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<!DOCTYPE html> <html lang="en"> <head> <meta content="text/html; charset=utf-8" http-equiv="content-type"/> <title>Gridless Chirp Parameter Retrieval via Constrained Two-Dimensional Atomic Norm Minimization D. Yang and F. Xi contributed equally to this work. D. Yang was supported in part by the Research Development Fund (RDF-23-02-080) from Xi’an Jiaotong-Liverpool University. F. Xi was supported in part by the National Natural Science Foundation of China under grant No. 62471230.</title>  <meta content="width=device-width, initial-scale=1, shrink-to-fit=no" name="viewport"/> <link href="https://cdn.jsdelivr.net/npm/bootstrap@5.3.0/dist/css/bootstrap.min.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <link href="/static/browse/0.3.4/css/ar5iv.0.7.9.min.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <link href="/static/browse/0.3.4/css/ar5iv-fonts.0.7.9.min.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <link href="/static/browse/0.3.4/css/latexml_styles.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <script src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/bootstrap@5.3.0/dist/js/bootstrap.bundle.min.js"></script> <script src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/html2canvas/1.3.3/html2canvas.min.js"></script> <script src="/static/browse/0.3.4/js/addons_new.js"></script> <script src="/static/browse/0.3.4/js/feedbackOverlay.js"></script> <meta content=" chirp signal, atomic norm, basis mismatch, continuous-valued parameters. " lang="en" name="keywords"/> <base href="/html/2503.15164v1/"/></head> <body> <nav class="ltx_page_navbar"> <nav class="ltx_TOC"> <ol class="ltx_toclist"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15164v1#S1" title="In Gridless Chirp Parameter Retrieval via Constrained Two-Dimensional Atomic Norm Minimization D. Yang and F. Xi contributed equally to this work. D. Yang was supported in part by the Research Development Fund (RDF-23-02-080) from Xi’an Jiaotong-Liverpool University. F. Xi was supported in part by the National Natural Science Foundation of China under grant No. 62471230."><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">I </span><span class="ltx_text ltx_font_smallcaps">Introduction</span></span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_section"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15164v1#S1.SS1" title="In I Introduction ‣ Gridless Chirp Parameter Retrieval via Constrained Two-Dimensional Atomic Norm Minimization D. Yang and F. Xi contributed equally to this work. D. Yang was supported in part by the Research Development Fund (RDF-23-02-080) from Xi’an Jiaotong-Liverpool University. F. Xi was supported in part by the National Natural Science Foundation of China under grant No. 62471230."><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref"><span class="ltx_text">I-A</span> </span><span class="ltx_text ltx_font_italic">Motivation</span></span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15164v1#S1.SS2" title="In I Introduction ‣ Gridless Chirp Parameter Retrieval via Constrained Two-Dimensional Atomic Norm Minimization D. Yang and F. Xi contributed equally to this work. D. Yang was supported in part by the Research Development Fund (RDF-23-02-080) from Xi’an Jiaotong-Liverpool University. F. Xi was supported in part by the National Natural Science Foundation of China under grant No. 62471230."><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref"><span class="ltx_text">I-B</span> </span><span class="ltx_text ltx_font_italic">Related Work and Contributions</span></span></a></li> </ol> </li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15164v1#S2" title="In Gridless Chirp Parameter Retrieval via Constrained Two-Dimensional Atomic Norm Minimization D. Yang and F. Xi contributed equally to this work. D. Yang was supported in part by the Research Development Fund (RDF-23-02-080) from Xi’an Jiaotong-Liverpool University. F. Xi was supported in part by the National Natural Science Foundation of China under grant No. 62471230."><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">II </span><span class="ltx_text ltx_font_smallcaps">Signal Model and Problem Formulation</span></span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_section"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15164v1#S2.SS1" title="In II Signal Model and Problem Formulation ‣ Gridless Chirp Parameter Retrieval via Constrained Two-Dimensional Atomic Norm Minimization D. Yang and F. Xi contributed equally to this work. D. Yang was supported in part by the Research Development Fund (RDF-23-02-080) from Xi’an Jiaotong-Liverpool University. F. Xi was supported in part by the National Natural Science Foundation of China under grant No. 62471230."><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref"><span class="ltx_text">II-A</span> </span><span class="ltx_text ltx_font_italic">Signal Model</span></span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15164v1#S2.SS2" title="In II Signal Model and Problem Formulation ‣ Gridless Chirp Parameter Retrieval via Constrained Two-Dimensional Atomic Norm Minimization D. Yang and F. Xi contributed equally to this work. D. Yang was supported in part by the Research Development Fund (RDF-23-02-080) from Xi’an Jiaotong-Liverpool University. F. Xi was supported in part by the National Natural Science Foundation of China under grant No. 62471230."><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref"><span class="ltx_text">II-B</span> </span><span class="ltx_text ltx_font_italic">Problem Formulation</span></span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15164v1#S2.SS3" title="In II Signal Model and Problem Formulation ‣ Gridless Chirp Parameter Retrieval via Constrained Two-Dimensional Atomic Norm Minimization D. Yang and F. Xi contributed equally to this work. D. Yang was supported in part by the Research Development Fund (RDF-23-02-080) from Xi’an Jiaotong-Liverpool University. F. Xi was supported in part by the National Natural Science Foundation of China under grant No. 62471230."><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref"><span class="ltx_text">II-C</span> </span><span class="ltx_text ltx_font_italic">Identifiability and Aliasing</span></span></a></li> </ol> </li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15164v1#S3" title="In Gridless Chirp Parameter Retrieval via Constrained Two-Dimensional Atomic Norm Minimization D. Yang and F. Xi contributed equally to this work. D. Yang was supported in part by the Research Development Fund (RDF-23-02-080) from Xi’an Jiaotong-Liverpool University. F. Xi was supported in part by the National Natural Science Foundation of China under grant No. 62471230."><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">III </span><span class="ltx_text ltx_font_smallcaps">Constrained Two-Dimensional Atomic <span class="ltx_text"> </span>Norm Minimization</span></span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_section"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15164v1#S3.SS1" title="In III Constrained Two-Dimensional Atomic Norm Minimization ‣ Gridless Chirp Parameter Retrieval via Constrained Two-Dimensional Atomic Norm Minimization D. Yang and F. Xi contributed equally to this work. D. Yang was supported in part by the Research Development Fund (RDF-23-02-080) from Xi’an Jiaotong-Liverpool University. F. Xi was supported in part by the National Natural Science Foundation of China under grant No. 62471230."><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref"><span class="ltx_text">III-A</span> </span><span class="ltx_text ltx_font_italic">Constrained Atomic Norm Minimization and Its SDP Representation</span></span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15164v1#S3.SS2" title="In III Constrained Two-Dimensional Atomic Norm Minimization ‣ Gridless Chirp Parameter Retrieval via Constrained Two-Dimensional Atomic Norm Minimization D. Yang and F. Xi contributed equally to this work. D. Yang was supported in part by the Research Development Fund (RDF-23-02-080) from Xi’an Jiaotong-Liverpool University. F. Xi was supported in part by the National Natural Science Foundation of China under grant No. 62471230."><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref"><span class="ltx_text">III-B</span> </span><span class="ltx_text ltx_font_italic">Dual Atomic Norm and Dual Certificate</span></span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15164v1#S3.SS3" title="In III Constrained Two-Dimensional Atomic Norm Minimization ‣ Gridless Chirp Parameter Retrieval via Constrained Two-Dimensional Atomic Norm Minimization D. Yang and F. Xi contributed equally to this work. D. Yang was supported in part by the Research Development Fund (RDF-23-02-080) from Xi’an Jiaotong-Liverpool University. F. Xi was supported in part by the National Natural Science Foundation of China under grant No. 62471230."><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref"><span class="ltx_text">III-C</span> </span><span class="ltx_text ltx_font_italic">Decoupled Two-Dimensional Atomic Norm Minimization</span></span></a></li> </ol> </li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15164v1#S4" title="In Gridless Chirp Parameter Retrieval via Constrained Two-Dimensional Atomic Norm Minimization D. Yang and F. Xi contributed equally to this work. D. Yang was supported in part by the Research Development Fund (RDF-23-02-080) from Xi’an Jiaotong-Liverpool University. F. Xi was supported in part by the National Natural Science Foundation of China under grant No. 62471230."><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">IV </span><span class="ltx_text ltx_font_smallcaps">Numerical Experiments</span></span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15164v1#S5" title="In Gridless Chirp Parameter Retrieval via Constrained Two-Dimensional Atomic Norm Minimization D. Yang and F. Xi contributed equally to this work. D. Yang was supported in part by the Research Development Fund (RDF-23-02-080) from Xi’an Jiaotong-Liverpool University. F. Xi was supported in part by the National Natural Science Foundation of China under grant No. 62471230."><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">V </span><span class="ltx_text ltx_font_smallcaps">Conclusion</span></span></a></li> </ol></nav> </nav> <div class="ltx_page_main"> <div class="ltx_page_content"> <article class="ltx_document ltx_authors_1line"> <h1 class="ltx_title ltx_title_document">Gridless Chirp Parameter Retrieval via Constrained Two-Dimensional Atomic Norm Minimization <br class="ltx_break"/><span class="ltx_note ltx_role_thanks" id="id1.id1"><sup class="ltx_note_mark">†</sup><span class="ltx_note_outer"><span class="ltx_note_content"><sup class="ltx_note_mark">†</sup><span class="ltx_note_type">thanks: </span>D. Yang and F. Xi contributed equally to this work. D. Yang was supported in part by the Research Development Fund (RDF-23-02-080) from Xi’an Jiaotong-Liverpool University. F. Xi was supported in part by the National Natural Science Foundation of China under grant No. 62471230.</span></span></span> </h1> <div class="ltx_authors"> <span class="ltx_creator ltx_role_author"> <span class="ltx_personname">Dehui Yang </span><span class="ltx_author_notes"> <span class="ltx_contact ltx_role_affiliation"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="id2.1.id1">School of Mathematics and Physics</span> <br class="ltx_break"/><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="id3.2.id2">Xi’an Jiaotong-Liverpool University <br class="ltx_break"/></span>Suzhou, China 215123 <br class="ltx_break"/>Email: dehui.yang@xjtlu.edu.cn </span></span></span> <span class="ltx_author_before"> </span><span class="ltx_creator ltx_role_author"> <span class="ltx_personname">Feng Xi </span><span class="ltx_author_notes"> <span class="ltx_contact ltx_role_affiliation"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="id4.1.id1">Department of Electronic Engineering</span> <br class="ltx_break"/><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="id5.2.id2">Nanjing University of Science and Technology <br class="ltx_break"/></span>Nanjing, China 210094 <br class="ltx_break"/>Email: xifeng@njust.edu.cn </span></span></span> </div> <div class="ltx_abstract"> <h6 class="ltx_title ltx_title_abstract">Abstract</h6> <p class="ltx_p" id="id6.id1">This paper is concerned with the fundamental problem of estimating chirp parameters from a mixture of linear chirp signals. Unlike most previous methods, which solve the problem by discretizing the parameter space and then estimating the chirp parameters, we propose a gridless approach by reformulating the inverse problem as a constrained two-dimensional atomic norm minimization from structured measurements. This reformulation enables the direct estimation of continuous-valued parameters without discretization, thereby resolving the issue of basis mismatch. An approximate semidefinite programming (SDP) is employed to solve the proposed convex program. Additionally, a dual polynomial is constructed to certify the optimality of the atomic decomposition. Numerical simulations demonstrate that exact recovery of chirp parameters is achievable using the proposed atomic norm minimization.</p> </div> <div class="ltx_keywords"> <h6 class="ltx_title ltx_title_keywords">Index Terms: </h6> chirp signal, atomic norm, basis mismatch, continuous-valued parameters. </div> <section class="ltx_section" id="S1"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">I </span><span class="ltx_text ltx_font_smallcaps" id="S1.1.1">Introduction</span> </h2> <section class="ltx_subsection" id="S1.SS1"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection"><span class="ltx_text" id="S1.SS1.4.1.1">I-A</span> </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S1.SS1.5.2">Motivation</span> </h3> <div class="ltx_para" id="S1.SS1.p1"> <p class="ltx_p" id="S1.SS1.p1.1">Chirp signals naturally arise in a variety of applications in signal processing, such as radar, sonar, wireless communications, speech, and laser systems. They are commonly used to model non-stationary signals, where the frequency content varies over time. For instance, in wireless communications, a well-known technique called chirp spread spectrum employs wideband linear frequency modulated chirps to encode information <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15164v1#bib.bib1" title="">1</a>]</cite>. Spectrum analysis in this case involves estimating the unknown initial frequency and frequency rate parameters from sampled measurement data. In radar applications, chirps are used to estimate the trajectories of moving objects, making the estimation of these unknown parameters crucial for tracking and localization of targets <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15164v1#bib.bib2" title="">2</a>]</cite>. Another example arises in musical audio, such as vibrato of a singing voice and attack of a plucked string, where the signal often exhibits time-varying features and can be modeled as linear chirp sinusoids <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15164v1#bib.bib3" title="">3</a>]</cite>. Estimating the parameters of chirp sinusoids from noisy data can significantly enhance the quality of signal re-synthesis.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.SS1.p2"> <p class="ltx_p" id="S1.SS1.p2.1">In this paper, we focus on a specific class of chirp signals: linear chirps. Linear chirps are a subset of a broader class of signals with polynomial phases. Specifically, a linear chirp is a polynomial phase signal of degree two, parameterized by its initial frequency and linear frequency rate, in addition to the unknown amplitude. Our goal is to estimate the number of linear chirp components, as well as each component’s amplitude, initial frequency, and frequency rate, from discrete-time samples of their mixtures.</p> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="S1.SS2"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection"><span class="ltx_text" id="S1.SS2.4.1.1">I-B</span> </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S1.SS2.5.2">Related Work and Contributions</span> </h3> <div class="ltx_para" id="S1.SS2.p1"> <p class="ltx_p" id="S1.SS2.p1.1">Various algorithms have been developed over the past decades for the effective estimation of chirp parameters in the literature. Here, we review the methods most related to our work. In <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15164v1#bib.bib4" title="">4</a>]</cite>, a method based on time-domain maximum likelihood estimation is introduced for the single linear chirp case. In <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15164v1#bib.bib5" title="">5</a>]</cite>, the maximum likelihood estimation-based approach is used to estimate the fundamental initial frequency and frequency rate of linear chirp signals with harmonic components and random amplitudes. In <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15164v1#bib.bib6" title="">6</a>]</cite>, a subspace-based approach that exploits the structure of the sample covariance matrix is introduced, and a rank reduction technique is developed to estimate the chirp parameters. Another line of related work has exploited sparse recovery techniques for parameter estimation of chirp signals <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15164v1#bib.bib7" title="">7</a>]</cite>. However, this approach relies on discretization and thus suffers from the risk of basis mismatch, a common issue in the estimation of continuous-valued parameters. More recently, <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15164v1#bib.bib8" title="">8</a>]</cite> proposes an atomic norm minimization approach for sparse time-frequency representation, which can be used for gridless chirp parameter estimation. However, their approach does not exploit the inherent structure of linear chirps and does not directly estimate the chirp parameters.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.SS2.p2"> <p class="ltx_p" id="S1.SS2.p2.1">The main contribution of this work is the formulation of the gridless chirp parameter retrieval problem as sparse recovery from structured measurements using two-dimensional atomic norm minimization. To address the inherent ambiguity and ill-posed nature of the inverse problem, a constraint on the chirp frequency rate parameter is introduced. An approximate SDP formulation is then derived as a computationally feasible solver for the proposed atomic norm minimization. Furthermore, we provide a dual certificate condition to certify the optimal atomic decomposition by constructing a dual polynomial. Due to the high computational complexity of the proposed SDP, a faster alternative based on a decoupled two-dimensional SDP is designed for the numerical experiments. Numerical simulations demonstrate that the proposed method is effective for estimating the chirp frequency and frequency rate from measurement data.</p> </div> </section> </section> <section class="ltx_section" id="S2"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">II </span><span class="ltx_text ltx_font_smallcaps" id="S2.1.1">Signal Model and Problem Formulation</span> </h2> <section class="ltx_subsection" id="S2.SS1"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection"><span class="ltx_text" id="S2.SS1.4.1.1">II-A</span> </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.SS1.5.2">Signal Model</span> </h3> <div class="ltx_para" id="S2.SS1.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p1.1">Consider a mixture of <math alttext="K" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.1.m1.1"><semantics id="S2.SS1.p1.1.m1.1a"><mi id="S2.SS1.p1.1.m1.1.1" xref="S2.SS1.p1.1.m1.1.1.cmml">K</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.1.m1.1b"><ci id="S2.SS1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.1.m1.1.1">𝐾</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.1.m1.1c">K</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.1.m1.1d">italic_K</annotation></semantics></math> linear chirp signals</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E1"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\boldsymbol{x}(n)=\sum_{k=1}^{K}c_{k}e^{j2\pi(f_{k}+\theta_{k}n)n},~{}~{}n=0,% \cdots,N-1," class="ltx_Math" display="block" id="S2.E1.m1.5"><semantics id="S2.E1.m1.5a"><mrow id="S2.E1.m1.5.5.1"><mrow id="S2.E1.m1.5.5.1.1.2" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.E1.m1.5.5.1.1.1.1" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E1.m1.5.5.1.1.1.1.2" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.E1.m1.5.5.1.1.1.1.2.2" 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id="S2.E1.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.2" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.2.2.1.2.cmml">,</mo><mi id="S2.E1.m1.4.4" mathvariant="normal" xref="S2.E1.m1.4.4.cmml">⋯</mi><mo id="S2.E1.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.3" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.2.2.1.2.cmml">,</mo><mrow id="S2.E1.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E1.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.2" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml">N</mi><mo id="S2.E1.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S2.E1.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.3" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E1.m1.5.5.1.2">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E1.m1.5b"><apply id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E1.m1.5.5.1.1.3a.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S2.E1.m1.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.1.1"><eq id="S2.E1.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml" 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id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝜃</ci><ci id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑘</ci></apply><ci id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑛</ci></apply></apply><ci id="S2.E1.m1.1.1.1.6.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.6">𝑛</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.E1.m1.5.5.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.2.2"><eq id="S2.E1.m1.5.5.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.2.2.2"></eq><ci id="S2.E1.m1.5.5.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.2.2.3">𝑛</ci><list id="S2.E1.m1.5.5.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.2.2.1.1"><cn id="S2.E1.m1.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E1.m1.3.3">0</cn><ci id="S2.E1.m1.4.4.cmml" xref="S2.E1.m1.4.4">⋯</ci><apply id="S2.E1.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1"><minus id="S2.E1.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1"></minus><ci id="S2.E1.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.2">𝑁</ci><cn id="S2.E1.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.E1.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.3">1</cn></apply></list></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E1.m1.5c">\boldsymbol{x}(n)=\sum_{k=1}^{K}c_{k}e^{j2\pi(f_{k}+\theta_{k}n)n},~{}~{}n=0,% \cdots,N-1,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E1.m1.5d">bold_italic_x ( italic_n ) = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_k = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_K end_POSTSUPERSCRIPT italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_j 2 italic_π ( italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT + italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT italic_n ) italic_n end_POSTSUPERSCRIPT , italic_n = 0 , ⋯ , italic_N - 1 ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(1)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p1.10">where <math alttext="\boldsymbol{x}(n)\in\mathbb{C}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.2.m1.1"><semantics id="S2.SS1.p1.2.m1.1a"><mrow id="S2.SS1.p1.2.m1.1.2" xref="S2.SS1.p1.2.m1.1.2.cmml"><mrow id="S2.SS1.p1.2.m1.1.2.2" xref="S2.SS1.p1.2.m1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.2.m1.1.2.2.2" xref="S2.SS1.p1.2.m1.1.2.2.2.cmml">𝒙</mi><mo id="S2.SS1.p1.2.m1.1.2.2.1" xref="S2.SS1.p1.2.m1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS1.p1.2.m1.1.2.2.3.2" xref="S2.SS1.p1.2.m1.1.2.2.cmml"><mo id="S2.SS1.p1.2.m1.1.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.2.m1.1.2.2.cmml">(</mo><mi id="S2.SS1.p1.2.m1.1.1" xref="S2.SS1.p1.2.m1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S2.SS1.p1.2.m1.1.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.2.m1.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.SS1.p1.2.m1.1.2.1" xref="S2.SS1.p1.2.m1.1.2.1.cmml">∈</mo><mi id="S2.SS1.p1.2.m1.1.2.3" xref="S2.SS1.p1.2.m1.1.2.3.cmml">ℂ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.2.m1.1b"><apply id="S2.SS1.p1.2.m1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m1.1.2"><in id="S2.SS1.p1.2.m1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m1.1.2.1"></in><apply id="S2.SS1.p1.2.m1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m1.1.2.2"><times id="S2.SS1.p1.2.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m1.1.2.2.1"></times><ci id="S2.SS1.p1.2.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m1.1.2.2.2">𝒙</ci><ci id="S2.SS1.p1.2.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m1.1.1">𝑛</ci></apply><ci id="S2.SS1.p1.2.m1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.2.m1.1.2.3">ℂ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.2.m1.1c">\boldsymbol{x}(n)\in\mathbb{C}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.2.m1.1d">bold_italic_x ( italic_n ) ∈ blackboard_C</annotation></semantics></math> are samples of the observation data, <math alttext="\left\{c_{k}\right\}\subset\mathbb{C},\left\{f_{k}\right\}\subset[0,1)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.3.m2.4"><semantics id="S2.SS1.p1.3.m2.4a"><mrow id="S2.SS1.p1.3.m2.4.4.2" xref="S2.SS1.p1.3.m2.4.4.3.cmml"><mrow id="S2.SS1.p1.3.m2.3.3.1.1" xref="S2.SS1.p1.3.m2.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S2.SS1.p1.3.m2.3.3.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p1.3.m2.3.3.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.SS1.p1.3.m2.3.3.1.1.1.1.2" xref="S2.SS1.p1.3.m2.3.3.1.1.1.2.cmml">{</mo><msub id="S2.SS1.p1.3.m2.3.3.1.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p1.3.m2.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.3.m2.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS1.p1.3.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml">c</mi><mi id="S2.SS1.p1.3.m2.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS1.p1.3.m2.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S2.SS1.p1.3.m2.3.3.1.1.1.1.3" xref="S2.SS1.p1.3.m2.3.3.1.1.1.2.cmml">}</mo></mrow><mo id="S2.SS1.p1.3.m2.3.3.1.1.2" xref="S2.SS1.p1.3.m2.3.3.1.1.2.cmml">⊂</mo><mi id="S2.SS1.p1.3.m2.3.3.1.1.3" xref="S2.SS1.p1.3.m2.3.3.1.1.3.cmml">ℂ</mi></mrow><mo id="S2.SS1.p1.3.m2.4.4.2.3" xref="S2.SS1.p1.3.m2.4.4.3a.cmml">,</mo><mrow id="S2.SS1.p1.3.m2.4.4.2.2" xref="S2.SS1.p1.3.m2.4.4.2.2.cmml"><mrow id="S2.SS1.p1.3.m2.4.4.2.2.1.1" xref="S2.SS1.p1.3.m2.4.4.2.2.1.2.cmml"><mo id="S2.SS1.p1.3.m2.4.4.2.2.1.1.2" xref="S2.SS1.p1.3.m2.4.4.2.2.1.2.cmml">{</mo><msub id="S2.SS1.p1.3.m2.4.4.2.2.1.1.1" xref="S2.SS1.p1.3.m2.4.4.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.3.m2.4.4.2.2.1.1.1.2" xref="S2.SS1.p1.3.m2.4.4.2.2.1.1.1.2.cmml">f</mi><mi id="S2.SS1.p1.3.m2.4.4.2.2.1.1.1.3" xref="S2.SS1.p1.3.m2.4.4.2.2.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S2.SS1.p1.3.m2.4.4.2.2.1.1.3" xref="S2.SS1.p1.3.m2.4.4.2.2.1.2.cmml">}</mo></mrow><mo id="S2.SS1.p1.3.m2.4.4.2.2.2" xref="S2.SS1.p1.3.m2.4.4.2.2.2.cmml">⊂</mo><mrow id="S2.SS1.p1.3.m2.4.4.2.2.3.2" xref="S2.SS1.p1.3.m2.4.4.2.2.3.1.cmml"><mo id="S2.SS1.p1.3.m2.4.4.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.3.m2.4.4.2.2.3.1.cmml">[</mo><mn id="S2.SS1.p1.3.m2.1.1" xref="S2.SS1.p1.3.m2.1.1.cmml">0</mn><mo id="S2.SS1.p1.3.m2.4.4.2.2.3.2.2" xref="S2.SS1.p1.3.m2.4.4.2.2.3.1.cmml">,</mo><mn id="S2.SS1.p1.3.m2.2.2" xref="S2.SS1.p1.3.m2.2.2.cmml">1</mn><mo id="S2.SS1.p1.3.m2.4.4.2.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.3.m2.4.4.2.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.3.m2.4b"><apply id="S2.SS1.p1.3.m2.4.4.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.3.m2.4.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.3.m2.4.4.3a.cmml" xref="S2.SS1.p1.3.m2.4.4.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S2.SS1.p1.3.m2.3.3.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.3.m2.3.3.1.1"><subset id="S2.SS1.p1.3.m2.3.3.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.3.m2.3.3.1.1.2"></subset><set id="S2.SS1.p1.3.m2.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.3.m2.3.3.1.1.1.1"><apply id="S2.SS1.p1.3.m2.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.3.m2.3.3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.3.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.3.m2.3.3.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.3.m2.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.3.m2.3.3.1.1.1.1.1.2">𝑐</ci><ci id="S2.SS1.p1.3.m2.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.3.m2.3.3.1.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></set><ci id="S2.SS1.p1.3.m2.3.3.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.3.m2.3.3.1.1.3">ℂ</ci></apply><apply id="S2.SS1.p1.3.m2.4.4.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.3.m2.4.4.2.2"><subset id="S2.SS1.p1.3.m2.4.4.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.3.m2.4.4.2.2.2"></subset><set id="S2.SS1.p1.3.m2.4.4.2.2.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.3.m2.4.4.2.2.1.1"><apply id="S2.SS1.p1.3.m2.4.4.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.3.m2.4.4.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.3.m2.4.4.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.3.m2.4.4.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.3.m2.4.4.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.3.m2.4.4.2.2.1.1.1.2">𝑓</ci><ci id="S2.SS1.p1.3.m2.4.4.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.3.m2.4.4.2.2.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></set><interval closure="closed-open" id="S2.SS1.p1.3.m2.4.4.2.2.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.3.m2.4.4.2.2.3.2"><cn id="S2.SS1.p1.3.m2.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p1.3.m2.1.1">0</cn><cn id="S2.SS1.p1.3.m2.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p1.3.m2.2.2">1</cn></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.3.m2.4c">\left\{c_{k}\right\}\subset\mathbb{C},\left\{f_{k}\right\}\subset[0,1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.3.m2.4d">{ italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT } ⊂ blackboard_C , { italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT } ⊂ [ 0 , 1 )</annotation></semantics></math>, and <math alttext="\left\{\theta_{k}\right\}\subset[0,1)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.4.m3.3"><semantics id="S2.SS1.p1.4.m3.3a"><mrow id="S2.SS1.p1.4.m3.3.3" xref="S2.SS1.p1.4.m3.3.3.cmml"><mrow id="S2.SS1.p1.4.m3.3.3.1.1" xref="S2.SS1.p1.4.m3.3.3.1.2.cmml"><mo id="S2.SS1.p1.4.m3.3.3.1.1.2" xref="S2.SS1.p1.4.m3.3.3.1.2.cmml">{</mo><msub id="S2.SS1.p1.4.m3.3.3.1.1.1" xref="S2.SS1.p1.4.m3.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.4.m3.3.3.1.1.1.2" xref="S2.SS1.p1.4.m3.3.3.1.1.1.2.cmml">θ</mi><mi id="S2.SS1.p1.4.m3.3.3.1.1.1.3" xref="S2.SS1.p1.4.m3.3.3.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S2.SS1.p1.4.m3.3.3.1.1.3" xref="S2.SS1.p1.4.m3.3.3.1.2.cmml">}</mo></mrow><mo id="S2.SS1.p1.4.m3.3.3.2" xref="S2.SS1.p1.4.m3.3.3.2.cmml">⊂</mo><mrow id="S2.SS1.p1.4.m3.3.3.3.2" xref="S2.SS1.p1.4.m3.3.3.3.1.cmml"><mo id="S2.SS1.p1.4.m3.3.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.4.m3.3.3.3.1.cmml">[</mo><mn id="S2.SS1.p1.4.m3.1.1" xref="S2.SS1.p1.4.m3.1.1.cmml">0</mn><mo id="S2.SS1.p1.4.m3.3.3.3.2.2" xref="S2.SS1.p1.4.m3.3.3.3.1.cmml">,</mo><mn id="S2.SS1.p1.4.m3.2.2" xref="S2.SS1.p1.4.m3.2.2.cmml">1</mn><mo id="S2.SS1.p1.4.m3.3.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.4.m3.3.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.4.m3.3b"><apply id="S2.SS1.p1.4.m3.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.4.m3.3.3"><subset id="S2.SS1.p1.4.m3.3.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.4.m3.3.3.2"></subset><set id="S2.SS1.p1.4.m3.3.3.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.4.m3.3.3.1.1"><apply id="S2.SS1.p1.4.m3.3.3.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.4.m3.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.4.m3.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.4.m3.3.3.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.4.m3.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.4.m3.3.3.1.1.1.2">𝜃</ci><ci id="S2.SS1.p1.4.m3.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.4.m3.3.3.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></set><interval closure="closed-open" id="S2.SS1.p1.4.m3.3.3.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.4.m3.3.3.3.2"><cn id="S2.SS1.p1.4.m3.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p1.4.m3.1.1">0</cn><cn id="S2.SS1.p1.4.m3.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p1.4.m3.2.2">1</cn></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.4.m3.3c">\left\{\theta_{k}\right\}\subset[0,1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.4.m3.3d">{ italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT } ⊂ [ 0 , 1 )</annotation></semantics></math> are the unknown continuous-valued parameters associated with the complex exponentials <math alttext="\left\{c_{k}e^{j2\pi(f_{k}+\theta_{k}n)n}\right\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.5.m4.2"><semantics id="S2.SS1.p1.5.m4.2a"><mrow id="S2.SS1.p1.5.m4.2.2.1" xref="S2.SS1.p1.5.m4.2.2.2.cmml"><mo id="S2.SS1.p1.5.m4.2.2.1.2" xref="S2.SS1.p1.5.m4.2.2.2.cmml">{</mo><mrow id="S2.SS1.p1.5.m4.2.2.1.1" xref="S2.SS1.p1.5.m4.2.2.1.1.cmml"><msub id="S2.SS1.p1.5.m4.2.2.1.1.2" xref="S2.SS1.p1.5.m4.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.5.m4.2.2.1.1.2.2" xref="S2.SS1.p1.5.m4.2.2.1.1.2.2.cmml">c</mi><mi id="S2.SS1.p1.5.m4.2.2.1.1.2.3" xref="S2.SS1.p1.5.m4.2.2.1.1.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S2.SS1.p1.5.m4.2.2.1.1.1" xref="S2.SS1.p1.5.m4.2.2.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S2.SS1.p1.5.m4.2.2.1.1.3" xref="S2.SS1.p1.5.m4.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.5.m4.2.2.1.1.3.2" xref="S2.SS1.p1.5.m4.2.2.1.1.3.2.cmml">e</mi><mrow id="S2.SS1.p1.5.m4.1.1.1" xref="S2.SS1.p1.5.m4.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.5.m4.1.1.1.3" xref="S2.SS1.p1.5.m4.1.1.1.3.cmml">j</mi><mo id="S2.SS1.p1.5.m4.1.1.1.2" xref="S2.SS1.p1.5.m4.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mn id="S2.SS1.p1.5.m4.1.1.1.4" xref="S2.SS1.p1.5.m4.1.1.1.4.cmml">2</mn><mo id="S2.SS1.p1.5.m4.1.1.1.2a" xref="S2.SS1.p1.5.m4.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS1.p1.5.m4.1.1.1.5" xref="S2.SS1.p1.5.m4.1.1.1.5.cmml">π</mi><mo id="S2.SS1.p1.5.m4.1.1.1.2b" xref="S2.SS1.p1.5.m4.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS1.p1.5.m4.1.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS1.p1.5.m4.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.SS1.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.SS1.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS1.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.SS1.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">f</mi><mi id="S2.SS1.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.SS1.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S2.SS1.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S2.SS1.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS1.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S2.SS1.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.SS1.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.SS1.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">θ</mi><mi id="S2.SS1.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S2.SS1.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S2.SS1.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S2.SS1.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS1.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.SS1.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">n</mi></mrow></mrow><mo id="S2.SS1.p1.5.m4.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.SS1.p1.5.m4.1.1.1.2c" xref="S2.SS1.p1.5.m4.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS1.p1.5.m4.1.1.1.6" xref="S2.SS1.p1.5.m4.1.1.1.6.cmml">n</mi></mrow></msup></mrow><mo id="S2.SS1.p1.5.m4.2.2.1.3" xref="S2.SS1.p1.5.m4.2.2.2.cmml">}</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.5.m4.2b"><set id="S2.SS1.p1.5.m4.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.5.m4.2.2.1"><apply id="S2.SS1.p1.5.m4.2.2.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.5.m4.2.2.1.1"><times id="S2.SS1.p1.5.m4.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.5.m4.2.2.1.1.1"></times><apply id="S2.SS1.p1.5.m4.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.5.m4.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.5.m4.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.5.m4.2.2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.5.m4.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.5.m4.2.2.1.1.2.2">𝑐</ci><ci id="S2.SS1.p1.5.m4.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.5.m4.2.2.1.1.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S2.SS1.p1.5.m4.2.2.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.5.m4.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.5.m4.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.5.m4.2.2.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.5.m4.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.5.m4.2.2.1.1.3.2">𝑒</ci><apply id="S2.SS1.p1.5.m4.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.5.m4.1.1.1"><times id="S2.SS1.p1.5.m4.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.5.m4.1.1.1.2"></times><ci id="S2.SS1.p1.5.m4.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.5.m4.1.1.1.3">𝑗</ci><cn id="S2.SS1.p1.5.m4.1.1.1.4.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p1.5.m4.1.1.1.4">2</cn><ci id="S2.SS1.p1.5.m4.1.1.1.5.cmml" xref="S2.SS1.p1.5.m4.1.1.1.5">𝜋</ci><apply id="S2.SS1.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.5.m4.1.1.1.1.1"><plus id="S2.SS1.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S2.SS1.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑓</ci><ci id="S2.SS1.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S2.SS1.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S2.SS1.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S2.SS1.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝜃</ci><ci id="S2.SS1.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑘</ci></apply><ci id="S2.SS1.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.5.m4.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑛</ci></apply></apply><ci id="S2.SS1.p1.5.m4.1.1.1.6.cmml" xref="S2.SS1.p1.5.m4.1.1.1.6">𝑛</ci></apply></apply></apply></set></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.5.m4.2c">\left\{c_{k}e^{j2\pi(f_{k}+\theta_{k}n)n}\right\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.5.m4.2d">{ italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_j 2 italic_π ( italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT + italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT italic_n ) italic_n end_POSTSUPERSCRIPT }</annotation></semantics></math>. Here, <math alttext="f_{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.6.m5.1"><semantics id="S2.SS1.p1.6.m5.1a"><msub id="S2.SS1.p1.6.m5.1.1" xref="S2.SS1.p1.6.m5.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.6.m5.1.1.2" xref="S2.SS1.p1.6.m5.1.1.2.cmml">f</mi><mi id="S2.SS1.p1.6.m5.1.1.3" xref="S2.SS1.p1.6.m5.1.1.3.cmml">k</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.6.m5.1b"><apply id="S2.SS1.p1.6.m5.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.6.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.6.m5.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.6.m5.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.6.m5.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.6.m5.1.1.2">𝑓</ci><ci id="S2.SS1.p1.6.m5.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.6.m5.1.1.3">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.6.m5.1c">f_{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.6.m5.1d">italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="\theta_{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.7.m6.1"><semantics id="S2.SS1.p1.7.m6.1a"><msub id="S2.SS1.p1.7.m6.1.1" xref="S2.SS1.p1.7.m6.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.7.m6.1.1.2" xref="S2.SS1.p1.7.m6.1.1.2.cmml">θ</mi><mi id="S2.SS1.p1.7.m6.1.1.3" xref="S2.SS1.p1.7.m6.1.1.3.cmml">k</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.7.m6.1b"><apply id="S2.SS1.p1.7.m6.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.7.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.7.m6.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.7.m6.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.7.m6.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.7.m6.1.1.2">𝜃</ci><ci id="S2.SS1.p1.7.m6.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.7.m6.1.1.3">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.7.m6.1c">\theta_{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.7.m6.1d">italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> represent the <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.SS1.p1.10.1">normalized initial frequency</span> and the <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.SS1.p1.10.2">normalized frequency rate</span> of the chirp signal <math alttext="c_{k}e^{j2\pi(f_{k}+\theta_{k}n)n}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.8.m7.1"><semantics id="S2.SS1.p1.8.m7.1a"><mrow id="S2.SS1.p1.8.m7.1.2" xref="S2.SS1.p1.8.m7.1.2.cmml"><msub id="S2.SS1.p1.8.m7.1.2.2" xref="S2.SS1.p1.8.m7.1.2.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.8.m7.1.2.2.2" xref="S2.SS1.p1.8.m7.1.2.2.2.cmml">c</mi><mi id="S2.SS1.p1.8.m7.1.2.2.3" xref="S2.SS1.p1.8.m7.1.2.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S2.SS1.p1.8.m7.1.2.1" xref="S2.SS1.p1.8.m7.1.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S2.SS1.p1.8.m7.1.2.3" xref="S2.SS1.p1.8.m7.1.2.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.8.m7.1.2.3.2" xref="S2.SS1.p1.8.m7.1.2.3.2.cmml">e</mi><mrow id="S2.SS1.p1.8.m7.1.1.1" xref="S2.SS1.p1.8.m7.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.8.m7.1.1.1.3" xref="S2.SS1.p1.8.m7.1.1.1.3.cmml">j</mi><mo id="S2.SS1.p1.8.m7.1.1.1.2" xref="S2.SS1.p1.8.m7.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mn id="S2.SS1.p1.8.m7.1.1.1.4" xref="S2.SS1.p1.8.m7.1.1.1.4.cmml">2</mn><mo id="S2.SS1.p1.8.m7.1.1.1.2a" xref="S2.SS1.p1.8.m7.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS1.p1.8.m7.1.1.1.5" xref="S2.SS1.p1.8.m7.1.1.1.5.cmml">π</mi><mo id="S2.SS1.p1.8.m7.1.1.1.2b" xref="S2.SS1.p1.8.m7.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS1.p1.8.m7.1.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p1.8.m7.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS1.p1.8.m7.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.8.m7.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.SS1.p1.8.m7.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p1.8.m7.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.SS1.p1.8.m7.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS1.p1.8.m7.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.8.m7.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.SS1.p1.8.m7.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">f</mi><mi id="S2.SS1.p1.8.m7.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.SS1.p1.8.m7.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S2.SS1.p1.8.m7.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p1.8.m7.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S2.SS1.p1.8.m7.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS1.p1.8.m7.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S2.SS1.p1.8.m7.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.SS1.p1.8.m7.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.8.m7.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.SS1.p1.8.m7.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">θ</mi><mi id="S2.SS1.p1.8.m7.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S2.SS1.p1.8.m7.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S2.SS1.p1.8.m7.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S2.SS1.p1.8.m7.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS1.p1.8.m7.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.SS1.p1.8.m7.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">n</mi></mrow></mrow><mo id="S2.SS1.p1.8.m7.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.8.m7.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.SS1.p1.8.m7.1.1.1.2c" xref="S2.SS1.p1.8.m7.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS1.p1.8.m7.1.1.1.6" xref="S2.SS1.p1.8.m7.1.1.1.6.cmml">n</mi></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.8.m7.1b"><apply id="S2.SS1.p1.8.m7.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.8.m7.1.2"><times id="S2.SS1.p1.8.m7.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.8.m7.1.2.1"></times><apply id="S2.SS1.p1.8.m7.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.8.m7.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.8.m7.1.2.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.8.m7.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.8.m7.1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.8.m7.1.2.2.2">𝑐</ci><ci id="S2.SS1.p1.8.m7.1.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.8.m7.1.2.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S2.SS1.p1.8.m7.1.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.8.m7.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.8.m7.1.2.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.8.m7.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.8.m7.1.2.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.8.m7.1.2.3.2">𝑒</ci><apply id="S2.SS1.p1.8.m7.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.8.m7.1.1.1"><times id="S2.SS1.p1.8.m7.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.8.m7.1.1.1.2"></times><ci id="S2.SS1.p1.8.m7.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.8.m7.1.1.1.3">𝑗</ci><cn id="S2.SS1.p1.8.m7.1.1.1.4.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p1.8.m7.1.1.1.4">2</cn><ci id="S2.SS1.p1.8.m7.1.1.1.5.cmml" xref="S2.SS1.p1.8.m7.1.1.1.5">𝜋</ci><apply id="S2.SS1.p1.8.m7.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.8.m7.1.1.1.1.1"><plus id="S2.SS1.p1.8.m7.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.8.m7.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S2.SS1.p1.8.m7.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.8.m7.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.8.m7.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.8.m7.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.8.m7.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.8.m7.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑓</ci><ci id="S2.SS1.p1.8.m7.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.8.m7.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S2.SS1.p1.8.m7.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.8.m7.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S2.SS1.p1.8.m7.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.8.m7.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S2.SS1.p1.8.m7.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.8.m7.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.8.m7.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.8.m7.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.8.m7.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.8.m7.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝜃</ci><ci id="S2.SS1.p1.8.m7.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.8.m7.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑘</ci></apply><ci id="S2.SS1.p1.8.m7.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.8.m7.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑛</ci></apply></apply><ci id="S2.SS1.p1.8.m7.1.1.1.6.cmml" xref="S2.SS1.p1.8.m7.1.1.1.6">𝑛</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.8.m7.1c">c_{k}e^{j2\pi(f_{k}+\theta_{k}n)n}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.8.m7.1d">italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_j 2 italic_π ( italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT + italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT italic_n ) italic_n end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, respectively. Our goal is to reliably recover the unknown parameters <math alttext="\left\{(c_{k},f_{k},\theta_{k})\right\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.9.m8.1"><semantics id="S2.SS1.p1.9.m8.1a"><mrow id="S2.SS1.p1.9.m8.1.1.1" xref="S2.SS1.p1.9.m8.1.1.2.cmml"><mo id="S2.SS1.p1.9.m8.1.1.1.2" xref="S2.SS1.p1.9.m8.1.1.2.cmml">{</mo><mrow id="S2.SS1.p1.9.m8.1.1.1.1.3" xref="S2.SS1.p1.9.m8.1.1.1.1.4.cmml"><mo id="S2.SS1.p1.9.m8.1.1.1.1.3.4" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.9.m8.1.1.1.1.4.cmml">(</mo><msub id="S2.SS1.p1.9.m8.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p1.9.m8.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.9.m8.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS1.p1.9.m8.1.1.1.1.1.1.2.cmml">c</mi><mi id="S2.SS1.p1.9.m8.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS1.p1.9.m8.1.1.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S2.SS1.p1.9.m8.1.1.1.1.3.5" xref="S2.SS1.p1.9.m8.1.1.1.1.4.cmml">,</mo><msub id="S2.SS1.p1.9.m8.1.1.1.1.2.2" xref="S2.SS1.p1.9.m8.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.9.m8.1.1.1.1.2.2.2" xref="S2.SS1.p1.9.m8.1.1.1.1.2.2.2.cmml">f</mi><mi id="S2.SS1.p1.9.m8.1.1.1.1.2.2.3" xref="S2.SS1.p1.9.m8.1.1.1.1.2.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S2.SS1.p1.9.m8.1.1.1.1.3.6" xref="S2.SS1.p1.9.m8.1.1.1.1.4.cmml">,</mo><msub id="S2.SS1.p1.9.m8.1.1.1.1.3.3" xref="S2.SS1.p1.9.m8.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.9.m8.1.1.1.1.3.3.2" xref="S2.SS1.p1.9.m8.1.1.1.1.3.3.2.cmml">θ</mi><mi id="S2.SS1.p1.9.m8.1.1.1.1.3.3.3" xref="S2.SS1.p1.9.m8.1.1.1.1.3.3.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S2.SS1.p1.9.m8.1.1.1.1.3.7" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.9.m8.1.1.1.1.4.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.SS1.p1.9.m8.1.1.1.3" xref="S2.SS1.p1.9.m8.1.1.2.cmml">}</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.9.m8.1b"><set id="S2.SS1.p1.9.m8.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.9.m8.1.1.1"><vector id="S2.SS1.p1.9.m8.1.1.1.1.4.cmml" xref="S2.SS1.p1.9.m8.1.1.1.1.3"><apply id="S2.SS1.p1.9.m8.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.9.m8.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.9.m8.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.9.m8.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.9.m8.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.9.m8.1.1.1.1.1.1.2">𝑐</ci><ci id="S2.SS1.p1.9.m8.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.9.m8.1.1.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply><apply id="S2.SS1.p1.9.m8.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.9.m8.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.9.m8.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.9.m8.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.9.m8.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.9.m8.1.1.1.1.2.2.2">𝑓</ci><ci id="S2.SS1.p1.9.m8.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.9.m8.1.1.1.1.2.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S2.SS1.p1.9.m8.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.9.m8.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p1.9.m8.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.9.m8.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p1.9.m8.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.9.m8.1.1.1.1.3.3.2">𝜃</ci><ci id="S2.SS1.p1.9.m8.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p1.9.m8.1.1.1.1.3.3.3">𝑘</ci></apply></vector></set></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.9.m8.1c">\left\{(c_{k},f_{k},\theta_{k})\right\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.9.m8.1d">{ ( italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT , italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT , italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ) }</annotation></semantics></math> from <math alttext="\boldsymbol{x}(n)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p1.10.m9.1"><semantics id="S2.SS1.p1.10.m9.1a"><mrow id="S2.SS1.p1.10.m9.1.2" xref="S2.SS1.p1.10.m9.1.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p1.10.m9.1.2.2" xref="S2.SS1.p1.10.m9.1.2.2.cmml">𝒙</mi><mo id="S2.SS1.p1.10.m9.1.2.1" xref="S2.SS1.p1.10.m9.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS1.p1.10.m9.1.2.3.2" xref="S2.SS1.p1.10.m9.1.2.cmml"><mo id="S2.SS1.p1.10.m9.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.10.m9.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.SS1.p1.10.m9.1.1" xref="S2.SS1.p1.10.m9.1.1.cmml">n</mi><mo id="S2.SS1.p1.10.m9.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p1.10.m9.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p1.10.m9.1b"><apply id="S2.SS1.p1.10.m9.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.10.m9.1.2"><times id="S2.SS1.p1.10.m9.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.10.m9.1.2.1"></times><ci id="S2.SS1.p1.10.m9.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p1.10.m9.1.2.2">𝒙</ci><ci id="S2.SS1.p1.10.m9.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p1.10.m9.1.1">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p1.10.m9.1c">\boldsymbol{x}(n)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p1.10.m9.1d">bold_italic_x ( italic_n )</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS1.p2"> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p2.3">The signal model (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15164v1#S2.E1" title="In II-A Signal Model ‣ II Signal Model and Problem Formulation ‣ Gridless Chirp Parameter Retrieval via Constrained Two-Dimensional Atomic Norm Minimization D. Yang and F. Xi contributed equally to this work. D. Yang was supported in part by the Research Development Fund (RDF-23-02-080) from Xi’an Jiaotong-Liverpool University. F. Xi was supported in part by the National Natural Science Foundation of China under grant No. 62471230."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>) generalizes narrowband signals in line spectrum estimation to wideband signals. Compared to the complex exponentials <math alttext="\left\{c_{k}e^{j2\pi f_{k}n}\right\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p2.1.m1.1"><semantics id="S2.SS1.p2.1.m1.1a"><mrow id="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1" xref="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.2" xref="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.2.cmml">{</mo><mrow id="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.2.2.cmml">c</mi><mi id="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">e</mi><mrow id="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">j</mi><mo id="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">2</mn><mo id="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.3.3.1a" xref="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.3.3.4" xref="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.3.3.4.cmml">π</mi><mo id="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.3.3.1b" xref="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.3.3.5" xref="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.3.3.5.cmml"><mi id="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.3.3.5.2" xref="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.3.3.5.2.cmml">f</mi><mi id="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.3.3.5.3" xref="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.3.3.5.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.3.3.1c" xref="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.3.3.6" xref="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.3.3.6.cmml">n</mi></mrow></msup></mrow><mo id="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.3" xref="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.2.cmml">}</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p2.1.m1.1b"><set id="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1"><apply id="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1"><times id="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.2.2">𝑐</ci><ci id="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.3.2">𝑒</ci><apply id="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.3.3"><times id="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.3.3.1"></times><ci id="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.3.3.2">𝑗</ci><cn id="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.3.3.3">2</cn><ci id="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.3.3.4.cmml" xref="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.3.3.4">𝜋</ci><apply id="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.3.3.5.cmml" xref="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.3.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.3.3.5.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.3.3.5">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.3.3.5.2.cmml" xref="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.3.3.5.2">𝑓</ci><ci id="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.3.3.5.3.cmml" xref="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.3.3.5.3">𝑘</ci></apply><ci id="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.3.3.6.cmml" xref="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.3.3.6">𝑛</ci></apply></apply></apply></set></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p2.1.m1.1c">\left\{c_{k}e^{j2\pi f_{k}n}\right\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p2.1.m1.1d">{ italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_j 2 italic_π italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT }</annotation></semantics></math> that are encountered in line spectrum estimation, the linear chirp signals have additional parameters <math alttext="\left\{\theta_{k}\right\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p2.2.m2.1"><semantics id="S2.SS1.p2.2.m2.1a"><mrow id="S2.SS1.p2.2.m2.1.1.1" xref="S2.SS1.p2.2.m2.1.1.2.cmml"><mo id="S2.SS1.p2.2.m2.1.1.1.2" xref="S2.SS1.p2.2.m2.1.1.2.cmml">{</mo><msub id="S2.SS1.p2.2.m2.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p2.2.m2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p2.2.m2.1.1.1.1.2" xref="S2.SS1.p2.2.m2.1.1.1.1.2.cmml">θ</mi><mi id="S2.SS1.p2.2.m2.1.1.1.1.3" xref="S2.SS1.p2.2.m2.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S2.SS1.p2.2.m2.1.1.1.3" xref="S2.SS1.p2.2.m2.1.1.2.cmml">}</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p2.2.m2.1b"><set id="S2.SS1.p2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p2.2.m2.1.1.1"><apply id="S2.SS1.p2.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.2.m2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p2.2.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.2.m2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p2.2.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p2.2.m2.1.1.1.1.2">𝜃</ci><ci id="S2.SS1.p2.2.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p2.2.m2.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></set></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p2.2.m2.1c">\left\{\theta_{k}\right\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p2.2.m2.1d">{ italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT }</annotation></semantics></math>, which characterize the linearly time-varying behavior of the unknown frequency content over time. It is worth noting that when <math alttext="\left\{\theta_{k}\right\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p2.3.m3.1"><semantics id="S2.SS1.p2.3.m3.1a"><mrow id="S2.SS1.p2.3.m3.1.1.1" xref="S2.SS1.p2.3.m3.1.1.2.cmml"><mo id="S2.SS1.p2.3.m3.1.1.1.2" xref="S2.SS1.p2.3.m3.1.1.2.cmml">{</mo><msub id="S2.SS1.p2.3.m3.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p2.3.m3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p2.3.m3.1.1.1.1.2" xref="S2.SS1.p2.3.m3.1.1.1.1.2.cmml">θ</mi><mi id="S2.SS1.p2.3.m3.1.1.1.1.3" xref="S2.SS1.p2.3.m3.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S2.SS1.p2.3.m3.1.1.1.3" xref="S2.SS1.p2.3.m3.1.1.2.cmml">}</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p2.3.m3.1b"><set id="S2.SS1.p2.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p2.3.m3.1.1.1"><apply id="S2.SS1.p2.3.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.3.m3.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p2.3.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.3.m3.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p2.3.m3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p2.3.m3.1.1.1.1.2">𝜃</ci><ci id="S2.SS1.p2.3.m3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p2.3.m3.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></set></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p2.3.m3.1c">\left\{\theta_{k}\right\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p2.3.m3.1d">{ italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT }</annotation></semantics></math> are all zeros, the problem reduces to frequency estimation in line spectrum estimation <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15164v1#bib.bib9" title="">9</a>]</cite>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS1.p3"> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p3.2">One may obtain the discrete-time signal model (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15164v1#S2.E1" title="In II-A Signal Model ‣ II Signal Model and Problem Formulation ‣ Gridless Chirp Parameter Retrieval via Constrained Two-Dimensional Atomic Norm Minimization D. Yang and F. Xi contributed equally to this work. D. Yang was supported in part by the Research Development Fund (RDF-23-02-080) from Xi’an Jiaotong-Liverpool University. F. Xi was supported in part by the National Natural Science Foundation of China under grant No. 62471230."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>) from a band-limited continuous-time signal <math alttext="x(t)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p3.1.m1.1"><semantics id="S2.SS1.p3.1.m1.1a"><mrow id="S2.SS1.p3.1.m1.1.2" xref="S2.SS1.p3.1.m1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p3.1.m1.1.2.2" xref="S2.SS1.p3.1.m1.1.2.2.cmml">x</mi><mo id="S2.SS1.p3.1.m1.1.2.1" xref="S2.SS1.p3.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS1.p3.1.m1.1.2.3.2" xref="S2.SS1.p3.1.m1.1.2.cmml"><mo id="S2.SS1.p3.1.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p3.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.SS1.p3.1.m1.1.1" xref="S2.SS1.p3.1.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S2.SS1.p3.1.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p3.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p3.1.m1.1b"><apply id="S2.SS1.p3.1.m1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.1.m1.1.2"><times id="S2.SS1.p3.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.1.m1.1.2.1"></times><ci id="S2.SS1.p3.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.1.m1.1.2.2">𝑥</ci><ci id="S2.SS1.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.1.m1.1.1">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p3.1.m1.1c">x(t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p3.1.m1.1d">italic_x ( italic_t )</annotation></semantics></math> defined over the time interval <math alttext="[0,T]" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p3.2.m2.2"><semantics id="S2.SS1.p3.2.m2.2a"><mrow id="S2.SS1.p3.2.m2.2.3.2" xref="S2.SS1.p3.2.m2.2.3.1.cmml"><mo id="S2.SS1.p3.2.m2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p3.2.m2.2.3.1.cmml">[</mo><mn id="S2.SS1.p3.2.m2.1.1" xref="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.cmml">0</mn><mo id="S2.SS1.p3.2.m2.2.3.2.2" xref="S2.SS1.p3.2.m2.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.SS1.p3.2.m2.2.2" xref="S2.SS1.p3.2.m2.2.2.cmml">T</mi><mo id="S2.SS1.p3.2.m2.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.SS1.p3.2.m2.2.3.1.cmml">]</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p3.2.m2.2b"><interval closure="closed" id="S2.SS1.p3.2.m2.2.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.2.m2.2.3.2"><cn id="S2.SS1.p3.2.m2.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p3.2.m2.1.1">0</cn><ci id="S2.SS1.p3.2.m2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.2.m2.2.2">𝑇</ci></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p3.2.m2.2c">[0,T]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p3.2.m2.2d">[ 0 , italic_T ]</annotation></semantics></math>, i.e.,</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E2"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="x(t)=\sum_{k=1}^{K}c_{k}e^{j2\pi(F_{k}+\Theta_{k}t)t},~{}~{}~{}0\leq t\leq T," class="ltx_Math" display="block" id="S2.E2.m1.3"><semantics id="S2.E2.m1.3a"><mrow id="S2.E2.m1.3.3.1"><mrow id="S2.E2.m1.3.3.1.1.2" xref="S2.E2.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.1.2.2" xref="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml">x</mi><mo id="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.1.2.1" xref="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.2" xref="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.E2.m1.2.2" xref="S2.E2.m1.2.2.cmml">t</mi><mo id="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1" rspace="0.111em" xref="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><munderover id="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.1.3.1" xref="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S2.E2.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.2.2" movablelimits="false" 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xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">Θ</ci><ci id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑘</ci></apply><ci id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="S2.E2.m1.1.1.1.6.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.6">𝑡</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.E2.m1.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E2.m1.3.3.1.1.2.2"><and id="S2.E2.m1.3.3.1.1.2.2a.cmml" xref="S2.E2.m1.3.3.1.1.2.2"></and><apply id="S2.E2.m1.3.3.1.1.2.2b.cmml" xref="S2.E2.m1.3.3.1.1.2.2"><leq id="S2.E2.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.E2.m1.3.3.1.1.2.2.3"></leq><cn id="S2.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.E2.m1.3.3.1.1.2.2.2">0</cn><ci id="S2.E2.m1.3.3.1.1.2.2.4.cmml" xref="S2.E2.m1.3.3.1.1.2.2.4">𝑡</ci></apply><apply id="S2.E2.m1.3.3.1.1.2.2c.cmml" xref="S2.E2.m1.3.3.1.1.2.2"><leq id="S2.E2.m1.3.3.1.1.2.2.5.cmml" xref="S2.E2.m1.3.3.1.1.2.2.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2503.15164v1#S2.E2.m1.3.3.1.1.2.2.4.cmml" id="S2.E2.m1.3.3.1.1.2.2d.cmml" xref="S2.E2.m1.3.3.1.1.2.2"></share><ci id="S2.E2.m1.3.3.1.1.2.2.6.cmml" xref="S2.E2.m1.3.3.1.1.2.2.6">𝑇</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E2.m1.3c">x(t)=\sum_{k=1}^{K}c_{k}e^{j2\pi(F_{k}+\Theta_{k}t)t},~{}~{}~{}0\leq t\leq T,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E2.m1.3d">italic_x ( italic_t ) = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_k = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_K end_POSTSUPERSCRIPT italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_j 2 italic_π ( italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT + roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT italic_t ) italic_t end_POSTSUPERSCRIPT , 0 ≤ italic_t ≤ italic_T ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(2)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p3.14">where <math alttext="F_{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p3.3.m1.1"><semantics id="S2.SS1.p3.3.m1.1a"><msub id="S2.SS1.p3.3.m1.1.1" xref="S2.SS1.p3.3.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p3.3.m1.1.1.2" xref="S2.SS1.p3.3.m1.1.1.2.cmml">F</mi><mi id="S2.SS1.p3.3.m1.1.1.3" xref="S2.SS1.p3.3.m1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p3.3.m1.1b"><apply id="S2.SS1.p3.3.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.3.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p3.3.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.3.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p3.3.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.3.m1.1.1.2">𝐹</ci><ci id="S2.SS1.p3.3.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p3.3.m1.1.1.3">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p3.3.m1.1c">F_{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p3.3.m1.1d">italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="\Theta_{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p3.4.m2.1"><semantics id="S2.SS1.p3.4.m2.1a"><msub id="S2.SS1.p3.4.m2.1.1" xref="S2.SS1.p3.4.m2.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p3.4.m2.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S2.SS1.p3.4.m2.1.1.2.cmml">Θ</mi><mi id="S2.SS1.p3.4.m2.1.1.3" xref="S2.SS1.p3.4.m2.1.1.3.cmml">k</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p3.4.m2.1b"><apply id="S2.SS1.p3.4.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.4.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p3.4.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.4.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p3.4.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.4.m2.1.1.2">Θ</ci><ci id="S2.SS1.p3.4.m2.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p3.4.m2.1.1.3">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p3.4.m2.1c">\Theta_{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p3.4.m2.1d">roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_note ltx_role_footnote" id="footnote1"><sup class="ltx_note_mark">1</sup><span class="ltx_note_outer"><span class="ltx_note_content"><sup class="ltx_note_mark">1</sup><span class="ltx_tag ltx_tag_note">1</span> For simplicity, we assume the frequency rate <math alttext="\Theta_{k}>0" class="ltx_Math" display="inline" id="footnote1.m1.1"><semantics id="footnote1.m1.1b"><mrow id="footnote1.m1.1.1" xref="footnote1.m1.1.1.cmml"><msub id="footnote1.m1.1.1.2" xref="footnote1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="footnote1.m1.1.1.2.2" mathvariant="normal" xref="footnote1.m1.1.1.2.2.cmml">Θ</mi><mi id="footnote1.m1.1.1.2.3" xref="footnote1.m1.1.1.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="footnote1.m1.1.1.1" xref="footnote1.m1.1.1.1.cmml">></mo><mn id="footnote1.m1.1.1.3" xref="footnote1.m1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="footnote1.m1.1c"><apply id="footnote1.m1.1.1.cmml" xref="footnote1.m1.1.1"><gt id="footnote1.m1.1.1.1.cmml" xref="footnote1.m1.1.1.1"></gt><apply id="footnote1.m1.1.1.2.cmml" xref="footnote1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="footnote1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="footnote1.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="footnote1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="footnote1.m1.1.1.2.2">Θ</ci><ci id="footnote1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="footnote1.m1.1.1.2.3">𝑘</ci></apply><cn id="footnote1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="footnote1.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="footnote1.m1.1d">\Theta_{k}>0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="footnote1.m1.1e">roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT > 0</annotation></semantics></math> and the frequency increases over time</span></span></span> are the analog initial frequency and frequency rate, respectively. Then the bandwidth of the <math alttext="k" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p3.5.m3.1"><semantics id="S2.SS1.p3.5.m3.1a"><mi id="S2.SS1.p3.5.m3.1.1" xref="S2.SS1.p3.5.m3.1.1.cmml">k</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p3.5.m3.1b"><ci id="S2.SS1.p3.5.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.5.m3.1.1">𝑘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p3.5.m3.1c">k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p3.5.m3.1d">italic_k</annotation></semantics></math>th chirp component <math alttext="c_{k}e^{j2\pi(F_{k}+\Theta_{k}t)t}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p3.6.m4.1"><semantics id="S2.SS1.p3.6.m4.1a"><mrow id="S2.SS1.p3.6.m4.1.2" xref="S2.SS1.p3.6.m4.1.2.cmml"><msub id="S2.SS1.p3.6.m4.1.2.2" xref="S2.SS1.p3.6.m4.1.2.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p3.6.m4.1.2.2.2" xref="S2.SS1.p3.6.m4.1.2.2.2.cmml">c</mi><mi id="S2.SS1.p3.6.m4.1.2.2.3" xref="S2.SS1.p3.6.m4.1.2.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S2.SS1.p3.6.m4.1.2.1" xref="S2.SS1.p3.6.m4.1.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S2.SS1.p3.6.m4.1.2.3" xref="S2.SS1.p3.6.m4.1.2.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p3.6.m4.1.2.3.2" xref="S2.SS1.p3.6.m4.1.2.3.2.cmml">e</mi><mrow id="S2.SS1.p3.6.m4.1.1.1" xref="S2.SS1.p3.6.m4.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p3.6.m4.1.1.1.3" xref="S2.SS1.p3.6.m4.1.1.1.3.cmml">j</mi><mo id="S2.SS1.p3.6.m4.1.1.1.2" xref="S2.SS1.p3.6.m4.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mn id="S2.SS1.p3.6.m4.1.1.1.4" xref="S2.SS1.p3.6.m4.1.1.1.4.cmml">2</mn><mo id="S2.SS1.p3.6.m4.1.1.1.2a" xref="S2.SS1.p3.6.m4.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS1.p3.6.m4.1.1.1.5" xref="S2.SS1.p3.6.m4.1.1.1.5.cmml">π</mi><mo id="S2.SS1.p3.6.m4.1.1.1.2b" xref="S2.SS1.p3.6.m4.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS1.p3.6.m4.1.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p3.6.m4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS1.p3.6.m4.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p3.6.m4.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.SS1.p3.6.m4.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p3.6.m4.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.SS1.p3.6.m4.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS1.p3.6.m4.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p3.6.m4.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.SS1.p3.6.m4.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">F</mi><mi id="S2.SS1.p3.6.m4.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.SS1.p3.6.m4.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S2.SS1.p3.6.m4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS1.p3.6.m4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S2.SS1.p3.6.m4.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS1.p3.6.m4.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S2.SS1.p3.6.m4.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.SS1.p3.6.m4.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p3.6.m4.1.1.1.1.1.1.3.2.2" mathvariant="normal" xref="S2.SS1.p3.6.m4.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">Θ</mi><mi id="S2.SS1.p3.6.m4.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S2.SS1.p3.6.m4.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S2.SS1.p3.6.m4.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S2.SS1.p3.6.m4.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS1.p3.6.m4.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.SS1.p3.6.m4.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">t</mi></mrow></mrow><mo id="S2.SS1.p3.6.m4.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS1.p3.6.m4.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.SS1.p3.6.m4.1.1.1.2c" xref="S2.SS1.p3.6.m4.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS1.p3.6.m4.1.1.1.6" xref="S2.SS1.p3.6.m4.1.1.1.6.cmml">t</mi></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p3.6.m4.1b"><apply id="S2.SS1.p3.6.m4.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.6.m4.1.2"><times id="S2.SS1.p3.6.m4.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.6.m4.1.2.1"></times><apply id="S2.SS1.p3.6.m4.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.6.m4.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p3.6.m4.1.2.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.6.m4.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p3.6.m4.1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.6.m4.1.2.2.2">𝑐</ci><ci id="S2.SS1.p3.6.m4.1.2.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p3.6.m4.1.2.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S2.SS1.p3.6.m4.1.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p3.6.m4.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p3.6.m4.1.2.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.6.m4.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p3.6.m4.1.2.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.6.m4.1.2.3.2">𝑒</ci><apply id="S2.SS1.p3.6.m4.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.6.m4.1.1.1"><times id="S2.SS1.p3.6.m4.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.6.m4.1.1.1.2"></times><ci id="S2.SS1.p3.6.m4.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p3.6.m4.1.1.1.3">𝑗</ci><cn id="S2.SS1.p3.6.m4.1.1.1.4.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p3.6.m4.1.1.1.4">2</cn><ci id="S2.SS1.p3.6.m4.1.1.1.5.cmml" xref="S2.SS1.p3.6.m4.1.1.1.5">𝜋</ci><apply id="S2.SS1.p3.6.m4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.6.m4.1.1.1.1.1"><plus id="S2.SS1.p3.6.m4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.6.m4.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S2.SS1.p3.6.m4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.6.m4.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p3.6.m4.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.6.m4.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p3.6.m4.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.6.m4.1.1.1.1.1.1.2.2">𝐹</ci><ci id="S2.SS1.p3.6.m4.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p3.6.m4.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S2.SS1.p3.6.m4.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p3.6.m4.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S2.SS1.p3.6.m4.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.6.m4.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S2.SS1.p3.6.m4.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.6.m4.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p3.6.m4.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.6.m4.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p3.6.m4.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.6.m4.1.1.1.1.1.1.3.2.2">Θ</ci><ci id="S2.SS1.p3.6.m4.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p3.6.m4.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑘</ci></apply><ci id="S2.SS1.p3.6.m4.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p3.6.m4.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="S2.SS1.p3.6.m4.1.1.1.6.cmml" xref="S2.SS1.p3.6.m4.1.1.1.6">𝑡</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p3.6.m4.1c">c_{k}e^{j2\pi(F_{k}+\Theta_{k}t)t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p3.6.m4.1d">italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_j 2 italic_π ( italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT + roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT italic_t ) italic_t end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is given by <math alttext="B_{k}=T\Theta_{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p3.7.m5.1"><semantics id="S2.SS1.p3.7.m5.1a"><mrow id="S2.SS1.p3.7.m5.1.1" xref="S2.SS1.p3.7.m5.1.1.cmml"><msub id="S2.SS1.p3.7.m5.1.1.2" xref="S2.SS1.p3.7.m5.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p3.7.m5.1.1.2.2" xref="S2.SS1.p3.7.m5.1.1.2.2.cmml">B</mi><mi id="S2.SS1.p3.7.m5.1.1.2.3" xref="S2.SS1.p3.7.m5.1.1.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S2.SS1.p3.7.m5.1.1.1" xref="S2.SS1.p3.7.m5.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.SS1.p3.7.m5.1.1.3" xref="S2.SS1.p3.7.m5.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p3.7.m5.1.1.3.2" xref="S2.SS1.p3.7.m5.1.1.3.2.cmml">T</mi><mo id="S2.SS1.p3.7.m5.1.1.3.1" xref="S2.SS1.p3.7.m5.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.SS1.p3.7.m5.1.1.3.3" xref="S2.SS1.p3.7.m5.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p3.7.m5.1.1.3.3.2" mathvariant="normal" xref="S2.SS1.p3.7.m5.1.1.3.3.2.cmml">Θ</mi><mi id="S2.SS1.p3.7.m5.1.1.3.3.3" xref="S2.SS1.p3.7.m5.1.1.3.3.3.cmml">k</mi></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p3.7.m5.1b"><apply id="S2.SS1.p3.7.m5.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.7.m5.1.1"><eq id="S2.SS1.p3.7.m5.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.7.m5.1.1.1"></eq><apply id="S2.SS1.p3.7.m5.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.7.m5.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p3.7.m5.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.7.m5.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p3.7.m5.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.7.m5.1.1.2.2">𝐵</ci><ci id="S2.SS1.p3.7.m5.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p3.7.m5.1.1.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S2.SS1.p3.7.m5.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p3.7.m5.1.1.3"><times id="S2.SS1.p3.7.m5.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.7.m5.1.1.3.1"></times><ci id="S2.SS1.p3.7.m5.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.7.m5.1.1.3.2">𝑇</ci><apply id="S2.SS1.p3.7.m5.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p3.7.m5.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p3.7.m5.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.7.m5.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p3.7.m5.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.7.m5.1.1.3.3.2">Θ</ci><ci id="S2.SS1.p3.7.m5.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p3.7.m5.1.1.3.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p3.7.m5.1c">B_{k}=T\Theta_{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p3.7.m5.1d">italic_B start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT = italic_T roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. Assume that all of the analog frequencies of <math alttext="x(t)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p3.8.m6.1"><semantics id="S2.SS1.p3.8.m6.1a"><mrow id="S2.SS1.p3.8.m6.1.2" xref="S2.SS1.p3.8.m6.1.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p3.8.m6.1.2.2" xref="S2.SS1.p3.8.m6.1.2.2.cmml">x</mi><mo id="S2.SS1.p3.8.m6.1.2.1" xref="S2.SS1.p3.8.m6.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS1.p3.8.m6.1.2.3.2" xref="S2.SS1.p3.8.m6.1.2.cmml"><mo id="S2.SS1.p3.8.m6.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p3.8.m6.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.SS1.p3.8.m6.1.1" xref="S2.SS1.p3.8.m6.1.1.cmml">t</mi><mo id="S2.SS1.p3.8.m6.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p3.8.m6.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p3.8.m6.1b"><apply id="S2.SS1.p3.8.m6.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.8.m6.1.2"><times id="S2.SS1.p3.8.m6.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.8.m6.1.2.1"></times><ci id="S2.SS1.p3.8.m6.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.8.m6.1.2.2">𝑥</ci><ci id="S2.SS1.p3.8.m6.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.8.m6.1.1">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p3.8.m6.1c">x(t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p3.8.m6.1d">italic_x ( italic_t )</annotation></semantics></math> are bandlimited to <math alttext="[-W,W]" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p3.9.m7.2"><semantics id="S2.SS1.p3.9.m7.2a"><mrow id="S2.SS1.p3.9.m7.2.2.1" xref="S2.SS1.p3.9.m7.2.2.2.cmml"><mo id="S2.SS1.p3.9.m7.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p3.9.m7.2.2.2.cmml">[</mo><mrow id="S2.SS1.p3.9.m7.2.2.1.1" xref="S2.SS1.p3.9.m7.2.2.1.1.cmml"><mo id="S2.SS1.p3.9.m7.2.2.1.1a" xref="S2.SS1.p3.9.m7.2.2.1.1.cmml">−</mo><mi id="S2.SS1.p3.9.m7.2.2.1.1.2" xref="S2.SS1.p3.9.m7.2.2.1.1.2.cmml">W</mi></mrow><mo id="S2.SS1.p3.9.m7.2.2.1.3" xref="S2.SS1.p3.9.m7.2.2.2.cmml">,</mo><mi id="S2.SS1.p3.9.m7.1.1" xref="S2.SS1.p3.9.m7.1.1.cmml">W</mi><mo id="S2.SS1.p3.9.m7.2.2.1.4" stretchy="false" xref="S2.SS1.p3.9.m7.2.2.2.cmml">]</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p3.9.m7.2b"><interval closure="closed" id="S2.SS1.p3.9.m7.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.9.m7.2.2.1"><apply id="S2.SS1.p3.9.m7.2.2.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.9.m7.2.2.1.1"><minus id="S2.SS1.p3.9.m7.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.9.m7.2.2.1.1"></minus><ci id="S2.SS1.p3.9.m7.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.9.m7.2.2.1.1.2">𝑊</ci></apply><ci id="S2.SS1.p3.9.m7.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.9.m7.1.1">𝑊</ci></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p3.9.m7.2c">[-W,W]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p3.9.m7.2d">[ - italic_W , italic_W ]</annotation></semantics></math>, and denote <math alttext="F_{s}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p3.10.m8.1"><semantics id="S2.SS1.p3.10.m8.1a"><msub id="S2.SS1.p3.10.m8.1.1" xref="S2.SS1.p3.10.m8.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.p3.10.m8.1.1.2" xref="S2.SS1.p3.10.m8.1.1.2.cmml">F</mi><mi id="S2.SS1.p3.10.m8.1.1.3" xref="S2.SS1.p3.10.m8.1.1.3.cmml">s</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p3.10.m8.1b"><apply id="S2.SS1.p3.10.m8.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.10.m8.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p3.10.m8.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.10.m8.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p3.10.m8.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.10.m8.1.1.2">𝐹</ci><ci id="S2.SS1.p3.10.m8.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p3.10.m8.1.1.3">𝑠</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p3.10.m8.1c">F_{s}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p3.10.m8.1d">italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> as the sampling rate, which satisfies the Nyquist sampling theorem with <math alttext="F_{s}\geq 2W" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p3.11.m9.1"><semantics id="S2.SS1.p3.11.m9.1a"><mrow id="S2.SS1.p3.11.m9.1.1" xref="S2.SS1.p3.11.m9.1.1.cmml"><msub id="S2.SS1.p3.11.m9.1.1.2" xref="S2.SS1.p3.11.m9.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p3.11.m9.1.1.2.2" xref="S2.SS1.p3.11.m9.1.1.2.2.cmml">F</mi><mi id="S2.SS1.p3.11.m9.1.1.2.3" xref="S2.SS1.p3.11.m9.1.1.2.3.cmml">s</mi></msub><mo id="S2.SS1.p3.11.m9.1.1.1" xref="S2.SS1.p3.11.m9.1.1.1.cmml">≥</mo><mrow id="S2.SS1.p3.11.m9.1.1.3" xref="S2.SS1.p3.11.m9.1.1.3.cmml"><mn id="S2.SS1.p3.11.m9.1.1.3.2" xref="S2.SS1.p3.11.m9.1.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="S2.SS1.p3.11.m9.1.1.3.1" xref="S2.SS1.p3.11.m9.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS1.p3.11.m9.1.1.3.3" xref="S2.SS1.p3.11.m9.1.1.3.3.cmml">W</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p3.11.m9.1b"><apply id="S2.SS1.p3.11.m9.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.11.m9.1.1"><geq id="S2.SS1.p3.11.m9.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.11.m9.1.1.1"></geq><apply id="S2.SS1.p3.11.m9.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.11.m9.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p3.11.m9.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.11.m9.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p3.11.m9.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.11.m9.1.1.2.2">𝐹</ci><ci id="S2.SS1.p3.11.m9.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p3.11.m9.1.1.2.3">𝑠</ci></apply><apply id="S2.SS1.p3.11.m9.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p3.11.m9.1.1.3"><times id="S2.SS1.p3.11.m9.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.11.m9.1.1.3.1"></times><cn id="S2.SS1.p3.11.m9.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p3.11.m9.1.1.3.2">2</cn><ci id="S2.SS1.p3.11.m9.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p3.11.m9.1.1.3.3">𝑊</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p3.11.m9.1c">F_{s}\geq 2W</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p3.11.m9.1d">italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT ≥ 2 italic_W</annotation></semantics></math>. By taking <math alttext="N" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p3.12.m10.1"><semantics id="S2.SS1.p3.12.m10.1a"><mi id="S2.SS1.p3.12.m10.1.1" xref="S2.SS1.p3.12.m10.1.1.cmml">N</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p3.12.m10.1b"><ci id="S2.SS1.p3.12.m10.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.12.m10.1.1">𝑁</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p3.12.m10.1c">N</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p3.12.m10.1d">italic_N</annotation></semantics></math> regularly spaced samples of <math alttext="x(t)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p3.13.m11.1"><semantics id="S2.SS1.p3.13.m11.1a"><mrow id="S2.SS1.p3.13.m11.1.2" xref="S2.SS1.p3.13.m11.1.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p3.13.m11.1.2.2" xref="S2.SS1.p3.13.m11.1.2.2.cmml">x</mi><mo id="S2.SS1.p3.13.m11.1.2.1" xref="S2.SS1.p3.13.m11.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS1.p3.13.m11.1.2.3.2" xref="S2.SS1.p3.13.m11.1.2.cmml"><mo id="S2.SS1.p3.13.m11.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p3.13.m11.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.SS1.p3.13.m11.1.1" xref="S2.SS1.p3.13.m11.1.1.cmml">t</mi><mo id="S2.SS1.p3.13.m11.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p3.13.m11.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p3.13.m11.1b"><apply id="S2.SS1.p3.13.m11.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.13.m11.1.2"><times id="S2.SS1.p3.13.m11.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.13.m11.1.2.1"></times><ci id="S2.SS1.p3.13.m11.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.13.m11.1.2.2">𝑥</ci><ci id="S2.SS1.p3.13.m11.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.13.m11.1.1">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p3.13.m11.1c">x(t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p3.13.m11.1d">italic_x ( italic_t )</annotation></semantics></math> at times <math alttext="\left\{\frac{0}{F_{s}},\frac{1}{F_{s}},\cdots,\frac{N-1}{F_{s}}\right\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p3.14.m12.4"><semantics id="S2.SS1.p3.14.m12.4a"><mrow id="S2.SS1.p3.14.m12.4.5.2" xref="S2.SS1.p3.14.m12.4.5.1.cmml"><mo id="S2.SS1.p3.14.m12.4.5.2.1" xref="S2.SS1.p3.14.m12.4.5.1.cmml">{</mo><mfrac id="S2.SS1.p3.14.m12.1.1" xref="S2.SS1.p3.14.m12.1.1.cmml"><mn id="S2.SS1.p3.14.m12.1.1.2" xref="S2.SS1.p3.14.m12.1.1.2.cmml">0</mn><msub id="S2.SS1.p3.14.m12.1.1.3" xref="S2.SS1.p3.14.m12.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p3.14.m12.1.1.3.2" xref="S2.SS1.p3.14.m12.1.1.3.2.cmml">F</mi><mi id="S2.SS1.p3.14.m12.1.1.3.3" xref="S2.SS1.p3.14.m12.1.1.3.3.cmml">s</mi></msub></mfrac><mo id="S2.SS1.p3.14.m12.4.5.2.2" xref="S2.SS1.p3.14.m12.4.5.1.cmml">,</mo><mfrac id="S2.SS1.p3.14.m12.2.2" xref="S2.SS1.p3.14.m12.2.2.cmml"><mn id="S2.SS1.p3.14.m12.2.2.2" xref="S2.SS1.p3.14.m12.2.2.2.cmml">1</mn><msub id="S2.SS1.p3.14.m12.2.2.3" xref="S2.SS1.p3.14.m12.2.2.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p3.14.m12.2.2.3.2" xref="S2.SS1.p3.14.m12.2.2.3.2.cmml">F</mi><mi id="S2.SS1.p3.14.m12.2.2.3.3" xref="S2.SS1.p3.14.m12.2.2.3.3.cmml">s</mi></msub></mfrac><mo id="S2.SS1.p3.14.m12.4.5.2.3" xref="S2.SS1.p3.14.m12.4.5.1.cmml">,</mo><mi id="S2.SS1.p3.14.m12.3.3" mathvariant="normal" xref="S2.SS1.p3.14.m12.3.3.cmml">⋯</mi><mo id="S2.SS1.p3.14.m12.4.5.2.4" xref="S2.SS1.p3.14.m12.4.5.1.cmml">,</mo><mfrac id="S2.SS1.p3.14.m12.4.4" xref="S2.SS1.p3.14.m12.4.4.cmml"><mrow id="S2.SS1.p3.14.m12.4.4.2" xref="S2.SS1.p3.14.m12.4.4.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p3.14.m12.4.4.2.2" xref="S2.SS1.p3.14.m12.4.4.2.2.cmml">N</mi><mo id="S2.SS1.p3.14.m12.4.4.2.1" xref="S2.SS1.p3.14.m12.4.4.2.1.cmml">−</mo><mn id="S2.SS1.p3.14.m12.4.4.2.3" xref="S2.SS1.p3.14.m12.4.4.2.3.cmml">1</mn></mrow><msub id="S2.SS1.p3.14.m12.4.4.3" xref="S2.SS1.p3.14.m12.4.4.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p3.14.m12.4.4.3.2" xref="S2.SS1.p3.14.m12.4.4.3.2.cmml">F</mi><mi id="S2.SS1.p3.14.m12.4.4.3.3" xref="S2.SS1.p3.14.m12.4.4.3.3.cmml">s</mi></msub></mfrac><mo id="S2.SS1.p3.14.m12.4.5.2.5" xref="S2.SS1.p3.14.m12.4.5.1.cmml">}</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p3.14.m12.4b"><set id="S2.SS1.p3.14.m12.4.5.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.14.m12.4.5.2"><apply id="S2.SS1.p3.14.m12.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.14.m12.1.1"><divide id="S2.SS1.p3.14.m12.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.14.m12.1.1"></divide><cn id="S2.SS1.p3.14.m12.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p3.14.m12.1.1.2">0</cn><apply id="S2.SS1.p3.14.m12.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p3.14.m12.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p3.14.m12.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.14.m12.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p3.14.m12.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.14.m12.1.1.3.2">𝐹</ci><ci id="S2.SS1.p3.14.m12.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p3.14.m12.1.1.3.3">𝑠</ci></apply></apply><apply id="S2.SS1.p3.14.m12.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.14.m12.2.2"><divide id="S2.SS1.p3.14.m12.2.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.14.m12.2.2"></divide><cn id="S2.SS1.p3.14.m12.2.2.2.cmml" type="integer" 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xref="S2.SS1.p3.14.m12.4.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p3.14.m12.4.4.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.14.m12.4.4.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p3.14.m12.4.4.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.14.m12.4.4.3.2">𝐹</ci><ci id="S2.SS1.p3.14.m12.4.4.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p3.14.m12.4.4.3.3">𝑠</ci></apply></apply></set></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p3.14.m12.4c">\left\{\frac{0}{F_{s}},\frac{1}{F_{s}},\cdots,\frac{N-1}{F_{s}}\right\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p3.14.m12.4d">{ divide start_ARG 0 end_ARG start_ARG italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT end_ARG , divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT end_ARG , ⋯ , divide start_ARG italic_N - 1 end_ARG start_ARG italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT end_ARG }</annotation></semantics></math>, we have</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_table" id="S2.E3"> <tbody> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S2.E3X"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle x\left(t=\frac{n}{F_{s}}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E3X.2.1.1.m1.1"><semantics id="S2.E3X.2.1.1.m1.1a"><mrow id="S2.E3X.2.1.1.m1.1.1" xref="S2.E3X.2.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.E3X.2.1.1.m1.1.1.3" xref="S2.E3X.2.1.1.m1.1.1.3.cmml">x</mi><mo id="S2.E3X.2.1.1.m1.1.1.2" xref="S2.E3X.2.1.1.m1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E3X.2.1.1.m1.1.1.1.1" xref="S2.E3X.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E3X.2.1.1.m1.1.1.1.1.2" xref="S2.E3X.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E3X.2.1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S2.E3X.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E3X.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E3X.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S2.E3X.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E3X.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mstyle displaystyle="true" id="S2.E3X.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E3X.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S2.E3X.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.3a" xref="S2.E3X.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.E3X.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E3X.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">n</mi><msub id="S2.E3X.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.E3X.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.E3X.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S2.E3X.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">F</mi><mi id="S2.E3X.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S2.E3X.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">s</mi></msub></mfrac></mstyle></mrow><mo id="S2.E3X.2.1.1.m1.1.1.1.1.3" xref="S2.E3X.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E3X.2.1.1.m1.1b"><apply id="S2.E3X.2.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.E3X.2.1.1.m1.1.1"><times id="S2.E3X.2.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.E3X.2.1.1.m1.1.1.2"></times><ci id="S2.E3X.2.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.E3X.2.1.1.m1.1.1.3">𝑥</ci><apply id="S2.E3X.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E3X.2.1.1.m1.1.1.1.1"><eq id="S2.E3X.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E3X.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.1"></eq><ci id="S2.E3X.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E3X.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.2">𝑡</ci><apply id="S2.E3X.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E3X.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.3"><divide id="S2.E3X.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E3X.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.3"></divide><ci id="S2.E3X.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E3X.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.3.2">𝑛</ci><apply id="S2.E3X.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E3X.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E3X.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.E3X.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E3X.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.E3X.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝐹</ci><ci id="S2.E3X.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.E3X.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑠</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E3X.2.1.1.m1.1c">\displaystyle x\left(t=\frac{n}{F_{s}}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E3X.2.1.1.m1.1d">italic_x ( italic_t = divide start_ARG italic_n end_ARG start_ARG italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT end_ARG )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\sum_{k=1}^{K}c_{k}e^{j2\pi\left(\frac{F_{k}}{F_{s}}+\frac{% \Theta_{k}}{F_{s}^{2}}n\right)n},n=0,1,\cdots,N-1." class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E3X.3.2.2.m1.5"><semantics id="S2.E3X.3.2.2.m1.5a"><mrow id="S2.E3X.3.2.2.m1.5.5.1"><mrow id="S2.E3X.3.2.2.m1.5.5.1.1.2" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.5.5.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.E3X.3.2.2.m1.5.5.1.1.1.1" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.5.5.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E3X.3.2.2.m1.5.5.1.1.1.1.2" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml"></mi><mo id="S2.E3X.3.2.2.m1.5.5.1.1.1.1.1" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.E3X.3.2.2.m1.5.5.1.1.1.1.3" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.5.5.1.1.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.E3X.3.2.2.m1.5.5.1.1.1.1.3.1" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.5.5.1.1.1.1.3.1.cmml"><munderover id="S2.E3X.3.2.2.m1.5.5.1.1.1.1.3.1a" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.5.5.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S2.E3X.3.2.2.m1.5.5.1.1.1.1.3.1.2.2" movablelimits="false" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.5.5.1.1.1.1.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S2.E3X.3.2.2.m1.5.5.1.1.1.1.3.1.2.3" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.5.5.1.1.1.1.3.1.2.3.cmml"><mi id="S2.E3X.3.2.2.m1.5.5.1.1.1.1.3.1.2.3.2" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.5.5.1.1.1.1.3.1.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S2.E3X.3.2.2.m1.5.5.1.1.1.1.3.1.2.3.1" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.5.5.1.1.1.1.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S2.E3X.3.2.2.m1.5.5.1.1.1.1.3.1.2.3.3" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.5.5.1.1.1.1.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S2.E3X.3.2.2.m1.5.5.1.1.1.1.3.1.3" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.5.5.1.1.1.1.3.1.3.cmml">K</mi></munderover></mstyle><mrow id="S2.E3X.3.2.2.m1.5.5.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.cmml"><msub id="S2.E3X.3.2.2.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S2.E3X.3.2.2.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">c</mi><mi id="S2.E3X.3.2.2.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S2.E3X.3.2.2.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.1" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S2.E3X.3.2.2.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.3" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S2.E3X.3.2.2.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">e</mi><mrow id="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.3" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.3.cmml">j</mi><mo id="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.2" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mn id="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.4" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.4.cmml">2</mn><mo id="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.2a" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.5" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.5.cmml">π</mi><mo id="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.2b" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">F</mi><mi id="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">k</mi></msub><msub id="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">F</mi><mi id="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">s</mi></msub></mfrac><mo id="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><msub id="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">Θ</mi><mi id="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">k</mi></msub><msubsup id="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.cmml">F</mi><mi id="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.cmml">s</mi><mn id="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">2</mn></msubsup></mfrac><mo id="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">n</mi></mrow></mrow><mo id="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.2c" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.6" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.6.cmml">n</mi></mrow></msup></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E3X.3.2.2.m1.5.5.1.1.2.3" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.5.5.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S2.E3X.3.2.2.m1.5.5.1.1.2.2" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.5.5.1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.E3X.3.2.2.m1.5.5.1.1.2.2.3" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.5.5.1.1.2.2.3.cmml">n</mi><mo id="S2.E3X.3.2.2.m1.5.5.1.1.2.2.2" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.5.5.1.1.2.2.2.cmml">=</mo><mrow id="S2.E3X.3.2.2.m1.5.5.1.1.2.2.1.1" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.5.5.1.1.2.2.1.2.cmml"><mn id="S2.E3X.3.2.2.m1.2.2" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.2.2.cmml">0</mn><mo id="S2.E3X.3.2.2.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.2" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.5.5.1.1.2.2.1.2.cmml">,</mo><mn id="S2.E3X.3.2.2.m1.3.3" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.3.3.cmml">1</mn><mo id="S2.E3X.3.2.2.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.3" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.5.5.1.1.2.2.1.2.cmml">,</mo><mi id="S2.E3X.3.2.2.m1.4.4" mathvariant="normal" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.4.4.cmml">⋯</mi><mo id="S2.E3X.3.2.2.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.4" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.5.5.1.1.2.2.1.2.cmml">,</mo><mrow id="S2.E3X.3.2.2.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E3X.3.2.2.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.2" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml">N</mi><mo id="S2.E3X.3.2.2.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S2.E3X.3.2.2.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.3" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E3X.3.2.2.m1.5.5.1.2" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E3X.3.2.2.m1.5b"><apply id="S2.E3X.3.2.2.m1.5.5.1.1.3.cmml" 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id="S2.E3X.3.2.2.m1.5.5.1.1.1.1.3.1.2.2.cmml" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.5.5.1.1.1.1.3.1.2.2"></sum><apply id="S2.E3X.3.2.2.m1.5.5.1.1.1.1.3.1.2.3.cmml" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.5.5.1.1.1.1.3.1.2.3"><eq id="S2.E3X.3.2.2.m1.5.5.1.1.1.1.3.1.2.3.1.cmml" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.5.5.1.1.1.1.3.1.2.3.1"></eq><ci id="S2.E3X.3.2.2.m1.5.5.1.1.1.1.3.1.2.3.2.cmml" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.5.5.1.1.1.1.3.1.2.3.2">𝑘</ci><cn id="S2.E3X.3.2.2.m1.5.5.1.1.1.1.3.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.5.5.1.1.1.1.3.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S2.E3X.3.2.2.m1.5.5.1.1.1.1.3.1.3.cmml" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.5.5.1.1.1.1.3.1.3">𝐾</ci></apply><apply id="S2.E3X.3.2.2.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.5.5.1.1.1.1.3.2"><times id="S2.E3X.3.2.2.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.1"></times><apply id="S2.E3X.3.2.2.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E3X.3.2.2.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" 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id="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1"><plus id="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.2"><divide id="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.2"></divide><apply id="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝐹</ci><ci id="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝐹</ci><ci id="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">𝑠</ci></apply></apply><apply id="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2"><divide id="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2"></divide><apply id="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2">Θ</ci><ci id="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">superscript</csymbol><apply id="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.1.cmml" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2.cmml" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.2">𝐹</ci><ci id="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3.cmml" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.3">𝑠</ci></apply><cn id="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3">2</cn></apply></apply><ci id="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑛</ci></apply></apply><ci id="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.6.cmml" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.1.1.1.6">𝑛</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.E3X.3.2.2.m1.5.5.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.5.5.1.1.2.2"><eq id="S2.E3X.3.2.2.m1.5.5.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.5.5.1.1.2.2.2"></eq><ci id="S2.E3X.3.2.2.m1.5.5.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.5.5.1.1.2.2.3">𝑛</ci><list id="S2.E3X.3.2.2.m1.5.5.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.5.5.1.1.2.2.1.1"><cn id="S2.E3X.3.2.2.m1.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.2.2">0</cn><cn id="S2.E3X.3.2.2.m1.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.3.3">1</cn><ci id="S2.E3X.3.2.2.m1.4.4.cmml" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.4.4">⋯</ci><apply id="S2.E3X.3.2.2.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1"><minus id="S2.E3X.3.2.2.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.1"></minus><ci id="S2.E3X.3.2.2.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.2">𝑁</ci><cn id="S2.E3X.3.2.2.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.E3X.3.2.2.m1.5.5.1.1.2.2.1.1.1.3">1</cn></apply></list></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E3X.3.2.2.m1.5c">\displaystyle=\sum_{k=1}^{K}c_{k}e^{j2\pi\left(\frac{F_{k}}{F_{s}}+\frac{% \Theta_{k}}{F_{s}^{2}}n\right)n},n=0,1,\cdots,N-1.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E3X.3.2.2.m1.5d">= ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_k = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_K end_POSTSUPERSCRIPT italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_j 2 italic_π ( divide start_ARG italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT end_ARG + divide start_ARG roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG italic_n ) italic_n end_POSTSUPERSCRIPT , italic_n = 0 , 1 , ⋯ , italic_N - 1 .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equationgroup ltx_align_right">(3)</span></td> </tr> </tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p3.18">Redefining <math alttext="\boldsymbol{x}(n)=x(n/F_{s})" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p3.15.m1.2"><semantics id="S2.SS1.p3.15.m1.2a"><mrow id="S2.SS1.p3.15.m1.2.2" xref="S2.SS1.p3.15.m1.2.2.cmml"><mrow id="S2.SS1.p3.15.m1.2.2.3" xref="S2.SS1.p3.15.m1.2.2.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p3.15.m1.2.2.3.2" xref="S2.SS1.p3.15.m1.2.2.3.2.cmml">𝒙</mi><mo id="S2.SS1.p3.15.m1.2.2.3.1" xref="S2.SS1.p3.15.m1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS1.p3.15.m1.2.2.3.3.2" xref="S2.SS1.p3.15.m1.2.2.3.cmml"><mo id="S2.SS1.p3.15.m1.2.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.p3.15.m1.2.2.3.cmml">(</mo><mi id="S2.SS1.p3.15.m1.1.1" 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xref="S2.SS1.p3.15.m1.2.2.1.3">𝑥</ci><apply id="S2.SS1.p3.15.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.15.m1.2.2.1.1.1"><divide id="S2.SS1.p3.15.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.15.m1.2.2.1.1.1.1.1"></divide><ci id="S2.SS1.p3.15.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.15.m1.2.2.1.1.1.1.2">𝑛</ci><apply id="S2.SS1.p3.15.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p3.15.m1.2.2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p3.15.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.15.m1.2.2.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p3.15.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.15.m1.2.2.1.1.1.1.3.2">𝐹</ci><ci id="S2.SS1.p3.15.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p3.15.m1.2.2.1.1.1.1.3.3">𝑠</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p3.15.m1.2c">\boldsymbol{x}(n)=x(n/F_{s})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p3.15.m1.2d">bold_italic_x ( italic_n ) = italic_x ( italic_n / italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math>, <math alttext="f_{k}=F_{k}/F_{s}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p3.16.m2.1"><semantics id="S2.SS1.p3.16.m2.1a"><mrow id="S2.SS1.p3.16.m2.1.1" xref="S2.SS1.p3.16.m2.1.1.cmml"><msub id="S2.SS1.p3.16.m2.1.1.2" xref="S2.SS1.p3.16.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p3.16.m2.1.1.2.2" xref="S2.SS1.p3.16.m2.1.1.2.2.cmml">f</mi><mi id="S2.SS1.p3.16.m2.1.1.2.3" xref="S2.SS1.p3.16.m2.1.1.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S2.SS1.p3.16.m2.1.1.1" xref="S2.SS1.p3.16.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.SS1.p3.16.m2.1.1.3" xref="S2.SS1.p3.16.m2.1.1.3.cmml"><msub id="S2.SS1.p3.16.m2.1.1.3.2" xref="S2.SS1.p3.16.m2.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p3.16.m2.1.1.3.2.2" xref="S2.SS1.p3.16.m2.1.1.3.2.2.cmml">F</mi><mi id="S2.SS1.p3.16.m2.1.1.3.2.3" xref="S2.SS1.p3.16.m2.1.1.3.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S2.SS1.p3.16.m2.1.1.3.1" xref="S2.SS1.p3.16.m2.1.1.3.1.cmml">/</mo><msub id="S2.SS1.p3.16.m2.1.1.3.3" xref="S2.SS1.p3.16.m2.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p3.16.m2.1.1.3.3.2" xref="S2.SS1.p3.16.m2.1.1.3.3.2.cmml">F</mi><mi id="S2.SS1.p3.16.m2.1.1.3.3.3" xref="S2.SS1.p3.16.m2.1.1.3.3.3.cmml">s</mi></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p3.16.m2.1b"><apply id="S2.SS1.p3.16.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.16.m2.1.1"><eq id="S2.SS1.p3.16.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.16.m2.1.1.1"></eq><apply id="S2.SS1.p3.16.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.16.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p3.16.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.16.m2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p3.16.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.16.m2.1.1.2.2">𝑓</ci><ci id="S2.SS1.p3.16.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p3.16.m2.1.1.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S2.SS1.p3.16.m2.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p3.16.m2.1.1.3"><divide id="S2.SS1.p3.16.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.16.m2.1.1.3.1"></divide><apply id="S2.SS1.p3.16.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.16.m2.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p3.16.m2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.16.m2.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p3.16.m2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.16.m2.1.1.3.2.2">𝐹</ci><ci id="S2.SS1.p3.16.m2.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p3.16.m2.1.1.3.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S2.SS1.p3.16.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p3.16.m2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p3.16.m2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.16.m2.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p3.16.m2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.16.m2.1.1.3.3.2">𝐹</ci><ci id="S2.SS1.p3.16.m2.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p3.16.m2.1.1.3.3.3">𝑠</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p3.16.m2.1c">f_{k}=F_{k}/F_{s}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p3.16.m2.1d">italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT = italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT / italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, and <math alttext="\theta_{k}=\Theta_{k}/F_{s}^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p3.17.m3.1"><semantics id="S2.SS1.p3.17.m3.1a"><mrow id="S2.SS1.p3.17.m3.1.1" xref="S2.SS1.p3.17.m3.1.1.cmml"><msub id="S2.SS1.p3.17.m3.1.1.2" xref="S2.SS1.p3.17.m3.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p3.17.m3.1.1.2.2" xref="S2.SS1.p3.17.m3.1.1.2.2.cmml">θ</mi><mi id="S2.SS1.p3.17.m3.1.1.2.3" xref="S2.SS1.p3.17.m3.1.1.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S2.SS1.p3.17.m3.1.1.1" xref="S2.SS1.p3.17.m3.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.SS1.p3.17.m3.1.1.3" xref="S2.SS1.p3.17.m3.1.1.3.cmml"><msub id="S2.SS1.p3.17.m3.1.1.3.2" xref="S2.SS1.p3.17.m3.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.SS1.p3.17.m3.1.1.3.2.2" mathvariant="normal" xref="S2.SS1.p3.17.m3.1.1.3.2.2.cmml">Θ</mi><mi id="S2.SS1.p3.17.m3.1.1.3.2.3" xref="S2.SS1.p3.17.m3.1.1.3.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S2.SS1.p3.17.m3.1.1.3.1" xref="S2.SS1.p3.17.m3.1.1.3.1.cmml">/</mo><msubsup id="S2.SS1.p3.17.m3.1.1.3.3" xref="S2.SS1.p3.17.m3.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.SS1.p3.17.m3.1.1.3.3.2.2" xref="S2.SS1.p3.17.m3.1.1.3.3.2.2.cmml">F</mi><mi id="S2.SS1.p3.17.m3.1.1.3.3.2.3" xref="S2.SS1.p3.17.m3.1.1.3.3.2.3.cmml">s</mi><mn id="S2.SS1.p3.17.m3.1.1.3.3.3" xref="S2.SS1.p3.17.m3.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p3.17.m3.1b"><apply id="S2.SS1.p3.17.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.17.m3.1.1"><eq id="S2.SS1.p3.17.m3.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.17.m3.1.1.1"></eq><apply id="S2.SS1.p3.17.m3.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.17.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p3.17.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.17.m3.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p3.17.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.17.m3.1.1.2.2">𝜃</ci><ci id="S2.SS1.p3.17.m3.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p3.17.m3.1.1.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S2.SS1.p3.17.m3.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.p3.17.m3.1.1.3"><divide id="S2.SS1.p3.17.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.17.m3.1.1.3.1"></divide><apply id="S2.SS1.p3.17.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.17.m3.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p3.17.m3.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.17.m3.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p3.17.m3.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.17.m3.1.1.3.2.2">Θ</ci><ci id="S2.SS1.p3.17.m3.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p3.17.m3.1.1.3.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S2.SS1.p3.17.m3.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS1.p3.17.m3.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p3.17.m3.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.17.m3.1.1.3.3">superscript</csymbol><apply id="S2.SS1.p3.17.m3.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.17.m3.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.p3.17.m3.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.17.m3.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS1.p3.17.m3.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.17.m3.1.1.3.3.2.2">𝐹</ci><ci id="S2.SS1.p3.17.m3.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S2.SS1.p3.17.m3.1.1.3.3.2.3">𝑠</ci></apply><cn id="S2.SS1.p3.17.m3.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p3.17.m3.1.1.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p3.17.m3.1c">\theta_{k}=\Theta_{k}/F_{s}^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p3.17.m3.1d">italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT = roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT / italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, we obtain a discrete-time signal model with normalized frequency in the interval of <math alttext="[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p3.18.m4.2"><semantics id="S2.SS1.p3.18.m4.2a"><mrow id="S2.SS1.p3.18.m4.2.2.1" xref="S2.SS1.p3.18.m4.2.2.2.cmml"><mo id="S2.SS1.p3.18.m4.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.p3.18.m4.2.2.2.cmml">[</mo><mrow id="S2.SS1.p3.18.m4.2.2.1.1" xref="S2.SS1.p3.18.m4.2.2.1.1.cmml"><mo id="S2.SS1.p3.18.m4.2.2.1.1a" xref="S2.SS1.p3.18.m4.2.2.1.1.cmml">−</mo><mfrac id="S2.SS1.p3.18.m4.2.2.1.1.2" xref="S2.SS1.p3.18.m4.2.2.1.1.2.cmml"><mn id="S2.SS1.p3.18.m4.2.2.1.1.2.2" xref="S2.SS1.p3.18.m4.2.2.1.1.2.2.cmml">1</mn><mn id="S2.SS1.p3.18.m4.2.2.1.1.2.3" xref="S2.SS1.p3.18.m4.2.2.1.1.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mrow><mo id="S2.SS1.p3.18.m4.2.2.1.3" xref="S2.SS1.p3.18.m4.2.2.2.cmml">,</mo><mfrac id="S2.SS1.p3.18.m4.1.1" xref="S2.SS1.p3.18.m4.1.1.cmml"><mn id="S2.SS1.p3.18.m4.1.1.2" xref="S2.SS1.p3.18.m4.1.1.2.cmml">1</mn><mn id="S2.SS1.p3.18.m4.1.1.3" xref="S2.SS1.p3.18.m4.1.1.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S2.SS1.p3.18.m4.2.2.1.4" stretchy="false" xref="S2.SS1.p3.18.m4.2.2.2.cmml">]</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p3.18.m4.2b"><interval closure="closed" id="S2.SS1.p3.18.m4.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.18.m4.2.2.1"><apply id="S2.SS1.p3.18.m4.2.2.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.18.m4.2.2.1.1"><minus id="S2.SS1.p3.18.m4.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.18.m4.2.2.1.1"></minus><apply id="S2.SS1.p3.18.m4.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.p3.18.m4.2.2.1.1.2"><divide id="S2.SS1.p3.18.m4.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.18.m4.2.2.1.1.2"></divide><cn id="S2.SS1.p3.18.m4.2.2.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p3.18.m4.2.2.1.1.2.2">1</cn><cn id="S2.SS1.p3.18.m4.2.2.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p3.18.m4.2.2.1.1.2.3">2</cn></apply></apply><apply id="S2.SS1.p3.18.m4.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.18.m4.1.1"><divide id="S2.SS1.p3.18.m4.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p3.18.m4.1.1"></divide><cn id="S2.SS1.p3.18.m4.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p3.18.m4.1.1.2">1</cn><cn id="S2.SS1.p3.18.m4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.p3.18.m4.1.1.3">2</cn></apply></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p3.18.m4.2c">[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p3.18.m4.2d">[ - divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG , divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG ]</annotation></semantics></math>, which is the signal model (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15164v1#S2.E1" title="In II-A Signal Model ‣ II Signal Model and Problem Formulation ‣ Gridless Chirp Parameter Retrieval via Constrained Two-Dimensional Atomic Norm Minimization D. Yang and F. Xi contributed equally to this work. D. Yang was supported in part by the Research Development Fund (RDF-23-02-080) from Xi’an Jiaotong-Liverpool University. F. Xi was supported in part by the National Natural Science Foundation of China under grant No. 62471230."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>) after a trivial translation in the frequency domain.</p> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="S2.SS2"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection"><span class="ltx_text" id="S2.SS2.4.1.1">II-B</span> </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.SS2.5.2">Problem Formulation</span> </h3> <div class="ltx_para" id="S2.SS2.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.p1.1">In this section, we formulate the parameter estimation of linear chirps as the super-resolution of a two-dimensional line spectrum estimation problem from structured measurement data.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS2.p2"> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.p2.2">To start with, define <math alttext="M=(N-1)^{2}+1" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p2.1.m1.1"><semantics id="S2.SS2.p2.1.m1.1a"><mrow id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.3" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.3.cmml">M</mi><mo id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.2" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.cmml"><msup id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">N</mi><mo id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.2" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.2.cmml">+</mo><mn id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.3" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p2.1.m1.1b"><apply id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1"><eq id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.2"></eq><ci id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.3">𝑀</ci><apply id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1"><plus id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.2"></plus><apply id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑁</ci><cn id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><cn id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1.3">2</cn></apply><cn id="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p2.1.m1.1.1.1.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p2.1.m1.1c">M=(N-1)^{2}+1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p2.1.m1.1d">italic_M = ( italic_N - 1 ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + 1</annotation></semantics></math>, <math alttext="J=\left\{0,1,\cdots,N-1\right\}\times\left\{0,1,\cdots,M-1\right\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p2.2.m2.8"><semantics id="S2.SS2.p2.2.m2.8a"><mrow id="S2.SS2.p2.2.m2.8.8" xref="S2.SS2.p2.2.m2.8.8.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.2.m2.8.8.4" xref="S2.SS2.p2.2.m2.8.8.4.cmml">J</mi><mo id="S2.SS2.p2.2.m2.8.8.3" xref="S2.SS2.p2.2.m2.8.8.3.cmml">=</mo><mrow id="S2.SS2.p2.2.m2.8.8.2" xref="S2.SS2.p2.2.m2.8.8.2.cmml"><mrow id="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.1" xref="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.2.cmml"><mo id="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.1.2" xref="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.2.cmml">{</mo><mn id="S2.SS2.p2.2.m2.1.1" xref="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.cmml">0</mn><mo id="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.1.3" xref="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.2.cmml">,</mo><mn id="S2.SS2.p2.2.m2.2.2" xref="S2.SS2.p2.2.m2.2.2.cmml">1</mn><mo id="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.1.4" xref="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.2.cmml">,</mo><mi id="S2.SS2.p2.2.m2.3.3" mathvariant="normal" xref="S2.SS2.p2.2.m2.3.3.cmml">⋯</mi><mo id="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.1.5" xref="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.2.cmml">,</mo><mrow id="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.1.1.2" xref="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.1.1.2.cmml">N</mi><mo id="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.1.1.3" xref="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.1.6" rspace="0.055em" xref="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.2.cmml">}</mo></mrow><mo id="S2.SS2.p2.2.m2.8.8.2.3" rspace="0.222em" xref="S2.SS2.p2.2.m2.8.8.2.3.cmml">×</mo><mrow id="S2.SS2.p2.2.m2.8.8.2.2.1" xref="S2.SS2.p2.2.m2.8.8.2.2.2.cmml"><mo id="S2.SS2.p2.2.m2.8.8.2.2.1.2" xref="S2.SS2.p2.2.m2.8.8.2.2.2.cmml">{</mo><mn id="S2.SS2.p2.2.m2.4.4" xref="S2.SS2.p2.2.m2.4.4.cmml">0</mn><mo id="S2.SS2.p2.2.m2.8.8.2.2.1.3" xref="S2.SS2.p2.2.m2.8.8.2.2.2.cmml">,</mo><mn id="S2.SS2.p2.2.m2.5.5" xref="S2.SS2.p2.2.m2.5.5.cmml">1</mn><mo id="S2.SS2.p2.2.m2.8.8.2.2.1.4" xref="S2.SS2.p2.2.m2.8.8.2.2.2.cmml">,</mo><mi id="S2.SS2.p2.2.m2.6.6" mathvariant="normal" xref="S2.SS2.p2.2.m2.6.6.cmml">⋯</mi><mo id="S2.SS2.p2.2.m2.8.8.2.2.1.5" xref="S2.SS2.p2.2.m2.8.8.2.2.2.cmml">,</mo><mrow id="S2.SS2.p2.2.m2.8.8.2.2.1.1" xref="S2.SS2.p2.2.m2.8.8.2.2.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.2.m2.8.8.2.2.1.1.2" xref="S2.SS2.p2.2.m2.8.8.2.2.1.1.2.cmml">M</mi><mo id="S2.SS2.p2.2.m2.8.8.2.2.1.1.1" xref="S2.SS2.p2.2.m2.8.8.2.2.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S2.SS2.p2.2.m2.8.8.2.2.1.1.3" xref="S2.SS2.p2.2.m2.8.8.2.2.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S2.SS2.p2.2.m2.8.8.2.2.1.6" xref="S2.SS2.p2.2.m2.8.8.2.2.2.cmml">}</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p2.2.m2.8b"><apply id="S2.SS2.p2.2.m2.8.8.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.8.8"><eq id="S2.SS2.p2.2.m2.8.8.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.8.8.3"></eq><ci id="S2.SS2.p2.2.m2.8.8.4.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.8.8.4">𝐽</ci><apply id="S2.SS2.p2.2.m2.8.8.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.8.8.2"><times id="S2.SS2.p2.2.m2.8.8.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.8.8.2.3"></times><set id="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.1"><cn id="S2.SS2.p2.2.m2.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p2.2.m2.1.1">0</cn><cn id="S2.SS2.p2.2.m2.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p2.2.m2.2.2">1</cn><ci id="S2.SS2.p2.2.m2.3.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.3.3">⋯</ci><apply id="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.1.1"><minus id="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.1.1.2">𝑁</ci><cn id="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p2.2.m2.7.7.1.1.1.1.3">1</cn></apply></set><set id="S2.SS2.p2.2.m2.8.8.2.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.8.8.2.2.1"><cn id="S2.SS2.p2.2.m2.4.4.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p2.2.m2.4.4">0</cn><cn id="S2.SS2.p2.2.m2.5.5.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p2.2.m2.5.5">1</cn><ci id="S2.SS2.p2.2.m2.6.6.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.6.6">⋯</ci><apply id="S2.SS2.p2.2.m2.8.8.2.2.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.8.8.2.2.1.1"><minus id="S2.SS2.p2.2.m2.8.8.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.8.8.2.2.1.1.1"></minus><ci id="S2.SS2.p2.2.m2.8.8.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.2.m2.8.8.2.2.1.1.2">𝑀</ci><cn id="S2.SS2.p2.2.m2.8.8.2.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p2.2.m2.8.8.2.2.1.1.3">1</cn></apply></set></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p2.2.m2.8c">J=\left\{0,1,\cdots,N-1\right\}\times\left\{0,1,\cdots,M-1\right\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p2.2.m2.8d">italic_J = { 0 , 1 , ⋯ , italic_N - 1 } × { 0 , 1 , ⋯ , italic_M - 1 }</annotation></semantics></math>, and denote</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E4"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\boldsymbol{a}(f)=\begin{bmatrix}e^{j2\pi 0f}&e^{j2\pi 1f}&\cdots&e^{j2\pi(N-1% )f}\end{bmatrix}^{T}\in\mathbb{C}^{N\times 1}" class="ltx_Math" display="block" id="S2.E4.m1.2"><semantics id="S2.E4.m1.2a"><mrow id="S2.E4.m1.2.3" xref="S2.E4.m1.2.3.cmml"><mrow id="S2.E4.m1.2.3.2" xref="S2.E4.m1.2.3.2.cmml"><mi id="S2.E4.m1.2.3.2.2" xref="S2.E4.m1.2.3.2.2.cmml">𝒂</mi><mo id="S2.E4.m1.2.3.2.1" xref="S2.E4.m1.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E4.m1.2.3.2.3.2" xref="S2.E4.m1.2.3.2.cmml"><mo id="S2.E4.m1.2.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E4.m1.2.3.2.cmml">(</mo><mi id="S2.E4.m1.2.2" xref="S2.E4.m1.2.2.cmml">f</mi><mo id="S2.E4.m1.2.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.E4.m1.2.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E4.m1.2.3.3" xref="S2.E4.m1.2.3.3.cmml">=</mo><msup id="S2.E4.m1.2.3.4" xref="S2.E4.m1.2.3.4.cmml"><mrow id="S2.E4.m1.1.1.3" xref="S2.E4.m1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E4.m1.1.1.3.1" xref="S2.E4.m1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="S2.E4.m1.1.1.1.1" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.cmml"><mtr id="S2.E4.m1.1.1.1.1a" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.cmml"><mtd id="S2.E4.m1.1.1.1.1b" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml"><mi id="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.cmml">e</mi><mrow id="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.cmml"><mi id="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.2" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.1" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.3" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.3.cmml">2</mn><mo id="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.1a" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.4" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.4.cmml">π</mi><mo id="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.1b" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.5" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.5.cmml">0</mn><mo id="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.1c" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.6" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.6.cmml">f</mi></mrow></msup></mtd><mtd id="S2.E4.m1.1.1.1.1c" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"><mi id="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.cmml">e</mi><mrow id="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.3" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.3.cmml"><mi id="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.3.2" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.3.1" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.3.3" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.3.3.cmml">2</mn><mo id="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.3.1a" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.3.4" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.3.4.cmml">π</mi><mo id="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.3.1b" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.3.5" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.3.5.cmml">1</mn><mo id="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.3.1c" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.3.6" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.3.6.cmml">f</mi></mrow></msup></mtd><mtd id="S2.E4.m1.1.1.1.1d" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.4.1" mathvariant="normal" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml">⋯</mi></mtd><mtd id="S2.E4.m1.1.1.1.1e" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">e</mi><mrow id="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">j</mi><mo id="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mn id="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">2</mn><mo id="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.cmml">π</mi><mo id="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2b" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">N</mi><mo id="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2c" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.cmml">f</mi></mrow></msup></mtd></mtr></mtable><mo id="S2.E4.m1.1.1.3.2" xref="S2.E4.m1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><mi id="S2.E4.m1.2.3.4.2" xref="S2.E4.m1.2.3.4.2.cmml">T</mi></msup><mo id="S2.E4.m1.2.3.5" xref="S2.E4.m1.2.3.5.cmml">∈</mo><msup id="S2.E4.m1.2.3.6" xref="S2.E4.m1.2.3.6.cmml"><mi id="S2.E4.m1.2.3.6.2" xref="S2.E4.m1.2.3.6.2.cmml">ℂ</mi><mrow id="S2.E4.m1.2.3.6.3" xref="S2.E4.m1.2.3.6.3.cmml"><mi id="S2.E4.m1.2.3.6.3.2" xref="S2.E4.m1.2.3.6.3.2.cmml">N</mi><mo id="S2.E4.m1.2.3.6.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S2.E4.m1.2.3.6.3.1.cmml">×</mo><mn id="S2.E4.m1.2.3.6.3.3" xref="S2.E4.m1.2.3.6.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E4.m1.2b"><apply id="S2.E4.m1.2.3.cmml" xref="S2.E4.m1.2.3"><and id="S2.E4.m1.2.3a.cmml" xref="S2.E4.m1.2.3"></and><apply id="S2.E4.m1.2.3b.cmml" xref="S2.E4.m1.2.3"><eq id="S2.E4.m1.2.3.3.cmml" xref="S2.E4.m1.2.3.3"></eq><apply id="S2.E4.m1.2.3.2.cmml" xref="S2.E4.m1.2.3.2"><times id="S2.E4.m1.2.3.2.1.cmml" xref="S2.E4.m1.2.3.2.1"></times><ci id="S2.E4.m1.2.3.2.2.cmml" xref="S2.E4.m1.2.3.2.2">𝒂</ci><ci id="S2.E4.m1.2.2.cmml" xref="S2.E4.m1.2.2">𝑓</ci></apply><apply id="S2.E4.m1.2.3.4.cmml" xref="S2.E4.m1.2.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E4.m1.2.3.4.1.cmml" xref="S2.E4.m1.2.3.4">superscript</csymbol><apply id="S2.E4.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S2.E4.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.3.1">matrix</csymbol><matrix id="S2.E4.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1"><matrixrow id="S2.E4.m1.1.1.1.1a.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1"><apply id="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1">superscript</csymbol><ci id="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2">𝑒</ci><apply id="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3"><times id="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.1.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.1"></times><ci id="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.2.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.2">𝑗</ci><cn id="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.3">2</cn><ci id="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.4.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.4">𝜋</ci><cn id="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.5.cmml" type="integer" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.5">0</cn><ci id="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.6.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.6">𝑓</ci></apply></apply><apply id="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.3.1">superscript</csymbol><ci id="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2">𝑒</ci><apply id="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.3.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.3"><times id="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.3.1.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.3.1"></times><ci id="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.3.2.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.3.2">𝑗</ci><cn id="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.3.3">2</cn><ci id="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.3.4.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.3.4">𝜋</ci><cn id="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.3.5.cmml" type="integer" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.3.5">1</cn><ci id="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.3.6.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.3.6">𝑓</ci></apply></apply><ci id="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.4.1">⋯</ci><apply id="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑒</ci><apply id="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑗</ci><cn id="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" type="integer" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4">2</cn><ci id="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5">𝜋</ci><apply id="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑁</ci><cn id="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6">𝑓</ci></apply></apply></matrixrow></matrix></apply><ci id="S2.E4.m1.2.3.4.2.cmml" xref="S2.E4.m1.2.3.4.2">𝑇</ci></apply></apply><apply id="S2.E4.m1.2.3c.cmml" xref="S2.E4.m1.2.3"><in id="S2.E4.m1.2.3.5.cmml" 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italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_j 2 italic_π 0 italic_f end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL start_CELL italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_j 2 italic_π 1 italic_f end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL start_CELL ⋯ end_CELL start_CELL italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_j 2 italic_π ( italic_N - 1 ) italic_f end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL end_ROW end_ARG ] start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ∈ blackboard_C start_POSTSUPERSCRIPT italic_N × 1 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(4)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.p2.35">and</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E5"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\boldsymbol{b}(\theta)=\begin{bmatrix}e^{j2\pi 0\theta}&e^{j2\pi 1\theta}&% \cdots&e^{j2\pi(N-1)^{2}\theta}\end{bmatrix}^{T}\in\mathbb{C}^{M\times 1}." class="ltx_Math" display="block" id="S2.E5.m1.3"><semantics id="S2.E5.m1.3a"><mrow id="S2.E5.m1.3.3.1" xref="S2.E5.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S2.E5.m1.3.3.1.1" xref="S2.E5.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S2.E5.m1.3.3.1.1.2" xref="S2.E5.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mi id="S2.E5.m1.3.3.1.1.2.2" xref="S2.E5.m1.3.3.1.1.2.2.cmml">𝒃</mi><mo id="S2.E5.m1.3.3.1.1.2.1" xref="S2.E5.m1.3.3.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E5.m1.3.3.1.1.2.3.2" xref="S2.E5.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E5.m1.3.3.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E5.m1.3.3.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.E5.m1.2.2" xref="S2.E5.m1.2.2.cmml">θ</mi><mo id="S2.E5.m1.3.3.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.E5.m1.3.3.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E5.m1.3.3.1.1.3" xref="S2.E5.m1.3.3.1.1.3.cmml">=</mo><msup id="S2.E5.m1.3.3.1.1.4" 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id="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2c" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.cmml">θ</mi></mrow></msup></mtd></mtr></mtable><mo id="S2.E5.m1.1.1.3.2" xref="S2.E5.m1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><mi id="S2.E5.m1.3.3.1.1.4.2" xref="S2.E5.m1.3.3.1.1.4.2.cmml">T</mi></msup><mo id="S2.E5.m1.3.3.1.1.5" xref="S2.E5.m1.3.3.1.1.5.cmml">∈</mo><msup id="S2.E5.m1.3.3.1.1.6" xref="S2.E5.m1.3.3.1.1.6.cmml"><mi id="S2.E5.m1.3.3.1.1.6.2" xref="S2.E5.m1.3.3.1.1.6.2.cmml">ℂ</mi><mrow 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id="S2.E5.m1.3.3.1.1.4.cmml" xref="S2.E5.m1.3.3.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E5.m1.3.3.1.1.4.1.cmml" xref="S2.E5.m1.3.3.1.1.4">superscript</csymbol><apply id="S2.E5.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.E5.m1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S2.E5.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E5.m1.1.1.3.1">matrix</csymbol><matrix id="S2.E5.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1"><matrixrow id="S2.E5.m1.1.1.1.1a.cmml" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1"><apply id="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.2.1">superscript</csymbol><ci id="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2">𝑒</ci><apply id="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.cmml" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3"><times id="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.1.cmml" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.1"></times><ci id="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.2.cmml" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.2">𝑗</ci><cn id="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.3">2</cn><ci id="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.4.cmml" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.4">𝜋</ci><cn id="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.5.cmml" type="integer" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.5">0</cn><ci id="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.6.cmml" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.6">𝜃</ci></apply></apply><apply id="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.3.1">superscript</csymbol><ci id="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.cmml" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.2">𝑒</ci><apply id="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.3.cmml" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.3"><times id="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.3.1.cmml" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.3.1"></times><ci id="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.3.2.cmml" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.3.2">𝑗</ci><cn id="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.3.3">2</cn><ci id="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.3.4.cmml" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.3.4">𝜋</ci><cn id="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.3.5.cmml" type="integer" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.3.5">1</cn><ci id="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.3.6.cmml" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.3.6">𝜃</ci></apply></apply><ci id="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.4.1">⋯</ci><apply id="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑒</ci><apply id="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑗</ci><cn id="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" type="integer" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4">2</cn><ci id="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.5">𝜋</ci><apply id="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑁</ci><cn id="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><cn id="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply><ci id="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.cmml" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.6">𝜃</ci></apply></apply></matrixrow></matrix></apply><ci id="S2.E5.m1.3.3.1.1.4.2.cmml" xref="S2.E5.m1.3.3.1.1.4.2">𝑇</ci></apply></apply><apply id="S2.E5.m1.3.3.1.1c.cmml" xref="S2.E5.m1.3.3.1"><in id="S2.E5.m1.3.3.1.1.5.cmml" xref="S2.E5.m1.3.3.1.1.5"></in><share href="https://arxiv.org/html/2503.15164v1#S2.E5.m1.3.3.1.1.4.cmml" id="S2.E5.m1.3.3.1.1d.cmml" xref="S2.E5.m1.3.3.1"></share><apply id="S2.E5.m1.3.3.1.1.6.cmml" xref="S2.E5.m1.3.3.1.1.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E5.m1.3.3.1.1.6.1.cmml" xref="S2.E5.m1.3.3.1.1.6">superscript</csymbol><ci id="S2.E5.m1.3.3.1.1.6.2.cmml" xref="S2.E5.m1.3.3.1.1.6.2">ℂ</ci><apply id="S2.E5.m1.3.3.1.1.6.3.cmml" xref="S2.E5.m1.3.3.1.1.6.3"><times id="S2.E5.m1.3.3.1.1.6.3.1.cmml" xref="S2.E5.m1.3.3.1.1.6.3.1"></times><ci id="S2.E5.m1.3.3.1.1.6.3.2.cmml" xref="S2.E5.m1.3.3.1.1.6.3.2">𝑀</ci><cn id="S2.E5.m1.3.3.1.1.6.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E5.m1.3.3.1.1.6.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E5.m1.3c">\boldsymbol{b}(\theta)=\begin{bmatrix}e^{j2\pi 0\theta}&e^{j2\pi 1\theta}&% \cdots&e^{j2\pi(N-1)^{2}\theta}\end{bmatrix}^{T}\in\mathbb{C}^{M\times 1}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E5.m1.3d">bold_italic_b ( italic_θ ) = [ start_ARG start_ROW start_CELL italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_j 2 italic_π 0 italic_θ end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL start_CELL italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_j 2 italic_π 1 italic_θ end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL start_CELL ⋯ end_CELL start_CELL italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_j 2 italic_π ( italic_N - 1 ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_θ end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL end_ROW end_ARG ] start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ∈ blackboard_C start_POSTSUPERSCRIPT italic_M × 1 end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(5)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.p2.5">In addition, we define <math alttext="{\boldsymbol{d}}(f,\theta)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p2.3.m1.2"><semantics id="S2.SS2.p2.3.m1.2a"><mrow id="S2.SS2.p2.3.m1.2.3" xref="S2.SS2.p2.3.m1.2.3.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.3.m1.2.3.2" xref="S2.SS2.p2.3.m1.2.3.2.cmml">𝒅</mi><mo id="S2.SS2.p2.3.m1.2.3.1" xref="S2.SS2.p2.3.m1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS2.p2.3.m1.2.3.3.2" xref="S2.SS2.p2.3.m1.2.3.3.1.cmml"><mo id="S2.SS2.p2.3.m1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS2.p2.3.m1.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S2.SS2.p2.3.m1.1.1" xref="S2.SS2.p2.3.m1.1.1.cmml">f</mi><mo id="S2.SS2.p2.3.m1.2.3.3.2.2" xref="S2.SS2.p2.3.m1.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.SS2.p2.3.m1.2.2" xref="S2.SS2.p2.3.m1.2.2.cmml">θ</mi><mo id="S2.SS2.p2.3.m1.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.SS2.p2.3.m1.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p2.3.m1.2b"><apply id="S2.SS2.p2.3.m1.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.3.m1.2.3"><times id="S2.SS2.p2.3.m1.2.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.3.m1.2.3.1"></times><ci id="S2.SS2.p2.3.m1.2.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.3.m1.2.3.2">𝒅</ci><interval closure="open" id="S2.SS2.p2.3.m1.2.3.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.3.m1.2.3.3.2"><ci id="S2.SS2.p2.3.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.3.m1.1.1">𝑓</ci><ci id="S2.SS2.p2.3.m1.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.3.m1.2.2">𝜃</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p2.3.m1.2c">{\boldsymbol{d}}(f,\theta)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p2.3.m1.2d">bold_italic_d ( italic_f , italic_θ )</annotation></semantics></math> as the Kronecker product of <math alttext="\boldsymbol{a}(f)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p2.4.m2.1"><semantics id="S2.SS2.p2.4.m2.1a"><mrow id="S2.SS2.p2.4.m2.1.2" xref="S2.SS2.p2.4.m2.1.2.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.4.m2.1.2.2" xref="S2.SS2.p2.4.m2.1.2.2.cmml">𝒂</mi><mo id="S2.SS2.p2.4.m2.1.2.1" xref="S2.SS2.p2.4.m2.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS2.p2.4.m2.1.2.3.2" xref="S2.SS2.p2.4.m2.1.2.cmml"><mo id="S2.SS2.p2.4.m2.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS2.p2.4.m2.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.SS2.p2.4.m2.1.1" xref="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.cmml">f</mi><mo id="S2.SS2.p2.4.m2.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.p2.4.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p2.4.m2.1b"><apply id="S2.SS2.p2.4.m2.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.4.m2.1.2"><times id="S2.SS2.p2.4.m2.1.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.4.m2.1.2.1"></times><ci id="S2.SS2.p2.4.m2.1.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.4.m2.1.2.2">𝒂</ci><ci id="S2.SS2.p2.4.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.4.m2.1.1">𝑓</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p2.4.m2.1c">\boldsymbol{a}(f)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p2.4.m2.1d">bold_italic_a ( italic_f )</annotation></semantics></math> and <math alttext="\boldsymbol{b}(\theta)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p2.5.m3.1"><semantics id="S2.SS2.p2.5.m3.1a"><mrow id="S2.SS2.p2.5.m3.1.2" xref="S2.SS2.p2.5.m3.1.2.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.5.m3.1.2.2" xref="S2.SS2.p2.5.m3.1.2.2.cmml">𝒃</mi><mo id="S2.SS2.p2.5.m3.1.2.1" xref="S2.SS2.p2.5.m3.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS2.p2.5.m3.1.2.3.2" xref="S2.SS2.p2.5.m3.1.2.cmml"><mo id="S2.SS2.p2.5.m3.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS2.p2.5.m3.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.SS2.p2.5.m3.1.1" xref="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.cmml">θ</mi><mo id="S2.SS2.p2.5.m3.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.p2.5.m3.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p2.5.m3.1b"><apply id="S2.SS2.p2.5.m3.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.5.m3.1.2"><times id="S2.SS2.p2.5.m3.1.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.5.m3.1.2.1"></times><ci id="S2.SS2.p2.5.m3.1.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.5.m3.1.2.2">𝒃</ci><ci id="S2.SS2.p2.5.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.5.m3.1.1">𝜃</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p2.5.m3.1c">\boldsymbol{b}(\theta)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p2.5.m3.1d">bold_italic_b ( italic_θ )</annotation></semantics></math>, i.e.,</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_table" id="S2.E6"> <tbody> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S2.E6X"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle{\boldsymbol{d}}(f,\theta)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E6X.2.1.1.m1.2"><semantics id="S2.E6X.2.1.1.m1.2a"><mrow id="S2.E6X.2.1.1.m1.2.3" xref="S2.E6X.2.1.1.m1.2.3.cmml"><mi id="S2.E6X.2.1.1.m1.2.3.2" xref="S2.E6X.2.1.1.m1.2.3.2.cmml">𝒅</mi><mo id="S2.E6X.2.1.1.m1.2.3.1" xref="S2.E6X.2.1.1.m1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E6X.2.1.1.m1.2.3.3.2" xref="S2.E6X.2.1.1.m1.2.3.3.1.cmml"><mo id="S2.E6X.2.1.1.m1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E6X.2.1.1.m1.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S2.E6X.2.1.1.m1.1.1" xref="S2.E6X.2.1.1.m1.1.1.cmml">f</mi><mo id="S2.E6X.2.1.1.m1.2.3.3.2.2" xref="S2.E6X.2.1.1.m1.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.E6X.2.1.1.m1.2.2" xref="S2.E6X.2.1.1.m1.2.2.cmml">θ</mi><mo id="S2.E6X.2.1.1.m1.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.E6X.2.1.1.m1.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E6X.2.1.1.m1.2b"><apply id="S2.E6X.2.1.1.m1.2.3.cmml" xref="S2.E6X.2.1.1.m1.2.3"><times id="S2.E6X.2.1.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S2.E6X.2.1.1.m1.2.3.1"></times><ci id="S2.E6X.2.1.1.m1.2.3.2.cmml" xref="S2.E6X.2.1.1.m1.2.3.2">𝒅</ci><interval closure="open" id="S2.E6X.2.1.1.m1.2.3.3.1.cmml" xref="S2.E6X.2.1.1.m1.2.3.3.2"><ci id="S2.E6X.2.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.E6X.2.1.1.m1.1.1">𝑓</ci><ci id="S2.E6X.2.1.1.m1.2.2.cmml" xref="S2.E6X.2.1.1.m1.2.2">𝜃</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E6X.2.1.1.m1.2c">\displaystyle{\boldsymbol{d}}(f,\theta)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E6X.2.1.1.m1.2d">bold_italic_d ( italic_f , italic_θ )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\boldsymbol{a}(f)\otimes\boldsymbol{b}(\theta)\in\mathbb{C}^{NM% \times 1}." class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E6X.3.2.2.m1.3"><semantics id="S2.E6X.3.2.2.m1.3a"><mrow id="S2.E6X.3.2.2.m1.3.3.1" xref="S2.E6X.3.2.2.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S2.E6X.3.2.2.m1.3.3.1.1" xref="S2.E6X.3.2.2.m1.3.3.1.1.cmml"><mi id="S2.E6X.3.2.2.m1.3.3.1.1.2" xref="S2.E6X.3.2.2.m1.3.3.1.1.2.cmml"></mi><mo id="S2.E6X.3.2.2.m1.3.3.1.1.3" xref="S2.E6X.3.2.2.m1.3.3.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S2.E6X.3.2.2.m1.3.3.1.1.4" xref="S2.E6X.3.2.2.m1.3.3.1.1.4.cmml"><mrow id="S2.E6X.3.2.2.m1.3.3.1.1.4.2" xref="S2.E6X.3.2.2.m1.3.3.1.1.4.2.cmml"><mrow id="S2.E6X.3.2.2.m1.3.3.1.1.4.2.2" xref="S2.E6X.3.2.2.m1.3.3.1.1.4.2.2.cmml"><mi id="S2.E6X.3.2.2.m1.3.3.1.1.4.2.2.2" xref="S2.E6X.3.2.2.m1.3.3.1.1.4.2.2.2.cmml">𝒂</mi><mo id="S2.E6X.3.2.2.m1.3.3.1.1.4.2.2.1" xref="S2.E6X.3.2.2.m1.3.3.1.1.4.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E6X.3.2.2.m1.3.3.1.1.4.2.2.3.2" xref="S2.E6X.3.2.2.m1.3.3.1.1.4.2.2.cmml"><mo id="S2.E6X.3.2.2.m1.3.3.1.1.4.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E6X.3.2.2.m1.3.3.1.1.4.2.2.cmml">(</mo><mi id="S2.E6X.3.2.2.m1.1.1" xref="S2.E6X.3.2.2.m1.1.1.cmml">f</mi><mo id="S2.E6X.3.2.2.m1.3.3.1.1.4.2.2.3.2.2" rspace="0.055em" stretchy="false" xref="S2.E6X.3.2.2.m1.3.3.1.1.4.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E6X.3.2.2.m1.3.3.1.1.4.2.1" rspace="0.222em" xref="S2.E6X.3.2.2.m1.3.3.1.1.4.2.1.cmml">⊗</mo><mi id="S2.E6X.3.2.2.m1.3.3.1.1.4.2.3" xref="S2.E6X.3.2.2.m1.3.3.1.1.4.2.3.cmml">𝒃</mi></mrow><mo id="S2.E6X.3.2.2.m1.3.3.1.1.4.1" xref="S2.E6X.3.2.2.m1.3.3.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E6X.3.2.2.m1.3.3.1.1.4.3.2" xref="S2.E6X.3.2.2.m1.3.3.1.1.4.cmml"><mo id="S2.E6X.3.2.2.m1.3.3.1.1.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E6X.3.2.2.m1.3.3.1.1.4.cmml">(</mo><mi id="S2.E6X.3.2.2.m1.2.2" xref="S2.E6X.3.2.2.m1.2.2.cmml">θ</mi><mo id="S2.E6X.3.2.2.m1.3.3.1.1.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.E6X.3.2.2.m1.3.3.1.1.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E6X.3.2.2.m1.3.3.1.1.5" xref="S2.E6X.3.2.2.m1.3.3.1.1.5.cmml">∈</mo><msup id="S2.E6X.3.2.2.m1.3.3.1.1.6" xref="S2.E6X.3.2.2.m1.3.3.1.1.6.cmml"><mi id="S2.E6X.3.2.2.m1.3.3.1.1.6.2" xref="S2.E6X.3.2.2.m1.3.3.1.1.6.2.cmml">ℂ</mi><mrow id="S2.E6X.3.2.2.m1.3.3.1.1.6.3" xref="S2.E6X.3.2.2.m1.3.3.1.1.6.3.cmml"><mrow id="S2.E6X.3.2.2.m1.3.3.1.1.6.3.2" xref="S2.E6X.3.2.2.m1.3.3.1.1.6.3.2.cmml"><mi id="S2.E6X.3.2.2.m1.3.3.1.1.6.3.2.2" xref="S2.E6X.3.2.2.m1.3.3.1.1.6.3.2.2.cmml">N</mi><mo id="S2.E6X.3.2.2.m1.3.3.1.1.6.3.2.1" xref="S2.E6X.3.2.2.m1.3.3.1.1.6.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E6X.3.2.2.m1.3.3.1.1.6.3.2.3" xref="S2.E6X.3.2.2.m1.3.3.1.1.6.3.2.3.cmml">M</mi></mrow><mo id="S2.E6X.3.2.2.m1.3.3.1.1.6.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S2.E6X.3.2.2.m1.3.3.1.1.6.3.1.cmml">×</mo><mn id="S2.E6X.3.2.2.m1.3.3.1.1.6.3.3" xref="S2.E6X.3.2.2.m1.3.3.1.1.6.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup></mrow><mo id="S2.E6X.3.2.2.m1.3.3.1.2" lspace="0em" xref="S2.E6X.3.2.2.m1.3.3.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E6X.3.2.2.m1.3b"><apply id="S2.E6X.3.2.2.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S2.E6X.3.2.2.m1.3.3.1"><and id="S2.E6X.3.2.2.m1.3.3.1.1a.cmml" xref="S2.E6X.3.2.2.m1.3.3.1"></and><apply id="S2.E6X.3.2.2.m1.3.3.1.1b.cmml" xref="S2.E6X.3.2.2.m1.3.3.1"><eq id="S2.E6X.3.2.2.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S2.E6X.3.2.2.m1.3.3.1.1.3"></eq><csymbol cd="latexml" id="S2.E6X.3.2.2.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S2.E6X.3.2.2.m1.3.3.1.1.2">absent</csymbol><apply id="S2.E6X.3.2.2.m1.3.3.1.1.4.cmml" xref="S2.E6X.3.2.2.m1.3.3.1.1.4"><times id="S2.E6X.3.2.2.m1.3.3.1.1.4.1.cmml" xref="S2.E6X.3.2.2.m1.3.3.1.1.4.1"></times><apply id="S2.E6X.3.2.2.m1.3.3.1.1.4.2.cmml" 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id="S2.E6X.3.2.2.m1.3.3.1.1.6.cmml" xref="S2.E6X.3.2.2.m1.3.3.1.1.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E6X.3.2.2.m1.3.3.1.1.6.1.cmml" xref="S2.E6X.3.2.2.m1.3.3.1.1.6">superscript</csymbol><ci id="S2.E6X.3.2.2.m1.3.3.1.1.6.2.cmml" xref="S2.E6X.3.2.2.m1.3.3.1.1.6.2">ℂ</ci><apply id="S2.E6X.3.2.2.m1.3.3.1.1.6.3.cmml" xref="S2.E6X.3.2.2.m1.3.3.1.1.6.3"><times id="S2.E6X.3.2.2.m1.3.3.1.1.6.3.1.cmml" xref="S2.E6X.3.2.2.m1.3.3.1.1.6.3.1"></times><apply id="S2.E6X.3.2.2.m1.3.3.1.1.6.3.2.cmml" xref="S2.E6X.3.2.2.m1.3.3.1.1.6.3.2"><times id="S2.E6X.3.2.2.m1.3.3.1.1.6.3.2.1.cmml" xref="S2.E6X.3.2.2.m1.3.3.1.1.6.3.2.1"></times><ci id="S2.E6X.3.2.2.m1.3.3.1.1.6.3.2.2.cmml" xref="S2.E6X.3.2.2.m1.3.3.1.1.6.3.2.2">𝑁</ci><ci id="S2.E6X.3.2.2.m1.3.3.1.1.6.3.2.3.cmml" xref="S2.E6X.3.2.2.m1.3.3.1.1.6.3.2.3">𝑀</ci></apply><cn id="S2.E6X.3.2.2.m1.3.3.1.1.6.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E6X.3.2.2.m1.3.3.1.1.6.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E6X.3.2.2.m1.3c">\displaystyle=\boldsymbol{a}(f)\otimes\boldsymbol{b}(\theta)\in\mathbb{C}^{NM% \times 1}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E6X.3.2.2.m1.3d">= bold_italic_a ( italic_f ) ⊗ bold_italic_b ( italic_θ ) ∈ blackboard_C start_POSTSUPERSCRIPT italic_N italic_M × 1 end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equationgroup ltx_align_right">(6)</span></td> </tr> </tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.p2.8">Denote <math alttext="\boldsymbol{z}^{\star}\in\mathbb{C}^{NM\times 1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p2.6.m1.1"><semantics id="S2.SS2.p2.6.m1.1a"><mrow id="S2.SS2.p2.6.m1.1.1" xref="S2.SS2.p2.6.m1.1.1.cmml"><msup id="S2.SS2.p2.6.m1.1.1.2" xref="S2.SS2.p2.6.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.6.m1.1.1.2.2" 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id="S2.SS2.p2.6.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.6.m1.1.1"><in id="S2.SS2.p2.6.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.6.m1.1.1.1"></in><apply id="S2.SS2.p2.6.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.6.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p2.6.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.6.m1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p2.6.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.6.m1.1.1.2.2">𝒛</ci><ci id="S2.SS2.p2.6.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.6.m1.1.1.2.3">⋆</ci></apply><apply id="S2.SS2.p2.6.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.6.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p2.6.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.6.m1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p2.6.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.6.m1.1.1.3.2">ℂ</ci><apply id="S2.SS2.p2.6.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.6.m1.1.1.3.3"><times id="S2.SS2.p2.6.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.6.m1.1.1.3.3.1"></times><apply id="S2.SS2.p2.6.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.6.m1.1.1.3.3.2"><times id="S2.SS2.p2.6.m1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.6.m1.1.1.3.3.2.1"></times><ci id="S2.SS2.p2.6.m1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.6.m1.1.1.3.3.2.2">𝑁</ci><ci id="S2.SS2.p2.6.m1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.6.m1.1.1.3.3.2.3">𝑀</ci></apply><cn id="S2.SS2.p2.6.m1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p2.6.m1.1.1.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p2.6.m1.1c">\boldsymbol{z}^{\star}\in\mathbb{C}^{NM\times 1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p2.6.m1.1d">bold_italic_z start_POSTSUPERSCRIPT ⋆ end_POSTSUPERSCRIPT ∈ blackboard_C start_POSTSUPERSCRIPT italic_N italic_M × 1 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> as a mixture of <math alttext="K" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p2.7.m2.1"><semantics id="S2.SS2.p2.7.m2.1a"><mi id="S2.SS2.p2.7.m2.1.1" xref="S2.SS2.p2.7.m2.1.1.cmml">K</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p2.7.m2.1b"><ci id="S2.SS2.p2.7.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.7.m2.1.1">𝐾</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p2.7.m2.1c">K</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p2.7.m2.1d">italic_K</annotation></semantics></math> components from the set <math alttext="\left\{{\boldsymbol{d}}(f_{k},\theta_{k}),~{}f_{k}\in[0,1),\theta_{k}\in[0,1),% k=1,\cdots,K\right\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p2.8.m3.8"><semantics id="S2.SS2.p2.8.m3.8a"><mrow id="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1" xref="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.2.cmml"><mo id="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.2" xref="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.2.cmml">{</mo><mrow id="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.2" xref="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.1.1.2.2" xref="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.1.1.2.3.cmml"><mrow id="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">𝒅</mi><mo id="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">(</mo><msub id="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">f</mi><mi id="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.2.4" xref="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">,</mo><msub id="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">θ</mi><mi id="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.2.5" stretchy="false" xref="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.1.1.2.2.3" rspace="0.497em" xref="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.1.1.2.3.cmml">,</mo><msub id="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.1.1.2.2.2" xref="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">f</mi><mi id="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">k</mi></msub></mrow><mo id="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.1.1.3" xref="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.1.1.3.cmml">∈</mo><mrow id="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.1.1.4.2" xref="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.1.1.4.1.cmml"><mo id="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.1.1.4.1.cmml">[</mo><mn id="S2.SS2.p2.8.m3.1.1" xref="S2.SS2.p2.8.m3.1.1.cmml">0</mn><mo id="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.1.1.4.2.2" xref="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.1.1.4.1.cmml">,</mo><mn id="S2.SS2.p2.8.m3.2.2" xref="S2.SS2.p2.8.m3.2.2.cmml">1</mn><mo id="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.1.1.4.2.3" stretchy="false" xref="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.1.1.4.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.2.3" xref="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.2.2.2" xref="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.2.2.3.cmml"><mrow id="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.2.2.1.1" xref="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.2.2.1.1.cmml"><msub id="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.2.2.1.1.2" xref="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.2.2.1.1.2.2" xref="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.2.2.1.1.2.2.cmml">θ</mi><mi id="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.2.2.1.1.2.3" xref="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.2.2.1.1.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.2.2.1.1.1" xref="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.2.2.1.1.1.cmml">∈</mo><mrow id="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.2.2.1.1.3.2" xref="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.2.2.1.1.3.1.cmml"><mo id="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.2.2.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.2.2.1.1.3.1.cmml">[</mo><mn id="S2.SS2.p2.8.m3.3.3" xref="S2.SS2.p2.8.m3.3.3.cmml">0</mn><mo id="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.2.2.1.1.3.2.2" xref="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.2.2.1.1.3.1.cmml">,</mo><mn id="S2.SS2.p2.8.m3.4.4" xref="S2.SS2.p2.8.m3.4.4.cmml">1</mn><mo id="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.2.2.1.1.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.2.2.1.1.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.2.2.2.3" xref="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.2.2.2.2" xref="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.2.2.2.2.2" xref="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.2.2.2.2.2.cmml">k</mi><mo id="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.2.2.2.2.1" xref="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.2.2.2.2.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.2.2.2.2.3.2" xref="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml"><mn id="S2.SS2.p2.8.m3.5.5" xref="S2.SS2.p2.8.m3.5.5.cmml">1</mn><mo id="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.2.2.2.2.3.2.1" xref="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.SS2.p2.8.m3.6.6" mathvariant="normal" xref="S2.SS2.p2.8.m3.6.6.cmml">⋯</mi><mo id="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.2.2.2.2.3.2.2" xref="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.SS2.p2.8.m3.7.7" xref="S2.SS2.p2.8.m3.7.7.cmml">K</mi></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.3" xref="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.2.cmml">}</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p2.8.m3.8b"><set id="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1"><apply id="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.3a.cmml" xref="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.1.1"><in id="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.1.1.3"></in><list id="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.1.1.2.2"><apply id="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.1.1.1.1.1.3"></times><ci id="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.1.1.1.1.1.4">𝒅</ci><interval closure="open" id="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><apply id="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑓</ci><ci id="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply><apply id="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2">𝜃</ci><ci id="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3">𝑘</ci></apply></interval></apply><apply id="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.1.1.2.2.2.2">𝑓</ci><ci id="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.1.1.2.2.2.3">𝑘</ci></apply></list><interval closure="closed-open" id="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.1.1.4.2"><cn id="S2.SS2.p2.8.m3.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p2.8.m3.1.1">0</cn><cn id="S2.SS2.p2.8.m3.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p2.8.m3.2.2">1</cn></interval></apply><apply id="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.2.2.3a.cmml" xref="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.2.2.1.1"><in id="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.2.2.1.1.1"></in><apply id="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.2.2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.2.2.1.1.2.2">𝜃</ci><ci id="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.2.2.1.1.2.3">𝑘</ci></apply><interval closure="closed-open" id="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.2.2.1.1.3.2"><cn id="S2.SS2.p2.8.m3.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p2.8.m3.3.3">0</cn><cn id="S2.SS2.p2.8.m3.4.4.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p2.8.m3.4.4">1</cn></interval></apply><apply id="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.2.2.2.2"><eq id="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.2.2.2.2.1"></eq><ci id="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.2.2.2.2.2">𝑘</ci><list id="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.8.m3.8.8.1.1.2.2.2.2.3.2"><cn id="S2.SS2.p2.8.m3.5.5.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p2.8.m3.5.5">1</cn><ci id="S2.SS2.p2.8.m3.6.6.cmml" xref="S2.SS2.p2.8.m3.6.6">⋯</ci><ci id="S2.SS2.p2.8.m3.7.7.cmml" xref="S2.SS2.p2.8.m3.7.7">𝐾</ci></list></apply></apply></apply></set></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p2.8.m3.8c">\left\{{\boldsymbol{d}}(f_{k},\theta_{k}),~{}f_{k}\in[0,1),\theta_{k}\in[0,1),% k=1,\cdots,K\right\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p2.8.m3.8d">{ bold_italic_d ( italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT , italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ) , italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ∈ [ 0 , 1 ) , italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ∈ [ 0 , 1 ) , italic_k = 1 , ⋯ , italic_K }</annotation></semantics></math>, i.e.,</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_table" id="S2.E7"> <tbody> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S2.E7X"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\boldsymbol{z}^{\star}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E7X.2.1.1.m1.1"><semantics id="S2.E7X.2.1.1.m1.1a"><msup id="S2.E7X.2.1.1.m1.1.1" xref="S2.E7X.2.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.E7X.2.1.1.m1.1.1.2" xref="S2.E7X.2.1.1.m1.1.1.2.cmml">𝒛</mi><mo id="S2.E7X.2.1.1.m1.1.1.3" xref="S2.E7X.2.1.1.m1.1.1.3.cmml">⋆</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E7X.2.1.1.m1.1b"><apply id="S2.E7X.2.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.E7X.2.1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E7X.2.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.E7X.2.1.1.m1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.E7X.2.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.E7X.2.1.1.m1.1.1.2">𝒛</ci><ci id="S2.E7X.2.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.E7X.2.1.1.m1.1.1.3">⋆</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E7X.2.1.1.m1.1c">\displaystyle\boldsymbol{z}^{\star}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E7X.2.1.1.m1.1d">bold_italic_z start_POSTSUPERSCRIPT ⋆ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\sum_{k=1}^{K}c_{k}\boldsymbol{a}(f_{k})\otimes\boldsymbol{b}(% \theta_{k})=\sum_{k=1}^{K}c_{k}{\boldsymbol{d}}(f_{k},\theta_{k})." class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E7X.3.2.2.m1.1"><semantics id="S2.E7X.3.2.2.m1.1a"><mrow id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.cmml"></mi><mo id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.7" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.7.cmml">=</mo><mrow id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.2" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.2.3.cmml"><munderover id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.2.3a" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.2.3.2.2" movablelimits="false" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.2.3.2.3" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml"><mi id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.2.3.2.3.2" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.2.3.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.2.3.2.3.1" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.2.3.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.2.3.2.3.3" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.2.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">K</mi></munderover></mstyle><mrow id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">c</mi><mi id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">𝒂</mi><mo id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">f</mi><mi id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" rspace="0.055em" stretchy="false" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" rspace="0.222em" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⊗</mo><mi id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">𝒃</mi></mrow><mo id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.2.2.2.1" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><msub id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.cmml">θ</mi><mi id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.8" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.8.cmml">=</mo><mrow id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.3" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.3.cmml"><munderover id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.3a" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mo id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.3.2.2" movablelimits="false" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.3.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.3.2.3" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.3.2.3.cmml"><mi id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.3.2.3.2" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.3.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.3.2.3.1" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.3.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.3.2.3.3" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.3.3" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.3.3.cmml">K</mi></munderover></mstyle><mrow id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.2" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.2.cmml"><msub id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.2.4" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.2.4.cmml"><mi id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.2.4.2" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.2.4.2.cmml">c</mi><mi id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.2.4.3" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.2.4.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.2.3" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.2.3.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.2.5" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.2.5.cmml">𝒅</mi><mo id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.2.3a" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.2.2.2" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.2.2.3.cmml"><mo id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.cmml">f</mi><mi id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.4" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.2" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.2" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.2.cmml">θ</mi><mi id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.3" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E7X.3.2.2.m1.1b"><apply id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1"><and id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1a.cmml" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1"></and><apply id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1b.cmml" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1"><eq id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.7.cmml" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.7"></eq><csymbol cd="latexml" id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.cmml" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6">absent</csymbol><apply id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.2"><apply id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><apply id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><sum id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.2.3.2.2"></sum><apply id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.2.3.2.3"><eq id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.2.3.2.3.1.cmml" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.2.3.2.3.1"></eq><ci id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.2.3.2.3.2.cmml" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.2.3.2.3.2">𝑘</ci><cn id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.2.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.2.3.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.2.3.3">𝐾</ci></apply><apply id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.2.2"><times id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.2.2.3"></times><apply id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">tensor-product</csymbol><apply id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑐</ci><ci id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply><ci id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4">𝒂</ci><apply id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑓</ci><ci id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></apply><ci id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝒃</ci></apply><apply id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.cmml" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.2.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.2.2.2.1">subscript</csymbol><ci id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2">𝜃</ci><ci id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1c.cmml" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1"><eq id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.8.cmml" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.8"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.15164v1#S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.2.cmml" id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1d.cmml" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1"></share><apply id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4"><apply id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.3">superscript</csymbol><apply id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.3.2.1.cmml" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.3">subscript</csymbol><sum id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.3.2.2.cmml" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.3.2.2"></sum><apply id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.3.2.3.cmml" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.3.2.3"><eq id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.3.2.3.1.cmml" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.3.2.3.1"></eq><ci id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.3.2.3.2.cmml" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.3.2.3.2">𝑘</ci><cn id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.3.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.3.3.cmml" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.3.3">𝐾</ci></apply><apply id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.2"><times id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.2.3.cmml" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.2.3"></times><apply id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.2.4.cmml" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.2.4.1.cmml" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.2.4">subscript</csymbol><ci id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.2.4.2.cmml" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.2.4.2">𝑐</ci><ci id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.2.4.3.cmml" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.2.4.3">𝑘</ci></apply><ci id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.2.5.cmml" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.2.5">𝒅</ci><interval closure="open" id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.2.2.3.cmml" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.2.2.2"><apply id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2">𝑓</ci><ci id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply><apply id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.2">𝜃</ci><ci id="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E7X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.2.2.2.2.3">𝑘</ci></apply></interval></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E7X.3.2.2.m1.1c">\displaystyle=\sum_{k=1}^{K}c_{k}\boldsymbol{a}(f_{k})\otimes\boldsymbol{b}(% \theta_{k})=\sum_{k=1}^{K}c_{k}{\boldsymbol{d}}(f_{k},\theta_{k}).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E7X.3.2.2.m1.1d">= ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_k = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_K end_POSTSUPERSCRIPT italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT bold_italic_a ( italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ) ⊗ bold_italic_b ( italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ) = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_k = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_K end_POSTSUPERSCRIPT italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT bold_italic_d ( italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT , italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equationgroup ltx_align_right">(7)</span></td> </tr> </tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.p2.10">For the <math alttext="n" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p2.9.m1.1"><semantics id="S2.SS2.p2.9.m1.1a"><mi id="S2.SS2.p2.9.m1.1.1" xref="S2.SS2.p2.9.m1.1.1.cmml">n</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p2.9.m1.1b"><ci id="S2.SS2.p2.9.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.9.m1.1.1">𝑛</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p2.9.m1.1c">n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p2.9.m1.1d">italic_n</annotation></semantics></math>th measurement <math alttext="\boldsymbol{x}(n)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p2.10.m2.1"><semantics id="S2.SS2.p2.10.m2.1a"><mrow id="S2.SS2.p2.10.m2.1.2" xref="S2.SS2.p2.10.m2.1.2.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.10.m2.1.2.2" xref="S2.SS2.p2.10.m2.1.2.2.cmml">𝒙</mi><mo id="S2.SS2.p2.10.m2.1.2.1" xref="S2.SS2.p2.10.m2.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS2.p2.10.m2.1.2.3.2" xref="S2.SS2.p2.10.m2.1.2.cmml"><mo id="S2.SS2.p2.10.m2.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS2.p2.10.m2.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.SS2.p2.10.m2.1.1" xref="S2.SS2.p2.10.m2.1.1.cmml">n</mi><mo id="S2.SS2.p2.10.m2.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.p2.10.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p2.10.m2.1b"><apply id="S2.SS2.p2.10.m2.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.10.m2.1.2"><times id="S2.SS2.p2.10.m2.1.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.10.m2.1.2.1"></times><ci id="S2.SS2.p2.10.m2.1.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.10.m2.1.2.2">𝒙</ci><ci id="S2.SS2.p2.10.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.10.m2.1.1">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p2.10.m2.1c">\boldsymbol{x}(n)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p2.10.m2.1d">bold_italic_x ( italic_n )</annotation></semantics></math> in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15164v1#S2.E1" title="In II-A Signal Model ‣ II Signal Model and Problem Formulation ‣ Gridless Chirp Parameter Retrieval via Constrained Two-Dimensional Atomic Norm Minimization D. Yang and F. Xi contributed equally to this work. D. Yang was supported in part by the Research Development Fund (RDF-23-02-080) from Xi’an Jiaotong-Liverpool University. F. Xi was supported in part by the National Natural Science Foundation of China under grant No. 62471230."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>), we can write</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_table" id="S2.E8"> <tbody> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S2.E8X"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\boldsymbol{x}(n)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E8X.2.1.1.m1.1"><semantics id="S2.E8X.2.1.1.m1.1a"><mrow id="S2.E8X.2.1.1.m1.1.2" xref="S2.E8X.2.1.1.m1.1.2.cmml"><mi id="S2.E8X.2.1.1.m1.1.2.2" xref="S2.E8X.2.1.1.m1.1.2.2.cmml">𝒙</mi><mo id="S2.E8X.2.1.1.m1.1.2.1" xref="S2.E8X.2.1.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E8X.2.1.1.m1.1.2.3.2" xref="S2.E8X.2.1.1.m1.1.2.cmml"><mo id="S2.E8X.2.1.1.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E8X.2.1.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.E8X.2.1.1.m1.1.1" xref="S2.E8X.2.1.1.m1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S2.E8X.2.1.1.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.E8X.2.1.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E8X.2.1.1.m1.1b"><apply id="S2.E8X.2.1.1.m1.1.2.cmml" xref="S2.E8X.2.1.1.m1.1.2"><times id="S2.E8X.2.1.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S2.E8X.2.1.1.m1.1.2.1"></times><ci id="S2.E8X.2.1.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S2.E8X.2.1.1.m1.1.2.2">𝒙</ci><ci id="S2.E8X.2.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.E8X.2.1.1.m1.1.1">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E8X.2.1.1.m1.1c">\displaystyle\boldsymbol{x}(n)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E8X.2.1.1.m1.1d">bold_italic_x ( italic_n )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\sum_{k=1}^{K}c_{k}e^{j2\pi(f_{k}+\theta_{k}n)n}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E8X.3.2.2.m1.1"><semantics id="S2.E8X.3.2.2.m1.1a"><mrow id="S2.E8X.3.2.2.m1.1.2" xref="S2.E8X.3.2.2.m1.1.2.cmml"><mi id="S2.E8X.3.2.2.m1.1.2.2" xref="S2.E8X.3.2.2.m1.1.2.2.cmml"></mi><mo id="S2.E8X.3.2.2.m1.1.2.1" xref="S2.E8X.3.2.2.m1.1.2.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.E8X.3.2.2.m1.1.2.3" xref="S2.E8X.3.2.2.m1.1.2.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.E8X.3.2.2.m1.1.2.3.1" xref="S2.E8X.3.2.2.m1.1.2.3.1.cmml"><munderover id="S2.E8X.3.2.2.m1.1.2.3.1a" xref="S2.E8X.3.2.2.m1.1.2.3.1.cmml"><mo id="S2.E8X.3.2.2.m1.1.2.3.1.2.2" movablelimits="false" xref="S2.E8X.3.2.2.m1.1.2.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S2.E8X.3.2.2.m1.1.2.3.1.2.3" xref="S2.E8X.3.2.2.m1.1.2.3.1.2.3.cmml"><mi id="S2.E8X.3.2.2.m1.1.2.3.1.2.3.2" xref="S2.E8X.3.2.2.m1.1.2.3.1.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S2.E8X.3.2.2.m1.1.2.3.1.2.3.1" xref="S2.E8X.3.2.2.m1.1.2.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S2.E8X.3.2.2.m1.1.2.3.1.2.3.3" xref="S2.E8X.3.2.2.m1.1.2.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S2.E8X.3.2.2.m1.1.2.3.1.3" xref="S2.E8X.3.2.2.m1.1.2.3.1.3.cmml">K</mi></munderover></mstyle><mrow id="S2.E8X.3.2.2.m1.1.2.3.2" xref="S2.E8X.3.2.2.m1.1.2.3.2.cmml"><msub id="S2.E8X.3.2.2.m1.1.2.3.2.2" xref="S2.E8X.3.2.2.m1.1.2.3.2.2.cmml"><mi id="S2.E8X.3.2.2.m1.1.2.3.2.2.2" xref="S2.E8X.3.2.2.m1.1.2.3.2.2.2.cmml">c</mi><mi id="S2.E8X.3.2.2.m1.1.2.3.2.2.3" xref="S2.E8X.3.2.2.m1.1.2.3.2.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S2.E8X.3.2.2.m1.1.2.3.2.1" xref="S2.E8X.3.2.2.m1.1.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S2.E8X.3.2.2.m1.1.2.3.2.3" xref="S2.E8X.3.2.2.m1.1.2.3.2.3.cmml"><mi id="S2.E8X.3.2.2.m1.1.2.3.2.3.2" xref="S2.E8X.3.2.2.m1.1.2.3.2.3.2.cmml">e</mi><mrow id="S2.E8X.3.2.2.m1.1.1.1" xref="S2.E8X.3.2.2.m1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E8X.3.2.2.m1.1.1.1.3" xref="S2.E8X.3.2.2.m1.1.1.1.3.cmml">j</mi><mo id="S2.E8X.3.2.2.m1.1.1.1.2" xref="S2.E8X.3.2.2.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mn id="S2.E8X.3.2.2.m1.1.1.1.4" xref="S2.E8X.3.2.2.m1.1.1.1.4.cmml">2</mn><mo id="S2.E8X.3.2.2.m1.1.1.1.2a" xref="S2.E8X.3.2.2.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E8X.3.2.2.m1.1.1.1.5" xref="S2.E8X.3.2.2.m1.1.1.1.5.cmml">π</mi><mo id="S2.E8X.3.2.2.m1.1.1.1.2b" xref="S2.E8X.3.2.2.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E8X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1" xref="S2.E8X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E8X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E8X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E8X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E8X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.E8X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E8X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.E8X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.E8X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">f</mi><mi id="S2.E8X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.E8X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S2.E8X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E8X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S2.E8X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E8X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S2.E8X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E8X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.E8X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.E8X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">θ</mi><mi id="S2.E8X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S2.E8X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S2.E8X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S2.E8X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E8X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.E8X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">n</mi></mrow></mrow><mo id="S2.E8X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E8X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.E8X.3.2.2.m1.1.1.1.2c" xref="S2.E8X.3.2.2.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E8X.3.2.2.m1.1.1.1.6" xref="S2.E8X.3.2.2.m1.1.1.1.6.cmml">n</mi></mrow></msup></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E8X.3.2.2.m1.1b"><apply id="S2.E8X.3.2.2.m1.1.2.cmml" xref="S2.E8X.3.2.2.m1.1.2"><eq id="S2.E8X.3.2.2.m1.1.2.1.cmml" xref="S2.E8X.3.2.2.m1.1.2.1"></eq><csymbol cd="latexml" id="S2.E8X.3.2.2.m1.1.2.2.cmml" xref="S2.E8X.3.2.2.m1.1.2.2">absent</csymbol><apply id="S2.E8X.3.2.2.m1.1.2.3.cmml" xref="S2.E8X.3.2.2.m1.1.2.3"><apply id="S2.E8X.3.2.2.m1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.E8X.3.2.2.m1.1.2.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E8X.3.2.2.m1.1.2.3.1.1.cmml" xref="S2.E8X.3.2.2.m1.1.2.3.1">superscript</csymbol><apply id="S2.E8X.3.2.2.m1.1.2.3.1.2.cmml" xref="S2.E8X.3.2.2.m1.1.2.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E8X.3.2.2.m1.1.2.3.1.2.1.cmml" xref="S2.E8X.3.2.2.m1.1.2.3.1">subscript</csymbol><sum id="S2.E8X.3.2.2.m1.1.2.3.1.2.2.cmml" xref="S2.E8X.3.2.2.m1.1.2.3.1.2.2"></sum><apply id="S2.E8X.3.2.2.m1.1.2.3.1.2.3.cmml" xref="S2.E8X.3.2.2.m1.1.2.3.1.2.3"><eq id="S2.E8X.3.2.2.m1.1.2.3.1.2.3.1.cmml" xref="S2.E8X.3.2.2.m1.1.2.3.1.2.3.1"></eq><ci id="S2.E8X.3.2.2.m1.1.2.3.1.2.3.2.cmml" xref="S2.E8X.3.2.2.m1.1.2.3.1.2.3.2">𝑘</ci><cn id="S2.E8X.3.2.2.m1.1.2.3.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E8X.3.2.2.m1.1.2.3.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S2.E8X.3.2.2.m1.1.2.3.1.3.cmml" xref="S2.E8X.3.2.2.m1.1.2.3.1.3">𝐾</ci></apply><apply id="S2.E8X.3.2.2.m1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.E8X.3.2.2.m1.1.2.3.2"><times id="S2.E8X.3.2.2.m1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S2.E8X.3.2.2.m1.1.2.3.2.1"></times><apply id="S2.E8X.3.2.2.m1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S2.E8X.3.2.2.m1.1.2.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E8X.3.2.2.m1.1.2.3.2.2.1.cmml" xref="S2.E8X.3.2.2.m1.1.2.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E8X.3.2.2.m1.1.2.3.2.2.2.cmml" xref="S2.E8X.3.2.2.m1.1.2.3.2.2.2">𝑐</ci><ci id="S2.E8X.3.2.2.m1.1.2.3.2.2.3.cmml" xref="S2.E8X.3.2.2.m1.1.2.3.2.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S2.E8X.3.2.2.m1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S2.E8X.3.2.2.m1.1.2.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E8X.3.2.2.m1.1.2.3.2.3.1.cmml" xref="S2.E8X.3.2.2.m1.1.2.3.2.3">superscript</csymbol><ci id="S2.E8X.3.2.2.m1.1.2.3.2.3.2.cmml" xref="S2.E8X.3.2.2.m1.1.2.3.2.3.2">𝑒</ci><apply id="S2.E8X.3.2.2.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.E8X.3.2.2.m1.1.1.1"><times id="S2.E8X.3.2.2.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E8X.3.2.2.m1.1.1.1.2"></times><ci id="S2.E8X.3.2.2.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E8X.3.2.2.m1.1.1.1.3">𝑗</ci><cn id="S2.E8X.3.2.2.m1.1.1.1.4.cmml" type="integer" xref="S2.E8X.3.2.2.m1.1.1.1.4">2</cn><ci id="S2.E8X.3.2.2.m1.1.1.1.5.cmml" xref="S2.E8X.3.2.2.m1.1.1.1.5">𝜋</ci><apply id="S2.E8X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E8X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1"><plus id="S2.E8X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E8X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S2.E8X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E8X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E8X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E8X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E8X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E8X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑓</ci><ci id="S2.E8X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E8X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S2.E8X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E8X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S2.E8X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E8X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S2.E8X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E8X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E8X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E8X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E8X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.E8X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝜃</ci><ci id="S2.E8X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.E8X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑘</ci></apply><ci id="S2.E8X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E8X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑛</ci></apply></apply><ci id="S2.E8X.3.2.2.m1.1.1.1.6.cmml" xref="S2.E8X.3.2.2.m1.1.1.1.6">𝑛</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E8X.3.2.2.m1.1c">\displaystyle=\sum_{k=1}^{K}c_{k}e^{j2\pi(f_{k}+\theta_{k}n)n}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E8X.3.2.2.m1.1d">= ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_k = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_K end_POSTSUPERSCRIPT italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_j 2 italic_π ( italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT + italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT italic_n ) italic_n end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="2"><span class="ltx_tag ltx_tag_equationgroup ltx_align_right">(8)</span></td> </tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S2.E8Xa"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\sum_{k=1}^{K}c_{k}\underbrace{\boldsymbol{a}(f_{k})(n)\cdot% \boldsymbol{b}(\theta_{k})(n^{2})}_{{\boldsymbol{d}}(f_{k},\theta_{k})(nM+n^{2% })}," class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E8Xa.2.1.1.m1.8"><semantics id="S2.E8Xa.2.1.1.m1.8a"><mrow id="S2.E8Xa.2.1.1.m1.8.8.1" xref="S2.E8Xa.2.1.1.m1.8.8.1.1.cmml"><mrow id="S2.E8Xa.2.1.1.m1.8.8.1.1" xref="S2.E8Xa.2.1.1.m1.8.8.1.1.cmml"><mi id="S2.E8Xa.2.1.1.m1.8.8.1.1.2" xref="S2.E8Xa.2.1.1.m1.8.8.1.1.2.cmml"></mi><mo id="S2.E8Xa.2.1.1.m1.8.8.1.1.1" xref="S2.E8Xa.2.1.1.m1.8.8.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.E8Xa.2.1.1.m1.8.8.1.1.3" xref="S2.E8Xa.2.1.1.m1.8.8.1.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.E8Xa.2.1.1.m1.8.8.1.1.3.1" xref="S2.E8Xa.2.1.1.m1.8.8.1.1.3.1.cmml"><munderover id="S2.E8Xa.2.1.1.m1.8.8.1.1.3.1a" xref="S2.E8Xa.2.1.1.m1.8.8.1.1.3.1.cmml"><mo id="S2.E8Xa.2.1.1.m1.8.8.1.1.3.1.2.2" movablelimits="false" xref="S2.E8Xa.2.1.1.m1.8.8.1.1.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S2.E8Xa.2.1.1.m1.8.8.1.1.3.1.2.3" xref="S2.E8Xa.2.1.1.m1.8.8.1.1.3.1.2.3.cmml"><mi id="S2.E8Xa.2.1.1.m1.8.8.1.1.3.1.2.3.2" xref="S2.E8Xa.2.1.1.m1.8.8.1.1.3.1.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S2.E8Xa.2.1.1.m1.8.8.1.1.3.1.2.3.1" xref="S2.E8Xa.2.1.1.m1.8.8.1.1.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S2.E8Xa.2.1.1.m1.8.8.1.1.3.1.2.3.3" xref="S2.E8Xa.2.1.1.m1.8.8.1.1.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S2.E8Xa.2.1.1.m1.8.8.1.1.3.1.3" xref="S2.E8Xa.2.1.1.m1.8.8.1.1.3.1.3.cmml">K</mi></munderover></mstyle><mrow id="S2.E8Xa.2.1.1.m1.8.8.1.1.3.2" xref="S2.E8Xa.2.1.1.m1.8.8.1.1.3.2.cmml"><msub id="S2.E8Xa.2.1.1.m1.8.8.1.1.3.2.2" xref="S2.E8Xa.2.1.1.m1.8.8.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S2.E8Xa.2.1.1.m1.8.8.1.1.3.2.2.2" xref="S2.E8Xa.2.1.1.m1.8.8.1.1.3.2.2.2.cmml">c</mi><mi id="S2.E8Xa.2.1.1.m1.8.8.1.1.3.2.2.3" xref="S2.E8Xa.2.1.1.m1.8.8.1.1.3.2.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S2.E8Xa.2.1.1.m1.8.8.1.1.3.2.1" xref="S2.E8Xa.2.1.1.m1.8.8.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><munder id="S2.E8Xa.2.1.1.m1.8.8.1.1.3.2.3" xref="S2.E8Xa.2.1.1.m1.8.8.1.1.3.2.3.cmml"><munder accentunder="true" id="S2.E8Xa.2.1.1.m1.4.4" xref="S2.E8Xa.2.1.1.m1.4.4.cmml"><mrow id="S2.E8Xa.2.1.1.m1.4.4.4" xref="S2.E8Xa.2.1.1.m1.4.4.4.cmml"><mrow id="S2.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.2.2" xref="S2.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S2.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.2.2.1" xref="S2.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="S2.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.2.2.1.3" xref="S2.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.2.2.1.3.cmml">𝒂</mi><mo id="S2.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.2.2.1.2" xref="S2.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.2.2.1.1.1" xref="S2.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S2.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1" xref="S2.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.2" xref="S2.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml">f</mi><mi id="S2.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.3" xref="S2.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S2.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.2.2.1.2a" xref="S2.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.2.2.1.4.2" xref="S2.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.2.2.1.cmml"><mo id="S2.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.2.2.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S2.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.2.2.1.cmml">(</mo><mi id="S2.E8Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1" xref="S2.E8Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S2.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.2.2.1.4.2.2" rspace="0.055em" stretchy="false" xref="S2.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.2.2.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.2.2.2" rspace="0.222em" xref="S2.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.2.2.2.cmml">⋅</mo><mi id="S2.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.2.2.3" xref="S2.E8Xa.2.1.1.m1.2.2.2.2.3.cmml">𝒃</mi></mrow><mo id="S2.E8Xa.2.1.1.m1.4.4.4.5" xref="S2.E8Xa.2.1.1.m1.4.4.4.5.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E8Xa.2.1.1.m1.3.3.3.3.1" xref="S2.E8Xa.2.1.1.m1.3.3.3.3.1.1.cmml"><mo id="S2.E8Xa.2.1.1.m1.3.3.3.3.1.2" stretchy="false" xref="S2.E8Xa.2.1.1.m1.3.3.3.3.1.1.cmml">(</mo><msub id="S2.E8Xa.2.1.1.m1.3.3.3.3.1.1" xref="S2.E8Xa.2.1.1.m1.3.3.3.3.1.1.cmml"><mi id="S2.E8Xa.2.1.1.m1.3.3.3.3.1.1.2" xref="S2.E8Xa.2.1.1.m1.3.3.3.3.1.1.2.cmml">θ</mi><mi id="S2.E8Xa.2.1.1.m1.3.3.3.3.1.1.3" xref="S2.E8Xa.2.1.1.m1.3.3.3.3.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S2.E8Xa.2.1.1.m1.3.3.3.3.1.3" stretchy="false" xref="S2.E8Xa.2.1.1.m1.3.3.3.3.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.E8Xa.2.1.1.m1.4.4.4.5a" xref="S2.E8Xa.2.1.1.m1.4.4.4.5.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E8Xa.2.1.1.m1.4.4.4.4.1" xref="S2.E8Xa.2.1.1.m1.4.4.4.4.1.1.cmml"><mo id="S2.E8Xa.2.1.1.m1.4.4.4.4.1.2" stretchy="false" xref="S2.E8Xa.2.1.1.m1.4.4.4.4.1.1.cmml">(</mo><msup id="S2.E8Xa.2.1.1.m1.4.4.4.4.1.1" xref="S2.E8Xa.2.1.1.m1.4.4.4.4.1.1.cmml"><mi id="S2.E8Xa.2.1.1.m1.4.4.4.4.1.1.2" xref="S2.E8Xa.2.1.1.m1.4.4.4.4.1.1.2.cmml">n</mi><mn id="S2.E8Xa.2.1.1.m1.4.4.4.4.1.1.3" xref="S2.E8Xa.2.1.1.m1.4.4.4.4.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S2.E8Xa.2.1.1.m1.4.4.4.4.1.3" stretchy="false" xref="S2.E8Xa.2.1.1.m1.4.4.4.4.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E8Xa.2.1.1.m1.4.4.5" xref="S2.E8Xa.2.1.1.m1.4.4.5.cmml">⏟</mo></munder><mrow id="S2.E8Xa.2.1.1.m1.7.7.3" xref="S2.E8Xa.2.1.1.m1.7.7.3.cmml"><mi id="S2.E8Xa.2.1.1.m1.7.7.3.5" xref="S2.E8Xa.2.1.1.m1.7.7.3.5.cmml">𝒅</mi><mo id="S2.E8Xa.2.1.1.m1.7.7.3.4" xref="S2.E8Xa.2.1.1.m1.7.7.3.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E8Xa.2.1.1.m1.6.6.2.2.2" xref="S2.E8Xa.2.1.1.m1.6.6.2.2.3.cmml"><mo id="S2.E8Xa.2.1.1.m1.6.6.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.E8Xa.2.1.1.m1.6.6.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="S2.E8Xa.2.1.1.m1.5.5.1.1.1.1" xref="S2.E8Xa.2.1.1.m1.5.5.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E8Xa.2.1.1.m1.5.5.1.1.1.1.2" xref="S2.E8Xa.2.1.1.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml">f</mi><mi id="S2.E8Xa.2.1.1.m1.5.5.1.1.1.1.3" xref="S2.E8Xa.2.1.1.m1.5.5.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S2.E8Xa.2.1.1.m1.6.6.2.2.2.4" xref="S2.E8Xa.2.1.1.m1.6.6.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S2.E8Xa.2.1.1.m1.6.6.2.2.2.2" xref="S2.E8Xa.2.1.1.m1.6.6.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.E8Xa.2.1.1.m1.6.6.2.2.2.2.2" xref="S2.E8Xa.2.1.1.m1.6.6.2.2.2.2.2.cmml">θ</mi><mi id="S2.E8Xa.2.1.1.m1.6.6.2.2.2.2.3" xref="S2.E8Xa.2.1.1.m1.6.6.2.2.2.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S2.E8Xa.2.1.1.m1.6.6.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S2.E8Xa.2.1.1.m1.6.6.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.E8Xa.2.1.1.m1.7.7.3.4a" xref="S2.E8Xa.2.1.1.m1.7.7.3.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E8Xa.2.1.1.m1.7.7.3.3.1" xref="S2.E8Xa.2.1.1.m1.7.7.3.3.1.1.cmml"><mo id="S2.E8Xa.2.1.1.m1.7.7.3.3.1.2" stretchy="false" 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encoding="application/x-llamapun" id="S2.E8Xa.2.1.1.m1.8d">= ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_k = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_K end_POSTSUPERSCRIPT italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT under⏟ start_ARG bold_italic_a ( italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ) ( italic_n ) ⋅ bold_italic_b ( italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ) ( italic_n start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) end_ARG start_POSTSUBSCRIPT bold_italic_d ( italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT , italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ) ( italic_n italic_M + italic_n start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) end_POSTSUBSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr> </tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.p2.24">where we use the notations <math alttext="\boldsymbol{a}(f_{k})(n)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p2.11.m1.2"><semantics id="S2.SS2.p2.11.m1.2a"><mrow id="S2.SS2.p2.11.m1.2.2" xref="S2.SS2.p2.11.m1.2.2.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.11.m1.2.2.3" xref="S2.SS2.p2.11.m1.2.2.3.cmml">𝒂</mi><mo id="S2.SS2.p2.11.m1.2.2.2" xref="S2.SS2.p2.11.m1.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS2.p2.11.m1.2.2.1.1" xref="S2.SS2.p2.11.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS2.p2.11.m1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.p2.11.m1.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S2.SS2.p2.11.m1.2.2.1.1.1" xref="S2.SS2.p2.11.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.11.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S2.SS2.p2.11.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">f</mi><mi id="S2.SS2.p2.11.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S2.SS2.p2.11.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S2.SS2.p2.11.m1.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS2.p2.11.m1.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.SS2.p2.11.m1.2.2.2a" xref="S2.SS2.p2.11.m1.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS2.p2.11.m1.2.2.4.2" xref="S2.SS2.p2.11.m1.2.2.cmml"><mo id="S2.SS2.p2.11.m1.2.2.4.2.1" stretchy="false" 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id="S2.SS2.p2.11.m1.2c">\boldsymbol{a}(f_{k})(n)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p2.11.m1.2d">bold_italic_a ( italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ) ( italic_n )</annotation></semantics></math>, <math alttext="\boldsymbol{b}(\theta_{k})(n^{2})" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p2.12.m2.2"><semantics id="S2.SS2.p2.12.m2.2a"><mrow id="S2.SS2.p2.12.m2.2.2" xref="S2.SS2.p2.12.m2.2.2.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.12.m2.2.2.4" xref="S2.SS2.p2.12.m2.2.2.4.cmml">𝒃</mi><mo id="S2.SS2.p2.12.m2.2.2.3" xref="S2.SS2.p2.12.m2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS2.p2.12.m2.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p2.12.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS2.p2.12.m2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.p2.12.m2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S2.SS2.p2.12.m2.1.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p2.12.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.12.m2.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS2.p2.12.m2.1.1.1.1.1.2.cmml">θ</mi><mi id="S2.SS2.p2.12.m2.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS2.p2.12.m2.1.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S2.SS2.p2.12.m2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS2.p2.12.m2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.SS2.p2.12.m2.2.2.3a" xref="S2.SS2.p2.12.m2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS2.p2.12.m2.2.2.2.1" xref="S2.SS2.p2.12.m2.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="S2.SS2.p2.12.m2.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.p2.12.m2.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><msup id="S2.SS2.p2.12.m2.2.2.2.1.1" xref="S2.SS2.p2.12.m2.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.12.m2.2.2.2.1.1.2" xref="S2.SS2.p2.12.m2.2.2.2.1.1.2.cmml">n</mi><mn id="S2.SS2.p2.12.m2.2.2.2.1.1.3" xref="S2.SS2.p2.12.m2.2.2.2.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S2.SS2.p2.12.m2.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS2.p2.12.m2.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p2.12.m2.2b"><apply id="S2.SS2.p2.12.m2.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.12.m2.2.2"><times id="S2.SS2.p2.12.m2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.12.m2.2.2.3"></times><ci id="S2.SS2.p2.12.m2.2.2.4.cmml" xref="S2.SS2.p2.12.m2.2.2.4">𝒃</ci><apply id="S2.SS2.p2.12.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.12.m2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p2.12.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.12.m2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p2.12.m2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.12.m2.1.1.1.1.1.2">𝜃</ci><ci id="S2.SS2.p2.12.m2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.12.m2.1.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply><apply id="S2.SS2.p2.12.m2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.12.m2.2.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p2.12.m2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.12.m2.2.2.2.1">superscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p2.12.m2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.12.m2.2.2.2.1.1.2">𝑛</ci><cn id="S2.SS2.p2.12.m2.2.2.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p2.12.m2.2.2.2.1.1.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p2.12.m2.2c">\boldsymbol{b}(\theta_{k})(n^{2})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p2.12.m2.2d">bold_italic_b ( italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ) ( italic_n start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math>, and <math alttext="{\boldsymbol{d}}(f_{k},\theta_{k})(nM+n^{2})" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p2.13.m3.3"><semantics id="S2.SS2.p2.13.m3.3a"><mrow id="S2.SS2.p2.13.m3.3.3" xref="S2.SS2.p2.13.m3.3.3.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.13.m3.3.3.5" xref="S2.SS2.p2.13.m3.3.3.5.cmml">𝒅</mi><mo id="S2.SS2.p2.13.m3.3.3.4" xref="S2.SS2.p2.13.m3.3.3.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS2.p2.13.m3.2.2.2.2" xref="S2.SS2.p2.13.m3.2.2.2.3.cmml"><mo id="S2.SS2.p2.13.m3.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.SS2.p2.13.m3.2.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="S2.SS2.p2.13.m3.1.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p2.13.m3.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.13.m3.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS2.p2.13.m3.1.1.1.1.1.2.cmml">f</mi><mi id="S2.SS2.p2.13.m3.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS2.p2.13.m3.1.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S2.SS2.p2.13.m3.2.2.2.2.4" xref="S2.SS2.p2.13.m3.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S2.SS2.p2.13.m3.2.2.2.2.2" xref="S2.SS2.p2.13.m3.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.13.m3.2.2.2.2.2.2" xref="S2.SS2.p2.13.m3.2.2.2.2.2.2.cmml">θ</mi><mi id="S2.SS2.p2.13.m3.2.2.2.2.2.3" xref="S2.SS2.p2.13.m3.2.2.2.2.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S2.SS2.p2.13.m3.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S2.SS2.p2.13.m3.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.SS2.p2.13.m3.3.3.4a" xref="S2.SS2.p2.13.m3.3.3.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS2.p2.13.m3.3.3.3.1" xref="S2.SS2.p2.13.m3.3.3.3.1.1.cmml"><mo id="S2.SS2.p2.13.m3.3.3.3.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.p2.13.m3.3.3.3.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.SS2.p2.13.m3.3.3.3.1.1" xref="S2.SS2.p2.13.m3.3.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S2.SS2.p2.13.m3.3.3.3.1.1.2" xref="S2.SS2.p2.13.m3.3.3.3.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.13.m3.3.3.3.1.1.2.2" xref="S2.SS2.p2.13.m3.3.3.3.1.1.2.2.cmml">n</mi><mo id="S2.SS2.p2.13.m3.3.3.3.1.1.2.1" xref="S2.SS2.p2.13.m3.3.3.3.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS2.p2.13.m3.3.3.3.1.1.2.3" 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id="S2.SS2.p2.13.m3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.13.m3.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p2.13.m3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.13.m3.1.1.1.1.1.2">𝑓</ci><ci id="S2.SS2.p2.13.m3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.13.m3.1.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply><apply id="S2.SS2.p2.13.m3.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.13.m3.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p2.13.m3.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.13.m3.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p2.13.m3.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.13.m3.2.2.2.2.2.2">𝜃</ci><ci id="S2.SS2.p2.13.m3.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.13.m3.2.2.2.2.2.3">𝑘</ci></apply></interval><apply id="S2.SS2.p2.13.m3.3.3.3.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.13.m3.3.3.3.1"><plus id="S2.SS2.p2.13.m3.3.3.3.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.13.m3.3.3.3.1.1.1"></plus><apply id="S2.SS2.p2.13.m3.3.3.3.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.13.m3.3.3.3.1.1.2"><times id="S2.SS2.p2.13.m3.3.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.13.m3.3.3.3.1.1.2.1"></times><ci id="S2.SS2.p2.13.m3.3.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.13.m3.3.3.3.1.1.2.2">𝑛</ci><ci id="S2.SS2.p2.13.m3.3.3.3.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.13.m3.3.3.3.1.1.2.3">𝑀</ci></apply><apply id="S2.SS2.p2.13.m3.3.3.3.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.13.m3.3.3.3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p2.13.m3.3.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.13.m3.3.3.3.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p2.13.m3.3.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.13.m3.3.3.3.1.1.3.2">𝑛</ci><cn id="S2.SS2.p2.13.m3.3.3.3.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p2.13.m3.3.3.3.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p2.13.m3.3c">{\boldsymbol{d}}(f_{k},\theta_{k})(nM+n^{2})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p2.13.m3.3d">bold_italic_d ( italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT , italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ) ( italic_n italic_M + italic_n start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> to represent the <math alttext="n" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p2.14.m4.1"><semantics id="S2.SS2.p2.14.m4.1a"><mi id="S2.SS2.p2.14.m4.1.1" xref="S2.SS2.p2.14.m4.1.1.cmml">n</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p2.14.m4.1b"><ci id="S2.SS2.p2.14.m4.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.14.m4.1.1">𝑛</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p2.14.m4.1c">n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p2.14.m4.1d">italic_n</annotation></semantics></math>th, <math alttext="n^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p2.15.m5.1"><semantics id="S2.SS2.p2.15.m5.1a"><msup id="S2.SS2.p2.15.m5.1.1" xref="S2.SS2.p2.15.m5.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.15.m5.1.1.2" xref="S2.SS2.p2.15.m5.1.1.2.cmml">n</mi><mn id="S2.SS2.p2.15.m5.1.1.3" xref="S2.SS2.p2.15.m5.1.1.3.cmml">2</mn></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p2.15.m5.1b"><apply id="S2.SS2.p2.15.m5.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.15.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p2.15.m5.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.15.m5.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p2.15.m5.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.15.m5.1.1.2">𝑛</ci><cn id="S2.SS2.p2.15.m5.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p2.15.m5.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p2.15.m5.1c">n^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p2.15.m5.1d">italic_n start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>th, and <math alttext="(nM+n^{2})" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p2.16.m6.1"><semantics id="S2.SS2.p2.16.m6.1a"><mrow id="S2.SS2.p2.16.m6.1.1.1" xref="S2.SS2.p2.16.m6.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS2.p2.16.m6.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.p2.16.m6.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.SS2.p2.16.m6.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p2.16.m6.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.SS2.p2.16.m6.1.1.1.1.2" xref="S2.SS2.p2.16.m6.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.16.m6.1.1.1.1.2.2" xref="S2.SS2.p2.16.m6.1.1.1.1.2.2.cmml">n</mi><mo id="S2.SS2.p2.16.m6.1.1.1.1.2.1" xref="S2.SS2.p2.16.m6.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS2.p2.16.m6.1.1.1.1.2.3" xref="S2.SS2.p2.16.m6.1.1.1.1.2.3.cmml">M</mi></mrow><mo id="S2.SS2.p2.16.m6.1.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p2.16.m6.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msup id="S2.SS2.p2.16.m6.1.1.1.1.3" xref="S2.SS2.p2.16.m6.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.16.m6.1.1.1.1.3.2" xref="S2.SS2.p2.16.m6.1.1.1.1.3.2.cmml">n</mi><mn id="S2.SS2.p2.16.m6.1.1.1.1.3.3" xref="S2.SS2.p2.16.m6.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S2.SS2.p2.16.m6.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS2.p2.16.m6.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p2.16.m6.1b"><apply id="S2.SS2.p2.16.m6.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.16.m6.1.1.1"><plus id="S2.SS2.p2.16.m6.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.16.m6.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S2.SS2.p2.16.m6.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.16.m6.1.1.1.1.2"><times id="S2.SS2.p2.16.m6.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.16.m6.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="S2.SS2.p2.16.m6.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.16.m6.1.1.1.1.2.2">𝑛</ci><ci id="S2.SS2.p2.16.m6.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.16.m6.1.1.1.1.2.3">𝑀</ci></apply><apply id="S2.SS2.p2.16.m6.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.16.m6.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p2.16.m6.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.16.m6.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p2.16.m6.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.16.m6.1.1.1.1.3.2">𝑛</ci><cn id="S2.SS2.p2.16.m6.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p2.16.m6.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p2.16.m6.1c">(nM+n^{2})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p2.16.m6.1d">( italic_n italic_M + italic_n start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math>th elements of <math alttext="\boldsymbol{a}(f_{k})" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p2.17.m7.1"><semantics id="S2.SS2.p2.17.m7.1a"><mrow id="S2.SS2.p2.17.m7.1.1" xref="S2.SS2.p2.17.m7.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.17.m7.1.1.3" xref="S2.SS2.p2.17.m7.1.1.3.cmml">𝒂</mi><mo id="S2.SS2.p2.17.m7.1.1.2" xref="S2.SS2.p2.17.m7.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS2.p2.17.m7.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p2.17.m7.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS2.p2.17.m7.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.p2.17.m7.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S2.SS2.p2.17.m7.1.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p2.17.m7.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.17.m7.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS2.p2.17.m7.1.1.1.1.1.2.cmml">f</mi><mi id="S2.SS2.p2.17.m7.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS2.p2.17.m7.1.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S2.SS2.p2.17.m7.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS2.p2.17.m7.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p2.17.m7.1b"><apply id="S2.SS2.p2.17.m7.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.17.m7.1.1"><times id="S2.SS2.p2.17.m7.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.17.m7.1.1.2"></times><ci id="S2.SS2.p2.17.m7.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.17.m7.1.1.3">𝒂</ci><apply id="S2.SS2.p2.17.m7.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.17.m7.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p2.17.m7.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.17.m7.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p2.17.m7.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.17.m7.1.1.1.1.1.2">𝑓</ci><ci id="S2.SS2.p2.17.m7.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.17.m7.1.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p2.17.m7.1c">\boldsymbol{a}(f_{k})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p2.17.m7.1d">bold_italic_a ( italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math>, <math alttext="\boldsymbol{b}(\theta_{k})" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p2.18.m8.1"><semantics id="S2.SS2.p2.18.m8.1a"><mrow id="S2.SS2.p2.18.m8.1.1" xref="S2.SS2.p2.18.m8.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.18.m8.1.1.3" xref="S2.SS2.p2.18.m8.1.1.3.cmml">𝒃</mi><mo id="S2.SS2.p2.18.m8.1.1.2" xref="S2.SS2.p2.18.m8.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS2.p2.18.m8.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p2.18.m8.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS2.p2.18.m8.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.p2.18.m8.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S2.SS2.p2.18.m8.1.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p2.18.m8.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.18.m8.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS2.p2.18.m8.1.1.1.1.1.2.cmml">θ</mi><mi id="S2.SS2.p2.18.m8.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS2.p2.18.m8.1.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S2.SS2.p2.18.m8.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS2.p2.18.m8.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p2.18.m8.1b"><apply id="S2.SS2.p2.18.m8.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.18.m8.1.1"><times id="S2.SS2.p2.18.m8.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.18.m8.1.1.2"></times><ci id="S2.SS2.p2.18.m8.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.18.m8.1.1.3">𝒃</ci><apply id="S2.SS2.p2.18.m8.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.18.m8.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p2.18.m8.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.18.m8.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p2.18.m8.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.18.m8.1.1.1.1.1.2">𝜃</ci><ci id="S2.SS2.p2.18.m8.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.18.m8.1.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p2.18.m8.1c">\boldsymbol{b}(\theta_{k})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p2.18.m8.1d">bold_italic_b ( italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math>, and <math alttext="{\boldsymbol{d}}(f_{k},\theta_{k})" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p2.19.m9.2"><semantics id="S2.SS2.p2.19.m9.2a"><mrow id="S2.SS2.p2.19.m9.2.2" xref="S2.SS2.p2.19.m9.2.2.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.19.m9.2.2.4" xref="S2.SS2.p2.19.m9.2.2.4.cmml">𝒅</mi><mo id="S2.SS2.p2.19.m9.2.2.3" xref="S2.SS2.p2.19.m9.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS2.p2.19.m9.2.2.2.2" xref="S2.SS2.p2.19.m9.2.2.2.3.cmml"><mo id="S2.SS2.p2.19.m9.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.SS2.p2.19.m9.2.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="S2.SS2.p2.19.m9.1.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p2.19.m9.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.19.m9.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS2.p2.19.m9.1.1.1.1.1.2.cmml">f</mi><mi id="S2.SS2.p2.19.m9.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS2.p2.19.m9.1.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S2.SS2.p2.19.m9.2.2.2.2.4" xref="S2.SS2.p2.19.m9.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S2.SS2.p2.19.m9.2.2.2.2.2" xref="S2.SS2.p2.19.m9.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.19.m9.2.2.2.2.2.2" xref="S2.SS2.p2.19.m9.2.2.2.2.2.2.cmml">θ</mi><mi id="S2.SS2.p2.19.m9.2.2.2.2.2.3" xref="S2.SS2.p2.19.m9.2.2.2.2.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S2.SS2.p2.19.m9.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S2.SS2.p2.19.m9.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p2.19.m9.2b"><apply id="S2.SS2.p2.19.m9.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.19.m9.2.2"><times id="S2.SS2.p2.19.m9.2.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.19.m9.2.2.3"></times><ci id="S2.SS2.p2.19.m9.2.2.4.cmml" xref="S2.SS2.p2.19.m9.2.2.4">𝒅</ci><interval closure="open" id="S2.SS2.p2.19.m9.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.19.m9.2.2.2.2"><apply id="S2.SS2.p2.19.m9.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.19.m9.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p2.19.m9.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.19.m9.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p2.19.m9.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.19.m9.1.1.1.1.1.2">𝑓</ci><ci id="S2.SS2.p2.19.m9.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.19.m9.1.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply><apply id="S2.SS2.p2.19.m9.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.19.m9.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p2.19.m9.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.19.m9.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p2.19.m9.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.19.m9.2.2.2.2.2.2">𝜃</ci><ci id="S2.SS2.p2.19.m9.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.19.m9.2.2.2.2.2.3">𝑘</ci></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p2.19.m9.2c">{\boldsymbol{d}}(f_{k},\theta_{k})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p2.19.m9.2d">bold_italic_d ( italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT , italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math>, respectively. <br class="ltx_break"/>Denote <math alttext="\boldsymbol{e}_{nM+n^{2}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p2.20.m10.1"><semantics id="S2.SS2.p2.20.m10.1a"><msub id="S2.SS2.p2.20.m10.1.1" xref="S2.SS2.p2.20.m10.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.20.m10.1.1.2" xref="S2.SS2.p2.20.m10.1.1.2.cmml">𝒆</mi><mrow id="S2.SS2.p2.20.m10.1.1.3" xref="S2.SS2.p2.20.m10.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.SS2.p2.20.m10.1.1.3.2" xref="S2.SS2.p2.20.m10.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.20.m10.1.1.3.2.2" xref="S2.SS2.p2.20.m10.1.1.3.2.2.cmml">n</mi><mo id="S2.SS2.p2.20.m10.1.1.3.2.1" xref="S2.SS2.p2.20.m10.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS2.p2.20.m10.1.1.3.2.3" xref="S2.SS2.p2.20.m10.1.1.3.2.3.cmml">M</mi></mrow><mo id="S2.SS2.p2.20.m10.1.1.3.1" xref="S2.SS2.p2.20.m10.1.1.3.1.cmml">+</mo><msup id="S2.SS2.p2.20.m10.1.1.3.3" xref="S2.SS2.p2.20.m10.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.20.m10.1.1.3.3.2" xref="S2.SS2.p2.20.m10.1.1.3.3.2.cmml">n</mi><mn id="S2.SS2.p2.20.m10.1.1.3.3.3" xref="S2.SS2.p2.20.m10.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p2.20.m10.1b"><apply id="S2.SS2.p2.20.m10.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.20.m10.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p2.20.m10.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.20.m10.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p2.20.m10.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.20.m10.1.1.2">𝒆</ci><apply id="S2.SS2.p2.20.m10.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.20.m10.1.1.3"><plus id="S2.SS2.p2.20.m10.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.20.m10.1.1.3.1"></plus><apply id="S2.SS2.p2.20.m10.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.20.m10.1.1.3.2"><times id="S2.SS2.p2.20.m10.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.20.m10.1.1.3.2.1"></times><ci id="S2.SS2.p2.20.m10.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.20.m10.1.1.3.2.2">𝑛</ci><ci id="S2.SS2.p2.20.m10.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.20.m10.1.1.3.2.3">𝑀</ci></apply><apply id="S2.SS2.p2.20.m10.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.20.m10.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p2.20.m10.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.20.m10.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p2.20.m10.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.20.m10.1.1.3.3.2">𝑛</ci><cn id="S2.SS2.p2.20.m10.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p2.20.m10.1.1.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p2.20.m10.1c">\boldsymbol{e}_{nM+n^{2}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p2.20.m10.1d">bold_italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_n italic_M + italic_n start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> as the <math alttext="(nM+n^{2})" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p2.21.m11.1"><semantics id="S2.SS2.p2.21.m11.1a"><mrow id="S2.SS2.p2.21.m11.1.1.1" xref="S2.SS2.p2.21.m11.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS2.p2.21.m11.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.p2.21.m11.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.SS2.p2.21.m11.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p2.21.m11.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.SS2.p2.21.m11.1.1.1.1.2" xref="S2.SS2.p2.21.m11.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.21.m11.1.1.1.1.2.2" xref="S2.SS2.p2.21.m11.1.1.1.1.2.2.cmml">n</mi><mo id="S2.SS2.p2.21.m11.1.1.1.1.2.1" xref="S2.SS2.p2.21.m11.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS2.p2.21.m11.1.1.1.1.2.3" xref="S2.SS2.p2.21.m11.1.1.1.1.2.3.cmml">M</mi></mrow><mo id="S2.SS2.p2.21.m11.1.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p2.21.m11.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msup id="S2.SS2.p2.21.m11.1.1.1.1.3" xref="S2.SS2.p2.21.m11.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.21.m11.1.1.1.1.3.2" xref="S2.SS2.p2.21.m11.1.1.1.1.3.2.cmml">n</mi><mn id="S2.SS2.p2.21.m11.1.1.1.1.3.3" xref="S2.SS2.p2.21.m11.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S2.SS2.p2.21.m11.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS2.p2.21.m11.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p2.21.m11.1b"><apply id="S2.SS2.p2.21.m11.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.21.m11.1.1.1"><plus id="S2.SS2.p2.21.m11.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.21.m11.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S2.SS2.p2.21.m11.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.21.m11.1.1.1.1.2"><times id="S2.SS2.p2.21.m11.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.21.m11.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="S2.SS2.p2.21.m11.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.21.m11.1.1.1.1.2.2">𝑛</ci><ci id="S2.SS2.p2.21.m11.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.21.m11.1.1.1.1.2.3">𝑀</ci></apply><apply id="S2.SS2.p2.21.m11.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.21.m11.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p2.21.m11.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.21.m11.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p2.21.m11.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.21.m11.1.1.1.1.3.2">𝑛</ci><cn id="S2.SS2.p2.21.m11.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p2.21.m11.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p2.21.m11.1c">(nM+n^{2})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p2.21.m11.1d">( italic_n italic_M + italic_n start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math>th<span class="ltx_note ltx_role_footnote" id="footnote2"><sup class="ltx_note_mark">2</sup><span class="ltx_note_outer"><span class="ltx_note_content"><sup class="ltx_note_mark">2</sup><span class="ltx_tag ltx_tag_note">2</span>For convenience, here we have used zero-based index.</span></span></span> column of an <math alttext="NM\times NM" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p2.22.m12.1"><semantics id="S2.SS2.p2.22.m12.1a"><mrow id="S2.SS2.p2.22.m12.1.1" xref="S2.SS2.p2.22.m12.1.1.cmml"><mrow id="S2.SS2.p2.22.m12.1.1.2" xref="S2.SS2.p2.22.m12.1.1.2.cmml"><mrow id="S2.SS2.p2.22.m12.1.1.2.2" xref="S2.SS2.p2.22.m12.1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.22.m12.1.1.2.2.2" xref="S2.SS2.p2.22.m12.1.1.2.2.2.cmml">N</mi><mo id="S2.SS2.p2.22.m12.1.1.2.2.1" xref="S2.SS2.p2.22.m12.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS2.p2.22.m12.1.1.2.2.3" xref="S2.SS2.p2.22.m12.1.1.2.2.3.cmml">M</mi></mrow><mo id="S2.SS2.p2.22.m12.1.1.2.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S2.SS2.p2.22.m12.1.1.2.1.cmml">×</mo><mi id="S2.SS2.p2.22.m12.1.1.2.3" xref="S2.SS2.p2.22.m12.1.1.2.3.cmml">N</mi></mrow><mo id="S2.SS2.p2.22.m12.1.1.1" xref="S2.SS2.p2.22.m12.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS2.p2.22.m12.1.1.3" xref="S2.SS2.p2.22.m12.1.1.3.cmml">M</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p2.22.m12.1b"><apply id="S2.SS2.p2.22.m12.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.22.m12.1.1"><times id="S2.SS2.p2.22.m12.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.22.m12.1.1.1"></times><apply id="S2.SS2.p2.22.m12.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.22.m12.1.1.2"><times id="S2.SS2.p2.22.m12.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.22.m12.1.1.2.1"></times><apply id="S2.SS2.p2.22.m12.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.22.m12.1.1.2.2"><times id="S2.SS2.p2.22.m12.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.22.m12.1.1.2.2.1"></times><ci id="S2.SS2.p2.22.m12.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.22.m12.1.1.2.2.2">𝑁</ci><ci id="S2.SS2.p2.22.m12.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.22.m12.1.1.2.2.3">𝑀</ci></apply><ci id="S2.SS2.p2.22.m12.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.22.m12.1.1.2.3">𝑁</ci></apply><ci id="S2.SS2.p2.22.m12.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.22.m12.1.1.3">𝑀</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p2.22.m12.1c">NM\times NM</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p2.22.m12.1d">italic_N italic_M × italic_N italic_M</annotation></semantics></math> identity matrix. Then one can write <math alttext="\boldsymbol{x}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p2.23.m13.1"><semantics id="S2.SS2.p2.23.m13.1a"><mi id="S2.SS2.p2.23.m13.1.1" xref="S2.SS2.p2.23.m13.1.1.cmml">𝒙</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p2.23.m13.1b"><ci id="S2.SS2.p2.23.m13.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.23.m13.1.1">𝒙</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p2.23.m13.1c">\boldsymbol{x}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p2.23.m13.1d">bold_italic_x</annotation></semantics></math> as a collection of structured linear measurements of <math alttext="\boldsymbol{z}^{\star}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p2.24.m14.1"><semantics id="S2.SS2.p2.24.m14.1a"><msup id="S2.SS2.p2.24.m14.1.1" xref="S2.SS2.p2.24.m14.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.24.m14.1.1.2" xref="S2.SS2.p2.24.m14.1.1.2.cmml">𝒛</mi><mo id="S2.SS2.p2.24.m14.1.1.3" xref="S2.SS2.p2.24.m14.1.1.3.cmml">⋆</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p2.24.m14.1b"><apply id="S2.SS2.p2.24.m14.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.24.m14.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p2.24.m14.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.24.m14.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p2.24.m14.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.24.m14.1.1.2">𝒛</ci><ci id="S2.SS2.p2.24.m14.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.24.m14.1.1.3">⋆</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p2.24.m14.1c">\boldsymbol{z}^{\star}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p2.24.m14.1d">bold_italic_z start_POSTSUPERSCRIPT ⋆ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, i.e.,</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_table" id="S2.E9"> <tbody> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S2.E9X"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\boldsymbol{x}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E9X.2.1.1.m1.1"><semantics id="S2.E9X.2.1.1.m1.1a"><mi id="S2.E9X.2.1.1.m1.1.1" xref="S2.E9X.2.1.1.m1.1.1.cmml">𝒙</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E9X.2.1.1.m1.1b"><ci id="S2.E9X.2.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.E9X.2.1.1.m1.1.1">𝒙</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E9X.2.1.1.m1.1c">\displaystyle\boldsymbol{x}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E9X.2.1.1.m1.1d">bold_italic_x</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\mathcal{P}\left(\sum_{k=1}^{K}c_{k}{\boldsymbol{d}}(f_{k},% \theta_{k})\right)=\mathcal{P}(\boldsymbol{z}^{\star})," class="ltx_Math" display="inline" id="S2.E9X.3.2.2.m1.1"><semantics id="S2.E9X.3.2.2.m1.1a"><mrow id="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1" xref="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1" xref="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4" xref="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.4.cmml"></mi><mo id="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.5" xref="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.5.cmml">=</mo><mrow id="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1" xref="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">𝒫</mi><mo id="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><munderover id="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3a" xref="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" movablelimits="false" xref="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">K</mi></munderover></mstyle><mrow id="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4" xref="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml"><mi id="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2" xref="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.cmml">c</mi><mi id="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3" xref="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.5" xref="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.5.cmml">𝒅</mi><mo id="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3a" xref="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">f</mi><mi id="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.4" xref="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2" 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id="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2" xref="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml">𝒛</mi><mo id="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3" xref="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml">⋆</mo></msup><mo id="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.2" xref="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E9X.3.2.2.m1.1b"><apply id="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1"><and id="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1a.cmml" xref="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1"></and><apply id="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1b.cmml" xref="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1"><eq id="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.5"></eq><csymbol cd="latexml" 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id="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.cmml" xref="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2">𝑐</ci><ci id="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.cmml" xref="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3">𝑘</ci></apply><ci id="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.5.cmml" xref="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.5">𝒅</ci><interval closure="open" id="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2"><apply id="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑓</ci><ci id="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply><apply id="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.2">𝜃</ci><ci id="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.3">𝑘</ci></apply></interval></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1c.cmml" xref="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1"><eq id="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6.cmml" xref="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.6"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.15164v1#S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.cmml" id="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1d.cmml" xref="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1"></share><apply id="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.2"><times id="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.2.2"></times><ci id="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.2.3">𝒫</ci><apply id="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2">𝒛</ci><ci id="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E9X.3.2.2.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3">⋆</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E9X.3.2.2.m1.1c">\displaystyle=\mathcal{P}\left(\sum_{k=1}^{K}c_{k}{\boldsymbol{d}}(f_{k},% \theta_{k})\right)=\mathcal{P}(\boldsymbol{z}^{\star}),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E9X.3.2.2.m1.1d">= caligraphic_P ( ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_k = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_K end_POSTSUPERSCRIPT italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT bold_italic_d ( italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT , italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ) ) = caligraphic_P ( bold_italic_z start_POSTSUPERSCRIPT ⋆ end_POSTSUPERSCRIPT ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equationgroup ltx_align_right">(9)</span></td> </tr> </tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.p2.34">where the linear operator <math alttext="\mathcal{P}:\mathbb{C}^{NM}\rightarrow\mathbb{C}^{N}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p2.25.m1.1"><semantics id="S2.SS2.p2.25.m1.1a"><mrow id="S2.SS2.p2.25.m1.1.1" xref="S2.SS2.p2.25.m1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS2.p2.25.m1.1.1.2" xref="S2.SS2.p2.25.m1.1.1.2.cmml">𝒫</mi><mo id="S2.SS2.p2.25.m1.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S2.SS2.p2.25.m1.1.1.1.cmml">:</mo><mrow id="S2.SS2.p2.25.m1.1.1.3" xref="S2.SS2.p2.25.m1.1.1.3.cmml"><msup id="S2.SS2.p2.25.m1.1.1.3.2" xref="S2.SS2.p2.25.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.25.m1.1.1.3.2.2" xref="S2.SS2.p2.25.m1.1.1.3.2.2.cmml">ℂ</mi><mrow id="S2.SS2.p2.25.m1.1.1.3.2.3" xref="S2.SS2.p2.25.m1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.25.m1.1.1.3.2.3.2" xref="S2.SS2.p2.25.m1.1.1.3.2.3.2.cmml">N</mi><mo id="S2.SS2.p2.25.m1.1.1.3.2.3.1" xref="S2.SS2.p2.25.m1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS2.p2.25.m1.1.1.3.2.3.3" xref="S2.SS2.p2.25.m1.1.1.3.2.3.3.cmml">M</mi></mrow></msup><mo id="S2.SS2.p2.25.m1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.SS2.p2.25.m1.1.1.3.1.cmml">→</mo><msup id="S2.SS2.p2.25.m1.1.1.3.3" xref="S2.SS2.p2.25.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.25.m1.1.1.3.3.2" xref="S2.SS2.p2.25.m1.1.1.3.3.2.cmml">ℂ</mi><mi id="S2.SS2.p2.25.m1.1.1.3.3.3" xref="S2.SS2.p2.25.m1.1.1.3.3.3.cmml">N</mi></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p2.25.m1.1b"><apply id="S2.SS2.p2.25.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.25.m1.1.1"><ci id="S2.SS2.p2.25.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.25.m1.1.1.1">:</ci><ci id="S2.SS2.p2.25.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.25.m1.1.1.2">𝒫</ci><apply id="S2.SS2.p2.25.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.25.m1.1.1.3"><ci id="S2.SS2.p2.25.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.25.m1.1.1.3.1">→</ci><apply id="S2.SS2.p2.25.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.25.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p2.25.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.25.m1.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p2.25.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.25.m1.1.1.3.2.2">ℂ</ci><apply id="S2.SS2.p2.25.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.25.m1.1.1.3.2.3"><times id="S2.SS2.p2.25.m1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.25.m1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S2.SS2.p2.25.m1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.25.m1.1.1.3.2.3.2">𝑁</ci><ci id="S2.SS2.p2.25.m1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.25.m1.1.1.3.2.3.3">𝑀</ci></apply></apply><apply id="S2.SS2.p2.25.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.25.m1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p2.25.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.25.m1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p2.25.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.25.m1.1.1.3.3.2">ℂ</ci><ci id="S2.SS2.p2.25.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.25.m1.1.1.3.3.3">𝑁</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p2.25.m1.1c">\mathcal{P}:\mathbb{C}^{NM}\rightarrow\mathbb{C}^{N}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p2.25.m1.1d">caligraphic_P : blackboard_C start_POSTSUPERSCRIPT italic_N italic_M end_POSTSUPERSCRIPT → blackboard_C start_POSTSUPERSCRIPT italic_N end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is defined as <math alttext="\boldsymbol{x}(n)=\left\langle\boldsymbol{z}^{\star},\boldsymbol{e}_{nM+n^{2}}% \right\rangle=\boldsymbol{e}_{nM+n^{2}}^{H}\boldsymbol{z}^{\star},~{}n=0,1,% \cdots,N-1" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p2.26.m2.6"><semantics id="S2.SS2.p2.26.m2.6a"><mrow id="S2.SS2.p2.26.m2.6.6.2" xref="S2.SS2.p2.26.m2.6.6.3.cmml"><mrow id="S2.SS2.p2.26.m2.5.5.1.1" xref="S2.SS2.p2.26.m2.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S2.SS2.p2.26.m2.5.5.1.1.4" xref="S2.SS2.p2.26.m2.5.5.1.1.4.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.26.m2.5.5.1.1.4.2" xref="S2.SS2.p2.26.m2.5.5.1.1.4.2.cmml">𝒙</mi><mo id="S2.SS2.p2.26.m2.5.5.1.1.4.1" xref="S2.SS2.p2.26.m2.5.5.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS2.p2.26.m2.5.5.1.1.4.3.2" xref="S2.SS2.p2.26.m2.5.5.1.1.4.cmml"><mo id="S2.SS2.p2.26.m2.5.5.1.1.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS2.p2.26.m2.5.5.1.1.4.cmml">(</mo><mi id="S2.SS2.p2.26.m2.1.1" xref="S2.SS2.p2.26.m2.1.1.cmml">n</mi><mo id="S2.SS2.p2.26.m2.5.5.1.1.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.p2.26.m2.5.5.1.1.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.SS2.p2.26.m2.5.5.1.1.5" xref="S2.SS2.p2.26.m2.5.5.1.1.5.cmml">=</mo><mrow id="S2.SS2.p2.26.m2.5.5.1.1.2.2" xref="S2.SS2.p2.26.m2.5.5.1.1.2.3.cmml"><mo id="S2.SS2.p2.26.m2.5.5.1.1.2.2.3" xref="S2.SS2.p2.26.m2.5.5.1.1.2.3.cmml">⟨</mo><msup id="S2.SS2.p2.26.m2.5.5.1.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p2.26.m2.5.5.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.26.m2.5.5.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS2.p2.26.m2.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml">𝒛</mi><mo id="S2.SS2.p2.26.m2.5.5.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS2.p2.26.m2.5.5.1.1.1.1.1.3.cmml">⋆</mo></msup><mo id="S2.SS2.p2.26.m2.5.5.1.1.2.2.4" xref="S2.SS2.p2.26.m2.5.5.1.1.2.3.cmml">,</mo><msub id="S2.SS2.p2.26.m2.5.5.1.1.2.2.2" xref="S2.SS2.p2.26.m2.5.5.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.26.m2.5.5.1.1.2.2.2.2" xref="S2.SS2.p2.26.m2.5.5.1.1.2.2.2.2.cmml">𝒆</mi><mrow id="S2.SS2.p2.26.m2.5.5.1.1.2.2.2.3" xref="S2.SS2.p2.26.m2.5.5.1.1.2.2.2.3.cmml"><mrow id="S2.SS2.p2.26.m2.5.5.1.1.2.2.2.3.2" xref="S2.SS2.p2.26.m2.5.5.1.1.2.2.2.3.2.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.26.m2.5.5.1.1.2.2.2.3.2.2" xref="S2.SS2.p2.26.m2.5.5.1.1.2.2.2.3.2.2.cmml">n</mi><mo id="S2.SS2.p2.26.m2.5.5.1.1.2.2.2.3.2.1" xref="S2.SS2.p2.26.m2.5.5.1.1.2.2.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS2.p2.26.m2.5.5.1.1.2.2.2.3.2.3" xref="S2.SS2.p2.26.m2.5.5.1.1.2.2.2.3.2.3.cmml">M</mi></mrow><mo id="S2.SS2.p2.26.m2.5.5.1.1.2.2.2.3.1" xref="S2.SS2.p2.26.m2.5.5.1.1.2.2.2.3.1.cmml">+</mo><msup id="S2.SS2.p2.26.m2.5.5.1.1.2.2.2.3.3" xref="S2.SS2.p2.26.m2.5.5.1.1.2.2.2.3.3.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.26.m2.5.5.1.1.2.2.2.3.3.2" xref="S2.SS2.p2.26.m2.5.5.1.1.2.2.2.3.3.2.cmml">n</mi><mn id="S2.SS2.p2.26.m2.5.5.1.1.2.2.2.3.3.3" xref="S2.SS2.p2.26.m2.5.5.1.1.2.2.2.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow></msub><mo id="S2.SS2.p2.26.m2.5.5.1.1.2.2.5" xref="S2.SS2.p2.26.m2.5.5.1.1.2.3.cmml">⟩</mo></mrow><mo id="S2.SS2.p2.26.m2.5.5.1.1.6" xref="S2.SS2.p2.26.m2.5.5.1.1.6.cmml">=</mo><mrow id="S2.SS2.p2.26.m2.5.5.1.1.7" xref="S2.SS2.p2.26.m2.5.5.1.1.7.cmml"><msubsup id="S2.SS2.p2.26.m2.5.5.1.1.7.2" xref="S2.SS2.p2.26.m2.5.5.1.1.7.2.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.26.m2.5.5.1.1.7.2.2.2" xref="S2.SS2.p2.26.m2.5.5.1.1.7.2.2.2.cmml">𝒆</mi><mrow id="S2.SS2.p2.26.m2.5.5.1.1.7.2.2.3" xref="S2.SS2.p2.26.m2.5.5.1.1.7.2.2.3.cmml"><mrow id="S2.SS2.p2.26.m2.5.5.1.1.7.2.2.3.2" xref="S2.SS2.p2.26.m2.5.5.1.1.7.2.2.3.2.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.26.m2.5.5.1.1.7.2.2.3.2.2" xref="S2.SS2.p2.26.m2.5.5.1.1.7.2.2.3.2.2.cmml">n</mi><mo id="S2.SS2.p2.26.m2.5.5.1.1.7.2.2.3.2.1" xref="S2.SS2.p2.26.m2.5.5.1.1.7.2.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS2.p2.26.m2.5.5.1.1.7.2.2.3.2.3" xref="S2.SS2.p2.26.m2.5.5.1.1.7.2.2.3.2.3.cmml">M</mi></mrow><mo id="S2.SS2.p2.26.m2.5.5.1.1.7.2.2.3.1" xref="S2.SS2.p2.26.m2.5.5.1.1.7.2.2.3.1.cmml">+</mo><msup id="S2.SS2.p2.26.m2.5.5.1.1.7.2.2.3.3" xref="S2.SS2.p2.26.m2.5.5.1.1.7.2.2.3.3.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.26.m2.5.5.1.1.7.2.2.3.3.2" xref="S2.SS2.p2.26.m2.5.5.1.1.7.2.2.3.3.2.cmml">n</mi><mn id="S2.SS2.p2.26.m2.5.5.1.1.7.2.2.3.3.3" xref="S2.SS2.p2.26.m2.5.5.1.1.7.2.2.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mi id="S2.SS2.p2.26.m2.5.5.1.1.7.2.3" xref="S2.SS2.p2.26.m2.5.5.1.1.7.2.3.cmml">H</mi></msubsup><mo id="S2.SS2.p2.26.m2.5.5.1.1.7.1" xref="S2.SS2.p2.26.m2.5.5.1.1.7.1.cmml">⁢</mo><msup id="S2.SS2.p2.26.m2.5.5.1.1.7.3" 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id="S2.SS2.p2.26.m2.6.6.2.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.26.m2.6.6.2.2.3">𝑛</ci><list id="S2.SS2.p2.26.m2.6.6.2.2.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.26.m2.6.6.2.2.1.1"><cn id="S2.SS2.p2.26.m2.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p2.26.m2.2.2">0</cn><cn id="S2.SS2.p2.26.m2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p2.26.m2.3.3">1</cn><ci id="S2.SS2.p2.26.m2.4.4.cmml" xref="S2.SS2.p2.26.m2.4.4">⋯</ci><apply id="S2.SS2.p2.26.m2.6.6.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.26.m2.6.6.2.2.1.1.1"><minus id="S2.SS2.p2.26.m2.6.6.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.26.m2.6.6.2.2.1.1.1.1"></minus><ci id="S2.SS2.p2.26.m2.6.6.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.26.m2.6.6.2.2.1.1.1.2">𝑁</ci><cn id="S2.SS2.p2.26.m2.6.6.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p2.26.m2.6.6.2.2.1.1.1.3">1</cn></apply></list></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p2.26.m2.6c">\boldsymbol{x}(n)=\left\langle\boldsymbol{z}^{\star},\boldsymbol{e}_{nM+n^{2}}% \right\rangle=\boldsymbol{e}_{nM+n^{2}}^{H}\boldsymbol{z}^{\star},~{}n=0,1,% \cdots,N-1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p2.26.m2.6d">bold_italic_x ( italic_n ) = ⟨ bold_italic_z start_POSTSUPERSCRIPT ⋆ end_POSTSUPERSCRIPT , bold_italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_n italic_M + italic_n start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ⟩ = bold_italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_n italic_M + italic_n start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_H end_POSTSUPERSCRIPT bold_italic_z start_POSTSUPERSCRIPT ⋆ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_n = 0 , 1 , ⋯ , italic_N - 1</annotation></semantics></math>. Note that the linear operator <math alttext="\mathcal{P}(\cdot)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p2.27.m3.1"><semantics id="S2.SS2.p2.27.m3.1a"><mrow id="S2.SS2.p2.27.m3.1.2" xref="S2.SS2.p2.27.m3.1.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS2.p2.27.m3.1.2.2" xref="S2.SS2.p2.27.m3.1.2.2.cmml">𝒫</mi><mo id="S2.SS2.p2.27.m3.1.2.1" xref="S2.SS2.p2.27.m3.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS2.p2.27.m3.1.2.3.2" xref="S2.SS2.p2.27.m3.1.2.cmml"><mo id="S2.SS2.p2.27.m3.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS2.p2.27.m3.1.2.cmml">(</mo><mo id="S2.SS2.p2.27.m3.1.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S2.SS2.p2.27.m3.1.1.cmml">⋅</mo><mo id="S2.SS2.p2.27.m3.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.p2.27.m3.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p2.27.m3.1b"><apply id="S2.SS2.p2.27.m3.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.27.m3.1.2"><times id="S2.SS2.p2.27.m3.1.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.27.m3.1.2.1"></times><ci id="S2.SS2.p2.27.m3.1.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.27.m3.1.2.2">𝒫</ci><ci id="S2.SS2.p2.27.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.27.m3.1.1">⋅</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p2.27.m3.1c">\mathcal{P}(\cdot)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p2.27.m3.1d">caligraphic_P ( ⋅ )</annotation></semantics></math> can be written as <math alttext="\mathcal{P}(\boldsymbol{z}^{\star})=\boldsymbol{P}\boldsymbol{z}^{\star}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p2.28.m4.1"><semantics id="S2.SS2.p2.28.m4.1a"><mrow id="S2.SS2.p2.28.m4.1.1" xref="S2.SS2.p2.28.m4.1.1.cmml"><mrow id="S2.SS2.p2.28.m4.1.1.1" xref="S2.SS2.p2.28.m4.1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.SS2.p2.28.m4.1.1.1.3" xref="S2.SS2.p2.28.m4.1.1.1.3.cmml">𝒫</mi><mo id="S2.SS2.p2.28.m4.1.1.1.2" xref="S2.SS2.p2.28.m4.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS2.p2.28.m4.1.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p2.28.m4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS2.p2.28.m4.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.p2.28.m4.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S2.SS2.p2.28.m4.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p2.28.m4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.28.m4.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS2.p2.28.m4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝒛</mi><mo id="S2.SS2.p2.28.m4.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS2.p2.28.m4.1.1.1.1.1.1.3.cmml">⋆</mo></msup><mo id="S2.SS2.p2.28.m4.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS2.p2.28.m4.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.SS2.p2.28.m4.1.1.2" xref="S2.SS2.p2.28.m4.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S2.SS2.p2.28.m4.1.1.3" xref="S2.SS2.p2.28.m4.1.1.3.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.28.m4.1.1.3.2" xref="S2.SS2.p2.28.m4.1.1.3.2.cmml">𝑷</mi><mo id="S2.SS2.p2.28.m4.1.1.3.1" xref="S2.SS2.p2.28.m4.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S2.SS2.p2.28.m4.1.1.3.3" xref="S2.SS2.p2.28.m4.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.28.m4.1.1.3.3.2" xref="S2.SS2.p2.28.m4.1.1.3.3.2.cmml">𝒛</mi><mo id="S2.SS2.p2.28.m4.1.1.3.3.3" xref="S2.SS2.p2.28.m4.1.1.3.3.3.cmml">⋆</mo></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p2.28.m4.1b"><apply id="S2.SS2.p2.28.m4.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.28.m4.1.1"><eq id="S2.SS2.p2.28.m4.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.28.m4.1.1.2"></eq><apply id="S2.SS2.p2.28.m4.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.28.m4.1.1.1"><times id="S2.SS2.p2.28.m4.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.28.m4.1.1.1.2"></times><ci id="S2.SS2.p2.28.m4.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.28.m4.1.1.1.3">𝒫</ci><apply id="S2.SS2.p2.28.m4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.28.m4.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p2.28.m4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.28.m4.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p2.28.m4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.28.m4.1.1.1.1.1.1.2">𝒛</ci><ci id="S2.SS2.p2.28.m4.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.28.m4.1.1.1.1.1.1.3">⋆</ci></apply></apply><apply id="S2.SS2.p2.28.m4.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.28.m4.1.1.3"><times id="S2.SS2.p2.28.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.28.m4.1.1.3.1"></times><ci id="S2.SS2.p2.28.m4.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.28.m4.1.1.3.2">𝑷</ci><apply id="S2.SS2.p2.28.m4.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.28.m4.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p2.28.m4.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.28.m4.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p2.28.m4.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.28.m4.1.1.3.3.2">𝒛</ci><ci id="S2.SS2.p2.28.m4.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.28.m4.1.1.3.3.3">⋆</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p2.28.m4.1c">\mathcal{P}(\boldsymbol{z}^{\star})=\boldsymbol{P}\boldsymbol{z}^{\star}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p2.28.m4.1d">caligraphic_P ( bold_italic_z start_POSTSUPERSCRIPT ⋆ end_POSTSUPERSCRIPT ) = bold_italic_P bold_italic_z start_POSTSUPERSCRIPT ⋆ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, where <math alttext="\boldsymbol{P}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p2.29.m5.1"><semantics id="S2.SS2.p2.29.m5.1a"><mi id="S2.SS2.p2.29.m5.1.1" xref="S2.SS2.p2.29.m5.1.1.cmml">𝑷</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p2.29.m5.1b"><ci id="S2.SS2.p2.29.m5.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.29.m5.1.1">𝑷</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p2.29.m5.1c">\boldsymbol{P}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p2.29.m5.1d">bold_italic_P</annotation></semantics></math> is an <math alttext="N\times NM" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p2.30.m6.1"><semantics id="S2.SS2.p2.30.m6.1a"><mrow id="S2.SS2.p2.30.m6.1.1" xref="S2.SS2.p2.30.m6.1.1.cmml"><mrow id="S2.SS2.p2.30.m6.1.1.2" xref="S2.SS2.p2.30.m6.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.30.m6.1.1.2.2" xref="S2.SS2.p2.30.m6.1.1.2.2.cmml">N</mi><mo id="S2.SS2.p2.30.m6.1.1.2.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S2.SS2.p2.30.m6.1.1.2.1.cmml">×</mo><mi id="S2.SS2.p2.30.m6.1.1.2.3" xref="S2.SS2.p2.30.m6.1.1.2.3.cmml">N</mi></mrow><mo id="S2.SS2.p2.30.m6.1.1.1" xref="S2.SS2.p2.30.m6.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS2.p2.30.m6.1.1.3" xref="S2.SS2.p2.30.m6.1.1.3.cmml">M</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p2.30.m6.1b"><apply id="S2.SS2.p2.30.m6.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.30.m6.1.1"><times id="S2.SS2.p2.30.m6.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.30.m6.1.1.1"></times><apply id="S2.SS2.p2.30.m6.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.30.m6.1.1.2"><times id="S2.SS2.p2.30.m6.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.30.m6.1.1.2.1"></times><ci id="S2.SS2.p2.30.m6.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.30.m6.1.1.2.2">𝑁</ci><ci id="S2.SS2.p2.30.m6.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.30.m6.1.1.2.3">𝑁</ci></apply><ci id="S2.SS2.p2.30.m6.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.30.m6.1.1.3">𝑀</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p2.30.m6.1c">N\times NM</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p2.30.m6.1d">italic_N × italic_N italic_M</annotation></semantics></math> measurement matrix with each row being <math alttext="\boldsymbol{e}_{nM+n^{2}}^{H},~{}n=0,1,\cdots,N-1" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p2.31.m7.5"><semantics id="S2.SS2.p2.31.m7.5a"><mrow id="S2.SS2.p2.31.m7.5.5.2" xref="S2.SS2.p2.31.m7.5.5.3.cmml"><mrow id="S2.SS2.p2.31.m7.4.4.1.1" xref="S2.SS2.p2.31.m7.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S2.SS2.p2.31.m7.4.4.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p2.31.m7.4.4.1.1.1.2.cmml"><msubsup id="S2.SS2.p2.31.m7.4.4.1.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p2.31.m7.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.31.m7.4.4.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.SS2.p2.31.m7.4.4.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝒆</mi><mrow id="S2.SS2.p2.31.m7.4.4.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.SS2.p2.31.m7.4.4.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mrow id="S2.SS2.p2.31.m7.4.4.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S2.SS2.p2.31.m7.4.4.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.31.m7.4.4.1.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="S2.SS2.p2.31.m7.4.4.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml">n</mi><mo id="S2.SS2.p2.31.m7.4.4.1.1.1.1.1.2.3.2.1" xref="S2.SS2.p2.31.m7.4.4.1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS2.p2.31.m7.4.4.1.1.1.1.1.2.3.2.3" xref="S2.SS2.p2.31.m7.4.4.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml">M</mi></mrow><mo id="S2.SS2.p2.31.m7.4.4.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S2.SS2.p2.31.m7.4.4.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">+</mo><msup id="S2.SS2.p2.31.m7.4.4.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S2.SS2.p2.31.m7.4.4.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.31.m7.4.4.1.1.1.1.1.2.3.3.2" xref="S2.SS2.p2.31.m7.4.4.1.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml">n</mi><mn id="S2.SS2.p2.31.m7.4.4.1.1.1.1.1.2.3.3.3" xref="S2.SS2.p2.31.m7.4.4.1.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mi id="S2.SS2.p2.31.m7.4.4.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS2.p2.31.m7.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml">H</mi></msubsup><mo id="S2.SS2.p2.31.m7.4.4.1.1.1.1.2" rspace="0.497em" xref="S2.SS2.p2.31.m7.4.4.1.1.1.2.cmml">,</mo><mi id="S2.SS2.p2.31.m7.1.1" xref="S2.SS2.p2.31.m7.1.1.cmml">n</mi></mrow><mo id="S2.SS2.p2.31.m7.4.4.1.1.2" xref="S2.SS2.p2.31.m7.4.4.1.1.2.cmml">=</mo><mn id="S2.SS2.p2.31.m7.4.4.1.1.3" xref="S2.SS2.p2.31.m7.4.4.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><mo id="S2.SS2.p2.31.m7.5.5.2.3" xref="S2.SS2.p2.31.m7.5.5.3a.cmml">,</mo><mrow id="S2.SS2.p2.31.m7.5.5.2.2.1" xref="S2.SS2.p2.31.m7.5.5.2.2.2.cmml"><mn id="S2.SS2.p2.31.m7.2.2" xref="S2.SS2.p2.31.m7.2.2.cmml">1</mn><mo id="S2.SS2.p2.31.m7.5.5.2.2.1.2" xref="S2.SS2.p2.31.m7.5.5.2.2.2.cmml">,</mo><mi id="S2.SS2.p2.31.m7.3.3" mathvariant="normal" xref="S2.SS2.p2.31.m7.3.3.cmml">⋯</mi><mo id="S2.SS2.p2.31.m7.5.5.2.2.1.3" xref="S2.SS2.p2.31.m7.5.5.2.2.2.cmml">,</mo><mrow id="S2.SS2.p2.31.m7.5.5.2.2.1.1" xref="S2.SS2.p2.31.m7.5.5.2.2.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.31.m7.5.5.2.2.1.1.2" xref="S2.SS2.p2.31.m7.5.5.2.2.1.1.2.cmml">N</mi><mo id="S2.SS2.p2.31.m7.5.5.2.2.1.1.1" xref="S2.SS2.p2.31.m7.5.5.2.2.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S2.SS2.p2.31.m7.5.5.2.2.1.1.3" xref="S2.SS2.p2.31.m7.5.5.2.2.1.1.3.cmml">1</mn></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p2.31.m7.5b"><apply id="S2.SS2.p2.31.m7.5.5.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.31.m7.5.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p2.31.m7.5.5.3a.cmml" xref="S2.SS2.p2.31.m7.5.5.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S2.SS2.p2.31.m7.4.4.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.31.m7.4.4.1.1"><eq id="S2.SS2.p2.31.m7.4.4.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.31.m7.4.4.1.1.2"></eq><list id="S2.SS2.p2.31.m7.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.31.m7.4.4.1.1.1.1"><apply id="S2.SS2.p2.31.m7.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.31.m7.4.4.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p2.31.m7.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.31.m7.4.4.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S2.SS2.p2.31.m7.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.31.m7.4.4.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p2.31.m7.4.4.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.31.m7.4.4.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p2.31.m7.4.4.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.31.m7.4.4.1.1.1.1.1.2.2">𝒆</ci><apply id="S2.SS2.p2.31.m7.4.4.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.31.m7.4.4.1.1.1.1.1.2.3"><plus id="S2.SS2.p2.31.m7.4.4.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.31.m7.4.4.1.1.1.1.1.2.3.1"></plus><apply id="S2.SS2.p2.31.m7.4.4.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.31.m7.4.4.1.1.1.1.1.2.3.2"><times id="S2.SS2.p2.31.m7.4.4.1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.31.m7.4.4.1.1.1.1.1.2.3.2.1"></times><ci id="S2.SS2.p2.31.m7.4.4.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.31.m7.4.4.1.1.1.1.1.2.3.2.2">𝑛</ci><ci id="S2.SS2.p2.31.m7.4.4.1.1.1.1.1.2.3.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.31.m7.4.4.1.1.1.1.1.2.3.2.3">𝑀</ci></apply><apply id="S2.SS2.p2.31.m7.4.4.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.31.m7.4.4.1.1.1.1.1.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p2.31.m7.4.4.1.1.1.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.31.m7.4.4.1.1.1.1.1.2.3.3">superscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p2.31.m7.4.4.1.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.31.m7.4.4.1.1.1.1.1.2.3.3.2">𝑛</ci><cn id="S2.SS2.p2.31.m7.4.4.1.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p2.31.m7.4.4.1.1.1.1.1.2.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply><ci id="S2.SS2.p2.31.m7.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.31.m7.4.4.1.1.1.1.1.3">𝐻</ci></apply><ci id="S2.SS2.p2.31.m7.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.31.m7.1.1">𝑛</ci></list><cn id="S2.SS2.p2.31.m7.4.4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p2.31.m7.4.4.1.1.3">0</cn></apply><list id="S2.SS2.p2.31.m7.5.5.2.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.31.m7.5.5.2.2.1"><cn id="S2.SS2.p2.31.m7.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p2.31.m7.2.2">1</cn><ci id="S2.SS2.p2.31.m7.3.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.31.m7.3.3">⋯</ci><apply id="S2.SS2.p2.31.m7.5.5.2.2.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.31.m7.5.5.2.2.1.1"><minus id="S2.SS2.p2.31.m7.5.5.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.31.m7.5.5.2.2.1.1.1"></minus><ci id="S2.SS2.p2.31.m7.5.5.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.31.m7.5.5.2.2.1.1.2">𝑁</ci><cn id="S2.SS2.p2.31.m7.5.5.2.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p2.31.m7.5.5.2.2.1.1.3">1</cn></apply></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p2.31.m7.5c">\boldsymbol{e}_{nM+n^{2}}^{H},~{}n=0,1,\cdots,N-1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p2.31.m7.5d">bold_italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_n italic_M + italic_n start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_H end_POSTSUPERSCRIPT , italic_n = 0 , 1 , ⋯ , italic_N - 1</annotation></semantics></math>. Therefore, estimating the unknown parameters of the chirp signal is equivalent to recovering <math alttext="\boldsymbol{z}^{\star}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p2.32.m8.1"><semantics id="S2.SS2.p2.32.m8.1a"><msup id="S2.SS2.p2.32.m8.1.1" xref="S2.SS2.p2.32.m8.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.32.m8.1.1.2" xref="S2.SS2.p2.32.m8.1.1.2.cmml">𝒛</mi><mo id="S2.SS2.p2.32.m8.1.1.3" xref="S2.SS2.p2.32.m8.1.1.3.cmml">⋆</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p2.32.m8.1b"><apply id="S2.SS2.p2.32.m8.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.32.m8.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p2.32.m8.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.32.m8.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p2.32.m8.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.32.m8.1.1.2">𝒛</ci><ci id="S2.SS2.p2.32.m8.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.32.m8.1.1.3">⋆</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p2.32.m8.1c">\boldsymbol{z}^{\star}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p2.32.m8.1d">bold_italic_z start_POSTSUPERSCRIPT ⋆ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> and its associated parameters <math alttext="\left\{(c_{k},f_{k},\theta_{k})\right\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p2.33.m9.1"><semantics id="S2.SS2.p2.33.m9.1a"><mrow id="S2.SS2.p2.33.m9.1.1.1" xref="S2.SS2.p2.33.m9.1.1.2.cmml"><mo id="S2.SS2.p2.33.m9.1.1.1.2" xref="S2.SS2.p2.33.m9.1.1.2.cmml">{</mo><mrow id="S2.SS2.p2.33.m9.1.1.1.1.3" xref="S2.SS2.p2.33.m9.1.1.1.1.4.cmml"><mo id="S2.SS2.p2.33.m9.1.1.1.1.3.4" stretchy="false" xref="S2.SS2.p2.33.m9.1.1.1.1.4.cmml">(</mo><msub id="S2.SS2.p2.33.m9.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p2.33.m9.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.33.m9.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS2.p2.33.m9.1.1.1.1.1.1.2.cmml">c</mi><mi id="S2.SS2.p2.33.m9.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS2.p2.33.m9.1.1.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S2.SS2.p2.33.m9.1.1.1.1.3.5" xref="S2.SS2.p2.33.m9.1.1.1.1.4.cmml">,</mo><msub id="S2.SS2.p2.33.m9.1.1.1.1.2.2" xref="S2.SS2.p2.33.m9.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.33.m9.1.1.1.1.2.2.2" xref="S2.SS2.p2.33.m9.1.1.1.1.2.2.2.cmml">f</mi><mi id="S2.SS2.p2.33.m9.1.1.1.1.2.2.3" xref="S2.SS2.p2.33.m9.1.1.1.1.2.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S2.SS2.p2.33.m9.1.1.1.1.3.6" xref="S2.SS2.p2.33.m9.1.1.1.1.4.cmml">,</mo><msub id="S2.SS2.p2.33.m9.1.1.1.1.3.3" xref="S2.SS2.p2.33.m9.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.33.m9.1.1.1.1.3.3.2" xref="S2.SS2.p2.33.m9.1.1.1.1.3.3.2.cmml">θ</mi><mi id="S2.SS2.p2.33.m9.1.1.1.1.3.3.3" xref="S2.SS2.p2.33.m9.1.1.1.1.3.3.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S2.SS2.p2.33.m9.1.1.1.1.3.7" stretchy="false" xref="S2.SS2.p2.33.m9.1.1.1.1.4.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.SS2.p2.33.m9.1.1.1.3" xref="S2.SS2.p2.33.m9.1.1.2.cmml">}</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p2.33.m9.1b"><set id="S2.SS2.p2.33.m9.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.33.m9.1.1.1"><vector id="S2.SS2.p2.33.m9.1.1.1.1.4.cmml" xref="S2.SS2.p2.33.m9.1.1.1.1.3"><apply id="S2.SS2.p2.33.m9.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.33.m9.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p2.33.m9.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.33.m9.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p2.33.m9.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.33.m9.1.1.1.1.1.1.2">𝑐</ci><ci id="S2.SS2.p2.33.m9.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.33.m9.1.1.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply><apply id="S2.SS2.p2.33.m9.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.33.m9.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p2.33.m9.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.33.m9.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p2.33.m9.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.33.m9.1.1.1.1.2.2.2">𝑓</ci><ci id="S2.SS2.p2.33.m9.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.33.m9.1.1.1.1.2.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S2.SS2.p2.33.m9.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.33.m9.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p2.33.m9.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.33.m9.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS2.p2.33.m9.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.33.m9.1.1.1.1.3.3.2">𝜃</ci><ci id="S2.SS2.p2.33.m9.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.33.m9.1.1.1.1.3.3.3">𝑘</ci></apply></vector></set></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p2.33.m9.1c">\left\{(c_{k},f_{k},\theta_{k})\right\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p2.33.m9.1d">{ ( italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT , italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT , italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ) }</annotation></semantics></math> from <math alttext="\boldsymbol{x}(n),n=0,1,\cdots,N-1" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.p2.34.m10.6"><semantics id="S2.SS2.p2.34.m10.6a"><mrow id="S2.SS2.p2.34.m10.6.6.2" xref="S2.SS2.p2.34.m10.6.6.3.cmml"><mrow id="S2.SS2.p2.34.m10.5.5.1.1" xref="S2.SS2.p2.34.m10.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S2.SS2.p2.34.m10.5.5.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p2.34.m10.5.5.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S2.SS2.p2.34.m10.5.5.1.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p2.34.m10.5.5.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.34.m10.5.5.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS2.p2.34.m10.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml">𝒙</mi><mo id="S2.SS2.p2.34.m10.5.5.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS2.p2.34.m10.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS2.p2.34.m10.5.5.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.SS2.p2.34.m10.5.5.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS2.p2.34.m10.5.5.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS2.p2.34.m10.5.5.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S2.SS2.p2.34.m10.1.1" xref="S2.SS2.p2.34.m10.1.1.cmml">n</mi><mo id="S2.SS2.p2.34.m10.5.5.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS2.p2.34.m10.5.5.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.SS2.p2.34.m10.5.5.1.1.1.1.2" xref="S2.SS2.p2.34.m10.5.5.1.1.1.2.cmml">,</mo><mi id="S2.SS2.p2.34.m10.2.2" xref="S2.SS2.p2.34.m10.2.2.cmml">n</mi></mrow><mo id="S2.SS2.p2.34.m10.5.5.1.1.2" xref="S2.SS2.p2.34.m10.5.5.1.1.2.cmml">=</mo><mn id="S2.SS2.p2.34.m10.5.5.1.1.3" xref="S2.SS2.p2.34.m10.5.5.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><mo id="S2.SS2.p2.34.m10.6.6.2.3" xref="S2.SS2.p2.34.m10.6.6.3a.cmml">,</mo><mrow id="S2.SS2.p2.34.m10.6.6.2.2.1" xref="S2.SS2.p2.34.m10.6.6.2.2.2.cmml"><mn id="S2.SS2.p2.34.m10.3.3" xref="S2.SS2.p2.34.m10.3.3.cmml">1</mn><mo id="S2.SS2.p2.34.m10.6.6.2.2.1.2" xref="S2.SS2.p2.34.m10.6.6.2.2.2.cmml">,</mo><mi id="S2.SS2.p2.34.m10.4.4" mathvariant="normal" xref="S2.SS2.p2.34.m10.4.4.cmml">⋯</mi><mo id="S2.SS2.p2.34.m10.6.6.2.2.1.3" xref="S2.SS2.p2.34.m10.6.6.2.2.2.cmml">,</mo><mrow id="S2.SS2.p2.34.m10.6.6.2.2.1.1" xref="S2.SS2.p2.34.m10.6.6.2.2.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.p2.34.m10.6.6.2.2.1.1.2" xref="S2.SS2.p2.34.m10.6.6.2.2.1.1.2.cmml">N</mi><mo id="S2.SS2.p2.34.m10.6.6.2.2.1.1.1" xref="S2.SS2.p2.34.m10.6.6.2.2.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S2.SS2.p2.34.m10.6.6.2.2.1.1.3" xref="S2.SS2.p2.34.m10.6.6.2.2.1.1.3.cmml">1</mn></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.p2.34.m10.6b"><apply id="S2.SS2.p2.34.m10.6.6.3.cmml" xref="S2.SS2.p2.34.m10.6.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS2.p2.34.m10.6.6.3a.cmml" xref="S2.SS2.p2.34.m10.6.6.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S2.SS2.p2.34.m10.5.5.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.34.m10.5.5.1.1"><eq id="S2.SS2.p2.34.m10.5.5.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.34.m10.5.5.1.1.2"></eq><list id="S2.SS2.p2.34.m10.5.5.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.34.m10.5.5.1.1.1.1"><apply id="S2.SS2.p2.34.m10.5.5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.34.m10.5.5.1.1.1.1.1"><times id="S2.SS2.p2.34.m10.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.34.m10.5.5.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S2.SS2.p2.34.m10.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.34.m10.5.5.1.1.1.1.1.2">𝒙</ci><ci id="S2.SS2.p2.34.m10.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.34.m10.1.1">𝑛</ci></apply><ci id="S2.SS2.p2.34.m10.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.34.m10.2.2">𝑛</ci></list><cn id="S2.SS2.p2.34.m10.5.5.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p2.34.m10.5.5.1.1.3">0</cn></apply><list id="S2.SS2.p2.34.m10.6.6.2.2.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.34.m10.6.6.2.2.1"><cn id="S2.SS2.p2.34.m10.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p2.34.m10.3.3">1</cn><ci id="S2.SS2.p2.34.m10.4.4.cmml" xref="S2.SS2.p2.34.m10.4.4">⋯</ci><apply id="S2.SS2.p2.34.m10.6.6.2.2.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.34.m10.6.6.2.2.1.1"><minus id="S2.SS2.p2.34.m10.6.6.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.p2.34.m10.6.6.2.2.1.1.1"></minus><ci id="S2.SS2.p2.34.m10.6.6.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.p2.34.m10.6.6.2.2.1.1.2">𝑁</ci><cn id="S2.SS2.p2.34.m10.6.6.2.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.p2.34.m10.6.6.2.2.1.1.3">1</cn></apply></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.p2.34.m10.6c">\boldsymbol{x}(n),n=0,1,\cdots,N-1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.p2.34.m10.6d">bold_italic_x ( italic_n ) , italic_n = 0 , 1 , ⋯ , italic_N - 1</annotation></semantics></math> in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15164v1#S2.E9" title="In II-B Problem Formulation ‣ II Signal Model and Problem Formulation ‣ Gridless Chirp Parameter Retrieval via Constrained Two-Dimensional Atomic Norm Minimization D. Yang and F. Xi contributed equally to this work. D. Yang was supported in part by the Research Development Fund (RDF-23-02-080) from Xi’an Jiaotong-Liverpool University. F. Xi was supported in part by the National Natural Science Foundation of China under grant No. 62471230."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">9</span></a>).</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS2.p3"> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.p3.1">The reformulation (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15164v1#S2.E9" title="In II-B Problem Formulation ‣ II Signal Model and Problem Formulation ‣ Gridless Chirp Parameter Retrieval via Constrained Two-Dimensional Atomic Norm Minimization D. Yang and F. Xi contributed equally to this work. D. Yang was supported in part by the Research Development Fund (RDF-23-02-080) from Xi’an Jiaotong-Liverpool University. F. Xi was supported in part by the National Natural Science Foundation of China under grant No. 62471230."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">9</span></a>) is an instance of continuous-valued two-dimensional line spectrum estimation from compressive measurements <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15164v1#bib.bib10" title="">10</a>]</cite>. In contrast to the conventional random sampling paradigm used in the framework of compressive sensing, our measurement scheme is derived from the chirp signal model (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15164v1#S2.E1" title="In II-A Signal Model ‣ II Signal Model and Problem Formulation ‣ Gridless Chirp Parameter Retrieval via Constrained Two-Dimensional Atomic Norm Minimization D. Yang and F. Xi contributed equally to this work. D. Yang was supported in part by the Research Development Fund (RDF-23-02-080) from Xi’an Jiaotong-Liverpool University. F. Xi was supported in part by the National Natural Science Foundation of China under grant No. 62471230."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>) and is therefore highly structured.</p> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="S2.SS3"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection"><span class="ltx_text" id="S2.SS3.4.1.1">II-C</span> </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.SS3.5.2">Identifiability and Aliasing</span> </h3> <div class="ltx_para" id="S2.SS3.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.SS3.p1.10">It is easy to verify that for each chirp component <math alttext="c_{k}e^{j2\pi(f_{k}+\theta_{k}n)n}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p1.1.m1.1"><semantics id="S2.SS3.p1.1.m1.1a"><mrow id="S2.SS3.p1.1.m1.1.2" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.2.cmml"><msub id="S2.SS3.p1.1.m1.1.2.2" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.SS3.p1.1.m1.1.2.2.2" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.2.2.2.cmml">c</mi><mi id="S2.SS3.p1.1.m1.1.2.2.3" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.2.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S2.SS3.p1.1.m1.1.2.1" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S2.SS3.p1.1.m1.1.2.3" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.2.3.cmml"><mi id="S2.SS3.p1.1.m1.1.2.3.2" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.2.3.2.cmml">e</mi><mrow id="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.3" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.3.cmml">j</mi><mo id="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.2" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mn id="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.4" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.4.cmml">2</mn><mo id="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.2a" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.5" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.5.cmml">π</mi><mo id="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.2b" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">f</mi><mi id="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">θ</mi><mi id="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">n</mi></mrow></mrow><mo id="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.2c" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.6" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.6.cmml">n</mi></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p1.1.m1.1b"><apply id="S2.SS3.p1.1.m1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.2"><times id="S2.SS3.p1.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.2.1"></times><apply id="S2.SS3.p1.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p1.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p1.1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.2.2.2">𝑐</ci><ci id="S2.SS3.p1.1.m1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.2.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S2.SS3.p1.1.m1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p1.1.m1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p1.1.m1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.2.3.2">𝑒</ci><apply id="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1"><times id="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.2"></times><ci id="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.3">𝑗</ci><cn id="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.4.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.4">2</cn><ci id="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.5.cmml" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.5">𝜋</ci><apply id="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1"><plus id="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑓</ci><ci id="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝜃</ci><ci id="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑘</ci></apply><ci id="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑛</ci></apply></apply><ci id="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.6.cmml" xref="S2.SS3.p1.1.m1.1.1.1.6">𝑛</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p1.1.m1.1c">c_{k}e^{j2\pi(f_{k}+\theta_{k}n)n}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p1.1.m1.1d">italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_j 2 italic_π ( italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT + italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT italic_n ) italic_n end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15164v1#S2.E1" title="In II-A Signal Model ‣ II Signal Model and Problem Formulation ‣ Gridless Chirp Parameter Retrieval via Constrained Two-Dimensional Atomic Norm Minimization D. Yang and F. Xi contributed equally to this work. D. Yang was supported in part by the Research Development Fund (RDF-23-02-080) from Xi’an Jiaotong-Liverpool University. F. Xi was supported in part by the National Natural Science Foundation of China under grant No. 62471230."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>), in addition to the underlying true parameters <math alttext="\left\{(f_{k},\theta_{k})\right\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p1.2.m2.1"><semantics id="S2.SS3.p1.2.m2.1a"><mrow id="S2.SS3.p1.2.m2.1.1.1" xref="S2.SS3.p1.2.m2.1.1.2.cmml"><mo id="S2.SS3.p1.2.m2.1.1.1.2" xref="S2.SS3.p1.2.m2.1.1.2.cmml">{</mo><mrow id="S2.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.2" xref="S2.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S2.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.2.3" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><msub id="S2.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">f</mi><mi id="S2.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S2.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.2.4" xref="S2.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.3.cmml">,</mo><msub id="S2.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.2.2" xref="S2.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.2.2.2" xref="S2.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.2.2.2.cmml">θ</mi><mi id="S2.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.2.2.3" xref="S2.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.2.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S2.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.2.5" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.SS3.p1.2.m2.1.1.1.3" xref="S2.SS3.p1.2.m2.1.1.2.cmml">}</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p1.2.m2.1b"><set id="S2.SS3.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m2.1.1.1"><interval closure="open" id="S2.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.2"><apply id="S2.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.2">𝑓</ci><ci id="S2.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply><apply id="S2.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.2.2.2">𝜃</ci><ci id="S2.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.2.2.3">𝑘</ci></apply></interval></set></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p1.2.m2.1c">\left\{(f_{k},\theta_{k})\right\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p1.2.m2.1d">{ ( italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT , italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ) }</annotation></semantics></math>, there exists another set of parameters <math alttext="\left\{(\bar{f}_{k},\bar{\theta}_{k})\right\}\subset[0,1)\times[0,1)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p1.3.m3.5"><semantics id="S2.SS3.p1.3.m3.5a"><mrow id="S2.SS3.p1.3.m3.5.5" xref="S2.SS3.p1.3.m3.5.5.cmml"><mrow id="S2.SS3.p1.3.m3.5.5.1.1" xref="S2.SS3.p1.3.m3.5.5.1.2.cmml"><mo id="S2.SS3.p1.3.m3.5.5.1.1.2" xref="S2.SS3.p1.3.m3.5.5.1.2.cmml">{</mo><mrow id="S2.SS3.p1.3.m3.5.5.1.1.1.2" xref="S2.SS3.p1.3.m3.5.5.1.1.1.3.cmml"><mo id="S2.SS3.p1.3.m3.5.5.1.1.1.2.3" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.3.m3.5.5.1.1.1.3.cmml">(</mo><msub id="S2.SS3.p1.3.m3.5.5.1.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p1.3.m3.5.5.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S2.SS3.p1.3.m3.5.5.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS3.p1.3.m3.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS3.p1.3.m3.5.5.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.SS3.p1.3.m3.5.5.1.1.1.1.1.2.2.cmml">f</mi><mo id="S2.SS3.p1.3.m3.5.5.1.1.1.1.1.2.1" xref="S2.SS3.p1.3.m3.5.5.1.1.1.1.1.2.1.cmml">¯</mo></mover><mi id="S2.SS3.p1.3.m3.5.5.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS3.p1.3.m3.5.5.1.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S2.SS3.p1.3.m3.5.5.1.1.1.2.4" xref="S2.SS3.p1.3.m3.5.5.1.1.1.3.cmml">,</mo><msub id="S2.SS3.p1.3.m3.5.5.1.1.1.2.2" xref="S2.SS3.p1.3.m3.5.5.1.1.1.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S2.SS3.p1.3.m3.5.5.1.1.1.2.2.2" xref="S2.SS3.p1.3.m3.5.5.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S2.SS3.p1.3.m3.5.5.1.1.1.2.2.2.2" xref="S2.SS3.p1.3.m3.5.5.1.1.1.2.2.2.2.cmml">θ</mi><mo id="S2.SS3.p1.3.m3.5.5.1.1.1.2.2.2.1" xref="S2.SS3.p1.3.m3.5.5.1.1.1.2.2.2.1.cmml">¯</mo></mover><mi id="S2.SS3.p1.3.m3.5.5.1.1.1.2.2.3" xref="S2.SS3.p1.3.m3.5.5.1.1.1.2.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S2.SS3.p1.3.m3.5.5.1.1.1.2.5" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.3.m3.5.5.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.SS3.p1.3.m3.5.5.1.1.3" xref="S2.SS3.p1.3.m3.5.5.1.2.cmml">}</mo></mrow><mo id="S2.SS3.p1.3.m3.5.5.2" xref="S2.SS3.p1.3.m3.5.5.2.cmml">⊂</mo><mrow id="S2.SS3.p1.3.m3.5.5.3" xref="S2.SS3.p1.3.m3.5.5.3.cmml"><mrow id="S2.SS3.p1.3.m3.5.5.3.2.2" xref="S2.SS3.p1.3.m3.5.5.3.2.1.cmml"><mo id="S2.SS3.p1.3.m3.5.5.3.2.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.3.m3.5.5.3.2.1.cmml">[</mo><mn id="S2.SS3.p1.3.m3.1.1" xref="S2.SS3.p1.3.m3.1.1.cmml">0</mn><mo id="S2.SS3.p1.3.m3.5.5.3.2.2.2" xref="S2.SS3.p1.3.m3.5.5.3.2.1.cmml">,</mo><mn id="S2.SS3.p1.3.m3.2.2" xref="S2.SS3.p1.3.m3.2.2.cmml">1</mn><mo id="S2.SS3.p1.3.m3.5.5.3.2.2.3" rspace="0.055em" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.3.m3.5.5.3.2.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.SS3.p1.3.m3.5.5.3.1" rspace="0.222em" xref="S2.SS3.p1.3.m3.5.5.3.1.cmml">×</mo><mrow id="S2.SS3.p1.3.m3.5.5.3.3.2" xref="S2.SS3.p1.3.m3.5.5.3.3.1.cmml"><mo id="S2.SS3.p1.3.m3.5.5.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.3.m3.5.5.3.3.1.cmml">[</mo><mn id="S2.SS3.p1.3.m3.3.3" xref="S2.SS3.p1.3.m3.3.3.cmml">0</mn><mo id="S2.SS3.p1.3.m3.5.5.3.3.2.2" xref="S2.SS3.p1.3.m3.5.5.3.3.1.cmml">,</mo><mn id="S2.SS3.p1.3.m3.4.4" xref="S2.SS3.p1.3.m3.4.4.cmml">1</mn><mo id="S2.SS3.p1.3.m3.5.5.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.3.m3.5.5.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p1.3.m3.5b"><apply id="S2.SS3.p1.3.m3.5.5.cmml" xref="S2.SS3.p1.3.m3.5.5"><subset id="S2.SS3.p1.3.m3.5.5.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.3.m3.5.5.2"></subset><set id="S2.SS3.p1.3.m3.5.5.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.3.m3.5.5.1.1"><interval closure="open" id="S2.SS3.p1.3.m3.5.5.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.3.m3.5.5.1.1.1.2"><apply id="S2.SS3.p1.3.m3.5.5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.3.m3.5.5.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p1.3.m3.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.3.m3.5.5.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S2.SS3.p1.3.m3.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.3.m3.5.5.1.1.1.1.1.2"><ci id="S2.SS3.p1.3.m3.5.5.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.3.m3.5.5.1.1.1.1.1.2.1">¯</ci><ci id="S2.SS3.p1.3.m3.5.5.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.3.m3.5.5.1.1.1.1.1.2.2">𝑓</ci></apply><ci id="S2.SS3.p1.3.m3.5.5.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.3.m3.5.5.1.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply><apply id="S2.SS3.p1.3.m3.5.5.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.3.m3.5.5.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p1.3.m3.5.5.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.3.m3.5.5.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><apply id="S2.SS3.p1.3.m3.5.5.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.3.m3.5.5.1.1.1.2.2.2"><ci id="S2.SS3.p1.3.m3.5.5.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.3.m3.5.5.1.1.1.2.2.2.1">¯</ci><ci id="S2.SS3.p1.3.m3.5.5.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.3.m3.5.5.1.1.1.2.2.2.2">𝜃</ci></apply><ci id="S2.SS3.p1.3.m3.5.5.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.3.m3.5.5.1.1.1.2.2.3">𝑘</ci></apply></interval></set><apply id="S2.SS3.p1.3.m3.5.5.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.3.m3.5.5.3"><times id="S2.SS3.p1.3.m3.5.5.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.3.m3.5.5.3.1"></times><interval closure="closed-open" id="S2.SS3.p1.3.m3.5.5.3.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.3.m3.5.5.3.2.2"><cn id="S2.SS3.p1.3.m3.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p1.3.m3.1.1">0</cn><cn id="S2.SS3.p1.3.m3.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p1.3.m3.2.2">1</cn></interval><interval closure="closed-open" id="S2.SS3.p1.3.m3.5.5.3.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.3.m3.5.5.3.3.2"><cn id="S2.SS3.p1.3.m3.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p1.3.m3.3.3">0</cn><cn id="S2.SS3.p1.3.m3.4.4.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p1.3.m3.4.4">1</cn></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p1.3.m3.5c">\left\{(\bar{f}_{k},\bar{\theta}_{k})\right\}\subset[0,1)\times[0,1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p1.3.m3.5d">{ ( over¯ start_ARG italic_f end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT , over¯ start_ARG italic_θ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ) } ⊂ [ 0 , 1 ) × [ 0 , 1 )</annotation></semantics></math> with <math alttext="|f_{k}-\bar{f}_{k}|=\frac{1}{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p1.4.m4.1"><semantics id="S2.SS3.p1.4.m4.1a"><mrow id="S2.SS3.p1.4.m4.1.1" xref="S2.SS3.p1.4.m4.1.1.cmml"><mrow id="S2.SS3.p1.4.m4.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p1.4.m4.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.SS3.p1.4.m4.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.4.m4.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow 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id="S2.SS3.p1.4.m4.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.4.m4.1.1.1.1.1.2.2">𝑓</ci><ci id="S2.SS3.p1.4.m4.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.4.m4.1.1.1.1.1.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S2.SS3.p1.4.m4.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.4.m4.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p1.4.m4.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.4.m4.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S2.SS3.p1.4.m4.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.4.m4.1.1.1.1.1.3.2"><ci id="S2.SS3.p1.4.m4.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.4.m4.1.1.1.1.1.3.2.1">¯</ci><ci id="S2.SS3.p1.4.m4.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.4.m4.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑓</ci></apply><ci id="S2.SS3.p1.4.m4.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.4.m4.1.1.1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.SS3.p1.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.4.m4.1.1.3"><divide id="S2.SS3.p1.4.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.4.m4.1.1.3"></divide><cn id="S2.SS3.p1.4.m4.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p1.4.m4.1.1.3.2">1</cn><cn 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xref="S2.SS3.p1.6.m6.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mn id="S2.SS3.p1.6.m6.2.2.1.4" xref="S2.SS3.p1.6.m6.2.2.1.4.cmml">2</mn><mo id="S2.SS3.p1.6.m6.2.2.1.2a" xref="S2.SS3.p1.6.m6.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS3.p1.6.m6.2.2.1.5" xref="S2.SS3.p1.6.m6.2.2.1.5.cmml">π</mi><mo id="S2.SS3.p1.6.m6.2.2.1.2b" xref="S2.SS3.p1.6.m6.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS3.p1.6.m6.2.2.1.1.1" xref="S2.SS3.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS3.p1.6.m6.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.SS3.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.SS3.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.2" xref="S2.SS3.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S2.SS3.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.2.2" xref="S2.SS3.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.SS3.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.2.2.2" xref="S2.SS3.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.2.2.2.cmml">f</mi><mo id="S2.SS3.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.2.2.1" xref="S2.SS3.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.2.2.1.cmml">¯</mo></mover><mi id="S2.SS3.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.2.3" xref="S2.SS3.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S2.SS3.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S2.SS3.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.3" xref="S2.SS3.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S2.SS3.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="S2.SS3.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml"><mover accent="true" id="S2.SS3.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.SS3.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S2.SS3.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S2.SS3.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">θ</mi><mo id="S2.SS3.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="S2.SS3.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">¯</mo></mover><mi id="S2.SS3.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.3.2.3" xref="S2.SS3.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.3.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S2.SS3.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.3.1" xref="S2.SS3.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS3.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="S2.SS3.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml">n</mi></mrow></mrow><mo id="S2.SS3.p1.6.m6.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" 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id="S2.SS3.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><apply id="S2.SS3.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.3.2.2"><ci id="S2.SS3.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.3.2.2.1">¯</ci><ci id="S2.SS3.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.3.2.2.2">𝜃</ci></apply><ci id="S2.SS3.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.3.2.3">𝑘</ci></apply><ci id="S2.SS3.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.6.m6.2.2.1.1.1.1.3.3">𝑛</ci></apply></apply><ci id="S2.SS3.p1.6.m6.2.2.1.6.cmml" xref="S2.SS3.p1.6.m6.2.2.1.6">𝑛</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p1.6.m6.2c">c_{k}e^{j2\pi(f_{k}+\theta_{k}n)n}=c_{k}e^{j2\pi(\bar{f}_{k}+\bar{\theta}_{k}n% )n}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p1.6.m6.2d">italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_j 2 italic_π ( italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT + italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT italic_n ) italic_n end_POSTSUPERSCRIPT = italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_j 2 italic_π ( over¯ start_ARG italic_f end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT + over¯ start_ARG italic_θ end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT italic_n ) italic_n end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. Due to this ambiguity, the parameter set <math alttext="\left\{f_{k},\theta_{k}\right\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p1.7.m7.2"><semantics id="S2.SS3.p1.7.m7.2a"><mrow id="S2.SS3.p1.7.m7.2.2.2" xref="S2.SS3.p1.7.m7.2.2.3.cmml"><mo id="S2.SS3.p1.7.m7.2.2.2.3" xref="S2.SS3.p1.7.m7.2.2.3.cmml">{</mo><msub id="S2.SS3.p1.7.m7.1.1.1.1" xref="S2.SS3.p1.7.m7.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p1.7.m7.1.1.1.1.2" xref="S2.SS3.p1.7.m7.1.1.1.1.2.cmml">f</mi><mi id="S2.SS3.p1.7.m7.1.1.1.1.3" xref="S2.SS3.p1.7.m7.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S2.SS3.p1.7.m7.2.2.2.4" xref="S2.SS3.p1.7.m7.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S2.SS3.p1.7.m7.2.2.2.2" xref="S2.SS3.p1.7.m7.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.SS3.p1.7.m7.2.2.2.2.2" xref="S2.SS3.p1.7.m7.2.2.2.2.2.cmml">θ</mi><mi id="S2.SS3.p1.7.m7.2.2.2.2.3" xref="S2.SS3.p1.7.m7.2.2.2.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S2.SS3.p1.7.m7.2.2.2.5" xref="S2.SS3.p1.7.m7.2.2.3.cmml">}</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p1.7.m7.2b"><set id="S2.SS3.p1.7.m7.2.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.7.m7.2.2.2"><apply id="S2.SS3.p1.7.m7.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.7.m7.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p1.7.m7.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.7.m7.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p1.7.m7.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.7.m7.1.1.1.1.2">𝑓</ci><ci id="S2.SS3.p1.7.m7.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.7.m7.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply><apply id="S2.SS3.p1.7.m7.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.7.m7.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p1.7.m7.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.7.m7.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p1.7.m7.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.7.m7.2.2.2.2.2">𝜃</ci><ci id="S2.SS3.p1.7.m7.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.7.m7.2.2.2.2.3">𝑘</ci></apply></set></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p1.7.m7.2c">\left\{f_{k},\theta_{k}\right\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p1.7.m7.2d">{ italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT , italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT }</annotation></semantics></math> is generally not recoverable if we search for the unknown parameters <math alttext="f_{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p1.8.m8.1"><semantics id="S2.SS3.p1.8.m8.1a"><msub id="S2.SS3.p1.8.m8.1.1" xref="S2.SS3.p1.8.m8.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p1.8.m8.1.1.2" xref="S2.SS3.p1.8.m8.1.1.2.cmml">f</mi><mi id="S2.SS3.p1.8.m8.1.1.3" xref="S2.SS3.p1.8.m8.1.1.3.cmml">k</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p1.8.m8.1b"><apply id="S2.SS3.p1.8.m8.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.8.m8.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p1.8.m8.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.8.m8.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p1.8.m8.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.8.m8.1.1.2">𝑓</ci><ci id="S2.SS3.p1.8.m8.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.8.m8.1.1.3">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p1.8.m8.1c">f_{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p1.8.m8.1d">italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="\theta_{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p1.9.m9.1"><semantics id="S2.SS3.p1.9.m9.1a"><msub id="S2.SS3.p1.9.m9.1.1" xref="S2.SS3.p1.9.m9.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p1.9.m9.1.1.2" xref="S2.SS3.p1.9.m9.1.1.2.cmml">θ</mi><mi id="S2.SS3.p1.9.m9.1.1.3" xref="S2.SS3.p1.9.m9.1.1.3.cmml">k</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p1.9.m9.1b"><apply id="S2.SS3.p1.9.m9.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.9.m9.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p1.9.m9.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.9.m9.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p1.9.m9.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p1.9.m9.1.1.2">𝜃</ci><ci id="S2.SS3.p1.9.m9.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p1.9.m9.1.1.3">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p1.9.m9.1c">\theta_{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p1.9.m9.1d">italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> within the unit interval <math alttext="[0,1)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p1.10.m10.2"><semantics id="S2.SS3.p1.10.m10.2a"><mrow id="S2.SS3.p1.10.m10.2.3.2" xref="S2.SS3.p1.10.m10.2.3.1.cmml"><mo id="S2.SS3.p1.10.m10.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.10.m10.2.3.1.cmml">[</mo><mn id="S2.SS3.p1.10.m10.1.1" xref="S2.SS3.p1.10.m10.1.1.cmml">0</mn><mo id="S2.SS3.p1.10.m10.2.3.2.2" xref="S2.SS3.p1.10.m10.2.3.1.cmml">,</mo><mn id="S2.SS3.p1.10.m10.2.2" xref="S2.SS3.p1.10.m10.2.2.cmml">1</mn><mo id="S2.SS3.p1.10.m10.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.SS3.p1.10.m10.2.3.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p1.10.m10.2b"><interval closure="closed-open" id="S2.SS3.p1.10.m10.2.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p1.10.m10.2.3.2"><cn id="S2.SS3.p1.10.m10.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p1.10.m10.1.1">0</cn><cn id="S2.SS3.p1.10.m10.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p1.10.m10.2.2">1</cn></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p1.10.m10.2c">[0,1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p1.10.m10.2d">[ 0 , 1 )</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS3.p2"> <p class="ltx_p" id="S2.SS3.p2.11">To prevent aliasing, in Section <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15164v1#S2.SS1" title="II-A Signal Model ‣ II Signal Model and Problem Formulation ‣ Gridless Chirp Parameter Retrieval via Constrained Two-Dimensional Atomic Norm Minimization D. Yang and F. Xi contributed equally to this work. D. Yang was supported in part by the Research Development Fund (RDF-23-02-080) from Xi’an Jiaotong-Liverpool University. F. Xi was supported in part by the National Natural Science Foundation of China under grant No. 62471230."><span class="ltx_text ltx_ref_tag"><span class="ltx_text">II-A</span></span></a> we have shown that <math alttext="F_{s}\geq 2W" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p2.1.m1.1"><semantics id="S2.SS3.p2.1.m1.1a"><mrow id="S2.SS3.p2.1.m1.1.1" xref="S2.SS3.p2.1.m1.1.1.cmml"><msub id="S2.SS3.p2.1.m1.1.1.2" xref="S2.SS3.p2.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS3.p2.1.m1.1.1.2.2" xref="S2.SS3.p2.1.m1.1.1.2.2.cmml">F</mi><mi id="S2.SS3.p2.1.m1.1.1.2.3" xref="S2.SS3.p2.1.m1.1.1.2.3.cmml">s</mi></msub><mo id="S2.SS3.p2.1.m1.1.1.1" xref="S2.SS3.p2.1.m1.1.1.1.cmml">≥</mo><mrow id="S2.SS3.p2.1.m1.1.1.3" xref="S2.SS3.p2.1.m1.1.1.3.cmml"><mn id="S2.SS3.p2.1.m1.1.1.3.2" xref="S2.SS3.p2.1.m1.1.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="S2.SS3.p2.1.m1.1.1.3.1" xref="S2.SS3.p2.1.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS3.p2.1.m1.1.1.3.3" xref="S2.SS3.p2.1.m1.1.1.3.3.cmml">W</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p2.1.m1.1b"><apply id="S2.SS3.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p2.1.m1.1.1"><geq id="S2.SS3.p2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p2.1.m1.1.1.1"></geq><apply id="S2.SS3.p2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p2.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p2.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p2.1.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p2.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p2.1.m1.1.1.2.2">𝐹</ci><ci id="S2.SS3.p2.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p2.1.m1.1.1.2.3">𝑠</ci></apply><apply id="S2.SS3.p2.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p2.1.m1.1.1.3"><times id="S2.SS3.p2.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p2.1.m1.1.1.3.1"></times><cn id="S2.SS3.p2.1.m1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p2.1.m1.1.1.3.2">2</cn><ci id="S2.SS3.p2.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.SS3.p2.1.m1.1.1.3.3">𝑊</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p2.1.m1.1c">F_{s}\geq 2W</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p2.1.m1.1d">italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT ≥ 2 italic_W</annotation></semantics></math>. For <math alttext="x(t)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p2.2.m2.1"><semantics id="S2.SS3.p2.2.m2.1a"><mrow id="S2.SS3.p2.2.m2.1.2" xref="S2.SS3.p2.2.m2.1.2.cmml"><mi id="S2.SS3.p2.2.m2.1.2.2" xref="S2.SS3.p2.2.m2.1.2.2.cmml">x</mi><mo id="S2.SS3.p2.2.m2.1.2.1" xref="S2.SS3.p2.2.m2.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS3.p2.2.m2.1.2.3.2" xref="S2.SS3.p2.2.m2.1.2.cmml"><mo id="S2.SS3.p2.2.m2.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS3.p2.2.m2.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.SS3.p2.2.m2.1.1" xref="S2.SS3.p2.2.m2.1.1.cmml">t</mi><mo id="S2.SS3.p2.2.m2.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS3.p2.2.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p2.2.m2.1b"><apply id="S2.SS3.p2.2.m2.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p2.2.m2.1.2"><times id="S2.SS3.p2.2.m2.1.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p2.2.m2.1.2.1"></times><ci id="S2.SS3.p2.2.m2.1.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p2.2.m2.1.2.2">𝑥</ci><ci id="S2.SS3.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p2.2.m2.1.1">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p2.2.m2.1c">x(t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p2.2.m2.1d">italic_x ( italic_t )</annotation></semantics></math> over the time interval <math alttext="[0,T]" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p2.3.m3.2"><semantics id="S2.SS3.p2.3.m3.2a"><mrow id="S2.SS3.p2.3.m3.2.3.2" xref="S2.SS3.p2.3.m3.2.3.1.cmml"><mo id="S2.SS3.p2.3.m3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS3.p2.3.m3.2.3.1.cmml">[</mo><mn id="S2.SS3.p2.3.m3.1.1" xref="S2.SS3.p2.3.m3.1.1.cmml">0</mn><mo id="S2.SS3.p2.3.m3.2.3.2.2" xref="S2.SS3.p2.3.m3.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.SS3.p2.3.m3.2.2" xref="S2.SS3.p2.3.m3.2.2.cmml">T</mi><mo id="S2.SS3.p2.3.m3.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.SS3.p2.3.m3.2.3.1.cmml">]</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p2.3.m3.2b"><interval closure="closed" id="S2.SS3.p2.3.m3.2.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p2.3.m3.2.3.2"><cn id="S2.SS3.p2.3.m3.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p2.3.m3.1.1">0</cn><ci id="S2.SS3.p2.3.m3.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p2.3.m3.2.2">𝑇</ci></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p2.3.m3.2c">[0,T]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p2.3.m3.2d">[ 0 , italic_T ]</annotation></semantics></math> as defined in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15164v1#S2.E2" title="In II-A Signal Model ‣ II Signal Model and Problem Formulation ‣ Gridless Chirp Parameter Retrieval via Constrained Two-Dimensional Atomic Norm Minimization D. Yang and F. Xi contributed equally to this work. D. Yang was supported in part by the Research Development Fund (RDF-23-02-080) from Xi’an Jiaotong-Liverpool University. F. Xi was supported in part by the National Natural Science Foundation of China under grant No. 62471230."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>), we have <math alttext="\max_{k}B_{k}=T\max_{k}\Theta_{k}=\frac{N}{F_{s}}\max_{k}\Theta_{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p2.4.m4.1"><semantics id="S2.SS3.p2.4.m4.1a"><mrow id="S2.SS3.p2.4.m4.1.1" xref="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.cmml"><mrow id="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.2" xref="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.2.cmml"><msub id="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.2.1" xref="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.2.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.2.1.2" xref="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.2.1.2.cmml">max</mi><mi id="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.2.1.3" xref="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.2.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.2a" lspace="0.167em" xref="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.2.cmml">⁡</mo><msub id="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.2.2" xref="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.2.2.2" xref="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.2.2.2.cmml">B</mi><mi id="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.2.2.3" xref="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.2.2.3.cmml">k</mi></msub></mrow><mo id="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.3" xref="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.4" xref="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.4.cmml"><mi id="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.4.2" xref="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.4.2.cmml">T</mi><mo id="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.4.1" lspace="0.167em" xref="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.4.3" xref="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.4.3.cmml"><msub id="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.4.3.1" xref="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.4.3.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.4.3.1.2" xref="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.4.3.1.2.cmml">max</mi><mi id="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.4.3.1.3" xref="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.4.3.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.4.3a" lspace="0.167em" xref="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.4.3.cmml">⁡</mo><msub id="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.4.3.2" xref="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.4.3.2.cmml"><mi id="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.4.3.2.2" mathvariant="normal" xref="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.4.3.2.2.cmml">Θ</mi><mi id="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.4.3.2.3" xref="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.4.3.2.3.cmml">k</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.5" xref="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.5.cmml">=</mo><mrow id="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.6" xref="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.6.cmml"><mfrac id="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.6.2" xref="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.6.2.cmml"><mi id="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.6.2.2" xref="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.6.2.2.cmml">N</mi><msub id="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.6.2.3" xref="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.6.2.3.cmml"><mi id="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.6.2.3.2" xref="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.6.2.3.2.cmml">F</mi><mi id="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.6.2.3.3" xref="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.6.2.3.3.cmml">s</mi></msub></mfrac><mo id="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.6.1" lspace="0.167em" xref="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.6.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.6.3" xref="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.6.3.cmml"><msub id="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.6.3.1" xref="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.6.3.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.6.3.1.2" xref="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.6.3.1.2.cmml">max</mi><mi id="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.6.3.1.3" xref="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.6.3.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.6.3a" lspace="0.167em" xref="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.6.3.cmml">⁡</mo><msub id="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.6.3.2" xref="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.6.3.2.cmml"><mi id="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.6.3.2.2" mathvariant="normal" xref="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.6.3.2.2.cmml">Θ</mi><mi id="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.6.3.2.3" xref="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.6.3.2.3.cmml">k</mi></msub></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p2.4.m4.1b"><apply id="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p2.4.m4.1.1"><and id="S2.SS3.p2.4.m4.1.1a.cmml" xref="S2.SS3.p2.4.m4.1.1"></and><apply id="S2.SS3.p2.4.m4.1.1b.cmml" xref="S2.SS3.p2.4.m4.1.1"><eq id="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.3"></eq><apply id="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.2"><apply id="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.2.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.2.1">subscript</csymbol><max id="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.2.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.2.1.2"></max><ci id="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.2.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.2.1.3">𝑘</ci></apply><apply id="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.2.2.2">𝐵</ci><ci id="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.2.2.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.4.cmml" xref="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.4"><times id="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.4.1.cmml" xref="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.4.1"></times><ci id="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.4.2.cmml" xref="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.4.2">𝑇</ci><apply id="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.4.3.cmml" xref="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.4.3"><apply id="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.4.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.4.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.4.3.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.4.3.1">subscript</csymbol><max id="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.4.3.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.4.3.1.2"></max><ci id="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.4.3.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.4.3.1.3">𝑘</ci></apply><apply id="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.4.3.2.cmml" xref="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.4.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.4.3.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.4.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.4.3.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.4.3.2.2">Θ</ci><ci id="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.4.3.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.4.3.2.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.SS3.p2.4.m4.1.1c.cmml" xref="S2.SS3.p2.4.m4.1.1"><eq id="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.5.cmml" xref="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.15164v1#S2.SS3.p2.4.m4.1.1.4.cmml" id="S2.SS3.p2.4.m4.1.1d.cmml" xref="S2.SS3.p2.4.m4.1.1"></share><apply id="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.6.cmml" xref="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.6"><times id="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.6.1.cmml" xref="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.6.1"></times><apply id="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.6.2.cmml" xref="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.6.2"><divide id="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.6.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.6.2"></divide><ci id="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.6.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.6.2.2">𝑁</ci><apply id="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.6.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.6.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.6.2.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.6.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.6.2.3.2.cmml" xref="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.6.2.3.2">𝐹</ci><ci id="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.6.2.3.3.cmml" xref="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.6.2.3.3">𝑠</ci></apply></apply><apply id="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.6.3.cmml" xref="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.6.3"><apply id="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.6.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.6.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.6.3.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.6.3.1">subscript</csymbol><max id="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.6.3.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.6.3.1.2"></max><ci id="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.6.3.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.6.3.1.3">𝑘</ci></apply><apply id="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.6.3.2.cmml" xref="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.6.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.6.3.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.6.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.6.3.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.6.3.2.2">Θ</ci><ci id="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.6.3.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p2.4.m4.1.1.6.3.2.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p2.4.m4.1c">\max_{k}B_{k}=T\max_{k}\Theta_{k}=\frac{N}{F_{s}}\max_{k}\Theta_{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p2.4.m4.1d">roman_max start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT italic_B start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT = italic_T roman_max start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT = divide start_ARG italic_N end_ARG start_ARG italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT end_ARG roman_max start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. Since <math alttext="B_{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p2.5.m5.1"><semantics id="S2.SS3.p2.5.m5.1a"><msub id="S2.SS3.p2.5.m5.1.1" xref="S2.SS3.p2.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p2.5.m5.1.1.2" xref="S2.SS3.p2.5.m5.1.1.2.cmml">B</mi><mi id="S2.SS3.p2.5.m5.1.1.3" xref="S2.SS3.p2.5.m5.1.1.3.cmml">k</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p2.5.m5.1b"><apply id="S2.SS3.p2.5.m5.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p2.5.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p2.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p2.5.m5.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p2.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p2.5.m5.1.1.2">𝐵</ci><ci id="S2.SS3.p2.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p2.5.m5.1.1.3">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p2.5.m5.1c">B_{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p2.5.m5.1d">italic_B start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is bounded by <math alttext="2W" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p2.6.m6.1"><semantics id="S2.SS3.p2.6.m6.1a"><mrow id="S2.SS3.p2.6.m6.1.1" xref="S2.SS3.p2.6.m6.1.1.cmml"><mn id="S2.SS3.p2.6.m6.1.1.2" xref="S2.SS3.p2.6.m6.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="S2.SS3.p2.6.m6.1.1.1" xref="S2.SS3.p2.6.m6.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.SS3.p2.6.m6.1.1.3" xref="S2.SS3.p2.6.m6.1.1.3.cmml">W</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p2.6.m6.1b"><apply id="S2.SS3.p2.6.m6.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p2.6.m6.1.1"><times id="S2.SS3.p2.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p2.6.m6.1.1.1"></times><cn id="S2.SS3.p2.6.m6.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p2.6.m6.1.1.2">2</cn><ci id="S2.SS3.p2.6.m6.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p2.6.m6.1.1.3">𝑊</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p2.6.m6.1c">2W</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p2.6.m6.1d">2 italic_W</annotation></semantics></math>, we obtain <math alttext="F_{s}\geq\frac{N}{F_{s}}\max_{k}\Theta_{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p2.7.m7.1"><semantics id="S2.SS3.p2.7.m7.1a"><mrow id="S2.SS3.p2.7.m7.1.1" xref="S2.SS3.p2.7.m7.1.1.cmml"><msub id="S2.SS3.p2.7.m7.1.1.2" xref="S2.SS3.p2.7.m7.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS3.p2.7.m7.1.1.2.2" xref="S2.SS3.p2.7.m7.1.1.2.2.cmml">F</mi><mi id="S2.SS3.p2.7.m7.1.1.2.3" xref="S2.SS3.p2.7.m7.1.1.2.3.cmml">s</mi></msub><mo id="S2.SS3.p2.7.m7.1.1.1" xref="S2.SS3.p2.7.m7.1.1.1.cmml">≥</mo><mrow id="S2.SS3.p2.7.m7.1.1.3" xref="S2.SS3.p2.7.m7.1.1.3.cmml"><mfrac id="S2.SS3.p2.7.m7.1.1.3.2" xref="S2.SS3.p2.7.m7.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.SS3.p2.7.m7.1.1.3.2.2" xref="S2.SS3.p2.7.m7.1.1.3.2.2.cmml">N</mi><msub id="S2.SS3.p2.7.m7.1.1.3.2.3" xref="S2.SS3.p2.7.m7.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S2.SS3.p2.7.m7.1.1.3.2.3.2" xref="S2.SS3.p2.7.m7.1.1.3.2.3.2.cmml">F</mi><mi id="S2.SS3.p2.7.m7.1.1.3.2.3.3" xref="S2.SS3.p2.7.m7.1.1.3.2.3.3.cmml">s</mi></msub></mfrac><mo id="S2.SS3.p2.7.m7.1.1.3.1" lspace="0.167em" xref="S2.SS3.p2.7.m7.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS3.p2.7.m7.1.1.3.3" xref="S2.SS3.p2.7.m7.1.1.3.3.cmml"><msub id="S2.SS3.p2.7.m7.1.1.3.3.1" xref="S2.SS3.p2.7.m7.1.1.3.3.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p2.7.m7.1.1.3.3.1.2" xref="S2.SS3.p2.7.m7.1.1.3.3.1.2.cmml">max</mi><mi id="S2.SS3.p2.7.m7.1.1.3.3.1.3" xref="S2.SS3.p2.7.m7.1.1.3.3.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S2.SS3.p2.7.m7.1.1.3.3a" lspace="0.167em" xref="S2.SS3.p2.7.m7.1.1.3.3.cmml">⁡</mo><msub id="S2.SS3.p2.7.m7.1.1.3.3.2" xref="S2.SS3.p2.7.m7.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S2.SS3.p2.7.m7.1.1.3.3.2.2" mathvariant="normal" xref="S2.SS3.p2.7.m7.1.1.3.3.2.2.cmml">Θ</mi><mi id="S2.SS3.p2.7.m7.1.1.3.3.2.3" xref="S2.SS3.p2.7.m7.1.1.3.3.2.3.cmml">k</mi></msub></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p2.7.m7.1b"><apply id="S2.SS3.p2.7.m7.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p2.7.m7.1.1"><geq id="S2.SS3.p2.7.m7.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p2.7.m7.1.1.1"></geq><apply id="S2.SS3.p2.7.m7.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p2.7.m7.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p2.7.m7.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p2.7.m7.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p2.7.m7.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p2.7.m7.1.1.2.2">𝐹</ci><ci id="S2.SS3.p2.7.m7.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p2.7.m7.1.1.2.3">𝑠</ci></apply><apply id="S2.SS3.p2.7.m7.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p2.7.m7.1.1.3"><times id="S2.SS3.p2.7.m7.1.1.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p2.7.m7.1.1.3.1"></times><apply id="S2.SS3.p2.7.m7.1.1.3.2.cmml" xref="S2.SS3.p2.7.m7.1.1.3.2"><divide id="S2.SS3.p2.7.m7.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p2.7.m7.1.1.3.2"></divide><ci id="S2.SS3.p2.7.m7.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p2.7.m7.1.1.3.2.2">𝑁</ci><apply id="S2.SS3.p2.7.m7.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p2.7.m7.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p2.7.m7.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p2.7.m7.1.1.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p2.7.m7.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S2.SS3.p2.7.m7.1.1.3.2.3.2">𝐹</ci><ci id="S2.SS3.p2.7.m7.1.1.3.2.3.3.cmml" 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id="S2.SS3.p2.7.m7.1c">F_{s}\geq\frac{N}{F_{s}}\max_{k}\Theta_{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p2.7.m7.1d">italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT ≥ divide start_ARG italic_N end_ARG start_ARG italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT end_ARG roman_max start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, which is equivalent to <math alttext="\max_{k}\theta_{k}=\max_{k}\frac{\Theta_{k}}{F_{s}^{2}}\leq\frac{1}{N}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p2.8.m8.1"><semantics id="S2.SS3.p2.8.m8.1a"><mrow id="S2.SS3.p2.8.m8.1.1" xref="S2.SS3.p2.8.m8.1.1.cmml"><mrow id="S2.SS3.p2.8.m8.1.1.2" xref="S2.SS3.p2.8.m8.1.1.2.cmml"><msub id="S2.SS3.p2.8.m8.1.1.2.1" xref="S2.SS3.p2.8.m8.1.1.2.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p2.8.m8.1.1.2.1.2" xref="S2.SS3.p2.8.m8.1.1.2.1.2.cmml">max</mi><mi id="S2.SS3.p2.8.m8.1.1.2.1.3" 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id="S2.SS3.p2.8.m8.1.1.4.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S2.SS3.p2.8.m8.1.1.4.2.2.2.cmml">Θ</mi><mi id="S2.SS3.p2.8.m8.1.1.4.2.2.3" xref="S2.SS3.p2.8.m8.1.1.4.2.2.3.cmml">k</mi></msub><msubsup id="S2.SS3.p2.8.m8.1.1.4.2.3" xref="S2.SS3.p2.8.m8.1.1.4.2.3.cmml"><mi id="S2.SS3.p2.8.m8.1.1.4.2.3.2.2" xref="S2.SS3.p2.8.m8.1.1.4.2.3.2.2.cmml">F</mi><mi id="S2.SS3.p2.8.m8.1.1.4.2.3.2.3" xref="S2.SS3.p2.8.m8.1.1.4.2.3.2.3.cmml">s</mi><mn id="S2.SS3.p2.8.m8.1.1.4.2.3.3" xref="S2.SS3.p2.8.m8.1.1.4.2.3.3.cmml">2</mn></msubsup></mfrac></mrow><mo id="S2.SS3.p2.8.m8.1.1.5" xref="S2.SS3.p2.8.m8.1.1.5.cmml">≤</mo><mfrac id="S2.SS3.p2.8.m8.1.1.6" xref="S2.SS3.p2.8.m8.1.1.6.cmml"><mn id="S2.SS3.p2.8.m8.1.1.6.2" xref="S2.SS3.p2.8.m8.1.1.6.2.cmml">1</mn><mi id="S2.SS3.p2.8.m8.1.1.6.3" xref="S2.SS3.p2.8.m8.1.1.6.3.cmml">N</mi></mfrac></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p2.8.m8.1b"><apply id="S2.SS3.p2.8.m8.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p2.8.m8.1.1"><and id="S2.SS3.p2.8.m8.1.1a.cmml" 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id="S2.SS3.p2.8.m8.1.1.4.1.cmml" xref="S2.SS3.p2.8.m8.1.1.4.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p2.8.m8.1.1.4.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p2.8.m8.1.1.4.1">subscript</csymbol><max id="S2.SS3.p2.8.m8.1.1.4.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p2.8.m8.1.1.4.1.2"></max><ci id="S2.SS3.p2.8.m8.1.1.4.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p2.8.m8.1.1.4.1.3">𝑘</ci></apply><apply id="S2.SS3.p2.8.m8.1.1.4.2.cmml" xref="S2.SS3.p2.8.m8.1.1.4.2"><divide id="S2.SS3.p2.8.m8.1.1.4.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p2.8.m8.1.1.4.2"></divide><apply id="S2.SS3.p2.8.m8.1.1.4.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p2.8.m8.1.1.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p2.8.m8.1.1.4.2.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p2.8.m8.1.1.4.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p2.8.m8.1.1.4.2.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p2.8.m8.1.1.4.2.2.2">Θ</ci><ci id="S2.SS3.p2.8.m8.1.1.4.2.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p2.8.m8.1.1.4.2.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S2.SS3.p2.8.m8.1.1.4.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p2.8.m8.1.1.4.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p2.8.m8.1.1.4.2.3.1.cmml" xref="S2.SS3.p2.8.m8.1.1.4.2.3">superscript</csymbol><apply id="S2.SS3.p2.8.m8.1.1.4.2.3.2.cmml" xref="S2.SS3.p2.8.m8.1.1.4.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p2.8.m8.1.1.4.2.3.2.1.cmml" xref="S2.SS3.p2.8.m8.1.1.4.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p2.8.m8.1.1.4.2.3.2.2.cmml" xref="S2.SS3.p2.8.m8.1.1.4.2.3.2.2">𝐹</ci><ci id="S2.SS3.p2.8.m8.1.1.4.2.3.2.3.cmml" xref="S2.SS3.p2.8.m8.1.1.4.2.3.2.3">𝑠</ci></apply><cn id="S2.SS3.p2.8.m8.1.1.4.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p2.8.m8.1.1.4.2.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.SS3.p2.8.m8.1.1c.cmml" xref="S2.SS3.p2.8.m8.1.1"><leq id="S2.SS3.p2.8.m8.1.1.5.cmml" xref="S2.SS3.p2.8.m8.1.1.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2503.15164v1#S2.SS3.p2.8.m8.1.1.4.cmml" id="S2.SS3.p2.8.m8.1.1d.cmml" xref="S2.SS3.p2.8.m8.1.1"></share><apply id="S2.SS3.p2.8.m8.1.1.6.cmml" xref="S2.SS3.p2.8.m8.1.1.6"><divide id="S2.SS3.p2.8.m8.1.1.6.1.cmml" xref="S2.SS3.p2.8.m8.1.1.6"></divide><cn id="S2.SS3.p2.8.m8.1.1.6.2.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p2.8.m8.1.1.6.2">1</cn><ci id="S2.SS3.p2.8.m8.1.1.6.3.cmml" xref="S2.SS3.p2.8.m8.1.1.6.3">𝑁</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p2.8.m8.1c">\max_{k}\theta_{k}=\max_{k}\frac{\Theta_{k}}{F_{s}^{2}}\leq\frac{1}{N}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p2.8.m8.1d">roman_max start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT = roman_max start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT divide start_ARG roman_Θ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG italic_F start_POSTSUBSCRIPT italic_s end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ≤ divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_N end_ARG</annotation></semantics></math>. This shows that, under the Nyquist sampling rate, <math alttext="\theta_{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p2.9.m9.1"><semantics id="S2.SS3.p2.9.m9.1a"><msub id="S2.SS3.p2.9.m9.1.1" xref="S2.SS3.p2.9.m9.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p2.9.m9.1.1.2" xref="S2.SS3.p2.9.m9.1.1.2.cmml">θ</mi><mi id="S2.SS3.p2.9.m9.1.1.3" xref="S2.SS3.p2.9.m9.1.1.3.cmml">k</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p2.9.m9.1b"><apply id="S2.SS3.p2.9.m9.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p2.9.m9.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p2.9.m9.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p2.9.m9.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p2.9.m9.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p2.9.m9.1.1.2">𝜃</ci><ci id="S2.SS3.p2.9.m9.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p2.9.m9.1.1.3">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p2.9.m9.1c">\theta_{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p2.9.m9.1d">italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> should be reasonably small and is bounded by <math alttext="\frac{1}{N}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p2.10.m10.1"><semantics id="S2.SS3.p2.10.m10.1a"><mfrac id="S2.SS3.p2.10.m10.1.1" xref="S2.SS3.p2.10.m10.1.1.cmml"><mn id="S2.SS3.p2.10.m10.1.1.2" xref="S2.SS3.p2.10.m10.1.1.2.cmml">1</mn><mi id="S2.SS3.p2.10.m10.1.1.3" xref="S2.SS3.p2.10.m10.1.1.3.cmml">N</mi></mfrac><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p2.10.m10.1b"><apply id="S2.SS3.p2.10.m10.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p2.10.m10.1.1"><divide id="S2.SS3.p2.10.m10.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p2.10.m10.1.1"></divide><cn id="S2.SS3.p2.10.m10.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S2.SS3.p2.10.m10.1.1.2">1</cn><ci id="S2.SS3.p2.10.m10.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p2.10.m10.1.1.3">𝑁</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p2.10.m10.1c">\frac{1}{N}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p2.10.m10.1d">divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_N end_ARG</annotation></semantics></math>. By integrating this prior knowledge of <math alttext="\theta_{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS3.p2.11.m11.1"><semantics id="S2.SS3.p2.11.m11.1a"><msub id="S2.SS3.p2.11.m11.1.1" xref="S2.SS3.p2.11.m11.1.1.cmml"><mi id="S2.SS3.p2.11.m11.1.1.2" xref="S2.SS3.p2.11.m11.1.1.2.cmml">θ</mi><mi id="S2.SS3.p2.11.m11.1.1.3" xref="S2.SS3.p2.11.m11.1.1.3.cmml">k</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS3.p2.11.m11.1b"><apply id="S2.SS3.p2.11.m11.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p2.11.m11.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS3.p2.11.m11.1.1.1.cmml" xref="S2.SS3.p2.11.m11.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.SS3.p2.11.m11.1.1.2.cmml" xref="S2.SS3.p2.11.m11.1.1.2">𝜃</ci><ci id="S2.SS3.p2.11.m11.1.1.3.cmml" xref="S2.SS3.p2.11.m11.1.1.3">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS3.p2.11.m11.1c">\theta_{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS3.p2.11.m11.1d">italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> into the development of the atomic norm minimization framework, the ill-posed inverse problem (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15164v1#S2.E9" title="In II-B Problem Formulation ‣ II Signal Model and Problem Formulation ‣ Gridless Chirp Parameter Retrieval via Constrained Two-Dimensional Atomic Norm Minimization D. Yang and F. Xi contributed equally to this work. D. Yang was supported in part by the Research Development Fund (RDF-23-02-080) from Xi’an Jiaotong-Liverpool University. F. Xi was supported in part by the National Natural Science Foundation of China under grant No. 62471230."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">9</span></a>) becomes more tractable.</p> </div> </section> </section> <section class="ltx_section" id="S3"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">III </span><span class="ltx_text ltx_font_smallcaps" id="S3.1.1">Constrained Two-Dimensional Atomic <br class="ltx_break"/>Norm Minimization</span> </h2> <section class="ltx_subsection" id="S3.SS1"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection"><span class="ltx_text" id="S3.SS1.4.1.1">III-A</span> </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.SS1.5.2">Constrained Atomic Norm Minimization and Its SDP Representation</span> </h3> <div class="ltx_para" id="S3.SS1.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.p1.4">The atomic norm, first proposed in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15164v1#bib.bib11" title="">11</a>]</cite>, provides a general framework for enforcing sparsity in a signal or dataset that is a superposition of a few atoms from a dictionary <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15164v1#bib.bib9" title="">9</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15164v1#bib.bib10" title="">10</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15164v1#bib.bib12" title="">12</a>]</cite>. To address the ambiguity and aliasing issues discussed above, we propose solving a constrained atomic norm minimization problem by imposing a constraint on <math alttext="\theta_{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.SS1.p1.1.m1.1a"><msub id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.2" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.2.cmml">θ</mi><mi id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.1.m1.1b"><apply id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.2">𝜃</ci><ci id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.3">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.1.m1.1c">\theta_{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.1.m1.1d">italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. Specifically, we choose the parameters <math alttext="\left\{\theta_{k}\right\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.2.m2.1"><semantics id="S3.SS1.p1.2.m2.1a"><mrow id="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.1" xref="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.2.cmml"><mo id="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.1.2" xref="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.2.cmml">{</mo><msub id="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.2" xref="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.2.cmml">θ</mi><mi id="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.3" xref="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.1.3" xref="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.2.cmml">}</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.2.m2.1b"><set id="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.1"><apply id="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.2">𝜃</ci><ci id="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></set></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.2.m2.1c">\left\{\theta_{k}\right\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.2.m2.1d">{ italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT }</annotation></semantics></math> from a subset <math alttext="[0,\mathcal{U}]\subset[0,1)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.3.m3.4"><semantics id="S3.SS1.p1.3.m3.4a"><mrow id="S3.SS1.p1.3.m3.4.5" xref="S3.SS1.p1.3.m3.4.5.cmml"><mrow id="S3.SS1.p1.3.m3.4.5.2.2" xref="S3.SS1.p1.3.m3.4.5.2.1.cmml"><mo id="S3.SS1.p1.3.m3.4.5.2.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.3.m3.4.5.2.1.cmml">[</mo><mn id="S3.SS1.p1.3.m3.1.1" xref="S3.SS1.p1.3.m3.1.1.cmml">0</mn><mo id="S3.SS1.p1.3.m3.4.5.2.2.2" xref="S3.SS1.p1.3.m3.4.5.2.1.cmml">,</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS1.p1.3.m3.2.2" xref="S3.SS1.p1.3.m3.2.2.cmml">𝒰</mi><mo id="S3.SS1.p1.3.m3.4.5.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.3.m3.4.5.2.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S3.SS1.p1.3.m3.4.5.1" xref="S3.SS1.p1.3.m3.4.5.1.cmml">⊂</mo><mrow id="S3.SS1.p1.3.m3.4.5.3.2" xref="S3.SS1.p1.3.m3.4.5.3.1.cmml"><mo id="S3.SS1.p1.3.m3.4.5.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.3.m3.4.5.3.1.cmml">[</mo><mn id="S3.SS1.p1.3.m3.3.3" xref="S3.SS1.p1.3.m3.3.3.cmml">0</mn><mo id="S3.SS1.p1.3.m3.4.5.3.2.2" xref="S3.SS1.p1.3.m3.4.5.3.1.cmml">,</mo><mn id="S3.SS1.p1.3.m3.4.4" xref="S3.SS1.p1.3.m3.4.4.cmml">1</mn><mo id="S3.SS1.p1.3.m3.4.5.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.3.m3.4.5.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.3.m3.4b"><apply id="S3.SS1.p1.3.m3.4.5.cmml" xref="S3.SS1.p1.3.m3.4.5"><subset id="S3.SS1.p1.3.m3.4.5.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.3.m3.4.5.1"></subset><interval closure="closed" id="S3.SS1.p1.3.m3.4.5.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.3.m3.4.5.2.2"><cn id="S3.SS1.p1.3.m3.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.p1.3.m3.1.1">0</cn><ci id="S3.SS1.p1.3.m3.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.3.m3.2.2">𝒰</ci></interval><interval closure="closed-open" id="S3.SS1.p1.3.m3.4.5.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.3.m3.4.5.3.2"><cn id="S3.SS1.p1.3.m3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.p1.3.m3.3.3">0</cn><cn id="S3.SS1.p1.3.m3.4.4.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.p1.3.m3.4.4">1</cn></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.3.m3.4c">[0,\mathcal{U}]\subset[0,1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.3.m3.4d">[ 0 , caligraphic_U ] ⊂ [ 0 , 1 )</annotation></semantics></math> with <math alttext="\mathcal{U}\leq\frac{1}{N}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.4.m4.1"><semantics id="S3.SS1.p1.4.m4.1a"><mrow id="S3.SS1.p1.4.m4.1.1" xref="S3.SS1.p1.4.m4.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS1.p1.4.m4.1.1.2" xref="S3.SS1.p1.4.m4.1.1.2.cmml">𝒰</mi><mo id="S3.SS1.p1.4.m4.1.1.1" xref="S3.SS1.p1.4.m4.1.1.1.cmml">≤</mo><mfrac id="S3.SS1.p1.4.m4.1.1.3" xref="S3.SS1.p1.4.m4.1.1.3.cmml"><mn id="S3.SS1.p1.4.m4.1.1.3.2" xref="S3.SS1.p1.4.m4.1.1.3.2.cmml">1</mn><mi id="S3.SS1.p1.4.m4.1.1.3.3" xref="S3.SS1.p1.4.m4.1.1.3.3.cmml">N</mi></mfrac></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.4.m4.1b"><apply id="S3.SS1.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.4.m4.1.1"><leq id="S3.SS1.p1.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.4.m4.1.1.1"></leq><ci id="S3.SS1.p1.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.4.m4.1.1.2">𝒰</ci><apply id="S3.SS1.p1.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.4.m4.1.1.3"><divide id="S3.SS1.p1.4.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.4.m4.1.1.3"></divide><cn id="S3.SS1.p1.4.m4.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.p1.4.m4.1.1.3.2">1</cn><ci id="S3.SS1.p1.4.m4.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.4.m4.1.1.3.3">𝑁</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.4.m4.1c">\mathcal{U}\leq\frac{1}{N}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.4.m4.1d">caligraphic_U ≤ divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_N end_ARG</annotation></semantics></math>. Motivated by this, we define the constrained atomic set as</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E10"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\mathcal{A}_{c}=\left\{{\boldsymbol{d}}(f,\theta)|f\in[0,1),\theta\in[0,% \mathcal{U}]\right\}," class="ltx_Math" display="block" id="S3.E10.m1.7"><semantics id="S3.E10.m1.7a"><mrow id="S3.E10.m1.7.7.1" xref="S3.E10.m1.7.7.1.1.cmml"><mrow id="S3.E10.m1.7.7.1.1" xref="S3.E10.m1.7.7.1.1.cmml"><msub id="S3.E10.m1.7.7.1.1.4" xref="S3.E10.m1.7.7.1.1.4.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.E10.m1.7.7.1.1.4.2" xref="S3.E10.m1.7.7.1.1.4.2.cmml">𝒜</mi><mi id="S3.E10.m1.7.7.1.1.4.3" xref="S3.E10.m1.7.7.1.1.4.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S3.E10.m1.7.7.1.1.3" xref="S3.E10.m1.7.7.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.E10.m1.7.7.1.1.2.2" xref="S3.E10.m1.7.7.1.1.2.3.cmml"><mo id="S3.E10.m1.7.7.1.1.2.2.3" xref="S3.E10.m1.7.7.1.1.2.3.1.cmml">{</mo><mrow id="S3.E10.m1.7.7.1.1.1.1.1" xref="S3.E10.m1.7.7.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E10.m1.7.7.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E10.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.cmml">𝒅</mi><mo id="S3.E10.m1.7.7.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E10.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E10.m1.7.7.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E10.m1.7.7.1.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S3.E10.m1.7.7.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E10.m1.7.7.1.1.1.1.1.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E10.m1.1.1" xref="S3.E10.m1.1.1.cmml">f</mi><mo id="S3.E10.m1.7.7.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.E10.m1.7.7.1.1.1.1.1.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.E10.m1.2.2" xref="S3.E10.m1.2.2.cmml">θ</mi><mo id="S3.E10.m1.7.7.1.1.1.1.1.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.E10.m1.7.7.1.1.1.1.1.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E10.m1.7.7.1.1.2.2.4" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.E10.m1.7.7.1.1.2.3.1.cmml">|</mo><mrow id="S3.E10.m1.7.7.1.1.2.2.2.2" xref="S3.E10.m1.7.7.1.1.2.2.2.3.cmml"><mrow id="S3.E10.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1" xref="S3.E10.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S3.E10.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.2" xref="S3.E10.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.2.cmml">f</mi><mo id="S3.E10.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.1" xref="S3.E10.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml">∈</mo><mrow id="S3.E10.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.3.2" xref="S3.E10.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.3.1.cmml"><mo id="S3.E10.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E10.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.3.1.cmml">[</mo><mn id="S3.E10.m1.3.3" xref="S3.E10.m1.3.3.cmml">0</mn><mo id="S3.E10.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.3.2.2" xref="S3.E10.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.3.1.cmml">,</mo><mn id="S3.E10.m1.4.4" xref="S3.E10.m1.4.4.cmml">1</mn><mo id="S3.E10.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.E10.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E10.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.3" xref="S3.E10.m1.7.7.1.1.2.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.E10.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2" xref="S3.E10.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.E10.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="S3.E10.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml">θ</mi><mo id="S3.E10.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2.1" xref="S3.E10.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml">∈</mo><mrow id="S3.E10.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2.3.2" xref="S3.E10.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2.3.1.cmml"><mo id="S3.E10.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E10.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2.3.1.cmml">[</mo><mn id="S3.E10.m1.5.5" xref="S3.E10.m1.5.5.cmml">0</mn><mo id="S3.E10.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2.3.2.2" xref="S3.E10.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2.3.1.cmml">,</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.E10.m1.6.6" xref="S3.E10.m1.6.6.cmml">𝒰</mi><mo id="S3.E10.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.E10.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E10.m1.7.7.1.1.2.2.5" xref="S3.E10.m1.7.7.1.1.2.3.1.cmml">}</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E10.m1.7.7.1.2" xref="S3.E10.m1.7.7.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E10.m1.7b"><apply id="S3.E10.m1.7.7.1.1.cmml" xref="S3.E10.m1.7.7.1"><eq id="S3.E10.m1.7.7.1.1.3.cmml" xref="S3.E10.m1.7.7.1.1.3"></eq><apply id="S3.E10.m1.7.7.1.1.4.cmml" xref="S3.E10.m1.7.7.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E10.m1.7.7.1.1.4.1.cmml" xref="S3.E10.m1.7.7.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S3.E10.m1.7.7.1.1.4.2.cmml" xref="S3.E10.m1.7.7.1.1.4.2">𝒜</ci><ci id="S3.E10.m1.7.7.1.1.4.3.cmml" xref="S3.E10.m1.7.7.1.1.4.3">𝑐</ci></apply><apply id="S3.E10.m1.7.7.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E10.m1.7.7.1.1.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.E10.m1.7.7.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.E10.m1.7.7.1.1.2.2.3">conditional-set</csymbol><apply id="S3.E10.m1.7.7.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E10.m1.7.7.1.1.1.1.1"><times id="S3.E10.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E10.m1.7.7.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S3.E10.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E10.m1.7.7.1.1.1.1.1.2">𝒅</ci><interval closure="open" id="S3.E10.m1.7.7.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E10.m1.7.7.1.1.1.1.1.3.2"><ci id="S3.E10.m1.1.1.cmml" xref="S3.E10.m1.1.1">𝑓</ci><ci id="S3.E10.m1.2.2.cmml" xref="S3.E10.m1.2.2">𝜃</ci></interval></apply><apply id="S3.E10.m1.7.7.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E10.m1.7.7.1.1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E10.m1.7.7.1.1.2.2.2.3a.cmml" xref="S3.E10.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.E10.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.E10.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1"><in id="S3.E10.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.E10.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.1"></in><ci id="S3.E10.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.E10.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.2">𝑓</ci><interval closure="closed-open" id="S3.E10.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E10.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.1.3.2"><cn id="S3.E10.m1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E10.m1.3.3">0</cn><cn id="S3.E10.m1.4.4.cmml" type="integer" xref="S3.E10.m1.4.4">1</cn></interval></apply><apply id="S3.E10.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E10.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2"><in id="S3.E10.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E10.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2.1"></in><ci id="S3.E10.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E10.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2.2">𝜃</ci><interval closure="closed" id="S3.E10.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.E10.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2.3.2"><cn id="S3.E10.m1.5.5.cmml" type="integer" xref="S3.E10.m1.5.5">0</cn><ci id="S3.E10.m1.6.6.cmml" xref="S3.E10.m1.6.6">𝒰</ci></interval></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E10.m1.7c">\mathcal{A}_{c}=\left\{{\boldsymbol{d}}(f,\theta)|f\in[0,1),\theta\in[0,% \mathcal{U}]\right\},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E10.m1.7d">caligraphic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT = { bold_italic_d ( italic_f , italic_θ ) | italic_f ∈ [ 0 , 1 ) , italic_θ ∈ [ 0 , caligraphic_U ] } ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(10)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.p1.6">where <math alttext="\mathcal{U}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.5.m1.1"><semantics id="S3.SS1.p1.5.m1.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS1.p1.5.m1.1.1" xref="S3.SS1.p1.5.m1.1.1.cmml">𝒰</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.5.m1.1b"><ci id="S3.SS1.p1.5.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.5.m1.1.1">𝒰</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.5.m1.1c">\mathcal{U}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.5.m1.1d">caligraphic_U</annotation></semantics></math> is an upper bound for the <math alttext="\theta" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.6.m2.1"><semantics id="S3.SS1.p1.6.m2.1a"><mi id="S3.SS1.p1.6.m2.1.1" xref="S3.SS1.p1.6.m2.1.1.cmml">θ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.6.m2.1b"><ci id="S3.SS1.p1.6.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.6.m2.1.1">𝜃</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.6.m2.1c">\theta</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.6.m2.1d">italic_θ</annotation></semantics></math> parameter, reflecting the prior knowledge of the normalized frequency rate. The corresponding constrained atomic norm is then defined as</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_table" id="S3.E11"> <tbody> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S3.E11X"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle||\boldsymbol{z}||_{\mathcal{A}_{c}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E11X.2.1.1.m1.1"><semantics id="S3.E11X.2.1.1.m1.1a"><msub id="S3.E11X.2.1.1.m1.1.2" xref="S3.E11X.2.1.1.m1.1.2.cmml"><mrow id="S3.E11X.2.1.1.m1.1.2.2.2" xref="S3.E11X.2.1.1.m1.1.2.2.1.cmml"><mo id="S3.E11X.2.1.1.m1.1.2.2.2.1" stretchy="false" xref="S3.E11X.2.1.1.m1.1.2.2.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S3.E11X.2.1.1.m1.1.1" xref="S3.E11X.2.1.1.m1.1.1.cmml">𝒛</mi><mo id="S3.E11X.2.1.1.m1.1.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S3.E11X.2.1.1.m1.1.2.2.1.1.cmml">‖</mo></mrow><msub id="S3.E11X.2.1.1.m1.1.2.3" xref="S3.E11X.2.1.1.m1.1.2.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.E11X.2.1.1.m1.1.2.3.2" xref="S3.E11X.2.1.1.m1.1.2.3.2.cmml">𝒜</mi><mi id="S3.E11X.2.1.1.m1.1.2.3.3" xref="S3.E11X.2.1.1.m1.1.2.3.3.cmml">c</mi></msub></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E11X.2.1.1.m1.1b"><apply id="S3.E11X.2.1.1.m1.1.2.cmml" xref="S3.E11X.2.1.1.m1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E11X.2.1.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S3.E11X.2.1.1.m1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S3.E11X.2.1.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E11X.2.1.1.m1.1.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.E11X.2.1.1.m1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.E11X.2.1.1.m1.1.2.2.2.1">norm</csymbol><ci id="S3.E11X.2.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.E11X.2.1.1.m1.1.1">𝒛</ci></apply><apply id="S3.E11X.2.1.1.m1.1.2.3.cmml" xref="S3.E11X.2.1.1.m1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E11X.2.1.1.m1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.E11X.2.1.1.m1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E11X.2.1.1.m1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.E11X.2.1.1.m1.1.2.3.2">𝒜</ci><ci id="S3.E11X.2.1.1.m1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.E11X.2.1.1.m1.1.2.3.3">𝑐</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E11X.2.1.1.m1.1c">\displaystyle||\boldsymbol{z}||_{\mathcal{A}_{c}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E11X.2.1.1.m1.1d">| | bold_italic_z | | start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\inf\left\{t>0:~{}\boldsymbol{z}\in t\text{conv}(\mathcal{A}_{c}% )\right\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E11X.3.2.2.m1.2"><semantics id="S3.E11X.3.2.2.m1.2a"><mrow id="S3.E11X.3.2.2.m1.2.2" xref="S3.E11X.3.2.2.m1.2.2.cmml"><mi id="S3.E11X.3.2.2.m1.2.2.4" xref="S3.E11X.3.2.2.m1.2.2.4.cmml"></mi><mo id="S3.E11X.3.2.2.m1.2.2.3" rspace="0.1389em" xref="S3.E11X.3.2.2.m1.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.E11X.3.2.2.m1.2.2.2" xref="S3.E11X.3.2.2.m1.2.2.2.cmml"><mo id="S3.E11X.3.2.2.m1.2.2.2.3" lspace="0.1389em" movablelimits="false" rspace="0em" xref="S3.E11X.3.2.2.m1.2.2.2.3.cmml">inf</mo><mrow id="S3.E11X.3.2.2.m1.2.2.2.2.2" xref="S3.E11X.3.2.2.m1.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S3.E11X.3.2.2.m1.2.2.2.2.2.3" xref="S3.E11X.3.2.2.m1.2.2.2.2.3.1.cmml">{</mo><mrow id="S3.E11X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E11X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E11X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E11X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S3.E11X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E11X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">></mo><mn id="S3.E11X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E11X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><mo id="S3.E11X.3.2.2.m1.2.2.2.2.2.4" lspace="0.278em" rspace="0.608em" xref="S3.E11X.3.2.2.m1.2.2.2.2.3.1.cmml">:</mo><mrow id="S3.E11X.3.2.2.m1.2.2.2.2.2.2" xref="S3.E11X.3.2.2.m1.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.E11X.3.2.2.m1.2.2.2.2.2.2.3" xref="S3.E11X.3.2.2.m1.2.2.2.2.2.2.3.cmml">𝒛</mi><mo id="S3.E11X.3.2.2.m1.2.2.2.2.2.2.2" xref="S3.E11X.3.2.2.m1.2.2.2.2.2.2.2.cmml">∈</mo><mrow id="S3.E11X.3.2.2.m1.2.2.2.2.2.2.1" xref="S3.E11X.3.2.2.m1.2.2.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="S3.E11X.3.2.2.m1.2.2.2.2.2.2.1.3" xref="S3.E11X.3.2.2.m1.2.2.2.2.2.2.1.3.cmml">t</mi><mo id="S3.E11X.3.2.2.m1.2.2.2.2.2.2.1.2" xref="S3.E11X.3.2.2.m1.2.2.2.2.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mtext id="S3.E11X.3.2.2.m1.2.2.2.2.2.2.1.4" xref="S3.E11X.3.2.2.m1.2.2.2.2.2.2.1.4a.cmml">conv</mtext><mo id="S3.E11X.3.2.2.m1.2.2.2.2.2.2.1.2a" xref="S3.E11X.3.2.2.m1.2.2.2.2.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E11X.3.2.2.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1" xref="S3.E11X.3.2.2.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E11X.3.2.2.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E11X.3.2.2.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.E11X.3.2.2.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1" xref="S3.E11X.3.2.2.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.E11X.3.2.2.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2" xref="S3.E11X.3.2.2.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml">𝒜</mi><mi id="S3.E11X.3.2.2.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.3" xref="S3.E11X.3.2.2.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S3.E11X.3.2.2.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E11X.3.2.2.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E11X.3.2.2.m1.2.2.2.2.2.5" xref="S3.E11X.3.2.2.m1.2.2.2.2.3.1.cmml">}</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E11X.3.2.2.m1.2b"><apply id="S3.E11X.3.2.2.m1.2.2.cmml" xref="S3.E11X.3.2.2.m1.2.2"><eq id="S3.E11X.3.2.2.m1.2.2.3.cmml" xref="S3.E11X.3.2.2.m1.2.2.3"></eq><csymbol cd="latexml" id="S3.E11X.3.2.2.m1.2.2.4.cmml" xref="S3.E11X.3.2.2.m1.2.2.4">absent</csymbol><apply id="S3.E11X.3.2.2.m1.2.2.2.cmml" xref="S3.E11X.3.2.2.m1.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.E11X.3.2.2.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E11X.3.2.2.m1.2.2.2.3">infimum</csymbol><apply id="S3.E11X.3.2.2.m1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E11X.3.2.2.m1.2.2.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.E11X.3.2.2.m1.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.E11X.3.2.2.m1.2.2.2.2.2.3">conditional-set</csymbol><apply id="S3.E11X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E11X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1"><gt id="S3.E11X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E11X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1"></gt><ci id="S3.E11X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E11X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.2">𝑡</ci><cn id="S3.E11X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E11X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.3">0</cn></apply><apply id="S3.E11X.3.2.2.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E11X.3.2.2.m1.2.2.2.2.2.2"><in id="S3.E11X.3.2.2.m1.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E11X.3.2.2.m1.2.2.2.2.2.2.2"></in><ci id="S3.E11X.3.2.2.m1.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E11X.3.2.2.m1.2.2.2.2.2.2.3">𝒛</ci><apply id="S3.E11X.3.2.2.m1.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E11X.3.2.2.m1.2.2.2.2.2.2.1"><times id="S3.E11X.3.2.2.m1.2.2.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S3.E11X.3.2.2.m1.2.2.2.2.2.2.1.2"></times><ci id="S3.E11X.3.2.2.m1.2.2.2.2.2.2.1.3.cmml" xref="S3.E11X.3.2.2.m1.2.2.2.2.2.2.1.3">𝑡</ci><ci id="S3.E11X.3.2.2.m1.2.2.2.2.2.2.1.4a.cmml" xref="S3.E11X.3.2.2.m1.2.2.2.2.2.2.1.4"><mtext id="S3.E11X.3.2.2.m1.2.2.2.2.2.2.1.4.cmml" xref="S3.E11X.3.2.2.m1.2.2.2.2.2.2.1.4">conv</mtext></ci><apply id="S3.E11X.3.2.2.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E11X.3.2.2.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E11X.3.2.2.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E11X.3.2.2.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.E11X.3.2.2.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E11X.3.2.2.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2">𝒜</ci><ci id="S3.E11X.3.2.2.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E11X.3.2.2.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.3">𝑐</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E11X.3.2.2.m1.2c">\displaystyle=\inf\left\{t>0:~{}\boldsymbol{z}\in t\text{conv}(\mathcal{A}_{c}% )\right\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E11X.3.2.2.m1.2d">= roman_inf { italic_t > 0 : bold_italic_z ∈ italic_t conv ( caligraphic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ) }</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="2"><span class="ltx_tag ltx_tag_equationgroup ltx_align_right">(11)</span></td> </tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S3.E11Xa"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\inf_{c_{i},f_{i},\theta_{i}\in[0,\mathcal{U}]}\left\{\sum_{i=1}% |c_{i}|:~{}\boldsymbol{z}=\sum_{i}c_{i}{\boldsymbol{d}}(f_{i},\theta_{i})\right\}" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S3.E11Xa.2.1.1.m1.5"><semantics id="S3.E11Xa.2.1.1.m1.5a"><mrow id="S3.E11Xa.2.1.1.m1.5b"><mo id="S3.E11Xa.2.1.1.m1.5.6" rspace="0.1389em">=</mo><munder id="S3.E11Xa.2.1.1.m1.5.7"><mo id="S3.E11Xa.2.1.1.m1.5.7.2" lspace="0.1389em" movablelimits="false" rspace="0em">inf</mo><mrow id="S3.E11Xa.2.1.1.m1.5.5.5"><mrow id="S3.E11Xa.2.1.1.m1.5.5.5.5.3"><msub id="S3.E11Xa.2.1.1.m1.3.3.3.3.1.1"><mi id="S3.E11Xa.2.1.1.m1.3.3.3.3.1.1.2">c</mi><mi id="S3.E11Xa.2.1.1.m1.3.3.3.3.1.1.3">i</mi></msub><mo id="S3.E11Xa.2.1.1.m1.5.5.5.5.3.4">,</mo><msub id="S3.E11Xa.2.1.1.m1.4.4.4.4.2.2"><mi id="S3.E11Xa.2.1.1.m1.4.4.4.4.2.2.2">f</mi><mi id="S3.E11Xa.2.1.1.m1.4.4.4.4.2.2.3">i</mi></msub><mo id="S3.E11Xa.2.1.1.m1.5.5.5.5.3.5">,</mo><msub id="S3.E11Xa.2.1.1.m1.5.5.5.5.3.3"><mi id="S3.E11Xa.2.1.1.m1.5.5.5.5.3.3.2">θ</mi><mi id="S3.E11Xa.2.1.1.m1.5.5.5.5.3.3.3">i</mi></msub></mrow><mo id="S3.E11Xa.2.1.1.m1.5.5.5.6">∈</mo><mrow id="S3.E11Xa.2.1.1.m1.5.5.5.7.2"><mo id="S3.E11Xa.2.1.1.m1.5.5.5.7.2.1" stretchy="false">[</mo><mn id="S3.E11Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1">0</mn><mo id="S3.E11Xa.2.1.1.m1.5.5.5.7.2.2">,</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.E11Xa.2.1.1.m1.2.2.2.2">𝒰</mi><mo id="S3.E11Xa.2.1.1.m1.5.5.5.7.2.3" 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id="S3.E11Xa.2.1.1.m1.5.8.9.2" movablelimits="false">∑</mo><mi id="S3.E11Xa.2.1.1.m1.5.8.9.3">i</mi></munder></mstyle><msub id="S3.E11Xa.2.1.1.m1.5.8.10"><mi id="S3.E11Xa.2.1.1.m1.5.8.10.2">c</mi><mi id="S3.E11Xa.2.1.1.m1.5.8.10.3">i</mi></msub><mi id="S3.E11Xa.2.1.1.m1.5.8.11">𝒅</mi><mrow id="S3.E11Xa.2.1.1.m1.5.8.12"><mo id="S3.E11Xa.2.1.1.m1.5.8.12.1" stretchy="false">(</mo><msub id="S3.E11Xa.2.1.1.m1.5.8.12.2"><mi id="S3.E11Xa.2.1.1.m1.5.8.12.2.2">f</mi><mi id="S3.E11Xa.2.1.1.m1.5.8.12.2.3">i</mi></msub><mo id="S3.E11Xa.2.1.1.m1.5.8.12.3">,</mo><msub id="S3.E11Xa.2.1.1.m1.5.8.12.4"><mi id="S3.E11Xa.2.1.1.m1.5.8.12.4.2">θ</mi><mi id="S3.E11Xa.2.1.1.m1.5.8.12.4.3">i</mi></msub><mo id="S3.E11Xa.2.1.1.m1.5.8.12.5" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S3.E11Xa.2.1.1.m1.5.8.13">}</mo></mrow></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E11Xa.2.1.1.m1.5c">\displaystyle=\inf_{c_{i},f_{i},\theta_{i}\in[0,\mathcal{U}]}\left\{\sum_{i=1}% |c_{i}|:~{}\boldsymbol{z}=\sum_{i}c_{i}{\boldsymbol{d}}(f_{i},\theta_{i})\right\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E11Xa.2.1.1.m1.5d">= roman_inf start_POSTSUBSCRIPT italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT , italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT , italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ∈ [ 0 , caligraphic_U ] end_POSTSUBSCRIPT { ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT | italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT | : bold_italic_z = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT bold_italic_d ( italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT , italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ) }</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr> </tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.p1.7">To enforce sparsity in the constrained atomic representation, we solve</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_table" id="S3.E12"> <tbody> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S3.E12X"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\min_{\boldsymbol{z}}~{}||\boldsymbol{z}||_{\mathcal{A}_{c}}~{}~{% }~{}~{}\text{subject~{}to}~{}~{}\boldsymbol{x}=\mathcal{P}(\boldsymbol{z})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E12X.2.1.1.m1.4"><semantics id="S3.E12X.2.1.1.m1.4a"><mrow id="S3.E12X.2.1.1.m1.4.4" xref="S3.E12X.2.1.1.m1.4.4.cmml"><mrow id="S3.E12X.2.1.1.m1.4.4.2.2" xref="S3.E12X.2.1.1.m1.4.4.2.3.cmml"><mrow id="S3.E12X.2.1.1.m1.3.3.1.1.1" xref="S3.E12X.2.1.1.m1.3.3.1.1.1.cmml"><munder id="S3.E12X.2.1.1.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S3.E12X.2.1.1.m1.3.3.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E12X.2.1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2" xref="S3.E12X.2.1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2.cmml">min</mi><mi id="S3.E12X.2.1.1.m1.3.3.1.1.1.2.3" xref="S3.E12X.2.1.1.m1.3.3.1.1.1.2.3.cmml">𝒛</mi></munder><mo id="S3.E12X.2.1.1.m1.3.3.1.1.1.1" lspace="0.330em" xref="S3.E12X.2.1.1.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E12X.2.1.1.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S3.E12X.2.1.1.m1.3.3.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.E12X.2.1.1.m1.3.3.1.1.1.3.2.2" xref="S3.E12X.2.1.1.m1.3.3.1.1.1.3.2.1.cmml"><mo id="S3.E12X.2.1.1.m1.3.3.1.1.1.3.2.2.1" stretchy="false" xref="S3.E12X.2.1.1.m1.3.3.1.1.1.3.2.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S3.E12X.2.1.1.m1.1.1" xref="S3.E12X.2.1.1.m1.1.1.cmml">𝒛</mi><mo id="S3.E12X.2.1.1.m1.3.3.1.1.1.3.2.2.2" stretchy="false" xref="S3.E12X.2.1.1.m1.3.3.1.1.1.3.2.1.1.cmml">‖</mo></mrow><msub id="S3.E12X.2.1.1.m1.3.3.1.1.1.3.3" xref="S3.E12X.2.1.1.m1.3.3.1.1.1.3.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.E12X.2.1.1.m1.3.3.1.1.1.3.3.2" xref="S3.E12X.2.1.1.m1.3.3.1.1.1.3.3.2.cmml">𝒜</mi><mi id="S3.E12X.2.1.1.m1.3.3.1.1.1.3.3.3" xref="S3.E12X.2.1.1.m1.3.3.1.1.1.3.3.3.cmml">c</mi></msub></msub></mrow><mspace id="S3.E12X.2.1.1.m1.4.4.2.2.3" width="1.32em" xref="S3.E12X.2.1.1.m1.4.4.2.3.cmml"></mspace><mrow id="S3.E12X.2.1.1.m1.4.4.2.2.2" xref="S3.E12X.2.1.1.m1.4.4.2.2.2.cmml"><mtext id="S3.E12X.2.1.1.m1.4.4.2.2.2.2" xref="S3.E12X.2.1.1.m1.4.4.2.2.2.2a.cmml">subject to</mtext><mo id="S3.E12X.2.1.1.m1.4.4.2.2.2.1" lspace="0.660em" xref="S3.E12X.2.1.1.m1.4.4.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E12X.2.1.1.m1.4.4.2.2.2.3" xref="S3.E12X.2.1.1.m1.4.4.2.2.2.3.cmml">𝒙</mi></mrow></mrow><mo id="S3.E12X.2.1.1.m1.4.4.3" xref="S3.E12X.2.1.1.m1.4.4.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.E12X.2.1.1.m1.4.4.4" xref="S3.E12X.2.1.1.m1.4.4.4.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.E12X.2.1.1.m1.4.4.4.2" xref="S3.E12X.2.1.1.m1.4.4.4.2.cmml">𝒫</mi><mo id="S3.E12X.2.1.1.m1.4.4.4.1" xref="S3.E12X.2.1.1.m1.4.4.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E12X.2.1.1.m1.4.4.4.3.2" xref="S3.E12X.2.1.1.m1.4.4.4.cmml"><mo id="S3.E12X.2.1.1.m1.4.4.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E12X.2.1.1.m1.4.4.4.cmml">(</mo><mi id="S3.E12X.2.1.1.m1.2.2" xref="S3.E12X.2.1.1.m1.2.2.cmml">𝒛</mi><mo id="S3.E12X.2.1.1.m1.4.4.4.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.E12X.2.1.1.m1.4.4.4.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E12X.2.1.1.m1.4b"><apply id="S3.E12X.2.1.1.m1.4.4.cmml" xref="S3.E12X.2.1.1.m1.4.4"><eq id="S3.E12X.2.1.1.m1.4.4.3.cmml" xref="S3.E12X.2.1.1.m1.4.4.3"></eq><list id="S3.E12X.2.1.1.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S3.E12X.2.1.1.m1.4.4.2.2"><apply id="S3.E12X.2.1.1.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.E12X.2.1.1.m1.3.3.1.1.1"><times id="S3.E12X.2.1.1.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E12X.2.1.1.m1.3.3.1.1.1.1"></times><apply id="S3.E12X.2.1.1.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E12X.2.1.1.m1.3.3.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E12X.2.1.1.m1.3.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E12X.2.1.1.m1.3.3.1.1.1.2">subscript</csymbol><min id="S3.E12X.2.1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E12X.2.1.1.m1.3.3.1.1.1.2.2"></min><ci id="S3.E12X.2.1.1.m1.3.3.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E12X.2.1.1.m1.3.3.1.1.1.2.3">𝒛</ci></apply><apply id="S3.E12X.2.1.1.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E12X.2.1.1.m1.3.3.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E12X.2.1.1.m1.3.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E12X.2.1.1.m1.3.3.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S3.E12X.2.1.1.m1.3.3.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E12X.2.1.1.m1.3.3.1.1.1.3.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.E12X.2.1.1.m1.3.3.1.1.1.3.2.1.1.cmml" xref="S3.E12X.2.1.1.m1.3.3.1.1.1.3.2.2.1">norm</csymbol><ci id="S3.E12X.2.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.E12X.2.1.1.m1.1.1">𝒛</ci></apply><apply id="S3.E12X.2.1.1.m1.3.3.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E12X.2.1.1.m1.3.3.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E12X.2.1.1.m1.3.3.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E12X.2.1.1.m1.3.3.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E12X.2.1.1.m1.3.3.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.E12X.2.1.1.m1.3.3.1.1.1.3.3.2">𝒜</ci><ci id="S3.E12X.2.1.1.m1.3.3.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.E12X.2.1.1.m1.3.3.1.1.1.3.3.3">𝑐</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.E12X.2.1.1.m1.4.4.2.2.2.cmml" xref="S3.E12X.2.1.1.m1.4.4.2.2.2"><times id="S3.E12X.2.1.1.m1.4.4.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E12X.2.1.1.m1.4.4.2.2.2.1"></times><ci id="S3.E12X.2.1.1.m1.4.4.2.2.2.2a.cmml" xref="S3.E12X.2.1.1.m1.4.4.2.2.2.2"><mtext id="S3.E12X.2.1.1.m1.4.4.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E12X.2.1.1.m1.4.4.2.2.2.2">subject to</mtext></ci><ci id="S3.E12X.2.1.1.m1.4.4.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E12X.2.1.1.m1.4.4.2.2.2.3">𝒙</ci></apply></list><apply id="S3.E12X.2.1.1.m1.4.4.4.cmml" xref="S3.E12X.2.1.1.m1.4.4.4"><times id="S3.E12X.2.1.1.m1.4.4.4.1.cmml" xref="S3.E12X.2.1.1.m1.4.4.4.1"></times><ci id="S3.E12X.2.1.1.m1.4.4.4.2.cmml" xref="S3.E12X.2.1.1.m1.4.4.4.2">𝒫</ci><ci id="S3.E12X.2.1.1.m1.2.2.cmml" xref="S3.E12X.2.1.1.m1.2.2">𝒛</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E12X.2.1.1.m1.4c">\displaystyle\min_{\boldsymbol{z}}~{}||\boldsymbol{z}||_{\mathcal{A}_{c}}~{}~{% }~{}~{}\text{subject~{}to}~{}~{}\boldsymbol{x}=\mathcal{P}(\boldsymbol{z})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E12X.2.1.1.m1.4d">roman_min start_POSTSUBSCRIPT bold_italic_z end_POSTSUBSCRIPT | | bold_italic_z | | start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT subject to bold_italic_x = caligraphic_P ( bold_italic_z )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equationgroup ltx_align_right">(12)</span></td> </tr> </tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS1.p2"> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.p2.4">The constrained atomic norm <math alttext="||\boldsymbol{z}||_{\mathcal{A}_{c}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p2.1.m1.1"><semantics id="S3.SS1.p2.1.m1.1a"><msub id="S3.SS1.p2.1.m1.1.2" xref="S3.SS1.p2.1.m1.1.2.cmml"><mrow id="S3.SS1.p2.1.m1.1.2.2.2" xref="S3.SS1.p2.1.m1.1.2.2.1.cmml"><mo id="S3.SS1.p2.1.m1.1.2.2.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS1.p2.1.m1.1.2.2.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S3.SS1.p2.1.m1.1.1" xref="S3.SS1.p2.1.m1.1.1.cmml">𝒛</mi><mo id="S3.SS1.p2.1.m1.1.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.p2.1.m1.1.2.2.1.1.cmml">‖</mo></mrow><msub id="S3.SS1.p2.1.m1.1.2.3" xref="S3.SS1.p2.1.m1.1.2.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS1.p2.1.m1.1.2.3.2" xref="S3.SS1.p2.1.m1.1.2.3.2.cmml">𝒜</mi><mi id="S3.SS1.p2.1.m1.1.2.3.3" xref="S3.SS1.p2.1.m1.1.2.3.3.cmml">c</mi></msub></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p2.1.m1.1b"><apply id="S3.SS1.p2.1.m1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.1.m1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p2.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.1.m1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S3.SS1.p2.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.1.m1.1.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS1.p2.1.m1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.1.m1.1.2.2.2.1">norm</csymbol><ci id="S3.SS1.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.1.m1.1.1">𝒛</ci></apply><apply id="S3.SS1.p2.1.m1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.1.m1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p2.1.m1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.1.m1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p2.1.m1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.1.m1.1.2.3.2">𝒜</ci><ci id="S3.SS1.p2.1.m1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.1.m1.1.2.3.3">𝑐</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p2.1.m1.1c">||\boldsymbol{z}||_{\mathcal{A}_{c}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p2.1.m1.1d">| | bold_italic_z | | start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, induced by the atomic set <math alttext="\mathcal{A}_{c}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p2.2.m2.1"><semantics id="S3.SS1.p2.2.m2.1a"><msub id="S3.SS1.p2.2.m2.1.1" xref="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.2" xref="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.2.cmml">𝒜</mi><mi id="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.3" xref="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.3.cmml">c</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p2.2.m2.1b"><apply id="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.2">𝒜</ci><ci id="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.3">𝑐</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p2.2.m2.1c">\mathcal{A}_{c}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p2.2.m2.1d">caligraphic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, is related to prior work on frequency-selective Vandermonde decomposition of Toeplitz matrices in one-dimensional (1-D) <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15164v1#bib.bib13" title="">13</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15164v1#bib.bib14" title="">14</a>]</cite> and multi-dimensional (M-D) cases <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15164v1#bib.bib15" title="">15</a>]</cite>. It has been shown that <math alttext="||\boldsymbol{z}||_{\mathcal{A}_{c}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p2.3.m3.1"><semantics id="S3.SS1.p2.3.m3.1a"><msub id="S3.SS1.p2.3.m3.1.2" xref="S3.SS1.p2.3.m3.1.2.cmml"><mrow id="S3.SS1.p2.3.m3.1.2.2.2" xref="S3.SS1.p2.3.m3.1.2.2.1.cmml"><mo id="S3.SS1.p2.3.m3.1.2.2.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS1.p2.3.m3.1.2.2.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S3.SS1.p2.3.m3.1.1" xref="S3.SS1.p2.3.m3.1.1.cmml">𝒛</mi><mo id="S3.SS1.p2.3.m3.1.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.p2.3.m3.1.2.2.1.1.cmml">‖</mo></mrow><msub id="S3.SS1.p2.3.m3.1.2.3" xref="S3.SS1.p2.3.m3.1.2.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS1.p2.3.m3.1.2.3.2" xref="S3.SS1.p2.3.m3.1.2.3.2.cmml">𝒜</mi><mi id="S3.SS1.p2.3.m3.1.2.3.3" xref="S3.SS1.p2.3.m3.1.2.3.3.cmml">c</mi></msub></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p2.3.m3.1b"><apply id="S3.SS1.p2.3.m3.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.3.m3.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p2.3.m3.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.3.m3.1.2">subscript</csymbol><apply id="S3.SS1.p2.3.m3.1.2.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.3.m3.1.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS1.p2.3.m3.1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.3.m3.1.2.2.2.1">norm</csymbol><ci id="S3.SS1.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.3.m3.1.1">𝒛</ci></apply><apply id="S3.SS1.p2.3.m3.1.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.3.m3.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p2.3.m3.1.2.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.3.m3.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p2.3.m3.1.2.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.3.m3.1.2.3.2">𝒜</ci><ci id="S3.SS1.p2.3.m3.1.2.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.3.m3.1.2.3.3">𝑐</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p2.3.m3.1c">||\boldsymbol{z}||_{\mathcal{A}_{c}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p2.3.m3.1d">| | bold_italic_z | | start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> admits an equivalent SDP formulation in the 1-D case and an approximate SDP formulation in the M-D case. Before presenting the approximate SDP characterization for <math alttext="||\boldsymbol{z}||_{\mathcal{A}_{c}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p2.4.m4.1"><semantics id="S3.SS1.p2.4.m4.1a"><msub id="S3.SS1.p2.4.m4.1.2" xref="S3.SS1.p2.4.m4.1.2.cmml"><mrow id="S3.SS1.p2.4.m4.1.2.2.2" xref="S3.SS1.p2.4.m4.1.2.2.1.cmml"><mo id="S3.SS1.p2.4.m4.1.2.2.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS1.p2.4.m4.1.2.2.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S3.SS1.p2.4.m4.1.1" xref="S3.SS1.p2.4.m4.1.1.cmml">𝒛</mi><mo id="S3.SS1.p2.4.m4.1.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.p2.4.m4.1.2.2.1.1.cmml">‖</mo></mrow><msub id="S3.SS1.p2.4.m4.1.2.3" xref="S3.SS1.p2.4.m4.1.2.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS1.p2.4.m4.1.2.3.2" xref="S3.SS1.p2.4.m4.1.2.3.2.cmml">𝒜</mi><mi id="S3.SS1.p2.4.m4.1.2.3.3" xref="S3.SS1.p2.4.m4.1.2.3.3.cmml">c</mi></msub></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p2.4.m4.1b"><apply id="S3.SS1.p2.4.m4.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.4.m4.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p2.4.m4.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.4.m4.1.2">subscript</csymbol><apply id="S3.SS1.p2.4.m4.1.2.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.4.m4.1.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS1.p2.4.m4.1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.4.m4.1.2.2.2.1">norm</csymbol><ci id="S3.SS1.p2.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.4.m4.1.1">𝒛</ci></apply><apply id="S3.SS1.p2.4.m4.1.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.4.m4.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p2.4.m4.1.2.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.4.m4.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p2.4.m4.1.2.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.4.m4.1.2.3.2">𝒜</ci><ci id="S3.SS1.p2.4.m4.1.2.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.4.m4.1.2.3.3">𝑐</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p2.4.m4.1c">||\boldsymbol{z}||_{\mathcal{A}_{c}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p2.4.m4.1d">| | bold_italic_z | | start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, we first introduce the Hermitian trigonometric polynomials and two-fold Toeplitz matrices, which are necessary for the discussion. <br class="ltx_break"/><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.SS1.p2.4.1">I. Hermitian Trigonometric Polynomials</span>: A Hermitian trigonometric polynomial of degree one is defined as</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E13"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="g(z)=r_{1}z^{-1}+r_{0}+r_{-1}z,~{}~{}r_{-1}=\bar{r}_{1},r_{0}\in\mathbb{R}," class="ltx_Math" display="block" id="S3.E13.m1.2"><semantics id="S3.E13.m1.2a"><mrow id="S3.E13.m1.2.2.1"><mrow id="S3.E13.m1.2.2.1.1.2" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml">g</mi><mo id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.2.1" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.E13.m1.1.1" xref="S3.E13.m1.1.1.cmml">z</mi><mo id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml"><msub id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">r</mi><mn id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">z</mi><mrow id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml"><mo id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.3.3a" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">−</mo><mn id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.3.3.2" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.3.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup></mrow><mo id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.1" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml">+</mo><msub id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.2.cmml">r</mi><mn id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.1a" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.4" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.4.cmml"><msub id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.4.2" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.4.2.cmml"><mi id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.4.2.2" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.4.2.2.cmml">r</mi><mrow id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.4.2.3" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.4.2.3.cmml"><mo id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.4.2.3a" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.4.2.3.cmml">−</mo><mn id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.4.2.3.2" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.4.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.4.1" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.4.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.4.3" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.4.3.cmml">z</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E13.m1.2.2.1.1.2.3" rspace="0.827em" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.E13.m1.2.2.1.1.2.2.2" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.2.2.3.cmml"><mrow id="S3.E13.m1.2.2.1.1.2.2.1.1" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.cmml"><msub id="S3.E13.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E13.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2.2" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2.2.cmml">r</mi><mrow id="S3.E13.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2.3" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2.3.cmml"><mo id="S3.E13.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2.3a" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2.3.cmml">−</mo><mn id="S3.E13.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2.3.2" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S3.E13.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.cmml">=</mo><msub id="S3.E13.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.3" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S3.E13.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.3.2" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.E13.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.3.2.2" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.3.2.2.cmml">r</mi><mo id="S3.E13.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.3.2.1" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.3.2.1.cmml">¯</mo></mover><mn id="S3.E13.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.3.3" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow><mo id="S3.E13.m1.2.2.1.1.2.2.2.3" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.E13.m1.2.2.1.1.2.2.2.2" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.cmml"><msub id="S3.E13.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.E13.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml">r</mi><mn id="S3.E13.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.3" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.E13.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.1" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.1.cmml">∈</mo><mi id="S3.E13.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.cmml">ℝ</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E13.m1.2.2.1.2">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E13.m1.2b"><apply id="S3.E13.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E13.m1.2.2.1.1.3a.cmml" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1"><eq id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.2"><times id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.2.2">𝑔</ci><ci id="S3.E13.m1.1.1.cmml" xref="S3.E13.m1.1.1">𝑧</ci></apply><apply id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3"><plus id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.1"></plus><apply id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.2"><times id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.1"></times><apply id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.2">𝑟</ci><cn id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.3">1</cn></apply><apply id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑧</ci><apply id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.3.3"><minus id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.3.3.1.cmml" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.3.3"></minus><cn id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.3.3.2">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.2">𝑟</ci><cn id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.3">0</cn></apply><apply id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.4"><times id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.4.1"></times><apply id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.4.2.cmml" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.4.2.1.cmml" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.4.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.4.2.2.cmml" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.4.2.2">𝑟</ci><apply id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.4.2.3.cmml" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.4.2.3"><minus id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.4.2.3.1.cmml" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.4.2.3"></minus><cn id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.4.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.4.2.3.2">1</cn></apply></apply><ci id="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.4.3.cmml" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.1.1.3.4.3">𝑧</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.E13.m1.2.2.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E13.m1.2.2.1.1.2.2.3a.cmml" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.E13.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.2.2.1.1"><eq id="S3.E13.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.1"></eq><apply id="S3.E13.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E13.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E13.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2.2">𝑟</ci><apply id="S3.E13.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2.3"><minus id="S3.E13.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2.3"></minus><cn id="S3.E13.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.2.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="S3.E13.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E13.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S3.E13.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.3.2"><ci id="S3.E13.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.3.2.1">¯</ci><ci id="S3.E13.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.3.2.2">𝑟</ci></apply><cn id="S3.E13.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.2.2.1.1.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S3.E13.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.2.2.2.2"><in id="S3.E13.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.1"></in><apply id="S3.E13.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E13.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E13.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2">𝑟</ci><cn id="S3.E13.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.3">0</cn></apply><ci id="S3.E13.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E13.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3">ℝ</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E13.m1.2c">g(z)=r_{1}z^{-1}+r_{0}+r_{-1}z,~{}~{}r_{-1}=\bar{r}_{1},r_{0}\in\mathbb{R},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E13.m1.2d">italic_g ( italic_z ) = italic_r start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_z start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_r start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT + italic_r start_POSTSUBSCRIPT - 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_z , italic_r start_POSTSUBSCRIPT - 1 end_POSTSUBSCRIPT = over¯ start_ARG italic_r end_ARG start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_r start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ∈ blackboard_R ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(13)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.p2.8">where <math alttext="z" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p2.5.m1.1"><semantics id="S3.SS1.p2.5.m1.1a"><mi id="S3.SS1.p2.5.m1.1.1" xref="S3.SS1.p2.5.m1.1.1.cmml">z</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p2.5.m1.1b"><ci id="S3.SS1.p2.5.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.5.m1.1.1">𝑧</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p2.5.m1.1c">z</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p2.5.m1.1d">italic_z</annotation></semantics></math> is a complex argument and <math alttext="\bar{\cdot}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p2.6.m2.1"><semantics id="S3.SS1.p2.6.m2.1a"><mover accent="true" id="S3.SS1.p2.6.m2.1.1" xref="S3.SS1.p2.6.m2.1.1.cmml"><mo id="S3.SS1.p2.6.m2.1.1.2" xref="S3.SS1.p2.6.m2.1.1.2.cmml">⋅</mo><mo id="S3.SS1.p2.6.m2.1.1.1" xref="S3.SS1.p2.6.m2.1.1.1.cmml">¯</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p2.6.m2.1b"><apply id="S3.SS1.p2.6.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.6.m2.1.1"><ci id="S3.SS1.p2.6.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.6.m2.1.1.1">¯</ci><ci id="S3.SS1.p2.6.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.6.m2.1.1.2">⋅</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p2.6.m2.1c">\bar{\cdot}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p2.6.m2.1d">over¯ start_ARG ⋅ end_ARG</annotation></semantics></math> denotes the complex conjugate operation. When <math alttext="g(z)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p2.7.m3.1"><semantics id="S3.SS1.p2.7.m3.1a"><mrow id="S3.SS1.p2.7.m3.1.2" xref="S3.SS1.p2.7.m3.1.2.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.7.m3.1.2.2" xref="S3.SS1.p2.7.m3.1.2.2.cmml">g</mi><mo id="S3.SS1.p2.7.m3.1.2.1" xref="S3.SS1.p2.7.m3.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS1.p2.7.m3.1.2.3.2" xref="S3.SS1.p2.7.m3.1.2.cmml"><mo id="S3.SS1.p2.7.m3.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS1.p2.7.m3.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.SS1.p2.7.m3.1.1" xref="S3.SS1.p2.7.m3.1.1.cmml">z</mi><mo id="S3.SS1.p2.7.m3.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.p2.7.m3.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p2.7.m3.1b"><apply id="S3.SS1.p2.7.m3.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.7.m3.1.2"><times id="S3.SS1.p2.7.m3.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.7.m3.1.2.1"></times><ci id="S3.SS1.p2.7.m3.1.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.7.m3.1.2.2">𝑔</ci><ci id="S3.SS1.p2.7.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.7.m3.1.1">𝑧</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p2.7.m3.1c">g(z)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p2.7.m3.1d">italic_g ( italic_z )</annotation></semantics></math> is evaluated on the unit circle, i.e., <math alttext="z=e^{j2\pi f}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p2.8.m4.1"><semantics id="S3.SS1.p2.8.m4.1a"><mrow id="S3.SS1.p2.8.m4.1.1" xref="S3.SS1.p2.8.m4.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.8.m4.1.1.2" xref="S3.SS1.p2.8.m4.1.1.2.cmml">z</mi><mo id="S3.SS1.p2.8.m4.1.1.1" xref="S3.SS1.p2.8.m4.1.1.1.cmml">=</mo><msup id="S3.SS1.p2.8.m4.1.1.3" xref="S3.SS1.p2.8.m4.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.8.m4.1.1.3.2" xref="S3.SS1.p2.8.m4.1.1.3.2.cmml">e</mi><mrow id="S3.SS1.p2.8.m4.1.1.3.3" xref="S3.SS1.p2.8.m4.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.8.m4.1.1.3.3.2" xref="S3.SS1.p2.8.m4.1.1.3.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.SS1.p2.8.m4.1.1.3.3.1" xref="S3.SS1.p2.8.m4.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="S3.SS1.p2.8.m4.1.1.3.3.3" xref="S3.SS1.p2.8.m4.1.1.3.3.3.cmml">2</mn><mo id="S3.SS1.p2.8.m4.1.1.3.3.1a" xref="S3.SS1.p2.8.m4.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS1.p2.8.m4.1.1.3.3.4" xref="S3.SS1.p2.8.m4.1.1.3.3.4.cmml">π</mi><mo id="S3.SS1.p2.8.m4.1.1.3.3.1b" xref="S3.SS1.p2.8.m4.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS1.p2.8.m4.1.1.3.3.5" xref="S3.SS1.p2.8.m4.1.1.3.3.5.cmml">f</mi></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p2.8.m4.1b"><apply id="S3.SS1.p2.8.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.8.m4.1.1"><eq id="S3.SS1.p2.8.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.8.m4.1.1.1"></eq><ci id="S3.SS1.p2.8.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.8.m4.1.1.2">𝑧</ci><apply id="S3.SS1.p2.8.m4.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.8.m4.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p2.8.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.8.m4.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p2.8.m4.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.8.m4.1.1.3.2">𝑒</ci><apply id="S3.SS1.p2.8.m4.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.8.m4.1.1.3.3"><times id="S3.SS1.p2.8.m4.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.8.m4.1.1.3.3.1"></times><ci id="S3.SS1.p2.8.m4.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.8.m4.1.1.3.3.2">𝑗</ci><cn id="S3.SS1.p2.8.m4.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.p2.8.m4.1.1.3.3.3">2</cn><ci id="S3.SS1.p2.8.m4.1.1.3.3.4.cmml" xref="S3.SS1.p2.8.m4.1.1.3.3.4">𝜋</ci><ci id="S3.SS1.p2.8.m4.1.1.3.3.5.cmml" xref="S3.SS1.p2.8.m4.1.1.3.3.5">𝑓</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p2.8.m4.1c">z=e^{j2\pi f}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p2.8.m4.1d">italic_z = italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_j 2 italic_π italic_f end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, we have</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E14"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="g(e^{j2\pi f})=r_{1}e^{-j2\pi f}+r_{0}+r_{-1}e^{j2\pi f}=r_{0}+2\text{Re}(r_{1% }e^{-j2\pi f})," class="ltx_Math" display="block" id="S3.E14.m1.1"><semantics id="S3.E14.m1.1a"><mrow id="S3.E14.m1.1.1.1" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E14.m1.1.1.1.1" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E14.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">g</mi><mo id="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">e</mi><mrow id="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn><mo id="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1a" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml">π</mi><mo id="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1b" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.5" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.5.cmml">f</mi></mrow></msup><mo id="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E14.m1.1.1.1.1.4" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.4.cmml">=</mo><mrow id="S3.E14.m1.1.1.1.1.5" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.cmml"><mrow id="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.2" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.2.cmml"><msub id="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.2.2" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.2.2.cmml"><mi id="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.2.2.2" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.2.2.2.cmml">r</mi><mn id="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.2.2.3" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.2.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.2.1" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.2.3" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.2.3.cmml"><mi id="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.2.3.2" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.2.3.2.cmml">e</mi><mrow id="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.2.3.3" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.2.3.3.cmml"><mo id="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.2.3.3a" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.2.3.3.cmml">−</mo><mrow id="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.2.3.3.2" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.2.3.3.2.cmml"><mi id="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.2.3.3.2.2" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.2.3.3.2.2.cmml">j</mi><mo id="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.2.3.3.2.1" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.2.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mn id="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.2.3.3.2.3" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.2.3.3.2.3.cmml">2</mn><mo id="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.2.3.3.2.1a" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.2.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.2.3.3.2.4" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.2.3.3.2.4.cmml">π</mi><mo id="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.2.3.3.2.1b" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.2.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.2.3.3.2.5" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.2.3.3.2.5.cmml">f</mi></mrow></mrow></msup></mrow><mo id="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.1" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.1.cmml">+</mo><msub id="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.3" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.3.cmml"><mi id="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.3.2" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.3.2.cmml">r</mi><mn id="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.3.3" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.3.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.1a" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.4" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.4.cmml"><msub id="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.4.2" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.4.2.cmml"><mi id="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.4.2.2" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.4.2.2.cmml">r</mi><mrow id="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.4.2.3" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.4.2.3.cmml"><mo id="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.4.2.3a" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.4.2.3.cmml">−</mo><mn id="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.4.2.3.2" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.4.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.4.1" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.4.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.4.3" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.4.3.cmml"><mi id="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.4.3.2" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.4.3.2.cmml">e</mi><mrow id="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.4.3.3" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.4.3.3.cmml"><mi id="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.4.3.3.2" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.4.3.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.4.3.3.1" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.4.3.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.4.3.3.3" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.4.3.3.3.cmml">2</mn><mo id="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.4.3.3.1a" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.4.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.4.3.3.4" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.4.3.3.4.cmml">π</mi><mo id="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.4.3.3.1b" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.4.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.4.3.3.5" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.4.3.3.5.cmml">f</mi></mrow></msup></mrow></mrow><mo id="S3.E14.m1.1.1.1.1.6" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.6.cmml">=</mo><mrow id="S3.E14.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="S3.E14.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.E14.m1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">r</mi><mn id="S3.E14.m1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.E14.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.2.2.cmml">+</mo><mrow id="S3.E14.m1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.2.1.cmml"><mn id="S3.E14.m1.1.1.1.1.2.1.3" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.2.1.3.cmml">2</mn><mo id="S3.E14.m1.1.1.1.1.2.1.2" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.2.1.2.cmml">⁢</mo><mtext id="S3.E14.m1.1.1.1.1.2.1.4" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.2.1.4a.cmml">Re</mtext><mo id="S3.E14.m1.1.1.1.1.2.1.2a" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.2.cmml">r</mi><mn id="S3.E14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.E14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.2.cmml">e</mi><mrow id="S3.E14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.3.cmml"><mo id="S3.E14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.3a" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.3.cmml">−</mo><mrow id="S3.E14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S3.E14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">j</mi><mo id="S3.E14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.3.2.1" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mn id="S3.E14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">2</mn><mo id="S3.E14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.3.2.1a" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.3.2.4" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.3.2.4.cmml">π</mi><mo id="S3.E14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.3.2.1b" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.3.2.5" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.3.2.5.cmml">f</mi></mrow></mrow></msup></mrow><mo id="S3.E14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E14.m1.1.1.1.2" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E14.m1.1b"><apply id="S3.E14.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1"><and id="S3.E14.m1.1.1.1.1a.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1"></and><apply id="S3.E14.m1.1.1.1.1b.cmml" 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xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.4">𝜋</ci><ci id="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.5.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.5">𝑓</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.5"><plus id="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.1"></plus><apply id="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.2.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.2"><times id="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.2.1.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.2.1"></times><apply id="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.2.2.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.2.2.1.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.2.2.2.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.2.2.2">𝑟</ci><cn id="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.2.2.3">1</cn></apply><apply id="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.2.3.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.2.3.1.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.2.3.2.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.2.3.2">𝑒</ci><apply id="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.2.3.3.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.2.3.3"><minus id="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.2.3.3.1.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.2.3.3"></minus><apply id="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.2.3.3.2.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.2.3.3.2"><times id="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.2.3.3.2.1.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.2.3.3.2.1"></times><ci id="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.2.3.3.2.2.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.2.3.3.2.2">𝑗</ci><cn id="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.2.3.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.2.3.3.2.3">2</cn><ci id="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.2.3.3.2.4.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.2.3.3.2.4">𝜋</ci><ci id="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.2.3.3.2.5.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.2.3.3.2.5">𝑓</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.3.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.3.1.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.3.2.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.3.2">𝑟</ci><cn id="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.3.3">0</cn></apply><apply id="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.4.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.4"><times id="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.4.1.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.4.1"></times><apply id="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.4.2.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.4.2.1.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.4.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.4.2.2.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.4.2.2">𝑟</ci><apply id="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.4.2.3.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.4.2.3"><minus id="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.4.2.3.1.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.4.2.3"></minus><cn id="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.4.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.4.2.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.4.3.cmml" xref="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E14.m1.1.1.1.1.5.4.3.1.cmml" 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end_POSTSUBSCRIPT italic_e start_POSTSUPERSCRIPT - italic_j 2 italic_π italic_f end_POSTSUPERSCRIPT + italic_r start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT + italic_r start_POSTSUBSCRIPT - 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_j 2 italic_π italic_f end_POSTSUPERSCRIPT = italic_r start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT + 2 Re ( italic_r start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_e start_POSTSUPERSCRIPT - italic_j 2 italic_π italic_f end_POSTSUPERSCRIPT ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(14)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.p2.12">which is real-valued. <br class="ltx_break"/><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.SS1.p2.12.1">II. Two-Fold Toeplitz Matrix (a.k.a. Doubly Toeplitz Matrix)</span>: Given a <math alttext="(2N-1)\times(2M-1)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p2.9.m1.2"><semantics id="S3.SS1.p2.9.m1.2a"><mrow id="S3.SS1.p2.9.m1.2.2" xref="S3.SS1.p2.9.m1.2.2.cmml"><mrow id="S3.SS1.p2.9.m1.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p2.9.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS1.p2.9.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.p2.9.m1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.SS1.p2.9.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p2.9.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.SS1.p2.9.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS1.p2.9.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="S3.SS1.p2.9.m1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.SS1.p2.9.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">2</mn><mo id="S3.SS1.p2.9.m1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.SS1.p2.9.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS1.p2.9.m1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.SS1.p2.9.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">N</mi></mrow><mo id="S3.SS1.p2.9.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p2.9.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S3.SS1.p2.9.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS1.p2.9.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S3.SS1.p2.9.m1.1.1.1.1.3" rspace="0.055em" stretchy="false" xref="S3.SS1.p2.9.m1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.SS1.p2.9.m1.2.2.3" rspace="0.222em" xref="S3.SS1.p2.9.m1.2.2.3.cmml">×</mo><mrow id="S3.SS1.p2.9.m1.2.2.2.1" xref="S3.SS1.p2.9.m1.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="S3.SS1.p2.9.m1.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.p2.9.m1.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.SS1.p2.9.m1.2.2.2.1.1" xref="S3.SS1.p2.9.m1.2.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S3.SS1.p2.9.m1.2.2.2.1.1.2" xref="S3.SS1.p2.9.m1.2.2.2.1.1.2.cmml"><mn id="S3.SS1.p2.9.m1.2.2.2.1.1.2.2" xref="S3.SS1.p2.9.m1.2.2.2.1.1.2.2.cmml">2</mn><mo id="S3.SS1.p2.9.m1.2.2.2.1.1.2.1" xref="S3.SS1.p2.9.m1.2.2.2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS1.p2.9.m1.2.2.2.1.1.2.3" xref="S3.SS1.p2.9.m1.2.2.2.1.1.2.3.cmml">M</mi></mrow><mo id="S3.SS1.p2.9.m1.2.2.2.1.1.1" xref="S3.SS1.p2.9.m1.2.2.2.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S3.SS1.p2.9.m1.2.2.2.1.1.3" xref="S3.SS1.p2.9.m1.2.2.2.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S3.SS1.p2.9.m1.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS1.p2.9.m1.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p2.9.m1.2b"><apply id="S3.SS1.p2.9.m1.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.9.m1.2.2"><times id="S3.SS1.p2.9.m1.2.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.9.m1.2.2.3"></times><apply id="S3.SS1.p2.9.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.9.m1.1.1.1.1"><minus id="S3.SS1.p2.9.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.9.m1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S3.SS1.p2.9.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.9.m1.1.1.1.1.1.2"><times id="S3.SS1.p2.9.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.9.m1.1.1.1.1.1.2.1"></times><cn id="S3.SS1.p2.9.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.p2.9.m1.1.1.1.1.1.2.2">2</cn><ci id="S3.SS1.p2.9.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.9.m1.1.1.1.1.1.2.3">𝑁</ci></apply><cn id="S3.SS1.p2.9.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.p2.9.m1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S3.SS1.p2.9.m1.2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.9.m1.2.2.2.1"><minus id="S3.SS1.p2.9.m1.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.9.m1.2.2.2.1.1.1"></minus><apply id="S3.SS1.p2.9.m1.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.9.m1.2.2.2.1.1.2"><times id="S3.SS1.p2.9.m1.2.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.9.m1.2.2.2.1.1.2.1"></times><cn id="S3.SS1.p2.9.m1.2.2.2.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.p2.9.m1.2.2.2.1.1.2.2">2</cn><ci id="S3.SS1.p2.9.m1.2.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.9.m1.2.2.2.1.1.2.3">𝑀</ci></apply><cn id="S3.SS1.p2.9.m1.2.2.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.p2.9.m1.2.2.2.1.1.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p2.9.m1.2c">(2N-1)\times(2M-1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p2.9.m1.2d">( 2 italic_N - 1 ) × ( 2 italic_M - 1 )</annotation></semantics></math> matrix <math alttext="\boldsymbol{T}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p2.10.m2.1"><semantics id="S3.SS1.p2.10.m2.1a"><mi id="S3.SS1.p2.10.m2.1.1" xref="S3.SS1.p2.10.m2.1.1.cmml">𝑻</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p2.10.m2.1b"><ci id="S3.SS1.p2.10.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.10.m2.1.1">𝑻</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p2.10.m2.1c">\boldsymbol{T}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p2.10.m2.1d">bold_italic_T</annotation></semantics></math>, the two-fold Toeplitz matrices <math alttext="\text{Toep}(\boldsymbol{T})\in\mathbb{C}^{NM\times NM}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p2.11.m3.1"><semantics id="S3.SS1.p2.11.m3.1a"><mrow id="S3.SS1.p2.11.m3.1.2" xref="S3.SS1.p2.11.m3.1.2.cmml"><mrow id="S3.SS1.p2.11.m3.1.2.2" xref="S3.SS1.p2.11.m3.1.2.2.cmml"><mtext id="S3.SS1.p2.11.m3.1.2.2.2" xref="S3.SS1.p2.11.m3.1.2.2.2a.cmml">Toep</mtext><mo id="S3.SS1.p2.11.m3.1.2.2.1" xref="S3.SS1.p2.11.m3.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS1.p2.11.m3.1.2.2.3.2" xref="S3.SS1.p2.11.m3.1.2.2.cmml"><mo id="S3.SS1.p2.11.m3.1.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS1.p2.11.m3.1.2.2.cmml">(</mo><mi id="S3.SS1.p2.11.m3.1.1" xref="S3.SS1.p2.11.m3.1.1.cmml">𝑻</mi><mo id="S3.SS1.p2.11.m3.1.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.p2.11.m3.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.SS1.p2.11.m3.1.2.1" xref="S3.SS1.p2.11.m3.1.2.1.cmml">∈</mo><msup id="S3.SS1.p2.11.m3.1.2.3" xref="S3.SS1.p2.11.m3.1.2.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.11.m3.1.2.3.2" xref="S3.SS1.p2.11.m3.1.2.3.2.cmml">ℂ</mi><mrow id="S3.SS1.p2.11.m3.1.2.3.3" xref="S3.SS1.p2.11.m3.1.2.3.3.cmml"><mrow id="S3.SS1.p2.11.m3.1.2.3.3.2" xref="S3.SS1.p2.11.m3.1.2.3.3.2.cmml"><mrow id="S3.SS1.p2.11.m3.1.2.3.3.2.2" xref="S3.SS1.p2.11.m3.1.2.3.3.2.2.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.11.m3.1.2.3.3.2.2.2" xref="S3.SS1.p2.11.m3.1.2.3.3.2.2.2.cmml">N</mi><mo id="S3.SS1.p2.11.m3.1.2.3.3.2.2.1" xref="S3.SS1.p2.11.m3.1.2.3.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS1.p2.11.m3.1.2.3.3.2.2.3" xref="S3.SS1.p2.11.m3.1.2.3.3.2.2.3.cmml">M</mi></mrow><mo id="S3.SS1.p2.11.m3.1.2.3.3.2.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S3.SS1.p2.11.m3.1.2.3.3.2.1.cmml">×</mo><mi id="S3.SS1.p2.11.m3.1.2.3.3.2.3" xref="S3.SS1.p2.11.m3.1.2.3.3.2.3.cmml">N</mi></mrow><mo id="S3.SS1.p2.11.m3.1.2.3.3.1" xref="S3.SS1.p2.11.m3.1.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS1.p2.11.m3.1.2.3.3.3" xref="S3.SS1.p2.11.m3.1.2.3.3.3.cmml">M</mi></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p2.11.m3.1b"><apply id="S3.SS1.p2.11.m3.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.11.m3.1.2"><in id="S3.SS1.p2.11.m3.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.11.m3.1.2.1"></in><apply id="S3.SS1.p2.11.m3.1.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.11.m3.1.2.2"><times id="S3.SS1.p2.11.m3.1.2.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.11.m3.1.2.2.1"></times><ci id="S3.SS1.p2.11.m3.1.2.2.2a.cmml" xref="S3.SS1.p2.11.m3.1.2.2.2"><mtext id="S3.SS1.p2.11.m3.1.2.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.11.m3.1.2.2.2">Toep</mtext></ci><ci id="S3.SS1.p2.11.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.11.m3.1.1">𝑻</ci></apply><apply id="S3.SS1.p2.11.m3.1.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.11.m3.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p2.11.m3.1.2.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.11.m3.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p2.11.m3.1.2.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.11.m3.1.2.3.2">ℂ</ci><apply id="S3.SS1.p2.11.m3.1.2.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.11.m3.1.2.3.3"><times id="S3.SS1.p2.11.m3.1.2.3.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.11.m3.1.2.3.3.1"></times><apply id="S3.SS1.p2.11.m3.1.2.3.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.11.m3.1.2.3.3.2"><times id="S3.SS1.p2.11.m3.1.2.3.3.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.11.m3.1.2.3.3.2.1"></times><apply id="S3.SS1.p2.11.m3.1.2.3.3.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.11.m3.1.2.3.3.2.2"><times id="S3.SS1.p2.11.m3.1.2.3.3.2.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.11.m3.1.2.3.3.2.2.1"></times><ci id="S3.SS1.p2.11.m3.1.2.3.3.2.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.11.m3.1.2.3.3.2.2.2">𝑁</ci><ci id="S3.SS1.p2.11.m3.1.2.3.3.2.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.11.m3.1.2.3.3.2.2.3">𝑀</ci></apply><ci id="S3.SS1.p2.11.m3.1.2.3.3.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.11.m3.1.2.3.3.2.3">𝑁</ci></apply><ci id="S3.SS1.p2.11.m3.1.2.3.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.11.m3.1.2.3.3.3">𝑀</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p2.11.m3.1c">\text{Toep}(\boldsymbol{T})\in\mathbb{C}^{NM\times NM}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p2.11.m3.1d">Toep ( bold_italic_T ) ∈ blackboard_C start_POSTSUPERSCRIPT italic_N italic_M × italic_N italic_M end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_note ltx_role_footnote" id="footnote3"><sup class="ltx_note_mark">3</sup><span class="ltx_note_outer"><span class="ltx_note_content"><sup class="ltx_note_mark">3</sup><span class="ltx_tag ltx_tag_note">3</span>Hereafter, we use the notation Toep(<math alttext="\cdot" class="ltx_Math" display="inline" id="footnote3.m1.1"><semantics id="footnote3.m1.1b"><mo id="footnote3.m1.1.1" xref="footnote3.m1.1.1.cmml">⋅</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="footnote3.m1.1c"><ci id="footnote3.m1.1.1.cmml" xref="footnote3.m1.1.1">⋅</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="footnote3.m1.1d">\cdot</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="footnote3.m1.1e">⋅</annotation></semantics></math>) to represent a two-fold Toeplitz matrix generated from the underlying matrix.</span></span></span> and <math alttext="\text{Toep}(\boldsymbol{T}^{g})\in\mathbb{C}^{N(M-1)\times N(M-1)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p2.12.m4.3"><semantics id="S3.SS1.p2.12.m4.3a"><mrow id="S3.SS1.p2.12.m4.3.3" xref="S3.SS1.p2.12.m4.3.3.cmml"><mrow id="S3.SS1.p2.12.m4.3.3.1" xref="S3.SS1.p2.12.m4.3.3.1.cmml"><mtext id="S3.SS1.p2.12.m4.3.3.1.3" xref="S3.SS1.p2.12.m4.3.3.1.3a.cmml">Toep</mtext><mo id="S3.SS1.p2.12.m4.3.3.1.2" xref="S3.SS1.p2.12.m4.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS1.p2.12.m4.3.3.1.1.1" xref="S3.SS1.p2.12.m4.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS1.p2.12.m4.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.p2.12.m4.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S3.SS1.p2.12.m4.3.3.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p2.12.m4.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.12.m4.3.3.1.1.1.1.2" xref="S3.SS1.p2.12.m4.3.3.1.1.1.1.2.cmml">𝑻</mi><mi id="S3.SS1.p2.12.m4.3.3.1.1.1.1.3" xref="S3.SS1.p2.12.m4.3.3.1.1.1.1.3.cmml">g</mi></msup><mo id="S3.SS1.p2.12.m4.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS1.p2.12.m4.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.SS1.p2.12.m4.3.3.2" xref="S3.SS1.p2.12.m4.3.3.2.cmml">∈</mo><msup id="S3.SS1.p2.12.m4.3.3.3" xref="S3.SS1.p2.12.m4.3.3.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.12.m4.3.3.3.2" xref="S3.SS1.p2.12.m4.3.3.3.2.cmml">ℂ</mi><mrow id="S3.SS1.p2.12.m4.2.2.2" xref="S3.SS1.p2.12.m4.2.2.2.cmml"><mrow id="S3.SS1.p2.12.m4.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p2.12.m4.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.SS1.p2.12.m4.1.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p2.12.m4.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.12.m4.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS1.p2.12.m4.1.1.1.1.1.3.cmml">N</mi><mo id="S3.SS1.p2.12.m4.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS1.p2.12.m4.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS1.p2.12.m4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p2.12.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS1.p2.12.m4.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.p2.12.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.SS1.p2.12.m4.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p2.12.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.12.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS1.p2.12.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">M</mi><mo id="S3.SS1.p2.12.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p2.12.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S3.SS1.p2.12.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS1.p2.12.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S3.SS1.p2.12.m4.1.1.1.1.1.1.1.3" rspace="0.055em" stretchy="false" xref="S3.SS1.p2.12.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.SS1.p2.12.m4.1.1.1.1.2" rspace="0.222em" xref="S3.SS1.p2.12.m4.1.1.1.1.2.cmml">×</mo><mi id="S3.SS1.p2.12.m4.1.1.1.1.3" xref="S3.SS1.p2.12.m4.1.1.1.1.3.cmml">N</mi></mrow><mo id="S3.SS1.p2.12.m4.2.2.2.3" xref="S3.SS1.p2.12.m4.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS1.p2.12.m4.2.2.2.2.1" xref="S3.SS1.p2.12.m4.2.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="S3.SS1.p2.12.m4.2.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.p2.12.m4.2.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.SS1.p2.12.m4.2.2.2.2.1.1" xref="S3.SS1.p2.12.m4.2.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.12.m4.2.2.2.2.1.1.2" xref="S3.SS1.p2.12.m4.2.2.2.2.1.1.2.cmml">M</mi><mo id="S3.SS1.p2.12.m4.2.2.2.2.1.1.1" xref="S3.SS1.p2.12.m4.2.2.2.2.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S3.SS1.p2.12.m4.2.2.2.2.1.1.3" xref="S3.SS1.p2.12.m4.2.2.2.2.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S3.SS1.p2.12.m4.2.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS1.p2.12.m4.2.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p2.12.m4.3b"><apply id="S3.SS1.p2.12.m4.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.12.m4.3.3"><in id="S3.SS1.p2.12.m4.3.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.12.m4.3.3.2"></in><apply id="S3.SS1.p2.12.m4.3.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.12.m4.3.3.1"><times id="S3.SS1.p2.12.m4.3.3.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.12.m4.3.3.1.2"></times><ci id="S3.SS1.p2.12.m4.3.3.1.3a.cmml" xref="S3.SS1.p2.12.m4.3.3.1.3"><mtext id="S3.SS1.p2.12.m4.3.3.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.12.m4.3.3.1.3">Toep</mtext></ci><apply id="S3.SS1.p2.12.m4.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.12.m4.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p2.12.m4.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.12.m4.3.3.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p2.12.m4.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.12.m4.3.3.1.1.1.1.2">𝑻</ci><ci id="S3.SS1.p2.12.m4.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.12.m4.3.3.1.1.1.1.3">𝑔</ci></apply></apply><apply id="S3.SS1.p2.12.m4.3.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.12.m4.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p2.12.m4.3.3.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.12.m4.3.3.3">superscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p2.12.m4.3.3.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.12.m4.3.3.3.2">ℂ</ci><apply id="S3.SS1.p2.12.m4.2.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.12.m4.2.2.2"><times id="S3.SS1.p2.12.m4.2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.12.m4.2.2.2.3"></times><apply id="S3.SS1.p2.12.m4.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.12.m4.1.1.1.1"><times id="S3.SS1.p2.12.m4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.12.m4.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.SS1.p2.12.m4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.12.m4.1.1.1.1.1"><times id="S3.SS1.p2.12.m4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.12.m4.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S3.SS1.p2.12.m4.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.12.m4.1.1.1.1.1.3">𝑁</ci><apply id="S3.SS1.p2.12.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.12.m4.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S3.SS1.p2.12.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.12.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S3.SS1.p2.12.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.12.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑀</ci><cn id="S3.SS1.p2.12.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.p2.12.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply></apply><ci id="S3.SS1.p2.12.m4.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.12.m4.1.1.1.1.3">𝑁</ci></apply><apply id="S3.SS1.p2.12.m4.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.12.m4.2.2.2.2.1"><minus id="S3.SS1.p2.12.m4.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.12.m4.2.2.2.2.1.1.1"></minus><ci id="S3.SS1.p2.12.m4.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.12.m4.2.2.2.2.1.1.2">𝑀</ci><cn id="S3.SS1.p2.12.m4.2.2.2.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.p2.12.m4.2.2.2.2.1.1.3">1</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p2.12.m4.3c">\text{Toep}(\boldsymbol{T}^{g})\in\mathbb{C}^{N(M-1)\times N(M-1)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p2.12.m4.3d">Toep ( bold_italic_T start_POSTSUPERSCRIPT italic_g end_POSTSUPERSCRIPT ) ∈ blackboard_C start_POSTSUPERSCRIPT italic_N ( italic_M - 1 ) × italic_N ( italic_M - 1 ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> are defined as</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_table" id="S3.E15"> <tbody> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S3.E15X"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\text{Toep}(\boldsymbol{T})=\begin{bmatrix}\boldsymbol{T}_{0}&% \boldsymbol{T}_{-1}&\cdots&\boldsymbol{T}_{-(N-1)}\\ \boldsymbol{T}_{1}&\boldsymbol{T}_{0}&\cdots&\boldsymbol{T}_{-(N-2)}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \boldsymbol{T}_{N-1}&\boldsymbol{T}_{N-2}&\cdots&\boldsymbol{T}_{0}\end{% bmatrix}," class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E15X.2.1.1.m1.2"><semantics id="S3.E15X.2.1.1.m1.2a"><mrow id="S3.E15X.2.1.1.m1.2.2.1" xref="S3.E15X.2.1.1.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S3.E15X.2.1.1.m1.2.2.1.1" xref="S3.E15X.2.1.1.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S3.E15X.2.1.1.m1.2.2.1.1.2" xref="S3.E15X.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.cmml"><mtext id="S3.E15X.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.2" xref="S3.E15X.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.2a.cmml">Toep</mtext><mo id="S3.E15X.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.1" xref="S3.E15X.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E15X.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.3.2" xref="S3.E15X.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E15X.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E15X.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.E15X.2.1.1.m1.1.1" xref="S3.E15X.2.1.1.m1.1.1.cmml">𝑻</mi><mo id="S3.E15X.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.E15X.2.1.1.m1.2.2.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E15X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1" xref="S3.E15X.2.1.1.m1.2.2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1a.3" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1a.2.cmml"><mo id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1a.3.1" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1a.2.1.cmml">[</mo><mtable columnspacing="5pt" id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf" rowspacing="0pt" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.cmml"><mtr id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mfa" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.cmml"><mtd id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mfb" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.cmml"><msub id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.2.1" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.2.1.cmml"><mi id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.2.1.2" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.2.1.2.cmml">𝑻</mi><mn id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.2.1.3" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.2.1.3.cmml">0</mn></msub></mtd><mtd id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mfc" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.cmml"><msub id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.3.1" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.3.1.cmml"><mi id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.3.1.2" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.3.1.2.cmml">𝑻</mi><mrow id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.3.1.3" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.3.1.3.cmml"><mo id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.3.1.3a" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.3.1.3.cmml">−</mo><mn id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.3.1.3.2" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.3.1.3.2.cmml">1</mn></mrow></msub></mtd><mtd id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mfd" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.cmml"><mi id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.4.1" mathvariant="normal" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.4.1.cmml">⋯</mi></mtd><mtd id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mfe" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.cmml"><msub id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.1.1" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.1.1.3" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.1.1.3.cmml">𝑻</mi><mrow id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.1.1.1.1a" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">N</mi><mo id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msub></mtd></mtr><mtr id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mff" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.cmml"><mtd id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mfg" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.cmml"><msub id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.2.2.1" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.2.2.1.cmml"><mi id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.2.2.1.2" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.2.2.1.2.cmml">𝑻</mi><mn id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.2.2.1.3" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.2.2.1.3.cmml">1</mn></msub></mtd><mtd id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mfh" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.cmml"><msub id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.2.3.1" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.2.3.1.cmml"><mi id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.2.3.1.2" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.2.3.1.2.cmml">𝑻</mi><mn id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.2.3.1.3" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.2.3.1.3.cmml">0</mn></msub></mtd><mtd id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mfi" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.cmml"><mi id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.2.4.1" mathvariant="normal" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.2.4.1.cmml">⋯</mi></mtd><mtd id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mfj" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.cmml"><msub id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.2.1.1" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.2.1.1.cmml"><mi id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.2.1.1.3" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.2.1.1.3.cmml">𝑻</mi><mrow id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.2.1.1.1.1" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.2.1.1.1.1a" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.2.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">N</mi><mo id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><mo id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.2.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msub></mtd></mtr><mtr id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mfk" 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xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.cmml"><msub id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.4.1.1" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.4.1.1.cmml"><mi id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.4.1.1.2" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.4.1.1.2.cmml">𝑻</mi><mrow id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.4.1.1.3" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.4.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.4.1.1.3.2" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.4.1.1.3.2.cmml">N</mi><mo id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.4.1.1.3.1" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.4.1.1.3.1.cmml">−</mo><mn id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.4.1.1.3.3" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.4.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub></mtd><mtd id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mfr" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.cmml"><msub id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.4.2.1" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.4.2.1.cmml"><mi id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.4.2.1.2" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.4.2.1.2.cmml">𝑻</mi><mrow id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.4.2.1.3" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.4.2.1.3.cmml"><mi id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.4.2.1.3.2" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.4.2.1.3.2.cmml">N</mi><mo id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.4.2.1.3.1" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.4.2.1.3.1.cmml">−</mo><mn id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.4.2.1.3.3" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.4.2.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></msub></mtd><mtd id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mfs" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.cmml"><mi id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.4.3.1" mathvariant="normal" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.4.3.1.cmml">⋯</mi></mtd><mtd id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mft" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.cmml"><msub id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.4.4.1" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.4.4.1.cmml"><mi id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.4.4.1.2" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.4.4.1.2.cmml">𝑻</mi><mn id="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.4.4.1.3" xref="S3.E15.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.4.4.1.3.cmml">0</mn></msub></mtd></mtr></mtable><mo 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\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \boldsymbol{T}_{N-1}&\boldsymbol{T}_{N-2}&\cdots&\boldsymbol{T}_{0}\end{% bmatrix},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E15X.2.1.1.m1.2d">Toep ( bold_italic_T ) = [ start_ARG start_ROW start_CELL bold_italic_T start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL bold_italic_T start_POSTSUBSCRIPT - 1 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL ⋯ end_CELL start_CELL bold_italic_T start_POSTSUBSCRIPT - ( italic_N - 1 ) end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL bold_italic_T start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL bold_italic_T start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL ⋯ end_CELL start_CELL bold_italic_T start_POSTSUBSCRIPT - ( italic_N - 2 ) end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL ⋮ end_CELL start_CELL ⋮ end_CELL start_CELL ⋱ end_CELL start_CELL ⋮ end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL bold_italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_N - 1 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL bold_italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_N - 2 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL ⋯ end_CELL start_CELL bold_italic_T start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW end_ARG ] ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="2"><span class="ltx_tag ltx_tag_equationgroup ltx_align_right">(15)</span></td> </tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S3.E15Xa"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\text{Toep}(\boldsymbol{T}^{g})=\begin{bmatrix}\boldsymbol{T}_{0}% ^{g}&\boldsymbol{T}_{-1}^{g}&\cdots&\boldsymbol{T}_{-(N-1)}^{g}\\ \boldsymbol{T}_{1}^{g}&\boldsymbol{T}_{0}^{g}&\cdots&\boldsymbol{T}_{-(N-2)}^{% g}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \boldsymbol{T}_{N-1}^{g}&\boldsymbol{T}_{N-2}^{g}&\cdots&\boldsymbol{T}_{0}^{g% }\end{bmatrix}," class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E15Xa.2.1.1.m1.1"><semantics id="S3.E15Xa.2.1.1.m1.1a"><mrow id="S3.E15Xa.2.1.1.m1.1.1.1" xref="S3.E15Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E15Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1" xref="S3.E15Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E15Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.E15Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mtext id="S3.E15Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E15Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.3a.cmml">Toep</mtext><mo id="S3.E15Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E15Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E15Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E15Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E15Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E15Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S3.E15Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E15Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E15Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E15Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝑻</mi><mi id="S3.E15Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E15Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">g</mi></msup><mo id="S3.E15Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E15Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E15Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.E15Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1a.3" xref="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1a.2.cmml"><mo id="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1a.3.1" xref="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1a.2.1.cmml">[</mo><mtable columnspacing="5pt" id="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf" rowspacing="0pt" xref="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.cmml"><mtr id="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mfa" xref="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.cmml"><mtd id="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mfb" xref="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.cmml"><msubsup id="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.1.1.2.1" xref="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.1.1.2.1.cmml"><mi id="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.1.1.2.1.2.2" xref="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.1.1.2.1.2.2.cmml">𝑻</mi><mn id="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.1.1.2.1.2.3" xref="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.1.1.2.1.2.3.cmml">0</mn><mi id="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.1.1.2.1.3" xref="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.1.1.2.1.3.cmml">g</mi></msubsup></mtd><mtd id="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mfc" xref="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.cmml"><msubsup id="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.1.1.3.1" xref="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.1.1.3.1.cmml"><mi id="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.1.1.3.1.2.2" xref="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.1.1.3.1.2.2.cmml">𝑻</mi><mrow id="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.1.1.3.1.2.3" xref="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.1.1.3.1.2.3.cmml"><mo id="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.1.1.3.1.2.3a" xref="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.1.1.3.1.2.3.cmml">−</mo><mn id="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.1.1.3.1.2.3.2" xref="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.1.1.3.1.2.3.2.cmml">1</mn></mrow><mi id="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.1.1.3.1.3" xref="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.1.1.3.1.3.cmml">g</mi></msubsup></mtd><mtd id="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mfd" xref="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.cmml"><mi id="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.1.1.4.1" mathvariant="normal" xref="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.1.1.4.1.cmml">⋯</mi></mtd><mtd id="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mfe" xref="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.cmml"><msubsup id="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.1.1.1.1" xref="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.1.1.1.1.3.2.cmml">𝑻</mi><mrow id="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.1.1.1.1.1.1a" xref="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">N</mi><mo id="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mi id="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.1.1.1.1.4" xref="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.1.1.1.1.4.cmml">g</mi></msubsup></mtd></mtr><mtr id="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mff" xref="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.cmml"><mtd id="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mfg" xref="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.cmml"><msubsup id="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.2.2.2.1" xref="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.2.2.2.1.cmml"><mi id="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.2.2.2.1.2.2" xref="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.2.2.2.1.2.2.cmml">𝑻</mi><mn id="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.2.2.2.1.2.3" xref="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.2.2.2.1.2.3.cmml">1</mn><mi id="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.2.2.2.1.3" xref="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.2.2.2.1.3.cmml">g</mi></msubsup></mtd><mtd id="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mfh" xref="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.cmml"><msubsup id="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.2.2.3.1" xref="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.2.2.3.1.cmml"><mi id="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.2.2.3.1.2.2" xref="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.2.2.3.1.2.2.cmml">𝑻</mi><mn id="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.2.2.3.1.2.3" xref="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.2.2.3.1.2.3.cmml">0</mn><mi id="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.2.2.3.1.3" xref="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.2.2.3.1.3.cmml">g</mi></msubsup></mtd><mtd id="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mfi" xref="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.cmml"><mi id="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.2.2.4.1" mathvariant="normal" xref="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.2.2.4.1.cmml">⋯</mi></mtd><mtd id="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mfj" xref="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.cmml"><msubsup id="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.2.2.1.1" xref="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.2.2.1.1.cmml"><mi id="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.2.2.1.1.3.2" xref="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.2.2.1.1.3.2.cmml">𝑻</mi><mrow id="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.2.2.1.1.1.1" xref="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.2.2.1.1.1.1a" xref="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.2.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.2.2.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">N</mi><mo id="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><mo id="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.2.2.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mi id="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.2.2.1.1.4" xref="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.2.2.1.1.4.cmml">g</mi></msubsup></mtd></mtr><mtr id="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mfk" xref="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.cmml"><mtd id="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mfl" xref="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.cmml"><mi id="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.3.1.1" mathvariant="normal" xref="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.3.1.1.cmml">⋮</mi></mtd><mtd id="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mfm" xref="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.cmml"><mi id="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.3.2.1" mathvariant="normal" xref="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.3.2.1.cmml">⋮</mi></mtd><mtd id="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mfn" xref="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.cmml"><mi id="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.3.3.1" mathvariant="normal" xref="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.3.3.1.cmml">⋱</mi></mtd><mtd id="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mfo" xref="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.cmml"><mi id="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.3.4.1" mathvariant="normal" xref="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.3.4.1.cmml">⋮</mi></mtd></mtr><mtr id="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mfp" xref="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.cmml"><mtd id="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mfq" xref="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.cmml"><msubsup id="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.4.1.1" xref="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.4.1.1.cmml"><mi id="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.4.1.1.2.2" xref="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.4.1.1.2.2.cmml">𝑻</mi><mrow id="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.4.1.1.2.3" xref="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.4.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.4.1.1.2.3.2" xref="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.4.1.1.2.3.2.cmml">N</mi><mo id="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.4.1.1.2.3.1" xref="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.4.1.1.2.3.1.cmml">−</mo><mn id="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.4.1.1.2.3.3" xref="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.4.1.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.4.1.1.3" xref="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.4.1.1.3.cmml">g</mi></msubsup></mtd><mtd id="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mfr" xref="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.cmml"><msubsup id="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.4.2.1" xref="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.4.2.1.cmml"><mi id="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.4.2.1.2.2" xref="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.4.2.1.2.2.cmml">𝑻</mi><mrow id="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.4.2.1.2.3" xref="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.4.2.1.2.3.cmml"><mi 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cd="ambiguous" id="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.4.4.1.2.1.cmml" xref="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.4.4.1">subscript</csymbol><ci id="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.4.4.1.2.2.cmml" xref="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.4.4.1.2.2">𝑻</ci><cn id="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.4.4.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.4.4.1.2.3">0</cn></apply><ci id="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.4.4.1.3.cmml" xref="S3.E15.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.mf.4.4.1.3">𝑔</ci></apply></matrixrow></matrix></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E15Xa.2.1.1.m1.1c">\displaystyle\text{Toep}(\boldsymbol{T}^{g})=\begin{bmatrix}\boldsymbol{T}_{0}% ^{g}&\boldsymbol{T}_{-1}^{g}&\cdots&\boldsymbol{T}_{-(N-1)}^{g}\\ \boldsymbol{T}_{1}^{g}&\boldsymbol{T}_{0}^{g}&\cdots&\boldsymbol{T}_{-(N-2)}^{% g}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \boldsymbol{T}_{N-1}^{g}&\boldsymbol{T}_{N-2}^{g}&\cdots&\boldsymbol{T}_{0}^{g% }\end{bmatrix},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E15Xa.2.1.1.m1.1d">Toep ( bold_italic_T start_POSTSUPERSCRIPT italic_g end_POSTSUPERSCRIPT ) = [ start_ARG start_ROW start_CELL bold_italic_T start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_g end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL start_CELL bold_italic_T start_POSTSUBSCRIPT - 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_g end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL start_CELL ⋯ end_CELL start_CELL bold_italic_T start_POSTSUBSCRIPT - ( italic_N - 1 ) end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_g end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL bold_italic_T start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_g end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL start_CELL bold_italic_T start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_g end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL start_CELL ⋯ end_CELL start_CELL bold_italic_T start_POSTSUBSCRIPT - ( italic_N - 2 ) end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_g end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL ⋮ end_CELL start_CELL ⋮ end_CELL start_CELL ⋱ end_CELL start_CELL ⋮ end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL bold_italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_N - 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_g end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL start_CELL bold_italic_T start_POSTSUBSCRIPT italic_N - 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_g end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL start_CELL ⋯ end_CELL start_CELL bold_italic_T start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_g end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL end_ROW end_ARG ] ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr> </tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.p2.20">where each <math alttext="\boldsymbol{T}_{\ell}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p2.13.m1.1"><semantics id="S3.SS1.p2.13.m1.1a"><msub id="S3.SS1.p2.13.m1.1.1" xref="S3.SS1.p2.13.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.13.m1.1.1.2" xref="S3.SS1.p2.13.m1.1.1.2.cmml">𝑻</mi><mi id="S3.SS1.p2.13.m1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.SS1.p2.13.m1.1.1.3.cmml">ℓ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p2.13.m1.1b"><apply id="S3.SS1.p2.13.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.13.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p2.13.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.13.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p2.13.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.13.m1.1.1.2">𝑻</ci><ci id="S3.SS1.p2.13.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.13.m1.1.1.3">ℓ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p2.13.m1.1c">\boldsymbol{T}_{\ell}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p2.13.m1.1d">bold_italic_T start_POSTSUBSCRIPT roman_ℓ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> in <math alttext="\text{Toep}(\boldsymbol{T})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p2.14.m2.1"><semantics id="S3.SS1.p2.14.m2.1a"><mrow id="S3.SS1.p2.14.m2.1.2" 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encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p2.14.m2.1c">\text{Toep}(\boldsymbol{T})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p2.14.m2.1d">Toep ( bold_italic_T )</annotation></semantics></math> is an <math alttext="M\times M" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p2.15.m3.1"><semantics id="S3.SS1.p2.15.m3.1a"><mrow id="S3.SS1.p2.15.m3.1.1" xref="S3.SS1.p2.15.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.15.m3.1.1.2" xref="S3.SS1.p2.15.m3.1.1.2.cmml">M</mi><mo id="S3.SS1.p2.15.m3.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S3.SS1.p2.15.m3.1.1.1.cmml">×</mo><mi id="S3.SS1.p2.15.m3.1.1.3" xref="S3.SS1.p2.15.m3.1.1.3.cmml">M</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p2.15.m3.1b"><apply id="S3.SS1.p2.15.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.15.m3.1.1"><times id="S3.SS1.p2.15.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.15.m3.1.1.1"></times><ci id="S3.SS1.p2.15.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.15.m3.1.1.2">𝑀</ci><ci id="S3.SS1.p2.15.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.15.m3.1.1.3">𝑀</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p2.15.m3.1c">M\times M</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p2.15.m3.1d">italic_M × italic_M</annotation></semantics></math> Toeplitz matrix formed by the <math alttext="\ell" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p2.16.m4.1"><semantics id="S3.SS1.p2.16.m4.1a"><mi id="S3.SS1.p2.16.m4.1.1" mathvariant="normal" xref="S3.SS1.p2.16.m4.1.1.cmml">ℓ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p2.16.m4.1b"><ci id="S3.SS1.p2.16.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.16.m4.1.1">ℓ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p2.16.m4.1c">\ell</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p2.16.m4.1d">roman_ℓ</annotation></semantics></math>th row of <math alttext="\boldsymbol{T}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p2.17.m5.1"><semantics id="S3.SS1.p2.17.m5.1a"><mi id="S3.SS1.p2.17.m5.1.1" xref="S3.SS1.p2.17.m5.1.1.cmml">𝑻</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p2.17.m5.1b"><ci id="S3.SS1.p2.17.m5.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.17.m5.1.1">𝑻</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p2.17.m5.1c">\boldsymbol{T}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p2.17.m5.1d">bold_italic_T</annotation></semantics></math> with <math alttext="\boldsymbol{T}_{\ell}[i,j]=\boldsymbol{T}[\ell,i-j],~{}0\leq i,j\leq M-1" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p2.18.m6.5"><semantics id="S3.SS1.p2.18.m6.5a"><mrow id="S3.SS1.p2.18.m6.5.5.2" xref="S3.SS1.p2.18.m6.5.5.3.cmml"><mrow id="S3.SS1.p2.18.m6.4.4.1.1" xref="S3.SS1.p2.18.m6.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S3.SS1.p2.18.m6.4.4.1.1.3" xref="S3.SS1.p2.18.m6.4.4.1.1.3.cmml"><msub id="S3.SS1.p2.18.m6.4.4.1.1.3.2" xref="S3.SS1.p2.18.m6.4.4.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.18.m6.4.4.1.1.3.2.2" xref="S3.SS1.p2.18.m6.4.4.1.1.3.2.2.cmml">𝑻</mi><mi id="S3.SS1.p2.18.m6.4.4.1.1.3.2.3" mathvariant="normal" xref="S3.SS1.p2.18.m6.4.4.1.1.3.2.3.cmml">ℓ</mi></msub><mo id="S3.SS1.p2.18.m6.4.4.1.1.3.1" xref="S3.SS1.p2.18.m6.4.4.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS1.p2.18.m6.4.4.1.1.3.3.2" xref="S3.SS1.p2.18.m6.4.4.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="S3.SS1.p2.18.m6.4.4.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS1.p2.18.m6.4.4.1.1.3.3.1.cmml">[</mo><mi id="S3.SS1.p2.18.m6.1.1" xref="S3.SS1.p2.18.m6.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.SS1.p2.18.m6.4.4.1.1.3.3.2.2" xref="S3.SS1.p2.18.m6.4.4.1.1.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS1.p2.18.m6.2.2" xref="S3.SS1.p2.18.m6.2.2.cmml">j</mi><mo id="S3.SS1.p2.18.m6.4.4.1.1.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.SS1.p2.18.m6.4.4.1.1.3.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S3.SS1.p2.18.m6.4.4.1.1.2" xref="S3.SS1.p2.18.m6.4.4.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS1.p2.18.m6.4.4.1.1.1" xref="S3.SS1.p2.18.m6.4.4.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.18.m6.4.4.1.1.1.3" xref="S3.SS1.p2.18.m6.4.4.1.1.1.3.cmml">𝑻</mi><mo id="S3.SS1.p2.18.m6.4.4.1.1.1.2" xref="S3.SS1.p2.18.m6.4.4.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS1.p2.18.m6.4.4.1.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p2.18.m6.4.4.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.SS1.p2.18.m6.4.4.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.p2.18.m6.4.4.1.1.1.1.2.cmml">[</mo><mi id="S3.SS1.p2.18.m6.3.3" mathvariant="normal" xref="S3.SS1.p2.18.m6.3.3.cmml">ℓ</mi><mo id="S3.SS1.p2.18.m6.4.4.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS1.p2.18.m6.4.4.1.1.1.1.2.cmml">,</mo><mrow id="S3.SS1.p2.18.m6.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p2.18.m6.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.18.m6.4.4.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS1.p2.18.m6.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="S3.SS1.p2.18.m6.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p2.18.m6.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S3.SS1.p2.18.m6.4.4.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS1.p2.18.m6.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml">j</mi></mrow><mo id="S3.SS1.p2.18.m6.4.4.1.1.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.SS1.p2.18.m6.4.4.1.1.1.1.2.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.SS1.p2.18.m6.5.5.2.3" rspace="0.497em" xref="S3.SS1.p2.18.m6.5.5.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.SS1.p2.18.m6.5.5.2.2.2" xref="S3.SS1.p2.18.m6.5.5.2.2.3.cmml"><mrow id="S3.SS1.p2.18.m6.5.5.2.2.1.1" xref="S3.SS1.p2.18.m6.5.5.2.2.1.1.cmml"><mn id="S3.SS1.p2.18.m6.5.5.2.2.1.1.2" xref="S3.SS1.p2.18.m6.5.5.2.2.1.1.2.cmml">0</mn><mo id="S3.SS1.p2.18.m6.5.5.2.2.1.1.1" xref="S3.SS1.p2.18.m6.5.5.2.2.1.1.1.cmml">≤</mo><mi id="S3.SS1.p2.18.m6.5.5.2.2.1.1.3" xref="S3.SS1.p2.18.m6.5.5.2.2.1.1.3.cmml">i</mi></mrow><mo id="S3.SS1.p2.18.m6.5.5.2.2.2.3" xref="S3.SS1.p2.18.m6.5.5.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.SS1.p2.18.m6.5.5.2.2.2.2" xref="S3.SS1.p2.18.m6.5.5.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.18.m6.5.5.2.2.2.2.2" xref="S3.SS1.p2.18.m6.5.5.2.2.2.2.2.cmml">j</mi><mo id="S3.SS1.p2.18.m6.5.5.2.2.2.2.1" xref="S3.SS1.p2.18.m6.5.5.2.2.2.2.1.cmml">≤</mo><mrow id="S3.SS1.p2.18.m6.5.5.2.2.2.2.3" xref="S3.SS1.p2.18.m6.5.5.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.18.m6.5.5.2.2.2.2.3.2" xref="S3.SS1.p2.18.m6.5.5.2.2.2.2.3.2.cmml">M</mi><mo id="S3.SS1.p2.18.m6.5.5.2.2.2.2.3.1" xref="S3.SS1.p2.18.m6.5.5.2.2.2.2.3.1.cmml">−</mo><mn id="S3.SS1.p2.18.m6.5.5.2.2.2.2.3.3" xref="S3.SS1.p2.18.m6.5.5.2.2.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p2.18.m6.5b"><apply id="S3.SS1.p2.18.m6.5.5.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.18.m6.5.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p2.18.m6.5.5.3a.cmml" xref="S3.SS1.p2.18.m6.5.5.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.SS1.p2.18.m6.4.4.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.18.m6.4.4.1.1"><eq id="S3.SS1.p2.18.m6.4.4.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.18.m6.4.4.1.1.2"></eq><apply id="S3.SS1.p2.18.m6.4.4.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.18.m6.4.4.1.1.3"><times id="S3.SS1.p2.18.m6.4.4.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.18.m6.4.4.1.1.3.1"></times><apply id="S3.SS1.p2.18.m6.4.4.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.18.m6.4.4.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p2.18.m6.4.4.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.18.m6.4.4.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p2.18.m6.4.4.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.18.m6.4.4.1.1.3.2.2">𝑻</ci><ci id="S3.SS1.p2.18.m6.4.4.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.18.m6.4.4.1.1.3.2.3">ℓ</ci></apply><interval closure="closed" id="S3.SS1.p2.18.m6.4.4.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.18.m6.4.4.1.1.3.3.2"><ci id="S3.SS1.p2.18.m6.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.18.m6.1.1">𝑖</ci><ci id="S3.SS1.p2.18.m6.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.18.m6.2.2">𝑗</ci></interval></apply><apply id="S3.SS1.p2.18.m6.4.4.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.18.m6.4.4.1.1.1"><times id="S3.SS1.p2.18.m6.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.18.m6.4.4.1.1.1.2"></times><ci id="S3.SS1.p2.18.m6.4.4.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.18.m6.4.4.1.1.1.3">𝑻</ci><interval closure="closed" id="S3.SS1.p2.18.m6.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.18.m6.4.4.1.1.1.1.1"><ci id="S3.SS1.p2.18.m6.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.18.m6.3.3">ℓ</ci><apply id="S3.SS1.p2.18.m6.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.18.m6.4.4.1.1.1.1.1.1"><minus id="S3.SS1.p2.18.m6.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.18.m6.4.4.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S3.SS1.p2.18.m6.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.18.m6.4.4.1.1.1.1.1.1.2">𝑖</ci><ci id="S3.SS1.p2.18.m6.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.18.m6.4.4.1.1.1.1.1.1.3">𝑗</ci></apply></interval></apply></apply><apply id="S3.SS1.p2.18.m6.5.5.2.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.18.m6.5.5.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p2.18.m6.5.5.2.2.3a.cmml" xref="S3.SS1.p2.18.m6.5.5.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.SS1.p2.18.m6.5.5.2.2.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.18.m6.5.5.2.2.1.1"><leq id="S3.SS1.p2.18.m6.5.5.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.18.m6.5.5.2.2.1.1.1"></leq><cn id="S3.SS1.p2.18.m6.5.5.2.2.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.p2.18.m6.5.5.2.2.1.1.2">0</cn><ci id="S3.SS1.p2.18.m6.5.5.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.18.m6.5.5.2.2.1.1.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.SS1.p2.18.m6.5.5.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.18.m6.5.5.2.2.2.2"><leq id="S3.SS1.p2.18.m6.5.5.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.18.m6.5.5.2.2.2.2.1"></leq><ci id="S3.SS1.p2.18.m6.5.5.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.18.m6.5.5.2.2.2.2.2">𝑗</ci><apply id="S3.SS1.p2.18.m6.5.5.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.18.m6.5.5.2.2.2.2.3"><minus id="S3.SS1.p2.18.m6.5.5.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.18.m6.5.5.2.2.2.2.3.1"></minus><ci id="S3.SS1.p2.18.m6.5.5.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.18.m6.5.5.2.2.2.2.3.2">𝑀</ci><cn id="S3.SS1.p2.18.m6.5.5.2.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.p2.18.m6.5.5.2.2.2.2.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p2.18.m6.5c">\boldsymbol{T}_{\ell}[i,j]=\boldsymbol{T}[\ell,i-j],~{}0\leq i,j\leq M-1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p2.18.m6.5d">bold_italic_T start_POSTSUBSCRIPT roman_ℓ end_POSTSUBSCRIPT [ italic_i , italic_j ] = bold_italic_T [ roman_ℓ , italic_i - italic_j ] , 0 ≤ italic_i , italic_j ≤ italic_M - 1</annotation></semantics></math>, and <math alttext="\boldsymbol{T}_{\ell}^{g}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p2.19.m7.1"><semantics id="S3.SS1.p2.19.m7.1a"><msubsup id="S3.SS1.p2.19.m7.1.1" xref="S3.SS1.p2.19.m7.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.19.m7.1.1.2.2" xref="S3.SS1.p2.19.m7.1.1.2.2.cmml">𝑻</mi><mi id="S3.SS1.p2.19.m7.1.1.2.3" mathvariant="normal" xref="S3.SS1.p2.19.m7.1.1.2.3.cmml">ℓ</mi><mi id="S3.SS1.p2.19.m7.1.1.3" xref="S3.SS1.p2.19.m7.1.1.3.cmml">g</mi></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p2.19.m7.1b"><apply id="S3.SS1.p2.19.m7.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.19.m7.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p2.19.m7.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.19.m7.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.SS1.p2.19.m7.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.19.m7.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p2.19.m7.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.19.m7.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p2.19.m7.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.19.m7.1.1.2.2">𝑻</ci><ci id="S3.SS1.p2.19.m7.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.19.m7.1.1.2.3">ℓ</ci></apply><ci id="S3.SS1.p2.19.m7.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.19.m7.1.1.3">𝑔</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p2.19.m7.1c">\boldsymbol{T}_{\ell}^{g}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p2.19.m7.1d">bold_italic_T start_POSTSUBSCRIPT roman_ℓ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_g end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, is an <math alttext="(M-1)\times(M-1)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p2.20.m8.2"><semantics id="S3.SS1.p2.20.m8.2a"><mrow id="S3.SS1.p2.20.m8.2.2" xref="S3.SS1.p2.20.m8.2.2.cmml"><mrow id="S3.SS1.p2.20.m8.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p2.20.m8.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS1.p2.20.m8.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.p2.20.m8.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.SS1.p2.20.m8.1.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p2.20.m8.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.20.m8.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS1.p2.20.m8.1.1.1.1.1.2.cmml">M</mi><mo id="S3.SS1.p2.20.m8.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p2.20.m8.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S3.SS1.p2.20.m8.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS1.p2.20.m8.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S3.SS1.p2.20.m8.1.1.1.1.3" rspace="0.055em" stretchy="false" xref="S3.SS1.p2.20.m8.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.SS1.p2.20.m8.2.2.3" rspace="0.222em" xref="S3.SS1.p2.20.m8.2.2.3.cmml">×</mo><mrow id="S3.SS1.p2.20.m8.2.2.2.1" xref="S3.SS1.p2.20.m8.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="S3.SS1.p2.20.m8.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.p2.20.m8.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.SS1.p2.20.m8.2.2.2.1.1" xref="S3.SS1.p2.20.m8.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.20.m8.2.2.2.1.1.2" xref="S3.SS1.p2.20.m8.2.2.2.1.1.2.cmml">M</mi><mo id="S3.SS1.p2.20.m8.2.2.2.1.1.1" xref="S3.SS1.p2.20.m8.2.2.2.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S3.SS1.p2.20.m8.2.2.2.1.1.3" xref="S3.SS1.p2.20.m8.2.2.2.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S3.SS1.p2.20.m8.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS1.p2.20.m8.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p2.20.m8.2b"><apply id="S3.SS1.p2.20.m8.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.20.m8.2.2"><times id="S3.SS1.p2.20.m8.2.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.20.m8.2.2.3"></times><apply id="S3.SS1.p2.20.m8.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.20.m8.1.1.1.1"><minus id="S3.SS1.p2.20.m8.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.20.m8.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S3.SS1.p2.20.m8.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.20.m8.1.1.1.1.1.2">𝑀</ci><cn id="S3.SS1.p2.20.m8.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.p2.20.m8.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S3.SS1.p2.20.m8.2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.20.m8.2.2.2.1"><minus id="S3.SS1.p2.20.m8.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.20.m8.2.2.2.1.1.1"></minus><ci id="S3.SS1.p2.20.m8.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.20.m8.2.2.2.1.1.2">𝑀</ci><cn id="S3.SS1.p2.20.m8.2.2.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.p2.20.m8.2.2.2.1.1.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p2.20.m8.2c">(M-1)\times(M-1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p2.20.m8.2d">( italic_M - 1 ) × ( italic_M - 1 )</annotation></semantics></math> Toeplitz matrix with each entry</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E16"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\boldsymbol{T}_{\ell}^{g}[i^{\prime},j^{\prime}]=r_{1}\boldsymbol{T}[\ell,i^{% \prime}-j^{\prime}+1]+r_{0}\boldsymbol{T}[\ell,i^{\prime}-j^{\prime}]+r_{-1}% \boldsymbol{T}[\ell,i^{\prime}-j^{\prime}-1]," class="ltx_Math" display="block" id="S3.E16.m1.4"><semantics id="S3.E16.m1.4a"><mrow id="S3.E16.m1.4.4.1" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S3.E16.m1.4.4.1.1" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S3.E16.m1.4.4.1.1.2" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.cmml"><msubsup id="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.4" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.4.cmml"><mi id="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.4.2.2" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.4.2.2.cmml">𝑻</mi><mi id="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.4.2.3" mathvariant="normal" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.4.2.3.cmml">ℓ</mi><mi id="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.4.3" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.4.3.cmml">g</mi></msubsup><mo id="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.3" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.2.2" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.2.3.cmml">[</mo><msup id="S3.E16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="S3.E16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.2.2.4" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.2.3.cmml">,</mo><msup id="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.2.2.2" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2.cmml">j</mi><mo id="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.2.3.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E16.m1.4.4.1.1.6" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.6.cmml">=</mo><mrow id="S3.E16.m1.4.4.1.1.5" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.5.cmml"><mrow id="S3.E16.m1.4.4.1.1.3.1" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.3.1.cmml"><msub id="S3.E16.m1.4.4.1.1.3.1.3" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.3.1.3.cmml"><mi id="S3.E16.m1.4.4.1.1.3.1.3.2" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.3.1.3.2.cmml">r</mi><mn id="S3.E16.m1.4.4.1.1.3.1.3.3" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.3.1.3.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.E16.m1.4.4.1.1.3.1.2" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.3.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E16.m1.4.4.1.1.3.1.4" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.3.1.4.cmml">𝑻</mi><mo id="S3.E16.m1.4.4.1.1.3.1.2a" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E16.m1.4.4.1.1.3.1.1.1" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.3.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E16.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.3.1.1.2.cmml">[</mo><mi id="S3.E16.m1.1.1" mathvariant="normal" xref="S3.E16.m1.1.1.cmml">ℓ</mi><mo id="S3.E16.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.3" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.3.1.1.2.cmml">,</mo><mrow id="S3.E16.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.1" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E16.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.1.2" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.1.2.cmml"><msup id="S3.E16.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.E16.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.1.2.2.2.cmml">i</mi><mo id="S3.E16.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.1.2.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.E16.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.1.2.1" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.1.2.1.cmml">−</mo><msup id="S3.E16.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.E16.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.1.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.E16.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.1.2.3.3.cmml">′</mo></msup></mrow><mo id="S3.E16.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.1.1" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mn id="S3.E16.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.1.3" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S3.E16.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.3.1.1.2.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E16.m1.4.4.1.1.5.4" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.5.4.cmml">+</mo><mrow id="S3.E16.m1.4.4.1.1.4.2" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.4.2.cmml"><msub id="S3.E16.m1.4.4.1.1.4.2.3" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.4.2.3.cmml"><mi id="S3.E16.m1.4.4.1.1.4.2.3.2" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.4.2.3.2.cmml">r</mi><mn id="S3.E16.m1.4.4.1.1.4.2.3.3" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.4.2.3.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.E16.m1.4.4.1.1.4.2.2" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.4.2.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E16.m1.4.4.1.1.4.2.4" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.4.2.4.cmml">𝑻</mi><mo id="S3.E16.m1.4.4.1.1.4.2.2a" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.4.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E16.m1.4.4.1.1.4.2.1.1" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.4.2.1.2.cmml"><mo id="S3.E16.m1.4.4.1.1.4.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.4.2.1.2.cmml">[</mo><mi id="S3.E16.m1.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.E16.m1.2.2.cmml">ℓ</mi><mo id="S3.E16.m1.4.4.1.1.4.2.1.1.3" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.4.2.1.2.cmml">,</mo><mrow id="S3.E16.m1.4.4.1.1.4.2.1.1.1" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.4.2.1.1.1.cmml"><msup id="S3.E16.m1.4.4.1.1.4.2.1.1.1.2" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.4.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E16.m1.4.4.1.1.4.2.1.1.1.2.2" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.4.2.1.1.1.2.2.cmml">i</mi><mo id="S3.E16.m1.4.4.1.1.4.2.1.1.1.2.3" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.4.2.1.1.1.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.E16.m1.4.4.1.1.4.2.1.1.1.1" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.4.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><msup id="S3.E16.m1.4.4.1.1.4.2.1.1.1.3" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.4.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E16.m1.4.4.1.1.4.2.1.1.1.3.2" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.4.2.1.1.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.E16.m1.4.4.1.1.4.2.1.1.1.3.3" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.4.2.1.1.1.3.3.cmml">′</mo></msup></mrow><mo id="S3.E16.m1.4.4.1.1.4.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.4.2.1.2.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E16.m1.4.4.1.1.5.4a" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.5.4.cmml">+</mo><mrow id="S3.E16.m1.4.4.1.1.5.3" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.5.3.cmml"><msub id="S3.E16.m1.4.4.1.1.5.3.3" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.5.3.3.cmml"><mi id="S3.E16.m1.4.4.1.1.5.3.3.2" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.5.3.3.2.cmml">r</mi><mrow id="S3.E16.m1.4.4.1.1.5.3.3.3" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.5.3.3.3.cmml"><mo id="S3.E16.m1.4.4.1.1.5.3.3.3a" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.5.3.3.3.cmml">−</mo><mn id="S3.E16.m1.4.4.1.1.5.3.3.3.2" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.5.3.3.3.2.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S3.E16.m1.4.4.1.1.5.3.2" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.5.3.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E16.m1.4.4.1.1.5.3.4" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.5.3.4.cmml">𝑻</mi><mo id="S3.E16.m1.4.4.1.1.5.3.2a" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.5.3.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E16.m1.4.4.1.1.5.3.1.1" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.5.3.1.2.cmml"><mo id="S3.E16.m1.4.4.1.1.5.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.5.3.1.2.cmml">[</mo><mi id="S3.E16.m1.3.3" mathvariant="normal" xref="S3.E16.m1.3.3.cmml">ℓ</mi><mo id="S3.E16.m1.4.4.1.1.5.3.1.1.3" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.5.3.1.2.cmml">,</mo><mrow id="S3.E16.m1.4.4.1.1.5.3.1.1.1" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.5.3.1.1.1.cmml"><msup id="S3.E16.m1.4.4.1.1.5.3.1.1.1.2" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.5.3.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E16.m1.4.4.1.1.5.3.1.1.1.2.2" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.5.3.1.1.1.2.2.cmml">i</mi><mo id="S3.E16.m1.4.4.1.1.5.3.1.1.1.2.3" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.5.3.1.1.1.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.E16.m1.4.4.1.1.5.3.1.1.1.1" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.5.3.1.1.1.1.cmml">−</mo><msup id="S3.E16.m1.4.4.1.1.5.3.1.1.1.3" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.5.3.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E16.m1.4.4.1.1.5.3.1.1.1.3.2" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.5.3.1.1.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.E16.m1.4.4.1.1.5.3.1.1.1.3.3" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.5.3.1.1.1.3.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.E16.m1.4.4.1.1.5.3.1.1.1.1a" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.5.3.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S3.E16.m1.4.4.1.1.5.3.1.1.1.4" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.5.3.1.1.1.4.cmml">1</mn></mrow><mo id="S3.E16.m1.4.4.1.1.5.3.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.5.3.1.2.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E16.m1.4.4.1.2" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E16.m1.4b"><apply id="S3.E16.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S3.E16.m1.4.4.1"><eq id="S3.E16.m1.4.4.1.1.6.cmml" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.6"></eq><apply id="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.2"><times id="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.3"></times><apply id="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.4.cmml" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.4.1.cmml" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.4">superscript</csymbol><apply id="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.4.2.cmml" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.4.2.1.cmml" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.4">subscript</csymbol><ci id="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.4.2.2.cmml" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.4.2.2">𝑻</ci><ci id="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.4.2.3.cmml" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.4.2.3">ℓ</ci></apply><ci id="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.4.3.cmml" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.4.3">𝑔</ci></apply><interval closure="closed" id="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.2.2"><apply id="S3.E16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.E16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2">𝑖</ci><ci id="S3.E16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3">′</ci></apply><apply id="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" 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xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E16.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E16.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.1.2.3.2">𝑗</ci><ci id="S3.E16.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.1.2.3.3">′</ci></apply></apply><cn id="S3.E16.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.1.3">1</cn></apply></interval></apply><apply id="S3.E16.m1.4.4.1.1.4.2.cmml" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.4.2"><times id="S3.E16.m1.4.4.1.1.4.2.2.cmml" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.4.2.2"></times><apply id="S3.E16.m1.4.4.1.1.4.2.3.cmml" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.4.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E16.m1.4.4.1.1.4.2.3.1.cmml" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.4.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E16.m1.4.4.1.1.4.2.3.2.cmml" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.4.2.3.2">𝑟</ci><cn id="S3.E16.m1.4.4.1.1.4.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.4.2.3.3">0</cn></apply><ci id="S3.E16.m1.4.4.1.1.4.2.4.cmml" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.4.2.4">𝑻</ci><interval closure="closed" id="S3.E16.m1.4.4.1.1.4.2.1.2.cmml" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.4.2.1.1"><ci id="S3.E16.m1.2.2.cmml" xref="S3.E16.m1.2.2">ℓ</ci><apply id="S3.E16.m1.4.4.1.1.4.2.1.1.1.cmml" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.4.2.1.1.1"><minus id="S3.E16.m1.4.4.1.1.4.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.4.2.1.1.1.1"></minus><apply id="S3.E16.m1.4.4.1.1.4.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.4.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E16.m1.4.4.1.1.4.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.4.2.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S3.E16.m1.4.4.1.1.4.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.4.2.1.1.1.2.2">𝑖</ci><ci id="S3.E16.m1.4.4.1.1.4.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.4.2.1.1.1.2.3">′</ci></apply><apply id="S3.E16.m1.4.4.1.1.4.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.4.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E16.m1.4.4.1.1.4.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.4.2.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E16.m1.4.4.1.1.4.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.4.2.1.1.1.3.2">𝑗</ci><ci id="S3.E16.m1.4.4.1.1.4.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.4.2.1.1.1.3.3">′</ci></apply></apply></interval></apply><apply id="S3.E16.m1.4.4.1.1.5.3.cmml" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.5.3"><times id="S3.E16.m1.4.4.1.1.5.3.2.cmml" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.5.3.2"></times><apply id="S3.E16.m1.4.4.1.1.5.3.3.cmml" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.5.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E16.m1.4.4.1.1.5.3.3.1.cmml" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.5.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E16.m1.4.4.1.1.5.3.3.2.cmml" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.5.3.3.2">𝑟</ci><apply id="S3.E16.m1.4.4.1.1.5.3.3.3.cmml" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.5.3.3.3"><minus id="S3.E16.m1.4.4.1.1.5.3.3.3.1.cmml" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.5.3.3.3"></minus><cn id="S3.E16.m1.4.4.1.1.5.3.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.5.3.3.3.2">1</cn></apply></apply><ci id="S3.E16.m1.4.4.1.1.5.3.4.cmml" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.5.3.4">𝑻</ci><interval closure="closed" id="S3.E16.m1.4.4.1.1.5.3.1.2.cmml" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.5.3.1.1"><ci id="S3.E16.m1.3.3.cmml" xref="S3.E16.m1.3.3">ℓ</ci><apply id="S3.E16.m1.4.4.1.1.5.3.1.1.1.cmml" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.5.3.1.1.1"><minus id="S3.E16.m1.4.4.1.1.5.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.5.3.1.1.1.1"></minus><apply id="S3.E16.m1.4.4.1.1.5.3.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.5.3.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E16.m1.4.4.1.1.5.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.5.3.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S3.E16.m1.4.4.1.1.5.3.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.5.3.1.1.1.2.2">𝑖</ci><ci id="S3.E16.m1.4.4.1.1.5.3.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.5.3.1.1.1.2.3">′</ci></apply><apply id="S3.E16.m1.4.4.1.1.5.3.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.5.3.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E16.m1.4.4.1.1.5.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.5.3.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E16.m1.4.4.1.1.5.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.5.3.1.1.1.3.2">𝑗</ci><ci id="S3.E16.m1.4.4.1.1.5.3.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.5.3.1.1.1.3.3">′</ci></apply><cn id="S3.E16.m1.4.4.1.1.5.3.1.1.1.4.cmml" type="integer" xref="S3.E16.m1.4.4.1.1.5.3.1.1.1.4">1</cn></apply></interval></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E16.m1.4c">\boldsymbol{T}_{\ell}^{g}[i^{\prime},j^{\prime}]=r_{1}\boldsymbol{T}[\ell,i^{% \prime}-j^{\prime}+1]+r_{0}\boldsymbol{T}[\ell,i^{\prime}-j^{\prime}]+r_{-1}% \boldsymbol{T}[\ell,i^{\prime}-j^{\prime}-1],</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E16.m1.4d">bold_italic_T start_POSTSUBSCRIPT roman_ℓ end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_g end_POSTSUPERSCRIPT [ italic_i start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_j start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ] = italic_r start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT bold_italic_T [ roman_ℓ , italic_i start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT - italic_j start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT + 1 ] + italic_r start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT bold_italic_T [ roman_ℓ , italic_i start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT - italic_j start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ] + italic_r start_POSTSUBSCRIPT - 1 end_POSTSUBSCRIPT bold_italic_T [ roman_ℓ , italic_i start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT - italic_j start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT - 1 ] ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(16)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.p2.22">where <math alttext="0\leq i^{\prime},j^{\prime}\leq M-2" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p2.21.m1.2"><semantics id="S3.SS1.p2.21.m1.2a"><mrow id="S3.SS1.p2.21.m1.2.2.2" xref="S3.SS1.p2.21.m1.2.2.3.cmml"><mrow id="S3.SS1.p2.21.m1.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p2.21.m1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S3.SS1.p2.21.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS1.p2.21.m1.1.1.1.1.2.cmml">0</mn><mo id="S3.SS1.p2.21.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p2.21.m1.1.1.1.1.1.cmml">≤</mo><msup id="S3.SS1.p2.21.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS1.p2.21.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.21.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.SS1.p2.21.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.SS1.p2.21.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.SS1.p2.21.m1.1.1.1.1.3.3.cmml">′</mo></msup></mrow><mo id="S3.SS1.p2.21.m1.2.2.2.3" xref="S3.SS1.p2.21.m1.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.SS1.p2.21.m1.2.2.2.2" xref="S3.SS1.p2.21.m1.2.2.2.2.cmml"><msup id="S3.SS1.p2.21.m1.2.2.2.2.2" xref="S3.SS1.p2.21.m1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.21.m1.2.2.2.2.2.2" xref="S3.SS1.p2.21.m1.2.2.2.2.2.2.cmml">j</mi><mo id="S3.SS1.p2.21.m1.2.2.2.2.2.3" xref="S3.SS1.p2.21.m1.2.2.2.2.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.SS1.p2.21.m1.2.2.2.2.1" xref="S3.SS1.p2.21.m1.2.2.2.2.1.cmml">≤</mo><mrow id="S3.SS1.p2.21.m1.2.2.2.2.3" xref="S3.SS1.p2.21.m1.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.21.m1.2.2.2.2.3.2" xref="S3.SS1.p2.21.m1.2.2.2.2.3.2.cmml">M</mi><mo id="S3.SS1.p2.21.m1.2.2.2.2.3.1" xref="S3.SS1.p2.21.m1.2.2.2.2.3.1.cmml">−</mo><mn id="S3.SS1.p2.21.m1.2.2.2.2.3.3" xref="S3.SS1.p2.21.m1.2.2.2.2.3.3.cmml">2</mn></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p2.21.m1.2b"><apply id="S3.SS1.p2.21.m1.2.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.21.m1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p2.21.m1.2.2.3a.cmml" xref="S3.SS1.p2.21.m1.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.SS1.p2.21.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.21.m1.1.1.1.1"><leq id="S3.SS1.p2.21.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.21.m1.1.1.1.1.1"></leq><cn id="S3.SS1.p2.21.m1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.p2.21.m1.1.1.1.1.2">0</cn><apply id="S3.SS1.p2.21.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.21.m1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p2.21.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.21.m1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p2.21.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.21.m1.1.1.1.1.3.2">𝑖</ci><ci id="S3.SS1.p2.21.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.21.m1.1.1.1.1.3.3">′</ci></apply></apply><apply id="S3.SS1.p2.21.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.21.m1.2.2.2.2"><leq id="S3.SS1.p2.21.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.21.m1.2.2.2.2.1"></leq><apply id="S3.SS1.p2.21.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.21.m1.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p2.21.m1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.21.m1.2.2.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p2.21.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.21.m1.2.2.2.2.2.2">𝑗</ci><ci id="S3.SS1.p2.21.m1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.21.m1.2.2.2.2.2.3">′</ci></apply><apply id="S3.SS1.p2.21.m1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.21.m1.2.2.2.2.3"><minus id="S3.SS1.p2.21.m1.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.21.m1.2.2.2.2.3.1"></minus><ci id="S3.SS1.p2.21.m1.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.21.m1.2.2.2.2.3.2">𝑀</ci><cn id="S3.SS1.p2.21.m1.2.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.p2.21.m1.2.2.2.2.3.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p2.21.m1.2c">0\leq i^{\prime},j^{\prime}\leq M-2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p2.21.m1.2d">0 ≤ italic_i start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_j start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ≤ italic_M - 2</annotation></semantics></math> and <math alttext="g" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p2.22.m2.1"><semantics id="S3.SS1.p2.22.m2.1a"><mi id="S3.SS1.p2.22.m2.1.1" xref="S3.SS1.p2.22.m2.1.1.cmml">g</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p2.22.m2.1b"><ci id="S3.SS1.p2.22.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.22.m2.1.1">𝑔</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p2.22.m2.1c">g</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p2.22.m2.1d">italic_g</annotation></semantics></math> is a degree one trigonometric polynomial defined in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15164v1#S3.E13" title="In III-A Constrained Atomic Norm Minimization and Its SDP Representation ‣ III Constrained Two-Dimensional Atomic Norm Minimization ‣ Gridless Chirp Parameter Retrieval via Constrained Two-Dimensional Atomic Norm Minimization D. Yang and F. Xi contributed equally to this work. D. Yang was supported in part by the Research Development Fund (RDF-23-02-080) from Xi’an Jiaotong-Liverpool University. F. Xi was supported in part by the National Natural Science Foundation of China under grant No. 62471230."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">13</span></a>).</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS1.p3"> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.p3.1">Based on prior works <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15164v1#bib.bib14" title="">14</a>]</cite> and <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15164v1#bib.bib15" title="">15</a>]</cite>, we have the following proposition, which is a special case of Proposition 2 in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15164v1#bib.bib15" title="">15</a>]</cite> and provides an approximate SDP formulation for the constrained atomic norm (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15164v1#S3.E11" title="In III-A Constrained Atomic Norm Minimization and Its SDP Representation ‣ III Constrained Two-Dimensional Atomic Norm Minimization ‣ Gridless Chirp Parameter Retrieval via Constrained Two-Dimensional Atomic Norm Minimization D. Yang and F. Xi contributed equally to this work. D. Yang was supported in part by the Research Development Fund (RDF-23-02-080) from Xi’an Jiaotong-Liverpool University. F. Xi was supported in part by the National Natural Science Foundation of China under grant No. 62471230."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">11</span></a>).</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_prop" id="S3.Thmprop1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"><span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.Thmprop1.1.1.1">Proposition III.1</span></span></h6> <div class="ltx_para" id="S3.Thmprop1.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.Thmprop1.p1.9"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.Thmprop1.p1.9.1">The constrained atomic norm (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15164v1#S3.E11" title="In III-A Constrained Atomic Norm Minimization and Its SDP Representation ‣ III Constrained Two-Dimensional Atomic Norm Minimization ‣ Gridless Chirp Parameter Retrieval via Constrained Two-Dimensional Atomic Norm Minimization D. Yang and F. Xi contributed equally to this work. D. Yang was supported in part by the Research Development Fund (RDF-23-02-080) from Xi’an Jiaotong-Liverpool University. F. Xi was supported in part by the National Natural Science Foundation of China under grant No. 62471230."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">11</span></a>) is lower bounded by the minimum value of the SDP shown below</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_table" id="S3.E17"> <tbody> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S3.E17X"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle||\boldsymbol{z}||_{\mathcal{A}_{c}}\geq\min_{\boldsymbol{T},t}~{% }\frac{1}{2|J|}{\text{trace}}(\text{Toep}(\boldsymbol{T}))+\frac{1}{2}t" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E17X.2.1.1.m1.6"><semantics id="S3.E17X.2.1.1.m1.6a"><mrow id="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6" xref="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.cmml"><msub id="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.3" xref="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.3.cmml"><mrow id="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.3.2.2" xref="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.3.2.1.cmml"><mo id="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.3.2.2.1" stretchy="false" xref="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.3.2.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S3.E17X.2.1.1.m1.4.4" xref="S3.E17X.2.1.1.m1.4.4.cmml">𝒛</mi><mo id="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.3.2.2.2" stretchy="false" xref="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.3.2.1.1.cmml">‖</mo></mrow><msub id="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.3.3" xref="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.3.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.3.3.2" xref="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.3.3.2.cmml">𝒜</mi><mi id="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.3.3.3" xref="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.3.3.3.cmml">c</mi></msub></msub><mo id="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.2" xref="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.2.cmml">≥</mo><mrow id="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.1" xref="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.1.cmml"><mrow id="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.1.1" xref="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.1.1.3" xref="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.cmml"><munder id="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.1" xref="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.1.cmml"><mi id="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.1.2" xref="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.1.2.cmml">min</mi><mrow id="S3.E17X.2.1.1.m1.2.2.2.4" xref="S3.E17X.2.1.1.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E17X.2.1.1.m1.1.1.1.1" xref="S3.E17X.2.1.1.m1.1.1.1.1.cmml">𝑻</mi><mo id="S3.E17X.2.1.1.m1.2.2.2.4.1" xref="S3.E17X.2.1.1.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.E17X.2.1.1.m1.2.2.2.2" xref="S3.E17X.2.1.1.m1.2.2.2.2.cmml">t</mi></mrow></munder><mo id="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.1.1.3a" lspace="0.167em" xref="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.cmml">⁡</mo><mrow id="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.2" xref="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.E17X.2.1.1.m1.3.3" xref="S3.E17X.2.1.1.m1.3.3.cmml"><mfrac id="S3.E17X.2.1.1.m1.3.3a" xref="S3.E17X.2.1.1.m1.3.3.cmml"><mn id="S3.E17X.2.1.1.m1.3.3.3" xref="S3.E17X.2.1.1.m1.3.3.3.cmml">1</mn><mrow id="S3.E17X.2.1.1.m1.3.3.1" xref="S3.E17X.2.1.1.m1.3.3.1.cmml"><mn id="S3.E17X.2.1.1.m1.3.3.1.3" xref="S3.E17X.2.1.1.m1.3.3.1.3.cmml">2</mn><mo id="S3.E17X.2.1.1.m1.3.3.1.2" xref="S3.E17X.2.1.1.m1.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E17X.2.1.1.m1.3.3.1.4.2" xref="S3.E17X.2.1.1.m1.3.3.1.4.1.cmml"><mo id="S3.E17X.2.1.1.m1.3.3.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S3.E17X.2.1.1.m1.3.3.1.4.1.1.cmml">|</mo><mi id="S3.E17X.2.1.1.m1.3.3.1.1" xref="S3.E17X.2.1.1.m1.3.3.1.1.cmml">J</mi><mo id="S3.E17X.2.1.1.m1.3.3.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S3.E17X.2.1.1.m1.3.3.1.4.1.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.2.1" xref="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.2.2" xref="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.2.2a.cmml">trace</mtext></mrow></mrow><mo id="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.1.1.2" xref="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1" xref="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.1" xref="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.2a.cmml">Toep</mtext><mo id="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E17X.2.1.1.m1.5.5" xref="S3.E17X.2.1.1.m1.5.5.cmml">𝑻</mi><mo id="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.1.2" xref="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.1.3" xref="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.1.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.1.3.2" xref="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.1.3.2.cmml"><mfrac id="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.1.3.2a" xref="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.1.3.2.cmml"><mn id="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.1.3.2.2" xref="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.1.3.2.2.cmml">1</mn><mn id="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.1.3.2.3" xref="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.1.3.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.1.3.1" xref="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.1.3.3" xref="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.1.3.3.cmml">t</mi></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E17X.2.1.1.m1.6b"><apply id="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.cmml" xref="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6"><geq id="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.2.cmml" xref="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.2"></geq><apply id="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.3.cmml" xref="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.3.1.cmml" xref="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.3">subscript</csymbol><apply id="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.3.2.1.cmml" xref="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.3.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.3.2.1.1.cmml" xref="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.3.2.2.1">norm</csymbol><ci id="S3.E17X.2.1.1.m1.4.4.cmml" xref="S3.E17X.2.1.1.m1.4.4">𝒛</ci></apply><apply id="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.3.3.cmml" xref="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.3.3.1.cmml" xref="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.3.3.2.cmml" xref="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.3.3.2">𝒜</ci><ci id="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.3.3.3.cmml" xref="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.3.3.3">𝑐</ci></apply></apply><apply id="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.1.cmml" xref="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.1"><plus id="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.1.2.cmml" xref="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.1.2"></plus><apply id="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.1.1.cmml" xref="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.1.1"><times id="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.1.1.2.cmml" xref="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.1.1.2"></times><apply id="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.cmml" xref="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.1.1.3"><apply id="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.1.1.cmml" xref="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.1">subscript</csymbol><min id="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.1.2.cmml" xref="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.1.2"></min><list id="S3.E17X.2.1.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E17X.2.1.1.m1.2.2.2.4"><ci id="S3.E17X.2.1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E17X.2.1.1.m1.1.1.1.1">𝑻</ci><ci id="S3.E17X.2.1.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E17X.2.1.1.m1.2.2.2.2">𝑡</ci></list></apply><apply id="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.2"><times id="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.2.1"></times><apply id="S3.E17X.2.1.1.m1.3.3.cmml" xref="S3.E17X.2.1.1.m1.3.3"><divide id="S3.E17X.2.1.1.m1.3.3.2.cmml" xref="S3.E17X.2.1.1.m1.3.3"></divide><cn id="S3.E17X.2.1.1.m1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E17X.2.1.1.m1.3.3.3">1</cn><apply id="S3.E17X.2.1.1.m1.3.3.1.cmml" xref="S3.E17X.2.1.1.m1.3.3.1"><times id="S3.E17X.2.1.1.m1.3.3.1.2.cmml" xref="S3.E17X.2.1.1.m1.3.3.1.2"></times><cn id="S3.E17X.2.1.1.m1.3.3.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E17X.2.1.1.m1.3.3.1.3">2</cn><apply id="S3.E17X.2.1.1.m1.3.3.1.4.1.cmml" xref="S3.E17X.2.1.1.m1.3.3.1.4.2"><abs id="S3.E17X.2.1.1.m1.3.3.1.4.1.1.cmml" xref="S3.E17X.2.1.1.m1.3.3.1.4.2.1"></abs><ci id="S3.E17X.2.1.1.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S3.E17X.2.1.1.m1.3.3.1.1">𝐽</ci></apply></apply></apply><ci id="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.2.2a.cmml" xref="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.2.2"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.2.2">trace</mtext></ci></apply></apply><apply id="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1"><times id="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.2a.cmml" xref="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.2"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.2">Toep</mtext></ci><ci id="S3.E17X.2.1.1.m1.5.5.cmml" xref="S3.E17X.2.1.1.m1.5.5">𝑻</ci></apply></apply><apply id="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.1.3.cmml" xref="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.1.3"><times id="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.1.3.1.cmml" xref="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.1.3.1"></times><apply id="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.1.3.2.cmml" xref="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.1.3.2"><divide id="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.1.3.2"></divide><cn id="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.1.3.2.2">1</cn><cn id="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.1.3.2.3">2</cn></apply><ci id="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.1.3.3.cmml" xref="S3.E17X.2.1.1.m1.6.6.1.3.3">𝑡</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E17X.2.1.1.m1.6c">\displaystyle||\boldsymbol{z}||_{\mathcal{A}_{c}}\geq\min_{\boldsymbol{T},t}~{% }\frac{1}{2|J|}{\text{trace}}(\text{Toep}(\boldsymbol{T}))+\frac{1}{2}t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E17X.2.1.1.m1.6d">| | bold_italic_z | | start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ≥ roman_min start_POSTSUBSCRIPT bold_italic_T , italic_t end_POSTSUBSCRIPT divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 | italic_J | end_ARG trace ( Toep ( bold_italic_T ) ) + divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_t</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="2"><span class="ltx_tag ltx_tag_equationgroup ltx_align_right">(17)</span></td> </tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S3.E17Xa"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle{\text{subject~{}to}}~{}~{}\begin{bmatrix}\text{Toep}(\boldsymbol% {T})&\boldsymbol{z}\\ \boldsymbol{z}^{H}&t\end{bmatrix}\succeq 0,~{}\text{Toep}(\boldsymbol{T}^{g})% \succeq 0," class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E17Xa.2.1.1.m1.1"><semantics id="S3.E17Xa.2.1.1.m1.1a"><mrow id="S3.E17Xa.2.1.1.m1.1.1.1"><mrow id="S3.E17Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.E17Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.E17Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E17Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E17Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E17Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S3.E17Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E17Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2a.cmml">subject to</mtext><mo id="S3.E17Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1" lspace="0.660em" xref="S3.E17Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1a.3" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1a.2.cmml"><mo id="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1a.3.1" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1a.2.1.cmml">[</mo><mtable columnspacing="5pt" id="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf" rowspacing="0pt" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.cmml"><mtr id="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mfa" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.cmml"><mtd id="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mfb" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.cmml"><mrow id="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.1.1" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.1.1.cmml"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.1.1.3" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.1.1.3a.cmml">Toep</mtext><mo id="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.1.1.2" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.1.1.4.2" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.1.1.1" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.1.1.1.cmml">𝑻</mi><mo id="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mtd><mtd id="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mfc" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.cmml"><mi id="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.2.1" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.2.1.cmml">𝒛</mi></mtd></mtr><mtr id="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mfd" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.cmml"><mtd id="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mfe" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.cmml"><msup id="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.1.1" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.1.1.cmml"><mi id="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.1.1.2" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.1.1.2.cmml">𝒛</mi><mi id="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.1.1.3" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.1.1.3.cmml">H</mi></msup></mtd><mtd id="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mff" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.cmml"><mi id="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.2.1" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.2.1.cmml">t</mi></mtd></mtr></mtable><mo id="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1a.3.2" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1a.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E17Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E17Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⪰</mo><mn id="S3.E17Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E17Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><mo id="S3.E17Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.3" rspace="0.497em" xref="S3.E17Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.E17Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E17Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S3.E17Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S3.E17Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S3.E17Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.3" xref="S3.E17Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.3a.cmml">Toep</mtext><mo id="S3.E17Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.2" xref="S3.E17Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E17Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1" xref="S3.E17Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E17Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E17Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S3.E17Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1" xref="S3.E17Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E17Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S3.E17Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">𝑻</mi><mi id="S3.E17Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S3.E17Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">g</mi></msup><mo id="S3.E17Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E17Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E17Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.E17Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">⪰</mo><mn id="S3.E17Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.E17Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">0</mn></mrow></mrow><mo id="S3.E17Xa.2.1.1.m1.1.1.1.2">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E17Xa.2.1.1.m1.1b"><apply id="S3.E17Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E17Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E17Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S3.E17Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.E17Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E17Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.E17Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E17Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1">succeeds-or-equals</csymbol><apply id="S3.E17Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E17Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S3.E17Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E17Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="S3.E17Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2a.cmml" xref="S3.E17Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S3.E17Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E17Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2">subject to</mtext></ci><apply id="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1a.2.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1a.3"><csymbol cd="latexml" id="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1a.2.1.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1a.3.1">matrix</csymbol><matrix id="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.cmml" 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cd="ambiguous" id="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.1.1.1.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.1.1.2.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.1.1.2">𝒛</ci><ci id="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.1.1.3.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.1.1.3">𝐻</ci></apply><ci id="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.2.1.cmml" xref="S3.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.2.1">𝑡</ci></matrixrow></matrix></apply></apply><cn id="S3.E17Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E17Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3">0</cn></apply><apply id="S3.E17Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E17Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.E17Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E17Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.2">succeeds-or-equals</csymbol><apply id="S3.E17Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E17Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.1"><times id="S3.E17Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="S3.E17Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.2"></times><ci id="S3.E17Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.3a.cmml" xref="S3.E17Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S3.E17Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.cmml" xref="S3.E17Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.3">Toep</mtext></ci><apply id="S3.E17Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E17Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E17Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E17Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.E17Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E17Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2">𝑻</ci><ci id="S3.E17Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E17Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3">𝑔</ci></apply></apply><cn id="S3.E17Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E17Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.3">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E17Xa.2.1.1.m1.1c">\displaystyle{\text{subject~{}to}}~{}~{}\begin{bmatrix}\text{Toep}(\boldsymbol% {T})&\boldsymbol{z}\\ \boldsymbol{z}^{H}&t\end{bmatrix}\succeq 0,~{}\text{Toep}(\boldsymbol{T}^{g})% \succeq 0,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E17Xa.2.1.1.m1.1d">subject to [ start_ARG start_ROW start_CELL Toep ( bold_italic_T ) end_CELL start_CELL bold_italic_z end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL bold_italic_z start_POSTSUPERSCRIPT italic_H end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL start_CELL italic_t end_CELL end_ROW end_ARG ] ⪰ 0 , Toep ( bold_italic_T start_POSTSUPERSCRIPT italic_g end_POSTSUPERSCRIPT ) ⪰ 0 ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr> </tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.Thmprop1.p1.8"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.Thmprop1.p1.8.8">where <math alttext="g" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmprop1.p1.1.1.m1.1"><semantics id="S3.Thmprop1.p1.1.1.m1.1a"><mi id="S3.Thmprop1.p1.1.1.m1.1.1" xref="S3.Thmprop1.p1.1.1.m1.1.1.cmml">g</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmprop1.p1.1.1.m1.1b"><ci id="S3.Thmprop1.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.Thmprop1.p1.1.1.m1.1.1">𝑔</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmprop1.p1.1.1.m1.1c">g</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmprop1.p1.1.1.m1.1d">italic_g</annotation></semantics></math> is defined in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15164v1#S3.E13" title="In III-A Constrained Atomic Norm Minimization and Its SDP Representation ‣ III Constrained Two-Dimensional Atomic Norm Minimization ‣ Gridless Chirp Parameter Retrieval via Constrained Two-Dimensional Atomic Norm Minimization D. Yang and F. Xi contributed equally to this work. D. Yang was supported in part by the Research Development Fund (RDF-23-02-080) from Xi’an Jiaotong-Liverpool University. F. Xi was supported in part by the National Natural Science Foundation of China under grant No. 62471230."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">13</span></a>) with <math alttext="r_{0}=-2\cos(\mathcal{U}\pi)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmprop1.p1.2.2.m2.2"><semantics id="S3.Thmprop1.p1.2.2.m2.2a"><mrow id="S3.Thmprop1.p1.2.2.m2.2.2" xref="S3.Thmprop1.p1.2.2.m2.2.2.cmml"><msub id="S3.Thmprop1.p1.2.2.m2.2.2.3" xref="S3.Thmprop1.p1.2.2.m2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Thmprop1.p1.2.2.m2.2.2.3.2" xref="S3.Thmprop1.p1.2.2.m2.2.2.3.2.cmml">r</mi><mn id="S3.Thmprop1.p1.2.2.m2.2.2.3.3" xref="S3.Thmprop1.p1.2.2.m2.2.2.3.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.Thmprop1.p1.2.2.m2.2.2.2" xref="S3.Thmprop1.p1.2.2.m2.2.2.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.Thmprop1.p1.2.2.m2.2.2.1" xref="S3.Thmprop1.p1.2.2.m2.2.2.1.cmml"><mo id="S3.Thmprop1.p1.2.2.m2.2.2.1a" xref="S3.Thmprop1.p1.2.2.m2.2.2.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.Thmprop1.p1.2.2.m2.2.2.1.1" xref="S3.Thmprop1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.cmml"><mn id="S3.Thmprop1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.3" xref="S3.Thmprop1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.3.cmml">2</mn><mo id="S3.Thmprop1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.2" lspace="0.167em" xref="S3.Thmprop1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Thmprop1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1" xref="S3.Thmprop1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Thmprop1.p1.2.2.m2.1.1" xref="S3.Thmprop1.p1.2.2.m2.1.1.cmml">cos</mi><mo id="S3.Thmprop1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1a" xref="S3.Thmprop1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S3.Thmprop1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.Thmprop1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Thmprop1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Thmprop1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S3.Thmprop1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Thmprop1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Thmprop1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Thmprop1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝒰</mi><mo id="S3.Thmprop1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Thmprop1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Thmprop1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Thmprop1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">π</mi></mrow><mo id="S3.Thmprop1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Thmprop1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmprop1.p1.2.2.m2.2b"><apply id="S3.Thmprop1.p1.2.2.m2.2.2.cmml" xref="S3.Thmprop1.p1.2.2.m2.2.2"><eq id="S3.Thmprop1.p1.2.2.m2.2.2.2.cmml" xref="S3.Thmprop1.p1.2.2.m2.2.2.2"></eq><apply id="S3.Thmprop1.p1.2.2.m2.2.2.3.cmml" xref="S3.Thmprop1.p1.2.2.m2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmprop1.p1.2.2.m2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Thmprop1.p1.2.2.m2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Thmprop1.p1.2.2.m2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.Thmprop1.p1.2.2.m2.2.2.3.2">𝑟</ci><cn id="S3.Thmprop1.p1.2.2.m2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Thmprop1.p1.2.2.m2.2.2.3.3">0</cn></apply><apply id="S3.Thmprop1.p1.2.2.m2.2.2.1.cmml" xref="S3.Thmprop1.p1.2.2.m2.2.2.1"><minus id="S3.Thmprop1.p1.2.2.m2.2.2.1.2.cmml" xref="S3.Thmprop1.p1.2.2.m2.2.2.1"></minus><apply id="S3.Thmprop1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Thmprop1.p1.2.2.m2.2.2.1.1"><times id="S3.Thmprop1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmprop1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.2"></times><cn id="S3.Thmprop1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Thmprop1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.3">2</cn><apply id="S3.Thmprop1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmprop1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1"><cos id="S3.Thmprop1.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.Thmprop1.p1.2.2.m2.1.1"></cos><apply id="S3.Thmprop1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmprop1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.Thmprop1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmprop1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S3.Thmprop1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmprop1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.2">𝒰</ci><ci id="S3.Thmprop1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Thmprop1.p1.2.2.m2.2.2.1.1.1.1.1.1.3">𝜋</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmprop1.p1.2.2.m2.2c">r_{0}=-2\cos(\mathcal{U}\pi)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmprop1.p1.2.2.m2.2d">italic_r start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT = - 2 roman_cos ( caligraphic_U italic_π )</annotation></semantics></math> and <math alttext="r_{1}=e^{j\pi\mathcal{U}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmprop1.p1.3.3.m3.1"><semantics id="S3.Thmprop1.p1.3.3.m3.1a"><mrow id="S3.Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1" xref="S3.Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.cmml"><msub id="S3.Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.2" xref="S3.Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.2.2" xref="S3.Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.2.2.cmml">r</mi><mn id="S3.Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.2.3" xref="S3.Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.1" xref="S3.Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.1.cmml">=</mo><msup id="S3.Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.3" xref="S3.Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.3.2" xref="S3.Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.3.2.cmml">e</mi><mrow id="S3.Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.3.3" xref="S3.Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.3.3.2" xref="S3.Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.3.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.3.3.1" xref="S3.Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.3.3.3" xref="S3.Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.3.3.3.cmml">π</mi><mo id="S3.Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.3.3.1a" xref="S3.Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.3.3.4" xref="S3.Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.3.3.4.cmml">𝒰</mi></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmprop1.p1.3.3.m3.1b"><apply id="S3.Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1"><eq id="S3.Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.1"></eq><apply id="S3.Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.2.2">𝑟</ci><cn id="S3.Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.2.3">1</cn></apply><apply id="S3.Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.3.2">𝑒</ci><apply id="S3.Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.3.3"><times id="S3.Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.3.3.1"></times><ci id="S3.Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.3.3.2">𝑗</ci><ci id="S3.Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.3.3.3">𝜋</ci><ci id="S3.Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.3.3.4.cmml" xref="S3.Thmprop1.p1.3.3.m3.1.1.3.3.4">𝒰</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmprop1.p1.3.3.m3.1c">r_{1}=e^{j\pi\mathcal{U}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmprop1.p1.3.3.m3.1d">italic_r start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT = italic_e start_POSTSUPERSCRIPT italic_j italic_π caligraphic_U end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, and <math alttext="|J|" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmprop1.p1.4.4.m4.1"><semantics id="S3.Thmprop1.p1.4.4.m4.1a"><mrow id="S3.Thmprop1.p1.4.4.m4.1.2.2" xref="S3.Thmprop1.p1.4.4.m4.1.2.1.cmml"><mo id="S3.Thmprop1.p1.4.4.m4.1.2.2.1" stretchy="false" xref="S3.Thmprop1.p1.4.4.m4.1.2.1.1.cmml">|</mo><mi id="S3.Thmprop1.p1.4.4.m4.1.1" xref="S3.Thmprop1.p1.4.4.m4.1.1.cmml">J</mi><mo id="S3.Thmprop1.p1.4.4.m4.1.2.2.2" stretchy="false" xref="S3.Thmprop1.p1.4.4.m4.1.2.1.1.cmml">|</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmprop1.p1.4.4.m4.1b"><apply id="S3.Thmprop1.p1.4.4.m4.1.2.1.cmml" xref="S3.Thmprop1.p1.4.4.m4.1.2.2"><abs id="S3.Thmprop1.p1.4.4.m4.1.2.1.1.cmml" xref="S3.Thmprop1.p1.4.4.m4.1.2.2.1"></abs><ci id="S3.Thmprop1.p1.4.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.Thmprop1.p1.4.4.m4.1.1">𝐽</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmprop1.p1.4.4.m4.1c">|J|</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmprop1.p1.4.4.m4.1d">| italic_J |</annotation></semantics></math> is the cardinality of <math alttext="J" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmprop1.p1.5.5.m5.1"><semantics id="S3.Thmprop1.p1.5.5.m5.1a"><mi id="S3.Thmprop1.p1.5.5.m5.1.1" xref="S3.Thmprop1.p1.5.5.m5.1.1.cmml">J</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmprop1.p1.5.5.m5.1b"><ci id="S3.Thmprop1.p1.5.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.Thmprop1.p1.5.5.m5.1.1">𝐽</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmprop1.p1.5.5.m5.1c">J</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmprop1.p1.5.5.m5.1d">italic_J</annotation></semantics></math>. The Toeplitz matrices <math alttext="\text{Toep}(\boldsymbol{T})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmprop1.p1.6.6.m6.1"><semantics id="S3.Thmprop1.p1.6.6.m6.1a"><mrow id="S3.Thmprop1.p1.6.6.m6.1.2" xref="S3.Thmprop1.p1.6.6.m6.1.2.cmml"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S3.Thmprop1.p1.6.6.m6.1.2.2" xref="S3.Thmprop1.p1.6.6.m6.1.2.2a.cmml">Toep</mtext><mo id="S3.Thmprop1.p1.6.6.m6.1.2.1" xref="S3.Thmprop1.p1.6.6.m6.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Thmprop1.p1.6.6.m6.1.2.3.2" xref="S3.Thmprop1.p1.6.6.m6.1.2.cmml"><mo id="S3.Thmprop1.p1.6.6.m6.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Thmprop1.p1.6.6.m6.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.Thmprop1.p1.6.6.m6.1.1" xref="S3.Thmprop1.p1.6.6.m6.1.1.cmml">𝐓</mi><mo id="S3.Thmprop1.p1.6.6.m6.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.Thmprop1.p1.6.6.m6.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmprop1.p1.6.6.m6.1b"><apply id="S3.Thmprop1.p1.6.6.m6.1.2.cmml" xref="S3.Thmprop1.p1.6.6.m6.1.2"><times id="S3.Thmprop1.p1.6.6.m6.1.2.1.cmml" xref="S3.Thmprop1.p1.6.6.m6.1.2.1"></times><ci id="S3.Thmprop1.p1.6.6.m6.1.2.2a.cmml" xref="S3.Thmprop1.p1.6.6.m6.1.2.2"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S3.Thmprop1.p1.6.6.m6.1.2.2.cmml" xref="S3.Thmprop1.p1.6.6.m6.1.2.2">Toep</mtext></ci><ci id="S3.Thmprop1.p1.6.6.m6.1.1.cmml" xref="S3.Thmprop1.p1.6.6.m6.1.1">𝐓</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmprop1.p1.6.6.m6.1c">\text{Toep}(\boldsymbol{T})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmprop1.p1.6.6.m6.1d">Toep ( bold_italic_T )</annotation></semantics></math> and <math alttext="\text{Toep}(\boldsymbol{T}^{g})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmprop1.p1.7.7.m7.1"><semantics id="S3.Thmprop1.p1.7.7.m7.1a"><mrow id="S3.Thmprop1.p1.7.7.m7.1.1" xref="S3.Thmprop1.p1.7.7.m7.1.1.cmml"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S3.Thmprop1.p1.7.7.m7.1.1.3" xref="S3.Thmprop1.p1.7.7.m7.1.1.3a.cmml">Toep</mtext><mo id="S3.Thmprop1.p1.7.7.m7.1.1.2" xref="S3.Thmprop1.p1.7.7.m7.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Thmprop1.p1.7.7.m7.1.1.1.1" xref="S3.Thmprop1.p1.7.7.m7.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Thmprop1.p1.7.7.m7.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Thmprop1.p1.7.7.m7.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S3.Thmprop1.p1.7.7.m7.1.1.1.1.1" xref="S3.Thmprop1.p1.7.7.m7.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Thmprop1.p1.7.7.m7.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Thmprop1.p1.7.7.m7.1.1.1.1.1.2.cmml">𝐓</mi><mi id="S3.Thmprop1.p1.7.7.m7.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Thmprop1.p1.7.7.m7.1.1.1.1.1.3.cmml">g</mi></msup><mo id="S3.Thmprop1.p1.7.7.m7.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Thmprop1.p1.7.7.m7.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmprop1.p1.7.7.m7.1b"><apply id="S3.Thmprop1.p1.7.7.m7.1.1.cmml" xref="S3.Thmprop1.p1.7.7.m7.1.1"><times id="S3.Thmprop1.p1.7.7.m7.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmprop1.p1.7.7.m7.1.1.2"></times><ci id="S3.Thmprop1.p1.7.7.m7.1.1.3a.cmml" xref="S3.Thmprop1.p1.7.7.m7.1.1.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S3.Thmprop1.p1.7.7.m7.1.1.3.cmml" xref="S3.Thmprop1.p1.7.7.m7.1.1.3">Toep</mtext></ci><apply id="S3.Thmprop1.p1.7.7.m7.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmprop1.p1.7.7.m7.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmprop1.p1.7.7.m7.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmprop1.p1.7.7.m7.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.Thmprop1.p1.7.7.m7.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmprop1.p1.7.7.m7.1.1.1.1.1.2">𝐓</ci><ci id="S3.Thmprop1.p1.7.7.m7.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Thmprop1.p1.7.7.m7.1.1.1.1.1.3">𝑔</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmprop1.p1.7.7.m7.1c">\text{Toep}(\boldsymbol{T}^{g})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmprop1.p1.7.7.m7.1d">Toep ( bold_italic_T start_POSTSUPERSCRIPT italic_g end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> are defined according to (<span class="ltx_ref ltx_missing_label ltx_ref_self">LABEL:tf-toep-outer</span>). Furthermore, if <math alttext="\text{rank}(\text{Toep}(\boldsymbol{T}))<N" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmprop1.p1.8.8.m8.2"><semantics id="S3.Thmprop1.p1.8.8.m8.2a"><mrow id="S3.Thmprop1.p1.8.8.m8.2.2" xref="S3.Thmprop1.p1.8.8.m8.2.2.cmml"><mrow id="S3.Thmprop1.p1.8.8.m8.2.2.1" xref="S3.Thmprop1.p1.8.8.m8.2.2.1.cmml"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S3.Thmprop1.p1.8.8.m8.2.2.1.3" xref="S3.Thmprop1.p1.8.8.m8.2.2.1.3a.cmml">rank</mtext><mo id="S3.Thmprop1.p1.8.8.m8.2.2.1.2" xref="S3.Thmprop1.p1.8.8.m8.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Thmprop1.p1.8.8.m8.2.2.1.1.1" xref="S3.Thmprop1.p1.8.8.m8.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Thmprop1.p1.8.8.m8.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Thmprop1.p1.8.8.m8.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Thmprop1.p1.8.8.m8.2.2.1.1.1.1" xref="S3.Thmprop1.p1.8.8.m8.2.2.1.1.1.1.cmml"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S3.Thmprop1.p1.8.8.m8.2.2.1.1.1.1.2" xref="S3.Thmprop1.p1.8.8.m8.2.2.1.1.1.1.2a.cmml">Toep</mtext><mo id="S3.Thmprop1.p1.8.8.m8.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.Thmprop1.p1.8.8.m8.2.2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Thmprop1.p1.8.8.m8.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Thmprop1.p1.8.8.m8.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Thmprop1.p1.8.8.m8.2.2.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Thmprop1.p1.8.8.m8.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.Thmprop1.p1.8.8.m8.1.1" xref="S3.Thmprop1.p1.8.8.m8.1.1.cmml">𝐓</mi><mo id="S3.Thmprop1.p1.8.8.m8.2.2.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.Thmprop1.p1.8.8.m8.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Thmprop1.p1.8.8.m8.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Thmprop1.p1.8.8.m8.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Thmprop1.p1.8.8.m8.2.2.2" xref="S3.Thmprop1.p1.8.8.m8.2.2.2.cmml"><</mo><mi id="S3.Thmprop1.p1.8.8.m8.2.2.3" xref="S3.Thmprop1.p1.8.8.m8.2.2.3.cmml">N</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmprop1.p1.8.8.m8.2b"><apply id="S3.Thmprop1.p1.8.8.m8.2.2.cmml" xref="S3.Thmprop1.p1.8.8.m8.2.2"><lt id="S3.Thmprop1.p1.8.8.m8.2.2.2.cmml" xref="S3.Thmprop1.p1.8.8.m8.2.2.2"></lt><apply id="S3.Thmprop1.p1.8.8.m8.2.2.1.cmml" xref="S3.Thmprop1.p1.8.8.m8.2.2.1"><times id="S3.Thmprop1.p1.8.8.m8.2.2.1.2.cmml" xref="S3.Thmprop1.p1.8.8.m8.2.2.1.2"></times><ci id="S3.Thmprop1.p1.8.8.m8.2.2.1.3a.cmml" xref="S3.Thmprop1.p1.8.8.m8.2.2.1.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S3.Thmprop1.p1.8.8.m8.2.2.1.3.cmml" xref="S3.Thmprop1.p1.8.8.m8.2.2.1.3">rank</mtext></ci><apply id="S3.Thmprop1.p1.8.8.m8.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmprop1.p1.8.8.m8.2.2.1.1.1"><times id="S3.Thmprop1.p1.8.8.m8.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmprop1.p1.8.8.m8.2.2.1.1.1.1.1"></times><ci id="S3.Thmprop1.p1.8.8.m8.2.2.1.1.1.1.2a.cmml" xref="S3.Thmprop1.p1.8.8.m8.2.2.1.1.1.1.2"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S3.Thmprop1.p1.8.8.m8.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmprop1.p1.8.8.m8.2.2.1.1.1.1.2">Toep</mtext></ci><ci id="S3.Thmprop1.p1.8.8.m8.1.1.cmml" xref="S3.Thmprop1.p1.8.8.m8.1.1">𝐓</ci></apply></apply><ci id="S3.Thmprop1.p1.8.8.m8.2.2.3.cmml" xref="S3.Thmprop1.p1.8.8.m8.2.2.3">𝑁</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmprop1.p1.8.8.m8.2c">\text{rank}(\text{Toep}(\boldsymbol{T}))<N</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmprop1.p1.8.8.m8.2d">rank ( Toep ( bold_italic_T ) ) < italic_N</annotation></semantics></math>, the inequality in (<span class="ltx_ref ltx_missing_label ltx_ref_self">LABEL:eq:approx-SDP</span>) becomes an equality. In this case, the SDP characterization is an equivalent representation of the constrained atomic norm.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS1.p4"> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.p4.1">As a result of this, we can approximate the constrained atomic norm minimization (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15164v1#S3.E12" title="In III-A Constrained Atomic Norm Minimization and Its SDP Representation ‣ III Constrained Two-Dimensional Atomic Norm Minimization ‣ Gridless Chirp Parameter Retrieval via Constrained Two-Dimensional Atomic Norm Minimization D. Yang and F. Xi contributed equally to this work. D. Yang was supported in part by the Research Development Fund (RDF-23-02-080) from Xi’an Jiaotong-Liverpool University. F. Xi was supported in part by the National Natural Science Foundation of China under grant No. 62471230."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">12</span></a>) via the following SDP:</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_table" id="S3.E18"> <tbody> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S3.E18X"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\min_{\boldsymbol{T},t,\boldsymbol{z}}~{}\frac{1}{2|J|}{\text{% trace}}(\text{Toep}(\boldsymbol{T}))+\frac{1}{2}t" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E18X.2.1.1.m1.6"><semantics id="S3.E18X.2.1.1.m1.6a"><mrow id="S3.E18X.2.1.1.m1.6.6" xref="S3.E18X.2.1.1.m1.6.6.cmml"><mrow id="S3.E18X.2.1.1.m1.6.6.1" xref="S3.E18X.2.1.1.m1.6.6.1.cmml"><mrow id="S3.E18X.2.1.1.m1.6.6.1.3" xref="S3.E18X.2.1.1.m1.6.6.1.3.cmml"><munder id="S3.E18X.2.1.1.m1.6.6.1.3.1" xref="S3.E18X.2.1.1.m1.6.6.1.3.1.cmml"><mi id="S3.E18X.2.1.1.m1.6.6.1.3.1.2" xref="S3.E18X.2.1.1.m1.6.6.1.3.1.2.cmml">min</mi><mrow id="S3.E18X.2.1.1.m1.3.3.3.5" xref="S3.E18X.2.1.1.m1.3.3.3.4.cmml"><mi id="S3.E18X.2.1.1.m1.1.1.1.1" xref="S3.E18X.2.1.1.m1.1.1.1.1.cmml">𝑻</mi><mo id="S3.E18X.2.1.1.m1.3.3.3.5.1" xref="S3.E18X.2.1.1.m1.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.E18X.2.1.1.m1.2.2.2.2" xref="S3.E18X.2.1.1.m1.2.2.2.2.cmml">t</mi><mo id="S3.E18X.2.1.1.m1.3.3.3.5.2" xref="S3.E18X.2.1.1.m1.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.E18X.2.1.1.m1.3.3.3.3" xref="S3.E18X.2.1.1.m1.3.3.3.3.cmml">𝒛</mi></mrow></munder><mo id="S3.E18X.2.1.1.m1.6.6.1.3a" lspace="0.497em" xref="S3.E18X.2.1.1.m1.6.6.1.3.cmml">⁡</mo><mrow id="S3.E18X.2.1.1.m1.6.6.1.3.2" xref="S3.E18X.2.1.1.m1.6.6.1.3.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.E18X.2.1.1.m1.4.4" xref="S3.E18X.2.1.1.m1.4.4.cmml"><mfrac id="S3.E18X.2.1.1.m1.4.4a" xref="S3.E18X.2.1.1.m1.4.4.cmml"><mn id="S3.E18X.2.1.1.m1.4.4.3" xref="S3.E18X.2.1.1.m1.4.4.3.cmml">1</mn><mrow id="S3.E18X.2.1.1.m1.4.4.1" xref="S3.E18X.2.1.1.m1.4.4.1.cmml"><mn id="S3.E18X.2.1.1.m1.4.4.1.3" xref="S3.E18X.2.1.1.m1.4.4.1.3.cmml">2</mn><mo id="S3.E18X.2.1.1.m1.4.4.1.2" xref="S3.E18X.2.1.1.m1.4.4.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E18X.2.1.1.m1.4.4.1.4.2" xref="S3.E18X.2.1.1.m1.4.4.1.4.1.cmml"><mo id="S3.E18X.2.1.1.m1.4.4.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S3.E18X.2.1.1.m1.4.4.1.4.1.1.cmml">|</mo><mi id="S3.E18X.2.1.1.m1.4.4.1.1" xref="S3.E18X.2.1.1.m1.4.4.1.1.cmml">J</mi><mo id="S3.E18X.2.1.1.m1.4.4.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S3.E18X.2.1.1.m1.4.4.1.4.1.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></mfrac></mstyle><mo id="S3.E18X.2.1.1.m1.6.6.1.3.2.1" xref="S3.E18X.2.1.1.m1.6.6.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mtext id="S3.E18X.2.1.1.m1.6.6.1.3.2.2" xref="S3.E18X.2.1.1.m1.6.6.1.3.2.2a.cmml">trace</mtext></mrow></mrow><mo id="S3.E18X.2.1.1.m1.6.6.1.2" xref="S3.E18X.2.1.1.m1.6.6.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E18X.2.1.1.m1.6.6.1.1.1" xref="S3.E18X.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E18X.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E18X.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E18X.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1" xref="S3.E18X.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.cmml"><mtext id="S3.E18X.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.2" xref="S3.E18X.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.2a.cmml">Toep</mtext><mo id="S3.E18X.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.1" xref="S3.E18X.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E18X.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E18X.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E18X.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E18X.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E18X.2.1.1.m1.5.5" xref="S3.E18X.2.1.1.m1.5.5.cmml">𝑻</mi><mo id="S3.E18X.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.E18X.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E18X.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E18X.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E18X.2.1.1.m1.6.6.2" xref="S3.E18X.2.1.1.m1.6.6.2.cmml">+</mo><mrow id="S3.E18X.2.1.1.m1.6.6.3" xref="S3.E18X.2.1.1.m1.6.6.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.E18X.2.1.1.m1.6.6.3.2" xref="S3.E18X.2.1.1.m1.6.6.3.2.cmml"><mfrac id="S3.E18X.2.1.1.m1.6.6.3.2a" xref="S3.E18X.2.1.1.m1.6.6.3.2.cmml"><mn id="S3.E18X.2.1.1.m1.6.6.3.2.2" xref="S3.E18X.2.1.1.m1.6.6.3.2.2.cmml">1</mn><mn id="S3.E18X.2.1.1.m1.6.6.3.2.3" xref="S3.E18X.2.1.1.m1.6.6.3.2.3.cmml">2</mn></mfrac></mstyle><mo id="S3.E18X.2.1.1.m1.6.6.3.1" xref="S3.E18X.2.1.1.m1.6.6.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E18X.2.1.1.m1.6.6.3.3" xref="S3.E18X.2.1.1.m1.6.6.3.3.cmml">t</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E18X.2.1.1.m1.6b"><apply id="S3.E18X.2.1.1.m1.6.6.cmml" xref="S3.E18X.2.1.1.m1.6.6"><plus id="S3.E18X.2.1.1.m1.6.6.2.cmml" xref="S3.E18X.2.1.1.m1.6.6.2"></plus><apply id="S3.E18X.2.1.1.m1.6.6.1.cmml" xref="S3.E18X.2.1.1.m1.6.6.1"><times id="S3.E18X.2.1.1.m1.6.6.1.2.cmml" xref="S3.E18X.2.1.1.m1.6.6.1.2"></times><apply id="S3.E18X.2.1.1.m1.6.6.1.3.cmml" xref="S3.E18X.2.1.1.m1.6.6.1.3"><apply id="S3.E18X.2.1.1.m1.6.6.1.3.1.cmml" xref="S3.E18X.2.1.1.m1.6.6.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E18X.2.1.1.m1.6.6.1.3.1.1.cmml" xref="S3.E18X.2.1.1.m1.6.6.1.3.1">subscript</csymbol><min id="S3.E18X.2.1.1.m1.6.6.1.3.1.2.cmml" xref="S3.E18X.2.1.1.m1.6.6.1.3.1.2"></min><list id="S3.E18X.2.1.1.m1.3.3.3.4.cmml" xref="S3.E18X.2.1.1.m1.3.3.3.5"><ci id="S3.E18X.2.1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E18X.2.1.1.m1.1.1.1.1">𝑻</ci><ci id="S3.E18X.2.1.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E18X.2.1.1.m1.2.2.2.2">𝑡</ci><ci id="S3.E18X.2.1.1.m1.3.3.3.3.cmml" xref="S3.E18X.2.1.1.m1.3.3.3.3">𝒛</ci></list></apply><apply id="S3.E18X.2.1.1.m1.6.6.1.3.2.cmml" xref="S3.E18X.2.1.1.m1.6.6.1.3.2"><times id="S3.E18X.2.1.1.m1.6.6.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E18X.2.1.1.m1.6.6.1.3.2.1"></times><apply id="S3.E18X.2.1.1.m1.4.4.cmml" xref="S3.E18X.2.1.1.m1.4.4"><divide id="S3.E18X.2.1.1.m1.4.4.2.cmml" xref="S3.E18X.2.1.1.m1.4.4"></divide><cn id="S3.E18X.2.1.1.m1.4.4.3.cmml" type="integer" xref="S3.E18X.2.1.1.m1.4.4.3">1</cn><apply id="S3.E18X.2.1.1.m1.4.4.1.cmml" xref="S3.E18X.2.1.1.m1.4.4.1"><times id="S3.E18X.2.1.1.m1.4.4.1.2.cmml" xref="S3.E18X.2.1.1.m1.4.4.1.2"></times><cn id="S3.E18X.2.1.1.m1.4.4.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E18X.2.1.1.m1.4.4.1.3">2</cn><apply id="S3.E18X.2.1.1.m1.4.4.1.4.1.cmml" xref="S3.E18X.2.1.1.m1.4.4.1.4.2"><abs id="S3.E18X.2.1.1.m1.4.4.1.4.1.1.cmml" xref="S3.E18X.2.1.1.m1.4.4.1.4.2.1"></abs><ci id="S3.E18X.2.1.1.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S3.E18X.2.1.1.m1.4.4.1.1">𝐽</ci></apply></apply></apply><ci id="S3.E18X.2.1.1.m1.6.6.1.3.2.2a.cmml" xref="S3.E18X.2.1.1.m1.6.6.1.3.2.2"><mtext id="S3.E18X.2.1.1.m1.6.6.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E18X.2.1.1.m1.6.6.1.3.2.2">trace</mtext></ci></apply></apply><apply id="S3.E18X.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E18X.2.1.1.m1.6.6.1.1.1"><times id="S3.E18X.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E18X.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.1"></times><ci id="S3.E18X.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.2a.cmml" xref="S3.E18X.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.2"><mtext id="S3.E18X.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E18X.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.2">Toep</mtext></ci><ci id="S3.E18X.2.1.1.m1.5.5.cmml" xref="S3.E18X.2.1.1.m1.5.5">𝑻</ci></apply></apply><apply id="S3.E18X.2.1.1.m1.6.6.3.cmml" xref="S3.E18X.2.1.1.m1.6.6.3"><times id="S3.E18X.2.1.1.m1.6.6.3.1.cmml" xref="S3.E18X.2.1.1.m1.6.6.3.1"></times><apply id="S3.E18X.2.1.1.m1.6.6.3.2.cmml" xref="S3.E18X.2.1.1.m1.6.6.3.2"><divide id="S3.E18X.2.1.1.m1.6.6.3.2.1.cmml" xref="S3.E18X.2.1.1.m1.6.6.3.2"></divide><cn id="S3.E18X.2.1.1.m1.6.6.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.E18X.2.1.1.m1.6.6.3.2.2">1</cn><cn id="S3.E18X.2.1.1.m1.6.6.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E18X.2.1.1.m1.6.6.3.2.3">2</cn></apply><ci id="S3.E18X.2.1.1.m1.6.6.3.3.cmml" xref="S3.E18X.2.1.1.m1.6.6.3.3">𝑡</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E18X.2.1.1.m1.6c">\displaystyle\min_{\boldsymbol{T},t,\boldsymbol{z}}~{}\frac{1}{2|J|}{\text{% trace}}(\text{Toep}(\boldsymbol{T}))+\frac{1}{2}t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E18X.2.1.1.m1.6d">roman_min start_POSTSUBSCRIPT bold_italic_T , italic_t , bold_italic_z end_POSTSUBSCRIPT divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 | italic_J | end_ARG trace ( Toep ( bold_italic_T ) ) + divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG italic_t</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="3"><span class="ltx_tag ltx_tag_equationgroup ltx_align_right">(18)</span></td> </tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S3.E18Xa"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle{\text{subject~{}to}}~{}~{}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{P}% \boldsymbol{z}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E18Xa.2.1.1.m1.1"><semantics id="S3.E18Xa.2.1.1.m1.1a"><mrow id="S3.E18Xa.2.1.1.m1.1.1" xref="S3.E18Xa.2.1.1.m1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E18Xa.2.1.1.m1.1.1.2" xref="S3.E18Xa.2.1.1.m1.1.1.2.cmml"><mtext id="S3.E18Xa.2.1.1.m1.1.1.2.2" xref="S3.E18Xa.2.1.1.m1.1.1.2.2a.cmml">subject to</mtext><mo id="S3.E18Xa.2.1.1.m1.1.1.2.1" lspace="0.660em" xref="S3.E18Xa.2.1.1.m1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E18Xa.2.1.1.m1.1.1.2.3" xref="S3.E18Xa.2.1.1.m1.1.1.2.3.cmml">𝒙</mi></mrow><mo id="S3.E18Xa.2.1.1.m1.1.1.1" xref="S3.E18Xa.2.1.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.E18Xa.2.1.1.m1.1.1.3" xref="S3.E18Xa.2.1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E18Xa.2.1.1.m1.1.1.3.2" xref="S3.E18Xa.2.1.1.m1.1.1.3.2.cmml">𝑷</mi><mo id="S3.E18Xa.2.1.1.m1.1.1.3.1" xref="S3.E18Xa.2.1.1.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E18Xa.2.1.1.m1.1.1.3.3" xref="S3.E18Xa.2.1.1.m1.1.1.3.3.cmml">𝒛</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E18Xa.2.1.1.m1.1b"><apply id="S3.E18Xa.2.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.E18Xa.2.1.1.m1.1.1"><eq id="S3.E18Xa.2.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.E18Xa.2.1.1.m1.1.1.1"></eq><apply id="S3.E18Xa.2.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.E18Xa.2.1.1.m1.1.1.2"><times id="S3.E18Xa.2.1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E18Xa.2.1.1.m1.1.1.2.1"></times><ci id="S3.E18Xa.2.1.1.m1.1.1.2.2a.cmml" xref="S3.E18Xa.2.1.1.m1.1.1.2.2"><mtext id="S3.E18Xa.2.1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E18Xa.2.1.1.m1.1.1.2.2">subject to</mtext></ci><ci id="S3.E18Xa.2.1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E18Xa.2.1.1.m1.1.1.2.3">𝒙</ci></apply><apply id="S3.E18Xa.2.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.E18Xa.2.1.1.m1.1.1.3"><times id="S3.E18Xa.2.1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E18Xa.2.1.1.m1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.E18Xa.2.1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E18Xa.2.1.1.m1.1.1.3.2">𝑷</ci><ci id="S3.E18Xa.2.1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E18Xa.2.1.1.m1.1.1.3.3">𝒛</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E18Xa.2.1.1.m1.1c">\displaystyle{\text{subject~{}to}}~{}~{}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{P}% \boldsymbol{z}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E18Xa.2.1.1.m1.1d">subject to bold_italic_x = bold_italic_P bold_italic_z</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S3.E18Xb"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle~{}~{}~{}~{}~{}~{}~{}~{}~{}~{}~{}~{}\begin{bmatrix}\text{Toep}(% \boldsymbol{T})&\boldsymbol{z}\\ \boldsymbol{z}^{H}&t\end{bmatrix}\succeq 0,~{}\text{Toep}(\boldsymbol{T}^{g})% \succeq 0," class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E18Xb.2.1.1.m1.1"><semantics id="S3.E18Xb.2.1.1.m1.1a"><mrow id="S3.E18Xb.2.1.1.m1.1.1.1"><mrow id="S3.E18Xb.2.1.1.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.E18Xb.2.1.1.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.E18Xb.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E18Xb.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1a.3" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1a.2.cmml"><mo id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1a.3.1" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1a.2.1.cmml">[</mo><mtable columnspacing="5pt" id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf" rowspacing="0pt" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.cmml"><mtr id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mfa" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.cmml"><mtd id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mfb" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.cmml"><mrow id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.1.1" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.1.1.cmml"><mtext id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.1.1.3" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.1.1.3a.cmml">Toep</mtext><mo id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.1.1.2" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.1.1.4.2" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.1.1.1" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.1.1.1.cmml">𝑻</mi><mo id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mtd><mtd id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mfc" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.cmml"><mi id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.2.1" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.2.1.cmml">𝒛</mi></mtd></mtr><mtr id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mfd" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.cmml"><mtd id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mfe" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.cmml"><msup id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.1.1" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.1.1.cmml"><mi id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.1.1.2" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.1.1.2.cmml">𝒛</mi><mi id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.1.1.3" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.1.1.3.cmml">H</mi></msup></mtd><mtd id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mff" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.cmml"><mi id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.2.1" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.2.1.cmml">t</mi></mtd></mtr></mtable><mo id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1a.3.2" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1a.2.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S3.E18Xb.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E18Xb.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⪰</mo><mn id="S3.E18Xb.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E18Xb.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">0</mn></mrow><mo id="S3.E18Xb.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.3" rspace="0.497em" xref="S3.E18Xb.2.1.1.m1.1.1.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.E18Xb.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E18Xb.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S3.E18Xb.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S3.E18Xb.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml"><mtext id="S3.E18Xb.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.3" xref="S3.E18Xb.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.3a.cmml">Toep</mtext><mo id="S3.E18Xb.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.2" xref="S3.E18Xb.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E18Xb.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1" xref="S3.E18Xb.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E18Xb.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E18Xb.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S3.E18Xb.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1" xref="S3.E18Xb.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E18Xb.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S3.E18Xb.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">𝑻</mi><mi id="S3.E18Xb.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S3.E18Xb.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">g</mi></msup><mo id="S3.E18Xb.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E18Xb.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E18Xb.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.E18Xb.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">⪰</mo><mn id="S3.E18Xb.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.E18Xb.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">0</mn></mrow></mrow><mo id="S3.E18Xb.2.1.1.m1.1.1.1.2">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E18Xb.2.1.1.m1.1b"><apply id="S3.E18Xb.2.1.1.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E18Xb.2.1.1.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E18Xb.2.1.1.m1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S3.E18Xb.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.E18Xb.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E18Xb.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.E18Xb.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E18Xb.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1">succeeds-or-equals</csymbol><apply id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1a.2.cmml" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1a.3"><csymbol cd="latexml" id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1a.2.1.cmml" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1a.3.1">matrix</csymbol><matrix id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.cmml" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf"><matrixrow id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mfa.cmml" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf"><apply id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.1.1"><times id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.1.1.2"></times><ci id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.1.1.3"><mtext id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.1.1.3">Toep</mtext></ci><ci id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.1.1.1">𝑻</ci></apply><ci id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.2.1">𝒛</ci></matrixrow><matrixrow id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mfb.cmml" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf"><apply id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.1.1.cmml" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.1.1.1.cmml" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.1.1.2.cmml" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.1.1.2">𝒛</ci><ci id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.1.1.3.cmml" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.1.1.3">𝐻</ci></apply><ci id="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.2.1.cmml" xref="S3.E18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.2.1">𝑡</ci></matrixrow></matrix></apply><cn id="S3.E18Xb.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S3.E18Xb.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2">0</cn></apply><apply id="S3.E18Xb.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E18Xb.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.E18Xb.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E18Xb.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.2">succeeds-or-equals</csymbol><apply id="S3.E18Xb.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E18Xb.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.1"><times id="S3.E18Xb.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="S3.E18Xb.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.2"></times><ci id="S3.E18Xb.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.3a.cmml" xref="S3.E18Xb.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.3"><mtext id="S3.E18Xb.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.3.cmml" xref="S3.E18Xb.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.3">Toep</mtext></ci><apply id="S3.E18Xb.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E18Xb.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E18Xb.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E18Xb.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.E18Xb.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E18Xb.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2">𝑻</ci><ci id="S3.E18Xb.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E18Xb.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.3">𝑔</ci></apply></apply><cn id="S3.E18Xb.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E18Xb.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.3">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E18Xb.2.1.1.m1.1c">\displaystyle~{}~{}~{}~{}~{}~{}~{}~{}~{}~{}~{}~{}\begin{bmatrix}\text{Toep}(% \boldsymbol{T})&\boldsymbol{z}\\ \boldsymbol{z}^{H}&t\end{bmatrix}\succeq 0,~{}\text{Toep}(\boldsymbol{T}^{g})% \succeq 0,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E18Xb.2.1.1.m1.1d">[ start_ARG start_ROW start_CELL Toep ( bold_italic_T ) end_CELL start_CELL bold_italic_z end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL bold_italic_z start_POSTSUPERSCRIPT italic_H end_POSTSUPERSCRIPT end_CELL start_CELL italic_t end_CELL end_ROW end_ARG ] ⪰ 0 , Toep ( bold_italic_T start_POSTSUPERSCRIPT italic_g end_POSTSUPERSCRIPT ) ⪰ 0 ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr> </tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.p4.2">which is computationally feasible. Off-the-shelf solvers, such as CVX <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15164v1#bib.bib16" title="">16</a>]</cite>, can be used to solve (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15164v1#S3.E18" title="In III-A Constrained Atomic Norm Minimization and Its SDP Representation ‣ III Constrained Two-Dimensional Atomic Norm Minimization ‣ Gridless Chirp Parameter Retrieval via Constrained Two-Dimensional Atomic Norm Minimization D. Yang and F. Xi contributed equally to this work. D. Yang was supported in part by the Research Development Fund (RDF-23-02-080) from Xi’an Jiaotong-Liverpool University. F. Xi was supported in part by the National Natural Science Foundation of China under grant No. 62471230."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">18</span></a>). It is worth noting that the dual of (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15164v1#S3.E18" title="In III-A Constrained Atomic Norm Minimization and Its SDP Representation ‣ III Constrained Two-Dimensional Atomic Norm Minimization ‣ Gridless Chirp Parameter Retrieval via Constrained Two-Dimensional Atomic Norm Minimization D. Yang and F. Xi contributed equally to this work. D. Yang was supported in part by the Research Development Fund (RDF-23-02-080) from Xi’an Jiaotong-Liverpool University. F. Xi was supported in part by the National Natural Science Foundation of China under grant No. 62471230."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">18</span></a>) is also an SDP. Due to space limitations, we leave the details of the derivation for future work.</p> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="S3.SS2"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection"><span class="ltx_text" id="S3.SS2.4.1.1">III-B</span> </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.SS2.5.2">Dual Atomic Norm and Dual Certificate</span> </h3> <div class="ltx_para" id="S3.SS2.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p1.1">The dual norm associated with the constrained atomic set <math alttext="\mathcal{A}_{c}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.SS2.p1.1.m1.1a"><msub id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.2" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.2.cmml">𝒜</mi><mi id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.cmml">c</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p1.1.m1.1b"><apply id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.2">𝒜</ci><ci id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.3">𝑐</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p1.1.m1.1c">\mathcal{A}_{c}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p1.1.m1.1d">caligraphic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is given by</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E19"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="||\boldsymbol{q}||_{\mathcal{A}_{c}}^{*}=\sup_{||\boldsymbol{z}||_{\mathcal{A}% _{c}}\leq 1}\left\langle\boldsymbol{q},\boldsymbol{z}\right\rangle_{\mathbb{R}% }=\sup_{f\in[0,1),\theta\in[0,\mathcal{U}]}|\left\langle\boldsymbol{q},{% \boldsymbol{d}}(f,\theta)\right\rangle_{\mathbb{R}}|," class="ltx_Math" display="block" id="S3.E19.m1.14"><semantics id="S3.E19.m1.14a"><mrow id="S3.E19.m1.14.14.1" xref="S3.E19.m1.14.14.1.1.cmml"><mrow id="S3.E19.m1.14.14.1.1" xref="S3.E19.m1.14.14.1.1.cmml"><msubsup id="S3.E19.m1.14.14.1.1.3" xref="S3.E19.m1.14.14.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.E19.m1.14.14.1.1.3.2.2.2" xref="S3.E19.m1.14.14.1.1.3.2.2.1.cmml"><mo id="S3.E19.m1.14.14.1.1.3.2.2.2.1" stretchy="false" xref="S3.E19.m1.14.14.1.1.3.2.2.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S3.E19.m1.8.8" xref="S3.E19.m1.8.8.cmml">𝒒</mi><mo id="S3.E19.m1.14.14.1.1.3.2.2.2.2" stretchy="false" xref="S3.E19.m1.14.14.1.1.3.2.2.1.1.cmml">‖</mo></mrow><msub id="S3.E19.m1.14.14.1.1.3.2.3" xref="S3.E19.m1.14.14.1.1.3.2.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.E19.m1.14.14.1.1.3.2.3.2" xref="S3.E19.m1.14.14.1.1.3.2.3.2.cmml">𝒜</mi><mi id="S3.E19.m1.14.14.1.1.3.2.3.3" xref="S3.E19.m1.14.14.1.1.3.2.3.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S3.E19.m1.14.14.1.1.3.3" xref="S3.E19.m1.14.14.1.1.3.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="S3.E19.m1.14.14.1.1.4" rspace="0.1389em" xref="S3.E19.m1.14.14.1.1.4.cmml">=</mo><mrow id="S3.E19.m1.14.14.1.1.5" xref="S3.E19.m1.14.14.1.1.5.cmml"><munder id="S3.E19.m1.14.14.1.1.5.1" xref="S3.E19.m1.14.14.1.1.5.1.cmml"><mo id="S3.E19.m1.14.14.1.1.5.1.2" lspace="0.1389em" movablelimits="false" rspace="0em" xref="S3.E19.m1.14.14.1.1.5.1.2.cmml">sup</mo><mrow id="S3.E19.m1.1.1.1" xref="S3.E19.m1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E19.m1.1.1.1.3" xref="S3.E19.m1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.E19.m1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.E19.m1.1.1.1.3.2.1.cmml"><mo id="S3.E19.m1.1.1.1.3.2.2.1" maxsize="142%" minsize="142%" xref="S3.E19.m1.1.1.1.3.2.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S3.E19.m1.1.1.1.1" xref="S3.E19.m1.1.1.1.1.cmml">𝒛</mi><mo id="S3.E19.m1.1.1.1.3.2.2.2" maxsize="142%" minsize="142%" xref="S3.E19.m1.1.1.1.3.2.1.1.cmml">‖</mo></mrow><msub id="S3.E19.m1.1.1.1.3.3" xref="S3.E19.m1.1.1.1.3.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.E19.m1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.E19.m1.1.1.1.3.3.2.cmml">𝒜</mi><mi id="S3.E19.m1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.E19.m1.1.1.1.3.3.3.cmml">c</mi></msub></msub><mo id="S3.E19.m1.1.1.1.2" xref="S3.E19.m1.1.1.1.2.cmml">≤</mo><mn id="S3.E19.m1.1.1.1.4" xref="S3.E19.m1.1.1.1.4.cmml">1</mn></mrow></munder><msub id="S3.E19.m1.14.14.1.1.5.2" xref="S3.E19.m1.14.14.1.1.5.2.cmml"><mrow id="S3.E19.m1.14.14.1.1.5.2.2.2" xref="S3.E19.m1.14.14.1.1.5.2.2.1.cmml"><mo id="S3.E19.m1.14.14.1.1.5.2.2.2.1" xref="S3.E19.m1.14.14.1.1.5.2.2.1.cmml">⟨</mo><mi id="S3.E19.m1.9.9" xref="S3.E19.m1.9.9.cmml">𝒒</mi><mo id="S3.E19.m1.14.14.1.1.5.2.2.2.2" xref="S3.E19.m1.14.14.1.1.5.2.2.1.cmml">,</mo><mi id="S3.E19.m1.10.10" xref="S3.E19.m1.10.10.cmml">𝒛</mi><mo id="S3.E19.m1.14.14.1.1.5.2.2.2.3" xref="S3.E19.m1.14.14.1.1.5.2.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mi id="S3.E19.m1.14.14.1.1.5.2.3" xref="S3.E19.m1.14.14.1.1.5.2.3.cmml">ℝ</mi></msub></mrow><mo id="S3.E19.m1.14.14.1.1.6" rspace="0.1389em" xref="S3.E19.m1.14.14.1.1.6.cmml">=</mo><mrow id="S3.E19.m1.14.14.1.1.1" xref="S3.E19.m1.14.14.1.1.1.cmml"><munder id="S3.E19.m1.14.14.1.1.1.2" xref="S3.E19.m1.14.14.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E19.m1.14.14.1.1.1.2.2" lspace="0.1389em" movablelimits="false" rspace="0em" xref="S3.E19.m1.14.14.1.1.1.2.2.cmml">sup</mo><mrow id="S3.E19.m1.7.7.6.6" xref="S3.E19.m1.7.7.6.7.cmml"><mrow id="S3.E19.m1.6.6.5.5.1" xref="S3.E19.m1.6.6.5.5.1.cmml"><mi id="S3.E19.m1.6.6.5.5.1.2" xref="S3.E19.m1.6.6.5.5.1.2.cmml">f</mi><mo id="S3.E19.m1.6.6.5.5.1.1" xref="S3.E19.m1.6.6.5.5.1.1.cmml">∈</mo><mrow id="S3.E19.m1.6.6.5.5.1.3.2" xref="S3.E19.m1.6.6.5.5.1.3.1.cmml"><mo id="S3.E19.m1.6.6.5.5.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E19.m1.6.6.5.5.1.3.1.cmml">[</mo><mn id="S3.E19.m1.2.2.1.1" xref="S3.E19.m1.2.2.1.1.cmml">0</mn><mo id="S3.E19.m1.6.6.5.5.1.3.2.2" xref="S3.E19.m1.6.6.5.5.1.3.1.cmml">,</mo><mn id="S3.E19.m1.3.3.2.2" xref="S3.E19.m1.3.3.2.2.cmml">1</mn><mo id="S3.E19.m1.6.6.5.5.1.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.E19.m1.6.6.5.5.1.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E19.m1.7.7.6.6.3" xref="S3.E19.m1.7.7.6.7a.cmml">,</mo><mrow id="S3.E19.m1.7.7.6.6.2" xref="S3.E19.m1.7.7.6.6.2.cmml"><mi id="S3.E19.m1.7.7.6.6.2.2" xref="S3.E19.m1.7.7.6.6.2.2.cmml">θ</mi><mo id="S3.E19.m1.7.7.6.6.2.1" xref="S3.E19.m1.7.7.6.6.2.1.cmml">∈</mo><mrow id="S3.E19.m1.7.7.6.6.2.3.2" xref="S3.E19.m1.7.7.6.6.2.3.1.cmml"><mo id="S3.E19.m1.7.7.6.6.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E19.m1.7.7.6.6.2.3.1.cmml">[</mo><mn id="S3.E19.m1.4.4.3.3" xref="S3.E19.m1.4.4.3.3.cmml">0</mn><mo id="S3.E19.m1.7.7.6.6.2.3.2.2" xref="S3.E19.m1.7.7.6.6.2.3.1.cmml">,</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.E19.m1.5.5.4.4" xref="S3.E19.m1.5.5.4.4.cmml">𝒰</mi><mo id="S3.E19.m1.7.7.6.6.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.E19.m1.7.7.6.6.2.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow></munder><mrow id="S3.E19.m1.14.14.1.1.1.1.1" xref="S3.E19.m1.14.14.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E19.m1.14.14.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E19.m1.14.14.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S3.E19.m1.14.14.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E19.m1.14.14.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E19.m1.14.14.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E19.m1.14.14.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E19.m1.14.14.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E19.m1.14.14.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⟨</mo><mi id="S3.E19.m1.13.13" xref="S3.E19.m1.13.13.cmml">𝒒</mi><mo id="S3.E19.m1.14.14.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E19.m1.14.14.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">,</mo><mrow id="S3.E19.m1.14.14.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E19.m1.14.14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E19.m1.14.14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E19.m1.14.14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝒅</mi><mo id="S3.E19.m1.14.14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E19.m1.14.14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E19.m1.14.14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E19.m1.14.14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S3.E19.m1.14.14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E19.m1.14.14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E19.m1.11.11" xref="S3.E19.m1.11.11.cmml">f</mi><mo id="S3.E19.m1.14.14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.E19.m1.14.14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.E19.m1.12.12" xref="S3.E19.m1.12.12.cmml">θ</mi><mo id="S3.E19.m1.14.14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.E19.m1.14.14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E19.m1.14.14.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S3.E19.m1.14.14.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⟩</mo></mrow><mi id="S3.E19.m1.14.14.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E19.m1.14.14.1.1.1.1.1.1.3.cmml">ℝ</mi></msub><mo id="S3.E19.m1.14.14.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E19.m1.14.14.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E19.m1.14.14.1.2" xref="S3.E19.m1.14.14.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E19.m1.14b"><apply id="S3.E19.m1.14.14.1.1.cmml" xref="S3.E19.m1.14.14.1"><and id="S3.E19.m1.14.14.1.1a.cmml" xref="S3.E19.m1.14.14.1"></and><apply id="S3.E19.m1.14.14.1.1b.cmml" xref="S3.E19.m1.14.14.1"><eq id="S3.E19.m1.14.14.1.1.4.cmml" xref="S3.E19.m1.14.14.1.1.4"></eq><apply id="S3.E19.m1.14.14.1.1.3.cmml" xref="S3.E19.m1.14.14.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E19.m1.14.14.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E19.m1.14.14.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S3.E19.m1.14.14.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E19.m1.14.14.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E19.m1.14.14.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E19.m1.14.14.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S3.E19.m1.14.14.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S3.E19.m1.14.14.1.1.3.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.E19.m1.14.14.1.1.3.2.2.1.1.cmml" xref="S3.E19.m1.14.14.1.1.3.2.2.2.1">norm</csymbol><ci id="S3.E19.m1.8.8.cmml" xref="S3.E19.m1.8.8">𝒒</ci></apply><apply id="S3.E19.m1.14.14.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.E19.m1.14.14.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E19.m1.14.14.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S3.E19.m1.14.14.1.1.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E19.m1.14.14.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S3.E19.m1.14.14.1.1.3.2.3.2">𝒜</ci><ci id="S3.E19.m1.14.14.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S3.E19.m1.14.14.1.1.3.2.3.3">𝑐</ci></apply></apply><times id="S3.E19.m1.14.14.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E19.m1.14.14.1.1.3.3"></times></apply><apply id="S3.E19.m1.14.14.1.1.5.cmml" xref="S3.E19.m1.14.14.1.1.5"><apply id="S3.E19.m1.14.14.1.1.5.1.cmml" xref="S3.E19.m1.14.14.1.1.5.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E19.m1.14.14.1.1.5.1.1.cmml" xref="S3.E19.m1.14.14.1.1.5.1">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S3.E19.m1.14.14.1.1.5.1.2.cmml" xref="S3.E19.m1.14.14.1.1.5.1.2">supremum</csymbol><apply id="S3.E19.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.E19.m1.1.1.1"><leq id="S3.E19.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E19.m1.1.1.1.2"></leq><apply id="S3.E19.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E19.m1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E19.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E19.m1.1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S3.E19.m1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E19.m1.1.1.1.3.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.E19.m1.1.1.1.3.2.1.1.cmml" xref="S3.E19.m1.1.1.1.3.2.2.1">norm</csymbol><ci id="S3.E19.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E19.m1.1.1.1.1">𝒛</ci></apply><apply id="S3.E19.m1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E19.m1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E19.m1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E19.m1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E19.m1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.E19.m1.1.1.1.3.3.2">𝒜</ci><ci id="S3.E19.m1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.E19.m1.1.1.1.3.3.3">𝑐</ci></apply></apply><cn id="S3.E19.m1.1.1.1.4.cmml" type="integer" xref="S3.E19.m1.1.1.1.4">1</cn></apply></apply><apply id="S3.E19.m1.14.14.1.1.5.2.cmml" xref="S3.E19.m1.14.14.1.1.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E19.m1.14.14.1.1.5.2.1.cmml" xref="S3.E19.m1.14.14.1.1.5.2">subscript</csymbol><list id="S3.E19.m1.14.14.1.1.5.2.2.1.cmml" xref="S3.E19.m1.14.14.1.1.5.2.2.2"><ci id="S3.E19.m1.9.9.cmml" xref="S3.E19.m1.9.9">𝒒</ci><ci id="S3.E19.m1.10.10.cmml" xref="S3.E19.m1.10.10">𝒛</ci></list><ci id="S3.E19.m1.14.14.1.1.5.2.3.cmml" xref="S3.E19.m1.14.14.1.1.5.2.3">ℝ</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.E19.m1.14.14.1.1c.cmml" xref="S3.E19.m1.14.14.1"><eq id="S3.E19.m1.14.14.1.1.6.cmml" xref="S3.E19.m1.14.14.1.1.6"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.15164v1#S3.E19.m1.14.14.1.1.5.cmml" id="S3.E19.m1.14.14.1.1d.cmml" xref="S3.E19.m1.14.14.1"></share><apply id="S3.E19.m1.14.14.1.1.1.cmml" xref="S3.E19.m1.14.14.1.1.1"><apply id="S3.E19.m1.14.14.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E19.m1.14.14.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E19.m1.14.14.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E19.m1.14.14.1.1.1.2">subscript</csymbol><csymbol cd="latexml" id="S3.E19.m1.14.14.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E19.m1.14.14.1.1.1.2.2">supremum</csymbol><apply id="S3.E19.m1.7.7.6.7.cmml" xref="S3.E19.m1.7.7.6.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E19.m1.7.7.6.7a.cmml" xref="S3.E19.m1.7.7.6.6.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.E19.m1.6.6.5.5.1.cmml" xref="S3.E19.m1.6.6.5.5.1"><in id="S3.E19.m1.6.6.5.5.1.1.cmml" xref="S3.E19.m1.6.6.5.5.1.1"></in><ci id="S3.E19.m1.6.6.5.5.1.2.cmml" xref="S3.E19.m1.6.6.5.5.1.2">𝑓</ci><interval closure="closed-open" id="S3.E19.m1.6.6.5.5.1.3.1.cmml" xref="S3.E19.m1.6.6.5.5.1.3.2"><cn id="S3.E19.m1.2.2.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.E19.m1.2.2.1.1">0</cn><cn id="S3.E19.m1.3.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.E19.m1.3.3.2.2">1</cn></interval></apply><apply id="S3.E19.m1.7.7.6.6.2.cmml" xref="S3.E19.m1.7.7.6.6.2"><in id="S3.E19.m1.7.7.6.6.2.1.cmml" xref="S3.E19.m1.7.7.6.6.2.1"></in><ci id="S3.E19.m1.7.7.6.6.2.2.cmml" xref="S3.E19.m1.7.7.6.6.2.2">𝜃</ci><interval closure="closed" id="S3.E19.m1.7.7.6.6.2.3.1.cmml" xref="S3.E19.m1.7.7.6.6.2.3.2"><cn id="S3.E19.m1.4.4.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E19.m1.4.4.3.3">0</cn><ci id="S3.E19.m1.5.5.4.4.cmml" xref="S3.E19.m1.5.5.4.4">𝒰</ci></interval></apply></apply></apply><apply id="S3.E19.m1.14.14.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E19.m1.14.14.1.1.1.1.1"><abs id="S3.E19.m1.14.14.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E19.m1.14.14.1.1.1.1.1.2"></abs><apply id="S3.E19.m1.14.14.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E19.m1.14.14.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E19.m1.14.14.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E19.m1.14.14.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><list id="S3.E19.m1.14.14.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E19.m1.14.14.1.1.1.1.1.1.1.1"><ci id="S3.E19.m1.13.13.cmml" xref="S3.E19.m1.13.13">𝒒</ci><apply id="S3.E19.m1.14.14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E19.m1.14.14.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.E19.m1.14.14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E19.m1.14.14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S3.E19.m1.14.14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E19.m1.14.14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝒅</ci><interval closure="open" id="S3.E19.m1.14.14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E19.m1.14.14.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><ci id="S3.E19.m1.11.11.cmml" xref="S3.E19.m1.11.11">𝑓</ci><ci id="S3.E19.m1.12.12.cmml" xref="S3.E19.m1.12.12">𝜃</ci></interval></apply></list><ci id="S3.E19.m1.14.14.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E19.m1.14.14.1.1.1.1.1.1.3">ℝ</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E19.m1.14c">||\boldsymbol{q}||_{\mathcal{A}_{c}}^{*}=\sup_{||\boldsymbol{z}||_{\mathcal{A}% _{c}}\leq 1}\left\langle\boldsymbol{q},\boldsymbol{z}\right\rangle_{\mathbb{R}% }=\sup_{f\in[0,1),\theta\in[0,\mathcal{U}]}|\left\langle\boldsymbol{q},{% \boldsymbol{d}}(f,\theta)\right\rangle_{\mathbb{R}}|,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E19.m1.14d">| | bold_italic_q | | start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT = roman_sup start_POSTSUBSCRIPT | | bold_italic_z | | start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ≤ 1 end_POSTSUBSCRIPT ⟨ bold_italic_q , bold_italic_z ⟩ start_POSTSUBSCRIPT blackboard_R end_POSTSUBSCRIPT = roman_sup start_POSTSUBSCRIPT italic_f ∈ [ 0 , 1 ) , italic_θ ∈ [ 0 , caligraphic_U ] end_POSTSUBSCRIPT | ⟨ bold_italic_q , bold_italic_d ( italic_f , italic_θ ) ⟩ start_POSTSUBSCRIPT blackboard_R end_POSTSUBSCRIPT | ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(19)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p1.2">where <math alttext="\langle\cdot,\cdot\rangle_{\mathbb{R}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p1.2.m1.2"><semantics id="S3.SS2.p1.2.m1.2a"><msub id="S3.SS2.p1.2.m1.2.3" xref="S3.SS2.p1.2.m1.2.3.cmml"><mrow id="S3.SS2.p1.2.m1.2.3.2.2" xref="S3.SS2.p1.2.m1.2.3.2.1.cmml"><mo id="S3.SS2.p1.2.m1.2.3.2.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.p1.2.m1.2.3.2.1.cmml">⟨</mo><mo id="S3.SS2.p1.2.m1.1.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.SS2.p1.2.m1.1.1.cmml">⋅</mo><mo id="S3.SS2.p1.2.m1.2.3.2.2.2" rspace="0em" xref="S3.SS2.p1.2.m1.2.3.2.1.cmml">,</mo><mo id="S3.SS2.p1.2.m1.2.2" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.SS2.p1.2.m1.2.2.cmml">⋅</mo><mo id="S3.SS2.p1.2.m1.2.3.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.SS2.p1.2.m1.2.3.2.1.cmml">⟩</mo></mrow><mi id="S3.SS2.p1.2.m1.2.3.3" xref="S3.SS2.p1.2.m1.2.3.3.cmml">ℝ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p1.2.m1.2b"><apply id="S3.SS2.p1.2.m1.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p1.2.m1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p1.2.m1.2.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.2.m1.2.3">subscript</csymbol><list id="S3.SS2.p1.2.m1.2.3.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.2.m1.2.3.2.2"><ci id="S3.SS2.p1.2.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.2.m1.1.1">⋅</ci><ci id="S3.SS2.p1.2.m1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.2.m1.2.2">⋅</ci></list><ci id="S3.SS2.p1.2.m1.2.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p1.2.m1.2.3.3">ℝ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p1.2.m1.2c">\langle\cdot,\cdot\rangle_{\mathbb{R}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p1.2.m1.2d">⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ start_POSTSUBSCRIPT blackboard_R end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> denotes the real part of the inner product. Standard Lagrangian analysis shows that the dual of (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15164v1#S3.E12" title="In III-A Constrained Atomic Norm Minimization and Its SDP Representation ‣ III Constrained Two-Dimensional Atomic Norm Minimization ‣ Gridless Chirp Parameter Retrieval via Constrained Two-Dimensional Atomic Norm Minimization D. Yang and F. Xi contributed equally to this work. D. Yang was supported in part by the Research Development Fund (RDF-23-02-080) from Xi’an Jiaotong-Liverpool University. F. Xi was supported in part by the National Natural Science Foundation of China under grant No. 62471230."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">12</span></a>) is given by</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_table" id="S3.E20"> <tbody> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S3.E20X"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\max_{\boldsymbol{q}}\left\langle\boldsymbol{q},\boldsymbol{x}% \right\rangle_{\mathbb{R}}~{}~{}~{}\text{subject~{}to}~{}~{}~{}||\mathcal{P}^{% *}(\boldsymbol{q})||_{\mathcal{A}_{c}}^{*}\leq 1," class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S3.E20X.2.1.1.m1.2"><semantics id="S3.E20X.2.1.1.m1.2a"><mrow id="S3.E20X.2.1.1.m1.2b"><munder id="S3.E20X.2.1.1.m1.2.3"><mi id="S3.E20X.2.1.1.m1.2.3.2">max</mi><mi id="S3.E20X.2.1.1.m1.2.3.3">𝒒</mi></munder><msub id="S3.E20X.2.1.1.m1.2.4"><mrow id="S3.E20X.2.1.1.m1.2.4.2"><mo id="S3.E20X.2.1.1.m1.2.4.2.1">⟨</mo><mi id="S3.E20X.2.1.1.m1.1.1">𝒒</mi><mo id="S3.E20X.2.1.1.m1.2.4.2.2">,</mo><mi id="S3.E20X.2.1.1.m1.2.2">𝒙</mi><mo id="S3.E20X.2.1.1.m1.2.4.2.3">⟩</mo></mrow><mi id="S3.E20X.2.1.1.m1.2.4.3">ℝ</mi></msub><mtext id="S3.E20X.2.1.1.m1.2.5">subject to</mtext><mo fence="false" id="S3.E20X.2.1.1.m1.2.6" lspace="0.990em" rspace="0.167em" stretchy="false">|</mo><mo fence="false" id="S3.E20X.2.1.1.m1.2.7" rspace="0.167em" stretchy="false">|</mo><msup id="S3.E20X.2.1.1.m1.2.8"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.E20X.2.1.1.m1.2.8.2">𝒫</mi><mo id="S3.E20X.2.1.1.m1.2.8.3">∗</mo></msup><mrow id="S3.E20X.2.1.1.m1.2.9"><mo id="S3.E20X.2.1.1.m1.2.9.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S3.E20X.2.1.1.m1.2.9.2">𝒒</mi><mo id="S3.E20X.2.1.1.m1.2.9.3" stretchy="false">)</mo></mrow><mo fence="false" id="S3.E20X.2.1.1.m1.2.10" rspace="0.167em" stretchy="false">|</mo><msubsup id="S3.E20X.2.1.1.m1.2.11"><mo fence="false" id="S3.E20X.2.1.1.m1.2.11.2.2" stretchy="false">|</mo><msub id="S3.E20X.2.1.1.m1.2.11.2.3"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.E20X.2.1.1.m1.2.11.2.3.2">𝒜</mi><mi id="S3.E20X.2.1.1.m1.2.11.2.3.3">c</mi></msub><mo id="S3.E20X.2.1.1.m1.2.11.3">∗</mo></msubsup><mo id="S3.E20X.2.1.1.m1.2.12" lspace="0.167em">≤</mo><mn id="S3.E20X.2.1.1.m1.2.13">1</mn><mo id="S3.E20X.2.1.1.m1.2.14">,</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E20X.2.1.1.m1.2c">\displaystyle\max_{\boldsymbol{q}}\left\langle\boldsymbol{q},\boldsymbol{x}% \right\rangle_{\mathbb{R}}~{}~{}~{}\text{subject~{}to}~{}~{}~{}||\mathcal{P}^{% *}(\boldsymbol{q})||_{\mathcal{A}_{c}}^{*}\leq 1,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E20X.2.1.1.m1.2d">roman_max start_POSTSUBSCRIPT bold_italic_q end_POSTSUBSCRIPT ⟨ bold_italic_q , bold_italic_x ⟩ start_POSTSUBSCRIPT blackboard_R end_POSTSUBSCRIPT subject to | | caligraphic_P start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( bold_italic_q ) | | start_POSTSUBSCRIPT caligraphic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ≤ 1 ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equationgroup ltx_align_right">(20)</span></td> </tr> </tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p1.7">where <math alttext="\mathcal{P}^{*}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p1.3.m1.1"><semantics id="S3.SS2.p1.3.m1.1a"><msup id="S3.SS2.p1.3.m1.1.1" xref="S3.SS2.p1.3.m1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS2.p1.3.m1.1.1.2" xref="S3.SS2.p1.3.m1.1.1.2.cmml">𝒫</mi><mo id="S3.SS2.p1.3.m1.1.1.3" xref="S3.SS2.p1.3.m1.1.1.3.cmml">∗</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p1.3.m1.1b"><apply id="S3.SS2.p1.3.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.3.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p1.3.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.3.m1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p1.3.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.3.m1.1.1.2">𝒫</ci><times id="S3.SS2.p1.3.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p1.3.m1.1.1.3"></times></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p1.3.m1.1c">\mathcal{P}^{*}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p1.3.m1.1d">caligraphic_P start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is the adjoint operator of the linear operator <math alttext="\mathcal{P}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p1.4.m2.1"><semantics id="S3.SS2.p1.4.m2.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS2.p1.4.m2.1.1" xref="S3.SS2.p1.4.m2.1.1.cmml">𝒫</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p1.4.m2.1b"><ci id="S3.SS2.p1.4.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.4.m2.1.1">𝒫</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p1.4.m2.1c">\mathcal{P}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p1.4.m2.1d">caligraphic_P</annotation></semantics></math>. Since the linear operator <math alttext="\mathcal{P}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p1.5.m3.1"><semantics id="S3.SS2.p1.5.m3.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS2.p1.5.m3.1.1" xref="S3.SS2.p1.5.m3.1.1.cmml">𝒫</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p1.5.m3.1b"><ci id="S3.SS2.p1.5.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.5.m3.1.1">𝒫</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p1.5.m3.1c">\mathcal{P}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p1.5.m3.1d">caligraphic_P</annotation></semantics></math> is characterized by the measurement matrix <math alttext="\boldsymbol{P}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p1.6.m4.1"><semantics id="S3.SS2.p1.6.m4.1a"><mi id="S3.SS2.p1.6.m4.1.1" xref="S3.SS2.p1.6.m4.1.1.cmml">𝑷</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p1.6.m4.1b"><ci id="S3.SS2.p1.6.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.6.m4.1.1">𝑷</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p1.6.m4.1c">\boldsymbol{P}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p1.6.m4.1d">bold_italic_P</annotation></semantics></math>, we have <math alttext="\mathcal{P}^{*}(\boldsymbol{q})=\boldsymbol{P}^{H}\boldsymbol{q}\in\mathbb{C}^% {NM\times 1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p1.7.m5.1"><semantics id="S3.SS2.p1.7.m5.1a"><mrow id="S3.SS2.p1.7.m5.1.2" xref="S3.SS2.p1.7.m5.1.2.cmml"><mrow id="S3.SS2.p1.7.m5.1.2.2" xref="S3.SS2.p1.7.m5.1.2.2.cmml"><msup id="S3.SS2.p1.7.m5.1.2.2.2" xref="S3.SS2.p1.7.m5.1.2.2.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS2.p1.7.m5.1.2.2.2.2" xref="S3.SS2.p1.7.m5.1.2.2.2.2.cmml">𝒫</mi><mo id="S3.SS2.p1.7.m5.1.2.2.2.3" xref="S3.SS2.p1.7.m5.1.2.2.2.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S3.SS2.p1.7.m5.1.2.2.1" xref="S3.SS2.p1.7.m5.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS2.p1.7.m5.1.2.2.3.2" xref="S3.SS2.p1.7.m5.1.2.2.cmml"><mo id="S3.SS2.p1.7.m5.1.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.p1.7.m5.1.2.2.cmml">(</mo><mi id="S3.SS2.p1.7.m5.1.1" xref="S3.SS2.p1.7.m5.1.1.cmml">𝒒</mi><mo id="S3.SS2.p1.7.m5.1.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p1.7.m5.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.SS2.p1.7.m5.1.2.3" xref="S3.SS2.p1.7.m5.1.2.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS2.p1.7.m5.1.2.4" xref="S3.SS2.p1.7.m5.1.2.4.cmml"><msup id="S3.SS2.p1.7.m5.1.2.4.2" xref="S3.SS2.p1.7.m5.1.2.4.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p1.7.m5.1.2.4.2.2" xref="S3.SS2.p1.7.m5.1.2.4.2.2.cmml">𝑷</mi><mi id="S3.SS2.p1.7.m5.1.2.4.2.3" xref="S3.SS2.p1.7.m5.1.2.4.2.3.cmml">H</mi></msup><mo id="S3.SS2.p1.7.m5.1.2.4.1" xref="S3.SS2.p1.7.m5.1.2.4.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS2.p1.7.m5.1.2.4.3" xref="S3.SS2.p1.7.m5.1.2.4.3.cmml">𝒒</mi></mrow><mo id="S3.SS2.p1.7.m5.1.2.5" xref="S3.SS2.p1.7.m5.1.2.5.cmml">∈</mo><msup id="S3.SS2.p1.7.m5.1.2.6" xref="S3.SS2.p1.7.m5.1.2.6.cmml"><mi id="S3.SS2.p1.7.m5.1.2.6.2" xref="S3.SS2.p1.7.m5.1.2.6.2.cmml">ℂ</mi><mrow id="S3.SS2.p1.7.m5.1.2.6.3" xref="S3.SS2.p1.7.m5.1.2.6.3.cmml"><mrow id="S3.SS2.p1.7.m5.1.2.6.3.2" xref="S3.SS2.p1.7.m5.1.2.6.3.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p1.7.m5.1.2.6.3.2.2" xref="S3.SS2.p1.7.m5.1.2.6.3.2.2.cmml">N</mi><mo id="S3.SS2.p1.7.m5.1.2.6.3.2.1" xref="S3.SS2.p1.7.m5.1.2.6.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS2.p1.7.m5.1.2.6.3.2.3" xref="S3.SS2.p1.7.m5.1.2.6.3.2.3.cmml">M</mi></mrow><mo id="S3.SS2.p1.7.m5.1.2.6.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S3.SS2.p1.7.m5.1.2.6.3.1.cmml">×</mo><mn id="S3.SS2.p1.7.m5.1.2.6.3.3" xref="S3.SS2.p1.7.m5.1.2.6.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p1.7.m5.1b"><apply id="S3.SS2.p1.7.m5.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.7.m5.1.2"><and id="S3.SS2.p1.7.m5.1.2a.cmml" xref="S3.SS2.p1.7.m5.1.2"></and><apply id="S3.SS2.p1.7.m5.1.2b.cmml" xref="S3.SS2.p1.7.m5.1.2"><eq id="S3.SS2.p1.7.m5.1.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p1.7.m5.1.2.3"></eq><apply id="S3.SS2.p1.7.m5.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.7.m5.1.2.2"><times id="S3.SS2.p1.7.m5.1.2.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.7.m5.1.2.2.1"></times><apply id="S3.SS2.p1.7.m5.1.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.7.m5.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p1.7.m5.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.7.m5.1.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p1.7.m5.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.7.m5.1.2.2.2.2">𝒫</ci><times id="S3.SS2.p1.7.m5.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p1.7.m5.1.2.2.2.3"></times></apply><ci id="S3.SS2.p1.7.m5.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.7.m5.1.1">𝒒</ci></apply><apply id="S3.SS2.p1.7.m5.1.2.4.cmml" xref="S3.SS2.p1.7.m5.1.2.4"><times id="S3.SS2.p1.7.m5.1.2.4.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.7.m5.1.2.4.1"></times><apply id="S3.SS2.p1.7.m5.1.2.4.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.7.m5.1.2.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p1.7.m5.1.2.4.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.7.m5.1.2.4.2">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p1.7.m5.1.2.4.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.7.m5.1.2.4.2.2">𝑷</ci><ci id="S3.SS2.p1.7.m5.1.2.4.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p1.7.m5.1.2.4.2.3">𝐻</ci></apply><ci id="S3.SS2.p1.7.m5.1.2.4.3.cmml" xref="S3.SS2.p1.7.m5.1.2.4.3">𝒒</ci></apply></apply><apply id="S3.SS2.p1.7.m5.1.2c.cmml" xref="S3.SS2.p1.7.m5.1.2"><in id="S3.SS2.p1.7.m5.1.2.5.cmml" xref="S3.SS2.p1.7.m5.1.2.5"></in><share href="https://arxiv.org/html/2503.15164v1#S3.SS2.p1.7.m5.1.2.4.cmml" id="S3.SS2.p1.7.m5.1.2d.cmml" xref="S3.SS2.p1.7.m5.1.2"></share><apply id="S3.SS2.p1.7.m5.1.2.6.cmml" xref="S3.SS2.p1.7.m5.1.2.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p1.7.m5.1.2.6.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.7.m5.1.2.6">superscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p1.7.m5.1.2.6.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.7.m5.1.2.6.2">ℂ</ci><apply id="S3.SS2.p1.7.m5.1.2.6.3.cmml" xref="S3.SS2.p1.7.m5.1.2.6.3"><times id="S3.SS2.p1.7.m5.1.2.6.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.7.m5.1.2.6.3.1"></times><apply id="S3.SS2.p1.7.m5.1.2.6.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.7.m5.1.2.6.3.2"><times id="S3.SS2.p1.7.m5.1.2.6.3.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.7.m5.1.2.6.3.2.1"></times><ci id="S3.SS2.p1.7.m5.1.2.6.3.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.7.m5.1.2.6.3.2.2">𝑁</ci><ci id="S3.SS2.p1.7.m5.1.2.6.3.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p1.7.m5.1.2.6.3.2.3">𝑀</ci></apply><cn id="S3.SS2.p1.7.m5.1.2.6.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p1.7.m5.1.2.6.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p1.7.m5.1c">\mathcal{P}^{*}(\boldsymbol{q})=\boldsymbol{P}^{H}\boldsymbol{q}\in\mathbb{C}^% {NM\times 1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p1.7.m5.1d">caligraphic_P start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( bold_italic_q ) = bold_italic_P start_POSTSUPERSCRIPT italic_H end_POSTSUPERSCRIPT bold_italic_q ∈ blackboard_C start_POSTSUPERSCRIPT italic_N italic_M × 1 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS2.p2"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p2.1">Define the dual polynomial</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E21"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="Q(f,\theta)={\boldsymbol{d}}^{H}(f,\theta)\boldsymbol{P}^{H}\boldsymbol{q}," class="ltx_Math" display="block" id="S3.E21.m1.5"><semantics id="S3.E21.m1.5a"><mrow id="S3.E21.m1.5.5.1" xref="S3.E21.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S3.E21.m1.5.5.1.1" xref="S3.E21.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S3.E21.m1.5.5.1.1.2" xref="S3.E21.m1.5.5.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E21.m1.5.5.1.1.2.2" xref="S3.E21.m1.5.5.1.1.2.2.cmml">Q</mi><mo id="S3.E21.m1.5.5.1.1.2.1" xref="S3.E21.m1.5.5.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E21.m1.5.5.1.1.2.3.2" xref="S3.E21.m1.5.5.1.1.2.3.1.cmml"><mo id="S3.E21.m1.5.5.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E21.m1.5.5.1.1.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E21.m1.1.1" xref="S3.E21.m1.1.1.cmml">f</mi><mo id="S3.E21.m1.5.5.1.1.2.3.2.2" xref="S3.E21.m1.5.5.1.1.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.E21.m1.2.2" xref="S3.E21.m1.2.2.cmml">θ</mi><mo id="S3.E21.m1.5.5.1.1.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.E21.m1.5.5.1.1.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E21.m1.5.5.1.1.1" xref="S3.E21.m1.5.5.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.E21.m1.5.5.1.1.3" xref="S3.E21.m1.5.5.1.1.3.cmml"><msup id="S3.E21.m1.5.5.1.1.3.2" xref="S3.E21.m1.5.5.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.E21.m1.5.5.1.1.3.2.2" xref="S3.E21.m1.5.5.1.1.3.2.2.cmml">𝒅</mi><mi id="S3.E21.m1.5.5.1.1.3.2.3" xref="S3.E21.m1.5.5.1.1.3.2.3.cmml">H</mi></msup><mo id="S3.E21.m1.5.5.1.1.3.1" xref="S3.E21.m1.5.5.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E21.m1.5.5.1.1.3.3.2" xref="S3.E21.m1.5.5.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="S3.E21.m1.5.5.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E21.m1.5.5.1.1.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E21.m1.3.3" xref="S3.E21.m1.3.3.cmml">f</mi><mo id="S3.E21.m1.5.5.1.1.3.3.2.2" xref="S3.E21.m1.5.5.1.1.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.E21.m1.4.4" xref="S3.E21.m1.4.4.cmml">θ</mi><mo id="S3.E21.m1.5.5.1.1.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.E21.m1.5.5.1.1.3.3.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E21.m1.5.5.1.1.3.1a" xref="S3.E21.m1.5.5.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E21.m1.5.5.1.1.3.4" xref="S3.E21.m1.5.5.1.1.3.4.cmml"><mi id="S3.E21.m1.5.5.1.1.3.4.2" xref="S3.E21.m1.5.5.1.1.3.4.2.cmml">𝑷</mi><mi id="S3.E21.m1.5.5.1.1.3.4.3" xref="S3.E21.m1.5.5.1.1.3.4.3.cmml">H</mi></msup><mo id="S3.E21.m1.5.5.1.1.3.1b" xref="S3.E21.m1.5.5.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E21.m1.5.5.1.1.3.5" xref="S3.E21.m1.5.5.1.1.3.5.cmml">𝒒</mi></mrow></mrow><mo id="S3.E21.m1.5.5.1.2" xref="S3.E21.m1.5.5.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E21.m1.5b"><apply id="S3.E21.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S3.E21.m1.5.5.1"><eq id="S3.E21.m1.5.5.1.1.1.cmml" xref="S3.E21.m1.5.5.1.1.1"></eq><apply id="S3.E21.m1.5.5.1.1.2.cmml" xref="S3.E21.m1.5.5.1.1.2"><times id="S3.E21.m1.5.5.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E21.m1.5.5.1.1.2.1"></times><ci id="S3.E21.m1.5.5.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E21.m1.5.5.1.1.2.2">𝑄</ci><interval closure="open" id="S3.E21.m1.5.5.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.E21.m1.5.5.1.1.2.3.2"><ci id="S3.E21.m1.1.1.cmml" xref="S3.E21.m1.1.1">𝑓</ci><ci id="S3.E21.m1.2.2.cmml" xref="S3.E21.m1.2.2">𝜃</ci></interval></apply><apply id="S3.E21.m1.5.5.1.1.3.cmml" xref="S3.E21.m1.5.5.1.1.3"><times id="S3.E21.m1.5.5.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E21.m1.5.5.1.1.3.1"></times><apply id="S3.E21.m1.5.5.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E21.m1.5.5.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E21.m1.5.5.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E21.m1.5.5.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.E21.m1.5.5.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E21.m1.5.5.1.1.3.2.2">𝒅</ci><ci id="S3.E21.m1.5.5.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.E21.m1.5.5.1.1.3.2.3">𝐻</ci></apply><interval closure="open" id="S3.E21.m1.5.5.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E21.m1.5.5.1.1.3.3.2"><ci id="S3.E21.m1.3.3.cmml" xref="S3.E21.m1.3.3">𝑓</ci><ci id="S3.E21.m1.4.4.cmml" xref="S3.E21.m1.4.4">𝜃</ci></interval><apply id="S3.E21.m1.5.5.1.1.3.4.cmml" xref="S3.E21.m1.5.5.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E21.m1.5.5.1.1.3.4.1.cmml" xref="S3.E21.m1.5.5.1.1.3.4">superscript</csymbol><ci id="S3.E21.m1.5.5.1.1.3.4.2.cmml" xref="S3.E21.m1.5.5.1.1.3.4.2">𝑷</ci><ci id="S3.E21.m1.5.5.1.1.3.4.3.cmml" xref="S3.E21.m1.5.5.1.1.3.4.3">𝐻</ci></apply><ci id="S3.E21.m1.5.5.1.1.3.5.cmml" xref="S3.E21.m1.5.5.1.1.3.5">𝒒</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E21.m1.5c">Q(f,\theta)={\boldsymbol{d}}^{H}(f,\theta)\boldsymbol{P}^{H}\boldsymbol{q},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E21.m1.5d">italic_Q ( italic_f , italic_θ ) = bold_italic_d start_POSTSUPERSCRIPT italic_H end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_f , italic_θ ) bold_italic_P start_POSTSUPERSCRIPT italic_H end_POSTSUPERSCRIPT bold_italic_q ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(21)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p2.2">which serves to certify the optimal atomic decomposition, as shown in the following theorem.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_thm" id="S3.Thmthm1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"><span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.Thmthm1.1.1.1">Theorem III.1</span></span></h6> <div class="ltx_para" id="S3.Thmthm1.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.Thmthm1.p1.6"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.Thmthm1.p1.6.6">Suppose that the constrained atomic set <math alttext="\mathcal{A}_{c}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmthm1.p1.1.1.m1.1"><semantics id="S3.Thmthm1.p1.1.1.m1.1a"><msub id="S3.Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1" xref="S3.Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="S3.Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml">𝒜</mi><mi id="S3.Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="S3.Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml">c</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmthm1.p1.1.1.m1.1b"><apply id="S3.Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.2">𝒜</ci><ci id="S3.Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.Thmthm1.p1.1.1.m1.1.1.3">𝑐</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmthm1.p1.1.1.m1.1c">\mathcal{A}_{c}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmthm1.p1.1.1.m1.1d">caligraphic_A start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is composed of atoms of the form <math alttext="{\boldsymbol{d}}(f,\theta)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmthm1.p1.2.2.m2.2"><semantics id="S3.Thmthm1.p1.2.2.m2.2a"><mrow id="S3.Thmthm1.p1.2.2.m2.2.3" xref="S3.Thmthm1.p1.2.2.m2.2.3.cmml"><mi id="S3.Thmthm1.p1.2.2.m2.2.3.2" xref="S3.Thmthm1.p1.2.2.m2.2.3.2.cmml">𝐝</mi><mo id="S3.Thmthm1.p1.2.2.m2.2.3.1" xref="S3.Thmthm1.p1.2.2.m2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Thmthm1.p1.2.2.m2.2.3.3.2" xref="S3.Thmthm1.p1.2.2.m2.2.3.3.1.cmml"><mo id="S3.Thmthm1.p1.2.2.m2.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Thmthm1.p1.2.2.m2.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.Thmthm1.p1.2.2.m2.1.1" xref="S3.Thmthm1.p1.2.2.m2.1.1.cmml">f</mi><mo id="S3.Thmthm1.p1.2.2.m2.2.3.3.2.2" xref="S3.Thmthm1.p1.2.2.m2.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.Thmthm1.p1.2.2.m2.2.2" xref="S3.Thmthm1.p1.2.2.m2.2.2.cmml">θ</mi><mo id="S3.Thmthm1.p1.2.2.m2.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.Thmthm1.p1.2.2.m2.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmthm1.p1.2.2.m2.2b"><apply id="S3.Thmthm1.p1.2.2.m2.2.3.cmml" xref="S3.Thmthm1.p1.2.2.m2.2.3"><times id="S3.Thmthm1.p1.2.2.m2.2.3.1.cmml" xref="S3.Thmthm1.p1.2.2.m2.2.3.1"></times><ci id="S3.Thmthm1.p1.2.2.m2.2.3.2.cmml" xref="S3.Thmthm1.p1.2.2.m2.2.3.2">𝐝</ci><interval closure="open" id="S3.Thmthm1.p1.2.2.m2.2.3.3.1.cmml" xref="S3.Thmthm1.p1.2.2.m2.2.3.3.2"><ci id="S3.Thmthm1.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.Thmthm1.p1.2.2.m2.1.1">𝑓</ci><ci id="S3.Thmthm1.p1.2.2.m2.2.2.cmml" xref="S3.Thmthm1.p1.2.2.m2.2.2">𝜃</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmthm1.p1.2.2.m2.2c">{\boldsymbol{d}}(f,\theta)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmthm1.p1.2.2.m2.2d">bold_italic_d ( italic_f , italic_θ )</annotation></semantics></math> with <math alttext="(f,\theta)\in[0,1)\times[0,\mathcal{U}]" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmthm1.p1.3.3.m3.6"><semantics id="S3.Thmthm1.p1.3.3.m3.6a"><mrow id="S3.Thmthm1.p1.3.3.m3.6.7" xref="S3.Thmthm1.p1.3.3.m3.6.7.cmml"><mrow id="S3.Thmthm1.p1.3.3.m3.6.7.2.2" xref="S3.Thmthm1.p1.3.3.m3.6.7.2.1.cmml"><mo id="S3.Thmthm1.p1.3.3.m3.6.7.2.2.1" stretchy="false" xref="S3.Thmthm1.p1.3.3.m3.6.7.2.1.cmml">(</mo><mi id="S3.Thmthm1.p1.3.3.m3.1.1" xref="S3.Thmthm1.p1.3.3.m3.1.1.cmml">f</mi><mo id="S3.Thmthm1.p1.3.3.m3.6.7.2.2.2" xref="S3.Thmthm1.p1.3.3.m3.6.7.2.1.cmml">,</mo><mi id="S3.Thmthm1.p1.3.3.m3.2.2" xref="S3.Thmthm1.p1.3.3.m3.2.2.cmml">θ</mi><mo id="S3.Thmthm1.p1.3.3.m3.6.7.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.Thmthm1.p1.3.3.m3.6.7.2.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Thmthm1.p1.3.3.m3.6.7.1" xref="S3.Thmthm1.p1.3.3.m3.6.7.1.cmml">∈</mo><mrow id="S3.Thmthm1.p1.3.3.m3.6.7.3" xref="S3.Thmthm1.p1.3.3.m3.6.7.3.cmml"><mrow id="S3.Thmthm1.p1.3.3.m3.6.7.3.2.2" xref="S3.Thmthm1.p1.3.3.m3.6.7.3.2.1.cmml"><mo id="S3.Thmthm1.p1.3.3.m3.6.7.3.2.2.1" stretchy="false" xref="S3.Thmthm1.p1.3.3.m3.6.7.3.2.1.cmml">[</mo><mn id="S3.Thmthm1.p1.3.3.m3.3.3" xref="S3.Thmthm1.p1.3.3.m3.3.3.cmml">0</mn><mo id="S3.Thmthm1.p1.3.3.m3.6.7.3.2.2.2" xref="S3.Thmthm1.p1.3.3.m3.6.7.3.2.1.cmml">,</mo><mn id="S3.Thmthm1.p1.3.3.m3.4.4" xref="S3.Thmthm1.p1.3.3.m3.4.4.cmml">1</mn><mo id="S3.Thmthm1.p1.3.3.m3.6.7.3.2.2.3" rspace="0.055em" stretchy="false" xref="S3.Thmthm1.p1.3.3.m3.6.7.3.2.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Thmthm1.p1.3.3.m3.6.7.3.1" rspace="0.222em" xref="S3.Thmthm1.p1.3.3.m3.6.7.3.1.cmml">×</mo><mrow id="S3.Thmthm1.p1.3.3.m3.6.7.3.3.2" xref="S3.Thmthm1.p1.3.3.m3.6.7.3.3.1.cmml"><mo id="S3.Thmthm1.p1.3.3.m3.6.7.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Thmthm1.p1.3.3.m3.6.7.3.3.1.cmml">[</mo><mn id="S3.Thmthm1.p1.3.3.m3.5.5" xref="S3.Thmthm1.p1.3.3.m3.5.5.cmml">0</mn><mo id="S3.Thmthm1.p1.3.3.m3.6.7.3.3.2.2" xref="S3.Thmthm1.p1.3.3.m3.6.7.3.3.1.cmml">,</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Thmthm1.p1.3.3.m3.6.6" xref="S3.Thmthm1.p1.3.3.m3.6.6.cmml">𝒰</mi><mo id="S3.Thmthm1.p1.3.3.m3.6.7.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.Thmthm1.p1.3.3.m3.6.7.3.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmthm1.p1.3.3.m3.6b"><apply id="S3.Thmthm1.p1.3.3.m3.6.7.cmml" xref="S3.Thmthm1.p1.3.3.m3.6.7"><in id="S3.Thmthm1.p1.3.3.m3.6.7.1.cmml" xref="S3.Thmthm1.p1.3.3.m3.6.7.1"></in><interval closure="open" id="S3.Thmthm1.p1.3.3.m3.6.7.2.1.cmml" xref="S3.Thmthm1.p1.3.3.m3.6.7.2.2"><ci id="S3.Thmthm1.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.Thmthm1.p1.3.3.m3.1.1">𝑓</ci><ci id="S3.Thmthm1.p1.3.3.m3.2.2.cmml" xref="S3.Thmthm1.p1.3.3.m3.2.2">𝜃</ci></interval><apply id="S3.Thmthm1.p1.3.3.m3.6.7.3.cmml" xref="S3.Thmthm1.p1.3.3.m3.6.7.3"><times id="S3.Thmthm1.p1.3.3.m3.6.7.3.1.cmml" xref="S3.Thmthm1.p1.3.3.m3.6.7.3.1"></times><interval closure="closed-open" id="S3.Thmthm1.p1.3.3.m3.6.7.3.2.1.cmml" xref="S3.Thmthm1.p1.3.3.m3.6.7.3.2.2"><cn id="S3.Thmthm1.p1.3.3.m3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Thmthm1.p1.3.3.m3.3.3">0</cn><cn id="S3.Thmthm1.p1.3.3.m3.4.4.cmml" type="integer" xref="S3.Thmthm1.p1.3.3.m3.4.4">1</cn></interval><interval closure="closed" id="S3.Thmthm1.p1.3.3.m3.6.7.3.3.1.cmml" xref="S3.Thmthm1.p1.3.3.m3.6.7.3.3.2"><cn id="S3.Thmthm1.p1.3.3.m3.5.5.cmml" type="integer" xref="S3.Thmthm1.p1.3.3.m3.5.5">0</cn><ci id="S3.Thmthm1.p1.3.3.m3.6.6.cmml" xref="S3.Thmthm1.p1.3.3.m3.6.6">𝒰</ci></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmthm1.p1.3.3.m3.6c">(f,\theta)\in[0,1)\times[0,\mathcal{U}]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmthm1.p1.3.3.m3.6d">( italic_f , italic_θ ) ∈ [ 0 , 1 ) × [ 0 , caligraphic_U ]</annotation></semantics></math>. Define the set <math alttext="\mathbb{D}=\left\{(f_{k},\theta_{k})\right\}_{k=1}^{K}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmthm1.p1.4.4.m4.1"><semantics id="S3.Thmthm1.p1.4.4.m4.1a"><mrow id="S3.Thmthm1.p1.4.4.m4.1.1" xref="S3.Thmthm1.p1.4.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S3.Thmthm1.p1.4.4.m4.1.1.3" xref="S3.Thmthm1.p1.4.4.m4.1.1.3.cmml">𝔻</mi><mo id="S3.Thmthm1.p1.4.4.m4.1.1.2" xref="S3.Thmthm1.p1.4.4.m4.1.1.2.cmml">=</mo><msubsup id="S3.Thmthm1.p1.4.4.m4.1.1.1" xref="S3.Thmthm1.p1.4.4.m4.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Thmthm1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Thmthm1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Thmthm1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Thmthm1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.2.cmml">{</mo><mrow id="S3.Thmthm1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Thmthm1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S3.Thmthm1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.2.3" stretchy="false" xref="S3.Thmthm1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><msub id="S3.Thmthm1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Thmthm1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Thmthm1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Thmthm1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">f</mi><mi id="S3.Thmthm1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Thmthm1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.Thmthm1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.2.4" xref="S3.Thmthm1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">,</mo><msub id="S3.Thmthm1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Thmthm1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.Thmthm1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.Thmthm1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">θ</mi><mi id="S3.Thmthm1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.Thmthm1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.Thmthm1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.2.5" stretchy="false" xref="S3.Thmthm1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Thmthm1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Thmthm1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.2.cmml">}</mo></mrow><mrow id="S3.Thmthm1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.3" xref="S3.Thmthm1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Thmthm1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Thmthm1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.3.2.cmml">k</mi><mo id="S3.Thmthm1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.3.1" xref="S3.Thmthm1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.Thmthm1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Thmthm1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S3.Thmthm1.p1.4.4.m4.1.1.1.3" xref="S3.Thmthm1.p1.4.4.m4.1.1.1.3.cmml">K</mi></msubsup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmthm1.p1.4.4.m4.1b"><apply id="S3.Thmthm1.p1.4.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.Thmthm1.p1.4.4.m4.1.1"><eq id="S3.Thmthm1.p1.4.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmthm1.p1.4.4.m4.1.1.2"></eq><ci id="S3.Thmthm1.p1.4.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S3.Thmthm1.p1.4.4.m4.1.1.3">𝔻</ci><apply id="S3.Thmthm1.p1.4.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmthm1.p1.4.4.m4.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmthm1.p1.4.4.m4.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmthm1.p1.4.4.m4.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.Thmthm1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmthm1.p1.4.4.m4.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmthm1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmthm1.p1.4.4.m4.1.1.1">subscript</csymbol><set id="S3.Thmthm1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmthm1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.1"><interval closure="open" id="S3.Thmthm1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Thmthm1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.2"><apply id="S3.Thmthm1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmthm1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmthm1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmthm1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Thmthm1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmthm1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑓</ci><ci id="S3.Thmthm1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Thmthm1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply><apply id="S3.Thmthm1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Thmthm1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmthm1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Thmthm1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Thmthm1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Thmthm1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝜃</ci><ci id="S3.Thmthm1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Thmthm1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">𝑘</ci></apply></interval></set><apply id="S3.Thmthm1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Thmthm1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.3"><eq id="S3.Thmthm1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Thmthm1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.3.1"></eq><ci id="S3.Thmthm1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Thmthm1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.3.2">𝑘</ci><cn id="S3.Thmthm1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Thmthm1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S3.Thmthm1.p1.4.4.m4.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Thmthm1.p1.4.4.m4.1.1.1.3">𝐾</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmthm1.p1.4.4.m4.1c">\mathbb{D}=\left\{(f_{k},\theta_{k})\right\}_{k=1}^{K}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmthm1.p1.4.4.m4.1d">blackboard_D = { ( italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT , italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ) } start_POSTSUBSCRIPT italic_k = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_K end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. Let <math alttext="\widehat{\boldsymbol{z}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmthm1.p1.5.5.m5.1"><semantics id="S3.Thmthm1.p1.5.5.m5.1a"><mover accent="true" id="S3.Thmthm1.p1.5.5.m5.1.1" xref="S3.Thmthm1.p1.5.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S3.Thmthm1.p1.5.5.m5.1.1.2" xref="S3.Thmthm1.p1.5.5.m5.1.1.2.cmml">𝐳</mi><mo id="S3.Thmthm1.p1.5.5.m5.1.1.1" xref="S3.Thmthm1.p1.5.5.m5.1.1.1.cmml">^</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmthm1.p1.5.5.m5.1b"><apply id="S3.Thmthm1.p1.5.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.Thmthm1.p1.5.5.m5.1.1"><ci id="S3.Thmthm1.p1.5.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmthm1.p1.5.5.m5.1.1.1">^</ci><ci id="S3.Thmthm1.p1.5.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmthm1.p1.5.5.m5.1.1.2">𝐳</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmthm1.p1.5.5.m5.1c">\widehat{\boldsymbol{z}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmthm1.p1.5.5.m5.1d">over^ start_ARG bold_italic_z end_ARG</annotation></semantics></math> be the optimal solution to (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15164v1#S3.E12" title="In III-A Constrained Atomic Norm Minimization and Its SDP Representation ‣ III Constrained Two-Dimensional Atomic Norm Minimization ‣ Gridless Chirp Parameter Retrieval via Constrained Two-Dimensional Atomic Norm Minimization D. Yang and F. Xi contributed equally to this work. D. Yang was supported in part by the Research Development Fund (RDF-23-02-080) from Xi’an Jiaotong-Liverpool University. F. Xi was supported in part by the National Natural Science Foundation of China under grant No. 62471230."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">12</span></a>). Then <math alttext="\widehat{\boldsymbol{z}}=\boldsymbol{z}^{\star}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmthm1.p1.6.6.m6.1"><semantics id="S3.Thmthm1.p1.6.6.m6.1a"><mrow id="S3.Thmthm1.p1.6.6.m6.1.1" xref="S3.Thmthm1.p1.6.6.m6.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.Thmthm1.p1.6.6.m6.1.1.2" xref="S3.Thmthm1.p1.6.6.m6.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Thmthm1.p1.6.6.m6.1.1.2.2" xref="S3.Thmthm1.p1.6.6.m6.1.1.2.2.cmml">𝐳</mi><mo id="S3.Thmthm1.p1.6.6.m6.1.1.2.1" xref="S3.Thmthm1.p1.6.6.m6.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S3.Thmthm1.p1.6.6.m6.1.1.1" xref="S3.Thmthm1.p1.6.6.m6.1.1.1.cmml">=</mo><msup id="S3.Thmthm1.p1.6.6.m6.1.1.3" xref="S3.Thmthm1.p1.6.6.m6.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Thmthm1.p1.6.6.m6.1.1.3.2" xref="S3.Thmthm1.p1.6.6.m6.1.1.3.2.cmml">𝐳</mi><mo id="S3.Thmthm1.p1.6.6.m6.1.1.3.3" xref="S3.Thmthm1.p1.6.6.m6.1.1.3.3.cmml">⋆</mo></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmthm1.p1.6.6.m6.1b"><apply id="S3.Thmthm1.p1.6.6.m6.1.1.cmml" xref="S3.Thmthm1.p1.6.6.m6.1.1"><eq id="S3.Thmthm1.p1.6.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmthm1.p1.6.6.m6.1.1.1"></eq><apply id="S3.Thmthm1.p1.6.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmthm1.p1.6.6.m6.1.1.2"><ci id="S3.Thmthm1.p1.6.6.m6.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Thmthm1.p1.6.6.m6.1.1.2.1">^</ci><ci id="S3.Thmthm1.p1.6.6.m6.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Thmthm1.p1.6.6.m6.1.1.2.2">𝐳</ci></apply><apply id="S3.Thmthm1.p1.6.6.m6.1.1.3.cmml" xref="S3.Thmthm1.p1.6.6.m6.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmthm1.p1.6.6.m6.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Thmthm1.p1.6.6.m6.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Thmthm1.p1.6.6.m6.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Thmthm1.p1.6.6.m6.1.1.3.2">𝐳</ci><ci id="S3.Thmthm1.p1.6.6.m6.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Thmthm1.p1.6.6.m6.1.1.3.3">⋆</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmthm1.p1.6.6.m6.1c">\widehat{\boldsymbol{z}}=\boldsymbol{z}^{\star}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmthm1.p1.6.6.m6.1d">over^ start_ARG bold_italic_z end_ARG = bold_italic_z start_POSTSUPERSCRIPT ⋆ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is the unique optimal solution if the following two conditions are satisfied: <br class="ltx_break"/>1) There exists a dual polynomial</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_table" id="S3.E22"> <tbody> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S3.E22X"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle Q(f,\theta)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E22X.2.1.1.m1.2"><semantics id="S3.E22X.2.1.1.m1.2a"><mrow id="S3.E22X.2.1.1.m1.2.3" xref="S3.E22X.2.1.1.m1.2.3.cmml"><mi id="S3.E22X.2.1.1.m1.2.3.2" xref="S3.E22X.2.1.1.m1.2.3.2.cmml">Q</mi><mo id="S3.E22X.2.1.1.m1.2.3.1" xref="S3.E22X.2.1.1.m1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E22X.2.1.1.m1.2.3.3.2" xref="S3.E22X.2.1.1.m1.2.3.3.1.cmml"><mo id="S3.E22X.2.1.1.m1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E22X.2.1.1.m1.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E22X.2.1.1.m1.1.1" xref="S3.E22X.2.1.1.m1.1.1.cmml">f</mi><mo id="S3.E22X.2.1.1.m1.2.3.3.2.2" xref="S3.E22X.2.1.1.m1.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.E22X.2.1.1.m1.2.2" xref="S3.E22X.2.1.1.m1.2.2.cmml">θ</mi><mo id="S3.E22X.2.1.1.m1.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.E22X.2.1.1.m1.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E22X.2.1.1.m1.2b"><apply id="S3.E22X.2.1.1.m1.2.3.cmml" xref="S3.E22X.2.1.1.m1.2.3"><times id="S3.E22X.2.1.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S3.E22X.2.1.1.m1.2.3.1"></times><ci id="S3.E22X.2.1.1.m1.2.3.2.cmml" xref="S3.E22X.2.1.1.m1.2.3.2">𝑄</ci><interval closure="open" id="S3.E22X.2.1.1.m1.2.3.3.1.cmml" xref="S3.E22X.2.1.1.m1.2.3.3.2"><ci id="S3.E22X.2.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.E22X.2.1.1.m1.1.1">𝑓</ci><ci id="S3.E22X.2.1.1.m1.2.2.cmml" xref="S3.E22X.2.1.1.m1.2.2">𝜃</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E22X.2.1.1.m1.2c">\displaystyle Q(f,\theta)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E22X.2.1.1.m1.2d">italic_Q ( italic_f , italic_θ )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\left\langle\mathcal{P}^{*}(\boldsymbol{q}),{\boldsymbol{d}}(f,% \theta)\right\rangle" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E22X.3.2.2.m1.5"><semantics id="S3.E22X.3.2.2.m1.5a"><mrow id="S3.E22X.3.2.2.m1.5.5" xref="S3.E22X.3.2.2.m1.5.5.cmml"><mi id="S3.E22X.3.2.2.m1.5.5.4" xref="S3.E22X.3.2.2.m1.5.5.4.cmml"></mi><mo id="S3.E22X.3.2.2.m1.5.5.3" xref="S3.E22X.3.2.2.m1.5.5.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.E22X.3.2.2.m1.5.5.2.2" xref="S3.E22X.3.2.2.m1.5.5.2.3.cmml"><mo id="S3.E22X.3.2.2.m1.5.5.2.2.3" xref="S3.E22X.3.2.2.m1.5.5.2.3.cmml">⟨</mo><mrow id="S3.E22X.3.2.2.m1.4.4.1.1.1" xref="S3.E22X.3.2.2.m1.4.4.1.1.1.cmml"><msup id="S3.E22X.3.2.2.m1.4.4.1.1.1.2" xref="S3.E22X.3.2.2.m1.4.4.1.1.1.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.E22X.3.2.2.m1.4.4.1.1.1.2.2" xref="S3.E22X.3.2.2.m1.4.4.1.1.1.2.2.cmml">𝒫</mi><mo id="S3.E22X.3.2.2.m1.4.4.1.1.1.2.3" xref="S3.E22X.3.2.2.m1.4.4.1.1.1.2.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S3.E22X.3.2.2.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S3.E22X.3.2.2.m1.4.4.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E22X.3.2.2.m1.4.4.1.1.1.3.2" xref="S3.E22X.3.2.2.m1.4.4.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E22X.3.2.2.m1.4.4.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E22X.3.2.2.m1.4.4.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E22X.3.2.2.m1.1.1" xref="S3.E22X.3.2.2.m1.1.1.cmml">𝒒</mi><mo id="S3.E22X.3.2.2.m1.4.4.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.E22X.3.2.2.m1.4.4.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E22X.3.2.2.m1.5.5.2.2.4" xref="S3.E22X.3.2.2.m1.5.5.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S3.E22X.3.2.2.m1.5.5.2.2.2" xref="S3.E22X.3.2.2.m1.5.5.2.2.2.cmml"><mi id="S3.E22X.3.2.2.m1.5.5.2.2.2.2" xref="S3.E22X.3.2.2.m1.5.5.2.2.2.2.cmml">𝒅</mi><mo id="S3.E22X.3.2.2.m1.5.5.2.2.2.1" xref="S3.E22X.3.2.2.m1.5.5.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E22X.3.2.2.m1.5.5.2.2.2.3.2" xref="S3.E22X.3.2.2.m1.5.5.2.2.2.3.1.cmml"><mo id="S3.E22X.3.2.2.m1.5.5.2.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E22X.3.2.2.m1.5.5.2.2.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E22X.3.2.2.m1.2.2" xref="S3.E22X.3.2.2.m1.2.2.cmml">f</mi><mo id="S3.E22X.3.2.2.m1.5.5.2.2.2.3.2.2" xref="S3.E22X.3.2.2.m1.5.5.2.2.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.E22X.3.2.2.m1.3.3" xref="S3.E22X.3.2.2.m1.3.3.cmml">θ</mi><mo id="S3.E22X.3.2.2.m1.5.5.2.2.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.E22X.3.2.2.m1.5.5.2.2.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E22X.3.2.2.m1.5.5.2.2.5" xref="S3.E22X.3.2.2.m1.5.5.2.3.cmml">⟩</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E22X.3.2.2.m1.5b"><apply id="S3.E22X.3.2.2.m1.5.5.cmml" xref="S3.E22X.3.2.2.m1.5.5"><eq id="S3.E22X.3.2.2.m1.5.5.3.cmml" xref="S3.E22X.3.2.2.m1.5.5.3"></eq><csymbol cd="latexml" id="S3.E22X.3.2.2.m1.5.5.4.cmml" xref="S3.E22X.3.2.2.m1.5.5.4">absent</csymbol><list id="S3.E22X.3.2.2.m1.5.5.2.3.cmml" xref="S3.E22X.3.2.2.m1.5.5.2.2"><apply id="S3.E22X.3.2.2.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="S3.E22X.3.2.2.m1.4.4.1.1.1"><times id="S3.E22X.3.2.2.m1.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E22X.3.2.2.m1.4.4.1.1.1.1"></times><apply id="S3.E22X.3.2.2.m1.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E22X.3.2.2.m1.4.4.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E22X.3.2.2.m1.4.4.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E22X.3.2.2.m1.4.4.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S3.E22X.3.2.2.m1.4.4.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E22X.3.2.2.m1.4.4.1.1.1.2.2">𝒫</ci><times id="S3.E22X.3.2.2.m1.4.4.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E22X.3.2.2.m1.4.4.1.1.1.2.3"></times></apply><ci id="S3.E22X.3.2.2.m1.1.1.cmml" xref="S3.E22X.3.2.2.m1.1.1">𝒒</ci></apply><apply id="S3.E22X.3.2.2.m1.5.5.2.2.2.cmml" xref="S3.E22X.3.2.2.m1.5.5.2.2.2"><times id="S3.E22X.3.2.2.m1.5.5.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E22X.3.2.2.m1.5.5.2.2.2.1"></times><ci id="S3.E22X.3.2.2.m1.5.5.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E22X.3.2.2.m1.5.5.2.2.2.2">𝒅</ci><interval closure="open" id="S3.E22X.3.2.2.m1.5.5.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.E22X.3.2.2.m1.5.5.2.2.2.3.2"><ci id="S3.E22X.3.2.2.m1.2.2.cmml" xref="S3.E22X.3.2.2.m1.2.2">𝑓</ci><ci id="S3.E22X.3.2.2.m1.3.3.cmml" xref="S3.E22X.3.2.2.m1.3.3">𝜃</ci></interval></apply></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E22X.3.2.2.m1.5c">\displaystyle=\left\langle\mathcal{P}^{*}(\boldsymbol{q}),{\boldsymbol{d}}(f,% \theta)\right\rangle</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E22X.3.2.2.m1.5d">= ⟨ caligraphic_P start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT ( bold_italic_q ) , bold_italic_d ( italic_f , italic_θ ) ⟩</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="2"><span class="ltx_tag ltx_tag_equationgroup ltx_align_right">(22)</span></td> </tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S3.E22Xa"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\sum_{n=0}^{N-1}\boldsymbol{q}(n)e^{-j2\pi(fn+\theta n^{2})}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E22Xa.2.1.1.m1.2"><semantics id="S3.E22Xa.2.1.1.m1.2a"><mrow id="S3.E22Xa.2.1.1.m1.2.3" xref="S3.E22Xa.2.1.1.m1.2.3.cmml"><mi id="S3.E22Xa.2.1.1.m1.2.3.2" xref="S3.E22Xa.2.1.1.m1.2.3.2.cmml"></mi><mo id="S3.E22Xa.2.1.1.m1.2.3.1" xref="S3.E22Xa.2.1.1.m1.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.E22Xa.2.1.1.m1.2.3.3" xref="S3.E22Xa.2.1.1.m1.2.3.3.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.E22Xa.2.1.1.m1.2.3.3.1" xref="S3.E22Xa.2.1.1.m1.2.3.3.1.cmml"><munderover id="S3.E22Xa.2.1.1.m1.2.3.3.1a" xref="S3.E22Xa.2.1.1.m1.2.3.3.1.cmml"><mo id="S3.E22Xa.2.1.1.m1.2.3.3.1.2.2" movablelimits="false" xref="S3.E22Xa.2.1.1.m1.2.3.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.E22Xa.2.1.1.m1.2.3.3.1.2.3" xref="S3.E22Xa.2.1.1.m1.2.3.3.1.2.3.cmml"><mi id="S3.E22Xa.2.1.1.m1.2.3.3.1.2.3.2" xref="S3.E22Xa.2.1.1.m1.2.3.3.1.2.3.2.cmml">n</mi><mo id="S3.E22Xa.2.1.1.m1.2.3.3.1.2.3.1" xref="S3.E22Xa.2.1.1.m1.2.3.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.E22Xa.2.1.1.m1.2.3.3.1.2.3.3" xref="S3.E22Xa.2.1.1.m1.2.3.3.1.2.3.3.cmml">0</mn></mrow><mrow id="S3.E22Xa.2.1.1.m1.2.3.3.1.3" xref="S3.E22Xa.2.1.1.m1.2.3.3.1.3.cmml"><mi id="S3.E22Xa.2.1.1.m1.2.3.3.1.3.2" xref="S3.E22Xa.2.1.1.m1.2.3.3.1.3.2.cmml">N</mi><mo id="S3.E22Xa.2.1.1.m1.2.3.3.1.3.1" xref="S3.E22Xa.2.1.1.m1.2.3.3.1.3.1.cmml">−</mo><mn id="S3.E22Xa.2.1.1.m1.2.3.3.1.3.3" xref="S3.E22Xa.2.1.1.m1.2.3.3.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></munderover></mstyle><mrow id="S3.E22Xa.2.1.1.m1.2.3.3.2" xref="S3.E22Xa.2.1.1.m1.2.3.3.2.cmml"><mi id="S3.E22Xa.2.1.1.m1.2.3.3.2.2" xref="S3.E22Xa.2.1.1.m1.2.3.3.2.2.cmml">𝒒</mi><mo id="S3.E22Xa.2.1.1.m1.2.3.3.2.1" xref="S3.E22Xa.2.1.1.m1.2.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E22Xa.2.1.1.m1.2.3.3.2.3.2" xref="S3.E22Xa.2.1.1.m1.2.3.3.2.cmml"><mo id="S3.E22Xa.2.1.1.m1.2.3.3.2.3.2.1" stretchy="false" 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xref="S3.E22Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E22Xa.2.1.1.m1.2c">\displaystyle=\sum_{n=0}^{N-1}\boldsymbol{q}(n)e^{-j2\pi(fn+\theta n^{2})}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E22Xa.2.1.1.m1.2d">= ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_n = 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_N - 1 end_POSTSUPERSCRIPT bold_italic_q ( italic_n ) italic_e start_POSTSUPERSCRIPT - italic_j 2 italic_π ( italic_f italic_n + italic_θ italic_n start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr> </tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.Thmthm1.p1.11"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.Thmthm1.p1.11.1">satisfying</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_table" id="S3.E23"> <tbody> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S3.E23X"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle Q(f_{k},\theta_{k})=\mathrm{sign}(c_{k}),~{}~{}~{}\forall~{}(f_{% k},\theta_{k})\in\mathbb{D}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E23X.2.1.1.m1.2"><semantics id="S3.E23X.2.1.1.m1.2a"><mrow id="S3.E23X.2.1.1.m1.2.2.2" xref="S3.E23X.2.1.1.m1.2.2.3.cmml"><mrow id="S3.E23X.2.1.1.m1.1.1.1.1" xref="S3.E23X.2.1.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E23X.2.1.1.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.E23X.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E23X.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.4" xref="S3.E23X.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.4.cmml">Q</mi><mo id="S3.E23X.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E23X.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E23X.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.E23X.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="S3.E23X.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.E23X.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="S3.E23X.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E23X.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E23X.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E23X.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">f</mi><mi id="S3.E23X.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E23X.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.E23X.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.4" xref="S3.E23X.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.E23X.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S3.E23X.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.E23X.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S3.E23X.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">θ</mi><mi id="S3.E23X.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="S3.E23X.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.E23X.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.E23X.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E23X.2.1.1.m1.1.1.1.1.4" xref="S3.E23X.2.1.1.m1.1.1.1.1.4.cmml">=</mo><mrow id="S3.E23X.2.1.1.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.E23X.2.1.1.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E23X.2.1.1.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E23X.2.1.1.m1.1.1.1.1.3.3.cmml">sign</mi><mo id="S3.E23X.2.1.1.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E23X.2.1.1.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E23X.2.1.1.m1.1.1.1.1.3.1.1" xref="S3.E23X.2.1.1.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E23X.2.1.1.m1.1.1.1.1.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E23X.2.1.1.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.E23X.2.1.1.m1.1.1.1.1.3.1.1.1" xref="S3.E23X.2.1.1.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E23X.2.1.1.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.2" xref="S3.E23X.2.1.1.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.cmml">c</mi><mi id="S3.E23X.2.1.1.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.3" xref="S3.E23X.2.1.1.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.E23X.2.1.1.m1.1.1.1.1.3.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E23X.2.1.1.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E23X.2.1.1.m1.2.2.2.3" rspace="1.157em" xref="S3.E23X.2.1.1.m1.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.E23X.2.1.1.m1.2.2.2.2" xref="S3.E23X.2.1.1.m1.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S3.E23X.2.1.1.m1.2.2.2.2.2" xref="S3.E23X.2.1.1.m1.2.2.2.2.2.cmml"><mo id="S3.E23X.2.1.1.m1.2.2.2.2.2.3" rspace="0.330em" xref="S3.E23X.2.1.1.m1.2.2.2.2.2.3.cmml">∀</mo><mrow id="S3.E23X.2.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.2" xref="S3.E23X.2.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S3.E23X.2.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.E23X.2.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="S3.E23X.2.1.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1" xref="S3.E23X.2.1.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E23X.2.1.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.2" xref="S3.E23X.2.1.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml">f</mi><mi id="S3.E23X.2.1.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.3" xref="S3.E23X.2.1.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.E23X.2.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.4" xref="S3.E23X.2.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.E23X.2.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="S3.E23X.2.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.E23X.2.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="S3.E23X.2.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml">θ</mi><mi id="S3.E23X.2.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.3" xref="S3.E23X.2.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.E23X.2.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.E23X.2.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E23X.2.1.1.m1.2.2.2.2.3" xref="S3.E23X.2.1.1.m1.2.2.2.2.3.cmml">∈</mo><mi id="S3.E23X.2.1.1.m1.2.2.2.2.4" xref="S3.E23X.2.1.1.m1.2.2.2.2.4.cmml">𝔻</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E23X.2.1.1.m1.2b"><apply id="S3.E23X.2.1.1.m1.2.2.3.cmml" xref="S3.E23X.2.1.1.m1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E23X.2.1.1.m1.2.2.3a.cmml" xref="S3.E23X.2.1.1.m1.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.E23X.2.1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E23X.2.1.1.m1.1.1.1.1"><eq id="S3.E23X.2.1.1.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.E23X.2.1.1.m1.1.1.1.1.4"></eq><apply id="S3.E23X.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E23X.2.1.1.m1.1.1.1.1.2"><times id="S3.E23X.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E23X.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.3"></times><ci id="S3.E23X.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="S3.E23X.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.4">𝑄</ci><interval closure="open" id="S3.E23X.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.E23X.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.2"><apply id="S3.E23X.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E23X.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E23X.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E23X.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.E23X.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E23X.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑓</ci><ci id="S3.E23X.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E23X.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply><apply id="S3.E23X.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E23X.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E23X.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E23X.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E23X.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E23X.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2">𝜃</ci><ci id="S3.E23X.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E23X.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3">𝑘</ci></apply></interval></apply><apply id="S3.E23X.2.1.1.m1.1.1.1.1.3.cmml" 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closure="open" id="S3.E23X.2.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E23X.2.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.2"><apply id="S3.E23X.2.1.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E23X.2.1.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E23X.2.1.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E23X.2.1.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.E23X.2.1.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E23X.2.1.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.2">𝑓</ci><ci id="S3.E23X.2.1.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E23X.2.1.1.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply><apply id="S3.E23X.2.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E23X.2.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E23X.2.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E23X.2.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E23X.2.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E23X.2.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.2">𝜃</ci><ci id="S3.E23X.2.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E23X.2.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.2.3">𝑘</ci></apply></interval></apply><ci id="S3.E23X.2.1.1.m1.2.2.2.2.4.cmml" xref="S3.E23X.2.1.1.m1.2.2.2.2.4">𝔻</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E23X.2.1.1.m1.2c">\displaystyle Q(f_{k},\theta_{k})=\mathrm{sign}(c_{k}),~{}~{}~{}\forall~{}(f_{% k},\theta_{k})\in\mathbb{D}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E23X.2.1.1.m1.2d">italic_Q ( italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT , italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ) = roman_sign ( italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ) , ∀ ( italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT , italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ) ∈ blackboard_D</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="2"><span class="ltx_tag ltx_tag_equationgroup ltx_align_right">(23)</span></td> </tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S3.E23Xa"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle|Q(f,\theta)|<1,~{}~{}~{}\forall~{}(f,\theta)\notin\mathbb{D}," class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E23Xa.2.1.1.m1.6"><semantics id="S3.E23Xa.2.1.1.m1.6a"><mrow id="S3.E23Xa.2.1.1.m1.6.6.1"><mrow id="S3.E23Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.2" xref="S3.E23Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.E23Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1" xref="S3.E23Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E23Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E23Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E23Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E23Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S3.E23Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E23Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E23Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E23Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">Q</mi><mo id="S3.E23Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E23Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E23Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E23Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S3.E23Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E23Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E23Xa.2.1.1.m1.1.1" xref="S3.E23Xa.2.1.1.m1.1.1.cmml">f</mi><mo id="S3.E23Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.E23Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.E23Xa.2.1.1.m1.2.2" xref="S3.E23Xa.2.1.1.m1.2.2.cmml">θ</mi><mo id="S3.E23Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.E23Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E23Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E23Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S3.E23Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.2" xref="S3.E23Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml"><</mo><mn id="S3.E23Xa.2.1.1.m1.5.5" xref="S3.E23Xa.2.1.1.m1.5.5.cmml">1</mn></mrow><mo id="S3.E23Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.2.3" rspace="1.157em" xref="S3.E23Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.E23Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.2.2" xref="S3.E23Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S3.E23Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.2.2.2" xref="S3.E23Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.2.2.2.cmml"><mo id="S3.E23Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.2.2.2.1" rspace="0.330em" xref="S3.E23Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.2.2.2.1.cmml">∀</mo><mrow id="S3.E23Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2" xref="S3.E23Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.cmml"><mo id="S3.E23Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.1" stretchy="false" xref="S3.E23Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E23Xa.2.1.1.m1.3.3" xref="S3.E23Xa.2.1.1.m1.3.3.cmml">f</mi><mo id="S3.E23Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="S3.E23Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.cmml">,</mo><mi id="S3.E23Xa.2.1.1.m1.4.4" xref="S3.E23Xa.2.1.1.m1.4.4.cmml">θ</mi><mo id="S3.E23Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.E23Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E23Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.2.2.1" xref="S3.E23Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.2.2.1.cmml">∉</mo><mi id="S3.E23Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.2.2.3" xref="S3.E23Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.2.2.3.cmml">𝔻</mi></mrow></mrow><mo id="S3.E23Xa.2.1.1.m1.6.6.1.2">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E23Xa.2.1.1.m1.6b"><apply id="S3.E23Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.3.cmml" xref="S3.E23Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E23Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.3a.cmml" xref="S3.E23Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.E23Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E23Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1"><lt id="S3.E23Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E23Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.2"></lt><apply id="S3.E23Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E23Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1"><abs id="S3.E23Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E23Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2"></abs><apply id="S3.E23Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E23Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.E23Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E23Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S3.E23Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E23Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑄</ci><interval closure="open" id="S3.E23Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E23Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><ci id="S3.E23Xa.2.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.E23Xa.2.1.1.m1.1.1">𝑓</ci><ci id="S3.E23Xa.2.1.1.m1.2.2.cmml" xref="S3.E23Xa.2.1.1.m1.2.2">𝜃</ci></interval></apply></apply><cn id="S3.E23Xa.2.1.1.m1.5.5.cmml" type="integer" xref="S3.E23Xa.2.1.1.m1.5.5">1</cn></apply><apply id="S3.E23Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E23Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.2.2"><notin id="S3.E23Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E23Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.2.2.1"></notin><apply id="S3.E23Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E23Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.E23Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E23Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.2.2.2.1">for-all</csymbol><interval closure="open" id="S3.E23Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E23Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.2"><ci id="S3.E23Xa.2.1.1.m1.3.3.cmml" xref="S3.E23Xa.2.1.1.m1.3.3">𝑓</ci><ci id="S3.E23Xa.2.1.1.m1.4.4.cmml" xref="S3.E23Xa.2.1.1.m1.4.4">𝜃</ci></interval></apply><ci id="S3.E23Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.E23Xa.2.1.1.m1.6.6.1.1.2.2.3">𝔻</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E23Xa.2.1.1.m1.6c">\displaystyle|Q(f,\theta)|<1,~{}~{}~{}\forall~{}(f,\theta)\notin\mathbb{D},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E23Xa.2.1.1.m1.6d">| italic_Q ( italic_f , italic_θ ) | < 1 , ∀ ( italic_f , italic_θ ) ∉ blackboard_D ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr> </tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.Thmthm1.p1.10"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.Thmthm1.p1.10.4">where <math alttext="\boldsymbol{q}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmthm1.p1.7.1.m1.1"><semantics id="S3.Thmthm1.p1.7.1.m1.1a"><mi id="S3.Thmthm1.p1.7.1.m1.1.1" xref="S3.Thmthm1.p1.7.1.m1.1.1.cmml">𝐪</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmthm1.p1.7.1.m1.1b"><ci id="S3.Thmthm1.p1.7.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.Thmthm1.p1.7.1.m1.1.1">𝐪</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmthm1.p1.7.1.m1.1c">\boldsymbol{q}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmthm1.p1.7.1.m1.1d">bold_italic_q</annotation></semantics></math> is a dual optimizer and <math alttext="\mathrm{sign}(c_{k}):=\frac{c_{k}}{|c_{k}|}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmthm1.p1.8.2.m2.2"><semantics id="S3.Thmthm1.p1.8.2.m2.2a"><mrow id="S3.Thmthm1.p1.8.2.m2.2.2" xref="S3.Thmthm1.p1.8.2.m2.2.2.cmml"><mrow id="S3.Thmthm1.p1.8.2.m2.2.2.1" xref="S3.Thmthm1.p1.8.2.m2.2.2.1.cmml"><mi id="S3.Thmthm1.p1.8.2.m2.2.2.1.3" xref="S3.Thmthm1.p1.8.2.m2.2.2.1.3.cmml">sign</mi><mo id="S3.Thmthm1.p1.8.2.m2.2.2.1.2" xref="S3.Thmthm1.p1.8.2.m2.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Thmthm1.p1.8.2.m2.2.2.1.1.1" xref="S3.Thmthm1.p1.8.2.m2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Thmthm1.p1.8.2.m2.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Thmthm1.p1.8.2.m2.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.Thmthm1.p1.8.2.m2.2.2.1.1.1.1" xref="S3.Thmthm1.p1.8.2.m2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Thmthm1.p1.8.2.m2.2.2.1.1.1.1.2" xref="S3.Thmthm1.p1.8.2.m2.2.2.1.1.1.1.2.cmml">c</mi><mi id="S3.Thmthm1.p1.8.2.m2.2.2.1.1.1.1.3" xref="S3.Thmthm1.p1.8.2.m2.2.2.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.Thmthm1.p1.8.2.m2.2.2.1.1.1.3" rspace="0.278em" stretchy="false" xref="S3.Thmthm1.p1.8.2.m2.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Thmthm1.p1.8.2.m2.2.2.2" rspace="0.278em" xref="S3.Thmthm1.p1.8.2.m2.2.2.2.cmml">:=</mo><mfrac id="S3.Thmthm1.p1.8.2.m2.1.1" xref="S3.Thmthm1.p1.8.2.m2.1.1.cmml"><msub id="S3.Thmthm1.p1.8.2.m2.1.1.3" xref="S3.Thmthm1.p1.8.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Thmthm1.p1.8.2.m2.1.1.3.2" 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encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmthm1.p1.8.2.m2.2d">roman_sign ( italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ) := divide start_ARG italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG | italic_c start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT | end_ARG</annotation></semantics></math>. <br class="ltx_break"/>2) <math alttext="\left\{\boldsymbol{P}{\boldsymbol{d}}(f_{k},\theta_{k}),k=1,\cdots,K\right\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmthm1.p1.9.3.m3.4"><semantics id="S3.Thmthm1.p1.9.3.m3.4a"><mrow id="S3.Thmthm1.p1.9.3.m3.4.4.1" xref="S3.Thmthm1.p1.9.3.m3.4.4.2.cmml"><mo id="S3.Thmthm1.p1.9.3.m3.4.4.1.2" xref="S3.Thmthm1.p1.9.3.m3.4.4.2.cmml">{</mo><mrow id="S3.Thmthm1.p1.9.3.m3.4.4.1.1.2" xref="S3.Thmthm1.p1.9.3.m3.4.4.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.Thmthm1.p1.9.3.m3.4.4.1.1.1.1" xref="S3.Thmthm1.p1.9.3.m3.4.4.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Thmthm1.p1.9.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Thmthm1.p1.9.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S3.Thmthm1.p1.9.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Thmthm1.p1.9.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Thmthm1.p1.9.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S3.Thmthm1.p1.9.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">𝐏</mi><mo id="S3.Thmthm1.p1.9.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Thmthm1.p1.9.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Thmthm1.p1.9.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.5" xref="S3.Thmthm1.p1.9.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.5.cmml">𝐝</mi><mo id="S3.Thmthm1.p1.9.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3a" xref="S3.Thmthm1.p1.9.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Thmthm1.p1.9.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Thmthm1.p1.9.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="S3.Thmthm1.p1.9.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.Thmthm1.p1.9.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">(</mo><msub id="S3.Thmthm1.p1.9.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Thmthm1.p1.9.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Thmthm1.p1.9.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" 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id="S3.Thmthm1.p1.9.3.m3.4.4.1.1.3.cmml" xref="S3.Thmthm1.p1.9.3.m3.4.4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmthm1.p1.9.3.m3.4.4.1.1.3a.cmml" xref="S3.Thmthm1.p1.9.3.m3.4.4.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.Thmthm1.p1.9.3.m3.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmthm1.p1.9.3.m3.4.4.1.1.1.1"><eq id="S3.Thmthm1.p1.9.3.m3.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmthm1.p1.9.3.m3.4.4.1.1.1.1.2"></eq><list id="S3.Thmthm1.p1.9.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmthm1.p1.9.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1"><apply id="S3.Thmthm1.p1.9.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmthm1.p1.9.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.Thmthm1.p1.9.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Thmthm1.p1.9.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3"></times><ci id="S3.Thmthm1.p1.9.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.Thmthm1.p1.9.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4">𝐏</ci><ci id="S3.Thmthm1.p1.9.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S3.Thmthm1.p1.9.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.5">𝐝</ci><interval closure="open" id="S3.Thmthm1.p1.9.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Thmthm1.p1.9.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><apply id="S3.Thmthm1.p1.9.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmthm1.p1.9.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmthm1.p1.9.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmthm1.p1.9.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Thmthm1.p1.9.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmthm1.p1.9.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑓</ci><ci id="S3.Thmthm1.p1.9.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Thmthm1.p1.9.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply><apply id="S3.Thmthm1.p1.9.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Thmthm1.p1.9.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmthm1.p1.9.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Thmthm1.p1.9.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Thmthm1.p1.9.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Thmthm1.p1.9.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.2">𝜃</ci><ci id="S3.Thmthm1.p1.9.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Thmthm1.p1.9.3.m3.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.3">𝑘</ci></apply></interval></apply><ci id="S3.Thmthm1.p1.9.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.Thmthm1.p1.9.3.m3.1.1">𝑘</ci></list><cn id="S3.Thmthm1.p1.9.3.m3.4.4.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Thmthm1.p1.9.3.m3.4.4.1.1.1.1.3">1</cn></apply><list id="S3.Thmthm1.p1.9.3.m3.4.4.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Thmthm1.p1.9.3.m3.4.4.1.1.2.2.2"><ci id="S3.Thmthm1.p1.9.3.m3.2.2.cmml" xref="S3.Thmthm1.p1.9.3.m3.2.2">⋯</ci><ci id="S3.Thmthm1.p1.9.3.m3.3.3.cmml" xref="S3.Thmthm1.p1.9.3.m3.3.3">𝐾</ci></list></apply></set></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmthm1.p1.9.3.m3.4c">\left\{\boldsymbol{P}{\boldsymbol{d}}(f_{k},\theta_{k}),k=1,\cdots,K\right\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmthm1.p1.9.3.m3.4d">{ bold_italic_P bold_italic_d ( italic_f start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT , italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ) , italic_k = 1 , ⋯ , italic_K }</annotation></semantics></math> with <math alttext="K<N" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmthm1.p1.10.4.m4.1"><semantics id="S3.Thmthm1.p1.10.4.m4.1a"><mrow id="S3.Thmthm1.p1.10.4.m4.1.1" xref="S3.Thmthm1.p1.10.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S3.Thmthm1.p1.10.4.m4.1.1.2" xref="S3.Thmthm1.p1.10.4.m4.1.1.2.cmml">K</mi><mo id="S3.Thmthm1.p1.10.4.m4.1.1.1" xref="S3.Thmthm1.p1.10.4.m4.1.1.1.cmml"><</mo><mi id="S3.Thmthm1.p1.10.4.m4.1.1.3" xref="S3.Thmthm1.p1.10.4.m4.1.1.3.cmml">N</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmthm1.p1.10.4.m4.1b"><apply id="S3.Thmthm1.p1.10.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.Thmthm1.p1.10.4.m4.1.1"><lt id="S3.Thmthm1.p1.10.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmthm1.p1.10.4.m4.1.1.1"></lt><ci id="S3.Thmthm1.p1.10.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmthm1.p1.10.4.m4.1.1.2">𝐾</ci><ci id="S3.Thmthm1.p1.10.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S3.Thmthm1.p1.10.4.m4.1.1.3">𝑁</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmthm1.p1.10.4.m4.1c">K<N</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmthm1.p1.10.4.m4.1d">italic_K < italic_N</annotation></semantics></math> is a linearly independent set.</span></p> </div> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="S3.SS3"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection"><span class="ltx_text" id="S3.SS3.4.1.1">III-C</span> </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.SS3.5.2">Decoupled Two-Dimensional Atomic Norm Minimization</span> </h3> <div class="ltx_para" id="S3.SS3.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.SS3.p1.3">While solving (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15164v1#S3.E18" title="In III-A Constrained Atomic Norm Minimization and Its SDP Representation ‣ III Constrained Two-Dimensional Atomic Norm Minimization ‣ Gridless Chirp Parameter Retrieval via Constrained Two-Dimensional Atomic Norm Minimization D. Yang and F. Xi contributed equally to this work. D. Yang was supported in part by the Research Development Fund (RDF-23-02-080) from Xi’an Jiaotong-Liverpool University. F. Xi was supported in part by the National Natural Science Foundation of China under grant No. 62471230."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">18</span></a>) is computationally feasible using off-the-shelf solvers, it requires a significant amount of computational resources due to the high dimensionality of the positive semidefinite (PSD) constraints. Specifically, the PSD constraints in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15164v1#S3.E18" title="In III-A Constrained Atomic Norm Minimization and Its SDP Representation ‣ III Constrained Two-Dimensional Atomic Norm Minimization ‣ Gridless Chirp Parameter Retrieval via Constrained Two-Dimensional Atomic Norm Minimization D. Yang and F. Xi contributed equally to this work. D. Yang was supported in part by the Research Development Fund (RDF-23-02-080) from Xi’an Jiaotong-Liverpool University. F. Xi was supported in part by the National Natural Science Foundation of China under grant No. 62471230."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">18</span></a>) are of size <math alttext="O(N^{3}\times N^{3})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.SS3.p1.1.m1.1a"><mrow id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.3.cmml">O</mi><mo id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.2" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">N</mi><mn id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">3</mn></msup><mo id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">×</mo><msup id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">N</mi><mn id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">3</mn></msup></mrow><mo id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p1.1.m1.1b"><apply id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1"><times id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.2"></times><ci id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.3">𝑂</ci><apply id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1"><times id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.2">𝑁</ci><cn id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.3">3</cn></apply><apply id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.2">𝑁</ci><cn id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.3">3</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p1.1.m1.1c">O(N^{3}\times N^{3})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p1.1.m1.1d">italic_O ( italic_N start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT × italic_N start_POSTSUPERSCRIPT 3 end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math>. According to <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15164v1#bib.bib17" title="">17</a>]</cite>, for each iteration of the interior-point method, the computational cost is <math alttext="O(N^{9})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p1.2.m2.1"><semantics id="S3.SS3.p1.2.m2.1a"><mrow id="S3.SS3.p1.2.m2.1.1" xref="S3.SS3.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.p1.2.m2.1.1.3" xref="S3.SS3.p1.2.m2.1.1.3.cmml">O</mi><mo id="S3.SS3.p1.2.m2.1.1.2" xref="S3.SS3.p1.2.m2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1" xref="S3.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S3.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.1" xref="S3.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml">N</mi><mn id="S3.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml">9</mn></msup><mo id="S3.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p1.2.m2.1b"><apply id="S3.SS3.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.2.m2.1.1"><times id="S3.SS3.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p1.2.m2.1.1.2"></times><ci id="S3.SS3.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.p1.2.m2.1.1.3">𝑂</ci><apply id="S3.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2">𝑁</ci><cn id="S3.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3">9</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p1.2.m2.1c">O(N^{9})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p1.2.m2.1d">italic_O ( italic_N start_POSTSUPERSCRIPT 9 end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math>, which is extremely high even for small values of <math alttext="N" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p1.3.m3.1"><semantics id="S3.SS3.p1.3.m3.1a"><mi id="S3.SS3.p1.3.m3.1.1" xref="S3.SS3.p1.3.m3.1.1.cmml">N</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p1.3.m3.1b"><ci id="S3.SS3.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.3.m3.1.1">𝑁</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p1.3.m3.1c">N</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p1.3.m3.1d">italic_N</annotation></semantics></math>. To alleviate this, we leverage the decoupled two-dimensional atomic norm formulation for efficient approximation of the two-dimensional atomic norm minimization <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15164v1#bib.bib17" title="">17</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15164v1#bib.bib18" title="">18</a>]</cite>. In particular, the SDP relaxation of the constrained version of the decoupled two-dimensional atomic norm in our constrained case is given by</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_table" id="S3.E24"> <tbody> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S3.E24X"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\min_{\boldsymbol{t}_{1},\boldsymbol{t}_{2},\boldsymbol{Z}}\frac{% 1}{2\sqrt{NM}}\left({\text{trace}}(\text{toep}(\boldsymbol{t}_{1}))+{\text{% trace}}(\text{toep}(\boldsymbol{t}_{2}))\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E24X.2.1.1.m1.4"><semantics id="S3.E24X.2.1.1.m1.4a"><mrow id="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4" xref="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.cmml"><mrow id="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.3" xref="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.3.cmml"><munder id="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.3.1" xref="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.3.1.cmml"><mi id="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.3.1.2" xref="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.3.1.2.cmml">min</mi><mrow id="S3.E24X.2.1.1.m1.3.3.3.3" xref="S3.E24X.2.1.1.m1.3.3.3.4.cmml"><msub id="S3.E24X.2.1.1.m1.2.2.2.2.1" xref="S3.E24X.2.1.1.m1.2.2.2.2.1.cmml"><mi id="S3.E24X.2.1.1.m1.2.2.2.2.1.2" xref="S3.E24X.2.1.1.m1.2.2.2.2.1.2.cmml">𝒕</mi><mn id="S3.E24X.2.1.1.m1.2.2.2.2.1.3" xref="S3.E24X.2.1.1.m1.2.2.2.2.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.E24X.2.1.1.m1.3.3.3.3.3" xref="S3.E24X.2.1.1.m1.3.3.3.4.cmml">,</mo><msub id="S3.E24X.2.1.1.m1.3.3.3.3.2" xref="S3.E24X.2.1.1.m1.3.3.3.3.2.cmml"><mi id="S3.E24X.2.1.1.m1.3.3.3.3.2.2" xref="S3.E24X.2.1.1.m1.3.3.3.3.2.2.cmml">𝒕</mi><mn id="S3.E24X.2.1.1.m1.3.3.3.3.2.3" xref="S3.E24X.2.1.1.m1.3.3.3.3.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S3.E24X.2.1.1.m1.3.3.3.3.4" xref="S3.E24X.2.1.1.m1.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.E24X.2.1.1.m1.1.1.1.1" xref="S3.E24X.2.1.1.m1.1.1.1.1.cmml">𝒁</mi></mrow></munder><mo id="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.3a" lspace="0.167em" xref="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.3.cmml">⁡</mo><mstyle displaystyle="true" id="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.3.2" xref="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.3.2.cmml"><mfrac id="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.3.2a" xref="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.3.2.cmml"><mn id="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.3.2.2" xref="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.3.2.2.cmml">1</mn><mrow id="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.3.2.3" xref="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.3.2.3.cmml"><mn id="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.3.2.3.2" xref="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.3.2.3.2.cmml">2</mn><mo id="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.3.2.3.1" xref="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><msqrt id="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.3.2.3.3" xref="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.3.2.3.3.cmml"><mrow id="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.3.2.3.3.2" xref="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.3.2.3.3.2.cmml"><mi id="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.3.2.3.3.2.2" xref="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.3.2.3.3.2.2.cmml">N</mi><mo id="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.3.2.3.3.2.1" xref="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.3.2.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.3.2.3.3.2.3" xref="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.3.2.3.3.2.3.cmml">M</mi></mrow></msqrt></mrow></mfrac></mstyle></mrow><mo id="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.2" xref="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.1.1" xref="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.1.1.2" xref="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.1.1.1" xref="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><mtext id="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.3" xref="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.3a.cmml">trace</mtext><mo id="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.2" xref="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mtext id="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3a.cmml">toep</mtext><mo id="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝒕</mi><mn id="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.3" xref="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.3.cmml">+</mo><mrow id="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.2" xref="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.2.cmml"><mtext id="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.2.3" xref="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.2.3a.cmml">trace</mtext><mo id="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.2.2" xref="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.2.1.1" xref="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.2.1.1.1" xref="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mtext id="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.2.1.1.1.3" xref="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.2.1.1.1.3a.cmml">toep</mtext><mo id="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.2.1.1.1.2" xref="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝒕</mi><mn id="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.1.1.3" xref="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E24X.2.1.1.m1.4b"><apply id="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.cmml" xref="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4"><times id="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.2.cmml" xref="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.2"></times><apply 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id="S3.E24X.2.1.1.m1.3.3.3.3.2.2.cmml" xref="S3.E24X.2.1.1.m1.3.3.3.3.2.2">𝒕</ci><cn id="S3.E24X.2.1.1.m1.3.3.3.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E24X.2.1.1.m1.3.3.3.3.2.3">2</cn></apply><ci id="S3.E24X.2.1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E24X.2.1.1.m1.1.1.1.1">𝒁</ci></list></apply><apply id="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.3.2.cmml" xref="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.3.2"><divide id="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.3.2.1.cmml" xref="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.3.2"></divide><cn id="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.3.2.2">1</cn><apply id="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.3.2.3.cmml" xref="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.3.2.3"><times id="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.3.2.3.1.cmml" xref="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.3.2.3.1"></times><cn id="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.3.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.3.2.3.2">2</cn><apply id="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.3.2.3.3.cmml" xref="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.3.2.3.3"><root id="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.3.2.3.3a.cmml" xref="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.3.2.3.3"></root><apply 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xref="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3"><mtext id="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3">toep</mtext></ci><apply id="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝒕</ci><cn id="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.2"><times id="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.2.2.cmml" 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xref="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2">𝒕</ci><cn id="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E24X.2.1.1.m1.4.4.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E24X.2.1.1.m1.4c">\displaystyle\min_{\boldsymbol{t}_{1},\boldsymbol{t}_{2},\boldsymbol{Z}}\frac{% 1}{2\sqrt{NM}}\left({\text{trace}}(\text{toep}(\boldsymbol{t}_{1}))+{\text{% trace}}(\text{toep}(\boldsymbol{t}_{2}))\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E24X.2.1.1.m1.4d">roman_min start_POSTSUBSCRIPT bold_italic_t start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , bold_italic_t start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT , bold_italic_Z end_POSTSUBSCRIPT divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 square-root start_ARG italic_N italic_M end_ARG end_ARG ( trace ( toep ( bold_italic_t start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ) ) + trace ( toep ( bold_italic_t start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) ) )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="3"><span class="ltx_tag ltx_tag_equationgroup ltx_align_right">(24)</span></td> </tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S3.E24Xa"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle{\text{subject~{}to}}~{}~{}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{P}\text{vec% }(\boldsymbol{Z})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E24Xa.2.1.1.m1.1"><semantics id="S3.E24Xa.2.1.1.m1.1a"><mrow id="S3.E24Xa.2.1.1.m1.1.2" xref="S3.E24Xa.2.1.1.m1.1.2.cmml"><mrow id="S3.E24Xa.2.1.1.m1.1.2.2" xref="S3.E24Xa.2.1.1.m1.1.2.2.cmml"><mtext id="S3.E24Xa.2.1.1.m1.1.2.2.2" xref="S3.E24Xa.2.1.1.m1.1.2.2.2a.cmml">subject to</mtext><mo id="S3.E24Xa.2.1.1.m1.1.2.2.1" lspace="0.660em" xref="S3.E24Xa.2.1.1.m1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E24Xa.2.1.1.m1.1.2.2.3" xref="S3.E24Xa.2.1.1.m1.1.2.2.3.cmml">𝒙</mi></mrow><mo id="S3.E24Xa.2.1.1.m1.1.2.1" xref="S3.E24Xa.2.1.1.m1.1.2.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.E24Xa.2.1.1.m1.1.2.3" xref="S3.E24Xa.2.1.1.m1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.E24Xa.2.1.1.m1.1.2.3.2" xref="S3.E24Xa.2.1.1.m1.1.2.3.2.cmml">𝑷</mi><mo id="S3.E24Xa.2.1.1.m1.1.2.3.1" xref="S3.E24Xa.2.1.1.m1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mtext id="S3.E24Xa.2.1.1.m1.1.2.3.3" xref="S3.E24Xa.2.1.1.m1.1.2.3.3a.cmml">vec</mtext><mo id="S3.E24Xa.2.1.1.m1.1.2.3.1a" xref="S3.E24Xa.2.1.1.m1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E24Xa.2.1.1.m1.1.2.3.4.2" xref="S3.E24Xa.2.1.1.m1.1.2.3.cmml"><mo id="S3.E24Xa.2.1.1.m1.1.2.3.4.2.1" stretchy="false" xref="S3.E24Xa.2.1.1.m1.1.2.3.cmml">(</mo><mi id="S3.E24Xa.2.1.1.m1.1.1" xref="S3.E24Xa.2.1.1.m1.1.1.cmml">𝒁</mi><mo id="S3.E24Xa.2.1.1.m1.1.2.3.4.2.2" stretchy="false" xref="S3.E24Xa.2.1.1.m1.1.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E24Xa.2.1.1.m1.1b"><apply id="S3.E24Xa.2.1.1.m1.1.2.cmml" xref="S3.E24Xa.2.1.1.m1.1.2"><eq id="S3.E24Xa.2.1.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S3.E24Xa.2.1.1.m1.1.2.1"></eq><apply id="S3.E24Xa.2.1.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S3.E24Xa.2.1.1.m1.1.2.2"><times id="S3.E24Xa.2.1.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E24Xa.2.1.1.m1.1.2.2.1"></times><ci id="S3.E24Xa.2.1.1.m1.1.2.2.2a.cmml" xref="S3.E24Xa.2.1.1.m1.1.2.2.2"><mtext id="S3.E24Xa.2.1.1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E24Xa.2.1.1.m1.1.2.2.2">subject to</mtext></ci><ci id="S3.E24Xa.2.1.1.m1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.E24Xa.2.1.1.m1.1.2.2.3">𝒙</ci></apply><apply id="S3.E24Xa.2.1.1.m1.1.2.3.cmml" xref="S3.E24Xa.2.1.1.m1.1.2.3"><times id="S3.E24Xa.2.1.1.m1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.E24Xa.2.1.1.m1.1.2.3.1"></times><ci id="S3.E24Xa.2.1.1.m1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.E24Xa.2.1.1.m1.1.2.3.2">𝑷</ci><ci id="S3.E24Xa.2.1.1.m1.1.2.3.3a.cmml" xref="S3.E24Xa.2.1.1.m1.1.2.3.3"><mtext id="S3.E24Xa.2.1.1.m1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.E24Xa.2.1.1.m1.1.2.3.3">vec</mtext></ci><ci id="S3.E24Xa.2.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.E24Xa.2.1.1.m1.1.1">𝒁</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E24Xa.2.1.1.m1.1c">\displaystyle{\text{subject~{}to}}~{}~{}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{P}\text{vec% }(\boldsymbol{Z})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E24Xa.2.1.1.m1.1d">subject to bold_italic_x = bold_italic_P vec ( bold_italic_Z )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr> <tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline" id="S3.E24Xb"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle~{}~{}~{}~{}~{}~{}~{}~{}~{}~{}~{}\begin{bmatrix}\text{toep}(% \boldsymbol{t}_{1})&\boldsymbol{Z}^{H}\\ \boldsymbol{Z}&\text{toep}(\boldsymbol{t}_{2})\end{bmatrix}\succeq 0,~{}\text{% toep}(\boldsymbol{t}_{2}^{g})\succeq 0," class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E24Xb.2.1.1.m1.1"><semantics id="S3.E24Xb.2.1.1.m1.1a"><mrow id="S3.E24Xb.2.1.1.m1.1.1.1"><mrow id="S3.E24Xb.2.1.1.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.E24Xb.2.1.1.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.E24Xb.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E24Xb.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E24.m1.1.1.1.1.1.1a.3" xref="S3.E24.m1.1.1.1.1.1.1a.2.cmml"><mo id="S3.E24.m1.1.1.1.1.1.1a.3.1" xref="S3.E24.m1.1.1.1.1.1.1a.2.1.cmml">[</mo><mtable columnspacing="5pt" id="S3.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf" rowspacing="0pt" xref="S3.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.cmml"><mtr id="S3.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mfa" xref="S3.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.cmml"><mtd id="S3.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mfb" xref="S3.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.cmml"><mrow id="S3.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.1.1" xref="S3.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.1.1.cmml"><mtext id="S3.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.1.1.3" xref="S3.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.1.1.3a.cmml">toep</mtext><mo id="S3.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.1.1.2" xref="S3.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝒕</mi><mn id="S3.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mtd><mtd id="S3.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mfc" xref="S3.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.cmml"><msup id="S3.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.2.1" xref="S3.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.2.1.cmml"><mi id="S3.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.2.1.2" xref="S3.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.2.1.2.cmml">𝒁</mi><mi id="S3.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.2.1.3" xref="S3.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.1.1.2.1.3.cmml">H</mi></msup></mtd></mtr><mtr id="S3.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mfd" xref="S3.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.cmml"><mtd id="S3.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mfe" xref="S3.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.cmml"><mi id="S3.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.2.2.1" xref="S3.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.2.2.1.cmml">𝒁</mi></mtd><mtd id="S3.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mff" xref="S3.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.cmml"><mrow id="S3.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.2.1.1" xref="S3.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.2.1.1.cmml"><mtext id="S3.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.2.1.1.3" xref="S3.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.2.1.1.3a.cmml">toep</mtext><mo id="S3.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.2.1.1.2" xref="S3.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.2.1.1.1.1" xref="S3.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">𝒕</mi><mn id="S3.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S3.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E24.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.mf.2.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mtd></mtr></mtable><mo id="S3.E24.m1.1.1.1.1.1.1a.3.2" xref="S3.E24.m1.1.1.1.1.1.1a.2.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S3.E24Xb.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E24Xb.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⪰</mo><mn id="S3.E24Xb.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E24Xb.2.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">0</mn></mrow><mo id="S3.E24Xb.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.3" rspace="0.497em" xref="S3.E24Xb.2.1.1.m1.1.1.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.E24Xb.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E24Xb.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S3.E24Xb.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S3.E24Xb.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml"><mtext id="S3.E24Xb.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.3" xref="S3.E24Xb.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.3a.cmml">toep</mtext><mo id="S3.E24Xb.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.2" xref="S3.E24Xb.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E24Xb.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1" xref="S3.E24Xb.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E24Xb.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E24Xb.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><msubsup id="S3.E24Xb.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1" xref="S3.E24Xb.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E24Xb.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E24Xb.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml">𝒕</mi><mn id="S3.E24Xb.2.1.1.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.2.3" 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class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p1.4.m1.4"><semantics id="S3.SS3.p1.4.m1.4a"><mrow id="S3.SS3.p1.4.m1.4.4.2" xref="S3.SS3.p1.4.m1.4.4.3.cmml"><mrow id="S3.SS3.p1.4.m1.3.3.1.1" xref="S3.SS3.p1.4.m1.3.3.1.1.cmml"><msub id="S3.SS3.p1.4.m1.3.3.1.1.2" xref="S3.SS3.p1.4.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS3.p1.4.m1.3.3.1.1.2.2" xref="S3.SS3.p1.4.m1.3.3.1.1.2.2.cmml">𝒕</mi><mn id="S3.SS3.p1.4.m1.3.3.1.1.2.3" xref="S3.SS3.p1.4.m1.3.3.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.SS3.p1.4.m1.3.3.1.1.1" xref="S3.SS3.p1.4.m1.3.3.1.1.1.cmml">∈</mo><msup id="S3.SS3.p1.4.m1.3.3.1.1.3" xref="S3.SS3.p1.4.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS3.p1.4.m1.3.3.1.1.3.2" xref="S3.SS3.p1.4.m1.3.3.1.1.3.2.cmml">ℂ</mi><mrow id="S3.SS3.p1.4.m1.1.1.1" xref="S3.SS3.p1.4.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.SS3.p1.4.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS3.p1.4.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS3.p1.4.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS3.p1.4.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.SS3.p1.4.m1.1.1.1.1.1.1" 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xref="S3.SS3.p1.4.m1.4.4.2.2.2.2.2.cmml">𝒁</mi><mo id="S3.SS3.p1.4.m1.4.4.2.2.2.2.1" xref="S3.SS3.p1.4.m1.4.4.2.2.2.2.1.cmml">∈</mo><msup id="S3.SS3.p1.4.m1.4.4.2.2.2.2.3" xref="S3.SS3.p1.4.m1.4.4.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.SS3.p1.4.m1.4.4.2.2.2.2.3.2" xref="S3.SS3.p1.4.m1.4.4.2.2.2.2.3.2.cmml">ℂ</mi><mrow id="S3.SS3.p1.4.m1.4.4.2.2.2.2.3.3" xref="S3.SS3.p1.4.m1.4.4.2.2.2.2.3.3.cmml"><mi id="S3.SS3.p1.4.m1.4.4.2.2.2.2.3.3.2" xref="S3.SS3.p1.4.m1.4.4.2.2.2.2.3.3.2.cmml">M</mi><mo id="S3.SS3.p1.4.m1.4.4.2.2.2.2.3.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S3.SS3.p1.4.m1.4.4.2.2.2.2.3.3.1.cmml">×</mo><mi id="S3.SS3.p1.4.m1.4.4.2.2.2.2.3.3.3" xref="S3.SS3.p1.4.m1.4.4.2.2.2.2.3.3.3.cmml">N</mi></mrow></msup></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p1.4.m1.4b"><apply id="S3.SS3.p1.4.m1.4.4.3.cmml" xref="S3.SS3.p1.4.m1.4.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p1.4.m1.4.4.3a.cmml" xref="S3.SS3.p1.4.m1.4.4.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.SS3.p1.4.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.4.m1.3.3.1.1"><in id="S3.SS3.p1.4.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.4.m1.3.3.1.1.1"></in><apply id="S3.SS3.p1.4.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p1.4.m1.3.3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p1.4.m1.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.4.m1.3.3.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p1.4.m1.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p1.4.m1.3.3.1.1.2.2">𝒕</ci><cn id="S3.SS3.p1.4.m1.3.3.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.p1.4.m1.3.3.1.1.2.3">1</cn></apply><apply id="S3.SS3.p1.4.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.p1.4.m1.3.3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p1.4.m1.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.4.m1.3.3.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p1.4.m1.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS3.p1.4.m1.3.3.1.1.3.2">ℂ</ci><apply id="S3.SS3.p1.4.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.4.m1.1.1.1"><times id="S3.SS3.p1.4.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p1.4.m1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.SS3.p1.4.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" 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id="S3.SS3.p1.4.m1.4.4.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.4.m1.4.4.2.2.1.1.1"></in><apply id="S3.SS3.p1.4.m1.4.4.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p1.4.m1.4.4.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p1.4.m1.4.4.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.4.m1.4.4.2.2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p1.4.m1.4.4.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p1.4.m1.4.4.2.2.1.1.2.2">𝒕</ci><cn id="S3.SS3.p1.4.m1.4.4.2.2.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.p1.4.m1.4.4.2.2.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="S3.SS3.p1.4.m1.4.4.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.p1.4.m1.4.4.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p1.4.m1.4.4.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.4.m1.4.4.2.2.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p1.4.m1.4.4.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS3.p1.4.m1.4.4.2.2.1.1.3.2">ℂ</ci><apply id="S3.SS3.p1.4.m1.2.2.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.4.m1.2.2.1"><times id="S3.SS3.p1.4.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p1.4.m1.2.2.1.2"></times><apply id="S3.SS3.p1.4.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.4.m1.2.2.1.1.1"><minus id="S3.SS3.p1.4.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.4.m1.2.2.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S3.SS3.p1.4.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p1.4.m1.2.2.1.1.1.1.2"><times id="S3.SS3.p1.4.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.4.m1.2.2.1.1.1.1.2.1"></times><cn id="S3.SS3.p1.4.m1.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.p1.4.m1.2.2.1.1.1.1.2.2">2</cn><ci id="S3.SS3.p1.4.m1.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS3.p1.4.m1.2.2.1.1.1.1.2.3">𝑀</ci></apply><cn id="S3.SS3.p1.4.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.p1.4.m1.2.2.1.1.1.1.3">1</cn></apply><cn id="S3.SS3.p1.4.m1.2.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.p1.4.m1.2.2.1.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S3.SS3.p1.4.m1.4.4.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p1.4.m1.4.4.2.2.2.2"><in id="S3.SS3.p1.4.m1.4.4.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.4.m1.4.4.2.2.2.2.1"></in><ci id="S3.SS3.p1.4.m1.4.4.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p1.4.m1.4.4.2.2.2.2.2">𝒁</ci><apply id="S3.SS3.p1.4.m1.4.4.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS3.p1.4.m1.4.4.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p1.4.m1.4.4.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.4.m1.4.4.2.2.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p1.4.m1.4.4.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.SS3.p1.4.m1.4.4.2.2.2.2.3.2">ℂ</ci><apply id="S3.SS3.p1.4.m1.4.4.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S3.SS3.p1.4.m1.4.4.2.2.2.2.3.3"><times id="S3.SS3.p1.4.m1.4.4.2.2.2.2.3.3.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.4.m1.4.4.2.2.2.2.3.3.1"></times><ci id="S3.SS3.p1.4.m1.4.4.2.2.2.2.3.3.2.cmml" xref="S3.SS3.p1.4.m1.4.4.2.2.2.2.3.3.2">𝑀</ci><ci id="S3.SS3.p1.4.m1.4.4.2.2.2.2.3.3.3.cmml" xref="S3.SS3.p1.4.m1.4.4.2.2.2.2.3.3.3">𝑁</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p1.4.m1.4c">\boldsymbol{t}_{1}\in\mathbb{C}^{(2N-1)\times 1},\boldsymbol{t}_{2}\in\mathbb{% C}^{(2M-1)\times 1},\boldsymbol{Z}\in\mathbb{C}^{M\times N}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p1.4.m1.4d">bold_italic_t start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ∈ blackboard_C start_POSTSUPERSCRIPT ( 2 italic_N - 1 ) × 1 end_POSTSUPERSCRIPT , bold_italic_t start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ∈ blackboard_C start_POSTSUPERSCRIPT ( 2 italic_M - 1 ) × 1 end_POSTSUPERSCRIPT , bold_italic_Z ∈ blackboard_C start_POSTSUPERSCRIPT italic_M × italic_N end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, <math alttext="\text{toep}(\cdot)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p1.5.m2.1"><semantics id="S3.SS3.p1.5.m2.1a"><mrow id="S3.SS3.p1.5.m2.1.2" xref="S3.SS3.p1.5.m2.1.2.cmml"><mtext id="S3.SS3.p1.5.m2.1.2.2" xref="S3.SS3.p1.5.m2.1.2.2a.cmml">toep</mtext><mo id="S3.SS3.p1.5.m2.1.2.1" xref="S3.SS3.p1.5.m2.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS3.p1.5.m2.1.2.3.2" xref="S3.SS3.p1.5.m2.1.2.cmml"><mo id="S3.SS3.p1.5.m2.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS3.p1.5.m2.1.2.cmml">(</mo><mo id="S3.SS3.p1.5.m2.1.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.SS3.p1.5.m2.1.1.cmml">⋅</mo><mo id="S3.SS3.p1.5.m2.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS3.p1.5.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p1.5.m2.1b"><apply id="S3.SS3.p1.5.m2.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p1.5.m2.1.2"><times id="S3.SS3.p1.5.m2.1.2.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.5.m2.1.2.1"></times><ci id="S3.SS3.p1.5.m2.1.2.2a.cmml" xref="S3.SS3.p1.5.m2.1.2.2"><mtext id="S3.SS3.p1.5.m2.1.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p1.5.m2.1.2.2">toep</mtext></ci><ci id="S3.SS3.p1.5.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.5.m2.1.1">⋅</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p1.5.m2.1c">\text{toep}(\cdot)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p1.5.m2.1d">toep ( ⋅ )</annotation></semantics></math> represents the one-folder Toeplitz matrix formed by the underlying variable, and the Toeplitz matrix <math alttext="\text{toep}(\boldsymbol{t}^{g})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p1.6.m3.1"><semantics id="S3.SS3.p1.6.m3.1a"><mrow id="S3.SS3.p1.6.m3.1.1" xref="S3.SS3.p1.6.m3.1.1.cmml"><mtext id="S3.SS3.p1.6.m3.1.1.3" xref="S3.SS3.p1.6.m3.1.1.3a.cmml">toep</mtext><mo id="S3.SS3.p1.6.m3.1.1.2" xref="S3.SS3.p1.6.m3.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS3.p1.6.m3.1.1.1.1" xref="S3.SS3.p1.6.m3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS3.p1.6.m3.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS3.p1.6.m3.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S3.SS3.p1.6.m3.1.1.1.1.1" xref="S3.SS3.p1.6.m3.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.p1.6.m3.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS3.p1.6.m3.1.1.1.1.1.2.cmml">𝒕</mi><mi id="S3.SS3.p1.6.m3.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS3.p1.6.m3.1.1.1.1.1.3.cmml">g</mi></msup><mo id="S3.SS3.p1.6.m3.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS3.p1.6.m3.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p1.6.m3.1b"><apply id="S3.SS3.p1.6.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.6.m3.1.1"><times id="S3.SS3.p1.6.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p1.6.m3.1.1.2"></times><ci id="S3.SS3.p1.6.m3.1.1.3a.cmml" xref="S3.SS3.p1.6.m3.1.1.3"><mtext id="S3.SS3.p1.6.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.p1.6.m3.1.1.3">toep</mtext></ci><apply id="S3.SS3.p1.6.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.6.m3.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p1.6.m3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.6.m3.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p1.6.m3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p1.6.m3.1.1.1.1.1.2">𝒕</ci><ci id="S3.SS3.p1.6.m3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.p1.6.m3.1.1.1.1.1.3">𝑔</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p1.6.m3.1c">\text{toep}(\boldsymbol{t}^{g})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p1.6.m3.1d">toep ( bold_italic_t start_POSTSUPERSCRIPT italic_g end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> is formed in a similar way as <math alttext="\text{Toep}(\boldsymbol{T}^{g})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p1.7.m4.1"><semantics id="S3.SS3.p1.7.m4.1a"><mrow id="S3.SS3.p1.7.m4.1.1" xref="S3.SS3.p1.7.m4.1.1.cmml"><mtext id="S3.SS3.p1.7.m4.1.1.3" xref="S3.SS3.p1.7.m4.1.1.3a.cmml">Toep</mtext><mo id="S3.SS3.p1.7.m4.1.1.2" xref="S3.SS3.p1.7.m4.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS3.p1.7.m4.1.1.1.1" xref="S3.SS3.p1.7.m4.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS3.p1.7.m4.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS3.p1.7.m4.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S3.SS3.p1.7.m4.1.1.1.1.1" xref="S3.SS3.p1.7.m4.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.p1.7.m4.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS3.p1.7.m4.1.1.1.1.1.2.cmml">𝑻</mi><mi id="S3.SS3.p1.7.m4.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS3.p1.7.m4.1.1.1.1.1.3.cmml">g</mi></msup><mo id="S3.SS3.p1.7.m4.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS3.p1.7.m4.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p1.7.m4.1b"><apply id="S3.SS3.p1.7.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.7.m4.1.1"><times id="S3.SS3.p1.7.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p1.7.m4.1.1.2"></times><ci id="S3.SS3.p1.7.m4.1.1.3a.cmml" xref="S3.SS3.p1.7.m4.1.1.3"><mtext id="S3.SS3.p1.7.m4.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.p1.7.m4.1.1.3">Toep</mtext></ci><apply id="S3.SS3.p1.7.m4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.7.m4.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p1.7.m4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.7.m4.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p1.7.m4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p1.7.m4.1.1.1.1.1.2">𝑻</ci><ci id="S3.SS3.p1.7.m4.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.p1.7.m4.1.1.1.1.1.3">𝑔</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p1.7.m4.1c">\text{Toep}(\boldsymbol{T}^{g})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p1.7.m4.1d">Toep ( bold_italic_T start_POSTSUPERSCRIPT italic_g end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15164v1#S3.E18" title="In III-A Constrained Atomic Norm Minimization and Its SDP Representation ‣ III Constrained Two-Dimensional Atomic Norm Minimization ‣ Gridless Chirp Parameter Retrieval via Constrained Two-Dimensional Atomic Norm Minimization D. Yang and F. Xi contributed equally to this work. D. Yang was supported in part by the Research Development Fund (RDF-23-02-080) from Xi’an Jiaotong-Liverpool University. F. Xi was supported in part by the National Natural Science Foundation of China under grant No. 62471230."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">18</span></a>). It is easy to see that the PSD constraint in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15164v1#S3.E24" title="In III-C Decoupled Two-Dimensional Atomic Norm Minimization ‣ III Constrained Two-Dimensional Atomic Norm Minimization ‣ Gridless Chirp Parameter Retrieval via Constrained Two-Dimensional Atomic Norm Minimization D. Yang and F. Xi contributed equally to this work. D. Yang was supported in part by the Research Development Fund (RDF-23-02-080) from Xi’an Jiaotong-Liverpool University. F. Xi was supported in part by the National Natural Science Foundation of China under grant No. 62471230."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">24</span></a>) is of size <math alttext="O(N^{2}\times N^{2})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p1.8.m5.1"><semantics id="S3.SS3.p1.8.m5.1a"><mrow id="S3.SS3.p1.8.m5.1.1" xref="S3.SS3.p1.8.m5.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.p1.8.m5.1.1.3" xref="S3.SS3.p1.8.m5.1.1.3.cmml">O</mi><mo id="S3.SS3.p1.8.m5.1.1.2" xref="S3.SS3.p1.8.m5.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS3.p1.8.m5.1.1.1.1" xref="S3.SS3.p1.8.m5.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS3.p1.8.m5.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS3.p1.8.m5.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.SS3.p1.8.m5.1.1.1.1.1" xref="S3.SS3.p1.8.m5.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S3.SS3.p1.8.m5.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS3.p1.8.m5.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS3.p1.8.m5.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.SS3.p1.8.m5.1.1.1.1.1.2.2.cmml">N</mi><mn id="S3.SS3.p1.8.m5.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.SS3.p1.8.m5.1.1.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.SS3.p1.8.m5.1.1.1.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S3.SS3.p1.8.m5.1.1.1.1.1.1.cmml">×</mo><msup id="S3.SS3.p1.8.m5.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS3.p1.8.m5.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS3.p1.8.m5.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.SS3.p1.8.m5.1.1.1.1.1.3.2.cmml">N</mi><mn id="S3.SS3.p1.8.m5.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.SS3.p1.8.m5.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S3.SS3.p1.8.m5.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS3.p1.8.m5.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p1.8.m5.1b"><apply id="S3.SS3.p1.8.m5.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.8.m5.1.1"><times id="S3.SS3.p1.8.m5.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p1.8.m5.1.1.2"></times><ci id="S3.SS3.p1.8.m5.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.p1.8.m5.1.1.3">𝑂</ci><apply id="S3.SS3.p1.8.m5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.8.m5.1.1.1.1"><times id="S3.SS3.p1.8.m5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.8.m5.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S3.SS3.p1.8.m5.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p1.8.m5.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p1.8.m5.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.8.m5.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p1.8.m5.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p1.8.m5.1.1.1.1.1.2.2">𝑁</ci><cn id="S3.SS3.p1.8.m5.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.p1.8.m5.1.1.1.1.1.2.3">2</cn></apply><apply id="S3.SS3.p1.8.m5.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.p1.8.m5.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p1.8.m5.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.8.m5.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p1.8.m5.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS3.p1.8.m5.1.1.1.1.1.3.2">𝑁</ci><cn id="S3.SS3.p1.8.m5.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.p1.8.m5.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p1.8.m5.1c">O(N^{2}\times N^{2})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p1.8.m5.1d">italic_O ( italic_N start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT × italic_N start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math>, which is an order of <math alttext="N" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p1.9.m6.1"><semantics id="S3.SS3.p1.9.m6.1a"><mi id="S3.SS3.p1.9.m6.1.1" xref="S3.SS3.p1.9.m6.1.1.cmml">N</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p1.9.m6.1b"><ci id="S3.SS3.p1.9.m6.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.9.m6.1.1">𝑁</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p1.9.m6.1c">N</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p1.9.m6.1d">italic_N</annotation></semantics></math> smaller than that in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15164v1#S3.E18" title="In III-A Constrained Atomic Norm Minimization and Its SDP Representation ‣ III Constrained Two-Dimensional Atomic Norm Minimization ‣ Gridless Chirp Parameter Retrieval via Constrained Two-Dimensional Atomic Norm Minimization D. Yang and F. Xi contributed equally to this work. D. Yang was supported in part by the Research Development Fund (RDF-23-02-080) from Xi’an Jiaotong-Liverpool University. F. Xi was supported in part by the National Natural Science Foundation of China under grant No. 62471230."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">18</span></a>). In the numerical experiments section, we implement the constrained version of the decoupled two-dimensional atomic norm minimization for solving (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15164v1#S3.E18" title="In III-A Constrained Atomic Norm Minimization and Its SDP Representation ‣ III Constrained Two-Dimensional Atomic Norm Minimization ‣ Gridless Chirp Parameter Retrieval via Constrained Two-Dimensional Atomic Norm Minimization D. Yang and F. Xi contributed equally to this work. D. Yang was supported in part by the Research Development Fund (RDF-23-02-080) from Xi’an Jiaotong-Liverpool University. F. Xi was supported in part by the National Natural Science Foundation of China under grant No. 62471230."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">18</span></a>) using CVX.</p> </div> </section> </section> <section class="ltx_section" id="S4"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">IV </span><span class="ltx_text ltx_font_smallcaps" id="S4.1.1">Numerical Experiments</span> </h2> <div class="ltx_para" id="S4.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.p1.13">In this section, we present numerical simulations to demonstrate the effectiveness of the proposed approach for chirp parameter estimation. For demonstration purposes, we set <math alttext="N=25" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p1.1.m1.1"><semantics id="S4.p1.1.m1.1a"><mrow id="S4.p1.1.m1.1.1" xref="S4.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.p1.1.m1.1.1.2" xref="S4.p1.1.m1.1.1.2.cmml">N</mi><mo id="S4.p1.1.m1.1.1.1" xref="S4.p1.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.p1.1.m1.1.1.3" xref="S4.p1.1.m1.1.1.3.cmml">25</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p1.1.m1.1b"><apply id="S4.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.p1.1.m1.1.1"><eq id="S4.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.p1.1.m1.1.1.1"></eq><ci id="S4.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.p1.1.m1.1.1.2">𝑁</ci><cn id="S4.p1.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.p1.1.m1.1.1.3">25</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p1.1.m1.1c">N=25</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p1.1.m1.1d">italic_N = 25</annotation></semantics></math> and generate <math alttext="K=2" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p1.2.m2.1"><semantics id="S4.p1.2.m2.1a"><mrow id="S4.p1.2.m2.1.1" xref="S4.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.p1.2.m2.1.1.2" xref="S4.p1.2.m2.1.1.2.cmml">K</mi><mo id="S4.p1.2.m2.1.1.1" xref="S4.p1.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.p1.2.m2.1.1.3" xref="S4.p1.2.m2.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p1.2.m2.1b"><apply id="S4.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.p1.2.m2.1.1"><eq id="S4.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.p1.2.m2.1.1.1"></eq><ci id="S4.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.p1.2.m2.1.1.2">𝐾</ci><cn id="S4.p1.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.p1.2.m2.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p1.2.m2.1c">K=2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p1.2.m2.1d">italic_K = 2</annotation></semantics></math> pairs of chirp parameters: <math alttext="(f_{1},\theta_{1})=(0.165,0.013)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p1.3.m3.4"><semantics id="S4.p1.3.m3.4a"><mrow id="S4.p1.3.m3.4.4" xref="S4.p1.3.m3.4.4.cmml"><mrow id="S4.p1.3.m3.4.4.2.2" xref="S4.p1.3.m3.4.4.2.3.cmml"><mo id="S4.p1.3.m3.4.4.2.2.3" stretchy="false" xref="S4.p1.3.m3.4.4.2.3.cmml">(</mo><msub id="S4.p1.3.m3.3.3.1.1.1" xref="S4.p1.3.m3.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S4.p1.3.m3.3.3.1.1.1.2" xref="S4.p1.3.m3.3.3.1.1.1.2.cmml">f</mi><mn id="S4.p1.3.m3.3.3.1.1.1.3" xref="S4.p1.3.m3.3.3.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.p1.3.m3.4.4.2.2.4" xref="S4.p1.3.m3.4.4.2.3.cmml">,</mo><msub id="S4.p1.3.m3.4.4.2.2.2" xref="S4.p1.3.m3.4.4.2.2.2.cmml"><mi id="S4.p1.3.m3.4.4.2.2.2.2" xref="S4.p1.3.m3.4.4.2.2.2.2.cmml">θ</mi><mn id="S4.p1.3.m3.4.4.2.2.2.3" xref="S4.p1.3.m3.4.4.2.2.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.p1.3.m3.4.4.2.2.5" stretchy="false" xref="S4.p1.3.m3.4.4.2.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.p1.3.m3.4.4.3" xref="S4.p1.3.m3.4.4.3.cmml">=</mo><mrow id="S4.p1.3.m3.4.4.4.2" xref="S4.p1.3.m3.4.4.4.1.cmml"><mo id="S4.p1.3.m3.4.4.4.2.1" stretchy="false" xref="S4.p1.3.m3.4.4.4.1.cmml">(</mo><mn id="S4.p1.3.m3.1.1" xref="S4.p1.3.m3.1.1.cmml">0.165</mn><mo id="S4.p1.3.m3.4.4.4.2.2" xref="S4.p1.3.m3.4.4.4.1.cmml">,</mo><mn id="S4.p1.3.m3.2.2" xref="S4.p1.3.m3.2.2.cmml">0.013</mn><mo id="S4.p1.3.m3.4.4.4.2.3" stretchy="false" xref="S4.p1.3.m3.4.4.4.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p1.3.m3.4b"><apply id="S4.p1.3.m3.4.4.cmml" xref="S4.p1.3.m3.4.4"><eq id="S4.p1.3.m3.4.4.3.cmml" xref="S4.p1.3.m3.4.4.3"></eq><interval closure="open" id="S4.p1.3.m3.4.4.2.3.cmml" xref="S4.p1.3.m3.4.4.2.2"><apply id="S4.p1.3.m3.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.p1.3.m3.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p1.3.m3.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p1.3.m3.3.3.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.p1.3.m3.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S4.p1.3.m3.3.3.1.1.1.2">𝑓</ci><cn id="S4.p1.3.m3.3.3.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.p1.3.m3.3.3.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S4.p1.3.m3.4.4.2.2.2.cmml" xref="S4.p1.3.m3.4.4.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p1.3.m3.4.4.2.2.2.1.cmml" xref="S4.p1.3.m3.4.4.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.p1.3.m3.4.4.2.2.2.2.cmml" xref="S4.p1.3.m3.4.4.2.2.2.2">𝜃</ci><cn id="S4.p1.3.m3.4.4.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.p1.3.m3.4.4.2.2.2.3">1</cn></apply></interval><interval closure="open" id="S4.p1.3.m3.4.4.4.1.cmml" xref="S4.p1.3.m3.4.4.4.2"><cn id="S4.p1.3.m3.1.1.cmml" type="float" xref="S4.p1.3.m3.1.1">0.165</cn><cn id="S4.p1.3.m3.2.2.cmml" type="float" xref="S4.p1.3.m3.2.2">0.013</cn></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p1.3.m3.4c">(f_{1},\theta_{1})=(0.165,0.013)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p1.3.m3.4d">( italic_f start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_θ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ) = ( 0.165 , 0.013 )</annotation></semantics></math> and <math alttext="(f_{2},\theta_{2})=(0.524,0.0075)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p1.4.m4.4"><semantics id="S4.p1.4.m4.4a"><mrow id="S4.p1.4.m4.4.4" xref="S4.p1.4.m4.4.4.cmml"><mrow id="S4.p1.4.m4.4.4.2.2" xref="S4.p1.4.m4.4.4.2.3.cmml"><mo id="S4.p1.4.m4.4.4.2.2.3" stretchy="false" xref="S4.p1.4.m4.4.4.2.3.cmml">(</mo><msub id="S4.p1.4.m4.3.3.1.1.1" xref="S4.p1.4.m4.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S4.p1.4.m4.3.3.1.1.1.2" xref="S4.p1.4.m4.3.3.1.1.1.2.cmml">f</mi><mn id="S4.p1.4.m4.3.3.1.1.1.3" xref="S4.p1.4.m4.3.3.1.1.1.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S4.p1.4.m4.4.4.2.2.4" xref="S4.p1.4.m4.4.4.2.3.cmml">,</mo><msub id="S4.p1.4.m4.4.4.2.2.2" xref="S4.p1.4.m4.4.4.2.2.2.cmml"><mi id="S4.p1.4.m4.4.4.2.2.2.2" xref="S4.p1.4.m4.4.4.2.2.2.2.cmml">θ</mi><mn id="S4.p1.4.m4.4.4.2.2.2.3" xref="S4.p1.4.m4.4.4.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S4.p1.4.m4.4.4.2.2.5" stretchy="false" xref="S4.p1.4.m4.4.4.2.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.p1.4.m4.4.4.3" xref="S4.p1.4.m4.4.4.3.cmml">=</mo><mrow id="S4.p1.4.m4.4.4.4.2" xref="S4.p1.4.m4.4.4.4.1.cmml"><mo id="S4.p1.4.m4.4.4.4.2.1" stretchy="false" xref="S4.p1.4.m4.4.4.4.1.cmml">(</mo><mn id="S4.p1.4.m4.1.1" xref="S4.p1.4.m4.1.1.cmml">0.524</mn><mo id="S4.p1.4.m4.4.4.4.2.2" xref="S4.p1.4.m4.4.4.4.1.cmml">,</mo><mn id="S4.p1.4.m4.2.2" xref="S4.p1.4.m4.2.2.cmml">0.0075</mn><mo id="S4.p1.4.m4.4.4.4.2.3" stretchy="false" xref="S4.p1.4.m4.4.4.4.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p1.4.m4.4b"><apply id="S4.p1.4.m4.4.4.cmml" xref="S4.p1.4.m4.4.4"><eq id="S4.p1.4.m4.4.4.3.cmml" xref="S4.p1.4.m4.4.4.3"></eq><interval closure="open" id="S4.p1.4.m4.4.4.2.3.cmml" xref="S4.p1.4.m4.4.4.2.2"><apply id="S4.p1.4.m4.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.p1.4.m4.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p1.4.m4.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p1.4.m4.3.3.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.p1.4.m4.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S4.p1.4.m4.3.3.1.1.1.2">𝑓</ci><cn id="S4.p1.4.m4.3.3.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.p1.4.m4.3.3.1.1.1.3">2</cn></apply><apply id="S4.p1.4.m4.4.4.2.2.2.cmml" xref="S4.p1.4.m4.4.4.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p1.4.m4.4.4.2.2.2.1.cmml" xref="S4.p1.4.m4.4.4.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S4.p1.4.m4.4.4.2.2.2.2.cmml" xref="S4.p1.4.m4.4.4.2.2.2.2">𝜃</ci><cn id="S4.p1.4.m4.4.4.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.p1.4.m4.4.4.2.2.2.3">2</cn></apply></interval><interval closure="open" id="S4.p1.4.m4.4.4.4.1.cmml" xref="S4.p1.4.m4.4.4.4.2"><cn id="S4.p1.4.m4.1.1.cmml" type="float" xref="S4.p1.4.m4.1.1">0.524</cn><cn id="S4.p1.4.m4.2.2.cmml" type="float" xref="S4.p1.4.m4.2.2">0.0075</cn></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p1.4.m4.4c">(f_{2},\theta_{2})=(0.524,0.0075)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p1.4.m4.4d">( italic_f start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT , italic_θ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) = ( 0.524 , 0.0075 )</annotation></semantics></math>. The amplitudes of the chirp signals are both set to <math alttext="1" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p1.5.m5.1"><semantics id="S4.p1.5.m5.1a"><mn id="S4.p1.5.m5.1.1" xref="S4.p1.5.m5.1.1.cmml">1</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p1.5.m5.1b"><cn id="S4.p1.5.m5.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.p1.5.m5.1.1">1</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p1.5.m5.1c">1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p1.5.m5.1d">1</annotation></semantics></math>. We constrain the upper bound of the normalized frequency rate <math alttext="\theta" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p1.6.m6.1"><semantics id="S4.p1.6.m6.1a"><mi id="S4.p1.6.m6.1.1" xref="S4.p1.6.m6.1.1.cmml">θ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p1.6.m6.1b"><ci id="S4.p1.6.m6.1.1.cmml" xref="S4.p1.6.m6.1.1">𝜃</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p1.6.m6.1c">\theta</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p1.6.m6.1d">italic_θ</annotation></semantics></math> to the interval <math alttext="[0,0.02]" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p1.7.m7.2"><semantics id="S4.p1.7.m7.2a"><mrow id="S4.p1.7.m7.2.3.2" xref="S4.p1.7.m7.2.3.1.cmml"><mo id="S4.p1.7.m7.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.p1.7.m7.2.3.1.cmml">[</mo><mn id="S4.p1.7.m7.1.1" xref="S4.p1.7.m7.1.1.cmml">0</mn><mo id="S4.p1.7.m7.2.3.2.2" xref="S4.p1.7.m7.2.3.1.cmml">,</mo><mn id="S4.p1.7.m7.2.2" xref="S4.p1.7.m7.2.2.cmml">0.02</mn><mo id="S4.p1.7.m7.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.p1.7.m7.2.3.1.cmml">]</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p1.7.m7.2b"><interval closure="closed" id="S4.p1.7.m7.2.3.1.cmml" xref="S4.p1.7.m7.2.3.2"><cn id="S4.p1.7.m7.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.p1.7.m7.1.1">0</cn><cn id="S4.p1.7.m7.2.2.cmml" type="float" xref="S4.p1.7.m7.2.2">0.02</cn></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p1.7.m7.2c">[0,0.02]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p1.7.m7.2d">[ 0 , 0.02 ]</annotation></semantics></math>, i.e., <math alttext="\mathcal{U}=0.02" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p1.8.m8.1"><semantics id="S4.p1.8.m8.1a"><mrow id="S4.p1.8.m8.1.1" xref="S4.p1.8.m8.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.p1.8.m8.1.1.2" xref="S4.p1.8.m8.1.1.2.cmml">𝒰</mi><mo id="S4.p1.8.m8.1.1.1" xref="S4.p1.8.m8.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.p1.8.m8.1.1.3" xref="S4.p1.8.m8.1.1.3.cmml">0.02</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p1.8.m8.1b"><apply id="S4.p1.8.m8.1.1.cmml" xref="S4.p1.8.m8.1.1"><eq id="S4.p1.8.m8.1.1.1.cmml" xref="S4.p1.8.m8.1.1.1"></eq><ci id="S4.p1.8.m8.1.1.2.cmml" xref="S4.p1.8.m8.1.1.2">𝒰</ci><cn id="S4.p1.8.m8.1.1.3.cmml" type="float" xref="S4.p1.8.m8.1.1.3">0.02</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p1.8.m8.1c">\mathcal{U}=0.02</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p1.8.m8.1d">caligraphic_U = 0.02</annotation></semantics></math>. The locations of the ground truth parameters are depicted in Fig. 1(a). Fig. 1(b) shows the recovered parameters using the discretized sparse recovery method of basis pursuit. It is implemented with a discretization resolution of <math alttext="0.01" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p1.9.m9.1"><semantics id="S4.p1.9.m9.1a"><mn id="S4.p1.9.m9.1.1" xref="S4.p1.9.m9.1.1.cmml">0.01</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p1.9.m9.1b"><cn id="S4.p1.9.m9.1.1.cmml" type="float" xref="S4.p1.9.m9.1.1">0.01</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p1.9.m9.1c">0.01</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p1.9.m9.1d">0.01</annotation></semantics></math> for <math alttext="f" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p1.10.m10.1"><semantics id="S4.p1.10.m10.1a"><mi id="S4.p1.10.m10.1.1" xref="S4.p1.10.m10.1.1.cmml">f</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p1.10.m10.1b"><ci id="S4.p1.10.m10.1.1.cmml" xref="S4.p1.10.m10.1.1">𝑓</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p1.10.m10.1c">f</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p1.10.m10.1d">italic_f</annotation></semantics></math> and <math alttext="0.001" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p1.11.m11.1"><semantics id="S4.p1.11.m11.1a"><mn id="S4.p1.11.m11.1.1" xref="S4.p1.11.m11.1.1.cmml">0.001</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p1.11.m11.1b"><cn id="S4.p1.11.m11.1.1.cmml" type="float" xref="S4.p1.11.m11.1.1">0.001</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p1.11.m11.1c">0.001</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p1.11.m11.1d">0.001</annotation></semantics></math> for <math alttext="\theta" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p1.12.m12.1"><semantics id="S4.p1.12.m12.1a"><mi id="S4.p1.12.m12.1.1" xref="S4.p1.12.m12.1.1.cmml">θ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p1.12.m12.1b"><ci id="S4.p1.12.m12.1.1.cmml" xref="S4.p1.12.m12.1.1">𝜃</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p1.12.m12.1c">\theta</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p1.12.m12.1d">italic_θ</annotation></semantics></math>. Fig. 1(c) illustrates the recovered parameters using the proposed atomic norm minimization, superimposed on the ground truth. It is observed that the parameters are perfectly recovered with the noise-free measurements. To evaluate the performance of the proposed approach under noisy conditions, we add additive white Gaussian noise generated from a normal distribution to the measurements. The signal-to-noise ratio (SNR) is set to <math alttext="20" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p1.13.m13.1"><semantics id="S4.p1.13.m13.1a"><mn id="S4.p1.13.m13.1.1" xref="S4.p1.13.m13.1.1.cmml">20</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p1.13.m13.1b"><cn id="S4.p1.13.m13.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.p1.13.m13.1.1">20</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p1.13.m13.1c">20</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p1.13.m13.1d">20</annotation></semantics></math>dB. Fig. 1(d) shows the recovered parameters along with the ground truth. Our proposed approach is able to reliably recover the chirp parameters even with noisy measurements.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.p2"> <p class="ltx_p" id="S4.p2.1">For the noise-free exact recovery case as shown in Fig. 1(c), we also examine the corresponding dual polynomial, which is formed by plugging the optimal dual variable associated with the equality constraint of the decoupled two-dimensional atomic norm minimization into (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15164v1#S3.E22" title="In Theorem III.1 ‣ III-B Dual Atomic Norm and Dual Certificate ‣ III Constrained Two-Dimensional Atomic Norm Minimization ‣ Gridless Chirp Parameter Retrieval via Constrained Two-Dimensional Atomic Norm Minimization D. Yang and F. Xi contributed equally to this work. D. Yang was supported in part by the Research Development Fund (RDF-23-02-080) from Xi’an Jiaotong-Liverpool University. F. Xi was supported in part by the National Natural Science Foundation of China under grant No. 62471230."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">22</span></a>). Fig. 2 plots the absolute value of the dual polynomial along with the ground truth. It is observed that the dual polynomial achieves its peak only at the locations of the ground truth, which is consistent with Theorem <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15164v1#S3.Thmthm1" title="Theorem III.1 ‣ III-B Dual Atomic Norm and Dual Certificate ‣ III Constrained Two-Dimensional Atomic Norm Minimization ‣ Gridless Chirp Parameter Retrieval via Constrained Two-Dimensional Atomic Norm Minimization D. Yang and F. Xi contributed equally to this work. D. Yang was supported in part by the Research Development Fund (RDF-23-02-080) from Xi’an Jiaotong-Liverpool University. F. Xi was supported in part by the National Natural Science Foundation of China under grant No. 62471230."><span class="ltx_text ltx_ref_tag">III.1</span></a>.</p> </div> <figure class="ltx_figure" id="S4.F1"> <div class="ltx_flex_figure"> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_2"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel" id="S4.F1.sf1"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_landscape" height="207" id="S4.F1.sf1.g1" src="x1.png" width="830"/> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S4.F1.sf1.2.1.1" style="font-size:90%;">(a)</span> </span></figcaption> </figure> </div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_2"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel" id="S4.F1.sf2"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_landscape" height="207" id="S4.F1.sf2.g1" src="x2.png" width="830"/> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S4.F1.sf2.2.1.1" style="font-size:90%;">(b)</span> </span></figcaption> </figure> </div> <div class="ltx_flex_break"></div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_2"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel" id="S4.F1.sf3"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_landscape" height="207" id="S4.F1.sf3.g1" src="x3.png" width="830"/> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S4.F1.sf3.2.1.1" style="font-size:90%;">(c)</span> </span></figcaption> </figure> </div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_2"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel" id="S4.F1.sf4"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_landscape" height="207" id="S4.F1.sf4.g1" src="x4.png" width="830"/> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S4.F1.sf4.2.1.1" style="font-size:90%;">(d)</span> </span></figcaption> </figure> </div> </div> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S4.F1.6.3.1" style="font-size:90%;">Figure 1</span>: </span><span class="ltx_text" id="S4.F1.4.2" style="font-size:90%;">The recovered continuous-valued chirp parameters in an illustrative example with <math alttext="N=25" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.3.1.m1.1"><semantics id="S4.F1.3.1.m1.1b"><mrow id="S4.F1.3.1.m1.1.1" xref="S4.F1.3.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.F1.3.1.m1.1.1.2" xref="S4.F1.3.1.m1.1.1.2.cmml">N</mi><mo id="S4.F1.3.1.m1.1.1.1" xref="S4.F1.3.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.F1.3.1.m1.1.1.3" xref="S4.F1.3.1.m1.1.1.3.cmml">25</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.3.1.m1.1c"><apply id="S4.F1.3.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F1.3.1.m1.1.1"><eq id="S4.F1.3.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.3.1.m1.1.1.1"></eq><ci id="S4.F1.3.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.3.1.m1.1.1.2">𝑁</ci><cn id="S4.F1.3.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.F1.3.1.m1.1.1.3">25</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.3.1.m1.1d">N=25</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.3.1.m1.1e">italic_N = 25</annotation></semantics></math> and <math alttext="K=2" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F1.4.2.m2.1"><semantics id="S4.F1.4.2.m2.1b"><mrow id="S4.F1.4.2.m2.1.1" xref="S4.F1.4.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.F1.4.2.m2.1.1.2" xref="S4.F1.4.2.m2.1.1.2.cmml">K</mi><mo id="S4.F1.4.2.m2.1.1.1" xref="S4.F1.4.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.F1.4.2.m2.1.1.3" xref="S4.F1.4.2.m2.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F1.4.2.m2.1c"><apply id="S4.F1.4.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.F1.4.2.m2.1.1"><eq id="S4.F1.4.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.F1.4.2.m2.1.1.1"></eq><ci id="S4.F1.4.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.F1.4.2.m2.1.1.2">𝐾</ci><cn id="S4.F1.4.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.F1.4.2.m2.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F1.4.2.m2.1d">K=2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F1.4.2.m2.1e">italic_K = 2</annotation></semantics></math>. (a) Ground truth; (b) basis pursuit; (c) proposed approach; (d) proposed approach under noise.</span></figcaption> </figure> <figure class="ltx_figure" id="S4.F2"> <p class="ltx_p ltx_align_center" id="S4.F2.1"><span class="ltx_text" id="S4.F2.1.1"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_square" height="692" id="S4.F2.1.1.g1" src="x5.png" width="830"/></span></p> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S4.F2.3.1.1" style="font-size:90%;">Figure 2</span>: </span><span class="ltx_text" id="S4.F2.4.2" style="font-size:90%;">Localization of chirp parameters with the dual polynomial.</span></figcaption> </figure> </section> <section class="ltx_section" id="S5"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">V </span><span class="ltx_text ltx_font_smallcaps" id="S5.1.1">Conclusion</span> </h2> <div class="ltx_para" id="S5.p1"> <p class="ltx_p" id="S5.p1.1">In this paper, we have taken a first step toward utilizing the atomic norm minimization framework for estimating the continuous parameters of linear chirp signals. By solving a constrained two-dimensional atomic norm minimization problem, we can recover the chirp parameters in the continuous domain without discretization. A theoretical analysis of the proposed approach is currently under preparation and will be presented in a future paper.</p> </div> </section> <section class="ltx_bibliography" id="bib"> <h2 class="ltx_title ltx_title_bibliography" style="font-size:80%;">References</h2> <ul class="ltx_biblist"> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib1"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[1]</span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text" id="bib.bib1.1.1" style="font-size:80%;"> A. Springer, W. Gugler, M. Huemer, L. Reindl, C. Ruppel, and R. 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