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id="t-wikibase" class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikibase-dataitem mw-list-item"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q23835349" title="Collegamento all'elemento connesso dell'archivio dati [g]" accesskey="g"><span>Elemento Wikidata</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> </div> <div class="vector-column-end"> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Strumenti pagine"> <div id="vector-page-tools-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Aspetto"> <div id="vector-appearance-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-appearance" class="vector-appearance vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-appearance-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="appearance-pinned" data-pinnable-element-id="vector-appearance" 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permessi necessari per modificare questa pagina, per il seguente motivo: </p> <div class="permissions-errors"><div class="mw-permissionerror-globalblocking-blockedtext-range"><b>Il tuo indirizzo IP è in un intervallo che è stato <a href="https://meta.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Global_blocks" class="extiw" title="m:Special:MyLanguage/Global blocks">bloccato su tutti i wiki della Wikimedia Foundation</a>.</b> <p>Il blocco è stato eseguito da <a href="/wiki/Utente:Jon_Kolbert" title="Utente:Jon Kolbert">‪Jon Kolbert‬</a>. 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La relazione con i coefficienti binomiali è: :<math>F_n =\sum_{k=0}^{n-1} {n-k-1 \choose k} = \sum_{k=1}^{n} {n-k \choose k-1}.</math> === Numeri di Fibonacci e fattori comuni === Se <math>n \mid m</math>, allora <math>F_n \mid F_m</math>, cioè ogni multiplo <math>nk</math> di <math>n</math> individua un numero di Fibonacci <math>F_{nk}</math> multiplo di <math>F_n</math>. Visivamente, si può costruire una tabella mettendo "x" se <math>F_n</math> non è un divisore di <math>F_i</math>: <pre> i 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 F(i) 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 F(3)=2 x x x x x x F(4)=3 x x x x x x x F(5)=5 x x x x x x x x </pre> Da cui si vede che <math>2</math> è un fattore di <math>F_{3n}</math> per ogni <math>n</math>, <math>3</math> è un fattore di <math>F_{4n}</math> per ogni <math>n</math>, <math>5</math> è un fattore di <math>F_{5n}</math> per ogni <math>n</math>, e così via. La dimostrazione segue dai coefficienti binomiali :<math>F_k =\sum_{i=1}^{k-1} {k-i \choose i-1} = m,</math> :<math>F_{nk} =\sum_{i=1}^{nk-1} {nk-i \choose i-1} = t.</math> === Numeri di Fibonacci vicini === Due numeri di Fibonacci consecutivi <math>F_n,F_{n+1}</math> non hanno fattori comuni, cioè sono [[coprimi]]. Infatti, sia <math>F_n=ma</math> e <math> F_{n+1}=mb</math> per qualche <math>n</math>, in cui <math>m</math> è un divisore comune. Si ha <math>F_{n-1}=F_{n+1}-F_n=m(b-a)</math>, cioè anche <math>F_{n-1}</math> ha <math>m</math> come divisore e, proseguendo il ragionamento per i termini precedenti <math>F_{n-2}, F_{n-3},\dots</math>, si arriva che anche <math>F_1=1</math> ha <math>m</math> come divisore, quindi <math>m=1</math> === Numeri di Fibonacci primi === Dato che <math>F_{nm}</math> è divisibile per <math>F_n</math> e <math>F_m</math>, se un numero <math>F_k</math> è primo, anche <math>k</math> è primo, fatta eccezione per <math>F_4=3</math>. Non è vero il contrario. Infatti ad esempio <math>19</math> è primo, mentre <math>F_{19}=113\cdot37=4181</math> non è primo. Il più grande numero di Fibonacci primo noto <math>F_{81839}</math> è stato segnalato in aprile 2001 da David Broadbent e Bouk de Water. La serie di numeri indice dei numeri primi di Fibonacci è la sequenza [[OEIS:A001605|A001605]]. === Teorema di Carmichael e fattori primi caratteristici === Per ogni <math>n>12</math>, esiste un fattore [[numero primo|primo]] del numero di Fibonacci <math>F_n</math> che non è mai apparso come fattore dei numeri di Fibonacci <math>F_k</math>, con <math>k<n.</math> Questo teorema è noto come [[teorema di Carmichael]]. Per <math>n\leq 12</math> si hanno i seguenti casi particolari: :<math>F_1=1</math> (non ha fattori primi); :<math>F_2=1</math> (non ha fattori primi); :<math>F_6=8</math>, che ha solo il fattore primo <math>2</math>, che è anche <math>F_3</math>; :<math>F_{12}=144</math>, che ha solo i fattori <math>2</math> e <math>3</math>, come i suoi fattori primi e questi sono apparsi in precedenza come <math>F_3=2</math> e <math>F_4=3</math>. Si noti che questo non significa che <math>F_p</math> deve essere un numero primo per ogni <math>p</math> primo. Ad esempio <math>F_{19} = 4181 = 37 \times 113</math>, dove <math>19</math> è un numero primo, ma <math>F_{19}</math> no. I fattori primi di un numero di Fibonacci <math>F_n</math> che non dividono nessun numero di Fibonacci precedente sono detti ''fattori caratteristici'' o ''divisori primi primitivi''. Un fattore primitivo di <math>F_n</math> è congruente a <math> -1 \mod n </math>, con l'eccezione <math>n=5</math>. Se <math> n \equiv 3 \mod 10 </math> e <math>n</math> è un divisore primitivo di <math>F_{n+1}</math>, allora <math>n</math> è primo. Se <math> n \equiv 1 \, \bmod 10 </math> e <math>n</math> è un divisore primitivo di <math>F_{n-1}</math>, allora <math>n</math> è primo (questo teorema è stato citato per la prima volta da [[Édouard Lucas]], ma non dimostrato). === Proprietà di divisibilità === I numeri di Fibonacci godono in generale delle seguenti proprietà di divisibilità: * se <math>m \mid k</math> allora <math>F_m\mid F_k,</math> dove il simbolo <math>x\mid y</math> significa che <math>x</math> è un divisore di <math>y.</math> Un altro risultato è il seguente: scelti <math>n+1</math> numeri di Fibonacci da un insieme <math>F_1, F_2, F_3, \ldots, F_{2n}</math>, allora uno dei numeri scelti divide un altro esattamente (Weinstein 1966). Mihàly Bencze trovò una nuova proprietà di divisibilità con una nuova sequenza. La sequenza ha i primi quattro valori fissati e la regola <math>B(n+4) = B(n+1) + B(n).</math> {| class="wikitable" |- ! n | width="20" | 0 | width="20"| 1 | width="20"| 2 | width="20"| 3 | width="20"| 4 | width="20"| 5 | width="20"| 6 | width="20"| 7 | width="20"| 8 | width="20"| 9 | width="20"| 10 | width="20"| 11 | width="20"| 12 | width="20"| 13 |- ! B(n) | 4 | 0 | 0 | 3 | 4 | 0 | 3 | 7 | 4 | 3 | 10 | 11 | 7 | 13 |} Ora si osserva che <math>B(n)</math> è sempre divisibile per <math>n</math>, quando <math>n</math> è un numero primo (Bencze 1998). === Primalità === Se <math>p</math> è un numero primo maggiore di <math>7</math> e <math>p \equiv 2 \, \bmod 5</math> oppure <math>p \equiv 4 \, \bmod 5</math> e <math>2p-1</math> è un numero primo (una condizione che ricorda quella sulla primalità di Sophie Germain), allora <math>(2p-1) \mid F_p</math>, quindi <math>F_p</math> è composto. Se <math>p</math> è primo, allora <math>F_p^n</math> non è un quadrato perfetto ad eccezione di <math>p=5</math>, nel qual caso però è <math>F_5^n = 5^m</math>, con <math>m</math> non [[quadrato perfetto]]. === Relazioni con il massimo comun divisore e la divisibilità === Un'importante proprietà dei numeri di Fibonacci riguarda il loro [[massimo comun divisore]]. Infatti è soddisfatta l'identità :<math>\mathrm{MCD}(F_n,F_m)=F_{\mathrm{MCD}(n,m)}</math> (teorema di Vorob'ev). Da questo segue che <math>F_n</math> è divisibile per <math>F_m</math> se e solo se <math>n</math> è divisibile per <math>m</math>. Questa proprietà è importante perché ne segue che un numero di Fibonacci <math>F_n</math> può essere un [[numero primo]] solamente se <math>n</math> stesso è un numero primo, con l'unica eccezione di <math>F_4=3</math> (l'unico numero di Fibonacci per cui potrebbe essere divisibile è <math>F_2=1</math>).<ref>La sequenza {{cita testo|url=https://oeis.org/A005478|titolo=A005478}} dell'[[OEIS]] elenca i primi numeri primi presenti nella successione di Fibonacci; la sequenza {{cita testo|url=https://oeis.org/A001605|titolo=A001605}} ne elenca invece gli indici</ref> Il viceversa tuttavia non è vero: <math>F_{19}</math>, ad esempio, è uguale a <math>4181=37\cdot 113</math>. Non è noto se i numeri primi che sono anche numeri di Fibonacci siano o meno infiniti. Inoltre si può dimostrare che ogni numero primo divide almeno uno, e di conseguenza infiniti, numeri di Fibonacci. </textarea><div class="templatesUsed"></div><p id="mw-returnto">Torna a <a href="/wiki/Successione_di_Fibonacci" title="Successione di Fibonacci">Successione di Fibonacci</a>.</p> <noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?useformat=desktop&type=1x1&usesul3=0" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Estratto da "<a dir="ltr" href="https://it.wikipedia.org/wiki/Successione_di_Fibonacci">https://it.wikipedia.org/wiki/Successione_di_Fibonacci</a>"</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks catlinks-allhidden" data-mw="interface"></div> </div> </main> </div> <div class="mw-footer-container"> <footer id="footer" class="mw-footer" > <ul id="footer-info"> </ul> <ul id="footer-places"> <li id="footer-places-privacy"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Privacy_policy/it">Informativa sulla privacy</a></li> <li id="footer-places-about"><a href="/wiki/Wikipedia:Sala_stampa/Wikipedia">Informazioni su Wikipedia</a></li> <li id="footer-places-disclaimers"><a href="/wiki/Wikipedia:Avvertenze_generali">Avvertenze</a></li> <li id="footer-places-wm-codeofconduct"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Universal_Code_of_Conduct">Codice di condotta</a></li> <li id="footer-places-developers"><a href="https://developer.wikimedia.org">Sviluppatori</a></li> <li id="footer-places-statslink"><a href="https://stats.wikimedia.org/#/it.wikipedia.org">Statistiche</a></li> <li id="footer-places-cookiestatement"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Cookie_statement">Dichiarazione sui cookie</a></li> <li id="footer-places-mobileview"><a href="//it.m.wikipedia.org/w/index.php?title=Successione_di_Fibonacci&action=edit&section=4&mobileaction=toggle_view_mobile" class="noprint stopMobileRedirectToggle">Versione mobile</a></li> </ul> <ul id="footer-icons" class="noprint"> <li id="footer-copyrightico"><a href="https://wikimediafoundation.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/static/images/footer/wikimedia-button.svg" width="84" height="29" alt="Wikimedia Foundation" loading="lazy"></a></li> <li id="footer-poweredbyico"><a href="https://www.mediawiki.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/w/resources/assets/poweredby_mediawiki.svg" alt="Powered by MediaWiki" width="88" height="31" loading="lazy"></a></li> </ul> </footer> </div> </div> </div> <div class="vector-settings" id="p-dock-bottom"> <ul></ul> </div><script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.config.set({"wgHostname":"mw-web.codfw.main-66c5b56c76-bw6b6","wgBackendResponseTime":145,"wgPageParseReport":{"limitreport":{"cputime":"0.004","walltime":"0.005","ppvisitednodes":{"value":17,"limit":1000000},"postexpandincludesize":{"value":803,"limit":2097152},"templateargumentsize":{"value":0,"limit":2097152},"expansiondepth":{"value":2,"limit":100},"expensivefunctioncount":{"value":0,"limit":500},"unstrip-depth":{"value":0,"limit":20},"unstrip-size":{"value":0,"limit":5000000},"entityaccesscount":{"value":0,"limit":400},"timingprofile":["100.00% 0.000 1 -total"]},"cachereport":{"origin":"mw-web.codfw.main-66c5b56c76-bw6b6","timestamp":"20241212034356","ttl":2592000,"transientcontent":false}}});});</script> </body> </html>