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class="interlanguage-link-target"><span>العربية</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ary mw-list-item"><a href="https://ary.wikipedia.org/wiki/%D9%85%D8%B9%D8%A7%D8%AF%D9%84%D8%A9_%D8%AA%D9%81%D8%A7%D8%B6%D9%84%D9%8A%D8%A9_%D8%AC%D8%B2%D8%A6%D9%8A%D8%A9" title="معادلة تفاضلية جزئية (Moroccan Arabic)" lang="ary" hreflang="ary" data-title="معادلة تفاضلية جزئية" data-language-autonym="الدارجة" data-language-local-name="Moroccan Arabic" class="interlanguage-link-target"><span>الدارجة</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ast mw-list-item"><a href="https://ast.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivaes_parciales" title="Ecuación en derivaes parciales (asturiano)" lang="ast" hreflang="ast" data-title="Ecuación en derivaes parciales" data-language-autonym="Asturianu" data-language-local-name="asturiano" class="interlanguage-link-target"><span>Asturianu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bg mw-list-item"><a href="https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%BE_%D0%B4%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D0%BD%D0%BE_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5" title="Частно диференциално уравнение (búlgaro)" lang="bg" hreflang="bg" data-title="Частно диференциално уравнение" data-language-autonym="Български" data-language-local-name="búlgaro" class="interlanguage-link-target"><span>Български</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bn mw-list-item"><a href="https://bn.wikipedia.org/wiki/%E0%A6%86%E0%A6%82%E0%A6%B6%E0%A6%BF%E0%A6%95_%E0%A6%AC%E0%A7%8D%E0%A6%AF%E0%A6%AC%E0%A6%95%E0%A6%B2%E0%A6%A8%E0%A7%80%E0%A6%AF%E0%A6%BC_%E0%A6%B8%E0%A6%AE%E0%A7%80%E0%A6%95%E0%A6%B0%E0%A6%A3" title="আংশিক ব্যবকলনীয় সমীকরণ (bengalí)" lang="bn" hreflang="bn" data-title="আংশিক ব্যবকলনীয় সমীকরণ" data-language-autonym="বাংলা" data-language-local-name="bengalí" class="interlanguage-link-target"><span>বাংলা</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ca mw-list-item"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Equaci%C3%B3_diferencial_en_derivades_parcials" title="Equació diferencial en derivades parcials (catalán)" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Equació diferencial en derivades parcials" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="catalán" class="interlanguage-link-target"><span>Català</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/Parci%C3%A1ln%C3%AD_diferenci%C3%A1ln%C3%AD_rovnice" title="Parciální diferenciální rovnice (checo)" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Parciální diferenciální rovnice" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="checo" class="interlanguage-link-target"><span>Čeština</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cv mw-list-item"><a href="https://cv.wikipedia.org/wiki/%D0%A5%D0%B0%D1%80%D0%BF%C4%83%D1%80_%D1%82%C4%83%D1%85%C4%83%D0%BC%D1%81%D0%B5%D0%BC%D0%BB%C4%95_%D0%B4%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D0%BB%C4%83_%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%BB%C4%83%D1%85" title="Харпăр тăхăмсемлĕ дифференциаллă танлăх (chuvasio)" lang="cv" hreflang="cv" data-title="Харпăр тăхăмсемлĕ дифференциаллă танлăх" data-language-autonym="Чӑвашла" data-language-local-name="chuvasio" class="interlanguage-link-target"><span>Чӑвашла</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-de mw-list-item"><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Partielle_Differentialgleichung" title="Partielle Differentialgleichung (alemán)" lang="de" hreflang="de" data-title="Partielle Differentialgleichung" data-language-autonym="Deutsch" data-language-local-name="alemán" class="interlanguage-link-target"><span>Deutsch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-el mw-list-item"><a href="https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%9C%CE%B5%CF%81%CE%B9%CE%BA%CE%AE_%CE%B4%CE%B9%CE%B1%CF%86%CE%BF%CF%81%CE%B9%CE%BA%CE%AE_%CE%B5%CE%BE%CE%AF%CF%83%CF%89%CF%83%CE%B7" title="Μερική διαφορική εξίσωση (griego)" lang="el" hreflang="el" data-title="Μερική διαφορική εξίσωση" data-language-autonym="Ελληνικά" data-language-local-name="griego" class="interlanguage-link-target"><span>Ελληνικά</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Partial_differential_equation" title="Partial differential equation (inglés)" lang="en" hreflang="en" data-title="Partial differential equation" data-language-autonym="English" data-language-local-name="inglés" class="interlanguage-link-target"><span>English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eo mw-list-item"><a href="https://eo.wikipedia.org/wiki/Parta_diferenciala_ekvacio" title="Parta diferenciala ekvacio (esperanto)" lang="eo" hreflang="eo" data-title="Parta diferenciala ekvacio" data-language-autonym="Esperanto" data-language-local-name="esperanto" class="interlanguage-link-target"><span>Esperanto</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-et mw-list-item"><a href="https://et.wikipedia.org/wiki/Osatuletistega_diferentsiaalv%C3%B5rrand" title="Osatuletistega diferentsiaalvõrrand (estonio)" lang="et" hreflang="et" data-title="Osatuletistega diferentsiaalvõrrand" data-language-autonym="Eesti" data-language-local-name="estonio" class="interlanguage-link-target"><span>Eesti</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eu mw-list-item"><a href="https://eu.wikipedia.org/wiki/Ekuazio_diferentzial_partzial" title="Ekuazio diferentzial partzial (euskera)" lang="eu" hreflang="eu" data-title="Ekuazio diferentzial partzial" data-language-autonym="Euskara" data-language-local-name="euskera" class="interlanguage-link-target"><span>Euskara</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%D9%85%D8%B9%D8%A7%D8%AF%D9%84%D9%87_%D8%AF%DB%8C%D9%81%D8%B1%D8%A7%D9%86%D8%B3%DB%8C%D9%84_%D8%A8%D8%A7_%D9%85%D8%B4%D8%AA%D9%82%D8%A7%D8%AA_%D8%AC%D8%B2%D8%A6%DB%8C" title="معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی (persa)" lang="fa" hreflang="fa" data-title="معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="persa" class="interlanguage-link-target"><span>فارسی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fi mw-list-item"><a href="https://fi.wikipedia.org/wiki/Osittaisdifferentiaaliyht%C3%A4l%C3%B6" title="Osittaisdifferentiaaliyhtälö (finés)" lang="fi" hreflang="fi" data-title="Osittaisdifferentiaaliyhtälö" data-language-autonym="Suomi" data-language-local-name="finés" class="interlanguage-link-target"><span>Suomi</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fr mw-list-item"><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quation_aux_d%C3%A9riv%C3%A9es_partielles" title="Équation aux dérivées partielles (francés)" lang="fr" hreflang="fr" data-title="Équation aux dérivées partielles" data-language-autonym="Français" data-language-local-name="francés" class="interlanguage-link-target"><span>Français</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gl mw-list-item"><a href="https://gl.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parciais" title="Ecuación en derivadas parciais (gallego)" lang="gl" hreflang="gl" data-title="Ecuación en derivadas parciais" data-language-autonym="Galego" data-language-local-name="gallego" class="interlanguage-link-target"><span>Galego</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%9E%D7%A9%D7%95%D7%95%D7%90%D7%94_%D7%93%D7%99%D7%A4%D7%A8%D7%A0%D7%A6%D7%99%D7%90%D7%9C%D7%99%D7%AA_%D7%97%D7%9C%D7%A7%D7%99%D7%AA" title="משוואה דיפרנציאלית חלקית (hebreo)" lang="he" hreflang="he" data-title="משוואה דיפרנציאלית חלקית" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="hebreo" class="interlanguage-link-target"><span>עברית</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hi mw-list-item"><a href="https://hi.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%86%E0%A4%82%E0%A4%B6%E0%A4%BF%E0%A4%95_%E0%A4%85%E0%A4%B5%E0%A4%95%E0%A4%B2_%E0%A4%B8%E0%A4%AE%E0%A5%80%E0%A4%95%E0%A4%B0%E0%A4%A3" title="आंशिक अवकल समीकरण (hindi)" lang="hi" hreflang="hi" data-title="आंशिक अवकल समीकरण" data-language-autonym="हिन्दी" data-language-local-name="hindi" class="interlanguage-link-target"><span>हिन्दी</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hu mw-list-item"><a href="https://hu.wikipedia.org/wiki/Parci%C3%A1lis_differenci%C3%A1legyenlet" title="Parciális differenciálegyenlet (húngaro)" lang="hu" hreflang="hu" data-title="Parciális differenciálegyenlet" data-language-autonym="Magyar" data-language-local-name="húngaro" class="interlanguage-link-target"><span>Magyar</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hy mw-list-item"><a href="https://hy.wikipedia.org/wiki/%D5%84%D5%A1%D5%BD%D5%B6%D5%A1%D5%AF%D5%AB_%D5%A1%D5%AE%D5%A1%D5%B6%D6%81%D5%B5%D5%A1%D5%AC%D5%B6%D5%A5%D6%80%D5%B8%D5%BE_%D5%A4%D5%AB%D6%86%D5%A5%D6%80%D5%A5%D5%B6%D6%81%D5%AB%D5%A1%D5%AC_%D5%B0%D5%A1%D5%BE%D5%A1%D5%BD%D5%A1%D6%80%D5%B8%D6%82%D5%B4%D5%B6%D5%A5%D6%80" title="Մասնակի ածանցյալներով դիֆերենցիալ հավասարումներ (armenio)" lang="hy" hreflang="hy" data-title="Մասնակի ածանցյալներով դիֆերենցիալ հավասարումներ" data-language-autonym="Հայերեն" data-language-local-name="armenio" class="interlanguage-link-target"><span>Հայերեն</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-id mw-list-item"><a href="https://id.wikipedia.org/wiki/Persamaan_diferensial_parsial" title="Persamaan diferensial parsial (indonesio)" lang="id" hreflang="id" data-title="Persamaan diferensial parsial" data-language-autonym="Bahasa Indonesia" data-language-local-name="indonesio" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Indonesia</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Equazione_differenziale_alle_derivate_parziali" title="Equazione differenziale alle derivate parziali (italiano)" lang="it" hreflang="it" data-title="Equazione differenziale alle derivate parziali" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="italiano" class="interlanguage-link-target"><span>Italiano</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%81%8F%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F" title="偏微分方程式 (japonés)" lang="ja" hreflang="ja" data-title="偏微分方程式" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="japonés" class="interlanguage-link-target"><span>日本語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%ED%8E%B8%EB%AF%B8%EB%B6%84_%EB%B0%A9%EC%A0%95%EC%8B%9D" title="편미분 방정식 (coreano)" lang="ko" hreflang="ko" data-title="편미분 방정식" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="coreano" class="interlanguage-link-target"><span>한국어</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mk mw-list-item"><a href="https://mk.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B0%D1%80%D1%86%D0%B8%D1%98%D0%B0%D0%BB%D0%BD%D0%B0_%D0%B4%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D1%98%D0%B0%D0%BB%D0%BD%D0%B0_%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%B0" title="Парцијална диференцијална равенка (macedonio)" lang="mk" hreflang="mk" data-title="Парцијална диференцијална равенка" data-language-autonym="Македонски" data-language-local-name="macedonio" class="interlanguage-link-target"><span>Македонски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ms mw-list-item"><a href="https://ms.wikipedia.org/wiki/Persamaan_pembezaan_separa" title="Persamaan pembezaan separa (malayo)" lang="ms" hreflang="ms" data-title="Persamaan pembezaan separa" data-language-autonym="Bahasa Melayu" data-language-local-name="malayo" 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href="https://pl.wikipedia.org/wiki/R%C3%B3wnanie_r%C3%B3%C5%BCniczkowe_cz%C4%85stkowe" title="Równanie różniczkowe cząstkowe (polaco)" lang="pl" hreflang="pl" data-title="Równanie różniczkowe cząstkowe" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="polaco" class="interlanguage-link-target"><span>Polski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_diferencial_parcial" title="Equação diferencial parcial (portugués)" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Equação diferencial parcial" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="portugués" class="interlanguage-link-target"><span>Português</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ro mw-list-item"><a href="https://ro.wikipedia.org/wiki/Ecua%C8%9Bie_cu_derivate_par%C8%9Biale" title="Ecuație cu derivate parțiale (rumano)" lang="ro" hreflang="ro" data-title="Ecuație cu derivate parțiale" data-language-autonym="Română" data-language-local-name="rumano" class="interlanguage-link-target"><span>Română</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%B2_%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D1%8B%D1%85" title="Дифференциальное уравнение в частных производных (ruso)" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Дифференциальное уравнение в частных производных" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="ruso" class="interlanguage-link-target"><span>Русский</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sco mw-list-item"><a href="https://sco.wikipedia.org/wiki/Pairtial_differential_equation" title="Pairtial differential equation (escocés)" lang="sco" hreflang="sco" data-title="Pairtial differential equation" data-language-autonym="Scots" data-language-local-name="escocés" class="interlanguage-link-target"><span>Scots</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sh mw-list-item"><a href="https://sh.wikipedia.org/wiki/Parcijalna_diferencijalna_jedna%C4%8Dina" title="Parcijalna diferencijalna jednačina (serbocroata)" lang="sh" hreflang="sh" data-title="Parcijalna diferencijalna jednačina" data-language-autonym="Srpskohrvatski / српскохрватски" data-language-local-name="serbocroata" class="interlanguage-link-target"><span>Srpskohrvatski / српскохрватски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-simple mw-list-item"><a href="https://simple.wikipedia.org/wiki/Partial_differential_equation" title="Partial differential equation (Simple English)" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Partial differential equation" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="Simple English" class="interlanguage-link-target"><span>Simple English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sk mw-list-item"><a href="https://sk.wikipedia.org/wiki/Parci%C3%A1lna_diferenci%C3%A1lna_rovnica" title="Parciálna diferenciálna rovnica (eslovaco)" lang="sk" hreflang="sk" data-title="Parciálna diferenciálna rovnica" data-language-autonym="Slovenčina" data-language-local-name="eslovaco" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenčina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/Parcialna_diferencialna_ena%C4%8Dba" title="Parcialna diferencialna enačba (esloveno)" lang="sl" hreflang="sl" data-title="Parcialna diferencialna enačba" data-language-autonym="Slovenščina" data-language-local-name="esloveno" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenščina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sq mw-list-item"><a href="https://sq.wikipedia.org/wiki/Ekuacionet_diferenciale_t%C3%AB_pjesshme" title="Ekuacionet diferenciale të pjesshme (albanés)" lang="sq" hreflang="sq" data-title="Ekuacionet diferenciale të pjesshme" data-language-autonym="Shqip" data-language-local-name="albanés" class="interlanguage-link-target"><span>Shqip</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B0%D1%80%D1%86%D0%B8%D1%98%D0%B0%D0%BB%D0%BD%D0%B0_%D0%B4%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D1%98%D0%B0%D0%BB%D0%BD%D0%B0_%D1%98%D0%B5%D0%B4%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B8%D0%BD%D0%B0" title="Парцијална диференцијална једначина (serbio)" lang="sr" hreflang="sr" data-title="Парцијална диференцијална једначина" data-language-autonym="Српски / srpski" data-language-local-name="serbio" class="interlanguage-link-target"><span>Српски / srpski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sv mw-list-item"><a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/Partiell_differentialekvation" title="Partiell differentialekvation (sueco)" lang="sv" hreflang="sv" data-title="Partiell 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class="interlanguage-link-target"><span>Tagalog</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tr mw-list-item"><a href="https://tr.wikipedia.org/wiki/K%C4%B1smi_diferansiyel_denklem" title="Kısmi diferansiyel denklem (turco)" lang="tr" hreflang="tr" data-title="Kısmi diferansiyel denklem" data-language-autonym="Türkçe" data-language-local-name="turco" class="interlanguage-link-target"><span>Türkçe</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uk mw-list-item"><a href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B5_%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D0%B7_%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BD%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B8_%D0%BF%D0%BE%D1%85%D1%96%D0%B4%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B8" title="Диференціальне рівняння з частинними похідними (ucraniano)" lang="uk" hreflang="uk" data-title="Диференціальне рівняння з частинними похідними" data-language-autonym="Українська" data-language-local-name="ucraniano" class="interlanguage-link-target"><span>Українська</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uz mw-list-item"><a href="https://uz.wikipedia.org/wiki/Xususiy_hosilali_differensial_tenglama" title="Xususiy hosilali differensial tenglama (uzbeko)" lang="uz" hreflang="uz" data-title="Xususiy hosilali differensial tenglama" data-language-autonym="Oʻzbekcha / ўзбекча" data-language-local-name="uzbeko" class="interlanguage-link-target"><span>Oʻzbekcha / ўзбекча</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vi mw-list-item"><a href="https://vi.wikipedia.org/wiki/Ph%C6%B0%C6%A1ng_tr%C3%ACnh_vi_ph%C3%A2n_ri%C3%AAng_ph%E1%BA%A7n" title="Phương trình vi phân riêng phần (vietnamita)" lang="vi" hreflang="vi" data-title="Phương trình vi phân riêng phần" data-language-autonym="Tiếng Việt" data-language-local-name="vietnamita" class="interlanguage-link-target"><span>Tiếng Việt</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%81%8F%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%96%B9%E7%A8%8B" title="偏微分方程 (chino)" lang="zh" hreflang="zh" data-title="偏微分方程" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="chino" class="interlanguage-link-target"><span>中文</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-yue mw-list-item"><a href="https://zh-yue.wikipedia.org/wiki/%E5%81%8F%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%96%B9%E7%A8%8B" title="偏微分方程 (cantonés)" lang="yue" hreflang="yue" data-title="偏微分方程" data-language-autonym="粵語" data-language-local-name="cantonés" class="interlanguage-link-target"><span>粵語</span></a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><span class="wb-langlinks-edit wb-langlinks-link"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q271977#sitelinks-wikipedia" title="Editar enlaces interlingüísticos" class="wbc-editpage">Editar enlaces</a></span></div> </div> </div> </div> </header> <div class="vector-page-toolbar"> <div 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class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parciales&action=edit" title="Editar esta página [e]" accesskey="e"><span>Editar</span></a></li><li id="ca-history" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parciales&action=history" title="Versiones anteriores de esta página [h]" accesskey="h"><span>Ver historial</span></a></li> </ul> </div> </div> </nav> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Página de herramientas"> <div id="vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown vector-page-tools-dropdown" > <input type="checkbox" id="vector-page-tools-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Herramientas" > <label id="vector-page-tools-dropdown-label" for="vector-page-tools-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button 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<div class="vector-menu-heading"> General </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-whatlinkshere" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Especial:LoQueEnlazaAqu%C3%AD/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parciales" title="Lista de todas las páginas de la wiki que enlazan aquí [j]" accesskey="j"><span>Lo que enlaza aquí</span></a></li><li id="t-recentchangeslinked" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Especial:CambiosEnEnlazadas/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parciales" rel="nofollow" title="Cambios recientes en las páginas que enlazan con esta [k]" accesskey="k"><span>Cambios en enlazadas</span></a></li><li id="t-upload" class="mw-list-item"><a href="//commons.wikimedia.org/wiki/Special:UploadWizard?uselang=es" title="Subir archivos [u]" accesskey="u"><span>Subir archivo</span></a></li><li id="t-specialpages" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Especial:P%C3%A1ginasEspeciales" title="Lista de todas las páginas especiales [q]" accesskey="q"><span>Páginas 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//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/85/BendingCircularPlate.png/600px-BendingCircularPlate.png 2x" data-file-width="672" data-file-height="536" /></a><figcaption>Flexión elástica de una placa circular empotrada en su contorno bajo la acción de una carga vertical distribuida uniformemente, que es solución de la <a href="/wiki/Teor%C3%ADa_de_placas_y_l%C3%A1minas#Ecuación_de_Lagrange_para_placas_delgadas" title="Teoría de placas y láminas">ecuación de Lagrange de placas</a>; la solución mostrada fue obtenida numéricamente mediante <a href="/wiki/Ansys" class="mw-redirect" title="Ansys">Ansys</a>.</figcaption></figure> <figure class="mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Archivo:Heat_eqn.gif" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a9/Heat_eqn.gif" decoding="async" width="200" height="136" class="mw-file-element" data-file-width="200" data-file-height="136" /></a><figcaption>Variación del perfil de temperaturas solución de la <a href="/wiki/Ecuaci%C3%B3n_del_calor" title="Ecuación del calor">ecuación del calor</a> en un problema bidimensional</figcaption></figure> <p>En <a href="/wiki/Matem%C3%A1ticas" title="Matemáticas">matemáticas</a>, una <b>ecuación en derivadas parciales</b> (en ocasiones abreviada como <b>EDP</b>) es aquella <a href="/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial" title="Ecuación diferencial">ecuación diferencial</a> cuyas <a href="/wiki/Inc%C3%B3gnita" title="Incógnita">incógnitas</a> son <a href="/wiki/Funciones" class="mw-redirect mw-disambig" title="Funciones">funciones</a> de diversas variables independientes, con la peculiaridad de que en dicha <a href="/wiki/Ecuaci%C3%B3n" title="Ecuación">ecuación</a> figuran no solo las propias funciones sino también sus derivadas. Tienen que existir funciones de por lo menos dos variables independientes.<sup id="cite_ref-1" class="reference separada"><a href="#cite_note-1"><span class="corchete-llamada">[</span>1<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> O bien una ecuación que involucre una <a href="/wiki/Funci%C3%B3n_(matem%C3%A1tica)" title="Función (matemática)">función</a> <i><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>u</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3e6bb763d22c20916ed4f0bb6bd49d7470cffd8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle u}"></span></i> de varias <a href="/wiki/Variable_independiente" class="mw-redirect" title="Variable independiente">variables independientes</a> <i>x</i>, <i>y</i>, <i>z</i>, …, y las <a href="/wiki/Derivada_parcial" title="Derivada parcial">derivadas parciales</a> de <i>u</i> respecto de esas variables. Las ecuaciones en derivadas parciales se emplean en la formulación matemática de procesos de la física y otras ciencias que suelen estar distribuidos en el espacio y el tiempo. Problemas típicos son la propagación del <a href="/wiki/Sonido" title="Sonido">sonido</a> o del <a href="/wiki/Calor" title="Calor">calor</a>, la <a href="/wiki/Electrost%C3%A1tica" title="Electrostática">electrostática</a>, la <a href="/wiki/Electrodin%C3%A1mica" title="Electrodinámica">electrodinámica</a>, la <a href="/wiki/Din%C3%A1mica_de_fluidos" class="mw-redirect" title="Dinámica de fluidos">dinámica de fluidos</a>, la <a href="/wiki/Elasticidad_(mec%C3%A1nica_de_s%C3%B3lidos)" title="Elasticidad (mecánica de sólidos)">elasticidad</a>, la <a href="/wiki/Mec%C3%A1nica_cu%C3%A1ntica" title="Mecánica cuántica">mecánica cuántica</a> y muchos otros. Se las conoce también como <i>ecuaciones diferenciales parciales</i>. Participaron, al inicio, en su estudio los franceses <a href="/wiki/Jean_le_Rond_d%27Alembert" title="Jean le Rond d'Alembert">d'Alembert</a>, <a href="/wiki/Jean-Baptiste_Joseph_Fourier" class="mw-redirect" title="Jean-Baptiste Joseph Fourier">Fourier</a>, matemáticos de la época napoleónica. </p><p>A menudo se piensa en la función como una "incógnita" que hay que resolver, de forma similar a como se piensa en <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">x</span> como un número desconocido que hay que resolver en una ecuación algebraica como <span class="texhtml"><i>x</i><sup>2</sup> - 3<i>x</i> + 2 = 0</span>. Sin embargo, normalmente es imposible escribir fórmulas explícitas para las soluciones de las ecuaciones diferenciales parciales. Existe, en consecuencia, una gran cantidad de investigación matemática y científica moderna sobre métodos para <a href="/w/index.php?title=M%C3%A9todos_num%C3%A9ricos_para_ecuaciones_diferenciales_parciales&action=edit&redlink=1" class="new" title="Métodos numéricos para ecuaciones diferenciales parciales (aún no redactado)">aproximar numéricamente</a> soluciones de ciertas ecuaciones diferenciales parciales utilizando ordenadores. Las ecuaciones diferenciales parciales ocupan también un amplio sector de la <a href="/wiki/Matem%C3%A1tica_pura" title="Matemática pura">investigación matemática pura</a>, en el que las cuestiones habituales versan, a grandes rasgos, sobre la identificación de características cualitativas generales de las soluciones de diversas ecuaciones diferenciales parciales, tales como existencia, unicidad, regularidad y estabilidad.<sup>[<i><a href="/wiki/Wikipedia:Verificabilidad" title="Wikipedia:Verificabilidad">cita requerida</a></i>]</sup> Entre las muchas cuestiones abiertas se encuentra la <a href="/w/index.php?title=Existencia_y_suavidad_de_Navier-Stokes&action=edit&redlink=1" class="new" title="Existencia y suavidad de Navier-Stokes (aún no redactado)">existencia y suavidad</a> de soluciones de las <a href="/wiki/Ecuaciones_de_Navier-Stokes" title="Ecuaciones de Navier-Stokes">ecuaciones de Navier-Stokes</a>, nombrada como uno de los <a href="/wiki/Millennium_Prize_Problems" class="mw-redirect" title="Millennium Prize Problems">Millennium Prize Problems</a> en 2000. </p><p>Las ecuaciones diferenciales parciales son omnipresentes en campos científicos orientados a las matemáticas, como la <a href="/wiki/F%C3%ADsica" title="Física">física</a> y la <a href="/wiki/Ingenier%C3%ADa" title="Ingeniería">ingeniería</a>. Por ejemplo, son fundamentales en la comprensión científica moderna del <a href="/wiki/Sonido" title="Sonido">sonido</a>, el <a href="/wiki/Calor" title="Calor">calor</a>, la <a href="/wiki/Difusi%C3%B3n" class="mw-disambig" title="Difusión">difusión</a>, la <a href="/wiki/Electrost%C3%A1tica" title="Electrostática">electrostática</a>, el <a href="/wiki/Electromagnetismo" title="Electromagnetismo">electrodinámica</a>, la <a href="/wiki/Termodin%C3%A1mica" title="Termodinámica">termodinámica</a>, la <a href="/wiki/Din%C3%A1mica_de_fluidos" class="mw-redirect" title="Dinámica de fluidos">dinámica de fluidos</a>, la <a href="/wiki/Elasticidad_(f%C3%ADsica)" class="mw-redirect" title="Elasticidad (física)">elasticidad</a>, la <a href="/wiki/Relatividad_general" title="Relatividad general">relatividad general</a> y la <a href="/wiki/Mec%C3%A1nica_cu%C3%A1ntica" title="Mecánica cuántica">mecánica cuántica</a> (<a href="/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_Schr%C3%B6dinger" title="Ecuación de Schrödinger">ecuación de Schrödinger</a>, <a href="/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_Pauli" class="mw-redirect" title="Ecuación de Pauli">ecuación de Pauli</a>, etc.). También surgen de muchas consideraciones puramente matemáticas, como la <a href="/wiki/Geometr%C3%ADa_diferencial" title="Geometría diferencial">geometría diferencial</a> y el <a href="/wiki/C%C3%A1lculo_de_variaciones" title="Cálculo de variaciones">cálculo de variaciones</a>; entre otras aplicaciones notables, son la herramienta fundamental en la demostración de la <a href="/wiki/Conjetura_de_Poincar%C3%A9" class="mw-redirect" title="Conjetura de Poincaré">conjetura de Poincaré</a> de la <a href="/wiki/Topolog%C3%ADa_geom%C3%A9trica" title="Topología geométrica">topología geométrica</a>. </p><p>En parte debido a esta variedad de fuentes, existe un amplio espectro de diferentes tipos de ecuaciones diferenciales parciales, y se han desarrollado métodos para tratar muchas de las ecuaciones individuales que surgen. Como tal, por lo general se reconoce que no existe una "teoría general" de las ecuaciones diferenciales parciales, con el conocimiento especializado siendo algo dividido entre varios subcampos esencialmente distintos.<sup id="cite_ref-2" class="reference separada"><a href="#cite_note-2"><span class="corchete-llamada">[</span>2<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> </p><p>Las <a href="/wiki/Ecuaciones_diferenciales_ordinarias" class="mw-redirect" title="Ecuaciones diferenciales ordinarias">ecuaciones diferenciales ordinarias</a> forman una subclase de ecuaciones diferenciales parciales, correspondientes a funciones de una sola variable. Las <a href="/w/index.php?title=Ecuaciones_diferenciales_parciales_estoc%C3%A1sticas&action=edit&redlink=1" class="new" title="Ecuaciones diferenciales parciales estocásticas (aún no redactado)">ecuaciones diferenciales parciales estocásticas</a> y la <a href="/wiki/C%C3%A1lculo_fraccional" title="Cálculo fraccional">ecuación no local</a> son, a partir de 2020, extensiones particularmente estudiadas de la noción de "EDP". Temas más clásicos, en los que todavía hay mucha investigación activa, incluyen <a href="/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_parcial_el%C3%ADptica" title="Ecuación diferencial parcial elíptica">elíptica</a> y <a href="/w/index.php?title=Ecuaci%C3%B3nEcuaci%C3%B3n_parab%C3%B3lica_en_derivadas_parciales&action=edit&redlink=1" class="new" title="EcuaciónEcuación parabólica en derivadas parciales (aún no redactado)">parabólica</a> ecuaciones diferenciales parciales, <a href="/wiki/Mec%C3%A1nica_de_fluidos" title="Mecánica de fluidos">mecánica de fluidos</a>, <a href="/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_Boltzmann" title="Ecuación de Boltzmann">ecuación de Boltzmann</a>, y <a href="/w/index.php?title=Ecuaci%C3%B3n_diferencial_parcial_dispersiva&action=edit&redlink=1" class="new" title="Ecuación diferencial parcial dispersiva (aún no redactado)">dispersiva</a> ecuaciones diferenciales parciales. </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Introducción"><span id="Introducci.C3.B3n"></span>Introducción</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parciales&action=edit&section=1" title="Editar sección: Introducción"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Una ecuación diferencial en derivadas parciales (EDP) para la función <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>u</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be93cf3dbddfac08cd49a9750cb43eb537508140" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.054ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle u(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,}"></span> tiene la siguiente forma: </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},u,{\frac {\partial u}{\partial x_{1}}},{\frac {\partial u}{\partial x_{2}}},\ldots ,{\frac {\partial u}{\partial x_{n}}},{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{1}\partial x_{1}}},{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{1}\partial x_{2}}},\cdots )=0\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mi>u</mi> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>u</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>u</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>u</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>u</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>u</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> <mo>⋯</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},u,{\frac {\partial u}{\partial x_{1}}},{\frac {\partial u}{\partial x_{2}}},\ldots ,{\frac {\partial u}{\partial x_{n}}},{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{1}\partial x_{1}}},{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{1}\partial x_{2}}},\cdots )=0\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de70c5fd57989194cc0138e0997c644c316dc4d5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:67.42ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle F(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},u,{\frac {\partial u}{\partial x_{1}}},{\frac {\partial u}{\partial x_{2}}},\ldots ,{\frac {\partial u}{\partial x_{n}}},{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{1}\partial x_{1}}},{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{1}\partial x_{2}}},\cdots )=0\,}"></span> </p><p>donde <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \scriptstyle F}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="1"> <mi>F</mi> </mstyle> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \scriptstyle F}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2c7768d78537fd1e7e8fea3c3cbff7e64317537" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.231ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \scriptstyle F}"></span> es una <a href="/wiki/Funci%C3%B3n_lineal" title="Función lineal">función lineal</a> de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>u</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/880f91e25cd451d89d1f6d0d06852b56a7b74a32" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.717ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle u\,}"></span> y sus derivadas si: </p> <blockquote style="padding: 5px 10px; background-color: var(--background-color-base, #fff); color: var(--color-base, #202122); text-align: left; margin-left:30px; margin-bottom: 0.4em; margin-top:0.2em; min-width:50%;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F(\lambda u+\mu w)=\lambda F(u)+\mu F(w),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>λ</mi> <mi>u</mi> <mo>+</mo> <mi>μ</mi> <mi>w</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>λ</mi> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>u</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>μ</mi> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>w</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F(\lambda u+\mu w)=\lambda F(u)+\mu F(w),}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb75ea67799c1def654f87c961874ceb7d08221b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:31.578ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle F(\lambda u+\mu w)=\lambda F(u)+\mu F(w),}"></span> </p> </blockquote> <p>Si <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>F</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af686cd9f8a742bde6d8ee773ddebc793960d0ee" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.128ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F\,}"></span> es una función lineal de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>u</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/880f91e25cd451d89d1f6d0d06852b56a7b74a32" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.717ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle u\,}"></span> y sus derivadas, entonces la EDP es lineal. Ejemplos comunes de EDP son la <a href="/wiki/Ecuaci%C3%B3n_del_calor" title="Ecuación del calor">ecuación del calor</a>, la <a href="/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_onda" title="Ecuación de onda">ecuación de onda</a> y la <a href="/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_Laplace" title="Ecuación de Laplace">ecuación de Laplace</a>. Una ecuación diferencial en derivadas parciales simple puede ser: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}(x,y)=0\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>u</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}(x,y)=0\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98a5525b8c4fc4633ad73b2f687d0619bcbeeb1e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:13.46ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}(x,y)=0\,}"></span></dd></dl> <p>donde <i>u</i> es una función de <i>x</i> e <i>y</i>. Esta relación implica que los valores de <i>u</i>(<i>x</i>, <i>y</i>) son completamente independientes de <i>x</i>. Por lo tanto la <a href="/w/index.php?title=Soluci%C3%B3n_general&action=edit&redlink=1" class="new" title="Solución general (aún no redactado)">solución general</a> de esta <a href="/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial" title="Ecuación diferencial">ecuación diferencial</a> es: </p> <blockquote style="padding: 5px 10px; background-color: var(--background-color-base, #fff); color: var(--color-base, #202122); text-align: left; margin-left:30px; margin-bottom: 0.4em; margin-top:0.2em; min-width:50%;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u(x,y)=f(y),\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>u</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u(x,y)=f(y),\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d03eeb45ded48dceb6f8becebc59fd24d405fb57" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.034ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle u(x,y)=f(y),\,}"></span> </p> </blockquote> <p>donde <i>f</i> es una función arbitraria de <i>y</i>. La <a href="/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_ordinaria" title="Ecuación diferencial ordinaria">ecuación diferencial ordinaria</a> (Similar a la EDP, pero con funciones de una variable) análoga es </p> <blockquote style="padding: 5px 10px; background-color: var(--background-color-base, #fff); color: var(--color-base, #202122); text-align: left; margin-left:30px; margin-bottom: 0.4em; margin-top:0.2em; min-width:50%;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {du}{dx}}=0,\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi>u</mi> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {du}{dx}}=0,\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/517448c906a6202c6150f666c1f4e9f3c408321b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:8.677ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {du}{dx}}=0,\,}"></span> </p> </blockquote> <p>que tiene la siguiente solución </p> <blockquote style="padding: 5px 10px; background-color: var(--background-color-base, #fff); color: var(--color-base, #202122); text-align: left; margin-left:30px; margin-bottom: 0.4em; margin-top:0.2em; min-width:50%;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u(x)=c,\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>u</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>c</mi> <mo>,</mo> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u(x)=c,\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21e466791b88508b17602599e34873f3fa953a91" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.608ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle u(x)=c,\,}"></span> </p> </blockquote> <p>Donde <i>c</i> es cualquier valor <a href="/wiki/Constante_(matem%C3%A1tica)" title="Constante (matemática)">constante</a> (independiente de <i>x</i>). Estos dos ejemplos ilustran que las soluciones generales de las ecuaciones diferenciales ordinarias se mantienen con constantes, pero las soluciones de las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales generan funciones arbitrarias. Una solución de una ecuación en derivadas parciales generalmente no es <a href="/wiki/Unicidad" title="Unicidad">única</a>; de tal forma que se tienen que proporcionar <a href="/wiki/Problema_de_condici%C3%B3n_de_frontera" title="Problema de condición de frontera">condiciones adicionales de contorno</a> capaces de definir la solución de forma única. Por ejemplo, en el caso sencillo anterior, la función <i>f</i> (<i>y</i> ) puede determinarse si <i>u</i> se especifica sobre la línea <i>x</i> = 0. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Notación_y_ejemplos"><span id="Notaci.C3.B3n_y_ejemplos"></span>Notación y ejemplos</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parciales&action=edit&section=2" title="Editar sección: Notación y ejemplos"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>En las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales es muy común denotar las <a href="/wiki/Derivada_parcial" title="Derivada parcial">derivadas parciales</a> empleando sub-índices (Notación tensorial). Esto es: </p> <blockquote style="padding: 5px 10px; background-color: var(--background-color-base, #fff); color: var(--color-base, #202122); text-align: left; margin-left:30px; margin-bottom: 0.4em; margin-top:0.2em; min-width:50%;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u'_{x}={\partial u \over \partial x},\qquad u''_{xy}={\partial ^{2}u \over \partial y\,\partial x}={\partial \over \partial y}\left({\partial u \over \partial x}\right)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> <mo>′</mo> </msubsup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>u</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> <mspace width="2em" /> <msubsup> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mi>y</mi> </mrow> <mo>″</mo> </msubsup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>u</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>y</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>u</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u'_{x}={\partial u \over \partial x},\qquad u''_{xy}={\partial ^{2}u \over \partial y\,\partial x}={\partial \over \partial y}\left({\partial u \over \partial x}\right)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d7364c2ddc44def4fe50fe52116f4fd48137904" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:41.226ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle u'_{x}={\partial u \over \partial x},\qquad u''_{xy}={\partial ^{2}u \over \partial y\,\partial x}={\partial \over \partial y}\left({\partial u \over \partial x}\right)}"></span> </p> </blockquote> <p>Especialmente en la <a href="/wiki/F%C3%ADsica_matem%C3%A1tica" title="Física matemática">física matemática</a>, se suele preferir el <a href="/wiki/Operador_nabla" class="mw-redirect" title="Operador nabla">operador nabla</a> (que en <a href="/wiki/Coordenadas_cartesianas" title="Coordenadas cartesianas">coordenadas cartesianas</a> se escribe como <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \nabla =(\partial _{x},\partial _{y},\partial _{z})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>z</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \nabla =(\partial _{x},\partial _{y},\partial _{z})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f137afc5bfbfd4d2c511fda3a2b8065ec701860" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:15.838ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \nabla =(\partial _{x},\partial _{y},\partial _{z})}"></span> para las <a href="/wiki/Derivada" title="Derivada">derivadas</a> espaciales y un punto (<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\dot {u}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>u</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {u}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd4ba12fcf555fa1aee77e6052b19e2077495b63" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\dot {u}}}"></span>) para las derivadas que involucran el tiempo, por ejemplo para escribir la <a href="/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_onda" title="Ecuación de onda">Ecuación de onda</a> (véase más abajo) como </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\ddot {u}}=c^{2}\Delta u\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>u</mi> <mo>¨</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>u</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\ddot {u}}=c^{2}\Delta u\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7a3667214e31192da7f5e1a2e630aa72c5d123a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:10.142ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\ddot {u}}=c^{2}\Delta u\,}"></span> (<a href="/wiki/Notaci%C3%B3n_matem%C3%A1tica" title="Notación matemática">notación matemática</a>)</dd></dl> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\ddot {u}}=c^{2}\nabla ^{2}u\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>u</mi> <mo>¨</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>u</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\ddot {u}}=c^{2}\nabla ^{2}u\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6790bf28fd358a83b3415a8a562e54ca8eb0414f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:11.196ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\ddot {u}}=c^{2}\nabla ^{2}u\,}"></span> (notación física)</dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Solución_general_y_solución_completa"><span id="Soluci.C3.B3n_general_y_soluci.C3.B3n_completa"></span>Solución general y solución completa</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parciales&action=edit&section=3" title="Editar sección: Solución general y solución completa"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Toda ecuación diferencial en derivadas parciales de primer orden posee una solución dependiente de una función arbitraria, que se denomina usualmente <b>solución general</b> de la EDP. En muchas aplicaciones físicas esta solución general es menos importante que las llamadas <b>soluciones completas</b>, que frecuentemente pueden obtenerse por el <a href="/wiki/M%C3%A9todo_de_separaci%C3%B3n_de_variables" title="Método de separación de variables">método de separación de variables</a>. </p><p>Una solución completa es una solución particular de la EDP que contiene tantas constantes arbitrarias independientes como variables independientes intervienen en la ecuación. Por ejemplo la integración de las ecuaciones del movimiento de un sistema mecánico mediante el método basado en la <a href="/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_Hamilton-Jacobi" title="Ecuación de Hamilton-Jacobi">ecuación de Hamilton-Jacobi</a> requiere una integral completa, mientras que la solución general resulta menos interesante desde el punto de vista físico. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Existencia_y_unicidad">Existencia y unicidad</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parciales&action=edit&section=4" title="Editar sección: Existencia y unicidad"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Si u(x) es una función con derivadas continuas en un conjunto U de Rn es solución única del problema de valor de frontera: </p><p>-∆u=f en U </p><p>u(x)=h(x) en la frontera de U. </p><p>Así mismo, se puede calcular la solución fundamental para la ecuación del calor en dimensión n. </p><p>Aunque el asunto de la existencia y unicidad de las soluciones de las <a href="/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_ordinaria" title="Ecuación diferencial ordinaria">ecuaciones diferenciales ordinarias</a> tiene una respuesta muy satisfactoria resumida en el <a href="/wiki/Teorema_de_Picard-Lindel%C3%B6f" title="Teorema de Picard-Lindelöf">teorema de Picard-Lindelöf</a>, el mismo asunto para las ecuaciones en derivadas parciales está lejos de estar satisfactoriamente resuelto. Aunque existe un teorema general, el <a href="/w/index.php?title=Teorema_de_Cauchy-Kovalevskaya&action=edit&redlink=1" class="new" title="Teorema de Cauchy-Kovalevskaya (aún no redactado)">teorema de Cauchy-Kovalevskaya</a>, que afirma que para una EDP, que es <a href="/wiki/Funci%C3%B3n_anal%C3%ADtica" title="Función analítica">analítica</a> en la función incógnita y sus derivadas, tiene una única solución analítica. Aunque este resultado que parece establecer la existencia y unicidad de la soluciones, aparecen ejemplos de EDP de <a href="/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial#Orden_de_la_ecuación" title="Ecuación diferencial">primer orden</a> cuyos coeficientes tienen derivadas de cualquier orden (aunque sin ser analíticas) pero que no tienen solución.<sup id="cite_ref-3" class="reference separada"><a href="#cite_note-3"><span class="corchete-llamada">[</span>3<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> Incluso si la solución de una EDP existe y es única, ésta puede tener propiedades indeseables. </p><p>Un ejemplo de comportamiento patológico es la secuencia de <a href="/wiki/Problema_de_Cauchy" title="Problema de Cauchy">problemas de Cauchy</a> dependientes del parámetro <i>n</i> para la <a href="/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_Laplace" title="Ecuación de Laplace">ecuación de Laplace</a>: </p> <blockquote style="padding: 5px 10px; background-color: var(--background-color-base, #fff); color: var(--color-base, #202122); text-align: left; margin-left:30px; margin-bottom: 0.4em; margin-top:0.2em; min-width:50%;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0,\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>u</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>u</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0,\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68132b97f81f30b0aa2a69903f1292c72412d4f1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:17.262ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0,\,}"></span> </p> </blockquote> <p>con <a href="/wiki/Condici%C3%B3n_inicial" class="mw-redirect" title="Condición inicial">condiciones iniciales</a> </p> <blockquote style="padding: 5px 10px; background-color: var(--background-color-base, #fff); color: var(--color-base, #202122); text-align: left; margin-left:30px; margin-bottom: 0.4em; margin-top:0.2em; min-width:50%;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u(x,0)=0,\qquad {\frac {\partial u}{\partial y}}(x,0)={\frac {\sin nx}{n}},\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>u</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mspace width="2em" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>u</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>n</mi> <mi>x</mi> </mrow> <mi>n</mi> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u(x,0)=0,\qquad {\frac {\partial u}{\partial y}}(x,0)={\frac {\sin nx}{n}},\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73d4d7155dd1582b8f314143fa692963fe813701" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:36.36ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle u(x,0)=0,\qquad {\frac {\partial u}{\partial y}}(x,0)={\frac {\sin nx}{n}},\,}"></span> </p> </blockquote> <p>Donde <i>n</i> es un entero. La derivada de <i>u</i> con respecto a <i>y</i> se aproxima a 0 <a href="/wiki/Convergencia_uniforme" title="Convergencia uniforme">uniformemente</a> en <i>x</i> a medida que <i>n</i> se incrementa, pero la solución es: </p> <blockquote style="padding: 5px 10px; background-color: var(--background-color-base, #fff); color: var(--color-base, #202122); text-align: left; margin-left:30px; margin-bottom: 0.4em; margin-top:0.2em; min-width:50%;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u(x,y)={\frac {(\sinh ny)(\sin nx)}{n^{2}}}.\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>u</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>sinh</mi> <mo>⁡</mo> <mi>n</mi> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>n</mi> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <msup> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>.</mo> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u(x,y)={\frac {(\sinh ny)(\sin nx)}{n^{2}}}.\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04e5bb94272ff28b293580ae8b6000cefc646f36" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:28.298ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle u(x,y)={\frac {(\sinh ny)(\sin nx)}{n^{2}}}.\,}"></span> </p> </blockquote> <p>Esta solución se aproxima a infinito si <i>nx</i> no es un entero múltiplo de π para cualquier valor de <i>y</i>. El problema de Cauchy para la ecuación de Laplace se denomina <i>mal propuesto</i> o <i><a href="/wiki/Problema_bien_definido" title="Problema bien definido">mal definido</a></i>, puesto que la solución no depende continuamente de los datos del problema. Estos problemas mal definidos no son usualmente satisfactorios para las aplicaciones físicas. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Clasificación_de_las_EDP_de_segundo_orden"><span id="Clasificaci.C3.B3n_de_las_EDP_de_segundo_orden"></span>Clasificación de las EDP de segundo orden</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parciales&action=edit&section=5" title="Editar sección: Clasificación de las EDP de segundo orden"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Las EDP de segundo orden se clasifican habitualmente dentro de cinco tipos de EDP que son de interés fundamental; a continuación se dan ejemplos de estos cinco tipos: </p> <center> <table class="wikitable col1cen"> <tbody><tr> <th>Ecuación </th> <th>Nombre </th> <th>Tipo </th></tr> <tr bgcolor="#EFEFEF"> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \nabla ^{2}u=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>u</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \nabla ^{2}u=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/487a712a2cb80f81b713e9c501586dc27c893f07" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.581ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \nabla ^{2}u=0}"></span> </td> <td>Laplace </td> <td>Elíptica </td></tr> <tr> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \nabla ^{2}u=f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>u</mi> <mo>=</mo> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \nabla ^{2}u=f}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26b5112caae189d251b8fcff7e7c559534770163" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.697ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \nabla ^{2}u=f}"></span> </td> <td>Poisson </td> <td>Elíptica </td></tr> <tr bgcolor="#EFEFEF"> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=c^{2}\nabla ^{2}u}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>u</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msup> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>u</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=c^{2}\nabla ^{2}u}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5b5b478a32138135742444cd4f91e6e2564ca53" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:14.043ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=c^{2}\nabla ^{2}u}"></span> </td> <td>Onda </td> <td>Hiperbólica </td></tr> <tr> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=k\nabla ^{2}u}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>u</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mi>k</mi> <msup> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>u</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=k\nabla ^{2}u}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8aa66d993d06ce15c9754c760e5d4629e5967a5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:12.113ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=k\nabla ^{2}u}"></span> </td> <td>Difusión </td> <td>Parabólicas </td></tr> <tr bgcolor="#EFEFEF"> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \nabla ^{2}u=ku}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>u</mi> <mo>=</mo> <mi>k</mi> <mi>u</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \nabla ^{2}u=ku}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d9ea839957980e878e8f5d0c302e56e41f2f5ce" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.959ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \nabla ^{2}u=ku}"></span> </td> <td>Helmholtz </td> <td>Elíptica </td></tr></tbody></table> </center> <p>Con mayor generalidad, si se tiene una ecuación de segundo orden del tipo: </p> <blockquote style="padding: 5px 10px; background-color: var(--background-color-base, #fff); color: var(--color-base, #202122); text-align: left; margin-left:30px; margin-bottom: 0.4em; margin-top:0.2em; min-width:50%;"> <p><span style="float: right; width: 10%; text-align: right;">(<cite id="Equation_*" style="font-style: normal;"><a href="#Eqnref_*">*</a></cite>)</span><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Au_{xx}+2Bu_{xy}+Cu_{yy}+Du_{x}+Eu_{y}+F=0\quad }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <msub> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mi>B</mi> <msub> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>C</mi> <msub> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>D</mi> <msub> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>E</mi> <msub> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>F</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mspace width="1em" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Au_{xx}+2Bu_{xy}+Cu_{yy}+Du_{x}+Eu_{y}+F=0\quad }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2c736158fde6dae7ab667359e9f4ee2ab88c7f9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:47.501ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle Au_{xx}+2Bu_{xy}+Cu_{yy}+Du_{x}+Eu_{y}+F=0\quad }"></span> </p> </blockquote> <p>Con estos coeficientes se monta la siguiente matriz: </p> <blockquote style="padding: 5px 10px; background-color: var(--background-color-base, #fff); color: var(--color-base, #202122); text-align: left; margin-left:30px; margin-bottom: 0.4em; margin-top:0.2em; min-width:50%;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Z={\begin{bmatrix}B&A\\C&B\end{bmatrix}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Z</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>[</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mi>B</mi> </mtd> <mtd> <mi>A</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>C</mi> </mtd> <mtd> <mi>B</mi> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Z={\begin{bmatrix}B&A\\C&B\end{bmatrix}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50eea5862cbb2466a405849e267650d90f65f0ae" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:13.838ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle Z={\begin{bmatrix}B&A\\C&B\end{bmatrix}}}"></span> </p> </blockquote> <p>En función del <a href="/wiki/Determinante_(matem%C3%A1tica)" title="Determinante (matemática)">determinante</a> la ecuación (<span id="Eqnref_*" class="plainlinks neverexpand"><a class="external text" href="https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parciales#Equation_*">*</a></span>): </p> <ul><li>se dice que es <i>elíptica</i> si la matriz <i>Z</i> tiene un determinante menor a 0.</li> <li>se dice que es <i>parabólica</i> si la matriz <i>Z</i> tiene un determinante igual a 0.</li> <li>se dice que es <i>hiperbólica</i> si la matriz <i>Z</i> tiene un determinante mayor a 0.</li></ul> <p>Nombres de objetos de la <a href="/wiki/Geometr%C3%ADa_anal%C3%ADtica" title="Geometría analítica">geometría analítica</a> y se llaman cónicas. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="EDP_de_orden_superior">EDP de orden superior</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parciales&action=edit&section=6" title="Editar sección: EDP de orden superior"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Si bien las EDP de segundo orden se aplican a una inmensa cantidad de fenómenos físicos; otra cantidad menor de procesos físicos hallan solución en EDP de órdenes superiores, como ejemplos podemos citar: </p> <dl><dd><ul><li><a href="/wiki/Flexi%C3%B3n_mec%C3%A1nica" title="Flexión mecánica">Flexión mecánica</a> de una <a href="/wiki/Teor%C3%ADa_de_placas_y_l%C3%A1minas" title="Teoría de placas y láminas">placa</a> elástica:</li></ul></dd></dl> <blockquote style="padding: 5px 10px; background-color: var(--background-color-base, #fff); color: var(--color-base, #202122); text-align: left; margin-left:30px; margin-bottom: 0.4em; margin-top:0.2em; min-width:50%;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}w}{\partial y^{4}}}={\frac {q(x,y)}{D}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mi>w</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mi>w</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mi>w</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>q</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mi>D</mi> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}w}{\partial y^{4}}}={\frac {q(x,y)}{D}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aaecf90124a553fffbad168a6a731fde1b6a32d1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:35.042ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}w}{\partial y^{4}}}={\frac {q(x,y)}{D}}}"></span> </p> </blockquote> <dl><dd><ul><li><a href="/wiki/Vibraci%C3%B3n" title="Vibración">Vibración</a> flexional de una viga:</li></ul></dd></dl> <blockquote style="padding: 5px 10px; background-color: var(--background-color-base, #fff); color: var(--color-base, #202122); text-align: left; margin-left:30px; margin-bottom: 0.4em; margin-top:0.2em; min-width:50%;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\left[EI{\frac {\partial ^{2}y}{\partial x^{2}}}\right]+\rho A{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}=p(x,t)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mi>E</mi> <mi>I</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>y</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>ρ</mi> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>y</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msup> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mi>p</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\left[EI{\frac {\partial ^{2}y}{\partial x^{2}}}\right]+\rho A{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}=p(x,t)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7ff7b07fa746baf4fa8f17374c4449772ee17a3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:34.321ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\left[EI{\frac {\partial ^{2}y}{\partial x^{2}}}\right]+\rho A{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}=p(x,t)}"></span> </p> </blockquote> <dl><dd><ul><li><a href="/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_Korteweg-de_Vries" title="Ecuación de Korteweg-de Vries">Ecuación de Korteweg-de Vries</a>, que tiene soluciones de tipo <a href="/wiki/Solit%C3%B3n" title="Solitón">solitón</a>,</li></ul></dd></dl> <blockquote style="padding: 5px 10px; background-color: var(--background-color-base, #fff); color: var(--color-base, #202122); text-align: left; margin-left:30px; margin-bottom: 0.4em; margin-top:0.2em; min-width:50%;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial t}}+v{\frac {\partial v}{\partial x}}+\mu {\frac {\partial ^{3}v}{\partial x^{3}}}=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>v</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>v</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mi>μ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mi>v</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial t}}+v{\frac {\partial v}{\partial x}}+\mu {\frac {\partial ^{3}v}{\partial x^{3}}}=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91322d9111fbdd6a65e26eedc25b72ce661ff8f0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:23.775ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial t}}+v{\frac {\partial v}{\partial x}}+\mu {\frac {\partial ^{3}v}{\partial x^{3}}}=0}"></span> </p> </blockquote> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Véase_también"><span id="V.C3.A9ase_tambi.C3.A9n"></span>Véase también</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parciales&action=edit&section=7" title="Editar sección: Véase también"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/Ecuaci%C3%B3n_hiperb%C3%B3lica_en_derivadas_parciales" title="Ecuación hiperbólica en derivadas parciales">Ecuación hiperbólica en derivadas parciales</a></li> <li><a href="/wiki/Ecuaci%C3%B3n_parab%C3%B3lica_en_derivadas_parciales" title="Ecuación parabólica en derivadas parciales">Ecuación parabólica en derivadas parciales</a></li> <li><a href="/wiki/Ecuaci%C3%B3n_el%C3%ADptica_en_derivadas_parciales" title="Ecuación elíptica en derivadas parciales">Ecuación elíptica en derivadas parciales</a></li> <li><a href="/wiki/Diferencia_finita" title="Diferencia finita">Ecuación en diferencias finitas</a></li> <li><a href="/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_estoc%C3%A1stica" title="Ecuación diferencial estocástica">Ecuación diferencial estocástica</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Referencias">Referencias</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parciales&action=edit&section=8" title="Editar sección: Referencias"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="listaref" style="-moz-column-count:2; -webkit-column-count:2; column-count:2; list-style-type: decimal;"><ol class="references"> <li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a></span> <span class="reference-text">Mijáilov: "Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales", Editorial Mir, Moscú</span> </li> <li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-2">↑</a></span> <span class="reference-text"><span id="CITAREFKlainerman2010" class="citation libro">Klainerman, Sergiu (2010). «PDE as a Unified Subject». En Alon, N.; Bourgain, J.; Connes, A.; Gromov, M.; Milman, V., eds. <i>Visiones en Matemáticas</i>. Modern Birkhäuser Classics. 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(en inglés).</li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://eqworld.ipmnet.ru/en/pde-en.htm">Partial Differential Equations: Exact Solutions</a> at EqWorld: The World of Mathematical Equations.</li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/eqindex/eqindex-pde.htm">Partial Differential Equations: Index</a> at EqWorld: The World of Mathematical Equations.</li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://eqworld.ipmnet.ru/en/methods/meth-pde.htm">Partial Differential Equations: Methods</a> at EqWorld: The World of Mathematical Equations.</li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20170701144823/http://www.exampleproblems.com/wiki/index.php?title=Partial_Differential_Equations">Example problems with solutions</a> at exampleproblems.com</li> <li><span id="Reference-Mathworld-Partial_Differential_Equations" class="citation web"><a href="/wiki/Eric_W._Weisstein" title="Eric W. 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En Weisstein, Eric W, ed. <i><a href="/wiki/MathWorld" title="MathWorld">MathWorld</a></i> <span style="color:var(--color-subtle, #555 );">(en inglés)</span>. <a href="/wiki/Wolfram_Research" title="Wolfram Research">Wolfram Research</a>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3AEcuaci%C3%B3n+en+derivadas+parciales&rft.atitle=Partial+Differential+Equations&rft.au=Weisstein%2C+Eric+W&rft.aulast=Weisstein%2C+Eric+W&rft.genre=article&rft.jtitle=MathWorld&rft.pub=Wolfram+Research&rft_id=http%3A%2F%2Fmathworld.wolfram.com%2FPartialDifferentialEquation.html&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20060812140140/http://tosio.math.toronto.edu/wiki/index.php/Main_Page">Dispersive PDE Wiki</a></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.primat.mephi.ru/wiki/">NEQwiki, the nonlinear 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href="/wiki/Control_de_autoridades" title="Control de autoridades">Control de autoridades</a></th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><b>Proyectos Wikimedia</b></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Wikidata" title="Wikidata"><img alt="Wd" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/20px-Wikidata-logo.svg.png" decoding="async" width="20" height="11" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/30px-Wikidata-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/40px-Wikidata-logo.svg.png 2x" data-file-width="1050" data-file-height="590" /></a></span> Datos:</span> <span class="uid"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Q271977" class="extiw" title="wikidata:Q271977">Q271977</a></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Wikimedia_Commons" title="Commonscat"><img alt="Commonscat" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/15px-Commons-logo.svg.png" decoding="async" width="15" height="20" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/23px-Commons-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/30px-Commons-logo.svg.png 2x" data-file-width="1024" data-file-height="1376" /></a></span> Multimedia:</span> <span class="uid"><span class="plainlinks"><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Partial_differential_equations">Partial differential equations</a></span> / <span class="plainlinks"><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Special:MediaSearch?type=image&search=%22Q271977%22">Q271977</a></span></span></li></ul> <hr /> <ul><li><b>Identificadores</b></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><a href="/wiki/Biblioteca_Nacional_de_Francia" title="Biblioteca Nacional de Francia">BNF</a>:</span> <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb11931364s">11931364s</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="http://data.bnf.fr/ark:/12148/cb11931364s">(data)</a></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><a href="/wiki/Gemeinsame_Normdatei" title="Gemeinsame Normdatei">GND</a>:</span> <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://d-nb.info/gnd/4044779-0">4044779-0</a></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><a href="/wiki/Library_of_Congress_Control_Number" title="Library of Congress Control Number">LCCN</a>:</span> <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://id.loc.gov/authorities/sh85037912">sh85037912</a></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><a href="/wiki/Biblioteca_Nacional_de_la_Dieta" title="Biblioteca Nacional de la Dieta">NDL</a>:</span> <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://id.ndl.go.jp/auth/ndlna/00563088">00563088</a></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><a href="/wiki/Biblioteca_Nacional_de_la_Rep%C3%BAblica_Checa" title="Biblioteca Nacional de la República Checa">NKC</a>:</span> <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://aleph.nkp.cz/F/?func=find-c&local_base=aut&ccl_term=ica=ph123970">ph123970</a></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><a href="/wiki/Biblioteca_Nacional_de_Israel" title="Biblioteca Nacional de Israel">NLI</a>:</span> <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://olduli.nli.org.il/F/?func=find-b&local_base=NLX10&find_code=UID&request=987007552909105171">987007552909105171</a></span></li> <li><b>Diccionarios y enciclopedias</b></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><a href="/wiki/Enciclopedia_Brit%C3%A1nica" title="Enciclopedia Británica">Britannica</a>:</span> <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.britannica.com/topic/partial-differential-equation">url</a></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><a href="/wiki/Enciclopedia_Treccani" title="Enciclopedia Treccani">Treccani</a>:</span> <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.treccani.it/enciclopedia/equazioni-differenziali-alle-derivate-parziali_(Enciclopedia-Italiana)">url</a></span></li></ul> </div></td></tr></tbody></table></div><div class="mw-mf-linked-projects hlist"> <ul><li><span style="white-space:nowrap;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Wikidata" title="Wikidata"><img alt="Wd" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/20px-Wikidata-logo.svg.png" decoding="async" width="20" height="11" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/30px-Wikidata-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/40px-Wikidata-logo.svg.png 2x" data-file-width="1050" data-file-height="590" /></a></span> Datos:</span> <span class="uid"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Q271977" class="extiw" title="wikidata:Q271977">Q271977</a></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Wikimedia_Commons" title="Commonscat"><img alt="Commonscat" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/15px-Commons-logo.svg.png" decoding="async" width="15" height="20" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/23px-Commons-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/30px-Commons-logo.svg.png 2x" data-file-width="1024" data-file-height="1376" /></a></span> Multimedia:</span> <span class="uid"><span class="plainlinks"><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Partial_differential_equations">Partial differential equations</a></span> / <span class="plainlinks"><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Special:MediaSearch?type=image&search=%22Q271977%22">Q271977</a></span></span></li></ul> </div></div>    </div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Obtenido de «<a dir="ltr" href="https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Ecuación_en_derivadas_parciales&oldid=161364888">https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Ecuación_en_derivadas_parciales&oldid=161364888</a>»</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/Especial:Categor%C3%ADas" title="Especial:Categorías">Categorías</a>: <ul><li><a href="/wiki/Categor%C3%ADa:Ecuaciones_en_derivadas_parciales" title="Categoría:Ecuaciones en derivadas parciales">Ecuaciones en derivadas parciales</a></li><li><a href="/wiki/Categor%C3%ADa:Conceptos_fundamentales_de_la_f%C3%ADsica" title="Categoría:Conceptos fundamentales de la física">Conceptos fundamentales de la física</a></li></ul></div><div id="mw-hidden-catlinks" class="mw-hidden-catlinks mw-hidden-cats-hidden">Categorías ocultas: <ul><li><a href="/wiki/Categor%C3%ADa:Wikipedia:Art%C3%ADculos_con_pasajes_que_requieren_referencias" title="Categoría:Wikipedia:Artículos con pasajes que requieren referencias">Wikipedia:Artículos con pasajes que requieren referencias</a></li><li><a href="/wiki/Categor%C3%ADa:Wikipedia:Art%C3%ADculos_con_identificadores_BNF" title="Categoría:Wikipedia:Artículos con identificadores BNF">Wikipedia:Artículos con identificadores BNF</a></li><li><a href="/wiki/Categor%C3%ADa:Wikipedia:Art%C3%ADculos_con_identificadores_GND" title="Categoría:Wikipedia:Artículos con identificadores GND">Wikipedia:Artículos con identificadores GND</a></li><li><a href="/wiki/Categor%C3%ADa:Wikipedia:Art%C3%ADculos_con_identificadores_LCCN" title="Categoría:Wikipedia:Artículos con identificadores LCCN">Wikipedia:Artículos con identificadores LCCN</a></li><li><a href="/wiki/Categor%C3%ADa:Wikipedia:P%C3%A1ginas_con_enlaces_m%C3%A1gicos_de_ISBN" title="Categoría:Wikipedia:Páginas con enlaces mágicos de ISBN">Wikipedia:Páginas con enlaces mágicos de ISBN</a></li></ul></div></div> </div> </main> </div> <div class="mw-footer-container"> <footer id="footer" class="mw-footer" > <ul id="footer-info"> <li id="footer-info-lastmod"> Esta página se editó por última vez el 17 jul 2024 a las 20:58.</li> <li id="footer-info-copyright">El texto está disponible bajo la <a href="/wiki/Wikipedia:Texto_de_la_Licencia_Creative_Commons_Atribuci%C3%B3n-CompartirIgual_4.0_Internacional" title="Wikipedia:Texto de la Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 4.0 Internacional">Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 4.0</a>; pueden aplicarse cláusulas adicionales. 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