Pi – Wikipedia, wolna encyklopedia

<!DOCTYPE html> <html class="client-nojs vector-feature-language-in-header-enabled vector-feature-language-in-main-page-header-disabled vector-feature-page-tools-pinned-disabled vector-feature-toc-pinned-clientpref-1 vector-feature-main-menu-pinned-disabled vector-feature-limited-width-clientpref-1 vector-feature-limited-width-content-enabled vector-feature-custom-font-size-clientpref-1 vector-feature-appearance-pinned-clientpref-1 vector-feature-night-mode-enabled skin-theme-clientpref-day vector-sticky-header-enabled vector-toc-available" lang="pl" dir="ltr"> <head> <meta charset="UTF-8"> <title>Pi – Wikipedia, wolna encyklopedia</title> <script>(function(){var className="client-js vector-feature-language-in-header-enabled vector-feature-language-in-main-page-header-disabled vector-feature-page-tools-pinned-disabled vector-feature-toc-pinned-clientpref-1 vector-feature-main-menu-pinned-disabled vector-feature-limited-width-clientpref-1 vector-feature-limited-width-content-enabled vector-feature-custom-font-size-clientpref-1 vector-feature-appearance-pinned-clientpref-1 vector-feature-night-mode-enabled skin-theme-clientpref-day vector-sticky-header-enabled vector-toc-available";var cookie=document.cookie.match(/(?:^|; )plwikimwclientpreferences=([^;]+)/);if(cookie){cookie[1].split('%2C').forEach(function(pref){className=className.replace(new RegExp('(^| )'+pref.replace(/-clientpref-\w+$|[^\w-]+/g,'')+'-clientpref-\\w+( |$)'),'$1'+pref+'$2');});}document.documentElement.className=className;}());RLCONF={"wgBreakFrames":false,"wgSeparatorTransformTable":[",\t."," \t,"],"wgDigitTransformTable":["",""],"wgDefaultDateFormat":"dmy","wgMonthNames":["","styczeń","luty","marzec","kwiecień","maj","czerwiec","lipiec","sierpień","wrzesień","październik","listopad","grudzień"],"wgRequestId":"1e95dca2-f176-4b50-9db7-f095ded0ee6b","wgCanonicalNamespace":"","wgCanonicalSpecialPageName":false,"wgNamespaceNumber":0,"wgPageName":"Pi","wgTitle":"Pi","wgCurRevisionId":76225318,"wgRevisionId":76225318,"wgArticleId":4858,"wgIsArticle":true,"wgIsRedirect":false,"wgAction":"view","wgUserName":null,"wgUserGroups":["*"],"wgCategories":["Uniwersalny szablon cytowania – brak strony","Szablony cytowania – problemy – cytuj – strona główna","Stałe matematyczne","Okręgi (geometria)","Analiza rzeczywista","Oznaczenia matematyczne"],"wgPageViewLanguage":"pl","wgPageContentLanguage":"pl","wgPageContentModel":"wikitext","wgRelevantPageName":"Pi","wgRelevantArticleId":4858,"wgIsProbablyEditable":true,"wgRelevantPageIsProbablyEditable":true,"wgRestrictionEdit":[],"wgRestrictionMove":[],"wgNoticeProject":"wikipedia","wgCiteReferencePreviewsActive":true,"wgFlaggedRevsParams":{"tags":{"accuracy":{"levels":1}}},"wgStableRevisionId":76225318,"wgMediaViewerOnClick":true,"wgMediaViewerEnabledByDefault":true,"wgPopupsFlags":0,"wgVisualEditor":{"pageLanguageCode":"pl","pageLanguageDir":"ltr","pageVariantFallbacks":"pl"},"wgMFDisplayWikibaseDescriptions":{"search":true,"watchlist":true,"tagline":true,"nearby":true},"wgWMESchemaEditAttemptStepOversample":false,"wgWMEPageLength":50000,"wgEditSubmitButtonLabelPublish":true,"wgULSPosition":"interlanguage","wgULSisCompactLinksEnabled":false,"wgVector2022LanguageInHeader":true,"wgULSisLanguageSelectorEmpty":false,"wgWikibaseItemId":"Q167","wgCheckUserClientHintsHeadersJsApi":["brands","architecture","bitness","fullVersionList","mobile","model","platform","platformVersion"],"GEHomepageSuggestedEditsEnableTopics":true,"wgGETopicsMatchModeEnabled":false,"wgGELevelingUpEnabledForUser":false}; RLSTATE={"ext.gadget.wikiflex":"ready","ext.gadget.infobox":"ready","ext.gadget.hlist":"ready","ext.gadget.darkmode-overrides":"ready","ext.gadget.small-references":"ready","ext.gadget.citation-access-info":"ready","ext.gadget.sprawdz-problemy-szablony":"ready","ext.globalCssJs.user.styles":"ready","site.styles":"ready","user.styles":"ready","ext.globalCssJs.user":"ready","user":"ready","user.options":"loading","ext.cite.styles":"ready","ext.math.styles":"ready","skins.vector.search.codex.styles":"ready","skins.vector.styles":"ready","skins.vector.icons":"ready","jquery.makeCollapsible.styles":"ready","ext.flaggedRevs.basic":"ready","mediawiki.codex.messagebox.styles":"ready","ext.wikimediamessages.styles":"ready","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript":"ready","ext.uls.interlanguage":"ready","wikibase.client.init":"ready","ext.wikimediaBadges":"ready"};RLPAGEMODULES=["ext.cite.ux-enhancements","mediawiki.page.media","ext.scribunto.logs","site","mediawiki.page.ready","jquery.makeCollapsible","mediawiki.toc","skins.vector.js","ext.centralNotice.geoIP","ext.centralNotice.startUp","ext.flaggedRevs.advanced","ext.gadget.ll-script-loader","ext.gadget.veKeepParameters","ext.gadget.szablon-galeria","ext.gadget.NavFrame","ext.gadget.citoid-overrides","ext.gadget.maps","ext.gadget.padlock-indicators","ext.gadget.interwiki-langlist","ext.gadget.edit-summaries","ext.gadget.edit-first-section","ext.gadget.wikibugs","ext.gadget.map-toggler","ext.gadget.narrowFootnoteColumns","ext.gadget.WDsearch","ext.urlShortener.toolbar","ext.centralauth.centralautologin","mmv.bootstrap","ext.popups","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.init","ext.visualEditor.targetLoader","ext.echo.centralauth","ext.eventLogging","ext.wikimediaEvents","ext.navigationTiming","ext.uls.interface","ext.cx.eventlogging.campaigns","ext.cx.uls.quick.actions","wikibase.client.vector-2022","ext.checkUser.clientHints","ext.growthExperiments.SuggestedEditSession"];</script> <script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.loader.impl(function(){return["user.options@12s5i",function($,jQuery,require,module){mw.user.tokens.set({"patrolToken":"+\\","watchToken":"+\\","csrfToken":"+\\"}); }];});});</script> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=pl&modules=ext.cite.styles%7Cext.flaggedRevs.basic%7Cext.math.styles%7Cext.uls.interlanguage%7Cext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript%7Cext.wikimediaBadges%7Cext.wikimediamessages.styles%7Cjquery.makeCollapsible.styles%7Cmediawiki.codex.messagebox.styles%7Cskins.vector.icons%2Cstyles%7Cskins.vector.search.codex.styles%7Cwikibase.client.init&only=styles&skin=vector-2022"> <script async="" src="/w/load.php?lang=pl&modules=startup&only=scripts&raw=1&skin=vector-2022"></script> <meta name="ResourceLoaderDynamicStyles" content=""> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=pl&modules=ext.gadget.citation-access-info%2Cdarkmode-overrides%2Chlist%2Cinfobox%2Csmall-references%2Csprawdz-problemy-szablony%2Cwikiflex&only=styles&skin=vector-2022"> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=pl&modules=site.styles&only=styles&skin=vector-2022"> <meta name="generator" content="MediaWiki 1.44.0-wmf.23"> <meta name="referrer" content="origin"> <meta name="referrer" content="origin-when-cross-origin"> <meta name="robots" content="max-image-preview:standard"> <meta name="format-detection" content="telephone=no"> <meta name="viewport" content="width=1120"> <meta property="og:title" content="Pi – Wikipedia, wolna encyklopedia"> <meta property="og:type" content="website"> <link rel="preconnect" href="//upload.wikimedia.org"> <link rel="alternate" media="only screen and (max-width: 640px)" href="//pl.m.wikipedia.org/wiki/Pi"> <link rel="alternate" type="application/x-wiki" title="Edytuj" href="/w/index.php?title=Pi&action=edit"> <link rel="apple-touch-icon" href="/static/apple-touch/wikipedia.png"> <link rel="icon" href="/static/favicon/wikipedia.ico"> <link rel="search" type="application/opensearchdescription+xml" href="/w/rest.php/v1/search" title="Wikipedia (pl)"> <link rel="EditURI" type="application/rsd+xml" href="//pl.wikipedia.org/w/api.php?action=rsd"> <link rel="canonical" href="https://pl.wikipedia.org/wiki/Pi"> <link rel="license" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.pl"> <link rel="alternate" type="application/atom+xml" title="Kanał Atom Wikipedii" href="/w/index.php?title=Specjalna:Ostatnie_zmiany&feed=atom"> <link rel="dns-prefetch" href="//meta.wikimedia.org" /> <link rel="dns-prefetch" href="auth.wikimedia.org"> </head> <body class="skin--responsive skin-vector skin-vector-search-vue mediawiki ltr sitedir-ltr mw-hide-empty-elt ns-0 ns-subject mw-editable page-Pi rootpage-Pi skin-vector-2022 action-view"><a class="mw-jump-link" href="#bodyContent">Przejdź do zawartości</a> <div class="vector-header-container"> <header class="vector-header mw-header"> <div class="vector-header-start"> <nav class="vector-main-menu-landmark" aria-label="Witryna"> <div id="vector-main-menu-dropdown" class="vector-dropdown vector-main-menu-dropdown vector-button-flush-left vector-button-flush-right" title="Główne menu" > <input type="checkbox" id="vector-main-menu-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-main-menu-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Menu główne" > <label id="vector-main-menu-dropdown-label" for="vector-main-menu-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-menu mw-ui-icon-wikimedia-menu"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Menu główne</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-main-menu-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> <div id="vector-main-menu" class="vector-main-menu vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-main-menu-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="main-menu-pinned" data-pinnable-element-id="vector-main-menu" data-pinned-container-id="vector-main-menu-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-main-menu-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Menu główne</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-main-menu.pin">przypnij</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-main-menu.unpin">ukryj</button> </div> <div id="p-navigation" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-navigation" > <div class="vector-menu-heading"> Nawigacja </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-mainpage-description" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Strona_g%C5%82%C3%B3wna" title="Przejdź na stronę główną [z]" accesskey="z"><span>Strona główna</span></a></li><li id="n-randompage" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Specjalna:Losowa_strona" title="Załaduj losową stronę [x]" accesskey="x"><span>Losuj artykuł</span></a></li><li id="n-Kategorie" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Portal:Kategorie_G%C5%82%C3%B3wne"><span>Kategorie artykułów</span></a></li><li id="n-Featured-articles" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Wyr%C3%B3%C5%BCniona_zawarto%C5%9B%C4%87_Wikipedii"><span>Najlepsze artykuły</span></a></li><li id="n-FAQ" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Pomoc:FAQ"><span>Częste pytania (FAQ)</span></a></li><li id="n-specialpages" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Specjalna:Strony_specjalne"><span>Strony specjalne</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-zmiany" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-zmiany" > <div class="vector-menu-heading"> Dla czytelników </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-czytelnicy" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:O_Wikipedii"><span>O Wikipedii</span></a></li><li id="n-contact" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Kontakt_z_wikipedystami"><span>Kontakt</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-edytorzy" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-edytorzy" > <div class="vector-menu-heading"> Dla wikipedystów </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-pierwsze-kroki" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Pomoc:Pierwsze_kroki"><span>Pierwsze kroki</span></a></li><li id="n-portal" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Portal_wikipedyst%C3%B3w" title="O projekcie – co możesz zrobić, gdzie możesz znaleźć informacje"><span>Portal wikipedystów</span></a></li><li id="n-Noticeboard" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Tablica_og%C5%82osze%C5%84"><span>Ogłoszenia</span></a></li><li id="n-Guidelines" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Zasady"><span>Zasady</span></a></li><li id="n-helppage-name" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Pomoc:Spis_tre%C5%9Bci"><span>Pomoc</span></a></li><li id="n-recentchanges" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Specjalna:Ostatnie_zmiany" title="Lista ostatnich zmian w Wikipedii. [r]" accesskey="r"><span>Ostatnie zmiany</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> <a href="/wiki/Wikipedia:Strona_g%C5%82%C3%B3wna" class="mw-logo"> <img class="mw-logo-icon" src="/static/images/icons/wikipedia.png" alt="" aria-hidden="true" height="50" width="50"> <span class="mw-logo-container skin-invert"> <img class="mw-logo-wordmark" alt="Wikipedia" src="/static/images/mobile/copyright/wikipedia-wordmark-en.svg" style="width: 7.5em; height: 1.125em;"> <img class="mw-logo-tagline" alt="wolna encyklopedia" src="/static/images/mobile/copyright/wikipedia-tagline-pl.svg" width="120" height="13" style="width: 7.5em; height: 0.8125em;"> </span> </a> </div> <div class="vector-header-end"> <div id="p-search" role="search" class="vector-search-box-vue vector-search-box-collapses vector-search-box-show-thumbnail vector-search-box-auto-expand-width vector-search-box"> <a href="/wiki/Specjalna:Szukaj" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only search-toggle" title="Przeszukaj Wikipedię [f]" accesskey="f"><span class="vector-icon mw-ui-icon-search mw-ui-icon-wikimedia-search"></span> <span>Szukaj</span> </a> <div class="vector-typeahead-search-container"> <div class="cdx-typeahead-search cdx-typeahead-search--show-thumbnail cdx-typeahead-search--auto-expand-width"> <form action="/w/index.php" id="searchform" class="cdx-search-input cdx-search-input--has-end-button"> <div id="simpleSearch" class="cdx-search-input__input-wrapper" data-search-loc="header-moved"> <div class="cdx-text-input cdx-text-input--has-start-icon"> <input class="cdx-text-input__input" type="search" name="search" placeholder="Przeszukaj Wikipedię" aria-label="Przeszukaj Wikipedię" autocapitalize="sentences" title="Przeszukaj Wikipedię [f]" accesskey="f" id="searchInput" > <span class="cdx-text-input__icon cdx-text-input__start-icon"></span> </div> <input type="hidden" name="title" value="Specjalna:Szukaj"> </div> <button class="cdx-button cdx-search-input__end-button">Szukaj</button> </form> </div> </div> </div> <nav class="vector-user-links vector-user-links-wide" aria-label="Narzędzia osobiste"> <div class="vector-user-links-main"> <div id="p-vector-user-menu-preferences" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <div id="p-vector-user-menu-userpage" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Wygląd"> <div id="vector-appearance-dropdown" class="vector-dropdown " title="Zmień rozmiar czcionki, szerokość oraz kolorystykę strony" > <input type="checkbox" id="vector-appearance-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-appearance-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Wygląd" > <label id="vector-appearance-dropdown-label" for="vector-appearance-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-appearance mw-ui-icon-wikimedia-appearance"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Wygląd</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-appearance-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <div id="p-vector-user-menu-notifications" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <div id="p-vector-user-menu-overflow" class="vector-menu mw-portlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-sitesupport-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="https://donate.wikimedia.org/?wmf_source=donate&wmf_medium=sidebar&wmf_campaign=pl.wikipedia.org&uselang=pl" class=""><span>Wspomóż Wikipedię</span></a> </li> <li id="pt-createaccount-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="/w/index.php?title=Specjalna:Utw%C3%B3rz_konto&returnto=Pi" title="Zachęcamy do stworzenia konta i zalogowania, ale nie jest to obowiązkowe." class=""><span>Utwórz konto</span></a> </li> <li id="pt-login-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="/w/index.php?title=Specjalna:Zaloguj&returnto=Pi" title="Zachęcamy do zalogowania się, choć nie jest to obowiązkowe. [o]" accesskey="o" class=""><span>Zaloguj się</span></a> </li> </ul> </div> </div> </div> <div id="vector-user-links-dropdown" class="vector-dropdown vector-user-menu vector-button-flush-right vector-user-menu-logged-out" title="Więcej opcji" > <input type="checkbox" id="vector-user-links-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-user-links-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Narzędzia osobiste" > <label id="vector-user-links-dropdown-label" for="vector-user-links-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-ellipsis mw-ui-icon-wikimedia-ellipsis"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Narzędzia osobiste</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-personal" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-personal user-links-collapsible-item" title="Menu użytkownika" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-sitesupport" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="https://donate.wikimedia.org/?wmf_source=donate&wmf_medium=sidebar&wmf_campaign=pl.wikipedia.org&uselang=pl"><span>Wspomóż Wikipedię</span></a></li><li id="pt-createaccount" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Specjalna:Utw%C3%B3rz_konto&returnto=Pi" title="Zachęcamy do stworzenia konta i zalogowania, ale nie jest to obowiązkowe."><span class="vector-icon mw-ui-icon-userAdd mw-ui-icon-wikimedia-userAdd"></span> <span>Utwórz konto</span></a></li><li id="pt-login" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Specjalna:Zaloguj&returnto=Pi" title="Zachęcamy do zalogowania się, choć nie jest to obowiązkowe. [o]" accesskey="o"><span class="vector-icon mw-ui-icon-logIn mw-ui-icon-wikimedia-logIn"></span> <span>Zaloguj się</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-user-menu-anon-editor" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-user-menu-anon-editor" > <div class="vector-menu-heading"> Strony dla anonimowych edytorów <a href="/wiki/Pomoc:Pierwsze_kroki" aria-label="Dowiedz się więcej na temat edytowania"><span>dowiedz się więcej</span></a> </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-anoncontribs" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Specjalna:M%C3%B3j_wk%C5%82ad" title="Lista edycji wykonanych z tego adresu IP [y]" accesskey="y"><span>Edycje</span></a></li><li id="pt-anontalk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Specjalna:Moja_dyskusja" title="Dyskusja użytkownika dla tego adresu IP [n]" accesskey="n"><span>Dyskusja</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </header> </div> <div class="mw-page-container"> <div class="mw-page-container-inner"> <div class="vector-sitenotice-container"> <div id="siteNotice"></div> </div> <div class="vector-column-start"> <div class="vector-main-menu-container"> <div id="mw-navigation"> <nav id="mw-panel" class="vector-main-menu-landmark" aria-label="Witryna"> <div id="vector-main-menu-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> </div> </div> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav id="mw-panel-toc" aria-label="Spis treści" data-event-name="ui.sidebar-toc" class="mw-table-of-contents-container vector-toc-landmark"> <div id="vector-toc-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-toc" class="vector-toc vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-toc-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="toc-pinned" data-pinnable-element-id="vector-toc" > <h2 class="vector-pinnable-header-label">Spis treści</h2> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-toc.pin">przypnij</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-toc.unpin">ukryj</button> </div> <ul class="vector-toc-contents" id="mw-panel-toc-list"> <li id="toc-mw-content-text" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a href="#" class="vector-toc-link"> <div class="vector-toc-text">Początek</div> </a> </li> <li id="toc-Oznaczenia_liczby_π" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Oznaczenia_liczby_π"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1</span> <span>Oznaczenia liczby <span>π</span></span> </div> </a> <ul id="toc-Oznaczenia_liczby_π-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Niektóre_wzory_zawierające_π" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Niektóre_wzory_zawierające_π"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2</span> <span>Niektóre wzory zawierające <span>π</span></span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Niektóre_wzory_zawierające_π-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Przełącz podsekcję Niektóre wzory zawierające <span>π</span></span> </button> <ul id="toc-Niektóre_wzory_zawierające_π-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-W_geometrii" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#W_geometrii"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.1</span> <span>W geometrii</span> </div> </a> <ul id="toc-W_geometrii-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-W_analizie_matematycznej" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#W_analizie_matematycznej"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.2</span> <span>W analizie matematycznej</span> </div> </a> <ul id="toc-W_analizie_matematycznej-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-W_teorii_liczb" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#W_teorii_liczb"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.3</span> <span>W teorii liczb</span> </div> </a> <ul id="toc-W_teorii_liczb-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-W_fizyce" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#W_fizyce"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.4</span> <span>W fizyce</span> </div> </a> <ul id="toc-W_fizyce-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Często_występujące_przekształcenia_π" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Często_występujące_przekształcenia_π"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.5</span> <span>Często występujące przekształcenia <span>π</span></span> </div> </a> <ul id="toc-Często_występujące_przekształcenia_π-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Rozwinięcie_π_w_ułamek_łańcuchowy" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Rozwinięcie_π_w_ułamek_łańcuchowy"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.6</span> <span>Rozwinięcie <span>π</span> w ułamek łańcuchowy</span> </div> </a> <ul id="toc-Rozwinięcie_π_w_ułamek_łańcuchowy-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Własności_liczby_π" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Własności_liczby_π"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3</span> <span>Własności liczby <span>π</span></span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Własności_liczby_π-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Przełącz podsekcję Własności liczby <span>π</span></span> </button> <ul id="toc-Własności_liczby_π-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Wyniki_Archimedesa" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Wyniki_Archimedesa"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.1</span> <span>Wyniki Archimedesa</span> </div> </a> <ul id="toc-Wyniki_Archimedesa-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Niewymierność" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Niewymierność"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.2</span> <span>Niewymierność</span> </div> </a> <ul id="toc-Niewymierność-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Przestępność" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Przestępność"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.3</span> <span>Przestępność</span> </div> </a> <ul id="toc-Przestępność-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Historia_obliczeń_wartości_π" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Historia_obliczeń_wartości_π"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4</span> <span>Historia obliczeń wartości <span>π</span></span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Historia_obliczeń_wartości_π-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Przełącz podsekcję Historia obliczeń wartości <span>π</span></span> </button> <ul id="toc-Historia_obliczeń_wartości_π-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Przybliżanie_liczby_π_w_starożytności" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Przybliżanie_liczby_π_w_starożytności"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.1</span> <span>Przybliżanie liczby <span>π</span> w starożytności</span> </div> </a> <ul id="toc-Przybliżanie_liczby_π_w_starożytności-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Przybliżanie_liczby_π_w_średniowieczu" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Przybliżanie_liczby_π_w_średniowieczu"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.2</span> <span>Przybliżanie liczby <span>π</span> w średniowieczu</span> </div> </a> <ul id="toc-Przybliżanie_liczby_π_w_średniowieczu-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Przybliżanie_liczby_π_w_czasach_nowożytnych" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Przybliżanie_liczby_π_w_czasach_nowożytnych"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.3</span> <span>Przybliżanie liczby <span>π</span> w czasach nowożytnych</span> </div> </a> <ul id="toc-Przybliżanie_liczby_π_w_czasach_nowożytnych-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Wzory_do_obliczania_liczby_π" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Wzory_do_obliczania_liczby_π"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5</span> <span>Wzory do obliczania liczby <span>π</span></span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Wzory_do_obliczania_liczby_π-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Przełącz podsekcję Wzory do obliczania liczby <span>π</span></span> </button> <ul id="toc-Wzory_do_obliczania_liczby_π-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Wzory_wolno_zbieżne" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Wzory_wolno_zbieżne"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5.1</span> <span>Wzory wolno zbieżne</span> </div> </a> <ul id="toc-Wzory_wolno_zbieżne-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Wzory_szybko_zbieżne" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Wzory_szybko_zbieżne"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5.2</span> <span>Wzory szybko zbieżne</span> </div> </a> <ul id="toc-Wzory_szybko_zbieżne-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Inne_metody" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Inne_metody"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5.3</span> <span>Inne metody</span> </div> </a> <ul id="toc-Inne_metody-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Ułamki_łańcuchowe" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Ułamki_łańcuchowe"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5.4</span> <span>Ułamki łańcuchowe</span> </div> </a> <ul id="toc-Ułamki_łańcuchowe-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Szacowanie_liczby_π_przy_pomocy_całek" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Szacowanie_liczby_π_przy_pomocy_całek"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5.5</span> <span>Szacowanie liczby <span>π</span> przy pomocy całek</span> </div> </a> <ul id="toc-Szacowanie_liczby_π_przy_pomocy_całek-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Kultura_π" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Kultura_π"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6</span> <span>Kultura <span>π</span></span> </div> </a> <ul id="toc-Kultura_π-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Upamiętnienie" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Upamiętnienie"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7</span> <span>Upamiętnienie</span> </div> </a> <ul id="toc-Upamiętnienie-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Zobacz_też" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Zobacz_też"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">8</span> <span>Zobacz też</span> </div> </a> <ul id="toc-Zobacz_też-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Linki_zewnętrzne" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Linki_zewnętrzne"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">9</span> <span>Linki zewnętrzne</span> </div> </a> <ul id="toc-Linki_zewnętrzne-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Uwagi" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Uwagi"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">10</span> <span>Uwagi</span> </div> </a> <ul id="toc-Uwagi-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Przypisy" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Przypisy"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">11</span> <span>Przypisy</span> </div> </a> <ul id="toc-Przypisy-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="Spis treści" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" title="Spis treści" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Przełącz stan spisu treści" > <label id="vector-page-titlebar-toc-label" for="vector-page-titlebar-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-listBullet mw-ui-icon-wikimedia-listBullet"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Przełącz stan spisu treści</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-titlebar-toc-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Pi</span></h1> <div id="p-lang-btn" class="vector-dropdown mw-portlet mw-portlet-lang" > <input type="checkbox" id="p-lang-btn-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-lang-btn" class="vector-dropdown-checkbox mw-interlanguage-selector" aria-label="Przejdź do artykułu w innym języku. Treść dostępna w 163 językach" > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-163" aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-language-progressive mw-ui-icon-wikimedia-language-progressive"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">163 języki</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-af badge-Q17437796 badge-featuredarticle mw-list-item" title="medal"><a href="https://af.wikipedia.org/wiki/Pi" title="Pi – afrikaans" lang="af" hreflang="af" data-title="Pi" data-language-autonym="Afrikaans" data-language-local-name="afrikaans" class="interlanguage-link-target"><span>Afrikaans</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-als mw-list-item"><a href="https://als.wikipedia.org/wiki/Pi_(Mathematik)" title="Pi (Mathematik) – szwajcarski niemiecki" lang="gsw" hreflang="gsw" data-title="Pi (Mathematik)" data-language-autonym="Alemannisch" data-language-local-name="szwajcarski niemiecki" class="interlanguage-link-target"><span>Alemannisch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-am mw-list-item"><a href="https://am.wikipedia.org/wiki/%E1%8D%93%E1%8B%AD" title="ፓይ – amharski" lang="am" hreflang="am" data-title="ፓይ" data-language-autonym="አማርኛ" data-language-local-name="amharski" class="interlanguage-link-target"><span>አማርኛ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D8%B7_(%D8%B1%D9%8A%D8%A7%D8%B6%D9%8A%D8%A7%D8%AA)" title="ط (رياضيات) – arabski" lang="ar" hreflang="ar" data-title="ط (رياضيات)" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="arabski" class="interlanguage-link-target"><span>العربية</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-an mw-list-item"><a href="https://an.wikipedia.org/wiki/Numero_%CF%80" title="Numero π – aragoński" lang="an" hreflang="an" data-title="Numero π" data-language-autonym="Aragonés" data-language-local-name="aragoński" class="interlanguage-link-target"><span>Aragonés</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-as mw-list-item"><a href="https://as.wikipedia.org/wiki/%E0%A6%AA%E0%A6%BE%E0%A6%87" title="পাই – asamski" lang="as" hreflang="as" data-title="পাই" data-language-autonym="অসমীয়া" data-language-local-name="asamski" class="interlanguage-link-target"><span>অসমীয়া</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ast mw-list-item"><a href="https://ast.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmberu_%CF%80" title="Númberu π – asturyjski" lang="ast" hreflang="ast" data-title="Númberu π" data-language-autonym="Asturianu" data-language-local-name="asturyjski" class="interlanguage-link-target"><span>Asturianu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gn mw-list-item"><a href="https://gn.wikipedia.org/wiki/Pi" title="Pi – guarani" lang="gn" hreflang="gn" data-title="Pi" data-language-autonym="Avañe'ẽ" data-language-local-name="guarani" class="interlanguage-link-target"><span>Avañe'ẽ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-az mw-list-item"><a href="https://az.wikipedia.org/wiki/Pi" title="Pi – azerbejdżański" lang="az" hreflang="az" data-title="Pi" data-language-autonym="Azərbaycanca" data-language-local-name="azerbejdżański" class="interlanguage-link-target"><span>Azərbaycanca</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-azb mw-list-item"><a href="https://azb.wikipedia.org/wiki/%D9%BE%DB%8C_%D8%B3%D8%A7%DB%8C%DB%8C%E2%80%8C%D8%B3%DB%8C" title="پی سایی‌سی – South Azerbaijani" lang="azb" hreflang="azb" data-title="پی سایی‌سی" data-language-autonym="تۆرکجه" data-language-local-name="South Azerbaijani" class="interlanguage-link-target"><span>تۆرکجه</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bn mw-list-item"><a href="https://bn.wikipedia.org/wiki/%E0%A6%AA%E0%A6%BE%E0%A6%87" title="পাই – bengalski" lang="bn" hreflang="bn" data-title="পাই" data-language-autonym="বাংলা" data-language-local-name="bengalski" class="interlanguage-link-target"><span>বাংলা</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bjn mw-list-item"><a href="https://bjn.wikipedia.org/wiki/Pi" title="Pi – banjar" lang="bjn" hreflang="bjn" data-title="Pi" data-language-autonym="Banjar" data-language-local-name="banjar" class="interlanguage-link-target"><span>Banjar</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-min-nan mw-list-item"><a href="https://zh-min-nan.wikipedia.org/wiki/%C3%8E%E2%81%BF-chiu-lu%CC%8Dt" title="Îⁿ-chiu-lu̍t – minnański" lang="nan" hreflang="nan" data-title="Îⁿ-chiu-lu̍t" data-language-autonym="閩南語 / Bân-lâm-gú" data-language-local-name="minnański" class="interlanguage-link-target"><span>閩南語 / Bân-lâm-gú</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ba mw-list-item"><a href="https://ba.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B8_(%D2%BB%D0%B0%D0%BD)" title="Пи (һан) – baszkirski" lang="ba" hreflang="ba" data-title="Пи (һан)" data-language-autonym="Башҡортса" data-language-local-name="baszkirski" class="interlanguage-link-target"><span>Башҡортса</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be mw-list-item"><a href="https://be.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%96" title="Пі – białoruski" lang="be" hreflang="be" data-title="Пі" data-language-autonym="Беларуская" data-language-local-name="białoruski" class="interlanguage-link-target"><span>Беларуская</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be-x-old mw-list-item"><a href="https://be-tarask.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%96" title="Пі – Belarusian (Taraškievica orthography)" lang="be-tarask" hreflang="be-tarask" data-title="Пі" data-language-autonym="Беларуская (тарашкевіца)" data-language-local-name="Belarusian (Taraškievica orthography)" class="interlanguage-link-target"><span>Беларуская (тарашкевіца)</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bcl mw-list-item"><a href="https://bcl.wikipedia.org/wiki/Pi" title="Pi – Central Bikol" lang="bcl" hreflang="bcl" data-title="Pi" data-language-autonym="Bikol Central" data-language-local-name="Central Bikol" class="interlanguage-link-target"><span>Bikol Central</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bg mw-list-item"><a href="https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B8" title="Пи – bułgarski" lang="bg" hreflang="bg" data-title="Пи" data-language-autonym="Български" data-language-local-name="bułgarski" class="interlanguage-link-target"><span>Български</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bs mw-list-item"><a href="https://bs.wikipedia.org/wiki/Pi" title="Pi – bośniacki" lang="bs" hreflang="bs" data-title="Pi" data-language-autonym="Bosanski" data-language-local-name="bośniacki" class="interlanguage-link-target"><span>Bosanski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-br mw-list-item"><a href="https://br.wikipedia.org/wiki/Pi_(niver)" title="Pi (niver) – bretoński" lang="br" hreflang="br" data-title="Pi (niver)" data-language-autonym="Brezhoneg" data-language-local-name="bretoński" class="interlanguage-link-target"><span>Brezhoneg</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bxr mw-list-item"><a href="https://bxr.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B8_(%D1%82%D0%BE%D0%BE)" title="Пи (тоо) – Russia Buriat" lang="bxr" hreflang="bxr" data-title="Пи (тоо)" data-language-autonym="Буряад" data-language-local-name="Russia Buriat" class="interlanguage-link-target"><span>Буряад</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ca badge-Q17437796 badge-featuredarticle mw-list-item" title="medal"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Nombre_%CF%80" title="Nombre π – kataloński" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Nombre π" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="kataloński" class="interlanguage-link-target"><span>Català</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cv mw-list-item"><a href="https://cv.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B8_(%D1%85%D0%B8%D1%81%D0%B5%D0%BF)" title="Пи (хисеп) – czuwaski" lang="cv" hreflang="cv" data-title="Пи (хисеп)" data-language-autonym="Чӑвашла" data-language-local-name="czuwaski" class="interlanguage-link-target"><span>Чӑвашла</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ceb mw-list-item"><a href="https://ceb.wikipedia.org/wiki/Pi" title="Pi – cebuański" lang="ceb" hreflang="ceb" data-title="Pi" data-language-autonym="Cebuano" data-language-local-name="cebuański" class="interlanguage-link-target"><span>Cebuano</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs badge-Q17437798 badge-goodarticle mw-list-item" title="dobry artykuł"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/P%C3%AD_(%C4%8D%C3%ADslo)" title="Pí (číslo) – czeski" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Pí (číslo)" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="czeski" class="interlanguage-link-target"><span>Čeština</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cy mw-list-item"><a href="https://cy.wikipedia.org/wiki/Pi_(mathemateg)" title="Pi (mathemateg) – walijski" lang="cy" hreflang="cy" data-title="Pi (mathemateg)" data-language-autonym="Cymraeg" data-language-local-name="walijski" class="interlanguage-link-target"><span>Cymraeg</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-da mw-list-item"><a href="https://da.wikipedia.org/wiki/Pi_(tal)" title="Pi (tal) – duński" lang="da" hreflang="da" data-title="Pi (tal)" data-language-autonym="Dansk" data-language-local-name="duński" class="interlanguage-link-target"><span>Dansk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-de badge-Q17437798 badge-goodarticle mw-list-item" title="dobry artykuł"><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Kreiszahl" title="Kreiszahl – niemiecki" lang="de" hreflang="de" data-title="Kreiszahl" data-language-autonym="Deutsch" data-language-local-name="niemiecki" class="interlanguage-link-target"><span>Deutsch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-dsb mw-list-item"><a href="https://dsb.wikipedia.org/wiki/Konstanta_%CF%80" title="Konstanta π – dolnołużycki" lang="dsb" hreflang="dsb" data-title="Konstanta π" data-language-autonym="Dolnoserbski" data-language-local-name="dolnołużycki" class="interlanguage-link-target"><span>Dolnoserbski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-et mw-list-item"><a href="https://et.wikipedia.org/wiki/Pii" title="Pii – estoński" lang="et" hreflang="et" data-title="Pii" data-language-autonym="Eesti" data-language-local-name="estoński" class="interlanguage-link-target"><span>Eesti</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-el mw-list-item"><a href="https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%A0_(%CE%BC%CE%B1%CE%B8%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%84%CE%B9%CE%BA%CE%AE_%CF%83%CF%84%CE%B1%CE%B8%CE%B5%CF%81%CE%AC)" title="Π (μαθηματική σταθερά) – grecki" lang="el" hreflang="el" data-title="Π (μαθηματική σταθερά)" data-language-autonym="Ελληνικά" data-language-local-name="grecki" class="interlanguage-link-target"><span>Ελληνικά</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eml mw-list-item"><a href="https://eml.wikipedia.org/wiki/Pi_gr%C4%93c" title="Pi grēc – Emiliano-Romagnolo" lang="egl" hreflang="egl" data-title="Pi grēc" data-language-autonym="Emiliàn e rumagnòl" data-language-local-name="Emiliano-Romagnolo" class="interlanguage-link-target"><span>Emiliàn e rumagnòl</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en badge-Q17437796 badge-featuredarticle mw-list-item" title="medal"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Pi" title="Pi – angielski" lang="en" hreflang="en" data-title="Pi" data-language-autonym="English" data-language-local-name="angielski" class="interlanguage-link-target"><span>English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_%CF%80" title="Número π – hiszpański" lang="es" hreflang="es" data-title="Número π" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="hiszpański" class="interlanguage-link-target"><span>Español</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eo badge-Q17437796 badge-featuredarticle mw-list-item" title="medal"><a href="https://eo.wikipedia.org/wiki/Pi_(nombro)" title="Pi (nombro) – esperanto" lang="eo" hreflang="eo" data-title="Pi (nombro)" data-language-autonym="Esperanto" data-language-local-name="esperanto" class="interlanguage-link-target"><span>Esperanto</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ext mw-list-item"><a href="https://ext.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmiru_%CF%80" title="Númiru π – estremadurski" lang="ext" hreflang="ext" data-title="Númiru π" data-language-autonym="Estremeñu" data-language-local-name="estremadurski" class="interlanguage-link-target"><span>Estremeñu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eu mw-list-item"><a href="https://eu.wikipedia.org/wiki/Pi_(zenbakia)" title="Pi (zenbakia) – baskijski" lang="eu" hreflang="eu" data-title="Pi (zenbakia)" data-language-autonym="Euskara" data-language-local-name="baskijski" class="interlanguage-link-target"><span>Euskara</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%B9%D8%AF%D8%AF_%D9%BE%DB%8C" title="عدد پی – perski" lang="fa" hreflang="fa" data-title="عدد پی" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="perski" class="interlanguage-link-target"><span>فارسی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hif mw-list-item"><a href="https://hif.wikipedia.org/wiki/Pi" title="Pi – hindi fidżyjskie" lang="hif" hreflang="hif" data-title="Pi" data-language-autonym="Fiji Hindi" data-language-local-name="hindi fidżyjskie" class="interlanguage-link-target"><span>Fiji Hindi</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fo mw-list-item"><a href="https://fo.wikipedia.org/wiki/Pi" title="Pi – farerski" lang="fo" hreflang="fo" data-title="Pi" data-language-autonym="Føroyskt" data-language-local-name="farerski" class="interlanguage-link-target"><span>Føroyskt</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fr mw-list-item"><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Pi" title="Pi – francuski" lang="fr" hreflang="fr" data-title="Pi" data-language-autonym="Français" data-language-local-name="francuski" class="interlanguage-link-target"><span>Français</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fy mw-list-item"><a href="https://fy.wikipedia.org/wiki/Py_(wiskunde)" title="Py (wiskunde) – zachodniofryzyjski" lang="fy" hreflang="fy" data-title="Py (wiskunde)" data-language-autonym="Frysk" data-language-local-name="zachodniofryzyjski" class="interlanguage-link-target"><span>Frysk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fur mw-list-item"><a href="https://fur.wikipedia.org/wiki/Pi_gr%C3%AAc" title="Pi grêc – friulski" lang="fur" hreflang="fur" data-title="Pi grêc" data-language-autonym="Furlan" data-language-local-name="friulski" class="interlanguage-link-target"><span>Furlan</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ga mw-list-item"><a href="https://ga.wikipedia.org/wiki/P%C3%AD_(uimhir)" title="Pí (uimhir) – irlandzki" lang="ga" hreflang="ga" data-title="Pí (uimhir)" data-language-autonym="Gaeilge" data-language-local-name="irlandzki" class="interlanguage-link-target"><span>Gaeilge</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gd mw-list-item"><a href="https://gd.wikipedia.org/wiki/Pi_(%C3%A0ireamh)" title="Pi (àireamh) – szkocki gaelicki" lang="gd" hreflang="gd" data-title="Pi (àireamh)" data-language-autonym="Gàidhlig" data-language-local-name="szkocki gaelicki" class="interlanguage-link-target"><span>Gàidhlig</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gl mw-list-item"><a href="https://gl.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_pi" title="Número pi – galicyjski" lang="gl" hreflang="gl" data-title="Número pi" data-language-autonym="Galego" data-language-local-name="galicyjski" class="interlanguage-link-target"><span>Galego</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gan mw-list-item"><a href="https://gan.wikipedia.org/wiki/%E5%9C%93%E5%91%A8%E7%8E%87" title="圓周率 – gan" lang="gan" hreflang="gan" data-title="圓周率" data-language-autonym="贛語" data-language-local-name="gan" class="interlanguage-link-target"><span>贛語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gu mw-list-item"><a href="https://gu.wikipedia.org/wiki/%E0%AA%AA%E0%AA%BE%E0%AA%87" title="પાઇ – gudżarati" lang="gu" hreflang="gu" data-title="પાઇ" data-language-autonym="ગુજરાતી" data-language-local-name="gudżarati" class="interlanguage-link-target"><span>ગુજરાતી</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-xal mw-list-item"><a href="https://xal.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B8" title="Пи – kałmucki" lang="xal" hreflang="xal" data-title="Пи" data-language-autonym="Хальмг" data-language-local-name="kałmucki" class="interlanguage-link-target"><span>Хальмг</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko badge-Q17437798 badge-goodarticle mw-list-item" title="dobry artykuł"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%9B%90%EC%A3%BC%EC%9C%A8" title="원주율 – koreański" lang="ko" hreflang="ko" data-title="원주율" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="koreański" class="interlanguage-link-target"><span>한국어</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ha mw-list-item"><a href="https://ha.wikipedia.org/wiki/Pi" title="Pi – hausa" lang="ha" hreflang="ha" data-title="Pi" data-language-autonym="Hausa" data-language-local-name="hausa" class="interlanguage-link-target"><span>Hausa</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-haw mw-list-item"><a href="https://haw.wikipedia.org/wiki/Pai_(makemakika)" title="Pai (makemakika) – hawajski" lang="haw" hreflang="haw" data-title="Pai (makemakika)" data-language-autonym="Hawaiʻi" data-language-local-name="hawajski" class="interlanguage-link-target"><span>Hawaiʻi</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hy mw-list-item"><a href="https://hy.wikipedia.org/wiki/%D5%8A%D5%AB_%D5%A9%D5%AB%D5%BE" title="Պի թիվ – ormiański" lang="hy" hreflang="hy" data-title="Պի թիվ" data-language-autonym="Հայերեն" data-language-local-name="ormiański" class="interlanguage-link-target"><span>Հայերեն</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hi mw-list-item"><a href="https://hi.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%AA%E0%A4%BE%E0%A4%88" title="पाई – hindi" lang="hi" hreflang="hi" data-title="पाई" data-language-autonym="हिन्दी" data-language-local-name="hindi" class="interlanguage-link-target"><span>हिन्दी</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hsb mw-list-item"><a href="https://hsb.wikipedia.org/wiki/Konstanta_%CF%80" title="Konstanta π – górnołużycki" lang="hsb" hreflang="hsb" data-title="Konstanta π" data-language-autonym="Hornjoserbsce" data-language-local-name="górnołużycki" class="interlanguage-link-target"><span>Hornjoserbsce</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hr mw-list-item"><a href="https://hr.wikipedia.org/wiki/Pi_(broj)" title="Pi (broj) – chorwacki" lang="hr" hreflang="hr" data-title="Pi (broj)" data-language-autonym="Hrvatski" data-language-local-name="chorwacki" class="interlanguage-link-target"><span>Hrvatski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-io mw-list-item"><a href="https://io.wikipedia.org/wiki/Pi" title="Pi – ido" lang="io" hreflang="io" data-title="Pi" data-language-autonym="Ido" data-language-local-name="ido" class="interlanguage-link-target"><span>Ido</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-id mw-list-item"><a href="https://id.wikipedia.org/wiki/Pi" title="Pi – indonezyjski" lang="id" hreflang="id" data-title="Pi" data-language-autonym="Bahasa Indonesia" data-language-local-name="indonezyjski" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Indonesia</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ia mw-list-item"><a href="https://ia.wikipedia.org/wiki/Pi" title="Pi – interlingua" lang="ia" hreflang="ia" data-title="Pi" data-language-autonym="Interlingua" data-language-local-name="interlingua" class="interlanguage-link-target"><span>Interlingua</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-os mw-list-item"><a href="https://os.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B8" title="Пи – osetyjski" lang="os" hreflang="os" data-title="Пи" data-language-autonym="Ирон" data-language-local-name="osetyjski" class="interlanguage-link-target"><span>Ирон</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-xh mw-list-item"><a href="https://xh.wikipedia.org/wiki/Phi" title="Phi – khosa" lang="xh" hreflang="xh" data-title="Phi" data-language-autonym="IsiXhosa" data-language-local-name="khosa" class="interlanguage-link-target"><span>IsiXhosa</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-is mw-list-item"><a href="https://is.wikipedia.org/wiki/P%C3%AD" title="Pí – islandzki" lang="is" hreflang="is" data-title="Pí" data-language-autonym="Íslenska" data-language-local-name="islandzki" class="interlanguage-link-target"><span>Íslenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Pi_greco" title="Pi greco – włoski" lang="it" hreflang="it" data-title="Pi greco" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="włoski" class="interlanguage-link-target"><span>Italiano</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%A4%D7%90%D7%99" title="פאי – hebrajski" lang="he" hreflang="he" data-title="פאי" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="hebrajski" class="interlanguage-link-target"><span>עברית</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-jv mw-list-item"><a href="https://jv.wikipedia.org/wiki/Pi" title="Pi – jawajski" lang="jv" hreflang="jv" data-title="Pi" data-language-autonym="Jawa" data-language-local-name="jawajski" class="interlanguage-link-target"><span>Jawa</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kn mw-list-item"><a href="https://kn.wikipedia.org/wiki/%E0%B2%AA%E0%B3%88" title="ಪೈ – kannada" lang="kn" hreflang="kn" data-title="ಪೈ" data-language-autonym="ಕನ್ನಡ" data-language-local-name="kannada" class="interlanguage-link-target"><span>ಕನ್ನಡ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ka mw-list-item"><a href="https://ka.wikipedia.org/wiki/%E1%83%9E%E1%83%98_(%E1%83%A0%E1%83%98%E1%83%AA%E1%83%AE%E1%83%95%E1%83%98)" title="პი (რიცხვი) – gruziński" lang="ka" hreflang="ka" data-title="პი (რიცხვი)" data-language-autonym="ქართული" data-language-local-name="gruziński" class="interlanguage-link-target"><span>ქართული</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kk mw-list-item"><a href="https://kk.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B8_(%D1%81%D0%B0%D0%BD)" title="Пи (сан) – kazachski" lang="kk" hreflang="kk" data-title="Пи (сан)" data-language-autonym="Қазақша" data-language-local-name="kazachski" class="interlanguage-link-target"><span>Қазақша</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kw mw-list-item"><a href="https://kw.wikipedia.org/wiki/Pi" title="Pi – kornijski" lang="kw" hreflang="kw" data-title="Pi" data-language-autonym="Kernowek" data-language-local-name="kornijski" class="interlanguage-link-target"><span>Kernowek</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sw mw-list-item"><a href="https://sw.wikipedia.org/wiki/Pai" title="Pai – suahili" lang="sw" hreflang="sw" data-title="Pai" data-language-autonym="Kiswahili" data-language-local-name="suahili" class="interlanguage-link-target"><span>Kiswahili</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ht mw-list-item"><a href="https://ht.wikipedia.org/wiki/Pi_(matematik)" title="Pi (matematik) – kreolski haitański" lang="ht" hreflang="ht" data-title="Pi (matematik)" data-language-autonym="Kreyòl ayisyen" data-language-local-name="kreolski haitański" class="interlanguage-link-target"><span>Kreyòl ayisyen</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gcr mw-list-item"><a href="https://gcr.wikipedia.org/wiki/Pi" title="Pi – Guianan Creole" lang="gcr" hreflang="gcr" data-title="Pi" data-language-autonym="Kriyòl gwiyannen" data-language-local-name="Guianan Creole" class="interlanguage-link-target"><span>Kriyòl gwiyannen</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ku mw-list-item"><a href="https://ku.wikipedia.org/wiki/Pi" title="Pi – kurdyjski" lang="ku" hreflang="ku" data-title="Pi" data-language-autonym="Kurdî" data-language-local-name="kurdyjski" class="interlanguage-link-target"><span>Kurdî</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ky mw-list-item"><a href="https://ky.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B8" title="Пи – kirgiski" lang="ky" hreflang="ky" data-title="Пи" data-language-autonym="Кыргызча" data-language-local-name="kirgiski" class="interlanguage-link-target"><span>Кыргызча</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-la badge-Q17437796 badge-featuredarticle mw-list-item" title="medal"><a href="https://la.wikipedia.org/wiki/Numerus_pi" title="Numerus pi – łaciński" lang="la" hreflang="la" data-title="Numerus pi" data-language-autonym="Latina" data-language-local-name="łaciński" class="interlanguage-link-target"><span>Latina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lv mw-list-item"><a href="https://lv.wikipedia.org/wiki/P%C4%AB" title="Pī – łotewski" lang="lv" hreflang="lv" data-title="Pī" data-language-autonym="Latviešu" data-language-local-name="łotewski" class="interlanguage-link-target"><span>Latviešu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lb mw-list-item"><a href="https://lb.wikipedia.org/wiki/Pi_(Zuel)" title="Pi (Zuel) – luksemburski" lang="lb" hreflang="lb" data-title="Pi (Zuel)" data-language-autonym="Lëtzebuergesch" data-language-local-name="luksemburski" class="interlanguage-link-target"><span>Lëtzebuergesch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lez mw-list-item"><a href="https://lez.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B8_(%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE)" title="Пи (число) – lezgijski" lang="lez" hreflang="lez" data-title="Пи (число)" data-language-autonym="Лезги" data-language-local-name="lezgijski" class="interlanguage-link-target"><span>Лезги</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lt mw-list-item"><a href="https://lt.wikipedia.org/wiki/Pi" title="Pi – litewski" lang="lt" hreflang="lt" data-title="Pi" data-language-autonym="Lietuvių" data-language-local-name="litewski" class="interlanguage-link-target"><span>Lietuvių</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-li mw-list-item"><a href="https://li.wikipedia.org/wiki/Pi_(wisk%C3%B3nde)" title="Pi (wiskónde) – limburski" lang="li" hreflang="li" data-title="Pi (wiskónde)" data-language-autonym="Limburgs" data-language-local-name="limburski" class="interlanguage-link-target"><span>Limburgs</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lmo mw-list-item"><a href="https://lmo.wikipedia.org/wiki/Pi_gregh" title="Pi gregh – lombardzki" lang="lmo" hreflang="lmo" data-title="Pi gregh" data-language-autonym="Lombard" data-language-local-name="lombardzki" class="interlanguage-link-target"><span>Lombard</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hu mw-list-item"><a href="https://hu.wikipedia.org/wiki/Pi_(sz%C3%A1m)" title="Pi (szám) – węgierski" lang="hu" hreflang="hu" data-title="Pi (szám)" data-language-autonym="Magyar" data-language-local-name="węgierski" class="interlanguage-link-target"><span>Magyar</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mad mw-list-item"><a href="https://mad.wikipedia.org/wiki/Pi" title="Pi – madurski" lang="mad" hreflang="mad" data-title="Pi" data-language-autonym="Madhurâ" data-language-local-name="madurski" class="interlanguage-link-target"><span>Madhurâ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mk badge-Q17437796 badge-featuredarticle mw-list-item" title="medal"><a href="https://mk.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B8" title="Пи – macedoński" lang="mk" hreflang="mk" data-title="Пи" data-language-autonym="Македонски" data-language-local-name="macedoński" class="interlanguage-link-target"><span>Македонски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mg mw-list-item"><a href="https://mg.wikipedia.org/wiki/Pi" title="Pi – malgaski" lang="mg" hreflang="mg" data-title="Pi" data-language-autonym="Malagasy" data-language-local-name="malgaski" class="interlanguage-link-target"><span>Malagasy</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ml mw-list-item"><a href="https://ml.wikipedia.org/wiki/%E0%B4%AA%E0%B5%88_(%E0%B4%97%E0%B4%A3%E0%B4%BF%E0%B4%A4%E0%B4%82)" title="പൈ (ഗണിതം) – malajalam" lang="ml" hreflang="ml" data-title="പൈ (ഗണിതം)" data-language-autonym="മലയാളം" data-language-local-name="malajalam" class="interlanguage-link-target"><span>മലയാളം</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mr mw-list-item"><a href="https://mr.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%AA%E0%A4%BE%E0%A4%AF_(%E0%A4%B8%E0%A5%8D%E0%A4%A5%E0%A4%BF%E0%A4%B0%E0%A4%BE%E0%A4%82%E0%A4%95)" title="पाय (स्थिरांक) – marathi" lang="mr" hreflang="mr" data-title="पाय (स्थिरांक)" data-language-autonym="मराठी" data-language-local-name="marathi" class="interlanguage-link-target"><span>मराठी</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-arz mw-list-item"><a href="https://arz.wikipedia.org/wiki/%D8%A8%D8%A7%D9%89_(%D8%B1%D9%8A%D8%A7%D8%B6%D9%8A%D8%A7%D8%AA)" title="باى (رياضيات) – egipski arabski" lang="arz" hreflang="arz" data-title="باى (رياضيات)" data-language-autonym="مصرى" data-language-local-name="egipski arabski" class="interlanguage-link-target"><span>مصرى</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ms mw-list-item"><a href="https://ms.wikipedia.org/wiki/Pi" title="Pi – malajski" lang="ms" hreflang="ms" data-title="Pi" data-language-autonym="Bahasa Melayu" data-language-local-name="malajski" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Melayu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-min mw-list-item"><a href="https://min.wikipedia.org/wiki/Pi" title="Pi – minangkabu" lang="min" hreflang="min" data-title="Pi" data-language-autonym="Minangkabau" data-language-local-name="minangkabu" class="interlanguage-link-target"><span>Minangkabau</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cdo mw-list-item"><a href="https://cdo.wikipedia.org/wiki/I%C3%A8ng-ci%C5%AD-l%E1%B9%B3%CC%86k" title="Ièng-ciŭ-lṳ̆k – Mindong" lang="cdo" hreflang="cdo" data-title="Ièng-ciŭ-lṳ̆k" data-language-autonym="閩東語 / Mìng-dĕ̤ng-ngṳ̄" data-language-local-name="Mindong" class="interlanguage-link-target"><span>閩東語 / Mìng-dĕ̤ng-ngṳ̄</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mn mw-list-item"><a href="https://mn.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B8" title="Пи – mongolski" lang="mn" hreflang="mn" data-title="Пи" data-language-autonym="Монгол" data-language-local-name="mongolski" class="interlanguage-link-target"><span>Монгол</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-my mw-list-item"><a href="https://my.wikipedia.org/wiki/%E1%80%95%E1%80%AD%E1%80%AF%E1%80%84%E1%80%BA_(%E1%80%9E%E1%80%84%E1%80%BA%E1%80%B9%E1%80%81%E1%80%BB%E1%80%AC)" title="ပိုင် (သင်္ချာ) – birmański" lang="my" hreflang="my" data-title="ပိုင် (သင်္ချာ)" data-language-autonym="မြန်မာဘာသာ" data-language-local-name="birmański" class="interlanguage-link-target"><span>မြန်မာဘာသာ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fj mw-list-item"><a href="https://fj.wikipedia.org/wiki/Pi" title="Pi – fidżijski" lang="fj" hreflang="fj" data-title="Pi" data-language-autonym="Na Vosa Vakaviti" data-language-local-name="fidżijski" class="interlanguage-link-target"><span>Na Vosa Vakaviti</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Pi_(wiskunde)" title="Pi (wiskunde) – niderlandzki" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Pi (wiskunde)" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="niderlandzki" class="interlanguage-link-target"><span>Nederlands</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ne mw-list-item"><a href="https://ne.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%AA%E0%A4%BE%E0%A4%88" title="पाई – nepalski" lang="ne" hreflang="ne" data-title="पाई" data-language-autonym="नेपाली" data-language-local-name="nepalski" class="interlanguage-link-target"><span>नेपाली</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-new mw-list-item"><a href="https://new.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%AA%E0%A4%BE%E0%A4%87" title="पाइ – newarski" lang="new" hreflang="new" data-title="पाइ" data-language-autonym="नेपाल भाषा" data-language-local-name="newarski" class="interlanguage-link-target"><span>नेपाल भाषा</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E5%91%A8%E7%8E%87" title="円周率 – japoński" lang="ja" hreflang="ja" data-title="円周率" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="japoński" class="interlanguage-link-target"><span>日本語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-frr badge-Q70894304 mw-list-item" title=""><a href="https://frr.wikipedia.org/wiki/Pi" title="Pi – północnofryzyjski" lang="frr" hreflang="frr" data-title="Pi" data-language-autonym="Nordfriisk" data-language-local-name="północnofryzyjski" class="interlanguage-link-target"><span>Nordfriisk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-no mw-list-item"><a href="https://no.wikipedia.org/wiki/Pi" title="Pi – norweski (bokmål)" lang="nb" hreflang="nb" data-title="Pi" data-language-autonym="Norsk bokmål" data-language-local-name="norweski (bokmål)" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk bokmål</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nn mw-list-item"><a href="https://nn.wikipedia.org/wiki/Pi" title="Pi – norweski (nynorsk)" lang="nn" hreflang="nn" data-title="Pi" data-language-autonym="Norsk nynorsk" data-language-local-name="norweski (nynorsk)" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk nynorsk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-oc mw-list-item"><a href="https://oc.wikipedia.org/wiki/Pi" title="Pi – oksytański" lang="oc" hreflang="oc" data-title="Pi" data-language-autonym="Occitan" data-language-local-name="oksytański" class="interlanguage-link-target"><span>Occitan</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-or mw-list-item"><a href="https://or.wikipedia.org/wiki/%E0%AC%AA%E0%AC%BE%E0%AC%87" title="ପାଇ – orija" lang="or" hreflang="or" data-title="ପାଇ" data-language-autonym="ଓଡ଼ିଆ" data-language-local-name="orija" class="interlanguage-link-target"><span>ଓଡ଼ିଆ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uz mw-list-item"><a href="https://uz.wikipedia.org/wiki/Pi" title="Pi – uzbecki" lang="uz" hreflang="uz" data-title="Pi" data-language-autonym="Oʻzbekcha / ўзбекча" data-language-local-name="uzbecki" class="interlanguage-link-target"><span>Oʻzbekcha / ўзбекча</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pa mw-list-item"><a href="https://pa.wikipedia.org/wiki/%E0%A8%AA%E0%A8%BE%E0%A8%88" title="ਪਾਈ – pendżabski" lang="pa" hreflang="pa" data-title="ਪਾਈ" data-language-autonym="ਪੰਜਾਬੀ" data-language-local-name="pendżabski" class="interlanguage-link-target"><span>ਪੰਜਾਬੀ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pfl mw-list-item"><a href="https://pfl.wikipedia.org/wiki/Kreiszahl" title="Kreiszahl – palatynacki" lang="pfl" hreflang="pfl" data-title="Kreiszahl" data-language-autonym="Pälzisch" data-language-local-name="palatynacki" class="interlanguage-link-target"><span>Pälzisch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pnb mw-list-item"><a href="https://pnb.wikipedia.org/wiki/%D9%BE%D8%A7%D8%A6%DB%8C" title="پائی – Western Punjabi" lang="pnb" hreflang="pnb" data-title="پائی" data-language-autonym="پنجابی" data-language-local-name="Western Punjabi" class="interlanguage-link-target"><span>پنجابی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ps mw-list-item"><a href="https://ps.wikipedia.org/wiki/%D9%BE%D8%A7%DB%8C_(_%D9%81%D8%B2%D9%8A%DA%A9_)" title="پای ( فزيک ) – paszto" lang="ps" hreflang="ps" data-title="پای ( فزيک )" data-language-autonym="پښتو" data-language-local-name="paszto" class="interlanguage-link-target"><span>پښتو</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-jam mw-list-item"><a href="https://jam.wikipedia.org/wiki/Pi" title="Pi – jamajski" lang="jam" hreflang="jam" data-title="Pi" data-language-autonym="Patois" data-language-local-name="jamajski" class="interlanguage-link-target"><span>Patois</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pcd mw-list-item"><a href="https://pcd.wikipedia.org/wiki/Pi_(nombe)" title="Pi (nombe) – pikardyjski" lang="pcd" hreflang="pcd" data-title="Pi (nombe)" data-language-autonym="Picard" data-language-local-name="pikardyjski" class="interlanguage-link-target"><span>Picard</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pms mw-list-item"><a href="https://pms.wikipedia.org/wiki/N%C3%B9mer_%C3%ABd_Ludolph" title="Nùmer ëd Ludolph – piemoncki" lang="pms" hreflang="pms" data-title="Nùmer ëd Ludolph" data-language-autonym="Piemontèis" data-language-local-name="piemoncki" class="interlanguage-link-target"><span>Piemontèis</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nds mw-list-item"><a href="https://nds.wikipedia.org/wiki/Krinktall" title="Krinktall – dolnoniemiecki" lang="nds" hreflang="nds" data-title="Krinktall" data-language-autonym="Plattdüütsch" data-language-local-name="dolnoniemiecki" class="interlanguage-link-target"><span>Plattdüütsch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt badge-Q17437796 badge-featuredarticle mw-list-item" title="medal"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Pi" title="Pi – portugalski" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Pi" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="portugalski" class="interlanguage-link-target"><span>Português</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ksh mw-list-item"><a href="https://ksh.wikipedia.org/wiki/Pi_(Kr%C3%A4j%C3%9Fzal)" title="Pi (Kräjßzal) – gwara kolońska" lang="ksh" hreflang="ksh" data-title="Pi (Kräjßzal)" data-language-autonym="Ripoarisch" data-language-local-name="gwara kolońska" class="interlanguage-link-target"><span>Ripoarisch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ro badge-Q17437796 badge-featuredarticle mw-list-item" title="medal"><a href="https://ro.wikipedia.org/wiki/Pi" title="Pi – rumuński" lang="ro" hreflang="ro" data-title="Pi" data-language-autonym="Română" data-language-local-name="rumuński" class="interlanguage-link-target"><span>Română</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-qu mw-list-item"><a href="https://qu.wikipedia.org/wiki/Chiqaluwa" title="Chiqaluwa – keczua" lang="qu" hreflang="qu" data-title="Chiqaluwa" data-language-autonym="Runa Simi" data-language-local-name="keczua" class="interlanguage-link-target"><span>Runa Simi</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-rue mw-list-item"><a href="https://rue.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D1%96%D1%81%D0%BB%D0%BE_%D0%BF%D1%96" title="Чісло пі – rusiński" lang="rue" hreflang="rue" data-title="Чісло пі" data-language-autonym="Русиньскый" data-language-local-name="rusiński" class="interlanguage-link-target"><span>Русиньскый</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B8_(%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE)" title="Пи (число) – rosyjski" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Пи (число)" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="rosyjski" class="interlanguage-link-target"><span>Русский</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sah mw-list-item"><a href="https://sah.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B8" title="Пи – jakucki" lang="sah" hreflang="sah" data-title="Пи" data-language-autonym="Саха тыла" data-language-local-name="jakucki" class="interlanguage-link-target"><span>Саха тыла</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sa mw-list-item"><a href="https://sa.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%AA%E0%A5%8D%E0%A4%AF%E0%A4%BE" title="प्या – sanskryt" lang="sa" hreflang="sa" data-title="प्या" data-language-autonym="संस्कृतम्" data-language-local-name="sanskryt" class="interlanguage-link-target"><span>संस्कृतम्</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sat mw-list-item"><a href="https://sat.wikipedia.org/wiki/%E1%B1%AF%E1%B1%9F%E1%B1%AD" title="ᱯᱟᱭ – santali" lang="sat" hreflang="sat" data-title="ᱯᱟᱭ" data-language-autonym="ᱥᱟᱱᱛᱟᱲᱤ" data-language-local-name="santali" class="interlanguage-link-target"><span>ᱥᱟᱱᱛᱟᱲᱤ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sc mw-list-item"><a href="https://sc.wikipedia.org/wiki/Pi_grecu" title="Pi grecu – sardyński" lang="sc" hreflang="sc" data-title="Pi grecu" data-language-autonym="Sardu" data-language-local-name="sardyński" class="interlanguage-link-target"><span>Sardu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sco mw-list-item"><a href="https://sco.wikipedia.org/wiki/Pi" title="Pi – scots" lang="sco" hreflang="sco" data-title="Pi" data-language-autonym="Scots" data-language-local-name="scots" class="interlanguage-link-target"><span>Scots</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sq mw-list-item"><a href="https://sq.wikipedia.org/wiki/Numri_pi" title="Numri pi – albański" lang="sq" hreflang="sq" data-title="Numri pi" data-language-autonym="Shqip" data-language-local-name="albański" class="interlanguage-link-target"><span>Shqip</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-scn mw-list-item"><a href="https://scn.wikipedia.org/wiki/Pi_grecu" title="Pi grecu – sycylijski" lang="scn" hreflang="scn" data-title="Pi grecu" data-language-autonym="Sicilianu" data-language-local-name="sycylijski" class="interlanguage-link-target"><span>Sicilianu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-si mw-list-item"><a href="https://si.wikipedia.org/wiki/%E0%B6%B4%E0%B6%BA%E0%B7%92_(%E0%B6%85%E0%B6%82%E0%B6%9A%E0%B6%BA)" title="පයි (අංකය) – syngaleski" lang="si" hreflang="si" data-title="පයි (අංකය)" data-language-autonym="සිංහල" data-language-local-name="syngaleski" class="interlanguage-link-target"><span>සිංහල</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-simple mw-list-item"><a href="https://simple.wikipedia.org/wiki/Pi" title="Pi – Simple English" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Pi" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="Simple English" class="interlanguage-link-target"><span>Simple English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sk mw-list-item"><a href="https://sk.wikipedia.org/wiki/Ludolfovo_%C4%8D%C3%ADslo" title="Ludolfovo číslo – słowacki" lang="sk" hreflang="sk" data-title="Ludolfovo číslo" data-language-autonym="Slovenčina" data-language-local-name="słowacki" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenčina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/Pi" title="Pi – słoweński" lang="sl" hreflang="sl" data-title="Pi" data-language-autonym="Slovenščina" data-language-local-name="słoweński" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenščina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-szl mw-list-item"><a href="https://szl.wikipedia.org/wiki/Pi" title="Pi – śląski" lang="szl" hreflang="szl" data-title="Pi" data-language-autonym="Ślůnski" data-language-local-name="śląski" class="interlanguage-link-target"><span>Ślůnski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-so mw-list-item"><a href="https://so.wikipedia.org/wiki/Summad_(Pi)" title="Summad (Pi) – somalijski" lang="so" hreflang="so" data-title="Summad (Pi)" data-language-autonym="Soomaaliga" data-language-local-name="somalijski" class="interlanguage-link-target"><span>Soomaaliga</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ckb mw-list-item"><a href="https://ckb.wikipedia.org/wiki/%D9%BE%D8%A7%DB%8C" title="پای – sorani" lang="ckb" hreflang="ckb" data-title="پای" data-language-autonym="کوردی" data-language-local-name="sorani" class="interlanguage-link-target"><span>کوردی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B8" title="Пи – serbski" lang="sr" hreflang="sr" data-title="Пи" data-language-autonym="Српски / srpski" data-language-local-name="serbski" class="interlanguage-link-target"><span>Српски / srpski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sh mw-list-item"><a href="https://sh.wikipedia.org/wiki/Pi" title="Pi – serbsko-chorwacki" lang="sh" hreflang="sh" data-title="Pi" data-language-autonym="Srpskohrvatski / српскохрватски" data-language-local-name="serbsko-chorwacki" class="interlanguage-link-target"><span>Srpskohrvatski / српскохрватски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fi mw-list-item"><a href="https://fi.wikipedia.org/wiki/Pii_(vakio)" title="Pii (vakio) – fiński" lang="fi" hreflang="fi" data-title="Pii (vakio)" data-language-autonym="Suomi" data-language-local-name="fiński" class="interlanguage-link-target"><span>Suomi</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sv mw-list-item"><a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/Pi" title="Pi – szwedzki" lang="sv" hreflang="sv" data-title="Pi" data-language-autonym="Svenska" data-language-local-name="szwedzki" class="interlanguage-link-target"><span>Svenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tl mw-list-item"><a href="https://tl.wikipedia.org/wiki/Pi" title="Pi – tagalski" lang="tl" hreflang="tl" data-title="Pi" data-language-autonym="Tagalog" data-language-local-name="tagalski" class="interlanguage-link-target"><span>Tagalog</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ta mw-list-item"><a href="https://ta.wikipedia.org/wiki/%E0%AE%AA%E0%AF%88_(%E0%AE%95%E0%AE%A3%E0%AE%BF%E0%AE%A4_%E0%AE%AE%E0%AE%BE%E0%AE%B1%E0%AE%BF%E0%AE%B2%E0%AE%BF)" title="பை (கணித மாறிலி) – tamilski" lang="ta" hreflang="ta" data-title="பை (கணித மாறிலி)" data-language-autonym="தமிழ்" data-language-local-name="tamilski" class="interlanguage-link-target"><span>தமிழ்</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-shi mw-list-item"><a href="https://shi.wikipedia.org/wiki/Pi" title="Pi – tashelhiyt" lang="shi" hreflang="shi" data-title="Pi" data-language-autonym="Taclḥit" data-language-local-name="tashelhiyt" class="interlanguage-link-target"><span>Taclḥit</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kab mw-list-item"><a href="https://kab.wikipedia.org/wiki/Pi" title="Pi – kabylski" lang="kab" hreflang="kab" data-title="Pi" data-language-autonym="Taqbaylit" data-language-local-name="kabylski" class="interlanguage-link-target"><span>Taqbaylit</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-roa-tara mw-list-item"><a href="https://roa-tara.wikipedia.org/wiki/Pi_greche" title="Pi greche – Tarantino" lang="nap-x-tara" hreflang="nap-x-tara" data-title="Pi greche" data-language-autonym="Tarandíne" data-language-local-name="Tarantino" class="interlanguage-link-target"><span>Tarandíne</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tt mw-list-item"><a href="https://tt.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B8_%D1%81%D0%B0%D0%BD%D1%8B" title="Пи саны – tatarski" lang="tt" hreflang="tt" data-title="Пи саны" data-language-autonym="Татарча / tatarça" data-language-local-name="tatarski" class="interlanguage-link-target"><span>Татарча / tatarça</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-te mw-list-item"><a href="https://te.wikipedia.org/wiki/%E0%B0%AA%E0%B1%88" title="పై – telugu" lang="te" hreflang="te" data-title="పై" data-language-autonym="తెలుగు" data-language-local-name="telugu" class="interlanguage-link-target"><span>తెలుగు</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-th mw-list-item"><a href="https://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%9E%E0%B8%B2%E0%B8%A2_(%E0%B8%84%E0%B9%88%E0%B8%B2%E0%B8%84%E0%B8%87%E0%B8%95%E0%B8%B1%E0%B8%A7)" title="พาย (ค่าคงตัว) – tajski" lang="th" hreflang="th" data-title="พาย (ค่าคงตัว)" data-language-autonym="ไทย" data-language-local-name="tajski" class="interlanguage-link-target"><span>ไทย</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tg mw-list-item"><a href="https://tg.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D3%A3_(%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D0%B4)" title="Пӣ (адад) – tadżycki" lang="tg" hreflang="tg" data-title="Пӣ (адад)" data-language-autonym="Тоҷикӣ" data-language-local-name="tadżycki" class="interlanguage-link-target"><span>Тоҷикӣ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tr mw-list-item"><a href="https://tr.wikipedia.org/wiki/Pi_say%C4%B1s%C4%B1" title="Pi sayısı – turecki" lang="tr" hreflang="tr" data-title="Pi sayısı" data-language-autonym="Türkçe" data-language-local-name="turecki" class="interlanguage-link-target"><span>Türkçe</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uk mw-list-item"><a href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE_%D0%BF%D1%96" title="Число пі – ukraiński" lang="uk" hreflang="uk" data-title="Число пі" data-language-autonym="Українська" data-language-local-name="ukraiński" class="interlanguage-link-target"><span>Українська</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ur mw-list-item"><a href="https://ur.wikipedia.org/wiki/%D9%BE%D8%A7%D8%A6%DB%8C" title="پائی – urdu" lang="ur" hreflang="ur" data-title="پائی" data-language-autonym="اردو" data-language-local-name="urdu" class="interlanguage-link-target"><span>اردو</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vec mw-list-item"><a href="https://vec.wikipedia.org/wiki/Pi_greco" title="Pi greco – wenecki" lang="vec" hreflang="vec" data-title="Pi greco" data-language-autonym="Vèneto" data-language-local-name="wenecki" class="interlanguage-link-target"><span>Vèneto</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vep mw-list-item"><a href="https://vep.wikipedia.org/wiki/Pi_(lugu)" title="Pi (lugu) – wepski" lang="vep" hreflang="vep" data-title="Pi (lugu)" data-language-autonym="Vepsän kel’" data-language-local-name="wepski" class="interlanguage-link-target"><span>Vepsän kel’</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vi badge-Q17437796 badge-featuredarticle mw-list-item" title="medal"><a href="https://vi.wikipedia.org/wiki/Pi" title="Pi – wietnamski" lang="vi" hreflang="vi" data-title="Pi" data-language-autonym="Tiếng Việt" data-language-local-name="wietnamski" class="interlanguage-link-target"><span>Tiếng Việt</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fiu-vro mw-list-item"><a href="https://fiu-vro.wikipedia.org/wiki/Pii" title="Pii – võro" lang="vro" hreflang="vro" data-title="Pii" data-language-autonym="Võro" data-language-local-name="võro" class="interlanguage-link-target"><span>Võro</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-classical mw-list-item"><a href="https://zh-classical.wikipedia.org/wiki/%E5%9C%93%E5%91%A8%E7%8E%87" title="圓周率 – chiński klasyczny" lang="lzh" hreflang="lzh" data-title="圓周率" data-language-autonym="文言" data-language-local-name="chiński klasyczny" class="interlanguage-link-target"><span>文言</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-war mw-list-item"><a href="https://war.wikipedia.org/wiki/Pi" title="Pi – waraj" lang="war" hreflang="war" data-title="Pi" data-language-autonym="Winaray" data-language-local-name="waraj" class="interlanguage-link-target"><span>Winaray</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-wuu mw-list-item"><a href="https://wuu.wikipedia.org/wiki/%E5%9C%93%E5%91%A8%E7%8E%87" title="圓周率 – wu" lang="wuu" hreflang="wuu" data-title="圓周率" data-language-autonym="吴语" data-language-local-name="wu" class="interlanguage-link-target"><span>吴语</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-yi mw-list-item"><a href="https://yi.wikipedia.org/wiki/%D7%A4%D7%99" title="פי – jidysz" lang="yi" hreflang="yi" data-title="פי" data-language-autonym="ייִדיש" data-language-local-name="jidysz" class="interlanguage-link-target"><span>ייִדיש</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-yo mw-list-item"><a href="https://yo.wikipedia.org/wiki/Pi" title="Pi – joruba" lang="yo" hreflang="yo" data-title="Pi" data-language-autonym="Yorùbá" data-language-local-name="joruba" class="interlanguage-link-target"><span>Yorùbá</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-yue mw-list-item"><a href="https://zh-yue.wikipedia.org/wiki/%E5%9C%93%E5%91%A8%E7%8E%87" title="圓周率 – kantoński" lang="yue" hreflang="yue" data-title="圓周率" data-language-autonym="粵語" data-language-local-name="kantoński" class="interlanguage-link-target"><span>粵語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-diq mw-list-item"><a href="https://diq.wikipedia.org/wiki/Amar_Pi" title="Amar Pi – Dimli" lang="diq" hreflang="diq" data-title="Amar Pi" data-language-autonym="Zazaki" data-language-local-name="Dimli" class="interlanguage-link-target"><span>Zazaki</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zea mw-list-item"><a href="https://zea.wikipedia.org/wiki/Pi_(wiskunde)" title="Pi (wiskunde) – zelandzki" lang="zea" hreflang="zea" data-title="Pi (wiskunde)" data-language-autonym="Zeêuws" data-language-local-name="zelandzki" class="interlanguage-link-target"><span>Zeêuws</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bat-smg mw-list-item"><a href="https://bat-smg.wikipedia.org/wiki/Pi" title="Pi – żmudzki" lang="sgs" hreflang="sgs" data-title="Pi" data-language-autonym="Žemaitėška" data-language-local-name="żmudzki" class="interlanguage-link-target"><span>Žemaitėška</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh badge-Q17437798 badge-goodarticle mw-list-item" title="dobry artykuł"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%9C%93%E5%91%A8%E7%8E%87" title="圓周率 – chiński" lang="zh" hreflang="zh" data-title="圓周率" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="chiński" class="interlanguage-link-target"><span>中文</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-iba mw-list-item"><a href="https://iba.wikipedia.org/wiki/Pi" title="Pi – iban" lang="iba" hreflang="iba" data-title="Pi" data-language-autonym="Jaku Iban" data-language-local-name="iban" class="interlanguage-link-target"><span>Jaku Iban</span></a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><span class="wb-langlinks-edit wb-langlinks-link"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q167#sitelinks-wikipedia" title="Edytuj linki pomiędzy wersjami językowymi" class="wbc-editpage">Edytuj linki</a></span></div> </div> </div> </div> </header> <div class="vector-page-toolbar"> <div class="vector-page-toolbar-container"> <div id="left-navigation"> <nav aria-label="Przestrzenie nazw"> <div id="p-associated-pages" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-associated-pages" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Pi" title="Zobacz stronę treści [c]" accesskey="c"><span>Artykuł</span></a></li><li id="ca-talk" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Dyskusja:Pi" rel="discussion" title="Dyskusja o zawartości tej strony [t]" accesskey="t"><span>Dyskusja</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown emptyPortlet" > <input type="checkbox" id="vector-variants-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Zmień wariant języka" > <label id="vector-variants-dropdown-label" for="vector-variants-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" ><span class="vector-dropdown-label-text">polski</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-variants" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-variants emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> <div id="right-navigation" class="vector-collapsible"> <nav aria-label="Widok"> <div id="p-views" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-views" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-view" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Pi"><span>Czytaj</span></a></li><li id="ca-ve-edit" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Pi&veaction=edit" title="Edytuj tę stronę [v]" accesskey="v"><span>Edytuj</span></a></li><li id="ca-edit" class="collapsible vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Pi&action=edit" title="Edycja kodu źródłowego strony [e]" accesskey="e"><span>Edytuj kod źródłowy</span></a></li><li id="ca-history" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Pi&action=history" title="Starsze wersje tej strony [h]" accesskey="h"><span>Wyświetl historię</span></a></li> </ul> </div> </div> </nav> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Narzędzia dla stron"> <div id="vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown vector-page-tools-dropdown" > <input type="checkbox" id="vector-page-tools-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Narzędzia" > <label id="vector-page-tools-dropdown-label" for="vector-page-tools-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" ><span class="vector-dropdown-label-text">Narzędzia</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-tools-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> <div id="vector-page-tools" class="vector-page-tools vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-page-tools-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="page-tools-pinned" data-pinnable-element-id="vector-page-tools" data-pinned-container-id="vector-page-tools-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-page-tools-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Narzędzia</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.pin">przypnij</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.unpin">ukryj</button> </div> <div id="p-cactions" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-cactions emptyPortlet vector-has-collapsible-items" title="Więcej opcji" > <div class="vector-menu-heading"> Działania </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-more-view" class="selected vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/wiki/Pi"><span>Czytaj</span></a></li><li id="ca-more-ve-edit" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Pi&veaction=edit" title="Edytuj tę stronę [v]" accesskey="v"><span>Edytuj</span></a></li><li id="ca-more-edit" class="collapsible vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Pi&action=edit" title="Edycja kodu źródłowego strony [e]" accesskey="e"><span>Edytuj kod źródłowy</span></a></li><li id="ca-more-history" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Pi&action=history"><span>Wyświetl historię</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-tb" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-tb" > <div class="vector-menu-heading"> Ogólne </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-whatlinkshere" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Specjalna:Linkuj%C4%85ce/Pi" title="Pokaż listę wszystkich stron linkujących do tej strony [j]" accesskey="j"><span>Linkujące</span></a></li><li id="t-recentchangeslinked" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Specjalna:Zmiany_w_linkowanych/Pi" rel="nofollow" title="Ostatnie zmiany w stronach, do których ta strona linkuje [k]" accesskey="k"><span>Zmiany w linkowanych</span></a></li><li id="t-upload" class="mw-list-item"><a href="//pl.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Prześlij_plik" title="Prześlij pliki [u]" accesskey="u"><span>Prześlij plik</span></a></li><li id="t-permalink" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Pi&oldid=76225318" title="Stały link do tej wersji tej strony"><span>Link do tej wersji</span></a></li><li id="t-info" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Pi&action=info" title="Więcej informacji na temat tej strony"><span>Informacje o tej stronie</span></a></li><li id="t-cite" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Specjalna:Cytuj&page=Pi&id=76225318&wpFormIdentifier=titleform" title="Informacja o tym jak należy cytować tę stronę"><span>Cytowanie tego artykułu</span></a></li><li id="t-urlshortener" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Specjalna:Skr%C3%B3%C4%87_adres_URL&url=https%3A%2F%2Fpl.wikipedia.org%2Fwiki%2FPi"><span>Zobacz skrócony adres URL</span></a></li><li id="t-urlshortener-qrcode" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Specjalna:Kod_QR&url=https%3A%2F%2Fpl.wikipedia.org%2Fwiki%2FPi"><span>Pobierz kod QR</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-coll-print_export" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-coll-print_export" > <div class="vector-menu-heading"> Drukuj lub eksportuj </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="coll-create_a_book" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Specjalna:Ksi%C4%85%C5%BCka&bookcmd=book_creator&referer=Pi"><span>Utwórz książkę</span></a></li><li id="coll-download-as-rl" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Specjalna:DownloadAsPdf&page=Pi&action=show-download-screen"><span>Pobierz jako PDF</span></a></li><li id="t-print" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Pi&printable=yes" title="Wersja do wydruku [p]" accesskey="p"><span>Wersja do druku</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-wikibase-otherprojects" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-wikibase-otherprojects" > <div class="vector-menu-heading"> W innych projektach </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="wb-otherproject-link wb-otherproject-commons mw-list-item"><a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Pi" hreflang="en"><span>Wikimedia Commons</span></a></li><li class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikiquote mw-list-item"><a href="https://pl.wikiquote.org/wiki/Liczba_pi" hreflang="pl"><span>Wikicytaty</span></a></li><li id="t-wikibase" class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikibase-dataitem mw-list-item"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q167" title="Link do powiązanego elementu w repozytorium danych [g]" accesskey="g"><span>Element Wikidanych</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> </div> <div class="vector-column-end"> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Narzędzia dla stron"> <div id="vector-page-tools-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Wygląd"> <div id="vector-appearance-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-appearance" class="vector-appearance vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-appearance-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="appearance-pinned" data-pinnable-element-id="vector-appearance" data-pinned-container-id="vector-appearance-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-appearance-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Wygląd</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.pin">przypnij</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.unpin">ukryj</button> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> <div id="bodyContent" class="vector-body" aria-labelledby="firstHeading" data-mw-ve-target-container> <div class="vector-body-before-content"> <div class="mw-indicators"> </div> <div id="siteSub" class="noprint">Z Wikipedii, wolnej encyklopedii</div> </div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"></div></div> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="pl" dir="ltr"><div class="noprint noexcerpt disambig navigation-not-searchable" style="line-height:1.5em; padding: 3px 6px; background-color: var(--background-color-interactive-subtle, #f8f9fa); color: inherit; border-bottom: 1px solid var(--border-color-subtle, #c8ccd1); font-size: 95%; margin-bottom: 1em; display: flex; gap: 4px; align-items: center;"><span class="notpageimage" typeof="mw:File"><a href="/wiki/Wikipedia:Strona_ujednoznaczniaj%C4%85ca" title="Inne znaczenia"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/72/Disambig.svg/40px-Disambig.svg.png" decoding="async" width="25" height="20" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/72/Disambig.svg/60px-Disambig.svg.png 2x" data-file-width="230" data-file-height="183" /></a></span><span>Ten artykuł dotyczy stałej matematycznej. Zobacz też: <a href="/wiki/Pi_(ujednoznacznienie)" class="mw-disambig" title="Pi (ujednoznacznienie)">inne znaczenia</a>.</span></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Plik:Pi-unrolled-720.gif" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2a/Pi-unrolled-720.gif/220px-Pi-unrolled-720.gif" decoding="async" width="220" height="70" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2a/Pi-unrolled-720.gif/330px-Pi-unrolled-720.gif 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2a/Pi-unrolled-720.gif/440px-Pi-unrolled-720.gif 2x" data-file-width="720" data-file-height="228" /></a><figcaption>Jeśli średnica koła = 1, jego obwód wynosi <span style="font-family: Nimbus Roman No9 L,Times New Roman,Times,serif; font-size: 118%; line-height: 1;">π</span></figcaption></figure> <p><b><span style="font-family: Nimbus Roman No9 L,Times New Roman,Times,serif; font-size: 118%; line-height: 1;">π</span></b> (czyt. <i>pi</i>), <b>ludolfina</b>, <b>stała Archimedesa</b> – <a href="/wiki/Stosunek_(matematyka)" title="Stosunek (matematyka)">stosunek</a> <a href="/wiki/Obw%C3%B3d_(geometria)" title="Obwód (geometria)">obwodu</a> <a href="/wiki/Ko%C5%82o" title="Koło">koła</a> (czyli <a href="/wiki/D%C5%82ugo%C5%9B%C4%87_krzywej" title="Długość krzywej">długości</a> <a href="/wiki/Okr%C4%85g" title="Okrąg">okręgu</a>) do długości jego <a href="/wiki/%C5%9Arednica" title="Średnica">średnicy</a><sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>; stosunek ten jest niezależny od wielkości koła, bowiem wszystkie koła są do siebie <a href="/wiki/Podobie%C5%84stwo_(przekszta%C5%82cenie_geometryczne)" title="Podobieństwo (przekształcenie geometryczne)">podobne</a>. Liczba <span style="font-family: Nimbus Roman No9 L,Times New Roman,Times,serif; font-size: 118%; line-height: 1;">π</span> nazywana jest czasami <i>stałą Archimedesa</i> w uznaniu zasług <a href="/wiki/Archimedes" title="Archimedes">Archimedesa z Syrakuz</a>, który jako pierwszy badał własności i znaczenie w matematyce tej liczby; określenie <i>ludolfina</i> pochodzi od <a href="/wiki/Ludolph_van_Ceulen" title="Ludolph van Ceulen">Ludolpha van Ceulena</a>, który zyskał sławę, przedstawiając tę liczbę z dokładnością do 35 miejsc po przecinku. Grecy nie używali symbolu <span style="font-family: Nimbus Roman No9 L,Times New Roman,Times,serif; font-size: 118%; line-height: 1;">π</span> – wprowadził go dopiero <a href="/wiki/William_Jones_(matematyk)" title="William Jones (matematyk)">William Jones</a>, a spopularyzował <a href="/wiki/Leonhard_Euler" title="Leonhard Euler">Leonhard Euler</a><sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>. </p> <div style="float: right; clear: right; margin: 0 14px 14px 14px; padding: 10px 20px 10px 20px; font-size: 500%; line-height: 120%; background-color: #DDF; color:black; border: 1px solid #AAF;"><span style="font-family: Nimbus Roman No9 L,Times New Roman,Times,serif; font-size: 118%; line-height: 1;">π</span></div> <p>Liczba <span style="font-family: Nimbus Roman No9 L,Times New Roman,Times,serif; font-size: 118%; line-height: 1;">π</span> z dokładnością do 204 miejsc po przecinku: </p> <dl><dd><span style="font-family: Nimbus Roman No9 L,Times New Roman,Times,serif; font-size: 118%; line-height: 1;">π</span> ≈ 3,141592 653589 793238 462643 383279 502884 197169 399375 105820 974944 592307 816406 286208 998628 034825 342117 067982 148086 513282 306647 093844 609550 582231 725359 408128 481117 450284 102701 938521 105559 644622 948954 930381 964428<sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>.</dd></dl> <p>W praktyce korzysta się z <a href="/wiki/Zaokr%C4%85glanie" title="Zaokrąglanie">przybliżonych wartości</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 3{,}14,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>3</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>,</mo> </mrow> <mn>14</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 3{,}14,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b801c6d73a4bf0216d6c3e68a9458d7ebfab9f73" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.781ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 3{,}14,}" /></span> rzadziej z przybliżeń dokładniejszych: 3,141592 albo w postaci <a href="/wiki/U%C5%82amek" title="Ułamek">ułamków zwykłych</a> np. <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {22}{7}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mn>22</mn> <mn>7</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {22}{7}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cb5d075d03ff7edd66274d09cb1e2dd0aee7bc9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:2.48ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {22}{7}}}" /></span> lub <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {355}{113}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mn>355</mn> <mn>113</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {355}{113}}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b91b0e0bd1bff4cbbd801b54aad75114c6c400c9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:3.949ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {355}{113}}.}" /></span> </p><p>Liczba <span style="font-family: Nimbus Roman No9 L,Times New Roman,Times,serif; font-size: 118%; line-height: 1;">π</span> jest <a href="/wiki/Sta%C5%82a_(matematyka)" title="Stała (matematyka)">stałą matematyczną</a>, która pojawia się w wielu działach <a href="/wiki/Matematyka" title="Matematyka">matematyki</a> i <a href="/wiki/Fizyka" title="Fizyka">fizyki</a>. </p><p>Pojawia się w <a href="/wiki/Geometria" title="Geometria">geometrii</a> (np. we wzorach na <a href="/wiki/Pole_powierzchni" title="Pole powierzchni">pole</a> koła oraz na pole powierzchni i <a href="/wiki/Obj%C4%99to%C5%9B%C4%87" title="Objętość">objętość</a> <a href="/wiki/Bry%C5%82a_obrotowa" title="Bryła obrotowa">brył obrotowych</a>), w <a href="/wiki/Analiza_matematyczna" title="Analiza matematyczna">analizie matematycznej</a> (np. w wielu sumach <a href="/wiki/Szereg_(matematyka)" title="Szereg (matematyka)">szeregów liczbowych</a>), we <a href="/wiki/Wz%C3%B3r_ca%C5%82kowy_Cauchy%E2%80%99ego" title="Wzór całkowy Cauchy’ego">wzorze całkowym Cauchy’ego</a>. <a href="/wiki/Analiza_matematyczna" title="Analiza matematyczna">Analiza matematyczna</a> dostarcza wielu metod obliczania jej przybliżeń z dowolną dokładnością. </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Oznaczenia_liczby_π"><span id="Oznaczenia_liczby_.CF.80"></span>Oznaczenia liczby <span style="font-family: Nimbus Roman No9 L,Times New Roman,Times,serif; font-size: 118%; line-height: 1;">π</span></h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Pi&veaction=edit&section=1" title="Edytuj sekcję: Oznaczenia liczby π" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Pi&action=edit&section=1" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Oznaczenia liczby π"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Plik:William_Jones(mathematician).jpg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/36/William_Jones%28mathematician%29.jpg/75px-William_Jones%28mathematician%29.jpg" decoding="async" width="75" height="87" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/36/William_Jones%28mathematician%29.jpg 1.5x" data-file-width="93" data-file-height="108" /></a><figcaption><a href="/wiki/William_Jones_(matematyk)" title="William Jones (matematyk)">W. Jones</a></figcaption></figure> <figure typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Plik:Leonhard_Euler.jpeg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/70/Leonhard_Euler.jpeg/120px-Leonhard_Euler.jpeg" decoding="async" width="75" height="91" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/70/Leonhard_Euler.jpeg/250px-Leonhard_Euler.jpeg 2x" data-file-width="388" data-file-height="473" /></a><figcaption><a href="/wiki/Leonhard_Euler" title="Leonhard Euler">L. Euler</a></figcaption></figure> <p>Symbol <span style="font-family: Nimbus Roman No9 L,Times New Roman,Times,serif; font-size: 118%; line-height: 1;">π</span> wprowadził walijski matematyk i pisarz <a href="/wiki/William_Jones_(matematyk)" title="William Jones (matematyk)">William Jones</a> w monografii <i>Synopsis Palmariorum Matheseos</i> w 1706. <span style="font-family: Nimbus Roman No9 L,Times New Roman,Times,serif; font-size: 118%; line-height: 1;">π</span> jest pierwszą literą greckiego słowa <i>περίμετρον</i> – <i>perimetron</i>, czyli obwód. </p><p>Oznaczenie <span style="font-family: Nimbus Roman No9 L,Times New Roman,Times,serif; font-size: 118%; line-height: 1;">π</span> można znaleźć także w pracach matematyków <a href="/wiki/William_Oughtred" title="William Oughtred">Williama Oughtreda</a>, <a href="/wiki/Isaac_Barrow" title="Isaac Barrow">Isaaca Barrowa</a> i <a href="/wiki/David_Gregory_(matematyk)" title="David Gregory (matematyk)">Davida Gregory’ego</a>. </p><p>Ale jeszcze w 1734 r. <a href="/wiki/Leonhard_Euler" title="Leonhard Euler">Leonhard Euler</a> w dziele <i>De summis serierum reciprocarum</i> używa oznaczenia <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p;,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> <mo>;</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p;,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a1938147e518dfc9ae1a029623419df41e19829" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:2.94ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p;,}" /></span> używa też tego oznaczenia w napisanym już po wydaniu <i>Analizy</i> liście do <a href="/wiki/James_Stirling_(matematyk)" title="James Stirling (matematyk)">Jamesa Stirlinga</a> z 16 kwietnia 1738 r. </p><p>Podobnie <a href="/wiki/Johann_Bernoulli" title="Johann Bernoulli">Johann Bernoulli</a> w liście napisanym do Eulera w 1739 r. używa oznaczenia <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>c</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.007ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle c}" /></span> dla liczby <span style="font-family: Nimbus Roman No9 L,Times New Roman,Times,serif; font-size: 118%; line-height: 1;">π</span>, jednak już w następnym liście do Eulera, z początku roku 1740, stosuje on oznaczenie <span style="font-family: Nimbus Roman No9 L,Times New Roman,Times,serif; font-size: 118%; line-height: 1;">π</span>. </p><p>Ostatecznie uznanie dla oznaczenia <span style="font-family: Nimbus Roman No9 L,Times New Roman,Times,serif; font-size: 118%; line-height: 1;">π</span> nastąpiło po wydaniu przez <a href="/wiki/Leonhard_Euler" title="Leonhard Euler">Eulera</a> w <a href="/wiki/1737" title="1737">1737</a> roku dzieła <i>Analiza</i>. Euler używał tego oznaczenia również w <i>Introductio in Analysin Infinitorum</i> (<a href="/wiki/1748" title="1748">1748</a>)<sup id="cite_ref-4" class="reference"><a href="#cite_note-4"><span class="cite-bracket">[</span>a<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>. Prawdopodobnie znaczący wpływ na popularyzację symbolu <span style="font-family: Nimbus Roman No9 L,Times New Roman,Times,serif; font-size: 118%; line-height: 1;">π</span> miało jego pojawienie się w <i>Mathematical Tables</i> (1742) <a href="/w/index.php?title=Henry_Sherwina&action=edit&redlink=1" class="new" title="Henry Sherwina (strona nie istnieje)">Henry’ego Sherwina</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Niektóre_wzory_zawierające_π"><span id="Niekt.C3.B3re_wzory_zawieraj.C4.85ce_.CF.80"></span>Niektóre wzory zawierające <span style="font-family: Nimbus Roman No9 L,Times New Roman,Times,serif; font-size: 118%; line-height: 1;">π</span></h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Pi&veaction=edit&section=2" title="Edytuj sekcję: Niektóre wzory zawierające π" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Pi&action=edit&section=2" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Niektóre wzory zawierające π"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="W_geometrii">W <a href="/wiki/Geometria" title="Geometria">geometrii</a></h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Pi&veaction=edit&section=3" title="Edytuj sekcję: W geometrii" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Pi&action=edit&section=3" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: W geometrii"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi r^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>π</mi> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi r^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd37db3982ad4e1157dcf8ddbfb280e7bae3b192" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.435ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \pi r^{2}}" /></span> – pole koła o promieniu <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}" /></span></li> <li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2\pi r}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <mi>r</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2\pi r}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71e811131a9c6c5f45e6657e0fc506e7e2a37f06" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.543ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 2\pi r}" /></span> – <a href="/wiki/Obw%C3%B3d_(geometria)" title="Obwód (geometria)">obwód</a> <a href="/wiki/Okr%C4%85g" title="Okrąg">okręgu</a> o promieniu <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}" /></span></li> <li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ab\pi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mi>b</mi> <mi>π</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ab\pi }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39cf11d2d988c91a40c30db5eb1b215ee8699e73" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.559ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle ab\pi }" /></span> – <a href="/wiki/Pole_powierzchni" title="Pole powierzchni">pole</a> <a href="/wiki/Elipsa" title="Elipsa">elipsy</a> o półosiach równych <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" /></span> i <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}" /></span></li> <li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {4}{3}}\pi r^{3}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mn>4</mn> <mn>3</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mi>π</mi> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {4}{3}}\pi r^{3}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5efab02bc19a1700cf12335952cda03bc9e20451" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:5.093ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {4}{3}}\pi r^{3}}" /></span> – <a href="/wiki/Obj%C4%99to%C5%9B%C4%87_(matematyka)" title="Objętość (matematyka)">objętość</a> <a href="/wiki/Kula" title="Kula">kuli</a> o promieniu <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}" /></span></li> <li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 4\pi r^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>4</mn> <mi>π</mi> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 4\pi r^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b81fcce302776a01dc66fc186a1ce0a616b4d772" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.597ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle 4\pi r^{2}}" /></span> – <a href="/wiki/Pole_powierzchni" title="Pole powierzchni">powierzchnia</a> kuli o promieniu <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}" /></span></li> <li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi r^{2}H}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>π</mi> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>H</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi r^{2}H}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3aadbf08a2540fcc2d342ae10b1a0bc425450af" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.499ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \pi r^{2}H}" /></span> – objętość <a href="/wiki/Walec_(bry%C5%82a)" title="Walec (bryła)">walca</a> o wysokości <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>H</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle H}" /></span> i promieniu podstawy <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}" /></span></li> <li><a href="/wiki/Miara_%C5%82ukowa_k%C4%85ta" title="Miara łukowa kąta">Miara łukowa kąta</a> półpełnego równa jest <span style="font-family: Nimbus Roman No9 L,Times New Roman,Times,serif; font-size: 118%; line-height: 1;">π</span> <a href="/wiki/Radian" title="Radian">radianów</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="W_analizie_matematycznej">W <a href="/wiki/Analiza_matematyczna" title="Analiza matematyczna">analizie matematycznej</a></h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Pi&veaction=edit&section=4" title="Edytuj sekcję: W analizie matematycznej" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Pi&action=edit&section=4" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: W analizie matematycznej"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \zeta (2)={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\ldots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ζ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <msup> <mn>1</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <msup> <mn>3</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <msup> <mn>4</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mo>…</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>π</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mn>6</mn> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \zeta (2)={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\ldots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcea259912dbe6652637ec55b84d8b946e469c17" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:39.784ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \zeta (2)={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\ldots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}}" /></span> (<a href="/wiki/Leonhard_Euler" title="Leonhard Euler">Euler</a>), <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {}\quad \zeta (4)={\frac {\pi ^{4}}{90}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> </mrow> <mspace width="1em"></mspace> <mi>ζ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>4</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>π</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mn>90</mn> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {}\quad \zeta (4)={\frac {\pi ^{4}}{90}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5de52f6e3d2964a456a23fb2546050142c76f86d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:12.712ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle {}\quad \zeta (4)={\frac {\pi ^{4}}{90}}}" /></span></li> <li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {}\,\int \limits _{-\infty }^{\ \infty }e^{-x^{2}}dx={\sqrt {\pi }}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> </mrow> <mspace width="thinmathspace"></mspace> <munderover> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext> </mtext> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> </munderover> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </msup> <mi>d</mi> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>π</mi> </msqrt> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {}\,\int \limits _{-\infty }^{\ \infty }e^{-x^{2}}dx={\sqrt {\pi }}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/229fdb5d15b9025091c71aa149802d3721b04428" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.005ex; width:17.598ex; height:8.843ex;" alt="{\displaystyle {}\,\int \limits _{-\infty }^{\ \infty }e^{-x^{2}}dx={\sqrt {\pi }}}" /></span> (<a href="/wiki/Rozk%C5%82ad_normalny" title="Rozkład normalny">rozkład normalny</a>)</li> <li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo>!</mo> <mo>≈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <mi>n</mi> </msqrt> </mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>n</mi> <mi>e</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7136fede6a5ec27a99e73f47a17234df0f4bd94" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:17.19ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}" /></span> (<a href="/wiki/Wz%C3%B3r_Stirlinga" title="Wzór Stirlinga">wzór Stirlinga</a>)</li> <li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e^{\pi i}+1=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>π</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e^{\pi i}+1=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7df775a0c261a326174c1b91e36b7c29d151e5aa" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:11.089ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle e^{\pi i}+1=0}" /></span> (<a href="/wiki/Wz%C3%B3r_Eulera" title="Wzór Eulera">wzór Eulera</a>)</li> <li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \int \limits _{0}^{\ 1}{\frac {1}{1+x^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{4}},\quad \int \limits _{-1}^{\ 1}{\sqrt {1-x^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{2}},\quad \int \limits _{-1}^{\ 1}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}=\pi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munderover> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext> </mtext> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mspace width="thinmathspace"></mspace> <mi>d</mi> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>π</mi> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> <mspace width="1em"></mspace> <munderover> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext> </mtext> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </msqrt> </mrow> <mspace width="thinmathspace"></mspace> <mi>d</mi> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>π</mi> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> <mspace width="1em"></mspace> <munderover> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext> </mtext> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi>x</mi> </mrow> <msqrt> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </msqrt> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mi>π</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int \limits _{0}^{\ 1}{\frac {1}{1+x^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{4}},\quad \int \limits _{-1}^{\ 1}{\sqrt {1-x^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{2}},\quad \int \limits _{-1}^{\ 1}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}=\pi }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c5786bc8e49083718b9a974b1770e29bf0f86d6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.171ex; width:61.335ex; height:9.343ex;" alt="{\displaystyle \int \limits _{0}^{\ 1}{\frac {1}{1+x^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{4}},\quad \int \limits _{-1}^{\ 1}{\sqrt {1-x^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{2}},\quad \int \limits _{-1}^{\ 1}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}=\pi }" /></span></li></ul> <dl><dd>druga z powyższych całek służy do obliczania powierzchni górnego półkoła jednostkowego, trzecia do obliczania długości górnego półokręgu jednostkowego.</dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="W_teorii_liczb">W <a href="/wiki/Teoria_liczb" title="Teoria liczb">teorii liczb</a></h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Pi&veaction=edit&section=5" title="Edytuj sekcję: W teorii liczb" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Pi&action=edit&section=5" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: W teorii liczb"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li>Prawdopodobieństwo tego, że dwie losowo wybrane liczby całkowite są <a href="/wiki/Liczby_wzgl%C4%99dnie_pierwsze" title="Liczby względnie pierwsze">liczbami względnie pierwszymi</a> wynosi <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {6}{\pi ^{2}}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mn>6</mn> <msup> <mi>π</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {6}{\pi ^{2}}}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff18083620e78411a68f9a25fbc3a53a6928a3f8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.505ex; width:3.258ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {6}{\pi ^{2}}}.}" /></span></li> <li>Średnia liczba sposobów na zapisanie <a href="/wiki/Liczby_naturalne" title="Liczby naturalne">liczby naturalnej</a> jako sumy dwóch kwadratów liczb naturalnych, wynosi <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {\pi }{4}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mi>π</mi> <mn>4</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {\pi }{4}}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e86fe778e49c9c229a97e06be21133787cf97c01" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:2.425ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {\pi }{4}}.}" /></span></li></ul> <p>W powyższych przypadkach <i>prawdopodobieństwo</i> i <i>średnią</i> rozpatruje się w sensie granicznym. Na przykład rozważamy prawdopodobieństwo dla zbioru liczb <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{1,2,3,\dots ,N\},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>3</mn> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <mi>N</mi> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{1,2,3,\dots ,N\},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9d3049c53c9609ed61db002f9dfd8d1dfd956a9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.769ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \{1,2,3,\dots ,N\},}" /></span> a następnie obliczamy <a href="/wiki/Granica_(matematyka)" class="mw-disambig" title="Granica (matematyka)">granicę</a> przy <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N}" /></span> dążącym do nieskończoności. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="W_fizyce">W <a href="/wiki/Fizyka" title="Fizyka">fizyce</a></h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Pi&veaction=edit&section=6" title="Edytuj sekcję: W fizyce" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Pi&action=edit&section=6" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: W fizyce"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/Zasada_nieoznaczono%C5%9Bci" title="Zasada nieoznaczoności">zasada nieoznaczoności Heisenberga</a>, <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta x\Delta p\geqslant {\frac {h}{4\pi }},\quad \Delta E\Delta t\geqslant {\frac {h}{4\pi }}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>x</mi> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>p</mi> <mo>⩾</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>h</mi> <mrow> <mn>4</mn> <mi>π</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> <mspace width="1em"></mspace> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>E</mi> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>t</mi> <mo>⩾</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>h</mi> <mrow> <mn>4</mn> <mi>π</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta x\Delta p\geqslant {\frac {h}{4\pi }},\quad \Delta E\Delta t\geqslant {\frac {h}{4\pi }}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ef2429e332a10e7db3f97d6b6e532255ce73086" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:29.072ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle \Delta x\Delta p\geqslant {\frac {h}{4\pi }},\quad \Delta E\Delta t\geqslant {\frac {h}{4\pi }}}" /></span></dd></dl></li> <li><a href="/wiki/R%C3%B3wnanie_Einsteina" title="Równanie Einsteina">równanie pola grawitacyjnego</a> <a href="/wiki/Og%C3%B3lna_teoria_wzgl%C4%99dno%C5%9Bci" title="Ogólna teoria względności">ogólnej teorii względności</a>, <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>G</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>μ</mi> <mi>ν</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mn>8</mn> <mi>π</mi> <mi>G</mi> </mrow> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <msub> <mi>T</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>μ</mi> <mi>ν</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e16e87fdd9d6b83286306cbc6dbbb4e33605bd0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:15.629ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle G_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }}" /></span></dd></dl></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Często_występujące_przekształcenia_π"><span id="Cz.C4.99sto_wyst.C4.99puj.C4.85ce_przekszta.C5.82cenia_.CF.80"></span>Często występujące przekształcenia <span style="font-family: Nimbus Roman No9 L,Times New Roman,Times,serif; font-size: 118%; line-height: 1;">π</span></h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Pi&veaction=edit&section=7" title="Edytuj sekcję: Często występujące przekształcenia π" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Pi&action=edit&section=7" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Często występujące przekształcenia π"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi ^{2}=9{,}869\,604\,401\,089\,358\,618\,834\,490\,999\,876\,2\dots }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>π</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>9,869</mn> <mspace width="thinmathspace"></mspace> <mn>604</mn> <mspace width="thinmathspace"></mspace> <mn>401</mn> <mspace width="thinmathspace"></mspace> <mn>089</mn> <mspace width="thinmathspace"></mspace> <mn>358</mn> <mspace width="thinmathspace"></mspace> <mn>618</mn> <mspace width="thinmathspace"></mspace> <mn>834</mn> <mspace width="thinmathspace"></mspace> <mn>490</mn> <mspace width="thinmathspace"></mspace> <mn>999</mn> <mspace width="thinmathspace"></mspace> <mn>876</mn> <mspace width="thinmathspace"></mspace> <mn>2</mn> <mo>…</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi ^{2}=9{,}869\,604\,401\,089\,358\,618\,834\,490\,999\,876\,2\dots }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f06430e3412fb37b34778007b3cae90c92d8455e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:50.314ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \pi ^{2}=9{,}869\,604\,401\,089\,358\,618\,834\,490\,999\,876\,2\dots }" /></span></dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi ^{3}=31{,}006\,276\,680\,299\,820\,175\,476\,315\,067\,101\dots }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>π</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>31,006</mn> <mspace width="thinmathspace"></mspace> <mn>276</mn> <mspace width="thinmathspace"></mspace> <mn>680</mn> <mspace width="thinmathspace"></mspace> <mn>299</mn> <mspace width="thinmathspace"></mspace> <mn>820</mn> <mspace width="thinmathspace"></mspace> <mn>175</mn> <mspace width="thinmathspace"></mspace> <mn>476</mn> <mspace width="thinmathspace"></mspace> <mn>315</mn> <mspace width="thinmathspace"></mspace> <mn>067</mn> <mspace width="thinmathspace"></mspace> <mn>101</mn> <mo>…</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi ^{3}=31{,}006\,276\,680\,299\,820\,175\,476\,315\,067\,101\dots }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/409f7c515a246ffaec3c81c207aff68f96210782" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:49.927ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \pi ^{3}=31{,}006\,276\,680\,299\,820\,175\,476\,315\,067\,101\dots }" /></span></dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\sqrt {\pi }}=1{,}772\,453\,850\,905\,516\,027\,298\,167\,483\,341\,1\dots }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>π</mi> </msqrt> </mrow> <mo>=</mo> <mn>1,772</mn> <mspace width="thinmathspace"></mspace> <mn>453</mn> <mspace width="thinmathspace"></mspace> <mn>850</mn> <mspace width="thinmathspace"></mspace> <mn>905</mn> <mspace width="thinmathspace"></mspace> <mn>516</mn> <mspace width="thinmathspace"></mspace> <mn>027</mn> <mspace width="thinmathspace"></mspace> <mn>298</mn> <mspace width="thinmathspace"></mspace> <mn>167</mn> <mspace width="thinmathspace"></mspace> <mn>483</mn> <mspace width="thinmathspace"></mspace> <mn>341</mn> <mspace width="thinmathspace"></mspace> <mn>1</mn> <mo>…</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\sqrt {\pi }}=1{,}772\,453\,850\,905\,516\,027\,298\,167\,483\,341\,1\dots }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f29eabd9a149b0bf785d6ea2d123dfc3f08c23a7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:51.193ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\sqrt {\pi }}=1{,}772\,453\,850\,905\,516\,027\,298\,167\,483\,341\,1\dots }" /></span></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Rozwinięcie_π_w_ułamek_łańcuchowy"><span id="Rozwini.C4.99cie_.CF.80_w_u.C5.82amek_.C5.82a.C5.84cuchowy"></span>Rozwinięcie <span style="font-family: Nimbus Roman No9 L,Times New Roman,Times,serif; font-size: 118%; line-height: 1;">π</span> w <a href="/wiki/U%C5%82amek_%C5%82a%C5%84cuchowy" title="Ułamek łańcuchowy">ułamek łańcuchowy</a></h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Pi&veaction=edit&section=8" title="Edytuj sekcję: Rozwinięcie π w ułamek łańcuchowy" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Pi&action=edit&section=8" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Rozwinięcie π w ułamek łańcuchowy"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi =[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,2,1,\dots ]}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>π</mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mn>3</mn> <mo>;</mo> <mn>7</mn> <mo>,</mo> <mn>15</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>292</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>3</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>14</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo stretchy="false">]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi =[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,2,1,\dots ]}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12cddfeea697137df0551cb3ebaac88695db9616" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:59.222ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \pi =[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,2,1,\dots ]}" /></span></dd></dl> <p>Kilka początkowych reduktów tego ułamka: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {3}{1}},\;{\frac {22}{7}},\;{\frac {333}{106}},\;{\frac {355}{113}},\;{\frac {103993}{33102}},\;{\frac {104348}{33215}},\dots }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>3</mn> <mn>1</mn> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> <mspace width="thickmathspace"></mspace> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>22</mn> <mn>7</mn> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> <mspace width="thickmathspace"></mspace> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>333</mn> <mn>106</mn> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> <mspace width="thickmathspace"></mspace> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>355</mn> <mn>113</mn> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> <mspace width="thickmathspace"></mspace> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>103993</mn> <mn>33102</mn> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> <mspace width="thickmathspace"></mspace> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>104348</mn> <mn>33215</mn> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> <mo>…</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {3}{1}},\;{\frac {22}{7}},\;{\frac {333}{106}},\;{\frac {355}{113}},\;{\frac {103993}{33102}},\;{\frac {104348}{33215}},\dots }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7dd8948fa0ea4a064d2e97af71072a9afaa61924" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:41.581ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle {\frac {3}{1}},\;{\frac {22}{7}},\;{\frac {333}{106}},\;{\frac {355}{113}},\;{\frac {103993}{33102}},\;{\frac {104348}{33215}},\dots }" /></span></dd></dl> <p>Każdy z powyższych ułamków ma tę własność, że najlepiej przybliża liczbę <span style="font-family: Nimbus Roman No9 L,Times New Roman,Times,serif; font-size: 118%; line-height: 1;">π</span> spośród wszystkich ułamków o mianownikach nie większych od danego. Ponadto <a href="/wiki/B%C5%82%C4%85d_bezwzgl%C4%99dny" title="Błąd bezwzględny">błąd bezwzględny</a> tego przybliżenia jest mniejszy niż odwrotność kwadratu mianownika, np. </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left|\pi -{\frac {333}{106}}\right|<{\frac {1}{106^{2}}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow> <mo>|</mo> <mrow> <mi>π</mi> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>333</mn> <mn>106</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo><</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <msup> <mn>106</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left|\pi -{\frac {333}{106}}\right|<{\frac {1}{106^{2}}}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/338ea3b42fb7cb860cfba9204228d8eabc9bf97f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:18.913ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \left|\pi -{\frac {333}{106}}\right|<{\frac {1}{106^{2}}}.}" /></span></dd></dl> <p>Redukt <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {3}{1}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mn>3</mn> <mn>1</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {3}{1}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea48f51f644c86ef9d385541c10e7b404b993b67" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:1.658ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {3}{1}}}" /></span> był znany w najstarszych oszacowaniach liczby <span style="font-family: Nimbus Roman No9 L,Times New Roman,Times,serif; font-size: 118%; line-height: 1;">π</span>, redukt <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {22}{7}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mn>22</mn> <mn>7</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {22}{7}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cb5d075d03ff7edd66274d09cb1e2dd0aee7bc9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:2.48ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {22}{7}}}" /></span> podał <a href="/wiki/Archimedes" title="Archimedes">Archimedes</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Własności_liczby_π"><span id="W.C5.82asno.C5.9Bci_liczby_.CF.80"></span>Własności liczby <span style="font-family: Nimbus Roman No9 L,Times New Roman,Times,serif; font-size: 118%; line-height: 1;">π</span></h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Pi&veaction=edit&section=9" title="Edytuj sekcję: Własności liczby π" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Pi&action=edit&section=9" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Własności liczby π"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Z liczbą <span style="font-family: Nimbus Roman No9 L,Times New Roman,Times,serif; font-size: 118%; line-height: 1;">π</span> ludzie zetknęli się już w starożytności. Podczas praktycznych zajęć (budownictwo, rolnictwo, gospodarstwo domowe itp.) zauważyli, że stosunek obwodu koła do jego średnicy jest wartością stałą. Pierwsze źródła dowodzące świadomego korzystania z własności liczby <span style="font-family: Nimbus Roman No9 L,Times New Roman,Times,serif; font-size: 118%; line-height: 1;">π</span> pochodzą ze <a href="/wiki/Babilon" title="Babilon">starożytnego Babilonu</a>. </p><p>Podejście starożytnych uczonych do matematyki, w szczególności do liczby <span style="font-family: Nimbus Roman No9 L,Times New Roman,Times,serif; font-size: 118%; line-height: 1;">π</span>, było ściśle użytkowe, nie stosowano właściwie żadnej abstrakcji, a reguły matematyczne opisywane były prostymi przykładami użytkowymi, niezbędnymi w architekturze czy księgowości. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Wyniki_Archimedesa">Wyniki Archimedesa</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Pi&veaction=edit&section=10" title="Edytuj sekcję: Wyniki Archimedesa" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Pi&action=edit&section=10" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Wyniki Archimedesa"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Plik:Archimedes_pi.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c9/Archimedes_pi.svg/330px-Archimedes_pi.svg.png" decoding="async" width="300" height="100" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c9/Archimedes_pi.svg/500px-Archimedes_pi.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c9/Archimedes_pi.svg/600px-Archimedes_pi.svg.png 2x" data-file-width="750" data-file-height="250" /></a><figcaption>Metoda aproksymacji liczby <span style="font-family: Nimbus Roman No9 L,Times New Roman,Times,serif; font-size: 118%; line-height: 1;">π</span> zaproponowana przez Archimedesa</figcaption></figure> <p><a href="/wiki/Archimedes" title="Archimedes">Archimedes</a> (III w. p.n.e.) był pierwszym matematykiem badającym liczbę <span style="font-family: Nimbus Roman No9 L,Times New Roman,Times,serif; font-size: 118%; line-height: 1;">π</span> i jej znaczenie w matematyce. </p><p>Przede wszystkim znalazł metodę szacowania długości okręgu. W tym celu rozważał ciąg wielokątów foremnych opisanych na okręgu i wpisanych w okrąg. Opierając się na wprowadzonych w swoim dziele „O kuli i walcu” postulatach, wywiódł, że im więcej boków ma <a href="/wiki/Wielok%C4%85t_foremny" title="Wielokąt foremny">wielokąt foremny</a> wpisany/opisany, tym jego obwód jest bliższy długości okręgu. Dawało to możliwość szacowania długości okręgu z dowolną dokładnością. </p><p>Przejście graniczne w tej konstrukcji opierało się na tym, co już wiedziano od czasów <a href="/wiki/Eudoksos_z_Knidos" title="Eudoksos z Knidos">Eudoksosa</a>, że dwie wielkości dowolnie bliskie sobie są równe. W dzisiejszym języku oznacza to analizę dwóch ciągów i ich granic: rosnącego ciągu obwodów wielokątów foremnych wpisanych <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{n}=2n\sin {\tfrac {\pi }{n}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mi>n</mi> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mi>π</mi> <mi>n</mi> </mfrac> </mstyle> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{n}=2n\sin {\tfrac {\pi }{n}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d9470db9b3412578186f9796a288a02b0bb10cc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:13.556ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle a_{n}=2n\sin {\tfrac {\pi }{n}}}" /></span> oraz malejącego ciągu obwodów wielokątów foremnych opisanych <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b_{n}=2n\operatorname {tg} {\tfrac {\pi }{n}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mi>n</mi> <mi>tg</mi> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mi>π</mi> <mi>n</mi> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b_{n}=2n\operatorname {tg} {\tfrac {\pi }{n}}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46954b29ec08fed43e94ffbd852c3ba1c6dca6e9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:13.182ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle b_{n}=2n\operatorname {tg} {\tfrac {\pi }{n}}.}" /></span> Dla tych ciągów zachodzą łatwe do stwierdzenia zależności: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{n}<2\pi <b_{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo><</mo> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <mo><</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{n}<2\pi <b_{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2709b22c445d860db1f82aedfacc1115b2ccc4dd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.356ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a_{n}<2\pi <b_{n}}" /></span> oraz <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }a_{n}=\lim \limits _{n\to \infty }b_{n}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munder> <mo form="prefix">lim</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <munder> <mo form="prefix">lim</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }a_{n}=\lim \limits _{n\to \infty }b_{n}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eaeb5a065eeeda06bd8be729f5475d4453bfac54" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:17.729ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }a_{n}=\lim \limits _{n\to \infty }b_{n}.}" /></span></dd></dl> <p>Wprawdzie przy użyciu ówczesnej aparatury rachunkowej metoda ta praktycznie nie nadawała się do wyznaczania przybliżeń liczby <span style="font-family: Nimbus Roman No9 L,Times New Roman,Times,serif; font-size: 118%; line-height: 1;">π</span>, jasno jednak pokazała, że <span style="font-family: Nimbus Roman No9 L,Times New Roman,Times,serif; font-size: 118%; line-height: 1;">π</span> jest granicą pewnych ciągów wielkości konstruowalnych (w sensie konstrukcji klasycznych<sup id="cite_ref-5" class="reference"><a href="#cite_note-5"><span class="cite-bracket">[</span>b<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>). </p><p>W pracach „O wymierzaniu koła” i „O kuli i walcu” wykazał, że <span style="font-family: Nimbus Roman No9 L,Times New Roman,Times,serif; font-size: 118%; line-height: 1;">π</span> jest w istocie „stałą uniwersalną” geometrii w następującym sensie. </p><p>Stosunek obwodu koła do jego średnicy jest stały, ten stosunek jest właśnie liczbą <span style="font-family: Nimbus Roman No9 L,Times New Roman,Times,serif; font-size: 118%; line-height: 1;">π</span>. Podobnie stałe są stosunek pola powierzchni koła do kwadratu jego promienia, stosunek objętości walca i stożka do iloczynu wysokości i kwadratu promienia podstawy, stosunek powierzchni kuli do kwadratu jej promienia, stosunek objętości kuli do sześcianu jej promienia. Archimedes udowodnił, że dla wszystkich powyższych brył obrotowych stosunki te są współmierne i w każdym z nich pojawia się ta sama stała <span style="font-family: Nimbus Roman No9 L,Times New Roman,Times,serif; font-size: 118%; line-height: 1;">π</span>. </p><p>Stosując opracowaną przez <a href="/wiki/Eudoksos_z_Knidos" title="Eudoksos z Knidos">Eudoksosa</a> i rozwiniętą przez siebie <a href="/wiki/Metoda_wyczerpywania" title="Metoda wyczerpywania">metodę wyczerpywania</a>, udowodnił m.in., że </p> <ul><li>pole koła jest równe polu trójkąta prostokątnego, którego przyprostokątnymi są promień koła i rektyfikacja brzegu koła (czyli odpowiedniego okręgu),</li> <li>objętość walca jest równa objętości graniastosłupa prostego trójkątnego, w którym z jednego z wierzchołków wychodzą trzy wzajemnie prostopadłe krawędzie o długościach równych wysokości walca, promieniowi podstawy walca i rektyfikacji brzegu podstawy walca,</li> <li>objętość stożka jest równa <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>3</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9efc37d09854a3f8fb997e7de4331876bc49c2c0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:1.658ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}" /></span> objętości walca opisanego na stożku.</li></ul> <p>Stosując stworzoną przez siebie metodę sum całkowych, udowodnił także, że </p> <ul><li>pole powierzchni kuli jest równe polu powierzchni bocznej walca opisanego na tej kuli,</li> <li>objętość kuli jest równa objętości walca opisanego na tej kuli, z którego wydrążono dwa stożki stykające się swoimi wierzchołkami i których podstawy pokrywają się z podstawami walca.</li></ul> <p>W dzisiejszym języku oznacza to wyprowadzenie przez Archimedesa wzorów na pola powierzchni i objętości wyżej omówionych brył. Dzisiaj oczywiście do tego służy rachunek całkowy. Współczesną kontynuacją powyższych wyników Archimedesa są wzory na pole powierzchni i objętość n-wymiarowej <a href="/wiki/Hiperkula" title="Hiperkula">hiperkuli</a>, w których to wzorach także pojawia się liczba <span style="font-family: Nimbus Roman No9 L,Times New Roman,Times,serif; font-size: 118%; line-height: 1;">π</span> w odpowiednich potęgach<sup id="cite_ref-6" class="reference"><a href="#cite_note-6"><span class="cite-bracket">[</span>4<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-7" class="reference"><a href="#cite_note-7"><span class="cite-bracket">[</span>5<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Niewymierność"><span id="Niewymierno.C5.9B.C4.87"></span>Niewymierność</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Pi&veaction=edit&section=11" title="Edytuj sekcję: Niewymierność" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Pi&action=edit&section=11" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Niewymierność"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Liczba <span style="font-family: Nimbus Roman No9 L,Times New Roman,Times,serif; font-size: 118%; line-height: 1;">π</span> jest <a href="/wiki/Liczby_niewymierne" title="Liczby niewymierne">niewymierna</a>, czyli nie da się jej przedstawić w postaci <a href="/wiki/Dzielenie" title="Dzielenie">ilorazu</a> dwóch <a href="/wiki/Liczby_ca%C5%82kowite" title="Liczby całkowite">liczb całkowitych</a>. Pierwszy dowód tej własności podał w 1761 roku <a href="/wiki/Johann_Heinrich_Lambert" title="Johann Heinrich Lambert">Johann Heinrich Lambert</a>, wykorzystując rozwinięcie funkcji <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {tg} x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>tg</mi> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {tg} x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3126e1122160235256e602977284ea66974a8a2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.784ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {tg} x}" /></span> w <a href="/wiki/U%C5%82amek_%C5%82a%C5%84cuchowy" title="Ułamek łańcuchowy">ułamek łańcuchowy</a>: </p> <table width="auto" cellpadding="0" cellspacing="0" style="border-collapse: collapse" class="wzory"><tbody><tr> <td><div style="width:19px"></div></td><td width="0%"></td><td width="0%" style=";white-space:nowrap" align="left"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {tg} {x}={\cfrac {x}{1-{\cfrac {x^{2}}{3-{\cfrac {x^{2}}{5-{\cfrac {x^{2}}{\ddots }}}}}}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>tg</mi> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mpadded width="0" height="8.6pt" depth="3pt"> <mrow></mrow> </mpadded> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <mrow> <mpadded width="0" height="8.6pt" depth="3pt"> <mrow></mrow> </mpadded> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mpadded width="0" height="8.6pt" depth="3pt"> <mrow></mrow> </mpadded> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mstyle> </mrow> <mrow> <mpadded width="0" height="8.6pt" depth="3pt"> <mrow></mrow> </mpadded> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mpadded width="0" height="8.6pt" depth="3pt"> <mrow></mrow> </mpadded> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mstyle> </mrow> <mrow> <mpadded width="0" height="8.6pt" depth="3pt"> <mrow></mrow> </mpadded> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>5</mn> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mpadded width="0" height="8.6pt" depth="3pt"> <mrow></mrow> </mpadded> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mstyle> </mrow> <mrow> <mpadded width="0" height="8.6pt" depth="3pt"> <mrow></mrow> </mpadded> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>⋱</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {tg} {x}={\cfrac {x}{1-{\cfrac {x^{2}}{3-{\cfrac {x^{2}}{5-{\cfrac {x^{2}}{\ddots }}}}}}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/caf70441254bf83d754ab5e5b80315c385e52434" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -15.338ex; width:25.214ex; height:19.509ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {tg} {x}={\cfrac {x}{1-{\cfrac {x^{2}}{3-{\cfrac {x^{2}}{5-{\cfrac {x^{2}}{\ddots }}}}}}}}}" /></span>.</td> <td width="100%"></td> <td width="0%"><div style="min-width:30px"></div></td> </tr></tbody></table> <p>Większość podręczników prezentuje jednak inne dowody niewymierności <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi ,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>π</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi ,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47495546dd4b7607bbcb5658efe66abaf1955034" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.979ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \pi ,}" /></span> między innymi oparte na późniejszym pomyśle <a href="/wiki/Charles_Hermite" title="Charles Hermite">Hermite’a</a><sup id="cite_ref-8" class="reference"><a href="#cite_note-8"><span class="cite-bracket">[</span>6<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>. </p><p><b>Dowód niewymierności</b> </p><p>Niech <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi ={\tfrac {p}{q}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>π</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mi>p</mi> <mi>q</mi> </mfrac> </mstyle> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi ={\tfrac {p}{q}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fec51d89700497078249eee0fe9614561dc2a49" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:6.094ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle \pi ={\tfrac {p}{q}}}" /></span> dla pewnych dodatnich <a href="/wiki/Liczby_naturalne" title="Liczby naturalne">liczb naturalnych</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}" /></span> i <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>q</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b77c4dfff8774d73f815f799aa68d83a96d7095" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.716ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle q.}" /></span> </p><p>Niech dla liczby naturalnej <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" /></span> dane będą <a href="/wiki/Wielomian" title="Wielomian">wielomiany</a> </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f_{n}(x)={\frac {x^{n}(p-qx)^{n}}{n!}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>p</mi> <mo>−</mo> <mi>q</mi> <mi>x</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f_{n}(x)={\frac {x^{n}(p-qx)^{n}}{n!}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73d802380118f82e1211bb067d730e468a966b4e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:21.416ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle f_{n}(x)={\frac {x^{n}(p-qx)^{n}}{n!}}}" /></span></dd></dl> <p>oraz </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{n}(x)=f(x)-f^{(2)}(x)+\ldots +(-1)^{n}f^{(2n)}(x),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <msup> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mo>…</mo> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <msup> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{n}(x)=f(x)-f^{(2)}(x)+\ldots +(-1)^{n}f^{(2n)}(x),}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9348221994cf64f2c8cb3e74ffc6a0a764b285b4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:45.83ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle F_{n}(x)=f(x)-f^{(2)}(x)+\ldots +(-1)^{n}f^{(2n)}(x),}" /></span></dd></dl> <p>gdzie <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f_{n}^{(k)}(x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>k</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msubsup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f_{n}^{(k)}(x)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67ad41908ca619112b0e74ea74a71cc8a0238f98" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.828ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle f_{n}^{(k)}(x)}" /></span> oznacza <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>k</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}" /></span>-tą pochodną <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f_{n}(x).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f_{n}(x).}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf8b4b3feb245f1e95dc0156ac7221e1c39d0f52" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.144ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f_{n}(x).}" /></span> </p><p>Ponieważ wielomian <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n!f_{n}(x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo>!</mo> <msub> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n!f_{n}(x)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b01ee7c63a95a29d7ff1f8f687b0240b77dbd65" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.538ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle n!f_{n}(x)}" /></span> ma współczynniki całkowite oraz <a href="/wiki/Stopie%C5%84_wielomianu" title="Stopień wielomianu">stopień</a> równy <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2n,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>2</mn> <mi>n</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2n,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c06405ff40b3e040a53f34e7b7c4ef4fbe26d3b5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.204ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 2n,}" /></span> wszystkie pochodne <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f_{n}^{(i)}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>i</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msubsup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f_{n}^{(i)}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efb6d444936557c3db7506a1b8678b81fd95090d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.4ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle f_{n}^{(i)}}" /></span> mają w <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/953917eaf52f2e1baad54c8c9e3d6f9bb3710cdc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.591ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x=0}" /></span> wartości całkowite. Także dla <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x=\pi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mi>π</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=\pi }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b4512a97fa6b7772825e2c887e010a99e217005" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.76ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x=\pi }" /></span> wartości te są całkowite, gdyż <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)=f({\tfrac {p}{q}}-x).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mi>p</mi> <mi>q</mi> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo>−</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)=f({\tfrac {p}{q}}-x).}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/160dc7dcb98bc1ee5494a17ac82eb1f8cdbe5abc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:17.084ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle f(x)=f({\tfrac {p}{q}}-x).}" /></span> </p><p>Ponieważ </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}{\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!x}}(F_{n}'(x)\sin x-F_{n}(x)\cos x)&=F_{n}''(x)\sin x+F_{n}'(x)\cos x-F_{n}'(x)\cos x+F_{n}(x)\sin x\\&=F_{n}''(x)\sin x+F_{n}(x)\sin x=f_{n}(x)\sin x,\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mi mathvariant="normal">d</mi> <mrow> <mi mathvariant="normal">d</mi> <mspace width="negativethinmathspace"></mspace> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <msubsup> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> <mo>′</mo> </msubsup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> <mo>″</mo> </msubsup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> <mo>′</mo> </msubsup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <msubsup> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> <mo>′</mo> </msubsup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd></mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> <mo>″</mo> </msubsup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}{\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!x}}(F_{n}'(x)\sin x-F_{n}(x)\cos x)&=F_{n}''(x)\sin x+F_{n}'(x)\cos x-F_{n}'(x)\cos x+F_{n}(x)\sin x\\&=F_{n}''(x)\sin x+F_{n}(x)\sin x=f_{n}(x)\sin x,\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c03a0c6aaad57e77da90fba7c483343e4c26ddd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:85.586ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}{\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!x}}(F_{n}'(x)\sin x-F_{n}(x)\cos x)&=F_{n}''(x)\sin x+F_{n}'(x)\cos x-F_{n}'(x)\cos x+F_{n}(x)\sin x\\&=F_{n}''(x)\sin x+F_{n}(x)\sin x=f_{n}(x)\sin x,\end{aligned}}}" /></span></dd></dl> <p>to </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I_{n}=\int \limits _{0}^{\pi }f_{n}(x)\sin x\,\operatorname {d} \!x={\Bigl [}F_{n}'(x)\sin x-F_{n}(x)\cos x{\Bigr ]}_{0}^{\pi }=F_{n}(\pi )+F_{n}(0).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>I</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>π</mi> </mrow> </munderover> <msub> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> <mspace width="thinmathspace"></mspace> <mi mathvariant="normal">d</mi> <mspace width="negativethinmathspace"></mspace> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-OPEN"> <mo maxsize="1.623em" minsize="1.623em">[</mo> </mrow> </mrow> <msubsup> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> <mo>′</mo> </msubsup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> <msubsup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-CLOSE"> <mo maxsize="1.623em" minsize="1.623em">]</mo> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>π</mi> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>π</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I_{n}=\int \limits _{0}^{\pi }f_{n}(x)\sin x\,\operatorname {d} \!x={\Bigl [}F_{n}'(x)\sin x-F_{n}(x)\cos x{\Bigr ]}_{0}^{\pi }=F_{n}(\pi )+F_{n}(0).}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30febeb2ab464de00896ad43b1f980aee15e3f39" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.005ex; width:71.085ex; height:8.843ex;" alt="{\displaystyle I_{n}=\int \limits _{0}^{\pi }f_{n}(x)\sin x\,\operatorname {d} \!x={\Bigl [}F_{n}'(x)\sin x-F_{n}(x)\cos x{\Bigr ]}_{0}^{\pi }=F_{n}(\pi )+F_{n}(0).}" /></span></dd></dl> <p>Ponieważ liczby <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f_{n}^{(i)}(0)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>i</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msubsup> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f_{n}^{(i)}(0)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2906b8658d099b5dc807913f547139e316a742e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.371ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle f_{n}^{(i)}(0)}" /></span> i <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f_{n}^{(i)}(\pi )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>i</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msubsup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>π</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f_{n}^{(i)}(\pi )}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b61ac854c7397095cdaaf6fd8ea3be4155e8e21" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.541ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle f_{n}^{(i)}(\pi )}" /></span> są całkowite, całkowita jest więc wartość <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{n}(\pi )+F_{n}(0).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>π</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{n}(\pi )+F_{n}(0).}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/680d27c6e6b6a58beab9d884a9a56676fcd2336d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.026ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle F_{n}(\pi )+F_{n}(0).}" /></span> Z drugiej strony, dla <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0<x<\pi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>0</mn> <mo><</mo> <mi>x</mi> <mo><</mo> <mi>π</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0<x<\pi }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5072e331d80251147f44dc1bca9faa5d19c96a8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:10.021ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 0<x<\pi }" /></span> zachodzi oszacowanie </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0<f_{n}(x)\sin x<{\frac {\pi ^{n}p^{n}}{n!}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>0</mn> <mo><</mo> <msub> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> <mo><</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>π</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <msup> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0<f_{n}(x)\sin x<{\frac {\pi ^{n}p^{n}}{n!}}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57911dd7ec2d5b9ad7cb4eea861f7d12157f0895" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:24.239ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle 0<f_{n}(x)\sin x<{\frac {\pi ^{n}p^{n}}{n!}}.}" /></span></dd></dl> <p>Z dowolności <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" /></span> i powyższego oszacowania, całka <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I_{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>I</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I_{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aba34f081d776e30204f3458e4f50b403b09e5c6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.242ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle I_{n}}" /></span> jest dowolnie mała, co prowadzi do sprzeczności<sup id="cite_ref-9" class="reference"><a href="#cite_note-9"><span class="cite-bracket">[</span>7<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Przestępność"><span id="Przest.C4.99pno.C5.9B.C4.87"></span>Przestępność</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Pi&veaction=edit&section=12" title="Edytuj sekcję: Przestępność" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Pi&action=edit&section=12" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Przestępność"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Plik:Kochanski-1.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b0/Kochanski-1.svg/320px-Kochanski-1.svg.png" decoding="async" width="320" height="218" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b0/Kochanski-1.svg/480px-Kochanski-1.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b0/Kochanski-1.svg/640px-Kochanski-1.svg.png 2x" data-file-width="320" data-file-height="218" /></a><figcaption>Przybliżona konstrukcja Kochańskiego</figcaption></figure> <p>Liczba <span style="font-family: Nimbus Roman No9 L,Times New Roman,Times,serif; font-size: 118%; line-height: 1;">π</span> jest <a href="/wiki/Liczba_przest%C4%99pna" title="Liczba przestępna">liczbą przestępną</a>, co w 1882 roku wykazał <a href="/wiki/Ferdinand_Lindemann" title="Ferdinand Lindemann">Ferdinand Lindemann</a>. Oznacza to, że nie istnieje <a href="/wiki/Wielomian" title="Wielomian">wielomian</a> o współczynnikach wymiernych, którego <span style="font-family: Nimbus Roman No9 L,Times New Roman,Times,serif; font-size: 118%; line-height: 1;">π</span> jest <a href="/wiki/Wielomian#Pierwiastki" title="Wielomian">pierwiastkiem</a>. W rezultacie nie jest możliwe przedstawić <span style="font-family: Nimbus Roman No9 L,Times New Roman,Times,serif; font-size: 118%; line-height: 1;">π</span> w postaci wyrażenia zawierającego skończoną liczbę <a href="/wiki/Arytmetyka_elementarna" title="Arytmetyka elementarna">działań arytmetycznych</a> i <a href="/wiki/Pierwiastkowanie" title="Pierwiastkowanie">pierwiastków</a> na liczbach całkowitych. </p><p>Przestępność liczby <span style="font-family: Nimbus Roman No9 L,Times New Roman,Times,serif; font-size: 118%; line-height: 1;">π</span> oznacza, że niemożliwa jest <a href="/wiki/Kwadratura_ko%C5%82a" title="Kwadratura koła">kwadratura koła</a>, czyli <a href="/wiki/Konstrukcje_klasyczne" title="Konstrukcje klasyczne">klasyczna konstrukcja</a> (linijką i cyrklem) <a href="/wiki/Kwadrat" title="Kwadrat">kwadratu</a> o powierzchni równej powierzchni danego koła, gdyż <a href="/wiki/Uk%C5%82ad_wsp%C3%B3%C5%82rz%C4%99dnych" title="Układ współrzędnych">współrzędne</a> wszystkich punktów, które mogą być skonstruowane w taki sposób, należą do zbioru liczb nazywanych <a href="/wiki/Liczby_algebraiczne" title="Liczby algebraiczne">liczbami algebraicznymi</a>. Konstrukcja klasyczna pozwala jedynie znaleźć rozwiązania przybliżone (tzw. konstrukcje przybliżone). Powiązanym, również niemożliwym do rozwiązania problemem, jest problem <a href="/wiki/Rektyfikacja_okr%C4%99gu" title="Rektyfikacja okręgu">rektyfikacji okręgu</a>, do którego również istnieją konstrukcje przybliżone, z których za jedną z najprostszych uchodzi <a href="/wiki/Konstrukcja_Kocha%C5%84skiego" title="Konstrukcja Kochańskiego">konstrukcja Adama Adamandego Kochańskiego</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Historia_obliczeń_wartości_π"><span id="Historia_oblicze.C5.84_warto.C5.9Bci_.CF.80"></span>Historia obliczeń wartości <span style="font-family: Nimbus Roman No9 L,Times New Roman,Times,serif; font-size: 118%; line-height: 1;">π</span></h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Pi&veaction=edit&section=13" title="Edytuj sekcję: Historia obliczeń wartości π" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Pi&action=edit&section=13" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Historia obliczeń wartości π"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Przybliżanie_liczby_π_w_starożytności"><span id="Przybli.C5.BCanie_liczby_.CF.80_w_staro.C5.BCytno.C5.9Bci"></span>Przybliżanie liczby <span style="font-family: Nimbus Roman No9 L,Times New Roman,Times,serif; font-size: 118%; line-height: 1;">π</span> w starożytności</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Pi&veaction=edit&section=14" title="Edytuj sekcję: Przybliżanie liczby π w starożytności" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Pi&action=edit&section=14" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Przybliżanie liczby π w starożytności"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Babilończycy uważali, że obwód koła niewiele różni się od obwodu <a href="/wiki/Sze%C5%9Bciok%C4%85t" title="Sześciokąt">sześciokąta</a> wpisanego w niego i przyjmowali <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi \approx 3,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>π</mi> <mo>≈</mo> <mn>3</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi \approx 3,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a21abce08ebc12a2d98d96f1ec5173413d4ffa5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.24ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \pi \approx 3,}" /></span> Świadczą o tym niemal wszystkie teksty utrwalone na glinianych tabliczkach i poruszające te problemy. Tylko jedna tabliczka (datowana na lata 1900–1680 p.n.e.) zawiera obliczenia sugerujące stosowanie przybliżenia <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi \approx 3{\tfrac {1}{8}}=3{,}125.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>π</mi> <mo>≈</mo> <mn>3</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>8</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo>=</mo> <mn>3,125.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi \approx 3{\tfrac {1}{8}}=3{,}125.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b57795a55118182f092bfc28300d0d44cfce8b3a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:16.293ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle \pi \approx 3{\tfrac {1}{8}}=3{,}125.}" /></span> </p><p>Na pochodzącym sprzed 1650 r. p.n.e. egipskim <a href="/wiki/Papirus_Rhinda" title="Papirus Rhinda">papirusie Rhinda</a>, autorstwa królewskiego skryby (według niektórych źródeł tylko kopisty oryginału) <a href="/wiki/Ahmes_(egipski_skryba)" title="Ahmes (egipski skryba)">Ahmesa</a>, zatytułowanym <i>Wprowadzenie do wiedzy o wszystkich istniejących rzeczach</i> można znaleźć rozwiązania zadań matematycznych zawierające m.in. odniesienia do wartości liczby <span style="font-family: Nimbus Roman No9 L,Times New Roman,Times,serif; font-size: 118%; line-height: 1;">π</span>, przybliżanej wartością <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {4^{4}}{3^{4}}}=3{,}1604\dots }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <msup> <mn>4</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <msup> <mn>3</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo>=</mo> <mn>3,160</mn> <mn>4</mn> <mo>…</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {4^{4}}{3^{4}}}=3{,}1604\dots }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21cc035c96c0d0ee8de0f7d7613e2847433d06d0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.671ex; width:15.158ex; height:4.509ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {4^{4}}{3^{4}}}=3{,}1604\dots }" /></span> </p><p>W <a href="/wiki/Biblia" title="Biblia">biblijnej</a> <i>Drugiej Księdze Kronik</i> (<i>Biblia Tysiąclecia</i>, rozdział <i>4</i>, werset <i>2</i>) pochodzące z V–IV w. p.n.e. można znaleźć słowa: </p> <dl><dd><dl><dd><i>Następnie sporządził odlew okrągłego „morza” o średnicy dziesięciu łokci, o wysokości pięciu łokci i o obwodzie trzydziestu łokci.</i></dd></dl></dd></dl> <p>Wynika z nich, że w <a href="/wiki/Stary_Testament" title="Stary Testament">Starym Testamencie</a>, podobnie jak w źródłach babilońskich, przyjmowano oszacowanie <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi \approx 3.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>π</mi> <mo>≈</mo> <mn>3.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi \approx 3.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89d28434f170abf6cbd414b56b8b9c464cfad23b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.24ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \pi \approx 3.}" /></span> </p><p>Archimedes w III w. p.n.e. oszacował liczbę <span style="font-family: Nimbus Roman No9 L,Times New Roman,Times,serif; font-size: 118%; line-height: 1;">π</span> z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku. Użył do tego metody bazującej na zależnościach geometrycznych, metody pozwalającą oszacowywać <span style="font-family: Nimbus Roman No9 L,Times New Roman,Times,serif; font-size: 118%; line-height: 1;">π</span> z (teoretycznie) dowolną dokładnością, przez następne wieki była metodą najlepszą, często niezależnie od prac Archimedesa wykorzystywaną przez późniejszych matematyków. Wynikiem jego pracy było podanie przedziału, w jakim mieści się liczba <span style="font-family: Nimbus Roman No9 L,Times New Roman,Times,serif; font-size: 118%; line-height: 1;">π</span>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi \in \left(3{\tfrac {10}{71}};3{\tfrac {1}{7}}\right).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>π</mi> <mo>∈</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>3</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mn>10</mn> <mn>71</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo>;</mo> <mn>3</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>7</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi \in \left(3{\tfrac {10}{71}};3{\tfrac {1}{7}}\right).}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28a4d3f4a91eafec57814eb39badc108e7f0d7ba" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:15.479ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle \pi \in \left(3{\tfrac {10}{71}};3{\tfrac {1}{7}}\right).}" /></span> Archimedes uzyskał ten wynik, wyznaczając długości boków dwóch 96-kątów foremnych – opisanego na okręgu i wpisanego w ten sam okrąg. Następnie obliczył <a href="/wiki/%C5%9Arednia_arytmetyczna" title="Średnia arytmetyczna">średnią arytmetyczną</a> obwodów tych wielokątów, otrzymując przybliżenie długości okręgu. Obliczenia były bardzo żmudne i czasochłonne. Mimo wielkich wysiłków Archimedesowi nie udało się dokonać analogicznych obliczeń dla 192-kątów, co pozwoliłoby mu wyznaczyć wartość ludolfiny z jeszcze większą dokładnością. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Przybliżanie_liczby_π_w_średniowieczu"><span id="Przybli.C5.BCanie_liczby_.CF.80_w_.C5.9Bredniowieczu"></span>Przybliżanie liczby <span style="font-family: Nimbus Roman No9 L,Times New Roman,Times,serif; font-size: 118%; line-height: 1;">π</span> w średniowieczu</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Pi&veaction=edit&section=15" title="Edytuj sekcję: Przybliżanie liczby π w średniowieczu" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Pi&action=edit&section=15" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Przybliżanie liczby π w średniowieczu"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><a href="/wiki/Liu_Hui" title="Liu Hui">Liu Hui</a>, chiński matematyk żyjący w III wieku naszej ery, metodą Archimedesa dla wieloboków o <i>3072</i> bokach ustalił przybliżoną wartość liczby <span style="font-family: Nimbus Roman No9 L,Times New Roman,Times,serif; font-size: 118%; line-height: 1;">π</span> na 3,1415. </p><p><a href="/w/index.php?title=Zu_Chongzhi&action=edit&redlink=1" class="new" title="Zu Chongzhi (strona nie istnieje)">Zu Chongzhi</a>, chiński cesarski astronom około 500 roku n.e. podał dwa przybliżenia liczby <span style="font-family: Nimbus Roman No9 L,Times New Roman,Times,serif; font-size: 118%; line-height: 1;">π</span> – wcześniejsze – <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi \approx {\tfrac {22}{7}},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>π</mi> <mo>≈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mn>22</mn> <mn>7</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi \approx {\tfrac {22}{7}},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/853f0dfb87a5de1ae489845c07af85613802d629" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:7.557ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle \pi \approx {\tfrac {22}{7}},}" /></span> oraz późniejsze, wynoszące <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {355}{113}},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mn>355</mn> <mn>113</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {355}{113}},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcb91011a34f5cc3cebea783acafce6db1ad4100" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:3.949ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {355}{113}},}" /></span> które do XV wieku było najlepszym znanym ludzkości przybliżeniem wartości liczby <span style="font-family: Nimbus Roman No9 L,Times New Roman,Times,serif; font-size: 118%; line-height: 1;">π</span> (na szczególną uwagę zasługuje łatwość jego zapamiętania: 11-33-55). Wartości te zanotowano w pochodzących z tego okresu kronikach dworskich. Użył on metody Archimedesa, lecz najprawdopodobniej nie miał dostępu do jego prac. </p><p><a href="/wiki/Brahmagupta" title="Brahmagupta">Brahmagupta</a>, hinduski matematyk, sto lat później (około 600 r.n.e.), podał inne przybliżenie wartości <span style="font-family: Nimbus Roman No9 L,Times New Roman,Times,serif; font-size: 118%; line-height: 1;">π</span> – <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\sqrt {10}}\approx 3{,}162\dots ,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>10</mn> </msqrt> </mrow> <mo>≈</mo> <mn>3,162</mn> <mo>…</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\sqrt {10}}\approx 3{,}162\dots ,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/283c5265c33b7ce6032db992cd27404d6fbf2ccc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:16.8ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\sqrt {10}}\approx 3{,}162\dots ,}" /></span> stosując własności <i>12</i>, <i>24</i>, <i>48</i> i <i>96</i>-boków, których długości obwodów wynosiły odpowiednio </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\sqrt {9{,}56}},{\sqrt {9{,}81}},{\sqrt {9{,}86}},{\sqrt {9{,}87}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>9</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>,</mo> </mrow> <mn>56</mn> </msqrt> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>9</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>,</mo> </mrow> <mn>81</mn> </msqrt> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>9</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>,</mo> </mrow> <mn>86</mn> </msqrt> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>9</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>,</mo> </mrow> <mn>87</mn> </msqrt> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\sqrt {9{,}56}},{\sqrt {9{,}81}},{\sqrt {9{,}86}},{\sqrt {9{,}87}}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f2799579c217131bffcb0716eccc22ece2a3be7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:29.58ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {\sqrt {9{,}56}},{\sqrt {9{,}81}},{\sqrt {9{,}86}},{\sqrt {9{,}87}}.}" /></span></dd></dl> <p>W rzeczywistości </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi ^{2}\approx 9{,}8696.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>π</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>≈</mo> <mn>9,869</mn> <mn>6.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi ^{2}\approx 9{,}8696.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2e21973551f4e868b993ac8816f19c47e8d7ef1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.593ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \pi ^{2}\approx 9{,}8696.}" /></span></dd></dl> <p>W 1400 roku hinduski matematyk <a href="/wiki/Madhawa_z_Sangamagramy" title="Madhawa z Sangamagramy">Madhava</a> jako pierwszy w historii do obliczenia wartości <span style="font-family: Nimbus Roman No9 L,Times New Roman,Times,serif; font-size: 118%; line-height: 1;">π</span> użył ciągów nieskończonych. W istocie odkrył on wzór, do którego <a href="/wiki/Gottfried_Wilhelm_Leibniz" title="Gottfried Wilhelm Leibniz">Leibniz</a> i Gregory (autorstwo przypisuje się obu) doszli w 1674. Natomiast pierwszym z Europejczyków, który użył metody <a href="/wiki/Aproksymacja" title="Aproksymacja">aproksymacji</a> <span style="font-family: Nimbus Roman No9 L,Times New Roman,Times,serif; font-size: 118%; line-height: 1;">π</span> przy pomocy ciągów nieskończonych był <a href="/wiki/John_Wallis" title="John Wallis">John Wallis</a>, który w 1656 roku w dziele <i>Arithmetica infinitorum</i> podał bardzo zgrabny – aczkolwiek niezbyt użyteczny – wzór na <span style="font-family: Nimbus Roman No9 L,Times New Roman,Times,serif; font-size: 118%; line-height: 1;">π</span>. Od tego czasu do obliczania wartości <span style="font-family: Nimbus Roman No9 L,Times New Roman,Times,serif; font-size: 118%; line-height: 1;">π</span> zaczęto używać ciągów nieskończonych – zazwyczaj przy pomocy rozwinięcia funkcji <i>arcus sinus</i> lub <i>arcus tangens</i> w <a href="/wiki/Szereg_pot%C4%99gowy" title="Szereg potęgowy">szereg potęgowy</a>. </p><p><a href="/wiki/Ludolph_van_Ceulen" title="Ludolph van Ceulen">Ludolph van Ceulen</a>, stosując jeszcze metodę Archimedesa, obliczył wartość <span style="font-family: Nimbus Roman No9 L,Times New Roman,Times,serif; font-size: 118%; line-height: 1;">π</span> z dokładnością do <i>20</i> miejsc po przecinku i opublikował wynik w dziele <i>Van den Circkel</i> (1596). Według biografów Ceulen większość swojego życia poświęcił próbom coraz lepszego przybliżenia <span style="font-family: Nimbus Roman No9 L,Times New Roman,Times,serif; font-size: 118%; line-height: 1;">π</span>, zwanej niekiedy od jego imienia <i>Ludolfiną</i>, pod koniec życia podając <span style="font-family: Nimbus Roman No9 L,Times New Roman,Times,serif; font-size: 118%; line-height: 1;">π</span> z dokładnością do <i>35</i> miejsc po przecinku (użył do tego wieloboku o <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2^{62}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>62</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2^{62}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5512540bf2f4c9d54e78aeed416db6417cb7c393" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.039ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle 2^{62}}" /></span> bokach) – wartość ta została wyryta na jego płycie nagrobkowej. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Przybliżanie_liczby_π_w_czasach_nowożytnych"><span id="Przybli.C5.BCanie_liczby_.CF.80_w_czasach_nowo.C5.BCytnych"></span>Przybliżanie liczby <span style="font-family: Nimbus Roman No9 L,Times New Roman,Times,serif; font-size: 118%; line-height: 1;">π</span> w czasach nowożytnych</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Pi&veaction=edit&section=16" title="Edytuj sekcję: Przybliżanie liczby π w czasach nowożytnych" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Pi&action=edit&section=16" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Przybliżanie liczby π w czasach nowożytnych"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Z biegiem lat uzyskiwano coraz lepsze przybliżenia wartości <span style="font-family: Nimbus Roman No9 L,Times New Roman,Times,serif; font-size: 118%; line-height: 1;">π</span> sięgające kilkuset miejsc po przecinku. W 1853 <a href="/w/index.php?title=William_Rutherford_(matematyk)&action=edit&redlink=1" class="new" title="William Rutherford (matematyk) (strona nie istnieje)">William Rutherford</a> podał liczbę Pi z dokładnością 440 miejsc po przecinku. Rekordzistą w ręcznych obliczeniach liczby Pi jest <a href="/wiki/William_Shanks" title="William Shanks">William Shanks</a>, któremu w 1874 udało się uzyskać 707 miejsc po przecinku. Zajęło mu to 15 lat. Później okazało się, że 180 ostatnich cyfr obliczył błędnie (wynik, który uznano za prawidłowy uwzględnia 527 miejsc po przecinku)<sup id="cite_ref-Wszystkiego_najlepszego,_Pi_10-0" class="reference"><a href="#cite_note-Wszystkiego_najlepszego,_Pi-10"><span class="cite-bracket">[</span>8<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>. W 1946 roku Ferguson podał wartość <span style="font-family: Nimbus Roman No9 L,Times New Roman,Times,serif; font-size: 118%; line-height: 1;">π</span> do 620. miejsca po przecinku. W końcowych obliczeniach wspomagał się już kalkulatorem. Od 1949, kiedy to przy pomocy <a href="/wiki/Komputer" title="Komputer">komputera</a> <a href="/wiki/ENIAC" title="ENIAC">ENIAC</a> obliczono 2038 miejsc po przecinku, dokładniejsze aproksymacje liczby <span style="font-family: Nimbus Roman No9 L,Times New Roman,Times,serif; font-size: 118%; line-height: 1;">π</span> uzyskiwano już tylko przy użyciu komputerów. We wrześniu 1999 roku obliczono <span style="font-family: Nimbus Roman No9 L,Times New Roman,Times,serif; font-size: 118%; line-height: 1;">π</span> z dokładnością 2,0615·10<sup>11</sup> miejsc po przecinku. Dokonał tego Takahasi przy pomocy komputera Hitachi SR8000. </p><p>31 grudnia 2009 r. <a href="/wiki/Fabrice_Bellard" title="Fabrice Bellard">Fabrice Bellard</a> ogłosił, że udało mu się obliczyć <span style="font-family: Nimbus Roman No9 L,Times New Roman,Times,serif; font-size: 118%; line-height: 1;">π</span> z dokładnością do 2700 miliardów cyfr. Obliczenia ze sprawdzeniem zajęły 131 dni, do obliczeń użyto komputera z procesorem Intel Core i7 (2,93 GHz) i 6 GB RAM. Sam zapis binarny liczby zajmuje około 1,12 TB<sup id="cite_ref-11" class="reference"><a href="#cite_note-11"><span class="cite-bracket">[</span>9<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>. </p><p>W październiku 2011 Alexander J. Yee i Shigeru Kondo uzyskali dokładność ok. 10 bilionów (10<sup>13</sup>) miejsc po przecinku<sup id="cite_ref-12" class="reference"><a href="#cite_note-12"><span class="cite-bracket">[</span>10<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>. Obliczenia zajęły 371 dni. </p><p>W październiku 2014 anonimowa osoba o nicku <i>houkouonchi</i> uzyskała dokładność ok. 13,3 biliona miejsc po przecinku. Obliczenia zajęły 208 dni, a sprawdzanie 182 godziny<sup id="cite_ref-:1_13-0" class="reference"><a href="#cite_note-:1-13"><span class="cite-bracket">[</span>11<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>. </p><p>W listopadzie 2016 Peter Trueb uzyskał dokładność ok. 22,5 biliona miejsc po przecinku przy pomocy programu y-cruncher. Obliczenia zajęły 105 dni, a sama liczba zajęła ok. 120 TB miejsca<sup id="cite_ref-:1_13-1" class="reference"><a href="#cite_note-:1-13"><span class="cite-bracket">[</span>11<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>. </p><p>W styczniu 2020 Timothy Mullican uzyskał dokładność 50 bilionów miejsc po przecinku przy pomocy programu y-cruncher. Obliczenia zajęły 303 dni, a sama liczba zajęła ok. 281 TB miejsca<sup id="cite_ref-14" class="reference"><a href="#cite_note-14"><span class="cite-bracket">[</span>12<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>. </p><p>Niezależnie od algorytmów znajdujących coraz lepsze przybliżenia liczby pi opracowano metody obliczania pojedynczych bardzo odległych cyfr w rozwinięciu dziesiętnym liczby pi. Np. w roku 2010 obliczono cyfrę będącą na 2 000 000 000 000 000 miejscu po przecinku w rozwinięciu dziesiętnym liczby pi i wynosi ona zero. Obliczenia trwały 23 dni na 1000 maszynach<sup id="cite_ref-15" class="reference"><a href="#cite_note-15"><span class="cite-bracket">[</span>13<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Wzory_do_obliczania_liczby_π"><span id="Wzory_do_obliczania_liczby_.CF.80"></span>Wzory do obliczania liczby <span style="font-family: Nimbus Roman No9 L,Times New Roman,Times,serif; font-size: 118%; line-height: 1;">π</span></h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Pi&veaction=edit&section=17" title="Edytuj sekcję: Wzory do obliczania liczby π" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Pi&action=edit&section=17" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Wzory do obliczania liczby π"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Wzory_wolno_zbieżne"><span id="Wzory_wolno_zbie.C5.BCne"></span>Wzory wolno zbieżne</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Pi&veaction=edit&section=18" title="Edytuj sekcję: Wzory wolno zbieżne" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Pi&action=edit&section=18" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Wzory wolno zbieżne"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Poniższe metody są wolno zbieżne </p> <ul><li><a href="/wiki/Fran%C3%A7ois_Vi%C3%A8te" title="François Viète">François Viète</a>, <a href="/wiki/1593" title="1593">1593</a>:</li></ul> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdot \ldots ={\frac {2}{\pi }}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msqrt> <mn>2</mn> </msqrt> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msqrt> <mn>2</mn> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>2</mn> </msqrt> </mrow> </msqrt> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msqrt> <mn>2</mn> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>2</mn> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>2</mn> </msqrt> </mrow> </msqrt> </mrow> </msqrt> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>⋅</mo> <mo>…</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>2</mn> <mi>π</mi> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdot \ldots ={\frac {2}{\pi }}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/242a10ad30383b54eea3e61314455d98ee6c3634" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:43.81ex; height:9.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdot \ldots ={\frac {2}{\pi }}}" /></span></dd></dl> <ul><li><a href="/wiki/Gottfried_Wilhelm_Leibniz" title="Gottfried Wilhelm Leibniz">Leibniz</a>:</li></ul> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}={\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\ldots ={\frac {\pi }{4}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> </munderover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>1</mn> </mfrac> </mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>3</mn> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>5</mn> </mfrac> </mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>7</mn> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>9</mn> </mfrac> </mrow> <mo>−</mo> <mo>…</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>π</mi> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}={\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\ldots ={\frac {\pi }{4}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cb08aa88f906a7deb0140efa09586f934df2434" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:46.421ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}={\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\ldots ={\frac {\pi }{4}}}" /></span></dd></dl> <ul><li><a href="/wiki/Leonhard_Euler" title="Leonhard Euler">Leonhard Euler</a>, 1735:</li></ul> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{16}}+...={\frac {\pi ^{2}}{6}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> </munderover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <msup> <mi>k</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>1</mn> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>9</mn> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>16</mn> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>π</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mn>6</mn> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{16}}+...={\frac {\pi ^{2}}{6}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee937a6f69dc1e0f85c1f1c80f6bd4e90b417cce" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:38.208ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{16}}+...={\frac {\pi ^{2}}{6}}}" /></span></dd></dl> <ul><li><a href="/wiki/John_Wallis" title="John Wallis">John Wallis</a>, 1655:</li></ul> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \prod \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {2n}{2n-1}}\cdot {\frac {2n}{2n+1}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\ldots ={\frac {\pi }{2}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munderover> <mo movablelimits="false">∏</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> </munderover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>2</mn> <mn>1</mn> </mfrac> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>2</mn> <mn>3</mn> </mfrac> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>4</mn> <mn>3</mn> </mfrac> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>4</mn> <mn>5</mn> </mfrac> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>6</mn> <mn>5</mn> </mfrac> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>6</mn> <mn>7</mn> </mfrac> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>8</mn> <mn>7</mn> </mfrac> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>8</mn> <mn>9</mn> </mfrac> </mrow> <mo>…</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>π</mi> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \prod \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {2n}{2n-1}}\cdot {\frac {2n}{2n+1}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\ldots ={\frac {\pi }{2}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbb7bd62d57794871b76178dfe9c06d11821f79c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:59.163ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \prod \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {2n}{2n-1}}\cdot {\frac {2n}{2n+1}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\ldots ={\frac {\pi }{2}}}" /></span> (<a href="/wiki/Wz%C3%B3r_Wallisa" title="Wzór Wallisa">wzór Wallisa</a>)</dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Wzory_szybko_zbieżne"><span id="Wzory_szybko_zbie.C5.BCne"></span>Wzory szybko zbieżne</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Pi&veaction=edit&section=19" title="Edytuj sekcję: Wzory szybko zbieżne" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Pi&action=edit&section=19" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Wzory szybko zbieżne"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Plik:Synopsis_Palmariorum_Matheseos_pi.jpg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d2/Synopsis_Palmariorum_Matheseos_pi.jpg/250px-Synopsis_Palmariorum_Matheseos_pi.jpg" decoding="async" width="220" height="127" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d2/Synopsis_Palmariorum_Matheseos_pi.jpg/330px-Synopsis_Palmariorum_Matheseos_pi.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d2/Synopsis_Palmariorum_Matheseos_pi.jpg/500px-Synopsis_Palmariorum_Matheseos_pi.jpg 2x" data-file-width="767" data-file-height="443" /></a><figcaption><i>Synopsis palmariorum mathesos</i>, fragment</figcaption></figure> <p>Do szybkich obliczeń komputerowych stosuje się przybliżenie wynikające z tożsamości: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\operatorname {arctg} {\frac {1}{5}}-\operatorname {arctg} {\frac {1}{239}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>π</mi> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mn>4</mn> <mi>arctg</mi> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>5</mn> </mfrac> </mrow> <mo>−</mo> <mi>arctg</mi> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>239</mn> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\operatorname {arctg} {\frac {1}{5}}-\operatorname {arctg} {\frac {1}{239}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81d76d5c6d23f3094f38b9e81d45f6f0699c2d34" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:27.1ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\operatorname {arctg} {\frac {1}{5}}-\operatorname {arctg} {\frac {1}{239}}}" /></span></dd></dl> <p>Funkcję <i>arcus tangens</i> należy rozwinąć w <a href="/wiki/Wz%C3%B3r_Taylora" title="Wzór Taylora">szereg Taylora</a>. Twórcą tej formuły jest angielski matematyk <a href="/w/index.php?title=John_Machin&action=edit&redlink=1" class="new" title="John Machin (strona nie istnieje)">John Machin</a> (1680–1751). </p><p>Szybko zbieżne formuły postaci: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {\pi }{4}}=\sum \limits _{n}^{N}a_{n}\operatorname {arctg} {\tfrac {1}{b_{n}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mi>π</mi> <mn>4</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo>=</mo> <munderover> <mo movablelimits="false">∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>N</mi> </mrow> </munderover> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mi>arctg</mi> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mfrac> </mstyle> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {\pi }{4}}=\sum \limits _{n}^{N}a_{n}\operatorname {arctg} {\tfrac {1}{b_{n}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/553063ad90cc371fd61e1a461d5935cc0010c02c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:19.521ex; height:7.343ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {\pi }{4}}=\sum \limits _{n}^{N}a_{n}\operatorname {arctg} {\tfrac {1}{b_{n}}}}" /></span> podały również inne osoby, m.in.: </p> <ul><li>S. Klingenstierna (<a href="/wiki/1730" title="1730">1730</a>):</li></ul> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=8\operatorname {arctg} {\frac {1}{10}}-\operatorname {arctg} {\frac {1}{239}}-4\operatorname {arctg} {\frac {1}{515}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>π</mi> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mn>8</mn> <mi>arctg</mi> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>10</mn> </mfrac> </mrow> <mo>−</mo> <mi>arctg</mi> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>239</mn> </mfrac> </mrow> <mo>−</mo> <mn>4</mn> <mi>arctg</mi> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>515</mn> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=8\operatorname {arctg} {\frac {1}{10}}-\operatorname {arctg} {\frac {1}{239}}-4\operatorname {arctg} {\frac {1}{515}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12e51c7db38c56a67ddcdb776dabb03f669b1a30" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:42.537ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=8\operatorname {arctg} {\frac {1}{10}}-\operatorname {arctg} {\frac {1}{239}}-4\operatorname {arctg} {\frac {1}{515}}}" /></span></dd></dl> <ul><li>F.C.W. Störmer (<a href="/wiki/1896" title="1896">1896</a>):</li></ul> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=44\operatorname {arctg} {\frac {1}{57}}+7\operatorname {arctg} {\frac {1}{239}}-12\operatorname {arctg} {\frac {1}{682}}+24\operatorname {arctg} {\frac {1}{12943}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>π</mi> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mn>44</mn> <mi>arctg</mi> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>57</mn> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mn>7</mn> <mi>arctg</mi> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>239</mn> </mfrac> </mrow> <mo>−</mo> <mn>12</mn> <mi>arctg</mi> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>682</mn> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mn>24</mn> <mi>arctg</mi> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>12943</mn> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=44\operatorname {arctg} {\frac {1}{57}}+7\operatorname {arctg} {\frac {1}{239}}-12\operatorname {arctg} {\frac {1}{682}}+24\operatorname {arctg} {\frac {1}{12943}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/855c528d7177790bbc0c2fbcdf3eb02f415095c7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:64.172ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=44\operatorname {arctg} {\frac {1}{57}}+7\operatorname {arctg} {\frac {1}{239}}-12\operatorname {arctg} {\frac {1}{682}}+24\operatorname {arctg} {\frac {1}{12943}}}" /></span></dd></dl> <ul><li>K. Takano (<a href="/wiki/1982" title="1982">1982</a>):</li></ul> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=12\operatorname {arctg} {\frac {1}{49}}+32\operatorname {arctg} {\frac {1}{57}}-5\operatorname {arctg} {\frac {1}{239}}+12\operatorname {arctg} {\frac {1}{110443}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>π</mi> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mn>12</mn> <mi>arctg</mi> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>49</mn> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mn>32</mn> <mi>arctg</mi> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>57</mn> </mfrac> </mrow> <mo>−</mo> <mn>5</mn> <mi>arctg</mi> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>239</mn> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mn>12</mn> <mi>arctg</mi> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>110443</mn> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=12\operatorname {arctg} {\frac {1}{49}}+32\operatorname {arctg} {\frac {1}{57}}-5\operatorname {arctg} {\frac {1}{239}}+12\operatorname {arctg} {\frac {1}{110443}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/827bd8f751a0849102a2cf6ba0000ae47065d19a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:64.172ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=12\operatorname {arctg} {\frac {1}{49}}+32\operatorname {arctg} {\frac {1}{57}}-5\operatorname {arctg} {\frac {1}{239}}+12\operatorname {arctg} {\frac {1}{110443}}}" /></span></dd></dl> <p>Zbiór innych formuł typu zaproponowanego przez Machina można znaleźć np. na stronie „Numbers, constants and computation”<sup id="cite_ref-16" class="reference"><a href="#cite_note-16"><span class="cite-bracket">[</span>14<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Inne_metody">Inne metody</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Pi&veaction=edit&section=20" title="Edytuj sekcję: Inne metody" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Pi&action=edit&section=20" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Inne metody"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/Isaac_Newton" title="Isaac Newton">Newton</a>:</li></ul> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(2k+1)!!}}=1+{\frac {1}{3}}\left(1+{\frac {2}{5}}\left(1+{\frac {3}{7}}\left(1+{\frac {4}{9}}(1+\ldots )\right)\right)\right)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>π</mi> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> </munderover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>k</mi> <mo>!</mo> </mrow> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>!</mo> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>3</mn> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>2</mn> <mn>5</mn> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>3</mn> <mn>7</mn> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>4</mn> <mn>9</mn> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mo>…</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(2k+1)!!}}=1+{\frac {1}{3}}\left(1+{\frac {2}{5}}\left(1+{\frac {3}{7}}\left(1+{\frac {4}{9}}(1+\ldots )\right)\right)\right)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f6f9aac2166cbf06b57ff8af16d1e909bfec308" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:66.389ex; height:7.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(2k+1)!!}}=1+{\frac {1}{3}}\left(1+{\frac {2}{5}}\left(1+{\frac {3}{7}}\left(1+{\frac {4}{9}}(1+\ldots )\right)\right)\right)}" /></span></dd></dl> <ul><li><a href="/wiki/Srinivasa_Ramanujan" title="Srinivasa Ramanujan">Ramanujan</a>:</li></ul> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>π</mi> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>2</mn> </msqrt> </mrow> </mrow> <mn>9801</mn> </mfrac> </mrow> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> </munderover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>4</mn> <mi>k</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>!</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1103</mn> <mo>+</mo> <mn>26390</mn> <mi>k</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>k</mi> <mo>!</mo> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <msup> <mn>396</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> <mi>k</mi> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/776090fb01b361c6db0c8e97f61d8ca9911e435e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:36.871ex; height:7.176ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}}" /></span></dd> <dd>Wzór ten wyróżnia dokładność, która wzrasta 100 milionów razy wraz z dodaniem kolejnego składnika sumy<sup id="cite_ref-:0_17-0" class="reference"><a href="#cite_note-:0-17"><span class="cite-bracket">[</span>15<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>.</dd></dl> <ul><li>David Chudnovsky i Gregory Chudnovsky:</li></ul> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1}{\pi }}=12\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!)^{3}640320^{3k+3/2}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>π</mi> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mn>12</mn> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> </munderover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>6</mn> <mi>k</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>!</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>13591409</mn> <mo>+</mo> <mn>545140134</mn> <mi>k</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>3</mn> <mi>k</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>!</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>k</mi> <mo>!</mo> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <msup> <mn>640320</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>3</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{\pi }}=12\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!)^{3}640320^{3k+3/2}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf7303826e1e4fcba1e8f111880fa8b1b0c12c2b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:48.878ex; height:7.176ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{\pi }}=12\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!)^{3}640320^{3k+3/2}}}}" /></span></dd></dl> <ul><li>Bailey-Borwein-Plouffe (BBP, 1997)<sup id="cite_ref-18" class="reference"><a href="#cite_note-18"><span class="cite-bracket">[</span>16<span class="cite-bracket">]</span></a></sup></li></ul> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}\left({\frac {4}{8k+1}}-{\frac {2}{8k+4}}-{\frac {1}{8k+5}}-{\frac {1}{8k+6}}\right)=\pi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> </munderover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <msup> <mn>16</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>4</mn> <mrow> <mn>8</mn> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>2</mn> <mrow> <mn>8</mn> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>4</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>8</mn> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>5</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>8</mn> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>6</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>π</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}\left({\frac {4}{8k+1}}-{\frac {2}{8k+4}}-{\frac {1}{8k+5}}-{\frac {1}{8k+6}}\right)=\pi }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/094bf64f09ddad705114a7cc9a3c269dce8cbc4c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:53.602ex; height:7.009ex;" alt="{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}\left({\frac {4}{8k+1}}-{\frac {2}{8k+4}}-{\frac {1}{8k+5}}-{\frac {1}{8k+6}}\right)=\pi }" /></span></dd> <dd>Każdy składnik sumy jest równocześnie kolejną cyfrą <a href="/wiki/Szesnastkowy_system_liczbowy" title="Szesnastkowy system liczbowy">szesnastkowego</a> rozwinięcia liczby <span style="font-family: Nimbus Roman No9 L,Times New Roman,Times,serif; font-size: 118%; line-height: 1;">π</span>, co pozwala na zrównoleglenie pracy np. na <a href="/wiki/Superkomputer" title="Superkomputer">superkomputerach</a>.</dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Ułamki_łańcuchowe"><span id="U.C5.82amki_.C5.82a.C5.84cuchowe"></span>Ułamki łańcuchowe</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Pi&veaction=edit&section=21" title="Edytuj sekcję: Ułamki łańcuchowe" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Pi&action=edit&section=21" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Ułamki łańcuchowe"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Istnieją także rozwinięcia w <a href="/wiki/U%C5%82amek_%C5%82a%C5%84cuchowy" title="Ułamek łańcuchowy">ułamki łańcuchowe</a>: </p> <ul><li><a href="/w/index.php?title=William_Brouncker&action=edit&redlink=1" class="new" title="William Brouncker (strona nie istnieje)">William Brouncker</a> (ok. 1600)<sup id="cite_ref-tabmat_19-0" class="reference"><a href="#cite_note-tabmat-19"><span class="cite-bracket">[</span>17<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-20" class="reference"><a href="#cite_note-20"><span class="cite-bracket">[</span>18<span class="cite-bracket">]</span></a></sup></li></ul> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1+{\cfrac {1^{2}}{2+{\cfrac {3^{2}}{2+{\cfrac {5^{2}}{2+{\cfrac {7^{2}}{2+\ldots }}}}}}}}={\frac {4}{\pi }}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mpadded width="0" height="8.6pt" depth="3pt"> <mrow></mrow> </mpadded> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mn>1</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mstyle> </mrow> <mrow> <mpadded width="0" height="8.6pt" depth="3pt"> <mrow></mrow> </mpadded> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mpadded width="0" height="8.6pt" depth="3pt"> <mrow></mrow> </mpadded> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mn>3</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mstyle> </mrow> <mrow> <mpadded width="0" height="8.6pt" depth="3pt"> <mrow></mrow> </mpadded> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mpadded width="0" height="8.6pt" depth="3pt"> <mrow></mrow> </mpadded> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mn>5</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mstyle> </mrow> <mrow> <mpadded width="0" height="8.6pt" depth="3pt"> <mrow></mrow> </mpadded> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mpadded width="0" height="8.6pt" depth="3pt"> <mrow></mrow> </mpadded> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mn>7</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mstyle> </mrow> <mrow> <mpadded width="0" height="8.6pt" depth="3pt"> <mrow></mrow> </mpadded> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> <mo>+</mo> <mo>…</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>4</mn> <mi>π</mi> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1+{\cfrac {1^{2}}{2+{\cfrac {3^{2}}{2+{\cfrac {5^{2}}{2+{\cfrac {7^{2}}{2+\ldots }}}}}}}}={\frac {4}{\pi }}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf25df0d93139216381f8886584a153c9df3dfaa" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -13.838ex; width:31.349ex; height:18.009ex;" alt="{\displaystyle 1+{\cfrac {1^{2}}{2+{\cfrac {3^{2}}{2+{\cfrac {5^{2}}{2+{\cfrac {7^{2}}{2+\ldots }}}}}}}}={\frac {4}{\pi }}}" /></span></dd></dl> <ul><li><a href="/wiki/Leonhard_Euler" title="Leonhard Euler">Leonhard Euler</a> (ok. 1755)<sup id="cite_ref-tabmat_19-1" class="reference"><a href="#cite_note-tabmat-19"><span class="cite-bracket">[</span>17<span class="cite-bracket">]</span></a></sup></li></ul> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1+{\cfrac {2}{3+{\cfrac {1\cdot 3}{4+{\cfrac {3\cdot 5}{4+{\cfrac {5\cdot 7}{4+\ldots }}}}}}}}={\frac {\pi }{2}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mpadded width="0" height="8.6pt" depth="3pt"> <mrow></mrow> </mpadded> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </mstyle> </mrow> <mrow> <mpadded width="0" height="8.6pt" depth="3pt"> <mrow></mrow> </mpadded> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mpadded width="0" height="8.6pt" depth="3pt"> <mrow></mrow> </mpadded> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> <mo>⋅</mo> <mn>3</mn> </mrow> </mstyle> </mrow> <mrow> <mpadded width="0" height="8.6pt" depth="3pt"> <mrow></mrow> </mpadded> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mpadded width="0" height="8.6pt" depth="3pt"> <mrow></mrow> </mpadded> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> <mo>⋅</mo> <mn>5</mn> </mrow> </mstyle> </mrow> <mrow> <mpadded width="0" height="8.6pt" depth="3pt"> <mrow></mrow> </mpadded> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mpadded width="0" height="8.6pt" depth="3pt"> <mrow></mrow> </mpadded> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>5</mn> <mo>⋅</mo> <mn>7</mn> </mrow> </mstyle> </mrow> <mrow> <mpadded width="0" height="8.6pt" depth="3pt"> <mrow></mrow> </mpadded> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> <mo>+</mo> <mo>…</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>π</mi> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1+{\cfrac {2}{3+{\cfrac {1\cdot 3}{4+{\cfrac {3\cdot 5}{4+{\cfrac {5\cdot 7}{4+\ldots }}}}}}}}={\frac {\pi }{2}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b74ff78354edad977c0965b3095c7fdcf348213e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -13.838ex; width:31.349ex; height:18.009ex;" alt="{\displaystyle 1+{\cfrac {2}{3+{\cfrac {1\cdot 3}{4+{\cfrac {3\cdot 5}{4+{\cfrac {5\cdot 7}{4+\ldots }}}}}}}}={\frac {\pi }{2}}}" /></span></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Szacowanie_liczby_π_przy_pomocy_całek"><span id="Szacowanie_liczby_.CF.80_przy_pomocy_ca.C5.82ek"></span>Szacowanie liczby <span style="font-family: Nimbus Roman No9 L,Times New Roman,Times,serif; font-size: 118%; line-height: 1;">π</span> przy pomocy całek</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Pi&veaction=edit&section=22" title="Edytuj sekcję: Szacowanie liczby π przy pomocy całek" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Pi&action=edit&section=22" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Szacowanie liczby π przy pomocy całek"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Przy pomocy <a href="/wiki/Ca%C5%82ka_Riemanna" title="Całka Riemanna">całki Riemanna</a> można dowodzić szacowań liczby <span style="font-family: Nimbus Roman No9 L,Times New Roman,Times,serif; font-size: 118%; line-height: 1;">π</span> przez pewne <a href="/wiki/Liczby_wymierne" title="Liczby wymierne">liczby wymierne</a>. Jednym z przykładów jest zależność znaleziona przez Dalzella<sup id="cite_ref-21" class="reference"><a href="#cite_note-21"><span class="cite-bracket">[</span>19<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0<\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}(1-x)^{4}}{1+x^{2}}}\,{\mbox{d}}x={\frac {22}{7}}-\pi ,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>0</mn> <mo><</mo> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mi>x</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mspace width="thinmathspace"></mspace> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mtext>d</mtext> </mstyle> </mrow> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>22</mn> <mn>7</mn> </mfrac> </mrow> <mo>−</mo> <mi>π</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0<\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}(1-x)^{4}}{1+x^{2}}}\,{\mbox{d}}x={\frac {22}{7}}-\pi ,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d22552a139516762f2ae9570d52bad6dbb78c07d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:33.671ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle 0<\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}(1-x)^{4}}{1+x^{2}}}\,{\mbox{d}}x={\frac {22}{7}}-\pi ,}" /></span></dd></dl> <p>z której wynika, że <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {22}{7}}>\pi .}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mn>22</mn> <mn>7</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo>></mo> <mi>π</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {22}{7}}>\pi .}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45d169191b38c9c74f516209da0012157070041c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:7.557ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {22}{7}}>\pi .}" /></span> Zachodzi ponadto </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1}{1260}}=\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}(1-x)^{4}}{2}}\,{\mbox{d}}x<\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}(1-x)^{4}}{1+x^{2}}}\,{\mbox{d}}x<\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}(1-x)^{4}}{1}}\,{\mbox{d}}x={\frac {1}{630}},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>1260</mn> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mi>x</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mspace width="thinmathspace"></mspace> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mtext>d</mtext> </mstyle> </mrow> <mi>x</mi> <mo><</mo> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mi>x</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mspace width="thinmathspace"></mspace> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mtext>d</mtext> </mstyle> </mrow> <mi>x</mi> <mo><</mo> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mi>x</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mn>1</mn> </mfrac> </mrow> <mspace width="thinmathspace"></mspace> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mtext>d</mtext> </mstyle> </mrow> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>630</mn> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{1260}}=\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}(1-x)^{4}}{2}}\,{\mbox{d}}x<\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}(1-x)^{4}}{1+x^{2}}}\,{\mbox{d}}x<\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}(1-x)^{4}}{1}}\,{\mbox{d}}x={\frac {1}{630}},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3ed6bea1186a4aa50c0c7477429850da40ea121" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:77.843ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{1260}}=\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}(1-x)^{4}}{2}}\,{\mbox{d}}x<\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}(1-x)^{4}}{1+x^{2}}}\,{\mbox{d}}x<\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}(1-x)^{4}}{1}}\,{\mbox{d}}x={\frac {1}{630}},}" /></span></dd></dl> <p>skąd wynika, iż </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {22}{7}}-{\frac {1}{630}}<\pi <{\frac {22}{7}}-{\frac {1}{1260}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>22</mn> <mn>7</mn> </mfrac> </mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>630</mn> </mfrac> </mrow> <mo><</mo> <mi>π</mi> <mo><</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>22</mn> <mn>7</mn> </mfrac> </mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>1260</mn> </mfrac> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {22}{7}}-{\frac {1}{630}}<\pi <{\frac {22}{7}}-{\frac {1}{1260}}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a91bd16272f3faad72823af75c2f0f0dea8e4f20" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:29.988ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle {\frac {22}{7}}-{\frac {1}{630}}<\pi <{\frac {22}{7}}-{\frac {1}{1260}}.}" /></span></dd></dl> <p><a href="/wiki/D%C5%82ugo%C5%9B%C4%87_krzywej" title="Długość krzywej">Długość krzywej</a> sparametryzowanej wzorem <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {\sin x}{\sqrt {2-2\cos x}}},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mrow> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> </mrow> <msqrt> <mn>2</mn> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> </msqrt> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {\sin x}{\sqrt {2-2\cos x}}},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/068c0fff4fa1779e39c7e20a019eabf2bfb0b6dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:9.689ex; height:4.176ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {\sin x}{\sqrt {2-2\cos x}}},}" /></span> gdzie <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in \langle 0,{\tfrac {\pi }{10^{n}}}\rangle ,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mi>π</mi> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in \langle 0,{\tfrac {\pi }{10^{n}}}\rangle ,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1f1432b2de4a6efd9da890317f8c43775649675" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:12.268ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle x\in \langle 0,{\tfrac {\pi }{10^{n}}}\rangle ,}" /></span> przy <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" /></span> dąży do nieskończoności, pomnożona razy <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 10^{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 10^{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eeff06a7c9ad9455cb809047cfc97a92c51e1bf7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.543ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 10^{n}}" /></span> daje </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi =\int _{0}^{\pi /10^{n}}{\frac {\sqrt {9-\cos x}}{2{\sqrt {2}}}}dx\cdot 10^{n}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>π</mi> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>π</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mrow> </msubsup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msqrt> <mn>9</mn> <mo>−</mo> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> </msqrt> <mrow> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>2</mn> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mi>d</mi> <mi>x</mi> <mo>⋅</mo> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi =\int _{0}^{\pi /10^{n}}{\frac {\sqrt {9-\cos x}}{2{\sqrt {2}}}}dx\cdot 10^{n}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9dae4d23804f3bf5662d5ec380540bec37b23830" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:31.904ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \pi =\int _{0}^{\pi /10^{n}}{\frac {\sqrt {9-\cos x}}{2{\sqrt {2}}}}dx\cdot 10^{n}.}" /></span></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Kultura_π"><span id="Kultura_.CF.80"></span>Kultura <span style="font-family: Nimbus Roman No9 L,Times New Roman,Times,serif; font-size: 118%; line-height: 1;">π</span></h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Pi&veaction=edit&section=23" title="Edytuj sekcję: Kultura π" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Pi&action=edit&section=23" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Kultura π"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-halign-right" typeof="mw:File"><a href="/wiki/Plik:PP_1280x1024.jpg" class="mw-file-description" title="Liczba Pi"><img alt="Liczba Pi" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/92/PP_1280x1024.jpg/250px-PP_1280x1024.jpg" decoding="async" width="250" height="200" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/92/PP_1280x1024.jpg/500px-PP_1280x1024.jpg 1.5x" data-file-width="1280" data-file-height="1024" /></a><figcaption>Liczba Pi</figcaption></figure> <p>Liczba <span style="font-family: Nimbus Roman No9 L,Times New Roman,Times,serif; font-size: 118%; line-height: 1;">π</span> ma swoich licznych wielbicieli. Obchodzą oni <a href="/wiki/Dzie%C5%84_Liczby_Pi" title="Dzień Liczby Pi">Dzień Liczby <span style="font-family: Nimbus Roman No9 L,Times New Roman,Times,serif; font-size: 118%; line-height: 1;">π</span></a> (14 marca; amerykański sposób zapisu tej daty to „3/14”) oraz <i>dzień aproksymacji <span style="font-family: Nimbus Roman No9 L,Times New Roman,Times,serif; font-size: 118%; line-height: 1;">π</span></i> (<a href="/wiki/22_lipca" title="22 lipca">22 lipca</a>) (europejski sposób zapisu daty to „22/7”, od <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {22}{7}}\approx 3{,}1428}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mn>22</mn> <mn>7</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo>≈</mo> <mn>3,142</mn> <mn>8</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {22}{7}}\approx 3{,}1428}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf78bdd3f285d944a0d5b4dfeef0164f394412bd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:12.038ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {22}{7}}\approx 3{,}1428}" /></span>). </p><p>Tworzone są też wierszyki i opowiadania, w których długość każdego kolejnego słowa jest równa kolejnej cyfrze w rozwinięciu dziesiętnym liczby <span style="font-family: Nimbus Roman No9 L,Times New Roman,Times,serif; font-size: 118%; line-height: 1;">π</span> (zob. <a href="/wiki/Pi-emat" title="Pi-emat">Pi-emat</a>). </p><p>Niemcom w zapamiętaniu aproksymacji <span style="font-family: Nimbus Roman No9 L,Times New Roman,Times,serif; font-size: 118%; line-height: 1;">π</span> uzyskanej przez van Ceulena może być pomocny wiersz napisany przez <a href="/wiki/Clemens_Brentano" title="Clemens Brentano">Clemensa Brentano</a>, który jest przypuszczalnie pierwszym tego typu tekstem: </p> <dl><dd><i>Nie, o Gott, o guter, verliehst Du meinem Hirne die Kraft mächtige Zahlreihn dauernd verkettet bis in die spaetere Zeit getreu zu merken. Drum hab ich Ludolph mir zu Lettern umgeprägt.</i> <dl><dd><small><i>Nigdy, o dobry Boże, nie użyczysz mi mocy spamiętania po wsze czasy potężnego, ze sobą trwale sprzężonego szeregu cyfr. Dlatego przyswoiłem sobie ludolfinę w słowach.</i> (przekład Witolda Rybczyńskiego)</small></dd></dl></dd></dl> <p>Pierwszym polskim tekstem tego typu jest wiersz <a href="/wiki/Kazimierz_Cwojdzi%C5%84ski" title="Kazimierz Cwojdziński">Kazimierza Cwojdzińskiego</a> z 1930 roku, zamieszczony w październikowym wydaniu czasopisma „Parametr”, poświęconemu nauczaniu matematyki. Należy jednak pamiętać, że tekst powstał przed <a href="/wiki/Historia_ortografii_polskiej" title="Historia ortografii polskiej">reformą ortografii z 1936 roku</a>. Wtedy pisano „nie ma” w znaczeniu „nie posiada” i „niema” w znaczeniu „nie jest”. </p> <dl><dd><i>Kuć i orać w dzień zawzięcie,</i></dd> <dd><i>Bo plonów niema bez trudu!</i></dd> <dd><i>Złocisty szczęścia okręcie,</i></dd> <dd><i>Kołyszesz...</i></dd> <dd><i>Kuć! My nie czekajmy cudu.</i></dd> <dd><i>Robota to potęga ludu!</i></dd></dl> <p>Rymowany wiersz, w którym liczba liter w kolejnych wyrazach odpowiada rozwinięciu dziesiętnemu liczby pi do 20 miejsca po przecinku: </p> <dl><dd><i>Kto w mgłę i słotę wagarować ma ochotę?</i></dd> <dd><i>Chyba ten który ogniście zakochany, odziany wytwornie</i></dd> <dd><i>Gna do nóg Bogdanki paść kornie</i></dd></dl> <p>Limeryk (limerypinoid) Marcina Orlińskiego wykorzystuje 26 miejsc po przecinku<sup id="cite_ref-22" class="reference"><a href="#cite_note-22"><span class="cite-bracket">[</span>20<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>: </p> <dl><dd><i>Jan C. Dors z Pucka (Pomorskie)</i></dd> <dd><i>na omyłki takie jak „Dorsz” reagował wstrząsem.</i></dd> <dd><i>Bluzgał, zapieniał się:</i></dd> <dd><i>„Ja już odpocząć chcę!</i></dd> <dd><i>Błagam! Ja jestem Dors, nic nie plączcie!”</i></dd></dl> <p>Wiersz pozwala zapamiętać 32 cyfry składające się na liczbę pi: </p> <dl><dd><i>Kto w mózg i głowę natłoczyć by chciał cyfer moc,</i></dd> <dd><i>Ażeby liczenie ludolfiny trudnej spamiętać móc,</i></dd> <dd><i>To nam zastąpić musi słówka te litery suma,</i></dd> <dd><i>Tak one trwalej się do pamięci wszystkie wsuną.</i></dd></dl> <p>Inne przykłady: </p> <dl><dd><i>Jaś o kole z werwą dyskutuje</i></dd> <dd><i>bo dobrze temat ten czuje</i></dd> <dd><i>zastąpił ludolfinę słowami wierszyka</i></dd> <dd><i>czy Ty już odgadłeś, skąd zmiana ta wynika?</i></dd></dl> <dl><dd><i>Kto i bada i liczy,</i></dd> <dd><i>Myśliciel to wielki.</i></dd> <dd><i>Mylić się zwykł jednakże</i></dd> <dd><i>Matematyk wszelki.</i></dd></dl> <dl><dd><i>Oto i wiem i pomnę doskonale…</i></dd></dl> <dl><dd><i>Kto z woli i myśli zapragnie Pi spisać cyfry, ten zdoła</i></dd></dl> <p>Oto limeryk opublikowany kiedyś w miesięczniku „<a href="/wiki/Delta_(miesi%C4%99cznik)" title="Delta (miesięcznik)">Delta</a>”: </p> <dl><dd><i>Raz w maju, w drugą niedzielę</i></dd> <dd><i>Pi liczył cyfry pan Felek.</i></dd> <dd><i>Pomnożył, wysumował,</i></dd> <dd><i>Cyferki zanotował,</i></dd> <dd><i>Ale ma ich niewiele...</i></dd></dl> <p>Są nawet wiersze białe: </p> <dl><dd><i>Źle w mgle i snach bolejącym do wiedzy progu iść.</i></dd></dl> <p>Kolejny, dłuższy przykład, w formie inwokacji do bogini pamięci (myślnik po „pauza” zastępuje zero): </p> <dl><dd><i>Daj, o pani, o boska Mnemozyno, pi liczbę, którą też zowią ponętnie Ludolfiną, pamięci przekazać tak, by jej dowolnie oraz szybko do pomocy użyć; gdy się problemu nie da inaczej rozwiązać, pauza – to zastąpić liczbami.</i> <small>Witold Rybczyński w miesięczniku „Problemy” (nr 8/1949)</small></dd></dl> <p>Jest to wersja poprawiona. Pierwotnie tekst zawierał błąd „zadania” zamiast „problemu”, czyli <i>7</i> zamiast <i>8</i> na 27 miejscu. </p><p>Najbardziej znany przykład angielski jest autorstwa sir <a href="/wiki/James_Hopwood_Jeans" title="James Hopwood Jeans">Jamesa Jeansa</a>: </p> <dl><dd><i>How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics!</i> <dl><dd><small><i>Jakże chciałbym się napić, czegoś mocnego oczywiście, po trudnych wykładach dotyczących mechaniki kwantowej!</i></small></dd></dl></dd></dl> <p>Po francusku: </p> <dl><dd><i>Que j’aime a faire apprendre un nombre utile aux sages. Immortel Archimede, artiste ingenieux, qui de ton ton jugement put prise la valeur! Pour moi ton problème eut de pareils avantages.</i></dd></dl> <p>Po rosyjsku: </p> <dl><dd><i>Раз и шутя, и скоро пожелаешь пи узнать число – так знаешь</i></dd></dl> <p>Popularny jest także następujący wierszyk: </p> <dl><dd><i>How I wish I could recollect Pi easily today!</i> <dl><dd><small><i>Jakże bym chciał dzisiaj łatwo przypomnieć sobie Pi!</i></small></dd></dl></dd></dl> <p>Popularny jest również polski wierszyk: </p> <dl><dd><i>Był i jest, i wieki chwalonym ów będzie, który kół obwód średnicą wymierzył; sławcie Archimeda, aby ów mąż wszędzie imię sławne na zawsze jako syn Muz dzierżył</i>.</dd></dl> <p>Wśród polskich sposobów na mnemotechniczne zapamiętanie jest również okolicznościowy wierszyk, który powstał z okazji <a href="/wiki/Mistrzostwa_%C5%9Awiata_w_Pi%C5%82ce_No%C5%BCnej_1978" title="Mistrzostwa Świata w Piłce Nożnej 1978">Mistrzostw Świata w Piłce Nożnej w Argentynie w 1978 roku</a> </p> <dl><dd>„Już i <a href="/wiki/Grzegorz_Lato" title="Grzegorz Lato">Lato</a> i <a href="/wiki/Kazimierz_Deyna" title="Kazimierz Deyna">Deyna</a> strzelili do bramki obcej dwa karne. <a href="/wiki/W%C5%82odzimierz_Luba%C5%84ski" title="Włodzimierz Lubański">Lubański</a> dostrzegł mistrza <a href="/wiki/Andrzej_Szarmach" title="Andrzej Szarmach">Szarmacha</a>, gdy on tak wypuścił cios szacha, że zdobyć musi cel gry, krzyknął Gol na Mundial Argentyna”. (30 cyfr po przecinku).</dd></dl> <p>Liczba <span style="font-family: Nimbus Roman No9 L,Times New Roman,Times,serif; font-size: 118%; line-height: 1;">π</span> była inspiracją wielu artystów i reżyserów. <a href="/wiki/Darren_Aronofsky" title="Darren Aronofsky">Darren Aronofsky</a> poruszył jej temat w swoim filmie <a href="/wiki/Pi_(film)" title="Pi (film)">Pi</a>. W literaturze Pi jest imieniem bohatera powieści <a href="/wiki/Yann_Martel" title="Yann Martel">Yanna Martela</a> – <i><a href="/wiki/%C5%BBycie_Pi" title="Życie Pi">Życie Pi</a></i> oraz tematem jednego z wierszy <a href="/wiki/Wis%C5%82awa_Szymborska" title="Wisława Szymborska">Wisławy Szymborskiej</a>. Rozwinięcie binarne liczby <span style="font-family: Nimbus Roman No9 L,Times New Roman,Times,serif; font-size: 118%; line-height: 1;">π</span> (jako zaszyfrowana informacja dotycząca sensu wszechświata) odgrywa kluczową rolę w zakończeniu znanej powieści s-f <i>Kontakt</i> <a href="/wiki/Carl_Sagan" title="Carl Sagan">Carla Sagana</a>. Fascynacja <span style="font-family: Nimbus Roman No9 L,Times New Roman,Times,serif; font-size: 118%; line-height: 1;">π</span> jako kluczem czy ważnym elementem „wiedzy tajemnej” bywa obecna w wielu paranaukowych czy ezoterycznych sektach i stowarzyszeniach, poczynając od XVIII w. W szczególności Bóg objawia swoje imię <a href="/wiki/Moj%C5%BCesz" title="Mojżesz">Mojżeszowi</a> jako „<a href="/wiki/Jestem,_kt%C3%B3ry_jestem" title="Jestem, który jestem">Jestem, który jestem</a>” w 3 rozdziale, 14 i 15 wierszu <a href="/wiki/Ksi%C4%99ga_Wyj%C5%9Bcia" title="Księga Wyjścia">Księgi Wyjścia</a> (<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi \approx 3.1415\dots }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>π</mi> <mo>≈</mo> <mn>3.1415</mn> <mo>…</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi \approx 3.1415\dots }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1b62bdf247c92c7351e85d3493ac33f62d2e64b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:14ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \pi \approx 3.1415\dots }" /></span>). </p><p>W latach 80. XX w. w Polsce emitowany był telewizyjny program edukacyjny przeznaczony dla dzieci i młodzieży pt. <i><a href="/wiki/Przybysze_z_Matplanety" title="Przybysze z Matplanety">Przybysze z Matplanety</a></i>, w którym jednym z bohaterów był nieśmiały i tchórzliwy Pi. </p><p>Księga Guinnessa zawiera listę ludzi, którzy zapamiętali najwięcej cyfr liczby <span style="font-family: Nimbus Roman No9 L,Times New Roman,Times,serif; font-size: 118%; line-height: 1;">π</span>. Aby ją zapamiętać, korzystają często z <a href="/wiki/Mnemotechnika" title="Mnemotechnika">mnemotechniki</a> <a href="/wiki/G%C5%82%C3%B3wny_System_Pami%C4%99ciowy" title="Główny System Pamięciowy">GSP</a> i <a href="/wiki/Pa%C5%82ac_pami%C4%99ci" title="Pałac pamięci">pałacu pamięci</a><sup id="cite_ref-23" class="reference"><a href="#cite_note-23"><span class="cite-bracket">[</span>21<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>. Światowy potwierdzony rekord w zapamiętaniu ciągu cyfr liczby <span style="font-family: Nimbus Roman No9 L,Times New Roman,Times,serif; font-size: 118%; line-height: 1;">π</span> należy aktualnie do Hindusa Rajveera Meeny, który 21 marca 2015 roku podał ją z dokładnością do 70 tysięcy miejsc po przecinku<sup id="cite_ref-24" class="reference"><a href="#cite_note-24"><span class="cite-bracket">[</span>22<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>. Według serwisu Pi World Ranking List, rekord ten w tym samym roku został pobity przez Hindusa Suresha Kumara Sharmę, który 21 października 2015 roku wyrecytował 70 030 cyfr rozwinięcia liczby <span style="font-family: Nimbus Roman No9 L,Times New Roman,Times,serif; font-size: 118%; line-height: 1;">π</span><sup id="cite_ref-25" class="reference"><a href="#cite_note-25"><span class="cite-bracket">[</span>23<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>. Nieoficjalny światowy rekord należy do Japończyka Akiry Haraguchi, który w październiku 2006 roku podał ją z dokładnością do 100 tysięcy miejsc po przecinku<sup id="cite_ref-26" class="reference"><a href="#cite_note-26"><span class="cite-bracket">[</span>24<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>, bijąc własny rekord 83 431 cyfr po przecinku z lipca 2005 roku<sup id="cite_ref-27" class="reference"><a href="#cite_note-27"><span class="cite-bracket">[</span>25<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>. Starszy oficjalny rekord należał do Chińczyka Lu Chao, który powtórzył ponad 67 tysięcy znaków po przecinku<sup id="cite_ref-28" class="reference"><a href="#cite_note-28"><span class="cite-bracket">[</span>26<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Upamiętnienie"><span id="Upami.C4.99tnienie"></span>Upamiętnienie</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Pi&veaction=edit&section=24" title="Edytuj sekcję: Upamiętnienie" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Pi&action=edit&section=24" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Upamiętnienie"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>W 2022 skrzyżowaniu ulic Konstruktorskiej i Suwak w dzielnicy <a href="/wiki/Mokot%C3%B3w" title="Mokotów">Mokotów</a> w <a href="/wiki/Warszawa" title="Warszawa">Warszawie</a> nadano nazwę <i> rondo Liczby π</i><sup id="cite_ref-29" class="reference"><a href="#cite_note-29"><span class="cite-bracket">[</span>27<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Zobacz_też"><span id="Zobacz_te.C5.BC"></span>Zobacz też</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Pi&veaction=edit&section=25" title="Edytuj sekcję: Zobacz też" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Pi&action=edit&section=25" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Zobacz też"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <table class="infobox noprint plainlinks" cellpadding="4" role="presentation"> <tbody><tr> <td style="vertical-align:middle; text-align:center; width:30px;"><span class="notpageimage" typeof="mw:File"><span><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/40px-Commons-logo.svg.png" decoding="async" width="21" height="28" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/60px-Commons-logo.svg.png 2x" data-file-width="1024" data-file-height="1376" /></span></span> </td> <td style="line-height:normal; vertical-align:middle; text-align:center; flex:unset;"><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Pi?uselang=pl"><strong>Zobacz multimedia</strong> związane z tematem: <em>Pi</em></a> </td></tr></tbody></table> <table class="infobox noprint plainlinks" cellpadding="4" role="presentation"> <tbody><tr> <td style="vertical-align:middle; text-align:center; width:30px;"><span class="notpageimage" typeof="mw:File"><span><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/67/WiktionaryPl_nodesc.svg/28px-WiktionaryPl_nodesc.svg.png" decoding="async" width="28" height="27" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/67/WiktionaryPl_nodesc.svg/42px-WiktionaryPl_nodesc.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/67/WiktionaryPl_nodesc.svg/56px-WiktionaryPl_nodesc.svg.png 2x" data-file-width="122" data-file-height="117" /></span></span> </td> <td style="line-height:normal; vertical-align:middle; text-align:center; flex:unset;"><a href="https://pl.wiktionary.org/wiki/pi" class="extiw" title="wikt:pi"><strong>Zobacz hasło</strong> <em>pi</em> w Wikisłowniku</a> </td></tr></tbody></table> <table class="infobox noprint plainlinks" cellpadding="4" role="presentation"> <tbody><tr> <td style="vertical-align:middle; text-align:center; width:30px;"><span class="notpageimage" typeof="mw:File"><span><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/Wikiquote-logo.svg/40px-Wikiquote-logo.svg.png" decoding="async" width="24" height="28" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/Wikiquote-logo.svg/60px-Wikiquote-logo.svg.png 2x" data-file-width="300" data-file-height="355" /></span></span> </td> <td style="line-height:normal; vertical-align:middle; text-align:center; flex:unset;"><a href="https://pl.wikiquote.org/wiki/Liczba_pi" class="extiw" title="q:Liczba pi"><strong>Zobacz kolekcję cytatów</strong> <em>o liczbie pi</em> w Wikicytatach</a> </td></tr></tbody></table> <ul><li><a href="/wiki/Dzie%C5%84_Liczby_Pi" title="Dzień Liczby Pi">Dzień Liczby Pi</a></li> <li><a href="/wiki/Wz%C3%B3r_Eulera#Tożsamość_Eulera" title="Wzór Eulera">tożsamość Eulera</a></li></ul> <p><br /> </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Linki_zewnętrzne"><span id="Linki_zewn.C4.99trzne"></span>Linki zewnętrzne</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Pi&veaction=edit&section=26" title="Edytuj sekcję: Linki zewnętrzne" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Pi&action=edit&section=26" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Linki zewnętrzne"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <dl><dt>Polskojęzyczne</dt></dl> <ul><li><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Otwarty_dost%C4%99p" title="publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać"><img alt="publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/91/Open_Access_logo_green_alt2.svg/20px-Open_Access_logo_green_alt2.svg.png" decoding="async" width="8" height="13" class="mw-file-element" data-file-width="640" data-file-height="1000" /></a></span> <a href="/wiki/Tomasz_Ro%C5%BCek" title="Tomasz Rożek">Tomasz Rożek</a>, <i><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.youtube.com/watch?v=EHKPx9IPpYs">Skąd się wzięła liczba Pi</a></i>, kanał „Nauka. To lubię” na <a href="/wiki/YouTube" title="YouTube">YouTube</a>, 14 marca 2021 [dostęp 2021-03-15].</li> <li><cite class="citation open-access"><span class="cite-name-before"><span class="cite-name-full">Michał</span><span class="cite-name-initials" title="Michał" style="display:none">M.</span> </span><span class="cite-lastname">Miśkiewicz</span><span class="cite-name-after" style="display:none"> <span class="cite-name-full">Michał</span><span class="cite-name-initials" title="Michał">M.</span></span>, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://deltami.edu.pl/2021/06/3-p-4/"><i>3⩽π⩽4</i></a>, „<a href="/wiki/Delta_(miesi%C4%99cznik)" title="Delta (miesięcznik)">Delta</a>”, czerwiec 2021<span class="issn">, <a href="/wiki/International_Standard_Serial_Number" title="International Standard Serial Number">ISSN</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="http://worldcat.org/issn/0137-3005">0137-3005</a></span><span class="accessdate"> [dostęp 2024-11-02]</span><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft.gengre=book&rft.aufirst=Micha%C5%82&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.btitle=3%E2%A9%BD%CF%80%E2%A9%BD4&rft.issn=0137-3005&rft.date=2021-06&rft.aulast=Mi%C5%9Bkiewicz&rft_id=https%3A%2F%2Fdeltami.edu.pl%2F2021%2F06%2F3-p-4%2F" style="display:none"> </span>.</cite></li></ul> <dl><dt>Anglojęzyczne</dt></dl> <ul><li>E-tekst z projektu Gutenberg zawierający rozwinięcie liczby <span style="font-family: Nimbus Roman No9 L,Times New Roman,Times,serif; font-size: 118%; line-height: 1;">π</span> długości 10<sup>6</sup> miejsc po przecinku: <a rel="nofollow" class="external free" href="http://www.gutenberg.org/etext/50">http://www.gutenberg.org/etext/50</a> <span class="lang-list">(<abbr title="Treść w języku angielskim (English)">ang.</abbr>)</span></li> <li>J.J. O’Connor and E.F. Robertson: <i>A history of Pi</i>. Projekt Mac Tutor: <a rel="nofollow" class="external free" href="http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/HistTopics/Pi_through_the_ages.html">http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/HistTopics/Pi_through_the_ages.html</a> <span class="lang-list">(<abbr title="Treść w języku angielskim (English)">ang.</abbr>)</span></li> <li><cite class="citation open-access"><span class="cite-name-before"><span class="cite-name-full">Eric W.</span><span class="cite-name-initials" title="Eric W." style="display:none">E.W.</span> </span><span class="cite-lastname">Weisstein</span><span class="cite-name-after" style="display:none"> <span class="cite-name-full">Eric W.</span><span class="cite-name-initials" title="Eric W.">E.W.</span></span>, <a rel="nofollow" class="external text" href="http://mathworld.wolfram.com/PiFormulas.html"><i>Pi Formulas</i></a>, [w:] <a href="/wiki/MathWorld" title="MathWorld">MathWorld</a>, <a href="/wiki/Wolfram_Research" title="Wolfram Research">Wolfram Research</a><span class="accessdate"> [dostęp 2020-12-12]</span><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft.gengre=bookitem&rft.aufirst=Eric+W.&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.btitle=%5B%5BMathWorld%5D%5D&rft.atitle=Pi+Formulas&rft.aulast=Weisstein&rft_id=http%3A%2F%2Fmathworld.wolfram.com%2FPiFormulas.html" style="display:none"> </span> <span class="lang-list">(<abbr title="Treść w języku angielskim (English)">ang.</abbr>)</span>.</cite></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://mathforum.org/isaac/problems/pi1.html">Jak obliczyć wartość pi</a> <span class="lang-list">(<abbr title="Treść w języku angielskim (English)">ang.</abbr>)</span></li> <li><cite class="citation web"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20100124221705/http://planetmath.org/encyclopedia/Pi.html"><i>Hasło Pi w encyklopedii PlanetMath</i></a> [online], planetmath.org [zarchiwizowane z <a rel="nofollow" class="external text" href="https://planetmath.org/encyclopedia/Pi.html">adresu</a> 2010-01-24]<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft.gengre=book&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.btitle=Has%C5%82o+Pi+w+encyklopedii+PlanetMath&rft_id=http%3A%2F%2Fplanetmath.org%2Fencyclopedia%2FPi.html" style="display:none"> </span> <span class="lang-list">(<abbr title="Treść w języku angielskim (English)">ang.</abbr>)</span>.</cite></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.angio.net/pi/piquery">Znajdź swoją ulubioną liczbę w liczbie Pi</a> <span class="lang-list">(<abbr title="Treść w języku angielskim (English)">ang.</abbr>)</span></li> <li><cite class="citation web"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20031128024605/http://pi.nersc.gov/"><i>Znajdź swoje imię zakodowane w liczbie Pi</i></a> [online], pi.nersc.gov [zarchiwizowane z <a rel="nofollow" class="external text" href="http://pi.nersc.gov/">adresu</a> 2003-11-28]<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft.gengre=book&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.btitle=Znajd%C5%BA+swoje+imi%C4%99+zakodowane+w+liczbie+Pi&rft_id=http%3A%2F%2Fpi.nersc.gov%2F" style="display:none"> </span> <span class="lang-list">(<abbr title="Treść w języku angielskim (English)">ang.</abbr>)</span>.<span class="problemy problemy-w-cytuj" aria-hidden="true" data-nosnippet="">strona główna serwisu</span></cite></li> <li><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Otwarty_dost%C4%99p" title="publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać"><img alt="publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/91/Open_Access_logo_green_alt2.svg/20px-Open_Access_logo_green_alt2.svg.png" decoding="async" width="8" height="13" class="mw-file-element" data-file-width="640" data-file-height="1000" /></a></span> Reynaldo Lopes, <i><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.youtube.com/watch?v=9a5vHXsUvUw">The infinite life of pi</a></i>, kanał TED-Ed na <a href="/wiki/YouTube" title="YouTube">YouTube</a>, 10 lipca 2013 [dostęp 2024-08-22].</li> <li><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Otwarty_dost%C4%99p" title="publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać"><img alt="publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/91/Open_Access_logo_green_alt2.svg/20px-Open_Access_logo_green_alt2.svg.png" decoding="async" width="8" height="13" class="mw-file-element" data-file-width="640" data-file-height="1000" /></a></span> <i><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.youtube.com/watch?v=ineO1tIyPfM">When Pi is Not 3.14</a></i>, kanał PBS Infinite Series na <a href="/wiki/YouTube" title="YouTube">YouTube</a>, 5 stycznia 2017 [dostęp 2024-08-24].</li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://betafcc.github.io/pi-generator/">Pi Digits Generator</a>, betafcc na <a href="/wiki/GitHub" title="GitHub">GitHub</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Uwagi">Uwagi</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Pi&veaction=edit&section=27" title="Edytuj sekcję: Uwagi" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Pi&action=edit&section=27" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Uwagi"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="do-not-make-smaller refsection refsection-uwagi ll-script ll-script-uwagi"><div class="mw-references-wrap"><ol class="references"> <li id="cite_note-4"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-4">↑</a></span> <span class="reference-text"><i>Satis liquet Peripheriam hujus Circuli in numeris rationalibus exacte exprimi non posse, per approximationes autem inventa est .. esse = 3,14159..., pro quo numero, brevitatis ergo, scribam pi, ita ut sit <span style="font-family: Nimbus Roman No9 L,Times New Roman,Times,serif; font-size: 118%; line-height: 1;">π</span> = Semicircumferentiae Circuli, cujus Radius = 1, seu pi erit longitudo Arcus 180 graduum.</i></span> </li> <li id="cite_note-5"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-5">↑</a></span> <span class="reference-text">Oczywiście nie każdy wielokąt foremny jest konstruowalny, więc wystarczyło „zacząć” od wielokąta foremnego konstruowalnego, np. trójkąta równobocznego, kwadratu lub pięciokąta foremnego, a następnie wielokrotnie podwajać liczbę boków.</span> </li> </ol></div></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Przypisy">Przypisy</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Pi&veaction=edit&section=28" title="Edytuj sekcję: Przypisy" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Pi&action=edit&section=28" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Przypisy"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="do-not-make-smaller refsection"><div class="mw-references-wrap mw-references-columns"><ol class="references"> <li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a></span> <span class="reference-text"><cite class="citation web open-access"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://encyklopedia.pwn.pl/haslo/;3956528"><i>Pi</i></a>, [w:] <i><a href="/wiki/Encyklopedia_PWN_(internetowa)" title="Encyklopedia PWN (internetowa)">Encyklopedia PWN</a></i> [online], <a href="/wiki/Wydawnictwo_Naukowe_PWN" title="Wydawnictwo Naukowe PWN">Wydawnictwo Naukowe PWN</a><span class="accessdate"> [dostęp 2021-07-29]</span><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft.gengre=unknown&rft.atitle=Pi&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.jtitle=%5B%5BWydawnictwo+Naukowe+PWN%5D%5D&rft_id=https%3A%2F%2Fencyklopedia.pwn.pl%2Fhaslo%2F%3B3956528" style="display:none"> </span>.</cite></span> </li> <li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-2">↑</a></span> <span class="reference-text"><cite class="citation book">Hans Niels Jahnke: <i>A history of analysis</i>. Providence, RI: American Mathematical Society, 2003, s. 20. <a href="/wiki/Specjalna:Ksi%C4%85%C5%BCki/0821826239" title="Specjalna:Książki/0821826239">ISBN <span class="isbn">0-8218-2623-9</span></a>. <a href="/wiki/Online_Computer_Library_Center" title="Online Computer Library Center">OCLC</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="http://worldcat.org/oclc/51607350">51607350</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=A+history+of+analysis&rft.aulast=Jahnke&rft.aufirst=Hans+Niels&rft.date=2003&rft.pub=American+Mathematical+Society&rft.place=Providence%2C+RI&rft.pages=20&rft.isbn=0-8218-2623-9&rft_id=info:oclcnum/51607350"></span></cite></span> </li> <li id="cite_note-3"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-3">↑</a></span> <span class="reference-text"><cite class="citation web"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.wolframalpha.com/input/?i=pi">pi</a>. [w:] <i>WolframAlpha Computational Knowledge Engine</i> [on-line]. A Wolfram Research Company. [dostęp 2014-03-30].</cite></span> </li> <li id="cite_note-6"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-6">↑</a></span> <span class="reference-text"><cite class="citation book">Marek Kordos: <i>Wykłady z historii matematyki</i>. Warszawa: Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, 1994, s. 87–91. <a href="/wiki/Specjalna:Ksi%C4%85%C5%BCki/8302055913" title="Specjalna:Książki/8302055913">ISBN <span class="isbn">83-02-05591-3</span></a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Wyk%C5%82ady+z+historii+matematyki&rft.aulast=Kordos&rft.aufirst=Marek&rft.date=1994&rft.pub=Wydawnictwa+Szkolne+i+Pedagogiczne&rft.place=Warszawa&rft.pages=87%E2%80%9391&rft.isbn=83-02-05591-3"></span></cite></span> </li> <li id="cite_note-7"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-7">↑</a></span> <span class="reference-text"><cite class="citation book">Juszkiewicz A.P.: <i>Historia matematyki. Od czasów najdawniejszych do początku czasów nowożytnych</i>. T. I. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1975, s. 131–136.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Historia+matematyki.+Od+czas%C3%B3w+najdawniejszych+do+pocz%C4%85tku+czas%C3%B3w+nowo%C5%BCytnych&rft.au=Juszkiewicz+A.P.&rft.date=1975&rft.pub=Pa%C5%84stwowe+Wydawnictwo+Naukowe&rft.place=Warszawa&rft.pages=131%E2%80%93136"></span></cite></span> </li> <li id="cite_note-8"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-8">↑</a></span> <span class="reference-text"><cite class="citation journal doi nourl"><span class="cite-name-before"><span class="cite-name-full">Miklós</span><span class="cite-name-initials" title="Miklós" style="display:none">M.</span> </span><span class="cite-lastname">Laczkovich</span><span class="cite-name-after" style="display:none"> <span class="cite-name-full">Miklós</span><span class="cite-name-initials" title="Miklós">M.</span></span>, <i>On Lambert's Proof of the Irrationality of π</i>, „The American Mathematical Monthly”, 104 (5), 1997, s. 439-443, <a href="/wiki/DOI_(identyfikator_cyfrowy)" title="DOI (identyfikator cyfrowy)">DOI</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://dx.doi.org/10.2307%2F2974737">10.2307/2974737</a><span class="issn">, <a href="/wiki/International_Standard_Serial_Number" title="International Standard Serial Number">ISSN</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="http://worldcat.org/issn/0002-9890">0002-9890</a></span><span class="jstor">, <a href="/wiki/JSTOR" title="JSTOR">JSTOR</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="//www.jstor.org/stable/2974737">2974737</a></span><span class="accessdate"> [dostęp 2024-04-13]</span><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft.gengre=article&rft.atitle=On+Lambert%27s+Proof+of+the+Irrationality+of+%CF%80&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.date=1997&rft.issn=0002-9890&rft.jtitle=The+American+Mathematical+Monthly&rft.volume=104&rft.edition=5&rft_id=info%3Adoi%2F10.2307%2F2974737" style="display:none"> </span> <span class="lang-list">(<abbr title="Treść w języku angielskim (English)">ang.</abbr>)</span>.</cite></span> </li> <li id="cite_note-9"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-9">↑</a></span> <span class="reference-text">I. Niven, <a rel="nofollow" class="external text" href="http://projecteuclid.org/DPubS/Repository/1.0/Disseminate?view=body&id=pdf_1&handle=euclid.bams/1183510788">A simple proof that π is irrational</a>, „<a href="/wiki/Bulletin_of_the_American_Mathematical_Society" title="Bulletin of the American Mathematical Society">Bulletin of the American Mathematical Society</a>” <b>53</b>, 6 (1947), s. 509.</span> </li> <li id="cite_note-Wszystkiego_najlepszego,_Pi-10"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-Wszystkiego_najlepszego,_Pi_10-0">↑</a></span> <span class="reference-text"><cite class="citation web">Rzeczpospolita.pl: <a rel="nofollow" class="external text" href="http://web.archive.org/web/20160427135710/http://www.rp.pl/artykul/446484-Wszystkiego-najlepszego--Pi.html">Wszystkiego najlepszego, Pi</a>. [dostęp 2010-03-13].</cite></span> </li> <li id="cite_note-11"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-11">↑</a></span> <span class="reference-text">F. Bellard, <a rel="nofollow" class="external text" href="http://bellard.org/pi/pi2700e9/pipcrecord.pdf">Computation of 2700 billion decimal digits of Pi using a Desktop Computer</a>.</span> </li> <li id="cite_note-12"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-12">↑</a></span> <span class="reference-text">Alexander J. Yee, Shigeru Kondo <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.numberworld.org/misc_runs/pi-10t/details.html">Round 2... 10 Trillion Digits of Pi. Same program, same computer, just a longer wait...</a></span> </li> <li id="cite_note-:1-13"><span class="mw-cite-backlink">↑ <sup><a href="#cite_ref-:1_13-0">a</a></sup> <sup><a href="#cite_ref-:1_13-1">b</a></sup></span> <span class="reference-text"><cite class="citation web"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.numberworld.org/y-cruncher/">y-cruncher – A Multi-Threaded Pi Program</a>. www.numberworld.org. [dostęp 2017-11-19].</cite></span> </li> <li id="cite_note-14"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-14">↑</a></span> <span class="reference-text"><cite class="citation web"><span class="cite-name-before"><span class="cite-name-full">Timothy</span><span class="cite-name-initials" title="Timothy" style="display:none">T.</span> </span><span class="cite-lastname">Mullican</span><span class="cite-name-after" style="display:none"> <span class="cite-name-full">Timothy</span><span class="cite-name-initials" title="Timothy">T.</span></span>, <a rel="nofollow" class="external text" href="http://blog.timothymullican.com/calculating-pi-my-attempt-breaking-pi-record"><i>Calculating Pi: My attempt at breaking the Pi World Record</i></a> [online], Bits and Bytes, 26 czerwca 2019<span class="accessdate"> [dostęp 2020-10-24]</span><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft.gengre=book&rft.aufirst=Timothy&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.btitle=Calculating+Pi%3A+My+attempt+at+breaking+the+Pi+World+Record&rft.date=2019-06-26&rft.aulast=Mullican&rft_id=http%3A%2F%2Fblog.timothymullican.com%2Fcalculating-pi-my-attempt-breaking-pi-record" style="display:none"> </span> <span class="lang-list">(<abbr title="Treść w języku angielskim (English)">ang.</abbr>)</span>.</cite></span> </li> <li id="cite_note-15"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-15">↑</a></span> <span class="reference-text"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.rp.pl/artykul/536816-Co-jest-po-3-14.html">Co jest po 3,14?</a></span> </li> <li id="cite_note-16"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-16">↑</a></span> <span class="reference-text"><cite class="citation web">Xavier Gourdon, Pascal Sebah: <a rel="nofollow" class="external text" href="http://numbers.computation.free.fr/Constants/Pi/piclassic.html">The constant <span style="font-family: Nimbus Roman No9 L,Times New Roman,Times,serif; font-size: 118%; line-height: 1;">π</span></a>. [dostęp 2019-02-12].</cite></span> </li> <li id="cite_note-:0-17"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-:0_17-0">↑</a></span> <span class="reference-text"><cite class="citation book">Iwo, Iwona Białynicki-Birula, Białynicka-Birula: <i>Modelowanie rzeczywistości</i>. Warszawa: Prószyński i S-ka SA, 2002, s. 14–18. <a href="/wiki/Specjalna:Ksi%C4%85%C5%BCki/8372551030" title="Specjalna:Książki/8372551030">ISBN <span class="isbn">83-7255-103-0</span></a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Modelowanie+rzeczywisto%C5%9Bci&rft.aulast=Bia%C5%82ynicki-Birula%2C+Bia%C5%82ynicka-Birula&rft.aufirst=Iwo%2C+Iwona&rft.pub=Pr%C3%B3szy%C5%84ski+i+S-ka+SA&rft.place=Warszawa&rft.pages=14%E2%80%9318&rft.isbn=83-7255-103-0"></span></cite></span> </li> <li id="cite_note-18"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-18">↑</a></span> <span class="reference-text"><cite class="citation web"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.davidhbailey.com/">David H. Bailey</a>. [dostęp 2019-02-12].</cite></span> </li> <li id="cite_note-tabmat-19"><span class="mw-cite-backlink">↑ <sup><a href="#cite_ref-tabmat_19-0">a</a></sup> <sup><a href="#cite_ref-tabmat_19-1">b</a></sup></span> <span class="reference-text">„Tablice matematyczne” praca zbiorowa pod redakcją W. Mizerskiego, wyd. Adamantan Warszawa 1999.</span> </li> <li id="cite_note-20"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-20">↑</a></span> <span class="reference-text"><cite class="citation web open-access"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://encyklopedia.pwn.pl/haslo/;3881026"><i>Brouncker William</i></a>, [w:] <i><a href="/wiki/Encyklopedia_PWN_(internetowa)" title="Encyklopedia PWN (internetowa)">Encyklopedia PWN</a></i> [online], <a href="/wiki/Wydawnictwo_Naukowe_PWN" title="Wydawnictwo Naukowe PWN">Wydawnictwo Naukowe PWN</a><span class="accessdate"> [dostęp 2022-10-12]</span><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft.gengre=unknown&rft.atitle=Brouncker+William&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.jtitle=%5B%5BWydawnictwo+Naukowe+PWN%5D%5D&rft_id=https%3A%2F%2Fencyklopedia.pwn.pl%2Fhaslo%2F%3B3881026" style="display:none"> </span>.</cite></span> </li> <li id="cite_note-21"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-21">↑</a></span> <span class="reference-text">D.P. Dalzell, On 22/7, „J. London Math. Soc.” <b>19</b> (1944), s. 133–134.</span> </li> <li id="cite_note-22"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-22">↑</a></span> <span class="reference-text"><cite class="citation journal nourl"><span class="cite-name-before"><span class="cite-name-full">Marcin</span><span class="cite-name-initials" title="Marcin" style="display:none">M.</span> </span><span class="cite-lastname">Orliński</span><span class="cite-name-after" style="display:none"> <span class="cite-name-full">Marcin</span><span class="cite-name-initials" title="Marcin">M.</span></span>, <i>Gad zapił bezę</i>, „Przekrój”, 2019 (2)<span class="issn">, <a href="/wiki/International_Standard_Serial_Number" title="International Standard Serial Number">ISSN</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="http://worldcat.org/issn/0033-2488">0033-2488</a></span><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft.gengre=article&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.volume=2019&rft.issn=0033-2488&rft.jtitle=Przekr%C3%B3j&rft.atitle=Gad+zapi%C5%82+bez%C4%99&rft.edition=2" style="display:none"> </span>.</cite><span class="problemy" aria-hidden="true" data-nosnippet=""> Brak numerów stron w czasopiśmie</span></span> </li> <li id="cite_note-23"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-23">↑</a></span> <span class="reference-text"><cite class="citation web">Krzysztof Galos: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20140118140736/http://mnemotechnik-mnemonika.blogspot.com/2013/02/program-2know-dla-gsp-i-przy-okazji-jak.html">Program 2Know dla GSP i przy okazji jak zapamiętać liczbę <span style="font-family: Nimbus Roman No9 L,Times New Roman,Times,serif; font-size: 118%; line-height: 1;">π</span></a>. [dostęp 2013-02-26]. [zarchiwizowane z <a rel="nofollow" class="external text" href="http://mnemotechnik-mnemonika.blogspot.com/2013/02/program-2know-dla-gsp-i-przy-okazji-jak.html">tego adresu</a> (2014-01-18)].</cite></span> </li> <li id="cite_note-24"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-24">↑</a></span> <span class="reference-text"><cite class="citation web"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20200617082304/https://www.guinnessworldrecords.com/world-records/most-pi-places-memorised"><i>Most Pi places memorized</i></a> [online], Guinness World Records<span class="accessdate"> [dostęp 2023-01-20]</span> [zarchiwizowane z <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.guinnessworldrecords.com/world-records/most-pi-places-memorised">adresu</a> 2020-06-17]<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft.gengre=book&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.btitle=Most+Pi+places+memorized&rft_id=https%3A%2F%2Fwww.guinnessworldrecords.com%2Fworld-records%2Fmost-pi-places-memorised" style="display:none"> </span> <span class="lang-list">(<abbr title="Treść w języku angielskim (English)">ang.</abbr>)</span>.</cite></span> </li> <li id="cite_note-25"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-25">↑</a></span> <span class="reference-text"><cite class="citation web"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20201112025822/pi-world-ranking-list.com/?page=lists&category=pi&sort=digits"><i>Pi World Ranking List</i></a> [online], www.pi-world-ranking-list.com<span class="accessdate"> [dostęp 2023-01-20]</span> [zarchiwizowane z <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.pi-world-ranking-list.com/?page=lists&category=pi&sort=digits">adresu</a> 2020-11-12]<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft.gengre=book&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.btitle=Pi+World+Ranking+List&rft_id=https%3A%2F%2Fwww.pi-world-ranking-list.com%2F%3Fpage%3Dlists%26category%3Dpi%26sort%3Ddigits" style="display:none"> </span>.</cite></span> </li> <li id="cite_note-26"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-26">↑</a></span> <span class="reference-text"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.rmf24.pl/fakty/swiat/news-rekordowa-pamiec-do-liczby-pi,nId,177046">Rekordowa pamięć do liczby Pi</a> RMF FM [dostęp 2012-09-20].</span> </li> <li id="cite_note-27"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-27">↑</a></span> <span class="reference-text"><cite class="citation web"><span class="cite-name-before"><span class="cite-name-full">Tomoko</span><span class="cite-name-initials" title="Tomoko" style="display:none">T.</span> </span><span class="cite-lastname">Otake</span><span class="cite-name-after" style="display:none"> <span class="cite-name-full">Tomoko</span><span class="cite-name-initials" title="Tomoko">T.</span></span>, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20130818004142/http://www.japantimes.co.jp/life/2006/12/17/life/how-can-anyone-remember-100000-numbers/"><i>How can anyone remember 100,000 numbers?</i></a> [online], The Japan Times, 17 grudnia 2006<span class="accessdate"> [dostęp 2023-01-20]</span> [zarchiwizowane z <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.japantimes.co.jp/life/2006/12/17/general/how-can-anyone-remember-100000-numbers/">adresu</a> 2013-08-18]<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft.gengre=book&rft.aufirst=Tomoko&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.btitle=How+can+anyone+remember+100%2C000+numbers%3F&rft.date=2006-12-17&rft.aulast=Otake&rft_id=https%3A%2F%2Fwww.japantimes.co.jp%2Flife%2F2006%2F12%2F17%2Fgeneral%2Fhow-can-anyone-remember-100000-numbers%2F" style="display:none"> </span> <span class="lang-list">(<abbr title="Treść w języku angielskim (English)">ang.</abbr>)</span>.</cite></span> </li> <li id="cite_note-28"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-28">↑</a></span> <span class="reference-text"><cite class="citation web"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.rp.pl/artykul/626512-Swiatowy-Dzien-liczby-Pi.html">Światowy Dzień liczby Pi</a>. Rzeczpospolita.pl, 2012-03-14.</cite></span> </li> <li id="cite_note-29"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-29">↑</a></span> <span class="reference-text"><cite class="citation web"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://edziennik.mazowieckie.pl/legalact/2022/9758/">Uchwała nr LXX/2318/2022 Rady Miasta Stołecznego Warszawy z dnia 8 września 2022 r. w sprawie nadania nazwy obiektowi miejskiemu w Dzielnicy Mokotów m.st. Warszawy</a>. [w:] <i>Dziennik Urzędowy Województwa Mazowieckiego nr 9758</i> [on-line]. 20 września 2022. [dostęp 2023-01-23].</cite></span> </li> </ol></div></div> <div class="navbox do-not-make-smaller mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="pokaż" data-collapsetext="ukryj"><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r75675918">.mw-parser-output .navbox{border:1px solid var(--border-color-base,#a2a9b1);margin:auto;text-align:center;padding:3px;margin-top:1em;clear:both}.mw-parser-output table.navbox:not(.pionowy){width:100%}.mw-parser-output .navbox+.navbox{border-top:0;margin-top:0}.mw-parser-output .navbox.pionowy{width:250px;float:right;clear:right;margin:0 0 0.4em 1.4em}.mw-parser-output .navbox.pionowy .before,.mw-parser-output .navbox.pionowy .after{padding:0.5em 0;text-align:center}.mw-parser-output .navbox>.caption,.mw-parser-output .navbox>tbody>tr>th{background:#ccf;text-align:center;font-weight:bold}.mw-parser-output .navbox .tnavbar{font-weight:normal;font-size:xx-small;white-space:nowrap;padding:0}.mw-parser-output .navbox>.tnavbar{margin-left:1em;float:left}.mw-parser-output .navbox .below>hr+.tnavbar{margin-left:auto;margin-right:auto}.mw-parser-output .navbox .below>.tnavbar:before{content:"Ten szablon: "}.mw-parser-output .navbox .tnavbar li:after{content:" · "}.mw-parser-output .navbox .tnavbar li:last-child:after{content:none}.mw-parser-output .navbox hr{margin:0.2em 1em}.mw-parser-output .navbox .title{background:#ddf;text-align:center;font-weight:bold}.mw-parser-output .navbox>.mw-collapsible-content:not(.grupa-szablonów-nawigacyjnych){margin-top:2px;padding:0;font-size:smaller;overflow:auto}.mw-parser-output .navbox .above+div,.mw-parser-output .navbox .above+.navbox-main-content,.mw-parser-output .navbox .below,.mw-parser-output .navbox .title+.grid{margin-top:2px}.mw-parser-output .navbox>.mw-collapsible-content>.above,.mw-parser-output .navbox>.mw-collapsible-content>.below{background:#ddf;text-align:center;margin-left:auto;margin-right:auto}.mw-parser-output .navbox:not(.pionowy) .flex{display:flex;flex-direction:row}.mw-parser-output .navbox .flex>.before,.mw-parser-output .navbox .flex>.after{align-self:center;text-align:center}.mw-parser-output .navbox .flex>.navbox-main-content{flex-grow:1}.mw-parser-output .navbox:not(.pionowy) .before{margin-right:0.5em}.mw-parser-output .navbox:not(.pionowy) .after{margin-left:0.5em}.mw-parser-output .navbox .inner-columns,.mw-parser-output .navbox .inner-group,.mw-parser-output .navbox .inner-standard{border-spacing:0;border-collapse:collapse;width:100%}.mw-parser-output .navbox .inner-standard>tbody>tr>.opis{text-align:right;vertical-align:middle}.mw-parser-output .navbox .inner-standard>tbody>tr>.opis+.spis{border-left:2px solid var(--background-color-base,#fff);text-align:left}.mw-parser-output .navbox .inner-standard>tbody>tr>td{padding:0;width:100%}.mw-parser-output .navbox .inner-standard>tbody>tr>td:first-child{text-align:center}.mw-parser-output .navbox .inner-standard .inner-standard>tbody>tr>td{text-align:left}.mw-parser-output .navbox .inner-standard>tbody>tr>.navbox-odd,.mw-parser-output .navbox .inner-standard>tbody>tr>.navbox-even{padding:0 0.3em}.mw-parser-output .navbox .inner-standard>tbody>tr+tr>th,.mw-parser-output .navbox .inner-standard>tbody>tr+tr>td{border-top:2px solid var(--background-color-base,#fff)}.mw-parser-output .navbox .inner-standard>tbody>tr>th+td{border-left:2px solid var(--background-color-base,#fff)}.mw-parser-output .navbox .inner-columns{table-layout:fixed}.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>th,.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>td{padding:0;border-left:2px solid var(--background-color-base,#fff);border-right:2px solid var(--background-color-base,#fff)}.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>td{vertical-align:top}.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr+tr>td{border-top:2px solid var(--background-color-base,#fff)}.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>th:first-child,.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>td:first-child{border-left:0}.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>th:last-child,.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>td:last-child{border-right:0}.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>td>ul,.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>td>ol,.mw-parser-output .navbox .inner-columns>tbody>tr>td>dl{text-align:left;column-width:24em}.mw-parser-output .navbox .inner-group>div+div,.mw-parser-output .navbox .inner-group>div>div+div,.mw-parser-output .navbox .inner-group>div>div+table{margin-top:2px}.mw-parser-output .navbox .inner-group>div>.opis,.mw-parser-output .navbox .inner-group>div>.spis{padding:0.1em 1em;text-align:center}.mw-parser-output .navbox>.mw-collapsible-toggle,.mw-parser-output .navbox .inner-group>div.mw-collapsible>.mw-collapsible-toggle{width:4em;text-align:right;margin-right:0.4em}.mw-parser-output .navbox>.fakebar,.mw-parser-output .navbox .inner-group>div.mw-collapsible>.fakebar{float:left;width:4em;height:1em}.mw-parser-output .navbox .opis{background:#ddf;padding:0 1em;white-space:nowrap;font-weight:bold}.mw-parser-output .navbox.pionowy .opis{white-space:normal}.mw-parser-output .navbox.pionowy .navbox-even,.mw-parser-output .navbox:not(.pionowy) .navbox-odd{background:transparent}.mw-parser-output .navbox.pionowy .navbox-odd,.mw-parser-output .navbox:not(.pionowy) .navbox-even{background:var(--background-color-neutral-subtle,#f8f9fa)}.mw-parser-output .navbox .inner-group>div>div+div{background:transparent}.mw-parser-output .navbox p{margin:0;padding:0.3em 0}.mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a1,.mw-parser-output .navbox.medaliści .a1 .opis{background:gold}.mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a2,.mw-parser-output .navbox.medaliści .a2 .opis{background:silver}.mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a3,.mw-parser-output .navbox.medaliści .a3 .opis{background:#c96}.mw-parser-output .navbox .navbox-main-content>ul,.mw-parser-output .navbox .navbox-main-content>dl,.mw-parser-output .navbox .navbox-main-content>ol{column-width:24em;text-align:left}.mw-parser-output .navbox ul{list-style:none}.mw-parser-output .navbox .references{background:transparent}.mw-parser-output .navbox .hwrap .hlist dd,.mw-parser-output .navbox .hwrap .hlist dt,.mw-parser-output .navbox .hwrap .hlist li{white-space:normal}.mw-parser-output .navbox .rok{display:inline-block;width:4em;padding-right:0.5em;text-align:right}.mw-parser-output .navbox .navbox-statistics{margin-top:2px;border-top:1px solid var(--border-color-base,#a2a9b1);text-align:center;font-size:small}.mw-parser-output .navbox-summary>.title{font-weight:bold;font-size:larger}.mw-parser-output .navbox:not(.grupa-szablonów) .navbox{margin:0;border:0;padding:0}.mw-parser-output .navbox.grupa-szablonów>.grupa-szablonów-nawigacyjnych>.navbox:first-child{margin-top:2px}@media(max-width:800px){.mw-parser-output .navbox:not(.pionowy) .flex>.before,.mw-parser-output .navbox:not(.pionowy) .flex>.after{display:none}.mw-parser-output .navbox:not(.pionowy) table,.mw-parser-output .navbox:not(.pionowy) tbody{display:block;overflow:visible;width:100%;box-sizing:border-box}.mw-parser-output .navbox:not(.pionowy) .inner-standard tbody tr{display:flex;flex-direction:column}.mw-parser-output .navbox:not(.pionowy) .inner-standard tbody tr .opis{text-align:left}.mw-parser-output .navbox:not(.pionowy) table{margin:0;padding:0}.mw-parser-output .navbox:not(.pionowy) table table{margin:0;padding:0;border:0 none #000;padding-left:2em;width:100%}}.mw-parser-output .navbox .opis img,.mw-parser-output .navbox .opis .flagicon,.mw-parser-output .navbox>.caption>.flagicon,.mw-parser-output .navbox>.caption>.image{display:none}@media screen{html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox>.caption,html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox>tbody>tr>th{background-color:#3a3c3e}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox .title,html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox>.mw-collapsible-content>.above,html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox>.mw-collapsible-content>.below,html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox .opis{background-color:#303234}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a1,html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox.medaliści .a1 .opis{background:#715f00}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a2,html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox.medaliści .a2 .opis{background:#5f5f5f}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a3,html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox.medaliści .a3 .opis{background:#764617}}@media screen and (prefers-color-scheme:dark){html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox>.caption,html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox>tbody>tr>th{background-color:#3a3c3e}html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox .title,html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox>.mw-collapsible-content>.above,html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox>.mw-collapsible-content>.below,html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox .opis{background-color:#303234}html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a1,html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox.medaliści .a1 .opis{background:#715f00}html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a2,html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox.medaliści .a2 .opis{background:#5f5f5f}html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a3,html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox.medaliści .a3 .opis{background:#764617}}</style><ul class="tnavbar noprint plainlinks hlist"><li><a href="/wiki/Szablon:Sta%C5%82e_matematyczne" title="Szablon:Stałe matematyczne"><span title="Pokaż ten szablon">p</span></a></li><li><a href="/w/index.php?title=Dyskusja_szablonu:Sta%C5%82e_matematyczne&action=edit&redlink=1" class="new" title="Dyskusja szablonu:Stałe matematyczne (strona nie istnieje)"><span title="Dyskusja na temat tego szablonu">d</span></a></li><li title="Możesz edytować ten szablon. Użyj przycisku podglądu przed zapisaniem zmian."><a class="external text" href="https://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Szablon:Sta%C5%82e_matematyczne&action=edit">e</a></li></ul><div class="navbox-title caption"><a href="/wiki/Sta%C5%82a_(matematyka)" title="Stała (matematyka)">Stałe matematyczne</a></div><div class="mw-collapsible-content"><div class="hlist navbox-above above"> <ul><li><a href="/wiki/Sta%C5%82a_(matematyka)" title="Stała (matematyka)">definicja</a></li> <li><a href="/wiki/Lista_sta%C5%82ych_matematycznych" title="Lista stałych matematycznych">lista</a></li></ul> </div><table class="navbox-main-content inner-standard"><tbody><tr class="a1"><th class="navbox-group opis" scope="row">Najważniejsze stałe</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a class="mw-selflink selflink"><span style="font-family: Nimbus Roman No9 L,Times New Roman,Times,serif; font-size: 118%; line-height: 1;">π</span> – stosunek obwodu do średnicy koła</a></li> <li><a href="/wiki/Podstawa_logarytmu_naturalnego" title="Podstawa logarytmu naturalnego"><span style="font-family: Nimbus Roman No9 L,Times New Roman,Times,serif; font-size: 118%; line-height: 1; font-style: italic;">e</span> – podstawa logarytmu naturalnego, liczba Eulera</a></li> <li><a href="/wiki/Z%C5%82oty_podzia%C5%82" title="Złoty podział"><i>φ</i> – złoty podział odcinka</a></li> <li><a href="/wiki/Sta%C5%82a_Eulera" title="Stała Eulera"><i>γ</i> – stała Eulera-Mascheroniego</a></li> <li><a href="/wiki/Sta%C5%82a_Chinczyna" title="Stała Chinczyna"><i>κ</i> – stała Chinczyna</a></li> <li><a href="/wiki/Sta%C5%82a_Ap%C3%A9ry%E2%80%99ego" title="Stała Apéry’ego"><i>A</i> – stała Apéry’ego</a></li> <li><a href="/wiki/Sta%C5%82a_Feigenbauma" title="Stała Feigenbauma"><i>δ</i> – pierwsza stała Feigenbauma</a></li> <li><a href="/wiki/Sta%C5%82a_Feigenbauma" title="Stała Feigenbauma"><i>α</i> – druga stała Feigenbauma</a></li> <li><a href="/wiki/Sta%C5%82a_Catalana" title="Stała Catalana"><i>K</i> – stała Catalana</a></li></ul> </td></tr><tr class="a2"><th class="navbox-group opis" scope="row">Inne stałe</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Sta%C5%82a_de_Bruijna-Newmana" title="Stała de Bruijna-Newmana"><i>Λ</i> – stała de Bruijna-Newmana</a></li> <li><a href="/wiki/Sta%C5%82a_Erd%C5%91sa-Borweina" title="Stała Erdősa-Borweina"><i>E<sub>B</sub></i> – stała Erdősa-Borweina</a></li> <li><a href="/wiki/Sta%C5%82a_Meissela-Mertensa" title="Stała Meissela-Mertensa"><i>M</i> – stała Meissela-Mertensa</a></li> <li><a href="/wiki/Sta%C5%82e_Bruna" title="Stałe Bruna"><i>B</i><sub>2</sub></a>, <a href="/wiki/Sta%C5%82e_Bruna" title="Stałe Bruna"><i>B</i><sub>4</sub></a> – stałe Bruna</li> <li><a href="/wiki/Sta%C5%82a_Legendre%E2%80%99a" title="Stała Legendre’a"><i>B´<sub>L</sub></i> – stała Legendre’a</a></li> <li><a href="/wiki/Sta%C5%82a_Sierpi%C5%84skiego" title="Stała Sierpińskiego"><i>K</i> – stała Sierpińskiego</a></li> <li><a href="/wiki/Hipoteza_liczb_pierwszych_bli%C5%BAniaczych" class="mw-redirect" title="Hipoteza liczb pierwszych bliźniaczych"><i>C</i><sub>2</sub> – stała liczb pierwszych bliźniaczych</a></li></ul> </td></tr><tr class="a3"><th class="navbox-group opis" scope="row">Tematy powiązane</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Wz%C3%B3r_Eulera#Tożsamość_Eulera" title="Wzór Eulera">„Najpiękniejszy wzór matematyki”</a></li> <li><a href="/wiki/Dzie%C5%84_Liczby_Pi" title="Dzień Liczby Pi">Dzień Liczby <i>π</i></a></li> <li><a href="/wiki/Ci%C4%85g_Fibonacciego" title="Ciąg Fibonacciego">Liczby Fibonacciego</a></li> <li><a href="/wiki/Srebrny_podzia%C5%82" title="Srebrny podział"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \delta _{S}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>δ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>S</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta _{S}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec9252698b16f88d1a10a538d3777c6e4c3a95c1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.325ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \delta _{S}}" /></span> – srebrny podział odcinka</a></li> <li><a href="/wiki/Liczba_plastikowa" title="Liczba plastikowa"><i>P</i> – liczba plastikowa</a></li></ul> </td></tr></tbody></table></div></div> <div class="navbox do-not-make-smaller mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="pokaż" data-collapsetext="ukryj"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r75675918" /><ul class="tnavbar noprint plainlinks hlist"><li><a href="/wiki/Szablon:Okr%C4%99gi" title="Szablon:Okręgi"><span title="Pokaż ten szablon">p</span></a></li><li><a href="/w/index.php?title=Dyskusja_szablonu:Okr%C4%99gi&action=edit&redlink=1" class="new" title="Dyskusja szablonu:Okręgi (strona nie istnieje)"><span title="Dyskusja na temat tego szablonu">d</span></a></li><li title="Możesz edytować ten szablon. Użyj przycisku podglądu przed zapisaniem zmian."><a class="external text" href="https://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Szablon:Okr%C4%99gi&action=edit">e</a></li></ul><div class="navbox-title caption"><a href="/wiki/Okr%C4%85g" title="Okrąg">Okręgi</a></div><div class="mw-collapsible-content flex"><table class="navbox-main-content inner-standard"><tbody><tr class="a1"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Relacja_(matematyka)" title="Relacja (matematyka)">relacje</a><br />między</th><td class="navbox-list spis"><table class="inner-standard"><tbody><tr class="a1_1"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Odcinek" title="Odcinek">odcinkiem</a> a okręgiem</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Promie%C5%84_(geometria)" title="Promień (geometria)">promień</a></li> <li><a href="/wiki/Ci%C4%99ciwa" title="Cięciwa">cięciwa</a> <ul><li><a href="/wiki/%C5%9Arednica" title="Średnica">średnica</a></li></ul></li></ul> </td></tr><tr class="a1_2"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Prosta" title="Prosta">prostą</a> a okręgiem</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Styczna" title="Styczna">styczna</a></li> <li><a href="/wiki/Sieczna" title="Sieczna">sieczna</a></li> <li><a href="/wiki/Normalna" title="Normalna">normalna</a></li></ul> </td></tr><tr class="a1_3"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/K%C4%85t" title="Kąt">kątem</a> a okręgiem</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/K%C4%85t_%C5%9Brodkowy" title="Kąt środkowy">kąt środkowy</a></li> <li><a href="/wiki/K%C4%85t_wpisany" title="Kąt wpisany">kąt wpisany</a></li> <li><a href="/wiki/K%C4%85t_dopisany" title="Kąt dopisany">kąt dopisany</a></li></ul> </td></tr><tr class="a1_4"><th class="navbox-group opis" scope="row">okręgiem a <a href="/wiki/Wielok%C4%85t" title="Wielokąt">wielokątem</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Okr%C4%85g_opisany_na_wielok%C4%85cie" title="Okrąg opisany na wielokącie">okrąg opisany na wielokącie</a></li> <li><a href="/wiki/Okr%C4%85g_wpisany" title="Okrąg wpisany">okrąg wpisany</a></li> <li><a href="/wiki/Okr%C4%85g_dopisany" title="Okrąg dopisany">okrąg dopisany</a></li> <li><a href="/wiki/Okr%C4%85g_dziewi%C4%99ciu_punkt%C3%B3w" title="Okrąg dziewięciu punktów">okrąg dziewięciu punktów</a></li></ul> </td></tr><tr class="a1_5"><th class="navbox-group opis" scope="row">okręgiem a parą <a href="/wiki/Punkt" class="mw-disambig" title="Punkt">punktów</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Okr%C4%85g_Apoloniusza" title="Okrąg Apoloniusza">okrąg Apoloniusza</a></li></ul> </td></tr><tr class="a1_6"><th class="navbox-group opis" scope="row">okręgiem a <a href="/wiki/Sfera" title="Sfera">sferą</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Ko%C5%82o_ma%C5%82e" title="Koło małe">okrąg mały</a></li> <li><a href="/wiki/Ko%C5%82o_wielkie" title="Koło wielkie">okrąg wielki</a> <ul><li><a href="/wiki/R%C3%B3wnik" title="Równik">równik</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/R%C3%B3wnole%C5%BCnik" title="Równoleżnik">równoleżnik</a> <ul><li><a href="/wiki/R%C3%B3wnik" title="Równik">równik</a></li></ul></li></ul> </td></tr></tbody></table></td></tr><tr class="a2"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Figura_geometryczna" title="Figura geometryczna">figury</a><br />definiowane<br />okręgami</th><td class="navbox-list spis"><table class="inner-standard"><tbody><tr class="a2_1"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Krzywa" title="Krzywa">krzywe</a> płaskie</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/%C5%81uk_okr%C4%99gu" title="Łuk okręgu">łuk okręgu</a> <ul><li><a href="/wiki/Strza%C5%82ka_%C5%82uku" title="Strzałka łuku">strzałka łuku</a></li> <li><a href="/wiki/P%C3%B3%C5%82okr%C4%85g" title="Półokrąg">półokrąg</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Vesica_piscis" title="Vesica piscis">vesica piscis</a></li> <li><a href="/wiki/Tr%C3%B3jk%C4%85t_Reuleaux" title="Trójkąt Reuleaux">trójkąt Reuleaux</a></li></ul> </td></tr><tr class="a2_2"><th class="navbox-group opis" scope="row">inne figury płaskie</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Ko%C5%82o" title="Koło">koło</a> <ul><li><a href="/wiki/Wycinek_ko%C5%82owy" title="Wycinek kołowy">wycinek kołowy</a></li> <li><a href="/wiki/Odcinek_ko%C5%82a" title="Odcinek koła">odcinek koła</a></li> <li><a href="/wiki/Pier%C5%9Bcie%C5%84_ko%C5%82owy" title="Pierścień kołowy">pierścień kołowy</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Ksi%C4%99%C5%BCyce_Hipokratesa" title="Księżyce Hipokratesa">księżyce Hipokratesa</a></li></ul> </td></tr><tr class="a2_3"><th class="navbox-group opis" scope="row">krzywe sferyczne</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Ortodroma" title="Ortodroma">ortodroma</a> <ul><li><a href="/wiki/Po%C5%82udnik" title="Południk">południk</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Dwuk%C4%85t_sferyczny" title="Dwukąt sferyczny">dwukąt sferyczny</a></li> <li><a href="/wiki/Tr%C3%B3jk%C4%85t_sferyczny" title="Trójkąt sferyczny">trójkąt sferyczny</a> <ul><li><a href="/wiki/Tr%C3%B3jk%C4%85t_eulerowski" title="Trójkąt eulerowski">trójkąt eulerowski</a></li></ul></li></ul> </td></tr><tr class="a2_4"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Powierzchnia" title="Powierzchnia">powierzchnie</a> i <a href="/wiki/Bry%C5%82a_geometryczna" title="Bryła geometryczna">bryły</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Walec_(bry%C5%82a)" title="Walec (bryła)">walec kołowy</a></li> <li><a href="/wiki/Sto%C5%BCek_(bry%C5%82a)" title="Stożek (bryła)">stożek kołowy</a></li> <li><a href="/wiki/Bry%C5%82a_obrotowa" title="Bryła obrotowa">powierzchnie i bryły obrotowe</a></li></ul> </td></tr></tbody></table></td></tr><tr class="a3"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Twierdzenie" title="Twierdzenie">twierdzenia</a></th><td class="navbox-list spis"><table class="inner-standard"><tbody><tr class="a3_1"><th class="navbox-group opis" scope="row">o cięciwach</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Twierdzenie_Talesa_o_k%C4%85cie_wpisanym" title="Twierdzenie Talesa o kącie wpisanym">o kącie wpisanym</a></li> <li><a href="/wiki/K%C4%85t_dopisany" title="Kąt dopisany">o kącie dopisanym</a></li> <li><a href="/wiki/Twierdzenie_Kopernika" title="Twierdzenie Kopernika">Kopernika</a></li> <li><a href="/wiki/Twierdzenie_o_pizzy" title="Twierdzenie o pizzy">o pizzy</a></li> <li><a href="/wiki/Twierdzenie_Salmona" title="Twierdzenie Salmona">Salmona</a></li></ul> </td></tr><tr class="a3_2"><th class="navbox-group opis" scope="row">o stycznych</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/K%C4%85t_dopisany" title="Kąt dopisany">o kącie dopisanym</a></li> <li><a href="/wiki/Twierdzenie_Monge%E2%80%99a" title="Twierdzenie Monge’a">Monge’a</a></li> <li><a href="/wiki/Twierdzenie_Caseya" title="Twierdzenie Caseya">Caseya</a></li></ul> </td></tr></tbody></table></td></tr><tr class="a4"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Problem_naukowy" title="Problem naukowy">problemy</a><br />(zadania)</th><td class="navbox-list spis"><table class="inner-standard"><tbody><tr class="a4_1"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/D%C5%82ugo%C5%9B%C4%87_krzywej" title="Długość krzywej">długości</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Rektyfikacja_okr%C4%99gu" title="Rektyfikacja okręgu">rektyfikacja okręgu</a></li> <li><a class="mw-selflink selflink">pi</a> (π)</li> <li><a href="/wiki/Miara_%C5%82ukowa_k%C4%85ta" title="Miara łukowa kąta">miara łukowa kąta</a> <ul><li><a href="/wiki/Radian" title="Radian">radian</a></li></ul></li></ul> </td></tr><tr class="a4_2"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Pole_powierzchni" title="Pole powierzchni">pola</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Kwadratura_ko%C5%82a" title="Kwadratura koła">kwadratura koła</a></li> <li><a href="/wiki/Kwadratura_ko%C5%82a_Tarskiego" title="Kwadratura koła Tarskiego">kwadratura koła Tarskiego</a></li> <li><a href="/wiki/Metoda_wyczerpywania" title="Metoda wyczerpywania">metoda wyczerpywania</a></li> <li><a href="/wiki/Ca%C5%82ka" title="Całka">całka</a></li></ul> </td></tr><tr class="a4_3"><th class="navbox-group opis" scope="row">inne</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Problem_Apoloniusza" title="Problem Apoloniusza">Apoloniusza</a></li> <li><a href="/wiki/Problem_Napoleona" title="Problem Napoleona">Napoleona</a></li> <li><a href="/wiki/Ko%C5%82o_pakowane_w_okr%C4%85g" title="Koło pakowane w okrąg">koło pakowane w okrąg</a></li></ul> </td></tr></tbody></table></td></tr><tr class="a6"><th class="navbox-group opis" scope="row">opis<br /><a href="/wiki/Geometria_analityczna" title="Geometria analityczna">analityczny</a></th><td class="navbox-list spis"><table class="inner-standard"><tbody><tr class="a6_1"><th class="navbox-group opis" scope="row">kluczowe pojęcie</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Okr%C4%85g_jednostkowy" title="Okrąg jednostkowy">okrąg jednostkowy</a></li></ul> </td></tr><tr class="a6_2"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Uk%C5%82ad_wsp%C3%B3%C5%82rz%C4%99dnych_kartezja%C5%84skich" title="Układ współrzędnych kartezjańskich">układ kartezjański</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Funkcje_trygonometryczne" title="Funkcje trygonometryczne">funkcje trygonometryczne</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcje_cyklometryczne" title="Funkcje cyklometryczne">funkcje cyklometryczne</a></li></ul> </td></tr><tr class="a6_3"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Uk%C5%82ad_wsp%C3%B3%C5%82rz%C4%99dnych_biegunowych" title="Układ współrzędnych biegunowych">układ biegunowy</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Funkcja_sta%C5%82a" title="Funkcja stała">funkcja stała</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_okr%C4%99gu" title="Grupa okręgu">grupa okręgu</a></li></ul> </td></tr></tbody></table></td></tr><tr class="a7"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Narz%C4%99dzie" title="Narzędzie">narzędzia</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Cyrkiel" title="Cyrkiel">cyrkiel</a></li> <li><a href="/wiki/K%C3%B3%C5%82kownik" title="Kółkownik">kółkownik</a></li> <li><a href="/wiki/Ko%C5%82o_(technika)" title="Koło (technika)">koło (technika)</a></li></ul> </td></tr><tr class="a8"><th class="navbox-group opis" scope="row">inne pojęcia</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Pot%C4%99ga_punktu" title="Potęga punktu">potęga punktu</a></li> <li><a href="/wiki/Prosta_pot%C4%99gowa" title="Prosta potęgowa">prosta potęgowa</a></li></ul> </td></tr><tr class="a9"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Uog%C3%B3lnienie" title="Uogólnienie">uogólnienia</a></th><td class="navbox-list spis"><table class="inner-standard"><tbody><tr class="a9_1"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Krzywa" title="Krzywa">krzywe</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Elipsa" title="Elipsa">elipsy</a></li> <li><a href="/wiki/Krzywa_sto%C5%BCkowa" title="Krzywa stożkowa">stożkowe</a></li> <li><a href="/wiki/Superelipsa" title="Superelipsa">superelipsy</a></li> <li><a href="/wiki/Owal_Cassiniego" title="Owal Cassiniego">owale Cassiniego</a></li> <li><a href="/wiki/Figura_o_sta%C5%82ej_szeroko%C5%9Bci" title="Figura o stałej szerokości">figury stałej szerokości</a></li> <li><a href="/wiki/Kontur" title="Kontur">kontury</a></li> <li><a href="/wiki/Krzywa_Jordana" title="Krzywa Jordana">krzywe Jordana</a></li> <li><a href="/wiki/Droga_(topologia)" title="Droga (topologia)">pętle</a></li></ul> </td></tr><tr class="a9_2"><th class="navbox-group opis" scope="row">inne</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Sfera" title="Sfera">sfera</a></li> <li><a href="/wiki/Hipersfera" title="Hipersfera">hipersfera</a></li> <li><a href="/wiki/Torus_(matematyka)" title="Torus (matematyka)">torus</a></li></ul> </td></tr></tbody></table></td></tr><tr class="a10"><th class="navbox-group opis" scope="row">powiązane<br /><a href="/wiki/Nauka" title="Nauka">nauki</a></th><td class="navbox-list spis"><table class="inner-standard"><tbody><tr class="a10_1"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Geometria" title="Geometria">geometria</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Planimetria" title="Planimetria">płaska – planimetria</a></li> <li><a href="/wiki/Geometria_analityczna" title="Geometria analityczna">analityczna</a></li> <li><a href="/wiki/Geometria_euklidesowa" title="Geometria euklidesowa">euklidesowa</a></li></ul> </td></tr><tr class="a10_2"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Algebra" title="Algebra">algebra</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Algebra_abstrakcyjna" title="Algebra abstrakcyjna">abstrakcyjna</a> <ul><li><a href="/wiki/Teoria_grup" title="Teoria grup">teoria grup</a></li></ul></li></ul> </td></tr><tr class="a10_3"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Analiza_matematyczna" title="Analiza matematyczna">analiza</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Analiza_rzeczywista" title="Analiza rzeczywista">rzeczywista</a></li></ul> </td></tr></tbody></table></td></tr><tr class="a11"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Naukowiec" title="Naukowiec">badacze</a></th><td class="navbox-list spis"><table class="inner-standard"><tbody><tr class="a11_1"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Staro%C5%BCytno%C5%9B%C4%87" title="Starożytność">antyczni</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Tales_z_Miletu" title="Tales z Miletu">Tales z Miletu</a></li> <li><a href="/wiki/Archimedes" title="Archimedes">Archimedes</a> z <a href="/wiki/Syrakuzy" title="Syrakuzy">Syrakuz</a></li> <li><a href="/wiki/Apoloniusz_z_Pergi" title="Apoloniusz z Pergi">Apoloniusz z Pergi</a></li> <li><a href="/wiki/Proklos" title="Proklos">Proklos</a></li></ul> </td></tr><tr class="a11_2"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/%C5%9Aredniowiecze" title="Średniowiecze">średniowieczni</a><br />i <a href="/wiki/Nowo%C5%BCytno%C5%9B%C4%87" title="Nowożytność">nowożytni</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Nasir_ad-Din_Tusi" title="Nasir ad-Din Tusi">Nasir ad-Din Tusi</a></li> <li><a href="/wiki/Miko%C5%82aj_Kopernik" title="Mikołaj Kopernik">Mikołaj Kopernik</a></li> <li><a href="/wiki/Ren%C3%A9_Descartes" title="René Descartes">René Descartes</a></li> <li><a href="/wiki/Gaspard_Monge" title="Gaspard Monge">Gaspard Monge</a></li> <li><a href="/wiki/John_Casey" title="John Casey">John Casey</a></li> <li><a href="/wiki/Alfred_Tarski" title="Alfred Tarski">Alfred Tarski</a></li></ul> </td></tr></tbody></table></td></tr></tbody></table><div class="navbox-after after"> <p><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Plik:Cirklo.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f2/Cirklo.svg/120px-Cirklo.svg.png" decoding="async" width="80" height="80" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f2/Cirklo.svg/250px-Cirklo.svg.png 2x" data-file-width="402" data-file-height="402" /></a></span><br /><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Plik:Circle_as_Lie_group.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/82/Circle_as_Lie_group.svg/120px-Circle_as_Lie_group.svg.png" decoding="async" width="100" height="100" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/82/Circle_as_Lie_group.svg/250px-Circle_as_Lie_group.svg.png 1.5x" data-file-width="512" data-file-height="512" /></a></span> </p> </div></div></div> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r75562624">.mw-parser-output #normdaten>div+div{margin-top:0.5em}.mw-parser-output #normdaten>div>div{background:var(--background-color-neutral,#eaecf0);padding:.2em .5em}.mw-parser-output #normdaten ul{margin:0;padding:0}.mw-parser-output #normdaten ul li:first-child{padding-left:.5em;border-left:1px solid var(--border-color-base,#a2a9b1)}</style> <div id="normdaten" class="catlinks"><div class="normdaten-typ-fehlt"><div><a href="/wiki/Kontrola_autorytatywna" title="Kontrola autorytatywna">Kontrola autorytatywna</a> (<span class="description"><a href="/wiki/Liczba_przest%C4%99pna" title="Liczba przestępna">liczba przestępna</a></span>):</div><ul><li><a href="/wiki/Library_of_Congress_Control_Number" title="Library of Congress Control Number">LCCN</a>: <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://lccn.loc.gov/sh85101712">sh85101712</a></span></li><li><a href="/wiki/Gemeinsame_Normdatei" title="Gemeinsame Normdatei">GND</a>: <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://d-nb.info/gnd/4174646-6">4174646-6</a></span></li><li><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Web_NDL_Authorities" class="extiw" title="de:Web NDL Authorities">NDL</a>: <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://id.ndl.go.jp/auth/ndlna/00562015">00562015</a></span></li><li><a href="/wiki/Centralna_Biblioteka_Narodowa_we_Florencji" title="Centralna Biblioteka Narodowa we Florencji">BNCF</a>: <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://thes.bncf.firenze.sbn.it/termine.php?id=6838">6838</a></span></li><li><a href="/wiki/Biblioteka_Narodowa_Republiki_Czeskiej" title="Biblioteka Narodowa Republiki Czeskiej">NKC</a>: <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://aleph.nkp.cz/F/?func=find-c&local_base=aut&ccl_term=ica=ph117728">ph117728</a></span></li><li><a href="/wiki/Hiszpa%C5%84ska_Biblioteka_Narodowa" title="Hiszpańska Biblioteka Narodowa">BNE</a>: <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://catalogo.bne.es/uhtbin/authoritybrowse.cgi?action=display&authority_id=XX536170">XX536170</a></span></li><li><a href="/wiki/Biblioteka_Narodowa_Izraela" title="Biblioteka Narodowa Izraela">J9U</a>: <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.nli.org.il/en/authorities/987007546007205171">987007546007205171</a></span></li></ul></div><div class="normdaten-andere"><div><a href="/wiki/Encyklopedia_internetowa" title="Encyklopedia internetowa">Encyklopedie internetowe</a>:</div> <ul><li><a href="/wiki/Encyklopedia_PWN_(internetowa)" title="Encyklopedia PWN (internetowa)">PWN</a>: <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://encyklopedia.pwn.pl/haslo/;3956528.html">3956528</a></span></li> <li><a href="/wiki/Encyklopedia_Britannica" title="Encyklopedia Britannica">Britannica</a>: <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.britannica.com/topic/pi-mathematics">topic/pi-mathematics</a></span></li> <li><a href="/wiki/Enciclopedia_Treccani" title="Enciclopedia Treccani">Treccani</a>: <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.treccani.it/enciclopedia/pi-greco">pi-greco</a></span></li> <li><a href="/wiki/Wielka_Encyklopedia_Rosyjska" title="Wielka Encyklopedia Rosyjska">БРЭ</a>: <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://old.bigenc.ru/text/4687097">4687097</a></span></li> <li><a href="/wiki/Nationalencyklopedin" title="Nationalencyklopedin">NE.se</a>: <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.ne.se/uppslagsverk/encyklopedi/lång/pi">pi</a></span></li> <li><a href="/wiki/Store_norske_leksikon" title="Store norske leksikon">SNL</a>: <span class="uid"><a class="external text" href="https://wikidata-externalid-url.toolforge.org/?p=4342&url_prefix=https://snl.no/&id=pi">pi</a></span></li> <li><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Property:P1296" class="extiw" title="d:Property:P1296">Catalana</a>: <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.enciclopedia.cat/ec-gec-0153762.xml">0153762</a></span></li></ul> </div></div></div><noscript><img src="https://auth.wikimedia.org/loginwiki/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?useformat=desktop&type=1x1&usesul3=1" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Źródło: „<a dir="ltr" href="https://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Pi&oldid=76225318">https://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Pi&oldid=76225318</a>”</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/Specjalna:Kategorie" title="Specjalna:Kategorie">Kategorie</a>: <ul><li><a href="/wiki/Kategoria:Sta%C5%82e_matematyczne" title="Kategoria:Stałe matematyczne">Stałe matematyczne</a></li><li><a href="/wiki/Kategoria:Okr%C4%99gi_(geometria)" title="Kategoria:Okręgi (geometria)">Okręgi (geometria)</a></li><li><a href="/wiki/Kategoria:Analiza_rzeczywista" title="Kategoria:Analiza rzeczywista">Analiza rzeczywista</a></li><li><a href="/wiki/Kategoria:Oznaczenia_matematyczne" title="Kategoria:Oznaczenia matematyczne">Oznaczenia matematyczne</a></li></ul></div><div id="mw-hidden-catlinks" class="mw-hidden-catlinks mw-hidden-cats-hidden">Ukryte kategorie: <ul><li><a href="/wiki/Kategoria:Uniwersalny_szablon_cytowania_%E2%80%93_brak_strony" title="Kategoria:Uniwersalny szablon cytowania – brak strony">Uniwersalny szablon cytowania – brak strony</a></li><li><a href="/wiki/Kategoria:Szablony_cytowania_%E2%80%93_problemy_%E2%80%93_cytuj_%E2%80%93_strona_g%C5%82%C3%B3wna" title="Kategoria:Szablony cytowania – problemy – cytuj – strona główna">Szablony cytowania – problemy – cytuj – strona główna</a></li></ul></div></div> </div> </main> </div> <div class="mw-footer-container"> <footer id="footer" class="mw-footer" > <ul id="footer-info"> <li id="footer-info-lastmod"> Tę stronę ostatnio edytowano 14 mar 2025, 14:45.</li> <li id="footer-info-copyright">Tekst udostępniany na licencji <a rel="nofollow" class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.pl">Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach</a>, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Zobacz szczegółowe informacje o <a class="external text" href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Policy:Terms_of_Use/pl">warunkach korzystania</a>.</li> </ul> <ul id="footer-places"> <li id="footer-places-privacy"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Privacy_policy">Polityka prywatności</a></li> <li id="footer-places-about"><a href="/wiki/Wikipedia:O_Wikipedii">O Wikipedii</a></li> <li id="footer-places-disclaimers"><a href="/wiki/Wikipedia:Korzystasz_z_Wikipedii_tylko_na_w%C5%82asn%C4%85_odpowiedzialno%C5%9B%C4%87">Korzystasz z Wikipedii tylko na własną odpowiedzialność</a></li> <li id="footer-places-wm-codeofconduct"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Universal_Code_of_Conduct">Powszechne Zasady Postępowania</a></li> <li id="footer-places-developers"><a href="https://developer.wikimedia.org">Dla deweloperów</a></li> <li id="footer-places-statslink"><a href="https://stats.wikimedia.org/#/pl.wikipedia.org">Statystyki</a></li> <li id="footer-places-cookiestatement"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Cookie_statement">Oświadczenie o ciasteczkach</a></li> <li id="footer-places-mobileview"><a href="//pl.m.wikipedia.org/w/index.php?title=Pi&mobileaction=toggle_view_mobile" class="noprint stopMobileRedirectToggle">Wersja mobilna</a></li> </ul> <ul id="footer-icons" class="noprint"> <li id="footer-copyrightico"><a href="https://www.wikimedia.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><picture><source media="(min-width: 500px)" srcset="/static/images/footer/wikimedia-button.svg" width="84" height="29"><img src="/static/images/footer/wikimedia.svg" width="25" height="25" alt="Wikimedia Foundation" lang="en" loading="lazy"></picture></a></li> <li id="footer-poweredbyico"><a href="https://www.mediawiki.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><picture><source media="(min-width: 500px)" srcset="/w/resources/assets/poweredby_mediawiki.svg" width="88" height="31"><img src="/w/resources/assets/mediawiki_compact.svg" alt="Powered by MediaWiki" lang="en" width="25" height="25" loading="lazy"></picture></a></li> </ul> </footer> </div> </div> </div> <div class="vector-header-container vector-sticky-header-container"> <div id="vector-sticky-header" class="vector-sticky-header"> <div class="vector-sticky-header-start"> <div class="vector-sticky-header-icon-start vector-button-flush-left vector-button-flush-right" aria-hidden="true"> <button class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-sticky-header-search-toggle" tabindex="-1" data-event-name="ui.vector-sticky-search-form.icon"><span class="vector-icon mw-ui-icon-search mw-ui-icon-wikimedia-search"></span> <span>Szukaj</span> </button> </div> <div role="search" class="vector-search-box-vue vector-search-box-show-thumbnail vector-search-box"> <div class="vector-typeahead-search-container"> <div class="cdx-typeahead-search cdx-typeahead-search--show-thumbnail"> <form action="/w/index.php" id="vector-sticky-search-form" class="cdx-search-input cdx-search-input--has-end-button"> <div class="cdx-search-input__input-wrapper" data-search-loc="header-moved"> <div class="cdx-text-input cdx-text-input--has-start-icon"> <input class="cdx-text-input__input" type="search" name="search" placeholder="Przeszukaj Wikipedię"> <span class="cdx-text-input__icon cdx-text-input__start-icon"></span> </div> <input type="hidden" name="title" value="Specjalna:Szukaj"> </div> <button class="cdx-button cdx-search-input__end-button">Szukaj</button> </form> </div> </div> </div> <div class="vector-sticky-header-context-bar"> <nav aria-label="Spis treści" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-sticky-header-toc" class="vector-dropdown mw-portlet mw-portlet-sticky-header-toc vector-sticky-header-toc vector-button-flush-left" > <input type="checkbox" id="vector-sticky-header-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-sticky-header-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Przełącz stan spisu treści" > <label id="vector-sticky-header-toc-label" for="vector-sticky-header-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-listBullet mw-ui-icon-wikimedia-listBullet"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Przełącz stan spisu treści</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-sticky-header-toc-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <div class="vector-sticky-header-context-bar-primary" aria-hidden="true" ><span class="mw-page-title-main">Pi</span></div> </div> </div> <div class="vector-sticky-header-end" aria-hidden="true"> <div class="vector-sticky-header-icons"> <a href="#" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only" id="ca-talk-sticky-header" tabindex="-1" data-event-name="talk-sticky-header"><span class="vector-icon mw-ui-icon-speechBubbles mw-ui-icon-wikimedia-speechBubbles"></span> <span></span> </a> <a href="#" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only" id="ca-subject-sticky-header" tabindex="-1" data-event-name="subject-sticky-header"><span class="vector-icon mw-ui-icon-article mw-ui-icon-wikimedia-article"></span> <span></span> </a> <a href="#" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only" id="ca-history-sticky-header" tabindex="-1" data-event-name="history-sticky-header"><span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-history mw-ui-icon-wikimedia-wikimedia-history"></span> <span></span> </a> <a href="#" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only mw-watchlink" id="ca-watchstar-sticky-header" tabindex="-1" data-event-name="watch-sticky-header"><span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-star mw-ui-icon-wikimedia-wikimedia-star"></span> <span></span> </a> <a href="#" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only" id="ca-ve-edit-sticky-header" tabindex="-1" data-event-name="ve-edit-sticky-header"><span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-edit mw-ui-icon-wikimedia-wikimedia-edit"></span> <span></span> </a> <a href="#" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only" id="ca-edit-sticky-header" tabindex="-1" data-event-name="wikitext-edit-sticky-header"><span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-wikiText mw-ui-icon-wikimedia-wikimedia-wikiText"></span> <span></span> </a> <a href="#" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only" id="ca-viewsource-sticky-header" tabindex="-1" data-event-name="ve-edit-protected-sticky-header"><span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-editLock mw-ui-icon-wikimedia-wikimedia-editLock"></span> <span></span> </a> </div> <div class="vector-sticky-header-buttons"> <button class="cdx-button cdx-button--weight-quiet mw-interlanguage-selector" id="p-lang-btn-sticky-header" tabindex="-1" data-event-name="ui.dropdown-p-lang-btn-sticky-header"><span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-language mw-ui-icon-wikimedia-wikimedia-language"></span> <span>163 języki</span> </button> <a href="#" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive" id="ca-addsection-sticky-header" tabindex="-1" data-event-name="addsection-sticky-header"><span class="vector-icon mw-ui-icon-speechBubbleAdd-progressive mw-ui-icon-wikimedia-speechBubbleAdd-progressive"></span> <span>Dodaj temat</span> </a> </div> <div class="vector-sticky-header-icon-end"> <div class="vector-user-links"> </div> </div> </div> </div> </div> <div class="mw-portlet mw-portlet-dock-bottom emptyPortlet" id="p-dock-bottom"> <ul> </ul> </div> <script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.config.set({"wgHostname":"mw-web.codfw.main-6f7c94ff49-8svq2","wgBackendResponseTime":308,"wgPageParseReport":{"limitreport":{"cputime":"0.640","walltime":"0.946","ppvisitednodes":{"value":8355,"limit":1000000},"postexpandincludesize":{"value":107104,"limit":2097152},"templateargumentsize":{"value":9746,"limit":2097152},"expansiondepth":{"value":13,"limit":100},"expensivefunctioncount":{"value":3,"limit":500},"unstrip-depth":{"value":0,"limit":20},"unstrip-size":{"value":47882,"limit":5000000},"entityaccesscount":{"value":8,"limit":500},"timingprofile":["100.00% 633.216 1 -total"," 37.95% 240.303 1 Szablon:Kontrola_autorytatywna"," 20.68% 130.944 1 Szablon:Przypisy"," 20.39% 129.099 10 Szablon:Szablon_nawigacyjny"," 16.63% 105.280 1 Szablon:Stałe_matematyczne"," 7.27% 46.057 8 Szablon:Cytuj_stronę"," 6.16% 39.011 8 Szablon:Cytuj"," 5.82% 36.843 4 Szablon:Cytuj_książkę"," 4.27% 27.009 1 Szablon:Inne_znaczenia"," 3.81% 24.127 1 Szablon:Pismo_Delta"]},"scribunto":{"limitreport-timeusage":{"value":"0.327","limit":"10.000"},"limitreport-memusage":{"value":4570553,"limit":52428800},"limitreport-logs":"required = table#1 {\n}\nrequired = table#1 {\n}\next = nil\next = false\next = nil\nrequired = table#1 {\n}\next = nil\next = false\next = nil\nrequired = table#1 {\n}\nrequired = table#1 {\n}\nrequired = table#1 {\n}\nrequired = table#1 {\n}\nrequired = table#1 {\n}\nrequired = table#1 {\n}\njournalAbbr = \"The American Mathematical Monthly\"\next = nil\next = false\next = false\nrequired = table#1 {\n}\nrequired = table#1 {\n}\nrequired = table#1 {\n}\next = nil\next = false\next = nil\nrequired = table#1 {\n}\nrequired = table#1 {\n}\nrequired = table#1 {\n}\nrequired = table#1 {\n}\nrequired = table#1 {\n}\njournalAbbr = \"Przekrój\"\next = nil\next = false\next = false\nrequired = table#1 {\n}\nrequired = table#1 {\n}\next = nil\next = false\next = nil\nrequired = table#1 {\n}\next = nil\next = false\next = nil\nrequired = table#1 {\n}\next = nil\next = false\next = nil\nrequired = table#1 {\n}\nrequired = table#1 {\n}\nrequired = table#1 {\n}\n\n== Szablon:Szablon nawigacyjny ==\n\n\n== Szablon:Szablon nawigacyjny ==\n\n\n== Szablon:Szablon nawigacyjny ==\n\n\n== Szablon:Szablon nawigacyjny ==\n\n\n== Szablon:Szablon nawigacyjny ==\n\n\n== Szablon:Szablon nawigacyjny ==\n\n\n== Szablon:Szablon nawigacyjny ==\n\n\n== Szablon:Szablon nawigacyjny ==\n\n\n== Szablon:Szablon nawigacyjny ==\n\n\n== Szablon:Szablon nawigacyjny ==\n\nrequired = table#1 {\n}\n"},"cachereport":{"origin":"mw-web.codfw.main-6f7c94ff49-lrm6f","timestamp":"20250410063128","ttl":2592000,"transientcontent":false}}});});</script> <script type="application/ld+json">{"@context":"https:\/\/schema.org","@type":"Article","name":"Pi","url":"https:\/\/pl.wikipedia.org\/wiki\/Pi","sameAs":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q167","mainEntity":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q167","author":{"@type":"Organization","name":"Wsp\u00f3\u0142tw\u00f3rcy projekt\u00f3w Fundacji Wikimedia"},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Wikimedia Foundation, Inc.","logo":{"@type":"ImageObject","url":"https:\/\/www.wikimedia.org\/static\/images\/wmf-hor-googpub.png"}},"datePublished":"2002-08-02T12:09:00Z","headline":"sta\u0142a matematyczna r\u00f3wna stosunkowi d\u0142ugo\u015bci okr\u0119gu do jego \u015brednicy, oko\u0142o 3,14"}</script> </body> </html>

CINXE.COM

Pi – Wikipedia, wolna encyklopedia