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<div class="vector-toc-text"> 2 Les 230 types de groupes d'espace </div> </a> <ul id="toc-Les_230_types_de_groupes_d'espace-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Groupes_d'espace_non_conventionnels" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Groupes_d'espace_non_conventionnels"> <div class="vector-toc-text"> 3 Groupes d'espace non conventionnels </div> </a> <button aria-controls="toc-Groupes_d'espace_non_conventionnels-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> Afficher / masquer la sous-section Groupes d'espace non conventionnels </button> <ul id="toc-Groupes_d'espace_non_conventionnels-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Mailles_de_volume_identique" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Mailles_de_volume_identique"> <div class="vector-toc-text"> 3.1 Mailles de volume identique </div> </a> 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class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Voir_aussi"> <div class="vector-toc-text"> 6 Voir aussi </div> </a> <button aria-controls="toc-Voir_aussi-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> Afficher / masquer la sous-section Voir aussi </button> <ul id="toc-Voir_aussi-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Articles_connexes" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Articles_connexes"> <div class="vector-toc-text"> 6.1 Articles connexes </div> </a> <ul id="toc-Articles_connexes-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Lien_externe" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Lien_externe"> <div class="vector-toc-text"> 6.2 Lien externe </div> </a> <ul id="toc-Lien_externe-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="Sommaire" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Basculer la table des matières" > <label id="vector-page-titlebar-toc-label" for="vector-page-titlebar-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" > Basculer la table des matières </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-titlebar-toc-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Groupe d'espace</h1> <div id="p-lang-btn" class="vector-dropdown mw-portlet mw-portlet-lang" > <input type="checkbox" id="p-lang-btn-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-lang-btn" class="vector-dropdown-checkbox mw-interlanguage-selector" aria-label="Aller à un article dans une autre langue. Disponible en 24 langues." > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-24" aria-hidden="true" > 24 langues </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-af mw-list-item"><a href="https://af.wikipedia.org/wiki/Ruimtegroep" title="Ruimtegroep – afrikaans" lang="af" hreflang="af" data-title="Ruimtegroep" data-language-autonym="Afrikaans" data-language-local-name="afrikaans" class="interlanguage-link-target">Afrikaans</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D8%B2%D9%85%D8%B1%D8%A9_%D9%81%D8%B1%D8%A7%D8%BA%D9%8A%D8%A9" title="زمرة فراغية – arabe" lang="ar" hreflang="ar" data-title="زمرة فراغية" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="arabe" class="interlanguage-link-target">العربية</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ca mw-list-item"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Grup_espacial" title="Grup espacial – catalan" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Grup espacial" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="catalan" class="interlanguage-link-target">Català</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-de mw-list-item"><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Raumgruppe" title="Raumgruppe – allemand" lang="de" hreflang="de" data-title="Raumgruppe" data-language-autonym="Deutsch" data-language-local-name="allemand" class="interlanguage-link-target">Deutsch</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Space_group" title="Space group – anglais" lang="en" hreflang="en" data-title="Space group" data-language-autonym="English" data-language-local-name="anglais" class="interlanguage-link-target">English</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eo mw-list-item"><a href="https://eo.wikipedia.org/wiki/Kristalografia_grupo" title="Kristalografia grupo – espéranto" lang="eo" hreflang="eo" data-title="Kristalografia grupo" data-language-autonym="Esperanto" data-language-local-name="espéranto" class="interlanguage-link-target">Esperanto</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Grupo_espacial" title="Grupo espacial – espagnol" lang="es" hreflang="es" data-title="Grupo espacial" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="espagnol" class="interlanguage-link-target">Español</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%DA%AF%D8%B1%D9%88%D9%87_%D9%81%D8%B6%D8%A7%DB%8C%DB%8C" title="گروه فضایی – persan" lang="fa" hreflang="fa" data-title="گروه فضایی" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="persan" 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data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="italien" class="interlanguage-link-target">Italiano</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%A9%BA%E9%96%93%E7%BE%A4" title="空間群 – japonais" lang="ja" hreflang="ja" data-title="空間群" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="japonais" class="interlanguage-link-target">日本語</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EA%B3%B5%EA%B0%84%EA%B5%B0" title="공간군 – coréen" lang="ko" hreflang="ko" data-title="공간군" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="coréen" class="interlanguage-link-target">한국어</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ms mw-list-item"><a href="https://ms.wikipedia.org/wiki/Kumpulan_ruang" title="Kumpulan ruang – malais" lang="ms" hreflang="ms" data-title="Kumpulan ruang" data-language-autonym="Bahasa Melayu" data-language-local-name="malais" class="interlanguage-link-target">Bahasa Melayu</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Ruimtegroep" title="Ruimtegroep – néerlandais" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Ruimtegroep" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="néerlandais" class="interlanguage-link-target">Nederlands</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pa mw-list-item"><a href="https://pa.wikipedia.org/wiki/%E0%A8%B8%E0%A8%AA%E0%A9%87%E0%A8%B8_%E0%A8%97%E0%A8%B0%E0%A9%81%E0%A9%B1%E0%A8%AA" title="ਸਪੇਸ ਗਰੁੱਪ – pendjabi" lang="pa" hreflang="pa" data-title="ਸਪੇਸ ਗਰੁੱਪ" data-language-autonym="ਪੰਜਾਬੀ" data-language-local-name="pendjabi" class="interlanguage-link-target">ਪੰਜਾਬੀ</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pl mw-list-item"><a href="https://pl.wikipedia.org/wiki/Grupa_przestrzenna" title="Grupa przestrzenna – polonais" lang="pl" hreflang="pl" data-title="Grupa przestrzenna" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="polonais" class="interlanguage-link-target">Polski</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Grupo_de_espa%C3%A7o" title="Grupo de espaço – portugais" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Grupo de espaço" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="portugais" class="interlanguage-link-target">Português</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D1%80%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D0%B0" title="Кристаллографическая группа – russe" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Кристаллографическая группа" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="russe" class="interlanguage-link-target">Русский</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sk mw-list-item"><a href="https://sk.wikipedia.org/wiki/Priestorov%C3%A1_grupa" title="Priestorová grupa – slovaque" lang="sk" hreflang="sk" data-title="Priestorová grupa" data-language-autonym="Slovenčina" data-language-local-name="slovaque" class="interlanguage-link-target">Slovenčina</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/Prostorska_skupina" title="Prostorska skupina – slovène" lang="sl" hreflang="sl" data-title="Prostorska skupina" data-language-autonym="Slovenščina" data-language-local-name="slovène" class="interlanguage-link-target">Slovenščina</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tr mw-list-item"><a href="https://tr.wikipedia.org/wiki/Uzay_grubu" title="Uzay grubu – turc" lang="tr" hreflang="tr" data-title="Uzay grubu" data-language-autonym="Türkçe" data-language-local-name="turc" class="interlanguage-link-target">Türkçe</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uk mw-list-item"><a href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%B0" title="Просторова група – ukrainien" lang="uk" hreflang="uk" data-title="Просторова група" data-language-autonym="Українська" data-language-local-name="ukrainien" class="interlanguage-link-target">Українська</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%A9%BA%E9%97%B4%E7%BE%A4" title="空间群 – chinois" lang="zh" hreflang="zh" data-title="空间群" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="chinois" class="interlanguage-link-target">中文</a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q899033#sitelinks-wikipedia" title="Modifier les liens interlangues" class="wbc-editpage">Modifier les liens</a></div> </div> </div> </div> </header> <div class="vector-page-toolbar"> <div class="vector-page-toolbar-container"> <div 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id="p-cactions" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-cactions emptyPortlet vector-has-collapsible-items" title="Plus d’options" > <div class="vector-menu-heading"> Actions </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-more-view" class="selected vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/wiki/Groupe_d%27espace">Lire</a></li><li id="ca-more-ve-edit" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Groupe_d%27espace&veaction=edit" title="Modifier cette page [v]" accesskey="v">Modifier</a></li><li id="ca-more-edit" class="collapsible vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Groupe_d%27espace&action=edit" title="Modifier le wikicode de cette page [e]" accesskey="e">Modifier le code</a></li><li id="ca-more-history" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Groupe_d%27espace&action=history">Voir l’historique</a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-tb" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-tb" > <div class="vector-menu-heading"> Général </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-whatlinkshere" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Pages_li%C3%A9es/Groupe_d%27espace" title="Liste des pages liées qui pointent sur celle-ci [j]" accesskey="j">Pages liées</a></li><li id="t-recentchangeslinked" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Suivi_des_liens/Groupe_d%27espace" rel="nofollow" title="Liste des modifications récentes des pages appelées par celle-ci [k]" accesskey="k">Suivi des pages liées</a></li><li id="t-upload" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Aide:Importer_un_fichier" title="Téléverser des fichiers [u]" accesskey="u">Téléverser un fichier</a></li><li id="t-specialpages" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Pages_sp%C3%A9ciales" title="Liste de toutes les pages spéciales [q]" accesskey="q">Pages spéciales</a></li><li id="t-permalink" 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id="p-coll-print_export" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-coll-print_export" > <div class="vector-menu-heading"> Imprimer / exporter </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="coll-create_a_book" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Sp%C3%A9cial:Livre&bookcmd=book_creator&referer=Groupe+d%27espace">Créer un livre</a></li><li id="coll-download-as-rl" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Sp%C3%A9cial:DownloadAsPdf&page=Groupe_d%27espace&action=show-download-screen">Télécharger comme PDF</a></li><li id="t-print" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Groupe_d%27espace&printable=yes" title="Version imprimable de cette page [p]" accesskey="p">Version imprimable</a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-wikibase-otherprojects" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-wikibase-otherprojects" > <div class="vector-menu-heading"> Dans d’autres projets </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="wb-otherproject-link wb-otherproject-commons mw-list-item"><a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Space_groups" hreflang="en">Wikimedia Commons</a></li><li id="t-wikibase" class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikibase-dataitem mw-list-item"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q899033" title="Lien vers l’élément dans le dépôt de données connecté [g]" accesskey="g">Élément Wikidata</a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> </div> <div class="vector-column-end"> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Outils de la page"> <div id="vector-page-tools-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Apparence"> <div id="vector-appearance-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-appearance" class="vector-appearance vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-appearance-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="appearance-pinned" data-pinnable-element-id="vector-appearance" data-pinned-container-id="vector-appearance-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-appearance-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Apparence</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.pin">déplacer vers la barre latérale</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.unpin">masquer</button> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> <div id="bodyContent" class="vector-body" aria-labelledby="firstHeading" data-mw-ve-target-container> <div class="vector-body-before-content"> <div class="mw-indicators"> </div> <div id="siteSub" class="noprint">Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.</div> </div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"></div></div> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="fr" dir="ltr">Le groupe d'espace d'un <a href="/wiki/Cristal" title="Cristal">cristal</a> est constitué de l'ensemble des <a href="/wiki/Sym%C3%A9trie" title="Symétrie">symétries</a> d'une <a href="/wiki/Structure_cristalline" title="Structure cristalline">structure cristalline</a>, c'est-à-dire l'ensemble des <a href="/wiki/Isom%C3%A9trie_affine" title="Isométrie affine">isométries affines</a> laissant la structure invariante. Il s'agit d'un <a href="/wiki/Groupe_(math%C3%A9matiques)" title="Groupe (mathématiques)">groupe</a> au sens mathématique du terme. Tout groupe d'espace résulte de la combinaison d'un <a href="/wiki/R%C3%A9seau_de_Bravais" title="Réseau de Bravais">réseau de Bravais</a> et d'un <a href="/wiki/Groupe_ponctuel_de_sym%C3%A9trie" title="Groupe ponctuel de symétrie">groupe ponctuel de symétrie</a> : toute symétrie de la structure résulte du produit d'une translation du réseau et d'une transformation du groupe ponctuel. La <a href="/wiki/Symboles_de_Hermann-Mauguin" title="Symboles de Hermann-Mauguin">notation de Hermann-Mauguin</a> est utilisée pour représenter un groupe d'espace. L'<a href="/wiki/Union_internationale_de_cristallographie" title="Union internationale de cristallographie">Union internationale de cristallographie</a> publie des <a href="/wiki/Tables_internationales_de_cristallographie" title="Tables internationales de cristallographie">Tables internationales de cristallographie</a> ; dans le volume A chaque groupe d'espace et ses opérations de symétrie sont représentés graphiquement et mathématiquement. <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Principe_de_détermination_des_groupes_d'espace">Principe de détermination des groupes d'espace</h2>[<a href="/w/index.php?title=Groupe_d%27espace&veaction=edit&section=1" title="Modifier la section : Principe de détermination des groupes d'espace" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=Groupe_d%27espace&action=edit&section=1" title="Modifier le code source de la section : Principe de détermination des groupes d'espace">modifier le code</a>]</div> L'ensemble des groupes d'espace résulte de la combinaison d'une unité de base (ou motif) avec des opérations ponctuelles de symétrie (<a href="/wiki/Sym%C3%A9trie" title="Symétrie">réflexion, rotation et inversion</a>), auxquelles s'ajoutent des opérations de <a href="/wiki/Translation_(g%C3%A9om%C3%A9trie)" class="mw-redirect" title="Translation (géométrie)">translation</a>, translation dans le plan ou combinée à une réflexion ou une rotation. Cependant le nombre de groupes distincts est inférieur à celui des combinaisons, certaines étant <a href="/wiki/Isomorphisme" title="Isomorphisme">isomorphes</a>, c'est-à-dire conduisant au même groupe d'espace. Ce résultat peut être démontré mathématiquement par la <a href="/wiki/Th%C3%A9orie_des_groupes" title="Théorie des groupes">théorie des groupes</a>. Les opérations de translation comprennent : <ul><li>la translation selon les vecteurs de base du réseau, qui fait passer d'une <a href="/wiki/Maille_(cristallographie)" title="Maille (cristallographie)">maille</a> à la maille voisine ;</li> <li>les translations combinées aux réflexions et aux rotations : <ul><li>rototranslations (élément de symétrie : axe hélicoïdal) : une rotation suivant un axe, combinée à une translation selon la direction de l'axe, et dont l'amplitude est une fraction des vecteurs de base. Ils sont notés par un nombre n décrivant le degré de rotation, où n est le nombre de fois où la rotation doit être appliquée pour obtenir l'identité (3 représente donc par exemple une rotation d'un tiers de tour, soit 2π/3). Le degré de translation est alors noté par un indice qui indique à quelle fraction du vecteur du réseau correspond la translation. De manière générale, l'axe hélicoïdal np représente une rotation de 2π/n suivie d'une translation de p/n du vecteur du réseau parallèle à l'axe. Par exemple, 21 représente une rotation d'un demi-tour suivie d'une translation d'un demi-vecteur du réseau.</li> <li><a href="/wiki/R%C3%A9flexion_gliss%C3%A9e" title="Réflexion glissée">réflexion glissée</a> : une réflexion suivie d'une translation parallèle au plan. Les éléments de symétrie sont des miroirs translatoires indiqués par la lettre g suivie de la composante de translation entre parenthèses ; toutefois, les miroirs translatoires le plus fréquemment rencontrés dans une structure cristalline sont indiqués par une lettre comme dans le tableau suivant :</li></ul></li></ul> <dl><dd><dl><dd><dl><dd><table class="wikitable"> <tbody><tr> <th scope="col">Type de miroir</th> <th scope="col">Glissement </th></tr> <tr> <td>a</td> <td>a/2 (1/2 de la période le long de la direction a) </td></tr> <tr> <td>b</td> <td>b/2 (1/2 de la période le long de la direction b) </td></tr> <tr> <td>c</td> <td>c/2 (1/2 de la période le long de la direction c) </td></tr> <tr> <td>n</td> <td>1/2 de la période le long d’une direction diagonale </td></tr> <tr> <td>d</td> <td>1/4 de la période le long d’une direction diagonale </td></tr> <tr> <td>e</td> <td>1/2 de la période le long de deux directions perpendiculaires<a href="#cite_note-e-1">[1]</a> </td></tr></tbody></table></dd></dl></dd></dl></dd></dl> Dans un groupe d’espace, différents éléments de symétrie de la même dimensionalité peuvent coexister en orientation parallèle. Par exemple, des axes 21 peuvent être parallèles à des axes 2 ; des miroirs de type m peuvent être parallèles à des miroirs de type a ; etc. Dans le symbole du groupe d’espace, le choix de l’élément représentatif suit un ordre de priorité, qui est le suivant : <ul><li>les axes sans glissement ont priorité sur les axes hélicoïdaux ;</li> <li>la priorité dans le choix du miroir représentatif est : m > e > a > b > c > n > d.</li></ul> Toutefois, quelques exceptions existent<a href="#cite_note-2">[2]</a>. Par exemple, les groupes I222 et I212121 contiennent des axes 21 parallèles à des axes 2, mais dans le premier groupe les trois axes 2 ont intersection commune ainsi que les trois axes 21, tandis que dans le deuxième groupe ce n’est pas le cas. La règle de priorité ne s’applique pas ici, autrement les deux groupes auraient le même symbole. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Détermination_dans_l'espace_direct">Détermination dans l'espace direct</h3>[<a href="/w/index.php?title=Groupe_d%27espace&veaction=edit&section=2" title="Modifier la section : Détermination dans l'espace direct" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=Groupe_d%27espace&action=edit&section=2" title="Modifier le code source de la section : Détermination dans l'espace direct">modifier le code</a>]</div> La détermination du groupe d'espace d'un cristal dans l'espace direct s'effectue par l'observation des éléments de symétrie présents dans le cristal ; il est pour cela nécessaire d'observer le modèle atomique du cristal (ou sa <a href="/wiki/Projection_orthogonale" title="Projection orthogonale">projection orthogonale</a>) le long de ses directions de symétrie. La visualisation directe de l'arrangement atomique d'un cristal inconnu n'étant pas possible, cette méthode de détermination du groupe d'espace est surtout utilisée dans l'enseignement. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Détermination_dans_l'espace_réciproque">Détermination dans l'espace réciproque</h3>[<a href="/w/index.php?title=Groupe_d%27espace&veaction=edit&section=3" title="Modifier la section : Détermination dans l'espace réciproque" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=Groupe_d%27espace&action=edit&section=3" title="Modifier le code source de la section : Détermination dans l'espace réciproque">modifier le code</a>]</div> Dans la pratique, le groupe d'espace d'un cristal inconnu est déterminé dans l'<a href="/wiki/Espace_r%C3%A9ciproque" title="Espace réciproque">espace réciproque</a> par la <a href="/wiki/Diffractom%C3%A9trie_de_rayons_X" class="mw-redirect" title="Diffractométrie de rayons X">diffraction de rayons X</a>, <a href="/wiki/Diffraction_de_neutrons" title="Diffraction de neutrons">de neutrons</a> ou <a href="/wiki/Diffraction_des_%C3%A9lectrons" title="Diffraction des électrons">d'électrons</a>. La connaissance des <a href="/wiki/Param%C3%A8tre_cristallin" title="Paramètre cristallin">paramètres</a> de <a href="/wiki/Maille_(cristallographie)" title="Maille (cristallographie)">maille</a> et de la <a href="/wiki/Classe_de_Laue" title="Classe de Laue">classe de Laue</a> permet de trouver les <a href="/wiki/Groupe_ponctuel_de_sym%C3%A9trie" title="Groupe ponctuel de symétrie">groupes ponctuels de symétrie</a> possibles du cristal, correspondant en général à plusieurs groupes d'espace possibles. L'examen des <a href="/wiki/Condition_d%27extinction" title="Condition d'extinction">extinctions systématiques</a> de réflexions dans la figure de diffraction donne les éléments de symétries à composante <a href="/wiki/Translation_(g%C3%A9om%C3%A9trie)" class="mw-redirect" title="Translation (géométrie)">translatoire</a> présents dans le cristal (axes hélicoïdaux, miroirs translatoires), ce qui conduit parfois à la détermination d'un seul groupe d'espace. Cependant, en général, plusieurs groupes d'espaces candidats sont trouvés. L'ambigüité est alors levée en <a href="/wiki/D%C3%A9termination_d%27une_structure_cristalline" title="Détermination d'une structure cristalline">déterminant</a> la structure du cristal dans chacun des groupes d'espace. Si un groupe d'espace n'est pas adapté pour décrire la structure, cela se remarque de plusieurs façons : <ul><li>les polyèdres de <a href="/wiki/Coordinence" title="Coordinence">coordination</a> (longueurs et angles de <a href="/wiki/Liaison_chimique" title="Liaison chimique">liaison</a>) des espèces chimiques peuvent être très différents de ce que l'on connaît à partir d'autres structures ;</li> <li>en conséquence, les calculs des <a href="/wiki/Force_de_liaison" title="Force de liaison">forces de liaison</a> donnent des résultats erronés ;</li> <li>les paramètres d'agitation thermique des atomes sont anormalement élevés ;</li> <li>les paramètres d'<a href="/wiki/M%C3%A9thode_des_moindres_carr%C3%A9s" title="Méthode des moindres carrés">affinement</a> du modèle sont fortement <a href="/wiki/Corr%C3%A9lation_(statistiques)" title="Corrélation (statistiques)">corrélés</a> ;</li> <li>les facteurs d'accord de l'affinement de la structure sont élevés.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Les_230_types_de_groupes_d'espace">Les 230 types de groupes d'espace</h2>[<a href="/w/index.php?title=Groupe_d%27espace&veaction=edit&section=4" title="Modifier la section : Les 230 types de groupes d'espace" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=Groupe_d%27espace&action=edit&section=4" title="Modifier le code source de la section : Les 230 types de groupes d'espace">modifier le code</a>]</div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/Liste_des_groupes_d%27espace" title="Liste des groupes d'espace">Liste des groupes d'espace</a>.</div></div> L'ensemble des 230 types de groupes d'espace en trois dimensions résulte de la combinaison des 32 types de groupes ponctuels de symétrie avec les 14 types de <a href="/wiki/R%C3%A9seaux_de_Bravais" class="mw-redirect" title="Réseaux de Bravais">réseaux de Bravais</a>. Par <a href="/wiki/Isomorphisme" title="Isomorphisme">isomorphisme</a>, les combinaisons d'un type de réseau de Bravais et d'un type de <a href="/wiki/Groupe_ponctuel_de_sym%C3%A9trie" title="Groupe ponctuel de symétrie">groupe ponctuel de symétrie</a> (32 × 14 = 448) se réduisent finalement à 230 types de groupes d'espace distincts. <table class="wikitable"> <tbody><tr align="center"> <td bgcolor="#c0ffff">Classe </td> <td bgcolor="#a0ff80"># </td> <td bgcolor="#ffffc0" colspan="8">Système triclinique </td></tr> <tr valign="top"> <td bgcolor="#c0ffff" align="center" valign="middle">1 </td> <td bgcolor="#a0ff80" align="center" valign="middle">1 </td> <td>P1</td> <td colspan="7"> </td></tr> <tr valign="top"> <td bgcolor="#c0ffff" align="center" valign="middle">1 </td> <td bgcolor="#a0ff80" align="center" valign="middle">2 </td> <td>P1</td> <td colspan="7"> </td></tr> <tr align="center"> <td bgcolor="#c0ffff"> </td> <td bgcolor="#a0ff80"> </td> <td bgcolor="#ffffc0" colspan="8">Système monoclinique </td></tr> <tr valign="top"> <td bgcolor="#c0ffff" align="center" valign="middle">2 </td> <td bgcolor="#a0ff80" align="center" valign="middle">3-5 </td> <td>P2</td> <td>P21</td> <td>C2</td> <td colspan="5"> </td></tr> <tr valign="top" bgcolor="#f4f4f4"> <td bgcolor="#c0ffff" align="center" valign="middle">m </td> <td bgcolor="#a0ff80" align="center" valign="middle">6-9 </td> <td>Pm</td> <td>Pc</td> <td>Cm</td> <td>Cc</td> <td colspan="4"> </td></tr> <tr valign="top"> <td bgcolor="#c0ffff" align="center" valign="middle">2/m </td> <td bgcolor="#a0ff80" align="center" valign="middle">10-15 </td> <td>P2/m</td> <td>P21/m</td> <td>C2/m</td> <td>P2/c</td> <td>P21/c</td> <td>C2/c</td> <td colspan="2"> </td></tr> <tr align="center"> <td bgcolor="#c0ffff"> </td> <td bgcolor="#a0ff80"> </td> <td bgcolor="#ffffc0" colspan="8">Système orthorhombique<a href="#cite_note-e-1">[1]</a> </td></tr> <tr valign="top"> <td bgcolor="#c0ffff" align="center" valign="middle" rowspan="2">222 </td> <td bgcolor="#a0ff80" align="center" valign="middle" rowspan="2">16-24 </td> <td>P222</td> <td>P2221</td> <td>P21212</td> <td>P212121</td> <td>C2221</td> <td>C222</td> <td>F222</td> <td>I222 </td></tr> <tr valign="top"> <td>I212121</td> <td colspan="7"> </td></tr> <tr valign="top" bgcolor="#f4f4f4"> <td bgcolor="#c0ffff" align="center" valign="middle" rowspan="3">mm2 </td> <td bgcolor="#a0ff80" align="center" valign="middle" rowspan="3">25-46 </td> <td>Pmm2</td> <td>Pmc21</td> <td>Pcc2</td> <td>Pma2</td> <td>Pca21</td> <td>Pnc2</td> <td>Pmn21</td> <td>Pba2 </td></tr> <tr valign="top" bgcolor="#f4f4f4"> <td>Pna21</td> <td>Pnn2</td> <td>Cmm2</td> <td>Cmc21</td> <td>Ccc2</td> <td>Amm2</td> <td>Aem2</td> <td>Ama2 </td></tr> <tr valign="top" bgcolor="#f4f4f4"> <td>Aea2</td> <td>Fmm2</td> <td>Fdd2</td> <td>Imm2</td> <td>Iba2</td> <td>Ima2</td> <td colspan="2"> </td></tr> <tr valign="top"> <td bgcolor="#c0ffff" align="center" valign="middle" rowspan="4">mmm </td> <td bgcolor="#a0ff80" align="center" valign="middle" rowspan="4">47-74 </td> <td width="72">Pmmm</td> <td width="72">Pnnn</td> <td width="72">Pccm</td> <td width="72">Pban</td> <td width="72">Pmma</td> <td width="72">Pnna</td> <td width="72">Pmna</td> <td width="72">Pcca </td></tr> <tr valign="top"> <td>Pbam</td> <td>Pccn</td> <td>Pbcm</td> <td>Pnnm</td> <td>Pmmn</td> <td>Pbcn</td> <td>Pbca</td> <td>Pnma </td></tr> <tr valign="top"> <td>Cmcm</td> <td>Cmce</td> <td>Cmmm</td> <td>Cccm</td> <td>Cmme</td> <td>Ccce</td> <td>Fmmm</td> <td>Fddd </td></tr> <tr valign="top"> <td>Immm</td> <td>Ibam</td> <td>Ibca</td> <td>Imma</td> <td colspan="4"> </td></tr> <tr align="center"> <td bgcolor="#c0ffff"> </td> <td bgcolor="#a0ff80"> </td> <td bgcolor="#ffffc0" colspan="8">Système quadratique ou tétragonal </td></tr> <tr valign="top"> <td bgcolor="#c0ffff" align="center" valign="middle">4 </td> <td bgcolor="#a0ff80" align="center" valign="middle">75-80 </td> <td>P4</td> <td>P41</td> <td>P42</td> <td>P43</td> <td>I4</td> <td>I41</td> <td colspan="2"> </td></tr> <tr valign="top" bgcolor="#f4f4f4"> <td bgcolor="#c0ffff" align="center" valign="middle">4 </td> <td bgcolor="#a0ff80" align="center" valign="middle">81-82 </td> <td>P4</td> <td>I4</td> <td colspan="6"> </td></tr> <tr valign="top"> <td bgcolor="#c0ffff" align="center" valign="middle">4/m </td> <td bgcolor="#a0ff80" align="center" valign="middle">83-88 </td> <td>P4/m</td> <td>P42/m</td> <td>P4/n</td> <td>P42/n</td> <td>I4/m</td> <td>I41/a</td> <td colspan="2"> </td></tr> <tr valign="top" bgcolor="#f4f4f4"> <td bgcolor="#c0ffff" align="center" valign="middle" rowspan="2">422 </td> <td bgcolor="#a0ff80" align="center" valign="middle" rowspan="2">89-98 </td> <td>P422</td> <td>P4212</td> <td>P4122</td> <td>P41212</td> <td>P4222</td> <td>P42212</td> <td>P4322</td> <td>P43212 </td></tr> <tr valign="top" bgcolor="#f4f4f4"> <td>I422</td> <td>I4122</td> <td colspan="6"> </td></tr> <tr valign="top"> <td bgcolor="#c0ffff" align="center" valign="middle" rowspan="2">4mm </td> <td bgcolor="#a0ff80" align="center" valign="middle" rowspan="2">99-110 </td> <td>P4mm</td> <td>P4bm</td> <td>P42cm</td> <td>P42nm</td> <td>P4cc</td> <td>P4nc</td> <td>P42mc</td> <td>P42bc </td></tr> <tr valign="top"> <td>I4mm</td> <td>I4cm</td> <td>I41md</td> <td>I41cd</td> <td colspan="4"> </td></tr> <tr valign="top" bgcolor="#f4f4f4"> <td bgcolor="#c0ffff" align="center" valign="middle" rowspan="2">42m </td> <td bgcolor="#a0ff80" align="center" valign="middle" rowspan="2">111-122 </td> <td>P42m</td> <td>P42c</td> <td>P421m</td> <td>P421c</td> <td>P4m2</td> <td>P4c2</td> <td>P4b2</td> <td>P4n2 </td></tr> <tr valign="top" bgcolor="#f4f4f4"> <td>I4m2</td> <td>I4c2</td> <td>I42m</td> <td>I42d</td> <td colspan="4"> </td></tr> <tr valign="top"> <td bgcolor="#c0ffff" align="center" valign="middle" rowspan="3">4/mmm </td> <td bgcolor="#a0ff80" align="center" valign="middle" rowspan="3">123-142 </td> <td>P4/mmm</td> <td>P4/mmc</td> <td>P4/nbm</td> <td>P4/nnc</td> <td>P4/mbm</td> <td>P4/nnc</td> <td>P4/nmm</td> <td>P4/ncc </td></tr> <tr valign="top"> <td>P42/mmc</td> <td>P42/mcm</td> <td>P42/nbc</td> <td>P42/nnm</td> <td>P42/mbc</td> <td>P42/mnm</td> <td>P42/nmc</td> <td>P42/ncm </td></tr> <tr valign="top"> <td>I4/mmm</td> <td>I4/mcm</td> <td>I41/amd</td> <td>I41/acd</td> <td colspan="4"> </td></tr> <tr align="center"> <td bgcolor="#c0ffff"> </td> <td bgcolor="#a0ff80"> </td> <td bgcolor="#ffffc0" colspan="8">Système trigonal </td></tr> <tr valign="top"> <td bgcolor="#c0ffff" align="center" valign="middle">3 </td> <td bgcolor="#a0ff80" align="center" valign="middle">143-146 </td> <td>P3</td> <td>P31</td> <td>P32</td> <td>R3</td> <td colspan="4"> </td></tr> <tr valign="top" bgcolor="#f4f4f4"> <td bgcolor="#c0ffff" align="center" valign="middle">3 </td> <td bgcolor="#a0ff80" align="center" valign="middle">147-148 </td> <td>P3</td> <td>R3</td> <td colspan="6"> </td></tr> <tr valign="top"> <td bgcolor="#c0ffff" align="center" valign="middle">32 </td> <td bgcolor="#a0ff80" align="center" valign="middle">149-155 </td> <td>P312</td> <td>P321</td> <td>P3112</td> <td>P3121</td> <td>P3212</td> <td>P3221</td> <td>R32</td> <td> </td></tr> <tr valign="top" bgcolor="#f4f4f4"> <td bgcolor="#c0ffff" align="center" valign="middle">3m </td> <td bgcolor="#a0ff80" align="center" valign="middle">156-161 </td> <td>P3m1</td> <td>P31m</td> <td>P3c1</td> <td>P31c</td> <td>R3m</td> <td>R3c</td> <td colspan="2"> </td></tr> <tr valign="top"> <td bgcolor="#c0ffff" align="center" valign="middle">3m </td> <td bgcolor="#a0ff80" align="center" valign="middle">162-167 </td> <td>P31m</td> <td>P31c</td> <td>P3m1</td> <td>P3c1</td> <td>R3m</td> <td>R3c</td> <td colspan="2"> </td></tr> <tr align="center"> <td bgcolor="#c0ffff"> </td> <td bgcolor="#a0ff80"> </td> <td bgcolor="#ffffc0" colspan="8">Système hexagonal </td></tr> <tr valign="top"> <td bgcolor="#c0ffff" align="center" valign="middle">6 </td> <td bgcolor="#a0ff80" align="center" valign="middle">168-173 </td> <td>P6</td> <td>P61</td> <td>P65</td> <td>P62</td> <td>P64</td> <td>P63</td> <td colspan="2"> </td></tr> <tr valign="top" bgcolor="#f4f4f4"> <td bgcolor="#c0ffff" align="center" valign="middle">6 </td> <td bgcolor="#a0ff80" align="center" valign="middle">174 </td> <td>P6</td> <td colspan="7"> </td></tr> <tr valign="top"> <td bgcolor="#c0ffff" align="center" valign="middle">6/m </td> <td bgcolor="#a0ff80" align="center" valign="middle">175-176 </td> <td>P6/m</td> <td>P63/m</td> <td colspan="6"> </td></tr> <tr valign="top" bgcolor="#f4f4f4"> <td bgcolor="#c0ffff" align="center" valign="middle">622 </td> <td bgcolor="#a0ff80" align="center" valign="middle">177-182 </td> <td>P622</td> <td>P6122</td> <td>P6522</td> <td>P6222</td> <td>P6422</td> <td>P6322</td> <td colspan="2"> </td></tr> <tr valign="top"> <td bgcolor="#c0ffff" align="center" valign="middle">6mm </td> <td bgcolor="#a0ff80" align="center" valign="middle">183-186 </td> <td>P6mm</td> <td>P6cc</td> <td>P63cm</td> <td>P63mc</td> <td colspan="4"> </td></tr> <tr valign="top" bgcolor="#f4f4f4"> <td bgcolor="#c0ffff" align="center" valign="middle">6m2 </td> <td bgcolor="#a0ff80" align="center" valign="middle">187-190 </td> <td>P6m2</td> <td>P6c2</td> <td>P62m</td> <td>P62c</td> <td colspan="4"> </td></tr> <tr valign="top"> <td bgcolor="#c0ffff" align="center" valign="middle">6/mmm </td> <td bgcolor="#a0ff80" align="center" valign="middle">191-194 </td> <td>P6/mmm</td> <td>P6/mcc</td> <td>P63/mcm</td> <td>P63/mmc</td> <td colspan="4"> </td></tr> <tr align="center"> <td bgcolor="#c0ffff"> </td> <td bgcolor="#a0ff80"> </td> <td bgcolor="#ffffc0" colspan="8">Système cubique </td></tr> <tr valign="top"> <td bgcolor="#c0ffff" align="center" valign="middle">23 </td> <td bgcolor="#a0ff80" align="center" valign="middle">195-199 </td> <td>P23</td> <td>F23</td> <td>I23</td> <td>P213</td> <td>I213</td> <td colspan="3"> </td></tr> <tr valign="top" bgcolor="#f4f4f4"> <td bgcolor="#c0ffff" align="center" valign="middle">m3 </td> <td bgcolor="#a0ff80" align="center" valign="middle">200-206 </td> <td>Pm3</td> <td>Pn3</td> <td>Fm3</td> <td>Fd3</td> <td>I3</td> <td>Pa3</td> <td>Ia3</td> <td> </td></tr> <tr valign="top"> <td bgcolor="#c0ffff" align="center" valign="middle">432 </td> <td bgcolor="#a0ff80" align="center" valign="middle">207-214 </td> <td>P432</td> <td>P4232</td> <td>F432</td> <td>F4132</td> <td>I432</td> <td>P4332</td> <td>P4132</td> <td>I4132 </td></tr> <tr valign="top" bgcolor="#f4f4f4"> <td bgcolor="#c0ffff" align="center" valign="middle">43m </td> <td bgcolor="#a0ff80" align="center" valign="middle">215-220 </td> <td>P43m</td> <td>F43m</td> <td>I43m</td> <td>P43n</td> <td>F43c</td> <td>I43d</td> <td colspan="2"> </td></tr> <tr valign="top"> <td bgcolor="#c0ffff" align="center" valign="middle" rowspan="2">m3m </td> <td bgcolor="#a0ff80" align="center" valign="middle" rowspan="2">221-230 </td> <td>Pm3m</td> <td>Pn3n</td> <td>Pm3n</td> <td>Pn3m</td> <td>Fm3m</td> <td>Fm3c</td> <td>Fd3m</td> <td>Fd3c </td></tr> <tr valign="top"> <td>Im3m</td> <td>Ia3d</td> <td colspan="6"> </td></tr></tbody></table> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Groupes_d'espace_non_conventionnels">Groupes d'espace non conventionnels</h2>[<a href="/w/index.php?title=Groupe_d%27espace&veaction=edit&section=5" title="Modifier la section : Groupes d'espace non conventionnels" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=Groupe_d%27espace&action=edit&section=5" title="Modifier le code source de la section : Groupes d'espace non conventionnels">modifier le code</a>]</div> Les groupes d'espace présentés dans le tableau ci-dessus sont les groupes d'espace conventionnels, qui servent à décrire la symétrie d'un cristal dans sa <a href="/wiki/Maille_(cristallographie)#Maille_conventionnelle" title="Maille (cristallographie)">maille conventionnelle</a>. Il peut cependant être utile d'utiliser un groupe d'espace non conventionnel, par exemple pour étudier des <a href="/wiki/Transition_de_phase" title="Transition de phase">transitions de phase</a> structurelles, les cas de <a href="/wiki/Polymorphisme_(chimie)#Polytypisme" title="Polymorphisme (chimie)">polytypisme</a> ou des séries de <a href="/wiki/Isomorphisme_(chimie)" title="Isomorphisme (chimie)">substitution</a>. Il existe deux manières d'obtenir un groupe d'espace non conventionnel : <ul><li>en choisissant une nouvelle maille de volume identique à la maille conventionnelle, par exemple en permutant les vecteurs de base de la maille ;</li> <li>en augmentant artificiellement la taille de la maille (maille multiple).</li></ul> La description d'un cristal dans un groupe d'espace non conventionnel ne change pas la symétrie intrinsèque du cristal, il s'agit simplement d'une description alternative de la même structure. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Mailles_de_volume_identique">Mailles de volume identique</h3>[<a href="/w/index.php?title=Groupe_d%27espace&veaction=edit&section=6" title="Modifier la section : Mailles de volume identique" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=Groupe_d%27espace&action=edit&section=6" title="Modifier le code source de la section : Mailles de volume identique">modifier le code</a>]</div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:Monoclinic_cell_choices.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/dc/Monoclinic_cell_choices.png/220px-Monoclinic_cell_choices.png" decoding="async" width="220" height="212" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/dc/Monoclinic_cell_choices.png/330px-Monoclinic_cell_choices.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/dc/Monoclinic_cell_choices.png/440px-Monoclinic_cell_choices.png 2x" data-file-width="589" data-file-height="567" /></a><figcaption>Choix de maille dans le système monoclinique.</figcaption></figure> Dans les <a href="/wiki/Syst%C3%A8me_cristallin" title="Système cristallin">systèmes cristallins</a> <a href="/wiki/Syst%C3%A8me_r%C3%A9ticulaire_monoclinique" title="Système réticulaire monoclinique">monoclinique</a> et <a href="/wiki/Syst%C3%A8me_r%C3%A9ticulaire_orthorhombique" title="Système réticulaire orthorhombique">orthorhombique</a>, les directions <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}"> et <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>c</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.007ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle c}"> ne sont pas équivalentes par symétrie, c'est-à-dire qu'il n'existe pas d'opération de symétrie pouvant transformer une de ces directions en une des deux autres. L'appellation des vecteurs de base de la maille est généralement choisie de façon à obtenir un groupe d'espace conventionnel. Dans les cas où les éléments de symétrie dans les directions <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}"> et <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>c</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.007ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle c}"> sont de natures différentes, une permutation des noms des vecteurs de base conduit à une maille de volume inchangé avec un groupe d'espace non conventionnel. D'autre part, dans le système monoclinique, l'angle β entre les vecteurs a et c n'étant pas fixé à 90°, le choix des vecteurs de base a' = -a-c, b' = b et c' = a conduit aussi à une maille monoclinique de volume égal à celui de la maille conventionnelle. Le tableau suivant donne les groupes d'espace conventionnels et non conventionnels dans le système monoclinique. Les changements de signe éventuels des vecteurs de base sont nécessaires pour qu'ils forment un <a href="/wiki/Tri%C3%A8dre" title="Trièdre">trièdre</a> direct. Dans le cas monoclinique, on ne considère que les changements de base laissant l'axe <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}"> comme axe de symétrie. Les groupes d'espace qui restent identiques par <a href="/wiki/Changement_de_rep%C3%A8re" title="Changement de repère">changement de repère</a> ne sont pas listés. <table class="wikitable"> <caption>Groupes d'espace monocliniques non conventionnels </caption> <tbody><tr> <th>#</th> <th>Maille conventionnelle</th> <th colspan="3">Mailles non conventionnelles </th></tr> <tr> <td>5</td> <td>C2 (vecteurs a, b, c)</td> <td>A2 (c, −b, a)</td> <td>A2 (-a-c, b, a)</td> <td>I2 (c, b, -a-c) </td></tr> <tr> <td>7</td> <td>Pc (vecteurs a, b, c)</td> <td>Pa (c, −b, a)</td> <td>Pn (-a-c, b, a)</td> <td>Pa (c, b, -a-c) </td></tr> <tr> <td>8</td> <td>Cm (vecteurs a, b, c)</td> <td>Am (c, −b, a)</td> <td>Am (-a-c, b, a)</td> <td>Im (c, b, -a-c) </td></tr> <tr> <td>9</td> <td>Cc (vecteurs a, b, c)</td> <td>Aa (c, −b, a)</td> <td>An (-a-c, b, a)</td> <td>Ia (c, b, -a-c) </td></tr> <tr> <td>12</td> <td>C2/m (vecteurs a, b, c)</td> <td>A2/m (c, −b, a)</td> <td>A2/m (-a-c, b, a)</td> <td>I2/m (c, b, -a-c) </td></tr> <tr> <td>13</td> <td>P2/c (vecteurs a, b, c)</td> <td>P2/a (c, −b, a)</td> <td>P2/n (-a-c, b, a)</td> <td>P2/a (c, b, -a-c) </td></tr> <tr> <td>14</td> <td>P21/c (vecteurs a, b, c)</td> <td>P21/a (c, −b, a)</td> <td>P21/n (-a-c, b, a)</td> <td>P21/a (c, b, -a-c) </td></tr> <tr> <td>15</td> <td>C2/c (vecteurs a, b, c)</td> <td>A2/a (c, −b, a)</td> <td>A2/n (-a-c, b, a)</td> <td>I2/a (c, b, -a-c) </td></tr></tbody></table> Dans le système orthorhombique, toutes les permutations des axes formant un trièdre direct laissent le volume de la maille inchangé. Les <a href="/wiki/Symboles_de_Hermann-Mauguin" title="Symboles de Hermann-Mauguin">symboles de Hermann-Mauguin</a> étant orientés, la notation du groupe d'espace peut changer en fonction de la permutation des axes : <ul><li>la place d'un axe de rotation ou hélicoïdal suit la direction à laquelle il est parallèle ;</li> <li>la place d'un miroir translatoire a, b ou c suit la direction à laquelle il est perpendiculaire, son nom dépend de la direction dans laquelle est effectuée la translation ;</li> <li>la nomenclature des réseaux de Bravais dépend de la position des directions qui définissent les faces centrées.</li></ul> À titre d'exemple, le tableau suivant donne quelques groupes d'espace conventionnels et non conventionnels pour le système orthorhombique. <table class="wikitable"> <caption>Groupes d'espace orthorhombiques non conventionnels </caption> <tbody><tr> <th>#</th> <th>Maille conventionnelle</th> <th colspan="5">Mailles non conventionnelles </th></tr> <tr> <td>29</td> <td>Pca21 (vecteurs a, b, c)</td> <td>Pb21a (a, c, -b)</td> <td>P21ca (c, b, -a)</td> <td>P21ab (c, a, b)</td> <td>Pbc21 (b, -a, c)</td> <td>Pc21b (b, c, a) </td></tr> <tr> <td>40</td> <td>Ama2 (vecteurs a, b, c)</td> <td>Am2a (a, c, -b)</td> <td>C2cm (c, b, -a)</td> <td>B2mb (c, a, b)</td> <td>Bbm2 (b, -a, c)</td> <td>Cc2m (b, c, a) </td></tr> <tr> <td>43</td> <td>Fdd2 (vecteurs a, b, c)</td> <td>Fd2d (a, c, -b)</td> <td>F2dd (c, b, -a)</td> <td>F2dd (c, a, b)</td> <td>Fdd2 (b, -a, c)</td> <td>Fd2d (b, c, a) </td></tr> <tr> <td>45</td> <td>Iba2 (vecteurs a, b, c)</td> <td>Ic2a (a, c, -b)</td> <td>I2cb (c, b, -a)</td> <td>I2cb (c, a, b)</td> <td>Iba2 (b, -a, c)</td> <td>Ic2a (b, c, a) </td></tr> <tr> <td>53</td> <td>Pmna (vecteurs a, b, c)</td> <td>Pman (a, c, -b)</td> <td>Pcnm (c, b, -a)</td> <td>Pbmn (c, a, b)</td> <td>Pnmb (b, -a, c)</td> <td>Pncm (b, c, a) </td></tr></tbody></table> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Mailles_multiples">Mailles multiples</h3>[<a href="/w/index.php?title=Groupe_d%27espace&veaction=edit&section=7" title="Modifier la section : Mailles multiples" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=Groupe_d%27espace&action=edit&section=7" title="Modifier le code source de la section : Mailles multiples">modifier le code</a>]</div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone"><a href="/wiki/Fichier:Fairytale_warning.png" class="mw-file-description"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/87/Fairytale_warning.png/17px-Fairytale_warning.png" decoding="async" width="17" height="17" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/87/Fairytale_warning.png/26px-Fairytale_warning.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/87/Fairytale_warning.png/34px-Fairytale_warning.png 2x" data-file-width="64" data-file-height="64" /></a></div><div class="bandeau-cell">Cette section est vide, insuffisamment détaillée ou incomplète. <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:EditPage/Groupe_d%27espace" title="Spécial:EditPage/Groupe d'espace">Votre aide</a> est la bienvenue ! <a href="/wiki/Aide:Comment_modifier_une_page" title="Aide:Comment modifier une page">Comment faire ?</a></div></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Notes_et_références">Notes et références</h2>[<a href="/w/index.php?title=Groupe_d%27espace&veaction=edit&section=8" title="Modifier la section : Notes et références" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=Groupe_d%27espace&action=edit&section=8" title="Modifier le code source de la section : Notes et références">modifier le code</a>]</div> <div class="references-small decimal" style=""><div class="mw-references-wrap"><ol class="references"> <li id="cite_note-e-1">↑ <a href="#cite_ref-e_1-0">a</a> et <a href="#cite_ref-e_1-1">b</a> Le plan de type e est un plan avec double glissement, le long de deux directions différentes, qui existe seulement dans cinq types de groupes d'espace orthorhombiques à réseau centré. Les deux glissements sont reliés par le vecteur de translation à composantes fractionnaires. L'utilisation du symbole e est devenue officielle à compter de la cinquième édition du volume A des <a href="/wiki/Tables_internationales_de_cristallographie" title="Tables internationales de cristallographie">Tables internationales de cristallographie</a> (2002). </li> <li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> <abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> <cite class="italique" lang="en"><a href="/wiki/Tables_internationales_de_cristallographie" title="Tables internationales de cristallographie">International Tables for Crystallography</a></cite>, <abbr class="abbr" title="volume">vol.</abbr> A : Space-group symmetry, <a href="/wiki/Theo_Hahn" title="Theo Hahn">Th. Hahn</a>, Kluwer Academic Publishers, <time>2005</time> (<abbr class="abbr" title="réimpression">réimpr.</abbr> corrigée), <abbr class="abbr" title="cinquième">5e</abbr> <abbr class="abbr" title="édition">éd.</abbr> (<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/978-0-470-68908-0" title="Spécial:Ouvrages de référence/978-0-470-68908-0">978-0-470-68908-0</a>), <abbr class="abbr" title="chapitre(s)">chap.</abbr> 4.1.2.3<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=International+Tables+for+Crystallography&rft.pub=Th.+Hahn&rft.edition=5&rft.date=2005&rft.volume=A&rft.isbn=978-0-470-68908-0&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AGroupe+d%27espace"> </li> </ol></div> </div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Bibliographie">Bibliographie</h2>[<a href="/w/index.php?title=Groupe_d%27espace&veaction=edit&section=9" title="Modifier la section : Bibliographie" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=Groupe_d%27espace&action=edit&section=9" title="Modifier le code source de la section : Bibliographie">modifier le code</a>]</div> <ul><li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Alan D. Mighell, « <cite style="font-style:normal" lang="en">Conventional cells: monoclinic I- and C-centered cells</cite> », <a href="/wiki/Acta_Crystallographica_Section_B:_Structural_Science" class="mw-redirect" title="Acta Crystallographica Section B: Structural Science">Acta Cryst. B</a>, <abbr class="abbr" title="volume">vol.</abbr> 59, <abbr class="abbr" title="numéro">no</abbr> 2,‎ <time>2003</time>, <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> 300-302 (<a href="/wiki/Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">DOI</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://dx.doi.org/10.1107/S0108768103002829">10.1107/S0108768103002829</a>)<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=Conventional+cells%3A+monoclinic+I-+and+C-centered+cells&rft.jtitle=Acta+Cryst.+B&rft.issue=2&rft.aulast=Mighell&rft.aufirst=Alan+D.&rft.date=2003&rft.volume=59&rft.pages=300-302&rft_id=info%3Adoi%2F10.1107%2FS0108768103002829&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AGroupe+d%27espace"></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Voir_aussi">Voir aussi</h2>[<a href="/w/index.php?title=Groupe_d%27espace&veaction=edit&section=10" title="Modifier la section : Voir aussi" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=Groupe_d%27espace&action=edit&section=10" title="Modifier le code source de la section : Voir aussi">modifier le code</a>]</div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Articles_connexes">Articles connexes</h3>[<a href="/w/index.php?title=Groupe_d%27espace&veaction=edit&section=11" title="Modifier la section : Articles connexes" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=Groupe_d%27espace&action=edit&section=11" title="Modifier le code source de la section : Articles connexes">modifier le code</a>]</div> <ul><li><a href="/wiki/Groupe_de_papier_peint" title="Groupe de papier peint">Groupe de papier peint</a></li> <li><a href="/wiki/Groupe_ponctuel_de_sym%C3%A9trie" title="Groupe ponctuel de symétrie">Groupe ponctuel de symétrie</a></li> <li><a href="/wiki/Groupe_d%27espace_(4D)" title="Groupe d'espace (4D)">Groupe d'espace (4D)</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Lien_externe">Lien externe</h3>[<a href="/w/index.php?title=Groupe_d%27espace&veaction=edit&section=12" title="Modifier la section : Lien externe" class="mw-editsection-visualeditor">modifier</a> | <a href="/w/index.php?title=Groupe_d%27espace&action=edit&section=12" title="Modifier le code source de la section : Lien externe">modifier le code</a>]</div> <ul><li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> « <a rel="nofollow" class="external text" href="http://reference.iucr.org/dictionary/Space_group"><cite style="font-style:normal;">Space group</cite></a> », sur IUCr Online Dictionary of Crystallography (consulté le <time class="nowrap" datetime="2010-08-27" data-sort-value="2010-08-27">27 août 2010</time>)</li></ul> <ul id="bandeau-portail" class="bandeau-portail"><li><a href="/wiki/Portail:Min%C3%A9raux_et_roches" title="Portail des minéraux et roches"><img alt="icône décorative" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a1/Emerald_rough_300x422.jpg/17px-Emerald_rough_300x422.jpg" decoding="async" width="17" height="24" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a1/Emerald_rough_300x422.jpg/25px-Emerald_rough_300x422.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a1/Emerald_rough_300x422.jpg/34px-Emerald_rough_300x422.jpg 2x" data-file-width="300" data-file-height="422" /></a> <a href="/wiki/Portail:Min%C3%A9raux_et_roches" title="Portail:Minéraux et roches">Portail des minéraux et roches</a> </li> <li><a href="/wiki/Portail:Chimie" title="Portail de la chimie"><img alt="icône décorative" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/59/Nuvola_apps_edu_science.svg/24px-Nuvola_apps_edu_science.svg.png" decoding="async" width="24" height="24" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/59/Nuvola_apps_edu_science.svg/36px-Nuvola_apps_edu_science.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/59/Nuvola_apps_edu_science.svg/48px-Nuvola_apps_edu_science.svg.png 2x" data-file-width="128" data-file-height="128" /></a> <a href="/wiki/Portail:Chimie" title="Portail:Chimie">Portail de la chimie</a> </li> <li><a href="/wiki/Portail:Mat%C3%A9riaux" title="Portail des sciences des matériaux"><img alt="icône décorative" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c8/Circle-icons-material-logo.svg/24px-Circle-icons-material-logo.svg.png" decoding="async" width="24" height="24" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c8/Circle-icons-material-logo.svg/36px-Circle-icons-material-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c8/Circle-icons-material-logo.svg/48px-Circle-icons-material-logo.svg.png 2x" data-file-width="512" data-file-height="512" /></a> <a href="/wiki/Portail:Mat%C3%A9riaux" title="Portail:Matériaux">Portail des sciences des matériaux</a> </li> <li><a href="/wiki/Portail:G%C3%A9om%C3%A9trie" title="Portail de la géométrie"><img alt="icône décorative" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/79/Circle-icons-rulertriangle.svg/24px-Circle-icons-rulertriangle.svg.png" decoding="async" width="24" height="24" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/79/Circle-icons-rulertriangle.svg/36px-Circle-icons-rulertriangle.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/79/Circle-icons-rulertriangle.svg/48px-Circle-icons-rulertriangle.svg.png 2x" data-file-width="512" data-file-height="512" /></a> <a href="/wiki/Portail:G%C3%A9om%C3%A9trie" title="Portail:Géométrie">Portail de la géométrie</a> </li> </ul>    </div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Ce document provient de « <a dir="ltr" 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