Vektora produto - Vikipedio

<!DOCTYPE html> <html class="client-nojs vector-feature-language-in-header-enabled vector-feature-language-in-main-page-header-disabled vector-feature-sticky-header-disabled vector-feature-page-tools-pinned-disabled vector-feature-toc-pinned-clientpref-1 vector-feature-main-menu-pinned-disabled vector-feature-limited-width-clientpref-1 vector-feature-limited-width-content-enabled vector-feature-custom-font-size-clientpref-1 vector-feature-appearance-pinned-clientpref-1 vector-feature-night-mode-disabled skin-theme-clientpref-day vector-toc-available" lang="eo" dir="ltr"> <head> <meta charset="UTF-8"> <title>Vektora produto - Vikipedio</title> <script>(function(){var className="client-js vector-feature-language-in-header-enabled vector-feature-language-in-main-page-header-disabled vector-feature-sticky-header-disabled vector-feature-page-tools-pinned-disabled vector-feature-toc-pinned-clientpref-1 vector-feature-main-menu-pinned-disabled vector-feature-limited-width-clientpref-1 vector-feature-limited-width-content-enabled vector-feature-custom-font-size-clientpref-1 vector-feature-appearance-pinned-clientpref-1 vector-feature-night-mode-disabled skin-theme-clientpref-day vector-toc-available";var cookie=document.cookie.match(/(?:^|; )eowikimwclientpreferences=([^;]+)/);if(cookie){cookie[1].split('%2C').forEach(function(pref){className=className.replace(new RegExp('(^| )'+pref.replace(/-clientpref-\w+$|[^\w-]+/g,'')+'-clientpref-\\w+( |$)'),'$1'+pref+'$2');});}document.documentElement.className=className;}());RLCONF={"wgBreakFrames":false,"wgSeparatorTransformTable":[",\t."," \t,"],"wgDigitTransformTable":["",""], "wgDefaultDateFormat":"dmy","wgMonthNames":["","januaro","februaro","marto","aprilo","majo","junio","julio","aŭgusto","septembro","oktobro","novembro","decembro"],"wgRequestId":"76f6b892-d132-470e-9e66-f36c4abee795","wgCanonicalNamespace":"","wgCanonicalSpecialPageName":false,"wgNamespaceNumber":0,"wgPageName":"Vektora_produto","wgTitle":"Vektora produto","wgCurRevisionId":8572746,"wgRevisionId":8572746,"wgArticleId":228972,"wgIsArticle":true,"wgIsRedirect":false,"wgAction":"view","wgUserName":null,"wgUserGroups":["*"],"wgCategories":["Listo de arkivitaj paĝoj de Retarkivo","Abstrakta algebro","Lineara algebro","Dulokaj operacioj"],"wgPageViewLanguage":"eo","wgPageContentLanguage":"eo","wgPageContentModel":"wikitext","wgRelevantPageName":"Vektora_produto","wgRelevantArticleId":228972,"wgIsProbablyEditable":true,"wgRelevantPageIsProbablyEditable":true,"wgRestrictionEdit":[],"wgRestrictionMove":[],"wgNoticeProject":"wikipedia","wgCiteReferencePreviewsActive":true,"wgFlaggedRevsParams": {"tags":{"accuracy":{"levels":1}}},"wgStableRevisionId":8572746,"wgMediaViewerOnClick":true,"wgMediaViewerEnabledByDefault":true,"wgPopupsFlags":0,"wgVisualEditor":{"pageLanguageCode":"eo","pageLanguageDir":"ltr","pageVariantFallbacks":"eo"},"wgMFDisplayWikibaseDescriptions":{"search":true,"watchlist":true,"tagline":true,"nearby":true},"wgWMESchemaEditAttemptStepOversample":false,"wgWMEPageLength":10000,"wgRelatedArticlesCompat":[],"wgCentralAuthMobileDomain":false,"wgEditSubmitButtonLabelPublish":true,"wgULSPosition":"interlanguage","wgULSisCompactLinksEnabled":false,"wgVector2022LanguageInHeader":true,"wgULSisLanguageSelectorEmpty":false,"wgWikibaseItemId":"Q178192","wgCheckUserClientHintsHeadersJsApi":["brands","architecture","bitness","fullVersionList","mobile","model","platform","platformVersion"],"GEHomepageSuggestedEditsEnableTopics":true,"wgGETopicsMatchModeEnabled":false,"wgGEStructuredTaskRejectionReasonTextInputEnabled":false,"wgGELevelingUpEnabledForUser":false};RLSTATE={ "ext.gadget.niceInfoboxes":"ready","ext.globalCssJs.user.styles":"ready","site.styles":"ready","user.styles":"ready","ext.globalCssJs.user":"ready","user":"ready","user.options":"loading","ext.math.styles":"ready","skins.vector.search.codex.styles":"ready","skins.vector.styles":"ready","skins.vector.icons":"ready","ext.flaggedRevs.basic":"ready","mediawiki.codex.messagebox.styles":"ready","ext.wikimediamessages.styles":"ready","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript":"ready","ext.uls.interlanguage":"ready","wikibase.client.init":"ready","ext.wikimediaBadges":"ready"};RLPAGEMODULES=["mediawiki.page.media","site","mediawiki.page.ready","mediawiki.toc","skins.vector.js","ext.centralNotice.geoIP","ext.centralNotice.startUp","ext.flaggedRevs.advanced","ext.gadget.Rekta-ligilo-al-Komunejo","ext.gadget.DocTabs","ext.urlShortener.toolbar","ext.centralauth.centralautologin","mmv.bootstrap","ext.popups","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.init","ext.visualEditor.targetLoader", "ext.echo.centralauth","ext.eventLogging","ext.wikimediaEvents","ext.navigationTiming","ext.uls.interface","ext.cx.eventlogging.campaigns","ext.cx.uls.quick.actions","wikibase.client.vector-2022","ext.checkUser.clientHints","ext.growthExperiments.SuggestedEditSession","wikibase.sidebar.tracking"];</script> <script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.loader.impl(function(){return["user.options@12s5i",function($,jQuery,require,module){mw.user.tokens.set({"patrolToken":"+\\","watchToken":"+\\","csrfToken":"+\\"}); }];});});</script> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=eo&modules=ext.flaggedRevs.basic%7Cext.math.styles%7Cext.uls.interlanguage%7Cext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript%7Cext.wikimediaBadges%7Cext.wikimediamessages.styles%7Cmediawiki.codex.messagebox.styles%7Cskins.vector.icons%2Cstyles%7Cskins.vector.search.codex.styles%7Cwikibase.client.init&only=styles&skin=vector-2022"> <script async="" src="/w/load.php?lang=eo&modules=startup&only=scripts&raw=1&skin=vector-2022"></script> <meta name="ResourceLoaderDynamicStyles" content=""> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=eo&modules=ext.gadget.niceInfoboxes&only=styles&skin=vector-2022"> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=eo&modules=site.styles&only=styles&skin=vector-2022"> <meta name="generator" content="MediaWiki 1.44.0-wmf.4"> <meta name="referrer" content="origin"> <meta name="referrer" content="origin-when-cross-origin"> <meta name="robots" content="max-image-preview:standard"> <meta name="format-detection" content="telephone=no"> <meta property="og:image" content="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/df/Crossproduct.png"> <meta property="og:image:width" content="1200"> <meta property="og:image:height" content="1512"> <meta property="og:image" content="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/df/Crossproduct.png/800px-Crossproduct.png"> <meta property="og:image:width" content="800"> <meta property="og:image:height" content="1008"> <meta property="og:image" content="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/df/Crossproduct.png/640px-Crossproduct.png"> <meta property="og:image:width" content="640"> <meta property="og:image:height" content="806"> <meta name="viewport" content="width=1120"> <meta property="og:title" content="Vektora produto - Vikipedio"> <meta property="og:type" content="website"> <link rel="preconnect" href="//upload.wikimedia.org"> <link rel="alternate" media="only screen and (max-width: 640px)" href="//eo.m.wikipedia.org/wiki/Vektora_produto"> <link rel="alternate" type="application/x-wiki" title="Redakti" href="/w/index.php?title=Vektora_produto&action=edit"> <link rel="apple-touch-icon" href="/static/apple-touch/wikipedia.png"> <link rel="icon" href="/static/favicon/wikipedia.ico"> <link rel="search" type="application/opensearchdescription+xml" href="/w/rest.php/v1/search" title="Vikipedio (eo)"> <link rel="EditURI" type="application/rsd+xml" href="//eo.wikipedia.org/w/api.php?action=rsd"> <link rel="canonical" href="https://eo.wikipedia.org/wiki/Vektora_produto"> <link rel="license" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.eo"> <link rel="alternate" type="application/atom+xml" title="Vikipedio Atom-fonto" href="/w/index.php?title=Speciala%C4%B5o:Lastaj_%C5%9Dan%C4%9Doj&feed=atom"> <link rel="dns-prefetch" href="//meta.wikimedia.org" /> <link rel="dns-prefetch" href="//login.wikimedia.org"> </head> <body class="skin--responsive skin-vector skin-vector-search-vue mediawiki ltr sitedir-ltr mw-hide-empty-elt ns-0 ns-subject mw-editable page-Vektora_produto rootpage-Vektora_produto skin-vector-2022 action-view"><a class="mw-jump-link" href="#bodyContent">Saltu al enhavo</a> <div class="vector-header-container"> <header class="vector-header mw-header"> <div class="vector-header-start"> <nav class="vector-main-menu-landmark" aria-label="Retejo"> <div id="vector-main-menu-dropdown" class="vector-dropdown vector-main-menu-dropdown vector-button-flush-left vector-button-flush-right" > <input type="checkbox" id="vector-main-menu-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-main-menu-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Ĉefa menuo" > <label id="vector-main-menu-dropdown-label" for="vector-main-menu-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-menu mw-ui-icon-wikimedia-menu"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Ĉefa menuo</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-main-menu-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> <div id="vector-main-menu" class="vector-main-menu vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-main-menu-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="main-menu-pinned" data-pinnable-element-id="vector-main-menu" data-pinned-container-id="vector-main-menu-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-main-menu-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Ĉefa menuo</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-main-menu.pin">movigi al flanka panelo</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-main-menu.unpin">kaŝi</button> </div> <div id="p-navigation" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-navigation" > <div class="vector-menu-heading"> Navigado </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-mainpage-desciption" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Vikipedio:%C4%88efpa%C4%9Do"><span>Ĉefpaĝo</span></a></li><li id="n-portal" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Portalo:Komunumo" title="Pri la projekto, kion vi povas fari, kie vi povas trovi ion"><span>Komunuma portalo</span></a></li><li id="n-villagepump" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Vikipedio:Diskutejo"><span>Diskutejo</span></a></li><li id="n-currentevents" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Vikipedio:Aktuala%C4%B5oj" title="Trovi fonajn informojn pri nunaj eventoj"><span>Aktualaĵoj</span></a></li><li id="n-recentchanges" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Speciala%C4%B5o:Lastaj_%C5%9Dan%C4%9Doj" title="Listo de la lastaj ŝanĝoj en la vikio. [r]" accesskey="r"><span>Lastaj ŝanĝoj</span></a></li><li id="n-newpages" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Speciala%C4%B5o:Novaj_pa%C4%9Doj"><span>Novaj paĝoj</span></a></li><li id="n-randompage" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Speciala%C4%B5o:Hazarda_pa%C4%9Do" title="Iri al hazarda paĝo [x]" accesskey="x"><span>Hazarda paĝo</span></a></li><li id="n-help" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Helpo:Enhavo" title="La loko por eltrovi"><span>Helpo</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> <a href="/wiki/Vikipedio:%C4%88efpa%C4%9Do" class="mw-logo"> <img class="mw-logo-icon" src="/static/images/icons/wikipedia.png" alt="" aria-hidden="true" height="50" width="50"> <span class="mw-logo-container skin-invert"> <img class="mw-logo-wordmark" alt="Vikipedio" src="/static/images/mobile/copyright/wikipedia-wordmark-eo.svg" style="width: 6.875em; height: 1.125em;"> <img class="mw-logo-tagline" alt="" src="/static/images/mobile/copyright/wikipedia-tagline-eo.svg" width="109" height="13" style="width: 6.8125em; height: 0.8125em;"> </span> </a> </div> <div class="vector-header-end"> <div id="p-search" role="search" class="vector-search-box-vue vector-search-box-collapses vector-search-box-show-thumbnail vector-search-box-auto-expand-width vector-search-box"> <a href="/wiki/Speciala%C4%B5o:Ser%C4%89i" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only search-toggle" title="Serĉi tra Vikipedio [f]" accesskey="f"><span class="vector-icon mw-ui-icon-search mw-ui-icon-wikimedia-search"></span> <span>Serĉi</span> </a> <div class="vector-typeahead-search-container"> <div class="cdx-typeahead-search cdx-typeahead-search--show-thumbnail cdx-typeahead-search--auto-expand-width"> <form action="/w/index.php" id="searchform" class="cdx-search-input cdx-search-input--has-end-button"> <div id="simpleSearch" class="cdx-search-input__input-wrapper" data-search-loc="header-moved"> <div class="cdx-text-input cdx-text-input--has-start-icon"> <input class="cdx-text-input__input" type="search" name="search" placeholder="Serĉi tra Vikipedio" aria-label="Serĉi tra Vikipedio" autocapitalize="sentences" title="Serĉi tra Vikipedio [f]" accesskey="f" id="searchInput" > <span class="cdx-text-input__icon cdx-text-input__start-icon"></span> </div> <input type="hidden" name="title" value="Specialaĵo:Serĉi"> </div> <button class="cdx-button cdx-search-input__end-button">Serĉi</button> </form> </div> </div> </div> <nav class="vector-user-links vector-user-links-wide" aria-label="Personaj iloj"> <div class="vector-user-links-main"> <div id="p-vector-user-menu-preferences" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <div id="p-vector-user-menu-userpage" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Aspekto"> <div id="vector-appearance-dropdown" class="vector-dropdown " title="Change the appearance of the page's font size, width, and color" > <input type="checkbox" id="vector-appearance-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-appearance-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Aspekto" > <label id="vector-appearance-dropdown-label" for="vector-appearance-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-appearance mw-ui-icon-wikimedia-appearance"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Aspekto</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-appearance-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <div id="p-vector-user-menu-notifications" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <div id="p-vector-user-menu-overflow" class="vector-menu mw-portlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-sitesupport-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="//donate.wikimedia.org/wiki/Special:FundraiserRedirector?utm_source=donate&utm_medium=sidebar&utm_campaign=C13_eo.wikipedia.org&uselang=eo" class=""><span>Donaci</span></a> </li> <li id="pt-createaccount-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="/w/index.php?title=Speciala%C4%B5o:Krei_konton&returnto=Vektora+produto" title="Ni rekomendas ke vi kreu uzantokonton kaj ensalutu, kvankam tio ne estas deviga" class=""><span>Krei konton</span></a> </li> <li id="pt-login-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="/w/index.php?title=Speciala%C4%B5o:Ensaluti&returnto=Vektora+produto" title="Ni rekomendas ke vi ensalutu, kvankam tio ne estas devige. [o]" accesskey="o" class=""><span>Ensaluti</span></a> </li> </ul> </div> </div> </div> <div id="vector-user-links-dropdown" class="vector-dropdown vector-user-menu vector-button-flush-right vector-user-menu-logged-out" title="Pliaj agordoj" > <input type="checkbox" id="vector-user-links-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-user-links-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Personaj iloj" > <label id="vector-user-links-dropdown-label" for="vector-user-links-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-ellipsis mw-ui-icon-wikimedia-ellipsis"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Personaj iloj</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-personal" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-personal user-links-collapsible-item" title="Menuo de uzanto" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-sitesupport" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="//donate.wikimedia.org/wiki/Special:FundraiserRedirector?utm_source=donate&utm_medium=sidebar&utm_campaign=C13_eo.wikipedia.org&uselang=eo"><span>Donaci</span></a></li><li id="pt-createaccount" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Speciala%C4%B5o:Krei_konton&returnto=Vektora+produto" title="Ni rekomendas ke vi kreu uzantokonton kaj ensalutu, kvankam tio ne estas deviga"><span class="vector-icon mw-ui-icon-userAdd mw-ui-icon-wikimedia-userAdd"></span> <span>Krei konton</span></a></li><li id="pt-login" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Speciala%C4%B5o:Ensaluti&returnto=Vektora+produto" title="Ni rekomendas ke vi ensalutu, kvankam tio ne estas devige. [o]" accesskey="o"><span class="vector-icon mw-ui-icon-logIn mw-ui-icon-wikimedia-logIn"></span> <span>Ensaluti</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-user-menu-anon-editor" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-user-menu-anon-editor" > <div class="vector-menu-heading"> Paĝoj por elsalutitaj redaktistoj <a href="/wiki/Helpo:Enkonduko" aria-label="Lernu pli pri redaktado"><span>Lernu pli</span></a> </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-anoncontribs" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Speciala%C4%B5o:Miaj_kontribuoj" title="Listo de redaktoj faritaj el ĉi tiu IPa adreso [y]" accesskey="y"><span>Kontribuoj</span></a></li><li id="pt-anontalk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Speciala%C4%B5o:Mia_diskutpa%C4%9Do" title="Diskuto pri redaktoj sub tiu ĉi IP adreso [n]" accesskey="n"><span>Diskuto</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </header> </div> <div class="mw-page-container"> <div class="mw-page-container-inner"> <div class="vector-sitenotice-container"> <div id="siteNotice"></div> </div> <div class="vector-column-start"> <div class="vector-main-menu-container"> <div id="mw-navigation"> <nav id="mw-panel" class="vector-main-menu-landmark" aria-label="Retejo"> <div id="vector-main-menu-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> </div> </div> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav id="mw-panel-toc" aria-label="Enhavo" data-event-name="ui.sidebar-toc" class="mw-table-of-contents-container vector-toc-landmark"> <div id="vector-toc-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-toc" class="vector-toc vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-toc-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="toc-pinned" data-pinnable-element-id="vector-toc" > <h2 class="vector-pinnable-header-label">Enhavo</h2> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-toc.pin">movigi al flanka panelo</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-toc.unpin">kaŝi</button> </div> <ul class="vector-toc-contents" id="mw-panel-toc-list"> <li id="toc-mw-content-text" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a href="#" class="vector-toc-link"> <div class="vector-toc-text">Komenco</div> </a> </li> <li id="toc-Difino" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Difino"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1</span> <span>Difino</span> </div> </a> <ul id="toc-Difino-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Proprecoj" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Proprecoj"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2</span> <span>Proprecoj</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Proprecoj-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Baskuli Proprecoj subsekcio</span> </button> <ul id="toc-Proprecoj-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Geometria_signifo" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Geometria_signifo"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.1</span> <span>Geometria signifo</span> </div> </a> <ul id="toc-Geometria_signifo-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Algebraj_proprecoj" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Algebraj_proprecoj"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.2</span> <span>Algebraj proprecoj</span> </div> </a> <ul id="toc-Algebraj_proprecoj-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Triopa_produto" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Triopa_produto"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.3</span> <span>Triopa produto</span> </div> </a> <ul id="toc-Triopa_produto-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Vektora_produto_en_karteziaj_koordinatoj" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Vektora_produto_en_karteziaj_koordinatoj"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3</span> <span>Vektora produto en karteziaj koordinatoj</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Vektora_produto_en_karteziaj_koordinatoj-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Baskuli Vektora produto en karteziaj koordinatoj subsekcio</span> </button> <ul id="toc-Vektora_produto_en_karteziaj_koordinatoj-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Skribmaniero_kun_apartaj_koordinatoj" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Skribmaniero_kun_apartaj_koordinatoj"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.1</span> <span>Skribmaniero kun apartaj koordinatoj</span> </div> </a> <ul id="toc-Skribmaniero_kun_apartaj_koordinatoj-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Matrica_skribmaniero" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Matrica_skribmaniero"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.2</span> <span>Matrica skribmaniero</span> </div> </a> <ul id="toc-Matrica_skribmaniero-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Konvertiĝo_al_matrica_multipliko" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Konvertiĝo_al_matrica_multipliko"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.3</span> <span>Konvertiĝo al matrica multipliko</span> </div> </a> <ul id="toc-Konvertiĝo_al_matrica_multipliko-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Aplikoj" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Aplikoj"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4</span> <span>Aplikoj</span> </div> </a> <ul id="toc-Aplikoj-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Vektora_produto_kaj_dekstreco" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Vektora_produto_kaj_dekstreco"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5</span> <span>Vektora produto kaj dekstreco</span> </div> </a> <ul id="toc-Vektora_produto_kaj_dekstreco-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Ekzemploj" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Ekzemploj"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6</span> <span>Ekzemploj</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Ekzemploj-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Baskuli Ekzemploj subsekcio</span> </button> <ul id="toc-Ekzemploj-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Ekzemplo_1" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Ekzemplo_1"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6.1</span> <span>Ekzemplo 1</span> </div> </a> <ul id="toc-Ekzemplo_1-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Ekzemplo_2" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Ekzemplo_2"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6.2</span> <span>Ekzemplo 2</span> </div> </a> <ul id="toc-Ekzemplo_2-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Pli_altaj_dimensioj" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Pli_altaj_dimensioj"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7</span> <span>Pli altaj dimensioj</span> </div> </a> <ul id="toc-Pli_altaj_dimensioj-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Vidu_ankaŭ" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Vidu_ankaŭ"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">8</span> <span>Vidu ankaŭ</span> </div> </a> <ul id="toc-Vidu_ankaŭ-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Eksteraj_ligiloj" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Eksteraj_ligiloj"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">9</span> <span>Eksteraj ligiloj</span> </div> </a> <ul id="toc-Eksteraj_ligiloj-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="Enhavo" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Ŝaltu la enhavtabelon" > <label id="vector-page-titlebar-toc-label" for="vector-page-titlebar-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-listBullet mw-ui-icon-wikimedia-listBullet"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Ŝaltu la enhavtabelon</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-titlebar-toc-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Vektora produto</span></h1> <div id="p-lang-btn" class="vector-dropdown mw-portlet mw-portlet-lang" > <input type="checkbox" id="p-lang-btn-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-lang-btn" class="vector-dropdown-checkbox mw-interlanguage-selector" aria-label="Iru al artikolo en alia lingvo. Havebla en 64 lingvo" > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-64" aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-language-progressive mw-ui-icon-wikimedia-language-progressive"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">64 lingvoj</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-als mw-list-item"><a href="https://als.wikipedia.org/wiki/Kreuzprodukt" title="Kreuzprodukt — svisgermana" lang="gsw" hreflang="gsw" data-title="Kreuzprodukt" data-language-autonym="Alemannisch" data-language-local-name="svisgermana" class="interlanguage-link-target"><span>Alemannisch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-am mw-list-item"><a href="https://am.wikipedia.org/wiki/%E1%88%B5%E1%8D%8B%E1%89%B5_%E1%89%A5%E1%8B%9C%E1%89%B5" title="ስፋት ብዜት — amhara" lang="am" hreflang="am" data-title="ስፋት ብዜት" data-language-autonym="አማርኛ" data-language-local-name="amhara" class="interlanguage-link-target"><span>አማርኛ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D8%B6%D8%B1%D8%A8_%D8%A7%D8%AA%D8%AC%D8%A7%D9%87%D9%8A" title="ضرب اتجاهي — araba" lang="ar" hreflang="ar" data-title="ضرب اتجاهي" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="araba" class="interlanguage-link-target"><span>العربية</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ast mw-list-item"><a href="https://ast.wikipedia.org/wiki/Productu_vectorial" title="Productu vectorial — asturia" lang="ast" hreflang="ast" data-title="Productu vectorial" data-language-autonym="Asturianu" data-language-local-name="asturia" class="interlanguage-link-target"><span>Asturianu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ba mw-list-item"><a href="https://ba.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BB%D1%8B_%D2%A1%D0%B0%D0%B1%D0%B0%D1%82%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B4%D1%8B%D2%A1" title="Векторлы ҡабатландыҡ — baŝkira" lang="ba" hreflang="ba" data-title="Векторлы ҡабатландыҡ" data-language-autonym="Башҡортса" data-language-local-name="baŝkira" class="interlanguage-link-target"><span>Башҡортса</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bg mw-list-item"><a href="https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%BE_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5" title="Векторно произведение — bulgara" lang="bg" hreflang="bg" data-title="Векторно произведение" data-language-autonym="Български" data-language-local-name="bulgara" class="interlanguage-link-target"><span>Български</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bs mw-list-item"><a href="https://bs.wikipedia.org/wiki/Vektorski_proizvod" title="Vektorski proizvod — bosna" lang="bs" hreflang="bs" data-title="Vektorski proizvod" data-language-autonym="Bosanski" data-language-local-name="bosna" class="interlanguage-link-target"><span>Bosanski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ca mw-list-item"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Producte_vectorial" title="Producte vectorial — kataluna" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Producte vectorial" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="kataluna" class="interlanguage-link-target"><span>Català</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ckb mw-list-item"><a href="https://ckb.wikipedia.org/wiki/%D9%84%DB%8E%DA%A9%D8%AF%D8%A7%D9%86%DB%8C_%D8%AF%DB%95%D8%B1%DB%95%DA%A9%DB%8C" title="لێکدانی دەرەکی — sorana" lang="ckb" hreflang="ckb" data-title="لێکدانی دەرەکی" data-language-autonym="کوردی" data-language-local-name="sorana" class="interlanguage-link-target"><span>کوردی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/Vektorov%C3%BD_sou%C4%8Din" title="Vektorový součin — ĉeĥa" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Vektorový součin" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="ĉeĥa" class="interlanguage-link-target"><span>Čeština</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cv mw-list-item"><a href="https://cv.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BB%D0%B0_%D1%85%D1%83%D1%82%D0%BB%D0%B0%D0%B2" title="Векторла хутлав — ĉuvaŝa" lang="cv" hreflang="cv" data-title="Векторла хутлав" data-language-autonym="Чӑвашла" data-language-local-name="ĉuvaŝa" class="interlanguage-link-target"><span>Чӑвашла</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-da mw-list-item"><a href="https://da.wikipedia.org/wiki/Krydsprodukt" title="Krydsprodukt — dana" lang="da" hreflang="da" data-title="Krydsprodukt" data-language-autonym="Dansk" data-language-local-name="dana" class="interlanguage-link-target"><span>Dansk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-de mw-list-item"><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Kreuzprodukt" title="Kreuzprodukt — germana" lang="de" hreflang="de" data-title="Kreuzprodukt" data-language-autonym="Deutsch" data-language-local-name="germana" class="interlanguage-link-target"><span>Deutsch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-el mw-list-item"><a href="https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%BD%CF%85%CF%83%CE%BC%CE%B1%CF%84%CE%B9%CE%BA%CF%8C_%CE%B3%CE%B9%CE%BD%CF%8C%CE%BC%CE%B5%CE%BD%CE%BF" title="Διανυσματικό γινόμενο — greka" lang="el" hreflang="el" data-title="Διανυσματικό γινόμενο" data-language-autonym="Ελληνικά" data-language-local-name="greka" class="interlanguage-link-target"><span>Ελληνικά</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Cross_product" title="Cross product — angla" lang="en" hreflang="en" data-title="Cross product" data-language-autonym="English" data-language-local-name="angla" class="interlanguage-link-target"><span>English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Producto_vectorial" title="Producto vectorial — hispana" lang="es" hreflang="es" data-title="Producto vectorial" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="hispana" class="interlanguage-link-target"><span>Español</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-et mw-list-item"><a href="https://et.wikipedia.org/wiki/Vektorkorrutis" title="Vektorkorrutis — estona" lang="et" hreflang="et" data-title="Vektorkorrutis" data-language-autonym="Eesti" data-language-local-name="estona" class="interlanguage-link-target"><span>Eesti</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eu mw-list-item"><a href="https://eu.wikipedia.org/wiki/Biderketa_bektorial" title="Biderketa bektorial — eŭska" lang="eu" hreflang="eu" data-title="Biderketa bektorial" data-language-autonym="Euskara" data-language-local-name="eŭska" class="interlanguage-link-target"><span>Euskara</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%B6%D8%B1%D8%A8_%D8%AE%D8%A7%D8%B1%D8%AC%DB%8C" title="ضرب خارجی — persa" lang="fa" hreflang="fa" data-title="ضرب خارجی" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="persa" class="interlanguage-link-target"><span>فارسی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fi mw-list-item"><a href="https://fi.wikipedia.org/wiki/Ristitulo" title="Ristitulo — finna" lang="fi" hreflang="fi" data-title="Ristitulo" data-language-autonym="Suomi" data-language-local-name="finna" class="interlanguage-link-target"><span>Suomi</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fr mw-list-item"><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Produit_vectoriel" title="Produit vectoriel — franca" lang="fr" hreflang="fr" data-title="Produit vectoriel" data-language-autonym="Français" data-language-local-name="franca" class="interlanguage-link-target"><span>Français</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gl mw-list-item"><a href="https://gl.wikipedia.org/wiki/Produto_vectorial" title="Produto vectorial — galega" lang="gl" hreflang="gl" data-title="Produto vectorial" data-language-autonym="Galego" data-language-local-name="galega" class="interlanguage-link-target"><span>Galego</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%9E%D7%9B%D7%A4%D7%9C%D7%94_%D7%95%D7%A7%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%AA" title="מכפלה וקטורית — hebrea" lang="he" hreflang="he" data-title="מכפלה וקטורית" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="hebrea" class="interlanguage-link-target"><span>עברית</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hi mw-list-item"><a href="https://hi.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%B8%E0%A4%A6%E0%A4%BF%E0%A4%B6_%E0%A4%97%E0%A5%81%E0%A4%A3%E0%A4%A8%E0%A4%AB%E0%A4%B2" title="सदिश गुणनफल — hinda" lang="hi" hreflang="hi" data-title="सदिश गुणनफल" data-language-autonym="हिन्दी" data-language-local-name="hinda" class="interlanguage-link-target"><span>हिन्दी</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hr mw-list-item"><a href="https://hr.wikipedia.org/wiki/Vektorski_produkt" title="Vektorski produkt — kroata" lang="hr" hreflang="hr" data-title="Vektorski produkt" data-language-autonym="Hrvatski" data-language-local-name="kroata" class="interlanguage-link-target"><span>Hrvatski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hu mw-list-item"><a href="https://hu.wikipedia.org/wiki/Vektori%C3%A1lis_szorzat" title="Vektoriális szorzat — hungara" lang="hu" hreflang="hu" data-title="Vektoriális szorzat" data-language-autonym="Magyar" data-language-local-name="hungara" class="interlanguage-link-target"><span>Magyar</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hy mw-list-item"><a href="https://hy.wikipedia.org/wiki/%D5%8E%D5%A5%D5%AF%D5%BF%D5%B8%D6%80%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%B6_%D5%A1%D6%80%D5%BF%D5%A1%D5%A4%D6%80%D5%B5%D5%A1%D5%AC" title="Վեկտորական արտադրյալ — armena" lang="hy" hreflang="hy" data-title="Վեկտորական արտադրյալ" data-language-autonym="Հայերեն" data-language-local-name="armena" class="interlanguage-link-target"><span>Հայերեն</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-id mw-list-item"><a href="https://id.wikipedia.org/wiki/Perkalian_silang" title="Perkalian silang — indonezia" lang="id" hreflang="id" data-title="Perkalian silang" data-language-autonym="Bahasa Indonesia" data-language-local-name="indonezia" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Indonesia</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-is mw-list-item"><a href="https://is.wikipedia.org/wiki/Krossfeldi" title="Krossfeldi — islanda" lang="is" hreflang="is" data-title="Krossfeldi" data-language-autonym="Íslenska" data-language-local-name="islanda" class="interlanguage-link-target"><span>Íslenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Prodotto_vettoriale" title="Prodotto vettoriale — itala" lang="it" hreflang="it" data-title="Prodotto vettoriale" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="itala" class="interlanguage-link-target"><span>Italiano</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%AD%E3%82%B9%E7%A9%8D" title="クロス積 — japana" lang="ja" hreflang="ja" data-title="クロス積" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="japana" class="interlanguage-link-target"><span>日本語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ka mw-list-item"><a href="https://ka.wikipedia.org/wiki/%E1%83%95%E1%83%94%E1%83%A5%E1%83%A2%E1%83%9D%E1%83%A0%E1%83%A3%E1%83%9A%E1%83%98_%E1%83%9C%E1%83%90%E1%83%9B%E1%83%A0%E1%83%90%E1%83%95%E1%83%9A%E1%83%98" title="ვექტორული ნამრავლი — kartvela" lang="ka" hreflang="ka" data-title="ვექტორული ნამრავლი" data-language-autonym="ქართული" data-language-local-name="kartvela" class="interlanguage-link-target"><span>ქართული</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kk mw-list-item"><a href="https://kk.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BB%D1%8B%D2%9B_%D0%BA%D3%A9%D0%B1%D0%B5%D0%B9%D1%82%D1%96%D0%BD%D0%B4%D1%96" title="Векторлық көбейтінді — kazaĥa" lang="kk" hreflang="kk" data-title="Векторлық көбейтінді" data-language-autonym="Қазақша" data-language-local-name="kazaĥa" class="interlanguage-link-target"><span>Қазақша</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%B2%A1%ED%84%B0%EA%B3%B1" title="벡터곱 — korea" lang="ko" hreflang="ko" data-title="벡터곱" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="korea" class="interlanguage-link-target"><span>한국어</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lt mw-list-item"><a href="https://lt.wikipedia.org/wiki/Vektorin%C4%97_sandauga" title="Vektorinė sandauga — litova" lang="lt" hreflang="lt" data-title="Vektorinė sandauga" data-language-autonym="Lietuvių" data-language-local-name="litova" class="interlanguage-link-target"><span>Lietuvių</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lv mw-list-item"><a href="https://lv.wikipedia.org/wiki/Vektori%C4%81lais_reizin%C4%81jums" title="Vektoriālais reizinājums — latva" lang="lv" hreflang="lv" data-title="Vektoriālais reizinājums" data-language-autonym="Latviešu" data-language-local-name="latva" class="interlanguage-link-target"><span>Latviešu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ml mw-list-item"><a href="https://ml.wikipedia.org/wiki/%E0%B4%B8%E0%B4%A6%E0%B4%BF%E0%B4%B6_%E0%B4%97%E0%B5%81%E0%B4%A3%E0%B4%95%E0%B4%BE%E0%B4%99%E0%B5%8D%E0%B4%95%E0%B4%82" title="സദിശ ഗുണകാങ്കം — malajalama" lang="ml" hreflang="ml" data-title="സദിശ ഗുണകാങ്കം" data-language-autonym="മലയാളം" data-language-local-name="malajalama" class="interlanguage-link-target"><span>മലയാളം</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mr mw-list-item"><a href="https://mr.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%AB%E0%A5%81%E0%A4%B2%E0%A5%80_%E0%A4%97%E0%A5%81%E0%A4%A3%E0%A4%BE%E0%A4%95%E0%A4%BE%E0%A4%B0" title="फुली गुणाकार — marata" lang="mr" hreflang="mr" data-title="फुली गुणाकार" data-language-autonym="मराठी" data-language-local-name="marata" class="interlanguage-link-target"><span>मराठी</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Kruisproduct" title="Kruisproduct — nederlanda" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Kruisproduct" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="nederlanda" class="interlanguage-link-target"><span>Nederlands</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nn mw-list-item"><a href="https://nn.wikipedia.org/wiki/Kryssprodukt" title="Kryssprodukt — novnorvega" lang="nn" hreflang="nn" data-title="Kryssprodukt" data-language-autonym="Norsk nynorsk" data-language-local-name="novnorvega" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk nynorsk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-no mw-list-item"><a href="https://no.wikipedia.org/wiki/Vektorprodukt" title="Vektorprodukt — dannorvega" lang="nb" hreflang="nb" data-title="Vektorprodukt" data-language-autonym="Norsk bokmål" data-language-local-name="dannorvega" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk bokmål</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pa mw-list-item"><a href="https://pa.wikipedia.org/wiki/%E0%A8%95%E0%A8%B0%E0%A9%8C%E0%A8%B8_%E0%A8%AA%E0%A9%8D%E0%A8%B0%E0%A9%8B%E0%A8%A1%E0%A8%95%E0%A8%9F" title="ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ — panĝaba" lang="pa" hreflang="pa" data-title="ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ" data-language-autonym="ਪੰਜਾਬੀ" data-language-local-name="panĝaba" class="interlanguage-link-target"><span>ਪੰਜਾਬੀ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pl mw-list-item"><a href="https://pl.wikipedia.org/wiki/Iloczyn_wektorowy" title="Iloczyn wektorowy — pola" lang="pl" hreflang="pl" data-title="Iloczyn wektorowy" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="pola" class="interlanguage-link-target"><span>Polski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pms mw-list-item"><a href="https://pms.wikipedia.org/wiki/Prodot_vetorial" title="Prodot vetorial — Piedmontese" lang="pms" hreflang="pms" data-title="Prodot vetorial" data-language-autonym="Piemontèis" data-language-local-name="Piedmontese" class="interlanguage-link-target"><span>Piemontèis</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Produto_vetorial" title="Produto vetorial — portugala" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Produto vetorial" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="portugala" class="interlanguage-link-target"><span>Português</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ro mw-list-item"><a href="https://ro.wikipedia.org/wiki/Produs_vectorial" title="Produs vectorial — rumana" lang="ro" hreflang="ro" data-title="Produs vectorial" data-language-autonym="Română" data-language-local-name="rumana" class="interlanguage-link-target"><span>Română</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5" title="Векторное произведение — rusa" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Векторное произведение" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="rusa" class="interlanguage-link-target"><span>Русский</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sco mw-list-item"><a href="https://sco.wikipedia.org/wiki/Cross_product" title="Cross product — skota" lang="sco" hreflang="sco" data-title="Cross product" data-language-autonym="Scots" data-language-local-name="skota" class="interlanguage-link-target"><span>Scots</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-simple mw-list-item"><a href="https://simple.wikipedia.org/wiki/Cross_product" title="Cross product — Simple English" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Cross product" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="Simple English" class="interlanguage-link-target"><span>Simple English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sk mw-list-item"><a href="https://sk.wikipedia.org/wiki/Vektorov%C3%BD_s%C3%BA%C4%8Din" title="Vektorový súčin — slovaka" lang="sk" hreflang="sk" data-title="Vektorový súčin" data-language-autonym="Slovenčina" data-language-local-name="slovaka" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenčina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/Vektorski_produkt" title="Vektorski produkt — slovena" lang="sl" hreflang="sl" data-title="Vektorski produkt" data-language-autonym="Slovenščina" data-language-local-name="slovena" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenščina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sq mw-list-item"><a href="https://sq.wikipedia.org/wiki/Prodhimi_vektorial" title="Prodhimi vektorial — albana" lang="sq" hreflang="sq" data-title="Prodhimi vektorial" data-language-autonym="Shqip" data-language-local-name="albana" class="interlanguage-link-target"><span>Shqip</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/Vektorski_proizvod" title="Vektorski proizvod — serba" lang="sr" hreflang="sr" data-title="Vektorski proizvod" data-language-autonym="Српски / srpski" data-language-local-name="serba" class="interlanguage-link-target"><span>Српски / srpski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sv mw-list-item"><a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/Kryssprodukt" title="Kryssprodukt — sveda" lang="sv" hreflang="sv" data-title="Kryssprodukt" data-language-autonym="Svenska" data-language-local-name="sveda" class="interlanguage-link-target"><span>Svenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ta mw-list-item"><a href="https://ta.wikipedia.org/wiki/%E0%AE%95%E0%AF%81%E0%AE%B1%E0%AF%81%E0%AE%95%E0%AF%8D%E0%AE%95%E0%AF%81%E0%AE%AA%E0%AF%8D_%E0%AE%AA%E0%AF%86%E0%AE%B0%E0%AF%81%E0%AE%95%E0%AF%8D%E0%AE%95%E0%AF%81_(%E0%AE%A4%E0%AE%BF%E0%AE%9A%E0%AF%88%E0%AE%AF%E0%AE%A9%E0%AF%8D)" title="குறுக்குப் பெருக்கு (திசையன்) — tamila" lang="ta" hreflang="ta" data-title="குறுக்குப் பெருக்கு (திசையன்)" data-language-autonym="தமிழ்" data-language-local-name="tamila" class="interlanguage-link-target"><span>தமிழ்</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-th mw-list-item"><a href="https://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%9C%E0%B8%A5%E0%B8%84%E0%B8%B9%E0%B8%93%E0%B9%84%E0%B8%82%E0%B8%A7%E0%B9%89" title="ผลคูณไขว้ — taja" lang="th" hreflang="th" data-title="ผลคูณไขว้" data-language-autonym="ไทย" data-language-local-name="taja" class="interlanguage-link-target"><span>ไทย</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tl mw-list-item"><a href="https://tl.wikipedia.org/wiki/Produktong_krus" title="Produktong krus — tagaloga" lang="tl" hreflang="tl" data-title="Produktong krus" data-language-autonym="Tagalog" data-language-local-name="tagaloga" class="interlanguage-link-target"><span>Tagalog</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tr mw-list-item"><a href="https://tr.wikipedia.org/wiki/%C3%87apraz_%C3%A7arp%C4%B1m" title="Çapraz çarpım — turka" lang="tr" hreflang="tr" data-title="Çapraz çarpım" data-language-autonym="Türkçe" data-language-local-name="turka" class="interlanguage-link-target"><span>Türkçe</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uk mw-list-item"><a href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%B4%D0%BE%D0%B1%D1%83%D1%82%D0%BE%D0%BA" title="Векторний добуток — ukraina" lang="uk" hreflang="uk" data-title="Векторний добуток" data-language-autonym="Українська" data-language-local-name="ukraina" class="interlanguage-link-target"><span>Українська</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uz mw-list-item"><a href="https://uz.wikipedia.org/wiki/Vektor_ko%CA%BBpaytma" title="Vektor koʻpaytma — uzbeka" lang="uz" hreflang="uz" data-title="Vektor koʻpaytma" data-language-autonym="Oʻzbekcha / ўзбекча" data-language-local-name="uzbeka" class="interlanguage-link-target"><span>Oʻzbekcha / ўзбекча</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vi mw-list-item"><a href="https://vi.wikipedia.org/wiki/T%C3%ADch_vect%C6%A1" title="Tích vectơ — vjetnama" lang="vi" hreflang="vi" data-title="Tích vectơ" data-language-autonym="Tiếng Việt" data-language-local-name="vjetnama" class="interlanguage-link-target"><span>Tiếng Việt</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-wuu mw-list-item"><a href="https://wuu.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%89%E7%A7%AF" title="叉积 — vua" lang="wuu" hreflang="wuu" data-title="叉积" data-language-autonym="吴语" data-language-local-name="vua" class="interlanguage-link-target"><span>吴语</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%89%E7%A7%AF" title="叉积 — ĉina" lang="zh" hreflang="zh" data-title="叉积" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="ĉina" class="interlanguage-link-target"><span>中文</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-yue mw-list-item"><a href="https://zh-yue.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%96%E7%A9%8D" title="外積 — kantona" lang="yue" hreflang="yue" data-title="外積" data-language-autonym="粵語" data-language-local-name="kantona" class="interlanguage-link-target"><span>粵語</span></a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><span class="wb-langlinks-edit wb-langlinks-link"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q178192#sitelinks-wikipedia" title="Redakti interlingvajn ligilojn" class="wbc-editpage">Redakti ligilojn</a></span></div> </div> </div> </div> </header> <div class="vector-page-toolbar"> <div class="vector-page-toolbar-container"> <div id="left-navigation"> <nav aria-label="Nomspacoj"> <div id="p-associated-pages" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-associated-pages" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Vektora_produto" title="Vidi la artikolon [c]" accesskey="c"><span>Artikolo</span></a></li><li id="ca-talk" class="new vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Diskuto:Vektora_produto&action=edit&redlink=1" rel="discussion" class="new" title="Diskuto pri la artikolo (paĝo ne ekzistas) [t]" accesskey="t"><span>Diskuto</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown emptyPortlet" > <input type="checkbox" id="vector-variants-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Ŝanĝi lingvan varianton" > <label id="vector-variants-dropdown-label" for="vector-variants-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" ><span class="vector-dropdown-label-text">Esperanto</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-variants" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-variants emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> <div id="right-navigation" class="vector-collapsible"> <nav aria-label="Vidoj"> <div id="p-views" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-views" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-view" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Vektora_produto"><span>Legi</span></a></li><li id="ca-ve-edit" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Vektora_produto&veaction=edit" title="Redakti ĉi tiun paĝon [v]" accesskey="v"><span>Redakti</span></a></li><li id="ca-edit" class="collapsible vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Vektora_produto&action=edit" title="Redakti fontan kodon de tiu ĉi paĝo [e]" accesskey="e"><span>Redakti fonton</span></a></li><li id="ca-history" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Vektora_produto&action=history" title="Antaŭaj versioj de ĉi tiu paĝo. [h]" accesskey="h"><span>Vidi historion</span></a></li> </ul> </div> </div> </nav> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Paĝaj iloj"> <div id="vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown vector-page-tools-dropdown" > <input type="checkbox" id="vector-page-tools-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Iloj" > <label id="vector-page-tools-dropdown-label" for="vector-page-tools-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" ><span class="vector-dropdown-label-text">Iloj</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-tools-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> <div id="vector-page-tools" class="vector-page-tools vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-page-tools-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="page-tools-pinned" data-pinnable-element-id="vector-page-tools" data-pinned-container-id="vector-page-tools-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-page-tools-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Iloj</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.pin">movigi al flanka panelo</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.unpin">kaŝi</button> </div> <div id="p-cactions" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-cactions emptyPortlet vector-has-collapsible-items" title="Pliaj opcioj" > <div class="vector-menu-heading"> Agoj </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-more-view" class="selected vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/wiki/Vektora_produto"><span>Legi</span></a></li><li id="ca-more-ve-edit" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Vektora_produto&veaction=edit" title="Redakti ĉi tiun paĝon [v]" accesskey="v"><span>Redakti</span></a></li><li id="ca-more-edit" class="collapsible vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Vektora_produto&action=edit" title="Redakti fontan kodon de tiu ĉi paĝo [e]" accesskey="e"><span>Redakti fonton</span></a></li><li id="ca-more-history" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Vektora_produto&action=history"><span>Vidi historion</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-tb" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-tb" > <div class="vector-menu-heading"> Ĝenerale </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-whatlinkshere" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Speciala%C4%B5o:Kio_ligas_%C4%89i_tien%3F/Vektora_produto" title="Listo de ĉiuj vikiaj paĝoj kiuj ligas ĉi tien [j]" accesskey="j"><span>Ligiloj ĉi tien</span></a></li><li id="t-recentchangeslinked" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Speciala%C4%B5o:Rilataj_%C5%9Dan%C4%9Doj/Vektora_produto" rel="nofollow" title="Lastaj ŝanĝoj en paĝoj kiuj ligas al ĉi tiu paĝo [k]" accesskey="k"><span>Rilataj ŝanĝoj</span></a></li><li id="t-upload" class="mw-list-item"><a href="//commons.wikimedia.org/wiki/Special:UploadWizard?uselang=eo" title="Alŝuti dosierojn [u]" accesskey="u"><span>Alŝuti dosieron</span></a></li><li id="t-specialpages" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Speciala%C4%B5o:Specialaj_pa%C4%9Doj" title="Listo de ĉiuj specialaj paĝoj [q]" accesskey="q"><span>Specialaj paĝoj</span></a></li><li id="t-permalink" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Vektora_produto&oldid=8572746" title="Porĉiama ligilo al ĉi versio de la paĝo"><span>Konstanta ligilo</span></a></li><li id="t-info" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Vektora_produto&action=info" title="Pli da informo pri ĉi tiu paĝo"><span>Informoj pri la paĝo</span></a></li><li id="t-cite" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Speciala%C4%B5o:Citi&page=Vektora_produto&id=8572746&wpFormIdentifier=titleform" title="Informoj pri kiel citi ĉi tiun paĝon"><span>Citi ĉi tiun artikolon</span></a></li><li id="t-urlshortener" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Speciala%C4%B5o:UrlShortener&url=https%3A%2F%2Feo.wikipedia.org%2Fwiki%2FVektora_produto"><span>Akiri mallongigitan URL</span></a></li><li id="t-urlshortener-qrcode" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Speciala%C4%B5o:QrCode&url=https%3A%2F%2Feo.wikipedia.org%2Fwiki%2FVektora_produto"><span>Elŝutu QR-kodon</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-coll-print_export" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-coll-print_export" > <div class="vector-menu-heading"> Presi/elporti </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="coll-create_a_book" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Speciala%C4%B5o:Libro&bookcmd=book_creator&referer=Vektora+produto"><span>Krei libron</span></a></li><li id="coll-download-as-rl" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Speciala%C4%B5o:DownloadAsPdf&page=Vektora_produto&action=show-download-screen"><span>Elŝuti kiel PDF</span></a></li><li id="t-print" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Vektora_produto&printable=yes" title="Presebla versio de tiu ĉi paĝo [p]" accesskey="p"><span>Presebla versio</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-wikibase-otherprojects" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-wikibase-otherprojects" > <div class="vector-menu-heading"> En aliaj projektoj </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="wb-otherproject-link wb-otherproject-commons mw-list-item"><a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Cross_product" hreflang="en"><span>Vikimedia Komunejo</span></a></li><li id="t-wikibase" class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikibase-dataitem mw-list-item"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q178192" title="Ligilo al konektita datuma ero [g]" accesskey="g"><span>Ero en Vikidatumoj</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> </div> <div class="vector-column-end"> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Paĝaj iloj"> <div id="vector-page-tools-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Aspekto"> <div id="vector-appearance-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-appearance" class="vector-appearance vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-appearance-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="appearance-pinned" data-pinnable-element-id="vector-appearance" data-pinned-container-id="vector-appearance-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-appearance-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Aspekto</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.pin">movigi al flanka panelo</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.unpin">kaŝi</button> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> <div id="bodyContent" class="vector-body" aria-labelledby="firstHeading" data-mw-ve-target-container> <div class="vector-body-before-content"> <div class="mw-indicators"> </div> <div id="siteSub" class="noprint">El Vikipedio, la libera enciklopedio</div> </div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"></div></div> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="eo" dir="ltr"><p>En <a href="/wiki/Matematiko" title="Matematiko">matematiko</a>, la <b>vektora produto</b> aŭ <b>kruca produto</b> estas <a href="/wiki/Operacio_(matematiko)" title="Operacio (matematiko)">operacio</a> sur du <a href="/wiki/Vektoro" title="Vektoro">vektoroj</a> en <a href="/wiki/Tri-dimensia" class="mw-redirect" title="Tri-dimensia">tri-dimensia</a> <a href="/wiki/E%C5%ADklida_spaco" title="Eŭklida spaco">eŭklida spaco</a>, rezulto de kiu estas la alia vektoro. </p><p>Kontraste, la <a href="/wiki/Skalara_produto" title="Skalara produto">skalara produto</a> de du vektoroj estas <a href="/wiki/Skalaro_(matematiko)" title="Skalaro (matematiko)">skalaro</a>. </p><p>La vektora produto estas difinita nur en tridimensioj (aǔ pli ol tri, vidu la lastan paragrafon). <a href="/wiki/Algebra_strukturo" title="Algebra strukturo">Algebra strukturo</a> difinita per la vektora produto estas ne <a href="/wiki/Asocieco" title="Asocieco">asocieca</a>. Simile al la skalara produto, ĝi dependas de la <a href="/wiki/Metrika_spaco" title="Metrika spaco">metriko</a> de eŭklida spaco. Malsimile al la <a href="/wiki/Skalara_produto" title="Skalara produto">skalara produto</a>, ĝi dependas ankaŭ de la elekto de <a href="/wiki/Orienti%C4%9Do_(matematiko)" title="Orientiĝo (matematiko)">orientiĝo</a>. Por ajnaj elektoj de orientiĝo, la vektora produto devas esti estimata NE kiel vektoro, sed kiel <a href="/w/index.php?title=Pse%C5%ADdovektoro&action=edit&redlink=1" class="new" title="Pseŭdovektoro (paĝo ne ekzistas)">pseŭdovektoro</a>. </p> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Dosiero:Crossproduct.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/df/Crossproduct.png/220px-Crossproduct.png" decoding="async" width="220" height="277" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/df/Crossproduct.png/330px-Crossproduct.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/df/Crossproduct.png/440px-Crossproduct.png 2x" data-file-width="1032" data-file-height="1300" /></a><figcaption>Ilustraĵo de la vektora produto en respektivo al dekstra <a href="/wiki/Koordinatsistemo" title="Koordinatsistemo">koordinatsistemo</a>.</figcaption></figure> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Difino">Difino</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Vektora_produto&veaction=edit&section=1" title="Redakti sekcion: Difino" class="mw-editsection-visualeditor"><span>redakti</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Vektora_produto&action=edit&section=1" title="Redakti la fontkodo de la sekcio: Difino"><span>redakti fonton</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Dosiero:Koordinatensysteme_L%2BR.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0e/Koordinatensysteme_L%2BR.svg/220px-Koordinatensysteme_L%2BR.svg.png" decoding="async" width="220" height="132" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0e/Koordinatensysteme_L%2BR.svg/330px-Koordinatensysteme_L%2BR.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0e/Koordinatensysteme_L%2BR.svg/440px-Koordinatensysteme_L%2BR.svg.png 2x" data-file-width="618" data-file-height="372" /></a><figcaption>Reguloj de la tri fingroj de la maldekstra mano (pri maldekstra koordinatsistemo) kaj de la dekstra mano (pri dekstra koordinatsistemo).</figcaption></figure> <p>La vektora produto de du vektoroj <b>a</b> kaj <b>b</b> estas skribata kiel <b>a</b> × <b>b</b>. En tri-dimensia <a href="/wiki/E%C5%ADklida_spaco" title="Eŭklida spaco">eŭklida spaco</a>, kun <a href="/w/index.php?title=Dekstra_koordinatsistemo&action=edit&redlink=1" class="new" title="Dekstra koordinatsistemo (paĝo ne ekzistas)">dekstraj</a> <a href="/wiki/Karteziaj_koordinatoj" class="mw-redirect" title="Karteziaj koordinatoj">karteziaj koordinatoj</a>, ĝi estas difinita kiel vektoro <b>c</b> kiu estas <a href="/wiki/Perpendikularo" title="Perpendikularo">perpendikulara</a> al ambaŭ <b>a</b> kaj <b>b</b>, kun direkto donita per la <i>regulo de la tri fingroj</i> kaj kun grandeco egala al la areo de la <a href="/wiki/Paralelogramo" title="Paralelogramo">paralelogramo</a> kiun la vektoroj generas. </p><p>La vektora produto estas donita per formulo </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =ab\sin \theta \ \mathbf {\hat {n}} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">b</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mi>b</mi> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>θ</mi> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi mathvariant="bold">n</mi> <mo mathvariant="bold" stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =ab\sin \theta \ \mathbf {\hat {n}} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c4e81022728bd8c56e6a0ee3c71a2cb194c9269" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:17.737ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =ab\sin \theta \ \mathbf {\hat {n}} }"></span></dd></dl> <p>kie <i>θ</i> estas <a href="/wiki/Angulo" title="Angulo">angulo</a> inter <b>a</b> kaj <b>b</b> (0° ≤ <i>θ</i> ≤ 180°), <i>a</i> kaj <i>b</i> estas la <a href="/wiki/Grandeco" class="mw-redirect" title="Grandeco">grandecoj</a> de vektoroj <b>a</b> kaj <b>b</b>, kaj <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi mathvariant="bold">n</mi> <mo mathvariant="bold" stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4eb84e133d15551d660800ec29b44783ff36e19d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.485ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }"></span> estas <a href="/wiki/Unuobla_vektoro" class="mw-redirect" title="Unuobla vektoro">unuobla vektoro</a> <a href="/wiki/Perpendikularo" title="Perpendikularo">perpendikulara</a> al la ebeno enhavanta na <b>a</b> kaj <b>b</b>. Se vektoroj <b>a</b> kaj <b>b</b> estas samrekta (do la angulo <i>θ</i> inter ilin estas ĉu 0° aŭ 180°), la ebeno ne estas difinita, sed ĉi tio ne gravas ĉar tiam <i>sin θ = 0</i> kaj la vektora produto de <b>a</b> kaj <b>b</b> estas la nula vektoro <b>0</b>. </p><p>La direkto de la vektoro <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi mathvariant="bold">n</mi> <mo mathvariant="bold" stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4eb84e133d15551d660800ec29b44783ff36e19d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.485ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }"></span> estas donita per la <i>reguloj de la dekstra mano aǔ de la maldekstra mano</i> (vidu la apudan bildon). </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Proprecoj">Proprecoj</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Vektora_produto&veaction=edit&section=2" title="Redakti sekcion: Proprecoj" class="mw-editsection-visualeditor"><span>redakti</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Vektora_produto&action=edit&section=2" title="Redakti la fontkodo de la sekcio: Proprecoj"><span>redakti fonton</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Geometria_signifo">Geometria signifo</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Vektora_produto&veaction=edit&section=3" title="Redakti sekcion: Geometria signifo" class="mw-editsection-visualeditor"><span>redakti</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Vektora_produto&action=edit&section=3" title="Redakti la fontkodo de la sekcio: Geometria signifo"><span>redakti fonton</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Dosiero:Cross_parallelogram.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f3/Cross_parallelogram.png/220px-Cross_parallelogram.png" decoding="async" width="220" height="192" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f3/Cross_parallelogram.png/330px-Cross_parallelogram.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f3/Cross_parallelogram.png/440px-Cross_parallelogram.png 2x" data-file-width="1110" data-file-height="971" /></a><figcaption>La areo de la paralelogramo kiel amplitudo de la vektora produto.</figcaption></figure> <p>La grandeco de la vektora produto povas esti interpretita kiel la sensigna <a href="/wiki/Areo" title="Areo">areo</a> de la <a href="/wiki/Paralelogramo" title="Paralelogramo">paralelogramo</a> havanta <b>a</b> kaj <b>b</b> kiel flankoj: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |\mathbf {a} \times \mathbf {b} |=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\sin \theta .\,\!}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">b</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">b</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>θ</mi> <mo>.</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mspace width="negativethinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |\mathbf {a} \times \mathbf {b} |=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\sin \theta .\,\!}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95baef03209dc72d1b9c6a2ebc912ef7de7c62d2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-right: -0.387ex; width:21.144ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |\mathbf {a} \times \mathbf {b} |=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\sin \theta .\,\!}"></span></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Algebraj_proprecoj">Algebraj proprecoj</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Vektora_produto&veaction=edit&section=4" title="Redakti sekcion: Algebraj proprecoj" class="mw-editsection-visualeditor"><span>redakti</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Vektora_produto&action=edit&section=4" title="Redakti la fontkodo de la sekcio: Algebraj proprecoj"><span>redakti fonton</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>La vektora produto estas <a href="/wiki/Komuteco" title="Komuteco">malkomuteca</a>, </p> <dl><dd><b>a</b> × <b>b</b> = −<b>b</b> × <b>a</b>,</dd></dl> <p><a href="/wiki/Distribueco" title="Distribueco">distribueca</a> super <a href="/wiki/Adicio" title="Adicio">adicio</a>, </p> <dl><dd><b>a</b> × (<b>b</b> + <b>c</b>) = (<b>a</b> × <b>b</b>) + (<b>a</b> × <b>c</b>),</dd></dl> <p>kaj kongrua kun skalara multipliko tiel ke </p> <dl><dd>(<i>r</i> <b>a</b>) × <b>b</b> = <b>a</b> × (<i>r</i> <b>b</b>) = <i>r</i> (<b>a</b> × <b>b</b>).</dd></dl> <p>Ĝi estas ne <a href="/wiki/Asocieco" title="Asocieco">asocieca</a>, sed verigas la <i><a href="/w/index.php?title=Jakobia_idento&action=edit&redlink=1" class="new" title="Jakobia idento (paĝo ne ekzistas)">jakobian identon</a></i>: </p> <dl><dd><b>a</b> × (<b>b</b> × <b>c</b>) + <b>b</b> × (<b>c</b> × <b>a</b>) + <b>c</b> × (<b>a</b> × <b>b</b>) = <b>0</b>.</dd></dl> <p>Se <b>a</b> × <b>b</b> = <b>a</b> × <b>c</b> kaj <b>a</b> ≠ <b>0</b> ne nepre <b>b</b> = <b>c</b>: </p> <dl><dd>Se <b>a</b> × <b>b</b> = <b>a</b> × <b>c</b> kaj <b>a</b> ≠ <b>0</b> tiam ni povas skribi:</dd> <dd>(<b>a</b> × <b>b</b>) − (<b>a</b> × <b>c</b>) = <b>0</b> kaj, per la distribuebloregulo pli supre:</dd> <dd><b>a</b> × (<b>b</b> − <b>c</b>) = <b>0</b></dd> <dd>Nun, se <b>a</b> estas paralelo al (<b>b</b> − <b>c</b>), tiam eĉ se <b>a</b> ≠ <b>0</b> ĝi eblas ke (<b>b</b> − <b>c</b>) ≠ <b>0</b> kaj pro tio <b>b</b> ≠ <b>c</b>.</dd></dl> <p>Tamen, se <b>a</b> ≠ <b>0</b> kaj ambaŭ <b>a</b> · <b>b</b> = <b>a</b> · <b>c</b> <i>kaj</i> <b>a</b> × <b>b</b> = <b>a</b> × <b>c</b>, tiam oni <i>povas</i> konkludi ke <b>b</b> = <b>c</b>. Ja, </p> <dl><dd><b>a</b> . (<b>b</b> - <b>c</b>) = 0, kaj</dd> <dd><b>a</b> × (<b>b</b> - <b>c</b>) = <b>0</b></dd></dl> <p>por ke <b>b</b> - <b>c</b> estas <i>ambaŭ paralela kaj perpendikulara</i> al la ne-nula vektoro <i>a</i>. Ĉi tiu eblas nur se <b>b</b> - <b>c</b> = <b>0</b>. </p><p>La distribueco, lineareco kaj Jakobia idento donas ke <b>R</b><sup>3</sup> kaj ankaŭ vektora adicio kaj vektora produto formas <a href="/wiki/Al%C4%9Debro_de_Lie" title="Alĝebro de Lie">alĝebron de Lie</a>. </p><p>Du ne-nulaj vektoroj <b>a</b> kaj <b>b</b> estas paralelaj <a href="/wiki/Se_kaj_nur_se" title="Se kaj nur se">se kaj nur se</a> <b>a</b> × <b>b</b> = <b>0</b>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Triopa_produto">Triopa produto</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Vektora_produto&veaction=edit&section=5" title="Redakti sekcion: Triopa produto" class="mw-editsection-visualeditor"><span>redakti</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Vektora_produto&action=edit&section=5" title="Redakti la fontkodo de la sekcio: Triopa produto"><span>redakti fonton</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r8860200">.mw-parser-output .cxefartikolo{background-color:#f9f9f9;border:1px solid #aaa;padding:0.5em;font-style:italic}@media screen{html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .cxefartikolo{background-color:#202122;color:white;border:1px solid #333333}html.skin-theme-clientpref-light .mw-parser-output .cxefartikolo{background-color:#F9F9F9;color:black;border:1px solid #AAAAAA}}@media screen and (prefers-color-scheme:dark){html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .cxefartikolo{background-color:#202122;color:white;border:1px solid #333333}}</style> <div class="cxefartikolo" style="margin-bottom: 0.5em; border: 1px solid #ccc; padding: 2px; text-align: left; font-size: 95%;"><span typeof="mw:File"><span><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/48/Loupe.svg/12px-Loupe.svg.png" decoding="async" width="12" height="12" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/48/Loupe.svg/18px-Loupe.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/48/Loupe.svg/24px-Loupe.svg.png 2x" data-file-width="58" data-file-height="57" /></span></span> Pli detalaj informoj troveblas en artikolo <a href="/w/index.php?title=Triopa_produto&action=edit&redlink=1" class="new" title="Triopa produto (paĝo ne ekzistas)">Triopa produto</a>.</div> <p>La elvolvaĵo de triopa produto, ankaŭ sciata kiel <b>formulo de Lagrange</b>, estas formulo rilatanta al vektora produto de tri vektoroj, <b>vektora triopa produto</b>: </p> <dl><dd><b>a</b> × (<b>b</b> × <b>c</b>) = <b>b</b>(<b>a</b> · <b>c</b>) - <b>c</b>(<b>a</b> · <b>b</b>).</dd></dl> <p>Speciala okazo, kun <a href="/wiki/Gradiento_(matematiko)" title="Gradiento (matematiko)">gradiento</a> kiu estas uzata en <a href="/wiki/Vektora_kalkulo" title="Vektora kalkulo">vektora kalkulo</a>, estas: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{matrix}\nabla \times (\nabla \times \mathbf {f} )&=&\nabla (\nabla \cdot \mathbf {f} )-(\nabla \cdot \nabla )\mathbf {f} \\&=&{\mbox{grad }}({\mbox{div }}\mathbf {f} )-{\mbox{laplacian }}\mathbf {f} .\end{matrix}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mo>×</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">f</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mo>=</mo> </mtd> <mtd> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">f</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mo>⋅</mo> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">f</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mo>=</mo> </mtd> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mtext>grad </mtext> </mstyle> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mtext>div </mtext> </mstyle> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">f</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mtext>laplacian </mtext> </mstyle> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">f</mi> </mrow> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{matrix}\nabla \times (\nabla \times \mathbf {f} )&=&\nabla (\nabla \cdot \mathbf {f} )-(\nabla \cdot \nabla )\mathbf {f} \\&=&{\mbox{grad }}({\mbox{div }}\mathbf {f} )-{\mbox{laplacian }}\mathbf {f} .\end{matrix}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/204adb02a6c82e0518b7b4e4e000042595c1f080" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:45.506ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{matrix}\nabla \times (\nabla \times \mathbf {f} )&=&\nabla (\nabla \cdot \mathbf {f} )-(\nabla \cdot \nabla )\mathbf {f} \\&=&{\mbox{grad }}({\mbox{div }}\mathbf {f} )-{\mbox{laplacian }}\mathbf {f} .\end{matrix}}}"></span></dd></dl> <p>Ĉi tiu estas speciala okazo de la pli ĝenerala <a href="/wiki/Operatoro_de_Laplaco" class="mw-redirect" title="Operatoro de Laplaco">operatoro de Laplaco</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta =d\delta +\delta d}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mo>=</mo> <mi>d</mi> <mi>δ</mi> <mo>+</mo> <mi>δ</mi> <mi>d</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta =d\delta +\delta d}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d92a393f3c3b5c6102a33f0f0b924476ba09e5c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:12.404ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \Delta =d\delta +\delta d}"></span>. </p><p>Jena idento ankaŭ rilatas la vektora produto kaj la skalara produto: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |\mathbf {a} \times \mathbf {b} |^{2}+|\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} |^{2}=|\mathbf {a} |^{2}|\mathbf {b} |^{2}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">b</mi> </mrow> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">b</mi> </mrow> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">b</mi> </mrow> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |\mathbf {a} \times \mathbf {b} |^{2}+|\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} |^{2}=|\mathbf {a} |^{2}|\mathbf {b} |^{2}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/556cf813f9a3726197815b0484400a239e827612" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:28.851ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle |\mathbf {a} \times \mathbf {b} |^{2}+|\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} |^{2}=|\mathbf {a} |^{2}|\mathbf {b} |^{2}.}"></span></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Vektora_produto_en_karteziaj_koordinatoj">Vektora produto en <a href="/wiki/Karteziaj_koordinatoj" class="mw-redirect" title="Karteziaj koordinatoj">karteziaj koordinatoj</a></h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Vektora_produto&veaction=edit&section=6" title="Redakti sekcion: Vektora produto en karteziaj koordinatoj" class="mw-editsection-visualeditor"><span>redakti</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Vektora_produto&action=edit&section=6" title="Redakti la fontkodo de la sekcio: Vektora produto en karteziaj koordinatoj"><span>redakti fonton</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Kvankam skribita ĉi tie en terminoj de koordinatoj, kiel sekvas el la geometria difino pli supre, la vektora produto estas invarianta sub <a href="/wiki/Rotacio" title="Rotacio">turnadoj</a> de la <a href="/wiki/Koordinatosistemo" class="mw-redirect" title="Koordinatosistemo">koordinatosistemo</a> se la <a href="/wiki/Orienti%C4%9Do" class="mw-redirect" title="Orientiĝo">orientiĝo</a> konserviĝas. </p><p>Se la akso de turnado estas paralela al <b>a</b>×<b>b</b>, ankaŭ la nombra rezulto de vektora produto en koordinatoj konserviĝas. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Skribmaniero_kun_apartaj_koordinatoj">Skribmaniero kun apartaj koordinatoj</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Vektora_produto&veaction=edit&section=7" title="Redakti sekcion: Skribmaniero kun apartaj koordinatoj" class="mw-editsection-visualeditor"><span>redakti</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Vektora_produto&action=edit&section=7" title="Redakti la fontkodo de la sekcio: Skribmaniero kun apartaj koordinatoj"><span>redakti fonton</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>La <a href="/wiki/Unuobla_vektoro" class="mw-redirect" title="Unuobla vektoro">unuoblaj vektoroj</a> <b>i</b>, <b>j</b>, kaj <b>k</b> de la donita perpendikulara koordinatsistemo kontentigas jenon: </p> <dl><dd><b>i</b> × <b>j</b> = <b>k</b> <b>j</b> × <b>k</b> = <b>i</b> <b>k</b> × <b>i</b> = <b>j</b>.</dd></dl> <p>Kun ĉi tiuj reguloj, la koordinatoj de la vektora produto de du vektoroj povas esti komputita facile, sen la bezono difini angulojn. Estu: </p> <dl><dd><b>a</b> = <i>a</i><sub>1</sub><b>i</b> + <i>a</i><sub>2</sub><b>j</b> + <i>a</i><sub>3</sub><b>k</b> = (<i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, <i>a</i><sub>3</sub>)</dd></dl> <p>kaj </p> <dl><dd><b>b</b> = <i>b</i><sub>1</sub><b>i</b> + <i>b</i><sub>2</sub><b>j</b> + <i>b</i><sub>3</sub><b>k</b> = (<i>b</i><sub>1</sub>, <i>b</i><sub>2</sub>, <i>b</i><sub>3</sub>)</dd></dl> <p>Do </p> <dl><dd><b>a</b> × <b>b</b> = (a<sub>2</sub>b<sub>3</sub> - a<sub>3</sub>b<sub>2</sub>) <b>i</b> + (a<sub>3</sub>b<sub>1</sub> - a<sub>1</sub>b<sub>3</sub>) <b>j</b> + (a<sub>1</sub>b<sub>2</sub> - a<sub>2</sub>b<sub>1</sub>) <b>k</b> = (a<sub>2</sub>b<sub>3</sub> - a<sub>3</sub>b<sub>2</sub>, a<sub>3</sub>b<sub>1</sub> - a<sub>1</sub>b<sub>3</sub>, a<sub>1</sub>b<sub>2</sub> - a<sub>2</sub>b<sub>1</sub>)</dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Matrica_skribmaniero">Matrica skribmaniero</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Vektora_produto&veaction=edit&section=8" title="Redakti sekcion: Matrica skribmaniero" class="mw-editsection-visualeditor"><span>redakti</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Vektora_produto&action=edit&section=8" title="Redakti la fontkodo de la sekcio: Matrica skribmaniero"><span>redakti fonton</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>La skribmaniero kun apartaj koordinatoj povas ankaŭ esti skribita formale kiel la <a href="/wiki/Determinanto" title="Determinanto">determinanto</a> de <a href="/wiki/Matrico" title="Matrico">matrico</a>: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =\det {\begin{bmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\\end{bmatrix}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">b</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mo movablelimits="true" form="prefix">det</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>[</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">i</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">j</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">k</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =\det {\begin{bmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\\end{bmatrix}}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6bf77d9e4f80bd8a769327c68afd20ccdfcfc98" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.171ex; width:28.337ex; height:9.343ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =\det {\begin{bmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\\end{bmatrix}}.}"></span></dd></dl> <p>La determinanto de tri vektoroj povas esti reakirita kiel </p> <dl><dd>det (<b>a</b>, <b>b</b>, <b>c</b>) = <b>a</b> · (<b>b</b> × <b>c</b>).</dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Konvertiĝo_al_matrica_multipliko"><span id="Konverti.C4.9Do_al_matrica_multipliko"></span>Konvertiĝo al matrica multipliko</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Vektora_produto&veaction=edit&section=9" title="Redakti sekcion: Konvertiĝo al matrica multipliko" class="mw-editsection-visualeditor"><span>redakti</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Vektora_produto&action=edit&section=9" title="Redakti la fontkodo de la sekcio: Konvertiĝo al matrica multipliko"><span>redakti fonton</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Vektora produto de du vektoroj (kiu povas nur esti difinita en tri-dimensia spaco) povas esti reskribita en terminoj de pura matrica multipliko kiel la produto de <a href="/wiki/Kontra%C5%ADsimetria_matrico" title="Kontraŭsimetria matrico">kontraŭsimetria matrico</a> kaj vektoro, kiel sekvas: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =[\mathbf {a} ]_{\times }\mathbf {b} ={\begin{bmatrix}\,0&\!-a_{3}&\,\,a_{2}\\\,\,a_{3}&0&\!-a_{1}\\-a_{2}&\,\,a_{1}&\,0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{bmatrix}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">b</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <msub> <mo stretchy="false">]</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>×</mo> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">b</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>[</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mspace width="thinmathspace" /> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mspace width="negativethinmathspace" /> <mo>−</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mspace width="thinmathspace" /> <mspace width="thinmathspace" /> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mspace width="thinmathspace" /> <mspace width="thinmathspace" /> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mspace width="negativethinmathspace" /> <mo>−</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>−</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mspace width="thinmathspace" /> <mspace width="thinmathspace" /> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mspace width="thinmathspace" /> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>[</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =[\mathbf {a} ]_{\times }\mathbf {b} ={\begin{bmatrix}\,0&\!-a_{3}&\,\,a_{2}\\\,\,a_{3}&0&\!-a_{1}\\-a_{2}&\,\,a_{1}&\,0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{bmatrix}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fe5f2ef2ad4f1683fe47d483c4ce3e900f419f5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.005ex; width:43.315ex; height:9.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =[\mathbf {a} ]_{\times }\mathbf {b} ={\begin{bmatrix}\,0&\!-a_{3}&\,\,a_{2}\\\,\,a_{3}&0&\!-a_{1}\\-a_{2}&\,\,a_{1}&\,0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{bmatrix}}}"></span></dd></dl> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {b} \times \mathbf {a} =\mathbf {b} ^{T}[\mathbf {a} ]_{\times }={\begin{bmatrix}b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\,0&\!-a_{3}&\,\,\,a_{2}\\\,\,\,a_{3}&\,0&\!-a_{1}\\-a_{2}&\,\,a_{1}&\,0\end{bmatrix}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">b</mi> </mrow> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <mo>=</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">b</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>T</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">[</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <msub> <mo stretchy="false">]</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>×</mo> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>[</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>[</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mspace width="thinmathspace" /> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mspace width="negativethinmathspace" /> <mo>−</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mspace width="thinmathspace" /> <mspace width="thinmathspace" /> <mspace width="thinmathspace" /> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mspace width="thinmathspace" /> <mspace width="thinmathspace" /> <mspace width="thinmathspace" /> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mspace width="thinmathspace" /> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mspace width="negativethinmathspace" /> <mo>−</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>−</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mspace width="thinmathspace" /> <mspace width="thinmathspace" /> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mspace width="thinmathspace" /> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {b} \times \mathbf {a} =\mathbf {b} ^{T}[\mathbf {a} ]_{\times }={\begin{bmatrix}b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\,0&\!-a_{3}&\,\,\,a_{2}\\\,\,\,a_{3}&\,0&\!-a_{1}\\-a_{2}&\,\,a_{1}&\,0\end{bmatrix}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a6325ffedd71b5d8a4073327edc3ba5e0f2a0c7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.005ex; width:51.646ex; height:9.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {b} \times \mathbf {a} =\mathbf {b} ^{T}[\mathbf {a} ]_{\times }={\begin{bmatrix}b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\,0&\!-a_{3}&\,\,\,a_{2}\\\,\,\,a_{3}&\,0&\!-a_{1}\\-a_{2}&\,\,a_{1}&\,0\end{bmatrix}}}"></span></dd></dl> <p>kie </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [\mathbf {a} ]_{\times }{\stackrel {\rm {def}}{=}}{\begin{bmatrix}\,\,0&\!-a_{3}&\,\,\,a_{2}\\\,\,\,a_{3}&0&\!-a_{1}\\\!-a_{2}&\,\,a_{1}&\,\,0\end{bmatrix}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <msub> <mo stretchy="false">]</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>×</mo> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-REL"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-OP MJX-fixedlimits"> <mo>=</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> <mi mathvariant="normal">e</mi> <mi mathvariant="normal">f</mi> </mrow> </mrow> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>[</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mspace width="thinmathspace" /> <mspace width="thinmathspace" /> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mspace width="negativethinmathspace" /> <mo>−</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mspace width="thinmathspace" /> <mspace width="thinmathspace" /> <mspace width="thinmathspace" /> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mspace width="thinmathspace" /> <mspace width="thinmathspace" /> <mspace width="thinmathspace" /> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mspace width="negativethinmathspace" /> <mo>−</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mspace width="negativethinmathspace" /> <mo>−</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mspace width="thinmathspace" /> <mspace width="thinmathspace" /> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mspace width="thinmathspace" /> <mspace width="thinmathspace" /> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [\mathbf {a} ]_{\times }{\stackrel {\rm {def}}{=}}{\begin{bmatrix}\,\,0&\!-a_{3}&\,\,\,a_{2}\\\,\,\,a_{3}&0&\!-a_{1}\\\!-a_{2}&\,\,a_{1}&\,\,0\end{bmatrix}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6983bf8cd5df5a24c966a9655eddb0452664708" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.005ex; width:25.972ex; height:9.176ex;" alt="{\displaystyle [\mathbf {a} ]_{\times }{\stackrel {\rm {def}}{=}}{\begin{bmatrix}\,\,0&\!-a_{3}&\,\,\,a_{2}\\\,\,\,a_{3}&0&\!-a_{1}\\\!-a_{2}&\,\,a_{1}&\,\,0\end{bmatrix}}}"></span></dd></dl> <p>ankaŭ se <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {a} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {a} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a957216653a9ee0d0133dcefd13fb75e36b8b9d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.299ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {a} }"></span> estas rezulto de vektora produto: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {c} \times \mathbf {d} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">c</mi> </mrow> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">d</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {c} \times \mathbf {d} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc201a9efafe594ecba74e68840b8c3af2bb880f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.912ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {c} \times \mathbf {d} }"></span></dd></dl> <p>tiam </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [\mathbf {a} ]_{\times }=(\mathbf {c} \mathbf {d} ^{T})^{T}-\mathbf {c} \mathbf {d} ^{T}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <msub> <mo stretchy="false">]</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>×</mo> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">c</mi> </mrow> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">d</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>T</mi> </mrow> </msup> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>T</mi> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">c</mi> </mrow> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">d</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>T</mi> </mrow> </msup> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [\mathbf {a} ]_{\times }=(\mathbf {c} \mathbf {d} ^{T})^{T}-\mathbf {c} \mathbf {d} ^{T}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58a124ed74088042d2cf694925a50907e8ca40c0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:22.013ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle [\mathbf {a} ]_{\times }=(\mathbf {c} \mathbf {d} ^{T})^{T}-\mathbf {c} \mathbf {d} ^{T}.}"></span></dd></dl> <p>Ĉi tiu skribmaniero donas manieron de ĝeneraligado de vektora produto al la pli altaj dimensioj per anstataŭigo de <a href="/w/index.php?title=Pse%C5%ADdovektoro&action=edit&redlink=1" class="new" title="Pseŭdovektoro (paĝo ne ekzistas)">pseŭdovektoroj</a> (tiaj kiel <a href="/wiki/Angula_rapido" title="Angula rapido">angula rapido</a> aŭ <a href="/wiki/Magneta_kampo" title="Magneta kampo">magneta kampo</a>) per tiaj deklivo-simetriaj matricoj. Ĉi tiaj fizikaj kvantoj havas <i>n(n-1)/2</i> sendependajn komponantojn en <i>n</i> dimensioj, kio koincidas kun kvanto de dimensioj por tri-dimensia spaco, kaj ĉi tio estas kial vektoroj povas esti uzataj por prezenti ĉi tiaj kvantoj en 3-dimensia fiziko. </p><p>De la ĝeneralaj propraĵoj de la vektora produto sekvas ke: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [\mathbf {a} ]_{\times }\,\mathbf {a} =\mathbf {0} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <msub> <mo stretchy="false">]</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>×</mo> </mrow> </msub> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn mathvariant="bold">0</mn> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [\mathbf {a} ]_{\times }\,\mathbf {a} =\mathbf {0} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e918b623a3b34134199284e350a5a06f8fe0305" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.226ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [\mathbf {a} ]_{\times }\,\mathbf {a} =\mathbf {0} }"></span> kaj <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {a} ^{T}\,[\mathbf {a} ]_{\times }=\mathbf {0} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>T</mi> </mrow> </msup> <mspace width="thinmathspace" /> <mo stretchy="false">[</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <msub> <mo stretchy="false">]</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>×</mo> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn mathvariant="bold">0</mn> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {a} ^{T}\,[\mathbf {a} ]_{\times }=\mathbf {0} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/482a3c27b23b2fadc311d5ad31a0e71fff24efe6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.615ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {a} ^{T}\,[\mathbf {a} ]_{\times }=\mathbf {0} }"></span></dd></dl> <p>kaj de tio ke <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [\mathbf {a} ]_{\times }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <msub> <mo stretchy="false">]</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>×</mo> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [\mathbf {a} ]_{\times }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fc9e758b3ad8cb3b81bbda72b768e9509a0022c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.104ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [\mathbf {a} ]_{\times }}"></span> estas deklivo-simetria ĝi sekvas ke </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {b} ^{T}\,[\mathbf {a} ]_{\times }\,\mathbf {b} =0.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">b</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>T</mi> </mrow> </msup> <mspace width="thinmathspace" /> <mo stretchy="false">[</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <msub> <mo stretchy="false">]</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>×</mo> </mrow> </msub> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">b</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {b} ^{T}\,[\mathbf {a} ]_{\times }\,\mathbf {b} =0.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa968012473cf638bb9948cf9ac4c6ab29d99e5a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.146ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {b} ^{T}\,[\mathbf {a} ]_{\times }\,\mathbf {b} =0.}"></span></dd></dl> <p>La <i>formulo de Lagrange</i> (vidu pli supre) povas esti pruvita uzante ĉi tiun skribmanieron. </p><p>La pli supra difino de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [\mathbf {a} ]_{\times }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <msub> <mo stretchy="false">]</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>×</mo> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [\mathbf {a} ]_{\times }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fc9e758b3ad8cb3b81bbda72b768e9509a0022c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.104ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [\mathbf {a} ]_{\times }}"></span> signifas ke estas dissurĵeto inter la aro de 3×3 deklivo-simetriaj matricoj (ankaŭ skribata kiel <a href="/wiki/SO(3)" class="mw-redirect" title="SO(3)">SO(3)</a>), kaj la operacio de prenado la vektora produto kun iu vektoro <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {a} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {a} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a957216653a9ee0d0133dcefd13fb75e36b8b9d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.299ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {a} }"></span>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Aplikoj">Aplikoj</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Vektora_produto&veaction=edit&section=10" title="Redakti sekcion: Aplikoj" class="mw-editsection-visualeditor"><span>redakti</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Vektora_produto&action=edit&section=10" title="Redakti la fontkodo de la sekcio: Aplikoj"><span>redakti fonton</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>La vektora produto okazas en la formulo por la <a href="/w/index.php?title=Vektora_operatoro&action=edit&redlink=1" class="new" title="Vektora operatoro (paĝo ne ekzistas)">vektora operatora</a> <a href="/wiki/Kirlo_(matematiko)" title="Kirlo (matematiko)">kirlo</a>. Ĝi estas ankaŭ uzita por priskribi la <a href="/wiki/Lorenca_forto" title="Lorenca forto">lorencan forton</a> spertatan per movanta <a href="/wiki/Elektra_%C5%9Dargo" title="Elektra ŝargo">elektra ŝargo</a> en <a href="/wiki/Magneta_kampo" title="Magneta kampo">magneta kampo</a>. La difinoj de <a href="/wiki/Momanto_(fiziko)" class="mw-redirect mw-disambig" title="Momanto (fiziko)">momanto (fiziko)</a> kaj <a href="/wiki/Angula_movokvanto" title="Angula movokvanto">angula movokvanto</a> ankaŭ enhavas la vektoran produton. </p><p>La vektora produto povas ankaŭ esti uzata por kalkuli la <a href="/wiki/Normalo" class="mw-redirect" title="Normalo">normalon</a> por triangulo aŭ plurlatero, operacio ofte plenumata en <a href="/wiki/Komputila_grafiko" title="Komputila grafiko">komputila grafiko</a>. </p><p>Por donita punkto <b>p</b> kaj linio tra <b>a</b> kaj <b>b</b> en ebeno, ĉiuj kun <i>z</i> koordinata nulo, <i>z</i> komponanto de (<b>p</b>-<b>a</b>) × (<b>b</b>-<b>a</b>) estas pozitiva aŭ negativa, depende de tio en kiu flanko de la linio <b>p</b> estas. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Vektora_produto_kaj_dekstreco">Vektora produto kaj <a href="/w/index.php?title=Dekstreco&action=edit&redlink=1" class="new" title="Dekstreco (paĝo ne ekzistas)">dekstreco</a></h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Vektora_produto&veaction=edit&section=11" title="Redakti sekcion: Vektora produto kaj dekstreco" class="mw-editsection-visualeditor"><span>redakti</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Vektora_produto&action=edit&section=11" title="Redakti la fontkodo de la sekcio: Vektora produto kaj dekstreco"><span>redakti fonton</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Kiam mezureblaj kvantoj enhavas vektorajn produtojn, la <i>dekstreco</i> de la uzartaj koordinatsistemoj ne povas esti ajna. Tamen, kiam fizikaj leĝoj estas skribitaj kiel ekvacioj, devus ebli fari ajnan elekton de la koordinatsistemo (inkluzivante ajnan dekstrecon). Por eviti problemojn, oni devus singardi al neniam skribi ekvacion kie la du flankoj ne kondutas egale sub ĉiuj transformoj kiuj bezone estas konsiderataj. Ekzemple, se unu flanko de la ekvacio estas vektora produto de du vektoroj, oni devas konsideri ke kiam la dekstreco de la koordinatsistemo ne estas fiksita apriore, la rezulto estas ne (vera) vektoro sed <a href="/w/index.php?title=Pse%C5%ADdovektoro&action=edit&redlink=1" class="new" title="Pseŭdovektoro (paĝo ne ekzistas)">pseŭdovektoro</a>. Pro tio, por konsekvenco, la kateto <b>devas</b> ankaŭ esti pseŭdovektoro. </p><p>Pli ĝenerale, la rezulto de vektora produto povas esti ĉu vektoro aŭ pseŭdovektoro, dependanta de la specoj de ĝiaj argumentaj vektoroj aŭ pseŭdovektoroj: </p> <dl><dd>vektoro × vektoro = pseŭdovektoro</dd> <dd>vektoro × pseŭdovektoro = vektoro</dd> <dd>pseŭdovektoro × pseŭdovektoro = pseŭdovektoro</dd></dl> <p>Ĉar la vektora produto povas ankaŭ esti vera vektoro, ĝi povas ne ŝanĝi direkton kun spegula bilda transformo. Ĉi tiu okazas, laŭ la pli supre interrilatoj, se unu el la argumentoj estas (vera) vektoro kaj la alia unu estas pseŭdovektoro (<i>e.g.</i>, la vektora produto de du vektoroj). </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Ekzemploj">Ekzemploj</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Vektora_produto&veaction=edit&section=12" title="Redakti sekcion: Ekzemploj" class="mw-editsection-visualeditor"><span>redakti</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Vektora_produto&action=edit&section=12" title="Redakti la fontkodo de la sekcio: Ekzemploj"><span>redakti fonton</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Ekzemplo_1">Ekzemplo 1</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Vektora_produto&veaction=edit&section=13" title="Redakti sekcion: Ekzemplo 1" class="mw-editsection-visualeditor"><span>redakti</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Vektora_produto&action=edit&section=13" title="Redakti la fontkodo de la sekcio: Ekzemplo 1"><span>redakti fonton</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Estu du vektoroj <b>a</b> = (1,2,3) kaj <b>b</b> = (4,5,6). La vektora produto <b>a</b> × <b>b</b> estas </p> <dl><dd><b>a</b> × <b>b</b> = (1,2,3) × (4,5,6) = ((2 × 6 - 3 × 5),-(1 × 6 - 3 × 4),+(1 × 5 - 2 × 4)) = (-3,6,-3).</dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Ekzemplo_2">Ekzemplo 2</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Vektora_produto&veaction=edit&section=14" title="Redakti sekcion: Ekzemplo 2" class="mw-editsection-visualeditor"><span>redakti</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Vektora_produto&action=edit&section=14" title="Redakti la fontkodo de la sekcio: Ekzemplo 2"><span>redakti fonton</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Estu du vektoroj <b>a</b> = (3,0,0) kaj <b>b</b> = (0,2,0). La vektora produto <b>a</b> × <b>b</b> estas </p> <dl><dd><b>a</b> × <b>b</b> = (3,0,0) × (0,2,0) = ((0 × 0 - 0 × 2), (0 × 0 - 3 × 0), (3 × 2 - 0 × 0)) = (0,0,6).</dd></dl> <p>Ĉi tiu ekzemplo havas jenaj interpretadoj: </p> <ol><li>La areo de la paralelogramo (ortangulo en ĉi tiu okazo) estas 2 × 3 = 6.</li> <li>La vektora produto de du vektoroj en la <i>xy</i> ebeno estos esti paralela al la <i>z</i> akso.</li> <li>Pro tio ke) la z-komponanto de la rezulto estas pozitiva, la ne-malakuta angulo de <b>a</b> al <b>b</b> estas kontraŭhorloĝnadla, se observita de punkto sur la +<i>z</i> duonakso, se la koordinatsistemo estas dekstra.</li></ol> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Pli_altaj_dimensioj">Pli altaj dimensioj</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Vektora_produto&veaction=edit&section=15" title="Redakti sekcion: Pli altaj dimensioj" class="mw-editsection-visualeditor"><span>redakti</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Vektora_produto&action=edit&section=15" title="Redakti la fontkodo de la sekcio: Pli altaj dimensioj"><span>redakti fonton</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Estas kelkaj vojoj al ĝeneraligi la vektora produto al la pli altaj dimensioj. </p><p>En la ĉirkaŭteksto de <a href="/w/index.php?title=Plurlineara_al%C4%9Debro&action=edit&redlink=1" class="new" title="Plurlineara alĝebro (paĝo ne ekzistas)">plurlineara alĝebro</a>, eblas difini ĝeneraligitan vektoran produton en terminoj de <a href="/wiki/Pareco" class="mw-disambig" title="Pareco">pareco</a> tiel ke la ĝeneraligita vektora produto de du vektoroj de dimensio <i>n</i> estas <a href="/w/index.php?title=Deklivo-simetria&action=edit&redlink=1" class="new" title="Deklivo-simetria (paĝo ne ekzistas)">deklivo-simetria</a> <a href="/wiki/Tensoro" title="Tensoro">tensoro</a> de rango <i>n-2</i>. </p><p>La aliaj eblecoj estas la <a href="/w/index.php?title=Sep-dimensia_vektora_produto&action=edit&redlink=1" class="new" title="Sep-dimensia vektora produto (paĝo ne ekzistas)">sep-dimensia vektora produto</a> kaj la <a href="/w/index.php?title=Ekstera_produto&action=edit&redlink=1" class="new" title="Ekstera produto (paĝo ne ekzistas)">ekstera produto</a> en <a href="/w/index.php?title=Ekstera%C4%B5a_al%C4%9Debro&action=edit&redlink=1" class="new" title="Eksteraĵa alĝebro (paĝo ne ekzistas)">eksteraĵa alĝebro</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Vidu_ankaŭ"><span id="Vidu_anka.C5.AD"></span>Vidu ankaŭ</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Vektora_produto&veaction=edit&section=16" title="Redakti sekcion: Vidu ankaŭ" class="mw-editsection-visualeditor"><span>redakti</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Vektora_produto&action=edit&section=16" title="Redakti la fontkodo de la sekcio: Vidu ankaŭ"><span>redakti fonton</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/Skalara_produto" title="Skalara produto">Skalara produto</a> (aŭ <i>punkta produto</i>)</li> <li><a href="/w/index.php?title=Triopa_produto&action=edit&redlink=1" class="new" title="Triopa produto (paĝo ne ekzistas)">Triopa produto</a> - kelkaj produtoj de tri vektoroj</li> <li><a href="/w/index.php?title=Multaj_vektoraj_produtoj&action=edit&redlink=1" class="new" title="Multaj vektoraj produtoj (paĝo ne ekzistas)">Multaj vektoraj produtoj</a> - produtoj de pli ol tri vektoroj</li> <li><a href="/wiki/Cilindro_(algebro)" title="Cilindro (algebro)">Cilindro (algebro)</a> - produto de du aroj</li> <li><a href="/wiki/%C3%97" class="mw-redirect" title="×">×</a> (la simbolo)</li> <li><a href="/wiki/Regulo_de_la_dekstra_mano" title="Regulo de la dekstra mano">Regulo de la dekstra mano</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Eksteraj_ligiloj">Eksteraj ligiloj</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Vektora_produto&veaction=edit&section=17" title="Redakti sekcion: Eksteraj ligiloj" class="mw-editsection-visualeditor"><span>redakti</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Vektora_produto&action=edit&section=17" title="Redakti la fontkodo de la sekcio: Eksteraj ligiloj"><span>redakti fonton</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="noprint" id="aliaj_projektoj" style="float: right; clear: right; width: 250px; border: 1px solid #aaa; padding: 4px; font-size: 90%; background: #f9f9f9;"> <ul class="noarchive"><li class="commons"><span class="plainlinks"><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Cross_product?uselang=eo">Kategorio Vektora produto en la <span>Vikimedia Komunejo</span></a> (Multrimedaj datumoj)</span> </li></ul> </div> <ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://uk.arxiv.org/abs/math.la/0204357">Z.K. Mult-dimensia vektora produto. Ĵurnalo de Fiziko. A35, 4949</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20150905192839/http://uk.arxiv.org/abs/math.la/0204357">Arkivigite je</a> 2015-09-05 per la retarkivo <a href="/wiki/Wayback_Machine" title="Wayback Machine">Wayback Machine</a> (ĝi estas ebla nur en 7-D spaco)</li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.cut-the-knot.org/arithmetic/algebra/RealComplexProducts.shtml">Reela kaj kompleksa produtoj de kompleksaj nombroj</a></li></ul></div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Elŝutita el "<a dir="ltr" href="https://eo.wikipedia.org/w/index.php?title=Vektora_produto&oldid=8572746">https://eo.wikipedia.org/w/index.php?title=Vektora_produto&oldid=8572746</a>"</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/Speciala%C4%B5o:Kategorioj" title="Specialaĵo:Kategorioj">Kategorioj</a>: <ul><li><a href="/wiki/Kategorio:Abstrakta_algebro" title="Kategorio:Abstrakta algebro">Abstrakta algebro</a></li><li><a href="/wiki/Kategorio:Lineara_algebro" title="Kategorio:Lineara algebro">Lineara algebro</a></li><li><a href="/wiki/Kategorio:Dulokaj_operacioj" title="Kategorio:Dulokaj operacioj">Dulokaj operacioj</a></li></ul></div><div id="mw-hidden-catlinks" class="mw-hidden-catlinks mw-hidden-cats-hidden">Kaŝita kategorio: <ul><li><a href="/wiki/Kategorio:Listo_de_arkivitaj_pa%C4%9Doj_de_Retarkivo" title="Kategorio:Listo de arkivitaj paĝoj de Retarkivo">Listo de arkivitaj paĝoj de Retarkivo</a></li></ul></div></div> </div> </main> </div> <div class="mw-footer-container"> <footer id="footer" class="mw-footer" > <ul id="footer-info"> <li id="footer-info-lastmod"> Ĉi tiu paĝo estis lastafoje redaktita je 07:47, 5 jan. 2024.</li> <li id="footer-info-copyright">La teksto disponeblas laŭ la permesilo <a rel="nofollow" class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.eo">Krea Komunaĵo Atribuite-Samkondiĉe 4.0 Neadaptita</a>; eble aldonaj kondiĉoj aplikeblas. Vidu la <a class="external text" href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Terms_of_Use">uzkondiĉojn</a> por detaloj.</li> </ul> <ul id="footer-places"> <li id="footer-places-privacy"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Privacy_policy">Regularo pri respekto de la privateco</a></li> <li id="footer-places-about"><a href="/wiki/Vikipedio:Enkonduko">Pri Vikipedio</a></li> <li id="footer-places-disclaimers"><a href="/wiki/Vikipedio:Malgarantio">Malgarantioj</a></li> <li id="footer-places-wm-codeofconduct"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Universal_Code_of_Conduct">Code of Conduct</a></li> <li id="footer-places-developers"><a href="https://developer.wikimedia.org">Programistoj</a></li> <li id="footer-places-statslink"><a href="https://stats.wikimedia.org/#/eo.wikipedia.org">Statistikoj</a></li> <li id="footer-places-cookiestatement"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Cookie_statement">Deklaro pri kuketoj</a></li> <li id="footer-places-mobileview"><a href="//eo.m.wikipedia.org/w/index.php?title=Vektora_produto&mobileaction=toggle_view_mobile" class="noprint stopMobileRedirectToggle">Poŝtelefona vido</a></li> </ul> <ul id="footer-icons" class="noprint"> <li id="footer-copyrightico"><a href="https://wikimediafoundation.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/static/images/footer/wikimedia-button.svg" width="84" height="29" alt="Wikimedia Foundation" loading="lazy"></a></li> <li id="footer-poweredbyico"><a href="https://www.mediawiki.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/w/resources/assets/poweredby_mediawiki.svg" alt="Powered by MediaWiki" width="88" height="31" loading="lazy"></a></li> </ul> </footer> </div> </div> </div> <div class="vector-settings" id="p-dock-bottom"> <ul></ul> </div><script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.config.set({"wgHostname":"mw-web.codfw.main-6b8d669998-llsvk","wgBackendResponseTime":140,"wgPageParseReport":{"limitreport":{"cputime":"0.089","walltime":"0.214","ppvisitednodes":{"value":351,"limit":1000000},"postexpandincludesize":{"value":1386,"limit":2097152},"templateargumentsize":{"value":14,"limit":2097152},"expansiondepth":{"value":5,"limit":100},"expensivefunctioncount":{"value":0,"limit":500},"unstrip-depth":{"value":0,"limit":20},"unstrip-size":{"value":1374,"limit":5000000},"entityaccesscount":{"value":1,"limit":400},"timingprofile":["100.00% 96.438 1 -total"," 75.57% 72.882 1 Ŝablono:Projektoj"," 12.54% 12.094 1 Ŝablono:Webarchiv"," 11.21% 10.813 1 Ŝablono:Ĉefartikolo"]},"scribunto":{"limitreport-timeusage":{"value":"0.013","limit":"10.000"},"limitreport-memusage":{"value":1376371,"limit":52428800}},"cachereport":{"origin":"mw-web.eqiad.main-67876799fc-9cdln","timestamp":"20241127150613","ttl":2592000,"transientcontent":false}}});});</script> <script type="application/ld+json">{"@context":"https:\/\/schema.org","@type":"Article","name":"Vektora produto","url":"https:\/\/eo.wikipedia.org\/wiki\/Vektora_produto","sameAs":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q178192","mainEntity":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q178192","author":{"@type":"Organization","name":"Contributors to Wikimedia projects"},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Wikimedia Foundation, Inc.","logo":{"@type":"ImageObject","url":"https:\/\/www.wikimedia.org\/static\/images\/wmf-hor-googpub.png"}},"datePublished":"2008-01-15T18:40:03Z","image":"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/d\/df\/Crossproduct.png"}</script> </body> </html>

CINXE.COM

Vektora produto - Vikipedio