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<!DOCTYPE html> <html lang="en" prefix="dcterms: http://purl.org/dc/terms/"> <head> <meta content="text/html; charset=utf-8" http-equiv="content-type"/> <title>A New Proof of Sub-Gaussian Norm Concentration Inequality</title>   <meta content="width=device-width, initial-scale=1, shrink-to-fit=no" name="viewport"/> <link href="https://cdn.jsdelivr.net/npm/bootstrap@5.3.0/dist/css/bootstrap.min.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <link href="/static/browse/0.3.4/css/ar5iv.0.7.9.min.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <link href="/static/browse/0.3.4/css/ar5iv-fonts.0.7.9.min.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <link href="/static/browse/0.3.4/css/latexml_styles.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <script src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/bootstrap@5.3.0/dist/js/bootstrap.bundle.min.js"></script> <script src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/html2canvas/1.3.3/html2canvas.min.js"></script> <script src="/static/browse/0.3.4/js/addons_new.js"></script> <script src="/static/browse/0.3.4/js/feedbackOverlay.js"></script> <base href="/html/2503.14347v1/"/></head> <body> <nav class="ltx_page_navbar"> <nav class="ltx_TOC"> <ol class="ltx_toclist"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14347v1#S1" title="In A New Proof of Sub-Gaussian Norm Concentration Inequality"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">1 </span>Sub-Gaussian norm concentration inequality</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14347v1#S2" title="In A New Proof of Sub-Gaussian Norm Concentration Inequality"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">2 </span>New Proof based on Averaged Moment Generating Function</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14347v1#S3" title="In A New Proof of Sub-Gaussian Norm Concentration Inequality"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">3 </span>Conclusion</span></a></li> </ol></nav> </nav> <div class="ltx_page_main"> <div class="ltx_page_content"> <article class="ltx_document ltx_authors_1line"> <h1 class="ltx_title ltx_title_document"> A New Proof of Sub-Gaussian Norm Concentration Inequality</h1> <div class="ltx_authors"> <span class="ltx_creator ltx_role_author"> <span class="ltx_personname"> Zishun Liu <br class="ltx_break"/>Georgia Institute of Technology <br class="ltx_break"/>Atlanta, GA 30332 <br class="ltx_break"/><span class="ltx_text ltx_font_typewriter" id="id2.1.id1">zliu910@gatech.edu</span> <br class="ltx_break"/>& Yongxin Chen <br class="ltx_break"/>Georgia Institute of Technology <br class="ltx_break"/>Atlanta, GA 30332 <br class="ltx_break"/><span class="ltx_text ltx_font_typewriter" id="id3.2.id2">yongchen@gatech.edu</span> <br class="ltx_break"/> </span></span> </div> <div class="ltx_abstract"> <h6 class="ltx_title ltx_title_abstract">Abstract</h6> <p class="ltx_p" id="id1.1">We present a new proof of the sub-Gaussian norm concentration inequality. Our proof is based on an averaged version of the moment generating function termed the averaged moment generating function. Compared with the widely adopted <math alttext="\varepsilon" class="ltx_Math" display="inline" id="id1.1.m1.1"><semantics id="id1.1.m1.1a"><mi id="id1.1.m1.1.1" xref="id1.1.m1.1.1.cmml">ε</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="id1.1.m1.1b"><ci id="id1.1.m1.1.1.cmml" xref="id1.1.m1.1.1">𝜀</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="id1.1.m1.1c">\varepsilon</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="id1.1.m1.1d">italic_ε</annotation></semantics></math>-net technique-based proof of the sub-Gaussian norm concentration inequality, our method does not rely on the union bound and promises a tighter concentration bound.</p> </div> <section class="ltx_section" id="S1"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">1 </span>Sub-Gaussian norm concentration inequality</h2> <div class="ltx_para" id="S1.p1"> <p class="ltx_p" id="S1.p1.1">Concentration inequalities are mathematical tools in probability theory that describe how a random variable deviates from some value, typically its expectation. Some commonly used instances include Markov’s inequality, Chebyshev’s inequality, and Chernoff bounds. These concentration inequalities play an essential role in various fields, including probability theory, statistics, machine learning, finance, etc, providing probabilistic guarantees when dealing with random quantities. Many probability distributions exhibit concentration properties, among which we consider an important class known as <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S1.p1.1.1">sub-Gaussian</span> distribution. The sub-Gaussian random variable is formally defined as follows.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_definition" id="S1.Thmdefinition1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S1.Thmdefinition1.1.1.1">Definition 1.1</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S1.Thmdefinition1.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="S1.Thmdefinition1.p1"> <p class="ltx_p" id="S1.Thmdefinition1.p1.2"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S1.Thmdefinition1.p1.2.2">A random variable <math alttext="X\in\mathbb{R}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1"><semantics id="S1.Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1a"><mrow id="S1.Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.1" xref="S1.Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S1.Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="S1.Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml">X</mi><mo id="S1.Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.1.1" xref="S1.Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml">∈</mo><mi id="S1.Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="S1.Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml">ℝ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1b"><apply id="S1.Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.1"><in id="S1.Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S1.Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.1.1"></in><ci id="S1.Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S1.Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.1.2">𝑋</ci><ci id="S1.Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S1.Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.1.3">ℝ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1c">X\in\mathbb{R}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1d">italic_X ∈ blackboard_R</annotation></semantics></math> is said to be sub-Gaussian with variance proxy <math alttext="\sigma^{2}>0" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.1"><semantics id="S1.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.1a"><mrow id="S1.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.1.1" xref="S1.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.1.1.cmml"><msup id="S1.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.1.1.2" xref="S1.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S1.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.1.1.2.2" xref="S1.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.1.1.2.2.cmml">σ</mi><mn id="S1.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.1.1.2.3" xref="S1.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.1.1.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S1.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.1.1.1" xref="S1.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml">></mo><mn id="S1.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.1.1.3" xref="S1.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.1b"><apply id="S1.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="S1.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.1.1"><gt id="S1.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S1.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.1.1.1"></gt><apply id="S1.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S1.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S1.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S1.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S1.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.1.1.2.2">𝜎</ci><cn id="S1.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S1.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.1.1.2.3">2</cn></apply><cn id="S1.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.1c">\sigma^{2}>0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.1d">italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT > 0</annotation></semantics></math> if</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S1.E1"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\mathbb{E}_{X}(e^{\lambda X})\leq e^{\frac{\lambda^{2}\sigma^{2}}{2}},~{}% \forall\lambda\in\mathbb{R}." class="ltx_Math" display="block" id="S1.E1.m1.1"><semantics id="S1.E1.m1.1a"><mrow id="S1.E1.m1.1.1.1"><mrow id="S1.E1.m1.1.1.1.1.2" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">𝔼</mi><mi id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">X</mi></msub><mo id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">e</mi><mrow id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">λ</mi><mo id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">X</mi></mrow></msup><mo id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">≤</mo><msup id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">e</mi><mfrac id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mrow id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml"><msup id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml"><mi id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.cmml">λ</mi><mn id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.3" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml"><mi id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.cmml">σ</mi><mn id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mn id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></mfrac></msup></mrow><mo id="S1.E1.m1.1.1.1.1.2.3" rspace="0.497em" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S1.E1.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S1.E1.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mo id="S1.E1.m1.1.1.1.1.2.2.2.1" rspace="0.167em" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml">∀</mo><mi id="S1.E1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">λ</mi></mrow><mo id="S1.E1.m1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">∈</mo><mi id="S1.E1.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">ℝ</mi></mrow></mrow><mo id="S1.E1.m1.1.1.1.2" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.E1.m1.1b"><apply id="S1.E1.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E1.m1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1"><leq id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2"></leq><apply id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝔼</ci><ci id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑋</ci></apply><apply id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑒</ci><apply id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝜆</ci><ci id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑋</ci></apply></apply></apply><apply id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑒</ci><apply id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3"><divide id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3"></divide><apply id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2"><times id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1"></times><apply id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.1.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2">superscript</csymbol><ci id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2">𝜆</ci><cn id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.1.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3">superscript</csymbol><ci id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2">𝜎</ci><cn id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3">2</cn></apply></apply><cn id="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S1.E1.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.2.2"><in id="S1.E1.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.2.2.1"></in><apply id="S1.E1.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S1.E1.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.2.2.2.1">for-all</csymbol><ci id="S1.E1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2">𝜆</ci></apply><ci id="S1.E1.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1.1.1.2.2.3">ℝ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.E1.m1.1c">\mathbb{E}_{X}(e^{\lambda X})\leq e^{\frac{\lambda^{2}\sigma^{2}}{2}},~{}% \forall\lambda\in\mathbb{R}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.E1.m1.1d">blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT italic_X end_POSTSUBSCRIPT ( italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_λ italic_X end_POSTSUPERSCRIPT ) ≤ italic_e start_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG italic_λ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 2 end_ARG end_POSTSUPERSCRIPT , ∀ italic_λ ∈ blackboard_R .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(1)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S1.Thmdefinition1.p1.6"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S1.Thmdefinition1.p1.6.4">A random vector <math alttext="X\in\mathbb{R}^{n}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.Thmdefinition1.p1.3.1.m1.1"><semantics id="S1.Thmdefinition1.p1.3.1.m1.1a"><mrow id="S1.Thmdefinition1.p1.3.1.m1.1.1" xref="S1.Thmdefinition1.p1.3.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S1.Thmdefinition1.p1.3.1.m1.1.1.2" xref="S1.Thmdefinition1.p1.3.1.m1.1.1.2.cmml">X</mi><mo id="S1.Thmdefinition1.p1.3.1.m1.1.1.1" xref="S1.Thmdefinition1.p1.3.1.m1.1.1.1.cmml">∈</mo><msup id="S1.Thmdefinition1.p1.3.1.m1.1.1.3" xref="S1.Thmdefinition1.p1.3.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S1.Thmdefinition1.p1.3.1.m1.1.1.3.2" xref="S1.Thmdefinition1.p1.3.1.m1.1.1.3.2.cmml">ℝ</mi><mi id="S1.Thmdefinition1.p1.3.1.m1.1.1.3.3" xref="S1.Thmdefinition1.p1.3.1.m1.1.1.3.3.cmml">n</mi></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.Thmdefinition1.p1.3.1.m1.1b"><apply id="S1.Thmdefinition1.p1.3.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.Thmdefinition1.p1.3.1.m1.1.1"><in id="S1.Thmdefinition1.p1.3.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S1.Thmdefinition1.p1.3.1.m1.1.1.1"></in><ci id="S1.Thmdefinition1.p1.3.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S1.Thmdefinition1.p1.3.1.m1.1.1.2">𝑋</ci><apply id="S1.Thmdefinition1.p1.3.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S1.Thmdefinition1.p1.3.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Thmdefinition1.p1.3.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S1.Thmdefinition1.p1.3.1.m1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S1.Thmdefinition1.p1.3.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S1.Thmdefinition1.p1.3.1.m1.1.1.3.2">ℝ</ci><ci id="S1.Thmdefinition1.p1.3.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S1.Thmdefinition1.p1.3.1.m1.1.1.3.3">𝑛</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.Thmdefinition1.p1.3.1.m1.1c">X\in\mathbb{R}^{n}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.Thmdefinition1.p1.3.1.m1.1d">italic_X ∈ blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is sub-Gaussian with variance proxy <math alttext="\sigma^{2}>0" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.Thmdefinition1.p1.4.2.m2.1"><semantics id="S1.Thmdefinition1.p1.4.2.m2.1a"><mrow id="S1.Thmdefinition1.p1.4.2.m2.1.1" xref="S1.Thmdefinition1.p1.4.2.m2.1.1.cmml"><msup id="S1.Thmdefinition1.p1.4.2.m2.1.1.2" xref="S1.Thmdefinition1.p1.4.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S1.Thmdefinition1.p1.4.2.m2.1.1.2.2" xref="S1.Thmdefinition1.p1.4.2.m2.1.1.2.2.cmml">σ</mi><mn id="S1.Thmdefinition1.p1.4.2.m2.1.1.2.3" xref="S1.Thmdefinition1.p1.4.2.m2.1.1.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S1.Thmdefinition1.p1.4.2.m2.1.1.1" xref="S1.Thmdefinition1.p1.4.2.m2.1.1.1.cmml">></mo><mn id="S1.Thmdefinition1.p1.4.2.m2.1.1.3" xref="S1.Thmdefinition1.p1.4.2.m2.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.Thmdefinition1.p1.4.2.m2.1b"><apply id="S1.Thmdefinition1.p1.4.2.m2.1.1.cmml" xref="S1.Thmdefinition1.p1.4.2.m2.1.1"><gt id="S1.Thmdefinition1.p1.4.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S1.Thmdefinition1.p1.4.2.m2.1.1.1"></gt><apply id="S1.Thmdefinition1.p1.4.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S1.Thmdefinition1.p1.4.2.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Thmdefinition1.p1.4.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S1.Thmdefinition1.p1.4.2.m2.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S1.Thmdefinition1.p1.4.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S1.Thmdefinition1.p1.4.2.m2.1.1.2.2">𝜎</ci><cn id="S1.Thmdefinition1.p1.4.2.m2.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S1.Thmdefinition1.p1.4.2.m2.1.1.2.3">2</cn></apply><cn id="S1.Thmdefinition1.p1.4.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.Thmdefinition1.p1.4.2.m2.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.Thmdefinition1.p1.4.2.m2.1c">\sigma^{2}>0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.Thmdefinition1.p1.4.2.m2.1d">italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT > 0</annotation></semantics></math> if <math alttext="\langle\ell,X\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.Thmdefinition1.p1.5.3.m3.2"><semantics id="S1.Thmdefinition1.p1.5.3.m3.2a"><mrow id="S1.Thmdefinition1.p1.5.3.m3.2.3.2" xref="S1.Thmdefinition1.p1.5.3.m3.2.3.1.cmml"><mo id="S1.Thmdefinition1.p1.5.3.m3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.Thmdefinition1.p1.5.3.m3.2.3.1.cmml">⟨</mo><mi id="S1.Thmdefinition1.p1.5.3.m3.1.1" mathvariant="normal" xref="S1.Thmdefinition1.p1.5.3.m3.1.1.cmml">ℓ</mi><mo id="S1.Thmdefinition1.p1.5.3.m3.2.3.2.2" xref="S1.Thmdefinition1.p1.5.3.m3.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S1.Thmdefinition1.p1.5.3.m3.2.2" xref="S1.Thmdefinition1.p1.5.3.m3.2.2.cmml">X</mi><mo id="S1.Thmdefinition1.p1.5.3.m3.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S1.Thmdefinition1.p1.5.3.m3.2.3.1.cmml">⟩</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.Thmdefinition1.p1.5.3.m3.2b"><list id="S1.Thmdefinition1.p1.5.3.m3.2.3.1.cmml" xref="S1.Thmdefinition1.p1.5.3.m3.2.3.2"><ci id="S1.Thmdefinition1.p1.5.3.m3.1.1.cmml" xref="S1.Thmdefinition1.p1.5.3.m3.1.1">ℓ</ci><ci id="S1.Thmdefinition1.p1.5.3.m3.2.2.cmml" xref="S1.Thmdefinition1.p1.5.3.m3.2.2">𝑋</ci></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.Thmdefinition1.p1.5.3.m3.2c">\langle\ell,X\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.Thmdefinition1.p1.5.3.m3.2d">⟨ roman_ℓ , italic_X ⟩</annotation></semantics></math> is sub-Gaussian for any unit vector <math alttext="\ell" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.Thmdefinition1.p1.6.4.m4.1"><semantics id="S1.Thmdefinition1.p1.6.4.m4.1a"><mi id="S1.Thmdefinition1.p1.6.4.m4.1.1" mathvariant="normal" xref="S1.Thmdefinition1.p1.6.4.m4.1.1.cmml">ℓ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.Thmdefinition1.p1.6.4.m4.1b"><ci id="S1.Thmdefinition1.p1.6.4.m4.1.1.cmml" xref="S1.Thmdefinition1.p1.6.4.m4.1.1">ℓ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.Thmdefinition1.p1.6.4.m4.1c">\ell</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.Thmdefinition1.p1.6.4.m4.1d">roman_ℓ</annotation></semantics></math>, that is,</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S1.E2"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\mathbb{E}_{X}(e^{\lambda\langle\ell,X\rangle})\leq e^{\frac{\lambda^{2}\sigma% ^{2}}{2}},~{}\forall\lambda\in\mathbb{R},~{}\forall\ell\in\mathcal{S}^{n-1}," class="ltx_Math" display="block" id="S1.E2.m1.3"><semantics id="S1.E2.m1.3a"><mrow id="S1.E2.m1.3.3.1"><mrow id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mrow id="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.cmml">𝔼</mi><mi id="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3.cmml">X</mi></msub><mo id="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">e</mi><mrow id="S1.E2.m1.2.2.2" xref="S1.E2.m1.2.2.2.cmml"><mi id="S1.E2.m1.2.2.2.4" xref="S1.E2.m1.2.2.2.4.cmml">λ</mi><mo id="S1.E2.m1.2.2.2.3" xref="S1.E2.m1.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.E2.m1.2.2.2.5.2" xref="S1.E2.m1.2.2.2.5.1.cmml"><mo id="S1.E2.m1.2.2.2.5.2.1" stretchy="false" xref="S1.E2.m1.2.2.2.5.1.cmml">⟨</mo><mi id="S1.E2.m1.1.1.1.1" mathvariant="normal" xref="S1.E2.m1.1.1.1.1.cmml">ℓ</mi><mo id="S1.E2.m1.2.2.2.5.2.2" xref="S1.E2.m1.2.2.2.5.1.cmml">,</mo><mi id="S1.E2.m1.2.2.2.2" xref="S1.E2.m1.2.2.2.2.cmml">X</mi><mo id="S1.E2.m1.2.2.2.5.2.3" stretchy="false" xref="S1.E2.m1.2.2.2.5.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></msup><mo id="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">≤</mo><msup id="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml">e</mi><mfrac id="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.3.3" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml"><mrow id="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.2" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.2.cmml"><msup id="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml"><mi id="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.2.2.2" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.2.2.2.cmml">λ</mi><mn id="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.2.2.3" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.2.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.2.1" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml"><mi id="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.2.3.2" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.2.3.2.cmml">σ</mi><mn id="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.2.3.3" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.2.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mn id="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.3" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></mfrac></msup></mrow><mo id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.3" rspace="0.497em" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml"><mrow id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.1.1" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.2" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.2.1" rspace="0.167em" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.2.1.cmml">∀</mo><mi id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.2.2" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.2.2.cmml">λ</mi></mrow><mo id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.1.cmml">∈</mo><mi id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.3" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.1.1.3.cmml">ℝ</mi></mrow><mo id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.3" rspace="0.497em" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><mo id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.1" rspace="0.167em" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml">∀</mo><mi id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml">ℓ</mi></mrow><mo id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.cmml">∈</mo><msup id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.2" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml">𝒮</mi><mrow id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.3" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.3.cmml"><mi id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.3.2" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.3.2.cmml">n</mi><mo id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.3.1" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.3.3" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup></mrow></mrow></mrow><mo id="S1.E2.m1.3.3.1.2">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.E2.m1.3b"><apply id="S1.E2.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E2.m1.3.3.1.1.3a.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1"><leq id="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.2"></leq><apply id="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1"><times id="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.2">𝔼</ci><ci id="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.3">𝑋</ci></apply><apply id="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" 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id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1"></in><apply id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.1">for-all</csymbol><ci id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.2">ℓ</ci></apply><apply id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.2">𝒮</ci><apply id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.3"><minus id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.3.1.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.3.1"></minus><ci id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.3.2.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.3.2">𝑛</ci><cn id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.E2.m1.3c">\mathbb{E}_{X}(e^{\lambda\langle\ell,X\rangle})\leq e^{\frac{\lambda^{2}\sigma% ^{2}}{2}},~{}\forall\lambda\in\mathbb{R},~{}\forall\ell\in\mathcal{S}^{n-1},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.E2.m1.3d">blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT italic_X end_POSTSUBSCRIPT ( italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_λ ⟨ roman_ℓ , italic_X ⟩ end_POSTSUPERSCRIPT ) ≤ italic_e start_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG italic_λ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 2 end_ARG end_POSTSUPERSCRIPT , ∀ italic_λ ∈ blackboard_R , ∀ roman_ℓ ∈ caligraphic_S start_POSTSUPERSCRIPT italic_n - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(2)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S1.Thmdefinition1.p1.8"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S1.Thmdefinition1.p1.8.2">where <math alttext="\mathcal{S}^{n-1}=\{x\in\mathbb{R}^{n}:~{}\|x\|=1\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.Thmdefinition1.p1.7.1.m1.3"><semantics id="S1.Thmdefinition1.p1.7.1.m1.3a"><mrow id="S1.Thmdefinition1.p1.7.1.m1.3.3" xref="S1.Thmdefinition1.p1.7.1.m1.3.3.cmml"><msup id="S1.Thmdefinition1.p1.7.1.m1.3.3.4" xref="S1.Thmdefinition1.p1.7.1.m1.3.3.4.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S1.Thmdefinition1.p1.7.1.m1.3.3.4.2" xref="S1.Thmdefinition1.p1.7.1.m1.3.3.4.2.cmml">𝒮</mi><mrow id="S1.Thmdefinition1.p1.7.1.m1.3.3.4.3" xref="S1.Thmdefinition1.p1.7.1.m1.3.3.4.3.cmml"><mi id="S1.Thmdefinition1.p1.7.1.m1.3.3.4.3.2" xref="S1.Thmdefinition1.p1.7.1.m1.3.3.4.3.2.cmml">n</mi><mo id="S1.Thmdefinition1.p1.7.1.m1.3.3.4.3.1" xref="S1.Thmdefinition1.p1.7.1.m1.3.3.4.3.1.cmml">−</mo><mn id="S1.Thmdefinition1.p1.7.1.m1.3.3.4.3.3" xref="S1.Thmdefinition1.p1.7.1.m1.3.3.4.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S1.Thmdefinition1.p1.7.1.m1.3.3.3" xref="S1.Thmdefinition1.p1.7.1.m1.3.3.3.cmml">=</mo><mrow id="S1.Thmdefinition1.p1.7.1.m1.3.3.2.2" xref="S1.Thmdefinition1.p1.7.1.m1.3.3.2.3.cmml"><mo id="S1.Thmdefinition1.p1.7.1.m1.3.3.2.2.3" stretchy="false" xref="S1.Thmdefinition1.p1.7.1.m1.3.3.2.3.1.cmml">{</mo><mrow id="S1.Thmdefinition1.p1.7.1.m1.2.2.1.1.1" xref="S1.Thmdefinition1.p1.7.1.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S1.Thmdefinition1.p1.7.1.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S1.Thmdefinition1.p1.7.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="S1.Thmdefinition1.p1.7.1.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S1.Thmdefinition1.p1.7.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">∈</mo><msup id="S1.Thmdefinition1.p1.7.1.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S1.Thmdefinition1.p1.7.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S1.Thmdefinition1.p1.7.1.m1.2.2.1.1.1.3.2" xref="S1.Thmdefinition1.p1.7.1.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml">ℝ</mi><mi id="S1.Thmdefinition1.p1.7.1.m1.2.2.1.1.1.3.3" xref="S1.Thmdefinition1.p1.7.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.cmml">n</mi></msup></mrow><mo id="S1.Thmdefinition1.p1.7.1.m1.3.3.2.2.4" lspace="0.278em" rspace="0.608em" xref="S1.Thmdefinition1.p1.7.1.m1.3.3.2.3.1.cmml">:</mo><mrow id="S1.Thmdefinition1.p1.7.1.m1.3.3.2.2.2" xref="S1.Thmdefinition1.p1.7.1.m1.3.3.2.2.2.cmml"><mrow id="S1.Thmdefinition1.p1.7.1.m1.3.3.2.2.2.2.2" xref="S1.Thmdefinition1.p1.7.1.m1.3.3.2.2.2.2.1.cmml"><mo id="S1.Thmdefinition1.p1.7.1.m1.3.3.2.2.2.2.2.1" stretchy="false" xref="S1.Thmdefinition1.p1.7.1.m1.3.3.2.2.2.2.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S1.Thmdefinition1.p1.7.1.m1.1.1" xref="S1.Thmdefinition1.p1.7.1.m1.1.1.cmml">x</mi><mo id="S1.Thmdefinition1.p1.7.1.m1.3.3.2.2.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S1.Thmdefinition1.p1.7.1.m1.3.3.2.2.2.2.1.1.cmml">‖</mo></mrow><mo id="S1.Thmdefinition1.p1.7.1.m1.3.3.2.2.2.1" xref="S1.Thmdefinition1.p1.7.1.m1.3.3.2.2.2.1.cmml">=</mo><mn id="S1.Thmdefinition1.p1.7.1.m1.3.3.2.2.2.3" xref="S1.Thmdefinition1.p1.7.1.m1.3.3.2.2.2.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S1.Thmdefinition1.p1.7.1.m1.3.3.2.2.5" stretchy="false" xref="S1.Thmdefinition1.p1.7.1.m1.3.3.2.3.1.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.Thmdefinition1.p1.7.1.m1.3b"><apply id="S1.Thmdefinition1.p1.7.1.m1.3.3.cmml" xref="S1.Thmdefinition1.p1.7.1.m1.3.3"><eq id="S1.Thmdefinition1.p1.7.1.m1.3.3.3.cmml" xref="S1.Thmdefinition1.p1.7.1.m1.3.3.3"></eq><apply id="S1.Thmdefinition1.p1.7.1.m1.3.3.4.cmml" xref="S1.Thmdefinition1.p1.7.1.m1.3.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Thmdefinition1.p1.7.1.m1.3.3.4.1.cmml" xref="S1.Thmdefinition1.p1.7.1.m1.3.3.4">superscript</csymbol><ci id="S1.Thmdefinition1.p1.7.1.m1.3.3.4.2.cmml" xref="S1.Thmdefinition1.p1.7.1.m1.3.3.4.2">𝒮</ci><apply id="S1.Thmdefinition1.p1.7.1.m1.3.3.4.3.cmml" xref="S1.Thmdefinition1.p1.7.1.m1.3.3.4.3"><minus id="S1.Thmdefinition1.p1.7.1.m1.3.3.4.3.1.cmml" xref="S1.Thmdefinition1.p1.7.1.m1.3.3.4.3.1"></minus><ci id="S1.Thmdefinition1.p1.7.1.m1.3.3.4.3.2.cmml" xref="S1.Thmdefinition1.p1.7.1.m1.3.3.4.3.2">𝑛</ci><cn id="S1.Thmdefinition1.p1.7.1.m1.3.3.4.3.3.cmml" type="integer" xref="S1.Thmdefinition1.p1.7.1.m1.3.3.4.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S1.Thmdefinition1.p1.7.1.m1.3.3.2.3.cmml" xref="S1.Thmdefinition1.p1.7.1.m1.3.3.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S1.Thmdefinition1.p1.7.1.m1.3.3.2.3.1.cmml" xref="S1.Thmdefinition1.p1.7.1.m1.3.3.2.2.3">conditional-set</csymbol><apply id="S1.Thmdefinition1.p1.7.1.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S1.Thmdefinition1.p1.7.1.m1.2.2.1.1.1"><in id="S1.Thmdefinition1.p1.7.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S1.Thmdefinition1.p1.7.1.m1.2.2.1.1.1.1"></in><ci id="S1.Thmdefinition1.p1.7.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S1.Thmdefinition1.p1.7.1.m1.2.2.1.1.1.2">𝑥</ci><apply id="S1.Thmdefinition1.p1.7.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S1.Thmdefinition1.p1.7.1.m1.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Thmdefinition1.p1.7.1.m1.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S1.Thmdefinition1.p1.7.1.m1.2.2.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S1.Thmdefinition1.p1.7.1.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S1.Thmdefinition1.p1.7.1.m1.2.2.1.1.1.3.2">ℝ</ci><ci id="S1.Thmdefinition1.p1.7.1.m1.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S1.Thmdefinition1.p1.7.1.m1.2.2.1.1.1.3.3">𝑛</ci></apply></apply><apply id="S1.Thmdefinition1.p1.7.1.m1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S1.Thmdefinition1.p1.7.1.m1.3.3.2.2.2"><eq id="S1.Thmdefinition1.p1.7.1.m1.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="S1.Thmdefinition1.p1.7.1.m1.3.3.2.2.2.1"></eq><apply id="S1.Thmdefinition1.p1.7.1.m1.3.3.2.2.2.2.1.cmml" xref="S1.Thmdefinition1.p1.7.1.m1.3.3.2.2.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S1.Thmdefinition1.p1.7.1.m1.3.3.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S1.Thmdefinition1.p1.7.1.m1.3.3.2.2.2.2.2.1">norm</csymbol><ci id="S1.Thmdefinition1.p1.7.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.Thmdefinition1.p1.7.1.m1.1.1">𝑥</ci></apply><cn id="S1.Thmdefinition1.p1.7.1.m1.3.3.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S1.Thmdefinition1.p1.7.1.m1.3.3.2.2.2.3">1</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.Thmdefinition1.p1.7.1.m1.3c">\mathcal{S}^{n-1}=\{x\in\mathbb{R}^{n}:~{}\|x\|=1\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.Thmdefinition1.p1.7.1.m1.3d">caligraphic_S start_POSTSUPERSCRIPT italic_n - 1 end_POSTSUPERSCRIPT = { italic_x ∈ blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT : ∥ italic_x ∥ = 1 }</annotation></semantics></math> denotes the unit sphere in <math alttext="\mathbb{R}^{n}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.Thmdefinition1.p1.8.2.m2.1"><semantics id="S1.Thmdefinition1.p1.8.2.m2.1a"><msup id="S1.Thmdefinition1.p1.8.2.m2.1.1" xref="S1.Thmdefinition1.p1.8.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S1.Thmdefinition1.p1.8.2.m2.1.1.2" xref="S1.Thmdefinition1.p1.8.2.m2.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mi id="S1.Thmdefinition1.p1.8.2.m2.1.1.3" xref="S1.Thmdefinition1.p1.8.2.m2.1.1.3.cmml">n</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.Thmdefinition1.p1.8.2.m2.1b"><apply id="S1.Thmdefinition1.p1.8.2.m2.1.1.cmml" xref="S1.Thmdefinition1.p1.8.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Thmdefinition1.p1.8.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S1.Thmdefinition1.p1.8.2.m2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S1.Thmdefinition1.p1.8.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S1.Thmdefinition1.p1.8.2.m2.1.1.2">ℝ</ci><ci id="S1.Thmdefinition1.p1.8.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S1.Thmdefinition1.p1.8.2.m2.1.1.3">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.Thmdefinition1.p1.8.2.m2.1c">\mathbb{R}^{n}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.Thmdefinition1.p1.8.2.m2.1d">blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S1.p2"> <p class="ltx_p" id="S1.p2.1">Sub-Gaussian distributions include a wide range of distributions such as Gaussian distribution, uniform distribution, and any distributions with finite supports as special cases. For a Gaussian random variable, the variance proxy equals its variance.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p3"> <p class="ltx_p" id="S1.p3.2">In this work, we consider one important concentration inequality for sub-Gaussian distributions known as norm concentration <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14347v1#bib.bib1" title="">1</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14347v1#bib.bib2" title="">2</a>]</cite>, which describes the concentration property of the norm <math alttext="\|X\|" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p3.1.m1.1"><semantics id="S1.p3.1.m1.1a"><mrow id="S1.p3.1.m1.1.2.2" xref="S1.p3.1.m1.1.2.1.cmml"><mo id="S1.p3.1.m1.1.2.2.1" stretchy="false" xref="S1.p3.1.m1.1.2.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S1.p3.1.m1.1.1" xref="S1.p3.1.m1.1.1.cmml">X</mi><mo id="S1.p3.1.m1.1.2.2.2" stretchy="false" xref="S1.p3.1.m1.1.2.1.1.cmml">‖</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p3.1.m1.1b"><apply id="S1.p3.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S1.p3.1.m1.1.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S1.p3.1.m1.1.2.1.1.cmml" xref="S1.p3.1.m1.1.2.2.1">norm</csymbol><ci id="S1.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.p3.1.m1.1.1">𝑋</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p3.1.m1.1c">\|X\|</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p3.1.m1.1d">∥ italic_X ∥</annotation></semantics></math> for a sub-Gaussian random vector <math alttext="X" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p3.2.m2.1"><semantics id="S1.p3.2.m2.1a"><mi id="S1.p3.2.m2.1.1" xref="S1.p3.2.m2.1.1.cmml">X</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p3.2.m2.1b"><ci id="S1.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S1.p3.2.m2.1.1">𝑋</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p3.2.m2.1c">X</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p3.2.m2.1d">italic_X</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_thm" id="Thmthm1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmthm1.1.1.1">Theorem 1</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmthm1.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmthm1.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmthm1.p1.5"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmthm1.p1.5.5">For a sub-Gaussian vector <math alttext="X\in\mathbb{R}^{n}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmthm1.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmthm1.p1.1.1.m1.1a"><mrow id="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml">X</mi><mo id="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.1" xref="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml">∈</mo><msup id="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.3.2" xref="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml">ℝ</mi><mi id="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.3.3" xref="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.3.3.cmml">n</mi></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmthm1.p1.1.1.m1.1b"><apply id="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1"><in id="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.1"></in><ci id="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.2">𝑋</ci><apply id="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.3.2">ℝ</ci><ci id="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.3.3">𝑛</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmthm1.p1.1.1.m1.1c">X\in\mathbb{R}^{n}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmthm1.p1.1.1.m1.1d">italic_X ∈ blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> with variance proxy <math alttext="\sigma^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmthm1.p1.2.2.m2.1"><semantics id="Thmthm1.p1.2.2.m2.1a"><msup id="Thmthm1.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmthm1.p1.2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="Thmthm1.p1.2.2.m2.1.1.2" xref="Thmthm1.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml">σ</mi><mn id="Thmthm1.p1.2.2.m2.1.1.3" xref="Thmthm1.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml">2</mn></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmthm1.p1.2.2.m2.1b"><apply id="Thmthm1.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmthm1.p1.2.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmthm1.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="Thmthm1.p1.2.2.m2.1.1">superscript</csymbol><ci id="Thmthm1.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="Thmthm1.p1.2.2.m2.1.1.2">𝜎</ci><cn id="Thmthm1.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Thmthm1.p1.2.2.m2.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmthm1.p1.2.2.m2.1c">\sigma^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmthm1.p1.2.2.m2.1d">italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, there exist constants <math alttext="C_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmthm1.p1.3.3.m3.1"><semantics id="Thmthm1.p1.3.3.m3.1a"><msub id="Thmthm1.p1.3.3.m3.1.1" xref="Thmthm1.p1.3.3.m3.1.1.cmml"><mi id="Thmthm1.p1.3.3.m3.1.1.2" xref="Thmthm1.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml">C</mi><mn id="Thmthm1.p1.3.3.m3.1.1.3" xref="Thmthm1.p1.3.3.m3.1.1.3.cmml">1</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmthm1.p1.3.3.m3.1b"><apply id="Thmthm1.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmthm1.p1.3.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmthm1.p1.3.3.m3.1.1.1.cmml" xref="Thmthm1.p1.3.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmthm1.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml" xref="Thmthm1.p1.3.3.m3.1.1.2">𝐶</ci><cn id="Thmthm1.p1.3.3.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Thmthm1.p1.3.3.m3.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmthm1.p1.3.3.m3.1c">C_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmthm1.p1.3.3.m3.1d">italic_C start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, <math alttext="C_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmthm1.p1.4.4.m4.1"><semantics id="Thmthm1.p1.4.4.m4.1a"><msub id="Thmthm1.p1.4.4.m4.1.1" xref="Thmthm1.p1.4.4.m4.1.1.cmml"><mi id="Thmthm1.p1.4.4.m4.1.1.2" xref="Thmthm1.p1.4.4.m4.1.1.2.cmml">C</mi><mn id="Thmthm1.p1.4.4.m4.1.1.3" xref="Thmthm1.p1.4.4.m4.1.1.3.cmml">2</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmthm1.p1.4.4.m4.1b"><apply id="Thmthm1.p1.4.4.m4.1.1.cmml" xref="Thmthm1.p1.4.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmthm1.p1.4.4.m4.1.1.1.cmml" xref="Thmthm1.p1.4.4.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmthm1.p1.4.4.m4.1.1.2.cmml" xref="Thmthm1.p1.4.4.m4.1.1.2">𝐶</ci><cn id="Thmthm1.p1.4.4.m4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Thmthm1.p1.4.4.m4.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmthm1.p1.4.4.m4.1c">C_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmthm1.p1.4.4.m4.1d">italic_C start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> such that, for any <math alttext="\delta\in(0,1)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmthm1.p1.5.5.m5.2"><semantics id="Thmthm1.p1.5.5.m5.2a"><mrow id="Thmthm1.p1.5.5.m5.2.3" xref="Thmthm1.p1.5.5.m5.2.3.cmml"><mi id="Thmthm1.p1.5.5.m5.2.3.2" xref="Thmthm1.p1.5.5.m5.2.3.2.cmml">δ</mi><mo id="Thmthm1.p1.5.5.m5.2.3.1" xref="Thmthm1.p1.5.5.m5.2.3.1.cmml">∈</mo><mrow id="Thmthm1.p1.5.5.m5.2.3.3.2" xref="Thmthm1.p1.5.5.m5.2.3.3.1.cmml"><mo id="Thmthm1.p1.5.5.m5.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmthm1.p1.5.5.m5.2.3.3.1.cmml">(</mo><mn id="Thmthm1.p1.5.5.m5.1.1" xref="Thmthm1.p1.5.5.m5.1.1.cmml">0</mn><mo id="Thmthm1.p1.5.5.m5.2.3.3.2.2" xref="Thmthm1.p1.5.5.m5.2.3.3.1.cmml">,</mo><mn id="Thmthm1.p1.5.5.m5.2.2" xref="Thmthm1.p1.5.5.m5.2.2.cmml">1</mn><mo id="Thmthm1.p1.5.5.m5.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="Thmthm1.p1.5.5.m5.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmthm1.p1.5.5.m5.2b"><apply id="Thmthm1.p1.5.5.m5.2.3.cmml" xref="Thmthm1.p1.5.5.m5.2.3"><in id="Thmthm1.p1.5.5.m5.2.3.1.cmml" xref="Thmthm1.p1.5.5.m5.2.3.1"></in><ci id="Thmthm1.p1.5.5.m5.2.3.2.cmml" xref="Thmthm1.p1.5.5.m5.2.3.2">𝛿</ci><interval closure="open" id="Thmthm1.p1.5.5.m5.2.3.3.1.cmml" xref="Thmthm1.p1.5.5.m5.2.3.3.2"><cn id="Thmthm1.p1.5.5.m5.1.1.cmml" type="integer" xref="Thmthm1.p1.5.5.m5.1.1">0</cn><cn id="Thmthm1.p1.5.5.m5.2.2.cmml" type="integer" xref="Thmthm1.p1.5.5.m5.2.2">1</cn></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmthm1.p1.5.5.m5.2c">\delta\in(0,1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmthm1.p1.5.5.m5.2d">italic_δ ∈ ( 0 , 1 )</annotation></semantics></math>,</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S1.E3"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\mathbb{P}\left(\|X\|\leq\sigma\sqrt{C_{1}n+C_{2}\log\frac{1}{\delta}}\right)% \geq 1-\delta." class="ltx_Math" display="block" id="S1.E3.m1.2"><semantics id="S1.E3.m1.2a"><mrow id="S1.E3.m1.2.2.1" xref="S1.E3.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S1.E3.m1.2.2.1.1" xref="S1.E3.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S1.E3.m1.2.2.1.1.1" xref="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">ℙ</mi><mo id="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml"><mo id="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.1" stretchy="false" xref="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S1.E3.m1.1.1" xref="S1.E3.m1.1.1.cmml">X</mi><mo id="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2" stretchy="false" xref="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml">‖</mo></mrow><mo id="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">≤</mo><mrow id="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">σ</mi><mo id="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msqrt id="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mrow id="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml"><mrow id="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml"><msub id="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2" xref="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.cmml"><mi id="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2" xref="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.cmml">C</mi><mn id="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.3" xref="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.1" xref="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.3" xref="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.cmml">n</mi></mrow><mo id="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" xref="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml">+</mo><mrow id="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml"><msub id="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2" xref="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.cmml"><mi id="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.2" xref="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.2.cmml">C</mi><mn id="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.3" xref="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.1" lspace="0.167em" xref="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3" xref="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.cmml"><mi id="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.1" xref="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.1.cmml">log</mi><mo id="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3a" lspace="0.167em" xref="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.cmml">⁡</mo><mfrac id="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.2" xref="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.2.cmml"><mn id="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.2.2" xref="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.2.2.cmml">1</mn><mi id="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.2.3" xref="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.2.3.cmml">δ</mi></mfrac></mrow></mrow></mrow></msqrt></mrow></mrow><mo id="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S1.E3.m1.2.2.1.1.2" xref="S1.E3.m1.2.2.1.1.2.cmml">≥</mo><mrow id="S1.E3.m1.2.2.1.1.3" xref="S1.E3.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mn id="S1.E3.m1.2.2.1.1.3.2" xref="S1.E3.m1.2.2.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S1.E3.m1.2.2.1.1.3.1" xref="S1.E3.m1.2.2.1.1.3.1.cmml">−</mo><mi id="S1.E3.m1.2.2.1.1.3.3" xref="S1.E3.m1.2.2.1.1.3.3.cmml">δ</mi></mrow></mrow><mo id="S1.E3.m1.2.2.1.2" lspace="0em" xref="S1.E3.m1.2.2.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.E3.m1.2b"><apply id="S1.E3.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S1.E3.m1.2.2.1"><geq id="S1.E3.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S1.E3.m1.2.2.1.1.2"></geq><apply id="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S1.E3.m1.2.2.1.1.1"><times id="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.2"></times><ci id="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.3">ℙ</ci><apply id="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1"><leq id="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1"></leq><apply id="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.1">norm</csymbol><ci id="S1.E3.m1.1.1.cmml" xref="S1.E3.m1.1.1">𝑋</ci></apply><apply id="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2">𝜎</ci><apply id="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3"><root id="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3a.cmml" xref="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3"></root><apply id="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2"><plus id="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1"></plus><apply id="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2"><times id="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.1.cmml" xref="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.1"></times><apply id="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2">𝐶</ci><cn id="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.3">1</cn></apply><ci id="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.cmml" xref="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.3">𝑛</ci></apply><apply id="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3"><times id="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.1.cmml" xref="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.1"></times><apply id="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.cmml" xref="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.1.cmml" xref="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.2.cmml" xref="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.2">𝐶</ci><cn id="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.3">2</cn></apply><apply id="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.cmml" xref="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3"><log id="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.1.cmml" xref="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.1"></log><apply id="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.2.cmml" xref="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.2"><divide id="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.2.1.cmml" xref="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.2"></divide><cn id="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.2.2">1</cn><ci id="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.2.3.cmml" xref="S1.E3.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.2.3">𝛿</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S1.E3.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S1.E3.m1.2.2.1.1.3"><minus id="S1.E3.m1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S1.E3.m1.2.2.1.1.3.1"></minus><cn id="S1.E3.m1.2.2.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S1.E3.m1.2.2.1.1.3.2">1</cn><ci id="S1.E3.m1.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S1.E3.m1.2.2.1.1.3.3">𝛿</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.E3.m1.2c">\mathbb{P}\left(\|X\|\leq\sigma\sqrt{C_{1}n+C_{2}\log\frac{1}{\delta}}\right)% \geq 1-\delta.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.E3.m1.2d">blackboard_P ( ∥ italic_X ∥ ≤ italic_σ square-root start_ARG italic_C start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_n + italic_C start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT roman_log divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_δ end_ARG end_ARG ) ≥ 1 - italic_δ .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(3)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S1.p4"> <p class="ltx_p" id="S1.p4.2">The choice of constants <math alttext="C_{1},C_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p4.1.m1.2"><semantics id="S1.p4.1.m1.2a"><mrow id="S1.p4.1.m1.2.2.2" xref="S1.p4.1.m1.2.2.3.cmml"><msub id="S1.p4.1.m1.1.1.1.1" xref="S1.p4.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.p4.1.m1.1.1.1.1.2" xref="S1.p4.1.m1.1.1.1.1.2.cmml">C</mi><mn id="S1.p4.1.m1.1.1.1.1.3" xref="S1.p4.1.m1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S1.p4.1.m1.2.2.2.3" xref="S1.p4.1.m1.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S1.p4.1.m1.2.2.2.2" xref="S1.p4.1.m1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S1.p4.1.m1.2.2.2.2.2" xref="S1.p4.1.m1.2.2.2.2.2.cmml">C</mi><mn id="S1.p4.1.m1.2.2.2.2.3" xref="S1.p4.1.m1.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p4.1.m1.2b"><list id="S1.p4.1.m1.2.2.3.cmml" xref="S1.p4.1.m1.2.2.2"><apply id="S1.p4.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p4.1.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p4.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p4.1.m1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S1.p4.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.p4.1.m1.1.1.1.1.2">𝐶</ci><cn id="S1.p4.1.m1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.p4.1.m1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S1.p4.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S1.p4.1.m1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p4.1.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S1.p4.1.m1.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S1.p4.1.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S1.p4.1.m1.2.2.2.2.2">𝐶</ci><cn id="S1.p4.1.m1.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S1.p4.1.m1.2.2.2.2.3">2</cn></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p4.1.m1.2c">C_{1},C_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p4.1.m1.2d">italic_C start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_C start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> depends on the proof techniques. When <math alttext="n=1" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p4.2.m2.1"><semantics id="S1.p4.2.m2.1a"><mrow id="S1.p4.2.m2.1.1" xref="S1.p4.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S1.p4.2.m2.1.1.2" xref="S1.p4.2.m2.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S1.p4.2.m2.1.1.1" xref="S1.p4.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S1.p4.2.m2.1.1.3" xref="S1.p4.2.m2.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p4.2.m2.1b"><apply id="S1.p4.2.m2.1.1.cmml" xref="S1.p4.2.m2.1.1"><eq id="S1.p4.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S1.p4.2.m2.1.1.1"></eq><ci id="S1.p4.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S1.p4.2.m2.1.1.2">𝑛</ci><cn id="S1.p4.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.p4.2.m2.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p4.2.m2.1c">n=1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p4.2.m2.1d">italic_n = 1</annotation></semantics></math>, a direct application of the Markov’s inequality points to</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S1.Ex1"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\mathbb{P}\left(X>r\right)=\mathbb{P}\left(e^{\lambda X}>e^{\lambda r}\right)% \leq\frac{\mathbb{E}_{X}(e^{\lambda X})}{e^{\lambda r}}\leq e^{\frac{\lambda^{% 2}\sigma^{2}}{2}-\lambda r}" class="ltx_Math" display="block" id="S1.Ex1.m1.3"><semantics id="S1.Ex1.m1.3a"><mrow id="S1.Ex1.m1.3.3" xref="S1.Ex1.m1.3.3.cmml"><mrow id="S1.Ex1.m1.2.2.1" xref="S1.Ex1.m1.2.2.1.cmml"><mi id="S1.Ex1.m1.2.2.1.3" xref="S1.Ex1.m1.2.2.1.3.cmml">ℙ</mi><mo id="S1.Ex1.m1.2.2.1.2" xref="S1.Ex1.m1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.Ex1.m1.2.2.1.1.1" xref="S1.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S1.Ex1.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S1.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S1.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S1.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S1.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">X</mi><mo id="S1.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S1.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">></mo><mi id="S1.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S1.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">r</mi></mrow><mo id="S1.Ex1.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S1.Ex1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S1.Ex1.m1.3.3.4" xref="S1.Ex1.m1.3.3.4.cmml">=</mo><mrow id="S1.Ex1.m1.3.3.2" xref="S1.Ex1.m1.3.3.2.cmml"><mi id="S1.Ex1.m1.3.3.2.3" xref="S1.Ex1.m1.3.3.2.3.cmml">ℙ</mi><mo id="S1.Ex1.m1.3.3.2.2" xref="S1.Ex1.m1.3.3.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.Ex1.m1.3.3.2.1.1" xref="S1.Ex1.m1.3.3.2.1.1.1.cmml"><mo id="S1.Ex1.m1.3.3.2.1.1.2" xref="S1.Ex1.m1.3.3.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S1.Ex1.m1.3.3.2.1.1.1" xref="S1.Ex1.m1.3.3.2.1.1.1.cmml"><msup id="S1.Ex1.m1.3.3.2.1.1.1.2" xref="S1.Ex1.m1.3.3.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S1.Ex1.m1.3.3.2.1.1.1.2.2" xref="S1.Ex1.m1.3.3.2.1.1.1.2.2.cmml">e</mi><mrow id="S1.Ex1.m1.3.3.2.1.1.1.2.3" xref="S1.Ex1.m1.3.3.2.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S1.Ex1.m1.3.3.2.1.1.1.2.3.2" xref="S1.Ex1.m1.3.3.2.1.1.1.2.3.2.cmml">λ</mi><mo id="S1.Ex1.m1.3.3.2.1.1.1.2.3.1" xref="S1.Ex1.m1.3.3.2.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.Ex1.m1.3.3.2.1.1.1.2.3.3" xref="S1.Ex1.m1.3.3.2.1.1.1.2.3.3.cmml">X</mi></mrow></msup><mo id="S1.Ex1.m1.3.3.2.1.1.1.1" xref="S1.Ex1.m1.3.3.2.1.1.1.1.cmml">></mo><msup id="S1.Ex1.m1.3.3.2.1.1.1.3" xref="S1.Ex1.m1.3.3.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S1.Ex1.m1.3.3.2.1.1.1.3.2" xref="S1.Ex1.m1.3.3.2.1.1.1.3.2.cmml">e</mi><mrow id="S1.Ex1.m1.3.3.2.1.1.1.3.3" xref="S1.Ex1.m1.3.3.2.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S1.Ex1.m1.3.3.2.1.1.1.3.3.2" xref="S1.Ex1.m1.3.3.2.1.1.1.3.3.2.cmml">λ</mi><mo id="S1.Ex1.m1.3.3.2.1.1.1.3.3.1" xref="S1.Ex1.m1.3.3.2.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.Ex1.m1.3.3.2.1.1.1.3.3.3" xref="S1.Ex1.m1.3.3.2.1.1.1.3.3.3.cmml">r</mi></mrow></msup></mrow><mo id="S1.Ex1.m1.3.3.2.1.1.3" xref="S1.Ex1.m1.3.3.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S1.Ex1.m1.3.3.5" xref="S1.Ex1.m1.3.3.5.cmml">≤</mo><mfrac id="S1.Ex1.m1.1.1" xref="S1.Ex1.m1.1.1.cmml"><mrow id="S1.Ex1.m1.1.1.1" xref="S1.Ex1.m1.1.1.1.cmml"><msub id="S1.Ex1.m1.1.1.1.3" xref="S1.Ex1.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S1.Ex1.m1.1.1.1.3.2" xref="S1.Ex1.m1.1.1.1.3.2.cmml">𝔼</mi><mi id="S1.Ex1.m1.1.1.1.3.3" xref="S1.Ex1.m1.1.1.1.3.3.cmml">X</mi></msub><mo id="S1.Ex1.m1.1.1.1.2" xref="S1.Ex1.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.Ex1.m1.1.1.1.1.1" xref="S1.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S1.Ex1.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S1.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S1.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">e</mi><mrow id="S1.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S1.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S1.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S1.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">λ</mi><mo id="S1.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S1.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S1.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">X</mi></mrow></msup><mo id="S1.Ex1.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><msup id="S1.Ex1.m1.1.1.3" xref="S1.Ex1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S1.Ex1.m1.1.1.3.2" xref="S1.Ex1.m1.1.1.3.2.cmml">e</mi><mrow id="S1.Ex1.m1.1.1.3.3" xref="S1.Ex1.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S1.Ex1.m1.1.1.3.3.2" xref="S1.Ex1.m1.1.1.3.3.2.cmml">λ</mi><mo id="S1.Ex1.m1.1.1.3.3.1" xref="S1.Ex1.m1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.Ex1.m1.1.1.3.3.3" xref="S1.Ex1.m1.1.1.3.3.3.cmml">r</mi></mrow></msup></mfrac><mo id="S1.Ex1.m1.3.3.6" xref="S1.Ex1.m1.3.3.6.cmml">≤</mo><msup id="S1.Ex1.m1.3.3.7" xref="S1.Ex1.m1.3.3.7.cmml"><mi id="S1.Ex1.m1.3.3.7.2" xref="S1.Ex1.m1.3.3.7.2.cmml">e</mi><mrow id="S1.Ex1.m1.3.3.7.3" xref="S1.Ex1.m1.3.3.7.3.cmml"><mfrac id="S1.Ex1.m1.3.3.7.3.2" xref="S1.Ex1.m1.3.3.7.3.2.cmml"><mrow id="S1.Ex1.m1.3.3.7.3.2.2" xref="S1.Ex1.m1.3.3.7.3.2.2.cmml"><msup id="S1.Ex1.m1.3.3.7.3.2.2.2" xref="S1.Ex1.m1.3.3.7.3.2.2.2.cmml"><mi id="S1.Ex1.m1.3.3.7.3.2.2.2.2" xref="S1.Ex1.m1.3.3.7.3.2.2.2.2.cmml">λ</mi><mn id="S1.Ex1.m1.3.3.7.3.2.2.2.3" xref="S1.Ex1.m1.3.3.7.3.2.2.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S1.Ex1.m1.3.3.7.3.2.2.1" xref="S1.Ex1.m1.3.3.7.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S1.Ex1.m1.3.3.7.3.2.2.3" xref="S1.Ex1.m1.3.3.7.3.2.2.3.cmml"><mi id="S1.Ex1.m1.3.3.7.3.2.2.3.2" xref="S1.Ex1.m1.3.3.7.3.2.2.3.2.cmml">σ</mi><mn id="S1.Ex1.m1.3.3.7.3.2.2.3.3" xref="S1.Ex1.m1.3.3.7.3.2.2.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mn id="S1.Ex1.m1.3.3.7.3.2.3" xref="S1.Ex1.m1.3.3.7.3.2.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S1.Ex1.m1.3.3.7.3.1" xref="S1.Ex1.m1.3.3.7.3.1.cmml">−</mo><mrow id="S1.Ex1.m1.3.3.7.3.3" xref="S1.Ex1.m1.3.3.7.3.3.cmml"><mi id="S1.Ex1.m1.3.3.7.3.3.2" xref="S1.Ex1.m1.3.3.7.3.3.2.cmml">λ</mi><mo id="S1.Ex1.m1.3.3.7.3.3.1" xref="S1.Ex1.m1.3.3.7.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.Ex1.m1.3.3.7.3.3.3" xref="S1.Ex1.m1.3.3.7.3.3.3.cmml">r</mi></mrow></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.Ex1.m1.3b"><apply id="S1.Ex1.m1.3.3.cmml" xref="S1.Ex1.m1.3.3"><and id="S1.Ex1.m1.3.3a.cmml" xref="S1.Ex1.m1.3.3"></and><apply id="S1.Ex1.m1.3.3b.cmml" xref="S1.Ex1.m1.3.3"><eq 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id="S1.Ex1.m1.3.3.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S1.Ex1.m1.3.3.2.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S1.Ex1.m1.3.3.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S1.Ex1.m1.3.3.2.1.1.1.2.2">𝑒</ci><apply id="S1.Ex1.m1.3.3.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S1.Ex1.m1.3.3.2.1.1.1.2.3"><times id="S1.Ex1.m1.3.3.2.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S1.Ex1.m1.3.3.2.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="S1.Ex1.m1.3.3.2.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S1.Ex1.m1.3.3.2.1.1.1.2.3.2">𝜆</ci><ci id="S1.Ex1.m1.3.3.2.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S1.Ex1.m1.3.3.2.1.1.1.2.3.3">𝑋</ci></apply></apply><apply id="S1.Ex1.m1.3.3.2.1.1.1.3.cmml" xref="S1.Ex1.m1.3.3.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.Ex1.m1.3.3.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S1.Ex1.m1.3.3.2.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S1.Ex1.m1.3.3.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S1.Ex1.m1.3.3.2.1.1.1.3.2">𝑒</ci><apply id="S1.Ex1.m1.3.3.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S1.Ex1.m1.3.3.2.1.1.1.3.3"><times id="S1.Ex1.m1.3.3.2.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S1.Ex1.m1.3.3.2.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="S1.Ex1.m1.3.3.2.1.1.1.3.3.2.cmml" 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start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 2 end_ARG - italic_λ italic_r end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S1.p4.9">for any <math alttext="\lambda>0,r>0" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p4.3.m1.2"><semantics id="S1.p4.3.m1.2a"><mrow id="S1.p4.3.m1.2.2.2" xref="S1.p4.3.m1.2.2.3.cmml"><mrow id="S1.p4.3.m1.1.1.1.1" xref="S1.p4.3.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.p4.3.m1.1.1.1.1.2" xref="S1.p4.3.m1.1.1.1.1.2.cmml">λ</mi><mo id="S1.p4.3.m1.1.1.1.1.1" xref="S1.p4.3.m1.1.1.1.1.1.cmml">></mo><mn id="S1.p4.3.m1.1.1.1.1.3" xref="S1.p4.3.m1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><mo id="S1.p4.3.m1.2.2.2.3" xref="S1.p4.3.m1.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S1.p4.3.m1.2.2.2.2" xref="S1.p4.3.m1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S1.p4.3.m1.2.2.2.2.2" xref="S1.p4.3.m1.2.2.2.2.2.cmml">r</mi><mo id="S1.p4.3.m1.2.2.2.2.1" xref="S1.p4.3.m1.2.2.2.2.1.cmml">></mo><mn id="S1.p4.3.m1.2.2.2.2.3" xref="S1.p4.3.m1.2.2.2.2.3.cmml">0</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p4.3.m1.2b"><apply id="S1.p4.3.m1.2.2.3.cmml" xref="S1.p4.3.m1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p4.3.m1.2.2.3a.cmml" xref="S1.p4.3.m1.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S1.p4.3.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p4.3.m1.1.1.1.1"><gt id="S1.p4.3.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p4.3.m1.1.1.1.1.1"></gt><ci id="S1.p4.3.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.p4.3.m1.1.1.1.1.2">𝜆</ci><cn id="S1.p4.3.m1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.p4.3.m1.1.1.1.1.3">0</cn></apply><apply id="S1.p4.3.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S1.p4.3.m1.2.2.2.2"><gt id="S1.p4.3.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S1.p4.3.m1.2.2.2.2.1"></gt><ci id="S1.p4.3.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S1.p4.3.m1.2.2.2.2.2">𝑟</ci><cn id="S1.p4.3.m1.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S1.p4.3.m1.2.2.2.2.3">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p4.3.m1.2c">\lambda>0,r>0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p4.3.m1.2d">italic_λ > 0 , italic_r > 0</annotation></semantics></math>. Minimizing the above over <math alttext="\lambda" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p4.4.m2.1"><semantics id="S1.p4.4.m2.1a"><mi id="S1.p4.4.m2.1.1" xref="S1.p4.4.m2.1.1.cmml">λ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p4.4.m2.1b"><ci id="S1.p4.4.m2.1.1.cmml" xref="S1.p4.4.m2.1.1">𝜆</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p4.4.m2.1c">\lambda</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p4.4.m2.1d">italic_λ</annotation></semantics></math> yields <math alttext="\mathbb{P}\left(X>r\right)\leq e^{-\frac{r^{2}}{2\sigma^{2}}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p4.5.m3.1"><semantics id="S1.p4.5.m3.1a"><mrow id="S1.p4.5.m3.1.1" xref="S1.p4.5.m3.1.1.cmml"><mrow id="S1.p4.5.m3.1.1.1" xref="S1.p4.5.m3.1.1.1.cmml"><mi id="S1.p4.5.m3.1.1.1.3" xref="S1.p4.5.m3.1.1.1.3.cmml">ℙ</mi><mo id="S1.p4.5.m3.1.1.1.2" xref="S1.p4.5.m3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.p4.5.m3.1.1.1.1.1" xref="S1.p4.5.m3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S1.p4.5.m3.1.1.1.1.1.2" xref="S1.p4.5.m3.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S1.p4.5.m3.1.1.1.1.1.1" xref="S1.p4.5.m3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.p4.5.m3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S1.p4.5.m3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">X</mi><mo id="S1.p4.5.m3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.p4.5.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">></mo><mi id="S1.p4.5.m3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S1.p4.5.m3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">r</mi></mrow><mo id="S1.p4.5.m3.1.1.1.1.1.3" xref="S1.p4.5.m3.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S1.p4.5.m3.1.1.2" xref="S1.p4.5.m3.1.1.2.cmml">≤</mo><msup id="S1.p4.5.m3.1.1.3" xref="S1.p4.5.m3.1.1.3.cmml"><mi id="S1.p4.5.m3.1.1.3.2" xref="S1.p4.5.m3.1.1.3.2.cmml">e</mi><mrow id="S1.p4.5.m3.1.1.3.3" xref="S1.p4.5.m3.1.1.3.3.cmml"><mo id="S1.p4.5.m3.1.1.3.3a" xref="S1.p4.5.m3.1.1.3.3.cmml">−</mo><mfrac id="S1.p4.5.m3.1.1.3.3.2" xref="S1.p4.5.m3.1.1.3.3.2.cmml"><msup id="S1.p4.5.m3.1.1.3.3.2.2" xref="S1.p4.5.m3.1.1.3.3.2.2.cmml"><mi id="S1.p4.5.m3.1.1.3.3.2.2.2" xref="S1.p4.5.m3.1.1.3.3.2.2.2.cmml">r</mi><mn id="S1.p4.5.m3.1.1.3.3.2.2.3" xref="S1.p4.5.m3.1.1.3.3.2.2.3.cmml">2</mn></msup><mrow id="S1.p4.5.m3.1.1.3.3.2.3" xref="S1.p4.5.m3.1.1.3.3.2.3.cmml"><mn id="S1.p4.5.m3.1.1.3.3.2.3.2" xref="S1.p4.5.m3.1.1.3.3.2.3.2.cmml">2</mn><mo id="S1.p4.5.m3.1.1.3.3.2.3.1" xref="S1.p4.5.m3.1.1.3.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S1.p4.5.m3.1.1.3.3.2.3.3" xref="S1.p4.5.m3.1.1.3.3.2.3.3.cmml"><mi id="S1.p4.5.m3.1.1.3.3.2.3.3.2" xref="S1.p4.5.m3.1.1.3.3.2.3.3.2.cmml">σ</mi><mn id="S1.p4.5.m3.1.1.3.3.2.3.3.3" xref="S1.p4.5.m3.1.1.3.3.2.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mfrac></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p4.5.m3.1b"><apply id="S1.p4.5.m3.1.1.cmml" xref="S1.p4.5.m3.1.1"><leq id="S1.p4.5.m3.1.1.2.cmml" xref="S1.p4.5.m3.1.1.2"></leq><apply id="S1.p4.5.m3.1.1.1.cmml" xref="S1.p4.5.m3.1.1.1"><times id="S1.p4.5.m3.1.1.1.2.cmml" xref="S1.p4.5.m3.1.1.1.2"></times><ci id="S1.p4.5.m3.1.1.1.3.cmml" xref="S1.p4.5.m3.1.1.1.3">ℙ</ci><apply id="S1.p4.5.m3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p4.5.m3.1.1.1.1.1"><gt id="S1.p4.5.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p4.5.m3.1.1.1.1.1.1.1"></gt><ci id="S1.p4.5.m3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.p4.5.m3.1.1.1.1.1.1.2">𝑋</ci><ci id="S1.p4.5.m3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.p4.5.m3.1.1.1.1.1.1.3">𝑟</ci></apply></apply><apply id="S1.p4.5.m3.1.1.3.cmml" xref="S1.p4.5.m3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p4.5.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S1.p4.5.m3.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S1.p4.5.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S1.p4.5.m3.1.1.3.2">𝑒</ci><apply id="S1.p4.5.m3.1.1.3.3.cmml" xref="S1.p4.5.m3.1.1.3.3"><minus id="S1.p4.5.m3.1.1.3.3.1.cmml" xref="S1.p4.5.m3.1.1.3.3"></minus><apply id="S1.p4.5.m3.1.1.3.3.2.cmml" xref="S1.p4.5.m3.1.1.3.3.2"><divide id="S1.p4.5.m3.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S1.p4.5.m3.1.1.3.3.2"></divide><apply id="S1.p4.5.m3.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S1.p4.5.m3.1.1.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p4.5.m3.1.1.3.3.2.2.1.cmml" xref="S1.p4.5.m3.1.1.3.3.2.2">superscript</csymbol><ci id="S1.p4.5.m3.1.1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S1.p4.5.m3.1.1.3.3.2.2.2">𝑟</ci><cn id="S1.p4.5.m3.1.1.3.3.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S1.p4.5.m3.1.1.3.3.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S1.p4.5.m3.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S1.p4.5.m3.1.1.3.3.2.3"><times id="S1.p4.5.m3.1.1.3.3.2.3.1.cmml" xref="S1.p4.5.m3.1.1.3.3.2.3.1"></times><cn id="S1.p4.5.m3.1.1.3.3.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S1.p4.5.m3.1.1.3.3.2.3.2">2</cn><apply id="S1.p4.5.m3.1.1.3.3.2.3.3.cmml" xref="S1.p4.5.m3.1.1.3.3.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p4.5.m3.1.1.3.3.2.3.3.1.cmml" xref="S1.p4.5.m3.1.1.3.3.2.3.3">superscript</csymbol><ci id="S1.p4.5.m3.1.1.3.3.2.3.3.2.cmml" xref="S1.p4.5.m3.1.1.3.3.2.3.3.2">𝜎</ci><cn id="S1.p4.5.m3.1.1.3.3.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S1.p4.5.m3.1.1.3.3.2.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p4.5.m3.1c">\mathbb{P}\left(X>r\right)\leq e^{-\frac{r^{2}}{2\sigma^{2}}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p4.5.m3.1d">blackboard_P ( italic_X > italic_r ) ≤ italic_e start_POSTSUPERSCRIPT - divide start_ARG italic_r start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 2 italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. Similarly, <math alttext="\mathbb{P}\left(X<-r\right)\leq e^{-\frac{r^{2}}{2\sigma^{2}}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p4.6.m4.1"><semantics id="S1.p4.6.m4.1a"><mrow id="S1.p4.6.m4.1.1" xref="S1.p4.6.m4.1.1.cmml"><mrow id="S1.p4.6.m4.1.1.1" xref="S1.p4.6.m4.1.1.1.cmml"><mi id="S1.p4.6.m4.1.1.1.3" xref="S1.p4.6.m4.1.1.1.3.cmml">ℙ</mi><mo id="S1.p4.6.m4.1.1.1.2" xref="S1.p4.6.m4.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.p4.6.m4.1.1.1.1.1" xref="S1.p4.6.m4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S1.p4.6.m4.1.1.1.1.1.2" xref="S1.p4.6.m4.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S1.p4.6.m4.1.1.1.1.1.1" xref="S1.p4.6.m4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.p4.6.m4.1.1.1.1.1.1.2" xref="S1.p4.6.m4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">X</mi><mo id="S1.p4.6.m4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.p4.6.m4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><</mo><mrow id="S1.p4.6.m4.1.1.1.1.1.1.3" xref="S1.p4.6.m4.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S1.p4.6.m4.1.1.1.1.1.1.3a" xref="S1.p4.6.m4.1.1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mi id="S1.p4.6.m4.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S1.p4.6.m4.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">r</mi></mrow></mrow><mo id="S1.p4.6.m4.1.1.1.1.1.3" xref="S1.p4.6.m4.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S1.p4.6.m4.1.1.2" xref="S1.p4.6.m4.1.1.2.cmml">≤</mo><msup id="S1.p4.6.m4.1.1.3" xref="S1.p4.6.m4.1.1.3.cmml"><mi id="S1.p4.6.m4.1.1.3.2" xref="S1.p4.6.m4.1.1.3.2.cmml">e</mi><mrow id="S1.p4.6.m4.1.1.3.3" xref="S1.p4.6.m4.1.1.3.3.cmml"><mo id="S1.p4.6.m4.1.1.3.3a" xref="S1.p4.6.m4.1.1.3.3.cmml">−</mo><mfrac id="S1.p4.6.m4.1.1.3.3.2" xref="S1.p4.6.m4.1.1.3.3.2.cmml"><msup id="S1.p4.6.m4.1.1.3.3.2.2" xref="S1.p4.6.m4.1.1.3.3.2.2.cmml"><mi id="S1.p4.6.m4.1.1.3.3.2.2.2" xref="S1.p4.6.m4.1.1.3.3.2.2.2.cmml">r</mi><mn id="S1.p4.6.m4.1.1.3.3.2.2.3" xref="S1.p4.6.m4.1.1.3.3.2.2.3.cmml">2</mn></msup><mrow id="S1.p4.6.m4.1.1.3.3.2.3" xref="S1.p4.6.m4.1.1.3.3.2.3.cmml"><mn id="S1.p4.6.m4.1.1.3.3.2.3.2" xref="S1.p4.6.m4.1.1.3.3.2.3.2.cmml">2</mn><mo id="S1.p4.6.m4.1.1.3.3.2.3.1" xref="S1.p4.6.m4.1.1.3.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S1.p4.6.m4.1.1.3.3.2.3.3" xref="S1.p4.6.m4.1.1.3.3.2.3.3.cmml"><mi id="S1.p4.6.m4.1.1.3.3.2.3.3.2" xref="S1.p4.6.m4.1.1.3.3.2.3.3.2.cmml">σ</mi><mn id="S1.p4.6.m4.1.1.3.3.2.3.3.3" xref="S1.p4.6.m4.1.1.3.3.2.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mfrac></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p4.6.m4.1b"><apply id="S1.p4.6.m4.1.1.cmml" xref="S1.p4.6.m4.1.1"><leq id="S1.p4.6.m4.1.1.2.cmml" xref="S1.p4.6.m4.1.1.2"></leq><apply id="S1.p4.6.m4.1.1.1.cmml" xref="S1.p4.6.m4.1.1.1"><times id="S1.p4.6.m4.1.1.1.2.cmml" xref="S1.p4.6.m4.1.1.1.2"></times><ci id="S1.p4.6.m4.1.1.1.3.cmml" xref="S1.p4.6.m4.1.1.1.3">ℙ</ci><apply id="S1.p4.6.m4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p4.6.m4.1.1.1.1.1"><lt id="S1.p4.6.m4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p4.6.m4.1.1.1.1.1.1.1"></lt><ci id="S1.p4.6.m4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.p4.6.m4.1.1.1.1.1.1.2">𝑋</ci><apply id="S1.p4.6.m4.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.p4.6.m4.1.1.1.1.1.1.3"><minus id="S1.p4.6.m4.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S1.p4.6.m4.1.1.1.1.1.1.3"></minus><ci id="S1.p4.6.m4.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S1.p4.6.m4.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑟</ci></apply></apply></apply><apply id="S1.p4.6.m4.1.1.3.cmml" xref="S1.p4.6.m4.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p4.6.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S1.p4.6.m4.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S1.p4.6.m4.1.1.3.2.cmml" xref="S1.p4.6.m4.1.1.3.2">𝑒</ci><apply id="S1.p4.6.m4.1.1.3.3.cmml" xref="S1.p4.6.m4.1.1.3.3"><minus id="S1.p4.6.m4.1.1.3.3.1.cmml" xref="S1.p4.6.m4.1.1.3.3"></minus><apply id="S1.p4.6.m4.1.1.3.3.2.cmml" xref="S1.p4.6.m4.1.1.3.3.2"><divide id="S1.p4.6.m4.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S1.p4.6.m4.1.1.3.3.2"></divide><apply id="S1.p4.6.m4.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S1.p4.6.m4.1.1.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p4.6.m4.1.1.3.3.2.2.1.cmml" xref="S1.p4.6.m4.1.1.3.3.2.2">superscript</csymbol><ci id="S1.p4.6.m4.1.1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S1.p4.6.m4.1.1.3.3.2.2.2">𝑟</ci><cn id="S1.p4.6.m4.1.1.3.3.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S1.p4.6.m4.1.1.3.3.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S1.p4.6.m4.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S1.p4.6.m4.1.1.3.3.2.3"><times id="S1.p4.6.m4.1.1.3.3.2.3.1.cmml" xref="S1.p4.6.m4.1.1.3.3.2.3.1"></times><cn id="S1.p4.6.m4.1.1.3.3.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S1.p4.6.m4.1.1.3.3.2.3.2">2</cn><apply id="S1.p4.6.m4.1.1.3.3.2.3.3.cmml" xref="S1.p4.6.m4.1.1.3.3.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p4.6.m4.1.1.3.3.2.3.3.1.cmml" xref="S1.p4.6.m4.1.1.3.3.2.3.3">superscript</csymbol><ci id="S1.p4.6.m4.1.1.3.3.2.3.3.2.cmml" xref="S1.p4.6.m4.1.1.3.3.2.3.3.2">𝜎</ci><cn id="S1.p4.6.m4.1.1.3.3.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S1.p4.6.m4.1.1.3.3.2.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p4.6.m4.1c">\mathbb{P}\left(X<-r\right)\leq e^{-\frac{r^{2}}{2\sigma^{2}}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p4.6.m4.1d">blackboard_P ( italic_X < - italic_r ) ≤ italic_e start_POSTSUPERSCRIPT - divide start_ARG italic_r start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 2 italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. Combining them with the union bound, we obtain <math alttext="\mathbb{P}\left(\|X\|>r\right)\leq 2e^{-\frac{r^{2}}{2\sigma^{2}}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p4.7.m5.2"><semantics id="S1.p4.7.m5.2a"><mrow id="S1.p4.7.m5.2.2" xref="S1.p4.7.m5.2.2.cmml"><mrow id="S1.p4.7.m5.2.2.1" xref="S1.p4.7.m5.2.2.1.cmml"><mi id="S1.p4.7.m5.2.2.1.3" xref="S1.p4.7.m5.2.2.1.3.cmml">ℙ</mi><mo id="S1.p4.7.m5.2.2.1.2" xref="S1.p4.7.m5.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.p4.7.m5.2.2.1.1.1" xref="S1.p4.7.m5.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S1.p4.7.m5.2.2.1.1.1.2" xref="S1.p4.7.m5.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S1.p4.7.m5.2.2.1.1.1.1" xref="S1.p4.7.m5.2.2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S1.p4.7.m5.2.2.1.1.1.1.2.2" xref="S1.p4.7.m5.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml"><mo id="S1.p4.7.m5.2.2.1.1.1.1.2.2.1" stretchy="false" xref="S1.p4.7.m5.2.2.1.1.1.1.2.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S1.p4.7.m5.1.1" xref="S1.p4.7.m5.1.1.cmml">X</mi><mo id="S1.p4.7.m5.2.2.1.1.1.1.2.2.2" stretchy="false" xref="S1.p4.7.m5.2.2.1.1.1.1.2.1.1.cmml">‖</mo></mrow><mo id="S1.p4.7.m5.2.2.1.1.1.1.1" xref="S1.p4.7.m5.2.2.1.1.1.1.1.cmml">></mo><mi id="S1.p4.7.m5.2.2.1.1.1.1.3" xref="S1.p4.7.m5.2.2.1.1.1.1.3.cmml">r</mi></mrow><mo id="S1.p4.7.m5.2.2.1.1.1.3" xref="S1.p4.7.m5.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S1.p4.7.m5.2.2.2" xref="S1.p4.7.m5.2.2.2.cmml">≤</mo><mrow id="S1.p4.7.m5.2.2.3" xref="S1.p4.7.m5.2.2.3.cmml"><mn id="S1.p4.7.m5.2.2.3.2" xref="S1.p4.7.m5.2.2.3.2.cmml">2</mn><mo id="S1.p4.7.m5.2.2.3.1" xref="S1.p4.7.m5.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S1.p4.7.m5.2.2.3.3" xref="S1.p4.7.m5.2.2.3.3.cmml"><mi id="S1.p4.7.m5.2.2.3.3.2" xref="S1.p4.7.m5.2.2.3.3.2.cmml">e</mi><mrow id="S1.p4.7.m5.2.2.3.3.3" xref="S1.p4.7.m5.2.2.3.3.3.cmml"><mo id="S1.p4.7.m5.2.2.3.3.3a" xref="S1.p4.7.m5.2.2.3.3.3.cmml">−</mo><mfrac id="S1.p4.7.m5.2.2.3.3.3.2" xref="S1.p4.7.m5.2.2.3.3.3.2.cmml"><msup id="S1.p4.7.m5.2.2.3.3.3.2.2" xref="S1.p4.7.m5.2.2.3.3.3.2.2.cmml"><mi id="S1.p4.7.m5.2.2.3.3.3.2.2.2" xref="S1.p4.7.m5.2.2.3.3.3.2.2.2.cmml">r</mi><mn id="S1.p4.7.m5.2.2.3.3.3.2.2.3" xref="S1.p4.7.m5.2.2.3.3.3.2.2.3.cmml">2</mn></msup><mrow id="S1.p4.7.m5.2.2.3.3.3.2.3" xref="S1.p4.7.m5.2.2.3.3.3.2.3.cmml"><mn id="S1.p4.7.m5.2.2.3.3.3.2.3.2" xref="S1.p4.7.m5.2.2.3.3.3.2.3.2.cmml">2</mn><mo id="S1.p4.7.m5.2.2.3.3.3.2.3.1" xref="S1.p4.7.m5.2.2.3.3.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S1.p4.7.m5.2.2.3.3.3.2.3.3" xref="S1.p4.7.m5.2.2.3.3.3.2.3.3.cmml"><mi id="S1.p4.7.m5.2.2.3.3.3.2.3.3.2" xref="S1.p4.7.m5.2.2.3.3.3.2.3.3.2.cmml">σ</mi><mn id="S1.p4.7.m5.2.2.3.3.3.2.3.3.3" xref="S1.p4.7.m5.2.2.3.3.3.2.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mfrac></mrow></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p4.7.m5.2b"><apply id="S1.p4.7.m5.2.2.cmml" xref="S1.p4.7.m5.2.2"><leq id="S1.p4.7.m5.2.2.2.cmml" xref="S1.p4.7.m5.2.2.2"></leq><apply id="S1.p4.7.m5.2.2.1.cmml" xref="S1.p4.7.m5.2.2.1"><times id="S1.p4.7.m5.2.2.1.2.cmml" xref="S1.p4.7.m5.2.2.1.2"></times><ci id="S1.p4.7.m5.2.2.1.3.cmml" xref="S1.p4.7.m5.2.2.1.3">ℙ</ci><apply id="S1.p4.7.m5.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p4.7.m5.2.2.1.1.1"><gt id="S1.p4.7.m5.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p4.7.m5.2.2.1.1.1.1.1"></gt><apply id="S1.p4.7.m5.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S1.p4.7.m5.2.2.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S1.p4.7.m5.2.2.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S1.p4.7.m5.2.2.1.1.1.1.2.2.1">norm</csymbol><ci id="S1.p4.7.m5.1.1.cmml" xref="S1.p4.7.m5.1.1">𝑋</ci></apply><ci id="S1.p4.7.m5.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.p4.7.m5.2.2.1.1.1.1.3">𝑟</ci></apply></apply><apply id="S1.p4.7.m5.2.2.3.cmml" xref="S1.p4.7.m5.2.2.3"><times id="S1.p4.7.m5.2.2.3.1.cmml" xref="S1.p4.7.m5.2.2.3.1"></times><cn id="S1.p4.7.m5.2.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S1.p4.7.m5.2.2.3.2">2</cn><apply id="S1.p4.7.m5.2.2.3.3.cmml" xref="S1.p4.7.m5.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p4.7.m5.2.2.3.3.1.cmml" xref="S1.p4.7.m5.2.2.3.3">superscript</csymbol><ci id="S1.p4.7.m5.2.2.3.3.2.cmml" xref="S1.p4.7.m5.2.2.3.3.2">𝑒</ci><apply id="S1.p4.7.m5.2.2.3.3.3.cmml" xref="S1.p4.7.m5.2.2.3.3.3"><minus id="S1.p4.7.m5.2.2.3.3.3.1.cmml" xref="S1.p4.7.m5.2.2.3.3.3"></minus><apply id="S1.p4.7.m5.2.2.3.3.3.2.cmml" xref="S1.p4.7.m5.2.2.3.3.3.2"><divide id="S1.p4.7.m5.2.2.3.3.3.2.1.cmml" xref="S1.p4.7.m5.2.2.3.3.3.2"></divide><apply id="S1.p4.7.m5.2.2.3.3.3.2.2.cmml" xref="S1.p4.7.m5.2.2.3.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p4.7.m5.2.2.3.3.3.2.2.1.cmml" xref="S1.p4.7.m5.2.2.3.3.3.2.2">superscript</csymbol><ci id="S1.p4.7.m5.2.2.3.3.3.2.2.2.cmml" xref="S1.p4.7.m5.2.2.3.3.3.2.2.2">𝑟</ci><cn id="S1.p4.7.m5.2.2.3.3.3.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S1.p4.7.m5.2.2.3.3.3.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S1.p4.7.m5.2.2.3.3.3.2.3.cmml" xref="S1.p4.7.m5.2.2.3.3.3.2.3"><times id="S1.p4.7.m5.2.2.3.3.3.2.3.1.cmml" xref="S1.p4.7.m5.2.2.3.3.3.2.3.1"></times><cn id="S1.p4.7.m5.2.2.3.3.3.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S1.p4.7.m5.2.2.3.3.3.2.3.2">2</cn><apply id="S1.p4.7.m5.2.2.3.3.3.2.3.3.cmml" xref="S1.p4.7.m5.2.2.3.3.3.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p4.7.m5.2.2.3.3.3.2.3.3.1.cmml" xref="S1.p4.7.m5.2.2.3.3.3.2.3.3">superscript</csymbol><ci id="S1.p4.7.m5.2.2.3.3.3.2.3.3.2.cmml" xref="S1.p4.7.m5.2.2.3.3.3.2.3.3.2">𝜎</ci><cn id="S1.p4.7.m5.2.2.3.3.3.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S1.p4.7.m5.2.2.3.3.3.2.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p4.7.m5.2c">\mathbb{P}\left(\|X\|>r\right)\leq 2e^{-\frac{r^{2}}{2\sigma^{2}}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p4.7.m5.2d">blackboard_P ( ∥ italic_X ∥ > italic_r ) ≤ 2 italic_e start_POSTSUPERSCRIPT - divide start_ARG italic_r start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 2 italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. This corresponds to (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14347v1#S1.E3" title="In Theorem 1. ‣ 1 Sub-Gaussian norm concentration inequality ‣ A New Proof of Sub-Gaussian Norm Concentration Inequality"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a>) with constants <math alttext="C_{1}=2\log 2" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p4.8.m6.1"><semantics id="S1.p4.8.m6.1a"><mrow id="S1.p4.8.m6.1.1" xref="S1.p4.8.m6.1.1.cmml"><msub id="S1.p4.8.m6.1.1.2" xref="S1.p4.8.m6.1.1.2.cmml"><mi id="S1.p4.8.m6.1.1.2.2" xref="S1.p4.8.m6.1.1.2.2.cmml">C</mi><mn id="S1.p4.8.m6.1.1.2.3" xref="S1.p4.8.m6.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S1.p4.8.m6.1.1.1" xref="S1.p4.8.m6.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S1.p4.8.m6.1.1.3" xref="S1.p4.8.m6.1.1.3.cmml"><mn id="S1.p4.8.m6.1.1.3.2" xref="S1.p4.8.m6.1.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="S1.p4.8.m6.1.1.3.1" lspace="0.167em" xref="S1.p4.8.m6.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.p4.8.m6.1.1.3.3" xref="S1.p4.8.m6.1.1.3.3.cmml"><mi id="S1.p4.8.m6.1.1.3.3.1" xref="S1.p4.8.m6.1.1.3.3.1.cmml">log</mi><mo id="S1.p4.8.m6.1.1.3.3a" lspace="0.167em" xref="S1.p4.8.m6.1.1.3.3.cmml">⁡</mo><mn id="S1.p4.8.m6.1.1.3.3.2" xref="S1.p4.8.m6.1.1.3.3.2.cmml">2</mn></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p4.8.m6.1b"><apply id="S1.p4.8.m6.1.1.cmml" xref="S1.p4.8.m6.1.1"><eq id="S1.p4.8.m6.1.1.1.cmml" xref="S1.p4.8.m6.1.1.1"></eq><apply id="S1.p4.8.m6.1.1.2.cmml" xref="S1.p4.8.m6.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p4.8.m6.1.1.2.1.cmml" xref="S1.p4.8.m6.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S1.p4.8.m6.1.1.2.2.cmml" xref="S1.p4.8.m6.1.1.2.2">𝐶</ci><cn id="S1.p4.8.m6.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S1.p4.8.m6.1.1.2.3">1</cn></apply><apply id="S1.p4.8.m6.1.1.3.cmml" xref="S1.p4.8.m6.1.1.3"><times id="S1.p4.8.m6.1.1.3.1.cmml" xref="S1.p4.8.m6.1.1.3.1"></times><cn id="S1.p4.8.m6.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S1.p4.8.m6.1.1.3.2">2</cn><apply id="S1.p4.8.m6.1.1.3.3.cmml" xref="S1.p4.8.m6.1.1.3.3"><log id="S1.p4.8.m6.1.1.3.3.1.cmml" xref="S1.p4.8.m6.1.1.3.3.1"></log><cn id="S1.p4.8.m6.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S1.p4.8.m6.1.1.3.3.2">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p4.8.m6.1c">C_{1}=2\log 2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p4.8.m6.1d">italic_C start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT = 2 roman_log 2</annotation></semantics></math> and <math alttext="C_{2}=2" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p4.9.m7.1"><semantics id="S1.p4.9.m7.1a"><mrow id="S1.p4.9.m7.1.1" xref="S1.p4.9.m7.1.1.cmml"><msub id="S1.p4.9.m7.1.1.2" xref="S1.p4.9.m7.1.1.2.cmml"><mi id="S1.p4.9.m7.1.1.2.2" xref="S1.p4.9.m7.1.1.2.2.cmml">C</mi><mn id="S1.p4.9.m7.1.1.2.3" xref="S1.p4.9.m7.1.1.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S1.p4.9.m7.1.1.1" xref="S1.p4.9.m7.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S1.p4.9.m7.1.1.3" xref="S1.p4.9.m7.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p4.9.m7.1b"><apply id="S1.p4.9.m7.1.1.cmml" xref="S1.p4.9.m7.1.1"><eq id="S1.p4.9.m7.1.1.1.cmml" xref="S1.p4.9.m7.1.1.1"></eq><apply id="S1.p4.9.m7.1.1.2.cmml" xref="S1.p4.9.m7.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p4.9.m7.1.1.2.1.cmml" xref="S1.p4.9.m7.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S1.p4.9.m7.1.1.2.2.cmml" xref="S1.p4.9.m7.1.1.2.2">𝐶</ci><cn id="S1.p4.9.m7.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S1.p4.9.m7.1.1.2.3">2</cn></apply><cn id="S1.p4.9.m7.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.p4.9.m7.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p4.9.m7.1c">C_{2}=2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p4.9.m7.1d">italic_C start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT = 2</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S1.p5"> <p class="ltx_p" id="S1.p5.13">When <math alttext="n\geq 2" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p5.1.m1.1"><semantics id="S1.p5.1.m1.1a"><mrow id="S1.p5.1.m1.1.1" xref="S1.p5.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S1.p5.1.m1.1.1.2" xref="S1.p5.1.m1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S1.p5.1.m1.1.1.1" xref="S1.p5.1.m1.1.1.1.cmml">≥</mo><mn id="S1.p5.1.m1.1.1.3" xref="S1.p5.1.m1.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p5.1.m1.1b"><apply id="S1.p5.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.p5.1.m1.1.1"><geq id="S1.p5.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S1.p5.1.m1.1.1.1"></geq><ci id="S1.p5.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S1.p5.1.m1.1.1.2">𝑛</ci><cn id="S1.p5.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.p5.1.m1.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p5.1.m1.1c">n\geq 2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p5.1.m1.1d">italic_n ≥ 2</annotation></semantics></math>, one can follow a similar idea and apply Markov’s inequality to bound <math alttext="\mathbb{P}\left(\ell^{\top}X>r\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p5.2.m2.1"><semantics id="S1.p5.2.m2.1a"><mrow id="S1.p5.2.m2.1.1" xref="S1.p5.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S1.p5.2.m2.1.1.3" xref="S1.p5.2.m2.1.1.3.cmml">ℙ</mi><mo id="S1.p5.2.m2.1.1.2" xref="S1.p5.2.m2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.p5.2.m2.1.1.1.1" xref="S1.p5.2.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S1.p5.2.m2.1.1.1.1.2" xref="S1.p5.2.m2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S1.p5.2.m2.1.1.1.1.1" xref="S1.p5.2.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S1.p5.2.m2.1.1.1.1.1.2" xref="S1.p5.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml"><msup id="S1.p5.2.m2.1.1.1.1.1.2.2" xref="S1.p5.2.m2.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S1.p5.2.m2.1.1.1.1.1.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S1.p5.2.m2.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">ℓ</mi><mo id="S1.p5.2.m2.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S1.p5.2.m2.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">⊤</mo></msup><mo id="S1.p5.2.m2.1.1.1.1.1.2.1" xref="S1.p5.2.m2.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.p5.2.m2.1.1.1.1.1.2.3" xref="S1.p5.2.m2.1.1.1.1.1.2.3.cmml">X</mi></mrow><mo id="S1.p5.2.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S1.p5.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">></mo><mi id="S1.p5.2.m2.1.1.1.1.1.3" xref="S1.p5.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml">r</mi></mrow><mo id="S1.p5.2.m2.1.1.1.1.3" xref="S1.p5.2.m2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p5.2.m2.1b"><apply id="S1.p5.2.m2.1.1.cmml" xref="S1.p5.2.m2.1.1"><times id="S1.p5.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S1.p5.2.m2.1.1.2"></times><ci id="S1.p5.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S1.p5.2.m2.1.1.3">ℙ</ci><apply id="S1.p5.2.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p5.2.m2.1.1.1.1"><gt id="S1.p5.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p5.2.m2.1.1.1.1.1.1"></gt><apply id="S1.p5.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.p5.2.m2.1.1.1.1.1.2"><times id="S1.p5.2.m2.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S1.p5.2.m2.1.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="S1.p5.2.m2.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S1.p5.2.m2.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p5.2.m2.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S1.p5.2.m2.1.1.1.1.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S1.p5.2.m2.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S1.p5.2.m2.1.1.1.1.1.2.2.2">ℓ</ci><csymbol cd="latexml" id="S1.p5.2.m2.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S1.p5.2.m2.1.1.1.1.1.2.2.3">top</csymbol></apply><ci id="S1.p5.2.m2.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S1.p5.2.m2.1.1.1.1.1.2.3">𝑋</ci></apply><ci id="S1.p5.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.p5.2.m2.1.1.1.1.1.3">𝑟</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p5.2.m2.1c">\mathbb{P}\left(\ell^{\top}X>r\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p5.2.m2.1d">blackboard_P ( roman_ℓ start_POSTSUPERSCRIPT ⊤ end_POSTSUPERSCRIPT italic_X > italic_r )</annotation></semantics></math> for each <math alttext="\ell\in\mathcal{S}^{n-1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p5.3.m3.1"><semantics id="S1.p5.3.m3.1a"><mrow id="S1.p5.3.m3.1.1" xref="S1.p5.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S1.p5.3.m3.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S1.p5.3.m3.1.1.2.cmml">ℓ</mi><mo id="S1.p5.3.m3.1.1.1" xref="S1.p5.3.m3.1.1.1.cmml">∈</mo><msup id="S1.p5.3.m3.1.1.3" xref="S1.p5.3.m3.1.1.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S1.p5.3.m3.1.1.3.2" xref="S1.p5.3.m3.1.1.3.2.cmml">𝒮</mi><mrow id="S1.p5.3.m3.1.1.3.3" xref="S1.p5.3.m3.1.1.3.3.cmml"><mi id="S1.p5.3.m3.1.1.3.3.2" xref="S1.p5.3.m3.1.1.3.3.2.cmml">n</mi><mo id="S1.p5.3.m3.1.1.3.3.1" xref="S1.p5.3.m3.1.1.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="S1.p5.3.m3.1.1.3.3.3" xref="S1.p5.3.m3.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p5.3.m3.1b"><apply id="S1.p5.3.m3.1.1.cmml" xref="S1.p5.3.m3.1.1"><in id="S1.p5.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S1.p5.3.m3.1.1.1"></in><ci id="S1.p5.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S1.p5.3.m3.1.1.2">ℓ</ci><apply id="S1.p5.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S1.p5.3.m3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p5.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S1.p5.3.m3.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S1.p5.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S1.p5.3.m3.1.1.3.2">𝒮</ci><apply id="S1.p5.3.m3.1.1.3.3.cmml" xref="S1.p5.3.m3.1.1.3.3"><minus id="S1.p5.3.m3.1.1.3.3.1.cmml" xref="S1.p5.3.m3.1.1.3.3.1"></minus><ci id="S1.p5.3.m3.1.1.3.3.2.cmml" xref="S1.p5.3.m3.1.1.3.3.2">𝑛</ci><cn id="S1.p5.3.m3.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S1.p5.3.m3.1.1.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p5.3.m3.1c">\ell\in\mathcal{S}^{n-1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p5.3.m3.1d">roman_ℓ ∈ caligraphic_S start_POSTSUPERSCRIPT italic_n - 1 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> and then combine them to establish a probabilistic bound for <math alttext="\|X\|=\max_{\ell\in\mathcal{S}^{n-1}}\ell^{\top}X" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p5.4.m4.1"><semantics id="S1.p5.4.m4.1a"><mrow id="S1.p5.4.m4.1.2" xref="S1.p5.4.m4.1.2.cmml"><mrow id="S1.p5.4.m4.1.2.2.2" xref="S1.p5.4.m4.1.2.2.1.cmml"><mo id="S1.p5.4.m4.1.2.2.2.1" stretchy="false" xref="S1.p5.4.m4.1.2.2.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S1.p5.4.m4.1.1" xref="S1.p5.4.m4.1.1.cmml">X</mi><mo id="S1.p5.4.m4.1.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S1.p5.4.m4.1.2.2.1.1.cmml">‖</mo></mrow><mo id="S1.p5.4.m4.1.2.1" xref="S1.p5.4.m4.1.2.1.cmml">=</mo><mrow id="S1.p5.4.m4.1.2.3" xref="S1.p5.4.m4.1.2.3.cmml"><msub id="S1.p5.4.m4.1.2.3.1" xref="S1.p5.4.m4.1.2.3.1.cmml"><mi id="S1.p5.4.m4.1.2.3.1.2" xref="S1.p5.4.m4.1.2.3.1.2.cmml">max</mi><mrow id="S1.p5.4.m4.1.2.3.1.3" xref="S1.p5.4.m4.1.2.3.1.3.cmml"><mi id="S1.p5.4.m4.1.2.3.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S1.p5.4.m4.1.2.3.1.3.2.cmml">ℓ</mi><mo id="S1.p5.4.m4.1.2.3.1.3.1" xref="S1.p5.4.m4.1.2.3.1.3.1.cmml">∈</mo><msup id="S1.p5.4.m4.1.2.3.1.3.3" xref="S1.p5.4.m4.1.2.3.1.3.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S1.p5.4.m4.1.2.3.1.3.3.2" xref="S1.p5.4.m4.1.2.3.1.3.3.2.cmml">𝒮</mi><mrow id="S1.p5.4.m4.1.2.3.1.3.3.3" xref="S1.p5.4.m4.1.2.3.1.3.3.3.cmml"><mi id="S1.p5.4.m4.1.2.3.1.3.3.3.2" xref="S1.p5.4.m4.1.2.3.1.3.3.3.2.cmml">n</mi><mo id="S1.p5.4.m4.1.2.3.1.3.3.3.1" xref="S1.p5.4.m4.1.2.3.1.3.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="S1.p5.4.m4.1.2.3.1.3.3.3.3" xref="S1.p5.4.m4.1.2.3.1.3.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup></mrow></msub><mo id="S1.p5.4.m4.1.2.3a" lspace="0.167em" xref="S1.p5.4.m4.1.2.3.cmml">⁡</mo><mrow id="S1.p5.4.m4.1.2.3.2" xref="S1.p5.4.m4.1.2.3.2.cmml"><msup id="S1.p5.4.m4.1.2.3.2.2" xref="S1.p5.4.m4.1.2.3.2.2.cmml"><mi id="S1.p5.4.m4.1.2.3.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S1.p5.4.m4.1.2.3.2.2.2.cmml">ℓ</mi><mo id="S1.p5.4.m4.1.2.3.2.2.3" xref="S1.p5.4.m4.1.2.3.2.2.3.cmml">⊤</mo></msup><mo id="S1.p5.4.m4.1.2.3.2.1" xref="S1.p5.4.m4.1.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.p5.4.m4.1.2.3.2.3" xref="S1.p5.4.m4.1.2.3.2.3.cmml">X</mi></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p5.4.m4.1b"><apply id="S1.p5.4.m4.1.2.cmml" xref="S1.p5.4.m4.1.2"><eq id="S1.p5.4.m4.1.2.1.cmml" xref="S1.p5.4.m4.1.2.1"></eq><apply id="S1.p5.4.m4.1.2.2.1.cmml" xref="S1.p5.4.m4.1.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S1.p5.4.m4.1.2.2.1.1.cmml" xref="S1.p5.4.m4.1.2.2.2.1">norm</csymbol><ci id="S1.p5.4.m4.1.1.cmml" xref="S1.p5.4.m4.1.1">𝑋</ci></apply><apply id="S1.p5.4.m4.1.2.3.cmml" xref="S1.p5.4.m4.1.2.3"><apply id="S1.p5.4.m4.1.2.3.1.cmml" xref="S1.p5.4.m4.1.2.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p5.4.m4.1.2.3.1.1.cmml" xref="S1.p5.4.m4.1.2.3.1">subscript</csymbol><max id="S1.p5.4.m4.1.2.3.1.2.cmml" xref="S1.p5.4.m4.1.2.3.1.2"></max><apply id="S1.p5.4.m4.1.2.3.1.3.cmml" xref="S1.p5.4.m4.1.2.3.1.3"><in id="S1.p5.4.m4.1.2.3.1.3.1.cmml" xref="S1.p5.4.m4.1.2.3.1.3.1"></in><ci id="S1.p5.4.m4.1.2.3.1.3.2.cmml" xref="S1.p5.4.m4.1.2.3.1.3.2">ℓ</ci><apply id="S1.p5.4.m4.1.2.3.1.3.3.cmml" xref="S1.p5.4.m4.1.2.3.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p5.4.m4.1.2.3.1.3.3.1.cmml" xref="S1.p5.4.m4.1.2.3.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S1.p5.4.m4.1.2.3.1.3.3.2.cmml" xref="S1.p5.4.m4.1.2.3.1.3.3.2">𝒮</ci><apply id="S1.p5.4.m4.1.2.3.1.3.3.3.cmml" xref="S1.p5.4.m4.1.2.3.1.3.3.3"><minus id="S1.p5.4.m4.1.2.3.1.3.3.3.1.cmml" xref="S1.p5.4.m4.1.2.3.1.3.3.3.1"></minus><ci id="S1.p5.4.m4.1.2.3.1.3.3.3.2.cmml" xref="S1.p5.4.m4.1.2.3.1.3.3.3.2">𝑛</ci><cn id="S1.p5.4.m4.1.2.3.1.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S1.p5.4.m4.1.2.3.1.3.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S1.p5.4.m4.1.2.3.2.cmml" xref="S1.p5.4.m4.1.2.3.2"><times id="S1.p5.4.m4.1.2.3.2.1.cmml" xref="S1.p5.4.m4.1.2.3.2.1"></times><apply id="S1.p5.4.m4.1.2.3.2.2.cmml" xref="S1.p5.4.m4.1.2.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p5.4.m4.1.2.3.2.2.1.cmml" xref="S1.p5.4.m4.1.2.3.2.2">superscript</csymbol><ci id="S1.p5.4.m4.1.2.3.2.2.2.cmml" xref="S1.p5.4.m4.1.2.3.2.2.2">ℓ</ci><csymbol cd="latexml" id="S1.p5.4.m4.1.2.3.2.2.3.cmml" xref="S1.p5.4.m4.1.2.3.2.2.3">top</csymbol></apply><ci id="S1.p5.4.m4.1.2.3.2.3.cmml" xref="S1.p5.4.m4.1.2.3.2.3">𝑋</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p5.4.m4.1c">\|X\|=\max_{\ell\in\mathcal{S}^{n-1}}\ell^{\top}X</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p5.4.m4.1d">∥ italic_X ∥ = roman_max start_POSTSUBSCRIPT roman_ℓ ∈ caligraphic_S start_POSTSUPERSCRIPT italic_n - 1 end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT roman_ℓ start_POSTSUPERSCRIPT ⊤ end_POSTSUPERSCRIPT italic_X</annotation></semantics></math>. However, the union bound is no longer applicable since the maximum is over an unaccountable set <math alttext="\mathcal{S}^{n-1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p5.5.m5.1"><semantics id="S1.p5.5.m5.1a"><msup id="S1.p5.5.m5.1.1" xref="S1.p5.5.m5.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S1.p5.5.m5.1.1.2" xref="S1.p5.5.m5.1.1.2.cmml">𝒮</mi><mrow id="S1.p5.5.m5.1.1.3" xref="S1.p5.5.m5.1.1.3.cmml"><mi id="S1.p5.5.m5.1.1.3.2" xref="S1.p5.5.m5.1.1.3.2.cmml">n</mi><mo id="S1.p5.5.m5.1.1.3.1" xref="S1.p5.5.m5.1.1.3.1.cmml">−</mo><mn id="S1.p5.5.m5.1.1.3.3" xref="S1.p5.5.m5.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p5.5.m5.1b"><apply id="S1.p5.5.m5.1.1.cmml" xref="S1.p5.5.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p5.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S1.p5.5.m5.1.1">superscript</csymbol><ci id="S1.p5.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S1.p5.5.m5.1.1.2">𝒮</ci><apply id="S1.p5.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S1.p5.5.m5.1.1.3"><minus id="S1.p5.5.m5.1.1.3.1.cmml" xref="S1.p5.5.m5.1.1.3.1"></minus><ci id="S1.p5.5.m5.1.1.3.2.cmml" xref="S1.p5.5.m5.1.1.3.2">𝑛</ci><cn id="S1.p5.5.m5.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S1.p5.5.m5.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p5.5.m5.1c">\mathcal{S}^{n-1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p5.5.m5.1d">caligraphic_S start_POSTSUPERSCRIPT italic_n - 1 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. To circumvent this issue, the <math alttext="\varepsilon" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p5.6.m6.1"><semantics id="S1.p5.6.m6.1a"><mi id="S1.p5.6.m6.1.1" xref="S1.p5.6.m6.1.1.cmml">ε</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p5.6.m6.1b"><ci id="S1.p5.6.m6.1.1.cmml" xref="S1.p5.6.m6.1.1">𝜀</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p5.6.m6.1c">\varepsilon</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p5.6.m6.1d">italic_ε</annotation></semantics></math>-net technique has been developed and has become a standard proof for sub-Gaussian norm concentration <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14347v1#bib.bib1" title="">1</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14347v1#bib.bib3" title="">3</a>]</cite>. Following this technique, one constructs an <math alttext="\varepsilon" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p5.7.m7.1"><semantics id="S1.p5.7.m7.1a"><mi id="S1.p5.7.m7.1.1" xref="S1.p5.7.m7.1.1.cmml">ε</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p5.7.m7.1b"><ci id="S1.p5.7.m7.1.1.cmml" xref="S1.p5.7.m7.1.1">𝜀</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p5.7.m7.1c">\varepsilon</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p5.7.m7.1d">italic_ε</annotation></semantics></math>-net <math alttext="\mathcal{N}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p5.8.m8.1"><semantics id="S1.p5.8.m8.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S1.p5.8.m8.1.1" xref="S1.p5.8.m8.1.1.cmml">𝒩</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p5.8.m8.1b"><ci id="S1.p5.8.m8.1.1.cmml" xref="S1.p5.8.m8.1.1">𝒩</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p5.8.m8.1c">\mathcal{N}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p5.8.m8.1d">caligraphic_N</annotation></semantics></math> <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14347v1#bib.bib1" title="">1</a>, Definition 1.17]</cite> for the Euclidean unit ball such that <math alttext="\mathcal{N}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p5.9.m9.1"><semantics id="S1.p5.9.m9.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S1.p5.9.m9.1.1" xref="S1.p5.9.m9.1.1.cmml">𝒩</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p5.9.m9.1b"><ci id="S1.p5.9.m9.1.1.cmml" xref="S1.p5.9.m9.1.1">𝒩</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p5.9.m9.1c">\mathcal{N}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p5.9.m9.1d">caligraphic_N</annotation></semantics></math> has finite elements and <math alttext="\max_{\ell\in\mathcal{S}^{n-1}}\ell^{\top}X\leq\frac{1}{1-\varepsilon}\max_{% \ell\in\mathcal{N}}\ell^{\top}X" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p5.10.m10.1"><semantics id="S1.p5.10.m10.1a"><mrow id="S1.p5.10.m10.1.1" xref="S1.p5.10.m10.1.1.cmml"><mrow id="S1.p5.10.m10.1.1.2" xref="S1.p5.10.m10.1.1.2.cmml"><msub id="S1.p5.10.m10.1.1.2.1" xref="S1.p5.10.m10.1.1.2.1.cmml"><mi id="S1.p5.10.m10.1.1.2.1.2" xref="S1.p5.10.m10.1.1.2.1.2.cmml">max</mi><mrow id="S1.p5.10.m10.1.1.2.1.3" xref="S1.p5.10.m10.1.1.2.1.3.cmml"><mi id="S1.p5.10.m10.1.1.2.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S1.p5.10.m10.1.1.2.1.3.2.cmml">ℓ</mi><mo id="S1.p5.10.m10.1.1.2.1.3.1" xref="S1.p5.10.m10.1.1.2.1.3.1.cmml">∈</mo><msup id="S1.p5.10.m10.1.1.2.1.3.3" xref="S1.p5.10.m10.1.1.2.1.3.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S1.p5.10.m10.1.1.2.1.3.3.2" xref="S1.p5.10.m10.1.1.2.1.3.3.2.cmml">𝒮</mi><mrow id="S1.p5.10.m10.1.1.2.1.3.3.3" xref="S1.p5.10.m10.1.1.2.1.3.3.3.cmml"><mi id="S1.p5.10.m10.1.1.2.1.3.3.3.2" xref="S1.p5.10.m10.1.1.2.1.3.3.3.2.cmml">n</mi><mo id="S1.p5.10.m10.1.1.2.1.3.3.3.1" xref="S1.p5.10.m10.1.1.2.1.3.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="S1.p5.10.m10.1.1.2.1.3.3.3.3" xref="S1.p5.10.m10.1.1.2.1.3.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup></mrow></msub><mo id="S1.p5.10.m10.1.1.2a" lspace="0.167em" xref="S1.p5.10.m10.1.1.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S1.p5.10.m10.1.1.2.2" xref="S1.p5.10.m10.1.1.2.2.cmml"><msup id="S1.p5.10.m10.1.1.2.2.2" xref="S1.p5.10.m10.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S1.p5.10.m10.1.1.2.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S1.p5.10.m10.1.1.2.2.2.2.cmml">ℓ</mi><mo id="S1.p5.10.m10.1.1.2.2.2.3" xref="S1.p5.10.m10.1.1.2.2.2.3.cmml">⊤</mo></msup><mo id="S1.p5.10.m10.1.1.2.2.1" xref="S1.p5.10.m10.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.p5.10.m10.1.1.2.2.3" xref="S1.p5.10.m10.1.1.2.2.3.cmml">X</mi></mrow></mrow><mo id="S1.p5.10.m10.1.1.1" xref="S1.p5.10.m10.1.1.1.cmml">≤</mo><mrow id="S1.p5.10.m10.1.1.3" xref="S1.p5.10.m10.1.1.3.cmml"><mfrac id="S1.p5.10.m10.1.1.3.2" xref="S1.p5.10.m10.1.1.3.2.cmml"><mn id="S1.p5.10.m10.1.1.3.2.2" xref="S1.p5.10.m10.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mrow id="S1.p5.10.m10.1.1.3.2.3" xref="S1.p5.10.m10.1.1.3.2.3.cmml"><mn id="S1.p5.10.m10.1.1.3.2.3.2" xref="S1.p5.10.m10.1.1.3.2.3.2.cmml">1</mn><mo id="S1.p5.10.m10.1.1.3.2.3.1" xref="S1.p5.10.m10.1.1.3.2.3.1.cmml">−</mo><mi id="S1.p5.10.m10.1.1.3.2.3.3" xref="S1.p5.10.m10.1.1.3.2.3.3.cmml">ε</mi></mrow></mfrac><mo id="S1.p5.10.m10.1.1.3.1" lspace="0.167em" xref="S1.p5.10.m10.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.p5.10.m10.1.1.3.3" xref="S1.p5.10.m10.1.1.3.3.cmml"><msub id="S1.p5.10.m10.1.1.3.3.1" xref="S1.p5.10.m10.1.1.3.3.1.cmml"><mi id="S1.p5.10.m10.1.1.3.3.1.2" xref="S1.p5.10.m10.1.1.3.3.1.2.cmml">max</mi><mrow id="S1.p5.10.m10.1.1.3.3.1.3" xref="S1.p5.10.m10.1.1.3.3.1.3.cmml"><mi id="S1.p5.10.m10.1.1.3.3.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S1.p5.10.m10.1.1.3.3.1.3.2.cmml">ℓ</mi><mo id="S1.p5.10.m10.1.1.3.3.1.3.1" xref="S1.p5.10.m10.1.1.3.3.1.3.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S1.p5.10.m10.1.1.3.3.1.3.3" xref="S1.p5.10.m10.1.1.3.3.1.3.3.cmml">𝒩</mi></mrow></msub><mo id="S1.p5.10.m10.1.1.3.3a" lspace="0.167em" xref="S1.p5.10.m10.1.1.3.3.cmml">⁡</mo><mrow id="S1.p5.10.m10.1.1.3.3.2" xref="S1.p5.10.m10.1.1.3.3.2.cmml"><msup id="S1.p5.10.m10.1.1.3.3.2.2" xref="S1.p5.10.m10.1.1.3.3.2.2.cmml"><mi id="S1.p5.10.m10.1.1.3.3.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S1.p5.10.m10.1.1.3.3.2.2.2.cmml">ℓ</mi><mo id="S1.p5.10.m10.1.1.3.3.2.2.3" xref="S1.p5.10.m10.1.1.3.3.2.2.3.cmml">⊤</mo></msup><mo id="S1.p5.10.m10.1.1.3.3.2.1" xref="S1.p5.10.m10.1.1.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S1.p5.10.m10.1.1.3.3.2.3" xref="S1.p5.10.m10.1.1.3.3.2.3.cmml">X</mi></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p5.10.m10.1b"><apply id="S1.p5.10.m10.1.1.cmml" xref="S1.p5.10.m10.1.1"><leq id="S1.p5.10.m10.1.1.1.cmml" xref="S1.p5.10.m10.1.1.1"></leq><apply id="S1.p5.10.m10.1.1.2.cmml" xref="S1.p5.10.m10.1.1.2"><apply id="S1.p5.10.m10.1.1.2.1.cmml" xref="S1.p5.10.m10.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p5.10.m10.1.1.2.1.1.cmml" xref="S1.p5.10.m10.1.1.2.1">subscript</csymbol><max id="S1.p5.10.m10.1.1.2.1.2.cmml" xref="S1.p5.10.m10.1.1.2.1.2"></max><apply id="S1.p5.10.m10.1.1.2.1.3.cmml" xref="S1.p5.10.m10.1.1.2.1.3"><in id="S1.p5.10.m10.1.1.2.1.3.1.cmml" xref="S1.p5.10.m10.1.1.2.1.3.1"></in><ci id="S1.p5.10.m10.1.1.2.1.3.2.cmml" xref="S1.p5.10.m10.1.1.2.1.3.2">ℓ</ci><apply id="S1.p5.10.m10.1.1.2.1.3.3.cmml" xref="S1.p5.10.m10.1.1.2.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p5.10.m10.1.1.2.1.3.3.1.cmml" xref="S1.p5.10.m10.1.1.2.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S1.p5.10.m10.1.1.2.1.3.3.2.cmml" xref="S1.p5.10.m10.1.1.2.1.3.3.2">𝒮</ci><apply id="S1.p5.10.m10.1.1.2.1.3.3.3.cmml" xref="S1.p5.10.m10.1.1.2.1.3.3.3"><minus id="S1.p5.10.m10.1.1.2.1.3.3.3.1.cmml" xref="S1.p5.10.m10.1.1.2.1.3.3.3.1"></minus><ci id="S1.p5.10.m10.1.1.2.1.3.3.3.2.cmml" xref="S1.p5.10.m10.1.1.2.1.3.3.3.2">𝑛</ci><cn id="S1.p5.10.m10.1.1.2.1.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S1.p5.10.m10.1.1.2.1.3.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S1.p5.10.m10.1.1.2.2.cmml" xref="S1.p5.10.m10.1.1.2.2"><times id="S1.p5.10.m10.1.1.2.2.1.cmml" xref="S1.p5.10.m10.1.1.2.2.1"></times><apply id="S1.p5.10.m10.1.1.2.2.2.cmml" xref="S1.p5.10.m10.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p5.10.m10.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S1.p5.10.m10.1.1.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S1.p5.10.m10.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S1.p5.10.m10.1.1.2.2.2.2">ℓ</ci><csymbol cd="latexml" id="S1.p5.10.m10.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S1.p5.10.m10.1.1.2.2.2.3">top</csymbol></apply><ci id="S1.p5.10.m10.1.1.2.2.3.cmml" xref="S1.p5.10.m10.1.1.2.2.3">𝑋</ci></apply></apply><apply id="S1.p5.10.m10.1.1.3.cmml" xref="S1.p5.10.m10.1.1.3"><times id="S1.p5.10.m10.1.1.3.1.cmml" xref="S1.p5.10.m10.1.1.3.1"></times><apply id="S1.p5.10.m10.1.1.3.2.cmml" xref="S1.p5.10.m10.1.1.3.2"><divide id="S1.p5.10.m10.1.1.3.2.1.cmml" xref="S1.p5.10.m10.1.1.3.2"></divide><cn id="S1.p5.10.m10.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S1.p5.10.m10.1.1.3.2.2">1</cn><apply id="S1.p5.10.m10.1.1.3.2.3.cmml" xref="S1.p5.10.m10.1.1.3.2.3"><minus id="S1.p5.10.m10.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S1.p5.10.m10.1.1.3.2.3.1"></minus><cn id="S1.p5.10.m10.1.1.3.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S1.p5.10.m10.1.1.3.2.3.2">1</cn><ci id="S1.p5.10.m10.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S1.p5.10.m10.1.1.3.2.3.3">𝜀</ci></apply></apply><apply id="S1.p5.10.m10.1.1.3.3.cmml" xref="S1.p5.10.m10.1.1.3.3"><apply id="S1.p5.10.m10.1.1.3.3.1.cmml" xref="S1.p5.10.m10.1.1.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p5.10.m10.1.1.3.3.1.1.cmml" xref="S1.p5.10.m10.1.1.3.3.1">subscript</csymbol><max id="S1.p5.10.m10.1.1.3.3.1.2.cmml" xref="S1.p5.10.m10.1.1.3.3.1.2"></max><apply id="S1.p5.10.m10.1.1.3.3.1.3.cmml" xref="S1.p5.10.m10.1.1.3.3.1.3"><in id="S1.p5.10.m10.1.1.3.3.1.3.1.cmml" xref="S1.p5.10.m10.1.1.3.3.1.3.1"></in><ci id="S1.p5.10.m10.1.1.3.3.1.3.2.cmml" xref="S1.p5.10.m10.1.1.3.3.1.3.2">ℓ</ci><ci id="S1.p5.10.m10.1.1.3.3.1.3.3.cmml" xref="S1.p5.10.m10.1.1.3.3.1.3.3">𝒩</ci></apply></apply><apply id="S1.p5.10.m10.1.1.3.3.2.cmml" xref="S1.p5.10.m10.1.1.3.3.2"><times id="S1.p5.10.m10.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S1.p5.10.m10.1.1.3.3.2.1"></times><apply id="S1.p5.10.m10.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S1.p5.10.m10.1.1.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p5.10.m10.1.1.3.3.2.2.1.cmml" xref="S1.p5.10.m10.1.1.3.3.2.2">superscript</csymbol><ci id="S1.p5.10.m10.1.1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S1.p5.10.m10.1.1.3.3.2.2.2">ℓ</ci><csymbol cd="latexml" id="S1.p5.10.m10.1.1.3.3.2.2.3.cmml" xref="S1.p5.10.m10.1.1.3.3.2.2.3">top</csymbol></apply><ci id="S1.p5.10.m10.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S1.p5.10.m10.1.1.3.3.2.3">𝑋</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p5.10.m10.1c">\max_{\ell\in\mathcal{S}^{n-1}}\ell^{\top}X\leq\frac{1}{1-\varepsilon}\max_{% \ell\in\mathcal{N}}\ell^{\top}X</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p5.10.m10.1d">roman_max start_POSTSUBSCRIPT roman_ℓ ∈ caligraphic_S start_POSTSUPERSCRIPT italic_n - 1 end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT roman_ℓ start_POSTSUPERSCRIPT ⊤ end_POSTSUPERSCRIPT italic_X ≤ divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 1 - italic_ε end_ARG roman_max start_POSTSUBSCRIPT roman_ℓ ∈ caligraphic_N end_POSTSUBSCRIPT roman_ℓ start_POSTSUPERSCRIPT ⊤ end_POSTSUPERSCRIPT italic_X</annotation></semantics></math> <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14347v1#bib.bib3" title="">3</a>, Exercise 4.4.2]</cite>. The union bound can be applied since <math alttext="\mathcal{N}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p5.11.m11.1"><semantics id="S1.p5.11.m11.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S1.p5.11.m11.1.1" xref="S1.p5.11.m11.1.1.cmml">𝒩</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p5.11.m11.1b"><ci id="S1.p5.11.m11.1.1.cmml" xref="S1.p5.11.m11.1.1">𝒩</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p5.11.m11.1c">\mathcal{N}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p5.11.m11.1d">caligraphic_N</annotation></semantics></math> is a finite set. This method results in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14347v1#S1.E3" title="In Theorem 1. ‣ 1 Sub-Gaussian norm concentration inequality ‣ A New Proof of Sub-Gaussian Norm Concentration Inequality"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a>) with constants <math alttext="C_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p5.12.m12.1"><semantics id="S1.p5.12.m12.1a"><msub id="S1.p5.12.m12.1.1" xref="S1.p5.12.m12.1.1.cmml"><mi id="S1.p5.12.m12.1.1.2" xref="S1.p5.12.m12.1.1.2.cmml">C</mi><mn id="S1.p5.12.m12.1.1.3" xref="S1.p5.12.m12.1.1.3.cmml">1</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p5.12.m12.1b"><apply id="S1.p5.12.m12.1.1.cmml" xref="S1.p5.12.m12.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p5.12.m12.1.1.1.cmml" xref="S1.p5.12.m12.1.1">subscript</csymbol><ci id="S1.p5.12.m12.1.1.2.cmml" xref="S1.p5.12.m12.1.1.2">𝐶</ci><cn id="S1.p5.12.m12.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.p5.12.m12.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p5.12.m12.1c">C_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p5.12.m12.1d">italic_C start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="C_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p5.13.m13.1"><semantics id="S1.p5.13.m13.1a"><msub id="S1.p5.13.m13.1.1" xref="S1.p5.13.m13.1.1.cmml"><mi id="S1.p5.13.m13.1.1.2" xref="S1.p5.13.m13.1.1.2.cmml">C</mi><mn id="S1.p5.13.m13.1.1.3" xref="S1.p5.13.m13.1.1.3.cmml">2</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p5.13.m13.1b"><apply id="S1.p5.13.m13.1.1.cmml" xref="S1.p5.13.m13.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p5.13.m13.1.1.1.cmml" xref="S1.p5.13.m13.1.1">subscript</csymbol><ci id="S1.p5.13.m13.1.1.2.cmml" xref="S1.p5.13.m13.1.1.2">𝐶</ci><cn id="S1.p5.13.m13.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.p5.13.m13.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p5.13.m13.1c">C_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p5.13.m13.1d">italic_C start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> determined by</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S1.E4"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="C_{1}=\frac{2\log(1+2/(1-\varepsilon))}{\varepsilon^{2}},~{}\,\,C_{2}=\frac{2}% {\varepsilon^{2}}" class="ltx_Math" display="block" id="S1.E4.m1.4"><semantics id="S1.E4.m1.4a"><mrow id="S1.E4.m1.4.4.2" xref="S1.E4.m1.4.4.3.cmml"><mrow id="S1.E4.m1.3.3.1.1" xref="S1.E4.m1.3.3.1.1.cmml"><msub id="S1.E4.m1.3.3.1.1.2" xref="S1.E4.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mi id="S1.E4.m1.3.3.1.1.2.2" xref="S1.E4.m1.3.3.1.1.2.2.cmml">C</mi><mn id="S1.E4.m1.3.3.1.1.2.3" xref="S1.E4.m1.3.3.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S1.E4.m1.3.3.1.1.1" xref="S1.E4.m1.3.3.1.1.1.cmml">=</mo><mfrac id="S1.E4.m1.2.2" xref="S1.E4.m1.2.2.cmml"><mrow id="S1.E4.m1.2.2.2" xref="S1.E4.m1.2.2.2.cmml"><mn id="S1.E4.m1.2.2.2.4" xref="S1.E4.m1.2.2.2.4.cmml">2</mn><mo id="S1.E4.m1.2.2.2.3" lspace="0.167em" xref="S1.E4.m1.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.E4.m1.2.2.2.2.1" xref="S1.E4.m1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S1.E4.m1.1.1.1.1" xref="S1.E4.m1.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S1.E4.m1.2.2.2.2.1a" xref="S1.E4.m1.2.2.2.2.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S1.E4.m1.2.2.2.2.1.1" xref="S1.E4.m1.2.2.2.2.2.cmml"><mo id="S1.E4.m1.2.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.E4.m1.2.2.2.2.2.cmml">(</mo><mrow id="S1.E4.m1.2.2.2.2.1.1.1" xref="S1.E4.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mn id="S1.E4.m1.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="S1.E4.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml">1</mn><mo id="S1.E4.m1.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="S1.E4.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S1.E4.m1.2.2.2.2.1.1.1.1" xref="S1.E4.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mn id="S1.E4.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.3" xref="S1.E4.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml">2</mn><mo id="S1.E4.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.2" xref="S1.E4.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml">/</mo><mrow id="S1.E4.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E4.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S1.E4.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.E4.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S1.E4.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E4.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S1.E4.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S1.E4.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S1.E4.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E4.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S1.E4.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S1.E4.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">ε</mi></mrow><mo id="S1.E4.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.E4.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S1.E4.m1.2.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.E4.m1.2.2.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><msup id="S1.E4.m1.2.2.4" xref="S1.E4.m1.2.2.4.cmml"><mi id="S1.E4.m1.2.2.4.2" xref="S1.E4.m1.2.2.4.2.cmml">ε</mi><mn id="S1.E4.m1.2.2.4.3" xref="S1.E4.m1.2.2.4.3.cmml">2</mn></msup></mfrac></mrow><mo id="S1.E4.m1.4.4.2.3" rspace="0.827em" xref="S1.E4.m1.4.4.3a.cmml">,</mo><mrow id="S1.E4.m1.4.4.2.2" xref="S1.E4.m1.4.4.2.2.cmml"><msub id="S1.E4.m1.4.4.2.2.2" xref="S1.E4.m1.4.4.2.2.2.cmml"><mi id="S1.E4.m1.4.4.2.2.2.2" xref="S1.E4.m1.4.4.2.2.2.2.cmml">C</mi><mn id="S1.E4.m1.4.4.2.2.2.3" xref="S1.E4.m1.4.4.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S1.E4.m1.4.4.2.2.1" xref="S1.E4.m1.4.4.2.2.1.cmml">=</mo><mfrac id="S1.E4.m1.4.4.2.2.3" xref="S1.E4.m1.4.4.2.2.3.cmml"><mn id="S1.E4.m1.4.4.2.2.3.2" xref="S1.E4.m1.4.4.2.2.3.2.cmml">2</mn><msup id="S1.E4.m1.4.4.2.2.3.3" xref="S1.E4.m1.4.4.2.2.3.3.cmml"><mi id="S1.E4.m1.4.4.2.2.3.3.2" xref="S1.E4.m1.4.4.2.2.3.3.2.cmml">ε</mi><mn id="S1.E4.m1.4.4.2.2.3.3.3" xref="S1.E4.m1.4.4.2.2.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mfrac></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.E4.m1.4b"><apply id="S1.E4.m1.4.4.3.cmml" xref="S1.E4.m1.4.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E4.m1.4.4.3a.cmml" xref="S1.E4.m1.4.4.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S1.E4.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S1.E4.m1.3.3.1.1"><eq id="S1.E4.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S1.E4.m1.3.3.1.1.1"></eq><apply id="S1.E4.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S1.E4.m1.3.3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E4.m1.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S1.E4.m1.3.3.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S1.E4.m1.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S1.E4.m1.3.3.1.1.2.2">𝐶</ci><cn id="S1.E4.m1.3.3.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S1.E4.m1.3.3.1.1.2.3">1</cn></apply><apply id="S1.E4.m1.2.2.cmml" xref="S1.E4.m1.2.2"><divide id="S1.E4.m1.2.2.3.cmml" xref="S1.E4.m1.2.2"></divide><apply id="S1.E4.m1.2.2.2.cmml" xref="S1.E4.m1.2.2.2"><times id="S1.E4.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S1.E4.m1.2.2.2.3"></times><cn id="S1.E4.m1.2.2.2.4.cmml" type="integer" xref="S1.E4.m1.2.2.2.4">2</cn><apply id="S1.E4.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S1.E4.m1.2.2.2.2.1"><log id="S1.E4.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E4.m1.1.1.1.1"></log><apply id="S1.E4.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S1.E4.m1.2.2.2.2.1.1.1"><plus id="S1.E4.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E4.m1.2.2.2.2.1.1.1.2"></plus><cn id="S1.E4.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.E4.m1.2.2.2.2.1.1.1.3">1</cn><apply id="S1.E4.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E4.m1.2.2.2.2.1.1.1.1"><divide id="S1.E4.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E4.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.2"></divide><cn id="S1.E4.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.E4.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.3">2</cn><apply id="S1.E4.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E4.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1"><minus id="S1.E4.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E4.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><cn id="S1.E4.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S1.E4.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2">1</cn><ci id="S1.E4.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.E4.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3">𝜀</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S1.E4.m1.2.2.4.cmml" xref="S1.E4.m1.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E4.m1.2.2.4.1.cmml" xref="S1.E4.m1.2.2.4">superscript</csymbol><ci id="S1.E4.m1.2.2.4.2.cmml" xref="S1.E4.m1.2.2.4.2">𝜀</ci><cn id="S1.E4.m1.2.2.4.3.cmml" type="integer" xref="S1.E4.m1.2.2.4.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S1.E4.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S1.E4.m1.4.4.2.2"><eq id="S1.E4.m1.4.4.2.2.1.cmml" xref="S1.E4.m1.4.4.2.2.1"></eq><apply id="S1.E4.m1.4.4.2.2.2.cmml" xref="S1.E4.m1.4.4.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E4.m1.4.4.2.2.2.1.cmml" xref="S1.E4.m1.4.4.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S1.E4.m1.4.4.2.2.2.2.cmml" xref="S1.E4.m1.4.4.2.2.2.2">𝐶</ci><cn id="S1.E4.m1.4.4.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S1.E4.m1.4.4.2.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S1.E4.m1.4.4.2.2.3.cmml" xref="S1.E4.m1.4.4.2.2.3"><divide id="S1.E4.m1.4.4.2.2.3.1.cmml" xref="S1.E4.m1.4.4.2.2.3"></divide><cn id="S1.E4.m1.4.4.2.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S1.E4.m1.4.4.2.2.3.2">2</cn><apply id="S1.E4.m1.4.4.2.2.3.3.cmml" xref="S1.E4.m1.4.4.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E4.m1.4.4.2.2.3.3.1.cmml" xref="S1.E4.m1.4.4.2.2.3.3">superscript</csymbol><ci id="S1.E4.m1.4.4.2.2.3.3.2.cmml" xref="S1.E4.m1.4.4.2.2.3.3.2">𝜀</ci><cn id="S1.E4.m1.4.4.2.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S1.E4.m1.4.4.2.2.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.E4.m1.4c">C_{1}=\frac{2\log(1+2/(1-\varepsilon))}{\varepsilon^{2}},~{}\,\,C_{2}=\frac{2}% {\varepsilon^{2}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.E4.m1.4d">italic_C start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT = divide start_ARG 2 roman_log ( 1 + 2 / ( 1 - italic_ε ) ) end_ARG start_ARG italic_ε start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG , italic_C start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT = divide start_ARG 2 end_ARG start_ARG italic_ε start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(4)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S1.p5.18">where <math alttext="\varepsilon" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p5.14.m1.1"><semantics id="S1.p5.14.m1.1a"><mi id="S1.p5.14.m1.1.1" xref="S1.p5.14.m1.1.1.cmml">ε</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p5.14.m1.1b"><ci id="S1.p5.14.m1.1.1.cmml" xref="S1.p5.14.m1.1.1">𝜀</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p5.14.m1.1c">\varepsilon</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p5.14.m1.1d">italic_ε</annotation></semantics></math> can take any value in the interval <math alttext="(0,1)" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p5.15.m2.2"><semantics id="S1.p5.15.m2.2a"><mrow id="S1.p5.15.m2.2.3.2" xref="S1.p5.15.m2.2.3.1.cmml"><mo id="S1.p5.15.m2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.p5.15.m2.2.3.1.cmml">(</mo><mn id="S1.p5.15.m2.1.1" xref="S1.p5.15.m2.1.1.cmml">0</mn><mo id="S1.p5.15.m2.2.3.2.2" xref="S1.p5.15.m2.2.3.1.cmml">,</mo><mn id="S1.p5.15.m2.2.2" xref="S1.p5.15.m2.2.2.cmml">1</mn><mo id="S1.p5.15.m2.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S1.p5.15.m2.2.3.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p5.15.m2.2b"><interval closure="open" id="S1.p5.15.m2.2.3.1.cmml" xref="S1.p5.15.m2.2.3.2"><cn id="S1.p5.15.m2.1.1.cmml" type="integer" xref="S1.p5.15.m2.1.1">0</cn><cn id="S1.p5.15.m2.2.2.cmml" type="integer" xref="S1.p5.15.m2.2.2">1</cn></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p5.15.m2.2c">(0,1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p5.15.m2.2d">( 0 , 1 )</annotation></semantics></math>. When <math alttext="\varepsilon=\frac{1}{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p5.16.m3.1"><semantics id="S1.p5.16.m3.1a"><mrow id="S1.p5.16.m3.1.1" xref="S1.p5.16.m3.1.1.cmml"><mi id="S1.p5.16.m3.1.1.2" xref="S1.p5.16.m3.1.1.2.cmml">ε</mi><mo id="S1.p5.16.m3.1.1.1" xref="S1.p5.16.m3.1.1.1.cmml">=</mo><mfrac id="S1.p5.16.m3.1.1.3" xref="S1.p5.16.m3.1.1.3.cmml"><mn id="S1.p5.16.m3.1.1.3.2" xref="S1.p5.16.m3.1.1.3.2.cmml">1</mn><mn id="S1.p5.16.m3.1.1.3.3" xref="S1.p5.16.m3.1.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p5.16.m3.1b"><apply id="S1.p5.16.m3.1.1.cmml" xref="S1.p5.16.m3.1.1"><eq id="S1.p5.16.m3.1.1.1.cmml" xref="S1.p5.16.m3.1.1.1"></eq><ci id="S1.p5.16.m3.1.1.2.cmml" xref="S1.p5.16.m3.1.1.2">𝜀</ci><apply id="S1.p5.16.m3.1.1.3.cmml" xref="S1.p5.16.m3.1.1.3"><divide id="S1.p5.16.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S1.p5.16.m3.1.1.3"></divide><cn id="S1.p5.16.m3.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S1.p5.16.m3.1.1.3.2">1</cn><cn id="S1.p5.16.m3.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S1.p5.16.m3.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p5.16.m3.1c">\varepsilon=\frac{1}{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p5.16.m3.1d">italic_ε = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG</annotation></semantics></math>, we have <math alttext="C_{1}=8\log 5\approx 16" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p5.17.m4.1"><semantics id="S1.p5.17.m4.1a"><mrow id="S1.p5.17.m4.1.1" xref="S1.p5.17.m4.1.1.cmml"><msub id="S1.p5.17.m4.1.1.2" xref="S1.p5.17.m4.1.1.2.cmml"><mi id="S1.p5.17.m4.1.1.2.2" xref="S1.p5.17.m4.1.1.2.2.cmml">C</mi><mn id="S1.p5.17.m4.1.1.2.3" xref="S1.p5.17.m4.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S1.p5.17.m4.1.1.3" xref="S1.p5.17.m4.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S1.p5.17.m4.1.1.4" xref="S1.p5.17.m4.1.1.4.cmml"><mn id="S1.p5.17.m4.1.1.4.2" xref="S1.p5.17.m4.1.1.4.2.cmml">8</mn><mo id="S1.p5.17.m4.1.1.4.1" lspace="0.167em" xref="S1.p5.17.m4.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.p5.17.m4.1.1.4.3" xref="S1.p5.17.m4.1.1.4.3.cmml"><mi id="S1.p5.17.m4.1.1.4.3.1" xref="S1.p5.17.m4.1.1.4.3.1.cmml">log</mi><mo id="S1.p5.17.m4.1.1.4.3a" lspace="0.167em" xref="S1.p5.17.m4.1.1.4.3.cmml">⁡</mo><mn id="S1.p5.17.m4.1.1.4.3.2" xref="S1.p5.17.m4.1.1.4.3.2.cmml">5</mn></mrow></mrow><mo id="S1.p5.17.m4.1.1.5" xref="S1.p5.17.m4.1.1.5.cmml">≈</mo><mn id="S1.p5.17.m4.1.1.6" xref="S1.p5.17.m4.1.1.6.cmml">16</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p5.17.m4.1b"><apply id="S1.p5.17.m4.1.1.cmml" xref="S1.p5.17.m4.1.1"><and id="S1.p5.17.m4.1.1a.cmml" xref="S1.p5.17.m4.1.1"></and><apply id="S1.p5.17.m4.1.1b.cmml" xref="S1.p5.17.m4.1.1"><eq id="S1.p5.17.m4.1.1.3.cmml" xref="S1.p5.17.m4.1.1.3"></eq><apply id="S1.p5.17.m4.1.1.2.cmml" xref="S1.p5.17.m4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p5.17.m4.1.1.2.1.cmml" xref="S1.p5.17.m4.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S1.p5.17.m4.1.1.2.2.cmml" xref="S1.p5.17.m4.1.1.2.2">𝐶</ci><cn id="S1.p5.17.m4.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S1.p5.17.m4.1.1.2.3">1</cn></apply><apply id="S1.p5.17.m4.1.1.4.cmml" xref="S1.p5.17.m4.1.1.4"><times id="S1.p5.17.m4.1.1.4.1.cmml" xref="S1.p5.17.m4.1.1.4.1"></times><cn id="S1.p5.17.m4.1.1.4.2.cmml" type="integer" xref="S1.p5.17.m4.1.1.4.2">8</cn><apply id="S1.p5.17.m4.1.1.4.3.cmml" xref="S1.p5.17.m4.1.1.4.3"><log id="S1.p5.17.m4.1.1.4.3.1.cmml" xref="S1.p5.17.m4.1.1.4.3.1"></log><cn id="S1.p5.17.m4.1.1.4.3.2.cmml" type="integer" xref="S1.p5.17.m4.1.1.4.3.2">5</cn></apply></apply></apply><apply id="S1.p5.17.m4.1.1c.cmml" xref="S1.p5.17.m4.1.1"><approx id="S1.p5.17.m4.1.1.5.cmml" xref="S1.p5.17.m4.1.1.5"></approx><share href="https://arxiv.org/html/2503.14347v1#S1.p5.17.m4.1.1.4.cmml" id="S1.p5.17.m4.1.1d.cmml" xref="S1.p5.17.m4.1.1"></share><cn id="S1.p5.17.m4.1.1.6.cmml" type="integer" xref="S1.p5.17.m4.1.1.6">16</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p5.17.m4.1c">C_{1}=8\log 5\approx 16</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p5.17.m4.1d">italic_C start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT = 8 roman_log 5 ≈ 16</annotation></semantics></math> and <math alttext="C_{2}=8" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p5.18.m5.1"><semantics id="S1.p5.18.m5.1a"><mrow id="S1.p5.18.m5.1.1" xref="S1.p5.18.m5.1.1.cmml"><msub id="S1.p5.18.m5.1.1.2" xref="S1.p5.18.m5.1.1.2.cmml"><mi id="S1.p5.18.m5.1.1.2.2" xref="S1.p5.18.m5.1.1.2.2.cmml">C</mi><mn id="S1.p5.18.m5.1.1.2.3" xref="S1.p5.18.m5.1.1.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S1.p5.18.m5.1.1.1" xref="S1.p5.18.m5.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S1.p5.18.m5.1.1.3" xref="S1.p5.18.m5.1.1.3.cmml">8</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p5.18.m5.1b"><apply id="S1.p5.18.m5.1.1.cmml" xref="S1.p5.18.m5.1.1"><eq id="S1.p5.18.m5.1.1.1.cmml" xref="S1.p5.18.m5.1.1.1"></eq><apply id="S1.p5.18.m5.1.1.2.cmml" xref="S1.p5.18.m5.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p5.18.m5.1.1.2.1.cmml" xref="S1.p5.18.m5.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S1.p5.18.m5.1.1.2.2.cmml" xref="S1.p5.18.m5.1.1.2.2">𝐶</ci><cn id="S1.p5.18.m5.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S1.p5.18.m5.1.1.2.3">2</cn></apply><cn id="S1.p5.18.m5.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.p5.18.m5.1.1.3">8</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p5.18.m5.1c">C_{2}=8</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p5.18.m5.1d">italic_C start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT = 8</annotation></semantics></math>, which is commonly used in existing literature <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14347v1#bib.bib3" title="">3</a>]</cite>.</p> </div> </section> <section class="ltx_section" id="S2"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">2 </span>New Proof based on Averaged Moment Generating Function</h2> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S2.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.p1.5">To analyze the concentration property of <math alttext="\|X\|" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p1.1.m1.1"><semantics id="S2.p1.1.m1.1a"><mrow id="S2.p1.1.m1.1.2.2" xref="S2.p1.1.m1.1.2.1.cmml"><mo id="S2.p1.1.m1.1.2.2.1" stretchy="false" xref="S2.p1.1.m1.1.2.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S2.p1.1.m1.1.1" xref="S2.p1.1.m1.1.1.cmml">X</mi><mo id="S2.p1.1.m1.1.2.2.2" stretchy="false" xref="S2.p1.1.m1.1.2.1.1.cmml">‖</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p1.1.m1.1b"><apply id="S2.p1.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S2.p1.1.m1.1.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.p1.1.m1.1.2.1.1.cmml" xref="S2.p1.1.m1.1.2.2.1">norm</csymbol><ci id="S2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.p1.1.m1.1.1">𝑋</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p1.1.m1.1c">\|X\|</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p1.1.m1.1d">∥ italic_X ∥</annotation></semantics></math>, existing strategies as described above first analyze the concentration of the one-dimensional projection <math alttext="\ell^{\top}X" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p1.2.m2.1"><semantics id="S2.p1.2.m2.1a"><mrow id="S2.p1.2.m2.1.1" xref="S2.p1.2.m2.1.1.cmml"><msup id="S2.p1.2.m2.1.1.2" xref="S2.p1.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S2.p1.2.m2.1.1.2.2" mathvariant="normal" xref="S2.p1.2.m2.1.1.2.2.cmml">ℓ</mi><mo id="S2.p1.2.m2.1.1.2.3" xref="S2.p1.2.m2.1.1.2.3.cmml">⊤</mo></msup><mo id="S2.p1.2.m2.1.1.1" xref="S2.p1.2.m2.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.p1.2.m2.1.1.3" xref="S2.p1.2.m2.1.1.3.cmml">X</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p1.2.m2.1b"><apply id="S2.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.p1.2.m2.1.1"><times id="S2.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.p1.2.m2.1.1.1"></times><apply id="S2.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.p1.2.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p1.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S2.p1.2.m2.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S2.p1.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S2.p1.2.m2.1.1.2.2">ℓ</ci><csymbol cd="latexml" id="S2.p1.2.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S2.p1.2.m2.1.1.2.3">top</csymbol></apply><ci id="S2.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S2.p1.2.m2.1.1.3">𝑋</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p1.2.m2.1c">\ell^{\top}X</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p1.2.m2.1d">roman_ℓ start_POSTSUPERSCRIPT ⊤ end_POSTSUPERSCRIPT italic_X</annotation></semantics></math> of <math alttext="X" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p1.3.m3.1"><semantics id="S2.p1.3.m3.1a"><mi id="S2.p1.3.m3.1.1" xref="S2.p1.3.m3.1.1.cmml">X</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p1.3.m3.1b"><ci id="S2.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.p1.3.m3.1.1">𝑋</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p1.3.m3.1c">X</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p1.3.m3.1d">italic_X</annotation></semantics></math> using the Markov’s inequality and then apply the union bound to establish the concentration bound for <math alttext="\|X\|" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p1.4.m4.1"><semantics id="S2.p1.4.m4.1a"><mrow id="S2.p1.4.m4.1.2.2" xref="S2.p1.4.m4.1.2.1.cmml"><mo id="S2.p1.4.m4.1.2.2.1" stretchy="false" xref="S2.p1.4.m4.1.2.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S2.p1.4.m4.1.1" xref="S2.p1.4.m4.1.1.cmml">X</mi><mo id="S2.p1.4.m4.1.2.2.2" stretchy="false" xref="S2.p1.4.m4.1.2.1.1.cmml">‖</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p1.4.m4.1b"><apply id="S2.p1.4.m4.1.2.1.cmml" xref="S2.p1.4.m4.1.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.p1.4.m4.1.2.1.1.cmml" xref="S2.p1.4.m4.1.2.2.1">norm</csymbol><ci id="S2.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S2.p1.4.m4.1.1">𝑋</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p1.4.m4.1c">\|X\|</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p1.4.m4.1d">∥ italic_X ∥</annotation></semantics></math>. This gives rise to one question: is there a more direct approach to establish the concentration of <math alttext="\|X\|" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p1.5.m5.1"><semantics id="S2.p1.5.m5.1a"><mrow id="S2.p1.5.m5.1.2.2" xref="S2.p1.5.m5.1.2.1.cmml"><mo id="S2.p1.5.m5.1.2.2.1" stretchy="false" xref="S2.p1.5.m5.1.2.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S2.p1.5.m5.1.1" xref="S2.p1.5.m5.1.1.cmml">X</mi><mo id="S2.p1.5.m5.1.2.2.2" stretchy="false" xref="S2.p1.5.m5.1.2.1.1.cmml">‖</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p1.5.m5.1b"><apply id="S2.p1.5.m5.1.2.1.cmml" xref="S2.p1.5.m5.1.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.p1.5.m5.1.2.1.1.cmml" xref="S2.p1.5.m5.1.2.2.1">norm</csymbol><ci id="S2.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="S2.p1.5.m5.1.1">𝑋</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p1.5.m5.1c">\|X\|</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p1.5.m5.1d">∥ italic_X ∥</annotation></semantics></math>?</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S2.p2"> <p class="ltx_p" id="S2.p2.6">One natural attempt is to bound <math alttext="\mathbb{E}_{X}(e^{\lambda\|X\|})" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p2.1.m1.2"><semantics id="S2.p2.1.m1.2a"><mrow id="S2.p2.1.m1.2.2" xref="S2.p2.1.m1.2.2.cmml"><msub id="S2.p2.1.m1.2.2.3" xref="S2.p2.1.m1.2.2.3.cmml"><mi id="S2.p2.1.m1.2.2.3.2" xref="S2.p2.1.m1.2.2.3.2.cmml">𝔼</mi><mi id="S2.p2.1.m1.2.2.3.3" xref="S2.p2.1.m1.2.2.3.3.cmml">X</mi></msub><mo id="S2.p2.1.m1.2.2.2" xref="S2.p2.1.m1.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p2.1.m1.2.2.1.1" xref="S2.p2.1.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S2.p2.1.m1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.p2.1.m1.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S2.p2.1.m1.2.2.1.1.1" xref="S2.p2.1.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S2.p2.1.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S2.p2.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">e</mi><mrow id="S2.p2.1.m1.1.1.1" xref="S2.p2.1.m1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.p2.1.m1.1.1.1.3" xref="S2.p2.1.m1.1.1.1.3.cmml">λ</mi><mo id="S2.p2.1.m1.1.1.1.2" xref="S2.p2.1.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p2.1.m1.1.1.1.4.2" xref="S2.p2.1.m1.1.1.1.4.1.cmml"><mo id="S2.p2.1.m1.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S2.p2.1.m1.1.1.1.4.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S2.p2.1.m1.1.1.1.1" xref="S2.p2.1.m1.1.1.1.1.cmml">X</mi><mo id="S2.p2.1.m1.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S2.p2.1.m1.1.1.1.4.1.1.cmml">‖</mo></mrow></mrow></msup><mo id="S2.p2.1.m1.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.p2.1.m1.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p2.1.m1.2b"><apply id="S2.p2.1.m1.2.2.cmml" xref="S2.p2.1.m1.2.2"><times id="S2.p2.1.m1.2.2.2.cmml" xref="S2.p2.1.m1.2.2.2"></times><apply id="S2.p2.1.m1.2.2.3.cmml" xref="S2.p2.1.m1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p2.1.m1.2.2.3.1.cmml" xref="S2.p2.1.m1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.p2.1.m1.2.2.3.2.cmml" xref="S2.p2.1.m1.2.2.3.2">𝔼</ci><ci id="S2.p2.1.m1.2.2.3.3.cmml" xref="S2.p2.1.m1.2.2.3.3">𝑋</ci></apply><apply id="S2.p2.1.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.p2.1.m1.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p2.1.m1.2.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.p2.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.p2.1.m1.2.2.1.1.1.2">𝑒</ci><apply id="S2.p2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.p2.1.m1.1.1.1"><times id="S2.p2.1.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.p2.1.m1.1.1.1.2"></times><ci id="S2.p2.1.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.p2.1.m1.1.1.1.3">𝜆</ci><apply id="S2.p2.1.m1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S2.p2.1.m1.1.1.1.4.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.p2.1.m1.1.1.1.4.1.1.cmml" xref="S2.p2.1.m1.1.1.1.4.2.1">norm</csymbol><ci id="S2.p2.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p2.1.m1.1.1.1.1">𝑋</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p2.1.m1.2c">\mathbb{E}_{X}(e^{\lambda\|X\|})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p2.1.m1.2d">blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT italic_X end_POSTSUBSCRIPT ( italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_λ ∥ italic_X ∥ end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> with <math alttext="\lambda>0" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p2.2.m2.1"><semantics id="S2.p2.2.m2.1a"><mrow id="S2.p2.2.m2.1.1" xref="S2.p2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S2.p2.2.m2.1.1.2" xref="S2.p2.2.m2.1.1.2.cmml">λ</mi><mo id="S2.p2.2.m2.1.1.1" xref="S2.p2.2.m2.1.1.1.cmml">></mo><mn id="S2.p2.2.m2.1.1.3" xref="S2.p2.2.m2.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p2.2.m2.1b"><apply id="S2.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.p2.2.m2.1.1"><gt id="S2.p2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.p2.2.m2.1.1.1"></gt><ci id="S2.p2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.p2.2.m2.1.1.2">𝜆</ci><cn id="S2.p2.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.p2.2.m2.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p2.2.m2.1c">\lambda>0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p2.2.m2.1d">italic_λ > 0</annotation></semantics></math> and apply the Markov’s inequality to get bound <math alttext="\mathbb{P}\left(\|X\|>r\right)\leq\mathbb{E}_{X}(e^{\lambda\|X\|})/e^{\lambda r}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p2.3.m3.4"><semantics id="S2.p2.3.m3.4a"><mrow id="S2.p2.3.m3.4.4" xref="S2.p2.3.m3.4.4.cmml"><mrow id="S2.p2.3.m3.3.3.1" xref="S2.p2.3.m3.3.3.1.cmml"><mi id="S2.p2.3.m3.3.3.1.3" xref="S2.p2.3.m3.3.3.1.3.cmml">ℙ</mi><mo id="S2.p2.3.m3.3.3.1.2" xref="S2.p2.3.m3.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p2.3.m3.3.3.1.1.1" xref="S2.p2.3.m3.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.p2.3.m3.3.3.1.1.1.2" xref="S2.p2.3.m3.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.p2.3.m3.3.3.1.1.1.1" xref="S2.p2.3.m3.3.3.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.p2.3.m3.3.3.1.1.1.1.2.2" xref="S2.p2.3.m3.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml"><mo id="S2.p2.3.m3.3.3.1.1.1.1.2.2.1" stretchy="false" xref="S2.p2.3.m3.3.3.1.1.1.1.2.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S2.p2.3.m3.2.2" xref="S2.p2.3.m3.2.2.cmml">X</mi><mo id="S2.p2.3.m3.3.3.1.1.1.1.2.2.2" stretchy="false" xref="S2.p2.3.m3.3.3.1.1.1.1.2.1.1.cmml">‖</mo></mrow><mo id="S2.p2.3.m3.3.3.1.1.1.1.1" xref="S2.p2.3.m3.3.3.1.1.1.1.1.cmml">></mo><mi id="S2.p2.3.m3.3.3.1.1.1.1.3" xref="S2.p2.3.m3.3.3.1.1.1.1.3.cmml">r</mi></mrow><mo id="S2.p2.3.m3.3.3.1.1.1.3" xref="S2.p2.3.m3.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.p2.3.m3.4.4.3" xref="S2.p2.3.m3.4.4.3.cmml">≤</mo><mrow id="S2.p2.3.m3.4.4.2" xref="S2.p2.3.m3.4.4.2.cmml"><mrow id="S2.p2.3.m3.4.4.2.1" xref="S2.p2.3.m3.4.4.2.1.cmml"><msub id="S2.p2.3.m3.4.4.2.1.3" xref="S2.p2.3.m3.4.4.2.1.3.cmml"><mi id="S2.p2.3.m3.4.4.2.1.3.2" xref="S2.p2.3.m3.4.4.2.1.3.2.cmml">𝔼</mi><mi id="S2.p2.3.m3.4.4.2.1.3.3" xref="S2.p2.3.m3.4.4.2.1.3.3.cmml">X</mi></msub><mo id="S2.p2.3.m3.4.4.2.1.2" xref="S2.p2.3.m3.4.4.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p2.3.m3.4.4.2.1.1.1" xref="S2.p2.3.m3.4.4.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.p2.3.m3.4.4.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.p2.3.m3.4.4.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S2.p2.3.m3.4.4.2.1.1.1.1" xref="S2.p2.3.m3.4.4.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.p2.3.m3.4.4.2.1.1.1.1.2" xref="S2.p2.3.m3.4.4.2.1.1.1.1.2.cmml">e</mi><mrow id="S2.p2.3.m3.1.1.1" xref="S2.p2.3.m3.1.1.1.cmml"><mi id="S2.p2.3.m3.1.1.1.3" xref="S2.p2.3.m3.1.1.1.3.cmml">λ</mi><mo id="S2.p2.3.m3.1.1.1.2" xref="S2.p2.3.m3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p2.3.m3.1.1.1.4.2" xref="S2.p2.3.m3.1.1.1.4.1.cmml"><mo id="S2.p2.3.m3.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S2.p2.3.m3.1.1.1.4.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S2.p2.3.m3.1.1.1.1" xref="S2.p2.3.m3.1.1.1.1.cmml">X</mi><mo id="S2.p2.3.m3.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S2.p2.3.m3.1.1.1.4.1.1.cmml">‖</mo></mrow></mrow></msup><mo id="S2.p2.3.m3.4.4.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.p2.3.m3.4.4.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.p2.3.m3.4.4.2.2" xref="S2.p2.3.m3.4.4.2.2.cmml">/</mo><msup id="S2.p2.3.m3.4.4.2.3" xref="S2.p2.3.m3.4.4.2.3.cmml"><mi id="S2.p2.3.m3.4.4.2.3.2" xref="S2.p2.3.m3.4.4.2.3.2.cmml">e</mi><mrow id="S2.p2.3.m3.4.4.2.3.3" xref="S2.p2.3.m3.4.4.2.3.3.cmml"><mi id="S2.p2.3.m3.4.4.2.3.3.2" xref="S2.p2.3.m3.4.4.2.3.3.2.cmml">λ</mi><mo id="S2.p2.3.m3.4.4.2.3.3.1" xref="S2.p2.3.m3.4.4.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.p2.3.m3.4.4.2.3.3.3" xref="S2.p2.3.m3.4.4.2.3.3.3.cmml">r</mi></mrow></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p2.3.m3.4b"><apply id="S2.p2.3.m3.4.4.cmml" xref="S2.p2.3.m3.4.4"><leq id="S2.p2.3.m3.4.4.3.cmml" xref="S2.p2.3.m3.4.4.3"></leq><apply id="S2.p2.3.m3.3.3.1.cmml" xref="S2.p2.3.m3.3.3.1"><times id="S2.p2.3.m3.3.3.1.2.cmml" xref="S2.p2.3.m3.3.3.1.2"></times><ci id="S2.p2.3.m3.3.3.1.3.cmml" xref="S2.p2.3.m3.3.3.1.3">ℙ</ci><apply id="S2.p2.3.m3.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p2.3.m3.3.3.1.1.1"><gt id="S2.p2.3.m3.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p2.3.m3.3.3.1.1.1.1.1"></gt><apply id="S2.p2.3.m3.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.p2.3.m3.3.3.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.p2.3.m3.3.3.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S2.p2.3.m3.3.3.1.1.1.1.2.2.1">norm</csymbol><ci id="S2.p2.3.m3.2.2.cmml" xref="S2.p2.3.m3.2.2">𝑋</ci></apply><ci id="S2.p2.3.m3.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.p2.3.m3.3.3.1.1.1.1.3">𝑟</ci></apply></apply><apply id="S2.p2.3.m3.4.4.2.cmml" xref="S2.p2.3.m3.4.4.2"><divide id="S2.p2.3.m3.4.4.2.2.cmml" xref="S2.p2.3.m3.4.4.2.2"></divide><apply id="S2.p2.3.m3.4.4.2.1.cmml" xref="S2.p2.3.m3.4.4.2.1"><times id="S2.p2.3.m3.4.4.2.1.2.cmml" xref="S2.p2.3.m3.4.4.2.1.2"></times><apply id="S2.p2.3.m3.4.4.2.1.3.cmml" xref="S2.p2.3.m3.4.4.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p2.3.m3.4.4.2.1.3.1.cmml" xref="S2.p2.3.m3.4.4.2.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.p2.3.m3.4.4.2.1.3.2.cmml" xref="S2.p2.3.m3.4.4.2.1.3.2">𝔼</ci><ci id="S2.p2.3.m3.4.4.2.1.3.3.cmml" xref="S2.p2.3.m3.4.4.2.1.3.3">𝑋</ci></apply><apply id="S2.p2.3.m3.4.4.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p2.3.m3.4.4.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p2.3.m3.4.4.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p2.3.m3.4.4.2.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.p2.3.m3.4.4.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.p2.3.m3.4.4.2.1.1.1.1.2">𝑒</ci><apply id="S2.p2.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S2.p2.3.m3.1.1.1"><times id="S2.p2.3.m3.1.1.1.2.cmml" xref="S2.p2.3.m3.1.1.1.2"></times><ci id="S2.p2.3.m3.1.1.1.3.cmml" xref="S2.p2.3.m3.1.1.1.3">𝜆</ci><apply id="S2.p2.3.m3.1.1.1.4.1.cmml" xref="S2.p2.3.m3.1.1.1.4.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.p2.3.m3.1.1.1.4.1.1.cmml" xref="S2.p2.3.m3.1.1.1.4.2.1">norm</csymbol><ci id="S2.p2.3.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p2.3.m3.1.1.1.1">𝑋</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.p2.3.m3.4.4.2.3.cmml" xref="S2.p2.3.m3.4.4.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p2.3.m3.4.4.2.3.1.cmml" xref="S2.p2.3.m3.4.4.2.3">superscript</csymbol><ci id="S2.p2.3.m3.4.4.2.3.2.cmml" xref="S2.p2.3.m3.4.4.2.3.2">𝑒</ci><apply id="S2.p2.3.m3.4.4.2.3.3.cmml" xref="S2.p2.3.m3.4.4.2.3.3"><times id="S2.p2.3.m3.4.4.2.3.3.1.cmml" xref="S2.p2.3.m3.4.4.2.3.3.1"></times><ci id="S2.p2.3.m3.4.4.2.3.3.2.cmml" xref="S2.p2.3.m3.4.4.2.3.3.2">𝜆</ci><ci id="S2.p2.3.m3.4.4.2.3.3.3.cmml" xref="S2.p2.3.m3.4.4.2.3.3.3">𝑟</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p2.3.m3.4c">\mathbb{P}\left(\|X\|>r\right)\leq\mathbb{E}_{X}(e^{\lambda\|X\|})/e^{\lambda r}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p2.3.m3.4d">blackboard_P ( ∥ italic_X ∥ > italic_r ) ≤ blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT italic_X end_POSTSUBSCRIPT ( italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_λ ∥ italic_X ∥ end_POSTSUPERSCRIPT ) / italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_λ italic_r end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> directly. However, it is not easy to bound <math alttext="\mathbb{E}_{X}(e^{\lambda\|X\|})" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p2.4.m4.2"><semantics id="S2.p2.4.m4.2a"><mrow id="S2.p2.4.m4.2.2" xref="S2.p2.4.m4.2.2.cmml"><msub id="S2.p2.4.m4.2.2.3" xref="S2.p2.4.m4.2.2.3.cmml"><mi id="S2.p2.4.m4.2.2.3.2" xref="S2.p2.4.m4.2.2.3.2.cmml">𝔼</mi><mi id="S2.p2.4.m4.2.2.3.3" xref="S2.p2.4.m4.2.2.3.3.cmml">X</mi></msub><mo id="S2.p2.4.m4.2.2.2" xref="S2.p2.4.m4.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p2.4.m4.2.2.1.1" xref="S2.p2.4.m4.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S2.p2.4.m4.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.p2.4.m4.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S2.p2.4.m4.2.2.1.1.1" xref="S2.p2.4.m4.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S2.p2.4.m4.2.2.1.1.1.2" xref="S2.p2.4.m4.2.2.1.1.1.2.cmml">e</mi><mrow id="S2.p2.4.m4.1.1.1" xref="S2.p2.4.m4.1.1.1.cmml"><mi id="S2.p2.4.m4.1.1.1.3" xref="S2.p2.4.m4.1.1.1.3.cmml">λ</mi><mo id="S2.p2.4.m4.1.1.1.2" xref="S2.p2.4.m4.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p2.4.m4.1.1.1.4.2" xref="S2.p2.4.m4.1.1.1.4.1.cmml"><mo id="S2.p2.4.m4.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S2.p2.4.m4.1.1.1.4.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S2.p2.4.m4.1.1.1.1" xref="S2.p2.4.m4.1.1.1.1.cmml">X</mi><mo id="S2.p2.4.m4.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S2.p2.4.m4.1.1.1.4.1.1.cmml">‖</mo></mrow></mrow></msup><mo id="S2.p2.4.m4.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.p2.4.m4.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p2.4.m4.2b"><apply id="S2.p2.4.m4.2.2.cmml" xref="S2.p2.4.m4.2.2"><times id="S2.p2.4.m4.2.2.2.cmml" xref="S2.p2.4.m4.2.2.2"></times><apply id="S2.p2.4.m4.2.2.3.cmml" xref="S2.p2.4.m4.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p2.4.m4.2.2.3.1.cmml" xref="S2.p2.4.m4.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.p2.4.m4.2.2.3.2.cmml" xref="S2.p2.4.m4.2.2.3.2">𝔼</ci><ci id="S2.p2.4.m4.2.2.3.3.cmml" xref="S2.p2.4.m4.2.2.3.3">𝑋</ci></apply><apply id="S2.p2.4.m4.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.p2.4.m4.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p2.4.m4.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p2.4.m4.2.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.p2.4.m4.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.p2.4.m4.2.2.1.1.1.2">𝑒</ci><apply id="S2.p2.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S2.p2.4.m4.1.1.1"><times id="S2.p2.4.m4.1.1.1.2.cmml" xref="S2.p2.4.m4.1.1.1.2"></times><ci id="S2.p2.4.m4.1.1.1.3.cmml" xref="S2.p2.4.m4.1.1.1.3">𝜆</ci><apply id="S2.p2.4.m4.1.1.1.4.1.cmml" xref="S2.p2.4.m4.1.1.1.4.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.p2.4.m4.1.1.1.4.1.1.cmml" xref="S2.p2.4.m4.1.1.1.4.2.1">norm</csymbol><ci id="S2.p2.4.m4.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p2.4.m4.1.1.1.1">𝑋</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p2.4.m4.2c">\mathbb{E}_{X}(e^{\lambda\|X\|})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p2.4.m4.2d">blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT italic_X end_POSTSUBSCRIPT ( italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_λ ∥ italic_X ∥ end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> from the definition (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14347v1#S1.E2" title="In Definition 1.1. ‣ 1 Sub-Gaussian norm concentration inequality ‣ A New Proof of Sub-Gaussian Norm Concentration Inequality"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>) of the sub-Gaussian random vector. In fact, researchers often follow an opposite direction and bound <math alttext="\mathbb{E}_{X}(e^{\lambda\|X\|})" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p2.5.m5.2"><semantics id="S2.p2.5.m5.2a"><mrow id="S2.p2.5.m5.2.2" xref="S2.p2.5.m5.2.2.cmml"><msub id="S2.p2.5.m5.2.2.3" xref="S2.p2.5.m5.2.2.3.cmml"><mi id="S2.p2.5.m5.2.2.3.2" xref="S2.p2.5.m5.2.2.3.2.cmml">𝔼</mi><mi id="S2.p2.5.m5.2.2.3.3" xref="S2.p2.5.m5.2.2.3.3.cmml">X</mi></msub><mo id="S2.p2.5.m5.2.2.2" xref="S2.p2.5.m5.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p2.5.m5.2.2.1.1" xref="S2.p2.5.m5.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S2.p2.5.m5.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.p2.5.m5.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S2.p2.5.m5.2.2.1.1.1" xref="S2.p2.5.m5.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S2.p2.5.m5.2.2.1.1.1.2" xref="S2.p2.5.m5.2.2.1.1.1.2.cmml">e</mi><mrow id="S2.p2.5.m5.1.1.1" xref="S2.p2.5.m5.1.1.1.cmml"><mi id="S2.p2.5.m5.1.1.1.3" xref="S2.p2.5.m5.1.1.1.3.cmml">λ</mi><mo id="S2.p2.5.m5.1.1.1.2" xref="S2.p2.5.m5.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p2.5.m5.1.1.1.4.2" xref="S2.p2.5.m5.1.1.1.4.1.cmml"><mo id="S2.p2.5.m5.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S2.p2.5.m5.1.1.1.4.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S2.p2.5.m5.1.1.1.1" xref="S2.p2.5.m5.1.1.1.1.cmml">X</mi><mo id="S2.p2.5.m5.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S2.p2.5.m5.1.1.1.4.1.1.cmml">‖</mo></mrow></mrow></msup><mo id="S2.p2.5.m5.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.p2.5.m5.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p2.5.m5.2b"><apply id="S2.p2.5.m5.2.2.cmml" xref="S2.p2.5.m5.2.2"><times id="S2.p2.5.m5.2.2.2.cmml" xref="S2.p2.5.m5.2.2.2"></times><apply id="S2.p2.5.m5.2.2.3.cmml" xref="S2.p2.5.m5.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p2.5.m5.2.2.3.1.cmml" xref="S2.p2.5.m5.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.p2.5.m5.2.2.3.2.cmml" xref="S2.p2.5.m5.2.2.3.2">𝔼</ci><ci id="S2.p2.5.m5.2.2.3.3.cmml" xref="S2.p2.5.m5.2.2.3.3">𝑋</ci></apply><apply id="S2.p2.5.m5.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.p2.5.m5.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p2.5.m5.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p2.5.m5.2.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.p2.5.m5.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.p2.5.m5.2.2.1.1.1.2">𝑒</ci><apply id="S2.p2.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S2.p2.5.m5.1.1.1"><times id="S2.p2.5.m5.1.1.1.2.cmml" xref="S2.p2.5.m5.1.1.1.2"></times><ci id="S2.p2.5.m5.1.1.1.3.cmml" xref="S2.p2.5.m5.1.1.1.3">𝜆</ci><apply id="S2.p2.5.m5.1.1.1.4.1.cmml" xref="S2.p2.5.m5.1.1.1.4.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.p2.5.m5.1.1.1.4.1.1.cmml" xref="S2.p2.5.m5.1.1.1.4.2.1">norm</csymbol><ci id="S2.p2.5.m5.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p2.5.m5.1.1.1.1">𝑋</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p2.5.m5.2c">\mathbb{E}_{X}(e^{\lambda\|X\|})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p2.5.m5.2d">blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT italic_X end_POSTSUBSCRIPT ( italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_λ ∥ italic_X ∥ end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> using the concentration property of <math alttext="\|X\|" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p2.6.m6.1"><semantics id="S2.p2.6.m6.1a"><mrow id="S2.p2.6.m6.1.2.2" xref="S2.p2.6.m6.1.2.1.cmml"><mo id="S2.p2.6.m6.1.2.2.1" stretchy="false" xref="S2.p2.6.m6.1.2.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S2.p2.6.m6.1.1" xref="S2.p2.6.m6.1.1.cmml">X</mi><mo id="S2.p2.6.m6.1.2.2.2" stretchy="false" xref="S2.p2.6.m6.1.2.1.1.cmml">‖</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p2.6.m6.1b"><apply id="S2.p2.6.m6.1.2.1.cmml" xref="S2.p2.6.m6.1.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.p2.6.m6.1.2.1.1.cmml" xref="S2.p2.6.m6.1.2.2.1">norm</csymbol><ci id="S2.p2.6.m6.1.1.cmml" xref="S2.p2.6.m6.1.1">𝑋</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p2.6.m6.1c">\|X\|</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p2.6.m6.1d">∥ italic_X ∥</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.p3"> <p class="ltx_p" id="S2.p3.2">In this paper, we present a new proof of the sub-Gaussian norm concentration inequality that directly analyzes <math alttext="\|X\|" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p3.1.m1.1"><semantics id="S2.p3.1.m1.1a"><mrow id="S2.p3.1.m1.1.2.2" xref="S2.p3.1.m1.1.2.1.cmml"><mo id="S2.p3.1.m1.1.2.2.1" stretchy="false" xref="S2.p3.1.m1.1.2.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S2.p3.1.m1.1.1" xref="S2.p3.1.m1.1.1.cmml">X</mi><mo id="S2.p3.1.m1.1.2.2.2" stretchy="false" xref="S2.p3.1.m1.1.2.1.1.cmml">‖</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p3.1.m1.1b"><apply id="S2.p3.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S2.p3.1.m1.1.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.p3.1.m1.1.2.1.1.cmml" xref="S2.p3.1.m1.1.2.2.1">norm</csymbol><ci id="S2.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.p3.1.m1.1.1">𝑋</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p3.1.m1.1c">\|X\|</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p3.1.m1.1d">∥ italic_X ∥</annotation></semantics></math>. The key of our proof is a novel mathematical tool named the averaged moment generating function (AMGF) that bears similarity with <math alttext="\mathbb{E}_{X}(e^{\lambda\|X\|})" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p3.2.m2.2"><semantics id="S2.p3.2.m2.2a"><mrow id="S2.p3.2.m2.2.2" xref="S2.p3.2.m2.2.2.cmml"><msub id="S2.p3.2.m2.2.2.3" xref="S2.p3.2.m2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.p3.2.m2.2.2.3.2" xref="S2.p3.2.m2.2.2.3.2.cmml">𝔼</mi><mi id="S2.p3.2.m2.2.2.3.3" xref="S2.p3.2.m2.2.2.3.3.cmml">X</mi></msub><mo id="S2.p3.2.m2.2.2.2" xref="S2.p3.2.m2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p3.2.m2.2.2.1.1" xref="S2.p3.2.m2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S2.p3.2.m2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.p3.2.m2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S2.p3.2.m2.2.2.1.1.1" xref="S2.p3.2.m2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S2.p3.2.m2.2.2.1.1.1.2" xref="S2.p3.2.m2.2.2.1.1.1.2.cmml">e</mi><mrow id="S2.p3.2.m2.1.1.1" xref="S2.p3.2.m2.1.1.1.cmml"><mi id="S2.p3.2.m2.1.1.1.3" xref="S2.p3.2.m2.1.1.1.3.cmml">λ</mi><mo id="S2.p3.2.m2.1.1.1.2" xref="S2.p3.2.m2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p3.2.m2.1.1.1.4.2" xref="S2.p3.2.m2.1.1.1.4.1.cmml"><mo id="S2.p3.2.m2.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S2.p3.2.m2.1.1.1.4.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S2.p3.2.m2.1.1.1.1" xref="S2.p3.2.m2.1.1.1.1.cmml">X</mi><mo id="S2.p3.2.m2.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S2.p3.2.m2.1.1.1.4.1.1.cmml">‖</mo></mrow></mrow></msup><mo id="S2.p3.2.m2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.p3.2.m2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p3.2.m2.2b"><apply id="S2.p3.2.m2.2.2.cmml" xref="S2.p3.2.m2.2.2"><times id="S2.p3.2.m2.2.2.2.cmml" xref="S2.p3.2.m2.2.2.2"></times><apply id="S2.p3.2.m2.2.2.3.cmml" xref="S2.p3.2.m2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p3.2.m2.2.2.3.1.cmml" xref="S2.p3.2.m2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.p3.2.m2.2.2.3.2.cmml" xref="S2.p3.2.m2.2.2.3.2">𝔼</ci><ci id="S2.p3.2.m2.2.2.3.3.cmml" xref="S2.p3.2.m2.2.2.3.3">𝑋</ci></apply><apply id="S2.p3.2.m2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.p3.2.m2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p3.2.m2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p3.2.m2.2.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.p3.2.m2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.p3.2.m2.2.2.1.1.1.2">𝑒</ci><apply id="S2.p3.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.p3.2.m2.1.1.1"><times id="S2.p3.2.m2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.p3.2.m2.1.1.1.2"></times><ci id="S2.p3.2.m2.1.1.1.3.cmml" xref="S2.p3.2.m2.1.1.1.3">𝜆</ci><apply id="S2.p3.2.m2.1.1.1.4.1.cmml" xref="S2.p3.2.m2.1.1.1.4.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.p3.2.m2.1.1.1.4.1.1.cmml" xref="S2.p3.2.m2.1.1.1.4.2.1">norm</csymbol><ci id="S2.p3.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p3.2.m2.1.1.1.1">𝑋</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p3.2.m2.2c">\mathbb{E}_{X}(e^{\lambda\|X\|})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p3.2.m2.2d">blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT italic_X end_POSTSUBSCRIPT ( italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_λ ∥ italic_X ∥ end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_definition" id="S2.Thmdefinition1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.Thmdefinition1.1.1.1">Definition 2.1</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.Thmdefinition1.2.2"> </span>(AMGF)<span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.Thmdefinition1.3.3">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="S2.Thmdefinition1.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.Thmdefinition1.p1.2"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.Thmdefinition1.p1.2.2">The Averaged Moment Generating Function of a random vector <math alttext="X\in\mathbb{R}^{n}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1"><semantics id="S2.Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1a"><mrow id="S2.Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.1" xref="S2.Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="S2.Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml">X</mi><mo id="S2.Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.1.1" xref="S2.Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml">∈</mo><msup id="S2.Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="S2.Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.1.3.2" xref="S2.Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml">ℝ</mi><mi id="S2.Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.1.3.3" xref="S2.Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.1.3.3.cmml">n</mi></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1b"><apply id="S2.Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.1"><in id="S2.Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.1.1"></in><ci id="S2.Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.1.2">𝑋</ci><apply id="S2.Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.1.3.2">ℝ</ci><ci id="S2.Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.1.3.3">𝑛</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1c">X\in\mathbb{R}^{n}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1d">italic_X ∈ blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is defined as <math alttext="\mathbb{E}_{X}(\Phi_{n,\lambda}(X))" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.4"><semantics id="S2.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.4a"><mrow id="S2.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.4.4" xref="S2.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.4.4.cmml"><msub id="S2.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.4.4.3" xref="S2.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.4.4.3.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.4.4.3.2" xref="S2.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.4.4.3.2.cmml">𝔼</mi><mi id="S2.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.4.4.3.3" xref="S2.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.4.4.3.3.cmml">X</mi></msub><mo id="S2.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.4.4.2" xref="S2.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.4.4.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.4.4.1.1" xref="S2.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.4.4.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1" xref="S2.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1.cmml"><msub id="S2.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1.2" xref="S2.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1.2.2" mathvariant="normal" xref="S2.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1.2.2.cmml">Φ</mi><mrow id="S2.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.2.2.2.4" xref="S2.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.1.1.1.1" xref="S2.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S2.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.2.2.2.4.1" xref="S2.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.2.2.2.2" xref="S2.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.2.2.2.2.cmml">λ</mi></mrow></msub><mo id="S2.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1.1" xref="S2.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1.3.2" xref="S2.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S2.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.3.3" xref="S2.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.3.3.cmml">X</mi><mo id="S2.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.4.4.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.4b"><apply id="S2.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.4.4.cmml" xref="S2.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.4.4"><times id="S2.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.4.4.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.4.4.2"></times><apply id="S2.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.4.4.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.4.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.4.4.3.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.4.4.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.4.4.3.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.4.4.3.2">𝔼</ci><ci id="S2.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.4.4.3.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.4.4.3.3">𝑋</ci></apply><apply id="S2.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.4.4.1.1"><times id="S2.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1.1"></times><apply id="S2.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.4.4.1.1.1.2.2">Φ</ci><list id="S2.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.2.2.2.4"><ci id="S2.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.1.1.1.1">𝑛</ci><ci id="S2.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.2.2.2.2">𝜆</ci></list></apply><ci id="S2.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.3.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.3.3">𝑋</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.4c">\mathbb{E}_{X}(\Phi_{n,\lambda}(X))</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.4d">blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT italic_X end_POSTSUBSCRIPT ( roman_Φ start_POSTSUBSCRIPT italic_n , italic_λ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_X ) )</annotation></semantics></math> where the energy function</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E5"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\Phi_{n,\lambda}(x)=\mathbb{E}_{\ell\sim\mathcal{S}^{n-1}}\left(e^{\lambda% \langle\ell,x\rangle}\right)." class="ltx_Math" display="block" id="S2.E5.m1.6"><semantics id="S2.E5.m1.6a"><mrow id="S2.E5.m1.6.6.1" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="S2.E5.m1.6.6.1.1" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="S2.E5.m1.6.6.1.1.3" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.3.cmml"><msub id="S2.E5.m1.6.6.1.1.3.2" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.E5.m1.6.6.1.1.3.2.2" mathvariant="normal" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.3.2.2.cmml">Φ</mi><mrow id="S2.E5.m1.2.2.2.4" xref="S2.E5.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.E5.m1.1.1.1.1" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S2.E5.m1.2.2.2.4.1" xref="S2.E5.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.E5.m1.2.2.2.2" xref="S2.E5.m1.2.2.2.2.cmml">λ</mi></mrow></msub><mo id="S2.E5.m1.6.6.1.1.3.1" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E5.m1.6.6.1.1.3.3.2" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.3.cmml"><mo id="S2.E5.m1.6.6.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S2.E5.m1.5.5" xref="S2.E5.m1.5.5.cmml">x</mi><mo id="S2.E5.m1.6.6.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E5.m1.6.6.1.1.2" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.cmml"><msub id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.3" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.3.2" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.3.2.cmml">𝔼</mi><mrow id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.3.3" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.3.3.2" mathvariant="normal" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.3.3.2.cmml">ℓ</mi><mo id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.3.3.1" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.3.3.1.cmml">∼</mo><msup id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.3.3.3" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.3.3.3.2" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.3.3.3.2.cmml">𝒮</mi><mrow id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.3.3.3.3" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.3.3.3.3.cmml"><mi id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.3.3.3.3.2" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.3.3.3.3.2.cmml">n</mi><mo id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.3.3.3.3.1" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.3.3.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.3.3.3.3.3" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.3.3.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup></mrow></msub><mo id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.2" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.1" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.cmml">e</mi><mrow id="S2.E5.m1.4.4.2" xref="S2.E5.m1.4.4.2.cmml"><mi id="S2.E5.m1.4.4.2.4" xref="S2.E5.m1.4.4.2.4.cmml">λ</mi><mo id="S2.E5.m1.4.4.2.3" xref="S2.E5.m1.4.4.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E5.m1.4.4.2.5.2" xref="S2.E5.m1.4.4.2.5.1.cmml"><mo id="S2.E5.m1.4.4.2.5.2.1" stretchy="false" xref="S2.E5.m1.4.4.2.5.1.cmml">⟨</mo><mi id="S2.E5.m1.3.3.1.1" mathvariant="normal" xref="S2.E5.m1.3.3.1.1.cmml">ℓ</mi><mo id="S2.E5.m1.4.4.2.5.2.2" xref="S2.E5.m1.4.4.2.5.1.cmml">,</mo><mi id="S2.E5.m1.4.4.2.2" xref="S2.E5.m1.4.4.2.2.cmml">x</mi><mo id="S2.E5.m1.4.4.2.5.2.3" stretchy="false" xref="S2.E5.m1.4.4.2.5.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></msup><mo id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E5.m1.6.6.1.2" lspace="0em" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E5.m1.6b"><apply id="S2.E5.m1.6.6.1.1.cmml" xref="S2.E5.m1.6.6.1"><eq id="S2.E5.m1.6.6.1.1.2.cmml" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.2"></eq><apply id="S2.E5.m1.6.6.1.1.3.cmml" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.3"><times id="S2.E5.m1.6.6.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.3.1"></times><apply id="S2.E5.m1.6.6.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E5.m1.6.6.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E5.m1.6.6.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.3.2.2">Φ</ci><list id="S2.E5.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E5.m1.2.2.2.4"><ci id="S2.E5.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1">𝑛</ci><ci id="S2.E5.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E5.m1.2.2.2.2">𝜆</ci></list></apply><ci id="S2.E5.m1.5.5.cmml" xref="S2.E5.m1.5.5">𝑥</ci></apply><apply id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.cmml" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1"><times id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.2"></times><apply id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.3.2">𝔼</ci><apply id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.3.3"><csymbol cd="latexml" id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.3.3.1">similar-to</csymbol><ci id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.3.3.2">ℓ</ci><apply id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.3.3.3.2">𝒮</ci><apply id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.3.3.3.3"><minus id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.3.3.3.3.1.cmml" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.3.3.3.3.1"></minus><ci id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.3.3.3.3.2.cmml" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.3.3.3.3.2">𝑛</ci><cn id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.3.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.3.3.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E5.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2">𝑒</ci><apply id="S2.E5.m1.4.4.2.cmml" xref="S2.E5.m1.4.4.2"><times id="S2.E5.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S2.E5.m1.4.4.2.3"></times><ci id="S2.E5.m1.4.4.2.4.cmml" xref="S2.E5.m1.4.4.2.4">𝜆</ci><list id="S2.E5.m1.4.4.2.5.1.cmml" xref="S2.E5.m1.4.4.2.5.2"><ci id="S2.E5.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S2.E5.m1.3.3.1.1">ℓ</ci><ci id="S2.E5.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S2.E5.m1.4.4.2.2">𝑥</ci></list></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E5.m1.6c">\Phi_{n,\lambda}(x)=\mathbb{E}_{\ell\sim\mathcal{S}^{n-1}}\left(e^{\lambda% \langle\ell,x\rangle}\right).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E5.m1.6d">roman_Φ start_POSTSUBSCRIPT italic_n , italic_λ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x ) = blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT roman_ℓ ∼ caligraphic_S start_POSTSUPERSCRIPT italic_n - 1 end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_λ ⟨ roman_ℓ , italic_x ⟩ end_POSTSUPERSCRIPT ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(5)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S2.p4"> <p class="ltx_p" id="S2.p4.7">The AMGF was first proposed in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14347v1#bib.bib4" title="">4</a>]</cite> to study Langevin dynamics in sampling problems. The AMGF is an average of the moment generating function (MGF) <math alttext="\mathbb{E}_{X}(e^{\lambda\langle\ell,X\rangle})" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p4.1.m1.3"><semantics id="S2.p4.1.m1.3a"><mrow id="S2.p4.1.m1.3.3" xref="S2.p4.1.m1.3.3.cmml"><msub id="S2.p4.1.m1.3.3.3" xref="S2.p4.1.m1.3.3.3.cmml"><mi id="S2.p4.1.m1.3.3.3.2" xref="S2.p4.1.m1.3.3.3.2.cmml">𝔼</mi><mi id="S2.p4.1.m1.3.3.3.3" xref="S2.p4.1.m1.3.3.3.3.cmml">X</mi></msub><mo id="S2.p4.1.m1.3.3.2" xref="S2.p4.1.m1.3.3.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p4.1.m1.3.3.1.1" xref="S2.p4.1.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="S2.p4.1.m1.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.p4.1.m1.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S2.p4.1.m1.3.3.1.1.1" xref="S2.p4.1.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S2.p4.1.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S2.p4.1.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">e</mi><mrow id="S2.p4.1.m1.2.2.2" xref="S2.p4.1.m1.2.2.2.cmml"><mi id="S2.p4.1.m1.2.2.2.4" xref="S2.p4.1.m1.2.2.2.4.cmml">λ</mi><mo id="S2.p4.1.m1.2.2.2.3" xref="S2.p4.1.m1.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p4.1.m1.2.2.2.5.2" xref="S2.p4.1.m1.2.2.2.5.1.cmml"><mo id="S2.p4.1.m1.2.2.2.5.2.1" stretchy="false" xref="S2.p4.1.m1.2.2.2.5.1.cmml">⟨</mo><mi id="S2.p4.1.m1.1.1.1.1" mathvariant="normal" xref="S2.p4.1.m1.1.1.1.1.cmml">ℓ</mi><mo id="S2.p4.1.m1.2.2.2.5.2.2" xref="S2.p4.1.m1.2.2.2.5.1.cmml">,</mo><mi id="S2.p4.1.m1.2.2.2.2" xref="S2.p4.1.m1.2.2.2.2.cmml">X</mi><mo id="S2.p4.1.m1.2.2.2.5.2.3" stretchy="false" xref="S2.p4.1.m1.2.2.2.5.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></msup><mo id="S2.p4.1.m1.3.3.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.p4.1.m1.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p4.1.m1.3b"><apply id="S2.p4.1.m1.3.3.cmml" xref="S2.p4.1.m1.3.3"><times id="S2.p4.1.m1.3.3.2.cmml" xref="S2.p4.1.m1.3.3.2"></times><apply id="S2.p4.1.m1.3.3.3.cmml" xref="S2.p4.1.m1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p4.1.m1.3.3.3.1.cmml" xref="S2.p4.1.m1.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.p4.1.m1.3.3.3.2.cmml" xref="S2.p4.1.m1.3.3.3.2">𝔼</ci><ci id="S2.p4.1.m1.3.3.3.3.cmml" xref="S2.p4.1.m1.3.3.3.3">𝑋</ci></apply><apply id="S2.p4.1.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S2.p4.1.m1.3.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p4.1.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p4.1.m1.3.3.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.p4.1.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S2.p4.1.m1.3.3.1.1.1.2">𝑒</ci><apply id="S2.p4.1.m1.2.2.2.cmml" xref="S2.p4.1.m1.2.2.2"><times id="S2.p4.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.p4.1.m1.2.2.2.3"></times><ci id="S2.p4.1.m1.2.2.2.4.cmml" xref="S2.p4.1.m1.2.2.2.4">𝜆</ci><list id="S2.p4.1.m1.2.2.2.5.1.cmml" xref="S2.p4.1.m1.2.2.2.5.2"><ci id="S2.p4.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p4.1.m1.1.1.1.1">ℓ</ci><ci id="S2.p4.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.p4.1.m1.2.2.2.2">𝑋</ci></list></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p4.1.m1.3c">\mathbb{E}_{X}(e^{\lambda\langle\ell,X\rangle})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p4.1.m1.3d">blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT italic_X end_POSTSUBSCRIPT ( italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_λ ⟨ roman_ℓ , italic_X ⟩ end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> over the unit sphere <math alttext="\ell\sim\mathcal{S}^{n-1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p4.2.m2.1"><semantics id="S2.p4.2.m2.1a"><mrow id="S2.p4.2.m2.1.1" xref="S2.p4.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S2.p4.2.m2.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S2.p4.2.m2.1.1.2.cmml">ℓ</mi><mo id="S2.p4.2.m2.1.1.1" xref="S2.p4.2.m2.1.1.1.cmml">∼</mo><msup id="S2.p4.2.m2.1.1.3" xref="S2.p4.2.m2.1.1.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.p4.2.m2.1.1.3.2" xref="S2.p4.2.m2.1.1.3.2.cmml">𝒮</mi><mrow id="S2.p4.2.m2.1.1.3.3" xref="S2.p4.2.m2.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.p4.2.m2.1.1.3.3.2" xref="S2.p4.2.m2.1.1.3.3.2.cmml">n</mi><mo id="S2.p4.2.m2.1.1.3.3.1" xref="S2.p4.2.m2.1.1.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="S2.p4.2.m2.1.1.3.3.3" xref="S2.p4.2.m2.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p4.2.m2.1b"><apply id="S2.p4.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.p4.2.m2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.p4.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.p4.2.m2.1.1.1">similar-to</csymbol><ci id="S2.p4.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.p4.2.m2.1.1.2">ℓ</ci><apply id="S2.p4.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S2.p4.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p4.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S2.p4.2.m2.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.p4.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S2.p4.2.m2.1.1.3.2">𝒮</ci><apply id="S2.p4.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S2.p4.2.m2.1.1.3.3"><minus id="S2.p4.2.m2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.p4.2.m2.1.1.3.3.1"></minus><ci id="S2.p4.2.m2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.p4.2.m2.1.1.3.3.2">𝑛</ci><cn id="S2.p4.2.m2.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.p4.2.m2.1.1.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p4.2.m2.1c">\ell\sim\mathcal{S}^{n-1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p4.2.m2.1d">roman_ℓ ∼ caligraphic_S start_POSTSUPERSCRIPT italic_n - 1 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. It can also be viewed as an MGF with the exponential energy function <math alttext="e^{\lambda\langle\ell,x\rangle}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p4.3.m3.2"><semantics id="S2.p4.3.m3.2a"><msup id="S2.p4.3.m3.2.3" xref="S2.p4.3.m3.2.3.cmml"><mi id="S2.p4.3.m3.2.3.2" xref="S2.p4.3.m3.2.3.2.cmml">e</mi><mrow id="S2.p4.3.m3.2.2.2" xref="S2.p4.3.m3.2.2.2.cmml"><mi id="S2.p4.3.m3.2.2.2.4" xref="S2.p4.3.m3.2.2.2.4.cmml">λ</mi><mo id="S2.p4.3.m3.2.2.2.3" xref="S2.p4.3.m3.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p4.3.m3.2.2.2.5.2" xref="S2.p4.3.m3.2.2.2.5.1.cmml"><mo id="S2.p4.3.m3.2.2.2.5.2.1" stretchy="false" xref="S2.p4.3.m3.2.2.2.5.1.cmml">⟨</mo><mi id="S2.p4.3.m3.1.1.1.1" mathvariant="normal" xref="S2.p4.3.m3.1.1.1.1.cmml">ℓ</mi><mo id="S2.p4.3.m3.2.2.2.5.2.2" xref="S2.p4.3.m3.2.2.2.5.1.cmml">,</mo><mi id="S2.p4.3.m3.2.2.2.2" xref="S2.p4.3.m3.2.2.2.2.cmml">x</mi><mo id="S2.p4.3.m3.2.2.2.5.2.3" stretchy="false" xref="S2.p4.3.m3.2.2.2.5.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p4.3.m3.2b"><apply id="S2.p4.3.m3.2.3.cmml" xref="S2.p4.3.m3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p4.3.m3.2.3.1.cmml" xref="S2.p4.3.m3.2.3">superscript</csymbol><ci id="S2.p4.3.m3.2.3.2.cmml" xref="S2.p4.3.m3.2.3.2">𝑒</ci><apply id="S2.p4.3.m3.2.2.2.cmml" xref="S2.p4.3.m3.2.2.2"><times id="S2.p4.3.m3.2.2.2.3.cmml" xref="S2.p4.3.m3.2.2.2.3"></times><ci id="S2.p4.3.m3.2.2.2.4.cmml" xref="S2.p4.3.m3.2.2.2.4">𝜆</ci><list id="S2.p4.3.m3.2.2.2.5.1.cmml" xref="S2.p4.3.m3.2.2.2.5.2"><ci id="S2.p4.3.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p4.3.m3.1.1.1.1">ℓ</ci><ci id="S2.p4.3.m3.2.2.2.2.cmml" xref="S2.p4.3.m3.2.2.2.2">𝑥</ci></list></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p4.3.m3.2c">e^{\lambda\langle\ell,x\rangle}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p4.3.m3.2d">italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_λ ⟨ roman_ℓ , italic_x ⟩ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> being replaced by its average <math alttext="\Phi_{n,\lambda}(x)=\mathbb{E}_{\ell\sim\mathcal{S}^{n-1}}\left(e^{\lambda% \langle\ell,x\rangle}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p4.4.m4.6"><semantics id="S2.p4.4.m4.6a"><mrow id="S2.p4.4.m4.6.6" xref="S2.p4.4.m4.6.6.cmml"><mrow id="S2.p4.4.m4.6.6.3" xref="S2.p4.4.m4.6.6.3.cmml"><msub id="S2.p4.4.m4.6.6.3.2" xref="S2.p4.4.m4.6.6.3.2.cmml"><mi id="S2.p4.4.m4.6.6.3.2.2" mathvariant="normal" xref="S2.p4.4.m4.6.6.3.2.2.cmml">Φ</mi><mrow id="S2.p4.4.m4.2.2.2.4" xref="S2.p4.4.m4.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.p4.4.m4.1.1.1.1" xref="S2.p4.4.m4.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S2.p4.4.m4.2.2.2.4.1" xref="S2.p4.4.m4.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.p4.4.m4.2.2.2.2" xref="S2.p4.4.m4.2.2.2.2.cmml">λ</mi></mrow></msub><mo id="S2.p4.4.m4.6.6.3.1" xref="S2.p4.4.m4.6.6.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p4.4.m4.6.6.3.3.2" xref="S2.p4.4.m4.6.6.3.cmml"><mo id="S2.p4.4.m4.6.6.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.p4.4.m4.6.6.3.cmml">(</mo><mi id="S2.p4.4.m4.5.5" xref="S2.p4.4.m4.5.5.cmml">x</mi><mo id="S2.p4.4.m4.6.6.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.p4.4.m4.6.6.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.p4.4.m4.6.6.2" xref="S2.p4.4.m4.6.6.2.cmml">=</mo><mrow id="S2.p4.4.m4.6.6.1" xref="S2.p4.4.m4.6.6.1.cmml"><msub id="S2.p4.4.m4.6.6.1.3" xref="S2.p4.4.m4.6.6.1.3.cmml"><mi id="S2.p4.4.m4.6.6.1.3.2" xref="S2.p4.4.m4.6.6.1.3.2.cmml">𝔼</mi><mrow id="S2.p4.4.m4.6.6.1.3.3" xref="S2.p4.4.m4.6.6.1.3.3.cmml"><mi id="S2.p4.4.m4.6.6.1.3.3.2" mathvariant="normal" xref="S2.p4.4.m4.6.6.1.3.3.2.cmml">ℓ</mi><mo id="S2.p4.4.m4.6.6.1.3.3.1" xref="S2.p4.4.m4.6.6.1.3.3.1.cmml">∼</mo><msup id="S2.p4.4.m4.6.6.1.3.3.3" xref="S2.p4.4.m4.6.6.1.3.3.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.p4.4.m4.6.6.1.3.3.3.2" xref="S2.p4.4.m4.6.6.1.3.3.3.2.cmml">𝒮</mi><mrow id="S2.p4.4.m4.6.6.1.3.3.3.3" xref="S2.p4.4.m4.6.6.1.3.3.3.3.cmml"><mi id="S2.p4.4.m4.6.6.1.3.3.3.3.2" xref="S2.p4.4.m4.6.6.1.3.3.3.3.2.cmml">n</mi><mo id="S2.p4.4.m4.6.6.1.3.3.3.3.1" xref="S2.p4.4.m4.6.6.1.3.3.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="S2.p4.4.m4.6.6.1.3.3.3.3.3" xref="S2.p4.4.m4.6.6.1.3.3.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup></mrow></msub><mo id="S2.p4.4.m4.6.6.1.2" xref="S2.p4.4.m4.6.6.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p4.4.m4.6.6.1.1.1" xref="S2.p4.4.m4.6.6.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.p4.4.m4.6.6.1.1.1.2" xref="S2.p4.4.m4.6.6.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S2.p4.4.m4.6.6.1.1.1.1" xref="S2.p4.4.m4.6.6.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.p4.4.m4.6.6.1.1.1.1.2" xref="S2.p4.4.m4.6.6.1.1.1.1.2.cmml">e</mi><mrow id="S2.p4.4.m4.4.4.2" xref="S2.p4.4.m4.4.4.2.cmml"><mi id="S2.p4.4.m4.4.4.2.4" xref="S2.p4.4.m4.4.4.2.4.cmml">λ</mi><mo id="S2.p4.4.m4.4.4.2.3" xref="S2.p4.4.m4.4.4.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p4.4.m4.4.4.2.5.2" xref="S2.p4.4.m4.4.4.2.5.1.cmml"><mo id="S2.p4.4.m4.4.4.2.5.2.1" stretchy="false" xref="S2.p4.4.m4.4.4.2.5.1.cmml">⟨</mo><mi id="S2.p4.4.m4.3.3.1.1" mathvariant="normal" xref="S2.p4.4.m4.3.3.1.1.cmml">ℓ</mi><mo id="S2.p4.4.m4.4.4.2.5.2.2" xref="S2.p4.4.m4.4.4.2.5.1.cmml">,</mo><mi id="S2.p4.4.m4.4.4.2.2" xref="S2.p4.4.m4.4.4.2.2.cmml">x</mi><mo id="S2.p4.4.m4.4.4.2.5.2.3" stretchy="false" xref="S2.p4.4.m4.4.4.2.5.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></msup><mo id="S2.p4.4.m4.6.6.1.1.1.3" xref="S2.p4.4.m4.6.6.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p4.4.m4.6b"><apply id="S2.p4.4.m4.6.6.cmml" xref="S2.p4.4.m4.6.6"><eq id="S2.p4.4.m4.6.6.2.cmml" xref="S2.p4.4.m4.6.6.2"></eq><apply id="S2.p4.4.m4.6.6.3.cmml" xref="S2.p4.4.m4.6.6.3"><times id="S2.p4.4.m4.6.6.3.1.cmml" xref="S2.p4.4.m4.6.6.3.1"></times><apply id="S2.p4.4.m4.6.6.3.2.cmml" xref="S2.p4.4.m4.6.6.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p4.4.m4.6.6.3.2.1.cmml" xref="S2.p4.4.m4.6.6.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.p4.4.m4.6.6.3.2.2.cmml" xref="S2.p4.4.m4.6.6.3.2.2">Φ</ci><list id="S2.p4.4.m4.2.2.2.3.cmml" xref="S2.p4.4.m4.2.2.2.4"><ci id="S2.p4.4.m4.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p4.4.m4.1.1.1.1">𝑛</ci><ci id="S2.p4.4.m4.2.2.2.2.cmml" xref="S2.p4.4.m4.2.2.2.2">𝜆</ci></list></apply><ci id="S2.p4.4.m4.5.5.cmml" xref="S2.p4.4.m4.5.5">𝑥</ci></apply><apply id="S2.p4.4.m4.6.6.1.cmml" xref="S2.p4.4.m4.6.6.1"><times id="S2.p4.4.m4.6.6.1.2.cmml" xref="S2.p4.4.m4.6.6.1.2"></times><apply id="S2.p4.4.m4.6.6.1.3.cmml" xref="S2.p4.4.m4.6.6.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p4.4.m4.6.6.1.3.1.cmml" xref="S2.p4.4.m4.6.6.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.p4.4.m4.6.6.1.3.2.cmml" xref="S2.p4.4.m4.6.6.1.3.2">𝔼</ci><apply id="S2.p4.4.m4.6.6.1.3.3.cmml" xref="S2.p4.4.m4.6.6.1.3.3"><csymbol cd="latexml" id="S2.p4.4.m4.6.6.1.3.3.1.cmml" xref="S2.p4.4.m4.6.6.1.3.3.1">similar-to</csymbol><ci id="S2.p4.4.m4.6.6.1.3.3.2.cmml" xref="S2.p4.4.m4.6.6.1.3.3.2">ℓ</ci><apply id="S2.p4.4.m4.6.6.1.3.3.3.cmml" xref="S2.p4.4.m4.6.6.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p4.4.m4.6.6.1.3.3.3.1.cmml" xref="S2.p4.4.m4.6.6.1.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="S2.p4.4.m4.6.6.1.3.3.3.2.cmml" xref="S2.p4.4.m4.6.6.1.3.3.3.2">𝒮</ci><apply id="S2.p4.4.m4.6.6.1.3.3.3.3.cmml" xref="S2.p4.4.m4.6.6.1.3.3.3.3"><minus id="S2.p4.4.m4.6.6.1.3.3.3.3.1.cmml" xref="S2.p4.4.m4.6.6.1.3.3.3.3.1"></minus><ci id="S2.p4.4.m4.6.6.1.3.3.3.3.2.cmml" xref="S2.p4.4.m4.6.6.1.3.3.3.3.2">𝑛</ci><cn id="S2.p4.4.m4.6.6.1.3.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.p4.4.m4.6.6.1.3.3.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.p4.4.m4.6.6.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p4.4.m4.6.6.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p4.4.m4.6.6.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p4.4.m4.6.6.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.p4.4.m4.6.6.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.p4.4.m4.6.6.1.1.1.1.2">𝑒</ci><apply id="S2.p4.4.m4.4.4.2.cmml" xref="S2.p4.4.m4.4.4.2"><times id="S2.p4.4.m4.4.4.2.3.cmml" xref="S2.p4.4.m4.4.4.2.3"></times><ci id="S2.p4.4.m4.4.4.2.4.cmml" xref="S2.p4.4.m4.4.4.2.4">𝜆</ci><list id="S2.p4.4.m4.4.4.2.5.1.cmml" xref="S2.p4.4.m4.4.4.2.5.2"><ci id="S2.p4.4.m4.3.3.1.1.cmml" xref="S2.p4.4.m4.3.3.1.1">ℓ</ci><ci id="S2.p4.4.m4.4.4.2.2.cmml" xref="S2.p4.4.m4.4.4.2.2">𝑥</ci></list></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p4.4.m4.6c">\Phi_{n,\lambda}(x)=\mathbb{E}_{\ell\sim\mathcal{S}^{n-1}}\left(e^{\lambda% \langle\ell,x\rangle}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p4.4.m4.6d">roman_Φ start_POSTSUBSCRIPT italic_n , italic_λ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x ) = blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT roman_ℓ ∼ caligraphic_S start_POSTSUPERSCRIPT italic_n - 1 end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_λ ⟨ roman_ℓ , italic_x ⟩ end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math>. Similar to <math alttext="e^{\lambda\|x\|}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p4.5.m5.1"><semantics id="S2.p4.5.m5.1a"><msup id="S2.p4.5.m5.1.2" xref="S2.p4.5.m5.1.2.cmml"><mi id="S2.p4.5.m5.1.2.2" xref="S2.p4.5.m5.1.2.2.cmml">e</mi><mrow id="S2.p4.5.m5.1.1.1" xref="S2.p4.5.m5.1.1.1.cmml"><mi id="S2.p4.5.m5.1.1.1.3" xref="S2.p4.5.m5.1.1.1.3.cmml">λ</mi><mo id="S2.p4.5.m5.1.1.1.2" xref="S2.p4.5.m5.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p4.5.m5.1.1.1.4.2" xref="S2.p4.5.m5.1.1.1.4.1.cmml"><mo id="S2.p4.5.m5.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S2.p4.5.m5.1.1.1.4.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S2.p4.5.m5.1.1.1.1" xref="S2.p4.5.m5.1.1.1.1.cmml">x</mi><mo id="S2.p4.5.m5.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S2.p4.5.m5.1.1.1.4.1.1.cmml">‖</mo></mrow></mrow></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p4.5.m5.1b"><apply id="S2.p4.5.m5.1.2.cmml" xref="S2.p4.5.m5.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p4.5.m5.1.2.1.cmml" xref="S2.p4.5.m5.1.2">superscript</csymbol><ci id="S2.p4.5.m5.1.2.2.cmml" xref="S2.p4.5.m5.1.2.2">𝑒</ci><apply id="S2.p4.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S2.p4.5.m5.1.1.1"><times id="S2.p4.5.m5.1.1.1.2.cmml" xref="S2.p4.5.m5.1.1.1.2"></times><ci id="S2.p4.5.m5.1.1.1.3.cmml" xref="S2.p4.5.m5.1.1.1.3">𝜆</ci><apply id="S2.p4.5.m5.1.1.1.4.1.cmml" xref="S2.p4.5.m5.1.1.1.4.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.p4.5.m5.1.1.1.4.1.1.cmml" xref="S2.p4.5.m5.1.1.1.4.2.1">norm</csymbol><ci id="S2.p4.5.m5.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p4.5.m5.1.1.1.1">𝑥</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p4.5.m5.1c">e^{\lambda\|x\|}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p4.5.m5.1d">italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_λ ∥ italic_x ∥ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, the energy function <math alttext="\Phi_{n,\lambda}(x)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p4.6.m6.3"><semantics id="S2.p4.6.m6.3a"><mrow id="S2.p4.6.m6.3.4" xref="S2.p4.6.m6.3.4.cmml"><msub id="S2.p4.6.m6.3.4.2" xref="S2.p4.6.m6.3.4.2.cmml"><mi id="S2.p4.6.m6.3.4.2.2" mathvariant="normal" xref="S2.p4.6.m6.3.4.2.2.cmml">Φ</mi><mrow id="S2.p4.6.m6.2.2.2.4" xref="S2.p4.6.m6.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.p4.6.m6.1.1.1.1" xref="S2.p4.6.m6.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S2.p4.6.m6.2.2.2.4.1" xref="S2.p4.6.m6.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.p4.6.m6.2.2.2.2" xref="S2.p4.6.m6.2.2.2.2.cmml">λ</mi></mrow></msub><mo id="S2.p4.6.m6.3.4.1" xref="S2.p4.6.m6.3.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p4.6.m6.3.4.3.2" xref="S2.p4.6.m6.3.4.cmml"><mo id="S2.p4.6.m6.3.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.p4.6.m6.3.4.cmml">(</mo><mi id="S2.p4.6.m6.3.3" xref="S2.p4.6.m6.3.3.cmml">x</mi><mo id="S2.p4.6.m6.3.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.p4.6.m6.3.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p4.6.m6.3b"><apply id="S2.p4.6.m6.3.4.cmml" xref="S2.p4.6.m6.3.4"><times id="S2.p4.6.m6.3.4.1.cmml" xref="S2.p4.6.m6.3.4.1"></times><apply id="S2.p4.6.m6.3.4.2.cmml" xref="S2.p4.6.m6.3.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p4.6.m6.3.4.2.1.cmml" xref="S2.p4.6.m6.3.4.2">subscript</csymbol><ci id="S2.p4.6.m6.3.4.2.2.cmml" xref="S2.p4.6.m6.3.4.2.2">Φ</ci><list id="S2.p4.6.m6.2.2.2.3.cmml" xref="S2.p4.6.m6.2.2.2.4"><ci id="S2.p4.6.m6.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p4.6.m6.1.1.1.1">𝑛</ci><ci id="S2.p4.6.m6.2.2.2.2.cmml" xref="S2.p4.6.m6.2.2.2.2">𝜆</ci></list></apply><ci id="S2.p4.6.m6.3.3.cmml" xref="S2.p4.6.m6.3.3">𝑥</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p4.6.m6.3c">\Phi_{n,\lambda}(x)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p4.6.m6.3d">roman_Φ start_POSTSUBSCRIPT italic_n , italic_λ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x )</annotation></semantics></math> only depends on the norm <math alttext="\|x\|" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p4.7.m7.1"><semantics id="S2.p4.7.m7.1a"><mrow id="S2.p4.7.m7.1.2.2" xref="S2.p4.7.m7.1.2.1.cmml"><mo id="S2.p4.7.m7.1.2.2.1" stretchy="false" xref="S2.p4.7.m7.1.2.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S2.p4.7.m7.1.1" xref="S2.p4.7.m7.1.1.cmml">x</mi><mo id="S2.p4.7.m7.1.2.2.2" stretchy="false" xref="S2.p4.7.m7.1.2.1.1.cmml">‖</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p4.7.m7.1b"><apply id="S2.p4.7.m7.1.2.1.cmml" xref="S2.p4.7.m7.1.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.p4.7.m7.1.2.1.1.cmml" xref="S2.p4.7.m7.1.2.2.1">norm</csymbol><ci id="S2.p4.7.m7.1.1.cmml" xref="S2.p4.7.m7.1.1">𝑥</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p4.7.m7.1c">\|x\|</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p4.7.m7.1d">∥ italic_x ∥</annotation></semantics></math> and is monotonically increasing, as formalized below.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lemma" id="S2.Thmlemma1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.Thmlemma1.1.1.1">Lemma 2.1</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.Thmlemma1.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="S2.Thmlemma1.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.Thmlemma1.p1.1"><cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.Thmlemma1.p1.1.2.1">[</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14347v1#bib.bib5" title="">5</a><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.Thmlemma1.p1.1.3.2">, Lemma 5.2]</span></cite><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.Thmlemma1.p1.1.1"> The following statements hold for <math alttext="\Phi_{n,\lambda}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2"><semantics id="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2a"><msub id="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.3" xref="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.3.cmml"><mi id="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.3.2" mathvariant="normal" xref="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.3.2.cmml">Φ</mi><mrow id="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.2.4" xref="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.1.1.1.1" xref="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.2.4.1" xref="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.2.2" xref="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.cmml">λ</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2b"><apply id="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.3.cmml" xref="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.3.2.cmml" xref="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.3.2">Φ</ci><list id="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.2.4"><ci id="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.1.1.1.1">𝑛</ci><ci id="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.2.2">𝜆</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2c">\Phi_{n,\lambda}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2d">roman_Φ start_POSTSUBSCRIPT italic_n , italic_λ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14347v1#S2.E5" title="In Definition 2.1 (AMGF). ‣ 2 New Proof based on Averaged Moment Generating Function ‣ A New Proof of Sub-Gaussian Norm Concentration Inequality"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">5</span></a>).</span></p> <ol class="ltx_enumerate" id="S2.I1"> <li class="ltx_item" id="S2.I1.i1" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">1.</span> <div class="ltx_para" id="S2.I1.i1.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.I1.i1.p1.2"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.I1.i1.p1.2.1">Rotational invariance: For any </span><math alttext="x\in\mathbb{R}^{n}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.I1.i1.p1.1.m1.1"><semantics id="S2.I1.i1.p1.1.m1.1a"><mrow id="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1.cmml">∈</mo><msup id="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1.3" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1.3.2" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml">ℝ</mi><mi id="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1.3.3" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml">n</mi></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.I1.i1.p1.1.m1.1b"><apply id="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1"><in id="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1"></in><ci id="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2">𝑥</ci><apply id="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1.3.2">ℝ</ci><ci id="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.1.m1.1.1.3.3">𝑛</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.I1.i1.p1.1.m1.1c">x\in\mathbb{R}^{n}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.I1.i1.p1.1.m1.1d">italic_x ∈ blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.I1.i1.p1.2.2"> and </span><math alttext="\eta\in\mathcal{S}^{n-1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.I1.i1.p1.2.m2.1"><semantics id="S2.I1.i1.p1.2.m2.1a"><mrow id="S2.I1.i1.p1.2.m2.1.1" xref="S2.I1.i1.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S2.I1.i1.p1.2.m2.1.1.2" xref="S2.I1.i1.p1.2.m2.1.1.2.cmml">η</mi><mo id="S2.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1" xref="S2.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.cmml">∈</mo><msup id="S2.I1.i1.p1.2.m2.1.1.3" xref="S2.I1.i1.p1.2.m2.1.1.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.I1.i1.p1.2.m2.1.1.3.2" xref="S2.I1.i1.p1.2.m2.1.1.3.2.cmml">𝒮</mi><mrow id="S2.I1.i1.p1.2.m2.1.1.3.3" xref="S2.I1.i1.p1.2.m2.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.I1.i1.p1.2.m2.1.1.3.3.2" xref="S2.I1.i1.p1.2.m2.1.1.3.3.2.cmml">n</mi><mo id="S2.I1.i1.p1.2.m2.1.1.3.3.1" xref="S2.I1.i1.p1.2.m2.1.1.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="S2.I1.i1.p1.2.m2.1.1.3.3.3" xref="S2.I1.i1.p1.2.m2.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.I1.i1.p1.2.m2.1b"><apply id="S2.I1.i1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.2.m2.1.1"><in id="S2.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1"></in><ci id="S2.I1.i1.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.2.m2.1.1.2">𝜂</ci><apply id="S2.I1.i1.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I1.i1.p1.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.2.m2.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.I1.i1.p1.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.2.m2.1.1.3.2">𝒮</ci><apply id="S2.I1.i1.p1.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.2.m2.1.1.3.3"><minus id="S2.I1.i1.p1.2.m2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.2.m2.1.1.3.3.1"></minus><ci id="S2.I1.i1.p1.2.m2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.I1.i1.p1.2.m2.1.1.3.3.2">𝑛</ci><cn id="S2.I1.i1.p1.2.m2.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.I1.i1.p1.2.m2.1.1.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.I1.i1.p1.2.m2.1c">\eta\in\mathcal{S}^{n-1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.I1.i1.p1.2.m2.1d">italic_η ∈ caligraphic_S start_POSTSUPERSCRIPT italic_n - 1 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.I1.i1.p1.2.3">,</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S3.EGx1"> <tbody id="S2.Ex2"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\Phi_{n,\lambda}(x)=\Phi_{n,\lambda}(\|x\|\eta)." class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Ex2.m1.7"><semantics id="S2.Ex2.m1.7a"><mrow id="S2.Ex2.m1.7.7.1" xref="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex2.m1.7.7.1.1" xref="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.3" xref="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.3.cmml"><msub id="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.3.2" xref="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.3.2.2" mathvariant="normal" xref="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.3.2.2.cmml">Φ</mi><mrow id="S2.Ex2.m1.2.2.2.4" xref="S2.Ex2.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S2.Ex2.m1.2.2.2.4.1" xref="S2.Ex2.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.Ex2.m1.2.2.2.2" xref="S2.Ex2.m1.2.2.2.2.cmml">λ</mi></mrow></msub><mo id="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.3.1" xref="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.3.3.2" xref="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.3.cmml"><mo id="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex2.m1.5.5" xref="S2.Ex2.m1.5.5.cmml">x</mi><mo id="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.2" xref="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.1" xref="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.1.cmml"><msub id="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.1.3" xref="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.1.3.2.cmml">Φ</mi><mrow id="S2.Ex2.m1.4.4.2.4" xref="S2.Ex2.m1.4.4.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex2.m1.3.3.1.1" xref="S2.Ex2.m1.3.3.1.1.cmml">n</mi><mo id="S2.Ex2.m1.4.4.2.4.1" xref="S2.Ex2.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.Ex2.m1.4.4.2.2" xref="S2.Ex2.m1.4.4.2.2.cmml">λ</mi></mrow></msub><mo id="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.1.2" xref="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml"><mo id="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S2.Ex2.m1.6.6" xref="S2.Ex2.m1.6.6.cmml">x</mi><mo id="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.2" stretchy="false" xref="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml">‖</mo></mrow><mo id="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.cmml">η</mi></mrow><mo id="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.Ex2.m1.7.7.1.2" lspace="0em" xref="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex2.m1.7b"><apply id="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.7.7.1"><eq id="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.2"></eq><apply id="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.3"><times id="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.3.1"></times><apply id="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.3.2.2">Φ</ci><list id="S2.Ex2.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex2.m1.2.2.2.4"><ci id="S2.Ex2.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.1.1.1.1">𝑛</ci><ci id="S2.Ex2.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.2.2.2.2">𝜆</ci></list></apply><ci id="S2.Ex2.m1.5.5.cmml" xref="S2.Ex2.m1.5.5">𝑥</ci></apply><apply id="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.1"><times id="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.1.2"></times><apply id="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.1.3.2">Φ</ci><list id="S2.Ex2.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.2.4"><ci id="S2.Ex2.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.3.3.1.1">𝑛</ci><ci id="S2.Ex2.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S2.Ex2.m1.4.4.2.2">𝜆</ci></list></apply><apply id="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.1.1.1"><times id="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.1">norm</csymbol><ci id="S2.Ex2.m1.6.6.cmml" xref="S2.Ex2.m1.6.6">𝑥</ci></apply><ci id="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex2.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3">𝜂</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex2.m1.7c">\displaystyle\Phi_{n,\lambda}(x)=\Phi_{n,\lambda}(\|x\|\eta).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex2.m1.7d">roman_Φ start_POSTSUBSCRIPT italic_n , italic_λ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x ) = roman_Φ start_POSTSUBSCRIPT italic_n , italic_λ end_POSTSUBSCRIPT ( ∥ italic_x ∥ italic_η ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S2.I1.i2" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">2.</span> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S2.I1.i2.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.I1.i2.p1.2"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.I1.i2.p1.2.1">Monotonicity: For any </span><math alttext="x,y\in\mathbb{R}^{n}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.I1.i2.p1.1.m1.2"><semantics id="S2.I1.i2.p1.1.m1.2a"><mrow id="S2.I1.i2.p1.1.m1.2.3" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.2.3.cmml"><mrow id="S2.I1.i2.p1.1.m1.2.3.2.2" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.2.3.2.1.cmml"><mi id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.cmml">x</mi><mo id="S2.I1.i2.p1.1.m1.2.3.2.2.1" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.2.3.2.1.cmml">,</mo><mi id="S2.I1.i2.p1.1.m1.2.2" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.2.2.cmml">y</mi></mrow><mo id="S2.I1.i2.p1.1.m1.2.3.1" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.2.3.1.cmml">∈</mo><msup id="S2.I1.i2.p1.1.m1.2.3.3" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.2.3.3.cmml"><mi id="S2.I1.i2.p1.1.m1.2.3.3.2" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.2.3.3.2.cmml">ℝ</mi><mi id="S2.I1.i2.p1.1.m1.2.3.3.3" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.2.3.3.3.cmml">n</mi></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.I1.i2.p1.1.m1.2b"><apply id="S2.I1.i2.p1.1.m1.2.3.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.2.3"><in id="S2.I1.i2.p1.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.2.3.1"></in><list id="S2.I1.i2.p1.1.m1.2.3.2.1.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.2.3.2.2"><ci id="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.1.1">𝑥</ci><ci id="S2.I1.i2.p1.1.m1.2.2.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.2.2">𝑦</ci></list><apply id="S2.I1.i2.p1.1.m1.2.3.3.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.I1.i2.p1.1.m1.2.3.3.1.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.2.3.3">superscript</csymbol><ci id="S2.I1.i2.p1.1.m1.2.3.3.2.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.2.3.3.2">ℝ</ci><ci id="S2.I1.i2.p1.1.m1.2.3.3.3.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.1.m1.2.3.3.3">𝑛</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.I1.i2.p1.1.m1.2c">x,y\in\mathbb{R}^{n}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.I1.i2.p1.1.m1.2d">italic_x , italic_y ∈ blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.I1.i2.p1.2.2"> such that </span><math alttext="\|x\|\leq\|y\|" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.I1.i2.p1.2.m2.2"><semantics id="S2.I1.i2.p1.2.m2.2a"><mrow id="S2.I1.i2.p1.2.m2.2.3" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.2.3.cmml"><mrow id="S2.I1.i2.p1.2.m2.2.3.2.2" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.2.3.2.1.cmml"><mo id="S2.I1.i2.p1.2.m2.2.3.2.2.1" stretchy="false" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.2.3.2.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.cmml">x</mi><mo id="S2.I1.i2.p1.2.m2.2.3.2.2.2" stretchy="false" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.2.3.2.1.1.cmml">‖</mo></mrow><mo id="S2.I1.i2.p1.2.m2.2.3.1" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.2.3.1.cmml">≤</mo><mrow id="S2.I1.i2.p1.2.m2.2.3.3.2" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.2.3.3.1.cmml"><mo id="S2.I1.i2.p1.2.m2.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.2.3.3.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S2.I1.i2.p1.2.m2.2.2" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.2.2.cmml">y</mi><mo id="S2.I1.i2.p1.2.m2.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.2.3.3.1.1.cmml">‖</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.I1.i2.p1.2.m2.2b"><apply id="S2.I1.i2.p1.2.m2.2.3.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.2.3"><leq id="S2.I1.i2.p1.2.m2.2.3.1.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.2.3.1"></leq><apply id="S2.I1.i2.p1.2.m2.2.3.2.1.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.2.3.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.I1.i2.p1.2.m2.2.3.2.1.1.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.2.3.2.2.1">norm</csymbol><ci id="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.1.1">𝑥</ci></apply><apply id="S2.I1.i2.p1.2.m2.2.3.3.1.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.2.3.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.I1.i2.p1.2.m2.2.3.3.1.1.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.2.3.3.2.1">norm</csymbol><ci id="S2.I1.i2.p1.2.m2.2.2.cmml" xref="S2.I1.i2.p1.2.m2.2.2">𝑦</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.I1.i2.p1.2.m2.2c">\|x\|\leq\|y\|</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.I1.i2.p1.2.m2.2d">∥ italic_x ∥ ≤ ∥ italic_y ∥</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.I1.i2.p1.2.3">,</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.Ex3"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="1\leq\Phi_{n,\lambda}(x)\leq\Phi_{n,\lambda}(y)." class="ltx_Math" display="block" id="S2.Ex3.m1.7"><semantics id="S2.Ex3.m1.7a"><mrow id="S2.Ex3.m1.7.7.1" xref="S2.Ex3.m1.7.7.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex3.m1.7.7.1.1" xref="S2.Ex3.m1.7.7.1.1.cmml"><mn id="S2.Ex3.m1.7.7.1.1.2" xref="S2.Ex3.m1.7.7.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S2.Ex3.m1.7.7.1.1.3" xref="S2.Ex3.m1.7.7.1.1.3.cmml">≤</mo><mrow id="S2.Ex3.m1.7.7.1.1.4" xref="S2.Ex3.m1.7.7.1.1.4.cmml"><msub id="S2.Ex3.m1.7.7.1.1.4.2" xref="S2.Ex3.m1.7.7.1.1.4.2.cmml"><mi id="S2.Ex3.m1.7.7.1.1.4.2.2" mathvariant="normal" xref="S2.Ex3.m1.7.7.1.1.4.2.2.cmml">Φ</mi><mrow id="S2.Ex3.m1.2.2.2.4" xref="S2.Ex3.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex3.m1.1.1.1.1" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S2.Ex3.m1.2.2.2.4.1" xref="S2.Ex3.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.Ex3.m1.2.2.2.2" xref="S2.Ex3.m1.2.2.2.2.cmml">λ</mi></mrow></msub><mo id="S2.Ex3.m1.7.7.1.1.4.1" xref="S2.Ex3.m1.7.7.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex3.m1.7.7.1.1.4.3.2" xref="S2.Ex3.m1.7.7.1.1.4.cmml"><mo id="S2.Ex3.m1.7.7.1.1.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex3.m1.7.7.1.1.4.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex3.m1.5.5" xref="S2.Ex3.m1.5.5.cmml">x</mi><mo id="S2.Ex3.m1.7.7.1.1.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.Ex3.m1.7.7.1.1.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.Ex3.m1.7.7.1.1.5" xref="S2.Ex3.m1.7.7.1.1.5.cmml">≤</mo><mrow id="S2.Ex3.m1.7.7.1.1.6" xref="S2.Ex3.m1.7.7.1.1.6.cmml"><msub id="S2.Ex3.m1.7.7.1.1.6.2" xref="S2.Ex3.m1.7.7.1.1.6.2.cmml"><mi id="S2.Ex3.m1.7.7.1.1.6.2.2" mathvariant="normal" xref="S2.Ex3.m1.7.7.1.1.6.2.2.cmml">Φ</mi><mrow id="S2.Ex3.m1.4.4.2.4" xref="S2.Ex3.m1.4.4.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.cmml">n</mi><mo id="S2.Ex3.m1.4.4.2.4.1" xref="S2.Ex3.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.Ex3.m1.4.4.2.2" xref="S2.Ex3.m1.4.4.2.2.cmml">λ</mi></mrow></msub><mo id="S2.Ex3.m1.7.7.1.1.6.1" xref="S2.Ex3.m1.7.7.1.1.6.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex3.m1.7.7.1.1.6.3.2" xref="S2.Ex3.m1.7.7.1.1.6.cmml"><mo id="S2.Ex3.m1.7.7.1.1.6.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.Ex3.m1.7.7.1.1.6.cmml">(</mo><mi id="S2.Ex3.m1.6.6" xref="S2.Ex3.m1.6.6.cmml">y</mi><mo id="S2.Ex3.m1.7.7.1.1.6.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.Ex3.m1.7.7.1.1.6.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.Ex3.m1.7.7.1.2" lspace="0em" xref="S2.Ex3.m1.7.7.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex3.m1.7b"><apply id="S2.Ex3.m1.7.7.1.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.7.7.1"><and id="S2.Ex3.m1.7.7.1.1a.cmml" xref="S2.Ex3.m1.7.7.1"></and><apply id="S2.Ex3.m1.7.7.1.1b.cmml" xref="S2.Ex3.m1.7.7.1"><leq id="S2.Ex3.m1.7.7.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex3.m1.7.7.1.1.3"></leq><cn id="S2.Ex3.m1.7.7.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S2.Ex3.m1.7.7.1.1.2">1</cn><apply id="S2.Ex3.m1.7.7.1.1.4.cmml" xref="S2.Ex3.m1.7.7.1.1.4"><times id="S2.Ex3.m1.7.7.1.1.4.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.7.7.1.1.4.1"></times><apply id="S2.Ex3.m1.7.7.1.1.4.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.7.7.1.1.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex3.m1.7.7.1.1.4.2.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.7.7.1.1.4.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex3.m1.7.7.1.1.4.2.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.7.7.1.1.4.2.2">Φ</ci><list id="S2.Ex3.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex3.m1.2.2.2.4"><ci id="S2.Ex3.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.1.1.1.1">𝑛</ci><ci id="S2.Ex3.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.2.2.2.2">𝜆</ci></list></apply><ci id="S2.Ex3.m1.5.5.cmml" xref="S2.Ex3.m1.5.5">𝑥</ci></apply></apply><apply id="S2.Ex3.m1.7.7.1.1c.cmml" xref="S2.Ex3.m1.7.7.1"><leq id="S2.Ex3.m1.7.7.1.1.5.cmml" xref="S2.Ex3.m1.7.7.1.1.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2503.14347v1#S2.Ex3.m1.7.7.1.1.4.cmml" id="S2.Ex3.m1.7.7.1.1d.cmml" xref="S2.Ex3.m1.7.7.1"></share><apply id="S2.Ex3.m1.7.7.1.1.6.cmml" xref="S2.Ex3.m1.7.7.1.1.6"><times id="S2.Ex3.m1.7.7.1.1.6.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.7.7.1.1.6.1"></times><apply id="S2.Ex3.m1.7.7.1.1.6.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.7.7.1.1.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex3.m1.7.7.1.1.6.2.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.7.7.1.1.6.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex3.m1.7.7.1.1.6.2.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.7.7.1.1.6.2.2">Φ</ci><list id="S2.Ex3.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S2.Ex3.m1.4.4.2.4"><ci id="S2.Ex3.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S2.Ex3.m1.3.3.1.1">𝑛</ci><ci id="S2.Ex3.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S2.Ex3.m1.4.4.2.2">𝜆</ci></list></apply><ci id="S2.Ex3.m1.6.6.cmml" xref="S2.Ex3.m1.6.6">𝑦</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex3.m1.7c">1\leq\Phi_{n,\lambda}(x)\leq\Phi_{n,\lambda}(y).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex3.m1.7d">1 ≤ roman_Φ start_POSTSUBSCRIPT italic_n , italic_λ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x ) ≤ roman_Φ start_POSTSUBSCRIPT italic_n , italic_λ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_y ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> </li> </ol> </div> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S2.p5"> <p class="ltx_p" id="S2.p5.2">By rotational invariance, <math alttext="\Phi_{n,\lambda}(x)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p5.1.m1.3"><semantics id="S2.p5.1.m1.3a"><mrow id="S2.p5.1.m1.3.4" xref="S2.p5.1.m1.3.4.cmml"><msub id="S2.p5.1.m1.3.4.2" xref="S2.p5.1.m1.3.4.2.cmml"><mi id="S2.p5.1.m1.3.4.2.2" mathvariant="normal" xref="S2.p5.1.m1.3.4.2.2.cmml">Φ</mi><mrow id="S2.p5.1.m1.2.2.2.4" xref="S2.p5.1.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.p5.1.m1.1.1.1.1" xref="S2.p5.1.m1.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S2.p5.1.m1.2.2.2.4.1" xref="S2.p5.1.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.p5.1.m1.2.2.2.2" xref="S2.p5.1.m1.2.2.2.2.cmml">λ</mi></mrow></msub><mo id="S2.p5.1.m1.3.4.1" xref="S2.p5.1.m1.3.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p5.1.m1.3.4.3.2" xref="S2.p5.1.m1.3.4.cmml"><mo id="S2.p5.1.m1.3.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.p5.1.m1.3.4.cmml">(</mo><mi id="S2.p5.1.m1.3.3" xref="S2.p5.1.m1.3.3.cmml">x</mi><mo id="S2.p5.1.m1.3.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.p5.1.m1.3.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p5.1.m1.3b"><apply id="S2.p5.1.m1.3.4.cmml" xref="S2.p5.1.m1.3.4"><times id="S2.p5.1.m1.3.4.1.cmml" xref="S2.p5.1.m1.3.4.1"></times><apply id="S2.p5.1.m1.3.4.2.cmml" xref="S2.p5.1.m1.3.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p5.1.m1.3.4.2.1.cmml" xref="S2.p5.1.m1.3.4.2">subscript</csymbol><ci id="S2.p5.1.m1.3.4.2.2.cmml" xref="S2.p5.1.m1.3.4.2.2">Φ</ci><list id="S2.p5.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.p5.1.m1.2.2.2.4"><ci id="S2.p5.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p5.1.m1.1.1.1.1">𝑛</ci><ci id="S2.p5.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.p5.1.m1.2.2.2.2">𝜆</ci></list></apply><ci id="S2.p5.1.m1.3.3.cmml" xref="S2.p5.1.m1.3.3">𝑥</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p5.1.m1.3c">\Phi_{n,\lambda}(x)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p5.1.m1.3d">roman_Φ start_POSTSUBSCRIPT italic_n , italic_λ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x )</annotation></semantics></math> only depends on <math alttext="\|x\|" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p5.2.m2.1"><semantics id="S2.p5.2.m2.1a"><mrow id="S2.p5.2.m2.1.2.2" xref="S2.p5.2.m2.1.2.1.cmml"><mo id="S2.p5.2.m2.1.2.2.1" stretchy="false" xref="S2.p5.2.m2.1.2.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S2.p5.2.m2.1.1" xref="S2.p5.2.m2.1.1.cmml">x</mi><mo id="S2.p5.2.m2.1.2.2.2" stretchy="false" xref="S2.p5.2.m2.1.2.1.1.cmml">‖</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p5.2.m2.1b"><apply id="S2.p5.2.m2.1.2.1.cmml" xref="S2.p5.2.m2.1.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.p5.2.m2.1.2.1.1.cmml" xref="S2.p5.2.m2.1.2.2.1">norm</csymbol><ci id="S2.p5.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.p5.2.m2.1.1">𝑥</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p5.2.m2.1c">\|x\|</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p5.2.m2.1d">∥ italic_x ∥</annotation></semantics></math>. In fact,</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E6"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\Phi_{n,\lambda}(x)=\phi_{n}(\|\lambda x\|)," class="ltx_Math" display="block" id="S2.E6.m1.4"><semantics id="S2.E6.m1.4a"><mrow id="S2.E6.m1.4.4.1" xref="S2.E6.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S2.E6.m1.4.4.1.1" xref="S2.E6.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S2.E6.m1.4.4.1.1.3" xref="S2.E6.m1.4.4.1.1.3.cmml"><msub id="S2.E6.m1.4.4.1.1.3.2" xref="S2.E6.m1.4.4.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.E6.m1.4.4.1.1.3.2.2" mathvariant="normal" xref="S2.E6.m1.4.4.1.1.3.2.2.cmml">Φ</mi><mrow id="S2.E6.m1.2.2.2.4" xref="S2.E6.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.E6.m1.1.1.1.1" xref="S2.E6.m1.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S2.E6.m1.2.2.2.4.1" xref="S2.E6.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.E6.m1.2.2.2.2" xref="S2.E6.m1.2.2.2.2.cmml">λ</mi></mrow></msub><mo id="S2.E6.m1.4.4.1.1.3.1" xref="S2.E6.m1.4.4.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E6.m1.4.4.1.1.3.3.2" xref="S2.E6.m1.4.4.1.1.3.cmml"><mo id="S2.E6.m1.4.4.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E6.m1.4.4.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S2.E6.m1.3.3" xref="S2.E6.m1.3.3.cmml">x</mi><mo id="S2.E6.m1.4.4.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.E6.m1.4.4.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E6.m1.4.4.1.1.2" xref="S2.E6.m1.4.4.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S2.E6.m1.4.4.1.1.1" xref="S2.E6.m1.4.4.1.1.1.cmml"><msub id="S2.E6.m1.4.4.1.1.1.3" xref="S2.E6.m1.4.4.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.E6.m1.4.4.1.1.1.3.2" xref="S2.E6.m1.4.4.1.1.1.3.2.cmml">ϕ</mi><mi id="S2.E6.m1.4.4.1.1.1.3.3" xref="S2.E6.m1.4.4.1.1.1.3.3.cmml">n</mi></msub><mo id="S2.E6.m1.4.4.1.1.1.2" xref="S2.E6.m1.4.4.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E6.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S2.E6.m1.4.4.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E6.m1.4.4.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E6.m1.4.4.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S2.E6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">λ</mi><mo id="S2.E6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">x</mi></mrow><mo id="S2.E6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mo id="S2.E6.m1.4.4.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E6.m1.4.4.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E6.m1.4.4.1.2" xref="S2.E6.m1.4.4.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E6.m1.4b"><apply id="S2.E6.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S2.E6.m1.4.4.1"><eq id="S2.E6.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="S2.E6.m1.4.4.1.1.2"></eq><apply id="S2.E6.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="S2.E6.m1.4.4.1.1.3"><times id="S2.E6.m1.4.4.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E6.m1.4.4.1.1.3.1"></times><apply id="S2.E6.m1.4.4.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E6.m1.4.4.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E6.m1.4.4.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E6.m1.4.4.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E6.m1.4.4.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.E6.m1.4.4.1.1.3.2.2">Φ</ci><list id="S2.E6.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E6.m1.2.2.2.4"><ci id="S2.E6.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E6.m1.1.1.1.1">𝑛</ci><ci id="S2.E6.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E6.m1.2.2.2.2">𝜆</ci></list></apply><ci id="S2.E6.m1.3.3.cmml" xref="S2.E6.m1.3.3">𝑥</ci></apply><apply id="S2.E6.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="S2.E6.m1.4.4.1.1.1"><times id="S2.E6.m1.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E6.m1.4.4.1.1.1.2"></times><apply id="S2.E6.m1.4.4.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E6.m1.4.4.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E6.m1.4.4.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E6.m1.4.4.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E6.m1.4.4.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E6.m1.4.4.1.1.1.3.2">italic-ϕ</ci><ci id="S2.E6.m1.4.4.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E6.m1.4.4.1.1.1.3.3">𝑛</ci></apply><apply id="S2.E6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.E6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S2.E6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S2.E6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S2.E6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝜆</ci><ci id="S2.E6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E6.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑥</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E6.m1.4c">\Phi_{n,\lambda}(x)=\phi_{n}(\|\lambda x\|),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E6.m1.4d">roman_Φ start_POSTSUBSCRIPT italic_n , italic_λ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x ) = italic_ϕ start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT ( ∥ italic_λ italic_x ∥ ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(6)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.p5.8">where <math alttext="\phi_{n}(z)=\mathbb{E}_{\ell\sim\mathcal{S}^{n-1}}\left(e^{\langle\ell,z\,\eta% \rangle}\right),~{}\forall\eta\in\mathcal{S}^{n-1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p5.3.m1.5"><semantics id="S2.p5.3.m1.5a"><mrow id="S2.p5.3.m1.5.5.2" xref="S2.p5.3.m1.5.5.3.cmml"><mrow id="S2.p5.3.m1.4.4.1.1" xref="S2.p5.3.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S2.p5.3.m1.4.4.1.1.3" xref="S2.p5.3.m1.4.4.1.1.3.cmml"><msub id="S2.p5.3.m1.4.4.1.1.3.2" xref="S2.p5.3.m1.4.4.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.p5.3.m1.4.4.1.1.3.2.2" xref="S2.p5.3.m1.4.4.1.1.3.2.2.cmml">ϕ</mi><mi id="S2.p5.3.m1.4.4.1.1.3.2.3" xref="S2.p5.3.m1.4.4.1.1.3.2.3.cmml">n</mi></msub><mo id="S2.p5.3.m1.4.4.1.1.3.1" xref="S2.p5.3.m1.4.4.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p5.3.m1.4.4.1.1.3.3.2" xref="S2.p5.3.m1.4.4.1.1.3.cmml"><mo id="S2.p5.3.m1.4.4.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.p5.3.m1.4.4.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S2.p5.3.m1.3.3" xref="S2.p5.3.m1.3.3.cmml">z</mi><mo id="S2.p5.3.m1.4.4.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.p5.3.m1.4.4.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.p5.3.m1.4.4.1.1.2" xref="S2.p5.3.m1.4.4.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S2.p5.3.m1.4.4.1.1.1" xref="S2.p5.3.m1.4.4.1.1.1.cmml"><msub id="S2.p5.3.m1.4.4.1.1.1.3" xref="S2.p5.3.m1.4.4.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.p5.3.m1.4.4.1.1.1.3.2" xref="S2.p5.3.m1.4.4.1.1.1.3.2.cmml">𝔼</mi><mrow id="S2.p5.3.m1.4.4.1.1.1.3.3" xref="S2.p5.3.m1.4.4.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.p5.3.m1.4.4.1.1.1.3.3.2" mathvariant="normal" xref="S2.p5.3.m1.4.4.1.1.1.3.3.2.cmml">ℓ</mi><mo id="S2.p5.3.m1.4.4.1.1.1.3.3.1" xref="S2.p5.3.m1.4.4.1.1.1.3.3.1.cmml">∼</mo><msup id="S2.p5.3.m1.4.4.1.1.1.3.3.3" xref="S2.p5.3.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.p5.3.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.2" xref="S2.p5.3.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.2.cmml">𝒮</mi><mrow id="S2.p5.3.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.3" xref="S2.p5.3.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.3.cmml"><mi id="S2.p5.3.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.3.2" xref="S2.p5.3.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.3.2.cmml">n</mi><mo id="S2.p5.3.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.3.1" xref="S2.p5.3.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="S2.p5.3.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.3.3" xref="S2.p5.3.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup></mrow></msub><mo id="S2.p5.3.m1.4.4.1.1.1.2" xref="S2.p5.3.m1.4.4.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p5.3.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S2.p5.3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.p5.3.m1.4.4.1.1.1.1.1.2" xref="S2.p5.3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S2.p5.3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S2.p5.3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.p5.3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.p5.3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">e</mi><mrow id="S2.p5.3.m1.2.2.2.2" xref="S2.p5.3.m1.2.2.2.3.cmml"><mo id="S2.p5.3.m1.2.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S2.p5.3.m1.2.2.2.3.cmml">⟨</mo><mi id="S2.p5.3.m1.1.1.1.1" mathvariant="normal" xref="S2.p5.3.m1.1.1.1.1.cmml">ℓ</mi><mo id="S2.p5.3.m1.2.2.2.2.3" xref="S2.p5.3.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S2.p5.3.m1.2.2.2.2.1" xref="S2.p5.3.m1.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="S2.p5.3.m1.2.2.2.2.1.2" xref="S2.p5.3.m1.2.2.2.2.1.2.cmml">z</mi><mo id="S2.p5.3.m1.2.2.2.2.1.1" lspace="0.170em" xref="S2.p5.3.m1.2.2.2.2.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.p5.3.m1.2.2.2.2.1.3" xref="S2.p5.3.m1.2.2.2.2.1.3.cmml">η</mi></mrow><mo id="S2.p5.3.m1.2.2.2.2.4" stretchy="false" xref="S2.p5.3.m1.2.2.2.3.cmml">⟩</mo></mrow></msup><mo id="S2.p5.3.m1.4.4.1.1.1.1.1.3" xref="S2.p5.3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.p5.3.m1.5.5.2.3" rspace="0.497em" xref="S2.p5.3.m1.5.5.3a.cmml">,</mo><mrow id="S2.p5.3.m1.5.5.2.2" xref="S2.p5.3.m1.5.5.2.2.cmml"><mrow id="S2.p5.3.m1.5.5.2.2.2" xref="S2.p5.3.m1.5.5.2.2.2.cmml"><mo id="S2.p5.3.m1.5.5.2.2.2.1" rspace="0.167em" xref="S2.p5.3.m1.5.5.2.2.2.1.cmml">∀</mo><mi id="S2.p5.3.m1.5.5.2.2.2.2" xref="S2.p5.3.m1.5.5.2.2.2.2.cmml">η</mi></mrow><mo id="S2.p5.3.m1.5.5.2.2.1" xref="S2.p5.3.m1.5.5.2.2.1.cmml">∈</mo><msup id="S2.p5.3.m1.5.5.2.2.3" xref="S2.p5.3.m1.5.5.2.2.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.p5.3.m1.5.5.2.2.3.2" xref="S2.p5.3.m1.5.5.2.2.3.2.cmml">𝒮</mi><mrow id="S2.p5.3.m1.5.5.2.2.3.3" xref="S2.p5.3.m1.5.5.2.2.3.3.cmml"><mi id="S2.p5.3.m1.5.5.2.2.3.3.2" xref="S2.p5.3.m1.5.5.2.2.3.3.2.cmml">n</mi><mo id="S2.p5.3.m1.5.5.2.2.3.3.1" xref="S2.p5.3.m1.5.5.2.2.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="S2.p5.3.m1.5.5.2.2.3.3.3" xref="S2.p5.3.m1.5.5.2.2.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p5.3.m1.5b"><apply id="S2.p5.3.m1.5.5.3.cmml" xref="S2.p5.3.m1.5.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p5.3.m1.5.5.3a.cmml" xref="S2.p5.3.m1.5.5.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S2.p5.3.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S2.p5.3.m1.4.4.1.1"><eq id="S2.p5.3.m1.4.4.1.1.2.cmml" 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id="S2.p5.3.m1.4.4.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.p5.3.m1.4.4.1.1.1.3.3"><csymbol cd="latexml" id="S2.p5.3.m1.4.4.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.p5.3.m1.4.4.1.1.1.3.3.1">similar-to</csymbol><ci id="S2.p5.3.m1.4.4.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.p5.3.m1.4.4.1.1.1.3.3.2">ℓ</ci><apply id="S2.p5.3.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.p5.3.m1.4.4.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p5.3.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S2.p5.3.m1.4.4.1.1.1.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="S2.p5.3.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S2.p5.3.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.2">𝒮</ci><apply id="S2.p5.3.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S2.p5.3.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.3"><minus id="S2.p5.3.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.3.1.cmml" xref="S2.p5.3.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.3.1"></minus><ci id="S2.p5.3.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.3.2.cmml" xref="S2.p5.3.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.3.2">𝑛</ci><cn id="S2.p5.3.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.p5.3.m1.4.4.1.1.1.3.3.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.p5.3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p5.3.m1.4.4.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p5.3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p5.3.m1.4.4.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.p5.3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.p5.3.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2">𝑒</ci><list id="S2.p5.3.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.p5.3.m1.2.2.2.2"><ci id="S2.p5.3.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p5.3.m1.1.1.1.1">ℓ</ci><apply id="S2.p5.3.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.p5.3.m1.2.2.2.2.1"><times id="S2.p5.3.m1.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S2.p5.3.m1.2.2.2.2.1.1"></times><ci id="S2.p5.3.m1.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S2.p5.3.m1.2.2.2.2.1.2">𝑧</ci><ci id="S2.p5.3.m1.2.2.2.2.1.3.cmml" xref="S2.p5.3.m1.2.2.2.2.1.3">𝜂</ci></apply></list></apply></apply></apply><apply id="S2.p5.3.m1.5.5.2.2.cmml" xref="S2.p5.3.m1.5.5.2.2"><in id="S2.p5.3.m1.5.5.2.2.1.cmml" xref="S2.p5.3.m1.5.5.2.2.1"></in><apply id="S2.p5.3.m1.5.5.2.2.2.cmml" xref="S2.p5.3.m1.5.5.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.p5.3.m1.5.5.2.2.2.1.cmml" xref="S2.p5.3.m1.5.5.2.2.2.1">for-all</csymbol><ci id="S2.p5.3.m1.5.5.2.2.2.2.cmml" xref="S2.p5.3.m1.5.5.2.2.2.2">𝜂</ci></apply><apply id="S2.p5.3.m1.5.5.2.2.3.cmml" xref="S2.p5.3.m1.5.5.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p5.3.m1.5.5.2.2.3.1.cmml" xref="S2.p5.3.m1.5.5.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S2.p5.3.m1.5.5.2.2.3.2.cmml" xref="S2.p5.3.m1.5.5.2.2.3.2">𝒮</ci><apply id="S2.p5.3.m1.5.5.2.2.3.3.cmml" xref="S2.p5.3.m1.5.5.2.2.3.3"><minus id="S2.p5.3.m1.5.5.2.2.3.3.1.cmml" xref="S2.p5.3.m1.5.5.2.2.3.3.1"></minus><ci id="S2.p5.3.m1.5.5.2.2.3.3.2.cmml" xref="S2.p5.3.m1.5.5.2.2.3.3.2">𝑛</ci><cn id="S2.p5.3.m1.5.5.2.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.p5.3.m1.5.5.2.2.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p5.3.m1.5c">\phi_{n}(z)=\mathbb{E}_{\ell\sim\mathcal{S}^{n-1}}\left(e^{\langle\ell,z\,\eta% \rangle}\right),~{}\forall\eta\in\mathcal{S}^{n-1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p5.3.m1.5d">italic_ϕ start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT ( italic_z ) = blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT roman_ℓ ∼ caligraphic_S start_POSTSUPERSCRIPT italic_n - 1 end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( italic_e start_POSTSUPERSCRIPT ⟨ roman_ℓ , italic_z italic_η ⟩ end_POSTSUPERSCRIPT ) , ∀ italic_η ∈ caligraphic_S start_POSTSUPERSCRIPT italic_n - 1 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> admits a closed-form expression of <math alttext="\phi_{1}(z)=\cosh(z)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p5.4.m2.3"><semantics id="S2.p5.4.m2.3a"><mrow id="S2.p5.4.m2.3.4" xref="S2.p5.4.m2.3.4.cmml"><mrow id="S2.p5.4.m2.3.4.2" xref="S2.p5.4.m2.3.4.2.cmml"><msub id="S2.p5.4.m2.3.4.2.2" xref="S2.p5.4.m2.3.4.2.2.cmml"><mi id="S2.p5.4.m2.3.4.2.2.2" xref="S2.p5.4.m2.3.4.2.2.2.cmml">ϕ</mi><mn id="S2.p5.4.m2.3.4.2.2.3" xref="S2.p5.4.m2.3.4.2.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S2.p5.4.m2.3.4.2.1" xref="S2.p5.4.m2.3.4.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p5.4.m2.3.4.2.3.2" xref="S2.p5.4.m2.3.4.2.cmml"><mo id="S2.p5.4.m2.3.4.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.p5.4.m2.3.4.2.cmml">(</mo><mi id="S2.p5.4.m2.1.1" xref="S2.p5.4.m2.1.1.cmml">z</mi><mo id="S2.p5.4.m2.3.4.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.p5.4.m2.3.4.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.p5.4.m2.3.4.1" xref="S2.p5.4.m2.3.4.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.p5.4.m2.3.4.3.2" xref="S2.p5.4.m2.3.4.3.1.cmml"><mi id="S2.p5.4.m2.2.2" xref="S2.p5.4.m2.2.2.cmml">cosh</mi><mo id="S2.p5.4.m2.3.4.3.2a" xref="S2.p5.4.m2.3.4.3.1.cmml">⁡</mo><mrow id="S2.p5.4.m2.3.4.3.2.1" xref="S2.p5.4.m2.3.4.3.1.cmml"><mo id="S2.p5.4.m2.3.4.3.2.1.1" stretchy="false" xref="S2.p5.4.m2.3.4.3.1.cmml">(</mo><mi id="S2.p5.4.m2.3.3" xref="S2.p5.4.m2.3.3.cmml">z</mi><mo id="S2.p5.4.m2.3.4.3.2.1.2" stretchy="false" xref="S2.p5.4.m2.3.4.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p5.4.m2.3b"><apply id="S2.p5.4.m2.3.4.cmml" xref="S2.p5.4.m2.3.4"><eq id="S2.p5.4.m2.3.4.1.cmml" xref="S2.p5.4.m2.3.4.1"></eq><apply id="S2.p5.4.m2.3.4.2.cmml" xref="S2.p5.4.m2.3.4.2"><times id="S2.p5.4.m2.3.4.2.1.cmml" xref="S2.p5.4.m2.3.4.2.1"></times><apply id="S2.p5.4.m2.3.4.2.2.cmml" xref="S2.p5.4.m2.3.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p5.4.m2.3.4.2.2.1.cmml" xref="S2.p5.4.m2.3.4.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.p5.4.m2.3.4.2.2.2.cmml" xref="S2.p5.4.m2.3.4.2.2.2">italic-ϕ</ci><cn id="S2.p5.4.m2.3.4.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.p5.4.m2.3.4.2.2.3">1</cn></apply><ci id="S2.p5.4.m2.1.1.cmml" xref="S2.p5.4.m2.1.1">𝑧</ci></apply><apply id="S2.p5.4.m2.3.4.3.1.cmml" xref="S2.p5.4.m2.3.4.3.2"><cosh id="S2.p5.4.m2.2.2.cmml" xref="S2.p5.4.m2.2.2"></cosh><ci id="S2.p5.4.m2.3.3.cmml" xref="S2.p5.4.m2.3.3">𝑧</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p5.4.m2.3c">\phi_{1}(z)=\cosh(z)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p5.4.m2.3d">italic_ϕ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_z ) = roman_cosh ( italic_z )</annotation></semantics></math> and <math alttext="\phi_{n}(z)=\Gamma(n/2)(2/z)^{(n-2)/2}I_{(n-2)/2}(z)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p5.5.m3.6"><semantics id="S2.p5.5.m3.6a"><mrow id="S2.p5.5.m3.6.6" xref="S2.p5.5.m3.6.6.cmml"><mrow id="S2.p5.5.m3.6.6.4" xref="S2.p5.5.m3.6.6.4.cmml"><msub id="S2.p5.5.m3.6.6.4.2" xref="S2.p5.5.m3.6.6.4.2.cmml"><mi id="S2.p5.5.m3.6.6.4.2.2" xref="S2.p5.5.m3.6.6.4.2.2.cmml">ϕ</mi><mi id="S2.p5.5.m3.6.6.4.2.3" xref="S2.p5.5.m3.6.6.4.2.3.cmml">n</mi></msub><mo id="S2.p5.5.m3.6.6.4.1" xref="S2.p5.5.m3.6.6.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p5.5.m3.6.6.4.3.2" xref="S2.p5.5.m3.6.6.4.cmml"><mo id="S2.p5.5.m3.6.6.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.p5.5.m3.6.6.4.cmml">(</mo><mi id="S2.p5.5.m3.3.3" xref="S2.p5.5.m3.3.3.cmml">z</mi><mo id="S2.p5.5.m3.6.6.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.p5.5.m3.6.6.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.p5.5.m3.6.6.3" xref="S2.p5.5.m3.6.6.3.cmml">=</mo><mrow id="S2.p5.5.m3.6.6.2" xref="S2.p5.5.m3.6.6.2.cmml"><mi id="S2.p5.5.m3.6.6.2.4" mathvariant="normal" xref="S2.p5.5.m3.6.6.2.4.cmml">Γ</mi><mo id="S2.p5.5.m3.6.6.2.3" xref="S2.p5.5.m3.6.6.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p5.5.m3.5.5.1.1.1" xref="S2.p5.5.m3.5.5.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.p5.5.m3.5.5.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.p5.5.m3.5.5.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.p5.5.m3.5.5.1.1.1.1" xref="S2.p5.5.m3.5.5.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.p5.5.m3.5.5.1.1.1.1.2" xref="S2.p5.5.m3.5.5.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S2.p5.5.m3.5.5.1.1.1.1.1" xref="S2.p5.5.m3.5.5.1.1.1.1.1.cmml">/</mo><mn id="S2.p5.5.m3.5.5.1.1.1.1.3" xref="S2.p5.5.m3.5.5.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><mo id="S2.p5.5.m3.5.5.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.p5.5.m3.5.5.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.p5.5.m3.6.6.2.3a" xref="S2.p5.5.m3.6.6.2.3.cmml">⁢</mo><msup id="S2.p5.5.m3.6.6.2.2" xref="S2.p5.5.m3.6.6.2.2.cmml"><mrow id="S2.p5.5.m3.6.6.2.2.1.1" xref="S2.p5.5.m3.6.6.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S2.p5.5.m3.6.6.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.p5.5.m3.6.6.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.p5.5.m3.6.6.2.2.1.1.1" xref="S2.p5.5.m3.6.6.2.2.1.1.1.cmml"><mn id="S2.p5.5.m3.6.6.2.2.1.1.1.2" xref="S2.p5.5.m3.6.6.2.2.1.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="S2.p5.5.m3.6.6.2.2.1.1.1.1" xref="S2.p5.5.m3.6.6.2.2.1.1.1.1.cmml">/</mo><mi id="S2.p5.5.m3.6.6.2.2.1.1.1.3" xref="S2.p5.5.m3.6.6.2.2.1.1.1.3.cmml">z</mi></mrow><mo id="S2.p5.5.m3.6.6.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.p5.5.m3.6.6.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S2.p5.5.m3.1.1.1" xref="S2.p5.5.m3.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.p5.5.m3.1.1.1.1.1" xref="S2.p5.5.m3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.p5.5.m3.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.p5.5.m3.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.p5.5.m3.1.1.1.1.1.1" xref="S2.p5.5.m3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.p5.5.m3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.p5.5.m3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S2.p5.5.m3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.p5.5.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S2.p5.5.m3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.p5.5.m3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><mo id="S2.p5.5.m3.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" 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end_POSTSUBSCRIPT ( italic_z ) = roman_Γ ( italic_n / 2 ) ( 2 / italic_z ) start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n - 2 ) / 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_I start_POSTSUBSCRIPT ( italic_n - 2 ) / 2 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_z )</annotation></semantics></math> when <math alttext="n\geq 2" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p5.6.m4.1"><semantics id="S2.p5.6.m4.1a"><mrow id="S2.p5.6.m4.1.1" xref="S2.p5.6.m4.1.1.cmml"><mi id="S2.p5.6.m4.1.1.2" xref="S2.p5.6.m4.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S2.p5.6.m4.1.1.1" xref="S2.p5.6.m4.1.1.1.cmml">≥</mo><mn id="S2.p5.6.m4.1.1.3" xref="S2.p5.6.m4.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p5.6.m4.1b"><apply id="S2.p5.6.m4.1.1.cmml" xref="S2.p5.6.m4.1.1"><geq id="S2.p5.6.m4.1.1.1.cmml" xref="S2.p5.6.m4.1.1.1"></geq><ci id="S2.p5.6.m4.1.1.2.cmml" xref="S2.p5.6.m4.1.1.2">𝑛</ci><cn id="S2.p5.6.m4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.p5.6.m4.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p5.6.m4.1c">n\geq 2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p5.6.m4.1d">italic_n ≥ 2</annotation></semantics></math> where <math alttext="\Gamma" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p5.7.m5.1"><semantics id="S2.p5.7.m5.1a"><mi id="S2.p5.7.m5.1.1" mathvariant="normal" xref="S2.p5.7.m5.1.1.cmml">Γ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p5.7.m5.1b"><ci id="S2.p5.7.m5.1.1.cmml" xref="S2.p5.7.m5.1.1">Γ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p5.7.m5.1c">\Gamma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p5.7.m5.1d">roman_Γ</annotation></semantics></math> denotes the Gamma function and <math alttext="I" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p5.8.m6.1"><semantics id="S2.p5.8.m6.1a"><mi id="S2.p5.8.m6.1.1" xref="S2.p5.8.m6.1.1.cmml">I</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p5.8.m6.1b"><ci id="S2.p5.8.m6.1.1.cmml" xref="S2.p5.8.m6.1.1">𝐼</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p5.8.m6.1c">I</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p5.8.m6.1d">italic_I</annotation></semantics></math> is the modified Bessel function of the first kind <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14347v1#bib.bib4" title="">4</a>]</cite>.</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S2.p6"> <p class="ltx_p" id="S2.p6.3">In addition to these similarities to <math alttext="e^{\lambda\|x\|}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p6.1.m1.1"><semantics id="S2.p6.1.m1.1a"><msup id="S2.p6.1.m1.1.2" xref="S2.p6.1.m1.1.2.cmml"><mi id="S2.p6.1.m1.1.2.2" xref="S2.p6.1.m1.1.2.2.cmml">e</mi><mrow id="S2.p6.1.m1.1.1.1" xref="S2.p6.1.m1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.p6.1.m1.1.1.1.3" xref="S2.p6.1.m1.1.1.1.3.cmml">λ</mi><mo id="S2.p6.1.m1.1.1.1.2" xref="S2.p6.1.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p6.1.m1.1.1.1.4.2" xref="S2.p6.1.m1.1.1.1.4.1.cmml"><mo id="S2.p6.1.m1.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S2.p6.1.m1.1.1.1.4.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S2.p6.1.m1.1.1.1.1" xref="S2.p6.1.m1.1.1.1.1.cmml">x</mi><mo id="S2.p6.1.m1.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S2.p6.1.m1.1.1.1.4.1.1.cmml">‖</mo></mrow></mrow></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p6.1.m1.1b"><apply id="S2.p6.1.m1.1.2.cmml" xref="S2.p6.1.m1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p6.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S2.p6.1.m1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S2.p6.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S2.p6.1.m1.1.2.2">𝑒</ci><apply id="S2.p6.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.p6.1.m1.1.1.1"><times id="S2.p6.1.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.p6.1.m1.1.1.1.2"></times><ci id="S2.p6.1.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.p6.1.m1.1.1.1.3">𝜆</ci><apply id="S2.p6.1.m1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S2.p6.1.m1.1.1.1.4.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.p6.1.m1.1.1.1.4.1.1.cmml" xref="S2.p6.1.m1.1.1.1.4.2.1">norm</csymbol><ci id="S2.p6.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p6.1.m1.1.1.1.1">𝑥</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p6.1.m1.1c">e^{\lambda\|x\|}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p6.1.m1.1d">italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_λ ∥ italic_x ∥ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, we show below that the value of <math alttext="\Phi_{n,\lambda}(x)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p6.2.m2.3"><semantics id="S2.p6.2.m2.3a"><mrow id="S2.p6.2.m2.3.4" xref="S2.p6.2.m2.3.4.cmml"><msub id="S2.p6.2.m2.3.4.2" xref="S2.p6.2.m2.3.4.2.cmml"><mi id="S2.p6.2.m2.3.4.2.2" mathvariant="normal" xref="S2.p6.2.m2.3.4.2.2.cmml">Φ</mi><mrow id="S2.p6.2.m2.2.2.2.4" xref="S2.p6.2.m2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.p6.2.m2.1.1.1.1" xref="S2.p6.2.m2.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S2.p6.2.m2.2.2.2.4.1" xref="S2.p6.2.m2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.p6.2.m2.2.2.2.2" xref="S2.p6.2.m2.2.2.2.2.cmml">λ</mi></mrow></msub><mo id="S2.p6.2.m2.3.4.1" xref="S2.p6.2.m2.3.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p6.2.m2.3.4.3.2" xref="S2.p6.2.m2.3.4.cmml"><mo id="S2.p6.2.m2.3.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.p6.2.m2.3.4.cmml">(</mo><mi id="S2.p6.2.m2.3.3" xref="S2.p6.2.m2.3.3.cmml">x</mi><mo id="S2.p6.2.m2.3.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.p6.2.m2.3.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p6.2.m2.3b"><apply id="S2.p6.2.m2.3.4.cmml" xref="S2.p6.2.m2.3.4"><times id="S2.p6.2.m2.3.4.1.cmml" xref="S2.p6.2.m2.3.4.1"></times><apply id="S2.p6.2.m2.3.4.2.cmml" xref="S2.p6.2.m2.3.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p6.2.m2.3.4.2.1.cmml" xref="S2.p6.2.m2.3.4.2">subscript</csymbol><ci id="S2.p6.2.m2.3.4.2.2.cmml" xref="S2.p6.2.m2.3.4.2.2">Φ</ci><list id="S2.p6.2.m2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.p6.2.m2.2.2.2.4"><ci id="S2.p6.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p6.2.m2.1.1.1.1">𝑛</ci><ci id="S2.p6.2.m2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.p6.2.m2.2.2.2.2">𝜆</ci></list></apply><ci id="S2.p6.2.m2.3.3.cmml" xref="S2.p6.2.m2.3.3">𝑥</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p6.2.m2.3c">\Phi_{n,\lambda}(x)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p6.2.m2.3d">roman_Φ start_POSTSUBSCRIPT italic_n , italic_λ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x )</annotation></semantics></math> is closely related to <math alttext="e^{\lambda\|x\|}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p6.3.m3.1"><semantics id="S2.p6.3.m3.1a"><msup id="S2.p6.3.m3.1.2" xref="S2.p6.3.m3.1.2.cmml"><mi id="S2.p6.3.m3.1.2.2" xref="S2.p6.3.m3.1.2.2.cmml">e</mi><mrow id="S2.p6.3.m3.1.1.1" xref="S2.p6.3.m3.1.1.1.cmml"><mi id="S2.p6.3.m3.1.1.1.3" xref="S2.p6.3.m3.1.1.1.3.cmml">λ</mi><mo id="S2.p6.3.m3.1.1.1.2" xref="S2.p6.3.m3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p6.3.m3.1.1.1.4.2" xref="S2.p6.3.m3.1.1.1.4.1.cmml"><mo id="S2.p6.3.m3.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S2.p6.3.m3.1.1.1.4.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S2.p6.3.m3.1.1.1.1" xref="S2.p6.3.m3.1.1.1.1.cmml">x</mi><mo id="S2.p6.3.m3.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S2.p6.3.m3.1.1.1.4.1.1.cmml">‖</mo></mrow></mrow></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p6.3.m3.1b"><apply id="S2.p6.3.m3.1.2.cmml" xref="S2.p6.3.m3.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p6.3.m3.1.2.1.cmml" xref="S2.p6.3.m3.1.2">superscript</csymbol><ci id="S2.p6.3.m3.1.2.2.cmml" xref="S2.p6.3.m3.1.2.2">𝑒</ci><apply id="S2.p6.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S2.p6.3.m3.1.1.1"><times id="S2.p6.3.m3.1.1.1.2.cmml" xref="S2.p6.3.m3.1.1.1.2"></times><ci id="S2.p6.3.m3.1.1.1.3.cmml" xref="S2.p6.3.m3.1.1.1.3">𝜆</ci><apply id="S2.p6.3.m3.1.1.1.4.1.cmml" xref="S2.p6.3.m3.1.1.1.4.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.p6.3.m3.1.1.1.4.1.1.cmml" xref="S2.p6.3.m3.1.1.1.4.2.1">norm</csymbol><ci id="S2.p6.3.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p6.3.m3.1.1.1.1">𝑥</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p6.3.m3.1c">e^{\lambda\|x\|}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p6.3.m3.1d">italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_λ ∥ italic_x ∥ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lemma" id="S2.Thmlemma2"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.Thmlemma2.1.1.1">Lemma 2.2</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.Thmlemma2.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="S2.Thmlemma2.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.Thmlemma2.p1.3"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.Thmlemma2.p1.3.3">For any <math alttext="x\in\mathbb{R}^{n}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmlemma2.p1.1.1.m1.1"><semantics id="S2.Thmlemma2.p1.1.1.m1.1a"><mrow id="S2.Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1" xref="S2.Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="S2.Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="S2.Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.1" xref="S2.Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml">∈</mo><msup id="S2.Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="S2.Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.3.2" xref="S2.Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml">ℝ</mi><mi id="S2.Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.3.3" xref="S2.Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.3.3.cmml">n</mi></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmlemma2.p1.1.1.m1.1b"><apply id="S2.Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1"><in id="S2.Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.1"></in><ci id="S2.Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.2">𝑥</ci><apply id="S2.Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.3.2">ℝ</ci><ci id="S2.Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.3.3">𝑛</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmlemma2.p1.1.1.m1.1c">x\in\mathbb{R}^{n}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmlemma2.p1.1.1.m1.1d">italic_x ∈ blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> and any <math alttext="\varepsilon\in(0,1)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmlemma2.p1.2.2.m2.2"><semantics id="S2.Thmlemma2.p1.2.2.m2.2a"><mrow id="S2.Thmlemma2.p1.2.2.m2.2.3" xref="S2.Thmlemma2.p1.2.2.m2.2.3.cmml"><mi id="S2.Thmlemma2.p1.2.2.m2.2.3.2" xref="S2.Thmlemma2.p1.2.2.m2.2.3.2.cmml">ε</mi><mo id="S2.Thmlemma2.p1.2.2.m2.2.3.1" xref="S2.Thmlemma2.p1.2.2.m2.2.3.1.cmml">∈</mo><mrow id="S2.Thmlemma2.p1.2.2.m2.2.3.3.2" xref="S2.Thmlemma2.p1.2.2.m2.2.3.3.1.cmml"><mo id="S2.Thmlemma2.p1.2.2.m2.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.Thmlemma2.p1.2.2.m2.2.3.3.1.cmml">(</mo><mn id="S2.Thmlemma2.p1.2.2.m2.1.1" xref="S2.Thmlemma2.p1.2.2.m2.1.1.cmml">0</mn><mo id="S2.Thmlemma2.p1.2.2.m2.2.3.3.2.2" xref="S2.Thmlemma2.p1.2.2.m2.2.3.3.1.cmml">,</mo><mn id="S2.Thmlemma2.p1.2.2.m2.2.2" xref="S2.Thmlemma2.p1.2.2.m2.2.2.cmml">1</mn><mo id="S2.Thmlemma2.p1.2.2.m2.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.Thmlemma2.p1.2.2.m2.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmlemma2.p1.2.2.m2.2b"><apply id="S2.Thmlemma2.p1.2.2.m2.2.3.cmml" xref="S2.Thmlemma2.p1.2.2.m2.2.3"><in id="S2.Thmlemma2.p1.2.2.m2.2.3.1.cmml" xref="S2.Thmlemma2.p1.2.2.m2.2.3.1"></in><ci id="S2.Thmlemma2.p1.2.2.m2.2.3.2.cmml" xref="S2.Thmlemma2.p1.2.2.m2.2.3.2">𝜀</ci><interval closure="open" id="S2.Thmlemma2.p1.2.2.m2.2.3.3.1.cmml" xref="S2.Thmlemma2.p1.2.2.m2.2.3.3.2"><cn id="S2.Thmlemma2.p1.2.2.m2.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.Thmlemma2.p1.2.2.m2.1.1">0</cn><cn id="S2.Thmlemma2.p1.2.2.m2.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.Thmlemma2.p1.2.2.m2.2.2">1</cn></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmlemma2.p1.2.2.m2.2c">\varepsilon\in(0,1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmlemma2.p1.2.2.m2.2d">italic_ε ∈ ( 0 , 1 )</annotation></semantics></math>, <math alttext="\Phi_{n,\lambda}(x)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3"><semantics id="S2.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3a"><mrow id="S2.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.4" xref="S2.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.4.cmml"><msub id="S2.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.4.2" xref="S2.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.4.2.cmml"><mi id="S2.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.4.2.2" mathvariant="normal" xref="S2.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.4.2.2.cmml">Φ</mi><mrow id="S2.Thmlemma2.p1.3.3.m3.2.2.2.4" xref="S2.Thmlemma2.p1.3.3.m3.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.1.1.1" xref="S2.Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S2.Thmlemma2.p1.3.3.m3.2.2.2.4.1" xref="S2.Thmlemma2.p1.3.3.m3.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.Thmlemma2.p1.3.3.m3.2.2.2.2" xref="S2.Thmlemma2.p1.3.3.m3.2.2.2.2.cmml">λ</mi></mrow></msub><mo id="S2.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.4.1" xref="S2.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.4.3.2" xref="S2.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.4.cmml"><mo id="S2.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.4.cmml">(</mo><mi id="S2.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3" xref="S2.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.cmml">x</mi><mo id="S2.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3b"><apply id="S2.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.4.cmml" xref="S2.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.4"><times id="S2.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.4.1.cmml" xref="S2.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.4.1"></times><apply id="S2.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.4.2.cmml" xref="S2.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.4.2.1.cmml" xref="S2.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.4.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.4.2.2.cmml" xref="S2.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.4.2.2">Φ</ci><list id="S2.Thmlemma2.p1.3.3.m3.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Thmlemma2.p1.3.3.m3.2.2.2.4"><ci id="S2.Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.1.1.1">𝑛</ci><ci id="S2.Thmlemma2.p1.3.3.m3.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Thmlemma2.p1.3.3.m3.2.2.2.2">𝜆</ci></list></apply><ci id="S2.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.cmml" xref="S2.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3">𝑥</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3c">\Phi_{n,\lambda}(x)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3d">roman_Φ start_POSTSUBSCRIPT italic_n , italic_λ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x )</annotation></semantics></math> satisfies</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E7"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\Phi_{n,\lambda}(x)\geq(1-\varepsilon^{2})^{\frac{n}{2}}e^{\varepsilon\|% \lambda x\|}." class="ltx_Math" display="block" id="S2.E7.m1.5"><semantics id="S2.E7.m1.5a"><mrow id="S2.E7.m1.5.5.1" xref="S2.E7.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S2.E7.m1.5.5.1.1" xref="S2.E7.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S2.E7.m1.5.5.1.1.3" xref="S2.E7.m1.5.5.1.1.3.cmml"><msub id="S2.E7.m1.5.5.1.1.3.2" xref="S2.E7.m1.5.5.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.E7.m1.5.5.1.1.3.2.2" mathvariant="normal" xref="S2.E7.m1.5.5.1.1.3.2.2.cmml">Φ</mi><mrow id="S2.E7.m1.2.2.2.4" xref="S2.E7.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.E7.m1.1.1.1.1" xref="S2.E7.m1.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S2.E7.m1.2.2.2.4.1" xref="S2.E7.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.E7.m1.2.2.2.2" xref="S2.E7.m1.2.2.2.2.cmml">λ</mi></mrow></msub><mo id="S2.E7.m1.5.5.1.1.3.1" xref="S2.E7.m1.5.5.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E7.m1.5.5.1.1.3.3.2" xref="S2.E7.m1.5.5.1.1.3.cmml"><mo id="S2.E7.m1.5.5.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E7.m1.5.5.1.1.3.cmml">(</mo><mi 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id="S2.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝜀</ci><cn id="S2.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E7.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S2.E7.m1.5.5.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E7.m1.5.5.1.1.1.1.3"><divide id="S2.E7.m1.5.5.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E7.m1.5.5.1.1.1.1.3"></divide><ci id="S2.E7.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E7.m1.5.5.1.1.1.1.3.2">𝑛</ci><cn id="S2.E7.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E7.m1.5.5.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S2.E7.m1.5.5.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E7.m1.5.5.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E7.m1.5.5.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E7.m1.5.5.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.E7.m1.5.5.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E7.m1.5.5.1.1.1.3.2">𝑒</ci><apply id="S2.E7.m1.3.3.1.cmml" xref="S2.E7.m1.3.3.1"><times id="S2.E7.m1.3.3.1.2.cmml" 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start_ARG italic_n end_ARG start_ARG 2 end_ARG end_POSTSUPERSCRIPT italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_ε ∥ italic_λ italic_x ∥ end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(7)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="S2.2"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S2.1.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.1.p1.1">In view of <math alttext="\Phi_{n,\lambda}(x)=\phi_{n}(\|\lambda x\|)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.1.p1.1.m1.4"><semantics id="S2.1.p1.1.m1.4a"><mrow id="S2.1.p1.1.m1.4.4" xref="S2.1.p1.1.m1.4.4.cmml"><mrow id="S2.1.p1.1.m1.4.4.3" xref="S2.1.p1.1.m1.4.4.3.cmml"><msub id="S2.1.p1.1.m1.4.4.3.2" xref="S2.1.p1.1.m1.4.4.3.2.cmml"><mi id="S2.1.p1.1.m1.4.4.3.2.2" mathvariant="normal" xref="S2.1.p1.1.m1.4.4.3.2.2.cmml">Φ</mi><mrow id="S2.1.p1.1.m1.2.2.2.4" xref="S2.1.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.1.p1.1.m1.1.1.1.1" xref="S2.1.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S2.1.p1.1.m1.2.2.2.4.1" xref="S2.1.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.1.p1.1.m1.2.2.2.2" xref="S2.1.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml">λ</mi></mrow></msub><mo id="S2.1.p1.1.m1.4.4.3.1" xref="S2.1.p1.1.m1.4.4.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.1.p1.1.m1.4.4.3.3.2" xref="S2.1.p1.1.m1.4.4.3.cmml"><mo id="S2.1.p1.1.m1.4.4.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.1.p1.1.m1.4.4.3.cmml">(</mo><mi id="S2.1.p1.1.m1.3.3" xref="S2.1.p1.1.m1.3.3.cmml">x</mi><mo id="S2.1.p1.1.m1.4.4.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.1.p1.1.m1.4.4.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.1.p1.1.m1.4.4.2" xref="S2.1.p1.1.m1.4.4.2.cmml">=</mo><mrow id="S2.1.p1.1.m1.4.4.1" xref="S2.1.p1.1.m1.4.4.1.cmml"><msub id="S2.1.p1.1.m1.4.4.1.3" xref="S2.1.p1.1.m1.4.4.1.3.cmml"><mi id="S2.1.p1.1.m1.4.4.1.3.2" xref="S2.1.p1.1.m1.4.4.1.3.2.cmml">ϕ</mi><mi id="S2.1.p1.1.m1.4.4.1.3.3" xref="S2.1.p1.1.m1.4.4.1.3.3.cmml">n</mi></msub><mo id="S2.1.p1.1.m1.4.4.1.2" xref="S2.1.p1.1.m1.4.4.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.1.p1.1.m1.4.4.1.1.1" xref="S2.1.p1.1.m1.4.4.1.cmml"><mo id="S2.1.p1.1.m1.4.4.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.1.p1.1.m1.4.4.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.1.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S2.1.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.1.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.1.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S2.1.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S2.1.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.1.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.1.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">λ</mi><mo id="S2.1.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.1.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.1.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.1.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml">x</mi></mrow><mo id="S2.1.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.1.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mo id="S2.1.p1.1.m1.4.4.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.1.p1.1.m1.4.4.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.1.p1.1.m1.4b"><apply id="S2.1.p1.1.m1.4.4.cmml" xref="S2.1.p1.1.m1.4.4"><eq id="S2.1.p1.1.m1.4.4.2.cmml" xref="S2.1.p1.1.m1.4.4.2"></eq><apply id="S2.1.p1.1.m1.4.4.3.cmml" xref="S2.1.p1.1.m1.4.4.3"><times id="S2.1.p1.1.m1.4.4.3.1.cmml" xref="S2.1.p1.1.m1.4.4.3.1"></times><apply id="S2.1.p1.1.m1.4.4.3.2.cmml" xref="S2.1.p1.1.m1.4.4.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.1.p1.1.m1.4.4.3.2.1.cmml" xref="S2.1.p1.1.m1.4.4.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.1.p1.1.m1.4.4.3.2.2.cmml" xref="S2.1.p1.1.m1.4.4.3.2.2">Φ</ci><list id="S2.1.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.1.p1.1.m1.2.2.2.4"><ci id="S2.1.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.1.p1.1.m1.1.1.1.1">𝑛</ci><ci id="S2.1.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.1.p1.1.m1.2.2.2.2">𝜆</ci></list></apply><ci id="S2.1.p1.1.m1.3.3.cmml" xref="S2.1.p1.1.m1.3.3">𝑥</ci></apply><apply id="S2.1.p1.1.m1.4.4.1.cmml" xref="S2.1.p1.1.m1.4.4.1"><times id="S2.1.p1.1.m1.4.4.1.2.cmml" xref="S2.1.p1.1.m1.4.4.1.2"></times><apply id="S2.1.p1.1.m1.4.4.1.3.cmml" xref="S2.1.p1.1.m1.4.4.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.1.p1.1.m1.4.4.1.3.1.cmml" xref="S2.1.p1.1.m1.4.4.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.1.p1.1.m1.4.4.1.3.2.cmml" xref="S2.1.p1.1.m1.4.4.1.3.2">italic-ϕ</ci><ci id="S2.1.p1.1.m1.4.4.1.3.3.cmml" xref="S2.1.p1.1.m1.4.4.1.3.3">𝑛</ci></apply><apply id="S2.1.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.1.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.1.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.1.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S2.1.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.1.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1"><times id="S2.1.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.1.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S2.1.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.1.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2">𝜆</ci><ci id="S2.1.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.1.p1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3">𝑥</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.1.p1.1.m1.4c">\Phi_{n,\lambda}(x)=\phi_{n}(\|\lambda x\|)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.1.p1.1.m1.4d">roman_Φ start_POSTSUBSCRIPT italic_n , italic_λ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x ) = italic_ϕ start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT ( ∥ italic_λ italic_x ∥ )</annotation></semantics></math>, it suffices to show that</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E8"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\phi_{n}(z)\geq(1-\varepsilon^{2})^{\frac{n}{2}}e^{\varepsilon z}" class="ltx_Math" display="block" id="S2.E8.m1.2"><semantics id="S2.E8.m1.2a"><mrow id="S2.E8.m1.2.2" xref="S2.E8.m1.2.2.cmml"><mrow id="S2.E8.m1.2.2.3" xref="S2.E8.m1.2.2.3.cmml"><msub id="S2.E8.m1.2.2.3.2" xref="S2.E8.m1.2.2.3.2.cmml"><mi id="S2.E8.m1.2.2.3.2.2" xref="S2.E8.m1.2.2.3.2.2.cmml">ϕ</mi><mi id="S2.E8.m1.2.2.3.2.3" xref="S2.E8.m1.2.2.3.2.3.cmml">n</mi></msub><mo id="S2.E8.m1.2.2.3.1" xref="S2.E8.m1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E8.m1.2.2.3.3.2" xref="S2.E8.m1.2.2.3.cmml"><mo id="S2.E8.m1.2.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E8.m1.2.2.3.cmml">(</mo><mi id="S2.E8.m1.1.1" xref="S2.E8.m1.1.1.cmml">z</mi><mo id="S2.E8.m1.2.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.E8.m1.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E8.m1.2.2.2" xref="S2.E8.m1.2.2.2.cmml">≥</mo><mrow id="S2.E8.m1.2.2.1" xref="S2.E8.m1.2.2.1.cmml"><msup id="S2.E8.m1.2.2.1.1" xref="S2.E8.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S2.E8.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S2.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E8.m1.2.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S2.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S2.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S2.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msup id="S2.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml">ε</mi><mn id="S2.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S2.E8.m1.2.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mfrac id="S2.E8.m1.2.2.1.1.3" xref="S2.E8.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S2.E8.m1.2.2.1.1.3.2" xref="S2.E8.m1.2.2.1.1.3.2.cmml">n</mi><mn id="S2.E8.m1.2.2.1.1.3.3" xref="S2.E8.m1.2.2.1.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac></msup><mo id="S2.E8.m1.2.2.1.2" xref="S2.E8.m1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S2.E8.m1.2.2.1.3" xref="S2.E8.m1.2.2.1.3.cmml"><mi id="S2.E8.m1.2.2.1.3.2" xref="S2.E8.m1.2.2.1.3.2.cmml">e</mi><mrow id="S2.E8.m1.2.2.1.3.3" xref="S2.E8.m1.2.2.1.3.3.cmml"><mi id="S2.E8.m1.2.2.1.3.3.2" xref="S2.E8.m1.2.2.1.3.3.2.cmml">ε</mi><mo id="S2.E8.m1.2.2.1.3.3.1" xref="S2.E8.m1.2.2.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E8.m1.2.2.1.3.3.3" xref="S2.E8.m1.2.2.1.3.3.3.cmml">z</mi></mrow></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E8.m1.2b"><apply id="S2.E8.m1.2.2.cmml" xref="S2.E8.m1.2.2"><geq id="S2.E8.m1.2.2.2.cmml" xref="S2.E8.m1.2.2.2"></geq><apply id="S2.E8.m1.2.2.3.cmml" xref="S2.E8.m1.2.2.3"><times id="S2.E8.m1.2.2.3.1.cmml" xref="S2.E8.m1.2.2.3.1"></times><apply id="S2.E8.m1.2.2.3.2.cmml" xref="S2.E8.m1.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E8.m1.2.2.3.2.1.cmml" xref="S2.E8.m1.2.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E8.m1.2.2.3.2.2.cmml" xref="S2.E8.m1.2.2.3.2.2">italic-ϕ</ci><ci id="S2.E8.m1.2.2.3.2.3.cmml" xref="S2.E8.m1.2.2.3.2.3">𝑛</ci></apply><ci id="S2.E8.m1.1.1.cmml" xref="S2.E8.m1.1.1">𝑧</ci></apply><apply id="S2.E8.m1.2.2.1.cmml" xref="S2.E8.m1.2.2.1"><times id="S2.E8.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S2.E8.m1.2.2.1.2"></times><apply id="S2.E8.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S2.E8.m1.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E8.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.E8.m1.2.2.1.1">superscript</csymbol><apply id="S2.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E8.m1.2.2.1.1.1.1"><minus id="S2.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.1"></minus><cn id="S2.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S2.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.2">1</cn><apply id="S2.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.2">𝜀</ci><cn id="S2.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S2.E8.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S2.E8.m1.2.2.1.1.3"><divide id="S2.E8.m1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E8.m1.2.2.1.1.3"></divide><ci id="S2.E8.m1.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E8.m1.2.2.1.1.3.2">𝑛</ci><cn id="S2.E8.m1.2.2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E8.m1.2.2.1.1.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S2.E8.m1.2.2.1.3.cmml" xref="S2.E8.m1.2.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E8.m1.2.2.1.3.1.cmml" xref="S2.E8.m1.2.2.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.E8.m1.2.2.1.3.2.cmml" xref="S2.E8.m1.2.2.1.3.2">𝑒</ci><apply id="S2.E8.m1.2.2.1.3.3.cmml" xref="S2.E8.m1.2.2.1.3.3"><times id="S2.E8.m1.2.2.1.3.3.1.cmml" xref="S2.E8.m1.2.2.1.3.3.1"></times><ci id="S2.E8.m1.2.2.1.3.3.2.cmml" xref="S2.E8.m1.2.2.1.3.3.2">𝜀</ci><ci id="S2.E8.m1.2.2.1.3.3.3.cmml" xref="S2.E8.m1.2.2.1.3.3.3">𝑧</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E8.m1.2c">\phi_{n}(z)\geq(1-\varepsilon^{2})^{\frac{n}{2}}e^{\varepsilon z}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E8.m1.2d">italic_ϕ start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT ( italic_z ) ≥ ( 1 - italic_ε start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG italic_n end_ARG start_ARG 2 end_ARG end_POSTSUPERSCRIPT italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_ε italic_z end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(8)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.1.p1.5">holds for any <math alttext="z\geq 0" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.1.p1.2.m1.1"><semantics id="S2.1.p1.2.m1.1a"><mrow id="S2.1.p1.2.m1.1.1" xref="S2.1.p1.2.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.1.p1.2.m1.1.1.2" xref="S2.1.p1.2.m1.1.1.2.cmml">z</mi><mo id="S2.1.p1.2.m1.1.1.1" xref="S2.1.p1.2.m1.1.1.1.cmml">≥</mo><mn id="S2.1.p1.2.m1.1.1.3" xref="S2.1.p1.2.m1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.1.p1.2.m1.1b"><apply id="S2.1.p1.2.m1.1.1.cmml" xref="S2.1.p1.2.m1.1.1"><geq id="S2.1.p1.2.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.1.p1.2.m1.1.1.1"></geq><ci id="S2.1.p1.2.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.1.p1.2.m1.1.1.2">𝑧</ci><cn id="S2.1.p1.2.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.1.p1.2.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.1.p1.2.m1.1c">z\geq 0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.1.p1.2.m1.1d">italic_z ≥ 0</annotation></semantics></math> and any <math alttext="\varepsilon\in(0,1)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.1.p1.3.m2.2"><semantics id="S2.1.p1.3.m2.2a"><mrow id="S2.1.p1.3.m2.2.3" xref="S2.1.p1.3.m2.2.3.cmml"><mi id="S2.1.p1.3.m2.2.3.2" xref="S2.1.p1.3.m2.2.3.2.cmml">ε</mi><mo id="S2.1.p1.3.m2.2.3.1" xref="S2.1.p1.3.m2.2.3.1.cmml">∈</mo><mrow id="S2.1.p1.3.m2.2.3.3.2" xref="S2.1.p1.3.m2.2.3.3.1.cmml"><mo id="S2.1.p1.3.m2.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.1.p1.3.m2.2.3.3.1.cmml">(</mo><mn id="S2.1.p1.3.m2.1.1" xref="S2.1.p1.3.m2.1.1.cmml">0</mn><mo id="S2.1.p1.3.m2.2.3.3.2.2" xref="S2.1.p1.3.m2.2.3.3.1.cmml">,</mo><mn id="S2.1.p1.3.m2.2.2" xref="S2.1.p1.3.m2.2.2.cmml">1</mn><mo id="S2.1.p1.3.m2.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.1.p1.3.m2.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.1.p1.3.m2.2b"><apply id="S2.1.p1.3.m2.2.3.cmml" xref="S2.1.p1.3.m2.2.3"><in id="S2.1.p1.3.m2.2.3.1.cmml" xref="S2.1.p1.3.m2.2.3.1"></in><ci id="S2.1.p1.3.m2.2.3.2.cmml" xref="S2.1.p1.3.m2.2.3.2">𝜀</ci><interval closure="open" id="S2.1.p1.3.m2.2.3.3.1.cmml" xref="S2.1.p1.3.m2.2.3.3.2"><cn id="S2.1.p1.3.m2.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.1.p1.3.m2.1.1">0</cn><cn id="S2.1.p1.3.m2.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.1.p1.3.m2.2.2">1</cn></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.1.p1.3.m2.2c">\varepsilon\in(0,1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.1.p1.3.m2.2d">italic_ε ∈ ( 0 , 1 )</annotation></semantics></math>. When <math alttext="n=1" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.1.p1.4.m3.1"><semantics id="S2.1.p1.4.m3.1a"><mrow id="S2.1.p1.4.m3.1.1" xref="S2.1.p1.4.m3.1.1.cmml"><mi id="S2.1.p1.4.m3.1.1.2" xref="S2.1.p1.4.m3.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S2.1.p1.4.m3.1.1.1" xref="S2.1.p1.4.m3.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S2.1.p1.4.m3.1.1.3" xref="S2.1.p1.4.m3.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.1.p1.4.m3.1b"><apply id="S2.1.p1.4.m3.1.1.cmml" xref="S2.1.p1.4.m3.1.1"><eq id="S2.1.p1.4.m3.1.1.1.cmml" xref="S2.1.p1.4.m3.1.1.1"></eq><ci id="S2.1.p1.4.m3.1.1.2.cmml" xref="S2.1.p1.4.m3.1.1.2">𝑛</ci><cn id="S2.1.p1.4.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.1.p1.4.m3.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.1.p1.4.m3.1c">n=1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.1.p1.4.m3.1d">italic_n = 1</annotation></semantics></math>, <math alttext="\phi_{1}(z)=\cosh(z)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.1.p1.5.m4.3"><semantics id="S2.1.p1.5.m4.3a"><mrow id="S2.1.p1.5.m4.3.4" xref="S2.1.p1.5.m4.3.4.cmml"><mrow id="S2.1.p1.5.m4.3.4.2" xref="S2.1.p1.5.m4.3.4.2.cmml"><msub id="S2.1.p1.5.m4.3.4.2.2" xref="S2.1.p1.5.m4.3.4.2.2.cmml"><mi id="S2.1.p1.5.m4.3.4.2.2.2" xref="S2.1.p1.5.m4.3.4.2.2.2.cmml">ϕ</mi><mn id="S2.1.p1.5.m4.3.4.2.2.3" xref="S2.1.p1.5.m4.3.4.2.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S2.1.p1.5.m4.3.4.2.1" xref="S2.1.p1.5.m4.3.4.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.1.p1.5.m4.3.4.2.3.2" xref="S2.1.p1.5.m4.3.4.2.cmml"><mo id="S2.1.p1.5.m4.3.4.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.1.p1.5.m4.3.4.2.cmml">(</mo><mi id="S2.1.p1.5.m4.1.1" xref="S2.1.p1.5.m4.1.1.cmml">z</mi><mo id="S2.1.p1.5.m4.3.4.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.1.p1.5.m4.3.4.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.1.p1.5.m4.3.4.1" xref="S2.1.p1.5.m4.3.4.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.1.p1.5.m4.3.4.3.2" xref="S2.1.p1.5.m4.3.4.3.1.cmml"><mi id="S2.1.p1.5.m4.2.2" xref="S2.1.p1.5.m4.2.2.cmml">cosh</mi><mo id="S2.1.p1.5.m4.3.4.3.2a" xref="S2.1.p1.5.m4.3.4.3.1.cmml">⁡</mo><mrow id="S2.1.p1.5.m4.3.4.3.2.1" xref="S2.1.p1.5.m4.3.4.3.1.cmml"><mo id="S2.1.p1.5.m4.3.4.3.2.1.1" stretchy="false" xref="S2.1.p1.5.m4.3.4.3.1.cmml">(</mo><mi id="S2.1.p1.5.m4.3.3" xref="S2.1.p1.5.m4.3.3.cmml">z</mi><mo id="S2.1.p1.5.m4.3.4.3.2.1.2" stretchy="false" xref="S2.1.p1.5.m4.3.4.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.1.p1.5.m4.3b"><apply id="S2.1.p1.5.m4.3.4.cmml" xref="S2.1.p1.5.m4.3.4"><eq id="S2.1.p1.5.m4.3.4.1.cmml" xref="S2.1.p1.5.m4.3.4.1"></eq><apply id="S2.1.p1.5.m4.3.4.2.cmml" xref="S2.1.p1.5.m4.3.4.2"><times id="S2.1.p1.5.m4.3.4.2.1.cmml" xref="S2.1.p1.5.m4.3.4.2.1"></times><apply id="S2.1.p1.5.m4.3.4.2.2.cmml" xref="S2.1.p1.5.m4.3.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.1.p1.5.m4.3.4.2.2.1.cmml" xref="S2.1.p1.5.m4.3.4.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.1.p1.5.m4.3.4.2.2.2.cmml" xref="S2.1.p1.5.m4.3.4.2.2.2">italic-ϕ</ci><cn id="S2.1.p1.5.m4.3.4.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.1.p1.5.m4.3.4.2.2.3">1</cn></apply><ci id="S2.1.p1.5.m4.1.1.cmml" xref="S2.1.p1.5.m4.1.1">𝑧</ci></apply><apply id="S2.1.p1.5.m4.3.4.3.1.cmml" xref="S2.1.p1.5.m4.3.4.3.2"><cosh id="S2.1.p1.5.m4.2.2.cmml" xref="S2.1.p1.5.m4.2.2"></cosh><ci id="S2.1.p1.5.m4.3.3.cmml" xref="S2.1.p1.5.m4.3.3">𝑧</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.1.p1.5.m4.3c">\phi_{1}(z)=\cosh(z)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.1.p1.5.m4.3d">italic_ϕ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_z ) = roman_cosh ( italic_z )</annotation></semantics></math> and (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14347v1#S2.E7" title="In Lemma 2.2. ‣ 2 New Proof based on Averaged Moment Generating Function ‣ A New Proof of Sub-Gaussian Norm Concentration Inequality"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">7</span></a>) becomes</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E9"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\cosh(z)\geq\sqrt{1-\varepsilon^{2}}e^{\varepsilon z},~{}\forall z\geq 0,~{}% \forall\varepsilon\in(0,1)." class="ltx_Math" display="block" id="S2.E9.m1.5"><semantics id="S2.E9.m1.5a"><mrow id="S2.E9.m1.5.5.1"><mrow id="S2.E9.m1.5.5.1.1.2" xref="S2.E9.m1.5.5.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.E9.m1.5.5.1.1.1.1" xref="S2.E9.m1.5.5.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E9.m1.5.5.1.1.1.1.2.2" xref="S2.E9.m1.5.5.1.1.1.1.2.1.cmml"><mi id="S2.E9.m1.1.1" xref="S2.E9.m1.1.1.cmml">cosh</mi><mo id="S2.E9.m1.5.5.1.1.1.1.2.2a" xref="S2.E9.m1.5.5.1.1.1.1.2.1.cmml">⁡</mo><mrow id="S2.E9.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1" xref="S2.E9.m1.5.5.1.1.1.1.2.1.cmml"><mo id="S2.E9.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.1" stretchy="false" xref="S2.E9.m1.5.5.1.1.1.1.2.1.cmml">(</mo><mi id="S2.E9.m1.2.2" xref="S2.E9.m1.2.2.cmml">z</mi><mo id="S2.E9.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S2.E9.m1.5.5.1.1.1.1.2.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E9.m1.5.5.1.1.1.1.1" xref="S2.E9.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml">≥</mo><mrow id="S2.E9.m1.5.5.1.1.1.1.3" xref="S2.E9.m1.5.5.1.1.1.1.3.cmml"><msqrt id="S2.E9.m1.5.5.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E9.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.cmml"><mrow id="S2.E9.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.E9.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mn id="S2.E9.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S2.E9.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">1</mn><mo id="S2.E9.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="S2.E9.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">−</mo><msup id="S2.E9.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S2.E9.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml"><mi id="S2.E9.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2.3.2" xref="S2.E9.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml">ε</mi><mn id="S2.E9.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2.3.3" xref="S2.E9.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></msqrt><mo id="S2.E9.m1.5.5.1.1.1.1.3.1" xref="S2.E9.m1.5.5.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S2.E9.m1.5.5.1.1.1.1.3.3" xref="S2.E9.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.E9.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.2" xref="S2.E9.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.2.cmml">e</mi><mrow id="S2.E9.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.3" xref="S2.E9.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S2.E9.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S2.E9.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">ε</mi><mo id="S2.E9.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.3.1" xref="S2.E9.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E9.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S2.E9.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">z</mi></mrow></msup></mrow></mrow><mo id="S2.E9.m1.5.5.1.1.2.3" rspace="0.497em" xref="S2.E9.m1.5.5.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S2.E9.m1.5.5.1.1.2.2.2" xref="S2.E9.m1.5.5.1.1.2.2.3.cmml"><mrow id="S2.E9.m1.5.5.1.1.2.2.1.1" xref="S2.E9.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S2.E9.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.2" xref="S2.E9.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E9.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.2.1" rspace="0.167em" xref="S2.E9.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.2.1.cmml">∀</mo><mi id="S2.E9.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.2.2" xref="S2.E9.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.2.2.cmml">z</mi></mrow><mo id="S2.E9.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1" xref="S2.E9.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.cmml">≥</mo><mn id="S2.E9.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.3" xref="S2.E9.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><mo id="S2.E9.m1.5.5.1.1.2.2.2.3" rspace="0.497em" xref="S2.E9.m1.5.5.1.1.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S2.E9.m1.5.5.1.1.2.2.2.2" xref="S2.E9.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S2.E9.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2" xref="S2.E9.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><mo id="S2.E9.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.1" rspace="0.167em" xref="S2.E9.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml">∀</mo><mi id="S2.E9.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="S2.E9.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml">ε</mi></mrow><mo id="S2.E9.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1" xref="S2.E9.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1.cmml">∈</mo><mrow id="S2.E9.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.2" xref="S2.E9.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml"><mo id="S2.E9.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E9.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml">(</mo><mn id="S2.E9.m1.3.3" xref="S2.E9.m1.3.3.cmml">0</mn><mo id="S2.E9.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.2.2" xref="S2.E9.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml">,</mo><mn id="S2.E9.m1.4.4" xref="S2.E9.m1.4.4.cmml">1</mn><mo id="S2.E9.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.E9.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E9.m1.5.5.1.2" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E9.m1.5b"><apply id="S2.E9.m1.5.5.1.1.3.cmml" xref="S2.E9.m1.5.5.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E9.m1.5.5.1.1.3a.cmml" xref="S2.E9.m1.5.5.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S2.E9.m1.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E9.m1.5.5.1.1.1.1"><geq id="S2.E9.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E9.m1.5.5.1.1.1.1.1"></geq><apply id="S2.E9.m1.5.5.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E9.m1.5.5.1.1.1.1.2.2"><cosh id="S2.E9.m1.1.1.cmml" xref="S2.E9.m1.1.1"></cosh><ci id="S2.E9.m1.2.2.cmml" xref="S2.E9.m1.2.2">𝑧</ci></apply><apply id="S2.E9.m1.5.5.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E9.m1.5.5.1.1.1.1.3"><times id="S2.E9.m1.5.5.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E9.m1.5.5.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S2.E9.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E9.m1.5.5.1.1.1.1.3.2"><root id="S2.E9.m1.5.5.1.1.1.1.3.2a.cmml" xref="S2.E9.m1.5.5.1.1.1.1.3.2"></root><apply id="S2.E9.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.E9.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2"><minus id="S2.E9.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S2.E9.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2.1"></minus><cn id="S2.E9.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.E9.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2.2">1</cn><apply id="S2.E9.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S2.E9.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E9.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="S2.E9.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S2.E9.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml" xref="S2.E9.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2.3.2">𝜀</ci><cn id="S2.E9.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E9.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2.3.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S2.E9.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E9.m1.5.5.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E9.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.E9.m1.5.5.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S2.E9.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.E9.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.2">𝑒</ci><apply id="S2.E9.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.E9.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.3"><times id="S2.E9.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S2.E9.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.3.1"></times><ci id="S2.E9.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S2.E9.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.3.2">𝜀</ci><ci id="S2.E9.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S2.E9.m1.5.5.1.1.1.1.3.3.3.3">𝑧</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.E9.m1.5.5.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.E9.m1.5.5.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E9.m1.5.5.1.1.2.2.3a.cmml" xref="S2.E9.m1.5.5.1.1.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S2.E9.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S2.E9.m1.5.5.1.1.2.2.1.1"><geq id="S2.E9.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.E9.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1"></geq><apply id="S2.E9.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.E9.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.E9.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E9.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.2.1">for-all</csymbol><ci id="S2.E9.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E9.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.2.2">𝑧</ci></apply><cn id="S2.E9.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.E9.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.3">0</cn></apply><apply id="S2.E9.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E9.m1.5.5.1.1.2.2.2.2"><in id="S2.E9.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E9.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.1"></in><apply id="S2.E9.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E9.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.E9.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E9.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.1">for-all</csymbol><ci id="S2.E9.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E9.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.2.2">𝜀</ci></apply><interval closure="open" id="S2.E9.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S2.E9.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.3.2"><cn id="S2.E9.m1.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E9.m1.3.3">0</cn><cn id="S2.E9.m1.4.4.cmml" type="integer" xref="S2.E9.m1.4.4">1</cn></interval></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E9.m1.5c">\cosh(z)\geq\sqrt{1-\varepsilon^{2}}e^{\varepsilon z},~{}\forall z\geq 0,~{}% \forall\varepsilon\in(0,1).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E9.m1.5d">roman_cosh ( italic_z ) ≥ square-root start_ARG 1 - italic_ε start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_ε italic_z end_POSTSUPERSCRIPT , ∀ italic_z ≥ 0 , ∀ italic_ε ∈ ( 0 , 1 ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(9)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.1.p1.7">This is a straightforward consequence of the convexity of <math alttext="\log\cosh(z)-\log\left(\sqrt{1-\varepsilon^{2}}e^{\varepsilon z}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.1.p1.6.m1.4"><semantics id="S2.1.p1.6.m1.4a"><mrow id="S2.1.p1.6.m1.4.4" xref="S2.1.p1.6.m1.4.4.cmml"><mrow id="S2.1.p1.6.m1.4.4.3" xref="S2.1.p1.6.m1.4.4.3.cmml"><mi id="S2.1.p1.6.m1.4.4.3.1" xref="S2.1.p1.6.m1.4.4.3.1.cmml">log</mi><mo id="S2.1.p1.6.m1.4.4.3a" lspace="0.167em" xref="S2.1.p1.6.m1.4.4.3.cmml">⁡</mo><mrow id="S2.1.p1.6.m1.4.4.3.2.2" xref="S2.1.p1.6.m1.4.4.3.2.1.cmml"><mi id="S2.1.p1.6.m1.1.1" xref="S2.1.p1.6.m1.1.1.cmml">cosh</mi><mo id="S2.1.p1.6.m1.4.4.3.2.2a" xref="S2.1.p1.6.m1.4.4.3.2.1.cmml">⁡</mo><mrow id="S2.1.p1.6.m1.4.4.3.2.2.1" xref="S2.1.p1.6.m1.4.4.3.2.1.cmml"><mo id="S2.1.p1.6.m1.4.4.3.2.2.1.1" stretchy="false" xref="S2.1.p1.6.m1.4.4.3.2.1.cmml">(</mo><mi id="S2.1.p1.6.m1.2.2" xref="S2.1.p1.6.m1.2.2.cmml">z</mi><mo id="S2.1.p1.6.m1.4.4.3.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S2.1.p1.6.m1.4.4.3.2.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.1.p1.6.m1.4.4.2" xref="S2.1.p1.6.m1.4.4.2.cmml">−</mo><mrow id="S2.1.p1.6.m1.4.4.1.1" xref="S2.1.p1.6.m1.4.4.1.2.cmml"><mi id="S2.1.p1.6.m1.3.3" xref="S2.1.p1.6.m1.3.3.cmml">log</mi><mo id="S2.1.p1.6.m1.4.4.1.1a" xref="S2.1.p1.6.m1.4.4.1.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S2.1.p1.6.m1.4.4.1.1.1" xref="S2.1.p1.6.m1.4.4.1.2.cmml"><mo id="S2.1.p1.6.m1.4.4.1.1.1.2" xref="S2.1.p1.6.m1.4.4.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S2.1.p1.6.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S2.1.p1.6.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><msqrt id="S2.1.p1.6.m1.4.4.1.1.1.1.2" xref="S2.1.p1.6.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S2.1.p1.6.m1.4.4.1.1.1.1.2.2" xref="S2.1.p1.6.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.cmml"><mn id="S2.1.p1.6.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2" xref="S2.1.p1.6.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.cmml">1</mn><mo id="S2.1.p1.6.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1" xref="S2.1.p1.6.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.cmml">−</mo><msup id="S2.1.p1.6.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3" xref="S2.1.p1.6.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S2.1.p1.6.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S2.1.p1.6.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">ε</mi><mn id="S2.1.p1.6.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S2.1.p1.6.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></msqrt><mo id="S2.1.p1.6.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S2.1.p1.6.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S2.1.p1.6.m1.4.4.1.1.1.1.3" xref="S2.1.p1.6.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.1.p1.6.m1.4.4.1.1.1.1.3.2" xref="S2.1.p1.6.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.cmml">e</mi><mrow id="S2.1.p1.6.m1.4.4.1.1.1.1.3.3" xref="S2.1.p1.6.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.1.p1.6.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.2" xref="S2.1.p1.6.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.2.cmml">ε</mi><mo id="S2.1.p1.6.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.1" xref="S2.1.p1.6.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.1.p1.6.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.3" xref="S2.1.p1.6.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.3.cmml">z</mi></mrow></msup></mrow><mo id="S2.1.p1.6.m1.4.4.1.1.1.3" xref="S2.1.p1.6.m1.4.4.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.1.p1.6.m1.4b"><apply id="S2.1.p1.6.m1.4.4.cmml" xref="S2.1.p1.6.m1.4.4"><minus id="S2.1.p1.6.m1.4.4.2.cmml" xref="S2.1.p1.6.m1.4.4.2"></minus><apply id="S2.1.p1.6.m1.4.4.3.cmml" xref="S2.1.p1.6.m1.4.4.3"><log id="S2.1.p1.6.m1.4.4.3.1.cmml" xref="S2.1.p1.6.m1.4.4.3.1"></log><apply id="S2.1.p1.6.m1.4.4.3.2.1.cmml" xref="S2.1.p1.6.m1.4.4.3.2.2"><cosh id="S2.1.p1.6.m1.1.1.cmml" xref="S2.1.p1.6.m1.1.1"></cosh><ci id="S2.1.p1.6.m1.2.2.cmml" xref="S2.1.p1.6.m1.2.2">𝑧</ci></apply></apply><apply id="S2.1.p1.6.m1.4.4.1.2.cmml" xref="S2.1.p1.6.m1.4.4.1.1"><log id="S2.1.p1.6.m1.3.3.cmml" xref="S2.1.p1.6.m1.3.3"></log><apply id="S2.1.p1.6.m1.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S2.1.p1.6.m1.4.4.1.1.1.1"><times id="S2.1.p1.6.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.1.p1.6.m1.4.4.1.1.1.1.1"></times><apply id="S2.1.p1.6.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.1.p1.6.m1.4.4.1.1.1.1.2"><root id="S2.1.p1.6.m1.4.4.1.1.1.1.2a.cmml" xref="S2.1.p1.6.m1.4.4.1.1.1.1.2"></root><apply id="S2.1.p1.6.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.1.p1.6.m1.4.4.1.1.1.1.2.2"><minus id="S2.1.p1.6.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.1.p1.6.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.1"></minus><cn id="S2.1.p1.6.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.1.p1.6.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.2">1</cn><apply id="S2.1.p1.6.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.1.p1.6.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.1.p1.6.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S2.1.p1.6.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S2.1.p1.6.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S2.1.p1.6.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.2">𝜀</ci><cn id="S2.1.p1.6.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.1.p1.6.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.3.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S2.1.p1.6.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.1.p1.6.m1.4.4.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.1.p1.6.m1.4.4.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.1.p1.6.m1.4.4.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.1.p1.6.m1.4.4.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.1.p1.6.m1.4.4.1.1.1.1.3.2">𝑒</ci><apply id="S2.1.p1.6.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.1.p1.6.m1.4.4.1.1.1.1.3.3"><times id="S2.1.p1.6.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.1.p1.6.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="S2.1.p1.6.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.1.p1.6.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.2">𝜀</ci><ci id="S2.1.p1.6.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.1.p1.6.m1.4.4.1.1.1.1.3.3.3">𝑧</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.1.p1.6.m1.4c">\log\cosh(z)-\log\left(\sqrt{1-\varepsilon^{2}}e^{\varepsilon z}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.1.p1.6.m1.4d">roman_log roman_cosh ( italic_z ) - roman_log ( square-root start_ARG 1 - italic_ε start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_ε italic_z end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math>. We next focus on the case of <math alttext="n\geq 2" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.1.p1.7.m2.1"><semantics id="S2.1.p1.7.m2.1a"><mrow id="S2.1.p1.7.m2.1.1" xref="S2.1.p1.7.m2.1.1.cmml"><mi id="S2.1.p1.7.m2.1.1.2" xref="S2.1.p1.7.m2.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S2.1.p1.7.m2.1.1.1" xref="S2.1.p1.7.m2.1.1.1.cmml">≥</mo><mn id="S2.1.p1.7.m2.1.1.3" xref="S2.1.p1.7.m2.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.1.p1.7.m2.1b"><apply id="S2.1.p1.7.m2.1.1.cmml" xref="S2.1.p1.7.m2.1.1"><geq id="S2.1.p1.7.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.1.p1.7.m2.1.1.1"></geq><ci id="S2.1.p1.7.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.1.p1.7.m2.1.1.2">𝑛</ci><cn id="S2.1.p1.7.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.1.p1.7.m2.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.1.p1.7.m2.1c">n\geq 2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.1.p1.7.m2.1d">italic_n ≥ 2</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.2.p2"> <p class="ltx_p" id="S2.2.p2.1">As pointed out in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14347v1#bib.bib4" title="">4</a>]</cite>, directly from the definition, the derivative of <math alttext="\log\phi_{n}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.2.p2.1.m1.1"><semantics id="S2.2.p2.1.m1.1a"><mrow id="S2.2.p2.1.m1.1.1" xref="S2.2.p2.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.2.p2.1.m1.1.1.1" xref="S2.2.p2.1.m1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S2.2.p2.1.m1.1.1a" lspace="0.167em" xref="S2.2.p2.1.m1.1.1.cmml">⁡</mo><msub id="S2.2.p2.1.m1.1.1.2" xref="S2.2.p2.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.2.p2.1.m1.1.1.2.2" xref="S2.2.p2.1.m1.1.1.2.2.cmml">ϕ</mi><mi id="S2.2.p2.1.m1.1.1.2.3" xref="S2.2.p2.1.m1.1.1.2.3.cmml">n</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.2.p2.1.m1.1b"><apply id="S2.2.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.2.p2.1.m1.1.1"><log id="S2.2.p2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.2.p2.1.m1.1.1.1"></log><apply id="S2.2.p2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.2.p2.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.2.p2.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.2.p2.1.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.2.p2.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.2.p2.1.m1.1.1.2.2">italic-ϕ</ci><ci id="S2.2.p2.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.2.p2.1.m1.1.1.2.3">𝑛</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.2.p2.1.m1.1c">\log\phi_{n}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.2.p2.1.m1.1d">roman_log italic_ϕ start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> admits an elegant expression</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E10"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\frac{d}{dz}\log\phi_{n}(z)=\frac{I_{\frac{n}{2}}(z)}{I_{\frac{n}{2}-1}(z)}." class="ltx_Math" display="block" id="S2.E10.m1.4"><semantics id="S2.E10.m1.4a"><mrow id="S2.E10.m1.4.4.1" xref="S2.E10.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S2.E10.m1.4.4.1.1" xref="S2.E10.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S2.E10.m1.4.4.1.1.2" xref="S2.E10.m1.4.4.1.1.2.cmml"><mfrac id="S2.E10.m1.4.4.1.1.2.2" xref="S2.E10.m1.4.4.1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.E10.m1.4.4.1.1.2.2.2" xref="S2.E10.m1.4.4.1.1.2.2.2.cmml">d</mi><mrow id="S2.E10.m1.4.4.1.1.2.2.3" xref="S2.E10.m1.4.4.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S2.E10.m1.4.4.1.1.2.2.3.2" xref="S2.E10.m1.4.4.1.1.2.2.3.2.cmml">d</mi><mo id="S2.E10.m1.4.4.1.1.2.2.3.1" xref="S2.E10.m1.4.4.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E10.m1.4.4.1.1.2.2.3.3" xref="S2.E10.m1.4.4.1.1.2.2.3.3.cmml">z</mi></mrow></mfrac><mo id="S2.E10.m1.4.4.1.1.2.1" lspace="0.167em" xref="S2.E10.m1.4.4.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E10.m1.4.4.1.1.2.3" xref="S2.E10.m1.4.4.1.1.2.3.cmml"><mi id="S2.E10.m1.4.4.1.1.2.3.1" xref="S2.E10.m1.4.4.1.1.2.3.1.cmml">log</mi><mo id="S2.E10.m1.4.4.1.1.2.3a" lspace="0.167em" xref="S2.E10.m1.4.4.1.1.2.3.cmml">⁡</mo><msub id="S2.E10.m1.4.4.1.1.2.3.2" xref="S2.E10.m1.4.4.1.1.2.3.2.cmml"><mi id="S2.E10.m1.4.4.1.1.2.3.2.2" xref="S2.E10.m1.4.4.1.1.2.3.2.2.cmml">ϕ</mi><mi id="S2.E10.m1.4.4.1.1.2.3.2.3" xref="S2.E10.m1.4.4.1.1.2.3.2.3.cmml">n</mi></msub></mrow><mo id="S2.E10.m1.4.4.1.1.2.1a" xref="S2.E10.m1.4.4.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E10.m1.4.4.1.1.2.4.2" xref="S2.E10.m1.4.4.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E10.m1.4.4.1.1.2.4.2.1" stretchy="false" xref="S2.E10.m1.4.4.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.E10.m1.3.3" xref="S2.E10.m1.3.3.cmml">z</mi><mo id="S2.E10.m1.4.4.1.1.2.4.2.2" stretchy="false" xref="S2.E10.m1.4.4.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E10.m1.4.4.1.1.1" xref="S2.E10.m1.4.4.1.1.1.cmml">=</mo><mfrac id="S2.E10.m1.2.2" xref="S2.E10.m1.2.2.cmml"><mrow id="S2.E10.m1.1.1.1" xref="S2.E10.m1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.E10.m1.1.1.1.3" xref="S2.E10.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.E10.m1.1.1.1.3.2" xref="S2.E10.m1.1.1.1.3.2.cmml">I</mi><mfrac id="S2.E10.m1.1.1.1.3.3" xref="S2.E10.m1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.E10.m1.1.1.1.3.3.2" xref="S2.E10.m1.1.1.1.3.3.2.cmml">n</mi><mn id="S2.E10.m1.1.1.1.3.3.3" xref="S2.E10.m1.1.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></mfrac></msub><mo id="S2.E10.m1.1.1.1.2" xref="S2.E10.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E10.m1.1.1.1.4.2" xref="S2.E10.m1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E10.m1.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S2.E10.m1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S2.E10.m1.1.1.1.1" xref="S2.E10.m1.1.1.1.1.cmml">z</mi><mo id="S2.E10.m1.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S2.E10.m1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mrow id="S2.E10.m1.2.2.2" xref="S2.E10.m1.2.2.2.cmml"><msub id="S2.E10.m1.2.2.2.3" xref="S2.E10.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.E10.m1.2.2.2.3.2" xref="S2.E10.m1.2.2.2.3.2.cmml">I</mi><mrow id="S2.E10.m1.2.2.2.3.3" xref="S2.E10.m1.2.2.2.3.3.cmml"><mfrac id="S2.E10.m1.2.2.2.3.3.2" xref="S2.E10.m1.2.2.2.3.3.2.cmml"><mi id="S2.E10.m1.2.2.2.3.3.2.2" xref="S2.E10.m1.2.2.2.3.3.2.2.cmml">n</mi><mn id="S2.E10.m1.2.2.2.3.3.2.3" xref="S2.E10.m1.2.2.2.3.3.2.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S2.E10.m1.2.2.2.3.3.1" xref="S2.E10.m1.2.2.2.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="S2.E10.m1.2.2.2.3.3.3" xref="S2.E10.m1.2.2.2.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S2.E10.m1.2.2.2.2" xref="S2.E10.m1.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E10.m1.2.2.2.4.2" xref="S2.E10.m1.2.2.2.cmml"><mo id="S2.E10.m1.2.2.2.4.2.1" stretchy="false" xref="S2.E10.m1.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S2.E10.m1.2.2.2.1" xref="S2.E10.m1.2.2.2.1.cmml">z</mi><mo id="S2.E10.m1.2.2.2.4.2.2" stretchy="false" xref="S2.E10.m1.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mfrac></mrow><mo id="S2.E10.m1.4.4.1.2" lspace="0em" xref="S2.E10.m1.4.4.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E10.m1.4b"><apply id="S2.E10.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S2.E10.m1.4.4.1"><eq id="S2.E10.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="S2.E10.m1.4.4.1.1.1"></eq><apply id="S2.E10.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="S2.E10.m1.4.4.1.1.2"><times id="S2.E10.m1.4.4.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E10.m1.4.4.1.1.2.1"></times><apply id="S2.E10.m1.4.4.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E10.m1.4.4.1.1.2.2"><divide id="S2.E10.m1.4.4.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.E10.m1.4.4.1.1.2.2"></divide><ci id="S2.E10.m1.4.4.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.E10.m1.4.4.1.1.2.2.2">𝑑</ci><apply id="S2.E10.m1.4.4.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.E10.m1.4.4.1.1.2.2.3"><times id="S2.E10.m1.4.4.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S2.E10.m1.4.4.1.1.2.2.3.1"></times><ci id="S2.E10.m1.4.4.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S2.E10.m1.4.4.1.1.2.2.3.2">𝑑</ci><ci id="S2.E10.m1.4.4.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S2.E10.m1.4.4.1.1.2.2.3.3">𝑧</ci></apply></apply><apply id="S2.E10.m1.4.4.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E10.m1.4.4.1.1.2.3"><log id="S2.E10.m1.4.4.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.E10.m1.4.4.1.1.2.3.1"></log><apply id="S2.E10.m1.4.4.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.E10.m1.4.4.1.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E10.m1.4.4.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S2.E10.m1.4.4.1.1.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E10.m1.4.4.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S2.E10.m1.4.4.1.1.2.3.2.2">italic-ϕ</ci><ci id="S2.E10.m1.4.4.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S2.E10.m1.4.4.1.1.2.3.2.3">𝑛</ci></apply></apply><ci id="S2.E10.m1.3.3.cmml" xref="S2.E10.m1.3.3">𝑧</ci></apply><apply id="S2.E10.m1.2.2.cmml" xref="S2.E10.m1.2.2"><divide id="S2.E10.m1.2.2.3.cmml" xref="S2.E10.m1.2.2"></divide><apply id="S2.E10.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.E10.m1.1.1.1"><times id="S2.E10.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E10.m1.1.1.1.2"></times><apply id="S2.E10.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E10.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E10.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E10.m1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E10.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E10.m1.1.1.1.3.2">𝐼</ci><apply id="S2.E10.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E10.m1.1.1.1.3.3"><divide id="S2.E10.m1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.E10.m1.1.1.1.3.3"></divide><ci id="S2.E10.m1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.E10.m1.1.1.1.3.3.2">𝑛</ci><cn id="S2.E10.m1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E10.m1.1.1.1.3.3.3">2</cn></apply></apply><ci id="S2.E10.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E10.m1.1.1.1.1">𝑧</ci></apply><apply id="S2.E10.m1.2.2.2.cmml" xref="S2.E10.m1.2.2.2"><times id="S2.E10.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E10.m1.2.2.2.2"></times><apply id="S2.E10.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E10.m1.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E10.m1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S2.E10.m1.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E10.m1.2.2.2.3.2.cmml" xref="S2.E10.m1.2.2.2.3.2">𝐼</ci><apply id="S2.E10.m1.2.2.2.3.3.cmml" xref="S2.E10.m1.2.2.2.3.3"><minus id="S2.E10.m1.2.2.2.3.3.1.cmml" xref="S2.E10.m1.2.2.2.3.3.1"></minus><apply id="S2.E10.m1.2.2.2.3.3.2.cmml" xref="S2.E10.m1.2.2.2.3.3.2"><divide id="S2.E10.m1.2.2.2.3.3.2.1.cmml" xref="S2.E10.m1.2.2.2.3.3.2"></divide><ci id="S2.E10.m1.2.2.2.3.3.2.2.cmml" xref="S2.E10.m1.2.2.2.3.3.2.2">𝑛</ci><cn id="S2.E10.m1.2.2.2.3.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.E10.m1.2.2.2.3.3.2.3">2</cn></apply><cn id="S2.E10.m1.2.2.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E10.m1.2.2.2.3.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S2.E10.m1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E10.m1.2.2.2.1">𝑧</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E10.m1.4c">\frac{d}{dz}\log\phi_{n}(z)=\frac{I_{\frac{n}{2}}(z)}{I_{\frac{n}{2}-1}(z)}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E10.m1.4d">divide start_ARG italic_d end_ARG start_ARG italic_d italic_z end_ARG roman_log italic_ϕ start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT ( italic_z ) = divide start_ARG italic_I start_POSTSUBSCRIPT divide start_ARG italic_n end_ARG start_ARG 2 end_ARG end_POSTSUBSCRIPT ( italic_z ) end_ARG start_ARG italic_I start_POSTSUBSCRIPT divide start_ARG italic_n end_ARG start_ARG 2 end_ARG - 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_z ) end_ARG .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(10)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.2.p2.10">The ratio of Bessel functions can be bounded below as <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14347v1#bib.bib6" title="">6</a>]</cite></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E11"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\frac{I_{\frac{n}{2}}(z)}{I_{\frac{n}{2}-1}(z)}\geq\sqrt{1+\left(\frac{n}{2z}% \right)^{2}}-\frac{n}{2z}." class="ltx_Math" display="block" id="S2.E11.m1.4"><semantics id="S2.E11.m1.4a"><mrow id="S2.E11.m1.4.4.1" xref="S2.E11.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S2.E11.m1.4.4.1.1" xref="S2.E11.m1.4.4.1.1.cmml"><mfrac id="S2.E11.m1.2.2" xref="S2.E11.m1.2.2.cmml"><mrow id="S2.E11.m1.1.1.1" xref="S2.E11.m1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.E11.m1.1.1.1.3" xref="S2.E11.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.E11.m1.1.1.1.3.2" xref="S2.E11.m1.1.1.1.3.2.cmml">I</mi><mfrac id="S2.E11.m1.1.1.1.3.3" xref="S2.E11.m1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.E11.m1.1.1.1.3.3.2" xref="S2.E11.m1.1.1.1.3.3.2.cmml">n</mi><mn id="S2.E11.m1.1.1.1.3.3.3" xref="S2.E11.m1.1.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></mfrac></msub><mo id="S2.E11.m1.1.1.1.2" xref="S2.E11.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E11.m1.1.1.1.4.2" xref="S2.E11.m1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E11.m1.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S2.E11.m1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S2.E11.m1.1.1.1.1" xref="S2.E11.m1.1.1.1.1.cmml">z</mi><mo id="S2.E11.m1.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S2.E11.m1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mrow id="S2.E11.m1.2.2.2" xref="S2.E11.m1.2.2.2.cmml"><msub id="S2.E11.m1.2.2.2.3" xref="S2.E11.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.E11.m1.2.2.2.3.2" xref="S2.E11.m1.2.2.2.3.2.cmml">I</mi><mrow id="S2.E11.m1.2.2.2.3.3" xref="S2.E11.m1.2.2.2.3.3.cmml"><mfrac id="S2.E11.m1.2.2.2.3.3.2" xref="S2.E11.m1.2.2.2.3.3.2.cmml"><mi id="S2.E11.m1.2.2.2.3.3.2.2" xref="S2.E11.m1.2.2.2.3.3.2.2.cmml">n</mi><mn id="S2.E11.m1.2.2.2.3.3.2.3" xref="S2.E11.m1.2.2.2.3.3.2.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S2.E11.m1.2.2.2.3.3.1" 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id="S2.E11.m1.3.3.1.4.2.2.1" xref="S2.E11.m1.3.3.1.1.cmml">(</mo><mfrac id="S2.E11.m1.3.3.1.1" xref="S2.E11.m1.3.3.1.1.cmml"><mi id="S2.E11.m1.3.3.1.1.2" xref="S2.E11.m1.3.3.1.1.2.cmml">n</mi><mrow id="S2.E11.m1.3.3.1.1.3" xref="S2.E11.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mn id="S2.E11.m1.3.3.1.1.3.2" xref="S2.E11.m1.3.3.1.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="S2.E11.m1.3.3.1.1.3.1" xref="S2.E11.m1.3.3.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E11.m1.3.3.1.1.3.3" xref="S2.E11.m1.3.3.1.1.3.3.cmml">z</mi></mrow></mfrac><mo id="S2.E11.m1.3.3.1.4.2.2.2" xref="S2.E11.m1.3.3.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S2.E11.m1.3.3.1.4.3" xref="S2.E11.m1.3.3.1.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow></msqrt><mo id="S2.E11.m1.4.4.1.1.2.1" xref="S2.E11.m1.4.4.1.1.2.1.cmml">−</mo><mfrac id="S2.E11.m1.4.4.1.1.2.2" xref="S2.E11.m1.4.4.1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.E11.m1.4.4.1.1.2.2.2" xref="S2.E11.m1.4.4.1.1.2.2.2.cmml">n</mi><mrow id="S2.E11.m1.4.4.1.1.2.2.3" xref="S2.E11.m1.4.4.1.1.2.2.3.cmml"><mn id="S2.E11.m1.4.4.1.1.2.2.3.2" 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id="S2.E11.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E11.m1.1.1.1.3.3"><divide id="S2.E11.m1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.E11.m1.1.1.1.3.3"></divide><ci id="S2.E11.m1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.E11.m1.1.1.1.3.3.2">𝑛</ci><cn id="S2.E11.m1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E11.m1.1.1.1.3.3.3">2</cn></apply></apply><ci id="S2.E11.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E11.m1.1.1.1.1">𝑧</ci></apply><apply id="S2.E11.m1.2.2.2.cmml" xref="S2.E11.m1.2.2.2"><times id="S2.E11.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E11.m1.2.2.2.2"></times><apply id="S2.E11.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E11.m1.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E11.m1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S2.E11.m1.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E11.m1.2.2.2.3.2.cmml" xref="S2.E11.m1.2.2.2.3.2">𝐼</ci><apply id="S2.E11.m1.2.2.2.3.3.cmml" xref="S2.E11.m1.2.2.2.3.3"><minus id="S2.E11.m1.2.2.2.3.3.1.cmml" xref="S2.E11.m1.2.2.2.3.3.1"></minus><apply id="S2.E11.m1.2.2.2.3.3.2.cmml" xref="S2.E11.m1.2.2.2.3.3.2"><divide id="S2.E11.m1.2.2.2.3.3.2.1.cmml" 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xref="S2.E11.m1.3.3.1.4">superscript</csymbol><apply id="S2.E11.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S2.E11.m1.3.3.1.4.2.2"><divide id="S2.E11.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S2.E11.m1.3.3.1.4.2.2"></divide><ci id="S2.E11.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S2.E11.m1.3.3.1.1.2">𝑛</ci><apply id="S2.E11.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S2.E11.m1.3.3.1.1.3"><times id="S2.E11.m1.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E11.m1.3.3.1.1.3.1"></times><cn id="S2.E11.m1.3.3.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.E11.m1.3.3.1.1.3.2">2</cn><ci id="S2.E11.m1.3.3.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E11.m1.3.3.1.1.3.3">𝑧</ci></apply></apply><cn id="S2.E11.m1.3.3.1.4.3.cmml" type="integer" xref="S2.E11.m1.3.3.1.4.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S2.E11.m1.4.4.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E11.m1.4.4.1.1.2.2"><divide id="S2.E11.m1.4.4.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.E11.m1.4.4.1.1.2.2"></divide><ci id="S2.E11.m1.4.4.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.E11.m1.4.4.1.1.2.2.2">𝑛</ci><apply id="S2.E11.m1.4.4.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.E11.m1.4.4.1.1.2.2.3"><times id="S2.E11.m1.4.4.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S2.E11.m1.4.4.1.1.2.2.3.1"></times><cn id="S2.E11.m1.4.4.1.1.2.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.E11.m1.4.4.1.1.2.2.3.2">2</cn><ci id="S2.E11.m1.4.4.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S2.E11.m1.4.4.1.1.2.2.3.3">𝑧</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E11.m1.4c">\frac{I_{\frac{n}{2}}(z)}{I_{\frac{n}{2}-1}(z)}\geq\sqrt{1+\left(\frac{n}{2z}% \right)^{2}}-\frac{n}{2z}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E11.m1.4d">divide start_ARG italic_I start_POSTSUBSCRIPT divide start_ARG italic_n end_ARG start_ARG 2 end_ARG end_POSTSUBSCRIPT ( italic_z ) end_ARG start_ARG italic_I start_POSTSUBSCRIPT divide start_ARG italic_n end_ARG start_ARG 2 end_ARG - 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_z ) end_ARG ≥ square-root start_ARG 1 + ( divide start_ARG italic_n end_ARG start_ARG 2 italic_z end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG - divide start_ARG italic_n end_ARG start_ARG 2 italic_z end_ARG .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(11)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.2.p2.3">Denote <math alttext="g(z)=\sqrt{1+(\frac{n}{2z})^{2}}-\frac{n}{2z}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.2.p2.2.m1.2"><semantics id="S2.2.p2.2.m1.2a"><mrow id="S2.2.p2.2.m1.2.3" xref="S2.2.p2.2.m1.2.3.cmml"><mrow id="S2.2.p2.2.m1.2.3.2" xref="S2.2.p2.2.m1.2.3.2.cmml"><mi id="S2.2.p2.2.m1.2.3.2.2" xref="S2.2.p2.2.m1.2.3.2.2.cmml">g</mi><mo id="S2.2.p2.2.m1.2.3.2.1" xref="S2.2.p2.2.m1.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.2.p2.2.m1.2.3.2.3.2" xref="S2.2.p2.2.m1.2.3.2.cmml"><mo id="S2.2.p2.2.m1.2.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.2.p2.2.m1.2.3.2.cmml">(</mo><mi id="S2.2.p2.2.m1.2.2" xref="S2.2.p2.2.m1.2.2.cmml">z</mi><mo id="S2.2.p2.2.m1.2.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.2.p2.2.m1.2.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.2.p2.2.m1.2.3.1" xref="S2.2.p2.2.m1.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.2.p2.2.m1.2.3.3" xref="S2.2.p2.2.m1.2.3.3.cmml"><msqrt id="S2.2.p2.2.m1.1.1" xref="S2.2.p2.2.m1.1.1.cmml"><mrow id="S2.2.p2.2.m1.1.1.1" xref="S2.2.p2.2.m1.1.1.1.cmml"><mn id="S2.2.p2.2.m1.1.1.1.3" xref="S2.2.p2.2.m1.1.1.1.3.cmml">1</mn><mo id="S2.2.p2.2.m1.1.1.1.2" xref="S2.2.p2.2.m1.1.1.1.2.cmml">+</mo><msup id="S2.2.p2.2.m1.1.1.1.4" xref="S2.2.p2.2.m1.1.1.1.4.cmml"><mrow id="S2.2.p2.2.m1.1.1.1.4.2.2" xref="S2.2.p2.2.m1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.2.p2.2.m1.1.1.1.4.2.2.1" stretchy="false" xref="S2.2.p2.2.m1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mfrac id="S2.2.p2.2.m1.1.1.1.1" xref="S2.2.p2.2.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.2.p2.2.m1.1.1.1.1.2" xref="S2.2.p2.2.m1.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mrow id="S2.2.p2.2.m1.1.1.1.1.3" xref="S2.2.p2.2.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S2.2.p2.2.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.2.p2.2.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="S2.2.p2.2.m1.1.1.1.1.3.1" xref="S2.2.p2.2.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.2.p2.2.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.2.p2.2.m1.1.1.1.1.3.3.cmml">z</mi></mrow></mfrac><mo id="S2.2.p2.2.m1.1.1.1.4.2.2.2" stretchy="false" xref="S2.2.p2.2.m1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S2.2.p2.2.m1.1.1.1.4.3" xref="S2.2.p2.2.m1.1.1.1.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow></msqrt><mo id="S2.2.p2.2.m1.2.3.3.1" xref="S2.2.p2.2.m1.2.3.3.1.cmml">−</mo><mfrac id="S2.2.p2.2.m1.2.3.3.2" xref="S2.2.p2.2.m1.2.3.3.2.cmml"><mi id="S2.2.p2.2.m1.2.3.3.2.2" xref="S2.2.p2.2.m1.2.3.3.2.2.cmml">n</mi><mrow id="S2.2.p2.2.m1.2.3.3.2.3" xref="S2.2.p2.2.m1.2.3.3.2.3.cmml"><mn id="S2.2.p2.2.m1.2.3.3.2.3.2" xref="S2.2.p2.2.m1.2.3.3.2.3.2.cmml">2</mn><mo id="S2.2.p2.2.m1.2.3.3.2.3.1" xref="S2.2.p2.2.m1.2.3.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.2.p2.2.m1.2.3.3.2.3.3" xref="S2.2.p2.2.m1.2.3.3.2.3.3.cmml">z</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.2.p2.2.m1.2b"><apply id="S2.2.p2.2.m1.2.3.cmml" xref="S2.2.p2.2.m1.2.3"><eq id="S2.2.p2.2.m1.2.3.1.cmml" xref="S2.2.p2.2.m1.2.3.1"></eq><apply id="S2.2.p2.2.m1.2.3.2.cmml" xref="S2.2.p2.2.m1.2.3.2"><times id="S2.2.p2.2.m1.2.3.2.1.cmml" xref="S2.2.p2.2.m1.2.3.2.1"></times><ci id="S2.2.p2.2.m1.2.3.2.2.cmml" xref="S2.2.p2.2.m1.2.3.2.2">𝑔</ci><ci id="S2.2.p2.2.m1.2.2.cmml" xref="S2.2.p2.2.m1.2.2">𝑧</ci></apply><apply id="S2.2.p2.2.m1.2.3.3.cmml" xref="S2.2.p2.2.m1.2.3.3"><minus id="S2.2.p2.2.m1.2.3.3.1.cmml" xref="S2.2.p2.2.m1.2.3.3.1"></minus><apply id="S2.2.p2.2.m1.1.1.cmml" xref="S2.2.p2.2.m1.1.1"><root id="S2.2.p2.2.m1.1.1a.cmml" xref="S2.2.p2.2.m1.1.1"></root><apply id="S2.2.p2.2.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.2.p2.2.m1.1.1.1"><plus id="S2.2.p2.2.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.2.p2.2.m1.1.1.1.2"></plus><cn id="S2.2.p2.2.m1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.2.p2.2.m1.1.1.1.3">1</cn><apply id="S2.2.p2.2.m1.1.1.1.4.cmml" xref="S2.2.p2.2.m1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.2.p2.2.m1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S2.2.p2.2.m1.1.1.1.4">superscript</csymbol><apply id="S2.2.p2.2.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.2.p2.2.m1.1.1.1.4.2.2"><divide id="S2.2.p2.2.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.2.p2.2.m1.1.1.1.4.2.2"></divide><ci id="S2.2.p2.2.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.2.p2.2.m1.1.1.1.1.2">𝑛</ci><apply id="S2.2.p2.2.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.2.p2.2.m1.1.1.1.1.3"><times id="S2.2.p2.2.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.2.p2.2.m1.1.1.1.1.3.1"></times><cn id="S2.2.p2.2.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.2.p2.2.m1.1.1.1.1.3.2">2</cn><ci id="S2.2.p2.2.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.2.p2.2.m1.1.1.1.1.3.3">𝑧</ci></apply></apply><cn id="S2.2.p2.2.m1.1.1.1.4.3.cmml" type="integer" xref="S2.2.p2.2.m1.1.1.1.4.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S2.2.p2.2.m1.2.3.3.2.cmml" xref="S2.2.p2.2.m1.2.3.3.2"><divide id="S2.2.p2.2.m1.2.3.3.2.1.cmml" xref="S2.2.p2.2.m1.2.3.3.2"></divide><ci id="S2.2.p2.2.m1.2.3.3.2.2.cmml" xref="S2.2.p2.2.m1.2.3.3.2.2">𝑛</ci><apply id="S2.2.p2.2.m1.2.3.3.2.3.cmml" xref="S2.2.p2.2.m1.2.3.3.2.3"><times id="S2.2.p2.2.m1.2.3.3.2.3.1.cmml" 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xref="S2.2.p2.3.m2.2.3.3.2.2.cmml">g</mi><mo id="S2.2.p2.3.m2.2.3.3.2.1" xref="S2.2.p2.3.m2.2.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.2.p2.3.m2.2.3.3.2.3.2" xref="S2.2.p2.3.m2.2.3.3.2.cmml"><mo id="S2.2.p2.3.m2.2.3.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.2.p2.3.m2.2.3.3.2.cmml">(</mo><mi id="S2.2.p2.3.m2.2.2" xref="S2.2.p2.3.m2.2.2.cmml">y</mi><mo id="S2.2.p2.3.m2.2.3.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.2.p2.3.m2.2.3.3.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.2.p2.3.m2.2.3.3.2.1a" lspace="0em" xref="S2.2.p2.3.m2.2.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.2.p2.3.m2.2.3.3.2.4" xref="S2.2.p2.3.m2.2.3.3.2.4.cmml"><mo id="S2.2.p2.3.m2.2.3.3.2.4.1" rspace="0em" xref="S2.2.p2.3.m2.2.3.3.2.4.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S2.2.p2.3.m2.2.3.3.2.4.2" xref="S2.2.p2.3.m2.2.3.3.2.4.2.cmml">y</mi></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.2.p2.3.m2.2b"><apply id="S2.2.p2.3.m2.2.3.cmml" xref="S2.2.p2.3.m2.2.3"><eq id="S2.2.p2.3.m2.2.3.1.cmml" xref="S2.2.p2.3.m2.2.3.1"></eq><apply id="S2.2.p2.3.m2.2.3.2.cmml" xref="S2.2.p2.3.m2.2.3.2"><times id="S2.2.p2.3.m2.2.3.2.1.cmml" xref="S2.2.p2.3.m2.2.3.2.1"></times><ci id="S2.2.p2.3.m2.2.3.2.2.cmml" xref="S2.2.p2.3.m2.2.3.2.2">𝐺</ci><ci id="S2.2.p2.3.m2.1.1.cmml" xref="S2.2.p2.3.m2.1.1">𝑧</ci></apply><apply id="S2.2.p2.3.m2.2.3.3.cmml" xref="S2.2.p2.3.m2.2.3.3"><apply id="S2.2.p2.3.m2.2.3.3.1.cmml" xref="S2.2.p2.3.m2.2.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.2.p2.3.m2.2.3.3.1.1.cmml" xref="S2.2.p2.3.m2.2.3.3.1">superscript</csymbol><apply id="S2.2.p2.3.m2.2.3.3.1.2.cmml" xref="S2.2.p2.3.m2.2.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.2.p2.3.m2.2.3.3.1.2.1.cmml" xref="S2.2.p2.3.m2.2.3.3.1">subscript</csymbol><int id="S2.2.p2.3.m2.2.3.3.1.2.2.cmml" xref="S2.2.p2.3.m2.2.3.3.1.2.2"></int><cn id="S2.2.p2.3.m2.2.3.3.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.2.p2.3.m2.2.3.3.1.2.3">0</cn></apply><ci id="S2.2.p2.3.m2.2.3.3.1.3.cmml" xref="S2.2.p2.3.m2.2.3.3.1.3">𝑧</ci></apply><apply id="S2.2.p2.3.m2.2.3.3.2.cmml" xref="S2.2.p2.3.m2.2.3.3.2"><times id="S2.2.p2.3.m2.2.3.3.2.1.cmml" xref="S2.2.p2.3.m2.2.3.3.2.1"></times><ci id="S2.2.p2.3.m2.2.3.3.2.2.cmml" xref="S2.2.p2.3.m2.2.3.3.2.2">𝑔</ci><ci id="S2.2.p2.3.m2.2.2.cmml" xref="S2.2.p2.3.m2.2.2">𝑦</ci><apply id="S2.2.p2.3.m2.2.3.3.2.4.cmml" xref="S2.2.p2.3.m2.2.3.3.2.4"><csymbol cd="latexml" id="S2.2.p2.3.m2.2.3.3.2.4.1.cmml" xref="S2.2.p2.3.m2.2.3.3.2.4.1">differential-d</csymbol><ci id="S2.2.p2.3.m2.2.3.3.2.4.2.cmml" xref="S2.2.p2.3.m2.2.3.3.2.4.2">𝑦</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.2.p2.3.m2.2c">G(z)=\int_{0}^{z}g(y)dy</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.2.p2.3.m2.2d">italic_G ( italic_z ) = ∫ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_z end_POSTSUPERSCRIPT italic_g ( italic_y ) italic_d italic_y</annotation></semantics></math>, then, by (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14347v1#S2.E10" title="In Proof. ‣ 2 New Proof based on Averaged Moment Generating Function ‣ A New Proof of Sub-Gaussian Norm Concentration Inequality"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">10</span></a>)-(<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14347v1#S2.E11" title="In Proof. ‣ 2 New Proof based on Averaged Moment Generating Function ‣ A New Proof of Sub-Gaussian Norm Concentration Inequality"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">11</span></a>),</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E12"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\log\phi_{n}(z)\geq G(z)+\log\phi_{n}(0)=G(z),\quad\forall z\geq 0." class="ltx_Math" display="block" id="S2.E12.m1.5"><semantics id="S2.E12.m1.5a"><mrow id="S2.E12.m1.5.5.1"><mrow id="S2.E12.m1.5.5.1.1.2" xref="S2.E12.m1.5.5.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1" xref="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.2" xref="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.2.2" xref="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1" xref="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.cmml">log</mi><mo id="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.2.2a" lspace="0.167em" xref="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.cmml">⁡</mo><msub id="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2" xref="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">ϕ</mi><mi id="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">n</mi></msub></mrow><mo id="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.2.1" xref="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.2.3.2" xref="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.E12.m1.1.1" xref="S2.E12.m1.1.1.cmml">z</mi><mo id="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.3" xref="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.3.cmml">≥</mo><mrow id="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.4" xref="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.4.cmml"><mrow id="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.4.2" xref="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.4.2.cmml"><mi id="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.4.2.2" xref="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.4.2.2.cmml">G</mi><mo id="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.4.2.1" xref="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.4.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.4.2.3.2" xref="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.4.2.cmml"><mo id="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.4.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.4.2.cmml">(</mo><mi id="S2.E12.m1.2.2" xref="S2.E12.m1.2.2.cmml">z</mi><mo id="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.4.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.4.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.4.1" xref="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.4.1.cmml">+</mo><mrow id="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.4.3" xref="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.4.3.cmml"><mrow id="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.4.3.2" xref="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.4.3.2.cmml"><mi id="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.4.3.2.1" xref="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.4.3.2.1.cmml">log</mi><mo id="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.4.3.2a" lspace="0.167em" xref="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.4.3.2.cmml">⁡</mo><msub id="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.4.3.2.2" xref="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.4.3.2.2.cmml"><mi id="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.4.3.2.2.2" xref="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.4.3.2.2.2.cmml">ϕ</mi><mi id="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.4.3.2.2.3" xref="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.4.3.2.2.3.cmml">n</mi></msub></mrow><mo id="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.4.3.1" xref="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.4.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.4.3.3.2" xref="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.4.3.cmml"><mo id="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.4.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.4.3.cmml">(</mo><mn id="S2.E12.m1.3.3" xref="S2.E12.m1.3.3.cmml">0</mn><mo id="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.4.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.4.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.5" xref="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.5.cmml">=</mo><mrow id="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.6" xref="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.6.cmml"><mi id="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.6.2" xref="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.6.2.cmml">G</mi><mo id="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.6.1" xref="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.6.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.6.3.2" xref="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.6.cmml"><mo id="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.6.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.6.cmml">(</mo><mi id="S2.E12.m1.4.4" xref="S2.E12.m1.4.4.cmml">z</mi><mo id="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.6.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.6.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E12.m1.5.5.1.1.2.3" rspace="1.167em" xref="S2.E12.m1.5.5.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S2.E12.m1.5.5.1.1.2.2" xref="S2.E12.m1.5.5.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S2.E12.m1.5.5.1.1.2.2.2" xref="S2.E12.m1.5.5.1.1.2.2.2.cmml"><mo id="S2.E12.m1.5.5.1.1.2.2.2.1" rspace="0.167em" xref="S2.E12.m1.5.5.1.1.2.2.2.1.cmml">∀</mo><mi id="S2.E12.m1.5.5.1.1.2.2.2.2" xref="S2.E12.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.cmml">z</mi></mrow><mo id="S2.E12.m1.5.5.1.1.2.2.1" xref="S2.E12.m1.5.5.1.1.2.2.1.cmml">≥</mo><mn id="S2.E12.m1.5.5.1.1.2.2.3" xref="S2.E12.m1.5.5.1.1.2.2.3.cmml">0</mn></mrow></mrow><mo id="S2.E12.m1.5.5.1.2" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E12.m1.5b"><apply id="S2.E12.m1.5.5.1.1.3.cmml" xref="S2.E12.m1.5.5.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E12.m1.5.5.1.1.3a.cmml" xref="S2.E12.m1.5.5.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1"><and id="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1a.cmml" xref="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1"></and><apply id="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1b.cmml" xref="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1"><geq id="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.3"></geq><apply id="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.2"><times id="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.2.2"><log id="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1"></log><apply id="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.2">italic-ϕ</ci><ci id="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.3">𝑛</ci></apply></apply><ci id="S2.E12.m1.1.1.cmml" xref="S2.E12.m1.1.1">𝑧</ci></apply><apply id="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.4.cmml" xref="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.4"><plus id="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.4.1"></plus><apply id="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.4.2"><times id="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.4.2.1"></times><ci id="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.4.2.2">𝐺</ci><ci id="S2.E12.m1.2.2.cmml" xref="S2.E12.m1.2.2">𝑧</ci></apply><apply id="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.4.3"><times id="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.4.3.1"></times><apply id="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.4.3.2"><log id="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.4.3.2.1.cmml" xref="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.4.3.2.1"></log><apply id="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.4.3.2.2.cmml" xref="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.4.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.4.3.2.2.1.cmml" xref="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.4.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.4.3.2.2.2.cmml" xref="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.4.3.2.2.2">italic-ϕ</ci><ci id="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.4.3.2.2.3.cmml" xref="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.4.3.2.2.3">𝑛</ci></apply></apply><cn id="S2.E12.m1.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E12.m1.3.3">0</cn></apply></apply></apply><apply id="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1c.cmml" xref="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1"><eq id="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.5.cmml" xref="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.14347v1#S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.4.cmml" id="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1d.cmml" xref="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1"></share><apply id="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.6.cmml" xref="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.6"><times id="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.6.1.cmml" xref="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.6.1"></times><ci id="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.6.2.cmml" xref="S2.E12.m1.5.5.1.1.1.1.6.2">𝐺</ci><ci id="S2.E12.m1.4.4.cmml" xref="S2.E12.m1.4.4">𝑧</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.E12.m1.5.5.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E12.m1.5.5.1.1.2.2"><geq id="S2.E12.m1.5.5.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.E12.m1.5.5.1.1.2.2.1"></geq><apply id="S2.E12.m1.5.5.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.E12.m1.5.5.1.1.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.E12.m1.5.5.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E12.m1.5.5.1.1.2.2.2.1">for-all</csymbol><ci id="S2.E12.m1.5.5.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E12.m1.5.5.1.1.2.2.2.2">𝑧</ci></apply><cn id="S2.E12.m1.5.5.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.E12.m1.5.5.1.1.2.2.3">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E12.m1.5c">\log\phi_{n}(z)\geq G(z)+\log\phi_{n}(0)=G(z),\quad\forall z\geq 0.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E12.m1.5d">roman_log italic_ϕ start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT ( italic_z ) ≥ italic_G ( italic_z ) + roman_log italic_ϕ start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT ( 0 ) = italic_G ( italic_z ) , ∀ italic_z ≥ 0 .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(12)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.2.p2.8">Since <math alttext="g(z)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.2.p2.4.m1.1"><semantics id="S2.2.p2.4.m1.1a"><mrow id="S2.2.p2.4.m1.1.2" xref="S2.2.p2.4.m1.1.2.cmml"><mi id="S2.2.p2.4.m1.1.2.2" xref="S2.2.p2.4.m1.1.2.2.cmml">g</mi><mo id="S2.2.p2.4.m1.1.2.1" xref="S2.2.p2.4.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.2.p2.4.m1.1.2.3.2" xref="S2.2.p2.4.m1.1.2.cmml"><mo id="S2.2.p2.4.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.2.p2.4.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.2.p2.4.m1.1.1" xref="S2.2.p2.4.m1.1.1.cmml">z</mi><mo id="S2.2.p2.4.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.2.p2.4.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.2.p2.4.m1.1b"><apply id="S2.2.p2.4.m1.1.2.cmml" xref="S2.2.p2.4.m1.1.2"><times id="S2.2.p2.4.m1.1.2.1.cmml" xref="S2.2.p2.4.m1.1.2.1"></times><ci id="S2.2.p2.4.m1.1.2.2.cmml" xref="S2.2.p2.4.m1.1.2.2">𝑔</ci><ci id="S2.2.p2.4.m1.1.1.cmml" xref="S2.2.p2.4.m1.1.1">𝑧</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.2.p2.4.m1.1c">g(z)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.2.p2.4.m1.1d">italic_g ( italic_z )</annotation></semantics></math> is monotonically increasing over <math alttext="z>0" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.2.p2.5.m2.1"><semantics id="S2.2.p2.5.m2.1a"><mrow id="S2.2.p2.5.m2.1.1" xref="S2.2.p2.5.m2.1.1.cmml"><mi id="S2.2.p2.5.m2.1.1.2" xref="S2.2.p2.5.m2.1.1.2.cmml">z</mi><mo id="S2.2.p2.5.m2.1.1.1" xref="S2.2.p2.5.m2.1.1.1.cmml">></mo><mn id="S2.2.p2.5.m2.1.1.3" xref="S2.2.p2.5.m2.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.2.p2.5.m2.1b"><apply id="S2.2.p2.5.m2.1.1.cmml" xref="S2.2.p2.5.m2.1.1"><gt id="S2.2.p2.5.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.2.p2.5.m2.1.1.1"></gt><ci id="S2.2.p2.5.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.2.p2.5.m2.1.1.2">𝑧</ci><cn id="S2.2.p2.5.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.2.p2.5.m2.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.2.p2.5.m2.1c">z>0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.2.p2.5.m2.1d">italic_z > 0</annotation></semantics></math>, <math alttext="G(z)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.2.p2.6.m3.1"><semantics id="S2.2.p2.6.m3.1a"><mrow id="S2.2.p2.6.m3.1.2" xref="S2.2.p2.6.m3.1.2.cmml"><mi id="S2.2.p2.6.m3.1.2.2" xref="S2.2.p2.6.m3.1.2.2.cmml">G</mi><mo id="S2.2.p2.6.m3.1.2.1" xref="S2.2.p2.6.m3.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.2.p2.6.m3.1.2.3.2" xref="S2.2.p2.6.m3.1.2.cmml"><mo id="S2.2.p2.6.m3.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.2.p2.6.m3.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.2.p2.6.m3.1.1" xref="S2.2.p2.6.m3.1.1.cmml">z</mi><mo id="S2.2.p2.6.m3.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.2.p2.6.m3.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.2.p2.6.m3.1b"><apply id="S2.2.p2.6.m3.1.2.cmml" xref="S2.2.p2.6.m3.1.2"><times id="S2.2.p2.6.m3.1.2.1.cmml" xref="S2.2.p2.6.m3.1.2.1"></times><ci id="S2.2.p2.6.m3.1.2.2.cmml" xref="S2.2.p2.6.m3.1.2.2">𝐺</ci><ci id="S2.2.p2.6.m3.1.1.cmml" xref="S2.2.p2.6.m3.1.1">𝑧</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.2.p2.6.m3.1c">G(z)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.2.p2.6.m3.1d">italic_G ( italic_z )</annotation></semantics></math> is convex on <math alttext="z>0" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.2.p2.7.m4.1"><semantics id="S2.2.p2.7.m4.1a"><mrow id="S2.2.p2.7.m4.1.1" xref="S2.2.p2.7.m4.1.1.cmml"><mi id="S2.2.p2.7.m4.1.1.2" xref="S2.2.p2.7.m4.1.1.2.cmml">z</mi><mo id="S2.2.p2.7.m4.1.1.1" xref="S2.2.p2.7.m4.1.1.1.cmml">></mo><mn id="S2.2.p2.7.m4.1.1.3" xref="S2.2.p2.7.m4.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.2.p2.7.m4.1b"><apply id="S2.2.p2.7.m4.1.1.cmml" xref="S2.2.p2.7.m4.1.1"><gt id="S2.2.p2.7.m4.1.1.1.cmml" xref="S2.2.p2.7.m4.1.1.1"></gt><ci id="S2.2.p2.7.m4.1.1.2.cmml" xref="S2.2.p2.7.m4.1.1.2">𝑧</ci><cn id="S2.2.p2.7.m4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.2.p2.7.m4.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.2.p2.7.m4.1c">z>0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.2.p2.7.m4.1d">italic_z > 0</annotation></semantics></math>. Thus, by the definition of convexity, given any <math alttext="z_{0}>0" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.2.p2.8.m5.1"><semantics id="S2.2.p2.8.m5.1a"><mrow id="S2.2.p2.8.m5.1.1" xref="S2.2.p2.8.m5.1.1.cmml"><msub id="S2.2.p2.8.m5.1.1.2" xref="S2.2.p2.8.m5.1.1.2.cmml"><mi id="S2.2.p2.8.m5.1.1.2.2" xref="S2.2.p2.8.m5.1.1.2.2.cmml">z</mi><mn id="S2.2.p2.8.m5.1.1.2.3" xref="S2.2.p2.8.m5.1.1.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S2.2.p2.8.m5.1.1.1" xref="S2.2.p2.8.m5.1.1.1.cmml">></mo><mn id="S2.2.p2.8.m5.1.1.3" xref="S2.2.p2.8.m5.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.2.p2.8.m5.1b"><apply id="S2.2.p2.8.m5.1.1.cmml" xref="S2.2.p2.8.m5.1.1"><gt id="S2.2.p2.8.m5.1.1.1.cmml" xref="S2.2.p2.8.m5.1.1.1"></gt><apply id="S2.2.p2.8.m5.1.1.2.cmml" xref="S2.2.p2.8.m5.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.2.p2.8.m5.1.1.2.1.cmml" xref="S2.2.p2.8.m5.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.2.p2.8.m5.1.1.2.2.cmml" xref="S2.2.p2.8.m5.1.1.2.2">𝑧</ci><cn id="S2.2.p2.8.m5.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.2.p2.8.m5.1.1.2.3">0</cn></apply><cn id="S2.2.p2.8.m5.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.2.p2.8.m5.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.2.p2.8.m5.1c">z_{0}>0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.2.p2.8.m5.1d">italic_z start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT > 0</annotation></semantics></math>,</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E13"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="G(z)\geq g(z_{0})(z-z_{0})+G(z_{0})." class="ltx_Math" display="block" id="S2.E13.m1.2"><semantics id="S2.E13.m1.2a"><mrow id="S2.E13.m1.2.2.1" xref="S2.E13.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S2.E13.m1.2.2.1.1" xref="S2.E13.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S2.E13.m1.2.2.1.1.5" xref="S2.E13.m1.2.2.1.1.5.cmml"><mi id="S2.E13.m1.2.2.1.1.5.2" xref="S2.E13.m1.2.2.1.1.5.2.cmml">G</mi><mo id="S2.E13.m1.2.2.1.1.5.1" xref="S2.E13.m1.2.2.1.1.5.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E13.m1.2.2.1.1.5.3.2" xref="S2.E13.m1.2.2.1.1.5.cmml"><mo id="S2.E13.m1.2.2.1.1.5.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E13.m1.2.2.1.1.5.cmml">(</mo><mi id="S2.E13.m1.1.1" xref="S2.E13.m1.1.1.cmml">z</mi><mo id="S2.E13.m1.2.2.1.1.5.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.E13.m1.2.2.1.1.5.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E13.m1.2.2.1.1.4" xref="S2.E13.m1.2.2.1.1.4.cmml">≥</mo><mrow id="S2.E13.m1.2.2.1.1.3" xref="S2.E13.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.E13.m1.2.2.1.1.2.2" xref="S2.E13.m1.2.2.1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.E13.m1.2.2.1.1.2.2.4" xref="S2.E13.m1.2.2.1.1.2.2.4.cmml">g</mi><mo id="S2.E13.m1.2.2.1.1.2.2.3" xref="S2.E13.m1.2.2.1.1.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S2.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">z</mi><mn id="S2.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S2.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.E13.m1.2.2.1.1.2.2.3a" xref="S2.E13.m1.2.2.1.1.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E13.m1.2.2.1.1.2.2.2.1" xref="S2.E13.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="S2.E13.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S2.E13.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E13.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1" xref="S2.E13.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S2.E13.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2" xref="S2.E13.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.cmml">z</mi><mo id="S2.E13.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1" xref="S2.E13.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S2.E13.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3" xref="S2.E13.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S2.E13.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3.2" xref="S2.E13.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3.2.cmml">z</mi><mn id="S2.E13.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3.3" xref="S2.E13.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3.3.cmml">0</mn></msub></mrow><mo id="S2.E13.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S2.E13.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E13.m1.2.2.1.1.3.4" xref="S2.E13.m1.2.2.1.1.3.4.cmml">+</mo><mrow id="S2.E13.m1.2.2.1.1.3.3" xref="S2.E13.m1.2.2.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.E13.m1.2.2.1.1.3.3.3" xref="S2.E13.m1.2.2.1.1.3.3.3.cmml">G</mi><mo id="S2.E13.m1.2.2.1.1.3.3.2" xref="S2.E13.m1.2.2.1.1.3.3.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E13.m1.2.2.1.1.3.3.1.1" xref="S2.E13.m1.2.2.1.1.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E13.m1.2.2.1.1.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E13.m1.2.2.1.1.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S2.E13.m1.2.2.1.1.3.3.1.1.1" xref="S2.E13.m1.2.2.1.1.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E13.m1.2.2.1.1.3.3.1.1.1.2" xref="S2.E13.m1.2.2.1.1.3.3.1.1.1.2.cmml">z</mi><mn id="S2.E13.m1.2.2.1.1.3.3.1.1.1.3" xref="S2.E13.m1.2.2.1.1.3.3.1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S2.E13.m1.2.2.1.1.3.3.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E13.m1.2.2.1.1.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E13.m1.2.2.1.2" lspace="0em" xref="S2.E13.m1.2.2.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E13.m1.2b"><apply id="S2.E13.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S2.E13.m1.2.2.1"><geq id="S2.E13.m1.2.2.1.1.4.cmml" xref="S2.E13.m1.2.2.1.1.4"></geq><apply id="S2.E13.m1.2.2.1.1.5.cmml" xref="S2.E13.m1.2.2.1.1.5"><times id="S2.E13.m1.2.2.1.1.5.1.cmml" xref="S2.E13.m1.2.2.1.1.5.1"></times><ci id="S2.E13.m1.2.2.1.1.5.2.cmml" xref="S2.E13.m1.2.2.1.1.5.2">𝐺</ci><ci id="S2.E13.m1.1.1.cmml" xref="S2.E13.m1.1.1">𝑧</ci></apply><apply id="S2.E13.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S2.E13.m1.2.2.1.1.3"><plus id="S2.E13.m1.2.2.1.1.3.4.cmml" xref="S2.E13.m1.2.2.1.1.3.4"></plus><apply id="S2.E13.m1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E13.m1.2.2.1.1.2.2"><times id="S2.E13.m1.2.2.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.E13.m1.2.2.1.1.2.2.3"></times><ci id="S2.E13.m1.2.2.1.1.2.2.4.cmml" xref="S2.E13.m1.2.2.1.1.2.2.4">𝑔</ci><apply id="S2.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑧</ci><cn id="S2.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3">0</cn></apply><apply id="S2.E13.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.cmml" xref="S2.E13.m1.2.2.1.1.2.2.2.1"><minus id="S2.E13.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.E13.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1"></minus><ci id="S2.E13.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.E13.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2">𝑧</ci><apply id="S2.E13.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S2.E13.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E13.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E13.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E13.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E13.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.3.2">𝑧</ci><cn 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start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ) ( italic_z - italic_z start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ) + italic_G ( italic_z start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(13)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.2.p2.9">Set <math alttext="z_{0}=\frac{\varepsilon n}{1-\varepsilon^{2}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.2.p2.9.m1.1"><semantics id="S2.2.p2.9.m1.1a"><mrow id="S2.2.p2.9.m1.1.1" xref="S2.2.p2.9.m1.1.1.cmml"><msub id="S2.2.p2.9.m1.1.1.2" xref="S2.2.p2.9.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.2.p2.9.m1.1.1.2.2" xref="S2.2.p2.9.m1.1.1.2.2.cmml">z</mi><mn id="S2.2.p2.9.m1.1.1.2.3" xref="S2.2.p2.9.m1.1.1.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S2.2.p2.9.m1.1.1.1" xref="S2.2.p2.9.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mfrac id="S2.2.p2.9.m1.1.1.3" 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id="S2.2.p2.9.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.2.p2.9.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.2.p2.9.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.2.p2.9.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.2.p2.9.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.2.p2.9.m1.1.1.2.2">𝑧</ci><cn id="S2.2.p2.9.m1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.2.p2.9.m1.1.1.2.3">0</cn></apply><apply id="S2.2.p2.9.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.2.p2.9.m1.1.1.3"><divide id="S2.2.p2.9.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.2.p2.9.m1.1.1.3"></divide><apply id="S2.2.p2.9.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.2.p2.9.m1.1.1.3.2"><times id="S2.2.p2.9.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.2.p2.9.m1.1.1.3.2.1"></times><ci id="S2.2.p2.9.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.2.p2.9.m1.1.1.3.2.2">𝜀</ci><ci id="S2.2.p2.9.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.2.p2.9.m1.1.1.3.2.3">𝑛</ci></apply><apply id="S2.2.p2.9.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.2.p2.9.m1.1.1.3.3"><minus id="S2.2.p2.9.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.2.p2.9.m1.1.1.3.3.1"></minus><cn id="S2.2.p2.9.m1.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.2.p2.9.m1.1.1.3.3.2">1</cn><apply id="S2.2.p2.9.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.2.p2.9.m1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.2.p2.9.m1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S2.2.p2.9.m1.1.1.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="S2.2.p2.9.m1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S2.2.p2.9.m1.1.1.3.3.3.2">𝜀</ci><cn id="S2.2.p2.9.m1.1.1.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.2.p2.9.m1.1.1.3.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.2.p2.9.m1.1c">z_{0}=\frac{\varepsilon n}{1-\varepsilon^{2}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.2.p2.9.m1.1d">italic_z start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT = divide start_ARG italic_ε italic_n end_ARG start_ARG 1 - italic_ε start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math>, then</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E14"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="g(z_{0})=\varepsilon,\quad G(z_{0})=\frac{n\varepsilon^{2}}{1-\varepsilon^{2}}% +\frac{n}{2}\log(1-\varepsilon^{2})." class="ltx_Math" display="block" id="S2.E14.m1.2"><semantics id="S2.E14.m1.2a"><mrow id="S2.E14.m1.2.2.1"><mrow id="S2.E14.m1.2.2.1.1.2" xref="S2.E14.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.E14.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S2.E14.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E14.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S2.E14.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E14.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E14.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">g</mi><mo id="S2.E14.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E14.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E14.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E14.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E14.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E14.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S2.E14.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E14.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E14.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E14.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">z</mi><mn 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xref="S2.E14.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.2.2">𝑛</ci><apply id="S2.E14.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.2.3.cmml" xref="S2.E14.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E14.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.2.3.1.cmml" xref="S2.E14.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.2.3">superscript</csymbol><ci id="S2.E14.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.2.3.2.cmml" xref="S2.E14.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.2.3.2">𝜀</ci><cn id="S2.E14.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E14.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.2.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S2.E14.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.cmml" xref="S2.E14.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3"><minus id="S2.E14.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.1.cmml" xref="S2.E14.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.1"></minus><cn id="S2.E14.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.E14.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.2">1</cn><apply id="S2.E14.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.3.cmml" xref="S2.E14.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E14.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.3.1.cmml" xref="S2.E14.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="S2.E14.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.3.2.cmml" xref="S2.E14.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.3.2">𝜀</ci><cn id="S2.E14.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E14.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S2.E14.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E14.m1.2.2.1.1.2.2.2.1"><times id="S2.E14.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.2.cmml" xref="S2.E14.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.2"></times><apply id="S2.E14.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.3.cmml" xref="S2.E14.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.3"><divide id="S2.E14.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.3.1.cmml" xref="S2.E14.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.3"></divide><ci id="S2.E14.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.3.2.cmml" xref="S2.E14.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.3.2">𝑛</ci><cn id="S2.E14.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E14.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S2.E14.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.E14.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1"><log id="S2.E14.m1.1.1.cmml" xref="S2.E14.m1.1.1"></log><apply id="S2.E14.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E14.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1"><minus id="S2.E14.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E14.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1"></minus><cn id="S2.E14.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S2.E14.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.2">1</cn><apply id="S2.E14.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E14.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E14.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E14.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.E14.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E14.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.2">𝜀</ci><cn id="S2.E14.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E14.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E14.m1.2c">g(z_{0})=\varepsilon,\quad G(z_{0})=\frac{n\varepsilon^{2}}{1-\varepsilon^{2}}% +\frac{n}{2}\log(1-\varepsilon^{2}).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E14.m1.2d">italic_g ( italic_z start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ) = italic_ε , italic_G ( italic_z start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ) = divide start_ARG italic_n italic_ε start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 1 - italic_ε start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG + divide start_ARG italic_n end_ARG start_ARG 2 end_ARG roman_log ( 1 - italic_ε start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(14)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.2.p2.11">Plugging (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14347v1#S2.E14" title="In Proof. ‣ 2 New Proof based on Averaged Moment Generating Function ‣ A New Proof of Sub-Gaussian Norm Concentration Inequality"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">14</span></a>) into (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14347v1#S2.E12" title="In Proof. ‣ 2 New Proof based on Averaged Moment Generating Function ‣ A New Proof of Sub-Gaussian Norm Concentration Inequality"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">12</span></a>)-(<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14347v1#S2.E13" title="In Proof. ‣ 2 New Proof based on Averaged Moment Generating Function ‣ A New Proof of Sub-Gaussian Norm Concentration Inequality"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">13</span></a>) yields</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E15"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\log\phi_{n}(z)\geq\varepsilon z+\frac{n}{2}\log(1-\varepsilon^{2})." class="ltx_Math" display="block" id="S2.E15.m1.3"><semantics id="S2.E15.m1.3a"><mrow id="S2.E15.m1.3.3.1" xref="S2.E15.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S2.E15.m1.3.3.1.1" xref="S2.E15.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S2.E15.m1.3.3.1.1.3" xref="S2.E15.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.E15.m1.3.3.1.1.3.2" xref="S2.E15.m1.3.3.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.E15.m1.3.3.1.1.3.2.1" xref="S2.E15.m1.3.3.1.1.3.2.1.cmml">log</mi><mo id="S2.E15.m1.3.3.1.1.3.2a" lspace="0.167em" xref="S2.E15.m1.3.3.1.1.3.2.cmml">⁡</mo><msub id="S2.E15.m1.3.3.1.1.3.2.2" xref="S2.E15.m1.3.3.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S2.E15.m1.3.3.1.1.3.2.2.2" xref="S2.E15.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.cmml">ϕ</mi><mi id="S2.E15.m1.3.3.1.1.3.2.2.3" xref="S2.E15.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.cmml">n</mi></msub></mrow><mo id="S2.E15.m1.3.3.1.1.3.1" xref="S2.E15.m1.3.3.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E15.m1.3.3.1.1.3.3.2" xref="S2.E15.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mo id="S2.E15.m1.3.3.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E15.m1.3.3.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S2.E15.m1.1.1" xref="S2.E15.m1.1.1.cmml">z</mi><mo id="S2.E15.m1.3.3.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.E15.m1.3.3.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E15.m1.3.3.1.1.2" xref="S2.E15.m1.3.3.1.1.2.cmml">≥</mo><mrow id="S2.E15.m1.3.3.1.1.1" xref="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.3.2" xref="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.3.2.cmml">ε</mi><mo id="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.3.1" xref="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.3.3" xref="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.3.3.cmml">z</mi></mrow><mo id="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml">n</mi><mn id="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.1.3.3" xref="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.1.2" lspace="0.167em" xref="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.E15.m1.2.2" xref="S2.E15.m1.2.2.cmml">log</mi><mo id="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.1.1.1a" xref="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msup id="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">ε</mi><mn id="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E15.m1.3.3.1.2" lspace="0em" xref="S2.E15.m1.3.3.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E15.m1.3b"><apply id="S2.E15.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S2.E15.m1.3.3.1"><geq id="S2.E15.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S2.E15.m1.3.3.1.1.2"></geq><apply id="S2.E15.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S2.E15.m1.3.3.1.1.3"><times id="S2.E15.m1.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E15.m1.3.3.1.1.3.1"></times><apply id="S2.E15.m1.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E15.m1.3.3.1.1.3.2"><log id="S2.E15.m1.3.3.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E15.m1.3.3.1.1.3.2.1"></log><apply id="S2.E15.m1.3.3.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.E15.m1.3.3.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E15.m1.3.3.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S2.E15.m1.3.3.1.1.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E15.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S2.E15.m1.3.3.1.1.3.2.2.2">italic-ϕ</ci><ci id="S2.E15.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S2.E15.m1.3.3.1.1.3.2.2.3">𝑛</ci></apply></apply><ci id="S2.E15.m1.1.1.cmml" xref="S2.E15.m1.1.1">𝑧</ci></apply><apply id="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S2.E15.m1.3.3.1.1.1"><plus id="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.2"></plus><apply id="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.3"><times id="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.3.1"></times><ci id="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.3.2">𝜀</ci><ci id="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.3.3">𝑧</ci></apply><apply id="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.1"><times id="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.1.2"></times><apply id="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.1.3"><divide id="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.1.3"></divide><ci id="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.1.3.2">𝑛</ci><cn id="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.1.1.1"><log id="S2.E15.m1.2.2.cmml" xref="S2.E15.m1.2.2"></log><apply id="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><cn id="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2">1</cn><apply id="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝜀</ci><cn id="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E15.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E15.m1.3c">\log\phi_{n}(z)\geq\varepsilon z+\frac{n}{2}\log(1-\varepsilon^{2}).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E15.m1.3d">roman_log italic_ϕ start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT ( italic_z ) ≥ italic_ε italic_z + divide start_ARG italic_n end_ARG start_ARG 2 end_ARG roman_log ( 1 - italic_ε start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(15)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.2.p2.12">The conclusion (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14347v1#S2.E8" title="In Proof. ‣ 2 New Proof based on Averaged Moment Generating Function ‣ A New Proof of Sub-Gaussian Norm Concentration Inequality"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">8</span></a>) and thus (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14347v1#S2.E7" title="In Lemma 2.2. ‣ 2 New Proof based on Averaged Moment Generating Function ‣ A New Proof of Sub-Gaussian Norm Concentration Inequality"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">7</span></a>) follow by taking the exponential of (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14347v1#S2.E15" title="In Proof. ‣ 2 New Proof based on Averaged Moment Generating Function ‣ A New Proof of Sub-Gaussian Norm Concentration Inequality"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">15</span></a>). This completes the proof. ∎</p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S2.p7"> <p class="ltx_p" id="S2.p7.5">By Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14347v1#S2.Thmlemma2" title="Lemma 2.2. ‣ 2 New Proof based on Averaged Moment Generating Function ‣ A New Proof of Sub-Gaussian Norm Concentration Inequality"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2.2</span></a>, the AMGF can be viewed as a surrogate function of <math alttext="\mathbb{E}_{X}(e^{\lambda\|X\|})" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p7.1.m1.2"><semantics id="S2.p7.1.m1.2a"><mrow id="S2.p7.1.m1.2.2" xref="S2.p7.1.m1.2.2.cmml"><msub id="S2.p7.1.m1.2.2.3" xref="S2.p7.1.m1.2.2.3.cmml"><mi id="S2.p7.1.m1.2.2.3.2" xref="S2.p7.1.m1.2.2.3.2.cmml">𝔼</mi><mi id="S2.p7.1.m1.2.2.3.3" xref="S2.p7.1.m1.2.2.3.3.cmml">X</mi></msub><mo id="S2.p7.1.m1.2.2.2" xref="S2.p7.1.m1.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p7.1.m1.2.2.1.1" xref="S2.p7.1.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S2.p7.1.m1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.p7.1.m1.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S2.p7.1.m1.2.2.1.1.1" xref="S2.p7.1.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S2.p7.1.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S2.p7.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">e</mi><mrow id="S2.p7.1.m1.1.1.1" xref="S2.p7.1.m1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.p7.1.m1.1.1.1.3" xref="S2.p7.1.m1.1.1.1.3.cmml">λ</mi><mo id="S2.p7.1.m1.1.1.1.2" xref="S2.p7.1.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p7.1.m1.1.1.1.4.2" xref="S2.p7.1.m1.1.1.1.4.1.cmml"><mo id="S2.p7.1.m1.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S2.p7.1.m1.1.1.1.4.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S2.p7.1.m1.1.1.1.1" xref="S2.p7.1.m1.1.1.1.1.cmml">X</mi><mo id="S2.p7.1.m1.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S2.p7.1.m1.1.1.1.4.1.1.cmml">‖</mo></mrow></mrow></msup><mo id="S2.p7.1.m1.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.p7.1.m1.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p7.1.m1.2b"><apply id="S2.p7.1.m1.2.2.cmml" xref="S2.p7.1.m1.2.2"><times id="S2.p7.1.m1.2.2.2.cmml" xref="S2.p7.1.m1.2.2.2"></times><apply id="S2.p7.1.m1.2.2.3.cmml" xref="S2.p7.1.m1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p7.1.m1.2.2.3.1.cmml" xref="S2.p7.1.m1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.p7.1.m1.2.2.3.2.cmml" xref="S2.p7.1.m1.2.2.3.2">𝔼</ci><ci id="S2.p7.1.m1.2.2.3.3.cmml" xref="S2.p7.1.m1.2.2.3.3">𝑋</ci></apply><apply id="S2.p7.1.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.p7.1.m1.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p7.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p7.1.m1.2.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.p7.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.p7.1.m1.2.2.1.1.1.2">𝑒</ci><apply id="S2.p7.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.p7.1.m1.1.1.1"><times id="S2.p7.1.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.p7.1.m1.1.1.1.2"></times><ci id="S2.p7.1.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.p7.1.m1.1.1.1.3">𝜆</ci><apply id="S2.p7.1.m1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S2.p7.1.m1.1.1.1.4.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.p7.1.m1.1.1.1.4.1.1.cmml" xref="S2.p7.1.m1.1.1.1.4.2.1">norm</csymbol><ci id="S2.p7.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p7.1.m1.1.1.1.1">𝑋</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p7.1.m1.2c">\mathbb{E}_{X}(e^{\lambda\|X\|})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p7.1.m1.2d">blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT italic_X end_POSTSUBSCRIPT ( italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_λ ∥ italic_X ∥ end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> in our earlier attempt and the Markov’s inequality can be applied directly to bound <math alttext="\mathbb{P}\left(\|X\|>t\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p7.2.m2.2"><semantics id="S2.p7.2.m2.2a"><mrow id="S2.p7.2.m2.2.2" xref="S2.p7.2.m2.2.2.cmml"><mi id="S2.p7.2.m2.2.2.3" xref="S2.p7.2.m2.2.2.3.cmml">ℙ</mi><mo id="S2.p7.2.m2.2.2.2" xref="S2.p7.2.m2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p7.2.m2.2.2.1.1" xref="S2.p7.2.m2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S2.p7.2.m2.2.2.1.1.2" xref="S2.p7.2.m2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.p7.2.m2.2.2.1.1.1" xref="S2.p7.2.m2.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.p7.2.m2.2.2.1.1.1.2.2" xref="S2.p7.2.m2.2.2.1.1.1.2.1.cmml"><mo id="S2.p7.2.m2.2.2.1.1.1.2.2.1" stretchy="false" xref="S2.p7.2.m2.2.2.1.1.1.2.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S2.p7.2.m2.1.1" xref="S2.p7.2.m2.1.1.cmml">X</mi><mo id="S2.p7.2.m2.2.2.1.1.1.2.2.2" stretchy="false" xref="S2.p7.2.m2.2.2.1.1.1.2.1.1.cmml">‖</mo></mrow><mo id="S2.p7.2.m2.2.2.1.1.1.1" xref="S2.p7.2.m2.2.2.1.1.1.1.cmml">></mo><mi id="S2.p7.2.m2.2.2.1.1.1.3" xref="S2.p7.2.m2.2.2.1.1.1.3.cmml">t</mi></mrow><mo id="S2.p7.2.m2.2.2.1.1.3" xref="S2.p7.2.m2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p7.2.m2.2b"><apply id="S2.p7.2.m2.2.2.cmml" xref="S2.p7.2.m2.2.2"><times id="S2.p7.2.m2.2.2.2.cmml" xref="S2.p7.2.m2.2.2.2"></times><ci id="S2.p7.2.m2.2.2.3.cmml" xref="S2.p7.2.m2.2.2.3">ℙ</ci><apply id="S2.p7.2.m2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.p7.2.m2.2.2.1.1"><gt id="S2.p7.2.m2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p7.2.m2.2.2.1.1.1.1"></gt><apply id="S2.p7.2.m2.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.p7.2.m2.2.2.1.1.1.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.p7.2.m2.2.2.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S2.p7.2.m2.2.2.1.1.1.2.2.1">norm</csymbol><ci id="S2.p7.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.p7.2.m2.1.1">𝑋</ci></apply><ci id="S2.p7.2.m2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S2.p7.2.m2.2.2.1.1.1.3">𝑡</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p7.2.m2.2c">\mathbb{P}\left(\|X\|>t\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p7.2.m2.2d">blackboard_P ( ∥ italic_X ∥ > italic_t )</annotation></semantics></math>. One distinguishing feature of the AMGF compared with <math alttext="\mathbb{E}_{X}(e^{\lambda\|X\|})" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p7.3.m3.2"><semantics id="S2.p7.3.m3.2a"><mrow id="S2.p7.3.m3.2.2" xref="S2.p7.3.m3.2.2.cmml"><msub id="S2.p7.3.m3.2.2.3" xref="S2.p7.3.m3.2.2.3.cmml"><mi id="S2.p7.3.m3.2.2.3.2" xref="S2.p7.3.m3.2.2.3.2.cmml">𝔼</mi><mi id="S2.p7.3.m3.2.2.3.3" xref="S2.p7.3.m3.2.2.3.3.cmml">X</mi></msub><mo id="S2.p7.3.m3.2.2.2" xref="S2.p7.3.m3.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p7.3.m3.2.2.1.1" xref="S2.p7.3.m3.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S2.p7.3.m3.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.p7.3.m3.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S2.p7.3.m3.2.2.1.1.1" xref="S2.p7.3.m3.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S2.p7.3.m3.2.2.1.1.1.2" xref="S2.p7.3.m3.2.2.1.1.1.2.cmml">e</mi><mrow id="S2.p7.3.m3.1.1.1" xref="S2.p7.3.m3.1.1.1.cmml"><mi id="S2.p7.3.m3.1.1.1.3" xref="S2.p7.3.m3.1.1.1.3.cmml">λ</mi><mo id="S2.p7.3.m3.1.1.1.2" xref="S2.p7.3.m3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p7.3.m3.1.1.1.4.2" xref="S2.p7.3.m3.1.1.1.4.1.cmml"><mo id="S2.p7.3.m3.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S2.p7.3.m3.1.1.1.4.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S2.p7.3.m3.1.1.1.1" xref="S2.p7.3.m3.1.1.1.1.cmml">X</mi><mo id="S2.p7.3.m3.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S2.p7.3.m3.1.1.1.4.1.1.cmml">‖</mo></mrow></mrow></msup><mo id="S2.p7.3.m3.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.p7.3.m3.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p7.3.m3.2b"><apply id="S2.p7.3.m3.2.2.cmml" xref="S2.p7.3.m3.2.2"><times id="S2.p7.3.m3.2.2.2.cmml" xref="S2.p7.3.m3.2.2.2"></times><apply id="S2.p7.3.m3.2.2.3.cmml" xref="S2.p7.3.m3.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p7.3.m3.2.2.3.1.cmml" xref="S2.p7.3.m3.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.p7.3.m3.2.2.3.2.cmml" xref="S2.p7.3.m3.2.2.3.2">𝔼</ci><ci id="S2.p7.3.m3.2.2.3.3.cmml" xref="S2.p7.3.m3.2.2.3.3">𝑋</ci></apply><apply id="S2.p7.3.m3.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.p7.3.m3.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p7.3.m3.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p7.3.m3.2.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.p7.3.m3.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.p7.3.m3.2.2.1.1.1.2">𝑒</ci><apply id="S2.p7.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S2.p7.3.m3.1.1.1"><times id="S2.p7.3.m3.1.1.1.2.cmml" xref="S2.p7.3.m3.1.1.1.2"></times><ci id="S2.p7.3.m3.1.1.1.3.cmml" xref="S2.p7.3.m3.1.1.1.3">𝜆</ci><apply id="S2.p7.3.m3.1.1.1.4.1.cmml" xref="S2.p7.3.m3.1.1.1.4.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.p7.3.m3.1.1.1.4.1.1.cmml" xref="S2.p7.3.m3.1.1.1.4.2.1">norm</csymbol><ci id="S2.p7.3.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p7.3.m3.1.1.1.1">𝑋</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p7.3.m3.2c">\mathbb{E}_{X}(e^{\lambda\|X\|})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p7.3.m3.2d">blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT italic_X end_POSTSUBSCRIPT ( italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_λ ∥ italic_X ∥ end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> is that the AMGF shares the same bound as the MGF in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14347v1#S1.E2" title="In Definition 1.1. ‣ 1 Sub-Gaussian norm concentration inequality ‣ A New Proof of Sub-Gaussian Norm Concentration Inequality"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>). More specifically, by (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14347v1#S1.E2" title="In Definition 1.1. ‣ 1 Sub-Gaussian norm concentration inequality ‣ A New Proof of Sub-Gaussian Norm Concentration Inequality"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>), <math alttext="\mathbb{E}_{X}(e^{\lambda\langle\ell,X\rangle})\leq e^{\frac{\lambda^{2}\sigma% ^{2}}{2}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p7.4.m4.3"><semantics id="S2.p7.4.m4.3a"><mrow id="S2.p7.4.m4.3.3" xref="S2.p7.4.m4.3.3.cmml"><mrow id="S2.p7.4.m4.3.3.1" xref="S2.p7.4.m4.3.3.1.cmml"><msub id="S2.p7.4.m4.3.3.1.3" xref="S2.p7.4.m4.3.3.1.3.cmml"><mi id="S2.p7.4.m4.3.3.1.3.2" xref="S2.p7.4.m4.3.3.1.3.2.cmml">𝔼</mi><mi id="S2.p7.4.m4.3.3.1.3.3" xref="S2.p7.4.m4.3.3.1.3.3.cmml">X</mi></msub><mo id="S2.p7.4.m4.3.3.1.2" xref="S2.p7.4.m4.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p7.4.m4.3.3.1.1.1" xref="S2.p7.4.m4.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.p7.4.m4.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.p7.4.m4.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S2.p7.4.m4.3.3.1.1.1.1" xref="S2.p7.4.m4.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.p7.4.m4.3.3.1.1.1.1.2" xref="S2.p7.4.m4.3.3.1.1.1.1.2.cmml">e</mi><mrow id="S2.p7.4.m4.2.2.2" xref="S2.p7.4.m4.2.2.2.cmml"><mi id="S2.p7.4.m4.2.2.2.4" xref="S2.p7.4.m4.2.2.2.4.cmml">λ</mi><mo id="S2.p7.4.m4.2.2.2.3" xref="S2.p7.4.m4.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p7.4.m4.2.2.2.5.2" xref="S2.p7.4.m4.2.2.2.5.1.cmml"><mo id="S2.p7.4.m4.2.2.2.5.2.1" stretchy="false" xref="S2.p7.4.m4.2.2.2.5.1.cmml">⟨</mo><mi id="S2.p7.4.m4.1.1.1.1" mathvariant="normal" xref="S2.p7.4.m4.1.1.1.1.cmml">ℓ</mi><mo id="S2.p7.4.m4.2.2.2.5.2.2" xref="S2.p7.4.m4.2.2.2.5.1.cmml">,</mo><mi id="S2.p7.4.m4.2.2.2.2" xref="S2.p7.4.m4.2.2.2.2.cmml">X</mi><mo id="S2.p7.4.m4.2.2.2.5.2.3" stretchy="false" xref="S2.p7.4.m4.2.2.2.5.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></msup><mo id="S2.p7.4.m4.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.p7.4.m4.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.p7.4.m4.3.3.2" xref="S2.p7.4.m4.3.3.2.cmml">≤</mo><msup id="S2.p7.4.m4.3.3.3" xref="S2.p7.4.m4.3.3.3.cmml"><mi id="S2.p7.4.m4.3.3.3.2" xref="S2.p7.4.m4.3.3.3.2.cmml">e</mi><mfrac id="S2.p7.4.m4.3.3.3.3" xref="S2.p7.4.m4.3.3.3.3.cmml"><mrow id="S2.p7.4.m4.3.3.3.3.2" xref="S2.p7.4.m4.3.3.3.3.2.cmml"><msup id="S2.p7.4.m4.3.3.3.3.2.2" xref="S2.p7.4.m4.3.3.3.3.2.2.cmml"><mi id="S2.p7.4.m4.3.3.3.3.2.2.2" xref="S2.p7.4.m4.3.3.3.3.2.2.2.cmml">λ</mi><mn id="S2.p7.4.m4.3.3.3.3.2.2.3" xref="S2.p7.4.m4.3.3.3.3.2.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S2.p7.4.m4.3.3.3.3.2.1" xref="S2.p7.4.m4.3.3.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S2.p7.4.m4.3.3.3.3.2.3" xref="S2.p7.4.m4.3.3.3.3.2.3.cmml"><mi id="S2.p7.4.m4.3.3.3.3.2.3.2" xref="S2.p7.4.m4.3.3.3.3.2.3.2.cmml">σ</mi><mn id="S2.p7.4.m4.3.3.3.3.2.3.3" xref="S2.p7.4.m4.3.3.3.3.2.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mn id="S2.p7.4.m4.3.3.3.3.3" xref="S2.p7.4.m4.3.3.3.3.3.cmml">2</mn></mfrac></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p7.4.m4.3b"><apply id="S2.p7.4.m4.3.3.cmml" xref="S2.p7.4.m4.3.3"><leq id="S2.p7.4.m4.3.3.2.cmml" xref="S2.p7.4.m4.3.3.2"></leq><apply id="S2.p7.4.m4.3.3.1.cmml" xref="S2.p7.4.m4.3.3.1"><times id="S2.p7.4.m4.3.3.1.2.cmml" xref="S2.p7.4.m4.3.3.1.2"></times><apply id="S2.p7.4.m4.3.3.1.3.cmml" xref="S2.p7.4.m4.3.3.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p7.4.m4.3.3.1.3.1.cmml" xref="S2.p7.4.m4.3.3.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.p7.4.m4.3.3.1.3.2.cmml" xref="S2.p7.4.m4.3.3.1.3.2">𝔼</ci><ci id="S2.p7.4.m4.3.3.1.3.3.cmml" xref="S2.p7.4.m4.3.3.1.3.3">𝑋</ci></apply><apply id="S2.p7.4.m4.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p7.4.m4.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p7.4.m4.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p7.4.m4.3.3.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.p7.4.m4.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.p7.4.m4.3.3.1.1.1.1.2">𝑒</ci><apply id="S2.p7.4.m4.2.2.2.cmml" xref="S2.p7.4.m4.2.2.2"><times id="S2.p7.4.m4.2.2.2.3.cmml" xref="S2.p7.4.m4.2.2.2.3"></times><ci id="S2.p7.4.m4.2.2.2.4.cmml" xref="S2.p7.4.m4.2.2.2.4">𝜆</ci><list id="S2.p7.4.m4.2.2.2.5.1.cmml" xref="S2.p7.4.m4.2.2.2.5.2"><ci id="S2.p7.4.m4.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p7.4.m4.1.1.1.1">ℓ</ci><ci id="S2.p7.4.m4.2.2.2.2.cmml" xref="S2.p7.4.m4.2.2.2.2">𝑋</ci></list></apply></apply></apply><apply id="S2.p7.4.m4.3.3.3.cmml" xref="S2.p7.4.m4.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p7.4.m4.3.3.3.1.cmml" xref="S2.p7.4.m4.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="S2.p7.4.m4.3.3.3.2.cmml" xref="S2.p7.4.m4.3.3.3.2">𝑒</ci><apply id="S2.p7.4.m4.3.3.3.3.cmml" xref="S2.p7.4.m4.3.3.3.3"><divide id="S2.p7.4.m4.3.3.3.3.1.cmml" xref="S2.p7.4.m4.3.3.3.3"></divide><apply id="S2.p7.4.m4.3.3.3.3.2.cmml" xref="S2.p7.4.m4.3.3.3.3.2"><times id="S2.p7.4.m4.3.3.3.3.2.1.cmml" xref="S2.p7.4.m4.3.3.3.3.2.1"></times><apply id="S2.p7.4.m4.3.3.3.3.2.2.cmml" xref="S2.p7.4.m4.3.3.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p7.4.m4.3.3.3.3.2.2.1.cmml" xref="S2.p7.4.m4.3.3.3.3.2.2">superscript</csymbol><ci id="S2.p7.4.m4.3.3.3.3.2.2.2.cmml" xref="S2.p7.4.m4.3.3.3.3.2.2.2">𝜆</ci><cn id="S2.p7.4.m4.3.3.3.3.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.p7.4.m4.3.3.3.3.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S2.p7.4.m4.3.3.3.3.2.3.cmml" xref="S2.p7.4.m4.3.3.3.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p7.4.m4.3.3.3.3.2.3.1.cmml" xref="S2.p7.4.m4.3.3.3.3.2.3">superscript</csymbol><ci id="S2.p7.4.m4.3.3.3.3.2.3.2.cmml" xref="S2.p7.4.m4.3.3.3.3.2.3.2">𝜎</ci><cn id="S2.p7.4.m4.3.3.3.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.p7.4.m4.3.3.3.3.2.3.3">2</cn></apply></apply><cn id="S2.p7.4.m4.3.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.p7.4.m4.3.3.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p7.4.m4.3c">\mathbb{E}_{X}(e^{\lambda\langle\ell,X\rangle})\leq e^{\frac{\lambda^{2}\sigma% ^{2}}{2}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p7.4.m4.3d">blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT italic_X end_POSTSUBSCRIPT ( italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_λ ⟨ roman_ℓ , italic_X ⟩ end_POSTSUPERSCRIPT ) ≤ italic_e start_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG italic_λ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 2 end_ARG end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> for any <math alttext="\ell\in\mathcal{S}^{n-1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p7.5.m5.1"><semantics id="S2.p7.5.m5.1a"><mrow id="S2.p7.5.m5.1.1" xref="S2.p7.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S2.p7.5.m5.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S2.p7.5.m5.1.1.2.cmml">ℓ</mi><mo id="S2.p7.5.m5.1.1.1" xref="S2.p7.5.m5.1.1.1.cmml">∈</mo><msup id="S2.p7.5.m5.1.1.3" xref="S2.p7.5.m5.1.1.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.p7.5.m5.1.1.3.2" xref="S2.p7.5.m5.1.1.3.2.cmml">𝒮</mi><mrow id="S2.p7.5.m5.1.1.3.3" xref="S2.p7.5.m5.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.p7.5.m5.1.1.3.3.2" xref="S2.p7.5.m5.1.1.3.3.2.cmml">n</mi><mo id="S2.p7.5.m5.1.1.3.3.1" xref="S2.p7.5.m5.1.1.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="S2.p7.5.m5.1.1.3.3.3" xref="S2.p7.5.m5.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p7.5.m5.1b"><apply id="S2.p7.5.m5.1.1.cmml" xref="S2.p7.5.m5.1.1"><in id="S2.p7.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S2.p7.5.m5.1.1.1"></in><ci id="S2.p7.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S2.p7.5.m5.1.1.2">ℓ</ci><apply id="S2.p7.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S2.p7.5.m5.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p7.5.m5.1.1.3.1.cmml" xref="S2.p7.5.m5.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.p7.5.m5.1.1.3.2.cmml" xref="S2.p7.5.m5.1.1.3.2">𝒮</ci><apply id="S2.p7.5.m5.1.1.3.3.cmml" xref="S2.p7.5.m5.1.1.3.3"><minus id="S2.p7.5.m5.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.p7.5.m5.1.1.3.3.1"></minus><ci id="S2.p7.5.m5.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.p7.5.m5.1.1.3.3.2">𝑛</ci><cn id="S2.p7.5.m5.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.p7.5.m5.1.1.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p7.5.m5.1c">\ell\in\mathcal{S}^{n-1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p7.5.m5.1d">roman_ℓ ∈ caligraphic_S start_POSTSUPERSCRIPT italic_n - 1 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, and thus the AMGF satisfies</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E16"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\mathbb{E}_{X}(\Phi_{n,\lambda}(X))=\mathbb{E}_{X}\mathbb{E}_{\ell\sim\mathcal% {S}^{n-1}}(e^{\lambda\langle\ell,X\rangle})=\mathbb{E}_{\ell\sim\mathcal{S}^{n% -1}}\mathbb{E}_{X}(e^{\lambda\langle\ell,X\rangle})\leq e^{\frac{\lambda^{2}% \sigma^{2}}{2}}." class="ltx_Math" display="block" id="S2.E16.m1.8"><semantics id="S2.E16.m1.8a"><mrow id="S2.E16.m1.8.8.1" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.cmml"><mrow id="S2.E16.m1.8.8.1.1" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.cmml"><mrow id="S2.E16.m1.8.8.1.1.1" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.1.cmml"><msub id="S2.E16.m1.8.8.1.1.1.3" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.E16.m1.8.8.1.1.1.3.2" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.1.3.2.cmml">𝔼</mi><mi id="S2.E16.m1.8.8.1.1.1.3.3" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.1.3.3.cmml">X</mi></msub><mo id="S2.E16.m1.8.8.1.1.1.2" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E16.m1.8.8.1.1.1.1.1" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E16.m1.8.8.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E16.m1.8.8.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.E16.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.E16.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2" mathvariant="normal" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">Φ</mi><mrow id="S2.E16.m1.2.2.2.4" xref="S2.E16.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.E16.m1.1.1.1.1" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S2.E16.m1.2.2.2.4.1" xref="S2.E16.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.E16.m1.2.2.2.2" xref="S2.E16.m1.2.2.2.2.cmml">λ</mi></mrow></msub><mo id="S2.E16.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E16.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E16.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S2.E16.m1.7.7" xref="S2.E16.m1.7.7.cmml">X</mi><mo id="S2.E16.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E16.m1.8.8.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E16.m1.8.8.1.1.5" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.5.cmml">=</mo><mrow id="S2.E16.m1.8.8.1.1.2" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.2.cmml"><msub id="S2.E16.m1.8.8.1.1.2.3" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.2.3.cmml"><mi id="S2.E16.m1.8.8.1.1.2.3.2" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.2.3.2.cmml">𝔼</mi><mi id="S2.E16.m1.8.8.1.1.2.3.3" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.2.3.3.cmml">X</mi></msub><mo id="S2.E16.m1.8.8.1.1.2.2" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><msub id="S2.E16.m1.8.8.1.1.2.4" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.2.4.cmml"><mi id="S2.E16.m1.8.8.1.1.2.4.2" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.2.4.2.cmml">𝔼</mi><mrow id="S2.E16.m1.8.8.1.1.2.4.3" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.2.4.3.cmml"><mi id="S2.E16.m1.8.8.1.1.2.4.3.2" mathvariant="normal" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.2.4.3.2.cmml">ℓ</mi><mo id="S2.E16.m1.8.8.1.1.2.4.3.1" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.2.4.3.1.cmml">∼</mo><msup id="S2.E16.m1.8.8.1.1.2.4.3.3" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.2.4.3.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.E16.m1.8.8.1.1.2.4.3.3.2" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.2.4.3.3.2.cmml">𝒮</mi><mrow id="S2.E16.m1.8.8.1.1.2.4.3.3.3" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.2.4.3.3.3.cmml"><mi id="S2.E16.m1.8.8.1.1.2.4.3.3.3.2" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.2.4.3.3.3.2.cmml">n</mi><mo id="S2.E16.m1.8.8.1.1.2.4.3.3.3.1" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.2.4.3.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="S2.E16.m1.8.8.1.1.2.4.3.3.3.3" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.2.4.3.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup></mrow></msub><mo id="S2.E16.m1.8.8.1.1.2.2a" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E16.m1.8.8.1.1.2.1.1" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E16.m1.8.8.1.1.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S2.E16.m1.8.8.1.1.2.1.1.1" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E16.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.2" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.2.cmml">e</mi><mrow id="S2.E16.m1.4.4.2" xref="S2.E16.m1.4.4.2.cmml"><mi id="S2.E16.m1.4.4.2.4" xref="S2.E16.m1.4.4.2.4.cmml">λ</mi><mo id="S2.E16.m1.4.4.2.3" xref="S2.E16.m1.4.4.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E16.m1.4.4.2.5.2" xref="S2.E16.m1.4.4.2.5.1.cmml"><mo id="S2.E16.m1.4.4.2.5.2.1" stretchy="false" xref="S2.E16.m1.4.4.2.5.1.cmml">⟨</mo><mi id="S2.E16.m1.3.3.1.1" mathvariant="normal" xref="S2.E16.m1.3.3.1.1.cmml">ℓ</mi><mo id="S2.E16.m1.4.4.2.5.2.2" xref="S2.E16.m1.4.4.2.5.1.cmml">,</mo><mi id="S2.E16.m1.4.4.2.2" xref="S2.E16.m1.4.4.2.2.cmml">X</mi><mo id="S2.E16.m1.4.4.2.5.2.3" stretchy="false" xref="S2.E16.m1.4.4.2.5.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></msup><mo id="S2.E16.m1.8.8.1.1.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E16.m1.8.8.1.1.6" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.6.cmml">=</mo><mrow id="S2.E16.m1.8.8.1.1.3" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.3.cmml"><msub id="S2.E16.m1.8.8.1.1.3.3" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.E16.m1.8.8.1.1.3.3.2" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.3.3.2.cmml">𝔼</mi><mrow id="S2.E16.m1.8.8.1.1.3.3.3" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S2.E16.m1.8.8.1.1.3.3.3.2" mathvariant="normal" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.3.3.3.2.cmml">ℓ</mi><mo id="S2.E16.m1.8.8.1.1.3.3.3.1" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.3.3.3.1.cmml">∼</mo><msup id="S2.E16.m1.8.8.1.1.3.3.3.3" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.E16.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.2" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.2.cmml">𝒮</mi><mrow id="S2.E16.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.3" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.3.cmml"><mi id="S2.E16.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.3.2" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.3.2.cmml">n</mi><mo id="S2.E16.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.3.1" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="S2.E16.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.3.3" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup></mrow></msub><mo id="S2.E16.m1.8.8.1.1.3.2" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.3.2.cmml">⁢</mo><msub id="S2.E16.m1.8.8.1.1.3.4" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.3.4.cmml"><mi id="S2.E16.m1.8.8.1.1.3.4.2" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.3.4.2.cmml">𝔼</mi><mi id="S2.E16.m1.8.8.1.1.3.4.3" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.3.4.3.cmml">X</mi></msub><mo id="S2.E16.m1.8.8.1.1.3.2a" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.3.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E16.m1.8.8.1.1.3.1.1" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.3.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E16.m1.8.8.1.1.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.3.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S2.E16.m1.8.8.1.1.3.1.1.1" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.3.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E16.m1.8.8.1.1.3.1.1.1.2" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.3.1.1.1.2.cmml">e</mi><mrow id="S2.E16.m1.6.6.2" xref="S2.E16.m1.6.6.2.cmml"><mi id="S2.E16.m1.6.6.2.4" xref="S2.E16.m1.6.6.2.4.cmml">λ</mi><mo id="S2.E16.m1.6.6.2.3" xref="S2.E16.m1.6.6.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E16.m1.6.6.2.5.2" xref="S2.E16.m1.6.6.2.5.1.cmml"><mo id="S2.E16.m1.6.6.2.5.2.1" stretchy="false" xref="S2.E16.m1.6.6.2.5.1.cmml">⟨</mo><mi id="S2.E16.m1.5.5.1.1" mathvariant="normal" xref="S2.E16.m1.5.5.1.1.cmml">ℓ</mi><mo id="S2.E16.m1.6.6.2.5.2.2" xref="S2.E16.m1.6.6.2.5.1.cmml">,</mo><mi id="S2.E16.m1.6.6.2.2" xref="S2.E16.m1.6.6.2.2.cmml">X</mi><mo id="S2.E16.m1.6.6.2.5.2.3" stretchy="false" xref="S2.E16.m1.6.6.2.5.1.cmml">⟩</mo></mrow></mrow></msup><mo id="S2.E16.m1.8.8.1.1.3.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E16.m1.8.8.1.1.7" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.7.cmml">≤</mo><msup id="S2.E16.m1.8.8.1.1.8" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.8.cmml"><mi id="S2.E16.m1.8.8.1.1.8.2" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.8.2.cmml">e</mi><mfrac id="S2.E16.m1.8.8.1.1.8.3" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.8.3.cmml"><mrow id="S2.E16.m1.8.8.1.1.8.3.2" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.8.3.2.cmml"><msup id="S2.E16.m1.8.8.1.1.8.3.2.2" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.8.3.2.2.cmml"><mi id="S2.E16.m1.8.8.1.1.8.3.2.2.2" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.8.3.2.2.2.cmml">λ</mi><mn id="S2.E16.m1.8.8.1.1.8.3.2.2.3" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.8.3.2.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S2.E16.m1.8.8.1.1.8.3.2.1" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.8.3.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S2.E16.m1.8.8.1.1.8.3.2.3" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.8.3.2.3.cmml"><mi id="S2.E16.m1.8.8.1.1.8.3.2.3.2" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.8.3.2.3.2.cmml">σ</mi><mn id="S2.E16.m1.8.8.1.1.8.3.2.3.3" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.8.3.2.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mn id="S2.E16.m1.8.8.1.1.8.3.3" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.8.3.3.cmml">2</mn></mfrac></msup></mrow><mo id="S2.E16.m1.8.8.1.2" lspace="0em" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E16.m1.8b"><apply id="S2.E16.m1.8.8.1.1.cmml" xref="S2.E16.m1.8.8.1"><and id="S2.E16.m1.8.8.1.1a.cmml" xref="S2.E16.m1.8.8.1"></and><apply id="S2.E16.m1.8.8.1.1b.cmml" xref="S2.E16.m1.8.8.1"><eq id="S2.E16.m1.8.8.1.1.5.cmml" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.5"></eq><apply 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id="S2.E16.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.E16.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.2">𝑒</ci><apply id="S2.E16.m1.4.4.2.cmml" xref="S2.E16.m1.4.4.2"><times id="S2.E16.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S2.E16.m1.4.4.2.3"></times><ci id="S2.E16.m1.4.4.2.4.cmml" xref="S2.E16.m1.4.4.2.4">𝜆</ci><list id="S2.E16.m1.4.4.2.5.1.cmml" xref="S2.E16.m1.4.4.2.5.2"><ci id="S2.E16.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S2.E16.m1.3.3.1.1">ℓ</ci><ci id="S2.E16.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S2.E16.m1.4.4.2.2">𝑋</ci></list></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.E16.m1.8.8.1.1c.cmml" xref="S2.E16.m1.8.8.1"><eq id="S2.E16.m1.8.8.1.1.6.cmml" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.6"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.14347v1#S2.E16.m1.8.8.1.1.2.cmml" id="S2.E16.m1.8.8.1.1d.cmml" xref="S2.E16.m1.8.8.1"></share><apply id="S2.E16.m1.8.8.1.1.3.cmml" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.3"><times id="S2.E16.m1.8.8.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.3.2"></times><apply id="S2.E16.m1.8.8.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E16.m1.8.8.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E16.m1.8.8.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.3.3.2">𝔼</ci><apply id="S2.E16.m1.8.8.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.3.3.3"><csymbol cd="latexml" id="S2.E16.m1.8.8.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.3.3.3.1">similar-to</csymbol><ci id="S2.E16.m1.8.8.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.3.3.3.2">ℓ</ci><apply id="S2.E16.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E16.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.1.cmml" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.3.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="S2.E16.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.2.cmml" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.2">𝒮</ci><apply id="S2.E16.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.3.cmml" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.3"><minus id="S2.E16.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.3.1.cmml" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.3.1"></minus><ci id="S2.E16.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.3.2.cmml" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.3.2">𝑛</ci><cn id="S2.E16.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.3.3.3.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.E16.m1.8.8.1.1.3.4.cmml" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E16.m1.8.8.1.1.3.4.1.cmml" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.3.4">subscript</csymbol><ci id="S2.E16.m1.8.8.1.1.3.4.2.cmml" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.3.4.2">𝔼</ci><ci id="S2.E16.m1.8.8.1.1.3.4.3.cmml" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.3.4.3">𝑋</ci></apply><apply id="S2.E16.m1.8.8.1.1.3.1.1.1.cmml" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E16.m1.8.8.1.1.3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.3.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.E16.m1.8.8.1.1.3.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.3.1.1.1.2">𝑒</ci><apply id="S2.E16.m1.6.6.2.cmml" xref="S2.E16.m1.6.6.2"><times id="S2.E16.m1.6.6.2.3.cmml" xref="S2.E16.m1.6.6.2.3"></times><ci id="S2.E16.m1.6.6.2.4.cmml" xref="S2.E16.m1.6.6.2.4">𝜆</ci><list id="S2.E16.m1.6.6.2.5.1.cmml" xref="S2.E16.m1.6.6.2.5.2"><ci id="S2.E16.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S2.E16.m1.5.5.1.1">ℓ</ci><ci id="S2.E16.m1.6.6.2.2.cmml" xref="S2.E16.m1.6.6.2.2">𝑋</ci></list></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.E16.m1.8.8.1.1e.cmml" xref="S2.E16.m1.8.8.1"><leq id="S2.E16.m1.8.8.1.1.7.cmml" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.7"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2503.14347v1#S2.E16.m1.8.8.1.1.3.cmml" id="S2.E16.m1.8.8.1.1f.cmml" xref="S2.E16.m1.8.8.1"></share><apply id="S2.E16.m1.8.8.1.1.8.cmml" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.8"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E16.m1.8.8.1.1.8.1.cmml" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.8">superscript</csymbol><ci id="S2.E16.m1.8.8.1.1.8.2.cmml" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.8.2">𝑒</ci><apply id="S2.E16.m1.8.8.1.1.8.3.cmml" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.8.3"><divide id="S2.E16.m1.8.8.1.1.8.3.1.cmml" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.8.3"></divide><apply id="S2.E16.m1.8.8.1.1.8.3.2.cmml" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.8.3.2"><times id="S2.E16.m1.8.8.1.1.8.3.2.1.cmml" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.8.3.2.1"></times><apply id="S2.E16.m1.8.8.1.1.8.3.2.2.cmml" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.8.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E16.m1.8.8.1.1.8.3.2.2.1.cmml" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.8.3.2.2">superscript</csymbol><ci id="S2.E16.m1.8.8.1.1.8.3.2.2.2.cmml" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.8.3.2.2.2">𝜆</ci><cn id="S2.E16.m1.8.8.1.1.8.3.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.8.3.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S2.E16.m1.8.8.1.1.8.3.2.3.cmml" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.8.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E16.m1.8.8.1.1.8.3.2.3.1.cmml" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.8.3.2.3">superscript</csymbol><ci id="S2.E16.m1.8.8.1.1.8.3.2.3.2.cmml" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.8.3.2.3.2">𝜎</ci><cn id="S2.E16.m1.8.8.1.1.8.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.8.3.2.3.3">2</cn></apply></apply><cn id="S2.E16.m1.8.8.1.1.8.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E16.m1.8.8.1.1.8.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E16.m1.8c">\mathbb{E}_{X}(\Phi_{n,\lambda}(X))=\mathbb{E}_{X}\mathbb{E}_{\ell\sim\mathcal% {S}^{n-1}}(e^{\lambda\langle\ell,X\rangle})=\mathbb{E}_{\ell\sim\mathcal{S}^{n% -1}}\mathbb{E}_{X}(e^{\lambda\langle\ell,X\rangle})\leq e^{\frac{\lambda^{2}% \sigma^{2}}{2}}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E16.m1.8d">blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT italic_X end_POSTSUBSCRIPT ( roman_Φ start_POSTSUBSCRIPT italic_n , italic_λ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_X ) ) = blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT italic_X end_POSTSUBSCRIPT blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT roman_ℓ ∼ caligraphic_S start_POSTSUPERSCRIPT italic_n - 1 end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_λ ⟨ roman_ℓ , italic_X ⟩ end_POSTSUPERSCRIPT ) = blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT roman_ℓ ∼ caligraphic_S start_POSTSUPERSCRIPT italic_n - 1 end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT italic_X end_POSTSUBSCRIPT ( italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_λ ⟨ roman_ℓ , italic_X ⟩ end_POSTSUPERSCRIPT ) ≤ italic_e start_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG italic_λ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 2 end_ARG end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(16)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.p7.6">Based on the AMGF, we present the following concentration inequality for sub-Gaussian distributions.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_thm" id="Thmthm2"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmthm2.1.1.1">Theorem 2</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmthm2.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmthm2.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmthm2.p1.4"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmthm2.p1.4.4">Let <math alttext="X\in\mathbb{R}^{n}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmthm2.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmthm2.p1.1.1.m1.1a"><mrow id="Thmthm2.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmthm2.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Thmthm2.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="Thmthm2.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml">X</mi><mo id="Thmthm2.p1.1.1.m1.1.1.1" xref="Thmthm2.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml">∈</mo><msup id="Thmthm2.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="Thmthm2.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="Thmthm2.p1.1.1.m1.1.1.3.2" xref="Thmthm2.p1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml">ℝ</mi><mi id="Thmthm2.p1.1.1.m1.1.1.3.3" xref="Thmthm2.p1.1.1.m1.1.1.3.3.cmml">n</mi></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmthm2.p1.1.1.m1.1b"><apply id="Thmthm2.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmthm2.p1.1.1.m1.1.1"><in id="Thmthm2.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="Thmthm2.p1.1.1.m1.1.1.1"></in><ci id="Thmthm2.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmthm2.p1.1.1.m1.1.1.2">𝑋</ci><apply id="Thmthm2.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmthm2.p1.1.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmthm2.p1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="Thmthm2.p1.1.1.m1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="Thmthm2.p1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="Thmthm2.p1.1.1.m1.1.1.3.2">ℝ</ci><ci id="Thmthm2.p1.1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="Thmthm2.p1.1.1.m1.1.1.3.3">𝑛</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmthm2.p1.1.1.m1.1c">X\in\mathbb{R}^{n}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmthm2.p1.1.1.m1.1d">italic_X ∈ blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> be a sub-Gaussian vector with variance proxy <math alttext="\sigma^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmthm2.p1.2.2.m2.1"><semantics id="Thmthm2.p1.2.2.m2.1a"><msup id="Thmthm2.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmthm2.p1.2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="Thmthm2.p1.2.2.m2.1.1.2" xref="Thmthm2.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml">σ</mi><mn id="Thmthm2.p1.2.2.m2.1.1.3" xref="Thmthm2.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml">2</mn></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmthm2.p1.2.2.m2.1b"><apply id="Thmthm2.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmthm2.p1.2.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmthm2.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="Thmthm2.p1.2.2.m2.1.1">superscript</csymbol><ci id="Thmthm2.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="Thmthm2.p1.2.2.m2.1.1.2">𝜎</ci><cn id="Thmthm2.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Thmthm2.p1.2.2.m2.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmthm2.p1.2.2.m2.1c">\sigma^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmthm2.p1.2.2.m2.1d">italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, then for any <math alttext="\delta\in(0,1)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmthm2.p1.3.3.m3.2"><semantics id="Thmthm2.p1.3.3.m3.2a"><mrow id="Thmthm2.p1.3.3.m3.2.3" xref="Thmthm2.p1.3.3.m3.2.3.cmml"><mi id="Thmthm2.p1.3.3.m3.2.3.2" xref="Thmthm2.p1.3.3.m3.2.3.2.cmml">δ</mi><mo id="Thmthm2.p1.3.3.m3.2.3.1" xref="Thmthm2.p1.3.3.m3.2.3.1.cmml">∈</mo><mrow id="Thmthm2.p1.3.3.m3.2.3.3.2" xref="Thmthm2.p1.3.3.m3.2.3.3.1.cmml"><mo id="Thmthm2.p1.3.3.m3.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmthm2.p1.3.3.m3.2.3.3.1.cmml">(</mo><mn id="Thmthm2.p1.3.3.m3.1.1" xref="Thmthm2.p1.3.3.m3.1.1.cmml">0</mn><mo id="Thmthm2.p1.3.3.m3.2.3.3.2.2" xref="Thmthm2.p1.3.3.m3.2.3.3.1.cmml">,</mo><mn id="Thmthm2.p1.3.3.m3.2.2" xref="Thmthm2.p1.3.3.m3.2.2.cmml">1</mn><mo id="Thmthm2.p1.3.3.m3.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="Thmthm2.p1.3.3.m3.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmthm2.p1.3.3.m3.2b"><apply id="Thmthm2.p1.3.3.m3.2.3.cmml" xref="Thmthm2.p1.3.3.m3.2.3"><in id="Thmthm2.p1.3.3.m3.2.3.1.cmml" xref="Thmthm2.p1.3.3.m3.2.3.1"></in><ci id="Thmthm2.p1.3.3.m3.2.3.2.cmml" xref="Thmthm2.p1.3.3.m3.2.3.2">𝛿</ci><interval closure="open" id="Thmthm2.p1.3.3.m3.2.3.3.1.cmml" xref="Thmthm2.p1.3.3.m3.2.3.3.2"><cn id="Thmthm2.p1.3.3.m3.1.1.cmml" type="integer" xref="Thmthm2.p1.3.3.m3.1.1">0</cn><cn id="Thmthm2.p1.3.3.m3.2.2.cmml" type="integer" xref="Thmthm2.p1.3.3.m3.2.2">1</cn></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmthm2.p1.3.3.m3.2c">\delta\in(0,1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmthm2.p1.3.3.m3.2d">italic_δ ∈ ( 0 , 1 )</annotation></semantics></math> and any <math alttext="\varepsilon\in(0,1)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmthm2.p1.4.4.m4.2"><semantics id="Thmthm2.p1.4.4.m4.2a"><mrow id="Thmthm2.p1.4.4.m4.2.3" xref="Thmthm2.p1.4.4.m4.2.3.cmml"><mi id="Thmthm2.p1.4.4.m4.2.3.2" xref="Thmthm2.p1.4.4.m4.2.3.2.cmml">ε</mi><mo id="Thmthm2.p1.4.4.m4.2.3.1" xref="Thmthm2.p1.4.4.m4.2.3.1.cmml">∈</mo><mrow id="Thmthm2.p1.4.4.m4.2.3.3.2" xref="Thmthm2.p1.4.4.m4.2.3.3.1.cmml"><mo id="Thmthm2.p1.4.4.m4.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmthm2.p1.4.4.m4.2.3.3.1.cmml">(</mo><mn id="Thmthm2.p1.4.4.m4.1.1" xref="Thmthm2.p1.4.4.m4.1.1.cmml">0</mn><mo id="Thmthm2.p1.4.4.m4.2.3.3.2.2" xref="Thmthm2.p1.4.4.m4.2.3.3.1.cmml">,</mo><mn id="Thmthm2.p1.4.4.m4.2.2" xref="Thmthm2.p1.4.4.m4.2.2.cmml">1</mn><mo id="Thmthm2.p1.4.4.m4.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="Thmthm2.p1.4.4.m4.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmthm2.p1.4.4.m4.2b"><apply id="Thmthm2.p1.4.4.m4.2.3.cmml" xref="Thmthm2.p1.4.4.m4.2.3"><in id="Thmthm2.p1.4.4.m4.2.3.1.cmml" xref="Thmthm2.p1.4.4.m4.2.3.1"></in><ci id="Thmthm2.p1.4.4.m4.2.3.2.cmml" xref="Thmthm2.p1.4.4.m4.2.3.2">𝜀</ci><interval closure="open" id="Thmthm2.p1.4.4.m4.2.3.3.1.cmml" xref="Thmthm2.p1.4.4.m4.2.3.3.2"><cn id="Thmthm2.p1.4.4.m4.1.1.cmml" type="integer" xref="Thmthm2.p1.4.4.m4.1.1">0</cn><cn id="Thmthm2.p1.4.4.m4.2.2.cmml" type="integer" xref="Thmthm2.p1.4.4.m4.2.2">1</cn></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmthm2.p1.4.4.m4.2c">\varepsilon\in(0,1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmthm2.p1.4.4.m4.2d">italic_ε ∈ ( 0 , 1 )</annotation></semantics></math>,</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E17"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\mathbb{P}\left(\|X\|\leq\sigma\sqrt{\frac{\log\frac{1}{1-\varepsilon^{2}}}{% \varepsilon^{2}}n+\frac{2}{\varepsilon^{2}}\log\frac{1}{\delta}}\right)\geq 1-\delta." class="ltx_Math" display="block" id="S2.E17.m1.2"><semantics id="S2.E17.m1.2a"><mrow id="S2.E17.m1.2.2.1" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S2.E17.m1.2.2.1.1" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S2.E17.m1.2.2.1.1.1" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">ℙ</mi><mo id="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml"><mo id="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.1" stretchy="false" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S2.E17.m1.1.1" xref="S2.E17.m1.1.1.cmml">X</mi><mo id="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2" stretchy="false" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml">‖</mo></mrow><mo id="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">≤</mo><mrow id="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">σ</mi><mo id="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msqrt id="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mrow id="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml"><mrow id="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml"><mfrac id="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.cmml"><mrow id="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.1" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.1.cmml">log</mi><mo id="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2a" lspace="0.167em" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.cmml">⁡</mo><mfrac id="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.2" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.2.cmml"><mn id="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.2.2" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.2.2.cmml">1</mn><mrow id="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.2.3" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.2.3.cmml"><mn id="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.2.3.2" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.2.3.2.cmml">1</mn><mo id="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.2.3.1" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.2.3.1.cmml">−</mo><msup id="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.2.3.3" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.2.3.3.cmml"><mi id="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.2.3.3.2" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.2.3.3.2.cmml">ε</mi><mn id="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.2.3.3.3" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.2.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mfrac></mrow><msup id="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.3" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.3.2" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.3.2.cmml">ε</mi><mn id="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.3.3" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.3.3.cmml">2</mn></msup></mfrac><mo id="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.1" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.3" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.cmml">n</mi></mrow><mo id="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml">+</mo><mrow id="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml"><mfrac id="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.cmml"><mn id="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.2" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.2.cmml">2</mn><msup id="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.3" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.3.cmml"><mi id="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.3.2" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.3.2.cmml">ε</mi><mn id="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.3.3" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.3.3.cmml">2</mn></msup></mfrac><mo id="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.1" lspace="0.167em" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.cmml"><mi id="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.1" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.1.cmml">log</mi><mo id="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3a" lspace="0.167em" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.cmml">⁡</mo><mfrac id="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.2" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.2.cmml"><mn id="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.2.2" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.2.2.cmml">1</mn><mi id="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.2.3" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.2.3.cmml">δ</mi></mfrac></mrow></mrow></mrow></msqrt></mrow></mrow><mo id="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E17.m1.2.2.1.1.2" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.2.cmml">≥</mo><mrow id="S2.E17.m1.2.2.1.1.3" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mn id="S2.E17.m1.2.2.1.1.3.2" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S2.E17.m1.2.2.1.1.3.1" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.3.1.cmml">−</mo><mi id="S2.E17.m1.2.2.1.1.3.3" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.3.3.cmml">δ</mi></mrow></mrow><mo id="S2.E17.m1.2.2.1.2" lspace="0em" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E17.m1.2b"><apply id="S2.E17.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S2.E17.m1.2.2.1"><geq id="S2.E17.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.2"></geq><apply id="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.1"><times id="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.2"></times><ci id="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.3">ℙ</ci><apply id="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1"><leq id="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1"></leq><apply id="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.1">norm</csymbol><ci id="S2.E17.m1.1.1.cmml" xref="S2.E17.m1.1.1">𝑋</ci></apply><apply id="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2">𝜎</ci><apply id="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3"><root id="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3a.cmml" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3"></root><apply id="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2"><plus id="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1"></plus><apply id="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2"><times id="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.1.cmml" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.1"></times><apply id="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2"><divide id="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2"></divide><apply id="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2"><log id="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.1"></log><apply id="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.2"><divide id="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.2"></divide><cn id="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.2.2">1</cn><apply id="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.2.3"><minus id="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.2.3.1"></minus><cn id="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.2.3.2">1</cn><apply id="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.2.3.3.1.cmml" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.2.3.3">superscript</csymbol><ci id="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.2.3.3.2.cmml" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.2.3.3.2">𝜀</ci><cn id="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.2.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.3.1.cmml" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.3.2.cmml" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.3.2">𝜀</ci><cn id="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.3.3">2</cn></apply></apply><ci id="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.cmml" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.3">𝑛</ci></apply><apply id="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3"><times id="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.1.cmml" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.1"></times><apply id="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.cmml" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2"><divide id="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.1.cmml" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2"></divide><cn id="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.2">2</cn><apply id="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.3.cmml" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.3.1.cmml" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.3">superscript</csymbol><ci id="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.3.2.cmml" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.3.2">𝜀</ci><cn id="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.cmml" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3"><log id="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.1.cmml" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.1"></log><apply id="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.2.cmml" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.2"><divide id="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.2.1.cmml" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.2"></divide><cn id="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.2.2">1</cn><ci id="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.2.3.cmml" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.2.3">𝛿</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.E17.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.3"><minus id="S2.E17.m1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.3.1"></minus><cn id="S2.E17.m1.2.2.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.3.2">1</cn><ci id="S2.E17.m1.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E17.m1.2.2.1.1.3.3">𝛿</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E17.m1.2c">\mathbb{P}\left(\|X\|\leq\sigma\sqrt{\frac{\log\frac{1}{1-\varepsilon^{2}}}{% \varepsilon^{2}}n+\frac{2}{\varepsilon^{2}}\log\frac{1}{\delta}}\right)\geq 1-\delta.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E17.m1.2d">blackboard_P ( ∥ italic_X ∥ ≤ italic_σ square-root start_ARG divide start_ARG roman_log divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 1 - italic_ε start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG end_ARG start_ARG italic_ε start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG italic_n + divide start_ARG 2 end_ARG start_ARG italic_ε start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG roman_log divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_δ end_ARG end_ARG ) ≥ 1 - italic_δ .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(17)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="S2.3"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="S2.3.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.3.p1.4">Leveraging the properties of <math alttext="\Phi_{n,\lambda}(x)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.3.p1.1.m1.3"><semantics id="S2.3.p1.1.m1.3a"><mrow id="S2.3.p1.1.m1.3.4" xref="S2.3.p1.1.m1.3.4.cmml"><msub id="S2.3.p1.1.m1.3.4.2" xref="S2.3.p1.1.m1.3.4.2.cmml"><mi id="S2.3.p1.1.m1.3.4.2.2" mathvariant="normal" xref="S2.3.p1.1.m1.3.4.2.2.cmml">Φ</mi><mrow id="S2.3.p1.1.m1.2.2.2.4" xref="S2.3.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.3.p1.1.m1.1.1.1.1" xref="S2.3.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S2.3.p1.1.m1.2.2.2.4.1" xref="S2.3.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.3.p1.1.m1.2.2.2.2" xref="S2.3.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml">λ</mi></mrow></msub><mo id="S2.3.p1.1.m1.3.4.1" xref="S2.3.p1.1.m1.3.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.3.p1.1.m1.3.4.3.2" xref="S2.3.p1.1.m1.3.4.cmml"><mo id="S2.3.p1.1.m1.3.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.3.p1.1.m1.3.4.cmml">(</mo><mi id="S2.3.p1.1.m1.3.3" xref="S2.3.p1.1.m1.3.3.cmml">x</mi><mo id="S2.3.p1.1.m1.3.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.3.p1.1.m1.3.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.3.p1.1.m1.3b"><apply id="S2.3.p1.1.m1.3.4.cmml" xref="S2.3.p1.1.m1.3.4"><times id="S2.3.p1.1.m1.3.4.1.cmml" xref="S2.3.p1.1.m1.3.4.1"></times><apply id="S2.3.p1.1.m1.3.4.2.cmml" xref="S2.3.p1.1.m1.3.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.3.p1.1.m1.3.4.2.1.cmml" xref="S2.3.p1.1.m1.3.4.2">subscript</csymbol><ci id="S2.3.p1.1.m1.3.4.2.2.cmml" xref="S2.3.p1.1.m1.3.4.2.2">Φ</ci><list id="S2.3.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.3.p1.1.m1.2.2.2.4"><ci id="S2.3.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.3.p1.1.m1.1.1.1.1">𝑛</ci><ci id="S2.3.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.3.p1.1.m1.2.2.2.2">𝜆</ci></list></apply><ci id="S2.3.p1.1.m1.3.3.cmml" xref="S2.3.p1.1.m1.3.3">𝑥</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.3.p1.1.m1.3c">\Phi_{n,\lambda}(x)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.3.p1.1.m1.3d">roman_Φ start_POSTSUBSCRIPT italic_n , italic_λ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x )</annotation></semantics></math> and applying the Markov’s inequality, we obtain that, for any <math alttext="r>0" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.3.p1.2.m2.1"><semantics id="S2.3.p1.2.m2.1a"><mrow id="S2.3.p1.2.m2.1.1" xref="S2.3.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S2.3.p1.2.m2.1.1.2" xref="S2.3.p1.2.m2.1.1.2.cmml">r</mi><mo id="S2.3.p1.2.m2.1.1.1" xref="S2.3.p1.2.m2.1.1.1.cmml">></mo><mn id="S2.3.p1.2.m2.1.1.3" xref="S2.3.p1.2.m2.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.3.p1.2.m2.1b"><apply id="S2.3.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.3.p1.2.m2.1.1"><gt id="S2.3.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.3.p1.2.m2.1.1.1"></gt><ci id="S2.3.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.3.p1.2.m2.1.1.2">𝑟</ci><cn id="S2.3.p1.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.3.p1.2.m2.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.3.p1.2.m2.1c">r>0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.3.p1.2.m2.1d">italic_r > 0</annotation></semantics></math>, <math alttext="\eta\in\mathcal{S}^{n-1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.3.p1.3.m3.1"><semantics id="S2.3.p1.3.m3.1a"><mrow id="S2.3.p1.3.m3.1.1" xref="S2.3.p1.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S2.3.p1.3.m3.1.1.2" xref="S2.3.p1.3.m3.1.1.2.cmml">η</mi><mo id="S2.3.p1.3.m3.1.1.1" xref="S2.3.p1.3.m3.1.1.1.cmml">∈</mo><msup id="S2.3.p1.3.m3.1.1.3" xref="S2.3.p1.3.m3.1.1.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.3.p1.3.m3.1.1.3.2" xref="S2.3.p1.3.m3.1.1.3.2.cmml">𝒮</mi><mrow id="S2.3.p1.3.m3.1.1.3.3" xref="S2.3.p1.3.m3.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.3.p1.3.m3.1.1.3.3.2" xref="S2.3.p1.3.m3.1.1.3.3.2.cmml">n</mi><mo id="S2.3.p1.3.m3.1.1.3.3.1" xref="S2.3.p1.3.m3.1.1.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="S2.3.p1.3.m3.1.1.3.3.3" xref="S2.3.p1.3.m3.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.3.p1.3.m3.1b"><apply id="S2.3.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.3.p1.3.m3.1.1"><in id="S2.3.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S2.3.p1.3.m3.1.1.1"></in><ci id="S2.3.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S2.3.p1.3.m3.1.1.2">𝜂</ci><apply id="S2.3.p1.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S2.3.p1.3.m3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.3.p1.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S2.3.p1.3.m3.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.3.p1.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S2.3.p1.3.m3.1.1.3.2">𝒮</ci><apply id="S2.3.p1.3.m3.1.1.3.3.cmml" xref="S2.3.p1.3.m3.1.1.3.3"><minus id="S2.3.p1.3.m3.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.3.p1.3.m3.1.1.3.3.1"></minus><ci id="S2.3.p1.3.m3.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.3.p1.3.m3.1.1.3.3.2">𝑛</ci><cn id="S2.3.p1.3.m3.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.3.p1.3.m3.1.1.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.3.p1.3.m3.1c">\eta\in\mathcal{S}^{n-1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.3.p1.3.m3.1d">italic_η ∈ caligraphic_S start_POSTSUPERSCRIPT italic_n - 1 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="\varepsilon\in(0,1)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.3.p1.4.m4.2"><semantics id="S2.3.p1.4.m4.2a"><mrow id="S2.3.p1.4.m4.2.3" xref="S2.3.p1.4.m4.2.3.cmml"><mi id="S2.3.p1.4.m4.2.3.2" xref="S2.3.p1.4.m4.2.3.2.cmml">ε</mi><mo id="S2.3.p1.4.m4.2.3.1" xref="S2.3.p1.4.m4.2.3.1.cmml">∈</mo><mrow id="S2.3.p1.4.m4.2.3.3.2" xref="S2.3.p1.4.m4.2.3.3.1.cmml"><mo id="S2.3.p1.4.m4.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.3.p1.4.m4.2.3.3.1.cmml">(</mo><mn id="S2.3.p1.4.m4.1.1" xref="S2.3.p1.4.m4.1.1.cmml">0</mn><mo id="S2.3.p1.4.m4.2.3.3.2.2" xref="S2.3.p1.4.m4.2.3.3.1.cmml">,</mo><mn id="S2.3.p1.4.m4.2.2" xref="S2.3.p1.4.m4.2.2.cmml">1</mn><mo id="S2.3.p1.4.m4.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.3.p1.4.m4.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.3.p1.4.m4.2b"><apply id="S2.3.p1.4.m4.2.3.cmml" xref="S2.3.p1.4.m4.2.3"><in id="S2.3.p1.4.m4.2.3.1.cmml" xref="S2.3.p1.4.m4.2.3.1"></in><ci id="S2.3.p1.4.m4.2.3.2.cmml" xref="S2.3.p1.4.m4.2.3.2">𝜀</ci><interval closure="open" id="S2.3.p1.4.m4.2.3.3.1.cmml" xref="S2.3.p1.4.m4.2.3.3.2"><cn id="S2.3.p1.4.m4.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.3.p1.4.m4.1.1">0</cn><cn id="S2.3.p1.4.m4.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.3.p1.4.m4.2.2">1</cn></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.3.p1.4.m4.2c">\varepsilon\in(0,1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.3.p1.4.m4.2d">italic_ε ∈ ( 0 , 1 )</annotation></semantics></math>,</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E18"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\begin{split}\mathbb{P}\left(\|X\|\leq r\right)=&~{}\mathbb{P}\left(\Phi_{n,% \lambda}(X)\leq\Phi_{n,\lambda}(r\eta)\right)\quad\quad\quad\quad\quad\quad~{}% ~{}\text{(Lemma \ref{lemma: AMGF_1})}\\ \geq&~{}1-\frac{\mathbb{E}_{X}(\Phi_{n,\lambda}(X))}{\Phi_{n,\lambda}(r\eta)}% \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad~{}~{}~{}~{}~{}~{}~{}~{}~{}\text{(Markov's % Inequality)}\\ \geq&~{}1-\frac{e^{\frac{\lambda^{2}\sigma^{2}}{2}}}{\Phi_{n,\lambda}(r\eta)}% \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad~{}~{}~{}~{}~{}~{}~{}~{}~{}~{}~{}~{}~{% }\text{(Equation \eqref{eq:AMGFbound})}\\ \geq&~{}1-(1-\varepsilon^{2})^{-\frac{n}{2}}\exp(\frac{\lambda^{2}\sigma^{2}}{% 2}-\varepsilon\lambda r).~{}~{}~{}~{}~{}~{}~{}~{}~{}~{}~{}\text{(Lemma \ref{% lemma: AMGF_2})}\end{split}" class="ltx_math_unparsed" display="block" id="S2.E18.m1.59"><semantics id="S2.E18.m1.59a"><mtable columnspacing="0pt" displaystyle="true" id="S2.E18.m1.59.59.4" rowspacing="0pt"><mtr id="S2.E18.m1.59.59.4a"><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="S2.E18.m1.59.59.4b"><mrow id="S2.E18.m1.56.56.1.56.26.10"><mrow id="S2.E18.m1.56.56.1.56.26.10.10"><mi id="S2.E18.m1.1.1.1.1.1.1">ℙ</mi><mo id="S2.E18.m1.56.56.1.56.26.10.10.2">⁢</mo><mrow id="S2.E18.m1.56.56.1.56.26.10.10.1.1"><mo id="S2.E18.m1.2.2.2.2.2.2">(</mo><mrow id="S2.E18.m1.56.56.1.56.26.10.10.1.1.1"><mrow id="S2.E18.m1.56.56.1.56.26.10.10.1.1.1.1"><mo id="S2.E18.m1.3.3.3.3.3.3" stretchy="false">‖</mo><mi id="S2.E18.m1.4.4.4.4.4.4">X</mi><mo id="S2.E18.m1.5.5.5.5.5.5" stretchy="false">‖</mo></mrow><mo id="S2.E18.m1.6.6.6.6.6.6">≤</mo><mi id="S2.E18.m1.7.7.7.7.7.7">r</mi></mrow><mo id="S2.E18.m1.8.8.8.8.8.8">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E18.m1.9.9.9.9.9.9">=</mo><mi id="S2.E18.m1.56.56.1.56.26.10.11"></mi></mrow></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S2.E18.m1.59.59.4c"><mrow id="S2.E18.m1.57.57.2.57.27.17.17"><mrow id="S2.E18.m1.57.57.2.57.27.17.17.1"><mi id="S2.E18.m1.10.10.10.10.1.1">ℙ</mi><mo id="S2.E18.m1.57.57.2.57.27.17.17.1.2">⁢</mo><mrow id="S2.E18.m1.57.57.2.57.27.17.17.1.1.1"><mo id="S2.E18.m1.11.11.11.11.2.2">(</mo><mrow id="S2.E18.m1.57.57.2.57.27.17.17.1.1.1.1"><mrow id="S2.E18.m1.57.57.2.57.27.17.17.1.1.1.1.2"><msub id="S2.E18.m1.57.57.2.57.27.17.17.1.1.1.1.2.2"><mi id="S2.E18.m1.12.12.12.12.3.3" mathvariant="normal">Φ</mi><mrow id="S2.E18.m1.13.13.13.13.4.4.1.4"><mi id="S2.E18.m1.13.13.13.13.4.4.1.1">n</mi><mo id="S2.E18.m1.13.13.13.13.4.4.1.4.1">,</mo><mi id="S2.E18.m1.13.13.13.13.4.4.1.2">λ</mi></mrow></msub><mo id="S2.E18.m1.57.57.2.57.27.17.17.1.1.1.1.2.1">⁢</mo><mrow id="S2.E18.m1.57.57.2.57.27.17.17.1.1.1.1.2.3"><mo id="S2.E18.m1.14.14.14.14.5.5" stretchy="false">(</mo><mi id="S2.E18.m1.15.15.15.15.6.6">X</mi><mo id="S2.E18.m1.16.16.16.16.7.7" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E18.m1.17.17.17.17.8.8">≤</mo><mrow id="S2.E18.m1.57.57.2.57.27.17.17.1.1.1.1.1"><msub id="S2.E18.m1.57.57.2.57.27.17.17.1.1.1.1.1.3"><mi id="S2.E18.m1.18.18.18.18.9.9" mathvariant="normal">Φ</mi><mrow id="S2.E18.m1.19.19.19.19.10.10.1.4"><mi id="S2.E18.m1.19.19.19.19.10.10.1.1">n</mi><mo id="S2.E18.m1.19.19.19.19.10.10.1.4.1">,</mo><mi id="S2.E18.m1.19.19.19.19.10.10.1.2">λ</mi></mrow></msub><mo id="S2.E18.m1.57.57.2.57.27.17.17.1.1.1.1.1.2">⁢</mo><mrow id="S2.E18.m1.57.57.2.57.27.17.17.1.1.1.1.1.1.1"><mo id="S2.E18.m1.20.20.20.20.11.11" stretchy="false">(</mo><mrow id="S2.E18.m1.57.57.2.57.27.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1"><mi id="S2.E18.m1.21.21.21.21.12.12">r</mi><mo id="S2.E18.m1.57.57.2.57.27.17.17.1.1.1.1.1.1.1.1.1">⁢</mo><mi id="S2.E18.m1.22.22.22.22.13.13">η</mi></mrow><mo id="S2.E18.m1.23.23.23.23.14.14" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E18.m1.24.24.24.24.15.15">)</mo></mrow></mrow><mspace id="S2.E18.m1.57.57.2.57.27.17.17.2" width="6.66em"></mspace><mrow id="S2.E18.m1.25.25.25.25.16.16"><mtext id="S2.E18.m1.25.25.25.25.16.16a">(Lemma </mtext><mtext id="S2.E18.m1.25.25.25.25.16.16b"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14347v1#S2.Thmlemma1" title="Lemma 2.1. ‣ 2 New Proof based on Averaged Moment Generating Function ‣ A New Proof of Sub-Gaussian Norm Concentration Inequality"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2.1</span></a></mtext><mtext id="S2.E18.m1.25.25.25.25.16.16e">)</mtext></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="S2.E18.m1.59.59.4d"><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="S2.E18.m1.59.59.4e"><mo id="S2.E18.m1.26.26.26.1.1.1">≥</mo></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S2.E18.m1.59.59.4f"><mrow id="S2.E18.m1.58.58.3.58.6.5.5"><mrow id="S2.E18.m1.58.58.3.58.6.5.5.1"><mn id="S2.E18.m1.27.27.27.2.1.1">1</mn><mo id="S2.E18.m1.28.28.28.3.2.2">−</mo><mfrac id="S2.E18.m1.29.29.29.4.3.3"><mrow id="S2.E18.m1.29.29.29.4.3.3.4"><msub id="S2.E18.m1.29.29.29.4.3.3.4.6"><mi id="S2.E18.m1.29.29.29.4.3.3.4.6.2">𝔼</mi><mi id="S2.E18.m1.29.29.29.4.3.3.4.6.3">X</mi></msub><mo id="S2.E18.m1.29.29.29.4.3.3.4.5">⁢</mo><mrow id="S2.E18.m1.29.29.29.4.3.3.4.4.1"><mo id="S2.E18.m1.29.29.29.4.3.3.4.4.1.2" stretchy="false">(</mo><mrow id="S2.E18.m1.29.29.29.4.3.3.4.4.1.1"><msub id="S2.E18.m1.29.29.29.4.3.3.4.4.1.1.2"><mi id="S2.E18.m1.29.29.29.4.3.3.4.4.1.1.2.2" mathvariant="normal">Φ</mi><mrow id="S2.E18.m1.29.29.29.4.3.3.2.2.2.4"><mi id="S2.E18.m1.29.29.29.4.3.3.1.1.1.1">n</mi><mo id="S2.E18.m1.29.29.29.4.3.3.2.2.2.4.1">,</mo><mi id="S2.E18.m1.29.29.29.4.3.3.2.2.2.2">λ</mi></mrow></msub><mo id="S2.E18.m1.29.29.29.4.3.3.4.4.1.1.1">⁢</mo><mrow id="S2.E18.m1.29.29.29.4.3.3.4.4.1.1.3.2"><mo id="S2.E18.m1.29.29.29.4.3.3.4.4.1.1.3.2.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S2.E18.m1.29.29.29.4.3.3.3.3">X</mi><mo id="S2.E18.m1.29.29.29.4.3.3.4.4.1.1.3.2.2" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E18.m1.29.29.29.4.3.3.4.4.1.3" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow><mrow id="S2.E18.m1.29.29.29.4.3.3.7"><msub id="S2.E18.m1.29.29.29.4.3.3.7.5"><mi id="S2.E18.m1.29.29.29.4.3.3.7.5.2" mathvariant="normal">Φ</mi><mrow id="S2.E18.m1.29.29.29.4.3.3.6.2.2.4"><mi id="S2.E18.m1.29.29.29.4.3.3.5.1.1.1">n</mi><mo id="S2.E18.m1.29.29.29.4.3.3.6.2.2.4.1">,</mo><mi id="S2.E18.m1.29.29.29.4.3.3.6.2.2.2">λ</mi></mrow></msub><mo id="S2.E18.m1.29.29.29.4.3.3.7.4">⁢</mo><mrow id="S2.E18.m1.29.29.29.4.3.3.7.3.1"><mo id="S2.E18.m1.29.29.29.4.3.3.7.3.1.2" stretchy="false">(</mo><mrow id="S2.E18.m1.29.29.29.4.3.3.7.3.1.1"><mi id="S2.E18.m1.29.29.29.4.3.3.7.3.1.1.2">r</mi><mo id="S2.E18.m1.29.29.29.4.3.3.7.3.1.1.1">⁢</mo><mi id="S2.E18.m1.29.29.29.4.3.3.7.3.1.1.3">η</mi></mrow><mo id="S2.E18.m1.29.29.29.4.3.3.7.3.1.3" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></mfrac></mrow><mspace id="S2.E18.m1.58.58.3.58.6.5.5.2" width="9.97em"></mspace><mtext id="S2.E18.m1.30.30.30.5.4.4">(Markov’s Inequality)</mtext></mrow></mtd></mtr><mtr id="S2.E18.m1.59.59.4g"><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="S2.E18.m1.59.59.4h"><mo id="S2.E18.m1.31.31.31.1.1.1">≥</mo></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S2.E18.m1.59.59.4i"><mrow id="S2.E18.m1.59.59.4.59.6.5.5"><mrow id="S2.E18.m1.59.59.4.59.6.5.5.1"><mn id="S2.E18.m1.32.32.32.2.1.1">1</mn><mo id="S2.E18.m1.33.33.33.3.2.2">−</mo><mfrac id="S2.E18.m1.34.34.34.4.3.3"><msup id="S2.E18.m1.34.34.34.4.3.3.5"><mi id="S2.E18.m1.34.34.34.4.3.3.5.2">e</mi><mfrac id="S2.E18.m1.34.34.34.4.3.3.5.3"><mrow id="S2.E18.m1.34.34.34.4.3.3.5.3.2"><msup id="S2.E18.m1.34.34.34.4.3.3.5.3.2.2"><mi id="S2.E18.m1.34.34.34.4.3.3.5.3.2.2.2">λ</mi><mn id="S2.E18.m1.34.34.34.4.3.3.5.3.2.2.3">2</mn></msup><mo id="S2.E18.m1.34.34.34.4.3.3.5.3.2.1">⁢</mo><msup id="S2.E18.m1.34.34.34.4.3.3.5.3.2.3"><mi id="S2.E18.m1.34.34.34.4.3.3.5.3.2.3.2">σ</mi><mn id="S2.E18.m1.34.34.34.4.3.3.5.3.2.3.3">2</mn></msup></mrow><mn id="S2.E18.m1.34.34.34.4.3.3.5.3.3">2</mn></mfrac></msup><mrow id="S2.E18.m1.34.34.34.4.3.3.3"><msub id="S2.E18.m1.34.34.34.4.3.3.3.5"><mi id="S2.E18.m1.34.34.34.4.3.3.3.5.2" mathvariant="normal">Φ</mi><mrow id="S2.E18.m1.34.34.34.4.3.3.2.2.2.4"><mi id="S2.E18.m1.34.34.34.4.3.3.1.1.1.1">n</mi><mo id="S2.E18.m1.34.34.34.4.3.3.2.2.2.4.1">,</mo><mi id="S2.E18.m1.34.34.34.4.3.3.2.2.2.2">λ</mi></mrow></msub><mo id="S2.E18.m1.34.34.34.4.3.3.3.4">⁢</mo><mrow id="S2.E18.m1.34.34.34.4.3.3.3.3.1"><mo id="S2.E18.m1.34.34.34.4.3.3.3.3.1.2" stretchy="false">(</mo><mrow id="S2.E18.m1.34.34.34.4.3.3.3.3.1.1"><mi id="S2.E18.m1.34.34.34.4.3.3.3.3.1.1.2">r</mi><mo id="S2.E18.m1.34.34.34.4.3.3.3.3.1.1.1">⁢</mo><mi id="S2.E18.m1.34.34.34.4.3.3.3.3.1.1.3">η</mi></mrow><mo id="S2.E18.m1.34.34.34.4.3.3.3.3.1.3" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></mfrac></mrow><mspace id="S2.E18.m1.59.59.4.59.6.5.5.2" width="12.29em"></mspace><mrow id="S2.E18.m1.35.35.35.5.4.4"><mtext id="S2.E18.m1.35.35.35.5.4.4a">(Equation (</mtext><mtext id="S2.E18.m1.35.35.35.5.4.4b"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14347v1#S2.E16" title="In 2 New Proof based on Averaged Moment Generating Function ‣ A New Proof of Sub-Gaussian Norm Concentration Inequality"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">16</span></a></mtext><mtext id="S2.E18.m1.35.35.35.5.4.4e">))</mtext></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="S2.E18.m1.59.59.4j"><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="S2.E18.m1.59.59.4k"><mo id="S2.E18.m1.36.36.36.1.1.1">≥</mo></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S2.E18.m1.59.59.4l"><mrow id="S2.E18.m1.55.55.55.20.19"><mn id="S2.E18.m1.37.37.37.2.1.1">1</mn><mo id="S2.E18.m1.38.38.38.3.2.2">−</mo><msup id="S2.E18.m1.55.55.55.20.19.20"><mrow id="S2.E18.m1.55.55.55.20.19.20.2"><mo id="S2.E18.m1.39.39.39.4.3.3" stretchy="false">(</mo><mn id="S2.E18.m1.40.40.40.5.4.4">1</mn><mo id="S2.E18.m1.41.41.41.6.5.5">−</mo><msup id="S2.E18.m1.55.55.55.20.19.20.2.1"><mi id="S2.E18.m1.42.42.42.7.6.6">ε</mi><mn id="S2.E18.m1.43.43.43.8.7.7.1">2</mn></msup><mo id="S2.E18.m1.44.44.44.9.8.8" rspace="0.167em" stretchy="false">)</mo></mrow><mrow id="S2.E18.m1.45.45.45.10.9.9.1"><mo id="S2.E18.m1.45.45.45.10.9.9.1a">−</mo><mfrac id="S2.E18.m1.45.45.45.10.9.9.1.2"><mi id="S2.E18.m1.45.45.45.10.9.9.1.2.2">n</mi><mn id="S2.E18.m1.45.45.45.10.9.9.1.2.3">2</mn></mfrac></mrow></msup><mi id="S2.E18.m1.46.46.46.11.10.10">exp</mi><mrow id="S2.E18.m1.55.55.55.20.19.21"><mo id="S2.E18.m1.47.47.47.12.11.11" stretchy="false">(</mo><mfrac id="S2.E18.m1.48.48.48.13.12.12"><mrow id="S2.E18.m1.48.48.48.13.12.12.2"><msup id="S2.E18.m1.48.48.48.13.12.12.2.2"><mi id="S2.E18.m1.48.48.48.13.12.12.2.2.2">λ</mi><mn id="S2.E18.m1.48.48.48.13.12.12.2.2.3">2</mn></msup><mo id="S2.E18.m1.48.48.48.13.12.12.2.1">⁢</mo><msup id="S2.E18.m1.48.48.48.13.12.12.2.3"><mi id="S2.E18.m1.48.48.48.13.12.12.2.3.2">σ</mi><mn id="S2.E18.m1.48.48.48.13.12.12.2.3.3">2</mn></msup></mrow><mn id="S2.E18.m1.48.48.48.13.12.12.3">2</mn></mfrac><mo id="S2.E18.m1.49.49.49.14.13.13">−</mo><mi id="S2.E18.m1.50.50.50.15.14.14">ε</mi><mi id="S2.E18.m1.51.51.51.16.15.15">λ</mi><mi id="S2.E18.m1.52.52.52.17.16.16">r</mi><mo id="S2.E18.m1.53.53.53.18.17.17" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S2.E18.m1.54.54.54.19.18.18" lspace="0em">.</mo><mspace id="S2.E18.m1.55.55.55.20.19.22" width="3.797em"></mspace><mrow id="S2.E18.m1.55.55.55.20.19.19"><mtext id="S2.E18.m1.55.55.55.20.19.19a">(Lemma </mtext><mtext id="S2.E18.m1.55.55.55.20.19.19b"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14347v1#S2.Thmlemma2" title="Lemma 2.2. ‣ 2 New Proof based on Averaged Moment Generating Function ‣ A New Proof of Sub-Gaussian Norm Concentration Inequality"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2.2</span></a></mtext><mtext id="S2.E18.m1.55.55.55.20.19.19e">)</mtext></mrow></mrow></mtd></mtr></mtable><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E18.m1.59b">\begin{split}\mathbb{P}\left(\|X\|\leq r\right)=&~{}\mathbb{P}\left(\Phi_{n,% \lambda}(X)\leq\Phi_{n,\lambda}(r\eta)\right)\quad\quad\quad\quad\quad\quad~{}% ~{}\text{(Lemma \ref{lemma: AMGF_1})}\\ \geq&~{}1-\frac{\mathbb{E}_{X}(\Phi_{n,\lambda}(X))}{\Phi_{n,\lambda}(r\eta)}% \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad~{}~{}~{}~{}~{}~{}~{}~{}~{}\text{(Markov's % Inequality)}\\ \geq&~{}1-\frac{e^{\frac{\lambda^{2}\sigma^{2}}{2}}}{\Phi_{n,\lambda}(r\eta)}% \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad~{}~{}~{}~{}~{}~{}~{}~{}~{}~{}~{}~{}~{% }\text{(Equation \eqref{eq:AMGFbound})}\\ \geq&~{}1-(1-\varepsilon^{2})^{-\frac{n}{2}}\exp(\frac{\lambda^{2}\sigma^{2}}{% 2}-\varepsilon\lambda r).~{}~{}~{}~{}~{}~{}~{}~{}~{}~{}~{}\text{(Lemma \ref{% lemma: AMGF_2})}\end{split}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E18.m1.59c">start_ROW start_CELL blackboard_P ( ∥ italic_X ∥ ≤ italic_r ) = end_CELL start_CELL blackboard_P ( roman_Φ start_POSTSUBSCRIPT italic_n , italic_λ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_X ) ≤ roman_Φ start_POSTSUBSCRIPT italic_n , italic_λ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r italic_η ) ) (Lemma ) end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL ≥ end_CELL start_CELL 1 - divide start_ARG blackboard_E start_POSTSUBSCRIPT italic_X end_POSTSUBSCRIPT ( roman_Φ start_POSTSUBSCRIPT italic_n , italic_λ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_X ) ) end_ARG start_ARG roman_Φ start_POSTSUBSCRIPT italic_n , italic_λ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r italic_η ) end_ARG (Markov’s Inequality) end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL ≥ end_CELL start_CELL 1 - divide start_ARG italic_e start_POSTSUPERSCRIPT divide start_ARG italic_λ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 2 end_ARG end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG roman_Φ start_POSTSUBSCRIPT italic_n , italic_λ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_r italic_η ) end_ARG (Equation ( )) end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL ≥ end_CELL start_CELL 1 - ( 1 - italic_ε start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT - divide start_ARG italic_n end_ARG start_ARG 2 end_ARG end_POSTSUPERSCRIPT roman_exp ( divide start_ARG italic_λ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 2 end_ARG - italic_ε italic_λ italic_r ) . (Lemma ) end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(18)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.3.p1.7">Minimizing the exponent <math alttext="\frac{\lambda^{2}\sigma^{2}}{2}-\varepsilon\lambda r" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.3.p1.5.m1.1"><semantics id="S2.3.p1.5.m1.1a"><mrow id="S2.3.p1.5.m1.1.1" xref="S2.3.p1.5.m1.1.1.cmml"><mfrac id="S2.3.p1.5.m1.1.1.2" xref="S2.3.p1.5.m1.1.1.2.cmml"><mrow id="S2.3.p1.5.m1.1.1.2.2" xref="S2.3.p1.5.m1.1.1.2.2.cmml"><msup id="S2.3.p1.5.m1.1.1.2.2.2" xref="S2.3.p1.5.m1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S2.3.p1.5.m1.1.1.2.2.2.2" xref="S2.3.p1.5.m1.1.1.2.2.2.2.cmml">λ</mi><mn id="S2.3.p1.5.m1.1.1.2.2.2.3" xref="S2.3.p1.5.m1.1.1.2.2.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S2.3.p1.5.m1.1.1.2.2.1" xref="S2.3.p1.5.m1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S2.3.p1.5.m1.1.1.2.2.3" xref="S2.3.p1.5.m1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S2.3.p1.5.m1.1.1.2.2.3.2" xref="S2.3.p1.5.m1.1.1.2.2.3.2.cmml">σ</mi><mn id="S2.3.p1.5.m1.1.1.2.2.3.3" xref="S2.3.p1.5.m1.1.1.2.2.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mn id="S2.3.p1.5.m1.1.1.2.3" xref="S2.3.p1.5.m1.1.1.2.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S2.3.p1.5.m1.1.1.1" xref="S2.3.p1.5.m1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S2.3.p1.5.m1.1.1.3" xref="S2.3.p1.5.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.3.p1.5.m1.1.1.3.2" xref="S2.3.p1.5.m1.1.1.3.2.cmml">ε</mi><mo id="S2.3.p1.5.m1.1.1.3.1" xref="S2.3.p1.5.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.3.p1.5.m1.1.1.3.3" xref="S2.3.p1.5.m1.1.1.3.3.cmml">λ</mi><mo id="S2.3.p1.5.m1.1.1.3.1a" xref="S2.3.p1.5.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.3.p1.5.m1.1.1.3.4" xref="S2.3.p1.5.m1.1.1.3.4.cmml">r</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.3.p1.5.m1.1b"><apply id="S2.3.p1.5.m1.1.1.cmml" xref="S2.3.p1.5.m1.1.1"><minus id="S2.3.p1.5.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.3.p1.5.m1.1.1.1"></minus><apply id="S2.3.p1.5.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.3.p1.5.m1.1.1.2"><divide id="S2.3.p1.5.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.3.p1.5.m1.1.1.2"></divide><apply id="S2.3.p1.5.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.3.p1.5.m1.1.1.2.2"><times id="S2.3.p1.5.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.3.p1.5.m1.1.1.2.2.1"></times><apply id="S2.3.p1.5.m1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.3.p1.5.m1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.3.p1.5.m1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.3.p1.5.m1.1.1.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S2.3.p1.5.m1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.3.p1.5.m1.1.1.2.2.2.2">𝜆</ci><cn id="S2.3.p1.5.m1.1.1.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.3.p1.5.m1.1.1.2.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S2.3.p1.5.m1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.3.p1.5.m1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.3.p1.5.m1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S2.3.p1.5.m1.1.1.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S2.3.p1.5.m1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S2.3.p1.5.m1.1.1.2.2.3.2">𝜎</ci><cn id="S2.3.p1.5.m1.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.3.p1.5.m1.1.1.2.2.3.3">2</cn></apply></apply><cn id="S2.3.p1.5.m1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.3.p1.5.m1.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="S2.3.p1.5.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.3.p1.5.m1.1.1.3"><times id="S2.3.p1.5.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.3.p1.5.m1.1.1.3.1"></times><ci id="S2.3.p1.5.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.3.p1.5.m1.1.1.3.2">𝜀</ci><ci id="S2.3.p1.5.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.3.p1.5.m1.1.1.3.3">𝜆</ci><ci id="S2.3.p1.5.m1.1.1.3.4.cmml" xref="S2.3.p1.5.m1.1.1.3.4">𝑟</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.3.p1.5.m1.1c">\frac{\lambda^{2}\sigma^{2}}{2}-\varepsilon\lambda r</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.3.p1.5.m1.1d">divide start_ARG italic_λ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 2 end_ARG - italic_ε italic_λ italic_r</annotation></semantics></math> over <math alttext="\lambda" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.3.p1.6.m2.1"><semantics id="S2.3.p1.6.m2.1a"><mi id="S2.3.p1.6.m2.1.1" xref="S2.3.p1.6.m2.1.1.cmml">λ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.3.p1.6.m2.1b"><ci id="S2.3.p1.6.m2.1.1.cmml" xref="S2.3.p1.6.m2.1.1">𝜆</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.3.p1.6.m2.1c">\lambda</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.3.p1.6.m2.1d">italic_λ</annotation></semantics></math> yields the minimum <math alttext="-\frac{\varepsilon^{2}r^{2}}{2\sigma^{2}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.3.p1.7.m3.1"><semantics id="S2.3.p1.7.m3.1a"><mrow id="S2.3.p1.7.m3.1.1" xref="S2.3.p1.7.m3.1.1.cmml"><mo id="S2.3.p1.7.m3.1.1a" xref="S2.3.p1.7.m3.1.1.cmml">−</mo><mfrac id="S2.3.p1.7.m3.1.1.2" xref="S2.3.p1.7.m3.1.1.2.cmml"><mrow id="S2.3.p1.7.m3.1.1.2.2" xref="S2.3.p1.7.m3.1.1.2.2.cmml"><msup id="S2.3.p1.7.m3.1.1.2.2.2" xref="S2.3.p1.7.m3.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S2.3.p1.7.m3.1.1.2.2.2.2" xref="S2.3.p1.7.m3.1.1.2.2.2.2.cmml">ε</mi><mn id="S2.3.p1.7.m3.1.1.2.2.2.3" xref="S2.3.p1.7.m3.1.1.2.2.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S2.3.p1.7.m3.1.1.2.2.1" xref="S2.3.p1.7.m3.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S2.3.p1.7.m3.1.1.2.2.3" xref="S2.3.p1.7.m3.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S2.3.p1.7.m3.1.1.2.2.3.2" xref="S2.3.p1.7.m3.1.1.2.2.3.2.cmml">r</mi><mn id="S2.3.p1.7.m3.1.1.2.2.3.3" xref="S2.3.p1.7.m3.1.1.2.2.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mrow id="S2.3.p1.7.m3.1.1.2.3" xref="S2.3.p1.7.m3.1.1.2.3.cmml"><mn id="S2.3.p1.7.m3.1.1.2.3.2" xref="S2.3.p1.7.m3.1.1.2.3.2.cmml">2</mn><mo id="S2.3.p1.7.m3.1.1.2.3.1" xref="S2.3.p1.7.m3.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S2.3.p1.7.m3.1.1.2.3.3" xref="S2.3.p1.7.m3.1.1.2.3.3.cmml"><mi id="S2.3.p1.7.m3.1.1.2.3.3.2" xref="S2.3.p1.7.m3.1.1.2.3.3.2.cmml">σ</mi><mn id="S2.3.p1.7.m3.1.1.2.3.3.3" xref="S2.3.p1.7.m3.1.1.2.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mfrac></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.3.p1.7.m3.1b"><apply id="S2.3.p1.7.m3.1.1.cmml" xref="S2.3.p1.7.m3.1.1"><minus id="S2.3.p1.7.m3.1.1.1.cmml" xref="S2.3.p1.7.m3.1.1"></minus><apply id="S2.3.p1.7.m3.1.1.2.cmml" xref="S2.3.p1.7.m3.1.1.2"><divide id="S2.3.p1.7.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S2.3.p1.7.m3.1.1.2"></divide><apply id="S2.3.p1.7.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S2.3.p1.7.m3.1.1.2.2"><times id="S2.3.p1.7.m3.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.3.p1.7.m3.1.1.2.2.1"></times><apply id="S2.3.p1.7.m3.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.3.p1.7.m3.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.3.p1.7.m3.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.3.p1.7.m3.1.1.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S2.3.p1.7.m3.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.3.p1.7.m3.1.1.2.2.2.2">𝜀</ci><cn id="S2.3.p1.7.m3.1.1.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.3.p1.7.m3.1.1.2.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S2.3.p1.7.m3.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.3.p1.7.m3.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.3.p1.7.m3.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S2.3.p1.7.m3.1.1.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S2.3.p1.7.m3.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S2.3.p1.7.m3.1.1.2.2.3.2">𝑟</ci><cn id="S2.3.p1.7.m3.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.3.p1.7.m3.1.1.2.2.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S2.3.p1.7.m3.1.1.2.3.cmml" xref="S2.3.p1.7.m3.1.1.2.3"><times id="S2.3.p1.7.m3.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.3.p1.7.m3.1.1.2.3.1"></times><cn id="S2.3.p1.7.m3.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.3.p1.7.m3.1.1.2.3.2">2</cn><apply id="S2.3.p1.7.m3.1.1.2.3.3.cmml" xref="S2.3.p1.7.m3.1.1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.3.p1.7.m3.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S2.3.p1.7.m3.1.1.2.3.3">superscript</csymbol><ci id="S2.3.p1.7.m3.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="S2.3.p1.7.m3.1.1.2.3.3.2">𝜎</ci><cn id="S2.3.p1.7.m3.1.1.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.3.p1.7.m3.1.1.2.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.3.p1.7.m3.1c">-\frac{\varepsilon^{2}r^{2}}{2\sigma^{2}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.3.p1.7.m3.1d">- divide start_ARG italic_ε start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_r start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 2 italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math>. Plugging the minimum in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14347v1#S2.E18" title="In Proof. ‣ 2 New Proof based on Averaged Moment Generating Function ‣ A New Proof of Sub-Gaussian Norm Concentration Inequality"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">18</span></a>) we arrive at</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E19"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\mathbb{P}\left(\|X\|\leq r\right)\geq 1-(1-\varepsilon^{2})^{-\frac{n}{2}}e^{% -\frac{\varepsilon^{2}r^{2}}{2\sigma^{2}}}." class="ltx_Math" display="block" id="S2.E19.m1.2"><semantics id="S2.E19.m1.2a"><mrow id="S2.E19.m1.2.2.1" xref="S2.E19.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S2.E19.m1.2.2.1.1" xref="S2.E19.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S2.E19.m1.2.2.1.1.1" xref="S2.E19.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E19.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S2.E19.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">ℙ</mi><mo id="S2.E19.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S2.E19.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E19.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S2.E19.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E19.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E19.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E19.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E19.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E19.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.E19.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml"><mo id="S2.E19.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.1" stretchy="false" xref="S2.E19.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S2.E19.m1.1.1" xref="S2.E19.m1.1.1.cmml">X</mi><mo id="S2.E19.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.2" stretchy="false" xref="S2.E19.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml">‖</mo></mrow><mo id="S2.E19.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E19.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">≤</mo><mi id="S2.E19.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E19.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">r</mi></mrow><mo id="S2.E19.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E19.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E19.m1.2.2.1.1.3" xref="S2.E19.m1.2.2.1.1.3.cmml">≥</mo><mrow id="S2.E19.m1.2.2.1.1.2" xref="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.cmml"><mn id="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.3" xref="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.3.cmml">1</mn><mo id="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.2" xref="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.2.cmml">−</mo><mrow id="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1" xref="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.cmml"><msup id="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.1" xref="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.1.cmml"><mrow id="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1" xref="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msup id="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml">ε</mi><mn id="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.1.3" xref="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.1.3.cmml"><mo id="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.1.3a" xref="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.1.3.cmml">−</mo><mfrac id="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.1.3.2" xref="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.1.3.2.2" xref="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.1.3.2.2.cmml">n</mi><mn id="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.1.3.2.3" xref="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mrow></msup><mo id="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.2" xref="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.3" xref="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.3.cmml"><mi id="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.3.2" xref="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.3.2.cmml">e</mi><mrow id="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.3.3" xref="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.3.3.cmml"><mo id="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.3.3a" xref="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.3.3.cmml">−</mo><mfrac id="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.3.3.2" xref="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.3.3.2.cmml"><mrow id="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.3.3.2.2" xref="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.3.3.2.2.cmml"><msup id="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.3.3.2.2.2" xref="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.3.3.2.2.2.cmml"><mi id="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.3.3.2.2.2.2" xref="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.3.3.2.2.2.2.cmml">ε</mi><mn id="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.3.3.2.2.2.3" xref="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.3.3.2.2.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.3.3.2.2.1" xref="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.3.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.3.3.2.2.3" xref="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.3.3.2.2.3.cmml"><mi id="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.3.3.2.2.3.2" xref="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.3.3.2.2.3.2.cmml">r</mi><mn id="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.3.3.2.2.3.3" xref="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.3.3.2.2.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mrow id="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.3.3.2.3" xref="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.3.3.2.3.cmml"><mn id="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.3.3.2.3.2" xref="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.3.3.2.3.2.cmml">2</mn><mo id="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.3.3.2.3.1" xref="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.3.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.3.3.2.3.3" xref="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.3.3.2.3.3.cmml"><mi id="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.3.3.2.3.3.2" xref="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.3.3.2.3.3.2.cmml">σ</mi><mn id="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.3.3.2.3.3.3" xref="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.3.3.2.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mfrac></mrow></msup></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E19.m1.2.2.1.2" lspace="0em" xref="S2.E19.m1.2.2.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E19.m1.2b"><apply id="S2.E19.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S2.E19.m1.2.2.1"><geq id="S2.E19.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S2.E19.m1.2.2.1.1.3"></geq><apply id="S2.E19.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.E19.m1.2.2.1.1.1"><times id="S2.E19.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E19.m1.2.2.1.1.1.2"></times><ci id="S2.E19.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E19.m1.2.2.1.1.1.3">ℙ</ci><apply id="S2.E19.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E19.m1.2.2.1.1.1.1.1"><leq id="S2.E19.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E19.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1"></leq><apply id="S2.E19.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E19.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.E19.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S2.E19.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.2.1">norm</csymbol><ci id="S2.E19.m1.1.1.cmml" xref="S2.E19.m1.1.1">𝑋</ci></apply><ci id="S2.E19.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E19.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3">𝑟</ci></apply></apply><apply id="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.E19.m1.2.2.1.1.2"><minus id="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.2"></minus><cn id="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.3">1</cn><apply id="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1"><times id="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.2.cmml" xref="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.2"></times><apply id="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.1.cmml" xref="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.1">superscript</csymbol><apply id="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1"><minus id="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.1"></minus><cn id="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.2">1</cn><apply id="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2">𝜀</ci><cn id="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.1.3.cmml" xref="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.1.3"><minus id="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.1.3"></minus><apply id="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.1.3.2"><divide id="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.1.3.2"></divide><ci id="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.1.3.2.2">𝑛</ci><cn id="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.1.3.2.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.3.cmml" xref="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.3.1.cmml" xref="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.3.2.cmml" xref="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.3.2">𝑒</ci><apply id="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.3.3.cmml" xref="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.3.3"><minus id="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.3.3.1.cmml" xref="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.3.3"></minus><apply id="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.3.3.2.cmml" xref="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.3.3.2"><divide id="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.3.3.2.1.cmml" xref="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.3.3.2"></divide><apply id="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.3.3.2.2.cmml" 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xref="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.3.3.2.2.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.3.3.2.3.cmml" xref="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.3.3.2.3"><times id="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.3.3.2.3.1.cmml" xref="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.3.3.2.3.1"></times><cn id="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.3.3.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.3.3.2.3.2">2</cn><apply id="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.3.3.2.3.3.cmml" xref="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.3.3.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.3.3.2.3.3.1.cmml" xref="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.3.3.2.3.3">superscript</csymbol><ci id="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.3.3.2.3.3.2.cmml" xref="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.3.3.2.3.3.2">𝜎</ci><cn id="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.3.3.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E19.m1.2.2.1.1.2.1.3.3.2.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E19.m1.2c">\mathbb{P}\left(\|X\|\leq r\right)\geq 1-(1-\varepsilon^{2})^{-\frac{n}{2}}e^{% -\frac{\varepsilon^{2}r^{2}}{2\sigma^{2}}}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E19.m1.2d">blackboard_P ( ∥ italic_X ∥ ≤ italic_r ) ≥ 1 - ( 1 - italic_ε start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT - divide start_ARG italic_n end_ARG start_ARG 2 end_ARG end_POSTSUPERSCRIPT italic_e start_POSTSUPERSCRIPT - divide start_ARG italic_ε start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_r start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 2 italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(19)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.3.p1.9">Define <math alttext="\delta=(1-\varepsilon^{2})^{-\frac{n}{2}}e^{-\frac{\varepsilon^{2}r^{2}}{2% \sigma^{2}}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.3.p1.8.m1.1"><semantics id="S2.3.p1.8.m1.1a"><mrow id="S2.3.p1.8.m1.1.1" xref="S2.3.p1.8.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.3.p1.8.m1.1.1.3" xref="S2.3.p1.8.m1.1.1.3.cmml">δ</mi><mo id="S2.3.p1.8.m1.1.1.2" xref="S2.3.p1.8.m1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S2.3.p1.8.m1.1.1.1" xref="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.cmml"><msup id="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.1" xref="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msup id="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">ε</mi><mn id="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.1.3" xref="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.1.3a" xref="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo><mfrac id="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">n</mi><mn id="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mrow></msup><mo id="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.2" xref="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.3" xref="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.3.2" xref="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.3.2.cmml">e</mi><mrow id="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.3.3" xref="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.3.3.cmml"><mo id="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.3.3a" xref="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.3.3.cmml">−</mo><mfrac id="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.3.3.2" xref="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.3.3.2.cmml"><mrow id="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.3.3.2.2.cmml"><msup id="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.3.3.2.2.2" xref="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.3.3.2.2.2.cmml"><mi id="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.3.3.2.2.2.2" xref="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.cmml">ε</mi><mn id="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.3.3.2.2.2.3" xref="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.3.3.2.2.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.3.3.2.2.1" xref="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.3.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.3.3.2.2.3" xref="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.3.3.2.2.3.cmml"><mi id="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.3.3.2.2.3.2" xref="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.3.3.2.2.3.2.cmml">r</mi><mn id="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.3.3.2.2.3.3" xref="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.3.3.2.2.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mrow id="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.3.3.2.3.cmml"><mn id="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.3.3.2.3.2" xref="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.3.3.2.3.2.cmml">2</mn><mo id="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.3.3.2.3.1" xref="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.3.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.3.3.2.3.3" xref="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.3.3.2.3.3.cmml"><mi id="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.3.3.2.3.3.2" xref="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.3.3.2.3.3.2.cmml">σ</mi><mn id="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.3.3.2.3.3.3" xref="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.3.3.2.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mfrac></mrow></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.3.p1.8.m1.1b"><apply id="S2.3.p1.8.m1.1.1.cmml" xref="S2.3.p1.8.m1.1.1"><eq id="S2.3.p1.8.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.3.p1.8.m1.1.1.2"></eq><ci id="S2.3.p1.8.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.3.p1.8.m1.1.1.3">𝛿</ci><apply id="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.3.p1.8.m1.1.1.1"><times id="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.2"></times><apply id="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><cn id="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">1</cn><apply id="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝜀</ci><cn id="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.1.3"><minus id="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.1.3"></minus><apply id="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.1.3.2"><divide id="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.1.3.2"></divide><ci id="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.1.3.2.2">𝑛</ci><cn id="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.1.3.2.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.3.2">𝑒</ci><apply id="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.3.3"><minus id="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.3.3"></minus><apply id="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.3.3.2"><divide id="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.3.3.2"></divide><apply id="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.3.3.2.2"><times id="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.3.3.2.2.1.cmml" xref="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.3.3.2.2.1"></times><apply id="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.3.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.3.3.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.3.3.2.2.2.2">𝜀</ci><cn id="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.3.3.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.3.3.2.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.3.3.2.2.3.cmml" xref="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.3.3.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.3.3.2.2.3.1.cmml" xref="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.3.3.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.3.3.2.2.3.2.cmml" xref="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.3.3.2.2.3.2">𝑟</ci><cn id="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.3.3.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.3.3.2.2.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.3.3.2.3"><times id="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.3.3.2.3.1.cmml" xref="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.3.3.2.3.1"></times><cn id="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.3.3.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.3.3.2.3.2">2</cn><apply id="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.3.3.2.3.3.cmml" xref="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.3.3.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.3.3.2.3.3.1.cmml" xref="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.3.3.2.3.3">superscript</csymbol><ci id="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.3.3.2.3.3.2.cmml" xref="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.3.3.2.3.3.2">𝜎</ci><cn id="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.3.3.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.3.p1.8.m1.1.1.1.3.3.2.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.3.p1.8.m1.1c">\delta=(1-\varepsilon^{2})^{-\frac{n}{2}}e^{-\frac{\varepsilon^{2}r^{2}}{2% \sigma^{2}}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.3.p1.8.m1.1d">italic_δ = ( 1 - italic_ε start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT - divide start_ARG italic_n end_ARG start_ARG 2 end_ARG end_POSTSUPERSCRIPT italic_e start_POSTSUPERSCRIPT - divide start_ARG italic_ε start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_r start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG 2 italic_σ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, then <math alttext="r" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.3.p1.9.m2.1"><semantics id="S2.3.p1.9.m2.1a"><mi id="S2.3.p1.9.m2.1.1" xref="S2.3.p1.9.m2.1.1.cmml">r</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.3.p1.9.m2.1b"><ci id="S2.3.p1.9.m2.1.1.cmml" xref="S2.3.p1.9.m2.1.1">𝑟</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.3.p1.9.m2.1c">r</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.3.p1.9.m2.1d">italic_r</annotation></semantics></math> can be expressed as</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.Ex4"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="r=\sigma\sqrt{\frac{\log\frac{1}{1-\varepsilon^{2}}}{\varepsilon^{2}}n+\frac{2% }{\varepsilon^{2}}\log\frac{1}{\delta}}." class="ltx_Math" display="block" id="S2.Ex4.m1.1"><semantics id="S2.Ex4.m1.1a"><mrow id="S2.Ex4.m1.1.1.1" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.cmml">r</mi><mo id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">σ</mi><mo id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.1" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msqrt id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mrow id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml"><mrow id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml"><mfrac id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.cmml"><mrow id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.1" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.1.cmml">log</mi><mo id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2a" lspace="0.167em" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.cmml">⁡</mo><mfrac id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.2" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.2.cmml"><mn id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.2.2" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.2.2.cmml">1</mn><mrow id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.2.3" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.2.3.cmml"><mn id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.2.3.2" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.2.3.2.cmml">1</mn><mo id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.2.3.1" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.2.3.1.cmml">−</mo><msup id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.2.3.3" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.2.3.3.cmml"><mi id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.2.3.3.2" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.2.3.3.2.cmml">ε</mi><mn id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.2.3.3.3" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.2.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mfrac></mrow><msup id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.3" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.3.2" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.3.2.cmml">ε</mi><mn id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.3.3" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.3.3.cmml">2</mn></msup></mfrac><mo id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.1" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.cmml">n</mi></mrow><mo id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.1" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml">+</mo><mrow id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml"><mfrac id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.2" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.cmml"><mn id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.2" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.2.cmml">2</mn><msup id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.3" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.3.cmml"><mi id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.3.2" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.3.2.cmml">ε</mi><mn id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.3.3" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.3.3.cmml">2</mn></msup></mfrac><mo id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.1" lspace="0.167em" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.3" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.cmml"><mi id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.1" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.1.cmml">log</mi><mo id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.3a" lspace="0.167em" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.cmml">⁡</mo><mfrac id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.2" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.2.cmml"><mn id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.2.2" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.2.2.cmml">1</mn><mi id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.2.3" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.2.3.cmml">δ</mi></mfrac></mrow></mrow></mrow></msqrt></mrow></mrow><mo id="S2.Ex4.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex4.m1.1b"><apply id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1"><eq id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.1"></eq><ci id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.2">𝑟</ci><apply id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3"><times id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.2">𝜎</ci><apply id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3"><root id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3a.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3"></root><apply id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2"><plus id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.1"></plus><apply id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.2"><times id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.1"></times><apply id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2"><divide id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2"></divide><apply id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2"><log id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.1"></log><apply id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.2"><divide id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.2"></divide><cn id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.2.2">1</cn><apply id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.2.3"><minus id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.2.3.1"></minus><cn id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.2.3.2">1</cn><apply id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.2.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.2.3.3">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.2.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.2.3.3.2">𝜀</ci><cn id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.2.2.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.3.2">𝜀</ci><cn id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.2.3.3">2</cn></apply></apply><ci id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.2.3">𝑛</ci></apply><apply id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.3"><times id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.1"></times><apply id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.2"><divide id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.2"></divide><cn id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.2">2</cn><apply id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.3.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.3.1.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.3">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.3.2.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.3.2">𝜀</ci><cn id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.2.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.3"><log id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.1.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.1"></log><apply id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.2.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.2"><divide id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.2"></divide><cn id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.2.2">1</cn><ci id="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.2.3.cmml" xref="S2.Ex4.m1.1.1.1.1.3.3.2.3.3.2.3">𝛿</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex4.m1.1c">r=\sigma\sqrt{\frac{\log\frac{1}{1-\varepsilon^{2}}}{\varepsilon^{2}}n+\frac{2% }{\varepsilon^{2}}\log\frac{1}{\delta}}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex4.m1.1d">italic_r = italic_σ square-root start_ARG divide start_ARG roman_log divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 1 - italic_ε start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG end_ARG start_ARG italic_ε start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG italic_n + divide start_ARG 2 end_ARG start_ARG italic_ε start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG roman_log divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_δ end_ARG end_ARG .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.3.p1.10">The conclusion (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14347v1#S2.E17" title="In Theorem 2. ‣ 2 New Proof based on Averaged Moment Generating Function ‣ A New Proof of Sub-Gaussian Norm Concentration Inequality"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">17</span></a>) follows by plugging this expression of <math alttext="r" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.3.p1.10.m1.1"><semantics id="S2.3.p1.10.m1.1a"><mi id="S2.3.p1.10.m1.1.1" xref="S2.3.p1.10.m1.1.1.cmml">r</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.3.p1.10.m1.1b"><ci id="S2.3.p1.10.m1.1.1.cmml" xref="S2.3.p1.10.m1.1.1">𝑟</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.3.p1.10.m1.1c">r</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.3.p1.10.m1.1d">italic_r</annotation></semantics></math> in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14347v1#S2.E19" title="In Proof. ‣ 2 New Proof based on Averaged Moment Generating Function ‣ A New Proof of Sub-Gaussian Norm Concentration Inequality"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">19</span></a>). This completes the proof. ∎</p> </div> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S2.p8"> <p class="ltx_p" id="S2.p8.8">Clearly, Theorem <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14347v1#Thmthm2" title="Theorem 2. ‣ 2 New Proof based on Averaged Moment Generating Function ‣ A New Proof of Sub-Gaussian Norm Concentration Inequality"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a> is a special case of Theorem <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14347v1#Thmthm1" title="Theorem 1. ‣ 1 Sub-Gaussian norm concentration inequality ‣ A New Proof of Sub-Gaussian Norm Concentration Inequality"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a> with constants</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E20"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="C_{1}=\frac{\log\frac{1}{1-\varepsilon^{2}}}{\varepsilon^{2}},\quad C_{2}=% \frac{2}{\varepsilon^{2}}." class="ltx_Math" display="block" id="S2.E20.m1.1"><semantics id="S2.E20.m1.1a"><mrow id="S2.E20.m1.1.1.1"><mrow id="S2.E20.m1.1.1.1.1.2" xref="S2.E20.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.E20.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E20.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.E20.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E20.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.E20.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.E20.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">C</mi><mn id="S2.E20.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.E20.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S2.E20.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E20.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mfrac id="S2.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S2.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">log</mi><mo id="S2.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2a" lspace="0.167em" xref="S2.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">⁡</mo><mfrac id="S2.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mn id="S2.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S2.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">1</mn><mrow id="S2.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S2.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml"><mn id="S2.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2" xref="S2.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml">1</mn><mo id="S2.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.1" xref="S2.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml">−</mo><msup id="S2.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3" xref="S2.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml"><mi id="S2.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.2" xref="S2.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.2.cmml">ε</mi><mn id="S2.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.3" xref="S2.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mfrac></mrow><msup id="S2.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S2.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">ε</mi><mn id="S2.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S2.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mfrac></mrow><mo id="S2.E20.m1.1.1.1.1.2.3" rspace="1.167em" xref="S2.E20.m1.1.1.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S2.E20.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.E20.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><msub id="S2.E20.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S2.E20.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S2.E20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S2.E20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">C</mi><mn id="S2.E20.m1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S2.E20.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S2.E20.m1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S2.E20.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">=</mo><mfrac id="S2.E20.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S2.E20.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mn id="S2.E20.m1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S2.E20.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">2</mn><msup id="S2.E20.m1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S2.E20.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml"><mi id="S2.E20.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2" xref="S2.E20.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.cmml">ε</mi><mn id="S2.E20.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.3" xref="S2.E20.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mfrac></mrow></mrow><mo id="S2.E20.m1.1.1.1.2" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E20.m1.1b"><apply id="S2.E20.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E20.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E20.m1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S2.E20.m1.1.1.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S2.E20.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E20.m1.1.1.1.1.1.1"><eq id="S2.E20.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E20.m1.1.1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S2.E20.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E20.m1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E20.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E20.m1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E20.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E20.m1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝐶</ci><cn id="S2.E20.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.E20.m1.1.1.1.1.1.1.2.3">1</cn></apply><apply id="S2.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3"><divide id="S2.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3"></divide><apply id="S2.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2"><log id="S2.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1"></log><apply id="S2.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2"><divide id="S2.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S2.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2"></divide><cn id="S2.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2">1</cn><apply id="S2.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S2.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3"><minus id="S2.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.1.cmml" xref="S2.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.1"></minus><cn id="S2.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.2">1</cn><apply id="S2.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.cmml" xref="S2.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.1.cmml" xref="S2.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3">superscript</csymbol><ci id="S2.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.2.cmml" xref="S2.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.2">𝜀</ci><cn id="S2.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S2.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝜀</ci><cn id="S2.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E20.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S2.E20.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E20.m1.1.1.1.1.2.2"><eq id="S2.E20.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.E20.m1.1.1.1.1.2.2.1"></eq><apply id="S2.E20.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.E20.m1.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E20.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E20.m1.1.1.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E20.m1.1.1.1.1.2.2.2.2">𝐶</ci><cn id="S2.E20.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.E20.m1.1.1.1.1.2.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S2.E20.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.E20.m1.1.1.1.1.2.2.3"><divide id="S2.E20.m1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S2.E20.m1.1.1.1.1.2.2.3"></divide><cn id="S2.E20.m1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.E20.m1.1.1.1.1.2.2.3.2">2</cn><apply id="S2.E20.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S2.E20.m1.1.1.1.1.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E20.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.1.cmml" xref="S2.E20.m1.1.1.1.1.2.2.3.3">superscript</csymbol><ci id="S2.E20.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2.cmml" xref="S2.E20.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.2">𝜀</ci><cn id="S2.E20.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E20.m1.1.1.1.1.2.2.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E20.m1.1c">C_{1}=\frac{\log\frac{1}{1-\varepsilon^{2}}}{\varepsilon^{2}},\quad C_{2}=% \frac{2}{\varepsilon^{2}}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E20.m1.1d">italic_C start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT = divide start_ARG roman_log divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 1 - italic_ε start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG end_ARG start_ARG italic_ε start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG , italic_C start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT = divide start_ARG 2 end_ARG start_ARG italic_ε start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(20)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.p8.4">The choice (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14347v1#S2.E20" title="In 2 New Proof based on Averaged Moment Generating Function ‣ A New Proof of Sub-Gaussian Norm Concentration Inequality"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">20</span></a>) of <math alttext="C_{1},C_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p8.1.m1.2"><semantics id="S2.p8.1.m1.2a"><mrow id="S2.p8.1.m1.2.2.2" xref="S2.p8.1.m1.2.2.3.cmml"><msub id="S2.p8.1.m1.1.1.1.1" xref="S2.p8.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.p8.1.m1.1.1.1.1.2" xref="S2.p8.1.m1.1.1.1.1.2.cmml">C</mi><mn id="S2.p8.1.m1.1.1.1.1.3" xref="S2.p8.1.m1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S2.p8.1.m1.2.2.2.3" xref="S2.p8.1.m1.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S2.p8.1.m1.2.2.2.2" xref="S2.p8.1.m1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.p8.1.m1.2.2.2.2.2" xref="S2.p8.1.m1.2.2.2.2.2.cmml">C</mi><mn id="S2.p8.1.m1.2.2.2.2.3" xref="S2.p8.1.m1.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p8.1.m1.2b"><list id="S2.p8.1.m1.2.2.3.cmml" xref="S2.p8.1.m1.2.2.2"><apply id="S2.p8.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p8.1.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p8.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p8.1.m1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.p8.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.p8.1.m1.1.1.1.1.2">𝐶</ci><cn id="S2.p8.1.m1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.p8.1.m1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S2.p8.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.p8.1.m1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p8.1.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.p8.1.m1.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.p8.1.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.p8.1.m1.2.2.2.2.2">𝐶</ci><cn id="S2.p8.1.m1.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.p8.1.m1.2.2.2.2.3">2</cn></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p8.1.m1.2c">C_{1},C_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p8.1.m1.2d">italic_C start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_C start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> appears to be better than (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14347v1#S1.E4" title="In 1 Sub-Gaussian norm concentration inequality ‣ A New Proof of Sub-Gaussian Norm Concentration Inequality"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4</span></a>) obtained by the <math alttext="\varepsilon" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p8.2.m2.1"><semantics id="S2.p8.2.m2.1a"><mi id="S2.p8.2.m2.1.1" xref="S2.p8.2.m2.1.1.cmml">ε</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p8.2.m2.1b"><ci id="S2.p8.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.p8.2.m2.1.1">𝜀</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p8.2.m2.1c">\varepsilon</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p8.2.m2.1d">italic_ε</annotation></semantics></math>-net technique. Indeed, (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14347v1#S2.E20" title="In 2 New Proof based on Averaged Moment Generating Function ‣ A New Proof of Sub-Gaussian Norm Concentration Inequality"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">20</span></a>) shares the same <math alttext="C_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p8.3.m3.1"><semantics id="S2.p8.3.m3.1a"><msub id="S2.p8.3.m3.1.1" xref="S2.p8.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S2.p8.3.m3.1.1.2" xref="S2.p8.3.m3.1.1.2.cmml">C</mi><mn id="S2.p8.3.m3.1.1.3" xref="S2.p8.3.m3.1.1.3.cmml">2</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p8.3.m3.1b"><apply id="S2.p8.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.p8.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p8.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S2.p8.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.p8.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S2.p8.3.m3.1.1.2">𝐶</ci><cn id="S2.p8.3.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.p8.3.m3.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p8.3.m3.1c">C_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p8.3.m3.1d">italic_C start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> as (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14347v1#S1.E4" title="In 1 Sub-Gaussian norm concentration inequality ‣ A New Proof of Sub-Gaussian Norm Concentration Inequality"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4</span></a>), and <math alttext="C_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p8.4.m4.1"><semantics id="S2.p8.4.m4.1a"><msub id="S2.p8.4.m4.1.1" xref="S2.p8.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S2.p8.4.m4.1.1.2" xref="S2.p8.4.m4.1.1.2.cmml">C</mi><mn id="S2.p8.4.m4.1.1.3" xref="S2.p8.4.m4.1.1.3.cmml">1</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p8.4.m4.1b"><apply id="S2.p8.4.m4.1.1.cmml" xref="S2.p8.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p8.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S2.p8.4.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.p8.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S2.p8.4.m4.1.1.2">𝐶</ci><cn id="S2.p8.4.m4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.p8.4.m4.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p8.4.m4.1c">C_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p8.4.m4.1d">italic_C start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14347v1#S2.E20" title="In 2 New Proof based on Averaged Moment Generating Function ‣ A New Proof of Sub-Gaussian Norm Concentration Inequality"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">20</span></a>) is smaller by</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.Ex5"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\frac{2\log(1+\frac{2}{1-\varepsilon})}{\varepsilon^{2}}=\frac{\log(1+\frac{4}% {1-\varepsilon}+\frac{4}{(1-\varepsilon)^{2}})}{\varepsilon^{2}}>\frac{\log(1+% \frac{\varepsilon^{2}}{1-\varepsilon^{2}})}{\varepsilon^{2}}=\frac{\log(\frac{% 1}{1-\varepsilon^{2}})}{\varepsilon^{2}}" class="ltx_Math" display="block" id="S2.Ex5.m1.9"><semantics id="S2.Ex5.m1.9a"><mrow id="S2.Ex5.m1.9.10" xref="S2.Ex5.m1.9.10.cmml"><mfrac id="S2.Ex5.m1.2.2" xref="S2.Ex5.m1.2.2.cmml"><mrow id="S2.Ex5.m1.2.2.2" xref="S2.Ex5.m1.2.2.2.cmml"><mn id="S2.Ex5.m1.2.2.2.4" xref="S2.Ex5.m1.2.2.2.4.cmml">2</mn><mo id="S2.Ex5.m1.2.2.2.3" lspace="0.167em" xref="S2.Ex5.m1.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex5.m1.2.2.2.2.1" xref="S2.Ex5.m1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.Ex5.m1.1.1.1.1" xref="S2.Ex5.m1.1.1.1.1.cmml">log</mi><mo id="S2.Ex5.m1.2.2.2.2.1a" xref="S2.Ex5.m1.2.2.2.2.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S2.Ex5.m1.2.2.2.2.1.1" xref="S2.Ex5.m1.2.2.2.2.2.cmml"><mo id="S2.Ex5.m1.2.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex5.m1.2.2.2.2.2.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex5.m1.2.2.2.2.1.1.1" xref="S2.Ex5.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mn id="S2.Ex5.m1.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="S2.Ex5.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S2.Ex5.m1.2.2.2.2.1.1.1.1" xref="S2.Ex5.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml">+</mo><mfrac id="S2.Ex5.m1.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="S2.Ex5.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mn id="S2.Ex5.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2" xref="S2.Ex5.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml">2</mn><mrow id="S2.Ex5.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3" xref="S2.Ex5.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml"><mn id="S2.Ex5.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.2" xref="S2.Ex5.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.2.cmml">1</mn><mo id="S2.Ex5.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.1" xref="S2.Ex5.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml">−</mo><mi id="S2.Ex5.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.3" xref="S2.Ex5.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.3.cmml">ε</mi></mrow></mfrac></mrow><mo id="S2.Ex5.m1.2.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.Ex5.m1.2.2.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><msup id="S2.Ex5.m1.2.2.4" xref="S2.Ex5.m1.2.2.4.cmml"><mi id="S2.Ex5.m1.2.2.4.2" xref="S2.Ex5.m1.2.2.4.2.cmml">ε</mi><mn id="S2.Ex5.m1.2.2.4.3" xref="S2.Ex5.m1.2.2.4.3.cmml">2</mn></msup></mfrac><mo id="S2.Ex5.m1.9.10.2" 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xref="S2.Ex5.m1.5.5.3.3.1.1.3.3.1.cmml">−</mo><mi id="S2.Ex5.m1.5.5.3.3.1.1.3.3.3" xref="S2.Ex5.m1.5.5.3.3.1.1.3.3.3.cmml">ε</mi></mrow></mfrac><mo id="S2.Ex5.m1.5.5.3.3.1.1.1a" xref="S2.Ex5.m1.5.5.3.3.1.1.1.cmml">+</mo><mfrac id="S2.Ex5.m1.3.3.1.1" xref="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.cmml"><mn id="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.3" xref="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.3.cmml">4</mn><msup id="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.1" xref="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">ε</mi></mrow><mo id="S2.Ex5.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" 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xref="S2.Ex5.m1.7.7.2.2.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S2.Ex5.m1.7.7.2.2.1.1.1" xref="S2.Ex5.m1.7.7.2.2.1.1.1.cmml">+</mo><mfrac id="S2.Ex5.m1.7.7.2.2.1.1.3" xref="S2.Ex5.m1.7.7.2.2.1.1.3.cmml"><msup id="S2.Ex5.m1.7.7.2.2.1.1.3.2" xref="S2.Ex5.m1.7.7.2.2.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.Ex5.m1.7.7.2.2.1.1.3.2.2" xref="S2.Ex5.m1.7.7.2.2.1.1.3.2.2.cmml">ε</mi><mn id="S2.Ex5.m1.7.7.2.2.1.1.3.2.3" xref="S2.Ex5.m1.7.7.2.2.1.1.3.2.3.cmml">2</mn></msup><mrow id="S2.Ex5.m1.7.7.2.2.1.1.3.3" xref="S2.Ex5.m1.7.7.2.2.1.1.3.3.cmml"><mn id="S2.Ex5.m1.7.7.2.2.1.1.3.3.2" xref="S2.Ex5.m1.7.7.2.2.1.1.3.3.2.cmml">1</mn><mo id="S2.Ex5.m1.7.7.2.2.1.1.3.3.1" xref="S2.Ex5.m1.7.7.2.2.1.1.3.3.1.cmml">−</mo><msup id="S2.Ex5.m1.7.7.2.2.1.1.3.3.3" xref="S2.Ex5.m1.7.7.2.2.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S2.Ex5.m1.7.7.2.2.1.1.3.3.3.2" xref="S2.Ex5.m1.7.7.2.2.1.1.3.3.3.2.cmml">ε</mi><mn id="S2.Ex5.m1.7.7.2.2.1.1.3.3.3.3" xref="S2.Ex5.m1.7.7.2.2.1.1.3.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mfrac></mrow><mo id="S2.Ex5.m1.7.7.2.2.1.3" 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href="https://arxiv.org/html/2503.14347v1#S2.Ex5.m1.5.5.cmml" id="S2.Ex5.m1.9.10d.cmml" xref="S2.Ex5.m1.9.10"></share><apply id="S2.Ex5.m1.7.7.cmml" xref="S2.Ex5.m1.7.7"><divide id="S2.Ex5.m1.7.7.3.cmml" xref="S2.Ex5.m1.7.7"></divide><apply id="S2.Ex5.m1.7.7.2.3.cmml" xref="S2.Ex5.m1.7.7.2.2"><log id="S2.Ex5.m1.6.6.1.1.cmml" xref="S2.Ex5.m1.6.6.1.1"></log><apply id="S2.Ex5.m1.7.7.2.2.1.1.cmml" xref="S2.Ex5.m1.7.7.2.2.1.1"><plus id="S2.Ex5.m1.7.7.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex5.m1.7.7.2.2.1.1.1"></plus><cn id="S2.Ex5.m1.7.7.2.2.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S2.Ex5.m1.7.7.2.2.1.1.2">1</cn><apply id="S2.Ex5.m1.7.7.2.2.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex5.m1.7.7.2.2.1.1.3"><divide id="S2.Ex5.m1.7.7.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Ex5.m1.7.7.2.2.1.1.3"></divide><apply id="S2.Ex5.m1.7.7.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Ex5.m1.7.7.2.2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex5.m1.7.7.2.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.Ex5.m1.7.7.2.2.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S2.Ex5.m1.7.7.2.2.1.1.3.2.2.cmml" 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end_ARG = divide start_ARG roman_log ( divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 1 - italic_ε start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ) end_ARG start_ARG italic_ε start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.p8.7">for any <math alttext="\varepsilon\in(0,\,1)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p8.5.m1.2"><semantics id="S2.p8.5.m1.2a"><mrow id="S2.p8.5.m1.2.3" xref="S2.p8.5.m1.2.3.cmml"><mi id="S2.p8.5.m1.2.3.2" xref="S2.p8.5.m1.2.3.2.cmml">ε</mi><mo id="S2.p8.5.m1.2.3.1" xref="S2.p8.5.m1.2.3.1.cmml">∈</mo><mrow id="S2.p8.5.m1.2.3.3.2" xref="S2.p8.5.m1.2.3.3.1.cmml"><mo id="S2.p8.5.m1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.p8.5.m1.2.3.3.1.cmml">(</mo><mn id="S2.p8.5.m1.1.1" xref="S2.p8.5.m1.1.1.cmml">0</mn><mo id="S2.p8.5.m1.2.3.3.2.2" xref="S2.p8.5.m1.2.3.3.1.cmml">,</mo><mn id="S2.p8.5.m1.2.2" xref="S2.p8.5.m1.2.2.cmml"> 1</mn><mo id="S2.p8.5.m1.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.p8.5.m1.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p8.5.m1.2b"><apply id="S2.p8.5.m1.2.3.cmml" xref="S2.p8.5.m1.2.3"><in id="S2.p8.5.m1.2.3.1.cmml" xref="S2.p8.5.m1.2.3.1"></in><ci id="S2.p8.5.m1.2.3.2.cmml" xref="S2.p8.5.m1.2.3.2">𝜀</ci><interval closure="open" id="S2.p8.5.m1.2.3.3.1.cmml" xref="S2.p8.5.m1.2.3.3.2"><cn id="S2.p8.5.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.p8.5.m1.1.1">0</cn><cn id="S2.p8.5.m1.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.p8.5.m1.2.2">1</cn></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p8.5.m1.2c">\varepsilon\in(0,\,1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p8.5.m1.2d">italic_ε ∈ ( 0 , 1 )</annotation></semantics></math>. Empirically, the decrease of <math alttext="C_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p8.6.m2.1"><semantics id="S2.p8.6.m2.1a"><msub id="S2.p8.6.m2.1.1" xref="S2.p8.6.m2.1.1.cmml"><mi id="S2.p8.6.m2.1.1.2" xref="S2.p8.6.m2.1.1.2.cmml">C</mi><mn id="S2.p8.6.m2.1.1.3" xref="S2.p8.6.m2.1.1.3.cmml">1</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p8.6.m2.1b"><apply id="S2.p8.6.m2.1.1.cmml" xref="S2.p8.6.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p8.6.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.p8.6.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.p8.6.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.p8.6.m2.1.1.2">𝐶</ci><cn id="S2.p8.6.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.p8.6.m2.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p8.6.m2.1c">C_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p8.6.m2.1d">italic_C start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is around <math alttext="30\%" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p8.7.m3.1"><semantics id="S2.p8.7.m3.1a"><mrow id="S2.p8.7.m3.1.1" xref="S2.p8.7.m3.1.1.cmml"><mn id="S2.p8.7.m3.1.1.2" xref="S2.p8.7.m3.1.1.2.cmml">30</mn><mo id="S2.p8.7.m3.1.1.1" xref="S2.p8.7.m3.1.1.1.cmml">%</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p8.7.m3.1b"><apply id="S2.p8.7.m3.1.1.cmml" xref="S2.p8.7.m3.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.p8.7.m3.1.1.1.cmml" xref="S2.p8.7.m3.1.1.1">percent</csymbol><cn id="S2.p8.7.m3.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S2.p8.7.m3.1.1.2">30</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p8.7.m3.1c">30\%</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p8.7.m3.1d">30 %</annotation></semantics></math>. To the best of our knowledge, Theorem <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14347v1#Thmthm2" title="Theorem 2. ‣ 2 New Proof based on Averaged Moment Generating Function ‣ A New Proof of Sub-Gaussian Norm Concentration Inequality"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a> represents the tightest result of sub-Gaussian norm concentration.</p> </div> </section> <section class="ltx_section" id="S3"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">3 </span>Conclusion</h2> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S3.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.p1.5">In this paper, we present an alternative proof of the sub-Gaussian norm concentration inequality, offering a tighter concentration bound. The key to our proof is a modified MGF dubbed AMGF. The AMGF depends solely on the distribution of the norm <math alttext="\|X\|" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.p1.1.m1.1a"><mrow id="S3.p1.1.m1.1.2.2" xref="S3.p1.1.m1.1.2.1.cmml"><mo id="S3.p1.1.m1.1.2.2.1" stretchy="false" xref="S3.p1.1.m1.1.2.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S3.p1.1.m1.1.1" xref="S3.p1.1.m1.1.1.cmml">X</mi><mo id="S3.p1.1.m1.1.2.2.2" stretchy="false" xref="S3.p1.1.m1.1.2.1.1.cmml">‖</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p1.1.m1.1b"><apply id="S3.p1.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S3.p1.1.m1.1.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.p1.1.m1.1.2.1.1.cmml" xref="S3.p1.1.m1.1.2.2.1">norm</csymbol><ci id="S3.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.p1.1.m1.1.1">𝑋</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p1.1.m1.1c">\|X\|</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p1.1.m1.1d">∥ italic_X ∥</annotation></semantics></math> of a random vector <math alttext="X" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p1.2.m2.1"><semantics id="S3.p1.2.m2.1a"><mi id="S3.p1.2.m2.1.1" xref="S3.p1.2.m2.1.1.cmml">X</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p1.2.m2.1b"><ci id="S3.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.p1.2.m2.1.1">𝑋</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p1.2.m2.1c">X</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p1.2.m2.1d">italic_X</annotation></semantics></math>, making it particularly suitable for analyzing the concentration properties of <math alttext="\|X\|" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p1.3.m3.1"><semantics id="S3.p1.3.m3.1a"><mrow id="S3.p1.3.m3.1.2.2" xref="S3.p1.3.m3.1.2.1.cmml"><mo id="S3.p1.3.m3.1.2.2.1" stretchy="false" xref="S3.p1.3.m3.1.2.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S3.p1.3.m3.1.1" xref="S3.p1.3.m3.1.1.cmml">X</mi><mo id="S3.p1.3.m3.1.2.2.2" stretchy="false" xref="S3.p1.3.m3.1.2.1.1.cmml">‖</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p1.3.m3.1b"><apply id="S3.p1.3.m3.1.2.1.cmml" xref="S3.p1.3.m3.1.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.p1.3.m3.1.2.1.1.cmml" xref="S3.p1.3.m3.1.2.2.1">norm</csymbol><ci id="S3.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.p1.3.m3.1.1">𝑋</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p1.3.m3.1c">\|X\|</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p1.3.m3.1d">∥ italic_X ∥</annotation></semantics></math>. Unlike existing methods that rely on the union bound, our proof directly addresses <math alttext="\mathbb{P}\left(\|X\|>r\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p1.4.m4.2"><semantics id="S3.p1.4.m4.2a"><mrow id="S3.p1.4.m4.2.2" xref="S3.p1.4.m4.2.2.cmml"><mi id="S3.p1.4.m4.2.2.3" xref="S3.p1.4.m4.2.2.3.cmml">ℙ</mi><mo id="S3.p1.4.m4.2.2.2" xref="S3.p1.4.m4.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.p1.4.m4.2.2.1.1" xref="S3.p1.4.m4.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.p1.4.m4.2.2.1.1.2" xref="S3.p1.4.m4.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.p1.4.m4.2.2.1.1.1" xref="S3.p1.4.m4.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.2" xref="S3.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.1.cmml"><mo id="S3.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.1" stretchy="false" xref="S3.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S3.p1.4.m4.1.1" xref="S3.p1.4.m4.1.1.cmml">X</mi><mo id="S3.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.2" stretchy="false" xref="S3.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.1.1.cmml">‖</mo></mrow><mo id="S3.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1" xref="S3.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.cmml">></mo><mi id="S3.p1.4.m4.2.2.1.1.1.3" xref="S3.p1.4.m4.2.2.1.1.1.3.cmml">r</mi></mrow><mo id="S3.p1.4.m4.2.2.1.1.3" xref="S3.p1.4.m4.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p1.4.m4.2b"><apply id="S3.p1.4.m4.2.2.cmml" xref="S3.p1.4.m4.2.2"><times id="S3.p1.4.m4.2.2.2.cmml" xref="S3.p1.4.m4.2.2.2"></times><ci id="S3.p1.4.m4.2.2.3.cmml" xref="S3.p1.4.m4.2.2.3">ℙ</ci><apply id="S3.p1.4.m4.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.p1.4.m4.2.2.1.1"><gt id="S3.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1"></gt><apply id="S3.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S3.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.2.1">norm</csymbol><ci id="S3.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.p1.4.m4.1.1">𝑋</ci></apply><ci id="S3.p1.4.m4.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.p1.4.m4.2.2.1.1.1.3">𝑟</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p1.4.m4.2c">\mathbb{P}\left(\|X\|>r\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p1.4.m4.2d">blackboard_P ( ∥ italic_X ∥ > italic_r )</annotation></semantics></math>, leading to a more refined analysis. Beyond its immediate application to the sub-Gaussian norm concentration, the AMGF and the associated energy function <math alttext="\Phi_{n,\lambda}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p1.5.m5.2"><semantics id="S3.p1.5.m5.2a"><msub id="S3.p1.5.m5.2.3" xref="S3.p1.5.m5.2.3.cmml"><mi id="S3.p1.5.m5.2.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.p1.5.m5.2.3.2.cmml">Φ</mi><mrow id="S3.p1.5.m5.2.2.2.4" xref="S3.p1.5.m5.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.p1.5.m5.1.1.1.1" xref="S3.p1.5.m5.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.p1.5.m5.2.2.2.4.1" xref="S3.p1.5.m5.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.p1.5.m5.2.2.2.2" xref="S3.p1.5.m5.2.2.2.2.cmml">λ</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p1.5.m5.2b"><apply id="S3.p1.5.m5.2.3.cmml" xref="S3.p1.5.m5.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p1.5.m5.2.3.1.cmml" xref="S3.p1.5.m5.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.p1.5.m5.2.3.2.cmml" xref="S3.p1.5.m5.2.3.2">Φ</ci><list id="S3.p1.5.m5.2.2.2.3.cmml" xref="S3.p1.5.m5.2.2.2.4"><ci id="S3.p1.5.m5.1.1.1.1.cmml" xref="S3.p1.5.m5.1.1.1.1">𝑛</ci><ci id="S3.p1.5.m5.2.2.2.2.cmml" xref="S3.p1.5.m5.2.2.2.2">𝜆</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p1.5.m5.2c">\Phi_{n,\lambda}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p1.5.m5.2d">roman_Φ start_POSTSUBSCRIPT italic_n , italic_λ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> hold the potential for broader and lasting contributions to probability theory and related fields.</p> </div> </section> <section class="ltx_bibliography" id="bib"> <h2 class="ltx_title ltx_title_bibliography">References</h2> <ul class="ltx_biblist"> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib1"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[1]</span> <span class="ltx_bibblock"> P. Rigollet and J.-C. Hütter, “High-dimensional statistics,” <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="bib.bib1.1.1">arXiv preprint</em>, 2023. [Online]. Available: <a class="ltx_ref ltx_url ltx_font_typewriter" href="https://arxiv.org/abs/2310.19244" title="">https://arxiv.org/abs/2310.19244</a> </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib2"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[2]</span> <span class="ltx_bibblock"> M. J. Wainwright, <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="bib.bib2.1.1">High-dimensional statistics: A non-asymptotic viewpoint</em>. Cambridge university press, 2019, vol. 48. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib3"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[3]</span> <span class="ltx_bibblock"> R. Vershynin, <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="bib.bib3.1.1">High-Dimensional Probability: An Introduction with Applications in Data Science</em>, ser. Cambridge Series in Statistical and Probabilistic Mathematics. Cambridge University Press, 2018. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib4"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[4]</span> <span class="ltx_bibblock"> J. M. Altschuler and K. Talwar, “Concentration of the Langevin algorithm’s stationary distribution,” <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="bib.bib4.1.1">arXiv preprint</em>, 2022. [Online]. Available: <a class="ltx_ref ltx_url ltx_font_typewriter" href="https://arxiv.org/abs/2212.12629" title="">https://arxiv.org/abs/2212.12629</a> </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib5"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[5]</span> <span class="ltx_bibblock"> S. Jafarpour<sup class="ltx_sup" id="bib.bib5.3.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib5.3.1.1">∗</span></sup>, Z. Liu<sup class="ltx_sup" id="bib.bib5.4.2"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib5.4.2.1">∗</span></sup>, and Y. Chen, “Probabilistic reachability analysis of stochastic control systems,” <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="bib.bib5.5.3">arXiv preprint</em>, 2024. [Online]. Available: <a class="ltx_ref ltx_url ltx_font_typewriter" href="https://arxiv.org/abs/2409.09334" title="">https://arxiv.org/abs/2409.09334</a> </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib6"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[6]</span> <span class="ltx_bibblock"> D. E. Amos, “Computation of modified bessel functions and their ratios,” <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="bib.bib6.1.1">Mathematics of Computation</em>, vol. 28, no. 125, pp. 239–251, 1974. </span> </li> </ul> </section><div about="" class="ltx_rdf" content="Zishun Liu, Yongxin Chen" property="dcterms:creator"></div> <div about="" class="ltx_rdf" content=" " property="dcterms:subject"></div> <div about="" class="ltx_rdf" content="math.PR, math.ST" property="dcterms:subject"></div> <div about="" class="ltx_rdf" content="A New Proof of the Sub-Gaussian Norm Concentration Inequality" property="dcterms:title"></div> </article> </div> <footer class="ltx_page_footer"> <div class="ltx_page_logo">Generated on Tue Mar 18 15:22:56 2025 by <a class="ltx_LaTeXML_logo" href="http://dlmf.nist.gov/LaTeXML/"><span style="letter-spacing:-0.2em; margin-right:0.1em;">L<span class="ltx_font_smallcaps" style="position:relative; bottom:2.2pt;">a</span>T<span class="ltx_font_smallcaps" style="font-size:120%;position:relative; bottom:-0.2ex;">e</span></span><span style="font-size:90%; position:relative; bottom:-0.2ex;">XML</span><img alt="Mascot Sammy" src="data:image/png;base64,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"/></a> </div></footer> </div> </body> </html>