CINXE.COM

<!DOCTYPE html> <html class="client-nojs vector-feature-language-in-header-enabled vector-feature-language-in-main-page-header-disabled vector-feature-sticky-header-disabled vector-feature-page-tools-pinned-disabled vector-feature-toc-pinned-clientpref-1 vector-feature-main-menu-pinned-disabled vector-feature-limited-width-clientpref-1 vector-feature-limited-width-content-disabled vector-feature-custom-font-size-clientpref-1 vector-feature-appearance-pinned-clientpref-1 vector-feature-night-mode-enabled skin-theme-clientpref-day vector-toc-not-available" lang="oc" dir="ltr"> <head> <meta charset="UTF-8"> <title>Veire la font de Pi — Wikipèdia</title> <script>(function(){var className="client-js vector-feature-language-in-header-enabled vector-feature-language-in-main-page-header-disabled vector-feature-sticky-header-disabled vector-feature-page-tools-pinned-disabled vector-feature-toc-pinned-clientpref-1 vector-feature-main-menu-pinned-disabled vector-feature-limited-width-clientpref-1 vector-feature-limited-width-content-disabled vector-feature-custom-font-size-clientpref-1 vector-feature-appearance-pinned-clientpref-1 vector-feature-night-mode-enabled skin-theme-clientpref-day vector-toc-not-available";var cookie=document.cookie.match(/(?:^|; )ocwikimwclientpreferences=([^;]+)/);if(cookie){cookie[1].split('%2C').forEach(function(pref){className=className.replace(new RegExp('(^| )'+pref.replace(/-clientpref-\w+$|[^\w-]+/g,'')+'-clientpref-\\w+( |$)'),'$1'+pref+'$2');});}document.documentElement.className=className;}());RLCONF={"wgBreakFrames":true,"wgSeparatorTransformTable":[",\t."," \t,"],"wgDigitTransformTable":["",""], "wgDefaultDateFormat":"oc normal","wgMonthNames":["","genièr","febrièr","març","abril","mai","junh","julhet","agost","setembre","octobre","novembre","decembre"],"wgRequestId":"50267277-0ca2-4f29-ae34-341ddd855438","wgCanonicalNamespace":"","wgCanonicalSpecialPageName":false,"wgNamespaceNumber":0,"wgPageName":"Pi","wgTitle":"Pi","wgCurRevisionId":2438332,"wgRevisionId":0,"wgArticleId":65266,"wgIsArticle":false,"wgIsRedirect":false,"wgAction":"edit","wgUserName":null,"wgUserGroups":["*"],"wgCategories":[],"wgPageViewLanguage":"oc","wgPageContentLanguage":"oc","wgPageContentModel":"wikitext","wgRelevantPageName":"Pi","wgRelevantArticleId":65266,"wgIsProbablyEditable":true,"wgRelevantPageIsProbablyEditable":true,"wgRestrictionEdit":[],"wgRestrictionMove":[],"wgNoticeProject":"wikipedia","wgCiteReferencePreviewsActive":true,"wgMediaViewerOnClick":true,"wgMediaViewerEnabledByDefault":true,"wgPopupsFlags":0,"wgVisualEditor":{"pageLanguageCode":"oc","pageLanguageDir":"ltr", "pageVariantFallbacks":"oc"},"wgMFDisplayWikibaseDescriptions":{"search":true,"watchlist":true,"tagline":true,"nearby":true},"wgWMESchemaEditAttemptStepOversample":false,"wgWMEPageLength":40000,"wgRelatedArticlesCompat":[],"wgCentralAuthMobileDomain":false,"wgEditSubmitButtonLabelPublish":true,"wgULSPosition":"interlanguage","wgULSisCompactLinksEnabled":false,"wgVector2022LanguageInHeader":true,"wgULSisLanguageSelectorEmpty":false,"wgCheckUserClientHintsHeadersJsApi":["brands","architecture","bitness","fullVersionList","mobile","model","platform","platformVersion"],"GEHomepageSuggestedEditsEnableTopics":true,"wgGETopicsMatchModeEnabled":false,"wgGEStructuredTaskRejectionReasonTextInputEnabled":false,"wgGELevelingUpEnabledForUser":false};RLSTATE={"ext.globalCssJs.user.styles":"ready","site.styles":"ready","user.styles":"ready","ext.globalCssJs.user":"ready","user":"ready","user.options":"loading","skins.vector.search.codex.styles":"ready","skins.vector.styles":"ready", "skins.vector.icons":"ready","ext.charinsert.styles":"ready","ext.wikimediamessages.styles":"ready","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript":"ready","ext.uls.interlanguage":"ready","ext.wikimediaBadges":"ready"};RLPAGEMODULES=["mediawiki.action.edit.collapsibleFooter","site","mediawiki.page.ready","skins.vector.js","ext.centralNotice.geoIP","ext.charinsert","ext.gadget.ArchiveLinks","ext.urlShortener.toolbar","ext.centralauth.centralautologin","ext.popups","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.init","ext.visualEditor.targetLoader","ext.echo.centralauth","ext.eventLogging","ext.wikimediaEvents","ext.navigationTiming","ext.uls.interface","ext.cx.eventlogging.campaigns","ext.checkUser.clientHints","ext.growthExperiments.SuggestedEditSession","wikibase.sidebar.tracking"];</script> <script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.loader.impl(function(){return["user.options@12s5i",function($,jQuery,require,module){mw.user.tokens.set({"patrolToken":"+\\","watchToken":"+\\","csrfToken":"+\\"}); }];});});</script> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=oc&modules=ext.charinsert.styles%7Cext.uls.interlanguage%7Cext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript%7Cext.wikimediaBadges%7Cext.wikimediamessages.styles%7Cskins.vector.icons%2Cstyles%7Cskins.vector.search.codex.styles&only=styles&skin=vector-2022"> <script async="" src="/w/load.php?lang=oc&modules=startup&only=scripts&raw=1&skin=vector-2022"></script> <meta name="ResourceLoaderDynamicStyles" content=""> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=oc&modules=site.styles&only=styles&skin=vector-2022"> <meta name="generator" content="MediaWiki 1.44.0-wmf.4"> <meta name="referrer" content="origin"> <meta name="referrer" content="origin-when-cross-origin"> <meta name="robots" content="noindex,nofollow,max-image-preview:standard"> <meta name="format-detection" content="telephone=no"> <meta name="viewport" content="width=1120"> <meta property="og:title" content="Veire la font de Pi — Wikipèdia"> <meta property="og:type" content="website"> <link rel="alternate" media="only screen and (max-width: 640px)" href="//oc.m.wikipedia.org/wiki/Pi"> <link rel="alternate" type="application/x-wiki" title="Modificar" href="/w/index.php?title=Pi&action=edit"> <link rel="apple-touch-icon" href="/static/apple-touch/wikipedia.png"> <link rel="icon" href="/static/favicon/wikipedia.ico"> <link rel="search" type="application/opensearchdescription+xml" href="/w/rest.php/v1/search" title="Wikipèdia (oc)"> <link rel="EditURI" type="application/rsd+xml" href="//oc.wikipedia.org/w/api.php?action=rsd"> <link rel="canonical" href="https://oc.wikipedia.org/wiki/Pi"> <link rel="license" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.oc"> <link rel="alternate" type="application/atom+xml" title="Flux Atom de Wikipèdia" href="/w/index.php?title=Especial:Darri%C3%A8rs_cambiaments&feed=atom"> <link rel="dns-prefetch" href="//login.wikimedia.org"> </head> <body class="skin--responsive skin-vector skin-vector-search-vue mediawiki ltr sitedir-ltr mw-hide-empty-elt ns-0 ns-subject mw-editable page-Pi rootpage-Pi skin-vector-2022 action-edit"><a class="mw-jump-link" href="#bodyContent">Vejatz lo contengut</a> <div class="vector-header-container"> <header class="vector-header mw-header"> <div class="vector-header-start"> <nav class="vector-main-menu-landmark" aria-label="Lloc"> <div id="vector-main-menu-dropdown" class="vector-dropdown vector-main-menu-dropdown vector-button-flush-left vector-button-flush-right" > <input type="checkbox" id="vector-main-menu-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-main-menu-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Menut principal/Menut principau" > <label id="vector-main-menu-dropdown-label" for="vector-main-menu-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-menu mw-ui-icon-wikimedia-menu"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Menut principal/Menut principau</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-main-menu-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> <div id="vector-main-menu" class="vector-main-menu vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-main-menu-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="main-menu-pinned" data-pinnable-element-id="vector-main-menu" data-pinned-container-id="vector-main-menu-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-main-menu-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Menut principal/Menut principau</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-main-menu.pin">mòu a la barra laterala</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-main-menu.unpin">Escondre</button> </div> <div id="p-Navigacion" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-Navigacion" > <div class="vector-menu-heading"> Navigacion </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-Acuèlh" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Acu%C3%A8lh"><span>Acuèlh</span></a></li><li id="n-La-tavèrna" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikip%C3%A8dia:La_tav%C3%A8rna"><span>La tavèrna</span></a></li><li id="n-thema" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Portal:Acu%C3%A8lh"><span>Portals tematics</span></a></li><li id="n-alphindex" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Especial:Totas_las_paginas"><span>Indèx alfabetic</span></a></li><li id="n-randompage" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Especial:Pagina_a_l%27azard" title="Afichar una pagina a l'azard [x]" accesskey="x"><span>Una pagina a l'azard</span></a></li><li id="n-contact" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Contact-url"><span>contact</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-Contribuir" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-Contribuir" > <div class="vector-menu-heading"> Contribuir </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-help" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Ajuda:Somari" title="L'endrech per s'assabentar."><span>Ajuda</span></a></li><li id="n-portal" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikip%C3%A8dia:Acu%C3%A8lh" title="A prepaus del projècte, çò que podètz far, ont trobar d'informacions"><span>Comunautat</span></a></li><li id="n-recentchanges" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Especial:Darri%C3%A8rs_cambiaments" title="Lista dels darrièrs cambiaments sul wiki [r]" accesskey="r"><span>Darrièrs cambiaments</span></a></li><li id="n-aboutwp" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikip%C3%A8dia:Acu%C3%A8lh_dels_nov%C3%A8ls_venguts"><span>Acuèlh dels novèls venguts</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> <a href="/wiki/Acu%C3%A8lh" class="mw-logo"> <img class="mw-logo-icon" src="/static/images/icons/wikipedia.png" alt="" aria-hidden="true" height="50" width="50"> <span class="mw-logo-container skin-invert"> <img class="mw-logo-wordmark" alt="Wikipèdia" src="/static/images/mobile/copyright/wikipedia-wordmark-oc.svg" style="width: 7.5em; height: 1.1875em;"> <img class="mw-logo-tagline" alt="l'enciclopèdia liura" src="/static/images/mobile/copyright/wikipedia-tagline-oc.svg" width="120" height="14" style="width: 7.5em; height: 0.875em;"> </span> </a> </div> <div class="vector-header-end"> <div id="p-search" role="search" class="vector-search-box-vue vector-search-box-collapses vector-search-box-show-thumbnail vector-search-box-auto-expand-width vector-search-box"> <a href="/wiki/Especial:Rec%C3%A8rca" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only search-toggle" title="Cercar dins Wikipèdia [C]" accesskey="C"><span class="vector-icon mw-ui-icon-search mw-ui-icon-wikimedia-search"></span> <span>Recercar</span> </a> <div class="vector-typeahead-search-container"> <div class="cdx-typeahead-search cdx-typeahead-search--show-thumbnail cdx-typeahead-search--auto-expand-width"> <form action="/w/index.php" id="searchform" class="cdx-search-input cdx-search-input--has-end-button"> <div id="simpleSearch" class="cdx-search-input__input-wrapper" data-search-loc="header-moved"> <div class="cdx-text-input cdx-text-input--has-start-icon"> <input class="cdx-text-input__input" type="search" name="search" placeholder="Recercar sus Wikipèdia" aria-label="Recercar sus Wikipèdia" autocapitalize="sentences" title="Cercar dins Wikipèdia [C]" accesskey="C" id="searchInput" > <span class="cdx-text-input__icon cdx-text-input__start-icon"></span> </div> <input type="hidden" name="title" value="Especial:Recèrca"> </div> <button class="cdx-button cdx-search-input__end-button">Recercar</button> </form> </div> </div> </div> <nav class="vector-user-links vector-user-links-wide" aria-label="Aisinas personalas"> <div class="vector-user-links-main"> <div id="p-vector-user-menu-preferences" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <div id="p-vector-user-menu-userpage" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Aparença"> <div id="vector-appearance-dropdown" class="vector-dropdown " title="Modifier l'apparence de la taille, de la largeur et de la couleur de la police de la page" > <input type="checkbox" id="vector-appearance-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-appearance-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Aparença" > <label id="vector-appearance-dropdown-label" for="vector-appearance-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-appearance mw-ui-icon-wikimedia-appearance"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Aparença</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-appearance-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <div id="p-vector-user-menu-notifications" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <div id="p-vector-user-menu-overflow" class="vector-menu mw-portlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-sitesupport-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="//donate.wikimedia.org/wiki/Special:FundraiserRedirector?utm_source=donate&utm_medium=sidebar&utm_campaign=C13_oc.wikipedia.org&uselang=oc" class=""><span>Far un don</span></a> </li> <li id="pt-createaccount-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="/w/index.php?title=Especial:Crear_un_compte&returnto=Pi&returntoquery=action%3Dedit" title="Vos es conselhat de crear un compte e de vos connectar ; pasmens, es pas obligatòri" class=""><span>Crear un compte</span></a> </li> <li id="pt-login-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="/w/index.php?title=Especial:Nom_d%27utilizaire&returnto=Pi&returntoquery=action%3Dedit" title="Sètz convidat(ada) a vos identificar, mas es pas obligatòri. [o]" accesskey="o" class=""><span>Se connectar</span></a> </li> </ul> </div> </div> </div> <div id="vector-user-links-dropdown" class="vector-dropdown vector-user-menu vector-button-flush-right vector-user-menu-logged-out" title="Més opcions" > <input type="checkbox" id="vector-user-links-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-user-links-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Aisinas personalas" > <label id="vector-user-links-dropdown-label" for="vector-user-links-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-ellipsis mw-ui-icon-wikimedia-ellipsis"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Aisinas personalas</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-personal" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-personal user-links-collapsible-item" title="Menú d'usuari" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-sitesupport" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="//donate.wikimedia.org/wiki/Special:FundraiserRedirector?utm_source=donate&utm_medium=sidebar&utm_campaign=C13_oc.wikipedia.org&uselang=oc"><span>Far un don</span></a></li><li id="pt-createaccount" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Especial:Crear_un_compte&returnto=Pi&returntoquery=action%3Dedit" title="Vos es conselhat de crear un compte e de vos connectar ; pasmens, es pas obligatòri"><span class="vector-icon mw-ui-icon-userAdd mw-ui-icon-wikimedia-userAdd"></span> <span>Crear un compte</span></a></li><li id="pt-login" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Especial:Nom_d%27utilizaire&returnto=Pi&returntoquery=action%3Dedit" title="Sètz convidat(ada) a vos identificar, mas es pas obligatòri. [o]" accesskey="o"><span class="vector-icon mw-ui-icon-logIn mw-ui-icon-wikimedia-logIn"></span> <span>Se connectar</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-user-menu-anon-editor" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-user-menu-anon-editor" > <div class="vector-menu-heading"> Pàgines per a editors no registrats <a href="/wiki/Ajuda:Introducci%C3%B3" aria-label="Vegeu més informació sobre l'edició"><span>més informació</span></a> </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-anoncontribs" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Especial:Mas_contribucions" title="Una llista de les modificacions fetes des d'aquesta adreça IP [y]" accesskey="y"><span>Contribucions</span></a></li><li id="pt-anontalk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Especial:Mas_discussions" title="La pagina de discussion per aquesta adreça IP [n]" accesskey="n"><span>Discussion</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </header> </div> <div class="mw-page-container"> <div class="mw-page-container-inner"> <div class="vector-sitenotice-container"> <div id="siteNotice"></div> </div> <div class="vector-column-start"> <div class="vector-main-menu-container"> <div id="mw-navigation"> <nav id="mw-panel" class="vector-main-menu-landmark" aria-label="Lloc"> <div id="vector-main-menu-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> </div> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Veire la font de Pi</h1> <div id="p-lang-btn" class="vector-dropdown mw-portlet mw-portlet-lang" > <input type="checkbox" id="p-lang-btn-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-lang-btn" class="vector-dropdown-checkbox mw-interlanguage-selector" aria-label="Aquest article només existeix en aquesta llengua. Afegiu l'article per a altres llengües" > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-0" aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-language-progressive mw-ui-icon-wikimedia-language-progressive"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Apondre una lenga</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><span class="uls-after-portlet-link"></span></div> </div> </div> </div> </header> <div class="vector-page-toolbar"> <div class="vector-page-toolbar-container"> <div id="left-navigation"> <nav aria-label="Espacis de noms"> <div id="p-associated-pages" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-associated-pages" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Pi" title="Veire l’article [c]" accesskey="c"><span>Article</span></a></li><li id="ca-talk" class="new vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Discutir:Pi&action=edit&redlink=1" rel="discussion" class="new" title="Discussion a prepaus d'aquesta pagina (la pagina existís pas) [t]" accesskey="t"><span>Discussion</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown emptyPortlet" > <input type="checkbox" id="vector-variants-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Canvia la variant de llengua" > <label id="vector-variants-dropdown-label" for="vector-variants-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" ><span class="vector-dropdown-label-text">occitan</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-variants" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-variants emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> <div id="right-navigation" class="vector-collapsible"> <nav aria-label="Afichatges"> <div id="p-views" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-views" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-view" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Pi"><span>Legir</span></a></li><li id="ca-ve-edit" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Pi&veaction=edit" title="Modificar aquela pagina [v]" accesskey="v"><span>Modificar</span></a></li><li id="ca-edit" class="selected collapsible vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Pi&action=edit" title="Modificar lo còdi font d'aquela pagina"><span>Modificar lo còdi</span></a></li><li id="ca-history" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Pi&action=history" title="Los autors e versions precedentas d'aquesta pagina. [h]" accesskey="h"><span>Veire l'istoric</span></a></li> </ul> </div> </div> </nav> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Eines de la pàgina"> <div id="vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown vector-page-tools-dropdown" > <input type="checkbox" id="vector-page-tools-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Bóstia d'aisinas" > <label id="vector-page-tools-dropdown-label" for="vector-page-tools-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" ><span class="vector-dropdown-label-text">Bóstia d'aisinas</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-tools-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> <div id="vector-page-tools" class="vector-page-tools vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-page-tools-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="page-tools-pinned" data-pinnable-element-id="vector-page-tools" data-pinned-container-id="vector-page-tools-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-page-tools-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Aisinas</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.pin">mòu a la barra laterala</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.unpin">Escondre</button> </div> <div id="p-cactions" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-cactions emptyPortlet vector-has-collapsible-items" title="Mai d'opcions" > <div class="vector-menu-heading"> Accions </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-more-view" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/wiki/Pi"><span>Legir</span></a></li><li id="ca-more-ve-edit" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Pi&veaction=edit" title="Modificar aquela pagina [v]" accesskey="v"><span>Modificar</span></a></li><li id="ca-more-edit" class="selected collapsible vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Pi&action=edit" title="Modificar lo còdi font d'aquela pagina [e]" accesskey="e"><span>Modificar lo còdi</span></a></li><li id="ca-more-history" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Pi&action=history"><span>Veire l'istoric</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-tb" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-tb" > <div class="vector-menu-heading"> Generau </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-whatlinkshere" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Especial:Paginas_ligadas/Pi" title="Lista de las paginas ligadas a aquesta. [j]" accesskey="j"><span>Paginas connèxas</span></a></li><li id="t-recentchangeslinked" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Especial:Seguit_dels_ligams/Pi" rel="nofollow" title="Lista dels darrièrs cambiaments de las paginas ligadas a aquesta [k]" accesskey="k"><span>Seguit dels ligams</span></a></li><li id="t-upload" class="mw-list-item"><a href="//commons.wikimedia.org/wiki/Special:UploadWizard?uselang=oc" title="Mandar un imatge o fichièr mèdia sul servidor [u]" accesskey="u"><span>Importar un fichièr</span></a></li><li id="t-specialpages" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Especial:Paginas_especialas" title="Lista de totas las paginas especialas [q]" accesskey="q"><span>Paginas especialas</span></a></li><li id="t-info" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Pi&action=info" title="Mai d’informacion sus aquesta pagina"><span>Informacion sus la pagina</span></a></li><li id="t-urlshortener" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Especial:UrlShortener&url=https%3A%2F%2Foc.wikipedia.org%2Fw%2Findex.php%3Ftitle%3DPi%26action%3Dedit"><span>Obténer una URL acorchida</span></a></li><li id="t-urlshortener-qrcode" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Especial:QrCode&url=https%3A%2F%2Foc.wikipedia.org%2Fw%2Findex.php%3Ftitle%3DPi%26action%3Dedit"><span>Telecargar lo còdi QR</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-wikibase-otherprojects" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-wikibase-otherprojects" > <div class="vector-menu-heading"> Dins d'autres projèctes </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-wikibase" class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikibase-dataitem mw-list-item"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q167" title="Ligam cap a l’element de referencial de las donadas connectadas [g]" accesskey="g"><span>Element Wikidata</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> </div> <div class="vector-column-end"> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Eines de la pàgina"> <div id="vector-page-tools-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Aparença"> <div id="vector-appearance-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-appearance" class="vector-appearance vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-appearance-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="appearance-pinned" data-pinnable-element-id="vector-appearance" data-pinned-container-id="vector-appearance-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-appearance-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Aparença</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.pin">mòu a la barra laterala</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.unpin">Escondre</button> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> <div id="bodyContent" class="vector-body" aria-labelledby="firstHeading" data-mw-ve-target-container> <div class="vector-body-before-content"> <div class="mw-indicators"> </div> </div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle">← <a href="/wiki/Pi" title="Pi">Pi</a></div></div> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><p>Sètz pas autorizat(ada) a modificar aquesta pagina, per la rason seguenta : </p> <div class="permissions-errors"><div class="mw-permissionerror-globalblocking-blockedtext-range"><b>Votre adresse IP fait partie d’une plage qui a été <a href="https://meta.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Global_blocks" class="extiw" title="m:Special:MyLanguage/Global blocks">bloquée sur tous les wikis de la Fondation Wikimédia</a>.</b> <p>Le blocage a été effectué par <a href="/wiki/Utilizaire:Jon_Kolbert" title="Utilizaire:Jon Kolbert">‪Jon Kolbert‬</a>. Le motif invoqué est <i><a href="https://meta.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/NOP" class="extiw" title="m:Special:MyLanguage/NOP">Open proxy/Webhost</a>: See the <a href="https://meta.wikimedia.org/wiki/WM:OP/H" class="extiw" title="m:WM:OP/H">help page</a> if you are affected </i>. </p> <ul><li>Début du blocage : 27 agost de 2023 a 15.12</li> <li>Expiration du blocage : 27 agost de 2028 a 15.12</li></ul> <p>Votre adresse IP actuelle est 8.222.208.146. La plage bloquée est 8.222.128.0/17. </p><p>Incloeu els detalls de dalt en totes les consultes que feu. Si penseu que heu estat blocat per error, trobareu més informació i instruccions al reglament global <a href="https://meta.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/No_open_proxies" class="extiw" title="m:Special:MyLanguage/No open proxies">No proxys oberts</a>. </p> Altrament, per a discutir sobre el blocatge, <a href="https://meta.wikimedia.org/wiki/Steward_requests/Global" class="extiw" title="m:Steward requests/Global">publiqueu una sol·licitud de revisió a Meta-Wiki</a>. Vous pouvez également envoyer un courriel à la file des <a href="https://meta.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Stewards" class="extiw" title="m:Special:MyLanguage/Stewards">coordinateurs</a> <a href="https://meta.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/VRT" class="extiw" title="m:Special:MyLanguage/VRT">VRT</a> à <kbd>stewards@wikimedia.org</kbd>, en incluant tous les détails ci-dessus.</div></div><hr /> <p>Podètz veire e copiar lo contengut d'aquesta pagina. </p><textarea readonly="" accesskey="," id="wpTextbox1" cols="80" rows="25" style="" class="mw-editfont-monospace" lang="oc" dir="ltr" name="wpTextbox1">{{Infobox |tematica= |carta= }}   {{1000 fondamentals}} [[Fichièr:Pi-unrolled-720.gif|upright=1.4|thumb|Se lo diamètre dau cercle vau 1, sa circonferéncia vau π.]] Lo [[nombre]] '''pi''', notat amb la [[alfabet grèc|letra grèga]] dau meteis nom '''[[Pi (letra grèga)|π]]''', es una [[constanta matematica]] que sa valor es lo repòrt entre la [[circonferéncia]] d’un [[cercle]] quin que siá e son [[diamètre]], en [[geometria euclidiana]]; es tanben la valor dau repòrt entre la [[Aira|superfícia]] d'un cercle e lo [[Carrat (algèbra)|carrat]] de son [[Rai (geometria)|rai]]. Sonat tanben {{cita|constanta d'Arquimèdes}}, lo nombre π a per valor aproximada, en [[Desvolopament decimau|escritura decimala]], {{formatnum:3.141593}}. De formulas scientificas nombrosas, dins de domenis coma la [[fisica]], l'[[engenhariá]] e de segur lei [[matematicas]], fan intervenir π, qu'es una dei constantas matematicas mai importantas<ref>{{obratge | lenga = en | nom1 = Howard Whitley Eves | títol = An Introduction to the History of Mathematics | editor = Holt, Rinehart & Winston | annada = 1969 | legir en linha = http://books.google.com/books?id=LIsuAAAAIAAJ&q=%22important+numbers+in+mathematics%22&dq=%22important+numbers+in+mathematics%22&pgis=1 }}</ref>. Aqueu nombre es [[nombre irracionau|irracionau]]: autrament dich, se pòt pas exprimir coma lo quocient de dos [[nombre entier|nombres entiers]]; aiçò implica que son escritura decimala es ni finida, ni periodica. Es tanben [[nombre transcendent|transcendent]], çò que vòu dire qu’existís pas de [[polinòmi]] non nul de coeficients entiers que π ne siá una [[Zèro d'una foncion|raiç]]; se deu a [[Ferdinand von Lindemann]] la demostracion d'aqueu resultat en 1882. La determinacion de valors aproximadas pron precisas de π e la comprension de sa natura son de questions qu'an traversat l'[[istòria dei matematicas]]. La letra π que nòta aqueu nombre es simplament l'iniciala dau mot [[grèc (lenga)|grèc]] περίμετρος, {{cita|perimètre}}. Foguèt utilizada premier per William Jones en 1707 puei popularizada per [[Leonhard Euler]] en 1737<ref name="collier">{{obratge | lenga =en | prenom1 = Milton | nom1 = Comanor | títol = Pi (Collier's Encyclopedia) | editor = Macmillan Educational Corporation | luòc =New York | annada =1976 | volum =19 | passatge =21-22 }}</ref>. == Definicions e premierei proprietats == {{veire|Istòria de Pi}} === Definicions === [[Fichièr:Catalan-Pi_deffinition.PNG|thumb|right|Circonferéncia = π × diamètre]] En [[geometria euclidiana]], π se definís coma lo repòrt entre la [[circonferéncia]] ''C'' d'un [[cercle]] e son [[diamètre]] ''d''<ref name="adm">{{en}} {{Liame web | url = http://mathforum.org/dr.math/faq/faq.pi.html | títol = About Pi | editor = Ask Dr. Math FAQ | consultat lo = 29 d'octobre de 2007 }}</ref>: :<math> \pi = \frac{C}{d}. </math> Lo repòrt <sup>''C''</sup>/<sub>''d''</sub> es constant; autrament dich, depend pas de la talha dau cercle. Per exemple, se de dos cercles, lo diamètre dau premier es doble d'aqueu dau segond, la circonferéncia dau premier es tanben dobla d'aquela dau segond: lo repòrt <sup>''C''</sup>/<sub>''d''</sub> càmbia pas. Se pòt tanben definir π coma lo repòrt entre la [[aira|superfícia]] ''A'' d'un cercle e la superfícia d'un carrat qu'a per costat lo [[Rai (geometria)|rai]] dau cercle<ref name="adm"/>{{,}}<ref>{{en}} {{Liame web | url = http://www.wku.edu/~tom.richmond/Pir2.html | títol = Area of a Circle | autor = Bettina Richmond | annada = 1999 | editor = Western Kentucky University | consultat lo = 4 de novembre de 2007 }}</ref>: :<math> \pi = \frac{A}{r^2}. </math> Aquelei definicions se justifican per cèrtei proprietats de la geometria euclidiana, coma la qu'enóncia que totei lei cercles son [[Similitud (geometria)|semblables]]. Mai lo nombre π apareis dins de domenis dei matematicas que son pas directament liats a la geometria. Dins leis expausats axiomatics dei matematicas, sovent se definís π a partir de l'[[Analisi (matematicas)|analisi matematica]]: se pòt donar una definicion dei [[Foncion trigonometrica|foncions trigonometricas]] (cos, sin) independenta de la geometria dau cercle, puei definir π coma lo doble dau pus pichon nombre positiu ''x'' tau que cos(''x'')&nbsp;=&nbsp;0<ref>{{obratge | lenga =en | prenom1 = Walter | nom1 =Rudin | títol = Principles of Mathematical Analysis | editor =McGraw-Hill | annada =1976 | passatge =183 | isbn =0-07-054235-X }}</ref>. Lei formulas balhadas ''infra'' pòdon servir de definicions equivalentas de π (pron que se justifique que definisson lo meteis nombre). === Irracionalitat === Lo nombre π es [[nombre irracionau|irracionau]], çò que significa qu'es impossible de trobar d'[[Nombre entier|entiers]] ''p'' e ''q'' taus que ''π=p/q''. [[Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi|Al-Khawarizmi]] conjectura tre lo [[sègle IX]] que π es irracionau<ref>{{en}}[http://www.muslimheritage.com/topics/default.cfm?TaxonomyTypeID=12&TaxonomySubTypeID=59&TaxonomyThirdLevelID=-1&ArticleID=997 Glimpses in the history of a great number: Pi in Arabic mathematics] per Mustafa Mawaldi</ref>. [[Maimonides|Moshé Maimonides]] menciona pereu aquela idèa au [[sègle XII]]. Pasmens faudrà esperar lo [[sègle XVIII]] per que [[Johann Heinrich Lambert]] ne fague la demostracion<ref>{{obratge | lenga =en | prenom1 = Johann Heinrich | nom1 = Lambert | títol = Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendantes, circulaires et logarithmiques | annada =1761 | volum = XVII | passatge = 265-322 }}</ref>. Es en 1761 que dins son ''Mémoires sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendantes, circulaires et logarithmiques'', Lambert estúdia lo desvolopament en fraccion continua de tan(''x'') e demòstra que lo desvolopament en fraccion continua de tan(''m''/''n'') (ont ''m'', ''n'' son d'entiers naturaus diferents de 0) es: : <math>\tan \left(\frac mn\right) = \frac{m \mid}{\mid n} - \frac{m^2 \mid}{\mid 3n} - \frac{m^2 \mid}{\mid 5n} - \frac{m^2 \mid}{\mid 7n} + \cdots </math>. Per consequent, quand ''x'' es diferent de 0 e racionau, lo desvolopament en fraccion continua de tan(''x'') es illimitat; mai se sap qu’un tau desvolopament illimitat mena a un nombre irracionau. Fin finala, quand ''x'' es diferent de 0 e racionau, tan(''x'') es irracionau.<br /> Se'n dedutz l'irracionalitat de π: se lo nombre π foguèsse racionau, tanben o seriá π/4, doncas tan(π/4) seriá irracionau; coma tan(π/4) = 1, qu'es racionau, es absurde. Au [[sègle XX]], s'es trobat d'autrei demostracions d'irracionalitat qu'exigisson pas de conoissenças pus avançadas que leis elements dau calcul integrau. Una d'entre elei, que se deu a Ivan Niven, es ben coneguda<ref>{{article |lenga =en |prenom1 =Ivan |nom1 =Niven |títol =A simple proof that π is irrational |periodic =Bulletin of the American Mathematical Society | volum = 53 | numèro = 6 | annada = 1947 | pages = 509 | url texte = http://www.ams.org/bull/1947-53-06/S0002-9904-1947-08821-2/S0002-9904-1947-08821-2.pdf | consultat lo = 4 de novembre de 2007 }}</ref>{{,}}<ref>{{en}} {{Liame web | url = http://www.lrz-muenchen.de/~hr/numb/pi-irr.html | títol = Pi Is Irrational | autor = Helmut Richter | annada = 1999 | editor = Leibniz Rechenzentrum | consultat lo = 4 de novembre de 2007 }}</ref>. Mary Cartwright aviá trobat un pauc aperavans una demostracion analòga<ref>{{obratge | lenga =en | prenom1 =Harold | nom1 =Jeffreys | títol = Scientific Inference | editor =Cambridge University Press | annada =1973 }}</ref>. === Transcendéncia === Lo nombre π es tanben [[nombre transcendent|transcendent]], valent a dire qu'existís ges de [[polinòmi]] de coeficients racionaus admetent π per [[Zéro d'une foncion|raiç]]<ref name="ttop">{{en}} {{Liame web | url = http://dialspace.dial.pipex.com/town/way/po28/maths/docs/pi.html | títol = The Transcendence of π | autor = Steve Mayer | consultat lo = 4 de novembre de 2007 }}</ref>. Es au [[sègle XIX]] que se demostrèt aqueu resultat. En 1873, [[Charles Hermite]] provèt que la basa dau [[logaritme neperian]], lo [[e (nombre)|nombre e]], es transcendenta. En 1882, [[Ferdinand von Lindemann]] generalizèt son metòde en un teorèma ([[Teorèma d'Hermite-Lindemann]]) qu'estipula que, se ''x'' es un nombre reau o complèxe diferent de 0 e [[nombre algebric|algebric]] (çò es non transcendent), alora e<sup>''x''</sup> es transcendent.<br /> Se'n dedutz la transcendéncia de π: se lo nombre π foguèsse algebric, tanben o seriá iπ, doncas e<sup>iπ</sup> seriá transcendent; coma e<sup>iπ</sup> = cos(π) + i sin(π) = -1, qu'es algebric, es absurde. Una consequéncia importanta de la transcendéncia de π es qu'aquest nombre es pas [[Nombre constructible|constructible]]. D'efècte, lo [[teorèma de Wantzel]] enóncia entre autrei que tot nombre constructible es algebric. Dau fach que lei coordenadas de totei lei ponchs que se pòdon construire amb la règla e lo compàs son de nombres constructibles, la [[qüadratura dau cercle]] es impossibla: se pòt pas construire, solament amb la règla e lo compàs, un carrat que sa superfícia seriá la d'un cercle donat<ref>{{en}} {{Liame web | url = http://www.cut-the-knot.org/impossible/sq_circle.shtml | títol = Squaring the Circle | editor = cut-the-knot | consultat lo = 4 de novembre de 2007 }}</ref>. Aqueu resultat es important istoricament, car la qüadratura dau cercle es un dei problèmas celèbres de geometria elementària que nos leguèron lei matematicians grècs de l'Antiquitat. === Representacion decimala === Lei 50 premierei chifras de l'escritura decimala de π son: :3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 :''Vejatz [[#Liames extèrnes|lei liames extèrnes]] per mai de decimalas.'' Mentre qu'a l'ora d'ara, se conois mai de 10<sup>12</sup> decimalas de π<ref>{{en}} {{Liame web | url = http://www.super-computing.org/pi_current.html | títol = Current publicized world record of pi | consultat lo = 14 d'octobre de 2007 }}</ref>, dins leis aplicacions s'utiliza fòrça rarament mai d'un desenau de chifras. Per exemple, l'aproximacion de π que s'obtèn en conservant lei 39 premierei decimalas sufís per calcular la circonferéncia d'un cercle que sei dimensions son aquelei de l'univèrs observable amb una precision de l'òrdre dau rai d'un atòm d'[[idrogèn]]<ref>{{obratge | lenga =en | prenom1 =Robert M. | nom1 =Young | títol = Excursions in Calculus | editor =Mathematical Association of America (MAA) | luòc =Washington | passatge =417 | isbn =0883853175 | legir en linha =http://books.google.com/books?id=iEMmV9RWZ4MC&pg=PA238&dq=intitle:Excursions+intitle:in+intitle:Calculus+39+digits&lr=&as_brr=0&ei=AeLrSNKJOYWQtAPdt5DeDQ&sig=ACfU3U0NSYsF9kVp6om4Zyw3a7F82QCofQ }}</ref>{{,}}<ref>{{en}} {{Liame web | url = http://scitation.aip.org/getabs/servlet/GetabsServlet?prog=normal&id=AJPIAS000067000004000298000001&idtype=cvips&gifs=yes | títol = Statistical estimacion of pi using random vectors | consultat lo = 12 d'aost de 2007 }}</ref>. Estent que π es irracionau, sa representacion decimala es illimitada e non periodica. La seguida dei decimalas de π a totjorn pivelat matematicians e amators, e s'es consacrat abòrd d'esfòrç dins lei darriers sègles per obtenir de mai en mai de decimalas e n'estudiar lei proprietats<ref>{{en}} {{Liame web | url = http://mathworld.wolfram.com/PiDigits.html | títol = Pi Digits | site = MathWorld | consultat lo = 22 de febrier de 2010 }}</ref>. Se conois ara mai de mila miliards de decimalas de π. Maugrat lei recèrcas efectuadas, se i es decelat ges d'estructura, e lo nombre π sembla de se comportar coma un generador de nombres aleatòris<ref>{{article |lenga =en |prenom1 =Chad |nom1 =Boutin |títol =Pi seems a good random number generator - but not always the best |periodic =Purdue University |annada =2005 |url texte =http://www.purdue.edu/UNS/html4ever/2005/050426.Fischbach.pi.html }}</ref>. Lei chifras de la representacion decimala de π son disponiblas subre fòrça paginas d'Internet; existis de logiciaus de calcul dei decimalas de π que ne pòdon determinar de miliards e que se pòt installar sus un ordinator personau quin que siá. D'autra part, lo desvolopament decimau de π duèrbe d’autrei questions, en particular de saber se π es un [[nombre normau]], valent a dire se sei chifras en escritura decimala son equirepartidas. Òm se pòt tanben demandar se π es un [[nombre univèrs]], çò es se se pòt trobar dins son desvolopament decimau una sequéncia predefinida de chifras, quina que siá (per exemple: {{formatnum:123456789987654321}}). Uei, se conois pas de respònsa a aquelei questions<ref name="Conférence Delahaye"> Conférence de Jean-Paul Delahaye, ''le nombre pi est-il simple o compliqué ?'', mardi 3 octobre 2006, cité des sciences, consultable [http://www.universcience.fr/fr/conferences-du-college/seance/c/1239026849604/le-nombre-pi-est-il-simple-ou-complique--/p/1239022827777/ aicí] </ref>. === Aproximacion de π === Se pòt trobar empiricament una valor aproximada de π, per mejan d'un grand cercle que se'n mesura lo diamètre e la circonferéncia, puis en devesissent la circonferéncia per lo diamètre. Una autre encaminament geometric, atribuit a [[Arquimèdes]]<ref name="NOVA">{{en}} {{Liame web | url = http://www.pbs.org/wgbh/nova/archimedes/pi.html | títol = Infinite Secrets: Approximating Pi | autor = Rick Groleau | annada = 2003 | editor = NOVA | consultat lo = 4 de novembre de 2007 }}</ref>, consistís a calcular lo [[perimètre]] ''P<sub>n</sub>'' d'un [[poligòn regular]] de ''n'' costats [[Cercle circonscrich|circonscrich]] a un cercle de diamètre ''d''. S'obtèn alora π gràcias a la formula: :<math>\pi = \lim_{n \to \infty}\frac{P_{n}}{d}.</math> Au mai lo nombre ''n'' de costats dau poligòn es grand, au mai es precisa l'aproximacion de π per lo quocient ''P<sub>n</sub>'' / ''d''. Arquimèdes determinèt la precision dau metòde en comparant lo perimètre dau poligòn circonscrich amb aqueu d'un poligòn regular dau meteis nombre de costats [[Cercle inscrich|inscrich]] dins lo cercle. Amb dos poligòns de 96 costats, establiguèt que: :3&nbsp;+&nbsp;10/71&nbsp;<&nbsp;π&nbsp;<&nbsp;3&nbsp;+&nbsp;1/7<ref>{{obratge | lenga =en | prenom1 =Petr | nom1 =Beckmann | títol = A History of Pi | editor =Barnes & Noble Publishing | annada =1989 | isbn =0880294183 }}</ref>. Tanben se pòt obtenir de valors aproximadas de π per mejan de metòdes d'analisi matematica. La màger part dei formulas que s'utiliza per calcular π se fondan subre sei proprietats analiticas e son de mau comprendre sensa conoissenças en [[trigonometria]] e [[calcul integrau]]. Pasmens, d'unei son pron simplas, coma la formula de Leibniz<ref>{{obratge | lenga =en | prenom1 =Pierre | nom1 =Eymard | títol = The Number π | editor =American Mathematical Society | mes = février | annada =2004 | passatge =53 | isbn =0821832468 | legir en linha =http://books.google.com/books?id=qZcCSskdtwcC&pg=PA53&dq=leibniz+pi&ei=uFsuR5fOAZTY7QLqouDpCQ&sig=k8VlN5VTxcX9a6Ewc71OCGe_5jk | consultat lo =4 de novembre de 2007 }}</ref>: :<math>\pi = 4\sum^\infty_{k=0} \frac{(-1)^k}{2k+1} = 4 \left( \frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\cdots\right).\! </math> Mai aquela seria convergís tròp lentament e, maugrat sa simplicitat aparenta, pòt pas servir tala e quala per calcular d'aproximacions de π (fau gaireben 300 tèrmes per obtenir doas decimalas exactas)<ref>{{article |lenga =en |prenom1 =Vito |nom1 =Lampret |títol =Even from Gregory-Leibniz series π could be computed: an example of how convergence of series can be accelerated |periodic =Lecturas Mathematicas |annada =2006 |url texte =http://www.scm.org.co/Articulos/832.pdf }}</ref>. Pasmens, es possible d'accelerar la convergéncia: se definís a partir de la precedenta una autra seguida que convergís vèrs π fòrça mai rapidament, en pausant: : <math>p_{0,1} = \frac{1}{1},\ p_{0,2} =\frac{1}{1}-\frac{1}{3},\ p_{0,3} =\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{5},\ p_{0,4} =\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}, \cdots\! </math> e en definissent: : <math>p_{i,j} = \frac{p_{i-1,j}+p_{i-1,j+1}}{2}\text{ per tot pareu }(i,\,j)\text{ tau que }i\geq 1\text{ e }j \geq 1</math>. Lo calcul de <math>p_{10,10}</math> demanda aperaquí lo meteis temps qu'aqueu que fau per obtenir lei 150 premiers tèrmes de la seria iniciala, mai la precision es ben melhora: :<math>\pi_{10,10} = 4 p_{10,10}=3,141592653\ldots\;</math> es una aproximacion qu'a 9 decimalas exactas. == Utilizacion en matematicas e en sciéncias == Lei formulas interessantas que contenon π son innombrablas e apareisson dins gaireben totei lei domenis dei matematicas e dei sciéncias. Una dei pus celèbras après aquelei que pertòcan la definicion geometrica de π es l’[[identitat d'Euler]]. Aquela formula es estada presentada coma la formula « mai remarcabla » per sa particularitat de far intervenir 1, 0, e, i e, de segur, π, que son entre lei nombres pus « remarcables » dei matematicas. :<math>e^{i \pi} + 1 = 0\;</math> === Geometria === Lo nombre π apareis dins fòrça formulas de [[geometria]] pertocant lei [[cercle]]s e leis [[esfèra]]s {| class="wikitable" !Forma geometrica !Formula |- |[[Circonferéncia]] d’un cercle de [[rai (geometria)|rai]] ''r'' e de [[diamètre]] ''d'' |<math>C = 2 \pi r = \pi d \,\!</math> |- |[[Aira]] d’un [[disque (geometria)|disque]] de rai ''r'' |<math>A = \pi r^2 \,\!</math> |- |Aira interiora a una [[ellipsa]] de semiaxes ''a'' e ''b'' |<math>A = \pi a b \,\!</math> |- |[[Volum]] d’una bola de rai ''r'' |<math>V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{\pi d^3}{6} \,\!</math> |- |Aira d’una [[esfèra]] de rai ''r'' |<math>A = 4 \pi r^2 = \pi d^2 \,\!</math> |- |Volum d’un [[cilindre]] d'autor ''h'' e de rai ''r'' |<math>V = \pi r^2 h \,\!</math> |- |Aira extèrna d’un cilindre d'autor ''h'' e de rai ''r'' |<math>A = 2 ( \pi r^2 ) + ( 2 \pi r ) h = 2 \pi r (r + h) \,\!</math> |- |Volum d’un [[còn (geometria)|còn]] d'autor ''h'' e de rai ''r'' |<math>V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \,\!</math> |- |Aira extèrna d’un còn d'autor ''h'' e de rai ''r'' |<math>A = \pi r \sqrt{r^2 + h^2} + \pi r^2 = \pi r (r + \sqrt{r^2 + h^2}) \,\!</math> |} L'aira {{cita|laterala}} d’un cilindre circonscrich a l'esfèra e de meteissa autor es egala a la de l'esfèra.<br /> Tanben se tròba π dins l'expression deis airas e volums deis iperesfèras (de mai de 3 dimensions).<br /> La mesura d’[[angle]] 180° (en [[Gra (angle)|gras]]) es egala a π [[radian]]s. En [[geometria euclidiana]], la soma deis angles d’un triangle es egala a π. En [[geometria non euclidiana]], aquela soma pòt èsser superiora o inferiora a π, e lo repòrt de la circonferéncia dau cercle a son diamètre pòt tanben diferir de π. === Autrei definicions === {{article detalhat|Exponenciala}} La definicion istorica e usuala dau nombre π (lo repòrt de la circonferéncia d’un cercle a son diamètre) es inadaptada per desgatjar lei proprietats dau nombre π, que sòrton largament dau quadre de la geometria. Per semblant ai foncions [[cosinus]] e [[sinus]] que se definisson intuitivament en partent dau [[cercle trigonometric]] mai rigorosament per mejan dei [[seria de poténcias|serias de poténcias]], se pòt definir analiticament lo nombre π, permetent son estudi gràcias ais instruments de l’[[analisi (matematicas)|analisi]]. Lei proprietats exp(z+w)=exp(z)exp(w) e exp(0)=1 que resultan de la definicion analitica de l’exponenciala fan que l’aplicacion <math>\scriptstyle t \mapsto \exp(it)</math> es un [[morfisme]] de [[grop (matematicas)|grops]] [[continuitat|continu]] dau grop additiu <math>\scriptstyle (\R,+)</math> vèrs lo grop multiplicatiu <math>\scriptstyle (\mathbb{U},\times)</math> (onte <math>\scriptstyle \mathbb{U}</math> es l’ensemble dei [[nombre complèxe|nombres complèxes]] que son modul vau 1). Se demòstra puei que l’ensemble dei nombres reaus ''t'' taus que exp(i''t'') = 1 es de la forma <math>\scriptstyle a\,\Z</math> onte ''a'' es un reau estrictament positiu.<br /> Se definís alora <math>\pi=a/2</math>. Lo calcul integrau permet puei de verificar qu'aquela definicion abstracha correspònd a aquela de la geometria euclidiana. Lo grop [[Bourbaki]] prepausa una autra definicion fòrça vesina en demostrant qu'existís un morfisme de grop '' f'' continu de <math>\scriptstyle (\R,+)</math> vèrs <math>\scriptstyle (\mathbb{U},\times)</math> tau que ''f''(1/4) = ''i''. Demòstra qu'aqueu morfisme es periodic de periòde 1, derivable e qu’existís un reau ''a'' tau que, per tot reau ''x'', ''f'(x) = 2iaf(x)''. Definís alora π = ''a''. Lei dos metòdes precedents consistisson en realitat a [[Longor d'un arc|rectificar]] lo cercle siá amb la foncion <math>\scriptstyle t \mapsto e^{it},</math> siá amb la foncion <math>\scriptstyle t \mapsto e^{2i\pi t}</math> Mai se pòt tanben definir π gràcias au calcul integrau en pausant: : <math> \pi =4 \int_0^1 \sqrt{1-x^2}\ \mathrm{d}x\,</math> çò qu'equivau a calcular l’aira d’un quart de disc. O ben per mejan dau denombrament, en sonant <math>\scriptstyle \varphi(n)</math> lo nombre de pareus d’entiers naturaus (''p'', ''q'') taus que <math>\scriptstyle p^2+q^2 \leq n^2</math> e en definissent: : <math>\pi= 4 \lim_{n \to +\infty} \frac{\varphi(n)}{n^2}</math> çò qu'es un autre biais de carrar lo quart de disc. O encara, se la foncion cosinus es estada definida analiticament (per sa seria de poténcias o per l’unica solucion ''f'' de l’eqüacion diferenciala <math>y''=-y</math> verificant lei condicions <math>f(0)=1</math> e <math>f\, '(0)=0</math>), lo nombre π se pòt definir coma lo pus pichon reau positiu ''a'' tau que cos(''a'')= -1. Citem enfin (per clavar arbitrariament aquela lista) la definicion integrala seguenta de π, que se tròba dins cèrtei presentacions de l'analisi complèxa: :<math>\pi = 2 \int_{-1}^{+1}\frac{1}{t^2 +1}\ \mathrm{d}t</math> === Seguidas e serias === De seguidas o serias variadas convergisson vers π (o un sieu multiple racionau) e son la fònt de calculs d'aproximacions d'aqueu nombre. ==== Metòde d’Arquimèdes ==== :<math>\pi = \lim_{n \to +\infty} \left( n \cdot \sin \left( \frac{\pi}{n} \right) \right) = \lim_{n \to +\infty} \left( n \cdot \tan \left( { \frac{\pi}{n} } \right) \right)</math>. Lei doas seguidas definidas per <math>\scriptstyle s_n=n\sin(\pi/n)</math>, e <math>\scriptstyle t_n=n\tan(\pi/n)</math>, ''n'' ≥ 3, representan lei semiperimètres dei [[poligòn]]s regulars de ''n'' costats, inscrich dins lo cercle trigonometric per ''s''<sub>''n''</sub>, exinscrich per ''t''<sub>''n''</sub>. S'utilizan per mejan de seguidas extrachas que son indèx (lo nombre de costats dau poligòn) dobla a cada iteracion, per obtenir π en passant au limit dins d’expressions ont apareisson leis operacions aritmeticas elementàrias e la [[raiç carrada]]. Ansin, òm se pòt inspirar dau metòde d'Arquimèdes — vejatz l'istoric dau calcul de π — per donar una definicion recurrenta dei seguidas extrachas qu'an per tèrmes <math>\scriptstyle s_{2^n}</math> e <math>\scriptstyle t_{2^n}</math> o encara <math>\scriptstyle s_{3.2^n}</math> e <math>\scriptstyle t_{3.2^n}</math>, gràcias ais [[identitat trigonometrica|identitats trigonometricas]] usualas: :<math>\begin{array}{lll} t_{2n}=2{s_n\cdot t_n\over s_n+t_n} & t_3=3\sqrt 3& t_4=4\\ s_{2n}=\sqrt{s_n\cdot t_{2n}} & s_3={3\sqrt 3\over 2} & s_4={2\sqrt 2}\,. \end{array} </math> En utilizant leis identitats trigonometricas, <math>\scriptstyle 2\sin(x/2)=\sqrt{2-\cos(x)}</math> e <math>\scriptstyle 2\cos(x/2)=\sqrt{2+\cos(x)}</math> (''x'' ∈ [0,π]), se pòt exprimir ''s''<sub>2<sup>''k+1''</sup></sub> e ''s''<sub>3.2<sup>''k''</sup></sub> (k≥1) per embessonaments successius de raiç carradas. Lo nombre π se pòt alora escriure coma una expression onte s'embessonan de raiç carradas: :<math>\pi = \lim_{k \to +\infty} \left ( 2^{k} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \cdots \sqrt{2 + \sqrt{2}}}}}} \right )</math><br /> :(''k'' es lo nombre de raiç carradas embessonadas) o encara: :<math>\pi = \lim_{k \to +\infty} \left ( 3\cdot2^{k-1} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \cdots \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}}}}}} \right )</math> Una autra expression de ''s''<sub>2<sup>''k+1''</sup></sub>, que se pòt deduire simplament de la premiera d'aquelei doas egalitats (basta de multiplicar per √(2+√…)), mena au [[produch infinit]] seguent (formula de [[François Viète]], [[1593]]). :<math>\frac{\pi}{2}= \frac{2}{\sqrt2}\cdot \frac{2}{\sqrt{2+\sqrt2}}\cdot \frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}\cdot\cdots</math> ==== Somas e produchs infinits ==== * <math>\frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots + \frac{(-1)^k}{2k+1} + \cdots = \sum^\infty_{k=0} \frac{(-1)^k}{2k+1} = \frac{\pi}{4}</math> (formula de [[Gottfried Leibniz|Leibniz]], [[James Gregory (matematician)|James Gregory]] e Madhava de Sangamagrama<ref name="LeibnizGregory">atribuida sovent a [[Leibniz]], mai probable que foguèt descubèrta anteriorament per Gregory, cf. {{en}}[http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Pi_through_the_ages.html {{lang|en|''Pi_through_the_ages.html''}}] sus lo site de l’Universitat de Saint Andrews. Aquela formula èra pereu estada trobada devèrs 1400 per lo matematician indian [[Madhava de Sangamagrama|Madhava]], mai aquela descubèrta demorèt inconeguda dau monde occidentau.</ref>{{,}}<ref name="Madhava">{{en}} [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Madhava.html Biographie de Madhava] sus lo site de l’Universitat de Saint-Andrew</ref>) * <math>\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdot \cdots \cdot \frac{2k + 2}{2k+1} \cdot \frac{2k+2}{2k+3} \cdot \cdots = \frac{\pi}{2}</math> (produch de [[John Wallis#Produch de Wallis|Wallis]]) * <math> \frac{1}{\pi} = \frac{2\sqrt{2}}{9801} \sum^\infty_{k=0} \frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}} </math> (formula que se deu a [[Srinivasa Ramanujan|Ramanujan]]) * <math> \frac{1}{\pi} = 12 \sum^\infty_{k=0} \frac{(-1)^k (6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)!(k!)^3 640320^{3k + 3/2}} </math> (formula que se deu a [[David e Gregory Chudnovsky]]) ==== Seguidas recursivas ==== Una seguida que sa definicion s'inspira de la [[formula de Brent-Salamin]] (1975): Sián tres seguidas realas <math>(A_n)</math>, <math>(B_n)</math> e <math>(C_n)</math> que se definisson mutualament: : <math>\begin{array}{ll} A_0=1 & A_{n+1}={\frac{A_n+B_n}{2}}\\ B_0=\sqrt{\frac{1}{2}} & B_{n+1}=\sqrt{ A_n\cdot B_n } \\ C_0=\frac{1}{4} & C_{n+1}=C_n - 2^n \left( \frac{A_n-B_n}{2} \right) ^2 \end{array} </math> Alara: :<math> \pi = \lim_{n \to +\infty} \frac{\left( A_n + B_n \right)^2}{4 \cdot C_n } </math> Es de notar que lo nombre de decimalas exactas (en basa 10) dobla quasi a cada iteracion. ==== Foncion zêta de Riemann ==== {{Article detalhat|Problèma de Basilèa|Foncion zêta de Riemann}} * <math>\zeta(2) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots + \frac{1}{k^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}</math> ([[Leonhard Euler|Euler]]) * <math>\zeta(4)= \frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{4^4} + \cdots + \frac{1}{k^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90}</math>, :e pus generalament, Euler indica que [[Foncion zêta de Riemann|ζ(2n)]] es un multiple racionau de π<sup>2n</sup> per tot entier naturau ''n''. ==== Foncion Gamma d’Euler ==== * <math>\Gamma\left( \frac{1}{2}\right)= \int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{e}^{-t}}{\sqrt{t}}\ \mathrm{d}t = \sqrt{\pi}</math> ([[Foncion Gamma d'Euler|foncion gamma d'Euler]]) === Probabilitats e estatisticas === Lo nombre π apareis sovent en [[probabilitats]] e en [[estatisticas]]. Citem entre autrei: * l'integrala de Gauss, liada a la definicion de la [[lei normala]]<ref>{{en}} {{Liame web | url = http://mathworld.wolfram.com/GaussianIntegral.html | títol = Gaussian Integral | autor = Eric W. Weisstein | annada = 2004 | editor = MathWorld | consultat lo = 8 de novembre de 2007 }}</ref>: :<math>\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} \mathrm{d}x = \sqrt{\pi}</math> * La formula seguenta ({{cita|[[formula de Stirling]]}}), tirada de l’analisi, a d'aplicacions en probabilitats. En particular, permet de demostrar la convergéncia de la [[lei binomiala]] vèrs la [[lei normala]]: :<math>n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n</math> :(significa que lo quocient dei dos membres a per limit 1). D'autra part, existís divèrseis experiéncias aleatòrias ont una probabilitat s'exprimís en foncion de π. Pòdon doncas servir (teoricament), en efectuant un grand nombre d'espròvas, a determinar una aproximacion de π. L’[[agulha de Buffon]] es una experiéncia aleatòria imaginada per lo naturalista [[Georges-Louis Leclerc, comte de Buffon|Buffon]]. Consistís a mandar una agulha de longor ''a'' sus un postam que sei pòsts son de largor ''L''. La question es de determinar la probabilitat que l’agulha cope la linha separant doas pòsts; aquela probabilitat es<ref name="bn">{{en}} {{Liame web | url = http://mathworld.wolfram.com/BuffonsNeedleProblem.html | títol = Buffon's Needle Problem | autor = Eric W. Weisstein | annada = 2005 | editor = MathWorld | consultat lo = 10 de novembre de 2007 }}</ref>{{,}}<ref>{{en}} {{Liame web | url = http://www.cut-the-knot.org/ctk/August2001.shtml | títol = Math Surprises: An Example | autor = Alex Bogomolny | annada = 2001 | editor = cut-the-knot | consultat lo = 28 d'octobre de 2007 }}</ref>{{,}}<ref>{{article |lenga =en |prenom1 =J. F. |nom1 =Ramaley |títol =Buffon's Noodle Problem |periodic =The American Mathematical Monthly |annada =1969 }}</ref>{{,}}<ref>{{en}} {{Liame web | url = http://www.datastructures.info/the-monte-carlo-algorithmmethod/ | títol = The Monte Carlo algorithm/method | autor = | annada = 2007 | editor = | site = datastructures | consultat lo = 7 de novembre de 2007 }}</ref>: :<math>p = \frac{2a}{\pi\times L}</math> Se pòt utilizar aquò per determinar una aproximacion de π: :<math>\pi \approx \frac{2na}{xL},</math> onte ''n'' es lo nombre d'agulhas mandadas, e ''x'' es lo nombre d'aquelei que crosan una linha. D'efècte, se ''n'' es grand, la probabilitat ''p'' es vesina de la frequéncia ''p' = x / n'' ([[lei dei grands nombres]]): :<math>\pi = \frac{2a}{Lp} \approx \frac{2a}{Lp'}\text{ e }\frac{2a}{Lp'} = \frac{2na}{xL}.</math> La precision d'aqueu metòde es fòrça limitada; e mai lo resultat siá matematicament corrècte, se pòt pas utilizar per determinar experimentalament mai de quauquei decimalas de π<ref name="bn"/>. [[Fichièr:Monte-Carlo01.gif|thumb|Avaloracion de π per lo metòde de Montcarles.]] Una autra experiéncia aleatòria consistís a prendre ''a l'azard'' un ponch dins un carrat de costat 1; la probabilitat qu'aqueu ponch siá dins lo quart de disc de rai 1 vau π/4; aiçò es de bòn comprendre, que la superfícia dau quart de cercle es π/4 mentre que la superfícia dau carrat es 1. Se pòt simular aquela experiéncia aleatòria ([[metòde de Montcarles]]) per avalorar π. === Seguida logistica === Siá (''x''<sub>''n''</sub>) la seguida deis iterats de la foncion logistica de paramètre <math>\mu = 4</math> aplicada a un reau ''x''<sub>''0''</sub> chausit dins l'interval [0, 1] (valent a dire que se definís, per tot <math>n\geqslant 0</math>, <math>x_{n+1} = 4 x_n(1 - x_n)~</math>).<br /> La seguida (<math>x_n</math>) sòrt de l'interval [0;1] e divergís per gaireben totei lei valors inicialas. Òm a: <math> \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i = 0}^{n} \sqrt{x_i} = \frac{2}{\pi}\quad </math> per [[quasi segurament|quasi totei]] lei valors inicialas <math>x_0</math>. == Proprietats avançadas == === Aproximacions numericas === Coma π es transcendent, n'existís pas d'expression utilizant unicament de nombres e de foncions algebricas<ref name="ttop"/>. Leis expressions de π ont apareisson ren que leis operacions de l'aritmetica elementària fan generalament intervenir de somas infinidas (serias) o de produchs infinits<ref>{{en}} {{Liame web | url = http://mathworld.wolfram.com/PiFormulas.html | títol = Pi Formulas | autor = Eric W. Weisstein | annada = 2007 | editor = MathWorld | consultat lo = 10 de novembre de 2007 }}</ref>; au mai s'aponde de tèrmes (o de factors) dins lo calcul, au mai lo resultat serà precís. Per consequent, la preséncia de π dins de calculs numerics impausa de lo remplaçar per una aproximacion. Ben sovent, leis aproximacions 3,14 o 22/7 sufison; per una precision melhora, leis engenhaires utilizan sovent 3,1416 o 3,14159 (respectivament 5, 6 chifras significativas). Leis aproximacions 22/7 e 355/113 (qu'an respectivament 3, 6 chifras significativas), s'obtenon a partir dau desvolopament de π en [[fraccion continua]]. L'aproximacion de π per 355/113 es la melhora que se pòsque escriure amb ren que 3 o 4 chifras au numerator e au denominator; la melhora aproximacion seguenta es 103993/33102, que ne demanda un nombre fòrça mai important (aiçò vèn de l'aparicion dau nombre 292 dins lo desvolopament en fraccion continua de π)<ref name=gourdon>{{en}} {{Liame web | url = http://numbers.computation.free.fr/Constants/Pi/piApprox.html | títol = Collection of aproximacions for π | autor = Xavier Gourdon | editor = Numbers, constants and computation | consultat lo = 8 de novembre de 2007 }}</ref>. La premiera aproximacion numerica de π foguèt probable 3<ref name="ahop"/>. Es una estimacion per defaut perqu'es lo repòrt entre lo perimètre d'un [[exagòn]] regular inscrich dins un [[cercle]] e lo diamètre dau cercle. === Fraccions continuas === La seguida dei denominators parciaus dau desvolopament de π en [[fraccion continua]] a pas de regularitat vesedoira<ref name="ReferenceA"/>: :<math> \pi=[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,2,1,84,\cdots] </math>, çò qu'es una notacion equivalenta a: :<math> \pi=3+\textstyle \frac{1}{7+\textstyle \frac{1}{15+\textstyle \frac{1}{1+\textstyle \frac{1}{292+\textstyle \frac{1}{1+\textstyle \frac{1}{1+\textstyle \frac{1}{1+\textstyle \frac{1}{2+\textstyle \frac{1}{1+\textstyle \frac{1}{3+\textstyle \frac{1}{1+\textstyle \frac{1}{14+\textstyle \frac{1}{2+\textstyle \frac{1}{1+\textstyle \frac{1}{1+\textstyle \frac{1}{2+\textstyle \frac{1}{2+\textstyle \frac{1}{2+\textstyle \frac{1}{2+\textstyle \frac{1}{1+\textstyle \frac{1}{84+\cdots}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} </math> Pasmens, existís de fraccions continuas generalizadas representant π e qu'an una estructura regulara<ref>{{obratge | lenga =en | prenom1 = L. J. | nom1 = Lange | títol = An Elegant Continued Fraction for ''π'' | editor =The American Mathematical Monthly | mes = mai | annada =1999 | volum =106 | tòm =5 | passatge =456-458 | legir en linha =http://www.jstor.org/stable/2589152 }}</ref>: :<math> \pi=\textstyle \frac{4}{1+\textstyle \frac{1^2}{2+\textstyle \frac{3^2}{2+\textstyle \frac{5^2}{2+\textstyle \frac{7^2}{2+\textstyle \frac{9^2}{2+\textstyle \frac{11^2}{2+\cdots}}}}}}}= 3+\textstyle \frac{1^2}{6+\textstyle \frac{3^2}{6+\textstyle \frac{5^2}{6+\textstyle \frac{7^2}{6+\textstyle \frac{9^2}{6+\textstyle \frac{11^2}{6+\cdots}}}}}}= \textstyle \frac{4}{1+\textstyle \frac{1^2}{3+\textstyle \frac{2^2}{5+\textstyle \frac{3^2}{7+\textstyle \frac{4^2}{9+\textstyle \frac{5^2}{11+\cdots}}}}}} </math> Lo nombre π/2 se pòt tanben escriure coma fraccion continua generalizada, fasent intervenir la seguida deis invèrs dei nombres entiers: :<math>\frac{\pi}{2} = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1/2 + \frac{1}{1/3+\,\cdots+ \frac{1}{1/n+\,\cdots}}}}</math> === Questions dubèrtas === De questions nombrosas se pausan encara: π, e son dos nombres transcendents, mai son algebricament independents o existís un polinòmi de doas variablas e de coeficients entiers que lo pareu (π, e) ne siá solucion? La question es encara en suspens. En 1929, [[Aleksandr Gelfond]] demostrèt que e<sup>π</sup> es transcendent<ref>La Recherche, {{numèro}}392, Décembre 2005,'' L'indispensable nombre π''</ref> e en 1996, Iurii Nesterenko a demostrat que π e e<sup>π</sup> son algebricament independents. Coma es estat dich [[#Représentation decimala|''supra'']], se sap pas encara se lo nombre π es [[nombre normau|normau]], ni mai s'es un [[nombre univèrs]] en [[Sistèma decimau|basa 10]]. === Lo nombre π dins l'art === Fòrça obratges o sites senhalan la preséncia supausada dau nombre π dins l'arquitectura dei piramidas; pus precisament, π seriá lo repòrt entre lo perimètre de la basa e lo doble de l'autor dei piramidas<ref> Vejatz per exemple ''Le secret de la grande pyramide'' de George Barbarin</ref>. Es verai que la penda de la [[piramida de Kheops]] es de 14/11; per tant, lo repòrt de la basa a l'autor es 22/14, la mitat de 22/7, una aproximacion frequenta de π. Per aquò, i fau veire una intencion? Es mai que dobtós<ref> Segon ''The journal of the Society for the study of Egyptian Antiquities'', ISSN 0383-9753, 1978, vol 8, n4, « la valor de π qu'apareis dins la relacion entre l'autor e la longor de la piramida es probable fortuita »</ref> puei que la penda dei piramidas es pas constanta e que, segon lei regions e leis epòcas, se tròba de pendas de 6/5 ([[piramida roja]]), 4/3 ([[piramida de Khephren]]) o 7/5 ([[piramida romboïdala]]) que menan a un repòrt (entre perimètre e doble de l'autor) alunhat de π. En tot cas, lo nombre π es present dins la cultura artistica modèrna. Per exemple, dins ''Contact'', un roman de [[Carl Sagan]], jòga un ròtle clau dins lo scenario e se suggerís que i a un messatge escondut fonsament dins sei decimalas, plaçat per lo creator de l'univèrs. Aquela partida de l'istòria es estada levada de l'adaptacion dau roman au cinèma. Dins lo domeni musicau, la cantairitz e compositritz [[Kate Bush]] publiquèt en 2005 son album ''Aerial'', contenent lo tròç « π » que sei paraulas son principalament compausadas dei decimalas de π<ref>{{en}} {{Liame web | url = http://news.bbc.co.uk/1/hi/magazine/7296224.stm | títol = UK &#124; Magazine &#124; 3.14 and the rest | autor = David Blatner | annada = 2008 | editor = BBC News | consultat lo = 2 de genier de 2010 }}</ref>. == Nòtas e referéncias == <ref name="ReferenceA">{{OEIS2C|A001203}}: Continued fraccion for Pi, [[On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]]</ref><ref name="ahop">{{cite web|first=J J|last=O'Connor|coauthors=E F Robertson|url=http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Pi_through_the_ages.html|titre=A history of Pi|date=2001-08|accessdate=2007-10-30}}</ref> {{Referéncias|colomnas=2}} === Liames extèrnes === * {{fr}} La preuve par Lambert de l’irrationnalité de π (1761), commentée sur lo site [http://www.bibnum.education.fr/mathematiques/lambert-et-l%E2%80%99irrationalite-de-p-1761 BibNum] * {{fr}} De nombreuses informations historiques et mathématiques sur pi dans [http://www.pi314.net/ pi314.net] * {{en}} [http://www.angio.net/pi/piquery Site permetent una recèrca de chifras dins lei {{formatnum:200000000}} premierei decimalas] * {{en}} [http://mathworld.wolfram.com/PiFormulas.html Lo site Wolfram Mathematics] acampa un grand nombre de formulas pertocant π * {{en}} [https://web.archive.org/web/20100317134116/http://www.math.utah.edu/~pa/math/pi.html {{formatnum:10000}} decimalas de π] {{Paleta Nocion de nombre}} [[Categoria:Nombre transcendent]] </textarea><div class="templatesUsed"><div class="mw-templatesUsedExplanation"><p>Modèls utilizats sus aquesta pagina : </p></div><ul> <li><a href="/wiki/Mod%C3%A8l:," title="Modèl:,">Modèl:,</a> (<a href="/w/index.php?title=Mod%C3%A8l:,&action=edit" title="Modèl:,">veire la font</a>) (protegit)</li><li><a href="/wiki/Mod%C3%A8l:1000_fondamentals" title="Modèl:1000 fondamentals">Modèl:1000 fondamentals</a> (<a href="/w/index.php?title=Mod%C3%A8l:1000_fondamentals&action=edit" title="Modèl:1000 fondamentals">modificar</a>) </li><li><a href="/wiki/Mod%C3%A8l:Abr" title="Modèl:Abr">Modèl:Abr</a> (<a href="/w/index.php?title=Mod%C3%A8l:Abr&action=edit" title="Modèl:Abr">modificar</a>) </li><li><a href="/wiki/Mod%C3%A8l:Article" title="Modèl:Article">Modèl:Article</a> (<a href="/w/index.php?title=Mod%C3%A8l:Article&action=edit" title="Modèl:Article">modificar</a>) </li><li><a href="/wiki/Mod%C3%A8l:Article_detalhat" title="Modèl:Article detalhat">Modèl:Article detalhat</a> (<a href="/w/index.php?title=Mod%C3%A8l:Article_detalhat&action=edit" title="Modèl:Article detalhat">modificar</a>) </li><li><a href="/wiki/Mod%C3%A8l:Cita" class="mw-redirect" title="Modèl:Cita">Modèl:Cita</a> (<a href="/w/index.php?title=Mod%C3%A8l:Cita&action=edit" class="mw-redirect" title="Modèl:Cita">modificar</a>) </li><li><a href="/wiki/Mod%C3%A8l:Citacion" title="Modèl:Citacion">Modèl:Citacion</a> (<a href="/w/index.php?title=Mod%C3%A8l:Citacion&action=edit" title="Modèl:Citacion">modificar</a>) </li><li><a href="/wiki/Mod%C3%A8l:Cite_web" class="mw-redirect" title="Modèl:Cite web">Modèl:Cite web</a> (<a href="/w/index.php?title=Mod%C3%A8l:Cite_web&action=edit" class="mw-redirect" title="Modèl:Cite web">modificar</a>) </li><li><a href="/wiki/Mod%C3%A8l:En" title="Modèl:En">Modèl:En</a> (<a href="/w/index.php?title=Mod%C3%A8l:En&action=edit" title="Modèl:En">modificar</a>) </li><li><a href="/wiki/Mod%C3%A8l:Exp" title="Modèl:Exp">Modèl:Exp</a> (<a href="/w/index.php?title=Mod%C3%A8l:Exp&action=edit" title="Modèl:Exp">veire la font</a>) (semiprotegit)</li><li><a href="/wiki/Mod%C3%A8l:Fr" title="Modèl:Fr">Modèl:Fr</a> (<a href="/w/index.php?title=Mod%C3%A8l:Fr&action=edit" title="Modèl:Fr">modificar</a>) </li><li><a href="/wiki/Mod%C3%A8l:Ic%C3%B2na_de_t%C3%ADtol" title="Modèl:Icòna de títol">Modèl:Icòna de títol</a> (<a href="/w/index.php?title=Mod%C3%A8l:Ic%C3%B2na_de_t%C3%ADtol&action=edit" title="Modèl:Icòna de títol">veire la font</a>) (semiprotegit)</li><li><a href="/wiki/Mod%C3%A8l:Indicacion_de_lenga" title="Modèl:Indicacion de lenga">Modèl:Indicacion de lenga</a> (<a href="/w/index.php?title=Mod%C3%A8l:Indicacion_de_lenga&action=edit" title="Modèl:Indicacion de lenga">modificar</a>) </li><li><a href="/wiki/Mod%C3%A8l:Info" title="Modèl:Info">Modèl:Info</a> (<a href="/w/index.php?title=Mod%C3%A8l:Info&action=edit" title="Modèl:Info">modificar</a>) </li><li><a href="/wiki/Mod%C3%A8l:Infobox" title="Modèl:Infobox">Modèl:Infobox</a> (<a href="/w/index.php?title=Mod%C3%A8l:Infobox&action=edit" title="Modèl:Infobox">modificar</a>) </li><li><a href="/wiki/Mod%C3%A8l:Lang" title="Modèl:Lang">Modèl:Lang</a> (<a href="/w/index.php?title=Mod%C3%A8l:Lang&action=edit" title="Modèl:Lang">modificar</a>) </li><li><a href="/wiki/Mod%C3%A8l:Liame_web" class="mw-redirect" title="Modèl:Liame web">Modèl:Liame web</a> (<a href="/w/index.php?title=Mod%C3%A8l:Liame_web&action=edit" class="mw-redirect" title="Modèl:Liame web">modificar</a>) </li><li><a href="/wiki/Mod%C3%A8l:Ligam_web/styles.css" title="Modèl:Ligam web/styles.css">Modèl:Ligam web/styles.css</a> (<a href="/w/index.php?title=Mod%C3%A8l:Ligam_web/styles.css&action=edit" title="Modèl:Ligam web/styles.css">modificar</a>) </li><li><a href="/wiki/Mod%C3%A8l:Metapaleta_de_navigacion" title="Modèl:Metapaleta de navigacion">Modèl:Metapaleta de navigacion</a> (<a href="/w/index.php?title=Mod%C3%A8l:Metapaleta_de_navigacion&action=edit" title="Modèl:Metapaleta de navigacion">veire la font</a>) (semiprotegit)</li><li><a href="/wiki/Mod%C3%A8l:Multiparam%C3%A8tres-Ligam" title="Modèl:Multiparamètres-Ligam">Modèl:Multiparamètres-Ligam</a> (<a href="/w/index.php?title=Mod%C3%A8l:Multiparam%C3%A8tres-Ligam&action=edit" title="Modèl:Multiparamètres-Ligam">modificar</a>) </li><li><a href="/wiki/Mod%C3%A8l:Navbox" class="mw-redirect" title="Modèl:Navbox">Modèl:Navbox</a> (<a href="/w/index.php?title=Mod%C3%A8l:Navbox&action=edit" class="mw-redirect" title="Modèl:Navbox">modificar</a>) </li><li><a href="/wiki/Mod%C3%A8l:Num%C3%A8ro" title="Modèl:Numèro">Modèl:Numèro</a> (<a href="/w/index.php?title=Mod%C3%A8l:Num%C3%A8ro&action=edit" title="Modèl:Numèro">modificar</a>) </li><li><a href="/wiki/Mod%C3%A8l:OEIS2C" title="Modèl:OEIS2C">Modèl:OEIS2C</a> (<a href="/w/index.php?title=Mod%C3%A8l:OEIS2C&action=edit" title="Modèl:OEIS2C">modificar</a>) </li><li><a href="/wiki/Mod%C3%A8l:Obratge" class="mw-redirect" title="Modèl:Obratge">Modèl:Obratge</a> (<a href="/w/index.php?title=Mod%C3%A8l:Obratge&action=edit" class="mw-redirect" title="Modèl:Obratge">modificar</a>) </li><li><a href="/wiki/Mod%C3%A8l:Paleta_Nocion_de_nombre" title="Modèl:Paleta Nocion de nombre">Modèl:Paleta Nocion de nombre</a> (<a href="/w/index.php?title=Mod%C3%A8l:Paleta_Nocion_de_nombre&action=edit" title="Modèl:Paleta Nocion de nombre">modificar</a>) </li><li><a href="/wiki/Mod%C3%A8l:Ref-libre" title="Modèl:Ref-libre">Modèl:Ref-libre</a> (<a href="/w/index.php?title=Mod%C3%A8l:Ref-libre&action=edit" title="Modèl:Ref-libre">modificar</a>) </li><li><a href="/wiki/Mod%C3%A8l:Ref-web" title="Modèl:Ref-web">Modèl:Ref-web</a> (<a href="/w/index.php?title=Mod%C3%A8l:Ref-web&action=edit" title="Modèl:Ref-web">modificar</a>) </li><li><a href="/wiki/Mod%C3%A8l:Refer%C3%A9ncias" title="Modèl:Referéncias">Modèl:Referéncias</a> (<a href="/w/index.php?title=Mod%C3%A8l:Refer%C3%A9ncias&action=edit" title="Modèl:Referéncias">veire la font</a>) (protegit)</li><li><a href="/wiki/Mod%C3%A8l:Tnavbar" title="Modèl:Tnavbar">Modèl:Tnavbar</a> (<a href="/w/index.php?title=Mod%C3%A8l:Tnavbar&action=edit" title="Modèl:Tnavbar">modificar</a>) </li><li><a href="/wiki/Mod%C3%A8l:Trim" title="Modèl:Trim">Modèl:Trim</a> (<a href="/w/index.php?title=Mod%C3%A8l:Trim&action=edit" title="Modèl:Trim">modificar</a>) </li><li><a href="/wiki/Mod%C3%A8l:Veire" class="mw-redirect" title="Modèl:Veire">Modèl:Veire</a> (<a href="/w/index.php?title=Mod%C3%A8l:Veire&action=edit" class="mw-redirect" title="Modèl:Veire">modificar</a>) </li><li><a href="/wiki/M%C3%B2dul:Aisinas" title="Mòdul:Aisinas">Mòdul:Aisinas</a> (<a href="/w/index.php?title=M%C3%B2dul:Aisinas&action=edit" title="Mòdul:Aisinas">modificar</a>) </li><li><a href="/wiki/M%C3%B2dul:Biblio" title="Mòdul:Biblio">Mòdul:Biblio</a> (<a href="/w/index.php?title=M%C3%B2dul:Biblio&action=edit" title="Mòdul:Biblio">modificar</a>) </li><li><a href="/wiki/M%C3%B2dul:Biblio/Article" title="Mòdul:Biblio/Article">Mòdul:Biblio/Article</a> (<a href="/w/index.php?title=M%C3%B2dul:Biblio/Article&action=edit" title="Mòdul:Biblio/Article">modificar</a>) </li><li><a href="/wiki/M%C3%B2dul:Biblio/Comun" title="Mòdul:Biblio/Comun">Mòdul:Biblio/Comun</a> (<a href="/w/index.php?title=M%C3%B2dul:Biblio/Comun&action=edit" title="Mòdul:Biblio/Comun">modificar</a>) </li><li><a href="/wiki/M%C3%B2dul:Biblio/Refer%C3%A9ncias" title="Mòdul:Biblio/Referéncias">Mòdul:Biblio/Referéncias</a> (<a href="/w/index.php?title=M%C3%B2dul:Biblio/Refer%C3%A9ncias&action=edit" title="Mòdul:Biblio/Referéncias">modificar</a>) </li><li><a href="/wiki/M%C3%B2dul:Data" title="Mòdul:Data">Mòdul:Data</a> (<a href="/w/index.php?title=M%C3%B2dul:Data&action=edit" title="Mòdul:Data">modificar</a>) </li><li><a href="/wiki/M%C3%B2dul:Data/Data" title="Mòdul:Data/Data">Mòdul:Data/Data</a> (<a href="/w/index.php?title=M%C3%B2dul:Data/Data&action=edit" title="Mòdul:Data/Data">modificar</a>) </li><li><a href="/wiki/M%C3%B2dul:Lenga" title="Mòdul:Lenga">Mòdul:Lenga</a> (<a href="/w/index.php?title=M%C3%B2dul:Lenga&action=edit" title="Mòdul:Lenga">modificar</a>) </li><li><a href="/wiki/M%C3%B2dul:Lenga/Data" title="Mòdul:Lenga/Data">Mòdul:Lenga/Data</a> (<a href="/w/index.php?title=M%C3%B2dul:Lenga/Data&action=edit" title="Mòdul:Lenga/Data">veire la font</a>) (protegit)</li><li><a href="/wiki/M%C3%B2dul:Lenga/ISO_639_synonyms" title="Mòdul:Lenga/ISO 639 synonyms">Mòdul:Lenga/ISO 639 synonyms</a> (<a href="/w/index.php?title=M%C3%B2dul:Lenga/ISO_639_synonyms&action=edit" title="Mòdul:Lenga/ISO 639 synonyms">modificar</a>) </li><li><a href="/wiki/M%C3%B2dul:Lenga/V2" title="Mòdul:Lenga/V2">Mòdul:Lenga/V2</a> (<a href="/w/index.php?title=M%C3%B2dul:Lenga/V2&action=edit" title="Mòdul:Lenga/V2">modificar</a>) </li><li><a href="/wiki/M%C3%B2dul:Lenga/script" title="Mòdul:Lenga/script">Mòdul:Lenga/script</a> (<a href="/w/index.php?title=M%C3%B2dul:Lenga/script&action=edit" title="Mòdul:Lenga/script">modificar</a>) </li><li><a href="/wiki/M%C3%B2dul:Lenga/taula" title="Mòdul:Lenga/taula">Mòdul:Lenga/taula</a> (<a href="/w/index.php?title=M%C3%B2dul:Lenga/taula&action=edit" title="Mòdul:Lenga/taula">modificar</a>) </li><li><a href="/wiki/M%C3%B2dul:Multiparam%C3%A8tres" title="Mòdul:Multiparamètres">Mòdul:Multiparamètres</a> (<a href="/w/index.php?title=M%C3%B2dul:Multiparam%C3%A8tres&action=edit" title="Mòdul:Multiparamètres">modificar</a>) </li><li><a href="/wiki/M%C3%B2dul:No_globals" title="Mòdul:No globals">Mòdul:No globals</a> (<a href="/w/index.php?title=M%C3%B2dul:No_globals&action=edit" title="Mòdul:No globals">modificar</a>) </li><li><a href="/wiki/M%C3%B2dul:TableBuilder" title="Mòdul:TableBuilder">Mòdul:TableBuilder</a> (<a href="/w/index.php?title=M%C3%B2dul:TableBuilder&action=edit" title="Mòdul:TableBuilder">modificar</a>) </li></ul></div><p id="mw-returnto">Tornar a la pagina <a href="/wiki/Pi" title="Pi">Pi</a>.</p> <noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Recuperada de « <a dir="ltr" href="https://oc.wikipedia.org/wiki/Pi">https://oc.wikipedia.org/wiki/Pi</a> »</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks catlinks-allhidden" data-mw="interface"></div> </div> </main> </div> <div class="mw-footer-container"> <footer id="footer" class="mw-footer" > <ul id="footer-info"> </ul> <ul id="footer-places"> <li id="footer-places-privacy"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Privacy_policy/fr">Politica de confidencialitat</a></li> <li id="footer-places-disclaimers"><a href="/wiki/Wikip%C3%A8dia:Avertiments_generals">Avertiments</a></li> <li id="footer-places-wm-codeofconduct"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Universal_Code_of_Conduct">Còdi de conducta</a></li> <li id="footer-places-developers"><a href="https://developer.wikimedia.org">Desvolopaires</a></li> <li id="footer-places-statslink"><a href="https://stats.wikimedia.org/#/oc.wikipedia.org">Estatisticas</a></li> <li id="footer-places-cookiestatement"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Cookie_statement">Declaracion suls cookies</a></li> <li id="footer-places-mobileview"><a href="//oc.m.wikipedia.org/w/index.php?title=Pi&action=edit&mobileaction=toggle_view_mobile" class="noprint stopMobileRedirectToggle">Afichatge mobil</a></li> </ul> <ul id="footer-icons" class="noprint"> <li id="footer-copyrightico"><a href="https://wikimediafoundation.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/static/images/footer/wikimedia-button.svg" width="84" height="29" alt="Wikimedia Foundation" loading="lazy"></a></li> <li id="footer-poweredbyico"><a href="https://www.mediawiki.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/w/resources/assets/poweredby_mediawiki.svg" alt="Powered by MediaWiki" width="88" height="31" loading="lazy"></a></li> </ul> </footer> </div> </div> </div> <div class="vector-settings" id="p-dock-bottom"> <ul></ul> </div><script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.config.set({"wgHostname":"mw-web.codfw.main-f69cdc8f6-cfgc4","wgBackendResponseTime":209,"wgPageParseReport":{"limitreport":{"cputime":"0.004","walltime":"0.005","ppvisitednodes":{"value":17,"limit":1000000},"postexpandincludesize":{"value":767,"limit":2097152},"templateargumentsize":{"value":0,"limit":2097152},"expansiondepth":{"value":2,"limit":100},"expensivefunctioncount":{"value":0,"limit":500},"unstrip-depth":{"value":0,"limit":20},"unstrip-size":{"value":0,"limit":5000000},"entityaccesscount":{"value":0,"limit":400},"timingprofile":["100.00% 0.000 1 -total"]},"cachereport":{"origin":"mw-web.codfw.main-f69cdc8f6-cfgc4","timestamp":"20241124193039","ttl":2592000,"transientcontent":false}}});});</script> </body> </html>