CINXE.COM

<!DOCTYPE html> <html class="client-nojs vector-feature-language-in-header-enabled vector-feature-language-in-main-page-header-disabled vector-feature-sticky-header-disabled vector-feature-page-tools-pinned-disabled vector-feature-toc-pinned-clientpref-1 vector-feature-main-menu-pinned-disabled vector-feature-limited-width-clientpref-1 vector-feature-limited-width-content-enabled vector-feature-custom-font-size-clientpref-1 vector-feature-appearance-pinned-clientpref-1 vector-feature-night-mode-disabled skin-theme-clientpref-day vector-toc-available" lang="sl" dir="ltr"> <head> <meta charset="UTF-8"> <title>Grupa - Wikipedija, prosta enciklopedija</title> <script>(function(){var className="client-js vector-feature-language-in-header-enabled vector-feature-language-in-main-page-header-disabled vector-feature-sticky-header-disabled vector-feature-page-tools-pinned-disabled vector-feature-toc-pinned-clientpref-1 vector-feature-main-menu-pinned-disabled vector-feature-limited-width-clientpref-1 vector-feature-limited-width-content-enabled vector-feature-custom-font-size-clientpref-1 vector-feature-appearance-pinned-clientpref-1 vector-feature-night-mode-disabled skin-theme-clientpref-day vector-toc-available";var cookie=document.cookie.match(/(?:^|; )slwikimwclientpreferences=([^;]+)/);if(cookie){cookie[1].split('%2C').forEach(function(pref){className=className.replace(new RegExp('(^| )'+pref.replace(/-clientpref-\w+$|[^\w-]+/g,'')+'-clientpref-\\w+( |$)'),'$1'+pref+'$2');});}document.documentElement.className=className;}());RLCONF={"wgBreakFrames":false,"wgSeparatorTransformTable":[",\t.",".\t,"],"wgDigitTransformTable":["",""], "wgDefaultDateFormat":"dmy full","wgMonthNames":["","januar","februar","marec","april","maj","junij","julij","avgust","september","oktober","november","december"],"wgRequestId":"346443a7-0f4f-47f6-8833-7ae45899d5c2","wgCanonicalNamespace":"","wgCanonicalSpecialPageName":false,"wgNamespaceNumber":0,"wgPageName":"Grupa","wgTitle":"Grupa","wgCurRevisionId":6219622,"wgRevisionId":6219622,"wgArticleId":188,"wgIsArticle":true,"wgIsRedirect":false,"wgAction":"view","wgUserName":null,"wgUserGroups":["*"],"wgCategories":["Wikipedijini članki z identifikatorji GND","Wikipedijini članki z identifikatorji NKC","Algebrske strukture"],"wgPageViewLanguage":"sl","wgPageContentLanguage":"sl","wgPageContentModel":"wikitext","wgRelevantPageName":"Grupa","wgRelevantArticleId":188,"wgIsProbablyEditable":true,"wgRelevantPageIsProbablyEditable":true,"wgRestrictionEdit":[],"wgRestrictionMove":[],"wgNoticeProject":"wikipedia","wgCiteReferencePreviewsActive":true,"wgMediaViewerOnClick":true, "wgMediaViewerEnabledByDefault":true,"wgPopupsFlags":0,"wgVisualEditor":{"pageLanguageCode":"sl","pageLanguageDir":"ltr","pageVariantFallbacks":"sl"},"wgMFDisplayWikibaseDescriptions":{"search":true,"watchlist":true,"tagline":true,"nearby":true},"wgWMESchemaEditAttemptStepOversample":false,"wgWMEPageLength":20000,"wgRelatedArticlesCompat":[],"wgEditSubmitButtonLabelPublish":true,"wgULSPosition":"interlanguage","wgULSisCompactLinksEnabled":false,"wgVector2022LanguageInHeader":true,"wgULSisLanguageSelectorEmpty":false,"wgWikibaseItemId":"Q83478","wgCheckUserClientHintsHeadersJsApi":["brands","architecture","bitness","fullVersionList","mobile","model","platform","platformVersion"],"GEHomepageSuggestedEditsEnableTopics":true,"wgGETopicsMatchModeEnabled":false,"wgGEStructuredTaskRejectionReasonTextInputEnabled":false,"wgGELevelingUpEnabledForUser":false};RLSTATE={"ext.globalCssJs.user.styles":"ready","site.styles":"ready","user.styles":"ready","ext.globalCssJs.user":"ready","user":"ready", "user.options":"loading","ext.math.styles":"ready","skins.vector.search.codex.styles":"ready","skins.vector.styles":"ready","skins.vector.icons":"ready","ext.wikimediamessages.styles":"ready","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript":"ready","ext.uls.interlanguage":"ready","wikibase.client.init":"ready","ext.wikimediaBadges":"ready"};RLPAGEMODULES=["site","mediawiki.page.ready","mediawiki.toc","skins.vector.js","ext.centralNotice.geoIP","ext.centralNotice.startUp","ext.gadget.CommonsDirekt","ext.gadget.switcher","ext.urlShortener.toolbar","ext.centralauth.centralautologin","mmv.bootstrap","ext.popups","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.init","ext.visualEditor.targetLoader","ext.echo.centralauth","ext.eventLogging","ext.wikimediaEvents","ext.navigationTiming","ext.uls.interface","ext.cx.eventlogging.campaigns","ext.cx.uls.quick.actions","wikibase.client.vector-2022","ext.checkUser.clientHints","ext.growthExperiments.SuggestedEditSession","wikibase.sidebar.tracking"];</script> <script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.loader.impl(function(){return["user.options@12s5i",function($,jQuery,require,module){mw.user.tokens.set({"patrolToken":"+\\","watchToken":"+\\","csrfToken":"+\\"}); }];});});</script> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=sl&modules=ext.math.styles%7Cext.uls.interlanguage%7Cext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript%7Cext.wikimediaBadges%7Cext.wikimediamessages.styles%7Cskins.vector.icons%2Cstyles%7Cskins.vector.search.codex.styles%7Cwikibase.client.init&only=styles&skin=vector-2022"> <script async="" src="/w/load.php?lang=sl&modules=startup&only=scripts&raw=1&skin=vector-2022"></script> <meta name="ResourceLoaderDynamicStyles" content=""> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=sl&modules=site.styles&only=styles&skin=vector-2022"> <meta name="generator" content="MediaWiki 1.44.0-wmf.5"> <meta name="referrer" content="origin"> <meta name="referrer" content="origin-when-cross-origin"> <meta name="robots" content="noindex,nofollow,max-image-preview:standard"> <meta name="format-detection" content="telephone=no"> <meta name="viewport" content="width=1120"> <meta property="og:title" content="Grupa - Wikipedija, prosta enciklopedija"> <meta property="og:type" content="website"> <link rel="preconnect" href="//upload.wikimedia.org"> <link rel="alternate" media="only screen and (max-width: 640px)" href="//sl.m.wikipedia.org/wiki/Grupa"> <link rel="alternate" type="application/x-wiki" title="Uredi" href="/w/index.php?title=Grupa&action=edit"> <link rel="apple-touch-icon" href="/static/apple-touch/wikipedia.png"> <link rel="icon" href="/static/favicon/wikipedia.ico"> <link rel="search" type="application/opensearchdescription+xml" href="/w/rest.php/v1/search" title="Wikipedija (sl)"> <link rel="EditURI" type="application/rsd+xml" href="//sl.wikipedia.org/w/api.php?action=rsd"> <link rel="canonical" href="https://sl.wikipedia.org/wiki/Grupa"> <link rel="license" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.sl"> <link rel="alternate" type="application/atom+xml" title="Atom-vir strani »Wikipedija«" href="/w/index.php?title=Posebno:ZadnjeSpremembe&feed=atom"> <link rel="dns-prefetch" href="//meta.wikimedia.org" /> <link rel="dns-prefetch" href="//login.wikimedia.org"> </head> <body class="skin--responsive skin-vector skin-vector-search-vue mediawiki ltr sitedir-ltr mw-hide-empty-elt ns-0 ns-subject mw-editable page-Grupa rootpage-Grupa skin-vector-2022 action-view"><a class="mw-jump-link" href="#bodyContent">Pojdi na vsebino</a> <div class="vector-header-container"> <header class="vector-header mw-header"> <div class="vector-header-start"> <nav class="vector-main-menu-landmark" aria-label="Projekt"> <div id="vector-main-menu-dropdown" class="vector-dropdown vector-main-menu-dropdown vector-button-flush-left vector-button-flush-right" > <input type="checkbox" id="vector-main-menu-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-main-menu-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Glavni meni" > <label id="vector-main-menu-dropdown-label" for="vector-main-menu-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-menu mw-ui-icon-wikimedia-menu"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Glavni meni</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-main-menu-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> <div id="vector-main-menu" class="vector-main-menu vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-main-menu-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="main-menu-pinned" data-pinnable-element-id="vector-main-menu" data-pinned-container-id="vector-main-menu-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-main-menu-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Glavni meni</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-main-menu.pin">prestavi v stransko letvico</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-main-menu.unpin">skrij</button> </div> <div id="p-navigation" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-navigation" > <div class="vector-menu-heading"> Navigacija </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-mainpage" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Glavna_stran" title="Obiščite glavno stran [z]" accesskey="z"><span>Glavna stran</span></a></li><li id="n-introduction" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Pomo%C4%8D:Uvod"><span>Naučite se urejati</span></a></li><li id="n-Izbrani-članki" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedija:Izbrani_%C4%8Dlanki"><span>Izbrani članki</span></a></li><li id="n-randompage" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Posebno:Naklju%C4%8Dno" title="Naložite naključno stran [x]" accesskey="x"><span>Naključna stran</span></a></li><li id="n-recentchanges" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Posebno:ZadnjeSpremembe" title="Seznam zadnjih sprememb Wikipedije [r]" accesskey="r"><span>Zadnje spremembe</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-obcestvo" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-obcestvo" > <div class="vector-menu-heading"> Skupnost </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-help" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Pomo%C4%8D:Vsebina" title="Kraj, kjer lahko prejmete pomoč"><span>Pomoč</span></a></li><li id="n-Pod-lipo" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedija:Pod_lipo"><span>Pod lipo</span></a></li><li id="n-portal" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedija:Portal_skupnosti" title="O projektu, kaj lahko storite, kje lahko kaj najdete"><span>Portal skupnosti</span></a></li><li id="n-contact" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedija:Stik_z_nami"><span>Stik z nami</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> <a href="/wiki/Glavna_stran" class="mw-logo"> <img class="mw-logo-icon" src="/static/images/icons/wikipedia.png" alt="" aria-hidden="true" height="50" width="50"> <span class="mw-logo-container skin-invert"> <img class="mw-logo-wordmark" alt="Wikipedija" src="/static/images/mobile/copyright/wikipedia-wordmark-sl.svg" style="width: 7.4375em; height: 1.375em;"> <img class="mw-logo-tagline" alt="prosta enciklopedija" src="/static/images/mobile/copyright/wikipedia-tagline-sl.svg" width="118" height="13" style="width: 7.375em; height: 0.8125em;"> </span> </a> </div> <div class="vector-header-end"> <div id="p-search" role="search" class="vector-search-box-vue vector-search-box-collapses vector-search-box-show-thumbnail vector-search-box-auto-expand-width vector-search-box"> <a href="/wiki/Posebno:Iskanje" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only search-toggle" title="Preiščite viki [f]" accesskey="f"><span class="vector-icon mw-ui-icon-search mw-ui-icon-wikimedia-search"></span> <span>Iskanje</span> </a> <div class="vector-typeahead-search-container"> <div class="cdx-typeahead-search cdx-typeahead-search--show-thumbnail cdx-typeahead-search--auto-expand-width"> <form action="/w/index.php" id="searchform" class="cdx-search-input cdx-search-input--has-end-button"> <div id="simpleSearch" class="cdx-search-input__input-wrapper" data-search-loc="header-moved"> <div class="cdx-text-input cdx-text-input--has-start-icon"> <input class="cdx-text-input__input" type="search" name="search" placeholder="Iskanje v Wikipediji" aria-label="Iskanje v Wikipediji" autocapitalize="sentences" title="Preiščite viki [f]" accesskey="f" id="searchInput" > <span class="cdx-text-input__icon cdx-text-input__start-icon"></span> </div> <input type="hidden" name="title" value="Posebno:Iskanje"> </div> <button class="cdx-button cdx-search-input__end-button">Išči</button> </form> </div> </div> </div> <nav class="vector-user-links vector-user-links-wide" aria-label="Osebna orodja"> <div class="vector-user-links-main"> <div id="p-vector-user-menu-preferences" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <div id="p-vector-user-menu-userpage" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Videz"> <div id="vector-appearance-dropdown" class="vector-dropdown " title="Change the appearance of the page's font size, width, and color" > <input type="checkbox" id="vector-appearance-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-appearance-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Videz" > <label id="vector-appearance-dropdown-label" for="vector-appearance-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-appearance mw-ui-icon-wikimedia-appearance"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Videz</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-appearance-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <div id="p-vector-user-menu-notifications" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <div id="p-vector-user-menu-overflow" class="vector-menu mw-portlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-sitesupport-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="//donate.wikimedia.org/wiki/Special:FundraiserRedirector?utm_source=donate&utm_medium=sidebar&utm_campaign=C13_sl.wikipedia.org&uselang=sl" class=""><span>Denarni prispevki</span></a> </li> <li id="pt-createaccount-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="/w/index.php?title=Posebno:Registracija&returnto=Grupa&returntoquery=section%3D4%26veaction%3Dedit" title="Predlagamo vam, da si ustvarite račun in se prijavite, vendar to ni obvezno." class=""><span>Ustvari račun</span></a> </li> <li id="pt-login-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="/w/index.php?title=Posebno:Prijava&returnto=Grupa&returntoquery=section%3D4%26veaction%3Dedit" title="Prijava je zaželena, vendar ni obvezna [o]" accesskey="o" class=""><span>Prijava</span></a> </li> </ul> </div> </div> </div> <div id="vector-user-links-dropdown" class="vector-dropdown vector-user-menu vector-button-flush-right vector-user-menu-logged-out" title="Več možnosti" > <input type="checkbox" id="vector-user-links-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-user-links-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Osebna orodja" > <label id="vector-user-links-dropdown-label" for="vector-user-links-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-ellipsis mw-ui-icon-wikimedia-ellipsis"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Osebna orodja</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-personal" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-personal user-links-collapsible-item" title="Uporabniški meni" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-sitesupport" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="//donate.wikimedia.org/wiki/Special:FundraiserRedirector?utm_source=donate&utm_medium=sidebar&utm_campaign=C13_sl.wikipedia.org&uselang=sl"><span>Denarni prispevki</span></a></li><li id="pt-createaccount" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Posebno:Registracija&returnto=Grupa&returntoquery=section%3D4%26veaction%3Dedit" title="Predlagamo vam, da si ustvarite račun in se prijavite, vendar to ni obvezno."><span class="vector-icon mw-ui-icon-userAdd mw-ui-icon-wikimedia-userAdd"></span> <span>Ustvari račun</span></a></li><li id="pt-login" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Posebno:Prijava&returnto=Grupa&returntoquery=section%3D4%26veaction%3Dedit" title="Prijava je zaželena, vendar ni obvezna [o]" accesskey="o"><span class="vector-icon mw-ui-icon-logIn mw-ui-icon-wikimedia-logIn"></span> <span>Prijava</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-user-menu-anon-editor" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-user-menu-anon-editor" > <div class="vector-menu-heading"> Strani za neprijavljene urejevalce <a href="/wiki/Pomo%C4%8D:Uvod" aria-label="Več o urejanju"><span>več o tem</span></a> </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-anoncontribs" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Posebno:MojiPrispevki" title="Seznam urejanj s tega IP-naslova [y]" accesskey="y"><span>Prispevki</span></a></li><li id="pt-anontalk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Posebno:MojPogovor" title="Pogovor o urejanjih s tega IP-naslova [n]" accesskey="n"><span>Pogovorna stran</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </header> </div> <div class="mw-page-container"> <div class="mw-page-container-inner"> <div class="vector-sitenotice-container"> <div id="siteNotice"></div> </div> <div class="vector-column-start"> <div class="vector-main-menu-container"> <div id="mw-navigation"> <nav id="mw-panel" class="vector-main-menu-landmark" aria-label="Projekt"> <div id="vector-main-menu-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> </div> </div> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav id="mw-panel-toc" aria-label="Vsebina" data-event-name="ui.sidebar-toc" class="mw-table-of-contents-container vector-toc-landmark"> <div id="vector-toc-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-toc" class="vector-toc vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-toc-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="toc-pinned" data-pinnable-element-id="vector-toc" > <h2 class="vector-pinnable-header-label">Vsebina</h2> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-toc.pin">prestavi v stransko letvico</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-toc.unpin">skrij</button> </div> <ul class="vector-toc-contents" id="mw-panel-toc-list"> <li id="toc-mw-content-text" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a href="#" class="vector-toc-link"> <div class="vector-toc-text">Uvod</div> </a> </li> <li id="toc-Definicija" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Definicija"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1</span> <span>Definicija</span> </div> </a> <ul id="toc-Definicija-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Osnovni_primeri" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Osnovni_primeri"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2</span> <span>Osnovni primeri</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Osnovni_primeri-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Vklopi podrazdelek Osnovni primeri</span> </button> <ul id="toc-Osnovni_primeri-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Cela_števila" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Cela_števila"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.1</span> <span>Cela števila</span> </div> </a> <ul id="toc-Cela_števila-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Cela_števila_z_množenjem?" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Cela_števila_z_množenjem?"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.2</span> <span>Cela števila z množenjem?</span> </div> </a> <ul id="toc-Cela_števila_z_množenjem?-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Racionalna_števila_z_množenjem?" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Racionalna_števila_z_množenjem?"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.3</span> <span>Racionalna števila z množenjem?</span> </div> </a> <ul id="toc-Racionalna_števila_z_množenjem?-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Premiki_ravnine" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Premiki_ravnine"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.4</span> <span>Premiki ravnine</span> </div> </a> <ul id="toc-Premiki_ravnine-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Grupe_simetrij" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Grupe_simetrij"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.5</span> <span>Grupe simetrij</span> </div> </a> <ul id="toc-Grupe_simetrij-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Matrične_grupe" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Matrične_grupe"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.6</span> <span>Matrične grupe</span> </div> </a> <ul id="toc-Matrične_grupe-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Prosta_grupa_z_dvema_generatorjema" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Prosta_grupa_z_dvema_generatorjema"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.7</span> <span>Prosta grupa z dvema generatorjema</span> </div> </a> <ul id="toc-Prosta_grupa_z_dvema_generatorjema-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Še_nekaj_primerov_končnih_grup" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Še_nekaj_primerov_končnih_grup"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.8</span> <span>Še nekaj primerov končnih grup</span> </div> </a> <ul id="toc-Še_nekaj_primerov_končnih_grup-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Teorija_grup" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Teorija_grup"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3</span> <span>Teorija grup</span> </div> </a> <ul id="toc-Teorija_grup-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Uporabe" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Uporabe"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4</span> <span>Uporabe</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Uporabe-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Vklopi podrazdelek Uporabe</span> </button> <ul id="toc-Uporabe-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Posplošitve" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Posplošitve"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.1</span> <span>Posplošitve</span> </div> </a> <ul id="toc-Posplošitve-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Zunanje_povezave" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Zunanje_povezave"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5</span> <span>Zunanje povezave</span> </div> </a> <ul id="toc-Zunanje_povezave-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="Vsebina" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Vklopi kazalo vsebine" > <label id="vector-page-titlebar-toc-label" for="vector-page-titlebar-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-listBullet mw-ui-icon-wikimedia-listBullet"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Vklopi kazalo vsebine</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-titlebar-toc-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Grupa</span></h1> <div id="p-lang-btn" class="vector-dropdown mw-portlet mw-portlet-lang" > <input type="checkbox" id="p-lang-btn-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-lang-btn" class="vector-dropdown-checkbox mw-interlanguage-selector" aria-label="P9jdi na članek v drugem jeziku. Na voljo v 83 jezikih." > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-83" aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-language-progressive mw-ui-icon-wikimedia-language-progressive"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">83 jezikov</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-af mw-list-item"><a href="https://af.wikipedia.org/wiki/Groep_(wiskunde)" title="Groep (wiskunde) – afrikanščina" lang="af" hreflang="af" data-title="Groep (wiskunde)" data-language-autonym="Afrikaans" data-language-local-name="afrikanščina" class="interlanguage-link-target"><span>Afrikaans</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D8%B2%D9%85%D8%B1%D8%A9_(%D8%B1%D9%8A%D8%A7%D8%B6%D9%8A%D8%A7%D8%AA)" title="زمرة (رياضيات) – arabščina" lang="ar" hreflang="ar" data-title="زمرة (رياضيات)" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="arabščina" class="interlanguage-link-target"><span>العربية</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ba mw-list-item"><a href="https://ba.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D3%A9%D1%80%D0%BA%D3%A9%D0%BC_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Төркөм (математика) – baškirščina" lang="ba" hreflang="ba" data-title="Төркөм (математика)" data-language-autonym="Башҡортса" data-language-local-name="baškirščina" class="interlanguage-link-target"><span>Башҡортса</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be mw-list-item"><a href="https://be.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%B0_(%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0)" title="Група (алгебра) – beloruščina" lang="be" hreflang="be" data-title="Група (алгебра)" data-language-autonym="Беларуская" data-language-local-name="beloruščina" class="interlanguage-link-target"><span>Беларуская</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bg mw-list-item"><a href="https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%B0_(%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0)" title="Група (алгебра) – bolgarščina" lang="bg" hreflang="bg" data-title="Група (алгебра)" data-language-autonym="Български" data-language-local-name="bolgarščina" class="interlanguage-link-target"><span>Български</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bn mw-list-item"><a href="https://bn.wikipedia.org/wiki/%E0%A6%97%E0%A7%8D%E0%A6%B0%E0%A7%81%E0%A6%AA_(%E0%A6%97%E0%A6%A3%E0%A6%BF%E0%A6%A4)" title="গ্রুপ (গণিত) – bengalščina" lang="bn" hreflang="bn" data-title="গ্রুপ (গণিত)" data-language-autonym="বাংলা" data-language-local-name="bengalščina" class="interlanguage-link-target"><span>বাংলা</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ca mw-list-item"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Grup_(matem%C3%A0tiques)" title="Grup (matemàtiques) – katalonščina" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Grup (matemàtiques)" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="katalonščina" class="interlanguage-link-target"><span>Català</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ckb mw-list-item"><a href="https://ckb.wikipedia.org/wiki/%DA%AF%D8%B1%D9%88%D9%88%D9%BE_(%D9%85%D8%A7%D8%AA%D9%85%D8%A7%D8%AA%DB%8C%DA%A9)" title="گرووپ (ماتماتیک) – osrednja kurdščina" lang="ckb" hreflang="ckb" data-title="گرووپ (ماتماتیک)" data-language-autonym="کوردی" data-language-local-name="osrednja kurdščina" class="interlanguage-link-target"><span>کوردی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs badge-Q17437798 badge-goodarticle mw-list-item" title="dober članek"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/Grupa" title="Grupa – češčina" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Grupa" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="češčina" class="interlanguage-link-target"><span>Čeština</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cv mw-list-item"><a href="https://cv.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D1%88%D0%BA%C4%83%D0%BD_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Ушкăн (математика) – čuvaščina" lang="cv" hreflang="cv" data-title="Ушкăн (математика)" data-language-autonym="Чӑвашла" data-language-local-name="čuvaščina" class="interlanguage-link-target"><span>Чӑвашла</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cy mw-list-item"><a href="https://cy.wikipedia.org/wiki/Gr%C5%B5p_(mathemateg)" title="Grŵp (mathemateg) – valižanščina" lang="cy" hreflang="cy" data-title="Grŵp (mathemateg)" data-language-autonym="Cymraeg" data-language-local-name="valižanščina" class="interlanguage-link-target"><span>Cymraeg</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-da mw-list-item"><a href="https://da.wikipedia.org/wiki/Gruppe_(matematik)" title="Gruppe (matematik) – danščina" lang="da" hreflang="da" data-title="Gruppe (matematik)" data-language-autonym="Dansk" data-language-local-name="danščina" class="interlanguage-link-target"><span>Dansk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-de mw-list-item"><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Gruppe_(Mathematik)" title="Gruppe (Mathematik) – nemščina" lang="de" hreflang="de" data-title="Gruppe (Mathematik)" data-language-autonym="Deutsch" data-language-local-name="nemščina" class="interlanguage-link-target"><span>Deutsch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-el mw-list-item"><a href="https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%9F%CE%BC%CE%AC%CE%B4%CE%B1" title="Ομάδα – grščina" lang="el" hreflang="el" data-title="Ομάδα" data-language-autonym="Ελληνικά" data-language-local-name="grščina" class="interlanguage-link-target"><span>Ελληνικά</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en badge-Q17437796 badge-featuredarticle mw-list-item" title="izbrani članek"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Group_(mathematics)" title="Group (mathematics) – angleščina" lang="en" hreflang="en" data-title="Group (mathematics)" data-language-autonym="English" data-language-local-name="angleščina" class="interlanguage-link-target"><span>English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eo mw-list-item"><a href="https://eo.wikipedia.org/wiki/Grupo_(algebro)" title="Grupo (algebro) – esperanto" lang="eo" hreflang="eo" data-title="Grupo (algebro)" data-language-autonym="Esperanto" data-language-local-name="esperanto" class="interlanguage-link-target"><span>Esperanto</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Grupo_(matem%C3%A1tica)" title="Grupo (matemática) – španščina" lang="es" hreflang="es" data-title="Grupo (matemática)" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="španščina" class="interlanguage-link-target"><span>Español</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-et mw-list-item"><a href="https://et.wikipedia.org/wiki/R%C3%BChm_(matemaatika)" title="Rühm (matemaatika) – estonščina" lang="et" hreflang="et" data-title="Rühm (matemaatika)" data-language-autonym="Eesti" data-language-local-name="estonščina" class="interlanguage-link-target"><span>Eesti</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eu mw-list-item"><a href="https://eu.wikipedia.org/wiki/Talde_(matematika)" title="Talde (matematika) – baskovščina" lang="eu" hreflang="eu" data-title="Talde (matematika)" data-language-autonym="Euskara" data-language-local-name="baskovščina" class="interlanguage-link-target"><span>Euskara</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%DA%AF%D8%B1%D9%88%D9%87_(%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C%D8%A7%D8%AA)" title="گروه (ریاضیات) – perzijščina" lang="fa" hreflang="fa" data-title="گروه (ریاضیات)" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="perzijščina" class="interlanguage-link-target"><span>فارسی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fi mw-list-item"><a href="https://fi.wikipedia.org/wiki/Ryhm%C3%A4_(algebra)" title="Ryhmä (algebra) – finščina" lang="fi" hreflang="fi" data-title="Ryhmä (algebra)" data-language-autonym="Suomi" data-language-local-name="finščina" class="interlanguage-link-target"><span>Suomi</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fr mw-list-item"><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_(math%C3%A9matiques)" title="Groupe (mathématiques) – francoščina" lang="fr" hreflang="fr" data-title="Groupe (mathématiques)" data-language-autonym="Français" data-language-local-name="francoščina" class="interlanguage-link-target"><span>Français</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-frr mw-list-item"><a href="https://frr.wikipedia.org/wiki/Sk%C3%B6%C3%B6l_(Matematiik)" title="Skööl (Matematiik) – severna frizijščina" lang="frr" hreflang="frr" data-title="Skööl (Matematiik)" data-language-autonym="Nordfriisk" data-language-local-name="severna frizijščina" class="interlanguage-link-target"><span>Nordfriisk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ga mw-list-item"><a href="https://ga.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%BApa_(matamaitic)" title="Grúpa (matamaitic) – irščina" lang="ga" hreflang="ga" data-title="Grúpa (matamaitic)" data-language-autonym="Gaeilge" data-language-local-name="irščina" class="interlanguage-link-target"><span>Gaeilge</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gl mw-list-item"><a href="https://gl.wikipedia.org/wiki/Grupo_(matem%C3%A1ticas)" title="Grupo (matemáticas) – galicijščina" lang="gl" hreflang="gl" data-title="Grupo (matemáticas)" data-language-autonym="Galego" data-language-local-name="galicijščina" class="interlanguage-link-target"><span>Galego</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%97%D7%91%D7%95%D7%A8%D7%94_(%D7%9E%D7%91%D7%A0%D7%94_%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%99)" title="חבורה (מבנה אלגברי) – hebrejščina" lang="he" hreflang="he" data-title="חבורה (מבנה אלגברי)" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="hebrejščina" class="interlanguage-link-target"><span>עברית</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hi mw-list-item"><a href="https://hi.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%B8%E0%A4%AE%E0%A5%82%E0%A4%B9_(%E0%A4%97%E0%A4%A3%E0%A4%BF%E0%A4%A4%E0%A4%B6%E0%A4%BE%E0%A4%B8%E0%A5%8D%E0%A4%A4%E0%A5%8D%E0%A4%B0)" title="समूह (गणितशास्त्र) – hindijščina" lang="hi" hreflang="hi" data-title="समूह (गणितशास्त्र)" data-language-autonym="हिन्दी" data-language-local-name="hindijščina" class="interlanguage-link-target"><span>हिन्दी</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hr mw-list-item"><a href="https://hr.wikipedia.org/wiki/Grupa_(matematika)" title="Grupa (matematika) – hrvaščina" lang="hr" hreflang="hr" data-title="Grupa (matematika)" data-language-autonym="Hrvatski" data-language-local-name="hrvaščina" class="interlanguage-link-target"><span>Hrvatski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hu mw-list-item"><a href="https://hu.wikipedia.org/wiki/Csoport_(matematika)" title="Csoport (matematika) – madžarščina" lang="hu" hreflang="hu" data-title="Csoport (matematika)" data-language-autonym="Magyar" data-language-local-name="madžarščina" class="interlanguage-link-target"><span>Magyar</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hy mw-list-item"><a href="https://hy.wikipedia.org/wiki/%D4%BD%D5%B8%D6%82%D5%B4%D5%A2_(%D5%B4%D5%A1%D5%A9%D5%A5%D5%B4%D5%A1%D5%BF%D5%AB%D5%AF%D5%A1)" title="Խումբ (մաթեմատիկա) – armenščina" lang="hy" hreflang="hy" data-title="Խումբ (մաթեմատիկա)" data-language-autonym="Հայերեն" data-language-local-name="armenščina" class="interlanguage-link-target"><span>Հայերեն</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ia mw-list-item"><a href="https://ia.wikipedia.org/wiki/Gruppo_(mathematica)" title="Gruppo (mathematica) – interlingva" lang="ia" hreflang="ia" data-title="Gruppo (mathematica)" data-language-autonym="Interlingua" data-language-local-name="interlingva" class="interlanguage-link-target"><span>Interlingua</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-id mw-list-item"><a href="https://id.wikipedia.org/wiki/Grup_(matematika)" title="Grup (matematika) – indonezijščina" lang="id" hreflang="id" data-title="Grup (matematika)" data-language-autonym="Bahasa Indonesia" data-language-local-name="indonezijščina" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Indonesia</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-is mw-list-item"><a href="https://is.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%BApa" title="Grúpa – islandščina" lang="is" hreflang="is" data-title="Grúpa" data-language-autonym="Íslenska" data-language-local-name="islandščina" class="interlanguage-link-target"><span>Íslenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Gruppo_(matematica)" title="Gruppo (matematica) – italijanščina" lang="it" hreflang="it" data-title="Gruppo (matematica)" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="italijanščina" class="interlanguage-link-target"><span>Italiano</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BE%A4_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="群 (数学) – japonščina" lang="ja" hreflang="ja" data-title="群 (数学)" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="japonščina" class="interlanguage-link-target"><span>日本語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ka mw-list-item"><a href="https://ka.wikipedia.org/wiki/%E1%83%AF%E1%83%92%E1%83%A3%E1%83%A4%E1%83%98_(%E1%83%9B%E1%83%90%E1%83%97%E1%83%94%E1%83%9B%E1%83%90%E1%83%A2%E1%83%98%E1%83%99%E1%83%90)" title="ჯგუფი (მათემატიკა) – gruzijščina" lang="ka" hreflang="ka" data-title="ჯგუფი (მათემატიკა)" data-language-autonym="ქართული" data-language-local-name="gruzijščina" class="interlanguage-link-target"><span>ქართული</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kab mw-list-item"><a href="https://kab.wikipedia.org/wiki/Tagrumma_(tusnakt)" title="Tagrumma (tusnakt) – kabilščina" lang="kab" hreflang="kab" data-title="Tagrumma (tusnakt)" data-language-autonym="Taqbaylit" data-language-local-name="kabilščina" class="interlanguage-link-target"><span>Taqbaylit</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kk mw-list-item"><a href="https://kk.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%BE%D0%BF_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Топ (математика) – kazaščina" lang="kk" hreflang="kk" data-title="Топ (математика)" data-language-autonym="Қазақша" data-language-local-name="kazaščina" class="interlanguage-link-target"><span>Қазақша</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kn mw-list-item"><a href="https://kn.wikipedia.org/wiki/%E0%B2%97%E0%B3%8D%E0%B2%B0%E0%B3%82%E0%B2%AA%E0%B3%8D" title="ಗ್ರೂಪ್ – kanareščina" lang="kn" hreflang="kn" data-title="ಗ್ರೂಪ್" data-language-autonym="ಕನ್ನಡ" data-language-local-name="kanareščina" class="interlanguage-link-target"><span>ಕನ್ನಡ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EA%B5%B0_(%EC%88%98%ED%95%99)" title="군 (수학) – korejščina" lang="ko" hreflang="ko" data-title="군 (수학)" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="korejščina" class="interlanguage-link-target"><span>한국어</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-la mw-list-item"><a href="https://la.wikipedia.org/wiki/Caterva_(mathematica)" title="Caterva (mathematica) – latinščina" lang="la" hreflang="la" data-title="Caterva (mathematica)" data-language-autonym="Latina" data-language-local-name="latinščina" class="interlanguage-link-target"><span>Latina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lb mw-list-item"><a href="https://lb.wikipedia.org/wiki/Grupp_(Algeber)" title="Grupp (Algeber) – luksemburščina" lang="lb" hreflang="lb" data-title="Grupp (Algeber)" data-language-autonym="Lëtzebuergesch" data-language-local-name="luksemburščina" class="interlanguage-link-target"><span>Lëtzebuergesch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lmo mw-list-item"><a href="https://lmo.wikipedia.org/wiki/Grupp_(matem%C3%A0tica)" title="Grupp (matemàtica) – Lombard" lang="lmo" hreflang="lmo" data-title="Grupp (matemàtica)" data-language-autonym="Lombard" data-language-local-name="Lombard" class="interlanguage-link-target"><span>Lombard</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lt mw-list-item"><a href="https://lt.wikipedia.org/wiki/Grup%C4%97_(algebra)" title="Grupė (algebra) – litovščina" lang="lt" hreflang="lt" data-title="Grupė (algebra)" data-language-autonym="Lietuvių" data-language-local-name="litovščina" class="interlanguage-link-target"><span>Lietuvių</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lv mw-list-item"><a href="https://lv.wikipedia.org/wiki/Grupa_(matem%C4%81tika)" title="Grupa (matemātika) – latvijščina" lang="lv" hreflang="lv" data-title="Grupa (matemātika)" data-language-autonym="Latviešu" data-language-local-name="latvijščina" class="interlanguage-link-target"><span>Latviešu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mg mw-list-item"><a href="https://mg.wikipedia.org/wiki/Vory_(matematika)" title="Vory (matematika) – malgaščina" lang="mg" hreflang="mg" data-title="Vory (matematika)" data-language-autonym="Malagasy" data-language-local-name="malgaščina" class="interlanguage-link-target"><span>Malagasy</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ml mw-list-item"><a href="https://ml.wikipedia.org/wiki/%E0%B4%97%E0%B5%8D%E0%B4%B0%E0%B5%82%E0%B4%AA%E0%B5%8D%E0%B4%AA%E0%B5%8D" title="ഗ്രൂപ്പ് – malajalamščina" lang="ml" hreflang="ml" data-title="ഗ്രൂപ്പ്" data-language-autonym="മലയാളം" data-language-local-name="malajalamščina" class="interlanguage-link-target"><span>മലയാളം</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ms mw-list-item"><a href="https://ms.wikipedia.org/wiki/Kumpulan_(matematik)" title="Kumpulan (matematik) – malajščina" lang="ms" hreflang="ms" data-title="Kumpulan (matematik)" data-language-autonym="Bahasa Melayu" data-language-local-name="malajščina" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Melayu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mt mw-list-item"><a href="https://mt.wikipedia.org/wiki/Grupp_(matematika)" title="Grupp (matematika) – malteščina" lang="mt" hreflang="mt" data-title="Grupp (matematika)" data-language-autonym="Malti" data-language-local-name="malteščina" class="interlanguage-link-target"><span>Malti</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Groep_(wiskunde)" title="Groep (wiskunde) – nizozemščina" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Groep (wiskunde)" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="nizozemščina" class="interlanguage-link-target"><span>Nederlands</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nn mw-list-item"><a href="https://nn.wikipedia.org/wiki/Matematisk_gruppe" title="Matematisk gruppe – novonorveščina" lang="nn" hreflang="nn" data-title="Matematisk gruppe" data-language-autonym="Norsk nynorsk" data-language-local-name="novonorveščina" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk nynorsk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-no mw-list-item"><a href="https://no.wikipedia.org/wiki/Gruppe_(matematikk)" title="Gruppe (matematikk) – knjižna norveščina" lang="nb" hreflang="nb" data-title="Gruppe (matematikk)" data-language-autonym="Norsk bokmål" data-language-local-name="knjižna norveščina" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk bokmål</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nov mw-list-item"><a href="https://nov.wikipedia.org/wiki/Grupe_(matematike)" title="Grupe (matematike) – Novial" lang="nov" hreflang="nov" data-title="Grupe (matematike)" data-language-autonym="Novial" data-language-local-name="Novial" class="interlanguage-link-target"><span>Novial</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-oc mw-list-item"><a href="https://oc.wikipedia.org/wiki/Grop_(matematicas)" title="Grop (matematicas) – okcitanščina" lang="oc" hreflang="oc" data-title="Grop (matematicas)" data-language-autonym="Occitan" data-language-local-name="okcitanščina" class="interlanguage-link-target"><span>Occitan</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pl mw-list-item"><a href="https://pl.wikipedia.org/wiki/Grupa_(matematyka)" title="Grupa (matematyka) – poljščina" lang="pl" hreflang="pl" data-title="Grupa (matematyka)" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="poljščina" class="interlanguage-link-target"><span>Polski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pms mw-list-item"><a href="https://pms.wikipedia.org/wiki/Strop" title="Strop – Piedmontese" lang="pms" hreflang="pms" data-title="Strop" data-language-autonym="Piemontèis" data-language-local-name="Piedmontese" class="interlanguage-link-target"><span>Piemontèis</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pnb mw-list-item"><a href="https://pnb.wikipedia.org/wiki/%DA%AF%D8%B1%D9%88%DB%81_(%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C)" title="گروہ (ریاضی) – Western Punjabi" lang="pnb" hreflang="pnb" data-title="گروہ (ریاضی)" data-language-autonym="پنجابی" data-language-local-name="Western Punjabi" class="interlanguage-link-target"><span>پنجابی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Grupo_(matem%C3%A1tica)" title="Grupo (matemática) – portugalščina" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Grupo (matemática)" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="portugalščina" class="interlanguage-link-target"><span>Português</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ro badge-Q17437796 badge-featuredarticle mw-list-item" title="izbrani članek"><a href="https://ro.wikipedia.org/wiki/Grup_(matematic%C4%83)" title="Grup (matematică) – romunščina" lang="ro" hreflang="ro" data-title="Grup (matematică)" data-language-autonym="Română" data-language-local-name="romunščina" class="interlanguage-link-target"><span>Română</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D0%B0_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Группа (математика) – ruščina" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Группа (математика)" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="ruščina" class="interlanguage-link-target"><span>Русский</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-scn mw-list-item"><a href="https://scn.wikipedia.org/wiki/Gruppu_(matimatica)" title="Gruppu (matimatica) – sicilijanščina" lang="scn" hreflang="scn" data-title="Gruppu (matimatica)" data-language-autonym="Sicilianu" data-language-local-name="sicilijanščina" class="interlanguage-link-target"><span>Sicilianu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sh mw-list-item"><a href="https://sh.wikipedia.org/wiki/Grupa_(matematika)" title="Grupa (matematika) – srbohrvaščina" lang="sh" hreflang="sh" data-title="Grupa (matematika)" data-language-autonym="Srpskohrvatski / српскохрватски" data-language-local-name="srbohrvaščina" class="interlanguage-link-target"><span>Srpskohrvatski / српскохрватски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-simple mw-list-item"><a href="https://simple.wikipedia.org/wiki/Group_(mathematics)" title="Group (mathematics) – Simple English" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Group (mathematics)" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="Simple English" class="interlanguage-link-target"><span>Simple English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sk mw-list-item"><a href="https://sk.wikipedia.org/wiki/Grupa_(matematika)" title="Grupa (matematika) – slovaščina" lang="sk" hreflang="sk" data-title="Grupa (matematika)" data-language-autonym="Slovenčina" data-language-local-name="slovaščina" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenčina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%B0_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Група (математика) – srbščina" lang="sr" hreflang="sr" data-title="Група (математика)" data-language-autonym="Српски / srpski" data-language-local-name="srbščina" class="interlanguage-link-target"><span>Српски / srpski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sv mw-list-item"><a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/Grupp_(matematik)" title="Grupp (matematik) – švedščina" lang="sv" hreflang="sv" data-title="Grupp (matematik)" data-language-autonym="Svenska" data-language-local-name="švedščina" class="interlanguage-link-target"><span>Svenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-szl mw-list-item"><a href="https://szl.wikipedia.org/wiki/Grupa_(matymatyka)" title="Grupa (matymatyka) – Silesian" lang="szl" hreflang="szl" data-title="Grupa (matymatyka)" data-language-autonym="Ślůnski" data-language-local-name="Silesian" class="interlanguage-link-target"><span>Ślůnski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ta mw-list-item"><a href="https://ta.wikipedia.org/wiki/%E0%AE%95%E0%AF%81%E0%AE%B2%E0%AE%AE%E0%AF%8D_(%E0%AE%95%E0%AE%A3%E0%AE%BF%E0%AE%A4%E0%AE%AE%E0%AF%8D)" title="குலம் (கணிதம்) – tamilščina" lang="ta" hreflang="ta" data-title="குலம் (கணிதம்)" data-language-autonym="தமிழ்" data-language-local-name="tamilščina" class="interlanguage-link-target"><span>தமிழ்</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tg mw-list-item"><a href="https://tg.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D1%83%D1%80%D3%AF%D2%B3_(%D1%80%D0%B8%D1%91%D0%B7%D0%B8%D1%91%D1%82)" title="Гурӯҳ (риёзиёт) – tadžiščina" lang="tg" hreflang="tg" data-title="Гурӯҳ (риёзиёт)" data-language-autonym="Тоҷикӣ" data-language-local-name="tadžiščina" class="interlanguage-link-target"><span>Тоҷикӣ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-th mw-list-item"><a href="https://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%B8%E0%B8%9B_(%E0%B8%84%E0%B8%93%E0%B8%B4%E0%B8%95%E0%B8%A8%E0%B8%B2%E0%B8%AA%E0%B8%95%E0%B8%A3%E0%B9%8C)" title="กรุป (คณิตศาสตร์) – tajščina" lang="th" hreflang="th" data-title="กรุป (คณิตศาสตร์)" data-language-autonym="ไทย" data-language-local-name="tajščina" class="interlanguage-link-target"><span>ไทย</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tl mw-list-item"><a href="https://tl.wikipedia.org/wiki/Grupo_(matematika)" title="Grupo (matematika) – tagalogščina" lang="tl" hreflang="tl" data-title="Grupo (matematika)" data-language-autonym="Tagalog" data-language-local-name="tagalogščina" class="interlanguage-link-target"><span>Tagalog</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tr mw-list-item"><a href="https://tr.wikipedia.org/wiki/Grup_(matematik)" title="Grup (matematik) – turščina" lang="tr" hreflang="tr" data-title="Grup (matematik)" data-language-autonym="Türkçe" data-language-local-name="turščina" class="interlanguage-link-target"><span>Türkçe</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uk mw-list-item"><a href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%B0_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Група (математика) – ukrajinščina" lang="uk" hreflang="uk" data-title="Група (математика)" data-language-autonym="Українська" data-language-local-name="ukrajinščina" class="interlanguage-link-target"><span>Українська</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ur mw-list-item"><a href="https://ur.wikipedia.org/wiki/%DA%AF%D8%B1%D9%88%DB%81_(%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C)" title="گروہ (ریاضی) – urdujščina" lang="ur" hreflang="ur" data-title="گروہ (ریاضی)" data-language-autonym="اردو" data-language-local-name="urdujščina" class="interlanguage-link-target"><span>اردو</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vi badge-Q17437796 badge-featuredarticle mw-list-item" title="izbrani članek"><a href="https://vi.wikipedia.org/wiki/Nh%C3%B3m_(to%C3%A1n_h%E1%BB%8Dc)" title="Nhóm (toán học) – vietnamščina" lang="vi" hreflang="vi" data-title="Nhóm (toán học)" data-language-autonym="Tiếng Việt" data-language-local-name="vietnamščina" class="interlanguage-link-target"><span>Tiếng Việt</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vls mw-list-item"><a href="https://vls.wikipedia.org/wiki/Groep_(algebra)" title="Groep (algebra) – West Flemish" lang="vls" hreflang="vls" data-title="Groep (algebra)" data-language-autonym="West-Vlams" data-language-local-name="West Flemish" class="interlanguage-link-target"><span>West-Vlams</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vo mw-list-item"><a href="https://vo.wikipedia.org/wiki/Grup" title="Grup – volapik" lang="vo" hreflang="vo" data-title="Grup" data-language-autonym="Volapük" data-language-local-name="volapik" class="interlanguage-link-target"><span>Volapük</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-wuu mw-list-item"><a href="https://wuu.wikipedia.org/wiki/%E7%BE%A4" title="群 – wu-kitajščina" lang="wuu" hreflang="wuu" data-title="群" data-language-autonym="吴语" data-language-local-name="wu-kitajščina" class="interlanguage-link-target"><span>吴语</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-yi mw-list-item"><a href="https://yi.wikipedia.org/wiki/%D7%92%D7%A8%D7%95%D7%A4%D7%A2_(%D7%9E%D7%90%D7%98%D7%A2%D7%9E%D7%90%D7%98%D7%99%D7%A7)" title="גרופע (מאטעמאטיק) – jidiš" lang="yi" hreflang="yi" data-title="גרופע (מאטעמאטיק)" data-language-autonym="ייִדיש" data-language-local-name="jidiš" class="interlanguage-link-target"><span>ייִדיש</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%BE%A4" title="群 – kitajščina" lang="zh" hreflang="zh" data-title="群" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="kitajščina" class="interlanguage-link-target"><span>中文</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-classical mw-list-item"><a href="https://zh-classical.wikipedia.org/wiki/%E7%BE%A4_(%E4%BB%A3%E6%95%B8)" title="群 (代數) – Literary Chinese" lang="lzh" hreflang="lzh" data-title="群 (代數)" data-language-autonym="文言" data-language-local-name="Literary Chinese" class="interlanguage-link-target"><span>文言</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-min-nan mw-list-item"><a href="https://zh-min-nan.wikipedia.org/wiki/K%C3%BBn_(s%C3%B2%CD%98-ha%CC%8Dk)" title="Kûn (sò͘-ha̍k) – min nan kitajščina" lang="nan" hreflang="nan" data-title="Kûn (sò͘-ha̍k)" data-language-autonym="閩南語 / Bân-lâm-gú" data-language-local-name="min nan kitajščina" class="interlanguage-link-target"><span>閩南語 / Bân-lâm-gú</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-yue mw-list-item"><a href="https://zh-yue.wikipedia.org/wiki/%E7%BE%A3" title="羣 – kantonščina" lang="yue" hreflang="yue" data-title="羣" data-language-autonym="粵語" data-language-local-name="kantonščina" class="interlanguage-link-target"><span>粵語</span></a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><span class="wb-langlinks-edit wb-langlinks-link"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q83478#sitelinks-wikipedia" title="Uredi medjezikovne povezave" class="wbc-editpage">Uredi povezave</a></span></div> </div> </div> </div> </header> <div class="vector-page-toolbar"> <div class="vector-page-toolbar-container"> <div id="left-navigation"> <nav aria-label="Imenski prostori"> <div id="p-associated-pages" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-associated-pages" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Grupa" title="Ogled vsebinske strani [c]" accesskey="c"><span>Stran</span></a></li><li id="ca-talk" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Pogovor:Grupa" rel="discussion" title="Pogovor o vsebinski strani [t]" accesskey="t"><span>Pogovor</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown emptyPortlet" > <input type="checkbox" id="vector-variants-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Spremeni različico jezika" > <label id="vector-variants-dropdown-label" for="vector-variants-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" ><span class="vector-dropdown-label-text">slovenščina</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-variants" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-variants emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> <div id="right-navigation" class="vector-collapsible"> <nav aria-label="Pogledi"> <div id="p-views" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-views" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-view" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Grupa"><span>Preberi</span></a></li><li id="ca-ve-edit" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Grupa&veaction=edit" title="Uredite to stran [v]" accesskey="v"><span>Uredi stran</span></a></li><li id="ca-edit" class="collapsible vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Grupa&action=edit" title="Uredi izvorno kodo te strani [e]" accesskey="e"><span>Uredi kodo</span></a></li><li id="ca-history" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Grupa&action=history" title="Prejšnje redakcije te strani [h]" accesskey="h"><span>Zgodovina</span></a></li> </ul> </div> </div> </nav> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Orodja strani"> <div id="vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown vector-page-tools-dropdown" > <input type="checkbox" id="vector-page-tools-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Orodja" > <label id="vector-page-tools-dropdown-label" for="vector-page-tools-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" ><span class="vector-dropdown-label-text">Orodja</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-tools-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> <div id="vector-page-tools" class="vector-page-tools vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-page-tools-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="page-tools-pinned" data-pinnable-element-id="vector-page-tools" data-pinned-container-id="vector-page-tools-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-page-tools-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Orodja</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.pin">prestavi v stransko letvico</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.unpin">skrij</button> </div> <div id="p-cactions" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-cactions emptyPortlet vector-has-collapsible-items" title="Več možnosti" > <div class="vector-menu-heading"> Dejanja </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-more-view" class="selected vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/wiki/Grupa"><span>Preberi</span></a></li><li id="ca-more-ve-edit" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Grupa&veaction=edit" title="Uredite to stran [v]" accesskey="v"><span>Uredi stran</span></a></li><li id="ca-more-edit" class="collapsible vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Grupa&action=edit" title="Uredi izvorno kodo te strani [e]" accesskey="e"><span>Uredi kodo</span></a></li><li id="ca-more-history" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Grupa&action=history"><span>Zgodovina</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-tb" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-tb" > <div class="vector-menu-heading"> Splošno </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-whatlinkshere" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Posebno:KajSePovezujeSem/Grupa" title="Seznam vseh strani, ki se povezujejo sem [j]" accesskey="j"><span>Kaj se povezuje sem</span></a></li><li id="t-recentchangeslinked" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Posebno:RecentChangesLinked/Grupa" rel="nofollow" title="Zadnje spremembe na straneh, s katerimi se povezuje ta stran [k]" accesskey="k"><span>Povezane spremembe</span></a></li><li id="t-specialpages" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Posebno:PosebneStrani" title="Seznam vseh posebnih strani [q]" accesskey="q"><span>Posebne strani</span></a></li><li id="t-permalink" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Grupa&oldid=6219622" title="Trajna povezava na to redakcijo strani"><span>Trajna povezava</span></a></li><li id="t-info" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Grupa&action=info" title="Več informacij o tej strani"><span>Podatki o strani</span></a></li><li id="t-cite" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Posebno:Navedi&page=Grupa&id=6219622&wpFormIdentifier=titleform" title="Informacije o tem, kako navajati to stran"><span>Navedba članka</span></a></li><li id="t-urlshortener" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Posebno:UrlShortener&url=https%3A%2F%2Fsl.wikipedia.org%2Fw%2Findex.php%3Ftitle%3DGrupa%26section%3D4%26veaction%3Dedit"><span>Pridobi skrajšani URL</span></a></li><li id="t-urlshortener-qrcode" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Posebno:QrCode&url=https%3A%2F%2Fsl.wikipedia.org%2Fw%2Findex.php%3Ftitle%3DGrupa%26section%3D4%26veaction%3Dedit"><span>Prenesi kodo QR</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-coll-print_export" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-coll-print_export" > <div class="vector-menu-heading"> Tiskanje/izvoz </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="coll-create_a_book" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Posebno:Book&bookcmd=book_creator&referer=Grupa"><span>Ustvari e-knjigo</span></a></li><li id="coll-download-as-rl" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Posebno:DownloadAsPdf&page=Grupa&action=show-download-screen"><span>Prenesi kot PDF</span></a></li><li id="t-print" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Grupa&printable=yes" title="Različica te strani za tisk [p]" accesskey="p"><span>Različica za tisk</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-wikibase-otherprojects" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-wikibase-otherprojects" > <div class="vector-menu-heading"> V drugih projektih </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="wb-otherproject-link wb-otherproject-commons mw-list-item"><a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Group_theory" hreflang="en"><span>Wikimedijina zbirka</span></a></li><li id="t-wikibase" class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikibase-dataitem mw-list-item"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q83478" title="Povezava na ustrezni predmet v podatkovni shrambi [g]" accesskey="g"><span>Predmet v Wikipodatkih</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> </div> <div class="vector-column-end"> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Orodja strani"> <div id="vector-page-tools-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Videz"> <div id="vector-appearance-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-appearance" class="vector-appearance vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-appearance-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="appearance-pinned" data-pinnable-element-id="vector-appearance" data-pinned-container-id="vector-appearance-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-appearance-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Videz</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.pin">prestavi v stransko letvico</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.unpin">skrij</button> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> <div id="bodyContent" class="vector-body" aria-labelledby="firstHeading" data-mw-ve-target-container> <div class="vector-body-before-content"> <div class="mw-indicators"> </div> <div id="siteSub" class="noprint">Iz Wikipedije, proste enciklopedije</div> </div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"></div></div> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="sl" dir="ltr"><p><b>Grúpa</b> v <a href="/wiki/Matematika" title="Matematika">matematiki</a> je množica z <a href="/wiki/Dvo%C4%8Dlena_operacija" title="Dvočlena operacija">binarno operacijo</a>, kjer je operacija <a href="/wiki/Asociativnost" title="Asociativnost">asociativna</a> in ima <a href="/wiki/Nevtralni_element" title="Nevtralni element">nevtralen element</a>, vsak element pa ima pripadajoč <a href="/wiki/Inverzni_element" title="Inverzni element">inverzni element</a>. Je eden od osnovnih pojmov <a href="/wiki/Abstraktna_algebra" title="Abstraktna algebra">sodobne algebre</a>. Grupe tvorijo temelj drugim <a href="/wiki/Mati%C4%8Dna_struktura" class="mw-redirect" title="Matična struktura">algebrskim strukturam</a>, kot so <a href="/wiki/Obseg_(algebra)" title="Obseg (algebra)">obsegi</a> in <a href="/wiki/Vektorski_prostor" title="Vektorski prostor">vektorski prostori</a>, in so pomembne pri raziskovanju <a href="/wiki/Simetrija" title="Simetrija">simetrije</a> v vseh njenih oblikah. </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definicija">Definicija</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Grupa&veaction=edit&section=1" title="Uredi razdelek: Definicija" class="mw-editsection-visualeditor"><span>uredi</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Grupa&action=edit&section=1" title="Urejanje izvorne kode razdelka: Definicija"><span>uredi kodo</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Grupa je par (<i>G</i>, *), kjer je <i>G</i> = {<i>a</i>, <i>b</i>, ...} neprazna <a href="/wiki/Mno%C5%BEica" title="Množica">množica</a> in * <a href="/wiki/Asociativnost" title="Asociativnost">asociativna</a> <a href="/wiki/Dvo%C4%8Dlena_operacija" title="Dvočlena operacija">dvočlena operacija</a> na <i>G</i>: <i>G</i> × <i>G</i> → <i>G</i>, ki ga imenujemo <i>operacija grupe</i> in, ki vsakemu <a href="/wiki/Urejeni_par" title="Urejeni par">urejenemu paru</a> (<i>a</i>, <i>b</i>) <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \in }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>∈</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \in }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fe4d5b0a594c1da89b5e78e7dfbeed90bdcc32f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.55ex; height:1.843ex;" alt="{\displaystyle \in }"></span> <i>G</i> priredi natanko en element <i>a</i> * <i>b</i> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \in }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>∈</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \in }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fe4d5b0a594c1da89b5e78e7dfbeed90bdcc32f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.55ex; height:1.843ex;" alt="{\displaystyle \in }"></span> <i>G</i>. Operacija * mora zadoščati pogojem (»aksiomom grupe«): </p> <ul><li>Za vsak <i>a</i>, <i>b</i> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \in }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>∈</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \in }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fe4d5b0a594c1da89b5e78e7dfbeed90bdcc32f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.55ex; height:1.843ex;" alt="{\displaystyle \in }"></span> <i>G</i>, velja <i>a</i> * <i>b</i> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \in }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>∈</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \in }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fe4d5b0a594c1da89b5e78e7dfbeed90bdcc32f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.55ex; height:1.843ex;" alt="{\displaystyle \in }"></span> <i>G</i>. (<a href="/wiki/Zaprtost" class="mw-redirect" title="Zaprtost">Zakon o zaprtosti</a>).</li> <li>Za vsak <i>a</i>, <i>b</i> in <i>c</i> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \in }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>∈</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \in }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fe4d5b0a594c1da89b5e78e7dfbeed90bdcc32f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.55ex; height:1.843ex;" alt="{\displaystyle \in }"></span> <i>G</i>, velja (<i>a</i> * <i>b</i>) * <i>c</i> = <i>a</i> * (<i>b</i> * <i>c</i>) (<a href="/wiki/Zakon_o_zdru%C5%BEevanju_faktorjev" class="mw-redirect" title="Zakon o združevanju faktorjev">Zakon o združevanju faktorjev (Zakon o asociativnosti)</a>).</li> <li>V <i>G</i> obstaja takšen element <i>e</i>, za katerega za vsak <i>a</i> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \in }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>∈</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \in }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fe4d5b0a594c1da89b5e78e7dfbeed90bdcc32f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.55ex; height:1.843ex;" alt="{\displaystyle \in }"></span> <i>G</i> velja <i>e</i> * <i>a</i> = <i>a</i> * <i>e</i> = <i>a</i> (<a href="/wiki/Nevtralni_element" title="Nevtralni element">Zakon o nevtralnem elementu (identiteti)</a>).</li> <li>Za vsak <i>a</i> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \in }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>∈</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \in }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fe4d5b0a594c1da89b5e78e7dfbeed90bdcc32f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.55ex; height:1.843ex;" alt="{\displaystyle \in }"></span> <i>G</i> obstaja takšen element <i>b</i> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \in }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>∈</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \in }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fe4d5b0a594c1da89b5e78e7dfbeed90bdcc32f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.55ex; height:1.843ex;" alt="{\displaystyle \in }"></span> <i>G</i>, za katerega velja <i>a</i> * <i>b</i> = <i>b</i> * <i>a</i> = <i>e</i> (<a href="/wiki/Obratni_element" class="mw-redirect" title="Obratni element">Zakon o obratnem elementu (inverzu)</a>).</li></ul> <p>Prvi aksiom ni nujen, ker je dvočlena operacija že tudi sama zaprta. Kadar rečemo, da je * <a href="/wiki/Matemati%C4%8Dna_operacija" title="Matematična operacija">operacija</a> na grupi, nam ni potrebno pokazati, da je tudi zaprta. Po navadi znak * opustimo in pišemo <i>a</i> <i>b</i> za operacijo <i>a</i> * <i>b</i>. Včasih uporabimo za operacijo znak +, še posebej, če je grupa <a href="/wiki/Abelova_grupa" title="Abelova grupa">Abelova</a>. </p><p>Iz teh aksiomov lahko izvedemo kar nekaj pomembnih posledic. Lahko, na primer, pokažemo, da ima grupa natanko en nevtralni element in, da za vsak element obstaja natanko en obratni element. Pokažimo, da ima vsak element grupe natančno en obratni element. Naj bo <i>G</i> poljubna grupa in <i>a</i> njen poljubni element. Recimo, da sta <i>b</i> in <i>c</i> obratna elementa <i>a</i>. Dokazati moramo, da je <i>b</i> = <i>c</i>. Ker sta <i>b</i> in <i>c</i> obratna elementa od <i>a</i>, zadoščata zadnjemu aksiomu iz definicije grupe: </p> <dl><dd><i>a</i> * <i>b</i> = <i>b</i> * <i>a</i> = <i>e</i>,</dd> <dd><i>a</i> * <i>c</i> = <i>c</i> * <i>a</i> = <i>e</i>.</dd></dl> <p>Ko uporabimo predzadnji aksiom na elementu <i>b</i>, dobimo: </p> <dl><dd><i>b</i> = <i>e</i> * <i>b</i>.</dd></dl> <p>Od tod sledi z uporabo enakosti <i>a</i> * <i>c</i> = <i>c</i> * <i>a</i> = <i>e</i>: </p> <dl><dd><i>b</i> = (<i>c</i> * <i>a</i>) * <i>b</i>.</dd></dl> <p>Z zakonom o združevanju faktorjev sedaj pridemo do: </p> <dl><dd><i>b</i> = <i>c</i> * (<i>a</i> * <i>b</i>).</dd></dl> <p>Od tod dobimo z uporabo enakosti <i>a</i> * <i>b</i> = <i>b</i> * <i>a</i> = <i>e</i>: </p> <dl><dd><i>b</i> = <i>c</i> * <i>e</i>.</dd></dl> <p>Če sedaj uporabimo zakon o nevtralnem elementu na elementu <i>c</i>, dobimo: </p> <dl><dd><i>b</i> = <i>c</i>.</dd></dl> <p>To smo hoteli dokazati. Lastnosti grup raziskuje <a href="/w/index.php?title=Osnovna_teorija_grup&action=edit&redlink=1" class="new" title="Osnovna teorija grup (stran ne obstaja)">osnovna teorija grup</a>. Po navadi operacijo, karkoli že je, označimo z <a href="/wiki/Mno%C5%BEenje" title="Množenje">množenjem</a> in pišemo <i>a</i> * <i>b</i> (ali kar <i>a</i> <i>b</i>) za produkt <i>a</i> in <i>b</i>, 1 za nevtralni element in <i>a</i><sup>−1</sup> za obratni element <i>a</i>. V tem primeru rečemo, da je grupa zapisana <i>multiplikativno</i>. Kdaj pa grupo zapišemo <i>aditivno</i> in pišemo <i>a</i> + <i>b</i> za vsoto <i>a</i> in <i>b</i>, 0 za nevtralni element in <i>-a</i> za obratni element <i>a</i>. </p><p>Grupa je <b>Abelova</b>, če je operacija * <a href="/wiki/Komutativnost" title="Komutativnost">komutativna</a>, oziroma, če za vsak <i>a</i>, <i>b</i> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \in }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>∈</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \in }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fe4d5b0a594c1da89b5e78e7dfbeed90bdcc32f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.55ex; height:1.843ex;" alt="{\displaystyle \in }"></span> <i>G</i>, velja <i>a</i> * <i>b</i> = <i>b</i> * <i>a</i>. (V tem primeru grupo velikokrat zapišemo aditivno, ne pa vedno.) </p><p>Grupa je <b>končna</b>, če ima končno število elementov. V tem primeru je <b>moč</b> grupe, označena z |<i>G</i>| ali z o(<i>G</i>), število elementov in je enaka <a href="/wiki/Kardinalno_%C5%A1tevilo" title="Kardinalno število">kardinalnemu številu</a> množice <i>G</i>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Osnovni_primeri">Osnovni primeri</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Grupa&veaction=edit&section=2" title="Uredi razdelek: Osnovni primeri" class="mw-editsection-visualeditor"><span>uredi</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Grupa&action=edit&section=2" title="Urejanje izvorne kode razdelka: Osnovni primeri"><span>uredi kodo</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Cela_števila"><span id="Cela_.C5.A1tevila"></span>Cela števila</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Grupa&veaction=edit&section=3" title="Uredi razdelek: Cela števila" class="mw-editsection-visualeditor"><span>uredi</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Grupa&action=edit&section=3" title="Urejanje izvorne kode razdelka: Cela števila"><span>uredi kodo</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Grupa, ki jo spoznamo v osnovni šoli je množica <a href="/wiki/Celo_%C5%A1tevilo" title="Celo število">celih števil</a> <b>Z</b> pod seštevanjem. Naj je <b>Z</b> množica celih števil {...,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6...} in naj znak + kaže na operacijo seštevanja. Potem je par (<b>Z</b>,+) grupa zapisana aditivno. </p><p>Dokaz: </p> <ol><li>Če sta <i>a</i> in <i>b</i> celi števili, potem je <i>a</i> + <i>b</i> celo število (Zakon o zaprtosti).</li> <li>Če so <i>a</i>, <i>b</i> in <i>c</i> cela števila, potem velja (<i>a</i> + <i>b</i>) + <i>c</i> = <i>a</i> + (<i>b</i> + <i>c</i>) (Zakon o združevanju faktorjev (Zakon o asociativnosti)).</li> <li>Število 0 je celo število. Za vsako celo število <i>a</i> velja 0 + <i>a</i> = <i>a</i> + 0 = <i>a</i> (Zakon o nevtralnem elementu).</li> <li>Če je <i>a</i> celo število, potem obstaja celo število <i>b</i> = <i>-a</i>, za katerega velja <i>a</i> + <i>b</i> = <i>b</i> + <i>a</i> = 0. (Zakon o obratnem elementu).</li></ol> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Cela_števila_z_množenjem?"><span id="Cela_.C5.A1tevila_z_mno.C5.BEenjem.3F"></span>Cela števila z množenjem?</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Grupa&veaction=edit&section=4" title="Uredi razdelek: Cela števila z množenjem?" class="mw-editsection-visualeditor"><span>uredi</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Grupa&action=edit&section=4" title="Urejanje izvorne kode razdelka: Cela števila z množenjem?"><span>uredi kodo</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Imejmo kakor zgoraj množico celih števil <b>Z</b> in operacijo množenja, označeno z *. Ali je par (<b>Z</b>,*) grupa? </p> <ol><li>Če sta <i>a</i> in <i>b</i> celi števili, potem je <i>a</i> * <i>b</i> celo število (Zakon o zaprtosti).</li> <li>Če so <i>a</i>, <i>b</i> in <i>c</i> cela števila, potem velja (<i>a</i> * <i>b</i>) * <i>c</i> = <i>a</i> * (<i>b</i> * <i>c</i>) (Zakon o združevanju faktorjev (Zakon o asociativnosti)).</li> <li>Nevtralni element je število 1, saj velja a * 1 = 1 * a = a za vsako celo število a.</li> <li>V množici Z ne obstaja tako število <i>b</i>, da velja <i>a</i>*<i>b</i> = <i>b</i>*<i>a</i> = 1, razen za <i>a</i>= 1 in -1. Ker vsak element nima svojega inverznega elementa, množica celih števil ni grupa za množenje.</li></ol> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Racionalna_števila_z_množenjem?"><span id="Racionalna_.C5.A1tevila_z_mno.C5.BEenjem.3F"></span>Racionalna števila z množenjem?</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Grupa&veaction=edit&section=5" title="Uredi razdelek: Racionalna števila z množenjem?" class="mw-editsection-visualeditor"><span>uredi</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Grupa&action=edit&section=5" title="Urejanje izvorne kode razdelka: Racionalna števila z množenjem?"><span>uredi kodo</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Imejmo množico racionalnih števil <b>Q</b>, to je takšno množico števil <i>a</i>/<i>b</i>, v kateri so <i>a</i> in <i>b</i> cela števila in <i>b</i> ≠ 0, ter operacijo množenja, označeno z *. Ali je par (<b>Q</b>,*) grupa? Ne. Racionalno število 0 pripada množici <b>Q</b> vendar nima multiplikativnega obratnega elementa. Kakor (<b>Z</b>,*) je tudi (<b>Q</b>,*) polgrupa(asociativen grupoid) in ni grupa. </p><p>Če privzamemo, da sta <i>a</i> ≠ 0 in <i>b</i> ≠ 0, množica ne vsebuje števila 0 in jo označimo z <b>Q</b>\{0}). V tem primeru par (<b>Q</b>\{0},*) tvori grupo. Obratni element <i>a</i>/<i>b</i> je <i>b</i>/<i>a</i>. Lahko enostavno preverimo tudi druge aksiome. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Premiki_ravnine">Premiki ravnine</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Grupa&veaction=edit&section=6" title="Uredi razdelek: Premiki ravnine" class="mw-editsection-visualeditor"><span>uredi</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Grupa&action=edit&section=6" title="Urejanje izvorne kode razdelka: Premiki ravnine"><span>uredi kodo</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><i>Premik</i> (<i>translacija</i>) ravnine je <a href="/wiki/Togi_premik" title="Togi premik">togi premik</a> vsake točke ravnine v določeni smeri za določeno razdaljo. Primer takšnega premika ravnine je gibanje v severovzhodni smeri za 2 km. Če imamo dva takšna premika <i>a</i> in <i>b</i>, ju lahko sestavimo v nov premik <i>a</i> <sup>o</sup> <i>b</i>, kot sledi: najprej sledimo predpisu <i>b</i> in nato <i>a</i>. V tem primeru je <i>a</i> gibanje v severovzhodni smeri za 2 km, <i>b</i> gibanje v jugovzhodni smeri za 2 km. Njuno sestavljeno gibanje pa je <i>a</i> <sup>o</sup> <i>b</i> ali gibanje proti vzhodu za √8 km (za geometrijski pomen glej <a href="/wiki/Pitagorov_izrek" title="Pitagorov izrek">Pitagorov izrek</a>). </p><p>Množica vseh premikov ravnine z operacijo <a href="/wiki/Kompozitum_funkcij" title="Kompozitum funkcij">sestave</a> (kompozicije) <sup>o</sup> tvori grupo: </p> <ol><li>Če sta <i>a</i> in <i>b</i> premika, potem je <i>a</i> <sup>o</sup> <i>b</i> tudi premik (Zakon o zaprtosti).</li> <li>Če so <i>a</i>, <i>b</i> in <i>c</i> premiki, potem velja (<i>a</i> <sup>o</sup> <i>b</i>) <sup>o</sup> <i>c</i> = <i>a</i> <sup>o</sup> (<i>b</i> <sup>o</sup> <i>c</i>) (Zakon o združevanju faktorjev (Zakon o asociativnosti)).</li> <li>Nevtralni element takšne grupe je premik s predpisom: gibanje 0 km v katerokoli smer.</li> <li>Obratni element premika je dan z gibanjem v obratni smeri za enako razdaljo.</li></ol> <p>To je Abelova grupa in prvi primer <a href="/w/index.php?title=Nezveznost&action=edit&redlink=1" class="new" title="Nezveznost (stran ne obstaja)">nezvezne (nediskretne)</a> <a href="/wiki/Liejeva_grupa" title="Liejeva grupa">Liejeve grupe</a> - grupe, katere temeljna množica je <a href="/wiki/Mnogoterost" title="Mnogoterost">mnogoterost</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Grupe_simetrij"><a href="/wiki/Grupa_simetrij" class="mw-redirect" title="Grupa simetrij">Grupe simetrij</a></h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Grupa&veaction=edit&section=7" title="Uredi razdelek: Grupe simetrij" class="mw-editsection-visualeditor"><span>uredi</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Grupa&action=edit&section=7" title="Urejanje izvorne kode razdelka: Grupe simetrij"><span>uredi kodo</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Grupe so zelo pomembne pri opisovanju simetrije mnogih objektov: geometrijskih kot je <a href="/wiki/Tetraeder" title="Tetraeder">tetraeder</a> ali algebrskih, kot je množica enačb. Kot zgled preučimo kvadratno kamnito ploščo z določeno debelino. Da lahko opišemo njeno simetrijo, sestavimo množico vseh togih premikov plošče, ki se na oko ne razlikujejo. Če jo, na primer, zasučemo za 90°, bo po videzu enaka. Na ta način je takšen premik en element naše množice. Označimo ga z <i>R</i>. Ploščo lahko zasučemo vodoravno tako, da spodnja stran gleda navzgor. Tudi sedaj bo plošča izgledala enako. In prav tako je to element naše množice. Označimo ga s <i>T</i>. Obstaja pa seveda tudi premik, ki ne naredi nič. Označimo ga z <i>I</i>. Če imamo sedaj dve takšni gibanji <i>a</i> in <i>b</i>, lahko določimo njuno sestavo (kompozicijo) <i>a</i> <sup>o</sup> <i>b</i> kot zgoraj. Najprej izvedemo gibanje <i>b</i> in nato gibanje <i>a</i>. Po takšnem gibanju bo plošča izgledala enako. Množica vseh tistih gibanj z operacijo sestave (kompozicije) tvori grupo. Takšna grupa je najbolj zgoščen opis simetrije plošče. <a href="/wiki/Kemik" class="mw-redirect" title="Kemik">Kemiki</a> pri opisovanju simetrije <a href="/wiki/Kristal" title="Kristal">kristalov</a> uporabljajo prav takšne tipe grup simetrij. Poglejmo simetrijo naše plošče še malo bolj natančno. Imamo tri elemente <i>R</i>, <i>T</i> in <i>I</i>. Vendar jih lahko sestavimo še več. Na primer <i>R</i> <sup>o</sup> <i>R</i>, ali zapisano kot <i>R</i><sup>2</sup> je obrat plošče za 180°. Smer sukanja pri tem ni pomembna. <i>R</i><sup>3</sup> je zasuk plošče za 270° v smeri urinega kazalca. Enak zasuk je zasuk za 90° v nasprotni smeri urinega kazalca. Vidimo tudi, da velja <i>T</i><sup>2</sup> = <i>I</i> in <i>R</i><sup>4</sup> = <i>I</i>. Kakšno je pri tem gibanje <i>R</i> <small>o</small> <i>T</i>? Najprej imamo zasuk v vodoravni smeri in nato zasuk. Poskušajmo si predstavljati, da velja <i>R</i> <sup>o</sup> <i>T</i> = <i>T</i> <sup>o</sup> <i>R</i><sup>3</sup>. Hkrati <i>R</i><sup>2</sup> <sup>o</sup> <i>T</i> predstavlja vodoravni zasuk in je enak <i>T</i> <sup>o</sup> <i>R</i><sup>2</sup>. </p><p>Ta grupa je v bistvu končna in ima moč 8. Vse kar želimo vedeti o njej lahko zapišemo v <a href="/w/index.php?title=Tabela_mno%C5%BEenja&action=edit&redlink=1" class="new" title="Tabela množenja (stran ne obstaja)">tabeli množenja</a>: </p> <table class="wikitable"> <tbody><tr valign="bottom" align="center"> <th><sup>o</sup> </th> <th><i>I</i> </th> <th><i>T</i> </th> <th><i>R</i> </th> <th><i>R</i><sup>2</sup> </th> <th><i>R</i><sup>3</sup> </th> <th><i>R</i> <i>T</i> </th> <th><i>R</i><sup>2</sup> <i>T</i> </th> <th><i>R</i><sup>3</sup> <i>T</i> </th></tr> <tr valign="bottom" align="center"> <th><i>I</i> </th> <td><i>I</i></td> <td><i>T</i></td> <td><i>R</i> </td> <td><i>R</i><sup>2</sup></td> <td><i>R</i><sup>3</sup> </td> <td><i>R</i> <i>T</i> </td> <td><i>R</i><sup>2</sup> <i>T</i></td> <td><i>R</i><sup>3</sup> <i>T</i> </td></tr> <tr valign="bottom" align="center"> <th><i>T</i> </th> <td><i>T</i></td> <td><i>I</i></td> <td><i>R</i><sup>3</sup> <i>T</i> </td> <td><i>R</i><sup>2</sup> <i>T</i></td> <td><i>R</i> <i>T</i> </td> <td><i>R</i><sup>3</sup></td> <td><i>R</i><sup>2</sup></td> <td><i>R</i> </td></tr> <tr valign="bottom" align="center"> <th><i>R</i> </th> <td><i>R</i></td> <td><i>R</i> <i>T</i></td> <td><i>R</i><sup>2</sup> </td> <td><i>R</i><sup>3</sup></td> <td><i>I</i> </td> <td><i>R</i><sup>2</sup> <i>T</i></td> <td><i>R'<sup>3</sup> </i>T<i></i></td> <td><i>T</i> </td></tr> <tr valign="bottom" align="center"> <th><i>R</i><sup>2</sup> </th> <td><i>R</i><sup>2</sup></td> <td><i>R</i><sup>2</sup> <i>T</i> </td> <td><i>R</i><sup>3</sup></td> <td><i>I</i></td> <td><i>R</i></td> <td><i>R</i><sup>3</sup> <i>T</i> </td> <td><i>T</i></td> <td><i>R</i> <i>T</i> </td></tr> <tr valign="bottom" align="center"> <th><i>R</i><sup>3</sup> </th> <td><i>R</i><sup>3</sup></td> <td><i>R</i><sup>3</sup> <i>T</i> </td> <td><i>I</i></td> <td><i>R</i></td> <td><i>R</i><sup>2</sup></td> <td><i>T</i> </td> <td><i>R</i> <i>T</i></td> <td><i>R</i><sup>2</sup><i>T</i> </td></tr> <tr valign="bottom" align="center"> <th><i>R</i> <i>T</i> </th> <td><i>R</i> <i>T</i></td> <td><i>R</i></td> <td><i>T</i> </td> <td><i>R</i><sup>3</sup> <i>T</i></td> <td><i>R</i><sup>2</sup> <i>T</i> </td> <td><i>I</i> </td> <td><i>R</i><sup>3</sup></td> <td><i>R</i><sup>2</sup> </td></tr> <tr valign="bottom" align="center"> <th><i>R</i><sup>2</sup> <i>T</i> </th> <td><i>R</i><sup>2</sup> <i>T</i></td> <td><i>R</i><sup>2</sup> </td> <td><i>R</i> <i>T</i></td> <td><i>T</i></td> <td><i>R</i><sup>3</sup> <i>T</i> </td> <td><i>R</i></td> <td><i>I</i></td> <td><i>R</i><sup>3</sup> </td></tr> <tr valign="bottom" align="center"> <th><i>R</i><sup>3</sup> <i>T</i> </th> <td><i>R</i><sup>3</sup> <i>T</i></td> <td><i>R</i><sup>3</sup> </td> <td><i>R</i><sup>2</sup> <i>T</i></td> <td><i>R</i> <i>T</i></td> <td><i>T</i> </td> <td><i>R</i><sup>2</sup></td> <td><i>R</i></td> <td><i>I</i> </td></tr></tbody></table> <p>Tabela prikazuje sestavo (kompozicijo) za poljuben par elementov iz grupe. Vsak element se pojavi v vsaki vrstici in v vsakem stolpcu natanko enkrat. To ni naključje. Tukaj smo namesto <i>R</i><sup>3</sup> <sup>o</sup> <i>T</i> krajše zapisali »<i>R</i> <sup>3</sup> <i>T</i>«. </p><p>Matematiki poznajo to grupo kot <a href="/wiki/Diedrska_grupa" title="Diedrska grupa">diedrsko grupo</a> moči 8 in jo imenujejo <i>D</i><sub>4</sub> ali <i>D</i><sub>8</sub>, odvisno od vira. To je bil prvi primer neabelove grupe. Operacija grupe <sup>o</sup> ni komutativna, kar lahko vidimo iz tabele. Tabela vzdolž glavne diagonale ni simetrična. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Matrične_grupe"><span id="Matri.C4.8Dne_grupe"></span>Matrične grupe</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Grupa&veaction=edit&section=8" title="Uredi razdelek: Matrične grupe" class="mw-editsection-visualeditor"><span>uredi</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Grupa&action=edit&section=8" title="Urejanje izvorne kode razdelka: Matrične grupe"><span>uredi kodo</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Če je <i>n</i> poljubno pozitivno celo število, lahko premislimo o množici vseh obrnljivih <i>n</i> × <i>n</i> <a href="/wiki/Matrika" title="Matrika">matrik</a> iz množice <a href="/wiki/Realno_%C5%A1tevilo" title="Realno število">realnih števil</a>. To je grupa z <a href="/w/index.php?title=Matri%C4%8Dno_mno%C5%BEenje&action=edit&redlink=1" class="new" title="Matrično množenje (stran ne obstaja)">matričnim množenjem</a> kot operacijo grupe. Imenuje se <a href="/w/index.php?title=Splo%C5%A1na_linearna_grupa&action=edit&redlink=1" class="new" title="Splošna linearna grupa (stran ne obstaja)">splošna linearna grupa</a>, GL(<i>n</i>). Geometrijsko vsebuje vse kombinacije transformacij vrtenja, zrcaljenja, raztezanja in krivljenja <i>n</i> razsežnega <a href="/wiki/Evklidski_prostor" title="Evklidski prostor">evklidskega prostora</a> preko dane nepomične točke (<i>izhodišča</i>). </p><p>Če se omejimo na matrike z <a href="/wiki/Determinanta" title="Determinanta">determinantami</a> enakimi 1, dobimo novo grupo, <a href="/w/index.php?title=Posebna_linearna_grupa&action=edit&redlink=1" class="new" title="Posebna linearna grupa (stran ne obstaja)">posebno linearno grupo</a>, SL(<i>n</i>). Ta geometrijsko vsebuje vse elemente GL(<i>n</i>), ki ohranjajo tako smer in prostornino različnih <a href="/wiki/Geometrijsko_telo" title="Geometrijsko telo">geometrijskih teles</a> v evklidskem prostoru. </p><p>Če pa se omejimo na <a href="/wiki/Ortogonalna_matrika" title="Ortogonalna matrika">ortogonalne</a> matrike, dobimo <a href="/w/index.php?title=Ortogonalna_grupa&action=edit&redlink=1" class="new" title="Ortogonalna grupa (stran ne obstaja)">ortogonalno grupo</a>, O(<i>n</i>). Ta geometrijsko vsebuje vse kombinacije vrtenj in zrcaljenj z nepomičnim izhodiščem. To so prav transformacije, ki ohranjajo dolžine in <a href="/wiki/Kot" title="Kot">kote</a>. </p><p>Če združimo obe omejitvi, dobimo <a href="/w/index.php?title=Grupa_vrtenj&action=edit&redlink=1" class="new" title="Grupa vrtenj (stran ne obstaja)">posebno ortogonalno grupo</a> SO(<i>n</i>), ki vsebuje samo vrtenja. </p><p>Vse te grupe so prvi primeri neskončnih neabelovih grup, ki so tudi Liejeve grupe. </p><p>Če to posplošimo na matrike s <a href="/wiki/Kompleksno_%C5%A1tevilo" title="Kompleksno število">kompleksnimi števili</a>, dobimo še več uporabnih Liejevih grup, ko je <a href="/w/index.php?title=Enotska_grupa&action=edit&redlink=1" class="new" title="Enotska grupa (stran ne obstaja)">enotska grupa</a> U(<i>n</i>). Takšne grupe lahko obravnavamo tudi popolnoma algebrsko z matrikami iz kateregakoli obsega, vendar takšne grupe niso Liejeve. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Prosta_grupa_z_dvema_generatorjema">Prosta grupa z dvema generatorjema</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Grupa&veaction=edit&section=9" title="Uredi razdelek: Prosta grupa z dvema generatorjema" class="mw-editsection-visualeditor"><span>uredi</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Grupa&action=edit&section=9" title="Urejanje izvorne kode razdelka: Prosta grupa z dvema generatorjema"><span>uredi kodo</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Prosta grupa z dvema <a href="/wiki/Generator" title="Generator">generatorjema</a> <i>a</i> in <i>b</i> vsebuje vse končne <a href="/w/index.php?title=Znakovni_niz&action=edit&redlink=1" class="new" title="Znakovni niz (stran ne obstaja)">znakovne nize</a>, ki jih lahko oblikujemo iz štirih znakov <i>a</i>, <i>a</i><sup>-1</sup>, <i>b</i> in <i>b</i><sup>-1</sup> tako, da se noben <i>a</i> neposredno ne pojavi poleg <i>a</i><sup>-1</sup> in noben <i>b</i> poleg <i>b</i><sup>-1</sup>. Dva takšna znakovna niza lahko povežemo in spremenimo v znakovni niz tega tipa s ponavljajočo zamenjavo »prepovedanega« podniza s praznim znakovnim nizom. Na primer: znakovni niz "<i>a</i> <i>b</i> <i>a</i> <i>b</i><sup>-1</sup>" povezan z znakovnim nizom "<i>a</i> <i>b</i> <i>a</i> <i>b</i><sup>-1</sup> <i>a</i>" nam da znakovni niz "<i>a</i> <i>b</i> <i>a</i> <i>b</i><sup>-1</sup> <i>a</i><sup>-1</sup> <i>a</i> <i>b</i> <i>a</i> <i>b</i><sup>-1</sup> <i>a</i>", ki ga skrčimo na "<i>a</i> <i>b</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>b</i><sup>-1</sup> <i>a</i>". Preverimo lahko, da množica takšnih znakovnih nizov s to operacijo tvori grupo z nevtralnim elementom, praznim znakovnim nizom ε ≡ "". Po navadi narekovaje opustimo, zaradi česar potrebujemo znak &epsilon. </p><p>To je naslednji primer neskončne neabelove grupe. </p><p>Proste grupe so pomembne v <a href="/w/index.php?title=Algebrska_topologija&action=edit&redlink=1" class="new" title="Algebrska topologija (stran ne obstaja)">algebrski topologiji</a>. Prosto grupo z dvema generatorjema se potrebujejo tudi pri dokazu <a href="/w/index.php?title=Paradoks_Banacha-Tarskega&action=edit&redlink=1" class="new" title="Paradoks Banacha-Tarskega (stran ne obstaja)">paradoksa Banacha-Tarskega</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Še_nekaj_primerov_končnih_grup"><span id=".C5.A0e_nekaj_primerov_kon.C4.8Dnih_grup"></span>Še nekaj primerov končnih grup</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Grupa&veaction=edit&section=10" title="Uredi razdelek: Še nekaj primerov končnih grup" class="mw-editsection-visualeditor"><span>uredi</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Grupa&action=edit&section=10" title="Urejanje izvorne kode razdelka: Še nekaj primerov končnih grup"><span>uredi kodo</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Glej <a href="/wiki/Seznam_malih_grup" title="Seznam malih grup">seznam malih grup</a> za še druge primere. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Teorija_grup">Teorija grup</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Grupa&veaction=edit&section=11" title="Uredi razdelek: Teorija grup" class="mw-editsection-visualeditor"><span>uredi</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Grupa&action=edit&section=11" title="Urejanje izvorne kode razdelka: Teorija grup"><span>uredi kodo</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <dl><dd><div class="noprint relarticle mainarticle"><i>Glavni članek: <a href="/wiki/Teorija_grup" title="Teorija grup">teorija grup</a>.</i></div></dd></dl> <p>Za primerjavo grup potrebujemo orodja kot so <a href="/wiki/Homomorfizem_grupe" title="Homomorfizem grupe">homomorfizmi grup</a> in lahko nove grupe oblikujemo iz starih s pojmi <a href="/wiki/Podgrupa" title="Podgrupa">podgrupe</a>, <a href="/w/index.php?title=Normalna_podgrupa&action=edit&redlink=1" class="new" title="Normalna podgrupa (stran ne obstaja)">normalne podgrupe</a>, <a href="/w/index.php?title=Faktorska_grupa&action=edit&redlink=1" class="new" title="Faktorska grupa (stran ne obstaja)">faktorske grupe</a>, <a href="/w/index.php?title=Sredi%C5%A1%C4%8De_grupe&action=edit&redlink=1" class="new" title="Središče grupe (stran ne obstaja)">središča grupe</a>, <a href="/w/index.php?title=Izpeljana_grupa&action=edit&redlink=1" class="new" title="Izpeljana grupa (stran ne obstaja)">izpeljane grupe</a> in <a href="/w/index.php?title=Produkt_grup&action=edit&redlink=1" class="new" title="Produkt grup (stran ne obstaja)">produkti grup</a>, še posebej <a href="/w/index.php?title=Poldirektni_produkt&action=edit&redlink=1" class="new" title="Poldirektni produkt (stran ne obstaja)">poldirektni</a> in <a href="/w/index.php?title=Direktni_produkt&action=edit&redlink=1" class="new" title="Direktni produkt (stran ne obstaja)">direktni produkti</a>. Pri proučevanju teh pojmov naletimo na <a href="/w/index.php?title=Lagrangeov_izrek&action=edit&redlink=1" class="new" title="Lagrangeov izrek (stran ne obstaja)">Lagrangeov izrek</a>, <a href="/w/index.php?title=Osnovni_izrek_o_homomorfizmih&action=edit&redlink=1" class="new" title="Osnovni izrek o homomorfizmih (stran ne obstaja)">osnovni izrek o homomorfizmih</a> in <a href="/w/index.php?title=Izreki_o_izomorfizmu&action=edit&redlink=1" class="new" title="Izreki o izomorfizmu (stran ne obstaja)">izreke o izomorfizmu</a>. Pomembno orodje pri tem je pojem <a href="/w/index.php?title=Somno%C5%BEica&action=edit&redlink=1" class="new" title="Somnožica (stran ne obstaja)">somnožice</a> dane podgrupe. </p><p>Pri natančnejšem raziskovanju <a href="/wiki/Mre%C5%BEa" class="mw-disambig" title="Mreža">mrež</a> podgrup dane končne grupe nam pomaga zamisel <a href="/w/index.php?title=P-grupa&action=edit&redlink=1" class="new" title="P-grupa (stran ne obstaja)"><i>p</i>-grupe</a> in <a href="/w/index.php?title=Sylowi_izreki&action=edit&redlink=1" class="new" title="Sylowi izreki (stran ne obstaja)">Sylowi izreki</a>. Dodatno pomoč pri dokazovanju teh izrekov nam nudi zamisel o <a href="/w/index.php?title=U%C4%8Dinek_grupe&action=edit&redlink=1" class="new" title="Učinek grupe (stran ne obstaja)">učinku grupe</a>. </p><p>V celoti lahko opredelimo tudi <a href="/w/index.php?title=Cikli%C4%8Dna_grupa&action=edit&redlink=1" class="new" title="Ciklična grupa (stran ne obstaja)">ciklične</a> ali <i>urne grupe</i>, ki jih lahko pridelamo iz enega elementa. Vse ciklične grupe so Abelove. Še bolj splošno velja. Vse grupe pridelane v končnem (in še posebej končne) Abelove grupe lahko v celoti opredelimo z izrekom, ki ima široko uporabo. (Glej <a href="/w/index.php?title=Kon%C4%8Dnoporojena_Abelova_grupa&action=edit&redlink=1" class="new" title="Končnoporojena Abelova grupa (stran ne obstaja)">končnoporojena Abelova grupa</a>). </p><p>Zaplete se, ko se dotaknemo končnih neabelovih grup. Vsaka končna grupa je zgrajena iz <a href="/w/index.php?title=Enostavna_grupa&action=edit&redlink=1" class="new" title="Enostavna grupa (stran ne obstaja)">enostavnih grup</a>. Z znamenitim orjaškim <i>klasifikacijskim izrekom</i> lahko opredelimo vse končne enostavne grupe (glej <a href="/w/index.php?title=Klasifikacija_kon%C4%8Dnih_enostavnih_grup&action=edit&redlink=1" class="new" title="Klasifikacija končnih enostavnih grup (stran ne obstaja)">klasifikacija končnih enostavnih grup</a>. <a href="/w/index.php?title=Re%C5%A1ljiva_grupa&action=edit&redlink=1" class="new" title="Rešljiva grupa (stran ne obstaja)">Rešljive</a> in <a href="/w/index.php?title=Nilpotentna_grupa&action=edit&redlink=1" class="new" title="Nilpotentna grupa (stran ne obstaja)">nilpotentne grupe</a> so pomembne ker se neprestano pojavljajo v <a href="/w/index.php?title=Galoisova_teorija&action=edit&redlink=1" class="new" title="Galoisova teorija (stran ne obstaja)">Galoisovi teoriji</a> pri opredelitvi tistih <a href="/wiki/Polinom" title="Polinom">polinomskih</a> enačb, ki jih lahko rešimo s koreni (radikali). </p><p>Pomembno orodje v teoriji grup je pojem <a href="/w/index.php?title=Prikaz_grupe&action=edit&redlink=1" class="new" title="Prikaz grupe (stran ne obstaja)">prikaza grupe</a>. V osnovi želimo »prikazati« dano abstraktno grupo s stvarno grupo obrnljivih matrik, ki so enostavnejše za proučevanje. </p><p>Pri označevanju abstraktne grupe pogostokrat uporabimo generatorje in <a href="/wiki/Relacija" title="Relacija">relacije</a> (glej <a href="/w/index.php?title=Upodobitev_grupe&action=edit&redlink=1" class="new" title="Upodobitev grupe (stran ne obstaja)">upodobitev grupe</a>). S tem se porajajo vprašanja, na primer: »Ali ti dve upodobitvi označujeta izomorfni grupi?«, »Ali ta upodobitev označuje trivialno grupo?«. Precej podobnih vprašanj je nerešljivih s splošnim <a href="/wiki/Algoritem" title="Algoritem">algoritmom</a> (glej na primer <a href="/w/index.php?title=Besedni_problem_za_grupe&action=edit&redlink=1" class="new" title="Besedni problem za grupe (stran ne obstaja)">besedni problem za grupe</a>). </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Uporabe">Uporabe</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Grupa&veaction=edit&section=12" title="Uredi razdelek: Uporabe" class="mw-editsection-visualeditor"><span>uredi</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Grupa&action=edit&section=12" title="Urejanje izvorne kode razdelka: Uporabe"><span>uredi kodo</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Grupe uporabljamo v celotni matematiki, velikokrat za opis notranje simetrije drugih struktur, v obliki <a href="/w/index.php?title=Avtomorfizem_grupe&action=edit&redlink=1" class="new" title="Avtomorfizem grupe (stran ne obstaja)">avtomorfizma grup</a>. </p><p>V Galoisovi teoriji, ki je zgodovinsko gledano zečetek pojma grupe, uporabljamo grupe za opis simetrij enačb s polinomskimi koreni. </p><p>V algebrski topologiji uporabljamo grupe za opisovanje <a href="/w/index.php?title=Invarianta&action=edit&redlink=1" class="new" title="Invarianta (stran ne obstaja)">invariant</a> v <a href="/wiki/Topolo%C5%A1ki_prostor" title="Topološki prostor">topoloških prostorih</a>. Imenujemo jih »invariante«, ker so določene na način, pri katerem se ne spremenijo, če je prostor pod vplivom kakšnega popačenja (deformacije). Zgledi za takšne grupe so: <a href="/w/index.php?title=Fundamentalna_grupa&action=edit&redlink=1" class="new" title="Fundamentalna grupa (stran ne obstaja)">fundamentalna grupa</a>, <a href="/w/index.php?title=Homolo%C5%A1ka_grupa&action=edit&redlink=1" class="new" title="Homološka grupa (stran ne obstaja)">homološke grupe</a> in <a href="/w/index.php?title=Kohomolo%C5%A1ka_grupa&action=edit&redlink=1" class="new" title="Kohomološka grupa (stran ne obstaja)">kohomološke grupe</a>. </p><p>Pojem Liejeve grupe je pomemben pri raziskovanju <a href="/wiki/Diferencialna_ena%C4%8Dba" title="Diferencialna enačba">diferencialnih enačb</a> in mnogoterosti. S pojmoma združujemo <a href="/wiki/Matemati%C4%8Dna_analiza" title="Matematična analiza">analizo</a> in teorijo grup in sta zato primerna objekta pri opisovanju simetrij analitičnih struktur. Analiza takšnih in podobnih grup se imenuje <a href="/w/index.php?title=Harmoni%C4%8Dna_analiza&action=edit&redlink=1" class="new" title="Harmonična analiza (stran ne obstaja)">harmonična analiza</a>. </p><p>V <a href="/wiki/Kemija" title="Kemija">kemiji</a> uporabljamo grupe za opredelitev kristalnih zgradb, pravilnih <a href="/wiki/Polieder" title="Polieder">poliedrov</a> in simetrij <a href="/wiki/Molekula" title="Molekula">molekul</a>. </p><p>V <a href="/wiki/Fizika" title="Fizika">fiziki</a> so grupe pomembne ker opisujejo simetrije, katerim so podvrženi <a href="/w/index.php?title=Naravni_zakon&action=edit&redlink=1" class="new" title="Naravni zakon (stran ne obstaja)">naravni zakoni</a>. Fiziki se zelo zanimajo za prikaze grup, še posebej za Liejeve grupe, ker nakazujejo »primerne« fizikalne teorije. </p><p>Abelove grupe so osnova drugim strukturam, ki jih proučuje abstraktna algebra kot so <a href="/wiki/Kolobar_(algebra)" title="Kolobar (algebra)">kolobarji</a>, obsegi in <a href="/w/index.php?title=Modul&action=edit&redlink=1" class="new" title="Modul (stran ne obstaja)">moduli</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Posplošitve"><span id="Posplo.C5.A1itve"></span>Posplošitve</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Grupa&veaction=edit&section=13" title="Uredi razdelek: Posplošitve" class="mw-editsection-visualeditor"><span>uredi</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Grupa&action=edit&section=13" title="Urejanje izvorne kode razdelka: Posplošitve"><span>uredi kodo</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Liejeve grupe, algebrske grupe in <a href="/w/index.php?title=Topolo%C5%A1ka_grupa&action=edit&redlink=1" class="new" title="Topološka grupa (stran ne obstaja)">topološke grupe</a> so primeri <a href="/w/index.php?title=Grupni_objekt&action=edit&redlink=1" class="new" title="Grupni objekt (stran ne obstaja)">grupnih objektov</a>: grupa kot strukture leži v <a href="/wiki/Kategorija" class="mw-redirect" title="Kategorija">kategoriji</a>. <a href="/w/index.php?title=Zakon_oblikovne_grupe&action=edit&redlink=1" class="new" title="Zakon oblikovne grupe (stran ne obstaja)">Zakoni oblikovnih grup</a> so določene <a href="/w/index.php?title=Oblikovne_poten%C4%8Dne_vrste&action=edit&redlink=1" class="new" title="Oblikovne potenčne vrste (stran ne obstaja)">oblikovne potenčne vrste</a>, katerih lastnosti so zelo podobne grupni operaciji. </p><p>V raziskovanju topoloških in analitičnih struktur nastopajo <a href="/wiki/Grupoid" title="Grupoid">grupoidi</a>, ki so podobni grupam, s tem, da sestava (kompozicija) <i>a</i> * <i>b</i> ni nujno določena za vse elemente <i>a</i> in <i>b</i>. Grupoidi so posebna vrsta kategorij. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Zunanje_povezave">Zunanje povezave</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Grupa&veaction=edit&section=14" title="Uredi razdelek: Zunanje povezave" class="mw-editsection-visualeditor"><span>uredi</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Grupa&action=edit&section=14" title="Urejanje izvorne kode razdelka: Zunanje povezave"><span>uredi kodo</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/HistTopics/Abstract_groups.html">Zgodovina pojma abstraktne grupe</a> <span class="languageicon">(angleško)</span></li></ul> <div role="navigation" class="navbox" aria-label="Navbox" style="padding:3px"><table class="nowraplinks hlist navbox-inner" style="border-spacing:0;background:transparent;color:inherit"><tbody><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/Wikipedija:Normativna_kontrola" title="Wikipedija:Normativna kontrola">Normativna kontrola: Narodne knjižnice</a> <span class="mw-valign-text-top noprint" typeof="mw:File/Frameless"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Q83478#identifiers" title="Uredite to na Wikipodatkih"><img alt="Uredite to na Wikipodatkih" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg/10px-OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg.png" decoding="async" width="10" height="10" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg/15px-OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg/20px-OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg.png 2x" data-file-width="20" data-file-height="20" /></a></span></th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://d-nb.info/gnd/4022379-6">Nemčija</a></span></li> <li><span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://aleph.nkp.cz/F/?func=find-c&local_base=aut&ccl_term=ica=ph180740&CON_LNG=ENG">Češka republika</a></span></li></ul> </div></td></tr></tbody></table></div>    </div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1&useformat=desktop" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Pridobljeno iz »<a dir="ltr" href="https://sl.wikipedia.org/w/index.php?title=Grupa&oldid=6219622">https://sl.wikipedia.org/w/index.php?title=Grupa&oldid=6219622</a>«</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/Posebno:Kategorije" title="Posebno:Kategorije">Kategorija</a>: <ul><li><a href="/wiki/Kategorija:Algebrske_strukture" title="Kategorija:Algebrske strukture">Algebrske strukture</a></li></ul></div><div id="mw-hidden-catlinks" class="mw-hidden-catlinks mw-hidden-cats-hidden">Skriti kategoriji: <ul><li><a href="/wiki/Kategorija:Wikipedijini_%C4%8Dlanki_z_identifikatorji_GND" title="Kategorija:Wikipedijini članki z identifikatorji GND">Wikipedijini članki z identifikatorji GND</a></li><li><a href="/wiki/Kategorija:Wikipedijini_%C4%8Dlanki_z_identifikatorji_NKC" title="Kategorija:Wikipedijini članki z identifikatorji NKC">Wikipedijini članki z identifikatorji NKC</a></li></ul></div></div> </div> </main> </div> <div class="mw-footer-container"> <footer id="footer" class="mw-footer" > <ul id="footer-info"> <li id="footer-info-lastmod"> Čas zadnje spremembe strani: 07:57, 21. maj 2024.</li> <li id="footer-info-copyright">Besedilo se sme prosto uporabljati v skladu z dovoljenjem <a rel="nofollow" class="external text" href="//creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/">Creative Commons Priznanje avtorstva-Deljenje pod enakimi pogoji 4.0</a>; uveljavljajo se lahko dodatni pogoji. Za podrobnosti glej <a class="external text" href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Terms_of_Use">Pogoje uporabe</a>.<br /> Wikipedia® je tržna znamka neprofitne organizacije <a rel="nofollow" class="external text" href="https://wikimediafoundation.org">Wikimedia Foundation Inc.</a></li> </ul> <ul id="footer-places"> <li id="footer-places-privacy"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Privacy_policy">Pravilnik o zasebnosti</a></li> <li id="footer-places-about"><a href="/wiki/Wikipedija:O_Wikipediji">O Wikipediji</a></li> <li id="footer-places-disclaimers"><a href="/wiki/Wikipedija:Splo%C5%A1na_zavrnitev_odgovornosti">Zavrnitve odgovornosti</a></li> <li id="footer-places-wm-codeofconduct"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Universal_Code_of_Conduct">Kodeks ravnanja</a></li> <li id="footer-places-developers"><a href="https://developer.wikimedia.org">Razvijalci</a></li> <li id="footer-places-statslink"><a href="https://stats.wikimedia.org/#/sl.wikipedia.org">Statistika</a></li> <li id="footer-places-cookiestatement"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Cookie_statement">O piškotkih</a></li> <li id="footer-places-mobileview"><a href="//sl.m.wikipedia.org/w/index.php?title=Grupa&section=4&veaction=edit&mobileaction=toggle_view_mobile" class="noprint stopMobileRedirectToggle">Mobilni prikaz</a></li> </ul> <ul id="footer-icons" class="noprint"> <li id="footer-copyrightico"><a href="https://wikimediafoundation.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/static/images/footer/wikimedia-button.svg" width="84" height="29" alt="Wikimedia Foundation" loading="lazy"></a></li> <li id="footer-poweredbyico"><a href="https://www.mediawiki.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/w/resources/assets/poweredby_mediawiki.svg" alt="Powered by MediaWiki" width="88" height="31" loading="lazy"></a></li> </ul> </footer> </div> </div> </div> <div class="vector-settings" id="p-dock-bottom"> <ul></ul> </div><script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.config.set({"wgHostname":"mw-web.codfw.main-5c59558b9d-qlbh6","wgBackendResponseTime":122,"wgPageParseReport":{"limitreport":{"cputime":"0.214","walltime":"0.300","ppvisitednodes":{"value":269,"limit":1000000},"postexpandincludesize":{"value":2367,"limit":2097152},"templateargumentsize":{"value":26,"limit":2097152},"expansiondepth":{"value":6,"limit":100},"expensivefunctioncount":{"value":2,"limit":500},"unstrip-depth":{"value":0,"limit":20},"unstrip-size":{"value":324,"limit":5000000},"entityaccesscount":{"value":1,"limit":400},"timingprofile":["100.00% 208.610 1 -total"," 77.74% 162.173 1 Predloga:Ikona_en"," 77.03% 160.697 1 Predloga:Ikona_jezika"," 76.35% 159.280 1 Predloga:In_lang"," 21.00% 43.808 1 Predloga:Normativna_kontrola"," 1.14% 2.378 1 Predloga:Glavni"]},"scribunto":{"limitreport-timeusage":{"value":"0.148","limit":"10.000"},"limitreport-memusage":{"value":25154780,"limit":52428800}},"cachereport":{"origin":"mw-web.eqiad.main-559c9fd9f4-8z8m2","timestamp":"20241126125630","ttl":2592000,"transientcontent":false}}});});</script> <script type="application/ld+json">{"@context":"https:\/\/schema.org","@type":"Article","name":"Grupa","url":"https:\/\/sl.wikipedia.org\/wiki\/Grupa","sameAs":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q83478","mainEntity":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q83478","author":{"@type":"Organization","name":"Sodelavci projektov Wikimedie"},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Wikimedia Foundation, Inc.","logo":{"@type":"ImageObject","url":"https:\/\/www.wikimedia.org\/static\/images\/wmf-hor-googpub.png"}},"datePublished":"2003-07-15T00:46:27Z","dateModified":"2024-05-21T06:57:42Z"}</script> </body> </html>