Variedad de Riemann - Wikipedia, la enciclopedia libre

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id="toc-Líneas_geodésicas" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Líneas_geodésicas"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.1</span> <span>Líneas geodésicas</span> </div> </a> <ul id="toc-Líneas_geodésicas-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Longitud,_ángulo_y_volumen" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Longitud,_ángulo_y_volumen"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.2</span> <span>Longitud, ángulo y volumen</span> </div> </a> <ul id="toc-Longitud,_ángulo_y_volumen-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Producto_interno" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Producto_interno"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.3</span> <span>Producto interno</span> </div> </a> <ul id="toc-Producto_interno-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Curvatura" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Curvatura"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.4</span> <span>Curvatura</span> </div> </a> <ul id="toc-Curvatura-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Generalizaciones_de_las_variedades_de_Riemann" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Generalizaciones_de_las_variedades_de_Riemann"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3</span> <span>Generalizaciones de las variedades de Riemann</span> </div> </a> <ul id="toc-Generalizaciones_de_las_variedades_de_Riemann-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Véase_también" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Véase_también"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4</span> <span>Véase también</span> </div> </a> <ul id="toc-Véase_también-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Referencias" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Referencias"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5</span> <span>Referencias</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Referencias-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Alternar subsección Referencias</span> </button> <ul id="toc-Referencias-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Bibliografía" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Bibliografía"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5.1</span> <span>Bibliografía</span> </div> </a> <ul id="toc-Bibliografía-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="Contenidos" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Cambiar a la tabla de contenidos" > <label id="vector-page-titlebar-toc-label" for="vector-page-titlebar-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-listBullet mw-ui-icon-wikimedia-listBullet"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Cambiar a la tabla de contenidos</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-titlebar-toc-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Variedad de Riemann</span></h1> <div id="p-lang-btn" class="vector-dropdown mw-portlet mw-portlet-lang" > <input type="checkbox" id="p-lang-btn-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-lang-btn" class="vector-dropdown-checkbox mw-interlanguage-selector" aria-label="Ir a un artículo en otro idioma. Disponible en 26 idiomas" > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-26" aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-language-progressive mw-ui-icon-wikimedia-language-progressive"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">26 idiomas</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D9%85%D8%AA%D8%B9%D8%AF%D8%AF_%D8%B4%D8%B9%D8%A8_%D8%B1%D9%8A%D9%85%D8%A7%D9%86%D9%8A" title="متعدد شعب ريماني (árabe)" lang="ar" hreflang="ar" data-title="متعدد شعب ريماني" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="árabe" class="interlanguage-link-target"><span>العربية</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ca mw-list-item"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Varietat_riemanniana" title="Varietat riemanniana (catalán)" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Varietat riemanniana" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="catalán" class="interlanguage-link-target"><span>Català</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/Riemann%C5%AFv_prostor" title="Riemannův prostor (checo)" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Riemannův prostor" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="checo" class="interlanguage-link-target"><span>Čeština</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cv mw-list-item"><a href="https://cv.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D0%BD_%D1%83%C3%A7%D0%BB%C4%83%D1%85%C4%95" title="Риман уçлăхĕ (chuvasio)" lang="cv" hreflang="cv" data-title="Риман уçлăхĕ" data-language-autonym="Чӑвашла" data-language-local-name="chuvasio" 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(francés)" lang="fr" hreflang="fr" data-title="Variété riemannienne" data-language-autonym="Français" data-language-local-name="francés" class="interlanguage-link-target"><span>Français</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%9E%D7%98%D7%A8%D7%99%D7%A7%D7%94_%D7%A8%D7%99%D7%9E%D7%A0%D7%99%D7%AA" title="מטריקה רימנית (hebreo)" lang="he" hreflang="he" data-title="מטריקה רימנית" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="hebreo" class="interlanguage-link-target"><span>עברית</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-id mw-list-item"><a href="https://id.wikipedia.org/wiki/Manifold_Riemann" title="Manifold Riemann (indonesio)" lang="id" hreflang="id" data-title="Manifold Riemann" data-language-autonym="Bahasa Indonesia" data-language-local-name="indonesio" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Indonesia</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Variet%C3%A0_riemanniana" title="Varietà riemanniana (italiano)" lang="it" hreflang="it" data-title="Varietà riemanniana" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="italiano" class="interlanguage-link-target"><span>Italiano</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%83%B3%E5%A4%9A%E6%A7%98%E4%BD%93" title="リーマン多様体 (japonés)" lang="ja" hreflang="ja" data-title="リーマン多様体" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="japonés" class="interlanguage-link-target"><span>日本語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%A6%AC%EB%A7%8C_%EB%8B%A4%EC%96%91%EC%B2%B4" title="리만 다양체 (coreano)" lang="ko" hreflang="ko" data-title="리만 다양체" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="coreano" class="interlanguage-link-target"><span>한국어</span></a></li><li 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data-language-autonym="粵語" data-language-local-name="cantonés" class="interlanguage-link-target"><span>粵語</span></a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><span class="wb-langlinks-edit wb-langlinks-link"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q632814#sitelinks-wikipedia" title="Editar enlaces interlingüísticos" class="wbc-editpage">Editar enlaces</a></span></div> </div> </div> </div> </header> <div class="vector-page-toolbar"> <div class="vector-page-toolbar-container"> <div id="left-navigation"> <nav aria-label="Espacios de nombres"> <div id="p-associated-pages" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-associated-pages" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Variedad_de_Riemann" title="Ver la página de contenido [c]" accesskey="c"><span>Artículo</span></a></li><li id="ca-talk" class="new vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Discusi%C3%B3n:Variedad_de_Riemann&action=edit&redlink=1" rel="discussion" class="new" title="Discusión acerca de la página (aún no redactado) [t]" accesskey="t"><span>Discusión</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown emptyPortlet" > <input type="checkbox" id="vector-variants-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Cambiar variante de idioma" > <label id="vector-variants-dropdown-label" for="vector-variants-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" ><span class="vector-dropdown-label-text">español</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-variants" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-variants emptyPortlet" > <div 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src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1f/Commons-emblem-question_book_orange.svg/40px-Commons-emblem-question_book_orange.svg.png" decoding="async" width="40" height="40" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1f/Commons-emblem-question_book_orange.svg/60px-Commons-emblem-question_book_orange.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1f/Commons-emblem-question_book_orange.svg/80px-Commons-emblem-question_book_orange.svg.png 2x" data-file-width="48" data-file-height="48" /></a></span></td> <td class="ambox-text"><div class="ambox-text-div"><strong>Este artículo o sección necesita <a href="/wiki/Wikipedia:VER" class="mw-redirect" title="Wikipedia:VER">referencias</a> que aparezcan en una <a href="/wiki/Wikipedia:FF" class="mw-redirect" title="Wikipedia:FF">publicación acreditada</a>.</strong> <span class="hide-when-compact"><br /> <span style="font-size: smaller;"><i>Busca fuentes:</i> <span class="plainlinks"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.google.com/search?as_eq=wikipedia&q=%22Variedad+de+Riemann%22&num=50">«Variedad de Riemann»</a> – <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.google.com/search?tbm=nws&&as_src=-newswire+-wire+-presswire+-PR+-press+-release+-wikipedia&q=%22Variedad+de+Riemann%22">noticias</a> · <a rel="nofollow" class="external text" href="http://books.google.com/books?as_brr=0&as_pub=-icon&q=%22Variedad+de+Riemann%22">libros</a> · <a rel="nofollow" class="external text" href="http://scholar.google.com/scholar?q=%22Variedad+de+Riemann%22">académico</a> · <a rel="nofollow" class="external text" href="http://images.google.com/images?safe=off&as_rights=(cc_publicdomain%7ccc_attribute%7ccc_sharealike%7ccc_noncommercial%7ccc_nonderived)&q=%22Variedad+de+Riemann%22">imágenes</a></span></span></span></div><div class="hide-when-compact"><small><div>Este aviso fue puesto el 24 de marzo de 2021.</div></small></div></td> </tr> </tbody></table> <figure class="mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Archivo:Saddle_pt.jpg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/21/Saddle_pt.jpg/225px-Saddle_pt.jpg" decoding="async" width="225" height="225" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/21/Saddle_pt.jpg/338px-Saddle_pt.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/21/Saddle_pt.jpg/450px-Saddle_pt.jpg 2x" data-file-width="1000" data-file-height="1000" /></a><figcaption>Ejemplo de variedad de Riemann bidimensional con un sistema de <a href="/wiki/Coordenadas_ortogonales" title="Coordenadas ortogonales">coordenadas ortogonales</a> definido sobre ella, y varias subvariedades curvas de la misma.</figcaption></figure> <p>En la <a href="/wiki/Geometr%C3%ADa_de_Riemann" title="Geometría de Riemann">geometría de Riemann</a>, una <b>variedad de Riemann</b> es una <a href="/wiki/Variedad_diferenciable" title="Variedad diferenciable">variedad diferenciable</a> <a href="/wiki/N%C3%BAmero_real" title="Número real">real</a> en la que cada <a href="/wiki/Espacio_tangente" title="Espacio tangente">espacio tangente</a> se equipa con un <a href="/wiki/Producto_interno" class="mw-redirect" title="Producto interno">producto interno</a> de manera que varíe suavemente punto a punto. Esto permite que se definan varias nociones métricas como longitud de <a href="/wiki/Curva" title="Curva">curvas</a>, <a href="/wiki/%C3%81ngulo" title="Ángulo">ángulos</a>, <a href="/wiki/%C3%81rea" title="Área">áreas</a> (o <a href="/wiki/Volumen" title="Volumen">volúmenes</a>), <a href="/wiki/Curvatura" title="Curvatura">curvatura</a>, <a href="/wiki/Gradiente" title="Gradiente">gradiente</a> de funciones y <a href="/wiki/Divergencia_(matem%C3%A1tica)" title="Divergencia (matemática)">divergencia</a> de <a href="/wiki/Campo_vectorial" title="Campo vectorial">campos vectoriales</a>. </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Introducción"><span id="Introducci.C3.B3n"></span>Introducción</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Variedad_de_Riemann&action=edit&section=1" title="Editar sección: Introducción"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Una variedad de Riemann es una generalización del concepto <a href="/wiki/Espacio_m%C3%A9trico" title="Espacio métrico">métrico</a>, <a href="/wiki/Geometr%C3%ADa_diferencial" title="Geometría diferencial">diferencial</a> y <a href="/wiki/Espacio_topol%C3%B3gico" title="Espacio topológico">topológico</a> del <a href="/wiki/Espacio_euclidiano" class="mw-redirect" title="Espacio euclidiano">espacio euclidiano</a> a objetos geométricos que <a href="/wiki/Localmente" title="Localmente">localmente</a> tienen la misma estructura que el espacio euclidiano pero globalmente pueden representar forma "curva". De hecho, los ejemplos más sencillos de variedades de Riemann son precisamente superficies curvas de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f936ddf584f8f3dd2a0ed08917001b7a404c10b5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.732ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}"></span> y <a href="/wiki/Conjunto_abierto" title="Conjunto abierto">subconjuntos abiertos</a> de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c510b63578322050121fe966f2e5770bea43308d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.897ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}"></span>. </p><p>La estructura matemática de la geometría riemanniana permite extender a subconjuntos curvos o hipersuperficies del espacio euclidiano, las nociones métricas de <a href="/wiki/Longitud_de_arco" title="Longitud de arco">longitud</a> de una curva, área de una superficie, (hiper)volumen o ángulo entre dos curvas. Esto se realiza definiendo en cada punto un objeto matemático llamado <a href="/wiki/Tensor_m%C3%A9trico" title="Tensor métrico">tensor métrico</a> que permite especificar un procedimiento para medir distancias, y por tanto definir cualquier otro concepto métrico basado en distancias y sus variaciones. </p><p>Desde el punto de vista matemático una variedad de Riemann es una tripleta del tipo: </p> <blockquote style="padding: 5px 10px; background-color: var(--background-color-base, #fff); color: var(--color-base, #202122); text-align: left; margin-left:30px; margin-bottom: 0.4em; margin-top:0.2em; min-width:50%;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ({\mathcal {M}},\{\phi _{\alpha }\},g)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">M</mi> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <msub> <mi>ϕ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>α</mi> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> <mo>,</mo> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ({\mathcal {M}},\{\phi _{\alpha }\},g)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1e3bd1b0259f124b2e6affdfa1d40e539ac2096" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.778ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle ({\mathcal {M}},\{\phi _{\alpha }\},g)}"></span> </p> </blockquote> <p>Donde: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ({\mathcal {M}},\{\phi _{\alpha }\})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">M</mi> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <msub> <mi>ϕ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>α</mi> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ({\mathcal {M}},\{\phi _{\alpha }\})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc2c47ed724dc15a511edc2ba514380bfa579912" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.628ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle ({\mathcal {M}},\{\phi _{\alpha }\})}"></span> es una <a href="/wiki/Variedad_diferenciable" title="Variedad diferenciable">variedad diferenciable</a> en la que se ha especificado el conjunto de cartas locales.</dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>g</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecc456e58b207759836214cb501a1aa1af3be5bd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.503ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle g\,}"></span> es una aplicación bilineal definida positiva desde el espacio tangente a la variedad: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g:TM\times TM\to \mathbb {R} .}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>g</mi> <mo>:</mo> <mi>T</mi> <mi>M</mi> <mo>×</mo> <mi>T</mi> <mi>M</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g:TM\times TM\to \mathbb {R} .}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c63ebcecf0b63fbd68b649b5ef84091d335e34cb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:19.989ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle g:TM\times TM\to \mathbb {R} .}"></span></dd></dl> <p>En particular, la métrica <i>g</i> permite definir en cada espacio tangente una norma <i>||.||</i> mediante </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ||X||={\sqrt {g(X,X)}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>X</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>X</mi> <mo>,</mo> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </msqrt> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ||X||={\sqrt {g(X,X)}}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91df6c6bbda96333616e39758ffae7baff6e0d54" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:18.556ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle ||X||={\sqrt {g(X,X)}}.}"></span> </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Variedades_riemannianas_como_subvariedades">Variedades riemannianas como subvariedades</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Variedad_de_Riemann&action=edit&section=2" title="Editar sección: Variedades riemannianas como subvariedades"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Una forma sencilla de construir variedades riemannianas es buscar subconjuntos "suaves" del espacio euclidiano. De hecho, cada <a href="/wiki/Variedad_diferenciable#Definición" title="Variedad diferenciable">subvariedad diferenciable</a> de <b>R</b><sup><i>n</i></sup> tiene una <a href="/wiki/M%C3%A9trica_de_Riemann" class="mw-redirect" title="Métrica de Riemann">métrica de Riemann</a> inducida: el <a href="/wiki/Producto_interno" class="mw-redirect" title="Producto interno">producto interno</a> en cada fibra tangente es la restricción del producto interno en <b>R</b><sup><i>n</i></sup>. </p><p>De hecho, como se sigue del <a href="/wiki/Teorema_de_inmersi%C3%B3n_de_Nash" title="Teorema de inmersión de Nash">teorema de inmersión de Nash</a>, todas las variedades de Riemann se pueden considerar subvariedades diferenciables de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{D}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>D</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{D}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98be01474d92584e89724b486a4d85914533c29e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.271ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{D}}"></span>, para algún <i>D</i>. En particular se puede definir una variedad de Riemann como un <a href="/wiki/Espacio_m%C3%A9trico" title="Espacio métrico">espacio métrico</a> que es <a href="/wiki/Isom%C3%A9trico" class="mw-disambig" title="Isométrico">isométrico</a> a una subvariedad diferenciable de <b>R</b><sup><i>D</i></sup> con la métrica intrínseca inducida. Esta definición puede no ser teóricamente suficientemente flexible, pero es muy útil al construir las primeras intuiciones geométricas en la <a href="/wiki/Geometr%C3%ADa_de_Riemann" title="Geometría de Riemann">geometría de Riemann</a>. </p><p>En general una subvariedad de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c510b63578322050121fe966f2e5770bea43308d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.897ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}"></span>, dimensión <i>m</i>, vendrá definida localmente por un conjunto de aplicaciones diferenciables del tipo: </p> <blockquote style="padding: 5px 10px; background-color: var(--background-color-base, #fff); color: var(--color-base, #202122); text-align: left; margin-left:30px; margin-bottom: 0.4em; margin-top:0.2em; min-width:50%;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {f} (u^{1},\dots ,u^{m}),\ {\mbox{con}}\ x^{i}=f_{i}(u^{1},\dots ,u^{m})\ i\in \{1,\dots ,n\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">x</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">f</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msup> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mtext>con</mtext> </mstyle> </mrow> <mtext> </mtext> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msub> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msup> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mtext> </mtext> <mi>i</mi> <mo>∈</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <mi>n</mi> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {f} (u^{1},\dots ,u^{m}),\ {\mbox{con}}\ x^{i}=f_{i}(u^{1},\dots ,u^{m})\ i\in \{1,\dots ,n\}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dda4723f97bc7b07b748bc6127da353d5efb19ac" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:57.448ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {f} (u^{1},\dots ,u^{m}),\ {\mbox{con}}\ x^{i}=f_{i}(u^{1},\dots ,u^{m})\ i\in \{1,\dots ,n\}}"></span> </p> </blockquote> <p>Por lo que matricialmente se tendrá en cada punto de coordenadas asociadas <i>u<sub>i</sub></i> que el tensor métrico puede expresarse en coordenadas locales en términos de la <a href="/wiki/Matriz_jacobiana" class="mw-redirect" title="Matriz jacobiana">matriz jacobiana</a> de <b>f</b>: </p> <blockquote style="padding: 5px 10px; background-color: var(--background-color-base, #fff); color: var(--color-base, #202122); text-align: left; margin-left:30px; margin-bottom: 0.4em; margin-top:0.2em; min-width:50%;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G={(\phi _{\alpha })}_{*}(g)=D\mathbf {f} ^{T}D\mathbf {f} ,\qquad G=\sum _{i,j=1}^{m}G_{ij}du^{i}\otimes du^{j}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> <mo>=</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>ϕ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>α</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>∗</mo> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>D</mi> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">f</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>T</mi> </mrow> </msup> <mi>D</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">f</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mspace width="2em" /> <mi>G</mi> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </munderover> <msub> <mi>G</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mi>d</mi> <msup> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msup> <mo>⊗</mo> <mi>d</mi> <msup> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G={(\phi _{\alpha })}_{*}(g)=D\mathbf {f} ^{T}D\mathbf {f} ,\qquad G=\sum _{i,j=1}^{m}G_{ij}du^{i}\otimes du^{j}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4e58926d610f326216ae7f62ec8e2ec650465b6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:51.637ex; height:7.176ex;" alt="{\displaystyle G={(\phi _{\alpha })}_{*}(g)=D\mathbf {f} ^{T}D\mathbf {f} ,\qquad G=\sum _{i,j=1}^{m}G_{ij}du^{i}\otimes du^{j}}"></span> </p> </blockquote> <p>En este caso las <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (u^{1},\dots ,u^{m})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msup> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (u^{1},\dots ,u^{m})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c2987756081a6ec92f576de9a656daf90c1e248" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.376ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle (u^{1},\dots ,u^{m})}"></span> harían el papel de coordenadas locales sobre la subvariedad. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Variedades_riemannianas_como_secciones_diferenciables">Variedades riemannianas como secciones diferenciables</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Variedad_de_Riemann&action=edit&section=3" title="Editar sección: Variedades riemannianas como secciones diferenciables"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Una variedad de Riemann se define generalmente como variedad diferenciable con una <a href="/w/index.php?title=Secci%C3%B3n_diferenciable&action=edit&redlink=1" class="new" title="Sección diferenciable (aún no redactado)">sección diferenciable</a> de formas cuadráticas positivo-definidas en el <a href="/wiki/Fibrado_tangente" title="Fibrado tangente">fibrado tangente</a>. Entonces se tiene trabajo en demostrar que puede ser convertido en un espacio métrico: </p><p>Si γ: [<i>a</i>, <i>b</i>] → <i>M</i> es una curva continuamente <a href="/wiki/Diferenciable" class="mw-redirect" title="Diferenciable">diferenciable</a> en la variedad de Riemann <i>M</i>, entonces se define su longitud <i>L</i>(γ) como </p> <blockquote style="padding: 5px 10px; background-color: var(--background-color-base, #fff); color: var(--color-base, #202122); text-align: left; margin-left:30px; margin-bottom: 0.4em; margin-top:0.2em; min-width:50%;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L(\gamma )=\int _{a}^{b}\|\gamma '(t)\|\;dt}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>L</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>γ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> </mrow> </msubsup> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <msup> <mi>γ</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L(\gamma )=\int _{a}^{b}\|\gamma '(t)\|\;dt}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30b248962c5cb3a423d3e810a75287832baecb1f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:21.181ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle L(\gamma )=\int _{a}^{b}\|\gamma '(t)\|\;dt}"></span> </p> </blockquote> <p>(nótese que el γ'(<i>t</i>) es un elemento del espacio tangente a <i>M</i> en el punto γ(<i>t</i>); ||.||denota la <a href="/wiki/Norma_vectorial" title="Norma vectorial">norma</a> resultante del producto interno dado en ese espacio tangente.) </p><p>Con esta definición de longitud, cada variedad de Riemann conexa <i>M</i> se convierte en un <a href="/wiki/Espacio_m%C3%A9trico" title="Espacio métrico">espacio métrico</a> (e incluso un <a href="/w/index.php?title=M%C3%A9trica_intr%C3%ADnseca&action=edit&redlink=1" class="new" title="Métrica intrínseca (aún no redactado)">espacio métrico con longitud</a>) de un modo natural: la distancia <i>d</i>(<i>x</i>, <i>y</i>) entre los puntos <i>x</i> y <i>y</i> en <i>M</i> se define como </p> <dl><dd><i>d</i> (<i>x</i>, <i>y</i>) = <a href="/wiki/%C3%8Dnfimo" class="mw-redirect" title="Ínfimo">inf</a> { L(γ): γ es una curva continuamente diferenciable que conecta a <i>x</i> y <i>y</i> }.</dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Conceptos_métricos"><span id="Conceptos_m.C3.A9tricos"></span>Conceptos métricos</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Variedad_de_Riemann&action=edit&section=4" title="Editar sección: Conceptos métricos"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Líneas_geodésicas"><span id="L.C3.ADneas_geod.C3.A9sicas"></span>Líneas geodésicas</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Variedad_de_Riemann&action=edit&section=5" title="Editar sección: Líneas geodésicas"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="noprint AP rellink"><span style="font-size:88%">Artículo principal:</span> <i><a href="/wiki/Geod%C3%A9sica" class="mw-redirect" title="Geodésica"> Geodésica</a></i></div> <p>Aunque las variedades de Riemann son generalmente "curvas", no obstante, podemos encontrar que dados dos puntos diferentes y suficientemente cercanos existe una curva de longitud mínima (aunque esta no tiene por qué ser única). Estas líneas de mínima longitud se llaman líneas <a href="/wiki/Geod%C3%A9sica" class="mw-redirect" title="Geodésica">geodésicas</a> y son una generalización del concepto "línea recta" o "línea de mínima longitud". Estas son las curvas que localmente conectan sus puntos a lo largo de las trayectorias más cortas. </p><p>Así dada una curva <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \gamma :[a,b]\rightarrow M}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>γ</mi> <mo>:</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>M</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \gamma :[a,b]\rightarrow M}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07c4ba7eb5ea03868d9299512c02190eae635b87" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.811ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \gamma :[a,b]\rightarrow M}"></span> contenida en una variedad riemanniana <i>M</i>, definimos la longitud de dicha curva <i>L</i>(γ) mediante el vector tangente a la misma y las componentes <i>g<sub>ij</sub></i> del tensor métrico <i>g</i> del siguiente modo:<br /> <br /> </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L(\gamma )=\int _{a}^{b}{\sqrt {\sum _{i,j}g_{ij}x'_{i}(t)x'_{j}(t)}}\ dt}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>L</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>γ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> </mrow> </msubsup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>j</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> <mo>′</mo> </msubsup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <msubsup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> <mo>′</mo> </msubsup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </msqrt> </mrow> <mtext> </mtext> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L(\gamma )=\int _{a}^{b}{\sqrt {\sum _{i,j}g_{ij}x'_{i}(t)x'_{j}(t)}}\ dt}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7421a9eb16c367d52d053da26465d0731f68155e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.171ex; width:32.497ex; height:8.176ex;" alt="{\displaystyle L(\gamma )=\int _{a}^{b}{\sqrt {\sum _{i,j}g_{ij}x'_{i}(t)x'_{j}(t)}}\ dt}"></span></dd></dl> <p><br /> Donde <i>x<sub>i</sub></i>(<i>t</i>) es la expresión paramétrica de los puntos de la <a href="/wiki/Curva" title="Curva">curva parametrizada</a> mediante el parámetro <i>t</i>. Usando los <a href="/wiki/S%C3%ADmbolos_de_Christoffel" title="Símbolos de Christoffel">símbolos de Christoffel</a> asociadas a la <a href="/wiki/Conexi%C3%B3n_(matem%C3%A1tica)" title="Conexión (matemática)">conexión</a> sin <a href="/wiki/Torsi%C3%B3n_de_una_conexi%C3%B3n" class="mw-redirect" title="Torsión de una conexión">torsión</a>, la curva geodésica de mínima longitud que pasan por un punto <i>x</i><sub>0</sub> y tiene el vector tangente <b>v</b> satisface la siguiente ecuación:<br /> <br /> </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {d^{2}x^{\mu }}{dt^{2}}}+\sum _{\sigma ,\nu }\Gamma _{\sigma \nu }^{\mu }{\frac {dx^{\sigma }}{dt}}{\frac {dx^{\nu }}{dt}}=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>μ</mi> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <msup> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>σ</mi> <mo>,</mo> <mi>ν</mi> </mrow> </munder> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>σ</mi> <mi>ν</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>μ</mi> </mrow> </msubsup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>σ</mi> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>ν</mi> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {d^{2}x^{\mu }}{dt^{2}}}+\sum _{\sigma ,\nu }\Gamma _{\sigma \nu }^{\mu }{\frac {dx^{\sigma }}{dt}}{\frac {dx^{\nu }}{dt}}=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65d62cc711ae3d57f865cdb2c9bfa13860e05699" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:29.041ex; height:7.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {d^{2}x^{\mu }}{dt^{2}}}+\sum _{\sigma ,\nu }\Gamma _{\sigma \nu }^{\mu }{\frac {dx^{\sigma }}{dt}}{\frac {dx^{\nu }}{dt}}=0}"></span><br /></dd></dl> <p>Puede probarse que la ecuación anterior puede obtenerse por métodos variacionales, concretamente podemos de las <a href="/wiki/Ecuaciones_de_Euler-Lagrange" title="Ecuaciones de Euler-Lagrange">ecuaciones de Euler-Lagrange</a> para un lagrangiano construido a partir de la forma cuadrática asociada al tensor métrico. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Longitud,_ángulo_y_volumen"><span id="Longitud.2C_.C3.A1ngulo_y_volumen"></span>Longitud, ángulo y volumen</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Variedad_de_Riemann&action=edit&section=6" title="Editar sección: Longitud, ángulo y volumen"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>En una variedad riemanniana la existencia de un <a href="/wiki/Tensor_m%C3%A9trico" title="Tensor métrico">tensor métrico</a> permite extender las nociones euclideas de longitud, ángulo entre dos curvas en un punto (o dos vectores del <a href="/wiki/Espacio_tangente" title="Espacio tangente">espacio tangente</a> de un punto) o el volumen de una región de dicha variedad. </p> <ul><li>La <b>longitud</b> de un segmento de una curva dada parametrizada por <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>t</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/946383a7c6d1876177c662a95b369ced2ad99cd9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.227ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle t\,}"></span>, desde <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d73aa5354c24942dab5316be466465a9d171510" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.617ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a\,}"></span> hasta <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b1bcf19f4ec75b1d2cc0be001e58a314fb0a940" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.385ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b\,}"></span>, se define como:</li></ul> <blockquote style="padding: 5px 10px; background-color: var(--background-color-base, #fff); color: var(--color-base, #202122); text-align: left; margin-left:30px; margin-bottom: 0.4em; margin-top:0.2em; min-width:50%;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L=\int _{a}^{b}{\sqrt {g_{ij}{\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{j}}}\ dt}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>L</mi> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> </mrow> </msubsup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <msub> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msup> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msup> </msqrt> </mrow> <mtext> </mtext> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L=\int _{a}^{b}{\sqrt {g_{ij}{\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{j}}}\ dt}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce16bc3caf842d97fbf622c59216c10f7671d91b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:20.385ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle L=\int _{a}^{b}{\sqrt {g_{ij}{\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{j}}}\ dt}"></span> </p> </blockquote> <ul><li>El <b>ángulo</b> entre dos <a href="/wiki/Espacio_vectorial" title="Espacio vectorial">vectores</a> <i>U</i> y <i>V</i> (o entre dos curvas cuyos vectores <a href="/wiki/Tangente_(geometr%C3%ADa)" title="Tangente (geometría)">tangentes</a> sean <i>U</i> y <i>V</i> ) se define como:</li></ul> <blockquote style="padding: 5px 10px; background-color: var(--background-color-base, #fff); color: var(--color-base, #202122); text-align: left; margin-left:30px; margin-bottom: 0.4em; margin-top:0.2em; min-width:50%;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \cos \theta ={\frac {g_{ij}U^{i}V^{j}}{\sqrt {|g_{ij}U^{i}U^{j}||g_{ij}V^{i}V^{j}|}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>θ</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>U</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msup> <msup> <mi>V</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msup> </mrow> <msqrt> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msub> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>U</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msup> <msup> <mi>U</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msub> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>V</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msup> <msup> <mi>V</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> </msqrt> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \cos \theta ={\frac {g_{ij}U^{i}V^{j}}{\sqrt {|g_{ij}U^{i}U^{j}||g_{ij}V^{i}V^{j}|}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fedef76b418645fe7879fb4cf6dd4826310c6315" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.671ex; width:29.542ex; height:8.676ex;" alt="{\displaystyle \cos \theta ={\frac {g_{ij}U^{i}V^{j}}{\sqrt {|g_{ij}U^{i}U^{j}||g_{ij}V^{i}V^{j}|}}}}"></span> </p> </blockquote> <ul><li>El <b><i>n</i>-volumen</b> de una región <i>R</i> de una variedad de dimensión <i>n</i> viene dado por la integral extendida a dicha región de la <a href="/wiki/Forma_diferencial" title="Forma diferencial"><i>n</i>-forma</a> de volumen:</li></ul> <blockquote style="padding: 5px 10px; background-color: var(--background-color-base, #fff); color: var(--color-base, #202122); text-align: left; margin-left:30px; margin-bottom: 0.4em; margin-top:0.2em; min-width:50%;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V_{R}=\int _{R}{\sqrt {|g|}}\ dx^{1}\land dx^{2}\land ...\land dx^{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>V</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>R</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>R</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> </msqrt> </mrow> <mtext> </mtext> <mi>d</mi> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>∧</mo> <mi>d</mi> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>∧</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>∧</mo> <mi>d</mi> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V_{R}=\int _{R}{\sqrt {|g|}}\ dx^{1}\land dx^{2}\land ...\land dx^{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08226fe0a4d748ba7bc789773b0aedb2da963cdd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:34.155ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle V_{R}=\int _{R}{\sqrt {|g|}}\ dx^{1}\land dx^{2}\land ...\land dx^{n}}"></span> </p> </blockquote> <p>Además de esto se pueden definir medidas de dimensionalidad 1< <i>d</i> < <i>n</i> para regiones de subvariedades contenidas en la variedad original, lo cual permite definir <i>d</i>-áreas ciertos subconjuntos de la variedad. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Producto_interno">Producto interno</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Variedad_de_Riemann&action=edit&section=7" title="Editar sección: Producto interno"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>El <a href="/wiki/Producto_interno" class="mw-redirect" title="Producto interno">producto interno</a> en <b>R</b><sup>n</sup> (el <a href="/wiki/Producto_escalar" title="Producto escalar">producto escalar</a> euclidiano familiar) permite que se defina longitudes de <a href="/wiki/Vector" title="Vector">vectores</a> y <a href="/wiki/%C3%81ngulo" title="Ángulo">ángulos</a> entre vectores. Por ejemplo, si <b>a</b> y <b>b</b> son vectores en <b>R</b><sup>n</sup>, entonces <b>a</b>² es la longitud al cuadrado del vector, y <b>a</b> * <b>b</b> determina el <a href="/wiki/Trigonometr%C3%ADa" title="Trigonometría">coseno</a> del ángulo entre ellos (<b>a</b> * <b>b</b> = ||<b>a</b>|| ||<b>b</b>|| cos θ). El producto interno es un concepto del <a href="/wiki/%C3%81lgebra_lineal" title="Álgebra lineal">álgebra lineal</a> que se puede definir para cualquier <a href="/wiki/Espacio_vectorial" title="Espacio vectorial">espacio vectorial</a>. Desde el <a href="/wiki/Fibrado_tangente" title="Fibrado tangente">fibrado tangente</a> de una <a href="/wiki/Variedad" class="mw-disambig" title="Variedad">variedad</a> diferenciable (o de hecho, cualquier <a href="/wiki/Fibrado_vectorial" title="Fibrado vectorial">fibrado vectorial</a> sobre una variedad) es, considerado punto a punto, un espacio vectorial, puede llevar también un producto interno. Si el producto interno en el espacio tangente de una variedad se define suavemente, entonces los conceptos que eran solamente punto a punto definido en cada espacio tangente se pueden integrar, para rendir nociones análogas en regiones finitas de la variedad. En este contexto, el espacio tangente se puede pensar como traslación infinitesimal en la variedad. Así, el producto interno en el espacio tangente da la longitud de una traslación infinitesimal. La <a href="/wiki/Integral" class="mw-redirect" title="Integral">integral</a> de esta longitud da la longitud de una curva en la variedad. Para pasar de un concepto algebraico lineal a uno geométrico diferencial, el requisito de suavidad es importante, en muchos casos. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Curvatura">Curvatura</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Variedad_de_Riemann&action=edit&section=8" title="Editar sección: Curvatura"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="noprint AP rellink"><span style="font-size:88%">Artículo principal:</span> <i><a href="/wiki/Tensor_de_curvatura" title="Tensor de curvatura"> Tensor de curvatura</a></i></div> <p>En una variedad riemanniana las geodésicas alrededor de un punto exhiben comportamientos atípicos respecto a la geometría euclidiana. Por ejemplo en un espacio euclidiano pueden darse líneas rectas paralelas cuya distancia se mantiene constante, sin embargo, en una variedad riemanniana los haces de geodésicas tienden a divergir (curvatura negativa) o a converger (curvatura positiva), según sea la <a href="/w/index.php?title=Curvatura_seccional&action=edit&redlink=1" class="new" title="Curvatura seccional (aún no redactado)">curvatura seccional</a> de dicha variedad. Todas las curvaturas pueden ser representadas adecuadamente por el <a href="/wiki/Tensor_de_curvatura" title="Tensor de curvatura">tensor de curvatura</a> Riemann que es definible a partir de derivadas de primer y segundor orden del <a href="/wiki/Tensor_m%C3%A9trico" title="Tensor métrico">tensor métrico</a>. El tensor de curvatura en términos de los <a href="/wiki/S%C3%ADmbolos_de_Christoffel" title="Símbolos de Christoffel">símbolos de Christoffel</a> y usando el <a href="/wiki/Convenio_de_sumaci%C3%B3n_de_Einstein" class="mw-redirect" title="Convenio de sumación de Einstein">convenio de sumación de Einstein</a> viene dado por: </p> <blockquote style="padding: 5px 10px; background-color: var(--background-color-base, #fff); color: var(--color-base, #202122); text-align: left; margin-left:30px; margin-bottom: 0.4em; margin-top:0.2em; min-width:50%;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {R^{\rho }}_{\sigma \mu \nu }=\partial _{\mu }\Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }-\partial _{\nu }\Gamma _{\mu \sigma }^{\rho }+\Gamma _{\mu \lambda }^{\rho }\Gamma _{\nu \sigma }^{\lambda }-\Gamma _{\nu \lambda }^{\rho }\Gamma _{\mu \sigma }^{\lambda }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>ρ</mi> </mrow> </msup> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>σ</mi> <mi>μ</mi> <mi>ν</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>μ</mi> </mrow> </msub> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>ν</mi> <mi>σ</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>ρ</mi> </mrow> </msubsup> <mo>−</mo> <msub> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>ν</mi> </mrow> </msub> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>μ</mi> <mi>σ</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>ρ</mi> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>μ</mi> <mi>λ</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>ρ</mi> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>ν</mi> <mi>σ</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>λ</mi> </mrow> </msubsup> <mo>−</mo> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>ν</mi> <mi>λ</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>ρ</mi> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>μ</mi> <mi>σ</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>λ</mi> </mrow> </msubsup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {R^{\rho }}_{\sigma \mu \nu }=\partial _{\mu }\Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }-\partial _{\nu }\Gamma _{\mu \sigma }^{\rho }+\Gamma _{\mu \lambda }^{\rho }\Gamma _{\nu \sigma }^{\lambda }-\Gamma _{\nu \lambda }^{\rho }\Gamma _{\mu \sigma }^{\lambda }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe61e3e933eed136798401bd08402b262ae4dece" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:43.671ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {R^{\rho }}_{\sigma \mu \nu }=\partial _{\mu }\Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }-\partial _{\nu }\Gamma _{\mu \sigma }^{\rho }+\Gamma _{\mu \lambda }^{\rho }\Gamma _{\nu \sigma }^{\lambda }-\Gamma _{\nu \lambda }^{\rho }\Gamma _{\mu \sigma }^{\lambda }}"></span> </p> </blockquote> <p>Una relación interesante que aclara el significado del tensor de curvatura es que si se consideran <b>coordenadas normales</b> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \scriptstyle \{x^{1},\dots ,x^{n}\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="1"> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \scriptstyle \{x^{1},\dots ,x^{n}\}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f144defa7dafbd35333b9557766c5b390702d2ee" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.161ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \scriptstyle \{x^{1},\dots ,x^{n}\}}"></span>centradas en un punto <i>p</i> en un entorno de dicho punto la métrica de toda variedad riemannina puede escribirse como: </p> <blockquote style="padding: 5px 10px; background-color: var(--background-color-base, #fff); color: var(--color-base, #202122); text-align: left; margin-left:30px; margin-bottom: 0.4em; margin-top:0.2em; min-width:50%;"> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g_{ij}(x)=\delta _{ij}-{\frac {1}{3}}R_{iklj}x^{k}x^{l}+O(|x|^{3})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>δ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>3</mn> </mfrac> </mrow> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>k</mi> <mi>l</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msup> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mi>O</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>x</mi> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g_{ij}(x)=\delta _{ij}-{\frac {1}{3}}R_{iklj}x^{k}x^{l}+O(|x|^{3})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0921d571daee53d9876d25e5b1c511b4f585735e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:35.331ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle g_{ij}(x)=\delta _{ij}-{\frac {1}{3}}R_{iklj}x^{k}x^{l}+O(|x|^{3})}"></span> </p> </blockquote> <p>Puede verse que si el tensor de Riemann se anula idénticamente entonces localmente la métrica se aproxima a la métrica euclidiana y la geometría localmente es euclidiana. En caso del que el tensor no sea nula, sus componentes dan una idea de cuanto se alejan la geometría de la variedad riemanniana de la geometría de un espacio euclidiano de la misma dimensión. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Generalizaciones_de_las_variedades_de_Riemann">Generalizaciones de las variedades de Riemann</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Variedad_de_Riemann&action=edit&section=9" title="Editar sección: Generalizaciones de las variedades de Riemann"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/Variedad_pseudoriemanniana" title="Variedad pseudoriemanniana">Variedad pseudoriemanniana</a>, en las que se retira el requisito de que el tensor métrico dé lugar a una forma cuadrática definida positiva sobre cada punto en el espacio tangente, y se sustituye por el requisito más débil de que el tensor métrico sea sencillamente no degenerado. Toda variedad riemanniana es también una variedad pseudoriemanniana.</li> <li><a href="/w/index.php?title=Variedad_de_Finsler&action=edit&redlink=1" class="new" title="Variedad de Finsler (aún no redactado)">Variedad de Finsler</a>, en la que se elimina el requisito de existencia de un tensor métrico definido positivo, y se sustituye esa condición por el requisito más débil la existencia de una norma sobre el espacio vectorial tangente a cada punto. Toda variedad riemanniana es por tanto una variedad de Finsler.</li> <li><a href="/wiki/Variedad_de_K%C3%A4hler" title="Variedad de Kähler">Variedad de Kähler</a> es una <a href="/wiki/Variedad_simpl%C3%A9ctica" class="mw-redirect" title="Variedad simpléctica">variedad simpléctica</a> en la que es posible definir estructuras análogas a las existentes en las variedades de Riemann. Además es <a href="/wiki/Variedad_compleja" title="Variedad compleja">variedad compleja</a>, una variedad de Riemann, y una variedad simpléctica, con estas tres estructuras compatibles entre sí.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Véase_también"><span id="V.C3.A9ase_tambi.C3.A9n"></span>Véase también</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Variedad_de_Riemann&action=edit&section=10" title="Editar sección: Véase también"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/Geometr%C3%ADa_de_Riemann" title="Geometría de Riemann">Geometría de Riemann</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Variedad_de_Finsler&action=edit&redlink=1" class="new" title="Variedad de Finsler (aún no redactado)">Variedad de Finsler</a></li> <li><a href="/wiki/Isomorfismo_musical" title="Isomorfismo musical">Isomorfismo musical</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Referencias">Referencias</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Variedad_de_Riemann&action=edit&section=11" title="Editar sección: Referencias"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="listaref" style="list-style-type: decimal;"></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Bibliografía"><span id="Bibliograf.C3.ADa"></span>Bibliografía</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Variedad_de_Riemann&action=edit&section=12" title="Editar sección: Bibliografía"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li>Robert M. Wald, <i>General Relativity</i>, Chicago University Press, <a href="/wiki/Especial:FuentesDeLibros/0226870332" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 0-226-87033-2</a>.</li> <li>Lee, J.M. <i>Riemannian manifolds: an introduction to curvature</i>. GTM 176. <a href="/wiki/Especial:FuentesDeLibros/038798271X" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 0-387-98271-X</a></li></ul> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r161257576">.mw-parser-output .mw-authority-control{margin-top:1.5em}.mw-parser-output .mw-authority-control .navbox table{margin:0}.mw-parser-output .mw-authority-control .navbox hr:last-child{display:none}.mw-parser-output .mw-authority-control .navbox+.mw-mf-linked-projects{display:none}.mw-parser-output .mw-authority-control .mw-mf-linked-projects{display:flex;padding:0.5em;border:1px solid var(--border-color-base,#a2a9b1);background-color:var(--background-color-neutral,#eaecf0);color:var(--color-base,#202122)}.mw-parser-output .mw-authority-control .mw-mf-linked-projects ul li{margin-bottom:0}.mw-parser-output .mw-authority-control .navbox{border:1px solid var(--border-color-base,#a2a9b1);background-color:var(--background-color-neutral-subtle,#f8f9fa)}.mw-parser-output .mw-authority-control .navbox-list{border-color:#f8f9fa}.mw-parser-output .mw-authority-control .navbox th{background-color:#eeeeff}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .mw-authority-control .mw-mf-linked-projects{border:1px solid var(--border-color-base,#72777d);background-color:var(--background-color-neutral,#27292d);color:var(--color-base,#eaecf0)}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .mw-authority-control .navbox{border:1px solid var(--border-color-base,#72777d)!important;background-color:var(--background-color-neutral-subtle,#202122)!important}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .mw-authority-control .navbox-list{border-color:#202122!important}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .mw-authority-control .navbox th{background-color:#27292d!important}@media(prefers-color-scheme:dark){html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .mw-authority-control .mw-mf-linked-projects{border:1px solid var(--border-color-base,#72777d)!important;background-color:var(--background-color-neutral,#27292d)!important;color:var(--color-base,#eaecf0)!important}html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .mw-authority-control .navbox{border:1px solid var(--border-color-base,#72777d)!important;background-color:var(--background-color-neutral-subtle,#202122)!important}html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .mw-authority-control .navbox-list{border-color:#202122!important}html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .mw-authority-control .navbox th{background-color:#27292d!important}}</style><div class="mw-authority-control"><div role="navigation" class="navbox" aria-label="Navbox" style="width: inherit;padding:3px"><table class="hlist navbox-inner" style="border-spacing:0;background:transparent;color:inherit"><tbody><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width: 12%; text-align:center;"><a href="/wiki/Control_de_autoridades" title="Control de autoridades">Control de autoridades</a></th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><b>Proyectos Wikimedia</b></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Wikidata" title="Wikidata"><img alt="Wd" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/20px-Wikidata-logo.svg.png" decoding="async" width="20" height="11" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/30px-Wikidata-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/40px-Wikidata-logo.svg.png 2x" data-file-width="1050" data-file-height="590" /></a></span> Datos:</span> <span class="uid"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Q632814" class="extiw" title="wikidata:Q632814">Q632814</a></span></li> <li><b>Identificadores</b></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><a href="/wiki/Biblioteca_Nacional_de_Espa%C3%B1a" title="Biblioteca Nacional de España">BNE</a>:</span> <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://datos.bne.es/resource/XX552043">XX552043</a></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><a href="/wiki/Biblioteca_Nacional_de_Francia" title="Biblioteca Nacional de Francia">BNF</a>:</span> <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb11959398f">11959398f</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="http://data.bnf.fr/ark:/12148/cb11959398f">(data)</a></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><a href="/wiki/Gemeinsame_Normdatei" title="Gemeinsame Normdatei">GND</a>:</span> <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://d-nb.info/gnd/4128295-4">4128295-4</a></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><a href="/wiki/Library_of_Congress_Control_Number" title="Library of Congress Control Number">LCCN</a>:</span> <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://id.loc.gov/authorities/sh85114045">sh85114045</a></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><a href="/wiki/Biblioteca_Nacional_de_la_Dieta" title="Biblioteca Nacional de la Dieta">NDL</a>:</span> <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://id.ndl.go.jp/auth/ndlna/00569452">00569452</a></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><a href="/wiki/Biblioteca_Nacional_de_la_Rep%C3%BAblica_Checa" title="Biblioteca Nacional de la República Checa">NKC</a>:</span> <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://aleph.nkp.cz/F/?func=find-c&local_base=aut&ccl_term=ica=ph257171">ph257171</a></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><a href="/wiki/Biblioteca_Nacional_de_Israel" title="Biblioteca Nacional de Israel">NLI</a>:</span> <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://olduli.nli.org.il/F/?func=find-b&local_base=NLX10&find_code=UID&request=987007538989305171">987007538989305171</a></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><a href="/wiki/Syst%C3%A8me_universitaire_de_documentation" title="Système universitaire de documentation">SUDOC</a>:</span> <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.idref.fr/027585662">027585662</a></span></li></ul> </div></td></tr></tbody></table></div><div class="mw-mf-linked-projects hlist"> <ul><li><span style="white-space:nowrap;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Wikidata" title="Wikidata"><img alt="Wd" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/20px-Wikidata-logo.svg.png" decoding="async" width="20" height="11" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/30px-Wikidata-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/40px-Wikidata-logo.svg.png 2x" data-file-width="1050" data-file-height="590" /></a></span> Datos:</span> <span class="uid"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Q632814" class="extiw" title="wikidata:Q632814">Q632814</a></span></li></ul> </div></div>    </div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1&useformat=desktop" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Obtenido de «<a dir="ltr" href="https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Variedad_de_Riemann&oldid=151434670">https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Variedad_de_Riemann&oldid=151434670</a>»</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/Especial:Categor%C3%ADas" title="Especial:Categorías">Categoría</a>: <ul><li><a href="/wiki/Categor%C3%ADa:Geometr%C3%ADa_de_Riemann" title="Categoría:Geometría de Riemann">Geometría de Riemann</a></li></ul></div><div id="mw-hidden-catlinks" class="mw-hidden-catlinks mw-hidden-cats-hidden">Categorías ocultas: <ul><li><a href="/wiki/Categor%C3%ADa:Wikipedia:Art%C3%ADculos_que_necesitan_referencias" title="Categoría:Wikipedia:Artículos que necesitan referencias">Wikipedia:Artículos que necesitan referencias</a></li><li><a href="/wiki/Categor%C3%ADa:Wikipedia:Referenciar_(a%C3%BAn_sin_clasificar)" title="Categoría:Wikipedia:Referenciar (aún sin clasificar)">Wikipedia:Referenciar (aún sin clasificar)</a></li><li><a href="/wiki/Categor%C3%ADa:Wikipedia:Art%C3%ADculos_con_identificadores_BNE" title="Categoría:Wikipedia:Artículos con identificadores BNE">Wikipedia:Artículos con identificadores BNE</a></li><li><a href="/wiki/Categor%C3%ADa:Wikipedia:Art%C3%ADculos_con_identificadores_BNF" title="Categoría:Wikipedia:Artículos con identificadores BNF">Wikipedia:Artículos con identificadores BNF</a></li><li><a href="/wiki/Categor%C3%ADa:Wikipedia:Art%C3%ADculos_con_identificadores_GND" title="Categoría:Wikipedia:Artículos con identificadores GND">Wikipedia:Artículos con identificadores GND</a></li><li><a href="/wiki/Categor%C3%ADa:Wikipedia:Art%C3%ADculos_con_identificadores_LCCN" title="Categoría:Wikipedia:Artículos con identificadores LCCN">Wikipedia:Artículos con identificadores LCCN</a></li><li><a href="/wiki/Categor%C3%ADa:Wikipedia:P%C3%A1ginas_con_enlaces_m%C3%A1gicos_de_ISBN" title="Categoría:Wikipedia:Páginas con enlaces mágicos de ISBN">Wikipedia:Páginas con enlaces mágicos de ISBN</a></li></ul></div></div> </div> </main> </div> <div class="mw-footer-container"> <footer id="footer" class="mw-footer" > <ul id="footer-info"> <li id="footer-info-lastmod"> Esta página se editó por última vez el 26 may 2023 a las 02:46.</li> <li id="footer-info-copyright">El texto está disponible bajo la <a href="/wiki/Wikipedia:Texto_de_la_Licencia_Creative_Commons_Atribuci%C3%B3n-CompartirIgual_4.0_Internacional" title="Wikipedia:Texto de la Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 4.0 Internacional">Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 4.0</a>; 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Variedad de Riemann - Wikipedia, la enciclopedia libre