.3.3" xref="S2.Ex16.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.cmml">s</mi></msup><mo id="S2.Ex16.m1.6.6.1.1.1.1.2c" xref="S2.Ex16.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S2.Ex16.m1.6.6.1.1.1.1.4" xref="S2.Ex16.m1.6.6.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S2.Ex16.m1.6.6.1.1.1.1.4.2" xref="S2.Ex16.m1.6.6.1.1.1.1.4.2.cmml">t</mi><mi id="S2.Ex16.m1.6.6.1.1.1.1.4.3" xref="S2.Ex16.m1.6.6.1.1.1.1.4.3.cmml">s</mi></msup></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.Ex16.m1.6.6.1.2" lspace="0em" xref="S2.Ex16.m1.6.6.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex16.m1.6b"><apply id="S2.Ex16.m1.6.6.1.1.cmml" xref="S2.Ex16.m1.6.6.1"><leq id="S2.Ex16.m1.6.6.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex16.m1.6.6.1.1.2"></leq><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex16.m1.6.6.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex16.m1.6.6.1.1.3">absent</csymbol><apply id="S2.Ex16.m1.6.6.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex16.m1.6.6.1.1.1"><apply id="S2.Ex16.m1.6.6.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex16.m1.6.6.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex16.m1.6.6.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex16.m1.6.6.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="S2.Ex16.m1.6.6.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex16.m1.6.6.1.1.1.2.2"></sum><list id="S2.Ex16.m1.1.1.1a.2.cmml" xref="S2.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1"><matrix id="S2.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1"><matrixrow id="S2.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1a.cmml" xref="S2.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1"><list id="S2.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.4"><ci id="S2.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">𝑟</ci><ci id="S2.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2">𝑡</ci></list></matrixrow></matrix></list></apply><apply id="S2.Ex16.m1.6.6.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex16.m1.6.6.1.1.1.1"><times id="S2.Ex16.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex16.m1.6.6.1.1.1.1.2"></times><apply id="S2.Ex16.m1.3.3.cmml" xref="S2.Ex16.m1.3.3"><divide id="S2.Ex16.m1.3.3.3.cmml" xref="S2.Ex16.m1.3.3"></divide><cn id="S2.Ex16.m1.3.3.4.cmml" type="integer" xref="S2.Ex16.m1.3.3.4">1</cn><apply id="S2.Ex16.m1.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex16.m1.3.3.2"><times id="S2.Ex16.m1.3.3.2.3.cmml" xref="S2.Ex16.m1.3.3.2.3"></times><apply id="S2.Ex16.m1.3.3.2.4.cmml" xref="S2.Ex16.m1.3.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex16.m1.3.3.2.4.1.cmml" xref="S2.Ex16.m1.3.3.2.4">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex16.m1.3.3.2.4.2.cmml" xref="S2.Ex16.m1.3.3.2.4.2">𝐽</ci><apply id="S2.Ex16.m1.3.3.2.4.3.cmml" xref="S2.Ex16.m1.3.3.2.4.3"><plus id="S2.Ex16.m1.3.3.2.4.3.1.cmml" xref="S2.Ex16.m1.3.3.2.4.3.1"></plus><ci id="S2.Ex16.m1.3.3.2.4.3.2.cmml" xref="S2.Ex16.m1.3.3.2.4.3.2">𝑠</ci><ci id="S2.Ex16.m1.3.3.2.4.3.3.cmml" xref="S2.Ex16.m1.3.3.2.4.3.3">𝑎</ci></apply></apply><ci id="S2.Ex16.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S2.Ex16.m1.2.2.1.1">𝑟</ci><ci id="S2.Ex16.m1.3.3.2.6.cmml" xref="S2.Ex16.m1.3.3.2.6">𝜁</ci><apply id="S2.Ex16.m1.3.3.2.2.1.1.cmml" xref="S2.Ex16.m1.3.3.2.2.1"><plus id="S2.Ex16.m1.3.3.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex16.m1.3.3.2.2.1.1.1"></plus><ci id="S2.Ex16.m1.3.3.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex16.m1.3.3.2.2.1.1.2">𝑠</ci><ci id="S2.Ex16.m1.3.3.2.2.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex16.m1.3.3.2.2.1.1.3">𝑎</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.Ex16.m1.5.5.cmml" xref="S2.Ex16.m1.5.5"><divide id="S2.Ex16.m1.5.5.3.cmml" xref="S2.Ex16.m1.5.5"></divide><cn id="S2.Ex16.m1.5.5.4.cmml" type="integer" 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id="S2.Ex16.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex16.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex16.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex16.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex16.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex16.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑡</ci><ci id="S2.Ex16.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex16.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑠</ci></apply></apply><apply id="S2.Ex16.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex16.m1.6.6.1.1.1.1.1.3"><divide id="S2.Ex16.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex16.m1.6.6.1.1.1.1.1.3"></divide><cn id="S2.Ex16.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.Ex16.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.2">1</cn><cn id="S2.Ex16.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex16.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S2.Ex16.m1.6.6.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex16.m1.6.6.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex16.m1.6.6.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex16.m1.6.6.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex16.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex16.m1.6.6.1.1.1.1.3.2">𝑟</ci><ci id="S2.Ex16.m1.6.6.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex16.m1.6.6.1.1.1.1.3.3">𝑠</ci></apply><apply id="S2.Ex16.m1.6.6.1.1.1.1.4.cmml" xref="S2.Ex16.m1.6.6.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex16.m1.6.6.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S2.Ex16.m1.6.6.1.1.1.1.4">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex16.m1.6.6.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S2.Ex16.m1.6.6.1.1.1.1.4.2">𝑡</ci><ci id="S2.Ex16.m1.6.6.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S2.Ex16.m1.6.6.1.1.1.1.4.3">𝑠</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex16.m1.6c">\displaystyle\leq\sum\limits_{\begin{subarray}{c}r,t\end{subarray}}\frac{1}{J_% {s+a}(r)\zeta(s+a)}\frac{1}{J_{s+b}(t)\zeta(s+b)}(r^{s}t^{s})^{\frac{1}{2}}r^{% s}t^{s}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex16.m1.6d">≤ ∑ start_POSTSUBSCRIPT start_ARG start_ROW start_CELL italic_r , italic_t end_CELL end_ROW end_ARG end_POSTSUBSCRIPT divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_J start_POSTSUBSCRIPT italic_s + italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) italic_ζ ( italic_s + italic_a ) end_ARG divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_J start_POSTSUBSCRIPT italic_s + italic_b end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t ) italic_ζ ( italic_s + italic_b ) end_ARG ( italic_r start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT italic_t start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG end_POSTSUPERSCRIPT italic_r start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT italic_t start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S2.6.p2"> <p class="ltx_p" id="S2.6.p2.4">Since <math alttext="\frac{1}{J_{s}(r)}<\frac{1}{r^{s}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.6.p2.1.m1.1"><semantics id="S2.6.p2.1.m1.1a"><mrow id="S2.6.p2.1.m1.1.2" xref="S2.6.p2.1.m1.1.2.cmml"><mfrac id="S2.6.p2.1.m1.1.1" xref="S2.6.p2.1.m1.1.1.cmml"><mn id="S2.6.p2.1.m1.1.1.3" xref="S2.6.p2.1.m1.1.1.3.cmml">1</mn><mrow id="S2.6.p2.1.m1.1.1.1" xref="S2.6.p2.1.m1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.6.p2.1.m1.1.1.1.3" xref="S2.6.p2.1.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.6.p2.1.m1.1.1.1.3.2" xref="S2.6.p2.1.m1.1.1.1.3.2.cmml">J</mi><mi id="S2.6.p2.1.m1.1.1.1.3.3" xref="S2.6.p2.1.m1.1.1.1.3.3.cmml">s</mi></msub><mo id="S2.6.p2.1.m1.1.1.1.2" xref="S2.6.p2.1.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.6.p2.1.m1.1.1.1.4.2" xref="S2.6.p2.1.m1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.6.p2.1.m1.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S2.6.p2.1.m1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S2.6.p2.1.m1.1.1.1.1" xref="S2.6.p2.1.m1.1.1.1.1.cmml">r</mi><mo id="S2.6.p2.1.m1.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S2.6.p2.1.m1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mfrac><mo id="S2.6.p2.1.m1.1.2.1" xref="S2.6.p2.1.m1.1.2.1.cmml"><</mo><mfrac id="S2.6.p2.1.m1.1.2.2" xref="S2.6.p2.1.m1.1.2.2.cmml"><mn id="S2.6.p2.1.m1.1.2.2.2" xref="S2.6.p2.1.m1.1.2.2.2.cmml">1</mn><msup id="S2.6.p2.1.m1.1.2.2.3" xref="S2.6.p2.1.m1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S2.6.p2.1.m1.1.2.2.3.2" xref="S2.6.p2.1.m1.1.2.2.3.2.cmml">r</mi><mi id="S2.6.p2.1.m1.1.2.2.3.3" xref="S2.6.p2.1.m1.1.2.2.3.3.cmml">s</mi></msup></mfrac></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.6.p2.1.m1.1b"><apply id="S2.6.p2.1.m1.1.2.cmml" xref="S2.6.p2.1.m1.1.2"><lt id="S2.6.p2.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S2.6.p2.1.m1.1.2.1"></lt><apply id="S2.6.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.6.p2.1.m1.1.1"><divide id="S2.6.p2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.6.p2.1.m1.1.1"></divide><cn id="S2.6.p2.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.6.p2.1.m1.1.1.3">1</cn><apply id="S2.6.p2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.6.p2.1.m1.1.1.1"><times id="S2.6.p2.1.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.6.p2.1.m1.1.1.1.2"></times><apply id="S2.6.p2.1.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.6.p2.1.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.6.p2.1.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.6.p2.1.m1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.6.p2.1.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.6.p2.1.m1.1.1.1.3.2">𝐽</ci><ci id="S2.6.p2.1.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.6.p2.1.m1.1.1.1.3.3">𝑠</ci></apply><ci id="S2.6.p2.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.6.p2.1.m1.1.1.1.1">𝑟</ci></apply></apply><apply id="S2.6.p2.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S2.6.p2.1.m1.1.2.2"><divide id="S2.6.p2.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.6.p2.1.m1.1.2.2"></divide><cn id="S2.6.p2.1.m1.1.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.6.p2.1.m1.1.2.2.2">1</cn><apply id="S2.6.p2.1.m1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.6.p2.1.m1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.6.p2.1.m1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S2.6.p2.1.m1.1.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S2.6.p2.1.m1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S2.6.p2.1.m1.1.2.2.3.2">𝑟</ci><ci id="S2.6.p2.1.m1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S2.6.p2.1.m1.1.2.2.3.3">𝑠</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.6.p2.1.m1.1c">\frac{1}{J_{s}(r)}<\frac{1}{r^{s}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.6.p2.1.m1.1d">divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_J start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) end_ARG < divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_r start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math>, and <math alttext="a,b>1+\frac{s}{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.6.p2.2.m2.2"><semantics id="S2.6.p2.2.m2.2a"><mrow id="S2.6.p2.2.m2.2.3" xref="S2.6.p2.2.m2.2.3.cmml"><mrow id="S2.6.p2.2.m2.2.3.2.2" xref="S2.6.p2.2.m2.2.3.2.1.cmml"><mi id="S2.6.p2.2.m2.1.1" xref="S2.6.p2.2.m2.1.1.cmml">a</mi><mo id="S2.6.p2.2.m2.2.3.2.2.1" xref="S2.6.p2.2.m2.2.3.2.1.cmml">,</mo><mi id="S2.6.p2.2.m2.2.2" xref="S2.6.p2.2.m2.2.2.cmml">b</mi></mrow><mo id="S2.6.p2.2.m2.2.3.1" xref="S2.6.p2.2.m2.2.3.1.cmml">></mo><mrow id="S2.6.p2.2.m2.2.3.3" xref="S2.6.p2.2.m2.2.3.3.cmml"><mn id="S2.6.p2.2.m2.2.3.3.2" xref="S2.6.p2.2.m2.2.3.3.2.cmml">1</mn><mo id="S2.6.p2.2.m2.2.3.3.1" xref="S2.6.p2.2.m2.2.3.3.1.cmml">+</mo><mfrac id="S2.6.p2.2.m2.2.3.3.3" xref="S2.6.p2.2.m2.2.3.3.3.cmml"><mi id="S2.6.p2.2.m2.2.3.3.3.2" xref="S2.6.p2.2.m2.2.3.3.3.2.cmml">s</mi><mn id="S2.6.p2.2.m2.2.3.3.3.3" xref="S2.6.p2.2.m2.2.3.3.3.3.cmml">2</mn></mfrac></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.6.p2.2.m2.2b"><apply id="S2.6.p2.2.m2.2.3.cmml" xref="S2.6.p2.2.m2.2.3"><gt id="S2.6.p2.2.m2.2.3.1.cmml" xref="S2.6.p2.2.m2.2.3.1"></gt><list id="S2.6.p2.2.m2.2.3.2.1.cmml" xref="S2.6.p2.2.m2.2.3.2.2"><ci id="S2.6.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.6.p2.2.m2.1.1">𝑎</ci><ci id="S2.6.p2.2.m2.2.2.cmml" xref="S2.6.p2.2.m2.2.2">𝑏</ci></list><apply id="S2.6.p2.2.m2.2.3.3.cmml" xref="S2.6.p2.2.m2.2.3.3"><plus id="S2.6.p2.2.m2.2.3.3.1.cmml" xref="S2.6.p2.2.m2.2.3.3.1"></plus><cn id="S2.6.p2.2.m2.2.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.6.p2.2.m2.2.3.3.2">1</cn><apply id="S2.6.p2.2.m2.2.3.3.3.cmml" xref="S2.6.p2.2.m2.2.3.3.3"><divide id="S2.6.p2.2.m2.2.3.3.3.1.cmml" xref="S2.6.p2.2.m2.2.3.3.3"></divide><ci id="S2.6.p2.2.m2.2.3.3.3.2.cmml" xref="S2.6.p2.2.m2.2.3.3.3.2">𝑠</ci><cn id="S2.6.p2.2.m2.2.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.6.p2.2.m2.2.3.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.6.p2.2.m2.2c">a,b>1+\frac{s}{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.6.p2.2.m2.2d">italic_a , italic_b > 1 + divide start_ARG italic_s end_ARG start_ARG 2 end_ARG</annotation></semantics></math>, the above sum converges. Therefore by Theorem <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12027v1#S1.Thmtheo1" title="Theorem 1.1. ‣ 1. Introduction ‣ Two identities involving Cohen-Ramanujan expansions"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1.1</span></a> and Theorem <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12027v1#S2.Thmtheo2" title="Theorem 2.2. ‣ 2. Proofs of the Results ‣ Two identities involving Cohen-Ramanujan expansions"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2.2</span></a>, we have by the multiplicative property of <math alttext="J_{s},\mu" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.6.p2.3.m3.2"><semantics id="S2.6.p2.3.m3.2a"><mrow id="S2.6.p2.3.m3.2.2.1" xref="S2.6.p2.3.m3.2.2.2.cmml"><msub id="S2.6.p2.3.m3.2.2.1.1" xref="S2.6.p2.3.m3.2.2.1.1.cmml"><mi id="S2.6.p2.3.m3.2.2.1.1.2" xref="S2.6.p2.3.m3.2.2.1.1.2.cmml">J</mi><mi id="S2.6.p2.3.m3.2.2.1.1.3" xref="S2.6.p2.3.m3.2.2.1.1.3.cmml">s</mi></msub><mo id="S2.6.p2.3.m3.2.2.1.2" xref="S2.6.p2.3.m3.2.2.2.cmml">,</mo><mi id="S2.6.p2.3.m3.1.1" xref="S2.6.p2.3.m3.1.1.cmml">μ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.6.p2.3.m3.2b"><list id="S2.6.p2.3.m3.2.2.2.cmml" xref="S2.6.p2.3.m3.2.2.1"><apply id="S2.6.p2.3.m3.2.2.1.1.cmml" xref="S2.6.p2.3.m3.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.6.p2.3.m3.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.6.p2.3.m3.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.6.p2.3.m3.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.6.p2.3.m3.2.2.1.1.2">𝐽</ci><ci id="S2.6.p2.3.m3.2.2.1.1.3.cmml" xref="S2.6.p2.3.m3.2.2.1.1.3">𝑠</ci></apply><ci id="S2.6.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.6.p2.3.m3.1.1">𝜇</ci></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.6.p2.3.m3.2c">J_{s},\mu</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.6.p2.3.m3.2d">italic_J start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT , italic_μ</annotation></semantics></math> and <math alttext="c_{r}^{*}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.6.p2.4.m4.1"><semantics id="S2.6.p2.4.m4.1a"><msubsup id="S2.6.p2.4.m4.1.1" xref="S2.6.p2.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S2.6.p2.4.m4.1.1.2.2" xref="S2.6.p2.4.m4.1.1.2.2.cmml">c</mi><mi id="S2.6.p2.4.m4.1.1.2.3" xref="S2.6.p2.4.m4.1.1.2.3.cmml">r</mi><mo id="S2.6.p2.4.m4.1.1.3" xref="S2.6.p2.4.m4.1.1.3.cmml">∗</mo></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.6.p2.4.m4.1b"><apply id="S2.6.p2.4.m4.1.1.cmml" xref="S2.6.p2.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.6.p2.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S2.6.p2.4.m4.1.1">superscript</csymbol><apply id="S2.6.p2.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S2.6.p2.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.6.p2.4.m4.1.1.2.1.cmml" xref="S2.6.p2.4.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.6.p2.4.m4.1.1.2.2.cmml" xref="S2.6.p2.4.m4.1.1.2.2">𝑐</ci><ci id="S2.6.p2.4.m4.1.1.2.3.cmml" xref="S2.6.p2.4.m4.1.1.2.3">𝑟</ci></apply><times id="S2.6.p2.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S2.6.p2.4.m4.1.1.3"></times></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.6.p2.4.m4.1c">c_{r}^{*}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.6.p2.4.m4.1d">italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>,</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S2.EGx16"> <tbody id="S2.Ex17"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\frac{J_{a}(n)}{n^{a}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Ex17.m1.1"><semantics id="S2.Ex17.m1.1a"><mstyle displaystyle="true" id="S2.Ex17.m1.1.1" xref="S2.Ex17.m1.1.1.cmml"><mfrac id="S2.Ex17.m1.1.1a" xref="S2.Ex17.m1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex17.m1.1.1.1" xref="S2.Ex17.m1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.Ex17.m1.1.1.1.3" xref="S2.Ex17.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Ex17.m1.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex17.m1.1.1.1.3.2.cmml">J</mi><mi id="S2.Ex17.m1.1.1.1.3.3" xref="S2.Ex17.m1.1.1.1.3.3.cmml">a</mi></msub><mo id="S2.Ex17.m1.1.1.1.2" xref="S2.Ex17.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex17.m1.1.1.1.4.2" xref="S2.Ex17.m1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex17.m1.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex17.m1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex17.m1.1.1.1.1" xref="S2.Ex17.m1.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S2.Ex17.m1.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S2.Ex17.m1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><msup id="S2.Ex17.m1.1.1.3" xref="S2.Ex17.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Ex17.m1.1.1.3.2" xref="S2.Ex17.m1.1.1.3.2.cmml">n</mi><mi id="S2.Ex17.m1.1.1.3.3" xref="S2.Ex17.m1.1.1.3.3.cmml">a</mi></msup></mfrac></mstyle><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex17.m1.1b"><apply id="S2.Ex17.m1.1.1.cmml" xref="S2.Ex17.m1.1.1"><divide id="S2.Ex17.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex17.m1.1.1"></divide><apply id="S2.Ex17.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex17.m1.1.1.1"><times id="S2.Ex17.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex17.m1.1.1.1.2"></times><apply id="S2.Ex17.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex17.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex17.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex17.m1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex17.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex17.m1.1.1.1.3.2">𝐽</ci><ci id="S2.Ex17.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex17.m1.1.1.1.3.3">𝑎</ci></apply><ci id="S2.Ex17.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex17.m1.1.1.1.1">𝑛</ci></apply><apply id="S2.Ex17.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex17.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex17.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex17.m1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex17.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex17.m1.1.1.3.2">𝑛</ci><ci id="S2.Ex17.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex17.m1.1.1.3.3">𝑎</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex17.m1.1c">\displaystyle\frac{J_{a}(n)}{n^{a}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex17.m1.1d">divide start_ARG italic_J start_POSTSUBSCRIPT italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_n ) end_ARG start_ARG italic_n start_POSTSUPERSCRIPT italic_a end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\frac{J_{b}(n+h)}{(n+h)^{b}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Ex17.m2.2"><semantics id="S2.Ex17.m2.2a"><mstyle displaystyle="true" id="S2.Ex17.m2.2.2" xref="S2.Ex17.m2.2.2.cmml"><mfrac id="S2.Ex17.m2.2.2a" xref="S2.Ex17.m2.2.2.cmml"><mrow id="S2.Ex17.m2.1.1.1" xref="S2.Ex17.m2.1.1.1.cmml"><msub 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id="S2.Ex18.m1.7a"><mrow id="S2.Ex18.m1.7.8" xref="S2.Ex18.m1.7.8.cmml"><mi id="S2.Ex18.m1.7.8.2" xref="S2.Ex18.m1.7.8.2.cmml"></mi><mo id="S2.Ex18.m1.7.8.1" xref="S2.Ex18.m1.7.8.1.cmml">∼</mo><mrow id="S2.Ex18.m1.7.8.3" xref="S2.Ex18.m1.7.8.3.cmml"><mi id="S2.Ex18.m1.7.8.3.2" xref="S2.Ex18.m1.7.8.3.2.cmml">N</mi><mo id="S2.Ex18.m1.7.8.3.1" xref="S2.Ex18.m1.7.8.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex18.m1.7.8.3.3" xref="S2.Ex18.m1.7.8.3.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.Ex18.m1.7.8.3.3.1" xref="S2.Ex18.m1.7.8.3.3.1.cmml"><munder id="S2.Ex18.m1.7.8.3.3.1a" xref="S2.Ex18.m1.7.8.3.3.1.cmml"><mo id="S2.Ex18.m1.7.8.3.3.1.2" movablelimits="false" xref="S2.Ex18.m1.7.8.3.3.1.2.cmml">∑</mo><mi id="S2.Ex18.m1.7.8.3.3.1.3" xref="S2.Ex18.m1.7.8.3.3.1.3.cmml">r</mi></munder></mstyle><mrow id="S2.Ex18.m1.7.8.3.3.2" xref="S2.Ex18.m1.7.8.3.3.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.Ex18.m1.3.3" xref="S2.Ex18.m1.3.3.cmml"><mfrac id="S2.Ex18.m1.3.3a" xref="S2.Ex18.m1.3.3.cmml"><mrow 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id="S2.Ex18.m1.3.3.3.3" xref="S2.Ex18.m1.3.3.3.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex18.m1.3.3.3.5.2" xref="S2.Ex18.m1.3.3.3.cmml"><mo id="S2.Ex18.m1.3.3.3.5.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex18.m1.3.3.3.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex18.m1.2.2.2.1" xref="S2.Ex18.m1.2.2.2.1.cmml">r</mi><mo id="S2.Ex18.m1.3.3.3.5.2.2" stretchy="false" xref="S2.Ex18.m1.3.3.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.Ex18.m1.3.3.3.3a" xref="S2.Ex18.m1.3.3.3.3.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex18.m1.3.3.3.6" xref="S2.Ex18.m1.3.3.3.6.cmml">ζ</mi><mo id="S2.Ex18.m1.3.3.3.3b" xref="S2.Ex18.m1.3.3.3.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex18.m1.3.3.3.2.1" xref="S2.Ex18.m1.3.3.3.2.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex18.m1.3.3.3.2.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex18.m1.3.3.3.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex18.m1.3.3.3.2.1.1" xref="S2.Ex18.m1.3.3.3.2.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex18.m1.3.3.3.2.1.1.2" xref="S2.Ex18.m1.3.3.3.2.1.1.2.cmml">s</mi><mo id="S2.Ex18.m1.3.3.3.2.1.1.1" xref="S2.Ex18.m1.3.3.3.2.1.1.1.cmml">+</mo><mi id="S2.Ex18.m1.3.3.3.2.1.1.3" xref="S2.Ex18.m1.3.3.3.2.1.1.3.cmml">a</mi></mrow><mo id="S2.Ex18.m1.3.3.3.2.1.3" stretchy="false" xref="S2.Ex18.m1.3.3.3.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S2.Ex18.m1.7.8.3.3.2.1" xref="S2.Ex18.m1.7.8.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mstyle displaystyle="true" id="S2.Ex18.m1.6.6" xref="S2.Ex18.m1.6.6.cmml"><mfrac id="S2.Ex18.m1.6.6a" xref="S2.Ex18.m1.6.6.cmml"><mrow id="S2.Ex18.m1.4.4.1" xref="S2.Ex18.m1.4.4.1.cmml"><mi id="S2.Ex18.m1.4.4.1.3" xref="S2.Ex18.m1.4.4.1.3.cmml">μ</mi><mo id="S2.Ex18.m1.4.4.1.2" xref="S2.Ex18.m1.4.4.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex18.m1.4.4.1.4.2" xref="S2.Ex18.m1.4.4.1.cmml"><mo id="S2.Ex18.m1.4.4.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex18.m1.4.4.1.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex18.m1.4.4.1.1" xref="S2.Ex18.m1.4.4.1.1.cmml">r</mi><mo id="S2.Ex18.m1.4.4.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S2.Ex18.m1.4.4.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mrow id="S2.Ex18.m1.6.6.3" xref="S2.Ex18.m1.6.6.3.cmml"><msub id="S2.Ex18.m1.6.6.3.4" xref="S2.Ex18.m1.6.6.3.4.cmml"><mi id="S2.Ex18.m1.6.6.3.4.2" xref="S2.Ex18.m1.6.6.3.4.2.cmml">J</mi><mrow id="S2.Ex18.m1.6.6.3.4.3" xref="S2.Ex18.m1.6.6.3.4.3.cmml"><mi id="S2.Ex18.m1.6.6.3.4.3.2" xref="S2.Ex18.m1.6.6.3.4.3.2.cmml">s</mi><mo id="S2.Ex18.m1.6.6.3.4.3.1" xref="S2.Ex18.m1.6.6.3.4.3.1.cmml">+</mo><mi id="S2.Ex18.m1.6.6.3.4.3.3" xref="S2.Ex18.m1.6.6.3.4.3.3.cmml">b</mi></mrow></msub><mo id="S2.Ex18.m1.6.6.3.3" xref="S2.Ex18.m1.6.6.3.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex18.m1.6.6.3.5.2" xref="S2.Ex18.m1.6.6.3.cmml"><mo id="S2.Ex18.m1.6.6.3.5.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex18.m1.6.6.3.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex18.m1.5.5.2.1" xref="S2.Ex18.m1.5.5.2.1.cmml">r</mi><mo id="S2.Ex18.m1.6.6.3.5.2.2" stretchy="false" xref="S2.Ex18.m1.6.6.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.Ex18.m1.6.6.3.3a" xref="S2.Ex18.m1.6.6.3.3.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex18.m1.6.6.3.6" xref="S2.Ex18.m1.6.6.3.6.cmml">ζ</mi><mo id="S2.Ex18.m1.6.6.3.3b" xref="S2.Ex18.m1.6.6.3.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex18.m1.6.6.3.2.1" xref="S2.Ex18.m1.6.6.3.2.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex18.m1.6.6.3.2.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex18.m1.6.6.3.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex18.m1.6.6.3.2.1.1" xref="S2.Ex18.m1.6.6.3.2.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex18.m1.6.6.3.2.1.1.2" xref="S2.Ex18.m1.6.6.3.2.1.1.2.cmml">s</mi><mo id="S2.Ex18.m1.6.6.3.2.1.1.1" xref="S2.Ex18.m1.6.6.3.2.1.1.1.cmml">+</mo><mi id="S2.Ex18.m1.6.6.3.2.1.1.3" xref="S2.Ex18.m1.6.6.3.2.1.1.3.cmml">b</mi></mrow><mo id="S2.Ex18.m1.6.6.3.2.1.3" stretchy="false" xref="S2.Ex18.m1.6.6.3.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S2.Ex18.m1.7.8.3.3.2.1a" xref="S2.Ex18.m1.7.8.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><msubsup id="S2.Ex18.m1.7.8.3.3.2.2" xref="S2.Ex18.m1.7.8.3.3.2.2.cmml"><mi id="S2.Ex18.m1.7.8.3.3.2.2.2.2" xref="S2.Ex18.m1.7.8.3.3.2.2.2.2.cmml">c</mi><mi id="S2.Ex18.m1.7.8.3.3.2.2.2.3" xref="S2.Ex18.m1.7.8.3.3.2.2.2.3.cmml">r</mi><mi id="S2.Ex18.m1.7.8.3.3.2.2.3" xref="S2.Ex18.m1.7.8.3.3.2.2.3.cmml">s</mi></msubsup><mo id="S2.Ex18.m1.7.8.3.3.2.1b" xref="S2.Ex18.m1.7.8.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex18.m1.7.8.3.3.2.3.2" xref="S2.Ex18.m1.7.8.3.3.2.cmml"><mo id="S2.Ex18.m1.7.8.3.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex18.m1.7.8.3.3.2.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex18.m1.7.7" xref="S2.Ex18.m1.7.7.cmml">h</mi><mo id="S2.Ex18.m1.7.8.3.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.Ex18.m1.7.8.3.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex18.m1.7b"><apply id="S2.Ex18.m1.7.8.cmml" xref="S2.Ex18.m1.7.8"><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex18.m1.7.8.1.cmml" xref="S2.Ex18.m1.7.8.1">similar-to</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex18.m1.7.8.2.cmml" xref="S2.Ex18.m1.7.8.2">absent</csymbol><apply id="S2.Ex18.m1.7.8.3.cmml" xref="S2.Ex18.m1.7.8.3"><times id="S2.Ex18.m1.7.8.3.1.cmml" xref="S2.Ex18.m1.7.8.3.1"></times><ci id="S2.Ex18.m1.7.8.3.2.cmml" xref="S2.Ex18.m1.7.8.3.2">𝑁</ci><apply id="S2.Ex18.m1.7.8.3.3.cmml" xref="S2.Ex18.m1.7.8.3.3"><apply id="S2.Ex18.m1.7.8.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex18.m1.7.8.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex18.m1.7.8.3.3.1.1.cmml" xref="S2.Ex18.m1.7.8.3.3.1">subscript</csymbol><sum id="S2.Ex18.m1.7.8.3.3.1.2.cmml" xref="S2.Ex18.m1.7.8.3.3.1.2"></sum><ci id="S2.Ex18.m1.7.8.3.3.1.3.cmml" xref="S2.Ex18.m1.7.8.3.3.1.3">𝑟</ci></apply><apply id="S2.Ex18.m1.7.8.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex18.m1.7.8.3.3.2"><times id="S2.Ex18.m1.7.8.3.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex18.m1.7.8.3.3.2.1"></times><apply id="S2.Ex18.m1.3.3.cmml" xref="S2.Ex18.m1.3.3"><divide id="S2.Ex18.m1.3.3.4.cmml" xref="S2.Ex18.m1.3.3"></divide><apply id="S2.Ex18.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex18.m1.1.1.1"><times id="S2.Ex18.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex18.m1.1.1.1.2"></times><ci id="S2.Ex18.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex18.m1.1.1.1.3">𝜇</ci><ci id="S2.Ex18.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex18.m1.1.1.1.1">𝑟</ci></apply><apply id="S2.Ex18.m1.3.3.3.cmml" xref="S2.Ex18.m1.3.3.3"><times id="S2.Ex18.m1.3.3.3.3.cmml" xref="S2.Ex18.m1.3.3.3.3"></times><apply id="S2.Ex18.m1.3.3.3.4.cmml" xref="S2.Ex18.m1.3.3.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex18.m1.3.3.3.4.1.cmml" xref="S2.Ex18.m1.3.3.3.4">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex18.m1.3.3.3.4.2.cmml" xref="S2.Ex18.m1.3.3.3.4.2">𝐽</ci><apply id="S2.Ex18.m1.3.3.3.4.3.cmml" xref="S2.Ex18.m1.3.3.3.4.3"><plus id="S2.Ex18.m1.3.3.3.4.3.1.cmml" xref="S2.Ex18.m1.3.3.3.4.3.1"></plus><ci id="S2.Ex18.m1.3.3.3.4.3.2.cmml" xref="S2.Ex18.m1.3.3.3.4.3.2">𝑠</ci><ci id="S2.Ex18.m1.3.3.3.4.3.3.cmml" xref="S2.Ex18.m1.3.3.3.4.3.3">𝑎</ci></apply></apply><ci id="S2.Ex18.m1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex18.m1.2.2.2.1">𝑟</ci><ci id="S2.Ex18.m1.3.3.3.6.cmml" xref="S2.Ex18.m1.3.3.3.6">𝜁</ci><apply id="S2.Ex18.m1.3.3.3.2.1.1.cmml" xref="S2.Ex18.m1.3.3.3.2.1"><plus id="S2.Ex18.m1.3.3.3.2.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex18.m1.3.3.3.2.1.1.1"></plus><ci id="S2.Ex18.m1.3.3.3.2.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex18.m1.3.3.3.2.1.1.2">𝑠</ci><ci id="S2.Ex18.m1.3.3.3.2.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex18.m1.3.3.3.2.1.1.3">𝑎</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.Ex18.m1.6.6.cmml" xref="S2.Ex18.m1.6.6"><divide id="S2.Ex18.m1.6.6.4.cmml" 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xref="S2.Ex18.m1.7.8.3.3.2.2.3">𝑠</ci></apply><ci id="S2.Ex18.m1.7.7.cmml" xref="S2.Ex18.m1.7.7">ℎ</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex18.m1.7c">\displaystyle\sim N\sum\limits_{r}\frac{\mu(r)}{J_{s+a}(r)\zeta(s+a)}\frac{\mu% (r)}{J_{s+b}(r)\zeta(s+b)}c_{r}^{s}(h)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex18.m1.7d">∼ italic_N ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT divide start_ARG italic_μ ( italic_r ) end_ARG start_ARG italic_J start_POSTSUBSCRIPT italic_s + italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) italic_ζ ( italic_s + italic_a ) end_ARG divide start_ARG italic_μ ( italic_r ) end_ARG start_ARG italic_J start_POSTSUBSCRIPT italic_s + italic_b end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) italic_ζ ( italic_s + italic_b ) end_ARG italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_h )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S2.Ex19"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=N\sum\limits_{r}\frac{\mu(r)}{J_{s+a}(r)\zeta(s+a)}\frac{\mu(r)}% {J_{s+b}(r)\zeta(s+b)}c_{r}^{s}(m^{s})\hskip 10.0pt(\text{since }c_{r}^{s}(m^{% s}k)=c_{r}^{s}(m^{s}))" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Ex19.m1.8"><semantics id="S2.Ex19.m1.8a"><mrow id="S2.Ex19.m1.8.8" xref="S2.Ex19.m1.8.8.cmml"><mi id="S2.Ex19.m1.8.8.4" xref="S2.Ex19.m1.8.8.4.cmml"></mi><mo id="S2.Ex19.m1.8.8.3" xref="S2.Ex19.m1.8.8.3.cmml">=</mo><mrow id="S2.Ex19.m1.8.8.2.2" xref="S2.Ex19.m1.8.8.2.3.cmml"><mrow id="S2.Ex19.m1.7.7.1.1.1" xref="S2.Ex19.m1.7.7.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex19.m1.7.7.1.1.1.3" xref="S2.Ex19.m1.7.7.1.1.1.3.cmml">N</mi><mo id="S2.Ex19.m1.7.7.1.1.1.2" 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xref="S2.Ex19.m1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex19.m1.1.1.1.1" xref="S2.Ex19.m1.1.1.1.1.cmml">r</mi><mo id="S2.Ex19.m1.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S2.Ex19.m1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mrow id="S2.Ex19.m1.3.3.3" xref="S2.Ex19.m1.3.3.3.cmml"><msub id="S2.Ex19.m1.3.3.3.4" xref="S2.Ex19.m1.3.3.3.4.cmml"><mi id="S2.Ex19.m1.3.3.3.4.2" xref="S2.Ex19.m1.3.3.3.4.2.cmml">J</mi><mrow id="S2.Ex19.m1.3.3.3.4.3" xref="S2.Ex19.m1.3.3.3.4.3.cmml"><mi id="S2.Ex19.m1.3.3.3.4.3.2" xref="S2.Ex19.m1.3.3.3.4.3.2.cmml">s</mi><mo id="S2.Ex19.m1.3.3.3.4.3.1" xref="S2.Ex19.m1.3.3.3.4.3.1.cmml">+</mo><mi id="S2.Ex19.m1.3.3.3.4.3.3" xref="S2.Ex19.m1.3.3.3.4.3.3.cmml">a</mi></mrow></msub><mo id="S2.Ex19.m1.3.3.3.3" xref="S2.Ex19.m1.3.3.3.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex19.m1.3.3.3.5.2" xref="S2.Ex19.m1.3.3.3.cmml"><mo id="S2.Ex19.m1.3.3.3.5.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex19.m1.3.3.3.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex19.m1.2.2.2.1" xref="S2.Ex19.m1.2.2.2.1.cmml">r</mi><mo id="S2.Ex19.m1.3.3.3.5.2.2" stretchy="false" xref="S2.Ex19.m1.3.3.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.Ex19.m1.3.3.3.3a" xref="S2.Ex19.m1.3.3.3.3.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex19.m1.3.3.3.6" xref="S2.Ex19.m1.3.3.3.6.cmml">ζ</mi><mo id="S2.Ex19.m1.3.3.3.3b" xref="S2.Ex19.m1.3.3.3.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex19.m1.3.3.3.2.1" xref="S2.Ex19.m1.3.3.3.2.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex19.m1.3.3.3.2.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex19.m1.3.3.3.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex19.m1.3.3.3.2.1.1" xref="S2.Ex19.m1.3.3.3.2.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex19.m1.3.3.3.2.1.1.2" xref="S2.Ex19.m1.3.3.3.2.1.1.2.cmml">s</mi><mo id="S2.Ex19.m1.3.3.3.2.1.1.1" xref="S2.Ex19.m1.3.3.3.2.1.1.1.cmml">+</mo><mi id="S2.Ex19.m1.3.3.3.2.1.1.3" xref="S2.Ex19.m1.3.3.3.2.1.1.3.cmml">a</mi></mrow><mo id="S2.Ex19.m1.3.3.3.2.1.3" stretchy="false" xref="S2.Ex19.m1.3.3.3.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S2.Ex19.m1.7.7.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex19.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mstyle displaystyle="true" id="S2.Ex19.m1.6.6" xref="S2.Ex19.m1.6.6.cmml"><mfrac id="S2.Ex19.m1.6.6a" xref="S2.Ex19.m1.6.6.cmml"><mrow id="S2.Ex19.m1.4.4.1" xref="S2.Ex19.m1.4.4.1.cmml"><mi id="S2.Ex19.m1.4.4.1.3" xref="S2.Ex19.m1.4.4.1.3.cmml">μ</mi><mo id="S2.Ex19.m1.4.4.1.2" xref="S2.Ex19.m1.4.4.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex19.m1.4.4.1.4.2" xref="S2.Ex19.m1.4.4.1.cmml"><mo id="S2.Ex19.m1.4.4.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex19.m1.4.4.1.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex19.m1.4.4.1.1" xref="S2.Ex19.m1.4.4.1.1.cmml">r</mi><mo id="S2.Ex19.m1.4.4.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S2.Ex19.m1.4.4.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mrow id="S2.Ex19.m1.6.6.3" xref="S2.Ex19.m1.6.6.3.cmml"><msub id="S2.Ex19.m1.6.6.3.4" xref="S2.Ex19.m1.6.6.3.4.cmml"><mi id="S2.Ex19.m1.6.6.3.4.2" xref="S2.Ex19.m1.6.6.3.4.2.cmml">J</mi><mrow id="S2.Ex19.m1.6.6.3.4.3" xref="S2.Ex19.m1.6.6.3.4.3.cmml"><mi id="S2.Ex19.m1.6.6.3.4.3.2" xref="S2.Ex19.m1.6.6.3.4.3.2.cmml">s</mi><mo id="S2.Ex19.m1.6.6.3.4.3.1" xref="S2.Ex19.m1.6.6.3.4.3.1.cmml">+</mo><mi id="S2.Ex19.m1.6.6.3.4.3.3" xref="S2.Ex19.m1.6.6.3.4.3.3.cmml">b</mi></mrow></msub><mo id="S2.Ex19.m1.6.6.3.3" xref="S2.Ex19.m1.6.6.3.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex19.m1.6.6.3.5.2" xref="S2.Ex19.m1.6.6.3.cmml"><mo id="S2.Ex19.m1.6.6.3.5.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex19.m1.6.6.3.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex19.m1.5.5.2.1" xref="S2.Ex19.m1.5.5.2.1.cmml">r</mi><mo id="S2.Ex19.m1.6.6.3.5.2.2" stretchy="false" xref="S2.Ex19.m1.6.6.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.Ex19.m1.6.6.3.3a" xref="S2.Ex19.m1.6.6.3.3.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex19.m1.6.6.3.6" xref="S2.Ex19.m1.6.6.3.6.cmml">ζ</mi><mo id="S2.Ex19.m1.6.6.3.3b" xref="S2.Ex19.m1.6.6.3.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex19.m1.6.6.3.2.1" xref="S2.Ex19.m1.6.6.3.2.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex19.m1.6.6.3.2.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex19.m1.6.6.3.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex19.m1.6.6.3.2.1.1" xref="S2.Ex19.m1.6.6.3.2.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex19.m1.6.6.3.2.1.1.2" xref="S2.Ex19.m1.6.6.3.2.1.1.2.cmml">s</mi><mo id="S2.Ex19.m1.6.6.3.2.1.1.1" xref="S2.Ex19.m1.6.6.3.2.1.1.1.cmml">+</mo><mi id="S2.Ex19.m1.6.6.3.2.1.1.3" xref="S2.Ex19.m1.6.6.3.2.1.1.3.cmml">b</mi></mrow><mo id="S2.Ex19.m1.6.6.3.2.1.3" stretchy="false" xref="S2.Ex19.m1.6.6.3.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S2.Ex19.m1.7.7.1.1.1.1.1.2a" xref="S2.Ex19.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="S2.Ex19.m1.7.7.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex19.m1.7.7.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Ex19.m1.7.7.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.Ex19.m1.7.7.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">c</mi><mi id="S2.Ex19.m1.7.7.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S2.Ex19.m1.7.7.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">r</mi><mi id="S2.Ex19.m1.7.7.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.Ex19.m1.7.7.1.1.1.1.1.3.3.cmml">s</mi></msubsup><mo id="S2.Ex19.m1.7.7.1.1.1.1.1.2b" xref="S2.Ex19.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex19.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex19.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex19.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex19.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S2.Ex19.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex19.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex19.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex19.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">m</mi><mi id="S2.Ex19.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex19.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">s</mi></msup><mo id="S2.Ex19.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.Ex19.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mspace id="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.3" width="1em" xref="S2.Ex19.m1.8.8.2.3.cmml"></mspace><mrow id="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1" xref="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1" xref="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.1" xref="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.1.cmml"><mtext id="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.1.3" xref="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.1.3a.cmml">since </mtext><mo id="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.1.2" xref="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.1.4" xref="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.1.4.cmml"><mi id="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.1.4.2.2" xref="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.1.4.2.2.cmml">c</mi><mi id="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.1.4.2.3" xref="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.1.4.2.3.cmml">r</mi><mi id="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.1.4.3" xref="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.1.4.3.cmml">s</mi></msubsup><mo id="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.1.2a" xref="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">m</mi><mi id="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">s</mi></msup><mo id="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></mrow><mo id="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.3" xref="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.2" xref="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.2.cmml"><msubsup id="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.2.3" xref="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.2.3.2.2" xref="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.2.3.2.2.cmml">c</mi><mi id="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.2.3.2.3" xref="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.2.3.2.3.cmml">r</mi><mi id="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.2.3.3" xref="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.2.3.3.cmml">s</mi></msubsup><mo id="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.2.2" xref="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.2.1.1" xref="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.2.1.1.1" xref="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.2.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2" xref="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.cmml">m</mi><mi id="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.2.1.1.1.3" xref="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.2.1.1.1.3.cmml">s</mi></msup><mo id="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex19.m1.8b"><apply id="S2.Ex19.m1.8.8.cmml" xref="S2.Ex19.m1.8.8"><eq id="S2.Ex19.m1.8.8.3.cmml" xref="S2.Ex19.m1.8.8.3"></eq><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex19.m1.8.8.4.cmml" xref="S2.Ex19.m1.8.8.4">absent</csymbol><list id="S2.Ex19.m1.8.8.2.3.cmml" xref="S2.Ex19.m1.8.8.2.2"><apply id="S2.Ex19.m1.7.7.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex19.m1.7.7.1.1.1"><times id="S2.Ex19.m1.7.7.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex19.m1.7.7.1.1.1.2"></times><ci id="S2.Ex19.m1.7.7.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex19.m1.7.7.1.1.1.3">𝑁</ci><apply id="S2.Ex19.m1.7.7.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex19.m1.7.7.1.1.1.1"><apply id="S2.Ex19.m1.7.7.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex19.m1.7.7.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex19.m1.7.7.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex19.m1.7.7.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="S2.Ex19.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex19.m1.7.7.1.1.1.1.2.2"></sum><ci id="S2.Ex19.m1.7.7.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex19.m1.7.7.1.1.1.1.2.3">𝑟</ci></apply><apply id="S2.Ex19.m1.7.7.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex19.m1.7.7.1.1.1.1.1"><times id="S2.Ex19.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex19.m1.7.7.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S2.Ex19.m1.3.3.cmml" xref="S2.Ex19.m1.3.3"><divide id="S2.Ex19.m1.3.3.4.cmml" xref="S2.Ex19.m1.3.3"></divide><apply id="S2.Ex19.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex19.m1.1.1.1"><times id="S2.Ex19.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex19.m1.1.1.1.2"></times><ci id="S2.Ex19.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex19.m1.1.1.1.3">𝜇</ci><ci id="S2.Ex19.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex19.m1.1.1.1.1">𝑟</ci></apply><apply id="S2.Ex19.m1.3.3.3.cmml" xref="S2.Ex19.m1.3.3.3"><times id="S2.Ex19.m1.3.3.3.3.cmml" xref="S2.Ex19.m1.3.3.3.3"></times><apply id="S2.Ex19.m1.3.3.3.4.cmml" xref="S2.Ex19.m1.3.3.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex19.m1.3.3.3.4.1.cmml" xref="S2.Ex19.m1.3.3.3.4">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex19.m1.3.3.3.4.2.cmml" xref="S2.Ex19.m1.3.3.3.4.2">𝐽</ci><apply id="S2.Ex19.m1.3.3.3.4.3.cmml" xref="S2.Ex19.m1.3.3.3.4.3"><plus id="S2.Ex19.m1.3.3.3.4.3.1.cmml" xref="S2.Ex19.m1.3.3.3.4.3.1"></plus><ci id="S2.Ex19.m1.3.3.3.4.3.2.cmml" xref="S2.Ex19.m1.3.3.3.4.3.2">𝑠</ci><ci id="S2.Ex19.m1.3.3.3.4.3.3.cmml" xref="S2.Ex19.m1.3.3.3.4.3.3">𝑎</ci></apply></apply><ci id="S2.Ex19.m1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex19.m1.2.2.2.1">𝑟</ci><ci id="S2.Ex19.m1.3.3.3.6.cmml" xref="S2.Ex19.m1.3.3.3.6">𝜁</ci><apply id="S2.Ex19.m1.3.3.3.2.1.1.cmml" xref="S2.Ex19.m1.3.3.3.2.1"><plus id="S2.Ex19.m1.3.3.3.2.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex19.m1.3.3.3.2.1.1.1"></plus><ci id="S2.Ex19.m1.3.3.3.2.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex19.m1.3.3.3.2.1.1.2">𝑠</ci><ci id="S2.Ex19.m1.3.3.3.2.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex19.m1.3.3.3.2.1.1.3">𝑎</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.Ex19.m1.6.6.cmml" xref="S2.Ex19.m1.6.6"><divide id="S2.Ex19.m1.6.6.4.cmml" xref="S2.Ex19.m1.6.6"></divide><apply id="S2.Ex19.m1.4.4.1.cmml" xref="S2.Ex19.m1.4.4.1"><times id="S2.Ex19.m1.4.4.1.2.cmml" xref="S2.Ex19.m1.4.4.1.2"></times><ci id="S2.Ex19.m1.4.4.1.3.cmml" xref="S2.Ex19.m1.4.4.1.3">𝜇</ci><ci id="S2.Ex19.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S2.Ex19.m1.4.4.1.1">𝑟</ci></apply><apply id="S2.Ex19.m1.6.6.3.cmml" xref="S2.Ex19.m1.6.6.3"><times id="S2.Ex19.m1.6.6.3.3.cmml" xref="S2.Ex19.m1.6.6.3.3"></times><apply id="S2.Ex19.m1.6.6.3.4.cmml" xref="S2.Ex19.m1.6.6.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex19.m1.6.6.3.4.1.cmml" xref="S2.Ex19.m1.6.6.3.4">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex19.m1.6.6.3.4.2.cmml" xref="S2.Ex19.m1.6.6.3.4.2">𝐽</ci><apply id="S2.Ex19.m1.6.6.3.4.3.cmml" xref="S2.Ex19.m1.6.6.3.4.3"><plus id="S2.Ex19.m1.6.6.3.4.3.1.cmml" xref="S2.Ex19.m1.6.6.3.4.3.1"></plus><ci id="S2.Ex19.m1.6.6.3.4.3.2.cmml" xref="S2.Ex19.m1.6.6.3.4.3.2">𝑠</ci><ci id="S2.Ex19.m1.6.6.3.4.3.3.cmml" xref="S2.Ex19.m1.6.6.3.4.3.3">𝑏</ci></apply></apply><ci id="S2.Ex19.m1.5.5.2.1.cmml" xref="S2.Ex19.m1.5.5.2.1">𝑟</ci><ci id="S2.Ex19.m1.6.6.3.6.cmml" xref="S2.Ex19.m1.6.6.3.6">𝜁</ci><apply id="S2.Ex19.m1.6.6.3.2.1.1.cmml" xref="S2.Ex19.m1.6.6.3.2.1"><plus id="S2.Ex19.m1.6.6.3.2.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex19.m1.6.6.3.2.1.1.1"></plus><ci id="S2.Ex19.m1.6.6.3.2.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex19.m1.6.6.3.2.1.1.2">𝑠</ci><ci id="S2.Ex19.m1.6.6.3.2.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex19.m1.6.6.3.2.1.1.3">𝑏</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.Ex19.m1.7.7.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex19.m1.7.7.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex19.m1.7.7.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex19.m1.7.7.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex19.m1.7.7.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex19.m1.7.7.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex19.m1.7.7.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex19.m1.7.7.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex19.m1.7.7.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex19.m1.7.7.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑐</ci><ci id="S2.Ex19.m1.7.7.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.Ex19.m1.7.7.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑟</ci></apply><ci id="S2.Ex19.m1.7.7.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex19.m1.7.7.1.1.1.1.1.3.3">𝑠</ci></apply><apply id="S2.Ex19.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex19.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex19.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex19.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex19.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex19.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑚</ci><ci id="S2.Ex19.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex19.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑠</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.cmml" xref="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1"><eq id="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.3"></eq><apply id="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.1"><times id="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.1.2"></times><ci id="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.1.3a.cmml" xref="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.1.3"><mtext id="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.1.3">since </mtext></ci><apply id="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.1.4.cmml" xref="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.1.4.1.cmml" xref="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.1.4">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.1.4.2.cmml" xref="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.1.4.2.2">𝑐</ci><ci id="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.1.4.2.3.cmml" xref="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.1.4.2.3">𝑟</ci></apply><ci id="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.1.4.3.cmml" xref="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.1.4.3">𝑠</ci></apply><apply id="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.1.1.1"><times id="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑚</ci><ci id="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑠</ci></apply><ci id="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.2"><times id="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.2.2"></times><apply id="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.2.3">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.2.3.2.2">𝑐</ci><ci id="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.2.3.2.3">𝑟</ci></apply><ci id="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.2.3.3.cmml" xref="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.2.3.3">𝑠</ci></apply><apply id="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2">𝑚</ci><ci id="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.2.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex19.m1.8.8.2.2.2.1.1.2.1.1.1.3">𝑠</ci></apply></apply></apply></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex19.m1.8c">\displaystyle=N\sum\limits_{r}\frac{\mu(r)}{J_{s+a}(r)\zeta(s+a)}\frac{\mu(r)}% {J_{s+b}(r)\zeta(s+b)}c_{r}^{s}(m^{s})\hskip 10.0pt(\text{since }c_{r}^{s}(m^{% s}k)=c_{r}^{s}(m^{s}))</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex19.m1.8d">= italic_N ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT divide start_ARG italic_μ ( italic_r ) end_ARG start_ARG italic_J start_POSTSUBSCRIPT italic_s + italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) italic_ζ ( italic_s + italic_a ) end_ARG divide start_ARG italic_μ ( italic_r ) end_ARG start_ARG italic_J start_POSTSUBSCRIPT italic_s + italic_b end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r ) italic_ζ ( italic_s + italic_b ) end_ARG italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_m start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT ) ( since italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_m start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT italic_k ) = italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_m start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT ) )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S2.Ex20"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=N\prod\limits_{p}\Big{(}(1-\frac{1}{p^{s+a}})(1-\frac{1}{p^{s+b}% })\big{(}1+\frac{c_{p}^{s}(m^{s})}{(p^{s+a}-1)(p^{s+b}-1)}\big{)}\Big{)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Ex20.m1.4"><semantics id="S2.Ex20.m1.4a"><mrow id="S2.Ex20.m1.4.4" xref="S2.Ex20.m1.4.4.cmml"><mi id="S2.Ex20.m1.4.4.3" xref="S2.Ex20.m1.4.4.3.cmml"></mi><mo id="S2.Ex20.m1.4.4.2" xref="S2.Ex20.m1.4.4.2.cmml">=</mo><mrow id="S2.Ex20.m1.4.4.1" xref="S2.Ex20.m1.4.4.1.cmml"><mi id="S2.Ex20.m1.4.4.1.3" xref="S2.Ex20.m1.4.4.1.3.cmml">N</mi><mo id="S2.Ex20.m1.4.4.1.2" xref="S2.Ex20.m1.4.4.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex20.m1.4.4.1.1" xref="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.2" xref="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.2.cmml"><munder id="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.2a" xref="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.2.cmml"><mo id="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.2.2" movablelimits="false" xref="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.2.2.cmml">∏</mo><mi id="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.2.3" xref="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.2.3.cmml">p</mi></munder></mstyle><mrow id="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.2" maxsize="160%" minsize="160%" xref="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3a" xref="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><msup id="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">p</mi><mrow id="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">s</mi><mo id="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1" xref="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml">+</mo><mi id="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">a</mi></mrow></msup></mfrac></mstyle></mrow><mo id="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.4" xref="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.1" xref="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mn id="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml"><mfrac id="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.1.1.3a" xref="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml"><mn id="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2" xref="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.cmml">1</mn><msup id="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3" xref="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.2" xref="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.2.cmml">p</mi><mrow id="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3" xref="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3.2" xref="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3.2.cmml">s</mi><mo id="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3.1" xref="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3.1.cmml">+</mo><mi id="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3.3" xref="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3.3.cmml">b</mi></mrow></msup></mfrac></mstyle></mrow><mo id="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.1.3" stretchy="false" xref="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.4a" xref="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.1" xref="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.1.2" maxsize="120%" minsize="120%" xref="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.1.1" xref="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml"><mn id="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.1.1.2" xref="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.1.1.1" xref="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S2.Ex20.m1.3.3" xref="S2.Ex20.m1.3.3.cmml"><mfrac id="S2.Ex20.m1.3.3a" xref="S2.Ex20.m1.3.3.cmml"><mrow id="S2.Ex20.m1.1.1.1" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S2.Ex20.m1.1.1.1.3" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Ex20.m1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1.3.2.2.cmml">c</mi><mi id="S2.Ex20.m1.1.1.1.3.2.3" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1.3.2.3.cmml">p</mi><mi id="S2.Ex20.m1.1.1.1.3.3" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1.3.3.cmml">s</mi></msubsup><mo id="S2.Ex20.m1.1.1.1.2" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">m</mi><mi id="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">s</mi></msup><mo id="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mrow id="S2.Ex20.m1.3.3.3" xref="S2.Ex20.m1.3.3.3.cmml"><mrow id="S2.Ex20.m1.2.2.2.1.1" xref="S2.Ex20.m1.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex20.m1.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex20.m1.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex20.m1.2.2.2.1.1.1" xref="S2.Ex20.m1.2.2.2.1.1.1.cmml"><msup id="S2.Ex20.m1.2.2.2.1.1.1.2" xref="S2.Ex20.m1.2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.Ex20.m1.2.2.2.1.1.1.2.2" xref="S2.Ex20.m1.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml">p</mi><mrow id="S2.Ex20.m1.2.2.2.1.1.1.2.3" xref="S2.Ex20.m1.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex20.m1.2.2.2.1.1.1.2.3.2" xref="S2.Ex20.m1.2.2.2.1.1.1.2.3.2.cmml">s</mi><mo id="S2.Ex20.m1.2.2.2.1.1.1.2.3.1" xref="S2.Ex20.m1.2.2.2.1.1.1.2.3.1.cmml">+</mo><mi id="S2.Ex20.m1.2.2.2.1.1.1.2.3.3" xref="S2.Ex20.m1.2.2.2.1.1.1.2.3.3.cmml">a</mi></mrow></msup><mo id="S2.Ex20.m1.2.2.2.1.1.1.1" xref="S2.Ex20.m1.2.2.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S2.Ex20.m1.2.2.2.1.1.1.3" xref="S2.Ex20.m1.2.2.2.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S2.Ex20.m1.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.Ex20.m1.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.Ex20.m1.3.3.3.3" xref="S2.Ex20.m1.3.3.3.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex20.m1.3.3.3.2.1" xref="S2.Ex20.m1.3.3.3.2.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex20.m1.3.3.3.2.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex20.m1.3.3.3.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex20.m1.3.3.3.2.1.1" xref="S2.Ex20.m1.3.3.3.2.1.1.cmml"><msup id="S2.Ex20.m1.3.3.3.2.1.1.2" xref="S2.Ex20.m1.3.3.3.2.1.1.2.cmml"><mi id="S2.Ex20.m1.3.3.3.2.1.1.2.2" xref="S2.Ex20.m1.3.3.3.2.1.1.2.2.cmml">p</mi><mrow id="S2.Ex20.m1.3.3.3.2.1.1.2.3" xref="S2.Ex20.m1.3.3.3.2.1.1.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex20.m1.3.3.3.2.1.1.2.3.2" xref="S2.Ex20.m1.3.3.3.2.1.1.2.3.2.cmml">s</mi><mo id="S2.Ex20.m1.3.3.3.2.1.1.2.3.1" xref="S2.Ex20.m1.3.3.3.2.1.1.2.3.1.cmml">+</mo><mi id="S2.Ex20.m1.3.3.3.2.1.1.2.3.3" xref="S2.Ex20.m1.3.3.3.2.1.1.2.3.3.cmml">b</mi></mrow></msup><mo id="S2.Ex20.m1.3.3.3.2.1.1.1" xref="S2.Ex20.m1.3.3.3.2.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S2.Ex20.m1.3.3.3.2.1.1.3" xref="S2.Ex20.m1.3.3.3.2.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S2.Ex20.m1.3.3.3.2.1.3" stretchy="false" xref="S2.Ex20.m1.3.3.3.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mfrac></mstyle></mrow><mo id="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.1.3" maxsize="120%" minsize="120%" xref="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.3" maxsize="160%" minsize="160%" xref="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex20.m1.4b"><apply id="S2.Ex20.m1.4.4.cmml" xref="S2.Ex20.m1.4.4"><eq id="S2.Ex20.m1.4.4.2.cmml" xref="S2.Ex20.m1.4.4.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex20.m1.4.4.3.cmml" xref="S2.Ex20.m1.4.4.3">absent</csymbol><apply id="S2.Ex20.m1.4.4.1.cmml" xref="S2.Ex20.m1.4.4.1"><times id="S2.Ex20.m1.4.4.1.2.cmml" xref="S2.Ex20.m1.4.4.1.2"></times><ci id="S2.Ex20.m1.4.4.1.3.cmml" xref="S2.Ex20.m1.4.4.1.3">𝑁</ci><apply id="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S2.Ex20.m1.4.4.1.1"><apply id="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.2.2">product</csymbol><ci id="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.2.3">𝑝</ci></apply><apply id="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1"><times id="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.4"></times><apply id="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><cn id="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2">1</cn><apply id="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><divide id="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3"></divide><cn id="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">1</cn><apply id="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑝</ci><apply id="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3"><plus id="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1"></plus><ci id="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2">𝑠</ci><ci id="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3">𝑎</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.1"><minus id="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.1.1.1"></minus><cn id="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.1.1.2">1</cn><apply id="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.1.1.3"><divide id="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.1.1.3"></divide><cn id="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.1.1.3.2">1</cn><apply id="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.2">𝑝</ci><apply id="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3"><plus id="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3.1"></plus><ci id="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3.2">𝑠</ci><ci id="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.2.1.1.3.3.3.3">𝑏</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.1"><plus id="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.1.1.1"></plus><cn id="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S2.Ex20.m1.4.4.1.1.1.1.1.3.1.1.2">1</cn><apply id="S2.Ex20.m1.3.3.cmml" xref="S2.Ex20.m1.3.3"><divide id="S2.Ex20.m1.3.3.4.cmml" xref="S2.Ex20.m1.3.3"></divide><apply id="S2.Ex20.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex20.m1.1.1.1"><times id="S2.Ex20.m1.1.1.1.2.cmml" 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id="S2.Ex20.m1.3.3.3.2.1.1.cmml" xref="S2.Ex20.m1.3.3.3.2.1"><minus id="S2.Ex20.m1.3.3.3.2.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex20.m1.3.3.3.2.1.1.1"></minus><apply id="S2.Ex20.m1.3.3.3.2.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex20.m1.3.3.3.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex20.m1.3.3.3.2.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex20.m1.3.3.3.2.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex20.m1.3.3.3.2.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex20.m1.3.3.3.2.1.1.2.2">𝑝</ci><apply id="S2.Ex20.m1.3.3.3.2.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex20.m1.3.3.3.2.1.1.2.3"><plus id="S2.Ex20.m1.3.3.3.2.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex20.m1.3.3.3.2.1.1.2.3.1"></plus><ci id="S2.Ex20.m1.3.3.3.2.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex20.m1.3.3.3.2.1.1.2.3.2">𝑠</ci><ci id="S2.Ex20.m1.3.3.3.2.1.1.2.3.3.cmml" xref="S2.Ex20.m1.3.3.3.2.1.1.2.3.3">𝑏</ci></apply></apply><cn id="S2.Ex20.m1.3.3.3.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex20.m1.3.3.3.2.1.1.3">1</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" 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class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S2.Ex21"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=N\prod\limits_{p}\Big{(}(1-\frac{1}{p^{s+a}})(1-\frac{1}{p^{s+b}% })+\frac{c_{p}^{s}(m^{s})}{p^{a+b+2s}}\Big{)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Ex21.m1.2"><semantics id="S2.Ex21.m1.2a"><mrow id="S2.Ex21.m1.2.2" xref="S2.Ex21.m1.2.2.cmml"><mi id="S2.Ex21.m1.2.2.3" xref="S2.Ex21.m1.2.2.3.cmml"></mi><mo id="S2.Ex21.m1.2.2.2" xref="S2.Ex21.m1.2.2.2.cmml">=</mo><mrow id="S2.Ex21.m1.2.2.1" xref="S2.Ex21.m1.2.2.1.cmml"><mi id="S2.Ex21.m1.2.2.1.3" xref="S2.Ex21.m1.2.2.1.3.cmml">N</mi><mo id="S2.Ex21.m1.2.2.1.2" xref="S2.Ex21.m1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex21.m1.2.2.1.1" xref="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.2" xref="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.2.cmml"><munder id="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.2a" xref="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.2.2" movablelimits="false" xref="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.2.2.cmml">∏</mo><mi id="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.2.3" xref="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.2.3.cmml">p</mi></munder></mstyle><mrow id="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.2" maxsize="160%" minsize="160%" xref="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3a" xref="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><msup id="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">p</mi><mrow id="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">s</mi><mo id="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1" xref="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml">+</mo><mi id="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">a</mi></mrow></msup></mfrac></mstyle></mrow><mo id="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1" xref="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml"><mn id="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2" xref="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1" xref="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3" xref="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.cmml"><mfrac id="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3a" xref="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.cmml"><mn id="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2" xref="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.cmml">1</mn><msup id="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3" xref="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2" xref="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2.cmml">p</mi><mrow id="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.3" xref="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.3.2" xref="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.3.2.cmml">s</mi><mo id="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.3.1" xref="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.3.1.cmml">+</mo><mi id="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.3.3" xref="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.3.3.cmml">b</mi></mrow></msup></mfrac></mstyle></mrow><mo id="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S2.Ex21.m1.1.1" xref="S2.Ex21.m1.1.1.cmml"><mfrac id="S2.Ex21.m1.1.1a" xref="S2.Ex21.m1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex21.m1.1.1.1" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S2.Ex21.m1.1.1.1.3" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Ex21.m1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.3.2.2.cmml">c</mi><mi id="S2.Ex21.m1.1.1.1.3.2.3" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.3.2.3.cmml">p</mi><mi id="S2.Ex21.m1.1.1.1.3.3" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.3.3.cmml">s</mi></msubsup><mo id="S2.Ex21.m1.1.1.1.2" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">m</mi><mi id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">s</mi></msup><mo id="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><msup id="S2.Ex21.m1.1.1.3" xref="S2.Ex21.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Ex21.m1.1.1.3.2" xref="S2.Ex21.m1.1.1.3.2.cmml">p</mi><mrow id="S2.Ex21.m1.1.1.3.3" xref="S2.Ex21.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.Ex21.m1.1.1.3.3.2" xref="S2.Ex21.m1.1.1.3.3.2.cmml">a</mi><mo id="S2.Ex21.m1.1.1.3.3.1" xref="S2.Ex21.m1.1.1.3.3.1.cmml">+</mo><mi id="S2.Ex21.m1.1.1.3.3.3" xref="S2.Ex21.m1.1.1.3.3.3.cmml">b</mi><mo id="S2.Ex21.m1.1.1.3.3.1a" xref="S2.Ex21.m1.1.1.3.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S2.Ex21.m1.1.1.3.3.4" xref="S2.Ex21.m1.1.1.3.3.4.cmml"><mn id="S2.Ex21.m1.1.1.3.3.4.2" xref="S2.Ex21.m1.1.1.3.3.4.2.cmml">2</mn><mo id="S2.Ex21.m1.1.1.3.3.4.1" xref="S2.Ex21.m1.1.1.3.3.4.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex21.m1.1.1.3.3.4.3" xref="S2.Ex21.m1.1.1.3.3.4.3.cmml">s</mi></mrow></mrow></msup></mfrac></mstyle></mrow><mo id="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.3" maxsize="160%" minsize="160%" xref="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex21.m1.2b"><apply id="S2.Ex21.m1.2.2.cmml" xref="S2.Ex21.m1.2.2"><eq id="S2.Ex21.m1.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex21.m1.2.2.2"></eq><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex21.m1.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex21.m1.2.2.3">absent</csymbol><apply id="S2.Ex21.m1.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex21.m1.2.2.1"><times id="S2.Ex21.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S2.Ex21.m1.2.2.1.2"></times><ci id="S2.Ex21.m1.2.2.1.3.cmml" xref="S2.Ex21.m1.2.2.1.3">𝑁</ci><apply id="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S2.Ex21.m1.2.2.1.1"><apply id="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.2.2">product</csymbol><ci id="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.2.3">𝑝</ci></apply><apply id="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1"><plus id="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.3"></plus><apply id="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.2"><times id="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3"></times><apply id="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><cn id="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">1</cn><apply id="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><divide id="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"></divide><cn id="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">1</cn><apply id="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑝</ci><apply id="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3"><plus id="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1"></plus><ci id="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2">𝑠</ci><ci id="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3">𝑎</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1"><minus id="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1"></minus><cn id="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2">1</cn><apply id="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3"><divide id="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3"></divide><cn id="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2">1</cn><apply id="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2">𝑝</ci><apply id="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.3"><plus id="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.3.1"></plus><ci id="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.3.2">𝑠</ci><ci id="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S2.Ex21.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.3.3">𝑏</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.Ex21.m1.1.1.cmml" xref="S2.Ex21.m1.1.1"><divide id="S2.Ex21.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex21.m1.1.1"></divide><apply id="S2.Ex21.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1"><times id="S2.Ex21.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.2"></times><apply id="S2.Ex21.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex21.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S2.Ex21.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex21.m1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex21.m1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.3.2.2">𝑐</ci><ci id="S2.Ex21.m1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.Ex21.m1.1.1.1.3.2.3">𝑝</ci></apply><ci id="S2.Ex21.m1.1.1.1.3.3.cmml" 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xref="S2.Ex21.m1.1.1.3.3.4.1"></times><cn id="S2.Ex21.m1.1.1.3.3.4.2.cmml" type="integer" xref="S2.Ex21.m1.1.1.3.3.4.2">2</cn><ci id="S2.Ex21.m1.1.1.3.3.4.3.cmml" xref="S2.Ex21.m1.1.1.3.3.4.3">𝑠</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex21.m1.2c">\displaystyle=N\prod\limits_{p}\Big{(}(1-\frac{1}{p^{s+a}})(1-\frac{1}{p^{s+b}% })+\frac{c_{p}^{s}(m^{s})}{p^{a+b+2s}}\Big{)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex21.m1.2d">= italic_N ∏ start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT ( ( 1 - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_p start_POSTSUPERSCRIPT italic_s + italic_a end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ) ( 1 - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_p start_POSTSUPERSCRIPT italic_s + italic_b end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ) + divide start_ARG italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_p end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_s end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_m 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xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.4.cmml"></mi><mo id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.4" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.4.cmml">N</mi><mo id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><munder id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.3a" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.3.2" movablelimits="false" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">∏</mo><mrow id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml"><mi id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.cmml">p</mi><mo id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.1" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.1.cmml">∣</mo><mi id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.3" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.3.cmml">m</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mrow id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" maxsize="160%" minsize="160%" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3a" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><msup id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">p</mi><mrow id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">s</mi><mo id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml">+</mo><mi id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">a</mi></mrow></msup></mfrac></mstyle></mrow><mo id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml"><mn id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.cmml"><mfrac id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3a" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.cmml"><mn id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.2.cmml">1</mn><msup id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2.cmml">p</mi><mrow id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.3" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.3.2" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.3.2.cmml">s</mi><mo id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.3.1" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.3.1.cmml">+</mo><mi id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.3.3" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.3.3.cmml">b</mi></mrow></msup></mfrac></mstyle></mrow><mo id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">+</mo><mstyle displaystyle="true" id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mfrac id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4a" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mrow id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml"><msup id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.cmml"><mi id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.2.cmml">p</mi><mi id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.2.3.cmml">s</mi></msup><mo id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml">−</mo><mn id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.3.cmml">1</mn></mrow><msup id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml">p</mi><mrow id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.cmml"><mi id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.2" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.2.cmml">a</mi><mo id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.1" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.1.cmml">+</mo><mi id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.3" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.3.cmml">b</mi><mo id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.1a" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.4" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.4.cmml"><mn id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.4.2" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.4.2.cmml">2</mn><mo id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.4.1" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.4.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.4.3" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.3.4.3.cmml">s</mi></mrow></mrow></msup></mfrac></mstyle></mrow><mo id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" maxsize="160%" minsize="160%" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><munder id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2a" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><mo id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2" movablelimits="false" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.2" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.2.cmml">p</mi><mo id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.1" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.1.cmml">∤</mo><mi id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.3" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.3.3.cmml">m</mi></mrow></munder></mstyle><mrow id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.2" maxsize="160%" minsize="160%" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3a" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><msup id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">p</mi><mrow id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">s</mi><mo id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml">+</mo><mi id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">a</mi></mrow></msup></mfrac></mstyle></mrow><mo id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.3" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.1" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.1.1" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.1.1.cmml"><mn id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.1.1.2" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.1.1.1" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.1.1.1.cmml">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.1.1.3" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.1.1.3.cmml"><mfrac id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.1.1.3a" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.1.1.3.cmml"><mn id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.1.1.3.2" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.1.1.3.2.cmml">1</mn><msup id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.1.1.3.3" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2.cmml">p</mi><mrow id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.1.1.3.3.3" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.1.1.3.3.3.2" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.1.1.3.3.3.2.cmml">s</mi><mo id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.1.1.3.3.3.1" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.1.1.3.3.3.1.cmml">+</mo><mi id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.1.1.3.3.3.3" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.1.1.3.3.3.3.cmml">b</mi></mrow></msup></mfrac></mstyle></mrow><mo id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml">−</mo><mstyle displaystyle="true" id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.4" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.4.cmml"><mfrac id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.4a" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.4.cmml"><mn id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.4.2" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.4.2.cmml">1</mn><msup id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.4.3" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.4.3.2" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.4.3.2.cmml">p</mi><mrow id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.4.3.3" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.4.3.3.cmml"><mi id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.4.3.3.2" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.4.3.3.2.cmml">a</mi><mo id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.4.3.3.1" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.4.3.3.1.cmml">+</mo><mi id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.4.3.3.3" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.4.3.3.3.cmml">b</mi><mo id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.4.3.3.1a" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.4.3.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.4.3.3.4" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.4.3.3.4.cmml"><mn id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.4.3.3.4.2" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.4.3.3.4.2.cmml">2</mn><mo id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.4.3.3.4.1" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.4.3.3.4.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.4.3.3.4.3" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.4.3.3.4.3.cmml">s</mi></mrow></mrow></msup></mfrac></mstyle></mrow><mo id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3" maxsize="160%" minsize="160%" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.Ex22.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex22.m1.1b"><apply id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1"><eq id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.3"></eq><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.4">absent</csymbol><apply id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2"><times id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.3"></times><ci id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.4">𝑁</ci><apply id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2"><apply id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.3.2">product</csymbol><apply id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.3.3"><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.1">conditional</csymbol><ci id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2">𝑝</ci><ci id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.3.cmml" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.3">𝑚</ci></apply></apply><apply id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2"><times id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.2.3"></times><apply id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"></plus><apply id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"></times><apply id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><cn id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">1</cn><apply id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><divide id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"></divide><cn id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">1</cn><apply id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑝</ci><apply id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3"><plus id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1"></plus><ci id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2">𝑠</ci><ci id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3">𝑎</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.cmml" 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xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.2">𝑝</ci><apply id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.3"><plus id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.3.1"></plus><ci id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.3.2">𝑠</ci><ci id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.1.3.3.3.3">𝑏</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4"><divide id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4"></divide><apply id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2"><minus id="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S2.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.1"></minus><apply 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