CINXE.COM

<!DOCTYPE html> <html class="client-nojs" lang="fi" dir="ltr"> <head> <meta charset="UTF-8"> <title>Funktio – Wikipedia</title> <script>(function(){var className="client-js";var cookie=document.cookie.match(/(?:^|; )fiwikimwclientpreferences=([^;]+)/);if(cookie){cookie[1].split('%2C').forEach(function(pref){className=className.replace(new RegExp('(^| )'+pref.replace(/-clientpref-\w+$|[^\w-]+/g,'')+'-clientpref-\\w+( |$)'),'$1'+pref+'$2');});}document.documentElement.className=className;}());RLCONF={"wgBreakFrames":false,"wgSeparatorTransformTable":[",\t."," \t,"],"wgDigitTransformTable":["",""],"wgDefaultDateFormat":"fi normal","wgMonthNames":["","tammikuu","helmikuu","maaliskuu","huhtikuu","toukokuu","kesäkuu","heinäkuu","elokuu","syyskuu","lokakuu","marraskuu","joulukuu"],"wgRequestId":"f43f0707-6c47-4f25-aab6-803f3f1b2efa","wgCanonicalNamespace":"","wgCanonicalSpecialPageName":false,"wgNamespaceNumber":0,"wgPageName":"Funktio","wgTitle":"Funktio","wgCurRevisionId":22776004,"wgRevisionId":22776004,"wgArticleId":239,"wgIsArticle":true,"wgIsRedirect":false,"wgAction":"view","wgUserName":null,"wgUserGroups":["*"], "wgCategories":["Seulonnan keskeiset artikkelit","Sivut, jotka käyttävät ISBN-taikalinkkejä","Funktiot"],"wgPageViewLanguage":"fi","wgPageContentLanguage":"fi","wgPageContentModel":"wikitext","wgRelevantPageName":"Funktio","wgRelevantArticleId":239,"wgIsProbablyEditable":true,"wgRelevantPageIsProbablyEditable":true,"wgRestrictionEdit":[],"wgRestrictionMove":[],"wgNoticeProject":"wikipedia","wgCiteReferencePreviewsActive":true,"wgFlaggedRevsParams":{"tags":{"accuracy":{"levels":3}}},"wgStableRevisionId":22776004,"wgMediaViewerOnClick":true,"wgMediaViewerEnabledByDefault":true,"wgPopupsFlags":0,"wgVisualEditor":{"pageLanguageCode":"fi","pageLanguageDir":"ltr","pageVariantFallbacks":"fi"},"wgMFDisplayWikibaseDescriptions":{"search":true,"watchlist":true,"tagline":true,"nearby":true},"wgWMESchemaEditAttemptStepOversample":false,"wgWMEPageLength":20000,"wgRelatedArticlesCompat":[],"wgCentralAuthMobileDomain":false,"wgEditSubmitButtonLabelPublish":true,"wgULSPosition":"interlanguage", "wgULSisCompactLinksEnabled":true,"wgVector2022LanguageInHeader":false,"wgULSisLanguageSelectorEmpty":false,"wgWikibaseItemId":"Q11348","wgCheckUserClientHintsHeadersJsApi":["brands","architecture","bitness","fullVersionList","mobile","model","platform","platformVersion"],"GEHomepageSuggestedEditsEnableTopics":true,"wgGETopicsMatchModeEnabled":false,"wgGEStructuredTaskRejectionReasonTextInputEnabled":false,"wgGELevelingUpEnabledForUser":false};RLSTATE={"ext.gadget.hidePersonalSandboxEdits":"ready","ext.gadget.fiwiki_flaggedrevs_css_rcfix":"ready","ext.globalCssJs.user.styles":"ready","site.styles":"ready","user.styles":"ready","ext.globalCssJs.user":"ready","user":"ready","user.options":"loading","ext.math.styles":"ready","ext.cite.styles":"ready","skins.vector.styles.legacy":"ready","ext.flaggedRevs.basic":"ready","mediawiki.codex.messagebox.styles":"ready","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript":"ready","codex-search-styles":"ready","ext.uls.interlanguage":"ready", "wikibase.client.init":"ready","ext.wikimediaBadges":"ready"};RLPAGEMODULES=["ext.cite.ux-enhancements","mediawiki.page.media","site","mediawiki.page.ready","mediawiki.toc","skins.vector.legacy.js","ext.centralNotice.geoIP","ext.centralNotice.startUp","ext.flaggedRevs.advanced","ext.gadget.publicarttablesort","ext.gadget.ViikonKilpailu","ext.gadget.WikiLovesMonunmets","ext.gadget.ProtectionIndicator","ext.gadget.frwiki_infobox_v3","ext.gadget.linkeddata","ext.gadget.perustiedotwikidatassa","ext.urlShortener.toolbar","ext.centralauth.centralautologin","mmv.bootstrap","ext.popups","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.init","ext.visualEditor.targetLoader","ext.echo.centralauth","ext.eventLogging","ext.wikimediaEvents","ext.navigationTiming","ext.uls.compactlinks","ext.uls.interface","ext.cx.eventlogging.campaigns","ext.checkUser.clientHints","ext.growthExperiments.SuggestedEditSession","oojs-ui.styles.icons-media","oojs-ui-core.icons","wikibase.sidebar.tracking"];</script> <script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.loader.impl(function(){return["user.options@12s5i",function($,jQuery,require,module){mw.user.tokens.set({"patrolToken":"+\\","watchToken":"+\\","csrfToken":"+\\"}); }];});});</script> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=fi&modules=codex-search-styles%7Cext.cite.styles%7Cext.flaggedRevs.basic%7Cext.math.styles%7Cext.uls.interlanguage%7Cext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript%7Cext.wikimediaBadges%7Cmediawiki.codex.messagebox.styles%7Cskins.vector.styles.legacy%7Cwikibase.client.init&only=styles&skin=vector"> <script async="" src="/w/load.php?lang=fi&modules=startup&only=scripts&raw=1&skin=vector"></script> <meta name="ResourceLoaderDynamicStyles" content=""> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=fi&modules=ext.gadget.fiwiki_flaggedrevs_css_rcfix%2ChidePersonalSandboxEdits&only=styles&skin=vector"> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=fi&modules=site.styles&only=styles&skin=vector"> <meta name="generator" content="MediaWiki 1.44.0-wmf.4"> <meta name="referrer" content="origin"> <meta name="referrer" content="origin-when-cross-origin"> <meta name="robots" content="max-image-preview:standard"> <meta name="format-detection" content="telephone=no"> <meta property="og:image" content="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/Function_illustration.svg/1200px-Function_illustration.svg.png"> <meta property="og:image:width" content="1200"> <meta property="og:image:height" content="1200"> <meta property="og:image" content="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/Function_illustration.svg/800px-Function_illustration.svg.png"> <meta property="og:image:width" content="800"> <meta property="og:image:height" content="800"> <meta property="og:image" content="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/Function_illustration.svg/640px-Function_illustration.svg.png"> <meta property="og:image:width" content="640"> <meta property="og:image:height" content="640"> <meta name="viewport" content="width=1120"> <meta property="og:title" content="Funktio – Wikipedia"> <meta property="og:type" content="website"> <link rel="preconnect" href="//upload.wikimedia.org"> <link rel="alternate" media="only screen and (max-width: 640px)" href="//fi.m.wikipedia.org/wiki/Funktio"> <link rel="alternate" type="application/x-wiki" title="Muokkaa" href="/w/index.php?title=Funktio&action=edit"> <link rel="apple-touch-icon" href="/static/apple-touch/wikipedia.png"> <link rel="icon" href="/static/favicon/wikipedia.ico"> <link rel="search" type="application/opensearchdescription+xml" href="/w/rest.php/v1/search" title="Wikipedia (fi)"> <link rel="EditURI" type="application/rsd+xml" href="//fi.wikipedia.org/w/api.php?action=rsd"> <link rel="canonical" href="https://fi.wikipedia.org/wiki/Funktio"> <link rel="license" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.fi"> <link rel="alternate" type="application/atom+xml" title="Wikipedia-Atom-syöte" href="/w/index.php?title=Toiminnot:Tuoreet_muutokset&feed=atom"> <link rel="dns-prefetch" href="//meta.wikimedia.org" /> <link rel="dns-prefetch" href="//login.wikimedia.org"> </head> <body class="skin-vector-legacy mediawiki ltr sitedir-ltr mw-hide-empty-elt ns-0 ns-subject mw-editable page-Funktio rootpage-Funktio skin-vector action-view"><div id="mw-page-base" class="noprint"></div> <div id="mw-head-base" class="noprint"></div> <div id="content" class="mw-body" role="main"> <a id="top"></a> <div id="siteNotice"></div> <div class="mw-indicators"> </div> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Funktio</h1> <div id="bodyContent" class="vector-body"> <div id="siteSub" class="noprint">Wikipediasta</div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"></div></div> <div id="contentSub2"></div> <div id="jump-to-nav"></div> <a class="mw-jump-link" href="#mw-head">Siirry navigaatioon</a> <a class="mw-jump-link" href="#searchInput">Siirry hakuun</a> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="fi" dir="ltr"><div class="noprint article-about-box" style="background-color: var( --background-color-neutral-subtle, #f9f9f9 ); color: var( --color-emphasized, #000000 ); font-size: 95%; padding: 0.2em 0.2em 0.2em 2em; margin-bottom: 1em; border: 1px solid #b6b6b6;">Tämä artikkeli käsittelee termin merkitystä matematiikassa. Ohjelmoinnissa <a href="/wiki/Aliohjelma" title="Aliohjelma">aliohjelmia</a> nimitetään tietyissä tilanteissa funktioksi.</div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Tiedosto:Function_illustration.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/Function_illustration.svg/250px-Function_illustration.svg.png" decoding="async" width="250" height="250" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/Function_illustration.svg/375px-Function_illustration.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/Function_illustration.svg/500px-Function_illustration.svg.png 2x" data-file-width="200" data-file-height="200" /></a><figcaption>Funktio <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f:X\rightarrow Y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>Y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f:X\rightarrow Y}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b215af1e965d0595a97ad2b21f7d0cbcf6281303" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.583ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f:X\rightarrow Y}"> liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden maalijoukon Y alkion.</figcaption></figure> Funktio eli kuvaus kertoo <a href="/wiki/Olio_(filosofia)" title="Olio (filosofia)">olioiden</a> välisistä riippuvuussuhteista.<a href="#cite_note-pyramidi-1">[1]</a> <a href="#cite_note-h1-2">[2]</a> Formaalisti funktio <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba5397b34cab7d96daac496a937b0c0fa076dff7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.666ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\,}"> joukolta <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6aaf5ce10d6add44b973e28fb3d95f37abf3721" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.13ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A\,}"> joukkoon <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>B</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B\,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8a72cbbfdbb8b9d0dad053538c330994b308bae" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.151ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B\,}"> on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6aaf5ce10d6add44b973e28fb3d95f37abf3721" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.13ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A\,}"> alkioon täsmälleen yhden joukon <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>B</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B\,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8a72cbbfdbb8b9d0dad053538c330994b308bae" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.151ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B\,}"> alkion. Funktiota merkitään yleensä symbolilla <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f:A\rightarrow B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f:A\rightarrow B}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa2fb4d5e9d282ee5442719053c46ad1ad96f2ca" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.337ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f:A\rightarrow B}">. Funktioon <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f:A\to B\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>B</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f:A\to B\,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91fdd8c2b9f2cdf0564fb692464055605fdb7dd2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.724ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f:A\to B\,}"> liittyviä joukkoja kutsutaan <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba5397b34cab7d96daac496a937b0c0fa076dff7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.666ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\,}">:n lähtö- eli määrittelyjoukoksi (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6aaf5ce10d6add44b973e28fb3d95f37abf3721" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.13ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A\,}">) ja maalijoukoksi (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>B</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B\,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8a72cbbfdbb8b9d0dad053538c330994b308bae" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.151ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B\,}">). Jos <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A=B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mo>=</mo> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A=B}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/045cafe35b1e9c9ac889481fd7178d6f59a77fdb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.606ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A=B}">, niin sanotaan, että <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"> on joukon <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}"> funktio. Määrittelyjoukon alkioita kutsutaan usein funktion argumenteiksi. Sitä, että <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba5397b34cab7d96daac496a937b0c0fa076dff7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.666ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\,}">:n argumenttiin <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in A}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27bcc9b2afb295d4234bc294860cd0c63bcad2ca" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.913ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\in A}"> liittämä arvo on <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y\in B\ }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> <mo>∈</mo> <mi>B</mi> <mtext> </mtext> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y\in B\ }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d5dc00018ae8a607b07e83577372a9d724eac1b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.341ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle y\in B\ }">, merkitään yleensä <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y=f(x)\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y=f(x)\,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ceab146b2e6d4d4a3580db2ba2d1d240edcbc080" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.059ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle y=f(x)\,}">, eli funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"> kuva-alkio. Tämän merkinnän otti käyttöön <a href="/wiki/Leonhard_Euler" title="Leonhard Euler">Leonhard Euler</a> vuonna 1734.<a href="#cite_note-3">[3]</a> Esimerkiksi asetetaan kuvitellussa tilanteessa <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba5397b34cab7d96daac496a937b0c0fa076dff7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.666ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\,}">:n määrittelyjoukoksi <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}"> nelihenkinen perhe. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}"> on nyt siis ihminen-tyyppisistä alkioista koostuva <a href="/wiki/Joukko" title="Joukko">joukko</a>, jossa on neljä alkiota. Asetetaan sitten maalijoukoksi <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}"> kaikkien mahdollisten suomalaisten etunimien joukko. Koska jokaiseen ihmiseen voimme liittää jonkin yksikäsitteisen etunimen, niin voimme muodostaa funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"> nelihenkisen perheen ja kaikkien etunimien joukon välille. Tämän funktion argumentit ovat perheenjäseniä ja arvot perheenjäsenten etunimet. Matematiikassa ja sen sovelluksissa tavallisin funktiotyyppi on sellainen, jossa lähtö- ja maalijoukot ovat lukujoukkoja ja funktion määrittelevä vastaavuus voidaan ilmaista laskutoimituksin. Tällöin on tavallista, joskin muodollisesti epäkorrektia, nimetä funktio määrittelyjoukon yleiseen alkioon kohdistuvan laskutoimituksen osoittavalla kaavalla, esimerkiksi "funktio <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{2}+1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{2}+1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92a3a8d23f9f8123651e496dcf8490990c65cf9a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:6.387ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x^{2}+1}">". <div id="toc" class="toc" role="navigation" aria-labelledby="mw-toc-heading"><input type="checkbox" role="button" id="toctogglecheckbox" class="toctogglecheckbox" style="display:none" /><div class="toctitle" lang="fi" dir="ltr"><h2 id="mw-toc-heading">Sisällys</h2><label class="toctogglelabel" for="toctogglecheckbox"></label></div> <ul> <li class="toclevel-1 tocsection-1"><a href="#Esimerkkejä_yleisestä_määritelmästä">1 Esimerkkejä yleisestä määritelmästä</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-2"><a href="#Tarkka_määritelmä">2 Tarkka määritelmä</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-3"><a href="#Esimerkkejä_eksaktista_määritelmästä">3 Esimerkkejä eksaktista määritelmästä</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-4"><a href="#Funktion_kuvaaja">4 Funktion kuvaaja</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-5"><a href="#Yhdistetty_funktio">5 Yhdistetty funktio</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-6"><a href="#Vektorimuuttujan_funktiot_ja_vektoriarvoiset_funktiot">6 Vektorimuuttujan funktiot ja vektoriarvoiset funktiot</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-7"><a href="#Joukkojen_kuvat_ja_alkukuvat">7 Joukkojen kuvat ja alkukuvat</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-8"><a href="#Alkeisfunktiot">8 Alkeisfunktiot</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-9"><a href="#Funktion_ydin_ja_kantaja">9 Funktion ydin ja kantaja</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-10"><a href="#Funktiokäsitteen_historiaa">10 Funktiokäsitteen historiaa</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-11"><a href="#Funktion_ominaisuuksia">11 Funktion ominaisuuksia</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-12"><a href="#Katso_myös">12 Katso myös</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-13"><a href="#Lähteet">13 Lähteet</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-14"><a href="#Kirjallisuutta">14 Kirjallisuutta</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-15"><a href="#Aiheesta_muualla">15 Aiheesta muualla</a></li> </ul> </div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Esimerkkejä_yleisestä_määritelmästä">Esimerkkejä yleisestä määritelmästä</h2>[<a href="/w/index.php?title=Funktio&veaction=edit&section=1" title="Muokkaa osiota Esimerkkejä yleisestä määritelmästä" class="mw-editsection-visualeditor">muokkaa</a> | <a href="/w/index.php?title=Funktio&action=edit&section=1" title="Muokkaa osion lähdekoodia: Esimerkkejä yleisestä määritelmästä">muokkaa wikitekstiä</a>]</div> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo stretchy="false">→</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e3a10a3ad05781f5cf9c2d875a02227e21a8448" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.186ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }">, jolla <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)=x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)=x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f690285952308aa49e3c6aac892df31cad6d1b06" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.846ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)=x}">, on funktio <a href="/wiki/Reaaliluku" title="Reaaliluku">reaalilukujen</a> joukossa. Tässä funktio <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"> liittää jokaiseen reaalilukuun luvun itsensä, ks. <a href="/wiki/Identtinen_funktio" class="mw-redirect" title="Identtinen funktio">Identtinen funktio</a>. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>g</mi> <mo>:</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo stretchy="false">→</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdfd1e16b7f932cdc2716a1b6bbe345089b250cf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.023ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }">, jolla <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g(x)=x^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g(x)=x^{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92746066d0381ea6189ffc725768840f81d83ba3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.737ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle g(x)=x^{2}}">. Nyt funktio <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>g</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.116ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle g}"> liittää jokaiseen reaalilukuun tämän luvun neliön. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h:\mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>h</mi> <mo>:</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo stretchy="false">→</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h:\mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eebdffb4c4703928cb571d6209d75def99f4daed" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:14.765ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle h:\mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R} }">, jolla <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h(x,y)=x^{2}+y^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>h</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h(x,y)=x^{2}+y^{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3deae397bf2843918bc5a83fd20e73f64e59b434" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.205ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle h(x,y)=x^{2}+y^{2}}">, on kahden muuttujan funktio (ks. alla). Funktio <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>h</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b26be3e694314bc90c3215047e4a2010c6ee184a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.339ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle h}"> liittää jokaiseen reaalilukupariin lukujen neliöiden summan. <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Tarkka_määritelmä">Tarkka määritelmä</h2>[<a href="/w/index.php?title=Funktio&veaction=edit&section=2" title="Muokkaa osiota Tarkka määritelmä" class="mw-editsection-visualeditor">muokkaa</a> | <a href="/w/index.php?title=Funktio&action=edit&section=2" title="Muokkaa osion lähdekoodia: Tarkka määritelmä">muokkaa wikitekstiä</a>]</div> Yleensä edellä annettu määritelmä riittää pitkällekin menevissä matematiikan tutkimuksissa ja sovelluksissa. Kuitenkin on tarpeellista joskus määritellä funktio täsmällisemmin kuin lausein ja sanoin. Olkoot jälleen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6aaf5ce10d6add44b973e28fb3d95f37abf3721" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.13ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A\,}"> ja <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>B</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B\,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8a72cbbfdbb8b9d0dad053538c330994b308bae" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.151ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B\,}"> joukkoja. Tällöin näiden <a href="/wiki/Karteesinen_tulo" title="Karteesinen tulo">karteesisen tulon</a> osajoukko <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\subset A\times B\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>⊂</mo> <mi>A</mi> <mo>×</mo> <mi>B</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\subset A\times B\,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/597cb7bf0684381523ce361e854c851844b1c39a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.112ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\subset A\times B\,}"> on funktio, jos sille pätevät ehdot <center><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \forall x\in A\exists y\in B:(x,\,y)\in f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>A</mi> <mi mathvariant="normal">∃</mi> <mi>y</mi> <mo>∈</mo> <mi>B</mi> <mo>:</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∈</mo> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall x\in A\exists y\in B:(x,\,y)\in f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e56d84738934c0c44af4bb91930653dc6675057d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:26.031ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \forall x\in A\exists y\in B:(x,\,y)\in f}"></center> ja <center><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x,y)\in f\Leftrightarrow \forall z\neq y:(x,z)\notin f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∈</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">⇔</mo> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>z</mi> <mo>≠</mo> <mi>y</mi> <mo>:</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∉</mo> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x,y)\in f\Leftrightarrow \forall z\neq y:(x,z)\notin f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73a287d0906e57431a77b2ecb27b1f010c375c5f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:31.014ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x,y)\in f\Leftrightarrow \forall z\neq y:(x,z)\notin f}">.</center> Toisin sanoen pari <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x,\,y)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x,\,y)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e7afe5870de593e694568d1c4b0b95c6ac50777" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.716ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x,\,y)}"> on funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba5397b34cab7d96daac496a937b0c0fa076dff7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.666ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\,}"> alkio, jos ja vain jos jokaisella kuva-alkiosta <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y\,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c8c233e7cc39fac816991250d86e09b515d02e0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.543ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y\,}"> poikkeavilla alkioilla <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>z</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z\,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/624faa61961bd63f364dee3e97dec7dd48694600" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.475ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle z\,}"> pari <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x,\,z)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x,\,z)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90d4d0d0666d29f6fa939635ef008d14bb13991a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.648ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x,\,z)}"> ei ole funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba5397b34cab7d96daac496a937b0c0fa076dff7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.666ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\,}"> alkio. Siispä funktiossa kukin joukon <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6aaf5ce10d6add44b973e28fb3d95f37abf3721" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.13ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A\,}">alkio esiintyy tarkalleen kerran funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"> parin ensimmäisenä alkiona. Funktio on siis erikoistapaus yleisemmistä kaksipaikkaisista <a href="/wiki/Relaatio" title="Relaatio">relaatioista</a>. Eksaktin määritelmän avulla funktiot <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"> ja <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>g</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.116ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle g}"> ovat samat, kun ne ovat sama joukko, eli pätee <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f=g}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>=</mo> <mi>g</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f=g}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/795e79b6da5372a37ba3a36db68e43806232aac3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.493ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f=g}">. <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Esimerkkejä_eksaktista_määritelmästä">Esimerkkejä eksaktista määritelmästä</h2>[<a href="/w/index.php?title=Funktio&veaction=edit&section=3" title="Muokkaa osiota Esimerkkejä eksaktista määritelmästä" class="mw-editsection-visualeditor">muokkaa</a> | <a href="/w/index.php?title=Funktio&action=edit&section=3" title="Muokkaa osion lähdekoodia: Esimerkkejä eksaktista määritelmästä">muokkaa wikitekstiä</a>]</div> Olkoon joukko <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A=\{1,2\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A=\{1,2\}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/908d8e94bd40754d0635a5292896b33d9523b83e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.525ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle A=\{1,2\}}"> ja joukko <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B=\{1,2,3\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>B</mi> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>3</mn> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B=\{1,2,3\}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0949455e315b303ab1a8732e7f971bd137f4454" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.743ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle B=\{1,2,3\}}">. Nyt näiden karteesinen tulo on joukko <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\times B=\{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3)\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mo>×</mo> <mi>B</mi> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>3</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>3</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\times B=\{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3)\}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0785c52bc457812f4860ba13a22dfd8611b475cd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:47.949ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle A\times B=\{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3)\}}">. Funktiot joukossa <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\times B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mo>×</mo> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\times B}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65f31ae45b0098f06b5d22c38d317eb097a88fa9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.348ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A\times B}"> ovat osajoukot: <ul><li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{1}=\{(1,1),(2,1)\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{1}=\{(1,1),(2,1)\}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db4d47bb95263c7c7e9781e01b35dd39ccfdb50b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.342ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle F_{1}=\{(1,1),(2,1)\}}"> eli <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{1}:A\rightarrow B,F_{1}(x)=1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>:</mo> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>B</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{1}:A\rightarrow B,F_{1}(x)=1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0373515d896638f4d2132aac1b847e64d8990fb0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:22.59ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle F_{1}:A\rightarrow B,F_{1}(x)=1}"></li> <li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{2}=\{(1,1),(2,2)\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{2}=\{(1,1),(2,2)\}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35c56c48fbcaa68944fc0e2d46c675862020bdc6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.342ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle F_{2}=\{(1,1),(2,2)\}}"> eli <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{2}:A\to B,F_{2}(x)=x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>:</mo> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>B</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{2}:A\to B,F_{2}(x)=x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1d2f9ed017ea988ba01e718d0ab81244ad4dbee" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:22.757ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle F_{2}:A\to B,F_{2}(x)=x}"></li> <li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{3}=\{(1,1),(2,3)\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>3</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{3}=\{(1,1),(2,3)\}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74131a95bfd39fd0311794d70dae5b342463ae71" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.342ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle F_{3}=\{(1,1),(2,3)\}}"> eli <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{3}:A\to B,F_{3}(x)=2x-1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>:</mo> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>B</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{3}:A\to B,F_{3}(x)=2x-1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50576d0a812086674950253662d4fa135134bb48" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:27.922ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle F_{3}:A\to B,F_{3}(x)=2x-1}"></li> <li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{4}=\{(1,2),(2,1)\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{4}=\{(1,2),(2,1)\}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c57feb7501e36b706452d210f89f7ff0520403d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.342ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle F_{4}=\{(1,2),(2,1)\}}"> eli <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{4}:A\to B,F_{4}(x)=3-x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msub> <mo>:</mo> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>B</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>3</mn> <mo>−</mo> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{4}:A\to B,F_{4}(x)=3-x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d798707a216f889e9d43746c49acc736d059234" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:26.76ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle F_{4}:A\to B,F_{4}(x)=3-x}"></li> <li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{5}=\{(1,2),(2,2)\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>5</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{5}=\{(1,2),(2,2)\}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de81b05298ce6b64776a6494cce24f7b20ca3ffb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.342ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle F_{5}=\{(1,2),(2,2)\}}"> eli <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{5}:A\to B,F_{5}(x)=2}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>5</mn> </mrow> </msub> <mo>:</mo> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>B</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>5</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>2</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{5}:A\to B,F_{5}(x)=2}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/777cc65a979798a3489e6f0070b6a2d4e6436afc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:22.59ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle F_{5}:A\to B,F_{5}(x)=2}"></li> <li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{6}=\{(1,2),(2,3)\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>6</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>3</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{6}=\{(1,2),(2,3)\}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4aea47ff167271f2d57582d5a84c467ffe8c5faf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.342ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle F_{6}=\{(1,2),(2,3)\}}"> eli <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{6}:A\to B,F_{6}(x)=x+1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>6</mn> </mrow> </msub> <mo>:</mo> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>B</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>6</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{6}:A\to B,F_{6}(x)=x+1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6f060312e874df80209063f11b4cb945f634581" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:26.76ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle F_{6}:A\to B,F_{6}(x)=x+1}"></li> <li><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{7}=\{(1,3),(2,3)\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>7</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>3</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>3</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{7}=\{(1,3),(2,3)\}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a99811137367ddfb8d6dccbf80d2539b934e253f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.342ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle F_{7}=\{(1,3),(2,3)\}}"> eli <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{7}:A\to B,F_{7}(x)=3}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>7</mn> </mrow> </msub> <mo>:</mo> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>B</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>7</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>3</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{7}:A\to B,F_{7}(x)=3}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64e45718a1c3f6c39c95024bafcada7c8f5cdfa9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:22.59ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle F_{7}:A\to B,F_{7}(x)=3}">.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Funktion_kuvaaja">Funktion kuvaaja</h2>[<a href="/w/index.php?title=Funktio&veaction=edit&section=4" title="Muokkaa osiota Funktion kuvaaja" class="mw-editsection-visualeditor">muokkaa</a> | <a href="/w/index.php?title=Funktio&action=edit&section=4" title="Muokkaa osion lähdekoodia: Funktion kuvaaja">muokkaa wikitekstiä</a>]</div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Tiedosto:Function-x.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/eb/Function-x.svg/250px-Function-x.svg.png" decoding="async" width="250" height="250" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/eb/Function-x.svg/375px-Function-x.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/eb/Function-x.svg/500px-Function-x.svg.png 2x" data-file-width="1000" data-file-height="1000" /></a><figcaption>Funktion f(x)=x kuvaaja</figcaption></figure> Funktiota on yleensä tapana mahdollisuuksien puitteissa kuvata myös visuaalisesti. Tämän mahdollistaa funktion kuvaajan käsite. Täsmällisesti jos <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f:A\rightarrow B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f:A\rightarrow B}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa2fb4d5e9d282ee5442719053c46ad1ad96f2ca" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.337ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f:A\rightarrow B}"> on funktio, niin sen kuvaaja on karteesisen tulon <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\times B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mo>×</mo> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\times B}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65f31ae45b0098f06b5d22c38d317eb097a88fa9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.348ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A\times B}"> osajoukko <center><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{(x,f(x)):x\in A\}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>:</mo> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>A</mi> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{(x,f(x)):x\in A\}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7777ef1e2812c301abe9d8552a1d30757d161712" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.413ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \{(x,f(x)):x\in A\}.}"></center> Funktion kuvaaja koostuu siis määrittelyjoukon alkion ja vastaavan arvojoukon alkion muodostamista pareista. Funktion kuvaajan määritelmä on identtinen yllä esitetyn funktion eksaktin määritelmän kanssa. Esimerkiksi funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,f(x)=x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo stretchy="false">→</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,f(x)=x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6798cadf1b43cd778c711eea2041e4bac7450d56" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.066ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,f(x)=x}">, kuvaaja on määritelmän mukaan karteesisen tulon <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb99f01c438a62e4ac5af8cff4eb402739ed67a8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.197ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }"> osajoukko <center><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{(x,x):x\in \mathbb {R} \}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>:</mo> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{(x,x):x\in \mathbb {R} \}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d57727b4434ed9dfc4512a6918c1f8a676e532a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.26ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \{(x,x):x\in \mathbb {R} \}.}"></center> Tässä tapauksessa koska joukko <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb99f01c438a62e4ac5af8cff4eb402739ed67a8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.197ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }"> on tavallinen 2-ulotteinen <a href="/wiki/Euklidinen_avaruus" title="Euklidinen avaruus">euklidinen avaruus</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e150115ab9f63023215109595b76686a1ff890fd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.732ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}">, niin voidaan funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"> kuvaajaa hahmottaa visuaalisesti sijoittamalla tasoon kuvaaja-joukon pisteet kuten oheisessa kuvassa näkyy. <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Yhdistetty_funktio">Yhdistetty funktio</h2>[<a href="/w/index.php?title=Funktio&veaction=edit&section=5" title="Muokkaa osiota Yhdistetty funktio" class="mw-editsection-visualeditor">muokkaa</a> | <a href="/w/index.php?title=Funktio&action=edit&section=5" title="Muokkaa osion lähdekoodia: Yhdistetty funktio">muokkaa wikitekstiä</a>]</div> Jos <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f:A\to B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f:A\to B}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20040a52d9391f2fe271f0aaa300bf7887a0c7b1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.337ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f:A\to B}">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B\subset C}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>B</mi> <mo>⊂</mo> <mi>C</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B\subset C}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ce2f9e877d4830ab8f6170cdf29ffa1d429cc06" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.629ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B\subset C}"> ja <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g:C\to D}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>g</mi> <mo>:</mo> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>D</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g:C\to D}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a4bd1da2ede08776274431b03126d59f1fd571c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.358ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle g:C\to D}">, niin on määriteltävissä funktio <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h:A\to D}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>h</mi> <mo>:</mo> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>D</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h:A\to D}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc73372d2f30f11b6b6b3cf96d4e6fc6a00a1fb4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:10.558ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle h:A\to D}"> siten, että <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h(x)=g(f(x))\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>h</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h(x)=g(f(x))\,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea241b0f46841f9bff2839c65a0d11b9282bdec7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.306ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle h(x)=g(f(x))\,}">. Funktio <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>h</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h\,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cecd947e6666832fcc39909b00dbde70caa9cf8c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.726ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle h\,}"> on funktioista <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba5397b34cab7d96daac496a937b0c0fa076dff7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.666ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\,}"> ja <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>g</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g\,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecc456e58b207759836214cb501a1aa1af3be5bd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.503ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle g\,}"> yhdistetty funktio ja sitä merkitään <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g\circ f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>g</mi> <mo>∘</mo> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g\circ f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10b5ad4985af48d0fb7efa3c8afa5ad7d42bfc92" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.589ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle g\circ f}">. Merkintä luetaan "g pallo f". Jos esimerkiksi <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A=B=C=D=\mathbb {R} \,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mo>=</mo> <mi>B</mi> <mo>=</mo> <mi>C</mi> <mo>=</mo> <mi>D</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A=B=C=D=\mathbb {R} \,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/413a2f0c11f10f70eb6f46f7598fff792e56aa1a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:21.657ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A=B=C=D=\mathbb {R} \,}">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)=x+2\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)=x+2\,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ed490876ebc29266a8b98b675dab7028dc15f6e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.236ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)=x+2\,}"> ja <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g(x)=x^{2}\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g(x)=x^{2}\,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a485a5f542d7c6b0e449d11389fceb8a23566fc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.124ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle g(x)=x^{2}\,}">, niin <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (f\circ g)(x)=x^{2}+2\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>f</mi> <mo>∘</mo> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (f\circ g)(x)=x^{2}+2\,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbba51e3873ec9b374c19d099dca6c5857f91d06" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.41ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle (f\circ g)(x)=x^{2}+2\,}"> ja <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (g\circ f)(x)=(x+2)^{2}=x^{2}+4x+4\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>g</mi> <mo>∘</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>4</mn> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mn>4</mn> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (g\circ f)(x)=(x+2)^{2}=x^{2}+4x+4\,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/060e97eb124fc571b6d007c0c47222f5c3c48a0f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:36.037ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle (g\circ f)(x)=(x+2)^{2}=x^{2}+4x+4\,}">. <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Vektorimuuttujan_funktiot_ja_vektoriarvoiset_funktiot">Vektorimuuttujan funktiot ja vektoriarvoiset funktiot</h2>[<a href="/w/index.php?title=Funktio&veaction=edit&section=6" title="Muokkaa osiota Vektorimuuttujan funktiot ja vektoriarvoiset funktiot" class="mw-editsection-visualeditor">muokkaa</a> | <a href="/w/index.php?title=Funktio&action=edit&section=6" title="Muokkaa osion lähdekoodia: Vektorimuuttujan funktiot ja vektoriarvoiset funktiot">muokkaa wikitekstiä</a>]</div> Kun funktion lähtöjoukko on hahmotettavissa useamman joukon <a href="/wiki/Karteesinen_tulo" title="Karteesinen tulo">karteesiseksi tuloksi</a>, on usein tapana puhua usean muuttujan funktiosta tai vektorimuuttujan funktiosta. Jos <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\in A_{1}\times A_{2}\times \dots \times A_{n}=A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∈</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>×</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>×</mo> <mo>⋯</mo> <mo>×</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\in A_{1}\times A_{2}\times \dots \times A_{n}=A}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1242a638057b57fede05d76f80c163f79e69d945" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:47.248ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\in A_{1}\times A_{2}\times \dots \times A_{n}=A}">, niin funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f:A\to B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f:A\to B}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20040a52d9391f2fe271f0aaa300bf7887a0c7b1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.337ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f:A\to B}"> alkioon <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab34739435d9d9d99cddf4041740b107343b1398" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.717ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x\,}"> liittämää kuva-alkiota <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)\,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78b2b66021c2cac2b5654495678c63ff142952e5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.805ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)\,}"> merkitään yleensä <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c701c4e65fd6b62da604d4651e79fa33f38b52a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.003ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\,}">. Esimerkiksi ilmanpaine <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p\,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4fa5f88a712eb9b03398066a0577fdcf33e02c6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.646ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p\,}"> tietyssä paikassa <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x,y,z)\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x,y,z)\,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c95076d93d11e04e9605954265296e6c36fc88c8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.838ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x,y,z)\,}"> ja tietyllä hetkellä on neljän muuttujan (kolme paikkakoordinaattia ja aika) reaaliarvoinen funktio <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p(x,y,z,t)\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p(x,y,z,t)\,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd59710e7c220dea0610b5f0deb503ef74a7489f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-left: -0.089ex; width:10.97ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle p(x,y,z,t)\,}">. Tutumpi esimerkki on yhteenlaskufunktio <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle +:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>+</mo> <mo>:</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">→</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle +:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96c21df4b88f3b223c79fcd45392c55e08797a93" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:11.77ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle +:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} }">: lukuparin <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x,\,y)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x,\,y)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e7afe5870de593e694568d1c4b0b95c6ac50777" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.716ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x,\,y)}"> yksikäsitteinen kuva-alkio <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle +(x,y)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle +(x,y)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e47edc6f342061601fb9ee87fb5ba79106583e1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.137ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle +(x,y)}"> on lukujen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"> ja <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}"> summa, ja sitä merkitään yksinkertaisemmin <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x+y\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>y</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x+y\,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/994db4f49f3ca61d21e19cc47b7ea978c0732428" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.713ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle x+y\,}"> (ks. <a href="/wiki/Laskutoimitus" title="Laskutoimitus">Laskutoimitus</a>). Vastaavasti funktion palauttama arvo voi olla usean joukon karteesisen tulon alkio. Tällöin on tapana puhua vektoriarvoisesta funktiosta. Esimerkiksi joen virtaussuunta tasokartalla ja nopeus (kaksi arvoa) voidaan ilmoittaa joen suulta mitatun etäisyyden funktiona <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [0,P]\rightarrow \mathbb {R} ^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mo stretchy="false">→</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [0,P]\rightarrow \mathbb {R} ^{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/972f7614e02edc64bdd5610c97def3f8574b7b14" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.582ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle [0,P]\rightarrow \mathbb {R} ^{2}}">, missä <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P>0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>P</mi> <mo>></mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P>0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd713165b8911d1e29aabe51e8ed093fa4b349ae" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.006ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P>0}"> on jokin vakio . Erityisesti fysiikassa vektoriarvoisen funktion sijasta puhutaan yleensä vektorikentästä. Esimerkiksi sähkökenttää voi kuvata funktio, joka liittää tiettyyn paikka- ja aika-avaruuden pisteeseen kentän suunnan, eli kyseessä on kuvaus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{4}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">→</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{4}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfd525d46592e1109424a562015f786de5457897" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.294ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{4}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}}">. <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Joukkojen_kuvat_ja_alkukuvat">Joukkojen kuvat ja alkukuvat</h2>[<a href="/w/index.php?title=Funktio&veaction=edit&section=7" title="Muokkaa osiota Joukkojen kuvat ja alkukuvat" class="mw-editsection-visualeditor">muokkaa</a> | <a href="/w/index.php?title=Funktio&action=edit&section=7" title="Muokkaa osion lähdekoodia: Joukkojen kuvat ja alkukuvat">muokkaa wikitekstiä</a>]</div> Olkoon <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f:X\rightarrow Y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>Y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f:X\rightarrow Y}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b215af1e965d0595a97ad2b21f7d0cbcf6281303" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.583ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f:X\rightarrow Y}"> funktio eli kuvaus. <ul><li>Joukon <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\subset X}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mo>⊂</mo> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\subset X}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/826569be03f873b81cdc6f12637ef5520c369d21" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.822ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A\subset X}"> kuvajoukko eli kuva kuvauksessa <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba5397b34cab7d96daac496a937b0c0fa076dff7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.666ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\,}"> on joukko</li></ul> <center><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(A)=\{f(x)\in Y:x\in A\}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∈</mo> <mi>Y</mi> <mo>:</mo> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>A</mi> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(A)=\{f(x)\in Y:x\in A\}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2ee735adf7e4db062819b3217692025dcac358b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:27.783ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(A)=\{f(x)\in Y:x\in A\}.}"></center> Toisinaan kuvajoukkoa merkitään ilman sulkeita: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(A)=fA\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mi>A</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(A)=fA\,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4cb6c93a9d14438b2abf1b085f858c5015f1f2e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.338ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(A)=fA\,}">. Funktion kuvajoukko on siis maalijoukon <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Y</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y\,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9e3deb85bd2bfe306da34e635f7bfb2926daf8e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.171ex; width:2.16ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle Y\,}"> osajoukko ja se koostuu niistä <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Y</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y\,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9e3deb85bd2bfe306da34e635f7bfb2926daf8e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.171ex; width:2.16ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle Y\,}">:n kuva-alkioista, joille määrittelyjoukon osajoukon <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6aaf5ce10d6add44b973e28fb3d95f37abf3721" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.13ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A\,}"> alkiot kuvautuvat kuvauksessa <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba5397b34cab7d96daac496a937b0c0fa076dff7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.666ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\,}">. Jos asetamme osajoukoksi <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6aaf5ce10d6add44b973e28fb3d95f37abf3721" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.13ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A\,}"> koko määrittelyjoukon <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>X</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X\,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7028e89b7722d12ec0ea8780f26a9912456b63f5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.367ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X\,}">, ei välttämättä vastaava kuvajoukko <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(X)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(X)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b884e2d65b3356219702968b6751485fb8f38570" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.068ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(X)}"> ole koko maalijoukko <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.171ex; width:1.773ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle Y}">. Esimerkiksi funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo stretchy="false">→</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85e6e186aabef9e51814bbce62e625dc67e825f2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.186ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)=x^{2}\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)=x^{2}\,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/189198b0aa5037bd10e5f2b111c061d867fee3c6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.287ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f(x)=x^{2}\,}">, määrittelyjoukon kuva <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(\mathbb {R} )=[0,+\infty [}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mo>+</mo> <mi mathvariant="normal">∞</mi> <mo stretchy="false">[</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(\mathbb {R} )=[0,+\infty [}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a91744de6efccafca1fad04984e2ae4fe35ec22" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.486ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(\mathbb {R} )=[0,+\infty [}">, joka on maalijoukon <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} }"> aito osajoukko. <ul><li>Joukon <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B\subset Y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>B</mi> <mo>⊂</mo> <mi>Y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B\subset Y}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7921e1b64009c92cbcb5193f70f3358d9183c10" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B\subset Y}"> alkukuva kuvauksessa <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba5397b34cab7d96daac496a937b0c0fa076dff7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.666ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\,}"> on joukko</li></ul> <center><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f^{-1}(B)=\{x\in X:f(x)\in B\}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>X</mi> <mo>:</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∈</mo> <mi>B</mi> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f^{-1}(B)=\{x\in X:f(x)\in B\}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63d25af758e343d957c2a1ad46edc9e8e932ab37" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:30.407ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f^{-1}(B)=\{x\in X:f(x)\in B\}.}"></center> Funktion alkukuva on siis määrittelyjoukon <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>X</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X\,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7028e89b7722d12ec0ea8780f26a9912456b63f5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.367ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X\,}"> osajoukko ja se koostuu niistä <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>X</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X\,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7028e89b7722d12ec0ea8780f26a9912456b63f5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.367ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X\,}">:n alkioista, jotka kuvautuvat joukon <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>B</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B\,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8a72cbbfdbb8b9d0dad053538c330994b308bae" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.151ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B\,}"> alkioille kuvauksessa <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba5397b34cab7d96daac496a937b0c0fa076dff7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.666ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\,}">. Yksittäisen alkion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y\in Y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> <mo>∈</mo> <mi>Y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y\in Y}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cee1c0ec36a82f33f5e3d7434d5667881b4ec323" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.769ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle y\in Y}"> alkukuva on <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f^{-1}(\{y\})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mi>y</mi> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f^{-1}(\{y\})}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cffb74fc953d74a716bf92fd13bba68a9ad8647a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.943ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f^{-1}(\{y\})}">. Jos asetetaan osajoukoksi <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>B</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B\,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8a72cbbfdbb8b9d0dad053538c330994b308bae" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.151ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B\,}"> koko maalijoukko <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Y</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y\,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9e3deb85bd2bfe306da34e635f7bfb2926daf8e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.171ex; width:2.16ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle Y\,}">, niin vastaava alkukuva on koko määrittelyjoukko. Koko määrittelyjoukko voi kuitenkin olla jonkin maalijoukon aidon osajoukon alkukuva. Esimerkiksi funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo stretchy="false">→</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85e6e186aabef9e51814bbce62e625dc67e825f2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.186ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)=x^{2}\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)=x^{2}\,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/189198b0aa5037bd10e5f2b111c061d867fee3c6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.287ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f(x)=x^{2}\,}">, maalijoukon osajoukon <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [0,+\infty [}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mo>+</mo> <mi mathvariant="normal">∞</mi> <mo stretchy="false">[</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [0,+\infty [}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/207d226525287a9b2ebb3ba52c61454a0df207b2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.622ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [0,+\infty [}"> alkukuva on <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} }"> eli koko määrittelyjoukko. <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Alkeisfunktiot">Alkeisfunktiot</h2>[<a href="/w/index.php?title=Funktio&veaction=edit&section=8" title="Muokkaa osiota Alkeisfunktiot" class="mw-editsection-visualeditor">muokkaa</a> | <a href="/w/index.php?title=Funktio&action=edit&section=8" title="Muokkaa osion lähdekoodia: Alkeisfunktiot">muokkaa wikitekstiä</a>]</div> Matematiikassa ja sen sovelluksissa tavallisimpia reaalimuuttujan <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab34739435d9d9d99cddf4041740b107343b1398" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.717ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x\,}"> funktioita kutsutaan <a href="/wiki/Alkeisfunktio" title="Alkeisfunktio">alkeisfunktioiksi</a>. Alkeisfunktioita ovat ensinnäkin <a href="/wiki/Polynomi" title="Polynomi">polynomit</a> eli funktiot, jotka määritellään muuttujasta ja vakioista yhteen- ja kertolaskun avulla muodostetuilla laskulausekkeilla. Polynomifunktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p\,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4fa5f88a712eb9b03398066a0577fdcf33e02c6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.646ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p\,}"> yleinen muoto on <center><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mo>⋯</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6879edc8de2f3c2cc2324dc811d61916731c512" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-left: -0.089ex; width:42.32ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}.}"></center> Polynomifunktioiden erikoistapauksia ovat vakiofunktiot <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)=c\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>c</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)=c\,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4a27aa5cbd02e8469633e2d7c9581704cf0b984" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.91ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)=c\,}">, missä <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>c</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c\,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8573e7d95140b0d4068258d8162e189563baee6b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.394ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle c\,}"> on jokin vakio, ja identtinen (reaalimuuttujan) funktio <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)=x\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)=x\,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da255cc9a1dc2e0eedeee4bdfb6025f7c308952d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.233ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)=x\,}">. Rationaalifunktiot <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r\,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f08ce4d4c86c5b43f36c8435fb598da6471047c6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.436ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r\,}"> määritellään lausekkein, joissa voi esiintyä yhteen- ja kertolaskun lisäksi myös jakolaskuja. Rationaalifunktion laskulauseke voidaan aina saattaa muotoon <center><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r(x)={\frac {a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}}{b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+\cdots +b_{1}x+b_{0}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mo>⋯</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mo>⋯</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r(x)={\frac {a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}}{b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+\cdots +b_{1}x+b_{0}}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c00dfdc6d6f4a799786db2a84e1ed9d64e52f90" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:43.196ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle r(x)={\frac {a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}}{b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+\cdots +b_{1}x+b_{0}}}}"></center> eli kahden polynomifunktion osamaaräksi. Koska nimittäjä voi olla nolla, rationaalifunktion määrittelyjoukko ei yleensä voi olla koko reaalilukujen joukko. Kun funktion lausekkeen muodostamisessa saa käyttää myös juurenottoja, funktio on <a href="/wiki/Algebrallinen_funktio" title="Algebrallinen funktio">algebrallinen funktio</a>. Algebrallisten funktioiden lisäksi alkeisfunktioihin luetaan <a href="/wiki/Eksponenttifunktio" title="Eksponenttifunktio">eksponenttifunktiot</a>, <a href="/wiki/Logaritmifunktio" class="mw-redirect" title="Logaritmifunktio">logaritmifunktiot</a>, <a href="/wiki/Trigonometrinen_funktio" title="Trigonometrinen funktio">trigonometriset funktiot</a> käänteisfunktioineen ja kaikki näistä yhdistämällä muodostetut funktiot. <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Funktion_ydin_ja_kantaja">Funktion ydin ja kantaja</h2>[<a href="/w/index.php?title=Funktio&veaction=edit&section=9" title="Muokkaa osiota Funktion ydin ja kantaja" class="mw-editsection-visualeditor">muokkaa</a> | <a href="/w/index.php?title=Funktio&action=edit&section=9" title="Muokkaa osion lähdekoodia: Funktion ydin ja kantaja">muokkaa wikitekstiä</a>]</div> <a href="/wiki/Algebra" title="Algebra">Algebrassa</a> voidaan funktioille lisäksi määritellä ytimen käsite, joka on osoittautunut esimerkiksi isomorfisuuden tutkimisessa hyödylliseksi välineeksi. Olkoon seuraavassa G ja G´ <a href="/wiki/Ryhm%C3%A4_(algebra)" title="Ryhmä (algebra)">ryhmiä</a> ja <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f:G\rightarrow G'}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mi>G</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <msup> <mi>G</mi> <mo>′</mo> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f:G\rightarrow G'}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/817553c9b5796720b0e50ea5930c3f9aa7d36a39" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.168ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f:G\rightarrow G'}"> jokin funktio. <ul><li>Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba5397b34cab7d96daac496a937b0c0fa076dff7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.666ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\,}"> ydin on joukko</li></ul> <center><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mbox{Ker}}(f)=\{x\in G:f(x)=0_{G'}\},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mtext>Ker</mtext> </mstyle> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>G</mi> <mo>:</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mn>0</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mi>G</mi> <mo>′</mo> </msup> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mbox{Ker}}(f)=\{x\in G:f(x)=0_{G'}\},}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eaf687f643e2aa03cc51f04c4acf336bcba12414" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:31.578ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mbox{Ker}}(f)=\{x\in G:f(x)=0_{G'}\},}"></center> missä merkintä <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0_{G'}\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mn>0</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mi>G</mi> <mo>′</mo> </msup> </mrow> </msub> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0_{G'}\,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dc2148587208acb06277ed508de3a597c4dc3e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.605ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle 0_{G'}\,}"> tarkoittaa arvojoukon <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G'\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>G</mi> <mo>′</mo> </msup> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G'\,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b446324069d48c90d1198393e2ef59e561861357" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.899ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle G'\,}"> <a href="/wiki/Neutraalialkio" title="Neutraalialkio">nolla-alkiota</a>. Toisin sanoen funktion ydin koostuu niistä määrittelyjoukon alkioista, jotka kuvautuvat nolla-alkiolle. Funktion ydin on siis erityisesti nolla-alkion muodostaman yksiön alkukuva. Esimerkiksi funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo stretchy="false">→</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85e6e186aabef9e51814bbce62e625dc67e825f2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.186ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)=x^{2}\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)=x^{2}\,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/189198b0aa5037bd10e5f2b111c061d867fee3c6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.287ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f(x)=x^{2}\,}">, ydin koostuu pelkästä luvusta 0 sillä <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)=0\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)=0\,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c6cba9b98bcd542293bac65cd3e1acd5241d569" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.066ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)=0\,}"> jos ja vain jos <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x=0\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=0\,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41dfd404b94b20856e246e74091140d601931838" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.978ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x=0\,}">. Erityisesti <a href="/wiki/Funktionaalianalyysi" title="Funktionaalianalyysi">funktionaalianalyysissä</a> hyödyllinen käsite on funktion kantaja. Jos funktion määrittelyjoukko on <a href="/wiki/Topologinen_avaruus" title="Topologinen avaruus">topologinen avaruus</a> ja arvojoukko on reaali- tai kompleksilukujen joukko, funktion kantaja on joukon <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f^{-1}(\mathbb {R} \setminus \{0\})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo class="MJX-variant">∖</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mn>0</mn> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f^{-1}(\mathbb {R} \setminus \{0\})}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90f9b0c9787340e70257e89a8f5a232b7052a21b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.823ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f^{-1}(\mathbb {R} \setminus \{0\})}"> (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f^{-1}(\mathbb {C} \setminus \{0\})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> <mo class="MJX-variant">∖</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mn>0</mn> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f^{-1}(\mathbb {C} \setminus \{0\})}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/898d85195afdc30b3d1933da5f09984e4ef47208" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.823ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f^{-1}(\mathbb {C} \setminus \{0\})}">) sulkeuma eli pienin kyseisen joukon sisältävä suljettu joukko. <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Funktiokäsitteen_historiaa">Funktiokäsitteen historiaa</h2>[<a href="/w/index.php?title=Funktio&veaction=edit&section=10" title="Muokkaa osiota Funktiokäsitteen historiaa" class="mw-editsection-visualeditor">muokkaa</a> | <a href="/w/index.php?title=Funktio&action=edit&section=10" title="Muokkaa osion lähdekoodia: Funktiokäsitteen historiaa">muokkaa wikitekstiä</a>]</div> Sanan funktio etymologia perustuu latinan verbiin <a href="https://fi.wiktionary.org/wiki/fi:fungor" class="extiw" title="wikt:fi:fungor">fungi</a>, 'tehdä, <a href="https://fi.wiktionary.org/wiki/fi:toimia" class="extiw" title="wikt:fi:toimia">toimia</a>, toimittaa'. Sanaa sen matemaattisessa merkityksessä käytti ensimmäisenä saksalainen <a href="/wiki/Gottfried_Leibniz" title="Gottfried Leibniz">G. W. Leibniz</a> vuonna 1694. Sveitsiläinen <a href="/wiki/Johann_Bernoulli" title="Johann Bernoulli">Johann Bernoulli</a> käytti vuonna 1718 merkintää <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi x\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ϕ</mi> <mi>x</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi x\,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b52a1b576955a692c16b97a9f8d97475f33057e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.102ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \phi x\,}">. Merkintää <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)\,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78b2b66021c2cac2b5654495678c63ff142952e5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.805ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)\,}"> käyttivät ensi kerran ranskalainen Alexis Claude Clairaut (1713–1765) ja sveitsiläinen <a href="/wiki/Leonhard_Euler" title="Leonhard Euler">Euler</a> vuonna 1734. Funktiolla ymmärrettiin pitkään laskulausekkeen tulosta, mutta jo Eulerilla esiintyy ajatus funktiosta minä hyvänsä lukujen välisenä yhteytenä. Saksalainen <a href="/wiki/Johann_Peter_Gustav_Lejeune_Dirichlet" title="Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet">Dirichlet</a> esitti vuonna 1837 olennaisesti nykyisen funktion määritelmän, joka ei sido funktiota lukujen laskutoimituksiin. Erityisesti <a href="/wiki/Augustin_Louis_Cauchy" title="Augustin Louis Cauchy">Cauchyn</a>, <a href="/wiki/Bernhard_Riemann" title="Bernhard Riemann">Riemannin</a> ja <a href="/wiki/Karl_Weierstrass" title="Karl Weierstrass">Weierstrassin</a> havainnot kompleksilukumuuttujan kompleksilukuarvoisista funktioista synnyttivät 1800-luvulla <a href="/wiki/Funktioteoria" title="Funktioteoria">funktioteoriaksi</a> kutsutun matematiikan osa-alueen. Sen tutkimus on ollut elinvoimaista Suomessa 1900-luvulla. <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Funktion_ominaisuuksia">Funktion ominaisuuksia</h2>[<a href="/w/index.php?title=Funktio&veaction=edit&section=11" title="Muokkaa osiota Funktion ominaisuuksia" class="mw-editsection-visualeditor">muokkaa</a> | <a href="/w/index.php?title=Funktio&action=edit&section=11" title="Muokkaa osion lähdekoodia: Funktion ominaisuuksia">muokkaa wikitekstiä</a>]</div> Funktiolle on määritelty paljon erilaisia ominaisuuksia: <ul><li><a href="/wiki/Affiinikuvaus" title="Affiinikuvaus">affiinisuus</a></li> <li><a href="/wiki/Bijektio" title="Bijektio">bijektiivisyys</a></li> <li><a href="/wiki/Derivoituvuus" class="mw-redirect" title="Derivoituvuus">derivoituvuus</a></li> <li><a href="/wiki/Injektio" title="Injektio">injektiivisyys</a></li> <li><a href="/wiki/Integroituvuus" class="mw-redirect" title="Integroituvuus">integroituvuus</a></li> <li><a href="/wiki/Jatkuva_funktio" title="Jatkuva funktio">jatkuvuus</a></li> <li><a href="/wiki/Konveksi_funktio" title="Konveksi funktio">konveksisuus ja konkaavisuus</a></li> <li><a href="/wiki/Lineaarikuvaus" title="Lineaarikuvaus">lineaarisuus</a></li> <li><a href="/wiki/Surjektio" title="Surjektio">surjektiivisuus</a></li> <li><a href="/wiki/Symmetrinen_funktio" title="Symmetrinen funktio">symmetrisyys</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Katso_myös">Katso myös</h2>[<a href="/w/index.php?title=Funktio&veaction=edit&section=12" title="Muokkaa osiota Katso myös" class="mw-editsection-visualeditor">muokkaa</a> | <a href="/w/index.php?title=Funktio&action=edit&section=12" title="Muokkaa osion lähdekoodia: Katso myös">muokkaa wikitekstiä</a>]</div> <ul><li><a href="/wiki/Derivaatta" title="Derivaatta">Derivaatta</a></li> <li><a href="/wiki/Integraali" title="Integraali">Integraali</a></li> <li><a href="/wiki/K%C3%A4%C3%A4nteisfunktio" title="Käänteisfunktio">Käänteisfunktio</a></li> <li><a href="/wiki/Matemaattinen_optimointi" title="Matemaattinen optimointi">Matemaattinen optimointi</a></li> <li><a href="/wiki/Osittaisfunktio" title="Osittaisfunktio">Osittaisfunktio</a></li> <li><a href="/wiki/Polynomi" title="Polynomi">Polynomi</a></li> <li><a href="/wiki/Trigonometrinen_funktio" title="Trigonometrinen funktio">Trigonometrinen funktio</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Lähteet">Lähteet</h2>[<a href="/w/index.php?title=Funktio&veaction=edit&section=13" title="Muokkaa osiota Lähteet" class="mw-editsection-visualeditor">muokkaa</a> | <a href="/w/index.php?title=Funktio&action=edit&section=13" title="Muokkaa osion lähdekoodia: Lähteet">muokkaa wikitekstiä</a>]</div> <div id="viitteet-malline" class="viitteet-malline" style="list-style-type:decimal;"><ol class="references"> <li id="cite_note-pyramidi-1"><a href="#cite_ref-pyramidi_1-0">↑</a> Pekka Kontkanen, Riitta Liira, Kerkko Luosto, Juha Nurmi, Riikka Nurmiainen, Anja Ronkainen ja Sisko Savolainen: Pyramidi 1, s. 115. Kustannusosakeyhtiö Tammi, 2010. <a href="/wiki/Toiminnot:Kirjal%C3%A4hteet/978-951-26-5134-4" title="Toiminnot:Kirjalähteet/978-951-26-5134-4">ISBN 978-951-26-5134-4</a> </li> <li id="cite_note-h1-2"><a href="#cite_ref-h1_2-0">↑</a> Häsä, Jokke; Rämö, Johanna: Johdatus abstraktiin algebraan, s. 18–19. Helsinki: Gaudeamus, 2015. <a href="/wiki/Toiminnot:Kirjal%C3%A4hteet/978-952-495-361-0" title="Toiminnot:Kirjalähteet/978-952-495-361-0">ISBN 978-952-495-361-0</a> </li> <li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">↑</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Euler/">Leonhard Euler - Biography</a> Maths History. Viitattu 5.12.2021. (englanniksi) </li> </ol> </div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Kirjallisuutta">Kirjallisuutta</h2>[<a href="/w/index.php?title=Funktio&veaction=edit&section=14" title="Muokkaa osiota Kirjallisuutta" class="mw-editsection-visualeditor">muokkaa</a> | <a href="/w/index.php?title=Funktio&action=edit&section=14" title="Muokkaa osion lähdekoodia: Kirjallisuutta">muokkaa wikitekstiä</a>]</div> <ul><li>Häsä, Jokke; Rämö, Johanna: <a href="/wiki/Johdatus_abstraktiin_algebraan" class="mw-redirect" title="Johdatus abstraktiin algebraan">Johdatus abstraktiin algebraan</a>. Helsinki: Gaudeamus, 2015. <a href="/wiki/Toiminnot:Kirjal%C3%A4hteet/978-952-495-361-0" title="Toiminnot:Kirjalähteet/978-952-495-361-0">ISBN 978-952-495-361-0</a> </li> <li>Merikoski, Jorma; Virtanen, Ari; Koivisto, Pertti: Diskreetti matematiikka I. Tampere: Tampereen yliopisto, 2001 (1993). <a href="/wiki/Toiminnot:Kirjal%C3%A4hteet/951-44-3604-0" title="Toiminnot:Kirjalähteet/951-44-3604-0">ISBN 951-44-3604-0</a> </li> <li>Pitkäranta, Juhani: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://mycourses.aalto.fi/pluginfile.php/123037/mod_resource/content/2/calculusfennicus.pdf">Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013)</a> (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. <a href="/wiki/Toiminnot:Kirjal%C3%A4hteet/9789527010129" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 978-952-7010-12-9</a> <a href="/wiki/Toiminnot:Kirjal%C3%A4hteet/9789527010" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 978-952-7010</a>-6 (pdf).</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Aiheesta_muualla">Aiheesta muualla</h2>[<a href="/w/index.php?title=Funktio&veaction=edit&section=15" title="Muokkaa osiota Aiheesta muualla" class="mw-editsection-visualeditor">muokkaa</a> | <a href="/w/index.php?title=Funktio&action=edit&section=15" title="Muokkaa osion lähdekoodia: Aiheesta muualla">muokkaa wikitekstiä</a>]</div> <ul><li><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/10px-Commons-logo.svg.png" decoding="async" width="10" height="13" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/15px-Commons-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/20px-Commons-logo.svg.png 2x" data-file-width="1024" data-file-height="1376" /> Kuvia tai muita tiedostoja aiheesta <a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Functions_(mathematics)" class="extiw" title="commons:Category:Functions (mathematics)">Funktio</a> <a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Etusivu" class="extiw" title="commons:Etusivu">Wikimedia Commonsissa</a></li></ul>   </div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Noudettu kohteesta ”<a dir="ltr" href="https://fi.wikipedia.org/w/index.php?title=Funktio&oldid=22776004">https://fi.wikipedia.org/w/index.php?title=Funktio&oldid=22776004</a>”</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/Toiminnot:Luokat" title="Toiminnot:Luokat">Luokka</a>: <ul><li><a href="/wiki/Luokka:Funktiot" title="Luokka:Funktiot">Funktiot</a></li></ul></div><div id="mw-hidden-catlinks" class="mw-hidden-catlinks mw-hidden-cats-hidden">Piilotetut luokat: <ul><li><a href="/wiki/Luokka:Seulonnan_keskeiset_artikkelit" title="Luokka:Seulonnan keskeiset artikkelit">Seulonnan keskeiset artikkelit</a></li><li><a href="/wiki/Luokka:Sivut,_jotka_k%C3%A4ytt%C3%A4v%C3%A4t_ISBN-taikalinkkej%C3%A4" title="Luokka:Sivut, jotka käyttävät ISBN-taikalinkkejä">Sivut, jotka käyttävät ISBN-taikalinkkejä</a></li></ul></div></div> </div> </div> <div id="mw-navigation"> <h2>Navigointivalikko</h2> <div id="mw-head"> <nav id="p-personal" class="mw-portlet mw-portlet-personal vector-user-menu-legacy vector-menu" aria-labelledby="p-personal-label" > <h3 id="p-personal-label" class="vector-menu-heading " > Henkilökohtaiset työkalut </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-anonuserpage" class="mw-list-item">Et ole kirjautunut</li><li id="pt-anontalk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Toiminnot:Oma_keskustelu" title="Keskustelu tämän IP-osoitteen muokkauksista [n]" accesskey="n">Keskustelu</a></li><li id="pt-anoncontribs" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Toiminnot:Omat_muokkaukset" title="Luettelo tästä IP-osoitteesta tehdyistä muokkauksista [y]" accesskey="y">Muokkaukset</a></li><li id="pt-createaccount" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Toiminnot:Luo_tunnus&returnto=Funktio" title="On suositeltavaa luoda käyttäjätunnus ja kirjautua sisään. Se ei kuitenkaan ole pakollista.">Luo tunnus</a></li><li id="pt-login" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Toiminnot:Kirjaudu_sis%C3%A4%C3%A4n&returnto=Funktio" title="On suositeltavaa kirjautua sisään. Se ei kuitenkaan ole pakollista. [o]" accesskey="o">Kirjaudu sisään</a></li> </ul> </div> </nav> <div id="left-navigation"> <nav id="p-namespaces" class="mw-portlet mw-portlet-namespaces vector-menu-tabs vector-menu-tabs-legacy vector-menu" aria-labelledby="p-namespaces-label" > <h3 id="p-namespaces-label" class="vector-menu-heading " > Nimiavaruudet </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected mw-list-item"><a href="/wiki/Funktio" title="Näytä sisältösivu [c]" accesskey="c">Artikkeli</a></li><li id="ca-talk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Keskustelu:Funktio" rel="discussion" title="Keskustele sisällöstä [t]" accesskey="t">Keskustelu</a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-variants" class="mw-portlet mw-portlet-variants emptyPortlet vector-menu-dropdown vector-menu" aria-labelledby="p-variants-label" > <input type="checkbox" id="p-variants-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-variants" class="vector-menu-checkbox" aria-labelledby="p-variants-label" > <label id="p-variants-label" class="vector-menu-heading " > suomi </label> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </nav> </div> <div id="right-navigation"> <nav id="p-views" class="mw-portlet mw-portlet-views vector-menu-tabs vector-menu-tabs-legacy vector-menu" aria-labelledby="p-views-label" > <h3 id="p-views-label" class="vector-menu-heading " > Näkymät </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-view" class="selected mw-list-item"><a href="/wiki/Funktio">Lue</a></li><li id="ca-ve-edit" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Funktio&veaction=edit" title="Muokkaa tätä sivua [v]" accesskey="v">Muokkaa</a></li><li id="ca-edit" class="collapsible mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Funktio&action=edit" title="Muokkaa tämän sivun lähdekoodia [e]" accesskey="e">Muokkaa wikitekstiä</a></li><li id="ca-history" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Funktio&action=history" title="Sivun aikaisemmat versiot [h]" accesskey="h">Näytä historia</a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-cactions" class="mw-portlet mw-portlet-cactions emptyPortlet vector-menu-dropdown vector-menu" aria-labelledby="p-cactions-label" title="Lisää valintoja" > <input type="checkbox" id="p-cactions-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-cactions" class="vector-menu-checkbox" aria-labelledby="p-cactions-label" > <label id="p-cactions-label" class="vector-menu-heading " > Muut </label> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </nav> <div id="p-search" role="search" class="vector-search-box-vue vector-search-box-show-thumbnail vector-search-box-auto-expand-width vector-search-box"> <h3 >Haku</h3> <form action="/w/index.php" id="searchform" class="vector-search-box-form"> <div id="simpleSearch" class="vector-search-box-inner" data-search-loc="header-navigation"> <input class="vector-search-box-input" type="search" name="search" placeholder="Hae Wikipediasta" aria-label="Hae Wikipediasta" autocapitalize="sentences" title="Hae Wikipediasta [f]" accesskey="f" id="searchInput" > <input type="hidden" name="title" value="Toiminnot:Haku"> <input id="mw-searchButton" class="searchButton mw-fallbackSearchButton" type="submit" name="fulltext" title="Hae sivuilta tätä tekstiä" value="Hae"> <input id="searchButton" class="searchButton" type="submit" name="go" title="Siirry sivulle, joka on tarkalleen tällä nimellä" value="Siirry"> </div> </form> </div> </div> </div> <div id="mw-panel" class="vector-legacy-sidebar"> <div id="p-logo" role="banner"> <a class="mw-wiki-logo" href="/wiki/Wikipedia:Etusivu" title="Etusivu"></a> </div> <nav id="p-navigation" class="mw-portlet mw-portlet-navigation vector-menu-portal portal vector-menu" aria-labelledby="p-navigation-label" > <h3 id="p-navigation-label" class="vector-menu-heading " > Valikko </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-mainpage-description" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Etusivu" title="Siirry etusivulle [z]" accesskey="z">Etusivu</a></li><li id="n-aboutsite" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Tietoja">Tietoja Wikipediasta</a></li><li id="n-allarticles" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Selaa_luokittain">Kaikki sivut</a></li><li id="n-randompage" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Toiminnot:Satunnainen_sivu" title="Avaa satunnainen sivu [x]" accesskey="x">Satunnainen artikkeli</a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-interaction" class="mw-portlet mw-portlet-interaction vector-menu-portal portal vector-menu" aria-labelledby="p-interaction-label" > <h3 id="p-interaction-label" class="vector-menu-heading " > Osallistuminen </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-help" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Ohje:Sis%C3%A4llys" title="Ohjeita">Ohje</a></li><li id="n-Kahvihuone" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Kahvihuone">Kahvihuone</a></li><li id="n-currentevents" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Ajankohtaista" title="Taustatietoa tämänhetkisistä tapahtumista">Ajankohtaista</a></li><li id="n-Tuoreet-odottavat-muutokset" class="mw-list-item"><a href="//fi.wikipedia.org/wiki/Toiminnot:Tuoreet_muutokset?damaging=&goodfaith=&hideliu=0&hideanons=0&userExpLevel=&hidemyself=0&hidebyothers=0&hidebots=1&hidehumans=0&hidepatrolled=1&hideunpatrolled=0&hideminor=0&hidemajor=0&hidepageedits=0&hidenewpages=0&hidecategorization=1&hideWikibase=1&hidelog=0&highlight=1&goodfaith__verylikelybad_color=c5&goodfaith__likelybad_color=c4&goodfaith__maybebad_color=c3&damaging__verylikelybad_color=c5&damaging__likelybad_color=c4&damaging__maybebad_color=c3">Tuoreet odottavat muutokset</a></li><li id="n-recentchanges" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Toiminnot:Tuoreet_muutokset" title="Luettelo tuoreista muutoksista [r]" accesskey="r">Tuoreet muutokset</a></li><li id="n-sitesupport" class="mw-list-item"><a href="//donate.wikimedia.org/wiki/Special:FundraiserRedirector?utm_source=donate&utm_medium=sidebar&utm_campaign=C13_fi.wikipedia.org&uselang=fi" title="Tue meitä">Lahjoitukset</a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-tb" class="mw-portlet mw-portlet-tb vector-menu-portal portal vector-menu" aria-labelledby="p-tb-label" > <h3 id="p-tb-label" class="vector-menu-heading " > Työkalut </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-whatlinkshere" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Toiminnot:T%C3%A4nne_viittaavat_sivut/Funktio" title="Lista sivuista, jotka viittaavat tänne [j]" accesskey="j">Tänne viittaavat sivut</a></li><li id="t-recentchangeslinked" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Toiminnot:Linkitetyt_muutokset/Funktio" rel="nofollow" title="Viimeisimmät muokkaukset sivuissa, joille viitataan tältä sivulta [k]" accesskey="k">Linkitettyjen sivujen muutokset</a></li><li id="t-specialpages" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Toiminnot:Toimintosivut" title="Näytä toimintosivut [q]" accesskey="q">Toimintosivut</a></li><li id="t-permalink" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Funktio&oldid=22776004" title="Ikilinkki tämän sivun tähän versioon">Ikilinkki</a></li><li id="t-info" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Funktio&action=info" title="Enemmän tietoa tästä sivusta">Sivun tiedot</a></li><li id="t-cite" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Toiminnot:Viittaus&page=Funktio&id=22776004&wpFormIdentifier=titleform" title="Tietoa tämän sivun lainaamisesta">Viitetiedot</a></li><li id="t-urlshortener" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Toiminnot:UrlShortener&url=https%3A%2F%2Ffi.wikipedia.org%2Fwiki%2FFunktio">Lyhennä URL-osoite</a></li><li id="t-urlshortener-qrcode" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Toiminnot:QrCode&url=https%3A%2F%2Ffi.wikipedia.org%2Fwiki%2FFunktio">Lataa QR-koodi</a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-coll-print_export" class="mw-portlet mw-portlet-coll-print_export vector-menu-portal portal vector-menu" aria-labelledby="p-coll-print_export-label" > <h3 id="p-coll-print_export-label" class="vector-menu-heading " > Tulosta/vie </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="coll-download-as-rl" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Toiminnot:DownloadAsPdf&page=Funktio&action=show-download-screen">Lataa PDF-tiedostona</a></li><li id="t-print" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Funktio&printable=yes" title="Tulostettava versio [p]" accesskey="p">Tulostettava versio</a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-wikibase-otherprojects" class="mw-portlet mw-portlet-wikibase-otherprojects vector-menu-portal portal vector-menu" aria-labelledby="p-wikibase-otherprojects-label" > <h3 id="p-wikibase-otherprojects-label" class="vector-menu-heading " > Muissa hankkeissa </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="wb-otherproject-link wb-otherproject-commons mw-list-item"><a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Functions_(mathematics)" hreflang="en">Wikimedia Commons</a></li><li id="t-wikibase" class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikibase-dataitem mw-list-item"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q11348" title="Linkki yhdistettyyn keskustietovaraston kohteeseen [g]" accesskey="g">Wikidata-kohde</a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-lang" class="mw-portlet mw-portlet-lang vector-menu-portal portal vector-menu" aria-labelledby="p-lang-label" > <h3 id="p-lang-label" class="vector-menu-heading " > Muilla kielillä </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-af mw-list-item"><a href="https://af.wikipedia.org/wiki/Funksie" title="Funksie — afrikaans" lang="af" hreflang="af" data-title="Funksie" data-language-autonym="Afrikaans" data-language-local-name="afrikaans" class="interlanguage-link-target">Afrikaans</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-als mw-list-item"><a href="https://als.wikipedia.org/wiki/Funktion_(Mathematik)" title="Funktion (Mathematik) — sveitsinsaksa" lang="gsw" hreflang="gsw" data-title="Funktion (Mathematik)" data-language-autonym="Alemannisch" data-language-local-name="sveitsinsaksa" class="interlanguage-link-target">Alemannisch</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-am mw-list-item"><a href="https://am.wikipedia.org/wiki/%E1%8A%A0%E1%88%B5%E1%88%A8%E1%8A%AB%E1%89%A2" title="አስረካቢ — amhara" lang="am" hreflang="am" data-title="አስረካቢ" data-language-autonym="አማርኛ" data-language-local-name="amhara" class="interlanguage-link-target">አማርኛ</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-smn mw-list-item"><a href="https://smn.wikipedia.org/wiki/Funktio" title="Funktio — inarinsaame" lang="smn" hreflang="smn" data-title="Funktio" data-language-autonym="Anarâškielâ" data-language-local-name="inarinsaame" class="interlanguage-link-target">Anarâškielâ</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D8%AF%D8%A7%D9%84%D8%A9" title="دالة — arabia" lang="ar" hreflang="ar" data-title="دالة" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="arabia" class="interlanguage-link-target">العربية</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-an mw-list-item"><a href="https://an.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matematica" title="Función matematica — aragonia" lang="an" hreflang="an" data-title="Función matematica" data-language-autonym="Aragonés" data-language-local-name="aragonia" class="interlanguage-link-target">Aragonés</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ast mw-list-item"><a href="https://ast.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1tica" title="Función matemática — asturia" lang="ast" hreflang="ast" data-title="Función matemática" data-language-autonym="Asturianu" data-language-local-name="asturia" class="interlanguage-link-target">Asturianu</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-az mw-list-item"><a href="https://az.wikipedia.org/wiki/Funksiya_(riyaziyyat)" title="Funksiya (riyaziyyat) — azeri" lang="az" hreflang="az" data-title="Funksiya (riyaziyyat)" data-language-autonym="Azərbaycanca" data-language-local-name="azeri" class="interlanguage-link-target">Azərbaycanca</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-id mw-list-item"><a href="https://id.wikipedia.org/wiki/Fungsi_(matematika)" title="Fungsi (matematika) — indonesia" lang="id" hreflang="id" data-title="Fungsi (matematika)" data-language-autonym="Bahasa Indonesia" data-language-local-name="indonesia" class="interlanguage-link-target">Bahasa Indonesia</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ms mw-list-item"><a href="https://ms.wikipedia.org/wiki/Fungsi" title="Fungsi — malaiji" lang="ms" hreflang="ms" data-title="Fungsi" data-language-autonym="Bahasa Melayu" data-language-local-name="malaiji" class="interlanguage-link-target">Bahasa Melayu</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bn mw-list-item"><a href="https://bn.wikipedia.org/wiki/%E0%A6%85%E0%A6%AA%E0%A7%87%E0%A6%95%E0%A7%8D%E0%A6%B7%E0%A6%95_(%E0%A6%97%E0%A6%A3%E0%A6%BF%E0%A6%A4)" title="অপেক্ষক (গণিত) — bengali" lang="bn" hreflang="bn" data-title="অপেক্ষক (গণিত)" data-language-autonym="বাংলা" data-language-local-name="bengali" class="interlanguage-link-target">বাংলা</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-min-nan mw-list-item"><a href="https://zh-min-nan.wikipedia.org/wiki/H%C3%A2m-s%C3%B2%CD%98" title="Hâm-sò͘ — min nan -kiina" lang="nan" hreflang="nan" data-title="Hâm-sò͘" data-language-autonym="閩南語 / Bân-lâm-gú" data-language-local-name="min nan -kiina" class="interlanguage-link-target">閩南語 / Bân-lâm-gú</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ba mw-list-item"><a href="https://ba.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Функция (математика) — baškiiri" lang="ba" hreflang="ba" data-title="Функция (математика)" data-language-autonym="Башҡортса" data-language-local-name="baškiiri" class="interlanguage-link-target">Башҡортса</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be mw-list-item"><a href="https://be.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%8B%D1%8F_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%8D%D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%8B%D0%BA%D0%B0)" title="Функцыя (матэматыка) — valkovenäjä" lang="be" hreflang="be" data-title="Функцыя (матэматыка)" data-language-autonym="Беларуская" data-language-local-name="valkovenäjä" class="interlanguage-link-target">Беларуская</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be-x-old mw-list-item"><a href="https://be-tarask.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%8B%D1%8F_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%8D%D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%8B%D0%BA%D0%B0)" title="Функцыя (матэматыка) — Belarusian (Taraškievica orthography)" lang="be-tarask" hreflang="be-tarask" data-title="Функцыя (матэматыка)" data-language-autonym="Беларуская (тарашкевіца)" data-language-local-name="Belarusian (Taraškievica orthography)" class="interlanguage-link-target">Беларуская (тарашкевіца)</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bh mw-list-item"><a href="https://bh.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%AB%E0%A4%82%E0%A4%95%E0%A5%8D%E0%A4%B6%E0%A4%A8_(%E0%A4%97%E0%A4%A3%E0%A4%BF%E0%A4%A4)" title="फंक्शन (गणित) — Bhojpuri" lang="bh" hreflang="bh" data-title="फंक्शन (गणित)" data-language-autonym="भोजपुरी" data-language-local-name="Bhojpuri" class="interlanguage-link-target">भोजपुरी</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bs mw-list-item"><a href="https://bs.wikipedia.org/wiki/Funkcija_(matematika)" title="Funkcija (matematika) — bosnia" lang="bs" hreflang="bs" data-title="Funkcija (matematika)" data-language-autonym="Bosanski" data-language-local-name="bosnia" class="interlanguage-link-target">Bosanski</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bg mw-list-item"><a href="https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F" title="Функция — bulgaria" lang="bg" hreflang="bg" data-title="Функция" data-language-autonym="Български" data-language-local-name="bulgaria" class="interlanguage-link-target">Български</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ca mw-list-item"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3" title="Funció — katalaani" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Funció" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="katalaani" class="interlanguage-link-target">Català</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cv mw-list-item"><a href="https://cv.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Функци (математика) — tšuvassi" lang="cv" hreflang="cv" data-title="Функци (математика)" data-language-autonym="Чӑвашла" data-language-local-name="tšuvassi" class="interlanguage-link-target">Чӑвашла</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/Funkce_(matematika)" title="Funkce (matematika) — tšekki" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Funkce (matematika)" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="tšekki" class="interlanguage-link-target">Čeština</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sn mw-list-item"><a href="https://sn.wikipedia.org/wiki/Murimo_(Masvomhu)" title="Murimo (Masvomhu) — šona" lang="sn" hreflang="sn" data-title="Murimo (Masvomhu)" data-language-autonym="ChiShona" data-language-local-name="šona" class="interlanguage-link-target">ChiShona</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cy mw-list-item"><a href="https://cy.wikipedia.org/wiki/Ffwythiant" title="Ffwythiant — kymri" lang="cy" hreflang="cy" data-title="Ffwythiant" data-language-autonym="Cymraeg" data-language-local-name="kymri" class="interlanguage-link-target">Cymraeg</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-da mw-list-item"><a href="https://da.wikipedia.org/wiki/Funktion_(matematik)" title="Funktion (matematik) — tanska" lang="da" hreflang="da" data-title="Funktion (matematik)" data-language-autonym="Dansk" data-language-local-name="tanska" class="interlanguage-link-target">Dansk</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ary mw-list-item"><a href="https://ary.wikipedia.org/wiki/%D8%AF%D8%A7%D9%84%D8%A9" title="دالة — marokonarabia" lang="ary" hreflang="ary" data-title="دالة" data-language-autonym="الدارجة" data-language-local-name="marokonarabia" class="interlanguage-link-target">الدارجة</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-de mw-list-item"><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Funktion_(Mathematik)" title="Funktion (Mathematik) — saksa" lang="de" hreflang="de" data-title="Funktion (Mathematik)" data-language-autonym="Deutsch" data-language-local-name="saksa" class="interlanguage-link-target">Deutsch</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-et mw-list-item"><a href="https://et.wikipedia.org/wiki/Funktsioon_(matemaatika)" title="Funktsioon (matemaatika) — viro" lang="et" hreflang="et" data-title="Funktsioon (matemaatika)" data-language-autonym="Eesti" data-language-local-name="viro" class="interlanguage-link-target">Eesti</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-el mw-list-item"><a href="https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%A3%CF%85%CE%BD%CE%AC%CF%81%CF%84%CE%B7%CF%83%CE%B7" title="Συνάρτηση — kreikka" lang="el" hreflang="el" data-title="Συνάρτηση" data-language-autonym="Ελληνικά" data-language-local-name="kreikka" class="interlanguage-link-target">Ελληνικά</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Function_(mathematics)" title="Function (mathematics) — englanti" lang="en" hreflang="en" data-title="Function (mathematics)" data-language-autonym="English" data-language-local-name="englanti" class="interlanguage-link-target">English</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_(matem%C3%A1tica)" title="Función (matemática) — espanja" lang="es" hreflang="es" data-title="Función (matemática)" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="espanja" class="interlanguage-link-target">Español</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eo mw-list-item"><a href="https://eo.wikipedia.org/wiki/Funkcio_(matematiko)" title="Funkcio (matematiko) — esperanto" lang="eo" hreflang="eo" data-title="Funkcio (matematiko)" data-language-autonym="Esperanto" data-language-local-name="esperanto" class="interlanguage-link-target">Esperanto</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eu mw-list-item"><a href="https://eu.wikipedia.org/wiki/Funtzio_(matematika)" title="Funtzio (matematika) — baski" lang="eu" hreflang="eu" data-title="Funtzio (matematika)" data-language-autonym="Euskara" data-language-local-name="baski" class="interlanguage-link-target">Euskara</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%AA%D8%A7%D8%A8%D8%B9" title="تابع — persia" lang="fa" hreflang="fa" data-title="تابع" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="persia" class="interlanguage-link-target">فارسی</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hif mw-list-item"><a href="https://hif.wikipedia.org/wiki/Function" title="Function — fidžinhindi" lang="hif" hreflang="hif" data-title="Function" data-language-autonym="Fiji Hindi" data-language-local-name="fidžinhindi" class="interlanguage-link-target">Fiji Hindi</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fo mw-list-item"><a href="https://fo.wikipedia.org/wiki/Funksj%C3%B3n" title="Funksjón — fääri" lang="fo" hreflang="fo" data-title="Funksjón" data-language-autonym="Føroyskt" data-language-local-name="fääri" class="interlanguage-link-target">Føroyskt</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fr mw-list-item"><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_(math%C3%A9matiques)" title="Fonction (mathématiques) — ranska" lang="fr" hreflang="fr" data-title="Fonction (mathématiques)" data-language-autonym="Français" data-language-local-name="ranska" class="interlanguage-link-target">Français</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ga mw-list-item"><a href="https://ga.wikipedia.org/wiki/Feidhm_(matamaitic)" title="Feidhm (matamaitic) — iiri" lang="ga" hreflang="ga" data-title="Feidhm (matamaitic)" data-language-autonym="Gaeilge" data-language-local-name="iiri" class="interlanguage-link-target">Gaeilge</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gl mw-list-item"><a href="https://gl.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n" title="Función — galicia" lang="gl" hreflang="gl" data-title="Función" data-language-autonym="Galego" data-language-local-name="galicia" class="interlanguage-link-target">Galego</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gan mw-list-item"><a href="https://gan.wikipedia.org/wiki/%E5%87%BD%E6%95%B8" title="函數 — gan-kiina" lang="gan" hreflang="gan" data-title="函數" data-language-autonym="贛語" data-language-local-name="gan-kiina" class="interlanguage-link-target">贛語</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-xal mw-list-item"><a href="https://xal.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F" title="Функция — kalmukki" lang="xal" hreflang="xal" data-title="Функция" data-language-autonym="Хальмг" data-language-local-name="kalmukki" class="interlanguage-link-target">Хальмг</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%ED%95%A8%EC%88%98" title="함수 — korea" lang="ko" hreflang="ko" data-title="함수" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="korea" class="interlanguage-link-target">한국어</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hy mw-list-item"><a href="https://hy.wikipedia.org/wiki/%D5%96%D5%B8%D6%82%D5%B6%D5%AF%D6%81%D5%AB%D5%A1_(%D5%B4%D5%A1%D5%A9%D5%A5%D5%B4%D5%A1%D5%BF%D5%AB%D5%AF%D5%A1)" title="Ֆունկցիա (մաթեմատիկա) — armenia" lang="hy" hreflang="hy" data-title="Ֆունկցիա (մաթեմատիկա)" data-language-autonym="Հայերեն" data-language-local-name="armenia" class="interlanguage-link-target">Հայերեն</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hi mw-list-item"><a href="https://hi.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%AB%E0%A4%B2%E0%A4%A8" title="फलन — hindi" lang="hi" hreflang="hi" data-title="फलन" data-language-autonym="हिन्दी" data-language-local-name="hindi" class="interlanguage-link-target">हिन्दी</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hr mw-list-item"><a href="https://hr.wikipedia.org/wiki/Funkcija_(matematika)" title="Funkcija (matematika) — kroatia" lang="hr" hreflang="hr" data-title="Funkcija (matematika)" data-language-autonym="Hrvatski" data-language-local-name="kroatia" class="interlanguage-link-target">Hrvatski</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-io mw-list-item"><a href="https://io.wikipedia.org/wiki/Funciono" title="Funciono — ido" lang="io" hreflang="io" data-title="Funciono" data-language-autonym="Ido" data-language-local-name="ido" class="interlanguage-link-target">Ido</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ia mw-list-item"><a href="https://ia.wikipedia.org/wiki/Function_(mathematica)" title="Function (mathematica) — interlingua" lang="ia" hreflang="ia" data-title="Function (mathematica)" data-language-autonym="Interlingua" data-language-local-name="interlingua" class="interlanguage-link-target">Interlingua</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-is mw-list-item"><a href="https://is.wikipedia.org/wiki/Fall_(st%C3%A6r%C3%B0fr%C3%A6%C3%B0i)" title="Fall (stærðfræði) — islanti" lang="is" hreflang="is" data-title="Fall (stærðfræði)" data-language-autonym="Íslenska" data-language-local-name="islanti" class="interlanguage-link-target">Íslenska</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_(matematica)" title="Funzione (matematica) — italia" lang="it" hreflang="it" data-title="Funzione (matematica)" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="italia" class="interlanguage-link-target">Italiano</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%A4%D7%95%D7%A0%D7%A7%D7%A6%D7%99%D7%94" title="פונקציה — heprea" lang="he" hreflang="he" data-title="פונקציה" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="heprea" class="interlanguage-link-target">עברית</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kbp mw-list-item"><a href="https://kbp.wikipedia.org/wiki/K%C9%A9lab%C9%A9m" title="Kɩlabɩm — Kabiye" lang="kbp" hreflang="kbp" data-title="Kɩlabɩm" data-language-autonym="Kabɩyɛ" data-language-local-name="Kabiye" class="interlanguage-link-target">Kabɩyɛ</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ka mw-list-item"><a href="https://ka.wikipedia.org/wiki/%E1%83%A4%E1%83%A3%E1%83%9C%E1%83%A5%E1%83%AA%E1%83%98%E1%83%90_(%E1%83%9B%E1%83%90%E1%83%97%E1%83%94%E1%83%9B%E1%83%90%E1%83%A2%E1%83%98%E1%83%99%E1%83%90)" title="ფუნქცია (მათემატიკა) — georgia" lang="ka" hreflang="ka" data-title="ფუნქცია (მათემატიკა)" data-language-autonym="ქართული" data-language-local-name="georgia" class="interlanguage-link-target">ქართული</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kk mw-list-item"><a href="https://kk.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Функция (математика) — kazakki" lang="kk" hreflang="kk" data-title="Функция (математика)" data-language-autonym="Қазақша" data-language-local-name="kazakki" class="interlanguage-link-target">Қазақша</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gcr mw-list-item"><a href="https://gcr.wikipedia.org/wiki/Fonksyon_(mat%C3%A9matik)" title="Fonksyon (matématik) — Guianan Creole" lang="gcr" hreflang="gcr" data-title="Fonksyon (matématik)" data-language-autonym="Kriyòl gwiyannen" data-language-local-name="Guianan Creole" class="interlanguage-link-target">Kriyòl gwiyannen</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lo mw-list-item"><a href="https://lo.wikipedia.org/wiki/%E0%BA%95%E0%BA%B3%E0%BA%A5%E0%BA%B2_(%E0%BA%84%E0%BA%B0%E0%BA%99%E0%BA%B4%E0%BA%94%E0%BA%AA%E0%BA%B2%E0%BA%94)" title="ຕຳລາ (ຄະນິດສາດ) — lao" lang="lo" hreflang="lo" data-title="ຕຳລາ (ຄະນິດສາດ)" data-language-autonym="ລາວ" data-language-local-name="lao" class="interlanguage-link-target">ລາວ</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-la mw-list-item"><a href="https://la.wikipedia.org/wiki/Functio" title="Functio — latina" lang="la" hreflang="la" data-title="Functio" data-language-autonym="Latina" data-language-local-name="latina" class="interlanguage-link-target">Latina</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lv mw-list-item"><a href="https://lv.wikipedia.org/wiki/Funkcija" title="Funkcija — latvia" lang="lv" hreflang="lv" data-title="Funkcija" data-language-autonym="Latviešu" data-language-local-name="latvia" class="interlanguage-link-target">Latviešu</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lb mw-list-item"><a href="https://lb.wikipedia.org/wiki/Funktioun_(Mathematik)" title="Funktioun (Mathematik) — luxemburg" lang="lb" hreflang="lb" data-title="Funktioun (Mathematik)" data-language-autonym="Lëtzebuergesch" data-language-local-name="luxemburg" class="interlanguage-link-target">Lëtzebuergesch</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lt mw-list-item"><a href="https://lt.wikipedia.org/wiki/Funkcija_(matematika)" title="Funkcija (matematika) — liettua" lang="lt" hreflang="lt" data-title="Funkcija (matematika)" data-language-autonym="Lietuvių" data-language-local-name="liettua" class="interlanguage-link-target">Lietuvių</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-jbo mw-list-item"><a href="https://jbo.wikipedia.org/wiki/fancu" title="fancu — lojban" lang="jbo" hreflang="jbo" data-title="fancu" data-language-autonym="La .lojban." data-language-local-name="lojban" class="interlanguage-link-target">La .lojban.</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lmo mw-list-item"><a href="https://lmo.wikipedia.org/wiki/Fonzion_(matematega)" title="Fonzion (matematega) — lombardi" lang="lmo" hreflang="lmo" data-title="Fonzion (matematega)" data-language-autonym="Lombard" data-language-local-name="lombardi" class="interlanguage-link-target">Lombard</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hu mw-list-item"><a href="https://hu.wikipedia.org/wiki/F%C3%BCggv%C3%A9ny_(matematika)" title="Függvény (matematika) — unkari" lang="hu" hreflang="hu" data-title="Függvény (matematika)" data-language-autonym="Magyar" data-language-local-name="unkari" class="interlanguage-link-target">Magyar</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mk mw-list-item"><a href="https://mk.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%98%D0%B0_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Функција (математика) — makedonia" lang="mk" hreflang="mk" data-title="Функција (математика)" data-language-autonym="Македонски" data-language-local-name="makedonia" class="interlanguage-link-target">Македонски</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ml mw-list-item"><a href="https://ml.wikipedia.org/wiki/%E0%B4%AB%E0%B4%99%E0%B5%8D%E0%B4%B7%E0%B5%BB" title="ഫങ്ഷൻ — malajalam" lang="ml" hreflang="ml" data-title="ഫങ്ഷൻ" data-language-autonym="മലയാളം" data-language-local-name="malajalam" class="interlanguage-link-target">മലയാളം</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mt mw-list-item"><a href="https://mt.wikipedia.org/wiki/Funzjonijiet_(matematika)" title="Funzjonijiet (matematika) — malta" lang="mt" hreflang="mt" data-title="Funzjonijiet (matematika)" data-language-autonym="Malti" data-language-local-name="malta" class="interlanguage-link-target">Malti</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mr mw-list-item"><a href="https://mr.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%AB%E0%A4%B2_(%E0%A4%97%E0%A4%A3%E0%A4%BF%E0%A4%A4)" title="फल (गणित) — marathi" lang="mr" hreflang="mr" data-title="फल (गणित)" data-language-autonym="मराठी" data-language-local-name="marathi" class="interlanguage-link-target">मराठी</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mn mw-list-item"><a href="https://mn.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA)" title="Функц (математик) — mongoli" lang="mn" hreflang="mn" data-title="Функц (математик)" data-language-autonym="Монгол" data-language-local-name="mongoli" class="interlanguage-link-target">Монгол</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-my mw-list-item"><a href="https://my.wikipedia.org/wiki/%E1%80%96%E1%80%94%E1%80%BA%E1%80%9B%E1%80%BE%E1%80%84%E1%80%BA" title="ဖန်ရှင် — burma" lang="my" hreflang="my" data-title="ဖန်ရှင်" data-language-autonym="မြန်မာဘာသာ" data-language-local-name="burma" class="interlanguage-link-target">မြန်မာဘာသာ</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fj mw-list-item"><a href="https://fj.wikipedia.org/wiki/Cakacaka_(fika)" title="Cakacaka (fika) — fidži" lang="fj" hreflang="fj" data-title="Cakacaka (fika)" data-language-autonym="Na Vosa Vakaviti" data-language-local-name="fidži" class="interlanguage-link-target">Na Vosa Vakaviti</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Functie_(wiskunde)" title="Functie (wiskunde) — hollanti" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Functie (wiskunde)" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="hollanti" class="interlanguage-link-target">Nederlands</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%96%A2%E6%95%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="関数 (数学) — japani" lang="ja" hreflang="ja" data-title="関数 (数学)" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="japani" class="interlanguage-link-target">日本語</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-frr mw-list-item"><a href="https://frr.wikipedia.org/wiki/Funksion" title="Funksion — pohjoisfriisi" lang="frr" hreflang="frr" data-title="Funksion" data-language-autonym="Nordfriisk" data-language-local-name="pohjoisfriisi" class="interlanguage-link-target">Nordfriisk</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-no mw-list-item"><a href="https://no.wikipedia.org/wiki/Funksjon_(matematikk)" title="Funksjon (matematikk) — norjan bokmål" lang="nb" hreflang="nb" data-title="Funksjon (matematikk)" data-language-autonym="Norsk bokmål" data-language-local-name="norjan bokmål" class="interlanguage-link-target">Norsk bokmål</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nn mw-list-item"><a href="https://nn.wikipedia.org/wiki/Matematisk_funksjon" title="Matematisk funksjon — norjan nynorsk" lang="nn" hreflang="nn" data-title="Matematisk funksjon" data-language-autonym="Norsk nynorsk" data-language-local-name="norjan nynorsk" class="interlanguage-link-target">Norsk nynorsk</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-oc mw-list-item"><a href="https://oc.wikipedia.org/wiki/Aplicacion_(matematicas)" title="Aplicacion (matematicas) — oksitaani" lang="oc" hreflang="oc" data-title="Aplicacion (matematicas)" data-language-autonym="Occitan" data-language-local-name="oksitaani" class="interlanguage-link-target">Occitan</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-om mw-list-item"><a href="https://om.wikipedia.org/wiki/Warroomii_(faankishinii)" title="Warroomii (faankishinii) — oromo" lang="om" hreflang="om" data-title="Warroomii (faankishinii)" data-language-autonym="Oromoo" data-language-local-name="oromo" class="interlanguage-link-target">Oromoo</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uz mw-list-item"><a href="https://uz.wikipedia.org/wiki/Funksiya_(matematika)" title="Funksiya (matematika) — uzbekki" lang="uz" hreflang="uz" data-title="Funksiya (matematika)" data-language-autonym="Oʻzbekcha / ўзбекча" data-language-local-name="uzbekki" class="interlanguage-link-target">Oʻzbekcha / ўзбекча</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pa mw-list-item"><a href="https://pa.wikipedia.org/wiki/%E0%A8%AB%E0%A9%B0%E0%A8%95%E0%A8%B8%E0%A8%BC%E0%A8%A8_(%E0%A8%B9%E0%A8%BF%E0%A8%B8%E0%A8%BE%E0%A8%AC)" title="ਫੰਕਸ਼ਨ (ਹਿਸਾਬ) — pandžabi" lang="pa" hreflang="pa" data-title="ਫੰਕਸ਼ਨ (ਹਿਸਾਬ)" data-language-autonym="ਪੰਜਾਬੀ" data-language-local-name="pandžabi" class="interlanguage-link-target">ਪੰਜਾਬੀ</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pnb mw-list-item"><a href="https://pnb.wikipedia.org/wiki/%D9%81%D9%86%DA%A9%D8%B4%D9%86" title="فنکشن — Western Punjabi" lang="pnb" hreflang="pnb" data-title="فنکشن" data-language-autonym="پنجابی" data-language-local-name="Western Punjabi" class="interlanguage-link-target">پنجابی</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-jam mw-list-item"><a href="https://jam.wikipedia.org/wiki/Fongshan_(matimatix)" title="Fongshan (matimatix) — jamaikankreolienglanti" lang="jam" hreflang="jam" data-title="Fongshan (matimatix)" data-language-autonym="Patois" data-language-local-name="jamaikankreolienglanti" class="interlanguage-link-target">Patois</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pms mw-list-item"><a href="https://pms.wikipedia.org/wiki/Fonsion" title="Fonsion — piemonte" lang="pms" hreflang="pms" data-title="Fonsion" data-language-autonym="Piemontèis" data-language-local-name="piemonte" class="interlanguage-link-target">Piemontèis</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nds mw-list-item"><a href="https://nds.wikipedia.org/wiki/Afbillen_(Mathematik)" title="Afbillen (Mathematik) — alasaksa" lang="nds" hreflang="nds" data-title="Afbillen (Mathematik)" data-language-autonym="Plattdüütsch" data-language-local-name="alasaksa" class="interlanguage-link-target">Plattdüütsch</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pl mw-list-item"><a href="https://pl.wikipedia.org/wiki/Funkcja" title="Funkcja — puola" lang="pl" hreflang="pl" data-title="Funkcja" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="puola" class="interlanguage-link-target">Polski</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_(matem%C3%A1tica)" title="Função (matemática) — portugali" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Função (matemática)" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="portugali" class="interlanguage-link-target">Português</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ro mw-list-item"><a href="https://ro.wikipedia.org/wiki/Func%C8%9Bie" title="Funcție — romania" lang="ro" hreflang="ro" data-title="Funcție" data-language-autonym="Română" data-language-local-name="romania" class="interlanguage-link-target">Română</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-qu mw-list-item"><a href="https://qu.wikipedia.org/wiki/Kinraysuyu" title="Kinraysuyu — ketšua" lang="qu" hreflang="qu" data-title="Kinraysuyu" data-language-autonym="Runa Simi" data-language-local-name="ketšua" class="interlanguage-link-target">Runa Simi</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Функция (математика) — venäjä" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Функция (математика)" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="venäjä" class="interlanguage-link-target">Русский</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sah mw-list-item"><a href="https://sah.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F._%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D1%87%D1%8D%D1%80%D1%87%D0%B8%D1%82%D1%8D,_%D1%81%D1%83%D0%BE%D0%BB%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B0%D1%80%D1%8B%D0%BD_%D1%82%D2%AF%D0%BC%D1%81%D1%8D%D1%8D%D0%BD%D1%8D" title="Функция. Функция чэрчитэ, суолталарын түмсээнэ — jakuutti" lang="sah" hreflang="sah" data-title="Функция. Функция чэрчитэ, суолталарын түмсээнэ" data-language-autonym="Саха тыла" data-language-local-name="jakuutti" class="interlanguage-link-target">Саха тыла</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sco mw-list-item"><a href="https://sco.wikipedia.org/wiki/Function_(mathematics)" title="Function (mathematics) — skotti" lang="sco" hreflang="sco" data-title="Function (mathematics)" data-language-autonym="Scots" data-language-local-name="skotti" class="interlanguage-link-target">Scots</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sq mw-list-item"><a href="https://sq.wikipedia.org/wiki/Funksioni" title="Funksioni — albania" lang="sq" hreflang="sq" data-title="Funksioni" data-language-autonym="Shqip" data-language-local-name="albania" class="interlanguage-link-target">Shqip</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-scn mw-list-item"><a href="https://scn.wikipedia.org/wiki/Funzioni_(matim%C3%A0tica)" title="Funzioni (matimàtica) — sisilia" lang="scn" hreflang="scn" data-title="Funzioni (matimàtica)" data-language-autonym="Sicilianu" data-language-local-name="sisilia" class="interlanguage-link-target">Sicilianu</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-simple mw-list-item"><a href="https://simple.wikipedia.org/wiki/Function_(mathematics)" title="Function (mathematics) — Simple English" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Function (mathematics)" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="Simple English" class="interlanguage-link-target">Simple English</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sk mw-list-item"><a href="https://sk.wikipedia.org/wiki/Zobrazenie_(matematika)" title="Zobrazenie (matematika) — slovakki" lang="sk" hreflang="sk" data-title="Zobrazenie (matematika)" data-language-autonym="Slovenčina" data-language-local-name="slovakki" class="interlanguage-link-target">Slovenčina</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/Funkcija_(matematika)" title="Funkcija (matematika) — sloveeni" lang="sl" hreflang="sl" data-title="Funkcija (matematika)" data-language-autonym="Slovenščina" data-language-local-name="sloveeni" class="interlanguage-link-target">Slovenščina</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-szl mw-list-item"><a href="https://szl.wikipedia.org/wiki/Funkcyjo" title="Funkcyjo — sleesia" lang="szl" hreflang="szl" data-title="Funkcyjo" data-language-autonym="Ślůnski" data-language-local-name="sleesia" class="interlanguage-link-target">Ślůnski</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-so mw-list-item"><a href="https://so.wikipedia.org/wiki/Shaqada_(xisaabta)" title="Shaqada (xisaabta) — somali" lang="so" hreflang="so" data-title="Shaqada (xisaabta)" data-language-autonym="Soomaaliga" data-language-local-name="somali" class="interlanguage-link-target">Soomaaliga</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ckb mw-list-item"><a href="https://ckb.wikipedia.org/wiki/%D9%81%D8%A7%D9%86%DA%A9%D8%B4%D9%86_(%D9%85%D8%A7%D8%AA%D9%85%D8%A7%D8%AA%DB%8C%DA%A9)" title="فانکشن (ماتماتیک) — soranî" lang="ckb" hreflang="ckb" data-title="فانکشن (ماتماتیک)" data-language-autonym="کوردی" data-language-local-name="soranî" class="interlanguage-link-target">کوردی</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%98%D0%B0_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Функција (математика) — serbia" lang="sr" hreflang="sr" data-title="Функција (математика)" data-language-autonym="Српски / srpski" data-language-local-name="serbia" class="interlanguage-link-target">Српски / srpski</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sh mw-list-item"><a href="https://sh.wikipedia.org/wiki/Funkcija" title="Funkcija — serbokroaatti" lang="sh" hreflang="sh" data-title="Funkcija" data-language-autonym="Srpskohrvatski / српскохрватски" data-language-local-name="serbokroaatti" class="interlanguage-link-target">Srpskohrvatski / српскохрватски</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-su mw-list-item"><a href="https://su.wikipedia.org/wiki/Fungsi_(matematika)" title="Fungsi (matematika) — sunda" lang="su" hreflang="su" data-title="Fungsi (matematika)" data-language-autonym="Sunda" data-language-local-name="sunda" class="interlanguage-link-target">Sunda</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sv mw-list-item"><a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/Funktion" title="Funktion — ruotsi" lang="sv" hreflang="sv" data-title="Funktion" data-language-autonym="Svenska" data-language-local-name="ruotsi" class="interlanguage-link-target">Svenska</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tl mw-list-item"><a href="https://tl.wikipedia.org/wiki/Punsiyon_(matematika)" title="Punsiyon (matematika) — tagalog" lang="tl" hreflang="tl" data-title="Punsiyon (matematika)" data-language-autonym="Tagalog" data-language-local-name="tagalog" class="interlanguage-link-target">Tagalog</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ta mw-list-item"><a href="https://ta.wikipedia.org/wiki/%E0%AE%9A%E0%AE%BE%E0%AE%B0%E0%AF%8D%E0%AE%AA%E0%AF%81" title="சார்பு — tamili" lang="ta" hreflang="ta" data-title="சார்பு" data-language-autonym="தமிழ்" data-language-local-name="tamili" class="interlanguage-link-target">தமிழ்</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kab mw-list-item"><a href="https://kab.wikipedia.org/wiki/Tas%C9%A3ent_(tusnakt)" title="Tasɣent (tusnakt) — kabyyli" lang="kab" hreflang="kab" data-title="Tasɣent (tusnakt)" data-language-autonym="Taqbaylit" data-language-local-name="kabyyli" class="interlanguage-link-target">Taqbaylit</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tt mw-list-item"><a href="https://tt.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Функция (математика) — tataari" lang="tt" hreflang="tt" data-title="Функция (математика)" data-language-autonym="Татарча / tatarça" data-language-local-name="tataari" class="interlanguage-link-target">Татарча / tatarça</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-th mw-list-item"><a href="https://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%9F%E0%B8%B1%E0%B8%87%E0%B8%81%E0%B9%8C%E0%B8%8A%E0%B8%B1%E0%B8%99_(%E0%B8%84%E0%B8%93%E0%B8%B4%E0%B8%95%E0%B8%A8%E0%B8%B2%E0%B8%AA%E0%B8%95%E0%B8%A3%E0%B9%8C)" title="ฟังก์ชัน (คณิตศาสตร์) — thai" lang="th" hreflang="th" data-title="ฟังก์ชัน (คณิตศาสตร์)" data-language-autonym="ไทย" data-language-local-name="thai" class="interlanguage-link-target">ไทย</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vi mw-list-item"><a href="https://vi.wikipedia.org/wiki/H%C3%A0m_s%E1%BB%91" title="Hàm số — vietnam" lang="vi" hreflang="vi" data-title="Hàm số" data-language-autonym="Tiếng Việt" data-language-local-name="vietnam" class="interlanguage-link-target">Tiếng Việt</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tr mw-list-item"><a href="https://tr.wikipedia.org/wiki/Fonksiyon" title="Fonksiyon — turkki" lang="tr" hreflang="tr" data-title="Fonksiyon" data-language-autonym="Türkçe" data-language-local-name="turkki" class="interlanguage-link-target">Türkçe</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-udm mw-list-item"><a href="https://udm.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Функция (математика) — udmurtti" lang="udm" hreflang="udm" data-title="Функция (математика)" data-language-autonym="Удмурт" data-language-local-name="udmurtti" class="interlanguage-link-target">Удмурт</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uk mw-list-item"><a href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%8F_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Функція (математика) — ukraina" lang="uk" hreflang="uk" data-title="Функція (математика)" data-language-autonym="Українська" data-language-local-name="ukraina" class="interlanguage-link-target">Українська</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ur mw-list-item"><a href="https://ur.wikipedia.org/wiki/%D8%AA%D9%81%D8%A7%D8%B9%D9%84_(%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C%D8%A7%D8%AA)" title="تفاعل (ریاضیات) — urdu" lang="ur" hreflang="ur" data-title="تفاعل (ریاضیات)" data-language-autonym="اردو" data-language-local-name="urdu" class="interlanguage-link-target">اردو</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ug mw-list-item"><a href="https://ug.wikipedia.org/wiki/%D9%81%DB%87%D9%86%D9%83%D8%B3%D9%89%D9%8A%DB%95" title="فۇنكسىيە — uiguuri" lang="ug" hreflang="ug" data-title="فۇنكسىيە" data-language-autonym="ئۇيغۇرچە / Uyghurche" data-language-local-name="uiguuri" class="interlanguage-link-target">ئۇيغۇرچە / Uyghurche</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vep mw-list-item"><a href="https://vep.wikipedia.org/wiki/Funkcii_(matematik)" title="Funkcii (matematik) — vepsä" lang="vep" hreflang="vep" data-title="Funkcii (matematik)" data-language-autonym="Vepsän kel’" data-language-local-name="vepsä" class="interlanguage-link-target">Vepsän kel’</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-classical mw-list-item"><a href="https://zh-classical.wikipedia.org/wiki/%E6%98%A0%E5%B0%84" title="映射 — klassinen kiina" lang="lzh" hreflang="lzh" data-title="映射" data-language-autonym="文言" data-language-local-name="klassinen kiina" class="interlanguage-link-target">文言</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-war mw-list-item"><a href="https://war.wikipedia.org/wiki/Funsiyon_(matematika)" title="Funsiyon (matematika) — waray" lang="war" hreflang="war" data-title="Funsiyon (matematika)" data-language-autonym="Winaray" data-language-local-name="waray" class="interlanguage-link-target">Winaray</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-wuu mw-list-item"><a href="https://wuu.wikipedia.org/wiki/%E5%87%BD%E6%95%B0" title="函数 — wu-kiina" lang="wuu" hreflang="wuu" data-title="函数" data-language-autonym="吴语" data-language-local-name="wu-kiina" class="interlanguage-link-target">吴语</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-yi mw-list-item"><a href="https://yi.wikipedia.org/wiki/%D7%A4%D7%95%D7%A0%D7%A7%D7%A6%D7%99%D7%A2" title="פונקציע — jiddiš" lang="yi" hreflang="yi" data-title="פונקציע" data-language-autonym="ייִדיש" data-language-local-name="jiddiš" class="interlanguage-link-target">ייִדיש</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-yue mw-list-item"><a href="https://zh-yue.wikipedia.org/wiki/%E5%87%BD%E6%95%B8" title="函數 — kantoninkiina" lang="yue" hreflang="yue" data-title="函數" data-language-autonym="粵語" data-language-local-name="kantoninkiina" class="interlanguage-link-target">粵語</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bat-smg mw-list-item"><a href="https://bat-smg.wikipedia.org/wiki/Funkc%C4%97j%C4%97" title="Funkcėjė — samogiitti" lang="sgs" hreflang="sgs" data-title="Funkcėjė" data-language-autonym="Žemaitėška" data-language-local-name="samogiitti" class="interlanguage-link-target">Žemaitėška</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%87%BD%E6%95%B0" title="函数 — kiina" lang="zh" hreflang="zh" data-title="函数" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="kiina" class="interlanguage-link-target">中文</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zgh mw-list-item"><a href="https://zgh.wikipedia.org/wiki/%E2%B5%9C%E2%B4%B0%E2%B5%99%E2%B5%96%E2%B5%8F%E2%B5%9C_(%E2%B5%9C%E2%B5%93%E2%B5%99%E2%B5%8F%E2%B4%B0%E2%B4%BD%E2%B5%9C)" title="ⵜⴰⵙⵖⵏⵜ (ⵜⵓⵙⵏⴰⴽⵜ) — vakioitu tamazight" lang="zgh" hreflang="zgh" data-title="ⵜⴰⵙⵖⵏⵜ (ⵜⵓⵙⵏⴰⴽⵜ)" data-language-autonym="ⵜⴰⵎⴰⵣⵉⵖⵜ ⵜⴰⵏⴰⵡⴰⵢⵜ" data-language-local-name="vakioitu tamazight" class="interlanguage-link-target">ⵜⴰⵎⴰⵣⵉⵖⵜ ⵜⴰⵏⴰⵡⴰⵢⵜ</a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q11348#sitelinks-wikipedia" title="Muokkaa kieltenvälisiä linkkejä" class="wbc-editpage">Muokkaa linkkejä</a></div> </div> </nav> </div> </div> <footer id="footer" class="mw-footer" > <ul id="footer-info"> <li id="footer-info-lastmod"> Sivua on viimeksi muutettu 12. marraskuuta 2024 kello 16.01.</li> <li id="footer-info-copyright">Teksti on saatavilla <a rel="nofollow" class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.fi">Creative Commons Attribution/Share-Alike</a> -lisenssillä; lisäehtoja voi sisältyä. Katso <a class="external text" href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Terms_of_Use/fi">käyttöehdot</a>. Wikipedia® on <a rel="nofollow" class="external text" href="https://wikimediafoundation.org/">Wikimedia Foundationin</a> rekisteröimä tavaramerkki. <a href="/wiki/Wikipedia:Artikkelien_ongelmat" title="Wikipedia:Artikkelien ongelmat">Ongelma artikkelissa?</a></li> </ul> <ul id="footer-places"> <li id="footer-places-privacy"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Privacy_policy">Tietosuojakäytäntö</a></li> <li id="footer-places-about"><a href="/wiki/Wikipedia:Tietoja">Tietoja Wikipediasta</a></li> <li id="footer-places-disclaimers"><a href="/wiki/Wikipedia:Vastuuvapaus">Vastuuvapaus</a></li> <li id="footer-places-wm-codeofconduct"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Universal_Code_of_Conduct">Käytössäännöstö</a></li> <li id="footer-places-developers"><a href="https://developer.wikimedia.org">Kehittäjät</a></li> <li id="footer-places-statslink"><a href="https://stats.wikimedia.org/#/fi.wikipedia.org">Tilastot</a></li> <li id="footer-places-cookiestatement"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Cookie_statement">Evästekäytäntö</a></li> <li id="footer-places-mobileview"><a href="//fi.m.wikipedia.org/w/index.php?title=Funktio&mobileaction=toggle_view_mobile" class="noprint stopMobileRedirectToggle">Mobiilinäkymä</a></li> </ul> <ul id="footer-icons" class="noprint"> <li id="footer-copyrightico"><a href="https://wikimediafoundation.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/static/images/footer/wikimedia-button.svg" width="84" height="29" alt="Wikimedia Foundation" loading="lazy"></a></li> <li id="footer-poweredbyico"><a href="https://www.mediawiki.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/w/resources/assets/poweredby_mediawiki.svg" alt="Powered by MediaWiki" width="88" height="31" loading="lazy"></a></li> </ul> </footer> <script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.log.warn("This page is using the deprecated ResourceLoader module \"codex-search-styles\".\n[1.43] Use a CodexModule with codexComponents to set your specific components used: https://www.mediawiki.org/wiki/Codex#Using_a_limited_subset_of_components");mw.config.set({"wgHostname":"mw-web.codfw.main-f69cdc8f6-4qzqr","wgBackendResponseTime":189,"wgPageParseReport":{"limitreport":{"cputime":"0.167","walltime":"0.312","ppvisitednodes":{"value":1219,"limit":1000000},"postexpandincludesize":{"value":5027,"limit":2097152},"templateargumentsize":{"value":343,"limit":2097152},"expansiondepth":{"value":14,"limit":100},"expensivefunctioncount":{"value":0,"limit":500},"unstrip-depth":{"value":0,"limit":20},"unstrip-size":{"value":7760,"limit":5000000},"entityaccesscount":{"value":1,"limit":400},"timingprofile":["100.00% 84.130 1 -total"," 54.16% 45.567 4 Malline:Wikidata"," 50.85% 42.783 1 Malline:Viitteet"," 38.35% 32.266 4 Malline:Kirjaviite"," 31.83% 26.777 1 Malline:Commonscat-rivi"," 30.03% 25.263 1 Malline:Commons-rivi"," 6.92% 5.818 2 Malline:Verkkoviite"," 4.60% 3.869 1 Malline:Metatieto"," 2.42% 2.040 1 Malline:Tämä_artikkeli"," 2.08% 1.752 1 Malline:Tyhjä_malline"]},"scribunto":{"limitreport-timeusage":{"value":"0.006","limit":"10.000"},"limitreport-memusage":{"value":879090,"limit":52428800}},"cachereport":{"origin":"mw-web.eqiad.main-745f94f9f8-f55gp","timestamp":"20241120054324","ttl":2592000,"transientcontent":false}}});});</script> <script type="application/ld+json">{"@context":"https:\/\/schema.org","@type":"Article","name":"Funktio","url":"https:\/\/fi.wikipedia.org\/wiki\/Funktio","sameAs":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q11348","mainEntity":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q11348","author":{"@type":"Organization","name":"Wikimedia-hankkeiden muokkaajat"},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Wikimedia Foundation, Inc.","logo":{"@type":"ImageObject","url":"https:\/\/www.wikimedia.org\/static\/images\/wmf-hor-googpub.png"}},"datePublished":"2003-04-11T14:34:32Z","image":"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/8\/8a\/Function_illustration.svg","headline":"matemaattinen kuvaus olioiden suhteesta"}</script> </body> </html>