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vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#関連項目"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">11</span> <span>関連項目</span> </div> </a> <ul id="toc-関連項目-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="目次" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="目次の表示・非表示を切り替え" > <label id="vector-page-titlebar-toc-label" for="vector-page-titlebar-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled 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href="https://es.wikipedia.org/wiki/Notaci%C3%B3n_bra-ket" title="スペイン語: Notación bra-ket" lang="es" hreflang="es" data-title="Notación bra-ket" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="スペイン語" class="interlanguage-link-target"><span>Español</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eu mw-list-item"><a href="https://eu.wikipedia.org/wiki/Bra-ket_notazio" title="バスク語: Bra-ket notazio" lang="eu" hreflang="eu" data-title="Bra-ket notazio" data-language-autonym="Euskara" data-language-local-name="バスク語" class="interlanguage-link-target"><span>Euskara</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%D9%86%D8%B4%D8%A7%D9%86%E2%80%8C%DA%AF%D8%B0%D8%A7%D8%B1%DB%8C_%D8%A8%D8%B1%D8%A7-%DA%A9%D8%AA" title="ペルシア語: نشان‌گذاری برا-کت" lang="fa" hreflang="fa" data-title="نشان‌گذاری برا-کت" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="ペルシア語" 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data-language-autonym="Norsk bokmål" data-language-local-name="ノルウェー語(ブークモール)" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk bokmål</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pa mw-list-item"><a href="https://pa.wikipedia.org/wiki/%E0%A8%AC%E0%A8%B0%E0%A8%BE-%E0%A8%95%E0%A9%88%E0%A9%B1%E0%A8%9F_%E0%A8%A7%E0%A8%BE%E0%A8%B0%E0%A8%A8%E0%A8%BE" title="パンジャブ語: ਬਰਾ-ਕੈੱਟ ਧਾਰਨਾ" lang="pa" hreflang="pa" data-title="ਬਰਾ-ਕੈੱਟ ਧਾਰਨਾ" data-language-autonym="ਪੰਜਾਬੀ" data-language-local-name="パンジャブ語" class="interlanguage-link-target"><span>ਪੰਜਾਬੀ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pl mw-list-item"><a href="https://pl.wikipedia.org/wiki/Notacja_Diraca" title="ポーランド語: Notacja Diraca" lang="pl" hreflang="pl" data-title="Notacja Diraca" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="ポーランド語" class="interlanguage-link-target"><span>Polski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a 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ambox-content ambox-出典の明記" role="presentation"><tbody><tr><td class="mbox-image"><div class="mbox-image-div"><span typeof="mw:File"><span><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/64/Question_book-4.svg/50px-Question_book-4.svg.png" decoding="async" width="50" height="39" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/64/Question_book-4.svg/75px-Question_book-4.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/64/Question_book-4.svg/100px-Question_book-4.svg.png 2x" data-file-width="262" data-file-height="204" /></span></span></div></td><td class="mbox-text"><div class="mbox-text-span"><b>この記事は<a href="/wiki/Wikipedia:%E6%A4%9C%E8%A8%BC%E5%8F%AF%E8%83%BD%E6%80%A7" title="Wikipedia:検証可能性">検証可能</a>な<a href="/wiki/Wikipedia:%E4%BF%A1%E9%A0%BC%E3%81%A7%E3%81%8D%E3%82%8B%E6%83%85%E5%A0%B1%E6%BA%90" title="Wikipedia:信頼できる情報源">参考文献や出典</a>が全く示されていないか、不十分です。</b><span class="hide-when-compact"> <a href="/wiki/Wikipedia:%E5%87%BA%E5%85%B8%E3%82%92%E6%98%8E%E8%A8%98%E3%81%99%E3%82%8B" title="Wikipedia:出典を明記する">出典を追加</a>して記事の信頼性向上にご協力ください。<small>（<a href="/wiki/Template:%E5%87%BA%E5%85%B8%E3%81%AE%E6%98%8E%E8%A8%98/doc" title="Template:出典の明記/doc">このテンプレートの使い方</a>）</small><br /><small><span class="plainlinks">出典検索<a href="/wiki/Template:Find_sources_mainspace" title="Template:Find sources mainspace"><sup>?</sup></a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="//www.google.co.jp/search?hl=ja&as_eq=wikipedia&q=%22%E3%83%96%E3%83%A9-%E3%82%B1%E3%83%83%E3%83%88%E8%A8%98%E6%B3%95%22&num=50">"ブラ-ケット記法"</a> – <a rel="nofollow" class="external text" href="//www.google.co.jp/search?hl=ja&q=%22%E3%83%96%E3%83%A9-%E3%82%B1%E3%83%83%E3%83%88%E8%A8%98%E6%B3%95%22&tbm=nws">ニュース</a> <b>·</b> <a rel="nofollow" class="external text" href="//www.google.co.jp/search?hl=ja&tbs=bks:1&q=%22%E3%83%96%E3%83%A9-%E3%82%B1%E3%83%83%E3%83%88%E8%A8%98%E6%B3%95%22">書籍</a> <b>·</b> <a rel="nofollow" class="external text" href="//scholar.google.co.jp/scholar?num=100&hl=ja&q=%22%E3%83%96%E3%83%A9-%E3%82%B1%E3%83%83%E3%83%88%E8%A8%98%E6%B3%95%22">スカラー</a> <b>·</b> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://ci.nii.ac.jp/opensearch/search?lang=ja&q=%22%E3%83%96%E3%83%A9-%E3%82%B1%E3%83%83%E3%83%88%E8%A8%98%E6%B3%95%22&range=2&count=200&sortorder=1&type=0">CiNii</a> <b>·</b> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.jstage.jst.go.jp/result/global/-char/ja?globalSearchKey=%22%E3%83%96%E3%83%A9-%E3%82%B1%E3%83%83%E3%83%88%E8%A8%98%E6%B3%95%22">J-STAGE</a> <b>·</b> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://ndlsearch.ndl.go.jp/api/openurl?any=%22%E3%83%96%E3%83%A9-%E3%82%B1%E3%83%83%E3%83%88%E8%A8%98%E6%B3%95%22">NDL</a> <b>·</b> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://dlib.jp/?q=%22%E3%83%96%E3%83%A9-%E3%82%B1%E3%83%83%E3%83%88%E8%A8%98%E6%B3%95%22">dlib.jp</a> <b>·</b> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://jpsearch.go.jp/csearch/jps-cross?csid=jps-cross&keyword=%22%E3%83%96%E3%83%A9-%E3%82%B1%E3%83%83%E3%83%88%E8%A8%98%E6%B3%95%22">ジャパンサーチ</a> <b>·</b> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://wikipedialibrary.wmflabs.org/partners/">TWL</a></span></small></span> <span class="date-container"><i>(<span class="date"><span title="2017年4月15日 (土) 06:51 (UTC)">2017年4月</span></span>)</i></span></div></td></tr></tbody></table> <p><b>ブラ-ケット記法</b>（ブラ-ケットきほう、<a href="/wiki/%E8%8B%B1%E8%AA%9E" title="英語">英</a>: <span lang="en">bra-ket notation</span>）または<b>ディラックの記法</b><sup id="cite_ref-FOOTNOTEDirac1968_1-0" class="reference"><a href="#cite_note-FOOTNOTEDirac1968-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>（ディラックのきほう、<a href="/wiki/%E8%8B%B1%E8%AA%9E" title="英語">英</a>: <span lang="en">Dirac notation</span>）は<sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>注 1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>、<a href="/wiki/%E9%87%8F%E5%AD%90%E5%8A%9B%E5%AD%A6" title="量子力学">量子力学</a>における<a href="/wiki/%E9%87%8F%E5%AD%90%E7%8A%B6%E6%85%8B" title="量子状態">量子状態</a>を記述するための標準的な記法である。 </p><p>ブラケット（<span lang="en">bra-ket</span>）という呼称は、量子状態を<b>ブラ</b>（<span lang="en">bra</span>） <span lang="en" class="texhtml"><span class="nowrap"><span class="Unicode">⟨</span><i>φ</i>|</span></span> と<b>ケット</b>（<span lang="en">ket</span>） <span lang="en" class="texhtml"><span class="nowrap">|<i>ψ</i><span class="Unicode">⟩</span></span></span> と呼ばれる2つのベクトルで表すこと、またブラとケットの<a href="/wiki/%E5%86%85%E7%A9%8D" title="内積">内積</a> <span lang="en" class="texhtml"><span class="nowrap"><span class="Unicode">⟨</span><i>φ</i>|<i>ψ</i><span class="Unicode">⟩</span></span></span> が<a href="/wiki/%E6%8B%AC%E5%BC%A7#山括弧〈〉" title="括弧">括弧</a>（<span lang="en">bracket</span>）を成すことに由来する。 </p><p>ブラケット記法は1939年の<a href="/wiki/%E3%83%9D%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%83%BB%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%A9%E3%83%83%E3%82%AF" title="ポール・ディラック">ポール・ディラック</a>の論文(<a href="#CITEREFDirac1939">Dirac 1939</a>)で提案された。ディラックの教科書 <span lang="en"><i>the principles of quantum mechanics</i></span> では1947年の第3版からブラケット記法を採用している<sup id="cite_ref-FOOTNOTEDirac1947PREFACE_TO_THIRD_EDITION_3-0" class="reference"><a href="#cite_note-FOOTNOTEDirac1947PREFACE_TO_THIRD_EDITION-3"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。 </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="ブラ・ケット"><span id=".E3.83.96.E3.83.A9.E3.83.BB.E3.82.B1.E3.83.83.E3.83.88"></span>ブラ・ケット</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E3%83%96%E3%83%A9-%E3%82%B1%E3%83%83%E3%83%88%E8%A8%98%E6%B3%95&action=edit&section=1" title="節を編集: ブラ・ケット"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>ブラ <span lang="en" class="texhtml"><span class="nowrap"><span class="Unicode">⟨</span><i>φ</i>|</span></span> はケット <span lang="en" class="texhtml"><span class="nowrap">|<i>ψ</i><span class="Unicode">⟩</span></span></span> のなす<a href="/wiki/%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E7%A9%BA%E9%96%93" title="ベクトル空間">ベクトル空間</a>の<a href="/wiki/%E5%8F%8C%E5%AF%BE%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E7%A9%BA%E9%96%93" title="双対ベクトル空間">双対空間</a>の元として定義される。ケットをケットへ写す<a href="/wiki/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E5%86%99%E5%83%8F" title="線型写像">線型</a>な<a href="/wiki/%E9%96%A2%E6%95%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="関数 (数学)">関数</a>（<a href="/wiki/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BD%9C%E7%94%A8%E7%B4%A0" class="mw-redirect" title="線型作用素">線型作用素</a>）を <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {O}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>O</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {O}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d084213a448be2cfb9134294127a7243386773a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.773ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\hat {O}}}"></span> で表し、ケットに対する適用を <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {O}}|\psi \rangle }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>O</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>ψ</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {O}}|\psi \rangle }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1f3cd4a3aa09a30c2ad0433dcc279d30f174002" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.838ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\hat {O}}|\psi \rangle }"></span> と表す。ブラケット記法において、以下の関係を満たすブラへの作用素は、ケットに対する作用素と同じ記号で表される。 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{\langle \phi |{\hat {O}}\}|\psi \rangle =\langle \phi |\{{\hat {O}}|\psi \rangle \}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mi>ϕ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>O</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>ψ</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mi>ϕ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>O</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>ψ</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{\langle \phi |{\hat {O}}\}|\psi \rangle =\langle \phi |\{{\hat {O}}|\psi \rangle \}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b956816d38bc4c550f52d55fc0344d85ccd3acb9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.298ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \{\langle \phi |{\hat {O}}\}|\psi \rangle =\langle \phi |\{{\hat {O}}|\psi \rangle \}}"></span></dd></dl> <p>通常、上記の内積は括弧を外して <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \langle \phi |{\hat {O}}|\psi \rangle }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mi>ϕ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>O</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>ψ</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle \phi |{\hat {O}}|\psi \rangle }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b23c50b560a4be916f3746eb9b4a7394d95c48ce" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.775ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \langle \phi |{\hat {O}}|\psi \rangle }"></span> と表される。また特に任意のケット <span lang="en" class="texhtml"><span class="nowrap">|<i>ψ</i><span class="Unicode">⟩</span></span></span> に作用してケット <span lang="en" class="texhtml"><span class="nowrap">|<i>η</i><span class="Unicode">⟩</span></span><span class="nowrap"><span class="Unicode">⟨</span><i>ξ</i>|<i>ψ</i><span class="Unicode">⟩</span></span></span> を与える作用素は <span lang="en" class="texhtml"><span class="nowrap">|<i>η</i><span class="Unicode">⟩</span><span class="Unicode">⟨</span><i>ξ</i>|</span></span> と表される。また同様のブラに対する作用素も同じ記号で <span lang="en" class="texhtml"><span class="nowrap">|<i>η</i><span class="Unicode">⟩</span><span class="Unicode">⟨</span><i>ξ</i>|</span></span> と表される。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="性質"><span id=".E6.80.A7.E8.B3.AA"></span>性質</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E3%83%96%E3%83%A9-%E3%82%B1%E3%83%83%E3%83%88%E8%A8%98%E6%B3%95&action=edit&section=2" title="節を編集: 性質"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>ブラの<a href="/wiki/%E9%9A%8F%E4%BC%B4%E4%BD%9C%E7%94%A8%E7%B4%A0" title="随伴作用素">随伴</a>はケット、ケットの随伴はブラである。 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \langle \psi |^{\dagger }=|\psi \rangle ,\quad |\psi \rangle ^{\dagger }=\langle \psi |}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mi>ψ</mi> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>†</mo> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>ψ</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>ψ</mi> <msup> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>†</mo> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mi>ψ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle \psi |^{\dagger }=|\psi \rangle ,\quad |\psi \rangle ^{\dagger }=\langle \psi |}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92bc7117de1aa3fe404cc20f8b6f4cf7f229cade" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.737ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \langle \psi |^{\dagger }=|\psi \rangle ,\quad |\psi \rangle ^{\dagger }=\langle \psi |}"></span></dd></dl> <p>また、ある<a href="/wiki/%E7%8A%B6%E6%85%8B%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB" class="mw-redirect" title="状態ベクトル">状態</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |\psi \rangle }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>ψ</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |\psi \rangle }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc27f1893b769a08cd6b296e115a29e61cab675e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.065ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |\psi \rangle }"></span> において、<a href="/wiki/%E3%82%AA%E3%83%96%E3%82%B6%E3%83%BC%E3%83%90%E3%83%96%E3%83%AB" title="オブザーバブル">観測可能量</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {O}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>O</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {O}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d084213a448be2cfb9134294127a7243386773a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.773ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\hat {O}}}"></span> の<a href="/wiki/%E6%9C%9F%E5%BE%85%E5%80%A4" title="期待値">期待値</a>はブラ <span lang="en" class="texhtml"><span class="nowrap"><span class="Unicode">⟨</span><i>ψ</i>|</span></span> とケット <span lang="en" class="texhtml"><span class="sfrac nowrap;"><span style="display:none; display:inline-block; text-align:center;"><span style="display:block; line-height:0.8em; font-size:80%; padding:0 0.1em; margin:-0.5em;">ˆ</span><span style="display:block; line-height:1em; padding:0 0.1em;"><i>O</i></span></span></span><span class="nowrap">|<i>ψ</i><span class="Unicode">⟩</span></span></span> の内積 <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mi>ψ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>O</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>ψ</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3a11c6912e02969e7b4b4edf729b2c247fed7e0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.903ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle }"></span> として表される。 </p><p>初学者向けの説明として、ケットは<a href="/wiki/%E5%88%97%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB" class="mw-redirect" title="列ベクトル">列ベクトル</a>、ブラは行ベクトルに対応させる場合がある（<a href="/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E8%A1%A8%E7%A4%BA" title="行列表示">行列表示</a>を参照）。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="利点と欠点"><span id=".E5.88.A9.E7.82.B9.E3.81.A8.E6.AC.A0.E7.82.B9"></span>利点と欠点</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E3%83%96%E3%83%A9-%E3%82%B1%E3%83%83%E3%83%88%E8%A8%98%E6%B3%95&action=edit&section=3" title="節を編集: 利点と欠点"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>この記法の利点として </p> <ul><li><a href="/wiki/%E5%9F%BA%E5%BA%95_(%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="基底 (線型代数学)">基底</a>に依存しない記述が可能</li> <li>固有値が離散、連続どちらの場合も統一的に扱える</li> <li>中身の書き方を自由に工夫して記述できる（パラメータだけを並べて <a href="/wiki/%E9%87%8F%E5%AD%90%E6%95%B0" title="量子数"><span lang="en" class="texhtml"><span class="nowrap">|<i>n, l, m</i><span class="Unicode">⟩</span></span></span></a> としたり、<a href="/wiki/%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%AC%E3%83%BC%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%B3%E3%82%AC%E3%83%BC%E3%81%AE%E7%8C%AB" title="シュレーディンガーの猫"><span lang="en" class="texhtml"><span class="nowrap">|生きている猫<span class="Unicode">⟩</span></span></span></a> と書くこともできる）</li></ul> <p>などがある<sup id="cite_ref-FOOTNOTE北野2013_4-0" class="reference"><a href="#cite_note-FOOTNOTE北野2013-4"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="無限次元での取り扱い"><span id=".E7.84.A1.E9.99.90.E6.AC.A1.E5.85.83.E3.81.A7.E3.81.AE.E5.8F.96.E3.82.8A.E6.89.B1.E3.81.84"></span>無限次元での取り扱い</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E3%83%96%E3%83%A9-%E3%82%B1%E3%83%83%E3%83%88%E8%A8%98%E6%B3%95&action=edit&section=4" title="節を編集: 無限次元での取り扱い"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>ディラックの説明によればケット <span lang="en" class="texhtml"><span class="nowrap">|<i>ψ</i><span class="Unicode">⟩</span></span></span> の空間においてブラ <span lang="en" class="texhtml"><span class="nowrap"><span class="Unicode">⟨</span><i>φ</i>|</span></span> は<a href="/wiki/%E7%B7%9A%E5%BD%A2%E6%B1%8E%E9%96%A2%E6%95%B0" class="mw-redirect" title="線形汎関数">線形汎関数</a>を表す、すなわちブラは<a href="/wiki/%E5%8F%8C%E5%AF%BE%E7%A9%BA%E9%96%93" class="mw-redirect" title="双対空間">双対空間</a>に属しており、無限次元の場合ブラの空間はケットの空間より広い場合がある。しかし、ブラの空間にはケットの空間と同型の部分空間が必ず存在し、ケットの内積は常に定義できる。量子力学においては、ケットもブラも量子状態を過不足なく表すもので、ケットに対応しないブラには物理的意味がないので、ブラの空間としてはケットの空間と同型のものしか考えない。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="正規直交基底とブラケット記法"><span id=".E6.AD.A3.E8.A6.8F.E7.9B.B4.E4.BA.A4.E5.9F.BA.E5.BA.95.E3.81.A8.E3.83.96.E3.83.A9.E3.82.B1.E3.83.83.E3.83.88.E8.A8.98.E6.B3.95"></span>正規直交基底とブラケット記法</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E3%83%96%E3%83%A9-%E3%82%B1%E3%83%83%E3%83%88%E8%A8%98%E6%B3%95&action=edit&section=5" title="節を編集: 正規直交基底とブラケット記法"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><a href="/wiki/%E6%AD%A3%E8%A6%8F%E7%9B%B4%E4%BA%A4%E7%B3%BB" title="正規直交系">正規直交基底</a>のうち2つのラベルを <span lang="en" class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">α, β</span> として、内積をブラ-ケット記法で表すと、離散基底では<a href="/wiki/%E3%82%AF%E3%83%AD%E3%83%8D%E3%83%83%E3%82%AB%E3%83%BC%E3%81%AE%E3%83%87%E3%83%AB%E3%82%BF" title="クロネッカーのデルタ">クロネッカーのデルタ</a>を用いて </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \langle \alpha |\beta \rangle =\delta _{\alpha ,\beta },}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mi>α</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>β</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>δ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>α</mi> <mo>,</mo> <mi>β</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle \alpha |\beta \rangle =\delta _{\alpha ,\beta },}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07ac4a418c828a2a35d8b5f40f972090e150572a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:12.737ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \langle \alpha |\beta \rangle =\delta _{\alpha ,\beta },}"></span></dd></dl> <p>連続基底では<a href="/wiki/%E3%83%87%E3%83%AB%E3%82%BF%E9%96%A2%E6%95%B0" class="mw-redirect" title="デルタ関数">デルタ関数</a>を用いて </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \langle \alpha |\beta \rangle =\delta (\alpha -\beta )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mi>α</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>β</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo>=</mo> <mi>δ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>α</mi> <mo>−</mo> <mi>β</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle \alpha |\beta \rangle =\delta (\alpha -\beta )}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d84c31fedae4a4e87f904a00d74f99dd74f67982" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.892ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \langle \alpha |\beta \rangle =\delta (\alpha -\beta )}"></span></dd></dl> <p>となる。 </p><p>また正規直交基底の<a href="/wiki/%E5%AE%8C%E5%85%A8%E7%B3%BB" title="完全系">完全性</a>は離散基底について、 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sum _{\alpha }|\alpha \rangle \langle \alpha |=1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>α</mi> </mrow> </munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>α</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mi>α</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{\alpha }|\alpha \rangle \langle \alpha |=1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57a200d330508caaeb833f8e29a5597781cfb945" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:14.081ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle \sum _{\alpha }|\alpha \rangle \langle \alpha |=1}"></span></dd></dl> <p>連続基底について、 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \int \mathrm {d} \alpha ~|\alpha \rangle \langle \alpha |=1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>α</mi> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>α</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mi>α</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int \mathrm {d} \alpha ~|\alpha \rangle \langle \alpha |=1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/180765167c78a5b41adb980afe1d1242d4ec2695" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:16.281ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \int \mathrm {d} \alpha ~|\alpha \rangle \langle \alpha |=1}"></span></dd></dl> <p>と表現される。ただし連続基底の場合の記述は数学的に逸脱があり、本来ヒルベルト空間の元として存在しない「固有ベクトル」 <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |\alpha \rangle }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>α</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |\alpha \rangle }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f42032e642ee1c9d27adb318d34c7cc85f7a95d5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.039ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |\alpha \rangle }"></span> があるかのように書いている<sup id="cite_ref-FOOTNOTE原200993.1.1_Dirac_の記法と三つ組み_5-0" class="reference"><a href="#cite_note-FOOTNOTE原200993.1.1_Dirac_の記法と三つ組み-5"><span class="cite-bracket">[</span>4<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>（<a href="/wiki/%E9%87%8F%E5%AD%90%E5%8A%9B%E5%AD%A6%E3%81%AE%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%9A%84%E5%AE%9A%E5%BC%8F%E5%8C%96#スペクトル分解と観測" title="量子力学の数学的定式化">量子力学の数学的定式化#スペクトル分解と観測</a>も参照）。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="第二量子化とブラケット記法"><span id=".E7.AC.AC.E4.BA.8C.E9.87.8F.E5.AD.90.E5.8C.96.E3.81.A8.E3.83.96.E3.83.A9.E3.82.B1.E3.83.83.E3.83.88.E8.A8.98.E6.B3.95"></span>第二量子化とブラケット記法</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E3%83%96%E3%83%A9-%E3%82%B1%E3%83%83%E3%83%88%E8%A8%98%E6%B3%95&action=edit&section=6" title="節を編集: 第二量子化とブラケット記法"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><a href="/wiki/%E7%AC%AC%E4%BA%8C%E9%87%8F%E5%AD%90%E5%8C%96" title="第二量子化">第二量子化</a>された粒子<a href="/wiki/%E7%94%9F%E6%88%90%E6%B6%88%E6%BB%85%E6%BC%94%E7%AE%97%E5%AD%90" title="生成消滅演算子">生成演算子</a> <span lang="en" class="texhtml"><i>a</i><sup>†</sup></span> を用いて2粒子状態を </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |\alpha \beta \rangle =a_{\alpha }^{\dagger }a_{\beta }^{\dagger }|0\rangle }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>α</mi> <mi>β</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>α</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>†</mo> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>β</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>†</mo> </mrow> </msubsup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mn>0</mn> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |\alpha \beta \rangle =a_{\alpha }^{\dagger }a_{\beta }^{\dagger }|0\rangle }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2795d5ac11726dddbcb18b0fa069c45d0ef712ed" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:15.101ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle |\alpha \beta \rangle =a_{\alpha }^{\dagger }a_{\beta }^{\dagger }|0\rangle }"></span></dd></dl> <p>と定義する。この時 <span lang="en" class="texhtml"><i>a</i><sup>†</sup></span> が<a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%9F%E7%B2%92%E5%AD%90" title="フェルミ粒子">フェルミ粒子</a>を表す<a href="/wiki/%E6%BC%94%E7%AE%97%E5%AD%90_(%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6)" title="演算子 (物理学)">演算子</a>なら、これらは<a href="/wiki/%E5%8F%8D%E4%BA%A4%E6%8F%9B%E9%96%A2%E4%BF%82" class="mw-redirect" title="反交換関係">反交換関係</a> <span lang="en" class="texhtml">{<span style="white-space: nowrap;"><span style="font-style: italic;">a</span><span style="font-size: 40%;"> </span><span style="font-size: 70%;"><span style="display:inline-block; vertical-align: -0.4em; line-height:1.1em;">†<br /><i>α</i></span></span><span style="font-size: 40%;"> </span></span>, <span style="white-space: nowrap;"><span style="font-style: italic;">a</span><span style="font-size: 40%;"> </span><span style="font-size: 70%;"><span style="display:inline-block; vertical-align: -0.4em; line-height:1.1em;">†<br /><i>β</i></span></span><span style="font-size: 40%;"> </span></span>} = 0</span> を満たすので、 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |\alpha \beta \rangle =a_{\alpha }^{\dagger }a_{\beta }^{\dagger }|0\rangle =-a_{\beta }^{\dagger }a_{\alpha }^{\dagger }|0\rangle =-|\beta \alpha \rangle }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>α</mi> <mi>β</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>α</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>†</mo> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>β</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>†</mo> </mrow> </msubsup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mn>0</mn> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <msubsup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>β</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>†</mo> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>α</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>†</mo> </mrow> </msubsup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mn>0</mn> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>β</mi> <mi>α</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |\alpha \beta \rangle =a_{\alpha }^{\dagger }a_{\beta }^{\dagger }|0\rangle =-a_{\beta }^{\dagger }a_{\alpha }^{\dagger }|0\rangle =-|\beta \alpha \rangle }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d31f5b835288a535eb3eb69cc300cf3521725fad" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:36.918ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle |\alpha \beta \rangle =a_{\alpha }^{\dagger }a_{\beta }^{\dagger }|0\rangle =-a_{\beta }^{\dagger }a_{\alpha }^{\dagger }|0\rangle =-|\beta \alpha \rangle }"></span></dd></dl> <p>となり、反対称化されている。 </p><p>また <span lang="en" class="texhtml"><i>a</i><sup>†</sup></span> が<a href="/wiki/%E3%83%9C%E3%83%BC%E3%82%B9%E7%B2%92%E5%AD%90" title="ボース粒子">ボース粒子</a>を表す演算子であれば、これらは<a href="/wiki/%E4%BA%A4%E6%8F%9B%E9%96%A2%E4%BF%82_(%E9%87%8F%E5%AD%90%E5%8A%9B%E5%AD%A6)" title="交換関係 (量子力学)">交換関係</a> <span lang="en" class="texhtml">[<span style="white-space: nowrap;"><span style="font-style: italic;">a</span><span style="font-size: 40%;"> </span><span style="font-size: 70%;"><span style="display:inline-block; vertical-align: -0.4em; line-height:1.1em;">†<br /><i>α</i></span></span><span style="font-size: 40%;"> </span></span>, <span style="white-space: nowrap;"><span style="font-style: italic;">a</span><span style="font-size: 40%;"> </span><span style="font-size: 70%;"><span style="display:inline-block; vertical-align: -0.4em; line-height:1.1em;">†<br /><i>β</i></span></span><span style="font-size: 40%;"> </span></span>] = 0</span> を満たすので、 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |\alpha \beta \rangle =a_{\alpha }^{\dagger }a_{\beta }^{\dagger }|0\rangle =a_{\beta }^{\dagger }a_{\alpha }^{\dagger }|0\rangle =|\beta \alpha \rangle }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>α</mi> <mi>β</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>α</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>†</mo> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>β</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>†</mo> </mrow> </msubsup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mn>0</mn> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>β</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>†</mo> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>α</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>†</mo> </mrow> </msubsup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mn>0</mn> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>β</mi> <mi>α</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |\alpha \beta \rangle =a_{\alpha }^{\dagger }a_{\beta }^{\dagger }|0\rangle =a_{\beta }^{\dagger }a_{\alpha }^{\dagger }|0\rangle =|\beta \alpha \rangle }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d5157a052a811861956180f3034dfe8cc07fb9a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:33.301ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle |\alpha \beta \rangle =a_{\alpha }^{\dagger }a_{\beta }^{\dagger }|0\rangle =a_{\beta }^{\dagger }a_{\alpha }^{\dagger }|0\rangle =|\beta \alpha \rangle }"></span></dd></dl> <p>となり、対称化されている。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="波動関数との関係"><span id=".E6.B3.A2.E5.8B.95.E9.96.A2.E6.95.B0.E3.81.A8.E3.81.AE.E9.96.A2.E4.BF.82"></span>波動関数との関係</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E3%83%96%E3%83%A9-%E3%82%B1%E3%83%83%E3%83%88%E8%A8%98%E6%B3%95&action=edit&section=7" title="節を編集: 波動関数との関係"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>ケット <span lang="en" class="texhtml"><span class="nowrap">|<i>ψ</i><span class="Unicode">⟩</span></span></span> と、（位置表示の）<a href="/wiki/%E6%B3%A2%E5%8B%95%E9%96%A2%E6%95%B0" title="波動関数">波動関数</a> <span lang="en" class="texhtml"><i>ψ</i>(<i>x</i>)</span> の関係は以下のように表される<sup id="cite_ref-FOOTNOTE北野201095–96_6-0" class="reference"><a href="#cite_note-FOOTNOTE北野201095–96-6"><span class="cite-bracket">[</span>5<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。 </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \psi (x)=\langle x|\psi \rangle ,\quad |\psi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x\ \psi (x)\ |x\rangle }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>ψ</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>ψ</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> </msubsup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>x</mi> <mtext> </mtext> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>x</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \psi (x)=\langle x|\psi \rangle ,\quad |\psi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x\ \psi (x)\ |x\rangle }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0663ed726e916af5904d5334ec8f751f4a2f6ba" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:38.72ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle \psi (x)=\langle x|\psi \rangle ,\quad |\psi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x\ \psi (x)\ |x\rangle }"></span></dd></dl> <p>ただし、位置を表す演算子 <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {x}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {x}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18d95a7845e4e16ffb7e18ab37a208d0ab18e0e0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\hat {x}}}"></span> の固有値を <span lang="en" class="texhtml"><i>x</i></span> 、対応する固有ケットを <span lang="en" class="texhtml"><span class="nowrap">|<i>x</i><span class="Unicode">⟩</span></span></span> とする；<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {x}}|x\rangle =x|x\rangle }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>x</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>x</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {x}}|x\rangle =x|x\rangle }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4241b4da800b5bf3f9ab0ede6fef676fba5ad9c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.52ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\hat {x}}|x\rangle =x|x\rangle }"></span>。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="出典"><span id=".E5.87.BA.E5.85.B8"></span>出典</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E3%83%96%E3%83%A9-%E3%82%B1%E3%83%83%E3%83%88%E8%A8%98%E6%B3%95&action=edit&section=8" title="節を編集: 出典"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="noprint" style="float:right; font-size:90%;">[<a href="/wiki/Help:%E8%84%9A%E6%B3%A8/%E8%AA%AD%E8%80%85%E5%90%91%E3%81%91" title="Help:脚注/読者向け"><span title="この欄の操作法">脚注の使い方</span></a>]</div> <div class="reflist" style="list-style-type: decimal;"> <ol class="references"> <li id="cite_note-FOOTNOTEDirac1968-1"><b><a href="#cite_ref-FOOTNOTEDirac1968_1-0">^</a></b> <span class="reference-text"><a href="#CITEREFDirac1968">Dirac 1968</a>.</span> </li> <li id="cite_note-FOOTNOTEDirac1947PREFACE_TO_THIRD_EDITION-3"><b><a href="#cite_ref-FOOTNOTEDirac1947PREFACE_TO_THIRD_EDITION_3-0">^</a></b> <span class="reference-text"><a href="#CITEREFDirac1947">Dirac 1947</a>, PREFACE TO THIRD EDITION.</span> </li> <li id="cite_note-FOOTNOTE北野2013-4"><b><a href="#cite_ref-FOOTNOTE北野2013_4-0">^</a></b> <span class="reference-text"><a href="#CITEREF北野2013">北野 2013</a>.</span> </li> <li id="cite_note-FOOTNOTE原200993.1.1_Dirac_の記法と三つ組み-5"><b><a href="#cite_ref-FOOTNOTE原200993.1.1_Dirac_の記法と三つ組み_5-0">^</a></b> <span class="reference-text"><a href="#CITEREF原2009">原 2009</a>, p. 9, 3.1.1 Dirac の記法と三つ組み.</span> </li> <li id="cite_note-FOOTNOTE北野201095–96-6"><b><a href="#cite_ref-FOOTNOTE北野201095–96_6-0">^</a></b> <span class="reference-text"><a href="#CITEREF北野2010">北野 2010</a>, pp. 95–96.</span> </li> </ol></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="注釈"><span id=".E6.B3.A8.E9.87.88"></span>注釈</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E3%83%96%E3%83%A9-%E3%82%B1%E3%83%83%E3%83%88%E8%A8%98%E6%B3%95&action=edit&section=9" title="節を編集: 注釈"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="noprint" style="float:right; font-size:90%;">[<a href="/wiki/Help:%E8%84%9A%E6%B3%A8/%E8%AA%AD%E8%80%85%E5%90%91%E3%81%91" title="Help:脚注/読者向け"><span title="この欄の操作法">脚注の使い方</span></a>]</div> <div class="reflist" style="list-style-type: decimal;"> <ol class="references"> <li id="cite_note-2"><b><a href="#cite_ref-2">^</a></b> <span class="reference-text">以下、本稿では「ブラケット記法」と呼ぶ。</span> </li> </ol></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="参考文献"><span id=".E5.8F.82.E8.80.83.E6.96.87.E7.8C.AE"></span>参考文献</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E3%83%96%E3%83%A9-%E3%82%B1%E3%83%83%E3%83%88%E8%A8%98%E6%B3%95&action=edit&section=10" title="節を編集: 参考文献"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><cite style="font-style:normal" class="citation journal" id="CITEREFDirac1939"><a href="/wiki/%E3%83%9D%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%83%BB%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%A9%E3%83%83%E3%82%AF" title="ポール・ディラック">Dirac, P. A. M.</a> (1939-07). “A new notation for quantum mechanics”. <i>Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society</i> <b>35</b> (3): 416–418. <a href="/wiki/Doi_(%E8%AD%98%E5%88%A5%E5%AD%90)" class="mw-redirect" title="Doi (識別子)">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1017%2FS0305004100021162">10.1017/S0305004100021162</a>.</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=A+new+notation+for+quantum+mechanics&rft.jtitle=Mathematical+Proceedings+of+the+Cambridge+Philosophical+Society&rft.aulast=Dirac&rft.aufirst=P.+A.+M.&rft.au=Dirac%2C%26%2332%3BP.+A.+M.&rft.date=1939-07&rft.volume=35&rft.issue=3&rft.pages=416%26ndash%3B418&rft_id=info:doi/10.1017%2FS0305004100021162&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E3%83%96%E3%83%A9-%E3%82%B1%E3%83%83%E3%83%88%E8%A8%98%E6%B3%95"><span style="display: none;"> </span></span></li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation book" id="CITEREFDirac1947">Dirac, P. A. M. (1947). <i>The principles of quantum mechanics</i> (3rd ed.). Oxford University Press</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=The+principles+of+quantum+mechanics&rft.aulast=Dirac&rft.aufirst=P.+A.+M.&rft.au=Dirac%2C%26%2332%3BP.+A.+M.&rft.date=1947&rft.edition=3rd&rft.pub=Oxford+University+Press&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E3%83%96%E3%83%A9-%E3%82%B1%E3%83%83%E3%83%88%E8%A8%98%E6%B3%95"><span style="display: none;"> </span></span></li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation book" id="CITEREFDirac1967">Dirac, P. A. M. (1967). <i>The principles of quantum mechanics</i>. The international series of monographs on physics (4th (revised) ed.). Oxford University Press</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=The+principles+of+quantum+mechanics&rft.aulast=Dirac&rft.aufirst=P.+A.+M.&rft.au=Dirac%2C%26%2332%3BP.+A.+M.&rft.date=1967&rft.series=The+international+series+of+monographs+on+physics&rft.edition=4th+%28revised%29&rft.pub=Oxford+University+Press&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E3%83%96%E3%83%A9-%E3%82%B1%E3%83%83%E3%83%88%E8%A8%98%E6%B3%95"><span style="display: none;"> </span></span></li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation book" id="CITEREFDirac1968">Dirac, P. A. M. 著、朝永振一郎他訳『量子力学』（原著第4版）岩波書店、1968年。</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=%E9%87%8F%E5%AD%90%E5%8A%9B%E5%AD%A6&rft.aulast=Dirac&rft.aufirst=P.+A.+M.&rft.au=Dirac%2C%26%2332%3BP.+A.+M.&rft.date=1968&rft.edition=%E5%8E%9F%E8%91%97%E7%AC%AC4%E7%89%88&rft.pub=%E5%B2%A9%E6%B3%A2%E6%9B%B8%E5%BA%97&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E3%83%96%E3%83%A9-%E3%82%B1%E3%83%83%E3%83%88%E8%A8%98%E6%B3%95"><span style="display: none;"> </span></span></li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation book" id="CITEREF北野2010">北野, 正雄『量子力学の基礎』共立出版、2010年1月23日。<style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r101121245">.mw-parser-output cite.citation{font-style:inherit;word-wrap:break-word}.mw-parser-output .citation q{quotes:"\"""\"""'""'"}.mw-parser-output .citation.cs-ja1 q,.mw-parser-output .citation.cs-ja2 q{quotes:"「""」""『""』"}.mw-parser-output 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title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=%E9%87%8F%E5%AD%90%E5%8A%9B%E5%AD%A6%E3%81%AE%E5%9F%BA%E7%A4%8E&rft.aulast=%E5%8C%97%E9%87%8E&rft.aufirst=%E6%AD%A3%E9%9B%84&rft.au=%E5%8C%97%E9%87%8E%2C%26%2332%3B%E6%AD%A3%E9%9B%84&rft.date=2010-01-23&rft.pub=%E5%85%B1%E7%AB%8B%E5%87%BA%E7%89%88&rft.isbn=978-4-320-03462-4&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E3%83%96%E3%83%A9-%E3%82%B1%E3%83%83%E3%83%88%E8%A8%98%E6%B3%95"><span style="display: none;"> </span></span></li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation journal" id="CITEREF北野2013">北野, 正雄「<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.11316/butsuri.68.4_239">誤解されているブラケット：共役演算子をめぐって</a>」『日本物理学会誌』第68巻第4号、日本物理学会、2013年4月5日、239-241頁、<link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><a href="/wiki/CRID_(%E8%AD%98%E5%88%A5%E5%AD%90)" class="mw-redirect" title="CRID (識別子)">CRID</a> <a rel="nofollow" class="external text" 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title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=%E8%AA%A4%E8%A7%A3%E3%81%95%E3%82%8C%E3%81%A6%E3%81%84%E3%82%8B%E3%83%96%E3%83%A9%E3%82%B1%E3%83%83%E3%83%88%EF%BC%9A%E5%85%B1%E5%BD%B9%E6%BC%94%E7%AE%97%E5%AD%90%E3%82%92%E3%82%81%E3%81%90%E3%81%A3%E3%81%A6&rft.jtitle=%E6%97%A5%E6%9C%AC%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6%E4%BC%9A%E8%AA%8C&rft.aulast=%E5%8C%97%E9%87%8E&rft.aufirst=%E6%AD%A3%E9%9B%84&rft.au=%E5%8C%97%E9%87%8E%2C%26%2332%3B%E6%AD%A3%E9%9B%84&rft.date=2013-04-05&rft.volume=68&rft.issue=4&rft.pages=239-241%E9%A0%81&rft.pub=%E6%97%A5%E6%9C%AC%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6%E4%BC%9A&rft_dat=crid/1390282763028514816&rft_id=info:doi/10.11316%2Fbutsuri.68.4_239&rft_id=info:hdl/2433%2F173934&rft.issn=0029-0181&rft_id=https%3A%2F%2Fdoi.org%2F10.11316%2Fbutsuri.68.4_239&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E3%83%96%E3%83%A9-%E3%82%B1%E3%83%83%E3%83%88%E8%A8%98%E6%B3%95"><span style="display: none;"> </span></span></li> <li><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><cite id="CITEREF原2009" class="citation web cs1">原, 隆 (17 December 2009). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www2.math.kyushu-u.ac.jp/~hara/lectures/09/QM_structure2.pdf">"数学者のための量子力学入門"</a> <span class="cs1-format">(PDF)</span>. <i>www2.math.kyushu-u.ac.jp/~hara</i><span class="reference-accessdate">. 2023年1月5日閲覧</span>。</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=unknown&rft.jtitle=www2.math.kyushu-u.ac.jp%2F~hara&rft.atitle=%E6%95%B0%E5%AD%A6%E8%80%85%E3%81%AE%E3%81%9F%E3%82%81%E3%81%AE%E9%87%8F%E5%AD%90%E5%8A%9B%E5%AD%A6%E5%85%A5%E9%96%80&rft.date=2009-12-17&rft.aulast=%E5%8E%9F&rft.aufirst=%E9%9A%86&rft_id=https%3A%2F%2Fwww2.math.kyushu-u.ac.jp%2F~hara%2Flectures%2F09%2FQM_structure2.pdf&rfr_id=info%3Asid%2Fja.wikipedia.org%3A%E3%83%96%E3%83%A9-%E3%82%B1%E3%83%83%E3%83%88%E8%A8%98%E6%B3%95" class="Z3988"></span></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="関連項目"><span id=".E9.96.A2.E9.80.A3.E9.A0.85.E7.9B.AE"></span>関連項目</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E3%83%96%E3%83%A9-%E3%82%B1%E3%83%83%E3%83%88%E8%A8%98%E6%B3%95&action=edit&section=11" title="節を編集: 関連項目"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/%E9%87%8F%E5%AD%90%E5%8A%9B%E5%AD%A6%E3%81%AE%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%9A%84%E5%AE%9A%E5%BC%8F%E5%8C%96#ブラベクトルとケットベクトル" title="量子力学の数学的定式化">量子力学の数学的定式化#ブラベクトルとケットベクトル</a></li></ul> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r96783592">.mw-parser-output .asbox{position:relative;overflow:hidden}.mw-parser-output .asbox table{background:transparent}.mw-parser-output .asbox p{margin:0}.mw-parser-output .asbox p+p{margin-top:0.25em}.mw-parser-output .asbox{font-size:90%}.mw-parser-output .asbox-note{font-size:90%}.mw-parser-output .asbox .navbar{position:absolute;top:-0.90em;right:1em;display:none}</style><div role="note" class="metadata plainlinks asbox stub"><table role="presentation"><tbody><tr class="noresize"><td><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Nuvola_apps_kalzium.png" class="mw-file-description"><img alt="スタブアイコン" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f5/Nuvola_apps_kalzium.png/30px-Nuvola_apps_kalzium.png" decoding="async" width="30" height="30" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f5/Nuvola_apps_kalzium.png/45px-Nuvola_apps_kalzium.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f5/Nuvola_apps_kalzium.png/60px-Nuvola_apps_kalzium.png 2x" data-file-width="128" data-file-height="128" /></a></span></td><td><p class="asbox-body">この項目は、<a href="/wiki/%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6" title="物理学">物理学</a>に関連した<b><a href="/wiki/Wikipedia:%E3%82%B9%E3%82%BF%E3%83%96" title="Wikipedia:スタブ">書きかけの項目</a></b>です。<a class="external text" href="https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=%E3%83%96%E3%83%A9-%E3%82%B1%E3%83%83%E3%83%88%E8%A8%98%E6%B3%95&action=edit">この項目を加筆・訂正</a>などしてくださる<a href="/wiki/Category:%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6%E9%96%A2%E9%80%A3%E3%81%AE%E3%82%B9%E3%82%BF%E3%83%96%E9%A0%85%E7%9B%AE" title="Category:物理学関連のスタブ項目">協力者を求めています</a>（<a href="/wiki/%E3%83%97%E3%83%AD%E3%82%B8%E3%82%A7%E3%82%AF%E3%83%88:%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6" title="プロジェクト:物理学">プロジェクト:物理学</a>／<a href="/wiki/Portal:%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6" title="Portal:物理学">Portal:物理学</a>）。</p></td></tr></tbody></table><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r99966302">.mw-parser-output .hlist ul,.mw-parser-output .hlist ol{padding-left:0}.mw-parser-output .hlist li,.mw-parser-output .hlist dd,.mw-parser-output .hlist dt{margin-right:0;display:inline-block;white-space:nowrap}.mw-parser-output .hlist dt:after,.mw-parser-output .hlist dd:after,.mw-parser-output .hlist li:after{white-space:normal}.mw-parser-output .hlist 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title="Category:出典を必要とする記事/2017年4月">出典を必要とする記事/2017年4月</a></li><li><a href="/wiki/Category:%E3%81%99%E3%81%B9%E3%81%A6%E3%81%AE%E3%82%B9%E3%82%BF%E3%83%96%E8%A8%98%E4%BA%8B" title="Category:すべてのスタブ記事">すべてのスタブ記事</a></li><li><a href="/wiki/Category:%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6%E9%96%A2%E9%80%A3%E3%81%AE%E3%82%B9%E3%82%BF%E3%83%96%E9%A0%85%E7%9B%AE" title="Category:物理学関連のスタブ項目">物理学関連のスタブ項目</a></li><li><a href="/wiki/Category:%E6%95%B0%E5%AD%A6%E9%96%A2%E9%80%A3%E3%81%AE%E3%82%B9%E3%82%BF%E3%83%96%E9%A0%85%E7%9B%AE" title="Category:数学関連のスタブ項目">数学関連のスタブ項目</a></li></ul></div></div> </div> </main> </div> <div class="mw-footer-container"> <footer id="footer" class="mw-footer" > <ul id="footer-info"> <li id="footer-info-lastmod"> 最終更新 2024年2月21日 (水) 14:06 （日時は<a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E5%80%8B%E4%BA%BA%E8%A8%AD%E5%AE%9A#mw-prefsection-rendering" title="特別:個人設定">個人設定</a>で未設定ならば<a href="/wiki/%E5%8D%94%E5%AE%9A%E4%B8%96%E7%95%8C%E6%99%82" title="協定世界時">UTC</a>）。</li> <li 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