CINXE.COM

<!DOCTYPE html>    <html>  <head><script type="text/javascript" src="https://web-static.archive.org/_static/js/bundle-playback.js?v=7YQSqjSh" charset="utf-8"></script> <script type="text/javascript" src="https://web-static.archive.org/_static/js/wombat.js?v=txqj7nKC" charset="utf-8"></script> <script>window.RufflePlayer=window.RufflePlayer||{};window.RufflePlayer.config={"autoplay":"on","unmuteOverlay":"hidden"};</script> <script type="text/javascript" src="https://web-static.archive.org/_static/js/ruffle/ruffle.js"></script> <script type="text/javascript"> __wm.init("https://web.archive.org/web"); __wm.wombat("http://n-t.ru:80/tp/ns/vu.htm","20191225094221","https://web.archive.org/","web","https://web-static.archive.org/_static/", "1577266941"); </script> <link rel="stylesheet" type="text/css" href="https://web-static.archive.org/_static/css/banner-styles.css?v=p7PEIJWi" /> <link rel="stylesheet" type="text/css" href="https://web-static.archive.org/_static/css/iconochive.css?v=3PDvdIFv" />  <title>Волновое уравнение не имеет единственного решения?!. Cтатьи. Наука и техника</title> <meta http-equiv="X-UA-Compatible" content="IE=edge,chrome=1"/> <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1"> <meta name="SKYPE_TOOLBAR" content="SKYPE_TOOLBAR_PARSER_COMPATIBLE"/>  <meta property="og:title" content="Волновое уравнение не имеет единственного решения?!"> <meta property="og:url" content="https://web.archive.org/web/20191225094221/http://n-t.ru/tp/ns/vu.htm"> <meta property="og:image" content="https://web.archive.org/web/20191225094221im_/http://n-t.ru/n-t158.png"> <meta property="og:image:width" content="316"> <meta property="og:image:height" content="316"> <meta property="og:description" content=""> <link rel="icon" href="/web/20191225094221im_/http://n-t.ru/favicon.ico" type="image/x-icon"> <link href="/web/20191225094221cs_/http://n-t.ru/dz/nit.css" rel="stylesheet" type="text/css"> </head> <body> <script type="text/javascript"></script> <div id="fb-root"></div> <script>(function(d, s, id) { var js, fjs = d.getElementsByTagName(s)[0]; if (d.getElementById(id)) return; js = d.createElement(s); js.id = id; js.src = "//web.archive.org/web/20191225094221/http://connect.facebook.net/ru_RU/sdk.js#xfbml=1&version=v2.4&appId=1615304618725556"; fjs.parentNode.insertBefore(js, fjs); }(document, 'script', 'facebook-jssdk'));</script> <div class="vk vkm">  <a href="/web/20191225094221/http://n-t.ru/"> <img class="il1" style="float: left;" src="/web/20191225094221im_/http://n-t.ru/dz/1024-logo.gif" border="0" width="208" height="72" alt="Перейти в начало сайта" title="Перейти в начало сайта"> <img class="il2" style="float: left;" src="/web/20191225094221im_/http://n-t.ru/dz/480-800-logo.gif" border="0" width="50" height="50" alt="Перейти в начало сайта" title="Перейти в начало сайта"> </a>  <div class="nv nm1">Электронная библиотека «Наука и техника»</div> <div class="nv nm2">n-t.ru: Наука и техника</div>  <div class="nv nv1"><a href="/web/20191225094221/http://n-t.ru/">Начало сайта</a> / <a href="/web/20191225094221/http://n-t.ru/tp/">Cтатьи</a> / <a href="/web/20191225094221/http://n-t.ru/tp/ns/">Наука сегодня</a></div> <div class="nv nv2"><a href="/web/20191225094221/http://n-t.ru/">Начало сайта</a> / <a href="/web/20191225094221/http://n-t.ru/tp/">Cтатьи</a> / <a href="/web/20191225094221/http://n-t.ru/tp/ns/">Наука сегодня</a></div> <div class="fp1"><div class="ya-site-form ya-site-form_inited_no" onclick="return {'action':'https://web.archive.org/web/20191225094221/http://n-t.ru/sy.htm','arrow':false,'bg':'transparent','fontsize':14,'fg':'#000000','language':'ru','logo':'rb','publicname':'Поиск по n-t.ru','suggest':false,'target':'_self','tld':'ru','type':3,'usebigdictionary':true,'searchid':149297,'webopt':false,'websearch':false,'input_fg':'#a1aab3','input_bg':'#ffffff','input_fontStyle':'normal','input_fontWeight':'normal','input_placeholder':'Поиск по n-t.ru:','input_placeholderColor':'#a1aab3','input_borderColor':'#B8D9B8'}"><form action="https://web.archive.org/web/20191225094221/http://yandex.ru/sitesearch" method="get" target="_self"><input type="hidden" name="searchid" value="149297"/><input type="hidden" name="l10n" value="ru"/><input type="hidden" name="reqenc" value=""/><input type="search" name="text" value=""/><input type="submit" value="Найти"/></form></div><style type="text/css">.ya-page_js_yes .ya-site-form_inited_no { display: none; }</style><script type="text/javascript">(function(w,d,c){var s=d.createElement('script'),h=d.getElementsByTagName('script')[0],e=d.documentElement;if((' '+e.className+' ').indexOf(' ya-page_js_yes ')===-1){e.className+=' ya-page_js_yes';}s.type='text/javascript';s.async=true;s.charset='utf-8';s.src=(d.location.protocol==='https:'?'https:':'http:')+'//web.archive.org/web/20191225094221/http://site.yandex.net/v2.0/js/all.js';h.parentNode.insertBefore(s,h);(w[c]||(w[c]=[])).push(function(){Ya.Site.Form.init()})})(window,document,'yandex_site_callbacks');</script></div> </div> <div class="pl plm"> <div class="pll"> <p class="rz"><a href="/web/20191225094221/http://n-t.ru/ns/" class="arz">Научные статьи</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20191225094221/http://n-t.ru/ns/fz/" class="arb">Физика звёзд</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20191225094221/http://n-t.ru/ns/fm/" class="arb">Физика микромира</a></p> <p class="rz"><a href="/web/20191225094221/http://n-t.ru/nj/" class="arz">Журналы</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20191225094221/http://n-t.ru/nj/pr/" class="arb">Природа</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20191225094221/http://n-t.ru/nj/nz/" class="arb">Наука и жизнь</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20191225094221/http://n-t.ru/nj/pl/" class="arb">Природа и люди</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20191225094221/http://n-t.ru/nj/tm/" class="arb">Техника – молодёжи</a></p> <p class="rz"><a href="/web/20191225094221/http://n-t.ru/nl/" class="arz">Нобелевские лауреаты</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20191225094221/http://n-t.ru/nl/fz/" class="arb">Премия по физике</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20191225094221/http://n-t.ru/nl/hm/" class="arb">Премия по химии</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20191225094221/http://n-t.ru/nl/lt/" class="arb">Премия по литературе</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20191225094221/http://n-t.ru/nl/mf/" class="arb">Премия по медицине</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20191225094221/http://n-t.ru/nl/ek/" class="arb">Премия по экономике</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20191225094221/http://n-t.ru/nl/mr/" class="arb">Премия мира</a></p> <p class="rz"><a href="/web/20191225094221/http://n-t.ru/ri/" class="arz">Книги</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20191225094221/http://n-t.ru/ri/ga/ba.htm" id="rb">Биологически активные</a> </p><p class="rb"><a href="/web/20191225094221/http://n-t.ru/ri/gn/kl.htm" id="rb">Как люди научились летать</a> </p><p class="rb"><a href="/web/20191225094221/http://n-t.ru/ri/fr/" id="rb">Генри Форд</a>. <a href="/web/20191225094221/http://n-t.ru/ri/fr/mz.htm" id="rb">Моя жизнь, мои достижения</a> </p><p class="rb"><a href="/web/20191225094221/http://n-t.ru/ri/sh/pn.htm" id="rb">Парадоксы науки</a> </p><p class="rb"><a href="/web/20191225094221/http://n-t.ru/ri/br/" id="rb">Луи де Бройль</a>. <a href="/web/20191225094221/http://n-t.ru/ri/br/rf.htm" id="rb">Революция в физике</a> </p><p class="rb"><a href="/web/20191225094221/http://n-t.ru/ri/kd/ri.htm" id="rb">Цепная реакция идей</a> </p> <p class="rz"><a href="/web/20191225094221/http://n-t.ru/ii/" class="arz">Издания НиТ</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20191225094221/http://n-t.ru/ii/ba/" class="arb">Батарейки и аккумуляторы</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20191225094221/http://n-t.ru/ii/os/" class="arb">Охранные системы</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20191225094221/http://n-t.ru/ii/ie/" class="arb">Источники энергии</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20191225094221/http://n-t.ru/ii/st/" class="arb">Свет и тепло</a></p> <p class="rz"><a href="/web/20191225094221/http://n-t.ru/tp/" class="arz">Научно-популярные статьи</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20191225094221/http://n-t.ru/tp/ns/" class="arb">Наука сегодня</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20191225094221/http://n-t.ru/tp/ng/" class="arb">Научные гипотезы</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20191225094221/http://n-t.ru/tp/to/" class="arb">Теория относительности</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20191225094221/http://n-t.ru/tp/in/" class="arb">История науки</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20191225094221/http://n-t.ru/tp/nr/" class="arb">Научные развлечения</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20191225094221/http://n-t.ru/tp/ts/" class="arb">Техника сегодня</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20191225094221/http://n-t.ru/tp/it/" class="arb">История техники</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20191225094221/http://n-t.ru/tp/iz/" class="arb">Измерения в технике</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20191225094221/http://n-t.ru/tp/ie/" class="arb">Источники энергии</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20191225094221/http://n-t.ru/tp/rn/" class="arb">Наука и религия</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20191225094221/http://n-t.ru/tp/mr/" class="arb">Мир, в котором мы живём</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20191225094221/http://n-t.ru/tp/lt/" class="arb">Лит. творчество ученых</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20191225094221/http://n-t.ru/tp/br/" class="arb">Человек и общество</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20191225094221/http://n-t.ru/tp/ob/" class="arb">Образование</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20191225094221/http://n-t.ru/tp/rz/" class="arb">Разное</a></p> </div> <div class="plp plpm"> <h1>Волновое уравнение не имеет единственного решения?!</h1> <p class="at">Виктор Кулигин, Галина Кулигина, Мария Корнева<br> <a href="/web/20191225094221/http://n-t.ru/ac/ap.htm#I01">Исследовательская группа «Анализ»</a></p> <h3>Теорема о нарушении единственности решения</h3> <p>Теорему о существовании и единственности решения задачи Коши можно найти в [1] (стр. 44...46). Логика доказательства приводит к однородному волновому уравнению (77) (см. стр. 45 в [1]), решение которого должно удовлетворять нулевым начальным и граничным условиям (стр. 45 в [1]). Далее идет доказательство, что решение этого уравнения тривиальное и на основании этого делается заключение о единственности решения задачи Коши для волнового уравнения.</p> <p>Оказывается, существует множество решений задачи Коши для волнового уравнения. Мы приведем доказательство для свободного пространства (одномерный случай). Это продиктовано следующими соображениями. Во-первых, доказательство не будет перегружено дополнительными деталями. Во вторых, доказательство этого случая не нарушает общности рассуждений и его нетрудно обобщить на случай наличия граничных условий. В третьих, нас интересуют процессы в свободном пространстве (излучение и распространение волн в электродинамике), к которым это доказательство имеет прямое отношение.</p> <h4>Доказательство</h4> <p>Рассмотрим однородное волновое уравнение в безграничном одномерном пространстве с нулевыми начальными условиями.</p> <table width="100%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="4" style="font-size: 106%; line-height: 120%; text-align: center; margin: 10px 0px;"><tr><td><img src="/web/20191225094221im_/http://n-t.ru/tp/ns/vu_e01.gif" width="135" height="47" alt="" border="0"></td><td width="7%" align="right">(1)</td></tr> </table> <p>Начальные условия: <i>v</i> = 0 и ∂<i>v</i>/∂<i>t</i> = 0 при <i>t</i> = 0.</p> <p>Представим теперь функцию <i>v</i> как сумму некоторых двух функций:</p> <table width="100%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="4" style="font-size: 106%; line-height: 120%; text-align: center; margin: 10px 0px;"><tr><td align="center"><i>v</i> = <i>u</i> + <i>f</i></td><td width="7%" align="right">(2)</td></tr> </table> <p>Подставим это выражение в (1) и перенесем члены, зависящие от <i>f </i>в правую часть уравнения (1).</p> <table width="100%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="4" style="font-size: 106%; line-height: 120%; text-align: center; margin: 10px 0px;"><tr><td><img src="/web/20191225094221im_/http://n-t.ru/tp/ns/vu_e02.gif" width="274" height="49" alt="" border="0"></td><td width="7%" align="right">(3)</td></tr> </table> <p>Мы можем выбрать и присвоить функции <i>f</i> определенное выражение. Пусть, например,</p> <p><i>f</i> = (cosπ<i>x</i>·sina<i>t</i>)<sup>4</sup>, когда –1 < <i>x</i> < 1 и 0 < <i>t</i> < π/a;</p> <p><i>f</i> = 0 если <i>x</i> < –1 или <i>x</i> > 1 и <i>t</i> > π/a или <i>t</i> < 0.</p> <p>Функция ограничена <i>f</i> в пространстве и во времени. В этом случае уравнение (3) превращается в неоднородное волновое уравнение, правая часть которого нам известна. Теперь мы можем сформулировать начальные условия для функции <i>u</i>.</p> <p>Начальные условия:</p> <table width="100%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="4" style="font-size: 106%; line-height: 120%; text-align: center; margin: 10px 0px;"><tr><td align="center"><i>u</i> = – <i>f</i>(<i>x</i>;0) и ∂<i>u</i>/∂<i>t</i> = – ∂<i>f</i> / ∂<i>t</i> при <i>t</i> = 0</td><td width="7%" align="right">(4)</td></tr> </table> <p>Решение уравнения (3) с начальными условиями (4) существует (см., например, [1], стр. 75, выражение (24)). Следовательно, мы имеем окончательный результат – новое, нетривиальное решение однородного волнового уравнения с нулевыми начальными условиями. Запишем общее ненулевое решение однородного волнового уравнения, удовлетворяющего задаче Коши с нулевыми начальными условиями:</p> <table width="100%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="4" style="font-size: 106%; line-height: 120%; text-align: center; margin: 10px 0px;"><tr><td align="center"><img src="/web/20191225094221im_/http://n-t.ru/tp/ns/vu_e04.gif" width="495" height="144" alt="" border="0">,</td><td width="7%" align="right">(5)</td></tr> </table> где <img src="/web/20191225094221im_/http://n-t.ru/tp/ns/vu_e05.gif" width="288" height="51" alt="" border="0" align="absmiddle">. <p>Функция <i>f</i> не должна быть решением волнового уравнения.</p> <p>Мы видим, что второе решение <i>существует</i> и <i>отлично от нуля</i> при <i>t</i> > 0. Таким образом, теорема о нарушении единственности решения задачи Коши для волнового уравнения <b>доказана</b>.</p> <h4>Применение результатов</h4> <p>Полученное доказательство служит обоснованию метода получения новых решений, описанного в [2], [3] и др. статьях авторов. Оно имеет прямую связь с калибровкой решений в электродинамике [2], [3].</p> <p>Пусть мы имеем неоднородное волновое уравнение</p> <p><img src="/web/20191225094221im_/http://n-t.ru/tp/ns/vu_e03.gif" width="182" height="49" alt="" border="0"></p> <p>с соответствующими начальными условиями: <i>v</i> = φ(<i>x</i>) и ∂<i>v</i>/∂<i>t</i> = ψ(<i>x</i>) при <i>t</i> = 0.</p> <p>Представим решение этого уравнения в форме (2): <i>v</i> = <i>u</i> + <i>f</i>.</p> <p>Оставим в левой части волнового уравнения только члены, зависящие от <i>u</i>. Как и в предыдущем случае мы могли бы задать явный вид функции <i>f </i>(как говорят: «взяв ее с потолка») и получить решение неоднородного уравнения. Но можно поступить иначе. Мы можем наложить на <i>f</i> некоторое условие. Например, мы можем потребовать, чтобы функция <i>f</i> удовлетворяла уравнению Пуассона:</p> <p>∂<sup>2</sup><i>f</i> / ∂<i>x<sup>2</sup></i> = <i>F</i>(<i>x;t</i>).</p> <p>Если решение этого уравнения существует (функция <i>F</i>(<i>x:t</i>) интегрируема), то уравнение для функции <i>u</i> определено и определены начальные условия задачи Коши: <i>u</i> = φ(<i>x</i>) –<i>f</i>(<i>x</i>;0) и ∂<i>u</i>/∂<i>t</i> = ψ(<i>x</i>) – ∂<i>f</i>/∂<i>t</i> при <i>t</i> = 0.</p> <p>Такой метод построения второго решения по существу является <i>калибровкой решения.</i> Иными словами, мы ищем решение как сумму выражений, имеющих различную <i>функциональную</i> зависимость от координат и времени (запаздывающие потенциалы, мгновеннодействующие потенциалы, потенциалы, удовлетворяющие уравнению теплопроводности и т.д.) Этот метод описан и используется в работах [2], [3].</p> <p>Следствия, вытекающие из отсутствия единственности решения для электродинамики весьма существенны. Калибровочная (градиентная) инвариантность не имеет места. В общем случае калибровка Лоренца уравнений Максвелла дает решения, отличающиеся от решений в кулоновской калибровке [2], [3]. Однако существует важный частный случай, когда эти калибровки эквивалентны. Он рассмотрен в [4].</p> <p>Остается добавить, что для уравнений параболического типа (уравнение теплопроводности, уравнение Шредингера и др.) можно доказать аналогичную теорему. Более того, возможно, что нарушение единственности решения имеет место также для уравнений эллиптического типа (например, для задач Дирихле, Неймана и др.).</p> <p> </p> <p class="data">Источники информации:</p> <ol class="sm"> <li>Тихонов А.А. и Самарский Н.Н. Уравнения математической физики. – М.: ГИФМЛ, 1954.</li> <li>Кулигин В.А., Кулигина Г.А., Корнева М.В. Калибровки и поля в электродинамике. / Воронеж. Ун-т. – Воронеж, 1998. Деп. в ВИНИТИ 17.02.98, № 467 – В98.</li> <li>Kuligin V.A., Kuligina G.A., Korneva M.V. Analysis of the Lorentz's gauge. Canada, Montreal, 2000. – Apeiron, vol. 7, no 1...2.</li> <li>Кулигин В.А., Кулигина Г.А. Корнева М.В. Однопроводные линии. / Воронеж. Ун-т. – Воронеж, 2002. Деп. в ВИНИТИ 10.06.2002, №1062 – В 2002.</li> </ol> <p class="data">См. также:</p> <ol class="sm"> <li>Кулигин В.А., Кулигина Г.А., Корнева М.В. <a href="/web/20191225094221/http://n-t.ru/tp/ns/krt.htm">Кризис релятивистских теорий</a>, часть 2 (<a href="/web/20191225094221/http://n-t.ru/tp/ns/krt2.pdf">Анализ основ электродинамики</a>). <a href="https://web.archive.org/web/20191225094221/http://n-t.ru/">НиТ</a>, 2001.</li> <li>Кулигин В.А., Кулигина Г.А., Корнева М.В. Безынерциальные заряды и токи, часть 1 (<a href="/web/20191225094221/http://n-t.ru/tp/ns/bzt1.htm">Гипотеза об эквивалентности двух калибровок</a>). <a href="https://web.archive.org/web/20191225094221/http://n-t.ru/">НиТ</a>, 2002.</li> </ol>  <div class="dk"> <div class="dp"> <p class="data nb">Дата публикации:</p> <p class="sm nb">22 августа 2002 года</p> </div> <div class="ev"> <p class="data">Электронная версия:</p> <p class="sm nb">© <a href="/web/20191225094221/http://n-t.ru/">НиТ</a>. <a href="/web/20191225094221/http://n-t.ru/tp/">Cтатьи</a>, 1997</p> </div> </div> </div>  </div>  <div class="nk nkm"> <div class="fp2"><div class="ya-site-form ya-site-form_inited_no" onclick="return {'action':'https://web.archive.org/web/20191225094221/http://n-t.ru/sy.htm','arrow':false,'bg':'transparent','fontsize':14,'fg':'#000000','language':'ru','logo':'rb','publicname':'Поиск по n-t.ru','suggest':false,'target':'_self','tld':'ru','type':3,'usebigdictionary':true,'searchid':149297,'webopt':false,'websearch':false,'input_fg':'#a1aab3','input_bg':'#ffffff','input_fontStyle':'normal','input_fontWeight':'normal','input_placeholder':'Поиск по n-t.ru:','input_placeholderColor':'#a1aab3','input_borderColor':'#B8D9B8'}"><form action="https://web.archive.org/web/20191225094221/http://yandex.ru/sitesearch" method="get" target="_self"><input type="hidden" name="searchid" value="149297"/><input type="hidden" name="l10n" value="ru"/><input type="hidden" name="reqenc" value=""/><input type="search" name="text" value=""/><input type="submit" value="Найти"/></form></div><style type="text/css">.ya-page_js_yes .ya-site-form_inited_no { display: none; }</style><script type="text/javascript">(function(w,d,c){var s=d.createElement('script'),h=d.getElementsByTagName('script')[0],e=d.documentElement;if((' '+e.className+' ').indexOf(' ya-page_js_yes ')===-1){e.className+=' ya-page_js_yes';}s.type='text/javascript';s.async=true;s.charset='utf-8';s.src=(d.location.protocol==='https:'?'https:':'http:')+'//web.archive.org/web/20191225094221/http://site.yandex.net/v2.0/js/all.js';h.parentNode.insertBefore(s,h);(w[c]||(w[c]=[])).push(function(){Ya.Site.Form.init()})})(window,document,'yandex_site_callbacks');</script></div> <div style="padding: 4px 0 6px 0; background: #f0faff;"><div class="fp2"><a href="/web/20191225094221/http://n-t.ru/">В начало сайта</a> | <a href="/web/20191225094221/http://n-t.ru/ri/">Книги</a> | <a href="/web/20191225094221/http://n-t.ru/tp/">Статьи</a> | <a href="/web/20191225094221/http://n-t.ru/nj/">Журналы</a> | <a href="/web/20191225094221/http://n-t.ru/nl/">Нобелевские лауреаты</a> | <a href="/web/20191225094221/http://n-t.ru/ii/">Издания НиТ</a> <br> <a href="/web/20191225094221/http://n-t.ru/ks.htm#n-t">Карта сайта</a> | <a href="/web/20191225094221/http://n-t.ru/sp/">Cовместные проекты</a> | <a href="https://web.archive.org/web/20191225094221/http://smbr.n-t.ru/">Журнал «Сумбур»</a> | <a href="https://web.archive.org/web/20191225094221/http://o-val.ru/">Игумен Валериан</a> </div></div> <div style="padding: 4px 0 6px 0; background: #fffceb; border-top: 1px solid #99D8FF;"><div class="fp2">© <a href="https://web.archive.org/web/20191225094221/http://n-t.ru/">МОО «Наука и техника»</a>, 1997...2019</div></div> <div style="padding: 4px 0 6px 0; background: #f0faff; border-top: 1px solid #99D8FF;"><div class="fp2"><a href="/web/20191225094221/http://n-t.ru/md.htm">Об организации</a> • <a href="/web/20191225094221/http://n-t.ru/ad.htm">Аудитория</a> • <a href="/web/20191225094221/http://n-t.ru/ki.htm">Связаться с нами</a> • <a href="/web/20191225094221/http://n-t.ru/rr.htm">Разместить рекламу</a> • <a href="/web/20191225094221/http://n-t.ru/pi.htm">Правовая информация</a> </div></div> </div> </body></html>