Document JFM 62.0315.02

<!doctype html> <html lang="en"> <head> <meta charset="utf-8"> <title>Document JFM 62.0315.02 - zbMATH Open</title> <meta name="viewport" content="width=device-width, minimum-scale=0.1, maximum-scale=5.0"> <meta name="robots" content="noarchive, noindex"> <meta name="referrer" content="origin-when-cross-origin"> <link href="https://static.zbmath.org/contrib/bootstrap/v3.3.7/css/bootstrap.min.css" rel="stylesheet" media="screen,print"> <link href="https://static.zbmath.org/contrib/bootstrap/v3.3.7/css/bootstrap-theme.min.css" rel="stylesheet" media="screen,print"> <link href="https://static.zbmath.org/contrib/bootstrap-lightbox/v0.7.0/bootstrap-lightbox.min.css" rel="stylesheet" media="screen,print"> <link rel="stylesheet" href="https://static.zbmath.org/contrib/bootstrap-select/v1.13.14/css/bootstrap-select.min.css"> <link href="/static/css/smoothness/jquery-ui-1.10.1.custom.min.css" rel="stylesheet" media="screen"> <link href="/static/styles.css?v=20241024" rel="stylesheet" media="screen,print"> <link href="https://static.zbmath.org/zbMathJax/v0.1.38/zbmathjax.css" rel="stylesheet" media="screen,print"> <link rel="shortcut icon" href="/static/zbmath.ico"> <script type="application/ld+json"> { "@context": "http://schema.org", "@type": "Organization", "url": "https://zbmath.org/", "logo": "https://zbmath.org/static/zbMATH.png" } </script> </head> <body> <div id="line"></div> <span id="clear" style="cursor: pointer;">×</span> <div id="page"> <div id="head"> <nav id="menu" class="navbar navbar-default"> <div class="container-fluid"> <div class="navbar-header"> <button type="button" class="navbar-toggle collapsed" data-toggle="collapse" data-target="#zbnav" aria-expanded="false"> <span class="sr-only">Toggle navigation</span> <span class="icon-bar"></span> <span class="icon-bar"></span> <span class="icon-bar"></span> </button> <a class="navbar-brand" href="#"> <img class="logo" src="/static/zbmath.gif" alt="zbMATH Open logo"> </a> </div> <div id="zbnav" class="collapse navbar-collapse"> <ul class="nav navbar-nav pages"> <li class="about"> <a href="/about/">About</a> </li> <li class="frequently-asked-questions"> <a href="/frequently-asked-questions/">FAQ</a> </li> <li class="general-help"> <a href="/general-help/">General Help</a> </li> <li class="reviewer-service"> <a href="https://zbmath.org/reviewer-service/" target="_self" >Reviewer Service</a> </li> <li> <a href="/tools-and-resources/">Tools & Resources</a> </li> <li class="contact"> <a href="/contact/">Contact</a> </li> </ul> <ul class="nav navbar-nav navbar-right prefs"> <li class="preferences dropdown"> <a data-toggle="dropdown" href="#">Preferences <i class="caret"></i></a> <ul class="dropdown-menu preferences"> <li> <form id="preferences" class="navbar-form" method="post" action="/preferences/" onsubmit="return confirm('This website uses cookies for the purposes of storing preference information on your device. 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(Eindeutige analytische Funktionen.)</strong> <i>(German)</i> <a class="label nowrap" href="/62.0315.02">JFM 62.0315.02</a> </h2> <div class="source"> VIII + 353 S. Berlin, J. Springer (Die <a href="/serials/3921" title="Series Profile">Grundlehren der mathematischen Wissenschaften</a> in Einzeldarstellungen, Bd. 46) (1936). </div> <div class="abstract">Das <span class="zbmathjax-textit">Nevanlinna</span>sche Werk gibt eine, von neuem Standpunkte aus einheitlich aufgebaute zusammenfassende Darstellung eines weiten Gebietes der Funktionentheorie, welches seit dem Eingreifen des Verf. – also seit etwa 15 Jahren – eine an Hauptpunkten durch seine eigenen Gedanken und Erfolge gef枚rderte rasche und ungemein fruchtbare Entwicklung erfahren hat. Einerseits handelt es sich (dem Stoffe nach) um die Wertverteilungslehre, der im wesentlichen die zweite H盲lfte des Buches gewidmet ist, andererseits aber um die Grenzgebiete von Potential- und Funktionentheorie, die wir hier als Theorie des harmonischen Ma脽es zusammenfassend bezeichnen wollen. Diese Theorie verspricht vom methodischen Standpunkte aus (wie die Arbeiten zahlreicher Verf. aus j眉ngster Zeit erkennen lassen) noch vielseitige Anwendungsm枚glichkeiten zur Vereinheitlichung, Versch盲rfung und Fortf眉hrung funktionentheoretischer Untersuchungen. Der Verf. gibt hier ihre erste eingehende und planm盲脽ig vollst盲ndige Darstellung. Er selbst hat ihre Grundgedanken seit seinen ersten Arbeiten im Auge gehabt und zielbewu脽t ausgebaut; aber auch viele andere Forscher haben wesentliche Gedanken – oft in Arbeiten 眉ber Einzelfragen speziell gefa脽t – dazu beigetragen.<br class="zbmathjax-paragraph">Die harmonische Ma脽theorie dient in zahlreichen Wertverteilungsfragen als methodisches Hilfsmittel; sie ist darum vorweggenommen und in der ersten H盲lfte des Werkes entwickelt. Hier findet man aber auch eine Theorie des <span class="zbmathjax-textit">Dirichlet</span>schen Problems f眉r allgemeinste schlichte Gebiete, welche die Ergebnisse der Methoden von <span class="zbmathjax-textit">Wiener</span> und <span class="zbmathjax-textit">de la Vall茅e Poussin</span> hier auf einem neuen Wege, mit Methoden der konformen Abbildung, auf den Fall des Problems f眉r den Einheitskreis zur眉ckf眉hrt; das Entscheidende ist dabei eine hier erstmalig entwickelte Theorie der R盲nderzuordnung f眉r Gebiete von beliebigem Zusammenhang bzw. beliebigem Rand, f眉r den Fall der Abbildung ihrer universellen, regul盲r verzweigten 脺berlagerungsfl盲che in den Einheitskreis.<br class="zbmathjax-paragraph">Von der Wertverteilungslehre gibt der Verf. eine -gegen眉ber seiner fr眉heren Darstellung (Le th茅or猫me de Picard-Borei et la th茅orie des fonctions m茅romorphes, 1929; F. d. M. $55_{\text{II}}$, 773-775) sehr stark ver盲nderte Form; zahlreiche Fortschritte von ihm und seinen Sch眉lern erlaubten in wesentlichen Punkten vertiefte Einsichten.<br class="zbmathjax-paragraph">Der erste Teil des Werkes entwickelt die Theorie des harmonischen Ma脽es als eine funktionentheoretische Methodenlehre von gr枚脽ter Tragweite: Ein (beliebig zusammenh盲ngendes) Gebiet $G$ habe den Rand $\varGamma$; $\gamma$ sei eine Teilmenge des Randes, $z$ ein innerer Punkt; unter dem <span class="zbmathjax-textit">harmonischen Ma脽</span> $\omega (z, \gamma, G)$ von $\gamma$ in bezug auf das Gebiet $G$ und im Punkte $z$ versteht man dann den Wert jener in $G$ beschr盲nkten harmonischen Funktion, welche in den Punkten von $\gamma$ die Randwerte 1, in denen von $\varGamma - \gamma$ die Randwerte 0 besitzt. Um diese Funktion herzustellen, wird $G$ bzw. bei mehrfachem Zusammenhang von $G$ dessen einfachzusammenh盲ngende universelle 脺berlagerungsfl盲che $\overline{G}$ schlicht in den Einheitskreis $E$ abgebildet, wobei $\gamma$ bzw. der 眉ber $\gamma$ liegenden Randmannigfaltigkeit $\overline{\gamma}$ von $\overline{G}$ eine gewisse Randpunktmenge $\gamma^\prime$ von $E$ entspricht, wo die Randwerte 1 vorgeschrieben sind. Dann wird die Konstruktion der beschr盲nkten harmonischen Funktion in $E$ mittels des <span class="zbmathjax-textit">Poisson</span>schen Integrals m枚glich, sofern $\gamma^\prime$ im <span class="zbmathjax-textit">Lebesgue</span>schen Sinne me脽bar ist; $\gamma$ hei脽t dann <span class="zbmathjax-textit">harmonisch me脽bar</span>. Offenbar wird an dieser Stelle die oben schon erw盲hnte Theorie der R盲nderzuordnung entscheidend wichtig; auf entsprechendem Wege gelingt die L枚sung auch des allgemeineren <span class="zbmathjax-textit">Dirichlet</span>schen Problems.<br class="zbmathjax-paragraph">Das harmonische Ma脽 ist nach dieser Definition gegen eineindeutige konforme Abbildung invariant (daher sprechen andere Autoren auch von konformem Ma脽 (<span class="zbmathjax-textit">Ostrowski</span>) oder funktionentheoretischem Ma脽 (<span class="zbmathjax-textit">H枚ssjer</span>); <span class="zbmathjax-textit">Beurling</span> bezeichnet den Begriff als masse angulaire). Es erf盲hrt jeoch bei eindeutigen, aber nicht umkehrbar eindeutigen (sogenannten mehrwertigen) Abbildungen i. a. eine Vergr枚脽erung. Der Kernpunkt f眉r die Anwendungen des harmonischen Ma脽es ist das <span class="zbmathjax-textit">Prinzip vom harmonischen Ma脽</span>, welches diesen Sachverhalt scharf und in gro脽er Allgemeinheit erfa脽t (S. 38).<br class="zbmathjax-paragraph">Schon auf dieser Stufe ergeben sich Anwendungen, die zu wichtigen klassischen S盲tzen der Funktionentheorie f眉hren und sie aus einer und derselben Wurzel herzuleiten erlauben: Zweikonstantensatz, Dreikreisesatz, Satz von <span class="zbmathjax-textit">Phragm茅n-Lindel枚f</span>, die Versch盲rfungen des <span class="zbmathjax-textit">Schwarz</span>schen Lemmas und der S盲tze von <span class="zbmathjax-textit">L枚wner</span> und <span class="zbmathjax-textit">Julia</span> – wo nichteuklidische Sprechweise mit Hilfe eines Begriffes “Hyperbolisches Ma脽” sowohl zur Kl盲rung als auch zu weiter Verallgemeinerung f眉hrt. Endlich ergeben sich hier die S盲tze von <span class="zbmathjax-textit">Landau</span> und <span class="zbmathjax-textit">Schottky</span> sowie die klassischen Aussagen von <span class="zbmathjax-textit">Lindel枚f</span> 眉ber Verbundenheit und Getrenntheit von Zielwegen mit numerisch gleichen Zielwerten bei Ann盲herung an eine isolierte wesentliche Singularit盲t.<br class="zbmathjax-paragraph">Eine wesentliche Vertiefung gelingt dann auf Grund allgemeiner Methoden zur Absch盲tzung des harmonischen Ma脽es einerseits auf Grund des <span class="zbmathjax-textit">Carleman</span>schen Prinzips von der Gebietserweiterung und der Zur眉ckf眉hrung auf besondere Konfigurationen – hierher geh枚rt als Hilfsmittel der <span class="zbmathjax-textit">Ahlfors</span>sche Randverzerrungssatz und als Anwendung der <span class="zbmathjax-textit">Koebe</span>sche Innenverzerrungssatz; es mu脽 betont werden, da脽 dieser – einschlie脽lich des genauen Wertes der <span class="zbmathjax-textit">Koebe</span>schen Konstanten – hier erstmalig aus dem <span class="zbmathjax-textit">Ahlfors</span>schen Satze gewonnen werden kann. Andererseits k枚nnen gewisse allgemein g眉ltige Minoranten des harmonischen Ma脽es gewonnen werden, wie sie als bekanntestes Beispiel der <span class="zbmathjax-textit">Milloux</span>sche Satz liefert (vgl. hierzu auch <span class="zbmathjax-textit">Beurling</span>, Etudes sur un probl猫me de majoration, 1933; F. d. M. $59_{\text{II}}$, 1042).<br class="zbmathjax-paragraph">Der f眉nfte Abschnitt des Werkes behandelt die Theorie der Mengen vom harmonischen Ma脽 Null, aus denen als wichtigste Unterklasse die <span class="zbmathjax-textit">Mengen vom absoluten harmonischen Ma脽 Null</span> herausgehoben werden: Das sind Mengen, welche in bezug auf alle Gebiete (in gewissem Sinne), zu deren Rand sie geh枚ren, das harmonische Ma脽 Null zeigen (kurz: <span class="zbmathjax-textit">harmonische Nullmengen</span>). Es zeigt sich, da脽 das dieselben Mengen sind, welche auch in der <span class="zbmathjax-textit">Wiener-de-la-Vall茅e-Poussin</span>schen Theorie des <span class="zbmathjax-textit">Dirichlet</span>schen Problems als Mengen von der <span class="zbmathjax-textit">Kapazit盲t Null</span> und in den Untersuchungen von <span class="zbmathjax-textit">Fekete, P贸lya</span> und <span class="zbmathjax-textit">Szeg枚</span> als Mengen vom <span class="zbmathjax-textit">transfiniten Durchmesser Null</span> erscheinen. Diese Mengenklasse ergibt sich in zahlreichen funktionentheoretischen S盲tzen als die in der Natur der Dinge begr眉ndete genaue Ausnahmemenge und verleiht den Aussagen eine endg眉ltige, scharfe Gestalt. 脛ltere Formulierungen mittels anderer Ma脽bestimmungen, wie des linearen, fl盲chenhaften, $\delta$-dimensionalen, logarithmischen oder noch allgemeiner mittels des $h(t)$-Ma脽es erweisen sich in diesem Zusammenhang nur als vorl盲ufige, wenn auch sehr wichtige Absch盲tzungen; der Zusammenhang zwischen ihnen und dem harmonischen Ma脽 wird hier eingehend untersucht, aber das Problem ist bisher noch nicht zu voller Zufriedenheit l枚sbar gewesen. In diesem Sinne sind als Anhaltspunkte f眉r die weitere Forschung spezielle Untersuchungen 眉ber die genannten Ma脽begriffe und das harmonische Ma脽 bei <span class="zbmathjax-textit">Cantor</span>schen Mengen zu nennen.<br class="zbmathjax-paragraph">Von der <span class="zbmathjax-textit">Wertverteilungslehre</span> gibt der Verf. eine – gegen眉ber allen fr眉heren Darstellungen (auch seiner eigenen, 1929, a. a. O. ) -wesentlich abweichende Gestalt. Zwar sind die Haupts盲tze dieselben geblieben, aber im 眉brigen haben vertiefte Einsichten in das Wesen der auftretenden Hilfsgr枚脽en und der Methoden Ver盲nderungen von Grund auf mit sich gebracht. Dazu tritt noch die Untersuchung der <span class="zbmathjax-textit">Riemannschen Fl盲chen</span>, welche von eindeutigen Funktionen $f(z) = w$ 眉ber der $w$-Ebene <span class="zbmathjax-textit">erzeugt</span> werden; diese Untersuchung – im Falle gebrochener Transzendenten 1914 von <span class="zbmathjax-textit">Iversen</span> zuerst streng und planm盲脽ig begonnen, und im Buche von 1929 nur angedeutet – hat jetzt dazu gef眉hrt, die <span class="zbmathjax-textit">Riemann</span>schen Fl盲chen in manchem Sinne sogar als Ausgangspunkt der Arbeit zu w盲hlen; so ist neben das analytische Moment der klassischen Theorie der ganzen Funktionen, wie sie die franz枚sische und skandinavische Schule um <span class="zbmathjax-textit">Borel</span> und <span class="zbmathjax-textit">Mittag-Leffler</span> bis etwa 1920 pflegte, ein ganz neues geometrisches Element getreten, das sich als h枚chst fruchtbar erwiesen hat. Seine modernste Gestalt findet man in der <span class="zbmathjax-textit">Ahlforsschen Theorie der 脺berlagerungsfl盲chen</span>, welche erkennen l盲脽t, in wie hohem Ma脽e die Verallgemeinerungen des <span class="zbmathjax-textit">Picard</span>schen Satzes von den engen Schranken konformer Geometrie frei sind und mehr in ein Gebiet topologischer Abbildungen mit bestimmten metrischen Verh盲ltnissen geh枚ren.<br class="zbmathjax-paragraph">Es ist das gro脽e Verdienst <span class="zbmathjax-textit">Nevanlinnas</span>, mit tiefdringendem Scharfblick in den um 1920 bereits erstarrenden Methoden der Theorie der ganzen Transzendenten die naturgem盲脽en Hilfsmittel zu einem Aufbau der Theorie der gebrochenen Transzendenten $f(z) = w$ erkannt zu haben – die es erlauben, den k眉nstlichen Umweg 眉ber die Darstellung als Bruch aus zwei ganzen Funktionen zu meiden; zugleich ergab es sich, da脽 diese Mittel auch bei den ganzen Funktionen selbst wesentlich sch盲rfer waren als das bisherige. Es handelt sich dabei einerseits um die heute als <span class="zbmathjax-textit">Schmiegungsfunktion</span> bezeichnete Bildung $([w, a] = |w - a| : \sqrt{(1 + |w|^2) (1 + |a|^2)}$ ist der Kugelabstand von $w$ und $a$) \[ m(r, a) = \frac{1}{2\pi} \int\limits_0^{2\pi} \log\, \frac{1}{[f(re^{i\varphi}), a]}\,d\varphi, \] anderseits um die <span class="zbmathjax-textit">Charakteristik als Wertverteilungsma脽etab</span>. Man erkl盲rt sie heute durch \[ T(r, f) = \int\limits_0^r t(\varrho, f) \frac{d\varrho}{\varrho}, \] wo $t(r, f)$ den Inhalt des Bildfl盲chenst眉ckes von $|z| \leqq r$ 眉ber der $w$-Ebene in sph盲rischer Ma脽bestimmung bezeichnet; diese Deutung, erst seit 1929 bekannt, fehlte in dem oben genannten Werke noch. Neben diese beiden Gr枚脽en tritt die <span class="zbmathjax-textit">Anzahl</span> $n(r, a)$ der $a$-Stellen von $f(z)$ im Kreise $| z | \leqq r$ bzw. die daraus durch Integration gewonnene <span class="zbmathjax-textit">Anzahlfunktion</span> $N (r, a)$.<br class="zbmathjax-paragraph">Die klassische Theorie der ganzen Funktionen benutzte als Wertverteilungsma脽stab den Logarithmus des Maximalbetrages von $f(z)$ f眉r $|z| \leqq r$, $\log\, M(r)$, und arbeitete im wesentlichen mit dem Vergleich der Wachstumsordnungen der $\log\, M(r)$ und der Anzahlen $n(r, a)$; dadurch kam von au脽en die Vergleichsfunktion als Wachstumsma脽stab herein -und zahlreiche Arbeiten bezogen sich darauf, diese Theorie der Vergleichsfunktionen immer weiter zu treiben.<br class="zbmathjax-paragraph">Statt dessen kann die <span class="zbmathjax-textit">Nevanlinna</span>sche Wertverteilungstheorie unmittelbare Gleichungen bzw. Ungleichungen zwischen den drei Grundfunktionen $m$, $N$, $T$ aufstellen (erster und zweiter Hauptsatz), die ohne alle von au脽en herangetragenen Hilfsmittel die Sachlage zu 眉bersehen gestatten. Den einfachsten Ausdruck f眉r das Wertverteilungsverhalten einer meromorphen Funktion liefert jetzt die <span class="zbmathjax-textit">Defektrelation</span> \[ \varSigma \delta(a) + \varSigma \varepsilon(a) \leqq 2, \] wo \[ \delta(a) = 1 - \varlimsup \frac{N (r, a)}{T(r, f)}, \qquad \varepsilon(a) = \varliminf \frac{N_1(r, a)}{T(r, f)} \] die sogenannten Defekte (Dichteunterschreitungen) bzw. Indizes der algebraischen Verzweigtheit (Dichte der mehrfachen $a$-Stellen) messen. F眉r die Bildung von $N_1(r, a)$ wird jede $\lambda$-fache $a$-Stelle $(\lambda - 1)$-fach gez盲hlt; im 眉brigen ist sie zur Bildung von $N$ analog.<br class="zbmathjax-paragraph">Bei <span class="zbmathjax-textit">gebrochenen</span> Funktionen (meromorph f眉r $| z | < \infty$) liegen die Dinge am einfachsten; $T(r, f)$ w盲chst mindestens so rasch wie $\log\, r$ 眉ber alle Grenzen – bei transzendenten Funktionen sogar notwendig rascher. Bei Funktionen aber, die nur im Einheitskreise meromorph sind (sogenannten <span class="zbmathjax-textit">bruchartigen</span> Funktionen), sind drei F盲lle zu unterscheiden:<br class="zbmathjax-paragraph">(1) <span class="zbmathjax-space"></span>$T(r, f) : \log\,\dfrac{1}{1-r}$ unbeschr盲nkt; dann gilt ein Analogon zum <span class="zbmathjax-textit">Picard</span>schen Satz und zu dessen Versch盲rfungen: Die Schranke in der Defektrelation ist gleich 2.<br class="zbmathjax-paragraph">(2) <span class="zbmathjax-space"></span>$T(r, f) : \log\, \dfrac{1}{1-r}$ bleibt beschr盲nkt; das tritt z. B. bei der Modulfunktion bzw. allen <span class="zbmathjax-textit">Fuchs</span>schen Funktionen ein; die Zahl der Vollausnahmewerte bzw. die Schranke in der Defektrelation kann sich 眉ber 2 erheben.<br class="zbmathjax-paragraph">(3) <span class="zbmathjax-space"></span>$T(r, f)$ selbst bleibt beschr盲nkt (Beschr盲nktartige Funktionen). Dieser Fall verdient besonderes Interesse. Solche Funktionen sind als Quotienten zweier beschr盲nkter Potenzreihen darstellbar; bei ihnen spielt die harmonische Ma脽theorie eine besonders eingehende Rolle; Verf. gibt eine wichtige Integraldarstellung solcher Funktionen und entwickelt den klassischen Satz von <span class="zbmathjax-textit">Fatou</span> sowie die S盲tze von <span class="zbmathjax-textit">Riesz</span> u. a. 眉ber die Randwertmengen; endlich geh枚ren hierher neue und sehr beachtenswerte S盲tze 眉ber die Randpunktmengen schlichter Gebiete. Die erzeugende (eindeutige) Funktion f眉r die universelle, regul盲r verzweigte 脺berlagerungsfl盲che eines schlichten Gebietes von beliebigem Zusammenhang ist dann und nur dann beschr盲nktartig, wenn die Randmenge jenes Gebietes <span class="zbmathjax-textit">positives</span> harmonisches Ma脽 hat.<br class="zbmathjax-paragraph">Im folgenden gibt der Verf. die Kernst眉cke der Wertverteilungslehre gebrochener Funktionen, besonders bei solchen von endlicher Ordnung auch die S盲tze 眉ber die kanonische Produktdarstellung, und die wichtigsten Folgerungen des zweiten Hauptsatzes; f眉r den zweiten Hauptsatz entwickelt er hier auch den methodisch wichtigen neuen Beweis von <span class="zbmathjax-textit">Ahlfors</span>, der auf den <span class="zbmathjax-textit">Frostman</span>schen Gedanken der Massenbelegung zur眉ckgeht.<br class="zbmathjax-paragraph">Der Rest des Buches behandelt die Theorie der <span class="zbmathjax-textit">Riemann</span>schen Fl盲chen, welche von eindeutigen Funktionen, besonders gebrochenen, erzeugt werden, beleuchtet die Wertverteilungss盲tze an ihnen und nimmt sie schlie脽lich zum Ausgangspunkt von Untersuchungen in der entgegengesetzten Richtung: Hier handelt es sich um drei Hauptfragen:<br class="zbmathjax-paragraph">Erstens um das <span class="zbmathjax-textit">Typenproblem der Riemann</span>schen Fl盲chen: Unter welchen Strukturvoraussetzungen kann man bei einer gegebenen offenen und einfach zusammenh盲ngenden Fl盲che entscheiden, ob sie in die endliche Ebene oder in den Einheitskreis abbildbar ist – oder ob sie von einer gebrochenen oder einer bruchartigen Funktion erzeugt wird. Diese Frage steht heute im Brennpunkt des Interesses; neben konformen Methoden geh枚rt hierher die metrisch-topologische <span class="zbmathjax-textit">Ahlfors</span>sche Theorie der 脺berlagerungsfl盲chen.<br class="zbmathjax-paragraph">Zweitens das <span class="zbmathjax-textit">Aufbauproblem</span> der <span class="zbmathjax-textit">Riemann</span>schen Fl盲chen: Aus welchen einfachen Baueigenschaften der Fl盲chen kann man auf wichtige, kennzeichnende Eigenschaften der erzeugenden Funktionen schlie脽en? Hierher geh枚rt z. B. der Satz von <span class="zbmathjax-textit">Carleman-Denjoy-Ahlfors</span> (Randstellensatz), der lehrt: Ist eine Fl盲che grenzpunktartig, d. h. von einer gebrochenen Funktion erzeugt, und enth盲lt sie mindestens $n$ logarithmische Windungspunkte, so ist die erzeugende Funktion mindestens von der Wachstumsordnung $n/2$.<br class="zbmathjax-paragraph">Endlich geh枚rt hierher das <span class="zbmathjax-textit">Umkehrproblem</span> der Wertverteilungslehre, als die Aufgabe, Funktionen mit vorgegebenen Wertverteilungseigenschaften herzustellen; bei dem jetzigen Stande der Theorie sind dabei die <span class="zbmathjax-textit">Riemann</span>schen Fl盲chen der gegebene Ausgangspunkt; hier hat der Verf. durch seine Fl盲chen mit nur endlich vielen (logarithmischen) Windungspunkten vor wenigen Jahren die ersten gro脽en Erfolge errungen; daran schlie脽en sich neuerdings schon eine ganze Reihe von Arbeiten aus seinem Kreise, die sich insbesondere mit Fl盲chen befassen, welche nur 眉ber endlich vielen Grundpunkten verzweigt sind (<span class="zbmathjax-textit">Elfving, Drape, Teichm眉ller, Ullrich</span> und <span class="zbmathjax-textit">Wittich</span>). Hier spielt die Darstellung <span class="zbmathjax-textit">Riemann</span>scher Fl盲chen durch Streckenkomplexe eine besonders handliche Rolle. Man findet die Einleitung zu den Untersuchungen noch im Buche ber眉hrt, indessen sind in den wenigen Monaten seit dem Erscheinen des Werkes gerade an dieser Stelle schon lebhafte und wesentliche Fortschritte erzielt worden.<br class="zbmathjax-paragraph">Die Darstellung in dem <span class="zbmathjax-textit">Nevanlinna</span>schen Werke ist zwar gedr盲ngt und knapp, aber doch gut lesbar; der Leser, der mit Eifer eindringt, wird reichen Genu脽 und gewi脽 auch eigenen Erfolg finden; an vielen Stellen ist auf wichtige offene Fragen hingewiesen. Das Werk ist ein zuverl盲ssiger F眉hrer durch die Forschung, aber auch – soweit das 眉berhaupt m枚glich ist – ein F眉hrer zu <span class="zbmathjax-textit">eigener</span> Forschung. <span class="zbmathjax-space"></span><span class="zbmathjax-space"></span>(IV 4 F, H; 13.)<div class="reviewer"> Reviewer: <a href="/authors/?q=Ullrich+E%2A">Ullrich, E., Prof. (Gie脽en)</a></div> <div class="clearfix"></div></div> <div class="clear"></div> <br> <div class="citations"><div class="clear"><a href="/?q=ci%3A2526051">Cited in <strong>3</strong> Reviews</a></div><div class="clear"><a href="/?q=rf%3A2526051">Cited in <strong>82</strong> Documents</a></div></div> <div class="keywords"> <h3>JFM Section:</h3><a href="/?q=ut%3A%22Erster+Halbband.+Vierter+Abschnitt.+Analysis.+Kapitel+4.+Theorie+der+Funktionen+einer+komplexen+Ver%C3%A4nderlichen.+B.+Allgemeines+%C3%BCber+analytische+Funktionen."">Erster Halbband. Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 4. Theorie der Funktionen einer komplexen Ver盲nderlichen. B. Allgemeines 眉ber analytische Funktionen.</a></div>  <div class="modal fade" id="metadataModal" tabindex="-1" role="dialog" aria-labelledby="myModalLabel"> <div class="modal-dialog" role="document"> <div class="modal-content"> <div class="modal-header"> <button type="button" class="close" data-dismiss="modal" aria-label="Close"><span aria-hidden="true">×</span></button> <h4 class="modal-title" id="myModalLabel">Cite</h4> </div> <div class="modal-body"> <div class="form-group"> <label for="select-output" class="control-label">Format</label> <select id="select-output" class="form-control" aria-label="Select Metadata format"></select> </div> <div class="form-group"> <label for="metadataText" class="control-label">Result</label> <textarea class="form-control" id="metadataText" rows="10" style="min-width: 100%;max-width: 100%"></textarea> </div> <div id="metadata-alert" class="alert alert-danger" role="alert" style="display: none;">  </div> </div> <div class="modal-footer"> <button type="button" class="btn btn-primary" onclick="copyMetadata()">Copy to clipboard</button> <button type="button" class="btn btn-default" data-dismiss="modal">Close</button> </div> </div> </div> </div> <div class="functions clearfix"> <div class="function">  <a type="button" class="btn btn-default btn-xs pdf" data-toggle="modal" data-target="#metadataModal" data-itemtype="JFM" data-itemname="JFM 62.0315.02" data-ciurl="" data-biburl="/bibtex/02526051.bib" data-amsurl="/amsrefs/02526051.bib" data-xmlurl="/xml/02526051.xml" > Cite </a> <a class="btn btn-default btn-xs pdf" data-container="body" type="button" href="/pdf/02526051.pdf" title="JFM 62.0315.02 as PDF">Review PDF</a> </div> <div class="fulltexts"> <span class="fulltext">Full Text:</span> <a class="btn btn-default btn-xs" type="button" href="https://eudml.org/doc/203720" title="Open Access at EuDML">EuDML</a> </div> <div class="sfx" style="float: right;"> </div> </div> </article> </div></div> </div> </div> <div class="clearfix"></div> </div> </div> <div id="foot"><div class="copyright"> © 2025 <a target="fiz" href="https://www.fiz-karlsruhe.de/en">FIZ Karlsruhe GmbH</a> <a href="/privacy-policy/">Privacy Policy</a> <a href="/legal-notices/">Legal Notices</a> <a href="/terms-conditions/">Terms & Conditions</a> <div class="info"> <ul class="nav"> <li class="mastodon"> <a href="https://mathstodon.xyz/@zbMATH" target="_blank" class="no-new-tab-icon"> <img src="/static/mastodon.png" title="zbMATH at Mathstodon (opens in new tab)" alt="Mastodon logo"> </a> </li> </ul> </div> </div> <div class="clearfix" style="height: 0px;"></div> </div> </div> <script src="https://static.zbmath.org/contrib/jquery/1.9.1/jquery.min.js"></script> <script src="https://static.zbmath.org/contrib/jquery-caret/1.5.2/jquery.caret.min.js"></script> <script src="/static/js/jquery-ui-1.10.1.custom.min.js"></script> <script src="https://static.zbmath.org/contrib/bootstrap/v3.3.7zb1/js/bootstrap.min.js"></script> <script src="https://static.zbmath.org/contrib/bootstrap-lightbox/v0.7.0/bootstrap-lightbox.min.js"></script> <script src="https://static.zbmath.org/contrib/retina/unknown/retina.js"></script> <script src="https://static.zbmath.org/contrib/bootstrap-select/v1.13.14/js/bootstrap-select.min.js"></script> <script> var SCRIPT_ROOT = ""; </script> <script src="/static/scripts.js?v=20240926"> </script> <script src="https://static.zbmath.org/contrib/mathjax/2.7.1/MathJax.js?config=TeX-AMS-MML_HTMLorMML"></script> <script type="text/x-mathjax-config"> MathJax.Hub.Config({ "HTML-CSS": { preferredFont: "TeX", availableFonts: [ "STIX", "TeX" ], linebreaks: { automatic: true }, EqnChunk: (MathJax.Hub.Browser.isMobile ? 10 : 50) }, tex2jax: { processEscapes: true, ignoreClass: "tex2jax_ignore|dno" }, TeX: { Macros: { Aut: "\\operatorname{Aut}", Hom: "\\operatorname{Hom}" }, noUndefined: { attributes: { mathcolor: "#039", //"red", mathbackground: "white", //"#FFEEEE", mathsize: "90%" } } }, messageStyle: "none" }); </script> <script type="text/javascript"> $(document).ready(function() { $("#MathInput").stop(true, true).keyup(function() { $.ajax({ url: "/mwsq/", type: "POST", data: { query : $("#MathInput").val() }, dataType: "text" }) .done(function(xml) { $("#MathPreview").html(xml); $(window).resize(); }); }); var press = jQuery.Event("keyup"); press.ctrlKey = false; press.which = 40; $("#MathInput").trigger(press); }); </script> <div id="new_tab_icon" style="display: none"> <span class="glyphicon glyphicon-new-window" aria-hidden="true"></span><span class="sr-only">(opens in new tab)</span></div> </body> </html>

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